JOAMIR SOUZA ÁREA DO
MANUAL DO PROFESSOR
JOAMIR SOUZA
Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR).
Especialista em Estatística pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR).
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR).
Autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.
ÁREA DO CONHECIMENTO: MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2024
Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira
Direção de conteúdo e negócios Cayube Galas
Direção editorial adjunta Luiz Tonolli
Gerência editorial Rober to Henrique Lopes da Silva e Nubia de Cassia de M. Andrade e Silva
Edição Cibeli de Oliveira Chibante Bueno (coord.)
Alessandra Maria Rodrigues da Silva, Bianca Cristina Fratelli, Emike Luzia Pereira Correia, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Marceli Megumi Hamazi Iwai, Rizia Sales Carneiro, Wagner Jose Razvickas Filho
Preparação e revisão Maria Clara Paes (coord.)
Ana Carolina Rollemberg, Cintia R. M. Salles, Denise Morgado, Desirée Araújo, Eloise Melero, Kátia Cardoso, Márcia Pessoa, Maura Loria, Veridiana Maenaka, Yara Affonso
Produção de conteúdo digital João Paulo Bortoluci
Gerência de produção e arte Ricardo Borges
Design Andréa Dellamagna (coord.)
Sergio Cândido (criação), Ana Carolina Orsolin, Everson de Paula
Projeto de capa Sergio Cândido
Imagem de capa Freepik
Arte e produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)
André Gomes Vitale, Débora Jóia, Jorge Katsumata, Kleber B. Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini, Maria Paula Santo Siqueira (Assist.)
Diagramação VS Pages
Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga
Licenciamento de textos Erica Brambila
Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira, Izabela Mariah Rocha Santos, Leticia dos Santos Domingos (trat. imagens)
Ilustrações Alan Carvalho, Alex Silva, Artur Fujita, Bentinho, Cbook Produções, Dacosta Mapas, Daniel Bogni, Fabio Eugenio, Lucas Farauj e Sergio Lima
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Souza, Joamir Roberto de 360° matemática : 2o ano : ensino médio : volume II / Joamir Roberto de Souza. -- 1. ed. -São Paulo : FTD, 2024.
Componente curricular: Matemática. Área do conhecimento: Matemática e suas tecnologias.
ISBN 978-85-96-04628-2 (livro do estudante)
ISBN 978-85-96-04629-9 (manual do professor)
ISBN 978-85-96-04634-3 (livro do estudante HTML 5)
ISBN 978-85-96-04635-0 (manual do professor HTML 5)
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
24-227684
CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à EDITORA FTD
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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33
Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Caro estudante,
Quando você observa a sociedade em que está inserido, provavelmente identifica diversas situações desafiadoras que influenciam diretamente suas ações. Os avanços tecnológicos, por exemplo, estão modificando as maneiras de acesso às informações, as relações de trabalho, os hábitos de consumo, as interações sociais e outros aspectos que impactam diversas áreas da vida das pessoas.
Esta etapa do Ensino Médio será muito importante para sua formação cidadã e crítica, uma vez que você será incentivado a compreender conhecimentos historicamente construídos e a relacioná-los com a realidade. Dessa maneira, é esperado que o seu repertório cultural e intelectual seja ampliado, possibilitando o enfrentamento de desafios contemporâneos locais e globais.
Este livro foi elaborado para contribuir com o seu aprendizado em Matemática, favorecendo a exploração de diferentes situações que, sempre que possível, envolvem outras áreas do conhecimento, as quais auxiliam na continuidade do estudo em etapas posteriores, na sua relação com o mercado de trabalho e na sua vida social.
Por fim, desejo que você, estudante, explore este livro com dedicação e entusiasmo e desenvolva as propostas de estudo, interagindo com os professores e os colegas e compreendendo a importância do conhecimento matemático em sua formação como cidadão atuante na comunidade em que vive e na busca de uma sociedade mais justa e inclusiva.
O autor.
Imagem de satélite da aldeia do povo gavião parkatêjê, Bom Jesus do Tocantins (PA), 2024. Os pátios, regiões onde são realizadas as atividades cerimoniais, ficam localizados ao centro, a uma distância de aproximadamente 100 m das moradias.
Moradia indígena Quando pensamos em uma aldeia indígena, é comum imaginarmos moradias construídas com materiais locais, como palha, madeira, folhas e cipós. Entretanto, existem diferentes tipos de habitação indígena. A aldeia kaikoturé, por exemplo, do povo gavião parkatêjê localizada no município de Bom Jesus do Tocantins (PA), é composta de 33 moradias de alvenaria cobertas por telhas de barro e com fornecimento de água, energia elétrica e rede de esgoto. Apesar de ter sido influenciado por não indígenas, o povo gavião parkatêjê, manteve os costumes de seus antepassados, como a disposição das moradias em formato circular, garantindo a tradicional organização social e cerimonial da aldeia. Fontes dos dados: POVOS INDÍGENAS NO BRASIL MIRIM. Casas S .]: Instituto Socioambiental, [2020]. Disponível em: https://mirim.org/como-vivem/casas. POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Habitações S .]: Instituto Socioambiental, [2021]. Disponível em: https://pib.socioambiental.org/pt/Habita%C3%A7%C3%B5es. Acessos em: 28 set. 2024.
ABERTURA DE UNIDADE
Nesta página, você é convidado a refletir sobre um tema relacionado ao conteúdo a ser estudado.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Em sua opinião, qual é a importância de os povos indígenas manterem os costumes e as tradições de seus antepassados?
2. Que povos indígenas habitam a região onde você mora? Se necessário, faça uma pesquisa.
3. A disposição das moradias na aldeia kaikoturé e a região delimitada por elas podem ser associadas a que figura geométrica plana? Não escreva no livro. Respostas nas Orientações para o professor
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É a oportunidade de retomar os conteúdos apresentados por meio de atividades e problemas propostos.
37. Resolva, em r , as inequações a seguir.
a) log 3 (9x 8) . 2 b) 2 log5 x + 2) . 1 S = x [r x ._1}
c) log2 x + 4) < log2 (x 3) + 2
a) Qual era a altura da planta após 2 meses de estudo? E após 6 meses? 20 cm; 30 cm
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R5. Dados log 2 0,301, log 5 0,699 e log 7 0,845, determine o valor de: a) log 49 b) log 70 c) log 1,4 d) log2 35
Resolução
a) log 49 log 72 2 log 7 2 0,845 1,69
b) log 70 log (2 5 7) log 2 + log 5 + + log 7 1 0,301 + 0,699 + 0,845 = 1,845
c) log 1,4 log ( 14 10 ) log 14 log 10 = log (2 7) 1 log 2 + log 7 1 1 0,301 + + 0,845 1 0,146
d) log 2 35 log 35 log 2 log 5 7 0,301 = log 5 + log 7 0,301 0, 699 + 0, 845 0,301 = 1, 544 0,301 1 5,13
PARA PENSAR
Escreva um logaritmo, diferente dos apresentados nesta atividade, cujo valor aproximado possa ser determinado com base nos cálculos envolvendo os três logaritmos indicados no enunciado. Troque com um colega o logaritmo que você escreveu para que um resolva o do outro. Depois, faça a correção dos itens que você propôs. Ao final, todos devem compartilhar com a turma suas produções. Resposta pessoal.
R7. Considere as informações nas fichas a seguir e resolva as equações exponenciais.
PARA PENSAR
38. Observe a inequação representada a seguir.
log(0,2) (3x 9) > 1 Quantos números naturais pertencem ao conjunto solução dessa inequação? um
39. Resolva os sistemas de inequações a seguir.
a) {log 2 (x + 3) , 5 log 0,2 x + 4) , log 0,2 (2x)
b) {log 6 x < log 6 (2x + 3) log 0,2 x 2 , log 0,2 x) + 1
c) {log 7 15 x 2 4) < log (x + 2) log 0,67 (0, 8x + 9) > 2
d) {log 7 (x 2 9) . log 7 (x 3) log 5,1 5x) > log 5,1 (3x + 12)
S {x [r 8 9 , x , 73 81 } S {x [r 0 , x , 4} S = {x [r x . 0,2} 15 S =@ S = {x [r x > 6}
40. Jonathan é biólogo em um instituto de pesquisa e está realizando um estudo sobre o crescimento de uma planta ao longo de alguns meses. Os resultados do estudo possibilitaram a construção do gráfico de uma função g que descreve a altura dessa planta, em centimetro, de acordo com o tempo t , em mês.
Altura (centimetro)
0 10 20 30 40 g 2 6 14 Tempo (mês)
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes. DiCA
b) Após quantos meses de estudo a planta atingiu 40 cm de altura? 14 meses
c) Qual dos itens a seguir indica a lei de formação da função g?
g (t 20 log2 t + 2) • g (t 10 log3 (t + 2) • g (t 10 log2 (t + 2)
d) Se a planta continuar crescendo de acordo com a função g após quantos meses de estudo sua altura ultrapassará 50 cm? 41. Você sabe o que é o PIB? O PIB, sigla de Produto Interno Bruto, é um indicador da produção de bens e serviços de um país, estado ou município. Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Produto Interno Bruto – PIB o que é o PIB. Rio de Janeiro: IBGE, [2024]. Disponível em: www.ibge.gov.br/ explica/pib.php. Acesso em: 26 jul. 2024.
PARA AMPlIAR
Assista a este vídeo para obter mais informações sobre o PIB.
• PIB: o que é, para que serve e como é calculado: IBGE Explica. S l.: s n.], 2017. 1 vídeo (5 min). Publicado pelo canal IBGE. Disponível em: https://youtu.be/lVjPv33T0hk?si=9ci7cvsGt n756ki5. Acesso em: 26 jul. 2024.
Para estimar o PIB per capita de certo município em milhares de reais, economistas criaram um modelo descrito pela função P de acordo com o tempo t em ano. Observe.
P (t ) = 5,8 log2 [1,35 ? (t + 9)]
Agora, junte-se a um colega, e resolvam os itens a seguir.
a) Resposta esperada: É a razão entre o
a) Pesquisem e descrevam o que é o PIB per capita de um município.
b) Determinem o valor aproximado do PIB per capita estimado para os próximos três anos nesse município. c) De acordo com esse modelo, a partir de que ano esse município terá PIB
R6. Mostre que log b 1 log b a sendo a e b números reais tais que a . 0, a 5 1, b . 0 e b 5 1.
Resolução
Aplicando em log b a mudança de base para logaritmos de base b, temos: log b log b b log b a 1 log b a
Portanto, log b 1 log b a
Escolha um dos itens propostos e, com suas palavras, explique a um colega cada etapa da resolução da equação. Resposta pessoal.
R8. (Enem/MEC) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.
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ATIVIDADES RESOLVIDAS
Para ampliar seu repertório de estratégias, acompanhe a resolução detalhada de atividades e de problemas relacionados aos conteúdos estudados.
InTEGranDO COm CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
Demografia Você sabe o que é demografia? Leia o texto a seguir.
[...] A Demografia é uma ciência que tem por finalidade o estudo de populações humanas, enfocando aspectos tais como sua evolução no tempo, seu tamanho, sua distribuição espacial, sua composição e características gerais. Uma preocupação fundamental no estudo das populações humanas é com o seu tamanho em determinado momento e com os possíveis fenômenos que determinam ou afetam esse tamanho, tais como os nascimentos, os óbitos e fenômenos migratórios. É importante investigar de que modo cada um desses componentes pode ser afetado por mudanças nos demais e como esses fenômenos se relacionam entre si. Além da preocupação com o tamanho e crescimento da população, é de fundamental importância em Demografia o estudo da composição da população por idade e sexo, principalmente pela sua repercussão sobre os fenômenos demográficos, sociais e econômicos. [...] [...] CERQUEIRA, Cézar Augusto; GIVISIEZ, Gustavo Henrique N. Conceitos básicos em demografia e dinâmica demográfica brasileira. In RIOS-NETO, Eduardo Luiz G.; RIANI,
Estimar ou projetar a variação do tamanho de uma população humana ao longo do tempo sempre foi um desafio e motivo de grande inte resse para cientistas, governantes e diferentes tipos de organização. Para obter estimativas desse tipo, os demógrafos consideram dife rentes tipos de variável (taxas de natalidade e mortalidade, migração etc.). Atualmente, com o avanço da tecnologia, que facilita o acesso e o armazenamento de dados, e o desenvolvimento de modelos mate máticos, há diferentes métodos para realizar essas estimativas.
NO MUNDO DO TRABAlHO
Demógrafo
O trabalho de um demógrafo é realizado em parceria com profissionais de áreas como Ciências Sociais, Geografia, Matemática e Estatística, a fim de analisar e interpretar dados populacionais coletados e realizar um estudo que retrate da maneira mais fiel possível a realidade da população. Esses estudos buscam conhecer fatores de interesse público relacionados a educação, saúde, território, economia e meio ambiente e são também utilizados para tomadas de decisões de governantes, por exemplo. Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre as atividades do demógrafo. •DESAFIO profissão: demografia. [S l.: s n.], 2017. 1 vídeo (27 min). Publicado pelo canal TVPUC. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=LZj1w1gwZyU. Acesso em: 26 jul. 2024.
No gráfico a seguir, os dados utilizados são estimativas ou projeções realizadas pelo Departamento de Economia e Assuntos Sociais, da Divisão Populacional das Nações Unidas. Analisando este gráfico, é possível avaliar o comportamento do crescimento populacional mundial.
Projeção da população mundial, 1950-2100
1. Explique, com suas palavras, um dos objetivos da Demografia.
2. Há quanto tempo você mora no mesmo município? Nesse período, você percebeu mudanças na quantidade de habitantes? Justifique.
3. Em relação ao gráfico apresentado, responda.
a) Que tipo de gráfico foi utilizado para representar as informações?
b) Qual é o período de tempo correspondente aos dados apresentados no gráfico?
E entre 2000 e 2050? E entre 2050 e 2100?
Estudando PA na planilha eletrônica
Podemos utilizar a planilha eletrônica LibreOffice Calc para estudar uma PA, obtendo alguns de seus termos, a soma desses termos e representando esses valores no plano cartesiano. O LibreOffice Calc e os demais programas de escritório da LibreOffice estão disponíveis para download em https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 26 jul. 2024). Para estudar uma PA na planilha eletrônica, vamos considerar a questão a seguir, que foi apresentada na atividade R10 da página 121
Após a consultoria de um agrônomo, certa fazenda vai adotar 12 novas técnicas de plantio e cultivo, visando aumentar a produção de soja. Em 2026, essas técnicas serão aplicadas em 80 ha da área plantada, aumentando gradativamente até cobrir todos os 800 ha de plantio da fazenda, em 2035. Observe a projeção da produção de soja nessa fazenda para os próximos anos.
Ano Produção projetada (saca) 2026 108 000 2027 110 000 2028 112 000 2029 114 000
Considerando o crescimento na produção de soja constante até 2035, quantas sacas de soja serão produzidas no período de 2026 a 2035?
Na situação descrita nessa atividade, como a perspectiva de crescimento da produção de soja a cada ano é constante, temos que a variação da projeção da produção, em sacas, de um ano para o próximo é dada por: 110 000 108 000 2 000 Para resolver essa questão podemos obter, na planilha eletrônica LibreOffice Calc as projeções da produção de soja, em saca, para os anos de 2026 até 2035 e, em seguida, a soma desses valores da seguinte maneira.
A Nas células A1 e B1, escrevemos Ano e Produção projetada (saca), respectivamente. Em seguida, nas células A2:A11 escrevemos os anos de 2026 até 2035 e indicamos o valor da projeção da produção para 2026 na célula B2. Na célula B3, escrevemos B2+2 000 para obter o valor da projeção da produção para 2027 e pressionamos a tecla Enter Depois, selecionamos a célula B3 clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula B11
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IL67/SHUTTERSTOCK.COM
c) De quantos bilhões de habitantes corresponde o crescimento populacional entre 1950 e 2000?
nos anos indicados no gráfico formam uma PA? E uma PG? Justifique suas respostas. Resposta pessoal.
Respostas pessoais. gráfico de segmentos de 1950 até 2100 entre 1950 e 2000: 3,6 bilhões de habitantes; entre 2000 e 2050: 3,6 bilhões de habitantes; entre 2050 e 2100: 0,6
d) Podemos dizer que a sequência dos números correspondentes ao crescimento da população mundial
Esta seção propõe discussões de assuntos de maior integração com outras áreas do conhecimento.
Assim, obtemos os valores das projeções da produção de soja até 2035.
B Para obter a soma dessas projeções, digitamos Total na célula A12 e SOMA(B2:B11) na célula B12 e pressionamos a tecla Enter
Portanto, podemos concluir que no período de 2026 a 2035 deverão ser produzidas, nessa fazenda, 1 170 000 sacas de soja. 1.
1. b) Construção do estudante. Resposta esperada: Esse gráfico tem comportamento linear e pode ser descrito pela função f n* Hr definida por (x 2 000x + 106 000.
MÃOS A OBRA Não escreva no livro.
1. Em relação à situação apresentada, considere uma sequência numérica em que a1 corresponde à projeção da produção de soja, em saca para 2026; a2 para 2027; a3 para 2028; e assim sucessivamente.
a) Escreva o termo geral dessa sequência. Em seguida, calcule o valor de a e explique o que ele representa em relação à situação apresentada na questão da página 136
b) Na planilha LibreOffice Calc construa um gráfico de dispersão para representar os termos dessa PA. Para isso, utilize a opção Inserir gráfico do menu. Nesse gráfico, os pontos de coordenadas (x y ) indicam os termos de posição x e valor y da PA.
• Qual é o comportamento desse gráfico: linear, quadrático, exponencial ou logarítmico? Justifique.
2. Considere uma PG em que a1 1 e a 2 2. Utilizando procedimentos análogos aos apresentados no exemplo e com auxílio da planilha eletrônica LibreOffice Calc, determine os 10 primeiros termos dessa PG. Depois, resolva os itens a seguir.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...) a 1 2 1)
a) Escreva o termo geral dessa PG.
b) Na planilha eletrônica LibreOffice Calc construa um gráfico de dispersão para representar os termos dessa PG. Qual é o comportamento desse gráfico: linear, quadrático, exponencial ou logarítmico? Justifique.
Construção do estudante. Resposta esperada: Esse gráfico tem comportamento exponencial e pode ser descrito pela função n* Hr definida por x) 1 2 1)
Nesta seção, você pode desenvolver competências e habilidades relacionadas ao pensamento computacional e fazer uso de recursos tecnológicos para a resolução de problemas.
Não escreva no livro.
O QUE ESTUDEI
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Quando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) Participei das discussões propostas à turma.
e) Fiz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo. Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Polígonos Área de um polígono regular
4. O block puzzle é um exemplo de game de quebra-cabeça em duas dimensões, em que o jogador pode movimentar as peças apenas de duas maneiras, verticalmente e horizontalmente, com o objetivo de encaixá-las e evitar que se acumulem até o limite do plano de frente do jogo, lugar em que fica o cenário da composição das peças; no plano de fundo, há informações sobre o jogo, como pontuação, tempo e a próxima peça.
a) Um designer gráfico está projetando uma variação desse jogo para certo modelo de videogame portátil de tela quadrada de 72,25 cm2 em que o plano de frente tem formato retangular e o plano de fundo ocupa toda a tela. Observe na figura Com base nessas informações, responda às questões.
• Quantos centimetros quadrados tem o plano de frente desse jogo?
• Qual é a área do plano de fundo desse jogo?
• Qual é a medida do lado da tela desse videogame?
b) Na elaboração de um objeto cúbico que fará parte do cenário de um game foi desenvolvido um projeto com modelagem poligonal. Acompanhe as etapas desse desenvolvimento de maneira simplificada.
Polígonos regulares Relações entre a área e o perímetro de um polígono regular
Ladrilhamento do plano Área do círculo
diâmetro externo de um cano de metal. Observe a ilustração.
Área de polígonos: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango, trapézio e triângulo Outras estratégias para o cálculo de área de superfícies
Paquímetro: instrumento utilizado para medir comprimentos, principalmente diâmetros e espessuras de pequenos objetos com formato circular.
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
Rafael, determine a medida aproximada do diâmetro exalgarismos significativos. no item em algarismo certo ou duvidoso.
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
afirmar que o diâmetro do cano está entre 4,6 cm e para essa medida é: 4,6 + 4,7 2 = 4,65, ou seja, 4,65 cm. aos algarismos 4 e 6, ou seja, esses são os algarismos um algarismo duvidoso.
um professor propôs experimento no qual retirassem 100 gotas determinar e indicar, relação às suas gra retirados. Observe os estudantes
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
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Bureta: instrumento composto de um tubo graduado e de uma torneira, que possibilita medir o volume de substâncias líquidas.
Volume de 100 gotas de água:
mesmo volume, responda. precisa? indicado no item anterior, calcule o volume resultado em notação científica.
subdivisões de apresentar, maior grupo B utiliobteve uma
grupo B foi água é de: mL.
Este boxe apresenta o significado de termos destacados no texto.
1a_) Uma figura de cubo foi construída.
2a_) Em cada face dessa figura foram traçadas as diagonais, permitindo maior possibilidade de movimentação do objeto na cena.
3a_) A superfície da figura foi colorida e foram acrescentados detalhes de acabamento.
Considerando que o cubo representado na 1a etapa tenha aresta de 5 cm de comprimento, resolva as questões a seguir.
• Qual é o perímetro de cada face do cubo representado?
• Qual é a área da superfície de cada face do cubo representado?
• Na 2a etapa, quais são as medidas dos lados de cada triângulo obtido nas faces do cubo? Qual é a área de cada um desses triângulos?
• Caso a medida da aresta do cubo dobre, o que ocorre com o perímetro de cada face? E o que ocorre com a área de cada face?
dobra. A área
É um momento para você refletir sobre o seu desenvolvimento ao estudar a Unidade tanto com relação a suas atitudes como aos conteúdos aprendidos.
Apresentação de alguma dica ou de um lembrete importante para a resolução de uma atividade ou para a compreensão de algum conceito em discussão.
PARA AMPlI AR DiCA
Boxe em que são apresentadas sugestões de sites, vídeos, softwares ou textos para complementar os assuntos discutidos no livro.
Com suas palavras, explique a um colega os argumentos indicados na resolução do item a, utilizando como exemplo outro instrumento graduado. Resposta pessoal.
PARA PENSAR
Neste boxe, você tem oportunidade de resolver questões que contribuem para a reflexão e a argumentação a respeito do conteúdo em estudo e, assim, participar ativamente da aula.
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Neste boxe, são apresentadas informações sobre a história da Matemática com tópicos relacionados ao conteúdo em estudo.
MUNDO
Neste boxe, são exploradas as profissões e suas características, destacando as habilidades comportamentais essenciais para os profissionais atuais. Além disso, você terá acesso a informações sobre o mercado de trabalho.
PRATICANDO:
ENEM E VESTIBUlARES Não escreva no livro.
1. (UFMS) Em geometria, existem muitas simetrias, estudos dos ângulos internos e externos de uma figura. Nesse sentido, um aluno de Matemática desenhou um pentágono regular e, a partir dos seus vértices, traçou todas as diagonais. Assim, verificou a formação de uma estrela de cinco pontas, conforme a figura a seguir: A a b dc eB a b1 c1 d e1 DC E SERGIO LIMA
Ao somar os ângulos internos das pontas da estrela, o valor encontrado foi de: alternativa c a) 1 440° b) 540° c) 180° d) 108° e) 30°
2. (UECE) Os ângulos formados, no interior de um pentágono regular, pelo encontro de seus lados e diagonais possuem as seguintes medidas: a) 30 , 45 e 60
alternativa d
b) 45 60 e 75 c) 60 84 e 108 d) 36 72 e 108
3. (UFRR) Uma criança montou um mosaico utilizando quatro azulejos em formato de hexágono regular de lado 10 cm. Sua mãe resolveu colocar o mosaico numa moldura retangular, conforme a figura, a seguir.
EDITORIA DE ARTE
A área da região interna à moldura, que não ficou coberta pelos azulejos é de: alternativa a a) 400 3 cm2
b) 600 3 cm2
c) 1 000 3 cm2 d) 500 3 cm2 e) 200 3 cm2
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PRATICANDO ENEM E VESTIBULARES
A seção fornece diversas questões do Enem e de vestibulares de diferentes regiões do Brasil relacionadas ao que foi estudado na Unidade.
4. (Enem/MEC) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m.
Qual é a medida da área, em metro quadrado, ocupada pela calçada? alternativa d a) 1 000 b) 900 c) 600 d) 500 e) 400
5. (UEL-PR) Um quatrefoil é uma figura simétrica comumente usada em arte, design e arquitetura. Sua forma é antiga e o nome vem do latim, significando “quatro folhas”. Ele possui quatro folhas de mesmo tamanho, com formato circular, interconectadas, as quais se sobrepõem ligeiramente, e se assemelha a uma flor de quatro pétalas. Considere dois exemplos de quatrefoil, a seguir.
Exemplo A Exemplo B Pretende-se construir um quatrefoil similar ao apresentado no Exemplo A , no qual as folhas são formadas por semicírculos. Sabendo que seu perímetro deve ser de 28p cm, determine a área total da figura a ser construída. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. A (196 + 98p) cm2
01/11/2024 15:23
6. (Unicamp-SP) Sr. Gauss tem uma pizzaria, chamada p-zzaria que vende dois tipos de pizzas circulares: uma individual, de diâmetro d e uma de 20 cm de diâmetro, partida em quatro pedaços iguais.
Considerando que o preço de uma pizza é proporcional à sua área, qual precisa ser o valor de d para que quatro pizzas individuais custem o mesmo que a pizza mencionada, de quatro pedaços?
a) 6 cm.
b) 8 cm.
alternativa c
c) 10 cm. d) 12 cm.
7. (UEA-AM) Considere o retângulo ABCD de diagonal BD e o quadrado EFGH cujas áreas são, respectivamente, iguais a 32 cm2 e 16 cm2. Os vértices do quadrado estão sobre os lados do retângulo, e a diagonal BD intersecta os lados do quadrado nos pontos P e Q conforme mostra a figura.
DHGC P Q ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
fora de escala
Sabendo que os segmentos AE e FB possuem a mesma medida, a área do trapézio GHPQ destacado na figura, é igual a alternativa d
a) 8,5 cm2
b) 9,5 cm2
e) 10,0 cm2
c) 9,0 cm2
d) 8,0 cm2
8. (UFPR) Na figura a seguir, estão representadas quatro circunferências de raio r 1 cm que são tangentes nos pontos A B C e D Assinale a alternativa que corresponde ao valor, em cm2 da área hachurada em cinza. alternativa d B
9. (Uesb-BA) Considere o triângulo ABC, retângulo em A Sabendo-se que a medida do cateto AB mede 12 cm e que o ângulo formado pelo cateto AB e pela hipotenusa mede 60° é correto afirmar que alternativa e a) a medida da hipotenusa é um número irracional.
b) o cateto AC mede 12 cm. c) o perímetro do triângulo ABC mede 12(1 + 3 ) cm.
d) a área do triângulo ABC mede 144 3 cm2 e) a razão entre as medidas de AB e AC , nesta ordem, é menor do que 2 3
10. (UFRGS-RS) No retângulo ABCD, representado na figura abaixo, os três ângulos destacados com vértice em C são iguais. D AE C B A área do triângulo sombreado AEC em relação à área total do retângulo, corresponde a a) 1 2 b) 1 3 c) 2 5 d) 3 5 e) 2 3
11. (UEA-AM) No retângulo ABCD , na figura, o ponto E foi tomado sobre o lado AB e o ponto F foi tomado sobre o lado CD de modo que o segmento EF seja paralelo ao lado BC e os ângulos EDF e BFE sejam congruentes. SERGIO
Resposta oral • Quando este ícone for apresentado, a resposta para a atividade deve ser dada oralmente, sem a necessidade de registro escrito no caderno.
Atividade em grupo • É sugerido que, nas atividades com este ícone, sejam formadas duplas ou grupos. Dessa maneira, você pode discutir com os colegas utilizando, como argumento, os conhecimentos adquiridos ao longo de sua vida escolar.
Calculadora • Este ícone entra nas atividades em que se sugere o uso da calculadora.
OBjETOS EDUCACIONAIS DIGITAIS
Os ícones a seguir identificam os diferentes tipos de objetos educacionais digitais presentes neste volume. Esses materiais digitais apresentam assuntos complementares ao conteúdo trabalhado na obra, ampliando a aprendizagem.
Os sites indicados nesta obra podem apresentar imagens e eventuais textos publicitários junto ao conteúdo de referência, os quais não condizem com o objetivo didático da coleção. Não há controle sobre esses conteúdos, pois eles estão estritamente relacionados ao histórico de pesquisa de cada usuário e à dinâmica dos meios digitais.
UNiDADE
◗ Atividades
(PA) 112
Termo geral de uma PA ................................................ 113
◗ Atividades ...................................................................... 116
Soma dos n primeiros termos de uma
Soma dos termos de uma PG infinita
Atividades
◗ Você conectado Estudando PA na planilha eletrônica
◗ Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas Demografia
de linguagem de programação
Atividades
Atividades
de programação
que estudei ...................................................................
◗ Você conectado Gráfico de função do tipo trigonométrica 194
◗ Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas e Ciências da Natureza e suas Tecnologias Duração solar do dia 196
O que estudei 199
Praticando: Enem e vestibulares ............................. 201
UNiDADE
Polígonos 204
◗ Atividades 207
Polígonos regulares 210
◗ Atividades 212
Polígonos regulares e ladrilhamento do plano 213
◗ Atividades 215
◗ Você conectado Ladrilhamento do plano utilizando o GeoGebra ...................................................... 218
Área de polígonos ......................................................
Área do retângulo e do quadrado ...........................
Área do paralelogramo .............................................
Área do losango ..........................................................
Área do trapézio .........................................................
◗ Atividades ....................................................................
Atividades
◗ Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas A cubagem da terra 239
Outras estratégias para o cálculo de área de superfícies ............................... 241 ◗ Atividades
◗ Você conectado Área aproximada de figuras no GeoGebra
Medidas de posição 252
Média aritmética 252
Média aritmética ponderada 253 Moda 254
Mediana 255
Medidas de posição para dados agrupados em intervalos de classe 256
◗ Atividades 259
Medidas de dispersão ............................................... 264
...................................................................... 266
Desvio padrão ............................................................. 266
◗ Atividades .................................................................... 269
◗ Você conectado Calculando medidas de posição e de dispersão
estatística
de amostragem
Atividades
uma pesquisa estatística
◗ Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas O jovem e o mercado de trabalho 285 O que estudei
Praticando: Enem e vestibulares ............................
clicável: Radioatividade e acidentes nucleares
: Programação e inteligência artificial 141 Infográfico clicável: Povos indígenas: tradições e modos de vida 155
Vídeo: Origem do grau e a circunferência .........................
Carrossel de imagens: Ladrilhamento em diferentes contextos ........................... 213
Infográfico clicável: Amazônia Legal: dados e perspectivas ................................................... 220
Vídeo: Cubagem da terra e saberes tradicionais 239
Mapa clicável: Roraima: culturas e identidades 243 Podcast: Censo e pesquisa estatística 273
Carrossel de imagens: Mercado de trabalho e soft skills ...... 285
01
Armazenamento de dados dos smartphones
Você já tentou instalar um aplicativo em um smartphone , mas não conseguiu porque o armazenamento interno dele estava sobrecarregado? Para evitar esses inconvenientes, os fabricantes investem cada vez mais no aumento da capacidade de armazenamento de smartphones. Hoje, há aparelhos disponíveis no Brasil com até 1 TB (terabaite) de capacidade interna; muito maior que a dos primeiros smartphones criados, que tinham capacidade de armazenamento interno de cerca de 1 MB (megabaite).
Porém devemos ficar atentos ao fato de que a capacidade de armazenamento de um smartphone não está totalmente disponível, já que alguns de seus gigabaites são ocupados pelo sistema operacional do próprio aparelho. Observe, no esquema, algumas atitudes para otimizar o uso do armazenamento interno de smartphones.
Salvar arquivos grandes em nuvem.
02
Utilizar a versão lite dos aplicativos.
03
Mover aplicativos para o cartão SD.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Toda a memória interna de um smartphone está disponível para o usuário? Justifique.
2. Você já passou por alguma situação em que não conseguiu instalar um aplicativo por falta de memória do smartphone? Comente como foi essa situação.
3. Quais são as unidades de armazenamento de dados citadas nas informações do texto? Que outras unidades de armazenamento de dados você conhece? Respostas nas Orientações para o professor
ARTFOTOXYZ/SHUTTERSTOCK.COM
Em um p en drive com 16 GB de capacidade, é possível armazenar cerca de 2 048 fotografias digitais de 8 MB cada.
PARA PENSAR
Na legenda da fotografia do pen drive, é indicado que nele é possível armazenar cerca de 2 0 48 fotografias digitais de 8 MB cada. Argumente de maneira a mostrar que essa afirmação é verdadeira.
Resposta esperada:
Na abertura desta Unidade, recebemos algumas informações sobre a capacidade de armazenamento interno de smartphones. Nesse sentido, assim como utilizamos o grama e o metro como unidades de medida de massa e de comprimento, respectivamente, utilizamos o baite (B) e seus múltiplos como unidade de medida de armazenamento de dados.
No Volume 1 desta coleção, você estudou a respeito do baite e seus múltiplos. Vamos retomar essas informações a seguir.
Observe como podemos relacionar o baite e dois de seus múltiplos: o kilobaite (kB) e o megabaite (MB).
• Como 1 kB equivale a 1 024 B, temos:
1 kB = 1 024 B
• Como 1 MB equivale a 1 024 kB, temos:
1 MB = 1 024 kB = 1 024 1 024 B h 1 MB = 1 048 576 B
Note que, para realizar conversões entre os múltiplos do baite, utilizamos o fator 1 024, que pode ser e xpresso por meio de uma potenciação:
1 024 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 210
Seja a [ r e n [ n, com n . 1. Na potenciação, o produto de n fatores a é indicado pela potência an, em que a é a base e n é o expoente.
Base Expoente
a n = a ? a ? a ? ... ? a
Produto de n fatores iguais
Também podemos definir que, em uma potência:
• com expoente 1 e base igual a um número real a qualquer, o resultado é esse próprio número a :
Temos que a capacidade de armazenamento do pen drive é 16 GB = 16 1 024 MB = 16 384 MB Assim, nele podem ser armazenadas cerca de 2 048 fotografias de 8 MB cada, pois 16 384 : 8 = 2 048.
a1 = a
• com expoente 0 e base igual a um número real a diferente de zero, o resultado é 1:
a 0 = 1
• com expoente igual a um número inteiro negativo e base diferente de zero, o resultado é o inverso da base elevado ao oposto desse expoente:
a n = ( 1 a )n , com a 5 0
Exemplos: a) 121 = 12
p
= 1
Quando realizamos operações com potências, podemos utilizar algumas propriedades.
Propriedade I: Sendo a [ r, m [ z e n [ z, com a 5 0, temos:
Observe como podemos justificar essa propriedade para m e n inteiros positivos.
Exemplos:
II
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Exemplos:
Propriedade III: Sendo a [ r, b [ r
Observe como podemos justificar essa propriedade para m inteiro positivo.
A propriedade I também pode ser justificada para m e n inteiros negativos ou iguais a zero. DiCA
Exemplos:
A propriedade III também pode ser justificada para m inteiro negativo ou igual a zero. DiCA
Propriedade IV: Sendo a [ r, b [ r e m [ z, com a 5 0 e b 5 0, temos: ( a b )m = a m b m
Observe como podemos justificar essa propriedade para m inteiro positivo.
A propriedade IV também pode ser justificada para m inteiro negativo ou igual a zero.
Exemplos:
A propriedade V também pode ser justificada para m e n inteiros negativos ou iguais a zero.
Propriedade V: Sendo a [ r, m [ z e n [ z, com a 5 0, temos: (a m)n = a m n
Observe como podemos justificar essa propriedade para m e n inteiros positivos.
Exemplos:
R1. Utilizando as propriedades das potências apresentadas, resolva a expressão
Resolução
PARA PENSAR
Identifique na resolução da expressão o uso das propriedades apresentadas.
1. Calcule as potências.
a) 63 b) ( 4)2 c) 25 1 d)
2. Escreva as expressões a seguir na forma de uma única potência.
a) 5 2 25 5 (3 6) 2
b) ( 6) 9 ? (
3. Calcule o valor numérico das expressões a seguir.
a) 25 0 ? 53 : 55 b) (7 2) 3 ? ( 1 4 )3 ? 14
4. Leia o texto a seguir.
Segundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez foi inventado na Índia [...]. Encantado com o invento, o soberano, rei Shirham, quis recompensar seu súdito Sissa Ben Dahir, o inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa que lhe fizesse um pedido, que ele, rei Shirham, o atenderia prontamente. Sissa disse, simplesmente: — Bondoso rei, dê-me então um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda casa, quatro (= 22) pela terceira, oito (= 23) pela quarta, e assim por diante, até 263 grãos de trigo pela última casa do tabuleiro, isto é, a 64a casa. [...]
ÁVILA, Geraldo. Números muito grandes: o jogo de xadrez. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 25, [1994]. Disponível em: www.rpm.org.br/cdrpm/25/1.htm. Acesso em: 24 jul. 2024.
Para termos uma noção de quão grande é a quantidade 263 grãos de trigo, a safra mundial de trigo 2022/2023 foi de 789,49 milhões de toneladas, o que corresponde a aproximadamente 229 grãos. Quantas vezes seria necessário dobrar essa safra para obter a quantidade de grãos de trigo correspondentes à última casa do tabuleiro, de acordo com o pedido de Sissa? Justifique sua resposta. 34 vezes. Resposta pessoal.
Fonte dos dados: UNITED STATES DEPARTMENT OF AGRICULTURE. Foreign Agricultural Service. Production: wheat. Washington, DC: FAS, [2024]. Disponível em: https://fas.usda.gov/data/production/commodity/0410000. Acesso em: 24 jul. 2024.
5. Mateus utiliza um serviço de armazenamento de dados em nuvem. Observe quanto do espaço contratado por ele encontra-se disponível.
270 GB usados de 1 TB
Que porcentual da capacidade de armazenamento em nuvem contratada por Mateus ainda está disponível para uso?
aproximadamente 73,6%
6. Estudamos que o baite (B) e seus múltiplos são unidades de medida de armazenamento de dados. Uma maneira de realizar conversões entre essas unidades de medida é usar o fato de que 1 024 = 210 e estabelecer as seguintes relações.
a) Converta, justificando seu procedimento:
• 3 kB para B;
3 210 B
• 5 MB para TB;
5 2 20 TB
Respostas nas Orientações para o professor
• 8 T B para kB;
233 kB
• 7 B para GB
7 ? 2 30 GB
b) Em quais itens a seguir o cartão de memória indicado tem capacidade para armazenar 213 MB de dados? Justifique.
I e III. Os cartões de memória apresentam, respectivamente, 214 MB, 212 MB, 215 MB de capacidade de armazenamento; logo, apenas os cartões I e III têm memória maior ou igual a 213 MB.
c) Você sabe o que é um algoritmo? De modo geral, um algoritmo é um conjunto de regras ou procedimentos sequenciados que pode ter como intuito a solução de um problema. Com base nas relações apresentadas, entre as unidades de medida baite e seus múltiplos, descreva um algoritmo com o qual seja possível converter uma medida expressa em uma dessas unidades em outra.
Resposta pessoal.
7. Determine a soma dos algarismos do número obtido como resultado do cálculo 454 ? 25 49 7
8. E labore cinco expressões envolvendo potências e troque-as com um colega para que um simplifique as expressões do outro. Depois, cada um deve corrigir as simplificações das expressões que elaborou, indicando quais propriedades foram utilizadas pelo colega. Por fim, conversem sobre as etapas realizadas. Elaborações do estudante.
Quando é necessário escrever números ou realizar cálculos com medidas “muito grandes”, como as que envolvem distâncias entre planetas, ou “muito pequenas”, como as relacionadas ao comprimento de microrganismos, podemos utilizar notação científica
Dados a [ q e n [ z, com 1 < a , 10, dizemos que um número está representado em notação científica quando expresso da seguinte maneira:
a ? 10n
Leia, por exemplo, este trecho de uma reportagem.
Agências espaciais da Europa e EUA apresentaram [...] a primeira imagem de um buraco negro no Universo. Trata-se de uma descoberta do telescópio Event Horizon.
[...]
O buraco negro fotografado foi encontrado no centro da galáxia batizada de Messier 87, ou M87, região a 500 quintilhões de kilometros de distância da Terra [...].
PADRÃO, Márcio. Primeira imagem real de um buraco negro é revelada. Tilt UOL , [s l.], 16 abr. 2019. Disponível em: www.uol.com. br/tilt/ultimas-noticias/redacao/2019/04/10/primeira-imagem -de-um-buraco-negro-e-revelada.htm. Acesso em: 24 jul. 2024.
PARA AMPlI AR
De maneira geral, na notação científica, o número racional a é indicado na forma decimal.
Buraco negro, no centro da galáxia M87, delineado por gases quentes em seu entorno. Imagem capturada pelo telescópio Event Horizon em 2019 (imagem sem escala; cores-fantasia).
Acesse o site a seguir e assista ao vídeo para obter informações sobre a primeira imagem de um buraco negro.
• COMO os cientistas conseguiram a proeza inédita de fotografar um buraco negro. BBC News Brasil, [s. l.], 10 abr. 2019. Disponível em: www.bbc.com/portuguese/brasil-47879036. Acesso em: 24 jul. 2024.
No texto apresentado, foi mencionada uma distância de 500 quintilhões de kilometros. Essa medida pode ser expressa em notação científica conforme apresentado a seguir.
500 000 000 000 000 000 000 km = 5 ? 100 000 000 000 000 000 000 km = 5 ? 1020 km
PARA PENSAR
Professor, esta obra está atualizada conforme a grafia estabelecida pelo SI na publicação: INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. iii. Tradução luso-brasileira da 9a edição. Disponível em: https://www.gov.br/compras/pt-br/acesso-a-informacao/noticias/si_versao_final.pdf. Acesso em: 27 jun. 2024. 17
Sabendo que a distância média entre a Terra e a Lua é de 3,78 ? 105 km, determine quantas vezes essa distância corresponde àquela entre a Terra e o buraco negro, mencionado anteriormente. aproximadamente 1,32 1015 vezes
Agora, considere a situação descrita a seguir.
O vírus dengue (DENV) é um arbovírus, grupo onde se encontram diversos patógenos humanos, que foram assim chamados inicialmente por apresentarem parte do seu ciclo de vida em artrópodes. [...] DENV é um vírus pequeno, envelopado e com 50 nm de diâmetro. [...]
AMARAL, Raquel Juliana Vionette do; DANSA-PETRETSKI, Marilvia. Interação patógeno-vetor: dengue. In: SILVA NETO, Mario Alberto Cardoso da et al. (ed.). Tópicos avançados em entomologia molecular. Rio de Janeiro: INCTEM, 2012. cap. 14, p. 1-35. p. 9. Disponível em: http://www.inctem.bioqmed.ufrj.br/images/ documentos/biblioteca/Capitulo_14_Interacao_Patogeno_ Vetor_-_Dengue.pdf. Acesso em: 24 jul. 2024.
Onze vírus da dengue (imagem de microscopia eletrônica, aumento aproximado de 200 000 vezes; colorida artificialmente).
No texto, foi mencionada a medida do diâmetro de um vírus em nanometro (nm). Como 1 nm equivale a 0,000001 mm, temos que 50 nm equivalem a 0,00005 mm. Assim, podemos expressar essa medida em milimetro utilizando notação científica da maneira a seguir.
0,00005 mm = 5 100 000 mm = 5 ? 1 100 000 mm = 5 ? 10 5 mm
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre as arboviroses e algumas dicas para combater os mosquitos transmissores de vírus como esses.
• ESPECIAL arboviroses. [S. l.: s. n.], 2017. 1 vídeo (9 min). Publicado pelo canal MultiRio. Disponível em: https:// www.youtube.com/watch?v=Pu2zjyN7QCs. Acesso em: 24 jul. 2024.
Em geral, ao realizarmos uma medição, temos a precisão do resultado limitada pelo instrumento utilizado. Observe um exemplo.
Com base nessa medição, podemos afirmar que o comprimento do parafuso está entre 4,8 cm e 4,9 cm. Assim, um possível valor aproximado para essa medida é 4,85 cm, ou seja, submetemos à medida uma incerteza de 0,5 mm ou 0,05 cm. Essa incerteza corresponde à metade da menor graduação do instrumento utilizado ( 0,1 2 cm = 0,05 cm = 0,5 mm), o que é admitido em consenso por pesquisadores e estudantes.
Na aproximação 4,85 cm, não há dúvida quanto aos algarismos 4 e 8, de maneira que podemos chamá-los de algarismos certos.
Já o algarismo 5 foi estimado e, assim, podemos chamá-lo de algarismo duvidoso O conjunto formado pelos algarismos certos e duvidosos são os algarismos significativos que compõem um número obtido em uma medição. No número 4,85, por exemplo, 4, 8 e 5 são os algarismos significativos da medida do comprimento do parafuso, em centimetro.
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R2. (Enem/MEC) A volemia ( V ) de um indivíduo é a quantidade total de sangue em seu sistema circulatório (coração, artérias, veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total (N ) de hemácias de uma pessoa, o qual é obtido multiplicando-se a volemia ( V ) pela concentração ( C ) de hemácias no sangue, isto é, N = V x C . Num adulto normal essa concentração é de 5 200 000 hemácias por mL de sangue, conduzindo a grandes valores de N . Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação científica, que consiste em expressar N na forma N = Q x 10 n, sendo 1 < Q , 10 e n um número inteiro.
Considere um adulto normal, com volemia de 5 0 00 mL.
ht tp: //perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado).
Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação científica?
a) 2,6 x 10 10
b) 2,6 x 10 9
Resolução
c) 2,6 x 10 9 d) 2,6 x 1010 e) 2,6 x 1011
Utilizando a expressão N = V x C e considerando V = 5 0 00 e C = 5 2 00 0 00, a quantidade total de hemácias desse indivíduo é dada por:
N = 5 000 ? 5 200 000 = 26 000 000 000 = 2,6 ? 1010
Portanto, a alternativa d é a correta.
R3. Considere os números a seguir, expressos em notação científica.
• A = 3,25 ? 105
• B = 6,4 ? 10 4
• C = 9,6 ? 10 6
• D = 8 ? 10 8
Agora, faça os cálculos e expresse a resposta em notação científica.
a) A ? B b) B : D c) A C D
Resolução
a) A B = 3,25 105 6,4 10 4 = (3,25 6,4)
:
?
R4. Utilizando um paquímetro, Rafael mediu o diâmetro externo de um cano de metal. Observe a ilustração.
Essa marcação (zero na escala menor) indica a medida do objeto na escala maior do paquímetro.
BENTINHO Paquímetro: instrumento utilizado para medir comprimentos, principalmente diâmetros e espessuras de pequenos objetos com formato circular.
a) De acordo com a medição realizada por Rafael, determine a medida aproximada do diâmetro externo desse cano, considerando três algarismos significativos.
b) Classifique cada algarismo da medida indicada no item a em algarismo certo ou duvidoso.
Resolução
a) Com base na medição apresentada, podemos afirmar que o diâmetro do cano está entre 4,6 cm e 4,7 cm. Assim, um possível valor aproximado para essa medida é: 4,6 + 4,7 2 = 4,65, ou seja, 4,65 cm.
b) Na aproximação 4,65 cm, não há dúvida quanto aos algarismos 4 e 6, ou seja, esses são os algarismos certos. Já o algarismo 5 foi estimado, ou seja, é um algarismo duvidoso.
R5. Para determinar o volume de uma gota de água, um professor propôs que, em grupo, os estudantes realizassem um experimento no qual enchessem uma bureta com 10 mL de água e retirassem 100 gotas desse conteúdo. Por fim, cada grupo deveria determinar e indicar, considerando a incerteza da bureta apenas em relação às suas graduações, quantos mililitros de água foram retirados. Observe os registros realizados por dois grupos de estudantes
Grupo A
• Bureta de 10 mL subdividida em 1 mL
• Volume de 100 gotas de água: 5,5 mL
Bureta: instrumento composto de um tubo graduado e de uma torneira, que possibilita medir o volume de substâncias líquidas.
Grupo B
• Bureta de 10 mL subdividida em 0,1 mL
• Volume de 100 gotas de água: 5,35 mL
Considerando que as gotas tenham todas o mesmo volume, responda.
a) Qual desses grupos obteve uma medida mais precisa?
b) U tilizando a medida obtida pelo grupo indicado no item anterior, calcule o volume aproximado de uma gota de água. Indique o resultado em notação científica.
a) Q uanto mais marcações referentes às subdivisões de uma unidade de medida um recipiente apresentar, maior será a precisão da medida obtida. Como o grupo B utilizou um recipiente subdividido em 0,1 mL, ele obteve uma medida mais precisa que a do grupo A .
b) O volume de 100 gotas de água indicado pelo grupo B foi de 5,35 mL. Assim, o volume de cada gota de água é de: (5,35 : 100) mL = (5,35 : 102) mL = 5,35 ? 10 2 mL.
PARA PENSAR
Com suas palavras, explique a um colega os argumentos indicados na resolução do item a , utilizando como exemplo outro instrumento graduado. Resposta pessoal.
9. Expresse os números em notação científica.
a) 56 8 0 00 0 00 0 00 5,68 1011
b) 10 263 0 00 0 00 0 00 0 00 1,0263 1016
c) 907 0 00 0 00 0 00 0 00 9,07 1014
d) 0,0000006 6 ? 10 7
e) 0,00000000798 7,98 ? 10 9
f) 0,000000000000604 6,04 10 13
10. Observe, a seguir, os números expressos em notação científica.
A = 6,51 ? 10 8
B = 7,25 105 C = 4,65 ? 10 10 D = 1,4 10 7
Agora, calcule as expressões e indique o resultado em notação científica.
a) A : C b) B ? D c) A ? B D
11. Para expressar medidas de comprimento “muito grandes” ou “muito pequenas”, além dos múltiplos do metro, podem ser utilizadas outras unidades de medida. Leia as inf ormações.
I) O ano-luz é uma unidade de medida util izada principalmente em Astronomia, para expressar, por exemplo, distâncias entre corpos celestes. Um ano-luz corresponde à distância que a luz percorre no vácuo em 1 ano terrestre, oque equivale a aproximadamente 9,46 1012 km.
II) O angstrom (A ° ) é uma unidade de comprimento que costuma ser utilizada para expressar a medida de átomos. Temos que 1 A ° equivale a 10 10 m.
Fonte dos dados: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1, p. 764.
Em cada item, realize conversões e escreva as medidas destacadas utilizando a unidade mais adequada: anos-luz ou angstrom.
11. a) aproximadamente 7 505 anos-luz
a) A estrela mais brilhante da Via Láctea é a Eta Carinae e está localizada a cerca de 7,1 ? 1016 km do Sistema Solar.
Fonte dos dados: POR QUE a estrela mais brilhante da galáxia é invisível a olho nu – e como se tornará aparente. G1, [s. l.], 10 jan. 2019. Disponível em: https://g1.globo.com/ciencia-e -saude/noticia/2019/01/10/por-que-a-estrela-mais-brilhante -da-galaxia-e-invisivel-a-olho-nu-e-como-se-tornara -aparente.ghtml. Acesso em: 24 jul. 2024.
b) Em 2020, o raio de carga médio do núcleo d o hélio foi medido com a maior precisão até então: 1,67824 ? 10 15 m
1,67824 10 5 A °
Fonte dos dados: SERAFIM, Teresa Sofia. Raio do núcleo do hélio medido com uma precisão “sem precedentes”. Público, Lisboa, 27 jan. 2021. Disponível em: https://www. publico.pt/2021/01/27/ciencia/noticia/raio-nucleo-helio -medido-precisao-precedentes-1947994. Acesso em: 24 jul. 2024.
• Agora, pesquise e registre informações ou dados científicos, diferentes dos apresentados nos itens anteriores, em que sejam citadas medidas de comprimento “muito grandes ” ou “muito pequenas ” , expressando-as em ano-luz ou angstrom. Depois, compartilhe suas descobertas com os colegas.
Pesquisa do estudante.
12. Um instrumento bastante utilizado em laboratórios de química para obter medidas com maior precisão é a balança analítica, que pode indicar a massa de objetos, em grama, com até quatro casas decimais. Considere que um objeto com 2,83 mg de massa é colocado sobre uma balança dessas e responda.
a) Qual é a massa indicada no visor da balança?
b) Escreva a medida que você indicou no item a em notação científica.
13. De acordo com outro trecho da reportagem apresentada na página 17, o diâmetro do buraco negro mede 40 bilhões de kilometros, cerca de 3 milhões de vezes o diâmetro da Terra.
Podemos afirmar que o diâmetro da Terra, em kilometro, corresponde a aproximadamente:
a) 4 1010
b) 6,5 ? 1010
c) 1,2 1011
0,0028 g 2,8 ? 10 3 g alternativa d
d) 1,3 10 4 e) 2,16 ? 10 4
14. Determine a medida aproximada do diâmetro interno dos canos nas medições representadas a seguir. Para isso, considere a medida com três algarismos significativos.
a) b) c)
16. Os objetos a seguir foram medidos com uma régua graduada em milimetro.
a) E m cada figura, identifique a ficha com a medida que melhor expressa o comprimento aproximado do objeto. Depois, classifique cada algarismo dessa medida em algarismo certo ou duvidoso.
7,43 cm; algarismos certos: 7 e 4; algarismo duvidoso: 3
15. Observe o recipiente graduado contendo certo volume de líquido.
Resposta possível:
Aproximadamente 1,6 L. Para estimar o volume de líquido, pode-se calcular a média aritmética de 1,5 L e 1,75 L, que é 1,625 L, e arredondar essa medida ao décimo do litro mais próximo, obtendo 1,6 L.
a) Q ue volume de líquido há nesse recipiente, em litro? Para escrever essa medida, considere dois algarismos significativos fazendo estimativas e arredondamentos. Depois, explique a um colega seus procedimentos.
b) Classifique cada algarismo da medida que você escreveu no item a em algarismo certo ou duvidoso.
Resposta possível: 1 é algarismo certo; 6 é algarismo duvidoso.
b) E xpresse em notação científica as medidas obtidas nos itens anteriores, utilizando o metro como unidade.
c) C om um colega, utilizem uma régua e meçam o comprimento de algum objeto como borracha, caderno, carteira escolar etc. Registrem o comprimento aproximado, em centimetro, do objeto escolhido e indiquem quais são os algarismos certos e o algarismo duvidoso dessa medida. Por fim, expressem, em metro, a medida do objeto em notação científica.
3,86 cm; algarismos certos: 3 e 8; algarismo duvidoso: 6 Respostas pessoais.
17. Aproximadamente 7,31 103 leucócitos por milimetro cúbico de sangue. Essa concentração de leucócitos está entre os valores de referência.
17. Os leucócitos, ou glóbulos brancos, são componentes celulares presentes no sangue humano, cujas principais funções são a defesa e a imunidade do organismo. Em exames laboratoriais, a contagem de leucócitos busca identificar a capacidade de resposta das células do corpo em diferentes situações. Em geral, as tabelas de referência indicam, por exemplo, que um homem adulto deve ter entre 5 103 e 1 10 4 de leucócitos por milimetro cúbico de sangue.
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 928-930.
Representação de hemácias (glóbulos vermelhos) e leucócitos (glóbulos brancos) na corrente sanguínea (imagem sem escala; cores-fantasia).
Um homem, por indicação médica, realizou um exame de contagem de leucócitos e obteve como resultado um total de 3,95 ? 1010
Considerando que o volume sanguíneo desse homem é de cerca de 5,4 L, determine a concentração de leucócitos por milimetro cúbico de sangue e verifique se essa quantidade está entre os valores de referência.
Lembre-se de que 1 L equivale a 1 000 000 mm³.
18. Um texto científico é uma produção textual com a finalidade de divulgar as ideias ou resultados de um estudo ou pesquisa científica. Esses textos podem ser divulgados em diferentes formatos, como artigos científicos publicados em revistas voltadas ou não a áreas específicas da Ciência. A Fundação Oswaldo Cruz (Fiocruz), por exemplo, é uma instituição vinculada ao Ministério da Saúde na qual são realizadas pesquisas e publicações científicas, entre outros serviços.
Observe um trecho de um dos artigos publicados por pesquisadores dessa instituição, cujo objetivo era compreender a distribuição e a função de células usadas em terapias avançadas.
[...] A quantidade de células injetadas em terapias celulares varia amplamente com o tipo celular, com a doença e com a via de injeção. Supondo uma terapia em que se utilize 1 x 106 células-tronco mesenquimais por kg de peso corporal, em um paciente de 70 kg será administrado 0,7 mg de ferro incorporado às células. [...]
JASMIN; BOROJEVIC, Radovan. Uso de nanopartículas no rastreamento de células em terapias avançadas: possibilidades e desafios para a aplicação clínica. Revista Visa em Debate: Sociedade, Ciência & Tecnologia, Rio de Janeiro, v. 6, n. 1, p. 56-63, 2018. p. 59. Disponível em: https://visaemdebate.incqs.fiocruz.br/index.php/ visaemdebate/article/view/1067/429. Acesso em: 24 jul. 2024.
DiCA
Você desconhece algum termo utilizado nesse texto da Fiocruz? Se necessário, realize uma pesquisa em livros ou sites confiáveis.
Considerando a terapia mencionada nesse trecho, responda.
a) Q uantas células-tronco são utilizadas em um paciente com 70 kg? Expresse o resultado em notação científica.
7 ? 107 células-tronco
b) C onsidere que a massa de ferro incorporada deva ser proporcional ao peso corporal do paciente. Nessas condições, quantos gramas de ferro devem ser incorporados às células injetadas em um paciente de 62 kg? Expresse o resultado em notação científica.
6,2 ? 10 4 g
c) C om um colega, realizem uma pesquisa sobre as características de um texto científico, como a linguagem utilizada, o que é considerado em sua produção/elaboração e qual é o público-alvo. Com base nas informações apresentadas nesta atividade e naquelas que vocês pesquisaram, escrevam um texto argumentativo sobre a importância da divulgação científica para a sociedade atual .
Pesquisa e elaboração dos estudantes
PARA PENSAR
A afirmativa a seguir é verdadeira ou falsa?
Argumente para defender sua resposta.
Pode-se calcular a raiz real de um número real negativo apenas no caso de o índice dessa raiz ser um número natural ímpar maior que 1.
Verdadeira. Resposta esperada:
Ao multiplicar uma quantidade par de fatores com o mesmo sinal, o resultado é positivo e, ao multiplicar uma quantidade ímpar de fatores negativos, o resultado também é negativo. Assim, de acordo com a definição de radiciação, se a é um número real negativo, então n √ a = b se, e somente se, bn = a apenas no caso de n ser um número natural ímpar maior que 1.
Em anos anteriores, você provavelmente estudou a operação de radiciação. Agora, retomaremos e ampliaremos esse estudo.
Na radiciação, sendo a e b números reais não negativos e n um número natural maior que 1, dizemos que n √ a = b se, e somente se, bn = a.
Raiz Índice
Exemplos:
Para representar uma raiz quadrada, costumamos não indicar o índice. Assim, por exemplo, podemos representar 2 √ 25 por √ 25 . DiCA
É possível estabelecer uma relação entre uma potência com expoente racional escrito na forma de fração e uma raiz. Observe.
Sendo a um número real positivo, m e n números naturais com n . 1, definimos:
As propriedades de potências estudadas anteriormente também são válidas no caso de expoentes racionais.
Para justificar, por exemplo, a igualdade 6 3 2 = √ 63 , podemos considerar x = 6 3 2 , com x . 0.
Como bn = a, então n √ a = b, segue que: x
. Assim, temos que, 6 3 2 = 2 √ 6 3 .
A partir da definição, podemos estabelecer algumas propriedades da radiciação. Utilizando as propriedades da potenciação, é possível justificar essas propriedades da radiciação. Acompanhe.
Propriedade I: Sendo a [ r e n [ n, com a . 0 e n . 1, temos: n √ a n = a
Observe como podemos justificar essa propriedade: n √ a n =
Exemplos:
Propriedade II:
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Exemplos:
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Exemplos
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Exemplos
Propriedade V: Sendo a [ r, m [ n e n [ n, com a . 0, m . 0 e n . 1, temos:
( n √ a ) m = n √ a m
Observe como podemos justificar essa propriedade. (n √a ) m = (a )m = a m 1 n = a m
Exemplos:
Nesta Unidade, estudamos potências com expoente racional. Agora, vamos ampliar esse estudo abordando as potências com expoente irracional, e, dessa maneira, abordar potências em que o expoente é qualquer número real.
Considere, por exemplo, a potência 2 √ 10 , em que √ 10 é um número irracional.
Inicialmente, note que 3 , √ 10 , 4, pois 9 , 10 , 16 .
Assim, temos:
32 42 (√10 )2
2 3 , 2 √ 10 , 2
Podemos concluir que 2 √ 10 é um número real maior que 8 e menor que 16.
Para determinar aproximações racionais de 2 √10 , podemos utilizar uma calculadora para obter aproximações racionais de √ 10 e, em seguida, calcular a potência obtida.
Exemplos:
√ 10 1 2 3,162 1 8,951
Quanto mais próximo de √ 10 é o número racional correspondente, mais próximo o resultado obtido é de 2 √10 . Por exemplo, dentre as aproximações obtidas, a mais próxima de 2 √10 é 8,951.
Dada uma potência a b, sendo a um número real positivo qualquer e b um número irracional qualquer, podemos obter aproximações de a b calculando a r, sendo r uma aproximação racional de b:
r 1 b H a r 1 a b
Quanto mais próximo b é de r, mais próximo a b é de a r . 1 n
DiCA
As propriedades operatórias das potências com expoente racional que estudamos anteriormente também são válidas para as potências com expoente irracional e, portanto, para as potências com expoente real.
R6. Utilizando as propriedades apresentadas, simplifique a expressão 3 √ 5 (6 √ 2 )2
3 √ 10 .
Resolução
3 √ 5 ? (6 √ 2 )2
Identifique na resolução da expressão o uso das propriedades apresentadas. PARA PENSAR
R7. (Enem/MEC) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M ”.
HUGHES-HALLETT, D. et al Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k . 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
a)
b)
Resolução
De acordo com as informações do enunciado, podemos escrever a expressão a seguir. S 3 = k M 2
Como S corresponde a uma medida de superfície, temos S > 0. Assim, de acordo com a definição de radiciação e as propriedades de raízes e de potências apresentadas, temos:
Portanto, a alternativa d é a correta.
19. Escreva os radicais a seguir na forma de potência.
4 √ 9 3
20. Em cada item, simplifique a expressão indicada, escrevendo-a como um único radical.
23. Resposta esperada: Considerando as informações do enunciado, não é possível comparar os valores das duas expressões, pois, se 0 , x , 1, o valor da expressão I será maior que o da expressão II; se x . 1, o valor da expressão I será menor que o da expressão II; e se x = 1, as duas expressões terão valores iguais.
21. Observe as etapas que podem ser realizadas para simplificar 4 √ 405 .
EDITORIA DE ARTE
a) Reúna-se com um colega e, com base no exemplo apresentado, construam um fluxograma com as etapas que podem ser realizadas para simplificar uma raiz.
Resposta nas Orientações para o professor.
b) Agora, utilizem o fluxograma que vocês elaboraram e simplifiquem as raízes a seguir.
22. Quando há um radical no denominador de uma fração, podemos racionalizá-lo, ou seja, obter uma fração equivalente sem radical no denominador. Observe os exemplos.
Racionalize os denominadores das frações a seguir.
23. Considere as seguintes expressões, em que x representa um número real positivo.
3 √ √ x II) (3√ x ) 2
Ao compará-las, podemos afirmar que o valor da expressão I é maior, menor ou igual ao da expressão II? Justifique sua resposta.
24. Elabore três expressões envolvendo radiciação e troque-as com um colega para que um simplifique as expressões do outro. Depois, cada um deve corrigir as simplificações das expressões que elaborou, indicando quais propriedades foram utilizadas pelo colega. Por fim, conversem sobre as etapas realizadas.
Elaborações do estudante.
25. Use uma calculadora e obtenha, para cada potência a seguir, uma aproximação racional, com uma casa decimal.
a) 3 √ 2 b) 4 √ 5 c) (√ 2 ) √ 2 d) 2 p
26. Quais das potências a seguir são números reais maiores que 50 e menores que 80?
alternativa a
82
27. Considerando 1,4 como valor aproximado de √ 2 , qual alternativa apresenta um número real mais próximo de 6 √ 2 ? alternativa a a) 5 √ 6 7 b) 7 √ 6 5 c) √ 6 14 d) 14√ 6 2 e) 4 √ 6
• Se a , 0, é possível que ax não seja um número real. Por exemplo, seja a = 4 e x = 1 2 , temos ( 4) 1 2 { r. Nesse caso, f não é uma função de r em r+*.
• Se a = 0, para x . 0 temos f (x) = 0x = 0, que é uma função constante. Para x < 0 não se define em r a potência 0x Nesse caso, f não é uma função de r em r+*.
Você sabe o que é mitose? A mitose é um processo que faz parte da divisão celular e que consiste na divisão do núcleo de uma célula em dois núcleos geneticamente idênticos. As “células-filha”, resultantes da mitose, têm o mesmo número de cromossomos que a célula original.
Agora, observe o esquema a seguir com algumas etapas da mitose.
1a divisão celular: 2 = 21 células-filha
2a divisão celular: 4 = 22 células-filha
3 a divisão celular: 8 = 23 células-filha
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 237.
Note que, a cada divisão celular, a quantidade de células-filha obtidas está relacionada com a ordem da divisão celular. Desse modo, podemos estudar a quantidade total de células-filha obtidas a partir de uma única célula, por meio de uma função f, de acordo com a quantidade x de divisões celulares, com x [ n. A lei de formação da função f : n H n pode ser escrita como:
Ordem da divisão celular
f (x ) = 2x
Quantidade total de células-filha
Podemos determinar com essa função a quantidade total de células-filha obtidas na 8a divisão celular calculando f (8), por exemplo.
f (8) = 28 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 256; ou seja, 256 células-filha .
Na situação apresentada, é explorada a ideia de função exponencial.
Denominamos função exponencial toda função f : r H r + * definida pela lei de formação f (x) = a x, em que a [ r, com a . 0 e a 5 1.
Observe exemplos de leis de formação de funções exponenciais.
a) f (x ) = 4x
Neste caso, a = 4.
b) f (x ) = ( 1 7 )x
Neste caso, a = 1 7
c) f (x ) = (0,2)x
Neste caso, a = 0,2.
d) f (x ) = (√ 3 ) x
Neste caso, a = √ 3 .
• Se a = 1, temos f (x) = 1x = 1, que é uma função constante em todo o domínio de f. Portanto, não é possível caracterizar uma função exponencial sem a restrição.
De acordo com o esquema, quantas células-filha haverá ao todo na 4 a divisão celular? 16 células-filha
Representação esquemática da mitose de uma célula (imagem sem escala; cores-fantasia).
DiCA
A representação r + * indica o subconjunto dos números reais não negativos (+) e diferentes de zero (*).
Na definição de função exponencial, é indicada a restrição a [ r , com a . 0 e a 5 1. Explique por que essa restrição é necessária. PARA PENSAR
R8. Considerando a função exponencial f dada por f (x) = 4x, calcule:
a) f (3); b) f ( 2); c) f (0); d) f ( 1 2 ).
Resolução
a) f (3) = 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64
b) f ( 2) = 4 2 = 1 4 2 = 1 16
28. a, c e f. Respostas nas Orientações para o professor.
28. Identifique quais dos itens a seguir representam funções exponenciais. Justifique.
a) f (x ) = ( 1 2 )x
b) g ( x ) = x 2
c) h(x ) = 2 1 2 x d) j(x ) = ( 4) x e) m ( x ) = 4x + 9 f) n(x ) = 1 3 x
29. Sejam as funções f e g dadas por f ( x ) = 3x e g ( x ) = 8 x , calcule:
a) f (4); b) g (3); c) f ( 2); d) g( 1 3 ); e) f (3) g (1); f) 2g (2) f (5).
30. Defina uma função exponencial e indique alguns valores de seu domínio. Depois, troque seus registros com os de um colega para que ele calcule as imagens dos valores indicados, enquanto você faz o mesmo com os registros que receber. Ao final, confiram juntos as resoluções.
31. Um estudo sobre a bactéria Escherichia coli foi desenvolvido em etapas de 20 min, quando era identificada a quantidade dessa bactéria em um microscópio. A cada etapa desse estudo, percebeu-se que a quantidade de bactérias dobrava. Sabendo que no início do estudo havia uma única bactéria, responda às questões a seguir.
Duas bactérias Escherichia coli. Essa espécie é comumente encontrada no intestino humano (imagem de microscopia eletrônica, aumento aproximado de 8 400 vezes; colorida artificialmente).
a) Qual é a quantidade de bactérias identificadas na etapa 5 do estudo? E na etapa 6?
32 bactérias; 64 bactérias
c) f (0) = 4 0 = 1 d) f ( 1 2 ) = 4 1 2 = √ 4 = 2
32. b) h(x) = ( 1 2 )x
b) Após 4 h do início do estudo, quantas eram as bactérias?
4 096 bactérias
c) Escreva a lei de formação de uma função f que expressa a quantidade de bactérias em cada etapa x desse estudo.
f (x) = 2x
32. A meia-vida de um medicamento é o tempo gasto para que seu princípio ativo se reduza à metade em um organismo. Bruna ingeriu um comprimido de um medicamento com 1 mg de princípio ativo que tem meia-vida de 24 h.
a) Q ual é a quantidade do princípio ativo desse comprimido no organismo de Bruna após 2 dias de sua ingestão? E após 4 dias de sua ingestão? 0,25 mg; 0,0625 mg
b) Escreva a lei de formação de uma função h que expresse a quantidade (em mg) do princípio ativo desse comprimido no organismo de Bruna, x dias após sua ingestão.
c) Durante um tratamento, Bruna deveria ingerir um comprimido desses a cada intervalo de tempo determinado por um médico.
Observe parte de uma anotação que ela fazia após ingerir os comprimidos.
2º terça-fe¡ra,compr¡m¡do: às 20 h
3º qu¡nta-fe¡ra,compr¡m¡do: às 14 h
Os dois primeiros comprimidos foram ingeridos no intervalo de tempo determinado pelo médico, mas o 3 o comprimido foi ingerido com 6 horas de diferença em relação ao intervalo correto. Determine qual era a quantidade do princípio ativo, apenas do 1o comprimido, no organismo de Bruna quando ingeriu o 3o comprimido.
32. c) Resposta possível: Aproximadamente 0,074 mg ou 0,105 mg.
Vamos esboçar o gráfico de funções exponenciais. Para isso, atribuímos valores arbitrários para x e obtemos pares ordenados ( x, y ), que serão representados por pontos no plano cartesiano. Como o domínio de uma função exponencial é r, esboçamos o gráfico traçando a curva formada pelos pontos obtidos por meio desse conjunto.
Exemplos:
a) f (x) = 2x
1
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
Quais são as coordenadas do ponto em que os gráficos de f e de g intersectam o eixo y? (0,1)
O gráfico de uma função exponencial é denominado curva exponencial
O gráfico de uma função exponencial intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 1) e não intersecta o eixo x, sendo definida acima desse eixo, ou seja, Im(f ) = r + * .
Nos exemplos das funções f e g, note que, à medida que diminuímos ou aumentamos o valor de x , respectivamente, o gráfico aproxima-se do eixo x , mas não o intersecta. De modo geral, dizemos que o eixo x é a assíntota da curva exponencial.
Observando os gráficos apresentados, podemos notar que na função f , sempre que aumentamos os valores de x, os valores correspondentes de y também aumentam. Já na função g , sempre que aumentamos os valores de x , os valores correspondentes de y diminuem.
Uma função exponencial é:
• crescente quando a . 1, pois, nesse caso, a x2 . a x1 quando x2 . x1
• decrescente quando 0 , a , 1, pois, nesse caso, a x2 , a x1 quando x2 . x1
Gráfico de uma função do tipo exponencial
O gráfico de uma função do tipo exponencial f : r H r, definida por f (x ) = b ? a x + c, em que a, b e c são números reais, com a . 0, a 5 1 e b 5 0, também é denominado curva exponencial.
Exemplos: a) h
Temos que h é uma função do tipo exponencial em que b = 2, a = 2 e c = 4. Sobre essa função, podemos realizar as seguintes afirmações:
• é uma função crescente;
• a reta y = 4 é assíntota do gráfico e Im(h) = ] 4, ›[.
)
m(0) = 1 20 + 5 = 1 + 5 = 4 (0, 4) 1 m(1) = 1 ? 21 + 5 = 2 + 5 = 3 (1, 3) 2 m(2) = 1 22 + 5 = 4 + 5 = 1 (2, 1)
Temos que m é uma função do tipo exponencial em que b = 1, a = 2 e c = 5. Sobre essa função, podemos realizar as seguintes afirmações:
• é uma função decrescente;
• a reta y = 5 é assíntota do gráfico e Im(m) = ] _›, 5[.
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R9. Observe o gráfico da função dada por h(x) = b ? ( 1 2 )x + c, em que b e c
são números reais não nulos, e o gráfico da função afim m.
a) Determine os números reais b e c .
b) Qual é o conjunto imagem da função h ?
c) Escreva a lei de formação da função m
Resolução
a) Do gráfico, temos que h (0) = 3 e h ( 1) = 5. Assim, segue que: • h(0) = b ( 1 2 )0 + c h b + c = 3 • h( 1) = b ( 1 2 ) 1 + c h 2
Para determinar os números reais b e c , podemos escrever e resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. { b + c = 3 ? ( 1) 2b + c = 5 h { b c
Substituindo b = 2 na 1a equação do sistema, temos: 2 + c = 3 h c = 1
Portanto, b = 2 e c = 1, ou
b) Como ( 1 2 )x . 0 , p odemos multiplicar por 2 ambos os membros dessa desigualdade. Depois, subtraímos 1 em ambos os membros da desigualdade obtida: ( 1 2 )x . 0 h 2 ( 1 2 )x , 2 0 h 2 ( 1 2 )x , 0 h 2 ( 1 2 )x 1 , 1
h ( x )
Portanto, Im(h ) = {y [ r | y , 1}.
c) Analisando os gráficos, temos que m ( 1) = 1 e m (1) = h (1). Assim, segue que: m(1) = h(1) h m(1) = 2 ( 1 2 )1 1 h m(1) = 2
Considerando a função afim m dada por m ( x ) = dx + e , temos:
• m (1) = d ? 1 + e h d + e = 2 • m ( 1) = d ? ( 1) + e h d + e = 1
Para determinar os números reais d e e, podemos escrever e resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas.
d + e = 2 d + e = 1 + 0d + 2e = 3 h e = 3 2
Substituindo e = 3 2 na 1a equação do sistema, temos: d + ( 3 2 ) = 2 h d = 1 2
Portanto, m(x) = 1 2 x 3 2 .
R10. O iodo-131, cuja meia-vida é de cerca de 8 dias, é um isótopo radioativo do iodo, usado para o tratamento de câncer de tireoide. Considere um experimento que mede a variação da massa de uma amostra com 20 g de iodo-131 de acordo com o tempo. Podemos escrever a lei de formação da função m como m(t ) = 20 ? (0,5) t 8 , que expressa a massa m de iodo-131, em grama, após t dias do início desse experimento. Nessa situação, podemos estudar quanto variou, em média, a massa do iodo-131 em determinado intervalo de tempo. Para isso, é possível determinar a taxa de variação média de m , para t variando de t1 até t 2, expressa por:
m(t2) m(t1) t2 t1
De acordo com as informações apresentadas, compare a taxa de variação média de m , para t v ariando de 0 até 8 e t v ariando de 16 até 24. Depois, interprete esses resultados de acordo com o contexto do experimento.
Representação esquemática de uma tireoide. O tratamento de câncer de tireoide com o iodo-131 costuma ser denominado iodoterapia. (imagem sem escala; cores-fantasia).
Isótopo: átomo que tem o mesmo número atômico de outro átomo do mesmo elemento, mas com massa diferente.
Taxa de variação média de m , para t variando de 0 até 8:
• m(0) = 20 ? (0,5) 0 8 = 20 • m(8) m(0) 8 0 = 10 20 8 = 10 8 = 1,25
• m(8) = 20 (0,5) 8 8 = 10
Taxa de variação média de m , para t variando de 16 até 24:
• m(16) = 20 ? (0,5) 16 8 = 5 • m(24) m(16) 24 16 = 2,5 5 8 = 2,5 8 = 0,3125
• m(24) = 20 ? (0,5) 24 8 = 2,5
P ortanto, a taxa de variação média de m , para t variando de 0 até 8, foi 1,25 e, para t v ariando de 16 até 24, foi 0,3125. Em relação ao contexto do experimento, podemos dizer que, dos dias 0 até 8, a massa do iodo-131 variou, em média, 1,25 g por dia; e, dos dias 16 até 24, a variação média de iodo-131 por dia foi de 0,3125 g.
Observe o gráfico m
Realize uma pesquisa sobre o uso de iodo-131 em tratamentos de câncer de tireoide. Procure informações sobre algumas características, tais como: quando é necessário realizar uma iodoterapia, o modo de administração desse isótopo, qual sua eficácia e possíveis efeitos colaterais. Compartilhe com os colegas as informações que você obteve. Resposta pessoal.
