JOAMIR SOUZA ÁREA
MANUAL DO PROFESSOR
JOAMIR SOUZA
Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR).
Especialista em Estatística pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR).
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR).
Autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.
ÁREA DO CONHECIMENTO: MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2024
Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira
Direção de conteúdo e negócios Cayube Galas
Direção editorial adjunta Luiz Tonolli
Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva e Nubia de Cassia de M. Andrade e Silva
Edição Cibeli de Oliveira Chibante Bueno (coord.)
Alessandra Maria Rodrigues da Silva, Bianca Cristina Fratelli, Emike Luzia Pereira Correia, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Marceli Megumi Hamazi Iwai, Rizia Sales Carneiro, Wagner Jose Razvickas Filho
Preparação e revisão Maria Clara Paes (coord.)
Ana Carolina Rollemberg, Cintia R. M. Salles, Denise Morgado, Desirée Araújo, Eloise Melero, Kátia Cardoso, Márcia Pessoa, Maura Loria, Veridiana Maenaka, Yara Affonso
Produção de conteúdo digital João Paulo Bortoluci
Gerência de produção e arte Ricardo Borges
Design Andréa Dellamagna (coord.)
Sergio Cândido (criação), Ana Carolina Orsolin, Everson de Paula
Projeto de capa Sergio Cândido
Imagem de capa Andrey Burmakin/Shutterstock.com
Arte e produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)
André Gomes Vitale, Débora Jóia, Jorge Katsumata, Kleber B. Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini, Maria Paula Santo Siqueira (Assist.)
Diagramação VS Pages
Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga
Licenciamento de textos Erica Brambila
Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira, Izabela Mariah Rocha Santos, Leticia dos Santos Domingos (trat. imagens)
Ilustrações Alan Carvalho, Artur Fujita, Bentinho, Cbook Produções, Dacosta Mapas, Daniel Bogni, Fabio Eugenio, Lucas Farauj e Sergio Lima
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Souza, Joamir Roberto de 360° matemática : 3o ano : ensino médio : volume III / Joamir Roberto de Souza. -- 1. ed. -São Paulo : FTD, 2024.
Componente curricular: Matemática. Área do conhecimento: Matemática e suas tecnologias.
ISBN 978-85-96-04630-5 (livro do estudante)
ISBN 978-85-96-04631-2 (manual do professor)
ISBN 978-85-96-04636-7 (livro do estudante HTML 5)
ISBN 978-85-96-04637-4 (manual do professor HTML 5)
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
24-227740
Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio 510.7
CDD-510.7
Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à EDITORA FTD
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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33
Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Caro estudante,
Quando você observa a sociedade em que está inserido, provavelmente identifica diversas situações desafiadoras que influenciam diretamente suas ações. Os avanços tecnológicos, por exemplo, estão modificando as maneiras de acesso às informações, as relações de trabalho, os hábitos de consumo, as interações sociais e outros aspectos que impactam diversas áreas da vida das pessoas.
Esta etapa do Ensino Médio será muito importante para sua formação cidadã e crítica, uma vez que você será incentivado a compreender conhecimentos historicamente construídos e a relacioná-los com a realidade. Dessa maneira, é esperado que o seu repertório cultural e intelectual seja ampliado, possibilitando o enfrentamento de desafios contemporâneos locais e globais.
Este livro foi elaborado para contribuir com o seu aprendizado em Matemática, favorecendo a exploração de diferentes situações que, sempre que possível, envolvem outras áreas do conhecimento, as quais auxiliam na continuidade do estudo em etapas posteriores, na sua relação com o mercado de trabalho e na sua vida social.
Por fim, desejo que você, estudante, explore este livro com dedicação e entusiasmo e desenvolva as propostas de estudo, interagindo com os professores e os colegas e compreendendo a importância do conhecimento matemático em sua formação como cidadão atuante na comunidade em que vive e na busca de uma sociedade mais justa e inclusiva.
O autor.
Meteorologia
Ao sair de casa amanhã logo cedo, devo levar o guarda-chuva? Deve chover nos próximos meses para que o agricultor faça o plantio? Há risco de chuva forte nas próximas horas; será que pode ocasionar enchente ou alagamento em alguma região?
Acesse este vídeo para obter mais informações sobre como é realizada a previsão
Esses questionamentos são frequentes em nosso cotidiano, o que nos leva a fazer uma breve busca para consultar a previsão do tempo e a probabilidade de chover em certa região, por exemplo. As previsões meteorológicas envolvem diversas etapas, como a coleta de dados (umidade, pressão atmosférica, temperatura de superfície, precipitação etc.), que ocorre em estações meteorológicas ou por meio de outros recursos, como aviões, navios, boias e satélites. Com esses dados, os meteorologistas elaboram modelos matemáticos com o objetivo de prever, com certa confiabilidade, as condições climáticas futuras. Essa etapa envolve cálculos probabilísticos e, em geral, é realizada com apoio de supercomputadores.
Respostas nas Orientações para o professor
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Você tem o hábito de pesquisar a previsão do tempo? Por quê? Quais dispositivos você utiliza?
2. Em seu entendimento, a meteorologia colabora para melhorar a qualidade de vida da sociedade? Justifique.
3. Pesquise a probabilidade de chuva para o dia de amanhã na região em que você mora. De acordo com essa informação, responda: é mais provável que chova ou que não chova? Justifique.
ATIVIDADES
É a oportunidade de retomar os conteúdos apresentados por meio de atividades e problemas propostos.
1. Observe os planos, as retas e os pontos representados a seguir e determine a relação de pertinência ou continência entre: a) cada um desses pontos e o plano a; b) cada uma dessas retas e o plano b c) cada um desses pontos e as retas r s e t A
3. Respostas esperadas: a) Três pontos não colineares determinam um único plano; c) Os postulados correspondem a afirmações tomadas como verdadeiras sem a necessidade de serem demonstradas; d) Duas retas concorrentes têm apenas um ponto em comum.
ABERTURA DE UNIDADE
Nesta página, você é convidado a refletir sobre um tema relacionado ao conteúdo a ser estudado.
R4. A companhia de saneamento básico que atende certo município realizou três aumentos nas tarifas de água: 3,4% em 2023; 4,2% em 2024; 2,5% em 2025. Observe algumas tarifas mensais de água cobradas por essa companhia em 2025.
Tarifa social
• Até 5 m3 R$ 15,10
De 6 a 10 m3: R$ 0,37 por m3
Tarifa residencial normal
• Até 5 m3 R$ 49,68
De 6 a 10 m3 R$ 1,45 por m3
Qual era o valor da tarifa residencial normal de água, cobrada por essa companhia em 2022, para o consumo de até 5 m no mês?
Resolução
Note que no enunciado há dados que não são necessários para resolvermos a atividade, como os valores cobrados em 2025 pela companhia nas faixas da tarifa social e na faixa de consumo de 6 a 10 m3 na tarifa residencial normal. Nesse caso, podemos selecionar apenas as informações essenciais, conforme segue.
• Os aumentos nas tarifas de água nos anos de 2023, 2024 e 2025 foram, respectivamente, 3,4%, 4,2% e 2,5%.
Após o aumento em 2025, o valor da faixa de consumo de água de até 5 m3 mensal na tarifa residencial normal passou a ser R $ 49,68. Com base nessas informações e considerando P 0 o valor, em reais, da faixa de consumo de água de até 5 m3 mensal na tarifa residencial normal em 2022, temos:
h 49,68 P 0 1,104 h P 0 1 49,68 1,104 45
b) Quantos planos distintos contendo três desses pontos é possível traçar?
4 planos distintos
5. Tripés, bancos e cavaletes de pintura que têm três pernas proporcionam maior estabilidade de apoio a objetos do que aqueles com quatro pernas já que eles não balançam quando apoiados em qualquer tipo de piso. Utilizando os conceitos geométricos estudados, explique por que objetos com três pernas não balançam, independentemente do tipo de piso em que forem apoiados.
5. Resposta esperada: Pelo postulado VII três pontos não colineares determinam um único plano. Considerando os três pontos correspondentes aos pontos de apoio dos pés desses objetos no piso, podemos afirmar que esses pontos de apoio determinam um único plano. Assim, mesmo quando apoiados em um piso irregular, esses três pontos de apoio determinam um único plano imaginário que intersecta esse piso nesses pontos e, portanto, esses objetos não balançam. a BA C D G F E b AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
2. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa.
a) Três pontos quaisquer determinam um único plano.
b) Ponto, reta e plano são conceitos primitivos c) Os postulados correspondem a afirmações que são consideradas verdadeiras apenas depois que são demonstradas.
d) Duas retas concorrentes têm dois ou mais pontos em comum.
e) Existem infinitas retas contidas em um plano a qualquer, assim como existem infinitas retas não contidas nesse plano.
f) Os teoremas correspondem a afirmações que só são consideradas verdadeiras após terem sido demonstradas.
g) Dois pontos quaisquer são sempre colineares.
3. Reescreva as sentenças falsas da atividade anterior, tornando-as verdadeiras.
4. Considerando quatro pontos A B C e D não coplanares e não colineares três a três, responda às questões explicando como você pensou a) Quantas retas distintas contendo dois desses pontos é possível traçar? falsa verdadeira falsa falsa verdadeira verdadeira verdadeira 6 retas distintas
O tripé de celular proporciona estabilidade na superfície e melhora a captura de imagens.
6. Mostre a validade do teorema a seguir. Se três retas r, s e t distintas são concorrentes duas a duas, de maneira que não exista ponto comum às três retas, então essas retas estão contidas em um mesmo plano a s
Resposta nas Orientações para
7. Dadas duas retas r e s, perpendiculares entre si, julgue a afirmação a seguir como verdadeira ou falsa e justifique.
Existe uma reta t contida em um mesmo plano que as retas r e s que é perpendicular a r e concorrente a s
7. Falsa. Resposta esperada: Vamos supor, por hipótese, que exista uma reta perpendicular à reta r e concorrente à reta s sendo e s perpendiculares entre si. Assim, temos os pontos A B e C correspondentes às interseções de r e s r e e s e t respectivamente. Considerando o triângulo ABC temos, por hipótese, que med(Â) 90°, med(B 90° e med(C . 0°. Isso, no entanto,
49,68 P 0 (1 + 0,034) (1 + 0,042) (1 + 0,025) h 49,68 P 0 1,034 1,042 1,025 h
Portanto, em 2022, o valor da faixa de consumo de água de até 5 m3 mensal na tarifa residencial normal era de aproximadamente R$ 45,00.
R5. Em uma promoção, certa loja de informática ofereceu um desconto de 15% sobre o preço da etiqueta em todos os seus produtos. Além disso, caso o cliente realize o pagamento à vista, será concedido um desconto de 5% sobre o valor da compra. Qual é o valor que um cliente deve pagar ao comprar, à vista, um fone de ouvido dessa loja cujo preço da etiqueta é R$ 160,00?
Resolução
Podemos resolver essa questão de duas maneiras.
1 ) Calculamos o preço do fone de ouvido após cada um dos descontos.
• Desconto da promoção: 85% de 160 H 0,85 160 136 • Desconto do pagamento à vista: 95% de 136 H 0,95 136 129,2
2 ) Consideramos o preço da etiqueta do fone de ouvido e as taxas de descontos sucessivos para calcular o preço final P P 160 (1 0,15) (1 0,05) 160 0, 85 0, 95 129,2
Portanto, o cliente deve pagar R$ 129,20 pelo fone de ouvido. 3,4% 4,2% 2,5%
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ATIVIDADES RESOLVIDAS
Para ampliar seu repertório de estratégias, acompanhe a resolução detalhada de atividades e de problemas relacionados aos conteúdos estudados.
InTEGranDO COm... CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
Economia compartilhada Você sabe algo a respeito de economia compartilhada ou colaborativa? Esse modelo de economia utiliza a tecnologia para desenvolver mecanismos que possibilitam conectar pessoas, gerar renda e, simultaneamente, promover ações para a sociedade de maneira consciente e sustentável. Para mais informações sobre economia compartilhada, leia o trecho de texto a seguir.
Considerando os limites de reposição de recursos naturais de nosso planeta, torna-se cada vez mais evidente a necessidade de buscar formas mais sustentáveis de fazer negócios. Isso significa não apenas reduzir o consumo que leva à exploração desses recursos, como também repensar nossa forma de produzir e descartar. Uma alternativa que tem ganhado muita força se encontra nos negócios de compartilhamento, que visam à otimização do uso de bens já produzidos, aproveitando seu tempo ocioso para que mais pessoas possam desfrutar destes, sem ter que comprar um novo produto. Essa modalidade, que também funciona para serviços, gera economia para quem usa, e renda para quem fornece. Comparadas com a propriedade exclusiva e individual, essas novas formas de negócio vêm mudando a maneira de usar carros, apartamentos e até mesmo equipamentos, por meio da partilha.
SERVIÇO BRASILEIRO DE APOIO ÀS MICRO E PEQUENAS EMPRESAS. Economia compartilhada oportunidades para os pequenos negócios. Cuiabá: Sebrae: CSS: IABS, 2017. p. 5. Disponível em: https://cms.mt.sebrae.com.br/storage/sites/ e50b7e84-deb0-483b-823b-eacbbeaa586a/document/1a0d095a-4182-49fb-81bb-f56185b9b49a.pdf.
Esta seção propõe discussões de assuntos de maior integração com outras áreas do conhecimento.
Análise Combinatória na planilha eletrônica
Podemos realizar os cálculos de fatorial, combinação simples e arranjo simples, utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc, disponível para download em https://pt-br.libreoffice. org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 25 jun. 2024). Analise os exemplos a seguir.
A Para calcular o fatorial dos números 5, 10, 18, 20, 24 e 30, por exemplo, primeiro registramos esses números na planilha nas células A1:A6 sendo cada valor em uma célula. Em seguida, digitamos fatorial(A1) na célula B1 e pressionamos Enter para calcular o fatorial de 5 (número inserido em A1). Para obter os fatoriais dos outros números, selecionamos a célula B1 clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula B6
Nessa planilha eletrônica, é possível ajustar a formatação de um número clicando, sobre a célula, com o botão direito do mouse e, em seguida, selecionando as opções Formatar células... e Número respectivamente.
B Para calcular a quantidade de combinações simples de 1 000 elementos, tomados 2 a 2, 4 a 4, 10 a 10 e 15 a 15, por exemplo, primeiro registramos esses números na planilha da seguinte maneira: nas células A1:A4, digitamos o número 1 000, correspondente ao total de elementos; nas células B1:B4 registramos os números 2, 4, 10 e 15, nessa ordem, correspondentes às quantidades de elementos de cada combinação. Em seguida, digitamos combin(A1;B1) na célula C1 e pressionamos Enter, para calcular a quantidade de combinações simples de 1 000 elementos tomados 2 a 2. Para obter as demais quantidades de combinações, selecionamos a célula C1, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula C4
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C Para calcular a quantidade de arranjos simples de 1 000 elementos, tomados 2 a 2, 4 a 4, 10 a 10 e 15 a 15, por exemplo, primeiro registramos esses números na planilha, da seguinte maneira: nas células A1:A4, digitamos o número 1 000, correspondente ao total de elementos; nas células B1:B4 registramos os números 2, 4, 10 e 15, nessa ordem, correspondentes às quantidades de elementos de cada arranjo. Em seguida, digitamos permutar(A1;B1) na célula C1 e pressionamos Enter para calcular a quantidade de arranjos simples de 1 000 elementos tomados 2 a 2. Para obter as demais quantidades de arranjos, selecionamos a célula C1, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula C4
IMAGENS: REPRODUÇÃO/ LIBREOFFICE
2. Resposta possível: Indicar, na célula A1 a quantidade total n de elementos e, nas células B1 e C1 as quantidades de repetições dos elementos a e a respectivamente. Na célula D1 escrever a fórmula
MÃOS A OBRA Não escreva no livro. (fatorial(A1))/(fatorial(B1)*fatorial(C1)) que corresponde à razão entre o fatorial do número em A1 e o produto dos fatoriais dos números em B1 e C1 P 15 9 081 072 000
1. Utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc calcule os itens a seguir.
a) 10! b) A20, 5 c) C30, 4 d) 15! e) A50, 8 f) C100, 6 g) 21! h) A350, 8 i) C180, 10
2. Explique, com suas palavras, como podemos elaborar uma fórmula para calcular, na planilha eletrônica LibreOffice Calc uma permutação de n elementos, sabendo que apenas os elementos a1 e a 2 apresentam repetições. Em seguida, utilizando essa fórmula e a planilha eletrônica, calcule P 15 3, 4
3. Resolva as questões a seguir tendo, como apoio uma planilha eletrônica.
a) A Quina é uma modalidade de loteria organizada pela Caixa Econômica Federal. Nessa modalidade, o apostador deve escolher de cinco a 15 números, entre os 80 disponíveis, e, para ganhar o prêmio máximo, deve acertar os cinco números sorteados. No mínimo, quantos jogos de cinco números um apostador deve fazer para garantir o prêmio máximo em um sorteio dessa loteria? Fonte dos dados: BRASIL. Caixa Econômica Federal. Quina Brasília, DF: CEF, [2024]. Disponível em: https://loterias.caixa.gov.br/Paginas/Quina.aspx. Acesso em: 16 ago. 2024.
b) Para utilizar um aplicativo bancário de smartphone, o usuário deve cadastrar uma senha composta de oito caracteres distintos escolhidos por ele no momento da instalação. Os caracteres devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras do alfabeto. Qual é a quantidade de possibilidades que um usuário tem para escolher sua senha?
040 016 jogos 1 220 096 908 800 possibilidades
c) Qual é a quantidade de anagramas que podem ser formados utilizando todas as letras do alfabeto brasileiro, sem repetição?
291 461 126 606 000 000 000 000 anagramas Elaboração do estudante.
4. Elabore uma situação-problema envolvendo Análise Combinatória que possa ser resolvida com auxílio de uma planilha eletrônica. Em seguida, troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que recebeu. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Nesta seção, você pode desenvolver competências e habilidades relacionadas ao pensamento computacional e fazer uso de recursos tecnológicos para a resolução de problemas.
Não escreva no livro.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Quando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
d) Participei das discussões propostas à turma.
e) Fiz as atividades propostas na sala de aula. f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
Princípio fundamental da contagem
Permutação com repetição
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
Princípio aditivo da contagem Fatorial
18. Ao adicionar as medidas de todas as arestas do a seguir, cujas bases são hexágonos regulares, obtém-se aproximadamente:
e
Combinação simples
Arranjo simples
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo. Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Permutação simples
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo. Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
19. Um serralheiro, para confeccionar uma peça de aço, soldou duas partes cúbicas, de maneira que os vértices de uma das bases da parte menor coincidissem com os pontos médios das arestas de uma das bases da parte maior, conforme igura.
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Após a soldagem, o serralheiro realizou um processo de galvanização na parte externa da peça. A área aproximada nizada dessa peça é:
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Galvanização: procedimento para revestir objetos metálicos com uma camada de zinco para protegê-los da corrosão. alternativa d
Observe, a seguir, as medidas externas de caixas de papelão, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, disponíveis para pronta-entrega
Dimensões (mm)
100 x 100 x 100
200 x 150 x 100
300 x 200 x 300
400 x 300 x 300
400 x 400 x 400
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
Este boxe apresenta o significado de termos destacados no texto.
PARA AMPlI AR DiCA
Apresentação de alguma dica ou de um lembrete importante para a resolução de uma atividade ou para a compreensão de algum conceito em discussão.
Com base nessas informações, elabore e escreva um problema envolvendo a área de prismas. Em seguida, troque o problema com um colega para que um resolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaboração do estudante.
Boxe em que são apresentadas sugestões de sites, vídeos, softwares ou textos para complementar os assuntos discutidos no livro.
PARA PENSAR
Neste boxe, você tem oportunidade de resolver questões que contribuem para a reflexão e a argumentação a respeito do conteúdo em estudo e, assim, participar ativamente da aula.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas dicas para cadastrar senhas seguras compostas de letras, números ou símbolos, e estudamos que elas podem ser utilizadas para realizar diversas atividades on-line como consulta de dados bancários e acesso a redes sociais, de maneira mais segura. Além disso, é possível cadastrar senhas para acessar aparelhos, como smartphones e em muitos deles, essas senhas podem ser de diferentes tipos. Analise na imagem alguns exemplos.
• seis algarismos?
Resposta possível: Para dificultar o acesso a informações ou
• cinco algarismos pares distintos?
• dez algarismos distintos e forme um número ímpar?
a) Em seu entendimento, por que é importante cadastrar uma senha adequada para desbloquear a tela de smartphone?
b) O PIN, sigla do termo em inglês Personal Identification Number (número de identificação pessoal, em português), costuma ser composto de uma senha de, no mínimo, quatro caracteres, sendo apenas algarismos. Nessas condições, quantas senhas distintas é possível cadastrar para bloquear a tela de um smartphone de maneira que contenha:
• dez algarismos, sendo exatamente dois deles o algarismo 3 e três deles o algarismo 6?
c) Considere que o bloqueio da tela de certo smartphone tenha o PIN cadastrado com uma senha de cinco algarismos. Uma pessoa que saiba apenas essa informação demora cerca de 6 s para testar cada possível senha. Considere também que, ao errar cinco tentativas consecutivas, o smartphone fica inacessível por 3 min antes de possibilitar uma nova tentativa. Nessas condições, em quantos minutos, no máximo, essa pessoa conseguirá desbloquear a tela desse smartphone ?
d) Com um colega, realizem uma pesquisa sobre senha de bloqueio de tela de smartphone em formato de desenho padrão, buscando informações sobre as regras para criar uma senha desse tipo, quantidade de combinações possíveis, padrões mais utilizados por usuários de smartphone e dicas para cadastrar uma senha segura. Em seguida, organizem as informações que vocês obtiveram e as divulguem por meio de uma postagem, um vídeo, um cartaz, entre outras mídias
É um momento para você refletir sobre o seu desenvolvimento ao estudar a Unidade tanto com relação a suas atitudes como aos conteúdos aprendidos.
MATEMATICA
NA HISTORIA
Neste boxe, são apresentadas informações sobre a história da Matemática com tópicos relacionados ao conteúdo em estudo.
NO MUNDO DO TRABAlHO
Neste boxe, são exploradas as profissões e suas características, destacando as habilidades comportamentais essenciais para os profissionais atuais. Além disso, você terá acesso a informações sobre o mercado de trabalho.
PRATICANDO: ENEM E VESTIBUlARES Não escreva no livro.
1. (Enem/MEC) A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [aij ] em que 1 < < 5 e 1 < < 5 e o elemento a ij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco durante o mês. Observe que os elementos a ii = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz para essa análise: A
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
2. (UFJF-MG) Considere o seguinte sistema: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + 3y + z 0 2x y + z 0 x 4y 0 É CORRETO afirmar que: alternativa a a) O sistema é possível e indeterminado.
4. (Udesc) Uma função f é dita par se para todo x do domínio tem-se que f ( x f x ) e uma função g é dita ímpar se para todo x o domínio tem-se que g ( x ) = g (x ). Sobre essas informações, analise as sentenças.
I) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
II) O gráfico de uma função par é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
III) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
IV) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
V) Os gráficos das funções pares e ímpares possuem a mesma simetria. alternativa c
Das sentenças acima, tem-se exatamente: a) uma correta.
b) três corretas.
c) duas corretas. d) quatro corretas. e) cinco corretas.
6. (Enem/MEC) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.
7. (Enem/MEC) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R $ 3.800,00. Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria R $ 3.400,00. A televisão mais a estante sairiam por R $ 4.200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. O valor total, em real, pago pelo cliente foi de a) R $ 3.610,00. b) R $ 5.035,00. c) R $ 5.415,00. d) R $ 5.795,00. e) R $ 6.100,00.
b) x 4; y 1 e z 0 é a única solução do sistema.
c) x 4; y 1 e z 1 é a única solução do sistema.
d) O sistema é impossível.
e) x 0; y 0 e z 0 é a única solução do sistema.
3. (UEA-AM) Se x e y são as soluções do sistema linear {2x + 3y 74 3x 2y 20, então x y é igual a a) 8. b) 2. c) 10. d) 4. e) 6. alternativa a alternativa b
5. (UERJ) Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir.
Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar o polígono regular ABCDEFGH A que possui dois eixos de simetria indicados pelas retas r e s Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB e FG o número de lados do polígono ABCDEFGH A é igual a: a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 alternativa b
106 29/10/2024 13:10
PRATICANDO ENEM E VESTIBULARES
A seção fornece diversas questões do Enem e de vestibulares de diferentes regiões do Brasil relacionadas ao que foi estudado na Unidade.
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°.
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de alternativa b
a) 90° no sentido horário.
b) 135° no sentido horário.
c) 180° no sentido anti-horário.
d) 270° no sentido anti-horário.
e) 315° no sentido horário.
8. (UEG-GO) A matriz triangular de ordem 3, na qual aij 0 para i > j e aij 4i 5j + 2 para i < j é representada pela matriz alternativa a a) (1 4 9 0 0 5 0 0 1) d) ( 3 0 0 8 4
) 9. (Enem/MEC) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores. Disponível em: ww w.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é alternativa c a) 200. b) 209. c) 270. d) 340. e) 475. alternativa
Resposta oral • Quando este ícone for apresentado, a resposta para a atividade deve ser dada oralmente, sem a necessidade de registro escrito no caderno.
Atividade em grupo • É sugerido que, nas atividades com este ícone, sejam formadas duplas ou grupos. Dessa maneira, você pode discutir com os colegas utilizando, como argumento, os conhecimentos adquiridos ao longo de sua vida escolar.
Calculadora • Este ícone entra nas atividades em que se sugere o uso da calculadora.
Os ícones a seguir identificam os diferentes tipos de objetos educacionais digitais presentes neste volume. Esses materiais digitais apresentam assuntos complementares ao conteúdo trabalhado na obra, ampliando a aprendizagem.
Os sites indicados nesta obra podem apresentar imagens e eventuais textos publicitários junto ao conteúdo de referência, os quais não condizem com o objetivo didático da coleção. Não há controle sobre esses conteúdos, pois eles estão estritamente relacionados ao histórico de pesquisa de cada usuário e à dinâmica dos meios digitais.
UNiDADE Projeções ortogonais
Geometria de posição no plano 110 Determinação de um plano 112
◗ Atividades 114
Posições relativas no espaço.................................. 115
Posições relativas entre retas no espaço .............. 115
Posições relativas entre reta e plano ..................... 115
Posições relativas entre planos .............................. 116
◗ Atividades ...................................................................... 118
◗ Integrando com Linguagens e suas Tecnologias A linguagem matemática e o Sistema Braille .............................................................. 120
Distâncias no espaço
Atividades
◗ Você conectado Determinando a distância entre um ponto e uma reta .................................................
cartográficas
Figuras geométricas espaciais, área de superfície e volume 139 4
◗ Integrando com Ciências da Natureza e suas Tecnologias Madeira de reflorestamento ........... 190
◗ Você conectado Construindo figuras geométricas espaciais no GeoGebra .......................................................
◗ Atividades .....................................................................
Princípio aditivo da contagem
◗ Integrando com Linguagens e suas Tecnologias Código Morse 236
◗ Você conectado Análise Combinatória na planilha eletrônica 240 O que estudei ..................................................................
e vestibulares 244
Respostas das atividades 298
Siglas dos exames oficiais
Bibliografia comentada ..............................................................................................
OBJETOS EDUCACIONAIS DIGITAIS
Podcast: Educação Financeira e Matemática ............................................... 25
Mapa clicável: A Região Norte e suas fronteiras ............................................ 53
Infográfico clicável: Transplante de órgãos no Brasil ............................................ 55
Carrossel de imagens: A pegada hídrica e o uso consciente da água 59
Vídeo: Vida e obra de Rubem Valentim 90
Vídeo: Euclides e sua obra Elementos 110
Carrossel de imagens: A arquitetura e os poliedros 140
Podcast: O desenvolvimento da Matemática no continente africano ................................. 168
Infográfico clicável: Recuperação florestal e o Acordo de Paris 190
Vídeo: Acessibilidade e tecnologia assistiva .... 238 Podcast: História da probabilidade 248
Infográfico clicável: Planejamento familiar e gravidez na adolescência 282
Você sabe o que é estar endividado? O endividamento indica que o consumidor tem dívidas programadas, como em cartão de crédito, carnês de lojas e financiamentos de imóveis e automóveis.
A oferta de crédito apresenta pontos positivos para a economia do país, pois faz com que o consumidor realize mais compras, movimentando ocomércio e a indústria. Porém, se usado de maneira incorreta, o crédito também pode prejudicar o consumidor. A impulsividade no consumo, aliada ao alto incentivo para a compra de bens e serviços, é um dos principais motivos que levam as pessoas, incluindo os jovens, a se endividar excessivamente, podendo chegar à inadimplência.
O uso desenfreado do crédito pode ser evitado com os conhecimentos acerca da Educação Financeira. Por isso, é necessário promover, desde a infância, atitudes relacionadas ao consumo consciente e desenvolver uma compreensão a respeito da relação que se tem com o dinheiro, ou seja, refletir sobre gestão econômica pessoal. Observe, a seguir, alguns dados sobre endividamento no Brasil.
Fonte dos dados: CONFEDERAÇÃO NACIONAL DO COMÉRCIO DE BENS, SERVIÇOS E TURISMO. Pesquisa de Endividamento e Inadimplência do Consumidor (Peic): edição março 2024 [S.l.]: CNC: Sesc: Senac, 2024. Localizável em: p. 1. Disponível em: https://portal-bucket.azureedge. net/wp-content/2024/04/Analise_Peic_ marco_2024.pdf. Acesso em: 31 jul. 2024.
Síntese do endividamento das famílias brasileiras, março de 2024
Não terão condições de pagar
em atraso
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Em seu entendimento, qual é a importância de saber lidar com dinheiro?
2. Você tem alguma fonte de renda, por exemplo, recebe mesada/semanada ou trabalha? Em caso af irmativo, comente qual é o destino dessa renda e se parte dela é poupada.
3. Quais dos dados sobre endividamento no Brasil mais chamaram a sua atenção? Por quê?
Respostas nas Orientações para o professor
Agente do Procon realiza fiscalização em papelaria. Fotografia de 2023.
Na abertura desta Unidade, obtivemos algumas informações sobre Educação Financeira, como a importância de controlar as despesas e evitar o endividamento excessivo. Agora, vamos analisar outras situações relacionadas à Educação Financeira. Um exemplo, presente no cotidiano de pais e estudantes, é a compra de materiais escolares. Acompanhe, a seguir, algumas dicas de como economizar na compra desses materiais.
• Faça uma lista. Antes de ir às compras, liste todos os itens necessários. Isso evita compras por impulso e garante que nada importante seja esquecido.
• Compare preços. Pesquise e compare os preços em diferentes lojas físicas ou virtuais, avaliando preço e qualidade dos produtos. Aproveite também pesquisas que alguns órgãos realizam no início do ano, como o Procon e outras instituições de defesa do consumidor.
Acesse este site para obter dicas sobre a compra do material escolar.
• INSTITUTO DE DEFESA DE CONSUMIDORES.
Volta às aulas: 10 dicas para economizar na compra do material escolar. [São Paulo]: Idec, 3 jan. 2024. Disponível em: https://idec.org.br/ consultas/dicas-e -direitos/anote-as -dicas-do-idec-sobre -compra-de-material -escolar. Acesso em: 2 set. 2024.
PARA PENSAR
Explique como você faria para comparar os preços do caderno nestas duas papelarias, explicitando a diferença entre esses preços. Resposta pessoal.
• Aproveite descontos pagando à vista . Se for possível pagar à vista, costuma-se obter descontos em lojas virtuais. Em lojas físicas, pode-se negociar o desconto com o vendedor.
• Reutilize materiais do ano anterior . É provável que tenham sobrado alguns materiais do ano anterior, como estojo, mochila, lápis e cadernos. Ao reutilizá-los, deixa de ser necessário comprar alguns itens novos.
Uma pesquisa realizada pelo Procon em certo município coletou dados sobre materiais escolares em diferentes estabelecimentos. Por exemplo, o preço da tesoura escolar apresentou uma variação de 35% (lê-se: trinta e cinco por cento). Esse porcentual em destaque indica 35 partes da unidade que foi dividida em 100 partes iguais. Podemos representar 35% por um número racional na forma de fração ou na forma decimal.
35% = 35 100 = 0,35
Agora, considere o menor e o maior preço de um mesmo caderno de capa dura, coletados nessa pesquisa.
Vamos usar a ideia de porcentagem para comparar, de duas maneiras, os preços desses cadernos. Para isso, inicialmente, calculamos a diferença entre esses preços. Acompanhe.
11,50 8,00 = 3,50, ou seja, R$ 3,50.
1a maneira
Considerando como referência o preço na papelaria A:
Diferença entre os preços
3,50 8,00 = 0,4375 = 43,75%
Preço na papelaria A
Nesse caso, podemos dizer que o preço do caderno na papelaria B é 43,5% maior em relação ao preço na papelaria A.
Considerando como referência o preço na papelaria B:
Diferença entre os preços
3,50 11,50 1 0,304 = 30,4%
Preço na papelaria B
Nesse caso, podemos dizer que o preço do caderno na papelaria A é aproximadamente 30,4% menor em relação ao preço na papelaria B.
Resposta esperada: Na 1a maneira, toma-se como referência, para o cálculo do porcentual da diferença, o preço na papelaria A; na 2a, a referência considerada é o preço do caderno na papelaria B. PARA PENSAR
Descreva a diferença entre as duas maneiras de se comparar o preço do caderno nas papelarias A e B.
R1. A inflação reflete a variação sucessiva de preços de bens, produtos e serviços em uma região durante um período. Existem diferentes índices para indicar a inflação no Brasil, sendo o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) o oficial do governo federal.
Considere que, em 2024, uma operadora de caixa de um supermercado teve um reajuste salarial referente à inflação do ano anterior correspondente, medido pelo IPCA e cujo valor foi de 4,51%. Sabendo que, antes desse reajuste, o salário dessa funcionária era R $ 2.500,00, calcule o salário dela após esse reajuste.
Resolução
Podemos resolver esse problema de duas maneiras.
1a) C alculamos o valor do reajuste, ou seja, 4,51% de R $ 2.500,00: 0,0451 ? 2 500 = 112,75
Em seguida, adicionamos o resultado obtido ao valor do salário antes do reajuste:
2 500 + 112,75 = 2 612,75
2a) Consideramos 100% o valor do salário antes do reajuste. Após o reajuste, ele passou a ser 104,51% de R $ 2.500,00: 1,0451 ? 2 500 = 2 612,75
Portanto, o salário da funcionária após o reajuste é de R $ 2.612,75 4,51% 104,51%
PARA PENSAR
Você acompanha os índices de inflação no Brasil? Pesquise a inflação oficial no Brasil no último ano e como essa inflação impactou a sociedade. Pesquisa do estudante.
Assista a este vídeo para obter mais informações sobre inflação.
• O QUE é inflação: IBGE explica IPCA e INPC. [S. l.: s. n.], 2015. 1 vídeo (6 min). Publicado pelo canal IBGE. Disponível em: www.youtube.com/ watch?v=JVcDZ OlIMBk&feature =emb_logo. Acesso em: 31 jul. 2024.
R2. O Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores (IPVA) é um tributo anual que deve ser pago pelo proprietário de qualquer tipo de veículo, exceto em situações de isenção ou imunidade. O valor do IPVA é calculado com base no preço médio de venda do veículo (valor venal) multiplicado por sua alíquota, e esta varia de acordo com a unidade da federação. No Espírito Santo, por exemplo, a alíquota do IPVA 2024 para carros de passeio foi de 2% e tinha disponíveis as seguintes opções de pagamento, sem multa, até a data de vencimento.
• Opção 1: parcela única, com desconto de 15%;
• Opção 2: seis parcelas mensais iguais e sucessivas, sem desconto.
Fonte dos dados: ESPÍRITO SANTO. Secretaria da Fazenda. Governo do estado define calendário de pagamento do IPVA 2024 Vitória: Sefaz, 2023. Disponível em: https://sefaz.es.gov.br/Not%C3%ADcia/governo-do -estado-define-calendario-de-pagamento-do-ipva-2024. Acesso em: 31 jul. 2024.
Determine o valor da parcela do IPVA 2024 de um carro de passeio com valor venal de R $ 42.000,00 para cada uma das opções de pagamento apresentadas, considerando o pagamento até a data de vencimento.
Vamos calcular o valor do IPVA desse carro cuja alíquota é de 2%:
0,02 ? 42 000 = 840, ou seja, R $ 840,00.
840 : 6 = 140, ou seja, R $ 140,00. Portanto, na opção 1, o pagamento é uma parcela única de R $ 714,00 e, na opção 2, são 6 parcelas mensais iguais e sucessivas de R $ 140,00 cada.
PARA PENSAR
Qual destas duas opções você escolheria para pagar o IPVA do carro? Resposta pessoal.
R3. A prefeitura de Londrina (PR) realiza um serviço de capina e roçagem em terrenos particulares que não foram mantidos limpos no prazo estabelecido e aplica multa aos proprietários, cujo valor varia de acordo com a área do terreno. Para calcular o valor da multa, considera-se a autuação correspondente a R$ 2,00 por metro quadrado roçado, mais R$ 0,54 por metro quadrado pelo serviço e uma taxa administrativa fixa de 10% sobre as benfeitorias realizadas.
Fonte dos dados: LONDRINA. Prefeitura de Londrina. CMTU notifica proprietários de terrenos particulares com mato alto. Londrina, 4 jan. 2023. Disponível em: https://blog.londrina.pr.gov.br/?p=147447. Acesso em: 2 nov. 2024.
Se o serviço de capina e roçagem realizado pela prefeitura fosse feito em um terreno retangular de 14 m de comprimento e 12 m de largura localizado nesse município, qual seria o valor da multa emitida ao proprietário desse terreno?
PARA PENSAR
Agora, podemos determinar o valor do IPVA para cada opção de pagamento.
• Opção 1
Ao obter desconto de 15%, será pago 85% de R $ 840,00:
0,85 ? 840 = 714, ou seja, R $ 714,00.
PARA PENSAR
Com suas palavras, explique por que se multiplicou o valor do IPVA por 0,85.
• Opção 2
Resposta esperada: Como o desconto para pagamento em parcela única é de 15%, temos que o valor pago nesse caso corresponde a 85% do valor do IPVA calculado, uma vez que 100% 15% = 85%.
Dividimos R $ 840,00 por 6 para determinar o valor de cada parcela: 2% 85%
No município em que você mora existe alguma norma parecida com a apresentada? Se necessário, realize uma pesquisa e descreva como ela funciona na prática. Resposta pessoal.
Resolução
Podemos realizar a decomposição desta atividade em questões para resolvê-la em etapas. Acompanhe.
1a) Qual é a área do terreno?
2a) Qual é o valor da autuação?
3a) Qual é o valor do serviço?
4a) Qual é o valor da multa?
Agora, podemos resolver cada questão e utilizar a resposta na resolução da questão seguinte.
1a) Calculamos a medida A da área do terreno retangular.
A = 14 ? 12 = 168, ou seja, 168 m2.
2a) Considerando R $ 2,00 por metro quadrado do terreno, calculamos o valor da autuação.
2 168 = 336, ou seja, R $ 336,00.
3a) Considerando R $ 0,54 por metro quadrado do terreno, calculamos o valor do serviço.
0,54 ? 168 = 90,72, ou seja, R $ 90,72.
4a) Considerando a taxa administrativa fixa de 10%, calculamos o valor da multa, que corresponde a 110% (100% + 10% = 110%) da soma dos valores calculados na 2a e na 3a questão.
1,10 (336 + 90,72) = 1,10 426,72 1 469,39
Portanto, o valor da multa emitida ao proprietário desse terreno é de R $ 469,39.
Note que, como os valores da autuação (R$ 2,00/m2) e do serviço (R$ 0,54/m2) incidem sobre a área do terreno, é possível obter a soma desses valores por meio de um único cálculo: (2 + 0,54) 168 = 2,54 168 = 426,72, ou seja, R$ 426,72.
2. c) Algumas respostas possíveis: O valor do pagamento até dia 8 do mês é aproximadamente 14,3% menor em relação ao valor do pagamento após a data do vencimento. O valor do pagamento após a data do vencimento é aproximadamente 16,7% maior em relação ao valor do pagamento até dia 8 do mês.
1. Rita não realizou um bom controle financeiro e, em certo mês, gastou uma quantia maior que deveria. Por isso, um boleto cujo valor era de R $ 310,15 foi pago em atraso, com um acréscimo de 2% . Quanto Rita pagou por esse boleto?
R$ 316,35
2. Observe o cartaz exposto na secretaria de uma escola de idiomas e responda às questões.
a) Em quais dias do mês, ao se pagar a mensalidade, não se aplicam descontos ou acréscimos? dias 13, 14 e 15
b) C alcule o valor da mensalidade dessa escola, caso o pagamento no mês seja realizado no dia:
$ 268,20
$ 289,06
$ 298,00
$ 312,90
• 7; • 12; • 15; • 20. c) Utilize porcentagem para comparar o valor da mensalidade paga até o dia 8 do mês e o valor pago após a data do vencimento.
3. O Fundo de Garantia do Tempo de Serviço (FGTS) é um direito de todo trabalhador e é constituído do total de depósitos mensais feitos pelos empregadores em uma conta vinculada, de determinado banco, a cada empregado. O valor do depósito corresponde a 8% do salário pago ou devido ao empregado, com exceção para Jovens Aprendizes (2%).
Fonte dos dados: BRASIL. Caixa Econômica Federal. Fundo de Garantia do Tempo de Serviço. O que é FGTS? [S l.]: CEF, FNQ, FGTS, [2024]. Disponível em: https://www.caixa.gov.br/beneficios -trabalhador/fgts/Paginas/default.aspx. Acesso em: 4 nov. 2024. Com base nessas informações, responda às questões a seguir.
a) Um empregado foi demitido de uma empresa em que trabalhou por 8 meses. Durante esse período, seu salário mensal foi de R $ 1.870,00. Calcule o valor depositado para o FGTS desse empregado, nesse período, considerando apenas os salários mensais.
R$ 1.196,80
3. b) aproximadamente R$ 997,17
3. c) Pesquisa do estudante.
b) O contrato de um Jovem Aprendiz foi rescindido antes do seu término. Sabe-se que o valor depositado para o FGTS foi de R $ 239,32, correspondente aos salários no período de 12 meses. Calcule o valor do salário mensal desse Jovem Aprendiz.
c) Pesquise outras informações sobre o FGTS, como as condições para que o empregado possa realizar o saque. Depois, compartilhe essas informações com os colegas em uma roda de conversa organizada pelo professor.
4. Em certa loja, o preço de etiqueta de um aspirador de pó é R $ 249,00. Após uma negociação de desconto para pagamento à vista por Pix entre o vendedor e o cliente, o equipamento foi comprado por R $ 211,65. Qual foi o porcentual de desconto sobre o preço de etiqueta obtido nessa compra?
5. (Enem/MEC) Um torrefador comprou uma saca de 60 kg de café especial cru (antes de torrar) por R $ 400,00. Devido à perda de umidade durante o processo de torrefação, são perdidos 10 kg de café por saca.
O torrefador irá vender o café torrado em embalagens de um kilograma e tem por objetivo obter um lucro de 200%, em relação ao valor pago, por unidade vendida.
Que preço de venda, por unidade, este torrefador deverá estabelecer para atingir o seu objetivo?
a) R $ 32,00
b) R $ 24,00
c) R $ 20,00
O valor acumulado nos primeiros seis meses deste ano representa um aumento de 2% na comparação com o mesmo período de 2022.
PAIVA, Iasmin. Vendas no e-commerce atingem R $ 80 bilhões no primeiro semestre, diz associação. CNN Brasil, [s.l ], 29 ago. 2023. Disponível em: www.cnnbrasil.com.br/economia/ vendas-no-e-commerce-atingem-r-80-bilhoes-no-primeiro -semestre-diz-associacao. Acesso em: 31 jul. 2024.
a) Você já fez alguma compra on-line? Converse com os colegas sobre essa experiência.
Resposta pessoal.
b) Qual foi o faturamento com as vendas em e-commerce no Brasil no primeiro semestre de 2022?
c) Se a taxa de crescimento do faturamento do e-commerce no Brasil se mantivesse, qual teria sido esse faturamento no primeiro semestre de 2024?
aproximadamente R$ 78,8 bilhões aproximadamente R$ 82 bilhões
d) R $ 16,00 e) R $ 8,00
alternativa b
Para resolver esta atividade, você pode decompô-la em questões menores, como as que seguem.
• Quantos kilogramas de café foram obtidos após a torrefação?
• Qual foi o custo de cada kilograma de café torrado?
• Quantos reais de lucro o torrefador deve obter por kilograma de café torrado? DiCA
6. Leia o trecho de uma reportagem sobre o e-commerce no Brasil.
O faturamento das vendas em e-commerce alcançou a marca de R$ 80,4 bilhões no primeiro semestre de 2023, segundo dados da Associação Brasileira de Comércio Eletrônico (ABComm) […]
7. Você sabe o que é IPTU? É o Imposto sobre a Propriedade Predial e Territorial Urbana pago pelos proprietários de imóveis construídos ou de terrenos. O valor do IPTU é calculado com base no valor venal do imóvel, na área e na localização em que ele foi construído, na alíquota definida por lei, entre outras características. Os valores arrecadados são destinados à administração do município, que avalia onde eles serão aplicados. Junte-se a dois colegas, e pesquisem informações sobre o IPTU do município onde vocês moram. Em seguida, elaborem um relatório com essas informações, apresentando também um exemplo de cálculo do IPTU de um imóvel localizado nesse município e os valores correspondentes a cada forma de pagamento disponível no ano vigente. Para realizar a pesquisa, pensem a respeito das questões a seguir.
• O que é o valor venal de um imóvel?
• Qual é a legislação tributária aplicada?
• Onde os recursos são aplicados?
• Como o proprietário do imóvel é informado do valor do IPTU a ser pago?
• Como se calcula o valor venal do terreno ou da construção?
• Quais são as formas de pagamento?
• Quais são as datas de vencimento?
• Qual é o juro para pagamento em atraso?
• Há desconto para pagamento à vista? Se sim, de quanto é esse desconto?
Pesquisa dos estudantes.
Vamos analisar a situação descrita a seguir.
O reajuste do aluguel de certo imóvel é realizado com base no Índice Geral de Preços – Mercado (IGP-M) acumulado no ano anterior (de janeiro a dezembro). Por exemplo, em janeiro de 2023 esse aluguel foi reajustado de acordo com o IGP-M acumulado de 2022. Analise a tabela com os índices nos anos de 2021 e 2022. Sabendo que em dezembro de 2021 o aluguel desse imóvel era de R$ 1.000,00, de quantos reais ele passou a ser em janeiro de 2023?
Podemos resolver essa situação de duas maneiras. Acompanhe.
1a maneira:
Vamos calcular, para cada ano, o valor do aluguel após o reajuste.
• janeiro de 2022 (1o acréscimo):
100% + 17,89%
IGP-M acumulado, 2021-2022
Ano IGP-M acumulado 202117,89% 20225,45%
Fonte dos dados: FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS. IGP-M: resultados 2022. [S. l.]: FGV, 2 jan. 2022. Disponível em: https://portal.fgv.br/noticias/igpm -resultados-2022. Acesso em: 31 jul. 2024.
Acesse este site para obter mais informações sobre o IGP-M.
117,89% de 1 000 H 1,1789 1 000 = 1 178,9, ou seja, R$ 1.178,90.
• janeiro de 2023 (2o acréscimo):
100% + 5,45%
105,45% de 1 178,90 H 1,0545 ? 1 178,90 1 1 243,15, ou seja, R$ 1.243,15.
2a maneira:
Em vez de calcular dois acréscimos sucessivos, de 17,89% e de 5,45%, podemos obter um único porcentual que seja equivalente a eles e, assim, calcular um único acréscimo. Acompanhe.
1,1789 ? 1,0545 1 1,24315, ou seja, 124,315%.
Agora, basta calcular o valor do aluguel em janeiro de 2023: 124,315% de 1 000 H 1,24315 ? 1 000 = 1 243,15, ou seja, R$ 1.243,15. Portanto, em janeiro de 2023 o valor do aluguel passou a ser de R$ 1.243,15.
Seguidos reajustes de preços para valores maiores são chamados de acréscimos sucessivos. Assim, se um preço inicial P0 é reajustado a taxas de acréscimos sucessivos i1, i2, i3, ..., in, então o preço final P resultante desses acréscimos é dado por:
P = P0 ? (1 + i1) ? (1 + i2) ? (1 + i3) ? ... ? (1 + in)
O mesmo raciocínio pode ser usado para descontos sucessivos . Assim, se um preço inicial P0 é reajustado a taxas de descontos sucessivos i1, i2, i3, ..., in , então o preço final P resultante desses descontos é dado por:
P = P0 (1 i1) (1 i2) (1 i3) ... (1 in)
Os porcentuais resultantes após acréscimos ou descontos, indicados na forma decimal, são denominados fatores de atualização.
• FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS. Instituto Brasileiro de Economia. IGP. [S . l.]: Ibre, c2020. Disponível em: https://portalibre. fgv.br/estudos -e-pesquisas/ indices-de-precos/ igp/. Acesso em: 31 jul. 2024.
No exemplo do reajuste do aluguel, qual é o fator de atualização do 1o acréscimo? E do 2o acréscimo? E do período dos dois anos considerados?
1,1789; 1,0545; aproximadamente 1,24315
R4. A companhia de saneamento básico que atende certo município realizou três aumentos nas tarifas de água: 3,4% em 2023; 4,2% em 2024; 2,5% em 2025. Observe algumas tarifas mensais de água cobradas por essa companhia em 2025.
Tarifa social
• Até 5 m3: R $ 15,10
• De 6 a 10 m3: R $ 0,37 por m3
Tarifa residencial normal
• Até 5 m3: R $ 49,68
• De 6 a 10 m3: R $ 1,45 por m3
Qual era o valor da tarifa residencial normal de água, cobrada por essa companhia em 2022, para o consumo de até 5 m3 no mês?
Resolução
Note que no enunciado há dados que não são necessários para resolvermos a atividade, como os valores cobrados em 2025 pela companhia nas faixas da tarifa social e na faixa de consumo de 6 a 10 m3 na tarifa residencial normal. Nesse caso, podemos selecionar apenas as informações essenciais, conforme segue.
• Os aumentos nas tarifas de água nos anos de 2023, 2024 e 2025 foram, respectivamente, 3,4%, 4,2% e 2,5%.
• Ap ós o aumento em 2025, o valor da faixa de consumo de água de até 5 m 3 mensal na tarifa residencial normal passou a ser R $ 49,68.
Com base nessas informações e considerando P 0 o valor, em reais, da faixa de consumo de água de até 5 m3 mensal na tarifa residencial normal em 2022, temos:
49,68 = P 0 (1 + 0,034) (1 + 0,042) (1 + 0,025) h 49,68 = P 0 1,034 1,042 1,025 h
h 49,68 1 P 0 ? 1,104 h P 0 1 49,68 1,104 = 45
Portanto, em 2022, o valor da faixa de consumo de água de até 5 m3 mensal na tarifa residencial normal era de aproximadamente R $ 45,00.
R5. Em uma promoção, certa loja de informática ofereceu um desconto de 15% sobre o preço da etiqueta em todos os seus produtos. Além disso, caso o cliente realize o pagamento à vista, será concedido um desconto de 5% sobre o valor da compra. Qual é o valor que um cliente deve pagar ao comprar, à vista, um fone de ouvido dessa loja cujo preço da etiqueta é R$ 160,00?
Resolução
Podemos resolver essa questão de duas maneiras.
1a) Calculamos o preço do fone de ouvido após cada um dos descontos.
• Desconto da promoção:
15%
85% de 160 H 0,85 ? 160 = 136
Portanto, o cliente deve pagar R $ 129,20 pelo fone de ouvido. 3,4% 4,2% 2,5%
• Desconto do pagamento à vista:
5% 15% 5%
95% de 136 H 0,95 ? 136 = 129,2
2a) Consideramos o preço da etiqueta do fone de ouvido e as taxas de descontos sucessivos para calcular o preço final P.
P = 160 ? (1 0,15) ? (1 0,05) = 160 ? 0, 85 ? 0, 95 = 129,2
R6. O Produto Interno Bruto (PIB) é a soma de todos os bens e serviços finais produzidos em determinada região durante um período específico. No caso do Brasil, o PIB reflete a atividade econômica do país. Vamos analisar o desempenho do PIB brasileiro nos anos de 2019 a 2022:
• 2020 : Devido à pandemia de covid-19, o PIB brasileiro sofreu uma queda histórica, diminuindo 3,3% em relação a 2019;
• 2021: A economia brasileira começou a superar os efeitos da pandemia, evidenciado pelo aumento de 4,8% no PIB em relação a 2020;
• 2022: O Brasil continuou sua recuperação econômica pós-pandemia, com o PIB crescendo 3% em relação a 2021.
1a
Esses dados refletem os desafios enfrentados pelo país durante a pandemia e a gradual retomada da atividade econômica nos anos subsequentes.
Fonte dos dados: MARTINS, Raphael. PIB do Brasil cresce 2,9% em 2023, diz IBGE. G1, [s. l.], 1 mar. 2024. Disponível em: https://g1.globo.com/economia/noticia/2024/03/01/pib-do-brasil-cresce-29percent-em-2023-diz-ibge.ghtml?utm_ source=whatsapp&utm_medium=share-bar-mobile&utm_campaign=materias. Acesso em: 3 set. 2024.
De acordo com os dados apresentados, calcule a variação do PIB brasileiro no período de 2019 a 2022.
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO
Do enunciado, temos que a variação do PIB, em relação ao ano anterior, foi de 3,3%, 4,8% e 3% em 2020, 2021 e 2022, respectivamente.
2 a
ELABORAR UM PLANO
Podemos considerar x como o PIB do Brasil em 2019 e determinar o PIB de 2022 a partir de x e das taxas de acréscimo e decréscimo correspondentes ao PIB de cada ano. Depois, calcular a variação do PIB do Brasil de 2019 a 2022, tendo x como referência.
3a
EXECUTAR O PLANO
Calculando o valor do PIB de 2022, temos:
P = x (1 _ 0,033) (1 + 0,048) (1 + 0,03) = x 0,967 1,048 1,03 1 1,044x Agora, determinamos a variação do PIB do Brasil de 2019 a 2022: 1,044x x 1 0,044x
Logo, nesse período, houve um crescimento do PIB do Brasil de aproximadamente 0,044 ou 4,4%. 3,3% 4,8% 3%
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Podemos assumir que a variação do PIB do Brasil no período tenha sido de 4,4% (valor calculado) e considerar a variação do PIB em dois anos. Por exemplo, ao representar por y a variação do PIB de 2022 em relação a 2021, temos:
1,044x = x ? (1 0,033) ? (1 + 0,048) ? (1 + y ) h 1,044 1 1,0134 + 1,0134y h y 1 0,03
Note que o valor de y obtido corresponde à variação do PIB de 2022 em relação a 2021 indicada no texto, ou seja, crescimento de 3%.
Portanto, a variação do PIB brasileiro no período de 2019 a 2022 foi de aproximadamente 4,4%.
8. b) Não. Resposta esperada: Porque o desconto para pagamento à vista é calculado sobre o preço da armação já considerando o abatimento oferecido na entrega da armação usada.
9. Respostas possíveis: Sudeste: aproximadamente 0,740 e 1,125; Sul: aproximadamente 0,761 e 1,138; Centro-Oeste: aproximadamente 0,759 e 1,076; Norte: aproximadamente 0,730 e 1,207; Nordeste: aproximadamente 0,758 e 1,105.
8. Uma ótica oferece um abatimento de 20% na compra de uma armação nova, caso o cliente entregue sua armação usada que, após receber manutenção, é doada a uma instituição. Além disso, se o cliente fizer o pagamento à vista, recebe um desconto adicional de 10%, calculado sobre o valor com o abatimento da entrega da armação usada.
8. a) R$ 324,00
a) Da niel quer comprar nessa loja uma armação de óculos cujo preço é R $ 450,00. Quanto ele vai pagar se entregar sua armação usada e optar pelo pagamento à vista?
b) Po demos dizer que, ao realizar a compra como descrito no item a , Daniel vai receber um desconto total de 30%? Justifique.
9. Analise os dados a seguir.
Preço médio ao consumidor, em real, da gasolina C comum no mês de dezembro, por região do Brasil, 2021-2023
Sudeste 6,614,895,50
Sul 6,585,015,70
Centro-Oeste 6,635,035,41
Norte 6,674,875,88
Nordeste 6,655,045,57
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério de Minas e Energia. Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis. Composição e estruturas de formação dos preços. Brasília, DF: MME, 30 abr. 2024. Disponível em: https://www.gov.br/anp/pt-br/ assuntos/precos-e-defesa-da-concorrencia/precos/composicao-e -estruturas-de-formacao-dos-precos. Acesso em: 31 jul. 2024. Utilizando uma calculadora ou planilha eletrônica, determine os fatores de atualização do preço médio ao consumidor da gasolina C comum, na região do Brasil em que você mora, no mês de dezembro, em 2022 e 2023 em relação aos respectivos anos anteriores.
10. Em determinada loja virtual, o cliente recebe um cupom de desconto de 10% sobre o preço anunciado, na primeira compra, e um cupom de 15% na segunda compra, sempre com frete grátis. Além disso, em compras cujo pagamento é feito por boleto bancário, essa loja oferece 7% de desconto sobre o preço final e, nas compras em
que o pagamento é realizado por Pix, a loja oferece 9% de desconto após a aplicação do cupom. Considere que um cliente pagou, via boleto bancário, R $ 662,00 na primeira compra nessa loja. Ao todo, quantos reais esse cliente economizou em relação ao preço anunciado do produto?
Para resolver a atividade 10, você pode, inicialmente, selecionar apenas os dados necessários indicados no enunciado.
11. Em fevereiro, o preço de cada produto vendido em uma loja de telefonia teve redução de 8% em relação ao preço de janeiro. Porém, em março, essa loja reajustou o preço de cada produto com um acréscimo de 10%. Em relação ao preço dos produtos em janeiro, houve acréscimo ou desconto quando comparado ao preço em março?
De quantos por cento foi essa variação?
10. R$ 128,92 acréscimo; 1,2%
12. Analise os dados a seguir.
Variação na tarifa das linhas convencionais do transporte coletivo do município de Campo Grande (MS), em relação ao ano anterior, 2020-2023
Fonte dos dados: CONSÓRCIO GUAICURUS. Histórico de tarifas. Campo Grande: CG, [2024]. Disponível em: https://www.consorcioguaicurus.com.br/informacao/ tarifas-do-transporte-coletivo/. Acesso em: 31 jul. 2024.
Sabendo que, em 2019, o valor dessa tarifa era de R $ 4,10, resolva os itens a seguir.
a) Qu al era o valor dessa tarifa em 2021? E em 2023?
aproximadamente R$ 4,20; aproximadamente R$ 4,65
b) Essas quatro variações na tarifa, no período de 2020 a 2023, correspondem a uma única variação de quantos por cento? Justifique.
c) Junte-se a um colega, e pesquisem as variações porcentuais anuais, nos últimos 5 a nos, na tarifa de algum transporte coletivo do município em que vocês moram. Depois, com uma única taxa, indiquem a variação nessa tarifa no período analisado.
Pesquisa dos estudantes.
12. b) aproximadamente 13,4%
13. a) 13 produtos alimentícios. Resposta esperada: Carne, leite, feijão, arroz, farinha, batata, tomate, pão francês, café em pó, banana, açúcar, banha/óleo e manteiga.
13. b) aproximadamente R$ 662,89
13. Analise o gráfico a seguir.
Variação do preço da cesta básica de alimentos em Belém (PA), primeiro quadrimestre de 2023
Preço da cesta (R$)
670
650 jan. fev.mar.abr. Mês
EDITORIA DE ARTE
Fonte dos dados: DEPARTAMENTO INTERSINDICAL DE ESTATÍSTICA E ESTUDOS SOCIOECONÔMICOS. Cesta básica de alimentos: banco de dados. São Paulo: Dieese, [2024]. Disponível em: www.dieese. org.br/cesta. Acesso em: 31 jul. 2024.
De acordo com a Pesquisa Nacional da Cesta Básica de Alimentos (PNCBA), em janeiro de 2023, o preço da cesta básica em Belém (PA) era R $ 656,88. Para cada mês seguinte, o preço da cesta básica foi reajustado da seguinte maneira: acréscimo de 1,25% em fevereiro, acréscimo de 0,24% em março e redução de 0,57% em abril.
a) Quantos produtos alimentícios devem compor a cesta básica? Faça uma pesquisa e escreva quais são esses produtos.
b) Determine o preço da cesta básica em Belém (PA) no mês de abril de 2023.
c) Podemos afirmar que o preço da cesta básica em Belém (PA), de janeiro a abril de 2023, teve um acréscimo entre 0,5% e 1%? Justifique sua resposta.
d) O Dieese também apresenta uma comparação do preço da cesta básica e do salário mínimo líquido do trabalhador brasileiro, correspondente a R $ 1.204,35 em maio de 2023, considerando o desconto previdenciário de 7,5%. Qual é o porcentual comprometido com uma cesta básica, em abril de 2023, de um trabalhador de Belém (PA) que recebe um salário mínimo?
e) Junte-se a um colega, e pesquisem algum órgão responsável pela coleta de dados relacionados ao preço da cesta básica de alimentos no município ou na região onde vocês moram. Em seguida, elaborem um relatório descrevendo as informações pesquisadas, como: quais produtos alimentícios são considerados, o preço da cesta básica em quatro meses consecutivos recentes, a variação mensal desse preço, a comparação do preço da cesta básica e o salário mínimo líquido no Brasil do ano vigente. Ao final, compartilhem com os colegas o relatório elaborado. Pesquisa e elaboração dos estudantes.
PARA AMPlI AR
Acesse este site para obter informações sobre a metodologia da PNCBA.
• DEPARTAMENTO INTERSINDICAL DE ESTATÍSTICA E ESTUDOS SOCIOECONÔMICOS. Metodologia da Pesquisa Nacional da Cesta Básica de Alimentos: janeiro 2016. São Paulo: Dieese, 2016. Disponível em: www.dieese.org.br/metodologia/metodologia CestaBasica2016.pdf. Acesso em: 31 jul. 2024.
A cesta básica é formada por uma lista de produtos que inclui alimentos, itens de higiene pessoal e de limpeza, que são considerados essenciais para a vida digna de uma família.
13. c) Resposta esperada: Sim, pois esse acréscimo foi de aproximadamente 0,91%.
13. d) aproximadamente 55%
Você sabe algo a respeito de economia compartilhada ou colaborativa? Esse modelo de economia utiliza a tecnologia para desenvolver mecanismos que possibilitam conectar pessoas, gerar renda e, simultaneamente, promover ações para a sociedade de maneira consciente e sustentável. Para mais informações sobre economia compartilhada, leia o trecho de texto a seguir.
Considerando os limites de reposição de recursos naturais de nosso planeta, torna-se cada vez mais evidente a necessidade de buscar formas mais sustentáveis de fazer negócios. Isso significa não apenas reduzir o consumo que leva à exploração desses recursos, como também repensar nossa forma de produzir e descartar.
Uma alternativa que tem ganhado muita força se encontra nos negócios de compartilhamento, que visam à otimização do uso de bens já produzidos, aproveitando seu tempo ocioso para que mais pessoas possam desfrutar destes, sem ter que comprar um novo produto. Essa modalidade, que também funciona para serviços, gera economia para quem usa, e renda para quem fornece.
Comparadas com a propriedade exclusiva e individual, essas novas formas de negócio vêm mudando a maneira de usar carros, apartamentos e até mesmo equipamentos, por meio da partilha.
SERVIÇO BRASILEIRO DE APOIO ÀS MICRO E PEQUENAS EMPRESAS. Economia compartilhada: oportunidades para os pequenos negócios. Cuiabá: Sebrae: CSS: IABS, 2017. p. 5. Disponível em: https://cms.mt.sebrae.com.br/storage/sites/ e50b7e84-deb0-483b-823b-eacbbeaa586a/document/1a0d095a-4182-49fb-81bb-f56185b9b49a.pdf. Acesso em: 31 jul. 2024.
Existem milhares de empresas na modalidade de negócios compartilhados. Observe, a seguir, alguns exemplos.
Financiamento coletivo : A dinâmica é de uma “vaquinha virtual”. Um projeto, ou uma ideia, é financiado por meio de contribuições financeiras dos usuários, geralmente pessoas físicas, interessados na iniciativa.
Anúncio compartilhado : A plataforma não cobra pelo anúncio e o disponibiliza para pessoas de diversas regiões do país. A pessoa, que encontra os bens anunciados de seu interesse, negocia diretamente com o proprietário.
Turismo colaborativo : O anfitrião, por meio de uma plataforma, oferece alojamento temporário para os viajantes. Nesta mesma modalidade, pode ocorrer a locação completa do imóvel.
Viagem compartilhada : Pessoas com a mesma rota compartilham o veículo e as despesas.
Espaço compartilhado : Um exemplo dessa modalidade são os escritórios compartilhados. Esses espaços estruturados servem para diferentes profissionais atuarem.
Aluguel de veículo : A pessoa aluga um meio de transporte, como bicicleta ou patinete.
NO MUNDO
DO TRABAlHO
1. Resposta esperada: São iniciativas com foco na atividade de partilha, troca, compra ou venda de qualquer produto ou serviço para atender às necessidades das pessoas, nem sempre em troca de dinheiro, mas procurando benefícios para todos os envolvidos. De modo geral, esses negócios consideram os pilares econômico, ambiental e social da sustentabilidade.
Colaboração e sociabilidade
Assim como na economia compartilhada, a colaboração e a sociabilidade contribuem para o sucesso e o alcance de resultados de uma organização de trabalho. São duas competências emocionais, conhecidas como soft skills, valorizadas pelo mercado de trabalho que buscam profissionais que sejam engajados nos trabalhos em equipe, que procuram estabelecer valores em comum e aprender com os colegas em diferentes áreas, que lidam com conflitos e críticas de maneira construtiva, entre outras características que envolvam parceria e engajamento em trabalhos com mais pessoas a fim de atingir um objetivo comum.
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações a respeito do trabalho colaborativo.
• TRABALHO colaborativo. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (2 min). Publicado pelo canal Senac São Paulo. Disponível em: www.youtube.com/watch?v=jLGNmrmXFAU. Acesso em: 31 jul. 2024.
1. O que são os negócios compartilhados? Como esses negócios se relacionam com a sustentabilidade?
2. Você ou alguém da sua família já consumiu bens ou serviços que apresentam as ideias de economia compartilhada? Conte como foi essa experiência, destacando aspectos que caracterizavam esses consumos como de negócios de economia compartilhada. Resposta pessoal.
3. O consumo exagerado e a cultura baseada em desperdícios são alguns dos principais responsáveis por graves impactos ambientais. Explique como a ideia de compartilhamento colabora com a redução do uso de recursos naturais e financeiros. Se necessário, realize uma pesquisa.
4. Certa plataforma de financiamento coletivo cobra uma taxa administrativa de 13% sobre o valor arrecadado por projeto; sendo 4% destinados para a remuneração do parceiro de pagamento e 9% para a plataforma de financiamento coletivo. Para resolver as questões a seguir, considere um projeto em andamento nessa plataforma, em que já foram arrecadados R $ 17.540,40, correspondentes a 94% da meta estabelecida.
a) Quantos reais faltam para que a meta de arrecadação seja atingida? Qual é o valor dessa meta?
b) Se esse projeto arrecadar exatamente o valor da meta estabelecida, quantos reais vão corresponder:
• à taxa administrativa? R$ 2.425,80
• à remuneração do parceiro de pagamento da plataforma? R$ 746,40
• à quantia que ficará com a plataforma? R$ 1.679,40
5. A sua turma será organizada em 5 grupos para explorar a seguinte temática:
Como tornar a vida cotidiana mais simples e acessível, baseando-se nas ideias de compartilhamento, economia e sustentabilidade.
Cada grupo ficará responsável por realizar pesquisas e elaborar um projeto de negócio compartilhado. Ao final, os projetos podem ser apresentados em uma feira de empreendedorismo realizada na escola para a comunidade local.
Observe, a seguir, algumas etapas que podem auxiliar nesse projeto. Pesquisa e elaboração dos estudantes.
1a 3. Resposta esperada: A ideia de compartilhamento visa à otimização do uso de bens produzidos, aproveitando seu tempo ocioso, de
Definição
Definir qual será o negócio compartilhado: apresentar uma visão geral e clara, evidenciando qual é a ideia de economia compartilhada aplicada nesse projeto.
2a
Missão
Descrever a missão do negócio: apresentar o motivo pelo qual ele foi projetado e destacar de maneira objetiva as ideias de sustentabilidade aplicadas nele.
3a 4. a) R$ 1.119,60; R$ 18.660,00
Descrição
Apresentar informações detalhadas sobre o produto ou o serviço: os principais benefícios, o segmento de clientes que será atendido, quais vantagens ele proporcionará para a região em que vocês moram e em qual plataforma ele pode ser acessado.
maneira que mais pessoas possam usá-los, sem ter a necessidade de comprar um novo produto. Com isso, evita-se todo o processo de produção de um novo bem e, consequentemente, reduz-se o uso de recursos naturais, que já são escassos, além de haver a diminuição da emissão de gases de efeito estufa envolvidos nesse processo. Isso gera benefícios ambientais para toda a sociedade. Além disso, essa
modalidade de compartilhamento gera economia para quem usa e renda para quem fornece.
No Ensino Fundamental, você estudou alguns conceitos de Matemática Financeira por meio de situações envolvendo dívidas ou investimentos. Você conhece alguns dos termos a seguir?
Capital (c ) : quantia investida ou correspondente à dívida inicial.
Tempo (t ) : período em que o capital fica investido ou em dívida.
Juro ( j ) : rendimento obtido.
Taxa de juro (i ): porcentual de rendimento em certo período de tempo.
Em cálculos envolvendo juro simples ou composto, o tempo e a taxa de juro devem corresponder a uma mesma unidade de tempo, como dia, mês ou ano. Caso isso não ocorra, é necessário realizar conversões.
Para verificar como esses termos são usados, vamos analisar situações relacionadas aos sistemas de juro simples e de juro composto.
Acompanhe a seguinte situação que envolve juro simples.
Luísa, após participar de um curso de empreendedorismo, fez seu registro como microempreendedora individual (MEI). Ela vai iniciar a produção de artigos de artesanato para vender em feiras. Para comprar matérias-primas, ela realizou um empréstimo de R$ 1.500,00 com um familiar e combinou que pagaria no sistema de juro simples, a uma taxa de 2% a.m. (ao mês). Caso Luísa quite toda a sua dívida de uma única vez, ao final de 6 meses, quanto ela deve pagar?
Nessa situação:
• o capital corresponde a R$ 1.500,00, ou seja, c = 1 500;
• a taxa de juro corresponde a 2% a.m., ou seja, i = 0,02;
• o tempo corresponde a 6 meses, ou seja, t = 6.
Vamos calcular o juro a ser pago por 1 mês nesse empréstimo:
Note que i = 2% = 2 100 = 0,02.
2% de 1 500 H 0,02 ? 1 500 = 30, ou seja, R$ 30,00. No sistema de juro simples, a taxa de juro incide sempre, e somente, sobre o capital, então o total de juro obtido ao final de 6 meses é dado por: 6 ? 30 = 180, ou seja, R$ 180,00.
Assim, podemos calcular o montante:
M = 1 500 + 180 = 1 680, ou seja, R$ 1.680,00. Portanto, Luísa deve pagar R$ 1.680,00 pelo empréstimo ao final de 6 meses.
Em uma aplicação no sistema de juro simples, o que ocorre com o juro obtido ao dobrar o tempo da aplicação? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: O juro também dobra. Resposta pessoal.
O juro simples pode ser expresso da seguinte maneira: j = c i t
Taxa de juro
Já o montante M de uma aplicação no sistema de juro simples é dado por:
M = c + j h M = c + (c ? i ? t ) h M = c ? (1 + i ? t )
Podemos relacionar a variação do montante em uma aplicação no sistema de juro simples a uma função. Para exemplificar isso, vamos representar a situação do empréstimo feito por Luísa com uma função M : n H r , cuja lei de formação é dada por:
M(t ) = c ? (1 + i ? t ) H M(t ) = 1 500 ? (1 + 0,02 ? t ) h
h M(t ) = 1 500 + 30t
Observe o gráfico dessa função.
Neste gráfico, as escalas dos eixos são diferentes e parte do eixo das ordenadas foi suprimida.
R7. Uma cooperativa de crédito oferece empréstimos, no sistema de juro simples, para que empreendedores de certo município possam abrir ou ampliar uma microempresa. Um empreendedor, com o objetivo de comprar maquinário e aumentar a produção de sua fábrica de móveis, realizou o empréstimo de R$ 15.000,00 a uma taxa de juro simples de 26% a.a. (ao ano), totalizando um montante de R$ 21.500,00, pago ao final em uma única parcela. Após quantos meses esse empréstimo foi pago?
Resolução
Do enunciado, obtemos as seguintes informações:
• o capital é R $ 15.000,00, ou seja, c = 15 000;
• a t axa de juro é 26% a.a., ou seja, i = 0,26;
• o montante é R $ 21.500,00, ou seja, M = 21 500.
Elaboração dos estudantes.
Junte-se a um colega, e elaborem duas questões contextualizadas envolvendo juro simples. Depois, troquem essas questões com outra dupla para que cada uma resolva as questões da outra. Por fim, confiram juntos as resoluções.
Usando a relação obtida para o montante, temos: M = c (1 + i t ) H 21 500 = 15 000 (1 + 0,26 t ) h 21 500 15 000 = 1 + 0,26t h h 0,26t = 43 30 1 h 0,26t = 13 30 h t = 5 3 ou seja, 5 3 de ano.
Como 1 ano corresponde a 12 meses, temos: 5 3 ? 12 = 20, ou seja, 20 meses.
Portanto, esse empréstimo foi pago após 20 meses.
Considere a situação a seguir.
Renato pretende investir R$ 5.000,00 em uma aplicação no sistema de juro composto, a uma taxa de 7% a.a. Mantidas essas condições, quanto Renato vai obter de montante ao final de 36 meses nessa aplicação?
Nessa situação:
• o capital corresponde a R$ 5.000,00, ou seja, c = 5 000;
• a taxa de juro é 7% a.a., ou seja, i = 0,07;
• como a taxa de juro é dada em ano, convertemos o tempo de 36 meses em 3 anos, ou seja, t = 3.
Vamos calcular o juro obtido nessa aplicação ao final do 1o ano:
7% de 5 000 H 0,07 5 000 = 350, ou seja, R$ 350,00.
Assim, o montante obtido ao final do 1o ano é dado por:
M1 = 5 000 + 350 = 5 350, ou seja, R$ 5.350,00.
No sistema de juro composto, a taxa de juro incide sempre sobre o montante obtido no período anterior. Para os próximos anos, temos:
• M2 = 5 350 + 0,07 ? 5 350 = 5 350 + 374, 5 = 5 724,5, ou seja, R$ 5.724,50.
Juro obtido no 2o ano
• M3 = 5 724,5 + 0,07 ? 5 724,5 1 5 724,5 + 400,72 = 6 125,22, ou seja, R$ 6.125,22.
Juro obtido no 3o ano
Portanto, mantidas as condições, Renato vai obter um montante aproximado de R$ 6.125,22 nessa aplicação, ao final de 3 anos (36 meses).
Também podemos resolver essa situação com base nas ideias de acréscimos sucessivos, conteúdo estudado anteriormente. Acompanhe.
M3 = 5 000 ? (1 + 0,07) ? (1 + 0,07) ? (1 + 0,07) = = 5 000 ? (1,07)3 1 6 125,22, ou seja, R$ 6.125,22.
Resposta esperada: Não, pois no sistema de juro composto a taxa de juro incide sempre sobre o montante obtido no período anterior, fazendo com que o juro obtido em cada período varie.
Em uma aplicação no sistema de juro composto, o juro obtido em cada período é sempre o mesmo? Justifique sua resposta.
Observando os cálculos anteriores, é possível reconhecer padrões para realizar uma generalização e obter uma expressão a fim de determinar o montante em uma aplicação no sistema de juro composto. Acompanhe.
No sistema de juro composto, a taxa de juro é fixa e calculada sempre sobre o montante obtido no período anterior. Assim, para calcular o montante M obtido na aplicação de um capital c, no sistema de juro composto, a uma taxa de juro i, por um tempo t, com t [ n, temos:
M = c (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) h M = c ? (1 + i ) t t fatores
Podemos relacionar a variação do montante em uma aplicação no sistema de juro composto a uma função do tipo exponencial. Para exemplificar isso, vamos associar a situação da aplicação que Renato pretende fazer à função M: n H r, cuja lei de formação é dada por:
M (t ) = c ? (1 + i )t H M (t) = 5 000 ? (1 + 0,07)t h M (t ) = 5 000 ? (1,07)t
Descreva como é o gráfico da função M e indique as coordenadas de alguns de seus pontos.
Resposta esperada: O gráfico da função M é formado por pontos cujas coordenadas são do tipo (t, M(t)), de maneira que esses pontos não podem ser ligados por segmentos de reta, uma vez que o domínio dessa função é o conjunto dos números naturais. Algumas coordenadas de pontos do gráfico de M são: (0, 5 000), (1, 5 350) e (2; 5 724,50).
R8. Sueli pretende aplicar R$ 12.000,00 em algum investimento. Ela está em dúvida entre as seguintes opções.
• A : sis tema de juro simples com taxa de 11% ao ano.
• B: sis tema de juro composto com taxa de 9% ao ano.
Qual das opções é a mais rentável para Sueli?
Resolução
Representando por M A e por M B as funções que descrevem o montante obtido, respectivamente, nas opções A e B de investimento, ao variar o tempo t , em ano, temos:
• M A (t ) = 12 000 ? (1 + 0,11 ? t ) h M A (t ) = 12 000 + 1 320t ;
• M B (t ) = 12 000 ? (1 + 0,09)t h M B (t ) = 12 000 ? (1,09)t .
Representando graficamente essas funções, temos:
Montante(R$)
0 12 00012 000
1 13 32013 080
2 14 64014 257,20
3 15 96015 540,35
4 17 28016 938,98
5 18 60018 463,49
6 19 92020 125,20
7 21 24021 936,47
DiCA
Neste gráfico, as escalas dos eixos são diferentes e parte do eixo das ordenadas foi suprimida.
936,47
240,00
125,20
463,49
938,98
540,35
257,20
320,00 13 080,00
Tempo(emano)
Analisando a tabela e os pontos marcados no gráfico, verificamos que M A (t ) . M B (t ) para 1 < t < 5 e M A (t ) , M B (t ) para t > 6.
Portanto, a opção A é mais rentável quando o investimento for de 5 anos ou menos, enquanto a opção B é mais rentável quando o investimento for por 6 anos ou mais.
R9. Certo capital foi aplicado a uma taxa de juro composto de 2% a.m. e determinou, após 18 meses, um montante de R$ 20.000,00. Qual foi o capital aplicado?
Resolução
Considerando c o capital aplicado, temos:
20 000 = c (1,02)18
Para calcular (1,02)18 , podemos utilizar as seguintes teclas de uma calculadora científica: 1 . 1 0 8 2 ^ =
20 000 = c (1,02)18 h 20 000 1 c 1,42825 h c 1 14.003,15
Portanto, o capital aplicado foi de aproximadamente R $ 14.003,15.
R10. A planilha eletrônica representada a seguir descreve a variação do montante obtido em um investimento A, em que certo capital é aplicado por 10 meses a uma taxa mensal fixa de juro composto.
Qual deve ser a taxa de juro para que em outro investimento B , também de 10 meses, porém no sistema de juro simples, determine esse mesmo montante com igual capital investido?
Resolução
Resposta esperada: Calculando a razão entre o montante obtido no 2o mês pelo obtido no 1o mês e subtraindo desse resultado o correspondente a 100%.
Vamos determinar o capital considerado nesses investimentos. Para isso, de acordo com a planilha, calculamos a taxa de juro i A do investimento A e, em seguida, o capital:
iA = 2 163, 2 2 080 1 = 1,04 1 = 0,04, ou seja, 4% a.m.
c ? (1 + 0,04) = 2 080 h c = 2 0 00, ou seja, R $ 2.000,00.
Para obter a taxa de juro i B do investimento B, calculamos:
Com suas palavras, explique como foi calculada a taxa de juro do investimento A
M = c ? (1 + i B ? t ) H 2 960,49 = 2 000 ? (1 + i B ? 10) h 10i B + 1 1 1,48 h i B 1 0,048 = 4,8%
Portanto, a taxa de juro do investimento B deve ser aproximadamente 4,8% para que determine o montante igual ao do investimento A , considerando o mesmo capital e tempo.
16. juro simples: R$ 6.200,00; juro composto: aproximadamente R$ 6.246,79
14. Considere um capital de R $ 1.500,00 aplicado no sistema de juro simples e calcule o rendimento desse capital a uma taxa de:
a) 5% a.m. por 6 meses;
R$ 450,00
b) 2% a.m. por 1 ano;
R$ 360,00
c) 12% a.a. por 36 meses;
R$ 540,00
d) 15% a.a. por 9 meses.
R$ 168,75
• E xplique a um colega como você resolveu cada item.
Resposta pessoal.
15. Retome a atividade anterior e, utilizando uma calculadora, determine os rendimentos aproximados considerando a aplicação no sistema de juro composto. Explique, com suas palavras, como você fez para resolver essa questão.
a: R$ 510,14; b: R$ 402,36; c: R$ 607,39; d: R$ 165,77
16. Calcule o montante determinado após 18 meses em uma aplicação de R $ 5.000,00 no sistema de juro simples a uma taxa de 16% ao ano e, depois, o montante dessa mesma aplicação no sistema de juro composto.
17. Quantos meses são necessários para que um capital quadruplique quando aplicado a uma taxa de juro simples de 4% a.m.? 75 meses
18. Uma pessoa, após consultar um analista de investimentos, depositou R $ 1.000,00 em um fundo de investimentos. O objetivo dessa pessoa era retirar o dinheiro após 3 meses, quando o montante seria de R $ 1.157,63 considerando certa taxa de juro composto mensal. Porém, um mês após realizar esse depósito, a taxa de juro foi reduzida a 2% a.m.
Para resolver os itens a seguir, utilize uma calculadora científica e considere log 1,1 1 0,04 e log 1,02 1 0,008.
a) Qual era a taxa de juro mensal considerada pelo investidor ao realizar o depósito?
b) Após ser reduzida, a taxa de juro se manteve nos meses seguintes. Quanto tempo, ao todo, deve-se deixar o dinheiro investido para se obter o montante desejado inicialmente?
a) Qual foi o capital aplicado?
b) Qual montante seria obtido se essa aplicação durasse 9 anos? aproximadamente 5%
6 meses R$ 3.000,00 R$ 7.073,84
19. Considere que um capital foi aplicado por 4 anos no sistema de juro composto a uma taxa de 10% ao ano e rendeu juros de R $ 1.392,30.
20. Um empréstimo de R $ 2.000,00 será pago, com incidência de juro composto, em uma parcela única de R $ 2.928,20, quatro meses após ser realizado. Qual é a taxa de juro mensal cobrada nesse empréstimo?
10%
23. c) f(t) = 650t + 5 000; g(t) = 5 000 ? (1,1)t
• P esquise, em um boleto bancário, as instruções utilizadas no cálculo do valor do pagamento. Elabore um texto detalhando essas instruções e simulando o valor do pagamento em diferentes datas, antecipadamente e com atraso. Depois, troque seu texto com um colega para que ele o avalie, enquanto você faz o mesmo com o texto que receber.
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
21. Para um t elevisor cujo preço de etiqueta é R$ 1.800,00, uma loja oferece ao cliente duas formas de pagamento: à vista, com desconto de 10% no preço da etiqueta; ou em duas parcelas, sendo uma de R $ 600,00 no momento da compra e outra de R $ 1.632,59 após 4 meses, capitalizada a juro composto.
a) Q ual é o preço desse televisor para pagamento à vista? E qual é a quantia total quando se paga parcelado?
R$ 1.620,00;
R$ 2.232,59
b) Q ual é a taxa mensal de juro composto aproximada cobrada para o pagamento parcelado: 4%, 6%, 8% ou 10%? 8 %
Banco
22. Observe, a seguir, parte de um boleto bancário referente ao aluguel de um imóvel.
Montante (R$)
9.550,00 g f 9.743,59
7.320,50 8.900,00 8.857,81
7.600,00 8.250,00 8.052,55
Vencimento 0001.11002 00000.000103 01000.222206 1 555777000000000 00000-0
Local de pagamento GÁVEL PREFERENCIALMENTE NAS AGÊNCIAS DO BANCO
BENTINHO
NF e Associação NF-e
Data documento
Uso do banco
Nº documento NF 1 1/1
Espécie docAceite N 26/12/2025
Quantidade Espécie R$ Carteira 06
Para pagamento até 02/01/2026, conceder desconto de 10%.
Para pagamento após 10/01/2026, multa de 2% fixa e juro de 1% ao mês. Não receber após 10/12/2026.
Data processamento (x)Valor
6.300,00 6.050,00 6.950,00 6.655,00
02/01/2026
Agência / Código cedente 1111-8/0002222-6
Carteira/Nosso número
06/00000000-0
5.650,00 5.500,00
(=) Valor documento R$ 600,00
5.000,00
(-) Desconto / Abatimentos
(-) Outras deduções
DISTRIBUIDORA DE ÁGUAS MINERAIS CNPJ: 00.000.000/0000-00
DAS FLORES 000 RQUE ÁGUA SANTA São Paulo/SP CEP 0000-000
O valor pago pelo atraso no pagamento é calculado com base no sistema de juro composto. Sabendo que o valor desse boleto é R $ 600,00, resolva as questões a seguir.
a) Qual é o valor para o pagamento realizado até 02/01/2026?
R$ 540,00
b) C alcule o valor, em real, da multa para pagamento em atraso.
R$ 12,00
c) Qual é o valor para pagamento com atraso de 5 meses?
R$ 642,61
d) Qual pode ser o valor máximo pago por esse boleto? Nesse caso, de quantos meses seria o atraso no pagamento?
R$ 681,40; 11 meses
DiCA
Para resolver os itens c e d, pode ser utilizada uma planilha eletrônica ou uma calculadora científica.
23. d) Resposta esperada: Como f(t) . g(t) para 1 < t < 6, a aplicação A é mais rentável que a B para 6 anos ou menos; como f(t) , g(t) para t > 7, a aplicação B é mais rentável que a A para 7 anos ou mais.
12 3 4 5 6 7
(+) Mora / Multa
DiCA
(-) Outros acréscimos
(=) Valor cobrado
Tempo (em ano)
23. A seguir, estão representadas as funções f : n H r e g : n H r , que correspondem, respectivamente, à variação do montante nas aplicações A e B. 0
Nesse gráfico, as escalas dos eixos são diferentes e parte do eixo das ordenadas foi suprimida.
Cód. baixa
Autenticação mecânica-Ficha de Compensação
a) No caderno, construa uma tabela de dupla entrada para indicar o montante obtido nas aplicações A e B ao final de cada ano representado no gráfico.
b) O bserve a tabela que você construiu no item a , reconheça padrões e, para cada uma das aplicações, determine:
• o sis tema de juro adotado;
• o capital investido;
Resposta nas Orientações para o professor A: juro simples; B: juro composto R$ 5.000,00 em ambos os investimentos
• t axa de juro anual. A: 13%; B: 10%
c) Escreva a lei de formação das funções f e g.
d) Determine para quais intervalos de tempo cada uma das aplicações apresentadas é mais rentável. Justifique sua resposta.
24. Um investidor está em dúvida sobre qual das duas aplicações oferecidas por uma instituição financeira ele deve optar para obter maior rentabilidade ao investir R $ 3.000,00. Observe informações sobre essas aplicações.
• A : sistema de juro simples com taxa de 15% ao ano.
• B : sistema de juro composto com taxa de 1% ao mês.
Por qual aplicação esse investidor deve optar? Para justificar sua resposta, você pode apresentar cálculos e elaborar gráficos.
Respostas nas Orientações para o professor.
25. Uma pessoa dispunha de R $ 8.000,00 para aplicar em duas modalidades de investimento. Na modalidade A , aplicou parte dessa quantia, durante 5 meses, no sistema de juro simples a uma taxa de 10% ao mês. Na modalidade B, aplicou o restante da quantia, também a juro simples, a uma taxa de 8% ao mês, por 10 meses. Sabendo que, no total, essa pessoa recebeu R $ 5.500,00 de juro, resolva os itens a seguir.
a) C alcule o montante total obtido por essa pessoa. R $ 13.500,00
b) Qual capital foi aplicado em cada modalidade de investimento?
A: R$ 3.000,00; B: R$ 5.000,00
c) C onsiderando os mesmos capitais, tempos e taxas de juro, qual seria o montante total obtido se essas modalidades fossem a juro composto?
R$ 15.626,15
Para resolver o item c, pode ser utilizada uma planilha eletrônica ou uma calculadora científica.
27. Resposta esperada: Sim, pois as informações no enunciado da questão não são suficientes para resolvê-la. Nesse caso, pode-se ajustar o enunciado indicando o tempo em que a aplicação ocorreu. Por exemplo, caso o tempo indicado seja de 8 meses, o capital aplicado seria de R$ 1.200,00. Pesquisa e elaboração dos estudantes. alternativa b
26. Um investidor pretende aplicar R $ 30.000,00, a juro composto, com taxa de 3% ao mês, até obter um montante de R $ 90.000,00. Supondo que a taxa de juro não se altere durante toda a aplicação, determine o temp o mínimo, em meses, que esse capital deve ser investido para obter o montante desejado. Considere log 3 1 0,477 e log 1,03 1 0,01284.
38 meses
27. A questão a seguir estava na avaliação de uma turma do Ensino Médio.
Certo capital foi aplicado no sistema de juros simples a uma taxa de juro de 3% ao mês, determinando um montante de R $ 1.488,00. Qual foi o capital aplicado?
Um estudante dessa turma disse que não é possível resolver a questão. Você concorda com ele? Justifique sua resposta e, caso concorde, sugira ajustes no enunciado da questão para que ela possa ser resolvida.
28. Junte-se a um colega, e pesquisem algum tipo de investimento no sistema de juro composto. Identifiquem características como a taxa de juro, o capital mínimo, o tempo para resgate, taxas cobradas etc. Depois, simulem a aplicação de um capital hipotético, analisem o rendimento desse investimento e utilizem uma planilha eletrônica para representar a variação dele em certo período. Por fim, proponham algumas questões relacionadas a essa situação e troquem-nas com outra dupla, para que uma dupla resolva as questões da outra. Ao final, confiram juntos as resoluções.
29. (Enem/MEC) Uma pessoa fez um depósito inicial de R $ 200,00 em um Fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:
• Plano A : carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D : carência de 28 meses;
• Plano E : carência de 40 meses.
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações: log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02. Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano: a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.
Você já fez alguma compra e pagou em prestações?
Pagar à vista costuma ser a melhor opção na compra de um bem ou de um serviço, pois não há juro e você pode obter algum desconto. Contudo, nem sempre dispomos da quantia necessária para o pagamento à vista, por exemplo, ao comprar um imóvel, um eletrodoméstico ou um veículo.
Nesses casos, é necessário obter um crédito junto a alguma instituição. Acompanhe o trecho de texto a seguir.
O crédito é uma fonte adicional de recursos que não são seus, mas obtidos de terceiros (bancos, financeiras, cooperativas de crédito e outros), que possibilita a antecipação do consumo para a aquisição de bens ou contratação de serviços. Existem várias modalidades de crédito. Por exemplo: limite do cheque especial, cartão de crédito, empréstimos, financiamentos imobiliários ou de veículos, compra a prazo em lojas comerciais etc.
É muito importante para sua vida financeira saber escolher a modalidade de crédito mais adequada para cada situação. Com a devida compreensão dos custos envolvidos nas operações de crédito, é mais fácil o uso do crédito de forma consciente.
BRASIL. Banco Central do Brasil. Caderno de educação financeira: gestão de finanças pessoais. Brasília, DF: BCB, 2013. p. 25. Disponível em: www.bcb.gov.br/pre/pef/port/caderno_cidadania_financeira.pdf. Acesso em: 31 jul. 2024.
Ao comprar um bem ou contratar um serviço com o pagamento em prestações, em geral, está envolvido, de maneira direta ou indireta, o financiamento de um crédito.
Existem diferentes modalidades de financiamento. Nelas, costumam aparecer os elementos indicados a seguir.
Quantia financiada (c ): valor do crédito obtido.
Juro ( j ): quantia paga pelo “aluguel” do crédito obtido.
Valor da prestação ( p ): quantia paga em cada prestação.
Taxa de juro (i ): porcentual de juro pago no financiamento em certo período de tempo.
Saldo devedor (s ): quantia correspondente à dívida atualizada durante o período do financiamento.
Quantidade de prestações (n ): número de prestações a ser pagas.
Amortização (a ): parte do valor da prestação paga correspondente à quantia a ser reduzida do saldo devedor.
A seguir, vamos analisar dois dos mais comuns sistemas de amortização utilizados em financiamentos.
PARA AMPlI AR
Acesse este site para obter mais informações sobre como gerenciar seus recursos financeiros. • BRASIL. Banco Central do Brasil. Cidadania financeira. Brasília, DF: BCB, [2024]. Disponível em: www.bcb.gov.br/cidadaniafinanceira. Acesso em: 31 jul. 2024.
Certa família estuda financiar parte da quantia necessária para a compra de um apartamento, que custa R$ 320.000,00. Em certa instituição financeira, é oferecida aos clientes uma modalidade de financiamento de imóveis pelo SAC, com prestações mensais, taxa de juro de 0,5% a.m. e prazo de até 240 meses.
Se a família financiar R$ 90.000,00 nas condições apresentadas e no prazo máximo de pagamento, qual será o valor de cada prestação?
De modo geral, em financiamentos, além da cobrança do juro, há taxas e outros valores que podem variar de uma instituição para outra. Assim, para analisar a situação apresentada, vamos desconsiderar essas taxas e cobranças extras em nossos cálculos.
Nessa situação:
• a quantia financiada é de R$ 90.000,00, ou seja, c = 90 000;
• a taxa de juro é de 0,5% a.m., ou seja, i = 0,005;
• a quantidade de prestações é igual a 240, ou seja, n = 240.
Para calcular o valor a da amortização em cada prestação desse financiamento, dividimos a quantia financiada pela quantidade de prestações:
a = c n H a = 90 000 240 = 375, ou seja, R$ 375,00.
No cálculo do valor da primeira prestação p1, devemos adicionar os valores da amortização e do juro j 1 correspondentes, determinados sobre o saldo devedor do período anterior, que, nesse caso, corresponde à quantia financiada c : p1 = a + j1 = a + i ? c H p1 = 375 + 0,005 ? 90 000 = 375 + 450 = 825
Assim, o valor da primeira prestação é R$ 825,00.
Para calcular o saldo devedor s 1 após o pagamento da primeira prestação, basta subtrair o valor da amortização a do saldo devedor do período anterior:
s1 = c a H s1 = 90 000 375 = 89 625, ou seja, R$ 89.625,00.
Fazemos de maneira análoga para calcular o valor da segunda prestação p2 e do saldo devedor s2 determinado após o pagamento dessa prestação.
p2 = a + j2 = a + i ? s1 H p2 = 375 + 0,005 ? 89 625 1 375 + 448,13 = 823,13
s2 = s1 a H s2 = 89 625 375 = 89 250
Assim, o valor da segunda prestação é R$ 823,13, e o saldo devedor após o pagamento dessa prestação é R$ 89.250,00.
Para calcular de maneira mais prática o valor de cada prestação e o saldo devedor correspondente, podemos utilizar uma planilha eletrônica. Analise, a seguir, parte da planilha eletrônica correspondente a esse financiamento.
Juro pago na 10 a prestação ( j 10)
PARA PENSAR
Valor do saldo devedor após o pagamento da 10 a prestação (s10)
Valor da 10 a prestação ( p 10)
Resposta esperada: Porque parte do valor da prestação corresponde ao pagamento de juro.
Note que cada uma das 10 primeiras prestações foi superior a R $ 800,00, totalizando um pagamento maior que R $ 8.000,00. No entanto, o saldo devedor nesse mesmo período diminuiu menos que R $ 4.000,00. Por que isso ocorreu?
O gráfico a seguir apresenta a variação do valor do saldo devedor s desse financiamento para os 10 primeiros meses.
Neste gráfico, as escalas dos eixos são diferentes e parte do eixo das ordenadas foi suprimida. DiCA
89 625
89 250
88 875
88 500
88 125
87 750
87 375
87 000
250
86 625 0 s (R$)
Resposta esperada: s: A H r, com A = {n [ n | 0 , n < 240}, tal que s(n) = 90 000 375n.
PARA PENSAR
Defina uma função s que expresse o valor, em reais, do saldo devedor após o pagamento de cada prestação desse financiamento.
PRODUÇÕES
n (Mês)
O sistema francês de amortização, também conhecido como sistema Price, tem como principal característica determinar prestações com valores iguais. Esse sistema costuma ser utilizado na compra de eletrodomésticos, veículos automotores, em empréstimos com pagamento de prestações com valor fixo, entre outros.
Acompanhe a situação a seguir que envolve essa modalidade de financiamento.
Marcos trabalha como entregador e precisa trocar sua motocicleta por uma nova. Observe a propaganda que ele viu na loja virtual de uma concessionária.
Considere que Marcos venda sua motocicleta atual e, com o dinheiro, compre a motocicleta desse anúncio, pagando R$ 6.000,00 de entrada. Seguindo as condições de pagamento, quanto ele vai pagar em cada prestação?
Nessa situação:
c = 18 000 6 000 = 12 000;
aofertaofertaofertaofe
Oferta imperdível
R
R$ 18.000,00
Entrada + 60 prestações fixas
rta oferta oferta
Taxa de juro de 2% a.m.
• a quantia financiada é de R$ 12.000,00, ou seja,
• a taxa de juro é de 2% a.m., ou seja, i = 0,02;
• a quantidade de prestações é igual a 60, ou seja, n = 60.
Em relação à situação apresentada, temos: p = 12 000 ? 0, 02
1 (1 + 0,02) 60 = 240 1 (1, 02) 60 1 240 1 0,3048 =
j1 = i ? c H j1 = 0,02 ? 12 000 = 240, ou seja, R$ 240,00.
No sistema Price, os valores das prestações são iguais e podem ser calculados de acordo com a seguinte expressão: p = c ? i 1 (1 + i ) n
Portanto, nas condições apresentadas, Marcos deve pagar 60 prestações de aproximadamente R$ 345,22. Em relação à situação apresentada, também podemos calcular o saldo devedor do financiamento após o pagamento da primeira prestação. Para isso, inicialmente, vamos determinar o juro pago nessa prestação:
Com uma calculadora ou planilha eletrônica, você pode verificar que (1,02) 60 1 0,3048. DiCA
Ao final das 60 prestações, quanto Marcos terá pago pelo financiamento dos R$ 12.000,00 realizado na compra da motocicleta? Em seu entendimento, o que ele pode fazer para pagar um valor menor por essa motocicleta?
R$ 20.713,20. Algumas respostas possíveis: Diminuir a quantia financiada, aumentando o valor da entrada; reduzir a quantidade de prestações; negociar um desconto no valor da motocicleta ou uma taxa de juro menor no financiamento.
Resposta esperada: Não, pois, como o valor das prestações é fixo e o saldo devedor é decrescente, o valor correspondente ao juro diminui e o da amortização aumenta em relação ao período anterior.
PARA PENSAR
No sistema Price, os valores das amortizações são decrescentes ao longo do período de financiamento? Justifique sua resposta.
Da primeira prestação p1, a quantia correspondente à amortização do saldo devedor é dada por:
a1 = p1 j1 H a1 = 345,22 240 = 105,22, ou seja, R$ 105,22. Logo, o valor do saldo devedor após o pagamento da primeira prestação é dado por:
s1 = c a1 H s1 = 12 000 105,22 = 11 894,78, ou seja, R$ 11.894,78. Podemos construir uma planilha eletrônica para analisar o comportamento do saldo devedor ao longo do financiamento. Analise, a seguir, parte dessa planilha eletrônica.
Juro pago na 10 a prestação ( j 10)
Valor da amortização na 10 a prestação (a 10)
Valor do saldo devedor após o pagamento da 10 a prestação (s10)
O gráfico a seguir apresenta a variação do valor do saldo devedor s desse financiamento para os 10 primeiros meses.
Neste gráfico, as escalas dos eixos são diferentes e parte do eixo das ordenadas foi suprimida.
Acesse este site para analisar um financiamento com amortização no sistema Price, por meio do recurso Calculadora do cidadão, do Banco Central do Brasil.
• BR ASIL. Banco Central do Brasil. Calculadora do cidadão: financiamento com prestações fixas. Brasília, DF: BCB, [2024]. Disponível em: www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/exibirFormFinanciamento PrestacoesFixas.do?method=exibirFormFinanciamentoPrestacoesFixas. Acesso em: 31 jul. 2024.
R11. Um empréstimo de R $ 60.000,00 foi realizado no sistema de amortização constante e deve ser pago em 120 prestações mensais a uma taxa de juro de 0,75% a.m. Qual será o valor da segunda prestação desse financiamento?
Resolução
Vamos calcular o valor a da amortização em cada prestação:
a = 60 000 120 = 500, ou seja, R $ 500,00.
Com isso, vamos calcular o valor da primeira prestação p 1, correspondente à soma do valor da amortização a e do juro j 1. Depois, calcular o saldo devedor s1 após o pagamento da primeira prestação.
p 1 = a + j 1 H p 1 = 500 + 0,0075 ? 60 000 = 500 + 450 = 950, ou seja, R $ 950,00.
s1 = c a H s1 = 60 000 500 = 59 5 00, ou seja, R $ 59.500,00.
Agora, podemos calcular o valor da segunda prestação p 2:
p 2 = a + j 2 H p 2 = 500 + 0,0075 ? 59 500 = 500 + 446,25 = 946,25
Portanto, o valor da segunda prestação desse financiamento será R $ 946,25.
R12. Uma loja vende um smar tphone por R $ 1.000,00 para pagamento à vista, ou em até 5 prestações iguais, com a primeira sendo paga 30 dias após a compra, e sem entrada, cobrando uma taxa de juro de 2% ao mês no sistema Price. Quanto um consumidor pagará por esse smartphone se optar pelo pagamento em 5 prestações?
Resolução
Inicialmente, vamos determinar o valor p de cada prestação: p = c ? i 1 (1 + i ) n H p = 1 000 0, 02 1
Você pode usar uma calculadora científica ou uma planilha eletrônica para verificar que (1,02) 5 1 0,9057.
Agora, basta calcular o total pago pelo smartphone na compra em 5 prestações:
5 ? 212,09 = 1 060,45
Portanto, o consumidor pagará R $ 1.060,45 pelo smartphone .
R13. Um microempreendedor individual (MEI) pretende obter um empréstimo de R$ 12.600,00 para pagar em 3 prestações. Ele está em dúvida entre as duas propostas, ambas com taxa de juro de 1,5% a.m.:
• A : com o sistema Price;
• B: com o sistema de amortização constante (SAC).
Considerando apenas o valor total final pago por esse empréstimo, determine qual das propostas é mais vantajosa.
Resolução
Vamos calcular os valores das prestações em cada proposta e, em seguida, determinar o valor total pago.
• Proposta A
Calculando o valor p de cada prestação, temos:
p = c ? i 1 (1 + i ) n H p = 12 600 0, 015 1 (1 + 0,015 ) 3 = 189 1 (1,015) 3 1 189 1 0,9563 1 4 324,94
Logo, na proposta A, o total pago por esse empréstimo será de R$ 12.974,82, pois 3 4 324,94 = 12 974,82.
• Proposta B
Considerando a o valor da amortização, p1, p 2 e p 3, os valores da 1a , 2a e 3a prestações, respectivamente, e s1 e s2, o saldo devedor após o pagamento da 1a e 2a prestações, respectivamente, temos: a = 12 600 3 = 4 200, ou seja, R $ 4.200,00.
p 1 = 4 200 + 0,015 12 600 = 4 200 + 189 = 4 3 89, ou seja, R $ 4.389,00.
s1 = 12 600 4 200 = 8 4 00, ou seja, R $ 8.400,00.
p 2 = 4 200 + 0,015 ? 8 400 = 4 200 + 126 = 4 326, ou seja, R $ 4.326,00.
s2 = 8 400 4 200 = 4 200, ou seja, R $ 4.200,00.
p 3 = 4 200 + 0,015 ? 4 200 = 4 200 + 63 = 4 263, ou seja, R $ 4.263,00.
Adicionando o valor das prestações, temos:
p 1 + p 2 + p 3 = 4 389 + 4 326 + 4 263 = 12 978
Logo, na proposta B, o total pago por esse empréstimo será de R $ 12.978,00.
Portanto, considerando apenas o valor total final pago por esse empréstimo, a proposta A é a mais vantajosa, pois R $ 12.974,82 , R $ 12.978,00.
Uma resposta possível: Como na proposta B o valor das prestações é decrescente, pode-se optar por ela ao considerar que o tomador do empréstimo tenha uma disponibilidade financeira maior no início que no final do período.
Para escolher entre as duas propostas indicadas, é possível considerar outros fatores além do valor total final pago. Argumente sobre um fator que pode ser considerado para a escolha da proposta B.
30. Classifique cada informação a seguir, quando possível, como uma característica de financiamentos nos modelos SAC ou Price. SAC: b, e, f, g; Price: a, d, e, f
a) Apresenta um valor fixo nas prestações.
b) O saldo devedor decai linearmente.
c) O valor das prestações é crescente.
d) O valor da amortização aumenta a cada prestação.
e) A s prestações consecutivas apresentam o mesmo intervalo de tempo.
f) O saldo devedor é decrescente no período.
g) O valor das prestações é decrescente no período.
31. Observe o cartaz representado.
Com base no que foi estudado sobre sistemas de amortização, faça uma análise crítica desse cartaz, detalhando os cálculos envolvidos na compra a prazo do refrigerador e apontando possíveis erros. Organize essas informações em um texto e, em seguida, apresente suas conclusões aos colegas em uma roda de conversa.
4 prestações de R$ 3.800,00 à vista
R$ 1.220,00 sem entrada, com taxa de juro de 10% a.m.
Resposta esperada: Ao considerar a taxa de juro de 10% a.m. e o sistema Price de amortização (prestações de valores iguais), o valor correto de cada prestação deveria ser de aproximadamente R$ 1.198,79. A diferença entre o valor anunciado de cada prestação e aquele calculado pode ter ocorrido por diferentes fatores, como a incidência de outras taxas, por exemplo.
32. a) Resposta esperada: O empréstimo A corresponde ao SAC, uma vez que o valor das prestações é decrescente no período; já o empréstimo B corresponde ao sistema de amortização Price, pois o valor das prestações é fixo.
32. Os gráficos a seguir apresentam funções que representam valores das prestações mensais de dois empréstimos de mesma quantia, com taxa de juro e quantidade de prestações iguais, realizados nos sistemas de amortização Price e SAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
2 250,00
2 175,00
2 100,00
2 025,00
1 950,00
1 942,57
1 875,00
1 800,00
1 725,00
1 650,00
1 575,00
34. Junte-se a dois colegas, e leiam o trecho a seguir do Código de Defesa do Consumidor que trata sobre a venda parcelada de produtos ou serviços.
Empréstimo A
Empréstimo B
Valor (R$) Prestação
DiCA
Neste gráfico, as escalas dos eixos são diferentes e parte do eixo das ordenadas foi suprimida.
De acordo com essas informações, resolva as questões a seguir.
a) Relacione cada empréstimo ao sistema de amortização correspondente. Justifique sua resposta.
b) Q ual será o valor total pago em cada um desses empréstimos? A: R $ 19.125,00; B: R $ 19.425,70
33. Analise, a seguir, parte da simulação do financiamento de um imóvel feito no site de um banco.
Financiamento imobiliário
Valor do imóvelR$ 150.000,00
(–) Entrada
Prestações
Sistema de amortização
Taxa de juro
Ver todas as prestações
R$ 933,33, R$ 931,66, R$ 930,00
R$ 30.000,00
360 SAC
0,5% a.m.
a) Qual é o valor aproximado das três primeiras prestações desse financiamento?
b) Qual seria o valor das prestações, supondo que esse financiamento fosse realizado no sistema de amortização Price? Nesse caso, qual seria o valor total pago no financiamento?
Art. 52 . No fornecimento de produtos ou serviços que envolva outorga de crédito ou concessão de financiamento ao consumidor, o fornecedor deverá, entre outros requisitos, informá-lo prévia e adequadamente sobre:
I – preço do produto ou serviço em moeda corrente nacional;
II – montante dos juros de mora e da taxa efetiva anual de juros;
III – acréscimos legalmente previstos;
IV – número e periodicidade das prestações;
V – soma total a pagar, com e sem financiamento.
§ 1o As multas de mora decorrentes do inadimplemento de obrigações no seu termo não poderão ser superiores a dois por cento do valor da prestação.
BRASIL. Senado Federal. Código de defesa do consumidor e normas correlatas. 2. ed. Brasília, DF: Senado Federal: CET, 2017. p. 21. Disponível em: https://www2.senado.leg. br/bdsf/bitstream/handle/id/533814/cdc_e_normas_ correlatas_2ed.pdf. Acesso em: 31 jul. 2024.
Agora, elaborem um anúncio de venda parcelada de um produto que esteja de acordo com o art. 52. Esse anúncio pode ser impresso (folheto ou cartaz) ou em mídia digital (para site , por exemplo).
35. Você conh ece alguma loja que oferece ou já ofereceu produtos com venda a prazo sem juro e à vista com desconto? Nesse caso, podemos considerar que o valor do desconto no pagamento à vista corresponde ao juro cobrado no período da compra a prazo. Imagine que uma loja ofereça as seguintes formas de pagamento para um videogame cujo preço de etiqueta
é R $ 1.200,00:
• 3 prestações iguais, sem juro e sem entrada;
• à vista, com desconto de 10%.
Em relação ao preço à vista, de quanto seria aproximadamente a taxa de juro mensal na compra desse videogame em 3 prestações?
a) 0,5%
b) 3%
Elaboração dos estudantes. alternativa c
c) 5%
d) 10%
Desde jovem, é muito importante aprender a tomar decisões que aparecem com frequência ao longo da vida, como administrar os recursos financeiros, planejar o gasto (despesa) de acordo com a renda (receita) e organizar projetos pessoais. O orçamento pessoal ou familiar pode ser um instrumento muito importante nisso, pois ajuda na organização financeira e na compreensão dos hábitos de consumo de cada pessoa. Leia o trecho de texto a seguir sobre esse assunto.
Para transformar sonhos em realidade é preciso estabelecer metas claras e objetivas, que geralmente precisam de recursos financeiros para que sejam alcançadas. Por isso, controlar o orçamento pessoal ou familiar é vital. Para um bom planejamento financeiro, é importante que toda a movimentação de recursos – incluindo todas as receitas, despesas e investimentos – esteja organizada. Isso inclui a participação e o comprometimento de cada membro da família, considerando os diferentes perfis de comportamento financeiro de seus integrantes. [...]
O orçamento é um instrumento fundamental para você conhecer e organizar melhor suas finanças pessoais. Ele permite uma análise bem visual do seu planejamento financeiro (ou da falta dele!). O orçamento é como uma fotografia do que aconteceu com o seu dinheiro ao longo dos meses e também uma previsão dos seus ganhos e gastos. Adquirindo o hábito de preencher um orçamento, é possível atingir muitos benefícios para sua vida. [...]
BRASIL. Banco Central do Brasil. Como eu faço um orçamento pessoal ou familiar. Brasília, DF: BCB, [2024]. Disponível em: www.bcb.gov.br/cidadaniafinanceira/cidadania_como_orcamento. Acesso em: 31 jul. 2024.
Você ou sua família acompanham a movimentação das receitas e despesas mensais por meio de um orçamento financeiro? Comente com os colegas e o professor. Resposta pessoal.
Ao elaborar o orçamento financeiro, é possível identificar onde e como o dinheiro está sendo gasto no período analisado. Com base nisso, é importante refletir sobre os resultados desse orçamento e tomar decisões, quando necessário.
Para economizar dinheiro e evitar o desperdício no mercado, por exemplo, sugere-se seguir rigorosamente a lista e comprar somente os produtos necessários.
Para elaborar um orçamento pessoal ou familiar, podemos utilizar uma caderneta ou ferramentas digitais, como aplicativos e planilhas eletrônicas.
Há diferentes sites que disponibilizam planilhas eletrônicas para o orçamento pessoal ou familiar. Porém é importante analisar se o tipo de planilha disponibilizada se encaixa com o seu perfil de consumo. Por exemplo, o site do Instituto Brasileiro de Defesa de Consumidores (Idec) disponibiliza uma planilha eletrônica para o orçamento doméstico.
Reprodução da planilha de orçamento doméstico disponibilizada pelo Instituto Brasileiro de Defesa de Consumidores (Idec).
Acompanhe algumas etapas que ajudam a criar o próprio orçamento mensal de acordo com a realidade da pessoa ou da família.
1a) Anotação
Acesse este site para obter a planilha de orçamento doméstico do Idec.
• INSTITUTO DE DEFESA DE CONSUMIDORES. Planilha de orçamento doméstico. São Paulo: Idec, c19962024. Disponível em: https://idec. org.br/planilha/ download. Acesso em: 31 jul. 2024.
Anotar as principais receitas e despesas do mês, classificando-as em fixas, variáveis ou eventuais. Por exemplo: salário, transporte público, aluguel, mensalidade de curso etc. Pode-se considerar, como base, os meses mais recentes.
2a) Organização
Organizar, em uma planilha eletrônica, as receitas e as despesas por categoria, conforme características similares: alimentação, moradia, educação, saúde, transporte, vestuário, lazer, outros gastos. É possível também indicar as formas de pagamento ou desembolso (dinheiro, débito ou crédito) e os investimentos.
3a) Registro
Registrar, na planilha eletrônica, os valores relacionados a cada item da categoria. Em seguida, utilizar funções disponíveis na planilha para calcular o total das receitas, o total das despesas e o saldo.
4a) Avaliação
Avaliar e refletir sobre os resultados do orçamento: a despesa foi maior ou foi menor que a receita? Houve equilíbrio entre receitas e despesas? É possível reduzir gastos desnecessários? É possível fazer um novo investimento? Essas reflexões servem de base para tomar decisões, mudar alguns hábitos e definir metas.
36. A falta de controle no orçamento financeiro costuma trazer consequências significativas na vida de uma pessoa ou de uma família. Acompanhe alguns dados obtidos em uma pesquisa, sobre esse tema, realizada no Brasil.
No aperto:
50% dizem vivenciar algum nível de aperto financeiro.
Orçamento justo:
74% empatam ou gastam mais do que ganham.
Pagar as contas:
43% dizem que têm alguma ou muita dificuldade para pagar as contas.
Controle mais difícil: apenas 46% afirmam saber como se controlar para não gastar muito.
Reflexo na vida familiar: 23% dizem que o padrão de vida da casa foi bastante reduzido.
Motivo de estresse: 28% dizem que compromissos financeiros são motivo de estresse nas suas casas.
Pode melhorar: 33% consideram que a maneira como cuidam de suas finanças não os permite aproveitar a vida.
Futuro:
68% não têm segurança sobre o seu futuro financeiro.
Fonte dos dados: FEDERAÇÃO BRASILEIRA DE BANCOS.
Índice de Saúde Financeira dos Brasileiros (I-SFB): 2023. São Paulo: Febraban; Brasília, DF: BCB, 2023. p. 18-19. Disponível em: https://pefmbddiag.blob.core.windows.net/ cdn/downloads/A_Saude_Financeira_do_Brasileiro_2023.pdf. Acesso em: 31 jul. 2024.
Elaboração dos estudantes.
Reúna-se com um colega, e elaborem um texto dissertativo sobre a importância do controle financeiro pessoal ou familiar. Vocês devem utilizar os dados apresentados e podem complementá-los com outras pesquisas. Ao final, compartilhem a produção de vocês com a turma, conforme as orientações do professor.
37. Estudamos que, no controle financeiro, podemos classificar as despesas em fixas, variáveis ou eventuais. As despesas fixas são aquelas de valor constante, independentemente das circunstâncias (exemplo: aluguel). As despesas variáveis oscilam, ou seja, podem mudar de valor a cada mês (exemplo: transporte). E as despesas eventuais são aquelas esporádicas, que acontecem de maneira ocasional (exemplo: compra de um presente ou reparo de um eletrodoméstico).
37. Resposta esperada: Despesa fixa – assinatura de serviço de streaming, mensalidade do curso de inglês, prestação de financiamento; despesa variável – alimentação, fatura de energia elétrica, fatura de água; despesa eventual –manutenção de um notebook, viagem a passeio.
Classifique cada despesa a seguir em fixa, variável ou eventual.
• Fatura de água.
• Alimentação.
• Manutenção de um notebook
• A ssinatura de serviço de streaming.
• Fatura de energia elétrica.
• Viagem a passeio.
• Prestação de financiamento.
• Mensalidade do curso de inglês.
38. Em uma planilha eletrônica, construa um orçamento financeiro para as suas receitas e despesas mensais ou as de sua família, com base nas etapas apresentadas na página 41. Depois, resolva os itens a seguir. Respostas pessoais.
a) Q ual é o mês correspondente a esse orçamento?
b) Quais categorias foram utilizadas para organizar as receitas e as despesas?
c) Escolha uma das categorias indicadas no item b e descreva detalhadamente o que a compõe.
d) Em qual categoria a despesa comprometeu a maior parte da receita do mês? Do total de despesas, qual é o porcentual correspondente a essa categoria?
e) Construa um gráfico de barras ou de colunas para representar:
• o total das receitas, o total das despesas e o saldo;
• a distribuição das despesas de acordo com cada categoria em relação ao total das despesas.
f) Faça uma pesquisa e registre algumas dicas que ajudam a reduzir as despesas do orçamento.
g) Elabore um relatório com uma análise desse orçamento financeiro, contendo informações dos itens anteriores, e faça uma avaliação do resultado do orçamento, por exemplo: as despesas foram menores que as receitas, iguais a elas ou maiores que elas? Quais despesas podem ser reduzidas? Como é possível aumentar as receitas? Como planejar as despesas e as receitas do próximo mês a partir desse orçamento?
Podemos utilizar a planilha eletrônica LibreOffice Calc para estudar aplicações no sistema de juro simples e de juro composto. Esse e os demais programas de escritório da LibreOffice estão disponíveis para download em https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/ libreoffice-novo/ (acesso em: 31 jul. 2024).
Vamos determinar o capital e a taxa de juro das aplicações indicadas, além da variação dos respectivos montantes no período de 10 meses. Acompanhe as etapas.
A P ara determinar o capital e a taxa de juro na aplicação a juro simples, nas células C2 e D2 , escrevemos Capital e Taxa , respectivamente; e nas células C3 e D3 escrevemos as fórmulas =B3 (B4 B3) e =(B4 B3)/C3 , respectivamente. Para a aplicação a juro composto, nas células H2 e I2 escrevemos Taxa e Capital , respectivamente; e nas células H3 e I3 , escrevemos as fórmulas =(G4/G3) 1 e =G3/(1+H3) , respectivamente.
B Nas células A7:A12 e F7:F12, registramos os números naturais de 5 até 10. Em seguida, escrevemos na célula B7 a fórmula =500+500*0,05*A7 e, na célula G7, a fórmula =500*(1+0,045)ˆF7 . Utilizando a opção , clicamos com o botão esquerdo do mouse e arrastamos até a última linha da coluna correspondente ao mês. Assim, obtemos o montante das aplicações ao final de cada mês.
1. a) aplicação a juro simples: taxa de juro de 5% a.m. e capital de R$ 500,00 aplicação a juro composto: taxa de juro de 4,5% a.m. e capital de R$ 500,00
no livro.
1. c) aplicação a juro simples: até 5 meses; aplicação a juro composto: a partir do 6o mês
1. Em relação ao exemplo apresentado, resolva os itens a seguir.
a) Qual é a taxa de juro e o capital de cada uma das aplicações?
b) Qual das aplicações é mais rentável ao final dos 10 meses? aplicação a juro composto
c) Determine os intervalos de tempo em que cada aplicação é mais rentável que a outra.
d) Reproduza o exemplo apresentado usando a planilha eletrônica LibreOffice Calc . Em seguida, construa um gráfico de pontos para representar o montante das duas aplicações em função do tempo. Por fim, determine as linhas de tendência para os gráficos que você construiu.
Construção do estudante.
e) Para cada uma das aplicações, escreva a lei de formação de uma função de n H r que expresse o montante, em real, de acordo com o tempo, em mês.
aplicação a juro simples: f(t) = 25t + 500; aplicação a juro composto: g(t) = 500 ? (1,045)t
2 . Em uma planilha eletrônica LibreOffice Calc , um investidor criou um simulador de cálculo de juro simples conforme indicado a seguir. Nesse simulador, nas células B5 e B6 ele digitou = B2*B3*B4 e =B2+B5 , respectivamente, para calcular o juro e o montante com base nos valores inseridos nas células B2 , B3 e B4 .
2. a) I) juro: R$ 12,50; montante: R$ 512,50 II) juro: R$ 170,00; montante: R$ 1.020,00 III) juro: R$ 720,00; montante: R$ 3.720,00
2. b) I) juro R$ 12,63; montante R$ 512,63; II) juro R$ 186,15; montante R$ 1.036,15; III) juro R$ 787,43; montante: R$ 3.787,43
REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE
a) Reproduza esse simulador em uma planilha eletrônica LibreOffice Calc e calcule o juro e o montante de uma aplicação a juro simples em que:
I) o capital é de R $ 500,00, a taxa de juro é de 0,5% a.m. e o tempo é de 5 meses;
II) o capital é de R $ 850,00, a taxa de juro é de 2% a.a. e o tempo é de 10 anos;
III) o capital é de R $ 3.000,00, a taxa de juro é de 6% a.a. e o tempo é de 48 meses.
b) Na planilha eletrônica LibreOffice Calc , elabore um simulador para o cálculo do juro e do montante para uma aplicação a juro composto. Em seguida, retome o item a e, utilizando o simulador que você elaborou, calcule o juro e o montante para cada situação.
3. Considere um financiamento de R $ 10.000,00, que deve ser pago em 20 prestações, sem entrada, e com taxa de juro de 1,5% ao mês. Utilizando uma planilha eletrônica LibreOffice Calc , construa um simulador para calcular o saldo devedor desse financiamento, em cada mês, considerando os sistemas de amortização Price e SAC.
Construção do estudante.
a) E xplique, detalhadamente, como você construiu esse simulador. Resposta pessoal.
b) Elabore duas situações-problema relacionadas a financiamentos: uma no sistema de amortização Price e, outra, no SAC. Depois, troque essas situações-problema com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve as elaboradas por ele. Para isso, vocês podem utilizar o simulador construído no item a . Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaborações do estudante.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Qu ando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2 . Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Porcentagem
Fatores de atualização
Acréscimos sucessivos
Descontos sucessivos
Juro simples
Juro composto
Sistema de amortização constante (SAC)
Sistema de amortização Price
Orçamento financeiro
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Nesta Unidade, foram apresentadas informações sobre Educação Financeira, como a importância de controlar o orçamento financeiro pessoal ou familiar.
Observe, a seguir, o resumo de um orçamento financeiro, realizado por uma pessoa, em uma planilha eletrônica.
alimentação: R$ 660,00; educação: R$ 343,20; lazer: R$ 158,40; moradia: R$ 1.056,00; transporte: R$ 184,80; outros: R$ 237,60
a) Qual porcentual da renda dessa pessoa foi utilizado, nesse mês, para as despesas?
aproximadamente 78,81%
b) P ara detalhar as despesas nesse mês, por categoria, a pessoa construiu o gráfico representado.
Moradia. Algumas respostas possíveis: Aluguel, financiamento imobiliário, taxa de condomínio, fatura de água, fatura de energia, fatura de gás.
• Qual categoria corresponde à maior parte das despesas desse mês? Que tipos de despesa podem ter sido considerados nessa categoria?
• C alcule a quantia correspondente a cada categoria de despesa nesse mês.
Despesa, por categoria, novembro de 2024
Moradia
Alimentação Educação Outros Transporte Lazer
Fonte: Dados fictícios.
• Considerando que, nos próximos dois meses, as despesas com educação aumentem, respectivamente, 5% e 10% em relação ao mês anterior, de quantos reais serão as despesas com essa categoria em janeiro de 2025?
aproximadamente R$ 396,40
c) Com o saldo do mês de novembro, ess a pessoa pretende realizar um investimento entre as duas opções a seguir.
• opção A : sistema de juro simples com taxa de juros de 27% a.a.
• opção B: sistema de juro composto com taxa de juros de 2% a.m.
Em uma planilha eletrônica, construa os gráficos correspondentes ao montante determinado a cada mês nessas duas opções de investimento. Depois, faça uma análise de qual é mais vantajosa financeiramente para essa pessoa.
Construção do estudante. Resposta esperada: Até o 12o mês de investimento, a opção A é a mais vantajosa e, a partir do 13o mês, a opção B é a mais vantajosa.
d) N esse mês, parte das despesas com moradia correspondia à 3 a prestação de um financiamento imobiliário de R $ 100.000,00 da compra de um apartamento, realizado pelo sistema de amortização constante, em 250 prestações, com taxa de juro de 0,5 % a.m.
• D esconsiderando outras taxas desse financiamento, determine o valor da prestação paga nesse mês.
R$ 896,00
• Q ual seria o valor da prestação paga nesse mês, caso o financiamento fosse realizado pelo sistema de amortização Price, considerando a mesma quantidade de prestações e a mesma taxa de juro?
aproximadamente R$ 701,65
1. (Enem/MEC) Em uma loja, o preço promocional de uma geladeira é de R $ 1.000,00 para pagamento somente em dinheiro. Seu preço normal, fora da promoção, é 10% maior. Para pagamento feito com o cartão de crédito da loja, é dado um desconto de 2% sobre o preço normal. Uma cliente decidiu comprar essa geladeira, optando pelo pagamento com o cartão de crédito da loja. Ela calculou que o valor a ser pago seria o preço promocional acrescido de 8%. Ao ser informada pela loja do valor a pagar, segundo sua opção, percebeu uma diferença entre seu cálculo e o valor que lhe foi apresentado.
O valor apresentado pela loja, comparado ao valor calculado pela cliente, foi alternativa a
a) R $ 2,00 menor.
b) R $ 100,00 menor.
c) R $ 200,00 menor.
d) R $ 42,00 maior.
e) R $ 80,00 maior.
2. (UEA-AM) Ronaldo fez um empréstimo de R $ 1.000,00. Ao final do primeiro mês, foram aplicados juros de 10% sobre o valor da dívida, e ele fez um pagamento de R $ 300,00. Ao final do segundo mês, foram aplicados juros de 10% sobre o saldo da dívida, e ele fez um pagamento de R $ 500,00. Ao final do terceiro mês, foram aplicados juros de 10% sobre o saldo da dívida, e ele fez um pagamento para quitá-la. O valor do último pagamento feito por Ronaldo foi de:
a) R $ 531,00.
b) R $ 418,00.
c) R $ 200,00.
alternativa b
d) R $ 309,00.
e) R $ 500,00.
3. (IFPI) Um eletrodoméstico foi vendido com um desconto de R $ 105,00, sendo esse valor igual a 5% do preço original. Qual o preço do eletrodoméstico após o desconto? alternativa d
a) R $ 1.805,00
b) R $ 1.825,00
c) R $ 1.910,00
d) R $ 1.995,00
e) R $ 2.000,00
4. (Enem/MEC) A associação de comerciantes varejistas de uma cidade, a fim de incrementar as vendas para o Natal, decidiu promover um fim de semana de descontos e promoções, no qual produtos e serviços estariam com valores reduzidos. Antes do período promocional, um celular custava R $ 300,00 e teve seu preço reajustado, passando a custar R $ 315,00. Durante o fim de semana de descontos e promoções, o preço desse celular recebeu um desconto de 20%.
O desconto dado no preço do celular, em porcentagem, com base no valor dele anteriormente ao aumento sofrido antes da promoção, foi de alternativa b
a) 15,24%
b) 16,00%
c) 19,04%
d) 21,00% e) 25,00%
5. (Enem/MEC) Um investidor deseja aplicar R $ 10.000,00 durante um mês em um dos fundos de investimento de um banco. O agente de investimentos desse banco apresentou dois tipos de aplicações financeiras: a aplicação Básica e a aplicação Pessoal, cujas informações de rendimentos e descontos de taxas administrativas mensais são apresentadas no quadro.
Aplicação
Taxa de rendimento mensal
Taxa administrativa mensal
Básica 0,542%R$ 0,30
Pessoal 0,560% 3,8% sobre o rendimento mensal
Consideradas as taxas de rendimento e administrativa, qual aplicação fornecerá maior valor de rendimento líquido a esse investidor e qual será esse valor? alternativa a
a) Básica, com rendimento líquido de R $ 53,90.
b) Básica, com rendimento líquido de R $ 54,50.
c) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 56,00.
d) Pessoal, com rendimento líquido de R $ 58,12.
e) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 59,80.
6. (IFMT) Um trabalhador reserva 30% do seu salário para o pagamento da prestação de sua casa e 50% do que resta para alimentação. Tirando a prestação da casa e a alimentação, coloca 20% do que sobra na poupança e os restantes R $ 448,00 serão utilizados em outras despesas. Então, o salário desse trabalhador é igual a: alternativa d
a) R $ 990,00
b) R $ 1.900,00
c) R $ 1.400,00
d) R $ 1.600,00
e) R $ 2.100,00
7. (UERJ) Em uma revendedora, uma motocicleta custa à vista R $ 10.404,00. Esse valor também pode ser pago a prazo, sem juros, em duas parcelas de R $ 5.202,00, sendo a primeira um mês após a compra e a segunda dois meses após a compra.
Um comprador tem o valor de R $ 10.404,00 em uma aplicação que rende juros de 2% ao mês. Ele decide manter esse valor aplicado e, ao final do primeiro mês, retira apenas R $ 5.202,00 para pagar a primeira parcela. Um mês depois retira R $ 5.202,00 e faz o pagamento da segunda parcela. Isso equivale a ter um desconto no ato da compra.
Esse desconto, em percentual, está mais próximo de: alternativa a
a) 3,0% b) 3,5% c) 4,0% d) 4,5%
8. (Enem/MEC) Uma pessoa se interessou em adquirir um produto anunciado em uma loja. Negociou com o gerente e conseguiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O primeiro pagamento será um mês após a aquisição do produto, e no valor de R $ 202,00. O segundo pagamento será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de R $ 204,02. Para concretizar a compra, o gerente emitirá uma nota fiscal com o valor do produto à vista negociado com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado.
O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal é de alternativa b
a) R $ 398,02.
b) R $ 400,00.
c) R $ 401,94.
9. (UFPR) Alexandre pegou dois empréstimos com seus familiares, totalizando R $ 20.000,00. Ele combinou pagar juros simples de 8% ao ano em um dos empréstimos e de 5% ao ano no outro. Após um ano nada foi pago, e por isso sua dívida aumentou de R $ 20.000,00 para R $ 21.405,00. Quanto foi tomado emprestado de cada familiar?
alternativa c
a) R $ 2.600,00 e R $ 17.400,00.
b) R $ 4.000,00 e R $ 16.000,00.
c) R $ 6.500,00 e R $ 13.500,00.
d) R $ 7.700,00 e R $ 12.300,00.
e) R $ 8.200,00 e R $ 11.800,00.
10. (UFSC) Com a venda de seus imóveis, o Sr. José resolveu fazer um investimento. Ao conversar com o gerente de seu banco, foi informado de que determinado investimento renderia 100% a cada cinco anos em regime de capitalização composta. Nessas condições, após quantos anos de aplicação o montante obtido será igual a 16 vezes o valor investido? 20 anos
11. (Unisc-RS) Um comércio do interior cobra de seus clientes, quando pagam em atraso, juros simples de 1% ao mês. Nessa condição, qual foi o tempo de atraso de uma prestação de R $ 1.250,00 se esta foi quitada com R $ 1.350,00?
a) 9 meses
b) 8 meses
c) 10 meses
d) R $ 404,00.
e) R $ 406,02.
alternativa b
d) 9,5 meses
e) 10,33 meses
12. (UFJF-MG) André decidiu fazer 4 depósitos de R $ 1.000,00, todo mês de dezembro, ao longo de 4 anos consecutivos, em uma aplicação de rendimento anual igual a 10%, segundo juros compostos. Entretanto, ele não pode fazer o 3 o depósito. Nos demais anos ele fez os depósitos normalmente. Qual valor o André terá na aplicação um ano após o último depósito?
a) R $ 2.541,10
b) R $ 3.641,10
c) R $ 3.774,10
alternativa d
d) R $ 3.895,10
e) R $ 4.005,10
Grafos
Jovem usando o celular, aparelho amplamente utilizado para acessar redes sociais.
FIZKES/SHUTTERSTOCK.COM
A origem da teoria dos grafos está fundamentada em um problema conhecido como pontes de Königsberg, que consiste em discutir a possibilidade de atravessar as sete pontes existentes nessa antiga cidade prussiana, sem passar mais de uma vez por alguma delas. Em 1736, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) representou esse problema por meio de um esquema, em que os caminhos das pontes eram indicados por linhas e as interseções, por pontos, criando, possivelmente, o primeiro grafo da história. Atualmente, a teoria dos grafos é uma ferramenta eficiente para modelar e resolver problemas de diferentes áreas, como da própria Matemática, da Biologia, das engenharias, da indústria e do comércio.
Por exemplo, considere um grupo de pessoas que se comunicam por meio de uma rede social: Ana (A ) é amiga de Beto (B ) e Carla (C), que também são amigos entre si; já Davi (D) é amigo apenas de Carla. Essa situação pode ser representada por meio de um grafo, conforme mostrado no esquema.
Representação de grafo.
Fonte dos dados: OSTROSKI, Alvaro; MENONCINI, Lucia. Teoria dos grafos e aplicações. Synergismus scyentifica UTFPR , Pato Branco, v. 4, n. 2, p. 1-6, 2009. Trabalho apresentado no XIII Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional, 2009, Pato Branco. Disponível em: http://revistas.utfpr.edu.br/pb/index.php/SysScy/article/view/709/465. Acesso em: 6 ago. 2024.
Não escreva no livro.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Que estudioso construiu um esquema considerado o primeiro grafo da história? Com que objetivo ele fez essa construção?
2. Em um grafo, os pontos são chamados de vértices e as linhas, de arestas. Quantos vértices e quantas arestas tem o grafo representado nesta página?
3. Além do grafo apresentado, de que outra maneira você representaria as relações de amizade entre Ana, Beto, Carla e Davi na rede social do exemplo descrito?
Respostas nas Orientações para o professor
Na abertura desta Unidade, a relação do grupo de pessoas em uma rede social foi representada por meio de um grafo. Outra maneira de representar essa situação é por meio de uma tabela: usamos o número 1 para indicar quando há relação entre duas pessoas e o número 0 para indicar quando não há relação (considerando que uma pessoa não se relaciona com ela mesma). Como os dados numéricos da tabela estão organizados em linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais), podemos denominá-la matriz e representá-la da maneira a seguir.
PARA PENSAR
Nesta matriz, qual elemento está localizado na segunda linha e na terceira coluna?
O que ele indica nesse contexto?
Elemento 1. Indica que Beto e Carla se relacionam por meio da rede social.
Este número indica que há relação de amizade entre Carla e Davi na rede social.
Essa matriz tem quatro linhas e quatro colunas, portanto dizemos que ela é uma matriz de ordem 4 x 4 (lê-se: quatro por quatro). Há uma convenção: primeiro, indicamos o número de linhas da matriz, depois, o número de colunas. O elemento da matriz localizado, por exemplo, na quarta linha e na segunda coluna indica que Davi e Beto não se relacionam por meio da rede social.
Agora, analise os dados a seguir.
Brasileiros de 10 ou mais anos que utilizaram a internet no período de referência (em mil pessoas)
Usuário
2019 68 907 74
PARA PENSAR
Essa matriz é de ordem 3 x 2 (lê-se: três por dois). O que isso significa?
Resposta esperada: Significa que essa matriz tem 3 linhas e 2 colunas.
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio Contínua Anual: tabela 6447. Rio de Janeiro: IBGE: Sidra, [2024]. Disponível em: https://sidra.ibge.gov.br/tabela/6447. Acesso em: 6 ago. 2024.
Podemos representar esses dados pela matriz a seguir.
68 907 74 929 74 640 81 067 77 613 84 013
Nessa matriz, as linhas indicam a quantidade de brasileiros com 10 anos ou mais que utilizaram a internet em 2019, 2021 e 2022; as colunas indicam a categoria dos usuários: homens e mulheres. A primeira linha, por exemplo, indica a quantidade de usuários homens e mulheres em 2019 e a segunda coluna, a quantidade de usuárias mulheres em cada ano apresentado. O elemento da matriz localizado na segunda linha e na primeira coluna, por exemplo, corresponde à quantidade de brasileiros homens que utilizaram a internet em 2021.
Denominamos matriz de ordem m x n, com m e n números naturais não nulos, toda tabela formada por m ? n elementos organizados em m linhas e n colunas.
Uma matriz A de ordem m x n pode ser representada genericamente por A = ( a i j ) m x n e expressa da maneira apresentada.
Nessa matriz, aij indica o elemento que está na linha i e coluna j . O elemento a13 (lê-se: a um três), por exemplo, tem i = 1 e j = 3, ou seja, ele está localizado na primeira linha e na terceira coluna.
MATEMATICA
Há indícios de que os chineses, por volta do século II a.C., já resolviam problemas utilizando procedimentos com a ideia de matrizes. Porém, em 1857, o mérito do desenvolvimento do conceito de matrizes foi dado ao matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) a partir de estudos relacionados a transformações.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática . Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 243-244, 552.
Em um dos capítulos do antigo livro matemático chinês Chiu-Chang Suan-Shu (“Nove capítulos sobre a arte da Matemática”), apresentam-se procedimentos de matrizes.
Exemplos:
a) Matriz de ordem 2 x 6.
A = [2 0 5 3 14 3 9 8 1 7 1 4]
b) Matriz de ordem 3 x 3.
B = [ 20 36 7 9 50 0 15 8 1]
c) Matriz de ordem 4 x 3.
d) Matriz de ordem 1 x 5.
D = [0 2 p 1 2]
Qual é o elemento c41 na matriz C = (c ij )4 x 3? 1
Denominamos matriz quadrada toda matriz de ordem m x n, em que m = n, ou seja, as quantidades de linhas e de colunas são iguais. Nesse caso, podemos dizer que a matriz é de ordem n.
Em uma matriz quadrada A = ( a i j ) n , os elementos a i j , em que i = j , formam a diagonal principal da matriz.
Nos exemplos apresentados, B é uma matriz quadrada e pode ser indicada por B3
Os elementos b11 = 20, b22 = 50 e b33 = 1 compõem a diagonal principal da matriz B
Duas matrizes A e B , de mesma ordem, são iguais quando cada elemento de A é igual ao elemento correspondente (de mesma posição) em B ( a ij = b ij). Indicamos, então, A = B . Para indicar que duas matrizes A e B são diferentes, ou seja, não têm a mesma ordem ou não têm todos os elementos correspondentes iguais, escrevemos: A 5 B .
Exemplos:
a) A = [ 8 5 1 4 6 7] e B = [ 2 4 10 5 7 8 12 : 3 1 + 5 1 ? 7 ]
As matrizes A e B têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais. Portanto, A = B.
b) C = [10 3 9 15 ] e D = ⎡ ⎢
As matrizes C e D não têm a mesma ordem. Portanto, C 5 D.
c) E = [ 1 2 4 3 ] e F = [1 2 0 3]
As matrizes E e F têm a mesma ordem, mas e21 5 f21. Portanto, E 5 F
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
Qual é a ordem das matrizes A , B, C, D, E e F ?
Chapa: grupo de candidatos a uma eleição.
R1. Seis amigos decidiram compor uma chapa para participar da eleição do Grêmio Estudantil. Para escolher qual deles seria o presidente da chapa, realizaram uma votação: cada amigo recebeu um número de 1 a 6 e pode votar em até dois deles. Os votos foram organizados na matriz V = ( vi j )6 representada a seguir, em que cada elemento vi j foi indicado conforme apresentado.
• número 1, quando i votou em j ;
• número 0, quando i não votou em j .
Com base nessas informações, qual dos amigos foi escolhido para presidente da chapa?
Resolução
A quantidade total de votos que cada amigo recebeu corresponde à soma dos votos em cada coluna:
• amigo 1: 1 + 1 = 2, ou seja, dois votos;
• amigo 2: 1 voto;
• amigo 3: 1 + 1 + 1 + 1 = 4, ou seja, quatro votos;
• amigo 4: 0 voto;
• amigo 5: 0 voto;
• amigo 6 : 1 + 1 + 1 = 3, ou seja, três votos. Portanto, o amigo 3 foi o escolhido para presidente da chapa.
PARA PENSAR
Quais amigos votaram em si mesmos nessa eleição? Explique como você resolveu essa questão.
Resposta esperada: Amigo 2 e amigo 3, pois é apenas na segunda e na terceira linhas que os elementos em que i = j dessa matriz são iguais a 1.
R2. Em cada item, escreva a matriz conforme a lei de formação de seus elementos.
a) A = (a i j )2 x 4 , tal que a i j = 2i + j
b) B = (b i j )3 x 3 , tal que bij = {i + j 2 , se i > j j 3i, se i , j
Resolução
a) A ordem da matriz A é 2 x 4, então podemos representá-la da seguinte maneira:
A = [a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24]
Vamos determinar os elementos da matriz A de acordo com a lei de formação:
• a 11 = 2 ? 1 + 1 = 2 + 1 = 3
• a 12 = 2 ? 1 + 2 = 2 + 2 = 4
• a 13 = 2 1 + 3 = 2 + 3 = 5
• a 14 = 2 1 + 4 = 2 + 4 = 6
• a 21 = 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5
• a 22 = 2 2 + 2 = 4 + 2 = 6
• a 23 = 2 ? 2 + 3 = 4 + 3 = 7
• a 24 = 2 ? 2 + 4 = 4 + 4 = 8
Portanto, A = [3 4 5 6 5 6 7 8]
1. Respostas nas Orientações para o professor.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
1. Podemos definir um grafo dos estados da Região Norte do Brasil de maneira que cada vértice representa um estado e dois estados são adjacentes (têm ligação por aresta) quando têm uma fronteira comum entre si. Observe.
Brasil: Região Norte, 2018
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 94.
b) A ordem da matriz B é 3 x 3, então podemos representá-la da seguinte maneira:
B = ⎡ ⎢ ⎣ b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 ⎤ ⎥ ⎦
Utilizando as duas expressões que definem os elementos da matriz B , temos:
I) se i > j : • b 11 = 1 + 12 = 1 + 1 = 2
• b 21 = 2 + 12 = 2 + 1 = 3
• b 22 = 2 + 22 = 2 + 4 = 6
• b 31 = 3 + 12 = 3 + 1 = 4
• b 32 = 3 + 22 = 3 + 4 = 7
• b 33 = 3 + 32 = 3 + 9 = 12
II) se i , j :
• b 12 = 2 3 1 = 2 3 = 1
• b 13 = 3 3 ? 1 = 3 3 = 0
• b 23 = 3 3 ? 2 = 3 6 = 3
Portanto, B = [2 1 0 3 6 3 4 7 12 ].
a) Faça um desenho que represente esse grafo.
b) Com base no item anterior, construa uma tabela, indicando 1 para os estados que fizerem divisa, e 0 para os que não fizerem. Depois, escreva uma matriz F correspondente a essa tabela.
2. Em cada item a seguir, escreva a matriz conforme a lei de formação de seus elementos.
Respostas nas Orientações para o professor
a) A = (a i j )1 x 5 , tal que a i j = (i 2) j
b) B = (b i j )2 x 2 , tal que bij = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4i j 3 , se i < j i + j, se i . j
c) C = (ci j ) 4 x 3 , tal que ci j = 3i j
d) D = (d i j )5 x 5 , tal que dij = {√ 5 , se i = j i 3 j 2 , se i 5 j
3. a)
3. Respostas dos itens b, c e d nas Orientações para o professor.
4. a) Resposta esperada: As linhas indicam a quantidade, em kilograma, de embalagens vendidas de cada modelo no mês de abril. As colunas indicam a quantidade, em kilograma, de embalagens compradas por cliente no mês de abril.
3. Analise a tabela a seguir e resolva as questões. Casos prováveis de dengue na Região Centro-Oeste do Brasil até a Semana Epidemiológica 52, 2022-2023
Ano UF 20222023
Mato Grosso do Sul 26 60346 524
Mato Grosso 35 45328 424
Goiás 210 46069 719
Distrito Federal 70 11638 587
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Série histórica de casos prováveis de dengue: 2000-2023. Brasília, DF: MS, 2024. Disponível em: https://www.gov.br/saude/pt-br/assuntos/saude-de-a-a -z/d/dengue/situacao-epidemiologica/serie-historica-casos-provaveis -de-dengue-2000-2023/@@download/file. Acesso em: 6 ago. 2024.
a) R epresente essa tabela por uma matriz. Qual é a ordem dessa matriz?
b) O que indicam os elementos da primeira coluna dessa matriz? E da segunda linha?
c) O que representa o elemento da quarta linha e segunda coluna dessa matriz?
d) O bservando essa matriz, como é possível identificar se determinada Unidade da Federação da Região Centro-Oeste teve redução na quantidade provável de casos de dengue em 2023 em relação ao mesmo período de 2022?
4. Em uma pequena indústria são fabricados quatro modelos de embalagens de papelão: 1, 2 , 3 e 4 . Na matriz X = ( x i j ) 4 x 3 a seguir, o elemento x i j representa a quantidade, em kilograma, de embalagens vendidas do modelo i para o cliente j no mês de abril. X = ⎡
450 270 225
400 750 500
216 336 480
240 480 384
a) O que indicam as linhas dessa matriz? E as colunas?
b) Qual elemento dessa matriz indica quantos kilogramas de embalagens do modelo 3 foram vendidos para o cliente 2 em abril?
c) Em abril, qual cliente comprou menos kilogramas de embalagens do modelo 2?
d) Qual desses clientes comprou mais kilogramas de embalagens no mês de abril?
5. Algumas matrizes recebem nomenclaturas especiais de acordo com suas características. Observe, a seguir, informações sobre algumas delas.
Matriz linha
Toda matriz de ordem 1 x n .
Matriz coluna
Toda matriz de ordem m x 1.
Matriz diagonal
Toda matriz quadrada em que a i j = 0 para i 5 j.
Matriz nula
Toda matriz de ordem m x n em que a i j = 0 para quaisquer que sejam i e j . Indicamos a matriz nula de ordem m x n por 0 m x n .
Matriz identidade
Toda matriz quadrada em que a i j = 1 para i = j e a i j = 0 para i 5 j . Indicamos a matriz identidade de ordem n por I n .
Elabore um exemplo para cada tipo de matriz apresentada. Depois, troque essas matrizes com um colega para que ele as classifique de acordo com as características apresentadas, enquanto você faz o mesmo com as matrizes que receber. Por fim, confiram juntos as respostas.
Elaboração do estudante.
6. Para toda matriz A = (a i j ) m x n , existe uma matriz transposta de A , indicada por A t , correspondente à matriz A t = (a ji ) n x m . Considerando A = ⎡ ⎢ ⎣ 6 √ 14 5 0 1 1 2 8 3 0 10 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ , resolva as questões.
