Matemáticas 4A - Unidad de muestra (ESO)

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MATEMÁTICAS 4 A

M. Albertí, A. Aragoneses, A. Bancells, A. Bosch, F. García, A. Hernández, B. Luque, R. A. Rovira, L. Sabater, J. A. Ysern

Mates 4A cubierta ESP CS4.indd 1

13/03/12 16:48

Unidad

7

Funciones y gráficas Una gráfica vale más que mil imágenes

Una función demuestra la relación de dependencia entre dos variables cuantificadas. Puede manifestarse con una expresión verbal, con una tabla de valores, con una gráfica o con una fórmula.

A la hora de describir un fenómeno, se dice que una imagen vale más que mil palabras. Se puede describir verbalmente una casa o un paisaje, pero más allá del ejercicio literario la idea que podemos hacernos a partir de una fotografía es, en general, más clara.

126

Algo semejante sucede con las funciones. A cada valor numérico asignado a la variable independiente le corresponde un valor numérico de la variable dependiente. De este valor se dice que es la imagen del anterior. En la función y = x2, la imagen de x = 2 es y = 4; la de x = 11 es y = 121; la de x = −3 es y = 9. Los pares de valores (2, 4), (11, 121) y (−3, 9) se pueden representar en un sistema de coordenadas. Calculando muchos más verías que los puntos crean una línea que encapsula y hace visible la función. En el caso de y = x2, la gráfica es una parábola formada por infinitos puntos.

La gráfica es la foto de la función; y la fórmula, la máquina que la retrata. Si una imagen vale más que mil palabras, una gráfica vale más que mil imágenes.

Pero no siempre los puntos de la gráfica forman una línea continua, como en el caso de la gráfica parabólica de la función y = x2. La función de los cuadrados de los números naturales también tiene forma parabólica, pero es discontinua porque se compone de una serie de puntos aislados. Las gráficas sin cortes ni interrupciones se pueden trazar de una sola vez sin separar la punta del lápiz del papel. Una función se llama continua cuando lo es su gráfica.

En el ámbito cotidiano hallamos funciones discontinuas, como la que determina el importe que hay que

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Los cambios de precio en cada hora hacían discontinua la gráfica del importe que había que pagar. En lugar de una línea, la gráfica era escalonada. Cada escalón correspondía a un cambio de precio. Ahora los precios se determinan en función de los minutos, lo cual aproxima la función a la idea de continuidad.

Las funciones periódicas también son muy corrientes.

Muchos fenómenos naturales responden a esta característica. El nivel del agua del mar en las mareas, la posición de un péndulo cuando oscila, etc. se dan con la misma regularidad periódica.

El poder comunicativo de las gráficas las ha hecho habituales en los medios de comunicación (televisión, prensa, Internet…). Normalmente sirven para hacer más clara la información, pero a veces puede hacerse un uso tendencioso. Entonces, las unidades de los ejes de coordenadas se toman de manera que las características de la gráfica queden sesgadas y se destaque la información deseada. Las dos siguientes gráficas corresponden a la misma función, pero en una las variaciones no parecen tan grandes como en la otra: 30

60 50 40

20

30 10

20 10 0

0

1

2

3

4

5

6

0

0

1 2

3 4

5 6 7 8 9 10 11

Analiza y resuelve 1. Explica de qué maneras se puede expresar una función.

Pon algunos ejemplos de funciones cuyas gráficas sean líneas discontinuas.

2. Explica qué transformaciones harías en la siguiente gráfica para dar apoyo a la tesis de que cierta empresa ha mejorado mucho estos últimos años. ¿Y para apoyar la idea de que no ha sido así?

beneficios (€)

pagar en función del tiempo que un coche permanece en un aparcamiento. Hasta hace poco, los aparcamientos cobraban por horas.

3 000

2 000

1 000

0

2006

2008

2010

2012 año

3. Estas son las tarifas de un aparcamiento público: Desde el minuto 0 al 30 0,0376 €/min Desde el minuto 31 al 90 0,0339 €/min Desde el minuto 91 al 660 0,0452 €/min Desde el minuto 661 hasta un máximo de 24 h 28,90 €/min a) Indica cuál es el importe correspondiente a 15 min. ¿Y a tres cuartos de hora? b) Escribe todos los importes en euros por hora. c) Dibuja la gráfica del importe que se debe pagar en euros por hora. Indica si es continua.

127

4. El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su masa (kg) entre el cuadrado de su estatura (m). a) Calcula el IMC de una persona de 65 kg y 1,7 m. b) Expresa el IMC de una persona de 1,7 m de estatura en función de la masa. c) Expresa el IMC de una persona de 50 kg en función de la estatura. d) Representa las dos gráficas y responde: ¿Son continuas? ¿Son crecientes o decrecientes? Es decir: ¿el aumento de estatura o masa va acompañado de un aumento del IMC?

Índice

Competencias básicas

1. Las funciones

Matemática. Observar, analizar e interpretar fenómenos

2. Puntos de corte y continuidad

funcionales.

3. Crecimiento y decrecimiento de una función

Comunicativa lingüística. Leer y expresar en lenguaje

4. Simetría y periodicidad

simbólico expresiones del lenguaje habitual.

5. La tasa de variación media

Tratamiento de la información y competencia digital. Utilización de herramientas de cálculo y programas informáticos.

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Funciones y gráficas

1

Las funciones Concepto de función. Dominio y recorrido

1.1

Cuando entre dos variables a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y, tenemos una función.

Recuerda La relación entre variables se puede representar de tres maneras: • Tabla de valores.

Se escribe y = f (x) y se dice que y es la imagen de x. También se dice que x es una antiimagen de y, y se escribe x = f−1(y).

Se llama dominio de f, y se escribe Dom(f) o D(f), al conjunto de los valores de la variable independiente para los cuales se puede hallar una imagen.

Los valores correspondientes de la variable dependiente forman el recorrido de f, y se escribe Rec(f) o R(f).

• Gráfica.

• Fórmula.

Una fórmula es la expresión algebraica de una función, que permite calcular y a partir de x.

Una función se puede simbolizar a partir de su fórmula, su dominio y su recorrido.

Ejemplos 1. Observa la función que a cada valor de  le hace corresponder su cuadrado: f(2) = 22 = 4

f(−3) = (−3) = 9

f(0) = 0

2

f(1, 2) = 1,44

…

Así, Dom(f ) = , porque a todos los números reales se les puede calcular el cuadrado, y Rec(f ) = [0, +∞), porque los números negativos no son imagen de ningún número.

