Issuu on Google+


Unidad

10

Geometría en el espacio Naturaleza platónica

Platón (ca. 427-347 a. C.) fue uno de los filósofos más importantes de Grecia. En el aspecto matemático, Platón consideraba a las figuras geométricas como entidades perfectas residentes en el mundo de las ideas.

196

Según él, el círculo ideal no existe ni podrá existir jamás, ni siquiera se puede trazar con la tecnología más avanzada. Cualquier representación real de un círculo solo es una aproximación al círculo platónico ideal. Sin duda, un círculo trazado con un programa de diseño asistido por ordenador se acerca más al círculo ideal que uno hecho con un bastón en la arena. Pero el círculo ideal se aleja de la realidad. Esto es lo que determina una relación tan fuerte entre las matemáticas y la filosofía platónica. Nos podemos acercar a los objetos ideales, pero nunca los podremos tocar ni ver. La forma aparente del Sol o la Luna inspiran la idea de círculo; una naranja o una pelota inspiran la de esfera; o la formación basáltica de la Calzada de los Gigantes, en Irlanda del Norte, inspira la de prisma hexagonal; y también la de que, quizás la naturaleza es esencialmente platónica. Una idea que se refleja en las espectaculares cristalizaciones de los minerales. Según Platón, lo que es real no es ideal. Los poliedros existen en el espacio tridimensional. ¿Cómo se genera el poliedro esencial representante de las tres dimensiones? Empezamos con un punto, de dimensión cero. Un vez tenemos el punto, nada nos impide considerar otro. Entre el punto original y su duplicado creamos una relación denominada segmento. Es la capacidad de duplicación la que crea una nueva dimensión y da lugar al segmento unidimensional. Pero esto que hemos hecho con el punto también podemos hacerlo con el segmento. Duplicando el segmento creamos un vínculo entre el original y la copia llamado cara.

Mates3ESO_U10.indd 196

24/1/11 17:06:27


Finalmente, solo tenemos que duplicar la cara para crear la tercera dimensión en una relación entre caras que denominamos cuerpo. Así, partiendo del punto adimensional, mediante duplicaciones creamos todas las dimensiones que queramos.

Analiza y resuelve 1. Indica cuál de los siguientes círculos se aproxima más al círculo ideal platónico. a) Un círculo dibujado a mano alzada. b) Un círculo trazado con compás.

Los poliedros están hechos de vértices, aristas, caras y un cuerpo, que es el poliedro en sí. Los polígonos contienen vértices, aristas (lados) y una única cara, que es el polígono en sí. En una dimensión no hay polígonos, solo segmentos hechos de vértices (los puntos extremos) y una arista, que es el segmento en sí. En la dimensión cero solo hay un vértice, que es el punto en sí. El pensamiento platónico se centra más en la forma ideal o, mejor dicho, más en la idealización de la forma que en la dimensión. Fue el matemático suizo Leonhard Euler quien caracterizó los poliedros mediante un número directamente ligado a su dimensión espacial. La fórmula de Euler asegura que, para cualquier poliedro, la suma del número de caras y el número de vértices supera siempre en dos unidades el número de aristas. Este resultado no solo idealiza más los poliedros, sino también la tercera dimensión que los aloja.

c) El círculo determinado por los puntos del plano que se hallan a una distancia menor o igual de un punto denominado centro. d) La Luna llena. 2. Pon ejemplos de cosas reales con forma de prisma hexagonal. 3. Completa la siguien-

A

B

te tabla con los números de elementos de las figuras A y B: figura

caras

vértices

aristas

(polígonos)

(puntos)

(segmentos)

C+V−A

197

A B

4. Traza una figura plana semejante a las de la actividad anterior, pero en la cual el resultado de C + V − A no sea ninguno de los obtenidos. 5. Completa la tabla y haz una predicción sobre los resultados correspondientes al hiperespacio de cuatro dimensiones.

punto

dimensión

polígono

segmento

objeto

vértices aristas

caras

hipertotal cuerpos

0

punto

1

0

0

0

1

segmento

2

1

0

0

2

cuadrado

4

4

1

0

3

cubo

8

12

6

1

4

hipercubo

poliedro

Índice 1. Ángulos en el espacio y poliedros 2. Poliedros regulares. El teorema de Euler 3. El teorema de Pitágoras en el espacio 4. Área de los poliedros 5. Volumen de los poliedros 6. Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono 7. Simetría y semejanza en los cuerpos geométricos 8. La esfera y el globo terráqueo

Mates3ESO_U10.indd 197

Competencias básicas Matemática. Reconocimiento de los elementos y propiedades de los poliedros y de los cuerpos de revolución. Comunicativa lingüística. Representación de los elementos de los poliedros y de los cuerpos de revolución. Aprender a aprender. Aplicación de métodos de resolución de problemas. Tratamiento de la información y competencia digital. Uso de herramientas de cálculo e informáticas.

24/1/11 17:06:29


Geometría en el espacio

1

Ángulos en el espacio y poliedros 1.1 arista

Ángulo diedro

Dos planos secantes determinan cuatro regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo diedro. Los elementos que forman un ángulo diedro son las caras y la arista. Como medida de un ángulo diedro se toma el ángulo formado por dos rectas perpendiculares a cada cara por un mismo punto de la arista.

ángulo diedro

Ejemplo 1. Estos ángulos diedros están determinados por dos, rectas secantes y forman cuatro ángulos iguales dos a dos, de 94,09º y 85,91º, respectivamente.

cara

85,91º

85,91º 94,09º

1.2 Recuerda Un poliedro es una región del espacio limitada por polígonos.

198

94,09º

Un poliedro está formado por varios ángulos diedros.

Ángulo poliedro

Cuando tres planos secantes o más coinciden en un punto, determinan una región del espacio que se denomina ángulo poliedro. Los planos que forman el ángulo poliedro se llaman caras, las rectas determinadas por dos de los planos que lo forman se conocen como aristas y el punto común, como vértice. Para poder construir un ángulo poliedro, la suma de los ángulos de las caras que lo forman tiene que ser inferior a 360º. Ejemplos vértices

2. Un triedro es la región del espacio definida por tres planos secantes. Se puede formar un ángulo triedro a partir de tres triángulos equiláteros iguales, puesto que su suma es de 180º, es decir, menor de 360º. 3. Se puede obtener un triedro a partir de tres rectángulos cuadrados, como ocurre en una esquina de una habitación. Su suma es de 270º.

180º

aristas

caras

60º aristas

270º cara 90º 90º

1.3

vértices

Poliedros

La combinación de varios ángulos poliedros puede dar lugar a una región del espacio limitada por polígonos. Esta región del espacio se denomina poliedro. Ejemplo 4. Considera un triedro formado por tres triángulos. Si se corta este triedro por un plano secante, se obtiene una figura geométrica cerrada, cuyas caras serán triángulos. Esta figura es un ejemplo de poliedro de cuatro caras.

Mates3ESO_U10.indd 198

24/1/11 17:06:31


1.4

Elementos de un poliedro. Poliedros cóncavos y convexos diagonal

Los elementos que forman un poliedro son:

vértice

• Caras. Cada uno de los polígonos que lo limitan. • Aristas. Cada uno de los segmentos determinados por dos caras secantes. • Vértices. Cada uno de los puntos comunes a tres aristas o más. • Diagonales. Cada uno de los segmentos que unen dos vértices que pertenezcan a caras diferentes.

cara

arista

Un poliedro es convexo si dos puntos cualesquiera se pueden unir con un segmento interior al cuerpo; en caso contrario es cóncavo. Ejemplo 5. La figura muestra un poliedro convexo y uno cóncavo. Fíjate en la analogía entre polígonos cóncavos y convexos y poliedros cóncavos y convexos.

1.5

poliedro convexo

poliedro cóncavo

polígono convexo

polígono cóncavo

Prismas y pirámides

Un prisma es un poliedro formado por dos polígonos cualesquiera, iguales y paralelos, denominados base, y por caras laterales, que son paralelogramos. Si todas las caras laterales son perpendiculares en las bases, el prisma se llama recto. En caso contrario, oblicuo. La altura de un prisma es la distancia entre las dos bases.

Atención 199 Aunque no lo parezca, el poliedro B también es una pirá-

Los prismas formados por paralelogramos reciben el nombre de paralelepípedos. Si los paralelogramos son rectángulos, el prisma se conoce como ortoedro.

mide.

A

B

Una pirámide es un poliedro formado por una base, que puede ser un polígono cualquiera, y por caras laterales, que son triángulos cuyas aristas concurren en un punto denominado cúspide. La altura de la pirámide es la distancia perpendicular entre la cúspide y la base de la pirámide. Si la base de una pirámide es un polígono regular, se trata de una pirámide regular. Ejemplo 6. Las siguientes figuras representan un prisma recto, uno oblicuo, un ortoedro y una pirámide. base

base caras laterales

altura

base

altura

base

base

cúspide

altura

base

Aplica

caras laterales

altura

base

2 ■■ Di en qué situaciones se puede formar un ángulo poliedro. a) Con dos rectángulos y un cuadrado.

