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Joamir Souza Patricia Moreno Pataro

Componente curricular Matemรกtica Anos finais do Ensino Fundamental

Matemรกtica Componente curricular Matemรกtica

ISBN 978-85-20-00235-3

9

788520 002353

Matemรกtica

7ยบ ano


Componente curricular Matemática Anos finais do Ensino Fundamental

Joamir Roberto de Souza Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para os anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Patricia Rosana Moreno Pataro Professora graduada em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Atuou como professora de Matemática em escolas da rede particular de ensino.

Matemática

7º ano

3a edição    São Paulo    2015


Copyright © Joamir Roberto de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thaís Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves e Janaína Bezerra Pereira Assessoria Tatiana Ferrari D’Addio Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Coordenadora de arte Daniela Di Creddo Máximo Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Revisão Izabel Cristina Rodrigues (líder); Revisores: Desirée Araújo, Juliana R. Costa, Marcella de A. Silva, Pedro Fandi e Solange Guerra Supervisão de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Erika Nascimento e Priscila Massei Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Produção editorial Scriba Projetos Editoriais Edição Lucília F. Lemos dos Santos Assistência editorial Marcela de Marques B. Cardoso e Sheila Caroline Molina Projeto gráfico Marcela Pialarissi, Laís Garbelini e Dayane Barbieri Capa Marcela Pialarissi Imagem de capa Fotomontagem de José Vitor E. C. formada pelas imagens Daniel Cardiff/ Getty Images (fundo) e José Vitor Elorza/ASC Images (perfil) Edição de ilustrações Ingridhi Borges e Eduardo Carriça dos Santos Diagramação Fernanda Miyabe Lantmann e Amanda Alves Tratamento de imagens José Vitor Elorza Costa Ilustrações Camila Ferreira, Estudio Meraki, Guilherme Casagrandi, Ingridhi Borges, N. Akira, Paula Radi, Rafaela H. Pereira, Rogério Casagrande, Sergio Lima, Waldomiro Neto Cartografia E. Cavalcante e Renan Fonseca Assistência de produção Daiana Melo, Paulo Ricardo M. Krzyzanowski e Tamires Azevedo Autorização de recursos Erick L. Almeida Pesquisa iconográfica Tulio Sanches Editoração eletrônica Luiz Roberto L. Correa (Beto)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Souza, Joamir Roberto de Vontade de saber matemática, 7o ano / Joamir Roberto de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro. – 3. ed. – São Paulo : FTD, 2015. Bibliografia ISBN 978-85-20-00235-3 (aluno) ISBN 978-85-20-00236-0 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Pataro, Patricia Rosana Moreno. II. Título.

15-03728 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à Editora FTD S.A. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.fundamental2@ftd.com.br

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375


Apresentação Provavelmente, você já viu os códigos de barras das embalagens de produtos, utilizou uma balança, observou um gráfico na televisão ou utilizou um computador. Esses são apenas alguns exemplos de situações nas quais a Matemática está presente. Ela está relacionada a diversas áreas do conhecimento e é uma ferramenta indispensável em nosso dia a dia. Compreender a Matemática e suas ideias nos auxilia a entender o mundo à nossa volta e nos tornar cidadãos e cidadãs mais críticos e participantes na sociedade. Este livro foi elaborado de uma maneira que você possa aplicar a Matemática de forma prazerosa, tanto em seu cotidiano como em outras disciplinas do currículo escolar. Para isso, procuramos abordar situações interessantes e atuais, nas quais você poderá usar a criatividade, explorar o raciocínio matemático, conversar com os colegas sobre procedimentos, levantar hipóteses e tomar decisões. Contudo, a sua dedicação é fundamental! É importante que você faça sugestões, dê opiniões, expresse suas dúvidas e empenhe-se na resolução de situações desafiadoras, mostrando-se participativo em sala de aula. Enfim, esperamos que você, aluno ou aluna, desenvolva as suas habilidades matemáticas e, com as orientações do professor, utilize este livro com entusiasmo e dedicação.

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Os autores

3


Conheça o seu

livro

Atividades Nessa seção, você encontrará atividades diversificadas, que buscam desenvolver as ideias e os conceitos estudados.

Abertura de capítulo Nesse momento, você entrará em contato com os assuntos que serão estudados no capítulo a partir de diferentes recursos que despertarão a sua curiosidade. Você também terá a oportunidade de mostrar o que já sabe e de trocar ideias com seus colegas sobre diversos temas.