2. La fórmula de la función que a cada valor de  le hace corresponder su cuadrado f :  → [ 0, + ∞) y, así, f (3) = 32 = 9, etc. es f (x) = x2 y, por tanto,  x → x 2 

128 Atención Hay funciones en que la variable

1.2

Gráfica de una función

dependiente depende de más de una variable independiente. El área de un rectángulo de-

Se deben considerar muchos aspectos a la hora de representar una función, pero, en cualquier caso, los datos obtenidos en una tabla de valores ofrecen mucha información.

pende de la base y la altura: A = a · b = f(a, b) b

Ejemplo a

x

La gráfica de una función f es la representación en un sistema de coordenadas de los puntos (x, f (x)), donde x es un valor del dominio de f.

f (x ) =

x +2 2

x + 2.

2 En primer lugar, es necesario hacer una tabla de valores. Observa que Dom(f) =  y que, por tanto, debemos tomar valores positivos y negativos.

3. Representa gráficamente la función f (x) =

Se representa cada uno de los pares de puntos obtenidos (−4, 0), (−2, 1), etc., y se unen para obtener una recta. Dado que Dom(f) = , hay que alargar la recta por ambos extremos.

8

−4

0

6

−2

1

4

0

2

2

2

3

4

4

6

5

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0 −6

−4

0

−2

2

4

6

8

−2 −4

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1.3

Imagen y antiimagen de una función a partir de la gráfica

Cuando se conoce la fórmula de una función y = f (x), para calcular la imagen de cualquier valor basta con sustituir la x. La imagen y la antiimagen también se pueden hallar fácilmente a partir del análisis de la gráfica de la función.

Ejemplo

10

4. La gráfica de una función determinada es la del margen. Halla a partir de su análisis: a) La imagen de x = 1. Localiza el punto 1 del eje de abscisas y traza una línea vertical (en rojo en el dibujo). Donde se interseque con la gráfica, traza una línea horizontal hasta hallar el eje de ordenadas. El punto donde lo corta es el 3 y, por tanto, f (1) = 3. b) La antiimagen de y = 2. Localiza el punto 2 del eje de ordenadas y traza una línea horizontal (en azul en el dibujo). Esta línea se interseca con la gráfica en cuatro puntos. Desde cada uno de dichos puntos traza una línea vertical hasta hallar el eje de abscisas. Los cuatro puntos donde la corta son −2,4; −1,4; 1,4 y 2,4; por tanto:

8 6 4 2 0 −4 −3 −2 −1

0 1

2

4

3

5

−2 −4

f −1(2) = {−2,4; −1,4; 1,4; 2,4}

1.4

129

Dominio y recorrido de una función a partir de la gráfica 3

El dominio es el conjunto de todos los valores del eje de abscisas que, al trazar una recta vertical, cortan la gráfica.

El recorrido es el conjunto de todos los valores del eje de ordenadas que, al trazar una recta horizontal, cortan la gráfica.

2 1 0 −3

−2

−1

0

1

2

3

4

2

3

4

−1 −2

Ejemplos

5

5. En esta función, el dominio es Dom(f) = [−2, 7] y el recorrido, Rec(f) = [−2, 5].

4

6. Fíjate en las figuras 1 y 2 del margen e indica el dominio y el recorrido de la función.

1 0

−3

fig. 1

3 2 3

−2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

−2 Dominio. Se trata de una gráfica en dos trozos. Observa en la figura 1 que en el punto x = 1 sí que corta la gráfica (círculo lleno), mientras que en el punto x = 2 la función se acerca mucho, pero no corta la recta vertical.

Por tanto, podemos afirmar que Dom(f ) = (−∞, 1] ∪ (2, +∞).

1 0 −3

−2

1

−1 −2 −3

Recorrido. Corta la gráfica en y = −2 y en y = 1: Rec(f ) = [−2, 0) ∪ [1, +∞)

Aplica

0

−1

fig. 2

3 ■■ Analiza la gráfica del ejemplo 6 y halla, si existen, las antiimágenes de:

1 ■ Tenemos la función f (x) = + x .

a) −1

b) 0

c) 1

d) 2

a) Haz una tabla de valores y represéntala gráficamente.

Razona

b) Indica su dominio y su recorrido.

2 ■■ Analiza la gráfica del ejemplo 6 y halla, si existen, las imá-

4 ■■ Explica por qué esta gráfica no

genes de:

corresponde a una función.

a) −1

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b) 0

c) 1

d) 4

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Funciones y gráficas

2

Puntos de corte y continuidad 2.1

Puntos de corte con el eje de ordenadas

Para hallar en qué punto una función corta el eje de ordenadas, se debe sustituir x por 0. Es el punto (0, f (0)).

Si el 0 no pertenece al dominio de la función, no cortará el eje de ordenadas.

(0, –1)

Ejemplo

f(x) = 3x − 1

7. Halla los puntos de corte con el eje de ordenadas de las siguientes funciones: a) f (x) = 3x − 1. Se debe calcular f(0) = 3 · 0 − 1 = −1. La función corta el eje vertical en el punto (0, −1).

2 −x 2−0 b) f (x) = + 2 . Se ha de calcular f (0) = + 2 = 4. La función corta 1− x 1− 0 el eje vertical en el punto (0, 4).

(0, 4)

f( x ) =

2− x +2 1− x

2.2 Recuerda 130

El eje vertical, o Y, es el eje de

Puntos de corte con el eje de abscisas

Para hallar en qué punto o puntos una función corta el eje de abscisas, se debe resolver la ecuación f (x) = 0.

Así, si k es una solución, la función cortará el eje horizontal en el punto (k, 0).

Ejemplo

ordenadas.

El eje horizontal, o X, es el eje

8. Halla los puntos de corte con el eje de abscisas de las siguientes funciones:

de abscisas.

a) f (x) = 2x + 3. Resolviendo f (x) = 0, es decir, 2x + 3 = 0, se obtiene x = −1,5.

