Issuu on Google+

ELS TEUS RECURSOS DIGITALS A:

MATEMÀTIQUES 2

www.ecasals.net/alumnes/matematiques2eso

MATEMÀTIQUES 2

Miquel Albertí, Andrés Aragoneses, Antoni Bancells, Albert Bosch, Fernando García, Antonio Hernández, Bartolomé Luque, Ricard A. Rovira, Lluís Sabater, Juan A. Ysern

Mates 2 coberta CAT CS4.indd 1

26/01/11 16:54


Unitat

2

Els nombres fraccionaris La meitat de la meitat

Imaginem un rectangle. Dividint la seva llargària en tres parts iguals i l’amplària en dues, aconseguim sis cel·les o rectangles més petits idèntics que componen el rectangle original. Si A i B són la longitud i l’amplària respectives del rectangle de partida, la seva àrea és A · B. Per tant, l’àrea de cadascun dels rectangles petits és una sisena part d’aquesta: A ⋅B 6

24

També podem calcular l’àrea de cada cel·la multipliA cant la seva llargària, és a dir, , per la seva amplària, 3 B que és : 2 A B ⋅ 3 2 De tot plegat deduïm que: A B A ⋅B ⋅ = 3 2 6

Vet aquí com es calcula el producte de dues fraccions. a c En multiplicar per s’obté una fracció que té com b d a numerador el producte dels numeradors, i com a denominador el producte dels denominadors: a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d Tothom és capaç de fer un senzill càlcul mental per saber que la meitat de vint euros són deu euros. De manera semblant, som capaços de deduir que la quarta part de vuitanta passes són vint passes, atès que la meitat de vuitanta són quaranta i que la meitat de quaranta són vint. Parem esment ara en aquests fets i centrem l’atenció en el canvi que pateix una expressió lingüística corrent quan es transforma en una de tipus matemàtic.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 24

10/11/11 16:21


Primer fixem-nos en l’expressió la meitat de vint és deu. El càlcul que fem és dividir 20 en dues parts iguals, de manera que 20/2 = 10. La transició de l’expressió lingüística a la matemàtica és la següent: La meitat de vint és deu ↔

1 20 de 20 = 10 ↔ = 10 2 2

La transformació es produeix a causa de la preposició de. Quan passem del llenguatge corrent al matemàtic, aquesta proposició es converteix en un signe de multiplicar: 1 1 20 1⋅ 20 20 ⋅ 20 = ⋅ = = = 10 2 2 1 2 ⋅1 2 D’aquí que la meitat de la meitat d’una quantitat Q sigui el mateix que la quarta part de Q: 1 1 de de Q ↔ 2 2 1 1 Q Q ↔ ⋅ ⋅Q = = 2 2 2⋅2 4

La meitat de la meitat de Q ↔

Analitza i resol 1. Tenim un foli i es plega el costat llarg en cinc parts, i el curt, en quatre. a) Quantes cel·les té la retícula que es crea? b) Quina fracció del full representa cadascuna de les cel·les de la retícula? 2. La fotografia que acompanya el text és una obra de l’artista Piet Mondrian. Identifica quines cel·les de la seva retícula són la meitat d’altres. 3. Escriu l’expressió matemàtica corresponent a les expressions lingüístiques següents i calcula’n la fracció resultant: a) La quarta part de la cinquena part d’una quantitat. b) La meitat del terç d’una quantitat. c) El terç de la meitat d’una quantitat. d) La tercera part de la tercera part d’una quantitat. 4. Escriu l’expressió lingüística corresponent a les expressions matemàtiques següents: a)

1 1 ⋅ ⋅Q 3 4

c)

1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅Q 2 2 2

b)

1 1 ⋅ ⋅Q 2 5

d)

1 1 ⋅ ⋅Q 10 10

25

5. Tal com s’explica en el text, en quin terme, nombre o símbol matemàtic es transforma la preposició de quan una expressió lingüística referent a fraccions s’escriu en termes matemàtics? 6. Quina fracció representa: a) La desena de la desena de la desena part d’una quantitat. b) La desena part de la centèsima part.

Índex

Competències bàsiques

1. Els nombres fraccionaris

Matemàtica. Operació amb fraccions.

2. Treballar amb fraccions equivalents

Comunicativa lingüística i audiovisual. Expressió oral

3. Operacions bàsiques amb fraccions

i escrita d’operacions amb fraccions.

4. Potències i arrels quadrades de fraccions

Tractament de la informació i competència digital.

5. Operacions combinades amb fraccions

Utilització d’eines de càlcul i programes informàtics. Coneixement i la interacció amb el món físic. Aplicació dels procediments de càlcul en una situació de l’entorn físic.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 25

10/11/11 16:22


Els nombres fraccionaris

1

Els nombres fraccionaris 1.1

Una fracció és un nombre real representat com a quocient entre dos nombres enters a i b, el numerador i el denominador.

Recorda Les

fraccions

expressen

Termes d’una fracció

el

nombre de parts que es consideren d’un tot. Els nombres naturals es poden

a b

numerador denominador

El numerador indica quantes d’aquestes parts s’han de tenir en compte.

El denominador indica en quantes parts iguals s’ha dividit una cosa.

escriure en forma de fracció: 3 3= 1

Exemple

Es llegiria «tres enters».

1. En repartir un premi entre els 4 membres de l’equip, cada membre rep una quarta 1 1 part, , és a dir, un 0,25 del premi total. La fracció equival al nombre real 0,25. 4 4

1.2

• Fraccions pròpies. Són les fraccions que tenen, en valor absolut, el numerador més petit que el denominador (|a| < |b|). En fer la divisió, el resultat és més petit que la unitat, i, per tant, fan referència a un nombre que només té part decimal.

fracció pròpia 1<4

1 = — 4

26

1 = 0,25 — 4

fracció impròpia 7>4

7 = — 4

7 = 1,75 — 4

• Fraccions impròpies. Són les fraccions que tenen, en valor absolut, el numerador més gran que el denominador (|a| > |b|). En fer la divisió, el resultat és més gran que la unitat. • Fraccions iguals a la unitat. Són les fraccions que tenen, en valor absolut, el numerador i el denominador iguals (|a| = |b|).