1 ■ Identifica los poliedros en cada figura: a)

b)

c)

d)

b) Con tres pentágonos regulares. c) Con un pentágono regular y dos hexágonos regulares. d) Con tres octógonos y un triángulo equilátero.

Mates3ESO_U10.indd 199

24/1/11 17:06:33


Geometría en el espacio

2

Poliedros regulares. Teorema de Euler 2.1 Recuerda

El desarrollo plano de un poliedro es un dibujo formado por un conjunto de polígonos unidos por las aristas, por las que puede doblarse, de manera que

Poliedros regulares

Un poliedro es regular si: • Sus caras son polígonos regulares iguales. • En cada vértice concurren el mismo número de caras. Solo hay cinco poliedros que cumplen estas condiciones: el tetraedro, el cubo (o hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y del icosaedro. Los poliedros regulares, también denominados sólidos platónicos, se pueden obtener a partir de sus desarrollos planos:

dichos polígonos se convierten en las caras del poliedro.

tetraedro

cubo

octaedro

dodecaedro

Ejemplos

Atención No se puede construir un poliedro regular con hexágonos por-

200

que la suma de los ángulos es de 360º y tiene que ser de 270º.

icosaedro

180º

7. Con triángulos equiláteros se pueden formar ángulos poliedros de 3, 4 y 5 triángulos.

240º

300º

60º 60º

60º

Tenemos, entonces, poliedros con 3, 4 y 5 triángulos por vértice. Podemos formar poliedros de 4, 8 y 20 caras, respectivamente, que corresponden al tetraedro, al octaedro y al icosaedro.

360º

tetraedro

120º

octaedro

icosaedro

8. Con cuadrados, solo se puede formar un triedro constituido por tres cuadrados. El ángulo del triedro es de 270º. Se obtiene un poliedro regular de seis caras: el cubo. 270º

90º

cubo

9. Con pentágonos regulares, solo se pueden formar triedros de tres polígonos. Se obtiene un poliedro de 12 caras llamado dodecaedro.

324º

108º

dodecaedro

Pero no es posible construir poliedros a partir de polígonos regulares con más lados que el pentágono, puesto que hace falta un mínimo de tres polígonos para construir un triedro y la suma de los ángulos sería igual o superior a 360º. Por lo tanto, solo hay cinco poliedros regulares: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Razona

4 ■ Comprueba que la siguiente figura corresponde al desarrollo de un cubo.

3 ■ Si se unen dos tetraedros por la base, se obtiene un poliedro formado por seis triángulos equiláteros. Explica por qué

5 ■ ¿Por qué no se puede construir un polie-

este poliedro no es regular.

dro de caras hexagonales?

Mates3ESO_U10.indd 200

24/1/11 17:06:35


2.2

Teorema de Euler

Un poliedro se compone de caras, aristas y vértices. En un poliedro convexo, sea regular o no, hay una relación matemática entre estos tres elementos conocida como teorema de Euler o fórmula de Euler.

Atención

Observa en la siguiente tabla que la suma de caras, C, y vértices, V, equivale al número de aristas, A, más 2.

El teorema de Euler se cumple

C+V=A+2

sin agujeros, no solo para los

poliedro

para cualquier polígono simple, regulares.

caras

aristas

vértices

tetraedro

4

6

4

cubo

6

12

8

octaedro

8

12

6

dodecaedro

12

30

20

icosaedro

20

30

12

201

Ejemplo 10. El prisma pentagonal de la figura tiene 7 caras, 15 aristas y 10 vértices. Se cumple, así, la relación C + V = A + 2, puesto que: 7 + 10 = 15 + 2

Aplica

Razona

6 ■ Comprueba el teorema de Euler para todos los polígonos

8 ■ ¿La figura adjunta es un poliedro? ¿De

regulares.

qué tipo? Cuenta el número de caras, aristas y vértices que tiene, y comprueba si en

7 ■■ El poliedro de la figura está formado por

este caso se verifica el teorema de Euler.

seis octógonos y ocho triángulos. ¿Cuántas aris-

¿Por qué?

tas tiene? Calcula el número de vértices usando la fórmula de Euler.

Mates3ESO_U10.indd 201

24/1/11 17:06:37


Geometría en el espacio

3

El teorema de Pitágoras en el espacio 3.1 Recuerda

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es

Cálculo de diagonales de un ortoedro

Para calcular las diagonales de un ortoedro de anchura a, longitud b y altura c, hay que aplicar el teorema de Pitágoras.

c =a +b 2

2

2

diagonal

c

Observa que la diagonal D es el segmento QR. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo PQR, se obtiene:

Q

P

b

a

D2 = (PQ) + c2 2

igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b.

R

S

Por otro lado, el triángulo PQS también es rectángulo: sus catetos son a y b; por lo tanto, (PQ)2 = a2 + b2. Combinando esta fórmula con la anterior se obtiene: D 2 = a2 + b2 + c 2

D = a2 + b2 + c 2

Esta última fórmula permite calcular la diagonal de un ortoedro. c

a

Ejemplo

b

11. La diagonal de un cubo de arista la unidad mide: D = a 2 + b 2 + c 2 = 12 + 12 + 12 = 3 = 1,73 cm

c=1 b=1 a=1

3.2

202

Cálculo de la apotema de una pirámide regular

Recuerda

En una pirámide regular, hay que distinguir entre la apotema de la base y la apotema de una de las caras laterales. La relación entre estas magnitudes viene dada por el teorema de Pitágoras.

B

La apotema de un polígono regular es el segmento que va

El triángulo ABC es rectángulo. La apotema de la base es el segmento AC, la apotema de una cara lateral es AB y la altura de la pirámide es el segmento BC. La relación que mantienen es AB 2 = AC 2 + BC 2 .

desde el centro del polígono al punto medio de uno de sus lados; o dicho de otro modo, centro del polígono que es per-

Llamando h a la altura de la pirámide, aC a la apotema de una cara y aB a la apotema de la base, la relación anterior se escribe:

pendicular a uno de sus lados.

aC2 = aB2 + h2

el segmento trazado desde el

C

A

Ejemplo 12. Calcula la altura de una pirámide de base cuadrada, cuyo lado mide 10 m, y la apotema de una cara, 20 m. h = aC2

aB 2

h = 202

52

h = 375 = 19,36 m

Aplica

Resuelve

9 ■ Halla la diagonal de un ortoedro de aristas 3, 4 y 12 cm.

12 ■■ El área de la base de un ortoedro de base cuadrada es de 36 dm2. Calcula la diagonal del ortoedro si su altura es de

10 ■ Calcula la apotema de una pirámide de base cuadrada,

45 cm.

cuya apotema mide 10 cm y la altura, 8 cm. ¿Cuál es el área de la base?

13 ■■ La base de una pirámide es un hexágono de 3 cm de lado. La altura de la pirámide es de 6 cm. Halla las dimensiones

11 ■ Calcula las dimensiones de la arista de una pirámide de

de la apotema de cada cara y las dimensiones de la arista de la

base cuadrada de apotema lateral 10 cm y altura 8 cm.

pirámide.

Mates3ESO_U10.indd 202

24/1/11 17:06:40


4

Área de los poliedros

4.1

Área de un prisma

El área total AT de un prisma es la suma de las áreas laterales, AL, y del área de las dos bases, AB: AT = AL + 2AB

Recuerda Las fórmulas para calcular las áreas, A, de los principales polígonos son: Rectángulo: A = b · h

Ejemplo

Cuadrado: A = c2

13. La figura muestra un prisma pentagonal recto con su desarrollo plano. El área total se obtiene a partir del área de uno de los pentágonos de la base multiplicada por 2, más el área de una de las caras rectangulares laterales multiplicada por 6.

Romboide: A = b · h D ·d Rombo: A = 2 b ·h Triángulo: A = 2 Polígono regular: A = Trapecio: A =

(B · b)h

Círculo: A = πr 2

4.2

P ·a 2

2

Área de una pirámide

El área total, AT , de una pirámide se calcula sumando el área de la base, AB , y el área lateral, AL. B apotema lateral

AT = AB + AL Si la pirámide es regular, el área lateral es P a AL = B L , en donde PB es el perímetro de 2 la base y aL , el apotema lateral.

203 C

aL (apotema lateral)

A

La utilización de formas poliédricas es una constante en la arquitectura moderna.

Como aplicarlo. Calcular el área de una pirámide regular.

Consejos

Calcula el área de una pirámide de base cuadrada de lado c = 6 cm y altura 4 cm. • Primero hay que calcular el área de la base, que es un cuadrado: AB = c2 = 62 = 36 cm2. En un cuadrado, la apotema mide la mitad que un lado, 3 cm.

Haz un esquema gráfico antes de empezar. 4 cm

No confundas la apotema de la base con la apotema del triángulo.

6 cm

• Aplicando el teorema de Pitágoras, la apotema late2 2 2 ral mide: (aL) = (aB) + h2 → (aL) = 32 + 42 = 25 → aL = 5 cm.

Mira los ejercicios: 14 pág. 203; y 69 y 71 pág. 218.

