c LAVES d EL P r OYE ct O
Metodología por contextos cotidianos
Cada unidad desarrolla un contexto cercano al día a día del alumnado e interrelaciona los saberes básicos de los diferentes sentidos matemáticos que se plantean en el currículum.
El profesor en casa
Incorporamos ejercicios resueltos y tutoriales para consolidar los contenidos de la materia.
Aprendizaje significativo
Las unidades están estructuradas en situaciones de aprendizaje que favorecen una enseñanza competencial.
Solucionario extendido
La propuesta didáctica incluye el solucionario extendido con el desarrollo de todas las actividades.
Abierto al trabajo colaborativo
Empoderamos al alumnado con sentido de la iniciativa, fomentamos la creatividad y promovemos una relación activa con las matemáticas.
Evaluación competencial
Damos respuesta a la evaluación de las competencias específicas del área y de las competencias clave del perfil de salida del alumnado, conectando los indicadores de desempeño de la asignatura con los criterios de evaluación del currículum.
ESO MAt EM át ICAS 6
rEcurSOS dEL ALuMnAdO
El proyecto de Matemáticas incluye más de 1000 recursos multimedia con finalidades distintas:
• Vídeos «Profesor/a en casa»: vídeos tutoriales en los que se ofrecen explicaciones sobre aspectos teóricos y se resuelven ejercicios, a modo de clase particular.
rEcurSOS dEL dOcEntE
El docente dispone de los siguientes documentos didácticos: Programación de curso. desarrollo de las unidades didácticas
• Orientaciones didácticas, que incorporan: – Estrategias de neuroeducación
– Itinerarios de personalización del aprendizaje
– Objetivos de Desarrollo Sostenible de la Agenda 2030
• Programación de aula
• Solucionario
• recursos interactivos prácticos para crear o consolidar conocimientos.
• Fotografías e ilustraciones técnicas descargables.
• documentación para realizar actividades.
• Itinerario Prepárate, Mejora y Ponte a prueba para facilitar un aprendizaje continuo y formativo.
Prepárate Para activar conocimientos previos.
Propuestas de exámenes trimestrales y de unidad por competencias específicas y criterios de evaluación, conectando con los descriptores del perfil de salida del alumnado. rúbricas de evaluación. Descripción y finalidad de los recursos digitales. trabajo por proyectos:
• Bases metodológicas del trabajo por proyectos de Casals.
• Presentación del proyecto del libro del alumnado.
• Sesiones de trabajo y tareas asignadas. rúbricas: evaluación de diseño del proyecto, evaluación del proyecto y autoevaluación del alumnado.
Gestión de aula en el entorno digital eCasals.
Mejora Para reforzar o ampliar conocimientos.
Ponte a prueba Para comprobar el nivel de logros alcanzados.
Evaluación competencial
Consulta el itinerario de la evaluación competencial en las páginas 20-21 del catálogo.
r E cur SOS d EL AL u M n A d O Y d EL d O c E nt E ESO MAt EM át ICAS 7
los recursos digitales más relevantes
el
consulta
que completan
proyecto educativo.
1. contextos
Cada unidad didáctica desarrolla un contexto de un ámbito específico cercano al alumnado (personal, laboral, social o educativo) e interrelaciona los saberes básicos de los diferentes sentidos matemáticos.
4. Actividades
Existen dos tipologías de actividades para asegurar la adquisición de las distintas competencias matemáticas.
actividades
5. Organizo los conceptos
8 6 12 9 Mejora
por amplificación y una por simplificación: 12 10 15 6 10 30. Obtén la fracción irreducible: 18 21 25 15 21 42 31. Halla una fracción equivalente a las siguientes con las condiciones que se indican en cada caso: 3 con denominador 16 b 8 con denominador 3 15 con denominador 10 32. Calcula y simplifica: 9 9 d 6 6 4 4 4 b 5 5 4 4 h 2 2 2 3 2 f 8 6 8 9 5 2 1 3
Mates en contexto Laboral Usain Bolt, el hombre más rápido del mundo Usain Bolt nació en Jamaica el 21 de agosto de 1986. Cuando tenía 14 años, Bolt comenzó a ganar carreras en los campeonatos atléticos regionales. Con 15 años ganó su primera medalla de oro dos de plata, en el Mundial Juvenil de Atletismo, en Kingston (Jamaica). El récord de los 100 m actualmente está en 9,58 s lo consiguió Bolt en los Campeonatos del Mundo de Berlín, en 2009. Su última participación en un campeonato mundial fue en Londres (2017) y su última carrera fue la de 100 m. Los participantes y sus tiempos fueron los siguientes: Atletas Tiempo (s) Jimmy Vicaut (Francia) 10,08 Usain Bolt (Jamaica) 9,95 Bingtian Su (China) 10,27 Justin Gatlin (EE. UU.) 9,92 Yohan Blake (Jamaica) 9,99 Akani Simbine (Sudáfrica) 10,01 Christian Coleman (EE. UU.) Reece Prescod (Reino Unido)
Problemas Escribe el nombre de los corredores en orden de llegada la meta. ¿En qué puesto quedó Usain Bolt? 2 ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo del último clasificado el del primero? ¿Y entre el segundo el primero? 3 Si hubieran corrido de uno en uno, ¿cuántos segundos habría durado la carrera? ¿Cómo es el tiempo del primer clasificado respecto al que consiguió Bolt en 2009?
Matematiza: 1, 2
Argumenta: 3, 4
En el dibujo se muestra un indicador de combustible de un vehículo.
Problemas 1 Escribe las fracciones que representan las líneas más gruesas. ¿En qué fracción empieza la línea de alerta (roja)?
2 53
6 4 5
Social Trufas para merendar Sara, Carmen y Javier van a visitar a una amiga que está enferma. En una pastelería próxima su casa han comprado una
Mientras hablaban, Sara y Carmen se han comido una trufa cada una, y Javier, tres. Problemas Escribe las fracciones que expresan las trufas que se ha comido cada uno respecto al total. ¿Qué fracción representa el número de trufas que se han comido entre los tres? ¿Qué fracción le ha quedado a su amiga?