Na internet Este ícone apresenta sugestões de sites para você obter mais informações sobre o assunto estudado.

Refletindo sobre o capítulo Ao final do capítulo, você encontrará questões que retomam o conteúdo, a fim de refletir sobre o conteúdo estudado, identificando as principais ideias compreendidas e também aquelas que precisam ser revistas.


Revisão Essa seção apresenta atividades que tratam de conceitos desenvolvidos em todo o capítulo, com o objetivo de revisar o conteúdo estudado.

Ser consciente Nessa seção, você estudará assuntos relacionados a temas como educação fiscal, sustentabilidade e ética. Nela, além de texto, imagens e algumas questões, é apresentada uma história em quadrinhos que aborda alguma situação do dia a dia da família do personagem João.

ENEM e OBMEP Apresenta problemas selecionados das edições da OBMEP ou do ENEM, que podem ser resolvidos com base no que foi estudado no capítulo.


Cálculo mental Atividades que apresentam procedimentos de cálculo mental.

Calculadora Atividades que exploram procedimentos para o uso da calculadora.

Contexto Nessa seção, você realizará atividades que relacionam a Matemática a outras disciplinas escolares, áreas do conhecimento ou situações do dia a dia.

Resolvendo problemas Essa seção apresenta um problema selecionado de uma das edições do ENEM. Nela, você é convidado a seguir as etapas sugeridas para a resolução.

Desafio Atividades que possuem caráter desafiador, nas quais você é estimulado a desenvolver suas próprias estratégias para a resolução.


Acessando tecnologias Essa seção apresenta exemplos e atividades que complementam o que foi estudado nos capítulos, utilizando, para isso, alguns programas de computador: planilha eletrônica e Geogebra.

Este ícone indica que as cores utilizadas não correspondem às reais.

Este ícone indica que os elementos apresentados não estão proporcionais entre si.

Ampliando seus conhecimentos Nessa seção são apresentadas sugestões de livros e sites para que você conheça mais o que foi estudado nos capítulos.


capítulo

1

Frações .........................................12 Estudando frações ............................................................................................ 14 Simplificação de frações ............................................................................. 18 Comparação de frações ............................................................................... 18 Adição e subtração de frações ............................................................. 21 Multiplicação de frações............................................................................. 24 Divisão de frações ............................................................................................ 27 Potenciação com base fracionária ................................................... 33 Raiz quadrada de número fracionário ......................................... 35 Revisão ........................................................................................................................ 37 Resolvendo problemas ...............................................................................40

capítulo

ENEM e OBMEP ................................................................................................. 41

2

Números decimais .....................42 Relembrando números decimais.......................................................44 Adição e subtração com números decimais .........................49 Multiplicação........................................................................................................... 52 Divisão .......................................................................................................................... 56 Potências com base decimal .................................................................. 61 Raiz quadrada de um número decimal ....................................... 61 Ser consciente .....................................................................................................64 Revisão ........................................................................................................................66 ENEM e OBMEP ................................................................................................ 67

capítulo

sumário

3

Formas geométricas espaciais...68 As formas geométricas espaciais .................................................... 70 Poliedros..................................................................................................................... 73 Não poliedros ........................................................................................................ 79 Revisão ........................................................................................................................ 82 ENEM e OBMEP ................................................................................................ 83


4

capítulo

Números positivos e números negativos ................ 84 Os números negativos .................................................................................86 Reta numérica ......................................................................................................90 Comparando números positivos e números negativos .....................................................................................94 Operações com números positivos e números negativos .....................................................................................98 Potências com base negativa .............................................................. 116 Potências com expoente negativo.................................................. 116 Propriedades das potências .................................................................. 118 Revisão ....................................................................................................................... 121

5

capítulo

Tratamento da informação ..... 126

6

capítulo

ENEM e OBMEP .............................................................................................. 125

Gráficos e tabelas ...........................................................................................128 Construção de gráfico de setores.................................................... 131 Média aritmética .............................................................................................. 133 Média ponderada ............................................................................................. 133 Possibilidades......................................................................................................136 Probabilidade ...................................................................................................... 140 Revisão ......................................................................................................................143 Resolvendo problemas ............................................................................ 146 ENEM e OBMEP .............................................................................................. 147