Quantos kilogramas? cliente 2; 1 836 kg 4. b) x32 = 336 cliente 1
a) C om suas palavras, explique o que é a transposta de uma matriz A
b) Qual é a ordem da matriz A ? E a ordem da matriz A t ?
c) Escreva A t indicando seus elementos.
d) Mostre que, dada uma matriz B = (b i j ) m x n qualquer, temos (B t )t = B
6. Respostas dos itens c e d nas Orientações para o professor.
6. a) Resposta esperada: A transposta de uma matriz A é outra matriz, com os mesmos elementos de A, porém, em localizações diferentes: ordenadamente, os elementos das linhas da matriz A estão localizados nas colunas da sua transposta. 6. b) matriz 3 x 4; matriz 4 x 3
Adição de matrizes
Você sabe o que é transplante de órgãos? É um procedimento cirúrgico que substitui um órgão (coração, fígado, pâncreas, pulmão, rim etc.) de uma pessoa doente por outro órgão, mais saudável, de um doador vivo ou morto.
PARA AMPlI AR
Acesse este site para mais informações sobre a doação de órgãos.
• BR ASIL. Ministério da Saúde. Sistema nacional de transplantes. Brasília, DF: SNT, [2024].
Disponível em: https://www.gov.br/saude/pt-br/composicao/saes/snt. Acesso em: 6 ago. 2024.
Analise a seguir algumas informações sobre transplante de órgãos no Brasil.
Tabela 1
Quantidade de transplantes de coração realizados no Brasil, 2021-2022
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Sistema Nacional de Transplantes. Relatório de transplantes realizados: série histórica. Brasília, DF: MS: SNT, 2023. Disponível em: https://www.gov.br/saude/pt-br/ composicao/saes/snt/estatisticas/transplantes-serie-historica. Acesso em: 6 ago. 2024.
Tabela 2
Quantidade de transplantes de fígado realizados no Brasil, 2021-2022
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Sistema Nacional de Transplantes. Relatório de transplantes realizados: série histórica. Brasília, DF: MS: SNT, 2023. Disponível em: https://www.gov.br/saude/pt-br/ composicao/saes/snt/estatisticas/transplantes-serie-historica. Acesso em: 6 ago. 2024.
Para calcular o total de transplantes de coração ou de fígado realizados em cada região do Brasil, nos anos de 2021 e 2022, podemos usar matrizes. Inicialmente, vamos representar cada tabela por meio de uma matriz e, depois, adicionar essas matrizes, ou seja, adicionar os dados das tabelas.
Matriz obtida da tabela 1:
A = [26 0 53 26 229 32 0 55 44 232]
Matriz obtida da tabela 2:
B = [112 0 351 501 1 094 115 4 358 578 1 107]
A soma de duas matrizes de mesma ordem A = ( a i j ) m x n e B = ( b i j ) m x n é igual à matriz C = ( c i j ) m x n , também de mesma ordem, tal que c i j = a i j + b i j , para todo 1 < i < m e 1 < j < n .
Para calcular A + B, adicionamos os elementos correspondentes das matrizes A e B: A + B = 26 + 112 0 + 0 53 + 351 26 + 501 229 + 1 094
32 + 115 0 + 4 55 + 358 44 + 578 232 + 1 107 =
= [138 0 404 527 1 323 147 4 413 622 1 339]
PARA PENSAR
Em relação à matriz A + B , qual é o elemento da segunda linha e terceira coluna? O que ele indica?
413. Ele indica o total de transplantes de coração e de fígado realizados na Região Nordeste em 2022.
Denominamos matriz oposta de uma matriz A , indicada por A , a matriz cuja adição com A resulta em uma matriz nula de mesma ordem, ou seja, Am x n + ( Am x n ) = 0m x n
Para A = [ 8 3 2 20 ], temos A = [ 8 3 2 20], pois: [ 8 3 2 20 ]
2 x 2 + [ 8 3 2 20]
PARA PENSAR
Nas matrizes A e A , que relação há entre os elementos correspondentes?
Resposta esperada: Os elementos correspondentes são opostos.
A diferença de duas matrizes de mesma ordem A = (ai j )m x n e B = (bi j )m x n é igual à matriz C = (ci j )m x n , também de mesma ordem, obtida a partir da soma da matriz A com a matriz oposta de B, ou seja, A B = A + ( B ) = C.
PARA PENSAR
Com suas palavras, explique a um colega como se calcula a adição e a subtração de matrizes. Resposta pessoal.
Considerando, por exemplo, as matrizes A = [ 15 30 6 21 24 11] e B = [10 25 0 8 2 12], temos:
+ [ 15 30 6 21 24 11 ]
[ 5 55 6 29 22 1 ]
O produto de um número real k por uma matriz A = (ai j )m x n é igual a uma matriz B = (bi j )m x n , de mesma ordem, tal que bi j = k ? ai j , para todo 1 < i < m e 1 <
Resolução a) Considerando A + B C = A + B + ( C ),
Note que determinar o dobro de uma matriz A é o mesmo que obter o resultado de A + A DiCA
8. Considerando a matriz identidade I 4 e a matriz A = (a i j ) 4 x 4 , tal que a i j = 2i j , determine:
a) I 4 + A
b) 3A t I 4
9. Determine o valor das incógnitas para que a igualdade seja válida. [4y + 1 5
= 1; y = 2
11. c) A + B = [21 16 13 11 17 16 21 11 29 13 17 10]. A quantidade total de estudantes das turmas A e B, do 1o, 2o e 3o anos do Ensino Médio, interessados em cada área de atuação profissional.
10. Considere a matriz M = (aij )3 x 3, tal que aij = i + j se i = j e aij = 0 se i 5 j . Determine a matriz A = M + M .
11. Em certa escola, foi realizada uma pesquisa com os estudantes do 1o , 2o e 3 o anos do Ensino Médio sobre a área de atuação profissional de maior interesse entre eles. Cada estudante poderia indicar apenas uma das áreas descritas a seguir.
I: Administração, negócios e serviços.
II: Ciências sociais, humanas, arte e design.
III: Ciências exatas, informática e engenharia.
IV: Ciências biológicas, da natureza e saúde.
As seguintes matrizes A e B representam, respectivamente, a quantidade de estudantes das turmas A e B, de cada ano escolar, que responderam à pesquisa sobre a área de atuação profissional. Nessas matrizes, as linhas indicam, respectivamente, os anos escolares – 1o, 2o e 3o –, e as colunas, as áreas de atuação profissional I, II, III e IV. Note que 6 turmas responderam à pesquisa.
13. Leia, a seguir, parte de uma reportagem de 2024. O Brasil fechou o mês de fevereiro com saldo positivo de 306.111 empregos com carteira assinada, resultado de 2.249.070 admissões e de 1.942.959 desligamentos. O balanço é do Cadastro Geral de Empregados e Desempregados (Novo Caged) [...]
Os cinco grandes setores da economia registraram saldo positivo em fevereiro. Serviços lidera com 193.127 novos postos de trabalho; seguido pela indústria, 54.448 postos; construção, 35.053 postos; comércio: 19.724 postos; e agropecuária que fechou o mês com saldo de 3.759 postos de trabalho. CRAIDE, Sabrina. Brasil registra mais de 306 mil empregos formais em fevereiro. Agência Brasil, Brasília, DF, 27 mar. 2024. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/ noticia/2024-03/brasil-registra-mais-de-306-mil-empregos -formais-em-fevereiro. Acesso em: 6 ago. 2024.
Agora, analise as informações a seguir. Admissões de emprego em algumas capitais brasileiras, 1o bimestre de 2024
Mês
Município
a) Quantos estudantes do 2o ano, da turma B, indicaram interesse na área de atuação profissional III?
12 estudantes
b) Quantos estudantes das turmas A indicaram interesse na área de atuação profissional IV ?
19 estudantes
c) Determine a matriz A + B . O que representam os elementos dessa matriz?
12. Reúnam-se em duplas e anal isem as seguintes propriedades da adição de matrizes, considerando A , B e C matrizes de mesma ordem m x n e 0 a matriz nula, também de ordem m x n . Em seguida, mostrem a validade de cada propriedade.
Respostas nas Orientações para o professor
• Comutativa: A + B = B + A
• A ssociativa: ( A + B ) + C = A + (B + C )
• Elemento neutro: A + 0 = A .
• Elemento oposto: A + ( A ) = 0.
JaneiroFevereiro
Belém 8 95010 355
Fortaleza 27 78927 190
Rio de Janeiro 66 50374 473
Curitiba 48 11253 151
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério do Trabalho e Emprego. Novo Caged: fevereiro de 2024. Brasília, DF: MTE: PDET, 2024. Disponível em: https://www.gov.br/trabalho-e-emprego/ pt-br/assuntos/estatisticas-trabalho/novo-caged/ novo-caged-2024/fevereiro. Acesso em: 6 ago. 2024. Desligamentos de emprego em algumas capitais brasileiras, 1o bimestre de 2024
Mês
Município
JaneiroFevereiro
Belém 6 3625 894
Fortaleza 18 54415 975
Rio de Janeiro 60 47557 431
Curitiba 26 62329 536
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério do Trabalho e Emprego. Novo Caged: fevereiro de 2024. Brasília, DF: MTE: PDET, 2024. Disponível em: https://www.gov.br/trabalho-e-emprego/ pt-br/assuntos/estatisticas-trabalho/novo-caged/ novo-caged-2024/fevereiro. Acesso em: 6 ago. 2024. Com um colega, pesquisem como representar essas duas tabelas por meio de matrizes e calcular a diferença entre elas usando uma planilha eletrônica. Em seguida, elaborem um texto explicando os procedimentos realizados e o que representam os elementos da matriz correspondente à diferença obtida com base no contexto apresentado.
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
A Pegada Hídrica de um produto corresponde à quantidade de água consumida ou poluída em todas as etapas do processo de sua produção e pode ser medida em litro por kilograma (L/kg). Agora, acompanhe a seguinte situação.
Um projeto desenvolvido por uma escola busca identificar a Pegada Hídrica das frutas consumidas com maior frequência na merenda em determinado mês. A seguir, são apresentadas informações da Pegada Hídrica de duas frutas e a quantidade em kilograma dessas frutas consumidas em uma escola em cada semana de um mês.
• Tabela 1
Pegada Hídrica da banana e da laranja
Fruta BananaLaranja
Pegada Hídrica (L/kg) 790560
Fonte dos dados: PRODUCT gallery. [S l.]: Water Footprint Network, [2024]. Disponível em: https://waterfootprint.org/ en/resources/interactive-tools/product-gallery/. Acesso em: 6 ago. 2024.
• Tabela 2
Consumo de banana e de laranja na escola, em kilograma, em cada semana do mês
Semana
Fruta IIIIIIIV
Banana 10152015
Laranja 15203010
Fonte: Dados fictícios.
Qual foi a quantidade de água utilizada ou poluída na produção dessas frutas consumidas em cada semana do mês nessa escola?
Para calcular essa quantidade de água, podemos considerar a Pegada Hídrica de cada fruta e a quantidade de cada fruta consumida por semana:
• semana I: 790 ? 10 + 560 ? 15 = 16 300, ou seja, 16 300 L;
• semana II: 790 ? 15 + 560 ? 20 = 23 050, ou seja, 23 050 L;
• semana III: 790 ? 20 + 560 ? 30 = 32 600, ou seja, 32 600 L;
• semana IV: 790 15 + 560 10 = 17 450, ou seja, 17 450 L.
Resposta esperada: Indicam a quantidade de água total utilizada ou poluída na produção das frutas banana e laranja que foram consumidas na escola em cada semana do mês.
Agora, observe como podemos utilizar a multiplicação de matrizes para representar essa resolução. Representamos as tabelas 1 e 2 por meio das matrizes A e B, respectivamente. Os resultados obtidos anteriormente podem ser registrados em uma matriz C, correspondente ao produto da matriz A pela matriz B, nessa ordem.
[790 560]
A ? [10 15 20 15 15 20 30 10]
B = [16 300 23 050 32 600 17 450]
C = A B
O que os elementos da matriz C indicam?
O produto de duas matrizes A = (ai j ) de ordem m x n e B = (bi j ) de ordem n x p é igual à matriz C = (ci j ) de ordem m x p, tal que ci j é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A e da coluna j de B e adicionando as parcelas correspondentes aos produtos obtidos. Am x n ? Bn x p = Cm x p
O produto AB de matrizes existe se, e somente se, a quantidade de colunas de A for igual à quantidade de linhas de B e, nesse caso, a matriz C correspondente ao produto AB tem a mesma quantidade de linhas de A e de colunas de B
As condições de existência do produto de duas matrizes A e B e a quantidade de linhas e de colunas da matriz produto C, caso exista, podem ser representadas pelo fluxograma a seguir.
A matriz C = AB t em a quantidade de linhas de A e de colunas de B
Identificar a quantidade de linhas e de colunas das matrizes A e B
A quantidade de colunas de A é igual à de linhas de B ?
Não existe o produto AB
R4. Considere as matrizes A = (ai j )2 x n , tal que ai j = i + j, e B = (bi j )3 x 2, tal que bi j = j i.
a) Qual deve ser o valor de n para que exista o produto AB ?
b) Usando o valor de n determinado no item anterior, escreva a ordem da matriz C = A ? B . Em seguida, determine a matriz C .
Resolução
a) Para que exista o produto AB , a quantidade de colunas de A deve ser igual à de linhas de B . Logo, n = 3.
b) A matriz C deve ter a mesma quantidade de linhas de A e a de colunas de B . Logo, C2 x 2.
Para determinar a matriz C , inicialmente obtemos as matrizes A e B com base nos valores de i e j na lei de formação correspondente e calculamos C = A B : C = [2 3 4 3 4 5] [ 0 1 1 0 2 1] =
h C = [ 11 2 14 2]
R5. Dadas as matrizes A = [ 4 12 2 1 ], B = [16 13] e X = [y z ], resolva a equação matricial A ? X = B
Resolução
Escrevendo essa equação matricial, temos: A ? X = B h [ 4 12 2 1 ] ? [y z ] = [16 13] h [ 4y + 12z 2y + z ] = [16 13]
Considerando a igualdade de matrizes, podemos escrever o seguinte sistema linear de duas equações do 1o grau com duas incógnitas, que pode ser resolvido pelo método da adição: { 4y + 12z = 16 2y + z = 13 ? 2 h { 4y + 12z = 16 4y + 2z = 26 0y + 14z = 42 h z = 3
Substituindo z = 3 na primeira equação desse sistema, temos: 4y + 12 ? 3 = 16 h 4y = 20 h y = 5
Portanto, X = [5 3]. +
A resolução de sistema linear de duas equações do 1o grau com duas incógnitas, que você estudou em anos anteriores, será retomada e ampliada mais adiante nesta Unidade.
15. Resposta esperada: A ordem de B é 3 x 2 e a ordem de D é 1 x 3. Como a quantidade de colunas de B e a de linhas de D são diferentes, não existe o produto B ? D.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
14. Respostas nas Orientações para o professor
14. Dadas as matrizes
A = [3 3 0 2 2 9 5 4 1], B = [ 5 0 0 8 4 0], C = [ √ 3 10] e D = [√ 3 7 0], calcule:
a) A ? B
b) B ? C c) C ? D d) D ? A e) D ? B f) A t ? B
15. É possível determinar o produto B D considerando as matrizes da atividade anterior? Justifique sua resposta.
16. Considere as matrizes descritas a seguir.
• A = (a i j ) p x 1, tal que a i j = j _ i 2
• B = (b i j ) q x 4 , tal que b i j = 3i + j
• C = (ci j ) r x s , tal que ci j = 2i 2j
• D = (d i j )2 x 3 , tal que D = A ? B ? C
a) Determine os números reais p , q , r e s
b) Escreva a matriz D .
17. Com um colega, analisem as seguintes propriedades da multiplicação de matrizes.
• A ssociativa :
( A m x n B n x p ) Cp x r = A m x n (B n x p Cp x r )
• Distributiva :
( A m x n + B m x n ) ? Cn x p =
= A m x n Cn x p + B m x n Cn x p
• Elemento neutro:
A m ? I m = A m e I m ? A m = A m , sendo I a matriz identidade.
Resposta pessoal.
a) Verifiquem numericamente a validade das propriedades apresentadas. Para isso, criem matrizes quadradas A , B , C e I , de ordem 2.
b) A propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de matrizes. Se existe o produto de matrizes D ? E , por exemplo, temos os seguintes casos possíveis:
• D ? E 5 E ? D;
• D ? E = E ? D;
• não existe o produto E ? D
Criem matrizes D e E para exemplificar cada um dos casos indicados.
Resposta pessoal.
16. a) p = 2; q = 1; r = 4; s = 3 b) D = [ 8 16 24 20 40 60]
18. X = [ 1 0 2 ]
18. Dadas as matrizes P = [10 3 11 2 5 1 0 0 7] e Q = [ 12 0 14], resolva a equação P ? X = Q
19. (UFMS) Uma indústria farmacêutica produz 3 tipos de suplementos alimentares: X , Y e Z Os suplementos são compostos de Vitamina B, Vitamina D e Vitamina E em miligramas por cápsula, com concentrações diferentes. A matriz M representa a quantidade de vitaminas em miligrama por cápsula de cada suplemento; a matriz P, a produção diária de cápsulas dos suplementos:
P = [20 0 500 300] X Y Z
Qual matriz a seguir representa a quantidade, em gramas, de vitamina B, vitamina D e vitamina E utilizada na produção diária de cápsulas dos suplementos X , Y e Z pela indústria farmacêutica?
a) [1,3 2,4 5,1] b) [16 45 27
20. No caderno, escreva uma matriz A 2x2 e uma matriz B 2x1 e calcule a matriz C = A ? B . Em uma folha avulsa, elabore uma questão na qual sejam apresentadas apenas as matrizes A e C e cujo objetivo seja determinar a matriz B , tal que C = A B. Depois, troque sua questão com um colega para que um resolva a do outro. Juntos, confiram as resoluções.
21. Sendo M = [ 7 2 4 1 ] e I 2 a matriz identidade de ordem 2, determine:
a) M ? I 2 M c) M 2 , em que M 2 = M ? M b) I 2 ? M M d) M 2 I 2
22. Determine o valor das incógnitas para que a igualdade seja válida.
[ 6 5 1] ? [0 4 9 b a 10] = [38 26] M = X Y Z [1 1 2 3 3 1 4 5 6] Vitamina B Vitamina D Vitamina E alternativa a
Elaboração dos estudantes. [ 57 16 32 9 ] [ 56 16 32 8 ] a = 7; b = 8
Acompanhe a seguinte situação.
A vitamina C não pode ser sintetizada pelo ser humano; assim, a única forma de obtê-la é com alimentação ou suplementação. No nosso organismo, a vitamina C tem grande importância por desempenhar ação antioxidante e atuar na formação de colágeno e neurotransmissores. Duas frutas ricas em vitamina C são o mamão e a mexerica. Observe a representação de duas saladas de frutas, compostas apenas de mamão e mexerica.
a) Salada A: 358 mg de vitamina C
3 porções de mamão
1 porção de mexerica
b) Salada B: 306 mg de vitamina C
1 porção de mamão 2 porções de mexerica
DiCA
Cada porção tem 100 g da fruta.
Fontes dos dados: GARCIA, Paola Trindade; REIS, Reginamaria Soares (org.). Alimentação e nutrição na atenção básica em saúde. São Luís: Edufma, 2017. (Cadernos de Saúde da Família, n. 9, p. 148-149).
NÚCLEO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ALIMENTAÇÃO. Tabela brasileira de composição de alimentos. 4. ed. rev. ampl. Campinas: Nepa: Unicamp, 2011. Disponível em: www.cfn.org.br/wp-content/uploads/2017/03/ taco_4_edicao_ampliada_e_revisada.pdf. Acesso em: 6 ago. 2024.
Quantos miligramas de vitamina C há em cada porção de 100 g dessas frutas?
Para responder a essa questão, podemos denominar como x e y as quantidades de vitamina C, em miligrama, em cada porção de mamão e mexerica, respectivamente, e escrever as seguintes equações.
a) Salada A
Total de vitamina C
3x + 1y = 358
Porções de mamão Porções de mexerica
b) Salada B
Total de vitamina C
1x + 2y = 306
Porções de mamão Porções de mexerica
O conjunto formado por essas equações é denominado sistema linear. Em particular, nesse caso, temos um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas.
{3x + 1y = 358 1x + 2y = 306
PARA PENSAR
Resolva o sistema linear representado e responda à questão apresentada na situação-problema.
x = 82; y = 112. Cada porção de 100 g de mamão e de mexerica tem, respectivamente, 82 mg e 112 mg de vitamina C.
Na situação-problema apresentada anteriormente, escrevemos duas equações lineares para resolvê-la.
Denominamos equação linear toda equação que pode ser expressa por uma igualdade do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
Sendo:
• x1, x2, x3, ..., xn as incógnitas (todas as incógnitas têm expoente 1);
• a1, a2, a3, ..., an números reais denominados coeficientes das incógnitas;
• b um número real denominado termo independente.
Observe alguns exemplos de equações lineares.
a) 6x 8y + 3z = 7
Nessa equação linear, 6, 8 e 3 são os coeficientes, respectivamente, das incógnitas x, y e z; e 7 é o termo independente.
b) x 3,2y + 8z = 0
Nessa equação linear, 1, 3,2 e 8 são os coeficientes, respectivamente, das incógnitas x, y e z ; e 0 é o termo independente.
Explique por que x 2 + y = 5 não é uma equação linear.
Toda equação linear em que o termo independente é nulo, ou seja, b = 0, é denominada equação linear homogênea
A equação apresentada no exemplo b é uma equação linear homogênea.
Acompanhe a seguinte situação.
O cliente de um banco realizou um saque de R$ 370,00 em um caixa eletrônico, retirando apenas cédulas de R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Quantas cédulas de cada valor foram sacadas?
Resposta esperada: Para ser equação linear, todas as incógnitas devem ter expoente 1; porém, na equação apresentada, o expoente da incógnita x é 2.
Podemos representar por x, y e z as quantidades de cédulas sacadas de R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00, respectivamente, e escrever a seguinte equação linear:
10x + 50y + 100z = 370
Ao considerar x = 2, y = 1, z = 3 e realizar as substituições na equação linear, observamos que esses valores satisfazem a equação.
10 ? 2 + 50 ? 1 + 100 ? 3 = 20 + 50 + 300 = 370
Dizemos que a terna (2, 1, 3) é solução da equação linear
10x + 50y + 100z = 370, ou seja, podem ter sido sacadas duas cédulas de R $ 10,00, uma de R $ 50,00 e três de R $ 100,00. Entretanto, essa solução da equação linear não é única.
Escreva outra solução dessa equação linear e faça a interpretação dela em relação à situação-problema apresentada.
Uma resposta possível: (7, 2, 2) indica que podem ter sido sacadas sete cédulas de R$ 10,00, duas de R$ 50,00 e duas de R$ 100,00.
Denominamos solução da equação linear a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b toda ênupla de números reais (a1, a2, a3, ..., an ) que satisfazem à equação, isto é, são tais que: a1a1 + a2a2 + a3a3 + + anan = b
Quando não existe uma ênupla que satisfaça a essas condições em uma equação linear, dizemos que essa é uma equação impossível.
AT¡v¡DaDe resolv¡da
R6. Determine quantas soluções tem a equação linear 3x 2y = 18.
Resolução
Vamos atribuir um número real qualquer a uma das incógnitas e determinar o valor correspondente a outra incógnita.
• Para x = 2, temos:
3 ? 2 2y = 18 h 2y = 12 h y = 6
• Para y = 3, temos:
3x 2 ( 3) = 18 h 3x = 12 h x = 4
Assim, (2, 6) e (4, 3) são soluções dessa equação linear.
Com procedimento análogo, é possível determinar outros infinitos pares ordenados, como (3, 9 2 ), (6, 0) e (7, 3 2 )
Assim, essa equação linear tem infinitas soluções.
As coordenadas dos pontos da reta representada, no plano cartesiano, correspondem às soluções da equação linear 3x 2y = 18.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
23. Para cada equação linear a seguir, indique as incógnitas, os coeficientes das incógnitas e o termo independente.
a) 11x + 7y 2z = 0
Respostas nas Orientações para o professor.
b) r 3 2 5 s 3t = 1
c) 4m 3n = 7
d) 8x + 2y + 5 = 0
24. Em quais itens a seguir está indicada uma equação linear? Justifique.
a e d; respostas nas Orientações para o professor
a) 5x 3 4y = 0
b) 3x 2 + 8x + y = 1 c) 1 x = 3 y d) 2 x + 1 = y 3
25. Escreva três soluções distintas para cada equação linear que você identificou na atividade 24
Respostas nas Orientações para o professor.
26. Em cada item, escreva duas soluções distintas da equação linear indicada e, em seguida, represente graficamente todas as soluções.
a) 2 x + y = 1
b) 2y x = 1 c) 3x + 4y = 6
27. Observe, no plano cartesiano a seguir, a representação das soluções de certa equação linear e resolva as questões.
0 1 2 3 x y 4 5 6 12 3 4 5 6
a) Escreva a equação linear. x + 2y = 5
b) Determine três soluções distintas para essa equação linear.
Respostas nas Orientações para o professor Uma resposta possível: (1, 3), (3, 4) e (5, 5).
28. c) Uma resposta possível: x 2y = 1.
28. d) Uma resposta possível: 3x 2y + z = 4.
30. b) Uma resposta possível: (1, 2, 1). Nesse caso, Luan recebe uma cédula de R$ 50,00, duas cédulas de R$ 20,00 e uma cédula de R$ 10,00.
28. Escreva uma equação linear em que uma de suas soluções seja:
a) (1, 3)
28. a) Uma resposta possível: x + y = 4.
b) ( 1, 2, 4)
c) (2, 1 2 )
d) ( 2 3 , 1 2 , 3)
28. b) Uma resposta possível: 2x + 2y z = 6.
29. Em certa sessão de uma peça de teatro, foram arrecadados R $ 5.00 0,00 de bilheteria. Para assistir a essa peça, são cobrados R $ 40,00 pela entrada inteira e existe a opção da meia-entrada.
a) Escreva uma equação linear que represente essa situação. 40x + 20y = 5 000
b) É possível mais de 150 pessoas terem pago para assistir a essa sessão? Justifique com um exemplo.
30. Luan foi a um terminal de caixa eletrônico sacar R $ 100,00. A tela desse terminal indicava disponibilidade apenas de cédulas de R $ 5 0,00, R $ 20,00 e R $ 10,00 para saque.
a) Escreva uma equação linear que expresse as quantidades m, n e p de cédulas de R $ 50,00, R $ 20,00 e R $ 10,00, respectivamente, que Luan pode sacar. 50m + 20n + 10p = 100
b) Indique uma solução da equação que você escreveu no item a e faça a interpretação dela em relação à situação-problema apresentada.
c) De quantas maneiras distintas Luan pode receber as cédulas nesse saque? Explique os procedimentos que você fez para resolver essa questão.
10 maneiras distintas. Resposta pessoal.
31. Mostre que a afirmação a seguir é verdadeira
Toda equação linear homogênea
a 1x1 + a 2 x 2 + a 3x 3 + + a n x n = 0 admite, ao menos, a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução, denominada solução trivial
Resposta nas Orientações para o professor
29. b) Sim. Uma resposta possível: 100 pessoas podem ter pago meia-entrada e 75 pessoas, a entrada inteira.
Acompanhe, a seguir, algumas características de um sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema linear.
Um sistema linear m x n é formado por m equações com n incógnitas, que pode ser representado da maneira a seguir.
Nesta representação de sistema linear, por exemplo, a 23 indica que, na segunda equação, esse é o coeficiente da incógnita x 3. DiCA
Observe alguns exemplos de sistemas lineares.
a) {2x 3y = 1 x + y = 3
Sistema linear 2 x 2, ou seja, formado por duas equações com duas incógnitas: x e y.
b) {x + y + z = 0 3x 2y z = 4
m n + p = 0
c)
2m + n + 5p = 0 3m + 4n 2p = 0
Sistema linear 2 x 3, ou seja, formado por duas equações com três incógnitas: x, y e z
Sistema linear 3 x 3, ou seja, formado por três equações com três incógnitas: m, n e p.
Denominamos sistema linear homogêneo todo sistema linear formado apenas por equações lineares homogêneas.
O sistema linear apresentado no exemplo c é um sistema linear homogêneo.
Solução de um sistema linear
Observe o sistema linear 3 x 3 representado a seguir.
2x + y z = 7 x 3y + 4z = 16 3x 2y 2z = 1
A terna (1, 3, 2) é solução de cada uma das equações desse sistema linear. Acompanhe a verificação.
• 2 1 + 3 ( 2) = 2 + 3 + 2 = 7
• 1 3 ? 3 + 4 ? ( 2) = 1 9 8 = 16
• 3 ? 1 2 ? 3 2 ? ( 2) = 3 6 + 4 = 1
Dizemos que a terna (1, 3, 2) é solução do sistema linear apresentado.
Denominamos solução do sistema linear m x n toda ênupla de números reais (a1, a2, a3, ..., an ) que seja solução de cada uma das m equações lineares desse sistema linear.
Classificação de um sistema linear
PARA PENSAR
Mostre que a terna (4, 1, 2) não é solução do sistema linear apresentado.
Verificando a terna para a segunda equação do sistema, temos: 4 3 ? 1 + 4 ? 2 = 4 3 + 8 = 9 5 16. Assim, a terna não é solução da segunda equação e, portanto, não é solução do sistema. Resposta esperada:
De acordo com a quantidade de soluções que tem, um sistema linear pode ser classificado em apenas um dos seguintes casos.
• Sistema possível e determinado (SPD): quando admite uma única solução.
• Sistema possível e indeterminado (SPI): quando admite infinitas soluções.
• Sistema impossível (SI): quando não admite solução alguma.
Acompanhe os exemplos a seguir. a) {3x + 5y = 2 2x 5y = 18
PARA PENSAR
Um sistema linear pode ter exatamente duas soluções? Explique.
Vamos resolver esse sistema linear pelo método da adição.
3x + 5y = 2
2x 5y = 18
5x + 0y = 20 x = 4 +
Resposta esperada: Não, pois, se o sistema tem solução, ele admite uma única solução (SPD) ou admite infinitas soluções (SPI).
Substituindo x = 4 na primeira equação, temos:
3 ? 4 + 5y = 2 h 12 + 5y = 2 h 5y = 10 h y = 2
Assim, (4, 2) é a única solução desse sistema linear, de maneira que ele é SPD.
Ao representar as soluções de cada equação desse sistema linear em um mesmo plano cartesiano, obtemos retas distintas e concorrentes, que se intersectam no ponto cujas coordenadas correspondem à solução desse sistema.
b) { x 2y = 1
2x 4y = 2
Vamos resolver esse sistema linear pelo método da adição.
x 2y = 1 ? ( 2) 2x 4y = 2 h { 2x + 4y = 2 2x 4y = 2 0x + 0y = 0 +
Note que na equação obtida 0x + 0y = 0, as incógnitas x e y podem assumir qualquer valor real. Também podemos observar que, caso multiplicássemos a primeira equação por 2, obteríamos 2x 4y = 2, que corresponde à segunda equação do sistema. Assim, as soluções de uma das equações também são soluções da outra. Para determinar as soluções desse sistema linear, podemos escolher uma de suas equações, atribuir um número real qualquer a uma das incógnitas e calcular o valor correspondente a outra incógnita. Algumas soluções desse sistema são: (1, 0), (3, 1) e ( 1, 1). Portanto, esse sistema linear é SPI.
Ao representar cada equação desse sistema linear em um mesmo plano cartesiano, obtemos duas retas coincidentes: as coordenadas de seus pontos correspondem a soluções desse sistema. c) {
2x 3y = 5
4x + 6y = 10
Vamos resolver esse sistema linear pelo método da adição.
2x 3y = 5 ? 2
4x + 6y = 10 h {
4x 6y = 10
4x + 6y = 10 0x + 0y = 20 +
Essa equação, obtida a partir do sistema linear dado, é equivalente a 0 = 20, o que é absurdo. Portanto, esse sistema linear não tem solução, de maneira que ele é SI.
Ao representar as soluções das equações desse sistema linear em um mesmo plano cartesiano, obtemos retas distintas e paralelas, pois não se intersectam.
Resposta esperada: Como a terna (0, 0, 0) é solução de cada uma das equações desse sistema linear, temos que essa terna é solução do sistema.
PARA PENSAR
Mostre que a terna (0, 0, 0) é solução de qualquer sistema linear homogêneo 3 x 3.
Todo sistema linear homogêneo m x n admite, como uma de suas soluções, a ênupla (0, 0, 0, ..., 0), denominada solução trivial do sistema. Um sistema linear homogêneo pode admitir outras soluções além da trivial.
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R7. Resolva o sistema linear { x + 3y = 5 3x 9y = 15 e classifique-o em SPD, SPI ou SI.
Resolução
Vamos resolver esse sistema linear pelo método da adição:
x + 3y = 5 ? 3 3x 9y = 15 h { 3x + 9y = 15 3x 9y = 15 0x + 0y = 0
C aso multiplicássemos a primeira equação por 3, obteríamos 3x 9y = 15, que corresponde à segunda equação do sistema. Portanto, esse sistema linear é SPI.
Podemos expressar y em função de x , na primeira equação: y = x + 5 3 . Assim, todo par ordenado da forma (x, x + 5 3 ) é solução do sistema, ou seja, S = {(x, x + 5 3 ) | x [ r}. Algumas soluções desse sistema são: (1, 2), ( 2, 1), (4, 3), (0, 5 3 ) e ( 1 2 , 11 6 ).
R8. (UFRGS-RS) Para que o sistema de equações lineares { x + y = 7 ax + 2y = 9 seja possível e determinado, é necessário e suficiente que: a) a [ r . b) a = 2. c) a = 1. d) a 5 1. e) a 5 2.
Resolução
Vamos resolver esse sistema linear pelo método da adição. { x + y = 7 ? ( 2) ax + 2y = 9 h
2 x 2y = 14 ax + 2y = 9 (a 2)x + 0y = 5 +
Esse sistema vai ser possível e determinado se: a 2 5 0 h a 5 2
Portanto, a alternativa e é a correta.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
Resposta esperada: O sistema linear obtido para a = 2 não tem solução (SI).
PARA PENSAR
O que podemos dizer sobre esse sistema linear, para a = 2?
32. c) SPI; algumas soluções possíveis são: ( 1, 0), (3, 2), (1, 1).
32. Resolva os sistemas lineares a seguir e classifique-os em SPD, SPI e SI. a) { 3x + 4y = 14 6x 8y = 2 b) { x + 4y = 11 x + 5y = 16 c) {3x 6y = 3 x + 2y = 1 d) {3x + 2y = 17 2x + 3y = 18
SPD; (1, 3) SPD; (3, 4)
33. Em uma malha quadriculada, construa um plano cartesiano e resolva geometricamente o sistema linear a seguir. Depois, explique a um colega os procedimentos que você realizou.
Resposta nas Orientações para o professor
x + y = 5 x 3y = 7
34. O fluxograma a seguir representa um algoritmo que pode ser utilizado para classificar um sistema linear de acordo com a quantidade de soluções. Copie-o substituindo cada * por SPD, SPI ou SI.
O sistema tem solução?
Essa solução é única?
35. A participação das mulheres em funções políticas no Brasil é pequena se comparada à dos homens. Em 2020, por exemplo, foram eleitos 5 4 96 prefeitos em municípios brasileiros. Porém, se multiplicássemos por 7 a quantidade de mulheres eleitas, ainda assim o produto obtido seria menor em 192 unidades que a quantidade de homens eleitos.
Fonte dos dados: BRASIL. Tribunal Superior Eleitoral. Estatística de votação: gênero. Brasília, DF: TSE, 2024. Disponível em: https://sig.tse.jus.br/ords/dwapr/r/seai/sig-eleicao-resultados/g% C3%AAnero?session=15609044340305. Acesso em: 6 ago. 2024.
a) Escreva um sistema linear para representar essa situação, sendo h a quantidade de homens eleitos prefeitos e m , a de mulheres.
b) Q ual foi a quantidade de mulheres eleitas prefeitas no Brasil em 2020? E a de homens?
36. Para realizar um experimento, os estudantes de uma turma colocaram em uma caixa apenas bolas brancas e pretas, idênticas, com exceção da cor. Foram retiradas dez bolas brancas dessa caixa, restando nela duas bolas pretas para cada bola branca. Depois, foram retiradas da caixa 15 bolas pretas, de maneira que a quantidade de bolas brancas restantes na caixa fosse igual ao triplo da de bolas pretas.
a) E screva um sistema linear que represente as quantidades iniciais de bolas pretas ( p ) e brancas (b ) nessa caixa.
b) Ao final, quantas bolas de cada cor restaram na caixa? 9 bolas brancas e 3 bolas pretas
37. O ferro é um nutriente essencial para a vida, pois atua na fabricação de células vermelhas do sangue e no transporte de oxigênio para todas as células do corpo. A necessidade diária aproximada de ferro, para adultos, é de 10 mg para os homens e de 15 mg para as mulheres, que pode ser adquirida pela alimentação. Observe, por exemplo, a quantidade de ferro ingerida por dois pacientes de um nutrólogo de acordo com a quantidade de porções (100 g) de cada alimento, em determinado dia.
Paciente Fígado
Lara 2 porções1 porção 14,1
Pedro 1 porção4 porções 15,8
Fontes dos dados: NÚCLEO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ALIMENTAÇÃO. Tabela brasileira de composição de alimentos . 4. ed. rev. ampl. Campinas: Nepa: Unicamp, 2011. Disponível em: www.cfn.org.br/wp-content/uploads/2017/03/ taco_4_edicao_ampliada_e_revisada.pdf. SOCIEDADE BRASILEIRA DE PEDIATRIA. Departamento de Nutrição. Temas de nutrição em pediatria. [S l.]: SBP, 2001. Disponível em: https://www.sbp.com.br/fileadmin/user_upload/ img/documentos/temas2001.pdf. Acessos em: 6 ago. 2024.
a) E screva um sistema linear que expresse a situação apresentada, em que as incógnitas indiquem a quantidade de ferro, em miligrama, em cada porção desses alimentos.
b) Qual é a quantidade de ferro por porção de cada alimento indicado?
c) Caso uma mulher adulta consumisse apenas alface roxa para a ingestão de ferro, quantas porções, no mínimo, ela deveria ingerir para obter a quantidade mínima diária necessária?
d) Pesquise outros alimentos que sejam ricos em ferro e quais problemas podem ser causados pela deficiência ou pelo excesso de ferro no organismo. Depois, compartilhe essas informações com os colegas da turma em uma roda de conversa.
38. Elabore uma situação-problema que possa ser representada por um sistema linear 2 x 2. Depois, troque essa situação-problema com um colega, para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram, juntos, as resoluções.
Pesquisa do estudante. Elaboração do estudante.
37. b) fígado grelhado: 5,8 mg; alface roxa (crua): 2,5 mg
37. c) 6 porções
Para mostrar como resolver graficamente um sistema linear 2 x 2 utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra , disponível para acesso on-line e download em https://www.geogebra.org/download (acesso em: 5 ago. 2024), vamos considerar a questão a seguir.
(IFSC) Um cliente foi ao caixa do banco do qual é correntista e sacou R$ 580,00.
Sabendo-se que a pessoa recebeu toda a quantia em 47 notas e que eram apenas notas de R$ 5,00 e de R$ 20,00, é CORRETO afirmar que a pessoa recebeu
a) 25 notas de R $ 5,00 e 22 notas de R $ 20,00.
b) 20 notas de R $ 5,00 e 27 notas de R $ 20,00.
c) 23 notas de R $ 5,00 e 24 notas de R $ 20,00.
d) 27 notas de R $ 5,00 e 20 notas de R $ 20,00.
e) 24 notas de R $ 5,00 e 23 notas de R $ 20,00.
A Sendo x e y as quantidades de notas de R $ 5,00 e de R $ 20,00, respectivamente, podemos escrever o seguinte sistema linear: {x + y = 47 5x + 20y = 580
B Vamos construir no GeoGebra as retas que representam as soluções das equações desse sistema linear. Para a primeira equação, no campo Entrada, digitamos x + y = 47 e pressionamos a tecla Enter. Em seguida, de maneira análoga, representamos as soluções da equação 5x + 20y = 580.
Na Janela de Álgebra , a segunda equação do sistema linear foi expressa como x + 4y = 116, que corresponde à forma simplificada da equação 5x + 20y = 580.
C P ara identificar o ponto A onde essas duas retas se intersectam, utilizando a opção (Interseção de dois objetos), selecionamos cada reta. As coordenadas de A correspondem à solução do sistema. Nesse caso, A (24, 23) indica x = 24 e y = 23. Assim, no contexto apresentado, é correto afirmar que a pessoa recebeu 24 notas de R $ 5,00 e 23 notas de R $ 20,00. Portanto, a alternativa e é a correta.
MÃOS A OBRA Não escreva no livro. 1. a) Algumas respostas possíveis: ( 20, 20), (30, 0), (80, 20); SPI. 1. b) SI 1. c) ( 30, 30); SPD
1. Utilizando o GeoGebra , resolva e classifique os sistemas lineares a seguir. a) { 2x + 5y = 60 8x 20y = 240 b) { 2x 8y = 60 x + 4y = 80 c) { 4x + y = 150 2x + 5y = 90
2. Os pontos A (2, 3) e B (5, 4) correspondem a duas soluções da equação p , e os pontos C ( 6 , 2) e D (4 , 3), a duas soluções da equação q . Com auxílio do GeoGebra , escreva o sistema linear 2 x 2 formado por essas equações. Depois, resolva e classifique esse sistema linear.
3. Escolha duas atividades que você resolveu nesta Unidade, em que são estudados sistemas lineares 2 x 2, e resolva-as utilizando o GeoGebra Resposta pessoal.
4. Pense em uma situação de seu cotidiano ou de outra área do conhecimento e elabore um problema que possa ser resolvido por meio de um sistema linear 2 x 2. Depois, troque esse problema com um colega para que ele o resolva com auxílio do GeoGebra , enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. { x + 3y = 7 x + 2y = 2; ( 4, 1); SPD
Elaboração do estudante.
Em anos anteriores, você possivelmente estudou algumas estratégias para resolver sistemas lineares 2 x 2, como os métodos da adição e da substituição. Agora, vamos analisar outro método para resolver um sistema linear m x n, denominado escalonamento Considere, por exemplo, o sistema linear a seguir.
PARA PENSAR
Pense em uma maneira de resolver esse sistema e escreva sua solução.
( 4, 5, 2)
x + y + z = 3
3y + 2z = 11 3z = 6
Devido a algumas características, podemos dizer que esse é um sistema linear escalonado.
Um sistema linear é escalonado, ou está na sua forma escalonada se, e somente se:
• todas as equações estão organizadas com as incógnitas na mesma ordem;
• cada equação tem, pelo menos para uma das incógnitas, um coeficiente não nulo;
• as equações estão organizadas de maneira que, de uma equação para a seguinte de baixo, aumenta-se a quantidade de coeficientes nulos que antecedem o primeiro coeficiente não nulo.
Para facilitar a visualização das condições necessárias de um sistema escalonado, vamos escrever o sistema linear apresentado anteriormente da seguinte maneira. Acompanhe.
x + y + z = 3 0x 3y + 2z = 11 0x + 0y 3z = 6
DiCA
Neste sistema linear:
• cada equação é formada com as incógnitas na seguinte ordem: x, y, z ;
• toda equação tem, pelo menos para uma das incógnitas, um coeficiente não nulo;
• a primeira equação não tem coeficiente nulo; a segunda equação tem um coeficiente nulo que antecede o primeiro coeficiente não nulo; e a terceira equação tem dois coeficientes nulos que antecedem o primeiro coeficiente não nulo.
Você consegue identificar essas características nos exemplos a seguir? Todos eles são sistemas lineares escalonados.
a) {5x + 2y = 7 y = 1
b) {4x + 3y 2z = 8
2y + 5z = 1 4z = 4
2p + 4q 3r + 4s = 3
c)
5q + 3r s = 14
r + 2s = 5
PARA PENSAR
Explique por que o sistema linear a seguir não é escalonado.
{4x + 3y 7z = 2
0x 2z + 3y = 4
Resposta esperada: Esse sistema linear não é escalonado porque as equações não estão organizadas com as incógnitas na mesma ordem.
de um sistema linear escalonado
Vamos estudar como resolver um sistema linear escalonado, considerando dois casos.
1o caso: Sistema linear com a mesma quantidade de equações e incógnitas.
Observe, por exemplo, o sistema linear escalonado representado, que tem três equações e três incógnitas.
Para resolver esse sistema linear, podemos proceder da seguinte maneira.
• Determinar o valor de z a partir da terceira equação:
2z = 6 h z = 3
• Considerar z = 3 e determinar o valor de y a partir da segunda equação:
3y + z = 0 H 3y + 3 = 0 h 3y = 3 h y = 1
• Considerar z = 3, y = 1 e determinar o valor de x a partir da primeira equação: x + 2y + 4z = 5 H x + 2 ? ( 1) + 4 ? 3 = 5 h _x 2 + 12 = 5 h x = 5
Portanto, a solução desse sistema linear é (5, 1, 3).
2o caso: Sistema linear com a quantidade de equações menor que a de incógnitas.
Considere, por exemplo, o sistema linear escalonado representado, que tem duas equações e três incógnitas.
Sistemas lineares como esse têm pelo menos uma variável, à qual podemos atribuir qualquer número real, denominada variável livre
Por convenção, vamos indicar como variável livre a última incógnita das equações do sistema linear escalonado. Em relação ao exemplo apresentado, z é a variável livre. Assim, para obter soluções desse sistema linear, podemos atribuir diferentes números reais a z
• z = 1
2y 3 ? 1 = 3 h y = 3
3x 2 3 + 6 1 = 6 h x = 2
• z = 2
2y 3 ? ( 2) = 3 h y = 3 2
Portanto, ( 2, 3, 1) é uma solução desse sistema linear.
3x 2 ? ( 3 2 ) + 6 ? ( 2) = 6 h x = 1
Portanto, ( 1, 3 2 , 2 ) é uma solução desse sistema linear.
Note que, para cada número real atribuído à variável livre z, obtivemos uma solução distinta do sistema linear.
Nesse caso, podemos representar o conjunto solução desse sistema linear em função da variável livre z. Para isso, vamos escrever as incógnitas x e y em função de z :
Substituindo II em I, temos: 3x 2 3 + 3z 2 + 6z = 6 h x = z 1
Portanto, o conjunto solução desse sistema
é S
Todo sistema linear escalonado:
PARA PENSAR
A partir do conjunto solução apresentado, determine a solução particular considerando z = 1. (0, 0, 1)
• com a mesma quantidade de equações e de incógnitas é um sistema possível e determinado (SPD).
• com a quantidade de equações ( m ) menor que a de incógnitas (n ) é um sistema possível e indeterminado (SPI). Nesse caso, a quantidade de variáveis livres é dada pelo número natural n m, denominado grau de indeterminação do sistema linear escalonado.
PARA PENSAR
Qual é o grau de indeterminação do sistema linear escalonado apresentado como exemplo no 2 o caso? Elabore outro sistema linear escalonado que tenha esse mesmo grau de indeterminação.
Grau de indeterminação 1. Elaboração do estudante.
R9. Resolva o sistema {2p + 4q 6r 2s = 2 q r + s = 2 e, em seguida, classifique-o em SPD ou SPI.
Resolução
Temos um sistema linear escalonado com duas equações e quatro incógnitas. Logo, o grau de indeterminação desse sistema é 2, pois 4 2 = 2. Assim, podemos representar a solução geral desse sistema em função das variáveis livres r e s : {2p + 4q 6r 2s = 2 q r + s = 2 h {2p + 4q 6r 2s = 2 (I) q = 2 + r s (II)
Substituindo II em I, temos: 2p + 4 ? (2 + r s) 6r 2s = 2 h 2p + 8 + 4r 4s 6r 2s = 2 h p = r + 3s 5
Portanto, o conjunto solução desse sistema linear é
S = {(r + 3s 5, 2 + r s, r, s) | r [ r e s [ r}.
Esse sistema linear é SPI.
PARA PENSAR
A partir do conjunto solução obtido, determine a solução particular considerando r = 1 e s = 2. (2, 1, 1, 2)
Procedimentos para escalonar um sistema linear Leia a seguinte questão de um vestibular.
(UEL-PR) Uma mãe, com o intuito de organizar os brinquedos dos seus filhos, teve a ideia de colocá-los em caixas coloridas. Ela classificou os brinquedos em três categorias, de acordo com seus tamanhos, sendo elas: brinquedos pequenos, médios e grandes. Para a organização, a mãe utilizou caixas de acrílico amarelas, verdes e azuis, as quais comportam as seguintes quantidades de brinquedos:
• Caixas Amarelas: 2 grandes, 8 médios e 10 pequenos.
• Caixas Verdes: 2 grandes, 20 médios e 16 pequenos.
• Caixas Azuis: 1 grande, 10 médios e 14 pequenos.
Considere que as crianças possuem 12 brinquedos grandes, 72 brinquedos de tamanho médio e 84 pequenos e que foi colocada, em cada caixa, exatamente a quantidade de brinquedos de cada categoria que ela comporta.
Quantas caixas de cada cor esta mãe utilizou para acomodar todos os brinquedos de seus filhos?
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
Podemos escrever o sistema linear como indicado para representar essa questão, sendo x, y e z as quantidades de caixas amarelas, verdes e azuis, respectivamente.
Antes de resolver esse sistema, e assim responder à questão, utilizando o método do escalonamento, vamos considerar a seguinte informação.
2x + 2y + z = 12 8x + 20y + 10z = 72 10x + 16y + 14z = 84
Dois sistemas lineares A e B são equivalentes se, e somente se, toda solução de cada um deles também é solução do outro.
Por exemplo, os sistemas lineares A e B indicados a seguir são equivalentes, pois ambos admitem (2, 3) como única solução.
a) Sistema A: { x + 3y = 7 x + 2y = 8 b) Sistema B: {2x + y = 7 x + 5y = 17
PARA PENSAR
Verifique se, de fato, (2, 3) é a solução única dos sistemas lineares A e B Resposta pessoal.
Em relação a sistemas lineares equivalentes, podemos destacar as seguintes propriedades, que podem ser demonstradas.
• Ao multiplicar ou dividir ambos os membros de uma das equações de um sistema linear A por um número real k, com k 5 0, obtemos um sistema linear B equivalente a A.
• Ao permutar entre si duas ou mais equações de um sistema linear A , obtemos um sistema linear B equivalente a A.
• Ao substituir uma das equações de um sistema linear A pela soma, membro a membro, dessa equação com outra equação de A, obtemos um sistema linear B equivalente a A.
Utilizando as propriedades descritas, vamos escalonar o sistema linear 3 x 3 da página 75, ou seja, realizar uma sequência de operações de maneira a obter um sistema linear escalonado equivalente a ele.
2x + 2y + z = 12
8x + 20y + 10z = 72
10x + 16y + 14z = 84
Inicialmente, vamos anular o coeficiente de x na segunda e na terceira equação. Para isso, podemos:
• substituir a segunda equação pela soma dela com o produto da primeira equação por 4;
• substituir a terceira equação pela soma dela com o produto da primeira equação por 5.
2x + 2y + z = 12
8x + 20y + 10z = 72
10x + 16y + 14z = 84
2x + 2y +
Agora, no sistema linear obtido, vamos anular o coeficiente de y na terceira equação. Para isso, podemos substituir a terceira equação pela soma dela multiplicada por 2 com a segunda equação.
2x + 2y + z = 12
12y + 6z = 24
6y + 9z = 24 h {2x + 2y + z = 12 12y + 6z = 24 12z = 24
? ( 4) + ( 5) + ? ( 2) +
Por fim, podemos resolver o sistema linear escalonado obtido, equivalente ao sistema linear inicial, com os seguintes passos.
• Determinar o valor de z a partir da terceira equação:
12z = 24 h z = 2
• Considerar z = 2 e determinar o valor de y a partir da segunda equação:
12y + 6z = 24 H 12y + 6 2 = 24 h 12y = 12 h y = 1
• Considerar z = 2, y = 1 e determinar o valor de x a partir da primeira equação:
2x + 2y + z = 12 H 2x + 2 ? 1 + 2 = 12 h 2x = 8 h x = 4
Portanto, a solução desse sistema linear é (4, 1, 2), ou seja, a mãe utilizou quatro caixas amarelas, uma caixa verde e duas caixas azuis para acomodar todos os brinquedos de seus filhos.
R10. Resolva e classifique cada sistema linear a seguir em SPD, SPI ou SI.
x + 2y + 3z = 1
a)
2x + 9y z = 3
3x 4y + 23z = 13 b) ⎧
Resolução
a) Escalonando o sistema linear, temos:
x + 2y + 3z = 1
2x + 9y z = 3
3x 4y + 23z = 13 h
Ao obter, nas etapas de escalonamento de um sistema linear, uma equação que não pode ser satisfeita (equação falsa), concluímos que se trata de um sistema impossível (SI).
x + 2y + 3z = 1 5y 7z = 5 10y + 14z = 10 h
A 3a equação do sistema linear obtido tem todos os coeficientes e o termo independente iguais a zero, portanto podemos desconsiderá-la e escrever um sistema linear escalonado: x + 2y + 3z = 1 5y 7z = 5 h
x + 2y + 3z = 1 (I) y = 7 5 z 1 (II)
Substituindo II em I, temos: x + 2 ? ( 7 5 z 1) + 3z = 1 h x + 14 5 z 2 + 3z = 1 h x = 3 29 5 z
Portanto, o sistema linear é SPI e seu conjunto solução é S = (3
b) Escalonando o sistema linear, temos:
x y + z = 3
5x + 3y 2z = 1 3x + y 3z = 4 h
Note que, quaisquer que sejam os números reais atribuídos para x , y e z , a 3a equação obtida não é s atisfeita, ou seja, essa é uma equação falsa. Assim, o sistema linear não tem forma escalonada e é SI. ? (2) + ? ( 2) + ? ( 3) + (5) + ? ( 3) + ? (2) +
x y + z = 3 2y + 3z = 16 4y 6z = 5 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x y + z = 3 2y + 3z = 16 0y + 0z = 27
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
39. Resolva os sistemas lineares a seguir e classifique-os em SPD, SPI e SI. a) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪
x + y + z = 11
2x 5y 2z = 0 x + 3y + z = 3 (10, 6, 5); SPD b)
x 3y + z = 7
2x 5y z = 3 x + y + 5z = 10
2x + y + z = 11 x y + z = 1 x 2y + 8z = 28
S = {( 2z + 10, 3z 9, z) | z [ r}; SPI ( 2, 1, 3, 2); SPD
4x 3y + z w = 4 x 5y 2z + w = 3 2x + y + 2z 3w = 5 x + 2y + z 4w = 9
40. Calcule os valores das constantes a e b para que o sistema linear representado a seguir não tenha solução. a = 3; b 5 24
+ y + z = 3 2x + y az = 1 x 10y + 2z = b
41. Juli ano utilizou um app de gerenciamento de dados em seu smartphone , que gerou o gráfico a seguir, que indica o tempo de uso dos aplicativos A , B e C em três semanas consecutivas. O consumo total de dados dos aplicativos A , B e C foi de, respectivamente, 460 MB, 508 MB e 564 MB.
Tempo de uso de aplicativos, por semana
42. No campeonato brasileiro de futebol de 2023, série A, cada time disputou 38 partidas. Em cada derrota, o time não marcava ponto algum; em cada empate, marcava um ponto; e, em cada vitória, marcava três pontos. Nesse campeonato, o time Palmeiras, de São Paulo, sagrou-se campeão, conquistando 70 pontos, dos quais 60 pontos foram conquistados com vitórias.
Fonte dos dados: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE FUTEBOL. Campeonato brasileiro de futebol: série A: 2023. Rio de Janeiro: CBF, 2024. Disponível em: https://www.cbf. com.br/futebol-brasileiro/tabelas/campeonato-brasileiro/ serie-a/2023. Acesso em: 2 jul. 2024.
a) Escreva um sistema linear que expresse as quantidades x , y e z de derrotas, empates e vitórias, respectivamente, da equipe do Palmeiras nesse campeonato.
b) C alcule a quantidade de derrotas, empates e vitórias do Palmeiras nesse campeonato.
43. Em certa escola, o professor de Matemática aplicou três avaliações com pesos diferentes.
Fonte: Dados fictícios.
a) Escreva um sistema linear em que as incógnitas x , y e z correspondam às quantidades de dados consumidos por hora de uso do aplicativo A , B e C , respectivamente, em megabaite.
Resposta nas Orientações para o professor
b) Resolva o sistema linear que você escreveu e interprete o resultado.
A nota final de cada estudante é obtida pela média ponderada das notas dessas três avaliações. Observe, a seguir, as notas de três estudantes nessas avaliações e a nota final obtida por eles.
Aline7,33,88,66,9
c) C onsiderando que o consumo de dados desses aplicativos, por hora de uso, se mantenha, quanto será consumido, nesse smartphone , na semana em que os aplicativos A , B e C forem utilizados por 10 h, 15 h e 5 h, respectivamente? 580 MB
d) E scolha três aplicativos instalados em algum smartphone e pesquise no aparelho qual foi o tempo de uso e a quantidade de dados que cada um desses aplicativos consumiu em certo período (dia, semana, mês etc.). Org anize os dados pesquisados em gráficos ou tabelas.
Resposta nas Orientações para o professor. Pesquisa do estudante.
Mateus8,27,27,47,5
Pietra2,45,4107,1
Qual foi o peso atribuído pelo professor a cada uma dessas avaliações, sabendo que a soma desses pesos é 10?
44. Elabore e escreva uma situação-problema que possa ser representada e resolvida por meio de u m sistema linear 3 x 3. Depois, troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaboração do estudante.
42. b) 8 derrotas, 10 empates, 20 vitórias
43. 1a avaliação: 2; 2a avaliação: 3; 3a avaliação: 5
46. pacote de arroz de 2 kg: R$ 12,50; garrafa de óleo de 900 mL: R$ 5,20; pacote de feijão de 1 kg: R$ 6,80; pacote de macarrão de 500 g: R$ 5,50
45. Todos os átomos de um mesmo isótopo são idênticos e, portanto, têm mesma massa, expressa em unidades de massa atômica (u). Observe, a seguir, parte de uma tabela periódica.
Número atômico
Símbolo químico
EDITORIA
Nome
Massa atômica
Fonte dos dados: SOCIEDADE BRASILEIRA DE QUÍMICA. Tabela periódica dos elementos. São Paulo: SBQ, 2023. Disponível em: https://www.sbq.org.br/anexos/tabela%20periodica_ SBQ_3.0_set2023.pdf. Acesso em: 9 set. 2024. Uma molécula é formada pela ligação entre átomos e sua massa é dada pela soma das massas desses átomos. Observe, por exemplo, a representação de uma molécula de cloreto de enxofre, sua fórmula molecular e o cálculo de sua massa.
BENTINHO
Representação da molécula de cloreto de enxofre, formada por dois átomos de cloro (Cl) e um átomo de enxofre (S) (imagem sem escala; cores-fantasia.
Fórmula molecular SCl2
Massa molecular de SCl2 :
1 32,07 u ⏟ + 2 35,45 u ⏟ = 102,97 u
Massa atômica do enxofre Massa atômica do cloro
Observe, a seguir, a massa molecular de algumas moléculas formadas por átomos de carbono (C), hidrogênio (H), nitrogênio (N) e oxigênio (O).
• Ureia (CH4 N2O): 60,056 u
• Morfina (C17H19 NO3): 285,343 u
• Ácido ciânico (CHNO): 43,025 u
• Metanimina (CNH3): 29,041 u
a) Utilizando um sistema de equações lineares, determine a massa atômica do carbono, do hidrogênio, do nitrogênio e do oxigênio.
b) Qual é a massa molecular de uma molécula de:
• água (H2O)? 18,015 u
• metano (CH4)? 16,043 u
• óxido nitroso (N2O)? 44,013 u
c) P esquise dois exemplos de substâncias diferentes das apresentadas nesta atividade e que podem ser encontradas na natureza, indicando a fórmula molecular correspondente a cada uma delas. Em seguida, determine suas massas moleculares e explique como você fez para obtê-las.
Pesquisa do estudante.
46. Um certo supermercado monta diferentes cestas de produtos para vender. As cestas com quatro produtos são compostas de arroz, óleo, feijão e macarrão e são montadas de quatro maneiras diferentes. Observe a composição e os preços dessas cestas.
Cesta tipo A: R $ 80,60
3 pacotes de arroz de 2 kg
2 garrafas de óleo de 900 mL
4 pacotes de feijão de 1 kg
1 pacote de macarrão de 500 g
Cesta tipo B: R $ 54,80
2 pacotes de arroz de 2 kg
1 garrafa de óleo de 900 mL
2 pacotes de feijão de 1 kg
2 pacotes de macarrão de 500 g
Cesta tipo C: R $ 54,60
1 pacote de arroz de 2 kg
1 garrafa de óleo de 900 mL
3 pacotes de feijão de 1 kg
3 pacotes de macarrão de 500 g
Cesta tipo D: R $ 108,00
4 pacotes de arroz de 2 kg
3 garrafas de óleo de 900 mL
3 pacotes de feijão de 1 kg
4 pacotes de macarrão de 500 g
Considerando que o preço unitário de cada item é o mesmo em todos os tipos de cesta, calcule o preço de cada um desses itens.
47. Sabendo que adicionando três números naturais distintos, dois a dois, obtêm-se 55, 60 e 75. Qual é a soma desses três números? 95
45. a) carbono: 12,011 u; hidrogênio: 1,008 u; nitrogênio: 14,007 u; oxigênio: 15,999 u
Interpretação geométrica de um sistema
linear 3 x 3
Você conhece a impressora 3D? Esse tipo de equipamento é usado na fabricação de objetos tridimensionais, ou seja, imprime objetos com comprimento, largura e profundidade. Essas impressões podem ser realizadas em diferentes tipos de material, como plástico, borracha, metal etc. Os polímeros, um tipo de plástico, são as matérias-primas mais utilizadas. No entanto, além do tipo da impressora, para escolher o material mais adequado para realizar a impressão 3D é importante considerar a funcionalidade do objeto a ser impresso. O filamento ABS (acrilonitrila butadieno estireno), por exemplo, é um termoplástico rígido derivado do petróleo e resistente a altas temperaturas, muito utilizado nas indústrias, na fabricação de peças de automóveis e eletrodomésticos. Já o plástico e o titânio podem ser utilizados em próteses 3D, com características semelhantes às partes humanas substituídas por elas, como a réplica de uma mão ou de um joelho.
Fonte dos dados: DUARTE, João Paulo A. Desenvolvimento de uma plataforma de impressora 3D acoplada a um scanner 3D. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Engenharia Elétrica) – Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2017. Disponível em: https://repositorio.ufu.br/bitstream/123456789/22505/1/ DesenvolvimentoPlataformaImpressora.pdf. Acesso em: 6 ago. 2024.
Para fabricar objetos usando a impressão 3D, é necessário realizar a modelagem em três dimensões em algum software para esse fim. Após ter o modelo do objeto, é gerado um arquivo com a nuvem de pontos, que é o conjunto de pontos expressos em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano tridimensional, indicado por OXYZ. É possível associar uma terna ordenada (x, y, z) de números reais a cada ponto P do espaço, correspondente às coordenadas desse ponto.
A união de todos esses pontos representa a superfície externa do objeto. Após converter o arquivo para um formato padrão das impressoras 3D, é possível realizar a impressão do objeto.
Observe, a seguir, como podemos relacionar o estudo de sistemas lineares 3 x 3 com representações de figuras em um espaço euclidiano tridimensional OXYZ, importante para compreender o trabalho com a impressão 3D de objetos.
Um sistema OXYZ consiste em três eixos com a mesma origem OX, OY e OZ, perpendiculares entre si dois a dois. Observe o ponto P (2, 3, 4) representado no sistema OXYZ
No sistema OXYZ, o conjunto das soluções de qualquer equação da forma ax + by + cz = d, com a, b, c e d números reais, corresponde geometricamente a um plano.
Podemos estudar geometricamente a solução de um sistema linear 3 x 3 a partir da relação entre os planos correspondentes a cada equação desse sistema. Analise as possibilidades:
A) Os planos são paralelos dois a dois.
B) Dois planos são coincidentes e paralelos a outro plano.
C) Os três planos são coincidentes.
D) Dois planos são coincidentes e têm uma reta em comum com outro plano.
E) Os três planos são distintos e têm uma reta comum a eles.
F) Dois planos são paralelos e cada um deles tem uma reta em comum com o terceiro plano, e essas retas são distintas.
G) Os planos se intersectam dois a dois e não há um único ponto em comum aos três planos.
H) Os planos se intersectam dois a dois determinando três retas que se intersectam em um único ponto comum aos três planos.
Fontes dos dados: LIMA, Elon Lages. Geometria analítica e álgebra linear. 1. ed. Rio de Janeiro: Impa, 2014. (Coleção matemática universitária, p. 164-167). FERREIRA, Maria Cristina C.; GOMES, Maria Laura M. Sobre o ensino de sistemas lineares. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 32, [set./dez. 1996]. Disponível em: www.rpm.org.br/cdrpm/32/2.htm. Acesso em: 6 ago. 2024.
3. Resposta esperada: Com a primeira coordenada, identificamos a posição de P em relação ao eixo X; com a segunda coordenada, a posição de P em relação ao eixo Y; e, com a terceira coordenada, a posição de P em relação ao eixo Z
PENSANDO NO ASSUNTO Não escreva no livro.
1. Você já observou um objeto sendo produzido em uma impressora 3D? Comente. Resposta pessoal.
2 . Junte-se a três colegas para pesquisar mais informações sobre impressoras 3D. Cada grupo pode escolher um dos temas sugeridos a seguir.
• T ipos de impressão.
• Matérias-primas para realizar uma impressão.
• Como funciona o processo de impressão.
• Custo de aquisição e manutenção de uma impressora.
• Impactos socioambientais.
• Aplicações.
Após realizar a pesquisa, discutam e elaborem uma proposta de uso de impressoras 3D para benefício da sociedade, considerando a região em que vocês moram, apresentando em que área pode ser utilizada (saúde, engenharia etc.), possíveis benefícios para a população e de que maneira isso pode ocorrer, entre outros aspectos. Por fim, organizem as informações pesquisadas e a proposta elaborada pelo grupo e as apresentem para o restante da turma em um vídeo, podcast ou slides
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
3. Com suas palavras, explique como um ponto P pode ser representado no sistema OXYZ a partir de suas coordenadas.
4. Considere, no sistema OXYZ, o plano correspondente às soluções da equação 2x 3y + z = 15. Quais pontos, cujas coordenadas estão indicadas a seguir, pertencem a esse plano?
A, D e E
A (5, 1, 8) D (2, 3, 2)
B (2, 2, 5)
C ( 3, 2, 3) E ( 1, 6, 1) F (0, 4, 3)
5. b) Resposta esperada: Esses sistemas admitem, ao menos, uma solução.
5. c) Apenas um ponto em comum; possibilidade H
5. d) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 6x + 4y 2z = 16
0x + 0y + 0z = 0
0x + 0y + 0z = 0 ; SPI; possibilidade C
5. Junte-se a um colega, leiam a situação a seguir e façam o que se pede em cada um dos itens.
Como é possível classificar um sistema linear 3 x 3 em SPD, SPI ou SI observando as representações geométricas de cada uma de suas equações no sistema OXYZ ?
a) O bservem o esquema da página 81 com todas as possibilidades de relações entre três planos no sistema OXYZ e indiquem em quais delas existe ao menos um ponto em comum aos três planos.
C, D, E e H
b) O que podemos afirmar sobre as soluções dos sistemas lineares 3 x 3 correspondentes às possibilidades indicadas no item a?
c) Um sis tema linear 3 x 3, classificado como SPD, tem quantos pontos em comum nos planos correspondentes às soluções de suas equações representadas no sistema OXYZ ? Em qual das possibilidades indicadas no item a isso ocorre? Justifique.
d) R ealizem o escalonamento do sistema linear a seguir. Depois, classifique esse sistema em SPD, SPI ou SI. Por fim, indiquem qual das possibilidades apresentadas representa a relação entre os planos correspondentes às soluções das equações desse sistema.
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 6x + 4y 2z = 16 3x 2y + z = 8 9x + 6y 3z = 24
e) Indiquem quais possibilidades apresentadas de relações entre três planos no sistema OXYZ representam soluções de um sistema 3 x 3 classificado como:
A, B, F e G
H C, D e E
• SPD; • SPI; • SI Agora, escolham uma das possibilidades apresentadas e elaborem um sistema linear 3 x 3 correspondente a ela. Em seguida, troquem esse sistema com outra dupla para que ela faça o escalonamento do sistema e identifiquem a relação entre os planos correspondentes, enquanto vocês fazem o mesmo com o sistema linear que receberem. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração dos estudantes.
Você sabe algo a respeito da isometria? Essa palavra deriva do grego, em que isos significa igual e metron significa medida. Em Matemática, as transformações isométricas consistem em estudar figuras geométricas congruentes, ou seja, de mesmo formato e medidas, distintas apenas por suas posições. Vamos estudar três tipos de transformação isométrica: simetria de translação, simetria de reflexão e simetria de rotação.
O uso de padrões geométricos pode ser percebido em diferentes situações, como na arte e na arquitetura. Como exemplo, podemos observar o padrão geométrico presente no calçadão da praia de Copacabana, no município do Rio de Janeiro (RJ).
Para simular a composição desse padrão geométrico, vamos destacar uma de suas partes, fazer reproduções e deslocá-las no plano.
Observe que, nessa representação, o tamanho e o formato da figura foram mantidos e os deslocamentos ocorreram de acordo com certo comprimento, direção e sentido, indicados pelas setas. Assim, podemos dizer que essa transformação apresenta ideias de simetria de translação.
PARA PENSAR
No município em que você mora, existe algum calçadão em área pública, no qual seja possível perceber padrões geométricos? Você sabe a origem histórica desse calçadão? Explique como é estabelecido esse padrão geométrico e, se possível, faça o registro com fotografias.
Respostas pessoais.
Calçadão da praia de Copacabana redesenhado pelo paisagista Burle Marx em 1970. O padrão geométrico feito de pedras remete às ondas do mar. Esse padrão foi desenvolvido inicialmente no século XVIII, em Portugal, e pode ser observado nas calçadas da Praça do Rossio, em Lisboa.
Na imagem anterior, cada seta representa um vetor. Dizemos que um vetor v consiste em um conjunto de segmentos de reta orientados que têm mesmo comprimento, direção e sentido. Observe várias representações, no plano cartesiano, de um mesmo vetor v .
Um vetor que tem origem em um ponto A e extremidade em um ponto B pode ser indicado por AB .
Um vetor, cuja origem coincide com a origem do sistema de eixos cartesianos O (0, 0), também pode ser indicado apenas pelas coordenadas do ponto correspondente à sua extremidade. Observe na figura, por exemplo, a representação do vetor v = (2, 3).
Agora, com base nas ideias de vetor, podemos definir o que é simetria de translação.
0 x y v 0 3 x y 2 v
Vetor: palavra que deriva do termo em latim vehere, que significa “transportar”.
Sejam A um ponto e v um vetor no plano. Uma transformação que associa o ponto A a um ponto B, no mesmo plano, por meio de v com determinado comprimento, direção e sentido, é denominada simetria de translação Para realizar a translação de uma figura por meio de v , cada ponto dessa figura é transladado de maneira a obter outra figura, congruente à primeira.
Considere, por exemplo, o pentágono ABCDE e o vetor v representados na malha quadriculada a seguir.
CBOOK PRODUÇÕES
Vamos construir a figura simétrica por translação do pentágono ABCDE em relação a v com as seguintes etapas.
1a 2 a
Para cada vértice do pentágono ABCDE , realizamos a translação de acordo com o comprimento (6 unidades), a direção (horizontal) e o sentido (da esquerda para direita), definidos por v , e marcamos os cinco pontos obtidos.
Traçamos A‘B‘ , B‘C‘ , C‘D‘ , D‘E‘ e A‘E‘ e colorimos a região interna da figura obtida.
Assim, o pentágono A‘B‘C‘D‘E‘ corresponde à figura simétrica por translação do pentágono ABCDE em relação ao vetor v
Também podemos transladar uma figura por meio de um vetor que tem direção diferente da horizontal e da vertical. Observe, por exemplo, as etapas que podem ser realizadas para construir a figura simétrica por translação do quadrilátero ABCD em relação a u .
Nesse caso, podemos associar u aos vetores t e w , correspondentes aos deslocamentos representados por u nas direções horizontal e vertical, respectivamente. Depois, realizamos a translação dos vértices do quadrilátero ABCD por meio de w e, em seguida, realizamos a translação dos pontos obtidos por meio de t Por fim, representamos o quadrilátero
A ’B ’C ’D ’, que corresponde à figura simétrica por translação do quadrilátero ABCD em relação a u .
R11. Na figura a seguir, o quadrilátero EFGH foi obtido pela translação do quadrilátero ABCD em relação a u . Quanto mede o comprimento desse vetor?
Resolução
O comprimento CG , correspondente a u , é dado pela medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 cm e 6 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
(CG ) 2 = 12 + 62 = 1 + 36 = 37 h
{
CG = √ 37 ou
CG = √ 37 (não convém)
Portanto, u tem comprimento igual a √ 37 cm ou, aproximadamente, 6,08 cm.
R12. Determine as coordenadas dos vértices da figura simétrica obtida na translação do quadrilátero de vértices A ( 1, 4), B ( 1, 1), C (2, 2) e D (1, 5) em relação a v = (4, 2).
Resolução
Podemos representar o quadrilátero ABCD e v = (4, 2) em um plano cartesiano . Observe a figura.
O vetor v indica que cada ponto do quadrilátero ABCD deve ser transladado em 4 unidades para a direita e em 2 unidades para cima. Assim, ao transladar, por exemplo, o vértice A ( 1, 4) por meio de v , obtemos:
A ’(3, 6)
1 + 4 4 + 2
Ao transladar os vértices B , C e D por meio de v , obtemos B ‘(3, 3), C ‘(6, 4) e D ‘(5, 7), respectivamente.
Observe a representação do quadrilátero
A‘B ‘C ‘D ‘ correspondente à figura simétrica por translação do quadrilátero ABCD em relação a v = (4, 2).
R13. Represente, no plano cartesiano, a figura simétrica obtida na translação do triângulo de vértices E (4, 2), F (6, 1) e G (6, 3) em relação ao vetor HI , com H (5, 3) e I (2, 5).
Resolução
Nesse caso, a origem do vetor HI não coincide com a origem do sistema de eixos cartesianos. Então, vamos obter um vetor H ‘I ‘ de origem H ‘(0, 0), com mesmo comprimento, direção e sentido do vetor HI
Para determinar as coordenadas da extremidade do vetor H ‘I ‘, podemos subtrair de cada coordenada de I (extremidade do vetor HI ) a coordenada correspondente de H (origem do vetor HI ).
’( 3, 2)
5 5 3
Por fim, vamos transladar cada ponto do triângulo EFG em 3 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima e representar o triângulo E ‘F ‘G ‘
Portanto, as coordenadas dos vértices do triângulo E ‘F ‘G ‘ , obtido da translação do triângulo EFG em relação ao vetor HI , são E ‘(1, 0), F ‘(3, 3) e G ‘(3, 1).
Respostas nas Orientações para o professor
48. Utilize uma malha quadriculada e reproduza o polígono e o vetor indicados em cada item. Depois, construa a figura simétrica por translação desse polígono em relação a esse vetor. a)
50. a) A‘(5, 6), B‘(7, 5) e C‘(5, 3)
50. b) E‘( 6, 8), F‘(4, 8), G‘(4, 12) e H‘( 6, 12)
49. Na figura a seguir, o hexágono A‘B ‘C ‘D ‘E ‘F ‘ foi obtido pela translação do hexágono ABCDEF em relação a u . Quanto mede o comprimento desse vetor? Explique como você pensou.
2,5 cm. Resposta pessoal.
0,5 cm
0,5 cm
50. Nos itens a seguir, determine as coordenadas dos vértices da figura simétrica obtida na transformação isométrica indicada.
a) Translação do triângulo de vértices A (2, 5), B (4, 4) e C (2, 2) em relação a v = (3, 1)
b) Translação do retângulo de vértices E (6, 10), F (16, 10), G (16, 14) e H (6, 14) em relação ao vetor JK , com J (12, 8) e K (0, 6).
51. No plano cartesiano, um pentágono A‘B ‘C ‘D ‘E ‘ foi obtido, por simetria de translação, a partir de um pentágono ABCDE em relação a um vetor u , c onforme representado a seguir.
AMOPAPAM significa escama do peixe tamatá.
K A’IAHOSA OU TATUPÉ significa dente de macaco ou casta de tatu.
MO’YRA significa semente.
Fonte dos dados: VIDAL, Lux (org.). Grafismo indígena: estudos de antropologia estética. 2. ed. São Paulo: Studio Nobel: Fapesp: Edusp, 2000. p. 123.
Em alguns desses grafismos, é possível perceber a ideia de simetria de translação. No grafismo II, por exemplo, podemos considerar deslocamentos de linhas verticais compondo a figura.
a) Quais são as coordenadas da extremidade de u , considerando sua origem em O (0, 0).
b) Quanto mede o comprimento de u ?
52. Os grafismos produzidos por indígenas podem ser encontrados em pinturas corporais, cerâmicas e artesanatos. Muitos deles se inspiram em elementos da natureza. Anal ise alguns exemplos.
51. a) ( 3, 1)
51. b) √ 10 u.c. ou aproximadamente 3,16 u.c.
a) Realize uma pesquisa sobre povos indígenas que vivem na região mais perto de onde você mora, buscando informações sobre os grafismos realizados por eles, como seus significados, características e transformações isométricas que podem ser percebidas neles. Em seguida, reproduza um desses grafismos e escreva um texto descrevendo suas características.
Pesquisa e elaboração do estudante.
b) Inspirado em algum elemento presente em seu dia a dia, elabore um grafismo e o represente em uma folha avulsa. Nele, deve ser possível identificar simetria de translação de figuras. Elaboração do estudante.
53. A op art foi um movimento artístico que teve seu auge na década de 1960 e que privilegiou o trabalho com efeitos ópticos em superfícies planas. Geralmente, os artistas desse movimento priorizavam representações abstratas e linhas retas. O lituano Kazys Varnelis (1917-2010) é um dos representantes da op art . Observe uma de suas obras.
VARNELIS, Kazys. Sixteen times four. 1970. Acrílico sobre tela, 78 cm x 78 cm. Museu Nacional da Lituânia.
Fonte dos dados: OP ART. In: ENCICLOPÉDIA Itaú Cultural de Arte e Cultura Brasileira. São Paulo: Itaú Cultural, 23 fev. 2017. Disponível em: http://enciclopedia.itaucultural.org.br/ termo3645/op-art. Acesso em: 6 ago. 2024.
Para reproduzir essa tela utilizando um programa de computador, um estudante construiu uma figura quadrada e obteve, por simetria de translação, outras 15 figuras congruentes a ela.
a) Desenhe, no caderno, a possível figura quadrada que o estudante construiu.
Resposta nas Orientações para o professor.
b) S abendo que a figura quadrada construída pelo estudante tinha 5 cm de lado, qual foi a área total da reprodução da tela produzida por ele? 400 cm2
c) J unte-se a um colega e, em um sof tware de geometria dinâmica como o GeoGebra , façam uma reprodução da tela apresentada utilizando simetria de translação.
Elaboração dos estudantes.
54. Um padrão geométrico presente em algumas calçadas de São Paulo (SP) tornou-se um símbolo turístico do município. Esse padrão, também conhecido como piso paulista, foi criado em 1966 por Mirthes dos Santos Pinto. Na época, o desenho foi escolhido por meio de um concurso realizado pela prefeitura de São Paulo.
Fonte dos dados: MUSEU DE ARTE DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ. Mirthes Bernardes. Fortaleza: Mauc, [201-]. Disponível em: https://mauc.ufc.br/pt/mirthes-bernardes/. Acesso em: 6 ago. 2024.
Piso paulista, simbolizando os limites geográficos do estado de São Paulo. Fotografia de 2019.
Para reproduzir o padrão do piso paulista, desenhou-se a figura I no plano cartesiano e, a partir dela, por simetria de translação, obteve-se a figura II representada a seguir. Quanto mede o comprimento do vetor utilizado para obter a figura II a partir da figura I por simetria de translação?
13 m ou aproximadamente 3,6 m
Observe, a seguir, uma das obras do artista plástico brasileiro Rubem Valentim (1922-1991).
Nessa obra, é possível notar características relacionadas à ideia de simetria de reflexão. Por exemplo, ao imaginar uma reta vertical dividindo a obra ao meio, vamos obter duas partes com figuras idênticas por sobreposição. Observe duas dessas figuras representadas, que são simétricas por reflexão em relação à reta e
Detalhe da obra Relevo emblema n. 9, de VALENTIM, Rubem. 1977. Acrílica sobre madeira, 100 cm x 150 cm. Museu de Arte Moderna da Bahia, Salvador (BA).
Sejam e uma reta e A um ponto em um mesmo plano. Uma transformação isométrica que associa o ponto A a um ponto B, no mesmo plano, é denominada simetria de reflexão em relação à reta e, quando esta reta é mediatriz do segmento de reta AB. A reta e é denominada eixo de simetria. Para realizar a reflexão de uma figura em relação a uma reta e, cada ponto dessa figura é refletido, em relação a e, de maneira a obter outra figura, congruente à primeira.
VALENTIM, Rubem. Relevo emblema n. 9. 1977. Acrílica sobre madeira, 100 cm x 150 cm. Museu de Arte Moderna da Bahia, Salvador (BA). O artista baiano Rubem Valentim mostra influência da cultura afro-brasileira em suas obras, apresentando contrastes entre cores e vários elementos geométricos.
PARA PENSAR
Descreva características sobre os elementos que compõem essa obra, como os formatos e a distribuição das figuras. Resposta pessoal.
Os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo e
PARA PENSAR
Sendo A e B pontos simétricos por reflexão em relação a uma reta e, todos em um mesmo plano, o que podemos afirmar sobre as distâncias de A a e e de B a e ? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: As distâncias são iguais, pois e é a mediatriz do segmento de reta AB
Na imagem apresentada anteriormente, podemos indicar os pontos A e A ‘ simétricos em relação ao eixo e . Ao traçar o segmento de reta AA ‘ , observe que o eixo e corresponde à mediatriz desse segmento de reta.
Detalhe da obra Relevo emblema n. 9, de VALENTIM, Rubem. 1977. Acrílica sobre madeira, 100 cm x 150 cm. Museu de Arte Moderna da Bahia, Salvador (BA).
Agora, vamos construir, utilizando régua e compasso, o triângulo A‘B‘C ‘ simétrico ao triângulo ABC por reflexão em relação ao eixo e, conforme representado nas etapas a seguir.
Posicionamos a ponta-seca do compasso em A e traçamos um arco de circunferência de maneira a intersectar o eixo e nos pontos P e Q .
Posicionamos a ponta-seca do compasso em P e, com abertura PC , traçamos um arco de circunferência. Em seguida, posicionamos a ponta-seca do compasso em Q e, com abertura QC, traçamos outro arco de circunferência de maneira a obter o ponto C ‘ na interseção dos dois arcos.
Procedemos de maneira análoga à etapa anterior para obter os pontos A‘ e B‘ .
Por fim, traçamos A‘B‘ , B‘C‘ e A‘C‘ e colorimos a região interna da figura, obtendo o triângulo A‘B‘C‘ simétrico ao triângulo ABC por reflexão em relação ao eixo e
Com um colega, justifiquem todas as etapas da construção do triângulo A’ B’ C’ , simétrico ao triângulo ABC por reflexão em relação ao eixo e Resposta pessoal.
R14. Dado o quadrilátero ABCD, de vértices A(3, 2), B (4, 3), C (3, 5) e D (2, 3), represente, em um plano cartesiano, um polígono obtido a partir desse quadrilátero após ser realizada a seguinte sequência de transformações:
1a ) Reflexão em relação ao eixo x ;
2a ) Reflexão em relação ao eixo y ;
Resolução
Vamos realizar as transformações indicadas para o vértice A . Na 1a transformação, obtemos o ponto A‘(3, 2); na 2a transformação, obtemos o ponto A ’( 3, 2); na 3a transformação, o ponto A “( 3, 3).
3a ) Translação determinada por v = (0, 5).
Analogamente, obtemos os vértices B “( 4, 2), C “ ( 3, 0) e D “ ( 2, 2). Traçamos A “B “ , B “C “ , C “D “ e A “D “ e colorimos a região interna da figura para obter o polígono A “B “C “D “, congruente ao quadrilátero ABCD
Resposta nas Orientações para o professor
55. Reproduza o polígono ABCDEF e o eixo de simetria representados.
Utilizando régua e compasso, construa o polígono A‘B ‘C ‘D ‘E ‘F ‘, simétrico ao polígono ABCDEF por reflexão em relação ao eixo e .
56. b) Resposta esperada: Fotografia I: pode ser traçado um eixo vertical entre as asas da borboleta; fotografia III: pode ser traçado um eixo horizontal sobre a linha de contato do pato com água; fotografia V: podem ser traçados 5 eixos de simetria, cada eixo passando por um braço e pelo centro da estrela-do-mar.
56. Observe as fotografias de elementos da natureza. As imagens não estão em proporção.
Borboleta azul.
Flor da espécie Datura stramonium.
Pato em lago.
57. Considere um trapézio de vértices A (1, 1), B (3, 3), C (5, 2) e D (2, 1). Quais devem ser as coordenadas dos vértices do trapézio A‘B ‘C ‘D ‘ para que ele seja simétrico ao trapézio ABCD por reflexão em relação a um eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas, e que tenha um dos vértices com coordenadas ( 5, 3).
58. Na busca por uma harmonia estética ou expressão de um padrão rítmico, alguns escritores utilizam diferentes recursos em suas obras, como a ideia de simetria. Analise um poema do curitibano Paulo Leminski (1944-1989) com essa característica.
Árvore seca.
Estrela-do-mar.
a) E m quais das fotografias o elemento em destaque apresenta a ideia de simetria de reflexão? Resposta esperada: Fotografias I, III e V
b) E xplique como pode ser traçado um eixo de simetria nos elementos em destaque nas fotografias que você indicou no item a .
c) Observe elementos da natureza que estão presentes no seu cotidiano e fotografe alguns deles em que seja possível perceber a ideia de simetria de reflexão. Com as orientações do professor, apresente suas fotografias para a turma. Resposta pessoal.
Reprodução de poema do curitibano Paulo
Leminski. LEMINSKI, Paulo. Caprichos & relaxos.
1. ed. São Paulo: Brasiliense, 1983. p. 135.
a) E xplique como a simetria de reflexão se relaciona a esse poema.
b) Quais letras desse poema são refletidas em relação a eixos horizontais imaginários?
c) C onsiderando as letras desse poema, em quais delas é possível traçar um eixo de simetria? nas letras A, M e U
d) E screva um pequeno texto no qual seja possível identificar a ideia de simetria de reflexão. Resposta pessoal.
58. a) Resposta esperada: Nesse poema, é possível observar algumas letras refletidas, remetendo a um dos sentidos do poema, o reflexo da Lua na água.
58. b) as letras L, U, A, N e G
59. b) Resposta esperada: Traçar o eixo de simetria de maneira que passe pelos pontos médios dos lados paralelos verticais da tela.
59. Geraldo de Barros (1923-1998) costumava utilizar diversas técnicas experimentais em suas obras de arte. Ele é um dos pioneiros da fotografia abstrata e do Modernismo no Brasil, além de ser considerado um dos mais importantes artistas do movimento concretista no país. Analise uma de suas obras.
Fonte dos dados: GERALDO de Barros. In: ENCICLOPÉDIA Itaú Cultural de Arte e Cultura Brasileira. São Paulo: Itaú Cultural, 3 maio 2024. Disponível em: https://enciclopedia.itaucultural. org.br/pessoa6490/geraldo-de-barros. Acesso em: 10 set. 2024.
BARROS, Geraldo de. Homenagem a Volpi
1983. Laminado melanímico colado sobre aglomerado e metal, 90 cm x 90 cm. Pinacoteca de São Paulo, São Paulo (SP).
59. a) Resposta pessoal.
a) U tilizando um programa de computador, como o GeoGebra , faça uma reprodução desse quadro em escala menor. Explique a um colega os procedimentos que você realizou.
b) Explique como você faria para traçar um eixo de simetria sobre uma reprodução desse quadro.
c) Considere as dimensões originais dessa obra e imagine que será traçado um eixo de simetria sobre ela. Qual seria a medida do comprimento do segmento de reta obtido na interseção desse eixo com a superfície da obra?
90 cm ou 0,9 m Resposta pessoal.
d) Pesquise outra tela com características do movimento concretista no Brasil e que seja possível identificar simetria de reflexão. Depois, componha um texto sobre essa tela, indicando algumas informações, como autor, título, técnica, dimensões etc. Não se esqueça de indicar as fontes de pesquisa.
61. C (0, 4 + 6 √ 3 ) ou C (0, 4 6 √ 3 )
60. Leia as informações a seguir.
O gráfico de uma função f : r H r é s imétrico em relação ao eixo das ordenadas quando essa função é par, ou seja, quando f ( x ) = f ( x ) p ara todo x [ r .
Utilizando o GeoGebra , construa o gráfico das funções indicadas a seguir e identifique quais delas são funções pares. J ustifique sua resposta.
a) f ( x ) = x 2
b) g ( x ) = 2 x
c) m ( x ) = |x | + 1
d) n ( x ) = x 2 x
• Agora, mostre por que o gráfico das funções que você não indicou não é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. Sugestão: utilize contraexemplos.
61. Determine as coordenadas do vértice C do triângulo equilátero ABC , sabendo que A ( 6 , 4) e B ( 6, 4) são dois vértices dele.
62. Uma maneira de determinar as coordenadas do ponto simétrico P ‘(x ‘ , y ‘) a um ponto P (x , y ), em relação ao eixo das ordenadas, é resolvendo a equação matricial: [ 1 0 0 1] ? [ x y] = [ x‘ y‘].
Com base nessa informação, junte-se a um colega, e resolvam os itens.
a) Determinem as coordenadas dos pontos simétricos, em relação ao eixo das ordenadas, aos pontos A ( 10, 3), B (7, 0), C ( 2, 5) e D(4, 3 2 )
b) Deduzam uma equação matricial com a qual seja possível determinar as coordenadas do ponto simétrico Q ‘( x ‘ , y ‘), a um ponto Q ( x , y ), em relação ao eixo das abscissas.
c) Agora, escrevam as coordenadas de quatro pontos quaisquer. Depois, utilizem a equação matricial que vocês deduziram no item b e determinem as coordenadas dos pontos simétricos a eles em relação ao eixo das abscissas. Resposta pessoal.
Respostas nas Orientações para o professor 62. a) A‘(10, 3), B
62. b) [1 0 0 1] ? [x y] = [x‘ y‘]
O holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972) foi um artista que utilizou diferentes ideias matemáticas em suas obras, criando padrões e efeitos visuais, conforme pode-se notar nesta obra.
Maurits Cornelis Escher foi um artista gráfico holandês conhecido por seus trabalhos em xilogravura e litogravura.
ESCHER, Maurits Cornelis. Limite circular I. 1958. Xilogravura, diâmetro de 42 cm. Fundação M.C. Escher.
Essa obra apresenta características relacionadas à ideia de simetria de rotação. Observe, por exemplo, duas figuras presentes nela que são simétricas por rotação em torno do ponto O
PARA PENSAR
Podemos dizer que essas duas figuras também são simétricas por reflexão? Explique.
Detalhe da obra Limite circular I, de ESCHER, Maurits Cornelis. 1958. Xilogravura, diâmetro de 42 cm. Fundação M.C. Escher.
Sejam O e A pontos em um mesmo plano e um ângulo de medida a . Uma transformação isométrica que associa o ponto A a um ponto B , no mesmo plano, é denominada simetria de rotação de medida de ângulo a , em relação ao ponto O , quando AO = BO e med ( AÔB ) = a . O ponto O é denominado centro de rotação e o ângulo a , ângulo de rotação . De modo geral, é também estabelecido o sentido da rotação: horário ou anti-horário.
Para realizar a rotação de uma figura em torno de um ponto O, de acordo com certo ângulo de rotação e sentido estabelecidos, cada ponto dessa figura é rotacionado de maneira a obter outra figura, congruente à primeira.
Resposta esperada: Sim, pois é possível traçar um eixo de simetria, passando por O, de maneira que essas duas figuras sejam simétricas por reflexão em relação a esse eixo.
Podemos indicar, na imagem apresentada na página 95, os pontos A e A‘, simétricos por rotação em 120°, no sentido anti-horário, em torno do ponto O.
Detalhe da obra Limite circular I, de ESCHER, Maurits Cornelis. 1958. Xilogravura, diâmetro de 42 cm. Fundação M.C. Escher.
Agora, utilizando régua, transferidor e compasso, vamos construir o triângulo A‘B‘C‘, por meio de rotação do triângulo ABC em torno do ponto O, representados na figura, em 70° no sentido horário.
Com a régua, traçamos o segmento de reta AO. Em seguida, com o transferidor, medimos um ângulo de 70° no sentido horário, de maneira que O seja o vértice desse ângulo e a semirreta OA seja um de seus lados. Em seguida, fazemos uma marcação.
Com a régua, traçamos uma semirreta com origem em O que intersecta a marcação indicada anteriormente. Posicionamos a ponta-seca do compasso em O e, com abertura OA , marcamos o ponto A ‘ nessa semirreta traçada.
Analogamente, obtemos os pontos B ‘ e C ‘ . Por fim, traçamos A‘B‘ , B‘C ‘ e A‘C ‘ e colorimos a região interna da figura, obtendo o triângulo A‘B‘C‘ .
Com um colega, justifiquem todas as etapas da construção do triângulo A’B’C’, simétrico ao triângulo ABC por rotação em torno do ponto O, em 70° no sentido horário. Resposta pessoal.
R15. Um ponto P (x, y) do plano cartesiano pode ser representado pela matriz coluna [ x y ]. A rotação do ponto P em torno da origem do plano cartesiano corresponde a um ponto P’ (x’, y’ ) que pode ser obtido pela equação matricial a seguir, em que a corresponde ao ângulo de rotação, no sentido anti-horário.
[ x' y' ] = [ cos a sen a sen a cos a ] [ x y ]
Determine as coordenadas de um ponto P’ obtido pela rotação de 30°, no sentido anti-horário, do ponto P (1, √3 ), em torno da origem.
1a
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO
Pelo enunciado, sabemos que:
• P’ é obtido a partir de P por simetria de rotação de 30°, em torno da origem de um sistema de eixos cartesianos, no sentido anti-horário;
• a s coordenadas de P’ podem ser obtidas por meio da equação matricial apresentada, com a = 30°, x = 1 e y = √ 3 .
2 a
ELABORAR UM PLANO
Vamos determinar as coordenadas do ponto P’ , substituindo a = 30°, x = 1 e y = √3 na equação matricial apresentada e resolvê-la.
3a
EXECUTAR O PLANO
Para a = 30°, x = 1 e y = √ 3 , temos: [ x' y'] = [ cos 30° sen 30° sen 30° cos 30° ] ? [ 1 √3 ] =
Portanto, x’ = 0 e y’ = 2, ou seja, P’ (0, 2).
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Para verificar o resultado obtido, vamos representar, no plano cartesiano, os pontos O (0, 0), P (1, √ 3 ), P ‘(0, 2) e o ângulo P ˆ O P' , cuja medida pretendemos mostrar que é 30°. Também vamos indicar os pontos auxiliares Q (1, 0) e R (0, √ 3 ) correspondentes às projeções de P sobre o eixos x e y, respectivamente, e o ângulo PO ˆ Q de medida b .
No triângulo retângulo OPQ , temos: tg b =
Como 0° , b , 90° e tg b = √ 3 , então b = 60°. Assim: a + b = 90° H a + 60° = 90° h a = 30°
Portanto, P ‘(0, 2).
67. a) quadrados
67. b) quadrado KPQI: v com 3 u.c.; quadrado RSKH: v com √ 17 u.c.; quadrado GJLM: v com √ 2 u.c.
67. c) Respostas nas Orientações para o professor.
63. Desenhe a representação de um trapézio ABCD qualquer e um ponto O e xterno a ele. Em seguida, construa o trapézio A‘B ‘C ‘D ‘, simétrico ao trapézio ABCD por rotação, em torno do ponto O , em:
a) 90° no sentido anti-horário; Resposta pessoal. b) 135° no sentido horário. Resposta pessoal.
64. Uma simetria de rotação, em que o ângulo de rotação é de 180°, é denominada simetria central. Determine em qual das alternativas a seguir a figura II pode ser obtida por simetria central da figura I em torno do ponto O .
alternativa c
65. Na natureza, podemos observar simetria em diferentes situações. Os favos construídos por abelhas de certa espécie, por exemplo, são compostos de alvéolos que correspondem a cavidades cujo formato lembra hexágonos regulares.
Cada parede é compartilhada por dois alvéolos.
A parte superior de cada alvéolo pode ser representada por hexágonos regulares idênticos, formato que proporciona encaixe sem sobreposições ou sobras de espaços e maior capacidade de armazenamento de mel pelas abelhas.
Detalhe de alvéolos de favo de mel.
Cada hexágono do modelo matemático apresentado pode ser obtido a partir de outro, utilizando simetria de translação, de reflexão ou de rotação. Descreva como é possível realizar cada uma dessas transformações isométricas
para obter a representação de um hexágono a partir de outro. Para isso, indique alguns elementos, como o segmento de reta considerado, o sentido e a medida do ângulo de rotação e o vetor utilizado.
Resposta pessoal.
66. Considere um triângulo de vértices A ( 6, 2), B ( 4, 0) e C (0, 4) e um triângulo A‘B ‘C ‘, simétrico ao triângulo ABC por rotação em torno do ponto O (0, 0), de acordo com um ângulo de medida a , no sentido anti-horário.
a) Escreva uma equação matricial para determinar as coordenadas de cada vértice do triângulo A‘B ‘C ‘
Resposta nas Orientações para o professor
b) Utilizando a equação que você escreveu no item a , determine quais são as coordenadas dos vértices do triângulo A‘B ‘C ‘ quando a = 120º.
67. Considere o recorte do fractal árvore pitagórica representado no plano cartesiano a seguir e resolva as questões.
a) Q uais pares de polígonos que compõem esse recorte são simétricos por reflexão em relação ao eixo y ?
b) A partir de quais polígonos é possível obter o quadrado FNOJ por translação de acordo com um vetor v ? Determine o comprimento de v em cada caso.
c) Um dos triângulos representados pode ser obtido ao rotacionar outro triângulo. Quais devem ser a medida do ângulo e as coordenadas do ponto correspondente ao centro de rotação para realizar essa transformação isométrica no sentido horário?
67. d) Respostas esperadas: A cada etapa (iteração) realizada, os triângulos ou os quadrados obtidos correspondem a uma redução do último triângulo ou quadrado obtido em uma etapa anterior. Transformação homotética.
d) Como é possível identificar a ideia de ampliação ou redução de figuras geométricas planas nesse recorte de fractal? Como esse tipo de transformação geométrica é chamado?
e) C om dois colegas, pesquisem informações sobre a árvore pitagórica, como a sua origem, quais são as etapas para sua construção, entre outras. Em seguida, em uma folha avulsa ou com auxílio de um software de geometria dinâmica, realizem as etapas iniciais e representem parte desse fractal. Por fim, investiguem outros fractais, escolham um deles e descrevam possíveis relações com transformações isométricas.
Pesquisa dos estudantes.
68. Com um colega, utilizem uma malha quadriculada ou um programa de computador para elaborar um mosaico, inspirados na composição de figuras da atividade anterior, no qual possam ser identificadas diferentes transformações isométricas. Depois, troque-o com outra dupla para que ela descreva as simetrias que podem ser observadas no mosaico de vocês, enquanto vocês fazem o mesmo com o mosaico que receberem. Por fim, confiram juntos as resoluções.
Elaboração dos estudantes.
69. Você já observou alguma edificação cuja fachada é revestida de azulejos? Os azulejos desempenham um papel relevante na arquitetura brasileira, refletindo a herança cultural do país. Sua introdução remonta ao período colonial, quando os portugueses trouxeram essa tradição artística de revestir pisos e paredes com peças de cerâmicas. No Brasil,
os azulejos passaram a adornar igrejas, palácios e casas, muitas vezes retratando cenas religiosas, paisagens, elementos da vida cotidiana ou composições geométricas.
Fachada revestida de azulejos do prédio histórico da Procuradoria Geral do Município, em São Luís (MA). Fotografia de 2019.
Observe alguns azulejos representados no plano cartesiano a seguir e descreva uma sequência de transformações que podem ser realizadas para obter uma das figuras amareladas a partir da outra de mesma cor.
NO MUNDO DO TRABAlHO
Além de ideias envolvendo transformações isométricas, o trabalho de um arquiteto aborda conhecimentos relacionados a arte, história, tecnologias, sistemas estruturais etc.
Um arquiteto pode atuar em projetos de grandes áreas urbanas, residenciais ou no design de objetos. Esse profissional tem como objetivo planejar e projetar espaços considerando aspectos funcionais, estéticos, estruturais, de segurança e de conforto, de acordo com a necessidade do cliente.
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre a profissão do arquiteto.
• SE LIGA na profissão: arquiteto 18-02-2021. [S l.: s n.], 2021. 1 vídeo (10 min). Publicado pelo canal TV Câmara Campinas. Disponível em: www.youtube.com/watch?v=jKQUuE3R5Nc.
Acesso em: 6. ago. 2024.
69. Uma resposta possível: Rotacionar a figura amarelada com um dos lados sobre o eixo x em 90° em torno do ponto de coordenadas (4, 2) no sentido anti-horário; transladar a figura obtida em relação a u = ( 4, 0) e, em seguida, em relação a v = (0, 2).
Como você imagina que eram feitas as alterações na escala de um mapa antes do desenvolvimento da computação gráfica? Um instrumento muito utilizado nesse processo era o pantógrafo, que permitia contornar o mapa original e obter outro mapa em escala diferente, determinando uma ampliação ou redução.
Ampliar ou reduzir uma figura envolve a ideia de transformação homotética ou homotetia , que consiste na transformação de qualquer figura em outra semelhante a ela.
Homotetia: a palavra deriva do termo grego homós, que significa “semelhante”, e thet, que significa “posto” ou “colocado”.
Sejam O e P pontos em um mesmo plano e k uma constante real positiva. Uma transformação que associa P a um ponto P ‘, nesse mesmo plano, de modo que P ‘ pertença à semirreta OP e que OP‘ = k OP é denominada homotetia de centro O e razão k do ponto P.
OP ‘ = k ? OP
OP P‘
Para realizar a homotetia de centro O e razão k de uma figura, cada um de seus pontos devem ser transformados de maneira a obter outra figura, semelhante à primeira. Nesse caso, k é a razão de semelhança entre a figura obtida e a figura original.
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
O triângulo A‘B ‘C ‘ é uma transformação do triângulo ABC por homotetia com centro em O e razão OA‘ OA = OB‘ OB = OC‘ OC = k.
Acompanhe as etapas que podemos realizar para obter um triângulo A ‘ B ‘ C ‘ correspondente a uma ampliação do triângulo ABC , representado na figura por homotetia de centro O e razão k = 2, utilizando régua e compasso.
Com a régua, traçamos as semirretas OA , OB e OC . Como k = 2, então OA‘ = 2OA. Assim, com a ponta-seca do compasso em A e abertura OA, marcamos o ponto A‘ sobre a semirreta OA . De maneira análoga, marcamos os pontos B‘ e C
Por fim, traçamos A‘B‘ , B‘C‘ e A‘C‘ e colorimos a região interna da figura, obtendo o triângulo A‘B‘C‘ . Os triângulos A ‘ B ‘ C ‘ e ABC são semelhantes com razão de semelhança igual a 2.
PARA PENSAR
Com a régua, meça cada lado desses triângulos. Que regularidade você observa ao comparar as medidas dos pares de lados correspondentes?
Resposta esperada: Cada lado do triângulo A‘B‘C‘ tem o dobro da medida do lado correspondente no triângulo ABC, pois a razão de semelhança entre os triângulos A‘B‘C‘ e ABC é 2.
Agora, acompanhe como podemos obter um quadrilátero A ‘B‘C‘D‘ correspondente a uma redução do quadrilátero ABCD , representado a seguir, por homotetia na razão de 2 para 1, utilizando régua e compasso.
Inicialmente, marcamos um ponto O, externo ao quadrilátero, correspondente ao centro da homotetia a ser realizada. Depois, traçamos as semirretas OA , OB , OC e OD . Como o quadrilátero ABCD deve ser reduzido na razão de 2 para 1, então OA ‘ = 1 2 OA. Assim, utilizando o compasso, marcamos A ‘ , correspondente ao ponto médio do segmento de reta OA. De maneira análoga, marcamos os pontos B‘ , C ‘ e D ‘. Por fim, traçamos A‘B‘ , B‘C‘ , C‘D‘ e A‘D‘ e colorimos a região interna da figura obtida. Nesse caso, os quadriláteros A‘B‘C‘D‘ e ABCD são semelhantes com razão de semelhança igual a 1 2 .
R16. Em certa praça pública há um jardim com formato trapezoidal, conforme representado. Deseja-se ampliar esse jardim, mantendo seu formato, de maneira que a nova área corresponda ao quádruplo da área original. Explique como essa ampliação pode ser realizada.
Resolução
Área do jardim original: A I = (DC + AB) ? AD 2 = (10 + 8) ? 6 2 = 54; ou seja, 54 m2.
O jardim ampliado deve ter o mesmo formato do jardim original; portanto, as figuras que representam esses jardins devem ser trapézios semelhantes com razão de semelhança k . Assim, a área do jardim ampliado é dada por: A II = (k
h k 2 = 432 108 h k 2 = 4 h {k = √4 = 2 ou k = √4 = 2 (não convém)
L ogo, k = 2, ou seja, a razão de semelhança entre a figura que representa o jardim ampliado e a que representa o jardim original é 2. Assim, o trapézio A‘B ‘C ‘D que representa o jardim após a ampliação pode ser obtido por homotetia do trapézio ABCD com centro no ponto D e razão 2, conforme representado na figura.
b) pentágono I: 25 cm; pentágono II: 50 cm; pentágono III: 12,5 cm
70. Na imagem a seguir, os pentágonos regulares II e III foram construídos por meio de transformações homotéticas de centro O a partir do pentágono regular I, que tem 5 cm de lado.
1o) Em uma malha quadriculada, construam um sistema de eixos cartesianos e indiquem a origem O (0, 0).
2o) Ma rquem um ponto P qualquer nesse plano cartesiano.
3 o) R epresentem, no plano cartesiano, um quadrilátero ABCD qualquer.
4 o) P or meio de uma transformação homotética em relação ao quadrilátero ABCD e com centro em P, definam uma razão k e construam um quadrilátero A‘B ‘C ‘D ‘
a) Qual é a razão de semelhança entre os pentágonos II e I? E entre os pentágonos III e I?
E entre os pentágonos III e II?
b) Determine o perímetro de cada pentágono.
71. Junte-se a um colega e, com o auxílio de régua e compasso, façam o que se pede a seguir. 2; 1 2 ; 1 4
Agora, troquem a construção de vocês com outra dupla, para que ela faça as medições necessárias e determine a razão k da homotetia realizada, enquanto vocês fazem o mesmo com a construção recebida. Por fim, confiram juntos as resoluções. Construção do estudante.
72. O Código Florestal (lei no 12.651, de 25 de maio de 2012), disponível em: https://www.planalto. gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2012/lei/ l12651.htm; acesso em: 5 ago. 2024) define a porcentagem de área que deve ser destinada à reserva florestal nas propriedades rurais de cada região brasileira.
Em determinado sítio, de 6 alqueires paulistas de área, há uma reserva florestal com formato de círculo, conforme representado na figura.
O proprietário do sítio deseja ampliar essa reserva florestal, mantendo seu formato, de maneira que sua área corresponda ao quíntuplo da área original.
a) Qual será a medida do raio da nova região correspondente à reserva florestal? Utilize p = 3. aproximadamente 109,6 m
b) Considerando que 1 alqueire paulista equiv ale a 24 20 0 m2 , qual é a porcentagem da área total do sítio destinada par a a reserva florestal antes da ampliação? E após a ampliação?
ponto H , interseção de t com o segmento de reta DP . Depois, traçar uma reta u , paralela ao segmento de reta BC e passando por F, e marcar o ponto G , interseção de u com o segmento de reta CP. r
3a) Traçar os segmentos de reta correspondentes às arestas do bloco retangular e colorir as faces obtidas.
73. A perspectiva cônica com um ponto de fuga é uma das técnicas utilizadas para a representação em perspectiva. Observe algumas etapas que podem ser realizadas para representar um bloco retangular usando a perspectiva cônica com um ponto de fuga.
1a ) Traçar uma reta r, marcar um ponto de fug a P ne ssa reta e construir um retângulo ABCD , com os lados AB e CD paralelos à r. Depois, traçar AP , BP , CP e DP e uma reta s paralela ao segmento de reta AB , determinando os pontos E e F s obre AP e BP , respectivamente.
2a) Traçar uma reta t , p aralela ao segmento de reta AD e passando por E , e marcar o aproximadamente 4,96%; aproximadamente 24,8%
a) Nessa construção, o retângulo EFGH f oi obtido por uma transformação homotética do retângulo ABCD, com centro no ponto P. Como é possível determinar a razão dessa homotetia? Essa transformação corresponde a uma ampliação ou a uma redução do retângulo ABCD ?
b) Considerando AP = 5 cm e EP = 2 cm, qual é a razão de semelhança entre os retângulos EFGH e ABCD ?
c) Ut ilizando a ideia de perspectiva cônica com um ponto de fuga, construa, em uma folha avulsa, a representação de um prisma qualquer.
0,4 ou 2 5 Resposta pessoal
74. Elabore uma situação-problema que envolva transformações homotéticas de figuras. Você pode se inspirar em obras de arte, arquitetura, elementos da natureza, entre outros. Depois, troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve a que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante. 73. a) Resposta esperada:
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda , concordaparcialmente ou nãoconcorda com cada uma das afirmações.
Respostas pessoais.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Q uando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Matrizes
Adição de matrizes
Subtração de matrizes
Multiplicação de matrizes
Equações lineares
Sistema de equações lineares
Escalonamento de um sistema linear
Classificação de um sistema linear: SPD, SPI ou SI
Resposta pessoal.
Simetria de translação
Simetria de reflexão
Simetria de rotação
Transformações homotéticas de figuras
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. c) III. Uma resposta possível: Vetor com origem em O(0, 0) e extremidade em ( 3, 5), ou seja, v = ( 3, 5) 4. b) I. Resposta esperada:
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre grafos. Agora, considere a situação a seguir que envolve esse assunto.
Uma rede varejista tem cinco lojas ( A , B, C , D e E ), cada uma localizada em um município distinto. No grafo a seguir, os vértices correspondem às lojas e as arestas representam estradas que ligam essas lojas. Além disso, está indicada, junto a cada aresta, a distância correspondente à estrada representada.
Os comprimentos em que as arestas foram representadas não estão proporcionais às distâncias correspondentes às estradas. DiCA
a) C onstrua uma tabela com base nesse grafo. Quando há estrada ligando duas lojas, indique o número 1, e quando não há, indique o número 0. Depois, escreva uma matriz M correspondente à tabela construída. Respostas nas Orientações para o professor.
I) Qual é a ordem dessa matriz? matriz 5 x 5
II) Qual é o valor do termo m 34 dessa matriz? O que ele indica?
III) Podemos afirmar que essa é uma matriz quadrada? Justifique sua resposta.
Sim, pois na matriz M as quantidades de linhas e de colunas são iguais.
b) L eia as seguintes informações sobre as distâncias que o caminhão percorre para realizar alguns trajetos entre essas lojas e resolva os itens.
• Partindo de A , passando por C e B e chegando em D : 175 km.
• Partindo de C , passando por B e D e chegando em A : 170 km.
• Partindo de E , passando por D e C e chegando em B: 125 km.
4. b) IV. Resposta esperada: A estrada entre as lojas A e C tem 60 km, a estrada entre as lojas C e B tem 45 km e a estrada entre as lojas B e D tem 70 km.
I) Com base nessas informações e no grafo apresentado, escreva um sistema linear 3 x 3 com as incógnitas x , y e z .
4. b) II. Resposta esperada: Três incógnitas e três equações.
II) Quantas incógnitas e quantas equações tem o sistema linear que você escreveu?
III) Resolva o sistema linear que você escreveu e classifique-o em SPD, SPI ou SI.
IV) Interprete a solução desse sistema linear de acordo com o contexto apresentado.
(60, 45, 70); SPD 4. c) II. pontos C e E
c) Utilizando uma malha quadriculada ou o GeoGebra , represente no plano cartesiano, as lojas A , B, C , D e E , respectivamente, pelos pontos A ( 2, 8), B (8, 2), C (3, 5), D (1, 3) e E ( 3, 5). Depois, resolva os itens a seguir. Construção do estudante.
I) Qual desses pontos pode ser obtido por simetria de rotação do ponto A em relação à origem O (0, 0) do sistema cartesiano? ponto B
II) O eixo y corresponde a um eixo de simetria de reflexão em relação a qual par desses pontos?
III) Descreva um vetor v que possa ser utilizado em uma simetria de translação do ponto D a fim de determinar o ponto A . m34 = 1. Indica que há estrada ligando as lojas C e D.
1. (Enem/MEC) A Transferência Eletrônica
Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [a ij ] em que 1 < i < 5 e 1 < j < 5 e o elemento a ij corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos a ii = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz para essa análise: A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 0 2 2 0 0 2 1 0 1 2 0 1
C om base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
2. (UFJF-MG) Considere o seguinte sistema: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + 3y + z = 0 2x y + z = 0 x 4y = 0
É CORRETO afirmar que: alternativa a
a) O sis tema é possível e indeterminado.
4. (Udesc) Uma função f é dita par se para todo x do domínio tem-se que f ( x ) = f ( x ) e uma função g é dita ímpar se para todo x o domínio tem-se que g ( x ) = g ( x ).
Sobre essas informações, analise as sentenças.
I) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
II) O gráfico de uma função par é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
III) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
IV) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
V ) O s gráficos das funções pares e ímpares possuem a mesma simetria. alternativa c
Das sentenças acima, tem-se exatamente:
a) uma correta.
b) t rês corretas.
c) dua s corretas.
d) quat ro corretas. e) cinco corretas.
5. (UERJ) Três pentágonos regulares congruentes e quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra a figura a seguir.
b) x = 4; y = 1 e z = 0 é a única solução do sistema.
c) x = 4; y = 1 e z = 1 é a única solução do sistema.
d) O sis tema é impossível.
e) x = 0; y = 0 e z = 0 é a única solução do sistema.
3. (UEA-AM) Se x e y são as soluções do sistema
linear {2 x + 3y = 74 3x 2y = 20, então x y é igual a a) 8. b) 2. c) 10. d) 4. e) 6. alternativa a alternativa b
A B C D E F s r G H
Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados, alternadamente adjacentes, até se completar o polígono regular ABCDEFGH ... A , que possui dois eixos de simetria indicados pelas retas r e s . Se as retas perpendiculares r e s são mediatrizes dos lados AB e FG , o número de lados do polígono ABCDEFGH ... A é igual a: a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 alternativa b
6. (Enem/MEC) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe , de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B
Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°.
A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de alternativa b
a) 9 0° no sentido horário.
b) 135° no sentido horário.
c) 180° no sentido anti-horário.
d) 270° no sentido anti-horário.
e) 315° no sentido horário.
7. (Enem/MEC) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R $ 3.800,00. Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria R $ 3.400,00. A televisão mais a estante sairiam por R $ 4.200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. O valor total, em real, pago pelo cliente foi de
a) R $ 3.610,00.
b) R $ 5.035,00.
c) R $ 5.415,00.
d) R $ 5.795,00. e) R $ 6.100,00.
8. (UEG-GO) A matriz triangular de ordem 3, na qual a ij = 0 para i > j e a ij = 4i 5j + 2 para i < j é representada pela matriz alternativa a
c) (3 8 13 0 4 9 0 0 5 )
9. (Enem/MEC) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores.
Disponível em: ww w.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é alternativa c
a) 200.
b) 209.
c) 270. d) 340. e) 475. alternativa d
10. (Unesp) Um ponto P, de coordenadas ( x , y ) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz coluna [ x y ] a ssim como a matriz coluna [x y] representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas ( x , y ).
Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial [ 0 1 1 0 ] ? [ x y ] é uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é
a) uma rotação de P em 180° no sentido horário, e com centro em (0, 0).
b) uma rotação de P em 90° no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).
c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.
d) simétrico de P em relação ao eixo horizontal y.
e) uma rotação de P em 90°no sentido horário, e com centro em (0, 0).
11. (Unicamp-SP) Luísa estava conversando com seu irmão ao telefone quando passou perto de uma feira de adoção de animais. Ela comentou que, na feira, havia cachorros, gatos e pintinhos. O irmão, curioso, perguntou-lhe quantos gatos havia. Luísa, que adora charadas matemáticas, limitou-se a dizer que a quantidade de gatos somada à quantidade de pintinhos era 4 a mais do que a quantidade de cachorros, e que a quantidade de gatos somada à quantidade de cachorros era 6 a mais do que a quantidade de pintinhos. O irmão de Luísa, que adora as aulas de matemática, rapidamente chegou à resposta correta. Havia quantos gatos para adoção?
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7.
alternativa b alternativa b
12. (IFSul-RS) A temperatura da cidade de Porto Alegre – RS foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 6 dias. Cada elemento a ij da matriz
A = [
c orresponde à temperatura observada no tempo i do dia j. Com base nos dados da matriz A , analise as seguintes proposições:
I) A temperatura mínima registrada está na posição a 12
II) A m aior variação de temperatura registrada entre os tempos 1 e 2 aconteceu no primeiro dia.
III) A temperatura máxima registrada está na posição a 34
Estão corretas as afirmativas alternativa d a) I e III apenas. b) I e II apenas. c) II e III apenas. d) I, II e III.
13. (UPE) Dentre as alternativas a seguir, qual figura representa melhor o triângulo A’B’C’ , obtido por uma reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo e seguida de uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do ponto B’ ? a)
Geometria Euclidiana
Em um plano, dada uma reta r e um ponto P que não está em r, existe uma única reta s passando por P t al que s seja paralela a r
Geometria Euclidiana e Geometria não Euclidiana
Ao longo da história da Geometria, destacaram-se diversos estudiosos, dentre eles, Euclides de Alexandria (c. 325 a.C.- c. 265 a.C.).
Na sua obra mais conhecida, o conjunto de livros chamado de Elementos, são apresentados postulados e teoremas que sintetizam conhecimentos matemáticos daquela época, os quais serviram de subsídio para o desenvolvimento da Geometria Euclidiana. A partir de meados do século XIX, questionamentos a respeito da Geometria Euclidiana, como o questionamento ao postulado das retas paralelas, conduziu estudiosos a desenvolver outras teorias geométricas, que, posteriormente, seriam denominadas Geometrias não Euclidianas. Por exemplo, a Geometria Esférica, que se desenvolve sobre a superfície de uma esfera, o que permite relacioná-la ao estudo do globo terrestre e aplicá-la em diversas áreas, como Astronomia, Aviação e Navegação. O postulado das retas paralelas, na Geometria Euclidiana, em um enunciado equivalente, expressa que: em um plano, para qualquer reta r e qualquer ponto P que não está em r, existe uma única reta s passando por P tal que s seja paralela a r. Observe uma representação desse postulado na Geometria Euclidiana e um contraexemplo de sua validade na Geometria Esférica.
Geometria Esférica
Não existem linhas retas da mesma maneira que na Geometria Euclidiana. O que consideramos reta nesse tipo de Geometria são círculos, de mesmo raio que o da esfera, que passam por certo ponto. Assim, na Geometria Esférica, não existem retas paralelas entre si, ou seja, quaisquer duas retas se intersectam.
Fontes dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 539-544. ANTUNES, Marcelo Carvalho. Uma possível inserção das geometrias não euclidianas no ensino médio. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2009. Disponível em: www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/18218/000728046.pdf. Acessos em: 29 jul. 2024.
Não escreva no livro.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Que elementos da Geometria Euclidiana você conhece?
2 . De acordo com o texto, como começaram a ser desenvolvidas as teorias da Geometria não Euclidiana?
3. Na Geometria Euclidiana, a menor distância entre dois pontos pode ser representada por um segmento de reta que os une. Como você imagina que pode ser representada a menor distância entre dois pontos em uma superfície esférica?
Respostas nas Orientações para o professor.
No estudo da Geometria Euclidiana, alguns conceitos e noções são aceitos como verdadeiros, sem a necessidade de demonstrações. Por exemplo, as noções de ponto, reta e plano, chamadas de noções primitivas, não são definidas formalmente, sendo distinguidas intuitivamente.
Pontos.
Nesta coleção, de maneira geral, optamos por indicar os pontos por letras maiúsculas (A, B, C, ...), as retas por letras minúsculas (a, b, c, ...) e os planos por letras gregas minúsculas (a , b, y, ...).
Essas noções primitivas servem de base para o estabelecimento dos postulados – que são afirmações consideradas verdadeiras, sem a necessidade de demonstrações – e dos teoremas, que correspondem a afirmações que só são consideradas verdadeiras depois de demonstradas, usando postulados ou outros teoremas. Você se lembra de algum teorema de Geometria que estudou em anos anteriores?
MATEMATICA
NA HISTORIA
Elementos é considerada a obra-prima do matemático Euclides de Alexandria. Essa obra é composta de 465 proposições distribuídas em 13 livros, dos quais os livros I, III, IV, VI, XI e XII correspondem basicamente a textos referentes à Geometria Plana e à Geometria Espacial, sendo muitos deles uma compilação de produções mais antigas, escritas por outros estudiosos. Desde sua primeira edição, impressa em 1482, mais de 1 0 00 edições já foram realizadas, tornando Elementos o trabalho científico mais consultado na história.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 167-169.
• Posições relativas entre ponto e reta
• Posições relativas entre pontos
O ponto A pertence à reta s (A [ s). O ponto B não pertence à reta s (B { s). s A C B E D
Os pontos A, B e C são colineares: eles pertencem à mesma reta s. Os pontos A, D e E são não colineares. Retas. s r Plano.
No Ensino Fundamental, possivelmente, você estudou as posições relativas entre pontos e retas em um mesmo plano. Agora, vamos estender esse estudo para as posições relativas entre pontos e planos. s A B
• Posições relativas entre retas contidas em um mesmo plano
a r s
As retas r e s são paralelas (r ⁄ s), pois não têm pontos em comum.
a m n A
As retas m e n são perpendiculares (m À n), pois são concorrentes e formam ângulos retos no ponto em que se intersectam.
• Posições relativas entre ponto e plano
a A B
a u t A
As retas t e u são concorrentes (ou secantes), pois têm um único ponto em comum.
a p 9 q
As retas p e q são coincidentes, pois têm todos os pontos em comum.
PARA PENSAR
Duas retas concorrentes são sempre perpendiculares.
Você concorda com essa afirmação? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: A afirmação é falsa, pois duas retas concorrentes são perpendiculares apenas
O ponto A pertence ao plano a (A [ a).
O ponto B não pertence ao plano a (B { a).
Aprendemos que postulados são afirmações que não necessitam de demonstrações.
Para estudar as posições relativas entre retas e planos no espaço, vamos considerar os seguintes postulados.
Postulado I
Retas e planos são conjuntos de pontos.
Postulado II
Existem infinitos pontos que pertencem a uma reta, assim como infinitos pontos que não pertencem a ela.
Postulado III
Existem infinitos pontos que pertencem a um plano, assim como infinitos pontos que não pertencem a ele.
Postulado IV
Dois pontos distintos A e B determinam uma única reta s.
quando formam ângulos retos no ponto em que se intersectam. s A
EDITORIA DE ARTE
Postulado V
Sejam A um ponto e s uma reta em um plano a. Se A não pertence a s, existe apenas uma reta r que passa por A e é paralela a s em a. Esse é conhecido como o quinto postulado de Euclides.
Postulado VI
Se dois pontos distintos A e B de uma reta s pertencem a um plano a, então s está contida em a (s ¡ a). a
Postulado VII
Três pontos não colineares A, B e C determinam um único plano a a A C B
Note que um ponto é elemento de uma reta; assim, dizemos que o ponto pertence à reta. Já uma reta é um conjunto de pontos; assim, dizemos que uma reta está contida em um plano.
Vamos usar alguns postulados apresentados para demonstrar os três teoremas a seguir, que fazem referência à determinação de um plano.
• Teorema 1:
Uma reta s e um ponto A, não pertencente a s, determinam um único plano a.
Demonstração:
Pelos postulados I e II, podemos considerar dois pontos distintos B e C pertencentes a uma reta s e um ponto A fora dessa reta. Assim, A, B e C são pontos não colineares. Pelo postulado VII, concluímos que A , B e C determinam um único plano a. O postulado IV garante que s é a única reta determinada pelos pontos B e C , e o postulado VI garante que s está contida em a , pois B e C pertencem a s e pertencem a a . Portanto, existe um único plano a que contém a reta s e o ponto A.
• Teorema 2:
Duas retas paralelas r e s determinam um único plano a.
Demonstração:
De acordo com os postulados I, II e III, podemos considerar em um plano a uma reta s e um ponto A não pertencente a s. Pelo postulado V, existe uma única reta r que passa por A e é paralela a s em a Pelo teorema 1, apresentado anteriormente, existe um único plano que contém o ponto A e a reta s. Portanto, existe um único plano que contém as retas paralelas r e s.
• Teorema 3:
Duas retas concorrentes r e s determinam um único plano a.
Demonstração:
Vamos considerar o ponto A comum às retas r e s, e outros dois pontos distintos B e C, com B pertencendo a r e C pertencendo a s. Assim, A, B e C são não colineares. Pelo postulado VII, os pontos A, B e C determinam um único plano a. O postulado IV garante que r é a única reta determinada por A e B e que s é a única reta determinada por A e C. Já o postulado VI garante que r e s estão contidas em a, pois A e B pertencem a r e a a, e A e C pertencem a s e a a. Portanto, existe um único plano a que contém as retas r e s.
R1. Demonstre o teorema a seguir.
Sejam um plano a e uma reta r não contida nele. Se r intersecta a , então a interseção de r e a é um único ponto.
Resolução
Vamos supor que existam pelo menos dois pontos distintos A e B que estejam na interseção da reta r com o plano a . Assim, pelo postulado VI , concluímos que r está contida em a . Porém isso é um absurdo, já que, por hipótese, r não está contida em a . Portanto, a interseção de r e a é um único ponto.
5. Resposta esperada: Pelo postulado VII, três pontos não colineares determinam um único plano. Considerando os três pontos correspondentes aos pontos de apoio dos pés desses objetos no piso, podemos afirmar que esses pontos de apoio determinam um único plano. Assim, mesmo quando apoiados em um piso irregular, esses três pontos de apoio determinam um único plano imaginário que intersecta esse piso nesses pontos e, portanto, esses objetos não balançam.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
1. Observe os planos, as retas e os pontos representados a seguir e determine a relação de pertinência ou continência entre:
a) cada um desses pontos e o plano a;
b) cada uma dessas retas e o plano b;
c) cada um desses pontos e as retas r, s e t .
3. Respostas esperadas: a) Três pontos não colineares determinam um único plano; c) Os postulados correspondem a afirmações tomadas como verdadeiras sem a necessidade de serem demonstradas; d) Duas retas concorrentes têm apenas um ponto em comum.
b) Q uantos planos distintos contendo três desses pontos é possível traçar?
2. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa.
a) Três pontos quaisquer determinam um único plano.
b) Ponto, reta e plano são conceitos primitivos.
verdadeira
c) Os postulados correspondem a afirmações que são consideradas verdadeiras apenas depois que são demonstradas.
d) Duas retas concorrentes têm dois ou mais pontos em comum.
e) E xistem infinitas retas contidas em um plano a qualquer, assim como existem infinitas retas não contidas nesse plano.
f) O s teoremas correspondem a afirmações que só são consideradas verdadeiras após terem sido demonstradas.
g) Dois pontos quaisquer são sempre colineares.
3. Reescreva as sentenças falsas da atividade anterior, tornando-as verdadeiras.
4. Considerando quatro pontos A , B , C e D, não coplanares e não colineares três a três, responda às questões, explicando como você pensou
a) Quantas retas distintas contendo dois desses pontos é possível traçar? falsa
6 retas distintas
5. Tripés, bancos e cavaletes de pintura que têm três pernas proporcionam maior estabilidade de apoio a objetos do que aqueles com quatro pernas, já que eles não balançam quando apoiados em qualquer tipo de piso. Utilizando os conceitos geométricos estudados, explique por que objetos com três pernas não balançam, independentemente do tipo de piso em que forem apoiados.
6. Mostre a validade do teorema a seguir.
O tripé de celular proporciona estabilidade na superfície e melhora a captura de imagens.
Se três retas r, s e t distintas são concorrentes duas a duas, de maneira que não exista ponto comum às três retas, então essas retas estão contidas em um mesmo plano a . r s t
Resposta nas Orientações para o professor
7. Dadas duas retas r e s , perpendiculares entre si, julgue a afirmação a seguir como verdadeira ou falsa e justifique.
Existe uma reta t , contida em um mesmo plano que as retas r e s , que é perpendicular a r e concorrente a s . 4 planos distintos
7. Falsa. Resposta esperada: Vamos supor, por hipótese, que exista uma reta t perpendicular à reta r e concorrente à reta s, sendo r e s perpendiculares entre si. Assim, temos os pontos A, B e C correspondentes às interseções de r e s, r e t e s e t, respectivamente. Considerando o triângulo ABC, temos, por hipótese, que med(Â) = 90°, med(B) = 90° e med(C ) . 0°. Isso, no entanto, é um absurdo, pois a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180° e med(Â) + med(B) + med(C ) . 180°.
Estudamos as posições relativas entre retas e pontos em um mesmo plano. Agora, vamos ampliar esse estudo para posições relativas entre retas e planos no espaço.
• Retas coplanares
Duas retas r e s são coplanares quando estão contidas em um mesmo plano.
• Retas reversas
Duas retas r e s são reversas (ou não coplanares) quando não estão contidas em um mesmo plano. Duas retas reversas podem ser reversas ortogonais ou reversas oblíquas.
a) Reversas ortogonais
Duas retas r e s são reversas ortogonais quando existe uma reta t perpendicular a uma delas e paralela à outra.
b) Reversas oblíquas
Duas retas reversas r e s são reversas oblíquas quando não são reversas ortogonais.
PARA PENSAR
É possível que duas retas reversas também sejam concorrentes? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: Não, pois, para serem concorrentes, duas retas devem ser coplanares e, portanto, não reversas.
• Reta contida no plano
Uma reta s está contida em um plano a quando pontos distintos A e B pertencentes a s também pertencem a a
• Reta paralela ao plano
Uma reta s é paralela a um plano a quando não há ponto em comum entre a reta s e o plano a.
Nesse caso, podemos indicar s // a.
• Reta secante ao plano
Uma reta s é secante (ou concorrente) a um plano a quando há apenas um ponto A que pertença tanto à reta s quanto ao plano a
• Reta perpendicular ao plano
Uma reta s é perpendicular a um plano a se, e somente se, é secante a esse plano e perpendicular a todas as retas concorrentes a ela e contidas em a. Nesse caso, podemos indicar s À a.
• Planos coincidentes
Dois planos a e b são coincidentes quando todos os pontos pertencentes a um dos planos também pertencem ao outro plano.
• Planos paralelos
Dois planos a e b são paralelos se, e somente se, não têm pontos em comum, ou seja, nenhum ponto pertencente a a pertence a b
• Planos secantes
Dois planos a e b são secantes (ou concorrentes) quando há apenas uma reta s contida tanto em a quanto em b.
• Planos perpendiculares
Dois planos secantes a e b são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro plano.
R2. Considerando as retas e os planos que contêm, respectivamente, as arestas e as faces do poliedro representado na figura, resolva os itens a seguir.
a) Q uais são as retas reversas a EF ? Alguma delas é reversa oblíqua?
b) D ecida se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa.
O plano que contém a face correspondente ao quadrilátero CDFH é secante a todos os planos que contêm as outras faces desse poliedro.
c) Determine as retas perpendiculares ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ABCD
d) Q ual é a posição relativa entre os planos que contêm as faces cor respondentes aos quadriláteros BCHG e ADFE ? E entre a reta que contém a aresta DF e cada um desses planos?
Resolução
a) A s retas reversas a EF são aquelas que não estão contidas em um mesmo plano que ela. Nesse caso são: BG , CH , CD e AB . Dessas, CD é reversa oblíqua em relação a EF
c) Podemos notar que BG , CH , AE e DF são as retas perpendiculares ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ABCD, pois elas são perpendiculares a todas as retas desse plano que passam, respectivamente, pelos pontos B , C , A e D
b) As faces cor respondentes aos quadriláteros ABCD , ADFE , BCHG e EFHG têm uma aresta comum com a face correspondente ao quadrilátero CDFH e, portanto, os planos que contêm essas faces são secantes ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero CDFH . Prolongando as faces correspondentes aos quadriláteros CDFH e ABGE , podemos observar que os planos que contêm essas faces também são secantes. Portanto, a afirmação é verdadeira.
d) Os planos que contêm as faces correspondentes aos quadriláteros BCHG e ADFE são paralelos. Como a aresta DF está contida na face correspondente ao quadrilátero ADFE , então DF é uma reta contida no plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ADFE e é paralela ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero BCHG .
8. a) Falsa. Resposta esperada: Duas retas quaisquer que não têm ponto em comum são reversas ou paralelas.
8. c) Falsa. Resposta esperada: Se uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano e concorrentes a ela.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
13. a) Respostas possíveis: faces correspondentes aos quadriláteros: ABCD e EFGH ; CDEF e ABGH; BCFG e ADEH
13. c) HE é uma reta contida no plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ADEH e é perpendicular ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ABGH.
8. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa. Depois, reescreva as falsas, tornando-as verdadeiras.
a) D uas retas quaisquer que não têm ponto em comum são reversas.
b) Dois planos quaisquer secantes têm infinitos pontos comuns.
verdadeira
Falsa.
Resposta esperada: Se dois planos são coincidentes, então eles correspondem ao mesmo conjunto de
c) S e uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano.
d) S e dois planos são paralelos, então eles correspondem ao mesmo conjunto de pontos.
e) D uas retas reversas quaisquer são retas não coplanares
11. Em cada item, determine a posição relativa entre duas retas distintas r e s , de acordo com as informações indicadas.
a) Um plano a que contém r é perpendicular a s.
b) Não existe ponto comum a r e s.
c) Um plano a é paralelo a r e paralelo a s
9. (EsPCex-SP) O sólido geométrico a seguir é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE ; as retas AG e HI e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente,
Resposta esperada: Não, pois, se dois planos distintos têm ponto em comum, então eles são secantes e, portanto, têm uma reta em comum, ou seja, infinitos pontos.
verdadeira alternativa e
a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes; reversas; paralelas.
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas.
10. É possível que dois planos distintos tenham um único ponto em comum? Justifique sua resposta.
retas paralelas ou reversas
retas paralelas, concorrentes ou reversas retas perpendiculares
12. Considere um cubo ABCDEFGH e AB , AD e AF retas suporte de três arestas desse cubo.
a) D etermine a posição relativa entre essas retas, duas a duas.
b) Que figura geométrica plana corresponde à interseção desse cubo com o plano determinado pelos vértices B , D e F ?
triângulo
13. Um engenheiro pretende imprimir uma peça com formato de bloco retangular em uma impressora 3D. Observe, a seguir, essa peça feita em um programa de computador. retas perpendiculares ou reversas ortogonais
13. d) Planos que contêm as faces correspondentes aos quadriláteros ABCD, CDEF, EFGH e ABGH.
Considerando as retas que contêm as arestas e os planos que contêm as faces do bloco retangular representado, determine:
a) um p ar de faces cujos respectivos planos que as contêm são paralelos;
b) a s faces cujos planos que as contêm são paralelos a AH ;
14. Mostre que o teorema a seguir é verdadeiro. faces correspondentes aos quadriláteros BCFG e CDEF
c) a s posições relativas entre HE e os planos que contêm as faces correspondentes aos quadriláteros ADEH e ABGH ;
d) os planos secantes aos planos que contêm as faces correspondentes aos quadriláteros BCFG e AHED .
Sejam dois planos distintos a e b e os pontos A , B e C , também distintos. Se A , B e C pertencem tanto a a quanto a b , então esses são pontos colineares.
14. Resposta esperada: Suponha que os pontos A, B e C sejam não colineares e pertencentes aos planos distintos a e b. Pelo postulado VII, esses pontos determinam um único plano e, assim, a e b devem ser coincidentes, o que é um absurdo, pois temos por hipóteses que a e b são planos distintos. Portanto, os pontos A, B e C são pontos colineares. Nesse caso, a e b são planos secantes.
15. Considere a e b dois planos perpendiculares e uma reta r correspondente à interseção de a e b . Imagine dois pontos quaisquer
A e B , de maneira que A [ a , A { b , B [ b e B { a . Qual é a posição de AB em relação:
a) ao plano a?
b) ao plano b?
16. (USCS-SP) Um ponto
H está sobre a base BCD de um prisma reto
BCDGFE , mas não está sobre as arestas dessa base, conforme mostra a figura.
c) à reta r ?
18. Junte-se a um colega para resolver esta atividade.
Além dos teoremas apresentados nesta Unidade, existem outros relacionados ao paralelismo no espaço. Acompanhem, a seguir, a demonstração de um desses teoremas. Resposta nas Orientações para o professor.
Considerando as retas que passam por dois vértices desse prisma ou por um vértice e por H , é possível afirmar que alternativa c
a) CH e BD são reversas.
b) GF e CE são concorrentes.
c) FH e CB são reversas.
d) BG e EF são paralelas.
e) BH e CD são perpendiculares.
17. Um designer produziu, em um programa de computador, o projeto de uma peça de metal, formada pela justaposição de duas outras peças, uma com formato de cubo e outra com formato de pirâmide reta, conforme a figura a seguir.
Teorema : Se um plano y é secante a dois planos distintos e paralelos a e b , então a reta s , comum a y e a a , é paralela à reta r, comum a y e a b y s r ab
Em relação ao sólido obtido nesse projeto, indique a posição relativa entre os planos que contêm as faces:
a) ABC e ADE .
b) ABC e DEFI . c) BCHG e DEFI. d) BCHG e BEFG. secante secante reversa secantes secantes paralelos secantes e perpendiculares
Demonstração : Como as retas s e r correspondem a interseções entre os planos y e a e entre y e b , respectivamente, então s e r são coplanares, pois ambas estão contidas no plano y
Já que a // b , ou seja, não existe ponto comum a a e a b , e como s ¡ a e r ¡ b , podemos afirmar que não existe ponto comum a s e a r, pois se existisse ponto comum a s e a r, então existiria ponto comum aos planos a e b . Como s e r são coplanares e a interseção entre elas é vazia, concluímos que essas retas são paralelas.
Agora, escolham um dos teoremas a seguir, representem-no por uma figura e mostrem a validade dele.
• Teorema I : Uma reta r não contida em um plano a é paralela a esse plano se for paralela a uma reta s contida em a .
• Teorema II: Dados dois planos paralelos a e b, toda reta r contida em um deles é paralela ao outro plano.
• Teorema III: Dados um plano a e um ponto P, com P { a , existe pelo menos uma reta r que passa por P e é paralela a a
A linguagem pode ser considerada uma construção humana que utiliza sistemas complexos de comunicação para que seja possível se expressar, partilhar informações, ideias, sentimentos e produzir sentidos.
Algumas linguagens, por causa de seu caráter padronizado, são consideradas universais, ou seja, sua compreensão ultrapassa os limites regionais. Por exemplo, na Matemática, foi desenvolvida, ao longo do tempo, uma linguagem com simbologia própria e que é uniforme no mundo todo, o que permite representar e expor conceitos de maneira concreta e efetiva, que todos possam compreender. Também no Sistema Braille é possível reconhecer uma tendência de universalização de linguagem, o que possibilita e favorece a comunicação entre pessoas com ou sem deficiência visual. Sobre o Braille, leia o trecho de um texto a seguir.
O braille é um sistema de escrita e leitura tátil para as pessoas cegas inventado pelo francês Louis Braille, ele mesmo cego aos três anos de idade devido a um acidente que causou a infecção dos dois olhos.
O sistema consta do arranjo de seis pontos em relevo, dispostos na vertical em duas colunas de três pontos cada, no que se convencionou chamar de “cela braille”. A diferente disposição desses seis pontos permite a formação de 63 combinações ou símbolos para escrever textos em geral [...]
Acesse este site para obter mais informações sobre o Sistema Braille.
• B RASIL. Ministério da Educação. Instituto Benjamin Constant. O Sistema Braille. Rio de Janeiro: IBC, 24 fev. 2022. Disponível em: https:// www.gov.br/ibc/pt-br/pesquisa-e-tec nologia/materiais-especializados-1/ livros-em-braille-1/o-sistema-braille. Acesso em: 29 jul. 2024.
BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Benjamin Constant. O Sistema Braille. Rio de Janeiro: IBC, 24 fev. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/ibc/pt-br/pesquisa-e-tecnologia/materiais-especializados-1/livros-em-braille-1/o-sistema-braille. Acesso em: 29 jul. 2024.
A Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa) estabelece que as embalagens de medicamentos destinadas a pacientes precisam conter o nome comercial do medicamento ou a denominação genérica de cada princípio ativo em Sistema Braille, sem que isso afete a legibilidade das informações.
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Agência Nacional de Vigilância Sanitária. Resolução-RDC no 71, de 22 de dezembro de 2009 Estabelece regras para a rotulagem de medicamentos. Brasília, DF: MS: Anvisa, 22 dez. 2009. Disponível em: https://bvsms.saude.gov.br/bvs/saudelegis/anvisa/2009/ res0071_22_12_2009.html. Acesso em: 7 out. 2024.
Embalagem de medicamento com informações impressas no Sistema Braille.
Na aplicação da simbologia em braille, é importante considerar as normas para grafia, as especificidades do idioma do país e acompanhar a evolução linguística e cultural.
Cada cela braille corresponde a uma região retangular composta de seis pontos, distribuídos igualmente em duas colunas. Nestas páginas, as celas braille foram representadas de maneira que os pontos em alto-relevo estão indicados pelas figuras de círculo maiores.
Para representar os algarismos 1 a 9, indicamos o sinal de número seguido de outro símbolo que também representa as letras a até i, respectivamente.
O algarismo 0 é associado à letra j.
Algarismo 1:
Observe, por exemplo, como representar o algarismo 1 em braille.
Símbolo da letra a
Sinal de número
Sinal de “pertence a”
Sinal de reta
Para representar essa letra em maiúscula (T), é necessário inserir o sinal de letra maiúscula antes do símbolo da letra t:
Sinal de letra maiúscula Símbolo da letra t minúscula
É possível representar, em braille, símbolos próprios da linguagem matemática.
Reta r
Símbolo da letra r
Sinal de “não pertence a” Sinal de “paralelo a” Sinal de “perpendicular a”
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Códigomatemáticounificadoparaa línguaportuguesa. Brasília, DF: MEC: Seesp, 2006. p. 31, 56, 79, 83. Disponível em: http://antigo.ibc.gov.br/images/conteudo/ AREAS_ESPECIAIS/CEGUEIRA_E_BAIXA_VISAO/Braille/Cdigo-Matemtico-Unificado.pdf. Acesso em: 29 jul. 2024.
1. Cite situações do cotidiano em que você faz uso da linguagem verbal para se comunicar.
Resposta pessoal.
2. Em seu entendimento, ao se comunicar de maneira direta e objetiva, é possível evitar conflitos? Converse com os colegas e o professor a respeito disso.
Resposta pessoal.
3. Realize uma pesquisa sobre acessibilidade atitudinal, que consiste em um conjunto de atitudes adequadas e respeitosas diante de pessoas com deficiência. Com base nas informações obtidas, produza uma peça publicitária (fôlder, cartaz, vídeo ou podcast ) com o objetivo de estimular a acessibilidade atitudinal na comunidade em que vive. É importante que essa peça publicitária explique o que é acessibilidade atitudinal, dê exemplos de atitudes inclusivas e mostre situações que limitem ou impeçam a inclusão de pessoas com deficiência. Sua peça publicitária pode ser divulgada em um mural da escola ou em mídias sociais.
Pesquisa e produção do estudante.
4. Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
4. b) Resposta pessoal.
a) Você já manipulou algum objeto com escritas em braille, como embalagens de produtos, placas indicativas ou livros? Comente como foi essa experiência
Resposta pessoal.
b) Por que é fundamental a alfabetização para estudantes com deficiência visual na escola?
c) P or que é importante conhecer a linguagem braille, mesmo não tendo deficiência visual? Como essa linguagem serve para a independência e a autonomia de pessoas cegas ou com baixa visão?
Respostas pessoais.
5. Junte-se a um colega para explorar a transcrição da linguagem matemática para a linguagem braille. Para isso, façam o que se pede em cada um dos itens.
a) Q uais são os termos representados em braille em cada caso a seguir?
livro
b) Utilizando representações de celas braille, escrevam o nome e a idade de vocês.
c) A s retas r e s , representadas a seguir, são paralelas. Observem como podemos indicar isso no Sistema Braille. 5. b) Respostas pessoais.
Agora, no caderno, façam um desenho para ilustrar a relação matemática representada em braille em cada ficha.
d) Pesquisem normas técnicas da escrita em braille para obter informações sobre altura do relevo e distância entre os pontos, as linhas e as celas.
Pesquisa dos estudantes.
e) Pesquisem tecnologias que facilitam a impressão de textos em braille e os aplicativos disponíveis para pessoas cegas ou com baixa visão. Em seguida, escolham um conceito estudado nesta Unidade, como postulados ou teoremas. Depois, façam a transcrição desse conceito utilizando a representação das celas braille e troquem-na com outra dupla para conferir a transcrição dela. As tecnologias que vocês pesquisaram podem ser utilizadas na transcrição do conceito escolhido.
Resposta nas Orientações para o professor Pesquisa dos estudantes.
Você já observou um drone em movimento? Ele é um aparelho controlado remotamente que pode alcançar grandes alturas. Entre as várias funções desse aparelho, é possível obter vistas superiores de alguns locais. Agora, imagine a seguinte situação: com o Sol a pino, os raios solares, que são paralelos, projetam no solo a sombra de um drone durante um voo.
Sol a pino: expressão que indica o momento em que o Sol está posicionado no ponto mais alto do céu.
Nessa situação, a sombra do drone no solo nos remete à ideia de projeção ortogonal em um plano, conceito que estudaremos a seguir.
Denominamos projeção ortogonal de um ponto P, sobre um plano a, o ponto P1, correspondente à interseção do plano a e da reta r, que passa por P, sendo r À a
r P1 P
a
Sombra projetada de um drone estabilizado no ar próximo ao solo. Fotografia de 2021.
O que podemos afirmar a respeito do ponto P1, correspondente à projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano a , quando P [ a? Resposta esperada: Os pontos P e P1 são coincidentes.
Com base no conceito de projeção ortogonal de um ponto sobre um plano, vamos analisar outras projeções ortogonais.
• Projeção de uma figura sobre um plano
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano corresponde à projeção ortogonal de todos os pontos dessa figura sobre esse plano.
As figuras A1 e B1 são as projeções ortogonais das figuras A e B, respectivamente, sobre o plano a .
• Projeção de uma reta ou de um segmento de reta sobre um plano
Se uma reta r ou um segmento de reta AB for perpendicular a um plano a, a projeção ortogonal dessa reta ou desse segmento de reta, sobre esse plano, será um único ponto.
Nesse caso, a projeção ortogonal da reta r sobre o plano a é o ponto P
Nesse caso, a projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre o plano a é o ponto Q
Se uma reta r ou um segmento de reta AB não for perpendicular a um plano a , a projeção ortogonal dessa reta ou desse segmento de reta sobre esse plano será, respectivamente, outra reta ou outro segmento de reta.
CBOOK PRODUÇÕES
Nesse caso, a projeção ortogonal da reta r sobre o plano a é a reta r1.