• El perímetro de la base es 6 · 4 = 24 cm. Por lo tanto, el área lateral será: 24 5 = 60 cm2, y el área total AT = 60 + 36 = 96 cm2 AL = 2

Resuelve

16 ■ La caja de un regalo tiene forma de prisma hexagonal. Si el lado

14 ■ Calcula el área total de un ortoedro de anchura a = 4 cm,

del hexágono mide 5 cm y la altura

longitud b = 5 cm y altura c = 6 cm.

del prisma, 10 cm, ¿cuál es la mínima cantidad de papel necesaria

15 ■ Una pirámide de base cuadrada tiene una base de 81 cm2.

para envolverlo?

Calcula el área total de esta pirámide si su altura es de 6 cm.

Mates3ESO_U10.indd 203

24/1/11 17:06:42


Geometría en el espacio

5

Volumen de los poliedros 5.1 Recuerda

Volumen de un ortoedro

Si tenemos un ortoedro de anchura a, longitud b y altura c, su volumen, V, se calcula multiplicando las tres dimensiones.

Un ortoedro es un paralelepí-

V=a·b·c

pedo ortogonal, es decir, las

Como el área de la base AB de un ortoedro es AB = a · b, y la altura c se puede designar como h, también se puede decir que el volumen de un ortoedro es igual al producto del área de la base por la altura.

caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Son prismas rectangulares rectos. Las caras

c

a

b

V = AB · h

opuestas de un ortoedro son

Ejemplo

iguales. Un cubo es un caso especial de ortoedro en el que

14. Las dimensiones del ortoedro de la figura son a = 3 cm, b = 4 cm y c = 4 cm. Su volumen es V = 3 · 4 · 4 = 48 cm3.

todas las caras son cuadrados.

5.2

Volumen de un prisma. El principio de Cavalieri

Piensa que dos cuerpos o más que cumplen las siguientes condiciones: • Tienen la misma altura y las áreas de sus bases son iguales. • Un plano paralelo en la base determina secciones de área igual.

204

Entonces, el volumen de estos cuerpos es igual. Esta propiedad es general y recibe el nombre de principio de Cavalieri, y permite deducir que el volumen de un prisma es el mismo que el de un ortoedro de base AB y altura h. V = AB · h Ejemplos 15. La figura contigua representa un prisma recto de base triangular, un ortoedro de base cuadrada y un prisma oblicuo de base cuadrada. Observa que los tres cuerpos verifican el principio de Cavalieri.

altura

El área de sus bases es la misma, tienen la misma altura y las secciones paralelas a la base tienen la misma área; por lo tanto, tienen el mismo volumen. 16. Calcula el volumen de un prisma oblicuo, inclinado 45º, que tiene una base cuadrada de 10 cm2 y una altura de 15 cm. El hecho de que esté inclinado no influye; se puede calcular el volumen aplicando la fórmula directamente: V = AB · h → 10 · 15 = 150 cm2.

Aplica

Resuelve

17 ■ Calcula el volumen de un prisma de base cuadrada de

19 ■ Un envase de leche tiene forma de ortoedro. Las medidas

lado 4 cm y de altura 6 cm.

de su base son 64 y 72 mm. Si la capacidad del envase es de 1 L, ¿cuál es la altura? (recuerda que una capacidad de 1 L es

18 ■ Un cubo tiene un volumen de 64 cm3. Calcula las dimen-

equivalente a un volumen de 1 dm3).

siones de su arista. ¿Cuál es el área del cubo?

Mates3ESO_U10.indd 204

24/1/11 17:06:44


5.3

Volumen de una pirámide

El volumen de una pirámide es la tercera parte del área de su base por su altura, y es equivalente a un tercio del volumen de un prisma de la misma base y altura: 1 V = AB h 3 Ejemplo 17. Observa como, en un cubo de arista c, caben 6 pirámides iguales cuya altura es la mitad de la arista. Como el volumen del cubo es V = c3, entonces, el volumen de cada pirámide es 1 c V = c 3. Teniendo en cuenta que la altura de la pirámide es h = , el volumen se 6 2 1 1 puede expresar V = c 3 = c 2 h. Como c2 es el área de la base de la pirámide AB , 6 3 1 finalmente se llega a la expresión V = AB h. 3

5.4

c c — 2

Volumen de un tronco de pirámide

Un tronco de pirámide es el cuerpo que resulta de seccionar una pirámide por un plano paralelo a la base. Si la pirámide es regular, las caras son trapecios isósceles.

205

El volumen de un tronco de pirámide es igual al volumen de la pirámide de la cual proviene menos el de la pirámide que se le corta.

Como aplicarlo. Calcular el volumen de un tronco de pirámide.

Consejos

Se corta una pirámide de base cuadrada de 10 cm de lado y altura 12 cm por un plano paralelo a 5 cm de la base. Calcula el volumen del tronco.

Hazte un esquema gráfico antes de empezar.

• Primero debes calcular el volumen de la pirámide original: 1 1 Vpirámide original = AB h 100 12 = 400 cm3 3 3 • Para calcular el volumen de la pirámide sobrante, ten en cuenta que los triángulos rectángulos ABC y A’BC’ son semejantes. Para calcular la apotema de la base 5 x se establece por Tales la relación de proporcionalidad = x = 2,92 cm. 12 7 • La longitud de la base de la pirámide sobrante es el doble de la apotema, b = 2,92 · 2 = 5,84 cm y su área A es el cuadrado de la base: A = b2 → A = 5,842 = 24,03 cm2 1 • El volumen de la pirámide sobrante es Vpirámide sobrante = 34,03 7 = 79,40 cm3. 3 • El volumen del tronco es: Vtronco = Vpirámide original − Vpirámide sobrante = 400 − 79,40 = 320,60 cm3

Recuerda las relaciones entre lados de triángulos semejantes.

Aplica

B

B

7 cm

12 cm C’ C

A’

C’ 5 cm

A

C

A’

5 cm

A

10 cm

Mira los ejercicios: 24 pág. 207; y 77 pág. 219.

21 ■ Se secciona a 4 cm de la base una pirámide de base cuadrada de 20 cm de lado y altura 30 cm.

20 ■ Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de

Calcula el volumen del tronco.

13 cm

lado a = 8 cm y altura h = 10 cm. 22 ■■ Calcula el volumen de la pirámide.

Mates3ESO_U10.indd 205

10 cm

24/1/11 17:06:46


Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono r

altura

generatriz

eje altura

generatriz

r r

radio

6.1

Área y volumen de un cilindro

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar 360º una figura plana alrededor de un eje. Los principales cuerpos de revolución son el cilindro, el cono y la esfera. Un cilindro es un cuerpo de revolución generado por la rotación de un rectángulo. El eje de rotación es uno de los lados del rectángulo. El área de un cilindro es la suma del área de las bases y del área lateral, que es un rectángulo:

base

eje de rotación

• Área de la base: AB = πr 2.

radio r

radio

altura h

altura h

altura h

• Área lateral: AL = 2πr · h. altura h

Geometría en el espacio

6

base rectángulo: 2πr

base

volumen cilindro = área base · altura

volumen prisma = área base · altura

Por lo tanto, el área total es: A = 2AB + AL → A = 2πr 2 + 2πr · h El volumen de un cilindro se calcula aplicando el principio de Cavalieri. Es, entonces, equivalente al volumen de un prisma de la misma base y altura. Como el área de la base es AB = πr 2: V = AB · h → V = πr 2 · h

Ejemplo 18. Para calcular el área y el volumen de un cilindro con un radio de 30 cm a la base y 60 cm de altura, solo hay que aplicar las fórmulas:

206

Área: A = 2πr 2 + 2πr · h = 2πr(r + h) = 2 · 3,14 · 30(30 + 60) = 16 956 cm2. Volumen: V = πr 2 · h = 3,14 · 302 · 60 = 169 560 cm3.

6.2

Área de un cono

Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto. La generatriz, g, del cono es la hipotenusa del triángulo rectángulo. El desarrollo plano del cono consta de un sector circular, cuyo radio es la generatriz, y de un círculo.

vértice longitud del arco: 2πr

altura

generatriz

El área del cono se obtiene sumando el área del sector circular y el área del círculo que forma la base. radio base

generatriz

eje de rotación

radio: r

Para calcular el área del sector circular, hay que tener en cuenta la longitud de su arco. Si r es el radio de la base, la longitud del arco es l = 2πr. Entonces, el área del sector es As = πr · g. Por lo tanto, el área total del cono será: A = πr · g + πr 2

Ejemplo 19. Calcula el área de un cono de 30 cm de altura y 20 cm de radio. Para poder aplicar la fórmula hace falta la generatriz. Teniendo en cuenta que equivale a la hipotenusa de un triángulo de catetos 30 cm y 20 cm, la generatriz se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras: g = 302 + 202 = 900 + 400 = 36,05 cm. A = πr · g + πr2 → A = πr (g + r) → A = 3,14 · 20 (36,05 + 20) = 3 519,94 cm3

Mates3ESO_U10.indd 206

24/1/11 17:06:47


6.3

Volumen de un cono

El volumen del cono se puede obtener por analogía con el volumen de una pirámide aplicando el principio de Cavalieri. Es decir, el volumen de un cono de altura h es el mismo que el volumen de una pirámide de la misma altura: V=

1 A h 3 B

r2 h 3

V=

Recuerda La sección de un cono y de una pirámide con la misma base y la misma altura, por un plano situado en la misma altura, tie-

V=

r 2 h 3,14 302 60 169 560 = = = 56 529 cm3 3 3 3

6.4

altura

20. Para calcular el volumen de un cono con una base de 30 cm de radio y una altura de 60 cm solo hay que aplicar la fórmula:

altura

nen la misma área.

