IMPARIAMO METODO MATEMATICA
12 La storia dei numeri… continua
NUMERI
14 Il nostro sistema di numerazione
15 Esercizi
¹6 I grandi numeri
17 Esercizi
18 I numeri decimali
19 Esercizi
10 Confrontare i numeri decimali
11 Direzione invalsi
12 L’arrotondamento di un numero
13 L’addizione
14 La sottrazione
15 Addizione e sottrazione
16 La moltiplicazione
17 Le proprietà della moltiplicazione
18 La divisione
20 Moltiplicazioni e divisioni per 10 • 100 • 1000
21 Moltiplicazione e divisione
22 Dal più facile...
23 ... al più difficile
24 Esercizi
25 Le potenze
26 Esercizi
27 Le potenze del 10
28 Le espressioni
30 Dossier problemi Le tappe di un problema
32 I dati
34 Le domande nascoste
35 Utilizzare i diagrammi
36 Utilizzare le espressioni
37 Problem solving Tra un binario e l’altro
38 I numeri relativi
40 I multipli e i divisori
41 I numeri primi
42 Parole per… CONOSCERE Il mistero dei numeri primi
44 I criteri di divisibilità
45 La scomposizione in fattori primi
46 Dal più facile...
47 al più difficile
48 Direzione invalsi
50 Le frazioni
51 Frazioni proprie • improprie • apparenti
52 Frazioni equivalenti
53 Confronto tra frazioni
54 Frazioni e numeri decimali
55 Esercizi
56 La frazione di un numero
58 Dalla frazione all’intero
59 Esercizi
60 La percentuale
162 Dossier problemi
Differenti strategie
163 Gli schemi
164 Problem solving
Amministrare il denaro a disposizione
165 Lo sconto e l’aumento
166 Dal più facile...
167 ... al più difficile
168 Direzione invalsi
MISURE
170 Misurare: una necessità… ovunque
172 Misurare
173 Le equivalenze
174 Le misure di lunghezza
175 Esercizi
176 Le misure di massa-peso
177 Esercizi
178 Le misure di capacità
179 Esercizi
180 Problem solving Problemi in scena
181 Direzione invalsi
182 Le misure di tempo
184 Tempo • Spazio • Velocità
185 Le misure di valore
186 Vendere e comprare
187 Spesa • Guadagno • Ricavo
188 Esercizi
189 Problem solving Il tempo è denaro
190 Educazione finanziaria Il budget
192 Dal più facile...
193 ... al più difficile
194 Direzione invalsi
GEOMETRIA
196 Linee, figure piane, solidi negli edifici
198 Parole per… CONOSCERE Gli specchi di Archimede
100 Linee
101 Gli angoli
102 Perimetro e area
103 Il piano cartesiano
104 La simmetria
105 La traslazione
106 La rotazione
107 La similitudine
108 I poligoni
110 I triangoli
111 I quadrilateri
112 Le misure di superficie
113 Esercizi
117 Il rombo: perimetro e area
118 Il trapezio: perimetro e area
119 Il triangolo: perimetro e area
120 Problem solving La scuola si rinnova
121 Direzione invalsi
122 Dal più facile...
123 ... al più difficile
124 I poligoni regolari
125 L’apotema
126 L’area dei poligoni regolari
127 Esercizi
128 Il cerchio e la circonferenza
129 La misura della circonferenza
130 per imparare Il pi greco
131 L’area del cerchio
132 Esercizi
133 Problem solving Cartelli stradali
134 I solidi geometrici
135 I prismi
136 Le piramidi e i poliedri regolari
137 I solidi di rotazione
138 L’area dei solidi
139 Esercizi
140 per imparare Enti geometrici nell’arte
141 Problem solving Nuova vita ai contenitori
142 Le misure di volume
143 Esercizi
144 Il volume dei solidi
145 Esercizi
146 Dal più facile...
147 al più difficile
148 Direzione invalsi
114 Il rettangolo: perimetro e area
115 Il quadrato: perimetro e area
116 Il romboide: perimetro e area
RELAZIONI, DATI e PREVISIONI
150 Educazione civica I grafici ci “educano”
152 Le relazioni
154 Le classificazioni
155 I connettivi logici
156 Le combinazioni
157 Esercizi
158 La probabilità
159 Esercizi
160 La statistica
161 I grafici
162 Moda, media, mediana
163 Esercizi
164 Dal più facile...
165 ... al più difficile
166 Parole per… CONOSCERE Sogni che contano
168 Direzione invalsi
LA STORIA DEI NUMERI… CONTINUA
I numeri romani
Oggi usiamo le lettere per scrivere le parole e dieci cifre per scrivere i numeri.
Noi usiamo
0, 1, 2, 3 …
Per scrivere i numeri, i nostri antenati Romani usavano sette lettere: ognuna rappresentava una quantità.
Queste lettere venivano scritte in ordine, da quella che valeva di più a quella che valeva di meno.
I numeri venivano chiamati stringhe: erano una successione di lettere. Il valore era determinato dalla somma del valore di ogni lettera.
Lo zero significa “niente”. Noi non lo usiamo!
Quanto vale MMDCLXVII?
1000 + 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 2667
Una nuova regola
Idea! Semplifichiamo!
V meno I fa quattro! Perciò IV = quattro
Chiaro! L meno X fa XL = quaranta!
CCCCCXXXIII. Che fatica leggere i numeri!
I segni continuarono a essere scritti con valore decrescente, ma quando un segno veniva scritto prima di uno di valore maggiore, esso doveva essere sottratto.
La composizione del numero
Con i numeri romani:
• si scrivono i simboli partendo da quello che ha valore maggiore;
• i simboli I, X, C e M possono essere ripetuti consecutivamente al massimo tre volte;
• i simboli V, L, D si scrivono solo una volta;
• se i simboli I, X, C sono scritti prima di un segno che ha valore maggiore, vanno sottratti anziché sommati.
Sono Leonardo Fibonacci. Ho portato io le nuove cifre e il nuovo modo di contare. Era il lontano 1200.
Ve le abbiamo date noi.
E le nostre cifre da dove arrivano?
Ricordi?
IL NOSTRO SISTEMA DI NUMERAZIONE
ARGOMENTO
I numeri e il valore posizionale delle cifre.
REGOLA
Le cifre sono i simboli che usiamo per scrivere i numeri. Sono 10. Con esse formiamo qualsiasi numero.
La cifra 0 serve a indicare una posizione vuota nella composizione del numero.
Il nostro sistema di numerazione è:
• decimale, perché raggruppa in base 10:
10 u = 1 da
10 da = 1 h
10 h = 1 k
• posizionale, perché ogni cifra ha un valore differente in base al posto che occupa all’interno del numero:
546 6 vale 6 u, cioè 6 1 uk = 1000 u
465 6 vale 6 da, cioè 60 1 dak = 10000 u
654 6 vale 6 h, cioè 600 1 hk = 100000 u
Ricordo
• Completa la tabella per ricordare i nomi delle classi e dei gruppi.
Esercizi
1 Colora il valore equivalente al numero in lettere. Segui l’esempio.
• ventimilasettanta
2 dak 7 da 2 uk 7 da
• centomilacento
1 hk 1 uk 1 hk 1 h
• Ogni numero può essere scritto in più modi:
in cifre 28 742 in parole ventottomilasettecentoquarantadue
somma di valori 2
• seimilanove
6 dak 9 u 6 uk 9 u
• trentamilaquattro
4 uk 3 dak 4 u 3 dak
• millecinquanta
5 da 1 uk 1 dak 5 da
1 Scomponi. Segui l’esempio.
2 Scomponi i numeri. Segui l’esempio.
47569 = 4 dak (40000) 7 uk (7000) 5 h (500) 6 da (60) 9 u (9) 382156 = hk ( ) dak ( ) uk ( ) h ( ) da ( ) u ( ) 298447 = hk ( ) dak ( ) uk ( ) h ( ) da ( ) u ( ) 15482 = dak ( ) uk ( ) h ( ) da ( ) u ( ) 690824 = hk ( ) dak ( ) uk ( ) h ( ) da ( ) u ( ) centinaia di migliaia hk decine di migliaia dak unità di migliaia uk centinaia h decine da unità u 9748 9 7 4 8 103465 27412 981091 72561
3 Componi i numeri. Segui l’esempio.
8 dak 6 uk 5 h 2 da = 80000 + 6000 + 500 + 20 = 86520
6 hk 3 dak 1 uk 7 da 2 u = + + + + = 3 hk 1 h 9 da 4 u = ........................... + ........................... + ...........................
6 uk 5 u = +
8 hk 3 da = ...........................
...........................
........................... 1 uk 2 dak 5 h 6 u 4 da =
4 Quali riquadri hanno lo stesso valore? Colorali nello stesso modo. 7 hk
5 Leggi i numeri e scrivili in cifre.
Trecentomilaventisette ................................
Duecentomilaquattrocentoventicinque
Settecentomiladuecento
Direzione Invalsi
• Che valore ha la cifra evidenziata? Indica con X.
6 Trova nel numero la cifra indicata e colorala. Segui l’esempio.
8 dak 880888 6 da 66066 1 uk 111110 9 hk 999909
Intelligenza visiva
Quando è comparsa la vita sulla Terra?
I GRANDI NUMERI
Ti spiego
ARGOMENTO
Si presume intorno ai 4 miliardi di anni fa.
4 miliardi è un numero molto grande. Secondo te, come si scrive?
Scrivere e leggere numeri che indicano grandi quantità.
REGOLA
I numeri si raggruppano in classi: miliardi, milioni, migliaia, unità.
Ciascuna classe, a sua volta, è composta da tre ordini: centinaia, decine, unità.
classe dei miliardi (G) classe dei milioni (M) classe delle migliaia (k) classe delle unità semplici (u) centinaia decine
unità hG daG uG hM daM uM hk dak uk h da u
Per scrivere un numero si lascia un piccolo spazio tra una classe e l’altra.
Per leggere il numero si legge una classe alla volta (il numero e il nome della classe), partendo da quella più grande. Se le cifre della classe sono tutte 0, non si leggono.
Esempio: 7000002000 si legge 7 miliardi 2 mila.
Capisco
• Leggi a voce alta e completa. Segui l’esempio.
487miliardi221milioni150mila800 si scrive 487 221 150 800
8miliardi134milioni391mila626 si scrive .......... .......... .......... ..........
12miliardi142milioni365mila148 si scrive
6miliardi800milioni255mila902 si scrive
curiosità ???
Per indicare i miliardi si usa la lettera G. Deriva dalla parola greca ghìgas, che significa gigante.
1 Scomponi ciascun numero nelle classi che lo compongono. Segui l’esempio.
213 456 700 210 = 213 G 456 M 700 k 210 u
9 312 743 001 = ..................... G ..................... M ..................... k ..................... u
15 300 502 600 = G M k u 104 667 000 000 = G M
2 Leggi i numeri scritti in lettere e scrivili in cifre.
Unmiliardosettecentomilioniduecentoquarantamila
Settemilioniduecentoquarantamilanove
Tredicimiliardisedicimila
3 Componi il numero inserendo le cifre in tabella e gli zeri segnaposto. Segui l’esempio.
Scomposizione
6 hM 3 daG
8 uG
4 h 3 hk 2 hG
5 uG 7 daM 1 uM 4 hk
2 da 3 daM
4 Scrivi in cifre ciascun numero.
57 miliardi = 4 milioni = 136 mila = ...........................................................................................
5 Indica il valore della cifra evidenziata. Segui l’esempio.
6 Componi ciascun numero scomposto in classi. Poni attenzione all’ordine delle classi stesse.
504 G 306 M 120 k 105 u = 504 M 306 G 120 u 105 k =
u 306 k 120 M 105 G =
k 306 u 120 G 105 M =
I NUMERI DECIMALI
Ti spiego
ARGOMENTO
I numeri che indicano l’intero e una parte dell’intero
REGOLA
I numeri decimali sono formati da una parte intera e una parte decimale, separate da una virgola.
h da u , d c m 1 3 6 , 2 7 2 parte intera parte decimale
centotrentasei virgola duecentosettantadue
Capisco
• 3 decimi
Questo numero è maggiore o minore di 1?
Dove lo scrivi in tabella?
u d c m
0 , 3 decimi = 0,3
• 3 centesimi
Questo numero è maggiore o minore di 1?
Questo numero è maggiore o minore di 1 decimo?
Dove lo scrivi in tabella?
u d c m 0 0
3 centesimi = 0,03 • 3 millesimi
Questo numero è maggiore o minore di 1?
Questo numero è maggiore o minore di 1 decimo?
0 0 0 , , , , 3 millesimi = 0,003
Esercizi
1 Componi il numero inserendo le cifre in tabella. Segui l’esempio.
h da u , d c m
8 d 5 m 0 , 8 0 5 0,805
4 u 7 c ,
2 da 1 d ,
1 h 9 u 3 m ,
Questo numero è maggiore o minore di 1 centesimo? ...............................
Dove lo scrivi in tabella?
u d c m
Direzione Invalsi
• Come scrivi questi numeri decimali in frazione?
1 Scrivi il numero.
7 centesimi = 9 millesimi = 5 decimi = 1 decimo = 4 millesimi = 8 centesimi =
2 Completa. Segui l’esempio.
24,51 è formato da 24 unità, 5 decimi e 1 centesimo, cioè 51 centesimi.
137,456 è formato da unità, decimi centesimi e millesimi, cioè millesimi.
29,105 è formato da unità, decimi centesimi e millesimi, cioè millesimi.
6,28 è formato da unità, decimi e centesimi, cioè centesimi.
3 Scomponi i numeri.
17,38 1 7 3 8
245,2 2 4 5 2 327,81 96,348 10,672 5,018
4 Componi i numeri. Segui l’esempio.
4 da 7 d = 40 + 0,7 = 40,7
7 u 5 d 8 m = =
5 h 3 u 6 c 8 m = =
5 Quanto manca per arrivare all’unità? Completa.
0,7 + ............... = 1
1,8 + = 2
4,6 + = 5 7,4 + = 8
+ ............... = 1
+ = 12
4 da 3 u 2 c = .................................................. = ........................ 9 h 9 c = = 2 da 3 m = =
+ = 7 1,99 + = 2 1,999 + ............... = 2 0,999 + = 1 6,998 + = 7 9,996 + = 10
6 Componi i numeri riordinando e mettendo lo 0 dove occorre.
4 d 3 u 6 c 6 m = 3 u = 9 u 5 da 7 c 5 m = .............................................................................. = ................... 2 d 9 u 8 m = = 1 h 6 d 4 u = = 4 c 8 u = = 3 m 5 da 2 h = ........................................................................................... = ...................
7 Completa per trasformare in numero decimale.
96 d = 9 u 6 = 9,6 478 c = 4 ...... 7 ...... 8 ...... = ...............
835 d = 8 3 5 = 249 m = 2 4 9 = 0, 76 c = 7 6 = 1530 m = 1 ...... 5 ...... 3 ...... 0 ...... = ...............
Ti spiego
CONFRONTARE I NUMERI DECIMALI
ARGOMENTO
Strategie per il confronto tra numeri decimali.
REGOLA
• Per confrontare i numeri decimali si confrontano prima le parti intere. 567,02 > 566,943 perché 567 > 566
• Se le parti intere sono uguali, si confrontano le parti decimali, cominciando dai decimi, poi i centesimi, poi i millesimi. 45,63 < 45,68 perché 6 = 6 e 3 < 8
Capisco
Per facilitare il confronto si possono aggiungere zeri segnaposto alla parte decimale in modo da confrontare numeri con la stessa quantità di cifre.
1,4 e 1,389 1,400 > 1,389 dunque 1,4 > 1,389
• Confronta le parti evidenziate in rosso per stabilire quale numero è maggiore.
25,8 > 24,96 perché 25 è di 24 7,184 > 7,134 perché … è di 39,54 > 39,48 perché 5 è di 0,137 > 0,131 perché … è di
Esercizi
1 Confronta i numeri inserendo i simboli > , < , = .
a. Confronta la parte intera. 35,6 305,8 5 001,21 5 000,25
b. Confronta la parte decimale. 16,8 16,5 8,101 8,003
c. Aggiungi gli zeri segnaposto. 3,5
2 Per ciascuna coppia di numeri, colora in giallo il numero che vale di più.
3 Per ciascuna coppia di numeri, colora in rosa il numero che vale di meno.
Quest’anno anche tu vivrai l’esperienza delle Prove Invalsi. Non ti preoccupare! Leggi bene le consegne per capire che cosa ti viene richiesto. Avrai fatto il primo passo!
1 Quale tra queste disuguaglianze è falsa?
A 0,23 < 0,32 B 0,33 < 0,32 C 0,3 > 0,27 D 0,37 > 0,333
ti guido • Per rispondere al quesito devi conoscere il significato della parola disuguaglianza. In questo caso significa che ciò che è scritto prima del segno è diverso da ciò che c’è scritto dopo. Attenzione! Non devi trovare la disuguaglianza giusta, ma quella errata.
2 Jonas pensa un numero maggiore di 400, lo moltiplica per 8.
Sicuramente il risultato è:
A 3200.
B un numero pari.
C un numero maggiore di 3200.
D un numero minore di 4000.
3 Jonas pensa al numero 400, lo moltiplica per 8.
Sicuramente il risultato è:
A 3200.
B un numero pari.
C un numero maggiore di 3200.
D un numero minore di 4000.
ti guido • I numeri contenuti nelle consegne di questi quesiti sono uguali. Attenzione, però: non farti trarre in inganno. Rifletti bene su ciò che pensa Jonas.
4 Jonas pensa un numero, lo moltiplica per 8 e ottiene 400.
Sicuramente il risultato è:
A 3200.
B 50.
C un numero maggiore di 400.
D un numero minore di 8.
Ti spiego
L’ARROTONDAMENTO DI UN NUMERO
ARGOMENTO
Sostituire il numero con uno di valore sufficientemente vicino.
REGOLA
Per arrotondare un numero si procede
così:
• si sceglie la cifra di riferimento a cui si vuole arrotondare il numero;
• si decide se arrotondare per difetto o per eccesso.
In genere se la cifra che segue quella di riferimento:
• è minore di 5, si arrotonda per difetto;
• è maggiore o uguale a 5, si arrotonda per eccesso.
Esempio: arrotondamento alle centinaia
8 649 (si arrotonda per difetto) 8 600
8 667 (si arrotonda per eccesso) 8 700
Esercizi
Intelligenza visiva
Per arrivare a casa mancano 9,647 km. Mancano quasi 10 km!
2,99 €
• Come arrotonderesti il numero per far capire subito il prezzo?
1 Completa la tabella. numero arrotondamento ai eccesso o difetto? numero arrotondato 1,69 decimi eccesso 1,341 centesimi difetto
25,006 unità difetto
2,88 decimi eccesso
4,119 centesimi eccesso
0,523 decimi difetto 18,72 unità eccesso
Capisco
L’ADDIZIONE
Ti spiego
ARGOMENTO
L’operazione che unisce, aggiunge, aumenta quantità.
REGOLA
addendo 12,5 + addendo 17,3 = somma o totale 19,8
• Nell’addizione lo zero è l’elemento neutro perché non modifica la somma.
2,4 + 1,3 = 3,7
2,4 + 1,3 + 0 = 3,7
• Quando esegui un’addizione in colonna, devi rispettare il valore posizionale delle cifre.
Poni attenzione ai cambi.
Proprietà commutativa
• Cambiando l’ordine degli addendi, il totale non cambia.
75 + 100 + 25 = 200
75 + 25 + 100 = 200
Proprietà associativa
• Sostituendo due o più addendi con la loro somma, il totale non cambia.
75 + 25 + 100 = 200
100 + 100 = 200
• 7,456 + 213 + 0,94 =
Capisco h d u d c m + + = ,
• Incolonna rispettando il valore posizionale delle cifre.
• Aggiungi gli zeri segnaposto nella parte decimale.
• Esegui iniziando dalle cifre più a destra.
Esercizi
1 Esegui a mente e scrivi quale proprietà è stata applicata.
• 2 000 + 5 + 15 = 2 005 + 15 = ........................... proprietà
• 199 + 1 + 50 + 50 = 200 + 100 = ........................... proprietà
• 820 + 1 000 + 80 = 820 + 80 + 1 000 = = 900 + 1 000 = proprietà e proprietà
2 Applica la proprietà associativa.
197 + 3 + 50 = 200 + 50 =
100 + 1,5 + 1,5 = = 7,2 + 0,8 + 3 = ........................................................................ = ...........................
68 + 2 + 1,9 + 1,1 = =
3 Applica prima la proprietà commutativa, poi quella associativa.
2 990 + 44 + 10 = = = = 1,88 + 4 + 2,12 = = = =
LA SOTTRAZIONE
Ti spiego
ARGOMENTO
L’operazione che calcola:
• il resto,
• la differenza tra due quantità,
• quanto manca a completare una quantità.
REGOLA
minuendo 23,568 –sottraendo 14,217 = resto o differenza 19,351
• Sottraendo 0 a un numero si ottiene il numero dato.
Es. 4,5 – 0 = 4,5
Proprietà invariantiva
• Aggiungendo o togliendo lo stesso numero a entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.
10 – 8,99 = 1,01
• 140,7 – 28,084 = Capisco h d u d c m –= ,
• Incolonna rispettando il valore posizionale delle cifre.
• Aggiungi gli zeri segnaposto nella parte decimale.
• Esegui iniziando dalle cifre più a destra.
Esercizi
1 Applica la proprietà invariantiva ed esegui a mente le sottrazioni.
– 107 =
– 10,4 =
10,01 – 9 = 1,01
10 – 8,99 = 1,01
– 0,99 – 0,99
9,01 – 8 = 1,01
Per facilitare il calcolo mentale applica la proprietà invariantiva arrotondando il sottraendo.
4,5 – 0,9 = 3,6
4,6 – 1 = 3,6 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01
6,7 – 2,3 = 4,4
6,4 – 2 = 4,4 – 0,3 – 0,3
2 Esegui sul quaderno.
Con i numeri interi
4 732 – 2 711 = 77 542 – 58 281 = 57 345 – 23 214 = 65 340 – 17 159 = Con i numeri decimali
256,34 – 135,13 = 87,45 – 39,248 = 14,679 – 11,27 = 59 – 5,43 =
3 Copia il testo sul quaderno e formula due domande in modo che il problema si risolva con una addizione e una sottrazione.
La scuola di Oscar è frequentata da 135 bambine e 143 bambini.
Ti spiego
ARGOMENTO
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
La relazione tra addizione e sottrazione.
REGOLA
Addizione e sottrazione sono operazioni inverse.
Per eseguire la prova della sottrazione si esegue una addizione.
45 – 12 = 33
33 + 12 = 45
Per eseguire la prova dell’addizione si applica la proprietà commutativa perché gli addendi possono essere più di due.
25 + 7 + 3 = 35
7 + 3 + 25 = 35
Esercizi
1 Nel cartellino rosso c’è la somma dei numeri scritti nei riquadri blu. Completa pensando all’operazione inversa.
15 32 14 54 1,5 5
8,7 10
Capisco
• Viola, la fioraia, ha sempre in vetrina un vaso con 15 rose. Ne ha vendute 7. Quante rose sono rimaste nel vaso? Quante rose dovrà mettere Viola per avere lo stesso numero di rose in vetrina?
Strategie di calcolo addizioni sottrazioni + 9 + 99 + 999
Aggiungi 10 • 100 • 1000 e togli 1 – 9 – 99 – 999
Togli 10 • 100 • 1000 e aggiungi 1 + 0,9 + 0,99 + 0,999
Aggiungi 1 e togli
0,1 • 0,01 • 0,001 – 0,9 – 0,99 – 0,999
• Esegui a mente utilizzando le strategie di calcolo.
2506 + 9 = ………….........
107 + 99 =
8754 + 999 = 13,5 + 0,99 =
Togli 1 e aggiungi
0,1 • 0,01 • 0,001
10034 – 9 = ………….........
6786 – 99 =
2433 – 999 =
72,6 – 0,99 =
Ti spiego
ARGOMENTO
LA MOLTIPLICAZIONE
L’operazione che ripete più volte la stessa quantità o calcola le combinazioni.
REGOLA
La moltiplicazione è un modo più breve per scrivere un’addizione con gli addendi tutti uguali. fattore fattore
prodotti parziali
Capisco
1,5 × 5 = 75 1,51 × 5 = 755
Queste operazioni sono state eseguite come se la virgola non ci fosse.
È possibile che 1,5 × 5 dia risultato 75?
E che 1,51 × 5 dia 755?
Occorre mettere la virgola nel risultato.
Tu dove la metteresti?
3, 4 6 × 2, 4 =
1 3 8 4 +
6 9 2 0 =
8, 3 0 4
prodotto totale h da u
La moltiplicazione in colonna con i numeri decimali si esegue come se i numeri fossero interi. Non è necessario rispettare il valore posizionale di ciascuna cifra incolonnando i numeri.
Scrivi nel prodotto finale la virgola facendo in modo che essa abbia a destra tante cifre decimali quante sono quelle complessive dei due fattori.
Casi particolari
• Se un fattore è 0, il risultato sarà sempre 0.
1,2 × 0 = 0 0 × 9 = 0
• Se uno dei due fattori è 1, il risultato sarà uguale all’altro fattore.
1,2 × 1 = 1,2 1 × 3,5 = 3,5
• Quando uno dei due fattori è minore di 1, il prodotto è minore dell’altro fattore.
7 × 0,2 = 1,4 1,4 < 7
Esercizi
1 Per eseguire in fretta e in modo corretto le moltiplicazioni devi sapere molto bene le tabelline.
Mettiti alla prova.
9 × 9 = ……... 7 × 8 = ……... 8 × 6 = ……...
8 × 8 = 4 × 9 = 4 × 8 = 7 × 7 = 7 × 9 = 8 × 0 = 9 × 6 = 3 × 9 = 7 × 6 =
2 Nel risultato manca la virgola. Mettila tu, contando le cifre decimali.
73 × 125,4 = 91542
92 × 197,44 = 1816448
1,8 × 3,2 = 576
2,33 × 95,1 = 221583
0,567 × 25 = 14175
14,7 × 44,05 = 647535
Direzione
Invalsi
• Qual è il risultato possibile?
2,468 × 1,321
Circa 0,3. Circa 3.
Circa 2,2. Circa 3000.
LE PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE
Ti spiego
ARGOMENTO
Modi per facilitare il calcolo.
REGOLA
Proprietà commutativa
• Cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
Proprietà associativa
• Sostituendo due o più fattori con il loro prodotto, il risultato finale non cambia.
Proprietà distributiva
15 × 10 = 150
10 × 15 = 150
10 × 3 × 5 × 2 = 300
30 × 10 = 300
• Se sostituisci un fattore con due numeri la cui somma (o differenza) è uguale al fattore stesso, moltiplichi il primo fattore per entrambi i numeri e sommi (o sottrai) i risultati, il risultato non cambia.
20 × 19 = 380
20 × (10 + 9) = 20 × 10 + 20 × 9 = 200 + 180 = 380
20 × (20 – 1) = 20 × 20 – 20 × 1 = 400 – 20 = 380
Per facilitare il calcolo si può scomporre un fattore in due numeri che abbiano come prodotto il fattore sostituito.
Esercizi
1 Applica le proprietà indicate ed esegui.
Proprietà associativa
2 × 10 × 2 × 5 × 2 ×
×
Proprietà distributiva
34 × 25 =
34 × (20 + 5) =
34 × 20 + 34 × 5 =
150 × 20 = 3000
150 × 2 × 10 = 3000
Proprietà commutativa
LA DIVISIONE
Ti spiego
ARGOMENTO
L’operazione che raggruppa o distribuisce in parti uguali.
REGOLA
3 6, 6 5 1 6 7, 3 0, 1 dividendo resto divisore quoziente
Se il dividendo è minore del divisore
Si divide prima la parte intera (il risultato è 0), poi si prosegue.
Ricordati di scrivere la virgola al quoziente quando cominci a dividere la parte decimale.
Continuare la divisione fino ai decimi, centesimi, millesimi Quando la divisione ha un resto, se vuoi avere un risultato più preciso, puoi
continuare la divisione fino ai decimi, centesimi, millesimi, aggiungendo zeri al dividendo. Osserva come puoi fare.
Capisco
• Esegui la divisione.
6 5, 8 3 8
• La divisione è l’unica operazione in cui le prime cifre che si prendono in considerazione sono quelle a sinistra.
• Scrivi la virgola nel quoziente nel momento in cui la incontri, cioè quando dividi la cifra dei decimi.
• Ricorda che anche il resto è decimale.
7 2 8
7 0, 8 4 3 2 0 3 : 6 = 3, 0 6 3 0 0, 5 0 5 : 4 = 5, 0 0 4 1 0 1, 2 5 2 0 0 3 : 8 = 3, 0 0 0 8 3 0
Esercizi
1 Esegui sul quaderno. a. 35081 : 7 = b. 8007 : 34 = 90,45 : 8 = 6309 : 72 = 456783 : 9 = 76,8 : 25 =
2 Continua le divisioni fino… ai decimi 102 : 5 = 60 : 18 = 50 : 12 = 100 : 15 = ai centesimi 90 : 7 = ..................
: 3 = 16 : 14 = 52 : 21 = 70 : 16 =
La proprietà invariantiva
Moltiplicando o dividendo entrambi
i termini della divisione per lo stesso numero, il risultato non cambia.
150 : 25 = 6
600 : 100 = 6 × 4 × 4
Casi particolari
150 : 25 = 6
130 : 15 = 6 : 5 : 5
• Se il divisore è 1, il quoziente è uguale al dividendo. 37,5 : 1 = 37,5
• Se il divisore è minore di 1, il quoziente è maggiore del dividendo.
7 : 0,5 = 70 : 5 = 14
• Se divisore e dividendo sono uguali, il quoziente è 1. 3,7 : 3,7 = 1
• Se il divisore è 0, la divisione non è possibile.
42 : 0 = impossibile
• Se il dividendo è 0, il risultato è sempre 0.
0 : 42 = 0 0 : 7 = 0
Esercizi
1 Applica la proprietà invariantiva ed esegui a mente le divisioni.
3 000 : 60 = (3 000 : 10) : (60 : 10) = 300 : 6 = 880 : 22 = (880 : 11) : (22 : 11) = : = 5 400 : 27 = (5 400 : 9) : (27 : 9) = .......... : .......... = .............
27,84 : 0,08 = (27,84 × 100) : (0,08 × 100) = .......... : .......... = .............
2 Esegui sul quaderno applicando la proprietà invariantiva.
856,45 : 1,5 = 877 : 3,8 = 743,12 : 1,2 = 2491,3 : 8,9 =
3 Esegui a mente, ricordando i casi particolari che hai studiato.
Se la divisione non può essere eseguita, scrivi IMP (impossibile).
0 : 75 = 75 : 0 = 0,4 : 0,4 = 0 : 0,4 = 6,5 : 1 = 6,5 : 0,1 = 345 : 0 = 345 : 345 =
Capisco
Capisco
• Esegui la divisione.
Se il divisore è decimale, è necessario trasformarlo in un numero intero applicando la proprietà invariantiva.
24 : 0,8 =
240 : 8 = × 10 × 10
2 4 0 8
Competenze
Hai osservato il ruolo particolare che ha lo zero nella divisione.
• Come si comporta lo zero nella moltiplicazione?
• E nell’addizione e nella sottrazione?
• In quale/i operazione/i lo zero non cambia il risultato?
• In quale/i annulla l’operazione?
MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI
PER 10 • 100 • 1 000
Ti spiego Capisco
ARGOMENTO
Aumentare o diminuire il valore delle cifre.
REGOLA
Le moltiplicazioni
Moltiplicando un numero (intero o decimale) per 10, 100, 1000, il suo valore aumenta di 10, 100, 1000 volte.
Ogni cifra si sposta verso sinistra di 1, 2, 3 posti.
Le divisioni
Dividendo un numero (intero o decimale) per 10, 100, 1000, il suo valore diminuisce di 10, 100, 1000 volte. Ogni cifra si sposta verso destra di 1, 2, 3 posti.
Se necessario, si inseriscono gli zeri segnaposto affinché l’unità sia sempre espressa.
Esercizi
1 Scrivi il risultato.
0,45 × 10 = 34,67 × 100 = 2,16 × 1 000 =
2 Completa scrivendo 10 o 100 o 1 000.
× = 98,5
Completa. Capisco
Ti spiego
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
ARGOMENTO
La relazione tra moltiplicazione e divisione.
REGOLA
Moltiplicazione e divisione
sono operazioni inverse.
Per eseguire la prova della divisione si esegue una moltiplicazione.
39 : 7 = 5 resto 4 (5 × 7) + 4 = 39
Per eseguire la prova della moltiplicazione si applica la proprietà commutativa.
0,4 × 11 = 4,4
11 × 0,4 = 4,4
Esercizi
1 Nel cartellino rosso vi
2 è il prodotto dei numeri
3 nei riquadri blu. Completa pensando all’operazione inversa. 11 55 12 36 2,3 6,9
1,2 2,4
Capisco
• Viola, la fioraia, usa 40 rose per fare 8 mazzi uguali. Quante rose in ogni mazzo?
• Viola mette gli 8 mazzi da 5 rose tutti in vetrina. Quante rose mette in vetrina? : 8
Strategie di calcolo
addizioni
sottrazioni × 5
Moltiplica × 10 e dividi per 2 : 5
Moltiplica × 2 e dividi per 10 × 25 Moltiplica × 100 e dividi per 4 : 25
Moltiplica × 4 e dividi per 100 × 0,1 Dividi per 10 : 0,1 Moltiplica per 10 × 0,2 Dividi per 5 : 0,2 Moltiplica per 5 × 0,5 Dividi per 2 : 0,5 Moltiplica per 2
• Esegui a mente utilizzando le strategie di calcolo.
160 × 25 = ........................
160 : 25 =
12 × 0,1 = 12 : 0,1 =
30 × 0,2 = ........................
30 : 0,2 =
46 × 0,5 =
46 : 0,5 =
1
Inserisci i numeri in tabella. Poi scrivili in cifre. Ricorda di scrivere gli zeri segnaposto, quando servono.
2 Ordina dal minore al maggiore i seguenti numeri decimali.
3 Completa la tabella, arrotondando i numeri nel modo consigliato.
arrotondamento alle per numero arrotondato distanza media
Sole-Terra 149 597 870 km centinaia di migliaia eccesso altezza Monte Everest 8 849 m centinaia difetto lunghezza fiume Po 652 km decine difetto superficie Oceania 8 525 989 km2 decine di migliaia eccesso
4 Indica con X.
• La prova dell’addizione è: un’addizione. una moltiplicazione. una divisione.
• La prova della sottrazione è: un’addizione. una moltiplicazione. una divisione.
• La prova della moltiplicazione è: una divisione. un’addizione. una moltiplicazione.
• La prova della divisione è: un’addizione. una moltiplicazione. una divisione.
5 In tutti i risultati manca la virgola. Inseriscila al posto giusto.
3,53 × 2,4 = 8472
175 × 0,41 =
35,3 × 24 = 8472
35,3 × 2,4 = 8472
353 × 2,4 = 8472
6 In alcuni i risultati manca la virgola. Inseriscila al posto giusto, poi elimina gli zeri inutili.
5,643 × 10 = 56430 8,73 × 10 = 8730
×
7 Indica se il confronto è vero ( V) o falso (F).
3,5 > 3,05 V F 11,98 < 12 V F 1,867 > 1,9 V F 0,45 < 0,55 V F
8 Arrotonda i numeri, utilizzando la cifra colorata come cifra di riferimento.
Completa le tabelle scrivendo quanto hai aggiunto o tolto. Segui gli esempi.
numero arrotondato ho tolto
42,63 42,6 0,03
89,3
1 432
numero arrotondato ho aggiunto 47,89 47,9 0,01 1 599 44,8
9 Arrotonda i numeri ed esegui i calcoli a mente. Otterrai un risultato approssimato, cioè vicino al risultato reale.
Quanto spenderò se ne compero 6?
Circa ..........................
Ho arrotondato per
Pago con 20 €.
Di resto avrò circa ..........................
Ho arrotondato per
Se compero entrambi i libri, spenderò circa ..........................
Ho arrotondato per 1,99 € 15,90 € 12,90 €
Peso 5,20 kg
Lo zaino pieno peserà circa
Ho arrotondato per 18,10 €
Peso 1,10 kg
10 Completa. Se la divisione è impossibile, scrivi IMP.
15,1 : 0 = ................ 0 : 11 = ................ 475,4 : 0 = ................ 0 : 4,5 = ................ 1847 : 1847 = 1 : 1 = 2,5 : 2,5 = 24897658 : 1 =
11 Esegui sul quaderno. Prosegui fino ai decimi, centesimi o millesimi, fino ad arrivare a resto 0.
301 : 25 = 287 : 35 = 1396,5 : 42 = 10 : 80 =
Obiettivi • Riconoscere il valore posizionale delle cifre. Eseguire le 4 operazioni con sicurezza, applicando le proprietà.