Expressões algébricas, fórmulas e equações ............... 150 Expressões algébricas ................................................................................ 152 Fórmulas .................................................................................................................. 155 Equações .................................................................................................................. 157 Ser consciente .................................................................................................. 164 Revisão ..................................................................................................................... 166 ENEM e OBMEP ..............................................................................................169


capítulo

7

Grandezas e medidas de temperatura, de energia e de capacidade ....................... 170 Grandezas................................................................................................................ 172 Algumas unidades de medida ........................................................... 176 Revisão ..................................................................................................................... 188 Resolvendo problemas .............................................................................. 191

capítulo

ENEM e OBMEP .............................................................................................. 192

8

Ângulos ..................................... 194 Ideias de ângulo ...............................................................................................196 Medindo ângulos .............................................................................................197 Subdivisões do grau .................................................................................. 204 Operações com medidas de ângulos ........................................ 207 Revisão ......................................................................................................................214

capítulo

ENEM e OBMEP .............................................................................................. 217

9

Polígonos .................................. 218 Os polígonos ...................................................................................................... 220 Ângulos nos polígonos............................................................................ 225 Revisão .................................................................................................................... 230 ENEM e OBMEP .............................................................................................. 231


10

capítulo

Proporcionalidade ....................232 Razões ...................................................................................................................... 234 Grandezas proporcionais ....................................................................... 240 Regra de três simples............................................................................... 244 Ser consciente ................................................................................................. 250 Revisão .....................................................................................................................252 Resolvendo problemas ........................................................................... 255

11

capítulo

Transformação de figuras ..... 258

12

capítulo

ENEM e OBMEP ............................................................................................ 256

Ampliação, redução e reprodução de figuras .................. 260 Simetria de reflexão ................................................................................... 265 Simetria de rotação..................................................................................... 268 Revisão .................................................................................................................... 270 ENEM e OBMEP .............................................................................................273

Medidas de volume .................274 Volume ......................................................................................................................276 Volume do paralelepípedo e do cubo ....................................... 279 Revisão .................................................................................................................... 283 Resolvendo problemas ........................................................................... 284 ENEM e OBMEP ............................................................................................ 285

Acessando tecnologias................... 286 Ampliando seus conhecimentos .................................................. 300 Respostas ............................................................................................................. 304 Bibliografia.......................................................................................................... 320


capítulo Jason Friend/age fotostock/Easypix

1

Frações

Embarcação navegando na região da Patagônia Austral, no Chile, próxima a uma parede de gelo no ano de 2010. Cerca de 70% de toda água doce do planeta estão em forma de gelo em regiões montanhosas e nas geleiras dos polos.

12


Água A água é uma das substâncias essenciais para a vida e está presente no planeta de forma abundante. Porém, aproximadamente 97,5% de toda a água estão nos oceanos e são impróprios para consumo humano por ser água salgada. Outra questão é que, de toda a água apropriada para nosso con7 sumo, chamada água doce, quase ___ ​​    ​​ estão em forma de gelo 10 em regiões montanhosas e nas geleiras dos polos. Em resumo, da imensa quantidade de água existente no planeta, apenas uma pequena parte está disponível para o consumo humano. Isso não significa, no entanto, que não haja água suficiente para atender às necessidades de toda a população mundial. A má distribuição e o mau uso são fatores que provocam a escassez que já atinge milhões de pessoas no mundo. Por isso, é importante fazermos nossa parte e evitarmos o desperdício de água no dia a dia. Dessa forma, estaremos ajudando a preservar os valiosos recursos hídricos e o meio ambiente em geral. Água Veja mais informações sobre água no site: <http://eba.im/5pct5c> (acesso em: 27 mar. 2015)

A A cada 10 L de água doce no planeta, quantos litros

estão em forma de gelo em regiões montanhosas e nas geleiras dos polos? 1 B Se de toda a água do planeta, ​​ ___     ​​é doce, e, dessa

40 3 par­te, ​​  ___   ​​  estão no subterrâneo, a fração que repre10 senta a quantidade de água no subterrâneo em relação ao total de água do planeta é maior ou menor 1 que ​​  ____      ​​? 100 C Mesmo no Brasil, que possui as maiores reservas de água do mundo, há regiões que sofrem com o racionamento de água. Pesquise na internet alguns municípios brasileiros que eventualmente precisam racionar água, bem como o motivo para isso ocorrer.

13


Estudando frações Já estudamos em anos anteriores que as frações podem ser utilizadas em diversas situações, representando diferentes ideias. Veja a seguir algumas delas.