33. c) Resposta esperada: Não, pois, como f é uma função exponencial, f (x) . 0 para todo x [ r.
33. Observe o gráfico a seguir, que representa uma função exponencial f dada por f ( x ) = ax , e responda às questões.
0 x y f
a) A f unção dada por f ( x ) = a x é crescente ou decrescente? O número a pertence a qual intervalo: ]0, 1[ ou ]1, › [ ? decrescente; ]0, 1[
b) Quais são as coordenadas do ponto em que esse gráfico intersecta o eixo das ordenadas?
c) A f unção f tem zero real? Justifique.
d) E studamos que uma função exponencial dada por f ( x ) = ax é positiva em todo o seu domínio, ou seja, f ( x ) . 0 para todo x [ r . O que podemos afirmar sobre o sinal de uma função g : r H r , definida por g ( x ) = a x , com a [ r e a 5 1? Justifique sua resposta. (0, 1) Resposta esperada: Como g(x) = f (x), podemos afirmar que g é uma função negativa em todo o seu domínio, ou seja, g(x) , 0 para todo x [ r.
34. Analise as fichas e associe cada gráfico representado nos itens à lei de formação correspondente
a) s; b) f; c) g; d) t
35. Observe os gráficos da função afim g e da função dada por f ( x ) = b ? 2 x + c , em que b e c são números reais não nulos.
37. b) f(x1 + x2) = a (x1 + x2) = a x1 ? a x2 = f(x1) ? f(x2)
37. c) f (nx) = anx = axn = (ax)n = (f (x))n
36. Usando uma malha quadriculada ou um programa de computador, esboce os gráficos das funções a seguir.
a) f ( x ) = 3x + 1
35. a) função f: crescente; função g: decrescente; Respostas nas Orientações para o professor.
a) C lassifique as funções em crescente ou decrescente. Justifique.
b) D etermine a lei de formação de cada uma das funções. f ( x) = 2 2 x 3; g( x) = 3x + 4
c) Qual é o conjunto imagem da função f ? E o da função g? Im(f ) = { y [ r | y . 3}; Im( g) = r
Respostas nas Orientações para o professor.
b) g (x ) = (0,25)x 1 c) h(x ) = ( 1 3 )x d) m(x ) = 1 2 ? 4 x
37. Justifique matematicamente a validade das seguintes propriedades de uma função exponencial f qualquer, definida por f ( x ) = ax
a) O gráfico passa pelo ponto de coordenadas (1, a ) f (1) = a1 = a
b) Dados dois números reais quaisquer, x1 e x 2 , temos f ( x1 + x 2) = f ( x1) ? f ( x 2).
c) Dado n [ r , temos f (nx ) = ( f ( x )) n
38. Você sabe o que são fake news? Leia o trecho a seguir.
Com a revolução digital, houve um grande aumento da disseminação de notícias falsas (fake news). Para que esses conteúdos atinjam grande público, são usados algoritmos que aumentam seu alcance e repercussão. Além disso, as notícias falsas são compartilhadas com e por pessoas que já acreditam em determinadas ideias, o que torna ainda maior a chance de produzirem posicionamentos radicais entre as pessoas.
PARANÁ. Tribunal Regional Eleitoral. Como identificar fake news: na dúvida, não compartilhe. Curitiba: TRE, 2023. Disponível em: www.tre-pr.jus.br/comunicacao/noticias/2023/ Setembro/como-identificar-fake-news-na-duvida-nao -compartilhe-1. Acesso em: 24 jul. 2024.
Considere que uma pessoa mal-intencionada elabora e posta uma fake news em certa rede social. O gráfico a seguir representa a quantidade de compartilhamentos dessa postagem a cada hora.
Nesse plano cartesiano, os eixos têm escalas diferentes. DiCA
a) Q ual alternativa apresenta a lei de formação de uma função f que melhor relaciona o tempo t , em hora, desde a postagem da fake news e a quantidade total f (t ) de compartilhamentos dela na rede social?
I) f (t ) = 1 + 2t
II) f (t ) = 1 + 3t III) f (t ) = 2t + 1
alternativa II
b) De acordo com a lei de formação que você indicou no item a , estime a quantidade de compartilhamentos dessa fake news na rede social quando ela completar 10 horas de publicação. 59 048 compartilhamentos
c) E xistem algumas estratégias que podemos adotar para identificar fake news . Por exemplo, é importante desconfiar quando o texto contém erros gramaticais (os textos jornalísticos costumam ser revisados) e se a fonte é um site ou um canal de notícias desconhecidos. Para certificar-se de que as informações são verdadeiras, também é possível consultar um site de verificação. Com um colega, pesquisem outras estratégias que podem ser adotadas para evitar a disseminação de fake news . Por fim, compartilhem as informações pesquisadas com os colegas.
Pesquisa do estudante.
39. Imagine investir certa quantia e, em pouco tempo, ela duplicar ou triplicar. Essa é a ilusão que leva muitas pessoas a sofrer um golpe conhecido como pirâmide financeira. Nesse golpe, de maneira geral, o criador convida pessoas a participar de um investimento com a promessa de ganhos rápidos e vultosos. Para que esses ganhos sejam efetivados, essas pessoas devem recrutar novos participantes, e assim por diante. Conforme o grupo aumenta, os recursos investidos pelos novos participantes servem para pagar aos mais antigos, ou seja, o dinheiro apenas é movimentado de um nível para outro da pirâmide, e uma parte fica com o criador do esquema. Assim, quando a quantidade de novos participantes começa a diminuir ou crescer mais lentamente, a pirâmide desaba, e muitos dos participantes perdem a quantia investida. Conforme previsto na lei no 1.521/1951 (disponível em: https://www. planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l1521.htm, acesso em: 24 jul. 2024), a pirâmide financeira é um crime contra a economia popular.
a) Você tem conhecimento de alguma notícia sobre pirâmide financeira? Converse com o professor e os colegas a respeito disso.
• Para resolver os itens b, c e d, considere uma pirâmide financeira em que, para cada nível, a partir do criador, cada participante deve convocar quatro novos integrantes, conforme representado a seguir.
Nível da pirâmide Quantidade de participantes 1 1 2 4 3
b) Quantos participantes tem o nível 5 dessa pirâmide? E o nível 6 ?
c) Escreva a lei de formação de uma função na qual possa ser determinada a quantidade q de participantes que ingressarem no nível n dessa pirâmide financeira.
d) Considere que, para ingressar nessa pirâmide, foi necessário investir R $ 1.000,00 e que ela desabou logo após completar o ingresso dos participantes do nível 9, de maneira que todos os participantes que ingressaram nos três últimos níveis perderam toda a quantia investida. Ao todo, de quantos reais foi o prejuízo desses participantes da pirâmide financeira?
40. Com base na tabela a seguir, elabore uma situação-problema envolvendo função exponencial. Em seguida, troque-a com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que recebeu. Ao final, confiram juntos as resoluções
Elaboração do estudante.
Experimento I: Crescimento populacional de certa bactéria Tempo
Fonte: Dados fictícios. Resposta pessoal.
Analisando o gráfico de função do tipo exponencial
Estudamos, nesta Unidade, as funções do tipo exponencial f : r H r , definidas por f ( x ) = b ? a x + c , em que a , b e c são números reais, com a . 0, a 5 1 e b 5 0. Agora, vamos estudar como os gráficos dessas funções se comportam ao alterarmos os valores dos parâmetros a, b e c , utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível para acesso on-line e download em: https://www.geogebra.org/download (acesso em: 24 jul. 2024).
A Para modificar o valor do parâmetro a, vamos criar um controle deslizante. Com a opção (Controle Deslizante) selecionada, clicamos na Janela de visualização e, na caixa de texto que abrir, digitamos a no campo Nome. Por fim, clicamos em OK. De maneira análoga, criamos controles deslizantes para os parâmetros b e c.
B P ara representar o gráfico da função do tipo exponencial, digitamos, no campo Entrada, a lei de formação f(x) = b * a^x + c e pressionamos Enter. Podemos ajustar os valores dos parâmetros a , b e c na lei de formação da função com os controles deslizantes e observar o resultado dos ajustes realizados diretamente no formato do gráfico obtido.
1. b) Considerando f(x) = b ? ax + c, para a = b = c = 1, a lei de formação de f é dada por f(x
=
Assim, nesse caso, f é uma função constante, e não é uma função do tipo exponencial, pois a = 1.
1. Observe a construção realizada no exemplo e resolva as questões a seguir.
a) Ao criar os controles deslizantes, quais são os valores de cada variável? a = b = c = 1
b) Ao construir o gráfico de f, com os parâmetros a , b e c ajustados da mesma maneira em que foram criados os controles deslizantes, qual é a lei de formação dessa função? Essa é uma função do tipo exponencial? Por quê?
c) Agora, observe a última imagem do exemplo.
• Para quais valores os parâmetros a , b e c foram ajustados? a = 2, b = 4 e c = 2
• Qual é a lei de formação da função f obtida? f(x) = 4 ? 2x 2
• A f unção f obtida é crescente ou decrescente? crescente
• Q uais são as coordenadas dos pontos em que o gráfico da função f obtida intersecta os eixos cartesianos? eixo x: ( 1, 0); eixo y: (0, 2)
2. No GeoGebra , reproduza a construção apresentada no exemplo. Depois, ajuste os controles deslizantes correspondentes aos parâmetros a e b conforme indicado nos itens a seguir.
I) a . 1 e b . 0
II) a . 1 e b , 0
III) 0 , a , 1 e b . 0
IV) 0 , a , 1 e b , 0
• Com os parâmetros a e b ajustados, em quais itens a função f obtida é crescente? E decrescente?
crescente: I e IV; decrescente: II e III
3. No GeoGebra também podemos estudar a assíntota da curva exponencial. Para isso, após realizada a construção apresentada no exemplo, no campo Entrada digitamos Assíntota(f) e pressionamos
Enter. Com isso, é traçada a assíntota da curva exponencial na Janela de visualização e, na Janela de Álgebra , é possível identificar a equação da reta correspondente à assíntota. Observe.
REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
a) Qual é a lei de formação da função f obtida nesse caso? f(x) = 1 2x 3 ou f(x) = 2x 3
b) Quais são as coordenadas em que a assíntota dessa curva exponencial intersecta o eixo y? Qual é a equação da assíntota? (0, 3); y = 3
c) Na construção que você fez no GeoGebra na atividade 2, ajuste os parâmetros a , b e c para obter uma curva exponencial qualquer e represente a assíntota dessa curva. Depois, varie apenas o valor do parâmetro c e responda às questões a seguir.
• O que ocorre com a curva exponencial ao modificar o valor do parâmetro c?
• Q ue relação você pode observar entre o valor do parâmetro c e a equação da assíntota da curva exponencial? Resposta esperada: A equação da curva exponencial é dada por y = c.
Resposta esperada: O formato da curva se mantém, mas ela é deslocada verticalmente para cima ou para baixo ao, respectivamente, aumentar ou diminuir o valor do parâmetro c
Leia a situação descrita a seguir.
Em um laboratório, um biomédico realizou um estudo envolvendo as populações de dois microrganismos, A e B . Constatou-se que, após t horas do início do estudo, a quantidade de indivíduos da população do microrganismo A podia ser estimada pela função f dada por f (t ) = 82t e a do microrganismo B, pela função g dada por g(t ) = 4 ? 16t
Biomédico manuseando placa de Petri em experimento de Microbiologia.
SOMPRASONGWITTAYANUPAKORN/SHUTTERSTOCK.COM
É possível estimar após quanto tempo do início desse estudo as populações desses dois microrganismos terão a mesma quantidade de indivíduos determinando o valor de t para o qual f (t ) = g (t ), ou seja, resolvendo a equação a seguir.
82t = 4 ? 16t
Equações como essa, que apresentam incógnita apenas no expoente, são denominadas equações exponenciais.
Para resolver equações exponenciais podemos, quando possível, escrever cada um de seus membros como potências de mesma base e utilizar a propriedade a seguir.
Seja uma função exponencial dada por f (x) = a x, temos que f (x1) = f (x2) se, e somente se, x1 = x2, ou seja: a x1 = a x2 k x1 = x2
Assim, em relação à equação 82t = 4 ? 16t, temos que:
82t = 4 ? 16t h (23)2t = 22 ? (24)t h 26t = 22 ? 24t h 26t = 24t + 2
Da propriedade apresentada, segue:
6t = 4t + 2 h 2t = 2 h t = 1
Portanto, as quantidades de indivíduos das populações desses dois microrganismos serão iguais após 1 h do início do estudo.
NO MUNDO
DO TRABAlHO
Biomédico
Após 1 h do início do estudo dessas populações de microrganismos, quantos indivíduos terá cada uma delas? 64 indivíduos PARA PENSAR
O biomédico é um profissional que estuda os organismos e os microrganismos, incluindo as interações entre eles. Pode atuar em pesquisa, análise ambiental, realização de exames clínicos em laboratórios e hospitais, desenvolvimento de medicamentos e produção de vacinas, procedimentos estéticos, entre outras áreas. Acesse o vídeo indicado a seguir sobre a história da Biomedicina no Brasil.
• BIOMEDICINA: 40 anos de regulamentação. [S. l.: s. n.], 2021. 1 vídeo (2 min). Publicado pelo canal Conselho Federal de Biomedicina. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=VFQzsdnUaE4. Acesso em: 24 jul. 2024.
R11. Resolva as equações exponenciais.
a) 2 x = 32
b) 496x + 1 = 710x
c) 1 = 5 8 x d) (0, 4) 3x = 4 25 e) 81 = 9 2x 2 8
Resolução
a) 2 x = 32 h 2 x = 25 h x = 5
Portanto, S = {5}.
b) 496x + 1 = 710x h (72) 6x + 1 = 710x h
h 712 x + 2 = 710x h 12x + 2 = 10x h
h 2x = 2 h x = 1
Portanto, S = { 1}.
c) 1 = 5 8 x h 5 0 = 5 8 x h 0 = 8 x h
h x = 8
Portanto, S = {8}. d) (0, 4) 3x = 4 25 h ( 4 10 )3x = 4 25 h h ( 2 5 )3x = ( 2 5 )2 h 3x = 2 h x = 2 3
R12. Determine a solução da equação 9x 4 = 2 5 ? 3x
Resolução
Temos que: 9x 4 = 2 5 ? 3x h (32)x + 5 ? 3x
h (3x )2 + 5 ? 3x 6 = 0
S = { 2 3
Portanto, S = { √ 5 , √ 5 }
= √ 5
Note que (32)x = 32 x = 3x 2 = (3x )2
Nesse caso, não é possível escrever cada membro da equação como potências de mesma base.
Então, uma estratégia é substituir y = 3 x na equação como artifício de cálculo: (3 x) 2 + 5 ? 3 x 6 = 0 h y 2 + 5y 6 = 0 h y = 5 ± √ 49 2 h h y
Note que, para resolver a equação do 2o grau obtida, foi utilizada a fórmula resolutiva.
Como y = 3x , estudamos os casos a seguir.
• Para y = 1, temos: 1 = 3x h 30 = 3x h x = 0
• Para y = 6, temos: 6 = 3x (impossível)
Portanto, S = {0}.
PARA PENSAR Elaboração do estudante.
Elabore duas equações exponenciais e troque-as com um colega para que um resolva as equações escritas pelo outro. Depois, cada um deve corrigir as resoluções das equações que elaborou. Por fim, conversem sobre as etapas realizadas.
R13. N a f igura, estão representados em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções dadas por f ( x ) = 2 (0,25) x 3 e g ( x ) = 2 x 2 .
Determine as coordenadas do ponto P
Resolução
Como o ponto P ( xP , yP ) corresponde à interseção dos gráficos das funções f e g , temos que yP = f ( xP ) = g ( xP ). Assim, segue que: f(xP) = g(xP) h 2 ? (0,25) x P 3 = 2 xP 2 h h ( 1 4 )xP 3
PARA PENSAR
C alculando f (3), temos: f (3) = 2 ? (0,25)3 3 = 2 ? (0,25) 0 = 2
Portanto, o ponto P tem coordenadas (3, 2).
R14. Certa espécie de eucalipto utilizada na produção de papel atinge o ponto de corte ideal com 32 m de altura. Podemos admitir por aproximação que essa espécie de eucalipto, do plantio ao corte, tem crescimento exponencial modelado pela função f dada por f (t ) = b a t, na qual f (t) corresponde à altura da planta (em metro), t corresponde ao tempo após o plantio (em ano) e a e b são constantes reais positivas. Observe o gráfico dessa função.
Sabendo que f (0) corresponde à altura da muda no momento do plantio, qual é o tempo necessário para que essa planta atinja seu ponto de corte ideal?
Do enunciado e do gráfico, temos:
• f (0) = 1 8 h b ? a 0 =
h a 6 = 2 6 h a = 2
Plantação de eucaliptos em São Desidério (BA). Fotografia de 2022.
Qual é a cor dos gráficos f e g ? f: azul; g: laranja
A ssim, f (t) = 1 8 ? 2 t. Fazendo f (t ) = 32, temos: f (t ) = 32 h 1 8 ? 2 t = 32 h 2 t = 25 6 h h 2 t = 2 8 h t = 8
Portanto, serão necessários 8 anos após o plantio da muda para que essa planta atinja seu ponto de corte ideal.
41. Resolva as equações exponenciais.
a) 1 331 = 114x
b) 25x + 9 = 625
S = { 3 4 }
c) 9x 2 + 2 = 272 x d) 1 49 = 343 x e) 641 2 x = 0,253x f) (4 √ 3 )2x = 81 √ 3
S = { 7} S = {1, 2}
= { 2 3 }
= {1}
= {9}
42. Em cada item, determine a solução da equação.
a) 7x = 42 49x S = {1}
b) 81 = 10 ? 3x + 1 9x S = {1, 3}
c) 4x 1 + 8 = 3 2 x S = {2, 3}
43. Escreva duas equações semelhantes às da atividade anterior e troque-as com um colega para que um resolva as equações do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaborações do estudante.
44. As figuras a seguir são compostas de quadrados na cor laranja idênticos e correspondem aos primeiros termos de uma sequência de figuras. Analise.
45. Observe os gráficos das funções f e g e determine as coordenadas do ponto em que elas se intersectam. ( 1, 3) 0 x y 6 2x + 1 g (x ) = x 1 2 f (x ) =
46. (UFPR) A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão V (t ) = 1 000 20,0625 t fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará? alternativa c
a) 8.
b) 12. c) 16. d) 24. e) 32.
47. A depreciação de certo produto pode ser calculada pela função p (t ) = 6 561 ? 3 0,4t , em que p é o preço desse produto, em reais, após t anos de sua fabricação.
R$ 6.561,00
a) Qual é o preço desse produto ao ser fabricado?
b) Após quanto tempo de sua fabricação o preço desse produto será igual a R $ 2.187,00?
2,5 anos ou 2 anos e 6 meses
a) Q ual das leis de função a seguir indica a quantidade de quadrados na cor laranja da figura n dessa sequência? Justifique sua resposta.
I) f (n) = 3n
II) f (n) = 3 n
III) f (n) = 3 + n
II. Em cada figura, temos, respectivamente, 3, 9 e 27 quadrados, o que corresponde às potências de 3. Logo, a lei que corresponde à quantidade de quadrados na cor laranja é f(n) = 3n .
b) A Figura 4 dessa sequência é composta de quantos quadrados na cor laranja?
81 quadrados na cor laranja
c) U sando uma malha quadriculada ou um programa de computador, esboce o gráfico da função p .
Resposta nas Orientações para o professor.
d) Investigue os motivos pelos quais um produto pode sofrer depreciação. Registre as informações obtidas. Pesquisa do estudante.
c) Q ual figura dessa sequência é composta de 729 quadrados na cor laranja ?
Figura 6
48. Ainda sobre o contexto da depreciação de um produto, apresentado na atividade 47, elabore uma situação-problema cuja resolução envolva equação exponencial. Em seguida, troque-a com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve aquela que recebeu. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
49. O tabagismo é uma doença que se caracteriza pela dependência da droga nicotina presente em qualquer derivado do tabaco e é considerada a principal causa de morte evitável no mundo.
BRASIL. Ministério da Saúde. Instituto Nacional de Câncer. Ninguém come tabaco: alimente a vida: escolha comida, não tabaco. 2023. 1 cartaz. Disponível em: https://www.gov.br/ inca/pt-br/assuntos/ campanhas/2023/dia -mundial-sem-tabaco. Acesso em: 18 set. 2024. Cartaz da campanha do Dia Mundial sem Tabaco de 2023.
Acesse o site indicado a seguir para obter mais informações sobre os malefícios do tabagismo.
• BRASIL. Instituto Nacional do Câncer. Tabagismo.
[S. l.]: Inca, 13 jun. 2024. Disponível em: https:// www.gov.br/inca/pt-br/assuntos/causas-e -prevencao-do-cancer/tabagismo. Acesso em: 24 jul. 2024.
Com a contínua inalação da nicotina, o cérebro se adapta e passa a precisar de doses cada vez maiores dessa substância. Esse efeito é chamado de “tolerância à droga”. Além disso, a meia-vida da nicotina é relativamente curta, cerca de duas horas, ou seja, a quantidade de nicotina presente no organismo humano após seu consumo é reduzida pela metade, aproximadamente, a cada duas horas. Com isso, os neurônios sentem falta dessa substância, fazendo que a pessoa sinta novamente a necessidade de fumar. Para resolver as questões a seguir, considere as informações apresentadas e que, fumando um único cigarro, o organismo de uma pessoa absorve cerca de 1 mg de nicotina.
DiCA
Nesta atividade, desconsidere a presença de qualquer quantidade de nicotina consumida anteriormente por essa pessoa.
a) De acordo com as condições estabelecidas, quantos miligramas de nicotina restam no organismo de uma pessoa que fumou um cigarro há 2 h? E há 4 h? 0,5 mg; 0,25 mg
b) Qual das funções indicadas a seguir expressa a quantidade f de nicotina, em miligrama, restante no organismo de uma pessoa que fumou um cigarro há t horas? III
I) f (t ) = 1 t 2
II) f (t ) = 1 2 t
III) f (t ) = 2 t 2
c) E m uma malha quadriculada ou utilizando um programa de computador, esboce o gráfico da função que você indicou no item b . Depois, marque um ponto desse gráfico, indique as coordenadas dele e faça a interpretação dessas coordenadas de acordo com o contexto apresentado.
d) Quanto tempo, após fumar um cigarro, restará 1 ? 2 5 mg de nicotina no organismo de uma pessoa? 10 h
e) R ealize uma pesquisa sobre o tabagismo e, com base nas informações obtidas e nas apresentadas nesta atividade, elabore uma peça publicitária com o objetivo de conscientizar a população do município em que você mora sobre os malefícios do tabagismo. Você pode optar por fôlder, cartaz, vídeo, podcast , entre outros meios. É importante que essa peça publicitária contenha informações como:
• m alefícios da dependência da nicotina, tanto para o fumante quanto para pessoas próximas a ele (fumante passivo);
• doenças relacionadas ao cigarro;
• o que acontece quando um fumante para de fumar.
c) Resposta nas Orientações para o professor Pesquisa e elaboração do estudante.
Lembre-se de utilizar uma linguagem adequada, simples e objetiva, fazendo uso de recursos visuais que podem chamar a atenção e incentivar as pessoas. Para divulgar essa peça publicitária, você pode utilizar o mural da escola ou as mídias sociais, por exemplo.
Inequações que apresentam a incógnita apenas no expoente de uma potência são chamadas inequações exponenciais
Exemplos:
a) 104x > 1 000 b) 2x 4 < 64 c) ( 1 3 )2x + 6 , 243
Em geral, para resolver uma inequação exponencial, reduzimos os dois membros da desigualdade a potências de uma mesma base e consideramos a propriedade a seguir.
Seja uma função exponencial dada por f (x) = a x, temos que:
• se a . 1, ou seja, f é uma função crescente, então:
a x2 . a x1 k x2 . x1;
• se 0 , a , 1, ou seja, f é uma função decrescente, então: a x2 ,
1 k x2 . x1.
R15. Nos itens a seguir, resolva em r as inequações.
a) 23x + 1 < 128 b) ( 1 3 )
a) I nicialmente, escrevemos os membros da desigualdade como potências de uma mesma base a
23x + 1 < 128 h 23x + 1 < 27
Como a = 2 . 1, segue que:
3x + 1 < 7 h x < 2
Portanto, S = {x [ r | x < 2}.
Também é possível resolver essa inequação geometricamente. Para isso, podemos representar em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções dadas por f ( x ) = 23x + 1 e g ( x ) = 128 e comparar os valores delas. Nesse caso, note que f < g para x < 2.
DiCA
Nesse plano cartesiano, os eixos apresentam escalas diferentes.
PARA PENSAR
Como você faria para justificar essa propriedade?
Resposta esperada: Se f é uma função crescente (a . 1), temos que x2 . x1 k f(x2) . f(x1). Como f(x2) = ax2 e f(x1) = ax1, temos x2 . x1 k ax2 . ax1 .
De modo análogo, se f é uma função decrescente (0 , a , 1), temos que x2 . x1 k f(x2) , f(x1).
Como f(x2) = ax2 e f(x1) = ax1, temos x2 . x1 k ax2 , ax1 .
b) I nicialmente, escrevemos os membros da desigualdade como potências de uma mesma base a ( 1 3 )2x 6 > 27 x 3 h h ( 1 3 )2x 6 > 3 3(x 3) h ( 1 3 )2x 6 > ( 1 3 ) 3(x 3)
Como a = 1 3 e 0 , 1 3 , 1, segue que: 2 x 6 < 3( x 3) h x < 3
Portanto, S = {x [ r | x < 3}.
Também podemos resolver essa inequação geometricamente. Para isso, podemos representar em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções dadas
por f (x ) = ( 1 3 )2x 6 e g (x ) = 27x 3 e comparar os valores delas.
Nesse caso, note que f > g para x < 3.
0 1 2 3 x y 4 12 3 4 5 6 fg
PARA PENSAR
Sim; não. Resposta esperada: ( 1 3 ) 2x 6 > 27 x 3 h (3 1) 2x 6 > 3 3(x 3) h 2x + 6 > 3x 9 h x < 3.
Na resolução da inequação ( 1 3 ) 2x 6 > 27 x 3 , note que, a partir da inequação dada, obtivemos outra na qual as potências em cada membro estão ambas na base 1 3 . Seria possível termos escrito outra inequação na qual as potências em cada membro estivessem ambas na base 3? Isso alteraria a solução da inequação dada? Verifique.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
50. Resolva, em r , as inequações a seguir.
a) 9x + 2 > 3
b) ( 1 4 )5 3x < ( 1 2 )x + 1
c) 7 x 2 3x , ( 1 49 )3x
d) 62 x 10 . 1
S = {x [ r | x < 9 7 }
S = {x [ r | 3 , x , 0}
S = {x [ r | x . 5}
e) ( 3 4 )x 2 4 > 1
S = {x [ r | 2 < x < 2}
f) 2 x + 3 2 x + 1 , 768
a) f (x ) = √ 4 3x + 1 512
S = {x [ r | x , 7} D(f ) = {x [ r | x > 7 6 }
b) g (x ) = 15 √ ( 1 3 )x 5 1 729
c) h(x) = √ 7 x + 1 ( 1 7 )2x + 3
Com base nessas informações, podemos afirmar que a solução da inequação f ( x ) < g ( x ) é dada por: alternativa b
a) S = {x [ r | x < 4};
b) S = {x [ r | 0 < x < 4};
c) S = {x [ r | x < 0 ou x > 4};
d) S = {x [ r | x . 4};
e) S = {x [ r | x < 0}.
53. Sejam as funções dadas por f ( x ) = 4 x + 3 , g (x ) = 4x 2 e h (x ) = 1 023, determine o conjunto solução da inequação f (x ) g (x ) > h (x ).
51. Determine o domínio de cada função indicada a seguir.
g) = {x [ r | x , 11}
d) m(x) = √ 5 x + 1 + 5 x 2 126
D(m) = {x [ r | x < 2}
52. Observe em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções dadas por f (x ) = 3 x 2 e g (x ) = x 2 + 6x + 1 com os pontos comuns a esses gráficos destacados. f g 0 1 2 3 x y 4 5 6 7 8 9 10 12 3 4 5 6 7 1 S = {x [ r | x > 3 2 }
54. Observou-se que, a cada hora, após ser ingerido determinado medicamento, diminui em 40 % a sua massa no organismo de um indivíduo. Considerando que esse mesmo indivíduo ingeriu 1 250 mg desse medicamento, resolva os itens a seguir.
a) D etermine uma função que expressa a massa m desse medicamento, em miligrama , no organismo desse indivíduo, após t horas da ingestão.
b) A partir da função que você determinou no item a , escreva uma inequação para representar a seguinte questão: quantas horas, após ter ingerido o medicamento, a massa restante no organismo desse indivíduo será menor que 162 mg? Em seguida, resolva a inequação e responda a essa questão.
55. (UPE) Antônio foi ao banco conversar com seu gerente sobre investimentos. Ele tem um capital inicial de R $ 2.500,00 e deseja saber depois de quanto tempo de investimento esse capital, aplicado a juros compostos, dobrando todo ano, passa a ser maior que R $ 40.000,00. Qual a resposta dada por seu gerente?
a) 1,5 ano b) 2 anos c) 3 anos d) 4 anos e) 5 anos
54. b) 1 250 ( 3 5 ) t , 162; t . 4; após 4 horas
( 3 5 ) t alternativa d
A seguir, serão apresentadas algumas situações nas quais o conceito de função do tipo exponencial pode ser usado na interpretação, análise e resolução delas.
Olívia buscou uma instituição financeira para realizar uma aplicação no valor de R $ 500,00. Entre as opções que estavam disponíveis, observe qual Olívia escolheu para aplicar o dinheiro dela.
Escolhi uma aplicação em que a taxa de juros é de 10% ao ano no sistema de juro composto.
O juro composto é uma modalidade de aplicação financeira na qual a taxa de juro é fixa e calculada sempre sobre o montante obtido no período anterior. Assim, para calcular o montante M obtido na aplicação de um capital c, a uma taxa de juro i, por um tempo t, com t [ n, temos:
M = c ? (1 + i ) ? (1 + i ) ? (1 + i ) ? ... ? (1 + i )
Assim, segue que: M = C (1 + i )t
Capital aplicado
Montante obtido na aplicação
Período de tempo Taxa de juro composto
DiCA
Em relação à situação apresentada e com base nessa expressão, podemos definir a lei de formação de uma função m que expresse o montante obtido nessa aplicação, em reais, de acordo com o tempo t, em ano, conforme segue:
m (t) = 500(1 + 0,10)t h m (t) = 500 ? (1,1)t
Observe o gráfico da função m, para t [ n, com t > 0.
Montante (em reais)
Tempo (em ano) t fatores
Nas aplicações financeiras, o capital é a quantia investida inicialmente, e o montante é a quantia correspondente à soma do capital e ao rendimento recebido no período.
DiCA
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
Após 8 anos, essa aplicação terá um montante superior a R $ 1.250,00? Justifique. PARA PENSAR
Resposta esperada: Não, pois, observando o gráfico, é possível notar que seu ponto de abscissa 8 (correspondente a 8 anos de aplicação) tem como ordenada um número menor que 1 250 (correspondente a R$ 1.250,00).
R16. Certo banco oferece aos clientes duas opções de aplicação: a aplicação A no sistema de juro composto e a aplicação B, no sistema de juro simples. Sabe-se que a taxa de juro em A é de 10% ao ano e que ambas as aplicações determinam montantes iguais em um período de 4 anos para um mesmo capital investido. Nesse banco, qual é a taxa de juro anual da aplicação B?
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos realizar as etapas a seguir.
COMPREENDER O ENUNCIADO
Do enunciado, temos que:
• a aplicação A é no sistema de juro composto e a aplicação B, no sistema de juro simples;
• a t axa de juro em A é de 10% ao ano;
• em 4 anos, as aplicações A e B determinam montantes iguais para um mesmo capital investido.
2 a
ELABORAR UM PLANO
Temos de determinar a taxa de juro anual i B da aplicação B. Para isso, podemos escrever as funções m A e m B para expressar o montante obtido em t anos, respectivamente, nas aplicações A e B. Como para t = 4 as aplicações determinam montantes iguais para um mesmo capital C investido, podemos igualar m A (4) e m B (4) e obter uma equação de incógnita i B , que deve ser resolvida.
EXECUTAR O PLANO
Escrevendo m A e m B , temos:
• m A (t ) = C ? (1 + 0,1)t h m A (t ) = C ? (1,1)t • m B (t ) = C ? (1 + i B ? t )
Para t = 4, temos:
• m A (4) = C ? (1,1) 4 = 1,4641C • m B (4) = C ? (1 + 4i B)
Como m A (4) = m B (4), segue que: 1,4641C = C (1 + 4i B) h 1,4641 = 1 + 4i B h 0,4641 = 4i B h i B = 0,116025
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Calculando o valor das funções m A e m B para t = 4, temos:
• m A (4) = 1,4641C
• m B (4) = C (1 + 4 ? 0,116025) = C (1 + 0,4641) = 1,4641C
Portanto, para um mesmo capital C e considerando i B = 0,116025, temos m A (4) = m B (4).
P odemos também atribuir um valor arbitrário para C e construir gráficos cujas leis de formação sejam as mesmas de m A e m B em um programa de computador. Para C = 1, por exemplo, temos:
• m A (t ) = (1,1)t • m B (t ) = 1 + 0,116025t
DiCA
Nesse gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
Portanto, a taxa de juro da aplicação B é de 11,6025 % ao ano.
DiCA
Lembre-se de que o montante M , de uma aplicação a juro simples, de um capital C por um tempo t e a uma taxa de juro i é dado por: M = C (1 + i t).
Entrada: y x 1 1,4641 0 4 m A m B A A
Considere a função f : n H r definida por f (x) = 3 ? 2x. Agora, vamos calcular o valor numérico dessa função fazendo x variar de acordo com a sequência dos números naturais, a partir de x = 0. Acompanhe.
• x = 0 H f (0) = 3 20 = 3
• x = 1 H f (1) = 3 21 = 6
• x = 2 H f (2) = 3 22 = 12
• x = 3 H f (3) = 3 23 = 24
• x = 4 H f (4) = 3 24 = 48
• x = 5 H f (5) = 3 25 = 96
Note que os valores obtidos, na ordem em que foram calculados, correspondem a termos de uma sequência numérica em que, a partir do 2o termo, obtém-se um termo multiplicando o anterior por 2.
(3, 6, 12, 24, 48, 96, ...)
Essa sequência obtida é um exemplo de progressão geométrica.
Denominamos progressão geométrica (PG) toda sequência numérica em que, a partir do 2o termo, o quociente entre um termo qualquer e seu antecessor é igual a uma constante. Essa constante, que pode ser indicada por q, é a razão da PG.
Para progressões geométricas com q . 0 e q 5 1, podemos relacionar os termos dessa PG aos valores de uma função do tipo exponencial f : n H r, definida por f (x) = a qx, em que a [ r e q [ r, com q . 0 e q 5 1.
R17. Considere uma função f : n H r , definida por f (x) = 3 x e a PG dada por:
( f (0), f (1), f (2), f (3), ..., f (n ), ...).
a) Quais são os termos dessa PG?
b) Qual é a razão dessa PG?
c) Construa o gráfico de f Resolução
a) Temos:
• f (0) = 30 = 1;
• f (1) = 31 = 3;
• f (2) = 32 = 9;
• f (3) = 33 = 27.
Portanto, essa PG é dada por: ( 1, 3, 9, 27, ..., 3 n , ...).
b) Como a razão q de uma PG corresponde, a partir do 2o termo, à razão entre um termo qualquer e seu antecessor, temos: q = 3 1 = 3
Portanto, a razão dessa PG é 3.
c) Construindo o gráfico de f, temos:
y (x, y)
1(0, 1)
3(1, 3)
9(2, 9)
DiCA
Neste plano cartesiano, os eixos apresentam escalas diferentes.
Resposta esperada: Não, pois D(f ) = n.
PARA PENSAR
Nesse gráfico, podemos ligar os pontos indicados? Justifique.
56. Renata investiu certo capital em uma aplicação no sistema de juro simples por um período de 3 anos. Em seguida, todo o montante foi resgatado e reinvestido em uma aplicação no sistema de juro composto por 4 anos. Analise e identifique o gráfico que melhor descreve a variação do montante nessas aplicações em todo o período de investimento. Justifique sua resposta.
(R$)
(R$)
(R$)
57. Leia as informações sobre os investimentos que Sérgio e Carla têm em um banco.
Sistema de juro simples.
Início em janeiro de 2024.
Função que expressa o montante em t meses: s (t ) = 3 150 + 126 ? t
Sistema de juro composto.
Início em janeiro de 2024
Função que expressa o montante em t meses: c (t ) = 600 (1,03)t .
a) Qual é o capital aplicado por Sérgio? E por Carla? R $ 3.150,00; R $ 600,00
b) Em que mês o investimento de Sérgio determina um montante de R $ 3.780,00?
c) Qual é a taxa de juro mensal em cada um desses investimentos?
Alternativa c. Resposta nas Orientações para o professor. junho de 2024 investimento de Sérgio: 4% ao mês; investimento de Carla: 3% ao mês
d) Utilizando uma calculadora, determine o montante obtido no investimento de Carla ao final do ano de 2024. aproximadamente R $ 830,54
58. Para realizar um investimento, certa pessoa consultou uma instituição financeira e recebeu uma proposta a juro composto e outra a juro simples. Observe, na planilha a seguir, as simulações realizadas para cada um desses investimentos, considerando o mesmo capital. Depois, resolva as questões.
a) Qual proposta corresponde ao investimento a juro composto? Por quê?
b) Qual é o valor do capital simulado nessas propostas de investimento?
c) Qual é a taxa de juro mensal oferecida em cada proposta de investimento?
d) Para cada proposta de investimento, escreva uma função M que expressa o montante obtido em real, de acordo com o tempo t , em meses, de investimento. Em seguida, classifique as funções que você escreveu em: função afim, função quadrática, função modular ou função do tipo exponencial.
e) Analise as propostas de investimento e indique em que período cada uma delas é mais rentável em relação à outra.
f) Em qual dos itens a seguir os gráficos nas cores lilás e laranja representam as propostas de investimento A e B, respectivamente?
58. d) A: M(t) = 30t + 500, função afim; B: M(t) = 500 (1,05)t , função do tipo exponencial
58. e) A: de 1 a 8 meses; B: a partir de 9 meses
58. a) B. Resposta esperada: Porque, a partir do 2o mês nesse investimento, as razões entre os montantes de certo mês e o mês anterior são aproximadamente iguais. R$ 500,00 A: 6%; B: 5%
Nos itens, os eixos do plano cartesiano têm escalas diferentes, e as linhas tracejadas foram traçadas para facilitar a visualização do comportamento de cada gráfico. DiCA
59. (Enem/MEC) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 0 00 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50 %. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t , para t > 1?
a) P (t ) = 0,5 ? t 1 + 8 000
b) P (t ) = 50 t 1 + 8 000
c) P (t ) = 4 000 t 1 + 8 000
d) P (t ) = 8 000 ? (0,5)t _ 1
e) P (t ) = 8 000 ? (1,5)t _ 1
60. Utilizando a função indicada na atividade 59, calcule a quantidade de unidades do produto que essa indústria estima fabricar no:
a) quinto ano de funcionamento; 40 500 unidades
b) sétimo ano de funcionamento. 91 125 unidades
61. Marcela estuda investir certa quantia em uma aplicação com 6 anos de duração. Nessa aplicação, nos três primeiros anos é considerada a modalidade de juro composto e, nos três anos finais, a modalidade de juro simples. Observe o gráfico que Marcela construiu para estimar o montante a ser obtido no decorrer dessa aplicação.
9 000 10 000 9 649,75
DiCA
Neste plano cartesiano, os eixos têm escalas diferentes.
a) Quantos reais Marcela estuda investir nessa aplicação? R$ 5.000,00
b) Ao final dos 6 anos de aplicação, qual será o montante obtido por Marcela? R$ 9.649,75
c) Escreva a lei de formação de uma função M que expresse o montante obtido em t anos nessa aplicação.
62. Considere uma função f : n H r , definida por f (x ) = ( 1 2 )x e a P G ( f (0), f (1), f (2), f (3), ..., f (n ), ...).
a) Determine os 5 primeiros termos dessa PG.
b) Qual é a razão dessa PG? 1 2
c) Construa o gráfico de f. alternativa e
Resposta nas Orientações para o professor
63. a) População submetida à substância B, pois a razão entre a quantidade de indivíduos dessa população de uma medição e da anterior, a partir da 2a medição, é constante e igual a 8.
63. b) a = 3, b = 1, c = 4 e d = 8; f(m) = 3m 1 e g(m) = 4 8m 1
63. Em um laboratório, foi realizado um estudo para analisar a influência das substâncias A e B em certo tipo de bactéria. Para isso, foi separada uma bactéria para ser submetida a cada substância, tendo suas populações obtidas no processo reprodutivo quantificadas em medições simultâneas, conforme indicado a seguir.
Populações de bactérias em cada medição
Medição
Substância 12345
A 2581114
B 432256 2 04816 384
Fonte: Dados fictícios.
Nesse estudo, verificou-se que as quantidades de indivíduos das populações submetidas às substâncias A e B , na medição m , podem ser modeladas, respectivamente, por funções cujas leis de formação são dadas por f (m ) = am + b e g (m ) = c ? d m 1, sendo a , b , c e d números naturais.
a) Em qual dessas populações de bactérias a quantidade de indivíduos, a cada medição, cresce de acordo com uma PG? Justifique sua resposta.
b) Determine os valores de a , b, c e d e escreva as leis de formação das funções f e g .
c) D e acordo com os modelos matemáticos obtidos no item b, calcule a quantidade de indivíduos determinada na 7a medição para cada substância.
64. Uma bolinha de borracha é lançada ao solo de uma altura h e quica sucessivas vezes, de maneira que a altura atingida a cada vez que retorna do solo é metade da altura obtida anteriormente, conforme o esquema a seguir.
LUCAS FARAUJ h
63. c) população submetida à substância A: 20 bactérias; população submetida à substância B: 1 048 576 bactérias
a) Q ual progressão geométrica representa a altura dessa bolinha, a partir do momento em que foi lançada ao solo, considerando h = 200 cm? Qual é a razão q dessa progressão geométrica?
(200, 100, 50, 25, ...); q = 1 2
b) D efina uma função f de maneira que ( f (0), f (1), f (2), f (3), ...) corresponda à progressão geométrica que você indicou no item a .
Resposta esperada: f: n H r, dada por f(x) = 200 ( 1 2 )x
65. Observe nos gráficos a seguir a representação das progressões geométricas de razões q 1 e q 2 , dadas, respectivamente, por ( f (1), f (2), f (3), ..., f (n ), ...) e ( g (1), g (2), g (3), ..., g (n ), ...), com f : n * H r e g : n * H r definidas por f ( x ) = a x e g ( x ) = bx 2 .
12 3 4 fg
a) Qual é a razão de cada PG?
65. b) a = 2 e b = 3; f (x) = 2x e g(x) = 3x 2 alternativa c
b) C alcule os valores de a e b e escreva a lei de formação das funções f e g .
66. (UECE) Sejam n * = {1, 2, 3, ...} e f : n H r a função definida por f ( x ) = p qx , onde p e q são números reais. Se a imagem de f é a progressão geométrica a n = f (n ) com a 1 = 1 e razão igual a 2, então, a soma p + q é igual a a) 3 2 . b) 7 2 . c) 5 2 . d) 9 2 .
67. Elabore um problema envolvendo uma progressão geométrica e uma função f : n H r , definida por f ( x ) = a ? q x , em que a [ r e q [ r , com q . 0 e q 5 1. Em seguida, junte-se a um colega, e troquem o problema para que um resolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções. Elaboração do estudante.
65. a) razão da PG determinada pela função f: 2; razão da PG determinada pela função g: 3
Leia, a seguir, o trecho de uma reportagem.
Uma reconstrução da face de Luzia, fóssil humano mais antigo das Américas, está guardada na Universidade de São Paulo (USP). O crânio dela, descoberto nos anos 1970 na região de Lagoa Santa, Minas Gerais, estava no acervo do Museu Nacional, no Rio de Janeiro, atingido por um incêndio [...].
[...] O fóssil era um registro das primeiras populações humanas que entraram no continente americano.
Arqueólogos acreditam que Luzia, como o crânio foi batizado, tenha vivido há mais de 11 mil anos. O achado mudou a teoria da povoação dos continentes americanos. O crânio de Luzia foi considerado mais largo do que o da população que vivia na Ásia e já tinha passado por transformações físicas. Esse grupo atravessou o estreito de Bering – que na época ainda se conectava à América do Norte – e desceu até chegar à América do Sul.
Pesquisadores que estudaram Luzia acharam que ela se parecia com humanos mais antigos ainda: os primeiros que saíram da África, cruzaram a Ásia e vieram direto para as Américas até chegar ao Brasil.
MENEZES, César. Reconstrução da face de Luzia, fóssil humano mais antigo das Américas, está guardada na USP. G1, [s. l.], 3 set. 2018. Disponível em: https://g1.globo.com/sp/sao-paulo/noticia/2018/09/03/reconstrucao-da-face-de -luzia-fossil-humano-mais-antigo-das-americas-esta-guardada-na-usp.ghtml. Acesso em: 24 jul. 2024.
Crânio de Luzia, fóssil humano de indivíduo feminino, encontrado na década de 1970 na gruta conhecida como Lapa Vermelha IV, em Lagoa Santa (MG).
Réplica do crânio de Luzia reproduzida em 3D. Acervo do Museu Nacional da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro (RJ). Fotografia de 2018.
Reconstituição da face de Luzia, com base em reprodução computadorizada. Acervo do Museu Nacional da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro (RJ). Fotografia de 2007.
A estimativa da idade de Luzia foi realizada por meio de um processo denominado datação de fósseis , que se baseia no decaimento de isótopo radioativo de diversos elementos químicos. Nesse processo, o carbono-14, por ser instável e se desintegrar em um período que lhe é característico, costuma ser um dos mais utilizados.
Decaimento radioativo do carbono-14
Na fotossíntese, as plantas captam dióxido de carbono (CO2), que contém os isótopos carbono-12 ( 12C), carbono-13 ( 13C) e carbono-14 ( 14C). Por meio da cadeia alimentar, os animais e os seres humanos também absorvem esses isótopos, que se mantêm em cada organismo na mesma proporção em que estão presentes na atmosfera e permanecem praticamente constantes em toda a sua vida.
Como o 14C é radioativo, seus átomos estão sempre decaindo, mas, por meio de um processo natural, são substituídos por novos átomos, mantendo sua proporção. Quando o ser vivo morre, ele para de acumular carbono, com isso a quantidade já existente no organismo de 12C se mantém, e a quantidade de 14C decai a uma taxa constante, até que esse isótopo se torna um elemento estável, o nitrogênio-14 ( 14N). O processo de decaimento radioativo do 14C permite que os cientistas, por exemplo, contabilizem a quantidade restante desse isótopo em um fóssil e comparem-na com a razão de 14C e 12C presentes na atmosfera. Depois, sabendo que a meia-vida do 14C é de 5 730 anos, ou seja, que nesse tempo sua quantidade presente no fóssil se reduz à metade, em relação à quantidade anterior, estima-se a idade desse fóssil. Esse método de datação com 14C é eficiente para fósseis de seres que viveram há até 75 000 anos. Em fósseis mais antigos é difícil detectar a presença desse isótopo.
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 32-33, 524.
Relação entre quantidade de meia-vida, anos após a morte e 14C restante no fóssil
Quantidade de 14C restante no fóssil
Quantidade de meia-vida
Quantidade de anos
Momento da morte 5 730 anos após a morte 11 460 anos após a morte 17 190 anos a pós a morte
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al Biologia de Campbell 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 32-33, 524.
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 32-33, 524.
2. Resposta esperada: Não, pois esse método de datação com 14C é eficiente para fósseis que viveram há até 75 000 anos; em fósseis mais antigos é difícil detectar a presença desse isótopo.
PENSANDO NO ASSUNTO Não escreva no livro.
3. a) 5 730 anos. Indica que a cada 5 730 anos a quantidade de 14C diminui pela metade em um fóssil, em relação ao período anterior.
1. Explique por que a descoberta e os estudos realizados com o crânio de Luzia são importantes para a história natural do Brasil e do continente americano. Se necessário, realize uma pesquisa.
Resposta nas Orientações para o professor
2. É conveniente realizar com 14 C a datação de um fóssil que viveu há mais de 120 mil anos? Justifique.
3. Sobre a meia-vida do 14 C, com um colega, resolvam as questões a seguir.
a) A quantos anos corresponde a meia-vida do 14 C? O que essa meia-vida indica em um fóssil?
b) A quantos anos correspondem duas meias-vidas do 14 C? E três meias-vidas? 11 460 anos; 17 190 anos
c) Considerando que os pesquisadores utilizaram 14 C na datação do fóssil Luzia, quantas meias-vidas, aproximadamente, passaram desde sua morte? duas meias-vidas
d) Escrevam a lei de formação de uma função n para expressar a quantidade de 14C remanescente em um fóssil de acordo com a quantidade x de meias-vidas de 14C passadas desde a morte do indivíduo
e) Com base nos itens anteriores, resolvam a situação a seguir.
Certo fóssil foi datado com cerca de 40 mil anos de idade. Mostre que a quantidade de 14C remanescente nesse fóssil é menor que 1% em relação à quantidade de quando o indivíduo era vivo.
4. Junte-se a dois colegas para investigar a questão a seguir.
Como ocorreu a chegada da espécie humana ao continente americano?
Até os dias de hoje, não se sabe ao certo como a espécie humana chegou ao continente americano, mas existem teorias que indicam algumas possibilidades. Pesquisadores e historiadores elaboraram essas teorias com base em vestígios encontrados, como fósseis, utensílios e artes rupestres. Leiam o trecho a seguir, no qual são apresentadas duas dessas teorias.
A hipótese mais antiga, e que permaneceu como a mais aceita por mais tempo, é a conhecida em inglês como Clovis-first (Clóvis-primeiro). Deve seu nome a um sítio descoberto em 1939, no Novo México, Estados Unidos, no qual foram encontradas pontas de flechas feitas de pedra datadas de 11,4 mil anos. Segundo essa hipótese, a chegada teria ocorrido há cerca de 12 mil anos.
[...]
Uma segunda teoria foi proposta pelo bioantropólogo Walter Alves Neves e pelo geógrafo Luís Beethoven Piló [...]. Eles a chamam de Dois Componentes Biológicos Principais, porque, segundo essa tese, houve duas levas migratórias iniciais: a primeira há 14 mil anos e a segunda, há 11 mil, também vindas da Ásia pelo estreito de Bering.
A mais antiga seria composta por uma população com traços que lembram os dos africanos e aborígenes australianos. É desses pioneiros que descenderia a famosa Luzia [...].
SILVEIRA, Evanildo da. DNA de fósseis do Brasil desafia teorias de ‘descoberta’ da América. BBC News Brasil, [s. l.], 8 nov. 2018. Disponível em: www.bbc.com/portuguese/geral-46098327. Acesso em: 24 jul. 2024.
Pesquisa e elaboração dos estudantes.
Realizem pesquisas sobre as teorias apresentadas no texto anterior, buscando mais informações sobre as hipóteses propostas em cada uma delas, destacando, por exemplo, fatos em que se baseiam. Em seguida, discutam e escolham com qual dessas teorias vocês concordam mais e elaborem um texto ou uma apresentação na qual descrevam e justifiquem a teoria escolhida.
3. e) Resposta esperada: Temos que 40 000 anos correspondem a aproximadamente sete meias-vidas do 14C, pois 7 ? 5 730 = 40 110. Assim, n(7) = n0 ? ( 1 2 )7 = n0 ? 1 128 = 0, 0078125 n0, ou seja, em um fóssil datado com cerca de 40 mil anos, a quantidade remanescente de 14C é aproximadamente 0,78% daquela que havia no indivíduo quando ele estava vivo.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Qu ando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2 . Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Algarismos significativos
Potenciação
Notação científica
Potência com expoente racional
Função exponencial: características e definição
Equações exponenciais
Função exponencial: algumas aplicações
Propriedades da potenciação
Radiciação
Propriedades da radiciação
Gráfico de uma função exponencial
Inequações exponenciais
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. b) II C(100) = 88,56, que indica que após 100 min carregando a bateria do smartphone estava com aproximadamente 88,56% de sua capacidade carregada.
4. b) III. Resposta nas Orientações para o professor. Aproximadamente 120 min ou 2 h.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre a capacidade de armazenamento de dados dos smartphones . Agora, vamos retomar esse contexto por meio das questões a seguir.
a) Considere as informações sobre o modelo de smartphone representado.
I) U tilizando potência, expresse a capacidade de armazenamento de dados desse smartphone , em baite.
II) Considere que, com certos ajustes, uma fotografia obtida com a câmera desse smartphone gere um arquivo de 2 MB. Qual alternativa mais se aproxima da quantidade de fotografias necessárias para ocupar 50 % da capacidade de armazenamento desse smartphone?
• 65 0
• 6 500
dimensões: 150,9 x 75,7 x 8,3 mm massa: 194 g
tela: 6,1”
• 65 000
• 6 500 000
câmera: 12 MP
capacidade de armazenamento: 256 GB
b) O avanço tecnológico que pode ser observado nos modelos de smartphones , com cada vez mais recursos disponíveis, também implicou uma série de desafios aos fabricantes, como a necessidade de bateria com maior capacidade de carga e com menor tempo de recarga. Considere, por exemplo, um smartphone hipotético cuja bateria está completamente descarregada. O modelo matemático C (t ) = 150 ? ( 4 5 )0,04t + 150 descreve o porcentual aproximado C da capacidade total da bateria desse smartphone de acordo com o tempo t , em minuto, após o início da recarga até o momento em que a bateria ficou completamente carregada.
duração da bateria: até 17 h (em reprodução de vídeo)
I) A f unção correspondente a esse modelo matemático pode ser classificada como: afim, quadrática, modular ou tipo exponencial? tipo exponencial
II) Calcule o valor numérico desse modelo matemático para t = 100 e interprete o resultado obtido.
III) No GeoGebra ou em outro programa de computador similar, construa o gráfico correspondente a esse modelo matemático e responda: em quanto tempo após o início da recarga, a bateria do smartphone ficou completamente carregada?
c) Com frequência, são lançados novos modelos de smartphones com diversas melhorias e mais recursos disponíveis. Aparelhos que hoje são considerados de última geração provavelmente passarão a ser considerados ultrapassados em pouco tempo, sofrendo assim depreciação em seu valor.
De acordo com os dados apresentados, resolva as questões a seguir.
000 a = 2 000 e b = 0,1; f (x) = 2 000 ? 2 0,1x
Considere, por exemplo, uma pesquisa realizada em um site de vendas de smartphones usados em relação a um modelo cujo preço no lançamento era de R $ 2.000,00. Nessa pesquisa, foi constatado que o valor de venda do aparelho usado correspondia à metade do valor pago 10 meses antes, no seu lançamento. Com base nos dados obtidos nessa pesquisa, foi modelada uma função do tipo f ( x ) = a ? 2b x , em que f é o v alor em real de venda desse aparelho, x é o tempo de uso, em meses transcorridos desde a compra desse aparelho no seu lançamento, e a e b são constantes reais não nulas.
I) Determine os valores de a e b e escreva a lei de formação da função f II) C alcule o valor aproximado de venda desse smartphone após 5 meses da compra no seu lançamento. aproximadamente R$ 1.414,21 238 B
1. (Enem/MEC) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p (t ) = 40 23t
em que t é o tempo, em hora, e p (t ) é a população, em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será alternativa d
a) reduzida a um terço.
b) reduzida à metade.
c) reduzida a dois terços.
d) duplicada.
e) triplicada.
2. (Enem/MEC) As hemácias são células sanguíneas responsáveis pelo transporte de uma substância chamada hemoglobina, a qual tem a função de levar oxigênio dos pulmões para os tecidos. Hemácias normais têm diâmetro médio de 7,8 x 10 6 metros.
GUYTON, A. C.; HALL, J. E. Tratado de fisiologia médica Rio de Janeiro: Elsevier, 2006 (adaptado).
O diâmetro médio dessas hemácias, em metros, é representado pela razão 78 d , em que d é igual a: alternativa d
a) 10 000.
b) 100 000. c) 1 000 000. d) 10 000 000. e) 100 000 000.
3. (UFRGS-RS) O valor de a 3 b 3 a b para a = 27 e b = 26 é: alternativa c
a) 2 017.
b) 2 071.
c) 2 107.
d) 2 170.
e) 2 710.
4. (UFGD-MS) Um grupo de estudantes verificou que o crescimento de uma determinada população de bactérias é dado pela função
P (t) = 200 ? 3 3 2 t , na qual P identifica a população e a variável t indica o tempo em anos.
Considerando as condições apresentadas, qual o tempo mínimo para que a população de bactérias seja o triplo da população inicial?
a) 3 meses.
b) 4 meses.
c) 6 meses.
d) 8 meses.
e) 12 meses.
5. (UFMS) A depreciação de um carro ocorre segundo a expressão y = V ? a x , em que y é o valor do bem e x é o tempo que passou em anos, com V e a constantes. Se hoje o valor do carro é R $ 200.000,00, daqui a quatro anos o valor será a metade. Logo, o seu valor daqui a oito anos será: alternativa c
a) R $ 100.000,00.
b) R $ 75.000,00.
c) R $ 50.000,00.
d) R $ 25.000,00.
e) R $ 12.500,00.
6. (IFPE) No início do ano de 2017, Carlos fez uma análise do crescimento do número de vendas de refrigeradores da sua empresa, mês a mês, referente ao ano de 2016. Com essa análise, ele percebeu um padrão matemático e conseguiu descrever a relação V ( x ) = 5 + 2x , onde V representa a quantidade de refrigeradores vendidos no mês x . Considere: x = 1 referente ao mês de janeiro; x = 12 referente ao mês de dezembro. A empresa de Carlos vendeu, no 2o trimestre de 2016, um total de
a) 39 refrigeradores.
b) 13 refrigeradores.
c) 127 refrigeradores.
d) 69 refrigeradores.
e) 112 refrigeradores. alternativa d alternativa c
7. (UEFS-BA) Considerando-se que, sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode ser dado pela função N (t ) = 9t 2 3t + 3, t > 0, pode-se estimar que o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 colônias é de alternativa 02 01) 2 horas. 02) 3 horas. 03) 4 horas. 04) 5 horas. 05) 6 horas.
8. (Ifal) Sabendo que 2 x + 3 = 32, determine o valor de 2 x : alternativa e a) 4. b) 2. c) 0. d) 1 2 . e) 1 4 .
9. (UPE) Os técnicos de um laboratório observaram que uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função B (t ) = 10 9 ? 43t com “t ” sendo medido em horas. Qual o tempo necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4 1010 bactérias? alternativa a a) 1h b) 3h c) 4h d) 6h e) 16h
10. (Enem/MEC) O gráfico informa a produção registrada por uma indústria nos meses de janeiro, março e abril.
Produção (milhar de unidade)
960
120
480 jan. fev. mar.abr.mês
Por problemas logísticos, não foi feito o levantamento sobre a produção no mês de fevereiro. Entretanto, as informações dos outros três meses sugerem que a produção nesse quadrimestre cresceu exponencialmente, conforme aponta a curva de tendência traçada no gráfico.
Assumindo a premissa de que o crescimento nesse período foi exponencial, pode-se inferir que a produção dessa indústria no mês de fevereiro, em milhar de unidade, foi:
a) 0.
b) 120.
c) 240. d) 300. e) 400.
11. (UFPA) Uma substância ingerida pelo organismo é excluída pelo sistema excretor segundo uma função exponencial. A vida média é o tempo que metade de uma quantidade ingerida leva para decair à metade, que, para a substância em questão, é de 12 horas. A quantidade da substância, em miligramas, a ser ingerida de modo que, ao final de 36 horas, a quantidade restante seja de 10 mg é de
a) 30.
b) 60.
c) 80. d) 90. e) 100.
12. (ITA-SP) Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma:
f ( x ) = 32 x e g ( x ) = 3x 2 x
Considere as afirmações:
I) g ( x ) > 0, para todo x [ r
II) f ( x ) > g ( x ), para todo x [ r
III) f ( x ) + g ( x ) > 0, para todo x [ r
É (são) sempre verdadeira(s): alternativa b
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III. d) todas. e) nenhuma.
13. (UEMG) Muitos vírus e bactérias têm crescimento exponencial, isso é uma das causas que os torna tão perigosos.
Supondo o surgimento de um novo vírus com um crescimento exponencial de acordo com a seguinte lei de formação Q (t ) = 25 32t 7, na qual Q é a quantidade de vírus e t é o tempo em dias. Analisando uma cultura desse vírus, quanto tempo demora para que ele alcance a quantidade de 54 675?
a) 6 dias.
b) 7 dias.
d) 9 dias. alternativa c alternativa c alternativa b
c) 8 dias.
14. (UFJF-MG) Em um experimento, dois microrganismos A e B são colocados em um mesmo ambiente. As colônias destes microrganismos crescem até o momento em que suas populações se igualam e inicia-se um processo de competição entre elas. O número de indivíduos das populações de A e de B, em milhares, do início do experimento (tempo t = 0) até o momento em que as populações se igualam, são descritos por A (t ) = 32t + 7 e B (t ) = 18 3t 2 + 10, respectivamente. Qual é a população (em milhares) do microrganismo A quando se inicia a competição? alternativa d
a) 8
b) 12 c) 13 d) 16
e) 18
15. (UEL-PR) O processo de decomposição do corpo começa alguns minutos depois da morte. Quando o coração para, ocorre o algor mortis ou o frio da morte, quando a temperatura do corpo diminui até atingir a temperatura ambiente. (Adaptado de: <http: //diariodebiologia.com/2015/ 09/o-que-acontece-com-o-corpo-logo-apos-a-morte/>. Acesso em: 29 maio 2017.)
Suponha que um cadáver é analisado por um investigador de polícia às 5 horas da manhã do dia 28, que detalha as seguintes informações em seu bloco de anotações:
Imediatamente após escrever, o investigador utiliza a Lei de Resfriamento
T = (Tn Ts) (6√ 2 ) t + Ts
p ara revelar a todos os presentes que faz t horas que a morte ocorreu. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a hora e o dia da morte, segundo o investigador.
a) 11 horas da noite do dia 27
b) 8 horas da noite do dia 27
c) 2 horas da manhã do dia 28
d) 4 horas da manhã do dia 28
e) 10 horas da manhã do dia 27
Temperatura do cadáver
T = 31°C
Temperatura normal e média do corpo humano
T n = 37 °C
Temperatura da sala
T s = 25°C
16. (Unesp) Três insetos da mesma espécie foram introduzidos em um ambiente no instante zero. Sete meses depois, constatou-se que havia uma população de 18 0 00 desses insetos no ambiente. Considere que o modelo de crescimento da popula ç ã o desses insetos é exponencial, dado por f ( x ) = t ? u x , em que t e u s ã o constantes reais e f ( x ) é a popula ç ã o de insetos após x meses do início da cultura.
Observe o gráfico da função g (x ) = 6 000 1 x , em que x é um número inteiro maior do que 2, e que apresenta os valores aproximados das ordenadas de alguns de seus pontos.
(3; 18,17)
g (x ) = 6 000 (4; 8,80)
(5; 5,70)
(6; 4,26) 1 x
(7; 3,47) (9; 2,63) (18;1,62)(19;1,58)(20;1,54) (8; 2,97)
2468 10121416182022
Com os dados fornecidos, segue que t + u é, aproximadamente,
a) 5,09.
b) 10,26.
c) 6,47. d) 7,62. e) 7,26. alternativa a alternativa c
A pressão atmosférica está relacionada à altitude, que pode ser compreendida como o “peso do ar”. À medida que a altitude aumenta, a pressão atmosférica diminui.
Em um local ao nível do mar, a uma pressão atmosférica de 1 atm (1 atmosfera), tem-se uma pressão parcial de oxigênio correspondente a 0,21 atm. Já em uma localização a uma pressão atmosférica de 0,9 atm, a pressão parcial de oxigênio cai para 0,189 atm.
À medida que a pressão parcial do oxigênio diminui, também cai sua disponibilidade, deixando o ar rarefeito, o que reduz a quantidade de moléculas de oxigênio disponíveis em cada ciclo de respiração. Por isso, é bastante comum, quando uma pessoa está em um local com grande altitude, ou seja, muito acima do nível do mar, sentir alguns sintomas, como dor de cabeça, falta de ar e aceleração dos batimentos cardíacos.
Respostas nas Orientações para o professor Não escreva no livro.
Monte Ocre, montanha localizada no Parque Velino-Sirente, na região de Abruzzo (Itália). Fotografia de 2024.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. O que ocorre com a pressão parcial de oxigênio quando há um deslocamento de menor altitude para maior altitude? De que maneira isso implica a respiração?
2. Qual é a altitude e a pressão atmosférica do município em que você mora? Se necessário, faça uma pesquisa.
3. Considere p (h ) = (0,9)h um modelo matemático que determina a pressão atmosférica aproximada p (em atm) em função de uma altitude h (em km) de certa localidade. Calcule p (2) e explique oque esse resultado indica.
Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO PAULISTA PARA O DESENVOLVIMENTO DA MEDICINA. Os efeitos da altitude no nosso organismo. São Paulo: SPDM, 20 fev. 2017. Disponível em: https://spdm.org.br/ noticias/saude-e-bem-estar/os-efeitos-da-altitude-no-nosso-organismo/. Acesso em: 26 jul. 2024.
Na abertura desta Unidade, são apresentadas algumas informações sobre a pressão atmosférica. Considere que, em certa localidade, a pressão atmosférica p (em atm) pode ser expressa de maneira simplificada por uma função exponencial definida por p(h) = (0,9)h, em que h corresponde à altitude (em km). Ao realizar uma escalada, um alpinista consultou seu barômetro e verificou que a pressão atmosférica indicada era de 0,53 atm. A que altitude ele se encontrava?
Alpinista utiliza um barômetro, instrumento que indica a pressão atmosférica em determinado lugar. A partir dessa medida, pode-se obter, por exemplo, a altura de uma trilha em uma região montanhosa.
Para responder a essa questão, devemos considerar a pressão atmosférica que o alpinista observou no barômetro. Assim, escrevemos a equação a seguir.
0,53 = (0,9)h
Uma estratégia para resolver essa equação exponencial é escrever cada membro como potência de mesma base, o que, neste caso, não é possível fazer com os estudos que realizamos até o momento. Assim, faz-se necessário utilizarmos outra estratégia, que envolve o uso de logaritmos
Logaritmo: palavra que deriva da composição das palavras gregas lógos (razão) e arithmós (número).
O surgimento dos logaritmos é atribuído ao matemático, astrônomo e físico escocês, John Napier (1550-1617), que publicou os resultados de seus estudos sobre logaritmo em sua obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos), em 1614. O uso dos logaritmos foi fundamental para auxiliar nos longos e trabalhosos cálculos realizados, principalmente, por astrônomos e navegadores da época.
Fonte dos dados: BOYER, Carl Benjamin. História da matemática
Tradução: Elza Furtado Gomide. 1. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 228.
Considere as situações a seguir.
• A qual expoente x se deve elevar a base 2 para obter 32 como resultado?
Nesse caso, temos:
2x = 32 h 2x = 25 h x = 5
RETRATO de John Napier de Merchiston (1550-1617), descobridor dos logaritmos. 1616. Óleo sobre tela, 110,7 cm x 99,5 cm. Galeria Nacional Escocesa de Retratos, Edimburgo (Escócia).
Dizemos que 5 é o logaritmo de 32 na base 2 e escrevemos log2 32 = 5.
• Em uma potência de base 10, cujo resultado é 1 1 000 , qual é o valor y do expoente?
Nesse caso, temos:
10 y = 1 1 000 h 10 y = ( 1 10 ) 3 h 10 y = 10 3 h y = 3
Dizemos que 3 é o logaritmo de 1 1 000 na base 10 e escrevemos log 10 ( 1 1 000) = 3
Dados dois números reais a e b, com a . 0, a 5 1 e b . 0, denominamos logaritmo de b na base a o número real c tal que a c = b, ou seja:
Logaritmando
loga b = c k a c = b
Base
Observe alguns exemplos.
a) log5 625 = 4, pois 54 = 625.
b) log2 64 = 6, pois 26 = 64.
c) log7 1 = 0, pois 70 = 1.
d) log 3 ( 1 81 ) = 4, pois 3 4 = 1 81 .
e) log0,1 (0,001) = 3, pois (0,1)3 = 0,001.
f) log10 100 = 2, pois 102 = 100.
Logaritmo
DiCA
Por convenção, costuma-se omitir a indicação da base em logaritmos de base 10. Esses logaritmos são denominados logaritmos decimais. Por exemplo, log10 100 pode ser indicado por: log 100
Para qualquer c [ r, temos que 1c 5 10.
Explique por que os logaritmos a seguir não estão definidos.
• log1 10
• log ( 4)
Para qualquer c [ r, temos que 10c 5 4.
Para qualquer c [ r*, temos que 0c = 0.
• log0 (1,5)
• log 2 8
Para qualquer c [ r, temos que ( 2)c 5 8.
• log5 0
Para qualquer c [ r, temos que 5c 5 0.
Analise, a seguir, algumas relações que decorrem da definição de logaritmo.
• loga 1 = 0
Note que, considerando loga 1 = x, obtemos: a x = 1 h a x = a 0 h x = 0
Exemplos:
a) log5 1 = 0
• loga a = 1
b) log 2 7 1 = 0
Note que, considerando loga a = x, obtemos: ax = a1 h x = 1
Exemplos:
c) log √ 8 1 = 0
a) log6 6 = 1 b) log20 20 = 1 c) log √ 3 √ 3 = 1
• loga a n = n
Note que, para todo n real e considerando loga a n = x, obtemos: a x = a n h x = n
Exemplos: a) log4 4 2 3 = 2 3 b) log5 59 = 9 c) log0,12 (0,12) 1 = _1
• a log a b = b
Note que, considerando loga b = x, temos ax = b.
Substituindo loga b = x em ax = b, obtemos:
Exemplos:
a) 2 log 2 8 = 8
• loga b = loga c k b = c
a log a b = b
b) 33 log 33 6 = 6
Para justificar que loga b = loga c h b = c, consideramos loga b = loga c = x. Assim, temos que ax = b e ax = c. Logo, segue que b = c.
Agora, para justificar que b = c h loga b = loga c, consideramos loga b = y e que b = c, obtemos ay = b = c. Assim, segue que loga c = y. Portanto, temos: loga b = loga c
Exemplos:
a) Se log8 7 = log8 x, então x = 7.
b) Se log y = log 2, então y = 2.
c) ( 1 5 )log 1 5 125 = 125
PARA PENSAR
Para cada consequência da definição de logaritmo descrita, escreva um exemplo diferente dos apresentados. Depois, troque seus exemplos com um colega para que um analise os do outro, identificando a propriedade utilizada em cada caso. Respostas pessoais.
c) Se log 0,4 ( 64 1 000 ) = log z ( 64 1 000 ), então z = 0,4.
R1. Calcule.
a) log3 243
b) log 1 16 64
c) log 25 5√ 5
Resolução
a) Considerando log3 243 = x , obtemos:
3x = 243 h 3x = 35 h x =5
Portanto, log3 243 = 5.
b) Considerando log 1 16 64 = y, obtemos:
( 1 16 )y = 64 h ( 1 2 4 )y = 2 6 h
h 2 4y = 2 6 h 4y = 6 h
h y = 6 4 = 3 2
Portanto, log 1 16 64 = 3 2
c) Considerando log 25 5√ 5 = z, obtemos:
25 z = 5√ 5 h ( 5 2)z = 5 ? 5 1 2 h
h 5 2z = 5 3 2 h 2z = 3 2 h z = 3 2 ? 1 2 = 3 4
Portanto, log 25 5√ 5 = 3 4 .
R2. Considere x log x y = x 1 4 e log y x = z. Qual é o valor de z ?
a) 0 b) 1 4 c) 1 d) 4
Resolução
Podemos utilizar a relação a log a b = b , que decorre da definição de logaritmo, para resolver x log x y = x 1 4 . Assim, temos: y = x 1 4
P ara log y x = z , da definição de logaritmos, temos: y z = x
Uma resposta possível: Inicialmente, podemos
Em seguida, como x log x y = y = x 1 4 , substituímos em y = x 1 4 o resultado obtido anteriormente e determinamos uma igualdade verdadeira: y = x 1 4 = (y4) 1 4 = y.
Substituindo y = x 1 4 em y z = x , segue que: (x )z = x 1 h x z 4 = x 1 h z 4 = 1 h z = 4
Portanto, a alternativa d está correta.
Explique a um colega outra maneira de mostrar que z = 4 é a solução dessa atividade.
R3. Na página 62, analisamos uma situação em que um alpinista, ao realizar uma escalada, consultou o barômetro e verificou que a pressão atmosférica era de 0,53 atm. Considerando log0,9 (0,53) 1 6, determine a que altitude o alpinista se encontrava, aproximadamente.
Alpinista escala montanha.
Da definição de logaritmo, temos que: loga b = c k a c = b
Como, na situação apresentada, a pressão atmosférica pode ser expressa por uma função definida por p ( h ) = (0,9) h , em que h corresponde à altitude (em km), temos que: 0,53 = (0,9)h k log 0,9 (0,53) = h
Como log 0,9 (0,53) 1 6, segue que h 1 6. Portanto, o alpinista se encontrava a aproximadamente 6 km de altitude. 1 4
R4. Determine para quais valores reais de x estão definidos os logaritmos indicados a seguir.
a) log 9 (2 x + 8)
b) log ( x _ 3) ( x 2 _ 5x + 6)
De acordo com a definição de logaritmo, temos que loga b existe quando a e b são números reais, sendo a . 0, a 5 1 e b . 0.
a) Em log 9 (2 x + 8) a base é 9. Neste caso, as condições de que a base seja maior do que zero e diferente de 1 são satisfeitas. Resta analisar a condição 2 x + 8 . 0. Assim: 2 x + 8 . 0 h 2 x . _8 h x . _4
Portanto, log 9 (2 x + 8) existe para qualquer x [ r tal que x . _4.
b) Neste caso, vamos analisar para quais valores de x a base de log ( x _ 3) ( x 2 _ 5x + 6) é positiva e diferente de 1 e o logaritmando é positivo.
• B ase: {x 3 . 0 h x . 3 x 3 5 1 h x 5 4
• L ogaritmando: x 2 _ 5x + 6 . 0 x 2 5x + 6 = 0 a = 1; b = _5;
Fazendo o estudo de sinal da função quadrática dada por f ( x ) = x 2 5x + 6, temos:
Portanto, x 2 _ 5x + 6 . 0 para x , 2 ou para x . 3. Como essas condições precisam ser satisfeitas simultaneamente, precisamos obter o conjunto I " II. Assim:
CBOOK PRODUÇÕES
Portanto, log ( x _ 3) ( x 2 _ 5x + 6) está definido para qualquer x [ r , tal que x . 3 e x 5 4.
Uma resposta possível: Para x = 1, por exemplo, temos que a base do logaritmo seria dada por um número negativo (x 3 H 1 3 = 2), o que não pode ocorrer por definição de logaritmo.
Escolha um número real para o qual o logaritmo indicado no item b não esteja definido. Depois, argumente por que isso ocorre.
8. a) log 1 = 0,00; log 2 1 0,301029995663981; log 3 1 0,477121254719662; log 4 1 0,602059990327962
1. De acordo com a definição de logaritmo, calcule:
a) log 8 16;
b) log 9 ( 1 81 ); 2
c) log 0,2 125; 3
d) log √ 7 (49 √ 7 ). 5
2. Determine, em cada equação a seguir, o valor de x
a) log16 128 = x
b) log 6 x = 3 x = 216
c) log x √ 10 = 1 2
d) log2 4 = log x
3. Você sabia que a maioria dos smartphones tem calculadora científica instalada em seu sistema operacional? Para calcular logaritmos, podemos utilizar essas calculadoras ou programas de computador específicos. Observe, por exemplo, a sequência de teclas que devem ser pressionadas, em um modelo de calculadora científica, para obter o valor aproximado de log 62.
6 2 = 1.792391689 log
Portanto, log 62 1 1,792391689.
Agora, utilize uma calculadora científica e determine os logaritmos a seguir. Escreva o resultado aproximado com duas casas decimais.
a) log 110 2,04
b) log 24 1,38
c) log 51 1,71
d) log (0,6) 0,22
4. Determine para que valores reais de x os logaritmos a seguir podem ser definidos.
a) log11 (4x 52) x . 13
b) log (2 x + 5) (0,35) x . 5 2 e x 5 2
c) log ( x _ 8) ( x 2 + 7x ) x , 8 e x 5 9
d) log ( x _ 1) ( x 2 _ 3x + 10) 1 , x , 2
5. Simplifique as expressões.
a) log4 16 ? log12 12 2
b) log (log7 710) log 9 1 1
c) (log 0,04 5) [5 log 5 20 + log 2 (0,25)] 9
d) log 3 81 3 log √ 3 27 2 log 6 ( 1 6 )
6. Sabendo que o logaritmo de um número na base 4 é igual a 4,5, determine o logaritmo do dobro desse número na mesma base. 5
8. b) LogaritmandoLogaritmo aproximado na base 10
6 0,77815125
7 0,84509804
8 0,903089987
9 0,954242509
10 1
7. Mariana resolveu investir um capital de R $ 5.700,00 a uma taxa de 6% a.m. em uma aplicação no sistema de juro composto. Após quanto tempo, aproximadamente, Mariana obterá um montante de R $ 14.478,00? Considere log1,06 (2,54) 1 16.