Matematiza: 1, 2 Argumenta: 3
El agua del cuerpo humano
Problemas Halla fracciones equivalentes a las del
saberes básicos se interrelacionan durante todo el curso hasta completar todos los conocimientos, destrezas y actitudes que exige el currículum. De esta manera, los alumnos llegarán a emplear los saberes de una manera funcional, proporcionando la flexibilidad necesaria para establecer conexiones entre los diferentes sentidos matemáticos
SENTIDO NUMÉRICO Números decimales
número decimal está formado por una parte entera y otra inferior a la unidad, separada de la primera por una coma. Existen estos tipos: Exactos. Tienen una cantidad limitada (finita) de cifras decimales distintas de cero. Periódicos. Tienen la parte decimal formada por un dígito o grupo de dígitos que se repiten indefinidamente. Hay dos subtipos: –Puros. El dígito o grupo de dígitos que se repite empieza después de la coma. –Mixtos. El dígito o grupo de dígitos que se repite empieza después de la coma. No periódicos. Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales no repetidas. Comparación de números decimales Para comparar dos números con decimales, primero se compara la parte entera. Si es igual, se comparan las cifras decimales de una en una hasta encontrar la primera que sea diferente. Operaciones con decimales Suma y resta. Se suman o restan los dígitos que ocupan la misma posición. Multiplicación. Primero se multiplican sin tener en cuenta los decimales y luego se sitúa la coma teniendo en cuenta que el número de decimales del producto es la suma de los decimales de los factores.
Fracciones es un número que expresa las porciones que se toman de un todo que se ha dividido en partes iguales. Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales. Para obtener una fracción equivalente otra, sus términos se multiplican por o se dividen entre un mismo número. Comparación de fracciones Con igual denominador.Con igual numerador. Es menor la de denominador
Otros casos. Se sustituyen las fracciones por otras equivalentes que tengan el mismo denominador y se aplica el primer criterio.
Suma resta de fracciones
Para sumar y restar fracciones, todas deben tener el mismo denominador. Si no lo tienen, hay que transformarlas en otras equivalentes que sí lo tengan. El resultado es una fracción con el mismo denominador que tendrá como numerador la suma o la resta de los numeradores.
Relación entre fracciones y decimales Una fracción también es el cociente indicado de dos cantidades enteras. Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un valor decimal.
SENTIDO ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO COMPUTACIONAL
Expresiones algebraicas expresión algebraica es una combinación de letras (llamadas incógnitas) números relacionados por operaciones matemáticas. Las letras suelen representar cantidades desconocidas; no tienen un valor fijo. El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las variables (incógnitas) por números determinados efectuar las operaciones indicadas.
Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos, o datos y desconocidos, o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. incógnita, representada generalmente por una letra, indica los valores que se buscan. Se llama primer miema la expresión que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a la que está la derecha. Soluciones de una ecuación La solución de la ecuación es el número que, cuando sustituye a la incógnita, hace que la igualdad planteada sea Ecuaciones equivalentes Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución (o soluciones). Toda ecuación se transforma
organizo los conceptos
2 67
en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros, por ejemplo: Si los dos miembros de una ecuación se les suma (o resta) una misma cantidad.
Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por (o se dividen entre) una misma cantidad no nula.
Resolver una ecuación consiste en encontrar la solución (o soluciones) de la ecuación.
Para conseguirlo, hay que utilizar las transformaciones de la ecuación inicial intentando dejar la incógnita en un miembro y el resto de los datos en el otro.
SENTIDO NUMÉRICO Razón y proporción es la relación comparación entre dos magnitudes y Se expresa como un fracción: proporción es la igualdad de dos
Relación de proporcionalidad Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir la primera por un número, la segunda queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
Porcentajes
Un porcentaje representa una cantidad determinada de 100 unidades. Su símbolo es %.
Para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica esta por el decimal que representa el porcentaje.
ESO matemáticas 8 EL L i B r O d EL AL u M n A d O. PASO A PASO 2 52 actividades Entrénate 20. Indica la posición que ocupa el 3 en los siguientes números: 4,231 0,8031 b 91,347 d 18,4593 21. Escribe cómo se leen los siguientes decimales: 2,543: _____________ milésimas. b 31,2: ______________ décimas. 32,75: ______________ ____________. d 8,014: _____________ ___________. 22. Compara los siguientes decimales poniendo el símbolo o > según corresponda: a 5,48 3,02 c 16,301 16,31 b 7,12 7,23 d 9,217 9,215 23. Ordena de mayor a menor los siguientes conjuntos de números: 3,18; 3,015; 3,14 y 3,147 12,036; 12,03; 12,034 y 12,0369 7,21; 7,25; 7,217 y 7,205 24. Haz las siguientes operaciones con números decimales: 318,42 + 820,35 d 3908,67 2839,152 b 2743,215 + 7352,69 845,36 2,4 c 589,53 43,82 308,72 3,05 25. Haz las siguientes operaciones combinadas: a 450,1 + 32,19 235,84 b 572,47 − 98,34 + 412,091 8437,32 − 1438,503 745,018 d 4573,12 3,9 + 1240,37 2,36 (3,2 8,15) 896,405 + 4,8 7,29 26. Escribe la fracción que representa la parte col a c b d 27. Compara las siguientes fracciones escribiendo los símb 10 10 5 9 28. Recuerda que si y solo si 8 6 12. Como 8 9 = 72 y 6 12 72, son fracciones equivalentes. Comprueba que son equivalentes los siguientes pares de fracciones: a 6 5 y 18 15 c 35 30 14 12 b 4 d 16 29 20 25 29. Halla tres fracciones equivalentes cada una de las siguientes
gráfico de modo que todas tengan 100 como denominador. ¿La cantidad de agua del cuerpo es más de la mitad de la masa corporal? ¿Qué es mayor, la fracción de agua de la sangre la del cerebro? ¿Dónde hay menos agua? Las 4 partes de la masa corporal de un recién nacido son agua. ¿Tiene más o menos agua que un adulto? Matematiza: Argumenta: 2 Matematiza: Argumenta: 2, 3, 4, 5 ¿CUÁNTA AGUA TENEMOS? masa corporal de la sangre 18 25 3 4 4 83 100
Los
2 66 organizo los conceptos SENTIDO DE LA MEDIDA Magnitudes y unidades Magnitud es cualquier cualidad de un objeto que se puede medir. Para medir una magnitud, se compara con otra cantidad fija que se denomina unidad de medida. El sistema métrico decimal (SMD) es un sistema de unidades en el que los múltiplos los submúltiplos de la unidad están relacionados entre sí por múltiplos submúltiplos de 10. Medidas de longitud, masa y capacidad La unidad fundamental del SMD para medir la longitud es el metro (m). La unidad fundamental del SMD para medir la el gramo (g). Y para la capacidad el litro (L). Sus múltiplos submúltiplos se nombran con los mismos prefijos que los del metro y tienen la misma relación entre ellos. Medidas de superficie La unidad fundamental del SMD es el metro cuadrado (m ). Medidas de volumen metro cúbico (m ). La relación entre las medidas de capacidad de volumen es la siguiente: m = kL 1 dm = 1 L 1 cm = mL km hm dam dm 1000 1000 1000 1000 1000 1000
