Matemáticas. ESO

Aprendizaje Basado en Problemas

ESO BA Quien tiene el código tiene la llave

LOMLOE

Matemáticas

Índice 03

Código abierto

04 05 06 07 08

ESO. Matemáticas Material del alumnado Material del docente Claves del proyecto Recursos del alumno y del docente El libro del alumnado. Paso a paso

10 11 12 13 14 15 16

BA. Matemáticas Material del alumnado Material del docente Claves del proyecto Recursos del alumnado Recursos del docente Evaluación competencial Libro del alumnado. Paso a paso

18

eCasals, vuestro entorno virtual de aprendizaje

20

Evaluación competencial.

Paso a paso

22

Material Complementario

Quien tiene el código tiene la llave

2

Código abierto LOMLOE es el denominador común del conjunto de proyectos que conforman la propuesta educativa de Editorial Casals y es, asimismo, la expresión de la voluntad de estar abiertos al mundo, que cambia con celeridad y que nos anima a abrir la mente a nuevos desafíos.

Desde esta perspectiva, ponemos a disposición de la comunidad educativa las herramientas necesarias para dotar a nuestra juventud de habilidades útiles, que desarrollen al máximo su potencial y talento en un contexto de igualdad de oportunidades.

Se trata de ofrecerles el código que les sirva para interpretar la realidad, estimular su sentido crítico, participar en la construcción de su futuro y crecer como personas autónomas más libres y, por lo tanto, más felices. ¿Cómo vamos a adaptar las aulas para este reto? Estos son los ejes principales de Código abierto que proponemos para vuestro centro: · El aprendizaje competencial, autónomo, significativo y reflexivo. Una formación integral centrada en el desarrollo de las competencias clave para que, finalizada la ESO, nuestros jóvenes tengan el perfil competencial requerido para desempeñar de forma satisfactoria los retos que se les van a presentar. · La educación para el desarrollo sostenible y la ciudadanía mundial. Atender al desarrollo sostenible incluyendo contextos de aprendizaje de acuerdo a lo establecido en la Agenda 2030 para conseguir un mundo más pacífico, tolerante, seguro y sostenible, y para que conozcamos las consecuencias que tienen nuestras acciones diarias en el planeta y generemos, por consiguiente, empatía hacia nuestro entorno natural y social. · La evaluación competencial. La LOMLOE establece unos criterios de evaluación que permiten medir el grado de consecución de las competencias específicas propias de cada materia y el desarrollo de unas competencias clave que se valoran a través de los descriptores operativos del perfil de salida.

El trabajo que hemos realizado en Casals ha consistido en conectar las competencias espe­cíficas y los criterios de evaluación con las competencias clave del perfil de salida del alumna­do a partir de evidencias basadas en el desempeño de determinadas tareas o actividades, que permiten una valoración cualitativa del progreso del estudiante poniendo de manifiesto sus fortalezas y debilidades. · Las habilidades para la vida. Los estudios sobre neuroeducación nos permiten detectar las prácticas idóneas para asegurar el aprendizaje significativo, ya que conocemos la importancia que juega la atención, la memoria, la emoción y las funciones ejecutivas en el aprendizaje, y conocer qué habilidades para la vida deben estimularse para garantizar el desarrollo pleno de la propia personalidad y el éxito en la vida. · La competencia digital. La digitalización de las aulas parece una realidad a nivel mundial e indiscutible pensando en las escuelas del futuro, ya que nuestros jóvenes forman parte activa de este mundo digital. El desarrollo de la competencia digital no supone solamente el dominio de los diferentes dispositivos y aplicaciones, sino que implica el uso creativo, crítico y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación para alcanzar los objetivos relacionados con el trabajo, la empleabilidad, el aprendizaje, el uso del tiempo libre, la inclusión y la participación en la sociedad.

En definitiva, Código abierto es un proyecto pensado para nuestros jóvenes, ciudadanos del mañana, para la dinámica contemporánea del aula y para acompañaros a vosotros, los educadores, auténticos pilares de la educación.

Porque quien tiene el código para descifrar el conocimiento, tiene la llave del futuro.

3

material del alumnado

1 ESO Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7372-4 ISBN digital: 978-84-218-7703-6 2 ESO Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7376-2 ISBN digital: 978-84-218-7707-4 3 ESO Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7374-8 ISBN digital: 978-84-218-7705-0 4 ESO Matemáticas A Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7378-6 ISBN digital: 978-84-218-7710-4 4 ESO Matemáticas B Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7594-0 ISBN digital: 978-84-218-7709-8

Accede a una muestra digital.

Todos los recursos del alumno disponibles en on-line y off-line.

ESO

matemáticas

Descarga la App eCasals AR para acceder directamente a los recursos.

4

material del docente

1 ESO Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7522-3 2 ESO Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7526-1 3 ESO Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-XXX 4 ESO Matemáticas A Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7528-5 4 ESO Matemáticas B Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7809-5

ADAPTACIÓN CURRICULAR Aprende lo básico, material de adaptación curricular.

– Cuaderno para el docente en formato fotocopiable, para que los alumnos con necesidades educativas especiales puedan trabajar los mismos contenidos del libro del alumnado en un nivel básico.

– Planifica y ajusta los contenidos siguiendo la metodología del libro del alumnado.

– Incluye solucionario.

ESO

matemáticas

5

CLAVES DEL PROYECTO etodología por M contextos cotidianos

Abierto al trabajo colaborativo

Cada unidad desarrolla un contexto cercano al día a día del alumnado e interrelaciona los saberes básicos de los diferentes sentidos matemáticos que se plantean en el currículum.

Empoderamos al alumnado con sentido de la iniciativa, fomentamos la creatividad y promovemos una relación activa con las matemáticas.

El profesor en casa Incorporamos ejercicios resueltos y tutoriales para consolidar los contenidos de la materia.

Aprendizaje significativo Las unidades están estructuradas en situaciones de aprendizaje que favorecen una enseñanza competencial.

Evaluación competencial Damos respuesta a la evaluación de las competencias específicas del área y de las competencias clave del perfil de salida del alumnado, conectando los indicadores de desempeño de la asignatura con los criterios de evaluación del currículum.

Solucionario extendido La propuesta didáctica incluye el solucionario extendido con el desarrollo de todas las actividades.

ESO

matemáticas

6

recursos del alumnado y DEL docente

RECURSOS DEL ALUMNADO

RECURSOS DEL DOCENTE

El proyecto de Matemáticas incluye más de 1000 recursos multimedia con finalidades distintas:

El docente dispone de los siguientes documentos didácticos:

•V ídeos «Profesor/a en casa»: vídeos tutoriales en los que se ofrecen explicaciones sobre aspectos teóricos y se resuelven ejercicios, a modo de clase particular.

Programación de curso.

Desarrollo de las unidades didácticas • Orientaciones didácticas, que incorporan: – Estrategias de neuroeducación – Itinerarios de personalización del aprendizaje – Objetivos de Desarrollo Sostenible de la Agenda 2030 • Programación de aula • Solucionario Propuestas de exámenes trimestrales y de unidad por competencias específicas y criterios de evaluación, conectando con los descriptores del perfil de salida del alumnado.

•R ecursos interactivos prácticos para crear o consolidar conocimientos.

• Fotografías e ilustraciones técnicas descargables.

• Documentación para realizar actividades.

• Itinerario Prepárate, Mejora y Ponte a prueba para facilitar un aprendizaje continuo y formativo.

Prepárate Para activar conocimientos previos.

Rúbricas de evaluación.

Descripción y finalidad de los recursos digitales.

Trabajo por proyectos: • Bases metodológicas del trabajo por proyectos de Casals.

• Presentación del proyecto del libro del alumnado.

• Sesiones de trabajo y tareas asignadas.

Rúbricas: evaluación de diseño del proyecto, evaluación del proyecto y autoevaluación del alumnado.

Gestión de aula en el entorno digital eCasals.

Mejora Para reforzar o ampliar conocimientos.

Ponte a prueba Para comprobar el nivel de logros alcanzados.

Consulta los recursos digitales

más relevantes que completan el proyecto educativo.

Evaluación competencial

Consulta el itinerario de la evaluación competencial en las páginas 20-21 del catálogo.

ESO

matemáticas

7

EL LIBRO DEL ALUMNADO. PASO A PASO

1. Contextos Cada unidad didáctica desarrolla un contexto de un ámbito específico cercano al alumnado (personal, laboral, social o educativo) e interrelaciona los saberes básicos de los diferentes sentidos matemáticos.

2 La cesta de la compra

Contexto de la unidad

¿CÓMO SE TRANSPORTAN LAS MERCANCÍAS? ¿QUÉ MEDIDAS TIENEN?

«Prepárate»: vídeo para activar conocimientos previos

1 1lechuga lechuga 22kgkgde detomate tomates s 1 1kgkgde demanzan manzanasas 1/2 1/2kgkgde depimien pimientos tos 1/4 1/4kgkgde dequeso queso 250 250ggde decarne carnepicada picada 2,5 2,5kgkgde decalabac calabacines ines 500 500ggde demerluz merluzaa 0,5 0,5kgkgde depuerro puerros s 44kgkgde depatata patatas s 200 200ggde dejamón jamónde de York York 88yogure yogures s 1,5 1,5kgkgde denaranja naranjas s 750 750ggde desardina sardinas s 22500 500ggde decebolla cebollas s Cuarto Cuartoyymitad mitadde dejamón jamón 1 1500 500ggde deespinac espinacasas 3/4 3/4kgkgde defiletes filetesde depechug pechugaade de

Situación de aprendizaje 1 El paseo de la comida

Situación de aprendizaje 2 Hoy toca hacer la compra

SENTIDO DE LA MEDIDA Y NUMÉRICO

SENTIDO NUMÉRICO

• • • • •

• • • •

Magnitudes y unidades El sistema métrico decimal Unidades de medida de longitud, masa y capacidad Unidades de medida de superficie Unidades de medida de volumen

Prepárate

pollo pollo

Situación de aprendizaje 3 Viaje de fin de curso

Situación de aprendizaje 4 De compras por internet

SENTIDO NUMÉRICO

SENTIDO ALGEBRÁICO Y PENSAMIENTO COMPUTACIONAL

• • •

Números decimales Fracciones Suma y resta de fracciones Relación entre fracciones y decimales

Razón y proporción Relación de proporcionalidad Porcentaje

• • • •

Expresiones algebraicas Ecuaciones Resolver ecuaciones Plantear problemas

SENTIDO SOCIOEMOCIONAL

Activa tus habilidades y competencias

Matemáticas para comprar

¿CUÁNTO DINERO TENGO QUE PAGAR? ¿CUÁNTO PUEDO COMPRAR?

¿SÉ ORGANIZARME? ¿APROVECHO LA MEJOR OFERTA?

¿DECIMALES O FRACCIONES? ¿COMPRAR CON FRACCIONES?

• •

02_MATES1ESO_2022.indd 40

31/1/22 12:00

Preguntas iniciales para cada situación de aprendizaje

Introducción al lenguaje algebraico Plantear problemas

Resolución de problemas

Pensamiento creativo

Toma de decisiones

Comunicación efectiva

Saberes básicos de los diferentes sentidos matemáticos que se desarrollan en la unidad

02_MATES1ESO_2022.indd 41

31/1/22 12:00

4. Actividades Existen dos tipologías de actividades para asegurar la adquisición de las distintas competencias matemáticas.

2

actividades

2

Mates en contexto

Entrénate 20. Indica la posición que ocupa el 3 en los siguientes números:

Actividades de ejercitación

c 0,8031 d 18,4593

a 2,543: _____________ milésimas. b 31,2: ______________ décimas. c 32,75: ______________ ____________. d 8,014: _____________ ___________.

22. Compara los siguientes decimales poniendo el símbolo < o > según corresponda: 3,02 7,23

c 16,301

16,31

d 9,217

9,215

a 3,18; 3,015; 3,14 y 3,147 b 12,036; 12,03; 12,034 y 12,0369 c 7,21; 7,25; 7,217 y 7,205

d 3908,67 − 2839,152 e 845,36 · 2,4 f 308,72 · 3,05

b

d

3 7

b

4 10

b

8 12

c

15 6

d

a

24 18 25 15

10 20

Atletas

c

d

Tiempo (s)

Jimmy Vicaut (Francia)

14 10

10,08

Usain Bolt (Jamaica)

9,95

Bingtian Su (China)

10,27

Justin Gatlin (EE. UU.)

14 21 21 42

9,92

Yohan Blake (Jamaica)

9,99

Akani Simbine (Sudáfrica)

10,01

Christian Coleman (EE. UU.)

9,94

Reece Prescod (Reino Unido)

10,17

Problemas

a

3 con denominador 16 4

b

8 con denominador 3 6

c

9 con denominador 10 15

1 Escribe el nombre de los corredores en orden de llegada a la meta. ¿En qué puesto quedó Usain Bolt?

3 Si hubieran corrido de uno en uno, ¿cuántos segundos habría durado la carrera?

4 ¿Cómo es el tiempo del primer clasificado respecto al que consiguió Bolt en 2009?