Esta función tan solo tiene un punto de corte con el eje horizontal: (−1,5; 0) x 2 −4 x2 − 4 b) f (x) = = 0 se obtienen dos soluciones: x1 = 2 y . Resolviendo 2x −1 2x − 1 x2 = −2. Esta función tiene dos puntos de corte con el eje horizontal: (2, 0) y (−2, 0) c) f (x) = 2x. La ecuación 2x = 0 no tiene solución, ya que si multiplicamos varias veces el 2 por sí mismo nunca dará 0 ni negativo. Por tanto, esta función no corta el eje de abscisas.

Recuerda La definición matemática de continuidad en un punto es

2.3

Concepto de continuidad

más compleja. Se dice que una función es continua en un intervalo si es continua en cada uno de los puntos de dicho intervalo.

Una función es continua en un punto x0 si está definida en él, es decir, si existe f(x0) y, al aproximarnos a x0 por ambos lados, las imágenes se acercan a f (x0).

Intuitivamente, una función es continua en un intervalo si para dibujarla no es necesario levantar el lápiz del papel.

Ejemplo 9. La gráfica de la función f (x) = 2x + 3 es continua, mientras que la de la función x2 − 4 g(x) = es discontinua.

2x − 1 f(x) = 2x + 3

U07_Mates4AESO.indd 130

g( x ) =

x2 − 4 2x − 1

14/03/12 11:10

2.4

Tipos de discontinuidades

Una función es discontinua si su gráfica presenta alguna de las siguientes interrupciones: • Evitable. Cuando f (x) no está definida en x0 y, al aproximarnos a x0, las imágenes se aproximan a cierto valor k no infinito.

• De salto. Cuando, al aproximarnos a x0 por la derecha y por la izquierda, las imágenes se aproximan a valores diferentes, k1 y k2, no infinitos. El salto es |k1 − k2|.

• Asintótica. Cuando, al aproximarnos a x0 por uno de los lados o por ambos, las imágenes tienden hacia +∞ o −∞.

El estudio de la continuidad de una función a partir de su expresión algebraica, en ocasiones, no es fácil; en cambio, su estudio a través de la gráfica es muy sencillo.

Cómo aplicarlo. Analizar el dominio y la continuidad de una función.

Analiza el dominio, recorrido y continuidad de la siguiente gráfica.

Puedes aprovechar la gráfica para observar los puntos de corte en los ejes. Así, corta el eje vertical aproximadamente en el punto (0; 1,9); y al eje horizontal, en el punto (2, 0).

Puedes observar que: • Se debe prestar atención al final de cada tramo de la gráfica, para ver si es abierto o cerrado. En cuanto al dominio, en (−1, −1) hay un círculo vacío que significa que f (x) no está definida. El círculo lleno del punto (1, −2) indica que f (1) = −2. Finalmente, el círculo lleno del punto (2, 0) significa que f (2) = 0. Por tanto, Dom(f ) =  − {−1}.

3 2 1 0 −3

−2

0

−1

1

2

Consejos

3

4

−1 −2

Hallar los cortes en los ejes puede ser más fácil si tienes la fórmula de la función que si tienes la gráfica.

131

−3

• En lo referente al recorrido, observa que el círculo vacío del punto (−1, −1) indica que, trazando una recta horizontal por el punto −1, no se cortará la gráfica. En cambio, el círculo lleno del punto (2, 0) hace que, si se traza una horizontal por el punto 0, sí se corte la gráfica. Finalmente, el círculo lleno del punto (1, −2) indica que, si se traza una recta horizontal por el punto −2, también cortará la gráfica; por tanto, Rec(f) = [−2, +∞).

Mira los ejercicios: 6 y 7 pág. 131; 23 pág. 139; y 26 y 27 pág. 140.

• Existe una discontinuidad evitable en el punto x = −1. Tanto si nos acercamos por el lado izquierdo como por el derecho, las imágenes se aproximan a −1.

• Tiene una discontinuidad de salto en x = 1. El salto vale |1 − (−2)| = 3, ya que, cuando nos aproximamos por la izquierda, las imágenes se acercan a −2, y cuando nos aproximamos por la derecha, las imágenes se acercan a 1.

• Hay una discontinuidad asintótica en el punto x = 2. Al aproximarnos por el lado derecho, las imágenes tienden a +∞.

Aplica

6 ■■ Observa la gráfica e

3

indica:

2

5 ■ Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes

a) Dominio.

funciones:

b) Recorrido.

a) f (x) = 2x − 6

d) f (x) = x − 4

x +2 b) f (x) = x −1

1 e) f (x) = x

c) f (x) = x2 + 2x − 3

f) f (x) = ex

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2

c) Continuidad.

1 0 −3 −2 −1 0 1 −1

2

3

4

5

6

7

−2 −3

7 ■■■ ¿Cuál sería el dominio y el recorrido de la gráfica del ejercicio 6 si todos los círculos estuvieran vacíos?

14/03/12 11:10

Funciones y gráficas

3

Crecimiento y decrecimiento de una función 3.1

Concepto de crecimiento y decrecimiento

Una función es creciente en un intervalo dado si, tomando dos valores cualesquiera x1 y x2, se cumple que si x1 < x2, entonces f(x1) ≤ f(x2).

Recuerda Una función puede tener diferentes intervalos de crecimiento y decrecimiento, y también puede ser constante en algún intervalo. Intuitivamente, «crecer» o «decrecer» tiene que ver con

f (x) es estrictamente creciente en un intervalo si x1 < x2 → f(x1) < f(x2) para cualesquiera x1 y x2 del intervalo.

Una función es decreciente en un intervalo dado si, tomando dos valores cualesquiera x1 y x2, se cumple que si x1< x2, entonces f(x1) ≥ f(x2).

f (x) es estrictamente decreciente en un intervalo si x1 < x2 → f(x1) > f(x2) para cualesquiera x1 y x2 del intervalo.

izquierda a derecha, «sube» o

El estudio del crecimiento de una función a partir de su expresión algebraica puede ser complejo y es más sencillo si se dispone de su expresión gráfica.

«baja».

Las gráficas siempre se analizan de izquierda a derecha para evitar confusiones.

el hecho de si la gráfica, leída de

Ejemplos 10. Fíjate en los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x) a partir de la gráfica:

4 3

Creciente en los intervalos (−∞, −2] y [1, 2].

2

Decreciente en los intervalos [−2, −1] y [3, +∞).

Constante en el intervalo [2, 3].

132

0

Observa que los intervalos de crecimiento siempre son abiertos si la función no está definida en los extremos o no es continua.

