Geometría en el espacio
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Volumen de los poliedros 5.1 Recuerda
Volumen de un ortoedro
Si tenemos un ortoedro de anchura a, longitud b y altura c, su volumen, V, se calcula multiplicando las tres dimensiones.
Un ortoedro es un paralelepí-
V=a·b·c
pedo ortogonal, es decir, las
Como el área de la base AB de un ortoedro es AB = a · b, y la altura c se puede designar como h, también se puede decir que el volumen de un ortoedro es igual al producto del área de la base por la altura.
caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Son prismas rectangulares rectos. Las caras
c
a
b
V = AB · h
opuestas de un ortoedro son
Ejemplo
iguales. Un cubo es un caso especial de ortoedro en el que
14. Las dimensiones del ortoedro de la figura son a = 3 cm, b = 4 cm y c = 4 cm. Su volumen es V = 3 · 4 · 4 = 48 cm3.
todas las caras son cuadrados.
5.2
Volumen de un prisma. El principio de Cavalieri
Piensa que dos cuerpos o más que cumplen las siguientes condiciones: • Tienen la misma altura y las áreas de sus bases son iguales. • Un plano paralelo en la base determina secciones de área igual.
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Entonces, el volumen de estos cuerpos es igual. Esta propiedad es general y recibe el nombre de principio de Cavalieri, y permite deducir que el volumen de un prisma es el mismo que el de un ortoedro de base AB y altura h. V = AB · h Ejemplos 15. La figura contigua representa un prisma recto de base triangular, un ortoedro de base cuadrada y un prisma oblicuo de base cuadrada. Observa que los tres cuerpos verifican el principio de Cavalieri.
altura
El área de sus bases es la misma, tienen la misma altura y las secciones paralelas a la base tienen la misma área; por lo tanto, tienen el mismo volumen. 16. Calcula el volumen de un prisma oblicuo, inclinado 45º, que tiene una base cuadrada de 10 cm2 y una altura de 15 cm. El hecho de que esté inclinado no influye; se puede calcular el volumen aplicando la fórmula directamente: V = AB · h → 10 · 15 = 150 cm2.
Aplica
Resuelve
17 ■ Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de
19 ■ Un envase de leche tiene forma de ortoedro. Las medidas
lado 4 cm y de altura 6 cm.
de su base son 64 y 72 mm. Si la capacidad del envase es de 1 L, ¿cuál es la altura? (recuerda que una capacidad de 1 L es
18 ■ Un cubo tiene un volumen de 64 cm3. Calcula las dimen-
equivalente a un volumen de 1 dm3).
siones de su arista. ¿Cuál es el área del cubo?
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