Sumário
PARTE 1
INTRODUÇÃOÀSFERRAMENTASEAOSCONCEITOSBÁSICOSDAANÁLISEDE INVESTIMENTOS ..............................................................................................1
CAPÍTULO 1
O valor do dinheiro no tempo:cálculo financeiro básico necessário na avaliação econômica de investimentos 3
1.1Regime de capitalização composta ou exponencial................................................4
1.2Equivalência de capitais..............................................................................................5
1.3Taxa de juros nominal..................................................................................................6
1.4Taxa de juros efetiva....................................................................................................7
1.5Equivalência entre taxas de juros..............................................................................8
1.6Cálculo financeiro com séries de pagamentos periódicos uniformes....................9
1.7Cálculo financeiro com fluxos de duração indeterminada:perpetuidades........11
1.8Capitalização contínua..............................................................................................11
1.9Planos de amortização de empréstimos e financiamentos....................................14
PARTE 2
CAPÍTULO 2
Orçamentação de capital:métodos e critérios de avaliação de investimentos de capital 19
2.1Método do valor presente líquido (VPL)................................................................20
2.2Método da taxa interna de retorno (TIR)..............................................................21
2.3Método do payback descontado (PB)......................................................................21
2.4Método do custo–benefício (B/C)............................................................................22
2.5Método da anuidade uniforme equivalente (AE)..................................................23
2.6Método do custo anual equivalente (CAE)............................................................25
2.7Alternativas mutuamente exclusivas........................................................................37
2.8Ranking e seleção de alternativas de investimento:racionamento de capital....49
2.9Leasing........................................................................................................................51
2.10Justificativa e racionalidade econômica do uso do VPL como critério decisório......................................................................................................................61
2.11Limitações do VPL na análise de projetos com flexibilidades estratégicas e gerenciais....................................................................................................................69
CAPÍTULO 3
Estrutura do fluxo de caixa para análise e avaliação econômica de investimentos de capital 71
3.1Fluxo de caixa incremental........................................................................................71
3.2Considerações na montagem do fluxo de caixa......................................................72
3.3Fluxo de caixa livre....................................................................................................73
3.4Fluxo dos acionistas....................................................................................................73
3.5Decisões econômicas e decisões financeiras:o teorema de separação................74
3.6Análise das diversas variáveis e custos econômicos na determinação do fluxo de caixa incremental..................................................................................................75
3.7Fluxos de caixa e o tratamento adequado da inflação..........................................89
3.8Fluxos de caixa e avaliação em moeda forte..........................................................94
3.9Decisões de investimento em moeda nacional e em moeda estrangeira............96
3.10Montagem do fluxo de caixa para avaliação econômica de projetos de investimento................................................................................................................97
3.11Fluxo de caixa e projeção das demonstrações financeiras..................................105
3.12Capacidade de pagamento do financiamento......................................................109
3.13Receita mínima de equilíbrio econômico..............................................................112
PARTE 3
TÓPICOSESPECIAISNAANÁLISEDEPROJETOSDEINVESTIMENTO ........................115
CAPÍTULO 4
Técnicas para análise e otimização de projetos de investimento 117
4.1Análise de sensibilidade..........................................................................................118
4.2Análise de cenários..................................................................................................119
4.3Método da certeza equivalente..............................................................................125
4.4Simulação de Monte Carlo......................................................................................129
4.5Árvores de decisão..................................................................................................143
4.6Técnicas de inteligência artificial,redes neurais e algoritmos genéticos..........146
4.7Conceitos de competitividade e cooperação:a teoria dos jogos........................149