16 meses
8. Le ia as informações a seguir e resolva as questões.
NA HISTORIA
Os logaritmos briggsianos ou comuns são os logaritmos de base 10, utilizados hoje em dia. Esses logaritmos foram desenvolvidos por John Napier (1550-1617) e Henry Briggs (1561-1630), com o objetivo de criar tábuas de logaritmos mais úteis na realização de cálculos. Essas tábuas consistem, basicamente, de um quadro com duas colunas em que, na primeira coluna, são indicados números naturais e, na segunda, as respectivas aproximações dos logaritmos de base 10 desses números. Em 1624, Briggs publicou Arithmetica logarithmica, uma tábua que continha logaritmos dos números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000. Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática . Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 4. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. p. 345-346.
Observe a representação de parte da tábua de logaritmos briggsianos.
Esta linha indica que log 5 1 0,698970004336019.
a) De maneira análoga à realizada para a linha 5, escreva o logaritmo indicado para cada linha da parte da tábua apresentada.
b) U tilizando uma calculadora, construa uma tábua de logaritmos de base 10 para os números naturais de 6 até 10.
Analise, a seguir, algumas propriedades que contribuem na realização de operações com logaritmos.
Logaritmo do produto
Sendo a, b e c números reais, com a . 0, a 5 1, b . 0 e c . 0, temos: loga (b ? c) = loga b + loga c
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Considerando loga b = x, loga c = y e loga (b ? c) = z, temos:
• loga b = x h a x = b
• loga c = y h a y = c • loga (b ? c) = z h a z = b ? c
Assim, segue que:
a z = b ? c h a z = a x ? a y h a z = a x + y h z = x + y h loga (b ? c) = loga b + loga c
Exemplos:
a) log3 (5 ? 7) = log3 5 + log3 7
b) log 300 = log (100 ? 3) = log 100 + log 3 = 2 + log 3
Logaritmo do quociente
Sendo a, b e c números reais, com a . 0, a 5 1, b . 0 e c . 0, temos: log a ( b c ) = log a b log a c
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Considerando loga b = x, loga c = y e log a ( b c ) = z, temos:
DiCA
Para estudar as propriedades operatórias dos logaritmos, se necessário, retome o estudo das propriedades das potências.
Esta propriedade pode ser descrita da seguinte maneira.
O logaritmo do produto de dois números reais positivos, de certa base, é igual à soma dos logaritmos desses números, ambos nessa mesma base.
• loga b = x h a x = b • loga c = y h a y = c • log a ( b c ) = z h a z = b c
Assim, segue que: a z = b c h a z = a x a y h a z = a x y h z = x y h h log a ( b c ) = log a b log a c
Exemplos:
a) log 8 ( 9 7 ) = log 8 9 log 8 7
b) log (1, 5) = log ( 15 10 ) = log 15 log 10 = log 15 1
Logaritmo da potência
Sendo a, b e n números reais, com a . 0, a 5 1 e b . 0, temos: loga b n = n ? loga b
Com suas palavras, descreva esta propriedade.
Resposta esperada: O logaritmo do quociente de dois números reais positivos, de certa base, é igual à diferença dos logaritmos desses números, ambos nessa mesma base.
Propriedade do logaritmo do quociente: log a ( 1 b ) = log a 1 log a b = 0 log a b = log a b.
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Considerando loga b = x e loga b n = y, temos:
Propriedade do logaritmo da potência: log a ( 1 b ) = log a b 1 = 1 log a b = log a b.
PARA PENSAR
• loga b = x h a x = b • loga b n = y h a y = b n
Assim, segue que: a y = b n h a y = (a
Exemplos:
a) log 83 = 3 ? log 8 b) log4 10 2 = 2 ? log4 10
Mudança de base
Sendo a, b e c números reais, com a . 0, a 5 1, b . 0, c . 0 e c 5 1, temos: log a b = log c b log c a
Observe como podemos justificar essa propriedade.
Considerando loga b = x, logc b = y e logc a = z, temos:
• loga b = x h a x = b
• logc b = y h c y = b • logc a = z h c z = a
Como a x = b e c y = b, segue que:
Com suas palavras, descreva essa propriedade.
Resposta esperada: O logaritmo de uma potência de um número real positivo de expoente real qualquer, de certa base, é igual ao produto desse expoente pelo logaritmo desse número real nessa mesma base.
Mostre, de duas maneiras diferentes, que, sendo a e b números reais, com a . 0, a 5 1 e b . 0, temos log a ( 1 b ) = = log a b . Indique quais propriedades operatórias dos logaritmos você utilizou.
a x = c y h (c z) x = c y h c z x = c y h z ? x = y h log c a ? log a b = log c b h log a b = log c b log c a
Resposta esperada: O logaritmo de um número real positivo de certa base é igual à razão entre o logaritmo desse número real pelo logaritmo do número correspondente a essa base, ambos em uma mesma base.
Exemplos: a) log 6 20 = log 4 20 log 4 6
Alguns modelos de calculadora científica não têm uma tecla específica para o cálculo de logaritmos em uma base definida qualquer. Nesse caso, podemos utilizar a propriedade da mudança de base de logaritmos. Acompanhe, a seguir, as etapas para calcular log3 7 utilizando um modelo de calculadora em que há tecla para logaritmos de base decimal.
1a) Utilizamos a propriedade da mudança de base:
log 3 7 = log 7 log 3
2a) Pressionamos a seguinte sequência de teclas:
1.771243749 log log 7 3 ÷ =
Tecla de cálculo do logaritmo decimal
O resultado indicado na calculadora é uma aproximação de log3 7.
A ordem em que as teclas devem ser pressionadas pode ser diferente da apresentada de acordo com o modelo da calculadora.
Com suas palavras, descreva essa propriedade.
Calculadora científica.
R5. Dados log 2 1 0,301, log 5 1 0,699 e log 7 1 0,845, determine o valor de:
a) log 49
b) log 70 c) log 1,4 d) log2 35
Resolução
a) log 49 = log 72 = 2 ? log 7 1 2 ? 0,845 = 1,69
b) log 70 = log (2 ? 5 ? 7) = log 2 + log 5 + + log 7 1 0,301 + 0,699 + 0,845 = 1,845
c) log 1,4 = log ( 14 10 ) = log 14 log 10 = = log (2 7) 1 = log 2 + log 7 1 1 0,301 + + 0,845 1 = 0,146
d) log 2 35 = log 35 log 2 1 log (5 ? 7) 0,301 = = log 5 + log 7 0,301 1 0, 699 + 0, 845 0,301 = = 1, 544 0,301 1 5,13
Escreva um logaritmo, diferente dos apresentados nesta atividade, cujo valor aproximado possa ser determinado com base nos cálculos envolvendo os três logaritmos indicados no enunciado. Troque com um colega o logaritmo que você escreveu para que um resolva o do outro. Depois, faça a correção dos itens que você propôs. Ao final, todos devem compartilhar com a turma suas produções. Resposta pessoal.
R6. Mostre que log a b = 1 log b a , sendo a e b números reais tais que a . 0, a 5 1, b . 0 e b 5 1.
Resolução
Aplicando em loga b a mudança de base para logaritmos de base b, temos:
log a b = log b b log b a = 1 log b a
Portanto, log a b = 1 log b a .
R7. Considere as informações nas fichas a seguir e resolva as equações exponenciais.
log2 3 1 1,58 log2 5 1 2,32 log2 7 1 2,81
a) 22 x + 1 = 15
b) ( 1 2 )5 2x = 7 5
c) 3x _ 5 = 8
Resolução
a) 22 x + 1 = 15 h log2 22 x + 1 = log2 15 h
h 2 x + 1 = log2 (3 5) h
h 2 x = log2 3 + log2 5 1 h
h 2 x 1 1,58 + 2,32 1 h x 1 2,9 2 h
h x 1 1,45
b) ( 1 2 )5 2x = 7 5 h 2 2x 5 = 7 5 h
h log 2 2 2x 5 = log 2 ( 7 5 ) h
h 2x 5 = log 2 7 log 2 5 h
h 2x 1 2,81 2,32 + 5 h x 1 5,49 2 h
h x 1 2,745
c) 3 x 5 = 8 h log 3 3 x 5 = log 3 8 h
h x 5 = log 2 8 log 2 3 h x 1 3 1,58 + 5 h
h x 1 6,9
Escolha um dos itens propostos e, com suas palavras, explique a um colega cada etapa da resolução da equação. Resposta pessoal.
R8. (Enem/MEC) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centimetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 0 00 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centimetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017. (adaptado).
Considere 0,30 como aproximação para log10 2.
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?
a) 1999
b) 2002 c) 2022 d) 2026 e) 2146
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos realizar as etapas a seguir.
COMPREENDER O ENUNCIADO 1a
Do enunciado, temos que:
• a d ensidade de transistores é o número de transistores por centimetro quadrado;
• e m 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 0 00 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área;
• o número de transistores por centimetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore);
• considerar log10 2 1 0,30.
ELABORAR UM PLANO 2 a
Temos de determinar em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores. Para isso, podemos calcular a densidade de transistores dos processadores em 1986 ( D o ) e escrever a função D (t ) para expressar a densidade de transistores em t a nos. Depois, igualamos D (t ) a 100 bilhões e obtemos uma equação de incógnita t , que deverá ser resolvida. Por fim, adicionamos a quantidade de anos obtida ao ano inicial (1986).
EXECUTAR O PLANO 3a
Calculando D o , temos: Do = 100 000 0,25 = = 400 000 = 4 ? 10 5 .
Escrevendo D (t ), segue que: D(t ) = 4 ? 10 5 ? 2 t 2 , em que t > 0.
Como 100 bilhões correspondem a 1011, fazemos D (t ) = 1011 e resolvemos a equação exponencial obtida: 4 ? 10 5 ? 2 t 2 = 10 11 h 2 2 ? 2
2 t 2 + 2 =
( t 2 + 2) ? log 2 = 6 ? log 10 h h ( t 2 + 2) ? 0,30 1 6 ? 1 h t 1 36
Como consideramos 1986 o ano inicial, segue que: 1 986 + 36 = 2 022.
Portanto, a empresa atingiu a densidade de 100 bilhões de transistores em 2022.
Com suas palavras, explique a expressão encontrada para D(t ) Resposta pessoal.
Para verificar o resultado, podemos determinar, por meio da função D , a densidade de transistores em 2021 e em 2022, ou seja, 35 e 36 anos passados de 1986, respectivamente. Para isso, é possível usar uma calculadora científica.
• D(35) = 4 10 5 2 35 2 = 2 2 10 5 2 35 2 = = 2 39 2 ? 10 5 1 74 000 000 000
• D (36) = 4 ? 10 5 ? 2 36 2 = 2 2 ? 10 5 ? 2 18 = = 2 20 ? 10 5 1 105 000 000 000
Note que 74 bilhões , 100 bilhões , 105 bilhões.
Portanto, a alternativa c é a correta, pois a empresa atingiu a densidade de 100 bilhões de transistores 36 anos após 1986, ou seja, em 2022.
9. Em cada item, escreva as expressões na forma de um único logaritmo.
a) log 8 log 15
log ( 8 15 )
b) log 6 4 ? log4 5
log6 5 log7 40 log3 4
c) 3 log7 2 + log7 5 d) log 9 4 + log3 2
10. Considerando log3 2 1 0,63, log3 5 1 1,46 e log3 7 1 1,77, determine o valor aproximado de:
a) log3 70 b) log3 36 c) log7 5 d) log3 (0,7)
11. Utilizando uma calculadora científica, determine o valor dos logaritmos a seguir.
a) log 8 20 b) log2 100 c) log 8 (0,5) d) log20 16
aproximadamente 1,44 aproximadamente 6,64 0,3 aproximadamente 0,93
12. Observe como podemos resolver a equação log2 x = 2,8 com uma calculadora científica.
Da definição de logaritmos, temos que:
log2 x = 2,8 k 22,8 = x
Para calcular o valor aproximado de 22,8 , pressionamos a seguinte sequência de teclas em certo modelo de calculadora científica.
6.964404506 ^ 2 2 8 =
Agora, com uma calculadora científica, determine o valor aproximado de x nos itens a seguir.
a) log3 x = 0,9 b) log5 x = 3,9 c) log7 x = 1,2 d) log x = 0,01
13. (Fuvest-SP) O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch ) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:
Passo 0: começa-se com um triângulo equilátero de lados de medida 1.
Passo 1: divide-se cada lado do triângulo do Passo 0 em 3 segmentos iguais e constrói-se um triângulo equilátero com base em cada segmento do meio.
Passo 2: repete-se o procedimento no Passo 1 em cada lado da figura obtida no passo anterior.
Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4 , Passo 5, …) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:
a) Q ual é o número de lados da figura no Passo 3?
b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?
c) A p artir de qual Passo o número de lados da figura supera 6 0 00 0 00 0 00 0 00 (seis trilhões)?
Note e adote: log10 2 1 0,301
14. A quantidade aproximada q de indivíduos de certa cultura de bactérias, de acordo com o tempo t (em minuto), é representada pela função dada por q (t ) = ( 5 2 ) 6 5 t . Nessas condições, e considerando
log 2 = 0,3, em quantos minutos essa cultura terá 10 84 bactérias?
Passo 21 175 min
15. O césio-137 é um isótopo radioativo do césio utilizado, por exemplo, em terapias por radiação. Assim como outros materiais radioativos, o césio-137 sofre decaimento radioativo e tem meia-vida de cerca de 30 anos.
a) Escreva uma função que apresenta a massa M (t ) de césio-137 após t anos, considerando a massa inicial A .
M(t) = A ( 1 2 ) t 30
b) L eia o texto a seguir.
Em 1987 ocorreu um grave acidente com césio-137 em Goiânia (GO). Um aparelho de radioterapia foi encontrado em um prédio abandonado onde funcionava uma clínica. O aparelho foi desmontado, liberando no meio ambiente cerca de 18 g de césio-137. A liberação gerou em torno de 3 500 m³ de lixo radioativo, 249 pessoas foram contaminadas e quatro pessoas faleceram.
Fontes dos dados: GOIÁS. Secretaria de Estado da Saúde. História do césio 137 em Goiânia. Goiânia: SES-GO, 27 fev. 2024. Disponível em: https://goias.gov.br/saude/ historia-do-cesio-137-em-goiania/.
TEIXEIRA, Flaviana Tavares Vieira; SILVEIRA, Gabriel Augusto Teixeira da; PIMENTEL, Dilton Martins. Acidente com césio-137 completa 30 anos. Revista Vozes dos Vales, Diamantina, ano VI, n. 11, p. 1-19, maio 2017. p. 13. Disponível em: http://site.ufvjm.edu.br/revistamultidisciplinar/ files/2017/03/Flaviana2203.pdf. Acessos em: 26 jul. 2024.
Técnico mede o índice de radioatividade na área considerada um dos principais focos do acidente radiológico em Goiânia (GO). Fotografia de 1987.
Utilizando a função que você escreveu no item a e as informações do texto anterior, calcule a quantidade aproximada de césio-137, restante do acidente, no ano de 2026.
c) A pós quantos anos a quantidade de césio-137 remanescente do acidente em Goiânia será de aproximadamente 0,0036 grama? Considere log 2 1 0,301.
d) Realize uma pesquisa sobre as áreas em que materiais radioativos são utilizados, os cuidados que os profissionais dessas áreas devem ter, os riscos e como pode ocorrer uma contaminação radioativa. Em seguida, escreva um breve texto apresentando as informações pesquisadas.
NO MUNDO
DO TRABAlHO
aproximadamente 7,3 g de césio-137 aproximadamente 369 anos Resposta pessoal.
Além da exposição à radiação, existem outros riscos, que fazem parte das atividades diárias de diferentes profissionais, que podem prejudicar a saúde ou causar acidentes. Operadores de máquinas industriais podem sofrer ferimentos ou danos auditivos; coletores de resíduos estão sujeitos a contrair alguma doença infecciosa; motoboys podem sofrer acidente de trânsito. Esses são alguns exemplos de riscos que muitos profissionais enfrentam e contra os quais devem tomar os devidos cuidados.
Acesse este site para assistir a um vídeo com informações sobre profissões de risco e segurança no trabalho. • COMO prevenir acidentes de trabalho em atividades de risco? [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (11 min). Publicado pelo canal Tribunal Superior do Trabalho. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Rt4FUC5buT4. Acesso em: 26 jul. 2024.
16. Ao instalar um canal de linha telefônica ou de internet, deve-se considerar algumas variáveis a fim de determinar a velocidade de sinal do modem a ser utilizado. Essa velocidade não deve ser superior à máxima capacidade de transmissão (M ) do canal, em bite por segundo (bps), que pode ser obtida por meio do teorema de Shannon, expresso por:
M = K ? log 2 (1 + S N ) ,
em que K corresponde à frequência do sinal (largura de banda), em hertz (Hz), e S N à relação sinal/ruído, em watt (W).
Modem utilizado como receptor de internet fixa, banda larga.
Fontes dos dados: SILVA, Bruno Fontana da. Parâmetros de desempenho de sistemas de comunicação. Florianópolis: IFSC, 2015. p. 8. Disponível em: https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/ images/4/48/CMS60808_Aula_03b_-_Conceitos_gerais_de_ Comunica%C3%A7%C3%A3o.pdf. UM POUCO da história dos logaritmos. São Paulo: E-Cálculo IME-USP, c2001-2012. Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br/ funcoes/logaritmica/historia/hist_log.htm. Acessos em: 26 jul. 2024.
Considere um canal com frequência do sinal de 3 500 Hz e com relação sinal/ruído igual a 30 dB, que correspondem a 1 0 00 W. Qual deve ser, aproximadamente, a velocidade máxima de transmissão de um modem utilizado para enviar o sinal por esse canal? 34 884 bps
Considere:
log 3
500 1 3,544
log 1 001 1 3
17. (UECE) Usando as propriedades dos logaritmos, é correto concluir que o valor da expressão 3 log2 36 25 + 3 log2 ( 6 27 ) 2 log2 16 125 é igual a
a) 0,16. b) 0,50. c) 1,20. d) 1,00.
log 30 1 1,477
log 2 1 0,301
alternativa d
log2 z 9 logaritmo de z na base 2
18. Leia o trecho de um texto a seguir.
A disseminação de notícias falsas, as chamadas fake news , tem colocado a vida de pessoas inocentes em risco, em função da rapidez com que estas veiculações tomam as mídias sociais e por criarem uma verdade que não existe. […]
MATO GROSSO. Secretaria de Estado de Segurança Pública. População pode impedir propagação de fake news nas mídias sociais. Cuiabá: Sesp, 12 out. 2018. Disponível em: https://www.sesp.mt.gov.br/-/populacao-pode-impedir-propagacao -de-fake-news-nas-midias-sociais. Acesso em: 26 jul. 2024.
Agora, observe o gráfico que representa, de maneira hipotética, a quantidade de pessoas que receberam determinada notícia falsa decorrido o tempo, em minuto, da primeira publicação em uma rede social.
DiCA
Elaboração do estudante. No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
• Com base nessas informações, elabore um problema cuja resolução envolva logaritmos. Depois, troque-o com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções e, em uma roda de conversa com a turma, discutam a melhor maneira de evitar que uma informação falsa se propague rapidamente.
Você já estudou alguns tipos de função, como a função afim, a função modular, a função quadrática e a função exponencial. Agora, vamos estudar as funções logarítmicas.
Denominamos função logarítmica toda função f : r + * H r , definida pela lei de formação f (x) = loga x, em que a [ r, com a . 0 e a 5 1.
Observe alguns exemplos de funções logarítmicas.
a) f (x) = log2 x
b) g(x) = log x
c) h(x) = log 1 2 x
Resposta esperada: De acordo com a definição de logaritmo, dado loga x, temos que, para qualquer número real positivo x, a base a de seu logaritmo é um número real positivo diferente de 1.
Com suas palavras, explique a um colega o motivo de haver restrições no domínio de uma função logarítmica, conforme a definição apresentada.
Em r elação à função g definida, por exemplo, podemos calcular g (1 000), g (0,1) e g (5) da seguinte maneira:
• g(1 000) = log 1 000 = 3
• g(0,1) = log (0,1) = 1
• g(5) = log 5 = log ( 10 2 ) = log 10 log 2 = 1 log 2
Note que 103 = 1 0 00 e 10 1 = 0,1.
Para representar o gráfico de uma função logarítmica, atribuímos valores arbitrários para x e obtemos pares ordenados (x, y), que serão representados por pontos no plano cartesiano. Como o domínio de uma função logarítmica é r + * , é possível obter, por meio da lei de formação, infinitos pares ordenados x, y) correspondentes a pontos do gráfico dessa função e traçar a curva por esses pontos. Analise os exemplos.
• f (x) = log2 x
PARA PENSAR
Quais são as coordenadas do ponto em que os gráficos de f e h intersectam o eixo x ? (1, 0)
O gráfico de uma função logarítmica intersecta o eixo x no ponto de coordenadas (1, 0) e não intersecta o eixo y, sendo definida à direita desse eixo.
Nos exemplos das funções f e h, note que, à medida que diminuímos o valor de x (com x . 0), o gráfico aproxima-se do eixo y, mas não o intersecta. De modo geral, dizemos que o eixo y é a assíntota do gráfico da função logarítmica.
Além disso, o conjunto imagem de uma função logarítmica é r, pois, dado y [ r, sabemos que y é imagem do número real positivo x = ay.
Note que, nos exemplos anteriores, a função f é crescente, pois, para x1 . x2, temos f (x1) . f (x2).
Já a função h é decrescente, uma vez que, para x1 . x2, temos h (x1) , h (x2).
De maneira geral, dizemos que uma função logarítmica é:
• crescente quando a . 1, pois, nesse caso, x1 . x2 h loga x1 . loga x2;
• decrescente quando 0 , a , 1, pois, nesse caso, x1 . x2 h loga x1 , loga x2.
R9. Expresse o domínio da função dada por f (x ) = log(x _ 3) (4 + 2x ).
Resolução
De acordo com a definição de logaritmo, temos:
• x 3 . 0 h x . 3 e x 3 5 1 h x 5 3 + 1 h x 5 4 (I)
• 4 + 2 x . 0 h 2 x . _4 h x . _2 (II)
Na função f, essas condições precisam ser satisfeitas simultaneamente. Assim, o domínio de f é dado pela interseção de I e II .
D( f ) = {x [ r | x . 3 e x 5 4}.
PARA PENSAR
Escolha um número real que não pertença ao domínio da função f. Depois, argumente por que isso ocorre.
Uma resposta possível: Para x = 2, por exemplo, a base de log(x _ 3) (4 + 2x) seria dada por um número negativo (x 3 H 2 3 = 1), o que não pode ocorrer por definição de logaritmo.
Antes de continuar o estudo da função logarítmica, vamos explorar um conceito que será utilizado mais adiante: função inversa. Para isso, inicialmente, considere uma função em que elementos diferentes do domínio estão relacionados a diferentes elementos do contradomínio. Além disso, considere que todo elemento do contradomínio está relacionado a um elemento do domínio. Funções com essas características são classificadas como bijetivas.
Dizemos que uma função f é bijetiva se, e somente se, para todo x 1 [ D(f ) e x2 [ D(f ), com x1 5 x2, temos f (x1) 5 f (x2) e CD(f ) = Im(f ).
Acompanhe, a seguir, algumas funções representadas por diagramas de flechas.
A função f é bijetiva, pois
CD(f ) = Im(f ) e cada x [ A está associado a um y [ B diferente.
A função g não é bijetiva, pois existem x1 [ A e x2 [ A, tal que x1 5 x2 e g(x1) = g(x2).
A função h não é bijetiva, pois CD(h) 5 Im(h).
Agora, considere os conjuntos A = { 3, 1, 0, 1, 2} e B = { 6, 2, 0, 2, 4} e as funções bijetivas f : A H B, definida por f (x) = 2x, e g : B H A, definida por g (x ) = x 2
Os diagramas de flechas a seguir representam essas funções.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Note que:
• f ( 3) = 6 e g ( 6) = 3;
• f ( 1) = 2 e g ( 2) = 1;
• f (0) = 0 e g (0) = 0;
• f (1) = 2 e g (2) = 1;
• f (2) = 4 e g (4) = 2.
Observe que, para todo m [ A e n [ B, se f (m) = n, então g (n) = m. Nessas condições, podemos dizer que g é a função inversa de f.
Sejam f : A H B e g : B H A duas funções bijetivas. Dizemos que g é função inversa de f se, para todo m [ A e n [ B, tal que f (m) = n, tem-se g (n) = m. Podemos indicar a função inversa de f por f 1, ou seja, g = f 1
Como para todo m [ A e n [ B, temos f (m) = n e f 1( n ) = m , é possível dizer que, se o ponto de coordenadas (m, n) pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas (n, m) pertence ao gráfico de f 1. Assim, os gráficos de f e f 1 são simétricos em relação à bissetriz do 1o e do 3o quadrante do plano cartesiano.
Observe os gráficos das funções f e g = f 1 apresentadas anteriormente.
Considere a função exponencial bijetiva f : r H r* +, definida por f (x ) = a x , e a função logarítmica bijetiva g : r* + H r, definida por g (x ) = loga x, com a . 0 e a 5 1.
Vamos justificar que g é a inversa da função f. Para isso, é preciso mostrar que, para todo m [ r e n [ r* +, tal que f (m) = n, tem-se g(n) = m.
É possível mostrar que as funções f e g descritas são bijetivas.
Inicialmente, determinamos f (m) = a m. Em seguida, indicamos o resultado, por n. Assim, a m = n
Depois, determinamos: g (n) = loga n
A partir da relação a m = n obtida anteriormente, substituímos em g (n):
g (n) = loga n = loga a m = m ? loga a = m ? 1 = m
Portanto, podemos concluir que a função logarítmica g é a inversa da função exponencial f Agora, considere a função exponencial f : r H r* +, definida por f (x) = 3x. Para determinar a lei de formação da função g : r* + H r, inversa de f, podemos realizar as seguintes etapas:
1
Fazemos y = f (x) e aplicamos a definição de logaritmo para isolar a variável x
y = 3x h log3 y = log3 3x h h log3 y = x ? log3 3 h log3 y = x
Permutamos as variáveis x e y na expressão log3 y = x para obter a lei de formação da função g y = log3 x 2
Portanto, a função logarítmica g : r * + H r , definida por g ( x ) = log 3 x , é a inversa da função exponencial f : r H r * + definida por f ( x ) = 3 x .
Observe que os gráficos das funções f e g são simétricos em relação à bissetriz do 1 o e do 3 o quadrante do plano cartesiano.
PARA PENSAR
Escreva as coordenadas de três pares de pontos dos gráficos das funções f e g que sejam simétricos em relação à bissetriz do 1o e do 3o quadrante do plano cartesiano.
Algumas respostas possíveis: ( 2, 1 9 ) e ( 1 9 , 2);
( 1, 1 3 ) e ( 1 3 , 1); (0, 1) e (1, 0); (1, 3) e (3, 1); (2, 9) e (9, 2).
R10. Observe o gráfico de uma função exponencial f : r H r * + , definida por f (x) = a x, com a . 0 e a 5 1.
Determine a lei de formação de uma função g cujo gráfico seja simétrico ao de f em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.
Resolução
Do gráfico de f, temos: f (2) = 4 h a 2 = 4
Como a . 0, temos a = √4 = 2. Assim, f (x ) = 2x
Como o gráfico de g é simétrico ao de f em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano, então g é a inversa de f. Fazendo f (x ) = y, temos:
y = 2x h log2 y = log2 2x h x = log2 y Permutando as variáveis x e y, temos: y = log2 x Portanto, g (x ) = log2 x.
R11. (UFPR) Suponha que a quantidade Q de determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula:
Q = 15 ? ( 1 10 )2t
sendo Q medido em miligramas. A expressão que fornece o tempo t em função da quantidade Q de medicamento é:
de simetria
a) t = log √ 15 Q
b) t = log 15 2 log Q
c) t = 10 √log ( Q 15 ) d) t = 1 2 log Q 15 e) t = log Q 2 225
Portanto, a alternativa a é a correta. 0
Para resolver essa questão, podemos isolar t em Q = 15 ? ( 1 10 )2t . Para isso, podemos aplicar logaritmo na base 10 em ambos os membros.
Q = 15 ? ( 1 10 )2t h
h log Q = log [ 15 ? ( 1 10 )2t ] h
h log Q = log 15 + log ( 1 10 )2t h
h log Q = log 15 + 2t log ( 1 10 ) h
h log Q = log15 2t h 2t = log 15 log Q h
h 2t = log ( 15 Q ) h t = 1 2 log ( 15 Q ) h
h t = log ( 15 Q )1 2 h t = log √ 15 Q
R12. N o plano cartesiano representado, foram construídos os gráficos das funções f ( x ) = a x e g ( x ) = log a x , com a . 1. Sabendo que a área do triângulo
retângulo azul é igual a 3 4 u.a., determine a lei de formação das funções f e g
Resolução
Como o gráfico de toda função logarítmica, definida por g ( x ) = lo g a x , intersecta o eixo das abscissas no ponto de coordenadas (1, 0), temos que a medida b da base do triângulo azul é igual a 1 u.c.
A partir da expressão da área A desse triângulo, podemos obter sua altura h . Acompanhe.
A = b ? h 2 h 3 4 = 1 h 2 h h = 6 4 = 3 2
Como f (1) = h , temos: f (1) = 3 2 h 3 2 = a 1 h a = 3 2
Portanto, f (x) = ( 3 2 )x e g (x) = log 3 2 x
R13. Determine a função h : r H r * +, que é a inversa da função logarítmica p : r * + H r , definida por p ( x ) = log 1 2 x . Depois, no plano cartesiano, represente os gráficos de p e de h e o eixo de simetria desses gráficos.
Resolução
Para determinar a lei de formação da função h, inversa de p, podemos realizar as etapas a seguir.
1a) Fazemos y = h ( x ) e aplicamos a definição de logaritmo para isolar a variável x : y = log 1 2 x H ( 1 2 )y = x
2a) Permutamos as variáveis x e y na expressão ( 1 2 )y = x , obtendo y = ( 1 2 )x
Portanto, a função exponencial h : r H r* +, definida por h (x ) = ( 1 2 )x , é a inversa da função lo-
garítmica p : r* + H r, definida por p (x ) = log 1 2 x
Para esboçar os gráficos das funções p e h , podemos marcar alguns de seus pontos no plano cartesiano. Note que esses gráficos são simétricos em relação à bissetriz do 1o e do 3 o quadrante do plano cartesiano. h p
Eixo de simetria
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
Escreva as coordenadas de um par de pontos dos gráficos das funções h e p que sejam simétricos em relação à bissetriz do 1o e do 3o quadrante do plano cartesiano.
Algumas respostas possíveis: ( 2, 4) e (4, 2); ( 1, 2) e (2, 1); (0, 1) e (1, 0); (1, 1 2 ) e ( 1 2 , 1); (2, 1 4 ) e ( 1 4 , 2).
19. Dadas as funções f ( x ) = log16 x e g ( x ) = log36 x , calcule:
a) f (2) b) f( 1 4 ) c) g( 1 1 296 ) d) g (1)
20. Determine o domínio das funções a seguir.
a) f ( x ) = log5 (3x + 27) D (f ) = {x [ r | x . 9}
b) g (x ) = log9 (x 2 4) D(g) = {x [ r | x , 2 ou x . 2} c) h ( x ) = log7 ( x 8) D (h) = {x [ r | x . 8} d) m (x ) = log x _ 2 (x 2 + x ) D(m) = {x [ r | x . 2 e x 5 3}
21. Classifique cada função a seguir em crescente ou decrescente.
a) f ( x ) = log2 x
b) g (x) = log 0,5 x c) h ( x ) = log13 x
29. a) Resposta esperada: A ordenada do ponto A do gráfico da função p corresponde à abscissa do ponto B do gráfico da função m, e a ordenada do ponto B corresponde à abscissa do ponto A.
d) m(x) = log 2 3 x
e) n(x) = log 4 3 x
22. Para quais números reais t a f unção f ( x ) = log (2t + 9) x é: a) crescente? b) decrescente?
23. Usando uma malha quadriculada ou um programa de computador, esboce os gráficos das funções a seguir. Respostas nas Orientações para o professor. a) f ( x ) = log 9 x
b) g ( x ) = log4 x c) h(x) = log 1 4 x d) m(x) = log 1 8 x
0 1 x y ab
decrescente crescente decrescente crescente t . _4 9 2 , t , 4 f 1: r* + H r, definida por f 1(x) = log4 x
28. Anal ise o gráfico da função exponencial f : r H r* +, definida por f (x ) = a x f 0 1 2 x y 0,5
Determine a lei de formação de uma função g , cujo gráfico seja simétrico ao gráfico de f em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.
g(x) = log4 x
24. Observe o gráfico da função f ( x ) = log 5 x e determine os valores de a e b. a = 1; b = 5
25. Determine a inversa de cada função bijetiva descrita a seguir.
a) f : r H r* +, definida por f ( x ) = 4x . b) g : r* + H r , definida por g ( x ) = log2,5 x .
26. Um botânico elaborou a função definida por M (t ) = 2(t 2) para estimar a altura M (t ), em metro, de uma árvore de determinada espécie em função do tempo t , em ano, durante os 50 primeiros anos de vida dessa árvore. Com base na função elaborada pelo botânico e usando a ideia de função inversa, escreva uma função com a qual seja possível determinar a idade t , em ano, de uma árvore dessa espécie, a partir da altura M , em metro, dessa árvore.
t(M) = 2 + log2 M
27. Dada uma função logarítmica f definida por f ( x ) = loga x , mostre que:
• se a . 1, então f é crescente;
• se 0 , a , 1, então f é decrescente. crescente
29. Estudamos que a pressão atmosférica (em atm), em certa localidade, pode ser escrita pela função p (h ) = (0,9)h , em que h é a altitude (em km). No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico de p e o gráfico de uma função m, simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. 0 1 Ap m B
Altitude (km) Pressão atmosférica (atm) 2 1 0,81 0,81 2
a) Analise as coordenadas dos pontos A e B e registre suas conclusões quanto aos valores.
b) Utilizando uma calculadora científica, determine os valores aproximados de a = p (0,5) e b = p (1,5). a 1 0,95; b 1 0,85
c) Com base na resposta ao item b, determine m (a ) e m (b ). m(a) 1 0,5; m(b) 1 1,5
d) Escreva a lei de formação da função m .
m(h) = log(0,9) h
3 0. No caderno, escreva a lei de formação de uma função logarítmica. Depois, troque-a com um colega para que ele determine a lei de formação de uma função g , de maneira que os gráficos de f e g s ejam simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Resposta pessoal.
27. Sejam m e n números reais positivos, com m . n. Considerando que y1 = f(m) e y2 = f (n), temos: y1 = loga m e y2 = loga n, ou seja, a y1 = m e a y2 = n. Como m . n, então a y1 . a y2. Se a . 1, temos que y1 . y2 h f(m) . f(n). Portanto, a função é crescente. Se 0 , a , 1, temos que y1 , y2 h f(m) , f(n). Portanto, a função é decrescente.
Considere a situação descrita a seguir.
Planta em crescimento.
Um instituto de pesquisas agronômicas estuda o crescimento de uma variedade de certa espécie de planta. Por meio de uma amostra, coletaram-se dados dessa planta e, utilizando-se um programa de computador, elaborou-se o modelo matemático h(t) = 5 ? log2 (t + 3), que determina a altura da planta, em centimetro, nos primeiros dois meses, passados t dias do plantio de sua muda. Nessas condições, em quantos dias, após o plantio de sua muda, essa planta atinge 25 cm de altura?
Para resolver essa situação, podemos determinar o valor de t para o qual h(t ) = 25. Assim, é possível escrever a seguinte equação:
5 ? log2 (t + 3) = 25
Equações como essa, em que a incógnita está no logaritmando, na base ou em ambos, são denominadas equações logarítmicas.
Para resolver essas equações, precisamos analisar as condições de existência, de acordo com a definição de logaritmo. Em relação à situação apresentada, devemos considerar a seguinte condição de existência:
t + 3 . 0 h t . 3
Assim, de acordo com a definição de logaritmo, temos:
5 ? log2 (t + 3) = 25 h log 2 (t + 3) = 25 5 h t + 3 = 25 h t = 32 3 = 29
Portanto, de acordo com o modelo matemático, essa planta atinge 25 cm de altura 29 dias após o plantio da muda.
Observe, no gráfico da função h, o ponto de coordenadas (29, 25) destacado, indicando que h(29) = 25.
Note que t = 29 satisfaz a condição de existência.
Além de considerar as condições de existência para resolver algumas equações logarítmicas, podemos utilizar a propriedade descrita a seguir.
Estudamos que a função logarítmica f definida por f (x) = loga x é bijetiva. Com isso, sabemos que f (x1) = f (x2) se, e somente se, x1 = x2. Então, podemos concluir que:
loga x1 = loga x2 k x1 = x2
R14. Resolva em r as seguintes equações logarítmicas.
a) log ( x + 1) 9 = 2 b) log2 ( x 4) = log2 (2 x + 2) c) log 3 ( 4x 2 x 5 ) = 2
a) Condição de existência:
• x + 1 . 0 h x . 1 • x + 1 5 1 h x 5 0
Aplicando a definição de logaritmo: ( x + 1)2 = 9 h
x + 1 = √ 9 h x = 2 ou x + 1 = √ 9 h x = 4
Apenas x = 2 satisfaz a condição de existência. Portanto, S = {2}.
b) Condição de existência:
• x 4 . 0 h x . 4 (I) • 2 x + 2 . 0 h x . 1 (II)
As condições de existência I e II precisam ser satisfeitas simultaneamente. Observe a representação desses intervalos no diagrama.
Logo, x . 4.
Aplicando a propriedade apresentada:
( x 4) =
Note que x = 6 não satisfaz a condição de existência (x . 4). Portanto S = @.
c) Condição de existência:
• 4x 2 x 5 . 0 e x 5 5
Observe, conforme representado, como podemos realizar o estudo do sinal de 4x 2 x 5
Assim, para 4x 2 x 5 . 0, temos x , 1 2 ou x . 5.
Aplicando a definição de logaritmo: 3 2 = 4x 2 x 5 h 9x
Note que x = 43 5 satisfaz a condição de existência x . 5. Portanto, S = { 43 5 }
R15. (UEL-PR) Um pesquisador estuda uma população e determina que a equação N = t 910 15 descreve a incidência de câncer, representada por N, em função do tempo t. Ele observa que N cresce rapidamente, o que dificulta a análise gráfica dessa relação. Por isso, o pesquisador decide operar simultaneamente com as variáveis N e t a fim de representá-las como uma semirreta no plano cartesiano x x y . Para esse fim, suponha que o pesquisador escolha uma base b, positiva e distinta de 1, e que ele considere as seguintes operações para N . 0 e t . 0: {x = log b (t) y = log b (N)
Supondo que y = 9x + 1 seja a equação que descreve a semirreta que o pesquisador obteve no plano cartesiano x x y, e recordando que 1 = log b (b ), assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a escolha da base b feita pelo pesquisador.
a) 1 b) 9 c) 915 d) 10 9 e) 10 15
Resolução
Sabemos que y = 9x + 1. Assim, aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, segue que: log b (N) = 9 ? log b (t) ⏟ x + 1 h log b (N) = log b (t 9) + log b (b) h log b (N) = log b (b ? t 9)
Aplicando a propriedade apresentada na página 82: log b (N ) = log b (b ? t 9) h N = b ? t 9
Do enunciado, temos que N = t 910 15 . Sendo assim, segue que: b ? t 9 = t 910 15 h b = 10 15
Portanto, a alternativa e é a correta.
31. a) S = {7} 31. c) S = {3}
31. b) S = @ 31. d) S = { 3 2 } 32. a) x 1 1,56
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
31. Resolva, em r , as equações logarítmicas a seguir.
a) log x 343 = 3
b) log ( x _ 2) ( x 2) = 2
c) log16 4 096 = x d)
35. (IFPE) Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do tempo t , em anos, de acordo com a relação
32. Resolva as equações exponenciais, considerando log 2 1 0,30, log 3 1 0,47, log 5 1 0,69 e log 7 1 0,84.
a) 2 x = 3
b) 4 (2 x + 5) = 9 c) 10 (5x + 1) = 7 d) 30 (6x _ 18) = 35
33. Determine o valor de x para que log (5x ) + log ( x 4) = log x x = 4,2
34. Juliana deseja poupar um montante de R $ 48.000,00 para utilizar na reforma de sua moradia. Atualmente, ela tem um capital de R $ 12.000,00 e decidiu investi-lo em uma aplicação com taxa de 3% ao mês no sistema de juro composto. Determine a quantidade mínima de meses necessários para que Juliana obtenha a quantia desejada considerando apenas essa aplicação. Utilize log 2 1 0,301 e log (1,03) 1 0,013.
log 2 ( 2x 5 x + 1 ) = 4 47 meses
P = 250 ? (1,2) t 5 , sendo t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.) alternativa e a) 45 b) 25 c) 12 d) 18 e) 30
36. Patrícia comprou um automóvel novo por R $ 108.000,00. Após realizar um estudo de mercado, ela modelou o preço de venda desse automóvel, em reais, após x anos de uso pela função dada por f ( x ) = 108 000 ? 0,88 x
a) Qual ser á o preço de venda desse automóvel após 2 anos de uso? R $ 83.635,20
b) P atrícia estima vender esse automóvel quando seu valor de venda for igual à metade do valor de compra. Quanto tempo após a compra ela deverá vender esse automóvel?
Utilize uma calculadora científica. aproximadamente 5 anos e 5 meses
Inequações em que a incógnita está no logaritmando, na base ou em ambos são chamadas de inequações logarítmicas. Observe alguns exemplos.
• log2 (x 4) > 5
• logx 216 < 3
• log(9x _ 2) (5x ) < 9
Em geral, para resolver uma inequação logarítmica, temos de reduzir os dois membros da desigualdade a logaritmos de uma mesma base, analisar as condições de existência de acordo com a definição de logaritmo e considerar a propriedade a seguir.
Dada uma função logarítmica f (x ) = loga x, temos que:
• se a . 1, ou seja, f é uma função crescente, então:
loga x1 . loga x2 k x1 . x2
• se 0 , a , 1, ou seja, f é uma função decrescente, então: loga x1 . loga x2 k x1 , x2
R16. Nos itens a seguir, resolva em r as inequações.
a) log2 (2 x + 4) , 3 b) log 1 4 (8x + 16) > log 1 4 (14 7x)
Resolução
a) Condição de existência:
2 x + 4 . 0 h 2 x . _4 h x . _2 (I)
Assim, segue que:
(2 x + 4) , 3 h
(2 x + 4) , 3
h
(2 x + 4) , log2 (23)
Como a base dos logaritmos (2) é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido:
2 x + 4 , 23 h 2 x , 8 4 h x , 2 (II)
A solução da inequação deve satisfazer simultaneamente as condições I e II . Observe. 2 2 2 2 I II I " II x x x
Portanto, S = {x [ r | _2 , x , 2}.
Também podemos resolver essa inequação geometricamente. Para isso, podemos representar em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções dadas por f ( x ) = lo g 2 (2 x + 4) e g ( x ) = 3 para x . 2 e comparar os valores delas. Nesse caso, note que f , g para 2 , x , 2.
b) Condições de existência:
• 8x + 16 . 0 h x . _2 (I)
• 14 _ 7x . 0 h _7x . _14 h x , 2 (II)
Como a base dos logaritmos ( 1 4 ) é maior que 0 e menor que 1, o sentido da desigualdade é invertido: 8x + 16 < 14 _ 7x h 15x < _2 h x < 2 15 (III).
A solução da inequação deve satisfazer simultaneamente as condições I, II e III .
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
Portanto, S = {x [ r | 2 , x < 2 15 }.
R17. Obtenha os valores de x que satisfazem a inequação log5 (x 3) + log5 x . log5 (7x) + 2.
Resolução
Utilizando as propriedades operatórias de logaritmos, temos:
3)
Condição de existência: x 3 7 . 0 h x . 3 (I)
A ssim, segue que:
( x 3
Como a base dos logaritmos (5) é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido: x 3 7 . 5 2 h x 3 7 . 25 h x 3 . 175 h x . 178 (II)
A solução da inequação deve satisfazer simultaneamente as condições I e II
Portanto, S = {x [ r | x . 178}.
37. Resolva, em r , as inequações a seguir.
a) log 1 3 (9x 8) . 2
b) 2 log 5 (x + 2) . 1 S = {x [ r | x . _1}
c) log2 ( x + 4) < log2 ( x 3) + 2
38. Observe a inequação representada a seguir.
log (0,2) (3x 9) > 1
Quantos números naturais pertencem ao conjunto solução dessa inequação? um
39. Resolva os sistemas de inequações a seguir.
a)
b)
c)
d)
log 2 (x + 3) , 5 log 0,2 (x + 4) , log 0,2 (2x)
log 6 x < log 6 (2x + 3) log 0,2 (x 2) , log 0,2 (x) + 1
log 7 15 (x 2 4) < log (x + 2) log 0,67 (0, 8x + 9) > 2
log 7 (x 2 9) . log 7 (x 3) log 5,1 (5x) > log 5,1 (3x + 12)
40. Jonathan é biólogo em um instituto de pesquisa e está realizando um estudo sobre o crescimento de uma planta ao longo de alguns meses. Os resultados do estudo possibilitaram a construção do gráfico de uma função g que descreve a altura dessa planta, em centimetro, de acordo com o tempo t , em mês.
2 6 14 Tempo (mês) Altura (centimetro)
a) Qual era a altura da planta após 2 meses de estudo? E após 6 meses? 20 cm; 30 cm
b) A pós quantos meses de estudo a planta atingiu 40 cm de altura? 14 meses
c) Qual dos itens a seguir indica a lei de formação da função g?
• g (t ) = 20 log2 (t + 2)
• g (t ) = 10 log3 (t + 2)
• g (t ) = 10 log2 (t + 2)
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
d) Se a planta continuar crescendo de acordo com a função g , após quantos meses de estudo sua altura ultrapassará 50 cm?
30 meses
41. Você sabe o que é o PIB? O PIB, sigla de Produto Interno Bruto, é um indicador da produção de bens e serviços de um país, estado ou município. Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Produto Interno Bruto – PIB: o que é o PIB. Rio de Janeiro: IBGE, [2024]. Disponível em: www.ibge.gov.br/ explica/pib.php. Acesso em: 26 jul. 2024.
PARA AMPlI AR
Assista a este vídeo para obter mais informações sobre o PIB.
• PIB: o que é, para que serve e como é calculado: IBGE Explica. [S. l.: s. n.], 2017. 1 vídeo (5 min). Publicado pelo canal IBGE. Disponível em: https://youtu.be/lVjPv33T0hk?si=9ci7cvsGt n756ki5. Acesso em: 26 jul. 2024.
Para estimar o PIB per capita de certo município em milhares de reais, economistas criaram um modelo descrito pela função P de acordo com o tempo t , em ano. Observe.
P (t ) = 5,8 ? log2 [1,35 ? (t + 9)]
Agora, junte-se a um colega, e resolvam os itens a seguir.
a) P esquisem e descrevam o que é o PIB per capita de um município.
b) Determinem o valor aproximado do PIB per capita estimado para os próximos três anos nesse município.
c) De acordo com esse modelo, a partir de que ano esse município terá PIB per capita maior que 29 mil reais? g(t) = 10 log2 (t + 2)
a) Resposta esperada: É a razão entre o PIB e a quantidade de habitantes do município. ano 1: 21,8 mil reais; ano 2: 22,6 mil reais; ano 3: 23,3 mil reais
a partir do 15o ano
Em diferentes áreas do conhecimento, é possível identificar situações nas quais o conceito de função logarítmica é utilizado para descrever fenômenos. De modo geral, isso ocorre para facilitar a representação de números “muito grandes” ou “muito pequenos” nas escalas de medida utilizadas em tais situações. A seguir, estudaremos algumas dessas situações.
A crosta terrestre é formada por enormes placas (placas tectônicas) que se deslocam, constantemente, em diferentes direções e muito lentamente. Quando essas placas se chocam, há uma compressão que causa a ruptura de rochas, chamada de falha geológica. Nesse momento, pode ocorrer um terremoto (ou sismo), liberando grande quantidade de energia na forma de ondas sísmicas.
A escala mais utilizada para mensurar o “tamanho” de um terremoto, isto é, sua magnitude, é a escala de magnitude Richter, idealizada por Charles Richter (1900-1985). Leia o trecho de um texto a seguir.
[...] Richter estudou astronomia quando jovem e aprendeu que os astrônomos atribuem a cada estrela uma magnitude – uma medida de seu brilho. Adaptando essa ideia aos terremotos, ele atribuiu a cada sismo um número, hoje chamado de Magnitude Richter. [...] Para compactar sua escala de magnitude, Richter utilizou o logaritmo da maior amplitude de onda registrada pelo sismógrafo durante um tremor de terra como sendo a medida do tamanho desse terremoto.
Assista a este vídeo para obter mais informações sobre a formação dos terremotos.
• COMO se formam os terremotos. [S. l.: s. n.], 2017. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal DW Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=PldlFA0YW_U. Acesso em: 26 jul. 2024.
PRESS, Frank et al. Para entender a Terra . Tradução: Rualdo Menegat. Sismógrafo registra pequenos tremores de terra na Romênia. Fotografia de 2023.
A magnitude de um terremoto pode ser medida por um equipamento chamado sismógrafo, que, com base em sensores de vibração, monitora a movimentação da superfície terrestre. Essa movimentação está relacionada com a energia sísmica liberada e com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos. Essa magnitude pode ser expressa na escala Richter por meio da função definida a seguir, em que E corresponde à quantidade de energia liberada pelo terremoto, em kilowatt-hora, e 7 ? 10 3 kWh é uma constante.
M(E ) = 2 3 log ( E 7 ? 10 3 )
Fonte dos dados: A ESCALA Richter. São Paulo: E-Cálculo: IME: USP, c2001-2012. Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo5.htm. Acesso em: 26 jul. 2024.
Por exemplo, podemos determinar na escala Richter a magnitude de um terremoto que tenha liberado energia equivalente a 7 ? 106 kWh, calculando M (7 ? 106).
M (7 10 6) = 2 3 log ( 7 ? 10 6 7 ? 10 3 ) = 2 3 log (10 9) = 2 3 9 log 10 = 2 3 9 1 = 6
Portanto, esse terremoto teve magnitude 6 na escala Richter.
Provavelmente, você já teve alguma informação sobre o pH da água ou de uma solução qualquer. Mas você sabe o que significa essa sigla? O potencial hidrogeniônico (pH) é um parâmetro utilizado por químicos e pesquisadores para determinar quão ácida, neutra ou básica é uma solução. De acordo com a teoria elaborada pelo químico sueco Svante August Arrhenius (1859-1927), que trata do comportamento ácido-base de substâncias em meio aquoso, se uma solução tiver:
• maior concentração de H+ que de OH , ela é considerada ácida;
• menor concentração de H+ que de OH , ela é considerada básica;
• igual concentração de H+ e de OH , ela é considerada neutra.
O processo de dissociação de uma molécula de água gera a formação de um íon de hidrogênio (H+) e de um íon hidróxido (OH ). De acordo com a definição de Arrhenius, quando substâncias ácidas são dissolvidas em água elas produzem íon H+ e quando substâncias básicas são dissolvidas em água, elas produzem íon OH
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 1 367.
Em uma temperatura de 25 °C, o produto das concentrações de H+ e OH em uma solução corresponde a 10 14. Assim, se uma solução tiver uma concentração de 10 2 mol/L de H+, ela terá uma concentração de 10 12 mol/L de OH .
Para determinar o pH de uma solução aquosa, utilizamos a seguinte expressão, em que [H+] corresponde à concentração média de íons de hidrogênio em mols por litro (mol/L).
pH = log [H+]
Note que o pH é função da concentração média de íons de hidrogênio na solução considerada. Assim, a escala de pH é definida entre 0 e 14. Se o pH de uma solução é:
• menor que 7, ela é ácida;
• maior que 7, ela é básica;
• igual a 7, ela é neutra
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 52.
PARA PENSAR
De acordo com o pH, classifique cada substância apresentada nas fotografias como uma solução ácida, neutra ou básica.
clara do ovo: básica; suco do limão: ácida; água pura: neutra
PARA AMPlI AR
Acesse este site que apresenta uma experiência caseira para verificar se uma solução é ácida ou básica.
• INSTITUTO CIÊNCIA HOJE. Ácido ou base?
Rio de Janeiro: CHC: ICH, c2024. Disponível em: http://chc.org.br/ acervo/acido-ou -base/. Acesso em: 26 jul. 2024.
NO MUNDO
DO TRABAlHO
O pH da clara de um ovo é aproximadamente igual a 7,9.
O suco do limão é um líquido com pH aproximadamente igual a 2.
A água pura é um líquido com pH igual a 7.
Para determinar, por exemplo, o pH de uma solução aquosa cuja concentração média de H+ é dada por 8,3 10 9 mol/L, calculamos:
pH = _log (8,3 ? 10 9) = (log 8,3 + log 10 9) = = (log 8,3 9 log 10) = 9 log 8,3
Com auxílio de uma calculadora científica, obtemos log 8,3 1 0,92. Assim: pH = 9 log 8,3 1 9 0,92 = 8,08
Portanto, essa solução aquosa tem pH aproximadamente igual a 8,08, podendo ser classificada como básica, pois 8,08 . 7.
Durante os estudos a respeito da concentração de íons H+ e OH , os químicos perceberam que esses valores eram números “muito pequenos”. Assim, decidiram desenvolver uma escala de acidez-basicidade com números positivos e maiores utilizando o logaritmo negativo; por isso o sinal de menos na expressão.
As atividades de um químico concentram-se, principalmente, em laboratórios. Apesar de esse profissional ser muito requisitado por indústrias, ele também está presente em trabalhos de perícia, gestão ambiental, produção de cosméticos, pesquisas e desenvolvimento de fontes de energias alternativas, docência, entre outros. Acesse a série Química indispensável, indicada a seguir, para assistir a três vídeos a respeito das atribuições dos profissionais de Química.
• #QUÍMICA indispensável: o que fazem os profissionais da Química (episódio 1). [S. l.: s. n.], 2020. 1 vídeo (2 min). Publicado pelo canal Conselho Federal de Química. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=WU2ZktSsBBA&list=PLZEox91Omgx1Fq1bXjLIIO6HzbfyA4YeW&index=2.
• #QUÍMICA indispensável: o que fazem os profissionais da Química (episódio 2). [S. l.: s. n.], 2020. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal Conselho Federal de Química. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=tiLIjZsCZco&list=PLZEox91Omgx1Fq1bXjLIIO6HzbfyA4YeW&index=3.
• #QUÍMICA indispensável: o que fazem os profissionais da Química (episódio 3). [S. l.: s. n.], 2020. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal Conselho Federal de Química. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=gfxiN0SjesE&list=PLZEox91Omgx1Fq1bXjLIIO6HzbfyA4YeW&index=4. Acessos em: 26 jul. 2024.
R18. (Enem/MEC) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0, na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por M = 2 3 log ( E E0 ),
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).
Qual a relação entre E1 e E 2?
a) E1 = E 2 + 2
b) E1 = 102 ? E 2
Resolução
c) E1 = 103 ? E 2 d) E1 = 10 9 7 ? E2 e) E1 = 9 7 ? E2
Como os terremotos no Japão e na China atingiram 9,0 e 7,0 graus na escala Richter, respectivamente, temos que: • 9 = 2 3 ? log ( E1 E0 ) h log ( E
Para identificar a relação entre E1 e E 2 , podemos subtrair II de I membro a membro: 27 2 21 2 = log ( E1 E0 ) log ( E2 E0 ) h 3 = log ( E1 E0 ) log ( E2 E0 )
Pelas propriedades operatórias de logaritmos, segue que: 3 = log
Portanto, a alternativa c é a correta.
O que a relação obtida entre E1 e E2 indica?
Resposta esperada: Indica que a energia liberada no terremoto do Japão corresponde a 1 000 vezes a energia liberada no terremoto da China.
R19. Certa aplicação financeira, no sistema de juro composto, tem uma taxa anual de 13%. Escreva uma função t para expressar o tempo, em ano, necessário para que um capital de R$ 10.000,00 determine um montante M, em reais. Depois, calcule t (30 000) e explique esse resultado. Considere log (1,13) 1 0,053 e log 3 1 0,477.
Resolução
Inicialmente, podemos calcular os montantes ao final dos três primeiros anos:
• 1 ano: 10 0 00 1,13
• 2 anos: 10 0 00 ? 1,13 ? 1,13 = 10 000 ? (1,13)2
• 3 anos: 10 0 00 ? 1,13 ? 1,13 ? 1,13 = 10 000 ? (1,13)3
Observando esses resultados, é possível realizar a seguinte generalização: M = 10 000 ? (1,13)t
Assim, segue que: M = 10 000 ? (1,13) t h M 10 000 = (1,13) t h log ( M 10 000 ) = log (1,13) t
Aplicando propriedades operatórias de logaritmos, temos: log M log 10 000 = t ? log (1,13) h t = 4 + log M 0,053
Portanto, t (M ) = 4 + log M 0,053
C alculando t (30 000), temos:
t (30 000) =
0,053
0, 053
0,053 = 9
A ssim, t (30 000) = 9 indica a obtenção de um montante de R $ 30.000,00 em 9 anos de aplicação.
42. A água sanitária, muito utilizada para a limpeza doméstica, é uma solução que costuma ser básica, com um pH elevado por causa de sua composição química. A Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa) limita o pH da água sanitária pura em 13,5 para evitar que o consumidor sofra queimaduras caso o produto entre em contato direto com a pele ou com os olhos.
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Agência Nacional de Vigilância Sanitária. Resolução da Diretoria Colegiada no 698, de 13 de maio de 2022 . Dispõe sobre os produtos saneantes categorizados como água sanitária e seu registro. Brasília, DF: MS: Anvisa, 13 maio 2022. Disponível em: https://antigo.anvisa.gov.br/ documents/10181/6437935/RDC_698_2022_.pdf/58adfbc7 -b89f-4470-b93e-373f8e1ceffa. Acesso em: 26 jul. 2024.
Em uma pesquisa, verificou-se a concentração média de H+ de algumas marcas de água sanitária comercializadas. Analise.
2,3 ? 10 13 mol/L
Quais dessas marcas estão em conformidade com a regulamentação da Anvisa?
marcas A e B
Considere log 2,3 1 0,36, log 7,4 1 0,87, log 1,9 1 0,28 e log 1,6 1 0,20. DiCA
43. Você possivelmente já estudou sobre a datação de fósseis por meio do decaimento radioativo do carbono 14. Esse processo, chamado de datação radiométrica, pode ser realizado a partir de outros isótopos radioativos, como o urânio-238, cuja meia-vida é de aproximadamente 4,5 ? 10 9 anos. Utilizando esse isótopo, é possível datar rochas e fósseis com bilhões de anos.
Fonte dos dados: REECE, Jane B. et al Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015. p. 32, 524.
Considere um fóssil cuja idade aproximada será obtida por meio de datação radiométrica com o urânio-238. Ao realizar a contagem de átomos de urânio-238, constatou-se que essa quantidade correspondia a 96 % da quantidade inicial. De acordo com esses dados, calcule a idade aproximada desse fóssil. Para isso, considere log 2 1 0,3 e log 3 1 0,47.
aproximadamente 4,5 108 anos ou 450 milhões de anos
44. (Unicamp-SP) Dados preliminares da pandemia do Covid-19 indicam que, no início da disseminação, em determinada região, o número de pessoas contaminadas dobrava a cada 3 dias.
Usando que log10 2 1 0,3 e log10 5 1 0,7, após o primeiro contágio, o número de infectados atingirá a marca de 4 mil entre
alternativa c
a) o 18 o dia e o 24 o dia.
b) o 25o dia e o 31o dia.
c) o 32o dia e o 38 o dia.
d) o 39o dia e o 45o dia.
45. Leia as informações a seguir.
O Chile é um dos países com maior atividade sísmica da América Latina, por causa de sua localização sobre o encontro de duas placas tectônicas. Em 1960, foi registrado um terremoto de magnitude 9,5, que deixou cerca de 2 mil mortos e 2 milhões de feridos.
Fonte dos dados: OS 10 TERREMOTOS mais potentes e com maior número de mortos da história da América Latina. BBC News Brasil, [s l.], 24 set. 2017. Disponível em: www.bbc.com/portuguese/ internacional-41380495. Acesso em: 26 jul. 2024.
Escoamento de água na usina hidrelétrica de Itaipu, em Foz do Iguaçu (PR). Fotografia de 2023.
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 41.
A usina hidrelétrica de Itaipu, localizada no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai, é uma das maiores do mundo. Em 2023, a produção média diária de energia nessa usina foi de cerca de 2,3 ? 108 kWh.
Fonte dos dados: ITAIPU BINACIONAL. Itaipu fecha 2023 com a melhor produção dos últimos cinco anos. [S. l.]: Itaipu Binacional, 2 jan. 2024. Disponível em: https://www.itaipu.gov. br/sala-de-imprensa/noticia/itaipu-fecha-2023-com-melhor -producao-dos-ultimos-cinco-anos. Acesso em: 26 jul. 2024.
Considerando log 7 1 0,84 e as informações apresentadas, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto indicado corresponde à produção de energia elétrica na usina de Itaipu por cerca de: alternativa d
a) 10 dias
b) 70 0 dias c) 4 000 dias d) 5 300 dias e) 53 000 dias
46. Leia o trecho de um texto a seguir.
Taxa Selic
Durante a realização dos cálculos, faça arredondamentos.
A taxa Selic é a taxa básica de juros da economia, que influencia outras taxas de juros do país, como taxas de empréstimos, financiamentos e aplicações financeiras. A definição da taxa Selic é o principal instrumento de política monetária utilizado pelo Banco Central (BC) para controlar a inflação.
BRASIL. Banco Central do Brasil. Taxa Selic . Brasília, DF: BCB, [2024]. Disponível em: www.bcb.gov.br/controleinflacao/taxaselic. Acesso em: 26 jul. 2024.
Certa instituição financeira disponibiliza aos clientes uma modalidade de aplicação com rentabilidade anual, no sistema de juro composto, cuja taxa corresponde à Selic em vigor na data da contratação, acrescida de 2% ao ano. Contudo, ao resgatar tal aplicação após um período mínimo de 1 ano, são descontados do montante 20% de imposto de renda, calculado sobre o juro obtido no período.
a) Em 24 de janeiro de 2024, quando a Selic em vigor era de 11,75% a.a., quanto uma pessoa vai resgatar após 3 anos se, nesse dia, investiu R $ 1.000,00 nessa aplicação? aproximadamente R$ 1.377,46
b) C onsidere uma pessoa que tenha investido R $ 3.000,00 nessa aplicação no dia 24 janeiro de 2024 . Por quantos anos, ao menos , esse capital dev erá ficar investido para que determine um montante de, no mínimo, R $ 9.000,00, desconsiderando o desconto de imposto de renda? Considere log 3 1 0,477 e log 1,1375 1 0,0 56. 9 anos
50. a) Resposta esperada: Não, pois outros fatores, como distância de locais povoados, tipo de terreno, construções, estruturas e preparo para esse tipo de ocorrência, também determinam o efeito da devastação que esse fenômeno provoca. Por exemplo, o terremoto que atingiu Porto Príncipe teve menor magnitude que o terremoto que atingiu Rikuzentakata, porém o efeito da devastação sobre a população haitiana foi maior que sobre a população japonesa.
47. Com um colega, leiam as informações a seguir e façam o que se pede.
Calcule a energia liberada pelos dois terremotos descritos a seguir.
A manutenção da qualidade da água das piscinas é importante para evitar a transmissão de diversas doenças aos banhistas. Um dos cuidados para essa manutenção é o controle do pH, pois este contribui com a ação do cloro. Em piscinas de uso público, há normas que regulamentam esse controle do pH. Analisem, por exemplo, parte de uma norma em vigor no estado de Santa Catarina.
a) O pH da água deverá se situar na faixa entre 7,2 e 7,8;
b) A concentração de cloro residual livre mantida na água deverá se situar na faixa entre 0,8 mg/L e 3,0 mg/L;
c) A limpidez da água deve ser tal que permita a perfeita visibilidade da parte mais profunda do tanque;
d) A superfície da água deve estar livre de matérias flutuantes, estranhas à piscina, e o fundo do tanque livre de detritos.
SANTA CATARINA. Secretaria de Estado da Saúde. Sistema Único de Saúde. Superintendência de Vigilância em Saúde. Diretoria de Vigilância Sanitária. Resolução normativa no 4, de 25 de agosto de 2022 . Florianópolis: DOE-SC, 26 ago. 2022. p. 13. Disponível em: https://www.vigilanciasanitaria.sc.gov.br/index. php/legislacao-lista-categoria/14-legislacao-por-assunto/ 26-servicos-de-interesse-da-saude/318-ensino-e-lazer/330 -piscinas.html?download=600:resolucao-normativa-no-004 -2022-divs-suv-ses-de-25-08-2022. Acesso em: 26 jul. 2024.
a) Pesquisem como é possível controlar o pH da água das piscinas. Resposta pessoal.
b) No município ou no estado onde vocês moram existe alguma norma como a apresentada? Se necessário, realizem uma pesquisa.
48. Com um colega, elaborem um problema que envolva o pH da água de uma piscina e função logarítmica. Depois, troque-o com uma dupla para que seus integrantes resolvam enquanto vocês resolvem aquele que receberam. Ao final, juntem as duplas e confiram as resoluções.
Elaboração dos estudantes.
49. A magnitude de um terremoto está relacionada com a energia sísmica liberada e com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos. Podemos relacionar a Magnitude (M ) e a energia (E ), em erg, de um terremoto pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: log E = 11,8 + 1,5M
Capital do Haiti, Porto Príncipe, atingida por terremoto no dia 12 de janeiro de 2010. Fotografia de 2010. Esse terremoto foi registrado com magnitude 7,0 na escala Richter, deixando aproximadamente 230 mil mortos e mais de 1,5 milhão de cidadãos desabrigados. 1022,3 erg
Cidade japonesa de Rikuzentakata, atingida por terremoto no dia 11 de março de 2011. Fotografia de 2011. Esse terremoto foi registrado com magnitude 9,0 na escala Richter, seguido de um tsunâmi, deixando 15 668 mortos e 4 836 desaparecidos. 1025,3 erg
50. Com um colega, realizem pesquisas e considerem as informações apresentadas sobre o efeito da devastação dos terremotos descritos na atividade 49.
a) Podemos afirmar que, quanto maior a magnitude de um terremoto, necessariamente também é maior o efeito da devastação que esse fenômeno provoca sobre a população atingida?
b) E laborem um problema que envolva a energia liberada em um terremoto e função logarítmica. Depois, troque-o com uma dupla para que os integrantes dela resolvam, enquanto vocês resolvem aquele que receberam. Ao final, juntem as duplas e confiram as resoluções. Elaboração dos estudantes.
Você já reparou nos vários ruídos que existem no seu dia a dia? Coisas rotineiras, como buzinas, construções, música alta, eletrodomésticos e trânsito.
Os níveis de ruídos que são frequentemente detectados pelo ouvido humano variam de 10 dB a 140 dB. Os ruídos até 80 dB não apresentam riscos para os ouvidos; de 80 dB a 115 dB, é necessário limitar o tempo de exposição, quanto mais forte o som, menor deve ser o tempo de exposição para evitar lesões; acima de 115 dB podem provocar lesões irreversíveis.
Para definir quão alto é um ruído, utiliza-se a medida decibel. Essa unidade de medida, indicada por dB, descreve o nível de intensidade sonora de um ruído. Seu nome deriva de Bell, em homenagem ao cientista Alexander Graham Bell (1847-1922), considerado por muitos o inventor do telefone. O desenvolvimento dessa unidade de medida tinha como objetivo quantificar os níveis de intensidade sonora nos circuitos telefônicos.
Cada nível de intensidade sonora (NIS) corresponde a uma intensidade sonora (IS) utilizada como referência. Como a intensidade sonora varia em uma escala muito alta, é utilizado logaritmo para calcular o nível de intensidade sonora de um som ou ruído. Observe a expressão que determina o nível de intensidade sonora, em decibel, de acordo com a intensidade sonora, em watt por metro quadrado (W/m2).
NIS = 10 log ( IS 10 12 ) , em que 10 12 W/m2 corresponde à intensidade auditiva mínima.
Fontes dos dados: FERREIRA NETO, Maria de Fátima. 60+60=63? [São Paulo]: SBF: Portal Pion, c2024. Disponível em: www.sbfisica.org.br/v1/portalpion/index.php/artigos/23-60-60-63.
UNITED STATES OF AMERICA. National Institute on Deafness and Other Communication Disorders. Alexander Graham Bell's contributions to the science of hearing. Betesda: NIDCD: NIH: Noisy Planet, 22 maio 2019. Disponível em: www. noisyplanet.nidcd.nih.gov/have-you-heard/alexander-graham-bell-contributions-science-of-hearing. Acessos em: 26 jul. 2024.
O Selo Ruído consiste em um adesivo que é colado em aparelhos eletrodomésticos, como secador de cabelo, liquidificador e aspirador de pó, e que indica uma classificação quanto ao ruído manifestado para cada eletrodoméstico. Esse selo tem como objetivo:
[...] combater a poluição sonora do país, orientar o consumidor na hora de escolher eletrodomésticos mais silenciosos, estimular os fabricantes a produzirem produtos com níveis de ruídos cada vez menores e proporcionar mais conforto ao cidadão.
BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria, Comércio e Serviços. Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia. Inmetro classifica barulho emitido pelos eletrodomésticos. Brasília, DF: Inmetro, 25 nov. 2022. Disponível em: https://www.gov.br/inmetro/pt-br/centrais-de-conteudo/noticias/inmetro-classifica-barulho-emitido-pelos-eletrodomesticos. Acesso em: 26 jul. 2024.
Classificação do nível do ruído, que varia de 1 a 5.
Nível de intensidade sonora em decibéis
Informações sobre o eletrodoméstico
Fornecedor
Marca
Modelo/tensão
Norma utilizada
Veri cado por: OCP - XXXX Marca do OCP
Modelo de Selo Ruído.
Nível de Intensidade Sonora (NIS) para cada eletrodoméstico (dB)
Eletrodoméstico
Classificação
de cabelo
de pó
1 NIS < 78 NIS < 85 NIS < 80
2 78 , NIS < 81 85 , NIS < 88 80 , NIS < 84
3 81 , NIS < 85 88 , NIS < 92 84 , NIS < 88
4 85 , NIS < 88 92 , NIS < 95 88 , NIS < 92
5 NIS . 88 NIS . 95 NIS . 92
Elaborada com base em: BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior. Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia. Portaria no 430, de 16 de agosto de 2012 . Brasília, DF: Serviço Público Federal, [2013]. p. 10-14. Disponível em: www.inmetro.gov.br/legislacao/rtac/pdf/RTAC001891.pdf. Acesso em: 26 jul. 2024.
3. Secador de cabelo: classificação 1, aproximadamente 77 dB. Liquidificador: classificação 2, aproximadamente 86 dB. Aspirador de pó: classificação 4, 90 dB.
1. Das situações apresentadas no esquema das páginas 96 e 97, qual pode provocar lesões irreversíveis no ouvido? Qual é o nível de intensidade sonora que ela pode alcançar? o avião a jato a 5 m; 130 dB
2. O sistema auditivo humano tem dois limites de audibilidade.
• Limite do audível: intensidade sonora de 10 12 W/m2 , que corresponde à menor intensidade que pode ser ouvida por um ser humano.
• L imiar de dor : intensidade sonora de 1 W/m2 , que corresponde à maior intensidade que um ser humano pode ouvir sem que tenha danos fisiológicos.
Fonte dos dados: DORIA, Mauro M.; MARINHO, Franciole da Cunha. Ondas e bits. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. (Temas atuais de física, p. 32).
Qual é o nível de intensidade sonora, em decibel, para ambos os limites?
3. Observe a intensidade sonora de alguns eletrodomésticos.
Secador de cabelo:
5 10 5 W/m2.
Liquidificador:
4 ? 10 4 W/m2.
limite do audível: 0 dB; limiar de dor: 120 dB
Aspirador de pó:
1 10 3 W/m2.
• Determine o nível de intensidade sonora (em dB) de cada um desses eletrodomésticos. Depois, indique a classificação no Selo Ruído do respectivo eletrodoméstico. Considere log 4 1 0,6 e log 5 1 0,7.
4. Nesta atividade, exploraremos o questionamento a seguir. Respostas pessoais.
Os secadores de cabelo, liquidificadores e aspiradores de pó a que temos acesso podem prejudicar nossa audição?
Para isso, junte-se a dois colegas, e respondam às seguintes questões.
a) Por que o excesso de ruídos pode causar danos à audição? Se necessário, realizem pesquisa.
b) Vocês já observaram o Selo Ruído em algum eletrodoméstico? Já identificaram outro selo com características parecidas? Comentem.
c) Pesquisem 30 eletrodomésticos que tenham o Selo Ruído. Escolham entre secadores de cabelo, liquidificadores e aspiradores de pó. Registrem em uma tabela a classificação de ruído de cada um. Com esses dados, construam um gráfico em uma planilha eletrônica e elaborem um relatório com conclusões sobre a pesquisa.
d) Produzam um vídeo ou outro tipo de material que possa ser compartilhado, apresentando os resultados das pesquisas e indicando a importância de observar o Selo Ruído no momento da compra de um eletrodoméstico, destacando o combate à poluição sonora, para evitar danos ao nosso corpo e às pessoas de nosso convívio.
Observe como podemos construir e analisar os gráficos de uma função exponencial e de uma função logarítmica de acordo com sua lei de formação, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra , disponível em https://www.geogebra.org/download (acesso em: 25 jun. 2024).
A Vamos construir o gráfico da função f (x) = 4x. Para isso, clicamos no campo Entrada, digitamos f(x) = 4^x e pressionamos a tecla Enter. De maneira análoga, construímos o gráfico da função g (x) = log4 x digitando g(x ) = log(4, x) no campo Entrada
B Clicamos no campo Entrada, digitamos r: x = y e pressionamos a tecla Enter para construir a reta r, bissetriz do 1o e do 3o quadrante do plano cartesiano.
C Com a opção (Ponto) clicamos sobre o gráfico da função f para marcar um ponto A sobre esse gráfico. Em seguida, com a opção (Reflexão em relação a uma reta) clicamos sobre o ponto A e sobre a reta r, obtendo o ponto A’, simétrico ao ponto A no gráfico de g, em relação a r
1. b) D(f ) = r, Im(f ) = r* +; D(g) = r* +, Im(g) = r. Para a função f, x pode assumir qualquer valor real, logo D(f) = r. Já para o conjunto imagem, precisamos considerar a assíntota dessa função = 0. Portanto, y só pode assumir valores maiores que 0, ou seja, Im(f ) = r* +. Para função g, pela definição de logaritmo, o logaritmando deve ser maior que 0, o que limita seu domínio a r* + No entanto, o conjunto imagem pode assumir qualquer valor real.
1. c) Resposta esperada: A abscissa e a ordenada de A correspondem, respectivamente, à ordenada e à abscissa de A’.
escreva no livro.
1. d) Resposta esperada: O ponto A’ também se movimenta sobre o gráfico de g, permanecendo simétrico a A em relação à reta r e mantendo a relação observada no item c
1. No GeoGebra , reproduza a construção apresentada e resolva as questões a seguir.
a) A s funções f e g são crescentes ou decrescentes?
crescentes
b) Determine o domínio e o conjunto imagem de f e g . Justifique sua resposta.
c) Que relação você pode observar entre as coordenadas dos pontos A e A’ ? Justifique sua resposta.
d) Utilizando a opção (Mover), movimente o ponto A sobre o gráfico de f. O que acontece com o ponto A’ ? A relação observada no item c se manteve?
2. No GeoGebra , construa o gráfico da função f (x) = ( 1 5 )x e a reta r bissetriz do 1o e do 3o quadrante do plano cartesiano.
Construção do estudante.
a) D etermine a lei de formação de uma função g , cujo gráfico seja simétrico ao de f em relação à reta r, e construa o gráfico de g no GeoGebra . Para verificar se a lei de formação de g está correta, no gráfico de f indique um ponto A e obtenha seu simétrico A’ , em relação à reta r g(x) = log 1 5 x
b) A s funções f e g são crescentes ou decrescentes? decrescentes
c) N o caderno, construa um quadro parecido ao apresentado a seguir e complete-o para cinco valores reais distintos de x . Para isso, utilize a opç ão (Mover) para movimentar o ponto A e observe as coorde nadas dos pontos A e A’ na Janela de Álgebra . Resposta pessoal.
d) Que relação é possível observar no quadro que você construiu no item c, em relação aos valores de f e de g , e em relação às coordenadas dos pontos pertencentes ao gráfico de f e dos pontos pertencentes ao gráfico de g ?