3 — 4

1

Exemple

fracció igual a la unitat 4 = — 4

Fraccions pròpies i fraccions impròpies

2. En una gimcana, per arribar a la meta, l’Artur camina sis quarts de quilòmetre mentre que la Laura camina tres quarts de quilòmetre. 6 6 Artur: = 1, 5 km és més d’un quilòmetre. és una fracció impròpia. 4 4 3 3 Laura: = 0, 75 km és menys d’un quilòmetre. és una fracció pròpia. 4 4

4=4 4 =1 — 4

1.3

Els nombres mixtos

Les fraccions impròpies fan referència a un nombre que té part entera i part decimal; per això es poden escriure com un nombre mixt, és a dir, com la suma d’un nombre enter més una fracció pròpia. Exemple 6 2 = 1, 5 km, que és el mateix que 1+ = 1, 5 km. Fixa’t com es 4 4 pot passar de fracció impròpia a nombre mixt dividint la fracció: 3. L’Artur ha caminat

una unitat

6 4 2 1 1+

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 26

2 4

D d

D d q r

q+

+

dues quartes parts

r d

10/11/11 16:22


1.4

Fracció d’una quantitat

Trobar la fracció d’una quantitat és multiplicar la fracció per aquesta quantitat. Per ferho es pot considerar:

Alerta

• La fracció com a operador. En aquest cas es multiplica el numerador per la quantitat i després es divideix pel denominador.

Per calcular la fracció d’una quantitat, es multiplica la frac-

• La fracció com a quocient. En aquest cas es fa la divisió corresponent a la fracció i el resultat es multiplica per la quantitat.

ció per aquesta quantitat, i no en contra del que podria semblar, es divideix la quantitat en-

Exemple

tre la fracció.

4. S’ha de repartir un premi de 20 000 € a parts iguals entre 4 persones. Per saber 1 quant percep cada guanyador, s’ha de calcular de 20 000 €: 4 20 000 • Fracció com a operador: 20 000 ⋅ 1= 20 000 → = 5000 € . 4 1 • Fracció com a quocient: ⋅ 20 000 = 0, 25 ⋅ 20 000 = 5000 € . 4

1.5

Així, per exemple, les tres quatres parts de 20 L d’oli són: Correcte: 3 60 ⋅ 20 = = 15 L 4 4 Incorrecte:  3 80 20 : = = 26, 6 L 4 3

Representació a la recta

Per representar una fracció a la recta dels nombres enters, es marquen el 0 i l’1 (o el −1 en cas de fraccions negatives), es divideix la distància entre si en tantes parts com indica el denominador, i finalment, s’agafen tantes parts d’aquestes com indica el numerador. Algunes fraccions poden coincidir amb nombres enters però, en general, no ho fan.

27

Exemples 3 5. Fixa’t com es representa − : 4 • Sobre la recta numèrica se situen el 0 i el −1. • Es divideix aquest interval en 4 parts.

–1

0

3 –— 4

• Es marca el tercer senyal començant pel 0. 3 3 6. Fixa’t que les fraccions pròpies i es troben entre el 0 i l’1, mentre que la 5 8 11 fracció impròpia és més enllà de l’1. 7

0

3 — 5

1

0

1

3 — 8

0

Aplica 1 ■ Indica quin és el numerador i quin és el denominador de les fraccions següents: 3 a) 5 2 b) 12

7 4 23 d) 6

c)

9 5 −4 f) 11 e)

1 7 −5 h) 3

g)

2 ■ Classifica les fraccions següents en pròpies, impròpies i iguals a la unitat: 3 a) 5

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 27

b)

1 56

c)

23 24

d)

5 5

1

11 — 7

2

3 ■■ Escriu el nombre mixt corresponent a cada fracció: 9 11 3 a) e) c) 5 7 2 31 −13 5 b) f) d) 5 3 2 4 ■■ Representa a la recta dels nombres les fraccions següents: a)

3 5

b)

6 5

c)

7 3

Resol 5 ■■ Quina edat té en Marc, si té

7 de l’edat de la Judit? 3

10/11/11 16:22


Els nombres fraccionaris

2

Treballar amb fraccions equivalents 2.1

Fraccions equivalents

Dues fraccions equivalents re-

Dues fraccions són equivalents si, tot i escriure’s diferent, es corresponen al mateix a c nombre. = b d Es pot comprovar que dues fraccions són equivalents de les maneres següents:

presenten la mateixa part d’una

• En multiplicar en creu –és a dir, el numerador d’una fracció pel denominador de l’al-

Recorda

quantitat.

tra–, s’obté el mateix resultat: a c = → a ⋅d = c ⋅b b d • En fer les divisions a : b i c : d, s’obté el mateix resultat. Exemple 7. Fixa’t com es comprova que

7 21 equival a : 5 15

7 21 7 ⋅ 15 = 105 → Multiplicant en creu: , 5 15 5 ⋅ 21= 105

7  5 = 1, 4 Fent les divisions:   21  = 1, 4 15

Es pot observar que 21 és múltiple de 7 (3 · 7 = 21) i que 15 és múltiple de 5 (3 · 5 = 15), i que la raó de proporció és la mateixa.

28 2.2

Amplificació d’una fracció

Amplificar una fracció és trobar una fracció equivalent en què tant el numerador com el denominador d’aquesta siguin més grans en valor absolut que els originals. Per amplificar una fracció s’han de multiplicar numerador i denominador pel mateix nombre. Es poden trobar infinites fraccions amplificades d’una fracció original. Exemple

12 8. Fixa’t com es troben diverses fraccions amplificades de 5 : 2 2 2 21 ⋅ → 42 ⋅ → 84 ⋅ → 168 ... → 30 ⋅ → 60 ⋅ → 120 15 ⋅ 2 2 2

3 2 21 ⋅ → 63 ⋅ → 126 ... → 45 ⋅ → 90 15 ⋅ 3 2

42, 84, 168, 63 i 126 són múltiples de 21. 30, 60, 120, 45 i 90 són múltiples de 15.

Aplica 6 ■■ Indica quines de les fraccions següents són equivalents 6 : a 15 12 2 21 12 a) c) e) g) 30 5 15 20 3 30 60 42 d) h) f) b) 5 75 150 65 7 ■ Troba cinc fraccions equivalents de les següents: 21 a) 15

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 28

2 b) 5

1 c) 12

3 d) 7

−5 e) 8

8 ■■ Troba cinc fraccions amplificades de les següents: 20 4 2 3 1 c) e) b) d) a) 7 7 15 5 6

Resol 9 ■ Si en Pau ha fet han treballat igual?

21 7 dels deures d’estiu, i la Marta n’ha fet , 27 9

10 ■■ En Joan i la Maria han de pintar cada un una paret de 10 m2. En Joan ha pintat 3,5 m2 de la seva, i la Maria, tres cinquens de la seva. Han pintat el mateix?