Un
Un porcentaje se puede expresar mediante un decimal o con una También establece una relación de proporcionalidad directa. Variaciones porcentuales La variación porcentual es la expresión, mediante un porcentaje, del aumento la disminución de una cantidad. Por tanto, puede haber disminuciones porcentuales aumentos porcentuales. d ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ b d d y d proporcionalidad. 2 La cesta de la compra Activa tus habilidades y competencias Prepárate Matemáticas para comprar ¿DECIMALES O FRACCIONES? ¿COMPRAR CON FRACCIONES? Situación de aprendizaje 2 Hoy toca hacer la compra SENTIDO NUMÉRICO Números decimales Fracciones Suma y resta de fracciones Relación entre fracciones decimales ¿CÓMO SE TRANSPORTAN LAS MERCANCÍAS? ¿QUÉ MEDIDAS TIENEN? Situación de aprendizaje 1 El paseo de la comida SENTIDO DE LA MEDIDA Y NUMÉRICO Magnitudes y unidades • El sistema métrico decimal Unidades de medida de longitud, masa capacidad Unidades de medida de superficie • Unidades de medida de volumen lechuga 2 kg de tomates 1 kg de manzanas 1/2 kg de pimientos 1/4 kg de queso 250 g de carne picada 2,5 kg de calabacines 500 de merluza 0,5 kg de puerros 4 kg de patatas 200 de jamón de York 8 1,5yogures kg de naranjas 750 g de sardinas 2500 g de cebollas Cuarto mitad de jamón 500 de espinacas 3/4 kg de filetes de pechuga de pollo La cesta de la compra Resolución de problemas Pensamiento Comunicación efectiva ¿SÉ ORGANIZARME? ¿APROVECHO LA MEJOR OFERTA? Situación de aprendizaje 3 Viaje de fin de curso SENTIDO NUMÉRICO Razón y proporción • Relación de proporcionalidad Porcentaje Situación de aprendizaje 4 De compras por internet SENTIDO ALGEBRÁICO Y PENSAMIENTO COMPUTACIONAL Expresiones algebraicas Ecuaciones Resolver ecuaciones Plantear problemas ¿CUÁNTO DINERO TENGO QUE PAGAR? ¿CUÁNTO PUEDO COMPRAR? lechuga 2 kg de tomates kg de manzanas 1/2 kg de pimientos 1/4 kg de queso 250 g de carne picada 2,5 kg de calabacines 500 de merluza 0,5 kg de puerros 4 kg de patatas 200 de jamón de York 8 1,5yogures kg de naranjas 750 g de sardinas 2500 g de cebollas Cuarto mitad de jamón 500 de espinacas 3/4 kg de filetes de pechuga de pollo Toma de decisiones NTIDO SOCIOEMOCIONAL troducción al lenguaje algebraico Plantear problemas Actividades de ejercitación Ejemplos resueltos Banco digital de actividades autocorregibles Problemas contextualizados que indican la gradación de los procesos matemáticos (PiSA) y las habilidades de la competencia matemática resumen de los saberes básicos y sus diferentes sentidos matemáticos contexto de la unidad Preguntas iniciales para
situación de aprendizaje Saberes básicos de los diferentes sentidos matemáticos que se desarrollan en la unidad «Prepárate»: vídeo para activar conocimientos previos
cada
1 BA
Matemáticas
Libro del alumnado
ISBN papel: 978-84-218-7458-5 ISBN digital: 978-84-218-7761-6
1 BA
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Libro del alumnado
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Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales
Libro del alumnado
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descarga la App ecasals Ar para acceder directamente a los recursos. todos los recursos del alumno disponibles en on-line y off-line.
1 BA Matemáticas
Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7621-3
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Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7623-7
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Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales
Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7627-5
BA matemáticas 11 MAt E ri AL d EL d O c E nt E
c LAVES d EL P r OYE ct O
nuevo proyecto global de Bachillerato
Los autores de la ESO ponen en marcha este innovador proyecto orientado a las pruebas de acceso a la universidad de todas las comunidades autónomas.
Aprendizaje a través de contextos
Aprendizajes basados en contextos de la vida real acompañados de una propuesta de actividades y una evaluación creada a partir de las directrices de la LOMLOE.
Actividades con GeoGebra
Ejercicios programados con GeoGebra para consolidar los conocimientos. El alumnado podrá investigar, interpretar, analizar y resolver problemas.
Solucionario extendido
La propuesta didáctica incluye el solucionario extendido con el desarrollo de todas las actividades.
Estrategia de resolución de problemas
Banco de actividades y ejercicios resueltos paso a paso para afianzar conceptos y para que el alumnado sea autónomo en su proceso de aprendizaje.
Evaluación competencial
Damos respuesta a la evaluación de las competencias específicas del área y de las competencias clave del perfil de salida del alumnado, conectando los indicadores de desempeño de la asignatura con los criterios de evaluación del currículum.
BA MAt EM át ICAS 12
El proyecto de Matemáticas incluye más de 1000 recursos multimedia con finalidades distintas:
• Vídeos «Profesor/a en casa»: vídeos tutoriales en los que se ofrecen explicaciones de aspectos teóricos y se resuelven ejercicios paso a paso, a modo de clase particular.
• «repasa la unidad»: infografía con los contenidos más importantes de la unidad.
• Vídeos «Profesor/a en casa-Paso a paso»: vídeos tutoriales que ofrecen estrategias de resolución de problemas.
• «Ponte a prueba»: test de autoevaluación para que el alumnado pueda comprobar si ha adquirido los conocimientos de la unidad.
• investigaciones matemáticas: casos de estudio reales donde se aplican los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad.
• Itinerario Prepárate, Mejora y Ponte a prueba para facilitar un aprendizaje continuo y formativo.
Prepárate Para activar conocimientos previos.
Mejora Actividades autoevaluables con GeoGebra para practicar los contenidos.
Ponte a prueba Para comprobar el nivel de logros alcanzados.
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r E cur SOS d EL AL u M n A d O BA MAt EM át ICAS 13
El docente dispone de los siguientes documentos didácticos:
Programación de curso. desarrollo de las unidades didácticas:
• Orientaciones didácticas
• Programación de aula
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Propuestas de exámenes trimestrales y de unidad por competencias específicas y criterios de evaluación, conectando con los descriptores del perfil de salida del alumnado.
Descripción y finalidad de los recursos digitales.
Gestión de aula en el entorno digital eCasals.
tabla de calificaciones del alumnado
Consulta el itinerario de la evaluación competencial en las páginas 20-21 del catálogo.