CAPÍTULO 5
Técnicas mais avançadas na avaliação e gestão de projetos de investimento: o potencial aplicativo da teoria das opções 152
5.1A importância das opções reais na avaliação econômica....................................152
5.2Opções reais e flexibilidade gerencial....................................................................154
5.3A teoria das opções na valoração de ativos reais................................................155
5.4Contribuição da teoria de opções reais na avaliação e gestão de projetos de investimento..............................................................................................................155
5.5Opções financeiras....................................................................................................157
5.6O modelo de Black-Scholes....................................................................................164
5.7Visão do projeto como uma opção real................................................................165
5.8Uso da teoria das opções para valorar projetos..................................................167
PARTE 4
CAPÍTULO 6
Risco e retorno:diversificação e otimização de carteiras de investimento; desempenho de carteiras e gerenciamento de risco de mercado 177
6.1O binômio risco-retorno..........................................................................................177
6.2A distribuição probabilística de retornos..............................................................178
6.3Risco e retorno esperado de ativos com risco......................................................180
6.4A teoria das carteiras:o modelo de Markowitz....................................................183
6.5O modelo de índice único........................................................................................202
6.6Análise de desempenho de carteiras......................................................................214
6.7Gestão de riscos de mercado..................................................................................217
CAPÍTULO 7
Equilíbrio no mercado de capitais:o modelo de apreçamento de ativos com risco (CAPM) 221
7.1Equilíbrio de mercado:a equação da LMC..........................................................222
7.2Decisões de investimento e de financiamento em incerteza:o teorema de separação..................................................................................................................223
7.3O modelo de formação de preços de ativos com risco (CAPM)........................224
7.4Rentabilidade histórica dos ativos e o prêmio de risco no modelo CAPM......239
7.5Problemas e anomalias do modelo CAPM..........................................................242
PARTE 5
DECISÕESDEFINANCIAMENTONOLONGOPRAZO ..........................................247
CAPÍTULO 8
Ponto de equilíbrio:alavancagem operacional e financeira249
8.1Ponto de equilíbrio operacional..............................................................................249
8.2Ponto de equilíbrio econômico..............................................................................257
8.3Ponto de equilíbrio e formação de preços............................................................260
8.4Alavancagem operacional:risco do negócio........................................................262
8.5Alavancagem financeira:risco financeiro..............................................................263
8.6Escolha do melhor plano financeiro:análise LPA Lajir................................265
8.7Alavancagem financeira e planos de financiamento............................................267
CAPÍTULO 9
Custo do capital 268
9.1Custo médio ponderado do capital........................................................................269
9.2Valor da empresa:proposição I de Modigliani-Miller........................................273
9.3Custo do capital próprio..........................................................................................276
9.4Custo da dívida........................................................................................................280
9.5Custo do capital,alavancagem financeira e beta..................................................281
9.6Custo do capital:o caso da Embratel....................................................................294
CAPÍTULO 10
O valor da empresa e a decisão sobre estrutura de capital 296
10.1Fluxo de caixa adequado para estimar o valor intrínseco da empresa..............297
10.2Métodos para estimar o valor intrínseco da empresa..........................................299
10.3De que maneira os benefícios fiscais da dívida aumentam o valor da empresa?....................................................................................................................305
10.4Legislação brasileira:juros sobre o capital próprio e dividendos das ações preferenciais..............................................................................................................307
10.5Dinâmica do fluxo de caixa da empresa:das demonstrações contábeis ao fluxo de caixa livre....................................................................................................307
10.6A decisão sobre a estrutura de capital..................................................................318