Nesse caso, a projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre o plano a é o segmento de reta A1B1
• Distância entre dois pontos
Um segmento de reta AB é perpendicular a um plano a se, e somente se, a reta que contém esse segmento é perpendicular a esse plano.
PARA PENSAR
DiCA Nesta figura, qual é a projeção ortogonal das extremidades do segmento de reta AB sobre o plano a?
As projeções ortogonais dos pontos A e B, correspondentes às extremidades do segmento de reta AB , sobre o plano a, coincidem com o ponto Q
A distância entre dois pontos distintos A e B é a medida do segmento de reta AB , em certa unidade de medida de comprimento. Se os pontos A e B forem coincidentes, a distância entre eles é nula.
• Distância entre ponto e reta
A distância entre uma reta r e um ponto A, não pertencente a r, é a medida do segmento de reta AA1, perpendicular a r, com A1 pertencente a r. Se o ponto A pertence à reta r, a distância entre eles é nula.
• Distância entre ponto e plano
A distância de um ponto A a um plano a, com A não pertencente a a, é a medida do segmento de reta AA1, em que A1 é a projeção ortogonal de A sobre a. Se o ponto A pertence ao plano a, a distância entre eles é nula.
• Distância entre duas retas paralelas
A distância entre duas retas r e s , paralelas entre si, é a distância entre um ponto de qualquer uma dessas retas à outra reta. Se as retas r e s forem coincidentes, a distância entre elas é nula. Já no caso de r e s serem concorrentes, a distância entre elas não é definida.
• Distância entre reta e plano paralelos
A distância entre um plano a e uma reta r , não contida em a e paralela a esse plano, é a distância entre um ponto qualquer de r a a. Se a reta r estiver contida no plano a, a distância entre eles é nula. Já no caso de r ser concorrente a a, a distância entre eles não é definida.
• Distância entre dois planos paralelos
A distância entre dois planos a e b paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um desses planos ao outro plano. Se os planos a e b forem coincidentes, a distância entre eles será nula. Já no caso de esses dois planos serem concorrentes, a distância entre eles não é definida.
• Distância entre duas retas reversas
A distância entre duas retas reversas r e s é a distância entre um ponto qualquer de r ao plano a, paralelo a r e que contém s.
R3. Observe a figura representada e determine a medida do segmento de reta A1B1, correspondente à projeção ortogonal do segmento de reta AB , que mede 6 cm, sobre o plano a
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos realizar as etapas a seguir. a A A1
COMPREENDER O ENUNCIADO 1a
Do enunciado, obtemos as seguintes informações:
• A1B 1 é a projeção ortogonal de AB sobre o plano a ;
• AB mede 6 cm;
ELABORAR UM PLANO 2 a
• AB ˆ B1 mede 60°;
• as retas AA1 e BB1 são paralelas e são perpendiculares a a;
• p recisamos determinar a medida de A1B1 .
A partir da figura apresentada, podemos considerar um trapézio de vértices A , A1, B 1 e B . Em seguida, vamos traçar um segmento de reta paralelo a A1B 1 com uma extremidade em A e outra sobre BB 1 para obter um triângulo retângulo. Por fim, vamos utilizar a razão seno no triângulo obtido e calcular a medida do segmento de reta traçado anteriormente que, por sua vez, é congruente a A1B 1
3a
EXECUTAR O PLANO
Traçando um segmento de reta AP paralelo a A1B1 de maneira que P esteja sobre BB1 , obtemos um triângulo retângulo ABP.
Utilizando a razão seno, temos: sen 60° = AP AB h √ 3 2 = AP 6 h AP = 3√ 3
Como AP 9 A1B1 , então AP = A1B1, ou seja, o segmento de reta A1B1 mede 3 √ 3 cm
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Pra verificar o resultado obtido, podemos considerar AB = 6 cm e AP = 3 √ 3 cm e determinar a medida do ângulo AB ˆ P
Seja b a medida de AB ˆ P, então:
Como 0° , b , 90°, então b = 60°.
Portanto, o segmento de reta A1B1 mede 3 √ 3 cm.
19. (Enem/MEC) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, que é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura.
Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir. alternativa e
Ao meio-dia, com o Sol a pino, as letras que formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.
A sombra projetada no solo é a) b) c) d) e)
20. Cada face do sólido geométrico representado a seguir é paralela a um dos planos apresentados, perpendiculares entre si.
Indique em qual dos planos representados é obtida cada uma das figuras a seguir, correspondente a uma projeção ortogonal desse sólido geométrico.
21. a) Falsa, pois, se um segmento de reta for perpendicular a um plano, sua projeção ortogonal sobre esse plano será um ponto.
21. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa e explique o que há de errado nas afirmações falsas.
a) A projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano é sempre outro segmento de reta.
b) Ao projetar ortogonalmente duas retas r e s , reversas ortogonais, sobre um mesmo plano qualquer, obtemos retas perpendiculares entre si.
c) Se dois planos são coincidentes, a distância entre eles será sempre igual a zero
d) A distância entre duas retas perpendiculares é igual à distância entre quaisquer dois pontos dessas retas. y a b
Falsa, pois a distância entre duas retas concorrentes não é definida.
21. b) Falsa, pois as projeções ortogonais de duas retas reversas ortogonais sobre um mesmo plano que seja perpendicular a uma dessas retas são um ponto e uma reta. verdadeira
26. Resposta esperada: A medida PP1 é menor que a medida PA, pois PP1 corresponde a um cateto de um triângulo retângulo e PA, à hipotenusa desse mesmo triângulo; como a hipotenusa é sempre o maior lado de um triângulo retângulo, então PP1 é menor que PA
22. (Enem/MEC) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo retangular, é representado pela figura.
23. Na figura a seguir, AA1 = 6 cm e BB1 = 3,6 cm correspondem, respectivamente, às distâncias dos pontos A e B à reta r. Além disso, com o ponto C , indicado em r a 4 cm de A1, podem-se traçar os triângulos AA1C e BB 1C semelhantes. Qual é a distância entre os pontos A1 e B1?
A lagartixa parte do ponto B e v ai até o ponto A . A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M , que é o ponto médio do segmento EF . Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H . Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos.
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é dada por:
a)
b)
c) d)
e) alternativa b
24. No triângulo a seguir, o lado AB é a projeção ortogonal do lado AC sobre a reta determinada por A e B . Observe as medidas indicadas e calcule o perímetro desse triângulo.
(10 + 10 2 ) cm ou aproximadamente 24,14 cm
25. Em um trapézio ABCD, tem-se que AB é a projeção ortogonal do lado DC sobre a reta determinada por A e B . Observe as medidas indicadas e determine o perímetro do trapézio ABCD
26. Junte-se a um colega para resolver esta atividade.
Considerem uma reta r e um segmento de reta PP 1 perpendiculares, com P { r e P 1 [ r. Sendo A um ponto pertencente a r, com A e P 1 não coincidentes, podemos afirmar que a medida PP 1 é igual, maior ou menor que a medida PA ? Justifique sua resposta. 6,4 cm
Observe como podemos determinar a distância entre um ponto e uma reta, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível em https://www.geogebra.org/ download (acesso em: 29 jul. 2024). Para isso, vamos considerar a reta AB , com A ( 1, 1) e B (4, 3), e o ponto C (1, 5) não pertencente à reta AB .
A Inicialmente, para construir o ponto A, no campo Entrada, digitamos A = ( 1, 1) e pressionamos a tecla Enter. De maneira análoga, construímos os pontos B e C digitando, respectivamente, B = (4, 3) e C = (1, 5) . Em seguida, com a opção (Reta), selecionamos os pontos A e B e obtemos a reta AB .
B Para obter a distância entre a reta AB e o ponto C , usando a opção (Distância, comprimento ou perímetro), selecionamos o ponto C e, em seguida, a reta AB . O valor que aparece na tela corresponde à distância, em centimetro, entre AB e o ponto C.
Professor, esta obra está atualizada conforme a grafia estabelecida pelo SI na publicação: INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. iii. Tradução luso-brasileira da 9a edição. Disponível em: https://www.gov.br/ compras/pt-br/acesso-a-informacao/noticias/si_versao_final.pdf. Acesso em: 27 jun. 2024.
1. a) Resposta esperada: Retas perpendiculares. Resposta esperada: Sim, pois g e h são retas concorrentes.
Não escreva no livro.
1. b) aproximadamente 2,97 cm
1. No GeoGebra , reproduza a construção apresentada anteriormente. Em seguida, trace uma reta g e uma reta h passando pelo ponto C , de maneira que sejam, respectivamente, paralela e perpendicular à reta AB , conforme mostrado a seguir. Depois, responda às questões.
a) Qual é a posição relativa entre as retas g e h ? Elas são coplanares? Justifique sua resposta.
b) Ma rque o ponto D correspondente à interseção entre as retas AB e h . Qual é a medida do segmento de reta CD ?
c) P odemos considerar a distância entre as retas g e AB igual à medida do comprimento do segmento de reta AC ? Justifique.
d) No GeoGebra, construa um segmento de reta BE , com E pertencente à reta g , cujo comprimento corresponda à distância entre g e AB
3. b) Construção do estudante. A reta determinada por G e H é perpendicular às retas r e s.
a) Considerando as retas que contêm os lados desse polígono, indique quais delas são:
• perpendiculares a AB ;
• concorrentes a AB ;
• paralelas a AB ;
nenhuma das retas
BC , CD , EF e AF
DE Construção do estudante.
b) No GeoGebra , construa um polígono regular cujas retas que contenham dois quaisquer de seus lados sejam, apenas, paralelas ou perpendiculares
3. No GeoGebra , reproduza a construção a seguir.
a) Q ual é a posição relativa entre as retas r e s?
paralelas
2. Observe o hexágono regular ABCDEF representado no GeoGebra
1. c) Resposta esperada: Não, pois o segmento de reta AC não está contido em uma reta perpendicular às retas g e AB Construção do estudante.
IMAGENS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
b) No GeoGebra , construa um segmento de reta GH , c om G pertencente à reta r e H pertencente à reta s , de maneira que o comprimento de GH seja igual à distância entre r e s . Qual é a posição relativa entre a reta determinada por G e H e as retas r e s?
c) Utilizando a opção (Distância, comprimento ou perímetro), calcule a distância entre os pontos:
• E e F. 4,47 cm
• E e D . 4,47 cm
• E e A 5,1 cm
• F e B . 3,16 cm
• F e C . 8,25 cm
d) No GeoGebra , obtenha a distância entre os pontos F e E e cada uma das retas r e s
F e s: 3,05 cm; F e r: 2,77 cm; E e s: 3,61 cm; E e r: 2,22 cm
e) E xplique como é possível obter a distância entre o ponto D e a reta s sem realizar a medição direta entre eles.
Resposta possível:
Como o ponto D pertence à reta r e esta é paralela à reta s, a distância entre o ponto D e a reta s é igual à distância entre a reta r e a reta s. Então, basta obter a distância entre as retas r e s
Além da projeção ortogonal, existem outros tipos de projeção. A cilíndrica, a cônica e a plana (ou azimutal) são algumas das projeções cartográficas mais conhecidas na confecção de mapas, considerando a superfície de projeção sobre a qual a superfície terrestre é representada. As ideias de projeções cartográficas são aplicadas desde a metade do século XV, por causa das Grandes Navegações, que exigiam mapas cada vez mais realistas e confiáveis. Mesmo com a superfície da Terra sendo curva, os cartógrafos da época queriam reproduzir nos mapas as diferentes localidades do globo terrestre de maneira que a reprodução fosse livre de distorções. Em meados do século XVII, o matemático suíço Leonhard Paul Euler (1707-1783) demonstrou matematicamente que não é possível representar o planeta Terra em uma superfície plana sem que haja alguma deformação. Portanto, qualquer tipo de projeção utilizado para confeccionar um mapa da superfície terrestre apresenta deformação, por exemplo, do formato, da área, das distâncias e dos ângulos.
Fonte dos dados: ÁVILA, Geraldo. A matemática e a cartografia. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 65, [set./dez. 2008]. Disponível em: www.rpm.org.br/cdrpm/65/2.html. Acesso em: 29 jul. 2024.
• Projeção cilíndrica
Consiste em projetar os pontos da superfície do globo terrestre sobre a superfície lateral de um cilindro imaginário e, em seguida, planificá-la, obtendo um mapa. Na projeção cilíndrica, os paralelos e meridianos são representados por segmentos de reta que se intersectam perpendicularmente. Observe um exemplo.
MAPAS
DACOSTA
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 21, 23. Disponível em: https://biblioteca.ibge. gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 29 jul. 2024.
Projeção de Mercator (séc. XVI).
Nessa projeção, o cilindro tangencia a linha do equador e, no mapa obtido, os meridianos e os paralelos correspondem a segmentos de reta. Com isso, as áreas dos continentes sofrem distorções, mas seus formatos são mantidos; quanto mais próximo dos polos, maior a distorção de sua área.
• Projeção cônica
Consiste em projetar os pontos de parte da superfície do globo terrestre sobre a superfície lateral de um cone imaginário que seja tangente ou secante a essa parte do globo e, em seguida, planificá-la, obtendo um mapa.
Em geral, a projeção cônica é utilizada para representar regiões que se estendem na direção leste-oeste, apresentando mesma distorção de escala para localizações em um mesmo paralelo. Observe a figura.
Nessa projeção, as áreas das superfícies representadas são mantidas. No mapa obtido, os meridianos correspondem a segmentos de reta que convergem para um ponto, e os paralelos correspondem a arcos de circunferências concêntricas.
Acesse este site para obter mais informações e assistir a um vídeo sobre as projeções utilizadas para representar a superfície terrestre.
• INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Introdução à cartografia: as projeções cartográficas. In: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. [9. ed]. [Rio de Janeiro]: IBGE, [2023]. Disponível em: https://atlasescolar.ibge. gov.br/cartografia/21733-as-projecoes-cartograficas. html. Acesso em: 29 jul. 2024.
• Projeção plana
Consiste em projetar os pontos de parte da superfície do globo terrestre sobre uma superfície plana que seja tangente ou secante a essa parte do globo, obtendo um mapa.
Em geral, a projeção plana é utilizada para representar áreas polares ou para uso geopolítico, já que possibilita destacar um país ou outra localidade ao centro da projeção. Observe a figura. Nessa projeção, as áreas e os formatos das regiões representadas são distorcidos, mas são mantidas as distâncias a partir do centro de projeção. No mapa obtido, os meridianos correspondem a raios de uma mesma circunferência, e os paralelos, a circunferências concêntricas.
Projeção de Albers.
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 21. Disponível em: https://biblioteca. ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 29 jul. 2024.
Projeção plana polar.
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 21. Disponível em: https://biblioteca. ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 29 jul. 2024.
27. Atualmente, existem diversos sites , softwares e aplicativos em que é possível explorar locais da superfície do globo terrestre. O Google Earth, por exemplo, pode ser utilizado em computador, smartphone ou tablet . Nele, é apresentado um modelo tridimensional do globo terrestre e, com as diferentes ferramentas disponibilizadas, é possível selecionar pontos sobre o globo e visualizar fotografias do local correspondente, realizar medições, traçar rotas, entre outras funções.
Analise, a seguir, uma imagem do globo terrestre obtida no Google Earth em que foi traçada uma rota ligando pontos na Grécia ( A ), na Índia (B ) e na Nigéria (C ).
Fonte dos dados: GOOGLE EARTH. [S l., 2024]. Site Disponível em: https://earth.google.com/web/. Acesso em: 29 jul. 2024.
Ao projetar ortogonalmente essa rota sobre um plano a perpendicular ao eixo da Terra (reta imaginária que passa pelo Polo Norte e pelo Polo Sul) e tangente a ela no Polo Sul, obtemos uma figura que pode ser representada por: a) A
28. a) Resposta esperada: Projeção cilíndrica, pois essa projeção permite que os formatos dos territórios representados sejam mantidos, mas as áreas correspondentes sofram distorções.
sofreram distorções. Neste mapa, o território da Groenlândia, por exemplo, aparenta ter área maior que a do Brasil, no entanto, a extensão territorial da Groenlândia corresponde a cerca de um quarto da extensão territorial do Brasil. Observe na figura a seguir como esses territórios foram representados. Depois, responda às questões.
Fonte dos dados: SANDER, Andrea; CAMPOS, Francisco Ferreira de; JACQUES, Patricia. Todos os mapas estão errados? [S l.]: SGB, c2017-2024. Disponível em: https://sgbeduca.sgb.gov.br/ jovens_geociencias_mapas_errados.html. Acesso em: 8 out. 2024. *Representação fora dos padrões cartográficos.
a) Qual tipo de projeção cartográfica esse geógrafo pode ter utilizado na obtenção do mapa: cilíndrica, cônica ou plana? Justifique.
b) A que porcentual da área do território brasileiro corresponde a da Groenlândia?
aproximadamente 25%
c) Que tipo de projeção cartográfica pode ser utilizada em um mapa para representar parte da superfície do globo terrestre de maneira que a proporção entre as áreas de diferentes regiões seja mantida?
28. Durante um estudo, um geógrafo utilizou certo tipo de projeção cartográfica para obter um mapa em que os formatos das regiões representadas foram mantidos, mas suas áreas
29. Junte-se a dois colegas e, em um globo terrestre (virtual ou físico), identifiquem dois países que, aparentemente, tenham a mesma área. Depois, consultem três mapas obtidos por meio de diferentes projeções cartográficas e localizem os dois países escolhidos inicialmente. Para cada mapa, elaborem um texto descrevendo possíveis distorções entre os países identificados, como áreas, formatos, distâncias e ângulos. Em cada texto, não se esqueçam de explicitar o tipo de projeção cartográfica utilizado para obter o mapa.
Resposta esperada: Projeção cônica. Resposta pessoal.
(Enem/MEC)
Disponível em: www unric.org. Acesso em: 9 ago. 2013.
A ONU faz referência a uma projeção cartográfica em seu logotipo. A figura que ilustra o modelo dessa projeção é:
alternativa a
NO MUNDO
DO TRABAlHO
31. Ao utilizar a projeção cartográfica plana, em que um plano a tangencia o globo terrestre no Polo Sul e esse plano é perpendicular ao eixo do globo, dizemos que é utilizada uma projeção estereográfica.
Nesse caso, a projeção de um ponto A da superfície do globo terrestre sobre o plano a é um ponto A 1 correspondente à interseção entre a e a reta que passa por A e pelo ponto PN , localizado no Polo Norte, conforme representado a seguir.
Eixo da Terra
Geógrafo
Considerando a linha do equador como uma circunferência de raio r, ao projetar cada ponto dessa linha sobre o plano a , utilizando a projeção estereográfica, obtém-se:
a) um segmento de reta de comprimento 2r.
b) um segmento de reta de comprimento 4r.
c) uma circunferência de diâmetro 2r.
d) uma circunferência de diâmetro 4r
e) uma circunferência de raio 3r alternativa d
O geógrafo estuda a relação entre os seres humanos e os impactos, naturais ou não, no ambiente, lidando com fenômenos humanos, físicos e biológicos. Ele pode criar mapas, desenvolver estudos, pesquisas e consultorias ambientais, demográficas e de trânsito, fazer laudos e perícias, realizar mapeamentos com uso de geotecnologias (cartografia digital, topografia, sistema de posicionamento global etc.) e sensoriamento remoto (drones, microssatélites, computação em nuvem etc.), entre outros. Para a criação dos mapas, por exemplo, esse profissional inicialmente elabora um projeto, coleta dados, escolhe uma escala e uma técnica cartográfica para melhor representar parte de uma superfície terrestre e contribuir para o objetivo do projeto.
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações a respeito do que faz um geógrafo.
• D IA do geógrafo. [S. l.: s. n.], 2022. 1 vídeo (1 min). Publicado pelo canal WebTV CREA-RJ. Disponível em: www.youtube.com/watch?v=ohUl-M-22mU. Acesso em: 29 jul. 2024.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações. Respostas pessoais.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Quando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) Fiz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) R espeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.
Noções primitivas: ponto, reta e plano
Posições relativas no plano
Posições relativas no espaço
Determinação de um plano
Distâncias no espaço
Projeções cartográficas: cilíndrica, cônica e plana
Projeções ortogonais
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
PREPARAR APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre a Geometria Esférica, que é uma Geometria não Euclidiana. O conhecimento sobre a Geometria Esférica tem aplicações em diferentes áreas do conhecimento. Por exemplo, esses conhe cimentos são frequentemente utilizados na Cartografia para a representação de mapas.
Imagine que um fabricante de globos terrestres, desses que são usados nas escolas com a representação do planeta Terra em escala reduzida, utilize esferas plásticas com 22 cm de raio, cuja superfície é coberta por adesivos.
Resolva os itens a seguir sobre a situação apresentada.
a) Esse fabricante estuda realizar um corte em um modelo do globo terrestre, exatamente sobre a circunferência da linha do equador, de modo a obter duas peças montáveis que representam o Hemisfério Sul e o Hemisfério Norte do planeta Terra. Esse corte definirá, na superfície de cada uma das peças, uma região circular que vai funcionar como base de apoio para ambas as peças. Qual será a área de cada uma dessas regiões?
484p cm2 ou aproximadamente 1 519,76 cm2
b) Para criar um novo modelo de mapa, esse fabricante deseja utilizar um tipo de projeção cartográfica que busca representar, com detalhes, a região da Antártida. Que projeção cartográfica ele deve escolher?
Resposta esperada: Projeção plana ou azimutal.
c) Na Geometria Esférica, um polígono esférico pode ser definido como a porção da superfície esférica limitada por arcos de circunferências máximas. Observe na figura o contorno de um triângulo esférico, representado no globo terrestre, com dois vértices na circunferência da linha do equador (pontos B e C ) e um vértice sobre o paralelo de 30°, no Hemisfério Norte (ponto A ). Se o contorno desse triângulo for projetado ortogonalmente sobre um plano a , perpendicular ao eixo do globo terrestre e tangente a ele no Polo Sul, obtemos uma figura que pode ser representada por :
alternativa III
Globo terrestre com suporte.
Em uma esfera, uma circunferência máxima corresponde a uma circunferência de maior raio possível que pode ser determinada na superfície dessa esfera. DiCA
1. (UEA-AM) Considere as retas r e s e o plano a , tais que:
s £ a r ¡ a r ⁄ s
Então, conclui-se que alternativa b
a) a reta r é perpendicular ao plano a
b) a reta s é paralela ao plano a
c) a s retas r e s se intersectam no plano a .
d) as retas r e s se intersectam fora do plano a .
e) a s retas r e s são reversas.
2. (UFAM) Assinale a alternativa CORRETA:
alternativa d
a) D ois planos que possuem três pontos em comum são coincidentes.
b) Se dois planos a e b são perpendiculares ao plano y, então os planos a e b são paralelos.
c) E xistem dois planos distintos, passando ambos por um mesmo ponto e perpendiculares a uma reta.
d) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.
e) Toda reta paralela a um plano é perpendicular a infinitas retas desse plano.
3. (EsPCEx-SP) Sobre os conceitos de Geometria Espacial de Posição, analise as proposições a seguir.
I) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente ao outro.
II) S e uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas desse plano.
III) S e dois planos têm uma única reta em comum, eles são secantes.
IV) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si.
V ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
Sobre essas proposições, é correto afirmar que
alternativa a
a) apenas a II e a III são verdadeiras.
b) apenas a II, a III e a IV são verdadeiras.
c) apenas a I e a IV são falsas.
d) apenas a IV e a V são falsas.
e) todas são verdadeiras.
4. (Enem/MEC) Um robô, que tem um ímã em sua base, se desloca sobre a superfície externa de um cubo metálico, ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, segue para o centro da próxima face, converte à esquerda e segue para o centro da face seguinte, converte à direita e continua sua movimentação, sempre alternando entre conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro de uma face. O robô só termina sua movimentação quando retorna ao ponto P. A figura apresenta os deslocamentos iniciais desse robô.
A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô sobre o plano da base, após terminada sua movimentação, visualizada da posição em que se está enxergando esse cubo, é
alternativa a
5. (Uesb-BA) Observando o paralelepípedo da figura a seguir, assinale a alternativa correta.
7. (UERJ) A imagem a seguir representa um cubo com aresta de 2 cm. Nele, destaca-se o triângulo AFC .
a) A reta EH é perpendicular ao plano BCFG .
b) A s retas BF e CG, contidas no plano BCGF, são perpendiculares ao plano ABCD .
c) E xistem dois planos que contêm a reta CG e que são perpendiculares ao plano ADHE
d) E xistem dois planos que contêm a reta BC e que são perpendiculares ao plano ADHE
e) E xistem dois planos perpendiculares ao plano ABCD e que contêm a reta GH
6. (Enem/MEC) Na figura estão destacadas duas trajetórias sobre a superfície do globo terrestre, descritas ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do Equador, sendo que os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si. O plano a é paralelo ao que contém a Linha do Equador.
A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano a dessas duas trajetórias é alternativa e
a) b) c) d) e) alternativa b
A projeção ortogonal do triângulo AFC no plano da base BCDE do cubo é um triângulo de área y. O valor de y, em cm2 , é igual a: alternativa c
8. (Famerp-SP) Analise o mapa.
O processo de elaboração da projeção cartográfica desse mapa é ilustrado em:
alternativa d
Concreto armado na construção civil
Na história da arquitetura, a partir do século XVII, com a Revolução Industrial, materiais como ferro, aço e concreto passaram a ser produzidos em maior escala, influenciando uma nova maneira de criar, planejar e arquitetar obras urbanas.
A combinação do concreto com armações de aço em seu interior deu origem ao concreto armado. Ao se desenvolver esse material, foi possível construir elementos resistentes, das mais variadas formas e tamanhos, pois oconcreto, depois de endurecido, tem resistência similar à das rochas naturais e, quando está fresco, sua plasticidade possibilita modelá-lo.
Observe, a seguir, de maneira resumida, as etapas para a execução de um projeto de construção de pilar estrutural em concreto armado.
Fonte dos dados: BASTOS, Paulo Sérgio. Fundamentos do concreto armado. Bauru: Unesp, 2023. p. 1-7. Disponível em: wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Fundamentos% 20CA.pdf. Acesso em: 9 ago. 2024.
Respostas nas Orientações para o professor. 1a etapa 2a etapa 3a etapa
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Você já observou alguma estrutura de concreto armado no município em que mora?
2. Na construção de uma edificação em alvenaria, que estruturas costumam ser construídas em concreto armado? Se necessário, faça uma pesquisa.
A armadura, em geral feita de barras de aço, tem resistência à tração, controla fissuras, garante durabilidade e permite flexibilidade. A fôrma costuma ser feita de madeira e é posicionada de maneira a acomodar a armadura em seu interior.
O concreto é colocado ainda fresco na fôrma, envolvendo a armadura. Após o endurecimento do concreto, a fôrma é retirada e pode ser reutilizada.
3. O que deve ser considerado para determinar o volume de concreto necessário para a construção de uma viga?
Na abertura desta Unidade, aprendemos que o concreto armado permite obter construções das mais variadas formas e tamanhos. Os formatos de muitas construções, cuja superfície é composta apenas de partes planas, lembram figuras geométricas espaciais chamadas poliedros.
Observe, a seguir, um poliedro que associamos a uma construção.
Estação Cabo Branco, em João Pessoa (PB). Obra em concreto armado projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer e inaugurada em 3 de julho de 2008. Fotografia de 2023.
Poliedro que representa o formato da Estação Cabo Branco.
Você conhece alguma construção no bairro ou na cidade em que você mora que pode ser associada a um poliedro? Agora, observe outros poliedros a seguir.
Denominamos poliedro toda figura geométrica espacial cuja superfície é formada por uma quantidade finita de polígonos de maneira que:
• cada lado de um desses polígonos é também lado de apenas um dos outros polígonos;
• dois polígonos adjacentes, ou seja, que têm pontos em comum, não estão contidos em um mesmo plano;
• é sempre possível traçar uma linha com extremidades em dois polígonos quaisquer desses, sem passar por nenhum vértice, ou seja, cruzando apenas lados dos polígonos.
PENSAR
A figura geométrica espacial a seguir apresenta as características de um poliedro? Justifique sua resposta.
Em todo poliedro, podemos identificar os seguintes elementos:
• face é cada um dos polígonos que compõem sua superfície;
• aresta é cada lado comum a duas faces quaisquer;
• vértice é cada ponto em que se intersectam os lados das faces.
Podemos classificar um poliedro de acordo com a quantidade de faces. Observe, a seguir, algumas dessas classificações.
eneadecaedro
Dois poliedros podem ter a mesma quantidade de faces, mas ter diferentes quantidades de vértices e de arestas. Observe dois exemplos. DiCA
com 12 arestas e 8 vértices.
com 9 arestas e 5 vértices.
Para nos referirmos aos poliedros com mais de 20 faces, podemos dizer apenas sua quantidade de faces, sem usar nome especial. Por exemplo, um poliedro de 25 faces. Acompanhe outra maneira como os poliedros podem ser classificados.
Um poliedro é convexo se qualquer segmento de reta, cujas extremidades são quaisquer dois pontos desse poliedro, está inteiramente contido nele. Caso contrário, o poliedro é não convexo
Você lembra a definição de polígono convexo? E de polígono não convexo? Respostas pessoais.
PARA PENSAR
Escolha um dos poliedros convexos apresentados anteriormente nesta Unidade e verifique a validade da relação de Euler para esse poliedro. Resposta pessoal.
Reflita a respeito da seguinte situação.
Um poliedro convexo tem 15 vértices e 27 arestas. Quantas faces tem esse poliedro?
Antes de responder a essa questão, vamos estudar uma relação entre a quantidade de vértices (V ), de arestas (A ) e de faces (F ) de poliedros convexos. Para isso, considere os poliedros a seguir.
PARA PENSAR
Por meio de um desenho, dê exemplo de um poliedro não convexo e verifique se, para ele, vale a relação de Euler. Resposta pessoal.
Para cada poliedro apresentado, adicione a quantidade de vértices à quantidade de faces. Você vai perceber que o resultado é igual à quantidade de arestas mais duas unidades. Essa relação foi apresentada pelo matemático suíço Leonhard Paul Euler (1707-1783), sendo mais uma dentre suas várias contribuições à Matemática.
Para todo poliedro convexo com A arestas, V vértices e F faces, é válida a seguinte igualdade, conhecida por relação de Euler:
V + F = A + 2
É importante considerar que:
• existem alguns poliedros não convexos para os quais essa relação também é válida;
• não são todas as soluções da equação V + F = A + 2 que têm um poliedro convexo correspondente. Por exemplo, V = 3, F = 0 e A = 1 é solução dessa equação, porém não existe um poliedro com 3 vértices, 0 face e 1 aresta. Agora, utilizando a relação de Euler, vamos retomar a questão proposta no início desta página, ou seja, determinar quantas faces tem o poliedro convexo com 15 vértices e 27 arestas.
V + F = A + 2 H 15 + F = 27 + 2 h F = 29 15 = 14
Portanto, esse poliedro convexo tem 14 faces.
R1. Quantos vértices e quantas arestas tem um poliedro convexo com 8 faces triangulares e 2 faces quadrangulares?
Resolução
Nesse poliedro convexo, a quantidade total de lados das faces:
• t riangulares é 24, pois 8 3 = 24;
• quadrangulares é 8, pois 2 ? 4 = 8.
Cada aresta corresponde ao lado comum a duas faces de um poliedro. Então, a quantidade total de arestas desse poliedro é dada por:
A = 24 + 8 2 = 16
Como o poliedro é convexo, podemos utilizar a relação de Euler:
V + F = A + 2 h V + (8 + 2) = 16 + 2 h V = 18 10 = 8
Portanto, esse poliedro tem 8 vértices, 16 arestas e 10 faces.
Observe, ao lado direito da página, um poliedro convexo com essas características.
R2. Alguns poliedros têm características particulares, como os poliedros de Platão, que recebem esse nome em homenagem ao filósofo grego Platão (c. 427 a.C.-347 a.C.).
Um poliedro de Platão satisfaz às condições a seguir.
I) Todas as faces têm a mesma quantidade de lados.
II) De cada vértice parte a mesma quantidade de arestas.
III) É válida a relação de Euler.
Em cada item, verifique se o hexaedro convexo apresentado é um poliedro de Platão. a) b) c)
Resolução
a) Esse hexaedro tem cinco faces com três lados e uma face com cinco lados. Assim, a condição I não é satisfeita. Portanto, esse hexaedro não é um poliedro de Platão.
b) Nesse poliedro, é satisfeita a condição I, pois todas as faces são triangulares. No entanto, a condição II não é satisfeita, pois, de alguns vértices, partem três arestas e, de outros vértices, partem quatro arestas. Portanto, esse hexaedro não é um poliedro de Platão.
c) Esse hexaedro tem as seis faces quadrangulares, satisfazendo a condição I, e, ainda, de cada vértice, partem três arestas, satisfazendo a condição II . Por fim, é válida a relação de Euler para esse poliedro, pois ele é um poliedro convexo, o que satisfaz a condição III . Portanto, esse hexaedro é um poliedro de Platão.
1. Resolva as questões com base no poliedro a seguir.
a) Determine a quantidade de vértices, faces e arestas.
7 vértices; 7 faces; 12 arestas
b) Qual é o formato das faces?
4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares
c) O vértice A é comum a quantas arestas? E o vértice B ?
3 arestas; 4 arestas
2. Desenhe um poliedro convexo e um poliedro não convexo. Depois, para cada um, identifique o formato das faces.
Construção do estudante.
3. Você já montou um cubo mágico convencional?
Ele é um quebra-cabeça com formato de cubo em que cada face é composta de 9 peças que lembram quadrados congruentes. Atualmente, existem diversas variações desse quebra-cabeça. Uma delas tem o formato de um dodecaedro regular em que cada face é composta de peças que lembram 5 losangos congruentes, 5 trapézios congruentes e 1 pentágono regular.
Quebra-cabeça, com formato de dodecaedro regular.
losango: 60 peças; trapézio: 60 peças; pentágono regular: 12 peças
Determine quantas peças de cada formato, ao todo, tem esse quebra-cabeça.
4. Você sabe o que é um poliedro regular?
Denominamos poliedro regular todo poliedro convexo em que:
• todas as faces são polígonos regulares congruentes;
• de cada vértice parte a mesma quantidade de arestas.
4. a) Resposta esperada: Sim, pois os poliedros regulares são poliedros convexos.
Analise os cinco únicos poliedros regulares que existem e suas respectivas planificações.
Tetraedro regular e sua planificação.
Hexaedro regular (ou cubo) e sua planificação.
Octaedro regular e sua planificação.
Dodecaedro regular e sua planificação.
Icosaedro regular e sua planificação.
Agora, resolva as questões.
a) A relação de Euler é válida para os poliedros regulares? Justifique sua resposta.
b) Determine a quantidade de faces, de arestas e de vértices e o polígono correspondente a cada face dos poliedros regulares. Indique também a quantidade de arestas que parte de cada vértice. Organize essas informações em um quadro.
Resposta nas Orientações para o professor.
c) Todo poliedro regular também é um poliedro de Platão? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: Sim, pois, em um poliedro regular qualquer, todas as faces têm a mesma quantidade de lados, de cada vértice parte a mesma quantidade de arestas e é válida a relação de Euler.
5. Qual é a quantidade de vértices de um hexadecaedro convexo formado apenas por faces triangulares?
10 vértices
6. Certo poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares, cinco faces triangulares e uma face pentagonal. A quantidade de vértices e de arestas desse poliedro é, respectivamente: a) 20 e 11; b) 11 e 40; c) 11 e 20; d) 22 e 20; e) 22 e 40.
alternativa c
7. Considere um poliedro convexo com 30 arestas e 14 vértices cuja superfície é formada apenas por faces triangulares e quadrangulares. Podemos afirmar que esse poliedro tem exatamente faces com os seguintes formatos:
a) 6 t riangulares e 12 qua drangulares;
b) 9 t riangulares e 9 quadrangulares; c) 8 t riangulares e 10 quadrangulares; d) 12 triangulares e 6 quadrangulares; e) 12 triangulares e 12 quadrangulares.
10. (Enem/MEC) No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F ), arestas ( A ) e vértices (V ): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.
Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?
a) V + F = A
b) V + F = A 1
c) V + F = A + 1
V + F = A + 2
V + F = A + 3
8. Considere um poliedro de Platão em que uma das faces é um pentágono.
a) Q ual das expressões a seguir relaciona as quantidades de vértices V e de faces F desse poliedro?
alternativa d III
I) V + F = 10
II) V 4F = 2
III) 2V 3F = 4
b) Qual é o nome desse poliedro?
dodecaedro 114 cm de linha
9. Um grupo de estudantes precisa confeccionar um dado que será usado em um jogo. O dado terá formato de octaedro regular e eles utilizarão pedaços de tecido para representar cada uma de suas faces. Ao costurar uma lateral de dois pedaços de tecido, unindo duas faces desse dado, são utilizados 9,5 cm de linha. Nessas condições, para realizar toda a costura necessária na superfície desse dado, serão utilizados, no mínimo, quantos centimetros de linha?
11. (UERJ) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo. A soma
V + F + A é igual a:
a) 102
b) 106
c) 110
d) 112
12. Sejam A e B dois poliedros de Platão, em que A é formado por faces pentagonais e B , por faces triangulares. Sabendo que A e B têm a mesma quantidade de arestas e que A tem 8 vértices a mais do que B , determine a quantidade de faces, vértices e arestas de A e B Depois, classifique esses poliedros quanto à quantidade de faces. alternativa e alternativa d
Um poliedro não convexo também pode ser denominado poliedro côncavo. DiCA
poliedro A: dodecaedro; 12 faces,
20 vértices e 30 arestas; poliedro B: icosaedro; 20 faces, 12 vértices e 30 arestas
Você sabe o que são pisos intertravados de concreto? São revestimentos compostos de blocos de concreto assentados diretamente sobre uma camada de areia e travados entre si por contenção lateral. Esses blocos são dispostos com espaços entre eles que, por sua vez, são preenchidos com areia fina ou pedriscos. Esse tipo de piso apresenta algumas vantagens sustentáveis, como o reaproveitamento de blocos já utilizados e a drenagem da água da chuva. Observe dois modelos de blocos que compõem um piso intertravado e cujos formatos lembram poliedros.
de concreto: retangular
poliedro
de concreto: raquete
Pavimentação com blocos de concreto do tipo retangular.
matemático: poliedro
Pavimentação com blocos de concreto do tipo raquete.
Os poliedros apresentados têm características que nos permitem classificá-los em prismas.
Agora, vamos estudar prismas de maneira que seja possível, por exemplo, determinar a área da superfície e o volume de pisos de concreto como os apresentados anteriormente.
Dados dois planos distintos e paralelos a e b, um polígono convexo contido em a e uma reta r concorrente a esses planos, a reunião de todos os segmentos de reta paralelos a r com uma extremidade no polígono e a outra em b é denominada prisma. Analise o exemplo. No prisma ABCDEA1B1C 1D1E 1, podemos destacar os seguintes elementos:
• os polígonos ABCDE e A1B1C1D1E1, congruentes, são as bases;
• AB , BC , CD , DE e AE são arestas da base ABCDE, e A1B1 , B1C1 , C1D1 , D1E1 e A1E1 da base A1B1C1D1E1;
• AA1 , BB1 , CC1 , DD1 e EE1 são arestas laterais;
• os quadriláteros ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DEE1D1 e AEE1A1 são faces laterais e correspondem a paralelogramos;
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
• a distância h, entre o plano a e o plano b, é a altura do prisma.
Os prismas podem ser denominados de acordo com o polígono das bases. Analise alguns exemplos.
Prisma triangular.
Prisma quadrangular.
pentagonal.
hexagonal.
Além disso, um prisma também pode ser classificado de acordo com a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases. Acompanhe.
• Os prismas cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm suas bases, ou seja, aqueles cujas faces laterais são retângulos, são denominados prismas retos. Quando as bases de um prisma reto são polígonos regulares, dizemos que ele é um prisma regular.
Prisma hexagonal regular.
Planificação de um prisma hexagonal regular.
• Os prismas cujas arestas laterais são oblíquas aos planos que contêm suas bases, ou seja, aqueles cujas faces laterais são paralelogramos que não são retângulos, são denominados prismas oblíquos
Prisma hexagonal oblíquo.
Planificação de um prisma hexagonal oblíquo.
Quando as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma também pode ser chamado de paralelepípedo; no prisma reto, quando as bases são retângulos, ele também pode ser chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular.
PARA PENSAR
heptagonal.
Paralelepípedo.
Paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular.
Por que podemos dizer que o cubo é um caso particular de paralelepípedo reto-retângulo? Justifique sua resposta e desenhe em seu caderno a planificação do cubo.
Resposta nas Orientações para o professor
Em qualquer prisma, podemos destacar as seguintes áreas.
• A superfície lateral corresponde à reunião das faces laterais do prisma, portanto a área dessa superfície é a área lateral (Al ).
• A área da base (Ab ) corresponde à área do polígono que compõe cada base do prisma.
• A superfície total corresponde à reunião da superfície lateral e das bases do prisma, portanto a área dessa superfície é a área total (At ).
Assim, a área total de um prisma pode ser expressa por:
At = Al + 2Ab
R3. Determine a medida da diagonal AG do paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH a seguir.
Denominamos diagonal de um prisma todo segmento de reta cujas extremidades estão em vértices que não pertencem a uma mesma face desse prisma.
Como ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, ao traçarmos o segmento de reta AC obtemos dois triângulos retângulos: ACG e ABC .
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC , temos:
( AC )2 = ( AB )2 + (BC )2 h ( AC )2 = 122 + 52 h ( AC )2 = 169 h {AC = √ 169 = 13 ou AC = √ 169 = 13 (não convém)
Agora, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACG , temos: ( AG )2 = ( AC )2 + (CG )2 h ( AG )2 = 132 + 62 h ( AG )2 = 205 h {AG = √ 205 ou
AG = √ 205 (não convém)
P ortanto, a medida da diagonal AG desse paralelepípedo reto-retângulo é √ 205 cm ou aproximadamente 14,32 cm.
R4. (UEMG) Um designer projetou um chaveiro no formato de um prisma triangular reto com 12 cm de altura. Sabe-se que as arestas da base formam um triângulo retângulo com catetos de medidas 6 cm e 8 cm. Para cobrir todas as faces desse prisma, adquirindo a quantidade suficiente de papel adesivo, e, com isso, evitar o desperdício, será preciso saber a área total da superfície desse prisma. Fazendo os cálculos corretos, obtém-se que a área total desse prisma mede a) 336 cm2 b) 324 cm2 c) 316 cm2 d) 312 cm2
Inicialmente, vamos calcular a área da base desse prisma triangular reto, que corresponde a um triângulo retângulo de catetos medindo 6 cm e 8 cm:
Ab = 6 8 2 = 24; ou seja, 24 cm2.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo presente nas bases desse prisma, vamos determinar a medida x de sua hipotenusa, em centimetro: x 2 = 6 2 + 8 2 h x 2 = 100 h
x = √ 100 = 10 ou x = √ 100 = 10 (não convém)
Como esse prisma é reto, suas faces laterais são retângulos de dimensões 12 cm e 6 cm, 12 cm e 8 cm, e 12 cm e 10 cm. Assim, a área lateral desse prisma é dada por:
A l = (12 ? 6) + (12 ? 8) + (12 ? 10) = 72 + 96 + 120 = 288; ou seja, 288 cm2. Agora, vamos calcular a área total desse prisma:
At = A l + 2 Ab = 288 + 2 ? 24 = 336; ou seja, 336 cm2
Portanto, a alternativa a é a correta.
13. Mostre que a medida d da diagonal do paralelepípedo reto-retângulo a seguir é dada por d = √ a 2 + b 2 + c 2
Resposta nas Orientações para o professor
14. Em certa residência será construída uma piscina, cujo formato interno é o de um paralelepípedo reto-retângulo, com 1,5 m de profundidade, 5 m de comprimento e 4 m de largura. Para revestir toda a superfície interna dessa piscina, um azulejista cobra R $ 35,00 por metro quadrado. Qual será o valor, em reais, cobrado pelo azulejista para realizar esse serviço? R$ 1.645,00
15. Um nicho decorativo foi composto de quatro partes idênticas, cada uma com formato de prisma hexagonal regular de 15 cm de altura, que foram ajustadas de maneira que algumas de suas faces laterais ficaram fixadas umas nas outras, sobrepondo-as, conforme representado a seguir.
cm
Quantos centimetros quadrados de adesivo serão utilizados para revestir totalmente a parte lateral externa desse nicho? Considere √ 3 1 1,7. 6 300 cm2
16. O reaproveitamento de contêineres tem se tornado uma alternativa sustentável e econômica para a construção de residências, lojas, escritórios, restaurantes, entre outros estabelecimentos. Uma empresa especializada nesse ramo projetou o modelo representado a seguir, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, em que serão instaladas uma janela com formato quadrangular com 1,2 m de lado e uma porta com formato retangular de dimensões 2,1 m e 2 m.
2,6 m 2,4 m
6,1 m
Após a instalação da janela e da porta, será utilizada uma tinta impermeabilizante cujo rendimento é de 14 m2 /L para pintar a superfície externa desse contêiner, incluindo sua parte inferior. Quantos litros dessa tinta são necessários, no mínimo, para pintar 35 contêineres como esse?
169,6 L
17. Uma fábrica personaliza toda a superfície externa das tampas de caixas que acondicionam alimentos. Observe as medidas aproximadas de dois modelos de tampa, um com formato de prisma quadrangular regular e outro com formato de prisma octogonal regular, ambos com altura de 4 cm.
18. Ao adicionar as medidas de todas as arestas do prisma oblíquo a seguir, cujas bases são hexágonos regulares, obtém-se aproximadamente:
a) 14 0,7 m.
b) 184,7 m.
c) 211,7 m.
d) 228 m.
e) 244,7 m.
alternativa e
cm2
Quantos centimetros quadrados, aproximadamente, há de diferença entre a área da região de personalização desses dois modelos da tampa?
19. Um serralheiro, para confeccionar uma peça de aço, soldou duas partes cúbicas, de maneira que os vértices de uma das bases da parte menor coincidissem com os pontos médios das arestas de uma das bases da parte maior, conforme representado na f igura.
Após a soldagem, o serralheiro realizou um processo de galvanização na parte externa da peça. A área aproximada da região galvanizada dessa peça é:
a) 49 0 cm2.
b) 9 80 cm2.
c) 1 470 cm2
d) 1 568 cm2
e) 1 665 cm2
alternativa d
Galvanização: procedimento para revestir objetos metálicos com uma camada de zinco para protegê-los da corrosão.
20. Observe, a seguir, as medidas externas de caixas de papelão, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, disponíveis para pronta-entrega de certa empresa.
do modelo II
Com base nessas informações, elabore e escreva um problema envolvendo a área de prismas. Em seguida, troque o problema com um colega para que um resolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaboração do estudante.
Você sabia que as piscinas olímpicas têm medidas padronizadas? De acordo com a Federação Internacional de Natação, uma piscina olímpica deve ter formato de paralelepípedo reto-retângulo com 50 m de comprimento e 25 m de largura, e a água deve atingir, no mínimo, 2 m de altura. Nessas condições, para determinar a quantidade mínima de água necessária em uma piscina olímpica, podemos determinar o volume dessa água, ou seja, o espaço que ela ocupa na piscina.
Fonte dos dados: GURI, Paulo Guilherme. Olimpíadas 2024: quantos litros de água tem uma piscina olímpica? São Paulo: Anapp, 25 jun. 2024. Disponível em: https://www.anapp.org.br/blog/olimpiadas-2024-quantos-litros-de-agua -tem-uma-piscina-olimpica. Acesso em: 13 set. 2024.
Para ilustrar essa situação, considere um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões correspondem ao bloco de água da piscina, conforme apresentado a seguir.
Piscina olímpica da Escola de Educação Física e Desportos da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro (RJ), 2023.
2 m
50 m
25 m
Modelo matemático.
Podemos calcular o volume desse paralelepípedo reto-retângulo imaginando sua decomposição em cubos com 1 m de aresta, ou seja, 1 m 3 de volume. Nesse caso, são obtidas duas camadas com 25 fileiras de 50 cubos cada. Assim, a quantidade de cubos desses em que o paralelepípedo reto-retângulo foi decomposto é dada por:
2 ? 25 ? 50 = 2 500; ou seja, 2 500 cubos.
Como o volume de cada cubo desses é 1 m3, então o volume desse paralelepípedo reto-retângulo é 2 500 m3, que corresponde ao volume mínimo de água que uma piscina olímpica deve ter.
Para calcular o volume de um paralelepípedo reto-retângulo, podemos multiplicar as medidas de suas três dimensões, ou multiplicar a área da base Ab pela medida da altura. Como o cubo é um caso particular de paralelepípedo reto-retângulo, em que as arestas têm medidas iguais, podemos calcular seu volume de maneira análoga.
• Volume do paralelepípedo reto-retângulo
• Volume do cubo
Os blocos lógicos foram criados pelo matemático húngaro Zoltan Paul Dienes (1916-2014), em meados da década de 1950, com o objetivo de auxiliar no desenvolvimento de atividades pedagógicas e do raciocínio lógico.
PARA PENSAR
Como você calcularia o volume de cada empilhamento desses?
Resposta esperada:
Agora, vamos estudar como calcular o volume de um prisma qualquer. Para isso, considere dois empilhamentos compostos de peças de blocos lógicos que lembram prismas idênticos e, por consequência, de mesmo volume, conforme representado a seguir.
Cada empilhamento tem a mesma quantidade de peças e cada peça tem o mesmo volume, portanto esses empilhamentos também têm volumes iguais. Isso ocorre independentemente de como empilharmos essa quantidade de peças.
Determinar o volume de cada peça e multiplicar o resultado obtido pela quantidade de peças de cada empilhamento.
Essa comparação entre os volumes desses dois empilhamentos envolve ideias do princípio de Cavalieri, conforme enunciado a seguir.
Sejam dois sólidos geométricos espaciais S1 e S2 de mesma altura h apoiados em um mesmo plano a. Se qualquer plano b, paralelo ou coincidente a a, que secciona esses sólidos determina neles duas regiões planas de mesma área A1 e A2, então o volume de S1 é igual ao volume de S2
Utilizando o princípio de Cavalieri, é possível determinar o volume de um prisma qualquer. Para exemplificar, considere um paralelepípedo reto-retângulo P1 e um prisma qualquer P2, ambos com altura h e bases com áreas iguais, apoiados em um mesmo plano a. Qualquer plano b, paralelo a a, secciona esses prismas determinando neles duas regiões planas A1 e A2, respectivamente, de mesma área. Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume de P2 é igual ao volume de P1.
Sabemos que o volume do paralelepípedo reto-retângulo P1 é dado por VP1 = Ab ? h; então, o volume de um prisma qualquer P2 também é dado por VP2 = Ab h
O volume V de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a área de sua base Ab pela medida da sua altura h
V = Ab ? h
R5. Na figura, estão indicadas as medidas das dimensões internas de um aquário com formato de prisma hexagonal regular. Quantos mililitros de água podem ser colocados nesse aquário para que seja ocupado
3 4 de sua capacidade?
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos considerar o prisma hexagonal regular correspondente à região interna desse aquário e realizar a decomposição da atividade em questões para resolvê-la em etapas. Acompanhe.
1a ) Qual é a medida do apótema da base desse prisma?
2a ) Qual é a área da base desse prisma?
3a ) Qual é o volume desse prisma?
4 a ) Quanto é 3 4 do volume desse prisma?
Agora, podemos resolver cada questão e utilizar a resposta na resolução da questão seguinte.
1a) P odemos decompor o polígono da base desse prisma em triângulos equiláteros congruentes, conforme indicado na figura. Depois, utilizando o teorema de Pitágoras, calculamos a medida do apótema a , em centimetro.
102 = a 2 + ( 10 2 )2 h a 2 = 100 25 h
a = 75 = 5 3 ou a = 75 = 5 3 (não convém)
2a) Podemos calcular a área Ab da base desse prisma, em centimetro quadrado, multiplicando por 6 a área de cada triângulo equilátero em que essa base foi decomposta.
Ab = 6 ? l a 2 H Ab = 6 ? 10 ? 5 3 2 = 150 3
3a) A ssim, temos que o volume V desse prisma, em centimetro cúbico, é dado por:
V = Ab h H V = 150 3 15 = 2 250 3
4 a) Calculando 3 4 do volume desse prisma, em centimetro cúbico, temos:
3 4 ? 2 250 3 = 3 375 3 2
Portanto, como 1 cm3 = 1 mL, podem ser colocados 3 375 3 2 mL ou aproximadamente 2 922,8 mL de água nesse aquário para que seja ocupada 3 4 da capacidade dele.
R6. (Enem/MEC) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60 m x 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.
Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C .
Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.
Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de
a) 1,4 x 103 m3
b) 1,8 x 103 m3
Resolução
1a
c) 2,0 x 103 m3
d) 3,2 x 103 m3 e) 6,0 x 103 m3
Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO
Do enunciado, obtemos as seguintes informações:
• o reservatório tem formato de paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 10 m, 60 m e 10 m e é subdividido em três compartimentos de mesmo volume, separados por placas retangulares de 7 m de altura e 10 m de base;
• após um suposto acidente, tem-se um furo no fundo do compartimento C, que resulta em vazamento;
• precisamos determinar o volume de petróleo derramado nesse suposto vazamento.
ELABORAR UM PLANO 2 a
• Inicialmente, podemos calcular o volume total de petróleo no reservatório. Em seguida, calcular o volume em cada compartimento. Por fim, subtrair do volume total de petróleo do reservatório o volume correspondente a dois compartimentos ( A e B ), resultando no volume de petróleo derramado.
3a
EXECUTAR O PLANO
O volume total de petróleo no reservatório é dado por:
VR = 60 ? 10 ? 10 = 6 000; ou seja, 6 0 00 m3
O volume de cada compartimento é dado por:
VC = 20 10 7 = 1 400; ou seja, 1 4 00 m3 .
Subtraindo o volume de petróleo de dois compartimentos do volume total do reservatório, obtemos:
VR 2 ? VC = 6 000 2 ? 1 400 = 3 200 = 3,2 ? 103; ou seja, 3,2 ? 103 m3 .
VERIFICAR OS RESULTADOS
Vamos adicionar o volume de petróleo que estava contido no compartimento C ao volume que estava contido apenas na parte superior do reservatório (acima das placas divisórias). Para isso, podemos calcular o volume V1 de um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 60 m, 10 m e 3 m (10 7) e o volume V 2 de outro paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 20 m, 10 m e 7 m para obter o volume total V de petróleo derramado:
V1 = 60 10 3 = 1 800; ou seja, 1 8 00 m3 .
V 2 = 20 ? 10 ? 7 = 1 4 00; ou seja , 1 4 00 m3
V = V1 + V 2 = 1 800 + 1 400 = 3 200 = 3,2 ? 103; ou seja, 3,2 ? 103 m3
Portanto, a alternativa d é a correta.
21. Calcule o volume do sólido geométrico a seguir, que pode ser decomposto em paralelepípedos reto-retângulos.
22. O armazenamento de água da chuva em reservatórios pode ser uma alternativa consciente para reaproveitar a água em tarefas domésticas, como lavar calçadas e regar plantas. Para que essa água não se torne criadouro do mosquito Aedes aegypti , transmissor de diversas doenças, são necessários alguns cuidados, por exemplo, misturar 2 mL de água sanitária para cada litro de água e manter o reservatório fechado.
Um desses reservatórios tem formato de paralelepípedo reto-retângulo cujas medidas das dimensões internas são 3 m, 2 m e 1,2 m. Quantos litros de água sanitária são necessários misturar quando esse reservatório estiver com água até 80% da sua capacidade total?
Você pode decompor esta atividade em etapas propondo algumas questões, como: qual é a capacidade total desse reservatório? A quantos litros correspondem 80% da capacidade desse reservatório? Quantos mililitros de água sanitária serão necessários misturar quando esse reservatório estiver com água ocupando 80% da capacidade total dele?
23. a) aproximadamente 135,6 cm3 366,12 g
23. Um fresador mecânico confeccionou a peça de metal representada, cujo formato é de um prisma hexagonal regular, com um furo com formato de paralelepípedo reto-retângulo.
a) Q ual é o volume dessa peça? Considere √ 3 1 1,7.
b) Qual é a massa dessa peça, sabendo que o metal utilizado tem densidade de 2,7 g/cm3?
A densidade de um material é dada pela razão entre sua massa e seu volume. DiCA
24. Para enviar uma mercadoria que está acondicionada em uma embalagem moldável, de 25 L de volume, uma transportadora disponibilizou alguns modelos de caixa, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, conforme apresentado a seguir.
Modelo
A36 x 27 x 18 16,05
B54 x 36 x 27 21,15
C27 x 27 x 36 22,50
D27 x 22,5 x 13,5 8,15
a) Calcule, em litro, a capacidade de armazenamento de cada modelo de caixa apresentado.
b) Qual modelo de caixa pode ser escolhido para acomodar a mercadoria descrita, de maneira que o custo de envio seja o menor possível?
24. a) A: 17,496 L; B: 52,488 L; C: 26,244 L; D: aproximadamente 8,201 L modelo B
25. As bases deste prisma oblíquo correspondem a triângulos equiláteros. Determine a medida da aresta da base desse prisma, sabendo que seu volume é igual a 180 √ 3 dm3
30. Algumas respostas possíveis: Paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 4 dm, 5,5 dm e 5 dm; paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 5 dm, 11 dm e 2 dm. 60° 3 dm 10
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
26. Estu damos, anteriormente, que os pisos intertravados são revestimentos compostos de blocos de concreto. Considere um modelo desses blocos cujo formato é o de um paralelepípedo reto-retângulo e cujas dimensões são 20 cm, 10 cm e 6 cm.
DiCA
Considere que o bloco seja instalado de maneira que a dimensão de 6 cm fique posicionada na vertical.
Desconsiderando a área correspondente aos vãos entre os blocos, calcule quantos metros cúbicos de concreto são necessários para produzir blocos desse modelo que sejam suficientes para pavimentar uma região retangular de 8 m de comprimento e 5 m de largura.
27. Na figura a seguir, está representada a planificação de um prisma reto cujo formato da base é um triângulo retângulo. Determine o volume desse prisma.
29. Uma empresa de coleta de resíduos de construção civil utiliza caçambas com formato que lembra um prisma reto. Observe as dimensões internas de uma dessas caçambas.
3,5 m
3 m 1,5 m 0,5 m
Vista lateral.
2,5 m
4 m
28. Pesquise em uma fonte de informação confiável, como site, jornal ou revista, uma notícia que envolva alguma unidade de medida de capacidade. Dê preferência a alguma notícia que seja de interesse da comunidade em que você vive. Com base nessa pesquisa, elabore um problema que contenha um trecho da notícia pesquisada –não se esqueça de indicar a fonte dessa notícia –e cuja resolução envolva o cálculo do volume de um prisma. Em seguida, troque o problema com um colega para que um resolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Pesquisa e elaboração do estudante.
Vista superior.
Qual é o volume máximo aproximado de resíduos que pode ser coletado nessa caçamba, sabendo que não pode haver resíduos ultrapassando suas bordas?
a) 5,3 m3
b) 7,1 m3 c) 17,8 m3 d) 20 m3 e) 21,4 m3
30. No Brasil, em 2022, o consumo médio diário de água por habitante foi cerca de 148 L de água, 38 L a mais do que o recomendado pela Organização das Nações Unidas (ONU).
Fonte dos dados: TRATA BRASIL. Água . [S l., 2024]. Disponível em: https://tratabrasil.org.br/principais -estatisticas/agua/. Acesso em: 9 ago. 2024.
• Desenhe um paralelepípedo reto-retângulo, in dicando as medidas de suas arestas, de maneira que seu volume corresponda à quantidade de água para consumo recomendada pela ONU.
31. (UFRGS-RS) Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo equilátero. Considere h a medida da aresta da base do prisma hexagonal e t a medida da aresta da base do prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo volume, então a razão h t vale a) 1 √ 6 . b) 1 6 c) 1. d) √ 6 e) 6. alternativa c alternativa a
32. As leis brasileiras que buscam garantir a inclusão de pessoas com deficiência na sociedade, em geral, são validadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Uma dessas leis diz respeito às normas para acessibilidade, como aquelas relacionadas às rampas de acesso. Analise algumas normas referentes a isso.
• Co nsideram-se rampas as inclinações da superfície de piso que têm declividade maior ou igual a 5%. Para garantir a acessibilidade de pessoas com deficiência, a inclinação de rampas não deve ultrapassar 8,33%.
• A inclinação de rampas (ou declividade) deve ser calculada de acordo com a expressão i = h ⋅ 100 c , em que i representa a inclinação em porcentagem, h é a altura do desnível e c é o comprimento da projeção horizontal, conforme a figura.
Superfície da rampa
Altura do desnível
Comprimento da projeção horizontal da rampa
• A largura livre recomendada para rampas é de 1,50 m.
Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020. p. 56-57. Disponível em: https://www.causc.gov.br/wp-content/ uploads/2020/09/ABNT-NBR-9050-15-Acessibilidade -emenda-1_-03-08-2020.pdf. Acesso em: 9 ago. 2024.
Para atender às condições de acessibilidade de certa escola, um arquiteto está projetando uma rampa de acesso que será construída com concreto maciço e terá o formato de um prisma triangular reto. Para esse projeto, será considerada uma rampa com altura de desnível de 0,60 m, inclinação de 8% e cuja largura livre é igual à recomendada pela ABNT.
DiCA
A inclinação da rampa, dada em porcentual, corresponde à razão entre a altura do desnível e o comprimento da projeção horizontal da rampa.
a) Determine o comprimento da projeção hor izontal dessa rampa.
b) Quantos metros cúbicos de concreto serão necessários para a construção dessa rampa? Desconsidere as ferragens que possam ser utilizadas.
7,5 m 3,375 m3
c) Jun te-se a dois colegas, e elaborem uma proposta para a construção de uma rampa de acesso. Nessa proposta, é importante justificar a escolha do local para a construção da rampa e indicar algumas referências a ser consideradas, como a inclinação, a altura do desnível, o comprimento da projeção horizontal, a largura livre e a quantidade de metros cúbicos de concreto n ecessária.
Elaboração dos estudantes.
33. Para realizar um experimento, foram utilizados dois recipientes: um com formato de prisma hexagonal regular e outro com formato de prisma quadrangular regular. Observe algumas medidas internas desses recipientes.
Recipiente I. Recipiente II.
Durante o experimento, foi colocada água no recipiente I de maneira que este ficou completamente cheio. Em seguida, despejou-se todo esse conteúdo no recipiente II . Podemos afirmar que o recipiente II :
alternativa d
a) não ficou completamente cheio.
b) fi cou completamente cheio e a água não transbordou.
c) fi cou completamente cheio e transbordaram menos de 200 mL de água.
d) fi cou completamente cheio e transbordaram mais de 300 mL de água.
No Egito antigo, os faraós construíam grandes monumentos que eram utilizados como tumbas. Muitos turistas viajam para o Egito com o objetivo de visitar essas construções, principalmente o conjunto arquitetônico de Gizé, na cidade do Cairo, onde se encontram as pirâmides construídas pelos faraós Quéops, Quéfren e Miquerinos.
PARA PENSAR
Prismas e pirâmides têm as faces laterais correspondentes a um mesmo polígono? Explique.
Resposta esperada: Não, pois as faces laterais dos prismas são sempre paralelogramos, e as faces laterais das pirâmides, triângulos.
PARA PENSAR
Assim como ocorre com os prismas, podemos nomear uma pirâmide de acordo com o polígono da base. No caderno, desenhe quatro pirâmides cujas bases são polígonos com diferentes quantidades de lados e nomeie-as.
Resposta pessoal.
Construída por volta de 2600 a.C., a pirâmide de Quéops, mais conhecida como a Grande Pirâmide de Gizé, é considerada uma das maiores obras de engenharia e arquitetura da Antiguidade, sendo a única das Sete Maravilhas do Mundo Antigo que sobreviveu ao tempo. Essa pirâmide deteve o posto de construção mais alta do mundo, até a inauguração da Torre Eiffel, no século XIX.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática . Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 67-68.
Grande Pirâmide de Gizé, no planalto de Gizé, nos arredores do Cairo (Egito), 2020. Construída pelo faraó Quéops, abrigou, por vários anos, a múmia e algumas riquezas desse faraó.
O formato da construção apresentada na fotografia lembra um tipo de poliedro denominado pirâmide.
Dados um plano a, um polígono convexo contido em a e um ponto V não pertencente a a, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra extremidade em um ponto desse polígono é denominada pirâmide. Analise um exemplo de pirâmide.
Na pirâmide VABCDE, podemos destacar os seguintes elementos:
• o ponto V é o vértice da pirâmide;
• o polígono ABCDE é a base;
• AB , BC , CD , DE e AE são as arestas da base;
• VA , VB , VC , VD e VE são as arestas laterais;
• os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE e VAE são as faces laterais;
• a distância h, entre o ponto V e o plano a, é a altura da pirâmide.
Algumas características da pirâmide permitem classificá-la em pirâmide regular. Você sabe quais são elas?
Denominamos pirâmide regular aquela cuja base é um polígono regular e a projeção do vértice dessa pirâmide sobre o plano que contém sua base coincide com o centro dessa base. Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes, e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
Nas pirâmides regulares, o apótema do polígono regular da base é o apótema da base da pirâmide (m), e a altura de uma face lateral é o apótema da pirâmide (g ).
Nas pirâmides regulares, podemos destacar quatro triângulos retângulos por meio dos quais, utilizando o teorema de Pitágoras, é possível relacionar as medidas dos seguintes elementos: aresta lateral (L ), aresta da base (l), raio da circunferência que circunscreve a base (r ), apótema da pirâmide (g ), apótema da base (m ) e altura (h ). Analise, na pirâmide hexagonal regular a seguir, os triângulos destacados e as relações obtidas.
• *VOM
De maneira análoga ao que estudamos em relação aos prismas, em uma pirâmide temos as seguintes áreas.
• A superfície lateral corresponde à reunião das faces laterais da pirâmide, portanto a área dessa superfície é a área lateral (Al ).
• A área da base (Ab ) corresponde à área do polígono da base da pirâmide.
• A superfície total corresponde à reunião da superfície lateral e da base da pirâmide, portanto a área dessa superfície é a área total (At ).
PARA PENSAR
Escreva uma expressão para representar a área total de uma pirâmide ( A t ) em função da área lateral ( Al) e da área da base (Ab ).
Resposta esperada: At = Al + Ab.
R7. Calcule a área total do seguinte tetraedro regular.
Resolução
O tetraedro regular corresponde a uma pirâmide triangular regular em que todas as faces são triângulos equiláteros congruentes. Vamos determinar a medida a de cada uma de suas arestas. Para isso, inicialmente, utilizamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo determinado por g (medida do apótema da pirâmide), h e m. g 6 cm h = 4 3 cm m = 2 g 2 = h 2 + m 2 H g 2 = (4√ 6 ) 2 + (2√ 3 ) 2 h
h g 2 = 108
A gora, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados a , g e a 2 : a 2 = ( a 2 )2 + g 2 H
h a 2 = a 2 4 + 108 h h 3a 2 4 = 108 h a 2 = 144
Agora, determinamos a área total do tetraedro regular:
R8. Em relação à pirâmide hexagonal regular de 12 m de altura e aresta da base medindo 4 m, calcule a:
a) medida do apótema da base;
b) medida da aresta lateral;
c) medida do apótema da pirâmide; d) área da base; e) área lateral; f) área total.
Resolução
a) A b ase dessa pirâmide corresponde a um hexágono regular que pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes, com 4 m de lado. A medida p do apótema da base corresponde à altura de um desses triângulos.
2 m 4 m p
Assim, temos:
42 = p 2 + 22 h p 2 = 12 h h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ p = √ 12 = 2√ 3 ou p = √ 12 = 2√ 3 (não convém)
Portanto, o apótema da base da pirâmide mede 2√ 3 m ou aproximadamente 3,46 m.
b) Sendo L a medida da aresta lateral dessa pirâmide, temos:
Portanto, a área total desse tetraedro regular é 144 √ 3 cm 2 ou aproximadamente 249,42 cm2.
L 2 = 12 2 + 4 2 h L 2 = 160 h h {L = √ 160 = 4√ 10 ou
L = √ 160 = 4√ 10 (não convém)
Portanto, a aresta lateral da pirâmide mede 4 √ 10 m ou aproximadamente 12,65 m.
c) Sendo g a medida do apótema dessa pirâmide, temos: 2 m g 10 m 4
(4√ 10 ) 2 = g 2 + 2 2 h g 2 = 156 h
g = √ 156 = 2√ 39 ou
g = √ 156 = 2√ 39 (não convém)
P ortanto, o apótema da pirâmide mede 2√ 39 m ou aproximadamente 12,49 m.
d) C omo a base dessa pirâmide hexagonal regular pode ser decomposta em seis triângulos equiláteros congruentes, com 4 m de lado, temos:
Ab = 6 42√ 3 4 = 24√ 3
34. Uma pirâmide quadrangular regular, de 7 cm de altura, tem as arestas da base medindo 2 cm. Com relação a essa pirâmide, determine a:
a) medida do apótema da base;
b) medida do apótema da pirâmide;
c) medida da aresta lateral;
d) área da base;
e) área lateral;
f) área total.
Portanto, a área da base da pirâmide é 24√ 3 m2 ou aproximadamente 41,57 m2
e) C omo a superfície lateral dessa pirâmide corresponde à reunião de seis triângulos isósceles de 4 m de base e 2 √ 39 m de altura, temos:
Al = 6 ? 4 ? 2√ 39 2 = 24√ 39
P ortanto, a área lateral da pirâmide é 24√ 39 m2 ou aproximadamente 149,88 m2.
f) P ara determinar a área total dessa pirâmide, adicionamos a área da base e a área lateral:
At = 24√ 3 + 24√ 39 = 24(√ 3 + √ 39 )
P ortanto, a área total dessa pirâmide é 24 ( √ 3 + √ 39 ) m 2 ou aproximadamente 191,45 m2.
PARA PENSAR
No caderno, faça um resumo de todas as etapas realizadas na resolução desta atividade. Resposta pessoal.
34. b) 5√ 2 cm ou aproximadamente 7,07 cm
Quantidade Polígono da base da pirâmide
√ 51 cm ou aproximadamente
7,14 cm 4 cm2
20√ 2 cm2 ou aproximadamente 28,28 cm2 4(5√ 2 + 1) cm2 ou aproximadamente 32,28 cm2
35. Para estudar algumas relações envolvendo as quantidades de vértices, arestas e faces de uma pirâmide, resolva os itens a seguir.
a) No caderno, reproduza e complete o quadro a seguir, em que n indica a quantidade de lados do polígono da base e V, A e F, as quantidades de vértices, arestas e faces da pirâmide, respectivamente. 1 cm
Triângulo 3464
Quadrilátero 4585
Pentágono 56106
Hexágono 67127
b) A nalisando esse quadro, faça o reconhecimento de padrões e expresse V, A e F em função de n . V = n + 1; A = 2n; F = n + 1
36. Uma pirâmide hexagonal regular tem área total igual a 6 ( 15 + √ 3 ) cm2 . Sabe-se que o raio da circunferência que circunscreve a base dessa pirâmide mede 2 cm. Qual é a medida do apótema dessa pirâmide? 15 cm
37. Uma estrutura decorativa é composta de duas peças: uma com formato de pirâmide quadrangular regular, de 40 cm de altura; e uma cúbica, de modo que dois vértices da base da pirâmide coincidem com os pontos médios de duas arestas dessa peça, conforme representado na figura.
Considerando que a peça cúbica tem área total igual a 13 824 cm2, qual é a área total da superfície da estrutura obtida?
38. Um designer está projetando uma embalagem em papel, com formato de pirâmide quadrangular regular. Observe o molde de uma dessas embalagens representado a seguir.
As abas que compõem o molde têm formato de trapézio isósceles, sendo três delas idênticas. DiCA
40. Um engenheiro civil projetou a construção do telhado de uma casa de maneira que seu formato correspondesse à superfície lateral de uma pirâmide de base retangular em que as arestas laterais são congruentes e medem 2√ 61 m. Observe, a seguir, a vista frontal e a vista lateral desse telhado.
Nesse projeto, estima-se utilizar 12 telhas por metro quadrado do telhado e considera-se um desperdício de 10 % de telhas sobre essa estimativa. Nessas condições, quantas telhas dessas, aproximadamente, devem ser compradas para a execução desse projeto?
a) 5 500 telhas
b) 6 100 telhas
c) 6 800 telhas
d) 7 200 telhas
e) 7 500 telhas
a) Qual é a área aproximada de papel a ser utilizado nessa embalagem?
b) Q uantos centimetros de altura, aproximadamente, tem a pirâmide correspondente a essa embalagem?
cm2 14,46 cm
39. Estudamos que a Grande Pirâmide de Gizé é a única das Sete Maravilhas do Mundo Antigo que continua de pé. Originalmente, a pirâmide tinha cerca de 146,5 m de altura, o que fez dela a mais alta estrutura erguida pelo ser humano até o século XIV. Considerando que a base dessa pirâmide corresponde a um quadrado com lados medindo 214 m, use a calculadora para determinar a medida aproximada do seu apótema.
aproximadamente 181,41 m
Fonte dos dados: BECK, Vinicius Carvalho. A matemática no Egito Antigo. In: ENCONTRO REGIONAL DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA, 16., [2010], Porto Alegre. Anais [...]. Porto Alegre: PUCRS, [2010]. p. 54. Disponível em: https://editora.pucrs.br/edipucrs/acessolivre/anais/ erematsul/comunicacoes/38VINICIUSCARVALHOBECK.pdf. Acesso em: 9 ago. 2024.
41. Uma empresa produz barracas com cobertura em lona, que costumam ser utilizadas em eventos. O custo de produção dessas barracas é R $ 4,00 por metro quadrado de lona utilizada. Observe, a seguir, a representação de uma barraca com cobertura em lona cujo formato corresponde ao de uma composição de um paralelepípedo reto-retângulo e uma pirâmide, de mesma base, em que as faces laterais são dois pares de triângulos congruentes.
5 m 3
10 m 8 m 4 m
Considerando que, nesse modelo de barraca, não é colocada lona no chão nem na parte frontal, que corresponde a um retângulo de dimensões de 10 m e 4 m, qual é o custo de produção dessa barraca?
alternativa b aproximadamente R$ 767,20
Observe uma pirâmide cuja base é um polígono P apoiado em um plano a e a representação de um plano b, paralelo a a, que determina nessa pirâmide uma região poligonal p, semelhante ao polígono P. A seção da pirâmide pelo plano b determina uma pirâmide menor, de altura h, semelhante à pirâmide original, de altura H.
Você se lembra de razões entre figuras semelhantes? Se duas figuras geométricas são semelhantes com razão k, então a razão entre as áreas dessas figuras é dada por k 2. Na figura apresentada, tomando k como a razão entre as medidas das alturas H e h
das pirâmides semelhantes, temos k = H h e, portanto, k 2 = ( H h )2
Como os polígonos das bases dessas pirâmides são semelhantes, então a razão entre suas áreas é igual
a k 2. Portanto, área de P
área de p = ( H h )2 . Isso está relacionado com o teorema a seguir.
Duas pirâmides que têm a mesma altura e bases com áreas iguais têm volumes iguais.
Para demonstrar esse teorema, vamos considerar duas pirâmides de mesma altura ( H ), apoiadas sobre um mesmo plano a , ambas com bases P 1 e P 2, de mesma área, e um plano b , paralelo a a , que determina duas regiões planas ( p 1 e p 2) nessas pirâmides e duas pirâmides menores, de altura h , semelhantes às respectivas pirâmides de altura H .
De acordo com o que observamos anteriormente, temos:
• área de P1
área de p1 = ( H h )2 • área de P2
Assim, podemos concluir que:
área de P1
área de p2 = ( H h )2
Resposta esperada: Essa igualdade é verdadeira pelo fato de as pirâmides de base P1 e p1 serem semelhantes e, portanto, a razão entre as áreas de suas bases é igual ao quadrado da razão entre quaisquer duas medidas de suas dimensões correspondentes, nesse caso, o quadrado da razão entre as alturas dessas pirâmides.
Na verificação do teorema apresentado anteriormente, utilizamos a igualdade
área de P1
área de p2
área de p1 = área de P2
área de p 1 = ( H h )2 O que garante que essa igualdade é verdadeira?
Como a área de P1 e de P2 são iguais, então a área de p1 é igual à área de p2 para qualquer plano b paralelo a a. Portanto, pelo princípio de Cavalieri, os volumes dessas pirâmides são iguais.
Usando o resultado anterior, vamos mostrar que o volume de uma pirâmide de base triangular corresponde à terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura. Para isso, decompomos um prisma de base triangular conforme a figura.
Nomeando os vértices do prisma e, consequentemente, os vértices das pirâmides obtidas na decomposição, temos:
Vamos comparar as pirâmides obtidas, duas a duas, para deduzir uma relação entre os volumes.
I) As pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume, pois:
• os triângulos DEF e ABC têm áreas iguais, pois são triângulos congruentes uma vez que ambos são bases do prisma;
• as alturas AD e FB dessas pirâmides em relação às respectivas bases DEF e ABC são iguais à altura do prisma.
II) As pirâmides ADEF e FACE têm o mesmo volume, pois:
• os triângulos ADE e ACE são congruentes;
• as alturas relativas às faces ADE e ACE são iguais, uma vez que correspondem à distância do ponto F à face ACED do prisma.
Assim, os volumes das três pirâmides são iguais. Portanto, o volume de uma pirâmide de base triangular corresponde à terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura.
Os triângulos ADE e ACE são congruentes pelo caso de congruência LLL, uma vez que têm o lado AE em comum, e os lados AD e CE e os lados DE e AC são pares de lados opostos de um retângulo.
Vprisma = 3 ? Vpirâmide h Vpirâmide = Vprisma 3
Estudamos que o volume de um prisma é dado por V = Ab ? h, em que Ab é a área da base. Assim, o volume de uma pirâmide de base triangular é dado por:
Vpirâmide = Vprisma 3 h Vpirâmide = Ab ? h 3
Essa relação pode ser ampliada para qualquer pirâmide. Para isso, vamos considerar uma pirâmide qualquer de altura h e área da base Ab e uma pirâmide de base triangular com a mesma altura e a mesma área da base.
Utilizando o princípio de Cavalieri, essas duas pirâmides com a mesma altura e bases com áreas iguais têm volumes iguais. Portanto, o volume (V ) de uma pirâmide qualquer é dado por:
V = Ab h 3
R9. Calcule o volume da pirâmide triangular apresentada. Resolução
A base da pirâmide é um triângulo retângulo, de catetos medindo 3 cm e 4 cm; então, sua área é dada por:
Ab = 3 4 2 = 6; ou seja, 6 cm2.
Assim, podemos calcular o volume dessa pirâmide: V = Ab ? h 3 = 6 8 3 = 16
Portanto, o volume dessa pirâmide é 16 cm3
R10. A o seccionar uma pirâmide de vértice V e altura H , por um plano a paralelo à sua base, determinamos dois poliedros: uma pirâmide menor de altura h, semelhante à pirâmide original, e um tronco de pirâmide. Quando a pirâmide original é uma pirâmide regular, as bases do tronco de pirâmide são polígonos regulares semelhantes, suas faces laterais são trapézios isósceles, e a altura desses trapézios é chamada de apótema do tronco. Observe o exemplo a seguir.
Pirâmide menor
a H V
Apótema do tronco V h
h : altura da pirâmide menor
Tronco de pirâmide
Base menor do tronco
H T : altura do tronco
Face lateral do tronco
Base maior do tronco
O volume V T de um tronco de pirâmide pode ser obtido calculando a diferença entre o volume VP da pirâmide original e o volume Vm da pirâmide menor:
V T = VP Vm
Agora, considere o tronco de uma pirâmide quadrangular regular a seguir e resolva as questões.
17 m 2
9 m 5 m
a) Qual é a área total desse tronco de pirâmide?
b) Qual é o volume desse tronco de pirâmide?
8 m
a) A s bases menor e maior desse tronco de pirâmide correspondem a quadrados de 5 m e 9 m de lado, respectivamente. Assim:
• Ab = 52 = 25; ou seja, 25 m2; • AB = 92 = 81; ou seja, 81 m2
A área lateral do tronco corresponde à soma das áreas de quatro trapézios congruentes de bases 5 m e 9 m e altura 2√ 17 m. Assim: Al = 4 (5 + 9) ? 2√ 17 2 = 4 14 2√ 17 2 = 56√ 17 ; ou seja, 56√ 17 m2
Assim, a área total do tronco de pirâmide é dada por:
AT = Ab + AB + Al = 25 + 81 + 56√ 17 = 106 + 56√ 17
Portanto, a área total desse tronco de pirâmide é (106 + 56√ 17 ) m2 ou aproximadamente 336,89 m2
b) Considerando HT a altura do tronco, h a altura da pirâmide menor e H a altura da pirâmide orig inal, temos:
• H h = 9 5 h h + 8 h = 9 5 h 5h + 40 = 9h h h = 10; ou seja, 10 m.
• H = h + HT h H = 10 + 8 = 18; ou seja, 18 m.
Assim, o volume do tronco de pirâmide é:
P ortanto, o volume do tronco de pirâmide é 1 208 3 m 3 ou aproximadamente 402,67 m3 .
42. Uma artesã confeccionou duas peças decorativas de madeira maciça, uma com formato de pirâmide pentagonal ( A ) e outra, de pirâmide heptagonal (B). Com base nas informações de cada peça, calcule o volume de madeira usada em cada uma. peça A: 576 cm3; peça B: 144 cm3
Peça A
Altura da pirâmide: 12 cm. Área da base: 144 cm2
Peça B
Altura da pirâmide: 6 cm. Área da base: 72 cm2
43. Um objeto maciço com formato de octaedro regular foi colocado em uma caixa cúbica com capacidade para 64 L, de maneira que os vértices desse objeto coincidiram com os centros das faces da caixa. Nessas condições, é possível afirmar que o volume desse objeto é: a) 32 3 L. b) 32 L. c) 256 3 L. d) 256 L.
alternativa
44. a) 54(√ 3 + √ 39 ) cm2 ou aproximadamente 430,76 cm2
44. b) 324√ 3 cm3 ou aproximadamente 561,18 cm3
44. Uma pirâmide hexagonal regular tem apótema medindo 3√ 39 cm e aresta da base 6 cm. De acordo com essas informações, responda às questões.
a) Qual é a área da superfície dessa pirâmide?
b) Qual é o volume dessa pirâmide?
45. O quilate indica quantas partes de ouro correspondem ao total de 24 partes de uma liga. Em uma peça de ouro 18 quilates, por exemplo, a cada 24 g dessa peça, 18 g correspondem a ouro. Observe.
Quantidade de quilates 2422201816
Fração de ouro na composição de uma peça
Utilizando ouro 18 quilates, um ourives confeccionou um pingente de 12 g, com formato de pirâmide quadrangular regular com 1 cm de aresta da base e 1,5 cm de altura.
a) Quantos gramas desse pingente correspondem a ouro?
b) Qual é o volume desse pingente?
c) C alcule a densidade desse pingente, em grama por centimetro cúbico.
46. Uma pirâmide de base retangular tem 1,5 dm de altura e 6 dm3 de volume. Sabe-se que as arestas da base dessa pirâmide têm medidas inteiras em decimetro. Quais são as possíveis medidas das arestas da base dessa pirâmide?
47. Jorge produz velas artesanais de parafina com formatos de prismas e pirâmides regulares. Observe três modelos dessas velas.
48. O tronco de pirâmide a seguir foi obtido a partir de uma pirâmide hexagonal regular.
a) modelo A: R$ 3,51; modelo B: R$ 3,27; modelo C: R$ 11,22
O custo de produção de cada vela é R $ 0,03 por centimetro cúbico de parafina utilizada. Para determinar o preço de venda de cada vela, Jorge multiplica o valor do custo por 2,5.
a) Qual é o custo de produção aproximado de cada um desses modelos?
b) Por quantos reais Jorge venderá cada modelo de vela?
modelo A: R$ 8,78; modelo B: R$ 8,18; modelo C: R$ 28,05
c) E m certa semana, Jorge arrecadou R $ 800,00 com venda de velas. Quantos reais ele lucrou com essas vendas? Considere que o lucro, nesse caso, corresponda à diferença entre o valor arrecadado com as vendas e o custo de produção das velas vendidas.
a) Qual é a área total desse tronco de pirâmide?
b) Qual é o volume desse tronco de pirâmide?
49. Observe, a seguir, a planificação de um tronco de pirâmide, determinado a partir de uma pirâmide quadrangular regular.
a) Qual é a área total desse tronco de pirâmide?
b) Qual é o volume desse tronco de pirâmide?
50. A parte inferior de um troféu tem o formato de um tronco de pirâmide hexagonal regular.
Elabore um problema que envolva as informações descritas de maneira que seja necessário utilizar ideias associadas à área da superfície ou ao volume de tronco de pirâmide para resolvê-lo. Em seguida, troque seu problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.
51. (Unimontes-MG) Uma pirâmide tem 4 m de altura e 160 m3 de volume. Paralelamente a sua base e a 2 m de seu vértice, traça-se um plano que a divide em uma pirâmide menor e um tronco de pirâmide. O volume, em m3 , do tronco dessa pirâmide é igual a alternativa a a) 140. b) 100. c) 80. d) 20. Elaboração do estudante.
O Brasil é um dos principais produtores de grãos do mundo, como soja e milho. Na safra 2023/2024, por exemplo, foi estimada uma produção de cerca de 294 milhões de toneladas de grãos no país. Para acondicionar toda essa produção, costumam ser utilizados silos de armazenamento. Um dos modelos mais comuns desses silos tem parte de sua estrutura com formato de cilindro, como o mostrado a seguir.
O formato da parte superior da estrutura desses silos lembra um cone, figura geométrica espacial que será estudada posteriormente nesta Unidade.
Silos de armazenamento de grãos em Santarém (PA). Fotografia de 2024.
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério do Desenvolvimento Agrário e Agricultura Familiar. Companhia Nacional de Abastecimento. Safra de grãos 2023/2024 está estimada em 294,1 milhões de toneladas. Brasília, DF: MDA: Conab, 11 abr. 2024. Disponível em: https://www.conab.gov.br/ultimas-noticias/5478-safra-de-graos-2023-2024-esta-estimada-em-294-1-milhoes-de-toneladas. Acesso em: 9 ago. 2024.
Para calcular a quantidade aproximada de material necessário para fabricar um silo desses ou sua capacidade de armazenamento, é necessário ter conhecimentos sobre cilindros. Você se lembra de alguns conceitos estudados no Ensino Fundamental a respeito dessa figura geométrica espacial?
MATEMATICA
NA HISTORIA
Diversos estudos sobre Geometria surgem a partir de problemas práticos. Por exemplo, 26 dos 110 problemas apresentados nos papiros egípcios de Moscou e de Rhind tratam de elementos geométricos. Um desses problemas propõe um procedimento para o cálculo aproximado do volume de um cilindro, provavelmente motivado pela necessidade de se calcular a capacidade de estocagem de grãos em silos cilíndricos. Em escavações realizadas em Tell Edfu, no Egito, arqueólogos encontraram estruturas cilíndricas que possivelmente eram utilizadas como silos para estocagem de cevada e trigo.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 75.
Vestígios arqueológicos de silos de armazenamento de suprimentos, localizados no oásis de Dakhla (Egito). Datação aproximada de 3200 a.C. a 2300 a.C. Fotografia de 2011.
Dados dois planos distintos e paralelos a e b , um círculo de centro O e raio r contido em a e uma reta t concorrente a esses planos, a reunião de todos os segmentos de reta paralelos a t com uma extremidade no círculo e outra em b é denominado cilindro circular. Analise um exemplo de cilindro circular.
Em um cilindro circular, podemos destacar os seguintes elementos:
• os círculos de raio r e centros O e O’, paralelos, são as bases;
• a reta OO' é o eixo;
• os segmentos de reta paralelos a OO' com extremidades nas circunferências das bases são as geratrizes;
• a distância entre os planos que contêm as bases é a altura;
• a reunião de todas as geratrizes é a superfície lateral
De acordo com a inclinação das geratrizes em relação aos planos que contêm as bases, um cilindro pode ser classificado em cilindro oblíquo ou cilindro reto.
• Cilindro oblíquo é aquele cujas geratrizes são oblíquas aos planos que contêm suas bases.
• Cilindro reto é aquele cujas geratrizes são perpendiculares aos planos que contêm suas bases.
Nesta coleção, será abordado apenas o cilindro circular, que será tratado simplesmente como cilindro.
O cilindro reto também é denominado cilindro de revolução , uma vez que pode ser obtido por meio da rotação em 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.
A região obtida na interseção de um cilindro por um plano que contém o seu eixo é denominada seção meridiana
Em um cilindro oblíquo, a seção meridiana corresponde a um paralelogramo que não é retângulo.
Em um cilindro reto, a seção meridiana corresponde a um retângulo.
Em um cilindro de revolução, a medida da geratriz é igual à da altura. g
Todo cilindro cuja seção meridiana corresponde a um quadrado, é denominado cilindro equilátero. Nesse tipo de cilindro, que relação há entre as medidas da altura, do raio da base e da geratriz?
Resposta esperada: As medidas da altura e da geratriz são iguais ao dobro da medida do raio da base.
Vamos analisar a planificação de um cilindro reto para compreender como se calcula a área da superfície dele.
A planificação de um cilindro reto de altura h e raio da base r corresponde à reunião de dois círculos de raio r e um retângulo de largura h e comprimento 2pr, conforme representado na imagem. h h
O comprimento desse retângulo é igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro.
De acordo com essa planificação, podemos destacar as seguintes áreas.
• A área da base é dada por: Ab = pr 2
• A área lateral é dada por: Al = 2pr h
• A área total é dada por: At = 2Ab + Al ou At = 2pr (r + h ) .
R11. Observe informações a respeito de uma coifa de exaustão que tem, na parte superior, um tubo com formato de cilindro reto.
Especificações técnicas
Fonte: Dados fictícios.
Quantos centimetros quadrados de uma placa de alumínio são necessários para fabricar a superfície lateral desse tubo?
Resolução
Note que no enunciado há dados que não são essenciais para resolvermos a atividade, como a tensão elétrica da coifa. Nesse caso, podemos selecionar apenas as informações necessárias, conforme segue.
AT¡v¡DaDeS
Nestas atividades, utilize 3,14 como aproximação de p .
52. Nos itens a seguir, calcule a área total, em centimetro quadrado, de cada cilindro. a)
As figuras não estão proporcionais entre si.
53. Para encapar totalmente uma pequena caixa, com formato de cilindro reto de 30 cm de altura, foram utilizados 350 p cm2 de papel. Qual é a medida máxima do raio das bases dessa caixa?
54. Quanto mede a altura de um cilindro equilátero cuja área total é 48 p cm2?
4 √ 2 cm ou aproximadamente
• Altura do tubo: 80 cm.
• Área da base do tubo: 314 cm2
De acordo com esses dados, vamos calcular a medida r do raio das bases do tubo cilíndrico, em centimetro, considerando a planificação de sua superfície lateral um retângulo com dimensões de 2pr cm e 80 cm e a área da base igual a 314 cm2
Ab = pr 2 H 314 1 3,14 ?
h r 2 1 314 3,14 h h r 1 100 = 10 ou r 1 100 = 10 (não convém)
Assim, como o raio da base é aproximadamente 10 cm, calculamos a área da placa, em centimetro quadrado:
A l = 2prh H A l 1 2 ? p ? 10 ? 80 1 5 024
Portanto, são necessários aproximadamente 5 024 cm2 de uma placa de alumínio para fabricar a superfície lateral do tubo cilíndrico dessa coifa.
55. Observe, a seguir, o projeto de uma manta térmica para cobertura de uma edificação, que será instalada na superfície externa.
Preço da instalação da manta térmica, por metro quadrado: R $ 9,60.
Edificação cuja cobertura tem o formato que lembra parte da superfície de um cilindro reto.
120 ° 15 m 25 m
Modelo matemático que corresponde à parte da superfície obtida ao seccionar um cilindro reto por um plano paralelo ao seu eixo.
Que quantia , em reais, no mínimo, será necessária para a instalação dessa manta térmica?
R$ 7.536,00
Anteriormente, obtivemos informações sobre um silo de armazenamento de grãos em que parte da estrutura tem formato que lembra um cilindro. Para determinar, por exemplo, a capacidade de armazenamento de silos como esse, podemos utilizar ideias relacionadas ao volume de um cilindro.
Vamos obter uma expressão para o cálculo do volume de um cilindro usando o princípio de Cavalieri. Para isso, vamos considerar um prisma e um cilindro de mesma altura h , cujas bases têm áreas iguais a Ab e estão apoiadas em um mesmo plano a . Qualquer plano b, paralelo a a, que secciona esses sólidos, determina neles duas regiões planas com áreas iguais a Ab.
Pelo princípio de Cavalieri, podemos afirmar que os volumes do prisma e do cilindro são iguais. Como estudado anteriormente, o volume de um prisma é dado por Vp = Ab ? h , portanto o volume do cilindro é dado por:
V = Ab h
O volume de um cilindro de raio r e altura h é dado por:
V = A b ? h ou V = p r 2 h
AT¡v¡DaDe resolv¡da
R12. Leia, a seguir, o trecho de uma reportagem sobre silos cilíndricos usados pelos egípcios há mais de 3 mil anos.
Essas caixas de armazenamento, presumivelmente para cevada e trigo usados para alimentação e como meio de troca, foram construídas com tijolos de barro, com diâmetros de 18 a 22 pés. Se sua altura fosse maior que o diâmetro, o que era comum, os silos provavelmente teriam pelo menos 25 pés de altura.
WILFORD, John Noble. Escavações revelam modo de vida de cidadãos comuns no antigo Egito. G1, [s l.], 4 jul. 2008. Disponível em: http://g1.globo.com/Noticias/Ciencia/0,,MUL636430-5603,00-ESCAVACOES+REVELAM+MODO+DE+V IDA+DE+CIDADAOS+COMUNS+NO+ANTIGO+EGITO.html. Acesso em: 12 ago. 2024.
Imagine que um desses silos tivesse 20 pés de diâmetro da base e 25 pés de altura, com 770 kg de trigo armazenados em cerca de 1 m3. Considerando 1 pé equivalendo a aproximadamente 0,3 m, quantos kilogramas de trigo seria possível armazenar nesse silo?
Resolução
Vamos determinar, em metro, as medidas do raio da base r e da altura h do cilindro reto correspondente a esse silo.
• r = 20 2 ? 0, 3 = 3; ou seja, 3 m.
• h = 25 ? 0,3 = 7,5; ou seja, 7,5 m.
Considerando p aproximadamente igual a 3,14, vamos calcular o volume aproximado desse cilindro:
V = pr 2h H V 1 3,14 ? 32 ? 7,5 = 211,95; ou seja, 211,95 m3 .
Como cada 770 kg de trigo ocupam cerca de 1 m3 , temos: 770 ? 211,95 = 163 201,5. Portanto, um silo desse tipo teria capacidade para armazenar cerca de 163 201,5 kg de trigo.
56. a) 250p cm3 ou aproximadamente 785 cm3
56. b) 2 176p dm3 ou aproximadamente 6 832,64 dm3
NO MUNDO DO TRABAlHO
Nas atividades das páginas 173 e 174, utilize 3,14 como aproximação de p .
56. Determine o volume dos cilindros a seguir, em que O corresponde ao centro de uma base. a)
cm 10 cm
As figuras não são proporcionais entre si.
57. Qual é o volume de um cilindro equilátero com área total de 216 p cm2?
432p cm3 ou aproximadamente 1 356,48 cm3
58. Uma empresa organizou equipes para elaborar propostas de novas embalagens para armazenar entre 230 mL e 250 mL de certo produto. Observe informações sobre os formatos e as medidas internas de alguns modelos apresentados pelas equipes.
I) F ormato de cilindro reto com 6 cm de diâmetro da base e 7,5 cm de altura.
II) Formato de cilindro reto com 3,5 cm de raio da base e 7 cm de altura.
III) Formato de prisma hexagonal regular, com 3 cm de aresta da base e 5,4 cm de aresta lateral.
IV) Formato de paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 9 cm, 6 cm e 4,5 cm.
Qual desses modelos de embalagem pode ser utilizado pela empresa? A superfície dessa embalagem tem quantos centimetros quadrados de área? modelo IV; 243 cm2
Trabalho em equipe e criatividade
Para um bom trabalho em equipe, é importante que cada integrante dela desempenhe seu papel e que escute e respeite os demais, considerando as diferenças e o compartilhamento de conhecimentos e ideias. É primordial, ainda, que dividam responsabilidades, sempre pensando na melhor maneira de executarem uma tarefa.
Em uma empresa, o trabalho em equipe é essencial para um bom desempenho, além da criatividade na busca por soluções de um problema ou de uma demanda. Essas são duas importantes soft skills, competências comportamentais relacionadas à personalidade do profissional, que empresas têm considerado na contratação de pessoas para escolher aquela que lida melhor com os desafios do dia a dia.
Ouça o podcast indicado a seguir para obter mais informações a respeito de soft skills.
• B BC LÊ: o que são ‘soft skills ’: habilidades comportamentais cada vez mais buscadas por empregadores. Locução de: Rodrigo Durão. [S. l.]: BBC News Brasil, 14 ago. 2022. Podcast. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=rcWm0x c8AEA. Acesso em: 9 ago. 2024.
59. Em uma fazenda, há um silo para armazenamento de grãos cujo formato corresponde à composição de um cilindro reto e de um cone reto, ambos de mesma base, conforme representado. Quantos metros cúbicos de grãos podem ser armazenados na parte cilíndrica?
108p m3 ou aproximadamente 339,12 m3
63. c) Respostas possíveis: 36 2 (aproximadamente 113,04 cm2) ou 52,5p cm2 (aproximadamente 164,85 cm2).
63. d) Respostas possíveis: 28 (aproximadamente 87,92 cm3) ou 49p cm3 (aproximadamente 153,86 cm3).
60. As canetas esferográficas recebem esse nome porq ue têm ponta uma pequena esfera que, ao ser girada em contato com a superfície, transporta a tinta para o papel.
VANGELIS_VASSALAKIS/SHUTTERSTOCK.COM
Em certo modelo de caneta esferográfica sem uso, o reservatório de tinta tem formato de cilindro reto, com 3 mm de diâmetro interno e 130 mm de altura. A tinta ocupa cerca de 90 % da capacidade desse reservatório.
sferográfica.
a) Qual é a capacidade do reservatório de tinta dessa caneta? 292,5p mm3 ou aproximadamente 918,45 mm3
b) Q ual é o volume de tinta, em mil imetro cúbico, contido no reservatório de uma caneta dessas? Esse volume corresponde a mais ou a menos do que 1 mL?
aproximadamente 827 mm3; menos do que 1 mL
61. Em uma obra de drenagem, foram utilizadas 100 manilhas de concreto, com formato de cilindro reto de 1,2 m de altura, para o escoamento de águas pluviais.
Os diâmetros externo e interno de cada manilha medem, respectivamente, 40 cm e 24 cm.
Qual é o volume total de concreto, em metro cúbico, utilizado para a fabricação dessas manilhas? Desconsidere as ferragens que possam ser utilizadas. aproximadamente 9,65 m3
62. Observe o retângulo a seguir.
cilindro I:
1 350p cm3 ou aproximadamente
4 239 cm3; cilindro II: 540p cm3 ou aproximadamente
1 695,6 cm3
Considere os cilindros retos I e II , obtidos ao realizar a rotação desse retângulo em 360° , em torno de AB e BC , respectivamente.
a) Qual é o volume dos cilindros I e II?
b) Qual é a diferença entre as áreas totais dos cilindros I e II? 378p cm2 ou aproximadamente
1 186,92 cm2
63. A área lateral de um cilindro reto é aproximadamente 87,92 cm2. Sabendo que o perímetro de sua seção meridiana é 22 cm, determine: a) a medida do raio de sua base; b) a medida de sua altura; Respostas possíveis: 7 cm ou 4 cm. c) sua área total; d) seu volume.
64. Observe um retângulo ABCD, no plano cartesiano, em que a unidade de medida de comprimento utilizada é o centimetro.
Qual é o volume do sólido geométrico obtido ao rotacionar esse retângulo em 360°, em torno do eixo x ?
Respostas possíveis: 2 cm ou 3,5 cm.
64p cm3 ou aproximadamente 200,96 cm3
65. Um cubo de 3 3√ 2p cm de aresta tem o mesmo volume de um cilindro equilátero. Em relação a esse cilindro equilátero, calcule:
a) o seu volume;
54p cm3 ou aproximadamente 169,56 cm3
b) a medida do raio de sua base; 3 cm
c) sua área lateral. 36p cm2 ou aproximadamente 113,04 cm2
66. Para armazenar o gel fixador de cabelo, contido na embalagem representada a seguir, uma empresa planeja criar uma embalagem com outro formato.
Elabore o projeto de uma nova embalagem para o armazenamento do gel fixador, de maneira que esta tenha formato diferente do apresentado, mas com capacidade aproximadamente igual. Para isso, represente essa nova embalagem com desenho, indicando suas medidas, e apresente os respectivos cálculos.
Com base nas informações do enunciado e no seu projeto de embalagem, elabore um problema em que seja necessário utilizar ideias associadas a volume e área de figuras geométricas espaciais. Em seguida, troque seu problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Elaboração do estudante.
Quando descartado de maneira incorreta, o óleo de cozinha é um dos produtos domésticos que mais causam danos ao meio ambiente, poluindo os rios e o solo. Além disso, esse descarte também pode causar o entupimento dos encanamentos.
Para evitar esses tipos de problema, é importante realizar o descarte do óleo corretamente. Observe as etapas de descarte a seguir.
Deixar o óleo esfriar por pelo menos 30 minutos.
Assista a este vídeo para obter mais informações sobre a reciclagem do óleo de cozinha.
• MEIO ambiente por inteiro: reciclagem do óleo de cozinha. [S. l.: s. n.], 2018. 1 vídeo (24 min). Publicado pelo canal Rádio e TV Justiça. Disponível em: www.youtube.com/watch?v=lI pirOW3DVQ. Acesso em: 12 ago. 2024.
Coar o óleo para evitar o excesso de detritos de fritura.
Armazenar o óleo em uma garrafa PET com tampa.
Levar o óleo armazenado a um posto de coleta.
Em geral, são utilizados coadores de metal resistentes a altas temperaturas cujo formato lembra o de um cone, o que permite maior área de contato do óleo com o coador.
Fonte dos dados: SÃO PAULO (Estado). Casa Civil. Reciclagem: aprenda a descartar corretamente o óleo de cozinha. São Paulo: Casa Civil, [2024]. Disponível em: https://www.casacivil.sp.gov.br/ reciclagem-aprenda-a-descartar-corretamente-o-oleo-de-cozinha/. Acesso em: 13 ago. 2024.
Dados um plano a, um círculo de centro O e raio r contido em a e um ponto V não pertencente a a, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto desse círculo é denominada cone circular. Analise um exemplo de cone circular.
CBOOK PRODUÇÕES
Em um cone, como o anterior, podemos destacar os seguintes elementos:
• o ponto V é o vértice;
• o círculo de raio r e centro O é a base;
• os segmentos de reta com uma extremidade na circunferência da base e a outra no vértice V são as geratrizes;
• a reta OV é o eixo;
• a distância h , entre o ponto V e o plano a , é a altura do cone;
• a reunião de todas as geratrizes é a superfície lateral.
Nesta coleção, será abordado apenas o cone circular, que será tratado simplesmente como cone. DiCA
De acordo com a inclinação do eixo em relação ao plano que contém a base, um cone pode ser classificado em cone oblíquo ou cone reto.
• Cone oblíquo é aquele cujo eixo é oblíquo ao plano que contém sua base.
PARA PENSAR
Escreva uma expressão que relacione a medida do raio da base (r), da geratriz ( g) e da altura ( h) de um cone circular reto.
Resposta esperada:
Cone oblíquo.
• Cone reto é aquele cujo eixo é perpendicular ao plano que contém sua base.
Cone reto.
O cone reto também é denominado cone de revolução, uma vez que pode ser obtido por meio da rotação em 360° de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.
A seção transversal de um cone corresponde à interseção do cone por um plano b paralelo à sua base. Note que a região obtida nessa interseção é um círculo.
A região obtida na interseção de um cone por um plano b que contém o seu eixo é denominada seção meridiana.
Todo cone cuja seção meridiana corresponde a um triângulo equilátero é denominado cone equilátero . Escreva expressões que relacionem a medida da geratriz ( g ) e a medida da altura (h ) de um cone equilátero em função da medida do raio de sua base (r ).
Em um cone oblíquo, a seção meridiana corresponde a um triângulo.
Em um cone reto, a seção meridiana corresponde a um triângulo isósceles.
Para calcular a área da superfície de um cone reto, vamos, primeiramente, analisar sua planificação.
A planificação de um cone reto de geratriz de medida g e raio da base r corresponde à reunião de um círculo de raio r e um setor circular de raio g e arco de circunferência de 2pr de comprimento, conforme representado a seguir.
Resposta esperada: g = 2r; h = r √ 3 .
Você se lembra de que a área de um setor circular é diretamente proporcional ao comprimento do arco de circunferência correspondente? Usando essa ideia, podemos determinar a área lateral (Al) de um cone reto:
2pg 2pr = pg 2 A l
Nesse cone reto, podemos destacar as seguintes áreas:
• a área lateral é dada por: Al = prg ;
• a área da base é dada por: Ab = pr 2 ;
• a área total é dada por: At = Ab + Al ou At = pr (r + g ) .
O comprimento do arco de circunferência correspondente ao setor circular é igual ao comprimento da circunferência da base do cone. DiCA
R13. Um c one reto tem 10 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura. Em relação a esse cone, calcule a:
a) área da base;
b) medida da geratriz;
c) área lateral;
d) área total;
e) medida do ângulo central, em grau, do setor circular que compõe a planificação de sua superfície lateral;
f) área da seção meridiana.
Resolução
a) Sendo Ab a área da base desse cone, temos:
Ab = p r 2 = p ( 10 2 )2 = 25 p
Portanto, a área da base do cone é 25p cm2 ou aproximadamente 78,5 cm2
b) Sendo g a medida da geratriz desse cone, temos:
e) Vamos calcular a medida do comprimento do arco de circunferência de raio 13 cm determinado pelo ângulo central de medida a a
g = √ 169 = 13
g = √ 169 = 13 (não convém)
Portanto, a geratriz do cone mede 13 cm.
c) Sendo A l a área lateral desse cone, temos:
A l = prg = p 5 13 = 65 p
Portanto, a área lateral do cone é 65 p cm2 ou aproximadamente 204,1 cm2.
d) Sendo At a área total desse cone, temos:
At = Ab + A l = 25 p + 65 p = 90 p
Portanto, a área total do cone é 90 p cm2 ou aproximadamente 282,6 cm2
Para isso, primeiramente, vamos obter a medida do comprimento de uma circunferência de raio 13 cm:
2 ? p ? 13 = 26p; ou seja, 26p cm. Agora, calculamos o comprimento da circunferência da base do cone:
2 ? p ? 5 = 10p; ou seja, 10p cm. Com isso, podemos compor a seguinte proporção:
do ângulo
Portanto, a 1 138,46°
f) Sendo Am a área do triângulo isósceles correspondente à seção meridiana do cone, temos:
Portanto, a área da seção meridiana do cone é 60 cm2
67. a) área da base: 225p cm2 ou aproximadamente 706,5 cm2; área lateral: 585p cm2 ou aproximadamente 1 836,9 cm2; área total: 810p cm2 ou aproximadamente 2 543,4 cm2
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
Nestas atividades, utilize 3,14 como aproximação de p
67. Em cada item a seguir, calcule a área da base, a área lateral e a área total do cone reto. a)
As figuras não são proporcionais entre si.
68. Um cone reto tem 15 cm de raio da base e geratriz medindo 15 √ 5 cm. Em relação a esse cone, calcule a:
30 cm
68. c) 225p √5 cm2 ou aproximadamente 1579,78 cm2
a) medida da altura; b) área da base; c) área lateral; d) área total.
69. Uma peça com formato de cone reto, com 18 cm de raio da base, foi cortada de maneira que fossem obtidas duas peças idênticas, como a representada a seguir. 18
69. 432(p + 1) cm2 ou aproximadamente 1 788,48 cm2
70. d) 49√ 3 cm2 ou aproximadamente 84,77 cm2
Qual é a área total de cada parte obtida?
67. b) área da base: 36p m2 ou aproximadamente 113,04 m2; área lateral: 60p m2 ou aproximadamente 188,4 m2; área total: 96p m2 ou aproximadamente 301,44 m2
68. b) 225p cm2 ou aproximadamente 706,5 cm2
68. d) 225p (1 + √ 5 ) cm2 ou aproximadamente 2 286,28 cm2
72. Certa fábrica produz três modelos de coadores de metal, próprios para coar óleo de cozinha usado, todos com formato de cone reto, cujas medidas do diâmetro da base e da altura estão indicadas a seguir.
Modelo A. Modelo B. Modelo C.
Para resolver esta atividade, desconsidere possíveis desperdícios de metal na produção, além da espessura e dos furos desses modelos de coador.
a) Desconsiderando o metal utilizado no cabo desses coadores, ao utilizar de 900 cm2 até 1 000 cm2 desse metal, é possível produzir cerca de: alternativa II I) dois coadores do modelo A e três do modelo B; II) dois coadores do modelo A e um do modelo C; III) um coador do modelo B e um do modelo C; IV) um coador de cada modelo.
b) Como o óleo de cozinha é descartado na residência onde você mora? Comente.
Resposta pessoal.
98p cm2 ou aproximadamente 307,72 cm2 147p cm2 ou aproximadamente 461,58 cm2
70. Um cone equilátero tem base de 14 cm de diâmetro. Em relação a esse cone, calcule a: a) medida da geratriz; 14 cm b) área lateral; c) área total; d) área da seção meridiana; e) m edida a do ângulo central do setor circular que compõe a planificação da superfície lateral.
180°
71. U m triângulo retângulo tem catetos medindo 6 cm e 8 cm. Qual é a área total do sólido geométrico obtido ao rotacionar em 360° esse triângulo em torno de um eixo que contém seu maior cateto? E em torno de um eixo que contém seu menor cateto?
71. 96p cm2 ou aproximadamente 301,44 cm2; 144p cm2 ou aproximadamente 452,16 cm2
c) Em grupos de três integrantes, pesquisem, no município ou na região em que vocês moram, pontos de coleta de óleo de cozinha usado (ecopontos). Com alguma ferramenta digital, elaborem um mapa virtual com esses ecopontos, a fim de divulgá-los na mídia digital, com informações sobre os horários de funcionamento e a importância do descarte correto do óleo de cozinha usado.
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
Acesse o site indicado a seguir para obter mais informações sobre pontos de coleta de óleo de cozinha usado.
• Ó LEO SUSTENTÁVEL. Pontos de entrega
[S l.]: Abiove: Óleo Sustentável, c2024. Disponível em: www.oleosustentavel.org.br/pontos-de -entrega. Acesso em: 12 ago. 2024.
Para determinar uma expressão para o cálculo do volume de um cone, vamos considerar um cone e uma pirâmide, ambos com altura h e bases com áreas iguais a Ab , apoiados em um mesmo plano a Consideremos também um plano b qualquer, paralelo a a, que secciona esses sólidos a uma distância d de seus vértices, determinando neles duas regiões planas de área A1 e A2, respectivamente.
De acordo com o que estudamos anteriormente, há semelhança entre o cone ori ginal e o cone menor obtido na seção do plano b , portanto A 1 A b = d 2 h 2 De maneira análoga, para a pirâmide original e a pirâmide menor obtida na seção do plano b , temos A 2 A b = d 2 h 2 . C om isso, chegamos à seguinte proporção: A 1 Ab = A2 Ab h A1 = A2
Pelo princípio de Cavalieri, podemos afirmar que os volumes do cone e da pirâmide são iguais. Você estudou que o volume da pirâmide é dado por VP = A b ? h 3 , logo o volume do cone é dado por: V = A b ? h 3
Dado um cone circular de raio da base r e altura h, seu volume é dado por: V = A b ? h 3 ou V = p r 2 h 3 r O h
Agora, vamos observar o que ocorre com um cone e um cilindro, ambos com altura h e bases de raio r • Vcone = p r 2 h 3 • Vcilindro = pr 2h
A partir dessas igualdades, temos: Vcone = Vcilindro 3 h Vcilindro = 3 ? Vcone
Portanto, para um cilindro e um cone de mesmo raio da base e mesma altura, o volume desse cilindro é o triplo do volume do cone ou, de maneira equivalente, o volume desse cone corresponde à terça parte do volume do cilindro.
R14. Uma confeitaria produz doces compostos de uma casquinha de biju recheada. O recheio ocupa completamente o espaço interno da casquinha, cujo formato corresponde ao de um cone circular reto de 10 cm de altura e 6 cm de diâmetro interno da base. Quantos mililitros de recheio vão em cada doce desses? Considere p 1 3,1.
Resolução
O raio da base e a altura do cone circular reto, correspondentes à região interna da casquinha, medem 3 cm (6 : 2 = 3) e 10 cm, respectivamente. Assim, o volume aproximado desse cone é dado por:
93; ou seja, 93 cm3
Como 1 cm3 equivale a 1 mL, então cada doce terá aproximadamente 93 mL de recheio.
R15. Ao seccionar um cone reto de vértice V , altura H e raio da base R , por um plano a paralelo à sua base, determinamos duas figuras geométricas espaciais: um cone reto menor de altura h e raio da base r , semelhante ao cone original, e um tronco de cone reto
h V h : altura do cone menor r O’
Base menor do tronco Geratriz do tronco r R O’ O a H V r R O’
Tronco de cone H T : altura do tronco
Base maior do tronco
Considere o tronco de cone circular reto a seguir e resolva o que se pede em cada item.
a) Qual é a área total desse tronco de cone?
b) Determine o volume desse tronco de cone.
Resolução
Esse tronco de cone pode ser obtido a partir de um cone reto de vértice V, raio da base medindo 6 cm e geratriz G , conforme a figura a seguir.
a) Vamos calcular as áreas das bases menor ( Ab ) e maior ( AB ) desse tronco de cone:
• Ab = p ? 42 = 16 p; ou seja, 16 p cm2;
• AB = p 62 = 36 p; ou seja, 36 p cm2.
A área lateral (Al) desse tronco de cone corresponde à diferença entre as áreas laterais do cone original e do cone menor. Como esses cones são semelhantes entre si, temos:
6 4 = g + 2√ 5 g h 6g = 4g + 8√ 5 h
h g = 8 √ 5 2 = 4√ 5 ; ou seja, 4√ 5 cm.
Com isso, calculamos a área lateral:
Al = pRG prg H Al = p ? 6 ? (4√ 5 + + 2√ 5 ) p ? 4 ? 4√ 5 = 20√ 5 p; ou seja, 20 √ 5 p cm2.
Agora, vamos calcular a área total (AT ) desse tronco:
AT = Ab + AB + Al = 16p + 36p + + 20√ 5 p = 52p + 20√ 5 p
AT¡v¡DaDeS
Não escreva no livro.
Nas atividades das páginas 182 a 184, utilize 3,14 como aproximação de p . DiCA
73. Determine o volume de cada cone a seguir. a)
73. a) 324p cm3 ou aproximadamente
1 017,36 cm3
73. b) 51 200p m3 ou aproximadamente
160 768 m3
b)
Portanto, a área total desse tronco de cone é (52 + 20 √ 5 )p cm2 ou aproximadamente 303,7 cm2.
b) P ara determinar o volume desse tronco de cone (V T ), podemos calcular a diferença entre os volumes do cone original (VC ) e do cone menor (Vc ).
Considerando HT a altura do tronco, h a altura do cone menor e H = HT + h a altura do cone original, temos: h h + HT = 4 6 h 6h = 4h + 4 ? 4 h h 2h = 16 h h = 8; ou seja, 8 cm.
Assim, temos: VT = VC Vc = = p 6 2 (4 + 8) 3 p ? 4 2 ? 8 3 = = 432p 3 128p 3 = 304p 3
Portanto, o volume desse tronco de cone é 304p 3 cm3 ou aproximadamente 318,19 cm3
76. 2 197 √ 3 p 3 dm 3 ou aproximadamente 3 982,9 dm3
74. Qual é o volume de um cone reto com diâmetro da base e altura medindo, respectivamente, 6 cm e 11 cm?
33p cm3 ou aproximadamente 103,62 cm3
75. Um cone reto tem raio da base de 12 m e geratriz de 20 m. Em relação a esse cone, calcule: a) a medida de sua altura; 16 m b) seu volume.
As figuras não são proporcionais entre si.
76. Calcule o volume de um cone equilátero com raio da base medindo 13 dm.
77. Um cone reto tem 81 2 p cm3 de volume e 6 cm de altura. Qual é a medida do raio da base desse cone?
768p m3 ou aproximadamente 2 411,52 m3 4,5 cm
78. O proprietário de um buffet precisa comprar taças de aproximadamente 300 mL de capacidade e com formato interno de cone reto. Desenhe um modelo de taça que atenda a esses requisitos, indicando suas medidas em centimetro.
Resposta possível: Taça com 12 cm
de diâmetro da base e 8 cm de altura na região interna de formato de cone.
79. Para produzir uma escultura, um artesão separou uma peça maciça de argila, com formato de cilindro reto de 9 cm de altura. Em seguida, com um torno, ele fez um furo com formato de cone reto, centralizado nessa peça, de mesma altura que a do cilindro, conforme representado a seguir.
Após finalizada, qual será o volume de argila dessa escultura? 1 656p cm3 ou aproximadamente 5 199,84 cm3
80. Um tanque é utilizado em uma indústria para armazenar óleo diesel, que mantém geradores elétricos em funcionamento quando falta energia na rede. Observe a representação desse tanque com as medidas internas indicadas.
Nessa indústria, há cinco geradores elétricos que, quando acionados, consomem cerca de 31 L de óleo diesel por hora, cada um. Quantas horas, no máximo, todos esses geradores podem ser mantidos simultaneamente em funcionamento com o óleo diesel disponível nesse tanque, quando cheio? 8 h
81. Observe um cone oblíquo cujo eixo corresponde a ⟷ OV e a base está contida em um plano a a h
Sabendo que OV = 9 cm e que o raio da base desse cone mede 3 cm, determine: a) a medida de sua altura h ; b) o seu volume.
82. Na figura a seguir, AC é a reta suporte da hipotenusa do triângulo retângulo ABC Qual é o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar esse triângulo em 360 ° em torno de AC ? Explique a um colega seus procedimentos.
7,5 m10 m
p m3 ou aproximadamente 471 m3
83. Buscando inovar nas embalagens de seus produtos, uma indústria de cosméticos planeja lançar uma nova linha de batons, em embalagens acrílicas com formato de cone reto. Essa embalagem será completamente coberta por um adesivo cujo molde está representado na f igura.
a) Qual será a área aproximada da superfície de cada embalagem acrílica dessas?
p cm2 ou 72,35 cm2
b) Qual será a capacidade aproximada, em mililitro, de cada embalagem dessas? Para os cálculos, desconsidere o volume de acrílico da embalagem. 13,03p mL ou 40,91 mL
84. Um recipiente, completamente cheio de água, tem formato de cone reto com medidas internas do raio da base igual a 5 cm e altura, 15 cm. Toda água desse recipiente será despejada em um pote com formato de cilindro reto, com raio da base e altura com medidas internas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.
a) Q ual será a altura alcançada pelo nível da água nesse pote?
b) Qual é a capacidade desse pote, em mililitro?
c) Q ue porcentual da capacidade desse pote ficará com água? aproximadamente 43,4%
85. Qual deve ser a medida do raio da base de um cone equilátero para que seu volume seja igual ao volume de um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 6√ 3 cm, 8 cm e 12p cm?
86. Analise, a seguir, o modelo de lustre pendente, com cúpula em um formato que lembra o de um tronco de cone reto e que terá a superfície lateral externa pintada.
Relação entre capacidade e massa de copos plásticos
Capacidade (mL)Massa mínima (g)
50 0,75
200 2,2
Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 14865: copos plásticos descartáveis. Rio de Janeiro: ABNT, 2002. p. 3. Disponível em: https://www. higiclear.com/wp-content/uploads/2021/09/NBR-14865.pdf. Acesso em: 10 out. 2024.
O setor de controle de qualidade de uma indústria selecionou uma amostra de dois modelos de copos, com formato semelhante a um tronco de cone reto, produzidos em certo lote, para verificar se estão adequados às normas da ABNT. Analise as informações a seguir.
Diâmetro maior
Qual é a área desse lustre que será pintada?
87. De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), os copos plásticos não podem ter furos, rachaduras ou pontas afiadas, e devem ser protegidos com embalagens plásticas para comercialização. Por questão de segurança, os diferentes modelos de copos plásticos descartáveis devem ter massas mínimas estabelecidas pela ABNT, que variam de acordo com a capacidade total dos copos, conforme indicado a seguir.
Modelo A
Diâmetro menor
Diâmetro maior: 12 cm
Diâmetro menor: 8 cm
Altura: 6,28 cm
Massa: 7 g
Modelo B
Diâmetro maior: 7,2 cm
Diâmetro menor: 4,8 cm
Altura: 7 cm
Massa: 2 g
a) Qual desses modelos não atende às especificações da ABNT? Justifique. modelo B
b) J unte-se a três colegas, e escolham um modelo de copo plástico descartável que tenha o formato semelhante a um tronco de cone reto. Em seguida, investiguem se o modelo de copo escolhido está adequado às normas apresentadas. Por fim, elaborem um relatório de pesquisa para descrever a investigação realizada, apresentando todos os cálculos e argumentos necessários.
Resposta pessoal.
Você provavelmente já observou representações do Sistema Solar em livros, revistas ou sites . De modo geral, essas representações não mantêm a proporção entre todos os astros. Isso ocorre, principalmente, por causa da grande diferença de tamanho entre alguns deles, como o Sol e os planetas. Observe, por exemplo, a representação, em proporção, da Terra e de Júpiter, maior planeta do Sistema Solar.
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre o Sistema Solar.
• A STROLAB: Sistema Solar. [S . l.: s. n.], 2018. 1 vídeo (4 min). Publicado pelo canal TV Unesp. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=prDb3LrWxAY. Acesso em: 12 ago. 2024.
Fonte dos dados: NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE ADMINISTRATION. Jupiter by the numbers. [Washington, D.C.]: Nasa, [2024]. Disponível em: https://solarsystem.nasa.gov/jupiter-by-the-numbers/. Acesso em: 29 out. 2024.
Representação artística do planeta Terra e do planeta Júpiter (imagem sem escala; cores-fantasia).
Os formatos dos planetas do Sistema Solar lembram esferas. A seguir, vamos estudar essa figura geométrica espacial e os cálculos da área de sua superfície e de seu volume.
Dado um ponto C e uma medida real positiva r , a reunião de todos os pontos do espaço cujas distâncias ao ponto C são menores ou iguais a r é denominada esfera. Observe alguns elementos que podemos destacar em uma esfera:
• o ponto C é o centro;
• a reta que contém o centro da esfera é o eixo;
• a circunferência determinada ao seccionar a esfera por um plano perpendicular ao eixo e que contém o centro C é o equador;
• as circunferências determinadas ao seccionar a esfera por planos paralelos ao equador são os paralelos;
• as circunferências determinadas ao seccionar a esfera por planos que contêm o eixo são os meridianos;
• os pontos P1 e P2 determinados na interseção entre o eixo e a superfície da esfera são os polos.
Vamos determinar uma expressão para o cálculo do volume de uma esfera. Para isso, consideramos uma esfera de centro C e raio r , conforme a figura, e o plano a seccionando essa esfera de maneira a determinar um círculo de raio R e centro O, com OC = d.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado na figura, temos:
r 2 = d 2 + R 2 h R 2 = r 2 d 2
Assim, podemos expressar a área do círculo de centro O da seguinte maneira:
pR 2 = p(r 2 d 2)
Agora, vamos considerar um sólido geométrico M determinado ao “retirar” de um cilindro equilátero de raio r dois cones de raio r , altura r e vértice B , conforme a figura a seguir. O volume desse sólido é dado por:
Analise, no esquema a seguir, a esfera de centro C e o sólido geométrico M , seccionados pelo plano a e apoiados em um plano b, paralelo ao plano a
É possível mostrar que o triângulo BO’P é isósceles e concluir que O’B = O’P = d. DiCA
A área do círculo de centro O determinado na seção da esfera pelo plano a é dada por p(r 2 d 2). A seção do plano a no sólido M determina uma coroa circular cuja área é dada por:
= p(r 2 d 2)
Como a seção do plano a determina regiões de mesma área na esfera e no sólido M , pelo princípio de Cavalieri, concluímos que o volume dessa esfera e desse sólido são iguais.
Portanto, o volume da esfera de raio r é dado por: V = 4p r 3 3
Dada uma esfera de raio r, conforme a figura, seu volume é dado por:
V = 4p r 3 3 r O
Para calcular a área A da superfície de uma esfera de centro C e raio r, vamos considerá-la decomposta em n sólidos geométricos congruentes, conforme a imagem.
Os sólidos obtidos nessa decomposição têm formato parecido ao de uma pirâmide de vértice C , altura r e área da base A b , cujo
volume é dado por VP = Ab ? r 3
Sendo Vn o volume das n pirâmides correspondentes aos sólidos obtidos nessa decomposição, temos: Vn = n Vp h Vn = n Ab r 3 h Vn = n Ab r 3
Quando n cresce indefinidamente, Vn tende ao volume V da esfera e n Ab tende à área A da superfície da esfera. Dessa forma, temos: Vn = n ? Ab ? r 3 H V = A ? r 3 h
Dada uma esfera de raio r, a área de sua superfície é dada por: A = 4pr 2
AT¡v¡DaDe resolv¡da
R16. A esfera também é um sólido de revolução, pois pode ser obtida por meio da rotação em 360° de um semicírculo em torno de um eixo que contém seu diâmetro. C r C r
Resolução
O diâmetro desse semicírculo tem extremidades nos pontos de coordenadas (1, 0) e (5, 0), logo a medida do seu comprimento d é dada por: d = 5 1 = 4; ou seja, 4 unidades de comprimento.
Assim, a esfera obtida ao rotacionar esse semicírculo tem raio medindo 2 unidades de comprimento (4 : 2 = 2). Com isso, podemos calcular a área da superfície A e o volume V dessa esfera:
Agora, determine a área da superfície e o volume da esfera obtida ao rotacionar em 360° , em torno do eixo das abscissas, o semicírculo representado no plano cartesiano a seguir 0 x y 15
• A = 4p ? 22 = 16 p ; ou seja, 16 p unidades de área;
• V = 4p ⋅ 2 3 3 = 32p 3 ; ou seja, 32p 3 unidades de volume.
89. volume: 1 526,04 cm3; área da superfície: 763,02 cm2
90. 2√ 5 cm ou aproximadamente 4,47 cm
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
Nas atividades das páginas 188 e 189, utilize 3,14 como aproximação de p
88. Calcule o volume e a área da superfície aproximados de uma esfera cujo: a) r aio mede 6 dm; b) diâmetro mede 30 mm; c) equador mede 28,26 cm.
volume: 904,32 dm3; área da superfície: 452,16 dm2
volume: 14 130 mm3; área da superfície: 2 826 mm2
volume: 381,51 cm3; área da superfície: 254,34 cm2
89. Um hemisfério corresponde a cada uma das metades de uma esfera. Qual é o volume e a área da superfície de um hemisfério cujo raio mede 9 cm?
Hemisfério de centro O e raio r .
90. Qual é a medida do raio da base de um cone reto de 25 cm de altura cujo volume é igual ao de uma esfera de 10 cm de diâmetro?
91. Determine a medida aproximada do raio de uma esfera cujo volume é 2 304p dm3 12 dm
92. Considere uma esfera cuja área da superfície é 192p m2. Em relação a essa esfera, calcule: a) o comprimento do equador; b) o volume.
93. O tênis de mesa é um esporte olímpico que surgiu na Inglaterra. Ao longo de sua história, houve algumas modificações tanto nas regras quanto nos equipamentos do jogo. Por exemplo, a bola que antes tinha 2,5 g e 38 mm de diâmetro, atualmente deve ter 2,7 g e 40 mm de diâmetro.
Fonte dos dados: CATALDO, Diego. Tênis de mesa: regras, equipamentos, história e como funciona. GE , [s . l.], 25 jul. 2024. Disponível em: https://ge.globo.com/olimpiadas/ guia/2024/07/25/c-tenis-de-mesa-regras-equipamentos -historia-e-como-funciona.ghtml. Acesso em: 14 set. 2024.
92. a) 8√ 3 p m ou aproximadamente 43,51 m
92. b) 256√ 3 p m3 ou aproximadamente 1392,29 m3
Com base nessas informações, o volume da bola de tênis de mesa, após as modificações, teve um aumento aproximado de: alternativa a a) 17 % b) 25 % c) 28 % d) 36 % e) 40 %
94. As esferas para rolamentos são peças geralmente utilizadas em diversos setores industriais para auxiliar a movimentação de equipamentos. Obse rve, a seguir, informações refentes a um tipo de esfera em aço para rolamentos.
Densidade: 7,85 g/cm3
Diâmetro mínimo: 45 mm
Diâmetro máximo: 300 mm
a) Q ual é a diferença, em centimetro cúbico, entre os volumes mínimo e máximo de uma esfera desse tipo?
aproximadamente 14 082,31 cm3
b) Determine a massa de uma esfera cujo diâmetro seja mínimo.
Hugo Calderano, da equipe de tênis de mesa do Brasil, nas quartas de final, nos Jogos Olímpicos de Paris (França), 2024.
95. Em certo sítio, será construída uma cisterna com capacidade para 30 0 00 L. A parte destinada ao armazenamento da água da chuva terá formato cilíndrico, e a tampa, formato de hemisfério, conforme a figura.
Para construir a tampa dessa cisterna, um pedreiro cobra R $ 32,00 por metro quadrado. Qual será o custo, em reais, cobrado pelo pedreiro para construir essa tampa?
Para resolver esta atividade, você pode, inicialmente, selecionar apenas os dados necessários indicados no enunciado.
96. Observe, na imagem, uma esfera inscrita em um cubo e calcule o volume dessa esfera, considerando que a diagonal desse cubo mede 21√ 3 cm.
aproximadamente 374,36 g R$ 803,84 4 846,59 cm3
97. Leia as informações a seguir.
O fuso esférico é uma parte da superfície da esfera obtida pela rotação de a graus (0° , a , 360°) de uma semicircunferência em torno do eixo que contém seu diâmetro.
A área do fuso esférico é diretamente proporcional ao ângulo a , ou seja, para uma superfície esférica cuja área é 4pr 2, temos 360° como ângulo correspondente. Fuso esférico.
a) E screva uma expressão para calcular a área A f d e um fuso esférico em função do raio r e do ângulo a , em grau.
b) Calcule a área de um fuso esférico de 135° e cujo raio mede 10 m. 471 m2
98. Leia o trecho de um texto a seguir sobre o sistema de fuso horário do planeta Terra.
O sol não pode iluminar a Terra toda ao mesmo tempo, existindo por isso a diversidade de horário.
Teoricamente, dividindo-se os 360° de longitude pelas 24 horas do dia, a cada deslocamento de 15 ° de longitude tem-se uma variação de 1 hora.
O fuso horário (ou simplesmente fuso) é a faixa norte-sul entre dois meridianos que distam entre si 15° de longitude, dentro da qual a hora é a mesma [...].
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Noções cartográficas para base operacional geográfica: módulo III. Rio de Janeiro: IBGE, 1985. v. 3, p. 139, 141. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/ visualizacao/livros/liv81663_v3.pdf. Acesso em: 13 ago. 2024. Considere que o planeta Terra tenha o formato de uma esfera com 12 756 km de diâmetro. Qual é a área aproximada correspondente a cada fuso horário da Terra? 21 288 616 km2
99. Determine o volume e a área da superfície da esfera obtida por revolução ao rotacionar em 360° este semicírculo em torno de um eixo que contém seu diâmetro.
100. Em uma metalúrgica, quatro peças de metal esféricas e maciças, com 32 mm de diâmetro cada, foram fundidas de maneira a obter uma única peça esférica maciça maior, cujo raio mede: alternativa e a) 3√ 32 mm; b) 3√ 46 mm; c) 14 mm; d) 6 3√ 14 mm; e) 16 3√ 4 mm.
101. (EsPCEx-SP) A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de 0,5 mm/s até que o volume seja igual a 500 mm3, então o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é
a) 10. b)
102. Leia as informações a seguir sobre os planetas Mercúrio e Vênus.
Planeta Mercúrio
Diâmetro: 4 879 km
Distância média do Sol: 57,9 milhões km
99. volume: 1 766,25 cm3; área da superfície: 706,5 cm2 alternativa e Elaboração do estudante.
Planeta Vênus
Diâmetro: 12 104 km
Distância média do Sol: 108,2 milhões km
Fonte dos dados: RIDPATH, Ian. Astronomia . Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2014. (Guia Ilustrado Zahar, p. 91, 93). Com base nessas informações, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo do volume e da área da superfície de uma esfera. Em seguida, troque o problema com um colega para que um resolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Você já imaginou como nossos hábitos de consumo impactam o meio ambiente? Alimentação, vestuário e deslocamento pela cidade podem trazer implicações significativas para o ecossistema e, consequentemente, para a atual e as futuras gerações. Por exemplo, você já reparou que o lápis, o caderno e as folhas de papel sulfite que compõem o seu material escolar foram fabricados a partir de madeira reflorestada? Geralmente, as embalagens desses produtos apresentam selos indicando a procedência da matéria-prima.
Essas madeiras são obtidas de árvores que foram plantadas para serem extraídas e, assim, dar espaço para que novas árvores sejam plantadas no mesmo local, de forma que continue o ciclo produtivo. Uma vantagem de usar esse tipo de madeira é que não ocorre, nesse caso, o desmatamento de mata nativa.
É importante destacar que a realização de um projeto de silvicultura, para fins comerciais, depende de alguns fatores, como a qualidade do solo, a determinação da espécie que melhor se adapta ao clima da região, a produção de mudas, o controle de insetos, entre outros. A silvicultura, quando praticada de maneira responsável e sustentável, gera impactos positivos que contribuem com o equilíbrio e a conservação ambiental.
Plantação de eucalipto, em Bom Sucesso de Itararé (São Paulo).
Fotografia de 2023.
Silvicultura: cultivo de florestas com a finalidade de produzir madeiras e outros derivados para satisfazer às necessidades do mercado e, ao mesmo tempo, promover o uso racional das florestas.
No Brasil, é comum a prática de cultivo e extração de madeira reflorestada de árvores, como a do eucalipto, que apresenta rápido crescimento por causa das condições climáticas do país. Analise os infográficos a seguir.
Brasil: área de florestas plantadas, por espécie, 2022
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Produção da extração vegetal e da silvicultura 2022. PEVS, Rio de Janeiro, v. 37, 2023. p. 1. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/74/ pevs_2022_v37_informativo.pdf. Acesso em: 13 ago. 2024.
*Representação fora dos padrões cartográficos.
Brasil: área ocupada pela silvicultura, por grupos de espécies florestais (mil ha), 2022
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Produção da extração vegetal e da silvicultura 2022. PEVS, Rio de Janeiro, v. 37, 2023. p. 5. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/74/ pevs_2022_v37_informativo.pdf. Acesso em: 13 ago. 2024.
1. Respostas possíveis: Optar pelo uso do transporte público, comprar produtos que utilizam a madeira de reflorestamento como matéria-prima, diminuir o tempo de uso do chuveiro e de equipamentos elétricos.
2. Respostas possíveis: Lápis de cor, móveis, palitos de dente, palitos de fósforo.
1. Cite hábitos que podemos desenvolver em nosso dia a dia pensando no consumo consciente.
2. Além dos materiais escolares citados no texto, que outros produtos podem ter a madeira de reflorestamento como matéria-prima? Se necessário, faça uma pesquisa.
3. De acordo com as informações apresentadas sobre a silvicultura no Brasil, em 2022, resolva os itens a seguir.
a) Que fração da área de floresta plantada melhor representa a parte correspondente ao cultivo de eucalipto?
3. b) Não, pois, na região Sul, a área ocupada com o plantio de pínus era maior que a ocupada com o plantio de eucalipto.
b) Podemos afirmar que em todas as regiões do país a área ocupada com o plantio de eucalipto era maior que a ocupada com o plantio de pínus? Justifique sua resposta.
c) Em 2022, a área total aproximada de florestas plantadas no Brasil era de 9,5 milhões de hectares. Determine, em kilometro quadrado, a área aproximada de floresta plantada com:
• eucalipto;
73 435 km2
• pínus;
17 765 km2
• outras espécies.
3 800 km2
Lembre-se de que 1 hectare equivale à área de um quadrado com 100 m de lado.
d) Q ual era a área ocupada com o plantio de eucalipto na região onde você mora? Resposta pessoal.
4. Em grupos de dois ou três integrantes, pesquisem se há áreas de reflorestamento, para fins comerciais ou ecológicos, no município ou em alguma região próxima de onde vocês moram. Anotem informações como o tipo e o objetivo do reflorestamento, as espécies de árvores plantadas, o tamanho da área de plantio e as técnicas utilizadas. Por fim, elaborem um texto apresentando essas informações e descrevendo os impactos dessa área de reflorestamento no contexto local.
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
5 . Um dos desafios no cultivo de árvores para a extração de madeira é medir o volume de madeira produzido. Dois métodos muito utilizados nessa medição estão descritos a seguir.
5. a) Resposta esperada: No método 1, para realizar os cálculos, usa-se um cilindro circular reto. As medições e os cálculos a ser realizados em relação aos contornos das bases da tora possibilitam determinar a área de um círculo que corresponde a uma aproximação das áreas das bases desse cilindro. Como o volume de um cilindro é dado pelo produto da área de sua base e da medida da altura, então, pelo método 1, multiplica-se a média das áreas estimadas para as bases pela medida do comprimento dessa tora: V = ( g 1 + g 2 2 ) h.
Resposta esperada: 2, para realizar os cálculos, usa-se um paralelepípedo reto-retângulo. Como o cálculo do volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto das medidas das suas três dimensões, então, pelo método 2, multiplicam-se as medidas do comprimento, da largura e da altura desse empilhamento de b c
Quando as toras de madeira estão empilhadas, conforme representado na imagem, o volume de madeira é estimado por meio da multiplicação das medidas das dimensões do empilhamento. 2 1
Para estimar o volume de uma tora, inicialmente determina-se a medida do contorno de cada base. Em seguida, calcula-se a área do círculo que representa cada base. Por fim, determina-se a média aritmética das duas áreas obtidas e multiplica-se o resultado pelo comprimento da tora.
Fonte dos dados: OLIVEIRA, Edilson Batista et al Determinaçãodaquantidadedemadeira,carbonoerendada plantaçãoflorestal. Colombo: Embrapa Florestas, 2011. (Documentos, n. 220, p. 11-12). Disponível em: https://ainfo.cnptia.embrapa.br/digital/bitstream/item/40634/1/Doc220.pdf. Acesso em: 12 ago. 2020. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE
Com um colega, façam o que se pede em cada um dos itens.
a) Indiquem que figura geométrica espacial é usada para fazer os cálculos do método 1 e justifiquem a estratégia de cálculo apresentada nesse método. Depois, escrevam uma expressão matemática para representar o volume V estimado de uma tora cujas áreas aproximadas da base são representadas por g 1 e g 2 e o comprimento da tora por h
b) Indiquem que figura geométrica espacial é usada para fazer os cálculos do método 2 e justifiquem a estratégia de cálculo apresentada nesse método. Depois, escrevam uma expressão matemática para representar o volume V estimado de um empilhamento de toras cujas dimensões são representadas por a , b e c .
c) Com base nos itens a e b, elaborem um problema envolvendo o cálculo do volume estimado de uma tora ou de um empilhamento de toras. Depois, troquem-no com outra dupla para que ela o resolva, enquanto vocês fazem o mesmo com o problema que receberem. Por fim, confiram juntos as resoluções.
Elaboração dos estudantes.
Podemos construir diferentes figuras geométricas espaciais, obter suas planificações, calcular seu volume e a área da sua superfície por meio do software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível em: https://www.geogebra.org/download (acesso em: 13 ago. 2024). Como exemplo, vamos construir um prisma pentagonal regular e obter sua planificação. Para isso, utilizamos as janelas de visualizações 2D e 3D, simultaneamente, e realizamos as etapas a seguir.
A Inicialmente, abrimos a Janela de visualização 3D. Para isso, selecionamos a opção
Exibir na barra de ferramentas e, em seguida, a opção Janela de visualização 3D
Na Janela de visualização, com a opção (Polígono regular) selecionada, construímos um pentágono regular com 2 cm de lado, correspondente a uma base do prisma.
B Na região da Janela de visualização 3D, com a opção (Extrusão para prisma), selecionamos o pentágono. Na caixa de texto que abrir, digitamos 3 , que corresponde à altura do prisma, e confirmamos com OK. Na Janela de visualização 3D, obtemos um prisma pentagonal regular. Para calcular o volume desse prisma, na região da Janela de visualização 3D, com a opção (Volume), selecionamos o prisma construído. O valor que aparece junto ao prisma corresponde ao seu volume.
C Para obter a planificação desse prisma, na região da Janela de visualização 3D, com a opção (Planificação) selecionamos o prisma construído. A planificação do prisma regular pentagonal é obtida tanto na Janela de visualização quanto na Janela de visualização 3D.
Na Janela de visualização, é gerado um controle deslizante que, ao ser movimentado, altera a posição das partes que compõem a planificação na Janela de visualização 3D. DiCA
1. No GeoGebra , reproduza a construção apresentada anteriormente e resolva os itens a seguir.
a) Qual é o volume aproximado do prisma construído?
b) Selecione a região da Janela de visualização e, com a opção (Área), obtenha a área de cada face do prisma; em seguida, calcule a área total dele.
c) Utilizando a opção (Mover) na Janela de visualização 3D :
1. b) área de cada face lateral: 6 cm2; área de cada base: 6,88 cm2; área total: 43,76 cm2
• selecione uma base do prisma e realize movimentos verticais com a figura. O que aconteceu com o prisma construído?
Resposta esperada: A altura do prisma se ajustou de acordo com o movimento realizado.
• selecione um ponto qualquer fora do prisma construído e faça movimentos em diferentes direções com esse ponto. O que aconteceu?
3. Elabore um problema que envolva o cálculo do volume ou da área total de um prisma reto ou de um cilindro circular reto e cuja resolução deva ser realizada com auxílio do GeoGebra . Em seguida, troque o problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Elaboração do estudante. 20,65 cm3
Resposta esperada: A vista do prisma se ajustou de acordo com o movimento realizado.
2. De maneira análoga à apresentada no exemplo e utilizando as opções (Círculo: Centro & Raio) e (Extrusão para prisma) do GeoGebra , construa um cilindro reto de raio 3 cm e altura 5 cm. Construção do estudante.
a) Descreva os procedimentos que você realizou nessa construção. Resposta pessoal.
b) Utilizando a opção (Volume), calcule o volume do cilindro que você construiu.
141,37 cm3
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Qu ando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2 . Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo.
Princípio de Cavalieri
Área da superfície e volume de uma pirâmide
Área da superfície e volume de um prisma
Poliedros
Cone circular
Área da superfície e volume de uma esfera
Prisma
Relação de Euler
Esfera
Área da superfície e volume de um cilindro circular
Cilindro circular
Área da superfície e volume de um cone circular
Pirâmide
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
PREPARAR
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre construções em concreto armado. Leia a seguinte situação e, depois, resolva os itens.
A estrutura da fachada de uma residência será construída em concreto armado. Essa estrutura consiste em três colunas, com formato de cilindro reto, e uma viga com formato de paralelepípedo reto-retângulo. Observe.
a) Desconsiderando o volume de ferragens utilizado, quantos metros cúbicos de concreto serão necessários para construir essa estrutura?
(1,8 + 0,54p) m3 ou aproximadamente 3,5 m3
b) A pós construída, a superfície dessa estrutura será pintada com uma tinta cujo rendimento é de 10 m2 /L por demão. No mínimo, quantos litros dessa tinta serão necessários para essa pintura, sabendo que serão realizadas três demãos?
c) Para produzir o concreto necessário utilizado nessa estrutura, será usada uma betoneira cujo tambor tem formato que lembra o de uma composição de um tronco de cone reto e um cilindro reto, conforme a imagem.
Considerando que nessa betoneira podem ser utilizados no máximo 75% da capacidade de seu tambor, calcule:
• o volume máximo de concreto produzido em uma única vez nessa betoneira;
aproximadamente 7 L aproximadamente 0,39 m³
• a quantidade mínima de vezes que essa betoneira será usada para produzir todo o concreto utilizado nessa estrutura.
d) Em qual das fichas a seguir está descrito um sólido geométrico cujo volume mais se aproxima do volume de concreto utilizado nessa estrutura?
9 vezes II
Prisma regular triangular com altura medindo 3 m e aresta da base, 1 m.
Esfera com raio medindo 94 cm.
Cone com raio da base medindo 12 dm e altura, 35 dm
Pirâmide quadrangular regular com arestas da base medindo 1,8 m e altura, 2,5 m.
1. (Enem/MEC) Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura.
A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões externas, em centimetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5 cm.
Qual é o volume de madeira utilizado, em centimetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates? alternativa c
a) 654
b) 666 c) 673 d) 681 e) 693
2. (Enem/MEC) Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices
P, Q , R e S , ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a alternativa a a) 9, 20 e 13. b) 9, 24 e 13. c) 7, 15 e 12. d) 10, 16 e 5. e) 11, 16 e 5.
3. (Enem/MEC) Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centimetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para p .
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
a) 1 198,8
b) 1 296,0
c) 1 360,8 d) 4 665,6 e) 4 860,0 alternativa b
4. (UFRGS-RS) Considere o paralelepípedo de vértices A , B , C , D , E , F, G , H e a pirâmide de vértices B , F, G , H , inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir.
8. (UERJ) Um depósito de óleo tem a forma de um cone circular reto cujo eixo vertical forma com suas geratrizes o ângulo de 45°. Foram retirados desse depósito 19 m3 de óleo. Com isso, a altura do nível de óleo foi reduzida em 1 m e passou a ter X metros de altura.
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é alternativa a
a) 1 6
b) 1 5 c) 1 4 d) 1 3 e) 1 2
5. (Uesb-BA) Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 5 cm, a cm e b cm.
Sabe-se que a razão entre a e b é 3 : 4 e que o volume desse paralelepípedo mede 540 cm3 Nessas condições, a área total desse paralelepípedo mede alternativa d
a) 4 86 cm2.
b) 4 46 cm2.
c) 432 cm2
d) 426 cm2. e) 416 cm2.
6. (UFAM) Um cilindro reto possui área total igual a 32p cm2. Sabendo que o raio da base é 1 3 da medida da altura desse cilindro, então a área lateral desse cilindro mede: alternativa d a) 12p cm2. b) 18 p cm2. c) 20 p cm2 d) 24p cm2. e) 28 p cm2.
7. (UEG-GO) Uma bola inflável foi cheia até que o seu diâmetro fosse 2 vezes maior que seu diâmetro inicial. Assim, verifica-se que o volume final da bola, em relação ao volume inicial, é a) 2 vezes maior b) 4 vezes maior
c) 6 vezes maior d) 8 vezes maior e) 10 vezes maior alternativa d
Considerando p = 3, calcule a altura X do nível de óleo. 2 m
9. (Unicamp-SP) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfícies iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a
a) 2 3
b) 2 3 c) 2 3 d) 2 3
10. (UEMG) Observe as figuras.