BA MAt EM át ICAS 14 r E cur SOS d EL d O c E nt E
conoce las ventajas de evaluar por competencias con el proyecto educativo código Abierto de editorial casals. te facilitamos las herramientas y los recursos necesarios para realizar la evaluación competencial de tu alumnado y te acompañamos en este proceso de evaluación a lo largo del curso.
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Matemáticas Llengua catalana
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Quien tiene el
tiene la llave Con este código QR podrás acceder a nuestra web, donde encontrarás tutoriales sobre la evaluación competencial y, si lo necesitas, podrás solicitar una sesión formativa personalizada. ¡Estamos
arte
i
del mundo contemporáneo
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y Química Filosofía Historia de la Filosofía
Aplicación de los saberes básicos que se trabajan en la unidad en diferentes contextos y ámbitos de conocimiento.
5. Actividades
Estrategias de resolución de problemas
Ejemplos resueltos en vídeo
Social Educativo Los sistemas de ecuaciones en la historia s sistemas de ecuaciones lineales se usan desde la Antigüedad. Los babilónicos sabían resolver estos sistemas de ecuaciones; en ellos empleaban palabras longitud anchura área volumen para designar nuestras actuales incógnitas. Eran, incluso, capaces de solucionar sistemas con alguna ecuación cuadrática. También los antiguos griegos sabían resolver sistemas de ecuaciones utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. C.) fue capaz de hallar una fórmula que permitía dar con la solución de un determinado sistema de incógnitas. Asimismo, aparecen sistemas de ecuaciones en documentos indios, los cuales muestran que se conocía el modo de resolver algunos tipos especiales de sistemas, aunque sin llegar obtener un método de resolución general. de autor chino desconocido (siglo a. C.), contiene algunos problemas que se solucionan mediante sistemas de ecuaciones. En este libro se halla un esbozo de un método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 1 Resuelve este sistema de ecuaciones. Se trata de un problema extraído de una tablilla babilónica corresponde al primer sistema de ecuaciones del que se tiene constancia. 1/4 anchura + longitud 7 manos longitud + anchura 10 manos 2 Pensamiento
creativo. ¿Puedes plantear un sistema de ecuaciones semejante al babilónico que tenga solución? En la historia
Profesional
¿Cómo se representan los sistemas eléctricos? En los circuitos eléctricos electrónicos, es habitual encontrar problemas en los que dos o más variables se relacionan mediante ecuaciones de primer grado. Son frecuentes los problemas en los que se desea hallar los valores
de la fuente? ¿Cuál es Recuerda la ley de Ohm y la primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito es igual al producto de la resistencia entre esos dos puntos la corriente que fluye. imera ley de Kirchhoff La suma de los voltajes de un circuito cerrado es igual a 0. En la electrónica
10 Ω
A A ?
A
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que podemos resolver usando el método de Gauss. Observamos que la primera ecuación tiene dos incógnitas, pues no está presente la incógnita Asimismo, nos damos cuenta de que no hay que hacer nada con la segunda ecuación, ya que presenta la forma que necesitamos (en este caso, sin la incógnita Restamos la tercera ecuación la primera para eliminar colocamos el resultado en el lugar de la tercera ecuación: y my z ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ my ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
Seguidamente, restamos a la tercera ecuación la segunda, con lo que eliminamos la incógnita m m m
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 1
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ Estrategiay en la segunda ecuación depende del parámetro. Profesor en casa tres incógnitas y un parámetro
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
Para discutir el sistema nos fijamos en la tercera ecuación: la última ecuación tiene la forma es decir, podemos despejar Esto indica que se trata de un sistema compatible determinado. Veamos qué sucede si 1, la última ecuación queda así: Cualquier valor de hace que se cumpla la ecuación, luego es un sistema compatible indeterminado. ¡Ten cuidado! Observa que si damos el valor 0 0), el sistema queda: 1 1 0z 0
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
Vuelve a ser un sistema compatible indeterminado, a pesar de que habíamos visto que, para el sistema era compatible determinado. A veces, el método de Gauss falla, por lo que hemos de tener cuidado al utilizarlo. Aplícalo Discute este sistema según los valores que tome m y m 0 2 Considera el parámetro como más discute el sistema. Ten en cuenta que no siempre todos los métodos sirven para todos los sistemas. 3 En el siguiente curso aprendepara discutir cualquier tipo de sistema.
4
localizar
qué existen
⎧ ¿Por
4 actividades Practica 29 PSA Profesional Sillas, mecedoras y sofás Una empresa de fabricación de muebles tiene tres productos en su catálogo: sillas, mecedoras sofás. Para fabricar cada producto necesita las unidades de madera, plástico aluminio que se reflejan en la tabla siguiente: Madera Plástico Aluminio Mecedora unidad unidad unidades La empresa tenía unas existencias de 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico 1500 unidades de aluminio. Si las utilizó todas, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó? 30 Un estudiante pidió en una cafetería tres bocadillos, dos refrescos y dos bolsas de patatas, pagó un total de 19 €. Al mirar el tique de compra, se dio cuenta de que le habían cobrado un bocadillo
tantas antenas de telecomunicaciones? ¿Cómo funciona la red de satélites GPS? EL
CONTEXTO
⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ y 2 3 2 5 A D B
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 3 2 2 4 Social Caso de estudio Triangular para
y una bolsa de patatas de más. Reclamó le devolvieron 4 €. Para compensar el error, el vendedor, además, le ofreció un bocadillo y un refresco por solo 3 €, lo que suponía un descuento del 40 % respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios, sin descuento, de un bocadillo, un refresco una bolsa de patatas? La AFA (Asociación de Familias de Alumnos) del Instituto El Cisne subvenciona los 120 estudiantes de Bachillerato una excursión con destino Andalucía, Cataluña y Galicia, con 14 700 €. Se asignan 100 € a los alumnos alumnas cuyo destino es Andalucía, 120 € a los que van Cataluña y 150 € a los que viajan
a Galicia. Además, el total de estudiantes que van las dos primeras comunidades excede en 50 los que tienen como destino Galicia. Calcula el número de estudiantes que visitan cada comunidad autónoma. Profesional ¿Cuántos clientes tuvo el hotel? El precio genérico de la estancia diaria en un hotel es de 50 € por persona. No obstante, el establecimiento ofrece descuentos
a los niños a los jubilados. Los niños pagan el 50 % del precio diario y los jubilados han de abonar solo el 60 %. Cierto día, en el hotel se alojaron 200 personas, de tal modo que los jubilados suponían el 25 % del número total de niños alojados. La recaudación del hotel ascendió a 5 680 €. Determina el número de
hacen los agentes de policía cuando reciben el aviso de que una persona ha desaparecido? Pueden comenzar a buscarla localizando el lugar de procedencia de la última señal de su teléfono móvil, si disponía de él.