Ejemplo

Área y volumen de un tronco de cono

Cuando se secciona un cono por un plano paralelo a la base, se obtiene una figura llamada tronco de cono. Su área es la suma del área de las bases más el área lateral:

cono sobrante

207

• Área de las bases: AB = πR2 + πr2, en donde R es el radio de la base grande, y r, el de la pequeña.

r r

• Área lateral: es un trapecio circular limitado por dos arcos de longitudes 2πR y 2πr, respectivamente. El área lateral es, pues, la de un trapecio de bases 2πR y 2πr y de altura g (g es la generatriz del tronco de cono), por lo tanto:

(2

2πr

generatriz r R

R + 2 r)g

= (R + r ) g 2 El volumen se obtiene restando el volumen del cono grande y el del cono sobrante: AL =

2πr

V = Vcono grande − Vcono sobrante

Recuerda Dos triángulos rectángulos con un ángulo común son

Ejemplo

semejantes.

A

21. Para calcular el área de un tronco de cono con una base grande de 30 cm de radio, una pequeña de 15 cm y una generatriz de 10, solo hay que aplicar las fórmulas: AB = πR2 + πr2 → AB = 3,14(302 + 152) → AB = 3 532,5 cm2 AL = π(R + r) = 3,14(30 + 15)10 = 1 413 cm

AC CB AB —— = —— = —— AC’ CB’ AB’ C

B

2

A = AB + AL = 3 532,5 + 1 413 = 4 945,5 cm2

Resuelve

C’

B’

25 ■ Una lata mide 6,5 cm de diámetro y 10,5 cm de altura. ¿Qué volumen tiene? ¿Con cuánto material se ha construido?

23 ■ Calcula el área y el volumen de un cilindro de 10 cm de altura si tiene un diámetro de 5 cm. ¿Qué capacidad en litros tiene?

26 ■■ La generatriz de un cono mide 15 cm y la base tiene un radio de 9 cm. Calcula el volumen y el área del cono. Si se

24 ■ Calcula el volumen y el área de un cono de 12 cm de

secciona por un plano situado a 4 cm de la base, calcula el área

altura si el radio de la base es de 4 cm.

y el volumen del tronco de cono resultante.

Mates3ESO_U10.indd 207

24/1/11 17:06:48


Geometría en el espacio

7

Simetría y semejanza en los cuerpos geométricos 7.1

Elementos de simetría. Plano de simetría

Los elementos de simetría que puede tener un polígono son: • En el plano, los ejes de simetría y los centros de simetría. • En el espacio, los planos de simetría, que son los que estudiarás en esta unidad. Un plano de simetría es una superficie que divide el objeto en dos mitades especulares iguales. Ejemplo 22. Los puntos M1, M2, M3 y M4 son los puntos medios de dos parejas de aristas paralelas. El plano que determinan divide el cubo en dos mitades iguales. Observa que los dos vértices A y A’, situados en la misma arista, son puntos simétricos respecto del punto M1.

Los minerales cristalizan en forma de poliedros. La halita o la sal gema, por ejemplo, cristaliza en forma

El plano determinado por los puntos M1, M2, M3 y M4 es uno de los diversos planos de simetría de un cubo.

de cubos.

7.2

A’ M2

M1 A

M3

M4

Planos de simetría de los poliedros regulares

Todos los poliedros regulares tienen planos de simetría.

Atención

208

Ejemplo 23. Fíjate en el número de planos de simetría de cada poliedro regular en la siguiente tabla:

Todos los poliedros regulares tienen planos de simetría, pero no todos los poliedros los tienen, como, por ejemplo, este prisma de caras romboédricas: C ` A

_&`&a&90º

planos de simetría

tetraedro

Tiene seis planos de simetría. Cada plano pasa por una arista y por el punto medio de la arista opuesta.

cubo

Tiene nueve planos de simetría. Hay tres que pasan por el punto medio de aristas paralelas, y seis que pasan por dos aristas opuestas.

octaedro

Tiene nueve planos de simetría. Seis planos que pasan por los puntos medios de dos aristas opuestas y tres planos que pasan por un par de vértices opuestos.

dodecaedro

El dodecaedro tiene quince planos de simetría. En la figura puedes observar uno.

icosaedro

El icosaedro tiene quince planos de simetría. En la figura puedes observar uno.

_ a

Mates3ESO_U10.indd 208

poliedro

ejemplo

B

24/1/11 17:06:50


7.3

Planos de simetría de otros poliedros y de los cuerpos de revolución

• Los prismas rectos tienen tantos planos de simetría como ejes de simetría tengan las bases y, además, un plano paralelo a una de las bases que los secciona por la mitad. • Respecto a las pirámides rectas, la situación es la misma que la de los prismas en cuanto a los ejes de simetría de la base, pero no tienen plano de simetría paralelo a la base. • Los cuerpos de revolución tienen infinitos planos de simetría perpendiculares a la base que contiene el eje de rotación. En el caso de la esfera, todo plano que seccione la esfera y pase por su centro es un eje de simetría. Ejemplos 24. Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, por lo tanto, un prisma con esa base tendrá tres planos perpendiculares a las bases y un plano paralelo a ellas que lo seccione por la mitad. La figura muestra los ejes de simetría de un triángulo equilátero y su correspondencia con los planos de simetría del prisma. 25. Observa algunos de los infinitos planos de un cuerpo de revolución. En el cono y el cilindro, los planos de simetría son perpendiculares a la base y contienen el eje de rotación. En la esfera, cualquier plano que pase por el centro es un plano de simetría.

7.4

planos de simetría perpendiculares a las bases

plano de simetría paralelo a las bases eje de rotación

eje de rotación

eje de rotación

209

Semejanza en cuerpos geométricos

La razón de semejanza, k, entre las áreas de dos poliedros construidos a partir de polígonos semejantes es k2 y la razón entre los volúmenes es k3. Ejemplo 26. Los dos paralelepípedos de la figura están construidos a partir de paralelogramos semejantes. La razón de semejanza entre las aristas es 2 (2 : 1 = 2). Observa que la razón de las áreas de los paralelogramos que forman los dos cuerpos es el cuadrado de la razón de semejanza (22 = 4), y que caben 8 cuerpos como el primero en el segundo. Por lo tanto, la razón entre volúmenes es el cubo de la razón de semejanza (23 = 8).

Aplica

29 ■ ¿Cuántos planos de simetría tiene una pirámide regular de base cuadrada?

27 ■ Dibuja los ejes de simetría de un rectángulo y úsalos para deducir los ejes de simetría de un ortoedro. 28 ■ ¿Cuántos planos de simetría tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular?

30 ■ Un cubo tiene 2 cm de arista, y otro tiene una arista de 8 cm. ¿Qué relación hay entre los dos volúmenes? 31 ■■ Un tetraedro tiene una arista de 4 cm. Calcula el volumen. ¿Cuál será el volumen de un tetraedro de 6 cm de arista?

Mates3ESO_U10.indd 209

24/1/11 17:06:52


Geometría en el espacio

8

La esfera y el globo terráqueo 8.1

Concepto de esfera y sus elementos

Una esfera es un cuerpo de revolución generado por un giro de 360º de un semicírculo alrededor de su diámetro. Todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto llamado centro. La distancia de un punto al centro se denomina radio de la esfera, y se corresponde con el radio de la semicircunferencia que la genera. Además, en la esfera hay que considerar los siguientes elementos:

Atención

• Círculos. Son secciones determinadas por un plano que corta la esfera. Si el plano pasa por el centro, el círculo es máximo; en caso contrario, el círculo se denomina menor. • Polos. Son los dos extremos opuestos al diámetro perpendicular de un círculo.