ILUSTRAÇÕES: SERGIO LIMA
Nas figuras, tem-se um cilindro circular equilátero (S1), circunscrevendo um cone (S 2), e um cilindro circular oblíquo ( S 3 ). A razão determinada pelo volume de S 3 com a superfície total de S 2 é alternativa b
a) 5 1 4 cm.
b) 5 1 cm.
c) 5 + 16 4 cm.
d) ( 5 + 16) cm. alternativa c 4 4 44
Atualmente, utilizamos senhas no dia a dia para acessar uma grande variedade de serviços e informações pessoais. Com um aparelho conectado à internet (celular, computador, televisor etc.), podemos acessar redes sociais, assistir a vídeos, fazer transações bancárias, entre outros serviços. Assim, usar senhas fortes é fundamental para proteger a grande diversidade de dados pessoais que temos agregados a esses serviços. Observe, no esquema, algumas dicas sobre como criar senhas fortes.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Em seu entendimento, qual é a finalidade de uma senha?
2. Por que devemos usar senhas fortes?
Respostas nas Orientações para o professor.
3. Em alguns casos, o cadastro de uma senha precisa ocorrer com base em uma formatação padronizada, como uma quantidade específica de caracteres correspondentes a letras e a algarismos. Nesses casos, explique como é possível determinar a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas.
Na abertura desta Unidade, abordamos algumas informações sobre o uso e a criação de senhas. Um dos aspectos de estudo sobre esse assunto é determinar, por exemplo, quantas senhas distintas podem ser compostas de acordo com as especificações de seu formato.
Você tem cadastro no portal gov.br ? Esse portal, que também pode ser acessado por meio de aplicativo de celular, permite ao usuário acesso a todos os serviços disponibilizados digitalmente pelo governo federal, desde que estejam integrados a essa plataforma. Com o objetivo de aumentar a segurança, a senha cadastrada pelo usuário nesse portal deve ser criada seguindo algumas regras. Analise, a seguir, a tela para o cadastro de senha de um novo usuário nesse sistema.
Acesse este site para navegar pelo portal gov.br.
• GOV.BR. [Brasília, DF], [2024]. Site Disponível em: https://sso. acesso.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2024.
REPRODUÇÃO/ GOVERNO FEDERAL
Reprodução de tela para cadastro de senha no portal gov.br. GOV.BR. [Brasília, DF], [2024]. Site. Disponível em: https://sso. acesso.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2024.
Note que, no portal gov.br, o usuário deve considerar uma série de exigências para cadastrar uma senha, como a quantidade de caracteres (de 8 a 70) e o uso obrigatório de certos tipos de caractere (letras maiúsculas e minúsculas, números e símbolos).
O estudo de conceitos relacionados à Análise Combinatória, que realizaremos nesta Unidade, possibilita, por exemplo, determinar a quantidade total de senhas que podem ser cadastradas no portal mencionado, sem ter de contá-las uma a uma. De maneira geral, a Análise Combinatória se ocupa em estudar situações relacionadas à contagem de agrupamentos de elementos de diferentes conjuntos, como aquelas que envolvem senha, loteria, criptografia, entre outras.
Em anos anteriores, você possivelmente estudou o princípio fundamental da contagem (PFC), também chamado de princípio multiplicativo. Agora, retomaremos e ampliaremos esse assunto. Para isso, considere a situação descrita a seguir.
Um fabricante de dispositivos eletrônicos disponibilizou aos clientes um novo modelo de tablet em sua loja virtual. Para realizar uma encomenda, é necessário que o cliente selecione a cor e a capacidade de armazenamento do dispositivo, conforme as opções a seguir.
De acordo com as opções de cor e de capacidade de armazenamento, podemos representar todas as possibilidades de escolha disponíveis para o cliente por meio de uma árvore de possibilidades . Acompanhe.
Cor Capacidade de armazenamento
Note que, para fazer a árvore de possibilidades, é preciso ter certa organização a fim de não repetir ou omitir algum caso possível.
PARA PENSAR
Quantas configurações do tablet são possíveis na cor branca? E com 128 GB de capacidade de armazenamento de dados?
3 configurações; 4 configurações
Essas possibilidades também podem ser representadas em uma tabela de dupla entrada.
Configurações do tablet de acordo com a cor e a capacidade de armazenamento de dados
Capacidade (GB)
Cor 128 256 512
Azul (a) (a, 128)(a, 256)(a, 512)
Branca (b) (b, 128)(b, 256)(b, 512)
Cinza (c) (c, 128)(c, 256)(c, 512)
Preta (p) (p, 128)(p, 256)(p, 512)
Com um colega, pensem em outras situações em que vocês precisem realizar uma contagem de acordo com diferentes critérios (pelo menos 3).
Para cada situação, desenhem a árvore de possibilidades. Resposta pessoal.
Note que a configuração do tablet ocorre em duas etapas: escolha de uma cor, com quatro cores distintas possíveis, e escolha de uma capacidade de armazenamento de dados, com três capacidades distintas possíveis. Então, para cada possibilidade de cor, temos três possibilidades de capacidade de armazenamento. Assim, podemos determinar a quantidade total de configurações possíveis por meio da multiplicação a seguir.
Total de possibilidades de configurações do tablet
4 3 = 12
Número de possibilidades de cor
Número de possibilidades de capacidade de armazenamento
Essa última estratégia é conhecida como princípio fundamental da contagem. Portanto, verificamos pela árvore de possibilidades, pela tabela de dupla entrada e pelo princípio fundamental da contagem que esse modelo de tablet pode ser configurado de 12 maneiras distintas.
Acompanhe, a seguir, a definição do princípio fundamental da contagem.
Sejam os n experimentos E1, E2, E3, ..., En, cuja quantidade de resultados distintos é dada por x1, x2, x3, ..., xn, respectivamente. Pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade de resultados distintos do experimento composto da sequência de experimentos E1, E2, E3, ..., En, nessa ordem, é dada por:
x1 x2 x3 xn
Agora, considere a situação descrita a seguir.
De acordo com o conceito de princípio fundamental da contagem apresentado, a sequência de experimentos deve ser identificada conforme o contexto da situação analisada. Por exemplo, na situação da configuração do tablet, as escolhas da cor e da capacidade de armazenamento do aparelho constituem a sequência de experimentos considerada.
Na eleição para a diretoria de um grêmio estudantil, candidataram-se quatro estudantes. De acordo com o regulamento dessa eleição, o candidato mais votado ocuparia o cargo de presidente do grêmio, o segundo, de vice-presidente e o terceiro, de tesoureiro. De quantas maneiras distintas é possível formar essa diretoria do grêmio?
Analise como podemos resolver essa situação utilizando a árvore de possibilidades e o princípio fundamental da contagem.
Árvore de possibilidades
Representando os quatro candidatos por A, B, C e D, temos:
Presidente Vice-presidente Tesoureiro Diretoria
(A, B, C) (A, B, D) (A, C, B) (A, C, D) (A, D, B) (A, D, C)
(B, A, C) (B, A, D) (B, C, A) (B, C, D) (B, D, A) (B, D, C)
(C, A, B) (C, A, D) (C, B, A) (C, B, D) (C, D, A) (C, D, B)
(D, A, B) (D, A, C) (D, B, A) (D, B, C) (D, C, A) (D, C, B)
Nessa eleição, é possível que um mesmo candidato seja eleito para mais de um cargo na diretoria do grêmio estudantil? Explique.
Resposta esperada: Não, pois um mesmo candidato não pode estar em mais de uma posição na classificação dessa eleição, a qual determina o cargo a ser ocupado na diretoria.
Princípio fundamental da contagem
Note que são quatro possibilidades para se ocupar o cargo de presidente do grêmio. Para o cargo de vice-presidente, são três possibilidades, uma vez que um dos candidatos já terá ocupado o cargo de presidente. Por fim, para o cargo de tesoureiro, são duas possibilidades, pois um candidato já terá ocupado o cargo de presidente e outro, o de vice-presidente. Assim, temos: 4 ? 3 ? 2 = 24
Número de possibilidades para presidente
Número de possibilidades para vice-presidente
Número de possibilidades para tesoureiro
Note que esse total é o mesmo que você obtém se contar todas as possibilidades da árvore.
Total de possibilidades para formar a diretoria
Portanto, nessa eleição, a diretoria do grêmio estudantil pode ser formada de 24 maneiras distintas.
R1. Em certo jogo de videogame , é possível que o jogador configure o próprio time de futebol de acordo com o que deseja, personalizando elementos como nome, país, uniforme, entre outros itens. O uniforme, por exemplo, composto de um par de meiões, um calção e uma camisa, pode ser personalizado, esta ndo disponíveis três, dois e cinco modelos de cada tipo dessas peças, respectivamente. Nesse jogo, de quantas maneiras distintas pode ser personalizado o uniforme de um time de futebol?
Resolução
Para indicar todas as maneiras distintas que o uniforme pode ser personalizado, podemos utilizar a árvore de possibilidades. Sendo M1, M2 e M3 os modelos de par de meiões, C1 e C 2 os modelos de calção, e A1, A 2 , A 3 , A 4 e A 5 os modelos de camisa, temos o diagrama representado
Note que, na prática, a construção dessa árvore de possibilidades é trabalhosa. Em casos como esse, outra estratégia é aplicar o princípio fundamental da contagem. Acompanhe.
3 ? 2 ? 5 = 30
Portanto, há 30 maneiras distintas para ser personalizado esse uniforme.
(M1 , C1 , A1 ) (M1 , C1 , A 2 ) (M1 , C1 , A 3 ) (M1 , C1 , A 4 ) (M1 , C1 , A 5 )
(M1 , C 2 , A1)
(M1 , C 2 , A 2)
(M1 , C 2 , A 3) (M1 , C 2 , A 4) (M1 , C 2 , A 5)
(M2 , C1 , A1) (M2 , C1 , A 2)
(M2 , C1 , A 3) (M2 , C1 , A 4) (M2 , C1 , A 5 )
4 A 5 (M2 , C 2 , A1) (M2 , C 2 , A 2)
A
(M2 , C 2 , A 3) (M2 , C 2 , A 4) (M2 , C 2 , A 5 )
3 A 4 A 5 (M3 , C1 , A1) (M3 , C1 , A 2) (M3 , C1 , A 3) (M3 , C1 , A 4) (M3 , C1 , A 5 )
(M3 , C 2 , A1)
(M3 , C 2 , A 2)
(M3 , C 2 , A 3)
(M3 , C 2 , A 4)
(M3 , C 2, A 5 )
R2. O Novo Basquete Brasil (NBB) é o mais importante campeonato masculino de basquete do país. Na fase de classificação da edição 2023/2024, foram realizadas, ao todo, 342 partidas. Nessa fase, as equipes jogam duas vezes contra cada uma das demais, no sistema de ida e volta. Quantas equipes participaram da fase de classificação dessa edição do NBB?
Fonte dos dados: LIGA NACIONAL DE BASQUETE. Novo Basquete Brasil: classificação 2023/2024. [S l.]: LNB, c2009-2024. Disponível em: https://lnb.com.br/nbb/2023-2024/. Acesso em: 10 out. 2024. Resolução
Seja x a quantidade de equipes que participaram da edição 2023/2024 do NBB. Como, nessa edição, foram realizadas 342 partidas e as equipes jogavam duas vezes contra cada uma das demais, pelo princípio fundamental da contagem, temos: x ? ( x 1) = 342 h x 2 x 342 = 0
Resolvendo essa equação do 2o grau, temos:
x = 1 + 37 2 = 38 2 = 19
(não convém)
Portanto, 19 equipes participaram da edição 2023/2024 do NBB.
R3. Um clube de assinatura de leitura disponibiliza, todo mês, cinco obras literárias em três form atos: livro impresso, livro digital e audiolivro. Os assinantes devem escolher, todo mês, um kit composto de dois títulos de livros, necessariamente distintos, sendo um no formato impresso e um no digital. Além disso, é opcional adicionar a esse kit um título qualquer, entre os disponíveis no mês, em formato de audiolivro. Quantos kits distintos podem ser escolhidos por um assinante desse clube em determinado mês?
Como a escolha do livro em formato audiolivro é opcional, pelo princípio fundamental da contagem, temos que a quantidade distinta de kits :
• com audiolivro, é dada por:
5 4 5 = 100;
• sem audiolivro, é dada por:
5 ? 4 = 20.
Como o assinante desse clube de leitura pode compor o do mês com ou sem audiolivro, ele tem a sua disposição 120 kits distintos (100 120).
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
2. • Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes indiquem que não utilizaram todos os dados do enunciado da atividade. Por exemplo, os dados sobre as idades do casal e dos filhos não são necessários para resolver a atividade.
1. A secretaria de obras de um município construiu três terminais de ônibus, A , B e C , com o objetivo de facilitar a locomoção da população entre diferentes bairros. Há três linhas de ônibus que ligam os terminais A e B e cinco linhas que ligam os terminais B e C . Camila deseja se deslocar de ônibus do terminal A até o C . De quantas maneiras distintas ela pode realizar esse deslocamento? Faça uma representação que evidencie todas as possibilidades.
15 maneiras. Resposta nas Orientações para o professor.
2. Marta e André são casados e têm 54 e 50 anos, respectivamente. Para fotografar a família, eles vão reunir os filhos Telma, Sofia, Lucas e Vinícius, cujas respectivas idades são 20, 16, 15 e 11 anos. Sabendo que eles vão se organizar lado a lado e que todos os filhos devem ficar entre os pais, determine de quantas maneiras distintas todos podem posar para essa fotografia. 48 maneiras
• Pa ra resolver essa atividade, você usou todos os dados apresentados no enunciado? Converse com um colega sobre isso.
3. a) 4 096 composições
3. Para realizar uma pesquisa estatística, os estudantes de uma turma de Ensino Médio aplicaram um questionário composto de seis questões para uma amostra de 30 pessoas. Cada questão apresentava quatro opções de respostas distintas, em que os entrevistados deveriam assinalar apenas uma delas.
a) Quantas composições distintas de respostas podem ser apresentadas nesse questionário?
b) É p ossível que todos os entrevistados dessa pesquisa apresentem composições de respostas distintas entre si? Justifique sua resposta.
Sim, pois a quantidade de composições distintas de respostas (4 096) é maior que a quantidade de pessoas entrevistadas (30).
4. As finais das competições individuais de ginástica artística geralmente são disputadas por oito atletas. As pontuações de diferentes provas realizadas nessas finais definem os três primeiros lugares que, juntos, configuram o pódio da competição: primeiro, segundo e terceiro lugares. Considerando os oito atletas que disputam as finais, de quantas maneiras distintas pode ser composto o pódio? Explique com suas palavras como você pensou.
336 maneiras. Resposta pessoal.
5. Em 2023, foram desenvolvidos diferentes tipos de prova na primeira fase da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), de acordo com o nível de escolaridade dos estudantes. A prova do nível 1, por exemplo, para estudantes do 6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental, era composta de 20 questões com cinco alternativas cada.
Fonte dos dados: INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Provas e Soluções. Rio de Janeiro: Impa: Obmep, [2024]. Disponível em: www.obmep.org.br/ provas.htm. Acesso em: 15 ago. 2024.
Considerando que os estudantes devem assinalar uma única alternativa em cada questão, determine a quantidade de composições distintas de respostas que pode ter essa prova do nível 1. Expresse a resposta utilizando potências e explique como você pensou.
520 composições. Resposta pessoal.
6. Sabe-se que a senha de um computador é formada por seis algarismos distintos e que uma pessoa demora cerca de 20 s para testar uma possível senha. Quantas horas, no máximo, essa pessoa pode demorar para descobrir a senha correta? Explique como você pensou.
840 h. Resposta pessoal.
7. Em um sarau, estudantes de uma escola realizarão, individualmente, apresentações artísticas, como música, pintura e dança. Nesse sarau, serão compostos vários painéis de algum tipo de arte com duas apresentações cada. Dos estudantes que vão se apresentar, 20 são moças e 15 são rapazes. Além disso, sabe-se que 40 % das moças e 2 5 dos rapazes apresentarão dança. De quantas maneiras distintas os painéis podem ser formados, de modo que cada um deles tenha duas apresentações de dança, sendo uma de moça e outra de rapaz?
48 maneiras
8. No Teatro Dom Casmurro, as poltronas destinadas à plateia são organizadas de acordo com três setores: Bentinho, Capitu e Escobar. Cada setor tem a mesma quantidade de poltronas, que são identificadas por um código formado por uma letra do alfabeto (de 26 letras disponíveis), seguida por um número natural de 1 até 20. Observe um exemplo de ingresso desse teatro.
Quantas poltronas há ao todo nesse teatro, sabendo que, em cada setor, todos os possíveis códigos são utilizados? Explique como você pensou.
1 560 poltronas. Resposta pessoal.
9. Considere todos os números de dois algarismos que podem ser formados utilizando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7.
a) Quantos são esses números?
25 números
b) Quantos desses números têm todos os algarismos distintos?
20 números
c) Quantos desses números são pares?
10 números
d) Quantos desses números são ímpares?
15 números
10. Em uma competição de cubo mágico realizada em uma escola, cada competidor disputou uma única partida contra cada um dos demais na primeira etapa. Vencia quem resolvesse o cubo mágico no menor tempo.
Sabendo que nessa etapa da competição foram realizadas 190 partidas, quantos competidores participaram? Explique como você pensou.
20 competidores. Resposta pessoal.
11. A equação de incógnita x indicada a seguir tem como solução um número inteiro.
2 x + 1 = m + n
Sendo m [ {1, 2, 3, 4, 6} e n [ {1, 2, 3, 5, 7}, determine quantas maneiras distintas há para escolher os números m e n 14 maneiras
12. (Enem/MEC) O Código de Endereçamento Postal (CEP) é um código numérico constituído por oito algarismos. Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o tratamento e a distribuição de objetos postados nos Correios. Ele está estruturado segundo o sistema métrico decimal, sendo que cada um dos algarismos que o compõe codifica região, sub-região, setor, subsetor, divisor de subsetor e identificadores de distribuição, conforme apresenta a ilustração.
Identificadores de distribuição (sufixo)
Divisor de subsetor
Subsetor
Setor
Sub-região Região
O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para fins de codificação. Cada região foi dividida em dez sub-regiões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez setores. Cada setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada subsetor foi dividido em dez divisores de subsetor. Além disso, sabe-se que os três últimos algarismos após o hífen são denominados de sufixos e destinam-se à identificação individual de localidades, logradouros, códigos especiais e unidades dos Correios. A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros brasileiros inicia em 000 e termina em 899.
Disponível em: www correios.com.br. Acesso em: 22 ago. 2014 (adaptado).
Observe as faces de um modelo de CPF.
O número do CPF é composto de 11 algarismos, nove que não podem ser todos iguais, seguidos de dois dígitos verificadores. Acompanhe, a seguir, as etapas para determinar os dígitos verificadores de um CPF.
1o dígito verificador
• Multiplique cada algarismo do CPF, na sequência, por 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2, respectivamente.
• Some os produtos obtidos e divida o resultado por 11.
• S e o resto da divisão for 0 ou 1, então o 1o dígito verificador é 0. Caso contrário, o 1o dígito verificador é determinado pela diferença de 11 e o resto da divisão.
2o dígito verificador
• Multiplique cada algarismo do CPF, na sequência, por 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e o 1o dígito verificador por 2.
• S ome os produtos obtidos e divida o resultado por 11.
• S e o resto dessa divisão for 0 ou 1, então o 2o dígito verificador é 0. Caso contrário, o 2o dígito verificador é determinado pela diferença de 11 e o resto da divisão.
Fontes dos dados: BRASIL. Ministério da Fazenda. Receita Federal. Norma de execução conjunta CIEF/CSAR no 3, de 30 de janeiro de 1991. Estabelece procedimentos e prazos para a Rede Arrecadadora de Receitas Federais prestar contas por meio magnético da arrecadação de receitas federais. Brasília, DF: MF: RFB, 1991. Disponível em: http://normas.receita.fazenda.gov.br/ sijut2consulta/link.action?visao=anotado&idAto=20139. BRASIL. Caixa Econômica Federal. O que é CPF Brasília, DF: CEF, [2024]. Disponível em: www.caixa.gov.br/ cadastros/cpf/Paginas/default.aspx. Acessos em: 15 ago. 2024.
a) Com seu CPF, verifique se são obtidos os dígitos verificadores de acordo com as instruções dadas no enunciado.
alternativa e
Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de logradouros no Brasil?
a) 5 ? 0 + 9 ? 102 b) 105 + 9 102
c) 2 9 107 d) 9 ? 102 e) 9 107
13. O Cadastro de Pessoa Física (CPF) é um documento que reconhece um contribuinte no âmbito de um banco de informações da Receita Federal. É um documento essencial para pessoas físicas do Brasil, frequentemente solicitado em operações financeiras, como financiamentos, pedidos de cartão de crédito e abertura de contas em bancos.
b) Q uais são os dígitos verificadores de um CPF com os seguintes algarismos iniciais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 9 e 0
c) Quantos números distintos de CPF podem ser cadastrados no Brasil?
d) Q uando digitamos de maneira incorreta o número do CPF em alguns sites ou aplicativos, costuma-se retornar a informação de que tal número é “inválido” . Com um colega, construam um fluxograma para representar um algoritmo que possa ser utilizado na validação dos dígitos de um CPF informado. Resposta pessoal. (109 10) números de CPF
Resposta nas Orientações para o professor
14. Uma lanchonete apresenta em seu cardápio algumas opções para refeição principal, bebida e sobremesa, conforme representado a seguir. Em uma promoção, ao comprar um combo com uma refeição principal, uma bebida e uma sobremesa, o cliente recebe 20 % de desconto sobre o preço a pagar.
Com base nessas informações, resolva as questões a seguir.
a) Q uanto um cliente paga por um combo composto de uma tapioca, um chá e uma salada de frutas?
R$ 14,96
b) Qual é o menor preço que se pode pagar por um combo nessa lanchonete?
R$ 10,80
c) Q uantos combos distintos podem ser formados?
30 combos
d) Certo cliente deseja compor um combo de maneira que a refeição principal seja pão de queijo e a bebida não seja iogurte. De quantas maneiras distintas esse cliente pode compor o combo? 8 maneiras
15. Ao aproximar com o zoom uma imagem digital, você já deve ter observado uma quantidade grande de “quadradinhos”. Tais “quadradinhos” são os pixels , que correspondem aos menores elementos de uma imagem digital. Cada pixel tem três pontos de três cores distintas: verde, vermelho e azul. Para obter uma cor digital qualquer, basta combinar essas três cores. Cada uma dessas cores apresenta diversas tonalidades que variam de mais claras para mais escuras e que são representadas por números inteiros de 0 a 255. Observe, a seguir, alguns exemplos de cores digitais.
Exemplos de cores digitais
Fonte dos dados: VAHID, Frank. Sistemas digitais: projeto, otimização e HDLs. Tradução: Anatólio Laschuk. Porto Alegre: Bookman, 2008. p. 433.
Com base nas informações apresentadas, podemos afirmar que a quantidade de cores que podem ser obtidas, digitalmente, com um pixel é: alternativa c a) 256 b) 768 c) 224 d) 3256
16. Com um colega, façam o que se pede a seguir. a) R ealizem uma pesquisa sobre a evolução das cores e dos pixels nos televisores. Obtenham, por exemplo, uma linha do tempo com essa evolução, desde os antigos televisores de tubo até os televisores de última geração. Em seguida, apresentem os resultados dessa pesquisa. Vocês podem gravar um vídeo ou um podcast .
b) Com base nas informações apresentadas na atividade 15 e na pesquisa realizada, elaborem e escrevam no caderno uma situação-problema envolvendo o princípio fundamental da contagem. Em seguida, troquem a situação-problema com outra dupla para que uma resolva a da outra. Ao final, confiram juntos as resoluções.
17. No caderno, copie o trecho destacado a seguir e complete-o para compor um problema cuja resolução envolva o PFC. Em seguida, troque o problema com um colega para que um resolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Um nutricionista elaborou um cardápio de refeição em que o paciente deve escolher uma opção de proteína, uma de carboidrato e uma de salada (legumes ou verduras).
Acompanhe a situação a seguir.
Uma loja de cosméticos decidiu fazer dois tipos de kit promocional de seus produtos. O kit A é composto de uma loção hidratante, um sabonete líquido e um perfume. O kit B consiste em um batom e um protetor solar.
Sabendo que a loja tem as quantidades de opções listadas a seguir, quantas opções de kit um cliente tem à disposição para comprar?
Produto Quantidade de opções disponíveis
Loção hidratante
A fim de determinar o total de maneiras para formar os kits , vamos calcular separadamente a quantidade de opções para o kit A e para o kit B .
• kit A
Para o kit A , podemos escolher entre 4 opções de loção hidratante, 5 opções de sabonete líquido e 3 opções de perfume. Então, pelo princípio fundamental da contagem:
4 ? 5 ? 3 = 60
Número de possibilidades para a loção hidratante
Portanto, há 60 maneiras de formar o kit A.
Número de possibilidades para o sabonete líquido
Número de possibilidades para o perfume
• kit B
Para o kit B, podemos escolher entre 6 opções de batom e 4 opções de protetor solar. Então, pelo princípio fundamental da contagem:
6 ? 4 = 24
Número de possibilidades para o batom
Portanto, há 24 maneiras de formar o kit B
Número de possibilidades para o protetor solar
Como o cliente pode escolher o kit A ou o kit B, adicionamos os resultados obtidos.
Número de possibilidades para o kit A
60 + 24 = 84
Número de possibilidades para o kit B
Portanto, há 84 opções de kit promocional que o cliente pode escolher. Para resolver essa situação, além do princípio fundamental da contagem, utilizamos outro princípio, chamado de princípio aditivo da contagem.
Sejam dois experimentos E1 e E2, cuja quantidade de resultados distintos é dada por x1 e x2, respectivamente. Se os experimentos E1 e E2 não tiverem resultados em comum, pelo princípio aditivo da contagem, a quantidade de resultados distintos de ocorrer o experimento E1 ou o experimento E2 será dada por x1 + x2.
R4. Observe, a seguir, o cartaz com as opções de combo oferecidas por uma rede de lanchonetes.
Combo smart
1 chá + 1 crepe
RS 25,00
Combo plus 1 chá + 1 crepe + 1 cookie
RS 32,00
Sabores disponíveis
R5. Quantos números naturais, compreendidos entre 500 e 5 000 (maiores que 500 e menores que 5 000), podem ser representados utilizando no máximo uma vez os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8?
Inicialmente, podemos considerar os números naturais de três algarismos compreendidos entre 500 e 1 0 00. Nesse caso, na ordem das centenas, podem ser utilizados apenas três algarismos: 5, 7 e 8. Como cada algarismo pode ser utilizado no máximo uma vez, podemos calcular a quantidade desses números utilizando o princípio fundamental da contagem. Acompanhe.
De quantas maneiras distintas um cliente pode comprar um combo nessa lanchonete?
Usando o princípio fundamental da contagem, calculamos, para cada tipo de combo, a quantidade de composições distintas que podem ser formadas.
• Combo smart : 4 3 = 12
Número de possibilidades para o chá
Número de possibilidades para o chá
Número de possibilidades para o crepe
Total de possibilidades para montar o combo smart
• Combo plus : 4 ? 3 ? 2 = 24
Número de possibilidades para o crepe
Total de possibilidades para montar o combo plus Número de possibilidades para o cookie
Como o cliente pode optar entre comprar um combo smart ou um combo plus , pelo princípio aditivo da contagem, adicionamos os resultados obtidos: 12 + 24 = 36
Portanto, um cliente tem 36 maneiras distintas de comprar um combo em uma dessas lanchonetes.
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das centenas
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das dezenas, considerando que um algarismo foi utilizado na ordem das centenas
3 ? 5 ? 4 = 60
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das unidades, considerando que um algarismo foi utilizado na ordem das centenas e outro na das dezenas
De maneira análoga, podemos considerar os números naturais de quatro algarismos compreendidos entre 999 e 5 000. Nesse caso, na ordem das unidades de milhar, podem ser utilizados apenas três algarismos: 1, 2 e 3. Assim, a quantidade de números naturais nessas condições que podem ser representados é dada por:
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das centenas
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das unidades de milhar
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das dezenas
3 ? 5 ? 4 ? 3 = 180
Quantidade de algarismos possíveis na ordem das unidades
Assim, pelo princípio aditivo da contagem: 60 + 180 = 240
Portanto, podem ser representados 240 números com as características indicadas.
18. Para escolher o nome do filho, um casal organizou as preferências no quadro a seguir.
Coluna AColuna B JoséCarlos
JoãoRoberto
LuísFelipe Guilherme
O casal definiu duas opções: um nome composto, sendo o primeiro nome escolhido na coluna A , e o segundo, na coluna B (por exemplo, João Guilherme), ou um nome simples, escolhido na coluna B (por exemplo, Felipe).
De quantas maneiras distintas o casal pode escolher o nome do filho, de acordo com as definições estabelecidas?
16 maneiras distintas
19. O time de handebol de uma universidade pediu a confecção dos uniformes que serão compostos de uma camisa, um calção e um par de meias, sendo cada item em uma única cor. Foram confeccionados os itens nas cores a seguir.
• C amisa: azul e verde.
• C alção: amarelo, azul e roxo.
• Par de meias: azul, branco, vermelho e roxo. De quantas maneiras distintas o uniforme poderá ser composto sem que haja repetição de cor entre os itens? 15 maneiras distintas
20. Marina tem uma mala com tranca, e para abri-la é necessário selecionar a senha correta, que é formada por quatro algarismos. Ela esqueceu a senha, mas se lembra de que os quatro algarismos são distintos e que o número formado é maior que 3 0 00. Além disso, ela se lembra de que não utilizou os algarismos 0 e 8. Considerando as informações lembradas por Marina, é possível realizar quantas tentativas, no máximo, para conseguir abrir a mala?
1 260 tentativas
21. Com os algarismos 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 9, podemos representar quantos números naturais:
a) menores que 1 0 00?
512 números
b) maiores ou iguais a 700 e menores que 6 000?
c) ímpares de cinco algarismos?
d) pares de três algarismos?
21. b) 1 728 números
22. Uma empresa produz, sob encomenda, condicionadores de ar portáteis. Para rastrear os produtos e, quando necessário, realizar algum tipo de manutenção, cada equipamento recebe um código formado por três letras distintas (de 26 disponíveis), seguidas de cinco algarismos (de 10 disponíveis). Usando esse sistema de codificação, quantos equipamentos, no máximo, podem receber a gravação do código?
10 752 números
280 números
23. Em uma escola, dois estudantes serão selecionados para realizar a apresentação de uma poesia em um evento cultural. Para isso, serão escolhidos um estudante de uma turma A e outro de uma turma B , de modo que não sejam do mesmo sexo. Considerando que a turma A é formada por 13 rapazes e 18 m oças e que a turma B é formada por 20 rapazes e 10 moças, de quantas maneiras distintas é possível ocupar essas duas vagas na apresentação?
156 ? 107 equipamentos 490 maneiras alternativa b
24. (Unicamp-SP) Terminado o almoço, Ana foi à cozinha para a escolha das sobremesas. A garota estava decidida a pegar dois itens. Seu pai, preocupado com a alimentação dela, instruiu-a da seguinte forma: “Escolha o que quiser, mas, se você pegar algum pirulito, pegue também alguma fruta”. Na cozinha, tinha 5 frutas diferentes, 3 pirulitos diferentes e 2 pedaços de bolo de sabores diferentes. De quantas formas Ana poderia escolher seus dois itens? a) 34. b) 36. c) 45. d) 47.
25. Copie o texto destacado a seguir e complete-o para elaborar um problema envolvendo os princípios multiplicativo e aditivo da contagem. Em seguida, troque seu problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.
Elaboração do estudante.
Uma operadora de telefonia oferece aos seus clientes diferentes planos de serviços de internet móvel, internet fixa e televisão. Usando o site dessa operadora, os clientes podem contratar combos com planos de dois ou três desses serviços.
No estudo de Análise Combinatória, frequentemente nos deparamos com situações em que é necessário calcular o produto de números naturais consecutivos. Por exemplo, considere a situação a seguir.
O professor de Matemática precisa definir a ordem de apresentação de seminários dos quatro grupos (A, B, C e D) formados na turma. De quantas maneiras distintas o professor pode definir essa ordem?
Note que a questão indicada na situação pode ser interpretada da seguinte maneira: quantas listas distintas podem ser formadas pelos quatro grupos indicando cada um deles uma única vez?
Anteriormente, estudamos que situações como essa podem ser resolvidas utilizando o princípio fundamental da contagem. Acompanhe.
Quantidade de grupos possíveis na 1a posição
Quantidade de grupos possíveis na 2a posição
4 3 2 1 = 24
Quantidade de grupos possíveis na 4 a posição
Quantidade de grupos possíveis na 3 a posição
Portanto, o professor pode definir a ordem de apresentação dos grupos de 24 maneiras distintas.
Para simplificar expressões como essas, ou cálculos envolvendo essas expressões, podemos utilizar o conceito de fatorial de um número natural n, indicado por n! (lê-se: fatorial de n). Em relação ao exemplo apresentado, temos: 4! = 4 3 2 1
Seja n [ n, tal que n > 2. Definimos como fatorial de n, indicado por n!, o produto de n pelos seus antecessores naturais até 1. n! = n ? (n 1) ? (n 2) ? ? 1 Definimos também que 1! = 1 e 0! = 1.
Acompanhe outros exemplos. a) 5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2
A partir desses exemplos, podemos notar que:
5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1
Ao observar essas igualdades, é possível reconhecer padrões que podem ser expressos pela propriedade a seguir.
Seja n um número natural não nulo, podemos estabelecer a seguinte relação: n! = n ? (n 1)!
A notação n!, para indicar o fatorial de um número natural, foi utilizada pela primeira vez em 1808 por Christian Kramp (1760-1826) em sua obra Élémens d’arithmétique universelle (“Elementos da aritmética universal”, em tradução livre), e foi escolhida para minimizar dificuldades gráficas verificadas com notações anteriores. Já a nomenclatura “fatorial” foi dada pelo também matemático francês Louis Arbogast (1759-1803).
Fonte dos dados: FACTORIAL. In : O'CONNOR, John; ROBERTSON, Edmund. MacTutor. St Andrews: School of Mathematics and Statistics: University of St Andrews, [2024]. Disponível em: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/f/. Acesso em: 16 ago. 2024.
R6. Simplifique cada expressão a seguir.
a) 8 ! 7 ! b) 8 ! 10 !
Resolução
a) 8 ! 7 ! = 8 ? 7! 7! = 8 b) 8 ! 10 ! = 8! 10 ? 9 ? 8! = 1 90
R7. (EsPCEx-SP) Determine o algarismo das unidades da seguinte soma S = ∑ n = 1
016 n ! em que n ! é o fatorial do número natural n .
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Resolução
KRAMP, Christian. Élémens d’arithmétique universelle Cologne (França): [s. n.], 1808. Capa. Kramp foi um matemático francês nascido em Estrasburgo. Seus trabalhos mais conhecidos se referem ao estudo do fatorial.
A notação E (lê-se: somatório) corresponde à letra grega maiúscula sigma e indica uma sequência de elementos a ser adicionados.
A representação ∑ n = 1 2 016 n ! indica o somatório dos fatoriais dos números naturais de 1 até 2 016, ou seja:
PARA PENSAR
Na a dição indicada, podemos notar que as parcelas seguintes a 4! = 24 têm o algarismo das unidades igual a zero. Assim, o algarismo das unidades de S é igual a 3, pois 1 + 2 + 6 + 24 = 33. Portanto, a alternativa d é a correta.
Você concorda que as parcelas seguintes a 4! = 24 têm o algarismo das unidades igual a zero? Argumente.
Resposta esperada: Sim, pois essas parcelas correspondem a produtos em que dois dos fatores são 2 e 5, cuja multiplicação é 2 ? 5 = 10.
R8. Determine as raízes da equação (n + 1)! (n 1)! = 6, em que n 5 1.
Resolução
Utilizando a propriedade dos fatoriais, temos:
(n + 1)!
(n 1)! = 6 h (n + 1) n (n 1)! (n 1)! = 6 h (n +
Resolvendo a equação obtida, temos:
Agora, verificamos cada resultado.
• Para n = 3, temos: ( 3 + 1)! ( 3 1)! = ( 2)! ( 4)!
Nesse caso, não convém o resultado n = 3, pois não é definido o fatorial de número negativo.
• Para n = 2, temos: (2 + 1)! (2 1)! = 3 ! 1 ! = 6
Portanto, n = 2 é a raiz da equação dada.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro. 27. Alternativas c e e. Resposta na Orientações para o professor.
26. Calcule.
a) 4!
b) 5! + 3!
c) 2! 6! d) 7 ! 5 ! e) 6! ? 14 ! 15! ? 2 ! f) 13! + 15 ! 13 !
27. Dados os números naturais não nulos quaisquer a e b, identifique quais das igualdades a seguir são verdadeiras. Justifique.
a) (a b )! = a ! b !
b) (a + b )! = a ! + b !
c) (a 1)! = a ! a
d) (2a )! = 2! ? a !
e) (b !)2 = b ! ? b !
28. Simplifique as expressões a seguir.
a) n ! (n 2)!
b) (n 1)!
(n + 1)!
c) (n + 1) ? (n 1) ! (n + 1)! d) (n + 2)! (n + 1)! + n !
29. Resolva as equações a seguir.
a) (n 2)! n ! = 1 2
b) (n 4)! (n 3)! = 0,1 c) (n + 12)! (n + 10)! = 210 d) (n + 2)! 6n ! (n + 1)! n ! = 6
30. Determine os valores de a e b para que a igualdade a seguir seja verdadeira. a ! b ! = 17 ? 18 ? 19 ? 20 ? 21 ? 22 ? 23 ? 24
31. Seja m a soma dos fatoriais dos números naturais pares menores ou iguais a 100. Qual é o algarismo das unidades de m? 7
32. Em qual dos itens a expressão apresentada tem o mesmo resultado de 10 8 6 4 2?
a) 10! 5!
b) 10 ! 9 ! c) 5! ? 25 d) 10 ! 2 5
33. Calcule a soma dos números primos divisores de 20!. n = 2 n = 13 n = 3 n = 4 a = 24 e b = 16 alternativa c 77
Nos últimos anos, os eSports , como são chamadas as competições em que se utilizam jogos eletrônicos, vêm ganhando destaque no Brasil, que é líder no mercado de games na América Latina. Esse mercado em crescimento oportuniza, além de diversão aos participantes e espectadores, diversas opções de trabalho, como programador, desenvolvedor de games e designer .
Gamers brasileiros em campeonato que reuniu representantes das melhores seleções de futebol eletrônico do mundo, em Riade (Arábia Saudita). Fotografia de 2023.
Em certo torneio de uma modalidade de eSports, cada equipe é composta de três atletas. Antes de cada partida, a organização do torneio sorteia dois atletas da equipe para formar o time, um deles para ocupar a função de capitão e o outro, de suporte do time. De quantos modos distintos pode ser formado um time com a equipe composta de Aline, Bernardo e Camila?
Para resolver essa questão, podemos construir uma árvore de possibilidades.
Capitão (3 possibilidades)
Aline
Bernardo
Camila
Suporte (2 possibilidades por capitão)
Time (Capitão, Suporte) (6 possibilidades)
Bernardo (Aline, Bernardo)
Camila (Aline, Camila)
Aline (Bernardo, Aline)
Camila (Bernardo, Camila)
Aline (Camila, Aline)
Bernardo (Camila, Bernardo)
Portanto, o time pode ser formado de seis modos distintos.
Outra maneira de resolver esse problema é construindo uma tabela de dupla entrada.
Possibilidades de composição do time para uma competição
Suporte
Capitão
Aline (A)Bernardo (B)Camila (C)
Aline (A) (A, B) (A, C)
Bernardo (B) (B, A) (B, C)
Camila (C) (C, A) (C, B)
Fonte: Dados fictícios.
Dos times que podem ser formados, quantos têm Camila como uma das atletas? 4 times PARA PENSAR
M é o conjunto formado por todos os atletas da equipe: Aline, Bernardo e Camila; n = 3; p = 2. Temos que n representa a quantidade total de atletas da equipe e p, a quantidade de atletas da equipe que devem ser selecionados para compor o time.
Note que, nessa situação, a ordem dos atletas na composição do time interfere na quantidade de times distintos que podem ser formados. Por exemplo, o time em que Aline é a capitã e Bernardo é o suporte é diferente do time em que Bernardo é o capitão e Aline, o suporte. Dizemos que cada um desses possíveis times a ser formados é um arranjo de três atletas da equipe tomados dois a dois, ou seja, organizados aos pares.
Seja M = {a1, a2, a3, …, an} um conjunto de n elementos distintos. Denominamos arranjo simples de n elementos, tomados p a p, toda sequência formada por p elementos de M, distintos entre si, com p [ n e p < n
PARA PENSAR
Ao relacionar o conceito de arranjo simples apresentado e o exemplo sobre a composição do time de eSports, apresentada na página 215, qual é o conjunto M? Qual é o valor de n? E qual é o valor de p? O que n e p representam naquele contexto?
É importante destacar que, em um arranjo simples, os elementos do conjunto considerado devem ser todos distintos entre si, ou seja, não pode haver repetição de elementos. Além disso, no arranjo, importa a ordem em que os elementos são organizados na composição das sequências, ou seja, duas sequências formadas com os mesmos elementos, mas organizados de maneiras diferentes, são distintas entre si.
Podemos determinar uma expressão, indicada por A n, p , para o cálculo da quantidade de arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p. Para isso, inicialmente, calculamos a quantidade de possibilidades para cada uma das p posições do arranjo formado. Analise. Posição 1a 2a 3a 4a … p-ésima posição
Quantidade de possibilidades nn 1 n 2 n 3 … n (p 1)
Assim, pelo princípio fundamental da contagem e considerando o quadro anterior, temos:
An, 1 = n
An, 2 = n ? (n 1)
An, 3 = n ? (n 1) ? (n 2)
An, 4 = n (n 1) (n 2) (n 3) ;
A n, p = n ? (n 1) ? (n 2) ? (n 3) ? ? [n (p 1)]
p fatores
Multiplicando a expressão obtida por (n p)! (n p)! = 1, temos:
A n, p = n (n 1) (n 2) (n 3) … [n (p 1)] (n p)! (n p)!
Como n (p 1) = n p + 1, segue que:
A n, p = n ? (n 1) ? (n 2) ? (n 3) ? … ? [n (p 1)] ? (n p) ! (n p)! h A n, p = n ! (n p)!
A quantidade de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é dada por:
A n p = n ! (n p)!
R9. Calcule.
a) A 8, 3 b) A 5, 2
Resolução
a) A 8, 3 = 8 ! (8 3)! = 8 7 6 5! 5! = 336
b) A 5, 2 = 5 ! (5 2)! = 5 ? 4 ? 3! 3! = 20
c) A 7, 5 A 6, 2 =
! (7 5)!
R10. Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Resolução
Note que os números devem ser formados por algarismos distintos. Além disso, ao alterar a ordem desses mesmos algarismos, formam-se números diferentes. Por exemplo, 3 456 e 6 5 43 são formados pelos mesmos algarismos, porém são números diferentes. Assim, cada número formado corresponde a um arranjo dos sete algarismos disponíveis, tomados 4 a 4.
A 7, 4 = 7 ! (7 4)! = 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3! 3! = 840
Portanto, podem ser formados 840 números.
c) A 7, 5 A 6, 2
Situações-problema que envolvem arranjo simples, como essa, também podem ser resolvidas utilizando o princípio fundamental da contagem. Utilizando esse princípio, resolva a situação apresentada.
Resposta esperada: 7 ? 6 ? 5 ? 4 = 840; ou seja, 840 números.
R11. Para fazer um cadastro em determinado site, é necessário criar uma senha formada por uma sequência de três letras minúsculas distintas, entre as 26 do alfabeto, seguidas de cinco algarismos distintos quaisquer. Quantas senhas distintas podem ser criadas ao se cadastrar nesse site?
Resolução
Note que, na sequência correspondente à senha, a parte composta de letras corresponde a um arranjo de 26 elementos distintos tomados 3 a 3 e a parte composta de algarismos, a um arranjo de 10 elementos distintos tomados 5 a 5. Assim, a quantidade de senhas distintas que podem ser criadas é dada por:
A 26, 3 ? A 10, 5 = 26 ! (26 3)! ? 10 ! (10 5)! = 26 25 24 23! 23! ? 10 9 8 7 6 5! 5! = = 15 600 30 240 = 471 744 000
Outra maneira de resolver essa questão é utilizando o princípio fundamental da contagem. Analise. 26 ? 25 ? 24 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 = 471 744 000
Sequências com letras Sequências com algarismos
Portanto, podem ser criadas 471 744 0 00 senhas distintas.
R12. (UERJ) Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião.
O número de trabalhadores presentes é: a) 13 b) 11 c) 9 d) 7
Resolução
Representando por x o número de trabalhadores presentes, o número total de possibilidades para formar a diretoria do sindicato pode ser expresso pelo arranjo simples de x elementos tomados 3 a 3. Acompanhe.
Como o número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião (30x ), então:
Resolvendo a equação obtida, temos:
Como x é um número natural, temos que x = 7.
Portanto, a alternativa d é a correta.
34. Calcule.
a) A10, 2
b) A 25, 3
c) A6, 6 d) A15, 4 e) A7, 6 f) A12, 4
35. Simplifique as expressões a seguir.
a) A (n + 1), (n 1)
A (n + 2), n
90 13 800 720 32 760 5 040 11 880 1 (n + 2)
b) A (n 3), 2
A (n 5), 1
c) A n, (n 1) ? A (n + 3), (n + 1)
A (n + 4), (n + 2)
d) A (n + 2), n A n, 2
(n 3)(n 4) (n 5) n ! n + 4
38. Para abrir certo modelo de cadeado é necessário indicar a senha correta, formada por quatro algarismos quaisquer. Observe um modelo desse cadeado.
a) Q uantas senhas distintas é possível formar nesse cadeado?
b) Q uantas senhas é possível formar nesse cadeado, utilizando apenas algarismos distintos?
36. Quantos números de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
37. Utilizando os algarismos 9, 8, 4, 2, 7 e 5, podemos escrever quantos números naturais entre 300 e 1 0 00 com algarismos distintos?
(n + 2) (n + 1) (n 2)! 2 6 720 números 100 números
c) Nair tem um cadeado desse tipo. Ela esqueceu a senha cadastrada, mas lembrou-se de que essa senha é formada pelos algarismos 3, 5, 7 e 8. Considerando que ela demore 5 s para testar cada possível senha desse cadeado, quanto tempo, no máximo, ela vai demorar para abri-lo?
120 s ou 2 min
d) Q ue senha você usaria nesse cadeado? Justifique. 10 000 senhas 5 040 senhas
Resposta pessoal. Cadeado com senha.
39. Neste ano, um campeonato de vôlei é disputado por 12 equipes no sistema de turno e returno, ou seja, cada equipe joga duas vezes contra cada uma das demais: uma partida em seu ginásio e outra no ginásio da equipe adversária. Para o próximo ano, a organização do campeonato pretende aumentar a quantidade de equipes participantes para 14, mantendo o sistema de disputa. Com essa alteração, quantos jogos a mais serão previstos para o campeonato do próximo ano em relação ao atual? 50 jogos
40. (UEL-PR) Uma loja online vende cafés de tipos “em pó”, “em grãos” ou “em cápsulas”. Ela trabalha, ao todo, com quatro marcas que produzem (todas elas) esses três tipos de café.
A loja oferece aos seus clientes um serviço de assinatura no qual eles devem formar um kit contendo, obrigatoriamente, uma unidade de cada um dos três tipos de café, com a condição de serem de marcas distintas e incluindo, opcionalmente, uma caneca personalizada com 4 opções de cores.
Considere que os kits se distinguem pelos diferentes tipos de café e de marcas e, também, pelo fato de incluir ou não a caneca na cor escolhida dentre as quatro opções.
Nessas condições, quantos kits distintos é possível formar nesse serviço de assinatura? Justifique sua resposta apresentando os argumentos e os cálculos realizados na resolução desta questão.
120 kits distintos. Respostas nas Orientações para o professor
41. Marcos e mais sete amigos combinaram de ir ao cinema assistir a um filme. Para comprar os oito ingressos, Marcos acessou o site do cinema e se cadastrou. A figura a seguir representa o mapa de poltronas da sala de cinema na sessão em que os amigos querem assistir ao filme. Nessa figura, as poltronas em vermelho estão ocupadas, e as em azul estão disponíveis.
234567891011121314151617181920
a) Q uantas poltronas estão disponíveis para essa sessão? 11 poltronas
b) De quantas maneiras distintas esse grupo de amigos pode se sentar nas poltronas dessa sala para assistir ao filme? 6 652 800 maneiras
Para resolver o item b, você pode analisar quantas poltronas cada amigo tem disponível para se sentar.
42. O modelo de placa de veículos utilizado no Brasil atualmente é composto de quatro letras e três algarismos com posições fixas.
odelo
a) C onsiderando que podem ser utilizadas quaisquer das 26 letras do alfabeto e quaisquer algarismos na composição desse novo modelo de placa, calcule a quantidade de placas distintas que podem ser compostas.
264 103 placas ou 456 976 000 placas
b) Q uantas das placas que você indicou no item a t êm letras e algarismos distintos entre si? 258 336 000 placas
43. Observe a situação apresentada a seguir.
A comissão de formatura de uma turma de Ensino Médio de certa escola será formada por dois professores e por quatro estudantes. Os professores serão escolhidos por votação, entre dez candidatos voluntários, de maneira que o mais votado será o presidente e o segundo será o tesoureiro da comissão; já os estudantes escolhidos, entre 18 voluntários, seguindo a ordem dos mais votados, ocuparão as funções de vice-presidente, vice-tesoureiro, secretário e vice-secretário, respectivamente.
Com base nas informações apresentadas, elabore um problema relacionado ao cálculo de arranjo simples. Troque o problema com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
PARA PENSAR
Pesquise, em um dicionário, o significado do verbete permutar. Depois, relacione esse significado ao conceito de permutação simples em Análise Combinatória.
Atualmente, diversos aplicativos oferecem o serviço de acesso a músicas por streaming , ou seja, são disponibilizadas músicas, em formato digital na internet, que podem ser ouvidas em dispositivos como smartphone , tablet ou computador. Em geral, uma das ferramentas oferecidas nesses serviços é a criação de playlist , que consiste em uma lista de músicas escolhidas pelo usuário para que sejam reproduzidas em determinada sequência ou em ordem aleatória. Agora, considere a situação descrita a seguir.
De quantas maneiras distintas podem ser reproduzidas todas as músicas de uma playlist, composta de cinco músicas diferentes, sabendo que cada uma tocará apenas uma vez?
Note que, ao reproduzir uma playlist com cinco músicas diferentes, estamos formando arranjos simples dessas cinco músicas tomadas cinco a cinco. Assim, temos:
A 5, 5 = 5 ! (5 5)! = 5 ! 0 ! = 5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120
Portanto, é possível reproduzir essa playlist de 120 maneiras distintas.
Em situações como a descrita, em que todos os arranjos possíveis são formados pelos mesmos n elementos, dizemos que cada um desses arranjos é uma permutação simples desses n elementos. Nesse caso, temos:
A n, n = n ! (n n)! = n ! 0 ! = n !
Seja M = {a1, a2, a3, ..., an } um conjunto com n elementos distintos. Denominamos permutação simples desses n elementos todo arranjo dos n elementos tomados n a n.
A quantidade de permutações simples de n elementos, indicada por P n , é dada por: Pn = n!
Resposta esperada: Permutar significa trocar ou mudar reciprocamente. É possível associar esse significado ao conceito de permutação simples em relação à ideia de trocar a ordem dos elementos em um arranjo.
R13. Em uma competição de salto em altura, os quatro atletas finalistas deveriam realizar um salto cada um. A classificação final desses atletas, de 1o a 4o colocados, é estabelecida de acordo com a nota que eles obtiverem nos saltos. Supondo que não ocorram notas repetidas, de quantas maneiras distintas é possível compor essa classificação?
Resolução
Como são quatro atletas que podem ocupar qualquer uma das quatro primeiras colocações da classificação da competição, a quantidade de maneiras distintas de compor essa classificação é dada pela permutação simples desses quatro atletas. Assim, temos:
P4 = 4! = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
Portanto, é possível compor a classificação desses atletas de 24 maneiras distintas.
R14. Você sabe o que é um anagrama? Dizemos que um anagrama é uma palavra, com ou sem significado, obtida por meio do rearranjo de todas as letras de outra palavra. Em um anagrama, cada letra da palavra original deve ser utilizada uma única vez. Observe, por exemplo, todos os 24 anagramas da palavra BOLA
BOLA BALO BLAO BLOA BOAL BAOL ABOL ABLO ALBO ALOB AOBL AOLB
LABO LAOB LOAB LOBA LBAO LBOA OABL OALB OBAL OBLA OLAB OLBA
Agora, considerando a palavra ALUNO, resolva os itens a seguir.
a) Quantos anagramas tem essa palavra?
b) Quantos anagramas dessa palavra começam com a letra N?
Resolução
a) Note que a palavra ALUNO tem cinco letras distintas. Dessa maneira, cada anagrama formado corresponde a uma permutação das cinco letras da palavra. Assim, temos:
Portanto, existem 120 anagramas da palavra ALUNO
b) Inicialmente, fixamos a letra N como a primeira do anagrama. Assim, a quantidade de anagramas da palavra ALU NO que começam com a letra N corresponde à permutação das quatro letras restantes: A, L, U e O.
4 3 2 1 = 24
Quantidade de letras possíveis para a 1a posição (letra N) P4
Portanto, 24 anagramas da palavra ALUNO começam com a letra N
44. Calcule.
a) P4
b) P 6 c) P3 P5 d) P2 + P 8 e) 5 ? P4 f) P 8 P 6
45. Determine quantos anagramas tem cada palavra indicada.
a) RETA
b)
24 anagramas
720 anagramas
120 anagramas
362 880 anagramas
46. Um técnico de futsal feminino organiza sua equipe distribuindo as cinco jogadoras nas seguintes posições: goleira, ala esquerda, pivô, ala direita e fixa. Dispondo das jogadoras Aline, Bianca, Carla, Daniela e Elisa, e sabendo que, com exceção de Aline, que joga apenas como goleira, as demais podem jogar em qualquer posição menos como goleira, de quantas maneiras distintas esse técnico pode organizar essa equipe? 24 maneiras
47. Quatro casais de amigos vão juntos assistir a uma peça de teatro, onde devem se sentar em oito poltronas consecutivas da mesma fileira. De quantas maneiras distintas esses casais podem se acomodar nessas poltronas, de modo que os integrantes de cada casal permaneçam sempre lado a lado?
384 maneiras
48. Uma playlist de músicas, criada em um aplicativo, é formada por oito músicas, das quais exatamente três delas são do gênero samba. De quantas maneiras distintas podem ser reproduzidas uma única vez todas as músicas dessa playlist ? Em que porcentual dessa quantidade as três músicas do gênero samba podem ser reproduzidas em sequência?
40 320 maneiras; aproximadamente 10,7%
49. Marcos se lembra dos algarismos distintos que compõem a senha de bloqueio do seu celular, porém se esqueceu da ordem em que eles aparecem nessa senha. Dessa maneira, ele pretende testar as composições de senha possíveis até encontrar a correta. Marcos verificou que demora 30 s para testar cada senha e que, nesse ritmo, vai demorar no máximo 1 h para encontrar a senha correta. Qual é a quantidade de algarismos da senha de Marcos?
5 algarismos
54. Leia a tirinha e responda às questões a seguir.
50. Um molde de um cubo teve as partes correspondentes às faces pintadas de cores diferentes. De quantas maneiras distintas podem ser indicados os algarismos 1 a 6 sobre as faces do cubo montado a partir desse molde?
720 maneiras
51. Certa sequência crescente é formada por todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pelas permutações dos algarismos 5, 6, 7, 8, e 9.
a) Quantos termos tem essa sequência?
120 termos
b) Qu al é a posição ocupada pelo número 89 765 nessa sequência?
c) Q ual número ocupa a 72 a posição nessa sequência?
52. Considerando todos os números com seis algarismos distintos do sistema de numeração decimal, responda às questões.
a) Quantos são esses números?
136 080 números
b) Em quantos desses números os algarismos 3, 5 e 7 aparecem agrupados?
4 500 números
53. Em relação aos anagramas da palavra DECIMAL, responda às questões a seguir.
a) Quantos são esses anagramas?
5 040 anagramas
b) Quantos desses anagramas começam com a letra D?
720 anagramas
c) E m que porcentual do total desses anagramas as letras M, A e L aparecem juntas?
53. c) aproximadamente 14,3%
COM CIÊNCIA. [A senha]. Humor com Ciência . [S l.]: [jun. 2013]. Disponível em: https:// www.humorcomciencia. com/tagtirinha/senha/. Acesso em: 28 out. 2024.
a) Em seu entendimento, o tucano realmente descobriu a senha do bugio? Justifique.
b) Considere que a senha corresponda a um anagrama da palavra BUGIO, escrito com todas as letras maiúsculas, e que, para descobri-la, o tucano tenha criado uma lista em ordem alfabética com todos esses anagramas.
• Quantas palavras constam nessa lista?
120 palavras
• Nessa lista, qual posição é ocupada pelo anagrama OIGUB, que corresponde à senha correta?
c) A inda com base na tirinha, elabore um problema envolvendo o cálculo de permutação simples. Troque o problema com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
88a posição Elaboração do estudante.
54. a) Resposta esperada: Não, pois cada bolinha preta indicada no computador do bugio corresponde a um caractere da senha, que, por medida de segurança, não é explicitado.
Você já estudou poesia concreta? Leia o trecho de um texto a seguir.
A Poesia Concreta, ou Concretismo, foi um movimento encabeçado pelos poetas paulistas Décio Pignatari (1927) e os irmãos Haroldo (1929-2003) e Augusto de Campos (1931). A partir do final da década de 1940, os três começam a defender uma poesia que se voltasse contra a “poética oficial” da literatura brasileira, buscando e exercitando novas formas de expressão verbal, num diálogo constante com outras artes (pintura, escultura, música), tendo por objetivo lançar um olhar crítico à velocidade do crescimento da civilização industrial e tecnológica. [...]
BIBLIOTECA CENTRAL IRMÃO JOSÉ OTÃO. Você sabe o que é poesia concreta? Porto Alegre: PUCRS, 22 fev. 2010. Disponível em: https://biblioteca.pucrs.br/curiosidades-literarias/voce-sabe-o-que-e-poesia-concreta/. Acesso em: 16 ago. 2024.
Agora, observe um poema concreto de Augusto de Campos (1931-).
"ACASO" (1963), POEMA DE AUGUSTO DE CAMPOS. IN: VIVA VAIA –POEMAS 1949-1979. SÃO PAULO, ATELIÊ EDITORIAL, 2001 © AUGUSTO DE CAMPOS.
CAMPOS, Augusto de. Acaso. In: CAMPOS, Augusto de. Viva vaia: poesia 1949-1979. São Paulo: Editora Duas Cidades, 1979. p. 103.
Acesse este site para mais informações sobre Augusto de Campos.
• AUGUSTO de Campos. In: ENCICLOPÉDIA Itaú Cultural de Arte e Cultura Brasileira. São Paulo: Itaú Cultural, 12 fev. 2021. Disponível em: http://enciclopedia.itau cultural.org.br/pessoa2884/augusto-de-campos. Acesso em: 16 ago. 2024.
No poema, todos os anagramas da palavra acaso estão organizados em blocos. Você percebeu alguma regularidade nesse poema? Quais?
Resposta esperada: As regularidades apresentadas são as seguintes: em cada bloco há seis anagramas, e todos os anagramas de um mesmo bloco terminam com a mesma letra.
Augusto Luís Browne de Campos nasceu na cidade de São Paulo (SP) em 1931 e, além de poeta, é tradutor, crítico literário, crítico musical e ensaísta. Fotografia de 2015.
Nesse poema, o autor lista todos os 60 anagramas da palavra acaso. Note que essa não é uma situação de permutação simples, uma vez que a palavra é composta de duas repetições da letra a. Assim, ao permutar entre si essas duas repetições, um mesmo anagrama é formado, como no exemplo a seguir.
acaso acaso
Note que o total de 60 anagramas da palavra acaso, listados no poema, pode ser obtido ao dividir a quantidade de permutações de suas letras, quando consideradas distintas entre si (5!), pelo fatorial da quantidade de repetições da letra a (2!):
Isso ocorre porque, na palavra acaso, a letra a se repete duas vezes, de maneira que cada anagrama se repete, igualmente, 2! vezes.
Seja M = {a1, a2, a3, ..., ak} um conjunto com n elementos, dos quais o elemento a 1 conste n 1 vezes, a 2 conste n 2 vezes, a 3 conste n 3 vezes, …, a k conste n k, com n1 + n2 + n3 + … + nk = n. A quantidade de permutações com repetição desses n elementos, indicada por P n (n1, n2, n3, ..., nk), é dada por: =
Em relação aos anagramas da palavra acaso, temos que a letra a consta duas vezes, e as letras c, s e o constam uma vez cada uma. Assim, podemos expressar a quantidade de anagramas dessa palavra por: P 5 (2, 1, 1, 1) = 5 !
Para simplificar a notação, como 1! = 1, podemos indicar P5(2, 1, 1, 1) por P5(2) e calcular:
R15. Quantos anagramas tem a palavra EXPERIMENTO?
Resolução
Podemos observar que, na palavra EXPERIMENTO, a letra E consta três vezes, e as letras X , P, R , I, M, N, T e O constam uma vez cada uma. Assim, temos:
Portanto, a palavra EXPERIMENTO tem 6 652 8 00 anagramas.
R16. Determine quantos anagramas tem a palavra PARALELA.
Resolução
Para resolver essa atividade, podemos elaborar um algoritmo, que consiste em etapas com instruções descritas e ordenadas. Acompanhe.
1a) Identificamos a quantidade total de letras da palavra: 8 letras.
2a ) Determinamos as letras que se repetem e a quantidade de vezes que cada uma delas consta na palavra: a letra A aparece três vezes, e a letra L está presente duas vezes.
3a) Para obter a quantidade de anagramas da palavra, utilizamos a fórmula de permutação com repetição.
P 8 (3, 2) = 8 ! 3 ! 2 ! = 8 7 6 5 4 3! 3! 2 = 3 360
P ortanto, a palavra PARALELA tem 3 3 60 anagramas.
arara: 10 anagramas; probabilidade: 389 188 800 anagramas
Esse algoritmo pode ser adaptado para resolver outras questões com estruturas parecidas. Use a calculadora e o algoritmo apresentado para determinar a quantidade de anagramas das palavras ARARA e PROBABILIDADE.
R17. Sendo a, b, c e d números naturais, quantas são as soluções da equação a + b + c + d = 9?
Resolução
Como a , b, c e d são números naturais, a quantidade de soluções da equação corresponde à quantidade de maneiras pelas quais podemos separar nove elementos em quatro partes inteiras. Representando por “bolinhas” esses elementos e separando-os por “barras”, temos, por exemplo, •|•••••|••|•, que corresponde a uma possível solução, no caso, (1, 5, 2, 1).
Assim, podemos considerar que a quantidade total de soluções é dada pela quantidade de permutações de 12 elementos, entre “bolinhas” e “barras”, em que constam nove “bolinhas” e três “barras”, ou seja, basta calcular P12 (9, 3) .
12 !
9! ? 3 ! = 12 ? 11 ? 10 ? 9! 9! ? 3 ? 2 ? 1 = 1 320 6 = 220
Portanto, existem 220 soluções para a equação apresentada.
R18. (Enem/MEC) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.
Por exemplo, a letra A é representada por O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12. b) 31. c) 36. d) 63. e) 720.
Resolução
De acordo com o enunciado, cada caractere na escrita braille é formado por um conjunto de 6 pontos, podendo estar destacados 1 a 6 pontos desses. Assim, para resolver essa atividade, podemos considerar as situações com representações com 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos destacados. Para cada situação, podemos determinar a quantidade de permutações com as repetições de pontos comuns e de pontos destacados, de maneira que o total de caracteres que podem ser representados corresponda, de acordo com o princípio aditivo da contagem, à soma dessas quantidades.
P 6 (5, 1) + P 6 (4, 2) + P 6 (3, 3) + + P 6 (2, 4) + P 6 (1, 5) + P 6 (6) = = 6 ! 5! ? 1! + 6 ! 4! ?
1 ponto em destaque 2 pontos em destaque 3 pontos em destaque
4 pontos em destaque 5 pontos em destaque 6 pontos em destaque
+ + 6 ! 1! 5! + 6 ! 6! =
= 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
Assim, podem ser representados 63 caracteres no Sistema Braille. Portanto, a alternativa d é a correta.
Deficiente visual escolhe um livro em braille no Instituto Roberto Miranda, em Londrina (PR). Fotografia de 2020.
55. Determine quantos anagramas tem cada palavra a seguir.
a) TEOREMA
b) BISSETRIZ
2 520 anagramas
90 720 anagramas
c) ANAGRAMA
1 680 anagramas
d) DETERMINANTE
19 958 400 anagramas
56. Quantas são, em n , as soluções da equação a + b + c = 5?
21 soluções distintas
57. De quantas maneiras distintas as bolas de tênis de mesa representadas a seguir podem ser distribuídas em cinco gavetas de um armário, sabendo que cada gaveta comporta até 20 bolas?
1 820 maneiras distintas
58. Considere todos os anagramas da palavra DEZESSEIS.
a) Em quantos desses anagramas as letras S estão juntas?
840 anagramas
b) Q uantos desses anagramas terminam em consoante?
5 600 anagramas
c) Podemos afirmar que mais de 50 % desses anagramas começam em vogal? Justifique.
59. Ao permutar os algarismos do número 23 125, são obtidos quantos números:
a) distintos no total?
b) ímpares distintos?
60 números distintos
36 números distintos
c) distintos maiores que 23 125?
35 números distintos
d) distintos em que os algarismos 3 e 5 estão juntos?
24 números distintos
60. Ao escrever uma sequência com os anagramas da palavra ARRANJO, em ordem alfabética, qual posição essa palavra ocupa nessa sequência?
61. Uma moeda de 1 real será lançada cinco vezes, e será construída uma sequência formada pelas indicações das faces voltadas para cima nos 1o , 2o , 3 o , 4 o e 5 o lançamentos, nessa ordem. Indicando por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, podemos representar uma possível sequência com CCCKK, ou seja, três caras consecutivas seguidas de duas coroas consecutivas.
Reverso (coroa) da moeda de 1 real. Anverso (cara) da moeda de 1 real.
a) Q uantas sequências distintas com três caras e duas coroas podem ser formadas?
10 sequências distintas
b) Q uantas sequências distintas com pelo menos uma cara e uma coroa podem ser formadas?
62. De acordo com alguns manuscritos antigos, o código binário já era estudado na China por volta de 3000 a.C. Esse código deu origem ao sistema de numeração binário ou de base 2, em que todos os números são representados apenas com algarismos 0 ou 1. Por exemplo, 100 pode ser representado no sistema binário por um número de sete dígitos: 1100100.
a) N o sistema de numeração binário, quantos números de quatro dígitos podem ser representados?
b) Ne s se sistema , quantos números de oito dígitos podem ser representados com exatamente três algarismos 0 e cinco algarismos 1?
30 sequências distintas 8 números 35 números
63. Inspirado no poema concreto apresentado na página 223, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo de permutação com repetição. Troque essa situ ação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
58. c) Resposta esperada: Não, pois apenas 4 480 dos 10 080 anagramas começam com vogal, ou seja, aproximadamente 44,4%.
Você sabe qual é a função da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP)? Leia o trecho de um texto a seguir.
A Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP) tem a finalidade de promover a regulação, a contratação e a fiscalização das atividades econômicas integrantes da indústria do petróleo, do gás natural, dos biocombustíveis e do hidrogênio. [...] [...]
A Agência tem atuação “do poço ao posto”, ou seja, regula aproximadamente 137 mil empresas, em atividades desde a prospecção de petróleo e gás natural nas bacias sedimentares do Brasil até os procedimentos para assegurar a qualidade dos combustíveis vendidos ao consumidor final. A atividade de regulação implica, necessariamente, a constante fiscalização do cumprimento das normas estabelecidas.
BRASIL. Ministério de Minas e Energia. Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis. Institucional. Brasília, DF: MME: ANP, [2024]. Disponível em: https://www.gov.br/ anp/pt-br/acesso-a-informacao/institucional/a-anp. Acesso em: 16 ago. 2024.
Fiscalização de posto revendedor de combustíveis por funcionários da ANP, em conjunto com outros órgãos governamentais, em Brasília (DF). Fotografia de 2021.
Assista a este vídeo para obter dicas da ANP aos consumidores antes do abastecimento de um veículo em um posto de combustíveis.
• O QUE você precisa saber antes de abastecer. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (4 min). Publicado pelo canal ANP – Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis. Disponível em: www.youtube. com/watch?v=3zuk_lsFBDQ. Acesso em: 16 ago. 2024.
Considere a seguinte situação.
Em uma ação programada em certo bairro, a ANP vai fiscalizar três dos cinco postos de combustíveis nele instalados, cuja escolha será realizada por sorteio. De quantas maneiras distintas podem ser escolhidos esses três postos de combustíveis?
Para resolver essa situação, vamos denominar, inicialmente, os cinco postos de combustíveis de A, B, C, D e E. Nesse caso, note que a ordem de escolha dos postos não interfere na formação obtida. Por exemplo, as escolhas dos postos A, B e C e dos postos B, C e A correspondem a uma mesma formação obtida.
Dessa maneira, podemos resolver essa situação determinando a quantidade de subconjuntos de três elementos do conjunto {A, B, C, D, E}.
{A, B, C}{A, B, D}{A, B, E}{A, C, D}{A, C, E}
{A, D, E}{B, C, D}{B, C, E}{B, D, E}{C, D, E}
Assim, os três postos de combustíveis a ser fiscalizados podem ser escolhidos de dez maneiras distintas.
Seja um conjunto M = {a1, a2, a3, …, an} com n elementos distintos. Denominamos combinação simples de n elementos, tomados p a p, todo subconjunto de M formado por p elementos, com p [ n e p < n.
Em relação à situação apresentada, temos que a quantidade de maneiras distintas em que três dos cinco postos poderiam ser escolhidos para ser fiscalizados corresponde à combinação simples de 5 postos tomados 3 a 3.
Agora, vamos determinar uma expressão, indicada por Cn, p , para o cálculo da quantidade de combinações simples de n elementos distintos, tomados p a p. Para isso, considere a situação a seguir.
Sobre uma circunferência, foram indicados seis pontos: A , B , C , D , E e F . Quantos triângulos distintos podem ser representados de maneira que seus vértices correspondam a três desses pontos?
Note que, escolhidos os três vértices, o triângulo determinado é o mesmo, independentemente da ordem de escolha desses vértices. Assim, temos que a quantidade de triângulos distintos que podem ser representados é dada por C6, 3. Para cada um desses triângulos, podemos associar seis arranjos de seus vértices, permutando-os de todas as maneiras possíveis. Por exemplo, considerando o triângulo ABC, obtemos os seguintes arranjos. Acompanhe.
Note que o triângulo é sempre o mesmo, independentemente da ordem em que indicamos seus vértices. DiCA
Dessa maneira, temos que:
Portanto, podem ser representados 20 triângulos distintos.
Ao generalizar o raciocínio anterior, podemos escrever:
A quantidade de combinações simples de n elementos, tomados p a p, é dada por:
PARA PENSAR AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R19. Calcule.
Resolução
3
Quantos segmentos de reta distintos podem ser traçados de maneira que as duas extremidades correspondam a dois dos pontos indicados na circunferência apresentada na página 228?
15 segmentos de reta
(4
R20. Em certo município, será realizado um campeonato escolar de basquete no qual participarão 15 times, e cada um deles deverá jogar contra todos os outros uma única vez. Ao todo, quantos jogos serão realizados nesse campeonato?
Resolução
Como cada time joga uma única vez contra todos os outros, a quantidade de jogos a ser realizados corresponde à quantidade de combinações dos 15 times, tomados 2 a 2. Assim: C 15, 2 = 15 ! 2! ? (15 2) ! = 15 ? 14 ? 13! 2 1 13! = 105
Portanto, serão realizados 105 jogos nesse campeonato.
Note que, nesse campeonato, o time A jogar contra o time B é o mesmo que o time B jogar contra o time A. DiCA
R21. Em uma perfumaria, os funcionários montaram 78 kits com 2 produtos em cada um, de maneira que em nenhum desses kits houvesse um mesmo tipo de produto. No mínimo, quantos tipos diferentes de produto foram utilizados para compor esses kits?
Resolução
Seja n a quantidade de tipos de produto utilizados para compor os kits . Como a ordem em que os produtos são colocados em cada kit não interfere em sua composição, temos:
C n, 2 = 78 h n ! 2! ? (n 2) ! = 78 h n ? (n 1) ? (n 2)! 2 ? 1 ? (n 2)! = 78 h h 156 = n 2 n h n 2 n 156 = 0
Resolvendo a equação obtida, temos:
12 (não convém)
Portanto, foram utilizados, no mínimo, 13 tipos diferentes de produto para compor os kits .
R22. Observe os valores de cédulas disponibilizadas para saque em certo caixa eletrônico.
Cédulas disponíveis para saque:
Digite o valor: [ ] R$ 50,00 R$ 20,00
Supondo que, nesse caixa eletrônico, estejam armazenadas 65 cédulas de R $ 50,00 e 80 cédulas de R $ 20,00, de quantas maneiras distintas podem ser selecionadas cédulas para um cliente que deseja sacar R $ 90,00?
Resolução
Para compor uma quantia de R $ 90,00 com os valores de cédulas disponíveis nesse caixa eletrônico, devem ser selecionadas uma cédula de R $ 50,00 e duas cédulas de R $ 20,00, e a quantidade de maneiras de selecionar as cédulas de cada valor é dada por C65,1 e C80,2, respectivamente. Assim, pelo princípio multiplicativo da contagem, temos: C 65, 1 ? C 80, 2 = 65 ! 1! (65 1) ! ? 80 ! 2! (80 2) ! = 65 64! 1 ? 64! ? 80 79 78! 2 ? 1 ? 78! = 205 400
Portanto, para sacar R $ 90,00 nesse caixa eletrônico, as cédulas armazenadas podem ser selecionadas de 205 4 00 maneiras distintas.
R23. (UERJ) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y , 60.
Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e 12 b) 8 e 24 c) 25 e 12 d) 5 0 e 24
Resolução
Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO 1a
Do enunciado, temos que:
• o painel de iluminação tem nove seções distintas;
• em cada seção do painel, acende uma luz de cor vermelha ou azul;
• a cada segundo são acesas, ao acaso, apenas três seções desse painel, sendo duas delas de mesma cor e uma de outra cor;
• é necessário determinar o tempo mínimo para a ocorrência de todas as possibilidades distintas após o acionamento do painel.
2 a
ELABORAR UM PLANO
Temos que as seções acesas no painel, a cada segundo, diferenciam-se pelas cores e pela posição, e não pela ordem em que são acesas. Assim, podemos determinar a quantidade de combinações em que duas seções de luz vermelha são acesas no painel, para os casos em que é acesa uma seção de luz azul apenas, e vice-versa. Em seguida, adicionamos as quantidades de combinações obtidas e, como a ocorrência de cada uma tem duração de um segundo, determinamos o resultado em minuto e segundo.
3a
EXECUTAR O PLANO
Quando uma das seções do painel acende a luz azul, a quantidade de combinações de pares das seções restantes do painel que acendem luz vermelha é dada por:
C 8, 2 = 8 ! 2! ? (8 2) ! = 8 ? 7 ? 6! 2 ? 1 ? 6! = 28
Como no painel há nove seções possíveis, para que seja acesa luz azul, a quantidade de combinações das três seções acesas, sendo uma com luz azul e duas com luz vermelha, pode ser calculada por meio do princípio multiplicativo da contagem: 9 ? 28 = 252.
De maneira análoga, determinamos que há 252 combinações das três seções do painel nas quais são acesas luz vermelha em uma delas e luz azul em duas.
De acordo com o princípio aditivo da contagem, o total de possibilidades distintas de iluminação desse painel é dada pela soma das quantidades de combinações obtidas: 252 + 252 = 504.
Como as seções são acesas a cada segundo, temos que o tempo mínimo para a ocorrência de todas as possibilidades distintas após o acionamento do painel é de 8 minutos e 24 segundos, pois: 504 = 8 ? 60 + 24; ou seja, x = 8 e y = 24.
Para verificar os resultados obtidos, podemos resolver o problema de outra maneira. Nesse caso, podemos indicar a quantidade de maneiras distintas em que três das nove seções do painel são acesas por C9, 3 A quantidade de arranjos para o caso de três seções acesas, sendo duas seções com certa cor de luz e a outra seção com outra cor de luz, é dada por 2 ? P 3 2. Assim, de acordo com o princípio multiplicativo da contagem, o total de possibilidades distintas de iluminação desse painel é dado por:
Portanto, a alternativa b é a correta.
64. Calcule.
a) C7, 5
b) C20, 2
c) C9, 4
d) C11, 8 C 8, 3
e) C4, 3 + A6, 4
f) P 5 C 8, 1
65. Estudamos anteriormente que, dados n elementos distintos, um agrupamento de p desses elementos, com p < n, é:
• um arranjo simples de n elementos, tomados p a p, se, ao alterarmos a ordem desses elementos, obtivermos um agrupamento diferente do inicial;
• uma combinação simples de n elementos, tomados p a p, se, ao alterarmos a ordem desses elementos, obtivermos o mesmo agrupamento inicial.
Identifique se cada questão a seguir corresponde ao arranjo simples ou à combinação simples. Justifique sua escolha.
a) De quantas maneiras distintas podem ser escolhidas, para compra em uma loja, 6 bermudas entre 12 opções disponíveis?
66. Agora, resolva cada situação descrita na atividade 65.
a: 924 maneiras; b: 571 704 maneiras; c: 57 120 maneiras; d: 36 opções
67. Em uma turma de certa escola estão matriculados 38 estudantes. O professor dessa turma deverá escolher seis deles para compor uma comissão. De quantas maneiras distintas essa comissão pode ser formada?
2 760 681 maneiras
68. (UFRGS-RS) Um time de futebol de salão dispõe de vinte jogadoras de futebol, entre as quais apenas Antônia, Maria e Eduarda são goleiras. O número de times possíveis, com cinco jogadoras, em que apenas a goleira joga em uma posição fixa, é alternativa e
a) C17, 4
b) C20, 4 .
c) C20, 5 .
d) C3, 1 + C17, 4
e) C3, 1 ? C17, 4 .
combinação simples arranjo simples
b) De quantas maneiras podem ser determinados os três primeiros classificados de uma corrida de rua, para compor o pódio, em que competiram 84 atletas?
c) Em um ônibus, há 17 assentos vagos. De quantas maneiras um grupo de 4 amigos pode ocupar esses assentos?
arranjo simples
d) Em uma lanchonete, há 9 tipos de fruta para fazer sucos. Quantas opções de suco há, ao todo, para escolher utilizando dois tipos diferentes de fruta nessa lanchonete?
combinação simples
69. Observe, a seguir, alguns pontos indicados sobre o contorno do triângulo ABC . Nenhum deles coincide com um vértice desse triângulo. Quantos triângulos podemos obter de maneira que seus vértices sejam três desses pontos indicados?
49 triângulos
70. a) Todos os 430 estudantes da escola. Os 25 estudantes correspondentes aos números que serão sorteados.
70. Leia, a seguir, informações sobre a estratégia utilizada pela direção de uma escola para selecionar uma amostra de estudantes para uma pesquisa estatística.
Para selecionar a amostra em uma planilha eletrônica, será indicado uma única vez o nome dos 430 estudantes da escola e, a cada um deles, será associado um número natural de 1 a 430. Depois, utilizando uma ferramenta da planilha eletrônica, serão sorteados aleatoriamente 25 números, que corresponderão aos estudantes selecionados para a amostra.
a) Nessa pesquisa, quem corresponde à população? E à amostra?
b) Qual é a técnica de amostragem utilizada nessa pesquisa?
amostra casual simples ou amostra aleatória simples
c) Qual ficha indica a quantidade total de maneiras distintas de se compor essa amostra?
C430, 1 A 430, 25 P25
C430, 25 A 25, 2
71. Utilizando combinação simples, determine a quantidade de diagonais de um polígono convexo de:
a) 5 lados;
b) 13 lados;
c) 20 lados
5 diagonais
65 diagonais
170 diagonais
• A gora, mostre que a quantidade de diagonais ( D ) d e um polígono convexo de n lados, com n > 3, pode ser expressa por
D = n ? (n 3) 2 .
Resposta nas Orientações para o professor
72. Leia o trecho de um texto a seguir.
As Comissões Mistas e os Conselhos do Congresso Nacional são formados por parlamentares das duas Casas Legislativas, ou seja, Deputados e Senadores atuando conjuntamente.
A Constituição Federal prevê, em seu artigo 58, que o Congresso Nacional terá comissões permanentes e temporárias, as quais possuem atribuições e forma de criação previstas no regimento interno ou no ato de sua criação.
[...]
A Comissão Mista de Planos, Orçamentos Públicos e Fiscalização (CMO) [...] destina-se a examinar os projetos de lei relativos ao plano plurianual, às diretrizes orçamentárias, ao orçamento anual e aos créditos adicionais, além das contas apresentadas anualmente pelo Presidente da República. [...] A CMO [...] é composta por 30 Deputados Federais, 10 Senadores e igual número de suplentes.
BRASIL. Congresso Nacional. Entenda as comissões mistas. Brasília, DF: CN, [2024]. Disponível em: www.congressonacional.leg.br/entenda-as-comissoes-mistas. Acesso em: 16 ago. 2024.
Congresso Nacional do Brasil, localizado em Brasília (DF), onde estão instalados o Senado Federal e a Câmara dos Deputados Federais. Fotografia de 2022.
Sabendo que, em 2024, o Brasil contava com 513 deputados federais e 81 senadores, podemos afirmar que a quantidade de maneiras distintas de se formar a CMO, independentemente da função de cada membro, e desconsiderando os suplentes, é indicada por:
a) 30! ? 10 !
513! ? 483! ? 81! ? 71 !
b) 513! 81 !
483! ? 71! ? 30! ? 10 !
c) 513! ? 162 !
483! ? 142! ? 30! ? 20 !
d) 513! 81 !
30! ? 10 !
73. Em um hospital, trabalham dez cardiologistas, seis ortopedistas e 14 pediatras. Para a realização de um plantão em determinado dia, será formada uma equipe de nove médicos, composta de três médicos de cada área. De quantas maneiras distintas se pode formar essa equipe? alternativa b 873 600 maneiras
74. Você já jogou dominó? Um jogo de dominó tradicional é composto de 28 peças distintas, sendo cada uma dividida em duas partes com marcações que indicam de zero até seis pontos. Nesse jogo, cada pontuação possível é indicada em sete peças distintas. Observe, por exemplo, as peças do dominó, nas quais são indicados seis pontos em, ao menos, uma de suas partes.
78. (Enem/MEC) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
Peças de dominó.
a) De quantas maneiras distintas um jogador pode separar sete peças entre todas as disponíveis no jogo de dominó?
1 184 040 maneiras
b) D e quantas maneiras distintas se pode juntar duas extremidades de peças desse dominó e obter nessas extremidades soma igual a 12? 21 maneiras
75. Considere duas retas coplanares r e s . Se indicarmos 5 pontos sobre r e 6 pontos sobre s , quantos triângulos diferentes, com vértices nesses pontos, podemos representar?
135 triângulos
EDITORIA DE ARTE
76. Em parte de um jogo, é necessário selecionar aleatoriamente quatro fichas de um monte contendo 12 fichas amarelas e 15 vermelhas. Determine a quantidade de possibilidades para selecionar:
a) quatro fichas de mesma cor;
1 860 possibilidades 6 930 possibilidades
b) duas fichas de cada cor; c) pelo menos uma ficha amarela.
16 185 possibilidades
77. (Fuvest-SP) Um professor precisa elaborar uma prova multidisciplinar que consta de duas questões de Matemática e seis de Física. Ele deve escolher questões de um banco de dados que contém três questões de Matemática e oito de Física. O número de provas distintas possíveis, sem levar em conta a ordem em que as questões aparecem, é: alternativa e a) 42 b) 54 c) 62 d) 72 e) 84
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo de brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
a) C6, 4 b) C9, 3 c) C10, 4 d) 64 e) 46
alternativa b
79. Considere os números naturais de 0 até 50. De quantas maneiras distintas podemos escolher dois desses números cuja soma seja par?
625 maneiras
80. Junte-se a um colega para resolver esta atividade. Observe o anúncio representado a seguir.
Temos vagas em quartos duplos e quartos triplos, com café da manhã incluso!
Com base nesse anúncio, elabore uma questão em que seja necessário utilizar cálculos de combinação simples para resolvê-la. Em seguida, troque-a com o colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
81. Com um colega, observem os cálculos apresentados em cada quadro.
C 5, 3 = 5 ! 3! ? (5 3) ! = 5 ? 4 ? 3! 3! ? 2 ? 1 = 10
C 5, 2 = 5 ! 2! ? (5 2) ! = 5 4 3! 2 ? 1 ? 3! = 10 C 7, 4 =
=
Respostas pessoais.
a) Vocês reconheceram algum padrão nos cálculos apresentados nesses quadros? Quais? Escrevam outro exemplo e verifiquem se esse padrão é válido para ele.
b) A gora, mostrem que, dados os números naturais n e p , com n > p , temos que:
n, p = C n, (n p )
82. (UERJ) Seis times de futebol disputaram um torneio no qual cada time jogou apenas uma vez contra cada adversário. A regra de pontuaç ão consistia em marcar 0 ponto para o time perdedor, 3 pontos para o vencedor e, no caso de empate, 1 ponto para cada time. A tabela mostra a pontuação final do torneio.
84. Em uma empresa trabalham 76 funcionários, dos quais 30 têm apenas automóvel, 19 têm apenas motocicleta e 11 têm automóvel e motocicleta. Quantos grupos distintos com 5 funcionários dessa empresa podem ser formados de maneira que nenhum deles tenha motocicleta?
1 370 754 grupos
85. Uma das modalidades de loteria que mais atraem os brasileiros é a Mega-Sena, organizada pela Caixa Econômica Federal. Nessa modalidade, o apostador deve escolher de seis a 20 números entr e os 60 disponíveis. Para ganhar algum prêmio, o apostador deve acertar quatro, cinco ou seis desses números em relação aos seis números sorteados.
Fonte dos dados: BRASIL. Caixa Econômica Federal. Mega-Sena Brasília, DF: CEF, [2024]. Disponível em: https://loterias.caixa. gov.br/Paginas/Mega-Sena.aspx. Acesso em: 16 ago. 2024.
Volante da Mega-Sena.
Atenção: Apostas nas modalidades lotéricas só podem ser realizadas por pessoas maiores de 18 anos. Cuidado: Jogar excessivamente pode causar danos à saúde, como a compulsão por apostas.
a) Q uantas são, na Mega-Sena, as possibilidades de se realizar:
O número de empates nesse torneio foi igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
83. Quantos subconjuntos do conjunto
A = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} são possíveis obter de maneira que cada um deles contenha três números distintos cujo produto seja negativo?
alternativa b 64 subconjuntos
• uma aposta de seis números?
• u ma aposta de oito números, sendo todos eles números pares ou todos eles números ímpares?
b) Desconsiderando que haja mais de um ganhador, quantas apostas de seis números uma pessoa deve realizar para garantir o prêmio mínimo?
50 063 860 possibilidades 11 705 850 possibilidades 32 509 apostas
Os comunicadores instantâneos transformaram a internet na década de 1990 e, por meio deles, tornou-se possível enviar e receber mensagens em tempo real, ou seja, se comunicar instantaneamente mesmo que as pessoas estejam a milhares de kilometros de distância uma da outra. Esse tipo de comunicação, que inicialmente era apenas por texto, fez que surgissem diversas plataformas de serviços de mensagem instantânea, que, para suprir as demandas dos usuários, incorporaram diversos recursos, como o envio de imagem, áudio, vídeo e outros tipos de arquivo.
Porém nem sempre essa facilidade e esses recursos estiveram à disposição da população. Vale lembrar que, para chegar a um sistema de comunicação desse tipo, ocorreram várias tentativas e invenções para uma comunicação eficaz. Por exemplo, o telégrafo elétrico permitiu, a partir da década de 1830, a transmissão de mensagens de longa distância, de maneira rápida e segura. Essas mensagens, de maneira geral, eram transmitidas utilizando o Código Morse , criado pelo estadunidense Samuel Morse (1791-1872), que faz uso de uma combinação de sinais curtos (pontos) e sinais longos (traços) para representar letras e números.
Telégrafo (à esquerda) e aparelho de Código Morse (à direita) em exposição no Museu Ferroviário em São João del Rei (MG). Fotografia de 2022.
O Código Morse foi um sistema muito importante para o desenvolvimento da comunicação moderna; por meio dele, mensagens eram transmitidas a distância de maneira rápida. Esse sistema facilitou a comunicação entre as pessoas, tornando-a mais eficiente. Por exemplo, comerciantes obtinham informações sobre preços e condições do mercado em tempo real, facilitando e impulsionando transações comerciais e financeiras, em nível nacional e internacional.
Em um ambiente de trabalho, não é diferente. Para se ter êxito, é importante praticar uma comunicação eficaz, prevendo possíveis equívocos e certificando-se de que a mensagem foi compreendida. A comunicação eficaz é uma das competências comportamentais dos profissionais, as chamadas soft skills, mais requisitadas pelas empresas atualmente.
Acesse o site a seguir para obter dicas de como realizar uma comunicação eficaz.
• ANVERSA, Luiz. Como melhorar as habilidades de comunicação no trabalho. Exame, [s. l.], 13 jun. 2024. Texto elaborado com auxílio de inteligência artificial nIA Bot. Disponível em: https://exame.com/carreira/ guia-de-carreira/como-melhorar-as-habilidades-de-comunicacao-no-trabalho/. Acesso em: 14 ago. 2024.
Ao usar o Código Morse, é necessário que o emissor elabore uma mensagem a ser compreendida pelo receptor, que deve conhecer o código a fim de interpretá-lo. Esse código pode ser transmitido de diversas maneiras, por exemplo: por meio da escrita, da luz de lanternas, de tons de áudio e até de piscadas com o olho. Observe, a seguir, algumas dicas sobre o uso desse código.
Os caracteres utilizados no Código Morse são representados por uma sequência única de pontos e traços.
Um ponto representa um som curto e é chamado de dit.
As letras E e T têm as representações mais curtas no Código Morse, pois são indicadas por um único ponto e um único traço, respectivamente.
Não há diferença entre letras maiúsculas ou minúsculas.
Um traço representa um som mais longo e é chamado de dah
Fonte dos dados: KING, Eddie. Código Morse completa 175 anos no dia 24 de maio. Galileu, [s l.], 24 maio 2019. Disponível em: https://revistagalileu.globo.com/Tecnologia/noticia/2019/05/ codigo-morse-completa-175-anos-no-dia-24-de-maio.html. Acesso em: 16 ago. 2024.
tecnologias da informação e comunicação, o Código Morse e a acessibilidade
As Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) são importantes instrumentos para inclusão e interação das pessoas no mundo. No caso de pessoas com deficiência, pode ser utilizada a Tecnologia Assistiva (TA). Leia, no trecho de um texto a seguir, o que significa essa expressão.
Conforme a Lei Brasileira de Inclusão, 13.146 de julho de 2015 , tecnologia assistiva é definida como produtos, equipamentos, dispositivos, recursos, metodologias, estratégias, práticas e serviços que tenham como objetivo promover a funcionalidade, relacionada à atividade e à participação da pessoa com deficiência ou com mobilidade reduzida, visando à sua autonomia, independência, qualidade de vida e inclusão social.
BRASIL. Ministério da Saúde. O que é tecnologia assistiva? Brasília, DF: MS, 18 nov. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/saude/pt-br/assuntos/saude-de-a-a-z/s/saude-da-pessoa -com-deficiencia/faq/o-que-e-tecnologia-assistiva. Acesso em: 16 ago. 2024.
Alguns recursos de Tecnologia Assistiva estão sendo desenvolvidos com base no uso do Código Morse. Observe, a seguir, dois exemplos desses recursos.
Teclado virtual que permite a comunicação de pessoas surdo-cegas. 1o
Mensagem sendo escrita em Código Morse em um teclado virtual.
P desenvolvido no Brasil em 2018, semelhante a um capacete headset e que realiza a leitura dos sinais neurais, convertendo-os em Código Morse.
Capacete com sensores eletroencefalográficos que permite comunicação por impulsos cerebrais.
Esses recursos utilizam como base o Código Morse em virtude da variedade de meios em que a mensagem pode ser transmitida por esse sistema. Por exemplo, podem ser transmitidas mensagens em Código Morse utilizando escrita, fala, pulsos elétricos, sons, luz, entre outros.
1. Em geral, como você costuma se comunicar com alguma pessoa que esteja distante? Converse com os colegas e o professor sobre isso. Resposta pessoal.
2. De acordo com o texto, que dispositivo era utilizado para transmitir mensagens de longa distância no século XIX? Como eram transmitidas essas mensagens? Telégrafo elétrico. Utilizando o Código Morse.
3. Com base na representação de caracteres em Código Morse, resolva as questões a seguir.
a) Transcreva a mensagem a seguir expressa em Código Morse. A barra (/) indica um espaço entre duas palavras.
CONECTANDO PESSOAS
b) Represente seu nome e sua idade, em algarismos, utilizando o Código Morse.
A resposta depende do nome e da idade do estudante.
c) No Código Morse, note que as letras são representadas por sequências de um a quatro símbolos, traços ( ) ou pontos ( ); e os algarismos são representados por sequências de cinco símbolos.
• Quantos caracteres distintos representados por sequências, como as das letras, podem ser expressos no Código Morse? E como as dos algarismos? Justifique.
4. Nesta atividade, exploraremos a temática a seguir.
30 caracteres; 32 caracteres; Respostas nas Orientações para o professor Resposta pessoal.
Código Morse e acessibilidade
Para isso, o ideal é que a turma seja organizada em cinco grupos, e cada um será responsável pela realização de pesquisas e pela elaboração de um fôlder com informações relacionadas ao tema. Nos itens a seguir, são sugeridas ações a ser desenvolvidas pelos grupos.
Apresentar informações gerais sobre acessibilidade, como: definição, características e importância social. O grupo também pode destacar os diferentes tipos de deficiência existentes e a legislação que trata do tema.
Apresentar informações sobre a utilização do Código Morse como um meio para potencializar a comunicação de pessoas com algum tipo de deficiência. Por exemplo, indicar como o Código Morse pode ser utilizado em smartphones na troca de mensagens por pessoas com deficiência auditiva e/ou visual.
Apresentar informações sobre o Código Morse, como suas características e finalidades. É essencial que seja destacada a importância da utilização de tecnologias, como aquelas que usam o Código Morse, para facilitar a comunicação entre as pessoas.
Apresentar informações de como o aplicativo descrito pelo grupo IV pode ser utilizado pela comunidade local com o objetivo de promover a acessibilidade. Fazer propostas concretas sobre esse uso, identificando possíveis dificuldades na implementação e nas propostas de soluções.
Apresentar informações sobre algum aplicativo de dispositivo móvel ou programa de computador que utilize o Código Morse para a comunicação de pessoas com deficiência, indicando suas opções de uso e funcionalidade.
Podemos realizar os cálculos de fatorial, combinação simples e arranjo simples, utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc, disponível para download em https://pt-br.libreoffice. org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 25 jun. 2024). Analise os exemplos a seguir.
A Para calcular o fatorial dos números 5, 10, 18, 20, 24 e 30, por exemplo, primeiro registramos esses números na planilha nas células A1:A6, sendo cada valor em uma célula. Em seguida, digitamos =fatorial(A1) na célula B1 e pressionamos Enter para calcular o fatorial de 5 (número inserido em A1). Para obter os fatoriais dos outros números, selecionamos a célula B1, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula B6.
DiCA
Nessa planilha eletrônica, é possível ajustar a formatação de um número clicando, sobre a célula, com o botão direito do mouse e, em seguida, selecionando as opções Formatar células... e Número, respectivamente.
B Para calcular a quantidade de combinações simples de 1 000 elementos, tomados 2 a 2, 4 a 4, 10 a 10 e 15 a 15, por exemplo, primeiro registramos esses números na planilha da seguinte maneira: nas células A1:A4, digitamos o número 1 000, correspondente ao total de elementos; nas células B1:B4, registramos os números 2, 4, 10 e 15, nessa ordem, correspondentes às quantidades de elementos de cada combinação. Em seguida, digitamos =combin(A1;B1) na célula C1 e pressionamos Enter, para calcular a quantidade de combinações simples de 1 000 elementos tomados 2 a 2. Para obter as demais quantidades de combinações, selecionamos a célula C1, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula C4.
C
Para calcular a quantidade de arranjos simples de 1 000 elementos, tomados 2 a 2, 4 a 4, 10 a 10 e 15 a 15, por exemplo, primeiro registramos esses números na planilha, da seguinte maneira: nas células A1:A4, digitamos o número 1 000, correspondente ao total de elementos; nas células B1:B4, registramos os números 2, 4, 10 e 15, nessa ordem, correspondentes às quantidades de elementos de cada arranjo.
Em seguida, digitamos = permutar(A1;B1) na célula C1 e pressionamos Enter para calcular a quantidade de arranjos simples de 1 000 elementos tomados 2 a 2. Para obter as demais quantidades de arranjos, selecionamos a célula C1, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula C4
IMAGENS: REPRODUÇÃO/ LIBREOFFICE
2. Resposta possível: Indicar, na célula A1, a quantidade total n de elementos e, nas células B1 e C1, as quantidades de repetições dos elementos a1 e a2, respectivamente. Na célula D1, escrever a fórmula
Não escreva no livro. =(fatorial(A1))/(fatorial(B1)*fatorial(C1)), que corresponde à razão entre o fatorial do número em A1 e o produto dos fatoriais dos números em B1 e C1; P 15 (3, 4) = 9 081 072 000.
1. Utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc , calcule os itens a seguir. a) 10!
3 628 800
b) A20, 5 c) C30, 4 d) 15!
1 860 480
27 405
1 307 674 368 000
21 646 947 168 000
e) A 50, 8 f) C100, 6 g) 21!
1
h) A 350, 8 i) C180, 10
2. Explique, com suas palavras, como podemos elaborar uma fórmula para calcular, na planilha eletrônica LibreOffice Calc , uma permutação de n elementos, sabendo que apenas os elementos a 1 e a 2 apresentam repetições. Em seguida, utilizando essa fórmula e a planilha eletrônica, calcule P 15 (3, 4) .
3. Resolva as questões a seguir, tendo, como apoio, uma planilha eletrônica.
a) A Quina é uma modalidade de loteria organizada pela Caixa Econômica Federal. Nessa modalidade, o apostador deve escolher de cinco a 15 números, entre os 80 disponíveis, e, para ganhar o prêmio máximo, deve acertar os cinco números sorteados. No mínimo, quantos jogos de cinco números um apostador deve fazer para garantir o prêmio máximo em um sorteio dessa loteria?
Fonte dos dados: BRASIL. Caixa Econômica Federal. Quina . Brasília, DF: CEF, [2024]. Disponível em: https://loterias.caixa.gov.br/Paginas/Quina.aspx. Acesso em: 16 ago. 2024.
b) P ara utilizar um aplicativo bancário de smartphone , o usuário deve cadastrar uma senha composta de oito caracteres distintos escolhidos por ele no momento da instalação. Os caracteres devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras do alfabeto. Qual é a quantidade de possibilidades que um usuário tem para escolher sua senha?
220 096 908 800 possibilidades
c) Qual é a quantidade de anagramas que podem ser formados utilizando todas as letras do alfabeto brasileiro, sem repetição?
403 291 461 126 606 000 000 000 000 anagramas
4. Elabore uma situação-problema envolvendo Análise Combinatória que possa ser resolvida com auxílio de uma planilha eletrônica. Em seguida, troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que recebeu. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Quando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) Participei das discussões propostas à turma.
e) Fiz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
Princípio fundamental da contagem
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Permutação com repetição
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Arranjo simples
Princípio aditivo da contagem Fatorial Permutação simples
Combinação simples
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas dicas para cadastrar senhas seguras compostas de letras, números ou símbolos, e estudamos que elas podem ser utilizadas para realizar diversas atividades on-line , como consulta de dados bancários e acesso a redes sociais, de maneira mais segura. Além disso, é possível cadastrar senhas para acessar aparelhos, como smartphones , e em muitos deles, essas senhas podem ser de diferentes tipos. Analise na imagem alguns exemplos.
Reconhecimento facial
Código numérico (PIN)
Impressão digital
a) Em seu entendimento, por que é importante cadastrar uma senha adequada para desbloquear a tela de smartphone?
Resposta possível: Para dificultar o acesso a informações ou arquivos pessoais por alguém mal-intencionado.
b) O PIN, sigla do termo em inglês Personal Identification Number (número de identificação pessoal, em português), costuma ser composto de uma senha de, no mínimo, quatro caracteres, sendo apenas algarismos. Nessas condições, quantas senhas distintas é possível cadastrar para bloquear a tela de um smartphone , de maneira que contenha:
• seis algarismos?
1 000 000 senhas distintas
• cinco algarismos pares distintos?
120 senhas distintas
• dez algarismos distintos e forme um número ímpar?
1 814 400 senhas distintas
• d ez algarismos, sendo exatamente dois deles o algarismo 3 e três deles o algarismo 6?
302 400 senhas distintas
c) Considere que o bloqueio da tela de certo smartphone tenha o PIN cadastrado com uma senha de cinco algarismos. Uma pessoa que saiba apenas essa informação demora cerca de 6 s para testar cada possível senha. Considere também que, ao errar cinco tentativas consecutivas, o smartphone fica inacessível por 3 min antes de possibilitar uma nova tentativa. Nessas condições, em quantos minutos, no máximo, essa pessoa conseguirá desbloquear a tela desse smartphone ?
69 997 min
d) C om um colega, realizem uma pesquisa sobre senha de bloqueio de tela de smartphone em formato de desenho padrão, buscando informações sobre as regras para criar uma senha desse tipo, quantidade de combinações possíveis, padrões mais utilizados por usuários de smartphone e dicas para cadastrar uma senha segura. Em seguida, organizem as informações que vocês obtiveram e as divulguem por meio de uma postagem, um vídeo, um cartaz, entre outras mídias.
Pesquisa dos estudantes.
1. (Enem/MEC) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
Disponível em: www pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 (adaptado).
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? alternativa e
a) 15
b) 30 c) 108 d) 360 e) 972
2. (Enem/MEC) Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.
De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas? alternativa c
a) 69
b) 70 c) 90 d) 104 e) 105
3. (UEG-GO) Uma comissão será composta pelo presidente, tesoureiro e secretário. Cinco candidatos se inscrevem para essa comissão, na qual o mais votado será o presidente, o segundo mais votado o tesoureiro e o menos votado o secretário. Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa comissão poderá ser formada?
a) 120
b) 60 c) 40 d) 20 e) 10
4. (Fuvest-SP) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é alternativa d
a) 200.
b) 204. c) 208. d) 212. e) 220.
alternativa e
a) 5 040. b) 72. c) 720. d) 120. e) 60. alternativa b
5. (UFMS) O Sr. Asdrúbal se preocupa muito com a segurança na internet, por isso troca mensalmente a senha de seu correio eletrônico. Para não esquecer a senha, ele utiliza o ano de nascimento de seu gato e a palavra pet para formar sua senha, totalizando 7 caracteres. No momento de alterar a senha, ele apenas inverte a ordem da palavra e dos números. Sabendo que o gato nasceu no ano de 2009 e que as letras da palavra pet são mantidas juntas e nessa mesma ordem, quantas senhas distintas o Sr. Asdrúbal consegue formar? PET2009
6. (UFRR) A quantidade de anagramas possíveis com a palavra RORAIMA, fixando-se o primeiro “R”, no início, é: alternativa e a) 4.320 b) 5.040 c) 720 d) 1.440 e) 360
7. (UEA-AM) Márcia tem 3 canetas, uma azul, uma amarela e uma vermelha; 3 lápis, um amarelo, um laranja e um verde; e 5 gizes de cera, um azul, um laranja, um roxo, um marrom e um cinza. Ela quer escolher uma caneta, um lápis e um giz de cera de modo que nenhuma cor se repita. O número de diferentes maneiras de ela fazer essa escolha é: alternativa c a) 10. b) 24. c) 34. d) 12. e) 30.
8. (EBMSP-BA) Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição.
Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar é alternativa e a) 230 b) 225 c) 220 d) 215 e) 210
9. (UECE) Seja X um conjunto formado por 15 pontos distintos do espaço, o qual tem um subconjunto Y formado por 5 pontos coplanares. Sempre que são considerados quatro pontos coplanares, esses pontos estão em Y. O número de planos determinados por esses 15 pontos de X é igual a alternativa c a) 595. b) 465. c) 446. d) 585.
10. (Unifesp-SP) Alberto, Bruno, Caio e David formaram uma banda com quatro instrumentos: guitarra, baixo, teclado e bateria. No primeiro ano de atividades da banda, Alberto e Bruno sabiam tocar todos os instrumentos, mas Caio e David sabiam tocar, cada um deles, apenas o teclado e a bateria. No segundo ano da banda, os quatro sabiam tocar todos os instrumentos. a) Q uantas combinações diferentes a banda podia fazer no seu primeiro ano de atividade com seus quatro integrantes e os quatro instrumentos diferentes? 4 combinações
b) Qual foi o crescimento percentual do número de combinações que a banda podia fazer no seu segundo ano de atividade em comparação com o número de combinações que podia fazer no primeiro ano? 500%
11. (UEA-AM) Para assistir a uma peça em determinado teatro, 5 amigos devem ocupar 5 poltronas posicionadas de forma consecutiva em uma mesma fileira. Aline, a única mulher do grupo, decidiu ocupar a poltrona do meio. Nesse caso, o número de maneiras diferentes que os 4 rapazes têm de se distribuírem nas poltronas restantes é alternativa b
a) 60.
b) 24. c) 120. d) 48. e) 40.
12. (UFRGS-RS) Uma biblioteca está elaborando etiquetas de identificação para os livros do acervo de tal forma que, em cada etiqueta, são usadas quatro letras distintas, de um alfabeto de 26 letras, e quatro algarismos também distintos, de 0 a 9.
A figura a seguir mostra um exemplo de modelo da etiqueta produzida.
Assinale a alternativa que apresenta o número total de etiquetas distintas produzidas pela biblioteca. alternativa c
a) 26 + 10
b) 26 10
c) A 26,4 ? A10,4
d) A 26,4 + A10,4
e) 10A 26,4 + 26A10,4
13. (UECE) Na mesa redonda utilizada para reuniões da Presidência da República, há um lugar fixo para ser ocupado pelo Presidente e outros 22 lugares para serem ocupados pelos ministros, todos igualmente espaçados. Estando presentes todos os 22 ministros e o Presidente, de quantas maneiras distintas podem ser ocupados os assentos? alternativa d
a) 23!
b) 23! 22!
c) 22! + 23!
d) 22!
14. (Udesc) Uma loja de material para pintura fabrica tintas de cores personalizadas, usando uma máquina que mistura até 3 cores iniciais em proporções que podem ser ajustadas de 20 % em 20 % . Sabendo que há 4 cores iniciais para se escolher, o número de cores que podem ser oferecidas, incluindo as iniciais puras, é:
a) 48
b) 52 c) 28 d) 44 e) 76
alternativa b alternativa d
15. (UFAM) A quantidade de números, com três algarismos distintos, que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 8, é: a) 105.
b) 330. c) 400. d) 210. e) 540.
16. (UFRGS-RS) Um aplicativo de transporte disponibiliza em sua plataforma a visualização de um mapa com ruas horizontais e verticais que permitem realizar deslocamentos partindo do ponto A e chegando ao ponto B , conforme representado na figura a seguir.
C
18. (UFJF-MG) Um ônibus com 40 assentos numerados de 01 a 40 foi alugado para uma excursão que fará uma viagem com 25 turistas. De quantos modos distintos os turistas poderão ser acomodados para a viagem considerando que não há preferência por lugares? alternativa a
a) 40 ! 15 !
b) 25 ! 15 !
c) 40 d) 15! e) 40! 15!
19. (UEG-GO) O corpo de bombeiros possui uma equipe de 10 paramédicos. A cada chamada, 3 paramédicos saem juntos para fazer o atendimento. A quantidade de diferentes composições com 3 paramédicos que podem ser formadas é alternativa b
a) 125
b) 120
c) 110 d) 100 e) 90
20. (UEA-AM) Um assinante de TV paga selecionou 6 filmes para assistir, porém sem ordem de preferência. Sabendo que em um domingo esse assinante assistirá a 2 desses filmes selecionados, o número de maneiras distintas de ele fazer essa escolha é alternativa d
a) 10.
b) 30.
c) 12. d) 15. e) 24.
21. (ITA-SP) Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam? 175 formas
alternativa d
O número de menores caminhos possíveis que partem de A e chegam a B , passando por C , é a) 28.
b) 35. c) 100. d) 300. e) 792.
17. (UECE) Na primeira fase do Campeonato Brasileiro de Futebol, Série A, disputado por 20 clubes, quaisquer dois dos disputantes jogam entre si uma única vez. Na segunda fase, as mesmas 20 equipes repetem as disputas, também cada dois participantes jogando entre si uma única vez. Ao final do Campeonato, quantas partidas terão sido disputadas?
a) 360. b) 380. c) 420. d) 400.
alternativa b
22. (UFRR) Em uma certa cidade, foi realizada uma reunião de 5 vereadores e 4 deputados estaduais. Nessa reunião decidiu-se formar uma comissão de 5 (cinco) membros, escolhidos entre eles, para representá-los em uma visita ao governador do estado. Também se decidiu que a comissão deveria possuir pelo menos 3 (três) vereadores.
O número de comissões distintas que podem ser formadas é: alternativa b
a) 12
b) 81
c) 5 d) 60 e) 84
Ao sair de casa amanhã logo cedo, devo levar o guarda-chuva? Deve chover nos próximos meses para que o agricultor faça o plantio? Há risco de chuva forte nas próximas horas; será que pode ocasionar enchente ou alagamento em alguma região?
Acesse este vídeo para obter mais informações sobre como é realizada a previsão do tempo.
• SAIBA como é feita a previsão do tempo.
[S. l.: s. n.], 2024. 1 vídeo (4 min). Publicado pelo canal TV Unicamp. Disponível em: https://www. youtube.com/ watch?v=b_KacO
SuSyc. Acesso em: 30 ago. 2024.
Esses questionamentos são frequentes em nosso cotidiano, o que nos leva a fazer uma breve busca para consultar a previsão do tempo e a probabilidade de chover em certa região, por exemplo. As previsões meteorológicas envolvem diversas etapas, como a coleta de dados (umidade, pressão atmosférica, temperatura de superfície, precipitação etc.), que ocorre em estações meteorológicas ou por meio de outros recursos, como aviões, navios, boias e satélites. Com esses dados, os meteorologistas elaboram modelos matemáticos com o objetivo de prever, com certa confiabilidade, as condições climáticas futuras. Essa etapa envolve cálculos probabilísticos e, em geral, é realizada com apoio de supercomputadores.
Pessoas caminham em tempo chuvoso na Ponte dos Contos. Ao fundo, Museu Casa dos Contos, Ouro Preto (MG). Fotografia de 2023.
Não escreva no livro. Respostas nas Orientações para o professor
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Você tem o hábito de pesquisar a previsão do tempo? Por quê? Quais dispositivos você utiliza?
2. Em seu entendimento, a meteorologia colabora para melhorar a qualidade de vida da sociedade? Justifique.
3. Pesquise a probabilidade de chuva para o dia de amanhã na região em que você mora. De acordo com essa informação, responda: é mais provável que chova ou que não chova? Justifique.
Na abertura desta Unidade, obtivemos algumas informações sobre os estudos meteorológicos. Atualmente, podemos acessar previsões meteorológicas atualizadas por meio de diversos aplicativos ou sites, como o do Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos (Cptec), nos quais é possível consultar informações relacionadas a previsões do tempo e do clima. Observe.
REPRODUÇÃO/CPTEC/INPE
Probabilidade de chuva em cada período no dia consultado
No site do Cptec, disponível em www.cptec.inpe.br (acesso em: 30 ago. 2024), é possível realizar pesquisas da previsão do tempo, por período, dos municípios brasileiros.
Probabilidade de chuva em cada um dos próximos dias
Note que algumas informações meteorológicas envolvem a ideia de probabilidade.
Além da meteorologia, a probabilidade é aplicada em outras áreas. Por exemplo, no controle de qualidade de uma produção industrial (engenharia), na análise genética (medicina), na avaliação de variedades de plantas (agricultura) e na previsão de riscos em investimentos financeiros (economia).
Você sabia que alguns registros evidenciam que o início do estudo sistematizado de probabilidade está relacionado à discussão em torno de jogos de azar?
MATEMATICA
NA HISTORIA
Apesar de as ideias relacionadas à probabilidade remeterem à Antiguidade, há evidências de que não tenha ocorrido tratamento matemático sistematizado da probabilidade até por volta do século XV. O desenvolvimento das bases da teoria das probabilidades é creditado aos matemáticos Blaise Pascal (1623‑ 1662) e Pierre de Fermat (1601 1665), a partir de correspondências que trocaram a respeito de um problema envolvendo jogos de azar, conhecido como “problema dos pontos”. Porém Girolamo Cardano (1501 1576), antecessor de Pascal e Fermat, também abordou algumas questões relacionadas à probabilidade, incluindo as desse mesmo problema, apresentadas em um manual de jogos, que foi publicado apenas em 1663.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 365 366.
Nesta Unidade, retomaremos e ampliaremos o estudo sobre probabilidade realizado no Ensino Fundamental.
Há experimentos ou fenômenos cujo resultado é impossível prever com certeza, apesar de repetidos sob as mesmas condições. Por exemplo, o lançamento de um dado comum ou o sorteio de uma loteria. Situações como essas são denominadas experimentos aleatórios Agora, considere a seguinte situação.
PARA PENSAR
Você conhece o sig nificado da palavra aleatório? Se neces sário, pesquise em um dicionário.
No jogo de palitos para dois participantes, cada um deles recebe três palitos e, sem que o outro veja, esconde parte dessa quantidade de palitos em uma das mãos, que é colocada fechada sobre uma mesa. Cada participante, na sua vez, tem de tentar adivinhar a quantidade total de palitos nas duas mãos sobre a mesa. O vencedor da rodada é aquele que acertar esse total. A seguir, estão apresentadas todas as possíveis maneiras com as quais esses participantes podem esconder os palitos.
Resposta esperada: Aquilo que depende do acaso.
Participante I
0 (0, 0)(0, 1)(0, 2)(0, 3)
1 (1, 0)(1, 1)(1, 2)(1, 3)
2 (2, 0)(2, 1)(2, 2)(2, 3)
3 (3, 0)(3, 1)(3, 2)(3, 3)
Jogo de palitos com dois participantes.
Assim, temos 16 maneiras possíveis por meio das quais os participantes podem esconder os palitos.
Experimento aleatório é todo experimento (ou fenômeno) que, mesmo repetido sob as mesmas condições, apresenta resultado imprevisível.
Apesar de não ser possível prever o resultado de experimentos aleatórios, muitas vezes conseguimos determinar todas as possibilidades de resultado para esse experimento, que formam o chamado espaço amostral
Em um experimento aleatório, o espaço amostral é indicado por O (lê-se: ômega).
Cada subconjunto do espaço amostral é denominado evento
Em relação à situação apresentada, do jogo de palitos, o espaço amostral é dado por O = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Podemos indicar como A, por exemplo, o evento em que os participantes têm a mesma quantidade de palitos escondidos, ou seja, A = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Lançamento de uma moeda.
PARA PENSAR
Com um colega, criem contextos descrevendo experimentos aleatórios. Depois, estabeleçam exemplos de eventos. Por fim, compartilhem o que vocês criaram em uma roda de conversa. Elaboração do estudante.
Analise outros exemplos.
a) Em um sorteio, ao acaso, de uma letra do nosso alfabeto, o espaço amostral é dado por:
O = {a, b, c, d, e, ..., v, w, x, y, z}
Considerando A o evento “sortear uma vogal”, temos:
A = {a, e, i, o, u}
b) No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por:
O = {cara, coroa}
Considerando B o evento “obter cara” em um lançamento da moeda, temos:
B = {cara}
Nesse caso, como um único elemento pertence ao evento B , dizemos que esse é um evento simples ou evento unitário.
c) Na anotação do número obtido na face superior de um dado comum após lançá-lo, o espaço amostral é dado por:
O = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Considerando C o evento “obter um número natural menor que 7”, temos:
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Nesse caso, como todos os elementos do espaço amostral pertencem ao evento C (C = O), dizemos que esse é um evento certo, ou seja, um evento que vai ocorrer com certeza.
d) No sorteio, ao acaso, de um estado da Região Norte do Brasil, o espaço amostral é dado por:
O = {Acre, Amapá, Amazonas, Pará, Rondônia, Roraima, Tocantins}
Considerando D o evento correspondente a sortear um estado da Região Norte do Brasil cuja letra inicial do nome seja B, temos:
D = @
Nesse caso, como nenhum elemento pertence ao evento D , dizemos que esse é um evento impossível, ou seja, que com certeza não vai ocorrer.
Denominamos evento simples (ou unitário) o evento que é formado por apenas um elemento do espaço amostral. Quando o evento corresponde ao próprio espaço amostral, denominamos evento certo; quando o evento é representado pelo conjunto vazio, ou seja, nenhum elemento do espaço amostral pertence a ele, este é denominado evento impossível.
Agora, considere a situação descrita a seguir.
Para a realização de um experimento, foram escritos em fichas idênticas todos os números de dois algarismos distintos que podem ser formados pelos algarismos 2, 5, 7 ou 9, com cada número em uma única ficha. Em seguida, essas fichas foram colocadas em uma sacola de tecido não transparente e, sem que se olhe dentro dela, uma ficha será sorteada.
Em relação à situação apresentada, o espaço amostral pode ser indicado por O = {25, 27, 29, 52, 57, 59, 72, 75, 79, 92, 95, 97}. Além disso, podemos destacar o evento A correspondente a sortear uma ficha que contém um número múltiplo de 3, e o evento B, de sortear uma ficha que contém um número maior que 80. Assim, temos:
• A = {27, 57, 72, 75};
• B = {92, 95, 97}.
Note que os eventos A e B não têm elemento em comum. Nesse caso, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos.
Dados dois eventos A e B, eles são denominados eventos mutuamente exclusivos quando não têm elemento em comum, ou seja, A " B = @
R1. Em uma brincadeira, são lançados dois dados: um dado branco cúbico numerado de 1 a 6, e um dado azul com formato que lembra um tetraedro regular, no qual, próximo a cada um de seus vértices, em cada uma das faces, é indicado um número natural de 1 até 4. Esses dois dados são lançados simultaneamente, e um número é formado com os resultados verificados. O algarismo obtido no dado branco indica a dezena, e o algarismo obtido no dado azul indica a unidade desse número. Por exemplo, os lançamentos representados a seguir indicam o número 24.
LUCAS FARAUJ
Com base nessas informações, determine:
a) o espaço amostral dessa brincadeira;
b) o evento A que corresponde à formação de um número par;
c) o evento B que corresponde à formação de um número maior que 50; d) o evento C que corresponde à formação de um número com dois algarismos iguais.
Resolução
Podemos construir uma tabela de dupla entrada para representar todos os números possíveis de serem formados nessa brincadeira.
a) O = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64}
b) A = {12, 14, 22, 24, 32, 34, 42, 44, 52, 54, 62, 64}
c) B = {51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64}
d) C = {11, 22, 33, 44}
R2. A cantina de certa escola oferece um combo de lanche com um copo de suco de uva ou de laranja e um pão de queijo no valor de R$ 12,00. Porém os estudantes podem:
• t rocar o copo de suco de uva ou de laranja por um copo de suco de abacaxi por mais R $ 1,50;
• t rocar o pão de queijo por um sanduíche natural por mais R $ 5,00.
Determine o espaço amostral dos preços do combo correspondentes a todas as opções oferecidas aos estudantes.
Nessa cantina, quanto custa um combo for mado por um copo de suco de abacaxi e um sanduíche natural?
R$ 18,50
Podemos construir uma árvore de possibilidades para representar todas as opções oferecidas aos estudantes para compor um combo.
pão de queijo
Suco de uva
Suco de laranja
Suco de abacaxi
sanduíche natural
pão de queijo
sanduíche natural
pão de queijo
sanduíche natural
suco de uva e pão de queijo:
R $ 12,00
suco de uva e sanduíche natural:
R $ 17,00
suco de laranja e pão de queijo:
R $ 12,00
suco de laranja e sanduíche natural:
R $ 17,00
suco de abacaxi e pão de queijo:
R $ 13,50
suco de abacaxi e sanduíche natural:
R $ 18,50
Assim, o espaço amostral é dado por O = {R $ 12,00, R $ 13,50, R $ 17,00, R $ 18,50}.
3. a) proposta I: O = {EE, ES, EC, SS, SE, SC, CC, CE, CS}; proposta II: O = {ES, EC, SE, SC, CE, CS}
3. b) proposta I: A = {EE, ES, EC, SE, CE}, B = {EE, SS, CC}; proposta II: A = {ES, EC, SE, CE}, B = @
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
1. Identifique quais dos itens a seguir apresentam experimentos (ou fenômenos) aleatórios. a; c
a) Duzentos bilhetes idênticos, diferenciando-se apenas pela numeração, foram colocados em uma urna para que um deles fosse sorteado.
b) Aquecer a água pura ao nível do mar e verificar a que temperatura ela entrará em ebulição.
c) Contagem da quantidade de artefatos defeituosos em um intervalo de duas horas na linha de produção de uma fábrica.
d) Registrar o tempo em que um relógio em bom funcionamento demora para que o ponteiro maior complete uma volta.
2. Considere que duas moedas idênticas e perfeitas são lançadas simultaneamente, e verifica-se qual face de cada uma delas ficou voltada para cima: cara ou coroa.
a) E screva o espaço amostral desse ex p erimento.
b) D etermine o evento A correspondente a obter exatamente duas coroas nesse experimento e o evento B cor respondente a obter apenas uma cara.
3. Para a realização de uma pesquisa e de um seminário, será sorteado, para cada atividade, um dos seguintes temas: Educação (E), Saúde (S) ou Cultura (C). Nesse sorteio, cada tema deve ser escrito em pedaços de papel idênticos, colocados em uma caixa e, sem que se olhe, o primeiro papel sorteado indicará o tema da pesquisa e o segundo, o tema do seminário. Para esse sorteio foram propostas duas maneiras diferentes, conforme segue.
• Proposta I: o papel do primeiro tema sorteado é devolvido à caixa para o segundo sorteio.
• Pr oposta II : o primeiro papel sorteado não é recolocado na caixa.
a) Q ual é o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis dos sorteios em relação à proposta I ? E em relação à proposta II?
b) Para cada proposta, determine o evento A que corresponde ao sorteio do tema Educação para ao menos uma das atividades e o evento B que corresponde ao sorteio do mesmo tema para ambas as atividades.
4. Na promoção de certa loja, quando um cliente realiza uma compra acima de R $ 200,00, ele gira duas roletas e ganha um cupom de desconto. O valor desse cupom corresponde ao produto dos números indicados nas roletas, em reais. Observe.
Cada roleta foi dividida em partes iguais.
No exemplo apresentado, o valor do cupom corres ponde a R $ 20,00, pois 4 ? 5 = 20. DiCA
15 composições
a) Quantas são as composições de multiplicação possíveis de serem obtidas nesse sorteio?
b) Determine o espaço amostral com todas as opções de valores do cupom de desconto. Se necessário, construa uma árvore de possibilidades.
Resposta nas Orientações para o professor
c) Escreva o conjunto que representa o evento:
• A de sortear um cupom de desconto cujo valor seja maior ou igual a R $ 40,00;
• B de sortear um cupom de desconto cujo valor seja maior que R $ 60,00 e menor que R $ 80,00;
• C de sortear um cupom de desconto cujo valor, em reais, seja múltiplo de 5;
• D de sortear um cupom de desconto cujo valor seja menor que R $ 10,00;
• E de sortear um cupom de desconto cujo valor esteja entre R $ 10,00 e R $ 30,00.
2. a) Considerando C a obtenção de cara e K, de coroa, temos O = {CC, CK, KC, KK}. 2. b) A = {KK}; B = {CK, KC}
4. c) Respostas nas Orientações para o professor.
5. Com base no item c da atividade 4, responda aos itens a seguir.
a) Q uais pares desses eventos, não vaz ios, são mutuamente exclusivos?
A e D; A e E;
D e E
b) Classifique os eventos B , C e D em simples, certo ou impossível.
B: impossível; C: certo;
D: simples
6. Considere um experimento em que ocorre o lançamento simultâneo de uma moeda comum e um dado com formato que lembra um dodecaedro regular, com as faces numeradas de 1 a 12. Em relação ao espaço amostral desse experimento, podemos afirmar que é um evento impossível de ocorrer: alternativa b
a) cara na moeda e um número ímpar no dado.
b) coroa na moeda e um número maior que 12 no dado.
c) cara na moeda e um número primo no dado.
d) coroa na moeda e um número par menor que 5 no dado.
e) cara na moeda e um número par no dado.
Dado de 4 faces. Nos chamados RPG de mesa, podem ser usados diferentes tipos de dado.
7. Ob se rve, a seguir, inform ações sobre dois tipos de espaço amostral.
Espaço amostral discreto : todo espaço amostral formado por um conjunto finito ou infinito de resultados contáveis. Exemplos:
a) lançar uma moeda comum e registrar qual face fica voltada para cima;
b) lançar um dado comum e registrar a pontuação indicada na face voltada para cima.
Espaço amostral contínuo : todo espaço amostral não contável Exemplos:
a) sortear um número real maior que 1 e menor que 2;
b) sortear um número irracional positivo.
O dado representado costuma ser utilizado em alguns jogos de RPG ( Role-Playing Game ) – jogos em que os participantes interpretam personagens e, interagindo entre si, criam uma história. Ele tem formato que lembra um tetraedro regular; próximo a cada um de seus vértices, em cada uma das faces, é indicado um número natural de 1 até 4.
Considere certo experimento aleatório em que esse dado tenha sido lançado 500 vezes e o número obtido no vértice superior foi anotado. Analise a tabela com a frequência absoluta e a frequência relativa dos resultados desses lançamentos.
Resultado do experimento aleatório
Com base nessas informações, descreva um experimento para cada tipo de espaço amostral apresentado. Depois, troque essas descrições com um colega para que ele classifique o espaço amostral de cada experimento em discreto ou contínuo, enquanto você faz o mesmo com as descrições que receber. Por fim, confiram juntos as respostas. Elaboração do estudante. Fonte: Dados fictícios.
Note que as frequências relativas correspondentes aos números indicados nos dados são próximas umas das outras. Se aumentarmos a quantidade de lançamentos do dado nesse experimento, a tendência é que as frequências relativas dos números obtidos sejam ainda mais próximas entre si. Nesse caso, dizemos que o espaço amostral nesse experimento aleatório é um espaço amostral equiprovável.
Seja A um evento de um espaço amostral equiprovável O, finito e não vazio. Dizemos que a probabilidade de ocorrer algum elemento de A, indicada por P(A), é dada pela razão entre a quantidade de elementos de A e de O, ou seja:
P(A) = n(A ) n(O)
DiCA
Podemos interpretar a expressão do cálculo de probabilidade como a razão entre o número de casos favoráveis (quantidade de elementos do evento considerado) e o número total de casos possíveis (quantidade de elementos do espaço amostral).
Retomando o experimento aleatório do lançamento do dado, apresentado anteriormente, o espaço amostral é dado por O = {1, 2, 3, 4}. Assim, sendo o evento A = {3}, que corresponde à obtenção do número 3 em um lançamento do dado, temos:
P(A ) = 1 4 = 0,25
Portanto, a probabilidade de obter o número 3 no lançamento desse dado é de 1 em 4, ou seja, 1 4 , 0,25 ou 25%.
Em um espaço amostral equiprovável O, finito e não vazio, as probabilidades dos eventos simples são todas iguais. Além disso, P(O) = 1, pois, de acordo com o conceito de probabilidade apresentado anteriormente, temos:
P(O) = n (O)
(O) = 1.
Agora, considere um evento E de um espaço amostral equiprovável O, finito e não vazio. Nesse caso, temos:
¡ E ¡
Como O é finito e não vazio, temos n (O) . 0. Assim, segue que: n(@) n(O) < n(E ) n(O) < n(O) n(O) h 0 n(O) < n(E ) n(O) < n(O) n(O) h 0 < P(E ) < 1
Dado um evento E de um espaço amostral equiprovável qualquer, finito e não vazio, temos que: 0 < P(E ) < 1
Considere a situação descrita a seguir.
Para a realização de um experimento, foram numeradas dez bolas idênticas de 1 a 10, colocadas de maneira aleatória em uma caixa para que uma delas seja sorteada, sem que se veja as outras.
Inicialmente, vamos denominar O o espaço amostral do experimento apresentado, A o evento sortear uma bola que contém um número primo e B o evento sortear uma bola que não contém um número primo. Assim, temos:
• O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
• A = {2, 3, 5, 7};
• B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}.
Note que os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, A " B = @. Além disso, todo elemento de O pertence a B ou pertence a A, ou seja, A ' B = O. Nesse caso, podemos dizer que B é complementar de A em relação a O e, reciprocamente, que A é complementar de B em relação a O Dizemos também que A e B são eventos complementares. O diagrama de Venn, a seguir, representa essa situação.
PARA PENSAR
Calcule P(O), P( A ) e P(B ). Que relação você pode per ceber entre os resultados obtidos?
P(O) = 1, P(A) = 2 5 e P(B) = 3 5 ; P(O) = P(A) + P(B)
Dado um evento A de um espaço amostral equiprovável O , finito e não vazio, denominamos evento complementar de A em relação a O, indicado por A , o evento formado apenas pelos elementos que pertencem a O e que não pertencem a A, ou seja, A = O A Nesse caso, a probabilidade de ocorrência do evento complementar de A em relação a O, indicada por P(A ), é dada por: P(A ) = P(O) P(A) h P(A ) = 1 P(A)
R3. Mostre que, dado um espaço amostral equiprovável O qualquer, finito e não vazio, temos:
a) se A é um evento impossível qualquer, então P( A ) = 0;
b) se B é um evento certo qualquer, então P(B ) = 1.
Resolução
a) Como A é um evento impossível, A não tem elementos, ou seja, n ( A ) = 0. Assim:
P(A ) =
n(A )
n(O) = 0 n(O) = 0
Portanto, P( A ) = 0.
b) Como B é um evento certo, temos que B = O . Assim:
P(B ) = n(B )
n(O) = n(O) n(O) = 1
Portanto, P(B ) = 1.
R4. No lançamento de um dado honesto de seis faces, qual é a probabilidade de:
a) obter o número 5?
b) obter um número divisível por 3?
c) não obter um número quadrado perfeito?
Resolução
O dado de 6 faces também é chamado de dado simples.
Inicialmente, determinamos o espaço amostral, que é dado por O = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Considerando A o evento obter o número 5 no lançamento do dado, temos A = {5} e n (A ) = 1. Logo:
P(A ) = n(A ) n(O) = 1 6 1 0, 167 = 16,7%
Dado honesto: dado que não tem alteração em suas faces com a finalidade de influenciar os resultados obtidos. Também podemos chamar de dado não viciado ou dado perfeito. Nesse tipo de dado, a probabilidade de se obter qualquer uma das faces é a mesma.
Portanto, a probabilidade de obter o número 5 é de 1 6 ou aproximadamente 0,167 ou 16,7 %.
b) Considerando B o evento obter um número divisível por 3 no lançamento do dado, temos B = {3, 6} e n (B ) = 2. Logo: P(B ) = n(B ) n(O) = 2 6 = 1 3 1 0,333 = 33,3%
Portanto, a probabilidade de obter um número divisível por 3 é de 1 3 ou aproximadamente 0,333 ou 33,3%.
c) Considerando C o evento obter um número quadrado perfeito no lançamento do dado, temos C = {1, 4} e n (C ) = 2. Para determinar a probabilidade de não obter um número quadrado perfeito, podemos calcular a probabilidade de ocorrência do evento complementar de C em relação a O . P(C ) = 1 P(C ) h P(C ) = 1 2 6 = 4 6 = 2 3 1 0,667 = 66,7%
Portanto, a probabilidade de não obter um número quadrado perfeito é de 2 3 ou aproximadamente 0,667 ou 66,7 %.
R5. Em um experimento, três moedas perfeitas são lançadas simultaneamente, e verifica-se qual face de cada uma delas fica voltada para cima: cara ou coroa. Qual é a probabilidade de obter ao menos duas caras nesse experimento?
Resolução
Podemos construir uma árvore de possibilidades para representar todas as possibilidades nos lançamentos das moedas. Para isso, indicamos por C a obtenção de cara e por K, de coroa. Para obter ao menos duas caras, é necessário que ocorra cara exatamente em dois ou em três lançamentos. Observando a árvore de possibilidades, temos que são três as possibilidades de obter exatamente duas caras (CCK, CKC e KCC) e há uma possibilidade de obter três caras (CCC). Assim, a probabilidade P de obter ao menos duas caras pode ser calculada por:
Quantidade total de resultados possíveis
R6. (Enem/MEC) A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 x 16 foram abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes de se abrir qualquer quadrado.
Q uantidade de resultados favoráveis
Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher, dentre os quadrados marcados com as letras P, Q, R, S e T, um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor probabilidade de conter uma mina. O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra a) P b) Q c) R d) S e) T
Resolução
Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO 1a
Do enunciado, temos que:
• o tabuleiro do jogo tem, ao todo, 256 quadrados (16 ? 16 = 256);
• 4 q uadrados do tabuleiro já foram abertos;
• cada quadrado do tabuleiro tem 8 vizinhos;
• o s quadrados já abertos têm 2, 1, 4 e 3 minas nos quadrados vizinhos, sendo os quadrados com as letras P, Q , S e T, respectivamente, um desses vizinhos;
• há ao todo 40 minas no tabuleiro;
• determinar qual quadrado tem a menor probabilidade de conter uma mina, entre aqueles marcados com as letras P, Q , R , S ou T
ELABORAR UM PLANO 2 a
Inicialmente, podemos calcular as probabilidades de os quadrados marcados com as letras P, Q , S e T conterem uma mina e, em seguida, fazer o mesmo para o quadrado marcado com a letra R. Por fim, podemos comparar as probabilidades calculadas.
Calculando a probabilidade de os quadrados marcados com as letras P, Q , S e T conterem uma mina, temos:
• P : 2 8 = 1 4 = 0,25 = 25%
• Q : 1 8 = 0,125 = 12,5% • S: 4 8 = 1 2 = 0,50 = 50% • T: 3 8 = 0,375 = 37,5%
A ntes de calcular a probabilidade de o quadrado marcado com a letra R conter uma mina, precisamos considerar que, das 40 minas do tabuleiro, 10 minas são vizinhas dos quadrados já abertos (2 + 1 + 4 + 3). Além disso, nenhum desses quadrados vizinhos daqueles já abertos são vizinhos do quadrado marcado com a letra R .
Excluindo os quadrados que já foram abertos (4) e seus respectivos vizinhos do total de quadrados do tabuleiro (8 + 8 + 8 + 8 = 32), temos:
256 4 32 = 220; ou seja, 220 quadrados.
A quantidade de minas restantes nesses 220 quadrados é dada por:
40 10 = 30; ou seja, 30 minas.
Logo, a probabilidade de o quadrado marcado com a letra R conter uma mina é:
R: 30 220 1 0,136 = 13,6%
Comparando as probabilidades calculadas, o jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra Q , pois nele há menor probabilidade de conter uma mina.
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Observando o tabuleiro, podemos afirmar que, entre os quadrados marcados com as letras P, Q , S e T, aquele com menor probabilidade de conter uma mina é o marcado com Q , uma vez que ele é vizinho do quadrado aberto com o menor número indicado. Assim, uma maneira de verificar o resultado é comparar as probabilidades de conter uma mina nos quadrados marcados com as letras Q e R .
Portanto, a alternativa b é a correta.
8. Em uma gincana, os participantes foram numerados de 1 até 25, conforme a ordem de inscrição. Um participante será sorteado para iniciar as provas da gincana. Para fazer esse sorteio, o número de cada participante foi escrito em pedaços de papel idênticos, que foram colocados em uma caixa para que um deles fosse retirado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de ser sorteado um participante de número:
a) par?
12 em 25, 12 25 , 0,48 ou 48%
b) ímpar?
13 em 25, 13 25 , 0,52 ou 52%
3 em 25, 3 25 , 0,12 ou 12%
c) múltiplo de 8?
d) maior que 17? e) composto?
8 em 25, 8 25 , 0,32 ou 32%
15 em 25, 3 5 , 0,6 ou 60%
9. Considere todos os números de três algarismos distintos formados pelos algarismos 4, 1 e 5. Qual é a probabilidade de, ao escolher ao acaso um desses números, o algarismo 5 ter valor posicional 50?
2 em 6, 1 3 , aproximadamente 0,333 ou 33,3%
10. Observe, a seguir, a quantidade de estudantes matriculados no Ensino Médio de uma escola, por ano escolar
Para representar a escola em uma Feira de Ciências, a direção vai realizar um sorteio de maneira que cada um desses estudantes tenha a mesma probabilidade de ser sorteado.
a) Quantos estudantes do Ensino Médio estão matriculados nessa escola? 200 estudantes
b) Qual é a probabilidade de um estudante do 1o ano ser sorteado? 72 em 200, 9 25 , 0,36 ou 36%
c) Qual é a probabilidade de o estudante sorteado não estar matriculado no 3o ano?
d) É mais provável que seja sorteado um estudante do 2o ano ou um estudante do 3o ano?
Justifique.
Resposta esperada: Um estudante do 3o ano, pois há mais estudantes matriculados no 3o ano do que no 2o ano.
11. O gerente de uma empresa decidiu realizar uma enquete com os internautas que acessaram o site da companhia com o objetivo de identificar quantos deles utilizam serviços de streaming por meio das plataformas A ou B. Para incentivar a participação na enquete, ao final, um dos internautas participantes será sorteado e receberá um prêmio oferecido pelo site Analise o resultado dessa enquete.
Uso de serviços de streaming dos internautas de certo site, por tipo de plataforma, no Brasil, 2026
Fonte: Dados
Qual é a probabilidade de que o internauta sorteado utilize serviços de streaming :
a) apenas da plataforma A?
b) de ambas as plataformas ( A e B)?
c) da plataforma B?
12. Um colecionador separou seis moedas de valores distintos da segu nda família do real . Observe informações sobre essas moedas.
2,43171,65 4,1221,65 4,8202,23 7,55252,25 7,81232,85 7271,95
Fonte dos dados: BRASIL. Banco Central do Brasil. Segunda família das moedas brasileiras: conheça todas as características técnicas. Brasília, DF: BCB, [2024]. Disponível em: www.bcb.gov.br/ dinheirobrasileiro/segunda f amilia moedas.html. Acesso em: 31 ago. 2024.
Resposta nas Orientações para o professor
Em um experimento, esse colecionador vai colocar essas seis moedas em um pacote de feltro e, sem olhar, vai sortear apenas uma e observar seu valor. Qual é o espaço amostral desse experimento? Podemos dizer que esse é um espaço amostral equiprovável? Justifique.
13. b) Resposta esperada: Porque, considerando a sequência dos números naturais, o número obtido no lançamento do dado (12) é antecessor do número que Caco escolheu (13).
13. c) Resposta esperada: Equiprovável, pois o tucano está supondo que o dado é honesto ao dizer: “A chance de sair 13 é igual pra qualquer outro número do dado”.
13. Leia a tirinha a seguir.
14. c) 6 em 36, 1 6 , aproximadamente 0,167 ou 16,7%
HUMOR COM CIÊNCIA. [Aleatória Mente]. Humor com Ciência. [S l.], 1 jan. 2019. Disponível em: www.humorcomciencia.com/blog/124 matematica/. Acesso em: 2 jul. 2024.
Considere que esse dado mencionado na tirinha seja honesto, tenha formato de icosaedro regular e, em cada uma de suas faces, é indicado um número natural de 1 até 20.
Com base nessas informações, resolva os itens a seguir.
a) Qual foi o número que Caco escolheu? E qual foi o número obtido no lançamento do dado?
13; 12
b) Em seu entendimento, por que Caco utilizou a expressão “Por pouco” após o lançamento do dado?
c) Em um lançamento desse dado, o espaço amostral é equiprovável ou não equiprovável? Justifique sua resposta de acordo com o texto da tirinha.
d) Qual era a probabilidade de Caco acertar o número obtido no lançamento do dado? 1 em 20, 1 20 , 0,05 ou 5%
14. Considere um dado não honesto, cujo formato lembra um octaedro regular, sendo indicado em suas faces um número natural de 1 até 8. A probabilidade de obter uma face voltada para cima em um lançamento é diretamente proporcional ao número indicado na face correspondente.
a) Q ual é o espaço amostral correspondente a um lançamento desse dado? É correto afirmar que esse espaço amostral é equiprovável? Justifique.
b) Qual número é mais provável de se obter no lançamento desse dado? Justifique.
c) Ao lançar esse dado, qual é a probabilidade de se obter o número 6?
d) O qu e é mais provável de se obter no lançamento desse dado: um número ímpar ou um núme r o par? Justifique.
Número par, pois a soma dos números pares indicados nas faces é 20, enquanto a soma dos números ímpares é 16, sendo 20 . 16.
15. Elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo de probabilidade e a construção de uma árvore de possibilidades. Em seguida, troque esse problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.
Elaboração do estudante.
16. (IME-RJ) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game ” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? alternativa e a) 1 2 b) 3 76 c) 9 400 d) 1
14. a) O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Resposta esperada: Não, pois as probabilidades de ocorrerem os números indicados nas faces não são iguais entre si no lançamento do dado.
14. b) Resposta esperada: O número 8, pois esse é o maior número indicado nas faces do dado, e a probabilidade de se obter cada face é proporcional ao número indicado correspondente.
17. Os dados do gráfico e da tabela representados a seguir foram coletados pelo IBGE no Censo 2022. População de Ribeirão Preto (SP), por faixa etária, 2022
Quantidade de habitantes
360 000 370 000 366 324
350 000
Faixa etáriaFrequência absoluta
330 000 340 000 0
332 318
320 000
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Ribeirão Preto. Rio de Janeiro: IBGE, [2022]. Localizável em: menu Pesquisas: Censo 2022: População residente: Sexo. Disponível em: https://cidades.ibge. gov.br/brasil/sp/ribeirao-preto/pesquisa/10102/122229. Acesso em: 30 ago. 2024.
DiCA
No gráfico, parte do eixo vertical foi suprimido.
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Ribeirão Preto. Rio de Janeiro: IBGE, [2022]. Localizável em: menu Panorama. Disponível em: https://cidades.ibge.gov.br/brasil/sp/ribeirao -preto/panorama. Acesso em: 29 ago. 2024
Em comemoração ao aniversário de Ribeirão Preto, suponha que a prefeitura vá sortear, ao acaso, um habitante do município para ganhar um prêmio. Com base nessas informações, podemos afirmar que:
a) é mais provável que um habitante com 60 anos ou mais seja sorteado em relação a um habitante com idade menor que 30 anos;
b) a probabilidade de um habitante do sexo feminino ser sorteado é de 48 %;
c) é mais provável que um habitante do sexo masculino seja sorteado do que um do sexo feminino;
d) a probabilidade de um habitante com idade maior ou igual a 30 e menor que 45 anos ser sorteado é maior que 25%.
18. Com base nas informações apresentadas na atividade 17, elabore uma situação-problema envolvendo o cálculo de probabilidade. Em seguida, troque essa situação-problema com um colega para que um resolva a do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Elaboração do estudante.
19. Observe a situação a seguir, proposta por um professor de Matemática.
De um jogo de dominó completo, é retirada ao acaso uma de suas peças, e os pontos indicados nas duas partes são somados. Qual é a probabilidade de o resultado obtido ser 6?
Agora, analise a resposta dada a essa questão por dois estudantes.
• Alan: A probabilidade é de 1 12 , pois 6 é um dos 12 resultados possíveis (soma de 0 até 12).
• Bruna: A probabilidade é de 4 28 , pois em 4 das 28 peças do jogo de dominó a soma dos pontos é igual a 6.
Qual desses estudantes acertou a questão? Argumente. alternativa d
19. Resposta esperada: Bruna acertou a questão, pois, das 28 peças, em 4 delas a soma das partes é igual a 6, sendo elas 0 + 6 = 6, 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6 e 3 + 3 = 6. Já Alan errou por considerar que o espaço amostral desse experimento, correspondente à soma dos pontos da peça de dominó sorteada, fosse equiprovável, o que não ocorre.
Considere a situação a seguir.
Nove fichas idênticas, numeradas de 1 a 9, foram viradas e embaralhadas sobre uma mesa. Um experimento consiste em escolher ao acaso uma dessas fichas, virá-la e observar o número indicado. Agora, considere os dois eventos descritos a seguir.
• A: o número obtido é divisor de 8.
• B: o número obtido é divisor de 12.
Qual é a probabilidade de que, nesse experimento, ocorra ao menos um desses eventos?
Note que determinar a probabilidade de ocorrência de ao menos um dos eventos indicados é o mesmo que dizer que um evento ou outro devem ocorrer. Assim, para resolver a situação apresentada, temos de calcular P(A ' B).
Para isso, vamos indicar os elementos do espaço amostral O e dos eventos A e B e interpretar uma representação em um diagrama de Venn. Acompanhe.
• O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} H n(O) = 9
• A = {1, 2, 4, 8} H n(A) = 4
• B = {1, 2, 3, 4, 6} H n(B) = 5 EDITORIA
Observando o diagrama, temos:
• A ' B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} H n(A ' B) = 6
Aplicando a definição de probabilidade:
P(A ' B) = n(A ' B) n(O) = 6 9 = 2 3
Note que os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois
A " B 5 @ DiCA
Portanto, a probabilidade de que ocorra ao menos um dos eventos A ou B é de 2 3
Em situações como essa, podemos utilizar a propriedade n (A ' B ) = n (A ) + n (B ) n (A " B ), que estudamos na Unidade 1 do Volume 1 desta coleção. Nesse caso, considere a divisão de ambos os membros dessa igualdade por n (O):
n(A ' B) n(O) = n(A ) n(O) + n(B) n(O) n(A " B) n(O) h P(A ' B) = P(A ) + P(B) P(A " B)
Sejam A e B eventos de um espaço amostral equiprovável O, finito e não vazio. A probabilidade de que ocorra ao menos um desses eventos, indicada por P(A ' B ), é dada por:
P(A ' B) = P(A ) + P(B) P(A " B)
Em relação à situação apresentada, como A " B = {1, 2, 4} H n(A " B ) = 3, n(A ) = 4 e n(B ) = 5, temos:
P(A ' B ) = P(A ) + P(B ) P(A " B ) = 4 9 + 5 9 _ 3 9 = 6 9 = 2 3 1 2 8 3 6 9 7 5 4 AB O
R7. Em uma academia aquática, são disponibilizados aos estudantes treinos de diversas modalidades. Em uma pesquisa, realizada com todos os 600 estudantes, verificou-se que 365 treinam natação, 243 treinam hidroginástica e 100 não treinam nenhuma dessas modalidades. Um estudante dessa academia será sorteado para receber um prêmio. Qual é a probabilidade de esse estudante sorteado treinar as duas modalidades: natação e hidroginástica?
Resolução
Sejam A e B os conjuntos formados pelos estudantes que treinam natação e pelos estudantes que treinam hidroginástica, respectivamente. Assim, temos:
• n ( A ' B ) = 600 100 = 500;
• n ( A ) = 365;
• n (B ) = 243.
Para resolver essa questão, temos de calcular P( A " B ). Assim, temos:
P(A ' B) = P(A ) + P(B) P(
Portanto, a probabilidade de esse estudante sorteado treinar ambas as modalidades, natação e hidroginástica, é de 9 50 , 0,18 ou 18 %.