Observa que f(x) es creciente

Constante en el intervalo (3, +∞).

en los dos intervalos; esto pasa porque el concepto de crecimiento en un solo punto no existe.

3.2

máximo absoluto

0

mínimo absoluto

−6

U07_Mates4AESO.indd 132

0,6

2

3

4

−2 −3

4 3 2 1 0 −3

−2

0

−1

1

2

3

4

−1 −2 −3 −4

Los extremos: máximos y mínimos

• f (x) tiene un mínimo absoluto en el punto x0 si f(x0) ≤ f (x) para cualquier otro valor de x. Es decir, si la imagen de x0 es menor o igual que la de cualquier otro valor de x.

mínimo local

0,4

1

• f (x) tiene un máximo absoluto en el punto x0 si f(x0) ≥ f (x) para cualquier otro valor de x. Es decir, si la imagen de x0 es mayor o igual que la de cualquier otro valor de x.

máximo local 2

0,2

0

−1

Los extremos son el valor mayor (máximo) o el menor (mínimo) que toma una función, ya sea en torno a un punto (extremo local) o en todo el dominio (extremo absoluto).

6

0

−2

−1

−4

Fíjate en que no se puede decir que f (x) sea creciente en el intervalo (−∞, 3), porque, por ejemplo, −3 < −1 y, en cambio, f (−3) > f (−1). Esto sucede porque f (x) no es continua en el intervalo (−∞, 3).

dicción en que el −2 aparezca

−4

−3

Creciente en los intervalos (−∞, −2], (−2, 1) y (1, 3].

en (−∞, −2] y decreciente en [−2, –1], sin que haya contra-

−2

−4

11. Observa los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función discontinua a partir de la gráfica:

Atención

4

1

0,8

1

1,2

Se habla de máximos y mínimos relativos o locales al referirse solo al entorno del punto x0, es decir, en relación con puntos cercanos a x0.

14/03/12 11:10

3.3

Interpretación gráfica de máximos y mínimos

El estudio de los extremos de una función a partir de su expresión algebraica puede resultar complejo. En este curso, solo los estudiarás a partir del análisis de la gráfica.

Ejemplo 4

12. Halla los extremos de la función de la siguiente gráfica:

3 2

f (x) tiene un máximo absoluto en x = −2.

Es el absoluto porque es el punto más alto.

1 0 0 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

f (x) tiene un mínimo relativo en x = 1.

2

3

4

5

6

−2

f (x) tiene un máximo relativo en x = 3.

−3

En este caso, se interpreta que la función está definida en todo  y que tanto por la derecha como por la izquierda decrece indefinidamente. Si se considerase que el dominio va de −4,5 a 4,5, habría que añadir que f (x) tiene un mínimo absoluto en el punto −4,5.

Consejos

Cómo aplicarlo. Estudiar una función a partir de su gráfica.

Analiza la gráfica e indica el dominio, el recorrido, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos de corte con los ejes, los extremos y las discontinuidades.

Comienza siempre estudiando el dominio y exprésalo de la manera más sencilla posible:

3 2 1

Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) − − {1, 2}

0 −6

−5

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

5

6

−1

133

Se interpreta que, tanto por la izquierda como por la derecha, la función se aproxima mucho al eje horizontal, pero no lo toca nunca.

−2

• Observa que en los puntos (−1, 0) y (1, 0) los círculos están vacíos, mientras que en el (0, −1) el círculo está lleno. Por tanto: Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) Rec(f ) = [−1, +∞) − {0}

Mira los ejercicios:

• Es creciente en los intervalos (−∞, −3], [−2, 1) y (1, 3] y decreciente en los intervalos [−3, −1) y (2, +∞).

8, 9 y 10 pág. 133; y 30, 31 y 32 pág. 140.

• Solo corta el eje vertical en el punto (0, −1).

• Tiene un máximo relativo en x = −3 y un mínimo absoluto en x = 0.

• Presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 1 y una discontinuidad asintótica en el punto x = 2.

Aplica

10 ■■■ Realiza un estudio completo de la función correspon-

3

diente a esta gráfica:

2 1

8 ■ Estudia el crecimiento, el dominio y el

0 0 −3 −2 −1 −1

recorrido de esta función.

1

2

3

4

2

−2 −3

1

9 ■■ Copia y completa la siguiente tabla y representa la función; indica su dominio, recorrido, crecimiento y extremos. x

−5

f (x) = x + 1 2

U07_Mates4AESO.indd 133

−3

−1

0

1

3

5

0 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1 −2 −3

14/03/12 11:10

Funciones y gráficas

4

Simetría y periodicidad 4.1 Recuerda

Si una función tiene simetría par, solo es necesario estudiar-

Simetría

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (simetría par) si para cada valor de x se cumple que f (x) = f (−x).

Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas (simetría impar) si para cada valor de x se cumple que f (x) = −f (−x).

Ejemplo

la en el intervalo del 0 al +∞,

13. La función f (x) = x2 tiene simetría par porque, para todo x, f (x) = f (−x), ya que x2 = (−x)2.

pues el otro lado será como la imagen de un espejo.

La función f (x) = x3 – 2x tiene simetría impar porque, para todo x, se tiene que 3 f (x) = −f (−x), ya que x3 − 2x = −[(−x) − 2(−x)].

4.2

Periodicidad

Una función f (x) es periódica si hay un valor T tal que para cualquier valor de x se cumple que f (x + T) = f (x), es decir, si cada cierto «tiempo» (período), se van repitiendo los resultados.

El período es el mínimo valor de T que verifica este fenómeno.

Ejemplo

134

14. La función definida del conjunto de número naturales  en el conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, que a cada número le hace corresponder su cifra de las unidades, es periódica y tiene período T = 10: f (1) = 1

f (2) = 2

f (3) = 3 … f (9) = 9

f (10) = 0

f (11) = 1 … f (5 024) = 4 ...

Es decir: f (0) = f (10) = f (20) = … = 0 f (1) = f (11) = f (21) = … = 1 ...

4.3

Estudio gráfico de la simetría y la periodicidad

Si f (x) tiene simetría par, por cada punto P de la gráfica se puede hacer pasar una recta horizontal r que corte la gráfica en otro punto P’ tal que YP = YP′, donde Y es el punto del eje vertical que corta con la recta r.

Si f (x) tiene simetría impar, por cada punto P de la gráfica se puede hacer pasar una recta r que pase también por el origen de coordenadas O. Dicha recta cortará la gráfica en otro punto P’ tal que OP = OP′.

