ora ora gioca
Attività didattiche per il ripasso estivo
Aritmetica
Geometria
Arturo Russo Paolo Velonà
Attività con IA
e
matematica si
ora ora gioca 2
Attività didattiche per il ripasso estivo
Aritmetica
Attività con IA
civica
Arturo Russo Paolo Velonà
Introduzione
Ci hai mai fatto caso? Quando non mangiano o non dormono, i cuccioli dei mammiferi passano il loro tempo a giocare. Gli orsi guerreggiano nei greti dei fiumi; i gatti si nascondono tra le nostre coperte e i cani si mordono e ruzzolano per terra. I bambini e le bambine non fanno eccezione, per loro giocare e vivere sono quasi sinonimi. Crescendo che succede? Il tempo che dedichiamo al gioco sicuramente si riduce, di certo i giochi si trasformano, ma giocare resta un’attività fondamentale per tutta la nostra vita. In fondo gli sport che cosa sono se non giochi? E in un certo senso non possiamo dire che perfino le arti traggono la propria origine dal gioco?
Come mai, viene da chiedersi, il gioco è così importante? La convinzione di noi autori è che attraverso il gioco impariamo a confrontarci con la realtà. Prima di decidere, gli uomini simulano con la fantasia le situazioni critiche e di pericolo, immaginano le possibili soluzioni, seguono piste fantastiche, che talvolta possono anche condurci a soluzioni geniali. Quante invenzioni della storia dell’umanità sono nate per gioco? E quante opere d’arte hanno mosso i primi passi come semplici fantasticherie della mente?
Con questo volume vorremmo presentare al pubblico una ricca gamma di giochi didattici. La finalità è quella di supportare l’insegnamento ordinario, non certo di sostituirlo. Giocare aiuta a ripassare, consolidando alcune basi acquisite, ma può anche essere utile come “primo approccio” nei confronti di un argomento nuovo.
è una raccolta di giochi didattici rivolti alle ragazze e ai ragazzi della scuola secondaria di primo grado. Il loro utilizzo principale è quello di un agile e simpatico lavoro da svolgere come ripasso estivo. Nulla vieta però di accompagnare la didattica tradizionale con questo volume, utilizzandolo durante l’anno come un vero e proprio eserciziario. Molti dei giochi che si trovano all’interno, infatti, si prestano a essere svolti individualmente o in gruppo.
Durante la lettura incontrerai tanti personaggi guida, che ti chiederanno di partecipare alle loro avventure. Non temere: se hai dubbi o incertezze o – perché no? – se non dovesse venirti in mente qualche risposta, troverai diversi amici pronti ad aiutarti.
A questo punto non ci resta che augurarti... buon divertimento e buono studio!
EDUCAZIONE CIVICA
LE PROPORZIONI
Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti, cioè tra due divisioni:
a : b = c : d
dove b e d sono diversi da zero. Si può vedere una proporzione anche come un’uguaglianza fra due frazioni.
La corretta lettura è: “a sta a b come c sta a d” Possiamo chiamare a e c dividendi o antecedenti e b e d divisori o conseguenti.
I valori presenti nelle posizioni a e d sono detti estremi della proporzione, mentre quelli nelle posizioni b e c sono detti medi.
a : b = c : d
PRIMA DI GIOCARE RIPASSA CON IL PROFESSOR CALCOLETTI
La proprietà fondamentale delle proporzioni
Una proporzione gode della proprietà fondamentale, secondo cui il prodotto tra i medi è uguale al prodotto tra gli estremi. Infatti, moltiplicando per b e per d i due membri dell’uguaglianza, si ottiene proprio ad = bc
Esempio: Consideriamo la proporzione: 3 : 4 = 6 : 8
Verifichiamo la proprietà:
• Gli estremi sono 3 e 8, quindi il loro prodotto è: 3 × 8 = 24
• I medi sono 4 e 6, quindi il loro prodotto è: 4 × 6 = 24
Poiché 3 × 8 = 4 × 6, la proprietà fondamentale è verificata. Se conosciamo tre termini di una proporzione, possiamo calcolare il termine mancante applicando questa proprietà. Le formule di risoluzione sono:
a = b × c d
c = a × d b
b = a × d c
d = b × c a
LA MANO PASTICCIONA
Povero Emanuele! La sua sorellina Elisa gli ha sporcato tutti i compiti con le sue manine colorate. Puoi aiutarlo a ristabilire le giuste proporzioni?