10.7Estrutura ótima ou estrutura-alvo de capital?......................................................324
PARTE 6
CAPÍTULO 11
Análise de desempenho operacional e financeiro de empresas 327
11.1Medição dos objetivos da empresa........................................................................328
11.2Apuração do lucro operacional segundo a legislação societária brasileira......329
11.3Apuração do lucro operacional ajustado..............................................................329
11.4Apuração do capital investido................................................................................331
11.5Índices de mercado..................................................................................................332
11.6Índices de rentabilidade:análise tradicional de desempenho econômico........335
11.7Rentabilidade e alavancagem financeira..............................................................341
11.8Análise de desempenho com base nos índices tradicionais................................344
11.9Índices de criação de valor:análise de desempenho baseada na geração de valor......................................................................................................................347
11.10Desempenho de empresas e setores......................................................................349
11.11Análise de desempenho e inflação........................................................................351
CAPÍTULO 12
Valuation: valoração de empresas353
12.1Modelos de avaliação de empresas........................................................................356
12.2Avaliação baseada no desconto do fluxo de caixa livre......................................357
12.3Avaliação baseada no lucro econômico:o método EVA....................................367
12.4Valoração acionária:o modelo de múltiplos........................................................369
12.5Valoração acionária:o modelo do fluxo de dividendos......................................371
1
O valor do dinheiro no tempo: cálculo financeiro básico necessário na avaliação econômica de investimentos
• Regime de capitalização composta ou exponencial
• Equivalência de capitais
• Taxa de juros nominal
• Taxa de juros efetiva
• Equivalência entre taxas de juros
• Cálculo financeiro com séries de pagamentos periódicos uniformes
• Perpetuidades
• Capitalização contínua
Podemos iniciar este capítulo introduzindo de maneira informal um princípio amplamente usado na análise econômica de investimentos:as pessoas têm preferência pela liquidez. Esse princípio indica que $ 100 disponíveis hoje são preferíveis a (ou valem mais que) $ 100 a serem recebidos em data futura,por pelo menos três razões fundamentais:
•o risco de não receber a quantia no futuro;
•o menor poder aquisitivo da quantia no futuro,devido ao efeito inflacionário;
•o custo de oportunidade do dinheiro,que,por meio do investimento,permite-nos transformar $ 100 hoje em mais do que $ 100 no futuro.
Tendo apresentado essa noção de preferência pela liquidez,podemos introduzir mais formalmente o objeto de estudo da matemática financeira, nome dado ao conjunto de conceitos matemáticos elementares utilizados na análise de operações de investimento e de financiamento,tendo em vista o princípio da preferência pela liquidez.
O valor da preferência pela liquidez é normalmente representado pela taxa de juros ou pelo custo do dinheiro.Se,por exemplo,a taxa de juros mínima para deixarmos de consumir $ 100 no momento presente e aplicarmos esse dinheiro em um investimento por um ano é de 10%,isso indica que queremos $ 10 como pagamento futuro,para compensar o sacrifício de nos privarmos de $ 100 hoje.Se,por outro lado,a taxa de juros máxima que estamos dispostos a pagar para receber $ 100 hoje e retornar esse valor após um ano é de 5%,isso indica que estamos dispostos a pagar $ 105 no futuro para receber $ 100 hoje.O conceito de taxa de juros de mercado que acabamos de introduzir é uma noção prática utilizada em matemática financeira para indicar a taxa a que o investidor ou aplicador pode teoricamente ter acesso no mercado.
Na prática,essa taxa de mercado depende de diversos fatores,como o volume de dinheiro considerado para aplicação ou empréstimo,o prazo da aplicação e os riscos associados à transação.
Sendo o cálculo financeiro extremamente importante na análise de investimentos,neste capítulo faremos uma revisão de seus fundamentos básicos,necessários ao entendimento dos próximos capítulos.1
1.1Regime de capitalização composta ou exponencial
O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia,no sistema financeiro e no cálculo econômico.Nesse regime,os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.Ou seja,o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela,passando a participar da geração do rendimento no período seguinte;dizemos,então,que os juros são capitalizados.
Por meio da expressão a seguir,podemos calcular o montante S resultante da aplicação do principal P durante n períodos,a uma taxa de juros compostos i:
Por exemplo,se o capital fosse de $ 1.000,a taxa de juros compostos de 2% a.m.e o prazo de 3 meses,o montante ao término do terceiro mês poderia ser calculado diretamente da seguinte forma:
Exemplo 1.1
Qual o capital que,em 6 anos,aplicado à taxa de juros compostos de 15% a.a.,monta $ 14.000?
Dados: n = 6 anos,i = 15% a.a.,S = $ 14.000,P = ?