Resposta esperada: Se f(m) = n, então g(n) = m e, se o ponto de coordenadas (m, n) pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas (n, m) pertence ao gráfico de g.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Qu ando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) Participei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Logaritmo
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Equações logarítmicas
Propriedades operatórias dos logaritmos
Gráfico de uma função logarítmica
Função logarítmica: algumas aplicações
Consequências da definição de logaritmo
Função logarítmica: características e definição
Função inversa
Relações entre função exponencial e função logarítmica
Inequações logarítmicas
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Na abertura desta Unidade, estudamos que a pressão atmosférica está relacionada à altitude. Por exemplo, à medida que aumenta a altitude, diminui a pressão atmosférica e, consequentemente, a quantidade de oxigênio disponível para ser inspirada a cada ciclo de respiração é reduzida.
Você já parou para pensar o que as aeronaves fazem para garantir o bem-estar dos passageiros, mesmo quando estão voando em altas altitudes? Quando as aeronaves comerciais voam em altitudes onde o ar é rarefeito e a pressão atmosférica é baixa, é necessário que o seu interior seja pressurizado; isso garante que, em voos acima de 3 0 00 m de altitude, o interior da aeronave se mantenha com uma pressão adequada aos seres humanos, independentemente da altitude em que a aeronave esteja voando.
À medida que a aeronave sobe, é injetado mais ar em seu interior, provocando o aumento da pressão interna de modo que seja compatível ao ser humano.
As aeronaves de cabine pressurizada devem ser projetadas de maneira que a tripulação e os passageiros sejam expostos a um ar atmosférico regulado para as condições de pressão atmosférica o mais próximo possível das do nível do mar.
A cabine de uma aeronave pode despressurizar se houver uma falha no sistema de ventilação ou uma falha na vedação da cabine. Quando isso ocorre, a aeronave precisa descer até uma altitude entre cerca de 2 4 00 m e 3 0 00 m, onde a pressão atmosférica é suportável para os seres humanos.
Representação esquemática do sistema de pressurização e ventilação de uma aeronave (imagem sem escala; cores-fantasia).
Fonte dos dados: ENTENDA por que as aeronaves precisam ser pressurizadas. Folha de S.Paulo, São Paulo, 20 maio 2004. Disponível em: www1.folha.uol.com.br/folha/cotidiano/ult95u94544.shtml. Acesso em: 26 jul. 2024.
Considerando essas informações, resolva os itens a seguir.
a) Seja f uma função que associa a altitude y = f ( x ) à pressão atmosférica correspondente x . Qual dos itens a seguir melhor representa o gráfico de f para x . 0? III I) 0 x y II)
x y III)
x y IV)
x y
b) O piloto de um avião consulta o painel de instrumentos da aeronave em dois momentos e constata que a pressão atmosférica externa variou de 0,4 atm para 0,3 atm. Considere que a pressão atmosférica nessa localidade (em atm) pode ser expressa pela função f ( x ) = (0,9) x , para uma altitude x (em km). Entre as duas consultas realizadas pelo piloto, a altitude do avião aumentou ou diminuiu? De quantos kilometros, aproximadamente, foi essa variação na altitude? Considere log 0,9 1 _0,046, log 0,4 1 0,398 e log 0,3 1 0,523. aumentou; 2,7 km
c) O altímetro é um instrumento de bordo das aeronaves que, por meio da medida estática da pressão atmosférica, indica a altitude. Considere que a altitude h (em km), acima do nível do mar, de acordo com a pressão atmosférica p, em atm, indicada pelo altímetro de uma aeronave, é dada pela função h(p) = 20 ? log ( 1 p ). Nessas condições e considerando log 2 1 0,3, determine a altitude da aeronave, em kilometro, no instante em que a pressão atmosférica registrada pelo altímetro era de 0,5 atm. 6 km
1. (Enem/MEC) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 0 00 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para log10 (3) e 1,041 como aproximação para log10 (11).
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de alternativa d a) 22.
b) 50.
c) 100. d) 200. e) 400.
2. (Enem/MEC) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência ( f ) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r ). Ela é dada por f = A r B
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.
Disponível em: http: //klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).
Com base nos valores de X = log (r ) e Y = log (f ), é possível estimar valores para A e B .
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é: alternativa a
a) Y = log ( A ) B X
b) Y = log ( A ) x + log (B )
c) Y = log ( A ) B X
d) Y = log ( A ) B ? X
e) Y = log ( A ) X B
Não escreva no livro.
3. (UFRGS-RS) O valor de log 2 2 + log 2 3 + + log 24 + ... + log 250 é: alternativa b
a) log 21 247 .
b) log 21 274
c) log 21 472 .
d) log 259
e) log 859.
Considere que a soma S dos n primeiros números naturais positivos é dada por: S = n 2 + n 2 DiCA
4. (IFPE) Os alunos do curso de Meio Ambiente do campus Cabo de Santo Agostinho observaram que o número de flores em uma árvore X segue o modelo matemático F (h ) = 16 log 2 (3h + 1), onde F (h ) é a quantidade de flores após h horas de observação. Após quanto tempo de observação esta árvore estará com apenas 10 flores?
a) 6 horas.
b) 25 horas.
c) 20 horas.
d) 21 horas.
e) 64 horas.
5. (Ifal) O potencial de hidrogênio (pH) das soluções é dado pela função: pH = log [H+], onde [H+] é a concentração do cátion H+ ou H3O+ na solução. Se, em uma solução, a concentração de H+ é 2 10 8 , qual o pH dessa solução?
Adote: log 2 = 0,3. alternativa d
a) 2,4.
b) 3,8. c) 6,7. d) 7,7. e) 11.
6. (UERJ) Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B . Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5.
Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 alternativa d alternativa a
7. (Unesp) Analise duas sequências de teclas digitadas por Tales em uma calculadora científica e os respectivos resultados apresentados em seu visor.
Sequência de teclas Resultado no visor da calculadora
Tales digitou nessa mesma calculadora, que também possui teclas de parênteses para a separação das operações, a seguinte sequência de teclas:
Sequência de teclas
O resultado obtido por Tales no visor da calculadora foi alternativa a
a) 1,5.
b) 3. c) 2. d) 0,75. e) 2,5.
8. (Enem/MEC) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH , 7) a flor é azul, enquanto em solo alcalino (ou seja, com pH . 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH = log10 x , em que x é a concentração de íon hidrogênio (H+).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma: alternativa e
a) qualquer valor acima de 10 8
b) qualquer valor positivo inferior a 10 7 .
c) valores maiores que 7 e menores que 8. d) valores maiores que 70 e menores que 80.
e) valores maiores que 10 8 e menores que 10 7 .
9. (IFCE) Considerando log7 2 = w, temos que o valor de log4 14 pode ser expresso por alternativa e
a) 2 w + 1
b) 2w w + 1 .
c) 3w 2 . d) 2 w e) w + 1 2w .
10. (Enem/MEC) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (MS ) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.
Descrição Magnitude local (MS) (mm ?
Ligeiro 4,0 < MS < 4,9
Moderado 5,0 < MS < 5,9
Grande 6,0 < MS < 9,9
Extremo MS > 10,0
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula MS = 3,30 + log ( A f ), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (m m) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 0 00 m m e frequência de 0,2 Hz.
Disponível em: http: //cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).
Utilize 0,3 como aproximação para log 2.
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como alternativa c
a) Pequeno.
b) Ligeiro.
c) Moderado.
d) Grande.
e) Extremo.
11. (Fuvest-SP) Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação:
c (t ) = 400 k log3 (at + 1),
em que t é dado em horas e c (t ) é dado em mg/L. As constantes a e k são positivas.
a) Qual é a concentração do analgésico no instante inicial t = 0? 400 mg/L
b) C alcule as constantes a e k , sabendo que, no instante t = 2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentração do analgésico no sangue é nula.
13. (UFU-MG) Um indivíduo com uma grave doença teve a temperatura do corpo medida em intervalos curtos e igualmente espaçados de tempo, levando a equipe médica a deduzir que a temperatura corporal T do paciente, em cada instante t , é bem aproximada pela função
T = 36 ? 10 t 100, em que t é medido em horas, e T em graus Celsius. Quando a temperatura corporal deste paciente atingir os 40 °C, a equipe médica fará uma intervenção, administrando um remédio para baixar a temperatura. Nestas condições, quantas horas se passarão desde o instante t = 0 até a administração do remédio?
Utilize log10 9 = 0,95. alternativa a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
12. (Enem/MEC) Um casal decidiu aplicar em um fundo de investimentos que tem uma taxa de rendimento de 0,8% ao mês, num regime de capitalização composta.
O valor final F a ser resgatado, depois de n meses, a uma taxa de rendimento mensal x , é dado pela expressão algébrica F = C (1 + x ) n , em que C representa o capital inicial aplicado.
O casal planeja manter a aplicação pelo tempo necessário para que o capital inicial de R $ 100.000,00 duplique, sem outros depósitos ou retiradas.
Fazendo uso da tabela, o casal pode determinar esse número de meses.
Para atender ao seu planejamento, o número de meses determinado pelo casal é: alternativa c a) 156. b) 125. c) 100. d) 10. e) 1,5. a = 1; k = 200
14. (UFRGS-RS) Leia o texto abaixo, sobre terremotos.
Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto. Ela está relacionada com a energia sísmica liberada no foco e também com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos. Para cobrir todos os tamanhos de terremotos, desde os microtremores de magnitudes negativas até os grandes terremotos com magnitudes superiores a 8,0, foi idealizada uma escala logarítmica, sem limites. No entanto, a própria natureza impõe um limite superior a esta escala, já que ela está condicionada ao próprio limite de resistência das rochas da crosta terrestre. Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: log (E ) = 11,8 + 1,5M
onde: E = energia liberada em Erg; M = magnitude do terremoto.
Disponível em: http ://www .iag.usp.br/siae98/ terremoto/terremotos.htm. Acesso em: 20 set. 2017.
Sabendo que o terremoto que atingiu o México em setembro de 2017 teve magnitude 8,2, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a energia liberada por esse terremoto, em Erg. alternativa d
a) 13,3
b) 20
c) 24 d) 1024 e) 1028
15. (Udesc) A curva na Figura 1 representa o gráfico da função log x
Figura 1: Gráfico da função log x.
A área sombreada (área do retângulo + área do triângulo retângulo) na Figura 1 é: alternativa a
a) log 5 2 u.a.
b) log 5 3 u.a.
c) log 3 u.a.
d) log 3 2 u.a.
e) log 1 2 u.a.
16. (Fuvest-SP) Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.
A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
Note e adote: log102 = 0,3.
17. (Esamc-SP)
Etapa 1Etapa 2
Etapa 3Etapa 4
Domínio público. Disponível em https : //commons.wikimedia.org/.
Falta de fiscalização e manutenção motivam baixa durabilidade de estradas
A falta de recursos para obras de construção, fiscalização e manutenção é a principal causa da baixa durabilidade das rodovias brasileiras, aponta estudo da Confederação Nacional do Transporte (CNT).
O desgaste, diz o estudo, é a principal deficiência encontrada no pavimento das estradas brasileiras sob gestão pública e cresceu nos últimos anos: entre 2004 e 2016, o percentual de trechos desgastados passou de 13% para 49%.
(https://g1.globo.com/economia/noticia/falta-de -fiscalizacao-e-manutencao-sao-principais-causas-da -baixa-durabilidade-de-estradas-no-brasil.ghtml)
A partir de um estudo feito sobre os trechos desgastados de uma determinada estrada, cuja extensão total é de 1 0 00 kilometros, concluiu-se que o desgaste vem aumentando a uma taxa de 11,7% ao ano desde 2004, ano em que foi observado 130 kilometros de desgaste.
Supondo que essa taxa se mantenha constante nos próximos anos, está correto afirmar que esta estrada estará totalmente desgastada no ano de:
Dados: log (1,117) = 0,05; log (13) = 1,1
a) 2018.
b) 2022.
c) 2030.
d) 2032.
e) 2044. alternativa c alternativa b
MINHOCAS. Direção:
Paolo Conti e Arthur Nunes. Brasil: Globo Filmes, 2013. DVD (92 min). A animação é o primeiro longa-metragem brasileiro produzido com a técnica stop-motion.
Stop-motion
É provável que você já tenha assistido a uma animação que utiliza a técnica chamada stop-motion. Em tradução livre para o português, essa técnica significa “movimento parado”. Com ela, por exemplo, um objeto é fotografado de um mesmo ângulo diversas vezes, mas com pequenas alterações em sua posição. Cada uma dessas fotografias corresponde a um quadro e, ao colocar os quadros em disposição sequencial relacionando os anteriores com os quadros subsequentes, é possível criar um vídeo com a ideia de movimento contínuo. Essa técnica é considerada lenta e trabalhosa, pois é necessário criar muitas imagens para gerar uma cena. Por exemplo, no filme brasileiro Minhocas , que é o primeiro longa-metragem latino-americano em stop-motion, foram utilizadas 24 fotografias para obter 1 segundo de animação. Ao todo, mais de 122 mil fotografias geram os cerca de 85 minutos do filme. Fontes dos dados: PURVES, Barry. Stop-motion. Tradução: João Eduardo Nóbrega. Porto Alegre: Bookman, 2011. p. 16-23. DONATO, Veruska. Brasil produz primeiro longa-metragem latino-americano em stop-motion G1, [s l.], 5 fev. 2010. Disponível em: https://g1.globo.com/jornaldaglobo/0,,MUL1477687-16021,00-BRASIL+PRODUZ+ PRIMEIRO+LONGAMETRAGEM+LATINOAMERICANO+EM+STOP+MOTION.html.Acesso em: 26 jul. 2024.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Explique com suas palavras como funciona a produção de uma animação utilizando a técnica stop-motion
2. Você já assistiu a alguma animação produzida com a técnica stop-motion? Qual? Se necessário, faça uma breve pesquisa.
3. Como se calculam quantos quadros são necessários para obter uma cena de animação, com certa duração, produzida com a técnica stop-motion?
Não escreva no livro. Respostas nas Orientações para o professor.
Na abertura desta Unidade, lemos que é muito trabalhoso produzir animações utilizando a técnica stop-motion . No entanto, não é preciso ser um profissional da área para começar a produzir as próprias animações com essa técnica, pois existem aplicativos de celular que permitem essa experiência aos usuários.
Considere um desses aplicativos, configurado de maneira que sejam necessárias 24 fotografias para obter 1 s de animação. Assim, para obter 1 s de animação, são necessárias 24 fotografias; para 2 s, 48 fotografias; para 3 s, 72 fotografias; e assim por diante.
Podemos indicar a quantidade de fotografias necessárias para produzir uma animação considerando o tempo, em segundo. Observe.
(24, 48, 72, …)
PARA PENSAR
Quais são os próximos dois números desta sequência? Explique como você fez para obtê-los. 96 e 120. Resposta esperada: Os números podem ser obtidos calculando 72 + 24 = 96 e 96 + 24 = 120.
Pessoa filma uma cena para uma animação em stop-motion
As quantidades de fotografias por segundo são elementos de um conjunto que estão organizados de certa maneira, formando uma sequência numérica. Cada quantidade é um elemento ou termo dessa sequência numérica que pode ser representado por uma letra minúscula (usualmente a letra a) e um índice, que indica sua posição (ou ordem) nessa sequência.
Assim, ao indicar o 1o termo por a1, o 2o por a2, e assim por diante, podemos representar um termo qualquer da sequência por an, que corresponde ao termo de ordem n ou enésimo termo dessa sequência. Note que, em uma sequência numérica, podemos relacionar cada termo à sua posição. Na situação da sequência de fotografias por segundo de animação, por exemplo, relacionamos a posição 1 ao termo 24, a posição 2 ao termo 48, a posição 3 ao termo 72, e assim sucessivamente. (24, 48, 72, ...)
a 1 a 2 a 3
Desse modo, podemos definir uma sequência numérica como uma função que relaciona cada posição da sequência (números naturais positivos) com os respectivos valores (números reais). Uma sequência numérica pode ser finita ou infinita. Acompanhe as definições a seguir.
Denominamos sequência numérica finita, de n termos, toda função f : A H r em que A = {1, 2, 3, …, n}, tal que cada i [ A (1 < i < n) está relacionado ao termo ai da sequência numérica. Uma sequência numérica finita pode ser indicada da seguinte maneira:
(a1, a2, a3, …, an)
Acompanhe alguns exemplos de sequências numéricas finitas.
• Sequência dos números naturais entre 20 e 25: (21, 22, 23, 24).
• Sequência dos números quadrados perfeitos menores que 40: (1, 4, 9, 16, 25, 36).
Denominamos sequência numérica infinita toda função f: n* H r, tal que cada i [ n* está relacionado ao termo ai da sequência numérica. Uma sequência numérica infinita pode ser indicada da seguinte maneira: (a1, a2, a3, …, an, …)
As reticências no final indicam que a sequência é infinita.
Observe alguns exemplos de sequências numéricas infinitas.
• Sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, …).
• Sequência dos múltiplos positivos de 10: (10, 20, 30, 40, 50, …).
• Sequência dos números inteiros maiores que 8: ( 7, 6, 5, 4, 3, …).
Quais são o domínio e o contradomínio da função f no caso de sequências numéricas finitas e de sequências numéricas infinitas?
Escreva os três primeiros termos da sequência definida em cada item.
a) an = 10n + 1, com n [ n *. b) a 1 = 6 e an = an 1 5, com n [ n e n > 2.
Resolução
a) A igualdade a n = 10n + 1 fornece uma expressão para determinarmos um termo qualquer dessa sequência. Para isso, substituímos n pelos valores 1, 2 e 3. Assim:
• n = 1 H a 1 = 10 ? 1 + 1 = 10 + 1 = 11
• n = 2 H a 2 = 10 ? 2 + 1 = 20 + 1 = 21
• n = 3 H a 3 = 10 3 + 1 = 30 + 1 = 31
Portanto, os três primeiros termos dessa sequência são 11, 21 e 31.
Note que a expressão de an é equivalente à lei de formação da função f : n * H r , tal que f (n ) = 10n + 1.
A expressão que determina os elementos de uma sequência numérica é chamada de termo geral ou lei de formação da sequência.
Além disso, com o termo geral da sequência é possível obter qualquer termo, sem necessidade de saber os demais. Por exemplo, o termo a 5 é obtido substituindo n por 5 na lei de formação. Observe.
• n = 5 H a 5 = 10 5 + 1 = 50 + 1 = 51
Sequências numéricas finitas: o domínio é dado por A = {1, 2, 3, …, n}, ou seja, A é o conjunto dos n primeiros números naturais positivos, e o contradomínio é o conjunto dos números reais. Sequências numéricas infinitas: o domínio é dado por n* = {1, 2, 3, …,}, ou seja, é o conjunto dos números naturais positivos, e o contradomínio é o conjunto dos números reais.
Quando é possível obter qualquer termo da sequência sem que seja necessário conhecer outros termos, dizemos que o termo geral define essa sequência de maneira não recursiva .
b) Nesse caso, o elemento a 1 já é dado, e os elementos seguintes podem ser obtidos a partir do termo geral an = an 1 5. Assim:
• n = 2 H a 2 = a 2 1 5 = a 1 5 = = 6 5 = 1
• n = 3 H a 3 = a 3 1 5 = a 2 5 = = 1 5 = 4
Portanto, os três primeiros termos dessa sequência são 6, 1 e 4.
Note que para obter qualquer termo a n dessa sequência, com n > 2, é preciso conhecer o termo anterior.
Quando, para determinar um termo da sequência, é necessário conhecer um ou mais termos que o antecedem, dizemos que o termo geral define essa sequência de maneira recursiva
No item b, a sequência (6, 1, 4, ...) pode ser definida de maneira não recursiva? Justifique. Resposta esperada: Sim, pelo termo geral an = 5n + 11, com n [ n*.
R2. Analise a sequência a seguir, em que cada termo, a partir do 2o, é obtido adicionando 6 unidades ao termo anterior.
(4, 10, 16, 22, 28, ...)
a) D efina essa sequência de maneira não recursiva.
b) Determine o 15o termo dessa sequência.
Resolução
a) Com base nas informações do enunciado, podemos expressar os termos dessa sequência da seguinte maneira:
• n = 1 H a 1 = 4
• n = 2 H a 2 = a 1 + 6 = 4 + 6 = = 4 + 1 6 = 10
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
1. Anteriormente, informamos a quantidade de quadros de cena necessários para produzir uma animação utilizando a técnica stop-motion . De acordo com os dados apresentados na abertura, determine quantos quadros são necessários para obter uma animação de 45 s.
cerca de 1 080 quadros
2. Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida em cada item.
a) an = 10 3n , com n [ n *.
(7, 4, 1, 2, 5, ...)
b) a 1 = 8 e a n = a n _ 1 6, com n [ n * e n > 2.
( 8, 14, 20, 26, 32, ...)
c) an = 2n + 1 4 , com n [ n * .
3. Os termos a n 1, a n e a n + 1, nessa ordem, são denominados termos consecutivos de uma sequência, sendo a n 1 o antecessor de a n e an + 1 o sucessor de an .
Em relação à sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...), resolva as questões.
a) E screva três termos consecutivos dessa sequência.
b) Qual é o termo sucessor de 16? E qual é o termo antecessor de 4?
3. a) Algumas respostas possíveis: 1, 2 e 4; 2, 4 e 8; 4, 8 e 16; 8, 16 e 32.
• n = 3 H a 3 = a 2 + 6 = 4 + 6 + 6 = = 4 + 2 6 = 16
• n = 4 H a 4 = a 3 + 6 = 4 + 6 + 6 + 6 = = 4 + 3 6 = 22
• n = 5 H a 5 = a 4 + 6 = 4 + 6 + 6 + 6 + + 6 = 4 + 4 6 = 28 ;
Assim, observando as expressões obtidas, é possível reconhecer padrões para definir essa sequência, de maneira não recursiva, por meio do termo geral: an = 4 + (n 1) 6, com n [ n *
b) Considerando n = 15, temos:
a 15 = 4 + (15 1) ? 6 = = 4 + 14 6 = 4 + 84 = 88
Portanto, o 15 o termo dessa sequência é 88.
( 9 4 , 17 4 , 25 4 , 33 4 , 41 4 , ) 32; 2
4. A professora de Matemática propôs aos estudantes que escrevessem os termos de uma sequência definida por an = n 2 4n + 3, com n [ n e 1 < n < 5. Observe a resposta de alg uns estudantes.
Felipe: (0, 1, 0, 8, 3)
Paulo: (8, 3, 0, -1, 0)
Flávia: (1, 2, 3, 4, 5)
Marcela: (0, -1, 0, 3, 8)
a) A sequência foi definida pela professora de maneira recursiva ou de maneira não recursiva? Justifique.
b) C lassifique essa sequência em finita ou infinita.
c) Q ual estudante escreveu corretamente todos os termos dessa sequência?
Marcela
4. a) Resposta esperada: Não recursiva, pois, para determinar um termo qualquer da sequência, não é necessário conhecer o valor de um ou mais termos anteriores. finita
5. a) figura 1: 4 palitos e 1 quadrado; figura 2: 7 palitos e 2 quadrados; figura 3: 10 palitos e 3 quadrados
5. Analise a sequência de figuras construídas com palitos.
5. c) Resposta esperada: A partir da figura 2, acrescentam-se três palitos à figura anterior, de maneira a obter um quadrado a mais do que essa figura anterior possui.
5. d) (4, 7, 10, ...).
Resposta esperada:
= 3n + 1, com n [ n*.
Figura 1
Figura 2
Figura 3 ;
a) P ara cada figura apresentada, escreva a quantidade de palitos utilizados e a quantidade de quadrados obtidos.
b) Desenhe a próxima figura dessa sequência.
8. Leia o texto a seguir.
NA HISTORIA
Uma das sequências numéricas mais estudadas ao longo da história, a sequência de Fibonacci, pode ser obtida a partir da solução do seguinte problema enunciado pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci (c. 1170-c. 1240):
[...] Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês? [...]
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. Tradução: Elza Furtado Gomide. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2010. p. 174.
Com base nesse problema, Fibonacci considerou as seguintes hipóteses:
• os casais de coelhos tornam-se adultos e começam a se reproduzir no segundo mês de vida;
• todos os meses, cada casal de coelho adulto gera outro casal;
• Qu antos palitos são necessários para compor essa figura? Quantos qua drados tem essa figura?
13 palitos; 4 quadrados
c) Explique como pode ser construída uma figura dessa sequência a partir da figura anterior.
d) Represente a sequência numérica que expresse, ordenadamente, a quantidade de palitos necessária para construir cada figura da sequência apresentada. Depois, defina essa sequência numérica de maneira não recursiva.
6. Observe a sequência representada a seguir e, depois, defina-a de duas maneiras: uma recursiva e outra não recursiva.
(0, 13, 26, 39, 52, ...)
7. Observe os números a seguir e faça o que se pede em cada item.
238 483 260 355
a) A gora, responda: quais desses números são termos da sequência definida por an = 9(n 1) 5, com n [ n *? 238 e 355
b) Determine a posição, nessa sequência, dos números que você indicou como resposta no item a 238: 28a posição; 355: 41a posição
6. Resposta esperada: Recursiva: a1 = 0 e an = an 1 + 13, com n [ n* e n > 2; não recursiva: an = 13(n 1) ou an = 13n 13, com n [ n*.
• no início, há apenas um casal de coelhos e nenhum coelho morre durante o ano. Analise o esquema (imagem sem escala; cores-fantasia).
1o mês
2 o mês
3 o mês
4 o mês
5 o mês ;
a) S abendo que a quantidade de casais de coelhos em cada um dos meses determina os primeiros termos da sequência de Fibonacci, quais são os cinco primeiros termos dessa sequência? (1, 1, 2, 3, 5, ...)
b) Qual padrão pode ser observado, em relação à quantidade total de casais de coelhos, a partir do 3 o mês?
c) Obtenha a quantidade de casais de coelhos até o 12o mês e responda ao problema proposto por Fibonacci.
d) De acordo com o padrão indicado no item b, defina, de maneira recursiva, a sequência de Fibonacci. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e 144; 144 casais de coelhos
8. d) Resposta esperada: {a1 = a2 = 1 an = an 2 + an 1 , com n [ n e n > 3.
b) Resposta esperada: A partir do 3o mês, a quantidade de casais de coelhos corresponde à soma das quantidades de casais nos dois meses anteriores.
Observe as distâncias que um treinador programou para certa pessoa correr, sabendo que ela já está acostumada com a prática de atividades físicas.
Mulher pratica corrida como parte de treino.
Podemos indicar a distância, em metro, que essa pessoa deve correr por semana nesse treinamento por meio da sequência numérica a seguir.
(4 500, 5 000, 5 500, 6 000, 6 500, 7 000, 7 500, 8 000)
Note que, a partir do 2o termo dessa sequência, a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é um valor constante.
a2 a1 = 5 000 4 500 = 500
a3 a2 = 5 500 5 000 = 500
a4 a3 = 6 000 5 500 = 500 ;
a8 a7 = 8 000 7 500 = 500
Explique como é possível obter um termo dessa sequência a partir do seu antecessor.
Resposta esperada: A partir do 2o termo dessa sequência, um termo qualquer pode ser obtido adicionando-se 500 ao seu antecessor.
Sequências com características como a da situação apresentada são denominadas progressões aritméticas (PA).
Denominamos progressão aritmética (PA) toda sequência numérica em que, a partir do 2o termo, a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor é constante. Essa constante, que pode ser indicada por r, é a razão da PA. Podemos classificar uma PA em:
• decrescente, quando r , 0;
• constante, quando r = 0;
• crescente, quando r . 0.
A partir da definição de PA, podemos concluir que:
an an 1 = r h an = an 1 + r
O enésimo termo de uma PA, sendo a1 o 1o termo e r a razão, pode ser definido por recorrência da seguinte maneira:
an = an 1 + r, com n [ n e n > 2
Analise alguns exemplos de PA.
• (16, 13, 10, 7, 4, ...)
Nessa PA, note que um termo é sempre maior que seu sucessor. Nela, temos
r = 13 16 = 10 13 = 7 10 = 4 7 = 3. Portanto, essa PA é decrescente.
• ( 8, 8, 8, 8, 8, ...)
Nessa PA, note que um termo é sempre igual ao seu sucessor. Nela, temos
r = 8 ( 8) = 0. Portanto, essa PA é constante.
• (5, 14, 23, 32, 41, ...)
Nessa PA, note que um termo é sempre menor que seu sucessor. Nela, temos
r = 14 5 = 23 14 = 32 23 = 41 32 = 9. Portanto, essa PA é crescente.
Também podemos estabelecer uma relação entre três termos consecutivos de uma PA: an 1, an e an + 1. Acompanhe. an = an 1 + r h an an 1 = r an + 1 = an + r h an + 1 an = r
Então:
an an 1 = an + 1 an h 2
Sendo an 1, an e an + 1 três termos consecutivos de uma PA, o termo central an pode ser obtido pela média aritmética dos outros dois termos:
an = an 1 + an + 1 2
Podemos representar uma PA de razão r e termos desconhecidos de diferentes maneiras, por exemplo:
• para a 1 = x, temos (x, x + r, x + 2r, ...);
• para a 1 = x r, temos (x r, x, x + r, ...).
Considere (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an 1, an, an + 1, …) uma PA infinita de razão r. Como cada termo, a partir do 2o, pode ser obtido adicionando-se r ao termo anterior, temos:
a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r h a3 = a1 + 2r
a 1 + 1r
a4 = a3 + r h a4 = a1 + 3r ; an = an 1 + r h an = a1 + (n 1)r ;
a 1 + 2r
PARA PENSAR
Com suas palavras, explique a relação que pode ser observada entre os elementos em destaque em cada expressão apresentada.
Resposta esperada: O fator que multiplica a razão da PA (r) é uma unidade menor que o número que indica o índice do termo correspondente da PA.
Note que podemos expressar qualquer termo de uma PA em função de a1 e r
O termo geral de uma PA é dado por:
an = a1 + (n 1) r
Enésimo termo
Primeiro termo Ordem do termo Razão
No início da Unidade, estudamos que uma sequência numérica pode ser entendida como uma função. Como a PA é um caso particular de sequência numérica, também podemos compreender uma PA como uma função. Com isso, o termo geral da PA é a lei de formação da função, que tem um comportamento linear. Observe.
an = a1 + (n 1) r h an = a1 + n r r h an = r n + (a1 r )
Uma PA com primeiro termo a1 e razão r pode ser definida como uma função f : n* H r, dada por f (n) = r ? n + (a1 r ), em que a1 = f (1), a2 = f (2), a3 = f (3), e assim sucessivamente.
Por exemplo, em relação à PA (5, 9, 13, 17, ...), em que a1 = 5 e r = 9 5 = 4, temos: f (n) = 4 ? n + (5 4) h f (n) = 4n + 1
Portanto, os termos dessa PA podem ser obtidos por meio da função f : n * H r , definida por f (n) = 4n + 1.
Note que a função f se assemelha à função afim g : r H r, definida por g (x ) = 4x + 1, de modo que f apresenta um comportamento linear.
R3. Dada a PA (26, 34, 42, 50, ...), resolva as questões a seguir.
a) C alcule a razão r da PA.
b) Classifique a PA em decrescente, constante ou crescente.
c) Determine o 37o termo da PA.
Resolução
a) Para deter minar a razão da PA, podemos calcular a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer. Por exemplo:
r = a 4 a 3 = 50 42 = 8
Portanto, a razão da PA é igual a 8.
b) Como nessa PA a r azão é positiva (r . 0), então a PA é crescente.
c) Como a1 = 26, r = 8 e n = 37, segue que:
an = a1 + (n 1) ? r h
h a 37 = 26 + (37 1) 8 h
h a 37 = 26 + 36 ? 8 = 26 + 288 = 314
Portanto, o 37o termo da PA é 314.
PARA PENSAR
Calcule g(1), g(2) e g(3) e compare com os valores de f (1), f (2) e f (3), respectivamente. O que é possível concluir?
g(1) = 5, g(2) = 9, g(3) = 13. Resposta esperada: os valores de g(x) são iguais a f (n) quando x [ n*.
R4. Escreva os quatro primeiros termos de uma PA em que a6 = 6 e a15 = 21.
Podemos escrever a15 em função de a 6 e de r :
a15 = a 1 + (15 1) ? r h a 15 = a 1 + 14r h
h a15 = a 1 + 5r + 9r h a 15 = a 6 + 9r
a 6
Assim, determinamos a razão da PA:
a 15 = a 6 + 9r h 21 = 6 + 9r h
h 9r = 27 h r = 3
Em seguida, calculamos o valor de a 1:
a 6 = a 1 + 5r h 6 = a 1 + 5 ? 3 h a 1 = 21
Por fim, determinamos os quatro primeiros termos dessa PA:
• a 1 = 21
• a 2 = 21 + 3 = 18
• a 3 = 18 + 3 = 15
• a 4 = 15 + 3 = 12
Portanto, os quatro primeiros termos dessa PA são 21, 18, 15 e 12.
PARA PENSAR
Com procedimento análogo ao apresentado, explique como é possível escrever a20 em função de a7 e de r Resposta esperada: a20 = a7 + 13r
R5. (Enem/MEC) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R $ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
a) R $ 512.000,00.
b) R $ 520.000,00.
1a
c) R $ 528.000,00.
d) R $ 552.000,00.
Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO
Do enunciado, temos que:
• o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça;
e) R $ 584.000,00.
• os próximos postes serão colocados sempre a uma distância de 20 metros do anterior;
• o último poste será colocado a 1 3 80 metros da praça;
• cada poste custa, no máximo, R $ 8.000,00.
2 a
ELABORAR UM PLANO
Primeiro, é necessário obter a quantidade de postes que serão colocados na estrada. Nesse caso, podemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA, uma vez que as distâncias, em metro, dos postes que serão instalados até a praça formam a PA (80, 100, 120, ..., 1 3 80).
Depois, temos de calcular o valor total, máximo, que a prefeitura poderá gastar multiplicando a quantidade de postes obtida por R $ 8.000,00, que corresponde ao preço máximo a ser pago por poste.
3a
EXECUTAR O PLANO
Na PA (80, 100, 120, ..., 1 3 80), temos a 1 = 80, r = 20 e an = 1 3 80. Assim:
an = a1 + (n 1) r h 1 380 = 80 + (n 1) 20 h 1 380 = 80 + 20n 20 h 20n = 1 320 h n = 66
Agora, calculamos o maior valor que a prefeitura poderá gastar com a instalação de todos os postes: 66 ? 8 000 = 528 0 00; ou seja, R $ 528.000,00.
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Para verificar o resultado obtido, podemos, inicialmente, usar a fórmula do termo geral de uma PA para a 1 = 80, r = 20 e n = 66, e verificar se a 66 é igual a 1 3 80: an = a 1 + (n 1) ? r h a 66 = 80 + (66 1) ? 20 = 80 + 1 300 h a 66 = 1 380
Depois, podemos utilizar a relação entre multiplicação e divisão como operações inversa s. Observe.
528 000 : 66 = 8 000 (Preço máximo para instalar cada poste)
66 8 000 = 528 000
528 000 : 8 000 = 66
(Quantidade de postes a ser instalados)
Portanto, a alternativa c é a correta.
Pense em outra maneira de fazer a verificação dos resultados desta atividade.
Resposta esperada: Considerando a1 = 80, a66 = 1 380 e n = 66, pode-se verificar que r = 20. Em seguida, proceder de maneira análoga à apresentada.
R6. Determine a quantidade de termos da PA finita (102, 89, 76, 63, ..., 340).
Resolução
Nessa PA, temos:
r = 89 102 = 13
Como a 1 = 102 e considerando a n = 340, segue que:
an = a1 + (n 1) ? r h
h 340 = 102 + (n 1) ( 13) h
h 340 = 102 _ 13n + 13 h n = 35
Portanto, essa PA possui 35 termos.
R7. Um aplicativo de transporte privado iniciou seu serviço em um pequeno município e estima que o número de corridas, a partir do primeiro mês, cresça mensalmente de acordo com a PA: (1 500, 1 775, 2 050, ...).
a) Determine a razão dessa PA.
b) Defina a função f que descreve essa PA, de maneira que a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente.
c) E m relação à função definida no item b , construa o gráfico de f, determine f (12) e explique o que representa o resultado obtido no contexto da situação apresentada.
Resolução
a) A r azão dessa PA é dada por:
r = 1 775 1 500 = 275
Portanto, a razão dessa PA é 275.
b) O termo geral dessa PA, em que a 1 = 1 500 e r = 275, é dado por:
9. Verifique quais sequências a seguir são progressões aritméticas. Justifique sua resposta.
a) (11, 14, 21, 24, 31)
b, c, d. Resposta nas Orientações para o professor
b) (70, 88, 106, 124, 142)
c) (15, 7, 1, 9, 17)
d) (2,5; 2,5; 2,5; 2,5; 2,5)
• A gora, para cada progressão aritmética, calcule a razão r e classifique-a em decrescente, constante ou crescente.
b: r = 18, crescente; c: r = 8, decrescente; d: r = 0, constante
an = a 1 + (n 1) r h
h an = 1 500 + (n 1) ? 275 h
h an = 275n + 1 225
Portanto, essa PA pode ser descrita pela função f : n * H r , definida por f (n ) = 275n + 1 225.
c) Como o domínio da função f é o conjunto dos números naturais positivos, no gráfico de f não podemos ligar os pontos indicados. Acompanhe.
Calculando f (12), obtemos:
(12) =
Assim, f (12) = 4 525 e a 12 = 4 525. O 12o termo da PA representa a quantidade e stimada de corridas a ser realizadas no 12o mês de serviço do aplicativo, nesse caso, 4 525 corridas.
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
10. Escreva uma PA de cinco termos, tal que:
a) a 1 = 2 e r = 7;
b) a 3 = 13 e r = 21;
c) a 1 = 9 e r = 1 3 ;
d) a 5 = 3 e r = 0;
( 2, 5, 12, 19, 26)
( 29, 8, 13, 34, 55)
(9, 28 3 , 29 3 , 10, 31 3 )
( 3, 3, 3, 3, 3)
e) a 4 = 28 e r = 4;
(40, 36, 32, 28, 24)
f) a 2 = 7 e r = 9.
(16, 7, 2, 11, 20)
11. Qual das alternativas a seguir apresenta uma PA decrescente? Justifique.
a) a1 = 22 e an = an 1 + 8, com n [ n e n > 2
b) an = 9n 2, com n [ n *
c) a1 = 16 e an = an 1 6, com n [ n e n > 2
d) an = n 2 , com n [ n *
12. Escreva os três primeiros termos de uma PA, tal que a 8 = 47 e a 11 = 65.
5, 11 e 17
13. Determine a PA de seis termos cuja soma dos três primeiros termos é 12 e dos três últimos é 15.
18. Em cada item, determine a quantidade de termos da PA finita.
a) (3, 11, 19, ..., 171)
22 termos
b) (10, 29, 48, ..., 1 435)
c) (286, 244, 202, ..., 302)
76 termos 15 termos
19. Em 2023, uma empresa operadora de internet atendia 54 municípios pelo serviço de fibra óptica. Em um plano de expansão, esse serviço foi ampliado de maneira que resultou em um aumento anual de uma mesma quantidade de municípios até 2026. Analise o gráfico e resolva as questões.
14. Identifique quais dos números no quadro a seguir são termos de uma PA em que a razão é 7 e a 24 = 73.
17 60198 39152 75 2202874
15. Determine a área do trapézio representado cujas medidas, em centimetro, da base menor, da altura e da base maior, respectivamente, formam uma PA.
(7, 4, 1, 2, 5, 8) 17, 60 e 220 25 cm²
8x _ 1
10x x + 2 13
16. Qual é o 72o termo da PA ( 20, 27, 34, 41, ...)?
17. Um buffet possui mesas idênticas nas quais é possível posicionar quatro cadeiras em seu entorno. Para acomodar grupos com mais de quatro convidados, o buffet junta mesas em fileiras e disponibiliza as cadeiras no entorno, conforme o exemplo. Quantas mesas devem ser juntadas em fileiras, de acordo com o padrão apresentado, para que sejam posicionadas exatamente 26 cadeiras no entorno?
12 mesas
Municípios atendidos pelo serviço de fibra óptica por uma empresa operadora de internet, 2023-2026
Quantidade de municípios
Dados fictícios. 0 Ano
a) D etermine a quantidade de municípios atendidos pelo serviço de fibra óptica nos anos de 2024 e 2025.
2024: 99 municípios; 2025: 144 municípios
b) Considerando que, com a ampliação desse serviço, o aumento da quantidade de municípios atendidos ocorra da mesma maneira nos próximos anos, em que ano a empresa ultrapassará 500 municípios atendidos pelo serviço de fibra óptica?
2033
c) E xplique a um colega como você resolveu o item b. Descreva a ele como você pensou, todas as etapas que realizou e os cálculos que fez. Do mesmo modo, preste atenção à explicação do colega sobre a resolução que ele fez. Ao final, se as estratégias de vocês forem diferentes, comparem-nas e identifiquem pontos positivos de cada uma.
Resposta pessoal.
20. a) r = 4. Resposta esperada: Como devem ser interpolados cinco termos entre 10 e 14, a PA obtida deve ter sete termos, em que a1 = 10 e a7 = 14. Assim, basta fazer a7 = 10 + (7 _ 1) r h 14 = 10 + 6r h r = 4.
20. Junte-se a um colega, leiam as informações a seguir e resolvam as questões.
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa determinar números reais entre dois números dados (extremos), formando uma sequência numérica que seja uma PA. Por exemplo, ao interpolar cinco meios aritméticos entre 10 e 14, obtemos a PA ( 10, 6, 2, 2, 6, 10, 14).
a) Qual é a razão da PA obtida na interpolação apresentada? Expliquem como determinar essa razão a partir dos extremos e da quantidade de termos dessa PA.
b) Interpolem oito meios aritméticos entre 77 e 31.
(77, 65, 53, 41, 29, 17, 5, 7, 19, 31)
c) Quantos meios aritméticos se deve interpolar entre 19 e 264 para que a razão da PA obtida seja igual a 35?
6 meios aritméticos
21. Quantos múltiplos de 12 existem entre os números:
a) 45 e 290?
21 múltiplos
b) 105 e 550?
37 múltiplos
c) 6 40 e 1 146?
42 múltiplos
22. Vanessa representou graficamente os primeiros termos de uma PA. Observe.
DiCA
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
Com base nesse gráfico, resolva as questões e justifique.
a) Classifique essa PA em decrescente, constante ou crescente.
Respostas nas Orientações para o professor crescente
b) O número 106 é um termo dessa PA?
c) Em relação a essa PA, determine:
• o 5 0 o termo.
• o menor termo positivo.
Sim, pois a21 = 106. 338 2
d) Defina a função afim f que descreve essa PA, de maneira que a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente.
24. b) f : A H r, com A = {n [ n | 1 < n < 8}, tal que f(n) = 625n + 15 800
23. Considere a função f : n * H r , definida por f (n ) = 3n + 1.
( 2, 5, 8, ...); a1 = 2 e r = 3
a) Escreva os primeiros termos da PA que essa função descreve, de maneira que a1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente. Qual é o 1o termo e a razão dessa PA?
b) Construa o gráfico de f no plano cartesiano.
24. Uma motocicleta nova, de certo modelo, custa R $ 15.8 00,00. Estima-se que o preço, em reais dessa motocicleta, nos primeiros anos de uso, se desvalorize de acordo com os termos da PA (15 175, 14 550, ..., 10 800).
a) De acordo com essa PA, o preço dessa motocicleta, em reais, pode ser estimado até quantos anos de uso?
23. b) Resposta nas Orientações para o professor. 8 anos de uso
b) Defina a função f que descreve essa PA, de maneira que a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente.
c) Em um plano cartesiano, construa o gráfico de f que você definiu no item anterior.
Resposta nas Orientações para o professor.
25. Escreva uma PA infinita indicando os primeiros termos dela. Depois, troque a PA que você escreveu com a de um colega para que ele defina a função que a descreve e construa seu gráfico, enquanto você faz o mesmo com a PA que recebeu. Juntos, confiram a resolução.
26. De acordo com uma pesquisa realizada por certa companhia de TV por assinatura, estimou-se uma redução constante de 1 620 domicílios com acesso a esse tipo de serviço nos próximos meses em 2025. Analise a tabela.
Estimativa de domicílios com acesso à TV por assinatura de certa companhia, 2025
Maio
Junho
Julho
125 550
123 930
122 310
Fonte: Dados fictícios.
a) E screva o termo geral de uma PA que expresse a quantidade mensal de domicílios com acesso à TV por assinatura nessa companhia, considerando maio de 2025 o primeiro mês, junho de 2025 o segundo mês, e assim por diante.
b) E stime a quantidade de domicílios com acesso à TV por assinatura nessa companhia em dezembro de 2025.
Elaboração do estudante. 114 210 domicílios
26. a) an = 125 550 + (n 1) ? ( 1 620) ou an = 1 620n + 127 170
Em um campeonato de empilhamento de copos, depois de definida a quantidade de copos em determinada rodada, os competidores devem realizar o empilhamento de modo que, no final, seja possível observar o seguinte padrão: a 1a camada (mais acima) deve ter 1 copo e, a partir dela, a quantidade de copos da próxima camada (imediatamente abaixo) deve ter um copo a mais que na camada anterior.
Nessa competição, quantos copos são necessários para formar um empilhamento com 10 camadas? Pense em como você resolveria essa questão e comente com os colegas.
Agora que você já tentou encontrar uma resposta, analise a solução proposta a seguir.
Podemos inicialmente representar a quantidade de copos de cada camada por meio da seguinte PA: (1, 2, 3, …, 8, 9, 10). Para obter a quantidade de copos necessários para formar o empilhamento com 10 camadas, precisamos obter a soma dos termos dessa PA, ou seja, precisamos obter o resultado de 1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10.
Uma maneira de resolvermos essa adição é construir um esquema com o empilhamento desejado (representado pelos copos azuis) e fazer uma “cópia” do empilhamento (representado pelos copos vermelhos), mas de ponta-cabeça. Acompanhe.
Note que a soma em cada uma das 10 camadas é sempre 11 e, no total, temos o dobro da quantidade de copos desejada. Então, para determinar a quantidade de copos para um empilhamento com 10 camadas, adicionamos todas as linhas e dividimos o resultado por 2. Assim:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 10 ? 11 2 = 110 2 = 55
Portanto, para formar um empilhamento com 10 camadas nessa competição, são necessários 55 copos.
A estratégia utilizada no cálculo da soma dos termos da PA na situação apresentada pode ser descrita por meio da propriedade a seguir.
Em uma PA finita de n termos, a1 e an são chamados termos extremos; já os termos a2 e an 1, a3 e an 2, e assim por diante, são termos equidistantes dos extremos.
A soma de dois termos equidistantes dos extremos em uma PA finita é igual à soma dos extremos.
PARA PENSAR
Em relação à propriedade apresentada, mostre que a soma dos termos equidistantes a2 e an 1 é igual à soma dos extremos a1 e an de uma PA finita.
Resposta esperada: Como a2 = a1 + r e an = an 1 + r, tem-se que: a2 + an
Com base nessa propriedade, podemos deduzir uma expressão para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA, indicada por Sn.
Inicialmente, escrevemos a soma dos n primeiros termos da PA de duas maneiras:
Adicionamos as igualdades I e II membro a membro:
Sn = (a1 + an) + (a2 + an 1) + (a3 + an
Na adição da etapa anterior, são obtidas n parcelas iguais a (a1 + an). Assim:
Sn = n ? (a1 + an) h Sn = n (a1 + an) 2
A soma dos n primeiros termos de uma PA pode ser expressa por:
Sn = n ? (a1 + an) 2
Em relação à situação apresentada, podemos determinar a quantidade de copos necessários para realizar um empilhamento com 20 camadas, por exemplo, calculando a soma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 18, 19, 20) utilizando a expressão deduzida:
Sn = n ? (a1 + an) 2 h S20 = 20 ? (a1 + a20) 2 h S20 = 20 ? (1 + 20) 2 = 210
Portanto, são necessários 210 copos para formar um empilhamento com 20 camadas.
R8. Determine a soma dos 40 primeiros termos da PA (46, 55, 64, ...).
Resolução
Nessa PA, temos a 1 = 46 e r = 55 46 = 9.
Assim, inicialmente, determinamos a 40 : an = a 1 + (n 1) ? r h a 40 = 46 + (40 1) ? 9 = 46 + 351 h a 40 = 397 Em seguida, calculamos a soma dos 40 primeiros termos dessa PA:
+
(46 + 397)
Portanto, a soma dos 40 primeiros termos dessa PA é igual a 8 8 60.
R9. A soma dos 30 primeiros termos de uma PA é 2 145. Determine o 24o termo dessa PA, sabendo que a 1 = 1.
Resolução
Das informações apresentadas no enunciado, temos que:
Assim:
= 5
Por fim, determinamos o 24 o termo dessa PA:
1 + 29r
114
Portanto, o 24 o termo dessa PA é 114.
R10. Após a consultoria de um agrônomo, certa fazenda vai adotar 12 novas técnicas de plantio e cultivo, visando aumentar a produção de soja. Em 2026, essas técnicas serão aplicadas em 80 ha da área plantada, aumentando gradativamente até cobrir todos os 800 ha de plantio da fazenda em 2035. Observe a projeção da produção de soja nessa fazenda para os próximos anos.
Considerando o crescimento na produção de soja constante até 2035, quantas sacas de soja serão produzidas no período de 2026 a 2035?
Resolução
Note que, no enunciado da atividade, há dados que não são essenciais para resolver a questão. Então, inicialmente, vamos selecionar as informações necessárias para determinar a quantidade de soja que deverá ser produzida no período de 2026 a 2035.
Ano
2026 108 000
2027 110 000
2028 112 000
2029 114 000
• A produção de soja em 2026, 2027, 2028 e 2029 está projetada em 108 0 00 sacas, 110 0 00 sacas, 112 0 00 sacas e 114 0 00 sacas, respectivamente.
• O aumento na produção de um ano para o seguinte será constante.
• O aumento na produção deve ocorrer de 2026 até 2035.
Com base nessas informações, podemos representar a produção anual de sacas de soja por uma PA finita em que r = 110 000 108 000 = 2 000, a 1 = 108 0 00 e o último termo é a 10 , que corresponde à projeção de produção de soja em 2035.
Assim, calculamos inicialmente a projeção de produção de soja em 2035. Acompanhe.
an = a 1 + (n 1) ? r h a 10 = 108 000 + (10 1) ? 2 000 h a 10 = 126 000
Para determinar o total de sacas de soja produzido no período considerado, calculamos a soma dos termos da PA (108 0 00, 110 0 00, 112 0 00, 114 0 00, ..., 126 0 00). Assim, obtemos:
Sn = n ? (a 1 + an ) 2 h S10 = 10 ? (108 000 + 126 000) 2 = 10 ? 234 000 2 h S10 = 1 170 000
Portanto, no período de 2026 a 2035, serão produzidas 1 170 0 00 sacas de soja nessa fazenda.
27. Na página 119, foi apresentada uma situação na qual, em uma competição, os participantes deveriam empilhar copos em camadas, de maneira que a 1a camada contivesse 1 copo e, a partir dela, a quantidade de copos da camada seguinte (imediatamente abaixo) contivesse um copo a mais que a anterior. De acordo com essas informações, resolva os itens a seguir.
a) Quantos copos são necessários para formar um empilhamento com 15 camadas? E com 24 camadas?
120 copos; 300 copos
b) Com 78 copos, quantas camadas no máximo podem ser empilhadas? E com 195 copos?
12 camadas; 19 camadas
c) Você reparou que o total de copos de um empilhamento de n camadas corresponde à soma dos n primeiros números naturais positivos? Agora, deduza uma expressão que permita calcular, em função de n , a soma dos n primeiros números naturais positivos.
28. Considere X a soma dos números múltiplos de 5 maiores ou iguais a 10 e menores ou iguais a 150, e Y a soma dos números múltiplos de 3 maiores ou iguais a 150 e menores ou iguais a 200. Qual é o valor de X + Y ?
32. Em cada item, calcule a soma dos termos da PA finita.
a) (2, 13, 24, ..., 112)
b) (127, 121, 115, ..., 47)
c) (60, 70, 80, ..., 2 020)
33. Observe a PA indicada em cada ficha a seguir.
I) (8, 12, 16, ...) II) (10, 16, 22, ...) III) (13, 16, 19, ...)
Considerando essas progressões aritméticas, é possível afirmar que:
a) a soma dos 20 primeiros termos da PA indicada em III é 2 150.
b) a soma dos 10 primeiros termos comuns da PA indicada em I e em II é 660.
c) o 25o termo da PA indicada em I é 108.
d) a soma dos 12 primeiros termos comuns da PA indicada em II e em III é 588.
34. Um estudo indica que a quantidade anual de visitantes em um museu deve ter crescimento constante nos anos de 2028 até 2031, conforme o gráfico a seguir.
Estimativa de visitantes no museu, 2028-2031
29. Calcule a soma dos 15 primeiros termos de uma PA, tal que a 1 = 4 e r = 68.
30. Considere uma PA cuja soma dos 8 primeiros termos é 148 e a soma dos 16 primeiros termos é 280. Escreva os cinco primeiros termos dessa PA.
5 278 7 200 50, 41, 32, 23 e 14
31. Em certo cinema, que já conta com 8 salas, será construída uma nova sala, na qual as poltronas serão dispostas em 10 fileiras, nomeadas de A até J, da seguinte maneira: 17 poltronas na fileira A , 19 poltronas na B, 21 poltronas na C , e assim por diante. Essa construção terá um custo médio de R $ 2.000,00 por poltrona. Quantas poltronas terá essa nova sala do cinema?
260 poltronas
PARA PENSAR
Após resolver a atividade 31, responda: se o custo médio por poltrona da nova sala fosse de R $ 1.500,00, a resposta que você deu à questão mudaria? Por quê? Resposta esperada: A resposta à questão não mudaria, pois o preço médio por poltrona é um dado não utilizado na resolução da questão.
S upondo que o crescimento estimado na quantidade anual de visitantes para esse período possa ser estendido até 2037, qual será a quantidade total de visitantes nesse museu de 2028 até 2037?
alternativa d 466 000 visitantes
• Você já visitou um museu? Qual museu? O que mais gostou nessa visita? Pesquise museus na região onde você mora e anote informações sobre acervo, horários de funcionamento, entre outras.
Respostas pessoais.
35. Em uma PA de 50 termos, a 15 = 40 e a 45 = 80. Qual é a soma dos termos dessa PA?
36. As medidas dos ângulos internos de um hexágono convexo, em grau, formam uma PA em que o maior termo é 140. Qual é a medida dos demais ângulos internos desse hexágono?
100°, 108°, 116°, 124° e 132°
37. A primeira figura da sequência a seguir representa o contorno de um pentágono regular cuja medida do lado corresponde a 1 palito. A partir da segunda figura, representa-se o contorno de um pentágono regular com 1 palito de lado a mais que o da figura anterior, aproveitando-se de dois lados dessa figura. Anal ise .
Quantos palitos formam a 10 a figura dessa sequência?
185 palitos
38. Determine a razão e o 40 o termo da PA cuja soma é dada por Sn = 4n ² 4n , com n [ n *.
39. Resolva as equações a seguir, em que as parcelas do 1o membro formam uma PA finita.
a) (x + 1 3 ) + (x + 1) + (x + 5 3 ) + . .. +
+ (x + 35 3 ) = 378
+ (4m + 551) = 8 750
41. Determine a razão de uma PA cuja soma de a4 e a 9 é 74 e a soma dos 10 primeiros termos é 330.
42. A média aritmética dos 12 primeiros termos de uma PA é 92. Desconsiderando-se os termos a 2 e a11 dessa PA, qual é a média aritmética dos termos restantes?
43. Leia as informações a seguir. 4 92
Você conhece o papiro de Rhind? Nesse papiro egípcio, que data de cerca de 1650 a.C., foram registrados problemas matemáticos que abordam diferentes conceitos. O texto a seguir corresponde à tradução de um dos problemas encontrados nesse papiro.
[...] “Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual a soma das duas menores.” [...]
EVES, Howard. Introdução à história da matemática . Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 84.
b) (4m 27) + (4m 10) + (4m + 7) + ... +
c) (44 + p ) + (38 + p ) + (32 + p ) + +
+ ( 70 + p ) = 540
razão: 8; a40 = 312 x = 15 m = 3 p = 40
40. Para financiar certo veículo seminovo, uma empresa está oferecendo as seguintes opções de pagamento.
• Opção 1: R $ 20.000,00 de entrada mais 60 prestações mensais iguais de R $ 750,00.
• Opção 2: 48 prestações mensais que formam uma PA decrescente, sendo a primeira parcela no valor de R $ 2.500,00 e a última, de R $ 244,00.
Em relação ao preço final a ser pago pelo veículo, qual dessas opções é a mais vantajosa? Pagam-se quantos reais a menos com essa opção em relação à outra?
opção 1; R$ 856,00
43. b) 5 3 , 65 6 , 20, 175 6 e 115 3 Pesquisa dos estudantes.
PAPIRO matemático de Rhind. [ca. 1650 a.C.]. Escrita sobre papiro, 199,5 cm × 32 cm. Museu Britânico, Londres (Inglaterra). Cópia de um papiro datado da 12a Dinastia sob o reinado de Amenemhat II.
a) C alcule a razão dessa PA.
55 6 ou 55 6
b) Determine a parte de pão que cada homem recebeu.
c) O p apiro de Rhind foi copiado de um documento ainda mais antigo pelo escriba Ahmes. Nele, são apresentados ao todo 85 problemas matemáticos que abordam diferentes ideias, tanto de Geometria como de Álgebra. Junte-se a dois colegas, e pesquisem outros problemas encontrados no papiro de Rhind. Depois, escolham um dos problemas encontrados e identifiquem quais conceitos matemáticos são abordados nesse problema. Ao final, apresentem a resolução dele aos colegas.
Os fractais (do latim fractus, que significa “quebrar” ou “fragmentar”) são formas geométricas que têm como uma de suas características o fato de poderem ser decompostas em partes representativas do todo. Um exemplo de fractal é o Triângulo de Sierpinski, que foi descrito pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski (1882-1969). Esse exemplo de fractal é formado, inicialmente, de um triângulo equilátero (colorido de preto) em que, a cada etapa da construção do fractal, é decomposto em quatro triângulos equiláteros congruentes, "retirando-se" o triângulo central. Analise as quatro primeiras figuras que podem ser construídas para obter esse fractal. Você consegue perceber alguma regularidade em relação à quantidade de triângulos pretos na sequência de figuras?
Matemático polonês Waclaw Sierpinski.
Podemos indicar a quantidade de triângulos pretos em cada uma das figuras por meio da seguinte sequência numérica:
(1, 3, 9, 27, ...)
Note que, a partir do 2o termo dessa sequência, o quociente entre um termo qualquer e o seu antecessor é um valor constante.
a2 : a1 = 3 : 1 = 3
a3 : a2 = 9 : 3 = 3
Resposta esperada: A partir do 2o termo dessa sequência, um termo qualquer pode ser obtido multiplicando-se por 3 o seu antecessor.
Como é possível obter um termo dessa sequência a partir do seu antecessor?
a4 : a3 = 27 : 9 = 3 ; Sequências com características como a da situação apresentada são denominadas progressões geométricas (PG). Em uma PG, chamamos de razão o quociente entre um termo qualquer, a partir do 2o termo, e seu antecessor. No exemplo do Triângulo de Sierpinski, a razão da PG é igual a 3.
Denominamos progressão geométrica (PG) toda sequência numérica de termos não nulos em que, a partir do 2o termo, o quociente entre um termo qualquer e seu antecessor é constante. Essa constante, que pode ser indicada por q, é a razão da PG. Podemos classificar uma PG em:
• constante, quando q = 1 e a1 5 0;
• decrescente, quando q . 1 e a1 , 0 ou 0 , q , 1 e a1 . 0;
• crescente, quando q . 1 e a1 . 0 ou 0 , q , 1 e a1 , 0;
• alternante, quando q , 0 e a1 5 0.
A partir da definição de PG, podemos concluir que: an an _ 1 = q h an = an 1 ? q
O enésimo termo de uma PG, sendo a1 o 1o termo e q a razão, pode ser definido por recorrência da seguinte maneira:
an = an 1 ? q, com n [ n e n > 2
Analise alguns exemplos de PG.
• (7, 7, 7, 7, ...)
Nessa PG, temos q = 7 : 7 = 1. Portanto, essa PG é constante, ou seja, um termo é sempre igual ao seu sucessor.
• (10, 2, 2 5 , 2 25 , ...)
Nessa PG, temos q = 2 : 10 = 2 5 : 2 = 2 25 : 2 5 = 1 5 (0 , q , 1) e a1 = 10 . 0.
Portanto, essa PG é decrescente, ou seja, um termo é sempre maior que seu sucessor.
• (6, 12, 24, 48, ...)
Nessa PG, temos q = 12 : 6 = 24 : 12 = 48 : 24 = 2 (q . 1) e a1 = 6 . 0.
Portanto, essa PG é crescente, ou seja, um termo é sempre menor que seu sucessor.
• ( 9, 27, 81, 243, ...)
Nessa PG, temos q = 27 : ( 9) = ( 81) : 27 = 243 : ( 81) = 3 ( q , 0).
Portanto, essa PG é alternante, ou seja, cada termo tem sinal contrário ao do seu sucessor.
Também podemos estabelecer uma relação entre três termos consecutivos de uma PG: an 1, an e an + 1. Acompanhe. an an 1 = an + 1 an h an2 = an 1 ? an + 1
PARA PENSAR
Escreva os primeiros termos de uma PG crescente em que 0 , q , 1 e a1 , 0 e de uma PG decrescente em que q . 1 e a1 , 0. Resposta pessoal.
PARA PENSAR
Em uma PG algum termo pode ser zero? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: Não, pois a divisão de um número por zero não é definida no conjunto dos números reais.
Sendo an 1, an e an + 1 três termos consecutivos de uma PG, o termo central an pode ser obtido por: an2 = an 1 ? an + 1
Podemos representar uma PG de razão q e termos desconhecidos de diferentes maneiras, por exemplo:
• para a1 = x, temos ( x, x q, x q ², ...). • para a1 = x q temos ( x q , x, x q, ...).
Considere (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an 1, an, an + 1, …) uma PG infinita de razão q. Como cada termo, a partir do 2o, pode ser obtido multiplicando-se o termo anterior por q, temos:
a1 = a1 ? q 0
a2 = a1 q 1
a3 = a2 ? q h a3 = a1 ? q 2
a 1 q
a4 = a3 q h a4 = a1 q 3
a 1 q 2
a5 = a4 ? q h a5 = a1 ? q 4 ; an = an 1 ? q h an = a1 ? q n 1 ;
a 1 q 3
PARA PENSAR
Com suas palavras, explique a relação que pode ser observada entre os elementos em destaque em cada expressão apresentada.
Resposta esperada: O expoente da razão da PG (q) é uma unidade menor que o número que indica o índice do termo correspondente da PG.
Note que podemos expressar qualquer termo de uma PG em função de a1 e q.
O termo geral de uma PG é dado por:
an = a1 ? q n 1
Enésimo termo
Primeiro termo Ordem do termo
Razão
Assim como no caso da PA, podemos compreender uma PG como uma função, sendo o termo geral da PG a lei de formação da função. Para alguns valores de a1 e de q, a PG tem comportamento exponencial.
Uma PG com primeiro termo a1 e razão q pode ser definida como uma função f : n* H r, definida por f (n) = a1 ? q n 1, em que a1 = f (1), a2 = f (2), a3 = f (3), e assim sucessivamente.
Por exemplo, em relação à PG (5, 10, 20, 40, ...), em que a1 = 5 e q = 10 5 = 2, temos:
f (n) = 5 ? 2n 1 Nesse caso, como a1 5 0 e q . 1, a função f obtida tem um comportamento exponencial, pois f se assemelha à função do tipo exponencial g : r H r, definida por g (x ) = 5 ? 2x 1. Portanto, os termos dessa PG podem ser obtidos por meio da função do tipo exponencial f : n* H r, definida por f (n) = 5 2n 1 .
• f (1) = 5 ? 21 1 = 5 ? 20 = 5 ? 1 = 5
• f (2) = 5 ? 22 1 = 5 ? 21 = 5 ? 2 = 10
• f (3) = 5 ? 23 1 = 5 ? 22 = 5 ? 4 = 20
• f (4) = 5 ? 24 1 = 5 ? 23 = 5 ? 8 = 40 ;
Observe o gráfico da função f.
f (n ) = a n
CBOOK PRODUÇÕES
Este ponto indica que f (4) = 40 e a4 = 40.
DiCA
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
De maneira geral, uma PG tem comportamento exponencial se q . 0, q 5 1 e a1 5 0. Note ainda que, se a PG é decrescente, a função relacionada também é decrescente, e, se a PG é crescente, a respectiva função também é crescente.
R11. Determine a quantidade de termos da PG finita (0,001; 0,1; 10, ..., 1 000 000 000).
Resolução
Nessa PG, note que os termos podem ser expressos como potências de base 10, ou seja: (10 3 , 10 1, 101, ..., 10 9). Assim, temos: q = 10 1 : 10 3 = 102
Como a 1 = 10 3 e considerando an = 10 9, utilizamos a expressão do termo geral de uma PG e resolvemos uma equação exponencial: an = a1 ? q n 1 h 10 9 = 10 3 ? (10 2) n 1 h 10 9 10 3 = 10 2n 2 h 10 12 = 10 2n 2 h
h 12 = 2n 2 h 14 = 2n h n = 7
Portanto, essa PG tem 7 termos.
R12. (Unicamp-SP) Dois anos atrás certo carro valia
R$ 50.000,00 e atualmente vale R$ 32.000,00. Supondo que o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a:
a) R $ 25.600,00.
b) R $ 24.400,00.
Resolução
c) R $ 23.000,00.
d) R $ 18.000,00.
Como o valor do carro decresce a uma taxa anual constante, temos que o valor desse carro a cada ano, em reais, corresponde a termos de uma PG.
Considerando a 1 = 50 0 00, então a 3 = 32 000, e podemos escrever:
a3 = a1 ? q 3 1 h 32 000 = 50 000 ? q 2 h
h q 2 = 32 000 50 000 h q 2 = 16 25 h h
q = √ 16 25 = 4 5 ou q = √ 16 25 = 4 5 (não convém)
Assim, temos: a 4 = a 3 ? q h a 4 = 32 000 ? 4 5 h a 4 = 25 600
Portanto, a alternativa a é a correta, pois daqui a um ano o valor do carro será igual a R $ 25.600,00.
Na situação apresentada, podemos escrever a função f : n * H r para indicar o valor do carro a cada ano, em reais, sendo o primeiro ano aquele em que esse carro valia R $ 50.000,00
dada por f (n)=50 000 ? ( 4 5 )n 1
Observe o gráfico da função f.
f (n )
DiCA
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
Orientações para o Professor
48. d) PG, pois, a partir do 2o termo, o quociente entre um termo qualquer da sequência e seu antecessor é constante e igual a q = 1 2
escreva no livro.
44. Para cada PG a seguir, calcule a razão e classifique-a em constante, decrescente, crescente ou alternante.
a) ( 30, 10, 10 3 , )
q = 1 3 ; crescente
b) ( 5 9 , 5 9 , 5 9 , ...)
q = 1; constante
c) ( 1, 4, 16, ...)
d) ( 3, 18, 108, ...)
e) (2 2 , 2 4 , 2 6 , )
q = 4; decrescente
q = 6; alternante
q = 2 2; decrescente
45. Escreva os quatro primeiros termos de uma PG em que:
a) a1 = √ 7 e q = 4√ 7 ;
√ 7 , 28, 112 √ 7 e 3 136
b) a 5 = 1 40 e q = 1 5 ;
c) a 3 = 95 e q = 92.
46. Determine o sétimo termo de uma PG em que
a 4 = 70 e q = 5 4
e 97 4 375 32
47. Considere uma PG decrescente tal que
a 2 = 4 e a 6 = 4 625 . Determine a razão e o primeiro termo dessa PG. Justifique sua resposta.
48. No início do estudo de progressão geométrica, foram apresentadas as primeiras figuras que podem ser construídas para obter o fractal conhecido por Triângulo de Sierpinski. De acordo com essas informações, junte-se a um colega, e resolvam os itens a seguir.
alternativa c 47. q = 1 5 ; a
a) D eterminem a quantidade de triângulos pretos que compõem a figura 7 no processo de construção desse fractal.
729 triângulos pretos
b) Q ual figura do processo de construção desse fractal é composta de 19 6 83 triângulos pretos?
figura 10
Para resolver o item b, é possível expressar um número natural por meio de uma ou mais potências e utilizar uma calculadora para decompor tal número natural. Também é possível escrever e resolver uma equação exponencial. DiCA
c) Considere que, na figura 1, o triângulo preto tem 1 m de lado. Em seguida, escreva os quatro primeiros termos de uma sequência numérica que indique, ordenadamente, a medida do lado dos triângulos pretos que compõem as figuras para construir o Triângulo de Sierpinski.
d) A sequência que você escreveu no item c é uma PA ou uma PG? Justifique.
• D etermine o termo geral dessa progressão.
e) Qual é o perímetro de cada triângulo preto que compõe a figura 6 ?
49. Leia o trecho a seguir e, com auxílio de uma calculadora, resolva a questão proposta.
Em 1 o de agosto de 2022, o Brasil tinha 203.062.512 habitantes. Desde 2010, quando foi realizado o Censo Demográfico anterior, a população do país cresceu 6,5%, ou 12.306.713 pessoas a mais. Isso resulta em uma taxa de crescimento anual de 0,52%, a menor já observada desde o início da série histórica iniciada em 1872, ano da primeira operação censitária do país. [...]
CABRAL, Umberlândia. De 2010 a 2022, população brasileira cresce 6,5% e chega a 203,1 milhões. Agência IBGE Notícias, Rio de Janeiro, 27 out. 2023. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia -noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/37237-de -2010-a-2022-populacao-brasileira-cresce-6-5-e-chega -a-203-1-milhoes. Acesso em: 26 jul. 2024.
Supondo que a taxa de crescimento anual da população brasileira se mantenha em 0,52% até 2030, conforme indicado no texto, podemos afirmar que:
a) a população brasileira será maior que 210 milhões de habitantes em 2027.
b) em 2023, a população brasileira era de cerca de 216 milhões de habitantes.
c) em 2030 a população brasileira será de aproximadamente 211,7 milhões de habitantes.
d) a partir de 2030, a população brasileira passará a ser decrescente.
50. A meia-vida de um medicamento corresponde ao intervalo de tempo em que a quantidade desse medicamento no organismo é reduzida à metade desde sua ingestão. Considere um medicamento A cuja meia-vida seja de duas horas e que cada comprimido contenha 500 mg desse medicamento.
a) Escreva uma sequência numérica cujos termos correspondam à massa, em miligrama, do medicamento A no organismo de uma pessoa que ingeriu apenas um desses comprimidos ao final de cada período de 2 h.
(500; 250; 125; 62,5; …)
b) A sequência que você escreveu no item anterior é uma PA ou uma PG? Qual é a razão dessa progressão?
51. Escreva os cinco primeiros termos da PG (x 4, x + 1, 5x + 11, ...) cujos termos são números reais e positivos.
1, 6, 36, 216 e 1 296
52. Determine a quantidade de termos da PG finita: (4, 8, ..., 410).
53. Em uma PG, temos que a2 + a3 = 4 9 e
a5 + a6 = 12 343 . Determine a razão dessa PG.
54. Um microbiologista, ao analisar certa população de bactérias, verificou que a quantidade de indivíduos duplica a cada 3 h, conforme informações a seguir.
Verificação
1 0
2 3 80 3 6 160
Considerando que seja mantida a taxa de crescimento da população de bactérias, resolva as questões a seguir.
a) E screva uma sequência numérica cujos termos correspondam à quantidade de bactérias dessa população ao final de cada período de 3 horas.
19 termos 3 7 (40, 80, 160, 320, 640, ...)
b) A sequência que você escreveu no item a é uma PA ou uma PG? Justifique.
c) Determine o termo geral da sequência que você escreveu no item a
54. b) PG, pois, a partir do 2o termo, o quociente entre um termo qualquer da sequência e seu antecessor é constante e igual a q = 2.
54. d) f(n) = 40 2n 1 ou f(n) = 5 2n + 2 . Resposta nas Orientações para o professor
d) Defina uma função f : n * H r que descreve a sequência que você escreveu no item a , de maneira que a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente. Depois, em um plano cartesiano, construa o gráfico de f
e) Após 2 dias do início dessa análise, qual será a quantidade de bactérias dessa população?
2 621 440 bactérias
55. Paulo reservou R $ 1.800,00, correspondentes ao seu 13 o salário, para realizar uma aplicação financeira a uma taxa de juro composto mensal de 0,5 % . Qual será o montante dessa aplicação ao final de três anos? Se necessário, utilize a calculadora.
aproximadamente R$ 2.154,02
No sistema de juro composto, o juro em cada período é calculado sobre o montante do período anterior.
56. Considere a função f : n * H r , definida por f (n ) = 2 ? 3 n 1
56. a) ( 2, 6, 18, ...); a1 = 2 e q = 3
a) E screva os primeiros termos da PG que pode ser descrita por essa função, de maneira que a1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente. Qual é o 1o termo e a razão dessa PG?
b) Construa o gráfico de f no plano cartesiano.
Resposta nas Orientações para o professor
57. Defina uma função f com a qual é possível obter os termos da PG ( 1 8 , 1 2 , 2, ) de maneira que a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente.
Uma resposta possível: f: n* H r, definida por f(n) = 22n 5
58. Em uma área de reflorestamento, estão sendo plantadas mudas de certa espécie de árvore. Estima-se que, ao final de cada ano após o plantio, a altura dessas árvores, em centimetro, seja igual a termos de uma PG de primeiro termo 32, segundo termo 48 e último termo 243, quando essas árvores param de crescer dessa maneira.
a) Quantos anos após o plantio estima-se que essas árvores param de crescer da maneira descrita?
6 anos
b) Defina uma função f que descreve essa PG, de maneira que a1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente. Depois, calcule f (4) e explique o que o resultado obtido representa no contexto da situação apresentada.
58. b) Uma resposta possível: f : A H r, com A = {n [ n | 1 < n < 6}, definida por f(n) = 32 ( 3 2 ) n 1
Analise a seguinte igualdade:
Essa igualdade, indicada em notação atual, foi encontrada pelo matemático e historiador austríaco Otto Eduard Neugebauer (1899-1990) em uma tábula babilônica datada de cerca de 300 a.C.
Fonte dos dados: EVES, Howard. Introdução à história da matemática . Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 4. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. p. 62.
Note que as parcelas da adição, no primeiro membro, correspondem aos 10 primeiros termos de uma PG em que a1 = 1 e q = 2.
Resposta esperada: Ao multiplicar um termo da PG pela razão q, obtém-se o termo seguinte. Assim, na 2a etapa, ao multiplicar a1 por q obteve-se a2, ou seja, a1 ? q = a2.
Esse fato é um indício de que a civilização babilônica conhecia estratégias de cálculo da soma dos primeiros termos de uma PG.
A seguir, vamos deduzir uma expressão com a qual é possível determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG. Para isso, consideramos a PG (a1, a2, a3, a4, ..., an 2, an 1, an, ...) de razão q.
a a a
Indicamos a soma dos n primeiros termos dessa PG por Sn :
Multiplicamos pela razão q ambos os membros dessa igualdade.
PARA PENSAR
Na igualdade obtida na 2a etapa, o que aconteceu com o termo a1 que estava sendo multiplicado pela razão q?
Subtraindo, membro a membro, a igualdade obtida na 2a etapa daquela obtida na 1a etapa, temos:
Como o termo geral de
1, segue que:
A soma dos n primeiros termos de uma PG pode ser expressa por: Sn = a1 ? (1 q n) 1 q , com q 5 1
PARA PENSAR
Mostre que é válida a igualdade 1 + 2 + 22 + + + 28 + 29 = 29 + 29 1.
Resposta nas Orientações para o professor.
R13. Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 8, 32, ...).
Resolução
Nessa PG, temos a 1 = 2 e q = ( 8) : 2 = 4. Assim:
Portanto, a soma dos oito primeiros termos dessa PG é igual a 26 214.
R14. Calcule a soma dos termos da PG finita (800, 400, 200, .., 25 2 )
Resolução
Nessa PG, temos a 1 = 800 e q = 400 800 = 1 2
Com base nessas informações e considerando a n = 25 2 , podemos resolver essa atividade de duas maneiras. Acompanhe
1a maneira :
Utilizamos a fórmula do termo geral de uma PG e resolvemos uma equação exponencial para determinar a quantidade de termos dessa PG finita.
Em seguida, calculamos a soma dos 7 termos dessa PG.
2a maneira :
Utilizando a expressão Sn = an ? q a1
obtemos:
P ortanto, a soma dos termos dessa PG finita é 3 175 2 .
A expressão utilizada na 2a maneira é obtida a partir do resultado da 3a etapa da dedução apresentada na página 130. DiCA
59. Com auxílio de uma calculadora, determine a soma dos:
a) 9 primeiros termos da PG ( 1, 5, 25, ...);
b) 6 primeiros termos da PG ( 4 21 , 4 7 , 12 7 , ...);
c) 10 primeiros termos da PG (2, 6, 18, ...);
d) 7 primeiros termos da PG (3, 27, 243, ...).
