Ingeniería de Control Moderna 5th Edition Katsuhiko Ogata Visit to download the full and correct content document: https://ebookmass.com/product/ingenieria-de-control-moderna-5th-edition-katsuhikoogata/
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Ingeniería de control moderna Katsuhiko Ogata
Ingenieríadecontrolmoderna Ingenieríadecontrolmoderna Quintaedición KatsuhikoOgata
Traducción
SebastiánDormidoCanto
ProfesorTitulardeIngenieríadeSistemasyAutomática,UNED
RaquelDormidoCanto
ProfesoraTitulardeIngenieríadeSistemasyAutomática,UNED
Revisióntécnica
SebastiánDormidoBencomo
CatedráticodeIngenieríadeSistemasyAutomática,UNED
RevisióntécnicaparaLatinoamérica
AmadeoMariani
ProfesorTitulardeSistemasdeControlModerno UTNRegionalBuenosAiresRegional/HAEDO JuanEduardoPicco
ProfesorTitulardelamateriaSistemasdeControl,DepartamentodeIngenieríaElectrónica UniversridadTecnológicaRegionalCórdoba,ProvinciadeCórdoba,RepúblicaArgentina
ProfesorTitulardelamateriadeTeoríadeControl,DepartamentodeIngenieríaElectrónica InstitutoUniversitarioAeronáutico,ProvinciadeCórdoba,RepúblicaArgentina
RicardoJuliánMantz
ProfesorTitularDedicaciónExclusiva,CátedraControlModerno,Ing.Electrónica UniversidadNacionaldelaPlata,FacultaddeIngeniería LaPlata,ProvinciadeBuenosAires,Argentina JorgeRaúlRossello
ProfesorTitulardelaCátedraSistemasdeControl1 DepartamentodeIngeniería,UniversidadNacionaldelaMatanza SanJusto,ProvinciadeBuenosAires,Argentina
INGENIERÍADECONTROLMODERNA
KatsuhikoOgata
PEARSONEDUCACIÓN,S.A.,Madrid,2010
ISBN:978-84-8322-660-5
Materia:Ingenieríadelcontrolautomático,681.5
Formato:195 # 250mm.Páginas:904
Todoslosderechosreservados.
Cualquierformadereproducción,distribución,comunicaciónpúblicaotransformación deestaobrasólopuedeserrealizadaconlaautorizacióndesustitulares,salvo excepciónprevistaporlaley.Lainfraccióndelosderechosmencionadospuede serconstitutivadedelitocontralapropiedadintelectual (arts.270ysgts.Códigopenal).
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5 PEARSONEDUCACIÓN,S.A.,2010
RiberadelLoira,28 28042Madrid(España) www.pearsoneducacion.com
ISBN:978-84-8322-660-5 Depósitolegal:M
AuthorizedtranslationfromtheEnglishlanguageedition,entitletINTRODUCTIONTOMATERIALSSCIENCE FORENGINEERS,7thEditionbyJAMESSHACKELFORD,publishedbyPearsonEducation,Inc,publishingas PrenticeHall,Copyright 5 2009.Allrightsreserved.Nopartofthisbookmaybereproducedortransmittedinany formorbyanymeans,electronicormechanical,includingphotocopying,recordingorbyanyinformationstorage retrievalsystem,withoutpermissionfromPearsonEducation,Inc.SPANISHlanguageeditionpublishedby PEARSONEDUCATIONS.A.,Copyright 5 2010.
Equipoeditorial:
Editor:MiguelMartín-Romo Técnicoeditorial:EstherMartín
Equipodeproducción:
Director:JoséAntonioClares Técnico:IsabelMuñoz
Diseñodecubierta: EquipodediseñodePearsonEducaciónS.A.
Composición: Copibook
Impresión:
IMPRESOENESPAÑA- PRINTEDINSPAIN
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Notasobreenlacesapáginaswebajenas: Estelibropuedeincluirenlacesasitioswebgestionados portercerosyajenosaPEARSONEDUCACIÓNS.A.queseincluyensóloconfinalidadinformativa.PEARSON EDUCACIÓNS.A.noasumeningúntipoderesponsabilidadporlosdañosyperjuiciosderivadosdelusodelosdatos personalesquepuedahacerunterceroencargadodelmantenimientodelaspáginaswebajenasaPEARSON EDUCACIÓNS.A.ydelfuncionamiento,accesibilidadomantenimientodelossitioswebnogestionadosporPEARSON EDUCACIÓNS.A.Lasreferenciasseproporcionanenelestadoenqueseencuentranenelmomentodepublicación singarantías,expresasoimplícitas,sobrelainformaciónqueseproporcioneenellas.
PRÓLOGO ..................................................................................ix
CAPÍTULO1.Introducciónalossistemasdecontrol .....................................1
1-1.Introducción..........................................................1 1-2.Ejemplosdesistemasdecontrol.......................................4 1-3.Controlenlazocerradoencomparaciónconcontrolenlazoabierto....7 1-4.Diseñoycompensacióndesistemasdecontrol.........................9 1-5.Contenidodellibro...................................................10
CAPÍTULO2.Modeladomatemáticodesistemasdecontrol ..............................13
2-1.Introducción..........................................................13 2-2.Funcióndetransferenciayderespuestaimpulso.......................15 2-3.Sistemasdecontrolautomáticos.......................................17
2-4.Modeladoenelespaciodeestados....................................29 2-5.Representaciónenelespaciodeestadosdesistemasdeecuacionesdiferencialesescalares....................................................35 2-6.TransformacióndemodelosmatemáticosconMATLAB...............39 2-7.Linealizacióndemodelosmatemáticosnolineales.....................42 Ejemplosdeproblemasysoluciones
CAPÍTULO3.Modeladomatemáticodesistemasmecánicosysistemaseléctricos ........63
3-1.Introducción..........................................................63
3-2.Modeladomatemáticodesistemasmecánicos..........................63
3-3.Modeladomatemáticodesistemaseléctricos...........................72
Ejemplosdeproblemasysoluciones
CAPÍTULO4.Modeladomatemáticodesistemasdefluidosysistemastérmicos ..........100
4-1.Introducción..........................................................100
4-2.Sistemasdeniveldelíquido...........................................101
4-3.Sistemasneumáticos..................................................106
4-4.Sistemashidráulicos..................................................123 4-5.Sistemastérmicos.....................................................136
CAPÍTULO5.Análisisdelarespuestatransitoriayestacionaria
5-1.Introducción..........................................................159
5-2.Sistemasdeprimerorden.............................................161 5-3.Sistemasdesegundoorden............................................164
5-4.Sistemasdeordensuperior............................................179
5-5.AnálisisdelarespuestatransitoriaconMATLAB......................183 5-6.CriteriodeestabilidaddeRouth.......................................212 5-7.Efectosdelasaccionesdecontrolintegralyderivativaenelcomportamientodelsistema....................................................218 5-8.Erroresenestadoestacionarioenlossistemasdecontrolconrealimentaciónunitaria..........................................................225 Ejemplosdeproblemasysoluciones
CAPÍTULO6.Análisisydiseñodesistemasdecontrolporelmétododellugardelasraíces 269 6-1.Introducción..........................................................269 6-2.Gráficasdellugardelasraíces........................................270 6-3.GráficasdellugardelasraícesconMATLAB.........................290 6-4.Lugardelasraícesdesistemasconrealimentaciónpositiva............303 6-5.Diseñodesistemasdecontrolmedianteelmétododellugardelasraíces...................................................................308 6-6.Compensacióndeadelanto............................................311 6-7.Compensaciónderetardo.............................................321 6-8.Compensaciónderetardo-adelanto....................................330 6-9.Compensaciónparalela...............................................342
Ejemplosdeproblemasysoluciones .......................................347
CAPÍTULO7.Análisisydiseñodesistemasdecontrolporelmétododelarespuestaen frecuencia ..................................................................398
7-1.Introducción..........................................................398 7-2.DiagramasdeBode...................................................403 7-3.Diagramaspolares....................................................427 7-4.Diagramasdemagnitudlogarítmicarespectodelafase................443
7-5.CriteriodeestabilidaddeNyquist.....................................445 7-6.Análisisdeestabilidad................................................454 7-7.Análisisdeestabilidadrelativa........................................462 7-8.Respuestaenfrecuenciaenlazocerradodesistemasconrealimentación unitaria...............................................................477
7-9.Determinaciónexperimentaldefuncionesdetransferencia.............486 7-10.Diseñodesistemasdecontrolporelmétododelarespuestaenfrecuencia491 7-11.Compensacióndeadelanto............................................493 7-12.Compensaciónderetardo.............................................502 7-13.Compensaciónderetardo-adelanto....................................511
Ejemplosdeproblemasysoluciones ........................................521 Problemas ...................................................................561
CAPÍTULO8.ControladoresPIDycontroladoresPIDmodificados ......................567
8-1.Introducción..........................................................567 8-2.ReglasdeZiegler-NicholsparalasintoníadecontroladoresPID........568 8-3.DiseñodecontroladoresPIDmedianteelmétododerespuestaenfrecuencia.............................................................577
8-4.DiseñodecontroladoresPIDmedianteelmétododeoptimización computacional.....................................................582 8-5.ModificacionesdelosesquemasdecontrolPID....................590 8-6.Controlcondosgradosdelibertad.................................592 8-7.Métododeasignacióndecerosparamejorarlascaracterísticasderespuesta............................................................595
Ejemplosdeproblemasysoluciones ....................................614
CAPÍTULO9.Análisisdesistemasdecontrolenelespaciodeestados ................648 9-1.Introducción......................................................648 9-2.Representacionesenelespaciodeestadosdesistemasdefinidosporsu funcióndetransferencia...........................................649 9-3.TransformacióndemodelosdesistemasconMATLAB.............656 9-4.Solucióndelaecuacióndeestadoinvarianteconeltiempo..........660 9-5.Algunosresultadosútilesenelanálisisvectorial-matricial..........668 9-6.Controlabilidad...................................................675 9-7.Observabilidad....................................................682
Ejemplosdeproblemasysoluciones ....................................688 Problemas
CAPÍTULO10.Diseñodesistemasdecontrolenelespaciodeestados ..................722
10-1.Introducción.....................................................722 10-2.Asignacióndepolos..............................................723 10-3.SolucióndeproblemasdeasignacióndepolosconMATLAB......735 10-4.Diseñodeservosistemas..........................................739 10-5.Observadoresdeestado...........................................751 10-6.Diseñodesistemasreguladoresconobservadores..................778 10-7.Diseñodesistemasdecontrolconobservadores...................786
10-8.Sistemareguladoróptimocuadrático..............................793
APÉNDICEB.Métododedesarrolloenfraccionessimples
APÉNDICEC.Álgebravectorial-matricial
Estelibrointroduceconceptosimportantesenelanálisisydiseñodesistemasdecontrol.Los lectoresencontraránunlibrodetextoclaroycomprensibleparaseguiruncursoenlauniversidad sobresistemasdecontrol.Estáescritoparaestudiantesdeingenieríamecánica,eléctrica,aeroespacialoquímica.Sesuponequeellectorhacompletadolossiguientesprerrequisitos:cursosde carácterintroductoriosobreecuacionesdiferenciales,transformadadeLaplace,análisisvectorial-matricial,análisisdecircuitos,mecánicaytermodinámica.