10/11/11 16:22


2.3

Simplificació d’una fracció

Simplificar una fracció és trobar una fracció equivalent en què tant el numerador com el denominador són més petits que els originals. Per simplificar una fracció s’ha de dividir el numerador i el denominador per un divisor comú. Una fracció irreductible és la que no es pot simplificar més. Per trobar la fracció irreductible equivalent a una altra, cal dividir el numerador i el denominador pel seu màxim comú divisor. Exemple 60 es pot simplificar. Per això t’has d’adonar que 2, 3, 4, 6 48 i 12 són divisors comuns:

9. Fixa’t com la fracció

2 2 3 60 : → 30 : → 15 : → 5 ...   →   →   → 4 48 24 12 :2 :2 :3 12 60 : → 5 . Com que m. c. d. (60, 48) = 12, la fracció irreductible és → 4 48 : 12

2.4

Reducció a comú denominador

Reduir a comú denominador diverses fraccions consisteix a trobar les fraccions equivalents, simplificant o amplificant, que tinguin el mateix denominador. Hi ha infinites possibilitats, però la més pràctica és quan el denominador és el mínim comú múltiple.

29 0

10 — 12

0

9 — 12

5 — 6

1

Exemple 6 1 5 , i . 8 4 6 • Es busca el m. c. m. dels denominadors: m. c. m. (8, 4, 6) = 24. 10. Redueix a comú denominador les fraccions

• Es divideix el m. c. m. per cada un dels denominadors. I el resultat, es multiplica pel numerador. 24 : 8 = 3 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4    6 ⋅3 18  → 8 24

2.5

1 ⋅6 6  → 4 24

3 — 4

1

5 ⋅4 20 →  24 6

Comparació i ordenació de fraccions

Per comparar dues fraccions o més, es redueixen a comú denominador i es comparen els numeradors. Exemple 11. Fixa’t com es comparen

3 5 i . 4 6

9  3  4 = 12 3 5 . Com que 10 > 9 → > . m. c. m. (4, 6) = 12 →   5 10 4 6  =  6 12

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 29

10/11/11 16:22


Els nombres fraccionaris

3

Operacions bàsiques amb fraccions 3.1

Suma i resta de fraccions amb el mateix denominador

Sumar i restar són operacions equivalents. La resta es pot interpretar com la suma d’un nombre negatiu.

Alerta

Per tant, per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador se sumen o resten els numeradors i els denominadors es mantenen.

a quan 1 et trobis amb operacions com Aplica la propietat a =

Exemple

per exemple: 4 −3 2

12. Fixa’t en les operacions següents: 4 5 2 4 + 5−2 7 1 + − = = = =1 7 7 7 7 7 1

2 12 2 + 12 14 + = = 5 5 5 5

És més fàcil si està escrita així: 4 3 − 2 1

Sempre que es pugui reduir el resultat és convenient fer-ho.

3.2

Suma i resta de fraccions amb denominadors diferents

Per sumar i restar fraccions amb denominadors diferents cal reduir les fraccions a comú denominador i després sumar o restar els denominadors. Exemple 13. Fixa’t com s’opera amb denominadors diferents:

30

4 (30 : 3) 2 (30 : 5) (30 : 2) 40 + 12 − 15 37 4 2 1 + − = + − = = 52 30 30 30 30 30 3

m. c. m. (3, 5, 2) = 30

Aquest resultat no es pot reduir.

3.3

Fracció oposada

Donada una fracció, la seva oposada és una fracció que, en sumar-les dóna zero. És la mateixa fracció canviada de signe. a −a → b b Exemple 14. La fracció oposada de

Aplica

13 ■■ Relaciona les fraccions amb les seves oposades: a)

11 ■ Calcula i simplifica: 2 5 + 3 3 5 1 1 b) + + 2 2 2

a)

1 7 − 4 4 4 3 1 + − d) 5 5 5

c)

12 ■■ Fes: a)

 −2  +2 7 −7 −2 és . La fracció oposada de és −  = . 5 5 3 3 3

4 3 2 + − 5 2 3

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 30

b)

2 1 7 − + 3 5 4

7 5

b) −

A) 7 5

−5 7

B) −

7 5

c)

5 7

 7 C) −−   5

d)

−5 7

D)

5 7

1 2

E)

1 2

e) −

10/11/11 16:22


3.4

Producte de fraccions

Per obtenir el producte de diverses fraccions, es multipliquen tots els numeradors entre si per obtenir el nou numerador, i es multipliquen tots els denominadors entre si per obtenir el nou denominador. a c a ⋅c ⋅ = b d b ⋅d

Recorda Multiplicar

dues

fraccions

equival a trobar la fracció d’una fracció:

Exemple 15. Fixa’t com es multipliquen i simplifiquen les fraccions següents: 1r Es multipliquen els numeradors. 2n Es multipliquen els denominadors.

1 — 2

3 10 4 3 ⋅ 10 ⋅ 4 120 :120 1 ⋅ ⋅ = =   →= 5 6 12 5 ⋅ 6 ⋅ 12 360 3  m. c. d. (120, 360) = 120

3.5

1 — 4

1 1 1 — de — = — 2 2 4 1 1 1·1 1 — · — = —— = — 2 2 2·2 4

Divisió de fraccions

Per dividir dues fraccions s’ha de multiplicar en creu el numerador d’una pel denominador de l’altra:

Dividir dues fraccions equival

• El primer numerador pel segon denominador és el nou numerador.

una fracció dins una altra:

a trobar quantes vegades cap

• El primer denominador pel segon numerador és el nou denominador. a c a ⋅d : = b d b ⋅c

1 — 4

1 — 2

Exemple

2 16. Han sobrat 3 d’una pizza i l’endemà la volem dividir en porcions iguals que 1 representin de la pizza original. Quantes porcions es podran fer? 6 2 1 2 ⋅ 6 12 : = = = 4 porcions 3 6 1⋅ 3 3

3.6

31

1 — 4 1 2 de — 4

1 1 4 —:—=—=2 2 4 2

Fracció inversa

Donada una fracció, la seva inversa és una altra fracció que, en multiplicar-les entre si, el producte és la unitat. Per obtenir la fracció inversa d’una fracció donada, es permuten numerador i denominador.

Fracció inversa de

a b → b a

Exemple 17. La fracció inversa de

3 4 3 4 12 = 1. és , ja que ⋅ = 4 3 4 3 12

Aplica 14 ■■ Relaciona les fraccions amb les seves inverses:

a)

7 5

A) −

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 31

−3 5 7 B) 5 b)

7 5

5 7 −5 C) 3

c)

−5 7 5 D) 7

d)

10/11/11 16:22


Els nombres fraccionaris

4

Potències i arrels quadrades de fraccions 4.1 Alerta

En elevar un nombre negatiu

Potenciació d’una fracció

Elevar una fracció a una potència n és elevar el numerador i el denominador a aquesta potència. n  a  a n   = n  b  b

a una potència cal tenir en

Exemple

compte si l’exponent és parell

6

o senar.