Si f (x) tiene período T, su estudio gráfico se puede reducir al intervalo [0, T], ya que a partir de este solo hay que ir añadiendo copias.

Ejemplo 15. Fíjate en cada caso en la simetría y la periodicidad de las siguientes funciones: P P’

y

O

P P’

simetría par

U07_Mates4AESO.indd 134

simetría impar

−T

T

2T

periodicidad

14/03/12 11:10

5

La tasa de variación media

5.1

Cálculo de la tasa de variación media

A menudo, para interpretar correctamente una gráfica, es importante determinar la rapidez con que crece o decrece la función representada.

Así, dado un intervalo [a, b], la tasa de variación media (TVM) de la función f (x) en el intervalo [a, b], incluido en el dominio de la función, es el cociente entre el incremento de la variable dependiente y el incremento de la variable independiente: f (b ) − f (a ) TVM[a , b ] (f ) = b −a

B

f(b)

a b

A

f(a)

La tasa de variación media de la función f (x) en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta que une los puntos A = [a, f (a)] y B = [b, f (b)].

Cómo aplicarlo. Analizar gráficamente la tasa de variación media.

Analiza la función dada por esta gráfica y calcula la tasa de variación media en los intervalos [−2, 2], [−2, 1] y [1, 2].

• Intervalo [−2, 2]:

3

Tenemos que a = −2 y b = 2 y que f (a) = −1 y f (b) = 2.

2 − (−1) 3 Por tanto, TVM[−2, 2] (f ) = = .

2 − (−2) 4 • Intervalo [−2, 1]: En este caso, a = −2, b = 1, f(a) = −1 y f (b) = 0.

0 − (−1) 1 Por tanto, TVM[−2, 1] (f ) = = .

1− (−2) 3

B

2 1 0 −2

0

−1

1

2

−1

A

−2

Consejos Generalmente, la variable dependiente se representa con x, pero, cuando nos referimos al tiempo, se suele representar con t. Entonces la rapidez de crecimiento o decrecimiento es la velocidad, y la tasa de variación media en el intervalo [a, b] coincide con la velocidad media en este intervalo.

135

Comprueba que la pendiente de la recta de la gráfica que pasa por los puntos A y B es 3/4.

La tasa de variación media en el intervalo [−2, 2] no es la suma ni la media de las tasas de variación medias en los intervalos [−2, 1] y [1, 2].

• Intervalo [1, 2]: En este caso, a = 1, b = 2, f (a) = 0 y f (b) = 2.

2−0 Por tanto, TVM[1, 2] (f ) = = 2.

2 −1

Mira los ejercicios: 11, 12 y 13 pág. 135; y 42 y 45 pág. 141.

13 ■■■ Halla la tasa de variación media de f (x) = x2 + 1 en

Aplica

los intervalos: a) [−3, 0]

11 ■ Dada la función f (x) = x2 + x: a) Haz una tabla de valores.

b) [0, 3]

Razona

b) Represéntala gráficamente. c) Indica si tiene alguna simetría.

14 ■■■ En cuanto a la tasa de variación: 12 ■ Calcula la tasa de variación media de la función f (x) = x

2

en los intervalos: a)

[−1, 4]

b) [0, 5]

c) Ambos intervalos tienen la misma anchura, pero ¿en cuál se observa más crecimiento de la función?

U07_Mates4AESO.indd 135

a) Fíjate en que si la función es creciente en un intervalo

[a, b], la tasa de variación media es positiva. b) Dibuja un ejemplo de una función que tenga f (b) − f (a ) > 0 y, en cambio, no sea creciente en el inb −a tervalo [a, b].

14/03/12 11:10

Todo son matemáticas

EL NÚMERO DE ERDÖS Y OTRAS REDES SOCIALES

Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas PAUL ERDÖS (1913-1996), autor de 1 475 artículos matemáticos

136

Entre los matemáticos existe la tradición de asignarse el llamado número de Erdös. Paul Erdös tiene número de Erdös cero. Todos los coautores de algún artículo suyo tienen número de Erdös 1: en total, fueron 504.

Todos los coautores con matemáticos de número de Erdös 1 que no publicaron directamente con Paul Erdös tienen número de Erdös 2, y así sucesivamente.

Se puede definir la red de colaboraciones de Erdös asignando un nodo a cada autor y un enlace entre autores que hayan colaborado juntos en un artículo.

El número de Erdös es un ejemplo de «distancia» en una red, en este caso de colaboraciones científicas.

El número de Erdös no se restringe a los matemáticos: George Uhlenbeck John A. Wheeler John Maynard Smith Jule G. Charney Oskar Morgenstern Walter Álvarez

U07_Mates4AESO.indd 136

físico atómico físico nuclear biólogo meteorólogo economista geólogo

2 3 4 4 4 7

14/03/12 11:10

S

EL JUEGO DE BACON

Piensa el nombre de un actor o una actriz de cine.

Analiza e investiga

Funciones y gráficas

S

El juego consiste en establecer la cadena más corta para el personaje cinematográfico propuesto. Se ha calculado que el número de actores que se encuentran a un paso es 1 469; a dos pasos, 105 800, etc. Y la media de Bacon es de solo 2,9.

137

1. Repartíos en clase la lista de científicos

Si este sujeto ha compartido reparto con Kevin Bacon en alguna película, su número de Bacon es 1.

célebres que aparece en la página anterior y estableced para cada uno los nodos intermedios que los conectarían con Erdös. Después, dibujad la red de Erdös donde aparezcan todos ellos.

2. Entra en la página web The Oracle of Bacon (www.cs.virginia.edu/oracle) y explora las conexiones entre tus actores y actrices favoritos. Construye una pequeña red y preséntala en clase.

3. La distancia media para Bacon con respecto a cualquier actor es solo 2,9. ¿Crees

Si nunca ha participado con Bacon en una misma película, pero lo ha hecho con alguien que sí, se le asigna número de Bacon 2.

que esto significa que Kevin Bacon es el centro del universo cinematográfico?

4. Documéntate y explica en qué consistió el experimento Milgram, pionero en

Y así sucesivamente.

la investigación de las redes sociales en la década de 1960, a partir del cual se acuñó la expresión «seis grados de separación».

De Santiago Segura a Kevin Bacon en solo tres pasos.