60. Certa empresa de delivery de refeições por aplicativo começou a atuar em um município em janeiro de 2026, mês em que realizou 75 0 00 entregas. A expectativa, naquele ano, era de que a quantidade de entregas aumentasse mensalmente em 12% em relação ao mês anterior. De acordo com essa expectativa, quantas entregas:
a) devem ser realizadas em fevereiro de 2026?
84 000 entregas
b) devem ser realizadas, no total, no primeiro semestre de 2026?
aproximadamente 608 639 entregas
61. Em relação à PG (3, 3, 3, 3, ...), podemos afirmar que:
alternativa c
a) a soma dos 25 primeiros termos é igual a 3; b) o 3 8 o termo dessa PG é igual a 3;
c) a soma dos 50 primeiros é igual a 0;
d) essa é uma PG constante.
62. O professor de Matemática Júlio César de Mello e Souza (1895-1974) ficou mais conhecido por Malba Tahan, pseudônimo com o qual assinou parte de seus livros. No livro O homem que calculava , Malba Tahan apresenta um conto sobre a origem do jogo de xadrez. Nesse conto, o jovem Sessa oferece de presente ao rei Iadava um jogo composto de um tabuleiro quadrado e dividido igualmente em 64 casas. Como forma de agradecimento, o rei pede a Sessa que escolha um pagamento. Então, Sessa pede grãos de trigo da seguinte maneira: um grão de trigo pela 1a casa do tabuleiro, dois pela 2a casa, quatro pela 3a casa, e assim sucessivamente, dobrando a quantidade de grãos de uma casa para a próxima, até a 64 a casa do tabuleiro. No entanto, esse pagamento não pôde ser efetivado, uma vez que a quantidade total de grãos de trigo era astronômica, devido ao crescimento exponencial apresentado na proposta de Sessa.
De acordo com esse conto, a quantidade total de grãos de trigo que Sessa deveria receber pode ser expressa por: a) 264 b) 263 + 1 c) 263 d) 264 1
Consulte o livro indicado a seguir, que apresenta a história de um jovem que utiliza a Matemática para resolver diferentes problemas.
• TAHAN, Malba. O homem que calculava. 8. ed. Rio de Janeiro: Record, 2009.
alternativa d 6
63. Determine a razão de uma PG cujo primeiro termo é 7, o último termo é 54 432 e a soma de seus termos é 46 655.
64. Em uma PG de oito termos, a 3 = 800 e a 8 = 25 32 . Qual é a soma dos termos dessa PG?
65. Uma bola solta em queda livre, após cada vez que se choca com o solo, atinge apenas 65% da altura atingida anteriormente, realizando deslocamentos perpendiculares ao solo. Considerando a altura inicial de 20 m, responda às questões.
a) Q uantos metros de altura, no máximo, a bola atinge após o 4 o choque com o solo?
b) Determine quantos metros a bola percorre do momento em que é solta em queda livre até chocar-se com o solo pela:
• 2a vez; • 5a vez.
65. a) aproximadamente 3,57 m 46 m
66. Junte-se a um colega para resolver esta atividade. Na aula de Matemática, a professora escreveu na lousa sequências cujos elementos estão dispostos em linhas de acordo com uma propriedade. Observem.
1a linha: 3
2a linha: 6 9
3a linha: 12 15 18 21
4a linha: 24 27 30 33 36 39 42 45 .
a) E xpliquem a propriedade que a professora utilizou para escrever essas sequências.
b) D e acordo com essa propriedade, determinem a soma dos termos da sequência indicada na 6 a linha.
66. a) Resposta esperada: De acordo com a ordem das linhas, o primeiro número das sequências corresponde a um termo de uma PG em que a1 = 3 e q = 2. Já em cada linha, a sequência corresponde a uma PA de razão r = 3. Na 1a linha tem apenas um número e, a partir da 2a linha, a quantidade de números é o dobro da que tem na linha anterior.
m
Na filosofia grega, Zenão de Eleia (c. 490-425 a.C.), discípulo de Parmênides e da escola Eleata, formulou quatro exemplos paradoxais que buscavam explicar que, do ponto de vista teórico, o movimento era impossível e, portanto, uma ilusão dos sentidos. Entre os exemplos formulados por Zenão para justificar sua tese, um dos mais conhecidos é o paradoxo de Aquiles e a tartaruga.
Leia o trecho a seguir.
NA HISTORIA
Em Filosofia, o que é um paradoxo? Se necessário, realize uma pesquisa. PARA PENSAR
Resposta esperada: Em Filosofia, podemos dizer que um paradoxo corresponde a um tipo de raciocínio/declaração que parece estar bem fundamentado e ser coerente, mas apresenta contradições lógicas e, por isso, não nos faz aceitar sua conclusão.
O mais famoso paradoxo de Zenão é popularmente conhecido como “Aquiles e a tartaruga”. Nesse pequeno experimento mental, o herói grego disputava uma corrida com uma tartaruga, que saía primeiro. Depois de um certo tempo, Aquiles partia em seu encalço. Antes de ultrapassar a tartaruga, ele tinha que alcançar o ponto em que ela estava no momento de sua partida. Enquanto fazia isso, a tartaruga, é claro, se afastava mais um pouco. Repetindo esse processo ao infinito, o pobre herói jamais conseguiria ultrapassar o animal.
CHERMAN, Alexandre. Sobre os ombros de gigantes: uma história da física. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2005. p. 21.
Nesse paradoxo, a ideia de que Aquiles nunca alcançará a tartaruga parece fazer sentido de acordo com a argumentação de Zenão, porém costuma contrariar nosso pensamento, pois sabemos, por observação e experiência prática, que Aquiles alcançará a tartaruga.
Para ilustrar essa situação, considere que em um mesmo intervalo de tempo a tartaruga percorra a metade da distância percorrida por Aquiles. Além disso, considere que Aquiles inicia sua corrida na posição P0 quando a tartaruga está 2 m à frente dele, na posição P1. De acordo com o paradoxo, quando Aquiles chegar à P1, a tartaruga estará 1 m à frente dele, na posição P2; quando Aquiles chegar à P2, a tartaruga estará 1 2 m à frente dele, em P3; e assim sucessivamente.
Podemos notar que a sequência das distâncias, em metro, entre a tartaruga e Aquiles posicionados em Pk e Pk 1, com k [ n*, corresponde à PG infinita apresentada a seguir, em que a1 = 2 e q = 1 2 . (2, 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , ...)
A PG associada à situação pode ser descrita pela função f : n * H r , definida por f (n) = 2 n + 2. Em uma malha quadriculada ou utilizando um software de geometria dinâmica, esboce o gráfico dessa função e analise o que ocorre com o valor de f (n) à medida que aumentamos o valor de n.
Resposta esperada: À medida que aumentamos o valor de n, o valor de f(n) aproxima-se de zero.
Em relação à PG (2, 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , ...), vamos calcular a soma dos:
• dois primeiros termos: S2 = 2 + 1 = 3;
• três primeiros termos: S3 = 3 + 1 2 = 7 2 = 3,5;
• quatro primeiros termos: S4 = 7 2 + 1 4 = 15 4 = 3,75;
• cinco primeiros termos: S5 = 15 4 + 1 8 = 31 8 = 3,875;
• seis primeiros termos: S6 = 31 8 + 1 16 = 63 16 = 3,9375.
Observe como podemos indicar esses resultados na reta real.
Calcule a soma dos sete primeiros termos dessa PG. Considerando o resultado que você obteve e aqueles apresentados anteriormente, o que você pode perceber?
3,96875. Resposta esperada: À medida que aumentamos o valor de n, ou seja, a quantidade de termos considerados, a soma obtida aproxima-se de 4.
4
Note que, à medida que aumentamos o valor de n, ou seja, consideramos uma quantidade maior de termos da PG relacionada ao paradoxo de Aquiles e a tartaruga, a soma desses termos se aproxima mais do número 4. Nesse caso, podemos dizer que a soma dos termos dessa PG infinita converge para o número 4. 2 + 1 + 1 2 +
De modo geral, nas progressões geométricas infinitas de razão q, em que 1 , q , 1 e q 5 0, quanto maior o valor de n considerado, mais próximo de zero é q n. Nesse caso, dizemos que, quando n tende ao infinito, ou seja, quando o valor de n aumenta indefinidamente, temos que o limite de q n é igual a zero.
Assim, considerando a expressão Sn = a1 ? (1 q n) 1 q , com q 5 1, podemos calcular o limite de Sn, quando n tende ao infinito. Observe.
Dada uma PG infinita cujo primeiro termo é a1 e a razão é q, com 1 , q , 1 e q 5 0, podemos determinar a soma S desses infinitos termos como o limite da soma Sn dos n termos dessa PG quando n tende a infinito. Assim: S = lim n H +› Sn = a1 1 q
Em relação à PG infinita (2, 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , ) apresentada, temos que o limite da soma de seus termos é dado por:
P ortanto, nas condições consideradas, é possível supor que Aquiles deve alcançar a tartaruga após ambos terem percorrido 4 m, o que contraria o paradoxo apresentado.
Com base no que foi estudado, Zenão estava certo ao supor que Aquiles nunca alcançaria a tartaruga? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: Não, pois, após uma quantidade indefinida de deslocamentos sucessivos realizados pelas duas personagens, Aquiles alcança a tartaruga após ambos percorrerem 4 m.
R15. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 2,16.
Resolução
2,16 = 2, 161616... =
= 2 + 0,16 + 0, 0016 + 0, 000016 + ... =
= 2 + 16 100 + 16 10 000 + 16 1 000 000 +...
Na adição, a partir da segunda parcela, podemos notar que as parcelas correspondem aos termos de uma PG infinita em que:
• a1 = 16 100 • q = 16 10 000 16 100 = 1 100
67. Quais das progressões geométricas a seguir têm o limite da soma dos termos convergindo para um número real?
alternativas
a) ( 2, 4, 8, …)
b) (80, 20, 5, …)
c) ( 2 5 , 6 5 , 18 5 , ) d) (10, 2, 2 5 , ) e) (12; 9; 6,75; …) f) (6, 9, 27 2 , )
68. Calcule a soma dos termos da PG infinita indicada em cada item.
a) ( 4, 1, 1 4 , ) c) ( 3 7 , 1 7 , 1 21 , )
b) (625, 125, 25, ...) d) (25; 0,25; 0,0025; ...)
69. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica indicada em cada item.
a) 1,7777... b) 8,112 c) 0,9191... d) 2,39
• A gora, escreva duas dízimas periódicas e troque-as com um colega, para que um determine a fração geratriz das dízimas periódicas do outro. Depois, confiram juntos as resoluções.
Calculando a soma dos termos da PG infinita, obtemos:
= 16
= 16
A ssim, segue que:
16
2,16 = 2 + 16 100 + 16 10 000 + 16 1 000 000 + = = 2 + 16 99 = 214 99
Portanto, 2,16 = 214 99 . 16 99
Com uma calculadora, verifique a igualdade 214 99 = 2,16 Resposta pessoal.
68. d) 2 500 99
70. Certa figura é formada por infinitas circunferências justapostas, de maneira que tenham em comum um único ponto. Nessa figura, a 1a circunferência tem o maior raio, com o dobro da medida do raio da 2a circunferência, que, por sua vez, tem o raio com o dobro da medida do raio da 3a circunferência, e assim por diante.
Observe as primeiras circunferências que formam essa figura.
Considerando que a maior dessas circunferências tenha 10 cm de raio, podemos afirmar que a soma dos perímetros das infinitas circunferências que compõem essa figura, em centimetro, é: a) 10 p b) 20 p c) 30 p d) 40 p e) 50 p
Lembre-se! O perímetro de uma circunferência de raio r é dado por 2p r.
71. Resolva a equação x + x 5 + x 25 + = 30, sabendo que as parcelas no 1o membro correspondem a termos de uma PG infinita. alternativa d x = 24 69. b) 8 104 999
Podemos utilizar a planilha eletrônica LibreOffice Calc para estudar uma PA, obtendo alguns de seus termos, a soma desses termos e representando esses valores no plano cartesiano. O LibreOffice Calc e os demais programas de escritório da LibreOffice estão disponíveis para download em https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 26 jul. 2024).
Para estudar uma PA na planilha eletrônica, vamos considerar a questão a seguir, que foi apresentada na atividade R10 da página 121.
Após a consultoria de um agrônomo, certa fazenda vai adotar 12 novas técnicas de plantio e cultivo, visando aumentar a produção de soja. Em 2026, essas técnicas serão aplicadas em 80 ha da área plantada, aumentando gradativamente até cobrir todos os 800 ha de plantio da fazenda, em 2035. Observe a projeção da produção de soja nessa fazenda para os próximos anos. Ano Produção projetada (saca)
Considerando o crescimento na produção de soja constante até 2035, quantas sacas de soja serão produzidas no período de 2026 a 2035?
Na situação descrita nessa atividade, como a perspectiva de crescimento da produção de soja a cada ano é constante, temos que a variação da projeção da produção, em sacas, de um ano para o próximo é dada por:
110 000 108 000 = 2 000
Para resolver essa questão podemos obter, na planilha eletrônica LibreOffice Calc, as projeções da produção de soja, em saca, para os anos de 2026 até 2035 e, em seguida, a soma desses valores da seguinte maneira.
A Nas células A1 e B1, escrevemos Ano e Produção projetada (saca), respectivamente. Em seguida, nas células A2:A11 escrevemos os anos de 2026 até 2035 e indicamos o valor da projeção da produção para 2026 na célula B2. Na célula B3, escrevemos =B2+2 000 para obter o valor da projeção da produção para 2027 e pressionamos a tecla Enter. Depois, selecionamos a célula B3, clicamos na opção e, com o botão esquerdo do mouse pressionado, arrastamos até a célula B11
1. a) an = 108 000 + 2 000(n 1) ou an = 2 000n + 106 000, com n [ n*. a15 = 136 000. Na situação apresentada, esse valor corresponderia à projeção da produção de soja, em saca, para 2040, caso a perspectiva de crescimento se mantenha constante até esse ano.
Assim, obtemos os valores das projeções da produção de soja até 2035.
B Para obter a soma dessas projeções, digitamos
Total na célula A12 e =SOMA(B2:B11) na célula B12 e pressionamos a tecla Enter.
Portanto, podemos concluir que no período de 2026 a 2035 deverão ser produzidas, nessa fazenda, 1 170 000 sacas de soja.
1. b) Construção do estudante. Resposta esperada: Esse gráfico tem comportamento linear e pode ser descrito pela função f: n* H r, definida por f(x) = 2 000x + 106 000.
1. Em relação à situação apresentada, considere uma sequência numérica em que a1 corresponde à projeção da produção de soja, em saca, para 2026; a 2 para 2027; a 3 para 2028; e assim sucessivamente.
a) E screva o termo geral dessa sequência. Em seguida, calcule o valor de a 15 e explique o que ele representa em relação à situação apresentada na questão da página 136 .
b) Na planilha LibreOffice Calc , construa um gráfico de dispersão para representar os termos dessa PA. Para isso, utilize a opção Inserir gráfico do menu. Nesse gráfico, os pontos de coordenadas (x, y ) indicam os termos de posição x e valor y da PA.
• Qual é o comportamento desse gráfico: linear, quadrático, exponencial ou logarítmico? Justifique.
2. Considere uma PG em que a 1 = 1 e a 2 = 2. Utilizando procedimentos análogos aos apresentados no exemplo e com auxílio da planilha eletrônica LibreOffice Calc , determine os 10 primeiros termos dessa PG. Depois, resolva os itens a seguir.
a) Escreva o termo geral dessa PG.
( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...)
an = 1 ? 2 (n 1)
b) Na planilha eletrônica LibreOffice Calc , construa um gráfico de dispersão para representar os termos dessa PG. Qua l é o comportamento desse gráfico: linear, quadrático, exponencial ou logarítmico? Justifique.
Construção do estudante. Resposta esperada: Esse gráfico tem comportamento exponencial e pode ser descrito pela função f: n* H r, definida por f(x) = 1 2(x 1)
Você sabe o que é demografia? Leia o texto a seguir.
A Demografia é uma ciência que tem por finalidade o estudo de populações humanas, enfocando aspectos tais como sua evolução no tempo, seu tamanho, sua distribuição espacial, sua composição e características gerais.
Uma preocupação fundamental no estudo das populações humanas é com o seu tamanho em determinado momento e com os possíveis fenômenos que determinam ou afetam esse tamanho, tais como os nascimentos, os óbitos e fenômenos migratórios. É importante investigar de que modo cada um desses componentes pode ser afetado por mudanças nos demais e como esses fenômenos se relacionam entre si.
Além da preocupação com o tamanho e crescimento da população, é de fundamental importância em Demografia o estudo da composição da população por idade e sexo, principalmente pela sua repercussão sobre os fenômenos demográficos, sociais e econômicos. [...] [...]
CERQUEIRA, Cézar Augusto; GIVISIEZ, Gustavo Henrique N. Conceitos básicos em demografia e dinâmica demográfica brasileira. In: RIOS-NETO, Eduardo Luiz G.; RIANI, Juliana de Lucena R. (org.). Introdução à demografia da educação
Estimar ou projetar a variação do tamanho de uma população humana ao longo do tempo sempre foi um desafio e motivo de grande inte resse para cientistas, governantes e diferentes tipos de organização. Para obter estimativas desse tipo, os demógrafos consideram dife rentes tipos de variável (taxas de natalidade e mortalidade, migração etc.). Atualmente, com o avanço da tecnologia, que facilita o acesso e o armazenamento de dados, e o desenvolvimento de modelos mate máticos, há diferentes métodos para realizar essas estimativas.
O trabalho de um demógrafo é realizado em parceria com profissionais de áreas como Ciências Sociais, Geografia, Matemática e Estatística, a fim de analisar e interpretar dados populacionais coletados e realizar um estudo que retrate da maneira mais fiel possível a realidade da população. Esses estudos buscam conhecer fatores de interesse público relacionados a educação, saúde, território, economia e meio ambiente e são também utilizados para tomadas de decisões de governantes, por exemplo. Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre as atividades do demógrafo.
• DESAFIO profissão: demografia. [S l.: s n.], 2017. 1 vídeo (27 min). Publicado pelo canal TVPUC. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=LZj1w1gwZyU. Acesso em: 26 jul. 2024.
No gráfico a seguir, os dados utilizados são estimativas ou projeções realizadas pelo Departamento de Economia e Assuntos Sociais, da Divisão Populacional das Nações Unidas. Analisando este gráfico, é possível avaliar o comportamento do crescimento populacional mundial.
Projeção da população mundial, 1950-2100
Fonte: UNITED NATIONS. Department of Economic and Social Affairs. Population Division. World population prospects 2024 Localizável em: Compact (most used: estimates and medium projections) (XLSX, 17.94 MB). Nova York: UN, c2024. Disponível em: https://population.un.org/wpp/Graphs/DemographicProfiles/Line/900. Acesso em: 26 jul. 2024.
1. Explique, com suas palavras, um dos objetivos da Demografia.
Resposta pessoal.
2. Há quanto tempo você mora no mesmo município? Nesse período, você percebeu mudanças na quantidade de habitantes? Justifique.
Respostas pessoais.
3. Em relação ao gráfico apresentado, responda.
a) Que tipo de gráfico foi utilizado para representar as informações?
b) Qual é o período de tempo correspondente aos dados apresentados no gráfico?
gráfico de segmentos de 1950 até 2100
c) De quantos bilhões de habitantes corresponde o crescimento populacional entre 1950 e 2000? E entre 2000 e 2050? E entre 2050 e 2100?
entre 1950 e 2000: 3,6 bilhões de habitantes; entre 2000 e 2050: 3,6 bilhões de habitantes; entre 2050 e 2100: 0,6 bilhão de habitantes
d) Podemos dizer que a sequência dos números correspondentes ao crescimento da população mundial nos anos indicados no gráfico formam uma PA? E uma PG? Justifique suas respostas.
A sequência não corresponde a uma PA, pois a diferença entre um termo e o anterior, a partir do 2o termo, não são todos iguais. A sequência não corresponde a uma PG, pois a razão entre um termo e o anterior, a partir do 2o termo, não são todos iguais.
4. Acompanhe como é possível estimar a população de um município para períodos futuros até 2070, com base em diferentes métodos matemáticos e dados de dois Censos Demográficos.
4. b) método aritmético: 22 000 hab.; método geométrico: aproximadamente 29 860 hab.
4. c) Resposta esperada: Não, pois nas estimativas realizadas a população não cresce igualmente em valores absolutos nem a uma mesma taxa de crescimento.
Método aritmético
População do município
Censo Demográfico 2010: 10 000 hab. Censo Demográfico 2022: 12 000 hab.
1o) C alculamos a diferença entre as populações no período considerado.
12 000 10 000 = 2 000
2o) Considera-se que, em períodos de 12 anos, essa população cresce igualmente em valores absolutos.
AnoPopulação
2010 10 000
14 000
Método geométrico
1o) C alculamos a taxa de crescimento da população no período.
12 000 10 000 = 1,2
2o) Considera-se que, em períodos de 12 anos, essa população cresce a essa mesma taxa.
AnoPopulação
2010 10 000 2022 12 000 2034 14 400 2046 17 280 2058 20 736 2070 24 883 ? 1,2 ? 1,2 ? 1,2 ? 1,2 ? 1,2
4. a) método geométrico; método aritmético
a) Em qual desses métodos a população varia de acordo com uma PG? E de acordo com uma PA?
b) Estime a população desse município para o ano de 2082 utilizando cada um desses métodos.
c) Observando os dados apresentados no gráfico sobre a população mundial, é correto afirmar que as estimativas foram realizadas com base em um desses métodos? Justifique.
5. Nesta questão, exploraremos a seguinte situação-problema.
Qual é a estimativa da população para o ano de 2070 no município em que você mora?
Junte-se a dois colegas, e façam o que se pede em cada um dos itens.
a) Vocês acham que em 2070 a população do município em que vocês moram será maior ou menor que a população atual? Justifiquem.
Resposta pessoal.
b) P esquisem, nos Censos Demográficos 2010 e 2022, a população do município em que vocês moram e registrem. Utilizando cada um dos métodos apresentados na atividade anterior e os dados pesquisados, estimem a população do município em períodos de tempos iguais e equivalentes ao período entre os dois Censos Demográficos pesquisados. Façam a estimativa até o ano de 2070
c) Investiguem se institutos de pesquisa ou outras organizações já fizeram alguma estimativa da população do município no ano de 2070. Pesquisem como foi feito o tratamento das informações e, se possível, qual foi o método utilizado. Depois, produzam um texto relacionando as informações levantadas e os resultados obtidos no item anterior. Pesquisa e elaboração dos estudantes.
5. b) A resposta depende do município em que os estudantes moram.
Você já reparou que, no dia a dia, programamos diferentes aparelhos eletrônicos para realizar determinada tarefa? Observe os exemplos.
Programar, em um forno elétrico, a temperatura e o tempo de cozimento de certo alimento.
Agendar um compromisso na agenda digital do smartphone, como despertar em horário e dia estabelecidos.
Indicar a potência e o tempo de preparo do alimento no micro-ondas.
Indicar o modo de lavagem e o nível de água na máquina de lavar roupas.
É importante notarmos que esses e outros aparelhos eletrônicos apenas executam tarefas e processam dados conforme instruções que recebem. Programar ou codificar significa escrever um conjunto de instruções para um aparelho, de maneira que ele as compreenda e as execute.
Cite outros aparelhos que você conhece que necessitam de alguma programação para executar determinada função. Depois, descreva uma função que cada aparelho desses executa de acordo com a instrução do usuário.
Respostas pessoais.
Para inserir instruções em um computador (ou outro aparelho eletrônico que possa ser programado), de forma organizada, é necessário utilizar uma linguagem específica. As chamadas linguagens de programação permitem a escrita de comandos que utilizam palavras, regras e pontuações. Esses comandos, ao serem estruturados de maneira lógica e compreensível à linguagem de programação escolhida, formam os códigos ou algoritmos computacionais necessários para determinar a realização de uma ação específica. Atualmente, existem muitas linguagens de programação, e cada uma é mais, ou menos, indicada de acordo com o que se deseja realizar.
De maneira geral, um algoritmo corresponde a uma sequência de passos finitos e ordenados, necessários para realizar determinada tarefa, não apenas relacionada à programação de uma máquina. Por exemplo, uma receita de salada de frutas corresponde a um algoritmo para preparar essa salada.
Em um recipiente, misture o iogurte, o mel e o suco de laranja e reserve o creme obtido.
Lave, descasque e pique bem as frutas e coloque-as em uma tigela.
Adicione o creme reservado e misture bem.
Ingredientes
Frutas de sua preferência
350 mL de suco de laranja 1 pote de iogurte natural 1 colher de chá de mel
Sirva gelado.
Leve à geladeira por, no mínimo, 1 hora.
Para expressar os passos de um algoritmo, também podemos utilizar um fluxograma. Observe, por exemplo, um algoritmo representado por meio de um fluxograma para verificar se determinado número natural n é par ou é ímpar.
Sim.
Divida n por 2.
O número n é par.
O resto da divisão é igual a zero?
Não.
O número n é ímpar.
Nesse fluxograma, as figuras utilizadas para apresentar a sequência de passos de um procedimento possuem significados de acordo com seu formato. Observe.
Indica o início ou o término dos passos.
Indica uma operação a ser realizada.
Indica uma decisão a ser tomada.
Indica o sentido da sequência dos passos.
Programação, avanço tecnológico e o mercado de trabalho
Na era digital em que vivemos, novas tecnologias surgem a cada dia tornando-se essenciais. Estão presentes em aplicativos, sites, jogos, redes sociais e sistemas operacionais, desenvolvidos por profissionais que trabalham com programação. Com esse avanço, a demanda por esses profissionais qualificados tem aumentado em diversos setores, que buscam soluções tecnológicas e inovadoras para aprimorar processos e experiências. Quem trabalha com programação pode atuar como engenheiro de software, analista de sistemas, arquiteto de redes, programador de jogos digitais, entre outros.
Assista ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre as possibilidades de carreira de um programador.
• PROGRAMAÇÃO e sistemas de informação: o mundo tecnológico #VocêPodeSer Ep. 12. [S l.: s n.], 2023. 1 vídeo (17 min). Publicado pelo canal Manual do Mundo. Disponível em: www.youtube.com/watch?v= ML1fgVfxuRU. Acesso em: 25 jan. 2024.
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro. NO MUNDO DO TRABAlHO
73. b) Resposta esperada: Não, além da análise de currículo, são analisadas as referências pessoais e profissionais do candidato e realizada uma entrevista para indicação de um candidato apto ao cargo.
72. a) Resposta esperada: Todo número natural é par ou é ímpar, e qualquer número par é divisível por 2.
72. De acordo com o fluxograma apresentado, resolva as questões a seguir.
a) Que conceitos matemáticos fundamentam o algoritmo representado por esse fluxograma?
b) Há algum passo correspondente à tomada de decisão? Qual?
Sim. O passo que questiona se a divisão, realizada no passo anterior, tem resto igual a zero.
c) Descreva os procedimentos realizados para verificar se cada número nat ural indicado a seguir é par ou é ímpar, de acordo com esse fluxograma.
Primeiro realizamos a divisão 237 : 2 = 118, com resto 1. Como o resto da divisão não é igual a zero, concluímos que 237 é ímpar.
• 237 • 10 8
Primeiro realizamos a divisão 108 : 2 = 54, com resto zero. Como o resto da divisão é igual a zero, concluímos que 108 é par.
d) Pense em outro algoritmo, que também possa ser utilizado para verificar se determinado número natural n é par ou é ímpar. Depois, represente esse algoritmo por um fluxograma.
Resposta nas Orientações para o professor
73. O departamento de gestão de pessoas de uma empresa utiliza um fluxograma sempre que tem de contratar um novo funcionário para determinado cargo. Observe.
Selecionar um currículo de candidato no banco de dados.
O currículo apresenta um candidato com formação e experiência adequados ao cargo?
a) O que é feito quando o currículo não apresenta um candidato com formação e experiência adequadas a um cargo?
O currículo é arquivado, e retoma-se o processo.
b) Sempre que o currículo analisado apresenta um candidato com formação e experiência adequadas a um cargo, esse candidato é contratado?
c) Q ual é a última tomada de decisão feita pelo departamento de gestão de pessoas antes de contratar um funcionário?
Verificar se a entrevista indica um candidato apto ao cargo.
Arquivar o currículo.
d) Você já participou de algum processo seletivo para um emprego ou estágio? Em uma roda de conversa, comente como foi essa experiência e, se possível, explique as etapas dessa seleção e como elas poderiam ser representadas por um fluxograma. Resposta pessoal.
Checar as referências pessoais e profissionais indicadas no currículo.
As referências consultadas são positivas?
uma entrevista com o candidato.
A entrevista indica um candidato apto ao cargo?
Contratar o candidato.
75. e - a - d - f - c - b. Construção do estudante.
74. Escreva os cinco primeiros termos da sequência numérica determinada pelo fluxograma a seguir e defina essa sequência de maneira recursiva.
Início
Defina a 1 = 5. Multiplique por 2. Adicione 7.
(5, 3, 13, 19, 45,...); an = 2an 1 + 7 e a1 = 5, com n [ n* e n > 2
Registre o resultado, que é o termo seguinte.
Considere o último termo obtido.
Sim. Não.
Calcular mais um termo?
Fim
EDITORIA DE ARTE
75. Nas fichas a seguir estão indicados, fora de ordem, os passos de um algoritmo para a construção de um hexágono regular usando régua e compasso. Ordene esses passos e, depois, siga-os para construir a figura com régua e compasso.
a.
b.
Com abertura de medida AB , fixar a ponta-seca do compasso em A e traçar uma circunferência.
Com a régua, traçar BC , CD , DE , EF e FA Por fim, colorir a região interna da figura obtida.
Com a mesma abertura, fixar a ponta-seca do compasso em C , traçar um arco que cruza a última circunferência traçada e marcar o ponto D . De maneira análoga, fixar a ponta-seca do compasso em F e marcar o ponto E
Com a mesma abertura, fixar a ponta-seca do compasso em B e traçar outra circunferência. Marcar o ponto O na interseção das circunferências.
Utilizar a régua para traçar AB , um dos lados do hexágono.
Com a mesma abertura, fixar a ponta-seca do compasso em O e traçar uma circunferência. Na interseção dessa circunferência com a de centro B e com a de centro A , marcar os pontos C e F, respectivamente.
76. Escreva os passos de um algoritmo que possa ser utilizado para construir um triângulo equilátero com 3 cm de lado com régua e compasso.
77. Um piscicultor cria tilápias que são vendidas para frigoríficos e pesqueiros. A cada 170 dias, as tilápias são pesadas e destinadas de acordo com os critérios indicados a seguir.
• Se a tilápia tem até 350 g de massa, é destinada a outro tanque de engorda.
• Se a tilápia tem mais de 350 g e menos de 700 g de massa, é destinada ao frigorífico.
• Se a tilápia tem 700 g de massa ou mais, é destinada ao pesqueiro.
a) Após uma pesagem, para onde é destinada uma tilápia com massa igual a:
• 495 g?
Resposta nas Orientações para o professor frigorífico pesqueiro tanque de engorda
• 810 g?
• 309 g?
b) No caderno, desenhe um fluxograma para representar os passos utilizados pelo piscicultor na destinação das tilápias após as pesagens.
Resposta nas Orientações para o professor
78. Analise a sequência numérica a seguir.
(7, 13, 33, 53, ...)
a) Construa um fluxograma que represente os procedimentos para obter, de maneira recursiva, os termos da sequência numérica apresentada.
b) Determine o 9o termo dessa sequência.
79. Junte-se a dois colegas, e escolham algum processo que vocês realizam no dia a dia, ou alguma atividade que alguém precise programar e que pode ser descrita por um algoritmo. Em seguida, construam um fluxograma para representar esse algoritmo.
Resposta nas Orientações para o professor. 153 Resposta pessoal.
80. Você sabe o que é Portugol? O Portugol é uma pseudolinguagem de programação que permite ao usuário desenvolver algoritmos estruturados em português de forma simples e intuitiva. Seu objetivo é facilitar o aprendizado de lógica de programação e algoritmos para estudantes não habituados com programação. Os algoritmos escritos em Portugol costumam ter a estrutura apresentada no q uadro.
Para “declarar as variáveis”, devemos identificar quais variáveis serão utilizadas (área; nota; A ; x ; soma etc.) e indicar os tipos de dados correspondentes às variáveis utilizadas, conforme apresentado a seguir.
• Inteiro: qualquer número inteiro. Exemplos: 20; 10; 0; 5; 10.
• Real: qualquer número real. Exemplos: 8; 3,5; 0; 6; 10,18; pi. Em comandos, desenvolvemos o algoritmo. Para isso, podemos utilizar comandos de entrada e de saída e alguns operadores, conforme os exemplos a seguir.
• Escreva: o programa escreve valores informados ou obtidos;
• L eia: o programa recebe dados digitados pelo usuário.
• Ope radores Aritméticos: +, , *, /, raiz(), ^ , sen(), cos(), mod, div, ...;
• Operadores Lógicos: e, ou, não;
• Operadores Relacionais: = , 5 (ou =/=), ., > (ou .=), ,, < (ou ,=).
Início <declaração das variáveis> <comandos>
Fim
Acesse o site a seguir para utilizar e obter mais informações sobre a pseudolinguagem de programação Portugol.
• PORTUGOL WEBSTUDIO. [S l.], [2024]. Site. Disponível em: https://portugol.dev/. Acesso em: 9 jun. 2024.
Observe, nos exemplos a seguir, dois algoritmos escritos em Portugol.
Exemplo 1
Início
inteiro: x , y, z
x = 10
y = 5
z = x + y
escreva (“A soma de ”, x, “e”, y, “ é ”, z.)
Fim
Declaramos as variáveis inteiras x, y e z
Atribuímos o valor 10 para a variável x
Atribuímos o valor 5 para a variável y
Atribuímos o valor x + y para a variável z
O algoritmo retorna os textos indicados entre aspas, substituindo os valores das variáveis pelos valores atribuídos ou obtidos. Nesse caso: A soma de 10 e 5 é 15.
Exemplo 2
Início
real: a , b , soma
escreva (“Digite o primeiro número: ”)
leia(a )
escreva (“Digite o segundo número: ”)
leia(b )
soma = a + b
escreva (“A soma dos números é igual a: ”, soma)
Fim
Fontes dos dados: BARBOSA, Lucas Lemos; COUTO, Christian Marlon Souza; TERRA, Ricardo. Portucol: uma pseudolinguagem inspirada em C ANSI para o ensino de lógica de programação e algoritmos. In: WORKSHOP SOBRE EDUCAÇÃO EM COMPUTAÇÃO, 24., 2016, Lavras. Anais [...]. Lavras: Universidade Federal de Lavras, 2016. Disponível em: https://sol.sbc.org.br/index.php/wei/article/view/9678/9579. CÁMARA-CHÁVEZ, Guillermo. BCC 201: introdução à programação Portugol. Outro Preto: Ufop, [201-]. p. 1-35. Disponível em: www.decom.ufop.br/guillermo/BCC201/slides/Portugol_BCC201_2.pdf. Acessos em: 26 jul. 2024.
De acordo com as informações e exemplos apresentados, resolva as questões a seguir.
a) Quais variáveis aparecem em cada exemplo? E quais operadores?
b) O que é realizado ao se executar o algoritmo do exemplo 1?
exemplo 1: variáveis: x, y, z; operadores: +, =; exemplo 2: variáveis: a, b, soma; operadores: +, =
c) Qual é a principal diferença entre os cálculos realizados pelos algoritmos do exemplo 1 e do exemplo 2?
d) De maneira análoga à apresentada nos exemplos, em dupla, escrevam um algoritmo em Portugol para calcular o produto de três números reais quaisquer, que devem ser digitados por quem executar o algoritmo. É calculada a soma 10 + 5 = 15. Resposta nas Orientações para o professor
c) Resposta esperada: No exemplo 1, o algoritmo realiza a adição de dois números inteiros predefinidos, 10 e 5; já no exemplo 2, o algoritmo realiza a adição de dois números quaisquer do tipo real, que devem ser inseridos pelo usuário ao executar o algoritmo.
Atualmente, estão disponíveis inúmeras linguagens de programação. Neste tópico, em particular, vamos apresentar e utilizar o Scratch, uma linguagem de programação gratuita e on-line, desenvolvida por um grupo de pesquisadores do Massachusetts Institute of Technology (MIT-USA), em Cambridge, nos Estados Unidos. Essa linguagem foi projetada especialmente para atender a um público com idade entre 8 e 16 anos e para possibilitar o aprendizado de programação com base em conceitos elementares. Por ser uma linguagem bastante dinâmica e interativa, pode ser utilizada por qualquer pessoa que queira se iniciar no mundo da programação, independentemente de sua faixa etária ou nível de escolaridade. Analise uma animação programada na linguagem Scratch, na qual a personagem (gato) desloca-se de maneira a traçar o contorno de um quadrado com 200 unidades de comprimento de lado.
PARA PENSAR
Explique com suas palavras o raciocínio utilizado no algoritmo apresentado. Você escreveria esse algoritmo de outra maneira? Qual?
Respostas pessoais.
DiCA
No menu do Scratch, selecione o idioma Português brasileiro na opção
Utilizando a opção é possível adicionar a categoria Caneta
PARA AMPlI AR
Aqui ficam indicados os blocos de comando selecionados para o algoritmo.
Aqui é possível observar os resultados da programação correspondente ao algoritmo criado.
Aqui ficam disponíveis as categorias e os blocos de comando.
Aqui ficam expostas as personagens utilizadas.
Acesse o site indicado a seguir para utilizar e obter mais informações sobre a linguagem de programação Scratch. • SCRATCH. [S . l.], [2016]. Site. em: https://scratch.mit.edu/projects/editor/. Acesso em: 26 jul. 2024.
Nesse caso, foram utilizados os seguintes blocos de comando na construção do algoritmo.
Indica que o algoritmo será executado ao clicar na bandeira.
Indica que será desenhada uma linha pelo caminho que a personagem percorrer.
Indica que a personagem vai se deslocar 200 unidades de comprimento para a frente, a partir de sua posição atual.
Indica que a personagem vai girar 90 graus para a direita (sentido horário) a partir de sua posição atual.
:
Também podemos utilizar o Scratch para analisar dados e apresentar respostas. No fluxograma a seguir, está representado um algoritmo para determinar se, sendo dadas as medidas de três segmentos de reta, é possível construir um triângulo cujos lados tenham essas medidas.
Entre com as medidas a , b e c
Calcule a + b . O valor obtido é maior que c?
Calcule a + c . O valor obtido é maior que b?
Calcule b + c . O valor obtido é maior que a?
É possível construir um triângulo.
Não é possível construir um triângulo.
Podemos representar esse fluxograma, no Scratch, com o algoritmo a seguir. Com ele, o resultado da possibilidade de se construir um triângulo com as medidas indicadas será apresentado no balão de fala da personagem.
Indica uma decisão a ser tomada, de acordo com uma condição estabelecida. Nesse caso, se + b . c , então é realizada outra tomada de decisão. Se não, a personagem apresenta uma mensagem correspondente ao resultado dessa condição.
Indica a adição de dois valores. Nesse caso, a adição das medidas a e b .
Indica a ação com a qual a programação será iniciada. Nesse caso, ao clicarmos na bandeira verde.
Indica a medida do segmento de reta que será atribuída à variável a Nesse caso, 15 unidades de comprimento.
Antes de construir esse algoritmo Scratch , é necessário criar as variáveis a, b e c DiCA
No exemplo, com as medidas indicadas para a, b e c, qual será a fala da personagem ao clicarmos na bandeira verde? E qual será sua fala se ajustarmos as medidas de a, b e c para, respectivamente, 12, 10 e 8?
Não é possível construir um triângulo. É possível construir um triângulo.
Indica a comparação de dois valores. Nesse caso, compara se a soma das medidas a e c é maior que a medida b
Indica o texto que deve ser apresentado no balão de fala da personagem quando todas as três condições previstas forem satisfeitas.
81. a) Resposta esperada: Não, pois no algoritmo construído quem determina os valores das variáveis é o criador do algoritmo, e não o usuário.
81. Considerando o algoritmo escrito na linguagem Scratch apresentado na página 147, resolva as questões.
a) O algoritmo construído permite que o usuário altere os valores de a , b e c? Justifique.
b) Reúna-se a um colega, reproduzam o algoritmo no Scratch e alterem-no para que seja possível o usuário escolher os valores de a , b e c . Depois, comparem suas respostas com as de outra dupla: vocês fizeram o mesmo algoritmo? Quais são as semelhanças e as diferenças?
Respostas nas Orientações para o professor
No item b, vocês poderão utilizar os seguintes blocos:
82. Observe o algoritmo e o resultado de uma programação realizada no Scratch .
alternativa d
83. b) Resposta esperada: II – Use a caneta; repita 5 vezes (mova 150 passos; gire 72 graus para a direita). III – Use a caneta; repita 3 vezes (mova 150 passos; gire 120 graus para a direita). O algoritmo descrito para II determina um pentágono regular com lados de 150 unidades, enquanto o algoritmo descrito para III determina um triângulo equilátero com lados de 150 unidades.
83. No início do estudo sobre linguagem de programação, utilizamos um algoritmo escrito na linguagem Scratch para representar o contorno de um quadrado com 200 unidades de comprimento de lado. Analise, a seguir, outro algoritmo, nessa mesma linguagem de programação, para obter essa representação.
Esse comando possibilita repetir sucessivamente uma sequência de comandos em uma quantidade definida de vezes. Neste exemplo, a sequência de comandos em azul é repetida 4 vezes.
a) Determine qual das figuras corresponde ao resultado da programação do seguinte algoritmo. Justifique sua resposta.
DiCA
No comando em verde desse algoritmo, o símbolo / indica uma divisão.
Esse algoritmo pode ser utilizado para:
a) verificar se dois números dados são pares.
b) c alcular o termo central de três termos consecutivos de uma PG, dados o maior e o menor termos.
c) calcular a área de um retângulo, dadas as medidas do maior e do menor lado.
d) c alcular o termo central de três termos consecutivos de uma PA, dados o maior e o menor termos.
PARA PENSAR
Você consegue pensar em outra utilização para o algoritmo proposto?
Por que um dos comandos indica um giro de medida “60 graus”? PARA PENSAR
Resposta esperada: Porque essa é a medida de cada ângulo externo de um hexágono regular. Resposta possível: O algoritmo proposto também pode ser utilizado para calcular a média aritmética de dois números.
b) U tilizando o comando apresentado no algoritmo do item anterior, com o qual é possível repetir uma sequência de comandos, escreva outro algoritmo para construir cada figura que você não indicou como resposta. Considere que ambas as figuras têm lados com medida de 150 unidades. Justifique sua resposta.
83. a) figura I. Resposta esperada: O algoritmo descrito para I determina um hexágono regular com lados de 150 unidades.
a) Resposta esperada: Recursiva, pois, para obter esse termo, o termo anterior é multiplicado por 5.
84. Analise o algoritmo, na linguagem Scratch, utilizado para obter o terceiro termo de uma PG e resolva as questões.
No comando em verde desse algoritmo, o símbolo * indica uma multiplicação.
a) D e acordo com esse algoritmo, o terceiro termo da PG é obtido de maneira recursiva ou não recursiva? Justifique.
b) Qual é a razão dessa PG? E qual é o primeiro termo?
envolvem lógica. Observe uma planilha eletrônica utilizada por um professor para verificar se um estudante foi aprovado ou reprovado.
Nas células B2 , C2 , D2 e E2 , o professor digita as notas do estudante em cada bimestre.
Na célula B6 , foi digitada a fórmula =(B2+C2+D2+E2)/4. O valor obtido e apresentado nessa célula corresponde à média aritmética das notas do estudante.
c) Escreva uma expressão para determinar o enésimo termo dessa PG de maneira:
an = 5 ? an 1, para n [ n, com n > 2 e a1 = 2
• recursiva; • não recursiva.
85. Os comandos a seguir, indicados fora de ordem, foram utilizados por Rafaela para construir um algoritmo no Scratch que determina o valor de uma função f : r H r p ara determinado número x . 5; 2. an = 2 ? ( 5)n 1, para n [ n*
a) Ordene os comandos apresentados de manei r a a obter o algoritmo construído por Rafaela.
Uma resposta possível: III, V, II, IV e I.
b) Q ual será a fala da personagem ao clicarmos na bandeira verde?
Uma resposta possível: 24.
c) Escreva a lei de formação da função f
86. Algumas ideias iniciais sobre linguagem de programação podem ser usadas em programas de computador. As planilhas eletrônicas, por exemplo, permitem a utilização de diferentes fórmulas matemáticas e comandos que
85. c) Uma resposta possível: f(x) = 2(x + 10) ou f(x) = 2x + 20. IMAGENS:
Na célula E6 foi digitada a fórmula =SE(B6<60; ”Reprovado”; ”Aprovado”). Com isso, se a média calculada na célula B6 for menor que 60, apresenta-se o texto “Reprovado”; senão, apresenta-se o texto “Aprovado”.
a) Q ual foi a média das notas bimestrais apresentadas no exemplo acima? O estudante que obteve essas notas foi aprovado ou reprovado?
62,5; aprovado
b) Reproduza no LibreOffice Calc a planilha utilizada pelo professor e considere um estudante cujas notas bimestrais digitadas nessa planilha foram 45, 66, 50 e 63. O que aparecerá na célula B6 ? E na célula E6 ?
56; reprovado
c) Represente o algoritmo da planilha utilizando um fluxograma e a linguagem de programação Scratch .
d) Você estudou e teve a oportunidade de analisar e construir algoritmos no Scratch e na planilha eletrônica LibreOffice Calc. Em qual desses programas você achou mais fácil compreender e construir algoritmos? Por quê?
Resposta pessoal.
87. Junte-se a um colega, e pensem em uma situação que envolva algum conceito matemático que vocês já tenham estudado. Elaborem um problema envolvendo esse conceito e listem os passos necessários para resolvê-lo. Depois, representem essa sequência de passos por meio de um fluxograma. Em um computador, utilizem a linguagem de programação Scratch para construir um algoritmo que represente o fluxograma elaborado. Por fim, realizem testes para verificar se esse algoritmo apresenta as soluções esperad as.
Elaborações dos estudantes.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Quando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) Fiz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
g) Respeitei meus colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei meus colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Noções de linguagem de programação
Sequências
Termo geral de uma PA
Relação entre PA e função afim
Relação entre PG e função do tipo exponencial
Progressão aritmética (PA)
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Progressão geométrica (PG)
Termo geral de uma PG
Algoritmo e fluxograma
Soma dos termos de uma PG infinita
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre a técnica de filmagem stop-motion . Agora, vamos retomar esse contexto nas questões a seguir.
a) A a nimação A noiva cadáver rompeu os padrões de filmagem da época – em que as animações, em quase sua totalidade, eram feitas em computador – ao utilizar a técnica de filmagem stop-motion . Observe algumas informações sobre essa produção.
A noiva cadáver
Gênero: Animação, fantasia, família, romance, comédia musical
Lançamento: 21 de outubro de 2005
Duração: 1h15min
Direção: Mike Johnson e Tim Burton
Elenco: Johnny Depp, Helena Bonham Carter, Emily Watson
Nacionalidade: EUA
Classificação: Livre
A NOIVA cadáver. Direção: Mike Johnson e Tim Burton. EUA: Warner Bros., 2005. Streaming (75 min). Pôster.
I) Considerando que nessa animação foram utilizados 24 quadros por segundo, escreva os cinco primeiros termos de uma sequência que expresse a quantidade de quadros utilizados até completar cada minuto da animação. Classifique essa sequência em PA ou PG.
I. 1 440, 2 880, 4 320, 5 760 e 7 200. PA.
II) E screva a lei de formação de uma função f : n * H r que descreva a sequência que você indicou no item anterior, sendo a 1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente.
III) Qual é o total de quadros utilizados na produção dessa animação?
f(n) = 1 440n 108 000 quadros
b) Utilizando apl icativos e técnicas de programação, uma pessoa faz pequenos filmes, com duração de 5 min, utilizando comandos predefinidos para as personagens. Para filmes com uma personagem, ele utiliza 2 0 00 comandos; para dua s personagens, 4 0 00 comandos; para trê s personagens, 8 0 00 comandos; e assim sucessivamente, até 10 personagens, que correspondem ao máximo que ele consegue utilizar de comandos em sua animação .
I) Defina a sequência correspondente à quantidade de comandos necessários, de acordo com a quantidade de personagens utilizadas e classifique-a em PA ou PG.
II) E screva a lei de formação de uma função f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} H r que descreva a sequência que você indicou no item anterior, a1 = f (1), a 2 = f (2), a 3 = f (3), e assim sucessivamente.
f (n ) = 1 000 ? 2n
c) A animação Minhocas, que ilustra a abertura desta Unidade, tem no enredo algumas questões sociais, como conflitos e problemas de relacionamento comuns na adolescência. Junte-se a um colega, e pesquisem outra animação elaborada com a técnica stop-motion e com alguma temática social. Em um texto, descrevam características técnicas dessa animação, como a quantidade de quadros por segundo, e como a questão social é abordada. Por fim, compartilhem com os colegas o texto produzido.
Resposta pessoal.
4. b) I. Uma resposta possível: PG de 10 termos em que a1 = 2 000 e q = 2.
1. (Enem/MEC) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s.
O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60 s.
Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente.
Qual é o termo geral da sequência anotada?
alternativa d
a) 12 n , com n um número natural, tal que 1 < n < 5.
b) 24 n , com n um número natural, tal que 1 < n < 2.
c) 12(n 1), com n um número natural, tal que 1 < n < 6.
d) 12(n 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 < n < 5.
e) 24(n 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 < n < 3.
2. (UEG-GO) No primeiro semestre de 2015, a empresa “Aço Firme” fabricou 28 0 00 chapas metálicas em janeiro; em fevereiro sua produção começou a cair como uma progressão aritmética decrescente, de forma que em julho a sua produção foi de 8 8 00 chapas. Nessas condições, a produção da empresa nos meses de maio e junho totalizou alternativa c
a) 33 600 chapas
b) 32 400 chapas
c) 27 200 chapas
d) 24 400 chapas
e) 22 600 chapas
3. (Enem/MEC) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
1/4 R S T P 1/2 1
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
a) ( 1 2 )100
b) ( 1 2 )99 c) ( 1 2 )97 d) ( 1 2 ) 98 e) ( 1 2 ) 99
alternativa b
4. (Fuvest-SP) Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais que formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de R $ 120,00, R $ 126,00 e R $ 132,00. Sabendo que, ao final, constatou-se que Joana não pagou a 19a parcela, o valor pago por ela foi: alternativa d
a) R $ 3.954,00
b) R $ 4.026,00
c) R $ 4.200,00
d) R $ 4.308,00
e) R $ 4.382,00
5. (Enem/MEC) Foram convidadas 32 equipes para um torneio de futebol, que foram divididas em 8 grupos com 4 equipes, sendo que, dentro de um grupo, cada equipe disputa uma única partida contra cada uma das demais equipes de seu grupo. A primeira e a segunda colocadas de cada grupo seguem para realizar as 8 partidas da próxima fase do torneio, chamada oitavas de final. Os vencedores das partidas das oitavas de final seguem para jogar as 4 partidas das quartas de final. Os vencedores das quartas de final disputam as 2 partidas das semifinais, e os vencedores avançam para a grande final, que define a campeã do torneio.
Pelas regras do torneio, cada equipe deve ter um período de descanso de, no mínimo, 3 dias entre dois jogos por ela disputados, ou seja, se um time disputar uma partida, por exemplo, num domingo, só poderá disputar a partida seguinte a partir da quinta-feira da mesma semana. O número mínimo de dias necessários para a realização desse torneio é alternativa b
a) 22.
b) 25. c) 28. d) 48. e) 64.
6. (UFPR) Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus). Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângulo interno desse polígono?
a) 20 800. b) 22 600. c) 24 800. d) 26 600. e) 26 800.
9. (Enem/MEC) As bactérias são microrganismos formados por uma única célula. Elas estão presentes em praticamente todos os meios: no ar, na água, no solo ou no interior de outros seres vivos. A forma de reprodução mais comum das bactérias é a assexuada por bipartição. Nesse processo, cada uma delas tem seu DNA duplicado e, posteriormente, se divide em duas células bacterianas.
De modo geral, em condições favoráveis, esse processo de bipartição se conclui a cada 20 minutos.
Disponível em: www sobiologia.com.br. Acesso em: 16 nov. 2013 (adaptado).
Considere que, no instante t = 0, há uma quantidade N 0 de bactérias em um meio favorável à sua reprodução, de modo que nele só se reproduzem por bipartição.
A sequência formada pela quantidade de bactérias nesse meio nos instantes 0, 20, 40, 60, 80 e 100 minutos é alternativa d
a) N 0 , N 0 2 , N 0 3 , N 0 4 , N 0 5 , N 0 6
b) N 0 , N 0 2 , N 0 4 , N 0 8 , N 0 16 , N 0 32
c) N 0 , 2N 0 , 3N 0 , 4N 0 , 5N 0 , 6N 0
d) N 0 , 2N 0 , 4N 0 , 8N 0 , 16N 0 , 32N 0
e) N 0 , 3N 0 , 7N 0 , 15N 0 , 31N 0 , 63N 0
10. (UFMS) Seja (a , b , c ) uma progressão geométrica de números reais. Suponha que a + b + + c = 26 e a 2 + b 2 + c2 = 364. Nessas condições, qual o valor de b? alternativa b
a) 4.
7. (Unicamp-SP) Três números reais distintos a , b , c são tais que a , b , c e ab , bc , ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O valor do produto abc é: a) 1. b) 1 8 c) 1. d) 6.
8. (UECE) Sejam a e b números reais positivos e distintos. Se 0 , a , 1, e, se a função f : r H r é definida por f (x ) = bax , então o valor da “soma infinita’’ f (1) + f (2) + f (3) + + f (n ) + … é:
a) a 2b
1 a b) ab
1 a c) b 1 a d) b 2 1 a alternativa c alternativa c alternativa b
b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.
11. (UERJ) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão:
• primeiro dia – corrida de 6 km;
• dias subsequentes – acréscimo de 2 km à corrida de cada dia imediatamente anterior. O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km.
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em kilometros, corresponde a: alternativa c
a) 414 b) 438 c) 456 d) 484
alternativa d
12. (Udesc) Sejam (16, 18, 20, …) e ( 1 2 , 3, 11 2 , ) d uas progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor da soma for igual a: a) 154 b) 4 774 c) 63 d) 4 914 e) 1 584
13. (Enem/MEC) Uma confeiteira pretende divulgar em um sítio da internet os doces que produz, mas só fará isso se acreditar que o número de acessos por semana compensará seu gasto com a divulgação. Por isso, pediu que lhe enviassem dados sobre o número de acessos ao sítio nas últimas 5 semanas e recebeu o gráfico a seguir.
A confeiteira acredita que, se o número de acessos mantiver o mesmo crescimento semanal para as próximas 5 semanas, ao final desse período valerá a pena investir na divulgação.
O número de acessos que a confeiteira acredita ser suficiente para que a divulgação no sítio valha a pena é: alternativa b a) 162. b) 170. c) 172. d) 312. e) 320.
14. (UERJ) Considere a seguinte equação:
x + x 3 + x 9 + … = 18, x [ r
15. (Enem/MEC) No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos do ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto, a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muito pequeno, conforme apresentado na tabela.
Tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos
Ano da Pesquisa 1995199920032007
Tempo de estudo (em ano) 5,25,86,47,0
Disponível em: www ibge.gov.br. Acesso em: 19 dez. 2012 (adaptado).
Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente.
O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será alternativa d a) 2018. b) 2023. c) 2031. d) 2035. e) 2043.
16. (UFAM) Sejam a PA de razão r = 20 e 1o termo a 1 = 200, e a PG de razão q = 3 e 1o termo b 1 = 2. Logo, podemos afirmar que: alternativa d
a) a 4 , b 4
b) a 2 b 2 = 10 ? a 4 . c) b 3 = 2 a 3 . d) bn . an , para n > 6. e) os termos da PA passam a ser menores que os termos da PG só a partir do 5o termo.
alternativa d
Sabendo que o primeiro membro dessa equação é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, o valor de x é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12
17. (Unicamp-SP) Seja p ( x ) = x + 2 024. A equação p ( x ) + p (2 x ) + p (3x ) + + p (2 023x ) + + p (2 024x ) = 0 tem uma solução x que satisfaz: a) x , 2. b) 2 , x , 0. c) 0 , x , 2. d) x . 2. alternativa b
Imagem de satélite da aldeia do povo gavião parkatêjê, Bom Jesus do Tocantins (PA), 2024. Os pátios, regiões onde são realizadas as atividades cerimoniais, ficam localizados ao centro, a uma distância de aproximadamente 100 m das moradias.
Quando pensamos em uma aldeia indígena, é comum imaginarmos moradias construídas com materiais locais, como palha, madeira, folhas e cipós. Entretanto, existem diferentes tipos de habitação indígena. A aldeia kaikoturé, por exemplo, do povo gavião parkatêjê, localizada no município de Bom Jesus do Tocantins (PA), é composta de 33 moradias de alvenaria cobertas por telhas de barro e com fornecimento de água, energia elétrica e rede de esgoto. Apesar de ter sido influenciado por não indígenas, o povo gavião parkatêjê, manteve os costumes de seus antepassados, como a disposição das moradias em formato circular, garantindo a tradicional organização social e cerimonial da aldeia.
Fontes dos dados: POVOS INDÍGENAS NO BRASIL MIRIM. Casas. [S. l.]: Instituto Socioambiental, [2020]. Disponível em: https://mirim.org/como-vivem/casas.
POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Habitações. [S l.]: Instituto Socioambiental, [2021]. Disponível em: https://pib.socioambiental.org/pt/Habita%C3%A7%C3%B5es. Acessos em: 28 set. 2024.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
Respostas nas Orientações para o professor.
1. Em sua opinião, qual é a importância de os povos indígenas manterem os costumes e as tradições de seus antepassados?
2. Que povos indígenas habitam a região onde você mora? Se necessário, faça uma pesquisa.
3. A disposição das moradias na aldeia kaikoturé e a região delimitada por elas podem ser associadas a que figura geométrica plana?
Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre a construção das moradias da aldeia kaikoturé, do povo gavião parkatêjê. Uma dessas informações é que essas moradias foram dispostas em formato circular, lembrando uma circunferência
Observe, na representação a seguir, alguns elementos importantes no estudo da circunferência.
DiCA
Nesta coleção, usaremos o termo raio tanto para nos referirmos a qualquer segmento de reta com extremidades no centro e em um ponto da circunferência como a seu correspondente comprimento.
Podemos afirmar que o diâmetro de uma circunferência também é uma corda? Justifique. PARA PENSAR
Resposta esperada: Sim, porque as extremidades do diâmetro estão na circunferência e, em particular, o diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência.
Raio é qualquer segmento de reta com uma extremidade no centro e outra em um ponto qualquer da circunferência. OB é um raio dessa circunferência.
O centro é o ponto O , que está à mesma distância de qualquer ponto da circunferência.
Diâmetro é qualquer segmento de reta que passe pelo centro e cujas extremidades são pontos da circunferência. Sua medida é o dobro da medida do raio. AC é um diâmetro dessa circunferência.
Ângulo central de uma circunferência é aquele que tem vértice no centro e lados passando por dois pontos dela. O ângulo AOB é um ângulo central dessa circunferência.
A circunferência é a linha formada por todos os pontos que estão à mesma distância de um único ponto (centro da circunferência). O comprimento ou perímetro c de uma circunferência de raio r é dado por c = 2pr
Corda é qualquer segmento de reta com extremidades sobre a circunferência. DE é uma corda dessa circunferência.
R1. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre as moradias do povo indígena ga vião parkatêjê cuja aldeia kaikoturé está localizada no município de Bom Jesus do Tocantins (PA). Nessa aldeia, 33 casas estão dispostas sobre uma circunferência com cerca de 200 m de diâmetro. Considerando que a distância x entre quaisquer duas casas adjacentes seja igual e desprezando as dimensões das casas, calcule o valor de x, em metro. Adote p 1 3,14.
Resolução
Inicialmente, calculamos o comprimento c da circunferência sobre a qual estão dispostas as 33 casas da aldeia:
c = 2 p r 1 2 3,14
200 2 = 628; ou seja, aproximadamente 628 m.
Como há 33 casas dispostas sobre essa circunferência e igualmente espaçadas, temos:
x = 628
33 1 19; ou seja, aproximadamente 19 m.
Portanto, a distância entre duas casas adjacentes sobre a circunferência é aproximadamente 19 m.
Muitas construções prediais baseiam-se em estilos arquitetônicos e podem refletir influências históricas. O estilo românico, que surgiu na Europa Medieval, está presente em diversas construções no Brasil. Em Recife (PE), por exemplo, nas portas e janelas da fachada do museu da Academia Pernambucana de Letras é possível perceber figuras que lembram arcos de circunferência, uma das características mais significativas da arquitetura românica, conhecida pelos arcos de volta perfeitos.
Na imagem ao lado direito da página, os pontos A e B dividem a circunferência de centro O em duas partes denominadas arcos de circunferência Os pontos A e B são as extremidades desses arcos de circunferência, cada um dos quais pode ser indicado por ⌢ AB .
Quando os pontos A e B , que determinam um arco, são coincidentes, esse arco é nulo ou corresponde a um arco de uma volta. Quando A e B correspondem às extremidades de um diâmetro da circunferência, dizemos que esse arco corresponde a uma semicircunferência. Analise os exemplos a seguir.
Para especificar a qual dos arcos estamos nos referindo, podemos destacar um ponto entre as extremidades do arco e utilizar a seguinte notação:
Podemos associar um arco de circunferência ao ângulo central correspondente. Observe, em destaque na figura, o ângulo central AO ˆ B que define o arco de circunferência ⌢ AB indicado em vermelho.
Em relação a um arco de circunferência, podemos determinar seu comprimento (ou medida linear) e sua medida angular.
O comprimento de um arco está relacionado ao comprimento do raio da circunferência e à medida do ângulo central correspondente. Em uma circunferência de centro O, por exemplo, o comprimento de um arco de circunferência ⌢ AB correspondente a um ângulo central a é dado pela distância percorrida de A até B sobre a circunferência ao se realizar um giro de ângulo a em torno de O. Usamos unidades de comprimento para exprimir o comprimento de um arco: milimetro, centimetro, metro etc.
Já a medida angular de um arco depende exclusivamente do ângulo central correspondente a ele, sendo a medida angular desse arco igual à medida desse ângulo central. Quando dizemos apenas medida de um arco, estamos nos referindo à medida angular do arco. Acompanhe um exemplo.
A a B O
Arco: ⌢ AB
Ângulo central: AO ˆ B
Medida angular de ⏜ AB : med( ⌢ AB ) = med (AO ˆ B ) = a
Para indicar a medida angular de um arco ou a medida de um ângulo, em geral, utilizamos o grau ou o radiano como unidade de medida.
Grau ( ° )
Ao dividirmos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes corresponde a um arco de medida angular 1 grau, que indicamos por 1°. Assim, uma volta completa corresponde a um arco de 360° .
Dois submúltiplos do grau são: minuto (‘) e segundo ( ’ ).
• 1° = 60‘
PARA PENSAR
• 1‘ = 60’
Resposta esperada: Sim, pois esses arcos de circunferência correspondem ao mesmo ângulo central de medida a
Considere, na figura, as duas circunferências concêntricas e o ângulo central de medida a que determina os arcos ⌢ AB e ⏜ CD , destacados em azul.
Podemos afirmar que ⌢ AB e ⏜ CD são arcos:
• de mesma medida angular? Justifique.
• de mesmo comprimento? Justifique.
Resposta esperada: Não, pois apesar de esses arcos de circunferência terem medidas angulares iguais, estão contidos em circunferências cujos raios têm comprimentos diferentes. Portanto, esses arcos de circunferência têm comprimentos diferentes.
Um arco de medida angular 1 radiano (1 rad) tem, por definição, o mesmo comprimento do raio da circunferência na qual está contido, ou seja, dada uma circunferência de raio r, um arco de medida angular 1 rad tem comprimento igual a r . Como o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2pr, a medida angular do arco de uma volta em uma circunferência é dada por:
2pr = 2p 1 rad = 2p rad
Observe, a seguir, a medida angular de alguns arcos expressa em grau e em radiano.
Escreva a medida angular dos arcos ⌢ AC , ⏜ AD e ⌢ AE em função da medida angular do arco ⌢ AB .
R2. Determine a medida angular, em radiano, de um arco de 135°
Resolução
Como a medida angular de um arco de circunferência correspondente a uma volta completa é 360 ° ou 2 p rad, podemos escrever a seguinte proporção:
angular do arco, em grau
angular do arco, em radiano
R3. Expresse, em grau, a medida angular de um arco de 5p 3 rad.
Resolução
Podemos escrever a seguinte proporção: Medida angular do arco, em grau Medida angular do arco, em radiano
2p x 5p 3 360 x = 2p 5p 3 h 1 800p 3 = 2px h h x = 600p 2p = 300
P ortanto, um arco de 135° corresponde a um arco de 3p 4 rad.
Portanto, um arco de 5p 3 rad corresponde a um arco de 300° .
R4. Em uma circunferência, cujo raio tem 4 cm, qual é o comprimento de um arco de medida angular 108 ° ?
Resolução
Como o comprimento dessa circunferência é dado por 2 pr, podemos escrever a seguinte proporção:
Medida
= 864p 360 = 12 5 p
Nas atividades 1 a 14, utilize 3,14 como aproximação de p
1. Observe a circunferência de centro O representada a seguir.
Portanto, um arco de 108° dessa circunferência tem comprimento de 12 5 p cm ou aproximadamente 7,536 cm.
De modo geral, temos a relação a seguir.
Em uma circunferência de centro O e raio r, considere um arco ⌢ AB correspondente a um ângulo central de medida a. Podemos relacionar o comprimento l desse arco à medida a, dada em:
• grau, por: l = a 360° ? 2pr;
• radiano, por: l = a r.
A quantos graus corresponde 1 rad? Adote p 1 3,14.
Aproximadamente 57,3° .
4. Utilizando régua e compasso, represente uma circunferência de centro O com: a) r aio medindo 5 cm; b) diâmetro medindo 8 cm; c) comprimento medindo 7p cm.
Construção do estudante.
Determine quais dos segmentos de reta indicados correspondem a:
a) r aios dessa circunferência; b) diâmetros dessa circunferência; c) cordas dessa circunferência.
2. Calcule o comprimento de uma circunferência de: a) 5 cm de raio; b) 18 dm de diâmetro; c) 7 m de diâmetro.
3. Determine quantos centimetros tem o raio de uma circunferência com comprimento aproximado de:
a) 15,7 cm; b) 25,12 m; c)
5. O sistema de engrenagens representado a seguir é formado por três catracas: A , B e C . Os raios das catracas B e C correspondem, respectivamente, à metade e a um quarto do raio da catraca A . Nesse sistema de engrenagens, quantas voltas realizam as catracas B e C enquanto a catraca A gira 300 voltas?
A B C
catraca B: 600 voltas; catraca C: 1 200 voltas
6. Utilizando um programa de computador, João construiu uma circunferência. Em seguida, com uma das ferramentas desse programa, construiu uma ampliação dessa circunferência, de maneira que seu comprimento tivesse 4 unidades a mais que o da original. Em relação à figura original, em quantas unidades aumentou o raio da circunferência obtida na ampliação?
2 p unidade de medida de comprimento ou aproximadamente 0,637 unidade de medida de comprimento
7. Em uma atividade integrando Arte e Matemática, uma estudante desenhou, com régua, um segmento de reta com 16 cm em preto. Depois, com compasso, construiu uma linha curva vermelha formada por sete semicircunferências cujos diâmetros estão justapostos sobre o segmento de reta, conforme representado a seguir. Qual é o comprimento da linha curva vermelha construída por essa estudante?
aproximadamente 25,12 cm
8. Expresse, em grau, cada medida angular indicada a seguir.
a) p r ad
b) 2p 5 rad c) p 6 rad 30° d) 6p 4 rad e) p 3 rad 60° f) p 4 rad 45°
9. A seguir, está representada uma circunferência de centro O e alguns de seus elementos. Determine o comprimento e a medida angular, em grau, do arco de circunferência ⏜ APB
comprimento de ⏜ APB: aproximadamente 11,775 cm; med(⏜ APB)=135°
10. Expresse, em radiano, a medida angular de cada arco de circunferência indicada a seguir.
a) med( ⌢ AB ) = 15 0° b) med( ⌢ AB ) = 20 0° c) med( ⌢ AB ) = 34 0° d) med( ⌢ AB ) = 25 0°
11. Rafaela faz um curso em que está aprendendo a desenvolver jogos para computador. Para representar a personagem de um jogo que ela está desenvolvendo, Rafaela desenhou um arco de circunferência com 12 mm de raio e 62,8 mm de comprimento e coloriu a região interna da figura, conforme representado. Qual é a medida angular do arco de circunferência desenhado por Rafaela? Expresse essa medida angular em grau e em radiano.
300° ou 5p 3 rad
12. A partir da figura de uma circunferência com 36 cm de diâmetro, Mário desenhou um arco de circunferência de medida angular 210 ° Quantos centimetros de comprimento tem esse arco de circunferência? 65,94 cm
13. Observe, a seguir, uma obra do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003).
SACILOTTO, Luiz. C8218. 1982. Têmpera sobre tela, 70 cm x 70 cm. Coleção particular. Para realizar uma releitura dessa obra, um estudante construiu em um computador a figura a seguir, que corresponde a um setor circular.
rad 4 p 2 cm
Um setor circular é uma região do círculo determinada por um ângulo central. DiCA
Qual é o perímetro da figura construída por esse estudante? 14,99 cm
Acesse este site, que apresenta informações sobre o artista Luiz Sacilotto.
• SACILOTTO. [S. l.], c2024. Site. Disponível em: https://sacilotto.com.br/. Acesso em: 29 jul. 2024.
14. Com um colega, demonstrem a seguinte afirmação. Resposta nas Orientações para o professor.
Dada uma circunferência de centro O e raio r, ocomprimento de um arco ⌢ AB nessa circunferência, sendo med( AO ˆ B ) = 2 rad, é igual ao diâmetro dessa circunferência.
Os conceitos envolvendo circunferências estudados até aqui serão a base para os próximos estudos. Nosso objetivo é definir as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para qualquer medida de ângulo. Para isso, precisamos definir conceitos como circunferência orientada e ciclo trigonométrico. Acompanhe a seguir.
Considere uma circunferência de centro O e raio r em que se define o sentido anti-horário como positivo. Essa figura é chamada de circunferência orientada. Fixamos essa circunferência orientada em um sistema de eixos cartesianos de maneira que seu centro O coincida com a origem desse sistema, ou seja, O (0, 0). Além disso, consideramos o raio unitário, ou seja, r = 1.
O x y 1
Sentido positivo
1 1 1
Sentido negativo
A essa estrutura denominamos ciclo trigonométrico (ou circunferência trigonométrica). Nele, convencionamos o ponto A(1, 0) como a origem dos arcos a ser medidos, denominados arcos trigonométricos. No ciclo trigonométrico, os eixos cartesianos dividem a circunferência em quatro partes congruentes, denominadas quadrantes, e numeradas, no sentido positivo, como I , II, III e IV. A cada ponto M do ciclo trigonométrico associamos a medida angular do arco ⏜ AM expressa em grau ou em radiano. Observe os exemplos, considerando o sentido positivo do ciclo trigonométrico.
No ciclo trigonométrico, os pontos de interseção entre os eixos e a circunferência não são considerados pontos dos quadrantes. DiCA
No ciclo trigonométrico, podemos associar arcos com diferentes medidas angulares a um mesmo ponto P. Analise os exemplos.
PARA PENSAR
Escreva a medida angular de outro arco côngruo aos apresentados.
Algumas respostas possíveis: 495° ou 11p 4 rad; 585° ou 13p 4 rad.
Note que esses arcos trigonométricos têm extremidade no mesmo ponto P. Assim, dizemos que eles são arcos côngruos ou arcos congruentes
Dizemos que dois ou mais arcos trigonométricos são côngruos ou congruentes entre si caso tenham a mesma extremidade.
Em relação aos arcos côngruos apresentados, note que:
• 855° = 135° + 2 360° ou
19p 4 rad = 3p 4 rad + 2 ? 2p rad
• 225° = 135° + ( 1) 360° ou 5p 4 rad = 3p 4 rad + ( 1) ? 2p rad
Dado um arco trigonométrico de medida angular a, com 0° < a < 360° ou 0 rad < a < 2p rad, podemos expressar as medidas angulares dos arcos côngruos a ⏜ AP da seguinte maneira: a + k ? 360° ou a + k ? 2p rad, com k [ z
Denominamos esse arco trigonométrico ⏜ AP de medida angular a de 1a determinação positiva dos arcos côngruos a ele. ⏜ AP
Em relação aos exemplos apresentados, temos que o arco trigonométrico de medida angular 135° ou 3p 4 rad é a 1a determinação positiva dos demais arcos côngruos a ele.
Agora, vamos associar a cada número real m um único ponto P no ciclo trigonométrico da maneira a seguir.
• Se m = 0, então P coincide com a origem dos arcos trigonométricos A(1, 0), ou seja, P 9 A.
• Se m . 0, então medimos no ciclo trigonométrico, a partir de A(1, 0) e no sentido positivo (anti-horário), um arco de comprimento m e indicamos o ponto P, extremidade de ⏜ AP
• Se m , 0, então medimos no ciclo trigonométrico, a partir de A(1, 0) e no sentido negativo (horário), um arco de comprimento |m | e indicamos o ponto P, extremidade de ⏜ AP .
Desse modo, todos os números reais estão associados a algum ponto P do ciclo trigonométrico. Acompanhe o exemplo.
O ponto P1, extremidade do arco
⏜ A P1 de comprimento p 2 medido no sentido positivo, está associado ao número real p 2 .
Como há infinitos arcos trigonométricos associados a um mesmo ponto (arcos côngruos), também podemos associar infinitos números reais a um mesmo ponto P do ciclo trigonométrico.
No exemplo anterior, ao ponto P1 estão associados os números reais na forma p 2 + k ? 2p , com k [ z, ou seja:
R5. Obtenha a 1 a determinação positiva de um arco de:
a) 1 740 ° b) 49p 9 rad
Resolução
a) Inicialmente, dividimos 1 740° por 360°, com quociente inteiro, e observamos o resto desta divisão.
1 740 360 _ 1 440 4
Assim, para obter o arco de 1 740 ° são necessárias quatro voltas completas (correspondentes ao quociente da divisão) e mais 300 ° na quinta volta (correspondente ao resto da divisão).
Portanto, a 1 a determinação positiva de 1 740° é 300°
b) Observe que: 49
Assim, segue que: 49p 9 rad = a + k ? 2p rad h h 49p 9 rad = 5p 9 rad + ( 3) ? 2p rad
P ortanto, a 1a determinação positiva de 49p 9 rad é 5p 9 rad.
R6. Determine os números reais, entre 0 e 10 p , associados ao ponto P , extremidade do arco trigonométrico indicado na figura.
P A x y
rad 3 10p
Observe que: 10p 3 = 4p 3 + 6p 3 = 4p 3 + 1? 2p
A ssim, a 1a determinação positiva de 10p 3 rad é 4p 3 rad. Dessa maneira, o ponto P está associado ao número real 4p 3
Agora, determinamos os números reais, entre 0 e 10 p , associados ao ponto P, extremidade dos arcos trigonométricos côngruos a 4p 3 rad.
• 4p 3 + 2 ? 2p = 16p 3
• 4p 3 + 3 ? 2p = 22p 3
• 4p 3 + 4 2p = 28p 3
P ortanto, os números reais são 4 p 3 , 10 p 3 , 16p 3 , 22p 3 e 28p 3 .
que
2p , 0.
16. a) Algumas respostas possíveis:
16. b) Algumas respostas
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
15. Calcule a 1a determinação positiva de um arco de:
a) 1 970° 170°
b) 65p 9 rad 11p 9 rad
c) 10p 9 rad 8p 9 rad d) 1 110° 330°
e) 1 520° 80° f) 70p 9 rad 2p 9 rad
16. Escreva quatro números reais, sendo dois positivos e dois negativos, que podem ser associados a um ponto P, extremidade de um arco trigonométrico de comprimento:
a) 2p 3 , medido no sentido positivo.
b) p , medido no sentido negativo.
17. Em certo jogo de tabuleiro, há uma roleta igualmente dividida em 12 partes. Cada jogador, na sua vez, gira o ponteiro dessa roleta três vezes consecutivas no sentido anti-horário, partindo sempre da posição em que o ponteiro parou no giro anterior, e desloca seu peão no tabuleiro a quantidade de casas correspondente à soma dos valores obtidos na roleta. Por exemplo, se um jogador obtiver na roleta os números 3, 8 e 2, respectivamente, ele deve deslocar seu peão em 13 casas no tabuleiro, pois 3 + 8 + 2 = 13. Observe a posição do ponteiro nessa roleta em certo momento do jogo.
A partir dessa posição, Rafael girou a roleta três vezes, no sentido anti-horário, de maneira que os ângulos realizados pelo ponteiro nesses giros foram de 2p 3 rad, 3p 2 rad e 5p 3 rad.
a) Qual é a medida do ângulo, em grau, correspondente a esses três giros? 690°
b) Quantas casas Rafael deverá deslocar o seu peão no tabuleiro? 19 casas
18. Em cada item, escreva uma expressão que determine as medidas angulares dos arcos associados ao ponto P destacado no ciclo trigonométrico.