Exemplo 1.2
Em que prazo um empréstimo de $ 55.000 pode ser quitado por meio de um único pagamento de $ 110.624,80,se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.?
Dados: P = $ 55.000,S = $ 110.624,80,i = 15% a.m.,n = ?
1 Para uma revisão mais ampla do cálculo financeiro,veja:C.P.Samanez, Matemática financeira:aplicações à análise de investimentos,4. ed.São Paulo:Pearson Prentice Hall,2006.
Aplicando logaritmos: log 2,01136 n log 1,15 ⇒ n log 2,01136 log 1,15 5 meses
Exemplo 1.3
A que taxa de juros um capital de $ 13.200 pode transformar-se em $ 35.112,26,considerando um período de aplicação de 7 meses?
Dados: P = $ 13.200,00,S = $ 35.112,26,n = 7,i = ?
S P(1 i ) 7
$ 35.112,26 $ 13.200,00 1 1 i 2 7 1 i a $ 34.112,26 $ 13.200,00 b 1 7 1 0,15 15% a.m.
1.2Equivalência de capitais
O princípio de equivalência de capitais é fundamental na resolução dos problemas de cálculo financeiro.Diz-se que dois capitais com datas de vencimento determinadas serão equivalentes quando,se levados para uma mesma data à mesma taxa de juros,tiverem valores iguais.
Exemplo 1.4
Uma compra pode ser paga à vista por $ 1.400 ou financiada por meio de uma entrada de 30% e mais dois pagamentos mensais,sendo o segundo 50% maior do que o primeiro. Sabendo que o início dos pagamentos será ao término de um período de carência de 4 meses e que a taxa de juros aplicada é de 5% a.m.,calcular o valor dos pagamentos mensais.
Valoràvista$1.400 Y1,5Y carência 0
Entrada$420
45mês
O valor de Y pode ser encontrado considerando-se que,pelo princípio de equivalência de capitais,o valor à vista deve ser igual ao valor presente do fluxo de caixa da alternativa de compra financiada: Logo,o primeiro pagamento será de $ 490,49,e o segundo,de $ 735,74 (1,5 $ 490,49).
Exemplo 1.5
Uma pessoa tem uma dívida de $ 3.000 com vencimento em 2 anos e outra de $ 4.500 com vencimento em 6 anos.Ela pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento único, a ser realizado ao fim de 4 anos.Considerando uma taxa de juros efetiva de 10% a.a., determinar o valor do pagamento único que liquida a dívida. $ 1.400 $
Por equivalência de capitais,o valor do pagamento único que quita a dívida deve ser igual ao valor atualizado (no quarto ano) das duas quantias devidas:
02
$3.000$4.500 46 X
X$3.000 (1,10)2$ 4.500 (1,10)2$ 7.349
Para serem transportados ao quarto ano,o primeiro valor ($ 3.000) é capitalizado por dois anos,enquanto o segundo ($ 4.500) é descontado por dois anos.
1.3Taxa de juros nominal
A taxa nominal é uma taxa referencial em que os juros são capitalizados (incorporados ao principal) mais de uma vez no período a que ela se refere;isto é,a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
As taxas de juros podem ser classificadas em nominais ou efetivas, conforme o capital tomado como base de cálculo.Desse modo,a taxa nominal é aquela calculada com base no valor nominal,e a taxa efetiva,com base no valor efetivamente aplicado ou emprestado.
Vamos supor que alguém tenha contraído umempréstimo de $ 30.000 a ser liquidado por meio de um pagamento único,de $ 38.000,no prazo de 1 mês.No ato da contratação foi paga uma tarifa de serviço bancário de 5%,cobrada sobre o valor do empréstimo.
A taxa nominal é a razão entre os juros pagos e o valor nominal do empréstimo:
Taxa nominal Juros pagos
Empréstimo nominal
$ 38.000 $ 30.000 $ 30.000 26,67% a.m.