Aunque el teléfono tenga desactivada la función de rastreo mediante GPS, este sistema está en contacto con la red de antenas de telecomunicaciones que están repartidas por todo el territorio, siempre cuando el móvil disponga de batería. Las antenas pueden localizar los teléfonos móviles mediante una técnica parecida la que usan los murciélagos para moverse en la oscuridad.
«investigación matemática». casos reales donde se aplican los conocimientos adquiridos en la unidad
pueden pagar diez lápices, ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos? ¿Qué
El sentido de la vista de estos animales está bastante limitado; aun así, pueden desplazarse por la noche. Como quizá sepas, envían ultrasonidos que producen ecos, los cuales, cuando retornan, llegan a sus oídos. Mediante el análisis inconsciente de esos ecos, construyen un mapa mental de la distancia a la que se encuentran los objetos que hay a su alrededor; de este modo, consiguen orientarse.
EL L i B r O d EL AL u M n A d O. PASO A PASO BA MAt EM át ICAS 16 4 A B C D Sistemas de ecuaciones Educativo ¿Qué aspecto tienen los extraterrestres? Aunque Asorraf es un planeta en el que se puede vivir, está completamente deshabitado. Por eso, los habitantes de los planetas Divad, Ogeid, Olbap Leafar, pertenecientes otro sistema solar cuya estrella se apaga, han decidido colonizar Asorraf y repartírselo. este modo, Asorraf quedará poblado por una gran diversidad de criaturas, ya que los seres de esos planetas presentan distintas morfologías: Los habitantes de Divad tienen una cabeza, dos manos tres pies. Los habitantes de Ogeid tienen una cabeza, dos manos y cuatro pies. Los habitantes de Olbap tienen dos cabezas, cuatro manos seis pies. Los habitantes de Leafar tienen dos cabezas, tres manos cinco pies. Dividirán la superficie de Asorraf en cuatro regiones y se las repartirán así: Zona A será ocupada por los pobladores de Divad, Ogeid y Olbap. Zona B en ella vivirán los habitantes de Divad, Ogeid y Leafar. la ocuparán seres procedentes de Divad, Leafar Olbap. la poblarán los habitantes de Ogeid, Olbap y Leafar. Resolución de problemas. Sabemos que la zona han llegado 100 seres, que suman entre todos 145 cabezas 290 pies. ¿Cuántos habitantes de cada planeta se encuentran en esta zona? En la ciencia ficción CONTENIDOS 1 Resolución de problemas mediante sistemas Preparación de un sistema para su resolución 4 Interpretación geométrica de un sistema de 5 Discusión de sistemas de ecuaciones 6 Sistemas de ecuaciones no lineales 7 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 8 El método de Gauss 9 Discusión de sistemas por el método de Gauss OBJETIVOS Aplicar la resolución de sistemas de ecuaciones contextos reales. HABILIDADES solución de problemas. Aplicar estrategias para resolver problemas en situaciones reales. Analizar las suposiciones no explícitas que se hacen en textos reales. Estudiar las soluciones de los problemas en su contexto. Pensamiento creativo. Identificar situaciones en las que es posible aplicar los conocimientos adquiridos. l Toma de decisiones. Analizar las diversas opciones que se plantean la hora de resolver un problema elegir la más conveniente. Prepárate Sistemas de ecuaciones Métodos de resolución 4 actividades Practica Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica qué tipo de solución van tener: b y 2 4 2 6 8 10 y d 2 5 0 0 2 0 ⎧ ⎨ ⎩ 3 4 ⎧ ⎨ ⎩ Sistemas de ecuaciones no lineales Resuelve estos sistemas: a y y 6 b y 34 y 1 d 4 2 e 2 5 y 0 ⎧ ⎨ ⎩ 10 ⎧ ⎨ ⎩ g 1 3 y ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ h y y 5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 25 Resuelve estos sistemas: 6 y 5 y b 3 2 d y 8 5 y y 4x 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ y 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ g 3 2 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas 26 Resuelve
los siguientes sistemas utilizando el método de 6 y 2 5 0
1 2
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ x y 2 4 2 3 0 y
2 y 2z 3 4 2 y d y 4y z 2 6 2 6 y 2 2 5 y g 6 y 3x 4y + 8z ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 27 Personal ¿Cuántos pasajeros transportó el autobús? Un autobús transporta a 60 pasajeros. Cierto número de ellos ha abonado 1,2 € por cada billete sencillo; otro grupo ha pagado el 80 % del billete sencillo (ya que ha adquirido el billete para grupos numerosos) y un tercer grupo, formado por personas mayores de 65 años, ha abonado el 50 % del billete sencillo. La recaudación del autobús fue de 46,56 €. Calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que la cantidad de viajeros que se benefició del mayor descuento es el doble que la cantidad del resto de viajeros. 28 universidad El precio de tres lápices, un rotulador dos carpetas es de 15 €, mientras que el de dos lápices, cuatro rotuladores una carpeta es de 20 €. Sabiendo que un lápiz y siete rotuladores cuestan 25 €, ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona tu respuesta. Si por el precio de una carpeta se
h x 2 2 y investigaciones matemáticas C
De forma parecida, para localizar un teléfono móvil, las antenas de telefonía emiten periódicamente señales electromagnéticas que los móviles reciben estos, su vez, devuelven otras señales. Entonces, si se sabe cuánto tiempo ha transcurrido entre la emisión de una señal su eco, teniendo en cuenta que las señales electromagnéticas viajan la velocidad de la luz, es posible calcular la distancia entre el teléfono cada una de las antenas. Por tanto, es posible trazar, con centro en cada una de las antenas, las circunferencias que determinan los puntos desde los que se podría haber enviado la señal.