Lasrevisionesprincipaleshechasenestaediciónsoncomosigue:
SehaampliadolautilizacióndeMATLABparaobtenerlarespuestadesistemasdecontrol adiferentesentradas.
SedemuestralautilidaddelenfoquedeoptimizacióncomputacionalconMATLAB. Alolargodetodoellibrosehanañadidonuevosproblemascomoejemplos.
Conelfindeproporcionarespacioatemasmásimportantessehansuprimidociertosmaterialesdeedicionespreviasquetienenunaimportanciasecundaria.Losgrafosdeflujode señalsehaneliminadodellibro.Tambiénsesuprimióuncapítulosobrelatransformadade Laplace.EnsulugarsepresentanlastablasdetransformadadeLaplaceyeldesarrolloen fraccionessimplesconMATLABenlosApéndicesAyBrespectivamente.
EnelApéndiceCsedauncortoresumensobreelanálisisvectorial-matricial.
Estaediciónde IngenieríadeControlModerna estáorganizadaendiezcapítulos.Elcontenidodellibroeselsiguiente:ElCapítulo1presentaunaintroducciónalossistemasdecontrol.El Capítulo2trataelmodeladomatemáticodesistemasdecontrol.Sepresentatambiéneneste capítulounatécnicadelinealizacióndemodelosmatemáticosnolineales.ElCapítulo3analiza elmodeladomatemáticodelossistemasmecánicosyeléctricos.ElCapítulo4trataelmodelado delossistemasfluídicos(talescomosistemasdeniveldelíquido,sistemasneumáticosysistemashidráulicos)ysistemastérmicos.
ElCapítulo5trataelanálisisdelarespuestatransitoriayelestadoestacionariodelossistemasdecontrol.MATLABseutilizaextensivamenteparaelanálisisdelarespuestatransitoria.El capítulopresentaelcriteriodeestabilidaddeRouthparaelanálisisdeestabilidaddelossistemas decontrol.TambiénseestudiaelcriteriodeestabilidaddeHurwitz.
ElCapítulo6abordaelanálisisydiseñodesistemasdecontrolmedianteellugardelasraíces,incluyendolossistemasconrealimentaciónpositivaylossistemascondicionalmenteestables.SeestudiacondetallelarepresentacióndellugardelasraícesconMATLAB.Seestudiael métododellugardelasraícesparaeldiseñodecompensadoresdeadelanto,retardoyretardoadelanto.
ElCapítulo7presentaelanálisisydiseñodesistemasdecontrolmediantelarespuestaen frecuencia.SetrataelcriteriodeestabilidaddeNyquistdeunaformafácilmentecomprensible. SeanalizaelmétododelosdiagramasdeBodeparaeldiseñodecompensadoresdeadelanto, retardoyretardo-adelanto.
ElCapítulo8estudialoscontroladoresPIDbásicosymodificados.Sepresentanconcierto detallelosmétodoscomputacionales(enMATLAB)paraobtenervaloresóptimosdelosparámetrosdeloscontroladoresquesatisfacenciertosrequisitosdelascaracterísticasdelarespuesta escalón.
ElCapítulo9presentaunanálisisbásicodelossistemasdecontrolenelespaciodeestados. Seintroducenlosconceptosdecontrolabilidadyobservabilidad.
ElCapítulo10analizaeldiseñodesistemasdecontrolenelespaciodeestados.Elestudio incluyelaasignacióndepolos,observadoresdeestadoycontrolóptimocuadrático.Alfinaldel capítulosepresentaunanálisisintroductoriodelossistemasdecontrolrobusto.
Ellibrosehaestructuradoconlafinalidaddefacilitarlacomprensióngradualdelateoríadel controlalestudiante.Sehatratadodeevitarcuidadosamenterazonamientosconunfuertecontenidomatemáticoenlapresentacióndelmaterial.Seproporcionandemostracionesmatemáticas cuandocontribuyenalacomprensióndelostemaspresentados.
Seharealizadounesfuerzoespecialparaproporcionarejemplosenpuntosestratégicosde formaqueellectorobtengaunamejorcomprensióndelamateriaqueseanaliza.Además,se ofrecenalfinaldecadacapítulo,exceptoenelCapítulo1,unaseriedeproblemasresueltos(problemasdetipoA).Seanimaallectoraqueestudieconcuidadotodosestosproblemasparaobtenerunacomprensiónmásprofundadelostemasanalizados.Además,seproponenmuchosproblemas(sinsolución)alfinaldecadacapítulo,exceptoenelCapítulo1.Losproblemasno resueltos(problemasdetipoB)sepuedenutilizarparaqueelalumnolosresuelvaencasao comopartedeunexamen.
Siestelibroseusacomotextoparauncursosemestral(56horasdeclase)sepuedecubrirla mayorpartedelmaterialomitiendociertaspartes.Debidoalaabundanciadeproblemasejemplosyproblemasresueltos(problemasA)quepuedenresponderamuchasdelasposiblespreguntasqueellectorpuedaplantearse,estelibropuedetambiénservircomountextodeauto estudioparaaquellosingenierosqueyatrabajanyquedeseanestudiarteoríadecontrolbásica.
Quisieraexpresarmiagradecimientoalossiguientesrevisoresdeestaedicióndellibro:Mark Campbell,CornellUniversity;HenrySodano,ArizonaStateUniversity;yAtulG.Kelkar,Iowa StateUniversity.FinalmentedeseoexpresarmimássinceroreconocimientoaMs.AliceDworkin,AssociateEditor,Mr.ScoutDisanno,SeñorManagingEditor,yatodaslaspersonasquehan estadoinvolucradasenesteproyecto,porlarapidezyelexcelentetrabajodeproduccióndeeste libro. KatsuhikoOgata
Introducciónalossistemas decontrol 1-1 Introducción Lasteoríasdecontrolqueseutilizanhabitualmentesonlateoríadecontrolclásica(también denominadateoríadecontrolconvencional),lateoríadecontrolmodernoylateoríadecontrol robusto.Estelibropresentaeltratamientodelanálisisydiseñodesistemasdecontrolbasadoen lateoríadecontrolclásicayteoríadecontrolmoderno.EnelCapítulo10seincluyeunabreve introducciónalateoríadecontrolrobusto.
Elcontrolautomáticohadesempeñadounpapelvitalenelavancedelaingenieríaylaciencia.Elcontrolautomáticosehaconvertidoenunaparteimportanteeintegralenlossistemasde vehículosespaciales,enlossistemasrobóticos,enlosprocesosmodernosdefabricaciónyen cualquieroperaciónindustrialquerequieraelcontroldetemperatura,presión,humedad,flujo, etc.Esdeseablequelamayoríadelosingenierosycientíficosesténfamiliarizadosconlateoríay laprácticadelcontrolautomático.