A taxa efetiva é a razão entre os valores efetivamente pagos e o valor do empréstimo efetivamente liberado:
Taxa efetiva
Valores efetivamente pagos
Empréstimo efetivo
($ 38.000
$ 30.000 ) 0,05
$ 30.000
$ 30.000 0,05 $ 30.000 33,33 a.m.
Em geral,podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado pelo prazo m,a uma taxa nominal j,com juros capitalizados k vezes durante o período referencial da taxa nominal: onde:
j= taxa de juros nominal;
S P a 1 j k b k m
k= número de vezes que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;
m= prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal; P= capital aplicado.
Exemplo 1.6
Um Certificado de Depósito Bancário (CDB) prefixado rende 95% da taxa over do Certificado de Depósito Interfinanceiro (CDI).Considerando que em 60 dias de prazo da operação houve 48 dias úteis,que a taxa média do CDI no período foi de 4,4% a.m.e que o valor aplicado foi de $ 4.500,calcular o valor de resgate do CDB.
Dados: j 0,95 4,4% 4,18% a.m.,k 30,P $ 4.500,m 48/30 meses,S ?
A taxa over tem capitalização diária (k 30),mas rende somente por dia útil.O prazo foi convertido à mesma unidade de tempo da taxa over (m 48/30 meses).
Exemplo 1.7
Qual o valor de resgate para um capital de $ 200 aplicado pelos prazos e taxas a seguir?
a) 27 dias a 9% a.m.,capitalizados diariamente:
b) 6 meses a 28% a.a.,capitalizados mensalmente:
c) 7 meses a 28% a.a.,capitalizados trimestralmente:
Repare que no item c o expoente é igual a 2,33 (k m);contudo,no cálculo do montante foi considerada unicamente a parte inteira (2,0),pois no prazo da operação (7 meses) haverá capitalização de juros somente duas vezes (2 trimestres).No prazo restante (0,33 trimestre),por não ter se completado um período de capitalização (1 trimestre),o capital não renderá juros.
1.4Taxa de juros efetiva
A taxa nominal é uma taxa declarada ou cotada que não incorpora capitalizações. Assim,se pretendemos efetuar cálculos e comparações no regime de juros compostos,precisamos calcular a taxa efetiva equivalente.Essa taxa pressupõe a incidência de juros uma única vez em cada período a que se refere;isto é,a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.É,portanto,a taxa por período de capitalização.
A freqüência das capitalizações de uma taxa nominal afeta o montante de uma aplicação,pois,quanto maior for essa freqüência,maior será o montante final e maior será também a taxa efetiva ganha (ou paga) na operação.Como ilustração,o quadro a seguir mostra, para diversas freqüências das capitalizações da taxa nominal,os montantes e as taxas efetivas para um capital de $ 100 aplicado por 2 anos a uma taxa nominal de 10% a.a.
Podemos observar que a taxa efetiva aumenta à medida que a freqüência das capitalizações da taxa nominal cresce.Quanto maior for essa freqüência,maior será a taxa efetiva implícita.
1.5Equivalência entre taxas de juros
Duas taxas são ditas equivalentes quando,incidindo sobre um mesmo capital durante o mesmo prazo,produzem montantes iguais.Consideremos uma aplicação de $ 1.000 pelo prazo de 1 ano.Se o capital for aplicado à taxa efetiva de 42,5761% a.a.,ou à taxa efetiva de 3% a.m.,o montante será o mesmo,dado que essas duas taxas são equivalentes.
Montante à taxa efetiva de 42,5761% a.a.:$ 1.000 (1,4257661)1 $ 1.425,76
Montante à taxa efetiva de 3% a.m.:$ 1.000 (1,03)12 $ 1.425,76
Exemplo 1.8
Calcular as taxas efetivas ao ano para as seguintes taxas nominais:a) 24% ao ano,capitalizada mensalmente;b) 48% ao semestre,capitalizada mensalmente;c) 60% ao trimestre,capitalizada diariamente.
a)
b)
c)
A divisão da taxa nominal (j) pela freqüência de suas capitalizações (k) resulta em uma taxa efetiva por período de capitalização.O expoente (q) representa o número de capitalizações da taxa nominal em 1 ano. ia(1jk)q 1 (10,6090) 360 1 993,57 %a.a. ia(1jk)q 1 (10,486) 12 1151,82%a.a. ia(1jk)q 1 (10,2412)12 1 26,82%a.a.