Com’è andata?
Calcolo mentale
• Esercitati nel calcolo mentale. Utilizza la strategia più adatta.
1 Completa.
2 Completa scrivendo anche i comandi mancanti, quando occorre.
3 Completa.
0,04 × 10 = 0,04 × 100 = ................... 0,04 × 1000 =
4 Completa eseguendo l’operazione inversa. × 10 = 5,43 ×
5 Scrivi il risultato.
12 + 9 = 12 + 99 = 12 + 999 = 12 + 0,9 = 12 + 0,99 = ...................
:
: 0,25 = × 2 × 3
: 0,5 = ...................
12 + 0,999 =
LE POTENZE
Ti spiego
ARGOMENTO
I numeri che si moltiplicano per se stessi tante volte.
REGOLA
Le potenze indicano moltiplicazioni
ripetute in cui i fattori sono tutti uguali.
2 × 2 × 2 × 2 = 24
24 si legge “2 alla quarta” oppure “2 elevato alla quarta”.
L’esponente indica quante volte il numero viene moltiplicato per se stesso. La base indica il numero che viene moltiplicato. 24
Casi particolari
81 = 8 Se l’esponente è 1, il risultato è uguale alla base.
80 = 1 Se l’esponente è 0, il risultato è sempre 1.
12 = 1 × 1 = 1 Se la base è 1, il risultato è sempre 1, qualsiasi sia l’esponente.
02 = 0 × 0 = 0 Se la base è 0, il risultato è sempre 0, qualsiasi sia l’esponente.
Esercizi
Intelligenza visiva
Sacchetti da 3 palline, sistemati in una scatola da 3 file, ognuna da 3 comparti.
Capisco
2 × 2 × 2 × 2 = I fattori sono tutti uguali.
Forma abbreviata. 2 × 2 × 2 × 2 = 24
• Rappresenta 24 utilizzando il diagramma ad albero. Completa.
Nessun gruppo di 2 20 = 1
1 gruppo di 2 21 = 2
2 × 2 22 = 2 × 2 × 2 23 = ..................
2 × 2 × 2 × 2 24 =
1 Scrivi sotto forma di potenza. Scrivi la base in verde e l’esponente in blu.
5 elevato alla terza
11 elevato alla quarta
2 elevato alla dodicesima
7 elevato alla nona
17 elevato alla quinta
10 elevato all’ottava
1 Indica con X la potenza che risolve il problema.
Dal cartolaio sono arrivate 12 confezioni di pennarelli.
Ogni confezione contiene 12 scatole. Ogni scatola contiene 12 pennarelli. Quanti pennarelli in tutto? 122 123 312 1212
2 Trasforma le moltiplicazioni in potenze. Scrivi la base in verde e l’esponente in blu.
× 7 × 7 =
3 Trasforma le potenze in moltiplicazioni e scrivi il risultato.
4 Colora il risultato esatto.
5 Confronta le potenze inserendo i simboli < oppure > .
6 Per ciascuna uguaglianza, indica V (vero) o F (falso).
7 Calcola.
LE POTENZE DEL 10
Ti spiego
ARGOMENTO
La base della nostra numerazione.
REGOLA
L’esponente delle potenze di 10 indica quanti zeri vanno scritti dopo la cifra 1.
Esempio: 100 = 1 103 = 1000
106 = 1000000
Le potenze del dieci sono utili per scomporre i grandi numeri.
Esercizi
Capisco
• Leggi e completa.
100 = 1 L’esponente è 0, nel numero non ci sono zeri.
101 = 10 L’esponente è 1, nel numero c’è ............. zero.
102 = 10 × 10 = 100 L’esponente è 2, nel numero ci sono zeri.
103 = × × = L’esponente è nel numero ci sono zeri.
1 Osserva la tabella con le classi e gli ordini e scrivi l’esponente della potenza del 10.
2 Scrivi sotto forma di potenza del 10.
3 Trasforma ciascun numero in una potenza del 10 e viceversa. Segui l’esempio.
000 = 104 =
4 Scomponi il numero utilizzando le potenze del 10. Segui gli esempi.
3 000 = 3 uk = 3 × 1 000 = 3 × 103
90 000 = 9 = 9 × = 9 × 10
= =
LE ESPRESSIONI
ARGOMENTO
Un modo per indicare una successione di operazioni, cioè un algoritmo.
REGOLA
Le espressioni sono catene di operazioni. Nelle espressioni è molto importante l’ordine in cui vanno eseguite le operazioni. Ci sono operazioni che “hanno la precedenza”, cioè vanno eseguite prima delle altre.
Espressioni senza parentesi
Se nelle espressioni non ci sono parentesi, si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni, poi le addizioni e le sottrazioni, nell’ordine in cui si trovano.
50 – 5 × 3 + 10 : 2 =
50 – 15 + 5 =
35 + 5 = 40
1 Risolvi le espressioni.
42 : 7 + 3 × 2 – 3 × 3
• Osserva e completa.
Espressioni con le parentesi
Se ci sono parentesi, si eseguono le operazioni:
• prima nelle parentesi tonde;
• poi nelle parentesi quadre;
• infine nelle parentesi graffe.
Capisco
• Segui i suggerimenti e risolvi le espressioni.
I calcoli nella parentesi tonda.
10 + {5 × [20 : (4 + 1) – 2]} =
La divisione nella parentesi quadra.
10 + {5 × [20 : .......... – 2]} =
La sottrazione nella parentesi quadra.
10 + {5 × [ – 2]} =
L’operazione nella parentesi graffa.
In ciascuna parentesi si eseguono:
• prima le moltiplicazioni e le divisioni;
• poi le addizioni e le sottrazioni.
Esercizi
10 + {5 × ..........} =
L’operazione fuori dalle parentesi.
10 + .......... = ..........
1 Risolvi le espressioni. Il risultato finale che otterrai deve coincidere con quello dato.
50 × {2 × [10 – (8 – 2)]} =
50 × {2 × [10 – ]} =
50 × {2 × ............} =
50 × = 400
25 – {15 – [14 : (3 + 4)] × 2} = 25 – {15 – [14 : ............] × 2} = 25 – {15 – × 2} =
– {15 – ............} =
– = 14
160 : {50 – [7 × (4 + 2) – 8]} = 160 : {50 – [7 × ............ – 8]} =
160 : {50 – [ – 8]} = 160 : {50 – ............} = 160 : = 10
2 Risolvi le due espressioni e indica, riportando la lettera, a quale problema si riferiscono.
Dal cartolaio le matite sono vendute tutte in confezioni da 6. Pietro compera 3 scatole di matite dal tratto sottile. Compera poi altre 4 scatole di matite dal tratto più marcato. Quante matite ha comperato in tutto?
Pietro compera 3 scatole di matite, ciascuna delle quali ne contiene 6. Compera poi altre 4 matite dal tratto più scuro. Quante matite ha comperato in tutto?
Le tappe di un problema
Quali competenze devi mettere in atto per risolvere un problema matematico?
• capire bene la situazione;
• capire le relazioni tra le informazioni;
• organizzare le informazioni stesse.
Tappa 1
Immagina la situazione.
Partenza
Il problema che devi risolvere.
Allo stadio si è tenuto il concerto di un famoso gruppo musicale. I posti disponibili erano 95000; i posti occupati sono stati 89500.
550 biglietti sono stati dati in omaggio o sono stati occupati dallo staff del concerto. Il biglietto costava 28 euro più 2 euro di prevendita e tutti i biglietti sono stati venduti in prevendita.
Quanto si è incassato dalla vendita dei biglietti?
Leggi con attenzione il testo e rappresenta nella tua mente la situazione.
• Hai compreso che cosa è accaduto?
• Hai capito che cosa ti chiede il problema?
• Sai che cosa significa “prevendita”? Se hai dei dubbi, chiedi chiarimenti all’insegnante.
Osserva i disegni e indica con X quello che rappresenta la situazione del problema.
I dati sono tutte le informazioni che ti vengono fornite dal testo del problema.
I dati del problema sono tutti utili? Ci sono dati nascosti o mancanti?
Sottolinea nel testo i dati utili e cancella quelli inutili.
quali informazioni trovi nel testo.
Solo i posti disponibili e i posti occupati.
I posti disponibili, i posti occupati, le persone non paganti, il costo dei biglietti.
Hai capito qual è la relazione tra i dati forniti dal problema?
Tappa 3
Le domande.
Rifletti sulle domande. Pensa a che cosa devi trovare e a come puoi ricavare i dati mancanti.
• Per rispondere alla domanda devi prima trovare altri dati che non possiedi?
Quali sono le domande intermedie a cui devi rispondere? Indica con X le domande intermedie necessarie.
Quanti sono i posti liberi?
Quanti biglietti sono stati venduti?
Quanto costa un biglietto in prevendita?
Quanti posti sono stati occupati dalle persone dello staff?
Il procedimento risolutivo.
Imposta lo schema risolutivo. Esegui le operazioni e scrivi la risposta.
Completa e scrivi le operazioni.
1. Trova quanti biglietti
2. Trova quanto costa
3. Trova quanto Scrivi la risposta.
I dati
Se devi recarti in un luogo e non conosci la strada, puoi raggiungerlo senza avere indicazioni sul percorso?
Nel problema le indicazioni fondamentali sono i dati. Importante è anche la relazione tra di loro.
• Leggi i problemi con attenzione, poi esegui.
I dati espliciti
I dati espliciti sono le informazioni numeriche chiaramente contenute nel testo.
Un gruppo di 9 amiche prenota un campo da basket per allenarsi.
Il costo orario è di 85,00 € all’ora.
Prenotano il campo per 2 ore.
Dividono la spesa in parti uguali.
Quanto pagherà ciascuna?
I dati inutili
• Evidenzia nel testo i dati e scrivili.
• Ora risolvi il problema sul quaderno.
Talvolta sono presenti dati inutili, cioè informazioni che non servono per risolvere il problema.
a. La società sportiva Minivolley partecipa a un torneo in trasferta a cui ha iscritto le sue 3 squadre. I partecipanti, tra atleti e personale di assistenza alle squadre, sono 42.
Alloggeranno all’albergo “W lo sport”, che dispone di 44 posti al primo piano e 62 al secondo piano. Nello stesso albergo soggiorna anche un’altra società sportiva con 58 persone.
Le due società hanno concordato un costo di 65,00 € a persona.
Rimarranno dei posti liberi in albergo?
• Evidenzia nel testo in giallo i dati necessari per risolvere il problema e in azzurro quelli inutili.
• Scrivi solo i dati utili.
• Ora risolvi il problema sul quaderno.
b. L’allenatrice di una squadra di minivolley composta da 9 titolari e 9 riserve ha ordinato
18 divise nel negozio dove 2 mesi fa aveva ordinato 12 palloni. Il costo di una divisa è di 42,00 €.
Quanto costano le divise?
• Evidenzia nel testo in giallo i dati necessari e in azzurro quelli inutili.
• Scrivi solo i dati utili. = =
• Ora risolvi il problema sul quaderno.
I dati impliciti
A volte alcuni dati mancano, ma possono essere dedotti dalle parole del testo: sono i dati impliciti.
a. Lella e Lello hanno una fattoria. Ogni giorno della settimana, compresa la domenica, consegnano alla trattoria Pranzo e cena 2 dozzine di uova.
Quante uova consegnano in una settimana?
• Evidenzia nel testo in giallo i dati espliciti e in azzurro le parole che indicano dati impliciti.
• Rendi espliciti i dati impliciti. corrisponde a giorni. di uova corrisponde a uova.
• Ora risolvi il problema sul quaderno.
I dati mancanti
b. Lello e Lella hanno consegnato al negozio Sapori genuini un paio di cassette che contengono ciascuna mezza dozzina di vasetti di marmellata di fragole. Domani consegneranno una quantità di vasetti di marmellata di lamponi pari al triplo di quella di fragola. Quanti vasetti hanno consegnato in tutto?
• In questo problema non ci sono numeri. Si può risolvere?
• Evidenzia in azzurro le parole che indicano dati impliciti.
• Rendi espliciti i dati impliciti. corrisponde a cassette. corrisponde a vasetti di marmellata di fragole. Il corrisponde a
• Ora risolvi il problema sul quaderno.
A volte in un problema non ci sono tutte le informazioni necessarie: i dati sono mancanti e il problema non può essere risolto.
• Puoi risolvere il problema? .................
Lello ha preparato 144 biscotti confezionati in pacchetti da 12 ciascuno. Li ha venduti tutti. Quanto ha incassato dalla vendita?
• Quale dato ti manca?
• Inventa un valore numerico per il dato mancante e risolvi il problema.
Le domande nascoste
La domanda ti aiuta a capire il procedimento risolutivo. Non sempre tutte le domande a cui devi rispondere sono scritte nel testo. Perciò devi trovare le domande nascoste che ti permettono di individuare i dati necessari per giungere alla soluzione.
1 Indica con X la domanda nascosta, poi risolvi sul quaderno.
Aida ogni giorno fa colazione al bar. Spende per il cappuccino e la brioche 2,80 €. In accordo con la barista paga le sue consumazioni la domenica. Oggi ha pagato le consumazioni della settimana dando una banconota da 20 euro. Quanto ha ricevuto di resto?
Quanto spende ogni giorno?
Quanto spende in una settimana?
Quanto spende per il cappuccino?
2 Scrivi la domanda nascosta, poi risolvi il problema.
Per ricostruire un bosco distrutto da un incendio doloso, il Comune ha deciso di piantumare 1760 faggi, 1560 abeti, 850 pini e 1430 larici. Domanda nascosta:
Gli alberi vengono distribuiti in file da 56 alberi ciascuna. Quante file di alberi si otterranno?
3 Le domande nascoste sono 2: scrivile.
Leo, Lea, Tea e Teo vanno al cinema. Un biglietto di ingresso costa 11,50 €. Prima di entrare, al bar comperano una confezione di pop corn da 4,50 €, un gelato da 3,80 €, una bibita da 2,50 € e un caffè da 1,50 €. Quanto spendono in tutto?
4 Scrivi tutte le domande nascoste necessarie per risolvere il problema.
Ryan ha ricevuto in dono 25,00 € dal nonno e 18,00 € dalla zia. Con questi soldi compera un libro che costa 7,50 € e 3 cappellini a 4,80 € l’uno.
Dopo le spese, quanti soldi gli rimarranno?
Utilizzare i diagrammi
Dopo aver compreso il testo del problema e capito la strategia da adottare, devi eseguire le operazioni necessarie. Se il problema è complesso, potrebbe essere necessario eseguire parecchie operazioni. Perciò è importante avere ben chiaro fin dall’inizio del lavoro quali esse siano.
Può aiutarti rendere visibile il percorso risolutivo attraverso diagrammi o espressioni: in questo modo saprai quali operazioni dovrai svolgere.
1 Leggi il problema ed esegui.
Nel negozio di mobili “Arredando”, Claudio compera 2 letti singoli a 249,00 € l’uno. La consegna a domicilio costa 35 € per ciascun pezzo di arredo.
Claudio versa subito un acconto di 250,00 € e pagherà il resto alla consegna. Quanto pagherà alla consegna?
• Sottolinea nel testo i dati.
• Sul quaderno scrivi in ordine le domande nascoste.
• Completa il diagramma, esegui i calcoli e scrivi la risposta.
costo dei letti
costo totale
Risposta: ....................................................................
costo del trasporto
da pagare alla consegna
2 Leggi il problema ed esegui.
Anna sta rinnovando i mobili della cucina. Acquista 6 sedie al costo di 45,50 € l’una e un tavolo che costa 248,00 €. Il negoziante le fa uno sconto di 71,00 € e le propone di pagare l’importo totale in 3 rate. A quanto ammonta ciascuna rata?
• Sottolinea nel testo i dati.
• Sul quaderno scrivi in ordine le domande nascoste.
• Completa il diagramma, esegui i calcoli e scrivi la risposta.
Risposta:
costo sedie
costo totale
costo scontato importo di ogni rata
Utilizzare le espressioni
Adesso mettiti alla prova fissando la tua attenzione su dati, domande e algoritmi.
• Leggi i problemi ed esegui.
a. Luca ha deciso di trascorrere la giornata in un parco divertimenti con i suoi bambini.
Prima di entrare al parco compra 4 panini e 4 bottigliette di acqua minerale.
Ogni panino costa 3,60 € e ogni bottiglietta di acqua 1,20 €. Paga con una banconota da 50 €. Quanto riceve di resto?
• Scrivi in ordine le domande nascoste.
• Quanto costano i
• Quanto costano le ............................................................................................................................
•
• Completa l’espressione che risolve il problema. 50 – [( ) ( )] =
• Esegui i calcoli e scrivi la risposta.
Risposta:
b. Il biglietto di ingresso al parco divertimenti costa 35 euro per gli adulti e 23 euro per i bambini. Ciascun biglietto dà diritto a usufruire di 12 accessi sulle attrazioni del parco. Ciascun utilizzo successivo costa 3,50 euro per gli adulti e 3 euro per i bambini. I 3 figli di Luca pagano tutti il biglietto ridotto. A lui sono bastati i giri compresi nel prezzo, ma ciascuno dei bambini ha fatto 4 corse in più rispetto a quelle già pagate. Quanto ha speso in tutto Luca?
• Sottolinea nel testo i dati utili e cancella i dati inutili.
• Sul quaderno scrivi in ordine le domande nascoste.
• Indica con X quale espressione risolve il problema.
35 + (23 × 3) + [(3 × 4) × 3] = (35 + 23 + 23 + 23 ) + (12 + 4 + 4 + 4 + 3) =
• Esegui i calcoli e scrivi la risposta.
Risposta: Luca
Tra un binario e l’altro
Alla soluzione di un problema si arriva risolvendo tanti “piccoli problemi”: capire le informazioni, trovare i dati inutili… Metti alla prova le tue competenze.
1 Rispondi e scrivi quali calcoli hai eseguito. Il tabellone delle partenze dà questi orari.
• La famiglia Rossi deve andare a Firenze. Quale treno è meglio prendere per partire prima?
• I signori Rossi sono arrivati alla stazione alle 14:20. Quanto tempo hanno a disposizione prima di partire?
2 Risolvi sul quaderno.
Il costo del biglietto del treno per Firenze ha prezzi diversi. Alla biglietteria papà Rossi decide di acquistare i biglietti del treno Freccia Blu perché c’è uno sconto famiglia di 4,50 € a biglietto.
Il prezzo intero di ciascun biglietto è di 41,00 €. Quanto spende il signor Rossi per comprare 4 biglietti con lo sconto?
3 Leggi il problema e visualizza il percorso risolutivo con un diagramma.
La famiglia Rossi, per arrivare alla stazione, prenota un taxi per l’ora desiderata. Questo servizio di prenotazione costa 4,50 €. La distanza tra la casa della famiglia Rossi e la stazione è di 13,5 km.
Il costo del taxi è di 1,20 € a chilometro più un costo iniziale del servizio pari a 3,30 €. Infine c’è una spesa aggiuntiva per i bagagli, che ammonta a 4,20 €. Quanto spende per il taxi la famiglia Rossi?
Scrivi le operazioni che risolvono il problema in un’espressione aritmetica.
PARTENZE
DESTINAZIONE ORARIO RIT
A VENEZIA 14:12
B FIRENZE 14:30 45 minuti
C TORINO 14:35
D FIRENZE 14:50 20 minuti
E FIRENZE 15:05
Ti spiego
ARGOMENTO
I NUMERI RELATIVI
I numeri sopra e sotto lo zero.
REGOLA
I numeri relativi hanno questo nome perché il loro valore è relativo alla posizione che occupano sulla linea dei numeri (prima o dopo lo zero). Si dividono in:
• positivi, se sono preceduti dal segno +;
• negativi, se sono preceduti dal segno –.
Quando un numero non è accompagnato da alcun segno è sempre positivo.
Lo zero non è né positivo né negativo e divide i due gruppi di numeri.
Capisco
• Completa.
Numeri negativi
I numeri negativi sono a ........................... dello zero. Sono in ordine decrescente.
Esercizi
1 Osserva i termometri e completa. 1
Intelligenza visiva
Qual è la temperatura?
Numeri positivi
I numeri positivi sono a ........................... dello zero. Sono in ordine
1 La temperatura ora è di gradi.
Se si abbasserà di 4 gradi, la temperatura sarà ...............
2 La temperatura ora è di gradi.
Se si alzerà di 3 gradi, la temperatura sarà
3 La temperatura ora è di gradi.
Se si abbasserà di 6 gradi, la temperatura sarà ...............
Capisco
• Segna lo spostamento sulla linea dei numeri ed esegui l’operazione.
+ 6 – 8 =
+ 3 – 7 =
• Completa.
Anche con i numeri relativi si possono eseguire le operazioni. Le sottrazioni con i numeri relativi si possono eseguire anche se il sottraendo è del minuendo
Esercizi
1 Osserva la linea dei numeri e, per ciascuna affermazione, indica se è vera ( V ) o falsa (F ).
• I numeri negativi sono sempre minori di quelli positivi. V F
• Tra i numeri negativi è maggiore quello più vicino allo zero. V F
• Tra i numeri negativi è maggiore quello più lontano dallo zero. V F
• Tra i numeri positivi è maggiore quello più lontano dallo zero. V F
2 Confronta il valore dei numeri osservando la loro posizione sulla linea dei numeri e inserisci i simboli > , < , = .
3 Ordina i numeri dal minore al maggiore.
4 Leggi i quesiti e scrivi le risposte.
a. Alle ore 10 la temperatura esterna era di – 4 °C. Nel pomeriggio si è alzata di 3 gradi. Qual è la temperatura raggiunta nel pomeriggio? ...............
b. Alessandro Magno nacque nel 356 a.C. e diventò re nel 336 a.C. Quanti anni aveva quando diventò re?
c. Arianna, facendo immersioni subacquee, è arrivata a – 12 m. Se scende ancora di 6 metri, a che profondità arriverà? ...............
d. Martino lavora in un grattacielo, al piano 19. Ha parcheggiato l’auto al piano –3. Quanti piani ci sono tra il suo ufficio e il parcheggio?
Ti spiego
ARGOMENTO
I MULTIPLI E I DIVISORI
I risultati di moltiplicazioni e divisioni, che sono in stretta relazione tra di loro.
REGOLA
• I multipli di un numero si ottengono moltiplicando il numero stesso per qualsiasi altro numero naturale. Ogni numero ha infiniti multipli.
• I divisori di un numero sono i numeri che lo dividono esattamente. I divisori non sono infiniti: puoi trovare tutti i divisori di un numero.
LA RELAZIONE TRA MULTIPLI E DIVISORI
“Essere multiplo” e “essere divisore” sono parole che indicano una relazione inversa, cioè sono una il contrario dell’altra.
è divisore di 8 24
è multiplo di
LO ZERO E L’1
• Lo 0 è multiplo di qualsiasi numero, ma non è divisore di alcuno.
5 × 0 = 0
5 : 0 = impossibile
• L’1 è divisore di qualsiasi numero, ma multiplo solo di se stesso.
5 : 1 = 5 1 × 1 = 1
Capisco
• Completa la tabella e rispondi.
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
Hai ottenuto i risultati moltiplicando 8 per diversi numeri.
• Questi risultati sono multipli di
• Potresti scriverne ancora?
• Scrivi solo i risultati con resto 0.
: 1 2 3 4 5 6 7 8
8
• Per quali numeri 8 si può dividere esattamente?
• Questi numeri sono divisori di
• Potresti scriverne ancora? ....................
Esercizi
1 Colora in giallo i multipli di 5 e in azzurro i multipli di 7, poi rispondi.
33 • 35 • 55 • 70
Quali numeri sono risultati colorati di verde? e Perché? ..............................................................................................
2 Per ciascun numero, colora i suoi divisori. 20 1 2 4 5 6 8 10 12 20
I NUMERI PRIMI
Ti spiego
ARGOMENTO
I numeri che si possono dividere solo per 1 e per se stessi.
REGOLA
I numeri che hanno solo 2 divisori (il numero 1 e se stessi) sono numeri primi. I numeri primi, moltiplicati tra di loro, formano tutti gli altri numeri.
I numeri che hanno più di due divisori sono numeri composti.
Il crivello di Eratostene
• Colora i numeri che ti vengono indicati (se sono già colorati, non occorre colorarli più volte):
tutti i numeri pari, tranne il 2;
tutti i multipli di 3, tranne il 3;
tutti i multipli di 5, tranne il 5;
tutti i multipli di 7, tranne il 7.
Colora come vuoi il n. 1 perché ha un solo divisore (se stesso).
• I numeri che non hai colorato sono divisibili per 1?
• Sono divisibili per se stessi? Sì No
Quello che hai colorato è il “crivello di Eratostene”.
Crivello significa “setaccio”.
Infatti hai setacciato alcuni numeri.
Eratostene è uno scienziato vissuto circa 2200 anni fa che ideò questo crivello.
Esercizi
1 Colora in giallo i numeri primi, in rosa i numeri composti.
curiosità ???
Poiché i numeri sono infiniti, i matematici e le matematiche continuano a cercare numeri primi. Oggi la ricerca viene effettuata da computer: il più alto numero primo fino a ora trovato ha più di 23 milioni di cifre! Scrivendo una cifra in ciascun quadretto, sarebbe lungo quasi 100 km!
Parole per... CONOSCERE
di CRISTINA DELL’ACQUA
Eccoci di nuovo nella Biblioteca dal tetto trasparente! Anche quest’anno la maestra Margherita ci racconterà delle storie del passato, per dimostrarci quanto questo ancora influenzi il nostro presente. Oggi la maestra Margherita ci racconta la storia dei numeri primi, che affascina da millenni. Una storia che non è ancora finita…
Mistero Il dei numeri primi
I numeri primi si chiamano così perché sono la base di tutti gli altri numeri. Il famoso matematico greco Euclide aveva dimostrato nel III secolo a.C. che i numeri primi sono infiniti.
Ma come riuscire a individuarli in modo semplice? Serviva un’idea intelligente e allo stesso tempo semplice.
E ci ha pensato un altro scienziato greco. Il suo nome
è Eratostene, famoso per aver calcolato quasi perfettamente la circonferenza della Terra, sempre nel III secolo a.C.
Ci sa fare con i numeri, Eratostene!
È così che inventa il “crivello”, che significa setaccio, proprio come uno di quelli che si usano per giocare con la sabbia al mare. E proprio come un setaccio, in questo crivello si rovesciano tutti i numeri: i numeri composti cadono, i numeri primi vengono trattenuti come pepite d’oro.
– È un metodo antico, facile da costruire, come quello che avete sul vostro Sussidiario – dice la maestra Margherita.
Ma trovare i numeri primi resta sempre una caccia al tesoro! Tanto che le matematiche e i matematici li cercano da tantissimo tempo. Pensate che uno dei “sette problemi del millennio”, problemi fondamentali di carattere scientifico, è proprio sui numeri primi.
Si chiama “ipotesi di Riemann”, che è stato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, vissuto nel 1800.
Ma la dimostrazione di questa ipotesi è ancora in sospeso!
LIFE SKILLS PAROLE per CONOSCERE
• Ora che sai che cosa sono i numeri primi e come funziona il Crivello di Eratostene, con l’aiuto dell’insegnante, vai alla ricerca dei “numeri primi gemelli” dall’1 al 100. Si tratta delle coppie di numeri primi separati da un solo numero, per esempio 3 e 5. Buona caccia al tesoro!
La dimostrazione dell’ipotesi di Riemann potrebbe arrivare, in futuro, proprio da uno o una di voi. E sarebbe da medaglia Fields, un importantissimo premio della matematica. Continuate ad avere uno sguardo curioso e a porvi tante domande!
I CRITERI DI DIVISIBILITÀ
ARGOMENTO
I “trucchetti” per individuare in fretta i divisori.
REGOLA
I numeri primi sono divisibili solo per 1 e per se stessi. Per questo è facile trovare i loro divisori. Per trovare i divisori dei numeri composti è utile conoscere alcune regole che i matematici e le matematiche chiamano criteri di divisibilità. Ti spiego
Un numero è divisibile per… se… esempi
2 è pari, cioè termina con 0 • 2 • 4 • 6 •
la somma delle sue cifre è multiplo di 3
4 le ultime due cifre sono 00 o un multiplo di 4
cifra
+
+ 6 =
Esercizi
1 Applica i criteri di divisibilità e indica con X.
Applica i criteri di divisibilità e cerchia i numeri che sono divisibili per il numero indicato.
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Ti spiego
ARGOMENTO
Il modo per trovare tutti i numeri primi che compongono un numero.
REGOLA
Scomporre un numero in fattori primi significa trovare tutti i numeri primi che lo formano.
30 = 2 × 3 × 5
100 = 2 × 2 × 5 × 5
Esercizi
Capisco
• Completa.
• Ora scomponi il numero 36 in questo modo.
Scrivi l’altro fattore
Scrivi i due fattori
Hai scomposto i fattori fino a quando è stato possibile.
I numeri finali di “ciascun braccio” sono i numeri primi che compongono 36.
Questa è la scomposizione di 36 = 3 ×
×
× 3; in “ordine” 36 =
1 Osserva i diagrammi che indicano la scomposizione. Colora i fattori primi e scrivi la scomposizione anche sotto forma di potenza.
2 Osserva ciascuna scomposizione. Riscrivila, prima ordinando i fattori e poi sotto forma di potenza.
1 Leggi e completa.
Per il rinfresco che si terrà al termine di un convegno sono stati ordinati dei salatini. I camerieri hanno allestito 8 tavoli su ciascuno dei quali sono disposti 8 vassoi con 8 salatini su ciascuno. Quanti salatini sono sui tavoli?
2 Risolvi i quesiti.
sotto forma di potenza la soluzione del problema.
a. Un ascensore è fermo al terzo piano. Sale di due piani e poi scende di 5. A quale piano arriva?
b. La temperatura di un luogo è stata rilevata alle ore 6 e alle ore 12. Alle ore 6 era – 8 °C, alle ore 12 era + 2 °C. La temperatura è aumentata o diminuita? Di quanti gradi?
3 Completa gli schemi scrivendo: è divisibile per, è divisore di.
4 Fai attenzione al verso delle frecce.
4 Scrivi i divisori di ciascun numero.
5 Colora seguendo le indicazioni.
• In giallo i divisori di 24.
• In rosso i multipli di 7.
• In blu i multipli di 11.
• In arancione i multipli di 5.
6
Arrotonda i numeri e fai una stima del risultato possibile. Poi indica con X il numero che, secondo te, si avvicina di più al risultato preciso.
57 989 + 99 997 = 20 000 158 000 199 000
9,675 + 4,111 = 14 20 100
125 004 – 4 978 = 100 000 80 000 120 000
15,103 – 1,111 = 5 13 14
7 Esegui le operazioni con i numeri relativi. Poi colora la casella delle operazioni che hanno uguale risultato.
+ 3 – 4 = .............
– 8 + 7 = + 9 – 7 = – 2 – 3 = – 6 + 9 = .............
9 Per ciascuna affermazione, indica V (vero) o F (falso).
• 100 è divisibile sia per 2 sia per 5. V F
• 100 è divisore di 2. V F
• 50 è divisore di 100. V F
• 1 è divisore di tutti i numeri. V F
• 0 è divisore di tutti i numeri. V F
• 0 è multiplo di tutti i numeri. V F
10 Completa.
8 Completa.
• 45 è divisore di 90. V F
• 90 è divisibile per 45. V F
• 90 è multiplo di 45. V F
• 45 è multiplo di 90. V F
• 45 è multiplo di 5. V F
• 5 è multiplo di 1. V F
• Se un numero termina con zero, è certamente divisibile per 2, per ............. e per .............
• Se un numero è pari, è certamente divisibile per
• Se la somma delle cifre di un numero è 6, il numero è divisibile per
• Se un numero termina con 00, è certamente divisibile per 2, per 5, per 10, per e per
11 Colora il risultato giusto.
4 + 5 × 3 + 2 = 21 29 45
20 : 5 + 4 × 2 = 12 16 24
3 × (20 – 5) + 2 =
5 + {20 – [10 : (4 + 1)]} =
Obiettivi • Conoscere numeri relativi, primi e composti e le
12 Colora la scomposizione giusta.
Com’è andata?
1 Osserva questi numeri:
1610 1400 1000 950
Quale caratteristica hanno in comune?
A Sono tutti maggiori di 1 uk.
B Sono tutti dispari.
C Sono tutti divisori di 10.
D Sono tutti multipli di 5.
2 Quali tra queste scritture corrisponde al numero seicentomilatrecentoquaranta?
A 600 migliaia + 3 centinaia + 4 unità
B 6 × 100000 + 34 × 10
C 600000 + 34 + 0
D 600 + 300 + 40
3 Chi ha ragione?
Tutti i numeri hanno sempre come divisori numeri pari e numeri dispari.
ti guido • Leggi con attenzione una caratteristica per volta e verifica se puoi attribuirla a tutti i numeri nei riquadri.
ti guido • Un numero può essere scritto in molti modi differenti.
Scrivi il numero in cifre e controlla se i diversi algoritmi corrispondono al numero che hai scritto.
I divisori di un numero pari sono tutti numeri pari.
I divisori di un numero dispari sono tutti numeri dispari.
ti guido • Prova concretamente, pensando a tutti i divisori di un numero pari e di un numero dispari: per esempio 10 e 15.
4 Con una freccia, collega il numero al posto giusto sulla linea dei numeri.
ti guido • Pensa a che cosa indica ogni tacca spessa e ogni tacca sottile.
5 Quale risposta è corretta?
Enrico porta i suoi figli, Giada e Rocco, al cinema. Rocco ha 15 anni e paga il biglietto intero come Enrico, mentre Giada paga il biglietto ridotto a 9 euro. Enrico paga in tutto 33 euro. Quanto costa il biglietto intero?
A 11 euro. C 15 euro.
B 12 euro. D 24 euro.
6 Qual è la regola di questa sequenza?
ti guido • Se sei in difficoltà, aiutati con un disegno. Disegna i biglietti acquistati e su uno scrivi il valore che conosci.
A Dividere per 3.
B Moltiplicare per 3.
C Dividere per 0,3.
D Moltiplicare per 0,3.
ti guido • Prova le operazioni che ti sono suggerite nelle risposte e trova quale collega nel modo giusto ogni numero con quello successivo.
7 Quale tra i seguenti numeri si avvicina di più a quello scritto in parole?
a. Tre centesimi
A 300
B 1,03
C 0,02
D 3
b. Sei decimi
A 0,006
B 0,07
C 0,67
D 60
ti guido • Devi pensare a come si scrivono in cifre i numeri tre centesimi e sei decimi. Poi devi cercare quale tra i numeri dati si avvicina di più.
8 Quale tra queste affermazioni è falsa?
A 2 centesimi corrispondono a 20 millesimi. C 70 centinaia sono minori di 8 migliaia.
B 500 unità sono maggiori di 9 decine. D 300 centesimi sono maggiori di 3 unità.
ti guido • Pensa al valore di ogni quantità nominata. Controlla tutte le affermazioni ed escludi quelle vere: così troverai quella sbagliata.
LE FRAZIONI
Ti spiego
ARGOMENTO
I particolari numeri che indicano una parte dell’intero.
REGOLA
Frazionare significa dividere in parti di uguale grandezza.
Il numeratore indica il numero di parti considerate.
4 7
Linea di frazione.
Il denominatore indica in quante parti è stato diviso l’intero.
• Ciascuna parte in cui è frazionato l’intero si chiama unità frazionaria.
• Due frazioni sono complementari quando insieme formano l’intero. 5 7 + 2 7 = 7 7 = 1
Esercizi
Intelligenza visiva
I due cartoncini colorati sono uguali.
Nel primo cartoncino le parti sono uguali in grandezza e nella forma.
Nel secondo cartoncino le parti non hanno la stessa forma. Ma hanno la stessa grandezza?
Sì No
Capisco
• Osserva e completa.
• L’intero è stato diviso in parti.
• La parte colorata rappresenta i
• La parte non colorata rappresenta i 3 5 + 2 5 = ......... ......... = 1
1 Scrivi la frazione rappresentata, colora la complementare e completa l’addizione.
FRAZIONI PROPRIE • IMPROPRIE •APPARENTI
Ti spiego
ARGOMENTO
Le frazioni che indicano meno di un intero, più di un intero, uno o più interi.
REGOLA
Le frazioni possono essere:
• proprie, se rappresentano una parte minore dell’intero;
• improprie, se rappresentano una parte maggiore dell’intero;
• apparenti, se rappresentano uno o più interi.
Capisco
• Osserva, rispondi e completa.
Intelligenza visiva
4 5
Il numeratore, rispetto al denominatore, è minore, maggiore o uguale/multiplo?