Matematiza: 1, 2

3 10

c

6 5

a

8 6 + 9 9

d

7 5 + 6 6

g

5 3 6 + + 4 4 4

7 2 − 5 5

e

9 3 − 4 4

h

15 7 3 − − 2 2 2

f

5 1 + 8 6

8 5 1 + − i 9 2 3

6 9

Social Trufas para merendar

Sara, Carmen y Javier van a visitar a una amiga que está enferma. En una pastelería próxima a su casa han comprado una docena de trufas de chocolate.

Mientras hablaban, Sara y Carmen se han comido una trufa cada una, y Javier, tres.

Problemas 1 Escribe las fracciones que expresan las trufas que se ha comido cada uno respecto al total.

2 ¿Qué fracción representa el número de trufas que se han comido entre los tres?

3 ¿Qué fracción le ha quedado a su amiga?

Matematiza: 1, 2

Argumenta: 3, 4

5

Social El marcador del nivel de combustible

En el dibujo se muestra un indicador de combustible de un vehículo.

Problemas 1 Escribe las fracciones que representan las líneas más gruesas.

2 ¿En qué fracción empieza la línea de alerta (roja)?

Mejora

Matematiza: 1

Argumenta: 2

Argumenta: 3

Problemas contextualizados que indican la gradación de los procesos matemáticos (PISA) y las habilidades de la competencia matemática

Educativo El agua del cuerpo humano

7

¿CUÁNTA AGUA TENEMOS?

2 ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo del último clasificado y el del primero? ¿Y entre el segundo y el primero?

b

4 1 − c 3 2

bolos < o > en cada caso: 9 5

Su última participación en un campeonato mundial fue en Londres (2017) y su última carrera fue la de 100 m. Los participantes y sus tiempos fueron los siguientes:

32. Calcula y simplifica:

27. Compara las siguientes fracciones escribiendo los sím-

a

El récord de los 100 m actualmente está en 9,58 s y lo consiguió Bolt en los Campeonatos del Mundo de Berlín, en 2009.

condiciones que se indican en cada caso:

26. Escribe la fracción que representa la parte coloreada.

Banco digital de actividades autocorregibles

16 20 y 29 25

29. Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las si-

31. Halla una fracción equivalente a las siguientes con las

450,1 + 32,19 − 235,84 572,47 − 98,34 + 412,091 8437,32 − 1438,503 − 745,018 4573,12 · 3,9 + 1240,37 2,36 · (3,2 + 8,15) 896,405 + 4,8 · 7,29

c

35 14 y 30 12

d

b

25. Haz las siguientes operaciones combinadas:

a

c

4 1 y 12 3

actividades 6

Usain Bolt, el hombre más

rápido del mundo

30. Obtén la fracción irreducible:

24. Haz las siguientes operaciones con números decimales:

a b c d e f

6 18 y 5 15

b

a

números:

a 318,42 + 820,35 b 2743,215 + 7352,69 c 589,53 − 43,82

a

Laboral

Usain Bolt nació en Jamaica el 21 de agosto de 1986. Cuando tenía 14 años, Bolt comenzó a ganar carreras en los campeonatos atléticos regionales. Con 15 años ganó su primera medalla de oro y dos de plata, en el Mundial Juvenil de Atletismo, en Kingston (Jamaica).

guientes por amplificación y una por simplificación:

23. Ordena de mayor a menor los siguientes conjuntos de

Ejemplos resueltos

4

Comprueba que son equivalentes los siguientes pares de fracciones:

21. Escribe cómo se leen los siguientes decimales:

b 7,12

8 12 = si y solo si 8 · 9 = 6 · 12. Como 6 9

8 · 9 = 72 y 6 · 12 = 72, son fracciones equivalentes.

a 4,231 b 91,347

a 5,48

28. Recuerda que

3 4

del cerebro

1 4

18 25

de los huesos

partes de la masa corporal son agua

83 100

de la sangre

Problemas

1 Halla fracciones equivalentes a las del gráfico de modo que todas tengan 100 como denominador.

2 ¿La cantidad de agua del cuerpo es más de la mitad de la masa corporal?

3 ¿Qué es mayor, la fracción de agua de la sangre o la del cerebro?

4 ¿Dónde hay menos agua?

4 partes de la masa corporal de un recién nacido 5 son agua. ¿Tiene más o menos agua que un adulto?

5 Las

Matematiza: 1

Argumenta: 2, 3, 4, 5

53

52

02_MATES1ESO_2022.indd 52

31/1/22 12:01

02_MATES1ESO_2022.indd 53

31/1/22 12:01

5. Organizo los conceptos Los saberes básicos se interrelacionan durante todo el curso hasta completar todos los conocimientos, destrezas y actitudes que exige el currículum. De esta manera, los alumnos llegarán a emplear los saberes de una manera funcional, proporcionando la flexibilidad necesaria para establecer conexiones entre los diferentes sentidos matemáticos.

2

organizo los conceptos

SENTIDO DE LA MEDIDA

SENTIDO NUMÉRICO

Magnitudes y unidades

Números decimales

Magnitud es cualquier cualidad de un objeto que se puede medir. Para medir una magnitud, se compara con otra cantidad fija que se denomina unidad de medida.

Un número decimal está formado por una parte entera y otra inferior a la unidad, separada de la primera por una coma. Existen estos tipos:

El sistema métrico decimal (SMD) es un sistema de unidades en el que los múltiplos y los submúltiplos de la unidad están relacionados entre sí por múltiplos y submúltiplos de 10.

• Exactos. Tienen una cantidad limitada (finita) de cifras decimales distintas de cero.

Medidas de longitud, masa y capacidad La unidad fundamental del SMD para medir la longitud es el metro (m).

Resumen de los saberes básicos y sus diferentes sentidos matemáticos

· 10

km

· 10

· 10

hm

dam

: 10

· 10

m

: 10

· 10

: 10

cm : 10

mm

Sus múltiplos y submúltiplos se nombran con los mismos prefijos que los del metro y tienen la misma relación entre ellos.

Medidas de superficie La unidad fundamental del SMD es el metro cuadrado (m ).

2

· 100

: 100

· 100

hm2

· 100

dam2

: 100

· 100

m2

· 100

dm2

: 100

: 100

cm2 : 100

· 100

km3 : 1000

hm3

· 1000

dam3

: 1000

: 1000

· 1000

m3

dm3 : 1000

· 1000

cm3 : 1000

· 1000

1 dm3 = 1 L

Una fracción también es el cociente indicado de dos cantidades enteras. Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un valor decimal.

–Mixtos. El dígito o grupo de dígitos que se repite no empieza después de la coma.

SENTIDO ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO COMPUTACIONAL Expresiones algebraicas

Para comparar dos números con decimales, primero se compara la parte entera. Si es igual, se comparan las cifras decimales de una en una hasta encontrar la primera que sea diferente.

Una expresión algebraica es una combinación de letras (llamadas variables o incógnitas) y números relacionados por operaciones matemáticas.

Operaciones con decimales

Las letras suelen representar cantidades desconocidas; no tienen un valor fijo.

• Suma y resta. Se suman o restan los dígitos que ocupan la misma posición.

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las variables (incógnitas) por números determinados y efectuar las operaciones indicadas.

• Multiplicación. Primero se multiplican sin tener en cuenta los decimales y luego se sitúa la coma teniendo en cuenta que el número de decimales del producto es la suma de los decimales de los factores.

Ecuaciones

Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.

Para obtener una fracción equivalente a otra, sus términos se multiplican por o se dividen entre un mismo número.

mm3

1 cm3 = 1 mL

ESO

matemáticas

• Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por (o se dividen entre) una misma cantidad no nula.

Resolver ecuaciones Resolver una ecuación consiste en encontrar la solución (o soluciones) de la ecuación.

Para conseguirlo, hay que utilizar las transformaciones de la ecuación inicial intentando dejar la incógnita en un miembro y el resto de los datos en el otro.

SENTIDO NUMÉRICO Razón y proporción Una razón es la relación o comparación entre dos magnitudes a y b. Se expresa como una fracción: ⎧ a ⎪ a antecedente →⎨ b ⎩⎪ b consecuente Una proporción es la igualdad de dos razones. ⎪⎧ a y d extremos a c = =k→⎨ b d ⎩⎪ b y c medios

k es la constante o razón de proporcionalidad.

Relación de proporcionalidad Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir la primera por un número, la segunda queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica esta por el decimal que representa el porcentaje. Un porcentaje se puede expresar mediante un decimal o con una fracción.

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución (o soluciones). Toda ecuación se transforma

Un porcentaje representa una cantidad determinada de 100 unidades. Su símbolo es %.

También establece una relación de proporcionalidad directa.

Variaciones porcentuales La variación porcentual es la expresión, mediante un porcentaje, del aumento o la disminución de una cantidad. Por tanto, puede haber disminuciones porcentuales o aumentos porcentuales.

67

66

02_MATES1ESO_2022.indd 66

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma (o resta) una misma cantidad.

Porcentajes

Ecuaciones equivalentes

• Con igual numerador. Es menor la de denominador mayor.

en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros, por ejemplo:

La incógnita, representada generalmente por una letra, indica los valores que se buscan. Se llama primer miembro a la expresión que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a la que está a la derecha.

La solución de la ecuación es el número que, cuando sustituye a la incógnita, hace que la igualdad planteada sea correcta.

• Con igual denominador. Es menor la de menor numerador.

organizo los conceptos

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos, o datos, y desconocidos, o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Soluciones de una ecuación

Comparación de fracciones

: 1000

La relación entre las medidas de capacidad y de volumen es la siguiente: 1 m3 = 1 kL

Relación entre fracciones y decimales

–Puros. El dígito o grupo de dígitos que se repite empieza después de la coma.

Una fracción es un número que expresa las porciones que se toman de un todo que se ha dividido en partes iguales.

La unidad fundamental del SMD es el metro cúbico (m3). · 1000

El resultado es una fracción con el mismo denominador que tendrá como numerador la suma o la resta de los numeradores.

• Periódicos. Tienen la parte decimal formada por un dígito o grupo de dígitos que se repiten indefinidamente. Hay dos subtipos:

Fracciones

mm2 : 100

Medidas de volumen

· 1000

Para sumar y restar fracciones, todas deben tener el mismo denominador. Si no lo tienen, hay que transformarlas en otras equivalentes que sí lo tengan.

Comparación de números decimales

: 10

La unidad fundamental del SMD para medir la masa es el gramo (g). Y para la capacidad el litro (L).

km2

Suma y resta de fracciones

• No periódicos. Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales no repetidas.

· 10

dm

: 10

2 • Otros casos. Se sustituyen las fracciones por otras equivalentes que tengan el mismo denominador y se aplica el primer criterio.

31/1/22 12:01

02_MATES1ESO_2022.indd 67

31/1/22 12:01

8

EL LIBRO DEL ALUMNADO. PASO A PASO

2. Situaciones de aprendizaje En cada unidad se plantean 3 o 4 situaciones reales y de interés para el alumnado, a partir de las cuales se irán construyendo distintos conocimientos matemáticos.

2

2

situación de aprendizaje

Hoy toca hacer la compra ¿Decimales o fracciones?

CEC

¿Comprar con fracciones?

Social

2 Aprende a…

Identificar los tipos de números y utilizarlos para representar, ordenar e interpretar información cuantitativa.

Resolver operaciones elementales aplicando las reglas de jerarquía.

Usar los tipos de números para resolver problemas contextualizados.

Personal

Ítem 1. La lista de la compra

Ítem 2. Los precios de los productos

Laura acompaña a sus padres todas las semanas al hipermercado para comprar productos frescos.

El precio de los productos se expresa de varias formas: a veces se indica lo que cuesta una unidad; otras, lo que cuesta un kilogramo; a veces, lo que cuesta un manojo, etc.

Antes de ir a la compra, escriben una lista con todas las cosas que van a necesitar y con ellas preparan el menú de la semana.

situación de aprendizaje

Ítem 3. ¿Qué significa una oferta 3 × 2?

Ítem 4. Fracciones equivalentes

Una oferta 3 × 2 significa que, si te llevas 3 productos iguales, solo te cobran 2 o, dicho de otro modo, pagas 2 de los 3 que 2 te llevas: .

3

Son fracciones que representan la misma cantidad.

Esta fracción equivale a una cantidad decimal que es menor que 1. Se llama propia.

Por lo tanto, estas fracciones son equivalentes. Se 3 6 escribe = .

5 10

Ítem 5. Fracciones unidad y fracciones impropias

4 4

1

3 3

2 2

Las fracciones unitarias equivalen a 1.

Las fracciones impropias representan una cantidad mayor que 1.

1 lechuga 2 kg de tomates 1 kg de manzanas 1/2 kg de pimientos 1/4 kg de queso 250 g de carne picada 2,5 kg de calabacines 500 g de merluza 0,5 kg de puerros 4 kg de patatas 200 g de jamón de York 8 yogures 1,5 kg de naranjas 750 g de sardinas 2 500 g de cebollas Cuarto y mitad de jamón 1 500 g de espinacas 3/4 kg de filetes de pechuga de pollo

Retos o problemas que el alumnado podrá resolver mediante actividades dirigidas y orientadas

Construye con lo que sabes

Lechuga: 0,70 €/unidad

Patatas: 0,70 €/kg

Tomates: 1,30 €/kg

Jamón de York: 3,50 €/cuarto

Manzanas: 0,75 €/kg

Yogures: 1 €/4 unidades

Pimientos: 1,30 €/kg

Naranjas: 1,20 €/kg

Queso: 10,50 €/kg

Sardinas: 3,80 €/kg

Carne picada: 8,90 €/kg

Cebollas: 0,90 €/kg

Calabacines: 1,60 €/kg

Jamón: 18 €/kg

Merluza: 10,90 €/kg

Espinacas: 1,29 €/manojo de ½ kg

Puerros: 1,40 €/kg

Filete de pollo: 5,60 €/kg

Nuevo conocimiento matemático adquirido para afrontar futuros retos

7 a Hay otra oferta parecida al 3 × 2, que es «llévese 4 y pague 3». Escribe la fracción con la que se expresaría. ¿A qué número decimal equivale?