19. Represente um ciclo trigonométrico e indique os pontos P e Q , associados aos arcos de medida angular 1 250° e 35p 4 rad, respectivamente.
20. No GeoGebra , Carlos representou um octógono regular ABCDEFGH inscrito em um ciclo trigonométrico, de maneira que seu vértice A coincidisse com a origem dos arcos trigonométricos, conforme representado a seguir.
a) Qual é a medida angular do arco de circunferência ⏜ ABD?
b) Um arco trigonométrico de medida angular 31 p 4 r ad, nesse ciclo trigonométrico, tem extremidade em que vértice do octógono? H
19. Resposta nas Orientações para o professor
Até aqui, estudamos as razões trigonométricas para ângulos agudos (com medida a entre 0° e 90°) e para ângulos obtusos (com medida a entre 90° e 180°). Lembre-se de que, dado um triângulo ABC como o da figura, podemos escrever:
tg a = b c
Agora, vamos estender esse estudo definindo as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um número real.
Anteriormente, estudamos como associar a cada número real m um único ponto P no ciclo trigonométrico. Agora, vamos definir o seno e o cosseno de um número real m qualquer.
Dado um número real m qualquer associado ao ponto P (a, b) do ciclo trigonométrico, definimos:
• seno de m como a ordenada de P, ou seja, sen m = b;
• cosseno de m como a abscissa de P, ou seja, cos m = a. y x O A(1, 0) P (a, b) cos m = a m 0 sen m = b
PARA PENSAR
Resposta esperada: O número real p 2 está associado no ciclo trigonométrico ao ponto P(0, 1). Assim, sen p 2 = 1 e cos p 2 = 0.
No ciclo trigonométrico, qual é o valor do seno e do cosseno de p 2 ? Justifique.
No ciclo trigonométrico, podemos denominar o eixo das abscissas de eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas de eixo dos senos.
No ciclo trigonométrico, um ponto P tem ordenada positiva quando pertence aos quadrantes I ou II e ordenada negativa quando pertence aos quadrantes III ou IV; além disso, tem abscissa positiva quando pertence aos quadrantes I ou IV e abscissa negativa quando pertence aos quadrantes II ou III. Assim, se um ponto P associado a um número real m está no quadrante:
• I, então sen m . 0 e cos m . 0;
• II, então sen m . 0 e cos m , 0;
Sinais do seno
• III, então sen m , 0 e cos m , 0;
• IV, então sen m , 0 e cos m . 0.
Sinais do cosseno
O x y (eixo dos senos) + + O x y
(eixo dos cossenos)
PARA PENSAR
Se os valores do seno e do cosseno de um mesmo número real m são negativos, a qual quadrante do ciclo trigonométrico pertence o ponto P associado ao m? quadrante III
Inicialmente, para definir a tangente de um número real, temos de considerar um eixo t tangente ao ciclo trigonométrico no ponto A(1, 0), com a mesma orientação do eixo y. Esse eixo tem origem em A(1, 0) e pode ser denominado eixo das tangentes
Seja um número real m, com m 5 p 2 + p ? k (k [ z), associado ao ponto P do ciclo trigonométrico. Definimos a tangente de m como a ordenada do ponto T, determinado na interseção entre o eixo t e a reta OP . T y x
A(1, 0) tg m t (eixo das tangentes)
Resposta esperada: Esses números estão associados, no ciclo trigonométrico, a pontos P de
Explique, geometricamente, por que não é possível determinar a tangente dos números reais na forma p 2 + p ? k (k [ z).
ordenadas p 2 ou 3p 2 . Nesses casos, a reta OP é paralela ao eixo das tangentes, de maneira que não existe um ponto T que seja a interseção dessas retas.
Para determinar o sinal da tangente de um número real m, podemos considerar o ponto P associado a m pertencente a cada um dos quadrantes do ciclo trigonométrico. Acompanhe.
Quadrante I
Quadrante II
Quadrante III
Quadrante IV
Assim, se um número real m está associado a um ponto P do ciclo trigonométrico pertencente ao quadrante:
• I, então tg m . 0;
• II, então tg m , 0;
• III, então tg m . 0;
• IV, então tg m , 0.
Sinais da tangente
Eixo das tangentes y
alguns valores notáveis do seno, do cosseno e da tangente.
• sen 0 = 0
• cos 0 = 1
• tg 0 = 0 m = 0 (0º)
x y t
(1,0) 1 • sen p 6 = 1 2
tg p 6 = √ 3 3 m = p 6 (30°)
cos p 6 = √ 3 2
• cos p 4 = √ 2 2 • tg p 4 = 1 m = p 4 (45°)
= p 3 (60°)
• sen p 4 = √ 2 2
• sen p 2 = 1
• cos p 2 = 0
• tg p 2 não está definida m = p 2 (90°)
m = 3p 2 (270°)
• sen 3p 2 = 1
• cos 3p 2 = 0
• tg 3p 2 não está definida
1 x yt A(1,0)
x y t A(1,0) 3 2 3 3 1 2 • sen p 3 = √ 3 2
cos p 3 = 1 2
tg p 3 = √ 3
• sen p = 0
• cos p = 1
• tg p = 0 m = p (180º) O 1 x y t A(1,0)
1 x y t A(1,0)
• sen 2p = 0 • cos 2p = 1 • tg 2p = 0 m = 2p (360º) O 1 x y t A(1,0)
Dado m [ r, temos 1 < sen m < 1 e 1 < cos m < 1. Já tg m pode assumir qualquer valor real, tomando m 5 p 2 + p ? k (k [ z).
PARA PENSAR Resposta nas Orientações para o professor
No caderno, construa uma tabela para organizar os valores notáveis do seno, do cosseno e da tangente apresentados nesta página.
A partir dos valores do seno, do cosseno ou da tangente de números reais associados a pontos do 1o quadrante do ciclo trigonométrico, podemos calcular os respectivos valores do seno, do cosseno ou da tangente de números reais associados a pontos de qualquer outro quadrante. Para isso, podemos utilizar ideias da simetria de reflexão.
Redução do 2o para o 1o quadrante
Para determinar o seno, o cosseno ou a tangente de um número real m associado a um ponto P do 2o quadrante do ciclo trigonométrico, comparamos P com seu correspondente P’ do 1o quadrante, simétrico em relação ao eixo y. Nesse caso, se med(⌢ AP ) = a, então med(⏜ AP’ ) = p a. Acompanhe.
sen m = sen (p m)
Para determinar o seno, o cosseno ou a tangente de um número real m associado a um ponto P do 3o quadrante do ciclo trigonométrico, comparamos P com seu correspondente P’ do 1o quadrante, simétrico em relação ao ponto O. Nesse caso, se med(⏜ AP ) = a, então med(⏜ AP ’) = a p. Acompanhe.
Para determinar o seno, o cosseno ou a tangente de um número real m associado a um ponto P do 4o quadrante do ciclo trigonométrico, comparamos P com seu correspondente P’ do 1o quadrante, simétrico em relação ao eixo x. Nesse caso, se med(⌢ AP ) = a, então med(⏜ AP ’) = 2p a. Acompanhe.
• sen m = sen (2p m)
R7. Calcule.
• cos m = cos (2p m)
• tg m = tg (2p m)
a) sen 27p 4 b) cos 20p 3 c) t g 17p 3
Resolução
a) Como 27p 4 = 3p 4 + 24p 4 = 3p 4 + 6p = 3p 4 + 3 2p, então a 1a determinação positiva de 27p 4 é 3p 4 .
Assim, o ponto P associado a 27p 4 pertence ao 2o quadrante do ciclo trigonométrico, pois p 2 , 3p 4 , p.
Fazendo a redução ao 1o quadrante, temos: sen 27p 4 = sen 3p 4 = sen (p 3p 4 ) = sen p 4 = √ 2 2
Portanto, sen 27p 4 = √ 2 2 .
b) Como 20p 3 = 2p 3 18p 3 = 2p 3 6p = 2p 3 + ( 3) 2p, então a 1a determinação positiva de 20p 3 é dada por: 2p 3 + 2p = 4p 3 .
Assim, o ponto P associado a 20 p 3 p ertence ao 3 o quadrante do ciclo trigonométrico, pois p , 4p 3 , 3p 2 . Fazendo a redução ao 1o quadrante, temos: cos 20p 3 = cos 4
Portanto, cos 20p 3 = 1 2
c) Como 17 p 3 = 5 p 3 + 12 p 3 = 5 p 3 + 4 p = 5 p 3 + 2 2 p , então a 1a determinação positiva de 17p 3 é 5p 3 .
Assim, o ponto P associado a 17 p 3 p ertence ao 4 o quadrante do ciclo trigonométrico, pois 3p 2 , 5p 3 , 2p. Fazendo a redução ao 1o quadrante, temos: tg 17p 3 = tg 5p 3 = tg (2p 5p 3 ) = tg p 3 = √ 3
Portanto, tg 17p 3 = √ 3
R8. É possível estabelecer algumas relações entre as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Acompanhe, a seguir, duas dessas relações, que podem ser úteis na realização de atividades. Essas relações podem ser demonstradas.
• sen2 m + cos2 m = 1, válida para todo m [ r. Essa relação é conhecida como relação fundamental da trigonometria.
• tg m = sen m cos m , válida para todo m 5 p 2 + kp, com m [ r e k [ z.
Com base nessas relações, calcule cos b e tg b , sabendo que sen b = _ 3 4 e p , b , 3p 2
Resolução
Da relação fundamental da trigonometria, temos: sen2 b + cos2 b = 1 h ( 3 4 )2 + cos2 b = 1 h cos2 b = 7 16
Como b é um número real associado a um ponto do 3o quadrante do ciclo trigonométrico, em que os valores de cosseno são negativos, então: cos b = √ 7 16 h cos b = √ 7 4
Utilizando a relação tg m = sen m cos m , temos:
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
21. Calcule.
a) sen 10p 3
b) tg 7p 4
c) cos 44p 3
d) tg 19p 6
e) cos 31p 6 f) sen 13p 4 g) cos 43p 6 h) tg 17p 3 i) sen 31p 6 j) cos 22p 3
• E scolha um dos itens desta atividade e explique a um colega as etapas que você realizou para resolver esse item.
22. Sabendo que sen m = 0,259 e tg m = 0,268, com 0 , m , 2p , podemos afirmar que, dentre os pontos indicados no ciclo trigonométrico a seguir, aquele que pode esta r associado ao número real m é:
23. Ana e Beto participaram de uma olimpíada de Matemática. Ao compararem as respostas das questões, eles perceberam que divergiram em uma delas, em que deveriam indicar em qual quadrante do ciclo trigonométrico pertence um ponto P associado a um número real m , tal que tg m , 0 e cos m . 0. As respostas de Ana e Bento foram, respectivamente, 2 o e 3 o quadrante. Qual desses participantes acertou a questão? Justifique sua resposta.
Resposta nas Orientações para o professor
24. No esquema a seguir, está representada uma roda-gigante de um parque de diversões em certo momento. Nesse esquema, o ponto C representa o centro da roda-gigante, e cada um dos outros pontos representa uma das cabines, igualmente espaçadas entre si.
26. Calcule o valor da expressão a seguir.
sen p + cos 5p 6 tg 7p 4
27. Na atividade resolvida R8 desta Unidade, estudamos a relação sen2 m + cos2 m = 1, que é conhecida como relação fundamental da trigonometria . Com apoio do ciclo trigonométrico, é possível demonstrar que essa relação é válida para todo número real m [ [0, 2p]. Inicialmente, com um colega, acompanhem, a seguir, parte dessa demonstração.
Consideramos um número real m , com m [ [0, 2 p], associado a um ponto P do 1o quadrante do ciclo trigonométrico, conforme representado a seguir.
O x y a A P P’ P” sen m cos m
Imagem sem escala.
Considere que o ponto B corresponde à cabine mais baixa da roda-gigante e o ponto A corresponde a uma cabine que se encontra a 104 m da base, mesma altura do ponto C . A partir dessa posição, essa roda-gigante girou 1 29 0° no sentido anti-horário. A que altura a cabine correspondente ao ponto A ficou da base da roda-gigante após esse giro? 54 m
25. Qual é a área do triângulo retângulo OAB representado no ciclo trigonométrico a seguir?
Assim, podemos escrever:
• OP = 1;
• OP ’ = PP” = sen m ;
• OP ” = cos m .
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OP”P, temos:
(OP )2 = (OP” )2 + (PP” )2 h
h 1 = (cos m )2 + (sen m )2 h
h sen2 m + cos2 m = 1.
Agora, de maneira análoga, demonstrem a relação fundamental da trigonometria para os casos em que P pertence:
Respostas nas Orientações para o professor
a) ao 2o quadrante.
b) ao 3o quadrante.
c) ao 4 o quadrante.
d) a cada um dos eixos coordenados.
Diversas atividades, como a pesca e a navegação, sofrem influência da variação das marés e, por isso, as pessoas utilizam o conhecimento a respeito delas. As marés são variações periódicas no nível do mar causadas, principalmente, pela atração gravitacional da Lua. Dependendo da posição e da fase da Lua, essa atração é sentida de maneira diferente em cada ponto da Terra, e, com isso, o nível e o período em que a maré ocorre também diferem de um local para outro.
Fonte dos dados: PRESS, Frank et al Para entender a Terra Tradução: Rualdo Menegat. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. p. 436-437.
No esquema a seguir, por exemplo, há fotografias da praia do Calhau, em São Luís (MA), em diferentes momentos do dia 9 de setembro de 2024.
Representação artística da variação das marés na praia do Calhau, em São Luís (MA). Fotografias de 2024 (imagem sem escala; cores-fantasia).
Resposta pessoal.
Descreva o que pode ser observado nas fotografias com relação à variação da maré na praia do Calhau.
Assim como as marés, existem diversos outros fenômenos naturais cujo comportamento se repete com o tempo: movimento dos planetas, ondas sonoras, pressão sanguínea no coração, fases da Lua, ciclos menstruais, entre outros. Fenômenos com essa característica são denominados fenômenos periódicos e podem ser modelados por funções periódicas.
Dada uma função f : r H r, se existir um menor número real positivo p tal que f (x + p) = f (x ) para todo x [ r, então f é uma função periódica. Nesse caso, dizemos que p é o período da função f.
A seguir, estudaremos as funções trigonométricas seno e cosseno, que são casos de funções periódicas.
Estudamos anteriormente como associar números reais a pontos do ciclo trigonométrico e, a partir desse estudo, como determinar o seno de um número real. Agora, vamos estudar a função seno, que associa um número real x qualquer ao número real correspondente ao seno de x. Por exemplo, associamos pela função seno o número real p 6 ao número real 1 2 , pois sen p 6 = 1 2 .
Denominamos função seno a função f : r H r, definida pela lei de formação f (x ) = sen x
Para esboçar o gráfico da função seno, vamos atribuir alguns valores arbitrários para x e determinar f (x ) = y, obtendo pares ordenados (x, y ).
Como D(f ) = r, é possível obter infinitos pares ordenados (x, y ) correspondentes a pontos do gráfico de f . Assim, considerando os valores que atribuímos para x, obtemos parte do gráfico de f definida no intervalo [0, 2p].
Se considerarmos para x todos os valores reais, podemos considerar a representação de todos os pontos pertencentes ao gráfico de f . Analise, a seguir, a curva da função f estendida para valores de x menores que 0 e maiores que 2p
Podemos destacar algumas características da função seno dada por f (x ) = sen x :
• o domínio e o contradomínio de f são iguais a r;
• o conjunto imagem de f é [ 1, 1]. Assim, o menor e o maior valor que f pode assumir são 1 e 1, respectivamente, e a amplitude de f é 2, que corresponde à diferença entre o maior e o menor valor que f pode assumir [1 ( 1) = 2];
• f é periódica e tem período igual a 2p, pois f (x + 2p) = f (x ) para todo x [ D(f );
• f é crescente para x [ [ p 2 + 2k p, p 2 + 2k p] e decrescente para x [ [ p 2 + 2k p, 3p 2 + 2k p], em que k [ z;
• f (x ) = 0 para x = k p, f (x ) . 0 para x [ ]2k p, p + 2k p[ e f (x ) , 0 para x [ ]_p + 2k p, 2k p[, em que k [ z.
Antes de conhecer outra característica da função seno, acompanhe a definição a seguir.
Denominamos função ímpar toda função f : A H B em que f ( x ) = f (x ) para todo x [ A. Nesse caso, o gráfico de f é simétrico em relação à origem.
A função seno é uma função ímpar, pois, para todo x [ r , temos sen ( x) = sen x
Reflita sobre as questões a seguir e compartilhe as respostas com os colegas.
• Você conhece outra função ímpar? Qual?
Respostas pessoais.
• No intervalo real [ 3p 4 , 5p 6 ], a função seno é crescente ou decrescente? É positiva ou negativa? Justifique.
Nesse intervalo, a função seno é decrescente e positiva, pois [ 3p 4 , 5p 6 ] ¡ [ p 2 , p] e, no intervalo real [ p 2 , p], essa função é decrescente e positiva.
Assim como ocorre com o seno, também podemos associar um número real x qualquer ao número real correspondente ao cosseno de x, de maneira a estabelecer a função cosseno. Por exemplo, associamos, por meio dessa função, o número real p 2 ao número real 0, pois cos p 2 = 0
Denominamos função cosseno a função f : r H r , definida pela lei de formação f (x ) = cos x.
Realizando os mesmos procedimentos utilizados para esboçar o gráfico da função seno, obtemos parte do gráfico da função dada por f (x ) = cos x, definida no intervalo [0, 2p].
Se considerarmos para x todos os valores reais, podemos considerar a representação de todos os pontos pertencentes ao gráfico de f . Analise, a seguir, a curva da função f estendida para valores de x menores que 0 e maiores que 2p
Podemos destacar algumas características da função f (x ) = cos x :
• o domínio e o contradomínio de f são iguais a r;
• o conjunto imagem de f é [ 1, 1]. Assim, o menor e o maior valor que f pode assumir são 1 e 1, respectivamente, e a amplitude de f é 2, que corresponde à diferença entre o maior e o menor valor que f pode assumir [1 ( 1) = 2];
• a função f é periódica e tem período igual a 2p;
• f é crescente para x [ [_p + 2k p, 2k p] e decrescente para x [ [2k p, p + 2k p], em que k [ z;
• f (x ) = 0 para x = p 2 + kp, f (x ) . 0 para x [ ] p 2 + 2k p, p 2 + 2k p [ e f (x ) , 0 para x [ ] p 2 + 2k p, 3p 2 + 2k p [, em que k [ z
Antes de conhecer outra característica da função cosseno, acompanhe a definição a seguir.
Denominamos função par toda função f : A H B em que f ( x ) = f (x ) para todo x [ A. Nesse caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y.
A função cosseno é uma função par, pois, para todo x [ r, temos cos ( x ) = cos x.
PARA PENSAR
Reflita sobre as questões a seguir e compartilhe as respostas com os colegas.
• Você conhece outra função par? Qual? Respostas pessoais.
• No intervalo real [ 5p 3 , 7p 4 ], a função cosseno é crescente ou decrescente? É positiva ou negativa? Justifique.
f (x ) = cos x g (x ) = sen x Nesse intervalo, a função cosseno é crescente e positiva, pois [ 5p 3 , 7p 4 ] ¡ ] 3p 2 , 2p[ e, no intervalo real ] 3p 2 , 2p[, essa função é crescente e positiva.
Note que, no plano cartesiano, o gráfico de f ( x ) = cos x corresponde ao gráfico de g ( x ) = sen x transladado em p 2 unidades para a esquerda.
R9. Dada a função f ( x ) = sen x , determine para quais valores reais de m a equação f ( x ) = 4 m 3 tem solução.
Resolução
Como Im ( f ) = [ 1, 1], temos que 1 < f ( x ) < 1. Assim:
Portanto, a equação dada tem solução para m [ r , t al que 1 2 < m < 1
R10. Na figura, está representada parte do gráfico da funçã o f dada por f ( x ) = sen x e o trapézio ABCD Con siderando que os pontos A e D pertencem ao gráfico de f e os pontos B e C , ao eixo das abscissas , qua l é a área desse trapézio?
Resolução
Inicialmente, calculamos as medidas da altura BC e das bases AB e DC do trapézio.
• BC = 2p 3 p 6
C alculando a área T do trapézio, obtemos:
Portanto, o trapézio tem (√ 3 + 1)p 8 unidade de área ou aproximadamente 1,07 unidade de área.
R11. Dada a funçã o g definida por g ( x ) = cos x , determine o valor máximo e o valor mínimo que a expressão 3 ? g (x ) + 1 pode assumir
Resolução
Como Im( g ) = [ 1, 1], a expressão 3 g ( x ) + 1 tem valor máximo quando cos x = 1 e tem valor mínimo quando cos x = 1. Então:
• o valor máximo da expressão é dado por: 3 1 + 1 = 4;
• o valor mínimo da expressão é dado por: 3 ? ( 1) + 1 = 2.
Portanto, essa expressão pode assumir valor máximo e valor mínimo igual a 4 e a 2, respectivamente.
R12. Dadas as funç ões trigonométricas f e g definidas por f ( x ) = sen x e g ( x ) = c os x , res pectivamente , determine para quais números reais x , com 0 < x < 2 p , os gráficos de f e g se intersectam.
Resolução
Para que os gráficos das funções se intersectem, devemos ter:
f (x ) = g (x ) h sen x = cos x h sen x cos x = 1 h tg x = 1, com x 5 p 2 + k p e k [ z
Na primeira volta positiva do ciclo trigonométrico, temos tg p 4 = 1 e tg 5p 4 = 1
Portanto, x = p 4 ou x = 5p 4 .
Observe, na página 178 , os gráficos das funções dadas por f ( x) = sen x e g( x) = cos x em um mesmo plano cartesiano.
31. a) Resposta esperada: No gráfico de função par, é possível identificar simetria de reflexão em relação ao eixo das ordenadas, ou seja, se um ponto P(a, b) pertence ao gráfico de uma função par, então o ponto P’ ( a, b) também pertence a esse gráfico. Já no gráfico de função ímpar, é possível identificar simetria em relação ao ponto O, ou seja, se um ponto P(a, b) pertence ao gráfico de uma função ímpar, então o ponto P‘( a, b) também pertence a esse gráfico.
28. Considere as funções f : r H r e g : r H r , definidas por f ( x ) = sen x e g ( x ) = cos x , e calcule:
a) f( 11p 2 ) b) g( 23p 6 )
29. Para quais valores reais de x , tem-se:
a) sen x = 1, com 0 < x < 2p;
b) cos x = 1, com 2p < x < 4p;
c) cos x = 1 2 , com 4p < x < p
30. Em cada item, determine para quais valores reais de m a equação apresentada tem solução real.
a) sen x = 2m + 11 b) cos x = 9 m c) cos x = 5m + 1 6 d) 3 + sen x = 3m
31. Com um colega , resolvam as questões a seguir, de acordo com os conceitos de função par e de função ímpar.
a) Descrevam a simetria que pode ser observada no gráfico de uma função par e no gráfico de uma função ímpar.
b) Escrevam a lei de formação de duas funções pares e de duas funções ímpares e justifiquem
c) Em uma malha quadriculada ou utilizando um programa de computador, representem o gráfico de duas funções que vocês escreveram no item b, sendo uma função par e uma função ímpar.
Resposta pessoal.
32. Em cada item a seguir, determine os valores mínimo e máximo que a expressão indicada pode assumir. a) cos x + 2 b) 2 sen x 5 c) 2 sen x + 2 d) 3 5 cos x
valor mínimo: 1; valor máximo: 3
valor mínimo: 7; valor máximo: 3
valor mínimo: 2 3 ; valor máximo: 2 valor mínimo: 2; valor máximo: 8
33. Elabore um problema que envolva as funções seno e cosseno. Depois, troque-o com um colega para que ele resolva, enquanto você resolve aquele que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.
Elaboração do estudante.
34. Dadas as funções f e g definidas por f ( x ) = sen x e g ( x ) = cos x, re spectivamente, para resolver a inequação f ( x ) > g ( x ), no intervalo 0 < x < 4p , Jéssica construiu os gráficos de f e g em um programa de computador, indicando os pontos de interseção entre esses gráficos, conforme a figura a seguir.
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
Qual foi o resultado correto obtido por Jéssica como solução da inequação?
35. No plano cartesiano a seguir, estã o representados o gráfico da função seno e os pontos cujas coordenadas estão indicadas no quadro.
Associe cada ponto às suas respectivas coordenadas.
b) Algumas respostas possíveis: Função par:
Analise os gráficos de algumas funções, que envolvem o seno e o cosseno, representados em um mesmo plano cartesiano.
As funções h, j, m e n, cujos gráficos estão representados, são exemplos de funções do tipo trigonométrica.
Denominamos função do tipo trigonométrica toda função de domínio e contradomínio real, definida por f ( x ) = a + b ? sen ( cx + d ) ou g ( x ) = a + + b ? cos ( cx + d ), em que a , b , c e d são números reais, com b 5 0 e c 5 0.
PARA PENSAR
Compare os gráficos das funções h e m com o gráfico da função f (x ) = sen x e cite semelhanças e diferenças entre eles. Faça o mesmo ao comparar os gráficos das funções j e n com o gráfico da função g (x ) = cos x. Respostas pessoais.
As características do gráfico das funções do tipo trigonométrica definidas pela lei de formação f (x ) = a + b ? sen (cx + d ) são parecidas com as do gráfico da função seno e determinadas pelos parâmetros a, b, c e d
• O parâmetro a determina a translação do gráfico da função seno em | a | unidades para cima, se a . 0, ou para baixo, se a , 0. Analise o exemplo.
Nesse caso, como g(x) = 1 + sen x, temos a = 1 e |a| = 1. Assim, o gráfico de g corresponde ao de f transladado em 1 unidade para cima, de maneira que Im (g) = [0, 2].
• O parâmetro b altera a amplitude da função seno: aumenta a amplitude se |b | . 1, e diminui se |b | , 1. Como consequência, |b | . 1 determina a ampliação vertical do gráfico da função seno, e |b | , 1 determina a compressão vertical desse gráfico. Analise os exemplos.
Nesse caso, como g(x) = 2 sen x, temos
| b | = 2 . 1. Assim, o gráfico de g corresponde a uma ampliação vertical do gráfico de f, de maneira que Im (g) = [ 2, 2].
Nesse caso, como h (x ) = 1 2 sen x, temos
| b | = 1 2 , 1. Assim, o gráfico de h corresponde a uma compressão vertical do gráfico de f (x ) = sen x, de maneira que Im (g) = [ 1 2 , 1 2 ].
• O parâmetro c determina a ampliação do período da função seno se | c | , 1, ou a diminuição de seu período se | c | . 1. O período p da função obtida a partir da função seno é dado por p = 2p |c | . Analise o exemplo.
Nesse caso, como g(x) = sen ( 1 2 x), temos | c | = 1 2 , 1. Assim, o período de g é p = 2p | 1 2 | = 4p e corresponde a uma ampliação do período de f.
PARA AMPlI AR
Acesse este site para saber mais sobre gráficos de funções do tipo trigonométricas (ondas trigonométricas) e realizar atividades envolvendo modelagem de fenômenos periódicos.
• ONDAS trigonométricas. [Campinas]: Matemática Multimídia, [2024]. Disponível em: https:// m3.ime.unicamp.br/arquivos/software/1240/introducao.html. Acesso em: 29 jul. 2024.
• O parâmetro d determina a translação do gráfico da função seno em | d c | unidades para a esquerda se d c . 0 ou para a direita se d c , 0. Analise o exemplo.
DiCA
Nesse caso, como g(x) = sen (x + p 2 ), temos d c =
= p 2 . 0 e | d c | = p 2 . Assim, o gráfico de g corresponde ao de f transladado em p 2 unidades para a esquerda.
Nas páginas 181, 182 e 183 os exemplos apresentados comparam funções do tipo trigonométrica envolvendo a função seno. No entanto, a comparação de funções do tipo trigonométrica envolvendo a função cosseno ocorre de maneira análoga.
R13. Determine o período de cada função do tipo trigonométrica definida a seguir.
a) m (x ) = 5 + sen ( x 4 )
Resolução
b) n (x ) = 2 cos (6x + p 3 )
a) Como, na função m , o parâmetro c = 1 4 , temos que seu período é: p = 2p | c | = 2p | 1 4 | = 8p.
b) Como, na função n , o parâmetro c = 6, temos que seu período é: p = 2p | c | = 2p | 6 | = p 3 .
R14. Quais são os valores mínimo e máximo da função do tipo trigonométrica definida por:
a) m ( x ) = 6 + 3 cos x ? b) n (x ) = 4 1 8 sen (x + 2p)?
Resolução
a) Considerando o menor valor que f ( x ) = cos x pode assumir, ou seja, cos x = 1, obtemos: 6 + 3 ? ( 1) = 6 3 = 9
Agora, considerando o maior valor que f (x ) = cos x pode assumir, ou seja, cos x = 1, obtemos:
6 + 3 ? 1 = 6 + 3 = 3
Portanto, os valores mínimo e máximo da função m são 9 e 3, respectivamente.
b) Temos que o menor e o maior valor que g ( x ) = sen x pode assumir são 1 e 1, respectivamente. Assim, como sen ( x + 2p) corresponde à função g transladada 2p unidades para a esquerda, temos que sen ( x + 2p) também tem valor mínimo e máximo igual a 1 e 1, respectivamente. Logo:
Portanto, os valores mínimo e máximo da função n são 31 8 e 33 8 , respectivamente.
R15. Esboce os gráficos das funções do tipo trigonométrica definidas a seguir.
a) m ( x ) = 1 + 2 sen x b) n (x ) = cos (2x p 2 )
Resolução
a) Analisando os parâmetros de m, temos que a = 1, |b | = |2| . 1, c = 1 e d = 0. Assim, o gráfico de m corresponde ao gráfico da função seno transladado 1 unidade para cima e ampliado verticalmente.
Para esboçar o gráfico de m , at ribuímos alguns valores convenientes para x , obtemos pares ordenados ( x , y ) e r epresentamos os pontos com essas coordenadas no plano cartesiano.
3p 2 y =
y = 1 + 2 sen 0
,
)
Note que, nesse caso, o valor mínimo e o valor máximo da função m são 1 e 3, respectivamente. Assim, Im (m) = [ 1, 3].
b) A nalisando os parâmetros de n , temos que a = 0, b = 1, |c | = |2| . 1 e d c = p 2 2 = p 4 , 0
Assim, o gráfico de n corresponde ao gráfico da função cosseno comprimido horizontalmente, com período igual a
4 | = p 4 unidade para a direita.
Para esboçar o gráfico de n , podemos atribuir valores a x de maneira que 2x p 2 seja igual a 0, p 2 , p , 3p 2 e 2p
Note que, nesse caso, o valor mínimo e o valor máximo da função n são 1 e 1, respectivamente. Assim, Im (n ) = [ 1, 1].
36. Determine o período da função definida por:
a) f (x ) = 9 cos (x p 6 ) 2p
b) g ( x ) = 3 sen (8x + p)
c) m (x ) = sen ( p 4 x p 2 ) + 1 8
d) n (x ) = 2 + 5 cos ( x + p 3 ) 6p
41. a) Resposta nas Orientações para o professor
40. Esboce o gráfico de cada função do tipo trigonométrica definida a seguir.
Respostas nas Orientações para o professor.
a) f ( x ) = 2sen (4x )
b) g (x ) = 3 + cos (x + p 4 )
c) m ( x ) = 4 + 3 cos (2 x p)
37. Em cada item, determine o conjunto imagem da função indicada.
a) f (x ) = 7cos ( x + 2p) Im(f ) = [ 7, 7]
b) g (x ) = 5 + 8 sen ( x 6 ) Im(g) = [ 3, 13]
c) m(x ) = 4 4 sen (3x 3p 2 ) Im(m) = [0, 8]
d) n ( x ) = 2 + |cos x | Im(n) = [2, 3]
38. Utilizando o GeoGebra , foi construído o gráfico de f (x ) = cos x . Em seguida, a lei de formação dessa função foi ajustada de maneira a obter uma função g com conjunto imagem igual a [ 5, 1], período igual a p 3 e cujo gráfico corresponde ao de f t ransladado p unidades para a esquerda e 3 unidades para baixo. Nessas condições, a lei de formação da função g pode ser:
a) g (x ) = 4 cos (6x p 3 ).
b) g (x ) = 4 3 cos ( x 3 + p).
c) g ( x ) = 3 + 4 cos (3x + p).
d) g ( x ) = 3 2 cos (6x + 6 p).
39. Considere o gráfico da função f : r H r definida por f ( x ) = sen x . Escreva a lei de formação de uma função g : r H r cujo gráfico corresponda ao gráfico de f transladado verticalmente para cima e horizontalmente para a direita, comprimido horizontalmente e ampliado verticalmente. Em seguida, represente os gráficos das funções f e g em um mesmo plano cartesiano e troque-o com um colega para que ele descreva cada ajuste que você fez na lei de formação de f para obter a função g , enquanto você faz o mesmo com a produção que receber. p 4
alternativa d Elaboração do estudante.
d) n (x ) = 1 2 sen ( x 2 p 6 )
41. Considere as funções f e g dadas por f (x ) = sen (x p) e g (x ) = 1 4 sen x, definidas no intervalo real [0, 2p], e resolva as questões.
a) Represente os gráficos das funções f e g em um mesmo plano cartesiano.
b) Os gráficos que você representou no item a se intersectam em algum ponto? Em quantos pontos? Sim, em três pontos.
42. Analise o gráfico da função do tipo trigonométrica f representado a seguir. 0 2 p 4 p 8 pp 4 3p 8 3p x y 0,5 0,5 1 1
Considerando que a lei de formação dessa função pode ser expressa por f ( x ) = a cos ( bx + y ), é possível ter: alternativa c
a) a = 1, b = 8 e y = 2p
b) a = 1, b = 4 e y = p 4
c) a = 1 2 , b = 4 e y = p 2
d) a = 1 2 , b = 4 e y = p 8
Comentamos anteriormente que diversos fenômenos periódicos podem ser modelados por funções do tipo trigonométrica. Isso ocorre porque existem na natureza e nas produções tecnológicas humanas diferentes situações que envolvem oscilações e movimentos que se repetem periodicamente. Por exemplo, em um barco ancorado que flutua subindo e descendo com as ondas, nos pistões do motor de um veículo que se movimentam de forma alternada para cima e para baixo, na vibração produzida ao tocar a corda de um violão e até no deslocamento de partículas de ar durante a propagação de uma onda sonora.
Para explorar um pouco mais situações como essas, estudaremos, por meio de atividades resolvidas e propostas, alguns desses fenômenos.
R16. E studamos que a maré é um tipo de fenômeno periódico natural que influencia o cotidiano das populações litorâneas e a realização de atividades como a pesca e a navegação. Nos projetos de construção de portos, por exemplo, a variação no nível do mar é um dos fatores considerados para determinar como serão as estruturas e instalações. Essa variação também implica diretamente nos aspectos operacionais dos portos, o que torna comum a consulta das previsões de marés no exercício de atividades portuárias.
Observe uma previsão de marés em certo porto.
Previsões de marés, preamar (mais alta) e baixa-mar (mais baixa), no Porto de Guamaré (RN), 26 de fevereiro de 2024
Horário
0h02
Altura (m) em relação ao nível do mar
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Defesa. Marinha do Brasil. Centro de Hidrografia da Marinha. Porto de Guamaré. Brasília, DF: MB: CHM, 2024. Disponível em: https://www.marinha.mil.br/ chm/sites/www.marinha.mil.br.chm/files/dados_de_mare/19_-_ guamare_2024_ok.pdf. Acesso em: 29 jul. 2024.
O porto de Guamaré (RN) é utilizado exclusivamente para o escoamento de produtos oriundos do petróleo. Fotografia de 2018.
Arredondando cada horário desses para a hora inteira mais próxima, determine uma função do tipo trigonométrica para expressar, nesse dia, a altura estimada da maré (h ) e m relação ao tempo (t ).
Resolução
Arredondando cada horário para a hora inteira mais próxima, temos que, no dia 26/2/2024, as preamares ocorreram por volta de 6 h e 18 h, e as baixa-mares por volta de 0 h e 12 h.
Podemos utilizar uma função expressa por h (t ) = a + b ? cos (ct + d ).
Quando t = 0, temos h (0) = 0,3, que corresponde ao valor mínimo que a função pode assumir. Assim, podemos considerar d = 0.
Sabendo que os valores máximo e mínimo que cos (ct + d ) pode assumir são 1 e 1, respectivamente, segue que:
a + b ? 1 = 0, 3 a + b ? ( 1) = 2, 4 h {a + b = 0, 3 ( I ) a b = 2, 4 ( II )
De I, temos a = 0,3 b . Substituindo essa equação em II, obtemos: 0,3 b b = 2,4 h 2b = 2,1 h b = 1,05
Logo: a = 0,3 ( 1,05) = 1,35
Agora, como o intervalo de tempo entre duas preamares ou entre duas baixa-mares é de 12 h, concluímos que o período da função é de 12 h. Então:
Portanto, a função que expressa a altura da maré em relação ao tempo, nesse dia, pode ser expressa por h(t) = 1,35 1,05 cos ( p 6 t) ou h(t) = 1,35 1,05 cos ( p 6 t)
R17. Nas mulheres adultas, em condições normais, a produção de gametas ocorr e em ciclos chamados ciclos menstruais. Os hormô nios que participam desse ciclo são os hormônios foliculoestimulantes (FSH) e luteinizante (LH), produ zidos pela hipófise, além do estrogênio e da progesterona, que são produzidos nos ovários .
Durante um ciclo menstrual, ocorrem grandes variações dos níveis desses hormônios no organismo feminino. Analise, no gráfico a seguir, um exemplo da concentração de cada hormônio durante um desses ciclos.
Concentração dos hormônios FSH, LH, estrogênio e progesterona, durante um ciclo menstrual
Concentração de hormônio
Progesterona
Estrogênio
02 468 10121416182022242628
Dia
Fonte dos dados: TORTORA, Gerard Joseph; DERRICKSON, Bryan. Princípios de anatomia e fisiologia. Tradução: Ana Cavalcanti Carvalho Botelho et al. 14. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2016. p. 1 457-1 4 63.
Sabendo que, no gráfico, x = 0 indica o início do ciclo menstrual, responda: a) Qual é a duração média de um ciclo menstrual?
b) Em geral, costuma-se dividir o ciclo menstrual em três fases: fase folicular, ovulação e fase luteínica. A fase luteínica, por exemplo, ocorre no período entre a ovulação, no 14 o dia, e o último dia do ciclo. Suponha que, nessa fase de um ciclo menstrual regular de certa mulher, a concentração máxima de progesterona seja de 10 ng/mL no 22o dia do ciclo. Qual das funções a seguir melhor expressa a concentração de progesterona nas fases luteínicas do ciclo menstrual dessa mulher?
I) f ( x ) = 1 + sen (px + 10 p) II) g (x ) = 1 9 sen ( p 14 x) III) h(x ) = 10 cos ( p 7 x 13p 14 )
c) C onsiderando a função que você indicou no item b , determine o erro da concentração de progesterona no 22o dia do ciclo menstrual daquela mulher em relação à quantidade indicada no enunciado.
Resolução
a) Analisando os valores indicados no eixo horizontal do gráfico, concluímos que a duração média de um ciclo menstrual é de 28 dias.
b) Inicialmente, podemos determinar o valor máximo de cada função.
• f (x ) = 1 + sen (px + 10p) 1 = 1 + 1 = 2
• g (x ) = 1 9 sen ( p 14 x) = 1 + 9 [ sen ( p 14 x)]
1 = 1 + 9 1 = 10
• h(x ) = 10 cos ( p 7 x 13p 14 )
1 = 10 1 = 10
Com isso, podemos descartar a função f, que tem um valor máximo diferente da concentração de progesterona apresentada no enunciado (10 ng/mL).
Em seguida, utilizando uma calculadora, obtemos o valor das funções g e h quando x = 22.
• g (22) = 1 9 sen ( p 14 ? 22) = 1 9 sen ( 11p 7 ) 1 1 9 ? ( 0, 97) = 9,73
• h (22) = 10 cos ( p 7 ? 22 13p 14 ) = 10 cos ( 31p 14 ) 1 10 ? 0, 78 = 7, 8
P ortanto, dentre as funções apresentadas, a função g é a que melhor modela a situação, ou seja, que melhor expressa a concentração de progesterona nas fases luteínicas do ciclo menstrual da mulher considerada, uma vez que a concentração máxima de progesterona, o período e a concentração de progesterona no 22o dia, obtidos com essa função, mais se aproximam dos valores reais apresentados.
Também poderíamos obter a lei da função desejada calculando o período de cada uma delas.
Acompanhe:
Como a duração média de um ciclo menstrual é de 28 dias, concluímos que a função mais adequada para a situação é a função g .
c) Como g (22) 1 9,73 e a concentração máxima de progesterona dessa mulher é de 10 ng/mL no 22o dia do ciclo, o erro obtido com a função g para a concentração desse hormônio nesse dia é de aproximadamente 10 9,73 = 0,27, ou seja, 0,27 ng/mL.
R18. As ondas sonoras são formadas por vibrações que se propagam em meios materiais, mas não no vácuo. Tais ondas podem ser modeladas por uma função do tipo trigonométrica ou por uma soma de funções desse tipo, com parâmetros associados a características importantes dessa onda, como amplitude e frequência. A amplitude da onda sonora é a altura de uma crista (ponto mais alto da onda) em relação ao nível de equilíbrio. Já a frequência é a quantidade de oscilações por unidade de tempo estabelecida.
Fonte dos dados: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 2, p. 117-120.
Observe o gráfico de um modelo matemático obtido a partir de uma onda sonora visualizada em um osciloscópio, que mostra o deslocamento das partículas de ar em função do tempo.
Podemos afirmar que a amplitude e a frequência da onda representada pelo modelo matemático são, respectivamente, iguais a:
a) 0,1 m e 0,04 ciclo/s.
b) 0,1 m e 30 ciclos/s.
c) 0,05 m e 25 ciclos/s.
d) 0,05 m e 0,02 ciclo/s.
Resolução
No gráfico do modelo matemático, podemos observar que a amplitude da onda é |0,05 0| = 0,05, ou seja, 0,05 m.
A onda completa uma oscilação ou um ciclo em 0,04 s. Assim, a frequência f, em ciclos por segundo, da onda representada pela função é:
f = 1 0, 04 = 25, ou seja, 25 ciclos/s.
Portanto, a alternativa c é a correta.
DiCA AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
A onda sonora representada se repete ao longo do tempo. Esse trecho da onda que se repete é chamado de ciclo, que equivale a uma oscilação e é determinado pelo período da função.
No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.
43. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de medida utilizada para expressar a frequência de um fenômeno periódico é o hertz (Hz), que corresponde à quantidade de ciclos por segundo.
Sabendo que os seres humanos conseguem ouvir ondas sonoras com frequências entre 20 Hz e 20 0 00 Hz, determine qual das funções a seguir, com D (y ) = r +, pode descrever uma onda sonora que seja audível por uma pessoa. alternativa b
a) y (t ) = 4 sen (30 pt )
b) y (t ) = 0,06 cos (240pt p 2 )
c) y (t ) = 0,1 cos (20 pt ) d) y (t ) = 0,03 sen ( 151pt + p 4 )
44. (IFBA) Há milhares de anos, os homens sabem que a Lua tem alguma relação com as marés. Antes do ano 100 a.C., o naturalista romano Plínio escreveu sobre a influência da Lua nas marés. Mas as leis físicas desse fenômeno não foram estudadas até que o cientista inglês Isaac Newton descobriu a lei da gravitação no século XVII.
As marés são movimentos de fluxo e refluxo das águas dos mares provocados pela atração que a Lua e secundariamente o Sol exercem sobre os oceanos. Qualquer massa de água, grande ou pequena, está sujeita às forças causadoras de maré provindas do Sol e da Lua. Porém é somente no ponto em que se encontram os oceanos e os continentes que as marés têm grandeza suficiente para serem percebidas. As águas dos rios e lagos apresentam subida e descida tão insignificante que a diferença é inteiramente disfarçada por mudanças de nível devidas ao vento e ao estado do tempo.
Extraído de: http://planetario.ufsc.br/mares/em 26/08/2016.
Sendo a maré representada por uma função periódica, e supondo que a função que descreve melhor o movimento da maré em Salvador - BA é dada pela expressão:
A (t ) = 1,8 + 1,2sen (0,5 pt + 0,8 p), t é o tempo em horas 0 < t < 24.
Sendo assim, as alturas máxima e mínima da maré descrita pela função A (t ) são, respectivamente:
a) 3,0 m e 0,6 m
b) 3,0 m e 0,8 m
c) 2,5 m e 0,6 m
45. No corpo humano, o sangue flui de regiões de maior pressão para regiões de menor pressão, bombeado pelo coração. A contração dos ventrículos produz a pressão arterial, ou seja, a pressão que o sangue exerce nas paredes de um vaso sanguíneo. Em um adulto jovem em repouso, a frequência cardíaca é de cerca de 75 batimentos por minuto (bpm), a pressão arterial sobe para cerca de 110 mmHg (milimetros de mercúrio) durante a sístole (contração alternativa a
ventricular) e cai para cerca de 70 mmHg durante a diástole (relaxamento ventricular).
Ventrículo: câmara de bombeamento inferior do coração. O par de ventrículos ejetam o sangue do coração para vasos sanguíneos chamados artérias.
Fonte dos dados: TORTORA, Gerard Joseph; DERRICKSON, Bryan. Princípios de anatomia e fisiologia . Tradução: Ana Cavalcanti Carvalho Botelho et al. 14. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2016. p. 945-997.
Utilizando os dados apresentados anteriormente, um pesquisador elaborou o seguinte modelo matemático que expressa a pressão arterial ( p ), em mmHg, em função do tempo (t ), em segundo:
p (t ) = A + B cos (kt ) , sendo A , B e k constantes reais não nulas.
a) Escreva a lei de formação dessa função.
Para determinar o período dessa função, é possível calcular o tempo médio de cada batimento, em segundo, uma vez que o ciclo cardíaco correspondente à pressão arterial se repete a cada batimento.
b) Qual dos gráficos a seguir melhor repres enta a função cuja lei de formação você escreveu no item a? II
d) 2,5 m e 0,8 m
e) 2, 8 m e 0,6 m
46. Leia com atenção a situação apresentada a s eguir.
Em repouso, o volume de ar nos pulmões de um adulto saudável pode ser modelado por uma função do tipo
f (t ) = a + b ? se n (ct + d ), e m que a , b , c e d são constantes reais positivas e t é o t empo, em segundo. Analise, a seguir, o gráfico dessa função.
2,9
2,4 2,5 5
0 t f (t )
Fonte dos dados: TORTORA, Gerard Joseph; DERRICKSON, Bryan. Princípios de anatomia e fisiologia . Tradução: Ana Cavalcanti Carvalho Botelho et al. 14. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2016. p. 1172-1174.
Com base nessas informações, elabore um problema que envolva função do tipo trigonométrica. Em seguida, troque seu problema com um colega para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.
Elaboração do estudante.
47. Com um colega, leiam o poema a seguir.
Oscila a onda
Baixa a maré
Vem o pôr do sol
A noite cai
O pêndulo marca a hora
Chega a onda sonora
Os fenômenos sucedem-se em ritmos amenos
Os ciclos repetem-se com simetria
O cientista estudou
E tudo são senos e cossenos
Da trigonometria
NEVES, Maria Augusta Ferreira. Poemas: pôr do sol trigonométrico. [S . l.]: Maria Augusta Ferreira Neves, c2024. Disponível em: https://www.augusta-neves.net/ escrita/poemas. Acesso em: 29 jul. 2024.
48. a) 0,18 ampere; 0,18 ampere
48. b) I = 0,18; w = 120p
Agora, pesquisem aplicações de funções do tipo trigonométrica em um contexto que envolva fenômenos periódicos, diferentes dos apresentados nesta Unidade. Depois, redijam um texto explicitando as relações entre os conceitos estudados até aqui e o poema apresentado, descrevendo a relação entre o contexto pesquisado e as funções do tipo trigonométrica. Podem ser adicionados ao texto gráficos construídos no GeoGebra .
Elaboração do estudante.
48. Uma corrente elétrica corresponde a um movimento de partículas carregadas. Quando essas partículas se movimentam em direções diferentes, temos uma corrente elétrica alternada. Em um circuito, podemos calcular a corrente elétrica alternada i (em ampere) no instante t (em segundo) pela seguinte função:
i (t ) = I ? sen ( wt + !) , em que I é a amplitude da corrente, w é a frequência angular das oscilações e ! é a constante de fase.
Fonte dos dados: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 3, p. 314-315. Em um programa de computador, um professor representou o gráfico de uma função dada por i (t ) = I ? s en ( wt + !), com I , w e ! não negativos, que expressa a corrente elétrica alternada em um circuito. Analise esse gráfico e resolva as questões.
0,18
60 1 30 1 0 t i
0,18
a) Qual é o valor máximo dessa corrente elét rica alternada? E o valor mínimo?
b) Determine a amplitude dessa corrente elétrica e a frequência angular das oscilações.
c) Escreva a lei de formação da função representada no gráfico. i(t ) = 0,18 ? sen (120pt )
d) Qual é o valor da corrente elétrica para t = 1?
E para t = 241 240 ? 0 ampere; 0,18 ampere
Leia a situação descrita a seguir.
Em certa fábrica, será instalada uma esteira rolante com 26,4 m de comprimento para transportar cargas do andar térreo para o 1o andar, entre os quais há um desnível de 13,2 m, conforme representado no esquema. Qual deve ser o
ângulo de inclinação dessa esteira?
Para resolver esse problema, podemos utilizar a razão seno em relação ao triângulo retângulo ABC formado e escrever a seguinte equação:
sen x = 13,2 26,4 h sen x = 1 2
Como x , nesse caso, corresponde à medida de um ângulo agudo, concluímos que x = 30° .
Portanto, o ângulo de inclinação da esteira rolante deve ser de 30° .
Equações como essa, ou seja, que envolvem razões ou funções trigonométricas, são denominadas equações trigonométricas . De acordo com o contexto da situação em estudo, a incógnita de uma equação trigonométrica pode corresponder à medida de um ângulo, à medida angular de um arco trigonométrico ou a um número real. Observe alguns exemplos de equações trigonométricas.
• sen a = 1
• 2 ? cos y = √ 2
AT¡v¡DaDe resolv¡da
R19. Resolva as equações trigonométricas em r.
• sen b + 5 = 3 √ 2 • cos x 4 = 1 8
a) sen (x + p 2 ) = √ 3 2 b) cos2 2 x = 1 2
Resolução
a) Na 1a volta positiva do ciclo trigonométrico, temos
solução da equação é dada por:
x + p 2 = 4
x + p 2 = 5
= {
b)
Na 1a volta positiva do ciclo trigonométrico, temos
a solução da equação é dada por:
49. Resolva, em r , as equações trigonométricas a seguir.
a) sen2 x + sen x = 0
b) cos (x p 2 ) + 3 = 5 2
c) sen ( 4p 3 + x) = 1
d) cos 2x = √ 3 2
50. Em cada item a seguir, resolva a equação de acordo com o intervalo indicado.
a) sen2 x = 1, para x [ [0, 2p [
b) cos 2 x = 1 2 , para x [ [_p , p]
c) sen 2 x + cos x = 1, para x [ [ p 2 , 5p 2 [
d) sen (x + 5 p 4 ) = 0, para x [ ]2p , 4p]
51. Sem realizar cálculos por escrito, determine quantas raízes reais possui a equação a seguir.
2 ? cos x = √ 2 , para 0 < x < 3p 3 raízes reais
52. Em certo triângulo retângulo, o comprimento da hipotenusa corresponde ao dobro do comprimento de um dos catetos. Determine as medidas, em grau, dos ângulos internos desse triângulo retângulo. 30°, 60° e 90
53. (Insper-SP) Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda X em relação a uma moeda Y foi dada pela seguinte função:
f (t )= 1,625 + 1,25 ? cos (p ? (t 3) 12 ) sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. Assim, t = 9 indica a taxa no início de outubro, que era de 1,625 unidades da moeda X para uma unidade da moeda Y (note que esse valor da taxa indica que no instante considerado a moeda X era “menos valiosa” que a moeda Y ). Ao longo do ano analisado, a maior taxa de câmbio da moeda X em relação à moeda Y atingida e o instante em que isso ocorreu foram, respectivamente,
a) 2,625 e início de janeiro.
b) 2,625 e início de março.
c) 2,875 e início de janeiro.
d) 2,875 e início de abril.
e) 2,875 e início de junho.
54. Com um colega, escolham um dos contextos estudados nesta Unidade e elaborem uma situação-problema envolvendo função do tipo trigonométrica e que possa ser resolvida por meio de uma equação trigonométrica. Se necessário, façam uma breve pesquisa. Ao final, troquem a situação-problema elaborada com outra dupla, para que uma dupla resolva a da outra, e confiram juntos as resoluções. alternativa d Elaboração do estudante.
Nesta Unidade, estudamos as funções do tipo trigonométrica, definidas por f ( x ) = a + b ? sen ( cx + d ) ou g ( x ) = a + b ? cos ( cx + d ), em que a , b , c e d são números reais, com b 5 0 e c 5 0. Agora, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível em: https://www.geogebra.org/download (acesso em: 22 jul. 2024), vamos estudar como os gráficos dessas funções se comportam ao alterarmos os valores dos parâmetros a , b , c e d
Acompanhe como proceder.
A Vamos ajustar a escala do eixo x para que tenha p 2 de unidade. Para isso, clicamos com o botão direito do mouse em qualquer lugar livre na Janela de visualização e, na caixa de opções que abrir, clicamos em Janela de visualização.... Em seguida, ao abrir a caixa de diálogo, na aba EixoX, marcamos a opção Distância, selecionamos a opção p/2 e fechamos essa caixa de diálogo.
IMAGENS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
B Para ajustar o valor do parâmetro a, vamos criar um controle deslizante. Para isso, com a opção (Controle deslizante) selecionada, clicamos na Janela de visualização e, na caixa de texto que abrir, digitamos a no campo Nome e, na aba intervalo, digitamos 10 e 10 nos campos min: e max: , respectivamente. Por fim, clicamos em OK . De maneira análoga, criamos controles deslizantes para os parâmetros b , c e d
C Para representar o gráfico da função, digitamos no campo Entrada a lei de formação: f (x ) = a + b * sen(cx + d ) e pressionamos Enter . Podemos ajustar os valores dos parâmetros na lei de formação da função com os controles deslizantes e observar o resultado dos ajustes realizados diretamente no formato do gráfico obtido.
Se b = 0, independentemente do parâmetro c, teríamos que f e g seriam funções constantes dadas por f(x) = a e g(x) = a. Se b 5 0 e c = 0, teríamos que f e g seriam funções constantes dadas por f(x) = a + b sen d e g(x) = a + b cos d
Na definição das funções do tipo trigonométrica, apresentada na página 194, os parâmetros reais b e c foram restringidos para b 5 0 e c 5 0. Sem essas restrições, o que ocorreria com essas funções?
3. b) h(5) = 2,26. Esse resultado indica que, às 5 h daquele dia, a maré no porto de Guamaré era de aproximadamente 2,26 m de altura.
1. Considerando as funções cujos gráficos foram representados na etapa C do exemplo apresentado, resolva as questões.
a) Escreva a lei de formação dessas funções.
b) Qual dessas funções tem o menor período?
c) Determine o conjunto imagem de cada uma dessas funções. [0, 2]; [ 3,5; 1,5]
2. No GeoGebra , realize a construção apresentada no exemplo. Em seguida, ajuste os parâmetros da função para que: Construção do estudante.
a) todos os pontos do gráfico fiquem acima do eixo x ;
b) todos os pontos do gráfico fiquem abaixo do eixo x ;
c) o conjunto imagem seja [6, 2];
d) seu período seja 6 p .
• Qual é a lei de formação da função construída em cada item anterior? Resposta pessoal.
3. Agora, vamos retomar a atividade resolvida R16, nas páginas 186 e 187, em que obtivemos uma função h dada por h (t ) = 1,35 1,05 cos ( p 6 t) ou por h(t ) = 1,35 1,05 cos ( p 6 t), para expressar a altura aproximada h (em metro) da maré em relação ao tempo t (em hora), no dia 26/2/2024 no porto de Guamaré (RN).
a) Usando o GeoGebra , mostre que essas duas leis de formação da função h determinam gráficos coincidentes.
b) No campo Entrada , digite h(5) e clique em OK . Que resultado você pode observar na Janela de Álgebra? Em relação à situação representada pela função h , o que esse resultado significa?
c) Com a opção (Ponto) selecionada, clique sobre o gráfico da função h que você representou no GeoGebra . Depois, com a opção (Mover) selecionada, movimente esse ponto sobre o gráfico. No caderno, construa um quadro e registre a altura aproximada da maré no porto de Guamaré, no dia 26/2/2024, em cinco horários diferentes entre 0 h e 18 h. Resposta pessoal.
4. Agora, no GeoGebra , represente o gráfico da função do tipo trigonométrica dada por g ( x ) = a + b ? cos (cx + d ) de maneira análoga à apresentada no exemplo. Em seguida, elabore três questões sobre a relação entre os parâmetros a , b , c e d e o f ormato do gráfico correspondente à função obtida. Troque as questões com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve aquelas que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.
3. a) Espera-se que os estudantes representem no GeoGebra os gráficos correspondentes às duas leis de formação de h e identifiquem que esses são gráficos coincidentes, ou seja, se sobrepõem no GeoGebra.
Você sabia que, no decorrer do ano, a duração solar do dia – período de claridade em que é possível observar o Sol – costuma variar nas diferentes localidades do planeta Terra? Esse fato influencia diversas atividades, incluindo a produção de energia solar. Leia o trecho de um texto a seguir.
Quase todas as fontes de energia – hidráulica, biomassa, eólica, combustíveis fósseis e energia dos oceanos – são formas indiretas de energia solar. Além disso, a radiação solar pode ser utilizada diretamente como fonte de energia térmica, para aquecimento de fluidos e ambientes e para geração de potência mecânica ou elétrica. Pode ainda ser convertida diretamente em energia elétrica, por meio de efeitos sobre determinados materiais, entre os quais se destacam o termoelétrico e o fotovoltaico.
[...]
Além das condições atmosféricas (nebulosidade, umidade relativa do ar etc.), a disponibilidade de radiação solar, também denominada energia total incidente sobre a superfície terrestre, depende da latitude local e da posição no tempo (hora do dia e dia do ano). [...]
[...]
A maior parte do território brasileiro está localizada relativamente próxima da linha do Equador, de forma que não se observam grandes variações na duração solar do dia. Contudo, a maioria da população brasileira e das atividades socioeconômicas do País se concentra em regiões mais distantes do Equador. [...]
BRASIL. Ministério de Minas e Energia. Agência Nacional de Energia Elétrica. Energia Solar. Brasília, DF: MME: Aneel, 2005. p. 29-42. Disponível em: www2.aneel.gov.br/aplicacoes/atlas/pdf/03-Energia_Solar(3).pdf. Acesso em: 29 jul. 2024.
A seguir, constam as previsões de duração solar do dia no solstício de verão (maior duração solar do dia no ano) e no solstício de inverno (menor duração solar do dia no ano) para o município de Chuí (RS).
Nascer do sol Pôr do sol Duração solar do dia (em hora)
Solstício de verão (21/12/2024) 5h2019h4414,4
Solstício de inverno (20/6/2025) 7h3817h339,92
Fonte dos dados: COSTA, José Roberto V. Nascer e ocaso. [S l.]: Astronomia no Zênite, 2020. Disponível em: www.zenite.nu/ nascer-e-ocaso. Acesso em: 29 jul. 2024.
Brasil: localização do Chuí (RS), 2023
geográfica:
Trópico de Capricórnio
Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar 9. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2023. p. 92, 181.
Apresentaremos, agora, como é possível modelar a quantidade de horas da duração solar do dia, no decorrer do ano, de um município por meio de uma função do tipo trigonométrica. Acompanhe.
Constante real
Duração solar do dia (em hora)
Constante real
Quantidade de dias passados desde o solstício de verão
h(x ) = a + b ? cos (2p ? x 365 )
Quantidade de dias do ano
Analise c omo podemos obter um modelo como esse para o munícipio de Chuí, em 2024.
Consideramos que, no solstício de verão, é passado zero dia de 21/12/2024. Assim:
h(x ) = a + b cos (2p x 365 ) h h(0) = a + b cos(2p 0 365 )
1 h a + b = 14, 4
Calculamos que, no solstício de inverno, são passados, nesse caso, 181 dias de 21/12/2024. Assim:
h(x ) = a + b cos (2p x 365 ) h h(181) = a + b cos (2p 181 365 )
1 _1 h a b = 9,92
Resolvemos o sistema de equações obtidas para determinar o valor das constantes a e b
{ a + b = 14,4
Substituindo o valor de a na 1a equação: 12,16 + b = 14,4 h b = 2,24 +
a b = 9,92
2a + 0b = 24, 32
a = 12, 16
Obtemos a função que descreve a quantidade de horas de duração solar do dia para o município de Chuí, sendo x a quantidade de dias passados desde 21/12/2024.
h(x ) = 12,16 + 2,24 cos (2p x 365 )
Neste plano cartesiano, os eixos possuem escalas diferentes. As coordenadas do ponto P indicam que, passados x P dias de 21/12/2024, a duração solar do dia em Chuí pode ser estimada, em hora, por yP
2. Resposta esperada: Movimento de rotação, pois nele a Terra gira em torno de seu eixo imaginário. Resposta pessoal.
1. Você já percebeu se, no município em que você mora, ao longo do ano a duração solar do dia sofre variação? Converse com o professor e os colegas sobre essa questão. Resposta pessoal.
2. Por muito tempo, acreditou-se que a Terra era o centro do Universo (Geocentrismo) e que os corpos celestes giravam ao seu redor. Foi somente a partir do século XVI, com os estudos de Nicolau Copérnico (1473-1543), Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564-1642), que surgiram as explicações de um modelo em que o Sol está no centro do Sistema Solar e os planetas giram em torno dele. Esse modelo, estabelecido até os dias de hoje, ficou conhecido como Heliocentrismo.
Mesmo conhecendo os pressupostos do modelo heliocêntrico, é comum termos a impressão de que o Sol se movimenta ao redor da Terra, nascendo de um lado (nascente ou oriente) e se pondo do outro (poente ou ocidente). Essa percepção é chamada movimento aparente do Sol. A compreensão desse movimento é importante para a realização de diversas atividades, por exemplo, para que os engenheiros projetem a instalação de painéis solares de modo a determinar o local de maior incidência dos raios de sol ao longo do dia e em diferentes períodos do ano.
Com base nessas informações e em pesquisas complementares, explique a qual movimento da Terra está relacionado o movimento aparente do Sol. Depois, descreva uma aplicação do conhecimento acerca desse movimento aparente em alguma área tecnológica, como na construção civil e na agricultura.
3. No município de Chuí, no período de 21/12/2024 a 20/6/2025, quantas horas tem a duração solar do dia mais:
• longo? E em qual data isso ocorre? 14,4 h; 21/12/2024
• curto? E em qual data isso ocorre? 9,92 h; 20/6/2025
4. Por meio do modelo obtido ante riormente, estime a duração solar do dia, no município de Chuí, ao terem se passado 100 dias do solstício de verão. Utilize uma calculadora. aproximadamente 11,82 h
5. Nesta questão, exploraremos a seguinte situação-problema.
Qual é a variação da duração solar do dia, no decorrer do ano, no município em que você mora?
Com um colega, façam o que se pede em cada um dos itens.
a) Qual é a latitude e a longitude do município em que vocês moram?
A resposta depende do município em que os estudantes moram.
b) No município em que vocês moram, qual é o horário do nascer e do pôr do sol nos solstícios de verão e de inverno? Investiguem a duração solar do dia nessas datas.
A resposta depende do município em que os estudantes moram.
Acesse este site para obter as coordenadas geográficas e o horário do nascer e o do pôr do sol dos municípios.
• COSTA, José Roberto V. Nascer e ocaso. [S l.]: Astronomia no Zênite, 2020. Disponível em: www.zenite.nu/ nascer-e-ocaso. Acesso em: 29 jul. 2024.
c) Determinem a função, correspondente a um modelo matemático, que descreva a quantidade de horas da duração solar do dia para o município em que vocês moram. Utilizando um programa de computador, como o GeoGebra , construam o gráfico dessa função.
A resposta depende do município em que os estudantes moram.
d) Com base nas questões anteriores, elaborem uma situação-problema envolvendo a variação da duração solar do dia no município em que vocês moram. Em seguida, juntem-se a outra dupla e troquem a situação-problema para que uma dupla resolva a da outra. Ao final, confiram juntos as resoluções
Elaboração do estudante.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Q uando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Comprimento da circunferência
Arcos côngruos
Arcos e ângulos em uma circunferência
Seno, cosseno e tangente de um número real
Funções do tipo trigonométrica e fenômenos periódicos Função ímpar e função par
Período das funções
seno e cosseno
Ciclo trigonométrico
Redução ao 1o quadrante
Valor máximo e mínimo das funções seno e cosseno
Equações trigonométricas Funções seno e cosseno
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas.
Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
PREPARAR APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
Respostas nas Orientações para o professor.
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre moradias de povos indígenas no Brasil. De acordo com essas informações e os conceitos estudados nesta Unidade, com um colega, resolvam os itens a seguir.
a) O bservem a representação de uma aldeia do povo indígena bororo, na qual as mor adias estão dispostas em formato circular e, ao centro, está localizado o baito , uma construção onde são realizados encontros da comunidade.
I) Todas as moradias da aldeia ficam, aproximadamente, à mesma distância do baito ? Justifiquem.
II) P ara representar uma aldeia como essa, construam no GeoGebra uma circunferência de 90 m de raio. Indiquem o centro dessa circunferência, correspondente ao baito , e marquem 15 pontos sobre ela, igualmente espaçados, para representar as moradias.
Representação de aldeia do povo indígena bororo (imagem sem escala; cores-fantasia).
• Quantos metros tem o comprimento dessa circunferência?
• Qual é a menor distância aproximada que uma pessoa percorre ao se deslocar de uma dessas moradias até o baito e retornar?
• Qual é a medida angular do menor arco de circunferência delimitado pelos pontos que representam as moradias? Indiquem a resposta em grau e em radiano.
b) Um importante elemento da cultura de diferentes povos indígenas é a tradição das pinturas corporais e de utensílios em cerâmica, que costumam ter padrões geométricos e representar símbolos da natureza, como a fauna e a flora locais.
Inspirado nessas pinturas, um estudante construiu, utilizando um programa de computador, o gráfico da função dada por f (x ) = sen (kx ), sendo k um número real não nulo. Em seguida, ele construiu o gráfico de mais três funções – g , h e m – realizando apenas deslocamentos verticais do gráfico de f . Por fim, coloriu de vermelho regiões entre alguns desses gráficos. Observem.
I) Em relação à função f , determinem o conjunto imagem, o período e o valor máximo e o valor mínimo.
II) Determinem o valor de k e escrevam a lei de formação da função f
III) Podemos classificar f como função par ou como função ímpar? Justifiquem.
IV) Descrevam o deslocamento do gráfico das funções g , h e m em relação ao da função f . Depois, escrevam a lei de formação das funções g , h e m
1. (Enem/MEC) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P (t ) = A + B cos (kt ) em que A , B e k são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
Pressão mínima 78
Pressão máxima 120
Número de batimentos cardíacos por minuto 90
A função P (t ) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi
a) P (t ) = 99 + 21 cos (3pt )
b) P (t ) = 78 + 42 cos (3pt )
c) P (t ) = 99 + 21 cos (2pt )
d)
P (t ) = 99 + 21 cos (t )
e) P (t ) = 78 + 42 cos (t )
2. (UPE) A função y = a + b cos x , com a e b reais, representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 1) e tem valor máximo y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?
Não escreva no livro.
3. (IFBA) A partir do solo, o pai observa seu filho numa roda-gigante. Considere a altura A , em metros, do filho em relação ao solo, dada pela função A(t) = 12, 6 + 4 sen [( p 18 ) ? (t 26)], onde o tempo (t ) é dado em segundos e a medida angular em radianos. Assim sendo, a altura máxima e mínima e o tempo gasto para uma volta completa, observados pelo pai, são, respectivamente:
a) 10,6 metros; 4,6 metros e 40 segundos.
b) 12,6 metros; 4,0 metros e 26 segundos.
c) 14,6 metros; 6,6 metros e 24 segundos.
d) 14,6 metros; 8,4 metros e 44 segundos.
e) 16,6 metros; 8,6 metros e 36 segundos.
4. (UEA-AM) Em um sistema de eixos cartesianos com origem em O estão representadas uma circunferência tangente ao eixo das ordenadas, de centro C ( 1, 0), e uma reta t , que passa pelo ponto C (centro da circunferência) e pelo ponto M no eixo das ordenadas, conforme mostra a figura.
Nessas condições, o valor da área do triângulo colorido é igual a alternativa e
a) 3 √ 2
b) 2 √ 3 3
c) 2 √ 3 d) √ 3 3
e) √ 3 6 alternativa e
5. (Enem/MEC) Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura a seguir representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P (t ) = ± A cos ( wt ) ou
P (t ) = ± A sen ( w t ), em que A . 0 é a amplitude de deslocamento máximo e w é a frequência, que se relaciona com o período T
pela fórmula w = 2p T
Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.
7. (Unesp) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas:
LatitudeLongitude
P 30° N 45° L
Q 30° N 15° O
Considerando a Terra uma esfera de raio 6 300 km, a medida do menor arco ⌢ PQ s obre a linha do paralelo 30 ° N é igual a alternativa c
a) 1 150p √ 3 km
b) 1 250p √ 3 km
c) 1 050p √ 3 km
8. (UERJ) Considere a representação a seguir, de metade da órbita do planeta Mercúrio em torno do Sol. A distância rM entre o Sol e Mercúrio varia em função do ângulo 0, sendo 0° < 0 < 180° .
Para o cálculo aproximado de r M , em milhões de kilometros, emprega-se a seguinte fórmula:
A expressão algébrica que representa as posições P (t ) da massa m , ao longo do tempo, no gráfico, é
alternativa a
a) 3 cos (2t )
b) 3 sen (2t )
c) 3 cos (2t )
d) 6 cos (2t )
e) 6 sen (2t )
6. (UECE) Em um relógio analógico circular usual, quando a hora observada é 6h20min, a medida em graus do menor ângulo entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos é alternativa d
a) 68.
b) 62. c) 65. d) 70.
rM = 555 10 2 x cos 0
Calcule a distância PA em milhões de kilometros.
9. (UFRGS-RS) Considere a função real de variável real f ( x ) = 3 5 sen (2 x + 4). Os valores de máximo, mínimo e o período de f ( x ) são, respectivamente,
a) 2, 8, p .
b) 8, 2, p .
c) p , 2, 8.
115,625 milhões de kilometros alternativa b
d) p , 8 , 2.
e) 8, p , 2.
As primeiras gerações de videogames domésticos, que começaram a ser comercializados na década de 1970, apresentavam imagens em 2D, ou seja, regiões planas que formavam personagens e cenário dos jogos, muitas vezes usando elementos gráficos compostos apenas de formas geométricas elementares.
As duas imagens são de duas edições de uma mesma franquia de jogo de videogame, sendo um deles lançado em 1993 (à esquerda) e, o outro, em 2023 (à direita).
Na década de 1990, a transição para a tecnologia 3D começou em alguns jogos de maneira sutil. Para o aprimoramento dessa técnica, foi preciso utilizar ferramentas de modelagem poligonal avançadas, com o objetivo de criar desenhos com variadas formas, pinturas texturizadas, efeitos dinâmicos com cenas movimentadas, entre outros recursos.
REPRODUÇÃO/EA SPORTS/FIFA, 2023
Observe imagens de dois jogos de videogame de uma mesma franquia, lançados com 30 anos de diferença.
Fonte dos dados: MIYAZAWA, Pablo. Os 30 games mais importantes de todos os tempos. Superinteressante, [s l.], 27 mar. 2020. Disponível em: https://super. abril.com.br/tecnologia/os-30-games -mais-importantes-de-todos-os-tempos. Acesso em: 29 jun. 2024.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Você já jogou videogame com gráficos em 2D ou 3D? Quais semelhanças e diferenças há entre eles?
2. A modelagem poligonal é uma técnica utilizada em diferentes produções, além dos jogos de videogame . Cite algumas dessas produções.
3. A elaboração de um jogo para videogame envolve profissionais de diferentes áreas, como programador e designer gráfico. Cite outros profissionais envolvidos na produção de jogos de videogame e comente sobre a etapa desenvolvida por eles. Se necessário, faça uma pesquisa. Não escreva no livro.
Respostas nas Orientações para o professor.
Na abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre jogos de videogame. Foi apresentado que, por meio da técnica de modelagem poligonal, é possível representar diferentes superfícies usando figuras com formato de polígonos. Acompanhe, a seguir, mais informações sobre essa técnica.
Com base em uma estrutura com contornos principais, a superfície do personagem é preenchida com representações de polígonos com diferentes formatos e tamanhos, para dar a ideia de movimento e conseguir ajustar a forma do personagem.
Qual das figuras geométricas planas a seguir não é um polígono? Justifique sua resposta.
A B
Resposta esperada: A figura B não é um polígono, pois seu contorno é formado por segmentos de reta que se cruzam.
As representações de polígonos são cobertas com texturas, o personagem é colorido e alguns itens de acabamento são acrescentados.
Denominamos polígono toda figura geométrica plana formada por uma região e por seu contorno, que é fechado e composto apenas de segmentos de reta que não se cruzam. Esses segmentos de reta são os lados do polígono. O perímetro de um polígono é a medida do contorno dele e corresponde à soma das medidas de seus lados.
Polígono: palavra de origem grega, em que poli significa ”muitos“ e gonos, ”ângulos“ .
Para relembrar o que você já estudou sobre polígonos em anos anteriores, analise o esquema a seguir.
O segmento de reta que faz parte do contorno de um polígono é chamado lado. O segmento de reta AB é um dos lados do polígono ABCDE
O ângulo determinado na região interna do polígono por um par de lados adjacentes é chamado ângulo interno. O ângulo AE ˆ D é um dos ângulos internos do polígono ABCDE
O ângulo determinado na região externa do polígono por um lado e pelo prolongamento de um lado adjacente a ele é chamado ângulo externo. O ângulo ED ˆ F é um dos ângulos externos do polígono ABCDE
O ponto comum a dois lados adjacentes de um polígono que se encontram é chamado vértice O ponto B é um vértice do polígono ABCDE
O segmento de reta, cujas extremidades são vértices não adjacentes de um polígono, é chamado diagonal . O segmento de reta AC é uma das diagonais do polígono ABCDE
Podemos classificar um polígono de acordo com a quantidade de vértices, de lados ou de ângulos internos. Essas três quantidades são iguais.
Triângulo
3 lados, 3 vértices e 3 ângulos internos
Hexágono
6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos
Eneágono
Quadrilátero
4 lados, 4 vértices e 4 ângulos internos
Heptágono
7 lados, 7 vértices e 7 ângulos internos
Decágono
Pentágono
5 lados, 5 vértices e 5 ângulos internos
Octógono
8 lados, 8 vértices e 8 ângulos internos
Undecágono
9 lados, 9 vértices e 9 ângulos internos
10 lados, 10 vértices e 10 ângulos internos
11 lados, 11 vértices e 11 ângulos internos
Quando um polígono possui todos os lados congruentes e também todos os ângulos internos congruentes, dizemos que é um polígono regular. Observe um exemplo.
Resposta esperada: Como em um polígono regular todos os lados são
Em marcenaria, muitas vezes são produzidos tampos de mesas que têm formatos de polígonos regulares. Explique como você faria para determinar a medida do lado de um desses tampos sabendo quanto é o perímetro dele.
Indústria de jogos digitais
No desenvolvimento de jogos digitais, além da modelagem poligonal, são utilizadas muitas outras técnicas. As diversas etapas desse desenvolvimento envolvem diferentes profissionais, como desenvolvedor de games , designer, programador, publicitário, criador de conteúdo etc. É um mercado em expansão no Brasil e que gera cada vez mais oportunidades de emprego. De acordo com a Pesquisa da Indústria Brasileira de Games, havia mais de 13 mil profissionais trabalhando em desenvolvedoras de games no país em 2023.
Acesse o relatório indicado a seguir para obter mais informações a respeito da indústria de jogos digitais no Brasil.
• CARDOSO, Marcos Vinicius; GUSMÃO, Cláudio; HARRIS, Jonathan J. (org.). Pesquisa da indústria brasileira de games 2023. São Paulo: Abragames, 2023. Disponível em: https://www.abragames.org/uploa ds/5/6/8/0/56805537/2023_relat%C 3%B3rio_final_v4.3.3_ptbr.pdf. Acesso em: 30 jul. 2024.
Hexágono regular.
congruentes, basta dividir o perímetro do tampo pela quantidade de lados dele.
Quando não é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono, de maneira que algum ponto desse segmento seja externo ao polígono, dizemos que esse é um polígono convexo. Caso isso seja possível, dizemos que esse é um polígono não convexo. Analise os exemplos.
A criação de cenários é uma das etapas do desenvolvimento de um jogo.
R1. Deduza uma expressão para representar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados.