Frazione
Il numeratore, rispetto al denominatore, è minore, maggiore o uguale/multiplo? Frazione 6 5
Frazione 10 5
Il numeratore è multiplo del denominatore?
Esercizi
1 Colora in azzurro le frazioni proprie, in verde le improprie, in arancione le apparenti.
2 Con frecce colorate, collega ciascuna frazione al posto corrispondente sulla linea dei numeri.
Ti spiego
ARGOMENTO
FRAZIONI EQUIVALENTI
Frazioni scritte in modo diverso, ma che hanno lo stesso valore.
REGOLA
Due frazioni sono equivalenti se, pur essendo scritte in modo differente, indicano la stessa parte dell’intero.
Per trasformare una frazione in un’altra a essa equivalente, si moltiplicano o dividono il numeratore e il denominatore per lo stesso numero.
Capisco
• Colora la parte indicata dalla frazione e rispondi.
• Gli interi sono divisi nello stesso numero di parti? Sì No
• Le unità frazionarie sono uguali? Sì No
• Le due frazioni rappresentano la stessa parte dell’intero? Sì No
• Le due frazioni hanno lo stesso valore?
Sì No
Intelligenza visiva
I due bambini hanno la stessa quantità di mela? Sì No
Esercizi
1 Rappresenta sugli interi le due frazioni e verifica se sono equivalenti.
2 Rappresenta la frazione indicata. Sul secondo intero, rappresenta una frazione equivalente.
Ti spiego
ARGOMENTO
CONFRONTO TRA FRAZIONI
Capire quale frazione vale di più.
REGOLA
Se le frazioni hanno lo stesso denominatore, è maggiore quella con il numeratore maggiore. Se le frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore quella con il denominatore minore.
Capisco
• Rappresenta la frazione indicata. Poi completa.
Intelligenza visiva
ne
• Rappresenta l’unità frazionaria indicata. Poi completa.
1 8 . Io prendo 1 4 di pizza.
Chi mangerà più pizza?
• Le frazioni hanno lo stesso
• È maggiore quella che ha il maggiore.
• Le frazioni hanno lo stesso
• È maggiore quella che ha il
minore.
Esercizi
1 Con frecce colorate, collega ciascuna frazione al posto corrispondente sulla linea dei numeri. Poi completa i confronti inserendo i simboli > , < .
2
Ti spiego
ARGOMENTO
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI
Due modi diversi per esprimere il numero decimale.
REGOLA
Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale si divide il numeratore per il denominatore.
6 10 = 6 : 10 = 0,6
= 6 : 100 = 0,06
= 6 : 1000 = 0,006
Per trasformare un numero decimale in frazione decimale puoi fare così.
Scrivi:
• al numeratore il numero senza virgola;
• al denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.
3,75 = 375 100
Tutte le frazioni, anche quelle che hanno un denominatore diverso da 10, 100, 1000, possono essere trasformate in un numero intero o decimale, dividendo il numeratore per il denominatore.
Se la frazione è propria, il risultato sarà sempre 0. Perciò la divisione deve essere continuata fino ai centesimi o fino a resto 0.
1 4 = 1 : 4 = 1,00 : 4 = 0,25
Capisco
• Osserva e completa.
1 Trasforma ciascuna frazione decimale in numero decimale e viceversa.
= 6
= 6
= 6
=
2 Per ciascuna frazione, colora il corrispondente numero decimale.
=
3 Per ciascun numero decimale, colora la corrispondente frazione decimale.
4 Scrivi negli ovali i seguenti numeri decimali in ordine crescente e nei rettangoli le rispettive frazioni decimali.
5 Per ciascuna frazione, colora il corrispondente numero decimale.
Ti spiego
ARGOMENTO
LA FRAZIONE DI UN NUMERO
La frazione di una quantità.
REGOLA
Per calcolare la frazione di un numero si deve:
• dividere il numero per il denominatore;
• moltiplicare il risultato per il numeratore.
Capisco
• Osserva e completa.
Silvia, in fattoria, ha 24 ovini. I 5 8 sono pecore. Quante sono le pecore?
5 8 di 24 24 : 8 = × 5 =
Le pecore sono
Esercizi
1 Esegui i calcoli sul quaderno e riporta i risultati.
3 25 di 625 = 625 : 25 × 3 =
2 Calcola a mente.
Intelligenza visiva
Cinzia ha mangiato una fetta, cioè 1 ......... della torta.
Ha mangiato anche 1 delle more.
3 Risolvi sul quaderno.
a. Camilla tutti i giorni percorre 1420 m per recarsi al lavoro. Dopo 3 5 del percorso si ferma per una breve sosta. Dopo quanti metri si ferma?
b. Ivan ha nel salvadanaio 35,80 €. Utilizza 3 4 dei suoi risparmi per comperare un regalo a sua sorella. Quanto spende per il regalo?
Calcolare il valore della frazione complementare
• Nella fattoria di Enzo gli ovini, capre e pecore, sono 35. 3 7 sono capre.
Quante sono le pecore?
Qui a fianco vedi visualizzata la situazione in uno schema.
Capisco 5 5 5 5 5 5 5 pecore
Puoi seguire due percorsi:
2. Trovare la frazione complementare, che corrisponde al numero delle pecore.
1. 35 : 7 = × 3 = numero delle capre 35 – numero delle pecore
3 7 + 4 7 = 1 4 7 di 35 = ? 35 : 7 = × numero delle pecore
Esercizi
I problemi della cartoleria “Punto e virgola”.
1 Calcola la frazione e la complementare.
a. Sugli scaffali ci sono 85 quaderni, a righe o a quadretti. I 3 5 sono a quadretti.
Quanti sono i quaderni a quadretti?
Quanti sono i quaderni a righe?
2 Calcola solo la frazione complementare.
a. In questo mese sono state vendute
105 scatole di pennarelli, in confezioni da 6 o da 12.
Le scatole da 12 sono 2
Quante scatole da 6 sono state vendute?
b. Sono state ordinate 150 biro rosse e nere.
Le biro rosse sono 1 3 del totale.
Quante sono le biro rosse?
Quante sono le biro nere?
b. Il grossista ha consegnato alla cartoleria un sacchetto con 200 temperini, a uno o a due fori. I temperini con un solo foro sono i di tutti i temperini. Quanti sono i temperini
In cartoleria sono in vendita 21 gomme colorate.
1
3 sono rosse, 2 7 sono
• Le gomme rosse sono
• Le gomme gialle sono
• Le gomme blu sono .................
A quale frazione dell’intero corrispondono le gomme blu
1 3 8 21
Non si può calcolare.
3 Risolvi il problema utilizzando il disegno, che permette di visualizzare la situazione.
Ti spiego
ARGOMENTO
DALLA FRAZIONE ALL’INTERO
Ricostruire l’intero partendo dalla frazione.
REGOLA
Per calcolare l’intero partendo dal valore di una frazione:
• si divide il valore della frazione per il numeratore. Si trova così il valore dell’unità frazionaria;
• si moltiplica il numero ottenuto per il denominatore.
• Alina fa collezione dei pupazzetti regalati dal suo supermercato.
Ne ha già 12, che corrispondono a 2 3 del totale.
Quanti sono i pupazzetti dell’intera collezione?
• 12 pupazzetti corrispondono a 2 3 del totale.
• L’unità frazionaria è 1 3 .
A quanti pupazzetti corrisponde 1 3 ?
12 : 2 = pupazzetti
• L’intero è formato da 3 3 , cioè 3 unità frazionarie.
Capisco 12 = 2 3 di ? 12 : 2 × 3 = × 3 = 18
Perciò l’intero corrisponde a 6 × 3 =
Esercizi
1 Esegui i calcoli sul quaderno e riporta i risultati per calcolare il valore dell’intero. 24 = 12 30 di?
= 13
1 La quantità che vedi nella prima colonna è 1 3 dell’intero. Disegna la parte che manca e poi scrivi il numero che indica la quantità intera. Segui l’esempio. 1 3 quantità che manca, cioè 2 3 quantità intera 6
2 Osserva quale parte dell’intero rappresenta ciascuna figura. Poi disegna la parte che manca per avere l’intero. 1 2 1 3 2 5
3 Osserva che parte dell’intero rappresenta ciascun gruppo. Poi disegna la parte che manca per formare l’intero.
3 caramelle sono 1 4 di caramelle.
6 palloncini sono 2 3 di .................................... palloncini.
4 Completa per risolvere il problema.
Nello stagno ci sono 27 rane, che corrispondono ai 3 16 di tutti gli anfibi dello stagno.
Quanti anfibi ci sono? Soluzione 27 : 3 = × = Risposta Gli anfibi sono
LA PERCENTUALE
Ti spiego
ARGOMENTO
Un modo diverso per esprimere una frazione con denominatore cento.
REGOLA
La percentuale esprime una parte dell’intero.
La percentuale equivale a una frazione con denominatore 100. Per calcolare una percentuale:
• si trasforma la percentuale in frazione;
• si calcola il valore della frazione.
Capisco
Intelligenza visiva
In Italia la percentuale di territorio montuoso è del 35% Che cosa vuol dire?
• Osserva e completa.
Questo areogramma rappresenta l’intero territorio italiano.
I 35 quadratini colorati indicano la parte occupata dalle
35% (si legge “35 per cento”) vuol dire che 35 parti su 100 sono occupate da montagne.
Perciò 35% = 35
• Leggi e completa.
Il territorio italiano è circa di 300000 km2
35% di 300000 = ? 35% = 35
300000 : 100 = × 35 =
In Italia il territorio montuoso occupa circa km2
Esercizi
1 Scrivi in frazione o in percentuale. 2 Calcola il valore della percentuale. Esegui i calcoli sul quaderno.
15% = 70% = 32
=
• 18% di 6000 = 18 100 di 6000 = 6000 : 100 × 18 = ................ • 35% di 500 = di 500 = ................
=
Trasformare una frazione in percentuale
Qualsiasi frazione, non solo quelle che hanno denominatore 100, può essere trasformata in percentuale.
• In un allevamento ci sono 300 mucche. 1 5 sono di razza alpina.
A quale percentuale corrispondono le mucche di razza alpina?
Per sapere a quale percentuale corrispondono le mucche di razza alpina si procede così:
• si trasforma la frazione in numero decimale, arrivando fino ai centesimi 1 : 5 = 0,20
• si trasforma il numero decimale in frazione decimale con denominatore 100 0,20 = 20 100
• si trasforma la frazione in percentuale 20 100 = 20% perciò 1 5 = 20%
Esercizi
1 Leggi e risolvi.
a. Alla corsa campestre sono iscritte 140 persone. Il 55% sono femmine.
Quante sono le femmine che partecipano alla corsa?
55% di 140
140 : 100 = × 55 =
b. Delle 140 persone che hanno partecipato alla corsa, il 15% si è ritirato prima del termine della gara.
Quante persone si sono ritirate?
15% di 140
140 : = × =
2 Osserva e completa.
c. Il palazzetto che ospita le gare di basket ha 900 posti.
Oggi ne sono occupati il 75%.
Quanti posti sono occupati?
75% di 900 : = × =
d. Alla partita di pallavolo erano presenti 600 persone. Il 12% ha avuto i biglietti in omaggio. Quante persone sono entrate gratuitamente?
12% di 600 : = × =
Talvolta è possibile risolvere un problema utilizzando differenti percorsi.
Differenti strategie
• Leggi il problema.
18 bambini e bambine della 5a C sono andati in gita al museo. Ciascuno ha speso 8,50 € per il biglietto di ingresso. I 45 euro per il costo della guida e i 126 euro per il costo del pullman sono stati suddivisi tra i partecipanti. Quanto ha speso ogni bambino e bambina?
a. Osserva come tre bambini e bambine hanno risolto il problema. Esegui sul quaderno le espressioni, riporta il risultato finale e rispondi.
A (126,00 : 18) + (45,00 : 18) + 8,50 =
B (126,00 + 45,00) : 18 + 8,50 =
C [(8,50 × 18) + 126,00 + 45,00] : 18 =
• Le tre espressioni danno tutte lo stesso risultato?
• I tre procedimenti risolutivi sono tutti giusti?
• Tu quale avresti scelto? ...............................................
b. I tre bambini e bambine hanno spiegato il processo risolutivo che hanno scelto. Per ciascuno di essi, scrivi a quale espressione dell’esercizio precedente si riferisce.
• Ho calcolato quanto spende ciascuno per pagare il pullman e per pagare la guida. Ho sommato le tre spese di ciascuno.
• Ho calcolato quanto si spende complessivamente per i biglietti d’ingresso. Poi ho calcolato la spesa complessiva. Infine ho diviso la spesa tra tutti i bambini e le bambine.
• Ho calcolato quanto si spende in tutto per le spese non divise (pullman e guida). Ho calcolato quanto spende ciascuno per le spese comuni e poi ho sommato il risultato al costo del biglietto. ...................
Valutare i risultati
Quando si è giunti alla fine e il problema è stato risolto, il lavoro… non è ancora finito! È importante imparare a rivedere il proprio lavoro, per controllare se il risultato ottenuto è possibile.
• Leggi il problema. Senza eseguire le operazioni, cancella le soluzioni che sono impossibili. Poi completa.
Hazal ha ricevuto dai nonni 15,00 €. Li usa per comperare 12 pacchetti di figurine, che costano 0,80 € l’uno.
Quanto le rimane? A 14,00 € B 5,40 € C 21,00 €
• La soluzione è impossibile perché
• La soluzione è impossibile perché
Gli schemi
I problemi si risolvono, generalmente, con una catena ordinata di operazioni. Non sempre, però, è possibile: allora è utile ricorrere a schemi che aiutano a visualizzare la situazione.
• Leggi il problema, completa lo schema e trova la soluzione.
In una ditta lavorano 27 persone. In ciascuna stanza lavorano 3 persone. Ogni 3 stanze vi è un addetto alle informazioni nel corridoio.
Quanti sono gli addetti alle informazioni?
Gli addetti alle informazioni sono .....................................................................................
• Leggi i problemi e risolvi usando gli schemi.
a. Su due scaffali ci sono 11 modellini di auto in tutto. Su uno scaffale ci sono 3 modellini più che sull’altro. Quanti modellini ci sono su ciascuno dei due scaffali?
Osserva questo schema e completa.
Totale modellini
11 – 3 = : 2 = + 3 = 7
Su uno scaffale ci sono modellini, sull’altro ce ne sono
Modellini in più su uno scaffale
b. Giulia e Marina mettono insieme i soldi per comperare un regalo alla loro amica Miriam. Il regalo costa 58 €. Giulia mette 12 € più di Marina. Come ripartiscono la spesa?
Osserva lo schema ed esegui i calcoli.
Soldi in più messi da Giulia
– = : = + = La spesa viene così ripartita: Giulia €, Marina €.
c. Dario ha pensato un numero. Ha addizionato al numero il suo doppio e il suo triplo e ha ottenuto 24. Quale numero aveva pensato?
Questa linea è lunga 24 quadretti. Il numero pensato vale 1 parte di questa linea, il doppio vale 2 parti, il triplo vale 3 parti. In quante parti devi dividere la linea per trovare il numero pensato da Dario?
24 : = Dario aveva pensato al numero
Problem solving
Amministrare il denaro a disposizione
Ogni persona per vivere deve sostenere delle spese.
Perciò bisogna imparare ad amministrare i soldi a disposizione.
In questi conti, spesso, le frazioni hanno un ruolo importante.
1 Risolvi.
a. Fabio ha riscosso lo stipendio. Calcola e scrivi il totale dello stipendio lordo, cioè quello che deriva dal suo lavoro, e dello stipendio netto, cioè quello a cui sono state tolte le tasse.
b. Fabio ha deciso di mettere da parte 1 6 del suo stipendio netto.
Quanto risparmia nel mese di novembre? Quanto gli rimane?
c. Fabio è andato a fare la spesa. Ha portato con sé 210,00 €. Spende i 4 6 della cifra al supermercato. Poi spende altri 50,00 € per comperare un regalo alla sua amica Viviana. Gli rimangono dei soldi? Quanti?
Differenti
strategie risolutive
2 Leggi il problema.
Nel mese di novembre a Fabio arrivano anche le bollette del condominio. Nel suo palazzo ci sono 24 appartamenti su 6 piani. Non tutti pagano la stessa quota per quanto riguarda la manutenzione dell’ascensore. Fabio, che abita al sesto piano, paga 300,00 € ciascuna rata; il suo amico Luca, che abita al primo piano, paga 130,00 € ciascuna rata. Le rate del condominio sono 4 in un anno. Su questa bolletta, però, Fabio ha diritto a un rimborso di 55,00 €. Quanti soldi devono mettere da parte (preventivare) complessivamente i due amici per pagare la manutenzione dell’ascensore?
3 La somma da pagare è calcolata in quattro modi diversi. Esegui ogni espressione sul quaderno, riporta il risultato e rispondi.
[(300 + 130) × 4] – 55 = [(300 – 55) × 4] + (130 × 4) = (300 × 4) + (130 × 4) – 55 = ................... [(300 × 4) – 55] + (130 × 4) = ...................
• Le espressioni hanno tutte il medesimo risultato?
• I procedimenti risolutivi sono tutti giusti? ...................
• In caso di errore, spiega perché è stato commesso.
Fabio Rossi novembre retribuzione 1610,00 € ore straordinarie
€ totale lordo tasse
€ tasse comunali
totale netto
Ti spiego
ARGOMENTO
LO SCONTO E L’AUMENTO
La diminuzione o l’aumento.
REGOLA
Lo sconto è un importo di denaro che va sottratto al prezzo originario di una merce.
L’aumento invece va aggiunto.
Capisco
• Osserva e completa.
Esercizi
Intelligenza visiva
Che cosa vuol dire sconto?
I capi di abbigliamento costeranno di meno o di più?
Calcola il nuovo prezzo del maglione.
50% di 50,00 =
50,00 : 100 = × 50 =
Lo sconto sarà di €
Lo sconto andrà tolto o aggiunto al prezzo iniziale?
prezzo iniziale – sconto = prezzo attuale
50,00 =
Il maglione ora costa €
Se invece il 50% fosse stato di aumento, il prezzo attuale sarebbe più
prezzo iniziale + aumento = prezzo attuale
1 Completa la tabella calcolando lo sconto e il prezzo finale. Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
merce prezzo iniziale percentuale di sconto sconto prezzo finale cassetta
1 Completa le frazioni in modo che siano tutte…
2 Rappresenta le frazioni, poi confrontale inserendo i simboli > , < , = .
3 Indica con X.
• Una frazione propria è sempre: maggiore di una frazione impropria. minore di 1.
• Una frazione impropria rappresenta sempre una quantità: maggiore di 1. compresa tra 1 e 2.
• Una frazione apparente: è sempre minore di una frazione impropria. corrisponde sempre a un numero intero.
4 Metti la virgola in modo che la cifra 3 sia sempre al posto dei decimi. Poi trasforma ciascun numero in frazione 5 decimale.
243 = ........... 436 = ........... 2 345 = 53 =
5 Colora l’areogramma secondo le indicazioni della legenda. Poi calcola il valore di ciascun dato.
• Comune di Poggi Ridenti
• Abitanti 1000
Ripartizione per età:
15% Da 0 a 10 anni
20% Da 10 a 25 anni
35% Da 25 a 50 anni
30% Oltre 50 anni
15% di 1000 = 20% di 1000 = ............................................................................
35% di 1000 = 30% di 1000 =
6 Trasforma le frazioni prima in numeri decimali, poi in frazioni decimali. Segui l’esempio.
2 8 = 2,00 : 8 = 0,25 = 25 100 1 2 = 1,0 : 2 =
7 Calcola il valore della frazione.
5 8 di 192 = 192 : 8 = × 5 = 11 13 di 221 = : = × =
8 Risolvi il problema sul quaderno tenendo conto delle informazioni fornite dalle immagini. Poi riporta i risultati.
Grazia osserva i prezzi di alcuni elettrodomestici.
A quanto viene venduta ora la lavatrice?
E il frigorifero?
Grazia si è accorta che l’asciugatrice la settimana scorsa costava 450 €, ma ora ha avuto un aumento del 20%.
Quanto costa ora l’asciugatrice?
9 Giulia osserva i dati delle sue prove di verifica. Per capire se è migliorata non deve tenere conto solo degli errori, ma anche del numero di domande. Dunque calcola la percentuale di errori fatti. Aiutala tu. Puoi anche utilizzare la calcolatrice.
prova n. errori n. domande frazione calcolo percentuale
Com’è andata?
1 Quale numero può essere inserito affinché l’uguaglianza risulti vera?
6,72 = 6 u + 7 d +
A 0,2
B 0,02
C 72 millesimi
D 7 millesimi
ti guido • Ricorda che la parola “uguaglianza” significa che ciò che si trova prima del segno = deve avere lo stesso valore di ciò che lo segue. Pensa a come si scompone il numero e trova il valore della cifra che manca.
2 La divisione 40 : 3,999 dà come risultato:
A circa 0,1.
B circa 1.
C circa 10.
D circa 40.
ti guido • Non devi trovare il risultato preciso della divisione, ma fare solo un calcolo approssimato. Arrotonda il numero 3,999 all’unità più vicina e poi esegui la divisione con numeri interi.
3 In una scatola di palline colorate ci sono palline di tre colori differenti.
Le palline gialle sono 7 20 , quelle blu sono 9 20 e le rimanenti 100 palline sono tutte rosse.
Completa la tabella scrivendo a che frazione dell’intera scatola corrispondono le palline rosse, il numero delle palline gialle e quello delle palline blu.
Palline gialle Palline blu Palline rosse
7 20 9 20 100
4 Le frazioni 2 3 e 6 9 sono equivalenti?
Una sola argomentazione indica la risposta corretta.
ti guido • La frazione che corrisponde alle palline rosse è una frazione complementare di due frazioni che devono essere unite.
A Sì, perché in entrambe le frazioni il denominatore è maggiore del numeratore.
B No, perché in entrambe le frazioni i numeratori e i denominatori sono diversi.
C Sì, perché moltiplicando per tre sia il numeratore sia il denominatore della prima frazione si ottiene la seconda.
D No, perché 2 è minore di 6 e 3 è minore di 9.
ti guido • Ricorda la regola per trasformare una frazione in un’altra a essa equivalente.
5 Un problema si risolve con questa espressione:
(12 + 8) × 7
Quattro bambini hanno eseguito i calcoli in modi differenti.
• Xia (12 × 7) + (8 × 7)
• Pedro 12 + (8 × 7)
• Greta 20 × 7
• Jonis (8 × 7) + (12 × 7)
Chi di loro ha sbagliato?
ti guido • Ricorda le regole per eseguire le espressioni e le proprietà della moltiplicazione.
A Xia. B Pedro. C Greta. D Jonis.
6 Osserva e rispondi.
• Quale temperatura segna il termometro 4? ...............
• Qual è la differenza tra la temperatura segnata dal termometro 1 e quella segnata dal termometro 2?
A 5 gradi. C 15 gradi.
B 10 gradi. D 20 gradi.
ti guido • Sui termometri sono segnati sia numeri negativi sia numeri positivi. Ricorda quali sono i segni che precedono i numeri relativi e come si procede per eseguire le operazioni.
7 Quale tra queste moltiplicazioni dà un risultato maggiore?
A 24 × 1,1 C 24 × 1,11
B 24 × 1,01 D 24 × 1,011
ti guido • In queste moltiplicazioni un fattore è uguale per tutte, mentre nell’altro fattore cambia solo la parte decimale. Tra le 4 parti decimali, quale vale di più?
8 Quale numero moltiplicato per 0 dà come risultato 1000?
A Il numero 0. C Il numero 1000.
B Il numero 100. D Nessun numero.
ti guido • Pensa alla funzione del numero 0 nelle moltiplicazioni.
MISURE
Nella vita quotidiana non possiamo fare a meno di misurare. Infatti, fin dall’antichità, usiamo unità di misura per il tempo, il peso, le lunghezze, la capacità.
Più di recente, abbiamo anche esplorato lo spazio. Lì, per misurare, non si utilizzano le “misure stellari”, ma il Sistema Internazionale di Unità di Misura.
Misurare: UNA NECESSITÀ… OVUNQUE
Senza gravità il mio peso è diminuito, ma la massa è sempre la stessa. Per misurare la massa si usano i chilogrammi. Anche per il peso, nella vita di tutti i giorni, si utilizza il chilogrammo.
Con il cargo sono arrivati i rifornimenti di acqua! Sono taniche da 400 <l !
Puntuali come degli orologi terrestri.
Avete impiegato 6 ore, 5 minuti e 12 secondi.
Stiamo iniziando la quindicesima orbita attorno alla Terra!
Le grandezze misurabili sono molte.
L’unità di misura dipende da ciò che deve essere misurato.
Costa mandare il materiale da noi!
Quasi 33000 euro per ogni chilogrammo!
Caspita!
Viaggiamo a una velocità media di 27600 chilometri all’ora!
MISURARE
Ricordi?
Intelligenza visiva ARGOMENTO
Che cos’è una unità di misura.
REGOLA
Misurare significa confrontare una grandezza con un’unità di misura.
Per ogni grandezza occorre utilizzare l’unità di misura adeguata.
Il Sistema Internazionale di Unità di Misura, adottato in quasi tutto il mondo, stabilisce quanto vale ciascuna unità di misura per molte grandezze misurabili.
Ricordo
• Per misurare il peso si usano le misure di peso: l’unità fondamentale è
• Per misurare la lunghezza, larghezza, profondità… si usano le misure di lunghezza: l’unità fondamentale è
• Per misurare la quantità di liquido si usano le misure di capacità: l’unità fondamentale è
• Per l’area si usano le misure di superficie: l’unità fondamentale è
• Per misurare il trascorrere del tempo si usano le misure di tempo: l’unità fondamentale è
Questi bambini stanno misurando le stesse grandezze? Usano unità di misura uguali o diverse? Quali?
Esercizi
1 Quale unità di misura utilizzi? Indica con X.
• Per misurare il peso di un gatto uso: il decigrammo. il chilogrammo. l’ettogrammo.
• Per misurare l’età di una persona uso: il giorno. l’anno. il secolo.
Compito di realtà
Prendi una bottiglia. Quante grandezze puoi misurare? Scrivine tu alcune.
• Il peso: della bottiglia vuota e della bottiglia
• La circonferenza alla base
LE EQUIVALENZE
ARGOMENTO
Ricordi? k h da u : 10 × 10 × 10 × 10 : 10 : 10 u d c m : 10 × 10 × 10 × 10 : 10 : 10
Esprimere il valore della stessa grandezza in modi diversi. REGOLA
Il nostro sistema di misurazione è in base 10.
• Completa la tabella.
Ricordo k h da u d c m
Misure di lunghezza
• Esegui le equivalenze.
7 m = cm (hai moltiplicato per )
0,6 km = m (hai moltiplicato per )
15,4 m = ............... dam (hai diviso per ...............)
753 cm = m (hai diviso per )
Un altro modo per eseguire le equivalenze
23,42 m = ............... dm = ............... dam
Considera il valore di ogni cifra:
Anche per molte unità di misura, per passare dall’una all’altra, si moltiplica o si divide per 10, 100, 1000. La stessa grandezza può essere espressa con unità di misura differenti, eseguendo una equivalenza.
Esercizi
, , ,
La virgola va inserita dopo la cifra che indica l’unità di misura.
23,42 m = 234,2 dm = 2,342 dam
1 Equivalente vuol dire “che ha lo stesso valore”. È una parola che puoi usare in situazioni diverse. Completa.
• 30 da sono equivalenti a centinaia.
• 7 giorni sono equivalenti a ................ settimana.
• 4 banconote da 5 euro sono equivalenti a una banconota da euro.
• Il costo di 10 euro al chilogrammo equivale al costo di 1 euro all’...................................................................
• Una dozzina di uova equivale a uova.
• Un trimestre equivale a mesi.
Ti spiego
ARGOMENTO
LE MISURE DI LUNGHEZZA
Come misurare lunghezza, larghezza, altezza, distanza, profondità…
REGOLA
Le misure di lunghezza vanno di 10 in 10. L’unità di misura fondamentale è il metro.
Capisco
• Completa.
Esercizi
1 I multipli sono: maggiori dell’unità fondamentale. minori dell’unità fondamentale.
I sottomultipli sono: maggiori dell’unità fondamentale. minori dell’unità fondamentale.
I multipli del metro sono: km (1000 m), ( m), ( m).
I sottomultipli del metro sono: dm (0,1 m), ( m), ( m).
Intelligenza visiva
Le cifre sono uguali. La lunghezza è uguale?
Che cosa te lo fa capire?
Direzione Invalsi
• Quanto è alto l’albero?
1 Componi le misure, poi esegui le equivalenze. Segui l’esempio.
6 km 5 m 2 dm
2 hm 1 m 9 dm 2 hm 1 m 9 dm = hm
8 dam 2 dm 8 dam 2 dm = dm
4 m 6 dm 7 mm 4 m 6 dm 7 mm = cm
1 hm 6 dm 1 hm 6 dm = m
2 Colora l’operazione che devi fare, poi esegui l’equivalenza.
4 km = hm × 10 × 100 15 m = ............... cm × 10 × 100
65 hm = km : 10 : 100 357 m = ............... hm : 100 : 1000
mm = cm : 10 × 10
m = ............... cm × 100 : 100
3 Esegui le equivalenze considerando il valore delle cifre.
0,56 km = ............... m 0 5 6 5 6 0 34,578 dam = ............... dm 3
86,2 m = hm
4 Scomponi le misure.
148,3 m = 1 4 8 3 0,182 km = 294,1 dam = ...............................................................................................
5 Scrivi la marca.
64 km = 6400 23 m = 230
6 Esegui le equivalenze.
8,2 m = dm
m = 5
cm = 9,2
hm = 745,6 cm = 1093,2 dm = ..............................................................................................
dm = 15
dam = 8
km = 23
cm = 49
Ti spiego
ARGOMENTO
LE MISURE DI MASSA-PESO
Come misurare la massa di un oggetto.
REGOLA
Le misure di massa vanno di 10 in 10. L’unità di misura fondamentale è il chilogrammo.
Nel linguaggio comune si utilizza la parola “peso” invece di “massa”. Dal punto di vista scientifico, però, i due termini hanno significati diversi: la massa misura quanta materia c’è in un corpo; il peso, invece, dipende dalla forza di gravità. Una persona, sulla Terra o sulla Luna, avrebbe la stessa massa ma un peso diverso, perché la gravità sulla Luna è minore.
Capisco
• Completa.
Intelligenza visiva
L’astronauta è dimagrito così tanto? Leggi la regola per capire che cosa è successo.
Ricorda!
peso lordo = peso netto + tara
peso netto = peso lordo – tara
tara = peso lordo – peso netto
Il quintale (q) e la tonnellata (t) sono misure non inserite nel Sistema Internazionale di Misura, ma ancora usate. 1 q = 100 kg 1 t = 1000 kg
1 Componi le misure, poi esegui le equivalenze. Segui l’esempio.
1 Mg 4 kg 6 hg 1 0 0 4 6 1 Mg 4 kg 6 hg = 10046 hg
8 kg 6 hg 4 dag
7 dag 1 dg
2 Colora l’operazione che devi fare, poi esegui l’equivalenza.
2 kg = g × 100 × 1000
40 hg = g × 10 × 100
8 kg 6 hg 4 dag = dag
7 dag 1 dg = dag
1,9 g = ............... mg × 100 × 1000 3 hg = kg : 10 : 100 775 mg = g : 100 : 1000 200 cg = ............... g : 100 : 1000
3 Esegui le equivalenze considerando il valore delle cifre. kg hg dag g
32,8 hg = g
3675 g = ............... kg
56,8 g = ............... dag
4 Scomponi le misure.
6,431 g = 6 4 3 1 0,182 hg = 4,521 kg = 4,832 dag = 391,4 cg = 9540 mg =
5 Scrivi la marca.
12 dag = 120
75 g = 0,75
2,3 Mg = 2300
6 Esegui le equivalenze.
2,75 kg = g
15 hg = g
kg = 450
dg = 12
hg = 650
3 g = mg 400 mg = cg 188 cg = g 2750 kg = Mg 6,3 g = dag 25 g = dg 1,04 dag = dg
0,22 dg = mg
0,006 kg = g
0,005 Mg = kg
Ti spiego
ARGOMENTO
LE MISURE DI CAPACITÀ
Come misurare quanto contiene un recipiente.
REGOLA
Le misure di capacità vanno di 10 in 10.
L’unità di misura fondamentale è il litro.
Intelligenza visiva
A e B contengono la stessa quantità di liquido?
Capisco
• Completa.
Multipli Unità fondamentale Sottomultipli ettolitro decalitro
Invalsi
• Simone ha la tosse e la pediatra ha detto che deve prendere 9 m<l di sciroppo alla sera.
Quanti misurini di sciroppo dovrà prendere?
A Un misurino.
C Due misurini.
B Un misurino e mezzo. D Due misurini e mezzo.
Direzione
1 Componi le misure, poi esegui le equivalenze. Segui l’esempio.
1
2 Colora l’operazione che devi fare, poi esegui l’equivalenza.
9
3 Esegui le equivalenze considerando il valore delle cifre.
0,45 h<l = d<l
2,4 c<l = <l
4 Scomponi le misure.
72,49 <l = 7 2 4 9 2,63 h<l = 10,46 da<l = .................................................................................................
6 Esegui le equivalenze.
5,2
Scrivi la marca.
7 Scrivi il risultato delle addizioni, dopo aver eseguito le equivalenze necessarie.
9 da<l + 5 <l = <l
6 h<l + 1 <l = ........................................ <l
6 c<l + 2 m<l = m<l
Problem solving
Problemi in scena
Per preparare uno spettacolo teatrale non occorre solo saper recitare, ma anche saper operare con le unità di misura.
1 Leggi con attenzione i problemi, poi risolvili sul quaderno.
a. Per realizzare una parte del fondale dello spettacolo, la scenografa ha a disposizione 950 dm di stoffa gialla, 2,8 dam di stoffa blu e 73 m di stoffa rossa.
Quanti metri di stoffa ha a disposizione la scenografa?
b. Nel cortile del teatro è fermo il camion che ha trasportato due auto d’epoca utilizzate in scena, che pesano una 1450 kg e l’altra 1398 kg. Il camion che ha trasportato le auto, carico, pesava 24 Mg. Quanto pesava il camion vuoto?
c. Nel terzo atto della rappresentazione occorre portare sul palco 12 bottiglioni, ciascuno dei quali contiene 2,5 <l di acqua colorata. Sono stati preparati 5 da<l di acqua. Quanti litri avanzano?
Quanti bottiglioni uguali si potrebbero ancora riempire con il liquido avanzato?
2 Indica con X l’espressione che risolve questo problema. Poi calcola sul quaderno. Oggi si è tenuta una rappresentazione con biglietti a prezzo unico: 12 euro.
In tutto si sono incassati 10080 €. In teatro ci sono in platea 25 file da 22 posti ciascuna. In galleria 18 file da 18 posti ciascuna. Quanti posti sono rimasti liberi?
10080 × 12 – [(25 × 22) + (18 × 18)] = .................
[(25 × 22) + (18 × 18)] – 10080 : 12 =
10080 : 12 + [(25 × 22) + (18 × 18)] = .................
1 Qual è il numero minimo di confezioni necessarie per avere un litro di ciascun prodotto? Completa la tabella.
Confezione
N. confezioni necessarie
ti guido • Che parte di un litro è 1 2 <l ? Perciò quante confezioni occorreranno per avere 1 <l ?
Che parte è 250 m<l di un litro? E 200 m<l ? Perciò quante confezioni occorreranno per avere 1 <l ?
2 Arianna ha comprato una confezione di bustine di zucchero. Sulla scatola è indicato: 100 bustine di zucchero, peso netto 600 g. Ciascuna bustina di zucchero pesa 8 g. Quanto pesa lo zucchero contenuto nella scatola?
A 100 g
B 600 g
C
D
700 g
800 g
ti guido • Leggi attentamente per capire quale dato ti viene richiesto e controlla quali informazioni hai già. Il dato che ti viene richiesto è contenuto nel testo del problema o devi eseguire dei calcoli per trovarlo?
3 Una bandiera lunga 2,4 m è divisa in due parti.
La prima parte è blu ed è pari a 1 3 della seconda parte, che è rossa. Quanto misura la parte blu?
ti guido • La parte blu non è lunga 1 3 dell’intera bandiera, ma 1 3 della seconda parte. Puoi disegnare uno schema:
la parte blu sarà rappresentata da 1 trattino e quella rossa da tre trattini uguali a quello blu.
Ora puoi calcolare la lunghezza facilmente.
4 Alice, per il suo ristorante, ha fatto la scorta di olio di oliva. Dopo una settimana le sono rimasti 10 litri di olio e sa che ha utilizzato i 3 5 di quanti ne aveva comperati. Quanti litri di olio aveva comperato?