18. Fixa’t com es calculen

Si és parell, el resultat final és

5  2  i  −3  .      3   5 

5

 2 2 2 2 2 2 Com que   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , aleshores 3 3 3 3 3 3

positiu. Si és senar, el resultat final és negatiu.

6

5

5  2    = 25 .   3  3

6

 −3  (−3) 36 D’altra banda,   = . =  5  56 56

(−a)n parell = a n parell (−a)n senar = −a n senar

4.2

Arrel quadrada d’una fracció

L’arrel quadrada d’una fracció és l’arrel quadrada del numerador dividit per l’arrel quadrada del denominador. a a = b b

32

Exemples

En venda 4/9 Km2

19. Un pagès té un terreny quadrat que fa costat, cal fer l’arrel quadrada de la seva àrea:

4 km2. Per saber la longitud de cada 9

4 4 2 = = km 9 9 3 3

n  125 . 20. Fixa’t com es troba el nombre n que compleixi la igualtat   = 3 27 Com que 33 = 27 ↔ 3 = 3 27 , aleshores n3 = 125 ↔ n = 3 125 = 5.

Aplica

17 ■■ Calcula:

15 ■ Escriu en forma de potències els productes següents: 2 2 2

d) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

7 7 7 7 7 7 b) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9

12 12 12 12 12 12 12 e) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2

 3   a)  7 

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 32

b)

16 36

c)

9 49

d)

64 9

Resol

9 9 9 9 ⋅ ⋅ ⋅ 8 8 8 8

f)

11

 8  b)  3 

18 ■■■ Digues quina fracció té com a arrel quadrada

5 . 8

19 ■■■ En Joan talla un pal de 10 cm en quatre parts iguals i en fa un quadrat. Quina és l’àrea d’aquest quadrat?

16 ■ Escriu sense parèntesis les fraccions següents: 5

81 25

3 3 3 3 3

a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3

c)

a)

9

 1 c)  5 

20 ■■■ Les rajoles quadrades d’una habitació tenen una superfície de mig metre quadrat. Quant fan de llarg i d’ample?

10/11/11 16:22


5

Operacions combinades amb fraccions

Per tal de resoldre correctament operacions amb fraccions en què apareguin diverses operacions combinades (sumes, restes, multiplicacions, divisions, potències i arrels quadrades), s’han de tenir en compte els criteris de prioritat següents: 1. Resoldre les operacions de dins dels parèntesis, de més interiors (parèntesis) a més exteriors si n’hi ha (claudàtors). 2. Fer les potències i les arrels quadrades. 3. Resoldre les multiplicacions i divisions ordenadament d’esquerra a dreta. 4. Fer les sumes i restes ordenadament d’esquerra a dreta. Exemples 21. Fixa’t en els passos seguits per resoldre l’operació combinada següent: 2

 3 2       −  − 1− 1 ⋅  3  + 9  5 3   2   2  4

1r. Es resolen les operacions de dins dels parèntesis. S’ha aplicat a la propietat a = . 1 2n. S’efectuen les potències i arrels.

 3 2  9 10 −1  −  =  5 3  15 − 15 = 15

2

  1− 1 = 1− 1 = 2 − 1 = 1  2  1 2 2 2 2

−1 1  3  9 −   +   15 2 2 4

2

2  3    = 32 = 9  2  2 4

9 9 3 = = 4 4 2

−1 1 9 3 − ⋅ + 15 2 4 2

33

3r. S’efectuen les multiplicacions.

1 9 1⋅ 9 9 −1 9 3 ⋅ = = → − + 2 4 2⋅4 8 15 8 2

4t. S’efectuen les sumes i restes.

−1 9 3 −16 − 270 + 360 74 − + = = 15 8 2 120 120

74 37 :2 Finalment, és convenient simplificar el resultat: 120  → 60 .

22. Fixa’t com se simplifica

5 5 3 + ⋅ : 2 3 2

5 5 3 Aquí, tot i que no hi hagi parèntesis, l’arrel fa aquesta funció, és a dir,  + ⋅  . 2 3 2 Per això cal resoldre primer el que hi ha dins l’arrel: 5 5 3 5 15 15 + 15 30 + ⋅ = + = = = 5 2 3 2 2 6 6 6

Aplica 21 ■■ Calcula:  2 4  1 3 a)  +  +  +   4 3  3 2 

22 ■■ Calcula: 2  2  5 a)  + 2 −  3  3

c)

 1 5   +   3 9 

3  3 2 1 b)  + −   2 5 3

d)

 2 3 27   + −   5 2 80 

 1  3 5  b) 2 +  −  +   3  2 4 

Resol

 2 3   6 3 3 2 c)  −  +  −  ⋅  +   5 4  4 2  2 5

23 ■■ La Fàtima rep una paga setmanal de 20 €. Cada dia se’n 1 gasta . Quants diners li queden al cap de la setmana? 8

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 33

10/11/11 16:22


Tot són matemàtiques

Les matemàtiques de la democràcia:

el sistema d’Hondt En les democràcies els ciutadans tenen dret a votar a partir de la majoria d’edat, i triar així els seus representants en els parlaments i altres cambres de poder.

, LA VOTACIÓ A D A B A C A P PERÒ, UN CO SCONS? TeIXEN ELS E R A P E R S E COM TA LA TATIU DE TO N E S E R P E R I T? ÉS JUST REPARTIMEN T S E U Q A T A SOCIET

Congrés dels Diputats

34

Segons la Constitució espanyola, està compost per un mínim de 300 diputats i un màxim de 400. El nombre actual és de 350, per determinació de la Llei orgànica de règim electoral general (1985). La Constitució estableix que els diputats seran elegits per províncies, de manera que cada província té com a mínim dos escons, i les ciutats autònomes de Ceuta i Melilla, un. La resta d’escons es reparteix de manera proporcional al nombre d’habitants de cada província.

S’han d’escollir els 8 representants d’una província. El seu cens electoral és d’1 000 000 de persones. S’ordenen de més gran a més petit els vots obtinguts per les candidatures: Candidatura

Vots

Candidatura

Vots

Vots en blanc: 1 000 Vots nuls: 500 Només es consideren els 534 000 vots vàlids.

Per obtenir representació s’ha de treure com a mínim un 3% dels vots. La resta de candidatures són descartades.

descartada descartada

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 34

10/11/11 16:22


Va ser un matemàtic i jurista belga que va inventar, el 1878, el sistema que s’aplica a Espanya per repartir els escons al Congrés dels Diputats, als parlaments autonòmics, als ajuntaments i al Parlament Europeu.