••Parte de uma figura

3 __ ​​    ​​   10

3 __ ​​    ​​   10

numerador denominador

partes em vermelho número de partes iguais em que a figura foi dividida

3

  ​​  corresponde à parte em •• A fração ​​ __ 10 vermelho da figura.

21 ​​ ___  ​​   100

numerador denominador

21 ___ ​​    ​​   100

partes em azul número de partes iguais em que a figura foi dividida

21 fração ___ ​​    ​​   corresponde à parte 100 em azul da figura.

•• A

As frações cujo denominador é potência de 10 são chamadas frações 3 21 ​​    ​​  são exemplos de frações decimais. decimais. Assim, as frações __ ​​    ​​ e ___ 10 100

••Razão Em um concurso, 7 de um total de 95 pessoas foram aprovadas. Podemos repre7 ​​    ​​ , isto é, 7 das 95 pessoas sentar a quantidade de pessoas aprovadas pela fração ___ 95 inscritas foram aprovadas ou, ainda, a quantidade de pessoas aprovadas nesse concurso está na razão de 7 para 95.

••Quociente de uma divisão

12 12 A fração __ ​​   ​​ , por exemplo, representa 3 inteiros, ou seja, __ ​​   ​  = 12  :  4 = 3​. 4 4 Podemos escrever uma fração na forma de divisão e vice-versa. O traço da fração representa uma divisão.

Ilustrações: Acervo da editora

As frações podem representar parte de um inteiro. 2 Na fração __ ​​    ​​, por exemplo, o número 7 é o denominador, que 7 indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido, e o 2 é o numerador, que indica quantas partes foram consideradas. Representando essa fração por meio de uma figura, temos:

14


•• As

capítulo 1

frações que representam parte de um inteiro, isto é, quantidades maiores que zero e menores que 1, são chamadas frações próprias.

•• As frações que representam números maiores que 1 ou um número natural são chamadas frações impróprias.

•• As frações aparentes representam um número natural e são um caso particular das frações impróprias.

Exemplos:

​​   ​   = 2​ ••Fração aparente: __ 3

5

1

6

​​   ​ ​ ••Fração imprópria: __ 3

Ilustrações: Acervo da editora

​​    ​ ​ ••Fração própria: __ 4

Para fazer a leitura de uma fração, primeiro lemos o numerador e depois, o denominador. De acordo com o denominador, a fração pode receber nomes especiais.

••Quando o denominador for menor que 10. 1 __ ​​    ​​  2

2 ​​ __  ​​ 5

um meio

3 ​​ __  ​​ 8

dois quintos

três oitavos

••Quando o denominador for uma potência de 10 (fração decimal). 7 __ ​​    ​​  10

12 ___ ​​    ​​  100

sete décimos

doze centésimos

9 ​​ _____    ​​  1 000

nove milésimos

••Quando

o denominador for maior que 10 e não for uma potência de 10, lemos o numerador e o denominador seguido da palavra avos. 6 __ ​​    ​​  13

4 ​​ __  ​​  19

seis treze avos

Atividades

quatro dezenove avos

c )

d )

Ilustrações: Acervo da editora

b )

trinta e um quarenta e dois avos

Anote no caderno

1. Escreva uma fração para representar a parte pintada de cada figura. a )

31 ___ ​​    ​​  42

2. Resolva as questões. a ) No Brasil, em janeiro de 2013, cerca de 4 em cada 5 telefones celulares habilitados possuíam planos pré-pagos. Nesse ano, que fração dos celulares habilitados eram pré-pagos? b ) Até 2014 tinham sido realizadas 55 edições da Copa Libertadores da América, na qual 23 títulos foram conquistados por equipes argentinas e 17, por equipes brasileiras. Que fração representa a quan­tidade de títulos dessa copa conquistados por equipes argentinas? E por brasileiras?