Argumenta

b Compara las dos ofertas mediante el signo > o el signo <. Razona con cuál de las dos ofertas se ahorra más dinero.

1 = .

8 a ¿Con cuántos cuartos se tiene una mitad? Completa la igualdad: 4 2

Matematiza

b Los yogures de la oferta se venden en grupos indivisibles de 4, que son la mitad de los 8 que

4 necesitan. Esta cantidad se puede escribir como la igualdad: = .

8 1 c Las fracciones anteriores son equivalentes a . Escribe otras dos fracciones que también sean 2 equivalentes a ellas.

Construye con lo que sabes

9 Observa los dibujos del ítem 5. A partir de ellos se puede deducir que:

Comunica

1 Agrupa los alimentos en categorías (hortalizas, carnes, pescado y embutido). Así se puede organizar la compra por secciones y tardar menos.

Matematiza

2 a En la lista de la compra hay cantidades expresadas en forma decimal y otras en forma de fracción. A veces, la misma cantidad se expresa de las dos maneras. Escríbelas en tu cuaderno.

b

1 3 + 5 5

1 2 5 + + 6 6 6

c

1+ d

2 4 2 4+2 6 = + = = 4 4 4 4 4

3 2 1 + + 8 8 8

e

1+

1 3

3 , 4 ¿cuántos cuartos quedan? Expresa este resultado con fracciones, completando estas igualda-

des: 1 −

3 3 = − = 4 4 4

−3 = .

4 4

Lo que has construido

b Una vez ordenados, ¿cuál es el producto más caro? ¿Y el más barato?

Plantea

3 1 + 4 4

10 ¿Cuántos cuartos son necesarios para tener una unidad? Si a una unidad se le quitan

3 a En el ítem 2, el precio de los productos se expresa de distintas formas. Escribe todos los que se dan en €/kg y ordénalos de menor a mayor.

4 Averigua qué significa la expresión «cuarto y mitad». ¿A cuántos gramos equivale?

Operas con números decimales utilizando correctamente la jerarquía de las operaciones.

5 a Calcula cuánto han gastado en cada sección (frutería, carnicería…).

Comparas y ordenas números decimales y fracciones.

Obtienes fracciones equivalentes a una dada multiplicando por o dividiendo entre un factor común.

b Halla el gasto total.

Argumenta

1 1 1 1+ 1+ 1 3 + + = = 3 3 3 3 3

1 1 1+ 1 2 + = = 2 2 2 2 Calcula: a

b También hay cantidades que se expresan en unidades diferentes, pero tienen el mismo valor. ¿Cuáles son? ¿Qué unidad se utiliza con más frecuencia?

Argumenta

4 2 6 1,5 + = = 4 4 4

6 El presupuesto semanal es 80 €. ¿Qué diferencia hay entre el presupuesto semanal y el gasto total?

Relacionas fracciones y decimales, y sabes pasar una fracción a decimal.

49

48

02_MATES1ESO_2022.indd 48

31/1/22 12:01

02_MATES1ESO_2022.indd 49

31/1/22 12:01

3. Contenidos Se desarrollan los saberes básicos que integran los conocimientos de cada situación de aprendizaje, alternando los conocimientos teóricos esenciales con ejemplos, ilustraciones y recursos digitales.

2

Apunte 2 En español, para separar la parte entera de la decimal se sitúa la coma en la parte inferior, nunca en la parte superior. En determinados contextos se usa un punto, como se ve en algunas calculadoras, pero en este libro no utilizaremos este criterio.

contenidos

2

6. Números decimales

7. Fracciones

Un número decimal es el que está formado por una parte entera y por otra inferior a la unidad, separada de la primera por una coma (apunte 2). Hay dos tipos:

Una fracción es un número que expresa las porciones que se toman de un todo que se ha dividido en partes iguales. Se escribe separando ambas partes con una barra, generalmente horizontal.

34,125

parte entera

parte decimal

•

Exactos. Tienen una cantidad limitada (finita) de cifras decimales distintas de cero (apunte 3). Ejemplo: 425,91.

•

Periódicos. Su parte decimal está formada por un dígito o grupo de dígitos que se repiten indefinidamente. Hay dos subtipos:

Propias Son menores que 1.

•

Incorrecto: 7’2

Ejemplo:

No periódicos. Tienen una cantidad ilimitada de cifras decimales que no se repiten. Ejemplo: el número pi, π = 3,141 592 653 589 7…

9,654 = 9,654 00 = 9,654 000 0

Multiplicación. Se multiplican como si no fueran números decimales. El número de decimales del producto es la suma de los decimales de los factores.

00 99 11 22 55 44 44

8,8, 7,7, 4,4, 9,9,

c

55 ·· 22 66 22 11 22 11 00 66 22 11 33 0,0, 11

3,3, 2,2, 55 44 44 44

11 22 44 55 66 00 88

b

77 22 8,8, 33 00 −− 55 99 4,4, 11 66 11 33 4,4, 11 44

d

44 77 5,5, ·· 22 88 55 00 44 22 55 00 77 11 0,0, 00

11 11

44 00

La fracción que representa la parte coloreada 5 es .

6

Vídeos «Profesor/a en casa», en los que se resuelven ejercicios y se explican conceptos básicos

La fracción que no se puede simplificar se llama irreducible.

2 .

5

En el ejemplo 7 es

Siempre que se trabaje con fracciones, se debe expresar el resultado con la fracción irreducible.

Ejemplos

8. Suma y resta de fracciones

4. Observa la suma a, la resta b y las multiplicaciones c y d:

5. Observa en cuántas partes está dividida la barra y cuántas están coloreadas:

Apunte 4

El denominador común, 12, es el m. c. m. de los denominadores 4 y 6.

Ejemplo

22 55 ++ 33 11 00 33 99

6 .

6

Con igual Con igual Otros casos denominador numerador Se sustituyen las fracciones por otras Es menor la de me- Es menor la de equivalentes que tengan el mismo denor numerador. denominador nominador y se aplica el primer caso. mayor.

3 5 7 7 9 10 4 7 Ejemplo: < .

Ejemplo: < . Ejemplo: < porque < .

4 6 5 3 12 12 9 9

Suma y resta. Se suman o restan los dígitos que ocupan la misma posición.

a

Ejemplo:

7.3 Comparación de fracciones

6.2 Operaciones con decimales

• •

5 .

2

Para obtener una fracción equivalente a otra se multiplican (amplificación) o dividen (simplificación) sus términos por un mismo número (ejemplo 6).

3. Observa que 2,86 < 2,8605. El primer decimal es igual que 2,8600.

La primera cifra diferente es la diezmilésima y es mayor en el segundo número.

27 430 891,34 914

Ejemplo:

Unitarias Son iguales a 1. numerador = denominador

a c equivale a si y solo si a · d = b · c b d

Ejemplo

Para evitar confusiones y facilitar la lectura, siempre que haya más de cuatro decimales, se separan con un espacio fino de tres en tres de derecha a izquierda en lugar de utilizar un punto.

3 .

8

numerador > denominador

Son fracciones que representan la misma cantidad. Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales:

Primero se compara la parte entera. Si es igual, se van comparando las cifras decimales de una en una hasta encontrar la primera diferente.

Conceptos teóricos básicos para el desarrollo del contenido de cada situación

Denominador (partes iguales en las que se divide el todo)

7.2 Fracciones equivalentes

6.1 Comparación de números decimales

Apunte 3

Impropias Son mayores que 1.

numerador < denominador

– Mixtos. El dígito o grupo de dígitos que se repite no empieza después de la 87. coma. Ejemplo: 3,102 878 787… o 3,102  Correcto: 7,2

Ejemplo Numerador (porciones que se toman)

7.1 Tipos de fracciones

– Puros. El dígito o grupo de dígitos que se repite empieza después de la . coma. Ejemplo: 62,035 035 035 035… o 62,035

A un decimal exacto se le pueden añadir tantos ceros a partir de la última cifra decimal como sean necesarios.

contenidos

a b

Para poder sumar o restar fracciones estas deben tener el mismo denominador.

Si no lo tienen, se sustituyen por otras fracciones equivalentes que sí lo tengan; por lo general, se trata del m. c. m. de los dos denominadores.

6. Amplificación:

12 24 36 48 = = = 30 60 90 120 Simplificación: 12 6 4 2 = = = 30 15 10 5 7. a Mismo denominador:

3 4 2 3+ 4 − 2 5 + − = = 6 6 6 6 6 b Distintos denominadores:

5 1 2 10 3 12 10 − 3 + 12 19 − + = − + = = 18 18 9 6 3 18 18 18

El resultado es una fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la m. c. m. (9, 6, 3) = 18 suma o la resta de los numeradores.

5 1 2 10 3 12 10 − 3 + 12 19 = − + = − + = 9 6 3 18 18 18 18 18

9. Relación entre fracciones y decimales

00 22 3,3, 66 11 22 66 77 22

m. c. m. (9, 6, 3) = 18

Una fracción también es el cociente indicado de dos cantidades enteras. Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un valor decimal; por 7 ejemplo, = 1,75 .

4

Profesora en casa. Suma y resta de fracciones.

51

50

02_MATES1ESO_2022.indd 50

31/1/22 12:01

02_MATES1ESO_2022.indd 51

31/1/22 12:01

6. Actividades finales y Activa tus habilidades y competencias Dos tipologías de actividades: ejercicios y actividadesMates en contexto en contexto actividades finales

56. Ordena de menor a mayor:

2

67. Resuelve mediante transformaciones las ecuaciones si-

c 8457,921 · 20,7 d 47,1 · 2,03 + 54,89

guientes:

a

9 7

11 7

c

6 13

5 8

3 8

d

3 4

18 4

b

36 27

c

35 49

d

3 8 1 + − 10 10 10

c

3 6 2 + + 2 4 3

b

15 4 5 − − 12 12 12

d

14 3 5 − − 9 6 3

Clio

5

10

7,8

5,0

60

8,6

4,8

47

7,4

4,7

PSA

David tiene suerte, pues van a renovar los muebles de su dormitorio. Sus padres le han comprado los siguientes muebles, con las medidas que se indican: Mueble

1 Calcula el consumo de los distintos coches en km/L; es decir, el número de kilómetros que puede recorrer cada uno con 1 L de gasolina. Para ello tienes que calcular el inverso del consumo que se da (en L/100 km) y multiplicarlo por 100.

15

c 2,1 hm

2 Ordena los coches de tres formas distintas: por capacidad, por consumo en ciudad y por consumo en carretera.

b 75 cg

c 234 mg

3 Calcula cuántos kilómetros puede recorrer cada coche por ciudad con el depósito de gasolina lleno y ordénalos.

71. Pasa las siguientes medidas de capacidad a centilitros:

20

a 0,01 hL

4

+

nas de pasteles y yo me he comido seis. ¿Qué porcentaje del total me he comido?

63. Unos pantalones cuestan 65 €, pero en rebajas hacen un descuento del 20 %. ¿Cuál es el precio final de los pantalones rebajados?

64. Un coche ha consumido 20 L de gasolina para recorrer 250 km. ¿Cuánta gasolina consumirá al recorrer 900 km?

65. David se ha comprado unos zapatos que le han costado 30 €. Si le habían hecho un descuento del 25 %, ¿cuánto costaban antes del descuento?

b 28 mL

c 0,12 daL

4 Haz lo mismo que en el ejercicio anterior, pero esta vez por carretera.

72. Pasa las siguientes medidas de superficie a metros

5 Calcula cuántos kilómetros puede recorrer cada coche (tanto en ciudad como en carretera) con 100 L de gasolina.

cuadrados: a 0,0025 km2

b 123 cm2

c 2,75 dam2

73. Pasa las siguientes medidas de volumen a metros

6 ¿Cuántos depósitos se podrían llenar de cada coche con 1000 L de gasolina?

cúbicos: a 0,5 hm3

b 125 cm3

c 5,83 dm3

7 Si el precio de la gasolina es 1,32 €/L, ¿cuánto costaría llenar cada depósito?

74. Pasa las siguientes medidas a litros: a 1 m3

b 75 cm3

c 0,5 dam3

8 Calcula cuánto costaría con cada modelo la gasolina para hacer un viaje de 150 km por carretera y 50 km por ciudad. ¿Con qué coche sería más rentable hacer ese viaje?