Estelibropretendeseruntextoensistemasdecontrolparaunnivelavanzadoenelbachilleratooenlauniversidad.Todoslosmaterialesnecesariosseincluyenenellibro.Lamatemática relacionadaconlastransformadasdeLaplaceyelanálisisvectorialymatricialsepresentanen apéndicesseparados.
Breverevisióndelosdesarrolloshistóricosdelateoríayprácticadelcontrol. ElprimertrabajosignificativoencontrolautomáticofueelreguladordevelocidadcentrífugodeJamesWattparaelcontroldelavelocidaddeunamáquinadevapor,enelsiglodieciocho.Minorsky,HazenyNyquist,entremuchosotros,aportarontrabajosimportantesenlas
etapasinicialesdeldesarrollodelateoríadecontrol.En1922,Minorskytrabajóencontroladores automáticosparaelguiadodeembarcaciones,ymostróquelaestabilidadpuededeterminarsea partirdelasecuacionesdiferencialesquedescribenelsistema.En1932,Nyquistdiseñóunprocedimientorelativamentesimpleparadeterminarlaestabilidaddesistemasenlazocerrado,a partirdelarespuestaenlazoabiertoaentradassinusoidalesenestadoestacionario.En1934, Hazen,quienintrodujoeltérmino servomecanismos paralossistemasdecontroldeposición, analizóeldiseñodelosservomecanismosconrelé,capacesdeseguirconprecisiónunaentrada cambiante.
Duranteladécadadeloscuarenta,losmétodosdelarespuestaenfrecuencia(especialmente losdiagramasdeBode)hicieronposiblequelosingenierosdiseñaransistemasdecontrollineales enlazocerradoquecumplieranlosrequisitosdecomportamiento.EnlosañoscuarentaycincuentamuchossistemasdecontrolindustrialutilizabancontroladoresPIDparaelcontroldela presión,delatemperatura,etc.AcomienzosdeladécadadeloscuarentaZiegleryNicholsestablecieronreglasparasintonizarcontroladoresPID,lasdenominadasreglasdesintoníadeZiegler-Nichols.Afinalesdelosañoscuarentayprincipiosdeloscincuenta,sedesarrollóporcompletoelmétododellugardelasraícespropuestoporEvans.
Losmétodosderespuestaenfrecuenciaydellugardelasraíces,queformanelnúcleodela teoríadecontrolclásica,conducenasistemasestablesquesatisfacenunconjuntomásomenos arbitrarioderequisitosdecomportamiento.Engeneral,estossistemassonaceptablesperono óptimosdesdeningúnpuntodevista.Desdeelfinaldeladécadadeloscincuenta,elénfasisen losproblemasdediseñodecontrolsehadesplazadodeldiseñodeunodelosposiblessistemas quefuncionaadecuadamentealdiseñodeunsistemaóptimorespectodealgúncriterio.
Conformelasplantasmodernasconmuchasentradasysalidassevuelvenmásymáscomplejas,ladescripcióndeunsistemadecontrolmodernorequiereunagrancantidaddeecuaciones. Lateoríadecontrolclásica,quetratadelossistemasconunaentradayunasalida,pierdesu potencialidadcuandosetrabajaconsistemasconentradasysalidasmúltiples.Hacia1960,debidoaladisponibilidaddelascomputadorasdigitalesfueposibleelanálisiseneldominiodel tiempodesistemascomplejos.Lateoríadecontrolmoderna,basadaenelanálisiseneldominio deltiempoylasíntesisapartirdevariablesdeestados,sehadesarrolladoparamanejarlacrecientecomplejidaddelasplantasmodernasylosrequisitoscadavezmásexigentessobreprecisión,pesoycosteenaplicacionesmilitares,espacialeseindustriales.
Durantelosañoscomprendidosentre1960y1980,seinvestigóafondoelcontrolóptimo tantodesistemasdeterminísticoscomoestocásticos,asícomoelcontroladaptativoyconaprendizajedesistemascomplejos.Desdeladécadadelosochentahastaladelosnoventa,losavances enlateoríadecontrolmodernasecentraronenelcontrolrobustoytemasrelacionados.
Lateoríadecontrolmodernasebasaenelanálisiseneldominiotemporaldelossistemasde ecuacionesdiferenciales.Lateoríadecontrolmodernasimplificóeldiseñodelossistemasde controlporquesebasaenunmodelodelsistemarealquesequierecontrolar.Sinembargo,la estabilidaddelsistemadependedelerrorentreelsistemarealysumodelo.Estosignificaque cuandoelcontroladordiseñadobasadoenunmodeloseaplicaalsistemareal,éstepuedenoser estable.Paraevitarestasituación,sediseñaelsistemadecontroldefiniendoenprimerlugarel rangodeposibleserroresydespuésdiseñandoelcontroladordeformaque,sielerrordelsistema estáendichorango,elsistemadecontroldiseñadopermanezcaestable.Elmétododediseño basadoenesteprincipiosedenominateoríadecontrolrobusto.Estateoríaincorporatantola aproximaciónderespuestaenfrecuenciacomoladeldominiotemporal.Estateoríaesmatemáticamentemuycompleja.
Comoestateoríarequiereunabasematemáticadeniveldelicenciados,lainclusióndela teoríadecontrolrobustoenestelibroestálimitadaúnicamenteaaspectosintroductorios.Ellectorinteresadoendetallessobrelateoríadecontrolrobustodeberíacursarpreviamenteuncurso decontroldeunalicenciaturaenunauniversidad.
Definiciones. Antesdeanalizarlossistemasdecontrol,debendefinirseciertostérminos básicos.
Variablecontroladayseñaldecontrolovariablemanipulada. Lavariable controlada es lacantidadocondiciónquesemideycontrola.La señaldecontrol ovariable manipulada esla cantidadocondiciónqueelcontroladormodificaparaafectarelvalordelavariablecontrolada. Normalmente,lavariablecontroladaeslasalidadelsistema. Controlar significamedirelvalor delavariablecontroladadelsistemayaplicarlavariablemanipuladaalsistemaparacorregiro limitarladesviacióndelvalormedidorespectodelvalordeseado.
Enelestudiodelaingenieríadecontrol,esnecesariodefinirtérminosadicionalesquese precisanparadescribirlossistemasdecontrol.
Plantas. Unaplantapuedeserunapartedeunequipo,talvezunconjuntodeloselementos deunamáquinaquefuncionanjuntos,ycuyoobjetivoesefectuarunaoperaciónparticular.En estelibrosellamaráplantaacualquierobjetofísicoquesevaacontrolar(comoundispositivo mecánico,unhornodecalefacción,unreactorquímicoounanaveespacial).
Procesos. El DiccionarioMerriam-Webster defineunprocesocomounaoperaciónoun desarrollonaturalprogresivamentecontinuo,marcadoporunaseriedecambiosgradualesque sesucedenunosaotrosdeunaformarelativamentefijayqueconducenaunresultadoopropósitodeterminados;ounaoperaciónartificialovoluntariaquesehacedeformaprogresivay queconstadeunaseriedeaccionesomovimientoscontrolados,sistemáticamentedirigidos haciaunresultadoopropósitodeterminado.Enestelibrosellamará proceso acualquieroperaciónquesevaacontrolar.Algunosejemplossonlosprocesosquímicos,económicosybiológicos.
Sistemas. Unsistemaesunacombinacióndecomponentesqueactúanjuntosyrealizanun objetivodeterminado.Unsistemanoestánecesariamentelimitadoalossistemasfísicos.Elconceptodesistemasepuedeaplicarafenómenosabstractosydinámicos,comolosqueseencuentranenlaeconomía.Portanto,lapalabrasistemadebeinterpretarseenunsentidoamplioque comprendasistemasfísicos,biológicos,económicosysimilares.
Perturbaciones. Unaperturbaciónesunaseñalquetiendeaafectarnegativamenteelvalor delasalidadeunsistema.Silaperturbaciónsegeneradentrodelsistemasedenomina interna, mientrasqueunaperturbación externa segenerafueradelsistemayesunaentrada.
Controlrealimentado. Elcontrolrealimentadoserefiereaunaoperaciónque,enpresencia deperturbaciones,tiendeareducirladiferenciaentrelasalidadeunsistemayalgunaentradade referencia,ylorealizatomandoencuentaestadiferencia.Aquísóloseespecificanconestetérminolasperturbacionesimpredecibles,yaquelasperturbacionespredeciblesoconocidassiemprepuedencompensarsedentrodelsistema. Capítulo1.
1-2 Ejemplosdesistemasdecontrol Enestasecciónsepresentaránalgunosejemplosdesistemasdecontrol.
Sistemadecontroldevelocidad. Elprincipiobásicodelreguladordevelocidadde WattparaunamáquinaseilustraeneldiagramaesquemáticodelaFigura1-1.Lacantidadde combustiblequeseadmiteenlamáquinaseajustadeacuerdoconladiferenciaentrelavelocidaddelamáquinaquesepretendeylavelocidadreal.