LA CATENA
Hai mai giocato a creare delle catene di proporzioni? È semplice: realizza una serie di 5 divisioni con lo stesso quoziente di quella di partenza!
Ti ricordi la proprietà del comporre? Essa afferma che la somma dei primi due termini sta al primo, come la somma di terzo e quarto termine sta al terzo: (a + b) : a = (c + d) : c
Questa proprietà è vera in quanto, sapendo che a : b = c : d, invertendo (se anche a e c sono diversi da zero) i rapporti si ottiene b : a = d : c, e aggiungendo 1 a entrambi i membri si ottiene 1 + b : a = 1 + d : c; scrivendo entrambi i membri come un’unica frazione, si ottiene proprio la proprietà del comporre.
EZZELINO MISCHIATUTTO
Ezzelino è un diavoletto molto dispettoso che si diverte a mischiare tutto quello che gli capita sotto mano. Ora, per esempio, ha invertito i termini di queste proporzioni. Chissà se qualcuno sarà in grado di metterli in ordine... Vuoi provarci tu?
5 : 10 = 12 : 6 proporzione corretta: : = :
18 : 10 = 20 : 36 proporzione corretta: : = : 3 : 30 = 10 : 1 proporzione corretta: : = :
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FABIAN DÀ I NUMERI
Fabian è così appassionato di numeri che quando ha scoperto l’esistenza delle proporzioni continue – con medi o estremi uguali – si è messo a urlare dalla gioia!
Ora tocca a te creare delle proporzioni continue. Ti basta trovare la x , cioè il numero segreto!
Una proporzione si dice continua quando ha i medi uguali, come ad esempio 3 : 9 = 9 : 27, oppure quando ha gli estremi uguali, come ad esempio 6 : 2 = 18 : 6.
SFIDA AI VERTICI
Il professor Sapientoni, partendo da una proporzione, ti chiede di scambiare op portunamente le posizioni dei numeri per ottenerne altre 7.
Ecco la proporzione di partenza: 8 : 4 = 2 : 1
Calcolane altre sette (alcune saranno la stessa proporzione scritta scambiando primo e secondo membro dell’uguaglianza).
Attenzione: verifica per ogni proporzione l’uguaglianza dei due rapporti oppure la proprietà fondamentale.
CHE VINCA IL MIGLIORE!
Il professor Sapientoni ti propone ora un altro esercizio: risolvere le proporzioni i cui termini sono numeri razionali. Vuoi stupirlo?
Prova a trovare il termine incognito utilizzando le formule adatte. 6
CAPITOLO
I NUMERI DECIMALI
I numeri decimali si compongono di due parti: la parte intera, che si trova a sinistra della virgola, e la parte decimale situata a destra della virgola. Un numero decimale rappresenta il risultato esatto di una divisione in cui il dividendo non è un multiplo del divisore. Per determinare questo valore, si calcola inizialmente il quoziente. Successivamente, se rimane un resto diverso da zero, questo viene suddiviso in parti decimali uguali, che vengono poi aggiunte al quoziente. Esistono due tipi di numeri decimali (frutto di divisioni):
1. decimali finiti: hanno un numero finito di cifre decimali.
Esempio: 3,4 oppure 0,56345
2. decimali infiniti o periodici: hanno un numero infinito di cifre decimali e si suddividono in
• semplici, se la parte decimale è formata da un gruppo di cifre che si ripetono all’infinito.