75. Pasa las siguientes medidas a metros cúbicos: a 24 hL

b 7500 L

Matematiza: 1, 3, 4, 7

02_MATES1ESO_2022.indd 68

(21 %)

(10 %)

Argumenta: 2, 5

Plantea: 6, 8

02_MATES1ESO_2022.indd 69

(4 %)

1 Iván quiere comprarse un ordenador. ¿Qué IVA van a aplicarle?

2 Ha encontrado un ordenador que le gusta, que cuesta 890 € sin IVA. ¿Cuánto pagará en concepto de IVA?

4 deben Pasa todas las unidades dedistancia superficie colocarse a la misma de del las segundo 4 Los postes ejercicio a mm2 . esquinas de la línea de menor longitud. ¿Cuál es esa distancia?5 Además, sus padres han pensado en cambiar el rodapié de la habitación. ¿Qué longitud se necesita? (exlongitud del área pequeña?

5 a ¿Cuál es lapresa el resultado en dm).

6 ¿Se podrían colocarsede alguna forma el armario y el b ¿A qué distancia de la esquina sitúa? escritorio en una misma pared? Razona tu respuesta.

7 Si David quisiera poner el escritorio a continuación (a Matematiza: 4, 5 lo largo) de la cama, ¿podría hacerlo? ¿Por qué?

Argumenta: 1, 2, 3

8 Con los datos anteriores, ¿qué unidad es más adecuada para hacer las operaciones?

9 Indica qué fracción (irreducible) de la habitación ocupa cada uno de los tres muebles.

31/1/22 12:01

ESO

matemáticas

• Raquel: «Si al doble de mi edad le restas la edad de Elena, obtienes la edad de Macarena más 1 año».

• Pablo: «Si al triple de mi edad le restas 50, resulta el doble de la edad de Macarena».

• Andrés: «Mi edad es la media aritmética de las edades de Elena y Mercedes».

• David: «Mi edad más el doble de mi edad suman 54 años».

• Rafael: «La suma de las edades de todos menos el doble de la mía da 9 años».

1 ¿Puedes determinar la edad de cada una de estas personas sin seguir un orden o es necesario respetar cierto orden para hacer el cálculo? Razona tu respuesta.

3 ¿Finalmente, cuánto tiene que pagar por el ordenador?

2 Intenta hallar mentalmente la edad de cada uno de los primos y primas. Escribe el resultado en tu cuaderno.

4 ¿Qué fracción del precio total representa el IVA que va a pagar?

13 Haz un dibujo de la habitación respetando las medidas. Puedes hacerlo dibujando 1 cm por cada 10 cm de la habitación real (necesitarás una hoja de papel DIN A3). Indica en tu dibujo la puerta y el ventanal.

3 Expresa la edad de Mercedes como una ecuación, resuélvela y comprueba si coincide con tu cálculo mental. Después, haz lo mismo con la edad de Macarena.

5 ¿Cuánto pagaría Iván si el IVA del ordenador fuese de tipo superreducido?

6 ¿Qué tanto por ciento se ahorraría si el tipo de IVA aplicado fuese el superreducido?

14 Señala en el dibujo anterior dónde pondrías la cama, el escritorio y el armario, teniendo en cuenta que hay que dejar espacio para pasar y para sentarse en el escritorio.

4 ¿Cuál de las dos edades te ha parecido más fácil de calcular, la de Mercedes o la de Macarena? ¿Por qué?

7 Iván no puede gastar más de 1000 € en la compra del ordenador. ¿Cuál es el precio máximo sin IVA que se puede permitir?

5 Expresa en forma de ecuación y calcula la edad del resto de las primas. Luego, haz lo mismo con la edad de los primos.

15 Formad grupos de cuatro personas y comparad vuestros diseños de la habitación de David. Luego, debatid sobre cuál es la mejor distribución de los muebles para poder utilizarlos todos y moverse con comodidad.

6 Ordena de menor a mayor las edad los primos y las primas.

7 Siguiendo el ejemplo del enunciado, expresa la edad de tus padres de una manera original.

8 Enseña lo que has escrito en el ejercicio anterior a un compañero o compañera para que intente averiguar la edad de tus padres. Haz tú lo mismo con la edad de los suyos.

16 Si no encontráis la habitación ideal entre vuestros diseños, pensad en un nuevo reparto de los elementos de la habitación hasta que todos los componentes del grupo estéis de acuerdo con él.

17 Una vez acabado, presentad al resto de la clase vuestro diseño, explicando las ventajas que tiene respecto a vuestras propuestas iniciales.

Ponte a prueba

73

72

02_MATES1ESO_2022.indd 72

• Macarena: «Tengo 5 veces mi edad hace un siglo».

• Elena: «El doble de mi edad menos 4 es medio siglo».

Productos de primera necesidad, como el pan, la leche, las frutas, los cereales y los quesos. También se aplica a los libros, la prensa y los medicamentos.

11 Teniendo en cuenta que no es válida la opción de las literas, ¿cuántas camas cabrían en el dormitorio? Haz las operaciones con las fracciones del ejercicio anterior.

b Si se tumbara la línea de (la que los dos f sobre La superficie demeta la cama (en une dm2). postes por su base) con pies en de unolongitud de ellos,del ¿cuán3 Pasa todas laslos unidades ejercicio antetos como él serían necesarios para llegar al otro poste? rior a kilómetros.

• Mercedes: «Si al doble de mi edad le quitas 16 años, coincide con mi edad más 7 años».

Alimentos en general (salvo los que tienen el IVA superreducido), transporte de viajeros y espectáculos deportivos no profesionales.

10 ¿Cuál es la fracción de la habitación que ocupan, en total, los tres muebles?

69

31/1/22 12:01

Superreducido

Esto es lo que dice cada uno:

Casi todos los productos y servicios, excepto los que se incluyen en los apartados que siguen.

1 Pasa todas las medidas del enunciado a centímetros y luego, a metros.

c 1 kL

68

Ocho primos y primas se han reunido para celebrar la Nochevieja. Mientras esperan las campanadas, idean un pasatiempo para entretenerse: cada uno debe decir la edad que tiene de una forma original y los demás han de calcularla.

General

c El perímetro de la mesa (en hm).

2 español de está piedam bajo 3 a Cuando und portero La superficie la colocado habitaciónde (en ). los palos, ¿cuánto le falta para llegar al larguero? e La superficie de la mesa (en cm2).

Comunicación efectiva

Personal

El IVA (impuesto sobre el valor añadido) es un impuesto indirecto que se aplica al consumo de cualquier producto o servicio.

Reducido

12 Tomando como unidad la superficie de la cama, indica cuál es la superficie (como fracción) del armario y del escritorio.

Toma de decisiones

Las edades de los primos y primas

2 Recuerda que el área de un rectángulo es el producto longitud por la anchura. esta fórmula, haz o menor que los dos Con postes verti1 ¿El travesañodeeslamayor siguientes (expresa los resultados en la cales? ¿Cuállos es la diferenciacálculos entre ellos? unidad que se indica en cada caso): una estaturade media mayor entre 2 ¿Quiénes tenían a El perímetro la habitación (en 2009 mm). y 2016, los porteros españoles o los europeos? ¿Cuántos b El perímetro de la cama (en m). centímetros más altos son?

Problemas

Pensamiento creativo

3

El IVA

Actualmente, se aplican tres tipos de IVA en nuestro país:

Anchura

La habitación es rectangular y mide 0,38 dam de largo por 25 dm de ancho. Además, en una esquina Área pequeña de uno de los lados menores tiene una puerta de 72 cm de anchura y, en medio de la pared opuesta, hay un ventanal de 1,4 m de ancho que da a un bonito parque.

Problemas

70. Pasa las siguientes medidas de masa a decagramos: a 0,04 kg

Longitud

5,5 m

Medidas b 7 mm

Resolución de problemas

Personal

2

Personal

7,32 m

El nuevo dormitorio de David

e Al doble de un número se le suman tres y da once.

a 1,2 km

Las porterías de fútbol

Camalos porteros 19 dm 105 cm Entre los años 2009 y 2016, europeos tenían una estatura media de 188,8 cm, y los españoles, de 186,8 cm.

Escritorio 1m 550 mm En el terreno de juego hay una zona que se denomina área pequeña o área de meta.

Armario 0,12 dam 35 cm

f Al triple de un número se le restan diez y da veinte.

62. Para el cumpleaños de Luis han comprado dos doce-

1 proyecto trimestral

5,1

53

C4

a Un número más cinco es igual a trece.

tudes guardan una relación de proporcionalidad directa:

1,2

7,6

I30 Punto

c El doble de un número es veintiséis.

61. Copia y completa la siguiente tabla, sabiendo que las magni1

1

Consumo carretera (L/100 km)

d El triple de un número es treinta.

69. Pasa las siguientes medidas de longitud a decímetros:

y

55

Consumo ciudad (L/100 km)

b Un número menos ocho es igual a nueve.

30 45

Proporcionalidad y tanto por ciento

x

Capacidad (L)

suélvelos:

60. Calcula y simplifica cuando sea posible: a

d 374 = 11x e 8x − 16 = 56 f 43 = 34 + 3x

68. Plantea como ecuación los siguientes problemas y re-

5 6

59. Obtén la fracción irreducible de las siguientes: 18 24

Modelo

a x − 13 = 31 b 43 = x + 19 c 12x = 192

58. Compara las fracciones siguientes:

b

El consumo de un coche se suele dar en L/100 km, que indica la cantidad de gasolina que se consume al recorrer 100 km.

Laboral

Las porterías de fútbol deben tener el tamaño establecido por la normativa de la Federación Internacional de Fútbol (FIFA) y la Real Federación Española de Fútbol. La forman dos postes verticales de 2,44 m de alto, con una distancia de 7,32 m entre ellos y unidos en la parte superior por un travesaño horizontal, también llamado larguero. Se construyen con materiales como aluminio, acero, plástico o una aleación ligera.

5,5 m

a 732,69 + 308,78 b 9815,032 − 2674,56

d 2x + 4 = 14 e 3x − 10 = 22 f 7 + 4x = 19

Accede al índice de contenidos de tu comunidad autónoma.

actividades finales 15

El consumo de los

En la siguiente tabla se muestran las características técnicas de varios modelos de coche: capacidad del tanque de gasolina y consumo medio por ciudad y por carretera.

ecuaciones: a x+4=9 b x − 5 = 12 c 6x = 72

Social

coches

66. Encuentra mentalmente el valor de x en las siguientes

a 4,85; 4,843; 4,84 y 4,851 b 0,001; 0,01; 0,0101 y 0,0011 c 3,121; 3,122; 3,12 y 3,21

57. Calcula:

a

14

Álgebra

2,44 m

2

Entrénate +

Números

Actividades de evaluación por competencias específicas y criterios de evaluación conectadas con los descriptores Activa tus habilidades y competencias del perfil de salida del alumnado

31/1/22 12:01

02_MATES1ESO_2022.indd 73

31/1/22 12:01

9

material del alumnado

1 BA Matemáticas Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7458-5 ISBN digital: 978-84-218-7761-6 1 BA Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7460-8 ISBN digital: 978-84-218-7763-0 2 BA Matemáticas Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7462-2 ISBN digital: 978-84-218-7765-4 2 BA Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Libro del alumnado ISBN papel: 978-84-218-7464-6 ISBN digital: 978-84-218-7767-8

Accede a una muestra digital.

Todos los recursos del alumno disponibles en on-line y off-line.

BA

matemáticas

Descarga la App eCasals AR para acceder directamente a los recursos.

10

material del docente

1 BA Matemáticas Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7621-3 1 BA Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7623-7 2 BA Matemáticas Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7625-1 2 BA Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Propuesta didáctica ISBN papel: 978-84-218-7627-5

BA

matemáticas

11

CLAVES DEL PROYECTO Nuevo proyecto global de Bachillerato Los autores de la ESO ponen en marcha este innovador proyecto orientado a las pruebas de acceso a la universidad de todas las comunidades autónomas.

Aprendizaje a través de contextos Aprendizajes basados en contextos de la vida real acompañados de una propuesta de actividades y una evaluación creada a partir de las directrices de la LOMLOE.

Actividades con GeoGebra Ejercicios programados con GeoGebra para consolidar los conocimientos. El alumnado podrá investigar, interpretar, analizar y resolver problemas.

BA

matemáticas

Solucionario extendido La propuesta didáctica incluye el solucionario extendido con el desarrollo de todas las actividades.

Estrategia de resolución de problemas Banco de actividades y ejercicios resueltos paso a paso para afianzar conceptos y para que el alumnado sea autónomo en su proceso de aprendizaje.

Evaluación competencial Damos respuesta a la evaluación de las competencias específicas del área y de las competencias clave del perfil de salida del alumnado, conectando los indicadores de desempeño de la asignatura con los criterios de evaluación del currículum.

12

recursos del alumnado El proyecto de Matemáticas incluye más de 1000 recursos multimedia con finalidades distintas: •V ídeos «Profesor/a en casa»: vídeos tutoriales en los que se ofrecen explicaciones de aspectos teóricos y se resuelven ejercicios paso a paso, a modo de clase particular.

• « Repasa la unidad»: infografía con los contenidos más importantes de la unidad.

• « Ponte a prueba»: test de autoevaluación para que el alumnado pueda comprobar si ha adquirido los conocimientos de la unidad.

• Vídeos «Profesor/a en casa-Paso a paso»: vídeos tutoriales que ofrecen estrategias de resolución de problemas.

• Itinerario Prepárate, Mejora y Ponte a prueba para facilitar un aprendizaje continuo y formativo.