Lasecuenciadeaccionespuededescribirsedelmodosiguiente:elreguladordevelocidadse ajustademodoque,alavelocidaddeseada,nofluyaaceiteapresiónenningúnladodelcilindro depotencia.Silavelocidadrealcaepordebajodelvalordeseadodebidoaunaperturbación,la disminucióndelafuerzacentrífugadelreguladordevelocidadprovocaquelaválvuladecontrol semuevahaciaabajo,aportandomáscombustible,ylavelocidaddelmotoraumentahastaalcanzarelvalordeseado.Porotraparte,silavelocidaddelmotoraumentaporencimadelvalordeseado,elincrementoenlafuerzacentrífugadelreguladorprovocaquelaválvuladecontrolse muevahaciaarriba.Estodisminuyeelsuministrodecombustible,ylavelocidaddelmotorse reducehastaalcanzarelvalordeseado.
Enestesistemadecontroldevelocidad,laplanta(elsistemacontrolado)eslamáquinayla variablecontroladaeslavelocidaddelamisma.Ladiferenciaentrelavelocidaddeseadayla velocidadrealeslaseñaldeerror.Laseñaldecontrol(lacantidaddecombustible)quesevaa aplicaralaplanta(lamáquina)eslaseñaldeactuación.Laentradaexternaqueseaplicapara alterarlavariablecontroladaeslaperturbación.Uncambioinesperadoenlacargaesunaperturbación.
Sistemadecontroldetemperatura. LaFigura1-2muestraundiagramaesquemático delcontroldetemperaturadeunhornoeléctrico.Latemperaturadelhornoeléctricosemide medianteuntermómetro,queesundispositivoanalógico.Latemperaturaanalógicaseconvierte aunatemperaturadigitalmedianteunconvertidorA/D.Latemperaturadigitalseintroduceen uncontroladormedianteunainterfaz.Estatemperaturadigitalsecomparaconlatemperatura deentradaprogramada,ysihayunadiscrepancia(error)elcontroladorenvíaunaseñalal
Figura1-1. Sistemadecontroldevelocidad.
Figura1-2. Sistemadecontroldetemperatura.
calefactor,atravésdeunainterfaz,amplificadoryrelé,parahacerquelatemperaturadelhorno adquieraelvalordeseado.
Sistemasempresariales. Unsistemaempresarialestáformadopormuchosgrupos.Cadatareaasignadaaungruporepresentaráunelementodinámicodelsistema.Paralacorrecta operacióndeestesistemadebenestablecersemétodosderealimentaciónparainformardelos logrosdecadagrupo.Elacoplamientocruzadoentrelosgruposfuncionalesdebereducirseaun mínimoparaevitarretardosdetiempoquenosondeseablesenelsistema.Cuantomáspequeño seadichoacoplamiento,másregularseráelflujodeseñalesymaterialesdetrabajo.
Unsistemaempresarialesunsistemaenlazocerrado.Unbuendiseñodelmismoreducirá elcontroladministrativorequerido.Obsérvesequelasperturbacionesenestesistemason lafaltadepersonalodemateriales,lainterrupcióndelascomunicaciones,loserroreshumanos,etc.
Elestablecimientodeunbuensistemadeestimación,basadoenestadísticas,esimprescindibleparalograrunaadministraciónadecuada.Obsérvesequeesunhechobienconocidoqueel comportamientodetalsistemapuedemejorarmedianteelusodetiempodeprevisióno anticipación
Conelpropósitodeaplicarlateoríadecontrolparamejorarelcomportamientodeestesistema,sedeberepresentarlacaracterísticadinámicadelosgruposcomponentesdelsistemamedianteunconjuntodeecuacionesrelativamentesimples.
Aunqueesciertamenteunproblemadifícilobtenerrepresentacionesmatemáticasdelosgruposcomponentes,laaplicacióndetécnicasdeoptimizaciónalossistemasempresarialesmejora significativamenteelcomportamientodetalessistemas.
Considérese,comoejemplo,unaestructuraorganizativaeningenieríaqueestáconstituida porunaseriedegrupostalescomogestión,investigaciónydesarrollo,diseñopreliminar,experimentos,diseñodeproductoydelineación,fabricaciónyensamblajeyverificación.Estosgrupos seinterconectanparaconstituirelsistemacompleto.
Talsistemasepuedeanalizarreduciéndoloalconjuntomáselementaldecomponentesnecesariosqueproporcionalosdetallesanalíticosrequeridosyrepresentandolascaracterísticasdinámicasdecadacomponentemedianteunconjuntodeecuacionessimples.(Elcomportamiento dinámicodeestesistemasepuededeterminarapartirdelarelaciónentrelosresultadosprogresivosyeltiempo.)
Sepuededibujarundiagramadebloquefuncionalutilizandobloquespararepresentarlas actividadesfuncionaleseinterconectarlíneasdeseñalpararepresentarlasalidadeinformación
Figura1-3. Diagramadebloquesdeunsistemadeorganizacióneningeniería.
oproductodelaoperacióndelsistema.EnlaFigura1-3semuestraunposiblediagramade bloque.
Sistemadecontrolrobusto. Elprimerpasoparaeldiseñodeunsistemadecontroles laobtencióndelmodelomatemáticodelaplantauobjetodecontrol.Enrealidad,cualquiermodelodeunaplantaquesequierecontrolarincluiráunerrordebidoalprocesodemodelado.Esto es,laplantarealdifieredelmodeloquesevaautilizareneldiseñodelsistemadecontrol.
Unaaproximaciónrazonableparaasegurarqueelcontroladordiseñadobasadoenunmodelo funcionaráadecuadamentecuandoseutiliceconlaplantareal,consisteenasumirdesdeel comienzoqueexisteunaincertidumbreoerrorentrelaplantarealysumodelomatemáticoe incluirdichaincertidumbreoerrorenelprocesodediseñodelsistemadecontrol.Elsistemade controldiseñadobasadoenestaaproximaciónsedenominasistemadecontrolrobusto.
Sisesuponequelaplantarealquesedeseacontrolares G(s)yqueelmodelomatemáticode laplantareales G(s),estoes
G(s) % modelodelaplantarealquetieneunaincertidumbre B(s)
G(s) % modelodelaplantanominalquesevaautilizareneldiseñodelsistemadecontrol
G(s)y G(s)puedenestarrelacionadosporunfactormultiplicativodeltipo
G(s) % G(s)[1 ! B(s)] oporunfactoraditivo
G(s) % G(s) ! B(s) odeotrasformas.
Puestoquenoseconoceladescripciónexactadelaincertidumbreoerror B(s),seutilizauna estimaciónde B(s)yeneldiseñodelcontroladorseempleaestaestimación, W(s). W(s)esuna funcióndetransferenciaescalardeltipo
B(s) ä a W(s) ä % max 0mumä W( ju)
donde W(s) ä eselmáximovalorde W( ju) para0 m u mä ysedenominanormaHinfinito de W(s).
Siseutilizaelteoremadelapequeñaganancia,elprocesodediseñoconllevaladeterminacióndelcontrolador K(s)quesatisfagaladesigualdad,
GG W(s)
1 ! K(s)G(s) GG ä a 1
donde G(s)eslafuncióndetransferenciadelmodeloutilizadaenelprocesodediseño, K(s)esla funcióndetransferenciadelcontroladory W(s)seescogecomounafuncióndetransferenciaque aproxima B(s).Enlamayoríadeloscasosprácticos,sedebesatisfacermásdeunadesigualdad dependientesde G(s), K(s)y W(s).Porejemplo,paragarantizarlaestabilidadrobustayelcomportamientorobustoserequierequesesatisfaganlasdosdesigualdadessiguientes
(EnlaSección10-9sededuciránestasdesigualdades).Haymuchasdesigualdadesdeestetipo quesetienenquesatisfacerenmuchossistemasdiferentesdecontrolrobusto.(Estabilidadrobustasignificaqueelcontrolador K(s)garantizalaestabilidadinternadetodoslossistemasque pertenecenaungrupodesistemasquerepresentanelsistemadelaplantareal.Comportamiento robustosignificaqueelcomportamientoespecificadosesatisfaceparatodoslossistemasque pertenecenaestegrupo).Enestelibrosesuponequeseconocenconprecisióntodaslasplantas delossistemasdecontrolquesepresentan,exceptolasplantasquesediscutenenlaSección 10-9,enlaquesepresentanaspectosintroductoriosdelateoríadecontrolrobusto.
1-3 Controlenlazocerradoencomparación concontrolenlazoabierto Sistemasdecontrolrealimentados. Unsistemaquemantieneunarelacióndeterminadaentrelasalidaylaentradadereferencia,comparándolasyusandoladiferenciacomomedio decontrol,sedenomina sistemadecontrolrealimentado.Unejemploseríaelsistemadecontrol detemperaturadeunahabitación.Midiendolatemperaturarealycomparándolaconlatemperaturadereferencia(temperaturadeseada),eltermostatoactivaodesactivaelequipodecalefacciónodeenfriamientoparaasegurarquelatemperaturadelahabitaciónsemantieneenunnivel confortableindependientementedelascondicionesexternas.