Exemplo 1.9
Em 120 dias uma aplicação rendeu uma taxa efetiva de 124%.Considerando o ano comercial (360 dias),calcular as taxas efetivas mensal e anual equivalentes a essa taxa.
•Taxa efetiva ao mês:im [(2,24)1/120]30 1 (2,24)30/120 1 22,34% a.m.
•Taxa efetiva ao ano:ia [(2,24)1/120]360 1 (2,24)360/120 1 1.023,94% a.a.
1.6Cálculo financeiro com séries de pagamentos periódicos uniformes
O valor presente de uma série periódica uniforme representa a soma das parcelas atualizadas para a data zero.O diagrama de fluxo a seguir mostra o processo de atualização de uma série finita de pagamentos constantes:
O valor presente da série é expresso pela seguinte fórmula:
R[(1 i) 1 (1 i) 2 (1 i) 3 ... (1 i) n]
O somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica.Utilizando a conhecida fórmula da soma das progressões geométricas,podemos desenvolver a seguinte expressão para o valor presente de uma série uniforme,com n termos capitalizados à taxa efetiva i:
O valor futuro ou montante da série é a soma dos montantes de cada termo.Uma expressão para o montante pode ser obtida capitalizando-se por n períodos o valor presente da série:
Os fatores an | i% e sn | i% representam os fatores de valor presente e futuro,respectivamente,de séries periódicas uniformes unitárias.
Exemplo 1.10
A juros efetivos de 3% a.m.,determinar o número de prestações necessárias para liquidar um financiamento de $ 842,36.As prestações são mensais,iguais,consecutivas e no valor de $ 120 cada.
Dados: i 3% a.m.,R $ 120,P $ 842,36,n ?
P R an | 3%
Aplicando logaritmos:n log(1,03) log(1,266770081)
Exemplo 1.11
Quanto uma pessoa acumularia ao fim de 15 meses se,no final de cada mês,depositasse $ 350 em uma aplicação que paga juros efetivos de 5% a.m.?
Dados: n 15 meses,R $ 350,i 5% a.m.,S ?
0123 R$350 15mês S? S R s15 5% $ 350 c 1 1 0,05 2 15 1 0,05 d $ 350 21,57856 $ 7.552,50 1 n log 1 1,266770081 2 log 1 1,03 2 8 meses $ 842,36 $ 120 c 1 1,03 2 n 1 1
Exemplo 1.12
Por meio de quantos depósitos mensais de $ 560,43 uma pessoa acumula um capital de $ 12.000,em uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 2% a.m.?
Dados: R $ 560,43,S $ 12.000,i 2% a.m.,n ?
S R sn 2%
$ 12.000 $
Aplicando logaritmos: n log 1,02 log 142825 1 n 18
1.7Cálculo financeiro com fluxos de duração
indeterminada: perpetuidades
O termo perpetuidade sugere fluxos de duração infinita,sem limite.Entretanto,é mais apropriado dizer que uma perpetuidade está constituída por um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado exatamente,pois é muito grande e tende ao infinito.É o que sucede,por exemplo,com os dividendos pagos pelas empresas e outros fluxos de duração indeterminada.
Considerando que n é indeterminado ou tende ao infinito,uma equação que nos permita calcular o valor presente de uma perpetuidade pode ser obtida da seguinte forma:
onde R é o valor dos termos da perpetuidade constante postecipada (termos vencidos),e i refere-se à taxa de juros que capitaliza a perpetuidade.Caso a perpetuidade cresça a uma taxa constante c,seu valor presente será dado por:
para i > c (i taxa de juros efetiva;c taxa de crescimento)
Exemplo 1.13
Uma ação promete pagar um dividendo de $ 3,5/ação ao ano.Estimando que os dividendos cresçam a uma taxa constante de 5% a.a.e que o custo de oportunidade do capital seja de 14% a.a.,calcular o valor unitário da ação.