Els nombres fraccionaris

Victor d’Hondt (1841-1901)

Analitza i investiga 1. Esbrina el resultat en vots dels cinc partits principals en les darreres eleccions al Congrés dels Diputats (350 escons) i calcula quants escons obtindrien si fossin assignats proporcionalment, independentment de la població de cada província. a) El resultat és molt diferent del que s’ob-

35

té aplicant el sistema d’Hondt?

Es divideixen els vots que ha obtingut cada partit per nombres enters progressius des de l’1 fins al nombre d’escons de la província (en aquest cas, 8), i es fa una taula com la següent: Dividit per

b) Per què creus que com a mínim s’adjudiquen dos diputats per província, encara que tinguin poca població? 2. Argumenta si és raonable que les can-

vots

didatures amb menys d’un 3% dels vots no entrin en el repartiment d’escons. Investiga alguna de les propostes que s’ha candidatura

plantejat al nostre país per reformar el sistema de repartiment d’escons. 3. Accedeix al lloc http://icon.cat/util/eleccions, que conté un simulador del sistema d’Hondt, i comprova els resultats d’unes eleccions qualssevol.

S’adjudica un escó a cadascun dels quocients més alts obtingut en la taula fins a esgotar el nombre d’escons de la província. 4 escons

1 escó

cap

4. Calcula el percentatge d’abstenció de l’exemple, i, si hi hagués un escó més, dedueix quina candidatura el rebria. 5. Formeu grups, amb ajuda del professor

2 escons

1 escó

o professora, i feu un mural o presentació de diapositives per explicar el sistema de

CASOS ESTRANYS! Si els quocients coincideixen, s’atorga l’escó a la formació amb més vots. En cas d’empat a vots, el primer escó s’assigna per sorteig, i els següents, de manera successiva.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 35

càlcul electoral d’un altre país del món que no es regeixi pel sistema d’Hondt. Podeu repartir-vos els països perquè tots siguin diferents.

10/11/11 16:22


Els nombres fraccionaris

Això és bàsic Una fracció és un nombre representat amb el quocient entre dos nombres enters: a b

numerador denominador

El numerador indica quantes unitats es consideren (5).

El denominador indica quantes particions de la unitat es fan (7).

conceptes bàsics fracció pròpia

5 7 definició

El numerador és més petit que el denominador (considerats en valor absolut).

fracció impròpia

El numerador és més gran que el denominador (considerats en valor absolut).

fracció igual a la unitat

El numerador és igual al denominador (considerats en valor absolut).

fracció d’una quantitat

exemple a <b →

a <1 b

7 −3 −3 , , , 9 5 −7

a >b →

a >1 b

5 −9 −12 , , , 2 5 −8

a =b →

a =1 b

5 −12 73 , , , 5 12 73

Consisteix a dividir una quantitat en diverses parts i a prendre només unes quantes d’aquestes parts.

fracció equivalent

12 ⋅

Fracció que s’escriu de manera diferent a una altra de donada, però

5 10 25 = = = ... 6 12 30

que es refereix a la mateixa quantitat.

36

fracció irreductible

De totes les fraccions equivalents a una de donada, és la que té el

25 50 20 5 , , , → 15 30 12 3

numerador i el denominador més petits possibles. fracció inversa a

És la fracció que, en multiplicar-la a la primera, dóna la unitat.

una de donada fracció oposada a

És la fracció que, en sumar-la a la primera, dóna zero.

una de donada

5 12 ⋅ 5 60 = = = 20 3 3 3

7 3 → 3 7 −1⋅

6 −6 → 5 5

Com es fa? Procediment

Pas a pas

Reduir a comú

1. Troba el màxim comú múltiple (m. c. m.) de tots els

denominador

denominadors. 2. Divideix el m. c. m. pels denominadors. 3. Multiplica el resultat anterior pels numeradors respectius.

Comparar fraccions amb

1. Redueix a comú denominador totes les fraccions.

denominadors diferents

2. Compara els numeradors de les noves fraccions equivalents. La més gran és la que té el numerador més gran.

Calcular la potència

Eleva el numerador i el denominador a la potència.

d’una fracció Calcular l’arrel

Fes l’arrel del numerador i divideix-la per l’arrel del

d’una fracció

denominador.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 36

24 : 8 = 3  6 ⋅3 18  → 8 24

24 : 4 = 6  1 ⋅6 6  → 4 24

24 : 6 = 4  5 ⋅4 20  → 6 24

 3  = 9  4 12 m. c. m. (4, 6) = 12 →   5 10  =  6 12 3 5 Com que 10 > 9 → > 4 6 2

2  7    = 7 2  3  3

49 = 81

49 7 = 81 9

10/11/11 16:22


34 ■■ Escriu el nombre mixt corresponent a les fraccions

Els nombres fraccionaris

següents:

les fraccions següents: 1 a) 2 −2 b) 11 8 c) 21

4 d) 5 3 e) 12 −1 f) 3

7 g) 5 −30 h) 5 1 i) 5

25 ■ Escriu la fracció corresponent a les expressions següents: a) quatre terços

d) cinc mitjos

b) menys vint quarts

e) dotze novens

c) tres setens

f) menys dos vuitens

26 ■■ Troba les fraccions irreductibles de: 6 8 1 b) 3 12 c) 20

a)

e)

c)

a)

f)

3 2 12 5

35 ■■ Representa les fraccions següents sobre la recta numèrica: a)

5 2

b)

12 4

c)

3 3

9 2

d)

e)

11 4

36 ■ Indica quins nombres estan representats a les rectes següents: a)

b)

0

1

2

0

1

37 ■■ Relaciona i indica les porcions necessàries per a represen-

50 12 15 e) 8 90 f) 75

tar les fraccions següents:

d)

27 ■■ Redueix a comú denominador: 1 3 5 , i . 12 8 6 6 3 2 i . b) , 8 15 48 6 7 4 , i . c) 3 4 5 3 3 2 d) , i . 7 4 6 a)

28 ■

7 6 23 d) 5

6 4 10 b) 7

24 ■ Indica quin és el numerador i quin és el denominador de

Els nombres fraccionaris

Activitats

a)

5 2

A)

b)

4 9

B)

c)

5 6

C)

d)

3 5

D)

e)

4 6

E)

37

4 dels cromos que té la Marta i aquesta en 6 té 12, quants en té la Júlia? 38 ■■ Si la Júlia té

 Quina fracció d’una hora representen vint minuts?

29 ■

 Quina fracció de l’any representen vuit mesos?

30 ■

 Quina fracció d’una barra de pa de mig quilogram re-

10 d’una autopista, cosa que 12 representa 150 km. Calcula la longitud final de l’autopista.