Prepárate Para activar conocimientos previos.

• I nvestigaciones matemáticas: casos de estudio reales donde se aplican los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad.

Mejora Actividades autoevaluables con GeoGebra para practicar los contenidos.

Ponte a prueba Para comprobar el nivel de logros alcanzados.

Consulta los recursos digitales

más relevantes que completan el proyecto educativo.

BA

matemáticas

13

recursos del DOCENTE

El docente dispone de los siguientes documentos didácticos: Programación de curso.

Desarrollo de las unidades didácticas: • Orientaciones didácticas • Programación de aula • Solucionario Propuestas de exámenes trimestrales y de unidad por competencias específicas y criterios de evaluación, conectando con los descriptores del perfil de salida del alumnado.

Tabla de calificaciones del alumnado

Descripción y finalidad de los recursos digitales.

Gestión de aula en el entorno digital eCasals.

BA

matemáticas

Consulta el itinerario de la evaluación competencial en las páginas 20-21 del catálogo.

14

evaluación competencial

Conoce las ventajas de evaluar por competencias con el proyecto educativo Código Abierto de editorial Casals.

Quien tiene el código tiene la llave

Te facilitamos las herramientas y los recursos necesarios para realizar la evaluación competencial de tu alumnado y te acompañamos en este proceso de evaluación a lo largo del curso.

ESO

BACHILLERATO

Lengua castellana y Literatura

Llengua catalana i Literatura

Lengua por tareas

Música

Biología y Geología

Lengua castellana y Literatura universal

Llengua catalana i Literatura

Historia de España

Historia del arte

Física y Química

Matemáticas

Religión Católica

Plástica, Visual y Audiovisual

Tecnología y Digitalización

Historia del mundo contemporáneo

Física y Química

Matemáticas

Religión Católica

Cultura clásica y Latín

Educación en valores cívicos y éticos

Filosofía Historia de la Filosofía

Economía

Latín

Dibujo técnico

Con este código QR podrás acceder a nuestra web, donde encontrarás tutoriales sobre la evaluación competencial y, si lo necesitas, podrás solicitar una sesión formativa personalizada.

BA

matemáticas

¡Estamos seguros de que nuestra propuesta te ayudará en tu labor como docente!

15

EL LIBRO DEL ALUMNADO. PASO A PASO

1. Contextos reales Aplicación de los saberes básicos que se trabajan en la unidad en diferentes contextos y ámbitos de conocimiento.

4

Sistemas de ecuaciones

En la ciencia ficción

En la historia Social | Educativo

Educativo

CONTENIDOS 1 Resolución de problemas mediante sistemas 2 Preparación de un sistema para su resolución 3 Clasificación de los sistemas de ecuaciones 4 Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones

¿Qué aspecto tienen los extraterrestres?

Los sistemas de ecuaciones en la historia

Aunque Asorraf es un planeta en el que se puede vivir, está completamente deshabitado. Por eso, los habitantes de los planetas Divad, Ogeid, Olbap y Leafar, pertenecientes a otro sistema solar cuya estrella se apaga, han decidido colonizar Asorraf y repartírselo.

Los sistemas de ecuaciones lineales se usan desde la Antigüedad. Los babilóni-

5 Discusión de sistemas de ecuaciones 6 Sistemas de ecuaciones no lineales 7 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres in-

De este modo, Asorraf quedará poblado por una gran diversidad de criaturas, ya que los seres de esos planetas presentan distintas morfologías: l

Los habitantes de Divad tienen una cabeza, dos manos y tres pies.

8 El método de Gauss 9 Discusión de sistemas por el método de Gauss

l

Los habitantes de Ogeid tienen una cabeza, dos manos y cuatro pies.

l

Los habitantes de Olbap tienen dos cabezas, cuatro manos y seis pies.

l

Los habitantes de Leafar tienen dos cabezas, tres manos y cinco pies.

cógnitas

cos sabían resolver estos sistemas de ecuaciones; en ellos empleaban palabras como longitud, anchura, área o volumen para designar a nuestras actuales incógnitas. Eran, incluso, capaces de solucionar sistemas con alguna ecuación cuadrática.

También los antiguos griegos sabían resolver sistemas de ecuaciones utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. C.) fue capaz de hallar una fórmula que permitía dar con la solución de un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Asimismo, aparecen sistemas de ecuaciones en documentos indios, los cuales muestran que se conocía el modo de resolver algunos tipos especiales de sistemas, aunque sin llegar a obtener un método de resolución general.

El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo

iii a. C.), contiene algunos problemas que se solucionan mediante sistemas de ecuaciones. En este libro se halla un esbozo de un método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

OBJETIVOS Resolver sistemas de ecuaciones l Aplicar la resolución de sistemas de ecuaciones a contextos reales. l

1 Resuelve este sistema de ecuaciones. Se trata de un problema extraído de

una tablilla babilónica y corresponde al primer sistema de ecuaciones del que se tiene constancia.

HABILIDADES l

1/4 anchura + longitud = 7 manos

Resolución de problemas. Aplicar estrategias

longitud + anchura = 10 manos

para resolver problemas en situaciones reales. l Pensamiento crítico. Analizar las suposiciones no explícitas que se hacen en textos reales. Estudiar las soluciones de los problemas en su contexto. l Pensamiento creativo. Identificar situaciones en las que es posible aplicar los conocimientos adquiridos. l Toma de decisiones. Analizar las diversas opciones que se plantean a la hora de resolver un problema y elegir la más conveniente.

2 Pensamiento creativo. ¿Puedes plantear un sistema de ecuaciones semejante al babilónico que tenga solución?

En la electrónica

Dividirán la superficie de Asorraf en cuatro regiones y se las repartirán así:

«Prepárate». Vídeo que introduce la unidad

l

Zona A: será ocupada por los pobladores de Divad, Ogeid y Olbap.

l

Zona B: en ella vivirán los habitantes de Divad, Ogeid y Leafar.

Profesional

l

Zona C: la ocuparán seres procedentes de Divad, Leafar y Olbap.

l

Zona D: la poblarán los habitantes de Ogeid, Olbap y Leafar.

4Ω

¿Cómo se representan los sistemas eléctricos?

En los circuitos eléctricos o electrónicos, es habitual encontrar problemas en los que dos o más variables se relacionan mediante ecuaciones de primer grado.

Son frecuentes los problemas en los que se desea hallar los valores de las corrientes eléctricas o los voltajes de circuitos con resistencias.

A

2,5 A

A

1A

1 Se conecta una batería en serie con una resistencia desconocida y otra de

A

B

C

D

4 W. Un amperímetro nos muestra la lectura de 2,5 A. Se repite la experiencia sustituyendo la resistencia conocida por otra de 10 W. En este caso, la lectura del amperímetro es de 1 A. ¿Cuál es el voltaje de la fuente? ¿Cuál es el valor de la resistencia desconocida?

?

10 Ω

Recuerda la ley de Ohm y la primera ley de Kirchhoff.

Ley de Ohm La diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito es igual al producto de la resistencia entre esos dos puntos y la corriente que fluye.

Prepárate

Primera ley de Kirchhoff

1 Resolución de problemas. Sabemos que a la zona A han llegado 100

Sistemas de ecuaciones | Métodos de resolución

La suma de los voltajes de un circuito cerrado es igual a 0.

seres, que suman entre todos 145 cabezas y 290 pies. ¿Cuántos habitantes de cada planeta se encuentran en esta zona?

?

4. Estrategias de resolución de problemas Explicación paso a paso de la resolución de problemas asociados a los conceptos y conocimientos de la unidad.

4 Estrategia

estrategias de resolución de problemas

Actividad resuelta | Discusión de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro

1 Considera el parámetro como

si se tratase de un coeficiente más y discute el sistema.

6 Discute el sistema según sean los valores que tome el parámetro m:

2 Ten en cuenta que no siempre

todos los métodos sirven para todos los sistemas.

⎧ x +y = 1 ⎪ ⎨ my + z = 1 ⎪ ⎩ x + ( 1+ m) y + mz = m+ 1

3 En el siguiente curso aprende-

rás otro método para discutir cualquier tipo de sistema.

Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que podemos resolver usando el método de Gauss.

Observamos que la primera ecuación tiene dos incógnitas, pues no está presente la incógnita z. Asimismo, nos damos cuenta de que no hay que hacer nada con la segunda ecuación, ya que presenta la forma que necesitamos (en este caso, sin la incógnita x).

Estrategias de resolución de problemas

Restamos a la tercera ecuación la primera para eliminar x y colocamos el resultado en el lugar de la tercera ecuación: ⎧ x +y = 1 ⎧ x +y = 1 ⎪ ⎪ 3 −E1 ⎯E⎯⎯ → ⎨ my + z = 1 ⎨ my + z = 1 ⎪ ⎪ ⎩ my + mz = m ⎩ x + ( 1+ m) y + mz = m+ 1 Seguidamente, restamos a la tercera ecuación la segunda, con lo que eliminamos la incógnita y: ⎧ x +y = 1 ⎧ x +y = 1 ⎪ ⎪ 3 −⋅E2 ⎯E⎯⎯ → ⎨ my + z = 1 ⎨ my + z = 1 ⎪ ⎪ ⎩ my + mz = m ⎩ ( m− 1) z = m− 1 Para discutir el sistema nos fijamos en la tercera ecuación: ( m− 1) z = m− 1 Si m− 1≠ 0 ⇔ m ≠ 1, la última ecuación tiene la forma Cz = D; es decir, podemos despejar z. Esto indica que se trata de un sistema compatible determinado.

Veamos qué sucede si m− 1= 0 ⇔ m = 1: Si m = 1, la última ecuación queda así: ( m− 1) z = m− 1 ⎯m=1 ⎯→ 0⋅ z = 0 Cualquier valor de z hace que se cumpla la ecuación, luego es un sistema compatible indeterminado.

Ejemplos resueltos en vídeo

¡Ten cuidado! Observa que si damos a m el valor 0 (m = 0), el sistema queda:

⎧ x +y = 1 ⎧ x +y = 1 ⎧ x +y = 1 ⎪ ⎪ ⎪ 3 +E2 ⎯m=0 ⎯→ ⎨ z = 1 ⎯E⎯⎯ →⎨ z = 1 ⎨ my + z = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − z = −1 ⎩ 0z = 0 ⎩ ( m− 1) z = m− 1

Esta situación se da cuando el coeficiente de la y en la segunda ecuación depende del parámetro.

Vuelve a ser un sistema compatible indeterminado, a pesar de que habíamos visto que, para m ≠ 1 , el sistema era compatible determinado.

A veces, el método de Gauss falla, por lo que hemos de tener cuidado al utilizarlo.

Profesor en casa

Aplícalo

Discusión de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro

⎧ x + my + z = 2 ⎪ Discute este sistema según los valores que tome m: ⎨ x −y + mz = 0 ⎪ ⎩ 2x −y + 2z = 1

18

5. Actividades Ejercicios y problemas para poner en práctica los conocimientos adquiridos a lo largo de toda la unidad.

4

actividades

4

Practica 23 Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica qué tipo de solución van a tener: a

⎧ x + 2y = 9 ⎨ ⎩ x − 2y = 1

d

⎧ 2x − 5y = 10 ⎨ ⎩ − 10x + 25y = −50

b

⎧ 2x −y = 6 ⎨ ⎩ 2y − 4y = −12

e

⎧ 4x − 3y = 1 ⎨ ⎩ 3x + 4y = 1

c

⎧ 6x + 8y = 10 ⎨ ⎩ 3x − 4y = 5

c

d

e

Sistemas de ecuaciones no lineales 24 Resuelve estos sistemas: a

⎧ x +y = 5 ⎨ ⎩ xy = 6

e

⎧ 2x +y = 5 ⎨ 2 2 ⎩⎪ x +y = 10

b

⎧ x +y = 8 ⎨ 2 2 ⎩⎪ x +y = 34

f

⎧ x +y = 5 ⎨ 2 ⎩⎪ x + xy = 10

c

⎧⎪ 2 2 x −y = 17 ⎨

g

⎧⎪ (x − 1)2 +y = 3+ x 2 ⎨

d

⎧⎪ xy = 0 ⎨

h

⎧⎪ 2 x − xy +y 2 = 7 ⎨

⎩⎪ x −y = 1

⎩⎪ 2x + 4y = 12

a

⎧⎪ 6x + 3y = 15 ⎨

e

⎧ ⎪ x +y = 5 y ⎨ ⎪ ⎩

4x − y = 1

b

⎧ x +y = 3 ⎪ ⎨ 1 1 3 ⎪ − = ⎩ x y 2

f

⎧ ⎪ ⎨

x + 1+ y − 1 = 5

g

⎧ ⎪⎪ x + 3 + y − 2 = 2 ⎨ 1 2 ⎪ + =2 ⎪⎩ x y

2 2 ⎩⎪ x +y = 10

c

⎧ 1 1 ⎪ − =1 ⎪ x y ⎨ ⎪ 2−3 =2 ⎪ x y ⎩

d

⎧ 4 15 ⎪ − = −1 ⎪ x y ⎨ ⎪ 8+5=5 ⎪ x y ⎩

b

Silla

1 unidad

Plástico 1 unidad

2 unidades

Mecedora

1 unidad

1 unidad

3 unidades

Sofá

1 unidad

2 unidades

5 unidades

31 La AFA (Asociación de Familias de Alumnos) del Instituto El Cisne subvenciona a los 120 estudiantes de Bachillerato una excursión con destino a Andalucía, Cataluña y Galicia, con 14 700 €. Se asignan 100 € a los alumnos y alumnas cuyo destino es Andalucía, 120 € a los que van a Cataluña y 150 € a los que viajan a Galicia. Además, el total de estudiantes que van a las dos primeras comunidades excede en 50 a los que tienen como destino Galicia. Calcula el número de estudiantes que visitan cada comunidad autónoma.