Observa que se necesitan tres antenas para conocer una ubicación concreta (en este caso, el punto D), ya que con dos conoceríamos solo dos posibles ubicaciones. Cada par de circunferencias se corta en dos puntos. Del cálculo de la posición del móvil se encarga un programa informático que resuelve un sistema de tres ecuaciones. En ese sistema, cada ecuación representa una circunferencia: – y –– – b – –
En las ecuaciones b es la ubicación del centro de las circunferencias (la antena) y es el radio (la distancia al teléfono). Este método de cálculo de la posición de un objeto se llama triangulación. Es la técnica que se usa en la red de satélites GPS y en la red de sismógrafos para hallar los epicentros de los terre-
4 18
estrategias de resolución de problemas Actividad resuelta Discusión de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro Discute el sistema según sean los valores que tome el parámetro x y ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
de las corrientes eléctricas o los voltajes de circuitos con resistencias. 1 Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y otra de 4 W Un amperímetro nos muestra la lectura de 2,5 A. Se repite la experiencia sustituyendo la resistencia conocida por otra de 10 W En este caso, la lectura del amperímetro es de A. ¿Cuál es el voltaje
niños, jubilados personas que no eran niños ni jubilados que alojaron en el hotel ese día.
inmueble. En el piso 4.º B el electricista estuvo una hora y el albañil dos horas, cobraron 78 €. En el 3.º A pagaron 85 € por dos horas de trabajo del fontanero y una hora de trabajo del albañil. En el 1.º A, por una hora del fontanero, una hora del electricista y tres horas del albañil se pagaron 133 €. ¿Cuánto cuesta la mano de obra por hora de trabajo de cada profesional? Discusión de sistemas aplicando el método de Gauss 34 Discute estos sistemas usando el método de Gauss: 2 2 y b m 3 0 5 2 0 x y 2 y d 1 x y + 0 y x + 2y m 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ g 4 4 h 2 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ z 1 y ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 3 y 3 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 Mejora Ecuaciones de segundo grado Polinómicas Algebraicas Irracionales Logarítmicas Exponenciales Investigaciones matemáticas
33 universidad PSA Profesional Obras en la comunidad de vecinos El administrador de una comunidad de vecinos quiere saber el precio por hora de trabajo de un electricista, un fontanero un albañil. Para ello, revisa las facturas de trabajos que han realizado en tres domicilios del
1. contextos reales
4. Estrategias de resolución de problemas
Explicación paso a paso de la resolución de problemas asociados a los conceptos y conocimientos de la unidad.
Ejercicios y problemas para poner en práctica los conocimientos adquiridos a lo largo de toda la unidad.
«Prepárate». Vídeo que introduce la unidad
2. contenidos y ejemplos
Desarrollo de los saberes básicos de la unidad alternando conocimientos teóricos con ejemplos, ilustraciones y recursos digitales de apoyo.
«Profesor en casa». Vídeos tutoriales donde se resuelven ejercicios y se aplican los conceptos
Para resolver estos sistemas, se pueden usar los métodos que se aplican en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas –sustitución, igualación y reducción–, pero la resolución resulta larga y, en ocasiones, complicada. En su lugar se emplea el método de las reducciones sucesivas método de Gauss
por
1.º Ordenamos las ecuaciones de tal manera que la primera de ellas sea la
tenga
que
3 6 y 1 Obtenemos, por tanto, la siguiente equivalencia: 3 y 3 y
y 5 7 Y resulta la siguiente equivalen11a entre sistemas: 2 3 y 1
3. Pensamiento computacional
3 contenidos y ejemplos 7 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Una ecuación lineal con tres incógnitas es una ecuación de la forma a b c d donde son coeficientes (es decir, números reales) y son las incógnitas. Desde el punto de vista geométrico, este tipo de ecuaciones corresponde a la expresión algebraica
Ahora tú 4 10
⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪
⎧ ⎨ ⎪ ⎪ Apunte 5 Observa que el sistema que hemos obtenido es triangular: Profesor en casa Resolución de sistemas por el método de Gauss
3 7 y 6 48 ⎩ ⎪ ⎪ 5.º Una vez que tenemos el sistema escalonado (apunte 5), reparamos en que la tercera ecuación es una ecuación lineal con una incógnita, que se puede despejar directamente en esa ecuación: 48 Una vez hemos obtenido el valor de es posible calcular el valor de la incógnita continuación, el valor de Así: Si consideramos ahora la segunda ecuación, tenemos: y y Tomando la primera ecuación, obtenemos el valor de
«Mejora». Propuesta de actividades autoevaluables con GeoGebra para practicar los contenidos
Resolución de problemas asociados a los conceptos desarrollados durante la unidad mediante el uso de herramientas tecnológicas (calculadora científica, GeoGebras, vídeos…).
4 pensamiento computacional RESOLUCIÓN DE SISTEMAS APLICANDO EL MÉTODO GRÁFICO CON GEOGEBRA El método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones es útil cuando las soluciones son enteras y disponemos de papel cuadriculado que nos permita determinar el punto de corte exacto entre las diferen-males, este método no resulta tan eficaz. GeoGebra permite representar las rectas que corresponden a las ecuaciones lineales de un sistema y, así, determinar el punto de intersección o, lo que es lo mismo, la solución del sistema. Basta con escribir en la barra de entrada las ecuaciones del sistema (sin necesidad de despejar la incógnita y el programa facilitará las gráficas de las rectas correspondientes. Por ejemplo, considera este sistema: y 6x 5y 2 Si escribimos las ecuaciones en la barra de entrada, obtenemos la representación que se observa en la figura de arriba. Para obtener la solución hay que determinar el pun-nando Intersección w del desplegable de la opción Punto (Point). Ya solo falta pinchar en las dos rectas para obtener el punto que buscamos. El punto A es la solución del sistema: 5 y 5
2 6 4 6 0 x 2
2
6. Activa tus habilidades y competencias
Actividades de evaluación en contexto donde se aplican los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad.
Accede al índice de contenidos de tu comunidad autónoma.