No confundas superficie esférica con esfera: Cuando hablamos de esfera,

• Casquetes esféricos. Son la parte menor de la superficie esférica determinada por la sección de un plano. Ejemplo

nos referimos a todo el cuerpo. Cuando hablamos de superfi-

polo

27. Fíjate en los elementos de esta esfera:

cie esférica, nos referimos a la superficie que la limita.

círculo menor

90º radio

círculo máximo

polo

casquete

210 8.2

Área y volumen de una esfera

El área, A, de una superficie esférica de radio r es: A = 4πr 2 A diferencia del cilindro y el cono, la esfera no admite un desarrollo plano. Esto hace que el área de una superficie esférica no sea fácil de deducir. El volumen, V, se puede deducir aplicando el principio de Cavalieri. Arquímedes imaginó una semiesfera, un cono y un cilindro con la misma altura y la misma base. Dedujo que seccionando los tres cuerpos para un plano horizontal que los cortara por la mitad de la altura, la sección del cilindro sería la suma de las áreas de las secciones del cono y de la semiesfera. r d

d

r

r

Por lo tanto, aplicando el principio de Cavalieri: Vcilindro = Vcono + Vsemiesfera, y por lo que: 1 2 2 3 Vsemiesfera = Vcilindro − Vcono = r 2 r r r= r 3 3 El volumen de la esfera se obtiene multiplicando por 2 el volumen de la semiesfera, es decir: 4 3 Vesfera = r 3 Ejemplo 28. Calcula el área de la superficie esférica y el volumen de una esfera de 2 dm de radio. A = 4πr 2 → A = 4 · 3,14 · 22 = 50,27 dm2 4 3 4 V= r V= 8 = 33,51 dm3 3 3

Mates3ESO_U10.indd 210

24/1/11 17:06:54


8.3

El globo terráqueo

La Tierra tiene forma de esfera ligeramente achatada por los polos debido al movimiento de rotación. Su superficie también presenta otras irregularidades. En términos relativos, la diferencia entre una esfera perfecta y la forma real de la Tierra es muy pequeña y, en la práctica, se habla de la esfera terrestre o globo terráqueo. Hay que distinguir los siguientes elementos: • Eje de rotación. Es el eje imaginario alrededor del cual la Tierra efectúa diariamente un movimiento de rotación. • Polos. Son los puntos en que el eje de rotación corta la superficie terrestre. Se distingue el polo norte y el polo sur. • Círculo ecuatorial. Es el círculo máximo perpendicular al eje de rotación. Divide la esfera terrestre en dos mitades iguales, que se denominan hemisferio norte y hemisferio sur. La circunferencia que corresponde al círculo ecuatorial es el ecuador.

Imagen de la Tierra vista desde el espacio. Se puede apreciar un ligero aplastamiento por los polos (21 km) debido la rotación.

• Meridianos. Son las circunferencias máximas que pasan por los polos. Hay infinitos meridianos. • Paralelos. Son las circunferencias menores paralelas al ecuador. Hay infinitos paralelos, y todos son perpendiculares al eje de rotación. • Huso esférico o huso terrestre. Es la parte de la superficie terrestre limitada por dos meridianos. Ejemplo

Atención Todos los meridianos tienen la misma longitud, mientras que la longitud de los paralelos decrece del ecuador a los polos.

211

29. Identifica los elementos del globo terráqueo. polo norte paralelo

ecuador

meridianos eje de rotación

polo norte paralelo polo sur ecuador

círculo ecuatorial

huso esférico

polo sur

Resuelve

34 ■ ¿Cuál es la distancia máxima que puede haber entre dos puntos de la Tierra?

32 ■ Calcula el área y el volumen de una esfera de 4 dm de radio. 35 ■ ¿Cuál es el radio de una esfera si su volumen es 100 m3? 33 ■ El radio de la Tierra es de unos 6370 km. Calcula: a) La longitud de una circunferencia máxima.

36 ■■ Nos dicen que el volumen de una esfera es igual al valor

b) El área de la superficie terrestre.

numérico de su área. ¿Cuánto mide el radio si tomamos como

c) Su volumen.

unidad de medida el metro?

Mates3ESO_U10.indd 211

24/1/11 17:06:56


Geometría en el espacio

8.4

Longitud y latitud

Los meridianos y los paralelos forman una cuadrícula imaginaria que permite definir la posición de un punto cualquiera de la superficie terrestre conociendo su latitud y longitud.

Hasta hace pocos años, para determinar las coordenadas de un punto se utilizaban instrumentos, como el sextante, basados en la posición del Sol. Actualmente se utilizan los GPS.

A

212

Valencia 39º 28’ 12’’ N 0º 22’ 36’’ O Buenos Aires 35º 29’ 18’’ S 62º 58’ 31’’ O

Para definir estos conceptos se necesita un meridiano de referencia, que es el meridiano de Greenwich o meridiano cero, y un paralelo de referencia, que es el ecuador. • La latitud geográfica de un punto P es la medida del arco comprendido entre el ecuador y ese punto. Los valores de la latitud están comprendidos entre 0º (que correspondería a un punto sobre el ecuador) y 90º (que correspondería a un punto situado sobre uno de los polos). Un punto tiene latitud norte si está situado al norte del ecuador o latitud sur si está situado al sur del ecuador.

meridiano de Greenwich

polo norte

meridiano que pasa por P

P ecuador B

A

polo sur la longitud de P es la medida, en grados, del arco AB. polo norte paralelo que pasa por P

P ecuador A

polo sur La longitud de P es la medida, en grados, del arco AB.

• La longitud geográfica de un punto P es la medida en grados del arco comprendido entre el meridiano de Greenwich y el meridiano que pasa por el punto P. Los valores de la longitud están comprendidos entre 0º y 180º. Un punto tiene longitud este si está situado al este del meridiano de Greenwich o longitud oeste si está situado al oeste de ese meridiano. Ejemplo 30. Fíjate en la cuadrícula terrestre. El punto A tiene latitud norte y longitud oeste, y el punto B tiene longitud este y latitud sur.

B

8.5

Las coordenadas geográficas

Las coordenadas geográficas de un punto son su latitud y su longitud. Se indica primero la latitud y después la longitud, normalmente separadas por una coma. Ejemplo 31. Las coordenadas geográficas de Valencia son 39° 28’ 12” N, 0° 22’ 36” O. Esto quiere decir que está situada 39° 28’ 12” al norte del ecuador y 0° 22’ 36” al oeste del meridiano de Greenwich. Las coordenadas de la ciudad de Buenos Aires (Argentina) son 35° 29’ 18” S, 62° 58’ 31” O. Esto quiere decir que está situada 35° 29’ 18” al sur del ecuador y 62° 58’ 31” al oeste del meridiano de Greenwich.

Aplica

39 ■ Busca en un atlas o por Internet las coordenadas geográficas de las ciudades de Madrid, Barcelona, Berlín, Moscú y

37 ■ Sabiendo que la circunferencia de la Tierra es de unos 40 000 km, ¿qué distancia sobre un meridiano habrá entre dos

Ciudad del Cabo.

puntos cuya diferencia de latitud es de 2º?

Razona

38 ■ Calcula la distancia entre el polo norte y el polo sur.

40 ■ ¿Hay algún punto de la Tierra cuya latitud sea 92º N?

Mates3ESO_U10.indd 212

24/1/11 17:06:58


8.6

Rotación y diferencia horaria

La Tierra tarda 24 horas en dar una vuelta entera sobre sí misma (movimiento de rotación). Como tiene forma esférica, los rayos solares no iluminan a la vez toda su superficie y el Sol describe en el cielo un movimiento aparente de este a oeste. En consecuencia, dos puntos alejados (en longitud) de la Tierra tienen una hora solar diferente. Por el contrario, dos puntos situados sobre el mismo meridiano reciben la misma iluminación y tienen la misma hora. Ejemplo 32. Teniendo en cuenta que la Tierra tarda 24 h en hacer un giro de 360º, cada hora 360o girará = 15o. 24 Por lo tanto, si entre dos puntos de la Tierra hay una diferencia de longitudes de 15º, su diferencia horaria solar es de 1 h.

8.7

Las diferencias horarias se explican por la forma y la rotación de la Tierra.

Las zonas horarias

Atención 213

coordenadas de un lugar no estén expresadas en el sistema cambio de fecha

meridiano de Greenwich

Te puedes encontrar que las

cambio de fecha

Las zonas horarias o husos horarios se corresponden, aproximadamente con meridianos separados por 15º, para los cuales se establece una hora oficial. Para simplificar, se establece que dos puntos situados dentro del mismo huso horario tienen la misma hora oficial, aunque su hora solar no sea exactamente la misma.

sexagesimal, sino en metros. Se trata del sistema de coordena-

Las zonas horarias presentan límites –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 –11 irregulares que a menudo no coinciden con los 15º de amplitud, fruto de su acomodación a las fronteras estatales y regionales.

das UTM (Universal Transversal

Las zonas horarias tienen como referencia el meridiano de Greenwich. Como la Tierra gira de oeste a este, se añade una hora cada 15º al este y se resta una hora cada 15º al oeste.

a E 430698,8; N 4582145,4.

de Mercator). Barcelona, en coordenadas UTM, está situada

Ejemplo 33. Barcelona tiene una longitud de 2º 10’ E y Buenos Aires de 62º 58’ O. ¿Cuál es la diferencia horaria solar que hay entre las dos ciudades? Hay que tomar las longitudes este como positivas y las oeste como negativas y restar: 2º 10’ − (−62º 58’) = 64º 68’ = 65º 8’ = 65,13º (en forma incompleja). Como cada hora gira 15º, tenemos que: 65 : 15 = 4,35 h = 4h 20 min.

Resuelve

43 ■■ Busca las coordenadas geográficas del cabo de Creus y de Finisterre y calcula la diferencia horaria solar.