U07_Mates4AESO.indd 137

14/03/12 11:10

Funciones y gráficas

Esto es básico Función. Relación de dependencia entre dos variables y = f (x). Para su estudio completo, se debe conocer:

Dominio. Conjunto de los valores de la variable independiente para los cuales

Fórmula. Indica cómo

Gráfica. Representación de los pares

existe f (x). Recorrido. Conjunto de las

hallar y a partir de x.

(x, f (x)) en un sistema de coordenadas.

imágenes de los valores del dominio.

A partir de la fórmula y la gráfica se determinan: Características de las funciones

Imágenes y antiimágenes

Periodicidad

Puntos de corte con los ejes

Continuidad y

Creciente si

Ordenadas:

discontinuidad

f (x1) ≤ f (x2).

(0, f (0))

(evitable, de salto

Decreciente si

Abscisas:

o asintótica)

f (x1) ≥ f (x2).

(k, 0)

Extremos

Una función es

Simetría

Máximo en torno

periódica con

Par si

a un punto k

período T si

f (x) = f (−x).

si f (k) > f (x).

para todo valor

Impar si

Mínimo en torno

de x se cumple

f (x) = −f (−x).

a un punto k

f (x) = f (x + T).

si f (k) < f (x).

Tasa de variación media TVM[a , b ] (f ) = =

f (b) − f (a ) b −a

138 3

discontinuidad asintótica creciente

2

máximo

decreciente

decreciente creciente 1

0 −5

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

5

−1

punto de corte (0, 1) −2

Dom f (x) = (−∞, −1) ∪ [0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞) y Rec(f ) =[−1, +∞) − {0}

¿Cómo se hace?

Procedimiento

Paso a paso

Determinar los puntos

Eje de ordenadas. Dada la función f (x), sustituye x por 0. Es el punto (0, f (0)).

de corte con los ejes

En el caso de que 0 no pertenezca al dominio de la función, no corta el eje de ordenadas.

Eje de abscisas. Resuelve la ecuación f (x) = 0. Si k es una solución, la función cortará el eje horizontal en el punto (k, 0). Puede tener más de una solución o ninguna solución.

Determinar la tasa de variación media de una función en un intervalo [a, b ]

U07_Mates4AESO.indd 138

1. Calcula f (b) − f (a).

2. Divide el resultado entre b − a: TVM[a , b ] (f ) =

f (b) − f (a ) b −a

14/03/12 11:10

20 ■ Solo una de las siguientes gráficas corresponde a una

Las funciones

función:

15 ■■ Halla la expresión algebraica de las siguientes funciones:

i)

3

a) A cada valor se le asigna el cociente entre su cuadrado

2

2

y el cuadrado que resulta de sumarle 2.

1 0

1 0

b) El área de un triángulo de base b y altura a. c) El volumen de un cilindro con radio de la base r y

0 1 −3 −2 −1 −1

altura 4 m. d) La superficie de una esfera de radio r. e) A cada valor se le asigna la diferencia entre su cuadra-

5

6

3

ii)

iv)

g) A dos números se les asigna el cociente entre la suma

0 −1 −1

3

4

5

4

5

2

0 2

1

3

4

5

−3 −2

−1

0

1

2

3

−1 −2

−2

de sus cuadrados y su suma.

2

1

0 −3 −2

0 1 −4 −3 −2 −1 −1

−3

1

−3

−3

a) Indica cuál es y por qué las demás no lo son.

16 ■ Indica el dominio y el recorrido de estas funciones:

b) Indica el dominio y el recorrido de la que es una función.

c)

3

c) Halla las antiimágenes de −2, 0 y 2 de la que es una

3

2

función.

2

1

4

0

1 0 −1

−3 0

1

2

3

−2

−1

1

2

3

4

21 ■■ Indica el dominio de estas funciones: x +2 x 2x b) f (x) = x −3

a) f (x) =

−2

−1

d)

3

3

2

2

c) f (x) =

1

1 0

0 1 −3 −2 −1 −1

0

−1

4

4

b)

4

−2

f) A dos números, x e y, se les asigna la resta entre sus

−2

3

−3

do y su doble.

a)

2

−2

2

cuadrados.

−3

iii)

3

0 2

3

4

5

6

−3 −2

−1

0

1

2

3

4

5

−1

139

d) f (x) = x2 + 2x − 1

2x − 4

e) f (x) =

2x x2 − 9

f) f (x) =

1 x

22 ■ Halla las imágenes de −2, −1, 0, 1 y 2 para cada una de las siguientes funciones:

−2

−2

Funciones y gráficas

Actividades

a) f (x) = −2x + 3 1 b) f (x) = 2x − 1

17 ■ De cada una de las funciones del ejercicio anterior:

c) f (x) = x2 − 2 1− x d) f (x) = 2 x + 6x + 9

a) Halla las imágenes (si las hay) de los valores −4, −2, 0, 2 y 4. b) Halla las antiimágenes (si las tienen) de los valores −4, −2, 0, 2 y 4.

18 ■■

 Haz

23 ■ Indica los puntos de corte en los ejes de cada una de estas

una tabla de valores para cada función y

represéntalas: a) f (x) =

1 x2

b) f (x) = −x2 + 4x − 4 c) f (x) =

x x +1

Puntos de corte y continuidad

d) f (x) = 2x + 1 e) f (x) = 2x2 + 5x + 3 f) f (x) =

−x x −1

funciones: a)

b)

3

3

2

2

1 0

1 0

0 1 −3 −2 −1 −1

2

3

4

5

0 1 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3

−3

2

3

4

5

19 ■■ Indica en qué puntos no se puede calcular f (x) en las siguientes funciones: x a) f (x) = 1+ x b) f (x) = 5x + 2

U07_Mates4AESO.indd 139

c) f (x) = d) f ( x ) =

2x + 4 1 x

14/03/12 11:10

Funciones y gráficas

24 ■■

 Halla los puntos de corte con los ejes de cada una

de las funciones: a) f(x) = −2x + 4

d) f (x) = 2 2+ x e) f (x) = 2− x x f) f (x) = 2 x −1

c) f (x) =

1 x2

= [−2, 4) y que presente una discontinuidad asintótica en el

punto 1.

x−1

b) f (x) = x2 + 1

29 ■■ Dibuja la gráfica de una función que tenga Dom(f) =

Crecimiento y decrecimiento de una función

25 ■■ Las siguientes funciones tienen como mínimo un punto donde no son continuas. Halla estos puntos y di de qué tipo de