Resolução
Resposta esperada: Porque do vértice escolhido partem n 3 diagonais, que na decomposição serão lados compartilhados dos triângulos. Assim, o total de triângulos obtidos nessa decomposição é dado por: [2(n 3) + n] : 3 = n 2.
Ao decompor um polígono convexo de n lados, traçando todas as diagonais a partir de um único vértice, obtêm-se n 2 triângulos. Observe alguns exemplos.
PARA PENSAR
Com suas palavras, explique por que, ao decompor um polígono de n lados da maneira apresentada, obtêm-se n 2 triângulos.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, como um polígono com n lados pode ser decomposto em n 2 triângulos, a soma S das medidas dos ângulos internos desse polígono pode ser representada pela seguinte expressão: S = (n 2) ? 180° .
R2. A fim de garantir inclusão de pessoas com algum tipo de deficiência na sociedade, a legislação brasileira utiliza parâmetros da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) como referência. A largura das rampas de acesso a edificações públicas, por exemplo,
[...] deve ser estabelecida de acordo com o fluxo de pessoas. A largura livre mínima recomendável para as rampas em rotas acessíveis é de 1,50 m, sendo o mínimo admissível 1,20 m.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020. p. 58. Disponível em: https://www.causc.gov.br/wp-content/ uploads/2020/09/ABNT-NBR-9050-15 -Acessibilidade-emenda-1_-03-08-2020.pdf. Acesso em: 29 jul. 2024
Rampa de acessibilidade para cadeirantes no campus Professor Ariston Dias Lima, da Universidade Estadual do Piauí (Uespi), São Raimundo Nonato (PI). Fotografia de 2022.
Em um edifício público, foi construída uma rampa de acesso cuja superfície tem formato retangular com 25 m de perímetro e com a largura mínima recomendada pela ABNT. Deseja-se construir, nas laterais dessa rampa, dois corrimões que acompanhem toda a sua extensão. Quanto deve medir o comprimento de cada corrimão?
Resolução
A largura da superfície dessa rampa de acesso é 1,5 m, já que se trata da medida mínima recomendada pela ABNT. Além disso, o perímetro dessa rampa é 25 m. Denominando x a medida do comprimento de cada corrimão, temos:
x + 1,5 + x + 1,5 = 25 h 2 x = 22 h x = 11
Portanto, o comprimento de cada corrimão dessa rampa de acesso deve medir 11 m.
1. Identifique quais das figuras a seguir representam polígonos convexos. Justifique.
1. a, b, d e e As figuras indicadas são convexas, pois não é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono, de maneira que algum ponto desse segmento seja externo ao polígono.
a) Q uais são as medidas dos lados BC e AB desse paralelogramo?
b) Quanto mede o segmento de reta AO ?
A interseção das diagonais de um paralelogramo coincide com o ponto médio dessas diagonais.
5. A figura a seguir corresponde a uma peça de um jogo de videogame , formada por quatro quadrados com cada lado medindo 1 u.c.
A figura a seguir representa parte de uma faixa que Mateus construiu encaixando perfeitamente 180 peças dessa. Qual é o perímetro da faixa construída por Mateus? 726 u.c.
2. Um marceneiro vai confeccionar um tampo de mesa que tem formato de heptágono regular. Qual será o perímetro desse tampo se cada lado vai medir 60 cm de comprimento?
3. O polígono regular representado a seguir tem 225 dm de perímetro. Quanto mede cada lado desse polígono?
420 cm 25 dm
4. Observe, a seguir, algumas informações sobre o paralelogramo ABCD e responda às questões, justificando.
O A BC D
• AD = 1 3 AB
• AC = 48 cm
• O p erímetro do paralelogramo ABCD é de 144 cm.
6. As medidas dos ângulos internos de um pentágono formam, em grau, uma progressão aritmética de razão igual a 3. Portanto, o menor ângulo interno desse polígono mede: a)
BC = 18 cm; AB = 54 cm 24 cm alternativa c
Na Unidade 3, estudamos que uma progressão aritmética é toda sequência numérica em que, a partir do 2o termo, a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor é igual a uma constante, denominada razão.
7. Um polígono convexo possui um ângulo interno com medida igual a 130°, outros dois com medidas iguais a 145°, e os demais, com medidas iguais a 160° .
a) Q ual é a quantidade de lados desse polígono?
b) Determine a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono.
15 lados 2 340°
8. Você já notou que a medida de alguns produtos que têm telas em formato retangular é indicada em polegada? Essa unidade de medida, em geral, é utilizada para indicar o comprimento de uma das diagonais dessas telas, conforme exemplo representado a seguir.
a) A quantos centimetros aproximadamente corresponde 1 polegada, indicada por 1”?
b) Q uantos centimetros mede a diagonal da tela retangular de um televisor de 32”?
c) Considerando que o comprimento da tela do televisor descrito no item anterior tenha o dobro da medida da largura, determine o perímetro dessa tela, em metro.
2,2
d) Com uma régua, meça a diagonal e um dos lados da tela de um aparelho celular ou tablet , obtendo as medidas em centimetro. Em seguida, realize cálculos para determinar a medida dos outros lados dessa tela e seu perímetro. Por fim, com a régua, meça os lados e confira se os resultados calculados anteriormente estão corretos.
9. Um educador físico está preparando o treino de um estudante para que caminhe 4,9 km diariamente. As figuras a seguir foram obtidas por meio de um aparelho GPS. Elas representam três pistas de caminhada do município em que moram.
ILUSTRAÇÕES: BENTINHO
a) Qual das três pistas possui maior perímetro? Qual possui menor perímetro?
b) Qual pista deve ser escolhida pelo educador físico, de maneira que o estudante caminhe apenas voltas completas nela e que a meta seja ultrapassada na menor medida possível?
c) U tilizando um mapa digital interativo de um GPS, determine uma região do município em que você mora cujo formato seja de um polígono. Faça medições nesse mapa para determinar o comprimento de cada um dos lados dessa região. Depois, elabore uma questão envolvendo a região escolhida e o conceito de perímetro de polígono e troque-a com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve a questão elaborada por ele. Por fim, confiram juntos as resoluções.
Resposta pessoal.
Acesse o site indicado a seguir para obter informações sobre a prática de atividades físicas.
• BRASIL. Ministério da Saúde. Secretaria de Atenção Primária à Saúde. Departamento de Promoção da Saúde. Guia de atividade física para a população brasileira. Brasília, DF: MS, 2021. Disponível em: https://bvsms.saude.gov.br/bvs/publicacoes/ guia_atividade_fisica_populacao_brasileira.pdf. Acesso em: 30 jul. 2024.
10. Um terreno retangular tem 238 m de perímetro e o comprimento do menor lado mede 3 4 do comprimento do maior lado. Deseja-se instalar uma fiação elétrica retilínea passando pelas duas diagonais desse terreno. Quantos metros de fio, no mínimo, serão utilizados nessa instalação?
11. Ao variar o tamanho da bandeira do Brasil, é necessário respeitar as proporções oficiais, conforme indicado a seguir.
13. No polígono convexo representado, foram traçadas todas as diagonais que partem do vértice A .
a) Q uantos vértices tem esse polígono? E quantas são as diagonais que têm o vértice A como uma das extremidades?
5 vértices; 2 diagonais
1,7 u 1,7 u
7 u
1,7 u1,7 u 14 u 20 u
RetânguloLosango Círculo
Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Observatório Nacional. A nossa Bandeira. Brasília, DF: MCTI: ON, [2024]. p. 11. Disponível em: https://www.gov.br/observatorio/ pt-br/assuntos/areas-de-atuacao/divulgacao-e-popularizacao-da -ciencia/revistas/pdf/bandeiras.pdf. Acesso em: 5 set. 2024. Para compor a representação de uma bandeira do Brasil, serão recortadas e coladas peças de papel colorido nas proporções oficiais. Para a parte verde, por exemplo, será recortada uma peça retangular com 102 cm de perímetro.
a) Quais são as dimensões da peça retangular que será recortada?
b) Quais são as medidas das diagonais da peça com formato de losango que será recortada?
c) Qual é a medida do raio da peça com formato de círculo que será recortada?
d) Pesquise uma bandeira do Brasil impressa em um jornal, revista ou livro. Depois, realize medições e faça cálculos a fim de verificar se a ilustração atende às proporções oficiais. Registre essas informações no caderno.
Resposta pessoal.
12. Em relação à temática abordada na atividade resolvida R2 da página 206, quais dificuldades uma rampa fora dos padrões da ABNT podem causar a um cadeirante? Junte-se a um colega, e escolham uma rampa de acesso em alguma edificação pública do município em que vocês moram, a fim de verificar se a largura livre dessa rampa atende às recomendações da ABNT. Em uma folha de papel, façam um croqui representando essa rampa, com as medidas indicadas e, se necessário, apresentem sugestões de adequações.
12. Resposta pessoal.
b) Quais vértices desse polígono não são extremidades de uma diagonal que tem como outra extremidade o vértice A ?
c) Q uais segmentos de reta correspondem a diagonais desse polígono que têm o vértice C como uma das extremidades? Qual dessas diagonais foi traçada na figura?
d) Ao todo, quantas diagonais tem esse polígono?
5 diagonais
e) Escreva uma expressão para representar a quantidade de diagonais D de um polígono convexo de n lados
D = (n 3) n 2
Se necessário, antes de resolver o item e, refaça os itens anteriores considerando um hexágono convexo ABCDEF.
14. Junte-se a um colega, e resolvam as questões a seguir.
a) Em uma folha avulsa, cada um deve construir um polígono convexo qualquer e indicar seus ângulos internos e externos.
Resposta pessoal.
b) Com o auxílio de um transferidor, meçam os ângulos internos e externos desse polígono.
Resposta pessoal.
c) C alculem a soma das medidas de cada par de ângulos interno e externo correspondentes a esse polígono. Escrevam uma frase a respeito do que foi observado em relação aos valores encontrados.
d) C alculem a soma das medidas de todos os ângulos externos de cada polígono. Escrevam uma conclusão sobre os valores encontrados.
e) Troquem os polígonos que vocês construíram com outra dupla de colegas e verifiquem se as conclusões obtidas servem para esses polígonos. Em seguida, registrem juntos uma conclusão geral.
Resposta pessoal.
Nas páginas anteriores foi apresentado que um polígono regular é aquele em que todos os lados são congruentes e todos os ângulos internos são também congruentes. Agora, observe como podemos traçar uma circunferência circunscrita a um pentágono regular.
1a) Traçamos a mediatriz de cada lado do pentágono regular, obtendo um ponto O na interseção dessas mediatrizes. Dizemos que O é o centro do polígono
2 a) Com centro em O, traçamos uma circunferência contendo todos os vértices do pentágono regular, ou seja, que circunscreve esse polígono.
A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a ele em seu ponto médio.
Ao traçarmos segmentos de reta com uma extremidade em O e a outra em cada vértice do pentágono regular, obtemos cinco triângulos, conforme representado na figura ao lado direito da página.
Observe que, como o pentágono é regular, para determinar o ponto O, bastava ter traçado as mediatrizes de dois dos lados. Por quê?
Resposta esperada: Porque as mediatrizes de um polígono regular se cruzam em um único ponto.
Note que, em cada um desses triângulos, um dos lados corresponde ao lado do pentágono regular, e os outros dois lados, a raios da mesma circunferência. Portanto, podemos afirmar que esses triângulos são isósceles e congruentes (caso LLL de congruência de triângulos).
De maneira análoga, é possível mostrar que todo polígono regular de n lados pode ser decomposto, a partir de seu centro, em n triângulos isósceles congruentes.
Agora, considere esse mesmo pentágono regular decomposto da maneira apresentada. Denominamos apótema do pentágono o segmento de reta com extremidades em O e no ponto médio de um lado desse polígono regular. O apótema é perpendicular ao lado do polígono regular. Observe.
Neste caso, a é o apótema do pentágono regular
ABCDE. A medida do apótema corresponde à altura dos triângulos em que o pentágono regular foi decomposto.
DiCA
O apótema de um polígono regular corresponde ao raio da circunferência inscrita nesse polígono. Observe um exemplo.
R3. Mostre que um hexágono regular de centro O pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes.
Resolução
Considere o hexágono regular ABCDEF de centro O representado na figura. Inicialmente, vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos desse hexágono regular.
S = (n _ 2) ? 180° = (6 _ 2) ? 180° = 4 ? 180° = 720°
Como em um polígono regular os ângulos internos são congruentes, então a medida de cada ângulo interno desse hexágono é dada por: 720° : 6 = 120°
Desse modo, ao traçar segmentos de reta com uma extremidade em O e a outra em cada vértice do hexágono regular, obtemos seis triângulos congruentes em que cada ângulo interno mede 60 °, ou seja, triângulos equiláteros congruentes.
R4.
Expresse a medida l do lado e a medida a do apótema do quadrado ABCD representado em função da medida r do raio da circunferência que circunscreve esse quadrado.
Resolução
Note que o ângulo CÔD é reto, pois 360° : 4 = 90° .
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo COD, temos:
2 (não convém)
Observe que o lado do quadrado mede 2a , pois o apótema dividiu o triângulo COD em dois triângulos retângulos isósceles. Com isso, temos:
Portanto, l = r √ 2 e a
Por exemplo, um quadrado inscrito em uma circunferência de 4 cm de raio tem:
• lado medindo 4 √ 2 cm, pois:
• apótema medindo 2
15. Um polígono regular de n lados foi decomposto, a partir de seu centro O, em n triângulos isósceles congruentes. Analise um desses triângulos.
ˆ O: 78°; AO ˆ B: 24°
a) Quais são as medidas de AB ˆ O e AO ˆ B?
b) Quantos lados tem esse polígono?
15 lados
16. Em uma praça de certo município será construída uma fonte de água com formato de um decágono regular com 3 m de lado. No centro dessa fonte será instalado um jato de água, conforme representado a seguir.
a) Q uantos metros terá o contorno dessa fonte de água?
18. Na figura a seguir, está representado um triângulo equilátero com 7 cm de lado e aproximadamente 2 cm de apótema, inscrito em uma circunferência de centro O.
b) Q ual é a distância máxima horizontal que o jato de água pode alcançar, sendo disparado em todas as direções , de maneira que não ultrapasse os limites da fonte?
Considere sen 72 ° 1 0,95, cos 72 ° 1 0,31 e tg 72 ° 1 3,08.
30 m aproximadamente 4,62 m
17. Considere um octógono regular ABCDEFGH que, ao ser decomposto a partir de seu centro O , obtêm-se oito triângulos isósceles congruentes. Qual dos itens a seguir apresenta um dos triângulos obtidos nessa decomposição?
Qual é a medida aproximada do lado de um pentágono regular inscrito nessa mesma circunferência? Para os cálculos, considere sen 72° 1 0,95, cos 72° 1 0,31, tg 72° 1 3,08, sen 54° 1 0,81, cos 54° 1 0,59 e tg 54° 1 1,38. a) 1,2 cm b) 2,3 cm c) 2,4 cm d) 4,7 cm e) 5,6 cm
alternativa d
19. Em uma academia, os treinos de determinada arte marcial ocorrem em um ringue cuja superfície tem formato de octógono regular com 16 m de perímetro. No início de certo treinamento, um árbitro se posiciona no ponto C que representa o centro do ringue, e dois competidores se posicionam nos pontos médios de lados opostos do ringue, conforme indicados por A e B na figura a seguir.
Qual é a distância aproximada entre os competidores no início desse treinamento? Para os cálculos, considere sen 67,5° 1 0,92, cos 67,5° 1 0,38 e tg 67,5° 1 2,41.
a) 1, 84 m b) 4 m c) 4,82 m d) 6,75 m e) 9,2 m
20. Expresse a medida l do lado e a medida a do apótema do hexágono regular representado a seguir, em função da medida r do raio da circunferência que circunscreve esse hexágono.
Observe uma obra do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003).
Acesse o site indicado a seguir para obter informações sobre o artista Luiz Sacilotto e suas obras.
• SACILOTTO. [S . l.], c2024. Site. Disponível em: https://sacilotto.com.br/. Acesso em: 30 jul. 2024.
SACILOTTO, Luiz. Concreção 5629. 1956. Esmalte sintético sobre alumínio, 60 cm x 80 cm. Coleção Museu de Arte Contemporânea da Universidade de São Paulo.
Nessa obra, é possível observar representações de triângulos equiláteros congruentes em cor clara e em cor escura. Mantendo o padrão estabelecido, podemos adicionar outros triângulos congruentes a esses para cobrir todo o plano que contém a superfície dessa tela.
Um ladrilhamento consiste em um conjunto de polígonos no plano que são combinados de modo que a união de todos eles corresponde ao próprio plano, sem deixar espaços vazios nem sobreposições entre eles.
É possível criarmos ladrilhamentos usando apenas polígonos regulares e congruentes. Esse caso é chamado de ladrilhamento regular do plano.
Podemos verificar que o triângulo equilátero pode ser utilizado para a composição de um ladrilhamento regular do plano. Para isso, observe que, a partir de um dos vértices de um triângulo equilátero, podemos combinar outros triângulos congruentes a ele, conforme representado a seguir.
Note que a soma das medidas dos ângulos internos dos seis triângulos combinados em um mesmo vértice é igual a 360°, pois 6 ? 60° = 360°
Para a composição de um ladrilhamento regular do plano, é necessário que a medida do ângulo interno do polígono regular, em grau, corresponda a um número divisor de 360.
Analise a seguir uma representação de parte do ladrilhamento regular do plano com triângulos equiláteros.
R5. Mostre que não é possível compor um ladrilhamento regular do plano utilizando pentágonos regulares.
Resolução
Estudamos que, para compor um ladrilhamento regular no plano, o polígono regular deve possuir ângulos internos cuja medida corresponda a um número divisor de 360.
Portanto, inicialmente, vamos determinar a medida de cada ângulo interno do pentágono regular. Sendo S a soma das medidas dos ângulos internos do pentágono regular, a medida de cada um desses ângulos internos é dada por: S 5 = (5 2) ? 180° 5 = 540° 5 = 108°
Como 360 = 3 ? 108 + 36, concluímos que 108 não é divisor de 360. Portanto, não é possível compor um ladrilhamento regular do plano utilizando pentágonos regulares. Essa conclusão pode ser verificada geometricamente. Observe a figura.
21. Utilizando um programa de computador, foram construídos um triângulo equilátero ABC e um quadrado ACDE, conforme representado a seguir.
Ao usar a ferramenta de medir ângulos desse programa, qual valor deve aparecer no ângulo destacado em vermelho?
22. Leia o texto a seguir sobre a origem dos mosaicos.
[...] Uma das maiores formas de arte, o mosaico, surgiu durante os séculos V e VI em Bizâncio, já em poder dos turcos, e em sua capital italiana, Ravena. [...]
STRICKLAND, Carol. Arte comentada: da Pré-história ao Pós-moderno. Tradução: Angela Lobo de Andrade. 8. ed. Rio de Janeiro: Ediouro, 2002. p. 25.
Detalhe de mosaico na Basílica de São Vital (Patrimônio Cultural da Humanidade pela UNESCO), em Ravena (Itália). Fotografia de 2018.
Além de apresentar padrões geométricos, uma característica bastante comum de um mosaico é buscar, por meio da combinação de pequenas peças de pedra, plástico, papel ou outro material, cobrir completamente a região em que será construído. Essa região pode ser representada por telas, paredes, pisos, entre outras superfícies planas, sem deixar lacunas e sem sobreposições de peças.
Quais dos mosaicos destacados a seguir podem representar parte de um ladrilhamento regular do plano? a) b)
23. Márcio pretende construir um mosaico com formato de dodecágono regular. Para isso, ele vai usar apenas pedaços de papel que tenham o formato de três polígonos regulares e todos com lados de mesma medida. Observe os pedaços de papel de dois desses formatos.
Para construir o mosaico, Márcio ainda deve recortar pedaços de papel com formato de:
a) pentágono regular.
b) t riângulo equilátero.
c) heptágono regular. d) decágono regular.
alternativa b
e) eneágono regular.
24. Considerando sua resposta da atividade anterior, faça um desenho para representar o mosaico obtido
25. Considere a afirmação a seguir, que pode ser demonstrada.
Resposta nas Orientações para o professor.
Existem apenas três tipos de polígono regular com os quais é possível compor um ladrilhamento regular do plano.
Realize uma investigação e responda: Com quais destes polígonos regulares é possível fazer um ladrilhamento regular do plano: triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono ou octógono? Justifique sua resposta.
Resposta esperada: Triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular, pois as medidas de cada um de seus ângulos internos correspondem a um número divisor de 360.
26. Um azulejista precisa assentar pisos cerâmicos no chão de uma sala que possui formato retangular com lados medindo 6 m de comprimento e 4 m de largura. Para isso, foram comprados pisos quadrados de 50 cm de lado. Desconsiderando os rejuntes necessários para o assentamento desses pisos, responda às questões a seguir.
a) Quantos pisos desses serão assentados por metro quadrado?
4 pisos
b) Qual é a quantidade de pisos necessária para cobrir todo o chão dessa sala?
96 pisos
c) A pós serem assentados os pisos, o chão dessa sala poderia representar parte de qual tipo de ladrilhamento do plano?
Resposta esperada: Ladrilhamento regular do plano por quadrados.
MUNDO DO TRABAlHO
O azulejista é um profissional bastante procurado e essencial na construção civil. É ele o responsável por parte do acabamento de uma obra, fazendo revestimentos em paredes, pisos, muros etc. Nesses revestimentos, o azulejista utiliza pisos cerâmicos, ladrilhos, pastilhas, entre outros materiais. Muitas vezes, o resultado de seu trabalho lembra a ideia de mosaico, em que há aplicação de fragmentos de materiais para cobrir certa superfície.
Para se destacar no mercado, é importante que o azulejista seja organizado, esteja sempre atualizado e faça cursos de qualificação, os quais, inclusive, têm tido a presença de muitas mulheres atuando na área. Isso mostra que essa profissão, geralmente exercida por homens, está se tornando cada vez mais democrática.
Piso instalado por azulejista.
Acesse o site indicado a seguir para obter mais informações sobre a profissão de azulejista.
• SERVIÇO BRASILEIRO DE APOIO ÀS MICRO E PEQUENAS EMPRESAS. MEI: azulejista. [S. l.]: Sebrae, c2021. Disponível em: https://sebrae.com.br/sites/PortalSebrae/ideias/mei-azulejista,a2b03b70685ad710VgnVCM 100000d701210aRCRD#apresentacao-de-negocio. Acesso em: 30 jul. 2024.
27. Chamamos de ladrilhamento arquimediano do plano quando o ladrilhamento é composto apenas de polígonos regulares convexos, não necessariamente congruentes, mas com mesma medida de lado. Observe um exemplo.
Em quais dos itens a seguir é possível identificar parte de um ladrilhamento arquimediano do plano? a, b e d
Ladrilhamento arquimediano do plano composto apenas de dodecágonos regulares, hexágonos regulares e quadrados.
• Para cada item que você indicou, descreva os polígonos regulares que compõem o ladrilhamento arquimediano do plano.
a) hexágonos regulares; b) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares; d) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares
28. Utilizando uma malha quadriculada ou um programa de computador, construa um mosaico correspondente à parte de um ladrilhamento do plano de algum dos tipos de ladrilhamento estudados nesta Unidade. Depois, troque seu mosaico com o de um colega para que ele identifique os polígonos que você representou e classifique o seu ladrilhamento, enquanto você faz o mesmo com o mosaico que receber. Por fim, confiram juntos as respostas. Resposta pessoal.
Podemos construir mosaicos correspondentes a ladrilhamentos arquimedianos do plano por meio do software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível para acesso on-line e download em https://www.geogebra.org/download (acesso em: 30 jul. 2024). Para isso, vamos utilizar hexágonos regulares, quadrados e triângulos equiláteros, todos com lados de mesma medida.
Acompanhe como pode ser construída parte de um ladrilhamento arquimediano do plano.
A Inicialmente, com a opção (Polígono regular), construímos o hexágono regular ABCDEF. Em seguida, com a mesma opção, selecionamos os vértices B e A, nessa ordem, e construímos um quadrado com um lado em comum com o hexágono. De maneira análoga, construímos outros cinco quadrados com lado em comum com o hexágono, conforme representado a seguir.
B Para completar a primeira etapa de composição do mosaico, usamos novamente a opção (Polígono regular) e selecionamos os vértices G e A, nessa ordem, para construir um triângulo equilátero. De maneira análoga, construímos outros cinco triângulos equiláteros, conforme representado nas figuras desta etapa.
1. Observe a representação de um recorte da composição construída na página anterior e resolva as questões.
a) Os ângulos indicados correspondem a ângulos internos de quais polígonos?
x e z: quadrado; y: hexágono regular; w: triângulo equilátero
b) Qual é a soma das medidas x , y, z e w?
360°
c) Determine as medidas x , y, z e w
x = 90°; y = 120°; z = 90°; w = 60°
2. No GeoGebra , reproduza a construção feita na página anterior. Depois, continue a composição do ladrilhamento arquimediano do plano utilizando outros 5 triângulos equiláteros, 3 hexágonos regulares e 8 quadrados. Por fim, compare a sua construção com a de um colega.
Construção do estudante.
3. Observe, a seguir, parte de um ladrilhamento arquimediano do plano construído no GeoGebra .
3. a) Uma resposta possível: As medidas de cada ângulo interno do quadrado e do dodecágono regular são, respectivamente, 90° e 150°. Como não existem números naturais positivos m e n, tais que m 90° + + n 150° = 360°, podemos afirmar que é impossível construir um ladrilhamento arquimediano do plano composto apenas de quadrados e dodecágonos regulares congruentes.
a) M ostre que é impossível construir um ladrilhamento composto apenas de polígonos regulares congruentes como os apresentados na imagem.
b) Que outros tipos de polígono regular podem ser utilizados para compor esse ladrilhamento arquimediano do plano? Justifique.
triângulos equiláteros e hexágonos regulares
c) Reproduza no GeoGebra a parte do ladrilhamento arquimediano do plano apresentada e acrescente os polígonos indicados no item anterior.
Construção do estudante.
4. Um arquiteto pretende elaborar um projeto para cobrir a região plana de uma parede por meio do ladrilhamento arquimediano do plano. Para isso, ele tem à disposição peças de cerâmica com formato dos seguintes polígonos regulares, todos com lados de mesma medida: quadrado, pentágono, octógono e decágono.
No GeoGebra , faça uma composição com polígonos correspondentes a algumas dessas peças, para simular um possível projeto arquitetônico para essa parede.
Construção do estudante.
Leia as informações a seguir.
O Projeto de Monitoramento do Desmatamento na Amazônia Legal por Satélite (Prodes), realizado pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe), monitora via satélite o desmatamento na Amazônia Legal. O gráfico apresenta dados do desmatamento no estado do Tocantins em certo período.
Área desmatada na Amazônia
Legal no Tocantins, 2020-2023
Área (km2)
Você sabe o que é Amazônia Legal? O que é possível afirmar a respeito do desmatamento na Amazônia Legal no Tocantins no período apresentado?
Resposta pessoal. Uma resposta possível: A cada ano, a partir de 2021, houve redução na área desmatada em relação ao ano anterior.
Vista aérea do Rio Tocantins, margeando a Terra Indígena Xerente (na Amazônia Legal; pertencente ao bioma Floresta Amazônica), localizada em Tocantínia (TO).
Fotografia de 2022.
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovação. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. Desmatamento. [S l.]: Inpe: TerraBrasilis: Prodes, [2024]. Disponível em: https://terrabrasilis.dpi.inpe.br/app/dashboard/ deforestation/biomes/legal_amazon/increments. Acesso em: 30 jul. 2024.
Uma das informações apresentadas nesse gráfico é a área desmatada na Amazônia Legal em 2021 no estado do Tocantins, que, nesse caso, foi de 32 km2. Para se ter uma ideia, existem municípios brasileiros com área bem menor que a desmatada em 2021 no Tocantins.
O conceito de área, segundo registros históricos, já era utilizado por diferentes povos há milhares de anos. Os egípcios antigos, por exemplo, em certa época do ano, deparavam-se com a seguinte situação: demarcar novamente os limites das propriedades quando as águas do rio Nilo baixavam após as cheias, mantendo-se as mesmas áreas. Para isso, eram realizadas medições utilizando cordas com nós, que determinavam certa unidade de medida de comprimento.
Em anos anteriores, você estudou como calcular a área de alguns polígonos. Agora, vamos retomar esse estudo para aprofundar o conceito de área.
Acesse o site indicado a seguir para ter uma experiência imersiva na tumba de Menna. Nessa tumba, é possível observar hieróglifos que retratam cenas de colheitas nas quais se podem observar silhuetas de pessoas segurando uma corda para medir um terreno.
• GOOGLE ARTS & CULTURE. Faça um tour virtual pela tumba de Menna. [S. l.]: Google, [2024]. Disponível em: https://artsandculture.google.com/story/take-a -virtual-tour-of-the-tomb-of-menna/igWhAx2ruiw9lg. Acesso em: 5 set. 2024.
Considere o retângulo ABCD a seguir construído no GeoGebra em uma malha quadriculada em que cada lado de quadradinho representa 1 cm.
Quadrados com 1 cm, 1 dm, 1 m e 1 km de lado têm, respectivamente, 1 cm2, 1 dm2, 1 m2 e 1 km2 de área. DiCA
Para calcular a área desse retângulo, podemos determinar a quantidade de quadradinhos da malha nos quais ele pode ser decomposto.
Quantidade total de quadradinhos
Quantidade de colunas
9 ? 3 = 27
Quantidade de quadradinhos em cada coluna
Como cada quadradinho da malha tem 1 cm2 de área, então o retângulo ABCD tem 27 cm2 de área.
Para calcular a área de um retângulo, podemos multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura. Como o quadrado é um caso particular de retângulo, em que os lados têm medidas iguais, podemos calcular sua área multiplicando a medida de um lado por ela mesma. a
• Área do retângulo.
• Área do quadrado.
= a ? b ou A =
= a ? a ou A = a
Acompanhe como podemos calcular a área das figuras representadas a seguir.
• Retângulo. • Quadrado.
m
m
A = 3,5 ? 6,2 = 21,7; ou seja, 21,7 m2
A = (4,3)2 = 4,3 ? 4,3 = 18,49; ou seja, 18,49 m2.
Podemos deduzir uma expressão para calcular a área de um paralelogramo, em que b é a medida da base e h é a medida da altura. Para isso, decompomos esse paralelogramo e deslocamos um triângulo obtido de maneira a compor um retângulo de mesma área do paralelogramo, conforme representado a seguir.
DiCA
Assim, a área desse paralelogramo é dada por: A = b ? h.
Para calcular a área de um paralelogramo, podemos multiplicar a medida de sua base pela medida da altura relativa a essa base.
Você pode verificar esta composição desenhando um paralelogramo em uma folha avulsa e recortando-o ou realizando construções no GeoGebra
= b ? h h b
Observe como podemos calcular a área do paralelogramo representado a seguir.
3,5 dm
A = 6 ? 3,5 = 21; ou seja, 21 dm2.
6 dm
Considere um losango em que D é a medida da diagonal maior e d , a medida da diagonal menor. Para deduzir uma expressão que calcule a área desse losango, podemos inicialmente traçar suas diagonais. Depois, podemos construir um retângulo traçando cada lado de maneira que passe por um vértice desse losango e seja paralelo a uma de suas diagonais. d DD d
Você pode verificar esta composição desenhando um losango e um retângulo em uma folha avulsa ou realizando construções no GeoGebra. DiCA
A área do losango corresponde à metade da área do retângulo obtido. Assim, podemos expressar a área desse losango por: A = D d 2
Para calcular a área de um losango, podemos multiplicar as medidas de suas diagonais e dividir o produto obtido por 2.
A = D ? d 2 d D
Acompanhe como podemos calcular a área de um losango cujas diagonais medem √ 30 cm e 12 cm.
Considere o trapézio azul representado, em que b é a medida da base menor, B é a medida da base maior e h é a medida da altura.
Podemos deduzir uma expressão para calcular a área desse trapézio, construindo um novo trapézio congruente a ele, em outra posição, conforme representado a seguir. Depois, com esses dois trapézios congruentes, compomos um paralelogramo.
hh
B b b B h B + b
A área do trapézio em azul corresponde à metade da área do paralelogramo obtido. Assim, podemos expressar a área desse trapézio por:
A = (B + b) ? h 2
Para calcular a área de um trapézio, podemos multiplicar a soma das medidas de suas bases pela medida de sua altura e dividir o produto obtido por 2.
A = (B + b) ? h 2
b
Acompanhe como podemos calcular a área do trapézio representado.
A = (7 + 4) ? 3 2 = 11 ? 3 2 = 33 2 = 16,5; ou seja, 16,5 m2.
A = 12 ? √ 30 2 = 6 √ 30 ; ou seja, 6 √ 30 cm2. 3 m 4 m 7 m h
Você pode verificar esta composição desenhando trapézios em uma folha avulsa e recortando-os ou realizando construções no GeoGebra.
R6. A figura representa o jardim de certa empresa. A região em vermelho tem formato de losango e corresponde ao espaço que será destinado ao plantio de rosas, sendo recomendadas 3 mudas, no máximo, por metro quadrado. Quantas mudas de rosas podem ser plantadas, no máximo, em todo esse espaço?
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO 1a
Do enunciado, obtemos as seguintes informações:
• a região em que as mudas de rosas serão plantadas tem formato de losango;
• para cada metro quadrado podem ser plantadas, no máximo, 3 mudas de rosas;
• a s medidas do lado (l) e da diagonal menor (d ) do losango são, respectivamente, 5 m e 6 m.
2 a
ELABORAR UM PLANO
Inicialmente, podemos determinar a medida da diagonal maior (D ) do losango utilizando o teorema de Pitágoras, para, em seguida, calcular a área desse losango. Por fim, basta multiplicar a área obtida por 3, que corresponde à quantidade máxima de mudas de rosas por metro quadrado.
3a
EXECUTAR O PLANO
Podemos representar o losango da maneira a seguir e calcular a medida ME aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AME :
h (ME) 2 = 16 h {ME = √ 16 = 4 ou ME = √ 16 = 4 (não convém)
Como ME corresponde à metade da medida da diagonal maior (D ) do losango, temos: D = 2 ? ME = 2 ? 4 = 8; ou seja, 8 m.
Calculando a área do losango, temos: A = D ? d 2 = 8 ? 6 2 = 48 2 = 24; ou seja, 24 m2
Para cada metro quadrado podem ser plantadas, no máximo, 3 mudas de rosas; portanto, o total de mudas possíveis de serem plantadas é dado por: 24 3 = 72; ou seja, 72 mudas de rosas.
VERIFICAR OS RESULTADOS
Para verificar o resultado obtido podemos, inicialmente, utilizar a relação entre multiplicação e divisão como operações inversas e calcular a área do losango a partir da quantidade de mudas de rosas determinadas: 72 : 3 = 24; ou seja, 24 m2.
Em seguida, a partir da expressão utilizada para o cálculo da área do losango e da medida calculada de sua diagonal maior D, determinamos a medida da diagonal menor d , indicada no enunciado:
A = D ? d 2 h 24 = 8 ? d 2 h d = 6; ou seja, 6 m.
Portanto, podem ser plantadas, no máximo, 72 mudas de rosas.
29. Calcule a área das figuras.
a) Tr apézio. 8 cm
c) Retângulo.
b) L osango.
d) Quadrado.
As figuras não estão proporcionais.
30. Sabendo que a área do trapézio a seguir é 75 m2 , determine o valor de x 2x x 4x
31. Identifique a expressão da área de um quadrado em função da medida d de sua diagonal. Justifique sua resposta.
Alternativa c. Resposta nas Orientações para o professor
a) A = 2d 2 b) A = 3 d 2 4 c) A = d 2 2 d) A = d 2 e) A = d 2 √ 2 2
• De acordo com sua resposta, calcule a área de um quadrado cuja diagonal mede 21 cm.
cm2
32. Uma empresa de eventos está organizando um show musical. A imagem a seguir representa o salão onde esse show será realizado.
90 m BENTINHO
Pensando na segurança do público, será disponibilizada para venda uma quantidade de ingressos correspondente a 96% da capacidade máxima permitida para o local, que, de acordo com instruções técnicas do Corpo de Bombeiros, é de 2,5 pessoas por metro quadrado.
Qual será a quantidade de ingressos disponibilizados para esse show ?
19 800 ingressos
33. Um retângulo tem o lado maior com o triplo da medida do lado menor e sua área é 147 cm2
Qual é o perímetro desse retângulo?
34. A região retangular no entorno de uma praça será totalmente cercada com 160 m de tela de alambrado.
a) E screva a lei de formação de uma função que determina a área s da região cercada, em metro quadrado, em função da medida x do comprimento desta região, em metro.
b) Q uais devem ser as medidas do comprimento e da largura da região cercada para que a área dessa região seja máxima?
A largura e o comprimento devem ter 40 m.
35. a) automóvel: 750 vagas; bicicleta: 225 vagas; motocicleta: 90 vagas
35. Leia as informações a seguir sobre algumas normas de instalações.
Vagas de estacionamento em mercados, supermercados e hipermercados no município de Florianópolis (SC)
Veículo Quantidade mínima de vagas
Automóvel 1 vaga a cada 30 m2 de área construída
Bicicleta 1 vaga a cada 100 m2 de área construída (mínima 5)
Motocicleta 1 vaga a cada 250 m2 de área construída (mínima 1)
Fonte dos dados: FLORIANÓPOLIS. Prefeitura Municipal de Florianópolis. Estacionamentos: acessos, padrões e dimensionamento. Florianópolis: PMF, 2014. Disponível em: www.pmf.sc.gov.br/arquivos/arquivos/ pdf/04_02_2014_12.23.47.603f13119ef14d0d45fe7e3f25a491a5.pdf. Acesso em: 3 jun. 2024.
a) Se o paralelogramo a seguir representasse a área construída de um hipermercado no município de Florianópolis, no mínimo, quantas vagas para cada tipo de veículo deveria ter o estacionamento desse hipermercado?
90 m
250 m
b) P esquise no município onde você mora se há alguma norma parecida com essa. Em seguida, elabore um texto descrevendo essas informações e apresente um exemplo de aplicação dessa norma.
Resposta pessoal.
36. O losango ABCD , representado a seguir, tem 36 cm de perímetro, e M, N, O e P correspondem a pontos médios de seus lados. Qual é a área da região representada em azul nesta figura?
Considere sen 30° = 0,5.
Em um triângulo retângulo ABC, cuja hipotenusa é o lado AB e a medida do ângulo interno BA ˆ C é dada por a , temos:
37. O índice ou a taxa de permeabilidade corresponde a um porcentual do terreno que deve ser livre de qualquer edificação, o que permite o escoamento natural da água da chuva e, consequentemente, contribui para a redução de enchentes e alagamentos. Esse índice é regulamentado pelo município e pode variar entre suas diferentes regiões. Por exemplo, em certa região de um município cujo índice de permeabilidade é de 30%, um terreno de 1 0 00 m2 deve ter pelo menos 300 m2 de área permeável.
Fonte dos dados: SÃO PAULO. Projeto de lei no 688, de 31 de julho de 2013. Aprova o Plano Diretor Estratégico do Município de São Paulo. São Paulo: Câmara Municipal, 2013. Disponível em: https://gestaourbana. prefeitura.sp.gov.br/projeto-de-lei-com-links/. Acesso em: 30 jul. 2024.
Área permeável
Representação de terreno com área permeável em destaque.
a) O terreno representado nesse item localiza-se em uma região em que o índice de permeabilidade é de 15%. Qual é a área máxima desse terreno que a construção de uma edificação pode ocupar?
b) Junte-se a um colega e pesquisem as normas da taxa de permeabilidade do município em que vocês moram. Depois, apresentem uma proposta que busque promover o atendimento a essas normas pela comunidade, a fim de contribuir com a redução de possíveis enchentes ou alagamentos na região. Nessa proposta, para exemplificar, representem um terreno, indicando as suas medidas, sua área, seu perímetro e a área de permeabilidade correspondente.
442 m2 Resposta pessoal.
38. (IFSC) Na figura a seguir há três quadrados, sendo 258 cm2 a soma de suas áreas. Qual o perímetro do maior quadrado, em cm, sendo que o menor quadrado tem lado medindo 5 cm?
Assinale a alternativa CORRETA
a) 36 cm
b) 32 cm
c) 6 0 cm
alternativa d
d) 52 cm e) 4 0 cm
39. Você sabe o que é a neutralização do carbono?
Leia o trecho de texto a seguir.
A organização de um grande show, exposição ou feira, por exemplo, demanda muita ação e material utilizado [...]. A ação sustentável é fundamental em uma produção para minimizar os impactos causados por esses eventos. É assim que a neutralização da emissão de carbono se tornou uma das medidas mais utilizadas pelos organizadores e gestores desse segmento.
Ela se dá por meio do plantio de árvores correspondentes à quantidade de gases de efeito estufa que são emitidos em cada situação. Ou seja, quanto maior for o evento, mais árvores deverão ser plantadas para captar CO2 e armazená-lo em forma de biomassa, retirando assim os gases da atmosfera.
SERVIÇO BRASILEIRO DE APOIO ÀS MICRO E PEQUENAS EMPRESAS. Créditos de carbono: como neutralizar quando emitido em eventos. [S l.]: Sebrae, 2019. Disponível em: https://sebrae.com.br/ sites/PortalSebrae/artigos/como-neutralizar-o-carbono-emitido -em-seu-evento,380f5edae79e6410VgnVCM2000003c74010aRCRD. Acesso em: 30 jul. 2024.
Suponha, por exemplo, que para um festival de música estima-se a emissão de 37,1 toneladas de CO2 provenientes do uso de equipamentos, energia elétrica, transporte etc. A organização do evento pretende contratar uma empresa especializada no cálculo da quantidade e no plantio de árvores de certa espécie para minimizar o impacto causado ao meio ambiente.
Nesse caso, estipula-se que cada árvore neutraliza aproximadamente 0,14 tonelada de CO2 por ano e devem ser plantadas 50 mudas dessa árvore a cada 300 m2 de área.
Qual das alternativas apresenta o formato de uma região cuja área mais se aproxima daquela necessária para neutralizar, em um ano, toda a emissão de carbono desse evento?
a) Quadrado com 39 m de lado.
b) Retângulo com dimensões 54 m x 30 m.
c) P aralelogramo com 35 m de base e 30 m de altura.
d) Quadrado com 43 m de lado.
e) Retângulo com dimensões 50 m x 33 m.
v (km/h)
50 55
40. (Epcar-MG) O gráfico a seguir é uma função polinomial do 1o grau e descreve a velocidade v de um móvel em função do tempo t : t (horas) 6 10 0
Assim, no instante t = 10 horas o móvel está a uma velocidade de 55 km/h, por exemplo.
Sabe-se que é possível determinar a distância que o móvel percorre calculando a área limitada entre o eixo horizontal t e a semirreta que representa a velocidade em função do tempo. Desta forma, a área hachurada no gráfico fornece a distância, em km, percorrida pelo móvel do instante 6 a 10 horas.
É correto afirmar que a distância percorrida pelo móvel, em km, do instante 3 a 9 horas
é de:
alternativa b alternativa a
a) 318
b) 306
c) 256
d) 212
41. A luz solar é uma fonte alternativa para a geração de energia elétrica. Em residências comuns, é possível implantar um sistema autônomo de produção de energia fotovoltaica, que gera eletricidade a partir da luz do Sol por meio de painéis solares . Cada painel solar costuma ter formato retangular e é composto de células fotovoltaicas, um dispositivo responsável por captar a luz do Sol e convertê-la em energia elétrica.
Painéis solares instalados no teto do Palácio 29 de Março, prédio que abriga a prefeitura de Curitiba (PR). Fotografia de 2022.
a) N o telhado da residência de uma família, serão instalados painéis solares retangulares com dimensões 1,65 m e 1 m e cuja potência é de 270 W. Para essa instalação, estima-se que cada metro quadrado do painel vai gerar, em média, 21 kWh de energia elétrica por mês.
• A eficiência energética de um painel solar corresponde ao porcentual de energia da luz do Sol que é convertida em energia elétrica por metro quadrado. Para determinar essa eficiência, dividimos sua potência (W) pela área (m2) e, por fim, dividimos o resultado por 10. Calcule a eficiência energética aproximada de cada painel solar que será instalado nessa residência.
• Ne ssa residência, o consumo médio mensal de energia elétrica é de 275 kWh. No mínimo, quantos painéis solares desses são necessários instalar no telhado de maneira a suprir todo esse consumo? Qual será a área ocupada por todos esses painéis solares?
8 painéis solares; 13,2 m2
b) Consulte em uma fatura o consumo médio mensal de energia elétrica de sua residência. Depois, determine quantos painéis do modelo apresentado no item a são necessários instalar para suprir esse consumo.
Resposta pessoal.
c) J unte-se a dois colegas e elaborem uma proposta para a instalação de painéis solares para a geração de energia elétrica em algum prédio público local, como a própria escola, uma unidade básica de saúde, a sede da associação de moradores do bairro etc. Para elaborar essa proposta, investiguem o consumo habitual de energia elétrica desse espaço, pesquisem a eficiência de painéis solares disponíveis e o custo de instalação. Com isso, calculem a área de painéis necessária para suprir a demanda por energia elétrica e representem em um croqui uma possível região onde esses painéis solares podem ser instalados, como um telhado ou área aberta. Por fim, redijam um relatório oficializando a proposta e apresentando argumentos, com base em dados confiáveis, que defendam essa instalação, tanto por motivos ambientais quanto financeiros.
Resposta pessoal.
42. No topo de um prédio serão instalados 30 painéis solares como os indicados na atividade 41, item a , um ao lado do outro, de maneira que a estrutura retangular obtida tenha 1,65 m de largura. Para fixar esses painéis, no contorno da estrutura será instalada uma viga metálica ao custo de R $ 60,00 o metro. Qual é o valor aproximado que será gasto com essa viga?
R$ 3.798,00
43. A prefeitura de certo município vai construir uma pista para caminhadas ao redor de uma praça com formato trapezoidal, conforme representado na imagem. Qual será a área da pista construída?
Considere o triângulo verde representado a seguir, em que b é a medida da base e h é a medida da altura.
Podemos deduzir uma expressão para o cálculo da área desse triângulo, construindo um novo triângulo congruente a ele, em outra posição, conforme representado a seguir. Observe que, unindo esses dois triângulos congruentes, compomos um paralelogramo.
Como os dois triângulos são congruentes, a área do triângulo verde corresponde à metade da área do paralelogramo obtido.
Para calcular a área de um triângulo, podemos multiplicar a medida de sua base pela medida de sua altura relativa a essa base e dividir o produto obtido por 2.
DiCA
Você pode verificar esta composição desenhando triângulos congruentes em uma folha avulsa e recortando-os ou realizando construções no GeoGebra
Dado o triângulo verde, explique como se constrói o triângulo alaranjado de modo que os dois sejam congruentes?
Resposta esperada: Trançando segmentos de retas paralelos a dois lados a partir dos vértices do terceiro lado do triângulo verde.
Acompanhe como podemos calcular a área do triângulo representado a seguir. A = 6 2, 8 2 = 16, 8 2 = 8,4; ou seja, 8,4 cm2
Outra expressão que pode ser utilizada para calcular a área de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas de seus três lados, é a fórmula de Herão . Tal expressão recebe esse nome em homenagem ao estudioso grego Herão de Alexandria (c. 10 d.C.-80 d.C.), que a apresentou em um de seus trabalhos.
Fórmula de Herão: Seja s a medida do semiperímetro de um triângulo cujos lados medem a, b e c. É possível demonstrar que a área desse triângulo é dada por:
= √ s ? (s a ) ? (s b ) ? (s c )
Semiperímetro: corresponde à metade do perímetro de uma figura geométrica plana.
Acompanhe como podemos calcular a área do triângulo representado a seguir utilizando a fórmula de Herão.
Portanto, a área desse triângulo é 10 √ 3 km2 ou, aproximadamente, 17,32 km2.
Já estudamos que um polígono regular cujos lados têm medida l pode ser decomposto, a partir de seu centro O, em triângulos isósceles congruentes. Cada um desses triângulos tem base medindo l e altura correspondente ao apótema a desse polígono regular.
Analise exemplos de como as áreas de alguns polígonos regulares podem ser expressas em função de l e a.
Área do triângulo equilátero:
A = 3 l ? a 2
Área do quadrado: A = 4 l ? a 2
Área do pentágono regular:
A = 5 l ? a 2
Área do hexágono regular: A = 6 l ? a 2
Observando os padrões apresentados nos exemplos e, considerando que um polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos isósceles congruentes, podemos generalizar, por meio de uma expressão, o cálculo da área de qualquer polígono regular, conforme segue.
A = n l ? a 2
PARA PENSAR
Por que a área do quadrado pode ser expressa como apresentada na figura e por l2?
Resposta esperada: Porque, nesse caso, a = l 2
Note que o perímetro p de um polígono regular de n lados de medida l é dado por p = n ? l. Assim, também podemos escrever a expressão do cálculo da área desse polígono regular em função de seu perímetro e de seu apótema. A = n ? l ? a 2 h A = n ? l ? a 2 h A = p ? a 2
A companhe como podemos calcular a área de um hexágono regular cujos lados medem 4 cm.
Na decomposição do hexágono regular, são obtidos seis triângulos equiláteros congruentes. Assim, podemos determinar a medida de seu apótema utilizando o teorema de Pitágoras. Observe.
Portanto, a área desse hexágono regular pode ser calculada da seguinte maneira:
A = 6 ? 4 ? 2 √ 3 2 = 24 √ 3 ; ou seja, 24 √ 3 cm2 ou, aproximadamente, 41,57 cm2.
Relações entre a área
polígono regular
Considere o quadrado I representado a seguir, cuja medida dos lados é expressa por l Vamos indicar o perímetro PI e a área AI desse quadrado em função de l.
I PI = 4l AI = l2
Agora, considere o quadrado II representado a seguir, cuja medida dos lados corresponde ao dobro da medida dos lados do quadrado I.
Note que, ao multiplicar por 2 a medida do lado do quadrado I, obtemos a medida do lado do quadrado II, cujo perímetro e a área correspondem, respectivamente, ao perímetro e à área do quadrado I multiplicados por 2 e por 22
Calcule o perímetro e a área de um quadrado III cuja medida dos lados corresponda ao triplo da medida dos lados do quadrado I Que relação é obtida entre os perímetros e as áreas desses quadrados?
Perímetro: 12 l; área: 9l 2. Resposta esperada: Ao multiplicar por 3 a medida do lado do quadrado I, obtemos o quadrado III, cujo perímetro e a área correspondem, respectivamente, ao perímetro e à área do quadrado I multiplicados por 3 e por 32
De maneira geral, podemos mostrar que, ao multiplicar a medida l do lado do quadrado I por um número real positivo k , obtemos um quadrado de lado k ? l , cujo perímetro é P = k ? P I , e a área é A = k 2 ? A I . Acompanhe.
• P = 4 ? (k ? l) h P = k ? (4l) h P = k ? PI
• A = (k ? l)2 h A = k 2 ? l2 h A = k 2 ? AI
A relação vista para o caso do quadrado é válida e pode ser demonstrada para quaisquer pares de polígonos semelhantes e, em particular, para polígonos regulares.
Considere um polígono regular de n lados de medida l, perímetro P e área A. Ao multiplicar a medida dos lados desse polígono por um número real positivo k , obtemos um polígono regular de n lados de medida k l, perímetro k P e área k 2 ? A.
Vamos exemplificar essas relações considerando um hexágono regular com lados medindo 4 cm, perímetro igual a 24 cm e área igual a 24 √ 3 cm2. Assim, ao multiplicar a medida de seus lados por 3, obtemos um hexágono regular em que:
• os lados medem 12 cm, pois: 3 ? 4 = 12;
• o perímetro é 72 cm, pois: 3 ? 24 = 72;
• a área é 216 √ 3 cm2, pois: 3 2 ? 24 √ 3 = 216 √ 3 .
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R7. Deduza uma expressão para obter a área de um triângulo equilátero ABC em função da medida x de seus lados.
Resolução
Inicialmente, destacamos nesse triângulo a altura AM , relativa ao lado BC
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AMB , temos:
Portanto, a área do triângulo equilátero ABC pode ser obtida da seguinte maneira:
R8. Utilizando homotetia, um pentágono regular foi ampliado, de maneira que sua área aumentou de 12 cm2 para 27 cm2. Qual é o número real positivo k pelo qual deve ser multiplicada a medida do lado do pentágono regular original para se obter a medida do lado do pentágono regular determinado na ampliação?
Resolução
Como a área A I do pentágono regular original é 12 cm2 e a área A II do pentágono obtido na ampliação é 27 cm2 , temos:
A II = k 2 AI h 27 = k 2 12 h
h k 2 = 27 12 h k 2 = 2,25 h
h { ou
k = √ 2, 25 = 1,5 (não convém)
Portanto, k = 1,5.
a) Como o hexágono regular tem seis lados de medidas iguais a x , então seu perímetro é dado por p (x ) = 6x.
Conforme estudado anteriormente, a área do hexágono regular de lado medindo x corresponde à área de seis triângulos equiláteros de lados com essa mesma medida. Assim, segue que:
R9. Utilizando um programa de computador, foram construídos os gráficos das funções p e a que representam, respectivamente, nas correspondentes unidades de medida, o perímetro e a área de um hexágono regular cuja medida dos lados corresponde à variável independente x . Observe.
k = √ 2, 25 = 1,5 ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
a) Determine a lei de formação dessas funções.
b) Como essas funções podem ser classificadas?
c) D etermine a imagem dessas funções para x = 8 e explique o que esses resultados significam no contexto apresentado.
Portanto, p ( x ) = 6x e a (x) = 3
Note que, para determinar a lei de formação da função a, foi utilizada a expressão para o cálculo da área de triângulo equilátero deduzida na atividade resolvida R7.
b) A função p ( x ) = 6 x pode ser classificada como função afim ou, em particular, como função linear. Já a (x ) = 3 √ 3 2 x 2 pode
ser classificada como função quadrática. Ambas funções com domínio real positivo.
c) Para x = 8, temos:
• p (8) = 6 8 = 48;
• a (8) = 3 √ 3 2 ? 8 2 = 192 √ 3 2 = 96 √ 3
I sso significa que um hexágono regular cujos lados medem 8 unidades de comprimento tem perímetro igual a 48 unidades de comprimento e área correspondente a 96 √ 3 unidades de área.
44. Calcule a área dos triângulos representados a seguir.
a) 5,5
triângulos não estão proporcionais.
45. Você se lembra quais são as condições de existência de um triângulo ao analisar as medidas dos três lados? Se necessário, realize uma pesquisa para identificar qual dos itens a seguir apresenta medidas com as quais é possível representar lados de um triângulo. Em seguida, calcule a área desse triângulo.
a) 4 cm, 3 cm e 7 cm
b) 5 cm, 10 cm e 16 cm
c) 9 cm, 5 cm e 6 cm
d) 3 cm, 3 cm e 7 cm
47. (UPE) Rafael decidiu colocar cerâmicas com a forma de hexágonos regulares no piso da sala de seu escritório. Sabendo que a área do piso do escritório mede 25,5 m2 , que a cerâmica mede 10 cm de lado, desconsiderando a área ocupada pelos rejuntes, quantas pedras de cerâmica serão necessárias para cobrir todo o piso dessa sala? Considere √ 3 = 1, 7
a) 225
b) 425
c) 765
d) 1 000
e) 1 250
48. A sinalização horizontal nos helipontos é um dos auxílios visuais para identificar o local de pouso do helicóptero. Para helipontos não localizados em hospitais, a região segura para o toque do helicóptero no momento do pouso é representada por um triângulo equilátero com 25 √ 3 m2 de área. Qual é o perímetro, em metro, dessa região triangular?
alternativa d 30 m
49. (UTFPR) As medidas de bandeiras no Brasil foram normatizadas por um tamanho-padrão chamado “pano”, que é igual a 0,64 m de largura por 0,45 m de altura. Os demais tamanhos são múltiplos ou submúltiplos deste padrão. Assim uma bandeira de 1,5 panos tem largura de 1,00 m por 0,70 m de altura.
Fonte: http://ww w.casacivil.pr.gov.br/modules/ conteudo/conteudo.php?conteudo=10.
Considere a bandeira do Estado do Paraná de 1,5 panos, figura abaixo.
46. Calcule a área do polígono regular representado a seguir, cujas medidas indicadas são aproximadas.
alternativa c; área: 10 √ 2 cm2 173,76 cm2
A soma das áreas em formato triangular, em m2 , é igual a: a) 0,1137. b) 0,2275. c) 0,3343. d) 0,6331. e) 0,7371.
50. O ladrilhamento a seguir foi construído em um programa de computador. Nele, foram utilizados hexágonos e triângulos regulares, todos esses polígonos com lados medindo 12 cm. Qual é a área total aproximada desse ladrilhamento? Considere 3 1 1,7. 7 344 cm2
51. Uma indústria produz bolas de futebol cuja superfície é composta de peças de couro com formatos de pentágonos regulares e hexágonos regulares, todos com 5 cm de lado. As laterais dessas peças são unidas conforme a figura a seguir.
52. Analise os gráficos a seguir. Nestes planos cartesianos, os eixos têm escalas diferentes.
a) Q ual é a área, em centimetro quadrado, de cada peça de couro dessas? Considere sen 54° 1 0,81, cos 54° 1 0,59 e tg 54° 1 1,38.
b) Para costurar cada lateral de uma peça de couro em uma lateral de outra peça, utilizam-se 7,2 cm de linha. Quantos metros de linha são necessários para costurar toda a superfície de uma bola dessas?
51. a) peça com formato de pentágono regular: aproximadamente 43,125 cm2; peça com formato de hexágono regular: 37,5 √ 3 cm2 ou, aproximadamente, 65 cm2 6,48 m
a) Q uais gráficos representam as funções f e g que expressam, respectivamente, a variação do perímetro e da área de um mesmo triângulo equilátero de acordo com a medida x do lado?
b) Escreva a lei de formação das funções f e g , descritas no item anterior. Depois, classifique-as em: função modular, função afim, função quadrática, função exponencial ou função logarítmica.
53. Junte-se a um colega, e representem um quadrado cuja medida do lado seja expressa por x Depois, resolvam as questões a seguir.
a) Escrevam as funções p e a que representam, respectivamente, o perímetro e a área desse quadrado de acordo com a medida do lado x .
b) C alculem a imagem dessas funções para alguns valores reais positivos de x e expliquem o que esses resultados significam no contexto apresentado.
Resposta pessoal.
c) Utilizando uma malha quadriculada ou um programa de computador, construam os gráficos dessas funções em um plano cartesiano. Em seguida, classifiquem essas funções de acordo com suas características f : gráfico IV; g: gráfico I
Resposta nas Orientações para o professor.
Leia com atenção a situação descrita a seguir.
A técnica de pivô central de irrigação é uma das mais utilizadas na agricultura. Nela, uma torre central fixa ancora toda uma estrutura móvel que, ao girar em torno dessa torre, lança água por meio de aspersores. A região irrigada tem formato de círculo.
Estrutura móvel: estrutura que realiza os movimentos circulares e contém os aspersores que lançam a água.
Torre central fixa: centro da região circular irrigada. Ancora toda a estrutura móvel.
Sistema que transporta água de uma fonte para torres móveis.
Qual é a área da região irrigada por um sistema desse cuja estrutura móvel tem 25 m de comprimento a partir da torre central fixa?
Para resolver essa situação, o que será realizado na próxima página, podemos calcular a área A de um círculo por meio da expressão a seguir, em que r corresponde à medida do raio desse círculo:
A = pr 2
Observe duas maneiras de deduzir essa expressão. • 1a maneira
Consideramos, inicialmente, um círculo de raio r circunscrito a um polígono regular de n lados de apótema an e de perímetro pn. Já estudamos que a área An desse polígono pode ser expressa por:
Representação da estrutura de um pivô central de irrigação. a n r O
An = pn ? an 2
Note que a área desse polígono regular é menor que a área do círculo. Imagine, agora, que a quantidade n de lados desse polígono regular cresça indefinidamente, mantendo-o inscrito no círculo. Com isso, o apótema an tende para a medida do raio da circunferência (an H r ), o perímetro pn tende para o comprimento da circunferência (pn H 2pr ) e a área An do polígono regular tende para a área A do círculo (An H A). Portanto: An = pn ? an 2 H A = 2pr ? r 2 h A = pr 2
• 2a maneira
Vamos considerar um círculo de raio r dividido igualmente em n setores circulares, sendo n um número par. Com esses setores circulares podemos compor uma figura cujo formato lembra o de um paralelogramo. Acompanhe.
A medida da altura corresponde aproximadamente à medida do raio do círculo.
A medida da base corresponde aproximadamente à metade do comprimento da circunferência.
Imagine que a quantidade n de setores aumente indefinidamente, então a área do círculo tende a ser a área A de um paralelogramo, de base p r e altura r, que pode ser expressa da seguinte maneira:
Vamos retornar à situação apresentada no início da página anterior e determinar a área da região irrigada. Para isso, basta calcular a área de um círculo de raio medindo 25 m:
A = p ? 252 = 625p 1 625 ? 3,14 = 1 962,5
Portanto, a região irrigada tem área igual a 625p m2 ou, aproximadamente, 1 962,5 m2
R10. Determine a área do setor circular destacado em amarelo no círculo representado, cujo raio mede 2 cm.
Resolução
Para resolver esta atividade, podemos elaborar um algoritmo, que consiste em etapas com instruções descritas e ordenadas. Acompanhe.
1a ) Determinamos a medida do ângulo central a correspondente ao setor circular em amarelo.
a = 360° 150° = 210 °
2a ) Calculamos a área total A do círculo.
A = p ? 22 = 4p , ou seja, 4p cm2
3a ) De acordo com a proporcionalidade entre a medida do ângulo central e a área do setor circular correspondente, determinamos a medida x da área do setor circular em amarelo.
Portanto, o setor circular em amarelo tem área igual a 7 3 p cm2 ou, aproximadamente, 7,33 cm2
Nas atividades desta página, utilize 3,14 como aproximação de p
54. Calcule a área de um círculo cujo:
a) r aio mede 10 cm. b) r aio mede 3,5 m. c) diâmetro mede 12 dm. d) perímetro é 56,52 cm.
55. Calcule a área aproximada do setor circular destacado em azul.
56. Em um jardim retangular, com 7,85 m de largura e 20 m de comprimento, estão instalados dois aspersores. Cada aspersor desses irriga uma região circular de raio r desse jardim, de modo que nenhuma parte do jardim é molhada por ambos os aspersores.
Sabendo que 64% da área desse jardim não é irrigada por esses aspersores, determine a medida aproximada de r.
57. Inaugurado em 1996, o Museu de Arte Contemporânea de Niterói (MAC) é um dos mais importantes monumentos da arquitetura do estado do Rio de Janeiro. Idealizado por Oscar Niemeyer (1907-2012) com cerca de 16 m de altura, o prédio possui, na parte superior, uma superfície circular com aproximadamente 2 mil metros quadrados.
O diâmetro da superfície circular correspondente à parte superior do prédio do MAC mede aproximadamente: a) 12,5 m. b) 25 m. c) 5 0 m. d) 75 m. e) 10 0 m.
alternativa c
58. a) Resposta esperada: O cálculo da área é feito por etapas:
1a) Calcular a área A1 da circunferência de raio 8 cm: A1 = p ? 82 = 64p
2a) Calcular a área A2 da circunferência de raio 5 cm: A2 = p ? 52 = 25p.
3a) Calcular A1 A2, que corresponde à área da coroa circular:
A = A1 A2 = 64p 25p = 39p
Portanto, a área da coroa circular é 39p cm2 ou, aproximadamente, 122,46 cm2 (39 ? 3,14 = 122,46).
58. A figura a seguir é formada por duas circunferências de mesmo centro O e raios de 8 cm e 5 cm.
A região destacada em roxo é denominada coroa circular, e corresponde à região delimitada entre duas circunferências concêntricas, ou seja, de mesmo centro.
a) E screva um algoritmo que permita determinar a área da coroa circular em roxo e determine seu valor.
b) Agora, considere duas circunferências concêntricas de raios R e r, com R . r. Com base no algoritmo que você escreveu no item a , deduza uma expressão que permita calcular a área A da coroa circular delimitada por essas circunferências. A = p(R2 r 2)
59. Calcule a área aproximada de uma coroa circular determinada por duas circunferências concêntricas:
a) de raios 13 cm e 10 cm.
b) de diâmetros 9 cm e 4 cm.
O MAC oferece, em uma perspectiva futurista, uma vista diferenciada da Baía de Guanabara. Rio de Janeiro (RJ). Fotografia de 2022.
cm2
60. (Enem/MEC) Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de estacionamento.
O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um valor de acordo com a área total dessas placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para p .
Qual é a soma das medidas das áreas, em centimetros quadrados, das dez placas?
cm2 alternativa b
a) 16 628 b) 22 280 c) 28 560 d) 41 120 e) 6 6 240
O ser humano, desde as civilizações mais antigas, desenvolveu métodos e instrumentos próprios para realizar medições de terrenos. No Egito antigo, por exemplo, o faraó contratava trabalhadores, denominados agrimensores, para realizar medições a fim de restabelecer as fronteiras físicas das propriedades localizadas às margens do Nilo, que costumam ser desfeitas nas cheias desse rio. Esse método, que hoje pode ser considerado rudimentar, na época era suficiente para descrever, delimitar e avaliar as propriedades.
CENA de colheita.
[ca. 1400 a.C.-1352]. Têmpera sobre papel, 76 cm × 186 cm. Museu Britânico, Londres (Inglaterra). Cópia do detalhe de pintura na tumba de Menna, localizada em Tebas (Egito), datada da 18a Dinastia. Nela aparecem agrimensores medindo o campo com cordas enroladas no braço, para estimar a colheita e calcular a parte que caberia ao faraó.
Os avanços tecnológicos colaboraram para o desenvolvimento das técnicas que agilizam e tornam mais precisas as medições de áreas como aquelas que envolvem o uso de topologia, cartografia, geodésia e GPS.
No entanto, ainda hoje, existem situações nas quais esses métodos mais recentes de agrimensura não são utilizados. Por exemplo, em propriedades de agricultura familiar, onde métodos como esses podem não estar disponíveis, são utilizadas estratégias próprias, muitas vezes preservadas da cultura local, para estimar a extensão de terra que será cultivada e planejar a aplicação de fertilizantes. Uma dessas estratégias é o método de cubagem da terra, que possibilita a medição aproximada de áreas de terrenos com diferentes formatos de quadriláteros, e possuem variações nas diversas regiões do país. Acompanhe um exemplo desse processo.
1a) Realiza-se a medição dos lados do terreno.
2a) Calcula-se a média aritmética das medidas dos pares de lados opostos desse quadrilátero.
• Média entre AB e CD : 62 + 76 2 = 138 2 = 69
• Média entre AD e BC : 57 + 45 2 = 102 2 = 51
3a) Associam-se os resultados obtidos anteriormente a lados de um retângulo. Ao calcular a área desse retângulo, determina-se uma aproximação para a área do terreno.
• Área aproximada do terreno: 69 ? 51 = 3 519; ou seja, 3 519 m2
1. Algumas respostas possíveis: Engenheiro agrimensor, pedreiro, geólogo. 2. b) s = ab + ad + bc + cd 4
PENSANDO NO ASSUNTO Não escreva no livro.
1. Atualmente, diferentes profissionais realizam a medição de terrenos em suas atividades, como o engenheiro civil na realização de um projeto de construção. Pesquise outros profissionais cujas atividades envolvem medições de terrenos.
2. Considere um terreno com formato de quadrilátero qualquer e cujas medidas dos lados opostos são indicadas por a e c e por b e d .
a) Escreva uma expressão para representar o perímetro p desse terreno. p = a + b + c + d
b) De acordo com o método da cubagem da terra apresentado, escreva uma expressão s para representar a área estimada desse terreno.
3. Em um terreno com formato de quadrilátero convexo com lados medindo 180 m, 225 m, 95 m e 120 m, um agricultor pretende plantar 12 sementes de certa leguminosa por metro quadrado. Utilizando a expressão que você escreveu no item b da atividade anterior, estime quantas sementes dessa leguminosa devem ser plantadas nesse terreno.
284 625 sementes
4. Estudamos que os métodos utilizados para o cálculo aproximado da área de terrenos podem variar de acordo com a região do país. Junte-se a um colega, e façam o que se pede em cada item.
a) Investiguem se na região em que vocês moram é utilizado algum desses métodos e, em caso afirmativo, expliquem como ele é realizado na prática. Vocês podem pesquisar em livros, sites ou conversar com pessoas da comunidade.
Resposta pessoal.
b) E scolham um terreno com formato irregular no município em que vocês moram para estimar a área dele. Para isso, vocês podem realizar as etapas a seguir.
Respostas pessoais.
1a) Com o auxílio de mapas digitais, disponíveis em aparelhos GPS, sites e aplicativos, realizem medições nesse terreno a fim de determinar as medidas necessárias para estimar a área dele pelo método que vocês pesquisaram no item a .
2a) Estimem a área desse terreno por meio do método pesquisado no item a . É importante ficarem atentos ao uso adequado das unidades de medida de área.
3a) Elaborem uma apresentação do trabalho desenvolvido. Vocês podem optar por relatório escrito, vídeo ou podcast para divulgar o método utilizado e os resultados obtidos na estimativa da área desse terreno.
Nesta Unidade, estudamos expressões para obter a área de alguns polígonos e de círculos. No entanto, há situações em que a área a ser determinada não corresponde a círculos e não pode ser decomposta perfeitamente em polígonos. Nesses casos, podemos utilizar algumas estratégias para obter aproximações dessas áreas. Para exemplificar isso, acompanhe a situação a seguir.
Em uma propriedade rural são cultivados alimentos orgânicos. Para determinar a quantidade de adubo necessária a ser aplicada em certa região dessa propriedade, é preciso calcular sua área aproximada. Observe na figura, em certa escala, uma representação dessa região.
20 m
Para resolver essa situação, é possível representar essa região sobre uma malha quadriculada cuja medida do lado de cada quadradinho seja de 1 cm e, então, realizar as seguintes etapas.
1a) Determinar a quantidade de quadradinhos inteiros que ocupam o interior dessa região.
• Nesse caso, há 50 quadradinhos.
De acordo com a escala apresentada, cada 1 cm da malha corresponde a 20 m dessa região. Assim, cada quadradinho da malha representa uma área de 400 m2, pois 202 = 400.
2a) Determinar a quantidade mínima necessária de quadradinhos para cobrir completamente a região.
• Nesse caso, há 88 quadradinhos.
3a) A partir das etapas anteriores, podemos concluir que a área da região representada é:
• maior que 20 000 m2, pois 50 ? 400 = 20 000;
• menor que 35 200 m2, pois 88 ? 400 = 35 200.
Para determinar uma medida aproximada para a área dessa região, é razoável calcular a média aritmética entre 20 000 m2 e 35 200 m2.
20 000 + 35 200 2 = 27 600
Portanto, a área da região em que o adubo deve ser aplicado é de, aproximadamente, 27 600 m2.
AT¡v¡DaDe resolv¡da
R11. O matemático tcheco Georg Alexander Pick (1859-1942) publicou, em 1899, uma fórmula para calcular a área de um polígono cujos vértices são pontos de uma rede no plano.
A fórmula publicada por Pick é dada por A = 0,5 ? B + I 1, em que B é a quantidade de pontos situados na borda do polígono e I é a quantidade de pontos situados na região interior do polígono.
Utilizando a fórmula de Pick, podemos estimar a área de uma figura com formato irregular; para isso, construímos uma rede de pontos sobre a figura. Em seguida, com vértices nessa rede, construímos um polígono cujos formato e tamanho sejam aproximados aos da figura irregular, conforme exemplo a seguir.
Rede: conjunto de pontos dispostos de maneira regular, vertical e horizontalmente, de maneira que a distância entre cada um deles e os pontos mais próximos, horizontal ou verticalmente, é igual a 1 unidade.
Com base nessa imagem, calcule a área aproximada da figura verde utilizando a fórmula de Pick.
Resolução
Contando os pontos na borda e no interior do polígono representado obtemos, respetivamente, B = 19 e I = 17. Substituindo esses valores na fórmula de Pick, temos:
A = 0,5 ? 19 + 17 1 = 25,5
Portanto, a área da figura verde é aproximadamente 25,5 cm2
61. a) Uma resposta possível: Utilizando como estratégia o método de contar a quantidade de quadradinhos internos à figura e a quantidade necessária para cobri-la e, em seguida, calcular a média aritmética dos resultados obtidos, pode-se obter a área aproximada de 9,875 cm2
61. b) Uma resposta possível: Utilizando como estratégia a construção de um polígono com formato e tamanho próximos aos da figura e, em seguida, calcular a área utilizando a fórmula de Pick, pode-se obter a área aproximada de 107,5 m2.
61. Em cada item a seguir, calcule a área aproximada da figura azul. Depois, descreva a estratégia utilizada em cada caso.
a)
0,5 cm 0,5 cm
b) 1 m 1 m
62. Você já visitou um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM)? Em laboratórios como esses estão disponíveis diversos materiais que podem ser utilizados no estudo de conceitos matemáticos. Um deles é o planímetro, que permite calcular a área de figuras irregulares.
O planímetro é composto basicamente de duas hastes articuladas ligadas por um tambor graduado chamado integrante.
Um estudante calculou a área aproximada da figura representada a seguir utilizando uma malha quadriculada.
1 dm 1 dm
Depois, com um planímetro, determinou que a área dessa figura corresponde a 85,8 dm2
• Qual é a diferença, em decimetro quadrado, entre a área da figura obtida por esse estudante com o planímetro e a calculada com a estratégia da malha quadriculada, apresentada anteriormente?
2,7 dm2
63. Uma aplicação da fórmula de Pick é o cálculo da área aproximada de regiões em um mapa geográfico. Analise o mapa a seguir representando o estado de Roraima, construído sob uma rede de pontos, e o contorno do polígono traçado com vértices nessa rede.
Estado de Roraima
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 158.
a) De acordo com a escala desse mapa, cada quadrado obtido a partir dos 4 pontos mais próximos corresponde a que área do estado de Roraima?
14 400 km2
b) Utilizando a fórmula de Pick, e com base no mapa, calcule a área aproximada do estado de Roraima.
c) D e acordo com o IBGE, a área do estado de Roraima é de, aproximadamente, 224 274 k m 2 . Compare esse valor com aquele que você obteve no item anterior. Em sua opinião, você obteve uma boa aproximação? Justifique.
252 000 km2 Resposta pessoal.
64. Utilizando uma imagem de satélite e o GeoGebra , um agricultor pretende calcular a área aproximada de uma reserva legal em sua propriedade. Acompanhe o que ele fez após importar a imagem de satélite para o GeoGebra
Área do polígono externo: 32,18 cm2
Área do polígono interno: 21,57 cm2
a) Estime a área aproximada da reserva legal nessa propriedade, sabendo que cada 1 cm no GeoGebra representa 100 m na realidade.
268 750 m2
b) E ssa reserva legal corresponde a 20% da área total dessa propriedade. Qual é a área, em metro quadrado, da parte dessa propriedade que não corresponde à reserva legal?
1 075 000 m2
c) A á rea do imóvel rural, destinada à reserva legal, varia de acordo com o bioma em que a propriedade está localizada. Essa medida está prevista na Lei no 12.651, que estabelece normas gerais sobre a proteção da vegetação. Pesquise informações sobre essa lei para redigir um texto argumentativo, apresentando fatos para defesa de seu ponto de vista a respeito do seguinte tema: Enquanto ambientalistas defendem a preservação das áreas nativas, parte do setor produtivo alega que se trata de intromissão indevida do Estado sobre a propriedade privada, o que pode colocar em risco a produção agrícola.
Resposta pessoal.
Fonte dos dados: BRASIL. Lei no 12.651, de 25 de maio de 2012 . Dispõe sobre a proteção da vegetação nativa [...] e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, [2023]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/_ato2011-2014/2012/lei/l12651.htm. Acesso em: 24 jul. 2024.
65. Na aula de Matemática, foi proposto aos estudantes que calculassem a área aproximada da figura representada a seguir.
10 m
15 m
Analise as estratégias que dois estudantes utilizaram para resolver esta questão.
Estudante 1 1 m 1 m
Estudante 1: 112,5 m2; estudante 2: 114 m2
Resposta pessoal.
Estudante 2 1 m 1 m
Calcule a área aproximada que cada estudante obteve. Em uma roda de conversa, debata com os colegas sobre a diferença nos resultados obtidos, analisando as estratégias utilizadas.
66. Com um colega, representem, sobre uma malha quadriculada, uma região irregular e elaborem um problema envolvendo o cálculo de área. Em seguida, troquem o problema que vocês elaboraram com outra dupla para que uma resolva o problema proposto pela outra. Ao final, juntem as duplas e confiram as resoluções.
Resposta pessoal.
1. d) Sim, pois essas duas pessoas podem construir diferentes polígonos externo e interno à figura amarela e, consequentemente, determinar áreas diferentes para esses polígonos, assim como uma média aritmética também diferente entre essas áreas.
1. e) Resposta esperada: Construir polígonos, interno e externo à figura amarela, de maneira que as áreas desses polígonos estejam mais próximas da área da figura.
Podemos calcular a área aproximada de uma figura “irregular” usando o software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível para acesso on-line e download em https://www.geogebra.org/download (acesso em: 30 jul. 2024). Acompanhe um exemplo.