«Ponte a prueba». test de autoevaluación
«repasa la unidad». infografía con los contenidos destacados de la unidad
EL L i B r O d EL AL u M n A d O. PASO A PASO BA MAt EM át ICAS 17 2 22 Activa tus habilidades y competencias Profesional ¿Le importa si le doy el cambio en monedas? Con frecuencia, uno de los problemas con los que se encuentran los dependientes de los comercios es el de la vuelta o el cambio, es decir, la cantidad de dinero que superior la que cuesta el producto que adquieren el El problema reside en determinar la cantidad exacta que ha de devolverse, pero también en el modo más adecuado de hacerlo, que suele ser dando al cliente el menor número posible de monedas y billetes. Para determinar el cambio, basta con hacer una simple resta entre el dinero entregado el precio de la compra, de lo cual se encargan las máquinas registradoras de forma adecuado, ya que no siempre se dispone de las monedas o posible de estos. En muchas ocasiones, el dependiente estrictamente necesarios. Así, es habitual que se excuse doy el cambio en monedas?». El cliente de un establecimiento hace una compra por valor de 65,50 € y entrega dos billetes de 50 €. ¿Qué cantidad tiene que devolverle el dependiente? Indica qué cantidad de billetes y monedas (así como su cuantía) tiene que entregar el dependiente de tal modo que ofrezca el mínimo número posible de billetes y monedas. Cuando el dependiente se dispone dar la vuelta al cliente, repara en que no queda ningún billete en la máquina registradora. Indica, en este caso, el menor número posible de monedas que puede devolverle y 4 Si solo le quedan en la caja 10 monedas de 2 €, 10 monedas de 1 € 10 monedas de 50 céntimos, ¿puede hacer la devolución? 5 Justifica si se podría hacer la devolución usando los tres tipos de monedas del ejercicio anterior en las siguientes condiciones: El dependiente tiene que usar exactamente un total de 30 Debe devolver el mismo número de monedas de 1 € que de céntimos y monedas de 2 € juntas. 6 El cliente ofrece al dependiente una moneda de 50 céntimos con la intención de redondear la vuelta y disminuir el número de monedas. ¿Cuánto le tiene que devolver ahora el Justifica si es posible no seguir haciendo la devolución con las condiciones que se han descrito en el ejercicio 5. Profesional ¿Cómo se resuelven problemas con porcentajes? Son frecuentes las confusiones al trabajar con porcentajes. Así, hay quien cree que, si se aumenta un 30 % una cantidad para reducirla seguidamente otro 30 %, sedad que al principio, lo tres ejemplos con sistemas de ecuaciones en los que se trabajan porcentajes. ¿Eres capaz Por un rotulador, un cuaderno una carpeta se pagan 3,56 €. Se sabe que el precio del cuaderno es el 50 % del precio del rotulador y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20 % del precio del rotulador. Calcula los precios de cada producto sabiendo que se les ha aplicado un 10 % de descuento. para tres amigos. Hemos pagado 117 € por los tres regalos tras la aplicación de un descuento del 10 % sobre el precio total. Además, sabemos que el precio del regalo es el doble que el del regalo que el regalo cuesta 20 € más que el regalo ¿Cuánto dinero hemos gastado en cada regalo? universidad Julia, Clara Miguel reparten hojas total. Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre reparte cada uno? Calcula el dinero que ha recibido por hoja repartida. 4 Sistemas de ecuaciones 2 x 2 Clasificación de sistemas Discusión de sistemas Método de Gauss Discusión de sistemas por el método de Gauss Sistemas no lineales Preparación de un sistema para su resolución Resolución de problemas mediante sistemas b b ⇒ a b c by by by by by by by d by d by d ++ by by ++ interpreta el enunciado se identifican las incógnitas. 3 S resuelve el sistema de ecuaciones se 4 Se interpreta el resultado se responde explícitamente a las preguntas del enunciado. Se deben seguir estos pasos: 1 Se eliminan los denominadores multiplicando por el m. c. m. de estos. Se eliminan los paréntesis y se reagrupan los Según el número de soluciones, un sistema puede ser: Compatible: Indeterminado: tiene infinitas soluciones. Incompatible: no tiene solución. En estos sistemas, alguna de las ecuaciones no es lineal, sino polinómica de grado mayor 1, racional, radical, exponencial logarítmica, Si se tiene entonces Compatible Compatible indeterminado Se basa en reducir el sistema de tal manera que en cada ecuación haya una incógnita menos que en la ecuación precedente. Así, se obtiene un sistema escalonado Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Después de aplicar el método de Gauss, el sistema queda C'' ≠0 ≠0 =0 D Compatible Determinado Compatible Incompatible x-y=1 Rectas paralelas 2 23 b 2 0 Resuelve los siguientes sistemas: 3 2 2 3 b 2 3 3 2 3 3 unidades de medida de longitud la toesa el pie. En un pasaje: «Las dimensiones del mural eran toesas pies de en la actualidad, se ha medido con la máxima precisión datos, ¿sabes cuánto miden, en metros, una toesa un pie? Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería cuyos importes son 1 €, 2 € 5 €. Se han recaudado 620 € se ha vendido el doble de participaciones de 1 € que de 5 €. Si se han vendido 280 participaciones en total, ¿cuántas se han vendido de cada importe? 5 Discute el siguiente sistema según el valor que tome Evalúa Educativo ¿Cómo se coloniza un planeta? Al inicio de la unidad se planteó la colonización de Asorraf por parte de los habitantes de los planetas Divad, Ogeid, Olbap y Leafar. Se ha recabado información precisa quedado dividido el planeta C D), que se registra en Seres 100 110 110 Manos 290 253 311 327 enunciado del problema en la primera página de la unidad con la tabla, plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el número de seres de cada planeta que pueblan ¿Qué observas? ¿Qué tipo de sistema presenta cada región? ¿Has encontrado alguna solución? ¿Necesitas más datos para responder las preguntas? Nos ha llegado la información adicional de que el número de pies de la primera zona es 469. Intenta plantear y resolver un recuento en la zona de tal modo que el número de manos es 235 en lugar de 253. Plantea resuelve el nuevo sistema con el dato correcto. ¿Qué sucede? ¿De qué tipo de sistema llegar información sobre el número de pies que hay en la incorporando este nuevo dato. Desde el puesto de control nos informan de que en la zona C han desembarcado tantos seres como en la zona Con esta nueva información, plantea y resuelve el sistema para conocer el número de
correspondiente
Tras
determinar
el planeta Asorraf? ¿Habría sido necesario resolver todos los sistemas para dar la respuesta la pregunta anterior? Justifica razonadamente tu respuesta. Repasa la unidad Sistemas Ponte a prueba Sistemas de ecuaciones
seres de cada planeta que hay en el Plantea resuelve el sistema
al sector sabiendo que hay 180 cabezas.
resolver todos los sistemas, ¿puedes
el número total de seres que habitan
DISCUSIÓN DE SISTEMAS APLICANDO EL MÉTODO GRÁFICO CON GEOGEBRA GeoGebra también permite discutir sistemas. Para hacerlo, basta con representar las rectas correspondientes y analizar cómo son estas: 2 7 2 ⎧ ⎨ ⎩
x
4
4 8 ⎧ ⎨ ⎩ sistema compatible determinado. Las rectas son paralelas: sistema incompatible. coincidentes: sistema compatible indeterminado. Discute los siguientes sistemas, sin llegar resolverlos:
⎪ ⎩ ⎪ y
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a x y 3 4 0 b 2 2 1 y y d 3 0 4 tú
2 3 y b y ⎧ ⎨
Ahora
de un plano del espacio. Las soluciones de estas ecuaciones son ternas de núme-
Los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se pueden escribir así: b y c d b y d b d
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
coeficiente
En
Aplicamos
primera segunda para elimide la segunda ecuación: 2 7 y 2 4 6 4 2 4 Seguidamente, sustituimos la segunda ecuación por el resultado de la reducción. Tenemos la siguiente equivalencia: 2 3 7 y 3 2 4 3 y 3 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ De este modo, obtenemos un nuevo sistema equivalente al primero tal que la segunda ecuación tiene dos incógnitas, una menos que la primera ecuación. Actividad resuelta Pensamiento crítico ¿En qué circunstancias el método de Gauss puede que no resulte completamente útil? Fig. 1. (1777-1855), matemático astrónomo Profesor en casa Resolución de un sistema aplicando el método de Gauss 4 11 b y d b y + c z d d contenidos y ejemplos Practicacógnitas aplicando el método de Gauss: y 3x y + 2z b y 2x + 3 + 4 3 3 x + 3 6 7 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ d 2 0 3 y + 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
8 El método de Gauss Este método se basa en reducir el sistema de tal manera que en cada ecuación haya una incógnita menos que en la ecuación precedente.