Lossistemasdecontrolrealimentadosnoselimitanalaingeniería,sinoquetambiénseencuentranendiversoscamposajenosaella.Porejemplo,elcuerpohumanoesunsistemadecontrolrealimentadomuyavanzado.Tantolatemperaturacorporalcomolapresiónsanguínease conservanconstantesmedianteunarealimentaciónfisiológica.Dehecho,larealimentaciónrealizaunafunciónvital:hacequeelcuerpohumanosearelativamenteinsensiblealasperturbacionesexternas,permitiendoquefuncionedeformaadecuadaenunentornocambiante.
Sistemasdecontrolenlazocerrado. Lossistemasdecontrolrealimentadossedenominantambiénsistemasde controlenlazocerrado.Enlapráctica,lostérminoscontrolrealimentadoycontrolenlazocerradoseusanindistintamente.Enunsistemadecontrolenlazo cerrado,sealimentaalcontroladorlaseñaldeerrordeactuación,queesladiferenciaentrela señaldeentradaylaseñalderealimentación(quepuedeserlapropiaseñaldesalidaounafuncióndelaseñaldesalidaysusderivadasy/ointegrales),conelfindereducirelerroryllevarla salidadelsistemaaunvalordeseado.Eltérminocontrolenlazocerradosiempreimplicaeluso deunaaccióndecontrolrealimentadoparareducirelerrordelsistema.
Capítulo1.
Sistemasdecontrolenlazoabierto. Lossistemasenloscualeslasalidanotiene efectosobrelaaccióndecontrolsedenominan sistemasdecontrolenlazoabierto.Enotras palabras,enunsistemadecontrolenlazoabiertonosemidelasalidaniserealimentapara compararlaconlaentrada.Unejemploprácticoesunalavadora.Elremojo,ellavadoyelcentrifugadoenlalavadoraoperanconunabasedetiempo.Lamáquinanomidelaseñaldesalida,que eslalimpiezadelaropa.
Encualquiersistemadecontrolenlazoabierto,lasalidanosecomparaconlaentradade referencia.Así,acadaentradadereferencialecorrespondeunacondicióndeoperaciónfija;comoresultadodeello,laprecisióndelsistemadependedelacalibración.Antelapresenciade perturbaciones,unsistemadecontrolenlazoabiertonorealizalatareadeseada.Enlapráctica, elcontrolenlazoabiertosóloseusasiseconocelarelaciónentrelaentradaylasalidaysino hayperturbacionesinternasniexternas.Esevidentequeestossistemasnosondecontrolrealimentado.Obsérvesequecualquiersistemadecontrolqueopereconunabasedetiempoestáen lazoabierto.Porejemplo,elcontroldetráficomedianteseñalesoperadasconunabasedetiempo esotroejemplodecontrolenlazoabierto.
Sistemasdecontrolenlazocerradoencomparaciónconsistemasenlazo abierto. Unaventajadelsistemadecontrolenlazocerradoesqueelusodelarealimentación vuelvelarespuestadelsistemarelativamenteinsensiblealasperturbacionesexternasyalasvariacionesinternasenlosparámetrosdelsistema.Esasíposibleusarcomponentesrelativamente pocoprecisosybaratosparaobtenerelcontroladecuadodeunaplantadeterminada,mientras quehaceresoesimposibleenelcasodeunsistemaenlazoabierto.
Desdeelpuntodevistadeestabilidad,elsistemadecontrolenlazoabiertoesmásfácilde desarrollar,porquelaestabilidaddelsistemanoesunproblemaimportante.Porotraparte,la estabilidadesungranproblemaenelsistemadecontrolenlazocerrado,quepuedeconducira corregirenexcesoerroresqueproducenoscilacionesdeamplitudconstanteocambiante.
Debeseñalarseque,paralossistemasenlosqueseconocenconanticipaciónlasentradasy enloscualesnohayperturbaciones,esaconsejableemplearuncontrolenlazoabierto.Lossistemasdecontrolenlazocerradosólotienenventajascuandosepresentanperturbacionesy/ovariacionesimpredeciblesenloscomponentesdelsistema.Obsérvesequelapotencianominaldesalidadeterminaenformaparcialelcoste,pesoytamañodeunsistemadecontrol.Elnúmerode componentesusadosenunsistemadecontrolenlazocerradoesmayorqueelqueseemplea paraunsistemadecontrolequivalenteenlazoabierto.Portanto,elsistemadecontrolenlazo cerradosueletenercostesypotenciasmásgrandes.Paradisminuirlapotenciarequeridadeun sistema,seempleauncontrolenlazoabiertosiemprequepuedaaplicarse.Porlogeneral,una combinaciónadecuadadecontrolesenlazoabiertoyenlazocerradoesmenoscostosayofrecerá uncomportamientosatisfactoriodelsistemaglobal.
Lamayoríadelosanálisisydiseñosdesistemasdecontrolpresentadosenestelibroson sistemasdecontrolenlazocerrado.Enciertascircunstancias(porejemplo,sinohayperturbacionesolasalidaesdifícildemedir)puedenserdeseableslossistemasdecontrolenlazoabierto.Portanto,esconvenienteresumirlasventajasydesventajasdeutilizarsistemasdecontrolen lazoabierto.
Lasventajasfundamentalesdelossistemasdecontrolenlazoabiertosonlassiguientes:
1. Construcciónsimpleyfacilidaddemantenimiento.
2. Menoscostososqueelcorrespondientesistemaenlazocerrado.
3. Nohayproblemasdeestabilidad.
4. Convenientescuandolasalidaesdifícildemedirocuandomedirlasalidademanera precisanoeseconómicamenteviable.(Porejemplo,enelcasodelalavadora,seríabastantecostosoproporcionarundispositivoparamedirlacalidaddelasalidadelalavadora,esdecir,lalimpiezadelaropalavada.)
Lasdesventajasfundamentalesdelossistemasdecontrolenlazoabiertosonlassiguientes:
1. Lasperturbacionesyloscambiosenlacalibraciónoriginanerrores,ylasalidapuedeser diferentedeloquesedesea.
2. Paramantenerlacalidadrequeridaenlasalida,esnecesarialarecalibracióndevezen cuando.
1-4 Diseñoycompensacióndesistemasdecontrol Estelibropresentaaspectosbásicosdeldiseñoycompensacióndelossistemasdecontrol.La compensacióneslamodificacióndeladinámicadelsistemaparaquesesatisfaganunasespecificacionesdeterminadas.Lasaproximacionesaldiseñodesistemasdecontrolycompensaciónque sepresentanenestelibrosonlaaproximaciónmedianteellugardelasraíces,larespuestaen frecuenciaylaaproximaciónenelespaciodeestados.EldiseñodesistemasdecontrolutilizandoestosmétodossepresentaenlosCapítulos6,7,9y10.Eldiseñodesistemasdecontrol basadoencompensadoresPIDsepresentaenelCapítulo8.
Eneldiseñorealdeunsistemadecontrol,elqueseutiliceuncompensadorelectrónico, neumáticoohidráulicodebedecidirseenparteenfuncióndelanaturalezadelaplantaquese controla.Porejemplo,silaplantaquesecontrolacontienefluidosinflamables,debeoptarsepor loscomponentesneumáticos(tantouncompensadorcomounactuador)paraeliminarlaposibilidaddequesaltenchispas.Sinembargo,sinoexisteelriesgodeincendio,losqueseusancon mayorfrecuenciasonloscompensadoreselectrónicos.(Dehecho,escomúntransformarlasseñalesnoeléctricasenseñaleseléctricas,debidoalasencillezdelatransmisión,mayorprecisión, mayorfiabilidad,unamayorfacilidadenlacompensación,etcétera.)
Especificacionesdecomportamiento. Lossistemasdecontrolsediseñanpararealizartareasespecíficas.Losrequisitosimpuestossobreelsistemadecontrolsedancomoespecificacionesdecomportamiento.Lasespecificacionespuedenvenirdadascomorequisitosenlarespuestatransitoria(como,porejemplo,lamáximasobreelongaciónyeltiempodeasentamiento enlarespuestaaunescalón)yrequisitosenelestadoestacionario(como,porejemplo,elerror enestadoestacionariofrenteaunaentradatiporampa).Lasespecificacionesdeunsistemade controlsedebendarantesdequecomienceelprocesodediseño.
Paraproblemasdediseñorutinarios,lasespecificacionesdecomportamiento(lascualesrelacionanlaprecisión,laestabilidadrelativaylavelocidadderespuesta)seproporcionanentérminosdevaloresnuméricosprecisos.Enotroscasos,seofrecenunaparteentérminosdevalores numéricosprecisosyotraparteentérminosdeplanteamientoscualitativos.Enesteúltimocaso, puedesernecesariomodificarlasespecificacionesduranteelprocesodeldiseño,yaqueesposiblequelasespecificacionesdadasnuncasecumplan(debidoaquelosrequisitosproducenconflictos)oconduzcanaunsistemamuycostoso.