15


3. Copie apenas as frações decimais. 7 __ 10 3 _____ 1 000

19 __ 10 67 ____ 500

8 __ 9

42 ___ 31

1 ___ 20

13 ___ 100

2 4. Em um laboratório de informática, __ dos 3 24 computadores têm microfones. Quantos computadores desse laboratório têm microfones? Para resolvermos essa questão, representamos os 24 computadores em 3 grupos com a mesma quantidade de computado2 res, pois 3 é o denominador da fração __. 3

6. Carlos partiu em viagem do município A com destino ao município C, passando pelo 3 município B. Após percorrer __ da distância 5 entre A e B, que correspondem a 96 km, ele parou para abastecer seu carro. Qual a distância entre os municípios A e B? Podemos resolver essa questão da maneira a seguir. 3 Temos que __ da distância entre A e B cor5 respondem a 96 km.

município A

município B 3 __ 5

1 3

96 km

1 Obtemos a distância correspondente a __ 5 da distância entre A e B.

1 3

1 3

Como cada grupo contém 8 computadores, 1 temos que __ dos 24 computadores corres3 2 ponde a 8. Dessa forma, __ dos computa3 dores correspondem a 2 grupos, ou seja, 16 computadores (2 ⋅ 8 = 16). Agora, calcule quantos computadores têm 5 fone de ouvido, sabendo que __ dos com6 putadores do laboratório de informática têm fone de ouvido. 5. Calcule. 1 a ) __ de 6h 3 2 b ) __ de 10 m 5

16

5 c ) __ de 16 kg 8 3 d ) __ de 2 L 4

1 __ 5

município B 96 : 3 = 32

32 km

Em seguida, calculamos a distância total 5 entre A e B, ou seja, __. 5 Ilustrações: Paula Radi

Ilustrações: Camila Ferreira

município A

município A

município B 5 __ 5

32 ⋅ 5 = 160

160 km

Portanto, a distância entre os municípios A e B é 160 km. Agora, de maneira semelhante, calcule a distância entre os municípios A e C, sabendo que a distância entre A e B corresponde 5 a __ da distância entre A e C. 8


10. Escreva como se lê cada fração. 9 11 a ) __ c ) __ e) 10 2 643 2 b ) __ d ) _____  f ) 15 1 000

capítulo 1

7. Apesar de ocupar a menor área territorial do continente americano, a América Central concentra 20 países, que correspon4 dem a __ do total de países do continente. 7 Quantos países compõem o continente americano?

7 __ 8 26 ___ 53

5 11. Observe como Luís representou a fração __. 2

Continente americano N

Círculo Polar Ártico

L

O

Paula Radi

S

5 De acordo com a imagem, a fração __ cor2 responde a duas figuras inteiras mais metade de outra. Ela também pode ser escrita como um número na forma mista, isto é:

Trópico de Câncer

Equador

OCEANO PACÍFICO

OCEANO ATLÂNTICO

parte inteira

Trópico de Capricórnio

0

2080 km

50° O

parte fracionária

E. Cavalcante

América do Norte América Central América do Sul

1 2 __ 2

Escreva uma fração e um número na forma mista para representar a parte pintada das figuras em cada item.

Fonte: ATLAS geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012.

8. Observe.

Sabendo que o valor da entrada correspon3 deria a __ do preço à vista do veículo, res5 ponda. a ) Qual o valor à vista do veículo? b ) Qual o valor de cada parcela? 9. Escreva uma fração correspondente a cada item. Em seguida classifique a fração em própria ou imprópria. a) 3 : 8

c ) 15 : 6

e ) 12 : 9

b ) 28 : 12

d ) 9 : 12

 f ) 21 : 25

b)

c)

Ilustrações: Acervo da editora

Fotomontagem de Guilherme Casagrandi formada pela imagem Fingerhut/Shutterstock/Glow Images

a)

12. Escreva o número na forma mista correspondente a cada fração. 37 43 9 a ) __ c ) ___ e ) ___ 4 8 8 16 22 147 b ) __ d ) ___  f ) ___ 6 7 23 Se necessário, construa figuras para auxiliar na resolução.

17


Simplificação de frações Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, estamos fazendo uma simplificação de fração. Veja como pode90 mos simplificar a fração ____ ​​    ​​.  240 : 2

: 3

: 5

90 45 15 3 ____ ​​    ​​   = ​​ ____  ​​   = ​​ ____  ​​   = ​​ ____  ​​   240 120 40 8

: 2

: 3

: 5

90 45 15 3 Nesse caso, as frações ​​ ____  ​​, ​​ ___  ​​, ​​ ___  ​​ e __ ​​    ​​representam a mesma parte do todo. Assim, 240 120 40 8 dizemos que elas são frações equivalentes. 3 Como o numerador e o denominador da fração ​​ __  ​​não são divisíveis simultaneamente 8 3 por um mesmo número natural, pois 3 e 8 são números primos entre si, dizemos que ​​ __  ​​ 8 é uma fração irredutível. Ao dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à inicial. Caso o numerador e o denominador da fração obtida não sejam divisíveis por um mesmo número natural maior do que 1, isto é, sejam primos entre si, dizemos que a fração obtida é uma fração irredutível.