R8. Ivone recortou cinco pedaços de papel idênticos e escreveu neles cada letra de seu nome. Em seguida, colocou todos eles dentro de uma caixa e sorteou cada pedaço de papel, sem reposição, registrando o anagrama formado. Qual é a probabilidade de o anagrama formado terminar em vogal ou começar em consoante?
Resolução
Inicialmente, indicamos por:
• O o espaço amostral composto de todos os anagramas possíveis de serem formados;
• A o evento no qual o anagrama formado termine em vogal;
• B o evento no qual o anagrama formado comece em consoante.
Agora, calculamos n (O), n ( A ), n (B ). Em seguida, determinamos n ( A " B ), que corresponde à quantidade de anagramas formados que terminam em vogal e começam em consoante.
• n (O) = 5! = 5 4 3 2 1 = 120
• n ( A ) = 72, pois:
Permutação das quatro letras restantes (4!)
• n (B ) = 48, pois:
Quantidade de consoantes disponíveis
Quantidade de vogais disponíveis
Permutação das quatro letras restantes (4!)
21. a) Resposta possível: 1a) Representamos por O, A e B o espaço amostral composto de todos os números naturais de 1 a 100, o evento no qual obtém se um número ímpar e o evento no qual obtém se um número menor ou igual a 25, respectivamente. 2a) Determinamos n(O), n(A ), n(B ) e n(A " B ), ou seja, n(O) = 100, n(A ) = 50, n(B ) = 25 e n(A " B ) = 13. 3a) Calculamos P(A ' B), correspondente à probabilidade de se obter um
• n ( A " B ) = 36, pois: 2 3 2 1 3 = 36
Quantidade de consoantes disponíveis
número natural ímpar ou menor ou igual a 25: P(A ' B) = P(A) + P(B) P(A " B) = = 50 100 + 25 100 _ 13 100 = 62 100 = 31 50 = 0,62 = 62%.
Quantidade de vogais disponíveis
Permutação das três letras restantes (3!)
Como a probabilidade de o anagrama formado terminar em vogal ou começar em consoante corresponde a P ( A ' B ), temos:
A ' B) = P(A ) + P(B) P(A "
Portanto, a probabilidade de o anagrama formado terminar em vogal ou começar em consoante é de 7 em 10, 7 10 , 0,7 ou 70 %.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
20. Em certo jogo de bingo infantil, as bolinhas, diferenciadas apenas pela numeração indicada, são colocadas em um globo, de onde são sorteadas. Em certa rodada desse jogo, a probabilidade de sortear uma bolinha com um número maior ou igual a 60 era de 20 % e de sortear uma bolinha com um número menor ou igual a 60 era de 85% . Um jogador, para vencer nessa rodada, precisaria que a bolinha com o número 60 fosse sorteada. Qual é a probabilidade de esse jogador vencer nessa rodada?
21. Em uma urna, foram colocadas 100 fichas idênticas numeradas de 1 a 100.
a) E screva um algoritmo para determinar a probabilidade de, sorteando ao acaso uma ficha dessa urna, obter-se um número natural ímpar ou menor ou igual a 25.
b) C om base no algoritmo que você escreveu no item a , calcule a probabilidade de, sorteando ao acaso uma ficha dessa urna, obter-se um número natural:
• par ou múltiplo de 5.
• menor ou igual a 15 ou maior que 80.
• múltiplo de 4 ou divisor de 100.
, 0,31 ou 31%
22. Tanto a probabilidade da união quanto a da interseção dos eventos A e B é de 45%. Sabendo que a probabilidade de ocorrer o evento A é de 32%, determine a probabilidade de ocorrer o evento B . 58% 5% 3 5 , 0,6 ou 60% 7 20 , 0,35 ou 35%
23. O Senado brasileiro é composto de 81 senadores que representam os 26 estados e o Distrito Federal. Observe a tabela a seguir com informações sobre os senadores em exercício em 2024. Senadores em exercício no Brasil, por faixa de idade e gênero, 3/7/2024
Gênero
Idade (ano) MasculinoFeminino
35
Fonte dos dados: BRASIL. Senado Federal. Senadores em exercício. Brasília, DF: Senado Federal, 3 jul. 2024. Disponível em: https://www.senado.leg.br/transparencia/LAI/secrh/ parla_inter.pdf. Acesso em: 3 jul. 2024. Escolhendo-se ao acaso um dos senadores em exercício em 3/7/2024, qual é a probabilidade de ser:
a) mulher?
b) homem e ter 65 anos de idade ou mais?
c) mulher ou ter menos de 55 anos?
24. Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos de um espaço amostral O , finito e não vazio, com P( A ) = 0,38 e P(B ) = 0,24. Nessas condições, podemos afirmar que P( A " B ), P( A ' B ) e P( A ) correspondem, respectivamente, a: alternativa c a) 0; 0,62 e 0,14; b) 0; 0,38 e 0,76; c) 0; 0,62 e 0,62; d) 0,14; 0,24 e 0,38.
29. Resposta esperada: É verdadeira, pois, como A e B são eventos mutuamente exclusivos, temos que A " B = @ e, por consequência, P(A " B) = 0. 28. 17 20 , 0,85 ou 85%
25. Em determinado modelo de baralho, as 52 cartas são divididas igualmente em 4 naipes: copas, ouros, espadas e paus. Das 13 cartas que compõem cada naipe, 9 são numeradas de 2 a 10, uma contém a letra A e as outras três contêm as figuras Valete, Dama e Rei, indicadas pelas letras J, Q e K , respectivamente.
Cartas de baralho: Ás de copas, Valete de ouros, Dama de espadas e Rei de paus.
Ao se retirar aleatoriamente uma carta de um baralho desses, qual é a probabilidade de ela ser:
a) uma dama de copas?
Em determinada rodada desse jogo, para avançar de nível, cada jogador, ao lançar o dado, deve satisfazer a condição descrita a seguir.
• João: face azul e número múltiplo de 3.
• Paulo: face vermelha ou número primo.
• Mariana: face verde ou número maior que 15.
a) Qual dos participantes tem a maior probabilidade de avançar de nível nessa rodada do jogo? E qual tem a menor probabilidade?
Paulo; João
b) Suponha que, na condição para João avançar de nível, a conjunção “e” seja trocada por “ ou”. As suas respostas para o item b se manteriam? Justifique.
27. (UEPG-PR) Em um grupo de 500 estudantes, 90 estudam Química, 160 estudam Biologia e 20 estudam Química e Biologia. Se um aluno é escolhido ao acaso, indique o que for correto.
01) A probabilidade de que ele estude Química ou Biologia é de 0,46.
07 (01 + 02 + 04)
02) A probabilidade de que ele não estude Química nem Biologia é de 0,54.
04) A probabilidade de que ele estude Química e Biologia é de 0,04.
08) A probabilidade de que ele estude somente Química é de 0,16.
b) um a carta com a letra A ou uma carta de ouros?
c) uma carta de espadas ou uma carta numerada de 2 a 10?
d) uma carta que contém uma figura ou uma carta de paus?
52 , aproximadamente 0,02 ou 2% 4 13 , aproximadamente 0,31 ou 31% 11 26 , aproximadamente 0,42 ou 42% 10 13 , aproximadamente 0,77 ou 77%
26. Em certo jogo, a cada rodada os participantes devem lançar um dado com formato que lembra um icosaedro regular e com faces coloridas e numeradas de 1 a 20, conforme a planificação a seguir.
28. Em uma pesquisa estatística amostral, 80 pessoas foram entrevistadas sobre a marca de iogurte que já consumiram, entre as marcas A e B. Ao organizar os dados coletados, constatou-se que 35 pessoas indicaram ter consumido iogurte da marca A; 43 pessoas, da marca B; e 12 pessoas indicaram não consumir iogurte de nenhuma dessas marcas. Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas entrevistadas, qual é a probabilidade de ela ter indicado consumir o iogurte da marca A ou da marca B?
29. A afirmação a seguir é verdadeira ou falsa? Justifique sua afirmativa.
Dados A e B eventos mutuamente exclusivos de um espaço amostral equiprovável O , finito e não vazio, então:
P(A ' B) = P(A ) + P(B)
30. a) 3 4 , 0,75 ou 75% 30. b) 71 120 , aproximadamente 0,592 ou 59,2% 30.
30. Uma escola realizou uma pesquisa com os 120 estudantes do Ensino Médio sobre as áreas de preferência deles para os cursos em universidades. Analise os resultados.
Área de preferência dos estudantes do Ensino Médio de certa escola para os cursos em universidades, 2026
Área Quantidade de estudantes
Biológicas 46
Exatas 57
Humanas 43
Exatas e humanas 10
Biológicas e exatas 21
Humanas e biológicas 18
Sem preferência 12
Fonte: Dados fictícios. Escolhendo-se ao acaso um desses estudantes, qual é a probabilidade de ele preferir cursos na área de:
Leia a situação descrita a seguir.
a) e xatas ou humanas?
b) humanas ou biológicas?
c) biológicas ou exatas?
d) e xatas ou não ter preferência por área?
31. A seguir, estão representados dois dados honestos, um dado comum e um dado com formato que lembra um octaedro regular.
Com base nos dados apresentados, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo da probabilidade da união de dois eventos. Troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaboração do estudante.
Observando as fichas clínicas em um consultório oftalmológico, verificou-se que foram atendidos em certo dia 40 pacientes, dos quais 14 têm hipermetropia, 21 têm miopia e 8 têm ambos os problemas de visão.
Em um experimento aleatório equiprovável, a ficha de um dos pacientes será sorteada para que ele responda, por telefone, a um questionário sobre satisfação do atendimento. Qual é a probabilidade de o paciente sorteado ter ambos os problemas de visão?
Denominando H o evento no qual o paciente sorteado tem hipermetropia e M o evento em que o paciente tem miopia, podemos representar essa situação pelo diagrama a seguir.
Acesse o site a seguir para obter informações sobre problemas de visão e erros de refração que podem ser apresentados pelo olho.
• ENTENDA os erros de refração e quais são as opções de tratamento! Veja Bem. São Paulo: CBO, n. 18, ano 6, 2018. Disponível em: https://www.cbo.net. br/admin/docs_up load/Revista_veja bem_18.pdf. Acesso em: 30 ago. 2024.
Para determinar a probabilidade de o paciente sorteado ter os dois problemas de visão, precisamos calcular P(H " M). Assim:
P(H " M) =
n(H " M)
n(O) = 8 40 = 1 5 = 0,20 = 20%
Portanto, a probabilidade de sortear um paciente com ambos os problemas de visão é de 1 5 , 0,20 ou 20%.
Agora, vamos considerar que, ao realizar esse sorteio, observou-se que esse paciente tem, ao menos, hipermetropia. Nesse caso, note que o espaço amostral que devemos considerar no cálculo da probabilidade é H, uma vez que sabemos que o paciente tem hipermetropia. Assim, temos:
(H " M)
(H) = 8 14 = 4 7 1 0,571 = 57,1%
Portanto, a probabilidade de sortear um paciente com ambos os problemas de visão, sabendo que esse paciente tem hipermetropia, é de 4 7 ou aproximadamente 0,571 ou 57,1%.
Sejam A e B eventos de um espaço amostral equiprovável O , finito e não vazio. Denominamos probabilidade condicional de B em relação a A a probabilidade de que ocorra o evento B dado que o evento A tenha ocorrido. Essa probabilidade, indicada por P(B | A ), é dada por:
P(B | A) =
n(A " B)
n(A )
n(A " B)
Em relação à expressão P(B | A) =
n(A ) , ao dividirmos o numerador e o denominador do membro da direita por n (O), temos:
n(A " B)
P(B | A) =
n(A " B)
n(A ) =
n(O)
n(A )
n(O) = P(A " B) P(A )
No cálculo da probabilidade condicional de B em relação a A, as expressões a seguir são equivalentes.
P(B | A) =
n(A " B)
n(A ) ou P(B | A) =
P(A " B) P(A )
R9. Em uma cerimônia de colação de grau de certa universidade, 30 mulheres e 20 homens receberam seus diplomas de concluintes em curso de nível superior. Entre as mulheres, formaram-se 10 arquitetas, 14 médicas e 6 engenheiras. Entre os homens, formaram-se 2 arquitetos, 10 médicos e 8 engenheiros. Durante essa cerimônia, um dos formandos foi escolhido ao acaso para fazer o juramento em nome de todos. Sabendo que o formando sorteado foi uma mulher, qual é a probabilidade de que ela seja uma médica formanda?
Resolução
Em relação ao sorteio apresentado, o espaço amostral O corresponde a todos os formandos, ou seja, n (O) = 30 + 20 = 50. Assim, podemos definir o evento:
• A , em que o formando é mulher, com n ( A ) = 30;
• B , em que o formando é médico, com n (B ) = 14 + 10 = 24.
Dessa maneira, temos que A " B corresponde aos formandos que são mulheres e médicas, em que n ( A " B ) = 14.
Assim, temos que a probabilidade de sortear uma médica formanda, sabendo que o formando sorteado é uma mulher, é dada por:
P(B | A) = n(A " B) n(A ) = 14 30 = 7 15 1 0, 467 = 46,7%
Portanto, a probabilidade de sortear uma médica formanda, dado que o formando sorteado seja uma mulher, é 7 15 , aproximadamente 0,467 ou 46,7%.
R10. Considere que, de um baralho comum, tenham sido separadas as 9 cartas numéricas de naipe ouros, conforme indicado a seguir. Essas cartas foram colocadas sobre uma mesa com a face numérica voltada para baixo e, em seguida, embaralhadas.
2
Resolução
Uma dessas cartas foi retirada ao acaso, e verificou-se que o número sorteado era par. Qual é a pro babilidade de esse número ser menor que 7?
Podemos resolver essa questão de duas maneiras.
1a maneira :
Em relação ao experimento de retirar uma dessas cartas ao acaso, e observar o número indicado, o espaço amostral é dado por O = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Assim, podemos definir o evento:
• A , em que a carta sorteada tem número par, ou seja, A = {2, 4, 6, 8, 10};
• B , em que a carta sorteada tem número menor que 7, ou seja, B = {2, 3, 4, 5, 6}.
Dessa maneira, temos A " B = {2, 4, 6}.
Assim, como n ( A " B ) = 3 e n ( A ) = 5, a probabilidade de sortear uma carta com um número menor que 7, dado que a carta sorteada tem um número par, é dada por:
P(B | A) = n(A " B) n(A ) = 3 5 = 0,6
2a maneira :
Também podemos, nesse caso, restringir o espaço amostral ao conjunto A , uma vez que sabemos que a carta sorteada tem número par. Assim, entre os cinco números pares possíveis, há três deles menores que 7, que são os números 2, 4 e 6. Logo:
P(B | A ) = 3 5 = 0,6
Portanto, a probabilidade de sortear uma carta com um número menor que 7, dado que a carta sorteada tem um número par, é de 3 5 , 0,6 ou 60 %.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
32. Sejam A e B eventos de um espaço amostral equiprovável O , finito e não vazio, tais que P( A | B ) = 0 ,5 e P( A " B ) = 0 ,4. Qual é o valor de P(B )?
4 5 , 0,8 ou 80%
33. Antes de lançar um produto no mercado, uma empresa realiza pesquisas amostrais sobre a aceitação desse produto de acordo com o público consumidor: mulheres, homens e crianças. Analise o resultado de uma dessas pesquisas realizadas com 80 homens adultos, 120 mulheres adultas e 50 crianças.
Pesquisa de aceitação dos produtos X e Y, por tipo de consumidor
Consumiria o
Fonte: Dados fictícios. Considere um experimento aleatório, em que uma das pessoas entrevistadas é sorteada para receber um prêmio. Além disso, considere os eventos A e B em que a pessoa sorteada consumiria os produtos X e Y, respectivamente, e os eventos H, M e C em que a pessoa sorteada é homem, mulher e criança, respectivamente.
Nessas condições, descreva o significado de cada probabilidade indicada a seguir.
a) P( A | H )
b) P(C | B )
c) P(M | A )
d) P(H | B )
e) P( A | C )
f) P(B | M )
33. Respostas nas Orientações para o professor.
34. a) a: 66,25%; b: aproximadamente 27,8%; c: aproximadamente 47,1%; d: aproximadamente 22,8%;
e: 56%; f: 65%
34. De acordo com as informações da atividade 33, resolva as questões a seguir.
a) C alcule a probabilidade indicada em cada item e apresente o resultado em porcentagem.
b) De acordo com os resultados dessa pesquisa, a empresa vai lançar o produto voltado ao consumidor que teve maior porcentual de aceitação. Qual produto e para qual tipo de consumidor ele será lançado?
Será lançado o produto Y para crianças.
35. Visando o bem-estar dos idosos, a prefeitura de certo município estuda a instalação de academias ao ar livre em alguns bairros. Para isso, foi realizada uma pesquisa com 100 idosos que residem nesse município e constatou-se que 45 deles praticam esportes coletivos, 58 praticam esportes individuais e 26 não praticam esporte algum. Sorteando-se ao acaso um desses idosos entrevistados, qual é a probabilidade de ele praticar:
a) esporte coletivo e individual?
29 100 , 0,29 ou 29%
b) esporte individual, dado que ele pratica esporte coletivo?
c) e sporte coletivo, dado que ele pratica esporte individual?
29 45 , aproximadamente 0,644 ou 64,4% 1 2 , 0,5 ou 50%
36. Ao lançar um dado comum e honesto duas vezes consecutivas, observa-se o número obtido em cada lançamento e verifica-se que a soma deles é maior que 7. Qual é a probabilidade de que, em ao menos um dos lançamentos, se tenha obtido o número 4?
1 3 , aproximadamente 0,333 ou 33,3%
37. Considere que uma peça seja retirada aleatoriamente de um jogo de dominó comum e completo. Qual é a probabilidade de, ao adicionar os pontos das duas partes dessa peça, a soma ser:
a) igual a 6?
1 7 , aproximadamente 0,143 ou 14,3%
b) m aior que 8, sabendo que a peça tem 5 pontos em uma das partes?
c) i gual a 6, sabendo que a peça tem uma quantidade ímpar de pontos em uma das partes?
38. Uma professora dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental produziu fichas de EVA, todas de mesmo tamanho, e indicou nelas cada letra do alfabeto uma única vez, colocando-as em uma urna para propor uma brincadeira aos estudantes. Em cada rodada dessa brincadeira, a professora sorteia uma ficha e dá alguma dica aos estudantes para que tentem acertar a letra indicada. Em seguida, a ficha sorteada é devolvida à urna para o sorteio da próxima rodada. Observe as dicas dadas nas rodadas 1, 2 e 3 .
Tem no nome da Dirce.
É uma consoante que tem no nome de Leandro.
Tem na palavra Pernambuco.
a) Em cada rodada, qual é a probabilidade de os estudantes acertarem a letra da ficha sorteada, considerando a dica da professora?
b) Em uma rodada, a professora sorteia a ficha e, ao observá-la, pensa em duas opções de dica, conforme apresentado a seguir.
Opção I: É uma vogal.
Opção II: Tem no nome da Vilma.
Qual dessas dicas a professora pode dar aos estudantes para que a probabilidade de eles acertarem seja maior? Justifique sua resposta e considere que os estudantes tenham acesso a apenas uma das dicas.
Respostas nas Orientações para o professor
39. (Enem/MEC) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20 % das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25 % delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25 % eram fraudulentas.
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?
a) 0,0500
b) 0,1000
c) 0,1125
d) 0,3125
e) 0,5000
40. Leia as informações apresentadas a seguir.
Para pesquisar a eficácia de alguns medicamentos no tratamento de certa doença, foi realizado um teste em alguns voluntários acometidos por ela, conforme indicado na tabela.
Quantidade de pessoas que se submeteram ao tratamento de certa doença, por tipo de medicamento e sexo
Fonte: Dados fictícios.
Com base nas informações apresentadas, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo de probabilidade condicional. Troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve a que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
Na realização de um experimento aleatório, a ocorrência de dois ou mais eventos sucessivos ou simultâneos podem ou não estar relacionados entre si. Para compreender melhor esse assunto, considere a situação descrita a seguir.
Um professor de Geografia de uma turma de Ensino Médio propôs a realização de duas atividades avaliativas: um seminário e uma redação. Essas atividades deviam tratar de um dos seguintes temas: Cultura, Sociedade ou Território.
Para determinar o tema de cada atividade, o professor escreveu em três pedaços de papel idênticos o nome dos temas e colocou-os em uma caixa. O 1 o papel sorteado indicará o tema do seminário e o 2o papel, o tema da redação.
Qual é a probabilidade de que o tema do seminário seja Cultura e o da redação, Sociedade?
Para resolver a questão apresentada, temos de analisar duas maneiras diferentes em que os sorteios sucessivos dos temas podem ser realizados, ou seja, com ou sem a reposição do 1o papel sorteado na caixa antes do sorteio do 2o papel.
• Sorteio com reposição
Nesse caso, o 1o papel sorteado é reposto na caixa antes do sorteio do 2o papel. Inicialmente, podemos construir uma tabela de dupla entrada.
Possibilidades de composição de temas para o seminário e para a redação, em sorteio com reposição
Redação
Seminário
Cultura (C)Sociedade (S)Território (T)
Cultura (C) (C; C)(C; S)(C; T)
Sociedade (S) (S; C)(S; S)(S; T)
Território (T) (T; C)(T; S)(T; T)
Fonte: Dados fictícios.
PARA PENSAR
No sorteio com repo sição, é possível que o seminário e a redação sejam sobre um mesmo tema? Justifique.
Resposta esperada: Sim, pois, ao repor na caixa o 1o papel sorteado, ele poderá ser sorteado novamente.
Note que, no sorteio com reposição, o espaço amostral tem 9 elementos. Assim, a probabilidade (PA) de que os temas do seminário e da redação sejam, respectivamente, Cultura e Sociedade (C; S), é dada por:
PA = 1 9
• Sorteio sem reposição
Nesse caso, o 1o papel retirado é reservado e não é reposto na caixa antes do sorteio do 2o papel.
Construindo uma tabela de dupla entrada, obtemos:
Possibilidades de composição de temas para o seminário e para a redação, em sorteio sem reposição
Redação
Seminário
Cultura (C)Sociedade (S)Território (T)
Cultura (C) (C; S) (C; T)
Sociedade (S) (S; C) (S; T)
Território (T) (T; C) (T; S)
Fonte: Dados fictícios.
Note que, no sorteio sem reposição, o espaço amostral tem apenas 6 elementos, uma vez que não é possível que seja sorteado o mesmo tema para o seminário e para a redação. Assim, a probabilidade (PB ) de que os temas do seminário e da redação sejam, respectivamente, Cultura e Sociedade (C; S), é dada por: PB = 1 6
Em relação à situação apresentada, temos que o evento “sortear o tema Cultura para o seminário” e o evento “sortear o tema Sociedade para a redação” são independentes quando os sorteios são realizados com reposição, ou seja, o resultado de um deles não influencia no resultado do outro. Já quando os sorteios são realizados sem reposição, temos que esses eventos são dependentes, ou seja, o resultado de um deles influencia no resultado do outro.
Estudamos que a probabilidade de que ocorra um evento B, dado que o evento A já tenha ocorrido, é expressa por P(B | A) = P(A " B) P(A ) . Assim, a probabilidade de que ocorram ambos os eventos, indicada por P(A " B), é dada por: P(B | A) = P(A " B) P(A ) h P(A " B) = P(A ) P(B | A)
Quando os eventos A e B são independentes, temos P(B | A) = P(B). Nesse caso, temos:
P(A " B) = P(A ) ? P(B | A) ⏟ P(B) h P(A " B) = P(A ) ? P(B)
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral equiprovável O, finito e não vazio, com P(A ) 5 0 e P(B ) 5 0.
Dizemos que A e B são eventos independentes se, e somente se, P(B | A) = P(B ). Nesse caso, temos:
P(A " B ) = P(A ) ? P(B )
Do mesmo modo, dizemos que A e B são eventos dependentes se, e somente se, P(B | A ) 5 P(B ). Nesse caso, temos:
P(A " B ) = P(A ) P(B | A )
PARA PENSAR
De acordo com os conceitos de eventos independentes e depen dentes introduzidos, faça uma análise da situação problema apre sentada na página 272.
Resposta nas Orientações para o professor
R11. Uma moeda honesta é lançada duas vezes consecutivas. Considere os eventos:
• A , obter coroa no primeiro lançamento. • B , obter coroa no segundo lançamento.
Mostre que os eventos A e B são independentes.
Resolução
Em relação a esses lançamentos e representando por C e K o lançamento em que é obtido cara e o que é obtido coroa, respectivamente, o espaço amostral dos lançamentos e os eventos A e B são dados por:
• O = {CC, CK, KC, KK}
• A = {KK, KC}
Dessa maneira, temos A " B = {KK}.
Podemos resolver essa questão de duas maneiras.
1a maneira :
Calculando as probabilidades de ocorrência de A , B e A " B , temos:
• P(A ) = 2 4 = 0,5 • P(B) = 2 4 = 0,5
• B = {KK, CK}
• P(A " B) = 1 4 = 0,25
Portanto, como P( A " B ) = 0,25 = 0,5 ? 0,5 = P( A ) ? P(B ), concluímos que os eventos A e B são independentes.
2a maneira :
Também podemos, nesse caso, calcular a probabilidade de ocorrer o evento B , dado que já tenha ocorrido o evento A : P(B | A) = P(A " B ) P(A ) = 0,25 0,5 = 1 2 = 0,5
Como P(B ) = 0,5, temos que P(B | A ) = P(B ) e, portanto, os eventos A e B são independentes. R12. (EsPCEx-SP) Numa sala existem duas caixas com bolas amarelas e verdes. Na caixa 1 , há 3 bolas amarelas e 7 bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é extraída da caixa 1, sem que se saiba a sua cor, e é colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a a) 49 110 b) 51 110 c) 53 110 d) 57 110 e) 61 110
Resolução
Inicialmente, vamos considerar que as bolas se diferenciem apenas pela cor. Como a bola extraída da caixa 1 é inserida na caixa 2, esse resultado influencia no resultado da extração da bola da caixa 2 e, portanto, esses são eventos dependentes.
Vamos analisar as probabilidades de ocorrerem os seguintes eventos:
• A : e xtrair uma bola amarela na caixa 1 e uma bola amarela na caixa 2;
• B : e xtrair uma bola verde na caixa 1 e uma amarela na caixa 2 .
Assim:
P(A ) = 3 10 ? 6 11 = 18 110 P(B ) = 7 10 ? 5 11 = 35 110
A probabilidade de extrair uma bola amarela na caixa 2 é dada pela soma da probabilidade de ocorrência de A e da probabilidade de ocorrência de B :
P(A) + P(B) = 18 110 + 35 110 = 53 110
Portanto, a alternativa c é a correta.
41. eventos dependentes: b, d; eventos independentes: a, c
41. Em cada item, classifique os eventos em dependentes ou independentes.
a) L ançar uma moeda honesta duas vezes consecutivas.
b) Retirar ao acaso uma ficha numerada de uma urna e, em seguida, sem reposição, retirar outra ficha.
c) Sortear uma carta com determinada figura de um baralho com 52 cartas e, em seguida, com reposição, sortear outra carta com mesma figura.
d) Sortear um rapaz de uma turma com rapazes e moças e, em seguida, sortear outro rapaz nessa turma.
42. Sejam A e B eventos independentes de um mesmo espaço amostral equiprovável O , finito e não vazio, tais que P( A ) = 0,2 e P(B ) = 0,8.
Calcule:
a) P( A " B )
b) P( A | B )
c) P(B | A )
43. Durante uma gincana, para ganhar pontos extras em cada prova realizada, a equipe vencedora deve girar duas vezes uma roleta, dividida igualmente em cinco partes, conforme indicado a seguir, e somar os pontos obtidos.
1 ponto 5 pontos
pontos 3 pontos 8 pontos
a) Os eventos A e B correspondentes aos valores obtidos ao girar a roleta a primeira e a segunda vez, respectivamente, são dependentes ou independentes?
b) Q ual é a pontuação mínima possível que uma equipe pode obter ao girar a roleta as duas vezes? Qual é a probabilidade de se obter essa pontuação? eventos independentes 2 pontos; 1 25 , 0,04 ou 4%
c) Q ual é a probabilidade de uma equipe conseguir mais do que 15 pontos extras realizando dois giros nessa roleta?
44. Em uma urna, existem 12 bolas que diferem entre si apenas pela cor. Quatro dessas bolas são amarelas e as demais, vermelhas. Retirando-se aleatoriamente duas bolas dessa urna, uma de cada vez, calcule a probabilidade de:
a) a segunda bola retirada ser vermelha, sabendo que houve reposição entre os sorteios;
b) serem retiradas duas bolas amarelas, sabendo que não houve reposição entre os sorteios;
c) ser retirada uma bola amarela, após ter sido retirada uma bola vermelha, sem reposição entre os sorteios
45. Considere que uma carta foi retirada aleatoriamente de um baralho tradicional de 52 cartas. Em seguida, sem reposição da primeira carta, retirou-se outra carta desse baralho. Calcule a probabilidade de:
a) a primeira carta conter algum número e a segunda conter alguma letra;
b) a s duas cartas conterem figuras;
c) a primeira carta conter o símbolo de copas e a segunda, o de espadas;
d) a primeira carta conter o símbolo de ouros.
46. Um dado honesto é lançado duas vezes consecutivas, e os valores a e b , obtidos, respectivamente, nesses lançamentos, são considerados para indicar um par ordenado (a + b , a b ). Qual é a probabilidade de, ao lançar esse dado, o par ordenado formado corresponder a um ponto do contorno do quadrado representado no plano cartesiano?
45. b) 11 221 , aproximadamente 0,05 ou 5% 13 204 , aproximadamente 0,064 ou 6,4% 5 36 , aproximadamente 0,139 ou 13,9%
47. Descreva uma situação em que dois eventos:
a) A e B são dependentes entre si;
Elaboração do estudante.
b) C e D são independentes entre si.
Elaboração do estudante.
• Agora, para cada situação que você descreveu, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo da probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e de eventos independentes. Troque essas situações-problema com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve aquelas que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
48. Ao efetuar um diagnóstico da presença ou não de uma doença em um paciente, um médico pode utilizar testes diagnósticos e obter, de acordo com a capacidade desse teste em detectar tal doença, conclusões com determinada precisão.
Os possíveis resultados de um teste diagnóstico para detectar certa doença em alguns pacientes podem ser organizados da maneira apresentada a seguir.
Resultados de um teste diagnóstico em pacientes enfermos e saudáveis
Paciente
Resultado do teste
Elaboração do estudante.
Ao analisar o resultado de um teste diagnóstico, médicos podem utilizar conhecimentos sobre probabilidade para emitir suas conclusões.
Fontes dos dados: LIBERAL, Tarciana. Modelos de probabilidade e inferência estatística. João Pessoa: UFPB: Departamento de Estatística, 2014. Localizável em: p. 4 do pdf. Disponível em: www.de.ufpb.br/~tarciana/MPIE/Aula4.pdf.
KAWAMURA, Takao. Interpretação de um teste sob a visão epidemiológica: eficiência de um teste. Arquivos Brasileiros de Cardiologia, Rio de Janeiro, v. 79, n. 4, p. 437 441, out. 2002. p. 437. Disponível em: https://www.scielo.br/j/abc/a/H5MFfM6Syr6HwLnNPdwRqyg/?format=pdf&lang=pt. SHIMAKURA, Silvia Emiko. Valor de predição de um teste. Curitiba: UFPR: Laboratório de Estatística e Geoinformação, set. 2012. Disponível em: http://leg.ufpr.br/~shimakur/CE055/node34. Acessos em: 30 ago. 2024.
:
• Verdadeiro positivo (VP): quando o resultado é positivo e o paciente é enfermo (portador da doença).
• Verdadeiro negativo (VN): quando o resultado é negativo e o paciente é saudável (não portador da doença).
• Falso positivo (FP): quando o resultado é positivo, mas o paciente é saudável.
• Falso negativo (FN): quando o resultado é negativo, mas o paciente é enfermo.
Os índices de acerto de um teste diagnóstico em pessoas enfermas ou saudáveis são denominados sensibilidade e especificidade , respectivamente. A sensibilidade corresponde à probabilidade de o teste apresentar resultado positivo para um paciente enfermo. Já a especificidade corresponde à probabilidade de o teste apresentar resultado negativo para paciente saudável.
Ao receber o resultado do teste de um paciente para uma doença, costumam ser avaliadas as duas questões a seguir.
I) Qual é a probabilidade de o paciente ser enfermo dado um resultado positivo?
Essa probabilidade é chamada de valor de predição positiva do teste (VPP) e pode ser calculada por:
P(paciente enfermo | resultado positivo) = P(paciente enfermo " resultado positivo)
P(resultado positivo)
48.
II) Qual é a probabilidade de o paciente ser saudável dado um resultado negativo?
Essa probabilidade é chamada de valor de predição negativa do teste (VPN) e pode ser calculada por:
P(paciente saudável | resultado negativo) = P(paciente saudável " resultado negativo)
P(resultado negativo)
De acordo com as informações apresentadas, resolva as questões.
a) É possível que um teste diagnóstico apresente resultado positivo para certa doença, mesmo para um paciente saudável? Justifique.
b) Alguns pacientes de certo laboratório serão submetidos a um teste cujo objetivo é detectar a presença de determinada doença. Para isso, esse laboratório pode optar por um dos testes indicados a seguir.
• Teste A : sensibilidade de 97% e especificidade de 89%
• Teste B: sensibilidade de 95% e especificidade de 98%
Por qual dos testes esse laboratório deve optar? Justifique.
c) Considere um estudo sobre um teste diagnóstico cujos resultados estão apresentados a seguir.
Resultados do teste diagnóstico realizado com pacientes saudáveis e enfermos
De acordo com esse estudo, resolva as questões a seguir.
Fonte: Dados fictícios.
• Qual é a probabilidade de esse teste apresentar um resultado falso positivo? E de apresentar um resultado falso negativo?
Pelo teste A, pois este apresenta a maior probabilidade de resultado positivo para um paciente enfermo. 6%; 2%
• Q ual é a probabilidade de o paciente ser saudável caso o resultado do teste seja negativo?
• Qual é a probabilidade de o paciente ser enfermo caso o resultado do teste seja positivo?
• Determine a sensibilidade e a especificidade aproximadas desse teste.
aproximadamente 96,7% sensibilidade: aproximadamente 94,3%; especificidade: aproximadamente 90,8% aproximadamente 84,6%
NO MUNDO DO TRABAlHO
O médico é um profissional a serviço da saúde, cujo trabalho envolve prevenir, diagnosticar e tratar doenças. Ele pode atuar em consultórios, pronto atendimentos, serviços de resgate, procedimentos cirúrgicos, realização de pesquisas, entre outros.
No Brasil, o curso de Medicina tem duração mínima de 6 anos. Depois de se formar, esse profissional pode se especializar em uma área, entre muitas opções, como cardiologia, geriatria, neurologia, cirurgia geral, gine cologia, ortopedia, pediatria, psiquiatria e urologia.
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre o curso de Medicina, o mercado de trabalho e as áreas de atuação de um médico no Brasil.
• GUIA de profissões: medicina. [S . l.: s . n.], 2016. 1 vídeo (12 min). Publicado pelo canal TV Unesp. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ShJiFQGeB3w. Acesso em: 30 ago. 2024. Médico
Considere o jogo descrito a seguir.
Em um jogo, um dado comum e honesto é lançado cinco vezes consecutivas. Antes do lançamento, o participante deve indicar a quantidade de vezes em que serão obtidos mais de 4 pontos na face superior do dado. Para vencer esse jogo, será necessário acertar a indicação feita.
De acordo com as regras desse jogo, para cada lançamento, temos o espaço amostral O = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O evento correspondente a obter mais de 4 pontos nesse lançamento é dado por A = {5, 6}. Além disso, o evento complementar de A, que corresponde a obter 4 ou menos pontos nesse lançamento, é dado por A = {1, 2, 3, 4}. Assim, temos:
• P(A ) = n(A ) n(O) = 2 6 = 1 3
• P( A ) = n( A ) n(O) = 4 6 = 2 3
Também podemos determinar P( A ) da seguinte maneira: P( A ) = 1 P(A) = 1 1 3 = 2 3
Agora, vamos analisar a probabilidade que um participante tem de vencer o jogo, indicando que em 2 dos 5 lançamentos serão obtidos mais de 4 pontos na face superior do dado. Nesse caso, estamos interessados em determinar a probabilidade de que o evento A ocorra em 2 lançamentos e o evento A , em 3 lançamentos. Por exemplo, como A e A são eventos independentes, a probabilidade de que A ocorra nos 2 primeiros lançamentos e A , nos 3 lançamentos seguintes, é dada por:
P(A " A " A " A " A ) = P(A ) ? P(A ) ? P(A ) ? P(A ) ? P(A ) = = [P(A )] 2 ? [P(A )] 3 = (
C omo essa é apenas uma das possíveis maneiras de se obter os eventos A e A em 2 e 3 lançamentos, respectivamente, podemos multiplicar esse resultado pela quantidade de combinações de 5 lançamentos, tomados 2 a 2.
P = C 5, 2 ? 8 243 = 5 ! 2! (5 2)! ? 8 243 = 10 ?
243 = 80 243
Calcule a probabili dade de que, no jogo descrito, um participante vença tendo indicado que em 3 dos 5 lança mentos serão obtidos mais de 4 pontos na face superior do dado.
40 243 ou aproximadamente 16,5%
Portanto, a probabilidade de esse participante vencer o jogo é de 80 243 , aproximadamente 0,329 ou 32,9%.
Essa situação ilustra um caso especial de probabilidade, conhecido como probabilidade binomial. Nele, ao considerarmos certo evento A, avaliamos duas possibilidades de resultado: A ocorrer (sucesso) e A não ocorrer (fracasso). Acompanhe, a seguir, a definição de probabilidade binomial.
Seja A um evento de um espaço amostral equiprovável O , finito e não vazio, de um experimento aleatório. A probabilidade de que A ocorra em p de n realizações desse experimento, sendo p e n números naturais com p < n , é dada por:
P = C n, p ? [P(A )] p ? [P( A )] n p
R13. (Unicamp-SP) Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2 3 , independentemente do resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a a) 2 3 b) 4 9 . c) 20 27 d) 16 81 .
Resolução
Uma vez que para vencer o torneio o atleta precisa ganhar pelo menos duas provas, temos de calcular a probabilidade de ele ganhar duas ou três provas. Além disso, se a probabilidade de o atleta ganhar cada prova é 2 3 , então a probabilidade de não ganhar é 1 3 . Assim, de acordo com o princípio aditivo da contagem, temos: P = C 3, 2 ? ( 2 3
Probabilidade de ganhar 2 provas e não ganhar 1
Probabilidade de ganhar as 3 provas
Portanto, a alternativa c é a correta.
R14. A Olimpíada Brasileira de Física das Escolas Públicas (OBFEP) é uma competição para estudantes do Ensino Médio e do último ano do Ensino Fundamental de escolas públicas. A OBFEP ocorre em duas fases e, em cada uma
delas, os estudantes são organizados em três níveis. Por exemplo, na 1a fase, a prova do Nível C destina-se exclusivamente aos estudantes da 3a série do Ensino Médio. Essa prova é composta de 15 questões objetivas, e cada questão contém quatro alternativas, das quais apenas uma é correta.
Fonte dos dados: SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA. Olimpíada Brasileira de Física das Escolas Públicas: sobre. [São Paulo]: SBF: Obfep, c2024. Disponível em: https://www. sbfisica.org.br/~obfep/sobre 2024/. Acesso em: 30 ago. 2024.
Calcule a probabilidade de um estudante da 3a série do Ensino Médio, ao escolher aleatoriamente todas as respostas da prova do Nível C da OBFEP, acertar exatamente 9 questões.
Considerando o evento A escolher a alternativa correta em uma questão, temos que A corresponde ao evento escolher a alternativa incorreta em uma questão. Assim, temos:
• P(A ) = 1 4
• P(A ) = 1 P(A) = 1 1 4 = 3 4
A ssim, com auxílio de uma calculadora, determinamos a probabilidade de o evento A ocorrer exatamente 9 vezes ( p ) em 15 tentativas (n )
P = C n, p ? [P(A )] p ? [P(A )] n p = = C 15, 9 ( 1 4 )9 ( 3 4 )15 9 = = 5 005 ( 1 4 ) 9 ( 3 4 ) 6 1 0,0034 = 0,34%
Portanto, essa probabilidade é de aproximadamente 0,0034 ou 0,34%.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
DiCA
Nas atividades desta e da próxima página, utilize a calculadora quando necessário.
49. A partir de uma pesquisa realizada por certa loja virtual, observou-se que a probabilidade de um cliente optar por um tipo de frete mais barato na realização de uma compra, mesmo com prazo de entrega maior, é de 3 5 . Considerando um dia em que 15 clientes realizam compras nessa loja, calcule a probabilidade de que:
a) e xatamente 8 deles prefiram pagar mais barato pelo frete;
aproximadamente 0,177 ou 17,7%
b) ao menos 12 deles prefiram pagar mais barato pelo frete;
aproximadamente 0,09 ou 9%
c) todos eles prefiram pagar mais barato pelo frete.
aproximadamente 0,00047 ou 0,047%
50. Em uma linha de produção de certa fábrica, a probabilidade de se obter uma peça com defeito é de 30 % . Ao vistoriar uma amostra de 50 peças, qual é a probabilidade de se obter metade delas com defeito?
aproximadamente 0,00144 ou 0,144%
51. Em certo bairro, 80 % dos moradores são favoráveis a um projeto proposto pela associação de moradores. Ao sortear aleatoriamente 10 moradores desse bairro, a probabilidade de que mais de 7 deles sejam favoráveis a esse projeto é:
alternativa c
a) menor que 60%.
b) igual a 57 %. c) maior que 65%. d) igual a 37,5%.
52. Considere uma moeda não honesta cuja probabilidade de obter coroa na face voltada para cima em um lançamento é igual a 5 9 Se essa moeda for lançada 7 vezes consecutivas, qual é a probabilidade de se obter nesses lançamentos: a) e xatamente 5 coroas? b) 2 coroas, no máximo?
aproximadamente 0,22 ou 22% aproximadamente 0,146 ou 14,6%
53. Uma pesquisa realizada, em 2021, pelo Banco Central do Brasil entrevistou parte da população brasileira sobre o uso do dinheiro e outros meios de pagamento. Observe algumas informações obtidas nessa pesquisa:
53. a) aproximadamente 0,053 ou 5,3%
53. b) aproximadamente 0,0024 ou 0,24%
• 31% dos entrevistados utilizam cartão de crédito em compras acima de R $ 500,00;
• 47% dos entrevistados utilizam moedas em pequenas compras e para facilitar o troco.
Fonte dos dados: BRASIL. Banco Central do Brasil. O brasileiro e sua relação com o dinheiro: pesquisa 2021. Brasília, DF: BCB, 2021. Localizável em: p. 13, 19 do pdf. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/ content/cedulasemoedas/pesquisabrasileirodinheiro/Apresentacao_ brasileiro_relacao_dinehiro_2021.pdf. Acesso em: 31 ago. 2024.
Suponha que sejam selecionados aleatoriamente 8 entrevistados que participaram dessa pesquisa. Nessas condições, determine a probabilidade de que:
a) 3 desses entrevistados não utilizem cartão de crédito em compras acima de R $ 500,00; b) todos esses entrevistados utilizem moedas em pequenas compras e para facilitar o troco.
• L eia o trecho de texto a seguir.
Todos os dias, uma enorme quantidade de moedas sai de circulação porque as pessoas acham que elas não têm valor e acabam guardando ou esquecendo em bolsos e gavetas. Isso causa muitos problemas. Um deles você conhece de perto: a falta de troco.
[...] Cada moeda que você deixa de usar vira um prejuízo para a economia do Brasil e para você, que acaba desperdiçando seu dinheiro.
BRASIL. Banco Central do Brasil. Cuide bem do seu dinheiro: ele vale ouro! Brasília, DF: BCB, [2024]. Localizável em: p. 2 do pdf. Disponível em: www.bcb.gov.br/pre/campanhas/campanha_ dinheiro.pdf. Acesso em: 31 ago. 2024.
Junte-se a quatro colegas para realizar uma pesquisa. Inicialmente, definam uma amostra a ser pesquisada, como uma turma da escola ou moradores de uma rua do bairro onde moram. Nessa pesquisa, determinem o porcentual dos entrevistados que utilizam moedas em suas compras no dia a dia, evitando deixá-las esquecidas em gavetas, bolsos, cofrinhos etc. Por fim, elaborem um cartaz de incentivo à circulação das moedas no comércio, indicando os dados coletados na pesquisa e informações sobre esse assunto disponíveis no site do Banco Central do Brasil. Pesquisa e elaboração dos estudantes.
54. (Fuve st-SP) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.
EDITORIA DE ARTE
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?
alternativa b
a) 1 9 b) 17 81 c) 1 3 d) 51 125 e) 125 243
55. Leia o trecho de texto a seguir.
O diabetes mellitus (DM) compreende um grupo de distúrbios metabólicos que se caracteriza por hiperglicemia causada por defeito na ação e/ou secreção da insulina, que leva a alterações no metabolismo de carboidratos, lipídios e proteínas, determinando, ao longo do tempo, o comprometimento da função e estrutura vascular de diferentes órgãos.
[...]
O diagnóstico de diabetes mellitus geralmente ocorre após os 40 anos de idade, sendo comum sua associação com excesso de peso e história familiar de DM. Estima-se que a população mundial com diabetes totalize 382 milhões de pessoas e que no ano de 2035 serão 471 milhões, o que pode ser considerado uma epidemia […].
[...]
A maioria das pessoas com diabetes permanece assintomática durante anos. Apenas 30% dessas apresentam sintomas clássicos da doença.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Saúde do Paraná. Superintendência de Atenção à Saúde. Linha guia de diabetes mellitus. 2. ed. Curitiba: Sesa, 2018. p. 12, 16. Disponível em: http://www2.maringa.pr.gov.br/ sistema/arquivos/a0893e874d6b.pdf. Acesso em: 30 ago. 2024.
Acesse o site a seguir para obter mais informações sobre o diabetes melito.
• BRASIL. Ministério da Saúde. Diabetes (diabetes mellitus). Brasília, DF: MS, [2024]. Disponível em: https://www.gov.br/saude/pt-br/assuntos/saude -de-a-a-z/d/diabetes. Acesso em: 30 ago. 2024.
A verificação regular da glicose ajuda a controlar o diabetes melito, evitando complicações.
a) Você conhece alguma pessoa que tenha sido diagnosticada com diabetes melito? Comente.
Resposta pessoal.
b) De acordo com o texto, considere que seja de 30 % a probabilidade de uma pessoa com diabetes melito apresentar sintomas clássicos da doença.
• Q ual é a probabilidade de uma pessoa com diabetes melito não apresentar sintomas clássicos dessa doença?
0,7, 7 10 ou 70%
• Considere que, em uma pesquisa, foram identificadas cinco pessoas com diabetes melito. Qual é a probabilidade de ao menos três dessas pessoas não apresentarem sintomas clássicos dessa doença?
aproximadamente 0,837 ou 83,7%
c) Realize uma pesquisa sobre como é possível diminuir os riscos de desenvolver diabetes melito, com cuidados com a alimentação e a prática de atividades físicas. Pesquise também a importância de diagnosticar o diabetes melito logo no início de seu desenvolvimento. Registre as informações obtidas.
Pesquisa do estudante.
5 6. Com base nas informações apresentadas na atividade 55, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo de probabilidade em experimentos binomiais. Troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
Estudamos que a probabilidade de ocorrência de um evento A de um espaço amostral equiprovável O, finito e não vazio, pode ser calculada pela razão entre a quantidade de elementos de A e de O. No entanto, nem sempre é possível determinar a probabilidade de ocorrência de um evento dessa maneira. Nesses casos, a probabilidade de ocorrer um evento pode ser estimada com base na frequência relativa de sua ocorrência em várias repetições de um experimento ou em registros históricos.
Por exemplo, em um planejamento familiar, ao escolher um método contraceptivo, é importante analisar alguns fatores como a taxa de eficácia dos métodos existentes, que implica a probabilidade de evitar uma gravidez. Um dos métodos contraceptivos mais utilizados atualmente são os Anticoncepcionais Orais Combinados (AOCs).
São pílulas que contêm baixas doses de dois hormônios – um progestógeno e um estrógeno – similares aos hormônios naturais progesterona e estrógeno existentes no corpo da mulher. Os anticoncepcionais orais combinados (AOCs) também são chamados simplesmente de “a Pílula”[...].
Funcionam basicamente impedindo a liberação de óvulos pelos ovários (ovulação). [...]
ORGANIZAÇÃO MUNDIAL DA SAÚDE; UNIVERSIDADE JOHNS HOPKINS. Planejamento familiar: um manual global para profissionais e serviços de saúde. Tradução: Lula Ramires. Baltimore: CPC; Genebra: OMS, 2007. p. 1. Disponível em: https://apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/44028/9780978856304_por.pdf?sequence=6. Acesso em: 31 ago. 2024.
Mulher em consulta médica. Para escolher o melhor método contraceptivo, é importante consultar um profissional de saúde, como um clínico geral ou ginecologista, que poderá avaliar a idade, as condições de saúde e outros fatores.
De acordo com a Organização Mundial da Saúde, os AOCs correspondem a um método contraceptivo de alta eficácia, uma vez que, se ingeridos corretamente e de modo consistente, em média 997 de 1 000 mulheres não engravidam no primeiro ano de uso. Nessas condições, podemos estimar que a probabilidade de uma mulher que usa esse método contraceptivo não engravidar é de 997 1 000 , 0,997 ou 99,7%.
R15. Entre outros fatores controláveis, o sucesso de uma safra depende do uso de sementes de alta qualidade que apresentam, por exemplo, alto nível de germinação.
Para realizar um teste de germinação de certo tipo de semente, foi selecionada uma amostra com 260 sementes, de maneira que representassem todas as sementes do mesmo tipo. As sementes selecionadas foram plantadas sob determinadas condições adequadas e apenas 4 delas não germinaram. Observe, na tabela, o tempo de germinação das outras sementes.
Sementes de certo tipo germinadas de acordo com o tempo
Tempo (dia)
Fonte: Dados fictícios.
Considerando as sementes que efetivamente germinaram, resolva as questões.
a) C onstrua um gráfico de colunas para representar a probabilidade estimada de germinação dessas sementes em relação ao tempo.
b) N a embalagem utilizada para comercializar essas sementes, é indicado um tempo médio de germinação de 6 dias. Determine a probabilidade de se plantar uma semente desse tipo e ela germinar após 6 dias.
Resolução
a) In icialmente, considerando as 256 sementes que germinaram, calculamos a probabilidade estimada de cada uma delas germinar em relação ao tempo, conforme a tabela a seguir.
Probabilidade estimada de germinação das sementes de certo tipo em relação ao tempo
Fonte: Dados fictícios.
Em seguida, utilizando os valores obtidos, construímos o gráfico de colunas.
Probabilidade estimada de germinação das sementes de certo tipo em relação ao tempo
Fonte: Dados fictícios.
b) C onsiderando os cálculos do item a , a probabilidade do evento A de a semente germinar após 6 dias é dada pela soma das probabilidades de ela germinar em 7 e em 8 dias: P( A ) 1 16% + 5% = 21%
Portanto, a probabilidade estimada de se plantar uma semente dessas e ela germinar após 6 dias é de aproximadamente 21%.
57. (Fuvest-SP) Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E , F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B , C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.
alternativa e
Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é a) 0,120. b) 0,216. c) 0,264. d) 0,336. e) 0,384.
58. Após disputar algumas partidas, certo time de basquete constatou que os índices de aproveitamento em arremessos de seus jogadores A , B e C foram de 85% , 78 % e 94% , respectivamente. Além disso, os jogadores A e C realizaram, cada um, 21% do total de arremessos a favor do time, e o jogador B realizou 36% dos arremessos.
Considerando apenas as informações apresentadas, resolva as questões a seguir.
a) Qual desses três jogadores tem maior probabilidade de acertar o primeiro arremesso do time na próxima partida?
jogador B
b) Na próxima partida, qual é a probabilidade de o primeiro arremesso ser realizado pelo jogador C e ele errar esse arremesso?
59. Para definir o medicamento a ser ingerido por um paciente durante um tratamento, um médico apresentou a ele duas opções, conforme seguem.
• Medicamento A : ingerir 2 comprimidos por semana.
• Medicamento B: ingerir 1 comprimido a cada 48 horas.
Além disso, explicou ao paciente que ambos os medicamentos podem causar náuseas ou dores de cabeça, sendo a probabilidade de que isso ocorra de 7% para o medicamento A e de 4% para o medicamento B
Após analisar as duas opções disponíveis, por qual medicamento você acredita que esse paciente deve optar caso prefira aquele com menor probabilidade de ocorrência de náuseas ou dores de cabeça na primeira semana do tratamento?
medicamento A
60. (Vunesp-SP) A tabela indica o chaveamento de 8 times que chegaram às quartas de final de um torneio de futebol. Nos jogos de quartas de final, as porcentagens ao lado de cada time indicam sua probabilidade de seguir adiante no torneio. Nos jogos da semifinal, as probabilidades de cada time dos grupos E e F são iguais a 50%.
Qual é a probabilidade de o time 1 disputar a final desse torneio contra os times 5 ou 7?
alternativa b
a) 16,25%
b) 14,25%
c) 15,75%
d) 15,50%
e) 12,50%
61. a) anticoncepcionais orais combinados: 0,3%; pílulas só de progestógeno: 0,3% (caso esteja amamentando) e 0,9% (caso não esteja amamentando); injetáveis só de progestógeno: 0,3%; injetáveis mensais: 0,05%; implantes: 0,05%; DIU com cobre: 0,6% a 0,8%; esterilização feminina: 0,5%
61. Estudamos anteriormente que um dos fatores a ser analisado na escolha de um método contraceptivo é a taxa de eficácia dos métodos existentes. A seguir, são apresentadas informações sobre a eficácia de alguns métodos contraceptivos, considerando seu uso correto e de modo consistente.
Eficácia de alguns métodos contraceptivos
Método
Anticoncepcionais orais combinados
Pílulas só de progestógeno*
Injetáveis só de progestógeno
Injetáveis mensais
Implantes
Dispositivo Intrauterino (DIU) com cobre
Esterilização feminina
Descrição resumida Quantidade de gravidezes no primeiro ano de uso
Pílulas com baixas doses de progestógeno e estrógeno. 3 por 1 000 mulheres
Pílulas com doses muito baixas de progestógeno.
Injetáveis com doses de progestógeno.
Injetáveis mensais com doses de progestógeno e estrógeno.
Cápsulas ou hastes plásticas que liberam progestógeno.
Dispositivo intrauterino com cobre que provoca danos ao esperma e ao óvulo antes de se encontrarem.
Contracepção permanente para mulheres.
3 por 1 000 mulheres (que estejam amamentando) 9 por 1 000 mulheres (que não estejam amamentando)
3 por 1 000 mulheres
5 por 10 000 mulheres
5 por 10 000 mulheres
6 a 8 por 1 000 mulheres
5 por 1 000 mulheres
* Por não conter estrógeno e apresentar baixa dosagem de progestógeno, podem ser usadas por mulheres em período de amamentação.
61. b) Injetáveis mensais e implantes, pois são os métodos com os quais a mulher tem a menor probabilidade de engravidar.
Fonte dos dados: ORGANIZAÇÃO MUNDIAL DA SAÚDE; UNIVERSIDADE JOHNS HOPKINS. Planejamento familiar : um manual global para profissionais e serviços de saúde. Tradução: Lula Ramires. Baltimore: CPC; Genebra: OMS, 2007. p. 1 2, 25 26, 59 60, 81 82, 109 110, 131, 165. Disponível em: https://apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/44028/9780978856304_por.pdf?sequence=6. Acesso em: 31 ago. 2024.
a) Para cada método contraceptivo apresentado, calcule a probabilidade estimada de que uma mulher engravide no primeiro ano de uso. Expresse as respostas em porcentual.
b) Qual dos métodos contraceptivos apresentados é o mais eficaz para se evitar uma gravidez no primeiro ano de uso, considerando uma mulher que não esteja amamentando? Justifique.
c) Por quais desses métodos pode-se optar para que a probabilidade de gravidez de uma mulher, durante o primeiro ano de uso e sem estar amamentando, seja menor ou igual a 0,4%? anticoncepcionais orais combinados, injetáveis só de progestógeno, injetáveis mensais ou implantes
d) Observe no esquema, de maneira simplificada, como os AOCs agem no organismo da ervação: Os órgãos represen tados não estão na mesma escala.
1 O s AOCs contêm hormônios sintéticos que, ao serem absorvidos pelo organismo, imitam os hormônios naturais que são liberados durante o ciclo menstrual e acabam inibindo a produção dos hormônios FSH e LH pela hipófise.
2 O s baixos níveis de FSH e LH impedem a ovulação e dificultam o desenvolvimento de um ovócito dominante no ovário.
Considerando que esses motociclistas representam o comportamento ou o perfil dos motociclist as nesse município, resolva os itens a seguir.
a) Q ual é a probabilidade de um motociclista não se envolver em nenhum acidente de trânsito nesse município?
56,25%
b) C onstrua um gráfico para representar a probabilidade estimada de um motociclista desse município se envolver em algum acidente, no ano, de acordo com cada faixa etária.
3 Mesmo que ocorra a ovulação, como é possível acontecer em alguns casos, os AOCs podem evitar que o embrião se fixe no útero e inibir o transporte de óvulos e de espermatozoides, dificultando a fertilização do óvulo.
Agora, junte-se a dois colegas e, em grupo, escolham um dos métodos contraceptivos apresentados e realizem uma pesquisa sobre ele, detalhando funcionamento, eficácia, efeitos colaterais, benefícios e riscos à saúde. Com as informações pesquisadas, elaborem um relatório.
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
62. Para auxiliar nas análises de riscos, uma seguradora coletou informações sobre os motociclistas de um município e verificou em quantos acidentes de trânsito se envolveram em certo ano. Acompanhe.
Motociclistas do município que se envolveram ou não em algum acidente de trânsito em certo ano
Quantidade de acidentes
Até 20 anos 41141216
21 a 25 anos 20033610
26 a 30 anos 3663755
31 a 35 anos 271973
36 a 40 anos 300833
41 a 45 anos 139340
Mais de 45 anos 113242
Fonte: Dados fictícios.
c) Q ual é a probabilidade de um motociclista desse município, na faixa etária de 21 a 30 anos, envolver-se em algum acidente?
Resposta nas Orientações para o professor. aproximadamente 56%
63. Um instituto de pesquisas agrícolas desenvolveu um estudo acerca da eficiência de germinação de variedades de sementes de certo vegetal. Analise o resultado dessa pesquisa apresentado no gráfico a seguir.
Probabilidade de germinação de variedades de sementes de certo vegetal
Probabilidade (%)
Variedade da semente
Fonte: Dados fictícios.
Com a temática apresentada, elabore uma situação-problema envolvendo o cálculo da probabilidade estimada. Troque essa situação-problema com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaboração do estudante.
Você sabe o que é herança genética? Leia o trecho de texto a seguir.
Dentro das células, as estruturas denominadas cromossomos contêm material genético na forma de DNA (ácido desoxirribonucleico). [...]
Cada vez que uma célula se divide, o DNA é primeiramente replicado, ou copiado, e cada uma das duas células-filhas herda um conjunto completo de cromossomos idênticos ao originalmente presente na célula-mãe. Cada cromossomo contém uma longa molécula de DNA com centenas ou milhares de genes, cada um representando um setor do DNA do cromossomo. Os genes são a unidade de herança transferida dos pais para os filhos. Eles codificam a informação necessária para formar todas as moléculas sintetizadas dentro de uma célula e, assim, estabelecem a identidade e função celular. Cada um de nós se originou a partir de uma única célula portando DNA herdado dos nossos pais. A replicação desse DNA durante cada rodada da divisão celular transmitiu cópias do DNA até o que, por fim, se tornou os trilhões de células que compõem o nosso corpo. Juntamente com o crescimento e divisão celular, a informação genética codif icada pelo DNA direcionou o nosso desenvolvimento [...].
REECE, Jane B. et al Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 5.
A diversidade existente na pigmentação dos olhos, no tipo do cabelo e na cor da pele representa apenas um exemplo de variações hereditárias que podemos observar em uma população.
Há muito tempo o ser humano estuda a existência de características que apresentam variações entre seres de uma mesma espécie, chegando à conclusão de que algumas dessas características passam de geração para geração. O monge Gregor Mendel (1822-1884) foi um dos precursores em pesquisas na área de hereditariedade. Por meio de experimentos, ele formulou leis que, atualmente, levam seu nome e fundamentaram o ramo da Biologia chamado de Genética
Acompanhe, no esquema a seguir, a representação de um dos experimentos desenvolvidos por Mendel envolvendo o estudo de variações presentes entre plantas de uma espécie de ervilha.
Representa ervilhas de sementes amarelas.
O fator para o caráter amarelo é denominado V Assim, as plantas puras de sementes amarelas, chamadas de dominantes, são indicadas como VV
Ervilhas de sementes amarelas têm fatores VV ou Vv
Representa ervilhas de sementes verdes.
Geração paternal (P) – indivíduos puros Mendel desenvolveu os princípios básicos da hereditariedade ao cruzar ervilhas puras de sementes amarelas, ou seja, ervilhas que, geração após geração, só produziam sementes amarelas, com ervilhas puras de sementes verdes, ou seja, que só produziam sementes verdes. As plantas puras, que apresentam os dois fatores iguais VV homozigotas
Primeira geração (F1) –de scendentes de indivíduos diferentes Mendel observou que na primeira geração (F1) de descendentes havia apenas plantas de sementes amarelas.
Gregor Mendel (1822 1884).
O fator para o caráter verde é denominado v Assim, as plantas puras de sementes verdes, chamadas de recessivas, são indicadas como vv
Ervilhas de sementes verdes têm fatores vv
Segunda geração (F2)
Na sequência, Mendel cruzou entre si as plantas de ervilha de F1 e observou que na geração seguinte (F2) apareciam plantas com sementes amarelas e plantas com sementes verdes.
Nesse cruzamento, a probabilidade de os descendentes serem ervilhas de sementes amarelas é de 75 % e a probabilidade de serem ervilhas de sementes verdes é de 25 %.
Os descendentes são portadores de ambos os fatores e são denominados heterozigotos. Como o fator V é dominante em relação ao fator v, a característica que se manifesta nas plantas dessa geração, em relação à cor de sementes, é a amarela. Nesse cruzamento, a probabilidade de os descendentes serem ervilhas de sementes amarelas é de 100 %.
Como o fator recessivo (que determina a cor verde) não “aparecia” em F1 e depois “reaparecia” em F2, Mendel concluiu que cada indivíduo passa para seus descendentes apenas um dos fatores do par de determinada característica.
Fontes dos dados: FRIDMAN, Cíntia. Evolução das Ciências II: tópico 1: as 1a e 2a leis de Mendel e conceitos básicos de citogenética. São Paulo: Cepa: Ifusp, [202 ]. p. 3, 14. Disponível em: https://midia.atp.usp.br/plc/plc0030/impressos/plc0030_top01.pdf. Acesso em: 4 jul. 2024. REECE, Jane B. et al Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 267 274.
Desde o surgimento das teorias da genética desenvolvidas por Mendel até a descoberta da estrutura da molécula de DNA e o sequenciamento de genomas, a Genética motivou sucessivos questionamentos. Ainda mais se considerar que, nos últimos anos, a possibilidade de manipulação genética de seres vivos se tornou tecnicamente real, o que gerou reflexões sobre os valores importantes para a sociedade.
Leia o trecho de texto a seguir sobre o caso dos primeiros bebês chineses geneticamente modificados do mundo, que gerou uma série de críticas e debates sobre ética profissional na comunidade científica.
Anunciado em novembro de 2018, durante o Congresso Mundial de Edição Genética, em Hong Kong, o experimento do cientista chinês He Jiankui, que revelou ter editado embriões saudáveis com a técnica de CRISPR-cas9, uma ferramenta genética que corta a sequência do DNA e o reconfigura para obter uma modificação – no caso, tornando-o imune ao vírus HIV – causou apreensão e gerou uma série de debates entre seus pares e nas sociedades científicas mundiais.
[...]
Ainda que a experiência narrada por Jiankui seja questionada, o cerne da discussão gira em torno dos limites entre as possíveis aplicações da técnica para o controle e prevenção de doenças, o que de fato se busca, e a possibilidade de edições genéticas futuras em que embriões humanos possam ser editados geneticamente apenas para alterar características físicas.
O temor justifica-se não apenas pelos problemas decorrentes de mudanças no genoma de futuras gerações, mas também pelo que poderia ser caracterizado como eugenia, prática considerada eticamente inaceitável por cientistas e instituições de pesquisa.
BRASIL. Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. Centro de Pesquisa em Ciência, Tecnologia e Sociedade. Experimento chinês confronta limites entre ética e ciência. [Rio de Janeiro]: Ipea: CTS, 2 set. 2021. Disponível em: www.ipea.gov.br/cts/pt/central de conteudo/artigos/artigos/ 55 e xperimento chines confronta limites entre etica e ciencia. Acesso em: 31 ago. 2024.
3. São organismos que apresentam ambos os fatores, dominante e recessivo.
PENSANDO NO ASSUNTO Não escreva no livro.
1. Cite exemplos de aplicações da pesquisa genética. Se necessário, realize uma pesquisa.
2. Em seu entendimento, é correto realizar edições genéticas em humanos? Para justificar sua resposta, realize argumentações consistentes.
Resposta pessoal.
3. De acordo com as informações apresentadas, o que são organismos heterozigotos?
4. Represente por meio de letras as possibilidades de um organismo homozigoto.
Resposta esperada: VV ou vv.
5. Na página 288 , há um esquema representando um experimento realizado por Mendel a partir do cruzamento de duas ervilhas. Considerando esse cruzamento, resolva as questões a seguir.
a) Q ual é a probabilidade de o primeiro descendente na primeira geração desse cruzamento ser uma ervilha:
• de semente amarela?
• de semente verde?
1 ou 100% 0 ou 0%
• de fator homozigoto?
0 ou 0%
• de fator heterozigoto?
1 ou 100%
b) Q ual é a probabilidade de o primeiro descendente na segunda geração desse cruzamento ser uma ervilha:
• de semente amarela?
• de semente verde?
3 4 , 0,75 ou 75% 1 4 , 0,25 ou 25%
• de fator homozigoto?
• de fator heterozigoto?
1. Algumas respostas possíveis: Na pesquisa genética, pode se investigar se uma pessoa é mais ou é menos propensa a desenvolver uma doença e, se for o caso, poder preveni la; avaliar as reações do organismo de uma pessoa a um tratamento ou a um medicamento; entre outras aplicações.
1 2 , 0,5 ou 50%
1 2 , 0,5 ou 50%
6. Leia o trecho de texto a seguir.
A Doença de Huntington (DH) é uma afecção heredodegenerativa (isto é, herdada geneticamente e progressiva) do sistema nervoso central, cujos sintomas são causados pela perda marcante de células em uma parte do cérebro denominada gânglios da base. Esse dano no cérebro afeta as capacidades:
• Motoras
• Cognitivas (pensamento, julgamento, memória)
• Psiquiátricas (humor, equilíbrio emocional, dentre outras)
A DH atinge homens e mulheres de todas as raças e grupos étnicos e, de forma geral, os primeiros sintomas aparecem lenta e gradualmente entre os 30 e 50 anos, mas pode atingir também crianças [...] e idosos.
ASSOCIAÇÃO BRASIL HUNTINGTON. O que é a doença de Huntington? [S l.]: ABH, 2016. Disponível em: https://abh.org.br/o-que-e-doenca-de-huntington. Acesso em: 31 ago. 2024.
Analise o heredograma a seguir, que apresenta algumas características de uma herança autossômica, em que apenas um dos parentais tem DH.
Informações complementares ao heredograma:
Descendência
Indivíduos com DH Indivíduos sem DH Parentais
h H
Alelo normal Alelo da DH
• A DH é de herança autossômica dominante, ou seja, basta que um dos pais tenha a doença para que o gene responsável possa ser transmitido.
• A doença incide em proporções semelhantes em ambos os sexos.
• Homens e mulheres afetados têm a probabilidade de transmitir a doença para os seus descendentes.
• O s filhos que não herdarem o gene mutante responsável pela doença não a transmitirão para seus descendentes.
• Todos os filhos que herdarem o gene desenvolverão a doença em algum momento de sua vida, a menos que, antes que isso ocorra, venham a óbito por outra causa.
Assista a este documentário para obter mais informações sobre a Doença de Huntington.
• O BOLE de salão: documentário sobre a doença de Huntington. [S. l.: s. n.], 2022. 1 vídeo (19 min).
Publicado pelo canal ABH − Associação Brasil Huntington. Disponível em: https://www.youtube. com/watch?v=IkgCpOo5KH8. Acesso em: 31 ago. 2024.
a) Você conhece alguém que tem DH? Comente.
Resposta pessoal.
b) Considerando a situação representada pelo heredograma, resolva as questões.
• Qual é a probabilidade de um descendente de 1a geração ter DH?
• Q ual é a probabilidade de um descendente de 1a geração ser uma menina sem ter DH?
• O avô paterno de Clarissa tem DH, mas não se sabe se o pai dela tem DH. Considerando que a mãe de Clarissa não tem DH, qual é a probabilidade de Clarissa ter DH?
em 2, 1 2 , 0,5 ou 50% 1 em 4, 1 4 , 0,25 ou 25% 1 em 4, 1 4 , 0,25 ou 25%
c) Agora, for me um grupo com três colegas. Escolham uma doença hereditária para realizar uma investigação. É importante que os grupos formados na turma tenham propostas distintas a fim de explorar diferentes doenças. Na etapa de pesquisa, des taquem os sintomas e as características hereditárias dessa doença, como a proporção de incidência em relação ao sexo e a probabilidade de os descendentes serem afetados pela doença. Para descrever essas informações, vocês podem utilizar um heredograma, além de apresentar explicações por meio de cálculos de probabilidade. Ao final, pro duzam um relatório, que pode ser divulgado em formato impresso ou publicado em algum meio digital
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
Acompanhe como podemos obter números aleatórios utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc, disponível para download em https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice -novo/ (acesso em: 25 jun. 2024).
Exemplo 1
Para obter um número real aleatório entre 0 e 1 em uma célula qualquer, digitamos =aleatório ( ) e pressionamos a tecla Enter
Exemplo 2
Nesse caso, o número sorteado foi 0,28732487562938.
A Para obter um número inteiro aleatório entre outros dois números inteiros, por exemplo, de 1 até 5, em uma célula qualquer digitamos =aleatórioentre(1; 5) e pressionamos a tecla Enter
B Utilizando a f órmula apresentada na etapa anterior, podemos realizar um experimento sorteando aleatoriamente números inteiros de 1 até 5, por 100 vezes consecutivas. Para isso, selecionamos A1, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula A100.
DiCA
Nesse caso, o número sorteado foi 5.
2. c) Resposta esperada: Não, porque os sorteios foram aleatórios, o que pode causar a variação nos resultados.
C Para determinar a frequência absoluta com que cada número inteiro, de 1 até 5, foi sorteado na etapa anterior desse experimento, digitamos, respectivamente, =CONT.SE(A1:A100;”=1”) na célula C1, =CONT.SE(A1:A100;”=2”) na célula D1, =CONT.SE(A1:A100;”=3”) na célula E1, =CONT.SE(A1:A100;”=4”) na célula F1 e =CONT.SE(A1:A100;”=5”) na célula G1. 2. b)
REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE
1. Com um ajuste na fórmula apresentada no exemplo 1, podemos obter um número real aleatório entre 0 e qualquer número real. Por exemplo, para obter um número real aleatório entre 0 e 350, digitamos =aleatório()*350 e pressionamos a tecla Enter.
a) Que fórmula podemos digitar em uma célula da planilha eletrônica LibreOffice Calc para obter um número real aleatório entre:
• 0 e 15?
• 0 e 25,5?
Número Frequência
2. d) Resposta esperada: Uma frequência próxima a 200, pois a probabilidade de se obter o número 5 em um sorteio, ao acaso, de número inteiro de 1 até 5 é de 20%, que corresponde a 200 ocorrências em 1 000 sor teios.
no exemplo 2 . Os valores obtidos nas célula s C1:G1 foram os mesmos do exemplo? Por quê?
d) S e no exemplo fossem obtidos os números aleatoriamente da célula A1 até a célula A1000, qual seria a previsão para a frequência absoluta do número 5? Justifique.
• 0 e 1 0 00?
=aleatório()*15 =aleatório()*25,5 =aleatório()*1 000 Resposta pessoal.
3. Na planilha eletrônica LibreOffice Calc, escreva uma fórmula que permita simular o sorteio de um número inteiro de 1 até 12 utilizando um dado honesto com formato que lembra um dodecaedro regular.
b) Na planilha eletrônica LibreOffice Calc , utilize as fórmulas que você escreveu no item a e obtenha números reais aleatórios entre 0 e 15, entre 0 e 25,5 e entre 0 e 1 0 00.
2. Em relação ao exemplo 2 , resolva os itens a seguir.
2. a) O = {1, 2, 3, 4, 5}. 1 5 , 0,2 ou 20%
a) Q ual é o espaço amostral do experimento aleatório realizado nesse exemplo? Qual é a probabilidade de ocorrência de cada evento simples nesse experimento?
b) D etermine a frequência relativa com que cada número inteiro, de 1 até 5, foi sorteado nesse experimento. Organize esses dados em um quadro.
c) Na planilha eletrônica LibreOffice Calc , realize o mesmo experimento apresentado
4. Considere o experimento aleatório de realizar um sorteio de 180 números inteiros maio res ou iguais a 5 e menores ou iguais a 8 . De acordo com esse experimento, resolva os itens a seguir.
a) Q ual é a probabilidade de se obter, no primeiro sorteio desses, o número 8?
b) De acordo com a probabilidade indicada no item a , estime a quantidade de ocorrências do número 8 nesse experimento.
Resposta esperada: =aleatórioentre(1; 12). 1 4 , 0,25 ou 25% 45 ocorrências
c) D e maneira análoga à apresentada no exemplo 2 , realize esse experimento na planilha eletrônica LibreOffice Calc e, em seguida, compare a quantidade de ocorrências do número 8 com aquela estimada por você no item b.
Resposta pessoal.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Qu ando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2 . Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Probabilidade Experimento aleatório
Evento Cálculo de probabilidade
Probabilidade da união de dois eventos Espaço amostral
Probabilidade em experimentos binomiais
Eventos complementares
Probabilidade e estatística
Probabilidade condicional
Probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre como é realizada a previsão do tempo e a importância dessas previsões. Apesar de não ser possível definir com exatidão quando e onde vai chover nas próximas horas ou dias, por exemplo, por causa de algumas limitações, como o comportamento caótico da atmosfera de nosso planeta, atualmente são realizadas previsões climáticas e de tempo com grande probabilidade de acerto.
Observe, por exemplo, a previsão do tempo para os dias 5/7/2024 a 7/7/2024 em Rio Branco (AC).
Fonte dos dados: BRASIL. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos. Previsão numérica de tempo [S l.]: Inpe: Cptec, 2024. Disponível em: www. cptec.inpe.br/ac/rio -branco. Acesso em: 4 jul. 2024.
Considerando as previsões nos dias indicados e que os eventos em que chove e em que não chove em um dia são independentes, resolva os itens a seguir.
a) Em qual desses dias a probabilidade de ocorrer chuva é menor que a de não chover?
b) C alcule a probabilidade de que:
• não chova no sábado;
• chova nos três dias;
sexta-feira (5/7) e domingo (7/7)
• chova em apenas um dos três dias.
c) Qual é a probabilidade de que chova no domingo, sabendo que não choveu na sexta-feira?
d) Suponha que, para certo mês em Rio Branco, tenha sido estimada a probabilidade de 39% de se registrar temperatura máxima menor ou igual a 35 °C e de 87% de se registrar temperatura máxima maior ou igual a 35 °C. Determine a probabilidade estimada de que seja registrada, para esse mês, temperatura máxima exatamente igual a 35 °C nesse município.
e) Considere que, em cada dia de certa semana em Rio Branco, a probabilidade de chover é de 40 %. Qual é a probabilidade de que, nessa semana, chova:
• em exatamente 4 dias?
aproximadamente 19%
• em nenhum desses dias?
aproximadamente 2,8%
• em todos os dias?
aproximadamente 0,16%
f) Pesquise a previsão do tempo para o município em que você mora, identificando a probabilidade de chuva para os próximos dias ou meses, e registre essas informações. Depois, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo de probabilidade de chuva nesses dias. Em seguida, troque esse problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.
Pesquisa do estudante.
1. (Enem/MEC) O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1 2. Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99 100 .
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é alternativa d a) 99. b) 51. c) 50. d) 6. e) 1.
2. (Enem/MEC) Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade de ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? alternativa c a) 0,075 b) 0,150 c) 0,325 d) 0,600 e) 0,800
3. (ITA-SP) Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que resultam em coroa, e apenas estas, são retiradas. As demais moedas permanecem para o próximo lançamento. O jogo termina quando todas as moedas tiverem sido retiradas. A probabilidade de o jogo durar mais do que três rodadas, se for iniciado com quatro moedas, é alternativa b
a) 1 341
4 096 . b) 1 695 4 096 . c) 2 049 4 096 . d) 2 401 4 096 . e) 2 755 4 096 .
4. (Enem/MEC) Um laboratório está desenvolvendo um teste rápido para detectar a presença de determinado vírus na saliva. Para conhecer a acurácia do teste é necessário avaliá-lo em indivíduos sabidamente doentes e nos sadios. A acurácia de um teste é dada pela capacidade de reconhecer os verdadeiros positivos (presença de vírus) e os verdadeiros negativos (ausência de vírus). A probabilidade de o teste reconhecer os verdadeiros negativos é denominada especificidade, definida pela probabilidade de o teste resultar negativo, dado que o indivíduo é sadio. O laboratório realizou um estudo com 150 indivíduos e os resultados estão no quadro.
Resultado do teste da saliva
Considerando os resultados apresentados no quadro, a especificidade do teste da saliva tem valor igual a alternativa d
a) 0,11.
b) 0,15.
c) 0,60. d) 0,89. e) 0,96.
5. (Ifal) Em um certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês? alternativa d
a) 7,5%.
b) 40%. c) 50%. d) 57,5%. e) 67,5%.
6. (Unicamp-SP) Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a a) 1 2 . b) 5 9 . c) 2 3 . d) 3 5 . alternativa b
7. (UFGD-MS) João, Carlos e Rafael criaram um jogo baseado no lançamento simultâneo de dois dados, para se divertirem. A cada partida do jogo, os dados eram arremessados e os números das faces voltadas para cima, somados. Os jogadores deveriam obedecer às seguintes regras:
• C ada jogador deveria escolher um único valor para representar a soma das faces dos dois dados, antes destes serem atirados.
• Os jogadores deveriam escolher valores distintos.
• Venceria a partida o jogador que acertasse a soma dos números mostrados nas faces voltadas para cima dos dados.
Nesses termos, pode-se dizer que alternativa c
a) o espaço amostral resultante do experimento “jogar dois dados e observar a soma dos valores das faces voltadas para cima” possui 36 elementos.
b) o espaço amostral resultante do experimento “jogar dois dados e observar a soma dos valores das faces voltadas para cima” possui 12 elementos.
c) s e Carlos escolheu como soma das faces dos dados o número 7, João escolheu o número 3 e Rafael, o número 4, a probabilidade de João ou Rafael vencer é menor que a probabilidade de Carlos vencer.
d) se Carlos escolheu o número 7 como soma das faces dos dados, João escolheu o número 3 e Rafael, o número 4, a probabilidade de João ou Rafael vencer a partida é maior que a probabilidade de Carlos vencer.
e) se Rafael, em uma determinada rodada, escolher o número 7 como soma das faces dos dois dados, com certeza, ele será o vencedor.
8. (Vunesp-SP) Ana somou dois números distintos sorteados ao acaso do conjunto {8, 9, 10}. Beto multiplicou dois números distintos sorteados ao acaso do conjunto {3, 5, 6}. A probabilidade de que o resultado obtido na conta de Ana tenha sido maior ou igual ao obtido na conta de Beto é igual a: alternativa e a) 1 3 b) 2 3 c) 4 9 d) 3 8 e) 5 9
9. (Enem/MEC) O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna.
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%.
Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a alternativa d a) 10. b) 15. c) 35. d) 40. e) 45.
10. (UFGD-MS) A pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD), realizada pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), no ano de 2019, estimou a quantidade de pessoas de 10 anos ou mais de idade, por situação de domicílio (área urbana e área rural) e de posse de telefone móvel celular para uso pessoal. A pesquisa revelou que 86% das pessoas residiam em domicílios situados na área urbana e desses 85% possuíam celular, revelando ainda que 60% dos residentes na área rural também possuíam telefone móvel. Após selecionar, aleatoriamente, um dos participantes dessa pesquisa, constatou-se que ele não possuía esse tipo de aparelho para uso pessoal. Diante disso, a probabilidade de que tal pessoa seja residente em domicílio situado na zona rural é de, aproximadamente, alternativa d a) 14,0%. b) 40,0%. c) 8,4%. d) 30,3%. e) 5,6%.
11. (UFPR) A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. Quantas partidas devem ser jogadas em sequência para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use log(3) = 0,477. alternativa e a) 10. b) 20. c) 22. d) 30. e) 44.
12. (Unioeste-PR) A tabela a seguir apresenta o número de casos notificados ou prováveis de dengue, chikungunya e Zika vírus, registrados nos estados do Sul do Brasil até a semana 23 do ano de 2016, conforme boletim epidemiológico do Ministério da Saúde.
Paraná 71 1141 9351 459
Santa Catarina 5 344 360324
Rio Grande do Sul 3 961 97233
Escolheu-se aleatoriamente um paciente do Sul do Brasil registrado como um caso (notificado ou provável) de uma dessas doenças. Com relação ao paciente supracitado, de acordo com a tabela acima, identifique a afirmação que é INCORRETA.
alternativa a
a) A p robabilidade de ser um caso de chikungunya ou de ter sido no Paraná é maior que 90%.
b) A probabilidade de que seja um caso do Rio Grande do Sul é menor que a probabilidade de ser um caso de dengue.
c) A probabilidade de que não seja do Paraná é menor que 15%.
d) A probabilidade de ser um caso de Zika ou de ter sido em Santa Catarina é menor que 10%.
e) A probabilidade de ser um caso no Paraná ou ser de dengue é maior do que 98%.
13. (Acafe-SC) Um casal que pretende ter 5 filhos descobre, ao fazer certos exames, que determinada característica genética tem a probabilidade de um terço de ser transmitida a cada um de seus futuros filhos. Nessas condições, a probabilidade de, exatamente, três dos cinco filhos possuírem essa característica é:
a) e xatamente 17%.
15. (Unicamp-SP) João e Maria estão passeando pela floresta. Para não se perderem no caminho, levaram consigo uma sacola com 100 pedrinhas, sendo 60 pedrinhas brancas e 40 pedrinhas pretas. A cada 5 passos eles retiram aleatoriamente uma pedrinha da sacola e jogam-na no chão para marcar o caminho.
Quando eles pararam para fazer um lanche, notaram que já tinham sido jogadas 35 pedrinhas brancas e 25 pedrinhas pretas.
Qual a probabilidade de as próximas duas pedrinhas jogadas serem brancas? alternativa b
a) 7 13 . b) 5 13 . c) 11 52 . d) 7 52 .
16. (UESB-BA) Em um “reality show”, o vencedor da prova de resistência pode escolher dois dentre vinte cartões numerados de 1 a 20. Sabendo que há apenas dois cartões premiados, a probabilidade de esse participante escolher dois cartões não premiados é: alternativa d
a) 18 20
b) 175 198 . c) 162
17. (UEA-AM) Em um grupo de 20 pessoas, exatamente 6 tocam violão. Se 3 pessoas desse grupo forem sorteadas ao acaso, a probabilidade de, dentre as sorteadas, exatamente 2 tocarem violão é: alternativa e a) 8 29 b) 12 53 c) 5 27 d) 3 16 e) 7 38
b) maior que 15%. c) menor que 14%. d) e xatamente 18%.
14. (UERJ) Para fazer o sorteio de um livro, quatro amigos colocaram três bolas brancas e duas pretas em uma caixa. Decidiram que o primeiro a retirar uma bola preta ficará com o livro. Na ordem alfabética de seus nomes, cada um retira uma bola, ao acaso, sem devolvê-la à caixa.
A probabilidade de o terceiro amigo retirar a primeira bola preta e ficar com o livro é igual a: a) 10% b) 20% c) 30% d) 40%
alternativa b alternativa b
18. (UERJ) Um restaurante oferece descontos sobre o total do consumo com base na sorte do cliente ao lançar um dado que possui uma face vermelha e cinco faces brancas.
Após lançar o dado duas vezes, um cliente receberá desconto se a face vermelha ficar voltada para cima pelo menos uma vez.
A probabilidade de um cliente receber um desconto na sua conta é igual a: alternativa d a) 7 18 b) 11 18 c) 7 36 d) 11 36
Unidade 1 – Matemática financeira
Atividades
1. R$ 316,35
2. a) dias 13, 14 e 15
b) • R $ 268,20
• R $ 289,06
• R $ 298,00
• R $ 312,90
c) O valor do pagamento até dia 8 do mês é aproximadamente 14,3% menor em relação ao valor do pagamento após a data do vencimento. O valor do pagamento após a data do vencimento é aproximadamente 16,7% maior em relação ao valor do pagamento até dia 8 do mês.
3. a) R$ 1.196,80 b) aproximadamente R $ 997,17
4. 15% 5. alternativa b
6. b) aproximadamente R$ 78,8 bilhões
c) aproximadamente R $ 82 bilhões
8. a) R$ 324,00 b) Não
9. Respostas possíveis: Sudeste: aproximadamente 0,740 e 1,125; Sul: aproximadamente 0,761 e 1,138; Centro-Oeste: aproximadamente 0,759 e 1,076; Norte: aproximadamente 0,730 e 1,207; Nordeste: aproximadamente 0,758 e 1,105.
10. R$ 128,92
11. acréscimo; 1,2%
12. a) aproximadamente R$ 4,20; aproximadamente R$ 4,65 b) aproximadamente 13,4%
13. a) 13 produtos alimentícios
b) aproximadamente R $ 662,89
c) Sim
d) aproximadamente 55%
14. a) R$ 450,00 c) R $ 540,00
b) R $ 360,00 d) R $ 168,75
15. a: R$ 510,14; b: R$ 402,36; c: R$ 607,39; d: R$ 165,77
16. juro simples: R $ 6.200,00; juro composto: aproximadamente R$ 6.246,79
17. 75 meses
18. a) aproximadamente 5% b) 6 meses
19. a) R$ 3.000,00 b) R $ 7.073,84
20. 10%
21. a) R$ 1.620,00; R$ 2.232,59 b) 8%
22. a) R$ 540,00 b) R $ 12,00
c) R $ 642,61 d) R $ 681,40; 11 meses
23. b)
• A: juro simples; B: juro composto
• R $ 5.000,00 em ambos os investimentos
• A: 13%; B: 10%
c) f(t) = 650t + 5 000; g(t) = 5 000 (1,1)t d) A aplicação A é mais rentável que a B para 6 anos ou menos. A aplicação B é mais rentável que a A para 7 anos ou mais.
24. Será mais vantajoso optar por A se o tempo aplicado for de até 3 anos e por B se a aplicação durar 4 anos ou mais.
25. a) R$ 13.500,00
b) A: R $ 3.000,00; B: R $ 5.000,00
c) R $ 15.626,15
26. 38 meses
27. Sim
29. alternativa b
30. SAC: b, e, f, g; Price: a, d, e, f
32. a) O empréstimo A corresponde ao SAC, e o empréstimo B corresponde ao sistema de amortização Price. b) A: R $ 19.125,00; B: R $ 19.425,70
33. a) R$ 933,33, R$ 931,66, R$ 930,00 b) aproximadamente R $ 719,46; aproximadamente R $ 259.005,60
35. alternativa c
37. R esposta esperada: Despesa fixa –assinatura de serviço de streaming , mensalidade do curso de inglês, prestação de financiamento; despesa variável – alimentação, fatura de energia elétrica, fatura de água; despesa eventual – manutenção de um notebook, viagem a passeio.
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa a
2. alternativa b
3. alternativa d
4. alternativa b
5. alternativa a
6. alternativa d
7. alternativa a
8. alternativa b
9. alternativa c
10. 20 anos
11. alternativa b
12. alternativa d
Unidade 2 – Matrizes, sistemas lineares e transformações de figuras
Atividades
b) c asos prováveis de dengue por Unidade da Federação da Região
Centro-Oeste do Brasil até a Semana Epidemiológica 52 de 2022; casos prováveis de dengue no Mato Grosso até a Semana Epidemiológica 52 de 2022 e de 2023
c) c asos prováveis de dengue no Distrito Federal até a Semana Epidemiológica 52 de 2023
d) Observando se, na linha correspondente à Unidade da Federação, o elemento da 2 a coluna é um número menor que o da 1a coluna.
4. a) As linhas indicam a quantidade, em kilograma, de embalagens vendidas de cada modelo no mês de abril. As colunas indicam a quantidade, em kilograma, de embalagens compradas por cliente no mês de abril.
b) x32 = 336
c) cliente 1
d) cliente 2; 1 836 kg
6. b) matriz 3 x 4; matriz 4 x 3
c) At = ⎡ ⎢ ⎣ 6 1 0 √ 14 1 2 10 5 8 1 0 3 2 ⎤ ⎥ ⎦
7. a) [ 27 69 94 31 9 36 ]
b) [ 46 49 64 84 67 67 ]
c) [ 77 8 13 25 44 27 ]
d) [ 6 130 30 94 6 20]
8. a) ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 2 3 3 1 0 5 4 4 2 7 6 5 5 ⎤ ⎥ ⎦ b) ⎡ ⎢ ⎣ 2 9 15 21 0 5 12 18 3 3 8 15 6 0 6 11 ⎤ ⎥ ⎦
9. x = 1; y = 2
10. [4 0 0 0 8 0 0 0 12]
11. a) 12 estudantes
b) 19 estudantes
c) [ 21 16 13 11 17 16 21 11 29 13 17 10] . A quantidade total de estudantes das turmas A e B, do 1o, 2o e 3o anos do Ensino Médio, interessados em cada área de atuação profissional.
14. a) [ 15 24 26 16 21 32 ]
b) [ 5√ 3 80 4√ 3 ]
c) [ 3 7√ 3 0
10√ 3 70 0]
d) [3√ 3 + 14 3√ 3 14 63]
e) [5√ 3 56]
f ) [ 5 16 31 16 4 72 ]
16. a) p = 2; q = 1; r = 4; s = 3
b) D = [ 8 16 24 20 40 60]
18. X = [ 1 0 2 ]
19. alternativa a
21. a) M c) [ 57 16 32 9 ]
b) M d) [ 56 16 32 8 ]
22. a = 7; b = 8
23. a) incógnitas: x, y e z; coeficientes: 11, 7 e 2; termo independente: 0
b) incógnitas: r, s e t ; coeficientes:
1 3 , 2 5 e 3; termo independente: 1
c) incógnitas: m e n; coeficientes: 4 e 3; termo independente: 7
d) incógnitas: x e y ; coeficientes: 8 e 2; termo independente: 5
24. a e d
27. a) x + 2y = 5
29. a) 40x + 20y = 5 000
b) Sim
30. a) 50m + 20n + 10p = 100
c) 10 maneiras distintas
32. a) SI
b) SPD; (1, 3)
c) SPI; algumas soluções possíveis: ( 1, 0), (3, 2), (1, 1)
d) SPD; (3, 4)
b) 8 derrotas, 10 empates, 20 vitórias
43. 1a avaliação: 2; 2a avaliação: 3; 3a avaliação: 5
45. a) car bono: 12,011 u; hidrogênio: 1,008 u; nitrogênio: 14,007 u; oxigênio: 15,999 u
b) • 18,015 u • 16,043 u • 4 4,013 u
46. pac ote de arroz de 2 kg: R $ 12,50; garrafa de óleo de 900 mL: R $ 5,20; pacote de feijão de 1 kg: R $ 6,80; pacote de macarrão de 500 g: R$ 5,50
47. 95
49. 2,5 cm
50. a) A’(5, 6), B’(7, 5) e C’(5, 3) b) E’( 6, 8), F’(4, 8), G’(4, 12) e H’( 6, 12)
51. a) ( 3, 1)
b) √ 10 u.c. ou aproximadamente 3,16 u.c.
53. b) 400 cm2
54. √ 13 m ou aproximadamente 3,6 m
56. a) fotografias I, III e V
57. A’( 3, 1), B’( 5, 3), C’( 7, 2) e D’( 4, 1)
58. b) as letras L, U, A, N e G c) nas letras A, M e U
59. c) 90 cm ou 0,9 m
61. C(0, 4 + 6√ 3 ) ou C(0, 4 6√ 3 )
62. a) A’(10, 3), B’( 7, 0), C’(2, 5) e
D′( 4, 3 2)
b) [ 1 0 0 1] ? [ x y ]=[ x’ y’ ]
64. alternativa c
66. a) A’: [xA ’ yA ’ ]=[ cos a sen a sen a cos a] [ 6 2 ];
B’: [xB ’ yB ’]=[ cos a sen a sen a cos a] ? [ 4 0 ];
Unidade 3 – Geometria espacial de posição
Atividades
1. a) A [ a, B [ a, C { a, D [ a, E { a, F { a e G [ a
b) r ¡ b, s £ b e t ¡ b
c)
, E {
{ t e G { t
,
2. a) falsa e) verdadeira
b) verdadeira f) verdadeira
c) falsa g) verdadeira
d) falsa
3. a) Três pontos não colineares determinam um único plano.
c) O s postulados correspondem a afirmações tomadas como verdadeiras sem a necessidade de serem demonstradas.
d) Duas retas concorrentes têm apenas um ponto em comum.
4. a) 6 retas distintas
b) 4 planos distintos
7. falsa
8. a) Falsa. Duas retas quaisquer que não têm ponto em comum são reversas ou paralelas.
b) verdadeira
c) Falsa. Se uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano e concorrentes a ela.
d) Falsa. Se dois planos são coincidentes entre si, então eles correspondem ao mesmo conjunto de pontos.
e) verdadeira
9. alternativa e
35. a) {h + m = 5 496
h 7m = 192
b) 6 63 mulheres; 4 833 homens
36. b) 9 bolas brancas e 3 bolas pretas
37. a) { 2f + a = 14,1
f + 4a = 15,8 , sendo f a quantidade de ferro, em miligrama, em cada porção de fígado grelhado e a, a quantidade de ferro, em miligrama, em cada porção de alface roxa (crua).
b) f ígado grelhado: 5,8 mg; alface roxa (crua): 2,5 mg
c) 6 porções
39. a) (10, 6, 5); SPD
b) SI
c) S = {( 2 z + 10, 3 z 9, z) | z [ r }; SPI
d) ( 2, 1, 3, 2); SPD
40. a = 3; b 5 24
41. a)
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
8x + 5y + 6z = 460
7x + 4y + 8z = 508
6x + 7y + 9z = 564
b) x = 20; y = 12; z = 40
c) 580 MB
42. a) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 38
0x + 1y + 3z = 70
0x + 0y + 3z = 60
C’: [xC ’ yC ’ ]=[ cos a sen a sen a cos a] ? [0 4]
b) A'(3 √ 3 , 3√ 3 1), B'(2, 2√ 3 ), C'( 2√ 3 , 2)
67. a) quadrados DEFG e CEIH; quadrados FNOJ e IQPK ; quadrados LMGJ e SRHK; triângulos FJG e IKH
b) q uadrado KPQI : v com 3 u.c.; quadrado RSKH : v com √ 17 u.c.; quadrado GJLM: v com √ 2 u.c.
70. a) 2; 1 2 ; 1 4
b) p entágono I: 25 cm; pentágono II: 50 cm; pentágono III: 12,5 cm
72. a) aproximadamente 109,6 m
b) ap roximadamente 4,96%; aproximadamente 24,8%
73. b) 0,4 ou 2 5
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa a
2. alternativa a
3. alternativa b
4. alternativa c
5. alternativa b
6. alternativa b
7. alternativa d
8. alternativa a
9. alternativa c
10. alternativa b
11. alternativa b
12. alternativa d
13. alternativa b
10. Não
11. a) retas perpendiculares ou reversas ortogonais
b) retas paralelas ou reversas
c) r etas paralelas, concorrentes ou reversas
12. a) retas perpendiculares
b) triângulo
13. a) R espostas possíveis: faces correspondentes aos quadriláteros: ABCD e EFGH; CDEF e ABGH; BCFG e ADEH
b) faces correspondentes aos quadriláteros BCFG e CDEF
c) HE é uma reta contida no plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ADEH e é perpendicular ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ABGH.
d) Planos que contêm as faces correspondentes aos quadriláteros: ABCD, CDEF, EFGH e ABGH
15. a) secante b) secante c) reversa
16. alternativa c
17. a) secantes
b) secantes
c) paralelos
d) secantes e perpendiculares
19. alternativa e
20. a) y b) a c) b
21. a) falsa c) verdadeira b) falsa d) falsa
22. alternativa b
23. 6,4 cm
24. (10 + 10√ 2 ) cm ou aproximadamente 24,14 cm
25. 36 cm
26. A medida PP1 é menor que a medida PA
27. alternativa d
28. a) projeção cilíndrica b) aproximadamente 25% c) projeção cônica
30. alternativa a 31. alternativa d
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa b
2. alternativa d
3. alternativa a
4. alternativa a
5. alternativa b 6. alternativa e
7. alternativa c
8. alternativa d
Unidade 4 – Figuras geométricas espaciais, área de superfície e volume
Atividades
1. a) 7 vértices; 7 faces; 12 arestas b) 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares c) 3 arestas; 4 arestas
3. losango: 60 peças; trapézio: 60 peças; pentágono regular: 12 peças
4. a) Sim c) Sim 5. 10 vértices
6. alternativa c 7. alternativa d 8. a) III b) dodecaedro
9. 114 cm de linha
10. alternativa e 11. alternativa d
12. poliedro A: dodecaedro; 12 faces, 20 vértices e 30 arestas; poliedro B: icosaedro; 20 faces, 12 vértices e 30 arestas
14. R$ 1.645,00
15. 6 300 cm2
16. 169,6 L
17. 63 cm2
18. alternativa e 19. alternativa d 21. 808 cm3
22. 11,52 L
23. a) aproximadamente 135,6 cm3 b) 366,12 g
24. a) A: 17,496 L; B: 52,488 L; C: 26,244 L; D: aproximadamente 8,201 L b) modelo B
25. 4√ 3 dm
26. 2,4 m3
27. 162 cm3
29. alternativa c
30. A lgumas respostas possíveis: Paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 4 dm, 5,5 dm e 5 dm; paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 5 dm, 11 dm e 2 dm.
31. alternativa a
32. a) 7,5 m b) 3,375 m3
33. alternativa d
34. a) 1 cm b) 5√ 2 cm c) √ 51 cm d) 4 cm2 e) 20√ 2 cm 2 f) 4(5 √ 2 + 1) cm2
35. b) V = n + 1; A = 2n; F = n + 1
36. 15 cm
37. (13 248 + 192√ 109 ) cm2
38. a) 339,26 cm2 b) 14,46 cm
39. aproximadamente 181,41 m
41. aproximadamente R$ 767,20
42. peça A: 576 cm3; peça B: 144 cm3
43. alternativa a
44. a) 54(√ 3 + √ 39 ) cm2 b) 324√3 cm3
45. a) 9 g b) 0,5 cm3 c) 24 g/cm3
46. 1 dm e 12 dm; 2 dm e 6 dm; 3 dm e 4 dm
47. a) modelo A: R$ 3,51; modelo B: R$ 3,27; modelo C: R$ 11,22
b) modelo A: R $ 8,78; modelo B: R $ 8,18; modelo C: R $ 28,05
c) R $ 480,00
48. a) ( 27√ 39 + 123√ 3 2 ) cm2
b) 183 √ 3 2 cm3
49. a) 320 + 192√ 3 dm2
b) 1 792 √ 2 3 dm3
51. alternativa a
52. a) 31 200p cm2
b) 4 600 p cm2
53. 5 cm
54. 4√ 2 cm
55. R$ 7.536,00
60. a) 292,5p mm3
56. a) 250p cm3 b) 2 176 p dm3
57. 432p cm3
58. modelo IV; 243 cm2
59. 108p m3
b) aproximadamente 827 mm3; menos que 1 mL
61. aproximadamente 9,65 m3
62. a) cilindro I: 1 350p cm3; cilindro II: 540p cm3
b) 378 p cm2
63. a) 2 cm ou 3,5 cm
b) 7 cm ou 4 cm
c) 36 p cm 2 ou 52,5 p cm 2
d) 28 p cm3 ou 49 p cm3
64. 64p cm3
65. a) 54p cm3 b) 3 cm c) 36 p cm 2
67. a) área da base: 225p cm2 ; área lateral: 585p cm2 ; área total: 810p cm2
b) área da base: 36 p m 2 ; área lateral: 60 p m 2; área total: 96 p m 2
68. a) 30 cm
b) 2 25p cm 2
c) 225p √ 5 cm2
d) 225p(1+ √ 5 ) cm 2
69. 432(p + 1) cm2
70. a) 14 cm
b) 98 p cm2
c) 147p cm 2 d) 49 √ 3 cm2 e) 180 °
71. 96p cm2; 144p cm2
72. a) alternativa II
73. a) 324p cm3 b) 51 200 p m3
74. 33p cm3
75. a) 16 m b) 768 p m3
76. 2 197 √ 3 p 3 dm3
77. 4,5 cm
79. 1 656p cm3
80. 8 h
81. a) 9 √ 3 2 cm b) 27 √ 3 p 2 cm3
82. 150p m3
83. a) 23,04p cm2 b) 13,03 p mL
84. a) 125 36 cm b) 288 p mL c) aproximadamente 43,4%
87. a) modelo B
88. a) volume: 904,32 dm3; área da superfície: 452,16 dm2
b) volume: 14 130 mm3; área da superfície: 2 826 mm 2
c) volume: 381,51 cm3; área da superfície: 254,34 cm 2
89. volume: 1 526,04 cm3; área da superfície: 763,02 cm2
90. 2√ 5 cm
91. 12 dm
92. a) 8√ 3 p m b) 256 √ 3 p m3
93. alternativa a
94. a) aproximadamente 14 082,31 cm3 b) aproximadamente 374,36 g
95. R$ 803,84
96. 4 846,59 cm3
97. a) Af = p r 2 a 90° b) 471 m 2
98. 21 288 616 km2
99. volume: 1 766,25 cm3; área da superfície: 706,5 cm2
100. alternativa e 101. alternativa e
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa c
2. alternativa a
3. alternativa b
4. alternativa a
5. alternativa d
6. alternativa d 7. alternativa d 8. 2 m
9. alternativa c 10. alternativa b
Unidade 5 – Análise
Combinatória
Atividades
1. 15 maneiras
2. 48 maneiras
3. a) 4 096 composições
b) Sim
4. 336 maneiras
5. 520 composições
6. 840 h
7. 48 maneiras
8. 1 560 poltronas
9. a) 25 números c) 10 números b) 20 números d) 15 números
10. 20 competidores
11. 14 maneiras
12. alternativa e
13. b) 9 e 0 c) (109 10) números de CPF
14. a) R$ 14,96 c) 30 combos b) R $ 10,80 d) 8 maneiras
15. alternativa c
18. 16 maneiras distintas
19. 15 maneiras distintas
20. 1 260 tentativas
21. a) 512 números c) 10 752 números b) 1 728 números d) 280 números
22. 156 107 equipamentos
23. 490 maneiras
24. alternativa b
26. a) 24 b) 126 c) 7 18 d) 42 e) 24 f ) 211
27. alternativas c e e
28. a) n2 n c) 1 n b) 1 n 2 + n d) n + 1
40. alternativa b
85. 12 cm
86. aproximadamente 2 065 cm2
29. a) n = 2 c) n = 3 b) n = 13 d) n = 4
30. a = 24 e b = 16
31. 7
32. alternativa c
33. 77
34. a) 90 c) 720 e) 5 040
b) 13 800 d) 32 760 f) 11 880
35. a) 1 (n + 2)
b) (n 3)(n 4) (n 5)
c) n! n + 4
d) (n + 2) ? (n + 1) ? (n 2) ! 2
36. 6 720 números
37. 100 números
38. a) 10 000 senhas c) 120 s ou 2 min
b) 5 040 senhas
39. 50 jogos
40. 120 kits distintos
41. a) 11 poltronas
b) 6 652 800 maneiras
42. a) 264 103 placas ou 456 976 000 placas
b) 2 58 336 000 placas
44. a) 24 c) 114 e) 120
b) 7 20 d) 4 0 322 f) 56
45. a) 24 anagramas
b) 7 20 anagramas
c) 120 anagramas
d) 362 880 anagramas
46. 24 maneiras
47. 384 maneiras
48. 40 320 maneiras; aproximadamente 10,7%
49. 5 algarismos
50. 720 maneiras
51. a) 120 termos c) 79 865
b) 96a posição
52. a) 136 080 números
b) 4 500 números
53. a) 5 040 anagramas
b) 7 20 anagramas
c) aproximadamente 14,3%
54. a) Não
b) • 120 palavras • 88a posição
55. a) 2 520 anagramas
b) 90 720 anagramas
c) 1 680 anagramas
d) 19 958 400 anagramas
56. 21 soluções distintas
57. 1 820 maneiras distintas
58. a) 840 anagramas
b) 5 600 anagramas
c) Não
59. a) 60 números distintos b) 36 números distintos c) 35 números distintos d) 24 números distintos
60. 339a
61. a) 10 sequências distintas b) 30 sequências distintas
62. a) 8 números b) 35 números
64. a) 21 c) 126 e) 364 b) 190 d) 109 f) 15
65. a) combinação simples
b) arranjo simples
c) arranjo simples
d) combinação simples
66. a: 924 maneiras; b: 571 704 maneiras; c: 57 120 maneiras; d: 36 opções
67. 2 760 681 maneiras
68. alternativa e 69. 49 triângulos
70. a) Todos os 430 estudantes da escola. Os 25 estudantes correspondentes aos números que serão sorteados.
b) amostra casual simples ou amostra aleatória simples
c) C430, 25
71. a) 5 diagonais c) 170 diagonais
b) 65 diagonais
72. alternativa b
73. 873 600 maneiras
74. a) 1 184 040 maneiras
b) 21 maneiras
75. 135 triângulos
76. a) 1 860 possibilidades b) 6 930 possibilidades c) 16 185 possibilidades
77. alternativa e
78. alternativa b
79. 625 maneiras
82. alternativa b
83. 64 subconjuntos
84. 1 370 754 grupos
85. a)
• 50 063 860 possibilidades
• 11 705 850 possibilidades
b) 32 509 apostas
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa e
2. alternativa c
3. alternativa b
4. alternativa d
5. alternativa e
6. alternativa e
7. alternativa c
8. alternativa e
9. alternativa c
10. a) 4 combinações
b) 500%
11. alternativa b
12. alternativa c
13. alternativa d
14. alternativa b
15. alternativa d
16. alternativa d
17. alternativa b
18. alternativa a
19. alternativa b
20. alternativa d
21. 175 formas
22. alternativa b
Unidade 6 – Probabilidade
Atividades
1. a; c
2. a) Considerando C a obtenção de cara e K, de coroa: O = {CC, CK, KC, KK}.
b) A = {KK}; B = {CK, KC}
3. a) proposta I: O = {EE, ES, EC, SS, SE, SC, CC, CE, CS}; proposta II: O = {ES, EC, SE, SC, CE, CS}
b) proposta I: A = {EE, ES, EC, SE, CE}, B = {EE, SS, CC}; proposta II : A = {ES, EC, SE, CE}, B = @
4. a) 15 composições
b) O = {R $ 5,00, R $ 10,00, R $ 15,00, R $ 20,00, R $ 25,00, R $ 30,00, R $ 40,00, R $ 50,00, R $ 60,00, R $ 80,00, R $ 100,00}
c)
• A = {R $ 40,00, R $ 50,00, R $ 60,00, R $ 80,00, R $ 100,00}
• B = @
• C = {R $ 5,00, R $ 10,00, R $ 15,00, R $ 20,00, R $ 25,00, R $ 30,00, R $ 40,00, R $ 50,00, R $ 60,00, R $ 80,00, R $ 100,00}
• D = {R $ 5,00}
• E = {R $ 15,00, R $ 20,00, R $ 25,00}
5. a) A e D; A e E; D e E b) B: impossível; C: certo; D : simples
6. alternativa b
8. a) 12 em 25, 12 25 , 0,48 ou 48%
b) 13 em 25, 13 25 , 0,52 ou 52%
c) 3 em 25, 3 25 , 0,12 ou 12%
d) 8 em 25, 8 25 , 0,32 ou 32%
e) 15 em 25, 3 5 , 0,6 ou 60%
9. 2 em 6, 1 3 , aproximadamente 0,333 ou 33,3%
10. a) 200 estudantes
b) 7 2 em 200, 9 25 , 0,36 ou 36%
c) 132 em 200, 33 50 , 0,66 ou 66%
d) um estudante do 3o ano
11. a) 60 em 150, 2 5 , 0,4 ou 40%
b) 15 em 150, 1 10 , 0,1 ou 10%
c) 65 em 150, 13 30 , aproximadamente 0,433 ou 43,3%
12. O = {R$ 0,01; R$ 0,05; R$ 0,10; R$ 0,25; R$ 0,50; R$ 1,00}. Esse não é um espaço amostral equiprovável.
13. a) 13; 12
c) equiprovável
d) 1 em 20, 1 20 , 0,05 ou 5%
14. a) O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; não
b) o número 8
c) 6 em 36, 1 6 , aproximadamente 0,167 ou 16,7%
d) número par 16. alternativa e 17. alternativa d 19. Bruna 20. 5%
21. b) • 3 5 , 0,6 ou 60% • 31 100 , 0,31 ou 31%
• 7 20 , 0,35 ou 35%
22. 58%
23. a) 16 81 , aproximadamente 0,198 ou 19,8%
b) 25 81 , aproximadamente 0,309 ou 3 0,9%
c) 35 81 , aproximadamente 0,432 ou 43,2%
24. alternativa c
25. a) 1 52 , aproximadamente 0,02 ou 2%
b) 4 13 , aproximadamente 0,31 ou 31%
c) 10 13 , aproximadamente 0,77 ou 77%
d) 11 26 , aproximadamente 0,42 ou 42%
26. a) Paulo; João b) Não
27. 07 (01 + 02 + 04)
28. 17 20 , 0,85 ou 85%
29. verdadeira
30. a) 3 4 , 0,75 ou 75%
b) 71 120 , aproximadamente 0,592 ou 59,2%
c) 41 60 , a proximadamente 0,683 ou 68,3%
d) 23 40 , 0,575 ou 57,5%
32. 4 5 , 0,8 ou 80%
33. a) Probabilidade de sortear uma pessoa que consumiria o produto X, dado que a pessoa sorteada é um homem.
b) Probabilidade de sortear uma criança, dado que a pessoa sorteada consumiria o produto Y
c) Probabilidade de sortear uma mulher, dado que a pessoa sorteada consumiria o produto X
d) P robabilidade de sortear um homem, dado que a pessoa sorteada consumiria o produto Y
e) Probabilidade de sortear uma pessoa que consumiria o produto X , dado que a pessoa sorteada é uma criança.
f) Probabilidade de sortear uma pessoa que consumiria o produto Y, dado que a pessoa sorteada é uma mulher.
34. a) a : 66,25%; b : aproximadamente 27,8%; c: aproximadamente 47,1%; d: aproximadamente 22,8%; e: 56%; f: 65%
b) S erá lançado o produto Y para crianças.
35. a) 29 100 , 0,29 ou 29%
b) 29 45 , aproximadamente 0,644 ou 64,4%
c) 1 2 , 0,5 ou 50%
36. 1 3 , aproximadamente 0,333 ou 33,3%
37. a) 1 7 , aproximadamente 0,143 ou 14,3%
b) 3 7 , aproximadamente 0,429 ou 42,9%
c) 2 18 , aproximadamente 0,111 ou 11,1%
38. a) rodada 1: 1 5 , 0,2 ou 20%; rodada 2: 1 4 , 0,25 ou 25%; rodada 3: 1 10 , 0,1 ou 10%
b) qualquer uma das dicas
39. alternativa e
41. eventos dependentes: b, d; eventos independentes: a, c
42. a) 0,16 b) 0,2 c) 0,8
43. a) eventos independentes
b) 2 p ontos; 1 25 , 0,04 ou 4%
c) 4 25 , 0,16 ou 16%
44. a) 2 3 , aproximadamente 0,667 ou 66,7%
b) 1 11 , aproximadamente 0,091 ou 9,1%
c) 4 11 , aproximadamente 0,364 ou 36,4%
45. a) 48 221 , aproximadamente 0,217 ou 21,7%
b) 11 221 , aproximadamente 0,05 ou 5%
c) 13 204 , aproximadamente 0,064 ou 6,4%
d) 1 4 , 0,25 ou 25%
46. 5 36 , aproximadamente 0,139 ou 13,9%
48. a) Sim
b) p elo teste A
c) • 6%; 2%
• aproximadamente 96,7%
• aproximadamente 84,6%
• sensibilidade: aproximadamente 94,3%; especificidade: aproximadamente 90,8%
49. a) aproximadamente 0,177 ou 17,7%
b) aproximadamente 0,09 ou 9%
c) a proximadamente 0,00047 ou 0,047%
Acafe-SC: Associação Catarinense das Fundações Educacionais
EBMSP-BA: Escola Bahiana de Medicina e Saúde Pública
Enem/MEC: Exame Nacional do Ensino Médio
EsPCex-SP: Escola Preparatória de Cadetes do Exército
Famerp-SP: Faculdade de Medicina de São José do Rio Preto
Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular
Ifal: Instituto Federal de Alagoas
IFMT: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato
Grosso
IFPI: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí
IFSul-RS: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Sul-rio-grandense
IME-RJ: Instituto Militar de Engenharia
ITA-SP: Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Udesc: Universidade do Estado de Santa Catarina
UEA-AM: Universidade do Estado do Amazonas
UECE: Universidade Estadual do Ceará
UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás
UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina
UEMG: Universidade do Estado de Minas Gerais
50. aproximadamente 0,00144 ou 0,144%
51. alternativa c
52. a) aproximadamente 0,22 ou 22%
b) aproximadamente 0,146 ou 14,6%
53. a) aproximadamente 0,053 ou 5,3%
b) aproximadamente 0,0024 ou 0,24%
54. alternativa b
55. b) • 0,7, 7 10 ou 70%
• aproximadamente 0,837 ou 83,7%
57. alternativa e
58. a) jogador B b) 1,26%
59. medicamento A
60. alternativa b
61. a) an ticoncepcionais orais combinados: 0,3%; pílulas só de progestógeno: 0,3% (caso esteja amamentando) e 0,9% (caso não esteja amamentando); injetáveis só de progestógeno: 0,3%; injetáveis mensais: 0,05%; implantes: 0,05%; DIU com cobre: 0,6% a 0,8%; esterilização feminina: 0,5%
b) injetáveis mensais e implantes c) anticoncepcionais orais combinados, injetáveis só de progestógeno, injetáveis mensais ou implantes
62. a) 56,25% c) aproximadamente 56%
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa d
2. alternativa c
3. alternativa b
4. alternativa d
5. alternativa d 6. alternativa b
7. alternativa c
8. alternativa e 9. alternativa d
10. alternativa d 11. alternativa e 12. alternativa a 13. alternativa b 14. alternativa b 15. alternativa b 16. alternativa d 17. alternativa e 18. alternativa d
UEPG-PR: Universidade Estadual de Ponta Grossa
UERJ: Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Uesb-BA: Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
UFAM: Universidade Federal do Amazonas
UFGD-MS: Universidade Federal da Grande Dourados
UFJF-MG: Universidade Federal de Juiz de Fora
UFMS: Universidade Federal do Mato Grosso do Sul
UFPR: Universidade Federal do Paraná
UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UFRR: Universidade Federal de Roraima
UFSC: Universidade Federal de Santa Catarina
Unesp: Universidade Estadual Paulista
Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas
Unifesp-SP: Universidade Federal de São Paulo
Unimontes-MG: Universidade Estadual de Montes Claros
Unioeste-PR: Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Unisc-RS: Universidade de Santa Cruz do Sul
UPE: Universidade de Pernambuco
Vunesp-SP: Fundação para o Vestibular da Universidade Estadual Paulista
ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012.
• Aborda diferentes possibilidades de trabalho com atividades de modelagem matemática em sala de aula.
AUSUBEL, David Paul; NOVAK, Joseph Donald; HANESIAN, Helen. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
• Discute o papel da psicologia educacional na concepção de ensino e aprendizagem significativa.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 1.
• Apresenta os principais tópicos da Matemática elementar por meio de uma abordagem em que os conceitos mais complexos são construídos a partir das noções mais básicas.
BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem teórico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.
• Aborda diferentes metodologias ativas que podem ser aplicadas na condução de atividades pedagógicas.
BOLDRINI, José Luiz etal Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1980.
• Apresenta conceitos básicos de Álgebra linear.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática).
• Expõe resultados de estudos sobre a informática educativa nas aulas de Matemática.
BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História da matemática. Tradução: Elza Furtado Gomide. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2010.
• Apresenta tópicos sobre a história da Matemática, com destaque para os estudiosos que a desenvolveram ao longo do tempo.
BRACKMANN, Christian Puhlmann. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. 2017. Tese (Doutorado em Informática na Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/172208/001054290.
pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 29 set. 2024.
• A pesquisa tem como objetivo verificar a possibilidade de desenvolver o Pensamento Computacional na Educação Básica por meio de atividades “desplugadas” (sem o uso de computadores).
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística básica. 4. ed. São Paulo: Atual, 1987. (Métodos qualitativos).
• Trata de conceitos básicos de Estatística, como análise de dados, probabilidades e variáveis aleatórias, e apresenta tópicos sobre inferência estatística.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2012. (Ciência aberta).
• Apresenta conceitos de Matemática elementar, bem como a relação entre esses conceitos e seu contexto histórico.
CHANG, Raymond. Química geral: conceitos essenciais. Tradução: Maria José Ferreira Rebelo etal. 4. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010.
• Trata de conceitos e princípios de Química, bem como de suas aplicações na vida prática.
COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. E-book
• Nesse livro, são discutidas ideias do trabalho em grupo em turmas heterogêneas como uma estratégia potencialmente eficaz de ensino e aprendizagem.
D’AMBROSIO, Ubiratan Educação matemática: da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática).
• Aborda aspectos da cognição, da natureza da Matemática e questões teóricas da educação, além de discutir temas ligados à sala de aula e às inovações na prática docente.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática).
• A abordagem feita nesse livro proporciona uma visão geral da Etnomatemática.
DANZA, Hanna Cebel. Projetos de vida e educação moral: um estudo na perspectiva da teoria dos modelos organizadores do pensamento. 2014. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014. Disponível em: https://www.teses.usp.br/teses/dispo niveis/48/48134/tde-14102014-112835/publico/HANNA_CEBEL_ DANZA.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Dissertação de mestrado em que são apresentados estudos de projetos de vida de jovens em idade escolar.
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.
• Narra trechos da história da Matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos.
GARDNER, Howard. Inteligências múltiplas: a teoria na prática. Tradução: Maria Adriana Veríssimo Veronese. Porto Alegre: Artmed, 1995.
• Apresenta ideias fundamentais da teoria das inteligências múltiplas, bem como sugestões de como aplicá-las em sala de aula.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 3.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 2.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
• Série de livros que aborda diversas áreas da Física, como Mecânica, Ondulatória, Termodinâmica, Eletromagnetismo, Óptica e Relatividade.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: combinatória, probabilidade. 8. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 5.
• Aborda o estudo da análise combinatória e do cálculo de probabilidade.
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
• Apresenta conceitos e princípios da Física.
HUGHES-HALLETT, Deborah etal. Cálculo e aplicações. Tradução: Elza Furtado Gomide. São Paulo: Blucher, 1999.
• Exemplifica o uso da tecnologia no trabalho com os conceitos para o cálculo de uma variável.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
• Aprofunda o tratamento de aspectos das simbolizações concretas, orais e escritas dos números ao longo da história.
LIMA, Elon Lages etal A matemática do ensino médio. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. (Coleção do Professor de Matemática, v. 1).
• Aborda uma variedade de temas matemáticos do Ensino Médio, por meio de discussões conceituais, exemplos e atividades.
LIMA, Elon Lages. Geometria analítica e álgebra linear. 1. ed. Rio de Janeiro: Impa, 2014. (Coleção matemática universitária).
• Abrange conceitos de álgebra linear e de geometria analítica, plana e espacial.
MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antônio Carlos Pedroso de. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2023. (Acadêmica, v. 1).
• Introduz conceitos de probabilidade e de estatística, destacando relações entre estatística descritiva, probabilidade e variáveis aleatórias.
MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Manual de redação matemática . 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2018. (Coleção do Professor de Matemática).
• Além de apresentar considerações gerais sobre a boa redação matemática, abrange a estruturação das frases, sugestões técnicas, dicas de gramática, uso correto de termos, de ortografia e de notações em Matemática.
NEVES, Iara Conceição Bitencourt etal (org.). Ler e escrever: compromisso de todas as áreas. 9. ed. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2011.
• Reúne textos de diversas áreas do conhecimento que destacam a maneira como cada uma delas pode se engajar em uma proposta de ensino interdisciplinar.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In : BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (org.). Educação matemática : pesquisa em movimento. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2012.
• Reúne uma coletânea de textos com diferentes perspectivas sobre o movimento da pesquisa em educação matemática.
PAIS, Luiz Carlos. Educação escolar e as tecnologias da informática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Coleção Trajetória).
• Organiza um conjunto de ensaios referentes a várias questões sobre a inserção da informática na educação escolar.
PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
• Propõe reflexões acerca de aspectos da Matemática estudada na Educação Básica e apresenta propostas didáticas que buscam oportunizar conceitualizações, reflexões e questionamentos na sala de aula.
POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
• Descreve métodos para resolver problemas e propõe quatro princípios da resolução de problemas.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. (Tendências em Educação Matemática).
• Analisa práticas de investigação desenvolvidas por matemáticos e que podem ser transpostas para a sala de aula.
REECE, Jane B. etal Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015.
• Aborda conceitos de diversas áreas das Ciências Biológicas.
RIDPATH, Ian. Astronomia. Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2014. (Guia Ilustrado Zahar).
• Apresenta informações sobre Astronomia, como sua história, a formação do Sistema Solar, as constelações, entre outros tópicos.
SILVEIRA, Paulo; ALMEIDA, Adriano. Lógica de programação: crie seus primeiros programas usando JavaScript e HTML. São Paulo: Casa do Código, 2014.
• Apresenta conceitos básicos de programação e de lógica de programação.
SOUZA, Michel Figueiredo de; COSTA, Christine Sertã. Scratch: guia prático para aplicação na educação básica. Rio de Janeiro: Imperial, 2018. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/ 566023/2/Produto % 20- % 20Michel % 20de % 20Souza % 202019.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Guia que apresenta algumas possibilidades de práticas pedagógicas escolares que visam favorecer o desenvolvimento do pensamento computacional por meio do uso da linguagem de programação Scratch. TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala
de aula . Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática).
• Trata de questões sobre interdisciplinaridade e aprendizagem no ensino de Matemática e apresenta situações ocorridas em sala de aula que exemplificam diferentes abordagens interdisciplinares. VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
• Apresenta conceitos relacionados à Matemática financeira, abordando o uso da calculadora.
BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/ constituicao.htm. Acesso em: 29 set. 2024.
• Atual conjunto de leis fundamentais que organiza o estado brasileiro. BRASIL. Lei no 14.945, de 31 de julho de 2024. Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), a fim de definir diretrizes para o ensino médio, e as Leis nos 14.818, de 16 de janeiro de 2024, 12.711, de 29 de agosto de 2012, 11.096, de 13 de janeiro de 2005, e 14.640, de 31 de julho de 2023. Brasília, DF: Presidência da República, 2024. Disponível em: https:// www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2023-2026/2024/lei/l14945.htm. Acesso em: 27 set. 2024.
• Legislação que altera a lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, com definição de diretrizes para o Ensino Médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_ versaofinal_site.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Documento que regulamenta as aprendizagens essenciais na Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 2000. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
• Conjunto de textos que norteiam a elaboração dos currículos escolares do Ensino Médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF: MEC: SEB, 2006. (Orientações curriculares para o ensino médio, v. 2). Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume _02_internet.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Documento com orientações que buscam atender às necessidades e às expectativas das escolas e dos professores na estruturação do currículo para o Ensino médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF: MEC: SEB: [200-]. (Orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais). Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Documento que visa complementar os Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio) apresentando orientações que têm em vista a escola em sua totalidade.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília, DF: SEB: Dicei, 2013. Disponível em: https://www.gov.br/mec/pt-br/acesso-a-informa cao/media/seb/pdf/d_c_n_educacao_basica_nova.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Documento normativo obrigatório que orienta a estrutura do currículo das escolas da Educação Básica.
As mudanças que vêm ocorrendo no mundo têm causado significativo impacto sobre as sociedades. As novas tecnologias da informação e da comunicação, por exemplo, produziram profundas mudanças nas relações interpessoais, na democratização da informação, na cultura juvenil e no mundo do trabalho. Essas tecnologias tornaram possível o acesso a conhecimentos, que, até pouco tempo atrás, eram restritos a determinados grupos de estudiosos. Todas essas mudanças afetaram diretamente a educação, sobretudo na sala de aula. Esta coleção foi elaborada considerando esse ambiente em transformação nos aspectos social, tecnológico e cultural. Acreditamos que o estudo da Matemática é de fundamental importância na formação de cidadãos aptos a viver em sociedade, fazendo valer seus direitos e deveres individuais e coletivos.
Modelos de práticas de aula mais atuais, que buscam considerar os estudantes e os professores como protagonistas do processo de ensino-aprendizagem, têm sido cada vez mais adotados. Nesse sentido, estudos em educação matemática têm produzido um amplo e variado repertório de concepções, ideias e teorias que buscam promover o ensino da Matemática. Nestas Orientações gerais para o professor, procuramos incluir elementos que compõem essa produção acadêmica. Considerando também que o Livro do estudante exige complementos que potencializem as aulas, propusemos recursos importantes, como comentários específicos, que ampliam as discussões sobre os conceitos em estudo, complementam as atividades propostas e indicam elementos externos ao livro didático, como sites, vídeos, aplicativos, entre outros recursos. Com isso, esperamos que a efetivação do uso dos livros da coleção em sala de aula seja a mais completa possível, valorizando o trabalho docente e incentivando a participação e o comprometimento dos estudantes. O autor.
Orientações gerais ......................................... 307
Conhecendo a coleção ................................ 307
Estrutura do Livro do estudante .............. 307
Estrutura das
Orientações específicas ................................. 308
O Ensino Médio .................................................... 308
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) ............................................. 309
As competências gerais 309
A área de Matemática e suas Tecnologias ................................................. 310
Os Temas Contemporâneos
Transversais (TCTs) ........................................... 313
Fundamentos teóricos e metodológicos da coleção ...................... 313
O ensino de Matemática ................................. 314
Aprendizagem matemática 314
Metodologias ativas e algumas tendências em educação matemática ...................................... 316
Orientações para avaliação ......................... 317
Alguns instrumentos de avaliação .......... 318
O papel do professor de Matemática ..................................................... 320
Saberes docentes para o ensino de Matemática .................................. 320
Os estudantes no Ensino Médio ........ 320
Dimensões física, social, emocional e cultural dos estudantes .... 320
Reflexos da violência no âmbito escolar e local ...................................... 320
Culturas juvenis....................................................321
Projeto de vida e mundo do trabalho ............................................ 321
educacional .....................................
Leitura e argumentação nas aulas de Matemática ............................... 323 Estratégias de cálculo e o uso da calculadora.....................................323
Relações com outras áreas do conhecimento e seus componentes curriculares ............................ 323
Referências bibliográficas comentadas ........................................................... 324
Indicações para o professor .................
Instituições e grupos de estudo para a formação continuada do professor ........................................................... 327 Revistas ..................................................................... 327
............................................................................. 328 Cursos e plataformas........................................328
Orientações específicas para este Volume .............................................. 329 Unidade 1 Matemática financeira ................. 330
Unidade 2 Matrizes, sistemas lineares e transformações de figuras ... 333
Unidade 3 Geometria espacial de posição ............................................ 337
Unidade 4 Figuras geométricas espaciais, área de superfície e volume ........................ 341
Unidade 5 Análise Combinatória 346 Unidade 6 Probabilidade ..................................... 350
Transcrições dos podcasts do 3o ano .......... 354
Resoluções das atividades propostas no Livro do estudante .............................................. 356
Esta coleção é composta de três livros da área de Matemática e suas Tecnologias destinados ao Ensino Médio. Nas Orientações gerais para o professor, estão presentes informações sobre o Ensino Médio, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), os fundamentos teóricos e metodológicos da coleção, orientações para avaliação, o papel do professor de Matemática, os estudantes no Ensino Médio, gestão da sala de aula, referências bibliográficas comentadas e indicações para o professor, comuns aos três livros da coleção, e são apresentadas, para cada volume, as orientações específicas e as resoluções das atividades propostas no Livro do estudante.
Na parte comum aos três volumes, é apresentada uma visão detalhada da estrutura do Livro do estudante e das orientações específicas, assim como os pressupostos teórico-metodológicos que fundamentam a coleção e trazem reflexões acerca do ensino e da aprendizagem na área de Matemática e suas Tecnologias, explorando algumas tendências em educação matemática e metodologias ativas. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC)1 é um dos documentos que nortearam as reflexões e a elaboração desta coleção.
Nas orientações específicas, são apresentados comentários, complementos e orientações didáticas correspondentes às atividades propostas e aos conteúdos disponíveis nas páginas do Livro do estudante. Além disso, são apresentadas informações gerais sobre oVolume da coleção, com sugestões de cronograma bimestral, trimestral e semestral e comentários referentes a cada uma de suas seis Unidades.
Cada um dos três Livros do estudante desta coleção é organizado em seis Unidades que contêm abertura, atividades, seções e boxes. A seguir, serão apresentadas informações sobre alguns desses elementos.
Na Abertura de cada Unidade, são apresentados recursos, como imagens, textos e infografias. Além disso, são propostas questões com o objetivo de identificar a compreensão dos estudantes em relação ao tema da Unidade e a aspectos de seu conhecimento prévio sobre algum conceito que será estudado. É importante propor o trabalho com a abertura da Unidade de acordo com as características próprias da turma ou com os objetivos específicos para a aula, como a realização de leitura individual ou coletiva e discussão acerca das questões. Sempre que julgar oportuno, retomar com os estudantes a abertura no decorrer do estudo da Unidade.
A seção Integrando com... propõe o estudo de temas que relacionam a área de Matemática e suas Tecnologias às outras áreas do conhecimento, em especial à área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, o que possibilita a integração de conceitos de diferentes perspectivas. Sugere-se dialogar com professores das áreas relacionadas para planejar as aulas em que a seção será realizada.
Na seção Você conectado, são propostas atividades que envolvem o estudo de conceitos matemáticos com o apoio do software de geometria dinâmica GeoGebra ou da planilha eletrônica LibreOffice Calc, ambos de livre acesso na internet. As atividades propostas devem ser realizadas de acordo com a realidade na qual a escola está inserida, ou seja, podem ser desenvolvidas em um laboratório de informática ou coletivamente em um computador portátil, que o professor pode levar para a sala de aula, acompanhado de um projetor ou, ainda, como uma atividade extraclasse.
A seção O que estudei, apresentada ao final de cada Unidade, propõe um momento de reflexão e de autoavaliação tanto para os estudantes como para o professor. Em relação aos estudantes, são consideradas suas atitudes comportamentais e sua compreensão dos conceitos estudados na Unidade. Em relação ao professor, sua autoavaliação é condicionada às respostas dadas pelos estudantes, as quais podem ser objetos de reflexão a respeito de sua prática docente. Essa reflexão, por sua vez, pode propiciar ajustes nos planejamentos de aula das Unidades seguintes.
Na questão 1, os estudantes devem fazer um retrospecto de seu comportamento nas aulas de Matemática. As respostas aos itens dessa questão devem ser individuais, de maneira a evidenciar, da melhor maneira possível, suas atitudes comportamentais. Os estudantes podem eleger alguns itens para os quais responderam “concorda parcialmente” ou “não concorda” como pontos de atenção, de modo que devam mudar a sua atitude para que, no estudo das próximas Unidades, a resposta a tais itens seja “concorda”. No decorrer do ano, sugere-se reservar momentos para que os estudantes possam comparar suas respostas a essa questão e verificar como seu comportamento evoluiu. Do ponto de vista do professor, além das análises individuais, cabe uma análise do todo para identificar ações que poderão ser desenvolvidas para uma correção de rota coletiva.
A questão 2 pode ser, em um primeiro momento, trabalhada de maneira individual, de modo que os estudantes identifiquem, entre os conteúdos apresentados, quais eles não compreenderam satisfatoriamente. A partir das respostas dos estudantes, em um segundo momento, o professor, ao identificar conteúdos que uma parte significativa da turma pode não ter compreendido, tem a possibilidade de estabelecer um plano de ação para a turma, no qual podem ser propostas monitorias, grupos de estudo, aulas de reforço, entre outras ações.
A questão 3 possibilita aos estudantes, de maneira coletiva, produzir materiais que contribuam com a retomada de conteúdos estudados na Unidade. Nessa proposta, que utiliza elementos da metodologia ativa “sala de aula invertida”, o objetivo é que os estudantes se preparem e estudem para ministrar um conteúdo escolhido a priori. Sugere-se distribuir os conteúdos entre os grupos para que sejam contemplados todos aqueles indicados nas fichas da questão 2. A metodologia ativa mencionada será tratada mais adiante, no tópico Metodologias ativas e algumas tendências em educação matemática
A questão 4 tem como objetivo obter indícios em relação à compreensão dos conceitos matemáticos estudados na Unidade, com base na retomada do tema abordado na página de abertura.
1 BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br. Acesso em: 9 set. 2024.
Espera-se, nessa questão, que os estudantes resolvam os itens propostos usando os conceitos matemáticos estudados na Unidade. No entanto, caso os estudantes empreguem procedimentos e estratégias nos quais sejam utilizados conceitos diferentes dos estudados, é importante que o professor os valorize e, se possível, compartilhe com a turma.
Na seção Praticando: Enem e vestibulares, apresentada ao final de cada Unidade, são propostas questões do Enem e de vestibulares aplicadas nas diferentes regiões do Brasil e que tratam de conceitos estudados em cada Unidade. Sugere-se propor as questões dessa seção ao final do trabalho com cada Unidade a fim de verificar se os estudantes compreenderam os conceitos abordados, o que pode constituir um momento de avaliação somativa. Para isso, propor a eles que realizem as questões em um tempo predeterminado durante a aula e individualmente, uma vez que questões de avaliações de larga escala são propostas nesse formato. A correção das questões pode ser realizada com toda a turma, constituindo, assim, momentos de aprendizagem.
Boxes
Os boxes estão distribuídos no decorrer das Unidades e cada um tem uma finalidade. O boxe Dica apresenta informações complementares ao texto principal ou fornece informações que auxiliem os estudantes na resolução de alguma atividade. No boxe Para ampliar , são indicados materiais complementares, como sites , vídeos, livros, documentos, que visam enriquecer a abordagem apresentada no Livro do estudante. No boxe Para Pensar , são apresentadas questões cujo objetivo é desencadear reflexões acerca da teoria ou de algum exemplo apresentado. O boxe Matemática na história tem como objetivo apresentar fatos que mostrem a Matemática como uma ciência construída socialmente, por diversos membros da comunidade científica, no decorrer da história. O boxe No mundo do trabalho explora as profissões e suas características, destacando as soft skills – habilidades comportamentais essenciais para os profissionais atuais. Além disso, oferece informações sobre o mercado de trabalho.
Orientações Unidade a Unidade
Em cada Unidade, é apresentado um Quadro-síntese contendo as competências gerais, competências específicas e habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias, os Temas Contemporâneos Transversais e os conteúdos abordados. Quando pertinente, também são citadas competências específicas de outras áreas do conhecimento, em especial, da área Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Na sequência, são apresentados os Objetivos da Unidade e as Orientações didáticas
Nas Orientações didáticas, são apresentados comentários referentes à Abertura da Unidade e aos tópicos trabalhados no Livro do estudante. Nesses comentários, são abordadas orientações sobre os conteúdos propostos, bem como maneiras de articular a abordagem
desses conteúdos ao desenvolvimento das competências e habilidades da BNCC e sugestões de momentos em que o professor pode avaliar os estudantes. Ainda, são apresentados comentários específicos em relação a cada uma das seções trabalhadas no Livro do estudante. No decorrer das Orientações didáticas, também são propostas sugestões de atividades extras, como complemento de conteúdo ou de atividade, e são apresentadas, no boxe Conexões, indicação de materiais complementares para pesquisa ou consulta (sites, vídeos, livros, documentos etc.), diferentes daqueles que estão disponíveis no Livro do estudante no boxe Para ampliar.
A Educação Básica brasileira é dividida em três etapas: Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. A última etapa, à qual esta coleção se destina, vem passando por várias mudanças nos últimos anos e é regulamentada, atualmente, pela resolução no 3, de 21 de novembro de 20182, e pela lei no 14.945, de 31 de julho de 2024, que trazem um conjunto de alterações na legislação3 Essa legislação e a BNCC propõem uma renovação curricular das instituições públicas e privadas que oferecem vagas para esse segmento de ensino. A proposta constitui uma renovação resultante de um longo debate educacional. A seguir, são relembrados alguns momentos históricos que fizeram parte desse debate e que contribuíram para a estruturação do atual Ensino Médio.
• 1988: Fica estabelecido pela Constituição da República Federativa do Brasil de 1988, em seu artigo 205, que a educação é um direito de todos, “visando ao pleno desenvolvimento da pessoa, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho”4
• 1996: A lei no 9.394 estabelece as Leis de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB)5, na qual se define o Ensino Médio com duração mínima de três anos, cujas finalidades são consolidar e aprofundar conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental; preparar para o trabalho e a cidadania do educando; aprimorar o educando como pessoa humana; e tornar o educando capaz de compreender os fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos.
• 1998: A resolução da Câmara de Educação Básica (CEB) no 3 institui as Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN)6 para o Ensino Médio, contendo definições que dizem respeito à organização pedagógica e curricular das unidades escolares dos sistemas de ensino.
• 2000 : Publicam-se os Parâmetros Curriculares Nacionais –Ensino Médio, com a finalidade de “difundir os princípios da reforma curricular e orientar o professor, na busca de novas abordagens e metodologias”7
• 2014: O Ministério da Educação lança o Plano Nacional da Educação, lei no 13.0058, para o período de 2014 a 2024, cujas metas 3 e 6 preveem, respectivamente, universalizar o atendimento escolar de jovens de 15 a 17 anos e ampliar a oferta de educação em tempo integral.
2 BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB no 3, de 21 de novembro de 2018. Atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 2018. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/novembro-2018-pdf/102481-rceb003-18/file. Acesso em: 9 set. 2024.
3 BRASIL. Lei no 14.945, de 31 de julho de 2024. Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), a fim de definir diretrizes para o ensino médio, e as Leis nos 14.818, de 16 de janeiro de 2024, 12.711, de 29 de agosto de 2012, 11.096, de 13 de janeiro de 2005, e 14.640, de 31 de julho de 2023. Brasília, DF: Presidência da República, 2024. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2023-2026/2024/lei/l14945.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
4 BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
5 BRASIL. Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
6 BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB no 3, de 26 de junho de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/rceb03_98.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
7 BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 2000. p. 4. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
8 BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014. Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/l13005.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
• 2017: A lei no 13.415 apresenta alterações para até a atual legislação vigente9, estabelecendo a ampliação da carga horária mínima, e propõe um currículo composto da BNCC e dos itinerários formativos.
• 2018: A publicação da resolução no 310 atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, de 1998. Entre as alterações na organização curricular, estão que os currículos serão compostos de uma formação geral básica, com carga horária máxima de 1 800 horas, e por itinerários formativos, com carga horária de 1 200 horas. A formação geral básica será composta de competências e habilidades previstas na BNCC. A partir dessa resolução e da lei de 2017, fica estabelecido o chamado Novo Ensino Médio.
• 2023: O Novo Ensino Médio é suspenso, e são abertas consultas públicas para estabelecer a nova estrutura do Ensino Médio.
• 2024: Pela lei no 14.94511, fica estabelecido que o Ensino Médio será composto de uma formação geral básica, com carga horária de 2 400 horas, e pelos itinerários formativos, com carga horária prevista de 600 horas.
Na atual estrutura do Ensino Médio, os componentes curriculares Língua Portuguesa, Matemática, Língua Inglesa, Arte, Educação Física, Biologia, Física, Química, História, Geografia, Filosofia e Sociologia deverão ser obrigatórios nos três anos, e os itinerários formativos vão se restringir às áreas previstas na BNCC.
A BNCC define um conjunto de aprendizagens essenciais que os estudantes brasileiros devem desenvolver durante a Educação Básica, independentemente da região onde vivem. Com isso, busca-se reduzir as desigualdades históricas estabelecidas, além de orientar a elaboração de um currículo específico de cada escola ou rede escolar, pública ou privada, e instruir as matrizes de referência das avaliações e dos exames externos. O principal objetivo é garantir que todos os estudantes brasileiros tenham a mesma oportunidade de aprender o que é considerado essencial. O documento é exclusivo à educação escolar e está orientado por princípios que visam a uma formação humana integral e a uma sociedade mais justa, democrática e inclusiva.
Uma das características desse documento é que ele não define o modo como ensinar nem impede que sejam contempladas, no dia a dia escolar, as especificidades regionais. Assim, a BNCC estabelece um conjunto de conhecimentos básicos que devem ser assegurados, sem interferir na diversidade cultural e regional e na autonomia dos educadores.
Essas aprendizagens essenciais devem coexistir para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de dez competências gerais no decorrer da Educação Básica.
Em articulação com as competências gerais e com as áreas do conhecimento em que o Ensino Médio está organizado, nomeadamente, Linguagens e suas Tecnologias, Matemática e suas Tecnologias, Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, a BNCC define competências específicas para cada uma dessas áreas e habilidades que lhes correspondem.
Nesta coleção, buscou-se articular, em diversos momentos, abordagens que integrassem o desenvolvimento de competências gerais e competências específicas e habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias. Nas Orientações específicas, serão apresentadas essas articulações e como elas estão sendo contempladas no Livro do estudante.
As competências gerais
A seguir, estão listadas as dez competências gerais da Educação Básica definidas pela BNCC.
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Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5
Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
9 BRASIL. Lei no 13.415, de 16 de fevereiro de 2017. Altera as Leis no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, e 11.494, de 20 de junho 2007, que regulamenta o Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica e de Valorização dos Profissionais da Educação, a Consolidação das Leis do Trabalho […]. Brasília, DF: Presidência da República, [2023]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2015-2018/2017/Lei/L13415.htm?msclkid=99fb7879d0c 211ec91a329a85274182b. Acesso em: 7 set. 2024.
10 BRASIL, ref. 2.
11 BRASIL, ref. 3.
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Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
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Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários12.
A BNCC e os currículos
Considerando os múltiplos conhecimentos desenvolvidos pela humanidade ao longo do tempo, o currículo escolar é aquele que seleciona e organiza o que os estudantes devem aprender, regulando as práticas didáticas que se desenvolvem na sala de aula13. Nesse sentido, existem diversos fatores que contribuem para a elaboração do currículo escolar, como as políticas educativas nacionais, as secretarias de Educação de estados e municípios, as escolas e os professores. Embora cada um desses fatores assuma a responsabilidade de concretizar o currículo nos diversos níveis, todos eles deveriam trabalhar para atingir as mesmas metas educacionais.
Considerada uma das principais políticas curriculares nacionais, a BNCC é o documento que define as aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica14. Com base nesse documento, são as redes de ensino e as escolas as encarregadas de definir seu currículo escolar. Para isso, devem adequar as orientações da BNCC às realidades de cada localidade e contexto escolar, assim como às características dos estudantes. Cada estado, por exemplo, tem autonomia para elaborar o próprio currículo, desde que siga as orientações propostas pela BNCC.
Nesse processo, as redes e as instituições escolares podem tomar decisões relativas a como vão contextualizar os conteúdos, definir as diversas formas de organização dos componentes curriculares, elaborar procedimentos de avaliação formativa, selecionar e produzir materiais e recursos para apoiar o processo de ensino-aprendizagem, entre outras ações. Assim, a BNCC e os currículos escolares desempenham papéis diferentes, mas complementares, e ambos reconhecem o compromisso da educação na formação e no desenvolvimento global do ser humano.
Considerando as especificidades e os desafios do Ensino Médio, a BNCC organiza as aprendizagens essenciais para esse nível em áreas do conhecimento, definindo, para cada uma delas, competências específicas e habilidades a ser desenvolvidas. Esse modo de organização, que privilegia a integração dos componentes curriculares, tem impacto na formulação do currículo sem excluir, necessariamente, componentes curriculares; o objetivo é fortalecer as relações e a integração entre eles para que os estudantes possam melhor compreender a complexidade da realidade e nela intervir. Tal organização impacta no trabalho dos professores, que são chamados a desenvolver atividades de planejamento e implementação de maneira cooperativa e conjunta com os de outros componentes curriculares.
Na BNCC, a Matemática é destacada como uma área do conhecimento essencial para os estudantes da Educação Básica tanto por suas aplicações como por suas potencialidades na formação de cidadãos críticos e engajados. Para o Ensino Médio, a proposta é a de que as aprendizagens desenvolvidas na etapa anterior sejam consolidadas, ampliadas e aprofundadas15, com foco na construção de uma visão integrada da Matemática e de sua aplicação à realidade, bem como com outras áreas do conhecimento.
O documento também apresenta o compromisso que se deve ter no Ensino Médio com a ampliação do letramento matemático, definido como: “[…] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas”16.
12 BRASIL, ref. 1, p. 9-10.
13 SACRISTÁN, José Gimeno. Saberes e incertezas sobre o currículo. Porto Alegre: Penso, 2013.
14 BRASIL, ref. 1.
15 BRASIL, ref. 1.
16 BRASIL, ref. 1, p. 266.
Dessa maneira, a proposta é a de que sejam desenvolvidas as habilidades mencionadas, visando à ampliação dos conhecimentos matemáticos e maior reflexão e abstração dos estudantes para resolver problemas mais complexos a fim de que sejam capazes de compreender o mundo e nele atuar.
Para isso, a BNCC cita os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e de modelagem. Esses processos podem ser tomados como formas de organização da aprendizagem matemática e consideram a análise de situações do cotidiano, de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática.
Com base no que foi apresentado, a BNCC delimita competências específicas e habilidades relacionadas a cada uma delas para a área de Matemática e suas Tecnologias. Diferentemente do que é apresentado para o Ensino Fundamental, as competências específicas e habilidades para o Ensino Médio não focam conteúdos específicos, mas a formação geral dos estudantes para a cidadania e o protagonismo no mundo em que vivem. Essas competências não têm uma ordem preestabelecida, e a mobilização de uma ou mais delas pode ocorrer em determinadas situações. As habilidades podem contribuir para o desenvolvimento de uma ou mais competências específicas.
Competências específicas e habilidades da área de Matemática e suas
Tecnologias para o Ensino Médio
Competência específica 1
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação geral 17
Essa competência propõe aos estudantes que utilizem seus conhecimentos matemáticos como ferramenta para interpretar e compreender as mais diversas situações e analisar criticamente e refletir acerca das informações relacionadas a elas.
Habilidades
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT102) Analisar tabelas, gráficos e amostras de pesquisas estatísticas apresentadas em relatórios divulgados por diferentes meios de comunicação, identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de interpretação, como escalas e amostras não apropriadas.
(EM13MAT103) Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos.