Porlogeneral,lasespecificacionesdecomportamientonodebensermásrestrictivasdelo necesariopararealizarlatareadefinida.Silaprecisióndeunaoperaciónenestadoestableesde vitalimportanciaparaunsistemadecontrol,nosedebenpedirespecificacionesdecomportamientomásrestrictivasdelonecesariosobrelarespuestatransitoria,yaquetalesespecifica-
cionesrequeriráncomponentescostosos.Recuérdesequelapartemásimportantedeldiseñode unsistemadecontroleslaprecisiónenelplanteamientodelasespecificacionesdecomportamientoconelfindeobtenerunsistemadecontrolóptimoparaelpropósitodeseado.
Compensacióndelsistema. Establecerlagananciaeselprimerpasoparallevaralsistemaauncomportamientosatisfactorio.Sinembargo,enmuchoscasosprácticos,ajustandoúnicamentelagananciatalveznoproporcionelaalteraciónsuficienteenelcomportamientodel sistemaparacumplirlasespecificacionesdadas.Comoocurreconfrecuencia,incrementarelvalordelagananciamejoraelcomportamientoenestadoestacionarioperoproduceunaestabilidad deficienteo,incluso,inestabilidad.Enestecaso,esnecesariovolveradiseñarelsistema(modificandolaestructuraoincorporandodispositivosocomponentesadicionales)paraalterarelcomportamientogeneral,demodoqueelsistemasecomportecomosedesea.Estenuevodiseñoo adicióndeundispositivoapropiadosedenomina compensación.Unelementoinsertadoenel sistemaparasatisfacerlasespecificacionessedenomina compensador.Elcompensadormodifica elcomportamientodeficientedelsistemaoriginal.
Procedimientosdediseño. Enlaaproximacióndepruebayerrorparaeldiseñodeun sistema,separtedeunmodelomatemáticodelsistemadecontrolyseajustanlosparámetrosde uncompensador.Lapartedeesteprocesoquerequieremástiempoeslaverificacióndelcomportamientodelsistemamedianteunanálisis,despuesdecadaajustedelosparámetros.EldiseñadordebeutilizarunprogramaparacomputadorcomoMATLABparaevitargranpartedel cálculonuméricoquesenecesitaparaestaverificación.
Unavezobtenidounmodelomatemáticosatisfactorio,eldiseñadordebeconstruirunprototipoyprobarelsistemaenlazoabierto.Siseaseguralaestabilidadabsolutaenlazoabierto,el diseñadorcierraellazoypruebaelcomportamientodelsistemaenlazocerrado.Debidoalos efectosdecarganoconsideradosentreloscomponentes,lafaltadelinealidad,losparámetros distribuidos,etc.,quenosehantenidoencuentaeneldiseñooriginal,esprobablequeelcomportamientorealdelprototipodelsistemadifieradelasprediccionesteóricas.Portanto,talvez elprimerdiseñonosatisfagatodoslosrequisitosdecomportamiento.Medianteelmétodode pruebayerror,eldiseñadordebecambiarelprototipohastaqueelsistemacumplalasespecificaciones.Debeanalizarcadapruebaeincorporarlosresultadosdeesteanálisisenlapruebasiguiente.Eldiseñadordebeconseguirqueelsistemafinalcumplalasespecificacionesdecomportamientoy,almismotiempo,seafiableyeconómico.
1-5 Contenidodellibro Ellibroestáorganizadoen10capítulos.Acontinuaciónsedescribebrevementeelcontenidode cadacapítulo.
ElCapítulo1presentaunaintroducciónallibro.
EnelCapítulo2seabordaelmodeladomatemáticodesistemasdecontroldescritosmedianteecuacionesdiferencialeslineales.Concretamente,sepresentanlasfuncionesdetransferenciay lasecuacionesdiferencialesquedescribenalossistemas.Tambiénseanalizanlasecuacionesen elespaciodeestados.SeutilizaMATLABparatransformarmodelosmatemáticosdescritosmediantefuncionesdetransferenciaalespaciodeestadosyviceversa.Estelibrotratalossistemas linealesendetalle.Sielmodelomatemáticodecualquiersistemaesnolineal,necesitaserlinealizadoantesdepoderaplicarlasteoríasquesepresentanenestelibro.Enestecapítuloseincluye unatécnicaparalinealizarmodelosmatemáticosnolineales.
ElCapítulo3abordaelmodeladomatemáticodesistemasmecánicosysistemaseléctricos queaparecenfrecuentementeenlossistemasdecontrol.
ElCapítulo4trataelmodeladomatemáticodesistemasdefluidosysistemastérmicos,que sonusualesenlossistemasdecontrol.Lossistemasdefluidosincluyensistemasdenivelde líquidos,sistemasneumáticosysistemashidráulicos.Ademásenestecapítulosepresentanlos sistemastérmicostalcomolossistemasdecontroldetemperatura.
ElCapítulo5presentaelanálisisdelarespuestatransitoriadelarespuestaenestadoestacionariodelossistemasdecontroldefinidosmediantefuncionesdetransferencia.Seproporcionan tambiéndetallesdelosanálisisdelarespuestatransitoriaydelarespuestaenestadoestacionarioconMATLAB.Ademássepresentacómoobtenerdiagramastridimensionalescon MATLAB.Asimismo,enestecapítulosepresentaelanálisisdeestabilidadbasadoenelcriterio deestabilidaddeRouthyseanalizabrevementeelcriteriodeestabilidaddeHurwitz.
ElCapítulo6exponeunanálisisdellugardelasraícesdelossistemasdecontrol.Setratade unmétodográficoparadeterminarlaslocalizacionesdetodoslospolosenlazocerradoapartir delconocimientodelasposicionesdelospolosenlazoabiertoydeloscerosdelsistemaenlazo cerradocuandounparámetro(normalmentelaganancia)varíadesdecerohastainfinito.Este métodofuedesarrolladoporW.R.Evansenlasinmediacionesde1950.Enlaactualidad MATLABpermiteobtenerlagráficadellugardelasraícesdeformasencillayrápida.EstecapítulopresentatantolaobtenciónmanualdellugardelasraícescomolageneracióndellugarutilizandoMATLAB.Tambiénseabordaenestecapítuloeldiseñodesistemasdecontrolutilizando compensadoresdeadelanto,deatrasoydeadelanto-atraso.
ElCapítulo7presentaelmétododeanálisisdelarespuestaenfrecuenciadelossistemasde control.Esteeselmétodomásantiguodeanálisisydiseñodesistemasdecontrolylodesarrollarondurantelosaños1940-1950Nyquist,Bode,NicholsyHazenentreotros.Estecapítulopresentadetallesdelarespuestaenfrecuenciadelossistemasdecontrolutilizandolatécnicade compensadoresdeadelanto,latécnicadecompensadoresdeatrasoyladeadelanto-atraso.El métododerespuestaenfrecuenciaeraelmétododeanálisisydiseñocomúnmenteutilizadohastaqueelmétodoenelespaciodeestadosseconvirtióenelmáspopular.Sinembargo,desdeque elmétododediseñodecontrolrobustoHinfinitohaganadoenpopularidad,larespuestaenfrecuenciavuelveaestardemoda.
ElCapítulo8trataloscontrolesPIDbásicosymodificadostalescomoloscontroladoresPID convariosgradosdelibertad.ElcontroladorPIDtienetresparámetros:gananciaproporcional,gananciaintegralygananciaderivativa.Enlossistemasdecontrolindustrialesmásdelamitaddelos controladoresempleadossoncontroladoresPID.ElcomportamientodeloscontroladoresPIDdependedelasmagnitudesrelativasdeestostresparámetros.Ladeterminacióndelasmagnitudes relativasdeestostresparámetrossedenominasintoníadeloscontroladoresPID.
ZiegleryNicholspropusieronlasdenominadas«reglasdesintoníadeZiegler-Nichols»acomienzosde1942.Desdeentoncessehanpropuestonumerosasreglasdesintonía.Hoyendíala fabricacióndecontroladoresPIDtienesuspropiasreglasdesintonía.Enestecapítulosepresenta unprocedimientodeoptimizaciónparacomputadorautilizandoMATLABparadeterminarlos tresparámetrosdeformaquesesatisfaganlascaracterísticasdeunarespuestatransitoriadada. Esteprocedimientosepuedeextenderparadeterminarlostresparámetrosdeformaquesesatisfagacualquiercaracterísticadada.
ElCapítulo9presentaelmaterialbásicoparaelanálisisdelasecuacionesdeestados.Se analizancompletamentelosconceptosdecontrolabilidadyobservabilidad,losconceptosmás importantesdelateoríadecontrolmoderno,debidosaKalman.Enestecapítulosederivala solucióndelasecuacionesdeestado.
ElCapítulo10trataeldiseñodesistemasdecontrolenelespaciodeestados.Estecapítulo comienzaconproblemasdeasignacióndepolosylosobservadoresdeestados.Enlaingeniería decontrolconfrecuenciaesdeseablefijaruníndicedecomportamientoytratardeminimizarlo (omaximizarlo,sieselcaso).Sieseíndicedecomportamientoseleccionadotieneunsignificado físicoclaroentoncesestemétodoesbastanteútilparadeterminarlavariabledecontrolóptima. Estecapítulopresentaelproblemadelcontrolóptimocuadráticoenelqueseutilizauníndicede comportamientoqueesunaintegraldeunafuncióncuadráticadelasvariablesdeestadoydela variablecontrol.Laintegralseevalúadesde t % 0hasta t % ä.Estecapítulofinalizaconuna brevediscusiónsobrelossistemasdecontrolrobusto.