Comparação de frações

5 alunos que cursam inglês: __ ​​    ​​   12 4 alunos que cursam espanhol: __ ​​   ​​  9

4 Observando as figuras, podemos notar que __ ​​   ​  > 9 sam espanhol.

Ilustrações: Acervo da editora

5 4 Em uma escola de idiomas, ​​ __  ​​ dos alunos cursam inglês e __ ​​   ​​ , espanhol. 9 12 Nessa escola, há mais alunos cursando inglês ou espanhol? 5 4 ​​    ​​  e __ Para responder a essa questão, é necessário comparar as frações __ ​​   ​​  e verificar 12 9 qual delas é maior. Representando os alunos que estudam cada um dos idiomas, temos:

5 __ ​    ​​ , ou seja, há mais alunos que cur12

Também podemos comparar essas frações obtendo frações equivalentes a elas com denominadores iguais. Para isso, podemos calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores.

18


capítulo 1

5 4 Vamos comparar as frações __ ​​    ​​ e __ ​​   ​​ . 12 9 Inicialmente, encontramos o ​mmc ​(12, 9)​​. 

12, 9 2 6, 9 2 3, 9 3

​mmc ​(12, 9)​  =  2  ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3  =  36​

1, 3 3 1, 1 5 Assim, devemos obter frações equivalentes a __ ​​    ​​ e 12

​⋅  3

5 15 ​​ __  ​​  ​= ​ ​​ ___  ​​  12 36

4 ​​ ___ ​​   ​= ​ 9

16 ​​ ___  ​​  36

​ ⋅  4​

⋅  3​ ​ 16 Como ​​ ___  ​ > 36

​⋅  4

4 __ ​​   ​​  cujos denominadores sejam 36. 9 Multiplicamos o numerador e o 5 denominador da fração ​​ __  ​​ por 3, 12 pois ​36 : 12  =  3​, e multiplicamos o numerador e o denominador da 4 fração ​​ __ ​​  por 4, pois ​36  :  9  =  4​. 9

15 5 4 ___ ​    ​​,  temos __ ​​   ​  > ​ __  ​​.  9 12 36

Atividades

Anote no caderno

13. Para cada item, escreva duas frações equivalentes. 10 4 7 a ) ​ __   ​ ​    ​ c ) ​ __ ​ e ) __ 15 10 3 4 21 17 b ) ​ __ ​ d ) ​ __ ​   f ) ​​ __ ​ 6 14 9 Junte-se a um colega e discutam os procedimentos utilizados para resolver esta atividade. 14. Na partida final de um campeonato de bas­ 7 quete, Alice marcou ​___      ​do total de pontos 42 5 1 ​     ​, e Sílvia, ​ __  ​. marcados, Mônica, ___ 6 58 a ) Quais das atletas marcaram o mesmo número de pontos? b ) Sabendo que o total de pontos marcados nessa partida foi 174, quantos pontos foram marcados por:

••Alice? ••Mônica? ••Sílvia?

15. Podemos verificar se duas frações são equivalentes, multiplicando o numerador de uma fração pelo denominador da outra e vice-versa. Veja os exemplos: 8

14

​​    ​​ e __ ​​   ​​  ••__ 12 21

8 __ 14 __ ​​    ​​ ​​     ​​  12 21

​12  ⋅  14  =  168 ​ 8   ⋅  21  =  168​

3 2 __ __ ​​    ​​ ​​      ​​   10 12

1​ 0  ⋅  3  =  30 2  ​ ⋅  12  =  24​

Como ​12  ⋅  14​e 8 ​   ⋅  21​têm o mesmo resul8 14 tado, as frações ​ __   ​e __ ​    ​são equivalentes. 12 21 2

3

​​    ​​ e __ ​​    ​​  ••__ 10 12

O resultado da multiplicação 1​0  ⋅  3​é diferente de ​2  ⋅  12​. Portanto, essas frações não são equivalentes. De maneira semelhante, verifique quais pares de frações são equivalentes. 3 18 9 1 42 14 a ) ​ __   ​ e __ e ) ​ ___  ​ e ___ ​    ​ c ) ​ __ ​  e ​ __ ​ ​     ​ 77 29 15 5 8 4 3 15 6 2 8 24 ​     ​ ​     ​ ​     ​ b ) ​ __ ​ e __ d ) ​ __   ​ e ___ f ) ​ ___   ​ e __ 7 21 164 41 10 50