Esempio: 0,666666... oppure 5,454545... oppure 2,386138613861...
• misti, se nella parte decimale compaiono, subito dopo la virgola, una o più cifre che non si ripetono seguite da un gruppo di cifre che si ripete all’infinito.
Esempio: 0,166666... oppure 3,235555... oppure 18,475757...
Le cifre periodiche sono convenzionalmente indicate con un trattino sovrastante, ad esempio 6,3. Più raramente si utilizzano le parentesi, ad esempio 6,3(3).
L’insieme delle cifre periodiche che si ripetono all’infinito viene detto periodo del numero. Le cifre decimali che precedono il periodo formano invece l’antiperiodo. Ad esempio, nel numero 2,1434343... il numero 1 è l’antiperiodo, mentre 43 è il periodo.
PRIMA DI GIOCARE RIPASSA CON IL PROFESSOR CALCOLETTI
Arrotondamento e approssimazione
Se un numero decimale ha molte cifre o ne ha infinite, è spesso utile “troncarlo” eliminando alcune cifre decimali per ottenere un valore che rappresenta una sua approssimazione. Il procedimento è il seguente.
1. Si indica l’ultima cifra decimale da conservare.
2. Si eliminano tutte le cifre successive.
3. Si aumenta di un’unità l’ultima cifra conservata solo se la prima cifra eliminata è maggiore o uguale a 5. Altrimenti, rimane invariata.
Notiamo che se l’ultima cifra conservata è un 9 e la cifra eliminata è maggiore o uguale a 5, il 9 diventa 0 e si aumenta di un’unità la cifra immediatamente precedente. Se anche la cifra precedente è un 9, si verifica un effetto a catena: il processo continua fino a incontrare una cifra diversa da 9. Se tutte le cifre decimali prima del 9 sono anch’esse 9, aggiungiamo un 1 alla parte intera del numero.
Esempi di arrotondamento alla seconda cifra decimale:
• 2,342 diventa 2,34
• 0,166666 diventa 0,17
• 35,45555 diventa 35,46
• 2,4933 diventa 2,49
• 3,997 diventa 4,00
Numeri decimali e frazioni
Ogni numero decimale finito o periodico è esprimibile mediante una frazione e ogni frazione rappresenta un numero decimale finito o periodico.
La difficoltà di effettuare operazioni con i numeri decimali senza arrotondare spesso ci porta a trasformarli nelle corrispondenti frazioni, dette solitamente frazioni generatrici. Il procedimento dipende dal tipo di numero decimale.
1. Per i numeri decimali finiti:
• Il numeratore è il numero ottenuto eliminando la virgola.
• Il denominatore è 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.
Esempi:
2,5 = 25 10 0,32 = 32 100 54,43 = 5443 100
2. Per i numeri decimali periodici:
• Il numeratore è la differenza tra il numero ottenuto eliminando la virgola e il numero formato dalle cifre non periodiche (attenzione a considerare sia la parte intera che l’antiperiodo!)
• Il denominatore è composto da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempi:
3,6 = (36 - 3) 9 = 33 9
2,54 = (254 - 2) 99 = 252 99
0,56 = (56 - 5) 90 = 51 90
1,116 = 1116 - 111 900 = 1005 900
LA GARA DI GINNASTICA RITMICA
Come ogni anno, le ginnaste della palestra si sfideranno in una gara di ginnastica ritmica. Elena è molto tesa: sa che a valutarla ci saranno diver si giudici federali, che useranno un sistema di voto complesso. Ogni giudice esprime il proprio voto in decimi. La media dei voti viene poi approssimata a un numero intero. Aiuta i giudici! Arrotonda i numeri decimali trasformandoli in numeri interi. Chi vincerà la gara?