39 ■■ Una empresa ha construït

presenten cent vint-i-cinc grams de pa? 31 ■■

 Quina fracció del dia representen trenta minuts?

32 ■ Classifica les fraccions següents en pròpies, impròpies i iguals a la unitat: 3 a) 2 4 b) 5 73 c) 73

7 8 9 e) 10 −12 f) −12 d)

3 3 8 h) 7 5 i) 9 g)

33 ■■ Escriu el nombre mixt corresponent a les fraccions impròpies de l’exercici anterior.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 37

40 ■■ A l’examen de matemàtiques de la unitat 1, la Teresa ha 3 de la nota que ha tret la Laura. Si la Laura ha tret un 8, tret 4 quina nota ha tret la Teresa?

10/11/11 16:22


Els nombres fraccionaris

41 â&#x2013; 

ď &#x160;

d)

5 i 7 45 d) 15 c)

a) 45 â&#x2013; â&#x2013; 

c)

10 3

15 . 21 15 i . 3

b)

30 12

c)

45 18

d)

140 50

e)

5 2

ď &#x160; Omple els buits per tal que les fraccions plantejades

siguin equivalents: a) b)

6 14 12 b) 30 6 i c) 4 7 d) 12 51 â&#x2013; â&#x2013; 

3 = 2 12

c)

5 2

d)

30

=

24 = 15 5 126

=

f)

50 12

5 . 16 8 i . 20 5 . 6 1 i . 8

8 6 , 6 8 1 2 , b) 10 5 1 3 , i c) 6 4 1 5 d) , 4 12

5 . 12 5 i . 6 15 . 8 7 i . 9 i

nador sigui el 15? Raona la resposta.

3 46 â&#x2013; â&#x2013;  En Ramon ha contestat correctament de les pregun4 tes dâ&#x20AC;&#x2122;un examen, mentre que en Pau nâ&#x20AC;&#x2122;ha contestat correcta15 . Qui traurĂ  mĂŠs bona nota? ment 20

50 35

i

52 â&#x2013;  Pot haver-hi una fracciĂł equivalent a

16 21

e)

ď&#x20AC;¸ Redueix a comĂş denominador les fraccions segĂźents:

a)

12 4

60 24 60 d) 14

c)

ď&#x20AC;¸ Redueix a comĂş denominador:

a)

ď &#x160; Indica quines de les fraccions segĂźents sĂłn equiva-

15 : 6

lents a

2 9

ď &#x160; Indica quines de les parelles de fraccions segĂźents

sĂłn equivalents: 3 12 i . a) 2 3 20 10 i . b) 4 2

8 18 12 b) 140

50 â&#x2013; â&#x2013; 

42 â&#x2013;  Troba tres fraccions amplificades de: 5 1 b) a) 4 2 43 â&#x2013; â&#x2013; 

ď &#x160; Simplifica al mĂ xim les fraccions segĂźents:

a)

Troba cinc fraccions equivalents a: 5 3 7 a) b) c) 2 4 2

44 â&#x2013; â&#x2013; 

38

49 â&#x2013; â&#x2013; 

Treballar amb fraccions equivalents

7 en què el denomi9

53 â&#x2013; â&#x2013;  Pot haver-hi una fracciĂł equivalent a minador sigui el 15? Raona la resposta.

12 en què el deno45

54 â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013;  Quina relaciĂł han de tenir numerador i denominador per formar una fracciĂł irreductible? 55 â&#x2013; â&#x2013;  Completa amb el signes <, > o =: 7 5 3 2  c)  a) 3 2 8 6 20 15 21 105  d)  b) 9 6 16 80 56 â&#x2013; â&#x2013;  Ordena les fraccions segĂźents de mĂŠs petita a mĂŠs gran: 6 36 50 15 10 . , , , i 10 12 30 10 12

47 â&#x2013; â&#x2013; 

ď &#x160; Troba les fraccions irreductibles de:

a) 48 â&#x2013; â&#x2013; 

12 4

b)

15 5

c)

45 30

d)

24 90

e)

b)

6 13

121 11

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 38

36 12 64 d) 16 c)

58 â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013;  La meitat dels alumnes dâ&#x20AC;&#x2122;una escola rural ja ha celebrat lâ&#x20AC;&#x2122;aniversari. De la resta, un terç els farĂ  abans dâ&#x20AC;&#x2122;acabar el curs.

ď &#x160; Troba les fraccions irreductibles de:

a)

80 50

57 â&#x2013; â&#x2013;  Ordena les fraccions segĂźents de mĂŠs gran a mĂŠs petita: 5 6 7 8 10 14 , , , , i . 2 3 4 5 3 8

e)

55 25

a) Calcula quina fracciĂł del total de lâ&#x20AC;&#x2122;escola no haurĂ  fet

f)

49 10

b) Si a lâ&#x20AC;&#x2122;escola hi ha 30 alumnes, quants no hauran fet

els anys en acabar el curs. anys en acabar el curs?

10/11/11 16:23


Activitats la vol repartir a parts iguals amb l’Enric i els seus altres dos fills. a) Quina fracció correspon a cada germà? b) Si cada germà rep 10 €, de quant era el premi?

64 ■■ Relaciona cada fracció amb la seva oposada: 3 −5 A) a) 5 3 7 5 B) b) − 9 7 c)

5 3

 7 C) −−   9

d)

−5 7

D)

Els nombres fraccionaris

59 ■■■ La mare de l’Enric ha guanyat un premi. La quarta part,

−3 5

65 ■ Escriu com a potències els productes següents: 5⋅5⋅5 7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 3⋅3⋅3⋅3 b) 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 3 3 3 3 3 3 c) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2

a)

d)

Operacions bàsiques amb fraccions 60 ■■

Calcula i simplifica: 5 7 + c) a) 3 3 7 1 2 − − d) b) 3 3 3

61 ■■

 Calcula i simplifica:

3 1 2 + − 4 2 5 1 10 8 + − b) 6 4 3 3 6 7 + − c) 4 5 2 8 4 1 − − d) 2 3 4

a)

62 ■■

 Calcula i simplifica:

a) b) c) d)

6 5 1 3 + − + 5 2 3 6 1 1 1 1 − + − 4 5 6 3 3 2 5 3 + − − 2 3 3 6 2 3 5 4 − + + 3 2 4 6

63 ■■■ Calcula i simplifica: a)

6  5 1 3 − −  + 5  2 3  6

b)

2  2 1 2  − + −  4  5 6 3 

3  3 2  5  c) − −  +  −  6  2 3 3 d)