Dados: R $ 3,5/ação,i 14% a.a.,c 5% a.a.,P ?
O fluxo de dividendos configura uma perpetuidade postecipada crescente e seu valor presente pode ser calculado do seguinte modo:
1.8Capitalização contínua
Nas seções anteriores,os capitais usados foram valores monetários concentrados em determinada data (capitais discretos).Na prática da avaliação econômica,muitas vezes os valores monetários fluem contínua e uniformemente através do tempo,o que exige um cômputo diferente para a atualização de valores:a chamada capitalização contínua.É esse o tipo de cômputo usado nos modelos de apreçamento de derivativos,nos modelos de finanças em tempo contínuo,na avaliação de opções reais etc.
Consideremos um capital de $ 100 aplicado por 1 ano à taxa nominal de 24% a.a.Esse capital resultará nos seguintes montantes,considerando-se diversas hipóteses de freqüência das capitalizações da taxa nominal:
Capitalização
Anual (k 1)
Semestral (k 2)
$ 100 (1 0,24) $ 124,00
$ 100 (1 0,24 / 2)2 $ 125,44
Trimestral (k 4)$ 100 (1 0,24 / 4)4 $ 126,25
Mensal (k 12)$ 100 (1 0,24 / 12)12 $ 126,82
Diária (k 365)$ 100 (1 0,24 / 365)365 $ 127,12
Repare que o montante aumenta à medida que a freqüência das capitalizações cresce. Se admitirmos hipoteticamente a possibilidade de capitalizações em períodos muito curtos, como a capitalização por hora,teremos o seguinte montante ao fim do ano:
Pode-se constatar que o montante praticamente não cresce com a capitalização horária em comparação com a capitalização diária,tendendo para um valor-limite de $ 127,12.Se considerarmos períodos de tempo ainda menores — como minutos,segundos —,o montante praticamente ficará inalterado.
Sabe-se que o montante de um capital aplicado pelo prazo m,a juros nominais j,capitalizados k vezes,pode ser expresso do seguinte modo:
Considerando nossa constatação de que o montante de um capital tende a um limite quando a freqüência das capitalizações é muito grande (quando ela tende ao infinito),podemos derivar uma equação que nos permita calcular o montante desse capital.Para isso,bastará supor que a capitalização seja infinitamente grande,ou seja,que se dê em intervalos de tempo infinitesimais.Desse modo,no limite temos que:
Pode-se demonstrar em cálculo que,quando k tende ao infinito,o limite do termo entre chaves dessa expressão é um número irracional (e 2,718281828459....),que serve de base aos logaritmos neperianos ou naturais,e também que j , onde é a chamada taxa instantânea ou contínua.A notação comumente adotada para essa taxa é a letra grega delta ( ). Essa última expressão é a base da computação contínua de juros.
Sabe-se que o montante produzido por duas taxas de juros equivalentes deve ser o mesmo.Assim,igualando os montantes das computações contínua e discreta,é possível obter uma relação de equivalência entre taxas de juros discretas e contínuas:
P e m P(1 i)m 1
Adotando-se a taxa de juros efetiva i para uma capitalização discreta de juros, ln(1 i) será a taxa instantânea equivalente para uma capitalização contínua. i ed 1 1 taxa efetiva 2 d ln 1 1 i 2 1 taxa instantânea equivalente 2 S P limk Sq ea 1 1
1.8.1Valor presente de valores uniformemente distribuídos
Em algumas situações encontradas na análise de investimentos,os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante pontual,mas distribuídos ao longo de determinado período de tempo.Como exemplos temos:o custo anual de manutenção dos equipamentos de uma grande indústria,a receita produzida por uma estação de bombeio operando a uma potência e desempenho constantes durante determinado período,a receita de um poço de petróleo ou gás produzindo a uma vazão constante durante determinado período, o fluxo de caixa de uma grande empresa etc.