41 ■ Un huso horario equivale a una diferencia de longitud de 15º. ¿Qué distancia sobre el ecuador habrá entre dos puntos separados por un huso horario?

44 ■■ Observa un mapa y halla la diferencia horaria entre la España peninsular y Argentina. 45 ■■ En un billete de avión leemos la siguiente información:

42 ■ Busca las coordenadas geográficas de París y Nueva York,

salida de Málaga, 12.35 h; hora de llegada a Estambul, 16.50 h.

y calcula la diferencia horaria.

¿Cuánto ha durado el vuelo?

Mates3ESO_U10.indd 213

24/1/11 17:07:02


Todo son matemáticas

Las matemáticas de Escher Maurits Cornelis Escher (1898-1972) es el artista más admirado por el mundo matemático. Después de dejar los estudios de arquitectura, destacó especialmente como dibujante y grabador. Una parte importante de su obra se expone en el Museo Escher de La Haya (Países Bajos). Las construcciones de Escher se inspiran en la matemática y los temas que tratan se pueden dividir en tres grandes grupos: la forma del espacio, la lógica del espacio y el autorreferencia. LA FORMA DEL ESPACIO (geometría no euclidiana)

214

Estas obras se basan en un esquema del matemático francés Henri Poincaré, que describía el comportamiento de un espacio hiperbólico, un tipo de geometría no euclidiana, es decir, en la cual no se cumplen los clásicos postulados de Euclides, como por ejemplo, que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta.

Imagina que fueras bidimensional y que vivieras dentro de este grabado. Empezando desde el centro, a medida que te acercaras a los lados, te harías pequeño y, así, nunca podrías llegar, porque tus pasos serían también cada vez más cortos.

LA LÓGICA DEL ESPACIO Por «lógica del espacio» se entienden las relaciones habituales que hay entre los objetos del espacio según nuestra percepción. Cuando se viola esta lógica, aparecen las paradojas visuales y las ilusiones ópticas. En su obra, Escher nos reta a determinar si son posibles o no algunos volúmenes en el espacio, juega con los conceptos de dentro y fuera (triángulo de Penrose), crea paradojas infinitas (como el efecto Droste) o escaleras que suben y bajan al mismo tiempo. Una imagen que exhibe el efecto Droste contiene una versión más pequeña de sí misma, que a la vez incluye una versión, en un lugar similar, todavía más pequeña y así sucesivamente.

Mates3ESO_U10.indd 214

24/1/11 17:07:10


Geometría en el espacio

AUTORREFERENCIA La autorreferencia es la capacidad de referirse a uno mismo, y está relacionada con la conciencia, la posibilidad de los seres humanos de pensar en su propia existencia. Escher aborda la autorreferencia en su obra de manera clásica: «¿Quién mira a quién cuando nos miramos en un espejo?». O con efectos totalmente nuevos como «La obra que se crea a sí misma».

Analiza e investiga 1. Busca cuáles son los axiomas o postulados de Euclides y cómo los modificaron matemáticos como Gauss, Lobachevski, Bolyai o Riemann para definir otras geometrías no euclidianas. Busca ejemplos

215

de imágenes que aparentemente violen alguno de los postulados de Euclides. 2. Explica qué es la lógica del espacio. ¿Cómo se puede relacionar con la creación artística? 3. Formad parejas, con ayuda del profesor, y con una cámara fotográfica digital y algún sistema de reflexión (espejos) o un ordenador, intentad crear imágenes con el efecto Droste. Confeccionad un pequeño trabajo, mural o presentación de diapositivas sobre la obra creada y explicad los detalles más relevantes. 4. Buscad información sobre el juego de ordenador Echochrome. ¿En qué se basa? ¿Cómo se relaciona con la obra de Escher? 5. Los escritores y guionistas a menudo utilizan el recurso de la «historia circular» o la «autorreferencia». Explica en qué consisten estos recursos y busca ejemplos de obras literarias o cinematográficas en que se utilicen.

Mates3ESO_U10.indd 215

24/1/11 17:07:17


Geometría en el espacio

Esto es básico Poliedro. Región del espacio limitada por polígonos. vértice

diagonal

Fórmula de Euler. Relación entre el

cara

Poliedro convexo. Todo segmento

poliedro cóncavo

número de caras, C, aristas, A, y vér-

entre dos puntos es completamente

tices, V, de un poliedro simple, sin

interior.

agujeros.

Poliedro cóncavo. Caso contrario. C+V=A+2

arista

poliedro convexo

Poliedros regulares. Sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo número de caras.

tetraedro

cubo

octaedro

dodecaedro

icosaedro

Prismas. Poliedros formados por dos bases poligonales iguales y

Pirámides. Poliedros formados por una base poligonal y por ca-

caras laterales rectangulares. Pueden ser rectos u oblicuos.

ras laterales triangulares. Pueden ser rectas u oblicuas.

base

base cares laterals

altura

base prisma recto

cúspide

base altura

base paralelepípedo

altura

A = 2AB + AL V = AB · h

base prisma oblicuo

caras laterales

altura

A = 2AB + AL 1 V = AB h 3

base

Figura de revolución. Cuerpo generado por una figura plana cuando gira 360º alrededor de un eje.

216

Cilindro. Cuerpo generado por la revolu-

Cono. Cuerpo generado por la revolución

Esfera. Cuerpo generado por la revolu-

ción de un rectángulo.

de un triángulo rectángulo. 1 2 vértice V= r h 3 generatriz A = πr · g + πr2

ción de un semicírculo.

eje de rotación

base

A = 2πr2 + 2πr · h V = πr · h

altura h

altura h

2

90º radio

círculo máximo

A = 4πr 2 4 3 V= r 3

radio

radio

base eje de rotación

base

El globo terráqueo

círculo menor

polo norte

casquete

eje de rotación

Longitud. Medida del arco comprendido entre el meridiano de Greenwich y el que pasa por un punto.

polo norte

ecuador ecuador 90º

Huso horario. Zona entre dos meridianos separados por una longitud de 15º. La diferencia horaria entre dos husos es una hora.

Latitud. Medida del arco sobre el meridiano entre el ecuador y un punto. Meridianos. Circunferencias máximas que pasan por los polos.

polo sur

Paralelos. Circunferencias menores paralelas al ecuador.

círculo ecuatorial polo sur

Cómo aplicarlo Procedimiento

Paso a paso

Aplicar el principio

1. Asegúrate de que los dos cuerpos tienen la misma altura.

de Cavalieri para deducir

2. Verifica que las áreas de sus bases respectivas son iguales.

el volumen de un cuerpo

3. Verifica que dos secciones paralelas en la base tengan la misma área.

cualquiera a partir de otro

4. Si se cumplen todas estas condiciones, el volumen de los dos cuerpos es igual y puedes aplicar la fórmula del cuerpo de forma más regular.

Calcular la diferencia horaria

1. Resta las longitudes de los puntos respectivos. Hay que tomar las longitudes este como positivas

solar entre dos puntos

y las oeste como negativas. 2. Divide la diferencia obtenida entre 15º. El resultado es la diferencia en horas solares.

Mates3ESO_U10.indd 216

24/1/11 17:07:19


52 ■ Para contar las aristas de un poliedro formado por más de

Ángulos en el espacio y poliedros

un tipo de polígono, se puede hacer lo siguiente: 1. Se multiplica el número de caras de cada tipo por el número

46 ■ Define los siguientes términos: a) Ángulo diedro

d) Arista

g) Diagonal

de lados que tiene cada una.

b) Ángulo poliedro

e) Vértice

h) Poliedro

2. Se suman los resultados y se divide el total por 2, para no con-

c) Triedro

f) Cara

tar una misma arista dos veces. Calcula aplicando este método el número de aristas de una pirá-

47 ■ Clasifica los siguientes cuerpos en poliedros cóncavos,

mide hexagonal.

convexos y formas no poliédricas. c) a)

d)

b)

Geometría en el espacio

Actividades

48 ■ Observa los diferentes desarrollos planos de algunos poliedros. Identifica cada desarrollo con el poliedro correspondiente. a)

b)

c) 53 ■■ Fíjate en este poliedro llamado cubooctaedro. Está formado por 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Calcu-

217

la el número de caras, aristas y vértices que tiene. 54 ■■ Si se une el centro de cada cara de un cubo, se obtiene un octaedro. El octaedro así obtenido se denomina

Poliedros regulares. Teorema de Euler

poliedro dual del cubo. a) Halla la relación que hay en-

49 ■ Los poliedros con cavidades no tienen que cumplir necesa-

tre el número de aristas de los

riamente la relación de Euler. Compruébalo con estos ejemplos:

dos poliedros.

a)

b)

b) Halla la relación que hay entre el número de caras del cubo y el número de vértices del octaedro. c) Halla la relación que hay entre el número de vértices del cubo y el número de caras del ortoedro. 55 ■■ ¿Cuáles son los poliedros duales de un tetraedro y de un

50 ■ Un método para contar las aristas de un cubo es:

octaedro?