A 15 <l
B 20 <l
C 25 <l
D 30 <l
ti guido • Immagina la situazione. Prima di trovare quanto olio ha consumato, devi capire a quale frazione corrispondono i 10 <l di olio rimasti. Non corrispondono a 3 5 (quella è la parte utilizzata), ma a…
Ti spiego
ARGOMENTO
LE MISURE DEL TEMPO
Le misure che indicano lo scorrere del tempo.
REGOLA
L’unità fondamentale delle misure di tempo è il secondo (s).
Solo i sottomultipli del secondo seguono la base decimale: per passare da una misura all’altra tra di essi si moltiplica o si divide per 10, 100, 1000.
Il minuto e l’ora non seguono la numerazione decimale: sono 60 volte più grandi della misura che li segue.
Capisco
• Completa inserendo le misure del tempo.
• L’orologio segna le , i , i
Intelligenza visiva
• Il calendario segna i , le settimane, i , l’
• La linea del tempo segna gli anni, i secoli, i millenni.
• Leggi e completa.
giorno ora minuti secondo decimo di s centesimo di s millesimo di s d h min s 24 h min s 1 s 0,1 s 0,01 s 0,001 s
I multipli del giorno sono: settimana (7 giorni), mese (28, 29, 30, 31 giorni), anno (365 giorni).
I multipli dell’anno sono: lustro (5 anni), decennio (10 anni), secolo (100 anni), millennio (1000 anni).
Per eseguire equivalenze tra ore, minuti, secondi si moltiplica o si divide per 60 o 3 600.
Se parli di giorni, settimane, mesi, cambia ancora la proporzione.
REGOLA
Addizioni e sottrazioni con le misure di tempo
Quando devi eseguire dei calcoli tra misure di tempo, devi sempre ricordare quanto una grandezza è maggiore dell’altra.
Se le grandezze prese in esame sono ore, 22 + 3 non dà come risultato 25, ma 1 giorno + 1 ora!
Esercizi
1 Completa la tabella scrivendo l’ora che gli orologi segneranno.
aggiungi 1 h e 30 min
togli 1 ora e 15 min
aggiungi 2 h e 15 min
2 Trasforma le durate in ore. Segui l’esempio.
2 d + 6 h = 48 h + 6 h = 54 h
1 d + 12 h = .................................................................... = ................ h
2 d + 1 h = = h
3 Trasforma le durate in minuti. Segui l’esempio.
2 h + 10 min = 120 min + 10 min = 130 min
1 h + 25 min = = min
2 h + 5 min = = min
Capisco
• Osserva come eseguire le addizioni e sottrazioni con le misure di tempo.
1 d 22 h 45 min + 1 d 3 h 40 min = 3 d 2 h 25 min d h min 1 1 1 22 45 + 1 3 40 = 3 (26 = 24 + 2) 2 (85 = 60 + 25) 25
1 d 6 h 15 min – 10 h 40 min = 19 h 35 min d h min 1 1 (24 + 5 = 29) 6 1 (60 + 15 = 75) 15 –10 40 = 19 35
Direzione Invalsi Sono arrivato un quarto d’ora fa. Ero in anticipo di 20 minuti. Speriamo che Milena non ritardi.
8.25
A che ora è fissato l’appuntamento?
8.45 D 9.15
Ti spiego
ARGOMENTO
TEMPO • SPAZIO • VELOCITÀ
Il collegamento fra tre grandezze differenti.
REGOLA
Tempo, spazio, velocità sono grandezze differenti, ma molte volte sono in relazione tra di loro.
velocità × tempo = spazio spazio : velocità = tempo spazio : tempo = velocità
Quando si indica una velocità, occorre sempre specificare se si tratta di velocità oraria o al minuto.
Capisco
• Se spazio, tempo, velocità sono grandezza collegate, come si può calcolarne una, conoscendo le altre due? Completa.
Una motociclista ha viaggiato per 3 ore alla velocità media di 35 km all’ora. Quanti chilometri ha percorso? 35 × 3 = km
Esercizi
1 Completa la tabella.
Un atleta ha percorso 50 km. La sua velocità era di 10 km all’ora.
Quanto tempo ha impiegato?
50 : 10 = h
tempo spazio velocità
aereo 1200 km 800 km orari
treno 250 km 125 km orari
bicicletta 2 ore 17 km km orari
piedi 5 min
100 m al minuto
Un’automobile ha percorso 100 km in 2 ore. A quale velocità ha viaggiato?
100 : 2 = km all’ora
2 Risolvi il quesito.
Ha tenuto una velocità maggiore Mia, che ha percorso 1,5 km in 20 minuti, oppure Silvia, che ha percorso 4 km in 40 minuti?
Ti spiego
ARGOMENTO
LE MISURE DI VALORE
Le misure necessarie per comperare e per vendere.
REGOLA
La moneta usata oggi in Italia e in molti altri Paesi dell’Unione Europea è l’euro. Il suo simbolo è €. In altre parti del mondo si utilizzano monete diverse.
Questa formula permette di calcolare il cambio di euro in altre monete e viceversa.
valore in euro valore in altra moneta × tasso cambio : tasso cambio
Esercizi
1 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Serena è tornata da Londra con 264 sterline. A quanti euro corrispondono? (Cambio euro-sterlina 0,84 ).
Competenze
Con l’aiuto di una persona adulta, cerca in Internet il valore dei dollari (la moneta americana) e il tasso di cambio con l’euro. Per ciascun gruppo, scrivi il valore in dollari e in euro.
Intelligenza visiva
Capisco
• Osserva e completa. Se non conosci le risposte, chiedi all’insegnante.
Se una persona si reca nel Regno Unito, dove l’euro non è in uso, dovrà cambiare i propri soldi in Se invece si reca negli USA, dovrà cambiarli in ...........................................
Sono le banche a stabilire il tasso di cambio, cioè il valore di una moneta rispetto a un’altra.
b. Maria cambia 500 euro in yen con il cambio euro-yen a 165. Quanti yen riceverà?
euro
dollari
Ti spiego
ARGOMENTO
VENDERE E COMPRARE
I calcoli che fa chi compra e chi vende.
REGOLA
Il costo di un solo elemento acquistato o venduto è il costo unitario. Il costo di tutti gli elementi uguali è il costo complessivo (o totale).
• Osserva e rispondi. Capisco
Per calcolare il costo della confezione di palloni devi moltiplicare o dividere?
Esercizi
1 Risolvi il problema con l’aiuto delle immagini. Se necessario, esegui le operazioni sul quaderno.
costo unitario costo complessivo × quantità : quantità
costo unitario × quantità = costo complessivo
costo complessivo : quantità = costo unitario
costo complessivo : costo unitario = quantità
Per calcolare il costo di una sola racchetta devi moltiplicare o dividere?
Una sola costa 1,60 €.
Per conoscere quante sono le palline nella scatola devi moltiplicare o dividere?
2,00 € 2,20 € 2,50 € prezzi al kg
mele 2 kg € pomodori 2,5 kg € banane 1,20 kg € frutta acquistata
SPESA • GUADAGNO • RICAVO
REGOLA
La spesa è quanto il negoziante ha pagato la merce dal grossista.
Il ricavo è quanto il negoziante incassa dalla vendita. Il guadagno o la perdita è la differenza tra la spesa e il ricavo.
Ti spiego spesa ricavo + guadagno – guadagno – perdita + perdita spesa ricavo
Capisco
• Come fa il negoziante a stabilire il prezzo a cui vendere la merce?
Osserva e completa.
• Quanto il negoziante paga la merce dal grossista è la
• Quanto incassa dalla vendita della merce è il
• La differenza tra incasso e spesa è il ...................................
• Se l’incasso è inferiore alla spesa, si ha una
Esercizi
1 Completa scrivendo spesa • guadagno • ricavo • perdita e indicando se sono unitari o complessivi. Poi risolvi i problemi sul quaderno.
a. Il proprietario del negozio “Kasabella” ha acquistato 50 set di pentole pagandoli 85 € l’uno (…………………………….........…….). Li rivenderà a 105 € l’uno ( )
Quanto incasserà dalla vendita di un solo set? ( )
Quanto dalla vendita di tutte le pentole? ( )
b. Nello stesso negozio vengono messi in vendita, a 35 € l’uno ( ), alcuni servizi di piatti che erano stati pagati 42 € l’uno (…………………………….........…….).
Vengono venduti 15 servizi di piatti. Il negoziante ha avuto una perdita o un guadagno da questa vendita?
Di quanto?
1 Sofia, Martin e Josè entrano in cartoleria. Leggi i fumetti e rispondi.
Vorrei 3 penne, grazie.
1,75 € l’una
Quanto spende Sofia?
Ecco 7,20 €.
Quanto costa uno solo dei quaderni comperati da Martin?
Ho 15 euro. Quanti tubetti posso comperare?
2,50 € l’uno
Quanti tubetti di tempera può comperare Josè?
2 Risolvi i problemi con l’aiuto delle immagini. Se necessario, esegui le operazioni sul quaderno.
Metti in ordine le domande a cui devi rispondere, numerando.
Quanto costano 3 gomme?
Quanto costa un solo astuccio?
Quanto costa una sola gomma?
Quanto costano due astucci?
3 Risolvi il problema sul quaderno, dopo aver scritto le due domande intermedie.
Il proprietario di un negozio di abiti ha acquistato 30 T-shirt a tinta unita a 4,50 € l’una e 50 T-shirt con disegni fantasia.
In tutto ha speso 395,00 €.
1.
2.
Quanto ha pagato una T-shirt con disegni fantasia?
Rivende tutte le magliette guadagnando 200,00 €.
Quanto ha ricavato complessivamente dalla vendita delle T-shirt?
È possibile calcolare a quanto ha rivenduto ciascuna T-shirt dei due differenti tipi? Competenze
Il tempo è denaro
Entra nella fabbrica del signor Meier e allenati a calcolare orari e cambi di valuta.
1 Leggi con attenzione i problemi, poi risolvili sul quaderno.
a. Il signor Meier è proprietario di una piccola fabbrica di orologi.
Oggi ha fatto un esperimento con un orologio di una fabbrica concorrente indossato dal suo tecnico.
Entrambi hanno preso il treno a Zurigo per raggiungere
Basilea. Sono partiti alle 8:12. All’arrivo, l’orologio di Meier, prodotto nella sua fabbrica, segnava le 9:24 come il tabellone della stazione.
Quello del suo tecnico era in ritardo di 2 minuti. Che ora segnava l’orologio del tecnico?
Quanto è durato il viaggio?
b. Al gran rally automobilistico per calcolare i tempi di percorrenza si usano gli orologi del signor Meier. Ieri si è svolta una gara. Il percorso era di 180 km. Ecco il tabellone esposto al termine della gara. Completalo.
2 Utilizza la tabella per ricercare i dati necessari e risolvere il problema sul quaderno.
Dal magazzino della fabbrica del signor Meier partono alcuni scatoloni di orologi per differenti nazioni in cui si usano monete diverse dall’euro.
Meier ha cercato su Internet la tabella dei cambi delle valute e poi ha compilato la tabella dei prezzi.
Paese di destinazione euro valuta locale
940
km all’ora
Bianchi 30 km all’ora
Verdi 3 h km all’ora
Ti ricordi?
Sviluppo economico e sostenibilità
IL BUDGET
Il budget
I soldi non crescono sugli alberi. I soldi vengono dal lavoro.
Chi lavora riceve un compenso in denaro Questo compenso si chiama salario, stipendio, onorario.
Il reddito di una persona o di una famiglia è la somma di denaro ricevuta in un determinato periodo. Avere un reddito vuol dire avere dei soldi a disposizione per affrontare le spese, pagare l’affitto, le bollette, comprare cibo, vestiti, medicine… Il budget è la pianificazione delle entrate (soldi ricevuti) e delle uscite (soldi spesi).
Ecco la tua razione di sale.
Il mio salario!
Il sale ha un grande valore. Serve per conservare i cibi e noi lo usiamo anche come moneta.
Ecco il budget mensile della famiglia Rossi. Inserisci nella tabella gli importi. Poi rispondi.
Stipendio Dario 1300 € • Stipendio Elvira 1300 € • Affitto 650 € • Utenze (gas, luce, telefono) 300 € • Spese alimentari 700 € • Attività sportive 150 € • Spese auto 350 €
Entrate Uscite fisse voci euro voci euro
• Nel budget dei signori Rossi sono state spese tutte le entrate? Sì No
• In questo budget sono state inserite tutte le spese di una famiglia? Sì No
Scrivi alcune voci di spesa che, secondo te, mancano.
Il tuo budget
Anche i bambini e le bambine, a volte, hanno a disposizione un budget. È così anche per te?
Se sì, da dove arrivano i tuoi i soldi?
Dalla paghetta. Dai regali. Altro: Come li spendi?
Indovina che cosa mi sono comprato con la paghetta!
Caspita, l’hai già spesa tutta?
Io tutte le settimane cerco di risparmiare qualcosa!
Che cos’è il risparmio?
Il risparmio
è il denaro che scegliamo di non spendere subito e di mettere da parte per un utilizzo in futuro.
Tu risparmi? Sì No
Se hai risposto sì:
• perché lo fai?
• dove metti i tuoi risparmi?
SUPERTEST
1. Che cosa vuol dire risparmiare?
a. Spendere subito tutti i soldi.
b. Mettere via del denaro per spenderlo in futuro.
c. Prestare i nostri soldi all’amico/a più spendaccione/a che abbiamo.
2. Risparmiare serve solo a comprare qualcosa di molto costoso?
a. Sì, soprattutto se quel “qualcosa” è un videogioco.
b. No, in realtà non serve a niente.
c. No, serve anche ad affrontare spese impreviste.
(Quaderni didattici della Banca d’Italia)
Sai perché ho la forma di maialino?
I salvadanai esistono fin dai tempi antichi, ma solo nel 1700 prendono la forma di un maialino Il motivo? Primo, perché i maiali erano molto “preziosi” per la loro carne, e poi per un buffo gioco di parole: in inglese la parola pygg, cioè l’argilla rosata, suona come pig, maiale appunto. Fu così che alcuni cominciarono a sfornare maialini-salvadanaio in argilla.
(Quaderni didattici della Banca d’Italia)
1 In ciascuna misura, evidenzia la cifra relativa alla marca. Segui l’esempio.
2 Indica con X la misura equivalente a quella indicata.
3 Confronta le misure inserendo i simboli > , < , = .
4 Completa.
25 m + ................ m = 1 km 7,1 hm + hm = 1 km
800 m + m = 1 km
5 Completa la tabella.
6 Risolvi il quesito.
Stefania è uscita di casa alle 8:10 per andare a scuola. La campanella suona alle ore 8:25, ma lei è arrivata 10 minuti dopo. Quanto tempo ha impiegato per arrivare a scuola?
7 In ciascuna misura, evidenzia la cifra relativa:
• ai metri 214 dm
• ai chilogrammi
kg
• ai grammi 5,765 hg
• ai litri
8 Esegui le equivalenze.
4,5 m = dam
0,37 km = ................ m
7,3 cm = m
Mg 7542 g
5,2 <l = ................ c<l 0,025 h<l = <l
803 mm = m 1,5 Mg = kg 0,4 kg = ................ g 40 mg = g 150 cg = dg
82 m<l = d<l
90 c<l = <l
hg
9 Risolvi il quesito.
Alla gara di corsa campestre 4 amici hanno ottenuto questi tempi:
• Ismail ha impiegato 1 h 30 min;
• Anita ha impiegato 20 minuti più di Ismail;
• Pietro ha impiegato 5 minuti meno di Ismail;
• Dennis ha impiegato 10 minuti più di Anita.
Completa la tabella scrivendo i tempi ottenuti da ciascuno e l’ordine di arrivo. Poi rispondi.
tempo impiegato ordine di arrivo
Ismail
Anita
Pietro
Dennis
10 Risolvi i problemi sul quaderno.
Quanto tempo è trascorso tra l’arrivo del primo e dell’ultimo di questi concorrenti?
a. Un parcheggio a pagamento ha esposto questa indicazione: 10 min = 40 cent Quanto ha pagato Ivan che ha lasciato l’auto in sosta per 2 h e 30 minuti?
b. Nel viaggio da Milano a Roma, Lara ha fatto due soste: la prima volta si è fermata per 20 minuti, la seconda volta per 30 minuti. Le tre tappe del viaggio hanno avuto la durata di: 2 h e 20 min, 1 h e 35 min, 1 h e 15 min. Quanto è durato tutto il viaggio di Lara?
Obiettivi • Conoscere le misure di lunghezza, capacità, massa e operare conversioni con esse. Conoscere le misure di tempo e di valore e saper operare con esse.
Com’è andata?
1
Qui vedi rappresentati 4 contenitori per i liquidi.
Bicchiere
Bottiglia Bidoncino Bidone
Le 4 etichette che seguono indicano la quantità massima di liquido che i recipienti possono contenere. Scrivi il nome del recipiente accanto all’etichetta corrispondente.
0,35 h<l
20 c<l
10 d<l
5 <l
ti guido • Le misure di capacità sono state espresse con marche differenti. Puoi fare le equivalenze per ordinarle, oppure valutare a occhio tenendo conto dell’unità di misura.
2 Julia pesa un’arancia utilizzando pesi da 25 g ciascuno. Ha ottenuto questi due risultati.
3 Un euro vale circa 160 yen giapponesi. Anita, dopo un viaggio a Tokio, ha riportato a casa 15000 yen. A quanti euro corrispondono?
A Circa 110 euro. C Circa 1100 euro.
B Circa 1000 euro. D Circa 90 euro.
ti guido • Puoi fare un’approssimazione per stabilire quante volte i 160 yen (valore di un euro) stanno nei 15000 yen di Anita. Per facilitarti il compito, applica la proprietà invariantiva. Poi, tra le opzioni date, scegli quella possibile.
Quanto può pesare l’arancia?
A 250 g. C 200 g.
B 230 g. D 175 g.
ti guido • Guardando quanti pesetti ci sono su ciascuna delle due bilance puoi capire tra quali pesi è compreso quello dell’arancia.
4 Il volo Milano-Bari parte alle ore 9 e 35. Per prendere l’aereo è necessario presentarsi in aeroporto almeno 45 minuti prima dell’orario di partenza del volo. Entro che ora deve presentarsi in aeroporto chi prende il volo per Bari?
Risposta: Deve presentarsi entro le ore
ti guido • Immagina di dover prendere il volo Milano-Bari. Visualizza gli orari su un orologio. Se vuoi, lo puoi disegnare.
5 Emma e Marina hanno entrambe un orologio che funziona male. Quello di Emma va avanti di 6 minuti ogni ora. Quello di Marina, invece, ogni ora perde 6 minuti. Alle 12 hanno regolato i loro orologi con l’ora esatta.
Quale sarà la differenza tra l’ora segnata dai due orologi alle ore 15 dello stesso giorno?
A 1 ora C 18 minuti
B 36 minuti D 12 minuti
ti guido • Quanti minuti di differenza accumulano i due orologi in un’ora?
E in tre ore?
6 Giovanni compera un pezzo di focaccia e spende 4,55 €. Per pagare utilizza una moneta da 2 euro, una da 10 centesimi, una da 5 centesimi e altre monete, tutte da 20 centesimi. Quante sono le monete da 20 centesimi utilizzate da Giovanni?
A 6 B 7 C 11 D 12
ti guido • Somma il valore delle monete che sicuramente Giovanni dà al negoziante. Calcola quanto rimane da pagare e trova quante monete da 20 centesimi servono.
ti guido • Sulle bilance sono indicate solo alcune misure. Individua sul quadrante dove dovrebbe essere scritta la misura 550 g e trova la bilancia il cui ago si trova tra questa tacca e quella relativa a 600 g.
8 Lidia versa 4 cucchiaini di zucchero in una tazza di latte da 250 m<l . “Così mi piace”, pensa. Sul tavolo c’è una brocca con 1 <l di latte. Quanti cucchiaini di zucchero dovrà versare nella brocca perché il latte diventi dolce come quello nella tazza?
A 4 B 12 C 16 D 40
ti guido • Pensa a quante volte 1 <l è maggiore di 250 m<l . Dopo aver trovato questo dato, saprai quante volte lo zucchero messo nella caraffa deve essere maggiore di quello messo nel bicchiere.
bilancia 1.
bilancia 2.
GEOMETRIA
LINEE, FIGURE PIANE, SOLIDI NEGLI EDIFICI
Nell’antichità le figure geometriche erano la base da cui partivano gli architetti per progettare edifici solidi, imponenti ma, nello stesso tempo, piacevoli da ammirare.
Anche nelle costruzioni moderne le figure geometriche sono alla base dell’ispirazione di grandi architetti.
I ponti:
trionfo delle linee
I ponti più moderni sembrano costruiti con linee sottili: parallele, divergenti, incidenti… Queste linee sostengono tonnellate di peso perché coloro che li hanno progettati hanno calcolato con precisione quali posizioni devono avere nello spazio.
Il ponte sospeso più lungo al mondo, in Turchia.
Il ponte di Calatrava, vicino a Reggio Emilia.
Il Walt Disney Concert Hall a Los Angeles, Stati Uniti.
Le figure che racchiudono i solidi
Per rendere armonioso un edificio, nella moderna architettura, non si usano soltanto figure come rettangoli, quadrati, triangoli. Negli esterni degli edifici si vedono spesso superfici curve.
Il Vitra Design Museum a Weil am Rhein, Germania.
Un edificio progettato da Gehry, architetto canadese.
Cubic business center ad Hannover, in Germania.
Solidi che formano solidi
In architettura, oggi anche i solidi presi a modello non sono solo parallelepipedi e piramidi sistemati in modo ordinato. Ora chi progetta lascia spazio alla fantasia e alla creatività.
Archimede, che abbiamo già conosciuto in classe quarta, è un matematico fuori dagli schemi. Inventore di catapulte, gru girevoli, specchi e, all’occorrenza, difensore della sua città. Ma sempre con la Geometria nella mente. Ascoltiamo che cosa ci racconta oggi la maestra Margherita.
Specchi Archimede Gli di Parole per... CONOSCERE di CRISTINA DELL’ACQUA
Sino a quando re Gerone è vivo, Siracusa, la città di Archimede, vive nella pace e nella prosperità.
Ma dopo la sua morte le cose, purtroppo, cambiano: Siracusa si allea con Cartagine e dichiara guerra a Roma, città sino a quel momento sua alleata. E i Romani, come possiamo immaginare, reagiscono.
Roma pianifica un assalto per mare e per terra sotto la guida del generale Marcello.
Archimede è uno scienziato, ama la matematica e la geometria, è un uomo ormai anziano che non ha mai pensato alla guerra; ora, però, vuole difendere Siracusa, e con il suo genio… ci riuscirà.
Così, non appena le navi di Marcello si avvicinano a Siracusa, vengono bersagliate da massi lanciati dalle sue catapulte e gru girevoli.
Un “artiglio di ferro” afferra le navi e le lancia in acqua.
Anche i Romani hanno le loro macchine da guerra.
Una di queste è la “sambuca”, che serve per scalare le mura di una città arrivando direttamente dall’acqua. Immaginate una gigantesca scala a pioli che unisce due navi e si trasforma in una muraglia di ferro quando ci salgono i soldati con gli scudi.
Ma i sassi lanciati con le gru fanno cadere anche la sambuca.
Inoltre Archimede ha ancora un altro asso nella manica: ecco che vengono utilizzati gli specchi ustori.
Questi specchi hanno una forma a esagono (Archimede vedeva forme geometriche ovunque!) e sono formati da uno specchio più grande e tanti piccoli specchi attorno, mossi da corde che puntano la parte centrale verso il Sole. I raggi del Sole, concentrati dagli specchi in un unico punto, secondo i racconti che ci sono stati tramandati, riuscivano addirittura a bruciare il legno delle navi romane. Per questo si chiamano “ustori”, cioè che fanno bruciare.
E così, le navi romane colpite da questa e dalle altre invenzioni di Archimede, prendono fuoco e affondano.
Per ora, Siracusa è salva.
LIFE SKILLS PAROLE per CONOSCERE
• Archimede fu un grande inventore. In classe, dividetevi in gruppi e svolgete delle ricerche sulle principali invenzioni di Archimede. Scoprirete che spaziano in tantissimi campi del sapere!
Ci sono moltissimi racconti su Archimede, sulla sua vita e sulle sue invenzioni. Perché Archimede è un personaggio che… una ne fa e cento ne pensa!
Parole
di CRISTINA DELL’ACQUA
LINEE
Ricordi?
ARGOMENTO
Gli enti geometrici con una sola dimensione.
REGOLA
Una linea che non cambia mai direzione può essere:
• una retta. Non ha né un inizio né una fine. Si indica con una lettera minuscola;
• una semiretta. Ha un inizio, ma non ha una fine. Si indica con una lettera minuscola;
• un segmento. Ha un inizio e una fine. Si indica con due lettere maiuscole.
Le linee rette possono essere tra loro:
• parallele, se mantengono sempre la stessa distanza;
• incidenti, se incontrandosi formano 4 angoli, uguali a due a due;
• perpendicolari, se incontrandosi formano 4 angoli retti.
Esercizi
1 Misura la lunghezza di questi segmenti.
• Scrivi: retta • spezzata • curva • mista.
Una linea può essere: Ricordo
• Scrivi: retta • semirette • segmento.
• Scrivi: parallele • incidenti • perpendicolari.
Rette
Rette
Rette
GLI ANGOLI
Ricordi?
ARGOMENTO
La parte di piano compresa tra due semirette che hanno origine nello stesso punto.
REGOLA
L’ampiezza degli angoli si misura in gradi. Il simbolo del grado: ° . Per misurare gli angoli si utilizza il goniometro.
Se un angolo contiene i prolungamenti dei suoi lati, è un angolo concavo: è maggiore dell’angolo piatto, cioè misura più di 180° .
Se un angolo non contiene il prolungamento dei suoi lati, è un angolo convesso: è minore dell’angolo piatto, cioè misura meno di 180° .
Esercizi
1 Scrivi l’ampiezza degli angoli considerati.
concavo
Ricordo
• Scrivi: ampiezza • lato • vertice.
convesso
• Osserva e completa. In base alla loro ampiezza, gli angoli si distinguono in:
Ricordi?
ARGOMENTO
PERIMETRO E AREA
Il contorno di una figura e lo spazio che essa occupa.
REGOLA
• Il contorno di una figura piana è una linea chiusa.
Per misurarlo si usano le misure di lunghezza.
La misura del contorno è il perimetro (P).
Le figure che hanno uguale perimetro sono isoperimetriche.
• La superficie è lo spazio occupato da una figura piana.
Per misurarla si usano le misure di superficie.
La misura della superficie è l’area (A).
Le figure che hanno la stessa area sono equiestese.
Ricordo
• Calcola il perimetro e completa.
Perimetro = AB + BC + CD + DA
P = + + + = cm
Il perimetro si calcola facendo la somma dei .............................................
• Calcola l’area e completa.
Area = cm2
• Per calcolare l’area occorre scegliere una unità di misura e vedere quante volte è contenuta nella figura.
• Per calcolare l’area dei poligoni si usano delle formule.
Ti spiego
ARGOMENTO
IL PIANO CARTESIANO
Il modo per individuare un punto sul piano.
REGOLA
Il piano cartesiano permette di collocare sul piano in modo preciso gli elementi o di trovare la posizione di un punto.
È un reticolo quadrettato delimitato da due rette perpendicolari tra loro.
La retta orizzontale, indicata con x, si chiama asse delle ascisse.
La retta verticale, indicata con y, si chiama asse delle ordinate.
Il punto di incontro delle due rette, indicato con O, si chiama origine degli assi.
Esercizi
1 Segna sul piano cartesiano i punti indicati dalle coordinate. Poi congiungili nell’ordine in cui li hai segnati.
(3, 8)
(5, 8)
(6, 7)
(6, 6)
(5, 5)
(6, 3)
(5, 2)
(3, 2)
(2, 3)
(3, 5)
(2, 6)
(2, 7)
• Scrivi le coordinate dei punti che indicano la figura. Segui l’esempio.
2 Alcune coordinate non sono state scritte in modo corretto. Correggile.
(3, 3)
(2, 6)
(8, 5)
(5, 7)
(2, 8)
LA SIMMETRIA
Ti spiego
ARGOMENTO
Le figure ribaltate.
REGOLA
La simmetria è il ribaltamento di una figura rispetto a una retta, l’asse di simmetria.
L’asse di simmetria può essere:
• esterno o interno alla figura;
• orizzontale, verticale o obliquo.
Capisco
• Osserva le figure e colora le parole giuste.
Asse di simmetria
simmetrica
L’asse di simmetria è: interno. esterno.
orizzontale. verticale. obliquo.
Esercizi
1 Tratteggia la distanza dei vertici dall’asse di simmetria. Poi rispondi.
Intelligenza visiva
Asse di simmetria
L’asse di simmetria è: interno. esterno.
orizzontale. verticale. obliquo.
Asse di simmetria
L’asse di simmetria è: interno. esterno.
orizzontale. verticale. obliquo.
• La distanza dei punti corrispondenti dall’asse di simmetria è sempre la stessa?
Figura
Figura
LA TRASLAZIONE
Ti spiego
ARGOMENTO
Le figure spostate in linea retta.
REGOLA
La traslazione è lo spostamento di una figura in linea retta.
La traslazione è indicata da una freccia, chiamata vettore di traslazione, che indica:
• la misura (la lunghezza del vettore);
• la direzione (orizzontale, verticale, obliqua);
• il verso (destra, sinistra, alto, basso).
Esercizi
1 Disegna il vettore di traslazione e scrivine la misura, la direzione, il verso.
Capisco
• Disegna la figura traslata e colora le parole giuste.
La figura è stata traslata.
• La direzione è: orizzontale. verticale. obliquo.
• Il verso è: destra. sinistra. alto. basso.
• La misura è: 9 quadretti. 4 quadretti.
2 Osserva il vettore di traslazione. Disegna la figura traslata, indica i vertici con una lettera e scrivi le loro coordinate.
Figura traslata Figura
LA ROTAZIONE
Ti spiego
ARGOMENTO
Le figure ruotate.
REGOLA
La rotazione è lo spostamento della figura attorno a un punto, chiamato il centro di rotazione, che può essere interno o esterno alla figura stessa. La rotazione ha:
• un verso (orario o antiorario);
• un’ampiezza (la misura dell’angolo di rotazione che la figura ha formato spostandosi).
Esercizi
• Osserva la figura ruotata e colora le parole giuste.
O Figura
Ampiezza
Verso Centro di rotazione
Figura ruotata
La figura è stata ruotata.
• Il verso è: orario. antiorario.
• L’ampiezza è di: 360°. 180°.
1 Indica con un pallino colorato il centro di rotazione e completa.
• Il verso è
• L’ampiezza della rotazione è
Competenze
Le figure simmetriche, ruotate, traslate…
• cambiano la loro forma? Sì No
• cambiano la loro grandezza? Sì No
• cambiano la loro posizione sul piano? Sì No
• Il verso è
• L’ampiezza della rotazione è
Capisco
LA SIMILITUDINE
Ti spiego
ARGOMENTO
Le figure rimpicciolite o ingrandite.
REGOLA
Due figure sono simili se mantengono la stessa forma, ma le dimensioni sono ingrandite o rimpicciolite lo stesso numero di volte.
Gli angoli corrispondenti di due figure simili sono uguali.
Il rapporto tra le misure dei lati delle figure simili si chiama scala.
Competenze
Dove si utilizza la riduzione in scala per rappresentare un territorio?
Esercizi
1 Riproduci la figura in scala 3 : 1. Poi completa.
La figura A è un triangolo rettangolo isoscele. I suoi angoli misurano 90° e 45°.
• La figura B è un triangolo .....................................
• Osserva e completa.
Capisco A B
La figura è stata rimpicciolita. Ciascun lato della figura B è la dei corrispondenti della figura A
La scala è 1 : 2 (si legge 1 a 2).
B
La figura è stata ingrandita. Ciascun lato della figura B è il ................. dei corrispondenti della figura A.
La scala è 2 : 1 (si legge 2 a 1).
2 Riproduci la figura secondo la scala indicata. Colora nello stesso modo gli angoli corrispondenti delle due figure.
scala 1 : 2 A B
I POLIGONI
Ti spiego
ARGOMENTO
Le figure piane che non sono delimitate da linee curve.
REGOLA
I poligoni sono figure piane delimitate da una linea spezzata.
Gli elementi del poligoni
• Il lato è ogni segmento che forma il contorno.
• Il vertice è il punto d’incontro di due lati.
• L’angolo è lo spazio compreso tra due lati consecutivi.
• L’altezza è il segmento che unisce perpendicolarmente un vertice al lato opposto.
• La diagonale è il segmento che collega due vertici non consecutivi.
• L’asse di simmetria è la retta che divide in due parti simmetriche il poligono.
Esercizi
1 Osserva e completa. Ciascun poligono ha lo stesso numero di lati, angoli e vertici e prende il nome dal numero di essi.
lati triangolo lati quadrilatero
lati pentagono lati esagono
lati ettagono lati ottagono
lati ennagono lati decagono
E poi… endecagono, dodecagono, tridecagono, tetradecagono…
Capisco
• Scrivi i nomi degli elementi del poligono.
2 Qui vedi lo stesso triangolo ruotato.
3 In ciascuno, traccia l’altezza relativa alla base.
REGOLA
Differenti tipi di poligoni
I poligoni possono essere classificati in base alle caratteristiche dei lati e degli angoli.
I poligoni irregolari non hanno tutti gli angoli e i lati uguali.
I poligoni equilateri hanno tutti i lati uguali.
Poligono convesso: ogni angolo misura meno di 180°. I prolungamenti dei lati rimangono fuori dalla figura.
I poligoni equiangoli hanno tutti gli angoli uguali.
I poligoni regolari hanno tutti gli angoli e i lati uguali.
• Completa le figure per ottenere i poligoni richiesti. Capisco
Poligono concavo: ha almeno un angolo concavo, cioè maggiore di 180°. I prolungamenti dell’angolo concavo attraversano la figura.
Poligono equiangolo Poligono regolare Poligono concavo Poligono convesso
I TRIANGOLI
Ti spiego
ARGOMENTO
Il poligono con il minor numero di lati e angoli possibili.
REGOLA
I triangoli sono poligoni con 3 lati, 3 angoli, 3 vertici.
La somma degli angoli interni è sempre 180° .
I triangoli si possono classificare in base alle caratteristiche dei lati e degli angoli.
In base ai lati il triangolo può essere:
• equilatero;
• isoscele;
• scaleno.
In base agli angoli il triangolo può essere:
• rettangolo;
• acutangolo;
• ottusangolo.
In ciascun triangolo è possibile tracciare tre altezze.
I lati del triangolo rettangolo hanno nomi particolari:
• i due lati che racchiudono l’angolo retto si chiamano cateti;
• il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa. cateto cateto ipotenusa
Capisco
• Osserva e completa.
Triangolo equilatero: 3 lati
Triangolo ..............................................:
2 lati
Triangolo : lati tutti .....................
Triangolo : 1 angolo .....................
Triangolo acutangolo: 3 angoli
Triangolo ottusangolo: 1 angolo e 2
I QUADRILATERI
Ti spiego
ARGOMENTO
I poligoni con 4 lati.
REGOLA
I quadrilateri sono poligoni che hanno 4 lati e 4 angoli. Sono classificati in base alle caratteristiche dei lati e degli angoli.
trapezi parallelogrammi rettangoli quadrati rombi quadrilateri
• Osserva e completa.
• I trapezi sono quadrilateri che hanno una coppia di ................ paralleli. Un trapezio può essere: Capisco
scaleno: i lati non sono
isoscele: i lati obliqui sono
rettangolo: un lato è perpendicolare alle
• I parallelogrammi sono quadrilateri che hanno due coppie di lati ................................... e uguali.
Parallelogramma proprio o romboide. : 4 lati : 4 lati e 4 angoli : 4 angoli
Ti spiego
REGOLA
Ti spiego
Le misure convenzionali per misurare le superfici
REGOLA
LE MISURE DI SUPERFICIE
L’unità di misura per le superfici è il metro quadrato (m2 ). Il numero 2 indica le due dimensioni del campione. Nelle misure quadrate, per passare da una unità di misura all’altra, occorre moltiplicare o dividere per 100
Intelligenza visiva
Capisco
Per misurare le superfici occorre una unità di misura che abbia due dimensioni. Il metro quadrato (m2) è l’unità fondamentale delle misure di superficie.
• Quanti centimetri quadrati sono contenuti in un decimetro quadrato?
1 dm2 = cm2
• Quanti mm2 sono contenuti in 1 cm2?
Ciascuna unità di misura di superficie si scrive con l’esponente 2, proprio perché l’unità di misura ha 2 dimensioni.