17 BRASIL, ref. 1, p. 532.
18 BRASIL, ref. 1, p. 533.
19 BRASIL, ref. 1, p. 534.
20 BRASIL, ref. 1, p. 534.
21 BRASIL, ref. 1, p. 535.
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica (índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros), investigando os processos de cálculo desses números, para analisar criticamente a realidade e produzir argumentos.
(EM13MAT105) Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas levando-se em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele método contraceptivo, optar por um tratamento médico em detrimento de outro etc.)18
Competência específica 2
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens próprios da Matemática19.
O desenvolvimento dessa competência visa contribuir para que os estudantes sejam atuantes na sociedade e possam identificar e investigar eventuais problemas na comunidade em que vivem, buscando e propondo ações para solucioná-los individual ou coletivamente.
Habilidades
(EM13MAT201) Propor ou participar de ações adequadas às demandas da região, preferencialmente para sua comunidade, envolvendo medições e cálculos de perímetro, de área, de volume, de capacidade ou de massa.
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral sobre questões relevantes, usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e comunicar os resultados por meio de relatório contendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e das medidas de dispersão (amplitude e desvio padrão), utilizando ou não recursos tecnológicos.
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise de ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (para o controle de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), para tomar decisões20
Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente21.
Essa competência está relacionada à ação de resolver situações-problema, contemplando tanto contextos próprios da Matemática
como de outras áreas do conhecimento e do cotidiano dos estudantes. Além da resolução, é proposto aos estudantes que elaborem problemas a fim de mobilizar os conceitos estudados e refletir sobre eles.
Habilidades
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT302) Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1o ou 2o graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT303) Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
(EM13MAT307) Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT308) Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
(EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
(EM13MAT311) Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
(EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
(EM13MAT313) Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de
22 BRASIL, ref. 1, p. 536-537.
23 BRASIL, ref. 1, p. 538.
24 BRASIL, ref. 1, p. 539.
algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras (velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.).
(EM13MAT315) Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.
(EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão)22
Competência específica 4
Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas23
Essa competência trata da utilização e da compreensão de diferentes tipos de registro na resolução de situações-problema, buscando expressar ideias matemáticas relacionadas e possibilitando a ampliação da capacidade dos estudantes de pensar matematicamente.
Habilidades
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1o grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2o grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
(EM13MAT403) Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT405) Utilizar conceitos iniciais de uma linguagem de programação na implementação de algoritmos escritos em linguagem corrente e/ou matemática.
(EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo ou não o uso de softwares que inter-relacionem estatística, geometria e álgebra.
(EM13MAT407) Interpretar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de diferentes diagramas e gráficos (histograma, de caixa (box-plot), de ramos e folhas, entre outros), reconhecendo os mais eficientes para sua análise24
Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos, como observação de padrões, experimentações e diferentes tecnologias, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas25 O desenvolvimento dessa competência possibilita aos estudantes perceberem a natureza do raciocínio hipotético-dedutivo da Matemática e se apropriarem dessa ideia para raciocinar logicamente e validar proposições. Ao investigar, formular hipóteses e realizar tentativas de validá-las ou refutá-las, os estudantes buscam utilizar os conceitos matemáticos estudados em suas argumentações e, dessa maneira, estabelecer relações entre eles.
Habilidades
(EM13MAT501) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1o grau.
(EM13MAT502) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2o grau do tipo y = ax 2
(EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
(EM13MAT505) Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
(EM13MAT506) Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
(EM13MAT510) Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
(EM13MAT511) Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades26
De acordo com o documento Temas Contemporâneos Transversais na BNCC27, os TCTs têm como objetivo contextualizar o que é ensinado, contribuindo com temas que sejam interessantes e relevantes para a formação dos cidadãos. Ao todo, são 15 temas distribuídos em seis macroáreas: Cidadania e Civismo (Vida Familiar e Social; Educação para o Trânsito; Educação em Direitos Humanos; Direitos da Criança e do Adolescente; Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso); Meio Ambiente (Educação Ambiental; Educação para o Consumo); Saúde (Saúde; Educação Alimentar e Nutricional); Multiculturalismo (Diversidade Cultural; Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras); Economia (Trabalho; Educação Financeira; Educação Fiscal); Ciência e Tecnologia (Ciência e Tecnologia).
Nas aulas de Matemática, as abordagens de questões sociais, por meio de conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo que possibilitam estabelecer relações com outras áreas do conhecimento, permitem contextualizações e reflexões críticas, além de conferir ao trabalho do professor a possibilidade de contribuir para a formação cidadã dos estudantes.
De acordo com a BNCC, […] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora28
Nessa perspectiva, busca-se romper com a ideia de que a Matemática é uma ciência restrita à sala de aula e que não está relacionada à realidade dos estudantes. Assim, espera-se que os estudantes percebam a Matemática presente nos mais diferentes contextos de vida deles.
Nesta coleção, os TCTs são discutidos em diversos momentos, sempre conectando-os aos conceitos matemáticos em estudo e, por vezes, estabelecendo relações com outras áreas do conhecimento. Por exemplo, em uma proposta de estudo de conceitos estatísticos, envolvendo a situação de bullying, em especial no ambiente escolar, tratou-se também dos TCTs Direitos da Criança e do Adolescente e Saúde.
Em uma sociedade globalizada, o ensino de Matemática tem papel fundamental na formação de cidadãos conscientes, críticos e participativos. O incentivo a práticas reflexivas no estudo da Matemática escolar pode favorecer o desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas do dia a dia e a quebra de paradigmas.
25 BRASIL, ref. 1, p. 540.
26 BRASIL, ref. 1, p. 541.
27 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
28 BRASIL, ref. 1, p. 19.
A proposta didático-pedagógica desta coleção tem por objetivo contribuir para uma formação ampla dos estudantes, não apenas em aspectos cognitivos mas também em sua formação cidadã e na observância no mundo do trabalho. Nela, procurou-se articular, sempre que possível, temas contemporâneos e interdisciplinares a conceitos matemáticos, oferecendo ao professor diferentes estratégias metodológicas e o aprimoramento de sua prática pedagógica. O tratamento dado aos conteúdos matemáticos, em sala de aula, deve considerar os recursos disponíveis para que o trabalho seja efetuado.
A fim de sinalizar a proposta didático-pedagógica que fundamentou a elaboração desta coleção, apresentam-se abordagens relacionadas à concepção de ensino e de aprendizagem de Matemática no Ensino Médio.
O ensino de Matemática precisa privilegiar a exploração de uma variedade de noções matemáticas que contribuam para que os estudantes construam e desenvolvam seu conhecimento matemático, sem perder o prazer, o interesse e a curiosidade. Por isso, é importante que esse trabalho seja realizado com abordagens que valorizem a integração entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, a proposição de temáticas sociais nas atividades a ser desenvolvidas e o incentivo ao uso adequado das novas tecnologias da informação e comunicação no estudo.
De acordo com a BNCC, deve-se ter o compromisso de promover ações que ampliem o letramento matemático, o qual, segundo o Programme for International Student Assessment (Pisa), conforme definição publicada pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep) no Relatório Nacional do PISA 2012, consiste na […] capacidade do indivíduo de formular, aplicar e interpretar a matemática em diferentes contextos, o que inclui o raciocínio matemático e a aplicação de conceitos, procedimentos, ferramentas e fatos matemáticos para descrever, explicar e prever fenômenos. Além disso, o letramento em matemática ajuda os indivíduos a reconhecer a importância da matemática do mundo, e agir de maneira consciente ao ponderar e tomar decisões necessárias a todos os cidadãos construtivos, engajados e reflexivos29.
Para isso, é necessário criar um ambiente propício em sala de aula que tenha como base o diálogo e a comunicação. Assim, o professor deve incentivar os estudantes a se comunicar (oralmente, por exemplo) ou a registrar (por meio de textos, esquemas ou outras formas de registro) suas ideias matemáticas. O hábito de expressá-las pode ser desenvolvido questionando os estudantes sobre como pensaram para realizar determinada atividade ou para resolver algum problema ou desafio.
Em relação às características das intervenções por parte do professor, elas devem ser construtivas, dando oportunidade aos estudantes de reverem suas posições e perceberem as incoerências, quando existirem, contribuindo, assim, para a construção de seus conhecimentos. O professor pode fazer algumas intervenções por
meio de perguntas, por exemplo: Como você obteve esse valor? Que estratégias você utilizou? É possível obter esse mesmo resultado por meio de outra estratégia? A estratégia que você utilizou nessa situação pode ser empregada em que outros casos?
É importante que os estudantes sejam incentivados a buscar diferentes maneiras de pensar, ampliando sua capacidade cognitiva e sua atitude diante de novas situações. Aliado a isso, ressalta-se a realização de atividades coletivas e cooperativas, o que favorece a socialização, a troca de ideias, a observação de outros pontos de vista, o reconhecimento de outras maneiras de pensar e de realizar as atividades.
A Matemática no contexto escolar é, muitas vezes, temida e considerada pouco importante para uma parte de estudantes que não percebem a conexão entre o que aprende na sala de aula e o mundo além dos muros da escola. Por isso, é essencial despertar nos estudantes o prazer de aprender Matemática, mostrando que os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como elementos que contribuirão para sua vida social.
Quando a abordagem é feita exclusivamente de maneira expositiva, a Matemática escolar tende a afastar os estudantes e precisa ser “reinventada” a fim de propiciar ensino e aprendizagem significativos, criativos, práticos e contextualizados de acordo com a realidade social e cultural dos estudantes.
Os autores Ausubel, Novak e Hanesian30 distinguem a aprendizagem significativa de outras aprendizagens ao proporem que, para a ocorrência de aprendizagem significativa, por exemplo, além de considerar os conhecimentos prévios dos estudantes, é necessária a existência de uma predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente significativos.
[…] a aprendizagem significativa ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e substantiva (não literal), uma nova informação a outras com as quais o aluno já esteja familiarizado, e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim proceder.
Aprendizagem automática, por sua vez, ocorre se a tarefa consistir de associações puramente arbitrárias, como na associação de pares, quebra-cabeça, labirinto, ou aprendizagem de séries e quando falta ao aluno o conhecimento prévio relevante necessário para tornar a tarefa potencialmente significativa, e também (independentemente do potencial significativo contido na tarefa) se o aluno adota uma estratégia apenas para internalizá-la de uma forma arbitrária, literal (por exemplo, como uma série arbitrária de palavras)31
A disposição dos estudantes para aprender não depende somente de sua estrutura cognitiva mas também de motivação e materiais disponíveis no ambiente educacional. Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os estudantes e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. Os recursos de caráter afetivo dizem respeito às relações estabelecidas entre os estudantes e entre os estudantes e o professor.
Situações que envolvem o cotidiano dos estudantes tendem a motivá-los para o estudo dos conteúdos matemáticos e podem
29 BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Relatório Nacional PISA 2012: resultados brasileiros. Brasília, DF: MEC: Inep, 2012. p. 18. Disponível em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/resultados/2014/relatorio_nacional_pisa_2012_resultados_brasileiros.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
30 AUSUBEL, David Paul; NOVAK, Joseph Donald; HANESIAN, Helen. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
31 AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, ref. 30, p. 23.
constituir elementos motivacionais em sua predisposição para aprender. Ambientes educacionais diferenciados, bem como o uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos também podem motivar os estudantes. Esses recursos tendem a promover a interação entre os pares e possibilitar a elaboração de estratégias e de modos de representação por meio de expressões textual, gráfica e oral. No entanto, é preciso destacar que a ausência desses recursos não pode limitar o trabalho do professor nem inviabilizar o processo de aprendizagem.
Assim como em outras áreas do conhecimento, a área de Matemática e suas Tecnologias apresenta características próprias que definem o tipo de conhecimento por ela desenvolvida. O modo de desenvolver raciocínios matemáticos é uma dessas características. Nesse tipo particular de raciocínio, a argumentação matemática, a produção de inferências e o pensamento computacional têm um papel central.
A argumentação matemática é indispensável para que os estudantes possam assimilar significados dos objetos matemáticos e desenvolver a racionalidade matemática. Para envolver os estudantes em atividades de argumentação matemática, é necessário que o professor ofereça oportunidades para explorar os porquês de determinados resultados ou situações; resolver desacordos por meio de explicações e justificativas válidas de um ponto de vista matemático; formular conjecturas, investigar sua plausibilidade e refutá-las ou validá-las por meio da procura de contraexemplos ou a avaliação de demonstrações matemáticas, respectivamente32.
Fica evidente que, para desenvolver as capacidades argumentativas dos estudantes, é necessário propor tarefas que devem ir além da simples manipulação de símbolos ou procedimentos matemáticos. É necessário desafiá-los com atividades investigativas que tenham potencial de originar discussões matemáticas, confrontar ideias e resoluções e justificar suas soluções. Nessa direção, a BNCC propõe, também, o uso de diferentes tecnologias para que os estudantes do Ensino Médio investiguem e explorem conjecturas vinculadas a conceitos e propriedades matemáticas, observem padrões, analisem dados e informações de maneira crítica, modelem e solucionem problemas da vida cotidiana. Nesse processo, é importante propor uma trajetória que leve os estudantes a compreender como se originam e se formulam as argumentações matemáticas. É fundamental que eles aprendam a distinguir uma conjectura de uma afirmação demonstrada; compreendam que a apresentação de vários exemplos não garante a validade de uma conjectura; e vivenciem a elaboração de demonstrações matemáticas como um modo de explorar o motivo da validade de uma conjectura.
A reflexão a respeito da maneira como se estruturam as argumentações matemáticas leva a outro ponto central dos raciocínios matemáticos: a produção de inferências. Inferir é o processo por meio do qual se derivam conclusões a partir de certas premissas. Em Lógica, podem-se distinguir três tipos de inferência: as deduções,
que partem de uma regra geral e uma premissa para inferir um caso particular; as induções, que partem de premissas menores e buscam sua generalização mediante a experimentação e a comprovação; e as abduções, que partem de dados que descrevem uma situação e colocam uma hipótese que melhor explique ou esclareça esses dados. Embora a Matemática, quando considerada disciplina formal, muitas vezes se apoie em inferências dedutivas, os três tipos de inferência têm um papel relevante quando se consideram os processos de produção dos conhecimentos matemáticos.
Pensamento computacional
Atualmente, para que os estudantes possam exercer sua plena cidadania, de modo a contribuir com um mundo mais justo e menos desigual, é necessário desenvolver competências e habilidades relacionadas ao pensamento computacional. Diferentemente do que se possa presumir, o pensamento computacional não diz respeito a navegar pela internet na busca de informações. Brackmann propõe em sua tese que
[…] O Pensamento Computacional é uma distinta capacidade criativa, crítica e estratégica humana de saber utilizar os fundamentos da Computação, nas mais diversas áreas do conhecimento, com a finalidade de identificar e resolver problemas, de maneira individual ou colaborativa, através de passos claros, de tal forma que uma pessoa ou uma máquina possam executá-los eficazmente […]33
O pensamento computacional é um dos eixos que deve ser trabalhado na Educação Básica, além do mundo digital e da cultura digital. O parecer no 2, de 12 de fevereiro de 2022, referente às normas sobre computação na Educação Básica, define que o pensamento computacional
[…] refere-se à habilidade de compreender, analisar definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções de forma metódica e sistemática, através do desenvolvimento da capacidade de criar e adaptar algoritmos, aplicando fundamentos da computação para alavancar e aprimorar a aprendizagem e o pensamento criativo e crítico nas diversas áreas do conhecimento34
Mobilizar o pensamento computacional contribui para o desenvolvimento do pensamento abstrato, distinguindo níveis de abstração nos problemas para poder solucioná-los; do pensamento algorítmico, que requer encontrar uma série de passos eficazes para resolver o problema; do pensamento lógico, formulando e excluindo hipóteses; e do pensamento dimensionável, vinculado à decomposição de um problema em pequenas partes.
Promover o desenvolvimento do pensamento computacional é uma oportunidade rica de os estudantes desenvolverem o raciocínio matemático. Para isso, o professor pode utilizar diferentes tecnologias, como planilhas eletrônicas, softwares de geometria dinâmica, calculadoras e aplicativos que permitam investigar situações matemáticas, auxiliando na elaboração e na interpretação de algoritmos,
32 BOAVIDA, Ana Maria; GOMES, Anabela; MACHADO, Sílvia. Argumentação na aula de matemática: olhares sobre um projeto de investigação colaborativa. Educação e Matemática, Lisboa, n. 70, p. 18-26, 2002. Disponível em: https://em.apm.pt/index.php/em/article/view/1141/1182. Acesso em: 9 set. 2024.
33 BRACKMANN, Christian Puhlmann. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. 2017. Tese (Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. p. 29. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/bitstream/ handle/10183/172208/001054290.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 9 set. 2024
34 BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Parecer CNE/CEB no 2, de 12 de fevereiro de 2022. Brasília, DF: MEC: CNE, 2022. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=235511-pceb002-22&category_slug=fevereiro-2022-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 12 set. 2024.
além de propor a utilização de alguma linguagem de programação e o uso de registros por meio de fluxograma. Nesta coleção há momentos que possibilitam ao professor incentivar os estudantes no desenvolvimento do pensamento computacional, como na realização de atividades em que o pensamento computacional é trabalhado de maneira desplugada (sem o uso de computador), ou no estudo de noções de linguagem de programação, em que se propõe, por exemplo, o trabalho com a linguagem Scratch.
As profundas modificações que vêm ocorrendo em nossa sociedade, principalmente aquelas vinculadas ao desenvolvimento tecnológico, desafiam os professores a adotar novas metodologias. Para Moran,
[…] as metodologias precisam acompanhar os objetivos pretendidos. Se queremos que os alunos sejam proativos, precisamos adotar metodologias em que os alunos se envolvam em atividades cada vez mais complexas, em que tenham que tomar decisões e avaliar os resultados, com apoio de materiais relevantes. Se queremos que sejam criativos, eles precisam experimentar inúmeras novas possibilidades de mostrar sua iniciativa35
Assim, as chamadas metodologias ativas podem se tornar um meio de alcançar tais objetivos. Nessas metodologias, são empregadas estratégias de ensino em que os estudantes assumem uma postura ativa na problematização e na análise de situações complexas, enquanto o professor assume o papel de mediador de discussões e de orientador dos estudantes. A seguir, são apresentadas brevemente algumas dessas metodologias.
A sala de aula invertida consiste em uma metodologia ativa de ensino em que o professor, de antemão, disponibiliza o conteúdo que será abordado na sala de aula, por meio de vídeos, textos, áudios, entre outros materiais. Aos estudantes, cabe a responsabilidade de estudar em casa o material proposto, anotando dúvidas que possam surgir nesse momento. Durante a aula, o professor assume o papel de mediador, ao esclarecer as dúvidas que os estudantes tiveram, e propõe atividades relacionadas ao conteúdo. Após a aula, os estudantes devem revisar o conteúdo trabalhado, e o professor deve preparar novos materiais a ser propostos.
Na aprendizagem baseada em projetos (Project-Based Learning – ABP), o objetivo é trabalhar problemas e/ou questões da realidade, principalmente, associados ao cotidiano dos estudantes. Nessa abordagem, os estudantes se envolvem em um trabalho colaborativo, no qual buscam respostas a partir de seus conhecimentos prévios, enquanto constroem novos conhecimentos, com a mediação do professor. Outro ponto importante é o desenvolvimento do pensamento crítico e da comunicação, por meio do trabalho com essa metodologia, uma vez que os estudantes têm de pesquisar e selecionar informações, propor soluções com base no que foi encontrado e discutido e, por fim, comunicar os resultados. Na aprendizagem baseada em problemas (Problem-Based Learning – PBL), os estudantes têm como ponto de partida um problema que precisam solucionar com os conhecimentos que têm a priori. Em grupos, eles exploram o problema, levantam hipóteses, identificam o que sabem e o que não sabem e delegam responsabilidades
a cada um dos integrantes do grupo, na busca pelas respostas que faltam. Em um segundo momento, após o estudo autônomo, os estudantes compartilham o que encontraram, ensinando uns aos outros. O professor, nessa metodologia, tem o papel de propor os problemas aos estudantes e mediar a interação entre eles.
A rotação por estações consiste em tornar a sala de aula uma espécie de circuito de aprendizagem, em que os estudantes, organizados em pequenos grupos, passam por todas as estações, realizando as atividades que são propostas. As atividades devem ser independentes umas das outras; no entanto, devem atender a um objetivo principal. Geralmente, uma das atividades da estação envolve o uso de tecnologia. O papel do professor nessa metodologia é escolher as atividades, que podem trabalhar diferentes competências e habilidades, e mediar as discussões que acontecem nos pequenos grupos. Os estudantes devem se envolver com a atividade proposta e resolvê-la, e cada grupo tem um tempo predeterminado para permanecer em cada uma das estações.
Além disso, no campo da educação matemática, são propostas práticas de ensino e de aprendizagem, comumente denominadas tendências em educação matemática, em que os estudantes também são levados a assumir uma postura de protagonistas dos processos de ensino-aprendizagem. A seguir, são apresentadas algumas dessas tendências.
Nessa perspectiva, a proposição de um problema, que, para Onuchic e Allevato “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em fazer”36, pode ser o ponto de partida para a construção de um novo conceito matemático. Para isso, é necessária uma prática na qual o conhecimento é construído por meio de interações sociais entre os próprios estudantes e entre os estudantes e o professor.
As autoras Onuchic e Allevato37 elaboraram, com base nos resultados de suas pesquisas, um roteiro para auxiliar o professor no trabalho com a resolução de problemas. Esse roteiro considera nove etapas para a organização da aula.
1a) Seleção do problema, denominado problema gerador.
2a) Leitura individual dos estudantes.
3a) Leitura em conjunto.
4a) Resolução do problema pelos estudantes de modo cooperativo e colaborativo.
5a) Observação e incentivo por parte do professor.
6a) Registro das resoluções na lousa.
7a) Plenária, com discussão das diferentes resoluções registradas na lousa.
8a) Busca de consenso em relação ao resultado correto.
9a) Formalização do conteúdo, com apresentação formal dos conceitos, princípios ou procedimentos construídos no decorrer da resolução do problema.
Espera-se que os estudantes, ao resolverem os problemas, se tornem participantes ativos de sua aprendizagem, inserindo-se em um contexto no qual o estudo da Matemática ocorre em um movimento que possibilita fazer análises, discussões, conjecturas, construção de conceitos e formulação de ideias. E o professor, nessa perspectiva, deve proporcionar aos estudantes a oportunidade de mobilizar seus conhecimentos prévios e gerenciar as informações disponíveis. Esse
35 MORÁN, José. Mudando a educação com metodologias ativas. In: SOUZA, Carlos Alberto de; MORALES, Ofelia Elisa Torres (org.). Convergências midiáticas, educação e cidadania: aproximações jovens. Ponta Grossa: Proex: UEPG, 2015. v. II, p. 15-33. p. 17. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4941832/mod_resource/content/1/Artigo -Moran.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
36 ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011. p. 81. Disponível em: https://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/5739/4625. Acesso em: 9 set. 2024.
37 ONUCHIC; ALLEVATO, ref. 36, p. 83-85.
processo, além de contribuir para o desenvolvimento da autonomia dos estudantes, conduz à construção de conhecimentos. O professor deixa de ser o transmissor do conhecimento para ser o mediador, que guia os estudantes.
Entre as diferentes perspectivas de modelagem matemática, optou-se, neste texto, pela apresentada por Almeida e Ferruzzi38, uma alternativa pedagógica na qual, com base em situações oriundas da realidade, os conteúdos matemáticos se desenvolvem. De acordo com Almeida, Silva e Vertuan39, trata-se de criar possibilidades para enxergar situações do cotidiano por lentes matemáticas, ou seja, de interpretar e analisar situações do cotidiano por meio de linguagem matemática, e, assim, tomar decisões acerca delas.
De modo geral, no desenvolvimento de uma atividade de modelagem, estão presentes ações como buscar informações sobre a situação inicial, identificar e selecionar variáveis, elaborar hipóteses, realizar simplificações, obter um modelo matemático, validar e solucionar problemas. Essas ações podem ser subsidiadas por orientações do professor.
Durante o processo de interpretação matemática da situação inicial, é necessário transformar a linguagem natural em linguagem matemática. Nessa direção, Almeida e Silva destacam que
[…] um aspecto importante numa atividade de modelagem matemática é a necessidade de os próprios alunos, a partir de uma situação-problema não matemática, fazerem a associação com conceitos e/ou procedimentos matemáticos capazes de conduzir a uma solução para o problema e possibilitar a sua análise40
Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de modelagem matemática, ela não é considerada o fim desse tipo de proposta, mas uma alternativa que possibilita a compreensão global da situação investigada e da Matemática utilizada.
Em sala de aula, uma atividade de modelagem matemática pode ser desenvolvida por estudantes reunidos em grupos; nesse caso, o professor tem o papel de orientador. A situação-problema pode emergir de uma proposta do professor, dos estudantes ou do material didático que está sendo utilizado.
Investigação matemática
Uma investigação matemática, de modo geral, consiste em um processo que transforma uma situação aberta em um ou mais problemas que podem ser resolvidos por meio de um olhar matemático. Nessa perspectiva, estão presentes quatro momentos principais: 1) o reconhecimento e a exploração da situação e a formulação de questões; 2) a formulação de conjecturas; 3) a realização de testes e reformulações das conjecturas; 4) a argumentação e a
avaliação do trabalho realizado41. Uma tarefa desenvolvida segundo essa perspectiva aproxima o trabalho dos estudantes ao trabalho dos matemáticos, sendo tarefa de ambos estabelecer os problemas, as hipóteses para resolvê-los, testar suas hipóteses, refutá-las e elaborar suas conclusões.
Todo esse processo se desenvolve segundo um cronograma próprio e envolve a apresentação da situação de forma oral ou escrita, a execução individual ou em grupo, o desenvolvimento da investigação matemática e o momento no qual os estudantes relatam aos colegas e ao professor o trabalho realizado.
O papel do professor em uma investigação matemática é criar um ambiente propício ao diálogo, à interação e à pesquisa, despertando nos estudantes a vontade de resolver as atividades investigativas. Geralmente, em uma investigação, o ponto de partida é uma situação aberta, e a participação efetiva dos estudantes na formulação das questões que serão estudadas é fundamental, cabendo a quem investiga a sua concretização. É essa dinâmica que favorece o envolvimento dos estudantes no processo de aprendizagem42
Tecnologias e a educação matemática
As novas tecnologias propiciam a criação de ambientes de aprendizagem que ampliam os canais de informações e, ao mesmo tempo, formam e transformam os processos de ensino-aprendizagem.
Howland, Jonassen e Marra43 argumentam que a tecnologia deve ser entendida como uma parceira intelectual e uma ferramenta com a qual os estudantes possam aprender como organizar e resolver problemas, compreender novos fenômenos, construir modelos desses fenômenos e, dada uma situação não conhecida, definir metas e regular a própria aprendizagem.
Pesquisadores da área de educação matemática, como Borba e Penteado, destacam a importância das diferentes mídias na produção de conhecimento que é “produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias ou seres-humanos-com-tecnologias”44. Para esses pesquisadores, o computador provoca a reorganização da atividade humana. Muitas das novas tecnologias proporcionam interatividade, criando ambientes nos quais os estudantes têm acesso a resultados intermediários que não poderiam ser observados em situações tradicionais.
Com o software GeoGebra, por exemplo, podem ser exploradas estruturas algébricas ou geométricas de maneira dinâmica e avaliada a influência de seus parâmetros, além da visualização simultânea de suas diferentes representações.
Avaliar é uma ação que consiste em atribuir valor a algo. É proveniente do latim, valere, e pode ocorrer de maneira formal ou
38 ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; FERRUZZI, Elaine Cristina. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria: Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 117-234, 2009. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/view/37952/28980. Acesso em: 9 set. 2024.
39 ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. O registro gráfico em atividades de modelagem matemática: um estudo da conversão entre registros segundo a teoria dos registros de representação semiótica. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2009, São Paulo. Anais […]. São Paulo: Uniban, 2009.
40 ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de modelagem matemática: um olhar sobre os modos de inferência. Ciência e Educação, Bauru, v. 18, p. 623-642, 2012. p. 627. Disponível em: https://www.scielo.br/j/ciedu/a/v4qMkLjq9MFHmddXVmSJ7nh/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 9 set. 2024.
41 PONTE, João Pedro da. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa: APM, 2003. (CD-ROM).
42 BERTINI, Luciane de Fatima; PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion. Uso da investigação matemática no processo de ensino e aprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2008, Rio Claro. Anais […]. Rio Claro: Unesp, 2008. p. 135-151. Disponível em: www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/135-1-A-gt8_bertini_ta.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
43 HOWLAND, Jane L.; JONASSEN, David; MARRA, Rose. Meaningful learning with technology. 4th ed. Boston: Pearson, 2011.
44 BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática, p. 48).
informal nas salas de aula. A avaliação, no contexto escolar, refere-se à atribuição de um valor para o rendimento escolar. Ao se referir ao processo de aprendizagem, não se pode reduzir a avaliação a um momento único no qual esse “valor” é atribuído. Ele deve ser tratado como um processo realizado de maneira contínua e prolongada.
Concordamos com D’Ambrosio quando o autor afirma que a […] avaliação deve ser uma orientação para o professor na condução de sua prática docente e jamais um instrumento para reprovar ou reter alunos na construção de seus esquemas de conhecimento teórico e prático. Selecionar, classificar, filtrar, reprovar e aprovar indivíduos para isto ou aquilo não são missão de educador. Outros setores da sociedade devem se encarregar disso45
Segundo pesquisadores como Hadji46, o objetivo da avaliação escolar é contribuir para a aprendizagem tanto dos estudantes como do professor. Com esse objetivo, a avaliação oferece ao professor informações sobre os possíveis conhecimentos prévios e o processo de aprendizagem dos estudantes, bem como de sua conduta de ensino em sala de aula. Aos estudantes, a avaliação possibilita uma análise sobre a própria aprendizagem, por permitir coletar informações sobre o percurso, os êxitos e as dificuldades apresentadas. Para esse autor, o papel da avaliação é compreender a situação dos estudantes, de modo a regular os processos de ensino-aprendizagem. Quando realizada por esse aspecto, Hadji47 considera que essa avaliação é do tipo formativa e deve ser integrada à ação de formação, sendo efetivada durante esse processo e centrada nos processos e nas atividades. Nesse caso, pode-se dizer que a avaliação também assume um caráter ipsativo, em que os estudantes são comparados a eles mesmos em vários momentos de sua formação.
Esse autor atribui, ainda, outro propósito para a avaliação – o de inventário –, ou seja, de certificar, de atestar a aquisição de determinado conhecimento. Nesse caso, a avaliação é somativa e costuma ser realizada depois de determinada ação de formação. Conforme Hadji48, esse tipo de avaliação é centrado nos produtos, e os estudantes, muitas vezes, são comparados em relação aos outros. Assim, a avaliação também tem o caráter comparativo.
O terceiro propósito apresentado por Hadji49 é o prognóstico, em que a avaliação tem por objetivo identificar características dos estudantes a fim de planejar ações formativas futuras. Nesse caso, a avaliação é do tipo diagnóstica, sendo realizada antes da ação de formação.
Pensando na avaliação como oportunidade de aprendizagem, o erro deve ser entendido como uma possibilidade de perceber como os estudantes lidam com uma questão ou com um conteúdo matemático. Isso pode orientar o trabalho do professor em sala de aula, além de servir de base para seu planejamento.
Cabe ao professor analisar os procedimentos que levaram os estudantes a errar. Santos e Buriasco consideram essa abordagem como “maneiras de lidar”. Esses autores defendem que cada estudante apresenta um modo de lidar com o conhecimento matemático. Os diferentes modos
[…] devem ser tomados como ponto de partida para construir um espaço de negociação e legitimação dos significados atribuídos a tais conhecimentos. Assim, as maneiras de lidar que são diferentes das consideradas corretas apresentam-se a favor da aprendizagem dos alunos, permitindo aos professores oportunidades de leitura do modo como os alunos pensam sobre um determinado conteúdo50.
Recomenda-se ao professor afastar o paradigma de que o erro consiste em algo negativo, em que a falta é relacionada à ausência de conhecimento. O erro precisa ser trabalhado em sala de aula com o objetivo de ser transposto a fim de que os estudantes avancem na aprendizagem de conteúdos matemáticos.
Como aprender é um processo diferente para cada pessoa, é necessário adotar práticas avaliativas em que o foco seja ter indícios de ocorrência de aprendizagem por meio das informações obtidas. Nesse sentido, diversos instrumentos de avaliação devem ser implementados nas aulas, em especial, nas aulas de Matemática.
Eles devem fornecer ao professor informações – quanto à capacidade dos estudantes para resolver situações-problema, saber utilizar a linguagem matemática, lidar com instrumentos de construção, valer-se de raciocínio matemático, comunicar-se por meio oral – para que ele possa, assim, inferir aspectos da aprendizagem e do raciocínio matemático.
Na sequência, são apresentados, de maneira sucinta, alguns instrumentos de avaliação que podem ser pertinentes às aulas de Matemática do Ensino Médio. No entanto, o professor pode ser criativo e investir em outros instrumentos que deem suporte para investigar indícios de aprendizagem dos estudantes.
Prova escrita e prova escrita em fases
A prova escrita é um instrumento de avaliação que tem o objetivo de estabelecer uma comunicação que permite ao professor fazer uma análise da competência escritora dos estudantes.
Na elaboração de uma prova escrita, o professor deve utilizar diferentes situações que promovam o uso de variadas representações e estratégias, além de estabelecer critérios de correção, considerando os “percursos” que os estudantes podem utilizar. Para isso, é necessário que os procedimentos sejam listados e pontuados, revendo-os sempre que preciso, antes ou durante a correção. A correção deve ser pautada nos procedimentos utilizados pelos estudantes para obter a solução. Um professor atento aos indícios de aprendizagem não deve considerar somente a solução final apresentada.
Combinando as vantagens da prova escrita com outras tarefas, De Lange51 propôs a prova escrita em duas fases. De maneira geral, esse instrumento segue os mesmos pressupostos da prova escrita usual, diferenciando-se no modo como os estudantes são solicitados a resolvê-la em dois momentos, ou em duas fases.
Na primeira fase, os estudantes respondem, em um tempo limitado, a questões discursivas que abordam conhecimentos que
45 D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática, p. 78).
46 HADJI, Charles. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Porto: Porto Editora, 1994.
47 HADJI, ref. 46.
48 HADJI, ref. 46.
49 HADJI, ref. 46.
50 SANTOS, João Ricardo Viola dos; BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Da ideia de erro para as maneiras de lidar: caracterizando nossos alunos pelo que eles têm e não pelo que lhes falta. In: BURIASCO, Regina Luzia Corio de (org.). Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008. p. 87-108. (Coleção SBEM, p. 105).
51 DE LANGE, Jan. Framework for classroom assessment in mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, 1999.
deveriam ter aprendido, sem indicações do professor. A prova é recolhida e corrigida pelo professor, que deve inserir comentários e/ou questionamentos que permitam estabelecer uma comunicação escrita na qual os estudantes possam explicar o que fizeram. Nessa fase, o professor não valida as respostas, isto é, não coloca certo ou errado. Os comentários e questionamentos devem exigir reflexão por parte dos estudantes.
Na segunda fase, os estudantes recebem a prova novamente e a resolvem considerando os comentários e/ou questionamentos inseridos. Eles têm a oportunidade de fazer uma complementação do que não foi feito na primeira fase, reelaborando sua solução ou resolvendo a questão pela primeira vez. Essa fase é realizada em casa, quando os estudantes julgarem conveniente, e sem tempo limitado para a resolução. Após o período combinado entre as partes, a prova é devolvida ao professor para que ele faça uma nova correção.
Prova-escrita-com-cola
Usualmente, o ato de colar é considerado um dos problemas escolares que permeiam os mais diversos níveis de ensino, podendo ser entendido como desvio de conduta para tirar proveito ou ser considerado até mesmo um meio de corrupção. Diversas situações podem ser consideradas como cola, por exemplo: consultar a prova de um colega, trocar de prova ou conversar com um colega no momento da prova, fazer registro em folhas avulsas ou no próprio corpo para consultas durante a prova, consultar livros, cadernos ou aparelhos eletrônicos, entre outras.
O instrumento de avaliação prova-escrita-com-cola é uma maneira de utilizar um dos tipos de cola como recurso para possibilitar a aprendizagem. De acordo com Forster52, esse instrumento de avaliação foi nomeado dessa maneira justamente para evidenciar a ideia de que é possível trazer a cola “oficialmente” para a prova. Esse mesmo autor informa que uma prova-escrita-com-cola é basicamente
[…] uma prova escrita na qual o aluno tem a sua disposição um pedaço de papel, a cola, em que ele pode anotar as informações que julgar pertinentes para utilizar durante a realização da prova. Para que os alunos façam a cola, é desejável que seja estabelecido um padrão comum a todos. Por exemplo, é preciso definir as dimensões do papel, se o texto da cola deve ser manuscrito ou não, se deve ser feito individualmente ou não53. Esse tipo de instrumento de avaliação se diferencia de uma prova com consulta, principalmente, porque os registros devem estar em um papel com dimensões delimitadas, e os próprios estudantes devem produzi-los. Segundo Forster54, a intenção é que eles utilizem esse instrumento como um meio de estudo, e a limitação do papel pode auxiliar nesse sentido, pois é necessário estudar o assunto para ter condições de recolher as informações mais relevantes para inserir na cola.
Atividades e trabalhos em grupo
O trabalho em grupo tem como objetivo a troca de ideias entre os estudantes, o que possibilita o desenvolvimento da colaboração, da cooperação, da comunicação e da argumentação.
Cohen e Lotan definem trabalho em grupo como “[…] alunos trabalhando juntos em grupos pequenos de modo que todos possam participar de uma atividade com tarefas claramente atribuídas”55. O professor, além de explicar aos estudantes suas ações como solucionadoras de um problema, deve explicitar aspectos a ser considerados, tais como os objetivos do trabalho e os critérios de avaliação.
O trabalho em grupo não pode ser entendido pelos estudantes como a junção das carteiras e cada um realizando sua atividade individualmente. “Trabalho em grupo não é a mesma coisa que agrupamento por habilidade, no qual o professor divide a sala por critério acadêmico para que possa ensinar para grupos mais homogêneos”56
Para incentivar a participação dos integrantes dos grupos e avaliar o desempenho de cada um, o professor pode entregar uma única folha com a atividade proposta, solicitar que organizem as ideias em conjunto e as escrevam em uma folha avulsa. Durante esse processo, o professor pode circular entre os diferentes grupos de modo a perceber o que está sendo discutido, tendo cuidado para não dar a resposta quando sua ajuda for solicitada. Essa estratégia pode ser utilizada para avaliar os estudantes ao realizarem as atividades em grupo propostas nesta coleção, ao final das quais são solicitadas a elaboração de relatórios, peças publicitárias (fôlder, cartaz, vídeo ou podcast), escritas de textos em uma rede social ou blogue, slides etc. Uma maneira de auxiliar na avaliação dos argumentos é pedir aos estudantes que anotem o que considerarem relevante e que foi discutido entre eles.
De acordo com Haydt, a autoavaliação é “[…] uma forma de apreciação geralmente usada quando nos dedicamos a atividades significativas, decorrentes de um comportamento intencional”57 Assim, para realizar uma autoavaliação escolar, os estudantes precisam analisar e interpretar seus conhecimentos, o que lhes permite refletir de maneira crítica sobre o que fizeram ou deixaram de fazer na construção desses conhecimentos.
Uma autoavaliação pode ser constituída de perguntas, respondidas de forma oral ou escrita, que possibilitam aos estudantes realizar uma interpretação pessoal sobre o percurso de sua aprendizagem, tendo consciência de suas dificuldades e limitações. Por meio dessa tomada de consciência, eles podem rever seu processo de estudo, além de auxiliar o professor no planejamento de suas intervenções futuras em sala de aula.
O professor pode realizar a autoavaliação ao longo do ano por meio de questionários ou fichas. Deve-se evitar entregar uma extensa ficha com perguntas que os estudantes necessitem responder, pois a autoavaliação caracteriza-se como um momento de reflexão e não pode se tornar algo exaustivo. De modo geral, devem ser propostas perguntas específicas e objetivas. Em uma ficha de autoavaliação, podem ser fornecidas algumas respostas-padrão para os estudantes assinalarem, como “sim”, “não” e “às vezes”. Entre os diferentes elementos presentes em uma autoavaliação,
52 FORSTER, Cristiano. A utilização da prova-escrita-com-cola como recurso à aprendizagem. 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) –Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. Disponível em: https://pos.uel.br/pecem/wp-content/uploads/2021/08/FORSTER-Cristiano.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
53 FORSTER, ref. 52, p. 27.
54 FORSTER, ref. 52.
55 COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. p. 1. E-book.
56 COHEN; LOTAN, ref. 55, p. 1-2.
57 HAYDT, Regina Célia Cazaux. Avaliação do processo ensino-aprendizagem. 5. ed. São Paulo: Ática, 1995. p. 147.
podem ser privilegiados aspectos procedimentais, de conteúdo, de convivência social, de conduta dos estudantes, entre outros. Assim, a seção O que estudei, organizada ao final de cada Unidade da coleção, constitui um instrumento de autoavaliação.
Na sala de aula, o professor é o agente condutor das situações instrucionais e interacionais. Confirmando o que foi apresentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática58, com o avanço das tecnologias de informação, à medida que o papel dos estudantes foi se redefinindo diante do saber, o papel do professor que ensina Matemática foi se redimensionando. Os estudantes são protagonistas da construção de sua aprendizagem, e o professor é o organizador, o facilitador, o incentivador, o mediador entre o saber matemático e os estudantes. Utilizando diferentes práticas, o professor, em sala de aula, articula o conhecimento matemático com a formação da cidadania, promovendo não só a formação integral dos estudantes mas também importantes mudanças sociais.
O professor mediador não oferece respostas prontas; ele dialoga. Não há como imaginar uma situação instrucional que não seja baseada no diálogo. O professor questiona, é questionado, ouve os estudantes, valoriza, respeita e promove a autonomia deles.
Em relação ao Livro do estudante, procurou-se dar autonomia e respeitar a atuação do professor, orientando-o a reconhecer os momentos nos quais deve desafiar, indagar e conduzir os estudantes à reflexão e à problematização de situações que vão além das apresentadas nesta coleção. Cabe destacar também a importância do trabalho participativo entre o professor da área de Matemática e suas Tecnologias e os professores de outras áreas, buscando o planejamento e a realização de aulas e projetos multidisciplinares.
Um professor de Matemática que atua no Ensino Médio, além de conhecer as diferentes abordagens metodológicas, precisa ter os saberes necessários para construir novas práticas pedagógicas que permitam identificar avanços, dificuldades e possibilidades para a ampliação das aprendizagens de seus estudantes.
Ainda, o professor deve ser “capaz de articular os diferentes saberes escolares à prática social ao desenvolvimento de competências para o mundo do trabalho”59. Isso pode ser feito ao propor situações-problema que envolvam diversos contextos do cotidiano dos estudantes, considerando seus diferentes perfis, e procurando relacioná-las a outras áreas do conhecimento, bem como a conhecimentos da própria Matemática, por meio de atividades, trabalhos em grupos, utilização de tecnologias, textos científicos divulgados pela mídia etc. Dessa maneira, o professor contribui para o desenvolvimento da capacidade dos estudantes de realizar análises críticas, criativas e propositivas.
A maneira como o professor compreende a Matemática vai influenciar o modo como trata tais articulações. Nesse sentido,
saberes de conteúdo matemático e saberes pedagógicos estão inter-relacionados.
O saber profissional do professor é um saber pluridimensional, uma vez que o professor é aquele que planeja, executa, avalia, ou seja, é aquele que, na sala de aula, é responsável pela gestão de um pequeno universo.
As transformações que vêm ocorrendo na sociedade contemporânea também têm causado impacto nos estudantes do Ensino Médio, resultando em mudanças tanto no campo das relações sociais como no mundo do trabalho, ambos caracterizados, na atualidade, pela sua fluidez e pelo seu dinamismo. Essa situação coloca novos desafios para os docentes, em geral, e para o ensino da Matemática, em particular.
Dimensões física, social, emocional e cultural dos estudantes
No cenário atual, é importante que os envolvidos no âmbito educacional considerem, de maneira intencional e explícita, não só o desenvolvimento intelectual mas também as dimensões física, social, emocional e cultural dos estudantes. Assim, para além do trabalho com os conteúdos e com as competências e habilidades próprias das diversas áreas do conhecimento, é necessário criar espaços para que os estudantes do Ensino Médio conheçam seu corpo, seus sentimentos e suas emoções, lidando com as relações interpessoais para serem respeitados e respeitarem os demais.
Considerando a Matemática uma área frequentemente associada a um baixo rendimento acadêmico, à ansiedade e ao desenvolvimento de emoções negativas, o professor precisa assumir a convicção de que todos os estudantes podem aprender e alcançar seus objetivos em relação a essa área, independentemente de suas características pessoais, seus percursos ou suas histórias60 Transformar a maneira com a qual os estudantes se vinculam à Matemática é possível quando o professor, por exemplo, orienta seu trabalho no sentido de despertar o espírito investigativo e a curiosidade dos estudantes, incentivando o levantamento de hipóteses, procurando conhecer suas explicações dos fenômenos cotidianos e propiciando o confronto de ideias para poder construir, de maneira gradativa, os conceitos e procedimentos matemáticos. Reflexos da violência no âmbito escolar e local
Em uma sociedade marcada pelo confronto entre diversos grupos culturais e sociais, o trabalho do professor no Ensino Médio, bem como o dos demais envolvidos, requer a promoção de uma cultura de paz tanto na escola como na esfera social mais ampla. Para isso, todos os envolvidos devem promover o diálogo e a solução não violenta de conflitos, permitindo aos estudantes manifestar opiniões divergentes, mas de maneira respeitosa. Como o desempenho em Matemática é considerado socialmente um importante indicador das capacidades dos estudantes, será essencial propor atividades orientadas à promoção da saúde mental deles, sobretudo no que tange ao combate da violência autoprovocada e à
58 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1997. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
59 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: Dicei, 2013. p. 171. Disponível em: https://www.gov.br/mec/pt-br/acesso-a-informacao/media/seb/pdf/d_c_n_educacao_basica_nova.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
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intimidação sistemática (bullying e cyberbullying), rejeitando estereótipos e discriminações de qualquer natureza. Em escala mais ampla, o professor deve incentivar o bom convívio entre os estudantes, promovendo o diálogo entre eles, que muitas vezes carregam consigo elementos culturais distintos em sua formação social, sempre considerando como parâmetros os direitos humanos e os princípios democráticos61
A juventude não deve ser compreendida como um período de passagem da infância para a maturidade, mas como uma etapa singular e dinâmica. Participantes ativos da sociedade, os jovens são, também, produtores de múltiplas culturas juvenis62. Acolher tais culturas na escola requer o desenvolvimento de um trabalho de maneira transversal que, de modo intencional, promova o respeito à diversidade, potencialize os interesses de cada estudante e considere as novas formas de aprendizagem originadas pelo desenvolvimento tecnológico. Particularmente, é necessário considerar que os jovens, mais do que meros consumidores, têm se tornado protagonistas da cultura digital63. Torna-se essencial, assim, que os estudantes compreendam os impactos da revolução digital em nossa sociedade, e, nesse ponto, a Matemática tem muito a contribuir.
O Ensino Médio se orienta de modo a oferecer ferramentas para que os estudantes possam definir seu projeto de vida, ou seja, possam definir aquilo que almejam para sua trajetória profissional e para seu estilo de vida, considerando tanto sua identidade como as demandas sociais e culturais do contexto no qual estão inseridos. É particularmente importante que, no Ensino Médio, os estudantes possam desenvolver competências que lhes permitam se inserir de maneira crítica, criativa e responsável em um mundo do trabalho complexo, imprevisível e dinâmico. É primordial preparar os estudantes para ocupar “profissões que ainda não existem, para usar tecnologias que ainda não foram inventadas e para resolver problemas que ainda não conhecemos”64. Para isso, a área de Matemática e suas Tecnologias tem um papel central nesses processos. Nessa direção, o professor deverá propor atividades que visibilizem as bases científicas e tecnológicas próprias dos processos produtivos e nas quais os estudantes mobilizem recursos e ferramentas matemáticas para resolver problemas complexos que exijam reflexão e abstração e, simultaneamente, desenvolvam uma visão integrada da Matemática e da sua aplicação à realidade.
A sociedade vem passando por diferentes modificações que requerem do professor uma mudança atitudinal e, consequentemente, uma gestão de sala de aula diferente da vivenciada há alguns anos. Além de ensinar a estudantes que estão inseridos em um mundo globalizado, com acesso facilitado às mais diversas
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informações, o professor deve acolher estudantes que vivenciam diversas realidades, bem como buscar estratégias de ensino e de aprendizagem que atendam a estudantes de diferentes perfis, como aqueles em situação de itinerância ou com deficiência, por exemplo.
De acordo com a perspectiva de Troncon, o ambiente educacional pode ser definido como o […] conjunto de elementos, de ordem material ou afetiva, que circunda o educando, que nele deve necessariamente se inserir e que o inclui, quando vivencia os processos de ensino e aprendizado, e que exerce influência definida sobre a qualidade do ensino e a eficácia do aprendizado. […]65
Esse autor destaca que o ambiente educacional tem impacto na construção do conhecimento dos estudantes, o que, consequentemente, denota a importância e a atenção que deve receber, com o propósito de aprimorá-lo e de aperfeiçoar o processo educacional. Um ambiente educacional é composto basicamente de dois elementos: um de natureza material (mobiliário, iluminação, espaço físico etc.) e outro de caráter afetivo (respeito e segurança, entre outros). É necessário enfatizar que parte importante dos componentes do ambiente educacional é aquela relativa ao ambiente físico em que se dá o aprendizado, ou seja, as condições materiais que cercam o ensino e a aprendizagem.
No que diz respeito ao caráter afetivo, o professor deve propiciar um ambiente acolhedor e de respeito entre os estudantes. Estes devem se sentir seguros para expor suas dúvidas, trocar ideias com os colegas e com o professor e contribuir com o processo de ensino-aprendizagem de toda a turma. Desse modo, é preciso criar estratégias para uma boa convivência.
Assim, o professor pode, no início do ano letivo, propor alguns combinados com a turma, desde que esses respeitem as regras da instituição de ensino. Algumas regras que podem ser estabelecidas são: respeitar professores e colegas; evitar atrasos; zelar pela limpeza da sala de aula; não utilizar termos pejorativos e/ou que ofendam o outro; praticar a empatia com os colegas; questionar sempre que houver dúvidas em relação ao conteúdo.
Outro aspecto de caráter afetivo que pode ser destacado é a acolhida a estudantes em situação de itinerância, como circenses, migrantes e pertencentes a povos ciganos. Sugere-se promover uma roda de conversa com toda a turma a fim de que esse estudante se apresente e conte como é a experiência de estudar em diferentes locais no decorrer da vida acadêmica. Essa pode ser uma estratégia eficaz, desde que o estudante não se sinta constrangido.
Em relação a aspectos de natureza material, destacam-se a organização da sala de aula, o uso do Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) e ambientes não convencionais.
A sala de aula não precisa se limitar à organização convencional de estudantes enfileirados. Uma alternativa é organizá-los em pequenos grupos, favorecendo o diálogo e a integração entre eles. Outra opção é a organização das carteiras em formato de “U”, em que os estudantes têm contato direto com diversos colegas. Assim, é possível que eles sanem dúvidas, troquem ideias a respeito de atividades e busquem soluções para problemas propostos.
62 DAYRELL, Juarez. A escola “faz” as juventudes?: reflexões em torno da socialização juvenil. Educação & Sociedade, Campinas, v. 28, n. 100, p. 1105-1128, 2007. Disponível em: https://www.scielo.br/j/es/a/RTJFy53z5LHTJjFSzq5rCPH/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
63 BRASIL, ref. 1.
64 BRASIL, ref. 1, p. 473.
65 TRONCON, Luiz Ernesto de Almeida. Ambiente educacional. Medicina, Ribeirão Preto, v. 47, n. 3, p. 264-271, 2014. p. 265. Disponível em: https://www.revistas.usp.br/rmrp/article/ view/86614/89544. Acesso em: 9 set. 2024.
O LEM pode ser considerado um ambiente educacional que consiste em um espaço munido de material para que professor e estudantes desenvolvam seus trabalhos de ensinar e aprender Matemática. Esse ambiente pode potencializar o trabalho desenvolvido em sala de aula, evitando que o professor precise deslocar grande quantidade de material de um local para outro.
Esse espaço pode ser uma sala, um armário ou outro local na escola em que se possa armazenar: o material construído pelos próprios estudantes em conjunto com o professor, material industrializado, livros e revistas relacionados a temas matemáticos, livros didáticos e paradidáticos, jogos, peças que representam sólidos geométricos, instrumentos de medida, calculadoras, computadores, lousa digital, televisor, pôsteres, cartolinas, papéis sulfite, tesouras, entre outros. Segundo Lorenzato, […] o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender66.
Um laboratório com essas características pode ser estruturado por meio do trabalho conjunto entre professores de diferentes áreas e turmas, diretor e outros responsáveis da escola, além da colaboração dos estudantes. Durante as atividades ou experimentos realizados em laboratórios, é importante que a segurança e a integridade dos estudantes e de outras pessoas presentes sejam garantidas. Apesar de a sala de aula ser considerada um ambiente convencional de ensino e de aprendizagem, esse não é o único espaço em que a construção do conhecimento pode ocorrer.
De acordo com D’Ambrosio, o
[…] cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura67
Nesse sentido, os espaços extraescolares, considerados ambientes não convencionais de ensino, podem promover a construção de conhecimentos e o desenvolvimento cognitivo e comportamental. Existe uma variedade de espaços não convencionais em diferentes contextos, que exibem alguma relação direta ou indireta com os conteúdos das áreas do conhecimento e, em especial, com conteúdos matemáticos.
Por exemplo, ao propor um trabalho de investigação envolvendo prédios públicos, que tenham rampas de acesso, no município em que os estudantes moram, conhecimentos matemáticos podem ser construídos ou evidenciados na medição das dimensões da rampa, na análise e na comparação com o padrão de inclinação estabelecido pela legislação, entre outros aspectos. Além de promover a aprendizagem de conteúdos matemáticos, pode-se desenvolver a formação de um cidadão crítico e engajado ao elaborar um relatório com informações sobre os prédios analisados e sugerir ações que possam contribuir para a melhoria da acessibilidade nesses prédios.
Museus, parques recreativos, jardins botânicos, zoológicos, unidades de conservação, feiras, exposições e planetários são exemplos de espaços não convencionais que também podem ser utilizados para o desenvolvimento de atividades de educação formal. Nas Orientações específicas, são apresentadas sugestões de ambientes como esses, onde os estudantes podem realizar visitas relacionadas aos conteúdos matemáticos ou aos temas abordados em diferentes momentos durante o trabalho com esta coleção.
De modo geral, a utilização de ambientes não convencionais para o ensino e a aprendizagem é uma prática pouco explorada na educação formal. O professor interessado em utilizar um espaço não convencional deve fazer um planejamento para evidenciar a compreensão das funções, do funcionamento e das potencialidades desse espaço para a educação formal. Além disso, precisa considerar as limitações do espaço escolhido e solicitar à escola e aos pais ou responsáveis uma autorização em caso de necessidade de saída dos estudantes do ambiente escolar.
No ambiente educacional, é preciso pensar na inclusão de estudantes com deficiência. O professor deve estar atento a estratégias de acolhimento e, em muitos casos, buscar estratégias diferenciadas de ensino e de aprendizagem. Também é preciso se ater à promoção da acessibilidade, garantindo a todos os estudantes o acesso ao meio físico, à informação e à comunicação.
Ao professor, recomenda-se que o primeiro passo seja conhecer o estudante com deficiência, buscando compreender laudos médicos e o seu histórico escolar. O diálogo com a família também se mostra relevante nesse momento para compreender quais são as principais necessidades desse estudante. Algumas instituições de ensino têm sala de recursos, com materiais que viabilizam a aprendizagem dos estudantes, e o Atendimento Educacional Especializado, garantido por lei. De acordo com o Ministério da Educação, por meio da Secretaria de Educação Especial, [o] atendimento educacional especializado – AEE tem como função identificar, elaborar e organizar recursos pedagógicos e de acessibilidade que eliminem as barreiras para a plena participação dos alunos, considerando suas necessidades específicas68
Assim, o professor de Matemática, em conjunto com os demais professores e com os profissionais do AEE, pode elaborar um Plano de Desenvolvimento Individual (PDI) com as devidas adaptações necessárias. O importante é atender às particularidades de cada estudante e promover atividades em que nenhum estudante se sinta excluído. Em Matemática, o professor pode utilizar tecnologias digitais para trabalhar com estudantes com Transtorno do Espectro Autista (TEA), uma vez que essas tecnologias têm potencial de contribuir com as interações entre esses estudantes e os demais colegas da turma, o que é fundamental para o processo de aprendizagem. Outro exemplo é o uso do software GeoGebra para explorar conceitos geométricos com estudantes com TEA. Esse trabalho possibilita a esse estudante manipular o software, por meio de suas ferramentas, para visualizar e verificar propriedades geométricas de maneira dinâmica e interativa, ampliando seu protagonismo no processo de aprendizagem, além de incentivar seu relacionamento com o professor e os colegas.
66 LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 1. ed. Campinas: Autores Associados, 2006. (Formação de professores, p. 7).
67 D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática, p. 22).
68 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Diretrizes Operacionais da Educação Especial para o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEE, 2008. p. 1. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=428-diretrizes-publicacao&Itemid=30192. Acesso em: 9 set. 2024.
Considerada uma prática social, a comunicação não se limita ao uso da fala. Ela envolve, também, a produção da escrita, a utilização de símbolos e de expressões pictóricas e corporais, assim como os processos de interpretação dessas diferentes linguagens. A comunicação é, então, essencial para os processos de interação social e de desenvolvimento humano. Dessa maneira, o aperfeiçoamento das competências leitoras e argumentativas dos estudantes é um objetivo que transpassa o Ensino Médio, não sendo priorizado somente na área de Linguagens e suas Tecnologias mas também nas outras áreas do conhecimento. Particularmente, o professor de Matemática pode contribuir, de maneira decisiva, na aprendizagem de estratégias de leitura de textos matemáticos ou que contenham dados ou argumentos de natureza matemática.
Nas últimas décadas, as práticas que requerem a mobilização de competências leitoras têm se multiplicado e se diversificado. Muitas delas exigem do leitor a mobilização de conhecimentos matemáticos para interpretar, por exemplo, informações estatísticas veiculadas nas mídias e na publicidade. Assim, visando à formação de cidadãos críticos, é importante que os professores ofereçam oportunidades para que os estudantes do Ensino Médio possam interpretar, interagir e argumentar sobre esses textos nos suportes em que aparecem e nas situações cotidianas.
Por sua vez, os textos matemáticos também apresentam suas características específicas, sendo necessário que o professor atue como mediador nos processos de interação dos estudantes com esses textos69. Visando aprimorar a compreensão e a interpretação dos textos matemáticos, incluindo enunciados de situações-problema, o professor deve fornecer aos estudantes dados relevantes e condições que, como em situações similares, possam ser utilizadas em sua resolução.
A apropriação da linguagem simbólica própria da Matemática tem se mostrado uma tarefa complexa, com muitos dos obstáculos vinculados à interpretação e à utilização da linguagem algébrica. Nessa direção, o trabalho envolvendo a leitura de textos e a produção de argumentos matemáticos utilizando diversas linguagens – algébrica, discursiva, gráfica, pictórica etc. – tem sido uma estratégia frutífera. O professor pode propor múltiplas tarefas com essa orientação ao solicitar, por exemplo, a leitura e a interpretação de textos que combinam a linguagem discursiva com a gráfica, a produção de argumentos matemáticos utilizando diversos tipos de linguagem, a tradução de informações expressas em linguagem algébrica para a linguagem discursiva, a escrita de textos discursivos que apresentem o desenvolvimento de um problema e sua solução, a leitura e a escrita de relatórios que sintetizem dados expressos em tabelas e gráficos estatísticos, a elaboração de enunciados de problemas a partir de uma expressão algébrica, entre outros. A utilização dos diversos tipos de registro próprios da Matemática contribuirá para o desenvolvimento cognitivo dos estudantes e para o aprimoramento da comunicação na sala de aula.
Nas aulas de Matemática, é importante propor situações que possibilitem aos estudantes utilizarem diferentes estratégias de cálculo, ampliando seu repertório. Essas estratégias podem envolver cálculos por escrito, cálculo mental, uso de calculadora científica ou computador, entre outras. Nesse nível de escolaridade, é importante que os estudantes escolham as próprias estratégias, julgando a mais adequada para resolver determinados problemas.
Realizar um cálculo por escrito auxilia os estudantes a registrar e organizar os resultados no papel.
Ao realizar um cálculo mental, são mobilizadas estratégias que visam rapidez e eficiência na obtenção de uma resposta, e é possível trabalhar, de maneira simultânea, a memória e a concentração. Segundo Buys70, o cálculo mental permite aos estudantes calcular livremente, sem restrições, desenvolvendo novas estratégias de cálculo ou o uso de números de referência e estratégias que já detêm. Para esse autor, há três características presentes no cálculo mental: operar com números, e não com dígitos; usar propriedades elementares das operações e relações numéricas; e permitir o recurso a registros auxiliares em papel.
As calculadoras científicas devem ser um dos instrumentos tecnológicos presentes nas aulas de Matemática e disponíveis aos estudantes, pois seu uso de maneira reflexiva pode contribuir para o aprendizado, auxiliando os estudantes a investigar e a identificar regularidades e propriedades, generalizar, conferir cálculos por escrito, realizar cálculos mais complexos, tomar decisões etc. Cabe destacar que aplicativos de calculadoras científicas estão disponíveis na maioria dos smartphones
A Matemática escolar é desafiadora, tanto para os estudantes como para os professores. Observando os contextos social e tecnológico, pode-se identificar o descompasso que há entre esses contextos e o sistema educacional.
Junto às críticas ao modelo escolar, que é desconfigurado e engessado, tem-se, de um lado, a Matemática como uma área compartimentalizada e, de outro, uma sociedade high tech que a desafia e exige inovações.
Assim, buscando atender às necessidades e expectativas dos jovens do Ensino Médio, a BNCC define e organiza as aprendizagens essenciais por áreas do conhecimento e incentiva a integração entre essas áreas.
Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprios da Matemática e de outras áreas do conhecimento, com o propósito de superar a fragmentação dos saberes, possibilita abordar uma situação-problema de diferentes perspectivas.
Durante as aulas de Matemática, algumas situações podem ser aproveitadas para o professor estabelecer relações com outras áreas do conhecimento. Uma pergunta feita por um estudante durante o
69 OLIVEIRA, Emilio Celso de; PIRES, Célia Maria Carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema, Rio Claro, v. 23, n. 37, p. 931-953, 2010. Disponível em: https://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/4300/3434. Acesso em: 9 set. 2024. 70 BUYS, K. Mental arithmetic. In: HEUVEL-PANHUIZEN, Marja van den (ed.). Children learn mathematics. Rotterdam: Sense, 2001. p. 121-146. Developed by the TAL Team. Utrecht: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University and National Institute for Curriculum Development (SLO).
desenvolvimento de um conteúdo matemático, por exemplo, pode ter potencial para desencadear abordagens de conteúdos de outras áreas.
Para Tomaz e David71, os professores dos diversos componentes curriculares podem conversar para levantar aspectos comuns de sua prática e compará-los com os de outro professor que trabalha com os mesmos estudantes a fim de encontrar alternativas para potencializar as oportunidades de interdisciplinaridade em sala de aula, tornando essa prática mais usual.
Nesta coleção, procurou-se estabelecer relações entre a Matemática e suas Tecnologias a outras áreas do conhecimento, com destaque para a área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias. As competências específicas 1, 2 e 3 de Ciências da Natureza e suas Tecnologias são abordadas em diferentes momentos da coleção, seja no decorrer de desenvolvimentos conceituais, seja no decorrer de propostas de atividades ou da seção Integrando com.... No Volume 1, na Unidade 1, por exemplo, desenvolve-se a competência específica 3, uma vez que propõem-se uma discussão acerca de transfusões de sangue e uma análise do sistema ABO e do fator Rh, no contexto do estudo das relações entre conjuntos. Outro exemplo, também no Volume 1, que possibilita desenvolver as competências específicas 1 e 2, é apresentado na Unidade 3, ao abordar a temática mobilidade urbana sustentável, bem como sua importância para a redução de impactos ambientais, relacionando essa temática ao estudo de funções.
Apresentamos, a seguir, as principais referências que nortearam a produção desta coleção, bem como as que foram citadas no texto. Por consequência, essas referências podem fomentar o processo de ensino-aprendizagem, ampliando e complementando o que foi proposto na obra.
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; FERRUZZI, Elaine Cristina. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria : Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 117-234, 2009. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/ view/37952/28980. Acesso em: 9 set. 2024. Nesse artigo, os autores apresentam uma situação-problema para evidenciar a possibilidade de trabalhar atividades de modelagem matemática em sala de aula na perspectiva socioepistemológica.
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de modelagem matemática: um olhar sobre os modos de inferência. Ciência e Educação, Bauru, v. 18, p. 623-642, 2012. Disponível em: https://www.scielo.br/j/ciedu/a/v4qMkLjq9M FHmddXVmSJ7nh/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 9 set. 2024. Análise de uma atividade de modelagem para investigar relações entre ações cognitivas evidenciadas em atividades desse tipo e os modos de inferência na semiótica peirceana.
• ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. O registro gráfico em atividades de modelagem matemática: um estudo da conversão entre registros segundo a teoria dos registros de representação semiótica. In : SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2009, São Paulo. Anais […]. São Paulo: Uniban, 2009. Discussão sobre as conversões ligadas ao registro gráfico realizadas por estudantes de uma turma de licenciatura em atividades de modelagem matemática.
• AUSUBEL, David Paul; NOVAK, Joseph Donald; HANESIAN, Helen. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. Obra em que os autores apresentam sua teoria da aprendizagem significativa.
• BERTINI, Luciane de Fatima; PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion. Uso da investigação matemática no processo de ensino e aprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2008, Rio Claro. Anais […]. Rio Claro: Unesp, 2008. Disponível em: www2.rc.unesp.br/eventos/mate matica/ebrapem2008/upload/135-1-A-gt8_bertini_ta.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Nesse artigo, as autoras distinguem problema de exercício e defendem a realização de investigações matemáticas pelos estudantes para promover sua aprendizagem.
• BOAVIDA, Ana Maria; GOMES, Anabela; MACHADO, Sílvia. Argumentação na aula de matemática: olhares sobre um projeto de investigação colaborativa. Educação e Matemática, Lisboa, n. 70, p. 18-26, 2002. Disponível em: https://em.apm.pt/index.php/em/ article/view/1141/1182. Acesso em: 9 set. 2024.
Relato de experiência de implementar tarefas com foco na argumentação matemática em sala de aula.
• BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática).
Trabalho sobre o uso de informática educativa no ambiente escolar, contendo debates relacionados às políticas governamentais e às questões epistemológicas e pedagógicas.
• BRACKMANN, Christian Puhlmann. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. 2017. Tese (Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/bits tream/handle/10183/172208/001054290.pdf?sequence=1& isAllowed=y. Acesso em: 9 set. 2024.
A pesquisa objetiva verificar a possibilidade de desenvolver o pensamento computacional na Educação Básica por meio de atividades “desplugadas”, isto é, sem o uso de computadores.
• BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/ constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 9 set. 2024. Conhecida como Constituição Cidadã, é o atual conjunto de leis fundamentais que organiza o estado brasileiro.
• BRASIL. Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/leis/l9394.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
Legislação que regulamenta o sistema educacional do Brasil no âmbito público ou privado, da Educação Básica até o Ensino Superior.
71 TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática).
• BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014. Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https:// www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/ l13005.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
Legislação que estabelece diretrizes e metas para a educação brasileira entre o período de 2014 e 2024.
• BRASIL. Lei no 13.415, de 16 de fevereiro de 2017. Altera as Leis no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, e 11.494, de 20 de junho 2007, que regulamenta o Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica e de Valorização dos Profissionais da Educação, a Consolidação das Leis do Trabalho […]. Brasília, DF: Presidência da República, [2023]. Disponível em: https://www. planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2015-2018/2017/Lei/L13415. htm?msclkid=99fb7879d0c211ec91a329a85274182b. Acesso em: 9 set. 2024.
Legislação que altera a regulamentação do sistema educacional do Brasil no âmbito público ou privado.
B RASIL. Lei n o 1 4.945, de 31 de julho de 2024 . Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), a fim de definir diretrizes para o ensino médio, e as Leis nos 14.818, de 16 de janeiro de 2024, 12.711, de 29 de agosto de 2012, 11.096, de 13 de janeiro de 2005, e 14.640, de 31 de julho de 2023. Brasília, DF: Presidência da República, 2024. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/_ato2023-2026/2024/lei/l14945.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
Legislação que altera a lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, com definição de diretrizes para o Ensino Médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_ EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 9 set. 2024. Documento que regulamenta as aprendizagens essenciais na Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular : computação: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2022. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ fevereiro-2022-pdf/236791-anexo-ao-parecer-cneceb-n-2 -2022-bncc-computacao/file. Acesso em: 9 set. 2024. Documento que estabelece normas para o ensino de computação na Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Parecer CNE/CEB no 2, de 12 de fevereiro de 2022. Brasília, DF: MEC: CNE, 2022. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index. php?option=com_docman&view=download&alias=235511-pceb 002-22&category_slug=fevereiro-2022-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 12 set. 2024. Normas sobre Computação na Educação Básica – Complemento à BNCC.
• BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB no 3, de 26 de junho de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/cne/ arquivos/pdf/rceb03_98.pdf. Acesso em: 9 set. 2024. Documento que institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.
• BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB n o 3, de 21 de no vembro de 2018 . Atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 2018. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/novembro-2018-pdf/ 102481-rceb003-18/file. Acesso em: 9 set. 2024.
Documento que atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.
• BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Relatório Nacional PISA 2012: resultados brasileiros. Brasília, DF: MEC: Inep, 2012. Disponível em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/ resultados/2014/relatorio_nacional_pisa_2012_resultados _brasileiros.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Documento sobre os resultados nacionais do Pisa de 2012.
• BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 2000. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Textos que norteiam a reforma curricular do Ensino Médio.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. Brasília, DF: SEB: Dicei, 2013. Disponível em: https://www.gov.br/mec/pt-br/acesso-a-informacao/ media/seb/pdf/d_c_n_educacao_basica_nova.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Normas obrigatórias que definem os princípios, fundamentos e procedimentos na Educação Básica a fim de orientar o planejamento curricular das escolas brasileiras e dos sistemas de ensino.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Texto que discorre sobre os temas contemporâneos transversais, apresentando sua contextualização, sua relação com a BNCC e os pressupostos teóricos para sua abordagem.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Diretrizes Operacionais da Educação Especial para o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEE, 2008. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias=428 -diretrizes-publicacao&Itemid=30192. Acesso em: 9 set. 2024. Documento contendo as Diretrizes Operacionais da Educação Especial para o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Conjunto de textos que norteiam a elaboração dos currículos escolares do Ensino Fundamental.
• BUYS, K. Mental arithmetic. In : HEUVEL-PANHUIZEN, Marja van den (ed.). Children learn mathematics . Rotterdam: Sense, 2001. Developed by the TAL Team. Utrecht: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University and National Institute for Curriculum Development (SLO).
Trabalho que propõe discussão e reflexão sobre estratégias de cálculo mental por crianças e adolescentes.
• COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. E-book.
Nesse livro, as autoras apresentam e defendem a ideia do trabalho em grupo em turmas heterogêneas como uma estratégia potencialmente eficaz de ensino-aprendizagem, além de teorias e orientações para a prática em sala de aula.
• D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática : da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática).
Discussão geral relacionada à educação matemática, propondo uma reflexão sobre a Matemática, aspectos teóricos e temas ligados à sala de aula e à prática docente.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática).
Nessa obra, o autor procura proporcionar uma visão geral da Etnomatemática, principalmente aspectos teóricos.
DAYRELL, Juarez. A escola “faz” as juventudes?: reflexões em torno da socialização juvenil. Educação & Sociedade, Campinas, v. 28, n. 100, p. 1105-1128, 2007. Disponível em: https://www. scielo.br/j/es/a/RTJFy53z5LHTJjFSzq5rCPH/?lang=pt&format =pdf. Acesso em: 9 set. 2024. Nesse artigo, é possível conhecer mais as culturas juvenis e sua relação com a escola.
DE LANGE, Jan. Framework for classroom assessment in mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, 1999.
Nessa publicação, o autor apresenta os objetivos da avaliação escolar e lista padrões e princípios para sua realização nas aulas de Matemática (texto em língua inglesa).
FORSTER, Cristiano. A utilização da prova-escrita-com-cola como recurso à aprendizagem. 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. Disponível em: https://pos.uel. br/pecem/wp-content/uploads/2021/08/FORSTER-Cristiano. pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Estudo sobre a utilização de uma prova-escrita-com-cola como recurso na avaliação que oportuniza a aprendizagem.
HADJI, Charles. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Porto: Porto Editora, 1994. Proposta de abordagem de avaliação da aprendizagem escolar, incluindo reflexões e análises relacionadas aos tipos de avaliação.
• HAYDT, Regina Célia Cazaux. Avaliação do processo ensino-aprendizagem. 5. ed. São Paulo: Ática, 1995.
Nessa obra, a autora discute as funções da avaliação escolar, incluindo a autoavaliação como parte do processo de ensino-aprendizagem.
• HOWLAND, Jane L.; JONASSEN, David; MARRA, Rose. Meaningful learning with technology. 4th ed. Boston: Pearson, 2011. Demonstração de como os professores podem utilizar a tecnologia para incentivar e auxiliar na aprendizagem significativa dos estudantes (texto em língua inglesa).
• LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 1. ed. Campinas: Autores Associados, 2006. (Formação de professores).
Discussão sobre o papel de Laboratórios de Ensino de Matemática (LEM) no ensino e na aprendizagem de Matemática.
• MORÁN, José. Mudando a educação com metodologias ativas. In : SOUZA, Carlos Alberto de; MORALES, Ofelia Elisa Torres (org.). Convergências midiáticas, educação e cidadania : aproximações jovens. Ponta Grossa: Proex: UEPG, 2015. v. II, p. 15-33. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile. php/4941832/mod_resource/content/1/Artigo-Moran.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Texto sobre metodologias ativas e mudanças educacionais.
• OLIVEIRA, Emilio Celso de; PIRES, Célia Maria Carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema, Rio Claro, v. 23, n. 37, p. 931-953, 2010. Disponível em: https:// www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/ view/4300/3434. Acesso em: 9 set. 2024.
Artigo sobre as competências leitoras em Matemática.
• ONUCHIC, L ourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema , Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011. Disponível em: https://www.periodicos.rc. biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/5739/ 4625. Acesso em: 9 set. 2024.
Esse artigo apresenta os estudos sobre resolução de problemas desenvolvidos até então pelo grupo de pesquisa do qual as autoras participavam.
• PONTE, João Pedro da. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa: APM, 2003. (CD-ROM).
Apresentação dos conceitos de investigar, ensinar e aprender e analisar relações entre eles no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
• SACRISTÁN, José Gimeno. Saberes e incertezas sobre o currículo Porto Alegre: Penso, 2013. Reflexão sobre a organização e o desenvolvimento do currículo.
• SANTOS, João Ricardo Viola dos; BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Da ideia de erro para as maneiras de lidar: caracterizando nossos alunos pelo que eles têm e não pelo que lhes falta. In: BURIASCO, Regina Luzia Corio de (org.). Avaliação e educação matemática Recife: SBEM, 2008. (Coleção SBEM).
Avaliação crítica de alguns trabalhos de pesquisadores sobre análise de “erros” de estudantes em diversos contextos e caracterização dos seus processos de resolução, considerando o que eles trazem.
• TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática).
Nesse livro, são apresentadas algumas perspectivas teóricas e exemplos de situações de sala de aula em que é possível perceber diferentes abordagens interdisciplinares de conteúdos escolares.
• TRONCON, Luiz Ernesto de Almeida. Ambiente educacional. Medicina, Ribeirão Preto, v. 47, n. 3, p. 264-271, 2014. Disponível em: https://www.revistas.usp.br/rmrp/article/view/86614/89544. Acesso em: 9 set. 2024.
Artigo sobre ambiente educacional e seus principais componentes, incluindo uma discussão acerca da participação desse tipo de ambiente no aprendizado.
Nesta seção, são apresentadas sugestões de trabalhos, sites, plataformas e cursos, com vistas a contribuir com o processo de formação dos professores e, consequentemente, com os processos de ensino-aprendizagem.
• ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na educação básica
São Paulo: Contexto, 2012.
Essa obra apresenta a definição e as características da modelagem matemática, atividades que foram desenvolvidas na Educação Básica, incluindo discussões e encaminhamentos para a sala de aula e outros temas a ser trabalhados nessa perspectiva.
BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia R. da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2016.
Esse livro apresenta propostas de uso de tecnologias nas aulas de Matemática.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Novas reflexões sobre ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. Esse texto apresenta informações gerais sobre resolução de problemas.
POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. Estudo de métodos de resolução de problemas, incluindo uma proposta de etapas para resolver problemas.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula . Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática).
Análise de como a investigação matemática pode ser desenvolvida em sala de aula a partir de resultados de pesquisas.
SACRISTÁN, José Gimeno. A avaliação no ensino. In: SACRISTÁN, José Gimeno; GÓMEZ, Angel I. Pérez. Compreender e transformar o ensino. Tradução: Ernani F. da Fonseca Rosa. 4. ed. Porto Alegre: Artmed, 1998.
Texto sobre avaliação no ensino, no qual o autor apresenta e discute seu conceito, prática, funções, classificações, entre outros.
THOMPSON, Alba G. Teachers’ beliefs and conceptions: a synthesis of the research. In: GROUWS, D. A. (ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning. Nova York: MacMillan, 1992.
Texto sobre crenças e concepções de professores referentes à educação matemática (texto em língua inglesa).
Instituições e grupos de estudo para a formação continuada do professor
• ASSOCIAÇÃO NACIONAL DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA
NA EDUCAÇÃO BÁSICA. Rio de Janeiro, c2024. Site. Disponível em: https://anpmat.org.br/. Acesso em: 8 set. 2024.
Associação de professores de Matemática que atuam na Educação Básica em todo o país.
• CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www. cnpq.br. Acesso em: 9 set. 2024.
Fundação pública cujas principais atribuições são fomentar as pesquisas científica, tecnológica e de inovação e a formação de pesquisadores.
• COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.capes. gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Instituição que busca a expansão e a consolidação dos cursos de mestrado e de doutorado em todo o país.
• GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ETNOMATEMÁTICA. São Paulo, [2024]. Site. Disponível em: www2.fe.usp.br/~etnomat. Acesso em: 8 set. 2024.
Grupo de pesquisa organizado em torno do interesse pela diversidade matemática produzida e utilizada em vários contextos socioculturais.
• GRUPO DE PESQUISA EM INFORMÁTICA, OUTRAS MÍDIAS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Rio Claro, [2024]. Site. Disponível em: http://igce.rc.unesp.br/#!/gpimem. Acesso em: 8 set. 2024. Grupo de pesquisa que estuda questões ligadas às tecnologias na educação matemática, bem como as mudanças que trazem a inserção das tecnologias digitais na educação.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Brasília, DF, 2012. Site. Disponível em: www.sbembrasil.org.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Sociedade civil, de caráter científico e cultural, sem fins lucrativos, que busca congregar profissionais da área de educação matemática e de áreas afins.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. Rio Claro, [2024]. Site. Disponível em: www.sbhmat.org. Acesso em: 8 set. 2024.
Sociedade científica de história da Matemática criada com o objetivo de divulgar dados, reflexões e informações referentes à história da Matemática.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro, c2024. Site. Disponível em: www.sbm.org.br. Acesso em: 8 set. 2024. Entidade civil, de caráter cultural e sem fins lucrativos, que tem, entre suas finalidades, reunir os matemáticos e professores de Matemática do Brasil e contribuir para a melhoria do ensino de Matemática em todos os níveis.
• BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Rio Claro: Unesp, [2024]. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema/. Acesso em: 7 set. 2024.
Periódico que publica artigos relacionados ao ensino e à aprendizagem de Matemática e/ou ao papel da Matemática e da educação matemática na sociedade.
• EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Brasília, DF: SBEM, [2024]. Disponível em: https://www.sbembrasil.org.br/periodicos/ index.php/emr. Acesso em: 8 set. 2024.
Revista que tem como foco o trabalho do professor em sua prática de educador matemático.
• EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PESQUISA. São Paulo: PUC, [2024]. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/emp. Acesso em: 8 set. 2024. Revista que divulga produções científicas na área de educação matemática em âmbito internacional.
• REVEMAT: Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis: GPEEM: UFSC, [2024]. Disponível em: https://periodicos. ufsc.br/index.php/revemat. Acesso em: 8 set. 2024. Revista científica que visa promover o aprofundamento da investigação sobre temas ligados à epistemologia, à formação de professores e ao ensino e aprendizagem da Matemática.
• REVISTA EUREKA! Rio de Janeiro: SBM: OBM, c2024. Disponível em: https://www.obm.org.br/revista-eureka/. Acesso em: 8 set. 2024.
Revista que divulga artigos relevantes para a preparação dos estudantes que participarão da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM).
RPM: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, [2024]. Disponível em: http://rpm.org.br/default.aspx?m_id=1. Acesso em: 9 set. 2024.
Revista que publica artigos sobre Matemática em nível elementar ou avançado, que sejam apropriados para o professor do Ensino Médio e para estudantes de cursos de Licenciatura em Matemática.
ZETETIKÉ: Revista de Educação Matemática. Campinas: Unicamp: [2024]. Disponível em: http://ojs.fe.unicamp.br/ged/zetetike. Acesso em: 8 set. 2024.
Revista que busca contribuir para a formação de pesquisadores e para o desenvolvimento da pesquisa na área de educação matemática por meio do intercâmbio e da divulgação de pesquisas e estudos realizados.
FUNDAÇÃO BIBLIOTECA NACIONAL. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: https://www.gov.br/bn/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024.
Apresenta informações acerca da FBN e da produção bibliográfica nacional.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Contém dados, informações e análises sociais, econômicas e geográficas sobre o Brasil, obtidos e produzidos pelo próprio instituto.
INSTITUTO BRASILEIRO DO MEIO AMBIENTE E DOS RECURSOS NATURAIS RENOVÁVEIS. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.gov.br/ibama/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024. Disponibiliza informações e leis sobre o meio ambiente brasileiro, bem como ações e programas do instituto, visando à conservação e preservação ambiental.
• INSTITUTO DO PATRIMÔNIO HISTÓRICO E ARTÍSTICO NACIONAL. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: https://www.gov. br/iphan/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024.
Apresenta informações sobre os patrimônios históricos e artísticos reconhecidos.
• INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: www.inmetro. gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza normas e informações sobre metrologia, fiscalização e qualidade de produtos.
• INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. São José dos Campos, [2024]. Site. Disponível em: www.inpe.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Apresenta informações sobre o instituto, pesquisas, produtos e serviços nas áreas espacial e do ambiente terrestre do Brasil.
• MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.mctic.gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza diversas informações, como estrutura organizacional, agendas, planejamento estratégico, ações e programas referentes à área de ciência e tecnologia.
• MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.gov.br/mec/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza diversas informações, como estrutura organizacional, competências, ações e programas na área de educação.
• MINISTÉRIO DA SAÚDE. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.saude.gov.br. Acesso em: 8 set. 2024. Portal em que são disponibilizados dados, informações, notícias e campanhas sobre a saúde no Brasil.
• PORTAL DOMÍNIO PÚBLICO. Brasília, DF, [2004]. Site. Disponível em: www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm. jsp. Acesso em: 8 set. 2024. Disponibiliza obras literárias, artísticas e científicas em formato de textos, sons, imagens e vídeos que são de domínio público, ou que tenham sua divulgação devidamente autorizada, e que constituem patrimônio cultural brasileiro e universal.
• AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM DO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Brasília, DF, 2024. Site . Disponível em: https:// avamec.mec.gov.br/. Acesso em: 9 set. 2024.
Oferece diferentes cursos on-line voltados para professores e outros profissionais envolvidos com a educação.
• CENTRO DE APERFECIO AMENTO DO ENSINO DE MATEMÁTICA – “JOÃO AFONSO PASCARELLI”. São Paulo, SP, [2024]. Site. Disponível em: https://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em: 9 set. 2024.
Oferece cursos, oficinas, palestras e promoção de eventos para professores que ensinam Matemática nas redes pública e/ou privada.
• GOOGLE SALA DE AULA. [S. l., 2024]. Site. Disponível em: https:// classroom.google.com/. Acesso em: 9 set. 2024.
Ambiente virtual que possibilita ao professor interagir com os estudantes, compartilhando atividades e dialogando por meio de chats e videochamadas.
• KHAN ACADEMY. [S. l.], c2024. Site. Disponível em: https://pt.kha nacademy.org/. Acesso em: 9 set. 2024.
Organização sem fins lucrativos que disponibiliza aulas e atividades de Matemática e de outras áreas de forma gratuita.
• MESTR ADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: https:// profmat-sbm.org.br/. Acesso em: 9 set. 2024.
Programa de mestrado semipresencial voltado para professores de Matemática da Educação Básica em âmbito nacional.
• O GEOGEBRA. [S. l. , 2024]. Site. Disponível em: https://ogeogebra. com.br/site/index.php. Acesso em: 9 set. 2024.
Curso do software de geometria dinâmica GeoGebra para professores de todos os estados brasileiros.
Uma proposta de cronograma para o desenvolvimento deste Volume da coleção, considerando um planejamento semestral, trimestral e bimestral, é apresentada a seguir. É importante ressaltar que essa proposta é apenas uma sugestão e que o cronograma deve ser adequado às escolhas feitas pela comunidade escolar, de acordo com a quantidade de aulas estabelecidas no ano letivo para a área de Matemática e suas Tecnologias.
Semana
1 o semestre
1 o trimestre
Tópicos
1a Abertura; Porcentagem 1
2a Fatores de atualização; Integrando com… 1
3a Juro simples e juro composto 1
4a
1 o bimestre
2 o bimestre
2 o trimestre
3 o bimestre
2 o semestre
3 o trimestre
4 o bimestre
Sistemas de amortização 1
5a Orçamento financeiro; Você conectado 1
6a O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares 1
7a Abertura; Matrizes; Igualdade de matrizes 2
8a Operações com matrizes; Adição de matrizes; Matriz oposta; Subtração de matrizes 2
9a Multiplicação de uma matriz por um número real; Multiplicação de matrizes 2 10a Avaliação
11a Sistemas lineares; Equações lineares; Sistema de equações lineares: conceitos e características; Solução de um sistema linear 2
12a Classificação de um sistema linear; Você conectado; Escalonamento de um sistema linear2
13a Procedimentos para escalonar um sistema linear; Integrando com… 2
14a Transformações isométricas de figuras; Simetria de translação 2
15a Simetria de reflexão; Simetria de rotação 2
16a Transformações homotéticas de figuras; O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares2
17a Abertura; Geometria de posição no plano; Posições relativas no espaço 3
18a Integrando com…; Projeções ortogonais; Distâncias no espaço 3
19a Você conectado; Projeções cartográficas; O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares3
20a Avaliação
21a Abertura; Poliedros; Relação de Euler 4
22a Prismas; Área da superfície de um prisma; Volume de um prisma 4
23a Pirâmides; Área da superfície de uma pirâmide; Volume de uma pirâmide 4
24a Cilindro circular; Área da superfície de um cilindro reto; Volume de um cilindro 4
25a Cone circular; Área da superfície de um cone reto; Volume de um cone circular 4
26a Esfera; Volume de uma esfera; Área da superfície de uma esfera 4
27a Integrando com…; Você conectado; O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares 4
28a Abertura; Princípio fundamental da contagem; Princípio aditivo da contagem 5
29a Fatorial; Arranjo simples; Permutação simples 5
30a Avaliação
31a Permutação com repetição; Combinação simples; Integrando com… 5
32a Você conectado; O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares 5
33a Abertura; O estudo da probabilidade 6
34a Cálculo de probabilidade 6
35a Eventos complementares; Probabilidade da união de dois eventos 6
36a Probabilidade condicional; Probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes6
37a Probabilidade em experimentos binomiais; Probabilidade e estatística 6
38a Integrando com…; Você conectado 6
39a O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares 6
40a Avaliação
Competências gerais: 5 e 6
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 1, 2 e 3
BNCC
Temas Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT104, EM13MAT203, EM13MAT303, EM13MAT304 e EM13MAT305
Ciência e Tecnologia; Educação Financeira; e Educação para o Consumo
Porcentagem, fatores de atualização, juro simples e juro composto, sistemas de amortização e orçamento financeiro.
Identificar situações do cotidiano que envolvem o uso de porcentagem e contextos relacionados à Matemática Financeira.
Interpretar e analisar taxas e índices de natureza socioeconômica em diferentes contextos, além de compreender como eles são calculados.
Compreender e realizar cálculos de atualização de valores financeiros, identificando situações que envolvem acréscimos ou descontos sucessivos.
Reconhecer o uso de tecnologias digitais para criar modelos e promover a economia compartilhada, bem como seus benefícios como alternativa sustentável de geração de renda.
Compreender o conceito de juro simples e de juro composto e interpretar e comparar situações envolvendo esses sistemas de aplicação financeira.
Relacionar a variação do montante ou do juro obtido no sistema de juro simples e de juro composto a uma função afim ou do tipo exponencial, respectivamente, e representá-las graficamente, com ou sem auxílio de planilha eletrônica.
Conhecer e compreender os principais sistemas de amortização utilizados em financiamentos: SAC e Price.
• Elaborar orçamentos financeiros e utilizá-los como instrumento para planejar e administrar recursos financeiros de acordo com as receitas e despesas envolvidas, com ou sem auxílio de aplicativos ou planilhas eletrônicas.
• Resolver e elaborar problemas, individualmente ou em grupo, envolvendo os tópicos trabalhados nessa Unidade, relacionados ou não a situações do cotidiano.
O trabalho com essa Unidade possibilita desenvolver o pensamento científico e o raciocínio lógico, estabelecendo relações com
demandas do cotidiano. Isso ocorre porque, diariamente, é necessário tomar decisões relacionadas ao uso do dinheiro. Além disso, são trabalhadas situações dos mais variados contextos relacionados a porcentagem, aplicações e empréstimos financeiros e sistemas de amortização, o que propicia aos estudantes uma visão da Matemática integrada com temas sociais. Desse modo, o estudo da Unidade pode auxiliar os estudantes na tomada de decisões relacionadas a sua vida financeira e, com esse conhecimento, eles podem auxiliar familiares e membros da comunidade.
Página 11
Abertura da Unidade
O trabalho com a abertura da Unidade favorece o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo, uma vez que trata de questões relacionadas ao uso do dinheiro (consumismo) e ao planejamento financeiro por meio de ferramentas matemáticas.
Promover uma roda de conversa com os estudantes e debater os itens propostos e outras questões relacionadas ao tema, sempre respeitando a individualidade e as diferenças entre os contextos familiares e sociais deles. Por exemplo, pode-se discutir sobre a diferença entre as palavras necessidade e desejo. De maneira geral, necessidade tem relação com tudo o que é preciso para que uma pessoa tenha suas principais demandas atendidas, como vestuário, habitação, alimentação, educação, saúde, transporte etc.; e desejo tem relação, entre outras, com o impulso de consumir bens ou serviços que não atendem às demandas principais ou não fazem falta a uma pessoa ou família. Solicitar aos estudantes que citem exemplos de bens ou serviços que estão associados à necessidade e ao desejo e que comentem aqueles que estão mais relacionados com sua vida. Comentar que, algumas vezes, o que se julga ser necessidade, na realidade, são desejos.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos.
1. Respostas possíveis: Ao lidar bem com o dinheiro, é possível evitar o endividamento, alcançar objetivos, manter-se estabilizado financeiramente.
2. Em caso afirmativo, espera-se que os estudantes comentem, de maneira geral, o destino dessa renda: esporte, cultura, despesas familiares, entre outros. Ainda, eles podem indicar que poupam parte da renda.
3. Resposta pessoal. Os estudantes podem, por exemplo, apontar o dado que indica que 78,10% das famílias brasileiras estavam endividadas em março de 2024, o que corresponde a cerca de três em cada quatro famílias brasileiras.
Páginas 12 a 16
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 1 e da habilidade EM13MAT104 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a interpretação de taxas e tributos de natureza socioeconômica para analisar criticamente a realidade e produzir argumentos. Nesse tópico, espera-se que os estudantes trabalhem com diferentes aplicações de porcentagem em situações financeiras. São apresentados alguns exemplos e atividades em que eles devem lidar com porcentagem ou calculá-las interpretando taxas e analisando criticamente a realidade.
Antes de iniciar o trabalho com esse tópico, verificar a possibilidade e a necessidade de propor atividades envolvendo cálculos de porcentagem, como uma avaliação diagnóstica. Outra possibilidade é os estudantes explicitarem o que conhecem sobre esse tema. Assim, após a análise do desempenho, a condução do trabalho com esse tópico pode atender a possíveis defasagens de aprendizagem. Ao apresentar a ideia de porcentagem, conversar com os estudantes acerca de pesquisar preços de materiais escolares, fazendo perguntas como: Vocês realizam pesquisas de preços para comprar materiais escolares? Vocês costumam notar grande diferença entre os preços de um mesmo produto em diferentes lojas? Vocês sabem dizer por que existe essa diferença de preços? Que critérios utilizam para decidir como comprar materiais escolares? Qual é a importância de realizar pesquisas de preços ao comprar itens como os materiais escolares?
No primeiro boxe Para pensar da página 13, reforçar aos estudantes que as porcentagens utilizadas para comparar os preços do caderno são distintas. Se julgar necessário, apresentar exemplos para reforçar essa ideia, como o sugerido a seguir.
Um aumento de 20% sobre R$ 100,00 determina R$ 120,00; um desconto de 20% sobre R$ 120,00 determina R$ 96,00. Por que isso ocorre? Resposta esperada: Porque os valores sobre os quais incidem o aumento e o desconto dos 20% são diferentes, ou seja, R$ 100,00 e R$ 120,00, respectivamente.
Ao final do trabalho com a atividade resolvida R2, na página 14, solicitar aos estudantes uma pesquisa sobre a cobrança do IPVA na unidade da Federação em que moram, destacando as alíquotas aplicadas no ano vigente e as opções de pagamento oferecidas. Depois, estabelecer o valor venal de um veículo e simular o valor a ser pago de IPVA para cada opção disponível. Por fim, pedir que elaborem um pequeno texto comparando essas formas de pagamento, listando as vantagens e as desvantagens de cada uma delas. Essa proposta pode consistir em uma atividade avaliativa.
A seção Atividades das páginas 15 e 16 tem como objetivo trabalhar com cálculos envolvendo porcentagens em diferentes situações, como acréscimos e descontos simples, determinação de lucro, taxa de crescimento e cálculos de tributos.
Páginas 17 a 21
Espera-se que os estudantes utilizem as ideias de porcentagem para determinar fatores de atualização e compreendam a sua importância no cálculo de acréscimos e descontos sucessivos relacionado a um bem ou serviço.
Atividade Extra
Propor aos estudantes que, organizados em duplas, acessem a Calculadora do cidadão, no site do Banco Central do Brasil (disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/jsp/index.jsp; acesso em: 10 out. 2024), e utilizem-na para simular, por exemplo, cálculos de reajustes imobiliários para determinados períodos. Em seguida, pedir que elaborem um relatório apresentando as informações utilizadas para os cálculos, como: o índice de correção, as datas (inicial e final), o valor a ser corrigido, o porcentual correspondente e o valor na data final. Por fim, os estudantes podem compartilhar os relatórios com os demais colegas da turma.
A seção Atividades das páginas 20 e 21 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de fatores de correção e com acréscimos e descontos sucessivos.
Ao trabalhar com a atividade 13, sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para consultar os valores do salário mínimo nominal e do necessário, de acordo com o preço da cesta básica.
• DEPARTAMENTO INTERSINDICAL DE ESTATÍSTICA E ESTUDOS SOCIOECONÔMICOS. Pesquisa nacional da cesta básica de alimentos. São Paulo: Dieese, [2024]. Disponível em: www.dieese. org.br/analisecestabasica/salarioMinimo.html. Acesso em: 10 out. 2024.
Páginas 22 a 24
Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 2 da área de Matemática e suas Tecnologias. Além disso, a seção aborda o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, uma vez que explora o uso de plataformas digitais para a promoção de uma economia compartilhável, que favorece a análise de questões socioambientais em relação aos recursos não renováveis e à discussão de alternativas tecnológicas para tais questões.
Para condução do trabalho com essa seção, fazer uma leitura dos textos e das informações apresentadas com os estudantes e, se possível, trabalhar em parceria com um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, uma vez que o tema aborda questões relacionadas ao mercado de trabalho e à economia compartilhada.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho, verificar a possibilidade de convidar algum profissional que atua na área de recursos humanos para conversar com os estudantes a respeito das soft skills. Essa sugestão de abordagem favorece o desenvolvimento da competência geral 6, uma vez que valoriza a diversidade de saberes e promove a apropriação dos estudantes em relação a conhecimentos e experiências associados ao mundo do trabalho.
Conexões
Na atividade 5 do Pensando no assunto, sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para auxiliá-los no levantamento de ideias e nortear a elaboração dos projetos.
• WAGNER, Thomas et al Escutando iniciativas de economia compartilhada. Tradução: Philip Reed. [S. l.]: CSCP: CBS: Akatu, 2015. Disponível em: https://akatu.org.br/wp-content/uploads/2017/ 11/EconomiaCompartilhada_Vertical_AF171113.pdf. Acesso em: 10 out. 2024.
Páginas 25 a 31
Juro simples e juro composto
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e das habilidades EM13MAT303, EM13MAT304 e EM13MAT305 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve interpretação e comparação de situações envolvendo juro simples e juro composto, por meio de representações algébricas e gráficas e análise de planilhas eletrônicas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso. Além disso, aborda a associação desses sistemas de juro com funções e cálculos envolvendo logaritmo.
Na introdução desse tópico, espera-se que os estudantes interpretem e comparem situações monetárias que envolvem pagamento de empréstimos ou de investimentos em geral. Discutir com eles o significado dos termos capital, juro, taxa de juro, tempo e montante, apresentados no esquema.
Na situação introdutória sobre juro simples, na página 25, envolvendo empréstimo para compra de matérias-primas, propor aos estudantes que construam um quadro para representar o juro e o montante obtidos em cada mês no período de 6 meses.
Explicar aos estudantes que a taxa de juro e o tempo devem ser expressos em uma mesma unidade de medida de tempo. Em geral, para taxa de juro, usam-se as seguintes abreviações: a.d. (ao dia); a.m. (ao mês); a.b. (ao bimestre); a.t. (ao trimestre); a.s. (ao semestre); e a.a. (ao ano).
No boxe Para pensar da página 25, pedir aos estudantes que apresentem exemplos numéricos que justifiquem suas respostas.
Na situação inicial da página 27, envolvendo investimento em uma aplicação financeira, propor aos estudantes que construam um quadro para representar o juro e o montante obtidos em cada ano no período de 3 anos (36 meses).
Comentar com os estudantes que situações envolvendo o sistema de juro composto podem ser relacionadas com fatores de atualização, conteúdo tratado anteriormente nessa Unidade. Nesse caso, a cada período de tempo t, são realizados acréscimos sucessivos de uma taxa de juro fixa i ao capital c
De maneira análoga ao que ocorre no sistema de juro simples, em que os montantes obtidos em cada período podem ser associados a termos de uma PA, os montantes obtidos no sistema de juro composto podem ser associados a termos de uma PG, em que o primeiro termo é c (1 + i ), a razão é (1 + i ) e a quantidade de termos é t. Assim, a expressão do termo geral dessa PG correspondente ao montante é dada por M = c (1 + i )t .
A seção Atividades das páginas 29 a 31 tem como objetivo trabalhar com os elementos envolvidos no cálculo de juro (montante, capital, tempo e taxa de juro), no sistema de juro simples e no sistema de juro composto, além de trabalhar com a representação gráfica de funções que expressam montantes de aplicações em relação ao tempo e a comparação entre o sistema de juro simples e o sistema de juro composto em uma situação de aplicação financeira. A atividade 24 pode ser proposta como uma avaliação formativa dos estudantes, uma vez que envolve a compreensão de diversos conceitos estudados, como porcentagem, juro simples e juro composto. Uma possibilidade é, ao final da proposta, pedir aos estudantes que apresentem suas resoluções para toda a turma.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre tipos de investimento.
• BRASIL. Caixa Econômica Federal. Tipos de investimento. Brasília, DF: CEF [2024]. Disponível em: www.caixa.gov.br/educacao -financeira/empresa/tipos-de-investimento/Paginas/default. aspx. Acesso em: 10 out. 2024.
Páginas 32 a 39
Sistemas de amortização
Espera-se que os estudantes interpretem e comparem situações monetárias de empréstimos envolvidos em alguns sistemas de
amortização, contexto que favorece a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo.
Enfatizar que o trabalho com os sistemas de amortização nessa Unidade considera o sistema de juro composto, mais usual na atualidade.
Na situação apresentada na página 33, destacar aos estudantes o procedimento recursivo de cálculo do juro, do saldo devedor e da prestação. Chamar a atenção para o fato de que, a cada período, tais valores variam e devem ser recalculados com base no mês anterior.
No segundo boxe Para pensar da página 34, explicar aos estudantes a relação entre a função s e os dados do problema. O termo independente (90 000) corresponde ao valor do crédito obtido, o produto de 375 pela quantidade n de prestações indica a subtração do valor da amortização a cada prestação paga. Explicar também que a função independe da taxa de juro, uma vez que, no sistema de amortização constante, o valor amortizado no saldo devedor independe do juro.
Nos cálculos apresentados na página 35, informar que foram desconsideradas outras despesas além do juro, as quais costumam ser cobradas em um financiamento. No boxe Para pensar dessa página, chamar a atenção dos estudantes para o fato de que o valor pago ao final das 60 prestações é quase o dobro do preço da motocicleta. Discutir com eles sobre esse fato e relembrar que o pagamento à vista pode ser uma boa opção, considerando o valor final a pagar.
Na planilha eletrônica apresentada na página 36, evidenciar para os estudantes o crescimento da amortização e o decrescimento do juro a cada mês. Explicar que isso acontece porque o juro é sempre calculado sobre o valor do saldo devedor do mês anterior.
A seção Atividades das páginas 38 e 39 tem como objetivo trabalhar com o sistema de amortização constante (SAC) e com o sistema Price, por meio do cálculo do montante de uma dívida, do cálculo do valor das prestações de um financiamento, da elaboração de um anúncio de venda parcelada de acordo com leis que o normatizam e do cálculo de desconto na compra de um produto.
Páginas 40 a 42 Orçamento financeiro
O contexto relacionado à elaboração de orçamento financeiro favorece a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, uma vez que auxilia os estudantes a tomar decisões financeiras com base em conceitos matemáticos.
Espera-se que os estudantes conheçam ferramentas para planejar e organizar seu orçamento e o orçamento familiar.
No boxe Para pensar da página 40, é possível promover uma discussão coletiva, de maneira que os estudantes respondam oralmente à questão. Pedir a alguns estudantes que comentem estratégias que utilizam para organizar sua vida financeira, se eles se preocupam com tal organização e se utilizam alguma ferramenta para fazer isso. Durante a discussão, é importante que as individualidades dos estudantes sejam respeitadas e preservadas.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir, que apresenta outra planilha de orçamento.
• PROCON MUNICIPAL DE CAMPINAS. Secretaria Municipal de Justiça. Planilha de orçamento familiar . Campinas: Procon, [2024]. Disponível em: https://procon.campinas.sp.gov.br/planilha -or-amento-familiar-0. Acesso em: 10 out. 2024.
Com os estudantes organizados em duplas, propor a cada dupla que responda à pergunta: Como a análise do resultado do orçamento financeiro de um mês pode contribuir com os meses seguintes? Em seguida, orientar uma discussão com toda a turma a respeito dessa questão.
Uma resposta possível: Tendo como base os registros organizados e a análise deles, é possível planejar o orçamento dos meses seguintes estimando um padrão de receitas e despesas mensais, antecipando eventuais dificuldades financeiras e possibilidades de investimentos. Também, com essa análise, pode-se perceber oportunidades de reduzir despesas e aumentar receitas.
A seção Atividades da página 42 tem como objetivo incentivar os estudantes a refletir a respeito da importância do orçamento financeiro por meio de atividades que exploram produção textual, classificação de despesas em fixas, variáveis ou eventuais e execução de etapas para construir um orçamento financeiro.
Páginas 43 e 44
Você conectado
Orientar os estudantes a trabalhar com as planilhas eletrônicas e algumas de suas funções. Ao construir a tabela com os dados das aplicações, pedir a eles que interpretem as informações inseridas, incluindo as fórmulas, a fim de dar sentido a elas no contexto apresentado.
Se necessário, retomar as expressões para calcular juro simples e juro composto apresentadas anteriormente nessa Unidade a fim de que os estudantes possam utilizá-las ao realizar os cálculos na planilha eletrônica.
Mãos à obra - página 44
1. Essa questão trabalha a interpretação de informações em uma planilha eletrônica com base em uma situação financeira envolvendo os sistemas de juro simples e juro composto. No item d, explicar aos estudantes como construir o gráfico e a linha de tendência. Para obter uma representação gráfica, selecionar as células com valores referentes ao mês e aos montantes correspondentes e clicar em Inserir gráfico no menu. Ao abrir a caixa de diálogo Assistente de gráficos na opção 1. Tipo de gráfico, selecionar as opções XY (Dispersão) e Somente pontos. Por fim, clicar em Concluir
Para determinar as linhas de tendência, clicar sobre os pontos do gráfico, selecionar nas opções Inserir e Linha de tendência... no menu. Ao abrir a caixa de diálogo, em Tipo de regressão, selecionar a opção Linear e a opção Exponencial, para os pontos da aplicação a juro simples e para a aplicação a juro composto, respectivamente. Por fim, clicar em Concluir
2. Essa questão contribui para o desenvolvimento da habilidade EM13MAT203 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois trabalha com a elaboração, em uma planilha eletrônica, de um simulador para cálculo de montante e de juro em aplicações no sistema de juro simples e sistema de juro composto. No item b, ao elaborar o simulador relacionado ao cálculo de juro composto, verificar se os estudantes utilizaram a expressão sistematizada anteriormente [M = c (1 + i )t ] e se eles começaram a preencher as células que representam o montante para, depois, preencher as células que representam o juro (j = M c ).
3. Essa questão trabalha a elaboração de um simulador para determinar o saldo devedor de um financiamento no sistema de amortização constante e no sistema Price.
Páginas 45 e 46
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Na questão 4, verificar a possibilidade de propor aos estudantes uma roda de conversa para que eles compartilhem com os demais colegas da turma as estratégias utilizadas para resolver essa questão.
Páginas 47 e 48
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
sistemas lineares e transformações
Competências gerais: 1 e 5
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 1 e 3
BNCC
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 3 Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT105 e EM13MAT301
Temas
Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Ciência e Tecnologia; Diversidade Cultural; Educação Ambiental; Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras; Saúde; e Trabalho
Matrizes, operações com matrizes, sistemas lineares, escalonamento de um sistema linear, transformações isométricas de figuras (simetria de translação, de reflexão e de rotação) e Transformações homotéticas de figuras.
• Compreender o conceito e a representação de dados em matrizes.
• Compreender e realizar operações com matrizes: adição, subtração, multiplicação por um número real e multiplicação de matrizes.
• De terminar a matriz oposta e a matriz transposta a uma matriz dada.
• Resolver equações matriciais.
• Compreender e determinar soluções de uma equação linear.
• Reconhecer situações do cotidiano que podem ser representadas por meio de sistemas lineares.
• Interpretar a solução de um sistema linear, obtendo-a algébrica ou graficamente.
• Identificar sistemas lineares homogêneos e compreender suas propriedades.
• Classificar sistemas lineares de acordo com a quantidade de soluções: sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado e sistema impossível.
• Utilizar o método do escalonamento para resolver sistemas lineares.
• Compreender noções de transformações isométricas (simetria de translação, de reflexão e de rotação) e homotéticas de figuras planas, construí-las utilizando instrumentos de desenho ou software de geometria dinâmica e percebê-las em diferentes situações na natureza e em produções humanas.
Determinar a razão de semelhança entre as figuras obtidas por transformação homotética.
Resolver e elaborar problemas, individualmente ou em grupo, envolvendo os tópicos trabalhados nessa Unidade, relacionados ou não a situações do cotidiano.
O trabalho com essa Unidade possibilita aos estudantes desenvolver o pensamento algébrico e o pensamento geométrico, estabelecendo relações entre esses tipos de pensamento e demandas do cotidiano, uma vez que algumas situações do dia a dia podem ser resolvidas por meio de sistemas lineares. Além disso, ideias de transformações de figuras estão presentes em diversas manifestações artísticas, como na pintura, na escultura e na literatura. É possível também que os estudantes reconheçam as matrizes como uma das ferramentas que podem ser utilizadas na resolução de sistemas lineares.
Página 49
Abertura da Unidade
O trabalho com a abertura da Unidade envolve o estudo dos grafos como ponto de partida para o estudo de matriz. Explicar aos estudantes que grafos podem ser compreendidos como conjuntos de pontos e de ligações entre esses pontos e que são utilizados para resolver diversos problemas. Citar como exemplo de problema a criação de uma rota para um carteiro, de modo que ele evite passar várias vezes pelo mesmo lugar e consiga entregar todas as encomendas no menor tempo possível.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Leonhard Euler. Representar o problema das “pontes de Königsberg” por meio de um esquema.
2. 4 vértices e 4 arestas.
3. Uma resposta possível: Associando as letras iniciais dos nomes dos amigos; por exemplo, AB indica que Ana é amiga de Beto, e vice-versa. Desse modo, temos: AB, AC, BC e CD. Outra possibilidade é construir uma tabela de dupla entrada.
Páginas 50 a 54
Matrizes
Nesse tópico, espera-se que os estudantes compreendam como representar informações em matrizes, reconheçam seus principais elementos e realizem operações com matrizes.
Comentar com os estudantes que podem ser utilizados outros símbolos para representar matriz em vez de colchetes, como parênteses “( )“ e barras duplas “|| ||”. Explicar que as linhas de uma matriz são numeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para a direita, conforme indicado no exemplo a seguir.
1a coluna
2a coluna
3a coluna
4a coluna
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
1a linha
2a linha
3a linha
4a linha
No boxe Matemática na história da página 51, explicar aos estudantes que as transformações auxiliaram no desenvolvimento do conceito de matrizes. De maneira geral, o estudo das transformações envolve analisar figuras congruentes ou semelhantes em posições distintas.
Na página 52, ao trabalhar com igualdade de matrizes, verificar se os estudantes entenderam que, para duas matrizes serem iguais, necessitam ser de mesma ordem. Explicar que os elementos correspondentes são aqueles de mesmo índice (mesma posição).
Apresentar aos estudantes a definição de igualdade de matrizes, utilizando notação matemática.
A m x n = B m x n k aij = bij , com 1 < i < m e 1 < j < n
A seção Atividades das páginas 53 e 54 tem como objetivo trabalhar a elaboração de um grafo, a construção e a interpretação de matrizes, a nomenclatura de matrizes e a determinação de matrizes transpostas. Na atividade 3, comentar com os estudantes que o monitoramento dos casos de dengue é realizado por semana epidemiológica.
Páginas 55 a 61 Operações com matrizes
Ao definir adição de matrizes, na página 55, verificar se os estudantes entendem que as duas matrizes que serão adicionadas devem ser de mesma ordem. Reforçar a escrita algébrica da adição de matrizes, indicando que todos os elementos da matriz C correspondem à soma dos dois elementos correspondentes nas matrizes A e B.
Ao trabalhar matriz oposta, na página 56, retomar a definição de matriz nula apresentada na atividade 5 da página 54. Reforçar que o símbolo “ ” no nome da matriz oposta A não indica uma subtração, mas que a matriz A é oposta à matriz A
Ao trabalhar subtração de matrizes, questionar os estudantes se a igualdade A B = B A é verdadeira para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem. Espera-se que eles percebam que essa igualdade não é válida para toda matriz de mesma ordem e, nesse momento, propor a eles que justifiquem essa percepção com exemplos.
Antes de trabalhar a atividade resolvida R3, na página 57, apresentar as seguintes propriedades da multiplicação de uma matriz por um número real, em que a e b são números reais e A e B duas matrizes de mesma ordem.
• (a + b) A = aA + bA
• a (A + B) = aA + aB
• a (bA) = (ab) A
• 1 A = A
A seção Atividades das páginas 57 e 58 tem como objetivo trabalhar a igualdade de matrizes e as operações de adição e subtração de matrizes, bem como a multiplicação de uma matriz por um número real.
Ao trabalhar multiplicação de matrizes, na página 59, explicar aos estudantes que, em situações que requerem esse tipo de operação, cada coluna de uma matriz deve representar dados referentes a um mesmo elemento daqueles representados em cada linha da outra matriz. No exemplo apresentado, os dados referentes à banana e à laranja estão representados nas colunas da matriz A e nas linhas da matriz B. Isso acontece para garantir que, ao multiplicar as duas matrizes, a matriz obtida represente a pegada hídrica (nas linhas da matriz A) em cada semana (nas colunas da matriz B) de acordo com o consumo de banana e de laranja. O contexto apresentado favorece a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, uma vez que traz à tona a questão da pegada hídrica.
Antes do início das Atividades resolvidas da página 60, é trabalhada uma das ideias relacionadas ao pensamento computacional, ao serem apresentadas as condições de existência do produto de duas matrizes por meio de um fluxograma.
A seção Atividades da página 61 tem como objetivo trabalhar com multiplicação de matrizes por meio do cálculo, da análise da possibilidade de realizar uma multiplicação de matrizes, da determinação da ordem do produto entre duas matrizes ou por meio da resolução de uma equação matricial.
Páginas 62 a 69
Sistemas lineares
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3, porque exige procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos. Também favorece o desenvolvimento da habilidade EM13MAT301 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução de problemas do cotidiano por meio de equações lineares simultâneas, além de propiciar uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde.
Antes de iniciar o trabalho com esse tópico, verificar a possibilidade e a necessidade de propor aos estudantes a resolução da atividade 32 da página 68 para utilizá-la como uma avaliação diagnóstica. Isso porque essa atividade aborda o assunto sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas, conceito estudado nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Assim, é possível identificar indícios do conhecimento prévio dos estudantes a respeito desse assunto e, dessa maneira, adequar a prática didática às demandas dos estudantes.
Ao trabalhar com equações lineares, na página 63, espera-se que os estudantes compreendam sua definição, reconheçam seus coeficientes, incógnitas e termo independente.
Explicar que uma ênupla corresponde a uma sequência ordenada de n elementos. Comentar que a ordem de apresentação dos elementos na ênupla é especificada pelos índices das incógnitas. Quando não há especificação, utiliza-se como convenção a ordem alfabética. Explicar também que as ênuplas com dois elementos são chamadas de pares ordenados e, com três elementos, de ternas
A seção Atividades das páginas 64 e 65 tem como objetivo trabalhar com a identificação dos termos de uma equação linear, com a solução de um sistema linear e a escrita de uma equação linear a partir de sua representação gráfica.
Ao trabalhar com o conceito e as características de um sistema de equações lineares, a partir da página 65, chamar a atenção dos estudantes para a representação dos coeficientes das incógnitas das equações, que segue um padrão análogo ao da representação dos elementos de uma matriz.
Para discutir a solução de um sistema linear, enfatizar que é necessário que uma ênupla seja solução de todas as equações do sistema linear.
Explicar aos estudantes que um sistema linear homogêneo pode ser classificado como SPD (quando a única solução é a trivial) ou SPI (quando existem infinitas outras soluções além da trivial), mas nunca como SI (quando não existe solução).
A seção Atividades das páginas 68 e 69 tem como objetivo trabalhar com escrita, resolução e classificação de um sistema linear.
Na atividade 34, é trabalhada uma das ideias relacionadas ao pensamento computacional, ao ser apresentada uma possibilidade de classificar um sistema linear, de acordo com a quantidade de soluções, por meio de um fluxograma.
Conexões
Após a resolução da atividade 35, sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para que leiam o livreto Mais mulheres na política
• BRASIL. Senado Federal. Mais mulheres na política. 2. ed. Brasília, DF: Senado Federal: Segraf, 2015. Disponível em: https:// www12.senado.leg.br/institucional/procuradoria/proc-publica coes/2a-edicao-do-livreto-mais-mulheres-na-politica. Acesso em: 10 out. 2024.
A atividade 37 favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, ao tratar da importância do nutriente ferro no organismo humano. Se possível, desenvolver um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para que possa orientar uma discussão com os estudantes sobre a importância da ingestão de diferentes nutrientes para a saúde.
Páginas 70 e 71
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao relacionar Álgebra com Geometria, da competência geral 5 e da habilidade EM13MAT301, pois aborda a resolução de problemas envolvendo equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas com apoio de tecnologias digitais.
Mãos à obra - página 71
1. Verificar se os estudantes se recordam de que, quando as retas que representam as soluções das equações de um sistema linear 2 x 2 são coincidentes, esse sistema é SPI e, quando as retas não têm ponto em comum, ou seja, quando são paralelas, o sistema é SI.
2. Para a resolução dessa questão, orientar os estudantes a construir uma reta a partir de dois pontos dados. Primeiro, eles devem digitar no campo Entrada as coordenadas de cada um dos pontos. Em seguida, utilizando a opção Reta, clicar no ponto A e no ponto B, obtendo a reta que passa por A e B. Fazer o mesmo para os pontos C e D
3. Uma das possibilidades de escolha de atividade para se resolver essa questão é a atividade 32 da página 68. Nesse caso, reforçar com eles a classificação do sistema de acordo com a posição das retas que representam suas equações.
4. Orientar os estudantes na elaboração do problema, sugerindo contextos que podem ser utilizados, como situações envolvendo outras áreas do conhecimento.
Páginas 72 a 79
Escalonamento de um sistema linear
No primeiro boxe Para Pensar da página 72, solicitar aos estudantes que compartilhem suas estratégias de resolução. A fim de auxiliá-los na compreensão da definição de um sistema linear escalonado, utilizar as informações do boxe Dica para destacar, no sistema apresentado, cada uma das características mencionadas.
Na resolução da atividade resolvida R9, propor aos estudantes que determinem algumas soluções do sistema linear apresentado. Para isso, basta atribuir valores a r e s e obter os valores correspondentes de p e q. Por exemplo, ( 1, 2, 1, 1), ( 2, 5, 3, 0) e ( 6, 9, 5, 2) são algumas das soluções desse sistema.
Para iniciar o trabalho com os procedimentos a fim de escalonar um sistema linear, na página 75, realizar com os estudantes a interpretação do sistema apresentado, de acordo com o contexto da questão.
A seção Atividades das páginas 77 a 79 tem como objetivo trabalhar com escrita, resolução e classificação de sistemas lineares, além da elaboração de um problema a partir de um sistema linear. Páginas 80 a 82
Integrando com Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias e da competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, uma vez que relaciona conhecimentos matemáticos a tecnologias digitais em um contexto próprio da Ciência. Além disso, essa seção trata do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Conexões
Para complementar as informações sobre impressoras 3D, sugerir aos estudantes que assistam ao vídeo indicado a seguir.
SAIBA o que é e como funciona uma impressora 3D. [S l.: s n.], 2018. 1 vídeo (2 min). Publicado pelo canal UFLA. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=BPKnDjYu2nY. Acesso em: 10 out. 2024.
O Pensando no assunto tem como objetivo trabalhar com a argumentação, a identificação de pontos pertencentes a um plano e a relação entre as classificações dos sistemas lineares 3 x 3, além das representações geométricas das equações desse sistema. Na questão 2, incentivar os grupos de estudantes a elaborar uma proposta de uso de impressora 3D relacionada à sustentabilidade do ponto de vista social, econômico ou ambiental. É importante que tal proposta apresente benefícios para a comunidade local.
Atividade Extra
O tema trabalhado nessa seção possibilita uma ampliação por meio da realização de um projeto relacionado ao Tema Contemporâneo Transversal Trabalho. Uma sugestão é que esse projeto contemple a elaboração de um relatório sobre as tendências do uso
de impressoras 3D em diferentes profissões. Na parte geral destas Orientações para o professor há informações sobre a metodologia ativa aprendizagem baseada em projetos.
Páginas 83 a 99
Transformações isométricas de figuras
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 1 e da habilidade EM13MAT105 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois explora noções de transformações isométricas para construir figuras e analisar produções humanas.
Nas páginas 83 e 84, no início do trabalho com simetria de translação, ao explicar o conceito de vetor, dizer aos estudantes que um vetor indica todos os segmentos de reta orientados de mesmo comprimento, direção e sentido. Reforçar a notação de vetor, explicando que AB 5 BA .
A seção Atividades das páginas 87 a 89 tem como objetivo trabalhar com a construção de figuras simétricas por translação, com o cálculo do comprimento de um vetor utilizado para realizar a translação de uma figura no plano, com o cálculo das coordenadas dos vértices de figuras transladadas no plano cartesiano e com a análise de obras artísticas por meio da simetria de translação.
A atividade 52 trabalha uma investigação sobre a simetria de translação presente nos grafismos indígenas e propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras. Essa atividade pode ser desenvolvida em parceria com um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, para auxiliar na investigação de aspectos culturais e sociais dos povos indígenas da região em que os estudantes moram, ou com um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias, para auxiliar na produção dos grafismos, com a possibilidade de estender sua aplicação a outros objetos além do papel, como cerâmicas ou tecidos.
No início do trabalho com simetria de reflexão, na página 90, no segundo boxe Para Pensar, retomar com os estudantes a definição de mediatriz de um segmento de reta: a mediatriz de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento, ou seja, corresponde à reta perpendicular ao segmento de reta em seu ponto médio.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre o artista Rubem Valentim e suas obras, nas quais podem ser identificadas simetrias.
• INSTITUTO RUBEM VALENTIM. [S l.], c2018. Site. Disponível em: www.institutorubemvalentim.org.br. Acesso em: 10 out. 2024.
A seção Atividades das páginas 92 a 94 tem como objetivo trabalhar com a construção de figuras simétricas com régua e compasso, com a identificação do eixo de simetria em uma figura, com a determinação das coordenadas dos vértices de um polígono simétrico a outro por reflexão no plano cartesiano, com a análise da simetria de reflexão em uma obra artística, com a análise da simetria de reflexão em gráficos de funções e com a determinação das coordenadas de pontos simétricos em relação a um eixo cartesiano por meio de equação matricial.
A atividade 58 trabalha a identificação de simetria de reflexão em poema e propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural. Pode-se planejar uma ampliação dessa atividade em parceria com um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias, para explorar com mais detalhes o gênero
textual, propondo aos estudantes pesquisas sobre outros poemas em que seja possível identificar padrões relacionados a diferentes tipos de simetria.
Ao iniciar o trabalho com simetria de rotação, na página 95, propor aos estudantes que pesquisem outras obras do artista Maurits Cornelis Escher em que possam ser percebidas ideias de simetria de rotação.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para conhecer outras obras de Maurits Cornelis Escher (site em inglês).
• ESCHER, Maurits Cornelis. Selected works by M.C. Escher. [S l.]: M.C. Escher Foundation: The M.C. Escher Company, c2024. Disponível em: https://mcescher.com/gallery. Acesso em: 10 out. 2024.
A seção Atividades das páginas 98 e 99 tem como objetivo trabalhar com a construção de polígonos por meio de simetria de rotação, com a identificação de figuras obtidas por simetria central, com a aplicação de diferentes simetrias, com a determinação das coordenadas dos vértices de um polígono obtido por simetria de rotação e com a construção de mosaico, utilizando conceitos de transformações isométricas de figuras no plano. Ao abordar o boxe Mundo do trabalho, propor aos estudantes que pesquisem mais informações relacionadas à profissão de arquiteto. Sugere-se também convidar um profissional da área para conversar com os estudantes a respeito dessa profissão.
Atividade Extra
Em um laboratório de informática, sugerir aos estudantes que pesquisem obras de artistas que utilizam ideias de transformações isométricas nas composições de suas obras, como o brasileiro Rubem Valentim (1922-1991) e o holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Pedir a eles que escolham uma obra com essas características e, por meio de um texto, descrevam como a ideia de transformação isométrica pode ser percebida nessa obra, identificando os tipos de simetria presentes nela. Em seguida, propor a eles que, utilizando um software de geometria dinâmica, como o GeoGebra, elaborem uma composição de figuras inspirada na obra escolhida. Ao final, as produções podem ser compartilhadas em uma rede social ou impressas e fixadas em um mural da escola.
Páginas 100 a 103
Transformações homotéticas de figuras
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 1 e da habilidade EM13MAT105 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois explora noções de transformações homotéticas para construir figuras e analisar produções humanas.
Comentar com os estudantes que uma diferença entre transformações isométricas e homotéticas é que, com as transformações isométricas, são obtidas figuras congruentes e, com as transformações homotéticas, são obtidas figuras semelhantes. Ou seja, uma transformação isométrica é um caso particular de transformação homotética, pois figuras congruentes são também semelhantes.
A seção Atividades das páginas 102 e 103 tem como objetivo trabalhar com o cálculo da razão de semelhança entre polígonos construídos por transformação homotética, com a construção de polígonos por transformação homotética usando régua e compasso, com o percentual de ampliação de figuras planas e com a relação entre transformação homotética e a perspectiva cônica com um ponto de fuga.
Páginas 104 e 105
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha o uso de matrizes, sistemas lineares e transformações de figuras em uma situação envolvendo grafos, o que permite retomar o tema explorado na abertura dessa Unidade. Se necessário, retomar com os estudantes a ideia de grafo. No item a , realizar outras perguntas sobre a matriz M , explorando, por exemplo, a diagonal principal, a diagonal secundária e a interpretação dos elementos da matriz. No item b , perguntar aos estudantes como seria a representação geométrica das soluções do sistema que eles escreveram. Resposta: A representação de três planos que se intersectam em um único ponto de coordenadas (60, 45, 70). No item c , caso os estudantes optem por utilizar o GeoGebra, orientá-los a escolher as ferramentas adequadas para resolver o item.
Páginas 106 a 108
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Competências gerais: 4, 5 e 9
BNCC
Competência específica de Matemática e suas Tecnologias: 5
Habilidade de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT509
Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos
Conteúdos
Geometria de posição no plano, posições relativas entre retas contidas em um mesmo plano, posições relativas no espaço, projeções ortogonais, distâncias no espaço e projeções cartográficas.
• Compreender noções primitivas da Geometria Euclidiana e o uso de postulados em demonstrações matemáticas.
• Compreender e identificar as posições relativas entre pontos, ponto e reta, retas contidas em um mesmo plano e ponto e plano.
• Compreender e identificar as posições relativas entre retas no espaço, entre reta e plano e entre planos.
• Compreender o conceito de projeções ortogonais no plano.
• Compreender a ideia de distância envolvendo pontos, retas e planos.
• Compreender ideias que envolvem projeções cartográficas e investigar possíveis deformações, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
• Determinar a distância entre um ponto e uma reta utilizando um software de geometria dinâmica.
• Resolver e elaborar problemas, individualmente ou em grupo, envolvendo os tópicos trabalhados nessa Unidade, relacionados ou não a situações do cotidiano.
O trabalho com essa Unidade possibilita aos estudantes desenvolver o pensamento geométrico, o raciocínio lógico e a curiosidade. Assim, eles podem constatar a importância de se utilizar conhecimentos historicamente construídos na percepção e na compreensão de procedimentos e ferramentas utilizados em diferentes áreas do conhecimento e da própria Matemática. Além disso, é possível que os estudantes reconheçam a existência de diferentes teorias geométricas, como a apresentada no estudo das projeções cartográficas, e comparem conceitos e propriedades relacionadas a essas teorias.
Página 109
Abertura da Unidade
O trabalho com a abertura da Unidade favorece a abordagem da história da Matemática, uma das tendências metodológicas da Educação Matemática, pois apresenta informações históricas a respeito da Geometria Euclidiana e da Geometria não Euclidiana como uma maneira de compreender suas origens e refletir acerca das tentativas de diversos matemáticos na busca de provar a validade do quinto postulado de Euclides. Conversar com os estudantes a respeito de alguns estudiosos que tentaram provar o quinto postulado de Euclides, como Girolamo Saccheri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolai Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860) e Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Esse tipo de conversa pode evidenciar que a Matemática é uma construção humana desenvolvida de modo colaborativo.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Respostas possíveis: Ponto; reta; semirreta; segmento de reta; plano; semiplano.
2. A partir de questionamentos sobre a validade única da Geometria Euclidiana, principalmente em relação ao postulado das paralelas de Euclides.
3. Resposta esperada: Por um arco de circunferência.
Atividade Extra
Sugerir aos estudantes que realizem um experimento utilizando bolas de isopor esféricas e um pedaço de barbante para representar a menor distância entre dois pontos em uma superfície esférica sem atravessá-la. Para isso, pedir inicialmente que marquem dois pontos na bola de isopor e, depois, ajustem o pedaço de barbante na bola de maneira que passe sobre os dois pontos.
Acessar o site indicado a seguir para obter mais informações sobre a Geometria não Euclidiana.
• ALVES, Sérgio; SANTOS FILHO, Luiz Carlos dos. Encontro com o mundo não euclidiano. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 78, [out./dez. 2012]. Disponível em: www.rpm.org. br/cdrpm/78/12.html. Acesso em: 10 out. 2024.
Páginas 110 a 114
Geometria de posição no plano
Ao apresentar o ponto, a reta e o plano na Geometria Euclidiana, comentar com os estudantes que esses elementos primitivos são abstratos. Porém, geralmente, utiliza-se, para a ideia de ponto, uma marcação com a ponta do lápis e, para a de reta, uma linha traçada com auxílio de uma régua sobre uma folha de papel. Ao imaginar essa folha sendo prolongada em todas as direções, tem-se a ideia de plano.
No boxe Para pensar da página 111, verificar se os estudantes perceberam que as retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes e que isso acontece apenas quando retas concorrentes formam ângulos retos (de 90°) entre si.
Ao apresentar o postulado IV, relembrar com os estudantes a notação para a reta: podem-se indicar as letras correspondentes a dois diferentes pontos dela e, sobre essas letras, uma seta apontando em ambos os sentidos. Nesse caso, AB ou reta AB
Na demonstração do teorema 1, na página 112, chamar a atenção dos estudantes para o fato de que a reta s e o ponto A foram indicados na descrição desse teorema. Porém os pontos B e C foram inseridos na demonstração, uma vez que, dada uma reta, há infinitos pontos que pertencem a ela, assim como há infinitos pontos que não pertencem a ela. Logo, podem-se estabelecer dois pontos arbitrários dessa reta.
A seção Atividades da página 114 tem como objetivo trabalhar com relações de pertinência e continência, com análise de afirmações relacionadas aos conceitos primitivos, com posições relativas, com o uso de conceitos geométricos para interpretar e analisar situações do cotidiano e com demonstração da validade de um teorema.
Páginas 115 a 119
Posições relativas no espaço
No boxe Para pensar da página 115, espera-se que os estudantes percebam que duas retas distintas, não paralelas, podem ser: concorrentes, se forem coplanares; ou reversas, se forem não coplanares. Comentar que a interseção entre retas reversas é sempre vazia.
Nas páginas 115 e 116, ao explorar as posições relativas entre reta e plano, conversar com os estudantes sobre a interseção de uma reta com um plano. Espera-se que eles percebam que, quando uma reta s está contida em um plano a, a interseção corresponde à própria reta s. Quando uma reta s é paralela a a, a interseção é vazia. E, para uma reta s secante a a, a interseção corresponde a um único ponto.
No trabalho com as posições relativas entre planos, na página 116, explicar aos estudantes que, se dois planos secantes não são perpendiculares, eles são chamados de oblíquos
Comentar com os estudantes que, quando dois planos a e b, por exemplo, são paralelos, a interseção entre eles é vazia e que, quando são secantes, a interseção entre eles corresponde à única reta comum a ambos os planos.
A seção Atividades das páginas 118 e 119 tem como objetivo trabalhar com a análise e a interpretação de afirmações relacionadas a posições relativas no espaço entre planos, retas no espaço e entre reta e plano, assim como com a demonstração de teoremas.
Páginas 120 a 122 Integrando com Linguagens e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 4 e 9, ao abordar a linguagem do Sistema Braille, que pode levar os estudantes a exercitar a empatia, promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos.
Além disso, propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, uma vez que aborda diferentes formas de linguagens para se expressar e compartilhar informações, relacionando linguagem matemática e o Sistema Braille. Promover com os estudantes uma roda de conversa sobre a inclusão de pessoas com deficiência física ou mobilidade reduzida no ambiente escolar. Nesse momento, também é importante debater as atitudes de ameaça e discriminação, conhecidas como bullying , que evidenciam preconceitos, como a intolerância às diferenças.
Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com professores da área de Ciências Humanas e Suas Tecnologias a fim de discutir o uso de diferentes linguagens na comunicação, na elaboração de argumentos e na interpretação de situações do cotidiano, incluindo as relacionadas ao entendimento da vida em sua diversidade.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para conhecer as normas técnicas da escrita em Braille. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Normas técnicas para a produção de textos em Braille. 3. ed. Brasília, DF: MEC: Secadi, 2018. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/dezembro -2018-pdf/105451-normas-tecnicas-para-a-producao-de -textos-em-braille-2018/file. Acesso em: 10 out. 2024.
O Pensando no assunto tem como objetivo trabalhar o uso da linguagem verbal na comunicação, a reflexão sobre diferentes formas de se comunicar, a pesquisa e a elaboração de uma peça publicitária sobre acessibilidade atitudinal e a transcrição da linguagem matemática para a linguagem braille.
Atividade Extra
O tema trabalhado nessa seção possibilita uma ampliação por meio da realização de um projeto, que também pode compor uma avaliação. Uma sugestão é a produção de instrumentos que auxiliem no ensino de conhecimentos matemáticos para estudantes com algum tipo de deficiência. Na parte geral destas Orientações para o
professor há informações sobre a metodologia ativa aprendizagem baseada em projetos.
1. Organizar os estudantes em grupos de maneira a valorizar os diferentes perfis (colaborativos, criativos, críticos, líderes etc.);
2. Cada grupo deve pesquisar e escolher um instrumento adaptado para pessoas com deficiência a ser confeccionado: régua, ábaco, sólidos geométricos etc.). Em seguida, deve investigar como construir esses instrumentos utilizando materiais alternativos.
3. Separar os materiais necessários e produzir o instrumento. Nessa fase, é importante que cada grupo produza um instrumento diferente e, além disso, orientar os estudantes na utilização de utensílios cortantes a fim de evitar acidentes e garantir a integridade física dos envolvidos na produção dos instrumentos.
4. Apresentação dos instrumentos produzidos.
deficiência visual, confeccionado com materiais alternativos: papelão, folha de EVA, palitos de madeira e miçangas.
Essa apresentação pode ser feita por meio de uma feira na escola ou da gravação de vídeos com as etapas da produção dos instrumentos e disponibilizados em um blogue ou rede social oficial da escola. Os instrumentos produzidos podem ser incorporados a um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) ou doados a uma instituição local.
Ao final do projeto, é importante avaliar a participação individual e coletiva dos estudantes na realização de cada fase do projeto proposto.
Páginas 123 a 128
O trabalho com projeções ortogonais é importante para que os estudantes desenvolvam a visão espacial, compreendendo que a visualização de um objeto tridimensional é possível com base na associação dos diversos pontos de vista, utilizados em sua representação e que, a partir desses pontos de vista, pode-se desenhar a figura geométrica espacial ou o objeto correspondente a elas.
Explicar que a Geometria Descritiva é o campo de estudo da Matemática que tem como um dos objetivos a representação de objetos tridimensionais em um plano bidimensional. O matemático francês Gaspar Monge (1746-1818) é considerado precursor desse estudo.
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter informações sobre Gaspar Monge e a Geometria Descritiva.
• UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA. Geometria descritiva Londrina: UEL: Departamento de Matemática, 2024. Disponível em: www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_3t.php. Acesso em: 10 out. 2024.
Antes de iniciar o trabalho com esse tópico, verificar a possibilidade e a necessidade de propor aos estudantes a resolução das atividades 19 e 20 da página 127 a fim de utilizá-las como uma avaliação diagnóstica. A resolução dessas atividades não requer conhecimentos teóricos de algum assunto matemático específico. Assim, após a análise do desempenho, a condução do trabalho com esse tópico pode ficar mais personalizada.
Ao definir projeção ortogonal, na página 123, explicar aos estudantes que, nesse caso, o plano a corresponde ao plano de projeção e a reta r, que passa por P e é perpendicular ao plano a, é a reta projetante do ponto.
Ao trabalhar com distâncias no espaço, nas páginas 124 e 125 , verificar a possibilidade de realizar uma atividade prática com os estudantes para que eles investiguem a distância entre ponto e reta. Para isso, representar na lousa uma reta r e um ponto P fora dela. Depois, traçar diversos segmentos de reta com uma extremidade em P e outra em algum ponto de r e medir os ângulos formados entre cada um deles e a reta r , conforme a figura a seguir.
Páginas 129 e 130
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, uma vez que faz uso de uma tecnologia digital para resolver problemas.
Na etapa A, além da estratégia apresentada para construir os pontos A, B e C, os estudantes podem marcar cada ponto sobre a malha de acordo com as respectivas coordenadas. Na etapa B, explicar a eles que o valor correspondente à distância apresentada entre AB e o ponto C é aproximado.
Mãos à obra - página 130
1. Para construir a reta g, os estudantes podem utilizar a opção
Reta paralela e, em seguida, selecionar o ponto C e a reta AB De maneira análoga e utilizando a opção Reta perpendicular, eles constroem a reta h. No item b, para marcar o ponto D, os estudantes podem utilizar a opção Interseção de dois objetos e clicar sobre as retas AB e h.
2. No item b, orientar os estudantes na construção dos polígonos regulares utilizando a opção Polígono regular. Espera-se que eles construam um quadrado, que é o polígono regular que atende às condições propostas nesse item.
Páginas 131 a 134
Projeções cartográficas
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 5 e da habilidade EM13MAT509 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois aborda a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em Cartografia.
Depois, com uma régua, pedir a alguns estudantes que, um por vez, meçam os segmentos de reta traçados e registrem o comprimento de cada um deles. Ao final, eles devem identificar o comprimento do menor segmento de reta traçado. Espera-se que eles verifiquem que, nesse caso, o menor segmento de reta é o que forma ângulos de 90° com r e, portanto, o comprimento desse segmento de reta corresponde à distância do ponto P à reta
A resolução da atividade resolvida R3 utiliza ideias da resolução de problemas, uma das tendências metodológicas abordadas na parte geral destas Orientações para o professor. Sugere-se estruturar e executar essas etapas, como foi apresentado, sempre que perceber que os estudantes estão com dificuldades em determinado problema matemático. Essa estratégia também pode ser utilizada pelos próprios estudantes quando estiverem diante de um problema matemático a ser resolvido.
A seção Atividades das páginas 127 e 128 tem como objetivo trabalhar com a projeção ortogonal de uma figura sobre um plano, com o reconhecimento de projeções ortogonais de um sólido geométrico em diferentes planos, com a análise de afirmações relacionadas à projeção ortogonal e às distâncias no espaço e com a distância entre dois pontos.
Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, em particular, para tratar de conceitos relacionados à Geografia, como as principais projeções cartográficas utilizadas para representar o espaço geográfico (projeção de Mercator, projeção de Miller etc.), destacando suas classificações quanto ao método, à superfície de projeção e às propriedades, por exemplo.
A seção Atividades das páginas 133 e 134 tem como objetivo trabalhar com as projeções ortogonal, cartográfica e estereográfica e com a investigação de deformações em mapas.
Ao abordar o boxe Mundo do trabalho, propor aos estudantes que pesquisem mais informações relacionadas à profissão de geógrafo. Sugere-se também convidar um profissional da área para conversar com os estudantes a respeito dessa profissão.
Conexões
Ao trabalhar com a atividade 29, sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter informações sobre como construir uma miniatura do planeta Terra.
• IBGE EDUCA CRIANÇAS. Icosaedro de Fuller. [S l.]: IBGE, c2024. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/criancas/brincadeiras-2/ 19588-icosaedro.html. Acesso em: 10 out. 2024.
Páginas 135 e 136
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o
trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha a relação entre a Geometria não Euclidiana e as projeções cartográficas. Para a resolução do item a, se necessário, retomar o estudo da área do círculo. No item b, espera-se que os estudantes consultem as características das projeções cartográficas apresentadas nessa Unidade. No item c, verificar a possibilidade de trazer para a sala de aula objetos esféricos para auxiliar na interpretação da situação apresentada ou possibilitar aos estudantes acesso a um globo terrestre digital.
Páginas 137 e 138
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor , o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Competências gerais: 2, 5 e 6
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 2, 3 e 5
BNCC
Temas Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 3 Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT201, EM13MAT309 e EM13MAT504
Ciência e Tecnologia; Educação Ambiental; Educação em Direitos Humanos; e Educação para o Consumo
Poliedros, relação de Euler, prismas, pirâmides, cilindro circular, cone circular, esfera, princípio de Cavalieri, área da superfície e volume.
• Compreender o conceito de poliedro e classificá-lo, de acordo com a quantidade de faces, e em convexo ou não convexo.
• Estabelecer e compreender a relação de Euler para poliedros convexos.
• Reconhecer os poliedros regulares e os poliedros de Platão.
• Associar figuras geométricas espaciais às planificações correspondentes.
• Compreender os conceitos de prisma, pirâmide, tronco de pirâmide, cilindro circular, cone circular, tronco de cone reto e esfera.
• Compreender a nomenclatura de um prisma de acordo com o polígono da base, identificar um prisma regular e classificar um prisma em reto ou oblíquo.
• Compreender a nomenclatura de uma pirâmide de acordo com o polígono da base.
• Identificar quando uma pirâmide é regular, bem como determinar o apótema da base da pirâmide e o apótema da pirâmide.
• Classificar cilindros e cones em reto ou oblíquo e identificar um cilindro ou um cone equilátero.
• Estabelecer uma expressão que relacione a medida do raio da base, da geratriz e da altura de um cone circular reto.
• Reconhecer sólidos geométricos de revolução.
• Construir figuras geométricas espaciais utilizando um software de geometria dinâmica.
• Compreender e estabelecer expressões para determinar a área da superfície e o volume de prisma, pirâmide, tronco de pirâmide, cilindro reto, cone reto, tronco de cone reto e esfera.
• Compreender o princípio de Cavalieri para determinar o volume de um prisma ou de um cilindro qualquer e outras estratégias para determinar o volume de uma pirâmide, de um cone e de uma esfera.
• Resolver e elaborar problemas, individualmente ou em grupo, envolvendo os tópicos trabalhados nessa Unidade, relacionados ou não a situações do cotidiano.
O trabalho com essa Unidade possibilita aos estudantes desenvolver o pensamento geométrico e o pensamento algébrico, estabelecendo relações entre esses tipos de pensamento e demandas do cotidiano e de outras áreas do conhecimento, uma vez que algumas situações do dia a dia e das ciências podem ser resolvidas por meio de conceitos associados às ideias de área de superfície e de volume de figuras geométricas espaciais. Além disso, é possível que os estudantes percebam que muitas construções e objetos presentes em seu cotidiano lembram figuras geométricas espaciais.
Página 139
Abertura da Unidade
A abertura da Unidade propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, uma vez que trata dos avanços tecnológicos relacionados ao aperfeiçoamento de técnicas nas construções civis, em particular, no uso do concreto armado.
Convidar um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para conversar com os estudantes acerca do tema trabalhado nessa página, ressaltando as propriedades físico-químicas do concreto que o tornam resistente à compressão, assim como o aço da estrutura, que é resistente à tração, e como essas características se complementam e são úteis para a construção civil.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Resposta possível: Sim, em construção de lajes e nas colunas em edificações.
2. Resposta possível: Colunas ou vigas de sustentação.
3. Resposta esperada: O formato e as medidas das dimensões da viga.
Páginas 140 a 145 Poliedros
No trabalho com esse tópico, ao questionar os estudantes sobre construções do bairro ou do município em que moram e que podem ser associadas a um poliedro, propor a eles que compartilhem suas experiências e que façam um desenho para representar o poliedro associado a essa construção.
No boxe Para pensar da página 140, espera-se que os estudantes percebam que a figura geométrica espacial representada não é poliedro, pois não satisfaz a todas as condições indicadas. Nesse momento, se julgar conveniente, apresentar a eles outros exemplos de figuras geométricas espaciais que satisfazem apenas a uma dessas condições. Reforçar, contudo, que a figura dada pode ser obtida da composição de dois poliedros.
Na apresentação da relação de Euler, na página 142 , comentar com os estudantes que há indícios de que ela pode ter sido conhecida por Arquimedes (c. 287 a.C.-c. 212 a.C.) e por René Descartes (1596-1650), porém foi Euler quem primeiro a enunciou, em 1752.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 124.
Conexões
Acessar o site indicado a seguir para consultar a demonstração da relação de Euler, também conhecida por teorema de Euler, para poliedros convexos.
AZAMBUJA FILHO, Zoroastro. Demonstração do teorema de Euler para poliedros convexos. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 3, [jan./jun. 1982]. Disponível em: www.rpm.org. br/cdrpm/3/5.htm. Acesso em: 11 out. 2024.
Explicar aos estudantes que os poliedros para os quais a relação de Euler é válida são chamados de poliedros eulerianos. Assim, pode-se afirmar que todo poliedro convexo é euleriano, porém nem todo poliedro euleriano é convexo.
Ao abordar a atividade resolvida R2, comentar com os estudantes que existem apenas cinco classes de poliedros de Platão, conforme apresentado no quadro a seguir, em que F é a quantidade de faces, A é a quantidade de arestas, V é a quantidade de vértices, n é a quantidade de lados de cada face e q é a quantidade de arestas que partem de cada vértice.
Classe de poliedro
Tetraedro
Octaedro 812634
Dodecaedro12302053
Icosaedro 20301235
A seção Atividades das páginas 144 e 145 tem como objetivo trabalhar com a identificação e o cálculo da quantidade de
vértices, faces e arestas de um poliedro, com o formato de suas faces, com a representação de poliedros convexos e não convexos, com a identificação de poliedros regulares e com a relação entre as quantidades de vértices, faces e arestas em um poliedro não convexo.
Páginas 146 a 157 Prismas
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT201, EM13MAT309 e EM13MAT504 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas com o cálculo de áreas de superfícies e de volumes de prismas em situações contextualizadas, assim como a investigação de processos para a obtenção do volume de prismas, incluindo o princípio de Cavalieri, para a dedução de expressões de cálculo do volume dessa figura.
No boxe Para pensar da página 147, espera-se que os estudantes compreendam que todo cubo é um paralelepípedo reto-retângulo cujas arestas têm medidas iguais, mas nem todo paralelepípedo reto-retângulo é um cubo. Observe, a seguir, algumas respostas possíveis a esse boxe.
Antes de iniciar o trabalho com área da superfície de um prisma, na página 148, verificar a possibilidade e a necessidade de propor aos estudantes a resolução das atividades 13 a 15 da página 149 para utilizá-la como uma avaliação diagnóstica, pois essas atividades abordam conceitos matemáticos provavelmente estudados em anos anteriores. Assim, é possível identificar indícios do conhecimento prévio dos estudantes a respeito desse assunto, ou possíveis defasagens de aprendizagem, e conduzir o trabalho com esse conteúdo de maneira personalizada.
Caso julgar conveniente, trazer para a sala de aula objetos cujos formatos lembram paralelepípedos reto-retângulos, como caixas de sapatos, e propor aos estudantes que, em grupos de três ou quatro integrantes, realizem medições para calcular a área da superfície externa dos objetos. Essas medições podem ser realizadas com régua, trena, pedaços de barbante etc.