1. Como un cubo tiene 6 caras que son cuadrados, se multiplica el número de caras por el número de lados: 6 · 4 = 24. 2. Se divide el número resultante por 2, para no contar la misma arista dos veces. El número de aristas es, por lo tanto, 12. Comprueba, siguiendo este método, que el número de aristas de

El teorema de Pitágoras en el espacio 56 ■ Calcula la diagonal de un cubo de 2 cm de arista.

los poliedros regulares es: Tetraedro: 6, cubo: 12, octaedro: 12, dodecaedro: 30 e icosae-

57 ■ ¿Cuál es la distancia máxima que puede haber entre dos

dro: 30.

puntos de un cubo cuya arista mide 5 cm?

51 ■ Aplica la fórmula de Euler para deducir el número de vérti-

58 ■ Calcula la diagonal de una caja de zapatos de:

ces de los poliedros regulares.

Mates3ESO_U10.indd 217

3 × 20 × 15 dm

24/1/11 17:07:21


Geometría en el espacio

59 ■ Para poner los lápices usamos un

65 ■■ Tenemos un tetraedro de 10 cm de arista.

recipiente cilíndrico con las dimensiones

a) Calcula el área de cada triángulo.

representadas en la figura. ¿Cuánto mide

b) Calcula el área total del tetraedro.

el lápiz más largo que se puede poner sin

18 cm

 Las

66 ■■

que sobresalga?

bases de cierto prisma

6 cm

9 cm

son triángulos isósceles. Calcula el área total del prisma, cuyas dimensiones se especifican en la siguiente figura:

8 cm

12 cm

60 ■ La caja de transporte de una furgoneta mide 2 m de longitud, 1,25 de anchura y 1,10 m de altura. Hay que transportar en ella un listón de 2,5 m. a) Calcula si este listón cabe metido en diagonal, apoyado sobre el suelo de la caja. b) Calcula si cabe metido en diagonal, de un ángulo superior a un ángulo inferior.

67 ■

 Calcula el área de un octoedro de 10 cm de arista.

68 ■ Calcula la diagonal de un cubo si su área total es de 54 cm2. 69 ■■ La arista de una pirámide de base cuadrada mide 13 cm, mientras

13 cm

que su arista básica mide 10 cm. Calcula el área total de la pirámide. 10 cm

218

70 ■■ Calcula las áreas de los siguientes troncos de pirámide: 12 cm

5 cm

61 ■ Calcula la altura de una pirámide de base cuadrada, cuyo

6 dm

lado mide 20 m sabiendo que la apotema de una cara mide 45 m.

8 dm

62 ■ La apotema de la base de una pirámide hexagonal mide 20 m, y la apotema de una cara, 45 m. Calcula la altura de esa

15 dm

pirámide.

8 cm

71 ■■■ Tenemos una pirámide regular de base cuadrada. La arista de la base mide 12 cm, y la altura, 15 cm.

Área de los poliedros 63 ■

a) Calcula el área.

 Calcula el área total de:

b) Calcula el área del tronco de pirámide resultante de

a) Un cubo de 4 cm de arista.

seccionarla por un plano paralelo a la base, de manera

b) Un ortoedro de aristas 3, 6 y 9 dm.

que la altura del tronco resultante es de 3/5 partes de la altura de la pirámide.

64 ■■ Un hexágono regular se puede descomponer en triángulos equiláteros tal como indica la figura:

Volumen de los poliedros

a) Halla la apotema de un he-

60º

72 ■

xágono regular cuyo lado mide 6 cm.

60º

 Calcula el volumen de los siguientes poliedros: a) Un cubo de arista 5 dm.

60º

b) Un ortoedro de dimensiones:

b) Calcula el área total de un prisma hexagonal regular de

a = 5, b = 12 y c = 13 cm

arista básica l = 6 cm y de altura

c) Una pirámide de base cuadrada de 6 cm de arista bá-

12 cm

h = 12 cm.

sica y 7 cm de altura. d) Un prisma pentagonal de 10 cm de arista básica, 6 cm

Mates3ESO_U10.indd 218

6,88 cm de apotema y 15 cm de altura.

24/1/11 17:07:23


 Las dimensiones de un envase de leche son 21,7 cm

73 ■■ Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada

81 ■■

sabiendo que la arista básica y la arista lateral son iguales y miden

de altura, 6,4 cm de anchura y 7,2 cm de longitud.

6 cm.

a) ¿Cuál es la capacidad aproximada en litros?

74 ■■

 Calcula el volumen de un octaedro de arista 6 cm.

b) ¿Cuáles serían las dimensiones de un envase cúbico que tuviera la misma capacidad? c) ¿Cuál crees que es el

75 ■ Calcula el área de un cubo si sabemos que tiene un volu-

envase más económico (es

men de 100 dm .

decir, que requiere menos

3

material) para el fabricante: 76 ■■ Calcula el volumen del octaedro

21,7 cm

el cúbico o el prismático?

de la figura si sabemos que la arista del cubo mide 10 cm. 6,4 cm

77 ■■ Calcula el volumen de los siguientes troncos de pirámide: a)

b)

82 ■ Dibuja los planos de simetría de un cuadrado y úsalos para deducir los ejes de simetría de un ortoedro.

12 cm

5 cm

7,2 cm

Geometría en el espacio

Actividades

6 dm

83 ■ Dibuja los planos de simetría de un triángulo isósceles y

8 dm

utilízalos para deducir los ejes de simetría de un prisma que tenga esta base.

15 dm

84 ■ Dibuja los planos de simetría de un hexágono regular y

8 cm

utilízalos para deducir los ejes de simetría de un prisma de base

219

hexagonal.

78 ■■ Calcula el volumen del siguiente poliedro: 2 cm

85 ■■ Dibuja un ortoedro de base cuadrada y oblicuo y haz un esquema de los planos de simetría.

2 cm

2 cm

86 ■■ Dibuja una pirámide de base pentagonal y haz un esque-

5 cm

ma de los planos de simetría.

6 cm

87 ■■ Un cubo tiene 4 cm de arista, y otro cubo tiene una arista 79 ■■ Las dimensiones de una tuer-

de 8 cm.

1 cm

a) Calcula el volumen de cada uno.

ca son las que se indican en la siguien-

b) ¿Qué relación de proporcionalidad hay entre los dos

te figura: 3 cm

Calcula el volumen.

volúmenes? c) ¿Y entre las áreas?

2 cm

88 ■■ Un tetraedro regular tiene una arista a de 3 cm. 80 ■■ Se quiere construir un

a) Calcula el volumen (V =

1,5 m

silo para forraje con forma de

2 3 · a ). 12

b) ¿Cuál será el volumen de un tetraedro de arista 6 cm?

ortoedro, con una pirámide invertida tal como se puede ver

3m

en la siguiente figura.

c) ¿Qué relación habrá entre ambos?

a) Calcula los metros cua-

89 ■■ La arista lateral de una pirámide de base cuadrada es de

drados de plancha metáli-

13 cm y la arista básica mide 10. Calcula su volumen.

ca que harán falta. 90 ■■ Se secciona una pirámide cuadrangular regular de 20 cm

b) Halla el volumen de forraje que podrá almacenar.

Mates3ESO_U10.indd 219

1,5 m

de arista básica y de 30 cm de altura por un plano paralelo a 10 cm de la base. Calcula el volumen del tronco de la pirámide resultante.

24/1/11 17:07:25


Geometría en el espacio

99 ■■ Explica si es posible calcular el volumen de una columna

Cuerpos de revolución: el cilindro y el cono

como la de la figura aplicando el principio de Cavalieri.

91 ■■ El perímetro de la base de un cono mide 80 cm. Si la altura del cono es de 20 cm, calcula el volumen y el área. 92 ■ La generatriz de un cono mide 25 cm. Calcula el área y el volumen del cono si el diámetro de la base de este mide 14 cm. 93 ■■ Calcula el volumen y el área de un cono de 12 cm de altura si el radio de la base mide 9 cm. 100 ■ Se quiere construir un embudo cónico de 400 cm3. El 94 ■ Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos de

diámetro tiene que medir 20 cm. ¿Cuánto mide la generatriz?

revolución: a) Un cilindro de 5 cm de radio y 8 cm de altura.

101 ■■ Se secciona un cono de 15 cm de generatriz por un

b) Un cono de 8 cm de radio y 10 cm de generatriz.

plano situado a 4 cm de la base. Calcula el área y el volumen del

c) Una esfera de 5 cm de diámetro.

tronco de cono resultante.

95 ■■ Tenemos un tronco de cono de diámetros 8 y 5 cm, y de altura 4 cm. Calcula: a) El volumen.

b) El área lateral.

c) El área total.

La esfera y el globo terráqueo 102 ■ Una esfera tiene un volumen de 100 dm3. Calcula el área.