30 ■ Estudia el crecimiento y los extremos de estas funciones: a)

discontinuidad se trata: 2 c) f (x) = x −4

i)

0

0 0

140

1

2

−3

3

−2

−1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

ii)

0

1

2

3

ii)

1

2

3

−1

0 −3 −2

iii)

2

3

4

3

2

2

1

1 1

2

0 0 −4 −3 −2 −1 −1

3

−2

−2

−3

−3

iv)

2

0 0 −4 −3 −2 −1 −1

1 0

1

−2

3

0 −4 −3 −2 −1 −1

3

1 −1

0

−1 −1

0

2

−2

−3 −2

1

2

3

2

1

2

−3

0

3

31 ■ Fíjate en las siguientes funciones e indica para cada una:

iv)

0

2

−3

2 1

1

−2

i)

1

0

−1 −1

iii)

−1

−2

x d) f (x) = 2 x −1

2

1

0 −3

26 ■ Analiza estas gráficas e indica para cada una de ellas:

−2

2

1

5x 2 − 2 x a) f (x) = 3x 3x + 1si x < 1 b) f (x) =  2 x si x ≥ 1

−3

3

b)

2

−1

−2

1

2

3

1

4

0 −3

−2 0

1

2

3

−4

−1

a) Los puntos de discontinuidad y de qué tipo son. b) El dominio y el recorrido. c) Los puntos de corte con los ejes. d) Las imágenes (si las hay) de los puntos 0, 1 y 2. e) Las antiimágenes (si las hay) de los puntos 2, 0 y −2.

27 ■■ Dibuja la gráfica de una función que tenga Dom(f) = = [−2, 1) ∪ [2, 4), Rec(f) = [−2, 1] y que corte a los ejes en los puntos

A(−1, 0), B(0; 0,8) y C(3, 0).

−1

0

1

2

3

4

−1

−3

4

−2

−2

−2

a) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento. b) El dominio. c) Los extremos (máximos y mínimos).

32 ■■

 Fíjate en las siguientes funciones:

x A) f (x) = − + 1 2 B) g(x) = 2x − x2

C) h(x) = x − 1 D) j(x) = 2x

a) Haz una tabla de valores para cada una. b) Represéntalas gráficamente. c) Analiza las gráficas e indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

28 ■■ Representa gráficamente una función que tenga Dom(f) = = [−2, 4) y Rec(f) = [−2, 1) y que presente una discontinuidad de

salto en el punto 1.

d) Halla los extremos de cada función, en cada uno de los siguientes casos: i) Si nos limitamos al intervalo (−1, 1). ii) Si nos limitamos al intervalo [−1, 1].

iii) Si lo consideramos en todo su dominio.

33 ■■■ Haz la gráfica de una función que tenga Dom(f) =

= [−3, 2], Rec(f) = (−2, 3], que corte a los ejes en los puntos (−2, 0)

y (0, 2) y que sea decreciente en los intervalos (−3, −1) y (−1, 2).

U07_Mates4AESO.indd 140

14/03/12 11:10

34 ■■■ Representa una función que tenga Dom(f) = [−1, 3],

40 ■■ Representa gráficamente una función que sea periódi-

creciente en el intervalo (−1, 1) y decreciente en el intervalo (1, 3).

sea (0, 3].

Rec(f) = (−1, +∞), que corte a los ejes en (0, 0) y (2, 0) y que sea

ca con período T = 2, cuyo dominio sea (−4, 4] y cuyo recorrido

41 ■■ Completa en tu cuaderno cada una de las siguientes gráficas, en el fragmento [0, 4], de manera que sean:

Simetría y periodicidad

a) Periódicas.

35 ■ Observa las siguientes funciones e indica si hay alguna que

b) Simétricas respecto al eje vertical.

presente simetría. ¿De qué tipo de simetría se trata?

c) Simétricas respecto al origen de coordenadas.

a)

−3

b)

2

−2

1

1

0

0

−1

0

1

2

−3

3

i)

2

−2

−1

−1 −2

0

1

2

ii) 2

2

1

1

0

3

−4

−3 −2 −1

0

0 1

2

3

4

−4

−3 −2 −1

−1

−1

−1

−2

−2

−2

0

1

2

3

Funciones y gráficas

Actividades

4

−3

36 ■ Indica qué tipo de si-

2

metría presenta la siguiente

La tasa de variación media

1

función y cuál es su período T.

0 −3

−2

−1

42 ■ Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones 0

1

2

3

4

−1 −2

37 ■■

 Estudia la simetría de las siguientes funciones: 2x x3 −1 1 e) f (x) = 1− x x −1 f) f (x) = x +1

a) f (x) = 2x2 − 3

d) f (x) =

b) f (x) = (x − 1)2 c) f (x) =

1 2x

en el intervalo [−1, 2]:

a) f (x) = x2 − x 2 b) f (x) = 2+ x

d) f (x) = 5x + 2 x e) f (x) = 2 x +1

c) f (x) = 5x

f) f (x) = 2x − 1

43 ■■ Compara las TVM de las funciones f (x) = x2 y g(x) = 2x

en los intervalos [0, 1], [0, 2] y [4, 5]. Di en cada caso cuál crece más.

44 ■■ Responde: a) ¿Es suficiente conocer el signo de la TVM en un inter-

38 ■■ Dibuja una función que en el intervalo (−4, −2) sea de-

creciente y que en el intervalo (−2, 0) sea creciente y que: a) Tenga simetría impar.

valo para conocer su crecimiento? ¿Por qué? b) Dibuja una función que tenga TVM > 0 y, en cambio, no sea creciente en un intervalo [a, b]. c) Dibuja una función que tenga TVM < 0 y, en cambio,

b) Tenga simetría par.

no sea decreciente en un intervalo [a, b].

39 ■■ Fíjate en la siguiente gráfica e indica:

45 ■■ Observa la siguiente gráfica: 2

a) Halla la TVM de la fun-

2

1

ción en estos intervalos:

0 −3

−2

−1

0

1

2

3

4

−1

a) El dominio y el recorrido. b) Los puntos de corte con los ejes. c) Los extremos. d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) ¿Tiene alguna periodicidad? ¿Cuál? f) ¿Tiene simetría? ¿Cuál?