GINNASTA MEDIA VOTO
GINNASTA MEDIA VOTO 1 Marta 8,39 2 Chiara 6,36 3 Bryana 8,89 4 Giulia 6,55 5 Elena 5,80 6 Greta 7,44
SFIDA ONLINE
Emanuele sfida i suoi amici in un torneo online. Al termine della partita la console comunica ai quattro giocatori i risultati in frazioni.
Ugo: livelli completati 1 2
Emanuele: livelli completati 5
livelli completati
Ciro: livelli completati
Trasforma le frazioni in numeri decimali e aiuta Emanuele a stilare la classifica definitiva.
Anna 7,38 8 Giada 9,56
Carola 7,74
Sandra 6,65
Roselin 8,91 12 Emma 4,49 La vincitrice della gara è
CALCOLETTI CALCOLA
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Nessuna cifra sfugge a Calcoletti, che è in grado di fare a mente calcoli complessi. Aiutalo a individuare i numeri periodici e trascrivili correttamente utilizzando quando serve il trattino. Determina poi le loro frazioni generatrici.
5,6767676767
0,3423105675
0,1564646464 2,6888888888 1,2354235423
0,0005500000
EMANUELE DIVIDE
Anche per Emanuele sono arrivati i tredici anni e, insieme al compleanno, una magnifica torta con la panna e il cioccolato. Per accontentare i suoi amici, Emanuele decide di tagliare la torta rispettando le richieste di ognuno di loro.
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Insieme a Emanuele, trasforma i numeri decimali in frazioni, riportando accanto a ciascun nome la quantità di torta che gli/le spetta.
Per me invece lo 0,1
LE AREE DEI POLIGONI
PRIMA DI GIOCARE RIPASSA CON IL PROFESSOR CALCOLETTI
La superficie di una figura piana è lo spazio (bidimensionale) che occupa la figura stessa; la sua misura è detta area.
L’unità di misura dell’area, nel sistema internazionale di unità di misura, è il metro quadrato, indicato con mq o meglio m2, cioè l’area di un quadrato di lato 1m. I suoi multipli e sottomultipli (km2, hm2, dam2, dm2, cm2, mm2) si ottengono moltiplicando o dividendo per 100 il numero che esprime la misura a ogni “salto” di posizione.
Il calcolo dell’area dei poligoni si basa sull’area del rettangolo, che è la figura con l’area più facile da calcolare; tutte le formule, infatti, sono derivate dal confronto con un rettangolo equivalente (cioè con la stessa area).
L’area di un rettangolo si calcola moltiplicando le due dimensioni, secondo la formula: A = b × h (base per altezza).
Da cui:
QUADRATO: A = l × l = l2 (lato per lato)
ROMBO: A = D × d 2 (diagonale maggiore per diagonale minore, diviso 2)
TRAPEZIO: A = (B + b) × h 2 (base maggiore più base minore, per altezza, diviso 2)
TRIANGOLO: A = b × h 2 (base per altezza, diviso 2)
In realtà esistono diversi modi per calcolare l’area del triangolo. Oltre a quella che abbiamo appena visto, c’è la formula di Erone, che permette di determinare l’area di un triangolo di cui si conoscono le misure dei lati. Per applicarla, tuttavia, occorre prima introdurre la radice quadrata. Lo faremo nel prossimo capitolo, intanto ti anticipo che secondo la formula di Erone l’area A di un triangolo è
A = p × (p–a) × (p–b) × (p–c)
dove p indica il semiperimetro mentre a, b, c sono le misure dei tre lati del triangolo
IL NUOVO CENTRO SPORTIVO
In città ha appena aperto Acqua Felice, un nuovo centro sportivo che ha a disposizione ben 4 piscine di forme e superfici diverse. Le piscine sono destinate a quattro categorie di nuotatori, in base alla loro area:
• la più piccola per le Stelle marine, tra i 3 e i 6 anni;
• la seconda dedicata alle Tartarughe, tra i 7 e i 10 anni;
• la terza a uso dei Pesci tropicali, tra gli 11 e i 14 anni;
• la più grande, per uso esclusivo degli over 14, i cosiddetti Delfini.