96 ■■ Una lámpara de mesa tiene una pantalla en forma de

220

tronco de cono que tiene las siguientes dimensiones: radios: 35

103 ■ Los depósitos de gas se construyen normalmente de for-

y 25 cm, y 20 cm de altura. Calcula la cantidad de material que

ma esférica y no cúbica. Razona por qué.

se necesita para construirla. 104 ■■ El área de un cubo es de 150 cm2. Calcula el área de una esfera con el mismo volumen que este cubo. 105 ■■ Se sumerge una esfera de 1 dm de diámetro en un recipiente cúbico de 1 L de capacidad lleno de agua hasta arriba. ¿Qué volumen de líquido se derramará? 106 ■ Tenemos una esfera inscri97 ■■ Tenemos un tronco de cono con un volumen de 50 cm

ta en un cubo de 5 cm de arista.

y una altura de 12 cm. Calcula:

Calcula el porcentaje de volumen

a) La generatriz.

del cubo que no está ocupado por

b) El área lateral.

el volumen de la esfera.

3

c) El área total. 98 ■■ Aplica el principio de Cavalieri para calcular el volumen

5 cm

de un cuerpo recto que tiene una altura de 10 cm y una base de la siguiente forma:

107 ■ Calcula la capacidad del depósito de gas de la figura:

4 cm

5m

Mates3ESO_U10.indd 220

2m

24/1/11 17:07:27


108 ■ El radio de la Tierra es, aproximadamente, de 6 400 km.

116 ■■ El paralelo correspondiente a una latitud de 30º N

¿Cuál es la distancia máxima que separa dos puntos de la Tierra?

divide el semieje de rotación en dos partes iguales. ¿Cuál es el perímetro de este paralelo?

109 ■■ Calcula el área y el volumen de la siguiente figura:

eje de rotación

1 dm

3 dm

30º

2 dm

117 ■ Busca las coordenadas geográficas de Tokio y Madrid y

Geometría en el espacio

Actividades

calcula la diferencia horaria. 110 ■■■ Se ha sumergido una esfera de 5 cm de radio en un recipiente cilíndrico lleno de agua. Después de sumergirla, el agua ha quedado justo al borde del recipiente, pero no se ha derramado. Calcula qué altura alcanzaba el agua antes de sumergir la esfera.

221

25 cm

15 cm

118 ■■ La diferencia horaria entre dos puntos de la Tierra es de

111 ■■ Calcula el volumen del cuerpo representado en la figura: 14 cm

3 horas y 20 minutos. ¿Cuál es su diferencia de longitud? 119 ■■ La diferencia entre la latitud de dos puntos situados en un mismo meridiano es de 5º. ¿Cuál es la distancia entre esos dos

4 cm 6 cm

puntos? 120 ■■ Una pelota reglamentaria de fútbol ha de tener una circunferencia no superior a 70 cm y no inferior a 68 cm. Calcula:

2 cm

112 ■■ Hay que repintar un depósito esférico de gas que tiene un perímetro de 30 m. Si los pintores cobran 30 €/m2, ¿cuánto costará hacerlo?

a) El radio máximo y mínimo que puede tener una pelota de fútbol. b) El volumen máximo y mínimo que puede tener una pelota de fútbol. c) La diferencia de volumen entre una y la otra en porcentaje.

113 ■ Calcula el área aproximada de la superficie de la Tierra. 121 ■■ Una pelota de tenis tiene un radio de 32,5 mm, y una 114 ■■ La distancia entre dos puntos situados en un mismo meridiano es de 2 500 km. ¿Cuál es su diferencia de latitudes?

de tenis de mesa, 20 mm. Calcula: a) La razón de semejanza entre radios. b) La razón de semejanza entre áreas.

115 ■ Las longitudes de dos puntos A y B son, respectivamente,

c) La razón de semejanza entre volúmenes.

5º E y 45º O. ¿Qué ángulo forman los dos puntos respecto del

d) Comprueba si la razón de semejanza entre las áreas es

centro de la Tierra si están situados sobre el ecuador?

k2 y la razón entre los volúmenes, k3.

Mates3ESO_U10.indd 221

24/1/11 17:07:29


Geometría en el espacio

Reto 122 ■■■ Hay una esfera de 10 cm de radio inscrita en un cilin-

124 ■■■ Supón que una empresa de juguetes de playa te

dro. ¿Qué proporción del volumen del cilindro queda fuera de la

encarga que diseñes una pelota que tenga el aspecto de las

esfera? Halla también la respuesta para el caso general de una esfe-

reglamentarias de fútbol, pero con unas dimensiones tales que

ra de radio r. ¿Cómo depende del radio de la esfera la proporción

su superficie en dm2 sea igual que su volumen en dm3. Ten en

de volúmenes?

cuenta que su superficie está formada por pentágonos y hexágonos. Por lo tanto se puede considerar que el volumen de la pelota es la suma de los volúmenes de varias pirámides penta-

r

gonales y hexagonales cuyas cúspides coinciden en el centro 2r

de la pelota. a) ¿Cuál será el diámetro de esta pelota? b) Una vez calculado el diámetro, se ve que el resultado

r

obtenido es diferente de la medida reglamentaria. Busca información sobre ella. Invéntate una nueva unidad

123 ■■■ Unos amigos se disponen a comer palomitas en

de longitud (que tendrá el símbolo fu) tal que las pelotas

unos cucuruchos de cartulina. Los han hecho recortando unos

de reglamento cumplan que el área en fu2 sea igual que

sectores circulares de 270º con 12 cm de radio y convirtiéndo-

el volumen en fu3.

los en conos. ¿Cuál es el radio de la base de estos conos?

270º 12 cm

222

Autoevaluación

 ¿Clasifico correctamente los cuerpos geométricos? 1. Clasifica los poliedros siguientes en prismas, pirámides o ninguno de los dos. a)

b)

c)

d)

5. Calcula el área y el volumen de los cuerpos de la figura: a) radio de la semiesfera = 4 cm

b)

3 dm

altura = 10 cm altura del tronco de la pirámide = 4 dm 3 dm

 ¿Aplico correctamente el teorema de Euler?

 ¿Reconozco la razón de semejanza?

2. Un poliedro tiene 15 aristas y 10 vértices. ¿Cuántas caras tiene?

6. Un cubo tiene 3 cm de arista y otro, 9. Halla la razón de semejanza.

 ¿Sé aplicar el teorema de Pitágoras en el espacio? 3. Calcula la diagonal de un cubo cuyo volumen es 125 cm3.

 ¿Reconozco los elementos de simetría? 7. ¿Cuántos planos de simetría tiene una pirámide de base pen-

 ¿Sé calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos? 4. Calcula el área total y el volumen de:

tagonal?

 ¿Sé hacer cálculos con coordenadas geográficas?

a) Un ortoedro de dimensiones 6, 7 y 8 dm.

8. Las coordenadas de París son 48º 51’ N, 2º 20’ E; las de Bar-

b) Un cilindro de diámetro 8 dm y de altura 10 dm.

celona, 41º 23’ N; 2º 11’ E , y las de Moscú, 55° 44’ 47,24” N;

c) Un cono cuya altura es 10 dm y que tiene una base cuyo

37° 37’ 54,82” E. Encuentra la diferencia horaria:

radio mide 5 dm.

a) Entre Barcelona y París.

d) Una esfera de 20 cm de diámetro.

b) Entre París y Moscú.

Mates3ESO_U10.indd 222

24/1/11 17:07:30


Geometría en el espacio

Competencias que suman Transporte de mercancías La empresa de logística Transfor S. L. dispone de dos tipos diferentes de camiones para transportar mercancías por todo el país. Los camiones estándar llevan un contenedor para mercancías de forma ortoédrica que mide 6 m de largo, 2,3 m de ancho y 1,8 m de alto. Los camiones tipo cisterna constan de un depósito cilíndrico que mide 5,25 m de largo y 2 m de ancho (1 m de radio). Los alumnos pueden utilizar la calculadora científica en todas las pruebas.

1. Hay que transportar cajas cúbicas de 1 dm3. ¿Cuántas cajas se pueden meter en el contenedor del camión estándar? a) 24. b) 25.

223

c) 24 840. d) Ninguna de las anteriores. 2. Contesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué capacidad tiene el depósito del camión cisterna? b) Si 1 L de leche ocupa 1 dm3 y pesa aproximadamente 1 kg, ¿cuántas toneladas de leche puede transportar el camión cisterna? 3. Hay que transportar un cristal de 6,5 m de largo y 1,7 m de alto. Explica razonadamente si es posible llevarlo en el contenedor del camión estándar. 4. Hay que transportar una viga de acero de 6,5 m. María cree que es posible llevarla en el contenedor poniéndola transversalmente desde un vértice al vértice opuesto. En cambio, Roberto cree que no cabe. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

B

A

5. Cierta empresa quiere transportar un cono de acero de 1 m de altura y una base de 0,5 m de radio. Sabiendo que la densidad del acero es de 7 850 kg/m3: a) Calcula la masa de uno de estos conos. b) Si el PMA (peso máximo admitido) del tráiler es de 8 500 kg, ¿cuántos conos puede transportar? 6. Haz una aproximación a la puntuación que crees que obtendrás en esta prueba. Tienes que intentar que sea lo más ajustada y sincera posible, aunque pienses que no te haya salido demasiado bien.

Mates3ESO_U10.indd 223

24/1/11 17:07:31


Matemáticas 3