1 cm2 = mm2
• Quanti mm2 sono contenuti in 1 dm2?
1000
10000
Ciascuna unità di misura di superficie è 100 volte maggiore o minore di quella che la segue o la precede ed è rappresentata da due cifre: quella dell’unità e quella delle decine.
centimetro quadrato millimetro quadrato
Per eseguire una equivalenza con misure di superficie, si moltiplica o si divide per 100, 10000, 1000000…
Capisco
• Completa la tabella.
decimetro quadrato
decimetro quadrato
Multipli Unità fondamentale Sottomultipli chilometro quadrato ettometro quadrato decametro quadrato metro quadrato decimetro quadrato centimetro quadrato millimetro quadrato km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 da u da u da u da u da u da u da u
134
centimetro quadrato millimetro quadrato
• 1 dm2 (decimetro quadrato)
• 1 cm2 (centimetro quadrato)
• 1 mm2 (millimetro quadrato)
1 Indica con X la misura possibile della superficie.
Base del temperino:
mm2 3 cm2 3 dm2
Figurina:
Campo da basket:
2 Evidenzia le cifre che si riferiscono alla marca, poi scomponi. Segui l’esempio.
1635,64 m2 = 16 dam2 35 m2 64 dm2
5679 dam2 = 56 79
90,21 hm2 = 90 21
7622 dm2 = 76 22
4566,21 cm2 = 45 66 21
0,53 km2 = 0 53
3 Scrivi il valore della cifra evidenziata. Segui gli esempi.
m2 6 u dm2
4 Completa le tabelle.
5 Esegui le equivalenze.
Ti spiego
IL RETTANGOLO: PERIMETRO E AREA
ARGOMENTO
Il quadrilatero con i lati paralleli a due a due e gli angoli tutti uguali.
REGOLA
Perimetro (P) = b + b + h + h
oppure ( b + h) × 2
Formule inverse b = (P : 2) – h
h = (P : 2) – b
Area (A) = b × h
Formule inverse b = A : h h = A : b
Esercizi
Capisco
• Scrivi b vicino alla base e h vicino all’altezza. Misura la base e l’altezza. Poi calcola perimetro e area.
P = + + + = cm
oppure P = ( + ) × 2 = cm
A = .............. × .............. = .............. cm2
1 In questa tabella ti viene richiesto di operare sull’area e sul perimetro del rettangolo. Completa calcolando i dati mancanti.
base altezza perimetro area
8 cm 7 cm cm cm2
6 cm cm 20 cm cm2
2 Risolvi il problema sul quaderno.
Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo che ha la base che misura 41 dm e l’altezza che misura 21 dm.
Competenze
Avete due rettangoli, ciascuno con la base di 12 cm e con l’altezza pari al doppio della base. Se li sovrapponete parzialmente, ottenete una figura simile a questa.
L’area di questa figura è uguale alla somma dell’area dei due rettangoli? Il perimetro è maggiore, minore o uguale alla somma dei due perimetri?
Ti spiego
IL QUADRATO: PERIMETRO E AREA
ARGOMENTO
Il quadrilatero con 4 lati uguali e 4 angoli uguali.
REGOLA
Il quadrato è un rettangolo speciale in cui la base e l’altezza hanno la stessa misura.
Infatti il quadrato è un poligono regolare.
Perimetro (P) = <l × 4
Area (A) = <l × <l
Esercizi
Formula inversa <l = P : 4
1 In questa tabella ti viene richiesto di operare sull’area e il perimetro del quadrato.
Completa calcolando i dati mancanti.
8
5
4
Competenze
Lavorate in coppia e confrontate le vostre idee. Due rettangoli ABCD e EFGH sono isoperimetrici. Il perimetro è 32 m. L’area del primo è di 60 m2. Quale sarà la misura dei suoi lati? L’area del secondo è 64 m2. Quale sarà la misura dei suoi lati? Uno dei due rettangoli potrebbe essere un quadrato?
Capisco
• Scrivi <l vicino a tutti i lati. Misura il lato e calcola perimetro e area.
P = × 4 = cm
A = × = cm2 cm
2 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Un quadrato ha il lato di 7 dm, un altro quadrato ha il lato lungo il triplo del primo.
Calcola il perimetro del primo.
Quanto misura la superficie del secondo?
c. Il contadino Arturo ha un orto di forma quadrata con il lato di 7,2 m. Anche la sua vicina Anna ha un orto quadrato con il perimetro di 33,2 m. Chi deve comprare più rete metallica per recintare l’orto? lato
b. Nel cortile della Scuola dell’Infanzia si devono costruire due vasche quadrate: una per la sabbia con il lato di 4,2 m e l’altra per la terra con il lato lungo i 5 7 di quello della prima vasca. Quanta superficie di terra e sabbia hanno in tutto i bambini per giocare?
Ti spiego
IL ROMBOIDE: PERIMETRO E AREA
ARGOMENTO
Il quadrilatero con i lati paralleli a due a due e gli angoli uguali a due a due.
REGOLA
Per calcolare l’area del romboide lo si può trasformare in un rettangolo equiesteso.
Perimetro (P) = ( b + <l obliquo) × 2
Formule inverse b = (P : 2) – <l obliquo <l obliquo = (P : 2) – b
Area (A) = b × h
Formule inverse b = A : h h = A : b
Esercizi
1 In questa tabella ti viene richiesto di operare sull’area e sul perimetro del romboide. Completa calcolando i dati mancanti.
Capisco
• Scrivi b vicino alla base, h vicino all’altezza, <l vicino al lato. Misura la base, l’altezza e il lato. Poi calcola perimetro e area.
P = ( + ) × 2 = cm
A = × = cm2
lato obliquo altezza
2 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Calcola l’area di un romboide che ha la base di 18 cm e la cui altezza misura 1 3 della base.
b. Un artista ha dipinto un quadro che rappresenta un romboide rosso sul quale all’interno è stato sovrapposto un romboide giallo più piccolo. Il romboide rosso ha queste dimensioni: base 70 cm, altezza 40 cm. Il romboide giallo ha queste dimensioni: base 50 cm, altezza 20 cm. Qual è l’area della superficie rossa che si può vedere ammirando il quadro?
Ti spiego
ARGOMENTO
IL ROMBO: PERIMETRO E AREA
Il quadrilatero con 4 lati uguali e gli
angoli uguali a due a due.
REGOLA
Per calcolare l’area del rombo lo si può trasformare in un rettangolo equiesteso.
Perimetro (P) = <l × 4
Formula inversa <l = P : 4
Area (A) = D × d : 2
Formule inverse D = (A × 2) : d d = (A × 2) : D
Esercizi
Capisco
• Scrivi D vicino alla diagonale maggiore, d vicino alla diagonale minore, <l vicino al lato. Misura la diagonale maggiore, la diagonale minore e il lato. Poi calcola perimetro e area.
P = × 4 = cm A = ( × ) : 2 = cm2
1 In questa tabella ti viene richiesto di operare sull’area e sul perimetro del rombo. Completa calcolando i dati mancanti.
lato diagonale maggiore diagonale minore perimetro area
2 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Le vetrate della piscina di un albergo hanno la forma di un rombo con la diagonale maggiore di 3,50 m e quella minore di 2,90 m. Calcola l’area di ciascuna finestra.
b. I fogli del bloc notes di Lin hanno una forma stravagante: sono a forma di rombo.
L’area di ciascun foglietto è di 25 cm2 e la diagonale maggiore è di 10 cm. Lin traccia un segmento per segnare la diagonale minore.
Quanto misura quel segmento?
Ti spiego
IL TRAPEZIO: PERIMETRO E AREA
ARGOMENTO
Il quadrilatero con solo 2 lati
paralleli.
REGOLA
Per calcolare l’area del trapezio lo si può trasformare in un romboide che ha area doppia del trapezio stesso.
Perimetro (P) = B + b + <l 1 + <l 2
Formula inversa
Uno dei lati = P – (la somma degli altri tre lati)
Area (A) = (B + b) × h : 2
Formule inverse B + b = A × 2 : h h = A × 2 : (B + b)
Esercizi
1 Completa la tabella calcolando i dati mancanti.
• Scrivi B vicino alla base maggiore, b vicino alla base minore, h vicino all’altezza.
Misura la base maggiore, la base minore, l’altezza e i lati. Poi calcola perimetro e area.
Capisco
Ti spiego
IL TRIANGOLO: PERIMETRO E AREA
ARGOMENTO
Il poligono con 3 lati e 3 angoli.
REGOLA
Perimetro (P) = <l 1 + <l 2 + <l 3
Formule inverse
Uno dei lati = P – (la somma degli altri due lati)
Solo per il triangolo equilatero:
<l = P : 3 <l <l <l
P = <l × 3
Per ogni triangolo:
Formule inverse b = A × 2 : h h = A × 2 : b Area (A) = b × h : 2
Esercizi
• Scrivi b vicino alla base, h vicino all’altezza. Misura la base, l’altezza e i lati. Poi calcola perimetro e area. Capisco P = .............. + .............. + .............. = cm A = × : 2 =
1 Calcola perimetro e area dei triangoli. 13 m 8 m 10 m h = 10,5 dam 8 dam 15 dam 15 dam P = A = P = A =
2 Risolvi i problemi sul quaderno. Disegna le figure, scrivendo i dati.
a. Un triangolo equilatero ha il perimetro di 66 cm. L’altezza è di 19 cm. Calcola l’area.
b. Un triangolo rettangolo isoscele ha un cateto lungo 30 cm e l’ipotenusa lunga 42 cm. Calcola il perimetro e l’area.
Problem solving
La scuola si rinnova
Le competenze in Geometria servono agli alunni e alle alunne della Scuola Rodari per partecipare al concorso indetto dal Comune per dare una veste nuova all’Istituto.
1 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. I ragazzi e le ragazze iniziano dalla figura in cui è racchiuso il nome della scuola sulla carta intestata. La figura è un trapezio come quello che vedi qui a lato.
Decidono di ribaltarlo considerando come asse di simmetria la base minore.
Disegna tu quello che risulterà in base alla modifica.
b. Anche lo stemma dell’Istituto cambierà aspetto. Sarà un rombo con la diagonale maggiore di 180 cm e la diagonale minore uguale ai 7 9 della diagonale maggiore.
Quanti centimetri quadrati misurerà la superficie dello stemma?
Sulla porta di ciascuna classe ci sarà lo stesso stemma, ma con l’area che sarà il 10% di quello esposto all’esterno. Quanto misurerà la superficie dello stemma delle classi?
c. Il cartellino con il nome della classe avrà le seguenti dimensioni: base 20 cm, altezza 10 cm.
Di quali parallelogrammi potrebbe avere la forma?
Se le classi sono 30, quanti metri quadrati di materiale occorrono per confezionarli tutti?
Percorsi risolutivi differenti
2 Risolvi il problema scegliendo un percorso risolutivo adatto. Nell’atrio della scuola saranno affissi pannelli colorati come quello che vedi qui sotto. In ciascun triangolo verranno incollate le foto delle classi. I triangoli sono equilateri: il lato misura 40 cm e l’altezza 34 cm.
• Quale sarà l’area del pannello?
• Se vuoi, puoi calcolare subito l’area del romboide.
1 Le rette a e b sono assi di simmetria.
Quale figura va disegnata nel riquadro vuoto?
ti guido • Devi trovare una figura simmetrica sia rispetto a quella in alto a destra sia rispetto a quella in basso a sinistra.
2 Leggi le tre consegne e indica con X le due che richiedono di disegnare la stessa figura.
a. Su un foglio quadrettato disegna un quadrato con il lato di 3 cm. Accanto a esso, in linea orizzontale, disegna altri 4 quadrati con il lato di 3 cm, ognuno con un lato in comune con quello che lo precede.
b. Disegna un rettangolo formato da 5 quadrati consecutivi. Ogni quadrato ha il lato di 3 cm.
c. Disegna un rettangolo lungo 12 cm e alto 3 cm.
3 Osserva la figura e completa.
ti guido • Leggi con attenzione le consegne. Non ti lasciare distrarre dal modo in cui esse sono formulate, ma comprendine bene il significato; per aiutarti, puoi disegnare le figure su un foglio.
L’area della parte colorata in azzurro è cm2 1 cm
ti guido • Per rispondere alla domanda devi scomporre la figura in figure di cui sai calcolare l’area. Poi somma le aree.
1 Osserva la figura. Disegna le figure simmetriche rispetto all’asse orizzontale e a quello verticale. Poi indica con X.
2 Ripassa in rosso il vettore di traslazione giusto.
• Le papere che hai disegnato hanno la stessa forma del modello? Sì No
• Hanno le stesse dimensioni del modello? Sì No
4 Scrivi nella tabella le lettere che contraddistinguono i poligoni con le caratteristiche indicate.
3 Scrivi R se la figura è stata ruotata, S se è simmetrica, T se è stata traslata. a b c d e f g
irregolari equiangoli equilateri regolari
5 Osserva e rispondi.
• Il tangram è formato da 7 figure piane, di tre forme differenti. Quali?
• Quali particolarità hanno tutti i triangoli?
• Qual è la forma del tangram non suddiviso nelle sue parti?
6 Indica con X.
• I 2 triangoli grandi, insieme, che parte rappresentano dell’intero tangram? 1 2 1 4 1 7 2 7
• L’area del triangolo giallo, rispetto all’area del triangolo viola è: la metà 1 4 1 8 1 3
7 Rispondi.
• Il quadrato arancione che parte è dell’intero tangram? 1 2 1 4 1 8 1 16
• Quanti triangoli verdi occorrono per avere la stessa area del quadrato arancione?
• Il quadrato arancione e il triangolo giallo sono equiestesi o uno è più esteso dell’altro? ....................................
8 Ora immagina che il lato dell’intero tangram sia di 12 cm. Completa.
Calcola l’area del:
• triangolo viola A =
• triangolo giallo A =
• romboide blu A = 12 cm
• triangolo rosso A = ..................................................................
Com’è andata?
Ti spiego
ARGOMENTO
I POLIGONI REGOLARI
I poligoni che possono avere un numero infinito di lati e angoli, ma sempre tutti uguali.
REGOLA
I poligoni regolari sono poligoni con tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Il poligono regolare con meno lati è il triangolo equilatero.
I poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i lati: il triangolo equilatero ne ha 3, il quadrato ne ha 4, il pentagono ne ha 5…
Il punto in cui si incontrano tutti gli assi di simmetria è il centro del poligono.
Il perimetro
Per calcolare il perimetro di qualsiasi poligono regolare si moltiplica la misura di un lato per il numero dei lati.
Perimetro (P) = <l × n. lati
Formula inversa <l = P : n. lati
Esercizi
1 Completa la tabella calcolando i dati mancanti.
lati
• In entrambi i poligoni mancano due assi di simmetria. Disegnali. Capisco
• Scrivi <l vicino a ciascun lato. Poi misuralo e calcola il perimetro. cm
P = × = cm
L’APOTEMA
Ti spiego a
ARGOMENTO
Un elemento dei poligoni regolari.
REGOLA
Il segmento che dal centro del poligono cade perpendicolarmente su un lato si chiama apotema (a).
L’apotema è anche l’altezza di ciascuno dei triangoli in cui può essere diviso il poligono regolare.
Tra il lato del poligono regolare e il suo apotema c’è un rapporto fisso che è espresso con un numero (numero fisso).
a = <l × n. fisso
Formula inversa <l = a : n. fisso
Capisco
• Esegui e completa.
Unisci il centro del poligono regolare con i vertici.
Quali poligoni ottieni?
Quanti?
Quanti sono i lati del pentagono?
Traccia l’altezza di uno dei triangoli.
• Osserva e completa.
Tabella dei numeri fissi
Ti spiego
REGOLA
L’AREA DEI POLIGONI REGOLARI
Area poligono regolare = perimetro × apotema : 2 = P × a : 2
Formule inverse P = A × 2 : a a = A × 2 : P
Capisco
• Osserva e completa.
A Il poligono è stato scomposto nei da cui è formato.
B Raddoppiando il numero dei , si ottiene un romboide che ha l’area doppia del poligono. Il romboide ha come base il perimetro del poligono e come altezza il suo apotema B A
Esercizi
1 Scrivi le operazioni necessarie per calcolare l’apotema, il perimetro e l’area di ciascuna figura. Esegui i calcoli con la calcolatrice per verificare se hai indicato la giusta successione di operazioni.
Apotema = × = 10,32 cm
<l = 15 cm
Perimetro = × = 75 cm
Area = ...................... × ...................... : 2 = 387 cm2
Apotema = = 21,726 cm
<l = 9 m
<l = 18 cm
Perimetro = = 144 cm
Area = = 1564,272 cm2
Apotema = = 9,342 m
Perimetro = = 63 m
Area = ............................................. = 294,273 m2
1 Colora solo i poligoni regolari.
2 Scrivi il nome del poligono. In ciascuno di essi traccia poi un apotema.
3 Disegna tutti gli assi di simmetria, poi completa.
Un poligono regolare ha tanti assi di simmetria quanti sono i
4 Calcola la misura dell’apotema. Utilizza la tabella di pagina 125 per trovare i numeri fissi.
figura n. fisso lato apotema perimetro
5 Risolvi i quesiti. Esegui le operazioni sul quaderno o su un foglio. ............................... ............................... ............................... ...............................
a. Qual è l’area di un esagono regolare che ha il lato di 20 cm?
• Calcola l’apotema <l × numero fisso ................. × ................. = ..............................
• Calcola il perimetro <l × numero dei lati
× ................. = ..............................
• Calcola l’area P × a : 2 × : 2 =
b. Qual è l’area di un ennagono regolare che ha il lato di 10 cm?
• Calcola l’apotema <l × ................. × ................. = ..............................
• Calcola il perimetro × ................. × ................. = ..............................
• Calcola l’area × : × : 2 =
IL CERCHIO E LA CIRCONFERENZA
Ti spiego raggio
ARGOMENTO
Una figura piana che non è un poligono.
REGOLA
Il cerchio è una figura piana chiusa da una linea curva che si chiama circonferenza.
Tutti i punti della circonferenza hanno la stessa distanza dal centro.
Il segmento che unisce il centro con la circonferenza si chiama raggio.
Il cerchio ha infiniti assi di simmetria. Per disegnare una circonferenza si può utilizzare il compasso.
Gli elementi: le linee
Le linee rette
• La corda è un segmento che unisce due punti sulla circonferenza.
• Il diametro è una corda che passa per il centro della circonferenza.
• Il raggio è un segmento che unisce un punto della circonferenza e il centro: è lungo la metà del diametro.
Gli elementi: gli spazi
• Il settore circolare è lo spazio di cerchio compreso tra due raggi.
• Il semicerchio corrisponde a metà cerchio: è delimitato da un diametro e da una semicirconferenza.
• L’arco è una parte della circonferenza.
• La semicirconferenza è la parte di circonferenza compresa tra gli estremi di un diametro: corrisponde a metà circonferenza. È un particolare arco.
• La corona circolare è lo spazio delimitato da due circonferenze che hanno lo stesso centro.
Le linee curve
LA MISURA DELLA CIRCONFERENZA
Ti spiego
REGOLA
Circonferenza (C) = diametro × 3,14 C = d × 3,14
Poiché il raggio è la metà del diametro:
Circonferenza (C) = raggio × 2 × 3,14 = raggio × 6,28 C = r × 6,28
Formule inverse d = C : 3,14 r = C : 6,28
Capisco
• Osserva e completa.
La circonferenza è una linea curva, perciò non è possibile misurarla direttamente con il righello. Per misurarla occorre rettificarla, cioè trasformarla in una linea retta
Hai già imparato che c’è un rapporto fisso tra l’apotema e il lato dei poligoni regolari. Anche tra la circonferenza e il suo diametro vi è un rapporto fisso. Il numero fisso che indica il rapporto tra la circonferenza e il diametro è 3,14.
2,6 cm 8,164 cm
Esercizi
1 Misura il raggio e calcola la circonferenza. 2 Misura il diametro e calcola la circonferenza. r = ....................................
C = d = .................................... C =
3 Completa le tabelle.
raggio diametro circonferenza
5 m m m m 20 m m raggio diametro circonferenza cm cm 3,14 cm 2 cm cm cm
Il pi greco
Breve storia del pi greco • p
Già i Babilonesi, gli Egizi e i Greci sapevano che il rapporto tra circonferenza e diametro è un numero costante. Non sapevano, però, con precisione quale numero esso fosse: dicevano “circa 3”.
Fu Archimede a calcolare con buona approssimazione questo rapporto. Archimede stabilì che il valore del numero fisso del cerchio era 3,14.
Molti secoli dopo, intorno al 1700, questo rapporto fu chiamato utilizzò il simbolo p, che corrisponde alla lettera P dell’alfabeto greco. Oggi sappiamo che il pi greco non corrisponde a 3,14 ma è un numero formato da infinite cifre. Noi, però, lo arrotondiamo a 3,14.
M A E T S
Svolgi questa attività per provare che il rapporto tra circonferenza e diametro è sempre 3,14.
1. Cerca nella classe oggetti a forma di cerchio o cilindrici, che quindi hanno come base un cerchio.
2. Avvolgi attorno alla circonferenza una fettuccia colorata o una cordicella.
Misurala. Misura della corda = ............. cm
3. Misura il diametro del cerchio che fa da base al cilindro.
Misura del diametro = cm
4. Controlla il rapporto tra misura della circonferenza e del diametro, dividendo la prima misura per la seconda.
Misura della corda : misura del diametro =
5. Fai questo lavoro su 2-3 oggetti.
6. Verifica che il rapporto tra le misure sia sempre 3,14. Tieni conto di qualche piccolo possibile errore di misurazione.
Le formule per calcolare la circonferenza possono anche essere espresse così:
Circonferenza (C) = diametro × pi greco
Circonferenza (C) = raggio × 2 × pi greco
C = d × p
C = r × 2 × p
Un consiglio: se misurerai la circonferenza utilizzando le pareti di un cilindro, avrai meno difficoltà, ma devi fare attenzione a mantenere la stessa distanza dal bordo.
Ti spiego
ARGOMENTO
L’AREA DEL CERCHIO
Come calcolare l’area di una figura che non può essere scomposta in poligoni.
REGOLA
Area cerchio = Circonferenza × raggio : 2
A = C × r : 2
L’area del cerchio può essere espressa anche in un modo più semplice. Osserva:
A = C × r : 2
A = r × 6,28 × r : 2
A = r × r × 6,28 : 2
Esercizi
sostituisci a C (la misura della circonferenza) la formula per trovarla applica la proprietà commutativa esegui la divisione
A = r × r × 3,14
1 Misura il raggio di ciascun cerchio. Calcola la misura della circonferenza e l’area. Esegui i calcoli sul quaderno o con la calcolatrice.
1. Osserva, esegui e rispondi. Il cerchio ha i lati? Capisco
r = cm
r = cm
C = ........... × 6,28 = ........... cm
r = ........... cm
r = cm
C = = cm
A = = cm2
A = × × 3,14 = cm2
2. Ripassa le linee tratteggiate. Che cosa sono?
• Nei due poligoni sono l’
• Nel cerchio è un
3. Scrivi la formula per trovare l’area dei poligoni regolari.
A = × :
• Come si chiama il “perimetro” del cerchio?
• E l’“apotema” del cerchio?
4. Scrivi i termini relativi al cerchio.
Area poligono regolare = perimetro × apotema : 2
Area cerchio = × : 2
1 Colora come indicato.
in verde i raggi in rosso i diametri in blu le corde (non diametri)
2 Nel cerchio, disegna:
• un settore circolare e coloralo in azzurro;
• un semicerchio e coloralo in arancione.
4 Risolvi i problemi sul quaderno.
3 Indica con X. Una corona circolare è lo spazio delimitato da: due circonferenze che hanno lo stesso diametro.
due circonferenze che hanno lo stesso raggio.
due circonferenze che hanno lo stesso centro.
due circonferenze, una interna all’altra, con centro diverso.
Una galleria d’arte organizza una mostra di una pittrice che utilizza i cerchi per le sue pitture.
a. I biglietti di invito sono cerchi con il diametro di 15 cm. Qual è l’area del biglietto?
Quanto misura la circonferenza?
b. Un quadro a forma di corona circolare è formato da due cerchi concentrici, uno con il raggio di 5 dm, l’altro con il raggio di 3 dm. Calcola l’area della corona circolare. L’area della corona circolare è maggiore o minore rispetto all’area del cerchio interno?
5 dm 3 dm
c. Un quadro molto particolare ha questa forma. Calcola la sua area.
80 cm
Cartelli stradali
Anche i cartelli stradali pongono dei problemi. Per capire che cosa comunicano, occorre che siano in buono stato. Se non lo sono, occorre sostituirli!
1 Hai idea di quanto spazio occupano i cartelli stradali? Esegui i calcoli sul quaderno e completa.
Cartello: stop
Forma: ..................................................................................................
Dimensioni: lato = 25 cm
Apotema =
Perimetro =
Area =
Cartello: divieto di sosta
Forma:
Dimensioni: raggio = 30 cm
Circonferenza = Area =
Utilizzare i diagrammi
Cartello: attraversamento pedonale
Forma:
Dimensioni: lato = 40 cm
Apotema = Perimetro = Area =
2 Risolvi il problema sul quaderno utilizzando un diagramma. Il sindaco del Comune si rivolge a una ditta specializzata. Il prezzo per la realizzazione di ciascun cartello è di 23 €.
Ordina 15 cartelli per l’attraversamento pedonale, 24 di divieto di sosta e 18 di stop. Quanto spende?
Ti spiego
ARGOMENTO
I SOLIDI GEOMETRICI
Solidi con particolari caratteristiche.
REGOLA
I solidi sono figure geometriche con tre dimensioni: larghezza, lunghezza, altezza.
lunghezza larghezza
Capisco
• Scrivi i nomi delle tre dimensioni: lunghezza • larghezza • altezza.
altezza
• Scrivi i nomi degli elementi del solido: faccia • spigolo • vertice.
I poliedri
I poliedri sono solidi chiusi da poligoni.
Gli elementi del poliedro sono:
• faccia: ciascun poligono che racchiude il solido;
• spigolo: il lato comune a due facce;
• vertice: il punto di incontro delle facce; sono gli estremi degli spigoli.
faccia spigolo
Esercizi
1 Disegna un pallino rosso su tutti i vertici del solido. Ripassa in blu tutti gli spigoli.
vertice
Ti spiego
ARGOMENTO
I poliedri con 2 basi.
REGOLA
I prismi sono poliedri con due basi, uguali e parallele. Il parallelepipedo è un prisma che ha come facce 6 rettangoli uguali a due a due. Il cubo è un prisma che ha come facce 6 quadrati tutti uguali.
Esercizi
1 Rispondi.
• Quante sono le facce di base?
• Quali poligoni sono le facce di base?
I PRISMI
Capisco
• Osserva e rispondi.
Prisma a base triangolare
Prisma a base esagonale
Parallelepipedo Cubo
• Questo è un prisma a base ...............................................
• Quante sono le facce laterali?
• Quali poligoni sono le facce laterali?
• Questi solidi hanno 2 basi? Sì No
• Le due basi sono uguali? Sì No
• Sono parallele?
Sì No
• Le facce laterali sono tante quanti i lati del poligono di base?
Sì No
2 Colora le facce di base e completa.
• Le facce di base di questo prisma sono
• Questo è un prisma a base
• Quante sono le facce laterali?
• Quali poligoni sono le facce laterali? .................................................................................................................................
3 Per ciascuno di questi prismi, indica quali poligoni lo formano. Cancella l’opzione sbagliata.
• Le facce di base sono 2 / 3 Sono triangoli equilateri / scaleni.
• Le facce laterali sono 2 / 3 Sono rettangoli / triangoli, sono tutti uguali / tutti diversi.
• Le facce di base sono 2 / 3 Sono rettangoli / quadrati.
• Le facce laterali sono 4 / 6. Sono quadrati / rettangoli, sono tutti uguali / uguali a due a due.
LE PIRAMIDI E I POLIEDRI REGOLARI
ARGOMENTO
Poliedri con una sola base. Ti spiego
Capisco
REGOLA
Le piramidi sono poliedri con una sola base, che può essere formata da un qualsiasi poligono: un triangolo, un quadrato, un pentagono…
• Osserva il poligono che fa da base alle piramidi e completa i nomi. Poi rispondi.
Piramide a base pentagonale Piramide a base ................................................ Piramide a base ................................................
• Questi solidi hanno due basi o una sola base?
• Le facce laterali sono tante quanti i lati del poligono di base? Sì No
ARGOMENTO
Poliedri con le facce tutte uguali. Ti spiego
Capisco
• Osserva e rispondi.
Tetraedro
Facce: 4 triangoli equilateri
Cubo
Facce: 6 quadrati
REGOLA
I poliedri regolari hanno come facce poligoni tutti uguali e tutti regolari.
Ottaedro
Facce: 8 triangoli equilateri
Dodecaedro
Facce: 12 pentagoni regolari
• Le facce di ciascuno di questi poliedri sono tutte uguali? Sì No
• Come si chiamano i poligoni che hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali? Poligoni
• Come si chiameranno i poliedri che hanno tutte le facce uguali? Poliedri
Icosaedro
Facce: 20 triangoli equilateri
I SOLIDI DI ROTAZIONE
ARGOMENTO
I solidi con facce curve. Ti spiego
Capisco
• Osserva e rispondi.
• Facendo ruotare il triangolo, quale solido si ottiene?
REGOLA
I solidi generati dalla rotazione completa di una figura piana attorno a un asse si chiamano solidi di rotazione. Sono chiusi interamente o in parte da superfici curve.
Cono. Cilindro.
• Facendo ruotare il rettangolo, quale solido si ottiene? Tronco di cono. Cilindro.
• Facendo ruotare il trapezio, quale solido si ottiene?
Sfera.
• Facendo ruotare il semicerchio, quale solido si ottiene? Cilindro.
Esercizi
1 Colora in rosso il dei poliedri e in giallo quello dei solidi di rotazione. Poi riporta le lettere negli insiemi.
Solidi di rotazione
Poliedri
Piramidi
Prismi
Tronco di cono.
Cono.
L’AREA DEI SOLIDI
Ti spiego
ARGOMENTO
La superficie occupata sul piano dalle figure piane che lo delimitano.
REGOLA
Lo sviluppo di un solido è l’insieme delle figure piane che lo racchiudono.
L’area laterale è l’area complessiva delle figure che formano le facce laterali del solido. L’area di base è l’area della figura che fa da base al solido.
L’area totale è l’insieme dell’area laterale più l’area di base.
Capisco
• Osserva, esegui e completa.
• Calcola l’area del solido.
faccia 1
faccia 2
• Colora in rosa la faccia di base, in verde le facce laterali.
• L’area della figura che fa da base al solido si chiama area di
• L’area complessiva delle figure che sono facce laterali si chiama area
2 cm
3 cm 4 cm
Area base (Ab ) = lunghezza × larghezza
Ab = × = 6 cm2
Area laterale (Al ) = (A faccia 1 + A faccia 2) × 2
Al = (2 × 4 + 3 × 4) × 2 = 40 cm2
Oppure si può calcolare l’area laterale guardando il rettangolo che formano le 4 facce insieme.
Area laterale (Al ) = Perimetro di base × altezza = (2 + 3 + ......... + ......... ) × 4 = 40 cm2
L’area totale si calcola sommando l’area di base con l’area laterale, ponendo attenzione a quante sono le basi. In questo caso le basi sono 2.
Area totale (A t ) = Area laterale + Area delle basi A t = + 6 × 2 = cm2
1 Calcola l’area dei solidi. Segui le indicazioni e completa.
Il cubo è formato da facce uguali, tutti quadrati.
Area base (Ab ) = lunghezza × larghezza (spigolo × spigolo)
Ab = × = cm2
Area laterale (Al ) = Perimetro di base × altezza
Al = (3 × 4) × = cm2
Area totale (A t ) = Al + 2 × Ab = ......... + 2 ×
Poiché nel cubo le facce sono tutte uguali:
• l’area laterale può anche essere calcolata moltiplicando l’area di una faccia ×
• l’area totale può anche essere calcolata moltiplicando l’area di una faccia ×
=
Area laterale (Al ) = Perimetro di base × altezza
Al = ( + + + ) × = cm2
cm2 Ab = × = cm2 A t = Al + 2 × Ab = + 2 × = cm2
Area laterale (Al ) = Perimetro di base × altezza Al = ( × 3) × = cm2 A t = Al + 2 × Ab = + 2 × = cm2
per imparare
Enti geometrici nell’arte
Pablo Picasso, un grande pittore spagnolo, ha utilizzato semplici linee, trasformandole in capolavori.
Prova anche tu a disegnare un animale usando solo linee.
Anche le isometrie, con Maurits Escher, artista olandese, sono diventate una forma di arte.
Utilizzando figure ruotate, traslate, simmetriche, ha creato bellissime tassellazioni.
M A E T S
Crea tu un solido “tassellato”. Prendi spunto da questo triangolo equilatero suddiviso in 4 triangoli equilateri uguali tra loro. Ripiega lungo le linee e incolla le linguette. Otterrai un tetraedro.
Nuova vita ai contenitori
Perché rompere le scatole? Una volta vuote, possono avere una nuova vita!
Basta ricoprirle… ma per farlo occorre conoscere le regole della Geometria!
1 Leggi con attenzione i problemi, poi risolvili sul quaderno.
a. Hai a disposizione una scatola di legno: è un cubo con lo spigolo di 12 cm. La devi rivestire con una stoffa colorata.
Quanti centimetri quadrati di stoffa ti servono?
b. Una piccola scatola è un parallelepipedo.
Le dimensioni sono 20 cm, 10 cm e l’altezza 30 cm.
Per rivestirla devi usare carte di tipo differente come è rappresentato nello sviluppo che vedi qui sotto.
Quanti centimetri quadrati di carta ti occorreranno per tutta l’area laterale?
Quanti per l’area delle due basi?
Quanti in tutto?
c. E ora il lavoro più difficile: una scatola di forma cilindrica!
Queste le dimensioni: raggio del cerchio = 8 cm altezza della scatola = 24 cm.
Pensa a quale materiale vuoi usare: carta, stoffa o plastica trasparente?
Di quanti decimetri quadrati di materiale avrai bisogno?
d. Ti serve una vaschetta portaoggetti? Ecco le istruzioni per farne una bellissima. Disegna su cartoncino resistente lo sviluppo di un parallelepipedo con queste dimensioni: 20 cm × 10 cm × 5 cm.
Se è un portaoggetti, non ti serve la base superiore.
Ricopri tutte le 5 facce, sia all’interno sia all’esterno, con carta colorata di vari colori.
Quanti cm2 di carta colorata ti serviranno?
Ti spiego
ARGOMENTO
LE MISURE DI VOLUME
Come misurare le grandezze con tre dimensioni.
REGOLA
Tutti i solidi occupano uno spazio e hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza, profondità.
L’unità di misura per i volumi è il metro cubo (m3 ), un cubo con lo spigolo lungo 1 m.
Ciascuna unità di misura di volume si scrive con l’esponente 3, proprio perché l’unità di misura ha 3 dimensioni.
Nelle equivalenze con misure cubiche, per passare da un’unità di misura all’altra, occorre moltiplicare o dividere per 1000.
chilometro cubo ettometro cubo decametro cubo metro cubo decimetro cubo centimetro cubo millimetro cubo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 h da u h da u h da u h da u h da u h da u h da u
Capisco
• Osserva e completa.
• Questo è un cubo.
Occupa uno spazio, cioè ha un volume. Ha tre
• Per misurare il volume si usa come unità campione un cubo perché ha 3 tutte uguali.
Per formare un metro cubo occorrono:
• 10 file da dm3, cioè dm3 per ricoprire la base;
• 10 “piani” da 100 dm3 per riempire l’intero cubo, cioè 1 000 dm3 1 m3 = 1 000 dm3 dm3
1 Completa le tabelle.
2 Indica con X la misura possibile del volume di ciascun solido.
Trolley:
70 dam3
70 m3
70 dm3 Cubo di Rubik: 1 mm3 1 cm3 1 dm3 Casetta da giardino: 2 dam3
3 Evidenzia le cifre che si riferiscono alla marca, poi scomponi. Segui l’esempio.
203,456 m3 = 203 m3 456 dm3
175,327 dm3 = 175 327
67895 cm3 = 67 895
5000 dm3 = 5 ................ 000 ................
600500 mm3 = 600 500
85,240 dm3 = 85 240
4 Inserisci le misure nella tabella e poi esegui le equivalenze. Se necessario, aggiungi gli zeri segnaposto. Segui l’esempio.
12,45 km3 = 12450 hm3
4,754 dam3 = m3
4500 m3 = dam3
15000 dam3 = hm3
7800 dam3 = .................................................. hm3 3000 m3 = dam3
Ti spiego
ARGOMENTO
IL VOLUME DEI SOLIDI
La misura dello spazio che occupano i solidi.