A seção Atividades das páginas 149 e 150 tem como objetivo trabalhar com a obtenção da medida da diagonal do paralelepípedo reto-retângulo em função de suas dimensões, com o cálculo das medidas das arestas de um prisma oblíquo e com cálculos envolvendo a área da superfície de um prisma.
Ao apresentar o princípio de Cavalieri, na página 152, explicar aos estudantes que, ao enunciar que os sólidos geométricos espaciais estão apoiados em um mesmo plano, isso significa que as bases desses sólidos estão contidas nesse plano. A demonstração do princípio de Cavalieri não será apresentada, pois requer o
conhecimento de conceitos matemáticos mais avançados do que os propostos nesse nível de ensino. Porém é possível realizar alguma atividade prática para que os estudantes compreendam esse princípio, como a proposta a seguir.
Atividade Extra
Providenciar, previamente, fichas retangulares idênticas e, com os estudantes organizados em grupos de três ou quatro integrantes, pedir a eles que empilhem as fichas de modo que os empilhamentos fiquem com a mesma quantidade de fichas, porém com formatos diferentes. Perguntar a eles se os empilhamentos têm o mesmo volume. Espera-se que percebam que o volume de cada empilhamento corresponde à soma dos volumes de cada ficha e, como as fichas são idênticas e os empilhamentos são formados pela mesma quantidade de fichas, pode-se afirmar que os empilhamentos têm o mesmo volume, independentemente de como as fichas foram empilhadas.
Comentar com os estudantes que uma pirâmide pode ser classificada em reta ou oblíqua. Na pirâmide reta, a projeção do vértice dessa pirâmide sobre o plano que contém sua base coincide com o centro dessa base; na pirâmide oblíqua, isso não ocorre. Se necessário, sugerir aos estudantes que retomem o estudo sobre projeções ortogonais no plano, conteúdo tratado na Unidade 3 deste Volume.
No boxe Para pensar da página 159, questionar os estudantes sobre a diferença entre o cálculo da área da superfície de um prisma e de uma pirâmide. Espera-se que eles percebam que a área total da superfície de um prisma corresponde à área lateral mais duas vezes a área da base e que a área total da superfície de uma pirâmide corresponde à área lateral mais a área da base.
A seção Atividades das páginas 161 e 162 tem como objetivo trabalhar com o cálculo das medidas do apótema da base, do apótema da pirâmide e da aresta lateral de uma pirâmide regular, além do cálculo da área da superfície de prismas e pirâmides.
Ao trabalhar com o volume de uma pirâmide, na página 163, relembrar aos estudantes que dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes forem proporcionais entre si. Ainda, enfatizar a relação entre a área de quaisquer pares de polígonos semelhantes e, em particular, para polígonos regulares, conforme segue.
EDITORIA DE ARTE
A resolução da atividade resolvida R6 apresenta ideias da resolução de problemas, uma das tendências metodológicas abordadas na parte geral destas Orientações para o professor. Na 3a etapa, se necessário, retomar o estudo de notação científica, conteúdo abordado na Unidade 1 do Volume 2 desta coleção.
A seção Atividades das páginas 155 a 157 tem como objetivo trabalhar com cálculos envolvendo volume de um prisma reto ou oblíquo, também a partir da sua planificação, além do cálculo do volume de figura geométrica espacial decomposta em prismas.
A atividade 32 propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve ações adequadas a uma demanda social abrangendo medidas e cálculo de volume, além de uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, uma vez que aborda aspectos relacionados à acessibilidade, como informações técnicas sobre as rampas de acesso, e propõe a elaboração de uma proposta de construção de rampa na comunidade local.
Páginas 158 a 167
Pirâmides
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT201, EM13MAT309 e EM13MAT504 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas com o cálculo de áreas de superfícies e de volumes de pirâmides em situações contextualizadas, assim como a investigação de processos para a obtenção do volume de pirâmides.
Considere um polígono regular de n lados de comprimento l e cuja área é A. Ao multiplicar a medida dos lados desse polígono por um número real positivo k, obtém-se um polígono regular de n lados de comprimento k l e área k 2 A
A seção Atividades das páginas 166 e 167 tem como objetivo trabalhar com cálculos envolvendo volume de pirâmides e de tronco de pirâmides.
Páginas 168 a 174
Cilindro circular
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT201, EM13MAT309 e EM13MAT504 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas com o cálculo de áreas de superfícies e de volumes de cilindros circulares, assim como a investigação de processos para a obtenção do volume do cilindro circular.
No boxe Matemática na história da página 168, comentar com os estudantes que o papiro de Rhind (ou Ahmes) e o papiro de Moscou são as principais fontes de informações acerca da Matemática egípcia antiga. O papiro de Rhind é organizado em proposições e resoluções de problemas e data de cerca de 1650 a.C. Atualmente, esse papiro está exposto no Museu Britânico, em Londres (Inglaterra). O papiro de Moscou data de cerca de 1850 a.C. e contém 25 problemas. Este se encontra no Museu Estatal Pushkin de Belas Artes, em Moscou (Rússia).
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 69-70.
Ao iniciar o trabalho com a área da superfície de um cilindro reto, na página 170, verificar a possibilidade de reproduzir moldes de cilindros retos para que os estudantes possam manipulá-los e analisar o comprimento do retângulo (correspondente à superfície
lateral do cone reto), que é igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro. Essas medições podem ser feitas com pedaços de barbante e régua, por exemplo.
A seção Atividades da página 171 tem como objetivo trabalhar com o cálculo da área da superfície de cilindros. Na atividade 55, explicar aos estudantes que a área da superfície obtida ao seccionar um cilindro reto por um plano paralelo ao seu eixo é diretamente proporcional à medida do comprimento do arco de circunferência determinado por essa seção.
Para o trabalho com o volume de um cilindro, na página 172, retomar com os estudantes o princípio de Cavalieri, apresentado nessa Unidade.
A seção Atividades das páginas 173 e 174 tem como objetivo trabalhar com o cálculo do volume de cilindros, cilindros obtidos por revolução e a partir do perímetro de sua seção meridiana, além do cálculo da área da superfície de um cilindro de revolução. Ao abordar o boxe Mundo do trabalho, propor aos estudantes que pesquisem mais informações relacionadas às vantagens do trabalho em equipe. Sugere-se convidar um profissional da área de Recursos Humanos para conversar com os estudantes a respeito das soft skills
Páginas 175 a 184
Cone circular
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT201, EM13MAT309 e EM13MAT504 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas com o cálculo de áreas de superfícies e de volumes de cones circulares, assim como a investigação de processos para a obtenção do volume do cone circular. Também propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, uma vez que trata da reciclagem do óleo de cozinha. Verificar a possibilidade de promover uma roda de conversa com os estudantes em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para discutir sobre as consequências do descarte incorreto do óleo de cozinha, como a contaminação de solos e rios.
No boxe Para pensar da página 176, espera-se que os estudantes percebam que o raio da base, a altura e a geratriz do cone reto correspondem, nesta ordem, aos dois catetos e à hipotenusa de um triângulo retângulo.
Na página 177, para determinar a área lateral de um cone reto, foi utilizada a propriedade fundamental das proporções; se necessário, retomar o estudo dessa propriedade, conteúdo tratado em anos anteriores. Verificar se os estudantes perceberam que 2pg e pg 2 correspondem ao comprimento e à área de um círculo de raio g, respectivamente, e que 2pr e Al correspondem ao comprimento e à área do setor circular, respectivamente.
A seção Atividades da página 179 tem como objetivo trabalhar com o cálculo da área da superfície de cones e de seus elementos. A atividade 72 propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201, uma vez que propõe a elaboração de um mapa virtual identificando pontos de coleta de óleo de cozinha usado.
No trabalho com o volume de um cone circular, na página 180, retomar com os estudantes a relação entre a área de quaisquer pares de polígonos semelhantes, como apresentado nos comentários para o estudo do volume de uma pirâmide.
A seção Atividades das páginas 182 a 184 tem como objetivo trabalhar com o cálculo do volume de cones e de seus elementos e cones obtidos por revolução. Para resolver a atividade 78, os estudantes podem utilizar instrumentos de desenho (régua, esquadros, transferidor e compasso) ou um software de geometria dinâmica, como o GeoGebra. A atividade 87 propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201 e uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo, uma vez que propõe a investigação de modelos de copos plásticos descartáveis de acordo com as especificações da ABNT.
Páginas 185 a 189 Esfera
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 2, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT201, EM13MAT309 e EM13MAT504 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas com o cálculo da área da superfície e do volume de esferas, assim como um processo de investigação para a obtenção do volume da esfera. Além disso, propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Sugerir aos estudantes que realizem uma pesquisa para investigar como são calculadas a medida do diâmetro de um planeta. Eles devem relacionar os elementos de uma esfera ao estudo das linhas imaginárias e das coordenadas geográficas. Essa proposta pode ser acompanhada por um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, em particular, para tratar de conceitos da Geografia.
Ao trabalhar com o volume de uma esfera, na página 186, comentar com os estudantes que o sólido geométrico M é conhecido por anticlepsidra. Relembrá-los de que uma coroa circular corresponde à região compreendida entre duas circunferências concêntricas. No boxe Dica, verificar se os estudantes perceberam que a coroa circular determinada a partir da seção do plano a com o sólido M tem centro O’ e raios d e r, com r . d. Como o plano a é paralelo a b e secciona a esfera a uma distância d de seu centro C, analogamente, o plano a também secciona o sólido M a uma mesma distância d do vértice B, ou seja, O’B = d. Além disso, como O’P é o raio da menor circunferência da coroa circular, tem-se que O’P = d. Logo, o triângulo BO’P é isósceles.
Na página 187, ao trabalhar com a área da superfície de uma esfera, comentar com os estudantes que, diferentemente do cilindro e do cone, a superfície de uma esfera não pode ser planificada. A demonstração da expressão para calcular a área da superfície de uma esfera não será apresentada, pois requer o conhecimento de conceitos matemáticos mais avançados do que os propostos nesse nível de ensino. No entanto, uma verificação dessa expressão é realizada a partir da decomposição de uma esfera em n sólidos geométricos congruentes. Nesse caso, n pirâmides de base quadrangular congruentes.
Atividade Extra
Ao trabalhar a atividade resolvida R16, propor aos estudantes que, em grupos de três integrantes, pesquisem um experimento em que seja possível visualizar os sólidos de revolução tratados nessa Unidade, o que pode ser realizado como parte de uma atividade avaliativa. Em seguida, propor a eles que investiguem as etapas do experimento, bem como os materiais que são
necessários para sua realização (dar preferência para materiais simples e acessíveis, como materiais recicláveis). Por fim, eles devem realizar o experimento e apresentá-lo aos demais colegas da turma. Nesse momento, é importante orientar os estudantes na utilização de utensílios cortantes, por exemplo, a fim de evitar eventuais riscos e garantir a integridade física dos envolvidos no experimento. A apresentação pode ser feita por meio da gravação de vídeos com as etapas do experimento, disponibilizada em um blogue ou rede social da escola.
A seção Atividades das páginas 188 e 189 tem como objetivo trabalhar com o cálculo do volume e da área da superfície de uma esfera, de um hemisfério e da área de um fuso esférico, além do cálculo da medida aproximada do raio de uma esfera a partir de seu volume e de seu equador. A atividade 97 propicia o desenvolvimento da competência específica 5 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que propõe aos estudantes investigar e estabelecer conjecturas que expressem o cálculo da área de um fuso esférico em função de um ângulo de rotação e da medida do raio da esfera correspondente.
Páginas 190 a 192 Integrando com Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 2 e 6, das competências específicas 2 e 3 e das habilidades EM13MAT201 e EM13MAT309 da área de Matemática e suas Tecnologias e da competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, pois envolve ações adequadas a demandas sociais relacionadas a medições e cálculos de área e de volume em situações reais. Além disso, propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, uma vez que propõe uma reflexão sobre os impactos relacionados aos hábitos de consumo, bem como sobre a importância do uso da madeira de reflorestamento e da prática da silvicultura.
Conversar com os estudantes sobre os impactos ambientais causados pelos seus hábitos de consumo, analisando de maneira crítica como a participação efetiva do jovem pode contribuir para o consumo consciente e para a preservação do meio ambiente. Essa conversa pode ser acompanhada por um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, que pode apresentar conceitos específicos da área.
O Pensando no assunto tem como objetivo trabalhar a reflexão sobre o consumo consciente a partir dos hábitos de consumo dos estudantes, a pesquisa de produtos provenientes de florestas plantadas e áreas de reflorestamento e a interpretação e a análise de gráficos e métodos de medição do volume de madeira.
O tema trabalhado nessa seção possibilita uma ampliação por meio da realização de um projeto. Uma sugestão é que esse projeto promova a arborização urbana. Na parte geral destas Orientações para o professor há informações sobre a metodologia ativa aprendizagem baseada em projetos. Essa proposta pode ser acompanhada por um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias. É interessante que todo o processo realizado seja gravado em vídeo e disponibilizado, por exemplo, em uma rede social da escola.
Páginas 193 e 194
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT309 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a construção e o cálculo da área da superfície e do volume de figuras geométricas espaciais com apoio de tecnologias digitais.
Na etapa A, enfatizar aos estudantes que a Janela de visualização 2D é referida apenas como Janela de visualização. Na etapa B, explicar que o valor correspondente ao volume do prisma construído, em centimetro cúbico, é aproximado.
Mãos à obra - página 194
1. Se necessário, orientar os estudantes na construção do pentágono regular.
2. Auxiliar os estudantes, inicialmente, na construção de uma das bases do cilindro reto: na Janela de visualização, com a opção Círculo: Centro & Raio selecionada, marcar um ponto qualquer na malha e, na caixa de texto que abrir, digitar “3”, que corresponde ao raio da base do cilindro, e confirmar com OK. Em seguida, de maneira análoga, eles devem realizar a etapa B, considerando “5” a altura do cilindro.
3. Nessa questão, os estudantes podem investigar situações do cotidiano em que seja necessário utilizar conceitos envolvendo cálculo do volume ou da área da superfície de um prisma reto ou de um cilindro circular reto. Ao final, propor que os problemas sejam reproduzidos na lousa ou em projeção de slides e discutidos com os demais colegas da turma.
Páginas 195 e 196
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha uma situação envolvendo construções em concreto armado, retomando, assim, o tema da abertura da Unidade. No item b, discutir com os estudantes sobre as partes das colunas e da viga que não serão pintadas (regiões de apoio ao solo e regiões de contato entre as colunas e a viga). No item c, explicar aos estudantes que a betoneira é uma máquina com recipiente giratório para misturar o concreto, por exemplo. Além disso, no segundo questionamento proposto nesse mesmo item, chamar a atenção deles para que considerem o volume máximo de concreto produzido em uma única vez na betoneira, e não a capacidade máxima de seu tambor.
Páginas 197 e 198
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor , o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Quadro-síntese
Competências gerais: 1, 3, 5, 6 e 9
Competência específica de Matemática e suas Tecnologias: 3
BNCC
Temas
Contemporâneos
Transversais
Conteúdos
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 3
Habilidade de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT310
Ciência e Tecnologia; Diversidade Cultural; e Educação em Direitos Humanos
Princípio fundamental da contagem, princípio aditivo da contagem, fatorial, arranjo simples, permutação simples, permutação com repetição e combinação simples.
Compreender as ideias dos princípios multiplicativo e aditivo da contagem.
Construir árvores de possibilidades e tabelas de dupla entrada para representar os resultados possíveis em um experimento aleatório.
Compreender o conceito de fatorial de um número natural e resolver e simplificar expressões envolvendo fatoriais.
Compreender os conceitos de arranjo, combinação e permutação e identificar qual deles utilizar para resolver determinado problema.
Resolver e elaborar problemas, individualmente ou em grupo, envolvendo os tópicos trabalhados na Unidade, relacionados ou não a situações do cotidiano.
O trabalho com essa Unidade possibilita aos estudantes desenvolver o raciocínio lógico, estabelecendo relações entre esse tipo de raciocínio e demandas do cotidiano, uma vez que, em diversas situações do dia a dia, são necessárias reflexões e análises críticas a respeito de possibilidades ou aleatoriedade de eventos para se tomar uma decisão. Ainda, o trabalho com técnicas de contagem contribui para que os estudantes construam significados de ideias próprias da Matemática que podem ser utilizadas para interpretar e resolver problemas em diferentes contextos. Além disso, é possível que os estudantes reconheçam a importância de conhecimentos matemáticos historicamente construídos para o desenvolvimento de diferentes tecnologias utilizadas atualmente.
Página 199
Abertura da Unidade
O trabalho com a abertura da Unidade propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, pois trata da necessidade do uso de senhas em serviços on-line e contribui para reflexões sobre a importância da criação de senhas, principalmente no que diz respeito a segurança e privacidade.
Realizar uma discussão com os estudantes a fim de que eles apresentem suas considerações sobre o assunto. Para isso, propor os seguintes questionamentos.
• Vocês têm uma mesma senha para todas as redes sociais que utilizam?
• Vocês utilizam caracteres especiais para compor suas senhas?
• Vocês já observaram como funcionam as senhas de contas bancárias?
• Qual é a importância de ter uma senha difícil de ser descoberta?
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre a importância de senhas seguras.
• UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ. A importância de uma senha segura . [Jacarezinho]: Uenp, 2013. Disponível em: https://uenp.edu.br/2012-05-15-14-01-11/246 -administrativo-e-tecnico/nucleo-tecnologia-da-informacao2/ seguranca-info/426-a-importancia-de-uma-senha-segura. Acesso em: 11 out. 2024.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos na abertura.
1. Respostas possíveis: Verificar a identidade do usuário; autenticar o usuário.
2. Respostas esperadas: Para evitar que as contas on-line sejam invadidas; para proteger o acesso de cibercriminosos.
3. Resposta esperada: Nesses casos, é preciso considerar as possibilidades existentes para a combinação simultânea de letras e algarismos, de acordo com a quantidade de caracteres da senha. Por esse motivo, senhas desse tipo tendem a ser mais seguras.
Página 200
O estudo da Análise Combinatória
Comentar com os estudantes que a Análise Combinatória permite determinar a quantidade total de combinações distintas, mesmo quando muitas restrições ou critérios são estabelecidos.
Por exemplo, no caso das senhas do portal gov.br, listar todas as senhas distintas possíveis pode ser complexo e trabalhoso. Contudo, a Análise Combinatória possibilita o desenvolvimento de estratégias para determinar a quantidade total de senhas distintas possíveis sem que haja necessidade de listar todas elas.
Páginas 201 a 208
Princípio fundamental da contagem
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT310 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas de contagem por meio do princípio multiplicativo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Antes de iniciar o trabalho com esse tópico, verificar a possibilidade e a necessidade de propor aos estudantes a resolução de algumas atividades das páginas 205 e 206 para utilizá-la como uma avaliação diagnóstica, pois essas atividades abordam assuntos matemáticos estudados em anos anteriores. Assim, é possível identificar indícios do conhecimento prévio dos estudantes a respeito desse conteúdo e conduzir o trabalho com esse tópico de
maneira personalizada, realizando recuperações de defasagens, caso seja necessário.
No estudo do princípio fundamental da contagem, discutir com os estudantes que a tabela de dupla entrada é uma opção viável para a análise de duas características, como no exemplo apresentado: escolha da cor e da capacidade de armazenamento de dados do tablet. Quando há mais características, outras representações podem ser mais viáveis, como a árvore de possiblidades.
Comentar com eles que a árvore de possibilidades, também conhecida como diagrama de árvore, é um meio ilustrativo que permite visualizar todas as possibilidades de combinação em determinadas condições estabelecidas.
A seção Atividades das páginas 205 a 208 tem como objetivo trabalhar com o princípio fundamental da contagem.
Conexões
Ao abordar a atividade 12, sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre CEP.
CORREIOS. Tudo sobre CEP. [S l.]: Correios, c2024. Disponível em: https://www.correios.com.br/enviar/precisa-de-ajuda/tudo -sobre-cep. Acesso em: 11 out. 2024.
Páginas 209 a 211
Princípio aditivo da contagem
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT310 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução e a elaboração de problemas de contagem por meio do princípio aditivo.
A seção Atividades da página 211 tem como objetivo trabalhar com o princípio fundamental da contagem e com o princípio aditivo da contagem. Na atividade 25, é importante avaliar se os problemas elaborados pelos estudantes contemplam as ideias relacionadas aos conceitos propostos. Ao final, alguns desses problemas elaborados podem ser reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.
Páginas 212 a 214 Fatorial
Ao explorar os exemplos, propor aos estudantes que calculem 5 4! e 7 6 5! para verificar se os resultados obtidos correspondem a 120 (5!) e 5 040 (7!), respectivamente. Explicar a eles que a relação n! = n (n _ 1)! é conhecida como propriedade fundamental dos fatoriais.
A seção Atividades da página 214 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de expressões, identificação de igualdades verdadeiras, simplificação de expressões e resolução de equações envolvendo o fatorial de um número natural, bem como a ideia de fatorial associada à paridade de um número.
Páginas 215 a 219
Arranjo simples
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, odesenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT310 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução de problemas de contagem abrangendo
agrupamentos ordenáveis, ou seja, em que importa a ordem em que os elementos são agrupados.
Chamar a atenção dos estudantes para o fato de que, na tabela de dupla entrada, em alguns momentos, as células da diagonal podem ficar sem a indicação de dados. É importante que eles percebam que, de acordo com a situação apresentada no exemplo, cada membro da equipe não pode ocupar duas funções no time.
Ao explorar a expressão para calcular a quantidade de arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p, se julgar conveniente, apresentar aos estudantes, de maneira detalhada, o cálculo da quantidade de possibilidades para cada uma das p posições do arranjo formado, como a seguir.
1a posição: para p = 1, tem-se n 1 + 1 = n; n possibilidades.
2a posição: para p = 2, tem-se n 2 + 1 = n 1; n 1 possibilidades.
3a posição: para p = 3, tem-se n 3 + 1 = n 2; n 2 possibilidades.
4a posição: para p = 4, tem-se n 4 + 1 = n 3; n 3 possibilidades. ; p -ésima posição: tem-se n p + 1 = n ( p 1); n ( p 1) possibilidades.
Para justificar aos estudantes a multiplicação da expressão obtida por (n p)! (n p)! , relembrá-los de que o número um é o elemento neutro da multiplicação.
A seção Atividades das páginas 218 e 219 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de arranjos simples, em situações contextualizadas ou não, e com a simplificação de expressões que envolvem arranjos simples.
Ao trabalhar com a atividade 42, verificar a possibilidade de propor a atividade a seguir, que pode compor o processo avaliativo.
Atividade Extra
Em um laboratório de informática, propor aos estudantes que pesquisem informações sobre a Placa de Identificação Veicular (PIV) no padrão Mercosul, como: a história dessa placa, o motivo pelo qual foi necessária sua implementação, que países a utilizam, qual é o diferencial dessa placa em relação ao modelo anterior, em particular, em relação à quantidade de placas distintas que podem ser formadas nos dois modelos. Além disso, eles podem pesquisar dados estatísticos sobre o uso dessa placa. Pedir que registrem os dados da pesquisa em um relatório, que pode ser ilustrado e conter gráficos e tabelas.
Páginas 220 a 222
Permutação simples
Ao explorar o contexto apresentado no início desse tópico, promover uma roda de conversa para que os estudantes compartilhem suas experiências em relação aos serviços de streaming. Questioná-los sobre quais tipos desses serviços eles conhecem e quais já utilizaram, por exemplo, de vídeos, de músicas, de filmes etc.
Comentar com os estudantes que a permutação simples é um caso particular de arranjo simples.
Na atividade resolvida R13, chamar a atenção dos estudantes para o fato de que a quantidade de atletas é igual à quantidade de elementos dos agrupamentos realizados. Propor a eles que resolvam essa atividade utilizando o princípio fundamental da contagem, conforme apresentado a seguir, o que possibilita a eles compreender que um mesmo problema pode ser resolvido por meio de diferentes estratégias.
4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
Quantidade de atletas possíveis para a 1a colocação
Quantidade de atletas possíveis para a 2a colocação
Quantidade de atletas possíveis para a 3 a colocação
Quantidade de atletas possíveis para a 4 a colocação
A seção Atividades das páginas 221 e 222 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de permutações simples, em situações contextualizadas ou não.
Caso os estudantes apresentem dificuldade para resolver oitem b da atividade 51, sugerir que determinem, inicialmente, a quantidade de termos da sequência que são maiores que 89 765 (1 4 3 2 1 = 24). Em seguida, eles devem subtrair o resultado obtido de 120, que corresponde à posição ocupada pelo último termo dessa sequência (120 24 = 96).
Páginas 223 a 226
Permutação com repetição
O contexto apresentado na introdução desse tópico propicia o desenvolvimento da competência geral 3 e uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural, pois trata das manifestações artísticas associadas à poesia concreta. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias para ampliar a discussão sobre as características do Concretismo. Verificar a possibilidade de oprofessor da área discutir com os estudantes outros movimentos artísticos e literários que ocorreram no Brasil.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para escutar um podcast que apresenta informações sobre a música e a poesia concreta.
USP ESPECIAIS#4: Série Caminhos Sonoros: Música e Poesia Concreta. Apresentadora: Luísa Campelo de Freitas. São Paulo: Rádio USP, 12 mar. 2020. Podcast. Disponível em: https://jornal.usp. br/podcast/usp-especiais-4-serie-caminhos-sonoros-musica -e-poesia-concreta/. Acesso em: 11 out. 2024.
Apresentar aos estudantes outros anagramas da palavra acaso a fim de que eles compreendam que, ao permutar as letras a, obtém-se um mesmo anagrama, como os sugeridos a seguir. soaac soaac
• acoas acoas
• acsoa acsoa
Para auxiliar os estudantes a compreender a definição de permutação com repetição, apresentar a eles o esquema a seguir.
a1, a1, ..., a1 , a2, a2, ..., a2 , ..., ak , ak , ..., ak n1 elementos iguais a a1 n2 elementos iguais a a2 n elementos nk elementos iguais a ak
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre o Sistema Braille.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Código matemático unificado para a língua portuguesa – CMU Brasília, DF: MEC: Seesp, 2006. Disponível em: http://antigo.ibc. gov.br/images/conteudo/AREAS_ESPECIAIS/CEGUEIRA_E_ BAIXA_VISAO/Braille/Cdigo-Matemtico-Unificado.pdf. Acesso em: 11 out. 2024.
A seção Atividades da página 226 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de permutações com repetição, em situações contextualizadas ou não.
Combinação simples
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT310 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a resolução de problemas de contagem abrangendo agrupamentos não ordenáveis, ou seja, em que não importa a ordem em que os elementos são agrupados.
Ao explorar a resolução da situação sobre a fiscalização dos cinco postos de combustível, relembrar aos estudantes a ideia de conjunto e de subconjunto.
• Sejam A e B dois conjun tos quaisquer, quando todos os elementos do conjunto B também são elementos do A , tem-se que B está contido em A , ou, ainda, que B é um subconjunto de A
Comentar com os estudantes que a combinação simples de n elementos, tomados p a p, também pode ser indicada por C p n ou (n p).
No boxe Para pensar da página 229, propor aos estudantes que justifiquem a resposta. Espera-se que eles percebam que, ao escolher dois pontos, o segmento de reta traçado é o mesmo, independentemente da ordem de escolha desses pontos. Por exemplo, considerando os pontos A e B, os segmentos de reta AB e BA são os mesmos. Assim, a quantidade de segmentos de reta distintos que podem ser traçados é dado por C6, 2
A resolução da atividade resolvida R23 utiliza ideias da resolução de problemas, uma das tendências metodológicas abordadas na parte geral destas Orientações para o professor
A seção Atividades das páginas 232 a 235 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de combinações simples, em situações contextualizadas ou não, com o cálculo de arranjo simples e de permutação simples, com a identificação de arranjos e combinações simples em diferentes situações e com o reconhecimento de regularidades associadas à combinação simples.
O contexto da atividade resolvida R18 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, uma vez que trata da escrita em Braille, um sistema em que é possível reconhecer uma tendência de universalização de linguagem, possibilitando a comunicação e a autonomia de pessoas com deficiência visual. Comentar com os estudantes que o conjunto de seis pontos dispostos em formato retangular é chamado de cela braille. Como complemento, propor aos estudantes que realizem uma pesquisa para representar alguns dos caracteres do Sistema Braille, por exemplo, os símbolos próprios da linguagem matemática.
Na atividade 71, relembrar aos estudantes que um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta com extremidades no polígono tenha todos os seus pontos pertencentes a esse polígono. Verificar se eles perceberam que, para um polígono convexo de n lados, ao calcular Cn, 2, o resultado obtido corresponde ao total de lados e de diagonais desse polígono. Assim, é necessário subtrair desse resultado a quantidade de lados do polígono.
Na atividade 75, relembrar aos estudantes que duas retas r e s são coplanares quando estão contidas em um mesmo plano. Para a resolução, os estudantes podem analisar dois casos: quando dois vértices do triângulo estão sobre a reta r e um vértice está sobre s; e quando dois vértices do triângulo estão sobre a reta s e um vértice está sobre r.
Aproveitar a atividade 85 e promover uma roda de conversa com os estudantes sobre a importância dos cuidados com jogos de aposta, incluindo os jogos digitais de apostas, que podem causar problemas de compulsividade. Ressaltar que, no Brasil, há programas de saúde que oferecem tratamento para pessoas que apresentam sinais de dependência de jogo. Para complementar, propor aos estudantes que pesquisem informações sobre outra modalidade de loteria organizada pela Caixa Econômica Federal.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre a realização de apostas de maneira responsável.
BRASIL. Caixa Econômica Federal. Jogo responsável. Brasília, DF: CEF [2024]. Disponível em: https://www.caixa.gov.br/jogo-res ponsavel/Paginas/default.aspx. Acesso em: 11 out. 2024.
Páginas 236 a 239 Integrando com Linguagens e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 1 e 9, da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT310 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve combinações de agrupamentos, e da competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Além disso, o contexto propicia abordagens dos Temas Contemporâneos Transversais Ciência e Tecnologia e Educação em Direitos Humanos, uma vez que trata dos avanços tecnológicos relacionados à comunicação, apresentando conhecimentos historicamente construídos sobre o Código Morse. Também contribui para a reflexão dos estudantes a respeito das tecnologias digitais da informação e comunicação (TDIC), de maneira a promover o respeito ao outro e aos direitos humanos.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho, verificar a possibilidade de convidar algum profissional de Recursos Humanos que trabalha com soft skills para conversar com os estudantes a respeito da comunicação e das outras competências comportamentais. Essa sugestão de abordagem favorece o desenvolvimento da competência geral 6, uma vez que valoriza a diversidade de saberes e promove a apropriação dos estudantes em relação a conhecimentos e experiências associados ao mundo do trabalho.
Verificar a possibilidade de promover uma roda de conversa com os estudantes para conversar sobre a história do Código Morse, identificando, por exemplo, quando foi enviada a primeira mensagem utilizando esse código. Essa conversa pode ser acompanhada
por um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, explorando, também, informações sobre a primeira linha de telégrafo no Brasil. Verificar a possibilidade de o professor da área discutir com os estudantes outros códigos utilizados para compartilhar mensagens no decorrer da história.
Ao abordar as informações sobre Tecnologia Assistiva, conversar com os estudantes sobre as barreiras nas comunicações e na informação que limitam ou impedem a inclusão de pessoas com deficiência visual ou auditiva na comunicação e na recepção de mensagens em sites, no uso de softwares etc. Perguntar a eles se conhecem algum tipo de recurso tecnológico que promove a acessibilidade, por exemplo, aplicativos em smartphone
O Pensando no assunto tem como objetivo trabalhar as experiências dos estudantes em relação a comunicação a distância, interpretação do texto apresentado, transcrição e escrita de palavras a partir do Código Morse, cálculo dos caracteres distintos desse código a partir da Análise Combinatória e elaboração de um fôlder sobre o Código Morse e acessibilidade.
O tema trabalhado nessa seção possibilita uma ampliação por meio da realização de um projeto, que pode compor o processo avaliativo da turma. Uma sugestão é que as informações desse projeto sejam divulgadas em meios digitais com recursos que promovam a acessibilidade. Na parte geral destas Orientações para o professor há informações sobre a metodologia ativa aprendizagem baseada em projetos.
Páginas 240 e 241
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT310 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois envolve a realização de cálculos utilizados para resolver problemas de contagem e agrupamentos, ordenáveis ou não, de elementos com apoio de tecnologias digitais (planilha eletrônica).
Chamar a atenção dos estudantes para a fórmula indicada em cada um dos exemplos. Para os cálculos de combinação e de arranjo simples, ressaltar o uso do ponto e vírgula para separar a indicação das células.
Se julgar conveniente, apresentar aos estudantes outras estratégias para realizar os cálculos de fatorial, combinação e arranjo simples, utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc, conforme segue.
• Para calcular 5!, digitar “=fatorial(5)” na célula A1 e, em seguida, clicar em Enter
• Para calcular C10, 2, digitar “=combin(10;2)” na célula A2 e, em seguida, clicar em Enter.
• Para calcular A8, 3, digitar “=permutar(8;3)” na célula A3 e, em seguida, clicar em Enter. Mãos à obra - página 241
2. Valorizar as estratégias utilizadas pelos estudantes para resolver essa questão. Sugerir que ao menos um deles a apresente para os demais colegas da turma.
3. Nos itens a, b e c, espera-se que os estudantes calculem C80, 5, A36, 8 e 26!, respectivamente. Além disso, ao realizar os cálculos na planilha eletrônica, é possível que alguns números sejam arredondados. Dessa maneira, pode-se redimensionar a célula em que o número foi inserido, ou, ainda, utilizar a opção do menu Formatar como número
4. Valorizar as estratégias utilizadas pelos estudantes para resolver essa questão. Sugerir que ao menos um deles a apresente para os demais colegas da turma.
Páginas 242 e 243
O que estudei
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 retoma o tema da abertura da Unidade sobre o cadastro de senhas. No item d, promover um momento para que os estudantes compartilhem as informações pesquisadas com os demais colegas da turma, pois cada grupo pode obter informações sobre padrões de senha de diferentes modelos de smartphones
Páginas 244 a 246
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Competências gerais: 2, 5 e 6
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 1, 3 e 5
BNCC
Temas Contemporâneos
Transversais
Conteúdos
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 2
Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT106, EM13MAT311, EM13MAT312 e EM13MAT511
Ciência e Tecnologia; Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso; Saúde; Educação Financeira; e Educação Fiscal
Experimento aleatório, cálculo de probabilidade, probabilidade da união de dois eventos, probabilidade condicional, probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes, probabilidade em experimentos binomiais e probabilidade e estatística.
• Reconhecer o uso de cálculos de probabilidade em atividades e estudos de diversas áreas do conhecimento e situações do cotidiano.
• Determinar o espaço amostral de um experimento aleatório.
• Identificar quando dois eventos são mutuamente exclusivos.
• Calcular a probabilidade de ocorrência ou não de um evento, considerando um espaço amostral equiprovável.
• Calcular a probabilidade da união de dois eventos e a probabilidade condicional.
• Identificar se eventos de um mesmo espaço amostral são dependentes ou independentes.
• Calcular probabilidades em experimentos binomiais.
• Estimar a probabilidade de ocorrência de um evento a partir de dados estatísticos.
• Resolver e elaborar problemas, individualmente ou em grupo, envolvendo os tópicos trabalhados nessa Unidade, relacionados ou não a situações do cotidiano.
O trabalho com essa Unidade possibilita aos estudantes desenvolver o raciocínio lógico e a curiosidade, ao identificar e aplicar os conceitos trabalhados em diferentes situações cotidianas, em que seja necessário investigar e analisar os riscos envolvidos e/ou escolher uma opção dentre outras disponíveis, considerando a probabilidade atrelada a determinado evento. Além disso, é necessário explicitar que, por meio do cálculo de probabilidade, é possível prever a chance de ocorrência de um evento, mas não garantir sua ocorrência.
Página 247
Abertura da Unidade
O trabalho com a abertura da Unidade favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, uma vez que apresenta informações sobre como são realizados os estudos meteorológicos para a previsão do tempo, bem como o uso de diferentes dispositivos de pesquisa para esse fim.
Promover uma roda de conversa com os estudantes sobre a importância de uma previsão meteorológica de qualidade. Essa conversa pode ser acompanhada por um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, pois, além de abordar temas relacionados ao clima, podem ser explorados os avanços tecnológicos que contribuem para a programação de sistemas de alertas e de ações para minimizar possíveis desastres naturais.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Respostas pessoais. As respostas dependem das vivências dos estudantes.
2. Resposta possível: Sim, porque é possível se programar para atividades diárias.
3. Resposta pessoal. A resposta depende do dia e da região em que os estudantes residem.
Páginas 248 a 254
O estudo da probabilidade
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 3 e 5 e das habilidades EM13MAT311 e EM13MAT511 da área de Matemática e suas
Tecnologias, pois envolve a identificação e a descrição do espaço amostral de eventos aleatórios e o reconhecimento da existência de diferentes tipos de espaço amostral.
Explicar aos estudantes que jogos de azar são aqueles em que ganhar ou perder dependem mais da sorte do que de habilidades ou de cálculos, como loteria, bingo e jogo de carteado.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre as aplicações do estudo de probabilidades.
• SILVEIRA, José Francisco Porto da. O desenvolvimento das aplicações das probabilidades . Porto Alegre: IME: UFRGS, 2001. Disponível em: www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa6b.html. Acesso em: 11 out. 2024.
Para complementar as informações do boxe Matemática na história da página 248, verificar a possibilidade de propor aos estudantes uma pesquisa sobre como pode ser enunciado o problema dos pontos.
Conexões
Acessar o site indicado a seguir para obter informações sobre o problema dos pontos.
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Métodos de contagem e probabilidade. São Paulo: IME: USP, 2009. Disponível em: www.ime.usp. br/~iole/Apostila2-contagem%20e%20probabilidade%20obmep. pdf. Acesso em: 11 out. 2024.
Ao discutir com os estudantes sobre experimento aleatório, na página 249 , espera-se que eles compreendam que muitos dos acontecimentos do mundo físico são de natureza aleatória e que é possível, em certa medida, identificar prováveis resultados para esses acontecimentos.
Ao explorar o quadro com as possíveis maneiras que os participantes podem esconder os palitos, questionar os estudantes sobre a que corresponde o resultado (x, y). Espera-se que eles compreendam que o participante I escondeu x palitos e o participante II, y palitos.
Ao definir eventos mutuamente exclusivos, na página 251, relembrar que a notação @ corresponde ao conjunto vazio. Se necessário, retomar o estudo de operações com conjuntos (interseção).
A seção Atividades das páginas 253 e 254 tem como objetivo trabalhar com a identificação de experimentos aleatórios, com a determinação do espaço amostral e de eventos de um experimento aleatório, com a identificação de eventos mutuamente exclusivos e a classificação de um evento em simples, certo ou impossível e com as definições de espaço amostral discreto e contínuo.
Páginas 254 a 262
Cálculo de probabilidade
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 3 e 5 e das habilidades EM13MAT311 e EM13MAT511 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois trabalha a identificação e a descrição do espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas relacionados ao cálculo da probabilidade, além de investigar implicações no cálculo de
probabilidades de acordo com o espaço amostral; e da competência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, uma vez que propõe a análise de cálculos probabilísticos para realizar previsões sobre acontecimentos naturais.
Antes de iniciar o trabalho com esse tópico, verificar a possibilidade e a necessidade de propor aos estudantes a resolução das atividades 8 a 11, das páginas 259 e 260, para utilizá-las como uma avaliação diagnóstica, pois essas atividades abordam assuntos matemáticos que provavelmente foram tratados em anos anteriores. Assim, é possível identificar indícios do conhecimento prévio dos estudantes a respeito desse assunto e conduzir o trabalho com esse tópico de maneira direcionada.
Explicar aos estudantes que cada evento simples de um espaço amostral equiprovável é denominado evento equiprovável.
Relembrar aos estudantes, por exemplo, que a indicação “n(E)” corresponde à quantidade de elementos do conjunto E. Ao apresentar a relação da quantidade de elementos dos conjuntos @, E e O, verificar se eles perceberam que a probabilidade de ocorrer algum elemento de E pode assumir valores de 0 a 1. Além disso, pode-se indicar a relação 0 < P(E) < 1 por 0% < P(E) < 100%.
Na página 256, enfatizar aos estudantes que dois eventos são complementares quando satisfazem a duas condições: ser mutuamente exclusivos e a união desses eventos ser igual ao espaço amostral.
A resolução da atividade resolvida R6 utiliza ideias da resolução de problemas, uma das tendências metodológicas abordadas na parte geral destas Orientações para o professor
A seção Atividades das páginas 259 a 262 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de probabilidade de eventos aleatórios, com a identificação de espaços amostrais não equiprováveis e com a classificação de um espaço amostral em equiprovável ou não equiprovável.
Ao iniciar o trabalho com a probabilidade da união de dois eventos, na página 263, lembrar aos estudantes o conceito do princípio aditivo da contagem, conteúdo tratado na Unidade 5 deste Volume. Além disso, relacionar o estudo da união de eventos ao de união de conjuntos, tratado na Unidade 1 do Volume 1 desta coleção.
Na situação apresentada, a expressão “ocorra ao menos um desses eventos” significa que pode ocorrer apenas o evento A, ou apenas o B, ou ambos os eventos.
A seção Atividades das páginas 265 a 267 tem como objetivo trabalhar com o cálculo envolvendo eventos aleatórios e probabilidade da união de dois eventos, além do cálculo de probabilidade de eventos complementares, da comparação entre a probabilidade de diferentes eventos e da investigação do cálculo da probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos.
Conexões
Ao abordar a atividade 23, sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter informações sobre a participação das mulheres na política.
• BRASIL. Senado Federal. Mais mulheres na política. 2. ed. Brasília, DF: Senado Federal: Segraf, 2015. Disponível em: www12. senado.leg.br/institucional/procuradoria/proc-publicacoes/2a -edicao-do-livreto-mais-mulheres-na-politica. Acesso em: 11 out. 2024.
Após trabalhar com a atividade 28, verificar a possibilidade de propor a atividade a seguir, que pode ser realizada como uma avaliação formativa.
Propor aos estudantes que realizem uma pesquisa estatística amostral em que o tema escolhido seja de interesse social e o resultado possa contribuir para a melhoria da comunidade escolar. Uma sugestão é a importância do uso consciente das redes sociais, sobretudo na luta contra a prática de atitudes de ameaça e discriminação em ambientes digitais, conhecidas como cyberbullying Após a coleta e a organização dos dados, propor aos estudantes que escolham recursos que representem os resultados da pesquisa, como tabelas e gráficos, de acordo com as características dos dados que desejam comunicar ou destacar. Com base nos resultados da pesquisa, os estudantes podem elaborar questões que envolvam o cálculo de probabilidade, que devem ser trocadas com as de um colega para que um resolva as questões do outro e, juntos, verifiquem as resoluções.
Ao apresentar a definição de probabilidade condicional, na página 268, salientar aos estudantes que esta não se aplica para P(A) = 0. Comentar que, nas expressões, admitem-se denominador diferente de n(O), pois se toma um evento particular do O como condição para o cálculo da probabilidade.
A seção Atividades das páginas 270 e 271 tem como objetivo trabalhar com a descrição de probabilidade condicional de eventos e com cálculos envolvendo probabilidade condicional.
A atividade 35 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso, uma vez que trata da melhoria do município, visando o bem-estar dos idosos. Após o trabalho com essa atividade, verificar a possibilidade de propor a atividade a seguir.
Atividade Extra
Pedir aos estudantes que, em duplas, investiguem e analisem informações sobre a população idosa do município em que vivem, por exemplo: Há campanhas de incentivo à valorização do idoso? As pessoas idosas praticam atividades físicas? Há academias ao ar livre? Com base nessas informações, eles podem elaborar um vídeo ressaltando a importância da valorização do idoso e apresentando os benefícios das atividades físicas para esse público. Sugerir aos estudantes que compartilhem as produções com a comunidade local em um blogue ou em uma rede social oficial da escola.
Ao explorar a resolução da questão proposta na página 272, perguntar aos estudantes se eles sabem como obter a quantidade de resultados possíveis no sorteio com reposição e no sorteio sem reposição utilizando o princípio fundamental da contagem. Espera-se que eles compreendam que, para o sorteio com reposição, basta calcular 3 3 = 9, uma vez que, ao repor na caixa o 1o papel sorteado, ele pode ser sorteado novamente. E para o sorteio sem reposição, como o 1o papel sorteado não é reposto na caixa antes do sorteio do 2o papel, basta calcular 3 ? 2 = 6.
Comentar que, em geral, sorteios sem reposição determinam eventos dependentes e sorteios com reposição, eventos independentes.
A seção Atividades das páginas 275 a 277 tem como objetivo trabalhar com a classificação de eventos em dependentes ou
independentes e com o cálculo de probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e de eventos independentes.
O contexto da atividade 48 favorece o desenvolvimento da competência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, uma vez que propõe a interpretação e a análise de resultados relacionados ao uso de testes diagnósticos. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para que ele possa auxiliar na discussão sobre a importância da análise da sensibilidade e da especificidade em testes diagnósticos.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho, verificar a possibilidade de convidar um médico ou outro profissional que atua na área da saúde para conversar com os estudantes a respeito da profissão de médico. Essa sugestão de abordagem favorece o desenvolvimento da competência geral 6, uma vez que valoriza a diversidade de saberes e promove a apropriação dos estudantes em relação a conhecimentos e experiências associados ao mundo do trabalho.
Para o trabalho com probabilidade em experimentos binomiais, na página 278, se necessário, retomar o estudo de combinação simples, tratado na Unidade 5 deste Volume. No boxe Para pensar, espera-se que os estudantes calculem C5, 2 ? ( 1 3 ) 3 ? ( 2 3 ) 2 . Sugerir que um deles apresente a resolução na lousa para a turma.
A seção Atividades das páginas 280 e 281 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de probabilidade em experimentos binomiais.
O contexto da atividade 53 propicia uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Educação Financeira e Educação Fiscal, uma vez que propõe aos estudantes a realização de uma pesquisa amostral sobre o uso de moedas nas compras do dia a dia na comunidade escolar ou local. Os estudantes podem utilizar diferentes linguagens e ferramentas para compartilhar as informações pesquisadas, como uma apresentação visual digital (slides) ou a produção de um vídeo ou podcast (programa de áudio veiculado na internet).
O contexto da atividade 55 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, uma vez que propõe uma pesquisa sobre como diminuir os riscos de desenvolver diabetes melito. Ao explorar as informações apresentadas, realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para discutir conceitos de Biologia relacionados ao diabetes melito e seu tratamento.
Páginas 282 a 286
Probabilidade e estatística
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 1, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT106, EM13MAT311 e EM13MAT312 da área de Matemática e suas Tecnologias e da competência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, pois envolve a identificação de situações da vida cotidiana nas quais é possível fazer escolhas considerando-se riscos probabilísticos, realização de contagem para resolver e elaborar problemas relacionados ao cálculo da probabilidade, incluindo a probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
É importante que os estudantes compreendam a necessidade de utilizar conhecimentos de Probabilidade e Estatística para resolver problemas, de modo que apliquem esses conhecimentos
para apresentar argumentos consistentes ao se depararem com situações do cotidiano em diferentes contextos.
Promover uma roda de conversa com os estudantes para discutir sobre a importância do planejamento familiar e dos direitos reprodutivos no Brasil. Comentar com eles que o direito reprodutivo é considerado um dos Direitos Humanos.
A seção Atividades das páginas 284 a 286 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de probabilidade estimada, inclusive, em experimentos binomiais e a partir da análise de dados em tabela e gráfico estatísticos.
A atividade 61 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, uma vez que aborda a eficácia de alguns métodos contraceptivos. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, em particular, para tratar de conceitos da Biologia, como a produção do hormônio folículo-estimulante (FSH) e do hormônio luteinizante (LH) pela hipófise e discutir sobre a ação dos anticoncepcionais orais combinados (AOCs) no organismo da mulher. Conversar com os estudantes sobre o uso de preservativos, que além de serem contraceptivos, previnem doenças sexualmente transmissíveis (DST) e infecções sexualmente transmissíveis (IST). No item d, enfatizar aos estudantes a importância de realizar pesquisas em fontes confiáveis. Na elaboração do relatório, comentar que este pode ser ilustrado e conter gráficos e tabelas que contribuam com a apresentação das informações.
Páginas 287 a 290
Integrando com Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2, das competências específicas 1 e 3 e das habilidades EM13MAT106 e EM13MAT312 da área de Matemática e suas Tecnologias e da competência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, pois envolve a identificação de situações da vida cotidiana que englobam ideias probabilísticas e a resolução de problemas com cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos. Além disso, propicia uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Saúde e Ciência e Tecnologia, uma vez que trata do uso de conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações envolvendo a Genética, de modo a incentivar os estudantes a recorrer a linguagens próprias da Ciência para analisar criticamente informações sobre os princípios básicos da hereditariedade. Também incentiva a reflexão sobre decisões éticas relacionadas à manipulação genética.
Ao explorar as informações dessas páginas, verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, em particular, para tratar de conceitos relacionados à Biologia, bem como discutir com os estudantes sobre ética e genética, destacando os limites das pesquisas científicas envolvendo seres humanos. Se julgar conveniente, conversar com eles a respeito da bioética, que é o estudo dos problemas e implicações morais em pesquisas cientificas.
O Pensando no assunto tem como objetivo trabalhar as aplicações da pesquisa genética, reflexão sobre edições genéticas em humanos, interpretação das informações apresentadas, representação das possibilidades de um organismo homozigoto e o cálculo de
probabilidade, incluindo um heredograma da Doença de Huntington (explicar aos estudantes que um heredograma é uma representação por meio de diagramas e símbolos da transmissão de doenças e características em uma família).
Páginas 291 e 292
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, pois envolve a utilização de tecnologias digitais para resolver problemas relacionados à realização de sorteio de números.
Comentar com os estudantes que, em pesquisas estatísticas, é usual utilizar ferramentas computacionais, como planilhas eletrônicas, na realização dos sorteios para definir os elementos de uma amostra.
É importante chamar a atenção dos estudantes para as indicações das fórmulas nas etapas, destacando o uso das pontuações necessárias para os cálculos.
Mãos à obra - página 292
1. No item b, sugerir aos estudantes que compartilhem com a turma os números obtidos no sorteio, de modo que percebam a variação de resultado, uma vez que os sorteios são aleatórios. Como complemento, propor que investiguem uma fórmula para obter um número real aleatório entre:
• 10 e 0. Resposta: =aleatório()*( 10).
• 10 e 10. Resposta: =aleatório()*20 10.
2. No item d, espera-se que os estudantes compreendam que, quanto maior a quantidade de números sorteados nesse experimento, a tendência é que as frequências relativas dos números obtidos sejam ainda mais próximas entre si.
4. No item c, propor aos estudantes que comparem a quantidade de ocorrências do número 8 com a de alguns colegas.
Páginas 293 e 294
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha os conceitos tratados nessa Unidade relacionados à previsão do tempo, retomando a abordagem realizada na abertura. No item f, avaliar se os problemas elaborados contemplam cálculos de probabilidade. Ao final, como é possível que os estudantes tenham utilizado diferentes fontes de pesquisa, propor que alguns desses problemas sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.
Páginas 295 a 297
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Educação financeira e Matemática
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Olá! Como é bom conseguir pagar todas as contas e ainda ter um dinheirinho guardado no fim do mês, não é? Mas nem sempre é possível alcançar esse cenário ideal. O alto custo de vida, os imprevistos, os gastos descontrolados e os juros abusivos contribuem para que muitas pessoas deixem de pagar suas dívidas e fiquem sem uma reserva financeira. Como se planejar para manter as finanças em dia usando conhecimentos matemáticos? É isso que vamos abordar neste podcast. Vamos lá?
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Todos os meses, a Confederação Nacional do Comércio de Bens, Serviços e Turismo realiza a Peic, Pesquisa de Endividamento e Inadimplência do Consumidor, que analisa a situação financeira dos brasileiros. Em junho de 2024, o levantamento mostrou que 78,8% da população tinha dívidas, e a maioria delas era de cartões de crédito, seguidas por compras a prazo, crédito pessoal e financiamento de casa ou carro.
No mesmo período, o principal serviço de análise de crédito do país tinha quinhentos e cinquenta milhões de dívidas em negociação com inadimplentes, totalizando um volume de débitos de oitocentos e vinte e seis bilhões de reais.
Diversos fatores contribuem para essa situação, e um deles é a falta de organização financeira, que envolve controlar os gastos a partir dos ganhos. Limitar as despesas, fazer uma reserva de emergência, conhecer os direitos do consumidor e entender como funcionam as taxas de juros fazem parte de um planejamento financeiro.
Ter uma relação saudável com o dinheiro traz mais segurança e permite que você realize seus sonhos e suas metas, como comprar algo que deseja ou fazer uma viagem. Afinal, como diz o ditado popular, “quem poupa, tem”.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Sabemos que deixar de pagar uma dívida faz com que o valor inicial dela aumente e, dependendo do tempo que levamos para quitá-la, o valor pode crescer a ponto de sair do controle. Esse aumento ocorre por causa da incidência de juros sobre o valor inicial da dívida, por isso é importante controlar o endividamento. Provavelmente você já aprendeu sobre o que são juros e para que servem, não é? Vamos relembrar?
Juros são valores adicionados, ao longo do tempo, a um valor inicial em transações financeiras, como empréstimos ou investimentos. Existem dois tipos de juro: o simples e o composto. Os juros simples são uma porcentagem fixa sobre um valor inicial, normalmente aplicados em multas por falta de pagamento de uma dívida. Já os juros compostos são os juros dos juros, ou seja, uma porcentagem aplicada não apenas sobre o valor inicial, mas também sobre o valor acumulado.
Para entender a diferença entre eles, vamos propor um exemplo: imagine que você invista dois mil reais em uma aplicação, com taxa de juros de dez por cento ao ano. No primeiro ano, tanto com juro simples quanto com juro composto, você terá um rendimento de duzentos reais, ou seja, dez por cento de dois mil.
Mas no segundo ano, tudo muda. No regime de juro simples, serão aplicados mais 10% sobre o valor inicial, ou seja, mais duzentos reais. Agora, você terá um total de dois mil e quatrocentos reais. Guarde bem essa informação.
No regime de juro composto, serão aplicados mais 10% sobre o valor acumulado do primeiro ano, ou seja, dois mil e duzentos reais mais duzentos e vinte reais. Então, você terá dois mil, quatrocentos e vinte reais.
Avançando um pouco mais, para que a diferença fique mais clara: em seis anos de investimento com juro simples, você terá acumulado três mil e duzentos reais. No mesmo período, com juro composto, terá três mil, quinhentos e quarenta e três reais e doze centavos. Ou seja, terá trezentos e quarenta e três reais e doze centavos a mais aplicando com juro composto do que com juro simples. Então, o juro composto é bem mais vantajoso para quem investe.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Mas, fique atento, pois o juro composto pode ser um desafio para quem adquire alguma dívida ou já está endividado: em compras
a prazo, empréstimos e financiamentos, esses juros costumam ser aplicados. Por isso, é preciso ter cautela ao parcelar uma compra ou uma dívida, pois as taxas de juros podem aumentar significativamente o valor inicial e comprometer o orçamento, tornando impossível quitá-lo no prazo desejado.
Além do descontrole financeiro, o endividamento pode levar a registros nos órgãos de proteção ao crédito, resultando em negativação ou, como se diz, ter o “nome sujo”. A negativação fica atrelada ao número do CPF do devedor e o impede de realizar novos negócios, alugar imóveis, obter crédito para uma compra, entre outros transtornos.
Portanto, é essencial avaliar com cuidado sua situação financeira antes de fazer uma compra a prazo ou um empréstimo. Verifique se as parcelas cabem no seu orçamento, se há uma reserva financeira para emergências ou se é possível economizar o valor necessário para realizar a compra à vista.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Saber lidar com juros e com as informações que apresentamos nesse podcast é parte do que os especialistas chamam de Cidadania Financeira, um conjunto de direitos e deveres de cada indivíduo em relação ao dinheiro. Isso inclui ter acesso a serviços financeiros adequados às necessidades pessoais, desenvolver a capacidade para gerenciar os próprios recursos e contar com um ambiente de negócios seguro, além de mecanismos para resolver conflitos.
Para tomar boas decisões financeiras, é fundamental planejar e contar com a ajuda da Matemática para entender conceitos como juros. Assim, você poderá investir seu dinheiro de maneira mais rentável e evitar empréstimos e financiamentos que podem comprometer suas finanças.
Que tal aprender mais sobre educação financeira e planejar melhor suas finanças?
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Créditos: Os áudios inseridos neste podcast são da Freesound.
O desenvolvimento da Matemática no continente africano
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
A União Internacional de Matemática, instituição que concentra os trabalhos dos maiores matemáticos do mundo, fica na Alemanha. Todas as medalhas Fields, consideradas como o “Prêmio Nobel da Matemática”, foram distribuídas a europeus, asiáticos ou americanos. Pitágoras e Euclides, dois matemáticos muito conhecidos e importantes, eram gregos.
No entanto, os primórdios da Ciência que hoje chamamos de Matemática não estão na Europa, na Ásia ou na América, mas sim na África. Depois que o ser humano aprendeu a se comunicar, caçar, plantar e colher, ele aprendeu a contar.
Pelo que sabemos até agora, os primeiros grupos humanos da África antiga, usavam ossos de animais entalhados com pequenos riscos para marcar quantidades. Com o tempo, os cálculos ficaram mais complexos e resultaram no desenvolvimento da Astronomia e da Engenharia, cujos exemplos mais impressionantes são as pirâmides do Egito, uma das grandes civilizações africanas da Antiguidade.
Acredita-se que todos esses conhecimentos iniciais tenham se desenvolvido em um continente que sempre foi protagonista na história, embora esse protagonismo seja frequentemente esquecido ou silenciado. Vamos, então, conhecer um pouco da história do desenvolvimento da Matemática no continente africano?
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Na década de 1970, um arqueólogo sul-africano encontrou um peculiar osso de babuíno em uma caverna entre a África do Sul e Essuatíni. O artefato, chamado osso de Lebombo, tinha 7,7 centimetros de comprimento e 29 entalhes ao longo da superfície. O arqueólogo percebeu que esse fóssil era muito parecido com calendários ainda usados por clãs africanos tradicionais.
Datado de 35 mil anos antes de Cristo, o osso de Lebombo é considerado, até hoje, o mais antigo instrumento matemático conhecido. Na mesma caverna, foram encontrados outros ossos com entalhes semelhantes, alguns da mesma época, levando os
cientistas a acreditar que as comunidades locais usavam esses ossos para fazer cálculos, além de medir o tempo, os ciclos lunares e o período menstrual das mulheres.
Outro artefato, conhecido como osso de Ishango e descoberto em 1960 no território da atual República Democrática do Congo, é ainda mais impressionante. Datado de 20 mil anos antes de Cristo, ele pertenceu a um mamífero, tem 9,6 centimetros e traz na ponta uma pedra de quartzo, provavelmente usada para fazer marcações ou entalhes. Na superfície do osso, há marcações que sugerem que as pessoas que o entalharam já tinham conhecimento de contagem.
Como esses artefatos surgiram muito antes de qualquer registro escrito, os cientistas têm poucas informações para determinar com certeza o que representam, mas há várias hipóteses. A mais aceita é a de que tanto o osso de Lebombo, quanto o de Ishango eram ferramentas utilizadas para auxiliar na contagem dos dias, uma espécie de calendário que reproduzia o ciclo lunar em um objeto físico. Esse conhecimento era muito útil para comunidades que dependiam dessas informações na agricultura.
Milênios depois, a Matemática africana alcançou um nível de desenvolvimento raro na Antiguidade, com seu centro mais ao norte do continente, nas margens do Rio Nilo, onde a civilização egípcia se desenvolveu.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Os antigos egípcios desenvolveram métodos aritméticos complexos, registrados em diversos papiros, que apresentam muitos problemas matemáticos e suas soluções.
Os exemplos mais famosos são os Papiros de Rhind e Moscou. O Papiro de Rhind, por exemplo, é datado de cerca de 1500 anos antes de Cristo. Dividido em duas partes, ele foi comprado no século XIX em Luxor pelo arqueólogo inglês Alexander Rhind e doado ao Museu Britânico, onde está até hoje. Relatos indicam que o papiro contém diversos cálculos, incluindo uma explicação de como os egípcios determinavam o volume de um cilindro. Mas por que era importante saber o volume de um cilindro? Simples! Os grãos excedentes de toda a produção eram armazenados em silos, depósitos que tinham parte da estrutura com formato de cilindro. Portanto, era essencial calcular a capacidade de armazenamento desses depósitos.
De acordo com as inscrições do papiro, os egípcios multiplicavam a área da base circular do cilindro pela sua altura, cálculo semelhante ao que fazemos hoje. No entanto, o resultado era um pouco diferente para a área da base, pois o valor aproximado de pi que eles usavam era 3,1604, e não 3,1415, que utilizamos atualmente. Esse método de cálculo de volume também era aplicado a outras figuras geométricas espaciais, como paralelepípedos.
Foi o domínio da Geometria, aliado a uma complexa engenharia, que permitiu aos egípcios construir as grandes pirâmides. A maneira como esses monumentos funerários foram erguidos ainda gera muita discussão e diversas hipóteses entre arqueólogos e historiadores.
O que talvez você não saiba é que a civilização egípcia começou a desenvolver esses cálculos por volta do século XVIII antes de Cristo, segundo a data aproximada dos principais papiros aritméticos encontrados no solo africano. Ou seja, cerca de 13 séculos antes dos gregos Pitágoras e Euclides desenvolverem alguns dos métodos e cálculos matemáticos que conhecemos hoje! Surpreendente, não é?
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Créditos: A música “AngloZulu - The Dark Contenent” está disponível na Biblioteca de Áudio do YouTube.
História da probabilidade
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Quando você joga um dado comum de seis faces numeradas de 1 a 6, qual é a probabilidade de sair o número 3? E de sair um número ímpar? Se usarmos dois dados, a probabilidade de sair o número 5 aumenta ou diminui? As respostas para essas perguntas podem ser obtidas por meio do estudo do conceito de probabilidade.
A probabilidade envolve a ideia de acaso, ou seja, situações aleatórias cujo resultado não pode ser previsto com certeza. Historicamente, o acaso era considerado por diversas civilizações como obra da natureza ou decisão dos deuses. No entanto, quando matemáticos começaram a estudar o conceito de acaso, perceberam que havia padrões nos resultados de alguns eventos, e, então, se dedicaram a entender esses padrões.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Mas, antes de avançarmos, vamos voltar um pouco no tempo. As primeiras investigações sobre eventos aleatórios e probabilidade ocorreram por meio da análise de resultados em jogos de azar, aqueles em que o jogador depende de sorte e não de estratégia para vencer, como “cara ou coroa” ou “pedra, papel e tesoura”.
Um dos jogos de azar mais antigos que conhecemos é o Tali, também conhecido como jogo do osso. Popular na Grécia e na Roma Antigas, esse jogo era praticado com um dado de quatro faces irregulares, feito de osso de animal. Além de serem usados como passatempo e para apostas, esses dados serviam para práticas adivinhatórias.
Outro uso da probabilidade, presente desde a Antiguidade, está ligado ao surgimento dos seguros. Por exemplo, comerciantes da Mesopotâmia e da civilização fenícia calculavam a probabilidade de a carga de um navio ser perdida em um naufrágio, em um ataque de piratas, em acidentes ou outros imprevistos para determinar o prêmio do seguro dessa carga de mercadorias.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Ao longo da história, a probabilidade tem fascinado e intrigado grandes matemáticos. Um dos primeiros a teorizar sobre o tema foi o italiano Luca Pacioli. Ele e outros matemáticos italianos, mais tarde, se dedicaram a entender e resolver o chamado problema dos pontos, proposto por volta de 1500. O problema era o seguinte: em um determinado jogo, vence o jogador que fizer seis pontos primeiro. Considerando que uma partida precisou ser encerrada quando um dos jogadores tinha cinco pontos e o outro jogador tinha três pontos, qual seria a maneira correta de dividir o prêmio entre eles?
Pacioli não conseguiu resolver corretamente essa questão, mas seus estudos abriram caminho para que outros estudiosos, como Tartaglia, Cardano e Galileu, se aprofundassem no tema, ainda que sem sistematizar os conceitos probabilísticos.
Por volta de 1654, o matemático francês Blaise Pascal conheceu o problema dos pontos, ao qual se dedicou a resolver, compartilhando-o por carta com Pierre de Fermat, outro notável matemático francês.
Ao todo, os dois estudiosos trocaram sete cartas, nas quais tratavam o conceito de probabilidade de modo genérico e sistemático e não apenas numérico, como havia sido feito até então. Por isso, o conteúdo dessas correspondências é considerado o início da teoria da probabilidade, ou seja, a partir desse momento a probabilidade passou a ser um campo da Matemática.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
E no mundo contemporâneo, você sabe quais são as aplicações da probabilidade?
Ela está presente em diversas áreas da Ciência e da sociedade. Na Física, na Estatística, na Economia, na Engenharia, na prevenção de acidentes e até mesmo nos cálculos de seguros.
Por exemplo, durante a pandemia, em 2020, diversos estudos foram realizados constantemente para tentar prever o avanço do vírus, suas variações e quais medidas sanitárias ajudariam a diminuir a quantidade de casos. Tudo isso foi calculado com o auxílio da teoria da probabilidade.
Outro exemplo de aplicação da probabilidade é a previsão do impacto da inteligência artificial no mercado de trabalho. Alguns estudos apontam que metade das atividades será realizada por meio de inteligência artificial, o que demanda preparo dos profissionais para lidar com essas ferramentas e se manterem competitivos no mercado. Há até a probabilidade de que você saia deste podcast com novos conhecimentos!
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Créditos: Os áudios inseridos neste podcast são da Freesound.
Unidade 1 • Matemática financeira
1. 310,15 0,02 1 6,20
310,15 + 6,20 = 316,35 H R$ 316,35
2. a) dias 13, 14 e 15
b) • 298,00 0,10 = 29,80
298,00 29,80 = 268,20 H R$ 268,20
• 298,00 0,03 = 8,94
298,00 8,94 = 289,06 H R$ 289,06
• R$ 298,00
• 298,00 0,05 = 14,90
298,00 + 14,90 = 312,90 H R$ 312,90
c) 312,90 268,20 = 44,70
44,70
312,90 1 0,143 H
H aproximadamente 14,3%
44,70
268,20 1 0,167 H
H aproximadamente 16,7%
Algumas respostas possíveis: O valor do pagamento até dia 8 do mês é aproximadamente 14,3% menor em relação ao valor do pagamento após a data do vencimento. O valor do pagamento após a data do vencimento é aproximadamente 16,7% maior em relação ao valor do pagamento até dia 8 do mês.
3. a) 1 870,00 0,08 = 149,60
149,60 8 = 1 196,80 H R$ 1.196,80 b) x ? 0,02 ? 12 = 239,32 h h 0,24x = 239,32 h x 1 997,17 H
H aproximadamente R$ 997,17
c) Pesquisa do estudante. Espera-se que os estudantes compreendam as características do FGTS e as regras para o saque. Essas informações podem ser obtidas no site disponível em https://www.caixa.gov.br/beneficios -trabalhador/fgts/Paginas/default.aspx (acesso em: 18 set. 2024).
4. 249,00 211,65 = 37,35 37,35 249, 00 = 0,15 H 15%
5. alternativa b Preço por kg: 400,00 : 50 = 8,00
Lucro: 8,00 200 100 = 8,00 2 = 16,00
8,00 + 16,00 = 24,00 H R$ 24,00
6. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compartilhem suas experiências com compras on-line
b) 80,4 x = 102% 100% h x 1 78,8 H H aproximadamente 78,8 bilhões
c) 2% de 80,4 H 0,02 80,4 = 1,608 80,4 + 1,608 1 82 H H aproximadamente R$ 82 bilhões
7. Pesq uisa dos estudantes. Espe ra-se que eles consigam investigar e compreender informações sobre os cálculos realizados na apuração do IPTU, bem como as taxas e os valores que envolvem esse imposto. É importante incentivar a realização de cálculos com percentuais a partir da pesquisa realizada.
8. a) 450 (1 0,2) (1 0,1) = 324 H
H R$ 324,00
b) Não. Resposta esperada: Porque o desconto para pagamento à vista é calculado sobre o preço da armação já considerando o abatimento oferecido na entrega da armação usada.
9. Sudeste: 4,89 : 6,61 1 0,740; 5,50 : 4,89 1 1,125 Sul: 5,01 : 6,58 1 0,761; 5,70 : 5,01 1 1,138
Centro-Oeste: 5,03 : 6,63 1 0,759; 5,41 : 5,03 1 1,076 Norte: 4,87 : 6,67 1 0,730; 5,88 : 4,87 1 1,207
Nordeste: 5,04 : 6,65 1 0,758; 5,57 : 5,04 1 1,105
Respostas possíveis: Sudeste: aproximadamente 0,740 e 1,125; Sul: aproximadamente 0,761 e 1,138; Centro-Oeste: aproximadamente 0,759 e 1,076; Norte: aproximadamente 0,730 e 1,207; Nordeste: aproximadamente 0,758 e 1,105.
10. x (1 0,10) (1 0,07) = 662,00 h h x 0,90 0,93 = 662,00 h h 0,837x = 662 h x 1 790,92
790,92 662,00 =
= 128,92 H R$ 128,92
11. (1 0,08) (1 + 0,10) =
= 0,92 1,10 = 1,012 1,012 1 = 0,012 H
H acréscimo de 1,2%
12. a) Em 2021: 4,10 (1 0,037) (1 + + 0,063) = 4,10 0,936 1,063 1 1 4,20 H aproximadamente R$ 4,20; Em 2023: 4,20 ? (1 + 0,048) ? (1 + + 0,057) = 4,20 1,048 ? 1,057 1
1 4,65 H aproximadamente R$ 4,65 b) (1 0,037) ? (1 + 0,063) ? (1 + + 0,048) (1 + 0,057) =
= 0,963 1,063 1,048 1,057 1
1 1,134 H aproximadamente 13,4%
c) Pesquisa dos estudantes. Espera-se que eles apliquem o conceito de fatores de atualização no contexto das variações de preços nas tarifas do transporte coletivo do município ou região em que moram. A partir disso, eles podem avaliar as variações e levantar hipóteses sobre tais variações.
13. a) 13 produtos alimentícios. Resposta esperada: Carne, leite, feijão, arroz, farinha, batata, tomate, pão francês, café em pó, banana, açúcar, banha/óleo e manteiga.
b) 656,88 ? (1 + 0,0125) ? (1 + + 0,0024) ? (1 0,0057) = = 656,88 1,0125 1,0024 0,9943 1 1 657,63 H
H aproximadamente R$ 662,89
c) 662,88 : 656,88 1 1,0091
Resposta esperada: Sim, pois esse acréscimo foi de aproximadamente 0,91%.
d) 656,88 : 1 204,35 1 0,55 H
H aproximadamente 55%
e) Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles compreendam as características e os produtos que compõem uma cesta básica na região onde moram e o preço da cesta. A partir disso, eles podem avaliar a relação com o salário mínimo vigente e analisar os índices obtidos.
Integrando com...
1. Resposta esperada: São iniciativas com foco na atividade de partilha, troca, compra ou venda de qualquer produto ou serviço para atender às necessidades das pessoas, nem sempre em troca de dinheiro, mas procurando benefícios para todos os envolvidos. De modo geral, esses negócios consideram os pilares econômico, ambiental e social da sustentabilidade.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes comentem e compartilhem suas experiências a respeito da temática, contribuindo com a discussão e apresentando potencialidades dessas iniciativas para um futuro mais sustentável.
3. Resposta esperada: A ideia de compartilhamento visa à otimização do uso de bens produzidos, aproveitando seu tempo ocioso, de maneira que mais pessoas possam usá-lo, sem ter a necessidade de comprar um novo produto. Com isso, evita-se todo o processo de produção de um novo bem e, consequentemente, reduz-se o uso de recursos naturais, que já são escassos, além de haver a diminuição da emissão de gases de efeito estufa envolvidos nesse processo. Isso gera benefícios ambientais para toda a sociedade. Além disso, essa modalidade de compartilhamento gera economia para quem usa e renda para quem fornece.
4. a) 0,94x = 17 540,40 h
h x = 18 660,00 H R$ 18.660,00
18 660,00 17 540,40 = 1 119,60 H
H R$ 1.119,60
b) • 18 660,00 0,13 = 2 425,80
18 660,00 0,04 = 746,40
18 660,00 ? 0,09 = 1 679,40
Taxa administrativa: R$ 2.425,80
Parceiro de pagamento: R$ 746,40
Plataforma de financiamento coletivo: R$ 1.679,40.
5. Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles identifiquem estratégias sustentáveis e conscientes de usos coletivos como caminhos para contribuir com o futuro do meio ambiente. É importante avaliar se os projetos idealizados envolvem economia e sustentabilidade.
14. a) j = 1 500,00 0,05 6 h
h j = 450,00 H R$ 450,00
b) j = 1 500,00 0,02 12 h j = 360,00 H R$ 360,00
c) j = 1 500,00 0,12 3 h j = 540,00 H R$ 540,00
d) j = 1 500,00 ? 0,15 ? 0,75 h j = 168,75 H R$ 168,75
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes expliquem a maneira como resolveram, seja utilizando a fórmula de cálculo do juro simples, ou calculando a taxa de juro sobre o capital e, posteriormente, multiplicando o resultado pelo tempo da aplicação.
15. a: M = 1 500,00 (1 + 0,05)6 h M = 1 500,00 (1,05)6 h
h M 1 2 010,14
2 010,14 1 500,00 = 510,14 H R$ 510,14
b: M = 1 500,00 (1 + 0,02)12 h M = 1 500,00 (1,02)12 h
h M 1 1 902,36
1 902,36 1 500,00 = 402,36 H R$ 402,36
c: M = 1 500,00 ? (1 + 0,12)3 h M = 1 500,00 ? (1,12)3 h
h M 1 2 107,39
2 107,39 1 500,00 = 607,39 H R$ 607,39
d: M = 1 500,00 ? (1 + 0,15)0,75 h M = 1 500,00 ? (1,15)0,75 h
h M 1 1 665,77
1 665,77 1 500,00 = 165,77 H R$ 165,77
16. M = 5 000,00 ? (1 + 0,16 ? 1,5) h M = 5 000,00 ? 1,24 h
h M = 6 200,00
M = 5 000,00 (1 + 0,16)1,5 h M = 5 000,00 (1,16)1,5 h
h M 1 6 246,79
juro simples: R$ 6.200,00; juro composto: aproximadamente
R$ 6.246,79
17. 4c = c (1 + 0,04 t ) h 4 = 1 + 0,04t h 3 = 0,04t h
h t = 75 H 75 meses
18. a) 1 157,63 = 1 000,00 ? (1 + i )3 h 1,15763 = (1+ i )3 h
h 3 √ 1, 15763 = 1 + i h 1,05 1 1 + i h i 1 0,05 H
H aproximadamente 5%
b) M = 1 000,00 (1 + 0,05)1 h M = 1 000,00 1,05 h
h M = 1 050,00
1 157,63 = 1 050,00 (1 + 0,02)t h 1,1 1 (1,02)t h log (1,1) 1 1 log (1,02t ) h log 1,1 1 t log 1,02 h 0,04 1 0,008t h
h t 1 5 5 + 1 = 6 H 6 meses
19. a) c + 1 392,30 = c (1 + 0,10)4 h c + 1 392,30 = c 1,4641 h
h 1 392,30 = 0,4641c h c = 3 000,00 H R$ 3.000,00
b) M = 3 000,00 (1 + 0,10)9 h M 1 3 000,00 (1,1)9 h
h M 1 7 073,84 H R$ 7.073,84
20. 2 928,20 = 2 000,00 (1 + i )4 h 1,4641 = (1 + i )4 h
h 4√ 1, 4641 = 1 + i h 1,1 = 1 + i h i = 0,1 H 10%
21. a) 90% de 1 800,00 H 0,9 1 800,00 = 1 620,00 H R$ 1.620,00; 600,00 + 1 632,59 = 2 232,59 H R$ 2.232,59
b) 1 632,59 = 1 200,00 (1 + i )4 h 1,3605 = (1 + i )4 h
h 4√ 1, 3605 = 1 + i h 1,08 1 1 + i h
h i 1 0,08 H aproximadamente 8%
22. a) 90% de 600,00 H 0,90 600,00 = 540,00 H R$ 540,00
b) 2% de 600,00 H 0,02 600,00 = 12,00 H R$ 12,00
c) M = 600,00 (1 + 0,01)5 h M = 600,00 (1,01)5 h
h M 1 630,61
630,61 + 12,00 = 642,61 H R$ 642,61
d) M = 600,00 ? (1 + 0,01)11 h M = 600,00 ? (1,01)11 h
h M 1 669,40
669,40 + 12,00 = 681,40
O valor máximo pago por esse boleto pode ser de R$ 681,40. Nesse caso, o atraso seria de 11 meses.
• Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles compreendam as diferenças dos valores pagos no boleto, a depender da data de pagamento, e que utilizem os conhecimentos sobre acréscimo, desconto, juro e porcentagem para a elaboração do texto e a avaliação do texto produzido pelo colega.
23. a) Aplicação Tempo A B
b) • A: juro simples; B: juro composto
• R$ 5.000,00 em ambos os investimentos
• A: 5 650 = 5 000 (1 + 1 i ) h 1,13 = 1 + i h i = 0,13 H 13%; B: 5 500 = 5 000 (1 + i )1 h 1,1 = 1 + i h i = 0,1 H 10%
c) f (t ) = 5 000 ? (1 + t ? 0,13) h f (t ) = 650t + 5 000; g (t ) = 5 000 ? (1 + 0,1)t h g (t ) = 5 000 ? (1,1)t
d) Resposta esperada: Como f (t ) . g (t ) para 1 < t < 6, a aplicação A é mais rentável que a B para 6 anos ou menos; como f (t ) , g (t ) para t > 7, a aplicação B é mais rentável que a A para 7 anos ou mais.
24. A: M(t ) = 3 000,00 (1 + 0,15 t ) h M(t ) = 3 000,00 + 450t , para t em anos.
B: M(t ) = 3 000,00 (1 + 0,01)t h M(t ) = 3 000,00 (1,01)t, para t em meses ou M(t ) = 3 000,00 ? (1,1268)t para t em anos. Obtendo os montantes de cada aplicação e representando em um gráfico, temos:
3R$ 4.350,00 3R$ 4.292,02
4R$ 4.800,00
6R$ 5.700,00 6R$ 6.140,48
7R$ 6.150,00 7R$ 6.919,09 8R$ 6.600,00
$ 7.050,00
$ 7.500,00
$ 7.796,43
$ 8.785,02
$ 9.898,96
(em real) Aplicação A Aplicação B
Nesse caso, será mais vantajoso optar por A se o tempo aplicado for de até 3 anos, e por B se a aplicação durar 4 anos ou mais, como podemos observar no gráfico.
25. a) 5 500,00 + 8 000,00 = 13 500,00 H R$ 13.500,00
b) 5 500,00 = c1 0,10 5 + (8 000,00 c1) 0,08 10 h
h 5 500,00 = 0,5c1 + 6 400,00 0,8c1 h
h _900,00 = 0,3c1 h 3 000,00 = c1
c2 = 8 000,00 3 000,00 h c2 = 5 000,00
A: R$ 3.000,00; B: R$ 5.000,00
c) A: M = 3 000,00 (1 + 0,10)5 h M = 3 000,00 (1,1)5 h
h M = 4 831,53
B: M = 5 000,00 (1 + 0,08)10 h M = 5 000,00 (1,08)10 h
h M 1 10 794,62
4 831,53 + 10 794,62 = 15 626,15 H R$ 15.626,15
26. 90 000,00 = 30 000,00 (1 + 0,03)t h 3 = (1,03)t h
h log 3 = log (1,03t) h log 3 = t log 1,03 h
h 0,477 = 0,01284t h t 1 37,15 H 38 meses
27. Resposta esperada: Sim, pois as informações no enunciado da questão não são suficientes para resolvê-la. Nesse caso, pode-se ajustar o enunciado indicando o tempo em que a aplicação ocorreu. Por exemplo, caso o tempo indicado seja de 8 meses, o capital aplicado seria de R$ 1.200,00.
28. Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles se apropriem de características de aplicações no sistema de juro composto, elaborem e resolvam problemas envolvendo essas aplicações. É importante avaliar se os problemas elaborados contemplam os conceitos estudados na Unidade.
29. alternativa b 200 2 = 400 400 = 200 (1 + 0,05)t h 2 = 1,05t h log2 = log(1,05t ) h h log2 = t log(1,05) h 0,30 = t 0,02 h t = 15 H 15 meses
30. SAC: b, e, f, g; Price: a, d, e, f
31. p = c i 1 (1 + i ) n H p = 3 800 0,1 1 (1 + 0,1) 4 = = 38 1 (1,1) 4 1 1 198,79 H R$ 1.198,79
Resposta esperada: Ao considerar a taxa de juro de 10% a.m. e o sistema Price de amortização (prestações de valores iguais), o valor correto de cada prestação deveria ser de aproximadamente R$ 1.198,79. A diferença entre o valor anunciado de cada prestação e aquele calculado pode ter ocorrido por diferentes fatores, como a incidência de outras taxas, por exemplo.
32. a) Resposta esperada: O empréstimo A corresponde ao SAC, uma vez que o valor das prestações é decrescente no período; já o empréstimo B corresponde ao sistema de amortização Price, pois o valor das prestações é fixo.
b) A: 2 250,00 + 2 175,00 + 2 100,00 + 2 025,00 + + 1 950,00 + 1 875,00 + 1 800,00 + 1 725,00 + 1 650,00 + + 1 575,00 = 19 125,00 H R$ 19.125,00
B: 1 942,57 ? 10 = 19 425,70 H R$ 19.425,70
33. a) 150 000,00 30 000,00 = 120 000,00
a = 120 000,00 : 360 1 333,33
p1 = 333,33 + 120 000 0,005 = 333,33 + 600,00 = = 933,33 H R$ 933,33
s1 = 120 000,00 333,33 = 119 666,67
p2 = 333,33 + 119 666,67 ? 0,005 1 333,33 + 598,33 1
1 931,66 H aproximadamente R$ 931,66
s2 = 119 666,67 333,33 = 119 333,34
p3 = 333,33 + 119 333,34 0,005 1 333,33 + 596,67 1
1 930,00 H aproximadamente R$ 930,00
b) p = c i 1 (1 + i ) n H p = 120 000 0,005 1 (1 + 0,005) 360 =
= 600 1 (1,005) 360 1 600 1 0,16604 1 600 0,83396 1
1 719,46 H aproximadamente R$ 719,46
719,46 360 = 259 005,60 H
H aproximadamente R $ 259.005,60
34. Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles elaborem um anúncio de um produto considerando o código de defesa do consumidor. Eles devem envolver conceitos de juro e sistemas de amortização no anúncio e potencializar os conhecimentos mobilizados com a realização da atividade.
35. alternativa c
c = 0,9 1 200 = 1 080 p = 1 200 : 3 = 400
p = c ? i 1 (1 + i ) n H 400 = 1 080 ? i 1 (1 + i ) 3
Substituindo o valor de i indicado nas alternativas, no segundo membro da equação acima, temos:
a) 1 080 ? 0, 005
1 (1 + 0, 005) 3 = 5,4 1 (1 , 005) 3 1 363,60
b) 1 080 0, 03 1 (1 + 0, 03) 3 = 32,4 1 (1 , 03) 3 1 381,81
c) 1 080 0, 05 1 (1 + 0, 05) 3 = 54 1 (1 , 05) 3 1 396,59
d) 1 080 0, 1
1 (1 + 0, 1) 3 = 108 1 (1 , 1) 3 1 434,28
36. Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles identifiquem causas de problemas financeiros no controle do orçamento dos brasileiros e discutam estratégias possíveis para não serem parte das estatísticas apresentadas no problema, de modo que se conscientizem da importância do assunto. Para a elaboração do texto dissertativo, é possível solicitar apoio de um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias.
37. Resposta esperada: Despesa fixa – assinatura de serviço de streaming, mensalidade do curso de inglês, prestação de financiamento; despesa variável – alimentação, fatura de energia elétrica, fatura de água; despesa eventual – manutenção de um notebook, viagem a passeio.
38. Respostas pessoais. As respostas dependem do orçamento familiar apresentado pelos estudantes. Espera-se que utilizem a planilha para organização e controle financeiro levando em consideração as informações das vivências e da realidade deles.
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) 2 640,00 : 3 350,00 1 0,7881 H aproximadamente 78,81% b) • Moradia. Algumas respostas possíveis: Aluguel, financiamento imobiliário, taxa de condomínio, fatura de água, fatura de energia, fatura de gás.
• alimentação: 2 640,00 0,25 = 660,00 H R$ 660,00; educação: 2 640,00 0,13 = 343,20 H R$ 343,20; lazer: 2 640,00 ? 0,06 = 158,40 H R$ 158,40; moradia: 2 640,00 0,40 = 1 056,00 H R$ 1.056,00; transporte: 2 640,00 0,07 = 184,80 H R$ 184,80; outros: 2 640,00 ? 0,09 = 237,60 H R$ 237,60
• 343,20 (1 + 0,05) (1 + 0,10) = 343,20 1,05 1,10 1
1 396,40 H aproximadamente R$ 396,40 c)
Construção do estudante. Resposta esperada: Até o 12o mês de investimento, a opção A é a mais vantajosa e, a partir do 13o mês, a opção B é a mais vantajosa.
d) • 100 000,00 : 250 = 400,00
100 000,00 2 400,00 = 99 200,00
p3 = 400,00 + 99 200,00 0,005 = 400,00 + 496,00 = = 896,00 H R$ 896,00
• p = c i 1 (1 + i ) n H p = 100 000 0,005 1 (1 + 0,005) 250 = = 500 1 (1,005) 250 1 701,65 H aproximadamente R$ 701,65
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa a
Preço normal:
1 000 + 1 000 0,10 = 1 100
Desconto para compras com o cartão da loja:
0,02 1 100 = 22
Valor apresentado pela loja:
1 100 22 = 1 078
Valor calculado pela cliente:
1 000 + 0,08 1 000 = 1 080
Diferença:
1 080 1 078 = 2 H R$ 2,00
2. alternativa b
Dívida ao final do 1o mês:
1 000 ? (1 + 0,10) 300 = 800
Dívida ao final do 2o mês:
800 (1 + 0,10) 500 = 380
Dívida ao final do 3o mês antes do pagamento:
380 (1 + 0,10) = 418 H R$ 418,00
Para aplicar 10% sobre um valor, basta multiplicá-lo por 1,10 (1 + 0,10). Assim, temos:
1o mês: 1 000,00 1,10 = 1 100,00
Após o pagamento:
1 100,00 300,00 = 800,00
2o mês: 800,00 ? 1,10 = 880,00; 880,00 500,00 = 380,00
3o mês: 380,00 ? 1,10 = 418,00 H R$ 418,00
3. alternativa d
5% de x equivale a R$ 105,00 H
H 0,05x = 105,00 h x = 2 100,00
2 100,00 105,00 = 1 995,00 H
H R$ 1.995,00
4. alternativa b
Preço do celular com o desconto:
315 0,20 315 = 252
Diferença de preços:
300 252 = 48
Percentual de desconto, em relação ao preço anterior à promoção:
48 : 300 = 0,16 H 16%
5. alternativa a Rendimento da aplicação básica: (10 000 ? 0,00542) 0,30 = 53,90 H R$ 53,90
Rendimento da aplicação pessoal: (10 000 0,00560) (1 0,038) 1 53,87 H R$ 53,87
6. alternativa d
0,3x + 0,5 ? 0,7x + 0,2 ? (x 0,3x 0,5 ? 0,7x ) + 448,00 = x h
h 0,72x + 448,00 = x h 448,00 = 0,28x h
h x = 1 600,00 H R$ 1.600,00
7. alternativa a Montante ao final do 1o mês: 10 404 ? (1 + 0,02) = 10 612,08
Saldo ao final do 1o mês: 10 612,08 5 202,00 = 5 410,08
Montante ao final do 2o mês: 5 410,08 ? (1 + 0,02) = 5 518,28
Saldo ao final do 2o mês:
5 518,28 5 202,00 = 316,28
Percentual de desconto:
316,28 : 10 404 1 0,03 H aproximadamente 3%
8. alternativa b
202,00 = C1 (1 + 0,01)1 h 202,00 = C1 1,01 h
h C1 = 202,00 1,01 h C1 = 200
204,00 = C2 (1 + 0,01)2 h 204,00 = C2 1,0201 h
h C2 = 204,00 1,0201 h C2 = 200
200,00 + 200,00 = 400,00
9. alternativa c
21 405,00 = x (1 + 0,08 1) + (20 000,00 x ) (1 + 0,05 1 ) h
h 21 405,00 = 1,08x + 21 000,00 1,05x h 405,00 = 0,03x h
h x = 13 500,00 H R$ 13.500,00
20 000,00 13 500,00 = 6 500,00 H R$ 6.500,00
10. Sendo x o capital investido, temos:
16x = x (1 + 1)t h 16 = 2t h 24 = 2t h t = 4
Como t corresponde a um período de 5 anos, temos:
4 5 = 20 H 20 anos
11. alternativa b
1 350 1 250 = 1 250 0,01 t h t = 8 H 8 meses
12. alternativa d
M1 = 1 000
M2 = 1 000 ? (1 + 0,10) + 1 000 = 2 100
M3 = 2 100 ? (1 + 0,10) + 0 = 2 310
M4 = 2 310 ? (1 + 0,10) + 1 000 = 3 541
M5 = 3 541 (1 + 0,10) = 3 895,1 H R$ 3.895,10
Unidade 2 • Matrizes, sistemas lineares e transformações de figuras
1. a) Amapá Roraima
Pará Tocantins
b) Relação de fronteiras entre os estados da região Norte do Brasil
AC AMAP PA RORR TO
AC 0100100
AM 1001110
AP 0001000
PA 0110011
RO 1100000
RR 0101000
TO 0001000
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 94.
F =
II) se i 5 j :
d12 = 13 22 = 1 4 = 3
d13 = 13 32 = 1 9 = 8
d14 = 13 42 = 1 16 = 15
d15 = 13 52 = 1 25 = 24
d21 = 23 12 = 8 1 = 7
d23 = 23 32 = 8 9 = 1
d24 = 23 42 = 8 16 = 8
d25 = 23 52 = 8 25 = 17
d31 = 33 12 = 27 1 = 26
d32 = 33 22 = 27 4 = 23
d34 = 33 42 = 27 16 = 11
d35 = 33 52 = 27 25 = 2
d41 = 43 12 = 64 1 = 63
d42 = 43 22 = 64 4 = 60
1 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦
2. a) a11 = (1 2)1 = ( 1)1 = 1
a12 = (1 2)2 = ( 1)2 = 1
a13 = (1 2)3 = ( 1)3 = 1
a14 = (1 2)4 = ( 1)4 = 1
a15 = (1 2)5 = ( 1)5 = 1
A = [ 1 1 1 1 1]
b) I) se i < j :
b11 = 4 ? 1 1 3 = 1
b12 = 4 1 2 3 = 2 3
b22 = 4 2 2 3 = 2
II) se i . j :
b21 = 2 + 1 = 3
B = [1 2 3 3 2 ]
c) c11 = 31 1 = 30 = 1
c12 = 31 2 = 3 1 = 1 3
c13 = 31 3 = 3 2 = 1 9
c21 = 32 1 = 31 = 3
c22 = 32 2 = 30 = 1
c23 = 32 3 = 3 1 = 1 3
c31 = 33 1 = 32 = 9
c32 = 33 2 = 31 = 3
c33 = 33 3 = 30 = 1
c41 = 34 1 = 33 = 27
c42 = 34 2 = 32 = 9
c43 = 34 3 = 31 = 3
C = ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 3 1 9 3 1 1 3 9 3 1 27 9 3 ⎤ ⎥ ⎦
d) I) se i = j :
d11 = √ 5
d22 = √ 5
d33 = √ 5
d44 = √ 5
d55 = √ 5
d43 = 43 32 = 64 9 = 55
d45 = 43 52 = 64 25 = 39
d51 = 53 12 = 125 1 = 124
d52 = 53 22 = 125 4 = 121
d53 = 53 32 = 125 9 = 116
d54 = 53 42 = 125 16 = 109
5 3 8 15 24 7 √ 5 1 8 17 26 23 √ 5 11 2 63 60 55 √ 5 39 124 121 116 109 √ 5
26 603 46 524 35 453 28 424 210 460 69 719 70 116 38 587 ⎤
⎦ ; matriz 4 x 2
b) Respostas esperadas: Casos prováveis de dengue por Unidade da Federação da Região Centro-Oeste do Brasil até a Semana Epidemiológica 52 de 2022. Casos prováveis de dengue no Mato Grosso até a Semana Epidemiológica 52 de 2022 e de 2023.
c) Resposta esperada: Casos prováveis de dengue no Distrito Federal até a Semana Epidemiológica 52 de 2023.
d) Resposta esperada: Sim. Observando se, na linha corresponde à Unidade da Federação, o elemento da 2a coluna é um número menor do que o da 1a coluna.
4. a) Resposta esperada: As linhas indicam a quantidade, em kilograma, de embalagens vendidas de cada modelo no mês de abril. As colunas indicam a quantidade, em kilograma, de embalagens compradas por cliente no mês de abril.
b) x32 = 336
c) Analisando a linha 2 de todas as colunas, temos: cliente 1.
d) cliente 2; 1 836 kg
• cliente 1: 450 + 400 + 216 + 240 = 1 306
• cliente 2: 270 + 750 + 336 + 480 = 1 836
• cliente 3: 225 + 500 + 480 + 384 = 1 589
5. Elab oração do estudante. Espera-se que os estudantes demonstrem o conhecimento sobre matrizes, de acordo com o que foi estudado na Unidade, para determinar um exemplo de cada tipo indicado.
6. a) Resposta esperada: A transposta de uma matriz A é outra matriz, com os mesmos elementos de A, porém em localizações diferentes: ordenadamente, os elementos das linhas da matriz A estão localizados nas colunas da sua transposta.
b) matriz 3 x 4; matriz 4 x 3
c) A t = ⎡ ⎢ ⎣ 6 1 0 √ 14 1 2 10
5 8 1 0 3 2 ⎤ ⎥ ⎦
d) Uma resposta possível: A ordem das matrizes B e (B t)t é a mesma, pois Bm x n h B t n x m h (B t)t m x n e, considerando um elemento bij qualquer da matriz B, temos bij = (bji )t = ((bij )t)t .
7. a) A C + B = A + ( C ) + B = = [ 88 34 46 0 10 22 ] + [ 47 30 42 3 20 1 ] + [ 14 5 6 28 19 15 ] = = [88 + ( 47) + ( 14) 34 + ( 30) + ( 5)
46 + 42 + 6 0 + 3 + 28 10 + 20 + ( 19) 22 + ( 1) + 15 ] = = [ 27 69 94 31 9 36 ]
b) A + 3B = [ 88 34 46 0 10 22 ] + 3 [ 14 5 6 28 19 15 ] = = [ 88 34 46 0 10 22 ] + [ 42 15 18 84 57 45 ]= = [ 88 + ( 42) 34 + ( 15) 46 + 18 0 + 84 10 + ( 57) 22 + 45 ] = [ 46 49 64 84 67 67]
c) B + C 1 2 ( A) = [ 14 5 6 28 19 15 ] + + [ 47 30 42 3 20 1 ] 1 2 [ 88 34 46 0 10 22] = [ 14 5 6 28 19 15 ] + + [ 47 30 42 3 20 1 ] + [ 44 17 23 0 5 11 ] = = ⎡ ⎢ ⎣ 14 + 47 + 44 5 + 30 + ( 17) 6 + ( 42) +23 28 + ( 3) + 0 19 + ( 20) + ( 5) 15 + 1 + 11 ⎤ ⎥ ⎦ = [ 77 8 13 25 44 27]
d) At 2C t = [ 88 46 10 34 0 22 ] 2 [47 42 20 30 3 1 ] = = [ 88 46 10 34 0 22 ] +[ 94 84 40 60 6 2] = =[ 88 + ( 94) 46 + 84 10 + 40 34 + ( 60) 0 + 6 22 + ( 2) ] = [ 6 130 30 94 6 20]
8. a11 = 2 ? 1 1 = 2 1 = 1
a12 = 2 1 2 = 2 2 = 0
a13 = 2 1 3 = 2 3 = 1
a14 = 2 ? 1 4 = 2 4 = 2
a21 = 2 2 1 = 4 1 = 3
a22 = 2 2 2 = 4 2 = 2
a23 = 2 2 3 = 4 3 = 1
a24 = 2 2 4 = 4 4 = 0
a31 = 2 ? 3 1 = 6 1 = 5
a32 = 2 3 2 = 6 2 = 4
a33 = 2 3 3 = 6 3 = 3
a34 = 2 ? 3 4 = 6 4 = 2
a41 = 2 4 1 = 8 1 = 7
a42 = 2 4 2 = 8 2 = 6
a43 = 2 ? 4 3 = 8 3 = 5
a44 = 2 4 4 = 8 4 = 4 A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 1 2 3 2
2 9 15 21 0 5 12 18 3 3 8 15 6 0 6 11
9. [4y + 1 + ( 5) 5 + 10 11 + ( 3y ) 13 + 6] = [4 15x 5 19 ] h h [ 4y 4 15 11 3y 19] = [4 15x 5 19]
15x = 15 h x = 1 4y 4 = 4 h 4y = 8 h y = 2
10. a11 = 1 + 1 = 2
a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0
a22 = 2 + 2 = 4
a33 = 3 + 3 = 6 M + M = [2 0 0 0 4 0 0 0 6] + [2 0 0 0 4 0 0 0 6] = = [4 0 0 0 8 0 0 0 12]
11. a) Analisando o elemento b23 da matriz B, temos: 12 estudantes. b) 5 + 8 + 6 = 19 H 19 estudantes
c) A + B = [11 7 8 5 9 6 9 8 14 5 10 6] + [10 9 5 6 8 10 12 3 15 8 7 4] = = [ 11 + 10 7 + 9 8 + 5 5 + 6 9 + 8 6 + 10 9 + 12 8 + 3 14 + 15 5 + 8 10 + 7 6 + 4 ] = = [21 16 13 11 17 16 21 11 29 13 17 10]
A quantidade total de estudantes das turmas A e B, do 1o, 2o e 3o anos do Ensino Médio, interessados em cada área de atuação profissional.
12. • A + B = B + A
Considerando um elemento aij qualquer da matriz A, e bij qualquer da matriz B, temos que o elemento (i, j ) da matriz A + B será aij + bij, e o elemento (i, j ) da matriz B + A será bij + aij. Como aij e bij são números reais, pela propriedade comutativa da adição, aij + bij = bij + aij . Assim, A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C )
Considerando um elemento aij qualquer da matriz A, bij qualquer da matriz B, e cij qualquer da matriz C, temos que o elemento (i, j ) da matriz (A + B ) + C será (aij + bij ) + cij , e o elemento (i, j ) da matriz A + (B + C ) será aij + (bij + cij ). Como aij , bij e cij são números reais, pela propriedade associativa da adição, (aij + bij ) + + cij = aij + (bij + cij ). Logo, (A + B) + C = A + (B + C ).
• A + 0 = A
Considerando U uma matriz em que A + U = A, sabe-se que aij + uij = aij. Como aij e uij são números reais, temos que esse caso só é verificado se uij = 0. Assim, U = 0 e A + 0 = A.
• A + ( A) = 0
Considerando B uma matriz em que A + B = 0. Considerando bij em que aij + bij = 0 temos que esse caso só é verificado se bij = aij . Assim, B = A e A + ( A) = 0.
13. Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que os estudantes consigam representar as informações das tabelas por meio de matrizes, bem como operar e interpretar o significado das operações realizadas a partir do contexto apresentado no problema, utilizando para isso uma planilha eletrônica.
14. a) [
c) [
3
1
⎤ ⎥ ⎦ = [ 5 16 31 16 4 72 ]
15. Resposta esperada: A ordem de B é 3 x 2 e a ordem de D é 1 x 3. Como a quantidade de colunas de B e a de linhas de D são diferentes, não existe o produto B D
16. a) D2 x 3 = (Ap x 1 Bq x 4)p x 4 Cr x s h p = 2; q = 1; r = 4; s = 3
b) A = [a11 a21]
a11 = 1 12 = 1 1 = 2
a21 = 1 22 = 1 4 = 5
A = [ 2 5]
B = [b11 b12 b13 b14]
b11 = 3 1 + 1 = 3 + 1 = 2
b12 = 3 1 + 2 = 3 + 2 = 1
b13 = 3 1 + 3 = 3 + 3 = 0
b14 = 3 ? 1 + 4 = 3 + 4 = 1
B = [ 2 1 0 1]
C = ⎡ ⎢ ⎣
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
c41 c42 c43 ⎤ ⎥ ⎦
c11 = 2 1 2 1 = 2 2 = 0
c12 = 2 1 2 2 = 2 4 = 2
c13 = 2 ? 1 2 ? 3 = 2 6 = 4
c21 = 2 2 2 1 = 4 2 = 2
c22 = 2 2 2 2 = 4 4 = 0
c23 = 2 2 2 3 = 4 6 = 2
c31 = 2 ? 3 2 ? 1 = 6 2 = 4
c32 = 2 3 2 2 = 6 4 = 2
c33 = 2 3 2 3 = 6 6 = 0
c41 = 2 ? 4 2 ? 1 = 8 2 = 6
c42 = 2 4 2 2 = 8 4 = 4
c43 = 2 4 2 3 = 8 6 = 2
C = ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 4 2 0 2 4 2 0 6 4 2 ⎤ ⎥ ⎦
D = A B C
17. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes verifiquem numericamente as propriedades apresentadas com matrizes quadradas de ordem 2. É importante comentar com os estudantes que o exemplo realizado não serve como demonstração da propriedade, uma vez que explora apenas um caso particular. b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam elaborar exemplos de matrizes em que os três casos se verifiquem. Uma matriz possível para o caso da igualdade é tomar uma das matrizes como matriz identidade e a outra como uma matriz de mesma ordem da identidade.
18. P3
7z = 14 h z = 2
10x + 3y + 11 2 = 12 2x + 5y +2 = 0 h {10x + 3y = 10 2x + 5y = 2 ? ( 5) h h { 10x + 3y = 10
19. alternativa a [1 1 2 3 3 1 4 5 6] [200 500 300]=
] = =[ 200 + 500 + 600
+ 5
+ 6
600 + 1 500 + 300
800 + 2 500 + 1 800] = [1 300 2 400 5 100]
Como os elementos da matriz produto indicam medidas em miligrama, convertemos essas medidas para grama dividindo cada elemento por 1 000: [1, 3 2, 4 5, 1 ]
20. Atividade de elaboração dos estudantes. Espera-se que eles utilizem as ideias de equação matricial para propor a questão e para resolver a questão recebida do colega.
21. a) [ 7 2 4 1] [1 0 0 1] = = [ 7 1 + 2 0 7 0 + 2 1 4 1 + ( 1) 0 4 0 + ( 1) 1] = [ 7 2 4 1]
b) [1 0 0 1] ? [ 7 2 4 1] = = [1 ( 7) + 0 4 1 2 + 0 ( 1) 0 ( 7) + 1 4 0 2 + 1 ( 1)] = [ 7 2 4 1]
c) [ 7 2 4 1] [ 7 2 4 1] =
= [ 7 ( 7) + 2 4 7 2 + 2 ( 1) 4 ( 7) + ( 1) 4 4 2 + ( 1) ( 1)] = [ 57 16 32 9 ]
d) [ 57 16 32 9 ] [1 0 0 1] = [ 57 16 32 9 ] + [ 1 0 0 1] = = [ 56 16 32 8 ]
22. [ 6 5 1] [0 4 9 b a 10] = [38 26] h
h [ 6 ? 0 + 5 ? 9 + ( 1) ? a 6 ? 4 + 5 ? b + ( 1) ? ( 10)] = = [38 26] h [45 a 14 + 5b ] = [38 26]
45 a = 38 h a = 7
14 + 5b = 26 h b = 8
23. a) incógnitas: x, y e z; coeficientes: 11, 7 e 2; termo independente: 0 b) incógnitas: r, s e t ; coeficientes: 1 3 , 2 5 e 3; termo independente: 1 c) incógnitas: m e n; coeficientes: 4 e 3; termo independente: 7 d) incógnitas: x e y; coeficientes: 8 e 2; termo independente: 5
24. a e d, pois o item b tem uma incógnita de expoente 2 e o item c tem uma incógnita com expoente 1.
25. Para determinar as soluções, em cada caso, pode-se definir o valor de uma das incógnitas e resolver a equação de primeiro grau correspondente. Uma resposta possível: a: (3, 5 4), (9, 15 4 ), (0, 0); d: (0, 4), ( 2, 0), ( 1, 2).
26. a) Para determinar as soluções, em cada caso, pode-se definir o valor de uma das incógnitas e resolver a equação de primeiro grau correspondente. Uma resposta possível: ( 1, 3) e (1, 1).
b) Uma resposta possível: ( 3, 2) e (1, 0).
c) Uma resposta possível: ( 2, 3) e (2, 0).
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
27. a) 1 + 2 3 = 5; 5 + 2 5 = 5 x + 2y = 5
b) Analisando o gráfico apresentado, temos que uma resposta possível é: (1, 3), (3, 4) e (5, 5).
28. a) 1 + 3 = 4
Uma resposta possível: x + y = 4.
b) 2 ( 1) + 2 2 ( 4) = 6
Uma resposta possível: 2x + 2y z = 6.
c) 2 2 ? 1 2 = 1
Uma resposta possível: x 2y = 1.
d) 3 2 3 2 1 2 + 3 = 4
Uma resposta possível: 3x 2y + z = 4.
29. a) 40x + 20y = 5 000
b) Sim. Uma resposta possível: Considerando que 100 meias-entradas custam R$ 2.000,00 e que 75 meias-entradas custam R$ 3.000,00, temos que 100 pessoas podem ter pagado meia-entrada e 75 pessoas, a entrada inteira.
30. a) A partir das informações do enunciado, temos:
50m + 20n + 10p = 100.
b) Uma resposta possível: (1, 2, 1). Nesse caso, Luan recebe uma cédula de R$ 50,00, duas cédulas de R$ 20,00 e uma cédula de R$ 10,00.
c) Atribuindo valores para m e n, e calculando os valores de p, temos: mn
0050
0350 ? 0 + 20 ? 3 + 10p = 100 h p = 4
0450 0 + 20 4 + 10p = 100 h p = 2
0550 0 + 20 5 + 10p = 100 h p = 0
1050 1 + 20 0 + 10p = 100 h p = 5
1150 1 + 20 1 + 10p = 100 h p = 3
1250 1 + 20 2 + 10p = 100 h p = 1
2050 2 + 20 0 + 10p = 100 h p = 0
10 maneiras distintas. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes atribuam valores para as incógnitas m e n e determinem o valor p correspondente por meio da equação.
31. Resposta esperada: Substituindo, na equação, os valores da ênupla, temos: a1 ? 0 + a2 ? 0 + a3 ? 0 + + an ? 0 = 0. Podemos observar que o primeiro membro da igualdade obtida corresponde a uma adição de n parcelas iguais a zero, o que determina uma soma igual a zero. Assim, a1 0 + a2 0 + a3 0 + + an 0 = = 0 h 0 = 0. Portanto, a equação linear a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + + an xn = 0 admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução.
32. a) {
3x + 4y = 14 2
6x 8y = 2 h { 6x + 8y = 28
6x 8y = 2 +
0x + 0y = 30
Esse sistema linear é SI.
b) {
x + 4y = 11
x + 5y = 16 +
0x + 9y = 27 y = 3
x + 5y = 16 h x + 5 ? 3 = 16 h x = 1 H SPD; (1, 3)
c) {
3x 6y = 3
x + 2y = 1 ? 3 h { 3x 6y = 3
3x + 6y = 3 +
0x + 0y = 0
y = 3 3x 6 h y = 1 + x 2 H SPI, S = {(x, 1 + x 2 ) | x [ r}
Algumas soluções possíveis são: ( 1, 0), (3, 2), (1, 1).
d) {3x + 2y = 17 ? ( 2)
2x + 3y = 18 3 h { 6x 4y = 34
6x + 9y = 54 +
5y = 20 h y = 4
2x + 3 4 = 18 h 2x = 6 h x = 3 H SPD; (3, 4)
Solução do sistema: (2, 3).
Resposta esperada: Inicialmente, representamos cada equação do sistema por uma reta no plano cartesiano. Como as retas se intersectam no ponto de coordenadas (2, 3), temos que (2, 3) corresponde à única solução do sistema.
34. Caso o sistema linear não tenha solução, ele é classificado como SI. Caso o sistema linear tenha solução, ele é classificado como SPD se a solução for única, ou como SPI caso a solução não seja única.
35. a) De acordo com as informações do enunciado, temos:
{h + m = 5 496 h 7m = 192
b) {h + m = 5 496 h 7m = 192 ( 1) h { h + m = 5 496 h + 7m = 192 + 8m = 5 304 h m = 663 h + 663 = 5 496 h h = 4 833
Portanto, foram eleitas 663 mulheres e 4 833 homens.
36. a) Uma resposta possível: {2b p = 20 b 3p = 35
b) {2b p = 20 ? ( 3) b 3p = 35 h { 6b + 3p = 60 b 3p = 35 + 5b = 95 h b = 19
2b p = 20 h 2 19 p = 20 h p = 18
19 10 = 9 H 9 bolas brancas
18 15 = 3 H 3 bolas pretas
37. a) {2f + a = 14,1 f + 4a = 15,8 , sendo f a quantidade de ferro, em miligrama, em cada porção de fígado grelhado e a, a quantidade de ferro, em miligrama, em cada porção de alface roxa (crua).
b) {2f + a = 14,1 f + 4a = 15,8 ( 2) h {2f + a = 14,1 2f 8a = 31,6 + 7a = _17, 5 h a = 2,5
2f + 2,5 = 14,1 h 2f = 11,6 h f = 5,8
Fígado grelhado: 5,8 mg; alface roxa (crua): 2,5 mg
c) 14,1 2,5 = 5,64
Portanto, ela deveria ingerir no mínimo 6 porções.
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam sobre a importância e o cuidado com a quantidade de ferro nos alimentos a partir da pesquisa realizada. Um dos aspectos que pode ser citado é a influência desse mineral na performance cognitiva.
38. Pesquisa do estudante. Espera-se que, a partir da atividade, os estudantes demonstrem compreensão quanto a utilização dos sistemas lineares 2 x 2 para representar situações contextuais, bem como domínio dos métodos de resolução desses sistemas.
39. a)
⎪ ⎩ x + y + z = 11
2x 5y _ 2z = 0 x + 3y + z = 3 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 11
7 + + + ( 2) ⎧ ⎪
y 4 z = 22 4y + 2z = 14
x + y + z = 11 7y 4z = 22 2z = 10
2z = 10 h z = 5
7y 4 ( 5) = 22 h 7y = 42 h y = 6
x + 6 + ( 5) = 11 h x + 1 = 11 h x = 10
(10, 6, 5); SPD
b) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x 3y + z = 7
2x 5y _ z = 3
+ y + 5z = 10
Esse sistema linear é SI.
2x + y + z = 11
x y + z = 1
x 3y + z = 7 y 3z = 17 0y + 0z = 37 2 + + + ( 2)
c) ?2 + + ( 2) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
x 2y + 8z = 28 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2x + y + z =
y + 3z = 9 h y = 3z 9
2x + 3z 9 + z = 11 h 2x = 4z + 20 h x = 2z + 10
S = {( 2z + 10, 3z 9, z) | z [ r}; SPI d) 4 5 + + + + + ( 2) ( 23) ( 23) ( 4)
4x 3y + z w = 4
x 5y _ 2z + w = 3
2x + y + 2z 3w = 5 x + 2y + z 4w = 9 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4x 3y + z w = 4 23y _ 7z + 3w = 8 5y 3z + 5w = 6 11y 3z + 15w = 32 h 34 8 + h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4x 3y + z w = 4
23y _ 7z + 3w = 8 34z 100w = 98 8z 312w = _648 h
11 408w = 22 816 h w = 2
4x 3y + z w = 4
y _ 7z + 3w = 8 34z 100w = _98 11 408w = _22 816
34z 100 2 = 98 h 34z 200 = 98 h z = 3
23y 7 3 + 3 2 = 8 h 23y 15 = 8 h y = 1
4x 3 ( 1) + 3 2 = 4 h 4x + 4 = 4 h x = 2
( 2, 1, 3, 2); SPD 40. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 3
2x + y az = 1 x 10y + 2z = b h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 3 3y + (2 a)z = 7 9y + 3z = 3 + b h
x + y + z = 3 3y + (2 a)z = 7 0y + (9 3a)z = 24 + b 3 + 2 + +
⎪
9 3a = 0 h a = 3
24 + b 5 0 h b 5 24
41. a) Sendo x, y, z as quantidades de dados consumidos por hora de uso pelos aplicativos A, B e C, respectivamente, temos: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
8x + 5y + 6z = 460
7x + 4y + 8z = 508
6x + 7y + 9z = 564
b) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
8x + 5y + 6z = 460
7x + 4y + 8z = 508
6x + 7y + 9z = 564 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 8x + 5y + 6z = 460 3y 22z = 844 13y 18z = 876
8x + 5y + 6z = 460 13y 18z = 876 0y 340z = 13 600 13 3 + 7 3 + + ( 8) ( 4)
⎪ ⎨
340z = 13 600 h z = 40
13y 18 40 = 876 h 13y = 156 h y = 12
8x + 5 12 + 6 40 = 460 h 8x + 300 = 460 h x = 20
Resposta esperada: Em média, por hora de uso, o aplicativo A consome 20 MB, o B consome 12 MB e o C, 40 MB.
c) 10 20 + 15 12 + 5 40 = 200 + 180 + 200 = 580 H 580 MB
d) Pesquisa do estudante. Espera-se que os estudantes avaliem criticamente o tempo de uso de aplicativos, e comparem os dados obtidos com os dos colegas. Eles podem refletir, por exemplo, sobre possíveis consequências do tempo elevado de exposição a telas.
0x + 1y + 3z = 70
0x + 0y + 3z = 60
42. a) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 38
b) 3z = 60 h z = 20
y + 3 20 = 70 h y = 70 60 h y = 10
x + 10 + 20 = 38 h x = 8
8 derrotas, 10 empates, 20 vitórias
7,3x + 3,8y + 8,6z = 69 8,2x + 7,2y + 7,4z = 75 2,4x + 5,4y + 10z = 71 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 7,3x + 3,8y + 8,6z = 69,0 4,1x + 3,6y + 3,7z = 37,5 1,2x + 2,7y + 5z = 35,5 h :2 :2 1,2 ?4,1 + + ( 7,3) ( 7,3)
⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 7,3x + 3,8y + 8,6z = 69,0 10, 70y + 8,25z = 9,15 15,15y 26,18z = 176,35 h
405,1135z = 2 025,5675 h z = 5
7,3x + 3,8y + 8,6z = 69,0 10, 70y + 8,25z = 9,15 405,1135z = 2 025,5675 + ( 10,70) 15,15
10,70y + 8,25 ? 5 = 9,15 h 10,70y + 41,25 = 9,15 h 10,70y = 32,10 h y = 3 7,3x + 3,8 3 + 8,6 5 = 69,0 h 7,3x + 11,4 + 43,0 = 69,0 h 7,3x = 14,6 h x = 2 1a avaliação: 2; 2a avaliação: 3; 3a avaliação: 5
44. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam representar situações-problema por meio de sistemas de equações lineares 3 x 3, bem como aplicar métodos de resolução deste tipo de sistema e determinar sua solução.
45. a)
C + 4H + 2N + O = 60,056
17C + 19H + N + 3O = 285,343 C + H + N + O = 43,025 C + 3H + N = 29,042
C + 4H + 2N + O = 60,056
C + 4H + 2N + O = 60,056 49H 33N 14O = 735,609 3H + N + 0O = 17,031 H + N + O = 31,014 h 3 49 49 + + + + + ( 1) ( 1) ( 17)
+ 4H
49H 33N 14O = 735,609 _ 50N 42O = 1 372,308 16N + 35O = 784,077
1 078O = 17 246,922 h O = 15,999
50N 42 ? 15,999 = 1 372,308 h 50N = 700,35 h N = 14,007
49H 33 14,007 14 15,999 = 735,609 h 49H 686,217 = 735,609 h 49H = 49,392 h H = 1,008
C + 4 1,008 + 2 14,007+ 15,999 = 60,056 h C + 48,045 = 60,056 h C = 12,011 carbono: 12,011 u; hidrogênio: 1,008 u; nitrogênio: 14,007 u; oxigênio: 15,999 u
b) • 2 1,008 + 15,999 = 2,016 + 15,999 = 18,015 H 18,015 u
• 12,011 + 4 1,008 = 12,011 + 4,032 = 16,043 H 16,043 u
• 2 14,007 + 15,999 = 28,014 + 15,999 = 44,013 H 44,013 u
c) Pesquisa do estudante. Espera-se que os estudantes utilizem sistemas lineares para determinar as massas moleculares das substâncias pesquisadas.
46. Sendo a o preço do pacote de arroz de 2 kg, b o preço da garrafa de óleo de 900 mL, f o preço do pacote de feijão de 1 kg e m o preço do pacote de macarrão de 500 g, temos:
3a + 2b + 4f + m = 80,60
2a + b + 2f + 2m = 54,80
a + b + 3f + 3m = 54,60
4a + 3b + 3f + 4m = 108,00 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
3a + 2b + 4f + m = 80,60
b + 2f 4m = 3,20 3f 12m = 86,40 9f 12m = 4,80
48m = 264,00 h m = 5,50
3a + 2b + 4f + m = 80,60
b + 2f _ 4m = 3,20
b 5f 8m = 83,20
b + 7f 8m = 1,60 h + + + + + ( 3) ( 3) ( 3) 2 4
⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3a + 2b + 4f + m = 80,60
b + 2f _ 4m = 3,20 3f 12m = 86,40 48m = 264,00 + 3
3f 12 5,50 = 86,40 h 3f = 20,40 h f = 6,80
b + 2 6,80 4 5,50 = 3,20 h b 8,40 = 3,20 h b = 5,20
3a + 2 5,20 + 4 6,80 + 5,50 = 80,60 h 3a + 43,10 = 80,60 h 3a =37,50 h a = 12,50 pacote de arroz de 2 kg: R$ 12,50; garrafa de óleo de 900 mL: R$ 5,20; pacote de feijão de 1 kg: R$ 6,80; pacote de macarrão de 500 g: R$ 5,50
x + z = 60
y + z = 75
47. {x + y = 55
y + z = 75 h z = 75 y x + 75 y = 60 h x y = 15
x + y = 55
x y = 15 h {x + y = 55 x y = 15 +
2x = 40 h x = 20
20 + y = 55 h y = 35
z = 75 35 h z = 40
x + y + z = 20 + 35 + 40 = 95
1. Resposta pessoal. As respostas dependem das experiências dos estudantes.
2. Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles compreendam os benefícios das impressoras 3D e apresentem argumentos para seu uso em contextos sociais ou científicos, de acordo com o tema pesquisado.
3. Resposta esperada: Com a primeira coordenada, identificamos a posição de P em relação ao eixo X; com a segunda coordenada, a posição de P em relação ao eixo Y; e, com a terceira coordenada, a posição de P em relação ao eixo Z
4. A, D e E
A : 2 ? 5 3 ? 1 + 8 = 15 h 15 = 15
B : 2 2 3 2 + 5 5 15 h 3 5 15
C : 2 ( 3) 3 ( 2) + 3 5 15 h 3 5 15
D : 2 2 3 ( 3) + 2 = 15 h 15 = 15
E : 2 ( 1) 3 ( 6) + ( 1) = 15 h 15 = 15
F : 2 ? 0 3 ? 4 + 3 5 15 h 9 5 15
5. a) C, D, E e H
b) Resposta esperada: Esses sistemas admitem, ao menos, uma solução.
c) Apenas um ponto em comum; possibilidade H
d)
6x + 4y 2z = 16
3x 2y + z = 8
9x + 6y 3z = 24 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
x + 0y + 0z = 0 0x + 0y + 0z = 0 + + 2 2 ( 3)
x + 4y 2z = 16
SPI; possibilidade C
e)
• H
• C, D e E
• A, B, F e G
Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles consigam relacionar um sistema linear 3 x 3 à sua interpretação geométrica e determinar, a partir dessa representação, um sistema linear correspondente.
48. a)
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
49. u 2 = 22 + (1,5)2 h u 2 = 4 + 2,25 h u 2= 6,25 h u = = ± 2,5 H 2,5 cm. Espera-se que o estudante explique que determinou o comprimento do vetor utilizando o teorema de Pitágoras.
50. a) A‘: 2 + 3 = 5; 5 + 1 = 6
B‘: 4 + 3 = 7; 4 + 1 = 5
C‘: 2 + 3 = 5; 2 + 1 = 3
A‘(5, 6), B‘(7, 5) e C‘(5, 3)
b) x = 0 12 = 12
y = 6 8 = 2
E‘: 6 12 = 6; 10 2 = 8
F‘: 16 12 = 4; 10 2 = 8
G‘: 16 12 = 4; 14 2 = 12
H‘: 6 12 = 6; 14 2 = 12
E‘( 6, 8), F‘(4, 8), G‘(4, 12) e H‘( 6, 12)
51. a) Usando A‘ e A como referência: x : 3 6 = 3; y : 2 3 = 1 H ( 3, 1)
b) u 2 = ( 3)2 + ( 1)2 h u 2 = 9 + 1 h u 2 = 10 h
h u = ± √ 10 H √ 10 u.c. ou aproximadamente 3,16 u.c.
52. a) Pesquisa e elaboração do estudante. Espera-se que, a partir da atividade, os estudantes possam conhecer e explorar elementos da cultura de povos indígenas que vivem próximos de suas regiões. As produções e os grafismos realizados podem ser socializados entre a turma e com a comunidade escolar em uma exposição.
b) Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes representem em seus grafismos a simetria de translação das figuras, demonstrando domínio do tema estudado.
53. a) Uma resposta possível:
b) 16 52 = 400 H 400 cm2
c) Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles representem um modelo (parte padrão) e utilizem a simetria de translação para compor a tela.
54. v 2 = 32 + 22 h v 2 = 9 + 4 h v 2 = 13 h v = ±√ 13 h √ 13 m ou aproximadamente 3,6 m
55. Posicionar a ponta-seca do compasso em A e traçar um arco de circunferência de maneira a intersectar o eixo e nos pontos P e Q Posicionar a ponta-seca do compasso em P e, com abertura PB, traçar um arco de circunferência. Em seguida, posicionar a ponta-seca do compasso em Q e, com abertura QB, traçar outro arco de circunferência de maneira a obter o ponto B‘, na interseção entre os dois arcos. Proceder de maneira análoga à etapa anterior para obter os pontos A‘ , C‘ , D‘ , E‘ e F‘. Por fim, traçar os segmentos de reta que unem os pontos obtidos e colorir a região interna da figura obtendo o polígono simétrico a ABCDEF por reflexão em torno do eixo e
56. a) Analisando as imagens temos que as fotografias I, III e V apresentam a ideia de simetria de reflexão.
b) Resposta esperada: Fotografia I: pode ser traçado um eixo vertical entre as asas da borboleta; fotografia III : pode ser traçado um eixo horizontal sobre a linha de contato do pato com a água; fotografia V: podem ser traçados 5 eixos de simetria, cada eixo passando por um braço e pelo centro da estrela-do-mar.
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem simetria de reflexão em elementos da natureza. Eles podem, por exemplo, apresentar as fotografias para a turma e para a comunidade escolar numa exposição, indicando o eixo de simetria identificado.
57. Como o eixo de simetria é paralelo ao eixo y, os vértices simétricos terão a mesma ordenada. Assim, o vértice ( 5, 3) será simétrico a B (3, 3). A equação da reta correspondente ao eixo de simetria é dada por:
x = 3 + ( 5) 2 = 2 2 = 1
Assim:
A (1, 1) H A‘( 3, 1)
B (3, 3) H B‘( 5, 3)
C (5, 2) H C‘( 7, 2)
D (2, 1) H D‘( 4, 1)
58. a) Resposta esperada: Nesse poema, é possível observar algumas letras refletidas, remetendo a um dos sentidos do poema, o reflexo da Lua na água.
b) as letras L, U, A, N e G c) nas letras A, M e U
d) Resposta pessoal. Os estudantes podem utilizar a mesma ideia representada no poema para compor o texto solicitado, demonstrando compreensão a respeito da simetria de reflexão na literatura e na arte.
59. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reproduzam o quadro no GeoGebra utilizando a malha quadriculada da Janela de Visualização e a opção Polígono.
b) Resposta esperada: Traçar o eixo de simetria de maneira que passe pelos pontos médios dos lados paralelos verticais da tela.
c) O segmento de reta obtido seria congruente aos lados do quadrado correspondente a essa obra, ou seja, sua medida seria 90 cm ou 0,9 m.
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem a simetria em outras obras do movimento concretista. Eles podem expor as obras escolhidas e o texto composto com a ficha técnica em um mural, apresentando à comunidade escolar uma relação entre Arte e Matemática.
60. a)
b)
= x + 1 e m ( x ) = |_x | + 1 = x + 1. Assim, m (x ) = m ( x ) para todo x [ r, ou seja, a função m é par. d) x 2 nxx () =
Não é função par.
Não é função par.
• Uma resposta possível: b: Como g (1) = 21 = 2 e g ( 1) = 2 1 = 1 2 , então g (1) 5 g ( 1), ou seja, a função g não é par e, portanto, seu gráfico não é simétrico ao eixo das ordenadas; d: Como n (1) = 12 1 = 0 e n ( 1) = ( 1)2 ( 1) = 2, então n (1) 5 n ( 1), ou seja, a função n não é par e, portanto, seu gráfico não é simétrico ao eixo das ordenadas.
61. A e B são simétricos em relação ao eixo y, com uma distância de 12 u entre eles. Seja E o ponto de interseção entre o segmento
AB e o eixo y de simetria:
dBC2 = dBE2 + dEC2 h 122 = 62 + dEC2 h dEC2 = 108 h
h dEC = ±√ 108 h dEC = ± 6 √ 3
C (0, 4 + 6 √ 3 ) ou C (0, 4 6 √ 3 )
62. a) A( 10, 3)
[ 1 0 0 1] [ 10 3 ] = [ x‘ y‘] h [ 1 ( 10) + 0 3 0 ? ( 10) + 1 ? 3 ] = = [ x‘ y‘] h [10 3 ] = [ x‘ y‘]
A‘(10, 3)
B (7, 0)
[ 1 0 0 1] [7 0] = [ x‘ y‘] h [ 1 ? 7 + 0 ? 0 0 7 + 1 0 ] = [ x‘ y‘] h
h [ 7 0 ] = [ x‘ y‘]
B‘( 7, 0)
C ( 2, 5)
[ 1 0 0 1] ? [ 2 5] = [ x‘ y‘] h [ 1 ( 2) + 0 ( 5) 0 ( 2) + 1 ( 5) ] = [ x‘ y‘] h
h [ 2 5] = [ x‘ y‘]
C‘(2, 5)
D(4, 3 2 )
[ 1 0 0 1] [ 4 3 2 ] = [ x ‘ y ‘] h ⎡ ⎢ ⎣ 1 4 + 0 ( 3 2 ) 0 4 + 1 ( 3 2 ) ⎤ ⎥ ⎦ = [ x ‘ y ‘] h h [ 4 3 2 ] = [ x ‘ y ‘]
D ‘( 4, 3 2 )
b) Como um ponto simétrico em relação ao eixo das abscissas mantém a ordenada do ponto original e a abscissa é o oposto desse ponto, temos:
[1 0 0 1] [ x y ] = [ x ‘ y ‘]
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apliquem o conhecimento sobre equação matricial para resolver a questão. Ao final, eles podem trocar as produções com os colegas para verificar se os pontos obtidos são simétricos aos escolhidos anteriormente.
63. Resposta pessoal. As respostas dependem do trapézio desenhado pelos estudantes. Espera-se que eles consigam aplicar a ideia de simetria de rotação na produção.
a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
64. Alternativa c, pois é a única em que a figura I foi rotacionada em 180° em torno do ponto O para determinar a figura II.
65. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam reconhecer a utilização de diferentes simetrias para determinar os hexágonos a partir de determinado modelo. É interessante compartilhar com a turma as diferentes respostas, bem como as transformações descritas e os elementos identificados em cada tipo de simetria.
66. a) A
A‘ : [ x‘ A y‘ A] = [ cos (120°) sen (120°) sen (120°) cos (120°) ] ? [ 6 2 ] h
h [ x‘ A y‘ A] = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ [ 6 2 ] h h [ x‘ A y‘ A] = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 ( 6) + ( √ 3 2 ) 2 √ 3 2 ( 6) + ( 1 2 ) 2 ⎤ ⎥ ⎦ h [ x‘ A y‘ A] = [ 3 _ √ 3 3 √ 3 1]
A‘(3 √ 3 , 3√ 3 1)
B‘ : [ x‘ B y‘ B] = [ cos (120°) sen (120°) sen (120°) cos (120°) ] [ 4 0 ] h
h [ x‘ B y‘ B] = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ? [ 4 0] h
h [ x‘ B y‘ B] = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 ? ( 4) + ( √ 3 2 ) ? 0 √ 3 2 ? ( 4) + ( 1 2 ) ? 0 ⎤ ⎥ ⎦ h [ x‘ B y‘ B] = [ 2 2 √ 3 ]
B‘(2, 2√ 3 )
C ‘ :[ x‘ C y‘ C] = [ cos (120°) sen (120°) sen (120°) cos (120°) ] [0 4] h h [ x‘ C y‘ C] = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ [0 4] h
[ x‘ C y‘ C] =
⎢ ⎣ 1 2 ? 0 + ( √ 3 2 ) ? 4 √ 3 2 ? 0 + ( 1 2 ) ? 4 ⎤ ⎥ ⎦ h [ x‘ C y‘ C] = [ 2 √ 3 2 ]
C ‘( 2√ 3 , 2)
67. a) quadrados DEFG e CEIH; quadrados FNOJ e IQPK; quadrados
LMGJ e SRHK; triângulos FJG e IKH
b) quadrado KPQI
I : (1, 4), J : ( 2, 4) H v = 1 ( 2); v = (3, 0) H medida de v é 3 u.c.
quadrado RSKH
H : (2,3), J : ( 2, 4) H 2 2 = 4 e 4 3 = 1; v → = ( 4, 1)
x 2 = ( 4)2 + 12 h x 2 = 16 + 1 h x 2 = 17 h h x = ± √ 17 H medida de v é √ 17 u.c.
quadrado GJLM
M: ( 3, 3), J : ( 2, 4) H 2 ( 3) = 1 e 4 3 = 1; v = (1, 1)
x 2 = 12 + 12 h x 2 = 2 h x = ± √ 2 H medida de v é √ 2 u.c.
c) Respostas possíveis: O triângulo HIK pode ser obtido por simetria de rotação do triângulo FGJ, com ângulo de rotação de 90° no sentido horário, em torno do ponto de coordenadas (0, 2); O triângulo FGJ pode ser obtido por simetria de rotação do triângulo HIK, com ângulo de rotação de 270° no sentido horário, em torno do ponto de coordenadas (0, 2).
d) Respostas esperadas: A cada etapa (iteração) realizada, os triângulos ou os quadrados obtidos correspondem a uma redução do último triângulo ou quadrado obtido em uma etapa anterior. Transformação homotética.
e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compreendam características da árvore pitagórica e de outros fractais que utilizem transformações isométricas.
68. Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles construam uma figura modelo e utilizem diferentes tipos de transformações isométricas para compor um mosaico. É importante verificar se os estudantes conseguem representar uma figura a partir de uma transformação e, ao avaliarem o mosaico do colega, reconhecer diferentes simetrias.
69. Uma resposta possível: Rotacionar a figura amarela com um dos lados sobre o eixo x em 90° em torno do ponto de coordenadas (4, 2) no sentido anti-horário; transladar a figura obtida em relação a u → = ( 4, 0) e, em seguida, em relação a v = (0, 2).
70. a) II e I: OC‘ OC = 46 23 = 2
III e I: OC‘‘ OC = 11, 5 23 = 1 2
III e II: OC‘‘ OC‘ = 11, 5 46 = 1 4
b) pentágono I: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 H 25 cm
pentágono II: 25 2 = 50 H 50 cm
pentágono III: 25 1 2 = 25 2 = 12,5 H 12,5 cm
71. Construção do estudante. Espera-se que os estudantes consigam determinar a razão k da homotetia realizada a partir das medidas dos lados correspondentes das figuras.
72. a) 98 : 2 = 49
p 492 = 3 492 = 7 203
7 203 ? 5 = 36 015
36 015 = p ? r 2 h 36 015 = 3r 2 h 12 055 = r 2 h
h r 1 109,6 H aproximadamente 109,6 m
b) 6 24 200 m2 = 145 200 m2
7 203 145 200 1 0,0496 H aproximadamente 4,96%
36 015
145 200 1 0,248 H aproximadamente 24,8%
73. a) Resposta esperada: Pode-se determinar, por exemplo, as medidas AP e EP e calcular a razão de homotetia k = EP AP . Redução.
b) k = 2 5 H 2 5 ou 0,4
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam representar um prisma a partir da perspectiva cônica. Caso seja necessário, retome a representação de alguns prismas.
74. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver problemas envolvendo transformações homotéticas de figuras. Eles podem, por exemplo, utilizar o contexto de elaboração de um projeto arquitetônico.
O que estudei
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) Relação de ligação entre lojas de uma rede varejista
I) [ x‘ B y ‘ B] = [ cos(270°) sen(270°) sen(270°) cos(270°) ] [ 2 8 ] h
h [ x‘ B y ‘ B] = [ 0 1 1 0] [ 2 8 ] h
h [ x‘ B y ‘ B] = [ 0 ? ( 2) + 1 ? 8 1 ? ( 2) + 0 ? 8] = [8 2]
(8, 2) H ponto B II) pontos C e E III) 2 1 = 3
8 3 = 5
Uma resposta possível: Vetor com origem em O (0, 0) e extremidade em ( 3, 5), ou seja, o vetor v = ( 3, 5).
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa a
Banco 1: 0 + 2 + 0 + 2 + 2 = 6
Banco 2: 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3
Banco 3: 1 + 2 + 0 + 1 + 1 = 5
Banco 4: 0 + 2 + 2 + 0 + 0 = 4
Fonte: Dados fictícios.
0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0
I) De acordo com a quantidade de linhas e colunas, temos: matriz
5 x 5
II) m34 = 1. Indica que há estrada ligando as lojas C e D.
III) Sim, pois na matriz M as quantidades de linhas e de colunas são iguais.
b) I) Resposta esperada: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 175 y + z + 55 = 170 65 + 15 + y = 125 ou ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 175 y + z = 115 y = 45
II) Resposta esperada: Três incógnitas e três equações.
III) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x + y + z = 175 y + z = 115 y = 45
45 + z = 115 h z = 70
x + 45 + 70 = 175 h x + 115 = 175 h x = 60
(60, 45, 70); SPD
IV) Resposta esperada: A estrada entre as lojas A e C tem 60 km, a estrada entre as lojas C e B tem 45 km e a estrada entre as lojas B e D tem 70 km.
Banco 5: 3 + 0 + 1 + 1 + 0 = 5
2. alternativa a
x + 3y + z = 0 2x y + z = 0 x _ 4y = 0 h
+ 3y + z = 0 7y z = 0 0y 0z = 0 + + ( 2) ( 1) ( 3) + SPI
3. alternativa b
2x + 3y = 74 (?2) 3x 2y = 20 (?3) h { 4x + 6y = 148 9x 6y = 60 + 13x = 208
13x = 208 h x = 16
2 16 + 3y = 74 h y = 14
x y = 16 14 = 2
4. alternativa c I) Verdadeira.
II) Falsa. O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
III) Falsa. O gráfico da função par é simétrico em relação à origem.
IV) Verdadeira.
V) Falsa.
5. alternativa b
Considerando que o polígono será simétrico e terá como eixo de simetria as retas r e s, temos que, em 1 4 do polígono há 4 lados dele. Assim, como há quatro partes congruentes a essa, teremos ao todo 16 lados (4 4 = 16). Além disso, temos os lados em que as retas são mediatrizes, ou seja, mais 4 lados. Portanto, esse polígono terá 20 lados ao todo (16 + 4 = 20).
6. alternativa b
Sentido horário H 45° + 90° = 135°
7. alternativa d
Sendo t o preço da televisão, e o preço da estante e s o preço do sofá, em real, temos:
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
t + s = 3 800 (I)
s + e = 3 400 (II)
t + e = 4 200 (III)
Subtraindo (II) de (I), temos: t e = 400 (IV)
Segue que:
{t e = 400
t + e = 4 200 +
2t = 4 600 H t = 2 300
Substituindo t = 2 300 em (IV) e em (I), temos:
2 300 e = 400 h e = 1 900
2 300 + s = 3 800 h s = 1 500
Segue que:
2t + s = 2 ? 2 300 + 1 500 = 4 600 + 1 500 = 6 100
Após o desconto de 5%, temos:
0,95 6 100 = 5 795 H R$ 5.795,00
8. alternativa a
11. alternativa b
Sendo g a quantidade de gatos, c a quantidade de cachorros, e p a quantidade de pintinhos, temos:
{g + p = 4 + c g + c = 6 + p h {g + p c = 4 g + c p = 6 +
2g = 10 H g = 5
12. alternativa d I) verdadeira II) verdadeira
12,2 9,4 = 2,8; 10,5 8,1 = 2,4; 15 12,4 = 2,6; 18,2 15,7 = 2,5; 14,2 13 = 1,2; 13,1 11,7 = 1,4 III) verdadeira
13. alternativa b
• Reflexão em relação ao eixo e
• Rotação de 90° no sentido anti-horário em torno do ponto
a21 a22 a23
A = [a11 a12 a13
a31 a32 a33]
I) Para i . j
a21 = a31 = a32 = 0
II) Para i < j
a11 = 4 1 5 1 + 2 = 1
a12 = 4 1 5 2 + 2 = 4
a13 = 4 ? 1 5 ? 3 + 2 = 9
a22 = 4 2 5 2 + 2 = 0
a23 = 4 ? 2 5 ? 3 + 2 = 5
a33 = 4 ? 3 5 ? 3 + 2 = 1
A = [1 4 9 0 0 5 0 0 1]
9. alternativa c
Sendo v e f o espaço ocupado na memória do cartão em cada minuto de vídeo e cada foto, respectivamente, e x a capacidade de armazenamento do cartão de memória, temos:
{10v + 190f = x
15v + 150f = x
Multiplicando a primeira equação do sistema por 3 e a segunda por 2, temos:
{ 30v + 570f = 3x
30v 300f = 2x
Adicionando as equações do sistema obtido, temos:
270f = x
10. alternativa b
[0 1 1 0 ] [ x y] = [0 x + ( 1) y 1 x + 0 y ] = [ y x ] h ( y, x )
O ponto ( y, x) corresponde a uma rotação de P em 90° no sentido anti-horário e com centro em (0, 0).
Unidade 3 • Geometria espacial de posição
1. a) A [ a; B [ a; C { a; D [ a; E { a; F { a e G [ a b) r ¡ b; s £ b e t ¡ b c) A [ r ; B { r ; C [ r ; D { r ; E [ r ; F { r e G { r ; A [ s ; B { s; C { s; D [ s; E { s; F { s e G { s; A [ t ; B [ t ; C { t ; D { t ;
E { t ; F { t e G { t
2. a) Falsa, pois se os três pontos forem colineares, eles determinam infinitos planos.
b) Verdadeira.
c) Falsa, pois postulados são considerados verdadeiros sem a necessidade de serem demonstrados.
d) Falsa, pois duas retas concorrentes tem um único ponto em comum.
e) Verdadeira.
f) Verdadeira.
g) Verdadeira.
3. Respostas esperadas: a) Três pontos não colineares determinam um único plano; c) Os postulados correspondem a afirmações tomadas como verdadeiras sem a necessidade de serem demonstradas; d) Duas retas concorrentes têm apenas um ponto em comum.
4. a) Como os pontos são não colineares três a três, cada conjunto de dois desses pontos determina uma reta que não contém nenhum dos outros pontos. Como há 6 conjuntos contendo dois desses pontos, {A, B}, {A, C }, {A, D}, {B, C }, {B, D} e {C, D}, então é possível traçar 6 retas distintas contendo dois desses pontos.
b) Cada conjunto de três desses pontos determina um único plano, pois esses pontos não são colineares, são distintos entre si e não são coplanares. Como há 4 conjuntos contendo três desses pontos, {A , B, C }, {A , B, D}, {A , C, D} e {B, C, D}, então existem 4 planos distintos contendo três desses pontos.
5. Resposta esperada: Pelo postulado VII, três pontos não colineares determinam um único plano. Considerando os três pontos correspondentes aos pontos de apoio dos pés desses objetos no piso, podemos afirmar que esses pontos de apoio determinam um único plano. Assim, mesmo quando apoiados em um piso irregular, esses três pontos de apoio determinam um único plano imaginário que intersecta esse piso nesses pontos e, portanto, não balançam.
6. Resposta esperada: Considere os pontos A, B e C não colineares, correspondentes à interseção entre as retas r e s, r e t e s e t, respectivamente. Pelo postulado VII esses pontos determinam um único plano a. Assim, pelo postulado VI podemos afirmar que as retas r, s e t estão contidas no plano a
7. Falsa. Resposta esperada: Vamos supor por hipótese que exista uma reta t perpendicular à reta r e concorrente à reta s, sendo r e s perpendiculares entre si. Assim, temos os pontos A, B e C correspondentes às intersecções de r e s, r e t e s e t, respectivamente. Considerando o triângulo ABC, temos, por hipótese, que med(A ˆ ) = = 90°, med(B ˆ ) = 90° e med(C ˆ ) . 0°. Isso, no entanto, é um absurdo, pois a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180° e med(A )+ + med(B ) + med(C ) . 180°.
8. a) Falsa. Resposta esperada: Duas retas quaisquer que não têm ponto em comum são reversas ou paralelas.
b) Verdadeira.
c) Falsa. Resposta esperada: Se uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano e concorrentes a ela.
d) Falsa. Resposta esperada: Se dois planos são coincidentes, então eles correspondem ao mesmo conjunto de pontos.
e) Verdadeira.
9. alternativa e
• As retas LB e GE se intersectam nos pontos médios dos segmentos de reta LB e GE , logo, são concorrentes.
• As retas AG e HI são coplanares, pois estão contidas no plano que contém a face correspondente ao pentágono ACIHG, e se intersectam nos prolongamentos dos segmentos de reta AG e HI , logo, essas retas são concorrentes.
• As retas AD e GK não são paralelas, pois os pontos A, D, G e K não são coplanares, e não têm ponto em comum, pois estão contidas, respectivamente, no plano que contém a face ACDF e no plano que contém GHKL, que são paralelos. Logo, essas retas são reversas.
10. Resposta esperada: Não, pois se dois planos distintos têm ponto em comum, então eles são secantes e, portanto, têm uma reta em comum, ou seja, infinitos pontos.
11. a) As retas r e s podem, ou não, ter ponto em comum. Se têm ponto em comum, elas são perpendiculares, caso contrário, são reversas ortogonais.
b) As retas r e s podem, ou não, ser coplanares. Se forem coplanares, elas são paralelas, caso contrário, são reversas.
c) As r etas r e s estão contidas em planos paralelos a a e podem, ou não, ter ponto em comum. Se têm ponto em comum, elas são concorrentes, caso contrário, podem ser paralelas ou reversas.
12. Representando os vértices A, B, D e F nesse cubo, temos:
D F
Assim, temos que os ângulos BA ˆ D, BA ˆ F e DA ˆ F são retos. Analisando a figura, temos:
a) retas perpendiculares
b) triângulo
13. a) Respostas possíveis: faces correspondentes aos quadriláteros: ABCD e EFGH; CDEF e ABGH; BCFG e ADEH
b) Faces correspondentes aos quadriláteros: BCFG e CDEF
c) HE é uma reta contida no plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ADEH e é perpendicular ao plano que contém a face correspondente ao quadrilátero ABGH
d) Planos que contêm as faces correspondentes aos quadriláteros: ABCD , CDEF, EFGH e ABGH
14. Resposta esperada: Suponha que os pontos A , B e C sejam não colineares e pertencentes aos planos distintos a e b . Pelo postulado VII, esses pontos determinam um único plano e, assim, a e b devem ser coincidentes, o que é um absurdo, pois temos por hipóteses que a e b são planos distintos. Portanto, os pontos A, B e C são pontos colineares. Nesse caso, a e b são planos secantes.
15. a) A reta AB tem um ponto pertencente a a e um ponto não pertencente a a , logo, essa reta é secante a a
b) A reta AB tem um ponto pertencente a b e um ponto não pertencente a b , logo, essa reta é secante a b
c) As retas AB e r não podem ser concorrentes nem paralelas, pois, caso contrário, haveria um plano y que as contivesse. Como o plano a contém r e A e o plano b contém r e B, os planos y, a e b seriam coincidentes, o que é um absurdo. Portanto, AB e r são retas reversas.
16. alternativa c
a) Falsa, pois essas são retas coplanares. b) Falsa, pois essas são retas reversas. c) Verdadeira.
d) Falsa, pois essas são retas reversas.
e) Falsa, pois o ponto H pode ser posicionado de maneira que essas retas não sejam perpendiculares.
17. a) Secantes, pois esses planos contêm faces não paralelas e não perpendiculares da figura.
b) Secantes, pois esses planos contêm faces não paralelas e não perpendiculares da figura.
c) Paralelos, pois esses planos contêm faces paralelas da figura.
d) Secan tes e perpendiculares, pois esses planos têm em comum apenas a reta que passa pelos pontos B e G
18. • Teorema I:
Suponha que a reta r não esteja contida em a e seja paralela a uma reta s ¡ a Seja b o plano determinado pelas retas r e s. Se r não fosse paralela a a, existiria um ponto A [ r " a. Tem-se A { s, pois r e s são paralelas. Seja y o plano determinado por s e pelo ponto A
Por um lado, y coincide com a , pois s ¡ a e A [ a. Por outro lado, y também coincide com b, pois s ¡ b e A [ r ¡ b. Logo, a e b são coincidentes, o que é um absurdo, pois concluiríamos que r ¡ a Portanto, r é paralelo a a
• Teorema II:
Suponha, por absurdo, que uma reta r ¡ b não seja paralela a a . Então r intersecta a em um ponto A [ a. Como A [ r ¡ b, então A [ a " b, o que contradiz a hipótese de que a e b são paralelos.
• Teorema III: Seja s uma reta qualquer contida em a Pelo postulado VII, existe uma reta r que passa por P e é paralela a s. Assim, pelo Teorema I, r é paralela a a Integrando com...
1. Resposta pessoal. Os estudantes podem citar situações como realizar uma compra, tirar dúvidas na aula, conversar com amigos e familiares, enviar mensagens de áudio, entre outras.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam sobre a comunicação, percebendo que a falta dela ou ruídos externos podem atrapalhar as relações e causar conflitos que poderiam ser evitados por uma comunicação direta e objetiva.
3. Pesquisa e produção dos estudantes Espera-se que os estudantes conheçam, discutam e apresentem à comunidade escolar um pouco sobre acessibilidade atitudinal e que as discussões sobre a temática proporcionem um ambiente escolar mais inclusivo, democrático e acolhedor.
4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes reflitam a respeito da importância e da necessidade do Sistema Braille para a inclusão das pessoas com deficiência visual, uma vez que possibilita a comunicação entre pessoas cegas e viabiliza que tenham acesso à informação. Portanto é uma ferramenta que proporciona mais autonomia para essa pessoas.