19


16. Em cada recipiente, as marcações dividem sua capacidade em partes iguais. Determine, para cada um deles a fração de sua capacidade que está com líquido. Depois, verifique quais recipientes possuem a mesma fração de sua capacidade com líquido. a)

c)

18. Dentre as frações a seguir, copie apenas as irredutíveis. 14 __ 5

16 __ 4

4 __ 17

6 ___ 20

7 __ 12

21 __ 5

24 ___ 36

9 __ 11

Agora, simplifique as frações que você não copiou até torná-las irredutíveis.

b)

Acervo da editora

19. Observe a figura.

Ilustrações: Renan Fonseca

d)

a ) Escreva uma fração para representar a parte da figura em:

17. A figura representa os funcionários de uma fábrica de acordo com o setor em que trabalham.

• amarelo • azul

• verde • vermelho

b ) Escreva as frações obtidas no item a em ordem crescente utilizando o símbolo <. 20. Associe cada aquário à fração que representa a parte de sua capacidade que está com água, sabendo que, em todos eles, a capacidade total é a mesma. Para isso, escreva a letra e o símbolo romano correspondentes. c)

b)

d)

Acervo da editora

a)

direção

administração

produção Ilustrações: Acervo da editora

gerência

a ) Em relação ao total de funcionários da fábrica, escreva uma fração correspondente ao número de funcionários de cada setor. b ) Simplifique as frações que você escreveu no item a até torná-las irredutíveis.

20

1 I ) __ 3

4 II ) __ 5

1 III ) __ 2

7 IV ) __ 10


Photodisc/Getty Images

Roberto vendeu toda a produção de soja de sua fazenda para três cooperativas da seguinte maneira:

capítulo 1

Adição e subtração de frações

1

​​    ​​  para a cooperativa A ••__ 4 1

​​    ​​  para a cooperativa B ••__ 3 5

​​    ​​ para a cooperativa C ••__ 12 Que fração representa a quantidade de soja que Roberto vendeu para as cooperativas A e B?

Colheita de soja.

Para responder a essa pergunta, precisamos fazer uma adição de frações, ou seja, 1 1 calcular __ ​​    ​   + ​ __  ​​ . Como as frações possuem denominadores diferentes, obtemos, inicial4 3 1 1 ​​    ​​  e __ mente, frações equivalentes a __ ​​    ​​  com denominadores iguais. 4 3

​⋅ 3​

​⋅ 4​

​⋅ 2​

​⋅ 3​

​⋅ 4​

​⋅ 5​

​⋅ 2​

3 1 2 4 ​​ __  ​​     =  ​​ __  ​​     =  ​​ __  ​​     =  ​​ ___  ​​  =  ...   4 16 8 12

​⋅ 2​

3 5 1 2 4 ​​ __  ​​     =  ​​ __  ​​     =  ​​ __  ​​     =  ​​ ___  ​​     =  ​​ ___  ​​  =  ...   6 15 9 3 12

​⋅ 2​ ​⋅ 3​

​⋅ 3​

​⋅ 4​

​⋅ 4​

​⋅ 5​

Agora, adicionamos as frações equivalentes de mesmo denominador.

3  + 4 3 1 1 4 7  ​     = ​ __  ​​  ​​ __  ​   + ​ __  ​   = ​ __  ​  + ​ __  ​   = ​ ____ 4 3 12 12 12 12 7 Assim, Roberto vendeu ​​ __  ​​ da produção para as cooperativas A e B. 12 Que fração representa a diferença entre a quantidade de soja vendida para a cooperativa C e a vendida para a A?

Para responder a essa pergunta precisamos fazer uma subtração de frações, ou seja, 5 1 calcular __ ​​    ​  − ​ __  ​​.  12 4 Simplificando a 5 5 3 5  –  3 __ 1 2 __ ​​    ​  – ​ __  ​   = ​ __  ​  – ​ __  ​  = ​ ______  ​    = ​    ​​  2 fração ​​ __  ​​ temos: 12 4 12 12 12 12 fração equivalente 1 a ​​ __  ​ ​  com 4 denominador 12

Assim, a fração que representa a diferença entre a quantidade de soja 2 1 vendida para a cooperativa C e a vendida para a A é ​​ __  ​​ ou __ ​​    ​​.  6 12

12 : 2

2 1 __ ​    ​​ . ​​    ​ = __ 12 6 : 2

21


• Quando adicionamos ou subtraímos frações cujos denominadores são iguais, adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador.