REGOLA
Il volume è la misura di tutto lo spazio
occupato dal solido. Poiché è uno spazio a 3 dimensioni, per misurarlo sarà necessaria un’unità di misura a 3 dimensioni.
Per misurare il volume dei solidi si utilizza come unità di misura il metro cubo (m3) con i suoi multipli e sottomultipli.
Volume del parallelepipedo
V = lunghezza × larghezza × altezza
oppure: V = Area di base × altezza
Volume del cubo
V = lato × lato × lato = <l 3
Esercizi
1 Scrivi il nome del solido e il suo volume, utilizzando il cubetto come unità di misura.
È un Volume = A
È un Volume = B
Capisco
• Scrivi il volume di ciascun solido. Osserva e completa.
Sulla base si possono disporre 2 righe da 4 cm3, cioè ............ cm3.
Per “riempire” tutto il solido, che è alto 3 cm occorrono 3 strati da cm3.
Perciò l’intero volume del parallelepipedo è di ............ cm3.
Sulla base si possono disporre 2 righe da 2 cm3, cioè cm3.
Per “riempire” tutto il solido, che è alto 2 cm occorrono 2 strati da ............ cm3.
Perciò l’intero volume del cubo è di cm3
Il cubo è un particolare parallelepipedo che ha le tre dimensioni uguali.
1 Calcola il volume di ciascun solido.
2 Calcola l’area e il volume di ciascun solido.
Area
Ab = ................. × ................. = ................. cm2
Area laterale = Perimetro di base × altezza
Al = ( + + + ) × = cm2
A t = Al + 2 × Ab = + 2 × = cm2
Volume
V = lunghezza × larghezza × altezza
V = × × = cm3
Area
V = ................. × ................. × ................. = ................. cm3 8
Area di una faccia = × = cm2
A t = × 6 = cm2
Volume
V = lato × lato × lato
Direzione Invalsi
• Da quanti cubetti è formata la figura?
10 14 15 13
• Quanti cubetti mancano per completare il parallelepipedo?
10 11 17 22
1 Il lato del quadretto rappresenta 1 cm. Calcola la misura che ti viene richiesta.
Fai attenzione alla marca.
= 1 cm
lunghezza
lunghezza
2 Completa la tabella. nome del solido prisma o piramide?
3 Per ciascuno sviluppo, scrivi il nome del solido. Poi colora in azzurro le basi e in rosso le facce laterali.
4 Esegui le operazioni sul quaderno, riporta i risultati e rispondi.
Un quadrato e un esagono regolare sono isoperimetrici. Il lato del quadrato misura 15 cm.
• Quanto misura il lato dell’esagono?
Perimetro del quadrato = .................................................
Lato dell’esagono =
• Quanto misurano le superfici delle due figure?
Area del quadrato = ................................................. = ......................
Apotema dell’esagono = ×
Area dell’esagono = =
• Le due figure sono anche equiestese? Sì No
• Sono entrambi poligoni regolari? Sì No
5 Osserva le due circonferenze. Calcola la loro misura e l’area dei due cerchi.
Figura A Circonferenza = = cm
Figura B A B 12 cm
6 Completa.
Figura B
Circonferenza = = cm
Figura A Area del cerchio = = cm
Area del cerchio = = cm
• Un cubo con lo spigolo di 5 cm ha un volume di cm3.
• Un parallelepipedo ha queste dimensioni: lunghezza 5 cm, larghezza 8 cm, altezza 3 cm.
Il suo volume è di cm3
7 Confronta le misure inserendo i simboli > , < , = .
8 Risolvi il quesito. Se necessario, esegui le operazioni sul quaderno.
Ha un volume maggiore un cubo con lo spigolo di 10 cm, o un parallelepipedo con queste dimensioni: 10 cm, 9 cm , 11 cm?
Obiettivi • Conoscere le caratteristiche dei poligoni regolari e del cerchio e saperne calcolare perimetro e area. Conoscere e classificare i principali solidi. Saper calcolare superfici e volume di alcuni poliedri.
Com’è andata?
Direzione Invalsi
1 Nell’immagine vedi la piantina di un soggiorno lungo 4,8 m e largo 4,8 m.
2 Chi dice una frase impossibile?
Ho disegnato un trapezio con 2 angoli retti.
Quale scala di riduzione è stata utilizzata per realizzare la piantina?
A 1 : 1
B 1 : 100
C 1 : 1000
C 100 : 1
Ho disegnato un triangolo con 1 angolo acuto e 2 angoli ottusi.
ti guido • Quante volte 4,8 cm è più piccolo di 4,8 m?
Ho disegnato un triangolo con tre angoli acuti.
Ho disegnato un rombo con 4 angoli retti.
A Amed. C Joan.
B Luisa. D Claudia.
3 Osserva la costruzione nel disegno.
ti guido • Immagina i poligoni descritti dai bambini. La frase di Claudia potrebbe trarti in inganno.
Quali tra le seguenti figure riproduce in modo corretto la costruzione vista dall’alto?
ti guido • Immagina di volare sopra la costruzione.
Usa il silos come punto di riferimento. Osserva bene la sua posizione rispetto alla porta.
4 Nell’ufficio di Andrea c’è questo ventilatore. Nelle due immagini lo vedi in due momenti diversi.
Per passare dalla posizione A alla posizione B, di quanti gradi è ruotata la pala in senso orario?
A Circa 40°. C Circa 120°.
B Circa 90°. D Circa 180°.
ti guido • Come sono tra di loro i tre angoli formati dalle pale del ventilatore? Quanti gradi formano tutti e tre insieme?
5 Osserva la figura. A quale frazione dell’area della figura corrisponde la parte colorata in azzurro?
ti guido • Questa figura non può essere suddivisa in parti uguali a quella colorata, ma può essere divisa in parti equivalenti. Oppure conta da quanti quadretti sono composte la figura intera e la parte colorata.
6 Quali rette sono assi di simmetria del rettangolo?
A La retta a e la retta b
B La retta a e la retta d.
C La retta b e la retta c.
D La retta d e la retta c. a
ti guido • Ricorda che cosa vuole dire “parti simmetriche”. Immagina di piegare il foglio con la figura lungo ogni retta; se le due parti si sovrappongono perfettamente, allora la retta è un asse di simmetria.
Leggere e interpretare i dati
I GRAFICI CI “EDUCANO”
Un bravo cittadino e una brava cittadina devono contribuire a risolvere i problemi dell’ambiente. Il primo passo per intervenire è comprendere la realtà che ci circonda attraverso informazioni e dati matematici che visualizzano con chiarezza la situazione.
Osserva le due rappresentazioni: sono differenti, ma forniscono dati sullo stesso argomento. Rispondi alle domande.
• Quale grafico fornisce dati più precisi?
• Quale fa vedere immediatamente quali sono gli Stati che producono più CO2?
OBIETTIVO
Sviluppare la capacità di accedere alle informazioni, alle fonti, ai contenuti digitali, in modo critico, responsabile e consapevole.
Grafico 1 Grafico 1
Grafico 2 Grafico 2
Sviluppo economico e sostenibilità
Salvaguardare il patrimonio naturale e artistico
L’Organizzazione delle Nazioni Unite e anche la nostra Costituzione ci invitano a rispettare l’ambiente naturale e quello artistico
In tutto il mondo vi sono siti Unesco, cioè zone di territorio o edifici di valore eccezionale che sono stati dichiarati patrimonio mondiale
dell’Umanità
Questi siti testimoniano la storia, l’arte e la cultura dei diversi popoli, sono bellezze da conservare e far conoscere.
Il grafico a torta mostra in quali Paesi o regioni del mondo si trovano i siti dichiarati
Nord America 38
Paesi Arabi 73
Africa 92
America Meridionale e Centrale 131
Asia e Oceania 221
Europa 466
Anche tu, nella tua vita quotidiana, puoi mettere in atto comportamenti “salva-ambiente”.
Informati su quali sono i monumenti storici e le aree verdi che si trovano nel tuo Comune o nelle vicinanze.
• Pensi che tutti conoscano questi “piccoli gioielli”?
• Che cosa puoi fare tu, con la tua classe, per divulgarne la conoscenza?
Conoscere il patrimonio artistico del proprio territorio, allargando lo sguardo all’Italia e al contesto mondiale.
LE RELAZIONI
Ti spiego Intelligenza visiva
ARGOMENTO
Ciò che collega “le cose” in base alle loro caratteristiche.
REGOLA
Le relazioni indicano e fanno capire i legami tra due o più oggetti, persone, numeri… Le relazioni possono essere espresse attraverso tabelle e diagrammi.
Capisco
I bambini e le bambine sono in classe e lavorano in gruppo. Quali relazioni riesci a vedere?
• Osserva questi numeri in relazione tra di loro e indica con X.
• Queste operazioni hanno sempre come risultato 180.
60 × 3 = 180 50 + 40 + 90 = 180
A che cosa potrebbero riferirsi?
Agli angoli interni di un triangolo. Agli angoli interni di un quadrilatero.
Esercizi
1 In tutto il mondo le misure delle scarpe sono espresse con i numeri, che però possono essere diversi da un Paese all’altro. Osserva la tabella e rispondi.
Europa
Stati Uniti
Giappone
• Un bambino statunitense che indossa scarpe n. 6, che numero dovrà chiedere a Milano?
• Una ragazza statunitense che acquista scarpe in Giappone dovrà aggiungere un numero al suo solito numero di scarpe. Quale numero?
Competenze
Il rapporto tra i seguenti numeri all’interno della terna è sempre lo stesso.
3 • 4 • 5 12 • 16 • 20 6 • 8 • 10
• Che cosa potrebbero indicare?
Le misure dei lati di triangoli simili.
Le misure dei lati di triangoli non simili.
Relazione simmetrica
Ti spiego
REGOLA
Una relazione è simmetrica solo se vale per tutti gli elementi in relazione.
Sara
Relazione transitiva
Ti spiego
REGOLA
Una relazione è transitiva quando transita, cioè “passa” da un elemento all’altro.
Esercizi
1 Leggi e completa.
Capisco
• Leggi e completa.
Sara ha due figlie: Silvia e Marta
è sorella di è sorella di
Silvia Marta
• La relazione che lega Silvia e Marta è “essere di”.
Vale per Silvia e vale per Marta.
• La relazione che lega Sara e Silvia, o
Sara Silvia Marta
è mamma di è mamma di
Capisco
• Leggi e completa.
Sara e Marta è “essere di”.
Vale per Sara, ma non per e
Oscar è più basso di Anna. Anna è più bassa di Amed.
Oscar è sicuramente più basso di ..................................
Essere più basso/bassa è una relazione che vale tra Oscar e Anna e tra Anna e Amed e sicuramente anche tra Oscar e Amed.
Oscar Anna Amed
a. Alessandro è amico di Viola. Viola è amica di Noelie. Alessandro non è amico di Noelie. La relazione “essere amici/amiche” è una relazione transitiva? Sì No
b. Sergio è nato nello stesso anno di Chiara. Chiara è nata nello stesso anno di Stefano. Sergio e Stefano sono nati nello stesso anno? Sì No
La relazione “essere nati/nate nello stesso anno” è transitiva? Sì No
È simmetrica? Sì No
SilviaMarta
LE CLASSIFICAZIONI
Ti spiego
ARGOMENTO
Trovare e visualizzare le caratteristiche comuni degli elementi di un insieme.
REGOLA
Le classificazioni vengono visualizzate per mezzo di diagrammi. I più utilizzati sono quelli di Eulero-Venn, quelli ad albero e quelli di Carroll (tabella a doppia entrata).
Esercizi
1 Inserisci gli elementi al posto giusto nel diagramma di Eulero-Venn, riportando le lettere corrispondenti.
Capisco
• Osserva il diagramma di Eulero-Venn e rispondi.
• Quante sono le intersezioni fra i tre insiemi?
• Quanti sono gli spazi in cui si inseriscono elementi con 2 caratteristiche? ................................
• Quanti sono gli spazi in cui si inseriscono elementi con 1 sola caratteristica?
• Quanti sono gli spazi in cui si inseriscono elementi con 3 caratteristiche?
la picozza
2 Inserisci gli elementi al posto giusto nel diagramma ad albero. Poi rispondi.
• Potresti continuare il diagramma tenendo conto di un’altra caratteristica?
• Se hai risposto sì, quale caratteristica potresti considerare?
Ti spiego
ARGOMENTO
I CONNETTIVI LOGICI
Piccole parole che mettono in relazione.
REGOLA
Connettere significa “mettere in relazione”. Attraverso i connettivi logici si può capire il collegamento logico tra frasi e situazioni.
I connettivi logici “e, non, o, se... allora” sono parole che collegano tra loro le frasi e indicano caratteristiche e relazioni.
Capisco
• Osserva la situazione e rispondi.
Alla festa del paese sono stati organizzati vari giochi.
Osserva questi ragazzi e ragazze: alcuni hanno partecipato alla gara di tiro con l’arco, altri alla gara di corsa nei sacchi, altri a entrambe.
Chi ha partecipato alla gara di tiro con l’arco e alla corsa nei sacchi riceverà un attestato.
Chi riceverà l’attestato? ........................................................................................
Chi ha partecipato alla gara di tiro con l’arco o alla corsa nei sacchi riceverà una medaglia. Chi riceverà la medaglia?
Nei due casi sono gli stessi ragazzi e ragazze a ricevere un riconoscimento?
Il connettivo logico “o” può essere utilizzato con due significati.
• Vuoi il tè o il caffè? (Devi scegliere solo una opzione)
• Può partecipare chi ha 7 anni o 8 anni. (Entrambe le opzioni sono valide)
Esercizi
1 Osserva come i connettivi logici si possano evidenziare attraverso dei diagrammi. Indica con X il diagramma che corrisponde all’enunciato “I numeri sono pari o dispari”.
NUMERI
Pari
Dispari
Pari
Marco
Andrea
Marta
Luca
Sara
LE COMBINAZIONI
Ti spiego
ARGOMENTO
I differenti modi in cui si possono formare i gruppi.
REGOLA
Le relazioni tra i fatti, gli oggetti e i numeri mostrano come si possono combinare tra loro. I diagrammi, le tabelle, i disegni… visualizzano le combinazioni possibili di elementi che entrano in relazione tra loro.
Capisco
• Un corniciaio propone ai suoi clienti cornici di 4 forme diverse e di 3 grandezze differenti. Disegna le combinazioni possibili, poi rispondi.
Forma Grandezza cerchio ovale quadrato rettangolo
piccola
media grande
• Quante combinazioni sono possibili tenendo conto della forma e della grandezza?
• Se il corniciaio proponesse anche 3 colori differenti (bianco, nero, marrone), quante diventerebbero le combinazioni possibili?
• Se oltre alla forma (4 forme), alla grandezza (3 grandezze), al colore (3 colori), il corniciaio proponesse anche 4 materiali differenti (plastica, legno di faggio, legno di olivo, metallo), quante diventerebbero le combinazioni possibili?
Esercizi
1 Cinque amici formano una squadra di calcetto. Prima di ciascuna partita hanno l’abitudine di stringersi la mano reciprocamente. Quante strette di mano in tutto? Completa la tabella con delle X. Tieni conto che nessuno stringe la mano a se stesso e che se A
2 ha stretto la mano a B, B non la stringerà di nuovo ad A.
In tutto si stringono la mano volte.
1 La classe 5a B ha raccolto in una tabella i dati relativi ai mezzi di trasporto utilizzati per andare in vacanza e li ha rappresentati con due diagrammi differenti. Osserva i due schemi, poi rispondi.
SCHEMA A
• Rappresentano la stessa situazione? Sì No
SCHEMA B
• Se qualche alunno avesse utilizzato tutti e tre i mezzi di trasporto, lo schema A sarebbe ancora stato adatto? Sì No
• Quale coppia di mezzi di trasporto non è stata utilizzata?
b. Per ciascuna affermazione, scrivi se è vera o falsa. Se non può essere desunta, scrivi ND. Fai attenzione ai connettivi logici.
• Nessun alunno ha utilizzato tre differenti tipi di mezzo di trasporto. ...............................
• Gli alunni che hanno utilizzato il treno sono 6.
• Gli alunni che hanno utilizzato solo il treno sono 6.
• Gli alunni che non hanno preso il treno sono 6.
• Alcuni alunni non sono andati in vacanza. ...............................
LA PROBABILITÀ
ARGOMENTO
Capire quante possibilità ci sono che un fatto accada.
REGOLA
Probabilità = casi favorevoli casi possibili
La probabilità è indicata da una frazione. Come hai imparato, ogni frazione può essere trasformata in percentuale. Quindi è possibile esprimere la probabilità anche attraverso una percentuale.
Ricorda:
• trasforma la frazione in numero decimale, arrivando fino ai centesimi;
• trasforma il numero decimale in frazione decimale con denominatore 100 e poi in percentuale. 5 10 = 5 : 10 = 0,50 = 50 100 = 50%
Esercizi
1 Completa.
Capisco
• Osserva e completa.
Da questo sacchetto è possibile pescare palline blu, rosse e verdi.
• Quante sono tutte le palline?
• Quante sono le palline verdi? ................
• Quante possibilità ci sono di pescare una pallina verde su 10 palline totali? su 10
• È possibile pescare una pallina gialla?
• La probabilità di pescare una pallina gialla è
Per stabilire quanto è probabile che un fatto accada, occorre tenere conto dei casi favorevoli e dei casi possibili
Probabilità:
• pallina verde 5 su 10 cioè 5 10
• pallina rossa su cioè 3 10
• pallina blu su cioè 2 10
• 6 possibilità su 24 = 6 = 6 : = = 100 = %
• 24 possibilità su 48 = = : = = = %
1 Leggi e risolvi.
Ilaria ascolta spesso musica. Ha preparato una playlist con 80 canzoni: 40 sono in italiano, 24 in inglese e 16 in spagnolo. Le canzoni vengono riprodotte a caso.
Calcola a quale percentuale corrisponde ciascuna probabilità. Segui l’esempio.
Lingua italiana
40 su 80 = 40 80 = 0,50 = 50%
2 Leggi e risolvi.
Lingua spagnola
Lingua inglese su = = = % su = = = %
a. Lanciando un solo dado, si può avere un punteggio da 1 a 6.
• Quale probabilità c’è che esca il numero 1? ...............................................
• Quale probabilità c’è che esca il numero 6?
• Ci sono le stesse probabilità per ciascun numero? Sì No
b. Se invece i dadi lanciati sono due, i punteggi possibili vanno da 2 a 12.
Verifica quale numero ha maggiore probabilità di uscire.
Completa la tabella con tutti i punteggi che si possono ottenere lanciando i dadi. Esegui le somme.
• Quante sono le combinazioni possibili? punteggio del primo dado punteggio del secondo dado
c. Scegli 11 colori diversi e nella tabella dell’esercizio b colora nello stesso modo i risultati uguali. Poi indica la probabilità che, sommando il punteggio dei due dadi, il numero sia:
2 su 3 su 4 su 5 su 6 su 7 su 8 su 9 su 10 su 11 su 12 su
• Quale numero ha più probabilità di uscire, lanciando due dadi? ....................
• Quali numeri hanno minore probabilità?
• È possibile realizzare il punteggio di 1?
LA STATISTICA
Ti spiego
ARGOMENTO
La scienza che raccoglie i dati, li analizza e li rende noti.
REGOLA
Le indagini statistiche si fanno raccogliendo dati che vengono visualizzati attraverso i grafici.
Per fare un’indagine occorre:
• decidere l’argomento;
• scegliere il campione;
• raccogliere i dati;
• organizzarli in tabelle;
• rappresentarli con i grafici.
La frequenza indica quante volte un dato si ripete.
Esercizi
Capisco
• Osserva la tabella e rispondi.
programma televisivo frequenza film 5 sport 18 cartoni animati 16 quiz 10
documentari 8
Questa tabella rappresenta un’indagine svolta tra ragazzi e ragazze di classe 5a del Comune di Poggi Ridenti. I ragazzi e le ragazze potevano esprimere solo una preferenza.
• Qual è, secondo te, l’argomento dell’indagine?
• Quante persone sono state intervistate? ................
• Attraverso quale mezzo sono stati organizzati e visualizzati i dati raccolti?
1 In 5a B un’indagine sugli animali domestici ha riportato questi risultati. Tutti i ragazzi e tutte le ragazze hanno risposto al sondaggio.
1 animale? n. animali posseduti n. alunni
• Che cosa indica lo zero nella seconda colonna?
• Che cosa deduci dalla prima riga?
• Quanti sono i ragazzi e le ragazze della 5a B? .........................
• Quanti ragazzi o ragazze posseggono almeno
I GRAFICI
Capisco
• Osserva e completa.
Il rappresenta i dati su un piano cartesiano.
• Gli areogrammi rappresentano i dati in percentuale.
ARGOMENTO
Areogramma …...................... o “a torta”
Areogramma …......................
• L’istogramma rappresenta i dati attraverso barre orizzontali o
• L’ rappresenta i dati utilizzando simboli
• ideogramma. Ti spiego
Le rappresentazioni che visualizzano i dati.
REGOLA
Per visualizzare i dati raccolti nelle indagini si utilizzano i grafici:
• grafico cartesiano;
• areogramma (circolare o quadrato);
• istogramma;
Esercizi
1 In 5a B hanno fatto un’indagine. 2 Hanno voluto rilevare chi è nato/a:
• nello stesso Comune in cui si trova la loro scuola: sono 4
• nella stessa Regione, ma in un Comune diverso: sono 10
• in Italia, ma in una Regione diversa: 2
• all’estero: sono 6
Questo grafico è giusto? Se non lo è, ridisegnalo tu sul quaderno.
4 8 12 16
Ti spiego
ARGOMENTO
MODA, MEDIA, MEDIANA
Gli strumenti che permettono di interpretare le informazioni.
REGOLA
La moda e la media sono indici statistici.
• La moda indica il dato di maggiore frequenza.
• La media si ottiene sommando tutti i dati raccolti e dividendo la somma ottenuta per il numero dei dati.
• La mediana è il valore centrale dei dati raccolti dall’indagine ordinati con valore crescente o decrescente. Se i dati sono in numero dispari, la mediana è il dato centrale; se sono in numero pari, la mediana è data dalla media dei due dati centrali.
Esercizi
1 Alcune amiche formano una squadra di minivolley e confrontano le loro altezze.
Gioia 175 cm Yasmin 167 cm
Vittoria 166 cm Teresa 166 cm
Stefania 166 cm
• Qual è la moda, cioè il dato che compare con maggiore frequenza? cm
• Calcola la media. Esegui i calcoli sul quaderno.
Capisco
• Osserva il grafico e rispondi.
Biglietti di ingresso al cinema
• In quale giorno vi è stata la maggiore affluenza?
• Calcola quanti biglietti sono stati venduti in tutta la settimana.
• Esegui questa divisione. totale biglietti venduti : giorni della settimana = : 7 =
Hai ottenuto la media dei biglietti venduti giornalmente.
• Metti in ordine crescente i valori dell’istogramma precedente.
Il boxino colorato è il boxino centrale. Quale valore c’è scritto in esso?
È il valore centrale, cioè la mediana.
1 Osserva il grafico accanto e completa la tabella di frequenza con i luoghi in cui hanno trascorso le vacanze estive i ragazzi e le ragazze di classe 5a .
luogo di vacanza frequenze
• Qual è la moda?
città lago mare collina montagna
2 Un gruppo di amici e amiche contano i loro risparmi: osserva e rispondi.
• Quanto ha risparmiato in media ciascuno di loro?
3 Osserva le temperature massime e minime registrate a Milano in una settimana. Ricava i dati dal grafico e completa.
massima
minima
• La media delle temperature massime è: (...............................................................................................)
• La media delle temperature minime è: ( ) :
• La mediana delle temperature massime è:
1 Scrivi almeno due significati possibili della freccia. 100 10 .........................................................................
2 Inserisci nel diagramma i seguenti numeri: 5 • 6 • 7 • 9 • 14 • 21 • 42
3 In una classe quinta hanno fatto un’indagine sul numero dei componenti delle loro famiglie. Tutti i bambini e le bambine hanno partecipato all’indagine. I dati sono stati riportati in un grafico.
4 Completa la tabella di frequenza,
5 poi rispondi.
• Qual è la moda? persone per famiglia 2 3 4 5 6 frequenza
1 Dal grafico puoi rilevare:
• quanti sono gli alunni e le alunne di quella classe? Sì No
• quanti fratelli/sorelle ha ogni alunno/a? Sì No
• il numero complessivo dei componenti di tutte le famiglie? Sì No
• chi vive con i nonni? Sì No
4 In 5a A tutti i bambini e le bambine praticano uno sport. Nessuno ne pratica più di uno. Osserva i dati e rispondi.
• Qual è la moda? .............................................................................................
• Quanti sono i bambini e le bambine della classe? nuoto basket rugby calcio danza 9 6 2 4 4 multipli di 3 multipli di 7 numeri dispari
5 Lavinia fa un piccolo regalo a tutte le 24 persone che sono intervenute al suo compleanno. Confeziona i regali in pacchetti di colore rosso o giallo. I pacchetti di colore rosso sono 6. Indica la probabilità di ricevere un pacchetto rosso o giallo e calcola la percentuale.
6 su = = = 100 = % su = = = 100 = %
6 Questo grafico indica i tipi di fiori venduti questa settimana da una fiorista: rose, gigli, orchidee, gladioli. Scrivi quale tipo di fiore rappresenta ciascun settore tenendo conto che:
• le rose sono stati i fiori più venduti;
• i gigli venduti sono stati la metà rispetto alle rose;
• i gladioli non sono i meno venduti.
7 Scrivi qual è la mediana e calcola la media dei numeri: 5
• La mediana è
6
• La media è
8 Mara e Pietro hanno viaggiato per 4 ore, percorrendo lo stesso numero di chilometri. Riporta i dati sul grafico cartesiano, utilizzando due colori differenti. Poi rispondi.
Mara Pietro
partenza 0 0
1 ora 60 km 100 km
2 ore 120 km 140 km
3 ore 180 km 190 km
4 ore 240 km 240 km km
• Chi ha percorso più chilometri? .............
• Chi ha impiegato più tempo?
• Chi ha mantenuto una velocità costante?
Da che cosa lo hai potuto dedurre?
Obiettivi • Saper classificare e mettere in relazione. Interpretare e rappresentare i
Parole per... CONOSCERE di CRISTINA DELL’ACQUA
Non c’è limite alla passione e ai sogni. Basta studiare e non arrendersi. Ce lo insegna la leggenda di una giovane ragazza molto coraggiosa che ha sfidato tutto e tutti in nome della sua passione scientifica. Oggi la maestra Margherita ce ne parla, e c’è chi racconta che questa ragazza sia stata la prima donna medico dell’Occidente.
sogni che contano
Nell’antica Atene vive una ragazza di nome Agnodice. Ha una passione: vuole diventare medico e aiutare le donne a far nascere i loro bambini.
Una sfida, perché a quei tempi ad Atene il problema era che solo gli uomini potevano studiare per diventare medici. Ma Agnodice non si scoraggia, anzi, escogita un metodo per poter frequentare la scuola di medicina: taglia i capelli, indossa abiti maschili e sotto mentite spoglie diventa allieva del medico più famoso del momento.
Passa il tempo, Agnodice studia Matematica, le scienze mediche e finalmente esaudisce il suo desiderio di curare le donne in procinto di partorire.
La dottoressa è molto brava e le donne da lei curate capiscono che lei stessa è una donna.
Gli altri medici, però, passati in secondo piano e gelosi “del nuovo collega”, portano Agnodice in tribunale. E quando la ragazza confessa di essere una donna i giudici la condannano per aver infranto la legge che proibisce alle donne di esercitare la medicina. Allora avviene una cosa straordinaria.
Tutte le donne che Agnodice aveva curato con passione e professionalità protestano talmente tanto che la dottoressa viene assolta, e si racconta che da allora anche le donne furono libere di studiare medicina.
SKILLS PAROLE per CONOSCERE
• “Stereotipo” vuol dire “immagine rigida”. È una parola greca e indicava un metodo particolare di stampa.
Poi è passata a indicare opinioni rigide, senza fondamento.
Parlane in classe e scopri se conosci almeno due stereotipi.
Come puoi evitarli?
• Al termine di questo percorso, quante cose incredibili hai scoperto studiando Matematica?
Parlane in classe.
Agnodice parla a chi è intimorito dalle materie scientifiche e soprattutto alle ragazze: spesso pensano che i numeri e le Scienze non facciano per loro, ma non è così. Guardate che cosa vi accende, fateci caso e, soprattutto, abbiate il coraggio di credere in voi!
Parole per... CONOSCERE di CRISTINA DELL’ACQUA
Direzione Invalsi
Nelle pagine di questo libro hai trovato un percorso che ti ha aiutato a comprendere le consegne dei quesiti delle Prove Invalsi. Hai anche avuto suggerimenti per trovare il modo di giungere alla soluzione.
Ora sei in grado di misurarti con i quesiti in modo autonomo.
1 Un imbianchino prepara la pittura per dipingere una stanza. Per ottenere il colore desiderato deve miscelare mezzo chilogrammo di pittura bianca con 2 kg di pittura rossa. Quanti chilogrammi di pittura rossa dovrà utilizzare per 2,5 kg di pittura bianca?
A 0,5 kg B 25 kg C 5 kg D 10 kg
2 Asia ha queste dieci caramelle.
Ne pesca una a caso.
Completa la frase inserendo una delle seguenti espressioni: maggiore del • uguale al • minore del La probabilità che Asia peschi una caramella alla fragola è 50%
3 Un museo degli strumenti musicali è aperto dal martedì alla domenica. La settimana scorsa i visitatori sono stati in media 100 al giorno. Il grafico riporta il numero effettivo dei visitatori: completa il grafico disegnando la barra del mercoledì.
4 Federico deve riempire di acqua un contenitore da 80 <l . Ha già riempito i 7 10 del contenitore.
Quanti litri di acqua deve ancora aggiungere per riempire il contenitore? litri
5 Osserva le figure e rispondi.
a. Quale figura ha tre angoli retti, un angolo acuto e un angolo concavo?
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
A La figura 1. B La figura 2. C La figura 3. D La figura 4.
b. Quale figura è un ottagono? La figura
6 Entrambi i grafici rappresentano i dati di vendita di cellulari nei primi 6 mesi dell’anno.
gennaio 140 febbraio 120
marzo 170 aprile 190 maggio 200 giugno 120
Quale grafico riporta i dati nel modo corretto?
A Il grafico A.
B Il grafico B.
C Nessuno dei due.
D Entrambi.
7 Questi numeri sono in ordine decrescente.
0,2 0,16 0,048 0,045 0,003
Quale tra i seguenti numeri puoi inserire nella sequenza?
8 Giovanna pesa lo zucchero necessario per la torta. Mette sulla bilancia il contenuto di un intero
La bilancia
9 Aggiungi per 6 volte 0,1 a 5,2. Il numero ottenuto è:
A 5,8 C 0,6
B 11,2 D 5,26
10 Togli per 5 volte 0,2 a 8. Il numero ottenuto è:
A 3 C 3,4
B 7 D 7,8
11 Licia, Sally e Mirko frequentano la stessa piscina. Licia ci va ogni 3 giorni, Sally ogni 2 e Mirko ogni 4 giorni.
Se oggi tutti e tre sono andati in piscina, tra quanti giorni si incontreranno di nuovo tutti in quella struttura sportiva?
A 6 C 12
B 9 D 24
12 In quale figura gli angoli hanno un’ampiezza maggiore?
figura 1
A Nella figura 1.
B Nella figura 2.
C Nella figura 3.
figura 2
D In nessuna: gli angoli hanno uguale ampiezza in tutte e tre le figure.
figura 3
A
1. B La bilancia 2. C La bilancia 3. D La bilancia 4.
Quaderno degli esercizi
172 Prova d’ingresso I numeri
173 Prova d’ingresso I problemi
174 I numeri romani
175 I grandi numeri
176 I numeri decimali
178 Addizioni e sottrazioni
179 Moltiplicazioni e divisioni
180 Direzione Logica! !
181 Le proprietà delle operazioni
182 Moltiplicazioni e divisioni per 10 • 100 • 1 000
183 Le potenze
184 Le espressioni
185 Problemi
186 Problemi
187 Direzione Logica! !
188 R icordo quanto imparato
190 I numeri relativi
191 I multipli, i divisori, la scomposizione
192 Le frazioni
194 Confrontare frazioni
195 Direzione Logica! !
196 Le frazioni e i numeri
197 La frazione del numero
198 La percentuale
199 Problemi
200 Problemi
201 R icordo quanto imparato
202 Le misure di lunghezza
203 Le misure di massa-peso
204 Le misure di capacità
205 Direzione Logica! !
206 Le misure di tempo
Le misure di valore 208 R icordo quanto imparato
Linee e angoli
210 Il piano cartesiano
211 Le isometrie e la similitudine
212 Disegnare con il piano cartesiano e le isometrie
213 I poligoni
Il triangolo
215 Le misure di superficie
Il rettangolo e il quadrato
Il romboide e il rombo
trapezio
Il triangolo 220 Direzione Logica! !
I poligoni regolari
Il cerchio e la circonferenza
Direzione Logica! !
I poliedri
Osservare i poliedri
Lo sviluppo dei poliedri
L’area dei solidi
Le misure di volume
Il volume dei solidi
1 Scrivi i numeri in cifre o in lettere.
• venticinquemila
• tredicimilasessantadue ……...........………….
I NUMERI
• 138 900 • 20 008 ………………………………………….................………………...
2 Scrivi il valore della cifra evidenziata. Segui l’esempio.
4 762 h 6 452 .............. 49 301 78 012 ..............
3 Completa le uguaglianze. Segui l’esempio.
60 h 6000
60 da
60 uk
60 u
4 Metti in ordine le cifre da quella con maggiore valore a quella con minore valore, poi scrivi il numero. Ricorda di inserire gli zeri segnaposto.
7 h 4 da 1 dak ........................... dak ........................... h ........................... da ……...........………….
5 hk 8 u 4 h 1 uk
6 u 4 hk 8 uk 3 h
9 da 6 uk 5 h 7 hk
2 uk 7 hk 1 dak
5 Trasforma le frasi in operazioni ed eseguile. Segui l’esempio.
Il triplo di 4 decine 40 × 3 = 120
Il doppio di 2 centinaia
Un quarto di 100
3 migliaia + 2 da
La metà di 90
La differenza tra 100 e 2
Il prodotto di 10 e 5
Il triplo di 9 meno 1
6 Esegui le operazioni in colonna sul quaderno, poi riporta i risultati.
1 234 + 211 + 340 = 6 805 + 31 187 + 1 933 = ……......…………. 7 081 – 4 655 =
I PROBLEMI
1 Leggi il problema ed esegui.
La famiglia Rossi ha trascorso una vacanza al mare di 7 giorni. La pensione completa è costata 314,00 € al giorno. In spiaggia l’affitto per ombrellone e lettini è stato di 210,00 € per tutta la settimana.
Quanto ha speso la famiglia Rossi per la pensione e i servizi della spiaggia?
Sottolinea i dati nel testo e scrivili
7 = numero dei
314,00 € = costo
Domanda nascosta o intermedia:
Operazioni che risolvono il problema: = (costo totale per la pensione)
Risposta: ..................................................................................
2 Indica con X le domande possibili.
La famiglia Bianchi, composta da due adulti e una bambina, ha trascorso 10 giorni in montagna, scegliendo la formula della pensione completa.
Questa è la tabella dei prezzi dell’albergo dove hanno soggiornato.
Prezzi adulti bambini
Pernottamento e prima colazione 70,00 € 35,00 €
Mezza pensione 90,00 € 45,00 €
Pensione completa 120,00 € 60,00 €
Qual è stato il costo del soggiorno per gli adulti?
Quanto hanno speso solo per la prima colazione?
Qual è stato il costo del soggiorno per la bambina?
Qual è stato il costo totale del soggiorno?
Quanto avrebbero speso in più se avessero pranzato in un altro ristorante?
I NUMERI ROMANI
1 Scrivi il valore di ciascun segno.
2 Calcola il valore di ciascun numero. Segui l’esempio.
3 Calcola il valore di ciascun numero. Segui gli esempi.
= 5 + 1 = 6
4 Per ciascun numero, colora la corretta scrittura in numeri romani.
6 Scrivi i numeri romani in cifre arabe e viceversa.
Che anno è scritto in numeri romani?
5 Collega ciascun numero romano alla corrispondente scrittura attuale.
I GRANDI NUMERI
I numeri si raggruppano in classi: miliardi, milioni, migliaia, unità semplici. Ciascuna classe è composta da tre ordini: centinaia, decine, unità.
1 In ciascun numero, cerchia:
• in blu la classe dei miliardi;
• in viola la classe dei milioni;
• in giallo la classe delle migliaia;
• in azzurro la classe delle unità semplici.