⎧ x − 3y +6z = 3 ⎪ ⎨ 2x −y + 2z = 1 ⎪ ⎩ 3x − 4y + 8z = 4

k

l

⎧ x +y + 2z = 4 ⎪ ⎨ x + 2y − 3z = 0 ⎪ ⎩ 2x + 3y − z = 1

El administrador de una comunidad de vecinos quiere saber el precio por hora de trabajo de un electricista, un fontanero y un albañil. Para ello, revisa las facturas de trabajos que han realizado en tres domicilios del inmueble. En el piso 4.º B el electricista estuvo una hora y el albañil dos horas, y cobraron 78 €. En el 3.º A pagaron 85 € por dos horas de trabajo del fontanero y una hora de trabajo del albañil. En el 1.º A, por una hora del fontanero, una hora del electricista y tres horas del albañil se pagaron 133 €. ¿Cuánto cuesta la mano de obra por hora de trabajo de cada profesional?

La empresa tenía unas existencias de 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio.

Si las utilizó todas, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?

PSA

⎧ x +y = 1 ⎪ ⎨ x + z = −5 ⎪ ⎩ y+z =2

matemáticas

a

Sabiendo que un lápiz y siete rotuladores cuestan 25 €, ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona tu respuesta.

b

Si por el precio de una carpeta se pueden pagar diez lápices, ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?

Caso de estudio Triangular para localizar ¿Por qué existen tantas antenas de telecomunicaciones? • ¿Cómo funciona la red de satélites GPS? EL CONTEXTO ¿Qué hacen los agentes de policía cuando reciben el aviso de que una persona ha desaparecido? Pueden comenzar a buscarla localizando el lugar de procedencia de la última señal de su teléfono móvil, si disponía de él.

⎧ ⎪⎪ x − 2y + 2z = 1 ⎨ 2x +y − z = − 3 ⎪ ⎩⎪ 2x +y + mz = 5

g

⎧ x − 2z = 1 ⎪ ⎨ my + mz = 4 ⎪ ⎩ 4x +y + z = 4

b

⎧ 2x − 3y + z = 0 ⎪ ⎨ x − my − 3z = 0 ⎪ ⎩ 5x + 2y − z = 0

h

⎧ x +y − z = m ⎪ ⎨ x −y + 2z = 1 ⎪ ⎩ 2x +y + mz = 0

c

⎧ x +y + z = 1 ⎪ ⎨ 2x +y − z = 2 ⎪ ⎩ x +y + mz = m

i

⎧ x−z=1 ⎪ ⎨ 3x + 2y − z = 1 ⎪ ⎩ 2x + 2y + ( m+ 1) z = 0

d

⎧ ⎪⎪ x −y + z = 1 ⎨ 2x −y + z = m ⎪ ⎩⎪ 3x + 2y − mz = 4

j

⎧ x +y + 3z = m ⎪ ⎨ 2y + z = 0 ⎪ 2 ⎩ x + 3y + m z = 2

e

⎧ x −y + z = 1 ⎪ ⎨ x +y − mz = 0 ⎪ ⎩ 2x +y + mz = m

k

⎧ x +y = 1 ⎪ ⎨ my + z = 0 ⎪ ⎩ x + ( 1+ m) y + m z = m+ 1

f

⎧ x + 2y − mz = 1 ⎪ ⎨ y −z =0 ⎪ ⎩ mx + z = m

Profesional ¿Cuántos clientes tuvo el hotel?

l

Investigaciones matemáticas Mejora

Ecuaciones de segundo grado | Polinómicas | Algebraicas | Irracionales | Logarítmicas | Exponenciales

21

Aunque el teléfono tenga desactivada la función de rastreo mediante GPS, este sistema está en contacto con la red de antenas de telecomunicaciones que están repartidas por todo el territorio, siempre y cuando el móvil disponga de batería.

Las antenas pueden localizar los teléfonos móviles mediante una técnica parecida a la que usan los murciélagos para moverse en la oscuridad.

«Investigación matemática».

Casos reales donde se aplican los conocimientos adquiridos en la unidad

⎧ x +y − z = 0 ⎪ ⎨ x + (m+ 1)y + z = 0 ⎪ ⎩ x +y + (m+ 1)z = 0

D

C

34 Discute estos sistemas usando el método de Gauss:

a

A

B

Discusión de sistemas aplicando el método de Gauss

28 universidad El precio de tres lápices, un rotulador y dos carpetas es de 15 €, mientras que el de dos lápices, cuatro rotuladores y una carpeta es de 20 €.

investigaciones matemáticas

Social

33 universidad PSA Profesional Obras en la comunidad de vecinos

Aluminio

El precio genérico de la estancia diaria en un hotel es de 50 € por persona. No obstante, el establecimiento ofrece descuentos a los niños y a los jubilados. Los niños pagan el 50 % del precio diario y los jubilados han de abonar solo el 60 %. Cierto día, en el hotel se alojaron 200 personas, de tal modo que los jubilados suponían el 25 % del número total de niños alojados. La recaudación del hotel ascendió a 5 680 €. Determina el número de niños, jubilados y personas que no eran niños ni jubilados que alojaron en el hotel ese día.

20

BA

Profesional Sillas, mecedoras y sofás

Madera

⎧ − x +y − 3z = −2 ⎪ ⎨ 4x + 2y − z = 5 ⎪ ⎩ 2x + 4y − 7z = 1 ⎧ x −y + z = 10 ⎪ ⎨ 2x +y + z = 5 ⎪ ⎩ 4x −y + 3z = 25

PSA

Una empresa de fabricación de muebles tiene tres productos en su catálogo: sillas, mecedoras y sofás. Para fabricar cada producto necesita las unidades de madera, plástico y aluminio que se reflejan en la tabla siguiente:

32

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

⎧ x +y + z = 6 ⎪ ⎨ x + 2y + 3z = 10 ⎪ ⎩ 2x −y + 5z = 0

j

29

⎧ x −y + z = 4 ⎪ ⎨ 2x +y + 3z = 7 ⎪ ⎩ 3x − 2y − 5z = −5

⎩⎪ 4x −y = 2

26 Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de Gauss: a

⎧ x −y + 2z = 5 ⎪ ⎨ 2x +y − z = 2 ⎪ ⎩ 3x + 2y + z = 5

i

PSA Personal ¿Cuántos pasajeros transportó el autobús?

27

⎩⎪ x +y = 5

⎧ x −y + 3z = 3 ⎪⎪ ⎨ x + 2y − z = 2 ⎪ ⎪⎩ 2x +y + 2z = 5

h

Un autobús transporta a 60 pasajeros. Cierto número de ellos ha abonado 1,2 € por cada billete sencillo; otro grupo ha pagado el 80 % del billete sencillo (ya que ha adquirido el billete para grupos numerosos) y un tercer grupo, formado por personas mayores de 65 años, ha abonado el 50 % del billete sencillo. La recaudación del autobús fue de 46,56 €.

Calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que la cantidad de viajeros que se benefició del mayor descuento es el doble que la cantidad del resto de viajeros.

g

25 Resuelve estos sistemas:

⎧ x + 2y + z = 4 ⎪ ⎨ x + 4y − 3z = 2 ⎪ ⎩ 2x +6y − 2z = 6

⎧ −x + 2y = 1 ⎪⎪ ⎨ x +y − z = 2 ⎪ y − z = −1 ⎩⎪

30 universidad Un estudiante pidió en una cafetería tres bocadillos, dos refrescos y dos bolsas de patatas, y pagó un total de 19 €. Al mirar el tique de compra, se dio cuenta de que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron 4 €. Para compensar el error, el vendedor, además, le ofreció un bocadillo y un refresco por solo 3 €, lo que suponía un descuento del 40 % respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios, sin descuento, de un bocadillo, un refresco y una bolsa de patatas?

f

⎪⎩ x +y = 12

4

actividades

Practica ⎧ 2x + 2y + 2z = 3 ⎪⎪ ⎨ 4x +y + z = 2 ⎪ x −y − z = 1 ⎩⎪

Observa que se necesitan tres antenas para conocer una ubicación concreta (en este caso, el punto D), ya que con dos conoceríamos solo dos posibles ubicaciones. Cada par de circunferencias se corta en dos puntos.

Del cálculo de la posición del móvil se encarga un programa informático que resuelve un sistema de tres ecuaciones. En ese sistema, cada ecuación representa una circunferencia: ⎧ 2 2 2 ⎪ ( x – a1 ) + (y – b1 ) = r1 ⎪ 2 2 ⎨ ( x – a2 ) + (y – b2 ) = r2 2 ⎪ ⎪ ( x – a3 )2 + (y – b3 )2 = r3 2 ⎩⎪ En las ecuaciones (a, b) es la ubicación del centro de las circunferencias (la antena) y r es el radio (la distancia al teléfono).

El sentido de la vista de estos animales está bastante limitado; aun así, pueden desplazarse por la noche. Como quizá sepas, envían ultrasonidos que producen ecos, los cuales, cuando retornan, llegan a sus oídos. Mediante el análisis inconsciente de esos ecos, construyen un mapa mental de la distancia a la que se encuentran los objetos que hay a su alrededor; de este modo, consiguen orientarse.

Este método de cálculo de la posición de un objeto se llama triangulación. Es la técnica que se usa en la red de satélites GPS y en la red de sismógrafos para hallar los epicentros de los terremotos.

De forma parecida, para localizar un teléfono móvil, las antenas de telefonía emiten periódicamente señales electromagnéticas que los móviles reciben y estos, a su vez, devuelven otras señales. Entonces, si se sabe cuánto tiempo ha transcurrido entre la emisión de una señal y su eco, y teniendo en cuenta que las señales electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz, es posible calcular la distancia entre el teléfono y cada una de las antenas. Por tanto, es posible trazar, con centro en cada una de las antenas, las circunferencias que determinan los puntos desde los que se podría haber enviado la señal.

2

16

EL LIBRO DEL ALUMNADO. PASO A PASO

2. Contenidos y ejemplos Desarrollo de los saberes básicos de la unidad alternando conocimientos teóricos con ejemplos, ilustraciones y recursos digitales de apoyo.

4

contenidos y ejemplos

4

7 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Desde el punto de vista geométrico, este tipo de ecuaciones corresponde a la expresión algebraica de un plano del espacio. Las soluciones de estas ecuaciones son ternas de números.

⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎪⎪ ⎨ y − z = −13 ⎪ ⎪⎩ 3x −y − 2z = 4

⎧a1x + b1y + c1z = d1 ⎪ ⎨a2 x + b2y + c2 z = d2 ⎪ ⎩a3 x + b3y + c3 z = d3

⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎪⎪ ⎨ y − z = −13 ⎪ 5y − 11z = −17 ⎩⎪

b2y + c2z = d2

⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎪⎪ ⇔ ⎨ y − z = −13 ⎪ −6z = 48 ⎩⎪

c3z = d3

5.º Una vez que tenemos el sistema escalonado (apunte 5), reparamos en que la tercera ecuación es una ecuación lineal con una incógnita, z, que se puede despejar directamente en esa ecuación:

⎧a1x + b1y + c1z = d1 ⎪ b2y + c2 z = d2 ⎨ ⎪ c3 z = d3 ⎩

−6z = 48 ⇒ z = −

48 = −8 6

«Mejora». Propuesta de actividades autoevaluables con GeoGebra para practicar los contenidos

Una vez hemos obtenido el valor de z, es posible calcular el valor de la incógnita y y, a continuación, el valor de x. Así:

Actividad resuelta

Profesor en casa

Resolución de sistemas

Si consideramos ahora la segunda ecuación, tenemos:

5 Resuelve este sistema por el método de Gauss:

por el método de Gauss

y − z = −13 ⇒ y − (−8) = −13 ⇒ y + 8 = −13 ⇒ y = −13 − 8 ⇒ y = −21

⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎪ ⎨ 2x − 3y + 5z = 1 ⎪ ⎩ 3x −y − 2z = 4

Tomando la primera ecuación, obtenemos el valor de x: x − 2y + 3z = 7 ⇒ x − 2⋅(−21)+ 3⋅(−8) = 7 ⇒ x + 42− 24 = 7 ⇒ x = −11

1.º Ordenamos las ecuaciones de tal manera que la primera de ellas sea la que tenga el coeficiente en x más pequeño. En este caso, ya están ordenadas.