A seguinte expressão permite calcular o valor presente de um capital Q –, distribuído uniformemente durante m períodos:2
Exemplo 1.14
Calcular o montante de um capital de $ 1.000 aplicado por 1 ano à taxa instantânea de 50% a.a.,capitalizada contínua ou instantaneamente.
Dados: P $ 1.000, 50% a.a.,m 1,S ?
S P e m $1.000 e0,50 1 $ 1.648,72
Exemplo 1.15
Calcular a taxa instantânea equivalente à taxa nominal de 40% a.a.,capitalizada mensalmente.
Dados: j 40% a.a.,k 12,m 1, ?
Para serem equivalentes,as duas taxas devem resultar no mesmo montante:
Aplicando logaritmos: ln e ln 1,48213 1 0,3935 39,35% a.a.
Exemplo 1.16
Uma plantação de eucaliptos para fabricação de celulose tem 80.000 m3 de madeira.O preço atual da madeira é de $ 20/m3 e a taxa contínua de crescimento das arvores é de 20% a.a.Pede-se:a) calcular o valor da plantação após 4 anos;b) determinar em que prazo dobra o valor da plantação.
Dados: P 80.000 m3 $ 20/m3, 20% a.a.,m 4,S ?
a) S P e m (80.000 m3 $ 20/m3) e0,20 4 $ 3.560.865,49
b) S P e m
2P P e m
2 e0,20 m 1 m ln 2/0,20 3,47 anos P ed m P a 1 j k b k m 1 ed a 1 0,40 12 b 12 1,48213 P0 Q c 1 e m d d m d
2 A demonstração da fórmula encontra-se em C.P.Samanez,op.cit.
Exemplo 1.17
Um projeto de irrigação proporcionará um lucro total de $ 64 milhões em 20 anos de operação.Calcular o valor atual desse lucro,considerando a realização dos lucros em regime de fluxo uniforme e uma taxa contínua equivalente à taxa de juros efetiva discreta de 8% a.a.
Dados: i 8% a.a.,m 20,Q –$ 64 milhões,P0 ?
•Taxa de juros contínua equivalente: ln (1 i) ln (1,08) 0,07696104 7,696104% a.a.
•Valor presente do lucro de $ 64 milhões realizado em fluxo uniforme ao longo de 20 anos:
P0 Q c 1 e d m d m d $ 64 a 1 e 0,07696104 20 0,07696104 20 b $ 32,66 milhões
Exemplo 1.18
Um estudo de engenharia indicou que um poço de petróleo proporcionará lucros de $ 4 milhões em cada um dos 6 anos de sua vida útil.Considerando fluxos uniformemente distribuídos e usando uma taxa contínua equivalente à taxa discreta de 12% a.a.,calcular o valor presente dos lucros.
Dados: i 12% a.a.,n 6,m 1,Q $ 4 milhões/ano,VP ?
•Taxa contínua equivalente: ln (1 i) ln (1,12) 0,11332869
• Lucros discretos no início de cada ano:
P0 Q c 1 e d m d m d $ 4 a 1 e 0,11332869 1 0,11332869 1 b $ 3,78 milhões> ano
•Valor presente dos lucros discretos:
Repare que os lucros discretos constituem uma série uniforme antecipada de seis termos.
1.9Planos de amortização de empréstimos e financiamentos
A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga por meio de parcelas,de modo que,ao término do prazo estipulado,o débito esteja totalmente quitado.Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes:a amortização,que representa a devolução do empréstimo em quotas,e os juros sobre o saldo do empréstimo ainda não amortizado.
Prestação Amortização Juros
Essa separação permite discriminar o que representa a devolução do principal (amortização) do que representa o serviço da dívida (juros).Ela é importante para as necessidades jurídico-contábeis e na análise de investimentos,em que os juros,por serem dedutíveis para efeitos