2 Continua l’esercizio. Poni attenzione perché in questi numeri la divisione tra le classi non è evidenziata. Se vuoi, puoi segnarla con barrette.
3 Per ciascun gruppo di cifre, scrivi il nome della classe. Poi leggi i numeri a voce alta.
4 Leggi i numeri scritti in lettere e inseriscili al posto giusto nella tabella. Poi ordinali dal minore al maggiore, numerando.
tremiliardiduecentomilioni dodicimiliardiseimilionitrecentomila cinquecentomilionicentomilanovanta
5 In ciascun numero, evidenzia la cifra 2 e scrivi il suo valore. Segui l’esempio.
798 2 hk
789 121
6 Confronta i numeri inserendo i simboli > , < . =.
4 daM 40 000 000
1 daG diecimilioni un miliardo 1 uM
I NUMERI DECIMALI
I numeri decimali indicano una parte dell’intero. Sono formati da una parte intera e una parte decimale.
1 Scomponi i numeri. Segui l’esempio.
2,34 = 2 u 3 d 4 c
9 866,2 = 9 uk 8 h 6 .............. 6 .............. 2 ..............
6,589 = 6 5 8 9
503,4 = 5 0 3 4 845,47 = 18,9 = .................................................................................................. 0,135 = 73,451 =
2 Tra i due numeri naturali inserisci, in ordine crescente, i numeri indicati.
• 11,2
3 Completa e scrivi i numeri nella tabella.
,
4 Scrivi il numero. Segui l’esempio.
c =
5 In ciascun gruppo, cerchia in rosso il numero maggiore e in verde quello minore. 18 d = 1,8
m =
6 Scrivi numeri decimali di almeno 4 cifre, che abbiano:
• 8 decimi ………………………………………….
• 7 millesimi • 23 centesimi • 19 decimi
7 Aggiungi il numero necessario per ottenere il numero naturale successivo. Segui l’esempio.
4,54 + 0,46 = 5
7,89 + = 0,97 + =
+ =
8 Togli il numero necessario per ottenere il numero naturale precedente. Segui l’esempio.
– = 2,15 – 0,15 = 2 8,87 – = 154,99 – ............ = ............
9 Scrivi il numero e l’operatore necessari per ottenere il risultato indicato.
10 Scrivi i numeri decimali al posto giusto nella sequenza.
11 Esegui a mente.
> • 5 centesimi
12 Scrivi i numeri interi tra cui è compreso ciascun numero decimale. Fai attenzione ai simboli.
13 Scrivi un numero decimale possibile.
1
ADDIZIONI E SOTTRAZIONI
Con i numeri interi • 2 addendi
a. 2 907 + 5 082 =
37 711 + 4 288 =
1 236 + 5 721 =
7 005 + 1 763 =
b. 4 567 + 3 897 =
8 094 + 1 935 = 8 596 + 8 009 = 5 774 + 9 338 =
Con i numeri interi • 3 addendi
e. 345 + 523 + 131 = 708 + 170 + 121 = 342 + 224 + 422 = 240 + 325 + 233 = f. 1 507 + 2 401 + 6 001 = 4 561 + 3 212 + 4 005 = 6 002 + 1 323 + 2 671 = 1 523 + 2 432 + 4 030 =
Con i numeri decimali • 2 addendi
c. 15 789 + 24 210 = 11 408 + 38 481 = 43 305 + 36 692 = 80 754 + 15 115 = d. 75 664 + 22 439 = 84 518 + 13 674 =
75 687 + 98 005 = 47 773 + 56 808 =
g. 764 + 8 765 + 43 = 7 569 + 2 349 + 371 = 19 + 2 459 + 8 777 = 905 + 3 544 + 987 =
h. 0,45 + 16,33 = 29,04 + 30,63 = 85,11 + 14,87 = 45,06 + 32,73 = i. 175,88 + 864,94 = 39,7 + 45,3 = 93,576 + 43,762 = 85,34 + 12,54 = j. 32,89 + 67,803 = 20,765 + 15,32 = 64,8 + 72,831 = 67,9 + 35,772 = k. 4,005 + 234 = 16,89 + 204,7 = 732,96 + 32,006 = 1,297 + 3 452 =
Con i numeri decimali • 3 addendi
l. 1,4 + 2,5 + 8,3 =
83,2 + 10,6 + 0,9 =
92,7 + 4,9 + 83,6 = 11,3 + 34,5 + 7,3 = m. 11,36 + 0,77 + 65,11 = 9,13 + 8,72 + 10,95 = 45,78 + 2,35 + 81,14 = 11,34 + 50,09 + 43,27 =
2 Esegui le sottrazioni in colonna sul quaderno.
Con i numeri interi
a. 4 567 – 3 254 = 7 809 – 5 508 =
8 956 – 4 555 = 19 345 – 8 220 =
Con i numeri decimali
b. 48 956 – 35 432 = 25 398 – 14 277 = 85 674 – 74 661 = 378 943 – 168 032 =
n. 0,084 + 5,035 + 8,652 = 11,308 + 45,603 + 32,775 = 6,708 + 32,221 + 54,007 = 1,345 + 63,241 + 20,005 =
c. 7 450 – 5 367 = 3 505 – 2 481 = 8 114 – 5 063 = 5 439 – 3 827 = d. 8 000 – 7 983 = 11 000 – 4 372 = 9 300 – 8 147 = 100 759 – 84 358 =
e. 845,78 – 632,53 = 916,74 – 805,53 = 782,05 – 181,04 = 935,54 – 724,51 = f. 87,678 – 75,45 = 92,765 – 71,51 = 15,689 – 14,5 = 97,604 – 6,5 = g. 76,87 – 58,78 = 97,803 – 88,752 = 44,085 – 38,574 = 5,007 – 2,086 = h. 184 – 5,97 = 34,05 – 17,176 = 87,398 – 39 = 300,1 – 178,07 =
Esegui le addizioni in colonna sul quaderno.
MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI
1 Esegui le moltiplicazioni in colonna sul quaderno.
Con i numeri interi • secondo fattore con una sola cifra
a. 102 × 4 = 212 × 3 =
Con i numeri interi • secondo fattore con 2 cifre
b. 135 × 4 = 203 × 3 = d. 94 × 52 = 67 × 43 =
Con un solo fattore decimale • secondo fattore con una cifra
e. 31,3 × 3 = 12,3 × 4 = 8,9 × 5 =
f. 23,2 × 4 = 19,5 × 6 = 20,7 × 7 =
Con entrambi i fattori decimali • secondo fattore con 2 cifre
i. 5,7 × 8,3 = 4,6 × 7,5 = 9,6 × 6,4 =
j. 15,7 × 3,6 = 83,6 × 2,3 = 23,5 × 5,9 =
2 Esegui le divisioni in colonna sul quaderno.
Con i numeri interi e il divisore a una cifra
a. 8 567 : 4 =
9 456 : 7 =
8 456 : 5 =
b. 2 456 : 5 = 3 420 : 4 = 4 597 : 6 =
Con i numeri interi e il divisore a 2 cifre
Dividendo a 4 cifre
e. 7 654 : 55 =
6 543 : 24 =
8 435 : 22 =
f. 7 543 : 25 = 6 542 : 15 = 7 895 : 24 =
c. 85 × 11 = 63 × 12 =
Con un solo fattore decimale • secondo fattore con 2 cifre
g. 7,3 × 15 = 9,2 × 23 = 8,5 × 33 =
h. 16,8 × 37 = 89,4 × 87 = 75,4 × 52 =
Con entrambi i fattori decimali • secondo fattore con 3 cifre
k. 76,3 × 2,34 = 32,1 × 1,04 = 45,2 × 2,13 =
l. 53,4 × 7,23 = 62,6 × 8,01 = 34,5 × 3,23 =
Con il dividendo decimale e il divisore a una cifra
c. 78,45 : 6 = 564,7 : 5 = 876,4 : 7 =
Dividendo a 5 cifre
g. 25 674 : 12 = 50 988 : 24 = 54 345 : 25 =
Con i numeri decimali al dividendo e il divisore a 2 cifre
Dividendo a 4 cifre
i. 78,34 : 22 = 88,34 : 42 = 94,67 : 35 =
j. 75,48 : 16 = 48,05 : 22 = 90,32 : 35 =
d. 45,78 : 6 = 73,76 : 8 = 176,9 : 9
h. 35 761 : 47 = 20 541 : 25 = 11 345 : 32 =
Dividendo a 5 cifre
k. 345,67 : 31 = 568,34 : 25 = 843,44 : 41 =
l. 456,77 : 64 = 507,34 : 75 = 300,35 : 45 =
1 Quali cifre mancano?
2 Completa le divisioni scrivendo le cifre mancanti.
3 Sai quanto vale il simbolo?
LE PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
Utilizzando le proprietà delle operazioni è più facile eseguire i calcoli.
1 Applica le proprietà indicate ed esegui a mente.
Proprietà associativa
12,9 + 1,1 + 4,3 + 2,7 = + =
Proprietà commutativa e associativa
1,99 + 2,5 + 1,5 + 0,01 = .................................................................... = =
Proprietà commutativa 99 + 50 + 1 + 20 = + + + =
Proprietà commutativa e associativa
0,28 + 2,93 + 0,07 + 0,72 = .................................................................... = =
2 Applica la proprietà invariantiva ed esegui le sottrazioni.
1 453 – 102 = .............
2 – 2 2 500 – 199 =
3 Esegui a mente le moltiplicazioni e scrivi quali proprietà sono state applicate.
6 × 20 = 20 × 6 = Proprietà
4 Applica la proprietà invariantiva ed esegui le divisioni.
2 × 10 × 10 = 2 × 100 = .............. Proprietà .................................. 14 × 4 = (10 × 4) + (4 × 4) = = Proprietà 10 × 7 × 10 = 10 × 10 × 7 = 100 × 7 = Proprietà e proprietà 72000 : 8000 = : = : :
: 0,09 = : = × × 15 + 17 + 5 =
: 5000 = : = : : 500 : 0,25 = : = × ×
5 Applica le proprietà che conosci ed esegui a mente le operazioni.
× 30 =
: 25 =
– 70 = ................. 2 × 17 =
– 30 =
+ 5 + 1 =
: 0,5 =
: 0,03 =
+ 7 + 700 = .................
Moltiplicando e dividendo per 10, 100, 1 000, le cifre cambiano il loro valore e anche il loro posto nel numero.
1 Completa le tabelle.
2 Scrivi il risultato.
3 Scrivi il numero mancante.
4 Scrivi l’operatore e il numero mancante.
LE POTENZE
Le potenze indicano moltiplicazioni con i fattori tutti uguali.
1 Scrivi il valore di queste particolari potenze, poi completa.
70 = 71 = 11 = 01 = ............ 250 = 251 = ............ 19 = 09 =
• Se l’esponente è 0, il risultato della potenza è
• Se l’esponente è 1, il risultato della potenza è
• Se la base è 1, il risultato della potenza è
• Se la base è 0, il risultato della potenza è .....................................................
2 Scrivi come si legge ciascuna potenza.
3 Scrivi la potenza.
4 Trasforma le potenze in moltiplicazioni. Calcola in modo approssimato il risultato e colora, fra i tre proposti, quello possibile.
5 Per ciascuna affermazione, indica V (vero) o F (falso).
6 Scrivi il valore di ciascuna potenza del 10, poi completa.
• L’esponente delle potenze di 10 indica il numero degli zeri che
7 Componi il numero, espresso con le potenze del 10. Segui l’esempio.
LE ESPRESSIONI
Ricorda l’ordine:
• dei calcoli: prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni;
1 Calcola il valore delle espressioni. Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
25 + 5 × 3 = =
10 + 40 : 2 – 3 × 6 = =
8 + 2 × 8 – 12 : 4 = =
2 Calcola il valore delle espressioni sul quaderno. Tra parentesi troverai il risultato per controllare se il tuo lavoro è corretto.
a. 6 + (12 – 6 × 1) + 3 = (15)
(8 + 30 : 3) × 5 = (90)
(5 × 8 + 3) – (3 + 3 × 8) = (16)
b. 8 + [26 : (4 + 9) + 6] = (16)
[100 : (3 × 2 + 4) + 2] = (12)
30 – [5 × (8 – 6)] = (20)
c. 2 + [25 : (3 + 2)] = (7)
9 × [81 : (12 – 3) – 5] = (36)
28 : [4 + (30 – 20)] = (2)
d. 30 + (60 – 7 × 7) – 11 = (30)
(100 – 60 : 2) + (10 × 3 + 8) = (108)
200 – (44 + 6 – 20) + (6 × 4 + 8) = (202)
e. [15 + (5 × 5 + 10) ] – [5 – (6 + 5 – 8)] = (48) [6 × (200 : 10) – 40] : [2 + (3 × 2)] = (10)
[1 000 : (25 – 15) – 50] + [8 × (72 : 9)] = (114)
f. 2 × {90 : [5 + (12 – 9) + 2]} = (18)
50 : {60 – [3 × (10 + 10) – 50]} = (1)
100 – {100 – [100 – (4 × 3 + 8)]} = (80)
3 Cancella il dato inutile, poi indica con X quale espressione risolve il problema.
La 5ª C è composta da 24 allievi e allieve. Oggi in palestra hanno effettuato un gioco dividendosi in 4 squadre. Ciascuna squadra ha a disposizione 21 clavette di 3 colori diversi: rosso, blu, giallo. Ciascun gruppo ha per ogni colore lo stesso numero di clavette. Quante clavette gialle utilizzano i bambini e le bambine?
• delle parentesi: tonde, quadre, graffe. Diversi procedimenti risolutivi
4 Leggi con attenzione il problema.
Maria e le sue 3 amiche vanno a cena in pizzeria. Ordinano 3 pizze che costano 8,50 € ciascuna, un’altra pizza da 10,50 € e 4 bibite da 2,80 € l’una.
Dividono la spesa in parti uguali. Quanto spende Maria?
(24 – 21) × 3 = 21 : 3 × 4 = 24 : 4 × 3 =
Per risolvere il problema si possono utilizzare differenti procedimenti risolutivi. Tra queste espressioni, due possono essere utilizzate per risolvere il problema. Indicale con X.
(8,50 × 3 + 10,50 + 2,80 × 4) : 4 = [(8,50 + 10,50) × 3 + 2,80 × 4] : 4 = (8,50 × 3 + 10,50) : 4 + 2,80 =
PROBLEMI
1 Risolvi i problemi sul quaderno.
Dati mancanti
a. L’elettricista deve rifare l’impianto elettrico degli appartamenti di una palazzina.
Prepara la cassetta degli interruttori: 48 a tre pulsanti e 24 a due pulsanti. Li venderà a una media di 6,30 € ciascuno. Quanto incasserà? In ciascun appartamento installerà lo stesso numero di interruttori.
Quanti appartamenti ci sono nella palazzina?
• Puoi risolvere il problema? Sì No perché: ho tutte le informazioni necessarie. non ho tutte le informazioni necessarie.
Se non è possibile risolvere il problema, aggiungi tu il dato mancante adatto.
Diversi percorsi risolutivi
Con le espressioni
b. A una scuola di lingue si sono iscritte 98 persone che frequenteranno lezioni di inglese, francese e spagnolo. Gli iscritti a inglese sono 62; gli iscritti a francese sono la metà degli iscritti a inglese. Quanti desiderano imparare lo spagnolo?
• Risolvi il problema utilizzando un’espressione.
c. Un gruppo di 5 amici segue un corso di cucina di 5 giorni in una settimana. 2 di loro pagano 15,00 € al giorno ciascuno, perché usufruiscono di uno sconto. Gli altri 3 pagano 20,00 € a testa al giorno.
Oltre all’importo giornaliero, si deve pagare l’iscrizione: per i 5 amici è di 145,00 € in tutto. Quanto riceve complessivamente la scuola di cucina dai 5 amici per una settimana di corso?
• A quali domande intermedie devi rispondere per risolvere il problema? Scrivile sul quaderno.
• Questo problema può avere più percorsi risolutivi. Individuane due e scrivili sul quaderno.
Con uno schema
d. Marta e Luca hanno fatto un tour in bici in tre tappe. La prima tappa era di 6 km. La seconda era lunga il doppio della prima. La terza tappa era la metà della prima tappa e della seconda messe insieme. Quanti chilometri hanno percorso?
• Utilizza uno schema per rappresentare il tour dei due amici e per rispondere alla domanda.
1 Risolvi i problemi sul quaderno.
PROBLEMI
a. Un libraio ha ricevuto 4 casse di libri di lettura, tutti uguali. In ciascuna cassa ci sono 48 libri. Quanti libri riceve il libraio? Il libraio consegna 95 libri nella scuola di Leonardo e gli altri nella scuola di Viola. Quanti libri porterà nella scuola di Viola?
b. Un gommista ha ordinato 168 pneumatici. Li ha messi in ordine in colonne da 12. Quante colonne ha fatto?
Ciascuno pneumatico è costato al gommista 55 euro. A quanto ammonta la spesa?
c. Al supermercato sono state vendute oggi 250 confezioni di mele gialle, 130 di mele rosse e 90 di mele verdi. Sugli scaffali, alla sera, sono rimaste 50 confezioni di mele gialle e 30 di mele rosse. Quante confezioni di mele c’erano negli scaffali la mattina all’apertura del supermercato?
d. Martina ha comperato al mercato 5 kg di arance e 4 kg di zucchine spendendo in tutto 22 €.
Se le arance costano 2 € al chilogrammo, quanto ha pagato al chilogrammo le zucchine?
e. La pasticciera prepara 175 biscotti secchi al cioccolato, 160 alla nocciola, 215 alle mandorle.
Confeziona i biscotti misti in scatole da 25 biscotti. Quante scatole confeziona? Espone una scatola in vetrina con segnato il prezzo: 21,50 €.
Se vende tutte le scatole, quanto incassa?
f. Dieci giorni fa si è svolto l’open day di una scuola di lingue straniere. Hanno lasciato il loro nome per l’iscrizione ai corsi di lingua 64 persone.
Il direttore pensa che si potrebbero organizzare 8 corsi. Quante persone sono previste in ciascuna classe?
Quando si sono concluse realmente le iscrizioni, i partecipanti sono risultati la metà. Il direttore della scuola decide allora di ridurre a metà il numero di corsi.
Quante persone ci sono ora in ciascun corso?
g. Fabrizio acquista un televisore che costa 800 € e un tablet che costa 450 €.
Versa un acconto di 200 € e paga il resto in 5 rate. Quanto dovrà pagare dopo aver versato l’acconto?
A quanto ammonta il valore di ciascuna rata?
h. Fabio, Laura e David decidono di regalare a Massimo un computer che costa 1200 €. Fabio contribuisce con 480 €, David con 50 € meno di Fabio. Quanto versa David? Quanto deve versare Laura?
i. Nella nuova sala dei concerti la platea è composta da 23 file centrali da 15 posti ciascuna e da 20 file laterali da 9 posti ciascuna. Quanti posti ci sono in platea? La platea ha 80 posti in più della zona galleria. Oggi sono stati venduti tutti i biglietti. Quanti spettatori ci saranno? Un biglietto in platea costa 96 euro, uno in galleria costa 38 euro.
Qual è l’incasso di oggi?
Direzione Logica!
1 Trasforma ciascuna domanda nell’operazione a essa legata logicamente, poi scrivi l’operazione da eseguire per rispondere alla domanda e il risultato. Osserva gli esempi.
Quanto manca a 10,25 per arrivare a 11? 10,25 + ? = 11 11 – 10,25 =
Qual è il numero che moltiplicato per 9 dà come risultato 981? ? × 9 = 981 =
Quanto è maggiore 1050 di 990? = =
Per quanto occorre moltiplicare 13 per ottenere 156? = =
2 Nei quadrati magici la somma degli addendi posti su ciascuna riga orizzontale, su ciascuna colonna verticale e su ciascuna diagonale ha come risultato sempre lo stesso numero. Il risultato è la chiave del quadrato magico. Completa i quadrati magici, scrivendo i numeri mancanti.
Chiave 27
Chiave 30
Chiave 36
3 Indica con X l’espressione che dà come risultato il numero indicato.
6 + (1 + 2) × 5 = (6 + 1 + 2) × 5 =
4 Scrivi i segni necessari per ottenere il risultato indicato. Rispetta le regole delle espressioni.
5 Inserisci la parentesi tonda al posto giusto affinché l’espressione abbia il risultato indicato.
2 + 5 × 5 + 3 = 42
2 + 5 × 5 + 3 = 38
21 – 12 : 3 + 3 = 19
21 – 12 : 3 + 3 = 6
Grandi numeri
I numeri si raggruppano in classi: miliardi G M
h da u h da u h da u h da u
Numeri decimali
Parte intera Parte h m
La divide la parte da quella ,
Ciascuna è composta da 3 ordini: centinaia, , Potenze 84
Base .......................................................
La potenza indica una moltiplicazione con i fattori tutti
La base indica il numero che
L’esponente indica quante volte
Proprietà delle operazioni
Addizione
• Proprietà ..........................................................................
• Proprietà
Sottrazione
• Proprietà
Moltiplicazione
• Proprietà
6 + 7 = 7 + 6
5 + 5 + 20 = 10 + 20
40 – 19 = 41 – 20
2 × 14 = 14 × 2
• Proprietà 2 × 5 × 2 × 5 = 10 × 10
• Proprietà 8 × 15 = 8 × 10 + 8 × 5
Divisione
• Proprietà 8 : 0,5 = 80 : 5
Espressioni
Le espressioni sono catene di Si eseguono:
• prima le moltiplicazioni e le ;
• poi le addizioni e le .......................................................
Se ci sono parentesi, si eseguono le operazioni nelle parentesi tonde, poi , poi
5 + {10 x [6 + (12 – 6 x 1)] + 3} : 5 =
I NUMERI RELATIVI
I numeri possono essere positivi (valgono più di 0) e negativi (valgono meno di 0).
1 Con frecce colorate, inserisci i numeri relativi al posto giusto sulla linea dei numeri.
2 Queste sono le temperature minime registrate in un Comune di montagna in una settimana del mese di dicembre. Colora la colonnina del termometro. Poi rispondi.
lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica
• In quale giorno si è registrata la temperatura più bassa?
• Quanti gradi di differenza ci sono tra la temperatura più alta e la più bassa?
• Quanti gradi di differenza ci sono tra il primo e l’ultimo giorno della settimana? .............................................
3 Al maneggio è stata effettuata una gara di corsa a ostacoli. A ciascun cavallo è stato assegnato un punteggio in base alla prestazione, ma anche delle penalità. Completa la tabella, poi rispondi.
+ 8 – 9
+ 11 – 7
+ 6 – 4
+ 7
+ 10 – 5
4 Confronta inserendo i simboli > o < .
• Chi ha ottenuto il punteggio migliore?
• Quali cavalli hanno ottenuto un punteggio negativo?
I MULTIPLI, I DIVISORI, LA SCOMPOSIZIONE
1 Per ciascun numero, colora in azzurro i multipli e in giallo i divisori. Poi rispondi.
• Per ciascun numero, ne hai trovato uno che è sia suo multiplo sia suo divisore? ...............................
• Quale particolarità ha questo numero?
• Quale numero era multiplo di tutti i numeri considerati (15, 10 e 16)? 0 1 Nessuno
• Quale numero era divisore di tutti i numeri considerati (15, 10 e 16)? 0 1 Nessuno
2 Colora i multipli comuni ai numeri 5 e 6. 3 Colora i divisori comuni ai numeri
4 Leggi e scomponi i numeri in fattori primi. Segui l’esempio.
Per scomporre un numero in fattori primi puoi procedere in questo modo:
• scrivi a sinistra dell’asta il numero da scomporre;
• individua e scrivi a destra dell’asta un numero primo per il quale il numero sia divisibile;
• scrivi a sinistra il risultato della divisione che ottieni dividendo il numero iniziale per il numero primo;
• continua fino a quando nella colonna di sinistra otterrai il numero 1;
• infine scrivi la scomposizione riportando tutti i numeri primi che hai trovato.
LE FRAZIONI
Le frazioni possono essere proprie, improprie o apparenti.
1 L’intero è sempre uguale. Dividi continuando a segnare parti grandi come quelle indicate. Poi scrivi l’unità frazionaria corrispondente a ciascuna parte.
2 Suddividi ogni intero utilizzando il campione indicato. Poi scrivi a quale unità frazionaria corrisponde ciascun campione.
3 Scrivi in ordine decrescente le unità frazionarie dell’esercizio precedente.
4 Inserisci il segno > oppure < .
5 Colora in giallo le frazioni minori di 1.
6 Colora in rosa le frazioni maggiori di 1.
7 Colora in giallo le frazioni proprie, in verde le apparenti e in azzurro le improprie.
Due frazioni sono complementari se insieme formano l’intero. Due frazioni sono equivalenti se hanno lo stesso valore.
8 Per ciascuna figura, scrivi la frazione rappresentata dalla parte colorata. Poi colora il quadratino delle figure in cui la parte colorata rappresenta 1 2 .
9 Completa scrivendo la frazione complementare.
10 Completa per trovare la frazione equivalente o l’operatore.
11 Colora nell’intero la parte equivalente a quella indicata, poi completa l’equivalenza.
12 Per ciascuna frazione, scrivine due equivalenti.
13 Colora le frazioni equivalenti alla frazione data.
CONFRONTARE FRAZIONI
1 Osserva queste tre immagini e completa.
intero
figura B
figura B figura C figura C
L’intero è stato diviso in parti.
Ciascuna parte corrisponde a
• Confronta l’unità frazionaria della figura B con quella della figura C e completa.
• Continua il confronto:
2 Considera il pezzo giallo come intero. Completa e rispondi.
L’intero è stato diviso in parti.
Ciascuna parte corrisponde a
• Il pezzo fucsia corrisponde a dell'intero.
• Il pezzo blu corrisponde a ....... dell'intero.
• Il pezzo blu e il pezzo fucsia sono equivalenti?
3 Considera il pezzo giallo come intero. Scrivi quale frazione dell’intero rappresentano gli altri pezzi.
4 Utilizzando i pezzi di costruzione, completa le equivalenze.
Direzione Logica!
1 Osserva gli interi e le parti in cui ciascuno di essi è diviso. Su ciascuna parte indica la frazione che la rappresenta, poi scrivi. Segui l’esempio.
2 Osserva l’intero (il quadrato) e scrivi la frazione che indica quale parte del quadrato è ciascuna figura colorata. Infine dividi il quadrato utilizzando sia parti azzurre sia parti rosa.
3 Osserva l’intero (il quadrato grande) e scrivi la frazione che indica quale parte del quadrato è ciascuna figura colorata. Infine dividi il quadrato utilizzando sia parti verdi sia parti viola.
LE FRAZIONI E I NUMERI
Tutte le frazioni possono essere trasformate in un numero.
1 Conosci già la regola per trasformare le frazioni decimali in numeri decimali. Applicala, poi controlla il risultato utilizzando la calcolatrice: dividi il numeratore per il denominatore.
2 Trasforma le frazioni apparenti in numeri interi.
=
3 Trasforma le frazioni in numeri decimali dividendo il numeratore per il denominatore. Esegui la divisione con la calcolatrice o sul quaderno, fino a resto 0.
4 Completa scrivendo maggiore o minore.
• Se la frazione è propria, il numero decimale corrispondente è di 1.
• Se la frazione è impropria, il numero decimale corrispondente è .......................................................................... di 1.
5 Con frecce colorate, collega le frazioni ai numeri decimali. Se hai difficoltà, trasformale in numeri decimali.
LA FRAZIONE DEL NUMERO
Anche le quantità possono essere frazionate.
1 Calcola a mente il valore di queste frazioni, poi rispondi.
• 3 8 di 24 = • 3 8 è una frazione propria, impropria o apparente?
• 10 8 di 24 = • 10 8 è una frazione propria, impropria o apparente?
• 16 8 di 24 = • 16 8 è una frazione propria, impropria o apparente?
2 Calcola il valore della frazione. Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
a. 7 12 di 36 = 36 : 12 × 7 = =
8 30 di 990 = 990 : 30 × 8 = .................. = ..................
25 45 di 585 = = = b. 5 4 di 40 = = = 53 42 di 714 = .................. = .................. = .................. 19 12 di 1 032 = = =
3 Tea ha preso 6 mele per fare la torta. 6 mele
sono i 3 5 di tutte le mele che aveva nel cesto. Quante mele aveva nel cesto?
6 = 3 5 di ? 6 : × =
L’intero è formato da mele.
4 Calcola il valore dell’intero. Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
a. 80 = 4 7 di ? 80 : 4 × 7 = =
600 = 6 10 di ? 600 : 6 × 10 = = b. 88 = 11 10 di ? : × = = 105 = 7 5 di ? : × = =
LA PERCENTUALE
La percentuale equivale a una frazione con denominatore 100.
1 Trasforma le percentuali in frazioni con denominatore 100 e viceversa.
92% = 4% = 18 100 = %
= %
2 Osserva il grafico che rappresenta le vendite di giocattoli in un grande magazzino e scrivi le percentuali.
Legenda
Trenini
Bambole
Giochi da tavolo
Giochi elettronici
Trenini ...................... %
Bambole %
Giochi da tavolo %
Giochi elettronici %
3 Calcola il valore della percentuale. Esegui i calcoli sul quaderno.
6% di 500 = 6 100 di 500 = 500 : 100 × 6 = =
15% di 1000 = 100 di ...................... = ...................... : 100 × ............... = ............................................... = ......................
150% di 70 = 100 di = : × = =
4 Leggi il problema e completa.
Noemi ha un sacchetto con 100 caramelle: 30 al limone, 20 alla menta, 40 alla liquirizia, 10 alla fragola.
Scrivi a quale percentuale dell’intero corrisponde ciascun tipo di caramelle.
Limone = % Menta = % Liquirizia = % Fragola = %
5 Nel problema precedente era facile calcolare la percentuale perché l’intero era composto da 100 caramelle. Ora osserva un caso un po’ più complicato. Segui l’esempio e completa.
Andrea ha un sacchetto con 80 caramelle: 20 al limone, 16 alla menta, 40 alla liquirizia, e 4 alla fragola.
Scrivi a quale percentuale dell’intero corrisponde ciascun tipo di caramelle.
Limone = 20 80 = 20 : 80 = 0,25 = 25 100 = 25 %
Menta = = ............ : 80 = ............ = 100 = ............ %
Liquirizia = = : 80 = = 100 = %
Fragola = = ............ : 80 = ............ = 100 = ............ %
PROBLEMI
1 Leggi con attenzione i problemi, poi risolvili sul quaderno.
a. Al vivaio di Marta sono arrivate
240 piantine: begonie e azalee. Le begonie sono il 30% delle piantine.
Quante sono le begonie?
Quante sono le azalee?
b. Su un furgone vengono caricate 15 casse per essere distribuite ai fiorai.
Ciascuna cassa contiene 8 confezioni di piantine.
In ciascuna confezione ci sono 6 piantine.
Quanti fiori ci sono sul furgone?
c. Matteo e Paola vanno a comperare
56 piantine di rododendro e 5 di magnolia. Ciascun rododendro costa 4,50 €; tutte le magnolie costano 150,00 €. Marta fa uno sconto sul prezzo totale del 20%.
Quanto pagano Matteo e Paola?
d. Nel reparto dei gerani ci sono piantine che hanno fiori di diverso colore.
72 piantine sono su un espositore e 56 sono a terra. I 3 4 dei fiori sono rossi e la metà dei rimanenti sono rosa. Quante sono le piantine che hanno i fiori rosa?
2 Rifletti sul testo indicando con X le risposte possibili.
Marta nel suo vivaio ha due spazi di esposizione per le piantine aromatiche.
Su uno ci sono 86 vasi con il basilico e sull’altro le piantine di rosmarino sono 18 in meno. Scarta 12 piantine tra basilico e rosmarino perché sono un po’ appassite. Vende tutte le altre a 3,20 € ciascuna.
Che cosa puoi calcolare?
Competenze
Quante sono le piantine di rosmarino?
Quante piantine ha deciso di vendere?
Quante piantine di basilico scarta Marta?
Quante piantine aromatiche sono esposte?
Quanto incassa Marta dalla vendita di tutte le piantine?
• Utilizza uno schema a striscia per rappresentare il problema. Nel reparto delle stelle di Natale i 2 3 sono rosse. Le stelle di Natale sono in tutto 81.
Quante sono le stelle di Natale non rosse?
1 Risolvi i problemi sul quaderno.
PROBLEMI
a. Emma ha 3 5 di 60 €, Giulio ha 2 8 di 64 €.
Chi ha l’importo maggiore? Quanto in più?
b. Francesco ha comperato una chitarra: ha versato subito 175 €, cioè i 5 7 del costo della chitarra.
Quanto costa la chitarra?
Quanto deve ancora versare Francesco?
c. La collezione di figurine di Giada comprende 450 figurine divise in serie oro, argento, bronzo.
Calcola quante sono le figurine oro sapendo che rappresentano i 4 9 del totale.
d. La signora Giulietti compera un’automobile nuova che costa 24 350 €.
Chiede al concessionario di valutare la sua vecchia auto.
La proposta è di 5 850 €.
La signora accetta e lascia la sua auto. Paga subito il 70% della somma che deve versare. Quanto le resta da pagare?
e. Beatrice vede in una vetrina un golfino che costa 96 €. In un altro negozio quel golfino è esposto allo stesso prezzo, ma con lo sconto del 30%. Beatrice compera il golfino scontato.
Quanto lo paga?
Quanto risparmia?
Se paga con una banconota da 100 €, quanto riceve di resto?
f. La signora Lea compera per i suoi nipoti un computer da 455 € e una stampante da 90 €.
Sul prezzo del computer c’è lo sconto del 10%, se acquistato da solo e del 15% se unito a una stampante. Quanto spende la signora Lea?
La signora Lea vuole comperare anche
3 risme di carta da 4,50 €. Dispone di 500 €. Può acquistare anche le risme di carta?
2 Completa il diagramma e il testo del problema in modo adeguato.
20,00 –+ 3,50 3 × 1,80 4 ×
Maddalena al supermercato compera 3 confezioni di salsa che costano ciascuna e 4 pacchi di pasta che costano
Paga con ................................................................................... Quanto ?
Numeri relativi
I numeri relativi sono:
• positivi, se preceduti dal segno
• negativi, se preceduti dal segno
Lo zero non è né ................................. né .................................. e divide i due gruppi di numeri.
Primi e composti
I numeri primi hanno solo 2 divisori: e se stessi. I numeri composti hanno più di ...............................................................
Ciascun numero può essere in fattori primi.
Frazioni
Frazionare significa in parti
Ciascuna parte si chiama .......................................................................................................
Le frazioni possono essere proprie, ,
Due frazioni sono complementari se insieme formano l’
Due frazioni sono equivalenti se hanno lo stesso .....................................................
Per calcolare la frazione di un numero si divide il numero per il denominatore e si moltiplica il risultato per il
Per calcolare il valore dell’intero conoscendo il valore della parte frazionaria si divide il numero per il ..................................................... e si moltiplica il risultato per il
Percentuali
La percentuale esprime una parte dell’
È equivalente a una frazione che ha come denominatore
LE MISURE DI LUNGHEZZA
L’unità fondamentale delle misure di lunghezza è il metro. La marca si riferisce sempre alla cifra delle unità.
1 Colora la misura che indica una lunghezza possibile.
2 Scrivi il valore della cifra evidenziata.
3 In ciascuna misura, evidenzia la cifra che indica:
4 In ciascuna coppia, colora in giallo la misura minore e in azzurro quella maggiore. Se sono uguali, colora entrambe in verde.
5 Colora nello stesso modo le coppie che insieme formano 1 m.
6 Scrivi il risultato delle addizioni, dopo aver eseguito le equivalenze necessarie.
LE MISURE DI MASSA-PESO
L’unità fondamentale delle misure di massa-peso è il chilogrammo.
1 Colora la misura che indica un peso possibile.
2 Scrivi il valore della cifra evidenziata.
3 In ciascuna misura, evidenzia la cifra che indica:
4 In ciascuna coppia, colora in giallo la misura minore e in azzurro quella maggiore. Se sono uguali, colora entrambe in verde.
5 Colora nello stesso modo le coppie che insieme formano 1 kg.
6 Completa la tabella.
LE MISURE DI CAPACITÀ
L’unità fondamentale delle misure di lunghezza è il litro.
1 Colora la misura che indica una capacità possibile.
2 Scrivi il valore della cifra evidenziata.
3 In ciascuna misura, evidenzia la cifra che indica:
4 In ciascuna coppia, colora in giallo la misura minore e in azzurro quella maggiore. Se sono uguali, colora entrambe in verde.
5 Colora nello stesso modo le coppie che insieme formano 1 <l .
Direzione Logica!