2.º Aplicamos el método de reducción a las ecuaciones primera y segunda para eliminar el término en x de la segunda ecuación:

Practica

−2x + 4y −6z = −14 ⎧ − 2x + 4y −6z = −14 ⎪⎧ x − 2y + 3z = 7 1 ⎯−2⋅E ⎯⎯ →⎨ ⇒ 2x − 3y + 5z = 1 ⎨ ⎩ 2x − 3y + 5z = 1 ⎩⎪ 2x − 3y + 5z = 1 y − z = −13

10 Resuelve estos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de Gauss:

Seguidamente, sustituimos la segunda ecuación por el resultado de la reducción.

Tenemos la siguiente equivalencia: ⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ 2x − 3y + 5z = 1 ⇔ ⎨ y − z = −13 ⎪ ⎪ 3x −y − 2z = 4 3x −y − 2z = 4 ⎩⎪ ⎩⎪

Pensamiento crítico ¿En qué circunstancias el método de Gauss puede que no resulte completamente útil?

a1x + b1y + c1z = d1

Y resulta la siguiente equivalen11a entre sistemas:

Este método se basa en reducir el sistema de tal manera que en cada ecuación haya una incógnita menos que en la ecuación precedente. Así, se obtiene un sistema escalonado de la forma:

Resolución de un sistema

Apunte 5 Observa que el sistema que hemos obtenido es triangular:

−5y + 5z = 65 −5y + 5z = 65 ⎫⎪ y − z = −13 ⎫⎪ −5·E 2 → ⎬ ⇒ 5y − 11z = −17 ⎬ ⎯⎯⎯ 5y − 11z = −17 ⎭⎪ 5y − 11z = −17 ⎪⎭ −6z = 48

8 El método de Gauss

aplicando el método de Gauss

5y − 11z = −17

⎧ x − 2y + 3z = 7 ⎪⎪ ⇔ ⎨ y − z = −13 ⎪ ⎪⎩ 5y − 11z = −17

4.º Aplicamos el método de reducción a las ecuaciones segunda y tercera para eliminar el término en y de la tercera ecuación:

Para resolver estos sistemas, se pueden usar los métodos que se aplican en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas –sustitución, igualación y reducción–, pero la resolución resulta larga y, en ocasiones, complicada. En su lugar se emplea el método de las reducciones sucesivas o método de Gauss.

Profesor en casa

3x −y − 2z = 4

Obtenemos, por tanto, la siguiente equivalencia:

Los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se pueden escribir así:

«Profesor en casa».

Vídeos tutoriales donde se resuelven ejercicios y se aplican los conceptos

−3x +6y − 9z = −21

x − 2y + 3z = 7 ⎫⎪ −3⋅E 1 −3x +6y − 9z = −21 ⎫⎪ → ⎬⇒ ⎬ ⎯⎯⎯ 3x −y − 2z = 4 ⎭⎪ 3x −y − 2z = 4 ⎪⎭

Una ecuación lineal con tres incógnitas es una ecuación de la forma ax + by + cz = d , donde a, b, c y d son coeficientes (es decir, números reales) y x, y y z son las incógnitas.

Fig. 1. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático y astrónomo alemán.

contenidos y ejemplos

3.º Aplicamos el método de reducción a las ecuaciones primera y tercera para eliminar el término en x de la tercera ecuación:

De este modo, obtenemos un nuevo sistema equivalente al primero tal que la segunda ecuación tiene dos incógnitas, una menos que la primera ecuación.

⎧ x −y + z = 1 ⎪ a ⎨ 2x +y + z = 4 ⎪ ⎩ 3x −y + 2z = 4

⎧ 3x +y − z = −3 ⎪ c ⎨ 2x −y + 2z = −7 ⎪ ⎩ x + 3y −6z = 7

⎧ x +y − 2z = 7 ⎪ b ⎨ x + 2y − 3z = 9 ⎪ ⎩ 2x + 3y + 4z = −11

⎧ x −y − 2z = 0 ⎪ d ⎨ 2x +y + 3z = 0 ⎪ ⎩ 3x + 2y + z = 0

11

universidad En una residencia de estudiantes se com-

pran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado a esta compra asciende a 540 €. Un helado de vainilla cuesta 4 €; uno de chocolate, 5 € y 6 € uno de nata. Como se conocen los gustos de los estudiantes, se sabe que, entre helados de chocolate y nata, se ha de comprar el 20 % más que de helados de vainilla. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo a través del método de Gauss.

Mejora Método de Gauss

11

10

3. Pensamiento computacional Resolución de problemas asociados a los conceptos desarrollados durante la unidad mediante el uso de herramientas tecnológicas (calculadora científica, GeoGebras, vídeos…).

4 Ahora tú Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

pensamiento computacional

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS APLICANDO EL MÉTODO GRÁFICO CON GEOGEBRA El método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones es útil cuando las soluciones son enteras y disponemos de papel cuadriculado que nos permita determinar el punto de corte exacto entre las diferentes rectas. Si las soluciones contienen números decimales, este método no resulta tan eficaz.

⎧ a ⎨2x + 2y = 3 ⎩5x − 4y = 0

⎧2x + 5y = 2 ⎪ b ⎨ 2x + 1 5y − 1 − =1 ⎪ ⎩ 2 3

GeoGebra permite representar las rectas que corresponden a las ecuaciones lineales de un sistema y, así, determinar el punto de intersección o, lo que es lo mismo, la solución del sistema. Basta con escribir en la barra de entrada las ecuaciones del sistema (sin necesidad de despejar la incógnita y) y el programa facilitará las gráficas de las rectas correspondientes.

⎧2x + 5y = 8 c ⎨ ⎩3x − 5y = 4 ⎧3x + 7y = 10 d ⎨ ⎩ x −y = −4

Por ejemplo, considera este sistema: ⎧4x + 2y = 12 ⎨ ⎩6x − 5y = −2 Si escribimos las ecuaciones en la barra de entrada, obtenemos la representación que se observa en la figura de arriba.

Para obtener la solución hay que determinar el punto de corte de las dos rectas. Lo hacemos seleccionando Intersección w del desplegable de la opción Punto (Point).

Ya solo falta pinchar en las dos rectas para obtener el punto que buscamos. El punto A es la solución del sistema: ⎧ 7 ⎪⎪ x = 1,75 = 4 ⎨ ⎪y = 2,5 = 5 ⎩⎪ 2

Ahora tú Discute los siguientes sistemas, sin llegar a resolverlos: ⎧x+1 y −1 ⎪ + =1 a ⎨ 2 3 ⎪3x + 2y = 5 ⎩

DISCUSIÓN DE SISTEMAS APLICANDO EL MÉTODO GRÁFICO CON GEOGEBRA GeoGebra también permite discutir sistemas. Para hacerlo, basta con representar las rectas correspondientes y analizar cómo son estas: ⎧ 2x +y = 7 ⎨ ⎩ x − 2y = 1

⎧x+1 y+1 − =1 ⎪ 6 b ⎨ 3 ⎪ ⎩2 x + 4 −y = 1

(

⎧ 3x − 2y = 6 ⎨ ⎩4y −6x = 0

⎧ x + 2y = 4 ⎨ ⎩2x + 4y = 8

)

⎧2x − 3y = 1 c ⎨ ⎩3x − 4y = 2

Las rectas se cortan: sistema compatible determinado.

Las rectas son paralelas: sistema incompatible.

Las rectas son coincidentes: sistema compatible indeterminado.

14

6. Activa tus habilidades y competencias Actividades de evaluación en contexto donde se aplican los conocimientos adquiridos a lo largo de la unidad.

4

Activa tus habilidades y competencias

Resolución de problemas

Pensamiento creativo

Pensamiento crítico

Accede al índice de contenidos de tu comunidad autónoma.

resumen

Toma de decisiones

Sistemas de ecuaciones 2 x 2 1

Profesional ¿Le importa si le doy el cambio en monedas?

Con frecuencia, uno de los problemas con los que se encuentran los dependientes de los comercios es el de la vuelta o el cambio, es decir, la cantidad de dinero que hay que devolver a los clientes que entregan una cantidad superior a la que cuesta el producto que adquieren o el servicio que contratan.

El problema reside en determinar la cantidad exacta que ha de devolverse, pero también en el modo más adecuado de hacerlo, que suele ser dando al cliente el menor número posible de monedas y billetes.

Otra cosa es proporcionar la vuelta del modo más adecuado, ya que no siempre se dispone de las monedas o billetes que permitan dar el cambio con la menor cantidad posible de estos. En muchas ocasiones, el dependiente se ve obligado a entregar más monedas y billetes de los estrictamente necesarios. Así, es habitual que se excuse ante el cliente con expresiones como: «¿Le importa si le doy el cambio en monedas?».

5 Justifica si se podría hacer la devolución usando los tres tipos de monedas del ejercicio anterior en las siguientes condiciones:

2 Indica qué cantidad de billetes y monedas (así como su cuantía) tiene que entregar el dependiente de tal modo que ofrezca el mínimo número posible de billetes y monedas.

a El dependiente tiene que usar exactamente un total de 30 monedas.

4 Si solo le quedan en la caja 10 monedas de 2 €, 10 monedas de 1 € y 10 monedas de 50 céntimos, ¿puede hacer la devolución?

b Debe devolver el mismo número de monedas de 1 € que de céntimos y monedas de 2 € juntas.

6 El cliente ofrece al dependiente una moneda de 50 céntimos con la intención de redondear la vuelta y disminuir el número de monedas. ¿Cuánto le tiene que devolver ahora el vendedor?

7 Justifica si es posible o no seguir haciendo la devolución con las condiciones que se han descrito en el ejercicio 5.

Educativo

1 Resolución de problemas. Con los datos que ofrece el enunciado del problema en la primera página de la unidad y con la tabla, plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el número de seres de cada planeta que pueblan cada zona de Asorraf.

2 Pensamiento crítico. ¿Qué observas? ¿Qué tipo de sistema presenta cada región? ¿Has encontrado alguna solución? ¿Necesitas más datos para responder a las preguntas?

3 Nos ha llegado la información adicional de que el número de pies de la primera zona es 469. Intenta plantear y resolver un sistema con este nuevo dato.

4 ¡Horror! Acabamos de saber que ha habido un error de recuento en la zona B, de tal modo que el número de manos es 235 en lugar de 253. Plantea y resuelve el nuevo sistema con el dato correcto. ¿Qué sucede? ¿De qué tipo de sistema se trata?

¿Cómo se resuelven problemas con porcentajes?

Son frecuentes las confusiones al trabajar con porcentajes. Así, hay quien cree que, si se aumenta un 30 % una cantidad para reducirla seguidamente otro 30 %, se obtiene la misma cantidad que al principio, lo cual es falso.

2 universidad Compramos tres regalos, A, B y C, para tres amigos. Hemos pagado 117 € por los tres regalos tras la aplicación de un descuento del 10 % sobre el precio total. Además, sabemos que el precio del regalo C es el doble que el del regalo A y que el regalo C cuesta 20 € más que el regalo B. ¿Cuánto dinero hemos gastado en cada regalo?

3 universidad Julia, Clara y Miguel reparten hojas de publicidad. Clara reparte siempre el 20 % del total. Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. ¿Cuántas hojas reparte cada uno? Calcula el dinero que ha recibido cada uno sabiendo que la empresa paga 1 céntimo por hoja repartida.

Por eso, te proponemos tres ejemplos con sistemas de ecuaciones en los que se trabajan porcentajes. ¿Eres capaz de resolverlos?

22

BA

matemáticas

100

Zona B

145

143

Manos

290

253

c ax + by =  c' a ' x + b ' y =

Zona D

110

Cabezas

Pies

Zona C

Resolución de problemas mediante sistemas

311

327 547

Preparación de un sistema para su resolución

5 Siguen llegando actualizaciones del recuento. Acaba de llegar información sobre el número de pies que hay en la región B, que asciende a 431. Plantea y resuelve el sistema incorporando este nuevo dato.

6 Desde el puesto de control nos informan de que en la zona C han desembarcado tantos seres como en la zona A. Con esta nueva información, plantea y resuelve el sistema para conocer el número de seres de cada planeta que hay en el sector C.

explícitamente a las preguntas del enunciado.

3

Determinado: tiene una única solución.

Indeterminado: tiene infinitas soluciones.

Incompatible: no tiene solución.

4

Resuelve los siguientes sistemas:

5

⎧ x −y − 2z = 2 ⎪ b ⎨ 2x +y + 3z = 1 ⎪ ⎩ 3x + z = 3 ⎧ x + 2y − z = 2 ⎪ c ⎨ 2x −y + 2z = 3 ⎪ ⎩ 3x +y + z = 7

23

Repasa la unidad

Ponte a prueba

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

1

3

x+y=3 2,1 1 x-y=1

a b ⇒ Determinar el tipo de sistema a' ≠ b' sin llegar a resolverlo es  discutir un sistema. a b c ⇒ = = a' b' c' c ax + by = a b c Si se tiene  entonces = ≠ ⇒  c' a' b' c' a ' x + b ' y =

3

2

4 2 1

Discusión de sistemas

4

-2 -1

universidad Hace muchos años se utilizaban como unidades de medida de longitud la toesa y el pie. En un documento del siglo pasado encontramos el siguiente pasaje: «Las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo, y 3 toesas y 5 pies de alto». Como ese mural se conserva en la actualidad, se ha medido con la máxima precisión posible: tiene 4,82 m de largo por 2,988 m de alto. Con estos datos, ¿sabes cuánto miden, en metros, una toesa y un pie? universidad Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería cuyos importes son 1 €, 2 € y 5 €. Se han recaudado 620 € y se ha vendido el doble de participaciones de 1 € que de 5 €. Si se han vendido 280 participaciones en total, ¿cuántas se han vendido de cada importe?