Modeladomatemático desistemasdecontrol 2-1 Introducción Alestudiarlossistemasdecontrol,ellectordebesercapazdemodelarsistemasdinámicosy analizarlascaracterísticasdinámicas.Unmodelomatemáticodeunsistemadinámicosedefine comounconjuntodeecuacionesquerepresentanladinámicadelsistemaconprecisióno,al menos,bastantebien.Téngasepresentequeunmodelomatemáticonoesúnicoparaunsistema determinado.Unsistemapuederepresentarsedemuchasformasdiferentes,porloquepuedetenermuchosmodelosmatemáticos,dependiendodecadaperspectiva.
Ladinámicademuchossistemas,yaseanmecánicos,eléctricos,térmicos,económicos,biológicos,etc.,sedescribeentérminosdeecuacionesdiferenciales.Dichasecuacionesdiferencialesseobtienenapartirdeleyesfísicasquegobiernanunsistemadeterminado—comolasleyes deNewtonparasistemasmecánicosylasleyesdeKirchhoffparasistemaseléctricos.Sedebe siemprerecordarqueobtenerunmodelomatemáticorazonableeslapartemásimportantede todoelanálisis.
Alolargodeestelibrosesuponequeelprincipiodecausalidadseaplicaalossistemasque seconsideren.Estosignificaquelasalidaactualdelsistema(lasalidaen t % 0)dependedelas entradaspasadas(entradasen t a 0)peronodependedelasentradasfuturas(entradaspara t b 0).
Modelosmatemáticos. Losmodelosmatemáticospuedenadoptarmuchasformasdistintas.Dependiendodelsistemadelquesetrateydelascircunstanciasespecíficas,unmodelo matemáticopuedesermásconvenientequeotros.Porejemplo,enproblemasdecontrolóptimo, esprovechosousarrepresentacionesenelespaciodeestados.Encambio,paralosanálisisdela
respuestatransitoriaodelarespuestaenfrecuenciadesistemaslinealesconunaentraday unasalidainvarianteseneltiempo,larepresentaciónmediantelafuncióndetransferenciapuedesermásconvenientequecualquierotra.Unavezobtenidounmodelomatemáticodeun sistema,seusandiversosrecursosanalíticos,asícomocomputadorasparaestudiarloysintetizarlo.
Simplicidadcontraprecisión. Alobtenerunmodelomatemáticosedebeestablecerun compromisoentrelasimplicidaddelmismoylaprecisióndelosresultadosdelanálisis.Alobtenerunmodelomatemáticorazonablementesimplificado,amenudoresultanecesarioignorar ciertaspropiedadesfísicasinherentesalsistema.Enparticular,sisepretendeobtenerunmodelomatemáticodeparámetrosconcentradoslineal(esdecir,unoenelqueseempleenecuacionesdiferenciales),siempreesnecesarioignorarciertasnolinealidadesyparámetrosdistribuidosquepuedenestarpresentesenelsistemadinámico.Silosefectosqueestaspropiedades ignoradastienensobrelarespuestasonpequeños,seobtendráunbuenacuerdoentrelosresultadosdelanálisisdeunmodelomatemáticoylosresultadosdelestudioexperimentaldelsistemafísico.
Engeneral,cuandoseresuelveunproblemanuevo,esconvenientedesarrollarprimeroun modelosimplificadoparaobtenerunaideageneraldelasolución.Acontinuaciónsedesarrolla unmodelomatemáticomáscompletoyseusaparaunanálisisconmáspormenores.
Sedebeserconscientedequeunmodelodeparámetrosconcentradoslineal,quepuedeser válidosioperaenbajafrecuencia,talveznoseaválidoenfrecuenciassuficientementealtas, debidoaquelapropiedadnoconsideradadelosparámetrosdistribuidospuedeconvertirseenun factorimportanteenelcomportamientodinámicodelsistema.Porejemplo,lamasadeunresorte puedepasarseporaltoenoperacionesenbajafrecuencia,peroseconvierteenunapropiedad importantedelsistemaenaltasfrecuencias.(Paraelcasoenelqueelmodelomatemáticotiene encuentaconsideracionesdeerrores,sepuedeaplicarlateoríadecontrolrobusto.Lateoríade controlrobustosepresentaenelCapítulo10)
Sistemaslineales. Unsistemasedenominalinealsiseaplicaelprincipiodesuperposición.Esteprincipioestablecequelarespuestaproducidaporlaaplicaciónsimultáneadedos funcionesdeentradasdiferenteseslasumadelasdosrespuestasindividuales.Portanto,parael sistemalineal,larespuestaavariasentradassecalculatratandounaentradacadavezysumando losresultados.Esteprincipiopermitedesarrollarsolucionescomplicadasparalaecuacióndiferenciallinealapartirdesolucionessimples.
Sienunainvestigaciónexperimentaldeunsistemadinámicosonproporcionaleslacausay elefecto,locualimplicaqueseaplicaelprincipiodesuperposición,elsistemaseconsidera lineal.
Sistemaslinealesinvariantesyvarianteseneltiempo. Unaecuacióndiferencial eslinealsisuscoeficientessonconstantesosonfuncionessólodelavariableindependiente.Los sistemasdinámicosformadosporcomponentesdeparámetrosconcentradoslinealesinvariantes coneltiemposedescribenmedianteecuacionesdiferencialeslinealesinvarianteseneltiempo —decoeficientesconstantes.Talessistemassedenominansistemas linealesinvariantesenel tiempo (o linealesdecoeficientesconstantes).Lossistemasqueserepresentanmedianteecuacionesdiferencialescuyoscoeficientessonfuncionesdeltiempo,sedenominansistemas lineales varianteseneltiempo.Unejemplodeunsistemadecontrolvarianteeneltiempoesunsistema decontroldenavesespaciales.(Lamasadeunanaveespacialcambiadebidoalconsumode combustible.)
Contenidodelcapítulo. EnlaSección2-1sehapresentadounaintroducciónalmodeladomatemáticodesistemasdinámicos.LaSección2-2presentalafuncióndetransferenciayla respuesta-impulso.LaSección2-3introducelossistemasdecontrolautomáticoylaSección2-4 analizaconceptosdelmodeladoenelespaciodeestados.LaSección2-5presentaunarepresentaciónenelespaciodeestadosdesistemasdinámicos.LaSección2-6tratalatransformaciónde modelosmatemáticosconMATLAB.Porúltimo,laSección2-7analizalalinealizacióndemodelosmatemáticosnolineales.
2-2 Funcióndetransferenciayderespuesta-impulso Enlateoríadecontrol,amenudoseusanlasfuncionesdetransferenciaparacaracterizarlas relacionesdeentrada-salidadecomponentesodesistemasquesedescribenmedianteecuaciones diferencialeslinealesinvarianteseneltiempo.Secomenzarápordefinirlafuncióndetransferencia,paraproseguirconelcálculodelafuncióndetransferenciadeunsistemadeecuaciones diferenciales.Acontinuaciónseanalizalafunciónderespuesta-impulso.
Funcióndetransferencia. La funcióndetransferencia deunsistemadescritomediante unaecuacióndiferenciallinealeinvarianteeneltiemposedefinecomoelcocienteentrela transformadadeLaplacedelasalida(funciónderespuesta)ylatransformadadeLaplacede laentrada(funcióndeexcitación)bajolasuposicióndequetodaslascondicionesinicialesson cero.
Considéreseelsistemalinealeinvarianteeneltiempodescritomediantelasiguienteecuacióndiferencial:
donde y eslasalidadelsistemay x eslaentrada.Lafuncióndetransferenciadeestesistemaesel cocientedelatransformadadeLaplacedelasalidaylatransformadadeLaplacedelaentrada cuandotodaslascondicionesinicialessoncero,o
Funcióndetransferencia % G(s) % [salida] [entrada] G condicionesinicialescero % Y
Apartirdelconceptodefuncióndetransferencia,esposiblerepresentarladinámicadeun sistemamedianteecuacionesalgebraicasen s.Silapotenciamásaltade s eneldenominadorde lafuncióndetransferenciaesiguala n,elsistemasedenomina sistemadeordenn-ésimo
Comentariosacercadelafuncióndetransferencia. Laaplicacióndelconceptode funcióndetransferenciaestálimitadaalossistemasdescritosmedianteecuacionesdiferenciales linealesinvarianteseneltiempo;sinembargo,elenfoquedelafuncióndetransferenciaseusa extensamenteenelanálisisydiseñodedichossistemas.Acontinuaciónsepresentanalgunos comentariosimportantesrelacionadosconlafuncióndetransferencia.(Obsérvesequeenlalista, lossistemasalosquesehacereferenciasonaquellosquesedescribenmedianteunaecuación diferenciallinealeinvarianteeneltiempo.) Capítulo2.