2  3  5 4  −  −  +  3  2  4 6 

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 39

1 7 + 3 3 5 3 1 + + 4 4 4

66 ■

5 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5  3 3 3  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2  2 2 2 

 Calcula i simplifica: 3 5 ⋅ 5 2 5 6 ⋅ b) 3 4 7 3 ⋅ c) 9 5 8 2 d) 12 ⋅ 5

a)

39

67 ■ Fes les multiplicacions següents: 3 2 ⋅ 5 9 1 6 ⋅ b) 3 2

a)

5 21 ⋅ 7 10 7 1 d) ⋅ 5 8 c)

68 ■■ Fes les multiplicacions següents: a)

6 2 2 ⋅ ⋅ 5 3 7

b)

3 5 8 ⋅ ⋅ 4 2 6

c)

16 8 5 ⋅ ⋅ 6 15 4

d)

6 15 7 ⋅ ⋅ 35 8 12

c)

6 10 2 ⋅ ⋅ 8 3 5

69 ■■ Calcula i simplifica: 3 4 10 ⋅ ⋅ 5 9 6 14 4 3 b) ⋅ ⋅ 10 7 10

a)

70 ■■ Calcula i simplifica: 4 15 9 6 12 15 21 a) ⋅ ⋅ ⋅ c) ⋅ ⋅ ⋅3 3 8 5 4 5 9 10 3 4 10 21 3 14 10 9 ⋅ ⋅ ⋅ d) ⋅ ⋅ ⋅ b) 15 3 7 8 6 6 7 30 71 ■■ Calcula i simplifica: 4 7 : 5 3 12 12 : b) 6 5 a)

24 12 : 7 5 1 1 d) : 5 3 c)

10/11/11 16:23


Els nombres fraccionaris

72 ■■ Calcula i simplifica:

77 ■■ Escriu sense parèntesis:

14 21 : 10 15 4 5 : b) 5 4 8 7 : c) 14 6 16 64 : d) 25 100

11

7  a)    5

a)

8

 −2  b)    7 

9

 −1 c)   3

5

 −3  d)    12 

73 ■■ Divideix i simplifica: 3 2 : 5 7 6 2 b) : 7 3 12 18 c) : 15 3

a)

78 ■■ Troba el valor de n perquè les igualtats siguin certes: 3

n  8 a)   =  5 125 6

n  1 b)   =  2 64

74 ■■ Relaciona les fraccions de la dreta amb les seves inverses: a) b) c)

40

d) e) f)

7 5 −1 5 5 7 −5 7 1 7 −1 7

7 5 −7 B) 5 A)

C) −5 5 7 −7 E) 1 D)

F) 7

75 ■■■ Troba el valor de n perquè les igualtats següents siguin certes:

5

n  −32 d)   = 3 243 n

3 27 e)   =  4 64 n

f)

 −1   = −1  3  2 187

79 ■■ Calcula: a)

16 25

b)

144 9

a)

n 5 4 = − 6 2 3

c)

49 36

b)

3n 7 23 = − 5 2 10

d)

81 225

c)

13 1 4 = + n 2 5

80 ■■ Digues quina fracció té com a arrel quadrada

d)

37 1 3 = + +1 2n 4 5

81 ■■ Quina és l’àrea d’una rajola de mig metre d’aresta?

Potències i arrels quadrades de fraccions 76 ■

n

 −2  32 c)   =  3  243

 Escriu en forma de potència: a) b) c) d) e)

2 2 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 5 5

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 40

7 . 6

82 ■■■ La Berta fa vuit trossos iguals d’un pal de 48 cm que ha trobat al pati i en fa dos quadrats. Quina és l’àrea de cada quadrat? 83 ■■■ En Bernat ha fet un dibuix i vol fer-ne una ampliació amb la fotocopiadora. El dibuix és dins un quadrat d’un decíme1 tre de costat. Si vol que el llarg faci la meitat més, és a dir, 1+ , 2 quant farà la seva àrea? 84 ■■■ Al film de ciència ficció Attack of the 50 Foot Woman (1958, EUA), una dona que al principi fa 170 cm passa a tenir una alçada de 15 m. Calcula quantes vegades augmenta l’alçada.

10/11/11 16:23


85 ■■■ En un somni, un inventor imagina haver creat una màquina que encongeix els objectes i que hi ficava una rajola quadrada d’un metre de costat. Si la màquina reduïa la longitud en 1 , quina superfície tenia després la rajola? un factor 10 86 ■■■ A la pel·lícula The Incredible Shrinking Man (1957, EUA), al protagonista se li encongeix el cos progressivament. Si supo-

Operacions combinades amb fraccions 89 ■ Calcula: a)

144 121

b)

16 169

c)

225 196

d)

15 625 25

sem que inicialment té una alçada de 180 cm i porta un bitllet a la cartera que fa 8 × 15 cm, quina alçada tindrà i quina serà la superfície del bitllet:

2 ? 5 1 ? b) Quan el factor de reducció sigui de 10 a) Quan el factor de reducció sigui de

90 ■■ Calcula i simplifica: a)

5  5 1 ⋅ +  3  6 3 

b)

4  5  5 4  ⋅  −  +  3  3  2 3 

Els nombres fraccionaris

Activitats

 2 2   1 1 c)  +  ⋅  +   3 5   2 3   8 7  7 3 d)  −  ⋅  −   3 5   2 5  91 ■ Calcula i simplifica:  6 9   3 7  a)  5 + 4  :  2 + 3  b) c)

41

7  5 5  : −  5  2 3  4 9

 5 5 :  −   2 3

92 ■■■ Calcula i simplifica:

87 ■■■ En un plànol s’indica que l’escala és 1:25, que vol dir que cada centímetre del plànol correspon a 25 centímetres de la realitat.

1 m a la realitat, amb quants centíme2 tres estarà representat al plànol?

 3  1 1 3 a)  ⋅  +  : 4 2 3  5  5 2   3  3  b)  +  :  − 4 ⋅   4 3   2  8  7 5  1  2 3  ⋅ −  −  −  4 4  2  3 5 

a) Si un armari fa

c)

b) Si el plànol indica que una finestra té una amplada de

5     2  4 d)  − 1 : 3 − 1−  ⋅  + 2  4     3 3

3 cm, a quina fracció de metre correspon aquesta distància a la realitat?

3 c) Si un nen fa m d’alçada, amb quants centímetres 2 s’ha de representar al plànol? 88 ■■■ En un laboratori químic hi ha iode-131. Aquesta substància es desintegra de tal manera que, al cap de 8 dies hi ha la meitat del que hi havia. Al cap de 8 dies més, la meitat de la meitat, etc. Quina fracció dels àtoms originals hi haurà al cap de 32 dies?