U07_Mates4AESO.indd 141

[−3, −2] ii) [0, 1] iii) [−3, −1] iv) [1, 3] v) [−1, 1] vi) [−3, 3]

i)

1

−4

141

0 −3 −2

−1

0

1

2

3

−1 −2

b) Indica cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) ¿Qué se puede decir del crecimiento de esta función según los resultados obtenidos en el cálculo de la TVM?

14/03/12 11:10

Funciones y gráficas

Reto 46 ■■■ Halla una función que sea creciente entre −∞ y 0

48 ■■■ Los bailes de bastones o paloteos son unas danzas típicas

y decreciente entre 0 e ∞, pero que no tenga un máximo en

de regiones como Castilla, Aragón o Cataluña. Los bailarines lle-

x = 0. Represéntala gráficamente y haz su estudio completo.

van un bastón de madera en cada mano. Además de moverse al ritmo de la música, golpean sus bastones, el uno con el otro, contra el suelo o contra los de otro danzante. En determinada modali-

47 ■■■ Si nos preguntan la edad, no solemos responder el valor exacto, sino su parte entera. Considera el caso de Amadeo, que nació el 1 de enero.

Resuelve los siguientes apartados con la ayuda de un programa de hojas de cálculo. a) Representa en una gráfica el error absoluto cometido (en años), en función de los días que han pasado desde fin de año, si Amadeo responde diciendo solo la parte entera de su edad. En el eje de abscisas, pues, se representarán los días del año numerados del 1 al 365; en el eje de ordenadas, el error cometido expresado en años. b) Calcula cuánto vale el error relativo si Amadeo tiene 50 años y le preguntan su edad el día de san Juan. c) Representa en una gráfica el error relativo en función de la edad suponiendo que se le pregunta el Día del Libro. Haz que en el eje de abscisas la edad vaya de 5 a 50 años.

142

dad, los danzantes son 8, y esta es una de las posibles colocaciones: A C E G B D F H

Cada letra representa un danzante. Imagina un baile en el que D siempre hace lo mismo que A, y C, lo mismo que B. El segundo cuadrado baila igual que el primero. Todos miran hacia el centro de sus respectivos cuadrados. La gráfica indica las acciones de A (azul) y B (rojo) durante los tres primeros compases. El código del eje de ordenadas es: 0, sin golpe; 1, golpe al suelo; 2, golpe con el bastón de la izquierda contra el bastón más cercano del compañero que está a la izquierda, ídem a la derecha; 3, golpe con los dos bastones en los bastones del compañero en diagonal. El eje de abscisas indica las notas de la melodía, suponiendo que todas son negras. Como el ritmo es 4 por 4, hay 4 negras en cada compás.

3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Calcula cuántos golpes dio el grupo de baile, en total, durante el segundo compás.

Autoevaluación 3. Un conductor ha circulado a una velocidad constante de

¿Sé analizar una gráfica?

80 km/h durante 3 h. Después ha parado para descansar du-

1. Dada la siguiente función: a) Di su dominio y su

3

recorrido.

2

b) Indica

los

interva-

cidad constante de 100 km/h durante 2 h. a) Escribe las fórmulas de la velocidad en función del tiem-

1

los de crecimiento y de decrecimiento.

rante 1 h. Seguidamente, ha continuado el viaje con una velo-

0 −3

−2

c) Indica los extremos.

−1

po para cada intervalo.

0

1

2

3

−1

d) Si tienen, halla la imagen de los valores −3, −2, 0, 1 y 3. e) Si tienen, halla la antiimagen de los valores −1, 0 y 1. f) Halla y compara la tasa de variación media en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. ¿Sé hallar la función asociada a un problema?

2. El precio de la entrada a un festival de cine es de 25 € y da derecho a ver una película gratis; las demás cuestan 4 € cada una. a) ¿Cuánto pagará una persona que haya visto 4 películas este fin de semana? b) Escribe la fórmula que permite calcular el precio en función del número de películas vistas.

U07_Mates4AESO.indd 142

b) Escribe las fórmulas del espacio en función del tiempo para cada intervalo. ¿Sé hallar los puntos de corte con los ejes?

4. Halla los puntos de corte con los ejes de estas funciones: a) f (x) =

x +1 x −2

b) f (x) =

x2 − 4 x +1

¿Sé distinguir los tipos de discontinuidades?

5. Analiza la siguiente gráfica e

3

indica:

2

a) El dominio y

1

el recorrido. b) La continuidad.

0 −3

−2

−1

c) La simetría.

−1

d) El crecimiento.

−2

0

1

2

3

14/03/12 11:10

Funciones y gráficas

Competencias que suman El precio de las fotocopias En la copistería del barrio han colgado este cartel: Fotocopia en

Fotocopia

blanco y negro

en color

De 1 a 20

0,05 €

0,25 €

De 20 a 50

0,04 €

0,20 €

De 50 a 100

0,03 €

0,17 €

Más de 100

0,02 €

0,15 €

1. Indica cuál de las siguientes gráficas representa el valor de una fotocopia, en céntimos de euro, según el número de fotocopias en blanco y negro que se hagan. a) 6

b) 6

c) 6

d) 6

5

5

5

5

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

0

0

0

0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

2. Copia y completa la gráfica correspondiente a las fotocopias

30

en color.

25

0

20

40

60

80

100

0

143

0

20

40

60

80

80

90

100

100

20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

70

110

3. Si te fijas únicamente en el segundo tramo de las fotocopias en blanco y negro, donde las fotocopias valen a 4 céntimos de euro: a) ¿Cuál es la ecuación que relaciona el número de fotocopias que se hacen y el valor de todas las fotocopias hechas? Puedes ayudarte de una tabla. b) Dibuja en tu cuaderno una gráfica del intervalo correspondiente.

4. Un amigo solo lleva un euro para hacer 20 fotocopias en blanco y negro. ¿Puede hacer más fotocopias? ¿Cuántas más? Explica por qué.

5. Observa que las fotocopias en blanco y negro pasan de 5 céntimos a 3 céntimos cuando son más de 100, mientras que las fotocopias en color pasan de 25 a 15 céntimos. Razona qué oferta te parece mejor.

6. Haz una aproximación a la puntuación que crees que obtendrás en esta prueba. Debes intentar que sea tan ajustada y sincera como te sea posible, aunque pienses que no te ha salido muy bien.

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