1 Puoi usare solo un’unità di misura? Completa la tabella. Poi rispondi.
unità di misura misura possibile peso del mammifero più piccolo del mondo salto in alto record del mondo tempo record dei 400 m piani estensione dell’Asia percorso del Giro d’Italia peso di una nave da crociera
• Come potresti controllare se le tue stime sono giuste?
2 Metti in fila: da chi è più alto a chi è più basso. Poi rispondi.
Anna è alta 5 cm più di Beatrice. Beatrice è alta 3 cm meno di Dario. Dario è alto 2 cm più di Carlo.
• Quanti centimetri di differenza ci sono tra Anna e Carlo?
Suggerimento: immagina l’altezza di Anna (puoi scrivere qualsiasi numero) e, partendo da questo numero, calcola le altezze degli altri.
3 Uno schema per i legni!
Due pezzi di legno, messi uno di seguito all’altro, misurano in tutto 100 cm. Uno è 20 cm più lungo dell’altro. Utilizza lo schema e rispondi. Quanto misura ciascuno dei due pezzi di legno?
4 Cubi e cilindri sulla bilancia: osserva e completa.
• Un cilindro pesa
LE MISURE DI TEMPO
L’unità fondamentale delle misure di tempo è il secondo. Le misure di tempo non seguono sempre la base decimale.
1 Esegui addizioni e sottrazioni con le misure di tempo. Ricorda che 1 ora vale 60 minuti.
14 h 35 min + 7 h 45 min = ………………............
h min
14 35 +
7 45 =
11 h 00 min – 4 h 35 min = ………………............
h min
11 00 –4 35 =
2 Trasforma le durate in ore e minuti. Segui l’esempio.
• 85 min = 1 h 25 min
• 90 min = h min
• 110 min = h min
• 50 min = h min
3 Trasforma le durate in giorni e ore. Segui l’esempio.
• 28 h = 1 d 4 h
• 48 h = d h
• 30 h = d h • 25 h = d h
4 Esegui le equivalenze.
• 3 min = s • 180 min = h
• 3 d = h
5 Quanto tempo è trascorso? Colora la risposta corretta o calcola.
• Dalle 10.20 alle 11.30 40 min 1 h 10 min 2 h
• Dalle 12.10 alle 2 del pomeriggio 2h 2 h 10 min 1 h 50 min
6 Risolvi i problemi sul quaderno.
• Dalle 15.15 a mezzanotte
• 1 h = s
• Dalle 8.30 alle 16.30
a. Laura ha lasciato la sua automobile nel parcheggio a pagamento vicino al centro città. Ha parcheggiato alle ore 9:30 e ha ritirato la sua autovettura alle ore 14. Osserva la tabella dei prezzi e calcola quanto ha dovuto pagare Laura.
Prime 3 ore 5,00 € Ogni ora successiva 2,50 € Frazione di ora 1,50 €
b. Andrea si reca al lavoro in bicicletta e, in media, impiega 45 minuti all’andata e 45 al ritorno. Lavora 5 giorni alla settimana. Quanto tempo utilizza per andare al lavoro in una settimana?
LE MISURE DI VALORE
1 Osserva i prezzi della merce in vendita dal cartolaio.
Calcola quanto spende ogni persona. Esprimi la spesa di ciascuna con un’espressione. Esegui i calcoli sul quaderno.
Adriano 2 quaderni 6 penne 2 matite 1 squadra Vincenzo 2 gomme 1 compasso 2 album 3 quaderni
Emma: .......................................................................................................................................................................................................................................................................
Adriano:
Vincenzo:
2 Completa la tabella indicando il minor numero di banconote e monete possibile per avere ciascun importo. Segui l’esempio.
3 Risolvi i quiz.
• Se un ettogrammo di prosciutto costa 3,80 €, 50 g costano
• Se 0,5 kg di pane costano 3,45 €, un chilogrammo costa …….................…
• Se un grossista vende a 485,00 € un armadio che aveva pagato 322,00 €, guadagna
• Se il giornalaio vende un fumetto a 5,30 € guadagnando 1,20 €, significa che lui lo aveva pagato
Lunghezza • Massa-Peso • Capacità
Nelle equivalenze con le misure di lunghezza, peso, capacità per passare da una:
• unità di misura maggiore a una minore, si per 10, 100, 1000…
• unità di misura minore a una maggiore, si per 10, 100, 1000…
Tempo
LE MISURE
Per il tempo l’unità di misura fondamentale è il ..................................................
Un minuto è formato da secondi.
Un’ora è formata da minuti.
Un giorno è formato da ..................... ore.
La compravendita
Dal punto di vista di chi vende:
• la è quanto ha pagato la merce;
• il è quanto incassa dalla vendita;
• il .................................................. o la perdita è la differenza
tra spesa e
LINEE E ANGOLI
Linee e angoli sono gli enti geometrici che formano le figure piane e quelle solide.
1 Ripassa con lo stesso colore le linee tra loro parallele.
2 Ripassa con lo stesso colore le linee tra loro perpendicolari.
3 Disegna due rette passanti per A:
• in rosso una retta parallela alla retta r;
• in blu una retta perpendicolare alla retta r.
r
• Come sono tra di loro le due rette che hai disegnato?
4 Colora in rosso il vicino agli angoli concavi e in verde quello vicino agli angoli convessi.
5 Disegna l’altro lato dell’angolo, rispettando la misura indicata.
IL PIANO CARTESIANO
Per indicare la posizione di un punto sul piano cartesiano si devono dare due coordinate:
• la prima si riferisce all’asse orizzontale (asse delle ascisse);
• la seconda si riferisce all’asse verticale (asse delle ordinate).
1 Sul piano cartesiano, segna i seguenti punti e uniscili tra loro. Poi indica con X.
A (0, 2) B (2, 2) C (3, 2) D (5, 2)
2 Sul piano cartesiano, segna i seguenti punti e uniscili tra loro. Poi indica con X.
A (3, 0) B (3, 1) C (3, 2) D (3, 5)
I punti che hanno la stessa ordinata si trovano su una linea parallela all’asse: delle ascisse. delle ordinate.
3 I punti A, B, C sono vertici di un rombo: scrivi le coordinate, individua il quarto vertice D e disegna il rombo.
A ( , ) B ( , ) C ( , )
I punti che hanno la stessa ascissa si trovano su una linea parallela all’asse: delle ascisse. delle ordinate.
4 Segna i punti elencati. Poi disegna il poligono che li ha come vertici e completa.
A (1, 2) B (2, 5) C (5, 5) D (6, 2)
Il poligono ottenuto è un
LE ISOMETRIE E LA SIMILITUDINE
Le isometrie sono spostamenti di una figura sul piano. La figura non cambia né la grandezza né la forma. La similitudine è la trasformazione di una figura.
La figura mantiene la stessa forma, ma cambia la grandezza.
1 Disegna la stessa figura simmetrica, traslata, ruotata.
90°
2 Osserva le coppie di figure e per ciascuna indica quale spostamento isometrico hanno subito: simmetria, rotazione, traslazione. Disegna poi l’asse di simmetria o il vettore di traslazione o il centro di rotazione e la freccia che indica il verso della rotazione.
3 Scrivi la misura reale di ciascun animale. Poi rispondi.
• Quale animale è stato rimpicciolito?
• Quale è stato ingrandito?
Scala 3 : 1
La zanzara nella realtà è lunga
cm.
Scala 1 : 100
La giraffa nella realtà è alta
cm, cioè
m.
DISEGNARE CON IL PIANO CARTESIANO E LE ISOMETRIE
Sei bravo/brava in disegno? In ogni caso, sappi che anche chi non riesce a disegnare bene, può realizzare delle opere bellissime utilizzando la matita e il righello! Ci vuole solo un po’ di precisione!
1 Per riprodurre questo disegno, unisci i punti sull’ascissa e sull’ordinata che hanno come somma 10 (1 con 9, 2 con 8…) e… il gioco è fatto!
2 Ora prova a disegnare questo!
3 Come te la cavi con le isometrie? Qui vedi un’immagine ottenuta con disegni simmetrici o ruotati. Continua tu e colora come più ti piace.
I POLIGONI
I poligoni sono figure piane. Ogni poligono ha lo stesso numero di lati, angoli e vertici.
1 Scrivi il nome degli elementi del poligono.
3 Classifica i poligoni colorando il come indicato. poligono equiangolo poligono regolare poligono equilatero poligono irregolare
2 Ripassa in verde il contorno e colora in giallo la superficie dei poligoni.
4 Disegna un rettangolo isoperimetrico alla figura data.
5 Disegna una figura equiestesa alla figura data.
IL TRIANGOLO
Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.
Se il triangolo è ottusangolo, l’altezza può cadere anche all’esterno della figura, sul prolungamento del lato.
1 Ripassa le 3 altezze del triangolo ottusangolo.
2 Traccia le 3 altezze nel triangolo equilatero, in quello isoscele acutangolo e nel triangolo rettangolo. Poi rispondi.
• In quale dei triangoli le altezze sono uguali?
• Nel triangolo rettangolo quante altezze coincidono con i lati?
3 Classifica ciascun triangolo sia in base ai lati sia in base agli angoli.
LE MISURE DI SUPERFICIE
L’unità fondamentale delle misure di superficie è il metro quadrato. La marca si riferisce alle cifre delle decine e delle unità.
Per passare da una misura all’altra si moltiplica o si divide per 100.
1 Osserva il valore delle cifre e cerchia in rosso i metri quadrati, in blu i decimetri quadrati, in verde i centimetri quadrati.
75, 68 43 m2 65 43, 55 dm2 98 43 61 cm2 81, 90 32 m2 5, 67 34 m2
2 Osserva il valore delle cifre e cerchia in rosso i chilometri quadrati, in blu gli ettometri quadrati, in verde i decametri quadrati, in arancione i metri quadrati.
48, 31 27 km2 72 95 01 m2 85 46, 09 dam2 53 21 91 dam2 9, 75 47 hm2
3 Scrivi il valore delle cifre in colore.
34,22 m2 34 34,22 m2 22
4 Colora in azzurro le cifre che si riferiscono alla prima marca e cerchia quelle che si riferiscono alla seconda marca. Poi esegui le equivalenze. Segui l’esempio.
2 45,7 dm2 = 2,457 m2
85,67 m2 = ......................... dm2
1 500 m2 = 15
12,56 km2 = hm2
7 500 cm2 = ......................... dm2
33,41 m2 = dm2
75,99 dam2 = ......................... m2
7 600 dam2 = 76 134,2 hm2 = 1,342 3,1 cm2 = 310 0,7 dm2 = 70 15 m2 = 1 500 760
6 Esegui le equivalenze.
5 Scrivi la marca. 177 m2 = dam2
2 500 dm2 = cm2 1,8 m2 = dm2 m2 = 0,3 dam2
dm2 = 932 m2
m2 = 0,3 dm2
101 dm2 = cm2 dm2 = 78 cm2
5,2 m2 = dam2
IL RETTANGOLO E IL QUADRATO
Il rettangolo e il quadrato sono quadrilateri con 4 angoli retti.
1 Misura i lati del rettangolo. Poi disegna un altro rettangolo isoperimetrico, ma con lati di misura diversa. Calcola le aree e rispondi.
• I due rettangoli sono equiestesi? A = …............................................
2 Completa la formula per trovare l’area del rettangolo e le formule inverse.
A = b = A : h =
3 Scrivi sulle figure le misure e risolvi i quesiti indicando le operazioni che servono. Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
a. Un rettangolo ha la base lunga 12 cm. L’altezza è 1 3 della base. Calcola il perimetro e l’area.
• Altezza =
• Perimetro =
• Area = ..............................................................................................................................
b. Un rettangolo ha l’area di 36 cm2 e l’altezza di 4 cm. Quanto misura la base?
Calcola il perimetro del rettangolo.
Quanto misura il lato di un quadrato isoperimetrico? Calcola l’area del quadrato
• Base del rettangolo =
• Perimetro del rettangolo = .....................................................................
• Lato del quadrato =
• Area del quadrato =
IL ROMBOIDE E IL ROMBO
1 Trasforma il quadrato in un romboide equiesteso traslando il triangolo azzurro. Poi rispondi.
Il romboide e il rombo sono quadrilateri con due coppie di lati paralleli. Hanno 2 angoli ottusi e 2 angoli acuti. Il romboide che hai costruito ha perimetro uguale, maggiore o minore rispetto al quadrato? Motiva la tua risposta. ...................................................................................................................................
2 Traccia l’altezza del romboide. Trasformalo in un rettangolo equiesteso. Poi rispondi.
Il rettangolo che hai costruito ha perimetro uguale, maggiore o minore rispetto al romboide? Motiva la tua risposta.
...................................................................................................................................
3 Completa le formule per trovare l’area del rombo e del romboide e le formule inverse.
A rombo = D = (A × ) : d = A romboide = b = A : h =
4 Scrivi sulla figura le misure e risolvi il quesito indicando le operazioni che servono. Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
Un rombo ha la diagonale maggiore lunga 8 cm e l’area di 16 cm2
Il lato è lungo 0,5 cm più della diagonale minore. Calcola il perimetro del rombo. d = ............................................ <l = P =
IL TRAPEZIO
Il trapezio è un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli.
1 Per ciascun trapezio, scrivi quale particolare tipo rappresenta. Poi, in ciascuna figura, traccia due altezze.
Trapezio Trapezio Trapezio
2 Traccia l’asse di simmetria del trapezio isoscele. Poi rispondi.
• Quali figure hai ottenuto?
• Il perimetro di ciascuna figura che hai ottenuto è la metà di quello del trapezio ABCD? A D B C
• L’area di ciascuna figura che hai ottenuto è la metà di quella del trapezio ABCD?
3 Completa la formula per trovare l’area del trapezio e le formule inverse.
4 Scrivi sulle figure le misure e risolvi i quesiti indicando le operazioni che servono.
Se necessario, esegui i calcoli sul quaderno.
a. Un quadrato ha il lato di 12 cm. Un triangolo rettangolo isoscele ha i lati lunghi 12 cm, 12 cm e 17 cm. Calcola il perimetro del quadrato e la sua area. Poi calcola il perimetro del triangolo e la sua area.
• Area del triangolo = A = B + b = (A × ) : h =
• Perimetro del quadrato = ......................................................................................
• Area del quadrato =
• Perimetro del triangolo =
b. Unisci le due figure dell’esercizio precedente per formare un trapezio rettangolo. Disegnalo e calcolane il perimetro e l’area
• P = .............................................................................................
• A =
IL TRIANGOLO
1 Completa la formula per trovare l’area del triangolo e le formule inverse.
2 In ciascun triangolo disegna un’altezza. Misura i lati e l’altezza. Poi calcola perimetro e area.
AB = cm
BC = cm
AC = cm h = cm
P = ........................................................
AB = cm
BC = cm
AC = cm h = cm
P = ........................................................ = ................
A = =
3 Risolvi i quesiti.
• Un triangolo equilatero ha il perimetro lungo 27,9 cm. Quanto misura un lato?
• Un triangolo isoscele ha il perimetro di 48 cm. La base è lunga 20 cm. Quanto misura ciascuno dei lati obliqui?
• Un triangolo scaleno ha la base lunga 1,6 dm e l’altezza lunga 10 cm. Calcola la sua area.
4 Scrivi sulla figura le misure e risolvi i quesiti indicando le operazioni che servono.
Nel triangolo scaleno ABC, l’altezza BH divide la base AC in due parti di cui una è doppia dell’altra.
Queste sono le misure dell’altezza e dei lati del triangolo:
BH = 8 cm AC = 9 cm
AB = 10 cm
BC = 8,5 cm Calcola area e perimetro del triangolo ABH e del triangolo HBC.
AH = HC = Perimetro di ABH = Area di ABH = ................................................................................................ Perimetro di HBC = Area di HBC =
Direzione Logica!
1 Traccia la diagonale AC del trapezio rettangolo. Poi rispondi.
• Quali figure hai ottenuto?
• Come si calcola l’area della figura ABC?
• Come si calcola l’area della figura ACD?
2 Per ciascuna figura, trova le misure mancanti e calcola il perimetro. Calcola poi l’area: per poterlo fare, dovrai suddividere il poligono in parti di cui sai calcolare l’area.
• Perimetro =
• Area =
• Perimetro =
• Area =
3 Risolvi il quesito insieme ai compagni e alle compagne. Potete utilizzare differenti strategie per trovare più soluzioni possibili.
Un albero per ciascuno
Tonio ha questo campo e vuole dividerlo tra i suoi 4 figli.
Deve fare in modo, però, che tutte le parti abbiano la stessa area e che in ciascuna ci sia un albero.
Come può suddividere il campo?
I POLIGONI REGOLARI
Un poligono è regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
1 Scrivi la formula per trovare la misura dell’apotema e la formula inversa.
a = <l = .........................................................................
2 Scrivi la formula per trovare l’area dei poligoni regolari e le formule inverse.
A = P × P = ......................................................................... a = .........................................................................
3 Per ciascun poligono, traccia l’apotema e calcolane la lunghezza, dopo aver misurato il lato. Infine calcola perimetro e area.
Apotema = .............. × 0,688 = .............. cm
Perimetro = × = cm
Area = × : 2 = cm2
4 Esegui i calcoli sul quaderno. Riporta i risultati e rispondi. cm cm cm
Apotema = × 1,038 = cm
Perimetro = × = cm
Area = × : 2 = cm2
Apotema = .............. × 0,866 = .............. cm
Perimetro = × = cm
Area = × : 2 = cm2
Questa aiuola è formata da ottagoni regolari. Quanti sono? Tutti i lati degli ottagoni sono tracciati? Sì No Ogni lato è lungo 1,5 m.
Calcola il perimetro dell’aiuola. P = Hai moltiplicato il perimetro di un ottagono per 3 volte? Sì No Perché?
Calcola l’area dell’aiuola. A = Hai moltiplicato l’area di un ottagono per 3 volte? Sì No Perché?
IL CERCHIO E LA CIRCONFERENZA
Il cerchio è una figura piana, ma non è un poligono. La circonferenza è la linea curva che delimita il cerchio.
1 Colora in verde la circonferenza e in giallo il cerchio.
2 Collega ciascun termine alla definizione corrispondente. Poi rispondi.
Cerchio
Circonferenza
• Il cerchio è una linea? ..................
• La circonferenza è una linea?
Linea curva i cui punti hanno la stessa distanza dal centro.
Figura piana chiusa da una linea curva i cui punti hanno la stessa distanza dal centro.
3 Scrivi il nome dell’elemento indicato.
• La circonferenza è una figura piana? ..................
• Quanti assi di simmetria ha il cerchio?
4 Completa le formule per calcolare la misura della circonferenza e le formule inverse.
C = d × oppure C = r × d = r =
5 Completa le formule per calcolare l’area del cerchio.
A = C × oppure A = r ×
6 Risolvi il problema sul quaderno.
Un campo da gioco per ragazzi ha la forma e le misure che vedi nel disegno. Calcolane l’area e la lunghezza del contorno. 20 m
8 m
Direzione Logica!
1 Suddividi l’esagono in 3 rombi, colorandone la superficie con 3 colori diversi.
2 Nel disegno ripassa con colori diversi il contorno di 4 trapezi isosceli (le figure possono sovrapporsi. Se un lato è comune a più trapezi, affianca i differenti colori del contorno).
3 Osserva ciascuna figura. In due di esse la parte colorata ha la stessa estensione. Quali sono? Indica con X.
4 Osserva: per costruire un cubo utilizzando stuzzicadenti e palline di pongo occorrono 12 stuzzicadenti e 8 palline di pongo.
Completa il disegno e rispondi.
• Quanti stuzzicadenti e quante palline di pongo occorrono per costruire un tetraedro?
Occorrono stuzzicadenti e palline di pongo.
I POLIEDRI
I poliedri sono solidi. Le loro facce sono poligoni.
1 Scrivi il nome di ciascun poliedro.
2 Per ciascuna definizione, scrivi il nome dell’elemento a cui corrisponde. Poi coloralo nel poliedro, utilizzando il colore della definizione.
• Il punto di incontro delle facce:
• Il lato comune a due facce:
• Ciascun poligono che racchiude il solido:
3 Di quale poliedro si parla? Scrivi il nome.
• Ha una sola base: ...................................................................................................................................................................................................................................
• Ha due basi, uguali e parallele:
• È chiuso da 6 facce che sono tutti rettangoli, uguali a due a due:
• È chiuso da 6 facce che sono tutti quadrati:
4 Circonda in rosso solo i poliedri, poi rispondi.
• Quelli che non hai circondato sono anch’essi dei solidi?
• Perché non sono poliedri?
OSSERVARE I POLIEDRI
1 In ciascun solido, colora come indicato. una faccia uno spigolo un vertice
2 Osserva il parallelepipedo, completa e rispondi.
• Il parallelepipedo ha: facce. spigoli.
vertici.
• Le facce sono tutti uguali a due a due.
• Quale faccia è uguale a ABCD?
• Quale faccia è uguale a AEFB?
• Quale faccia è uguale a AEHD?
• AE è lo spigolo comune alle facce AEFB e
• D è un vertice, punto di incontro di 3 spigoli. Quali? , ,
3 Osserva il prisma, completa e rispondi. 4 Il solido dell’esercizio 3 è appoggiato su una faccia laterale. È ugualmente un prisma? Sì No
• Il prisma ha 2 basi che sono tra loro ....................................................
• Il numero delle facce laterali dipende dal numero dei lati del poligono di
• Questo prisma ha: facce; spigoli; vertici.
• Le facce di base sono equilateri.
• Le facce laterali sono
• Quale faccia è uguale a ABC? ......................................................................
• Quali facce sono uguali a ABED?
• AC è lo spigolo comune alle facce ABC e
• Quale spigolo è parallelo ad AC? Lo spigolo
• F è un vertice, punto di incontro di 3 spigoli. Quali?
LO SVILUPPO DEI POLIEDRI
1 Lo sviluppo di questo poliedro non è completo. Disegna le parti mancanti.
2 Rispondi, poi colora le figure piane che servono per costruire i poliedri.
• Quante facce ha una piramide a base quadrata? .............................
• Quale poligono forma la base?
• Quali poligoni formano le facce laterali?
• Quante sono le facce laterali?
• Le facce laterali sono tutte uguali? Sì No
• Colora così: la base le facce laterali
• Quante facce ha un prisma a base pentagonale? .............................
• Quali poligoni formano le basi?
• Quante sono le basi?
• Quali poligoni formano le facce laterali?
• Quante sono le facce laterali?
• Le facce laterali sono tutte uguali? Sì No
• Colora così: le basi le facce laterali
L’AREA DEI SOLIDI
L’area laterale è la misura della superficie delle facce laterali del solido.
L’area di base è quella della base o delle basi.
L’area totale è la misura della superficie di tutte le facce del solido.
1 Osserva lo sviluppo dei solidi.
Colora in giallo la superficie laterale e in verde la superficie delle basi.
2 Completa lo sviluppo del parallelepipedo disegnando le due facce laterali mancanti.
Poi misura gli spigoli e calcola l’area totale.
Area di base = lunghezza × larghezza
Area laterale = perimetro di base × altezza
Ab = × = cm2
Al = (…… + …… + …… + ……) × …… = ……… cm2
A t = Al + 2 × Ab = + 2 × = cm2
3 Questa che vedi è la base di un cilindro. Il raggio misura 0,5 cm.
Disegna la faccia laterale sapendo che l’altezza del cilindro è di 2 cm. Poi calcola l’area.
Area di base = r × r × 3,14
0,5cm
Ab = × × 3,14 = cm2
Area laterale = circonferenza di base × altezza
Al = (............ × 6,28) × ............ = ............ cm2
A t = Al + 2 × Ab = + 2 × = cm2
LE MISURE DI VOLUME
L’unità fondamentale delle misure di volume è il metro cubo. La marca si riferisce alle cifre delle centinaia, delle decine e delle unità.
Per passare da una misura all’altra si moltiplica o si divide per 1 000.
1 Colora la misura che indica un volume possibile.
2 Osserva le figure. I cubi che le compongono sono decimetri cubi. Scrivi il volume.
3 Ordina i solidi dell’esercizio precedente dal più grande al più piccolo, scrivendo le lettere che li contraddistinguono.
4 Evidenzia le cifre della marca, poi completa la tabella scrivendo le cifre al posto giusto.
IL VOLUME DEI SOLIDI
Il volume è la misura dello spazio occupato da un solido.
1 Scrivi il volume di ciascun cubo, utilizzando come unità di misura il cubetto.
Poi indica con X.
2 Questi solidi sono stati costruiti con cubetti da 1 cm3. Calcola il loro volume.
Volume = cm3
Volume =
Volume =
• Se il lato del cubo raddoppia, il volume: raddoppia.
diventa 4 volte maggiore. diventa 8 volte maggiore.
4 Completa le tabelle.
Volume = cm3
3 Scrivi la formula per calcolare il volume del cubo.
Volume del cubo = × ×
Competenze
• Visualizza nella tua mente un cubo, un parallelepipedo e una piramide. Riesci a vedere il cubo e il parallelepipedo formati da cubetti?
Immagina di tagliare i cubetti e “inserirli” nella piramide. Secondo te, il volume della piramide: si può calcolare come gli altri solidi utilizzando le misure di volume. si può calcolare utilizzando unità di misura a forma di piramide. non si può calcolare.
Quaderno
Isometrie
Le isometrie sono spostamenti delle figure sul piano.
La figura non cambia né la né la Sono isometrie la rotazione, la , la
Poligoni
I poligoni sono figure piane. Sono poligoni:
Cerchio e circonferenza
Il è una figura piana delimitata da una linea curva in cui tutti i punti hanno la stessa distanza dal
La è la linea curva che delimita il cerchio.
Circonferenza = r
Solidi
I solidi sono figure con dimensioni.
I poliedri sono solidi chiusi da ..............................................
I prismi sono poliedri con due uguali e Dei solidi si può calcolare:
• l’ laterale, quella di base e quella totale;
• il volume.
Le misure di superficie
Per le superfici l’unità di misura fondamentale è il
Per eseguire una equivalenza con le misure di superficie, si moltiplica o per 100, 10000…
Le misure di volume
Per i volumi l’unità di misura fondamentale è il
Per eseguire una equivalenza con le misure di volume, si o per 1000, 1000000...
LE RELAZIONI
Saper porre in relazione i dati aiuta anche a risolvere i problemi.
1 Risolvi i problemi seguendo le indicazioni.
a. Per fare la maionese nel suo ristorante, Valeria utilizza i seguenti ingredienti.
Dose per 12 persone
• 2 tuorli
• olio di semi 250 m<l
• aceto 1 cucchiaino
• succo di limone 30 c<l
• sale 3 g
Quali ingredienti servono per 6, per 18 o per 24 persone?
b. Sara ha comperato una scatola da 30 cioccolatini. Nella scatola ogni 2 cioccolatini fondenti ce ne sono 3 al latte e 1 ripieno di crema.
Quanti cioccolatini ci sono nella scatola per ciascun tipo?
Nella scatola ci sono cioccolatini al latte, fondenti e ripieni di crema.
2 Utilizza una rappresentazione grafica per rappresentare le parti.
Completa la tabella per rispondere alla domanda.
Completa la tabella. Colora la riga che si riferisce alla scatola di cioccolatini comperata da Sara. Poi rispondi.
In classe ci sono 24 tra bambini e bambine. Le bambine sono 4 più dei maschi. Quante sono le femmine? Quanti sono i maschi?
Disegna una linea lunga 24 quadretti.
Inizia colorando i quadretti che rappresentano la differenza tra il numero di maschi e di femmine.
3 Utilizza l’immagine per capire la risposta.
Antonio e Felicia hanno ognuno 10 euro. Felicia regala ad Antonio un euro. Quanti euro ha ora Antonio più di Felicia?
Felicia
Antonio
LE CLASSIFICAZIONI
Per classificare occorre prestare molta attenzione alle caratteristiche indicate.
1 Classifica le tazze inserendo al posto giusto le lettere corrispondenti.
2 Questo gruppo di fiori è stato classificato prendendo in considerazione caratteristiche differenti. Osserva le diverse classificazioni e scrivi nei cartellini le caratteristiche prese in considerazione.
I CONNETTIVI LOGICI
I connettivi logici sono parole che collegano le frasi e indicano una situazione.
1 Leggi con attenzione le frasi in cui è usato spesso il connettivo logico “non”. Poi, per ciascuna affermazione, indica V (vero) o F (falso).
• Le albicocche sono arancioni e crescono sugli alberi. V F
• Le albicocche non sono arancioni e crescono sugli alberi. V F
• Le albicocche sono non arancioni e non crescono sugli alberi. V F
• Le albicocche non sono non arancioni e crescono sugli alberi. V F
2 Osserva e rispondi.
3 Inserisci nel diagramma di Venn le lettere che contraddistinguono gli elementi, poi completa. sport in cui si utilizza la palla
• Quali tra gli sport nominati sono sport di squadra e utilizzano la palla? ........................................................................................................................................................................................................................................................................................
• Quali tra gli sport nominati sono sport di squadra o sport che utilizzano la palla?
• Quali sono sport di squadra e non utilizzano la palla?
• Quali sono sport non di squadra e utilizzano la palla?
• Scrivi il nome di almeno due sport che non utilizzano la palla e non sono di squadra.
• Il paio di scarpe A è , ha , ha
• Il paio di scarpe G ha , non , non
• Il paio di scarpe D
Sport di squadra staffetta tennis ping-pong calcio basket sport di squadra con il
con il fiocco
LA PROBABILITÀ
1 Viola partecipa a un gioco a premi. Se pescherà una biglia fucsia, riceverà un premio. Può scegliere il sacchetto con cui pescare. Qual è la scelta più favorevole?
Indica con X.
La probabilità di pescare una biglia fucsia è: sempre uguale, perché le biglie fucsia sono la metà del numero totale in ciascuna scatola. maggiore con il sacchetto C perché le biglie fucsia sono 4. maggiore con il sacchetto B perché in esso vi sono biglie di tre colori diversi.
2 Leggi e osserva.
Alla festa della scuola i bambini e le bambine hanno preparato una roulette un po’ particolare: comperando un biglietto, ciascuno/a di loro farà girare la ruota. Ciascun colore corrisponde a un diverso regalo.
Scrivi la probabilità che ciascun fatto accada.
8 su 20 = 8 20 = =
Ora calcola la percentuale che corrisponde a ciascuna probabilità: esegui le divisioni fino ai centesimi, come nell’esempio. Se vuoi, usa la calcolatrice.
8 20 = 8 : 20 = 0,40 = 40 100 = 40%
%
%
LA STATISTICA
Le indagini statistiche raccolgono dati su una situazione. Li organizzano e li mostrano attraverso grafici e tabelle.
1 Tito è il proprietario di una trattoria, chiusa il mercoledì. I suoi orari di lavoro sono molto variabili. A fine settimana controlla quanto tempo ha lavorato.
GIORNO lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica
Ore di lavoro 4 6 0 7 8 10 6
Rappresenta i dati utilizzando differenti tipi di grafici. Ideogramma Istogramma
giorno ore di lavoro lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica = 2 ore
2 Osserva il grafico e rispondi.
quantità di pioggia caduta (in mm)
• previsioni
0 2 4 6 8 10 mercoledì sabato martedì venerdì giovedì domenica
Grafico cartesiano
sabato martedì venerdì giovedì domenica
• dati reali Il grafico rappresenta la quantità di pioggia caduta a Pian di Sole nei primi 10 giorni di aprile.
• Che tipo di grafico è?
• Nei primi 4 giorni è caduta più o meno pioggia delle previsioni?
• E nei successivi, complessivamente?
• In quale giorno è caduta la quantità maggiore di pioggia?
• In quale giorno era prevista la quantità maggiore di pioggia?
• Quanta pioggia è caduta il 10 aprile?
• Quanta pioggia è caduta nella settimana dal 2 all’8 aprile? …………………............
• Quanti giorni non ha piovuto?
3 Al Museo di Storia Naturale oggi sono entrati 3 gruppi organizzati, ciascuno accompagnato da una guida. Osserva la composizione dei gruppi e collega a ciascuno di essi, numerando, l’areogramma che rappresenta la situazione.
adulti ragazzi e ragazze
1° gruppo 24 12
2° gruppo 10 30
3° gruppo 15 15
4 Nel Museo le presenze totali odierne sono state 245. Gli adulti pagano il biglietto a prezzo intero, i ragazzi e le ragazze hanno una riduzione, chi ha più di 70 anni e chi ha meno di 6 anni entra gratuitamente. I biglietti gratuiti sono stati 25, quelli ridotti sono stati 100. Completa la tabella di frequenza e costruisci l’istogramma.
tipo di biglietto frequenza intero ridotto gratuito
5 Controllando le vendite dei biglietti della scorsa settimana il direttore del Museo nota che i biglietti interi corrispondono al 48% e i ridotti al 45%. A quale percentuale corrispondono i biglietti gratuiti? Colora la legenda e l’areogramma quadrato.
MODA, MEDIA, MEDIANA
Moda, media, mediana sono indici statistici che illustrano una situazione.
1 Nelle classi quarte e quinte della scuola primaria G. Rodari è stata svolta una indagine per sapere quali sport praticano i bambini e le bambine. Questi sono i dati raccolti.
Colora la casella con la frequenza massima: a quale sport corrisponde?
Questo sport è: la moda. la media. la mediana.
2 Isa, Kader, Monica, Mattia, Tommy hanno partecipato a una festa di compleanno. L’ideogramma rappresenta il numero di focaccine mangiate da ciascuno.
Legenda = 2 focaccine
Isa
Kader
Monica Mattia
Tommy
Osserva la legenda, ricava i dati e calcola la media. ( + + + + ) : =
Trascrivi i numeri di focaccine mangiate in ordine crescente e colora di giallo la casella centrale.
Hai colorato il numero : è la mediana delle focaccine mangiate alla festa.
3 Vera tutti i giorni pranza al bar. Ecco quanto ha speso ogni giorno di questa settimana.
Completa.
La moda è €. In questo caso la moda indica: il prezzo pagato più spesso. il prezzo più alto. il prezzo più basso.
4 Leggi ed esegui.
a. Pietro osserva le assenze che ha fatto lo scorso anno scolastico.
mese settembre ottobre novembre dicembre gennaio febbraio marzo aprile maggio giugno
• Qual è la media mensile di assenze? .........................................................................................................
• Scrivi i dati in ordine crescente o decrescente e trova la mediana.
La mediana è
• In quale mese ha effettuato il numero maggiore di assenze?
• In quali quello minore?
b. L’insegnante di matematica della classe di Pietro tiene nota di tutte le assenze effettuate dai suoi 24 alunni e alunne.
Afferma che nello scorso mese di maggio le assenze complessive sono state 60.
• Qual è la media di assenze di ciascun alunno e ciascuna alunna in quel mese? 2 2,4 2,5 3
• Pietro nel mese di maggio ha effettuato un numero di assenze inferiore o superiore alla media?
• Nel mese di maggio i giorni di lezione sono stati 20.
• Qual è la media di assenze di ciascun giorno in quel mese?
2 2,4 2,5 3
5 L’insegnante di calcio ha riportato in un grafico il numero di ragazzi o ragazze che hanno segnato un certo numero di gol nella stagione. ragazzi/ragazze
n. gol 6 7 8 9 10
• Qual è la moda?
Relazioni
Relazione
Relazione
Classificazioni
Le classificazioni possono essere rappresentate con i diagrammi di , di , ad
RELAZIONI, DATI E PREVISIONI
Statistica
Le indagini statistiche servono per raccogliere su vari argomenti.
La moda è il dato che appare con maggior
La frequenza è il che indica le preferenze espresse.
La media si ottiene sommando i dati e dividendo il risultato per
La è il valore centrale dei dati raccolti.
Probabilità
La probabilità indica le possibilità che ha un fatto di accadere.
È il rapporto tra i casi e i casi
Può anche essere espressa in forma di percentuale.
Pia Vera è sorella di è sorella di
Kao Liam ha la stessa età di
Alì ha la stessa età di
Responsabile editoriale: Mafalda Brancaccio
Responsabile di progetto: Valentina Dell’Aprovitola
Redazione: Giulia De Giorgi
Responsabile di produzione: Francesco Capitano
Progetto grafico: Ilaria Raboni
Impaginazione:
Bluedit - Torino, Elisabetta Giovannini
Supervisione grafica: Carmen Fragnelli
Illustrazioni:
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Copertina: Carmen Fragnelli, Elisabetta Giovannini
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Referenze iconografiche: Shutterstock, Archivio Spiga
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Produrre un testo scolastico comporta diversi e ripetuti controlli a ogni livello, soprattutto relativamente alla correttezza dei contenuti. Ciononostante, a pubblicazione avvenuta, è possibile che errori, refusi, imprecisioni permangano. Ce ne scusiamo fin da ora e vi saremo grati se vorrete segnalarceli al seguente indirizzo: redazione@elionline.com
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