• Quando adicionamos ou subtraímos frações cujos denominadores são

diferentes, precisamos, inicialmente, determinar frações equivalentes a elas com denominadores iguais. Em seguida, adicionamos ou subtraímos as frações equivalentes obtidas.

Também podemos efetuar adições e subtrações de frações com denominadores diferentes utilizando o mmc. 3 2 5 Por exemplo, para calcular __ + __ − __, inicialmente, calculamos o mmc dos denomi4 7 8 nadores, ou seja, mmc (4, 7, 8). 4, 7, 2, 7, 1, 7, 1, 7, 1, 1,

8 4 2 1 1

2 2 2 7

mmc (4, 7, 8) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 56

Em seguida, obtemos frações equivalentes às iniciais cujos denominadores sejam 56. Para isso, em cada fração, dividimos o mmc obtido pelo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador. (56 : 4) ⋅ 3

(56 : 7) ⋅ 2

(56 : 8) ⋅ 5

3 __ 16 35 42 + 16 − 35 23 2 5 42 __ + − __ = ___ + ___ − ___ = ____________ = ___ 4 7 8 56 56 56 56 56

Atividades

3 6 c ) __ + __ 2 5 7 7 d ) __ + __ 4 6

3 2 1 e ) __ + __ + __ 5 8 4 1 7 5  f ) __ + __ − __ 3 9 6

22. Um agricultor dividiu seu sítio conforme o esquema. SOJA

5 12

SEDE

MILHO

2 9

1 12

Paula Radi

22

1/4 0

1 4

Que fração do sítio o agricultor destinou: b ) à sede do sítio?

1/2

CARNEIRO

GADO

a ) à criação de animais?

23. Cíntia fez uma viagem de Vitória (ES) a Petrópolis (RJ), fazendo uma parada para almoçar. Antes de partir, ela encheu o tanque de seu carro e não o abasteceu mais até chegar ao destino. As figuras representam o marcador de combustível do carro em dois momentos.

1/2 3/4 1/1

Tanque na parada para o almoço.

1/4 0

3/4 1/1

Tanque ao chegar a Petrópolis.

Que fração do combustível foi consumida da:

• partida até a parada para o almoço? • parada para o almoço até Petrópolis? • partida até Petrópolis?

Ilustrações: Rogério Casagrande

21. Calcule. 4 5 a ) __ + __ 7 7 8 1 b ) __ − __ 3 3

Anote no caderno


1 10

a ) Que fração do consumo de água é destinada à indústria e à agricultura? b ) Que fração irredutível corresponde à diferença entre o consumo de água na agricultura e no uso doméstico?

capítulo 1

Consumo de água por setor 1 5

14 20

Industrial Agrícola Doméstico

c ) Você acha importante o consumo consciente de água? Por quê?

Acervo da editora

24. Observe como é a distribuição do consumo mundial de água por setor.

Fonte: ALMANAQUE Abril 2014. São Paulo: Abril, 2014. p. 199.

25. Estimou-se que, em 2013, a população mundial era de 7,1 bilhões de habitantes aproximadamente. Observe o mapa e responda. Distribuição da população mundial por continente, em 2013

a ) Qual o continente mais populoso? E o menos populoso? b ) Que fração da população mundial os continentes abaixo têm no total?

E. Cavalcante

• América e África • Ásia e Europa

Fonte: ATLAS geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012.

c ) Que fração da população mundial corresponde à diferença entre a população da Ásia e a da América?

Fonte: ALMANAQUE Abril 2014. São Paulo: Abril, 2014. p. 349.

Renan Fonseca

3 5 1 26. Observe como Gilberto resolveu, de duas maneiras, a expressão __ + __ − __. 4 6 4

Resolva as expressões de duas maneiras. 5 7 1 11 3 1 a ) __ + __ + __ b ) __ + __ − __ 6 4 2 12 6 3

5 7 2 c ) __ + __ − __ 4 6 3

13 5 7 d ) __ + __ − __ 9 8 12

23

Vontade saber mat 7  
Vontade saber mat 7