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 41

93 ■■■ Calcula i simplifica: 2 3  6 9   3  7 a)  +  :   +   5 4   2  3  

b)

2 9 5  1  2 3   ⋅ −  −  −   4 4  2  3 5  

2 5     16 2  4 c)  − 1 : 3 − 1−  ⋅  + 2 + 4     3  25 3  

10/11/11 16:23


Els nombres fraccionaris

Repte 94 ■■■ La fórmula que es fa servir per passar d’un nombre b a ⋅ c +b , en què c ≠ 0. mixt a una fracció impròpia és a + = c c Demostra que aquest procediment de càlcul és correcte.

• Cada fitxa representa una fracció, en què el numerador és el nombre de punts del quadrat superior, i el denominador, el nombre de punts de l’inferior; per exemple, si la fitxa 2-5 queda amb el 2 amunt i el 5 avall, representa la fracció 2/5. • Qui tingui el doble sis ha de decidir i anunciar si es jugarà «a

95 ■■■ Els ingressos de la família Casademunt són 7/5 dels de la família Casadevall. Els Casademunt estalvien 1/20 del que ingressen, i els Casadevall, 1/25. a) Expressa en forma de fracció la raó entre les despeses dels Casademunt i les dels Casadevall. b) Si els Casadevall estalvien 120 € mensualment, quant estalvien els Casademunt?

la gran» o «a la menuda». • En tots dos casos, cada jugador triarà quatre de les set fraccions de què disposa i escriurà una operació matemàtica en què cadascuna de les quatre fraccions triades aparegui només una vegada. En aquesta operació només podrà fer servir els símbols de la multiplicació, de la divisió i els parèntesis. • Si es juga «a la gran», guanya qui obtingui el resultat més gran, i si és «a la menuda», qui obtingui el més petit. a) Quin és el resultat més gran que es pot obtenir? In-

96 ■■■ Es proposa el joc següent per a tres persones (cal que cada jugador disposi de paper i llapis):

dica diverses maneres d’assolir-lo. b) Suposa que t’han tocat tots els dobles i la fracció

que queden es reparteixen a l’atzar entre els 3 jugadors (7

2/5. Quins són els resultats possibles? 3 6 1 5 3 1 4 c) La teva mà és , , , , , i ; i s’està jugant 4 2 5 4 2 6 4 «a la menuda». Quines fraccions triaràs? Quina operació

a cadascun).

faràs?

• Es retiren d’un joc de dòmino totes les fitxes que tinguin un quadrat blanc (inclosa la doble blanca), i les 21 fitxes

• Cada jugador col·loca les seves fitxes, l’una al costat de l’al-

42

tra, en posició vertical, i sense que els altres jugadors puguin veure quines són.

Autoavaluació Sé trobar el nombre mixt d’una fracció impròpia? 1. De les fraccions següents, indica quines són pròpies, quines són impròpies i quines són iguals a la unitat. De les fraccions impròpies escriu-ne el nombre mixt: 12 4 21 b) 21

a)

3 7 13 d) 6

e)

c)

f)

23 23 19 4

55 56 −1 h) 2 g)

Sé trobar la fracció equivalent? 2. Omple els buits per tal d’obtenir fraccions equivalents: a)

5 = 7 21

c)

b)

35 = 75 15

d)

7 8

=

66 42

=

120 135

Sé comparar fraccions? 4. Ordena de més petita a més gran les fraccions següents: 1 , 2 4 b) , 3

a)

2 , 2 4 , 6

−3 4 i . 4 2 4 4 4 i . , 9 10 −3

3 4 9 3 , , , , 4 3 3 9 12 9 5 20 d) , , , i 5 4 3 8

c)

6 3 i . 4 −4 80 . 32

Sé operar amb fraccions? 5. Fes les operacions següents i simplifica’n el resultat: a) 2 ⋅ b)

3  9 1 − −  4  5 3 

2  1 2  : +  5  2 3 

 3 1  4 2  c)  +  :  −  7 6   5 3 

 9 1 1 2 d)  −  :  ⋅  5 3  3  5 3

2 3 e)  +   5 2 f)

 4 6 15   ⋅ ⋅   3 3 10 

Sé simplificar una fracció? 3. Redueix a la fracció irreductible: 60 108 d) a) 150 378 15 45 e) b) 18 15 9 15 f) c) 3 6

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 42

Sé interpretar i resoldre problemes amb fraccions? 2 6. En una competició de tres dies, dels participants abando15 nen el primer dia. Una quarta part dels que queden abandonen el segon dia. Calcula quina fracció dels participants arriba al tercer dia.

10/11/11 16:23


Els nombres fraccionaris al jardí botànic La Laura i la Patrícia visiten el jardí botànic de la seva ciutat. A la guia han llegit que la meitat de les flors que hi ha són d’hivernacle, una tercera part són flors d’exterior i la resta són arbres.

1. La Laura i la Patrícia fan un esquema dels tipus de plantes que hi ha al jardí. Utilitzen el color taronja per representar les flors d’hivernacle, el blau per a les flors d’exterior, i el verd per als arbres. Quin dels

Els nombres fraccionaris

Competències que sumen

esquemes següents és el correcte? a)

c)

b)

d)

43

2. La Laura observa que a la guia del jardí botànic hi apareix la fracció de flors d’hivernacle i la fracció de les flors d’exterior, però no hi apareix la fracció que correspon als arbres. a) Quant sumen les fraccions corresponents a les flors? b) Quina fracció correspon als arbres? 3. La Patrícia ha llegit a la guia que hi ha un total de 1 800 plantes entre flors i arbres. a) Si se sumen les flors d’hivernacle i les flors d’exterior, quantes flors hi ha? b) Quants arbres hi ha al jardí botànic? 4. La cinquena part de les flors que hi ha a l’hivernacle són orquídies. a) Quantes orquídies hi ha al jardí? b) Quina fracció del total de plantes correspon a les orquídies? 5. La Laura i la Patrícia s’han presentat voluntàries per regar les roses que hi ha a l’hivernacle amb un nou sistema de reg per degoteig 3 L. La Laura pensa que amb 90 ampolles n’hi ha amb ampolles de plàstic. En total, s’han de distribuir 120 L d’aigua en ampolles de 4 prou, mentre que la Patrícia creu que no seran suficients i que en faltaran més. Explica qui té raó. 6. Fes una aproximació a la puntuació que creus que obtindràs en aquesta prova. Has d’intentar que sigui tan ajustada i sincera com sigui possible, encara que pensis que no t’ha anat gaire bé.

Mates ESO2_U02_(K5-E3).indd 43

10/11/11 16:23


Matemàtiques 2