5. a) De acordo com as explicações sobre a escrita em braille, apresentadas na seção, temos:
• livro
• Euclides
• 300
b) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes consigam transcrever da linguagem materna para o braille o próprio nome e a idade, em anos.
c) • u t • A v
d) Pesquisa dos estudantes. Espera-se que eles conheçam e compartilhem com os colegas características técnicas da escrita em braille.
e) Pesquisa dos estudantes. Espera-se que eles pesquisem diferentes tecnologias que facilitam a escrita e a leitura de textos em braille, como aplicativos de celular que transcrevem textos em língua materna para braille (e vice-versa) e impressora que imprime em braille.
19. alternativa e
Como as letras possuem a mesma espessura e estão igualmente espaçadas entre si, as sombras projetadas ortogonalmente no solo terão a forma de retângulos igualmente espaçados como na figura da alternativa e.
20. De acordo com a imagem, temos: a) y b) a c) b
21. a) Falsa, pois, se um segmento de reta for perpendicular a um plano, sua projeção ortogonal sobre esse plano será um ponto.
b) Falsa, pois as projeções ortogonais de duas retas reversas ortogonais, sobre um mesmo plano que seja perpendicular a uma dessas retas, são um ponto e uma reta.
c) Verdadeira.
d) Falsa, pois a distância entre duas retas concorrentes não é definida.
22. alternativa b
A figura representa a projeção ortogonal dos deslocamentos da lagartixa no plano que contém o chão, sendo M’ a projeção ortogonal de M , que corresponde ao ponto médio do segmento AB , e sendo que D coincide com a projeção ortogonal de H. Assim, a alternativa b é a correta.
23. Como os triângulos AA 1C e BB 1C são semelhantes, então:
24. De acordo com o enunciado, temos que os lados AB e BC são perpendiculares, uma vez que B é a projeção ortogonal de C sobre a reta AB. Assim, ABC é um triângulo retângulo. Segue que:
sen 45° = BC 10 h √ 2 2 = BC 10 h BC = 5√ 2
cos 45° = AB 10 h √ 2 2 = AB 10 h AB = 5√ 2
Assim, o perímetro do triângulo ABC é dado por: 10 + 5√ 2 + 5√ 2 = 10 + 10√ 2 1 1 10 + 10 1,414 = 24,14 H H (10 + 10√ 2 ) cm ou
aproximadamente 24,14 cm
25. Considere o ponto E sobre o lado AD de modo que EC seja paralelo a AB , conforme a figura.
A D E B 3 cm 13 cm 5 cm 3 cm
Então:
EC 2 + 52 = 132 h EC 2 + 25 = 169 h
h EC 2 = 144 h {EC = 12 ou
EC = 12 (não convém)
Assim, AB = EC = 12 cm. Segue que o perímetro do trapézio ABCD é:
8 + 13 + 3 + 12 = 36 H 36 cm
26. P P1 A r
Resposta esperada: A medida PP 1 é menor que a medida PA, pois PP 1 corresponde a um cateto de um triângulo retângulo e PA , à hipotenusa desse mesmo triângulo; como a hipotenusa é sempre o maior lado de um triângulo retângulo, então PP1 é menor que PA
27. alternativa d
B C
Assim:
28. a) Resposta esperada: Projeção cilíndrica, pois essa projeção permite que os formatos dos territórios representados sejam mantidos, mas as áreas correspondentes sofram distorções.
b) De acordo com o texto, a extensão territorial da Groenlândia corresponde a cerca de um quarto da extensão territorial do Brasil, ou seja, aproximadamente 25%.
c) Resposta esperada: Projeção cônica.
29. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compreendam as projeções cartográficas e os elementos envolvidos na construção de cada um dos mapas pesquisados, em particular em relação às deformações de ângulos e áreas envolvidas.
30. alternativa a Trata-se de uma projeção plana sobre um plano tangente à superfície do globo terrestre no Polo Norte.
31. alternativa d
Sejam O o centro e P S o Polo Sul do globo terrestre, ao projetar o ponto A, que está na linha do equador, obtendo o ponto A1 no plano a, é possível destacar dois triângulos retângulos semelhantes, PNOA e PNPSA1, conforme mostra a figura a seguir.
Eixo da Terra
2. alternativa d
a) Inc orreta, pois se os três pontos pertencerem a uma mesma reta (colineares), é possível obter dois planos secantes que contenham essa reta.
b) Incorreta, pois os planos a e b podem ser coincidentes.
c) Incorreta, dado uma reta e um ponto não pertencente à ela, existe um único plano que passa por esse ponto e é perpendicular a essa reta.
d) Correta.
e) Incorreta, se uma reta é paralela a um plano, ela não possui ponto comum a nenhuma reta de tal plano.
3. alternativa a
I ) Falsa, pois, por exemplo, há retas paralelas contidas nesses planos secantes.
II) Verdadeira.
III) Verdadeira.
IV ) Falsa, pois, por exemplo, essas podem ser retas reversas.
V ) Falsa, pois, por exemplo, há retas paralelas contidas nesses planos secantes.
4. alternativa a
Marcando sobre a superfície do cubo a continuidade do trajeto do robô, e fazendo a projeção ortogonal do trajeto completo sobre o plano da base do cubo, temos: P
7. alternativa c
De acordo com a figura, a projeção ortogonal do triângulo AFC sobre a base
BCDE corresponde ao triângulo BDC, cuja área é dada por:
BC CD 2 = 2 ? 2 2 =2 H 2 cm2
8. alternativa d
A imagem mostra a representação parcial do globo terrestre com a Antártida no centro da projeção cartográfica, sendo a superfície terrestre projetada sobre um plano tangente. Os paralelos e meridianos são projetados formando círculos concêntricos. Deste modo, fica caracterizada uma projeção plana a partir do Polo Sul da Terra.
Unidade 4 • Figuras geométricas espaciais, área de superfície e volume
1. a) 7 vértices; 7 faces; 12 arestas b) 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares c) 3 arestas; 4 arestas
O triângulo menor é isósceles e a medida de seus catetos corresponde à medida do raio da esfera. Assim, o triângulo maior também é isósceles e A1PS = PNPS = 2r. Portanto, os pontos projetados correspondem à circunferência com centro no Polo Sul e raio 2r, cujo diâmetro é igual a 4r
O que estudei
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) A = pr2 = p ? 222 = = 484p H 484p cm2 ou aproximadamente 1 519,76 cm2 b) Resposta esperada: Projeção plana ou azimutal.
c) Como o triângulo está sobre uma superfície esférica, a projeção é representada na figura da alternativa III
Praticando:
Enem e vestibulares
1. alternativa b Como s £ a , então s é paralela ou secante a a. Como r ⁄ s e r ¡ a, então s é paralela ao plano a.
5. alternativa b
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
a) Incorreta, pois essa reta é paralela ao plano indicado.
b) Correta.
c) Inc orreta, pois o único plano que atende as condições dadas é aquele que contém a face CGHD
d) Inc orreta, pois o único plano que atende as condições dadas é aquele que contém a face ABCD
e) Inc orreta, pois o único plano que atende as condições dadas é aquele que contém a face CGHD
6. alternativa e
Realizando a projeção ortogonal das duas trajetórias sobre o plano a, temos: Meridiano 2 Linha do equador N S a Meridiano 1
2. Cons trução do estudante. Espera-se que os estudantes reconheçam poliedros convexos e não convexos, bem como a nomenclatura adequada para cada face dos poliedros apresentados
3. Cada face possui 5 peças com formato de losango, 5 com formato de trapézio e 1 com formato de pentágono regular. Como o dodecaedro possui 12 faces, o total de peças de cada formato é:
• losango: 12 ? 5 = 60 H 60 peças
• trapézio: 12 ? 5 = 60 H 60 peças
• pentágono regular: 12 ? 1 = 12 H 12 peças
4. a) Resposta esperada: Sim, pois os poliedros regulares são poliedros convexos.
b) No caso do tetraedro, do hexaedro e do octaedro, podemos determinar as quantidades de faces, arestas e vértices por simples contagem e, depois, podemos fazer a verificação utilizando a relação de Euler para detectar possíveis enganos. Observe no quadro a seguir essas informações e os cálculos para os outros dois poliedros.
• O dodecaedro possui 12 faces pentagonais. Como cada aresta é comum a dois lados de polígonos das faces, temos
A = 12 ? 5 2 = 30 . Como 3 arestas
partem de cada vértice e cada aresta parte de dois vértices distintos, então:
V = 2 A 3 = 2 30 3 = 20
• O ic osaedro possui 20 faces triangulares. Como cada aresta é comum a dois lados de polígonos das faces, temos
A = 20 3 2 = 30. Como 5 arestas partem de cada vértice e cada aresta parte de dois vértices distintos, então:
V = 2 A 5 = 2 30 5 = 12
Poliedro regular FacesArestasVértices Polígono da face
Arestas partindo de cada vértice
Tetraedro464Triângulo3
Hexaedro6128Quadrado3
Octaedro8126Triângulo4
Dodecaedro 123020Pentágono3
Icosaedro203012Triângulo5
c) Resposta esperada: Sim, pois, em um poliedro regular qualquer, todas as faces têm a mesma quantidade de lados, de cada vértice parte a mesma quantidade de arestas e é válida a relação de Euler.
5. Como há 16 faces triangulares e cada aresta é comum a dois lados de polígonos das faces, então A = 16 3 2 = 24. Assim, pela relação de Euler:
V + F = A + 2 h V + 16 = 24 + 2 h V = 10
Portanto, 10 vértices.
6. alternativa c
A quantidade de faces é F = 5 + 5 + 1 = 11, e, como cada aresta é comum a dois lados de polígonos das faces, então:
A = 5 4 + 5 3 + 5 2 = 20
Assim, pela relação de Euler:
V + F = A + 2 h V + 11 = 20 + 2 h V = 11
Portanto, a alternativa c é a correta.
7. alternativa d
Pela relação de Euler, o número de faces é dado por:
V + F = A + 2 h 14 + F = 30 + 2 h F = 18
Sejam x a quantidade de faces triangulares e y a de faces quadrangulares. Então x + y = 18, e, como cada aresta é comum a dois lados de polígonos das faces, então:
A = 3x + 4y 2 h 3x + 4y = 60
Assim, temos o sistema: {x + y = 18 3x + 4y = 60 h x = 12 e y = 6
Portanto, são 12 faces triangulares e 6 faces quadrangulares.
8. a) Como cada aresta é comum a dois lados de polígonos das faces, os quais são todos pentágonos, então A = 5F 2 . Substituindo na relação de Euler, temos:
V + F = A + 2 h V + F = 5F 2 + 2 h 2V + 2F = 5F + 4 h
h 2V 3F = 4
Portanto, a alternativa III está correta.
b) Existe uma única classe de poliedro de Platão que possui as faces com 5 lados: o dodecaedro.
9. O octaedro regular possui 12 arestas. Assim, a quantidade de linha necessária é:
12 ? 9,5 = 114 H 114 cm
10. alternativa e O poliedro possui 16 vértices, 11 faces e 24 arestas, logo, a alternativa e é a correta, pois 16 ⏟ V + 11 ⏟ F = 24 ⏟ A + 3
11. alternativa d
Um dodecaedro regular possui 20 vértices, 12 faces e 30 arestas. Em relação ao procedimento de obter o novo poliedro, temos que:
• 5 vértices de um dodecaedro se justapõem a 5 vértices do outro dodecaedro; logo, o novo poliedro tem 5 vértices a menos que o total de vértices dos dois dodecaedros, ou seja:
V = 2 ? 20 5 = 35
• As faces dos dois dodecaedros passam a ser faces do novo poliedro, com exceção apenas das duas faces justapostas; logo, o novo poliedro tem 2 faces a menos que o total de faces dos dois dodecaedros, ou seja:
F = 2 ? 12 2 = 22
• 5 arestas de um dodecaedro se justapõem a 5 arestas do outro dodecaedro. Logo, o novo poliedro tem 5 arestas a menos que o total de arestas dos dois dodecaedros, ou seja:
A = 2 ? 30 5 = 55
Portanto:
V + F + A = 35 + 22 + 55 = 112
12. AA = AB e VA = VB + 8
AA = 5 ? FA 2 ; AB = 3 ? FB 2
5 ? FA 2 = 3 ? FB 2 h 5 FA = 3 FB h FA = 3 ? FB 5
Pela relação de Euler, temos:
VA + FA = AA + 2 h VA = AA + 2 FA
VB + FB = AB + 2 h VB = AB + 2 FB
Substituindo as igualdades conhecidas, temos:
VA = AA + 2 FA h VB + 8 = 3 FB 2 + 2 _ 3 FB 5 h
h AB + 2 FB + 8 = 3 FB 2 + 2 _ 3 FB 5 h
h 3 FB 2 + 2 FB + 8 = 3 FB 2 + 2 _ 3 FB 5 h _FB + 8 = _ 3 FB 5 h
h _FB + 3 FB 5 = _8 h _2 FB = _40 h FB = 20
AB = 3 20 2 = 30; VB = 30 + 2 20 = 12
AA = AB = 30; FA = 3 20 5 = 12; VA = 30 + 2 12 = 20
Poliedro A: dodecaedro; 12 faces, 20 vértices e 30 arestas.
Poliedro B: icosaedro; 20 faces, 12 vértices e 30 arestas.
13. Seja e a medida da diagonal da base e d a medida da diagonal do paralelepípedo, conforme mostra a figura. a b c d e
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: (I) e2 = a 2 + b2 (II) d 2 = e 2 + c2
Substituindo (I) em (II), temos: d 2 = a2 + b2 + c2 h
h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ d = √ a 2 + b 2 + c 2 ou
d = √ a 2 + b 2 + c 2 (não convém)
Portanto, d = √ a 2 + b 2 + c 2
14. A área da superfície interna da piscina corresponde à área da base somada com a área lateral do paralelepípedo, ou seja:
A = Ab + Al = (5 ? 4) + (2 ? 1,5 ? 5 + 2 ? 1,5 ? 4) = 20 + 27 = 47
Logo, o azulejista cobrará o revestimento de 47 metros quadrados de superfície, o que irá totalizar: 47 ? 35 = 1 645 H R$ 1.645,00
15.
127,5 cm
Observe que a medida de 127,5 cm corresponde à altura de cinco triângulos equiláteros congruentes entre si, cuja medida do lado é igual à medida do lado do hexágono. A figura a seguir ilustra um desses triângulos, cuja altura é 127,5 : 5 = 25,5 cm. x xx 60° 25,5 cm
Temos: sen 60° = 25,5 x h √ 3 2 = 25,5 x h x = 51 √ 3 1 51 1,7 = 30
Logo, a parte lateral externa do nicho é formada por 14 retângulos de 30 cm de comprimento e 15 cm de largura, cuja área é igual a: 14 ? 30 ? 15 = 6 300 H 6 300 cm2
16. A área da superfície de cada contêiner a ser pintada, em m2, é dada por:
A = 2 6,1 2,6 + 2 2,4 2,6 Área lateral + + 2 ? 6,1 ? 2,4 Área da base 1,2 2 Área da janela 2,1 ? 2 Área da porta = 67,84
Logo, a quantidade de tinta necessária para pintar 35 contêineres é dada pela seguinte regra de três:
Área (em m2)
Quantidade de tinta (em L)
14 1
2 374, 4 ⏟ 35 67, 84 x 14
2 374, 4 = 1 x h x = 169,6 H 169,6 L
17. Vamos calcular, em cm2, a área da região de personalização de cada modelo:
• Modelo quadrangular:
A = 35 2 Área da base + 4 4 35 ⏟ Área lateral = 1 785
• Modelo octogonal:
Observe que o apótema do octógono é de 40 : 2 = 20 cm.
A = 8 16, 5 20 2 Área da base + 8 16, 5 4 Área lateral = 1 848
Portanto, a diferença entre a área dos dois modelos de tampa é de:
1 848 1 785 = 63 H 63 cm2
18. alternativa e
Cada aresta da base mede 10 m e a medida x de cada aresta lateral é dada por:
sen 60° = 18 x h √ 3 2 = 18 x h x = 36 √ 3 = 12 √ 3
Como há duas bases com 6 arestas cada uma e 6 arestas laterais, a soma das medidas de todas as arestas é:
2 ? 6 ? 10 + 6 ? 12 √ 3 = 120 + 72 √ 3 1 244,7 H
H aproximadamente 244,7 m
19. alternativa d
A diagonal da base do cubo menor tem a mesma medida da aresta do cubo maior, ou seja, 14 cm. Assim, a medida x da aresta do cubo menor é dada por: 14 = x √ 2 h x = 14 √ 2 = 7√ 2
Antes da soldagem, as partes externas das duas peças tinham uma área total, em cm2, de:
A1 = 6 ? 142 + 6 ? (7√ 2 ) 2 = 1 764
Após a soldagem, essa área diminuiu em uma área correspondente à de duas faces do cubo menor, passando a ser, em cm2, de:
A2 = 1 764 2 ? (7√ 2 ) 2 = 1 568
Logo, a área galvanizada dessa peça é de 1 568 cm2
20. Elab oração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam associar o formato da caixa apresentada a um paralelepípedo e, a partir dele, elaborar e resolver problemas envolvendo área da superfície de prismas. Com as informações do quadro é possível, por exemplo, elaborar um problema que avalie o modelo de embalagem mais adequado de acordo com determinada condição.
21.
V = 4 ? 14,2 ? 10 + 8 ? 3 ? 10 = 808 H 808 cm3
22. O volume, em m3, do paralelepípedo que representa a capacidade desse reservatório é:
V = 2 ? 3 ? 1,2 = 7,2 Como 1 m3 equivale a 1 000 L, a capacidade total do reservatório é de 7 200 L. Logo, quando estiver com 80% da capacidade de água, haverá 5 760 ⏟ 7 200 0,8 L no reservatório, o que exigirá uma quantidade de água sanitária, em mL, igual a: 2 ? 5 760 = 11 520. Portanto, serão necessários 11,52 L de água sanitária.
23. a) • Volume do prisma hexagonal regular:
V1 = 6 3 2 √ 3 4 ⏟ Ab 8 ⏟ h = 108 √ 3 1 108 ? 1,7 1 183,6 H 183,6 cm3
• Volume do paralelepípedo:
V2 = 3 ? 2 ? 8 = 48 H 48 cm3
Logo, o volume da peça é:
V = V1 V2 = 183,6 48 = 135,6 H 135,6 cm3
b) 2,7 ? 135,6 = 366,12 H 366,12 g
24. a) A: V = 36 ? 27 ? 18 = 17 496 H 17 496 cm3
Isso equivale a 17 496 mL ou 17,496 L.
B: V = 54 ? 36 ? 27 = 52 488 H 52 488 cm3
Isso equivale a 52 488 mL ou 52,488 L.
C: V = 27 ? 27 ? 36 = 26 244 H 26,244 cm3
Isso equivale a 26 244 mL ou 26,244 L.
D: V = 27 ? 22,5 ? 13,5 = 8 201,25 H 8 201,25 cm3
Isso equivale a 8 201,25 mL ou aproximadamente 8,201 L.
b) Como a mercadoria ocupa 25 L, ela pode ser acomodada somente nas caixas do modelo B ou C. Assim, o modelo escolhido deve ser o B, pois possui um custo de envio menor que o do modelo C.
60° 3 dm 10
A altura h do prisma, em dm, é dado por: sen 60° = h 10 √ 3 h √ 3 2 = h 10 √ 3 h h = 15
h
Seja x a medida da aresta da base desse prisma. Como V = 180 √ 3 dm3, temos:
V = Ab h h 180 √ 3 = x 2 √ 3 4 15 h x 2 = 48 h
h {x = 4 √ 3 ou
x = 4 √ 3 (não convém)
Portanto, a medida da aresta da base é 4 √ 3 dm.
26. Cada bloco pavimenta uma área de 200 ⏟ 10 20 cm2, o que equivale a 0,02 m2. Como a região a ser pavimentada tem uma área de 40 ⏟ 8 5 m2, são necessários 40 : 0,02 = 2 000 blocos para essa pavimentação, o que corresponde a um volume de concreto de: 2 000 ? (0, 1 0, 2 0, 06)
= 2,4 H 2,4 m3
27. No triângulo retângulo correspondente à base do prisma, um dos catetos mede 6 cm. Seja x a medida do outro cateto, em cm, então:
x 2 + 62 = 7,52 h x 2 = 20,25 h {x = 4, 5 ou x = 4, 5 (não convém)
Assim, o volume do prisma é: V = 6 4, 5 2 ⏟ Ab ? 12 ⏟ h = 162 H 162 cm3
28. Pesquisa e elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem e resolvam problemas envolvendo medida de capacidade em contextos do dia a dia ou de outras áreas do conhecimento. Os problemas podem envolver conversão de unidades de medida de capacidade em uma temática que seja relevante para a comunidade local, como a capacidade de algum reservatório ou recipiente.
29. alternativa c
A base do prisma pode ser decomposta em dois trapézios cuja base maior mede, de acordo com a vista superior da caçamba, 4 m. A área de cada trapézio, em m2, é:
• (4 + 3, 5) 0, 5 2 = 1,875 • (4 + 3) 1, 5 2 = 5,25
Assim, a área da base do prisma é Ab = 1,875 + 5,25 = 7,125 m, e, de acordo com a vista superior da caçamba, a altura desse prisma é h = 2,5 m. O volume máximo de resíduos que pode ser coletado corresponde ao volume desse prisma, que é igual a:
V = 7,125 ? 2,5 1 17,8 H aproximadamente 17,8 m3
30. Algumas respostas possíveis:
31. alternativa a Seja H a medida da altura comum dos dois prismas. O volume de cada prisma é:
• Prisma hexagonal: V1 = 6 h 2 √ 3 4 ⏟ Ab H = 3 h 2 √ 3 2 H
• Prisma triangular: V2 = t 2 √ 3 4 ⏟ Ab H
Temos V1 = V2, logo: 3 h 2 √ 3 2 ? H
Como h e t são positivos, segue que h t = √ 1 6 = 1 √ 6
32. a) i = h 100 c h 8 = 0, 6 ? 100 c h c = 7,5 H 7,5 m
b) A rampa terá o formato de um prisma triangular reto de 1,5 m de altura e cuja base é um triângulo retângulo de catetos medindo 0,6 m e 7,5 m. Logo, seu volume é:
V = 0, 6 7, 5 2 Área da base ? 1, 5 ⏟ Altura = 3,375 H 3,375 m3
c) Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles compreendam as normas para a construção de rampas apresentadas na atividade e produzam um projeto de acordo com elas. Além dos dados técnicos da rampa, propor aos estudantes que justifiquem o motivo da posição da rampa no local escolhido. É essencial que eles entendam que, além de seguir as normas técnicas, é importante que as rampas sejam úteis e proporcionem acessibilidade. Para verificar se as medidas indicadas contemplam uma inclinação que respeita as normas da ABNT, os estudantes podem trocar as propostas entre os grupos.
33. alternativa d
Vamos calcular, em cm3, o volume do prisma que representa a capacidade de cada recipiente.
• Recipiente I: VI = 6 ? 12 2 √ 3 4 Ab ? 15 ⏟ h = 3 240 √ 3 1 5 612
• Recipiente II: VII = 14, 5 2 ⏟ Ab 24 ⏟ h = 5 046
Como 1 cm3 corresponde a 1 mL, podemos concluir que o recipiente II ficou completamente cheio e transbordou cerca de 5 612 5 046 = 566 mL de água, ou seja, a alternativa d é a correta.
34. a)
gL 2 l m = 2 : 2 = 1 H 1 cm
g2 = 72 + m2 h g2 = 72 + 12 h
h g2 = 50 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g = 5 √ 2 ou g = 5 √ 2 (não convém)
Portanto, 5√ 2 cm ou aproximadamente 7,07 cm.
L2 = g 2 + ( l 2 ) 2 h L2 = (5 √ 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 h h L2 = 51 h {L = √ 51 ou
L = √ 51 (não convém)
Portanto, √ 51 cm ou aproximadamente 7,14 cm.
d) Ab = 22 = 4 H 4 cm2
e) Al = 4 ? 2 5 √ 2 2 = 20 √ 2 H
H 20 √ 2 cm2 ou aproximadamente 28,28 cm2
f) At = 20 √ 2 + 4 = 4(5√ 2 + 1) H
H 4(5√ 2 + 1) cm2 ou aproximadamente 32,28 cm2
35. a)
Quantidade
Polígono da base da pirâmide nVAF
Triângulo 3464
Quadrilátero 4585
Pentágono 56106
Hexágono 67127
b) Analisando o quadro, temos:
• V: 4 = 3 + 1; 5 = 4 + 1; 6 = 5 + 1; 7 = 6 + 1 H V = n + 1
• A: 6 = 2 3; 8 = 2 4; 10 = 2 5; 12 = 2 6 H A = 2n
• F: 4 = 3 + 1; 5 = 4 + 1; 6 = 5 + 1; 7 = 6 + 1 H F = n + 1
36. C omo a base da pirâmide é um hexágono regular, o raio da circunferência que a circunscreve corresponde à medida do lado do hexágono. Logo, a medida da aresta da base dessa pirâmide é l = 2 cm. Assim, se g é a medida do apótema da pirâmide, então:
• Al = 6 ? 2 g 2 = 6g
• Ab = 6 ? 2 2 √ 3 4 = 6 √ 3
Como At = 6(15 + √ 3 ) cm2, segue que:
6g + 6 √ 3 = 6(15 + √ 3 ) h g + √ 3 = 15 + √ 3 h g = 15 H 15 cm
37. Se x é a medida, em cm, da aresta da peça cúbica, sua área total é 6x 2, logo:
6x 2 = 13 824 h x 2 = 2 304 h {x = 48 ou x = 48 (não convém)
Assim, em relação à pirâmide que representa uma das peças, temos as seguintes medidas:
• aresta da base: l = 48 2 = 24 H 24 cm
• apótema da base: m = 24 2 = 12 H 12 cm
• apótema da pirâmide: g 2 = 122 + 402 h g2 = 1 744 h h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g = 4 √ 109 H 4 √ 109 cm ou
g = 4 √ 109 (não convém)
• área lateral: Al = 4 ? 24 4 √ 109 2 = 192√ 109 H 192√ 109 cm2
• área da base: Ab = 242 = 576 H 576 cm2
Área lateral da pirâmide
Área total da peça cúbica Área da base da pirâmide
Segue que a área total da superfície da estrutura obtida é: 13 824 + 192√ 109 576 = = 13 248 + 192√ 109 H (13 248 + 192√ 109 ) cm2 ou aproximadamente 15 252,54 cm2
38. a) • Área de cada face triangular:
Seja g a altura das faces triangulares. Então:
g 2 + ( 8 2 ) 2 = (√ 241 ) 2 h g 2 = 225 h {g = 15 ou
g = 15 (não convém)
Logo, a área de cada face triangular é: 8 15 2 = 60 H 60 cm2
• Área da face quadrangular: 82 = 64 H 64 cm2
• Área da aba maior:
(√ 241 + 13) ? 1 2 1 14,26 H aproximadamente 14,26 cm2
• Área da aba menor: (8 + 6) 1 2 = 7 H 7 cm2
Portanto, a área aproximada de papel a ser utilizado na embalagem é:
4 ? 60 + 64 + 14,26 + 3 ? 7 = 339,26 H 339,26 cm2
b) A medida do apótema da pirâmide é g = 15 cm e a do apótema da base é m = 8 2 = 4 cm. Logo, a medida h da altura da pirâmide é dada por:
h2 + 42 = 152 h h2 = 209 h
h = √ 209 1 14, 46 ou h = √ 209 (não convém)
Portanto, aproximadamente 14,46 cm.
39. g 2 = 107 2 + (146,5) 2 h g2 =11 449 + 21 462,25 h
h g = √ 32 911,25 1 181,41 H aproximadamente 181,41 m
40. alternativa b
A superfície do telhado pode ser representada por dois pares de triângulos congruentes. Vamos calcular a altura desses triângulos.
• h1 2 + (24 2 )2 = (2√61 )2 h h1 2 = 100 h {h1 = 10 ou h1 = 10 (não convém)
• h2 2 + ( 16 2 ) 2 = (2 √ 61 ) 2 h h2 2 = 180 h h ⎧ ⎪
h2 = 6 √ 5 ou
h2 = 6 √ 5 (não convém)
Assim, a área do telhado, em m2, é:
2 ? 24 10 2 + 2 ? 16 6 √ 5 2 = 240 + 96√ 5 1 454,66 H 454,66 m2
Como se estima o uso de 12 telhas por m2, com desperdício de 10% das telhas, temos que a quantidade de telhas a serem compradas é dada por:
(12 ? 454,66) : (1 0,1) 1 6 062 H 6 062 telhas
41. Sejam g e h a altura da face triangular menor e maior, respectivamente, da pirâmide que representa a parte superior da barraca. Então:
• g 2 + ( 8 2 ) 2 = (3 √ 5 ) 2 h g 2 = 29 h
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g = √ 29 ou g = √ 29 (não convém)
• h 2 + ( 10 2 )2 = (3 √ 5 ) 2 h h 2 = 20 h {h = √ 20 = 2 √ 5 ou
h = √ 20 (não convém)
Assim, a área total de lona em cada barraca é, em m2:
2 8 √ 29 2 + 2 10 2 √ 5 2 + 2 8 4 + 10 4 =
= 8 √ 29 + 20 √ 5 + 104 1 191, 8
Portanto, o custo aproximado de produção da barraca é:
4 ? 191,8 = 767,2 H R$ 767,20
42. • peça A: V = 144 12 3 = 576 H 576 cm3
• peça B: V = 72 6 3 = 144 H 144 cm3
43. alternativa a Podemos decompor o octaedro em duas pirâmides quadrangulares, cuja base comum está destacada em azul na figura a seguir.
Se x é a medida da aresta do cubo, temos:
• Volume do cubo: V1 = x 3
• Volume do octaedro:
V2 = 2 ? ( x 2 √ 2 ) 2 ? x 2 3 = = 2 x 2 2 x 2 3 = x 3 6 = V1 6
Volume de cada pirâmide
Assim, o volume do objeto em formato de octaedro é 1 6 do volume da caixa cúbica, ou seja:
V2 = 64 6 = 32 3 H 32 3 L
44. a)
• Ab = 6 ? 6 2 √ 3 4 = 54 √ 3
• Al = 6 ? 6 3 √ 39 2 Área de cada face lateral = 54 √ 39
Portanto:
At = 54√ 3 + 54√ 39 = 54(√ 3 + √ 39 ) H
H 54(√ 3 + √ 39 ) cm 2 ou aproximadamente 430,76 cm2
b) O apótema da base corresponde à altura do triângulo equilátero de lado 6 cm, ou seja, 6 √ 3 2 cm.
6 cm h 39 cm 3 3 cm 6 2 O
Assim, a altura h da pirâmide, em cm, é dada por:
h 2 + ( 6 √ 3 2 ) 2 = (3 √ 39 ) 2 h
h h 2 = 324 h {h = 18 ou h = 18 (não convém)
N o item a , calculamos A b = 54 √ 3
Assim, o volume da pirâmide é:
V = 54 √ 3 18 3 = 324 √ 3 H
H 324 √ 3 cm 3 ou aproximadamente 561,18 cm3
45. a) 12 ? 18 24 = 9 H 9 g
b) V = 1 2 1,5 3 = 0,5 H 0,5 cm3
c) 12 0,5 = 24 H 24 g/cm3
46. Sejam x e y as medidas, em decimetro, das arestas da base dessa pirâmide. Como o volume da pirâmide é V = 6 dm3, temos:
x ? y ? 1,5 3 = 6 h xy = 12
Logo, as medidas das duas arestas, em dm, correspondem a números divisíveis por 12 cujo produto é igual a 12. Assim, as únicas possibilidades para essas medidas, sem diferenciar a ordem, são: 1 dm e 12 dm; 2 dm e 6 dm; 3 dm e 4 dm.
47. a) • modelo A: 0,03 ? V = 0,03 ? 6 ? 3 2 √ 3 4 ⏟ Ab ? 5 ⏟ h = = 2, 025 √ 3 1 3,51 H
modelo
• modelo C: 0,03 ? V = 0,03 ? Ab
= 6, 48 √ 3 1 11,22 H R$ 11,22
b) • modelo A:
2,5 ? 3,51 1 8,78 H R$ 8,78
• modelo B:
2,5 ? 3,27 1 8,18 H R$ 8,18
• modelo C:
2,5 ? 11,22 = 28,05 H R$ 28,05
c) O custo de produção das velas vendidas foi de:
800 : 2,5 = 320 H R$ 320,00
Logo, ele lucrou:
800 320 = 480 H R$ 480,00
48. a) A superfície lateral do tr onco é formada por 6 trapézios isósceles congruentes conforme a figura a seguir.
A medida x do lado do trapézio é dada
por: x 2 = 32 + (5 4)2 h x 2 = 10
dada por:
2 ) cm2 ou
aproximadamente 190,83 cm2
b) Sendo h a altura da pirâmide menor e H a altura da pirâmide original, temos:
• H h = 5 4 h h + 3 h = 5 4 h
h 4h + 12 = 5h h h = 12
• H = 12 + 3 = 15
Assim, o volume do tronco é:
= VP Vp = 75 √ 3 2 15 3 24 √ 3 12 3 = = 549 √ 3 2 3 = 183 √ 3 2 H 183 √ 3 2 cm3 ou aproximadamente 158,48 cm3
49. a) A superfície lateral do tr onco é formada por 4 trapézios isósceles congruentes. A altura t desses trapézios é dada por:
t 2 + ( 16 8 2 )2 = 82 h
h t 2 + 42 = 64 h t 2 = 48 h
h {t = 4√ 3 ou t = 4√ 3 (não convém)
Assim:
• Al = 4 ? (16 + 8) 4√ 3 2 Área de cada trapézio = 192√ 3
• AB = 162 = 256
• Ab = 82 = 64
Portanto:
AT = 192 √ 3 + 256 + 64 = = 320 + 192 √ 3 H 320 + 192 √ 3 dm2 ou aproximadamente 652,55 dm2 b) t x 16 dm 8 dm H t
A medida x indicada na figura corresponde a 16 8 2 = 4 dm e a altura t de Área de cada face lateral
cada face lateral foi calculada no item a, sendo t = 4√ 3 dm. Assim, a altura Ht do tronco é dada por:
Ht2 + 42 = (4 √ 3 ) 2 h Ht2 = 32 h
h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Ht = 4 √ 2 ou
Ht = 4 √ 2 (não convém)
Sendo h a altura da pirâmide menor e H a altura da pirâmide original, temos:
• H h = 16 8 h h + 4 √ 2 h = 2 h
h h + 4 √ 2 = 2h h h = 4 √ 2
• H = 4 √ 2 + 4 √ 2 = 8 √ 2
Assim, o volume do tronco é:
VT = VP Vp = 16 2 8 √ 2 3 8 2 4 √ 2 3 = = 1 792√ 2 3 H 1 792√ 2 3 dm3 ou aproximadamente 844,76 dm3
50. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam relacionar a base do troféu apresentado na imagem a um tronco de pirâmide e, a partir dele, elaborem e resolvam um problema envolvendo o cálculo da área da superfície ou do volume do tronco de pirâmide.
51. alternativa a Sabemos que o volume da pirâmide (Vp) é 160 m³ e a altura (H ) é 4 m. Outra pirâmide será formada ao traçar o plano a 2 m do vértice, de altura ( h ) 2 m e volume Vs Assim, temos:
Vs Vp = ( h H )3 H Vs 160 = ( 2 4 )3 h
h Vs 160 = ( 2 4 )3 h Vs 160 = 1 8 h
h Vs = 160 8 = 20 H 20 m3
VT = Vp Vs = 160 20 = 140 H 140 m3
52. a) At = 2 ? p ? 60 2 ⏟ Ab + 2p ? 60 ? 200 Al =
= 2 ? 3 600p + 24 000p = 31 200p H H 31 200 p cm2 ou aproximadamente 97 968 cm2
b) At = 2 ? p ? ( 40 2 )2 Ab + 2p ? 40 2 ? 95 Al =
= 2 ? 400p + 3 800p = 4 600p H H 4 600p cm2 ou aproximadamente 14 444 cm2
53. Seja r a medida do raio do cilindro que representa a caixa. A área total desse cilindro é:
At = 2 ? p r 2 ⏟ Ab + 2pr 30 ⏟ Al = 2pr2 + 60pr
A medida máxima do raio corresponde ao valor de r tal que a área total do cilindro é igual a 350p cm2, ou seja:
2pr 2 + 60pr = 350p h
h r 2 + 30r 175 = 0 h
h {r = 5 ou
r = 35 (não convém)
Portanto, r = 5 cm.
54. Seja r a medida, em centimetro, do raio do cilindro. Então, sua altura mede 2r cm e sua área total é: At = 2 ? p r 2 ⏟ Ab + 2pr 2r ⏟ Al = 6pr2
Como At = 48p cm2, temos: 6pr2 = 48p h r 2 = 8 h h {r = 2√ 2 ou
r = 2√ 2 (não convém)
Portanto, a altura do cilindro é:
2 r = 2 ? 2 √ 2 = 4 √ 2 H 4 √ 2 cm ou aproximadamente 5,66 cm
55. A área lateral do cilindro, em m2, do qual foi obtida a parte da superfície é:
Al = 2p ? 15 ? 25 = 2 355
Assim, a área da cobertura é dada pela seguinte regra de três:
Portanto, 211,95 mL.
II) VII = p ? 3,52 ? 7 = 85,75p =
= 269,255 H 269,255 cm3
Portanto, 269,255 mL.
III) VIII = 6 ? 3 2 √ 3 4 ? 5,4 =
= 72, 9 √ 3 1 126,27 H 126,27 cm3
Portanto, 126,27 mL.
IV) VIV = 9 ? 6 ? 4,5 = 243 H 243 cm3
Portanto, 243 mL.
Assim, somente o modelo IV poderá ser utilizado, pois é o único cuja capacidade está entre 230 mL e 250 mL. A área de sua superfície é:
A = 2 ? 9 ? 6 + 2 ? 9 ? 4,5 + 2 ? 6 ? 4,5 = = 243 H 243 cm2
59. V = p ? 32 ? 12 = 108p H 108p m3 ou aproximadamente 339,12 m3
60. a) V = p ? ( 3 2 ) 2 ? 130 = 292,5p H
H 292,5 p mm3 ou aproximadamente 918,45 mm3
b) 0,9 ? 918,45 1 827 H aproximadamente 827 mm3
Como 1 mL equivale a 1 cm 3, o que corresponde a 103 mm3 = 1 000 mm3, então esse volume de tinta equivale a: 827 : 1 000 = 0,827 H 0,827 mL Ou seja, menos do que 1 mL.
61. O volume de concreto de cada manilha, em m3, é:
p ? ( 0, 4 2 ) 2 ? 1,2 p ? ( 0, 24 2 ) 2 ? 1,2 =
Como a manta térmica será instalada na parte interna da cobertura ao preço de R$ 9,60 por metro quadrado, a quantia a ser gasta é:
785 ? 9,6 = 7 535 H R$ 7.536,00
56. a) V = p ? 52 ? 10 = 250p H 250p cm3 ou aproximadamente 785 cm3
b) V = p ? 82 ? 34 = 2 176p H
H 2 176p dm3 ou aproximadamente
6 832,64 dm3
57. Um cilindro equilátero com o raio da base medindo r possui altura h = 2 r Assim, como a área total do cilindro é
At = 216p cm2, então:
2Ab + Al = 216p h
h 2 ? pr2 + 2pr ? 2r = 216p h
h 6pr2 = 216p h r2 = 36 h h {r = 6 ou
r = 6 (não convém)
Portanto, o seu volume é:
V = pr2 ? 2r = 2pr3 = 2p ? 63 = 432p H
H 432 p cm3 ou aproximadamente
1 356,48 cm3
58. Vamos calcular a capacidade aproximada de cada modelo de embalagem.
I) VI = p ? ( 6 2 ) 2 ? 7,5 = 67,5p =
= 211,95 H 211,95 cm3
= 0,048p 0,01728p = 0,03072p
Portanto, o volume total de concreto é:
100 ? 0,03072p = 3,072p 1 9,65 H aproximadamente 9,65 m3
62. a) • cilindro I:
VI = p ? 152 ? 6 = 1 350p H 1 350p cm3 ou aproximadamente 4 239 cm3
• cilindro II:
VII = p ? 62 ? 15 = 540p H 540p cm3 ou aproximadamente 1 695,6 cm3
b) Vamos calcular a área total de cada cilindro, em cm2
• cilindro I:
AI = 2 ? p 15 2 ⏟ Ab + 2p 15 6 Al = 630p
• cilindro II:
AII = 2 ? p 6 2 ⏟ Ab + 2p 6 15 Al = 252p
Assim, a diferença é de:
630p 252p = 378p H 378p cm2 ou aproximadamente 1 186,92 cm2
63. Sejam r a medida do raio da base e h a altura desse cilindro.
• Como sua área lateral é 87,92 cm 2 , temos: 2prh = 87,92 h rh = 14 (I)
• Como o perímetro da seção meridiana é 22 cm, temos:
2 ? (2r + h) = 22 h 2r + h = 11 h
h h = 11 2r (II)
Substituindo (II) em (I), temos: r (11 2r ) = 14 h
h 2r2 + 11r 14 = 0 h {r = 2 ou r = 3,5
Segue que:
• r = 2 h h = 11 2 ? 2 h h = 7
• r = 3,5 h h = 11 2 ? 3,5 h h = 4
Assim, há duas possibilidades: r = 2 cm
e h = 7 cm; r = 3,5 cm e h = 4 cm.
a) Respostas possíveis: 2 cm ou 3,5 cm.
b) Respostas possíveis: 7 cm ou 4 cm.
c) Respostas possíveis:
• At = 2 p 2 2 ⏟ Ab + 2p 2 7 ⏟ Al =
= 36p H 36p cm2 (aproximadamente 113,04 cm2)
• At = 2 p 3, 5 2 ⏟ Ab + 2p 3, 5 4 Al =
= 52,5p H 52,5p cm2 (aproximadamente 164,85 cm2)
d) Respostas possíveis:
• V = p 2 2 ⏟ Ab 7 ⏟ h = 28p H 28p cm3
(aproximadamente 87,92 cm3)
• V = p ? 3, 5 2 ⏟ Ab ? 4 ⏟ h = 49p H 49p cm3
(aproximadamente 153,86 cm3)
64. O sólido geométrico obtido será um cilindro com raio da base medindo 6 cm e altura 2 cm, de cujo centro foi retirado um cilindro menor, com raio da base medindo 2 cm e mesma altura. Seu volume será:
V = p ? 62 ? 2 p ? 22 ? 2 =
= 64p H 64p cm3 ou aproximadamente 200,96 cm3
65. a) O volume do cilindro é igual ao volume do cubo, o qual é dado por:
V = (3 3√ 2p ) 3 = 33 ? 2p =
= 54p H 54p cm3 ou aproximadamente 169,56 cm3
b) Seja r a medida do raio da base do cilindro. Então:
p r 2 ⏟ Ab 2r ⏟ h = 54p h 2r3 = 54 h
h r3 = 27 h r = 3 H 3 cm
c) A altura do cilindro é 2 ? 3 = 6 cm.
Assim:
Al = 2p ? 3 ? 6 = 36p H 36p cm2 ou aproximadamente 113,04 cm2
66. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes estabeleçam uma capacidade para a embalagem apresentada e apresentem a nova proposta de embalagem e suas respectivas medidas.
67. a) • Área da base:
Ab = p ? ( 30 2 )2 = 225p H 225p cm2 ou aproximadamente 706,5 cm2
• Área lateral:
A medida g da geratriz é dada por:
g2 = ( 30 2 ) 2 + 362 h g2 = 1 521 h
h {g = 39 ou
g = 39 (não convém)
Assim:
Al = p ? 30 2 ? 39 = 585p H 585p cm2 ou
aproximadamente 1 836,9 cm2
• Área total:
At = 225p + 585p = 810p H 810p cm2
ou aproximadamente 2 543,4 cm2
b) • Área da base:
Ab = p ? 62 = 36p H 36p m2 ou
aproximadamente 113,04 m2
• Área lateral:
A medida g da geratriz é dada por:
g 2 = 62 + 82 h g 2 = 100 h
h {g = 10 ou
g = 10 (não convém)
Assim:
Al = p ? 6 ? 10 = 60p H 60p m2 ou aproximadamente 188,4 m2
• Área total:
At = 36p + 60p = 96p H 96p m2 ou aproximadamente 301,44 m2
68. a) Seja h a altura do cone. Então:
h2 + 152 = (15 √ 5 ) 2 h h2 = 900 h
h {h = 30 ou
h = 30 (não convém)
Portanto, a altura é 30 cm.
b) Ab = p ? 152 = 225p H 225p cm2 ou aproximadamente 706,5 cm2
c) Al = p ? 15 ? 15 √ 5 = 225p √ 5 H
H 225p √ 5 cm2 ou aproximadamente
1 579,78 cm2
d) At = 225p + 225p √ 5 = = 225p(1 + √ 5 ) H 225p(1 + √ 5 ) cm2 ou aproximadamente 2 286,28 cm2
69. A área total de cada parte corresponde à metade da área total do cone original somada com a área da seção meridiana.
Temos:
• Área total do cone original:
A medida g da geratriz é dada por:
g 2 = 182 + 242 h g 2 = 900 h
h {g = 30 ou
g = 30 (não convém)
Assim:
At = p ? 18 ? (18 + 30) = 864p H
H 864p cm2
• Área da seção meridiana:
Am = (2 18) 24 2 = 432 H 432 cm2
Assim, a área total de cada parte é:
At 2 + Am = 864p 2 + 432 =
= 432( p + 1) H 432( p + 1) cm 2 ou aproximadamente 1 788,48 cm2
70. a) A geratriz possui a mesma medida do diâmetro, ou seja, 14 cm.
b) Al = p ? ( 14 2 ) ? 14 = 98p H 98p cm2 ou aproximadamente 307,72 cm2
c) At = p ( 14 2 )2
Ab + 98p ⏟ Al = 147p H
H 147p cm2 ou aproximadamente 461,58 cm2
d) A seção meridiana é um triângulo equilátero de lado 14 cm. Logo, sua área é:
Am = 14 2 √ 3 4 = 49√ 3 H 49√ 3 cm2 ou
aproximadamente 84,77 cm2
e) • Comprimento da circunferência de raio 14 cm:
2 ? p ? 14 = 28p, ou seja, 28p cm
• Comprimento do arco de circunferência de raio 14 cm determinado pelo ângulo central de medida a:
2 ? p ? ( 14 2 ) = 14p, ou seja, 14p cm
Assim, temos a seguinte regra de três:
Medida do ângulo central (em grau) Comprimento
28p a 14p
360 a = 28p 14p h 360 a = 2 h a = 180
Portanto, a = 180°
71. Ao rotacionar o triângulo em torno de um eixo que contém qualquer um de seus catetos, obtém-se um cone cuja medida g da geratriz é dada por:
g 2 = 62 + 82 h g 2 = 100 h
h g = 10 H 10 cm
Vamos calcular a área em cada caso.
• Em torno do maior cateto:
At = p ? 6 ? (6 + 10) = 96p H 96p cm2 ou aproximadamente 301,44 cm2
• Em torno do menor cateto:
At = p ? 8 ? (8 + 10) = 144p H 144p cm2 ou aproximadamente 452,16 cm2
72. a) A quan tidade de metal necessária para produzir cada coador corresponde à área lateral do cone que o representa. Vamos calcular essa área, em cm2, para cada modelo.
• modelo A:
g 2 = ( 12 2 )2 + 102 h g 2 = 136 h
h g = 2 √ 34
Al = p ? 12 2 ? 2 √34 = 12p√34 1 219,71
• modelo B:
g 2 = ( 16 2 )2 + 132 h g 2 = 233 h
h g = √ 233
Al = p ? 16 2 ? √ 233 = 8p√ 233 1 383,44
• modelo C:
g 2 = ( 18 2 ) 2 + 152 h g 2 = 306 h
h g = √ 306
Al = p ? 18 2 ? √ 306 = 9p√ 306 1 494,35
Agora, vamos calcular a quantidade aproximada de metal necessária para produzir os coadores de cada alternativa.
I: 2 ? 219,71 + 3 ? 383,44 = = 1 589,74 H 1 589,74 cm2
II: 2 ? 219,71 + 494,35 = = 933,77 H 933,77 cm2
III: 383,44 + 494,35 = = 877,79 H 877,79 cm2
IV: 219,71 + 383,44 + 494,35 = = 1 097,5 H 1 097,5 cm2
Portanto, a única alternativa correta é a II
b) Resposta pessoal. As respostas dependem das experiências dos estudantes.
c) Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles se conscientizem da importância do descarte correto do óleo de cozinha, bem como prestem serviço à população e comunidade escolar informando sobre os pontos de coleta desse tipo de produto na região em que moram.
73. a) V = p ? 9 2 ? 12 3 = 324p H 324p cm3 ou aproximadamente 1 017,36 cm3
b) V = p ( 80 2 )2 96 3 = 51 200p H
H 51 200 p m 3 ou aproximadamente 160 768 m3
74. V = p ( 6 2 )2 11 3 = 33p H 33p cm3 ou aproximadamente 103,62 cm3
75. a) h 2 + 122 = 202 h h 2 = 256 h
h {h = 16 ou
h = 16 (não convém)
Portanto, 16 m.
b) V = p ? 12 2 ? 16 3 = 768p H 768p m3 ou aproximadamente 2 411,52 m3
76. As medidas do raio da base e da geratriz são, respectivamente, r = 13 dm e g = 2 ? 13 = 26 dm, logo, a altura h, em dm, é dada por:
h 2 + 132 = 262 h h 2 = 507 h
h {h = 13 √ 3 ou
h = 13 √ 13 (não convém)
Assim:
V = p 13 2 13 √ 3 3 = 2 197p √ 3 3 H
H 2 197p √ 3 3 dm3 ou aproximadamente 3 982,9 dm3
77. V = p r 2 ? h 3 h 81 2 p = p r 2 ? 6 3 h
h 12p r 2 = 243p h r 2 = 243 12 = = 81 4 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪
r = 9 2 = 4, 5 ou r = 9 2 (não convém)
Portanto, a medida é 4,5 cm.
78. Resposta possível: Taça com 12 cm de diâmetro da base e 8 cm de altura na região interna de formato de cone.
79. • Volume do cilindro:
p ? 142 ? 9 = 1 764p H 1 764p cm3
• Volume do cone: p 6 2 9 3 = 108p H
H 108p cm3
Assim, o volume de argila é dado pela diferença:
V = 1 764p 108p = 1 656p H
H 1 656p cm3 ou aproximadamente 5 199,84 cm3
80. • Volume do cilindro: p ? ( 1 2 )2 ? 1,5 = 0,375p H 0,375p m3
• Volume do cone: p ( 1 2 )2 0,24
3 = 0,02p H 0,02p m3
Como 1 m 3 corresponde a 1 000 L, a capacidade total do tanque é: 1 000 ? (0,375p + 0,02p) = 395p 1
1 1 240,3 H aproximadamente 1 240,3 L Os cinco geradores consomem, juntos, 5 ? 31 = 155 litros de óleo diesel por hora. Assim, a quantidade de horas que eles podem funcionar simultaneamente é:
1 240,3 : 155 1 8 H 8 h
81. a) sen 60° = h OV h √ 3 2 = h 9 h h h = 9 √ 3 2 H 9 √ 3 2 cm ou
aproximadamente 7,79 cm
aproximadamente 73,42 cm3
82. B h mn 7,5 m 10 m
O sólido de revolução obtido pode ser decomposto em dois cones que possuem a medida do raio da base igual à altura h do triângulo e cujas alturas são, respectivamente, m e n, conforme a figura anterior. Sabendo que as medidas são positivas, temos:
• AC 2 = 7,52 + 102 h AC 2 = 156,25 h h AC = 12,5 H 12,5 m
• 10 h = AC 7, 5 h 10 h = 12, 5 7, 5 h h h = 6 H 6 m
• n2 + h2 = 102 h n2 + 62 = 102 h h n2 = 64 h n = 8 H 8 m
• m + n = AC h m + 8 = 12,5 h h m = 4,5 H 4,5 m
Assim, o volume do sólido é:
V = p 6 2 4, 5 3 + p ? 6 2 ? 8 3 =
= 54p + 96p = 150p H 150p m3 ou aproximadamente 471 m3
83. a) A embalagem tem o formato de um cone cuja medida do raio da base é r = = 4,8 : 2 = 2,4 cm e cuja geratriz mede g = 7,2 cm. Logo, a área da superfície é:
At = p ? 2,4 ? (2,4 + 7,2) = 23,04p H
H 23,04p cm2 ou aproximadamente
72,35 cm2
b) A altura h da embalagem, em cm, é dada por:
h 2 + 2,42 = 7,22 h h 2 = 46,08 h
h {h = 4,8 √ 2 ou
h = 4, 8 √ 2 (não convém)
Assim:
V = p 2, 4 2 4, 8 √ 2 3 1 13,03p H
H 13,03p cm3
Portanto, a capacidade aproximada da embalagem é de 13,03p mL ou 40,91 mL.
84. a) O volume do cone reto é:
V = p ? 5 2 ? 15 3 = 125p H 125p cm3
Logo, se h é a altura do nível da água no pote, então:
p ? 62 ? h = 125p h h = 125 36 H 125 36 cm ou aproximadamente 3,47 cm
b) V = p ? 62 ? 8 = 288p H 288p cm3
Portanto, 288 p mL ou aproximadamente 904,32 mL.
c) A água ocupará 125p cm3 do total de 288p cm3 do pote. Logo, o porcentual é: 125p 288p 1 0,434 H
H aproximadamente 43,4%
85. Um cone equilátero com raio da base medindo r possui geratriz medindo
g = 2r e altura h dada por:
h 2 + r 2 = (2r )2 h h 2 = 3r 2 h
h {h = r √ 3 ou
h = r √ 3 (não convém) . Assim, seu volume é:
Vc = p r 2 r √ 3 3 = p r 3 √ 3 3
O volume do paralelepípedo é:
Vp = 6 √ 3 ? 8 ? 12p = 576p√ 3
Logo, para Vc = Vp, temos:
p r 3 √ 3 3 = 576p √ 3 h r 3 = 1 728 h
h r 3 = 26 ? 33 h r = 22 ? 3 = 12 H
H 12 cm
86. Considere o cone do qual se obtém o tronco de cone que representa o lustre. Se h é a altura, em cm, do cone menor removido do cone original, então:
30 12 = h + 30 h h 30h = 12h + 360 h
h 18h = 360 h h = 20
Assim, as medidas g e G das geratrizes dos cones menor e original, respectivamente, são dadas por:
• g 2 = ( 12 2 )2 + 202 h g 2 = 436 h
h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g = 2 √ 109 ou g = 2 √ 109 (não convém)
• 30 12 = G 2√ 109 h G = 5√ 109
A área da superfície externa do lustre corresponde à área lateral do tronco, a qual é igual a:
Al = p 30 2 5√ 109 p 12 2 2√ 109 =
= 63p √ 109 1 2 065 H
H aproximadamente 2 065 cm2
87. a) Vamos calcular a capacidade de cada modelo de copo considerando que o tronco de cone que o representa foi obtido a partir de um cone maior de altura H removendo-se um cone menor de altura h
• Modelo A:
H h = 12 8 h h + 6, 28 h = 3 2 h
h 2h + 12,56 = 3h h h = 12,56
H = 12,56 + 6,28 = 18,84
Assim, o volume do tronco, em cm3, é:
VT = VC Vc =
= p ( 12 2 )2 18,84 3 p ( 8 2 )2 12,56 3 = = 477,28p 3 1 500
Logo, o modelo A tem capacidade para 500 mL.
• Modelo B:
H h = 7,2 4,8 h h + 7 h = 3 2 h
h 2h + 14 = 3h h h = 14
H = 14 + 7 = 21
Assim, o volume do tronco, em cm3, é:
VT = VC Vc =
= p ? ( 7,2 2 )2 ? 21 3 p ? ( 4,8 2 )2 ? 14 3 = 191,52p 3 1 200
Logo, o modelo B tem capacidade para 200 mL. De acordo com a tabela, os modelos A e B devem ter, respectivamente, massa mínima de 6,3 g e 2,2 g. Portanto, o único que não atende às especificações é o modelo B
b) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam avaliar o modelo de copo escolhido utilizando, para isso, argumentos baseados em conhecimentos matemáticos. É importante considerar, nos cálculos realizados, possíveis imprecisões de medição.
88. a) • volume: V = 4p 6 3 3 = 288p = 904,32 H 904,32 dm3
• área da superfície: A = 4p ? 62 = 144p = 452,16 H 452,16 dm2
b) • volume: V = 4p ( 30 2 )3 3 =
= 4 500p = 14 130 H 14 130 mm3
• área da superfície: A = 4p ? ( 30 2 ) 2 =
= 900p = 2 826 H 2 826 mm2
c) A medida r do raio da esfera, em cm, é dada por:
2pr = 28,26 h r = 28,26 6,28 = 9 2
Assim:
• volume: V = 4p ( 9 2 )3 3 = 243p 2 =
= 381,51 H 381,51 cm3
• área da superfície: A = 4p ? ( 9 2 ) 2 =
= 81p = 254,34 H 254,34 cm2
89. • O volume do hemisfério corresponde à metade do volume da esfera correspondente, ou seja:
V = 1 2 4p ? 9 3 3 = 486p = 1 526,04 H 1 526,04 cm3
• A área da superfície do hemisfério corresponde à soma da metade da área da superfície da esfera com a área do círculo delimitado pelo equador, ou seja:
A = 1 2 ? 4p ? 92 + p ? 92 = 243p = 763,02 H 763,02 cm2
90. Seja r a medida do raio da base do cone. Então, o volume do cone e o da esfera são, respectivamente:
• Vc = p r 2 25 3 = 25 3 p r 2
• Ve = 4p ( 10 2 )3 3 = 500 3 p
Assim, para Vc = Ve, temos:
25 3 p r 2 = 500 3 p h r2 = 20 h {
r = 2 √ 5 ou
r = 2 √ 5 (não convém)
Portanto, o raio da base mede 2 √ 5 cm ou aproximadamente 4,47 cm.
91. V = 4p r 3 3 h 2 304p = 4p r 3 3 h r 3 = 1 728 h
h r 3 = 26 ? 33 h r = 22 ? 3 = 12
Portanto, o raio da esfera mede 12 dm.
92. Inicialmente, vamos determinar a medida r do raio da esfera, em metro. Temos:
A = 4pr 2 h 192p = 4pr 2 h r 2 = 48 h
h {r = 4 √ 3 ou
r = 4 √ 3 (não convém)
a) comprimento do equador:
2p ? 4 √ 3 = 8 √ 3 p H 8 √ 3 p m ou aproximadamente 43,51 m b) volume:
V = 4p ? (4 √ 3 ) 3 3 = 4p ? 192 √ 3 3 =
= 256 √ 3 p H 256 √ 3 p m3 ou aproximadamente 1 392,29 m3
93. alternativa a
• volume anterior:
V1 = 4p ? ( 38 2 )3 3 = 4p 19 3 3
• volume após as modificações:
V2 = 4p ( 40 2 )3 3 = 4p 20 3 3
Assim, o aumento, em porcentagem, do volume da bola é dado por:
V2 V1 V1 = 4p 3 (20 3 19 3) 4p 3 19 3 = 20 3 19 3 19 3 1 0,17 H
H aproximadamente 17%
94. a) • volume mínimo:
Vmín = 4p ( 4,5 2 )3 3 = = 4p ( 9 4 )3 3 = 4p 729 64 3 = = 243 16 p H 243 16 p cm3
• volume máximo:
Vmáx = 4p ( 30 2 )3 3 = 4p 3 375 3 =
= 4 500p H 4 500p cm3
Assim, a diferença é:
Vmáx Vmín = 4 500p 243 16 p 1
1 14 082,31 H aproximadamente 14 082,31 cm3
b) 7,85 ? Vmín = 7,85 ? 243 16 p 1 374,36 H
H aproximadamente 374,36 g
95. A área da superfície da tampa corresponde à metade da área da superfície da esfera de 4 m de diâmetro, ou seja:
A = 1 2 4p ( 4 2 )2 = 8p 1 25,12
Logo, o pedreiro irá cobrar:
25,12 ? 32 = 803,84 H R$ 803,84
96. Seja a a medida da aresta desse cubo, em cm, a qual corresponde à medida do diâmetro da esfera. A medida d da diagonal do cubo é dada por d = √ a 2 + a 2 + a 2 . Logo, como a . 0, temos: 21 √ 3 = √ 3 a 2 h 21 √ 3 = a √ 3 h a = 21
Assim, o volume da esfera é:
V = 4p ( 21 2 )3 3 = 4p ? 9 261 8 3 =
= 3 087 2 p = 4 846,59 H 4 846,59 cm3
97. a)
360 4pr2 a Af
360 a = 4p r 2 Af h 360 Af = 4p r 2 a h
h Af = p r 2 a 90 b) Af = p ? 10 2 ? 135 90 = 150p = 471 H 471 m2
98. Af = p ? ( 12 756 2 )2 ? 15 90 = = 6 779 814p 1 21 288 616 H H 21 288 616 km2
99. • volume:
V = 4p ? ( 15 2 )3 3 = 4p 3 375 8 3 = = 1 125 2 p = 1 766,25 H 1 766,25 cm3
• área da superfície:
A = 4p ? ( 15 2 ) 2 = 225p =
= 706,5 H 706,5 cm2
100. alternativa e
O volume total das quatro peças iniciais, em mm3, é:
4 ? 4p ? ( 32 2 )3 3 = 16 4 p 3
Assim, se r é a medida do raio da peça esférica maior, então:
4p r 3 3 = 16 4 p 3 h r 3 = 16 4 4 h
h r 3 = 16 4 ? 163 h r3 = 4 ? 163 h
h r = 16 3 √ 4 H 16 3 √ 4 mm
101. alternativa e A medida r do raio do balão, em mm, ao atingir o volume de 500 mm3 é dado por:
4p r 3 3 = 500 h r 3 = 375 p h
h r 3 = 5 3 3 p h r = 5 3√ 3 p
Assim, o tempo t que o balão irá levar para atingir esse volume é dado pela seguinte regra de três:
Medida do raio (em mm) Tempo (em s) 0,5 1
5 3√ 3 p t
0, 5 5 3√ 3 p = 1 t h 0,5t = 5 3√ 3 p h t = 10 3√ 3 p H 10 3√ 3 p s
102. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver problemas utilizando conhecimentos sobre o cálculo da área da superfície e do volume de uma esfera a partir do contexto apresentado. Incentivar a elaboração de problemas criativos e que envolvam dados reais.
Integrando com...
1. Respostas possíveis: Optar pelo uso do transporte público, comprar produtos que utilizam a madeira de reflorestamento como matéria-prima, diminuir o tempo de uso do chuveiro e de equipamentos elétricos.
2. Respostas possíveis: Lápis de cor, móveis, palito de dente, palito de fósforo.
3. a) A parte destinada ao cultivo de eucalipto corresponde a cerca de 75% (77,3%) da área de floresta plantada, ou seja, 3 4 da área.
b) Não, pois, na região Sul, a área ocupada com o plantio de pínus era maior do que a ocupada com o plantio de eucalipto.
c) Como 1 hectare equivale à área de um quadrado com 100 m de lado, ou 0,1 km de lado, então:
1 ha = (0,1 ? 0,1) km2 = 0,01 km2
Assim, a área total aproximada de florestas plantadas, em km2, era de:
9 500 000 ? 0,01 = 95 000 H
H 95 000 km2
Segue que a área aproximada de floresta plantada de cada tipo era:
• eucalipto:
0, 773
? 95 000 = 73 435 H 73 435 km2
⏟ 77,3%
• pínus:
0,187 ⏟ 18,7%
? 95 000 = 17 765 H 17 765 km2
• outras espécies:
0,040
? 95 000 = 3 800 H 3 800 km2
⏟ 4,0%
d) Resposta pessoal. As respostas dependem da região em que os estudantes moram.
4. Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles se conscientizem a respeito da importância do reflorestamento para o futuro da humanidade. A atividade pode ser uma oportunidade para discutir as consequências das mudanças climáticas e a necessidade de políticas públicas que protejam o meio ambiente.
5. a) Resposta esperada: No método 1, para realizar os cálculos, usa-se um cilindro circular reto. As medições e os cálculos a ser realizados em relação aos contornos das bases da tora possibilitam determinar a área de um círculo que corresponde a uma aproximação das áreas das bases desse cilindro. Como o volume de um cilindro é dado pelo produto da área de sua base e da medida da altura, então, pelo método 1, multiplica-se a média das áreas estimadas para as bases pela medida do comprimento dessa tora:
V = ( g1 + g2 2 ) ? h
b) Resposta esperada: No método 2 , para realizar os cálculos, usa-se um paralelepípedo reto-retângulo. Como o cálculo do volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto das medidas das suas três dimensões, então, pelo método 2, multiplica-se as medidas do comprimento, da largura e da altura desse empilhamento de toras: V = a ? b ? c
c) Elaboração dos estudantes. Espera-se que eles consigam elaborar e resolver problemas envolvendo volumes no contexto apresentado. A ideia de empilhamento pode ser utilizada em outros contextos, como nas indústrias, podendo variar a figura geométrica espacial utilizada para o cálculo do volume.
O que estudei
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) • Volume da viga:
Vv = 5 ? 0,6 ? 0,6 = 1,8 H 1,8 m3
• Volume de cada coluna:
Vc = p ? ( 0, 6 2 )2 ? 2 = 0,18p H
H 0,18p m3
Assim, o volume total da estrutura é:
V = Vv + 3Vc = 1,8 + 3 ? 0,18p =
= 1,8 + 0,54p H (1,8 + 0,54p) m3 ou aproximadamente 3,5 m3
b) • Área lateral de cada coluna:
2p ? 0, 6 2 ? 2 = 1,2p H 1,2p m2
• Área da base de cada coluna:
p ? ( 0, 6 2 )2 = 0,09p H 0,09p m2
• Área total da viga:
2 ? 0,6 ? 0,6 + 4 ? 0,6 ? 5 = 12,72 H
H 12,72 m2
Assim, a área total aproximada da estrutura a ser pintada é:
3 ? 1,2p + 12,72 3 ? 0,09p = = 3,33p + 12,72 1 23,18 H 23,18 m2
Considerando as três demãos, será necessária a seguinte quantidade de tinta para pintar:
3 ? 23,18 = 69,54 H 69,54 m2
Como o rendimento da tinta é de 10 m2/L, ou seja, cada litro de tinta é suficiente para pintar 10 m2, serão necessários
69,54 : 10 1 7 litros de tinta.
c) • Volume do cilindro:
Vc = p ? ( 0, 9 2 )2 ? 0,6 = 0,1215p H 0,1215p m3
• Volume do tronco de cone:
Considerando que o tronco de cone foi obtido a partir de um cone maior de altura H removendo-se um cone menor de altura
h, temos:
H h = 0, 9 0, 6 h h + 0, 3 h = 3 2 h
h 2h + 0,6 = 3h h h = 0,6
H = 0,6 + 0,3 = 0,9
Assim, o volume do tronco é:
Vt = VC Vc =
= p ? ( 0,9 2 )2 ? 0,9 3 p ? ( 0,6 2 )2 ? 0,6 3 =
= 0,04275p H 0,04275p m3
Assim, o volume máximo de concreto que pode ser produzido de uma única vez é:
0,75 ? (Vc + Vt ) = 0,75 ? (0,1215p + 0,04275p) 1 0,39 H H aproximadamente 0,39 m3
• Como a estrutura precisa de aproximadamente 3,5 m3 de concreto para ser construída e 3,5 : 0,39 1 8,97, então a betoneira será utilizada, no mínimo, 9 vezes. d) Vamos calcular o volume de cada sólido.
I) VI = 1 2 √ 3 4 3 1 1,3 H aproximadamente 1,3 m3
II) VII = 4p ? 0, 94 3 3 1 3,48 H aproximadamente 3,48 m3
III) VIII = p 1, 2 2 3, 5 3 1 5,28 H aproximadamente 5,28 m3
IV) VIV = 1, 8 2 2, 5 3 = 2,7 H 2,7 m3
Logo, o sólido com volume que mais se aproxima de 3,5 m3 é o da ficha II
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa c
O volume de madeira corresponde à diferença entre o volume do paralelepípedo com as medidas das dimensões externas e o volume interno da caixa. Como a espessura da madeira é de 0,5 cm, então cada medida interna tem 1 cm a menos que a medida externa correspondente. Assim, o volume de madeira é:
V = 20 ? 20 ? 8 19 ? 19 ? 7 = 673 H 673 cm3
2. alternativa a Inicialmente, a pedra possuía 5 faces, 8 arestas e 5 vértices. Após os cortes, a joia ficou com:
• 1 face a mais para cada corte, totalizando 4 faces adicionais;
• 3 arestas a mais para cada corte, totalizando 12 arestas adicionais;
• 2 vértices a mais para cada corte, totalizando 8 vértices adicionais. Portanto, a joia lapidada ficou com
9
⏟ 5 + 4 faces, 20 ⏟ 8 + 12 arestas e 13 ⏟ 5 + 8 vértices.
3. alternativa b
Como o diâmetro do cone esculpido é 18 cm e do cone menor retirado é 6 cm, temos que a razão entre essas medidas é 18 : 6 = 3. Logo, a altura do cone menor a ser retirado é:
36 : 3 = 12 H 12 cm
Volume do cone esculpido:
3 ? 9 2 ? 36 3 = 2 916 H 2 916 cm3
Volume do cone menor retirado:
3 3 2 12 3 = 108 H 108 cm3
Volume do cilindro retirado:
3 ? 32 ? 24 = 648 H 648 cm3
Volume da peça:
2 916 (108 + 648) = 2 916 756 = = 2 160 H 2 160 cm3
Massa da peça:
2 160 0,6 = 1 296,0 H 1 296,0 g
4. alternativa a
O volume da pirâmide pode ser expresso por:
Vpirâmide = FG GH 2 ? BG 3 = FG GH BG 6
O produto FG ? GH ? BG corresponde ao volume do paralelepípedo
(Vparalelepípedo), logo:
Vpirâmide = Vparalelepípedo 6 h Vpirâmide Vparalelepípedo = 1 6
5. alternativa d
a b = 3 4 h a = 3b 4
a b 5 = 540 h b = 12
a = 3b 4 = 3 12 4 = 9
Área total:
2 (5 9 + 5 12 + 9 12) = 2 (45 + 60 + 108) = 426 H 426 cm2
6. alternativa d
r = 1 3 h
2p ? ( 1 3 h)2 Ab + 2 ? p 1 3 h ? h A = 32p h 2ph 2 9 + 2ph 2 3 = 32p h
h 2h 2 9 + 2h 2 3 = 32 h 8h 2 9 = 32 h h2 = 36 h h = 6
Área lateral:
2 p 1 3 h h = 2 p 1 3 6 6 = 24p H 24p cm2
7. alternativa d
Sendo r o raio inicial da bola, temos que o volume inicial da bola é: 4p r 3 3
Temos que o volume da bola cheia é dado por: 4p (2r) 3 3 = 32p r 3 3
Calculando a razão entre os volumes da bola inicial e da bola cheia, temos:
32p r 3 3 4p r 3 3 = 32p r 3 3 3 4p r 3 = 8
8. O espaço que ficou vazio no depósito após a retirada do óleo tem o formato de um tronco de cone cujo volume é de 19 m3
Observe que o triângulo retângulo cujo ângulo interno agudo é de 45° possui os dois catetos congruentes; logo, os raios da base maior e menor desse tronco de cone medem, respectivamente, x + 1 e x. Assim, considerando p = 3, temos:
VC Vc = 19 h p (x + 1) 2 (x + 1) 3 p x 2 x 3 = 19 h
h (x + 1)2 ? (x + 1) x 3 = 19 h
h (x 2 + 2x + 1) ? (x + 1) x 3 = 19 h
h x 3 + 3x2 + 3x + 1 x 3 = 19 h 3x 2 + 3x 18 = 0 h
h x 2 + x 6 = 0 h {x = 2 ou x = 3 (não convém)
Portanto, x = 2 m.
9. alternativa c
Seja t o comprimento das arestas do tetraedro e c o comprimento das arestas do cubo. Temos:
• Área da superfície do tetraedro:
Atetraedro = 4 ? t 2 √ 3 4 = t 2 √ 3
• Área da superfície do cubo:
Acubo = 6 ? c2
Se Atetraedro = Acubo, então:
t 2 √ 3
6 c 2 = 1 h t 2 c 2 = 6 √ 3 h ( t c )2 = 2√ 3 h
h t c = √ 2√ 3 h t c = √ 2 4 √ 3
10. alternativa b
• A altura h do cilindro S3 é dada por:
sen 30° = h 16 h 1 2 = h 16 h h = 8 H 8 cm
Assim, o volume de S3 é:
V3 = p ? (2 √ 2 ) 2 ? 8 = 64p H 64p cm3
• Como o cilindro S1 é equilátero, o raio de sua base mede:
r = g1 2 = 8 2 = 4 H 4 cm
Assim, a medida g2, em cm, da geratriz do cone S2 é dada por:
g 2 2 = 42 + 82 h g 2 2 = 80 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ g2 = 4√ 5 ou g2 = 4√ 5 (não convém)
Segue que a área total da superfície de S2 é:
A2 = p ? 4 ? (4 + 4 √ 5 ) = 16p(1 + √ 5 ) H 16p(1 + √ 5 ) cm2
Portanto, a razão procurada é:
V3
A2 = 64p 16p(1 + √ 5 ) = 4 √ 5 + 1 = 4(√ 5 1) 5 1 2 =
= √ 5 1 H (√ 5 1) cm
Unidade 5 • Análise Combinatória
1. 3 ? 5 = 15 H 15 maneiras
A B C
EDITORIA DE ARTE
2. 2 4 3 2 1 1 = 48 H 48 maneiras.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes indiquem que não utilizaram todos os dados do enunciado da atividade. Por exemplo, os dados sobre as idades do casal e dos filhos não são necessários para resolver a atividade.
3. a) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 = 4 096 H 4 096 composições
b) Sim, pois a quantidade de composições distintas de respostas (4 096) é maior que a quantidade de pessoas entrevistadas (30).
4. 8 7 6 = 336 H 336 maneiras. Resposta pessoal.
5. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ? 5 5 5 5 5 5 5 5 = = 520 H 520 composições. Resposta pessoal.
6. 10 9 8 7 6 5 = 151 200
151 200 20 = 3 024 000
3 024 000
3 600 = 840 H 840 h. Resposta pessoal.
7. 0,40 20 = 8
2
5 15 = 6
8 6 = 48 H 48 maneiras
8. 3 26 20 = 1 560 H 1 560 poltronas. Resposta pessoal.
9. a) 5 5 = 25 H 25 números
b) 5 ? 4 = 20 H 20 números
c) 5 2 = 10 H 10 números
d) 5 3 = 15 H 15 números
10. n (n 1)
2 = 190 h n2 n 380 = 0
n = ( 1) ± √ ( 1) 2 4 1 ( 380) 2 1 h
h n = 1 ± 39 2 h {n = 20 ou n = 19 (não convém)
Portanto, participaram 20 competidores. Resposta pessoal.
11. 3 4 + 2 1 = 12 + 2 = 14 H 14 maneiras
12. alternativa e 10 10 10 10 10 900 = 9 107
13. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam aplicar o algoritmo apresentado para verificar sua validade com os dígitos do próprio CPF.
b) 0 10 + 1 9 + 2 8 + 3 7 + 4 6 + 5 5 + 6 4 +
+ 7 ? 3 + 8 ? 2 = 156
156 = 11 14 + 2 H 2 (resto)
11 2 = 9 H 9 (1o dígito verificador)
0 11 + 1 10 + 2 9 + 3 8 + 4 7 + 5 6 + 6 5 + + 7 ? 4 + 8 ? 3 + 9 ? 2 = 210
210 = 11 19 + 1 H 1 (resto)
Como o resto é igual a 1, o 2o dígito verificador é igual a 0.
c) (10 10 10 10 10 10 10 10 10) 10 = 109 10 H H (109 10) números de CPF
d)
Início.
Multiplique cada algarismo do CPF, na sequência, por 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2 , respectivamente.
Adicione os produtos obtidos e divida o resultado por 11.
O 1o dígito verificador é 0.
Sim. Sim. O resto da divisão é 0 ou 1?
Multiplique cada algarismo do CPF, na sequência, por 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 e 3, respectivamente e o 1o dígito verificador por 2.
Adicione os produtos obtidos e divida o resultado por 11.
O 2o dígito verificador é 0.
O resto da divisão é 0 ou 1?
Subtraia de 11 o resto da divisão.
O resultado é o 1o dígito verificador.
EDITORIA DE ARTE
c) 3 5 2 = 30 H 30 combos
d) 1 ? 4 ? 2 = 8 H 8 maneiras
15. alternativa c
256 = 28
28 ? 28 ? 28 = 224
16. Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que eles consigam elaborar e resolver uma situação-problema envolvendo o princípio fundamental da contagem no contexto da evolução dos pixels nos televisores. É importante verificar se eles compreenderam o tipo de situação em que se aplica esse princípio, ou seja, acontecimentos compostos de etapas sucessivas e independentes.
17. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem e resolvam um problema que envolva o princípio fundamental da contagem no contexto de um cardápio nutricional. Eles podem, por exemplo, completar a parte do enunciado apresentado com quantidades de proteínas, carboidratos e saladas disponíveis e pedir a determinação do número de possibilidades distintas de se compor a refeição.
18. Possibilidades de escolher nome composto: 3 4 = 12
Possibilidades de escolher nome simples na coluna B: 4
Total: 12 + 4 = 16 H 16 maneiras distintas
19. Possibilidades distintas:
Camisa azul, calção amarelo e par de meias branco, vermelho ou roxo: 3
Camisa azul, calção roxo e par de meias branco ou vermelho: 2
Camisa verde, calção amarelo e par de meias azul, branco, vermelho ou roxo: 4
Camisa verde, calção azul e par de meias branco, vermelho ou roxo: 3
Camisa verde, calção roxo e par de meias azul, branco ou vermelho: 3
Total de possibilidades:
3 + 2 + 4 + 3 + 3 = 15 H 15 maneiras distintas
20. 6 7 6 5 = 1 260 H 1 260 tentativas
21. a) 8 ? 8 ? 8 = 512 H 512 números
b) 700 < x < 999 H 3 8 8 = 192
1 000 < x , 6 000 H 3 8 8 8 = 1 536
192 + 1 536 = 1 728 H 1 728 números
c) 7 8 8 8 3 = 10 752 H 10 752 números
d) 7 ? 8 ? 5 = 280 H 280 números
22. 26 25 24 10 10 10 10 10 = 156 107 H H 156 ? 107 equipamentos
23. 13 10 + 18 20 = 490 H 490 maneiras
24. alternativa b
Caso Ana escolha um pirulito: 3 5 = 15
Caso Ana não escolha um pirulito, ela terá 7 opções para escolher duas delas. Considerando que A, B, C, D, E representem as frutas e F, G os pedaços de bolo, temos as seguintes possibilidades: AB, AC, AD, AE, AF, AG, BC, BD, BE, BF, BG, CD, CE, CF, CG, DE, DF, DG, EF, EG, FG, ou seja, 21 possibilidades.
Total: 15 + 21 = 36 H 36 formas distintas
Subtraia de 11 o resto da divisão.
O resultado é o 2o dígito verificador.
14. a) 7,20 + 5,00 + 6,50 = 18,70 18,70 (1 0,20) = 18,70 0,80 = 14,96 H R$ 14,96
b) 4,80 + 2,20 + 6,50 = 13,50 13,50 0,80 = 10,80 H R$ 10,80
25. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver um problema envolvendo os princípios fundamental e aditivo da contagem. É importante verificar se eles conseguem diferenciar tais princípios, bem como o tipo de situação em que se aplica cada um.
26. a) 4 3 2 1 = 24
b) 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 + 3 ? 2 ? 1 = 120 + 6 = 126
c) 2 1 6 5 4 3 2 1 = 2 720 = 718
d) 7 6 5! 5 ! = 7 6 = 42
e) 6! ? 14! 15! 2! = 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2! ? 14! 15 14 ! 2! = 6 ? 5 ? 4 ? 3 15 = 6 4 = 24
f) 13! + 15! 13 ! = 13! + 15 ? 14 ? 13! 13 ! = 13! (1 + 15 14) 13 ! = 211
27. alternativas c e e
a) (a b)! = (a b) [(a b) 1] [(a b) 2]
? [(a b) (a b 1)] h (a b)! 5 a! b!
b) (a + b)! = (a + b) [(a + b) 1] [(a + b) 2]
[(a + b) (a + b 1)] h (a + b)! 5 a! + b!
c) a ! a = a (a 1)! a = (a 1)!
d) (2a)! = (2a) ? [(2a) 1] ? [(2a) 2] ? ? [(2a) (2a 1)] h
h (2a)! 5 2! a!
e) (b!)2 = b! b!
28. a) n ! (n 2)! = n (n 1) (n 2)! (n 2)! = n (n 1) = n 2 n
b) (n 1) ! (n + 1)! = (n 1)! (n + 1) ? (n + 1 1) ? (n 1)! = = 1 (n + 1) n = 1 n 2 + n
c) (n + 1) ? (n 1) ! (n + 1)! = (n + 1) ? (n 1) ! (n + 1) (n + 1 1) (n 1) ! = 1 n
d) (n + 2)! (n + 1)! + n! = (n + 2) (n + 1) n! (n + 1) n! + n! = = (n + 2) (n + 1) n!
[(n + 1) + 1] ? n! = (n + 2) (n + 1) (n + 2) = n + 1
29. a) (n 2)! n! = 1 2 h (n 2)! n ? (n 1) ?(n 2)! = 1 2 h 1 n 2 n = 1 2 h
h 2 = n 2 n h n 2 n 2 = 0
n = ( 1) ± √ ( 1) 2 4 1 ( 2) 2 ? 1 h
h n = 1 ± 3 2 h {n = 2 ou n = 1 (não convém)
b) (n 4)!
(n 3)! = 0,1 h (n 4)! (n 3) (n 4)! = 0, 1 h 1 n 3 = 0, 1 h
h 1 = 0,1n 0,3 h 1,3 = 0,1n h n = 13
c) (n + 12)!
(n + 10)! = 210 h (n + 12) (n + 11) ? (n + 10)! (n + 10)! = 210 h
h n 2 + 23n + 132 = 210 h n 2 + 23n 78 = 0
n = 23 ± √ 23 2 4 1 ( 78) 2 1 h
h n = 23 ± 29 2 h {n = 3 ou n = 26 (não convém)
d) (n + 2)! 6n !
(n + 1)! n ! = 6 h (n + 2) (n + 1) n! 6n ! (n + 1) n! n! = 6 h
h n ! [(n + 2) (n + 1) 6] n! ? [(n + 1) 1] = 6 h
h n 2 + 3n 4 n = 6 h n 2 + 3n 4 = 6n h n 2 3n 4 = 0
n = ( 3) ± √ ( 3) 2 4 1 ( 4) 2 1 h
h n = 3 ± 5 2 h {n = 4 ou n = 1 (não convém)
30. 17 18 19 20 21 22 23 24 = = 24 23 22 21 20 19 18 17 16! 16 ! = 24 ! 16 !
Portanto, a = 24 e b = 16.
31. ∑ k 0 50 (2k) ! = (2 ? 0)! + (2 ? 1)! + (2 ? 2)! + (2 ? 3)! + + (2 ? 50)! = = 0 ! ⏟ 1 + 2 ! ⏟ 2 + 4 ! ⏟ 24 + 6 ! ⏟ 720 + + 100! 1 + 2 + 4 = 7
32. alternativa c
10 8 6 4 2 = 2 5 23 2 3 4 2 = = 5 4 3 2 23 2 2 = 5! 25
33. 20! = 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
19 + 17 + 13 + 11 + 7 + 5 + 3 + 2 = 77
34. a) A 10, 2 = 10 ! (10 2)! = 10 ? 9 ? 8 ! 8! = 90
b) A 25, 3 = 25 ! (25 3)! = 25 ? 24 ? 23 ?22 ! 22! = 13 800
c) A 6, 6 = 6 ! (6 6)! = 6 5 4 3 2 1 0 ! = 720
d) A 15, 4 = 15 ! (15 4)! = 15 14 13 12 11 ! 11! = 32 760
e) A 7, 6 = 7 ! (7 6)! = 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 1 = 5 040
f) A 12, 4 = 12 ! (12 4)! = 12 11 10 9 ? 8 ! 8! = 11 880
35. a) A (n + 1), (n 1) A (n + 2), n = (n + 1)! [(n + 1) (n 1)]! (n + 2)! [(n + 2) n]! = (n + 1)! 2! (n + 2)! 2! =
= (n + 1)! 2! 2 ! (n + 2)! = (n + 1)! (n + 2) (n + 1)! = 1 (n + 2)
b) A (n 3), 2 A (n 5), 1 = (n 3)! [(n 3) 2]! (n 5)! [(n 5) 1]! = (n 3)! (n 5)! (n 5)! (n 6)! =
= (n 3)! (n 5)! (n 6)! (n 5)! = (n 3) ? (n 4) ? (n 5)! ? (n 6)! (n 5)! (n 5) (n 6)! =
= (n 3) (n 4) (n 5)
c) A n, (n 1) ? A (n + 3) (n + 1) A (n + 4), (n + 2) = = n! [n (n 1)]! ? (n + 3)! [(n + 3) (n + 1)]! (n + 4)! [(n + 4) (n + 2)]! = = n! 1! ? (n + 3)! 2! (n + 4)! 2! = n! (n + 3)! 2! (n + 4)! 2! = = n! ? (n + 3)! 2! 2! (n + 4)! = n! ? (n + 3)! (n + 4) (n + 3)! = n! (n + 4)
d) A (n + 2) n A n 2 = (n + 2)! [(n + 2) n]! n! (n 2)! = (n + 2)! 2! n! (n 2)! =
= (n + 2)! 2! (n 2)! n! = (n + 2) ? (n + 1) ? n! ? (n 2)! 2 ? 1 ? n! =
= (n + 2) ? (n + 1) ? (n 2)! 2
36. A 8, 5 = 8 ! (8 5)! = 8 7 6 5 4 ? 3 ! 3! = 6 720 H 6 720 números
37. A 6, 3 A 5, 2 = 6 ! (6 3)! 5 ! (5 2)! = 6 5 4 3! 3! 5 4 3! 3! = = 120 20 = 100 H 100 números
38. a) 10 ? 10 ? 10 ? 10 = 10 000 H 10 000 senhas
b) A 10, 4 = 10 ! (10 4)! = 10 9 8 7 ? 6 ! 6! = 5 040 H
H 5 040 senhas
c) A 4, 4 = 4 ! (4 4)! = 4 3 2 1 1 = 24
24 5 = 120 H 120 s ou 2 min
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem a resposta com base nos cálculos realizados e em fatores de segurança sobre senhas tratados na Unidade e de vivências pessoais.
39. Com 12 equipes:
A12,2 = 12 ! (12 2)! = 12 ! 10 ! = 12 11 10 ! 10 ! = 12 11 = 132
Com 14 equipes:
A14,2 = 14 ! (14 2)! = 14 ! 12 ! = 14 ? 13 ? 12 ! 12 ! = 14 13 = 182
Assim, segue que:
182 _ 132 = 50 H 50 jogos
40. Kits sem caneca:
A4,3 = 4 ! (4 3)! = 4 ! 1 ! = 4 ? 3 ? 2 ? 1 ! 1 ! = 24
Kits com caneca:
24 ? 4 = 96
Assim, segue que:
24 + 96 = 120 H 120 kits distintos
41. a) 11 poltronas
b) A11,8 = 11 ! (11 8)! = 11 ! 3 ! = = 11 10 9 8 7 6 5 4 3 ! 3 ! =
= 11 10 9 8 7 6 5 4 = 6 652 800H
H 6 652 800 maneiras
42. a) 26 26 26 26 10 10 10 = 264 103 H
H 264 103 placas ou 456 976 000 placas
b) A 26, 4 A 10, 3 = 26 ! (26 4)! 10 ! (10 3)! = = 26 25 24 23 22! 22! 10 9 8 7! 7! =
= 258 336 000 H 258 336 000 placas
43. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver um problema envolvendo arranjo simples no contexto descrito. Verificar se eles compreenderam que a principal característica do arranjo simples é o fato de serem formados agrupamentos ordenados e que esse contexto se enquadra pelo fato de a comissão ter cargos específicos, o que não aconteceria caso eles não fossem nomeados e distintos.
44. a) P4 = 4! = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
b) P6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720
c) P3 P5 = 3! 5! = (3 2 1) (5 4 3 2 1) =
= 6 120 = 114
d) P2 + P8 = 2! + 8! = (2 1) + (8 7 6 5 4 3 2 1) =
= 2 + 40 320 = 40 322
e) 5 P4 = 5 4! = 5 4 3 2 1 = 120
f) P 8 P 6 = 8 ! 6 ! = 8 7 6! 6 ! = 56
45. a) P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 H 24 anagramas
b) P6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 H 720 anagramas
c) P5 = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 H 120 anagramas
d) P9 = 9! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 362 880 H H 362 880 anagramas
46. 1 P4 = 1 4 3 2 1 = 24 H 24 maneiras
47. P4 ? P2 ? P2 ? P2 ? P2 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 = = 384 H 384 maneiras
48. P8 = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40 320 H 40 320 maneiras
P3 P6 = 3 2 1 6 5 4 3 2 1 = 4 320
4 320 40 320 1 0,107H aproximadamente 10,7%
49. 1 h H 3 600 s
3 600 30 = 120
120 = P5 H 5 algarismos
50. P6 = 6! = 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 720 H 720 maneiras
51. a) P5 = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 H 120 termos
b) 4 P4 = 4 4! = 96 H 96a posição
c) Para cada algarismo fixado na dezena de milhar, há 24 termos.
72 24 = 3 H último número que inicia com 7 79 865
52. a) 9 9 8 7 6 5 = 136 080 H 136 080 números
b) 3 P3 6 6 5 + P3 7 6 5 = 4 500 H 4 500 números
53. a) P7 = 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 5 040 H 5 040 anagramas
b) 1 P6 = 1 6! = 1 6 5 4 3 2 1 = 720 H 720 anagramas
c) P5 P3 = 5! 3! = 5 4 3 2 1 3 2 1 = 720
720 5 040 1 0,143 H aproximadamente 14,3%
54. a) Resposta esperada: Não, pois cada bolinha preta indicada no computador do bugio corresponde a um caractere da senha que, por medida de segurança, não é explicitado.
b) • P5 = 5 4 3 2 1 = 120 H 120 palavras
• 3 P4 + 2 P3 + 1 P2 + 2 = 3 4! + 2 3! + 1 2! + 2 = = 88 H 88a posição
c) Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver um problema envolvendo permutação simples no contexto de senhas. Para que o problema se enquadre no conceito é necessário que as senhas não tenham repetição de caractere.
55. a) P 7 (2) = 7 ! 2 ! = 7 6 5 4 3 2! 2 ! = 2 520 H 2 520 anagramas
b) P 9 (2, 2) = 9 ! 2! ? 2! = 9 8 7 6 5 4 3 2! 2 ? 1 ? 2 ! =
= 90 720 H 90 720 anagramas
c) P 8 (4) = 8 ! 4! = 8 7 6 5 4! 4 ! = 1 680 H 1 680 anagramas
d) P 12 (2, 2, 3) = 12 ! 2! 2! 3! = 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3! 2 ! 2! 3 ! = = 19 958 400 H 19 958 400 anagramas
56. P 7 (5, 2) = 7 ! 5! 2! = 7 6 5! 5 ! 2! = 7 6 2 1 = 21 H H 21 soluções distintas
57. P 16 (12, 4) = 16 ! 12! 4! = 16 15 14 13 12! 12 ! 4 3 2 1 = 1 820 H
H 1 820 maneiras distintas
58. a) P 7 (3) = 7 ! 3 ! = 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3! 3 ! = 840 H 840 anagramas
b) P 8 (3, 3) 5 = 8 ! 3! 3! 5 = 8 7 6 5 4 ? 3! 5 3 2 1 3 ! = 5 600 H
H 5 600 anagramas
c) 4 ? P 8 (3, 3) = 4 ? 8 ! 3! 3! = 4 8 7 6 5 4 ? 3! 3 2 1 3 ! = 4 480
P 9 (3, 3) = 9 ! 3! ? 3! = 9 8 7 6 5 4 ? 3! 3 ? 2 ? 1 ? 3 ! = 10 080
4 480 10 080 1 0,444 H aproximadamente 44,4%
Resposta esperada: Não, pois apenas 4 480 dos 10 080 anagramas começam com vogal, ou seja, aproximadamente 44,4%.
59. a) P 5 (2) = 5 ! 2! = 5 4 3 2! 2 ! = 60 H 60 números distintos
b) P4(2) 3 = 4 ! 2! 3 = 4 3 ? 2! 3 2 ! = 36 H 36 números distintos
c) 2 P4(2) + 2 P3 1 = 2 4 ! 2! + 2 3! 1 = = 4 ? 3 ? 2! ? 2 2 ! + 2 ? 3 ? 2 ? 1 1 = 35 H 35 números distintos
d) P 4 (2) P 2 = 4 ! 2! 2! = 4 3 2 1 = 24 H 24 números distintos
60. Começando com AA: P 5 2 = 5 ! 2 ! = 5 4 3 2 1 2 1 = 120 2 = 60
Começando com AJ: P 5 2 = 5 ! 2 ! = 5 4 3 2 1 2 1 = 120 2 = 60
Começando com AN: P 5 2 = 5 ! 2 ! = 5 4 3 2 1 2 1 = 120 2 = 60
Começando com AO: P 5 2 = 5 ! 2 ! = 5 4 3 2 1 2 1 = 120 2 = 60
Começando com ARA: P 4 = 4 ! = 4 3 2 1 = 24
Começando com ARJ: P 4 = 4 ! = 4 3 2 1 = 24
Começando com ARN: P 4 = 4 ! = 4 3 2 1 = 24
Começando com ARO: P 4 = 4 ! = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
Começando com ARRAJ: P 2 = 2 ! = 2 1 = 2
Começando com ARRANJO: 1
Assim, segue que:
4 60 + 4 24 + 2 + 1 = 240 + 96 + 2 + 1 = 339 H 339a
61. a) P 5 (2, 3) = 5 ! 2! 3! = 5 4 ? 3! 2 1 3 ! = 10 H 10 sequências distintas
b) (2 2 2 2 2) 2 P5(5) = 32 2 5 ! 5! = 32 2 = 30 H
H 30 sequências distintas
62. a) 1 2 2 2 = 8 H 8 números
b) P 7 (3, 4) = 7 ! 3! 4! = 35 H 35 números
63. Elab oração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem e resolvam um problema envolvendo permutação com repetição a partir do contexto sugerido. Para isso, é necessário que as palavras escolhidas para a composição tenham, necessariamente, repetições de caracteres.
64. a) C 7, 5 = 7 ! 5! (7 5)! = 7 ? 6 ? 5 ! 5! 2 1 = 21
b) C 20, 2 = 20 ! 2! (20 2)! = 20 19 ? 18 ! 2 1 18! = 190
c) C 9, 4 = 9 ! 4! ? (9 4)! = 9 8 7 6 ? 5 ! 4 3 2 1 5! = 126
d) C 11, 8 C 8, 3 = 11 ! 8! ? (11 8)! 8 ! 3! ? (8 3)! = = 11 10 9 ? 8 ! 8! 3 2 1 8 7 6 ? 5 ! 3 2 1 5! = 165 56 = 109
e) C 4, 3 + A 6, 4 = 4 ! 3! ? (4 3)! 6 ! (6 4)! = = 4 ? 3 ! 3! 1 + 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ! 2! = 4 + 360 = 364
f) P 5 C 8, 1 = 5! 8! 1! (8 1)! = 5! 8! 1! 7! = 5! 7! 1! 8! = = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 7! 1 8 7! = 15
65. a) Combinação simples, uma vez que a ordem dos elementos nos agrupamentos não importa.
b) Arranjo simples, uma vez que a ordem dos elementos nos agrupamentos importa.
c) Arranjo simples, uma vez que a ordem dos elementos nos agrupamentos importa.
d) Combinação simples, uma vez que a ordem dos elementos nos agrupamentos não importa.
66. a) C 12, 6 = 12 ! 6! (12 6)! = 12 11 10 9 8 7 ? 6 ! 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6! = 924 H
H 924 maneiras
b) A 84, 3 = 84 ! (84 3)! = 84 83 82 ? 81 ! 81! = 571 704 H
H 571 704 maneiras
c) A 17, 4 = 17 ! (17 4)! = 17 16 15 ? 14 13 ! 13! = 57 120 H
H 57 120 maneiras
d) C 9, 2 = 9 ! 2! (9 2)! = 9 ? 8 ? 7 ! 2 1 7! = 36 H 36 opções
67. C 38, 6 = 38 ! 6! (38 6)! = 38 ? 37 ? 36 ? 35 ? 34 ? 33 ? 32 ! 6 5 4 3 2 1 32! = = 2 760 681 H 2 760 681 maneiras
68. alternativa e
A escolha das 4 jogadoras de linha será feita entre as 17 profissionais disponíveis. Como não há ordem na posição que elas ocupam, temos uma situação de combinação simples.
A escolha da goleira será feita entre 3 opções disponíveis. Como, para cada possibilidade de escolha da goleira há
C 17, 4 possibilidades de escolha das jogadoras de linha, temos que o número de times possíveis nas condições dadas será:
C 3, 1 C 17, 4
69. Triângulos com um vértice em AB e dois em AC :
1 ? C7, 2 = 7 ! 2!(7 2)! = 7 6 2 1 = 21
Triângulos com um vértice em BC e dois em AC :
1 ? C7, 2 = 7 ! 2!(7 2)! = 7 6 2 1 = 21
Triângulos com um vértice em AB , um em AC e um em BC :
1 7 1 = 7
Assim, segue que:
21 + 21 + 7 = 49 H 49 triângulos
70. a) Todos os 430 estudantes da escola. Os 25 estudantes correspondentes aos números que serão sorteados.
b) amostra casual simples ou amostra aleatória simples
c) C 430, 25
71. a) C 5, 2 5 = 5 ! 2! (5 2)! 5 = 5 4 3 ! 2 1 3! 5 = = 10 5 = 5 H 5 diagonais
b) C 13, 2 13 = 13 ! 2! (13 2)! 13 = 13 ? 12 ? 11 ! 2 1 11! 13 =
= 78 13 = 65 H 65 diagonais
c) C 20, 2 20 = 20 ! 2! (20 2)! 20 = 20 ? 19 ? 18 ! 2 1 18! 20 = = 190 20 = 170 H 170 diagonais
• Temos que C n, 2 é a quantidade de lados e diagonais de um polígono de n lados. Assim:
D = C n 2 n = n ! 2! (n 2)! n = = n (n 1) (n 2) !
2 1 (n 2)! n = n 2 n 2n 2 = n (n 3) 2
72. alternativa b
C 513, 30 C 81, 10 = 513 ! 30! (513 30)! 81 ! 10! (81 10)! = = 513! ? 81!
30! 483! 10! 71! = 513! ? 81! 483! 71! 30! 10!
73. C 10, 3 C 6, 3 C 14, 3 = 10 ! 3! (10 3)! 6 ! 3! (6 3)! 14 ! 3! (14 3)! = 10! ? 6! ? 14! 3! 7! 3! 3! 3! 11! =
= 10 ? 9 ? 8 ? 7 ! ? 6 ? 5 ? 4 ? 3! ? 14 ? 13 ? 12 ? 11! 3 2 1 7! 3 2 1 3 ! 3 2 1 11! =
= 873 600 H 873 600 maneiras
74. a) C 28, 7 = 28 ! 7! ? (28 7)! = 28 27 26 25 24 23 22 21 ! 7 6 5 4 3 2 1 21! = = 1 184 040 H 1 184 040 maneiras
b) C 7, 2 = 7 ! 2! (7 2)! = 7 ? 6 ? 5 ! 2 1 5! = 21 H 21 maneiras
75. 6 C 5, 2 + 5 C 6, 2 = 6 5 ! 2! (5 2)! + 5 6 ! 2! (6 2)! = = 6 5 ? 4 ? 3 ! 2 1 3! + 5 6 ? 5 ? 4 ! 2 1 4! = 60 + 75 = 135 H
H 135 triângulos
76. a) C 12, 4 + C 15, 4 = 12 ! 4! (12 4)! + 15 ! 4! (15 4)! = = 12 11 10 9 8 ! 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 8! + 15 14 13 12 11 ! 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 11! =
= 495 + 1 365 = 1 860 H 1 860 possibilidades
b) C 12, 2 C 15, 2 = 12 ! 2! (12 2)! 15 ! 2! (15 2)! = = 12 11 10 ! 2 ? 1 ? 10! 15 14 13 ! 2 ? 1 ? 13! =
= 66 ? 105 = 6 930 H 6 930 possibilidades
c) C 27, 4 C 15, 4 = 27 ! 4! ? (27 4)! 15 ! 4! (15 4)! =
= 27 26 25 24 23 !
4 3 2 1 23! 15 14 13 12 11 ! 4 3 2 1 11! =
= 17 550 1 365 = 16 185 H 16 185 possibilidades
77. alternativa e
C3, 2 C8, 6 = 3 ! 2!(3 2)! 8 ! 6!(8 6)! = 3 1 8 7 2 ! = 84
78. alternativa b
P 9 (3, 6) = 9 ! 3! 6! = 9 ! 3! ? (9 3)! = C 9, 3
79. C 26, 2 + C 25, 2 = 26 ! 2! ? (26 2)! + 25 ! 2! ? (25 2)! = = 26 25 24 ! 2 1 24! + 25 24 23 ! 2 1 23! =
= 325 + 300 = 625 H 625 maneiras
80. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes sejam capazes de elaborar e resolver um problema envolvendo combinação simples no contexto apresentado. É importante que, no problema elaborado, a ordem dos elementos no agrupamento não importe, para caracterizar combinação.
81. a) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes reconheçam que o maior fatorial é desenvolvido até que ele se iguale ao menor, simplificando-os em seguida.
b) C n p = n ! p! (n p)! = n ! (n p)! p ! = = n !
(n p)! [n (n p) ]! = C n (n p)
82. alternativa b
C 6, 2 = 6 ! 2! ? (6 2)! = 6 5 4 ! 2 1 4! = 15
9 + 6 + 4 + 2 + 6 + 13 = 40 Pontuação se não houvesse empates: 3 15 = 45 45 40 = 5 H 5 empates
83. C 4, 3 = 4 ! 3! (4 3)! = 4 3 ! 3! ? 1 = 4
4 C 6, 2 = 4 6 ! 2! (6 2)! = 4 6 ? 5 ? 4 ! 2 1 4! = 60
4 + 60 = 64 H 64 subconjuntos
84. 11 + 19 = 30 76 30 = 46
C 46, 5 = 46 ! 5! ? (46 5)! = 46 45 44 43 42 41 ! 5 4 3 2 1 41! = = 1 370 754 H 1 370 754 grupos
85. a) • C 60, 6 = 60 ! 6! (60 6)! = 60 59 58 57 56 55 54 ! 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 54! = = 50 063 860 H 50 063 860 possibilidades
• 2 C 30, 8 = 2 30 ! 8! (30 8)! = = 2 30 ? 29 ? 28 ? 27 ? 26 ? 25 ? 24 ? 23 ? 22 ! 8 7 6 5 4 3 2 1 22! = = 11 705 850 H 11 705 850 possibilidades
b) C 60, 4 C 6, 4 = 60 ! 4! (60 4)! 6 ! 4! (6 4)! = 60 59 58 57 56 ! 4 3 2 1 56! 6 ? 5 ? 4 ! 4! 2 1 = = 487 635 15 = 32 509 H 32 509 apostas
Integrando com...
1. Resposta pessoal. As respostas dependem das vivências dos estudantes.
2. De acordo com o texto, telégrafo elétrico. Utilizando o Código Morse.
3. a) CONECTANDO PESSOAS
b) A resposta depende do nome e da idade do estudante. c) letras: 24 + 23 + 22 + 21 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30 H H 30 caracteres algarismos: 25 = 32 H 32 caracteres
4. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes conheçam um pouco mais sobre o Código Morse e sua relação com a acessibilidade, de modo que apresentem informações importantes sobre o tema e argumentos a respeito da necessidade de promover acessibilidade para o desenvolvimento de uma sociedade inclusiva.
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) Resposta possível: Para dificultar o acesso a informações ou arquivos pessoais por alguém mal-intencionado.
b) • 106 = 1 000 000 H 1 000 000 senhas distintas
• P 5 = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 H 120 senhas distintas
• P 9 5 = 9! 5 = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 = = 1 814 400 H 1 814 400 senhas distintas
• P 10 (2, 3) = 10 ! 3! ? 2! = 10 9 8 7 6 5 4 3! 3 ! ? 2 ? 1 = 302 400 H
H 302 400 senhas distintas
c) 105 = 100 000
100 000 ? 6 = 600 000
600 000 60 = 10 000
100 000
5 = 20 000
(20 000 1) 3 = 59 997
10 000 + 59 997 = 69 997 H 69 997 min
d) P esquisa dos estudantes. Espera-se que eles associem a segurança da senha eletrônica com a quantidade de possibilidades distintas de senhas a serem criadas nas condições determinadas. Ao investigar as possibilidades de senha para o formato padrão, espera-se que possam comparar com outros tipos de senha e avaliar a mais segura.
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa e 4 3 3 3 3 3 = 972
2. alternativa c
C 8, 2 ? C 6, 2 ? C 4, 2 ? C 2, 2 4 ! 1 ? C 6, 2 ? C 4, 2 ? C 2, 2 3 ! = = 28 ? 15 ? 6 ? 1 4 ? 3 ? 2 ? 1 1 ? 15 ? 6 ? 1 3 ? 2 ? 1 = 105 15 = 90
3. alternativa b
A 5, 3 = 5 ! (5 3) ! = 5 ! 2 ! = 5 4 3 2! 2! = 60
4. alternativa d
C 12, 3 = 12 ! 3 ! (12 3) ! = 12 ? 11 ? 10 ? 9! 3 2 1 9! = 220
2 C 4, 3 = 2 4 ! 3 ! (4 3) ! = 2 4 ? 3 ! 3 ! 1 = 8 220 8 = 212
5. alternativa e
P 5 (2) = 5 ! 2 ! = 5 4 3 2 ! 2 ! = 60
6. alternativa e
P 6 (2) = 6 ! 2 ! = 6 5 4 3 2 ! 2 ! = 360
7. alternativa c
Todos os casos possíveis: 3 3 5 = 45
Caneta e lápis amarelo: 1 1 5 = 5
Caneta e giz azuis: 1 ? 3 ? 1 = 3
Lápis e giz laranja: 3 1 ? 1 = 3
Segue que:
45 (5 + 3 + 3) = 45 11 = 34
8. alternativa e
C 12, 3 = 12 ! 3 ! (12 3) ! = 12 11 10 9 ! 3 ? 2 ? 1 ? 9 ! = 220
Grupos com crachás de números consecutivos:
E = {(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (8, 9, 10), (9, 10, 11), (10, 11, 12)} H n (E ) = 10
220 10 = 210
9. alternativa c
C 15, 3 = 15 ! 3 ! (15 3) ! = 15 ? 14 ? 13 ? 12 ! 3 2 1 12 ! = 455
C 5, 3 = 5 ! 3 ! (5 3) ! = 5 4 3 2 ! 3 2 1 2 ! = 10
455 10 + 1 = 446
10. a) 2 2 1 ? 1 = 4 H 4 combinações
b) 4 3 2 1 = 24
24 4 = 20; 20 : 4 = 5 H 5 ? 100% = 500%
11. alternativa b
P4 = 4! = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24
12. alternativa c
A escolha das 4 letras é um agrupamento ordenado de 4 elementos tomados em 26: A26, 4
A escolha dos 4 algarismos é um agrupamento ordenado de 4 elementos tomados em 10: A10, 4
Como as escolhas são etapas sucessivas e independentes, temos: A26, 4 ? A10, 4
13. alternativa d
Como o presidente está em um lugar fixo e os ministros podem permutar nos 22 lugares, temos uma permutação simples de 22 elementos: 22!
14. alternativa b
P 8 (5, 3) P 4 (3) =
15. alternativa d
7 6 ? 5 = 210
16. alternativa d
A até C: P 6 (3, 3) = 6 ! 3 ! 3 ! = 6 ? 5 ? 4 ? 3 ! 3 2 1 3 ! = 20
C até B : P 6 (4, 2) = 6 ! 4 ! 2 ! = 6 5 4 ! 4 ! 2 1 = 15
20 ? 15 = 300
17. alternativa b
C 20, 2 = 20 ! 2 ! (20 2)! = 20 19 18 ! 2 ! 18 ! = 20 19 2 = 190
190 + 190 = 380
18. alternativa a Como serão ocupados 25 lugares dos 40 disponíveis, 15 deles serão vagos. Assim, temos uma permutação de 40 elementos com repetição de 15 lugares vagos. Deste modo: P 40 15 = 40 ! 15 !
19. alternativa b
C 10,3 = 10 ! 3! (10 3)! = 10 9 8 7 ! 3! 7 ! = 10 9 8 3 2 1 = 720 6 = 120
20. alternativa d
C 6,2 = 6 ! 2! ? (6 2)! = 6 ? 5 ? 4 ! 2! 4 ! = 6 ? 5 2 ? 1 = 30 2 = 15 21. F
Dado o decágono da figura apresentada, vamos contar os pares de diagonais possíveis a partir do vértice A
Diagonal AC :
Dentre os 7 vértices restantes, (D, E, F, G, H, I, J ) podemos escolher 2 para a outra diagonal e subtrair os 6 lados formados por eles; a quantidade de diagonais é:
C 7,2 6 = 7 !
(7 2)!
= 42 2 6 = 21 6 = 15
Diagonal AD (vértices restantes: E, F, G, H, I, J ), de modo análogo, temos:
C 6,2 5 = 6 ! 2 ! ? (6 2)! 5 = 6 5 4 ! 2 ! 4 ! 5 = = 30 2 5 = 15 5 = 10
Diagonal AE (vértices restantes: F, G, H, I, J ), de modo análogo, temos:
C 5,2 4 = 5 !
(5 2)!
! 4 = = 20 2 4 = 10 4 = 6
Diagonal AF (vértices restantes: G, H, I, J ), de modo análogo, temos:
C 4,2 3 = 4 ! 2 ! (4 2)! 3 = 4 3 2 ! 2 ! ? 2 ! 3 = = 12 2 3 = 6 3 = 3
Diagonal AG (vértices restantes: H, I, J ), de modo análogo, temos:
C 3,2 2 = 3 ! 2 ! (3 2)! 2 = 3 2 ! 2 ! 1 ! 2 = = 3 1 2 = 3 2 = 1
Diagonais AH e AI : não existe diagonal que atenda as condições. Portanto, existem 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35 pares para o vértice A. Considerando que, ao contar para todos os vértices, cada par será contado duas vezes, o número total de pares de diagonais que não se interceptam será dado por:
35 10 2 = 175 H 175 formas
22. alternativa b
Possibilidades de compor a comissão com 5 vereadores: 1 Possibilidades de compor a comissão com 4 vereadores e 1 deputado:
C 5,4 4 = 5 ! 4 ! (5 4)! 4 = 5 4 ! 4 ! 1 ! 4 = 5 4 = 20
Possibilidades de compor a comissão com 3 vereadores e 2 deputados:
C 5,3 ? C 4,2 = 5 ! 3 ! (5 3)! ? 4 ! 2 ! (4 2)! = = 5 4 3 ! 3 ! 2 ! ? 4 3 2 ! 2 ! 2 ! = 10 ? 6 = 60
Assim, segue que: 1 + 20 + 60 = 81
Unidade 6 • Probabilidade
1. Considerando experimentos (fenômenos) que apresentem resultados imprevisíveis, temos: a; c
2. a) Considerando C a obtenção de cara e K, de coroa, temos
O = {CC, CK, KC, KK}.
b) A = {KK}; B = {CK, KC}
3. a) proposta I: O = {EE, ES, EC, SS, SE, SC, CC, CE, CS}; proposta II: O = {ES, EC, SE, SC, CE, CS}
b) proposta I: A = {EE, ES, EC, SE, CE}, B = {EE, SS, CC }; proposta II: A = {ES, EC, SE, CE}, B = @
4. a) 15 composições
b)
1 51 5 (1 composição)
101 10 (1 composição)
201 20 (1 composição)
2 52 ? 5 (1 composição)
102 ? 10 (1 composição)
202 ? 20 (1 composição)
3 53 ? 5 (1 composição)
103 ? 10 (1 composição)
203 ? 20 (1 composição)
4 54 ? 5 (1 composição)
104 ? 10 (1 composição)
204 ? 20 (1 composição)
5 55 ? 5 (1 composição)
1 ? 5 = 5 H R$ 5,00
10 5 ? 10 (1 composição)
205 ? 20 (1 composição)
1 ? 10 = 10 H R$ 10,00
1 ? 20 = 20 H R$ 20,00
2 ? 5 = 10 H R$ 10,00
2 10 = 20 H R$ 20,00
2 20 = 40 H R$ 40,00
3 5 = 15 H R$ 15,00
3 10 = 30 H R$ 30,00
3 20 = 60 H R$ 60,00
4 5 = 20 H R$ 20,00
4 10 = 40 H R$ 40,00
4 20 = 80 H R$ 80,00
5 5 = 25 H R$ 25,00
5 10 = 50 H R$ 50,00
5 20 = 100 H R$ 100,00
O = {R$ 5,00, R$ 10,00, R$ 15,00, R$ 20,00, R$ 25,00, R$ 30,00, R$ 40,00, R$ 50,00, R$ 60,00, R$ 80,00, R$ 100,00}
c) • A = {R$ 40,00, R$ 50,00, R$ 60,00, R$ 80,00, R$ 100,00};
• B = @;
• C = {R$ 5,00, R$ 10,00, R$ 15,00, R$ 20,00, R$ 25,00, R$ 30,00, R$ 40,00, R$ 50,00, R$ 60,00, R$ 80,00, R$ 100,00}
• D = {R$ 5,00}
• E = {R$ 15,00, R$ 20,00, R$ 25,00}
5. a) A e D; A e E; D e E b) B: impossível; C: certo; D: simples
6. Alternativa b, pois não há no dado face com número maior que 12.
7. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam estabelecer um exemplo para cada tipo de espaço amostral apresentado. Ao trocarem os experimentos com os colegas para classificação, os estudantes podem listar os elementos de cada espaço amostral discreto (se for possível) e exemplificar alguns elementos do espaço amostral contínuo.
8. a) 12 em 25, 12 25 = 0,48 = 48%
b) 13 em 25, 13 25 = 0,52 = 52%
c) 3 em 25, 3 25 = 0,12 = 12%
d) 8 em 25, 8 25 = 0,32 = 32%
e) 15 em 25, 15 25 = 0,6 = 60%
9. O = {145, 154, 415, 451, 514, 541}, A = {154, 451}
2 em 6, 2 6 = 1 3 1 0,333 1 33,3%
10. a) 72 + 60 + 68 = 200 H 200 estudantes
b) 72 em 200, 72 200 = 9 25 = 0,36 = 36%
c) 72 + 60 = 132
132 em 200, 132 200 = 33 50 = 0,66 = 66%
d) Resposta esperada: Um estudante do 3o ano, pois há mais estudantes matriculados no 3o ano do que no 2o ano.
11. a) 60 + 50 + 15 + 25 = 150
60 em 150, 60 150 = 2 5 = 0,4 = 40%
b) 15 em 150, 15 150 = 1 10 = 0,1 = 10%
c) 50 + 15 = 65
65 em 150, 65 150 = 13 30 1 0,433 1 43,3%
12. O = {R $ 0,01, R $ 0,05, R $ 0,10, R $ 0,25, R $ 0,50, R $ 1,00}.
Resposta esperada: Esse não é um espaço amostral equiprovável, pois a probabilidade de sortear cada uma dessas moedas não é a mesma, já que a massa, o diâmetro e a espessura não são iguais entre si, influenciando o resultado do experimento.
13. a) Observando o primeiro quadrinho da tirinha, temos que Caco escolheu o número 13. Observando o segundo quadrinho, temos que o número obtido no lançamento do dado foi 12.
b) Resposta esperada: Porque, considerando a sequência dos números naturais, o número obtido no lançamento do dado (12) é antecessor do número que Caco escolheu (13).
c) Resposta esperada: Equiprovável, pois o tucano está supondo que o dado é honesto ao dizer “A chance de sair 13 é igual pra qualquer outro número do dado”.
d) 1 em 20, 1 20 = 0,05 = 5%
14. a) O = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Resposta esperada: Não, pois as probabilidades de ocorrerem os números indicados nas faces não são iguais entre si no lançamento do dado.
b) Resposta esperada: O número 8, pois esse é o maior número indicado nas faces do dado, e a probabilidade de se obter cada face é proporcional ao número indicado correspondente.
c) 1p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p + 8p = 1 h
h 36p = 1 h p = 1 36
6 1 36 = 6 36 = 1 6 1 0,167 1 16,7%
d) Número par, pois a soma dos números pares indicados nas faces é 20, enquanto a soma dos números ímpares é 16, sendo 20 . 16.
15. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar um problema envolvendo experimento aleatório cuja resolução envolva a construção de uma árvore de possibilidades.
16. alternativa e n (O) = 20 20 = 400
A = {16 + 20, 17 + 19, 17 + 20, 18 + 18, 18 + 19, 18 + 20, 19 + 17, 19 + 18, 19 + 19, 19 + 20, 20 + 16, 20 + 17, 20 + 18, 20 + 19, 20 + 20} H n (A ) = 15
15
400 = 3 80
17. alternativa d
a) Falso. O número de habitantes com idade menor que 30 anos é maior que o número de habitantes que possuem 60 anos ou mais.
b) Falso.
332 318 + 366 324 = 698 642
366 324
698 642 1 0,52 H aproximadamente 52%
c) Falso. O número de habitantes do sexo feminino é maior que o número de habitantes do sexo masculino.
d) Verdadeiro.
178 547
698 642 1 0,26 H aproximadamente 26%
18. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver um problema envolvendo o cálculo de probabilidade, utilizando para isso o contexto e os dados da atividade 17. Na elaboração, eles podem se basear nas afirmativas incorretas da atividade 17
19. Resposta esperada: Bruna acertou a questão, pois, das 28 peças, em 4 delas a soma das partes é igual a 6, sendo elas 0 + 6 = 6, 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6 e 3 + 3 = 6. Já Alan errou por considerar que o espaço amostral desse experimento, correspondente à soma dos pontos da peça de dominó sorteada, fosse equiprovável, o que não ocorre.
20. 100 100 = 85 100 + 20 100 P (A " B ) h P (A " B ) = 5 100 H 5%
21. a) Resposta possível: 1a) Representamos por O, A e B o espaço amostral composto por todos os números naturais de 1 a 100, o evento no qual obtém-se um número ímpar e o evento no qual obtém-se um número menor ou igual a 25, respectivamente. 2a) Determinamos n (O), n (A), n (B) e n (A " B), ou seja, n (O) = 100, n (A) = 50, n (B ) = 25 e n (A " B) = 13. 3a) Calculamos P(A ' B), correspondente à probabilidade de se obter um número natural ímpar ou menor ou igual a 25:
P (A ' B ) = P (A ) + P (B ) P (A " B ) = 50 100 + 25 100 13 100 = = 62 100 = 31 50 = 0,62 = 62%
b) • Sendo A o evento no qual obtém-se um número par e B o evento no qual obtém-se um múltiplo de 5, temos:
n (A) = 50, n (B) = 20 e n (A " B) = 10
P (A ' B) = P (A) + P (B) P (A " B) = 50 100 + 20 100 10 100 = = 60 100 = 3 5 = 0,60 = 60%
• Sendo A o evento no qual obtém-se um número menor ou igual a 15 e B o evento no qual obtém-se um número maior que 80, temos:
n (A) = 15, n (B) = 20 e n (A " B) = 0
P (A ' B ) = P (A) + P (B) P (A " B) = 15 100 + 20 100 0 100 = = 35 100 = 7 20 = 0,35 = 35%
• Sendo A o evento no qual obtém-se um número múltiplo de 4 e B o evento no qual obtém-se um número divisor de 100, temos:
n (A) = 25, n (B) = 8 e n (A " B) = 2
P (A ' B ) = P (A) + P (B) P (A " B) = 25 100 + 8 100 2 100 = = 31 100 = 0,31 = 31%
22. P(A ' B) = 45%; P(A " B) = 45%; P(B) = 32%
P (A ' B) = P (A) + P (B ) P (A " B) h 45 100 = = 32 100 + P(B ) 45 100 h 90 100 32 100 = P (B ) h P (B) = 58 100 = 58%
23. a) 1 + 5 + 6 + 3 + 1 = 16 16 81 1 0,198 1 19,8%
b) 19 + 6 = 25
25 81 1 0,309 1 30,9%
c) mulher: P(A) = 16 81
ter menos de 55 anos: P(B ) = 25 81
P (A " B ) = 6 81
P (A ' B) = 16 81 + 25 81 _ 6 81 = 35 81 1 0,432 1 43,2%
24. alternativa c
P (A " B ) = 0
P (A ' B ) = 0,38 + 0,24 = 0,62
P (A ) = 1 0,38 = 0,62
25. a) 1 52 1 0,02 1 2%
b) carta com letra A: P(A) = 4 52
carta de ouros: P(B) = 13 52
P (A " B ) = 1 52
P (A ' B ) = 4 52 + 13 52 _ 1 52 = 16 52 = 4 13 1 0,31 1 31%
c) carta de espadas: P(A) = 13 52
carta numerada de 2 a 10: P(B ) = 36 52
P (A " B ) = 9 52
P (A ' B ) = 13 52 + 36 52 _ 9 52 = 40 52 = 10 13 1 0,77 1 77%
d) carta que contém figura: P(A) = 12 52
carta de paus: P(B ) = 13 52
P (A " B ) = 3 52
P (A ' B ) = 12 52 + 13 52 3 52 = 22 52 = 11 26 1 0,42 1 42%
26. a) P (J ) = 3 20 = 0,15 = 15%
face vermelha: P(A) = 6 20 = 3 10
número primo: P(B ) = 8 20 = 4 10
P (A " B ) = 2 20 = 1 10
P (A ' B ) = 3 10 + 4 10 1 10 = 6 10 = 3 5 h P(P ) = 3 5 = 0,6 = 60%
face verde: P(A) = 4 20
número maior do que 15: P(B ) = 5 20
P (A " B ) = 1 20
P (A ' B ) = 4 20 + 5 20 _ 1 20 = 8 20 = 2 5 h P(M ) = 2 5 = 0,4 = 40%
Paulo; João
b) face azul: P(A) = 10 20
número múltiplo de 3: P(B ) = 6 20
P (A " B ) = 3 20
P (A ' B ) = 10 20 + 6 20 3 20 = 13 20 = 0,65 = 65%
Não, pois, nesse caso, João teria a maior probabilidade de avançar de nível e Mariana, a menor.
27. 07 (01 + 02 + 04)
01) P(A ' B ) = 90 500 + 160 500 20 500 = 230 500 = 23 50 = 0,46
02) 1 0,46 = 0,54
04) P (A " B ) = 20 500 = 1 25 = 0,04
08) 70 500 = 0,14
28. 80 12 = 68
68 = 35 + 43 n (A " B) h n (A " B) = 10
35 80 + 43 80 10 80 = 68 80 = 17 20 = 0,85 = 85%
29. Resposta esperada: É verdadeira, pois, como A e B são eventos mutuamente exclusivos, temos que A " B = @ e, por consequência, P(A " B) = 0.
30. a) 57 120 + 43 120 10 120 = 90 120 = 3 4 = 0,75 = 75%
b) 43 120 + 46 120 18 120 = 71 120 1 0,592 1 59,2%
c) 46 120 + 57 120 21 120 = 82 120 = 41 60 1 0,683 1 68,3%
d) 57 120 + 12 120 = 69 120 = 23 40 = 0,575 = 57,5%
31. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem e resolvam um problema envolvendo a probabilidade da união de dois eventos, considerando no contexto o uso dos dois dados apresentados. Incentivar a turma a elaborar problemas envolvendo eventos disjuntos e não disjuntos.
32. 0,5 = 0,4 P (B) h P (B) = 0,4 0, 5 = 4 5 = 0,8 ou 80%
33. a) Probabilidade de sortear uma pessoa que consumiria o produto X, dado que a pessoa sorteada é um homem.
b) Probabilidade de sortear uma criança, dado que a pessoa sorteada consumiria o produto Y
c) Probabilidade de sortear uma mulher, dado que a pessoa sorteada consumiria o produto X
d) Probabilidade de sortear um homem, dado que a pessoa sorteada consumiria o produto Y
e) Pr obabilidade de sortear uma pessoa que consumiria o produto X, dado que a pessoa sorteada é uma criança.
f) Pr obabilidade de sortear uma pessoa que consumiria o produto Y, dado que a pessoa sorteada é uma mulher.
34. a) a: 53 80 = 0,6625 H 66,25%
b: n (Y ) = 36 + 78 + 44 = 158 44 158 1 0,278 H aproximadamente 27,8%
c: n (X ) = 53 + 72 + 28 = 153 72 153 1 0,471 H aproximadamente 47,1%
d: 36 158 1 0,228 H aproximadamente 22,8%
e: 28
50 = 0,56 H 56%
f: 78 120 = 0,65 H 65%
b) Homem:
X: 53
80 = 0,6625 H 66,25%
Mulher:
Y: 78
120 = 0,65 H 65%
Criança:
Y: 44 50 = 0,88 H 88%
Será lançado o produto Y para crianças.
35. a) 100 26 = 74
74 = 45 + 58 n (A " B) h n (A " B) = 29
29
100 = 0,29 = 29%
b) 29 45 1 0,644 H aproximadamente 64,4%
c) 29 58 = 1 2 = 0,5 = 50%
36. O = {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} H n (O) = 15 n (A) = 5
5 15 = 1 3 1 0,333 1 33,3%
37. a) n (O) = 28; A = {(3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)} H n (A) = 4
4 28 = 1 7 1 0,143 1 14,3%
b) B = {(5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} H n (B ) = 7
3 7 1 0,429 1 42,9%
c) C = {(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 0), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 0), (5, 2), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} H n (C ) = 18 2 18 = 1 9 1 0,111 1 11,1%
38. a) rodada 1: 1 5 , 0,20 ou 20%
rodada 2: 1 4 , 0,25 ou 25%
rodada 3: 1 10 , 0,1 ou 10%
b) Opção I: 1 5 , 0,2 ou 20%
Opção II: 1 5 , 0,2 ou 20%
Resposta esperada: Para qualquer uma das dicas, a probabilidade de os estudantes acertarem será a mesma e corresponde a 1 5 , 0,2 ou 20%.
39. alternativa e 0,25 ? 0,20 = 0,05
0,0625 0,80 = 0,05
0,05 + 0,05 = 0,1
0,05 0,1 = 0,5 H 0,5000
40. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam elaborar e resolver um problema envolvendo o conceito de
probabilidade condicional a partir do contexto dado. Para isso, o comando do enunciado pode solicitar o cálculo da probabilidade de ocorrer um evento sabendo que outro já aconteceu.
41. eventos dependentes: b, d; eventos independentes: a, c
42. a) 0,2 ? 0,8 = 0,16
b) 0,16 0,8 = 0,2
c) 0,16 0,2 = 0,8
43. a) Como não há relação entre os giros das roletas, os eventos A e B são independentes.
b) 1 + 1 = 2 H 2 pontos 1 5 ? 1 5 = 1 25 = 0,04 = 4%
c) 2 5 2 5 = 4 25 = 0,16 = 16%
44. a) sair vermelha apenas no segundo sorteio: 4 12 ? 8 12 = 32 144 = 2 9 sair vermelha nos dois sorteios: 8 12 8 12 = 64 144 = 4 9 2 9 + 4 9 = 6 9 = 2 3 1 0,667 1 66,7%
b) 4 12 ? 3 11 = 12 132 = 1 11 1 0,091 1 9,1%
c) 4 11 1 0,364 1 36,4%
45. a) 36 52 16 51 = 576 2 652 = 48 221 1 0,217 1 21,7%
b) 12 52 ? 11 51 = 132 2 652 = 11 221 1 0,05 1 5%
c) 13 52 ? 13 51 = 169 2 652 = 13 204 1 0,064 1 6,4%
d) 13 52 = 1 4 = 0,25 = 25%
46. a b
1 (2, 0)(3, 1)(4, 2)(5, 3)(6, 4)(7, 5)
2 (3, 1) (4, 0)(5, 1)(6, 2)(7, 3)(8, 4) 3 (4, 2)(5, 1) (6, 0)(7, 1)(8, 2)(9, 3) 4 (5, 3)(6, 2)(7, 1) (8, 0)(9, 1)(10, 2)
5 (6, 4)(7, 3)(8, 2)(9, 1) (10, 0)(11, 1)
6 (7, 5)(8, 4)(9, 3)(10, 2)(11, 1) (12, 0)
n (O) = 36
n (E ) = 5 5 36 1 0,139 1 13,9%
47. a) Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes descrevam dois eventos dependentes entre si. Para isso, eles podem recorrer a contextos parecidos aos apresentados nas atividades anteriores ou recorrer a situações próprias de suas vivências. b) Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes descrevam dois eventos independentes entre si. Para isso, eles podem recorrer a contextos parecidos aos apresentados nas atividades anteriores ou recorrer a situações próprias de suas vivências.
• Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes sejam capazes de elaborar e resolver problemas envolvendo
a probabilidade de eventos dependentes e a probabilidade de eventos independentes. Ao trocarem com os colegas, propor que inicialmente identifiquem a relação entre os eventos descritos (dependentes ou independentes) e apontem, no contexto de cada situação, o que diferencia uma da outra.
48. a) Resposta esperada: Sim, isso é o que ocorre no chamado resultado falso positivo (FP).
b) Pelo teste A, pois este apresenta a maior probabilidade de resultado positivo para um paciente enfermo.
c) • 6%; 2%
• 59%
61% 1 0,967 H aproximadamente 0,967 ou 96,7%
• 33%
39% 1 0,846 H aproximadamente 0,846 ou 84,6%
• sensibilidade:
33%
35% 1 0,943 H aproximadamente 0,943 ou 94,3%; especificidade:
59%
65% 1 0,908 H aproximadamente 0,908 ou 90,8%
49. a) 1 3 5 = 5 5 3 5 = 2 5
C 15, 8 ( 3 5 )8 ( 2 5 )15 8 = 6 435 6 561 390 625 128 78 125 1 0,177 H H aproximadamente 0,177 ou 17,7%
b) C 15, 12 ? ( 3 5 )12 ? ( 2 5 )15 12 + C 15, 13 ? ( 3 5 )13 ? ( 2 5 )15 13 + + C 15, 14 ? ( 3 5 )14 ? ( 2 5 )15 14 + C 15, 15 ? ( 3 5 )15 ? ( 2 5 )15 15 =
= C 15, 12 ? ( 3 5 )12 ? ( 2 5)3 + C 15, 13 ? ( 3 5 )13 ? ( 2 5 )2 + + C 15, 14 ? ( 3 5 )14 ? ( 2 5 )1 + C 15, 15 ? ( 3 5 )15 ? ( 2 5 )0 =
= 455 531 441 244 140 625 8 125 + 105 ? 1 594 323 1 220 703 125 4 25 + + 15 ? 4 782 969 6 103 515 625 ? 2 5 + 1 ? 14 348 907 30 517 578 125 ? 1 1
1 0,09 H aproximadamente 0,09 ou 9%
c) C 15, 15 ( 3 5 )15 ( 2 5 )0 = 1 14 348 907 30 517 578 125 1 1
1 0,00047 H aproximadamente 0,00047 ou 0,047%
50. 100 100 30 100 = 70 100
C50, 25 ( 30 100 )25 ( 70 100 )50 25 = C50, 25 ( 3 10 )25 ( 7 10 )25 1
1 0,00144 H aproximadamente 0,00144 ou 0,144%
51. alternativa c
1 80 100 = 100 100 80 100 = 20 100
C10, 8 ? ( 8 10 ) 8 ? ( 2 10 ) 2 + C10, 9 ? ( 8 10 ) 9 ? ( 2 10 ) 1 + + C10, 10 ? ( 8 10 ) 10 ? ( 2 10 ) 0 = 45 ? 16 777 216 100 000 000 ? 4 100 + + 10 ? 134 217 728 1 000 000 000 ? 2 10 + 1 ? 1 073 741 824 10 000 000 000 ? 1 1
1 0,678 H aproximadamente 0,678 ou 67,8%
52. a) 1 5 9 = 9 9 5 9 = 4 9
C7, 5 ? ( 5 9 )5 ? ( 4 9 ) 7 5 = C7, 5 ? ( 5 9 ) 5 ? ( 4 9 ) 2 = = 21 ? 3 125 59 049 ? 16 81 1 0,22 H aproximadamente 0,22 ou 22%
b) ( 4 9 )5 + C7,1 ( 5 9 )1 ( 4 9 )6 + C 7, 2 ( 5 9 )2 ( 4 9 )5 = = 16 384 782 969 + 7 5 9 4 096 531 441 + 21 25 81 1 024 59 049 1 0,146 H
H aproximadamente 0,146 ou 14,6%
53. a) 1 31 100 = 100 100 _ 31 100 = 69 100
C8, 3 ( 69 100 ) 3 ( 31 100 ) 8 3 =
= 56 ? 328 509 1 000 000 ? 28 629 151 10 000 000 000 1 0,053 H
H aproximadamente 0,053 ou 5,3%
b) 1 47 100 = 100 100 47 100 = 53 100
C8, 8 ( 47 100 ) 8 ( 53 100 ) 8 8 1 0,0024 H
H aproximadamente 0,0024 ou 0,24%
• Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que os estudantes se envolvam com a temática da pesquisa incentivando, a partir de suas produções, a circulação de moedas no comércio.
54. alternativa b
I) a seta não se move nas 5 rodadas:
( 1 3 ) 5 = 1 243
II) a seta não se move em 1 rodada, anda para a direita em 2 rodadas e para a esquerda em 2:
P5(2, 2) ( 1 3 ) 1 ( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) 2 = 5 ! 2! ? 2! ( 1 3 ) 5 = 30 1 243 = 30 243
III) a seta não se move em 3 rodadas e anda para a direita em 1 rodada e para a esquerda em 1:
P5(3) ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) 1 ( 1 3 ) 1 = 5 ! 3 ! ( 1 3 ) 5 = 20 1 243 = 20 243
1 243 + 30 243 + 20 243 = 51 243 = 17 81
55. a) Resposta pessoal. A resposta depende das vivências do estudante.
b) • 1 30 100 = 100 100 _ 30 100 = 70 100 = 7 10 = 0,7 = 70%
• C 5, 3 ( 7 10 ) 3 ( 3 10 ) 2 + C 5, 4 ( 7 10 ) 4 ( 3 10 ) 1 +
+ C 5, 5 ( 7 10 ) 5 ( 3 10 ) 0 = 10 343 1 000 9 100 + + 5 2 401 10 000 3 10 + 1 16 807 100 000 1 1 0,837 H
H aproximadamente 0,837 ou 83,7%
c) Pesquisa do estudante. Espera-se que os estudantes compreendam a importância do diagnóstico precoce e os cuidados preventivos necessários para diminuir o risco de diabetes melito
56. Elaboração do estudante. Para elaborar a atividade, os estudantes precisam considerar o contexto da atividade anterior e a realização de experimentos aleatórios binomiais em um espaço amostral equiprovável. Se necessário, revisar conceitos de Análise Combinatória, como combinação simples.
57. alternativa e
A, B, D, F: 0,8 0,9 0,3 = 0,216
A, B, C, F: 0,8 0,1 0,6 = 0,048
A, C, F: 0,2 0,6 = 0,120 0,216 + 0,048 + 0,0120 = 0,384
58. a) A: 0,85 0,21 = 0,1785
B: 0,78 0,36 = 0,2808
C: 0,94 ? 0,21 = 0,1974 jogador B
b) 1 0,94 = 0,06 0,06 0,21 = 0,0126 H 1,26%
59. C 2, 1 ? ( 7 100 )1 ? ( 93 100 )1 + C 2, 2 ? ( 7 100 )2 ? ( 93 100 )0 = = 2 7 100 93 100 + 1 49 10 000 1 1 0,0179 H H aproximadamente 0,0179 ou 1,79%
C 4, 1 ( 4 100 )1 ( 96 100 )3 + C 4, 2 ( 4 100 )2 ( 96 100 )2 + + C 4, 3 ? ( 4 100 )3 ? ( 96 100 )1 + C 4, 4 ? ( 4 100 )4 ? ( 96 100 )0 =
+ + 4 ? 64 1 000 000 ? 96 100 + 1 ? 256 100 000 000 ? 1 1 0,151 H H aproximadamente 0,151 ou 15,1% medicamento A
60. alternativa b
Probabilidade do time 1 chegar à final:
60% 50% = 0,6 ? 0,5 = 0,3 = 30%
Probabilidade do time 5 chegar à final:
50% 50% = 0,5 ? 0,5 = 0,25 = 25%
Probabilidade do time 7 chegar à final:
45% 50% = 0,45 ? 0,5 = 0,225 = 22,5%
Probabilidade de uma final entre os times 1 e 5:
30% ? 25% = 0,3 ? 0,25 = 0,075 = 7,5%
Probabilidade de uma final entre os times 1 e 7:
30% 22,5% = 0,3 ? 0,225 = 0,0675 = 6,75%
Assim, segue que: 7,5% + 6,75% = 14,25%
61. a) anticoncepcionais orais combinados: 3 1 000 = 0,003 H 0,3%; pílulas só de progestógeno: 0,3% (caso esteja amamentando) e 9 1 000 = 0,009 H 0,9% (caso não esteja amamentando);
injetáveis só de progestógeno: 3 1 000 = 0,003 H 0,3%;
injetáveis mensais: 5 10 000 = 0,0005 H 0,05%;
implantes: 5 10 000 = 0,0005 H 0,05%;
DIU com cobre: 6 1 000 = 0,006 a 8 1 000 = 0,008 H 0,6% a 0,8%;
esterilização feminina: 5 1 000 = 0,005 H 0,5%
b) Injetáveis mensais e implantes, pois são os métodos com os quais a mulher tem a menor probabilidade de engravidar.
c) Anticoncepcionais orais combinados, injetáveis só de progestógeno, injetáveis mensais ou implantes.
d) Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que os estudantes possam aprofundar o conhecimento sobre um dos métodos contraceptivos e que compartilhem com os colegas informações como benefícios, eficácia, efeitos colaterais e riscos à saúde relacionados a tal método.
62. a) n (A) = 411 + 200 + 366 + 271 + 300 + 139 + 113 = 1 800 n (O) = 411 + 200 + 366 + 271 + 300 + 139 + + 113 + 412 + 336 + 375 + 97 + 83 + 34
Quantidade de acidentes
Probabilidade estimada de um motociclista desse município se envolver em algum acidente, no ano, de acordo com cada faixa etária Probabilidade (
Fonte: Dados fictícios.
c) n (O) = 200 + 336 + 10 + 366 + 375 + 5 = 1292
n (A) = 336 + 10 + 375 + 5 = 726
63. Elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem e resolvam um problema envolvendo probabilidade estimada a partir do contexto dado e das informações do gráfico. Essa atividade pode ser uma oportunidade de avaliar a aprendizagem a respeito dos conceitos estudados na Unidade.
1. Algumas respostas possíveis: Na pesquisa genética pode-se investigar se uma pessoa é mais ou é menos propensa a desenvolver uma doença e, se for o caso, poder preveni-la; avaliar as reações do organismo de uma pessoa a um tratamento ou a um medicamento; entre outras aplicações.
2. Resposta pessoal. Nesta atividade é importante considerar as respostas dos estudantes com base nas argumentações deles, que devem ser consistentes e pautadas em fontes confiáveis de informação.
3. São organismos que possuem ambos os fatores, dominante e recessivo.
4. Resposta esperada: VV ou vv
5. a)
• 1 ou 100%
• 0 ou 0%
• 0 ou 0%
• 1 ou 100%
b)
• 3 4 , 0,75 ou 75%
• 1 4 , 0,25 ou 25%
• 1 2 , 0,5 ou 50%
• 1 2 , 0,5 ou 50%
6. a) Resposta pessoal. A resposta depende das vivências do estudante.
b) • 2 4 = 1 2 H 1 em 2, 1 2 , 0,5 ou 50%
• 1 2 1 2 = 1 4 H 1 em 4, 1 4 , 0,25 ou 25%
• 1 2 1 2 = 1 4 H 1 em 4, 1 4 , 0,25 ou 25%
c) Pesquisa e elaboração dos estudantes. Espera-se que, ao final da atividade, os estudantes possam compreender as características de diferentes doenças hereditárias cujas informações foram compartilhadas pelos grupos, os números relativos à incidência, probabilidades de descendentes serem acometidos pela doença e outros aspectos com base em cálculos realizados com a utilização de conceitos estudados na Unidade.
O que estudei
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) sexta-feira (5/7) e domingo (7/7)
b) • 1 0,90 = 0,10 H 10%
• 0,05 0,90 0,05 = 0,00225 H 0,225%
• Probabilidade de chover apenas na sexta-feira:
0,05 0,10 0,95 = 0,00475
Probabilidade de chover apenas no sábado:
0,95 0,90 0,95 = 0,81225
Probabilidade de chover apenas no domingo:
0,95 0,10 0,05 = 0,00475
0,00475 + 0,81225 + 0,00475 = 0,82175 H 82,175%
c) A probabilidade é de 5%, uma vez que na atividade consideram-se independentes os eventos em que chove ou não chove em cada dia.
d) 100% = 39% + 87% P (A " B) h P (A " B ) = = 126% 100% h P (A " B ) = 26%
e) 1 0,4 = 0,6
1 0,19 H aproximadamente 19%
• C 7, 7 ? ( 40 100 ) 7 ? ( 60 100 ) 7 7 = C 7, 7 ? ( 2 5 ) 7 ? ( 3 5 ) 0 1
1 0,0016 H aproximadamente 0,16%
• C 7, 0 ( 40 100 ) 0 ( 60 100 ) 7 0 = C 7, 0 ( 2 5 ) 0 ( 3 5 ) 7 1
1 0,028 H aproximadamente 2,8%
f) Pesquisa do estudante. Solicitar aos estudantes que escolham previsões para dias distintos, de modo que os problemas e resultados possam ser compartilhados com toda a turma para discutir as ideias e os resultados obtidos.
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa d
Probabilidade de não ver alguma das n placas: ( 1 2 ) n
1 ( 1 2 ) n . 99 100 h 1 100 . ( 1 2 ) n
26 = 64 e 27 = 128 H n = 7
7 1 = 6
2. alternativa c 0,30 0,50 + (1 0,30) 0,25 = 0,30 0,50 + 0,70 0,25 = = 0,325
3. alternativa b
Probabilidade de uma moeda durar três rodadas:
1 2 1 2 1 2 = 1 8
Probabilidade de uma moeda não durar três rodadas: 1 1 8 = 8 8 1 8 = 7 8
Probabilidade de quatro moedas não durarem três rodadas:
7 8 ? 7 8 ? 7 8 ? 7 8 = 2 401 4 096
Logo, a probabilidade de as quatro moedas durarem pelo menos três rodadas é: 1 2 401 4 096 = 4 096 4 096 2 401 4 096 = 1 695 4 096
4. alternativa d
80
90 1 0,89
5. alternativa d
n (E ' F ) = 16 + 10 + 2 + 4 + 8 + 6 = 46
n (O) = 16 + 10 + 2 + 4 + 8 + 6 + 22 + 12 = 80
46
80 = 0,575 H 57,5%
6. alternativa b
Sair duas caras: 2 3 2 3 = 4 9
Sair duas coroas: 1 3 1 3 = 1 9
4 9 + 1 9 = 5 9
7. alternativa c Soma 7: {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} H P(C ) = 3 21 = 1 7
Soma 3: {(1, 2)} H P(J ) = 1 21
Soma 4: {(1, 3), (2, 2)} H P(R ) = 2 21
8. alternativa e
Possíveis resultados de Ana:
8 + 9 = 9 + 8 = 17
8 + 10 = 10 + 8 = 18
9 + 10 = 10 + 9 = 19
Possíveis resultados de Beto:
3 5 = 5 3 = 15
3 6 = 6 3 = 18
5 ? 6 = 6 ? 5 = 30
O conjunto de pares ordenados (a, b) de possíveis resultados obtidos por Ana e Beto, respectivamente, é:
{(17, 15); (17, 18); (17, 30); (18, 15); (18, 18); (18, 30); (19, 15); (19, 18); (19, 30)}.
Temos a > b em: (17, 15); (18, 15); (18, 18) (19, 15); (19, 18)
Sendo assim, a probabilidade procurada é dada por: 5 9
9. alternativa d 0,25 20 = 5
5 + x 20 + x = 75 100 h 500 + 100x = 1 500 + 75x h
h 25x = 1 000 h x = 40
10. alternativa d
Moradores sem telefone móvel na área urbana: 15% dos 86% H 0,15 ? 0,86 = 0,129 H 12,9%
Moradores sem telefone móvel na área rural: 40% dos 14% H 0,40 0,14 = 0,056 H 5,6%
Moradores sem telefone móvel: 12,9% + 5,6% = 18,5% Assim, segue que:
P (A | B) = 0,056 0,185 1 0, 303 H aproximadamente 30,3%
11. alternativa e
0,9n < 0,01 h log 0,9n < log 0,01 h n log 0,9 < log 10 2 h
h n log (9 ? 10 1) < 2 log 10 h n (log 32 + log 10 1) < 2 h
h n (2 0,477 + ( 1)) < 2 h 0,046n < 2 h
h n > 43,478 h n = 44
12. alternativa a
n (O) = 71 114 + 5 344 + 3 961 + 1 935 + 360 + 97 + + 1 459 + 324 + 233 = 84 827
n (C ) = 1 459 + 324 + 233 = 2 016
n (P ) = 71 114 + 1 935 + 1 459 = 74 508
n (C ' P ) = 2 016 + 74 508 1 459 = 75 065
75 065 84 827 1 0,885 H aproximadamente 88,5%
13. alternativa b
C 5, 3 ( 1 3 ) 3 ( 2 3 ) 5 3 = C 5, 3 ( 1 3 ) 3 ( 2 3 ) 2 = = 10 1 27 4 9 1 0,165 H aproximadamente 0,165 ou 16,5%
14. alternativa b
Para que o terceiro amigo seja o primeiro a retirar uma bola preta, é necessário que os dois primeiros amigos retirem bolas brancas. A probabilidade de isso ocorrer é: 3 5 2 4 2 3 = 12 60 = 1 5 = 0, 20 = 20%
15. alternativa b
Pedrinhas na sacola no momento da parada para o lanche: 25 pedrinhas brancas (60 35 = 25) e 15 pedrinhas pretas (40 _ 25 = 15), ou seja, 40 pedrinhas ao todo (25 + 15 = 40).
Segue que:
25 40 24 39 = 5 8 24 39 = 120 312 = 5 13
16. alternativa d
18 20 ? 17 19 = 306 380 = 153 190
17. alternativa e
Quantidade de maneiras distintas de sortear 3 pessoas dentre 20:
C 20, 3 = 20 ! 3 ! (20 3)! = 20 19 18 3 2 1 = 1 140
Quantidade de maneiras distintas de sortear 2 pessoas dentre 6 que tocam violão:
C 6, 2 = 6 ! 2 ! ? (6 2)! = 6 5 2 1 = 15
Quantidade de maneiras distintas de sortear 1 pessoa dentre 14 que não tocam violão:
C 14, 1 = 14 ! 1 ! ? (14 1)! = 14 1 = 14
Assim, segue que:
14 ? 15 1 140 = 210 1 140 = 7 38
18. alternativa d
Probabilidade de não obter face vermelha em nenhum lançamento: 5 6 5 6 = 25
36
Probabilidade de obter face vermelha em ao menos um lançamento:
1 25 36 = 36 36 25 36 = 11 36