Así, se obtiene un la forma: y 5 Resuelve este sistema
el método de Gauss: y 2x 3 + 5 3 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
el
en más pequeño.
este caso, ya están ordenadas.
el método de reducción a las ecuaciones
universidad En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado a esta compra asciende a 540 €. Un helado de vainilla cuesta 4 €; uno de chocolate, 5 € y 6 € uno de nata. Como se conocen los gustos de los estudiantes, se sabe que, entre helados de chocolate y nata, se ha de comprar el 20 % más que de helados de vainilla. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo a través del método de Gauss. Mejora
3.º Aplicamos el método de reducción a las ecuaciones primera y tercera para eliminar 2 ⎫ ⎬ ⎪ ⎭
3 6 9 21 ⎫ ⎬ ⎪ ⎭
⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 4.º Aplicamos el método de reducción a las ecuaciones segunda y tercera para elimiy 5 7 ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ y 5y z 17
,
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1. El material de referencia
Para facilitar la evaluación, el docente tiene acceso a material creado para cada asignatura y comunidad autónoma.
rúbricas de los descriptores del perfil de salida criterios de evaluación
Saberes básicos indicadores de desempeño
4. La prueba escrita
La propuesta didáctica contiene dos pruebas escritas para cada trimestre con el material necesario para evaluarla por competencias y su correspondiente rúbrica de evaluación de competencias específicas y del perfil de salida del alumnado.
5. La evaluación trimestral
En cada trimestre el docente registra la evaluación de las unidades didácticas y de la prueba escrita en dos documentos.
Evaluación de competencias específicas con una propuesta de distribución de porcentajes que permite una nota cuantitativa.
La rúbrica proporciona una evaluación cualitativa para que el alumnado sea consciente de su aprendizaje y pueda progresar.
Evaluación de competencias clave.
eso | BA matemáticas 20 EVAL u A ci Ó n c OMPE
AL. PASO A
t E nci
PASO
2. doble evaluación: de competencias específicas y de competencias clave
A partir del material de referencia, el docente evalúa con las evidencias (actividades) que ofrece la editorial. No obstante, puede incorporar sus propias actividades a la evaluación.
3. Evaluación unidad a unidad
Cada unidad didáctica se acompaña de dos documentos: la programación de aula con las competencias específicas de cada sesión con su conexión con los descriptores del perfil de salida, y las rúbricas de las competencias específicas asociadas a las evidencias abordadas en la unidad.
Programación de aula
cuadro sinóptico para las actividades de creación propia que conecta los descriptores operativos del perfil de salida y las competencias específicas del área.
Los indicadores de desempeño conectan las competencias específicas y los descriptores del perfil de salida
competencias específicas: rúbricas (evaluación cualitativa)
6. Evaluación final de competencias
Una vez evaluado cada trimestre, se registra el acumulado de la evaluación en dos documentos.
Accede a la evaluación competencial de tu comunidad autónoma.
eso | BA matemáticas 21 EVAL u A ci Ó n c OMPE
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AL. PASO A PASO
t
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MAtEPrActic
ESO y 1.º de Bachillerato
Autores: ángel Alsina y Fernando García
Matepractic es un método práctico y didáctico que ayuda al alumnado a adquirir las destrezas matemáticas para afrontar los desafíos de la vida real.
• Propone tareas centradas en contextos reales.
• Se adapta a la medida de cada alumno/a.
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Matepractic paso a paso
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Prueba de diagnóstico.
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22 ESO | BA MAt EM át ICAS MAt E ri AL c OMPLEME ntA ri O
1
Números naturales. Números enteros. Divisibilidad. Fracciones y decimales. Porcentajes. Sistemas de numeración.
2
Lenguaje algebraico. Magnitudes directa e inversamente proporcionales. Porcentajes. Función lineal. Gráficas.
3
Rectas y ángulos. Perímetros y áreas. teorema de Pitágoras. Frecuencia absoluta y relativa. Diagrama de sectores. Gráfico de barras. Regla de Laplace.
4
Operaciones con números naturales, enteros y decimales. Divisibilidad. Unidades de peso y volumen. Gráficas y parámetros estadísticos. Ley de los grandes números.
5
Funciones. Expresión algebraica y gráfica de una función. Ecuaciones de primer y segundo grado. Interpretación de gráficas.
6
Lógica. Figuras geométricas. áreas y perímetros. Semejanza. Escala. Puntos y rectas notables del triángulo. Sólidos platónicos.
7
Potenciación y radicación. Notación científica. Aproximación y errores. Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas.
8
Porcentajes. Proporcionalidad inversa. Función parabólica. Sistemas de ecuaciones. ángulos y semejanza. Vectores. Simetrías, giros y traslaciones.
9
Parámetros de centralización y desviación. Diagramas de árbol. Variaciones y combinaciones. Probabilidad condicionada.
10
Códigos y divisibilidad. Potenciación y radicación. Interés compuesto. Función exponencial y logarítmica.
11
Visión espacial. Perímetros, áreas y volúmenes en poliedros y en superficies de revolución.
12
Probabilidad condicionada. tablas y gráficos estadísticos. Distribuciones bidimensionales. Recta de regresión e interpolación.
13
Números reales. Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones. Estudio de funciones. Límites. Continuidad. Derivadas (1.º BA)
14
Rectas y distancias. ángulos. Radianes. trigonometría. Resolución de triángulos. Números complejos. Cónicas. (1.º BA)
15
Operaciones con sucesos. Probabilidad total. teorema de Bayes. Correlación y regresión. Distribución binomial y normal. (1.º BA)
23 ESO | BA MAt EM át ICAS MAt E ri AL c OMPLEME ntA ri O
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