Discute el siguiente sistema según el valor que tome m: ⎧ x +y + z = 1 ⎪ ⎨ x +y + mz = m ⎪ ⎩mx + ( m− 1) y + z = 2

5

En estos sistemas, alguna de las ecuaciones no es lineal, sino polinómica de grado mayor a 1, racional, radical, exponencial o logarítmica, -1

Compatible: tiene solución.

5

rectas que se cruzan

Sistemas de ecuaciones no lineales

Clasificación de sistemas

9 Pensamiento crítico. ¿Habría sido necesario resolver todos los sistemas para dar la respuesta a la pregunta anterior?

Justifica razonadamente tu respuesta.

⎧ x 2 +y 2 = 25 b ⎨ ⎩⎪ x ⋅y = 30

«Ponte a prueba».

Test de autoevaluación

comprueba la solución.

4 Se interpreta el resultado y se responde

Según el número de soluciones, un sistema puede ser:

1

⎧⎪ 2x 2 −y 2 = −1 c ⎨ 2 2 ⎩⎪ x + 2y = 22

del enunciado.

3 Se resuelve el sistema de ecuaciones y se

por el m. c. m. de estos.

2 Se eliminan los paréntesis y se reagrupan los términos.

3 Se dejan las incógnitas en un miembro de las ecuaciones y el término independiente, en el otro miembro.

8 Tras resolver todos los sistemas, ¿puedes determinar el número total de seres que habitan el planeta Asorraf?

2

⎧ x − 3y +6z = 3 ⎪ a ⎨ 2x −y + 2z = 2 ⎪ ⎩ 3x +y − z = 1

incógnitas.

2 Se escriben en lenguaje algebraico las relaciones

1 Se eliminan los denominadores multiplicando

7 Plantea y resuelve el sistema correspondiente al sector D sabiendo que hay 180 cabezas.

⎧⎪ 2 x + 2y − 2x +y = −1 ) ( ) a ⎨ ( ⎩⎪ x −y = 5

2

1 Se interpreta el enunciado y se identifican las

Se deben seguir estos pasos:

2

Resuelve estos sistemas no lineales:

Para solucionar problemas con sistemas de ecuaciones hay que seguir estos pasos:

110 177

488

Evalúa 1

1 universidad Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 €. Se sabe que el precio del cuaderno es el 50 % del precio del rotulador y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20 % del precio del rotulador. Calcula los precios de cada producto sabiendo que se les ha aplicado un 10 % de descuento.

Profesional

Seres

Al inicio de la unidad se planteó la colonización de Asorraf por parte de los habitantes de los planetas Divad, Ogeid, Olbap y Leafar. Se ha recabado información precisa sobre los pobladores de las cuatro regiones en las que ha quedado dividido el planeta (A, B, C y D), que se registra en la tabla adjunta.

2

2

Zona A

¿Cómo se coloniza un planeta?

Para determinar el cambio, basta con hacer una simple resta entre el dinero entregado y el precio de la compra, de lo cual se encargan las máquinas registradoras de forma automática.

1 El cliente de un establecimiento hace una compra por valor de 65,50 € y entrega dos billetes de 50 €. ¿Qué cantidad tiene que devolverle el dependiente?

3 Pensamiento creativo. Cuando el dependiente se dispone a dar la vuelta al cliente, repara en que no queda ningún billete en la máquina registradora. Indica, en este caso, el menor número posible de monedas que puede devolverle y la cuantía de estas.

3

1 2

3

4

5

6

7

8

Rectas paralelas

2

3

4

Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible

Método de Gauss

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Se basa en reducir el sistema de tal manera que en cada ecuación haya una incógnita menos que en la ecuación precedente. Así, se obtiene un sistema escalonado:

a1 x + b1 y + c1 z = d1  b' y + c'z = d'   c '' z = d '' 

a1 x + b1 y + c1 z = d1  a2 x + b2 y + c2 z = d 2  a3 x + b3 y + c3 z = d3

Discusión de sistemas por el método de Gauss Después de aplicar el método de Gauss, el sistema queda de esta forma:

≠0

Compatible Determinado

C''

=0 =0

D''

≠0

Compatible Determinado

a1 x + b1 y + c1 z = d1  b' y + c'z = d'   c '' z = d '' 

Incompatible

«Repasa la unidad».

Infografía con los contenidos destacados de la unidad

17

eCasals

,

vuestro entorno virtual de aprendizaje

eCasals es el espacio personal del docente donde se ubican todos los recursos, contenidos y herramientas digitales del proyecto Código Abierto LOMLOE. La plataforma está diseñada específicamente para facilitar la enseñanza y el aprendizaje en el entorno virtual.

¡Descubre sus funcionalidades!

Generador de tareas Crea tareas a partir de las actividades disponibles en el libro del alumnado y en la propuesta didáctica.

Atiende a la diversidad de tu aula asignando tareas de forma individual. También puedes crear actividades propias con el editor.

Calificaciones Puedes visualizar, evaluar y comentar los resultados del alumnado. También puedes exportar todos los resultados en Excel.

Actividades y recursos de la unidad Todas las actividades del libro resolubles en formato digital (autoevaluables y de respuesta abierta) y los recursos multimedia organizados por unidad.

Ayuda y contacto En el entorno virtual eCasals encontrarás los recursos para ESO y Bachillerato.

Manuales y tutoriales con los temas de ayuda más frecuentes, contacto con el servicio de soporte técnico y asesoría digital.

¡Nos integramos!

App eCasals off-line

• Integración compatible con las principales plataformas EVA. Admite el protocolo Marsupial y LTI.

Accede a tu libro digital a través del ordenador o de cualquier otro dispositivo móvil sin necesidad de estar conectado.

Disponible para los sistemas Android, iOS, Windows y Chromebook.

• Permite compartir el contenido en Google Classroom y Microsoft Teams.

• El libro y los recursos están disponibles para la plataforma Blinklearning con las funcionalidades de la misma. eCASALS

18

eCasals

Evaluación competencial Selecciona las competencias específicas que quieras evaluar, los criterios de evaluación y los descriptores del perfil de salida asociados. Asigna las actividades correspondientes a tu alumnado y genera informes con sus resultados y el nivel de competencia que han adquirido.

¡NOVEDAD LOMLOE!

Muro del grupo Espacio de comunicación entre profesorado y alumnado, donde también puedes publicar contenido digital.

Grupo y alumnos Trabaja con tu alumnado a través de la plataforma creando todos los grupos que necesites. Gestiona sus usuarios y contraseñas, y consulta el registro de actividad de cada uno de ellos.

Digiteca Accede al buscador de recursos digitales vinculados a la materia. Filtra por palabras, libro o tema y descubre todos los contenidos multimedia.

Carpeta del profesorado Espacio que te permite incorporar y compartir recursos propios. Añade tus materiales en cualquier formato y consúltalos cuando los necesites.

¡Prueba una demo! ¡Te acompañamos en todo tu proceso digital!

Te invitamos a probar todas las funcionalidades del portal.

Accede a ecasals.net/demo y elige tu libro.

• Servicio personalizado de asesoramiento y soporte técnico de nuestros materiales y recursos.

• Formación personalizada del entorno digital.

• Webinars formativos a cargo de nuestros asesores digitales.

• Estamos a tu disposición en docencia@editorialcasals.com eCASALS

19

EVALUACIÓN COMPETENCIAL. PASO A PASO

1. El material de referencia Para facilitar la evaluación, el docente tiene acceso a material creado para cada asignatura y comunidad autónoma.

Rúbricas de los descriptores del perfil de salida

La rúbrica proporciona una evaluación cualitativa para que el alumnado sea consciente de su aprendizaje y pueda progresar.

Criterios de evaluación Saberes básicos Indicadores de desempeño

4. La prueba escrita La propuesta didáctica contiene dos pruebas escritas para cada trimestre con el material necesario para evaluarla por competencias y su correspondiente rúbrica de evaluación de competencias específicas y del perfil de salida del alumnado.

5. La evaluación trimestral En cada trimestre el docente registra la evaluación de las unidades didácticas y de la prueba escrita en dos documentos.

Evaluación de competencias específicas con una propuesta de distribución de porcentajes que permite una nota cuantitativa.

eso | BA

matemáticas

Evaluación de competencias clave.

20

EVALUACIÓN COMPETENCIAL. PASO A PASO

2. Doble evaluación: de competencias específicas y de competencias clave A partir del material de referencia, el docente evalúa con las evidencias (actividades) que ofrece la editorial.

No obstante, puede incorporar sus propias actividades a la evaluación.

Cuadro sinóptico para las actividades de creación propia que conecta los descriptores operativos del perfil de salida y las competencias específicas del área.

3. Evaluación unidad a unidad Cada unidad didáctica se acompaña de dos documentos: la programación de aula con las competencias específicas de cada sesión con su conexión con los descriptores del perfil de salida, y las rúbricas de las competencias específicas asociadas a las evidencias abordadas en la unidad.

Los indicadores de desempeño conectan las competencias específicas y los descriptores del perfil de salida

Programación de aula

Competencias específicas: rúbricas (evaluación cualitativa)

6. Evaluación final de competencias Una vez evaluado cada trimestre, se registra el acumulado de la evaluación en dos documentos.

Accede a la evaluación competencial de tu comunidad autónoma.

eso | BA

matemáticas

21

material complementario

matepractic ESO y 1.º de Bachillerato Autores: Ángel Alsina y Fernando García

Matepractic es un método práctico y didáctico que ayuda al alumnado a adquirir las destrezas matemáticas para afrontar los desafíos de la vida real.

• Propone tareas centradas en contextos reales.

• Se adapta a la medida de cada alumno/a.

• Se basa en las pautas de evaluación de las pruebas internacionales TIMSS y PISA.

Matepractic está disponible en dos formatos Cuadernos Cuadernos de trabajo impresos + prueba de diagnóstico y material de apoyo digitales, de libre acceso en el portal matepractic.es.

• Se fundamenta en los planteamientos del NCTM de Estados Unidos, y en los de otros países como Singapur, que centran la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en lo visual y lo concreto.

Matepractic paso a paso

diagnostica Prueba de diagnóstico.

Portal digital Actividades, prueba de diagnóstico y evaluación 100% digitales en el portal matepractic.es mediante la adquisición de una licencia anual.

mejora Cuadernos con 15 niveles desde 1.º de ESO hasta 1.º de Bachillerato.

evalúa Solucionario y evaluación.

Más información en

matepractic.es

eso | BA

matemáticas

22

material complementario

Programación de Secundaria

1

6

11

2

7

12

3

8

13

4

9

14

5

10

15

Números naturales.

Números enteros.

Divisibilidad.

Fracciones y decimales.

Porcentajes.

Sistemas de numeración.

Lenguaje algebraico.

Magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Porcentajes.

Función lineal.

Gráficas.

Rectas y ángulos.

Perímetros y áreas. Teorema de Pitágoras.

Frecuencia absoluta y relativa. Diagrama de sectores. Gráfico de barras. Regla de Laplace.

Operaciones con números naturales, enteros y decimales.

Divisibilidad. Unidades de peso y volumen.

Gráficas y parámetros estadísticos. Ley de los grandes números.

Funciones.

Expresión algebraica y gráfica de una función. Ecuaciones de primer y segundo grado.

Interpretación de gráficas.

eso | BA

matemáticas

Lógica. Figuras geométricas. Áreas y perímetros.

Semejanza. Escala.

Puntos y rectas notables del triángulo. Sólidos platónicos.

Potenciación y radicación.

Notación científica.

Aproximación y errores. Sucesiones.

Progresiones aritméticas y geométricas.

Porcentajes.

Proporcionalidad inversa. Función parabólica. Sistemas de ecuaciones. Ángulos y semejanza.

Vectores. Simetrías, giros y traslaciones.

Parámetros de centralización y desviación.

Diagramas de árbol. Variaciones y combinaciones.

Probabilidad condicionada.

Códigos y divisibilidad.

Potenciación y radicación. Interés compuesto. Función exponencial y logarítmica.

Visión espacial.

Perímetros, áreas y volúmenes en poliedros y en superficies de revolución.

Probabilidad condicionada.

Tablas y gráficos estadísticos.

Distribuciones bidimensionales.

Recta de regresión e interpolación.

Números reales.

Ecuaciones y sistemas.

Inecuaciones.

Estudio de funciones. Límites.

Continuidad.

Derivadas (1.º BA)

Rectas y distancias. Ángulos. Radianes.

Trigonometría.

Resolución de triángulos. Números complejos. Cónicas.

(1.º BA)

Operaciones con sucesos. Probabilidad total. Teorema de Bayes. Correlación y regresión.

Distribución binomial y normal. (1.º BA)

23

SME2301

El nuevo proyecto educativo de Editorial Casals

Quien tiene el código tiene la llave

Accede a ecasals.net/demo y prueba una demo.

Contacta con tu delegado comercial para solicitar muestras.

ecasals.net

Atención al cliente Tel. 902 107 007 Tel. 954 359 562 casals@editorialcasals.com

Síguenos en: @EditorialCasals