Dopo aver osservato le figure sottostanti, sapresti dire quale piscina è stata assegnata alle varie categorie di nuotatori?
I TRE PASCOLI
Come ogni mattina, mamma mucca ha diviso il campo da brucare in tre fette di terra, attribuendone una a ciascuno dei suoi tre vitellini. La mamma è molto scrupolosa ed è stata attenta a che le tre parti avessero la stessa area, come puoi vedere da questa immagine.
Non è giusto, la mia parte è più piccola!
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E vi lamentate? La mia è la metà della vostra!
Ma se la tua è la più grande!
Aiuta mamma mucca a spiegare ai tre cuccioli che le tre parti hanno la stessa identica area.
I DUE GIARDINI
Maurizio, il papà di Emanuele, lavora per la ditta “Costruzioni salde” e ora deve pavimentare due giardini rettangolari con piastrelle quadrate con lato di 40 cm. Sui bordi saranno inserite piastrelle verdi, al centro piastrelle grigie. La figura rappresenta il progetto del pavimento del primo giardino.
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Vuoi dare una mano a Maurizio con il suo lavoro? Rispondi alle seguenti domande.
a) Calcola il perimetro del giardino
b) Calcola l’area del giardino
c) Considerando che il signor Maurizio deve pavimentare anche un secondo giardino e che questo è 8 metri per 16 metri, sapresti dire quante piastrelle verdi e quante piastrelle grigie sono necessarie per ricoprirlo?
COLBERT
TOLBERT
LA MOSTRA
Questa sì che è arte!
Matilde va a una mostra di quadri del famoso pittore Van Geometry e rimane estasiata dal dipinto dal titolo “Composizione di triangoli”, nel quale nota, tra le 21 figure della composizione, ben 7 triangoli equivalenti (cioè con la stessa area).
I triangoli equivalenti sono
La loro area corrisponde a quadratini.
MISURIAMO INSIEME
Giuseppe, lo zio di Ugo, è un arredatore professionista e il primo dovere di ogni arredatore che si rispetti è prendere delle misure molto precise. Ora deve presentare un nuovo progetto. Vuoi aiutarlo a calcolare le aree dei seguenti appartamenti? I dati forniti (in m) dovrebbero esserti sufficienti a risolvere tutti i problemi, ma se hai qualche difficoltà, ascolta pure i consigli di Calcoletti a fine pagina.
10 m
FIGURA B 8 m 5 m 6 m
FIGURA C
FIGURA A
Area figura A =
Area figura B =
Area figura C =
Area figura D =
FIGURA D
Non riesci a calcolare le aree di queste figure irregolari? Nessun problema, dividile in due o più parti – ricavandone quadrati, rettangoli e triangoli – quindi somma le aree calcolate separatamente. 6 m
LA MATEMATICA È UN'OPINIONE?
La professoressa dell'Angelo ci tiene alla sua classe e vuole che le sue alunne e i suoi alunni siano sempre preparati al massimo. Così cerca di stimolarli con sfide sempre nuove. Ora, per esempio, ha disegnato alla lavagna questa figura. Quindi torna alla cattedra e chiede: “Con i dati che ho scritto, riusciamo a calcolare perimetro e area?”.
E tu come risponderesti? Le alunne e gli alunni della prof esprimono ciascuno la propria opinione.
Anna: Certo che si può! Il perimetro è 44 m; l'area 120 mq!
Ugo: Secondo me si può calcolare solo il perimetro, che misura 44 m.
Emanuele: Che dite? È possibile calcolare solo l'area, che misura 60 mq!
Matilde: Per me si può calcolare solo l'area, che misura 120 mq.
Edina: Vi sbagliate, si può calcolare solo il perimetro, che misura 22 m!
Fabian: No prof! Non è possibile calcolare niente!
Solo uno tra loro ha ragione. Chi?