1. Lafuncióndetransferenciadeunsistemaesunmodelomatemáticoporqueesunmétodooperacionalparaexpresarlaecuacióndiferencialquerelacionalavariabledesalida conlavariabledeentrada.
2. Lafuncióndetransferenciaesunapropiedaddeunsistema,independientedelamagnitudynaturalezadelaentradaofuncióndeexcitación.
3. Lafuncióndetransferenciaincluyelasunidadesnecesariaspararelacionarlaentrada conlasalida;sinembargo,noproporcionainformaciónacercadelaestructurafísicadel sistema.(Lasfuncionesdetransferenciademuchossistemasfísicamentediferentespuedenseridénticas.)
4. Siseconocelafuncióndetransferenciadeunsistema,seestudialasalidaorespuestaparavariasformasdeentrada,conlaintencióndecomprenderlanaturalezadelsistema.
5. Sisedesconocelafuncióndetransferenciadeunsistema,puedeestablecerseexperimentalmenteintroduciendoentradasconocidasyestudiandolasalidadelsistema.Unavez establecidaunafuncióndetransferencia,proporcionaunadescripcióncompletadelas característicasdinámicasdelsistema,adiferenciadesudescripciónfísica.
Integraldeconvolución. Paraunsistemalinealeinvarianteeneltiempo,lafunciónde transferencia G(s)es
donde X(s)eslatransformadadeLaplacedelaentradae Y (s)eslatransformadadeLaplacedela salida,ysesuponequetodaslascondicionesinicialesinvolucradassoncero.Deaquíseobtiene quelasalida Y (s)seescribecomoelproductode G(s)y X(s),obien
Obsérvesequelamultiplicacióneneldominiocomplejoesequivalentealaconvoluciónenel dominiodeltiempo(véaseApéndiceA),porloquelatransformadainversadeLaplacedela Ecuación(2-1)seobtienemediantelasiguienteintegraldeconvolución:
dondetanto g(t)como x(t)son0para t a 0.
Respuesta-impulso. Considéreselasalida(respuesta)deunsistemaparaunaentrada impulsounitariocuandolascondicionesinicialessoncero.ComolatransformadadeLaplacede lafunciónimpulsounitarioeslaunidad,latransformadadeLaplacedelasalidadelsistemaes
(s) % G(s)(2-2)
LatransformadainversadeLaplacedelasalidaobtenidamediantelaEcuación(2-2)proporcionalarespuesta-impulsodelsistema.LatransformadainversadeLaplacede G(s),obien
1[G(s)] % g(t)
sedenominarespuesta-impulso.Estarespuesta g(t)tambiénsedenominafuncióndeponderación delsistema.
Deestemodo,larespuesta-impulso g(t)eslarespuestadeunsistemalinealaunaentrada impulsounitariocuandolascondicionesinicialessoncero.LatransformadadeLaplacedeesta funciónproporcionalafuncióndetransferencia.Portanto,lafuncióndetransferenciaylarespuesta-impulsodeunsistemalinealeinvarianteeneltiempocontienenlamismainformación sobreladinámicadelsistema.Porlotantoesposibleobtenerinformacióncompletasobrelas característicasdinámicasdelsistemasiseexcitaelsistemaconunaentradaimpulsoysemidela respuesta.(Enlapráctica,unaentradapulsoconunaduraciónmuycortacomparadaconlas constantesdetiemposignificativasdelsistemaseconsideraunimpulso.)
2-3 Sistemasdecontrolautomáticos Unsistemadecontrolpuedetenervarioscomponentes.Paramostrarlasfuncionesdecada componenteenlaingenieríadecontrol,porlogeneralseusaunarepresentacióndenominada diagramadebloques.Enestasección,enprimerlugar,seexplicaquéesundiagramadebloques.Acontinuaciónsepresentanaspectosintroductoriosalossistemasdecontrolautomático, queincluyendiversasaccionesdecontrol.Despuésseexponeunmétodoparaobtenerlosdiagramasdebloquesdesistemasfísicosy,porúltimo,seanalizantécnicasparasimplificartales diagramas.
Diagramasdebloques. Un diagramadebloques deunsistemaesunarepresentación gráficadelasfuncionesquellevaacabocadacomponenteyelflujodeseñales.Talesdiagramas muestranlasrelacionesexistentesentrelosdiversoscomponentes.Adiferenciadeunarepresentaciónmatemáticapuramenteabstracta,undiagramadebloquestienelaventajadeindicarde formamásrealistaelflujodelasseñalesdelsistemareal.
Enundiagramadebloquestodaslasvariablesdelsistemaseenlazanunasconotrasmediante bloquesfuncionales.Elbloque funcional osimplemente bloque esunsímbolopararepresentar laoperaciónmatemáticaquesobrelaseñaldeentradahaceelbloqueparaproducirlasalida.Las funcionesdetransferenciadeloscomponentesporlogeneralseintroducenenlosbloques correspondientes,queseconectanmedianteflechasparaindicarladireccióndelflujodeseñales. Obsérvesequelaseñalsólopuedepasarenladireccióndelasflechas.Portanto,undiagramade bloquesdeunsistemadecontrolmuestraexplícitamenteunapropiedadunilateral.
LaFigura2-1muestraunelementodeldiagramadebloques.Lapuntadeflechaqueseñalael bloqueindicalaentrada,ylapuntadeflechaquesealejadelbloquerepresentalasalida.Tales flechasseconocencomo señales
Figura2-1. Elementosdeundiagramadebloques.
Obsérvesequelasdimensionesdelaseñaldesalidadelbloquesonlasdimensionesdela señaldeentradamultiplicadasporlasdimensionesdelafuncióndetransferenciaenelbloque.
Lasventajasdelarepresentaciónmediantediagramasdebloquesdeunsistemaestribanen queesfácilformareldiagramadebloquesgeneraldetodoelsistemaconsóloconectarlosbloquesdeloscomponentesdeacuerdoconelflujodeseñalesyenqueesposibleevaluarlacontribucióndecadacomponentealdesempeñogeneraldelsistema.
Engeneral,laoperaciónfuncionaldelsistemaseapreciaconmásfacilidadsiseexaminael diagramadebloquesquesiserevisaelsistemafísicomismo.Undiagramadebloquescontiene informaciónrelacionadaconelcomportamientodinámico,peronoincluyeinformacióndela construcciónfísicadelsistema.Enconsecuencia,muchossistemasdiferentesynorelacionados puedenrepresentarsemedianteelmismodiagramadebloques.
Debeseñalarseque,enundiagramadebloques,laprincipalfuentedeenergíanosemuestra explícitamenteyqueeldiagramadebloquesdeunsistemadeterminadonoesúnico.Esposible dibujarvariosdiagramasdebloquesdiferentesparaunsistema,dependiendodelpuntodevista delanálisis.
Puntodesuma. RemitiéndosealaFigura2-2,uncírculoconunacruzeselsímboloque indicaunaoperacióndesuma.Elsignomásoelsignomenosencadapuntadeflechaindicasila señaldebesumarseorestarse.Esimportantequelascantidadesquesesumenorestentenganlas mismasdimensionesylasmismasunidades.
Puntoderamificación. Un puntoderamificación esaquelapartirdelcuallaseñaldeun bloquevademodoconcurrenteaotrosbloquesopuntosdesuma.
Diagramadebloquesdeunsistemaenlazocerrado. LaFigura2-3muestraun ejemplodeundiagramadebloquesdeunsistemaenlazocerrado.Lasalida C(s)serealimentaal puntodesuma,dondesecomparaconlaentradadereferencia R(s).Lanaturalezaenlazocerradodelsistemaseindicaconclaridadenlafigura.Lasalidadelbloque, C(s)enestecaso,se obtienemultiplicandolafuncióndetransferencia G(s)porlaentradaalbloque, E(s).Cualquier sistemadecontrollinealpuederepresentarsemedianteundiagramadebloquesformadoporpuntosdesuma,bloquesypuntosderamificación.
Cuandolasalidaserealimentaalpuntodesumaparacompararseconlaentrada,esnecesario convertirlaformadelaseñaldesalidaenladelaseñaldeentrada.Porejemplo,enunsistemade controldetemperatura,porlogenerallaseñaldesalidaeslatemperaturacontrolada.Laseñalde salida,quetieneladimensióndelatemperatura,debeconvertirseaunafuerza,posiciónovoltaje antesdequepuedacompararseconlaseñaldeentrada.Estaconversiónseconsiguemedianteel elementoderealimentación,cuyafuncióndetransferenciaes H(s),comoseapreciaenlaFigura 2-4.Lafuncióndelelementoderealimentaciónesmodificarlasalidaantesdecompararseconla entrada.(Enlamayorpartedeloscasos,elelementoderealimentaciónesunsensorquemidela salidadelaplanta.Lasalidadelsensorsecomparaconlaentradaysegeneralaseñaldeerror.) Enesteejemplo,laseñalderealimentaciónqueretornaalpuntodesumaparacompararseconla entradaes B(s) % H(s)C(s).
Figura2-2. Puntodesuma.