A Digitalizamos a figura amarela e importamos para o GeoGebra. Em seguida, utilizando a opção (Polígono), construímos um polígono externo a essa figura, aproximando seu contorno do contorno da figura amarela. Nesse caso, construímos um hexágono. De maneira análoga, construímos um hexágono interno a essa figura amarela, com vértices no contorno dela. Utilizando a opção (Área), obtemos a área dos dois hexágonos construídos.
B Para calcular a área aproximada A da figura amarela, no campo Entrada digitamos =(128.8+86.22)/2 e pressionamos a tecla Enter. O resultado pode ser observado na Janela de Álgebra.
1. Em relação ao exemplo apresentado, resolva os itens a seguir.
a) Qual é a área AE do hexágono que foi construído externo à figura amarela? E a área AI do hexágono que foi construído interno à figura amarela? AE = 128,8 u.a; AI = 86,22 u.a.
b) S endo a área da figura amarela indicada por A , qual alternativa apresenta uma desigualdade verdadeira? AI , A , AE
• AE , A , AI
• AE , AI , A
• A , AI , AE
• AI , A , AE
• AI , AE , A
c) Escreva uma expressão que relacione A, AE e AI
d) U sando os mesmos procedimentos do exemplo, você acredita que duas pessoas podem determinar aproximações diferentes para a área da figura amarela? Justifique. A 1 AE + AI 2
2. Espera-se que os estudantes determinem um valor próximo a 12 cm2 para a área da figura.
e) Q ue modificações poderiam ser feitas nos procedimentos do exemplo para se obter uma melhor aproximação para a área da f igura amarela? Justifique.
2. Digitalize a figura representada a seguir e, usando o GeoGebra , realize procedimentos análogos aos do exemplo determinando a área aproximada dela. No caderno, registre informações a respeito de cada etapa realizada.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) O uvi com atenção as explicações do professor.
b) Qu ando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.
2 . Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Polígonos
Polígonos regulares
Ladrilhamento do plano
Área de polígonos: retângulo, quadrado, paralelogramo, losango, trapézio e triângulo
Área de um polígono regular
Relações entre a área e o perímetro de um polígono regular
Área do círculo
Outras estratégias para o cálculo de área de superfícies
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas, e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. O block puzzle é um e xemplo de game de quebra-cabeça em duas dimensões, em que o jogador pode movimentar as peças apenas de duas maneiras, verticalmente e horizontalmente, com o objetivo de encaixá-las e evitar que se acumulem até o limite do plano de frente do jogo, lugar em que fica o cenário da composição das peças; no plano de fundo, há informações sobre o jogo, como pontuação, tempo e a próxima peça.
a) Um designer gráfico está projetando uma variação desse jogo para certo modelo de videogame portátil de tela quadrada de 72,25 cm2 , em que o plano de frente tem formato retangular e o plano de fundo ocupa toda a tela. Observe na figura
Com base nessas informações, responda às questões.
• Quantos centimetros quadrados tem o plano de frente desse jogo?
• Qual é a área do plano de fundo desse jogo?
• Qual é a medida do lado da tela desse videogame?
b) Na elaboração de um objeto cúbico que fará parte do cenário de um game, foi desenvolvido um projeto com modelagem poligonal. Acompanhe as etapas desse desenvolvimento de maneira simplificada.
1a_) Uma figura de cubo foi construída.
2a_) Em cada face dessa figura foram traçadas as diagonais, permitindo maior possibilidade de movimentação do objeto na cena.
3a_) A superfície da figura foi colorida e foram acrescentados detalhes de acabamento.
Considerando que o cubo representado na 1a etapa tenha aresta de 5 cm de comprimento, resolva as questões a seguir.
• Qual é o perímetro de cada face do cubo representado?
• Qual é a área da superfície de cada face do cubo representado?
• Na 2a etapa, quais são as medidas dos lados de cada triângulo obtido nas faces do cubo? Qual é a área de cada um desses triângulos?
• C aso a medida da aresta do cubo dobre, o que ocorre com o perímetro de cada face? E o que ocorre com a área de cada face?
O perímetro dobra. A área é multiplicada por 4.
1. (UFMS) Em geometria, existem muitas simetrias, estudos dos ângulos internos e externos de uma figura. Nesse sentido, um aluno de Matemática desenhou um pentágono regular e, a partir dos seus vértices, traçou todas as diagonais. Assim, verificou a formação de uma estrela de cinco pontas, conforme a figura a seguir:
Não escreva no livro.
4. (Enem/MEC) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m.
Ao somar os ângulos internos das pontas da estrela, o valor encontrado foi de: alternativa c
a) 1 440°
b) 540 ° c) 180° d) 108 ° e) 30 °
2. (UECE) Os ângulos formados, no interior de um pentágono regular, pelo encontro de seus lados e diagonais possuem as seguintes medidas:
a) 30°, 45° e 60° .
b) 45°, 60° e 75° .
Qual é a medida da área, em metro quadrado, ocupada pela calçada? alternativa d a) 1 000 b) 900 c) 600 d) 500 e) 400
c) 60°, 84° e 108
d) 36°, 72° e 108
3. (UFRR) Uma criança montou um mosaico utilizando quatro azulejos em formato de hexágono regular de lado 10 cm. Sua mãe resolveu colocar o mosaico numa moldura retangular, conforme a figura, a seguir.
5. (UEL-PR) Um quatrefoil é uma figura simétrica comumente usada em arte, design e arquitetura. Sua forma é antiga e o nome vem do latim, significando “quatro folhas”. Ele possui quatro folhas de mesmo tamanho, com formato circular, interconectadas, as quais se sobrepõem ligeiramente, e se assemelha a uma flor de quatro pétalas. Considere dois exemplos de quatrefoil , a seguir.
Exemplo A
Exemplo B
A área da região interna à moldura, que não ficou coberta pelos azulejos é de: alternativa a
a) 400 3 cm2
b) 600 3 cm2
c) 1 000 3 cm2
d) 500 3 cm2
e) 200 3 cm2 alternativa d
Pretende-se construir um quatrefoil similar ao apresentado no Exemplo A , no qual as folhas são formadas por semicírculos.
Sabendo que seu perímetro deve ser de 28 p cm, determine a área total da figura a ser construída. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. A = (196 + 98p) cm2
6. (Unicamp-SP) Sr. Gauss tem uma pizzaria, chamada p -zzaria , que vende dois tipos de pizzas circulares: uma individual, de diâmetro d ; e uma de 20 cm de diâmetro, partida em quatro pedaços iguais.
Considerando que o preço de uma pizza é proporcional à sua área, qual precisa ser o valor de d para que quatro pizzas individuais custem o mesmo que a pizza mencionada, de quatro pedaços? a) 6 cm. b) 8 cm. c) 10 cm. d) 12 cm.
7. (UEA-AM) Considere o retângulo ABCD, de diagonal BD e o quadrado EFGH , cujas áreas são, respectivamente, iguais a 32 cm2 e 16 cm2. Os vértices do quadrado estão sobre os lados do retângulo, e a diagonal BD intersecta os lados do quadrado nos pontos P e Q , conforme mostra a figura.
EDITORIA DE ARTE
foradeescala
ILUSTRAÇÕES:
Sabendo que os segmentos AE e FB possuem a mesma medida, a área do trapézio GHPQ , destacado na figura, é igual a alternativa d
a) 8 ,5 cm2 b) 9,5 cm2 c) 9,0 cm2 d) 8 ,0 cm2 e) 10,0 cm2
8. (UFPR) Na figura a seguir, estão representadas quatro circunferências de raio r = 1 cm que são tangentes nos pontos A , B , C e D . Assinale a alternativa que corresponde ao valor, em cm2 , da área hachurada em cinza. alternativa d
9. (Uesb-BA) Considere o triângulo ABC , retângulo em A . Sabendo-se que a medida do cateto AB mede 12 cm e que o ângulo formado pelo cateto AB e pela hipotenusa mede 60°, é correto afirmar que alternativa e a) a m edida da hipotenusa é um número irracional.
b) o cateto AC mede 12 cm.
c) o perímetro do triângulo ABC mede 12(1 + 3 ) cm.
d) a área do triângulo ABC mede 144 3 cm2
e) a r azão entre as medidas de AB e AC , nesta ordem, é menor do que 2 3 .
10. (UFRGS-RS) No retângulo ABCD, representado na figura abaixo, os três ângulos destacados com vértice em C são iguais.
a)
A área do triângulo sombreado AEC , em relação à área total do retângulo, corresponde a a) 1 2 b) 1 3 c) 2 5 d) 3 5 e) 2 3
11. (UEA-AM) No retângulo ABCD , na figura, o ponto E foi tomado sobre o lado AB e o ponto F foi tomado sobre o lado CD de modo que o segmento EF s eja paralelo ao lado BC e o s ângulos EDF e BFE sejam congruentes.
12 cm
Sabendo que BC = 12 cm e que a razão entre as áreas dos triângulos EDF e BFE é 9 4 , o perímetro do retângulo ABCD é
a) 6 4 cm.
b) 76 cm. c) 8 0 cm. d) 6 8 cm. e) 72 cm. alternativa b
fora de escala alternativa b
12. (UFJF-MG) A figura abaixo apresenta a tela de um radar térmico que, na cor cinza, indica a região de uma floresta onde foi detectada uma grande queimada. Nessa tela, as circunferências são concêntricas em O, e as medidas de seus raios estão indicadas na tela, em kilometros. Há também seis retas que passam pelo ponto O e que dividem cada circunferência em arcos de mesma medida.
Utilize 3 como aproximação para o número p
14. (Unicamp-SP) Na figura a seguir, ABCD é um trapézio com AB = 1 e CD = 5. Os pontos M e N são pontos médios de AB e BC , respectivamente.
AB N M
Sabendo que a área de MBN é 1, a área do trapézio é:
a) 18. b) 20. c) 22. d) 24.
15. (UECE) Seja XYZW um trapézio, onde XW é a base maior. Se XZ e YW são as diagonais do trapézio e K é a interseção da reta paralela à diagonal YW pelo vértice Z com o prolongamento da base XW, então, é correto dizer que
alternativa a
A extensão, em kilometros quadrados, da área de queimada indicada pelo radar mede a) 275,0 b) 287,5 c) 295,0 d) 365,0 e) 575,0
13. (Enem/MEC) A figura representa uma escada com três degraus, construída em concreto maciço, com suas medidas especificadas.
a) a á rea do triângulo XYZ é maior do que a área do triângulo WZK .
b) a á rea do triângulo XYZ é menor do que a área do triângulo WZK
c) a á rea do trapézio XYZW é igual à área do triângulo XZK
d) a á rea do trapézio XYZW é maior do que a área do triângulo XZK
16. (Unesp) O hexágono marcado na malha quadriculada sobre a fotografia representa o contorno do campus da Unesp de Rio Claro, que é aproximadamente plano.
Nessa escada, pisos e espelhos têm formato retangular, e as paredes laterais têm formato de um polígono cujos lados adjacentes são perpendiculares. Pisos, espelhos e paredes laterais serão revestidos em cerâmica. A área a ser revestida em cerâmica, em metro quadrado, mede alternativa e a) 1,20. b) 1,35. c) 1,65. d) 1,80. e) 1,95.
A área aproximada desse campus , em km2 , é um número pertencente ao intervalo
a) [0,8; 1,3[
b) [1,8; 2,3[ c) [2,3; 2,8[ d) [1,3; 1,8[ e) [0,3; 0,8[ alternativa d alternativa c alternativa a
Conectividade
Atualmente, o modo mais comum de acessar a internet é por meio de smartphones
O mundo virtual é um espaço de expressão e de descobertas. Além de entretenimento, esses ambientes possibilitam o acesso a informações por meio de noticiários e de sites que ajudam na formação educacional, por exemplo. O modo como lidamos com a quantidade de informação disponível, como nos posicionamos e como nos expressamos nesses ambientes ajuda a construir a nossa identidade.
É importante ter clareza que, apesar dos benefícios, são necessários diversos cuidados. É fundamental que tenhamos bom senso quando estamos utilizando a internet, além de ficarmos atentos ao uso excessivo, ou seja, ao tempo que ficamos conectados e ao tipo de informação que estamos acessando. Ficar muitas horas na internet pode comprometer a qualidade de vida e desencadear alguns problemas de saúde. De acordo com uma pesquisa realizada em 2023, abrangendo 45 países, o Brasil é o 2o colocado em relação ao tempo diário que os usuários passam em frente de telas (celular, computador, tablet etc.), conectados à internet: cerca de 572 minutos em média.
Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE INTERNET. Brasil é o 2o no mundo em tempo de tela: 9h32 por dia. [São Paulo]: Abranet, 1 ago. 2023. Disponível em: https://www.abranet. org.br/Noticias/Brasil-e-o-2%BA-no-mundo-em-tempo-de-tela%3A-9h32-por-dia -4453.html?UserActiveTemplate=site. Acesso em: 9 ago. 2024.
Respostas nas Orientações para o professor
Não escreva no livro.
Após ler as informações, converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.
1. Você costuma utilizar recursos tecnológicos digitais em seu dia a dia? Com que frequência?
2. De acordo com a pesquisa citada no texto, o usuário brasileiro fica, em média, 572 minutos por dia em frente de telas, navegando na internet. Com suas palavras, explique o que o termo média significa no contexto apresentado.
3. Você conhece algum caso de pessoa que teve problemas de saúde por causa do uso excessivo de telas? Comente com os colegas e o professor.
Você provavelmente estudou diferentes tipos de tabelas e de gráficos, recursos visuais que podem ser utilizados para representar conjuntos de dados. No entanto, em algumas situações, é de interesse do pesquisador utilizar um único valor, ou alguns poucos valores, para representar um conjunto de dados que pode ser obtido em uma pesquisa. Esses valores são conhecidos como medidas de posição ou medidas de tendência central , pois estão relacionados com a posição do valor dentro do conjunto de dados. A seguir, estudaremos a média aritmética, a média aritmética ponderada, a moda e a mediana, que são algumas medidas de posição.
Na abertura desta Unidade, obtivemos algumas informações sobre o uso das tecnologias. Uma das maneiras de reduzir os riscos ocasionados pelo uso excessivo da internet em smartphones é controlar o tempo de uso. Alguns sistemas operacionais desses dispositivos oferecem, de maneira periódica, relatórios com informações detalhadas sobre o tempo de uso do aparelho e dos aplicativos mais utilizados. Observe, a seguir, o relatório de um smartphone que indica o tempo diário de uso do aparelho em determinada semana.
PARA PENSAR
Explique como seria possível calcular a média diária de uso desse smartphone em certo mês.
Resposta esperada: Adicionando o tempo de uso em cada dia desse mês e dividindo a soma obtida pela quantidade de dias do mês.
Para representar o tempo de uso semanal do aparelho, podemos adicionar o tempo de uso em cada dia, em minuto, e dividir a soma obtida pela quantidade de dias da semana. O resultado calculado corresponde à média de uso diário nessa semana.
112 + 25 + 39 + 25 + 62 + 42 + 45 7 = 350 7 = 50
Portanto, podemos dizer que, nessa semana, o tempo médio de uso desse smartphone foi de 50 minutos por dia.
Dados n números reais x1, x2, x3, ..., xn, a média aritmética (ou média) desses números, indicada por x , é dada por:
x = x1 + x2 + x3 + ... + xn
Em relação à situação apresentada, note que, no domingo e na quinta-feira, o tempo de uso do smartphone foi maior que a média diária da semana. Nos demais dias, o tempo de uso foi menor que a média.
Considere a situação a seguir.
Uma escola decidiu que o processo seletivo para contratar um funcionário seria realizado em três etapas, cada uma delas teria um peso e o valor máximo obtido em cada etapa poderia chegar a 100 pontos, conforme descrito a seguir.
A
escrita de peso 3
B
C
Prova prática de peso 5
Qual é a nota final de um candidato que obteve 62 pontos na etapa A, 58 pontos na etapa B e 75 pontos na etapa C?
Para resolvermos a situação apresentada, é preciso considerar que o peso das etapas é diferente. Nesse caso, para obter a nota final desse candidato, vamos calcular a média aritmética ponderada das pontuações obtidas em cada etapa do processo seletivo.
A média aritmética ponderada (ou média ponderada) de n números reais x1, x2, x3, ..., xn, com pesos reais p1, p2, p3, ..., pn , respectivamente, indicada por x p , é dada por: x p = x1 ? p1 + x2 ? p2 + x
Em relação à situação apresentada, temos:
x p = 62 ? 3 + 58 ? 5 + 75 ? 2 3 + 5 + 2 = 186 + 290 + 150 10 = 626 10 = 62, 6
Portanto, a nota final desse candidato é 62,6 pontos.
No cálculo da média ponderada, podemos associar o conceito de peso à ideia de relevância, ou seja, quanto maior for o peso atribuído a um dado do conjunto, maior será a relevância dele no resultado do cálculo. Na situação apresentada, a nota de qual prova tinha maior relevância no resultado da nota final do candidato? O que isso significa?
A nota da prova prática. Resposta esperada: Isso significa que, dentre as três etapas, a prova prática é aquela que tem maior relevância no resultado do cálculo da média ponderada, ou seja, da nota final do candidato.
Com o objetivo de elaborar um projeto para incentivar a leitura tanto para os estudantes como para a comunidade escolar, a direção de uma escola publicou uma enquete em uma rede social a fim de identificar o perfil dos estudantes e dos familiares ou responsáveis.
No último mês, quantos livros completos você leu?
Observe, a seguir, todas as respostas coletadas nessa enquete.
Para organizar esses dados, de acordo com a frequência absoluta (f ) de cada possível resposta à enquete, podemos construir uma tabela e um gráfico.
Resultado da enquete sobre livros
lidos no último mês
Uma resposta possível: Conjunto de dados bimodal: 3, 4, 4, 5, 5 (moda: 4 e 5); conjunto de dados amodal: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Escreva um conjunto de dados que seja bimodal e outro que seja amodal. PARA PENSAR
Fonte: Dados fictícios.
Resultado da enquete sobre livros lidos no último mês
Fonte: Dados fictícios.
Note que o valor de maior frequência nesse conjunto de dados é três livros, que corresponde à resposta de oito pessoas. Nesse caso, dizemos que a moda desse conjunto de dados é três livros.
A moda, indicada por Mo, de um conjunto de dados em que as frequências dos valores não são todas iguais corresponde a todo valor de maior frequência. Quando a moda de um conjunto de dados corresponde a dois valores distintos, dizemos que esse conjunto de dados é bimodal. Em um conjunto de dados, quando as frequências de todos os valores são iguais, não há moda, e dizemos que esse conjunto de dados é amodal
Você sabe o que é diabetes? É uma doença crônica que ocorre quando o corpo não produz insulina (conhecida como diabetes tipo 1) ou quando a insulina produzida age com menos eficácia (diabetes tipo 2). Com isso, o corpo torna-se incapaz de controlar a quantidade de glicose no sangue, causando inúmeros problemas, a curto e a longo prazo. O diabetes pode se desenvolver em pessoas de qualquer idade, e o diagnóstico é importante para que o indivíduo tome os cuidados necessários.
Acompanhe a situação apresentada a seguir.
Uma pesquisa foi realizada com dois grupos de diabéticos: o grupo A , com 9 integrantes, e o grupo B , com 10 integrantes. Cada grupo foi submetido a um tratamento distinto, visando ao controle da glicemia. O resultado das medições da glicemia dos integrantes do grupo A, obtidas ao final do tratamento, estão indicadas a seguir.
80 mg/dL95 mg/dL100 mg/dL96 mg/dL75 mg/dL
86 mg/dL79 mg/dL99 mg/dL87 mg/dL
Para representar o nível de glicemia dos integrantes desse grupo, os pesquisadores determinaram a mediana, que é uma medida de posição. Para isso, inicialmente, os valores obtidos nas medições, em miligrama por decilitro, foram organizados em rol. Em seguida, como a quantidade de valores é ímpar (9 valores), identificou-se o valor que ocupa a posição central nesse rol; nesse caso, o valor que está na 5 a posição.
Insulina: hormônio que atua no controle da glicemia, agindo na passagem da glicose do sangue para as células.
Jovem medindo a glicemia (nível de glicose no sangue) utilizando um glicosímetro. Alguns dos sintomas do diabetes são: urinar com maior frequência, perda de peso, falta de energia, sede em excesso, aumento do apetite, infecções, cansaço, sono excessivo e visão embaçada ou turva.
Em Estatística, dizemos que um conjunto de dados numéricos está organizado em rol quando esses dados estão listados em ordem crescente ou decrescente. DiCA
7579808687959699100
Portanto, a mediana da glicemia dos integrantes do grupo A, obtida nas medições ao final do tratamento, é 87 mg/dL.
Agora, acompanhe o resultado da medição da glicemia dos integrantes do grupo B
94 mg/dL85 mg/dL106 mg/dL88 mg/dL97 mg/dL
88 mg/dL96 mg/dL98 mg/dL95 mg/dL110 mg/dL
Note que o grupo B é formado por dez integrantes. Quando a quantidade de valores de um conjunto de dados é par, a mediana corresponde à média dos dois valores centrais do rol. Nesse caso, para determinar a mediana (Md ) é calculada a média aritmética entre os valores que ocupam a 5a e a 6a posição do rol.
8588889495969798106110
Md = 95 + 96 2 = 191 2 = 95, 5
Portanto, a mediana da glicemia dos integrantes do grupo B, aferida ao final do tratamento, é 95,5 mg/dL.
Para determinar a mediana, indicada por Md, inicialmente é necessário que os valores do conjunto de dados estejam organizados em rol.
Quando a quantidade de valores é ímpar, a mediana corresponde ao valor da posição central. Já quando a quantidade de valores é par, a mediana corresponde à média aritmética dos dois valores das posições centrais.
Em uma tabela de distribuição de frequência com os dados agrupados em intervalos de classe, não conhecemos cada valor do conjunto de dados. Nesses casos, uma alternativa para estimar a média, a moda e a mediana é, inicialmente, determinar o valor médio de cada intervalo de classe, que corresponde à média de seus extremos. Acompanhe o exemplo a seguir.
Altura dos estudantes do Ensino Médio de uma escola, fevereiro de 2026
Para o intervalo de classe 140 ¿ 150, por exemplo, o valor médio é dado por: 140 + 150 2 = 145
Média aritmética
Fonte: Dados fictícios.
Nesse caso, podemos adicionar os produtos da frequência absoluta pelo valor médio de cada intervalo de classe e dividir o resultado obtido pelo total da frequência absoluta. x = 5 ? 145 + 25 ? 155 + 22 ? 165 + 5 ? 175 + 3 ? 185 60 = 9 660 60 = 161
Portanto, podemos estimar que a média da altura dos estudantes do Ensino Médio dessa escola, em fevereiro de 2026, é 161 cm.
Moda
A moda, nesse caso, corresponde ao valor médio do intervalo de classe de maior frequência absoluta.
Portanto, podemos estimar que a moda da altura dos estudantes do Ensino Médio dessa escola, em fevereiro de 2026, é 155 cm.
A mediana corresponde ao valor médio do intervalo de classe que contém o valor central dos dados, se a quantidade de valores for ímpar. Já quando a quantidade de valores é par, a mediana corresponde à média dos valores médios dos intervalos de classe que contém os dois valores centrais.
Na situação apresentada, como a quantidade de valores é par (60), a mediana é dada pela média dos valores médios dos intervalos de classe 150 ¿ 160 (que contém o 30 o valor) e 160 ¿ 170 (que contém o 31o valor).
Md = 155 + 165 2 = 160
Portanto, podemos estimar que a mediana de altura dos estudantes do Ensino Médio dessa escola, em fevereiro de 2026, é 160 cm.
AT¡v¡DaDeS resolv¡das
R1. (UFJF-MG) As notas de 10 candidatos em um concurso público estão listadas no quadro abaixo:
8,37,98,37,87,78,88,37,97,57,8
Serão considerados aprovados somente os candidatos cuja nota for superior à média e maior ou igual à mediana da distribuição das notas de todos os candidatos.
O número de candidatos aprovados nesse concurso é a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
Resolução
Podemos realizar a decomposição dessa atividade em questões para resolvê-la em etapas. Acompanhe.
1a) Qual é a média das notas dos candidatos?
2a) Qual é a mediana das notas dos candidatos?
3a) Quantos candidatos tiveram nota superior à média e maior ou igual à mediana das notas de todos os candidatos?
Agora, podemos resolver cada questão e utilizar a resposta na resolução da questão seguinte. Acompanhe.
1a) Calculando a média das notas dos candidatos, temos: x = 8,3 + 7,9 + 8,3 + 7,8 + 7,7 + 8,8 + 8,3 + 7,9 + 7,5 + 7,8 10 = 80,3 10 = 8,03
2a) Para calcular a mediana, organizamos as notas em rol e, como são dez notas, determinamos a média da 5a e 6 a notas.
7,5; 7,7; 7,8; 7,8; 7,9; 7,9; 8,3; 8,3; 8,3; 8,8
Md = 7,9 + 7,9 2 = 7,9
3a) Com as notas em rol, podemos identificar aquelas que são superiores à média (8,03) e maiores ou iguais à mediana (7,9) das notas de todos os candidatos.
7,5; 7,7; 7,8; 7,8; 7,9; 7,9; 8,3; 8,3; 8,3; 8,8
Portanto, a alternativa c é a correta, pois quatro candidatos foram aprovados.
PARA PENSAR
Por que os dois candidatos que obtiveram nota 7,9 não foram aprovados, mesmo que essa nota seja igual à mediana de todas as notas?
Porque 7,9 não é uma nota superior à média (7,9 , 8,03).
R2. Em certo concurso, a nota final de cada candidato corresponde à média ponderada de suas notas em duas provas: uma prática e uma teórica. Observe as informações a se guir
Notas de dois candidatos aprovados
Fonte: Dados fictícios.
Qual é o peso de cada prova, sabendo que a soma desses pesos é igual a 10?
Resolução
Note que, no enunciado desta atividade, há excesso de dados, pois, para resolvê-la, basta conhecermos a soma dos pesos da média ponderada e as notas de apenas um dos candidatos. Considerando as notas de Luiza e representando por t e p os pesos das provas teórica e prática, respectivamente, podemos escrever e resolver o seguinte sistema:
t + p = 10 ? ( 6)
6t + 8p 10 = 7, 5 10 h
t + p = 10 h t + 7,5 = 10 h t = 2,5
t 6p =
6t + 8p = 75 + 0t + 2p = 15 h p = 7,5
Portanto, a prova prática tem peso 7,5, e a prova teórica, 2,5.
R3. O síndico de um edifício residencial realizou
uma pesquisa sobre a quantidade de moradores em cada apartamento e organizou os dados obtidos em um gráfico, conforme descrito na f igura.
Em relação à quantidade de moradores por apartamento desse edifício, calcule a:
a) média aritmética;
b) moda;
c) mediana.
Resolução
Resposta esperada: Resolvendo um sistema obtido a partir das notas dos dois candidatos ou das notas de Jair e da soma dos pesos. Explique como você resolveria esta atividade de outra maneira.
Moradores por apartamento, 4/3/2026
Fonte: Dados fictícios.
a) Para determinar a média, podemos calcular o total de moradores do edifício e dividir o resultado obtido pela quantidade de apartamentos. x =
Portanto, nesse edifício, vivem, em média, três moradores por apartamento.
b) O bservando o gráfico, podemos notar que a quantidade de moradores por apartamento mais frequente nesse edifício é 2 moradores (17 apartamentos). Portanto, nesse edifício, a moda é de 2 moradores por apartamento.
c) Nesse edifício, há, ao todo, 65 apartamentos, conforme calculado no item a. Assim, com os dados organizados em rol, a mediana corresponde à quantidade de moradores do 33o apartamento. Fazendo 6 + 4 + 17 = 27 e 6 + 4 + 17 + 12 = 39, temos que, no 33 o apartamento, vivem três moradores.
Portanto, nesse edifício, a mediana é três moradores por apartamento.
1. a) média: 23,8; moda:
2. a) média: 139 kWh; moda: 129 kWh e 155 kWh; mediana: 138,5 kWh
AT¡v¡DaDeS Não escreva no livro.
1. Para cada item a seguir, calcule a média, a moda e a mediana dos números indicados.
a) 35, 19, 27, 18, 19, 30, 32, 17, 22, 19
b) 5,5; 7,8; 3,8; 2,2; 3,2; 5,5; 3,2; 4,8
c) 11, 15, 10, 13, 16, 12, 7
média: 12; amodal; mediana: 12
d) 25, 12, 48, 54, 61, 28, 33, 48, 25, 33, 18
média: 35; moda: 25, 33 e 48; mediana: 33
2. Na busca por hábitos que ajudem a reduzir o consumo de energia elétrica, um estudante decidiu analisar o histórico de consumo que consta na fatura da residência em que mora.
Histórico de consumo de energia elétrica, 2025
Consumo (kWh) Mês 0 jan.fev.mar.abr.maio jun. jul.ago.set.out.nov.dez. 20 40 60 80
a) C alcule a média, a moda e a mediana do consumo de energia elétrica mensal nessa residência, em 2025.
b) O estudante quer analisar com mais cuidado os meses em que o consumo de energia elétrica foi superior à média no período. Quais são esses meses?
junho, julho, agosto, setembro e novembro
c) C onsulte uma fatura de energia elétrica recente da residência em que você mora e calcule a média, a moda e a mediana de consumo mensal no período apresentado no histórico de consumo. Depois, cite o que pode ser feito para reduzir o consumo de energia elétrica na residência em que você mora e explique por que é importante essa redução, além da economia financeira.
Resposta pessoal.
PARA AMPlI AR
Acesse este site para obter dicas de economia de energia elétrica.
• CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILEIRAS. Dicas de uso seguro e eficiente da energia. Rio de Janeiro: Eletrobras, c2023. Disponível em: https://eletrobras. com/pt/Paginas/Dicas-de-Uso-Seguro-e-Eficiente -da-Energia.aspx. Acesso em: 12 ago. 2024.
3. a) Das mortes no trânsito brasileiro em 2022.
3. c) 1o trimestre: 2 554 mor tes; 2o trimestre: 2 722 mor tes; 3o trimestre: 2 915 mor tes; 4o trimestre: 2 829 mor tes; 3o trimestre
3. O Brasil é um dos países com a maior quantidade de mortes no trânsito do mundo. Muitas dessas mortes ocorrem por causa da imprudência dos motoristas, como não respeitar a sinalização da via, trafegar acima da velocidade permitida e conduzir o veículo sob influência de bebida alcoólica. Analise os dados a seguir. Mortes no trânsito brasileiro, 2022
1o 2 5322 6413 0433 076
2o 2 4892 8122 8442 605
3o 2 6402 7122 8572 805
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Mortalidade: Brasil. Brasília, DF: MS: Datasus, 2022. Disponível em: http://tabnet.datasus. gov.br/cgi/tabcgi.exe?sim/cnv/obt10uf. Acesso em: 10 ago. 2024.
a) De qual assunto trata essa tabela?
b) Em qual mês de 2022 houve a maior quantidade de mortes no trânsito brasileiro? E em qual mês houve a menor quantidade?
c) C alcule a média mensal aproximada de mortes no trânsito brasileiro em cada trimestre de 2022. Em qual trimestre essa média foi maior?
d) Qual é a média mensal aproximada de mortes no trânsito brasileiro em 2022? Explique a um colega como você fez esse cálculo.
4. Em certo teatro, os preços dos ingressos variam de acordo com o setor do assento escolhido. Observe, a seguir, a quantidade de ingressos vendidos para uma apresentação nesse teatro.
Setor Tipo de ingresso
Preço do ingresso
Quantidade de ingressos vendidos
AInteiroR$ 40,00 80
A Meia-entrada R$ 20,00 70
B Meia-entrada R$ 100,00 130
CInteiroR$ 200,00 20
a) Para qual setor e tipo de ingresso vendido o preço é o maior?
b) Q uantos ingressos foram vendidos para essa apresentação?
c) C alcule a média, a moda e a mediana dos preços dos ingressos vendidos para essa apresentação. outubro; fevereiro ingresso do tipo inteiro do setor C 300 ingressos
média: R$ 72,00; moda: R$ 100,00; mediana: R$ 70,00
3. d) 2 755 mortes. Respostas possíveis: Calcular a média aritmética a partir das quantidades de mortes no trânsito em cada um dos 12 meses de 2022, apresentadas na tabela; calcular a média aritmética dos quatro resultados obtidos no item c, ou seja, das médias mensais da quantidade de mortes de cada trimestre de 2022.
5. Com base nas informações apresentadas na atividade 3, elabore um problema envolvendo o cálculo da mediana de um conjunto de dados. Depois, troque-o com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve o que receber. Ao final, verifiquem juntos as resoluções.
6. Para ser aprovado em determinado curso técnico, o estudante tem de obter média ponderada igual ou superior a 7 nas notas das provas A e B, cujos pesos são 4,5 e 5,5, respectivamente. Qual é a nota mínima que um estudante deve obter na prova B, sabendo que ele realizou a prova A e obteve nota 3,7?
Elaboração do estudante. 9,7
7. O box-plot , ou diagrama de caixas, costuma ser utilizado para realizar uma análise visual preliminar da distribuição de um conjunto de dados. Analise a tabela e um box-plot construído a partir dela.
Precipitação acumulada mensal aproximada em Piracicaba (SP), 2023
Fonte dos dados: SÃO PAULO (Estado). Centro Integrado de Informações Agrometeorológicas. Dados mensais por período: Piracicaba. São Paulo: Ciiagro: Portal Agrometeorológico e Hidrológico do Estado de São Paulo, 2024. Disponível em: http://www.ciiagro.org.br/ cpmensal. Acesso em: 10 ago. 2024.
Precipitação acumulada mensal aproximada em Piracicaba (SP), 2023
3o quartil: medida indicada em que aproximadamente 75 % dos dados sejam menores ou iguais ao seu valor.
Mês Precipitação (mm) janeiro155 fevereiro198 março 60 abril 126 maio 24 junho 61 julho 17 agosto 32 setembro22 outubro205 novembro257 dezembro82
Limite superior: maior valor do conjunto de dados.
Precipitação acumulada mensal aproximada em Piracicaba (SP), em 2023
Precipitação (mm)
Fonte dos dados: SÃO PAULO (Estado). Centro Integrado de Informações Agrometeorológicas. Dados mensais por período: Piracicaba. São Paulo: Ciiagro: Portal Agrometeorológico e Hidrológico do Estado de São Paulo, 2024. Disponível em: http://www. ciiagro.org.br/cpmensal. Acesso em: 10 ago. 2024.
2o quartil: medida indicada em que aproximadamente 50 % dos dados sejam menores ou iguais ao seu valor. O 2 o quartil de um conjunto de dados corresponde ao valor da sua mediana.
1o quartil: medida indicada em que aproximadamente 25 % dos dados sejam menores ou iguais ao seu valor.
0
Limite inferior: menor valor do conjunto de dados.
a) Calcule a média, a moda e a mediana da precipitação acumulada mensal em Piracicaba, em 2023.
b) E m quantos meses do ano a precipitação acumulada mensal em Piracicaba foi de 26 mm até 187,25 mm?
6 meses
c) No eixo desse box-plot , quais são os valores de a , b e c ? média: 103,25 mm; amodal; mediana: 71,5 mm
a = 257; b = 71,5; c = 17
8. a) média: 186 cm; moda: 189 cm; mediana: 189 cm
8. c) Resposta esperada: A média aumentou para 188,8 cm, e a moda e a mediana não se alteraram.
8. Observe as alturas das jogadoras de uma equipe que disputará uma partida de basquete.
Jogadora Altura (cm)
Larissa176 Teresa189
Titulares
Suzana182
Suplentes
a) Qual é a média, a moda e a mediana das alturas das jogadoras titulares dessa equipe?
b) Quais jogadoras suplentes podem substituir Clara para que a média de altura das jogadoras titulares aumente? Valéria
c) Durante essa partida, Larissa foi substituída por Bia. O que ocorreu com a média, a moda e a mediana das alturas das jogadoras titulares da equipe?
d) S upondo que a equipe titular seja formada pelas jogadoras mais altas disponíveis, qual seria a média de altura das jogadoras titulares dessa equipe?
cm
9. O Menor Preço do Nota Paraná é um programa que permite aos usuários, por meio de um aplicativo, encontrar os menores preços de alguns produtos vendidos em mais de 100 mil estabelecimentos cadastrados no estado do Paraná. As informações dos preços são atualizadas automaticamente sempre que um dos estabelecimentos gera uma Nota Fiscal de Consumidor Eletrônica (NFC-e), referente à venda de um produto.
Fonte dos dados: PARANÁ. Secretaria da Fazenda. Nota Paraná: menor preço. Curitiba: Celepar, [2024]. Disponível em: https://menorpreco.notaparana.pr.gov.br/ about. Acesso em: 10 ago. 2024.
Observe os preços do litro de gasolina, em um dia, obtidos com esse aplicativo, em alguns postos de certa região do Paraná.
9. a) R$ 6,19; autoposto G. 9. b) média: R$ 6,44; moda: R$ 6,39; mediana: R$ 6,39
De acordo com os preços apresentados, responda às questões a seguir.
a) Q ual é o menor preço do litro da gasolina apresentado pelo aplicativo? Em qual posto de combustível essa gasolina é vendida?
b) C alcule a média, a moda e a mediana dos preços apresentados do litro da gasolina.
10. Observe, a seguir, a frequência das idades dos estudantes matriculados em certa escola de Educação de Jovens e Adultos (EJA).
Idade dos estudantes matriculados na escola de EJA
Idade (anos)Frequência absoluta
Fonte: Dados fictícios.
Calcule a estimativa da média, da moda e da mediana das idades desses estudantes.
11. Em uma competição de ginástica, os atletas são avaliados por três juízes, e a nota final de cada atleta corresponde à média das notas atribuídas por eles. Na última fase dessa competição, apenas os ginastas Arnaldo e Raul disputavam o primeiro lugar. Sabendo que a nota final de Arnaldo foi 13,950 e as notas de dois juízes atribuídas a Raul foram 14,100 e 12,900, determine a nota mínima que Raul deve receber do terceiro juiz para consagrar-se campeão.
14,851
10. média: aproximadamente 35,85 anos; moda: 40 anos; mediana: 40 anos
13. c) Resposta esperada: É possível estimar que a média e a mediana diminuíram, enquanto a moda se manteve.
12. Em um escritório de contabilidade trabalhavam cinco funcionários, cuja média de idade era de 44 anos. Em determinado mês, um deles se aposentou com 62 anos de idade, e, para completar a vaga que havia surgido, foi contratado um funcionário com 24 anos de idade. Após essa mudança, qual é a média de idade dos funcionários desse escritório?
36,4 anos
13. Com apoio de um nutricionista, o professor de Educação Física de uma escola desenvolveu uma campanha de combate à obesidade entre os estudantes. No início e no final da campanha, foi aferida a massa de 30 estudantes, que foram escolhidos aleatoriamente. Analise os gráficos.
Massa dos estudantes no início da campanha
14. Em determinado bimestre, o professor de Matemática utilizou três instrumentos avaliativos: seminário, prova escrita e trabalho. A nota final dos estudantes nesse bimestre foi determinada pela média ponderada das notas obtidas nesses instrumentos avaliativos, de acordo com o peso atribuído a cada um deles. Observe as notas de três estudantes.
EstudanteSeminário
Fonte: Dados fictícios.
Massa dos estudantes no final da campanha
Sabendo que o peso atribuído à prova escrita é 4 e que a soma dos pesos atribuídos aos três instrumentos avaliativos é 10, resolva as questões a seguir.
a) Quais são os pesos atribuídos pelo professor para cada um desses instrumentos avaliativos?
Fonte: Dados fictícios.
a) E stime, sem realizar cálculos, se a massa média dos estudantes aumentou ou diminuiu durante essa campanha.
b) Calcule a estimativa da média, da moda e da mediana da massa desses 30 estudantes:
• no início da campanha;
• no final da campanha.
c) Comparando as respostas ao item b, o que podemos afirmar sobre a média, a moda e a mediana da massa dos estudantes que participaram da campanha? Resposta pessoal.
b) Qual será a nota final de um estudante dessa turma que obteve nota 10 no seminário, 5 na prova escrita e 7 no trabalho?
seminário: 3,5; prova escrita: 4; trabalho: 2,5 7,25
15. (UERJ) O gráfico a seguir apresenta o quantitativo de mortes violentas de pessoas da comunidade LGBTQIA+, no ano de 2021, no Brasil.
Mortes violentas de LGBTQIA+ no Brasil em 2021
Adaptado de grupogaydabahia.com, 2022.
Com base nos dados do gráfico, calcule a média aritmética mensal de mortes violentas nessa comunidade, em 2021, no Brasil. 25 mortes
16. (Enem/MEC) Os alunos da disciplina de estatística, em um curso universitário, realizam quatro avaliações por semestre com os pesos de 20%, 10%, 30% e 40%, respectivamente. No final do semestre, precisam obter uma média nas quatro avaliações de, no mínimo, 60 pontos para serem aprovados. Um estudante dessa disciplina obteve os seguintes pontos nas três primeiras avaliações: 46, 60 e 50, respectivamente.
O mínimo de pontos que esse estudante precisa obter na quarta avaliação para ser aprovado é: a) 29,8. b) 71,0. c) 74,5. d) 75,5. e) 84,0.
alternativa c
17. As multas por excesso de velocidade são algumas das mais aplicadas no Brasil. De acordo com o art. 218 do Código de Trânsito Brasileiro, existem três tipos de multa por excesso de velocidade.
Velocidade superior à máxima permitida na via em até 20 %
Infração: média
Penalidade: multa de R $ 130,16*
Velocidade superior à máxima permitida na via em mais de 20 % até 50 %.
Infração: grave
Penalidade: multa de R $ 195,23*
Velocidade superior à máxima permitida na via em mais de 50 %
Infração: gravíssima
Penalidade: multa de R $ 293,47 ? 3 = R $ 880,41* e suspensão do direito de dirigir
*O valor das multas é definido pelo art. 258 do Código de Trânsito Brasileiro.
Fonte dos dados: BRASIL. Lei no 9.503, de 23 de setembro de 1997. Institui o Código de Trânsito Brasileiro. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L9503Compilado.htm. Acesso em: 12 ago. 2024.
Observe a quantidade de multas por excesso de velocidade, por tipo, aplicadas em certo dia em uma via cuja velocidade máxima permitida é 60 km/h.
a) Qual é o valor médio das multas aplicadas, por excesso de velocidade, nessa via no dia?
aproximadamente
R$ 226,26
Tipo Quantidade de multas
b) Supondo que todos os veículos multados estavam com velocidade superior à máxima permitida na via em até 70 % , calcule a estimativa da média, da moda e da mediana da velocidade desses veículos.
média: aproximadamente 73,11 km/h; moda: 66 km/h; mediana: 66 km/h
18. (UFPR) Leonardo fez uma pesquisa sobre o preço da jarra de suco de laranja em algumas lanchonetes da região e obteve os seguintes valores:
a) C alcule a média e a mediana dos preços apresentados na tabela.
média: R$ 8,50; mediana: R$ 8,75
b) Leonardo decidiu acrescentar duas lanchonetes em sua pesquisa. Ao considerar todos os 10 estabelecimentos, a média de preços passou a ser de R $ 8,45. Sabendo que essas duas novas lanchonetes cobram o mesmo preço pela jarra de suco, calcule esse valor.
R$ 8,25
19. A dengue é uma doença febril grave causada por um vírus. O transmissor da dengue é o mosquito Aedes aegypti , que se prolifera em água parada, limpa ou suja; por isso, é importante eliminar a água de possíveis criadouros, como vasos de plantas, pneus, garrafas plásticas etc.
Pesquise dados estatísticos envolvendo o contexto da dengue na região em que você mora, como número de casos registrados em certo período. Depois, elabore uma situação-problema relacionada às medidas de tendência central média, moda e mediana envolvendo essa temática e troque-a com um colega para que ele a resolva, enquanto você resolve a que receber. Ao final, verifiquem juntos as resoluções.
Pesquisa e elaboração do estudante.
Estudamos que as medidas de posição, como a média, a moda e a mediana, podem ser utilizadas para representar um conjunto de dados por um único valor ou por poucos valores. No entanto, em algumas situações, é necessário utilizar medidas que indicam o quanto um conjunto de dados está próximo ou afastado em relação à média aritmética.
Essas medidas são chamadas de medidas de dispersão, pois representam o quanto os valores do conjunto de dados estão dispersos em relação à média aritmética. A seguir, estudaremos algumas dessas medidas de dispersão.
Para isso, considere, por exemplo, a situação apresentada.
Uma microempresa que fabrica calçados funciona de segunda-feira a sábado em dois turnos de trabalho com o mesmo tempo de jornada e com a mesma quantidade de funcionários cada um: turno A das 8 h às 14 h e turno B das 14 h às 20 h. Com o objetivo de entender melhor a produção e elaborar um plano que ajude a aperfeiçoar os processos, o proprietário organizou uma tabela com a quantidade de pares de calçados produzidos por dia em certa semana. Analise.
Quantidade de pares de calçados produzidos em certa semana, por turno
Dia
Fonte: Dados fictícios.
O que você pode afirmar sobre as produções diárias de cada turno em relação à média obtida na semana? Explique. PARA PENSAR
Detalhe de linha de produção em indústria de calçados no município de Nova Friburgo (RJ). Fotografia de 2020.
Para analisar essa produção, podemos, inicialmente, calcular a média de pares de calçados produzidos por dia em cada turno.
• x A = 16 + 14 + 15 + 14 + 15 +
Resposta esperada: As produções diárias no turno A correspondem, de maneira geral, a valores mais próximos da média do que as produções no turno B
Agora, analise o gráfico.
Quantidade de pares de calçados produzidos em certa semana, por turno
Quantidade
Turno A
Turno B
Fonte: Dados fictícios.
Note que, para os dois turnos de trabalho, a média diária de produção é igual a 15 pares de calçados. No entanto, ao analisar os dados da produção, podemos verificar que a produção no turno A, em cada dia, foi mais uniforme, ou seja, mais próxima à média, que a produção no turno B. Esse fato sugere a necessidade de uma investigação minuciosa do processo produtivo.
Em situações como essa, é conveniente calcular medidas de dispersão, como a amplitude, a variância e o desvio padrão, que estudaremos a seguir.
Quando pesquisamos em um dicionário o significado da palavra amplitude , um sinônimo que podemos encontrar é “extensão”, ou seja, aquilo que dá ideia da dimensão ou do tamanho de algo. Acompanhe, a seguir, o conceito de amplitude em Estatística.
Dados n números reais x1, x2, x3, ...,
a amplitude desse conjunto de dados, indicada por a, corresponde à diferença entre o número maior e o menor.
a = xn x1
Em relação à situação apresentada nas páginas 264 e 265, podemos determinar a amplitude da produção diária de pares de calçados na semana, no turno A (aA) e no turno B (aB).
• aA = 16 14 = 2
• aB = 21 10 = 11
Assim, podemos dizer que, nessa semana, a amplitude na produção diária do turno A foi de 2 pares de calçados, enquanto no turno B a amplitude foi de 11 pares de calçados.
PARA PENSAR
Escreva quatro números cuja amplitude entre eles seja igual a 5. Depois, escreva quatro números cuja amplitude entre eles seja igual a zero.
Uma resposta possível: 5, 7, 8, 10 (10 5 = 5); 3, 3, 3, 3 (3 3 = 0).
Agora, vamos definir a medida de dispersão denominada variância.
Dados n números reais x1, x2, x3, ..., xn 1, xn, com média aritmética x , a variância desse conjunto de dados, indicada por v, é dada por:
Note que cada parcela do numerador da expressão da variância corresponde ao quadrado da diferença entre cada valor e a média. Assim, essa medida é calculada com base na variabilidade dos valores do conjunto de dados em relação à média.
Acompanhe, a seguir, o cálculo da variância da produção diária de pares de calçados na semana, no turno A (vA) e no turno B (vB).
Como vA , vB, podemos dizer que a produção diária de pares de calçados na semana foi mais regular (ou homogênea) no turno A que no turno B
Observamos que o cálculo da variância envolve o quadrado da diferença de cada valor do conjunto de dados e a média. Por consequência, se os dados do conjunto, por exemplo, são expressos em centimetro (cm), a variância será expressa em centimetro quadrado (cm2), o que pode dificultar a interpretação do resultado. Agora, vamos estudar o desvio padrão, uma medida de dispersão que corresponde à raiz quadrada da variância.
Dados n números reais cuja variância é v, o desvio padrão desse conjunto de dados, indicado por d, é dado por: d = √ v
A variância, assim como o desvio padrão, procura medir a dispersão dos valores do conjunto de dados em torno de sua média. No entanto, como o desvio padrão é medido na mesma unidade dos dados do conjunto e da média, é possível fazer a comparação entre essas medidas.
Em relação à situação apresentada nas páginas 264 a 266 , podemos calcular o desvio padrão da produção diária de pares de calçados na semana, no turno A (dA) e no turno B (dB).
• dA = √ 2 3 1 0,816 • dB = √ 20 1 4,472
Portanto, podemos dizer que o desvio padrão na produção diária de pares de calçados na semana foi de aproximadamente 0,816 par de calçados no turno A e 4,472 pares de calçados no turno B. Uma interpretação possível desses resultados é que, no turno A, a quantidade diária de pares de calçados produzidos na semana teve uma variação menor, em relação à média diária dessa produção, que no turno B.
R4. Uma loja especializada na venda de smartphones realizou uma pesquisa estatística com 10 famílias de certo bairro, escolhidas aleatoriamente, a fim de identificar hábitos de uso desses dispositivos. O gráfico apresentado consta no relatório em que foram registrados os resultados dessa pesquisa.
Em relação à quantidade de smartphones em uso, por família, calcule:
a) a média aritmética;
b) a amplitude;
c) o desvio padrão.
Resolução
a) x =
Qual medida de dispersão não considera, necessariamente, cada um dos valores do conjunto de dados da pesquisa em seu cálculo: amplitude, variância ou desvio padrão? Justifique.
Resposta esperada: Amplitude, pois essa medida de dispersão é calculada a partir de apenas dois valores do conjunto de dados: o maior e o menor valor.
Quantidade de smartphones em uso, por família, 6/3/2026
Portanto, em média, havia 3,5 smartphones em uso, por família.
Fonte: Dados fictícios.
b) A s quantidades máxima e mínima de smartphones em uso por essas famílias são, respectivamente, 5 e 1. Assim, temos: a = 5 1 = 4
Portanto, a amplitude desse conjunto de dados corresponde a 4 smartphones
c)
Então:
Portanto, o desvio padrão desse conjunto de dados corresponde a aproximadamente 1,43 smartphone .
R5. (Enem/MEC) Um fiscal de certa empresa de ônibus registra o tempo, em minuto, que um motorista novato gasta para completar certo percurso. No Quadro 1 figuram os tempos gastos pelo motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes. O Quadro 2 apresenta uma classificação para a variabilidade do tempo, segundo o valor do desvio padrão.
Com base nas informações apresentadas nos quadros, a variabilidade do tempo é a) e xtremamente baixa. b) baixa.
Resolução
Quadro 1
Tempos (em minuto) 48545046445249
Quadro 2
Variabilidade Desvio padrão do tempo (min)
Extremamente baixa
, S < 2
Baixa 2 , S < 4
Moderada 4 , S < 6
Alta 6 , S < 8
Extremamente alta S . 8
c) moderada. d) alta. e) e xtremamente alta.
Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.
COMPREENDER O ENUNCIADO
Do enunciado, temos que:
• o tempo gasto pelo motorista para realizar um mesmo percurso foi registrado sete vezes;
• a variabilidade do tempo é interpretada de acordo com o desvio padrão;
• determinar como os tempos gastos no percurso por esse motorista podem ser interpretados.
ELABORAR UM PLANO 2 a
Inicialmente, pode-se calcular a média e a variância dos tempos apresentados. Depois, com base no valor da variância, determinar o desvio padrão desses tempos e, com esse resultado, a classificação para a variabilidade do tempo.
3a
EXECUTAR O PLANO
Calculamos a média dos tempos: x = 48 + 54 + 50 + 46 + 44 + 52 + 49 7 = 343 7 =
Agora, calculamos a variância dos tempos:
h v = 70 7 = 10
Por fim, determinamos o desvio padrão dos tempos: d = √ 10 . Como 2 , √ 10 < 4, então a variabilidade do tempo é classificada como baixa.
4 a
VERIFICAR OS RESULTADOS
Para verificar os resultados, os cálculos podem ser refeitos com o auxílio de uma calculadora ou, ainda, por meio de uma planilha eletrônica ou outro programa de computador para determinar o desvio padrão do conjunto de dados apresentados.
Portanto, a alternativa b é a correta.
20. a) média: 5,5 kg; moda: 3 kg; mediana: 5,5 kg; amplitude: 6 kg; variância: aproximadamente 4,58; desvio padrão: aproximadamente 2,14 kg
20. Em cada item, determine a média, a moda, a mediana, a amplitude, a variância e o desvio padrão do conjunto de dados.
a) 3 kg, 5 kg, 3 kg, 7 kg, 6 kg, 9 kg
b) 12 cm, 9 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm
c) 4,1 L, 8,6 L, 4,1 L, 8 L, 7,2 L, 10 L
21. Com base nas informações apresentadas na atividade resolvida R5, elabore uma situação-problema envolvendo o cálculo de medidas de dispersão. Para isso, indique outros valores de tempo para o Quadro 1 e considere o Quadro 2 sobre as classificações para variabilidade do tempo. Depois, troque com um colega para que ele o resolva, enquanto você resolve o que receber. Ao final, verifiquem juntos as resoluções.
20. b) média: 7,8 cm; amodal; mediana: 7 cm; amplitude: 7 cm; variância: 6,16; desvio padrão: aproximadamente 2,48 cm
20. c) média: 7 L; moda: 4,1 L; mediana: 7,6 L; amplitude: 5,9 L; variância: aproximadamente 4,9; desvio padrão: aproximadamente 2,2 L
23. Em uma pesquisa estatística, obteve-se como resultado um conjunto de dados quantitativos de variância igual a zero. Analise as afirmações a seguir sobre esse conjunto de dados.
I) O desvio padrão, necessariamente, é igual a zero.
II) A média aritmética pode ser igual a zero.
III) Esse conjunto de dados é amodal.
IV) A mediana é, necessariamente, igual a zero.
V ) Todos os elementos desse conjunto de dados são, necessariamente, iguais a zero.
São falsas apenas as afirmativas:
a) I, II e V.
b) I, II e III.
Elaboração do estudante.
22. Em certo torneio de tiro com arco, em cada uma das cinco etapas, o competidor lança uma flecha ao alvo e recebe uma pontuação de zero a dez, de acordo com a posição em que a flecha atinge o alvo. Vence o torneio o competidor que obtiver a maior média de pontos nas etapas. No caso de empate, fica à frente na classificação o competidor mais regular, definido pelo menor desvio padrão das pontuações obtidas. Observe, a seguir, as pontuações obtidas pelos três primeiros colocados nesse torneio. Competidor
c) II e IV.
Determine a posição de classificação de cada um desses competidores.
Você pode decompor essa atividade em etapas propondo algumas questões, como: Qual é a média aritmética das pontuações de cada um desses competidores? Qual é o desvio padrão das pontuações de cada um deles? Qual é a posição de classificação de cada um desses competidores?
22. 1o colocado: competidor C; 2o colocado: competidor A; 3o colocado: competidor B
d) III e IV.
e) IV e V.
24. (UPE) Numa competição esportiva, cinco atletas estão disputando as três primeiras colocações da prova de salto em distância. A classificação será pela ordem decrescente da média aritmética de pontos obtidos por eles, após três saltos consecutivos na prova. Em caso de empate, o critério adotado será a ordem crescente do valor da variância. A pontuação de cada atleta está apresentada na tabela a seguir:
738
585
Com base nas informações apresentadas, o primeiro, o segundo e o terceiro lugares dessa prova foram ocupados, respectivamente, pelos atletas
a) A ; C; E
b) B; D; E c) E; D; B d) B; D; C e) A ; B; D alternativa e alternativa a
25. Determinado site registra reclamações de consumidores em relação a diferentes empresas. Para indicar a reputação de uma empresa, o site utiliza como critério a média e o desvio padrão da quantidade de dias que essa empresa demorou para atender às reclamações que recebeu, conforme segue.
Média (dias)Desvio padrão (dias) Reputação menor que 3 até 1 excelente menor que 3 maior que 1 ótima de 3 até 5 até 3 boa de 3 até 5 maior que 3 razoável maior que 5 até 4,5 ruim maior que 5 maior que 4,5 péssima
Analise, a seguir, o tempo de demora de três empresas para atender às cinco primeiras reclamações registradas no site
Tempo para atender as cinco primeiras reclamações registradas no site
Tempo (dia)
Empresa A
Empresa B
Empresa C
PrimeiraSegunda Terceira QuartaQuinta
a) Indique a reputação dessas empresas logo após o registro das cinco primeiras reclamações no site .
b) O utra empresa, após o registro das cinco primeiras reclamações nesse site , teve a reputação indicada como ruim. Escreva a quantidade de dias que essa empresa pode ter demorado para responder a cada uma das reclamações
Algumas respostas possíveis: 4, 10, 6, 3 e 12 dias; 2, 8, 9, 5 e 11 dias.
c) Você conhece algum site no qual é possível registrar reclamações e consultar a reputação de empresas? Pesquise um site que tenha essa finalidade e descreva a classificação das empresas com base na reputação delas
26. Anal ise o gráfico. Com base nas informações apresentadas, elabore um problema em que seja necessário utilizar ideias associadas a medidas de posição e de dispersão. Em seguida, troque seu problema com um colega para que um resolva o problema do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.
Elaboração do estudante.
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério dos Direitos Humanos e da Cidadania. Ouvidoria Nacional de Direitos Humanos. Painel de dados. Brasília, DF: MDH: ONDH, 2024. Disponível em: https://www.gov.br/mdh/ pt-br/ondh/painel-de-dados. Acesso em: 10 ago. 2024.
Respostas pessoais.
Denúncias no disque 100, por ano, de violação de direitos humanos contra pessoas em restrição de liberdade no Brasil, 2020-2023
Quantidade
Podemos calcular as medidas de posição e de dispersão de um conjunto de dados utilizando a planilha eletrônica LibreOffice Calc, disponível para download em: https:// pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 12 ago. 2024). Para isso, considere a seguinte situação.
João anotou o consumo de água, em metro cúbico, da residência em que mora durante os últimos 12 meses. Observe.
1015,513,5121216 1215,512,514,51314
Podemos obter as medidas de posição e de dispersão dos dados apresentados de duas maneiras: utilizando uma fórmula para cada medida ou utilizando uma ferramenta da planilha que calcula essas medidas de uma única vez. Para isso, realizamos as etapas a seguir. Acompanhe.
A Registramos na planilha cada valor do quadro em uma célula da coluna A (de A1 até A12), sem nos preocuparmos com a ordem. Em seguida, digitamos Média , Moda , Mediana , Amplitude , Variância e Desvio padrão nas células C1, C2, C3, C4, C5 e C6, respectivamente.
B Digitamos =MÉDIA(A1:A12) em D1, =MODO(A1:A12) em D2, =MED(A1:A12) em D3, =MÁXIMO(A1:A12) MÍNIMO(A1:A12) em D4, =VAR(A1:A12) em D5 e =DESVPAD(A1:A12) em D6, para calcular a média, a moda, a mediana, a amplitude, a variância e o desvio padrão, respectivamente.
= MÉDIA(A1:A12)
= MODO(A1:A12)
= MED(A1:A12)
Resposta esperada: Foi calculada a diferença entre o valor máximo (maior valor) e o valor mínimo (menor valor) do conjunto de dados.
PARA PENSAR
De acordo com a fórmula digitada, explique como foi calculada a amplitude desse conjunto de dados.
= MÁXIMO(A1:A12) MÍNIMO(A1:A12)
= VAR(A1:A12)
= DESVPAD(A1:A12)
C Outra maneira de obter essas medidas é, após digitar os dados na planilha e, com esses dados selecionados, clicar na opção Dados, no menu, e nas opções Estatística e Estatística descritiva...
Ao abrir a caixa de diálogo Estatísticas descritivas, clicamos no campo Resultados para: e, em seguida, clicamos na célula C1 da planilha. Por fim, clicamos em OK. As informações geradas nas células das colunas C e D são medidas obtidas a partir do conjunto de dados selecionados.
DiCA
Observe que as medidas Erro padrão, Curtose e Inclinação não foram estudadas nesta Unidade e que as medidas Modo e Intervalo correspondem, respectivamente, à moda e à amplitude.
MÃOS A OBRA Não escreva no livro.
1. De acordo com o exemplo apresentado, responda aos itens a seguir.
a) Qual foi o maior consumo de água na casa de João nesses meses? E o menor?
b) Qual foi o consumo médio mensal de água na casa de João nesses meses?
16 m3; 10 m3 13,375 m3
c) Em quantos meses o consumo de água na casa de João foi maior que a média mensal?
6 meses
2. A seguir, estão indicados, em reais, os salários dos 40 funcionários de uma empresa.
2 0001 9501 8503 0005 5001 7001 8502 000
1 8501 9501 8502 5003 0001 7001 7001 950
1 9501 8501 8501 8501 8502 5002 3001 950
1 9501 8502 0002 5002 5002 5001 7003 000
2 0003 0002 5001 8501 8501 9502 3002 300
De acordo com os salários apresentados no quadro e com auxílio da planilha LibreOffice Calc, responda às questões a seguir.
a) Qual é a amplitude dos salários dos funcionários dessa empresa?
R$ 3.800,00
b) Em média, quanto cada funcionário dessa empresa recebe de salário?
R$ 2.205,00
c) Qual é, aproximadamente, o desvio padrão dos salários dessa empresa?
R$ 659,53
d) Podemos afirmar que mais de 60 % dos funcionários dessa empresa recebem um salário superior a R $ 1.950,00? Justifique.
Não. Como a mediana dos salários é R$ 1.950,00, e há mais de um funcionário com esse salário,
temos que menos de 50% dos funcionários recebem mais que R$ 1.950,00.
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), fundado em 1934, é um órgão federal que se ocupa principalmente de coordenar, produzir, analisar, documentar e disseminar informações estatísticas e geográficas. As pesquisas realizadas por esse órgão possibilitam atender a diversas áreas e interesses públicos, fornecendo informações a respeito do território brasileiro e da população. Essas pesquisas podem auxiliar nos planejamentos estratégicos dos governos federal, estadual e municipal.
Homepage do site IBGEeduca Jovens, na qual estão disponíveis materiais de estudo, questões do Enem que mencionam dados do IBGE e matérias sobre atualidades relacionadas ao Brasil. IBGE
EDUCA JOVENS. [2024]. Site. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens. Acesso em: 27 set. 2024.
Dentre as principais pesquisas realizadas pelo IBGE estão o Censo, que é uma pesquisa censitária realizada geralmente a cada dez anos, e a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio Contínua (PNAD Contínua), uma pesquisa amostral realizada em período mensal e trimestral, de acordo com as variáveis pesquisadas.
Em Estatística, denominamos população ou universo estatístico o conjunto de todos os elementos que estão sendo investigados em uma pesquisa. Quando a pesquisa é censitária, todos os elementos da população são investigados.
Um conjunto formado por parte dos elementos da população é denominado amostra. Em uma pesquisa amostral, é investigada apenas parte da população, que busca retratar as características dessa população.
De modo geral, em situações em que não há tempo ou recursos disponíveis para a realização de uma pesquisa censitária, opta-se pela realização de uma pesquisa amostral.
PARA PENSAR
Pense em uma situação na qual poderia ocorrer uma pesquisa estatística amostral. Em uma roda de conversa, descreva essa situação aos colegas, indicando algum objetivo dessa pesquisa, definindo a população a ser investigada e como poderia ser selecionada a amostra. Resposta pessoal.
Por exemplo, o gráfico a seguir foi elaborado a partir de dados obtidos pela PNAD Contínua, em 2023, referentes a uma pesquisa feita por amostragem em 211 344 domicílios brasileiros.
Distribuição dos domicílios brasileiros, por situação de segurança alimentar, 2023
De acordo com essa pesquisa, em que percentual dos domicílios brasileiros foi constatada insegurança alimentar em algum nível? Explique a um colega como você resolveu essa questão.
27,6% dos domicílios. Respostas possíveis: Adicionando os porcentuais correspondentes às situações de insegurança alimentar grave, leve ou moderada, ou subtraindo de 100% o porcentual correspondente à situação de segurança alimentar (72,4%).
Situação
Insegurança alimentar grave
Insegurança alimentar moderada
Insegurança alimentar leve
Segurança alimentar
010203040506070 80
Porcentual dos domicílios
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua: segurança alimentar: 2023. Rio de Janeiro: IBGE, 2024. p. 10. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv102084.pdf. Acesso em: 10 ago. 2024.
Um fator importante para que uma pesquisa por amostra retrate, da melhor maneira possível, as características da população investigada é que a amostra seja escolhida adequadamente. Para isso, existem diversas técnicas de amostragem, ou seja, diferentes maneiras de selecionar os elementos da população para compor a amostra. A escolha da técnica de amostragem mais adequada depende da natureza da população e das variáveis investigadas. A seguir, estudaremos algumas técnicas de amostragem.
Na amostra casual simples ou amostra aleatória simples, todos os elementos da população têm probabilidades iguais de serem selecionados. Para obter uma amostra com n elementos utilizando essa técnica, pode-se atribuir um número distinto para cada elemento da população e sortear n números desses. Os números sorteados correspondem aos elementos que vão compor essa amostra. Analise um exemplo.
Certa revista digital decidiu consultar alguns de seus assinantes para saber o tema que gostariam que fosse abordado na próxima edição. Para isso, foram sorteados alguns desses assinantes da maneira a seguir.
1. Um número distinto foi associado a cada assinante.
2. Um programa de computador foi utilizado para gerar aleatoriamente 50 números distintos correspondentes aos números designados aos assinantes da revista.
A amostra estratificada costuma ser utilizada quando é importante que a amostra seja composta de elementos de diferentes grupos da população. Esses grupos, denominados estratos, são identificados por alguma característica similar aos seus elementos, como idade e renda. Nesse caso, a fim de obter uma amostra para uma pesquisa, pode-se selecionar, de maneira aleatória, uma amostra de cada estrato da população. Analise um exemplo.
A prefeitura de certo município deseja conhecer a renda média mensal por domicílio. Para isso, será realizada uma entrevista com moradores de diferentes bairros, procedendo da maneira a seguir.
1. Para cada bairro do município (que, nesse caso, são os estratos), serão sorteados 20 domicílios.
2. Um morador de cada domicílio sorteado será entrevistado.
Na amostra sistemática, todos os elementos da população são ordenados de alguma maneira. Em seguida, seleciona-se aleatoriamente um desses elementos para compor a amostra e, a partir da ordem desse elemento e de um intervalo regular previamente estabelecido, selecionam-se os demais elementos da amostra.
Analise um exemplo.
Em uma academia de ginástica, será realizada uma pesquisa para saber quanto tempo um cliente se exercita por semana no estabelecimento. A seleção dos clientes para realização dessa pesquisa será feita por meio de sorteio das fichas de inscrição, que estão organizadas por ordem alfabética, da maneira a seguir.
1. Será sorteado aleatoriamente um número de 1 até 10, que indicará a posição da ficha de inscrição de algum cliente selecionado para a entrevista.
2. A cada 10 fichas, a partir da que foi sorteada anteriormente, a próxima ficha é selecionada.
3. Os clientes correspondentes às fichas selecionadas serão entrevistados.
PARA PENSAR
Junte-se a um colega, e pensem em mais um exemplo de pesquisa estatística para cada técnica de amostragem apresentada. Depois, descrevam essas pesquisas para outra dupla e expliquem como a amostra pode ser obtida em cada caso. Resposta pessoal.
Em geral, uma pesquisa estatística é realizada quando se deseja obter informações relevantes em certo contexto. Estudamos, por exemplo, que pesquisas realizadas pelo IBGE podem auxiliar no planejamento estratégico dos governos federal, estadual e municipal. Há também interesse na realização de pesquisas por instituições privadas, como o estudo da preferência dos consumidores por marcas de determinado produto.
Você sabia que as pesquisas estatísticas são realizadas há muito tempo? As primeiras foram realizadas com finalidades políticas diretas e consistiam na contagem de indivíduos ou bens (recenseamento). No decorrer do tempo, essas pesquisas passaram a ter, também, finalidades sociais e científicas, incluindo aspectos cada vez mais diversos da vida social da população.
Leia o trecho a seguir com informações sobre a história dos censos.
A história dos censos remonta aos tempos antigos, e o mais remoto deles, que se tem notícia, é o da China. Em 2238 a.C., o imperador Yao mandou realizar um censo da população e das lavouras cultivadas.
Há também registros de um censo realizado no tempo de Moisés, cerca de 1700 a.C., e de que os egípcios faziam recenseamentos anualmente, no século XVI a.C.
[...]
QUADRO da população do Rio de Janeiro (Districto Federal) segundo o sexo e o estado civil. 1920. 1 cartaz. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/periodicos/154/ vtc_2010_n15_mar_abr.pdf. Acesso em: 12 ago. 2024. Infográfico de uma publicação do Censo de 1920 no Brasil.
[...] a função primordial [do censo], naquela época, era conhecer os quantitativos de população para fazer a guerra e cobrar impostos. [...]
[...]
O primeiro censo no Brasil foi realizado em 1872. Até então os dados sobre a população brasileira eram obtidos de forma indireta, isto é, não eram feitos levantamentos com o objetivo estrito de contar o número de habitantes. [...]
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Memória IBGE : introdução. Rio de Janeiro: IBGE, [2024]. Disponível em: https://memoria.ibge.gov.br/historia-do-ibge/historico-dos-censos/panorama-introdutorio.html. Acesso em: 12 ago. 2024.
Acesse o site indicado a seguir para acompanhar os episódios do podcast Censos do Brasil.
• INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Memória IBGE: podcast censos do Brasil. Rio de Janeiro: IBGE, 2023. Disponível em: https://memoria.ibge.gov.br/historia-do-ibge/historico-dos-censos/ podcast-censos-do-brasil.html. Acesso em: 12 ago. 2024.
PARA PENSAR
O que as imagens representam no infográfico desta página? Compartilhe sua resposta com os colegas.
Resposta esperada: As duas imagens à esquerda representam, respectivamente, o total de homens e de mulheres da população do Rio de Janeiro (Distrito Federal à época), em 1920. Na sequência, esse total de homens e de mulheres é organizado segundo o estado civil: solteiros, casados, viúvos e estado civil ignorado.
De acordo com o objetivo e as características da pesquisa estatística a ser realizada e da viabilidade para a coleta de dados, o pesquisador pode utilizar dois tipos de dados: primários ou secundários.
Dados primários são aqueles coletados pela primeira vez pelo próprio pesquisador, de acordo com a intenção específica da pesquisa.
Dados secundários são aqueles que foram coletados, organizados e disponibilizados para consulta, por exemplo, por alguma instituição pública ou privada de pesquisa.
Por exemplo, dados obtidos por meio de entrevistas ou de experimentos realizados pelo pesquisador correspondem a dados primários, e dados disponíveis em revistas, jornais, sites ou instituições, como o IBGE, correspondem a dados secundários.
Para apresentar, de maneira simplificada, as etapas que podem ser realizadas em uma pesquisa estatística amostral, com dados primários, considere a seguinte situação.
Um dos desafios para muitos jovens é a escolha por uma profissão, que pode envolver diferentes critérios, como áreas de interesse, afinidade com algumas disciplinas escolares e mercado de trabalho.
Pensando nisso, uma escola distribuiu aos estudantes do Ensino Médio folhetos com informações sobre diferentes profissões e algumas dicas do que pode ser considerado antes de fazer a escolha profissional. Além disso, a escola realizou uma pesquisa estatística para conhecer as áreas de interesse dos estudantes e, com base no resultado obtido, promover ações complementares específicas a fim de auxiliá-los nessa decisão. A seguir, estão descritas as etapas realizadas nessa pesquisa.
1a
Elaboração do questionário
De acordo com o tema da pesquisa, que trata das áreas de interesse dos estudantes do Ensino Médio, foi elaborada a questão a seguir para que todos os entrevistados respondessem a ela, indicando apenas uma alternativa como resposta.
Com qual dessas áreas você mais se identifica?
Artes e Comunicação.
Atividades administrativas.
Ciências agrárias e ambientais.
Ciências biológicas e da saúde.
Ciências exatas. Ciências humanas e sociais aplicadas. Entretenimento.
Elaborar um questionário exige alguns cuidados. Observe que a pergunta desse questionário permite uma resposta única para cada entrevistado, o que facilita a tarefa de tabulação e garante resultados mais objetivos. Por outro lado, nem sempre uma pergunta bem delimitada e com poucas opções permite atingir resultados satisfatórios em uma pesquisa. Assim, com relação à pesquisa da situação apresentada, o que aconteceria se a pergunta fosse aberta? Por exemplo, “Com qual área você se identifica mais e por qual motivo?”.
Resposta esperada: A tabulação dos dados seria, eventualmente, mais trabalhosa, uma vez que poderia haver muitas respostas distintas. Além disso, os resultados da pesquisa poderiam ser menos objetivos, ocasionando dificuldades na interpretação e apresentação deles.
2 a
3 a
Definição do público entrevistado
Nessa escola, estão matriculados muitos estudantes no 1o, 2o e 3o anos do Ensino Médio. Assim, optou-se pela realização de uma pesquisa amostral, utilizando a técnica de amostragem estratificada e considerando os estudantes de cada ano escolar do Ensino Médio um estrato. Por meio de um programa de computador, foram sorteados 20 estudantes de cada ano escolar.
PARA PENSAR
Em seu entendimento, a seleção dos elementos dessa amostra poderia ser feita de outra maneira? Em caso afirmativo, explique como. Resposta pessoal.
Coleta dos dados
Os 60 estudantes selecionados para a amostra foram entrevistados por três pesquisadores. Além de responderem à questão proposta, os estudantes indicaram o ano escolar em que estavam matriculados e a idade.
4 a
5 a
Organização dos dados
Os dados coletados pelos três pesquisadores foram reunidos e organizados em listas e quadros.
Análise e apresentação dos resultados
Com os dados organizados, foram obtidos, com auxílio de uma planilha eletrônica, gráficos, tabelas, medidas de posição e medidas de dispersão para representar e resumir os resultados da pesquisa. Esses recursos foram publicados em um relatório, que foi disponibilizado no site oficial da escola.
Áreas de interesse dos estudantes do Ensino Médio, por ano escolar, 2026
Fonte: Dados fictícios.
Áreas de interesse dos estudantes do Ensino Médio, 2026
Artes e Comunicação
Atividades administrativas
Ciências agrárias e ambientais
Ciências biológicas e da saúde
Ciências exatas
Ciências humanas e sociais aplicadas
Entretenimento
Estudantes do Ensino Médio entrevistados, por idade e sexo, 2026
Quantidade de estudantes
Os porcentuais indicados no gráfico de setores são aproximados.
Fonte: Dados fictícios.
• Média da idade dos entrevistados: 16,05 anos.
• Desvio padrão das idades dos entrevistados: aproximadamente 0,88 ano.
Com um colega, utilizando uma planilha eletrônica, organizem os dados dessa pesquisa e façam os cálculos para verificar os valores de cada média e desvio padrão indicados no final desta página. Se necessário, retomem a seção Você conectado das páginas 271 e 272 Respostas pessoais.
Fonte: Dados fictícios.
• Média das indicações de uma área de interesse dos entrevistados: aproximadamente 8,57 indicações.
• Desvio padrão das indicações de uma área de interesse dos entrevistados: aproximadamente 3,85 indicações.
Realizando uma pesquisa estatística com dados secundários
Para realizar uma pesquisa estatística com dados secundários, pode-se, inicialmente, estabelecer um objetivo e pesquisar dados que já foram coletados, organizados e disponibilizados para consulta. Em seguida, pode-se reorganizar os dados obtidos em tabelas ou gráficos, analisá-los e apresentar resultados de acordo com o objetivo estabelecido. Considere, por exemplo, a situação a seguir.
Suponha que um estudante tenha recebido informações sobre vários casos de crianças menores de 5 anos de idade que morreram por diarreia e gastroenterite. Após investigar algumas hipóteses sobre o que poderia ter causado essas doenças, ele resolveu realizar uma pesquisa para verificar uma possível relação entre as mortes por essas doenças e a falta de acesso da população à rede de água tratada. Com base nos resultados obtidos, esse estudante encaminharia uma proposta a governantes com o objetivo de serem desenvolvidas ações que minimizem as incidências de tais doenças.
Para realizar a pesquisa, o estudante consultou alguns sites governamentais para obter dados relacionados ao tema. Observe os dados que ele obteve.
Proporção de óbitos por diarreia e gastroenterite em menores de 5 anos de idade, por região do Brasil, 2022
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Painel de monitoramento da mortalidade CID-10. Brasília, DF: MS: Plataforma Ivis, 2024. Disponível em: http://plataforma.saude.gov.br/mortalidade/cid10/. Acesso em: 10 ago. 2024. Índice de atendimento com rede de água tratada, do total da população, por região do Brasil, 2022
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério das Cidades. Secretaria Nacional de Saneamento Ambiental. Diagnóstico temático: serviços de água e esgoto: visão geral: ano de referência 2022. Brasília, DF: MCID: SNSA: SNIS, 2023. p. 33. Disponível em: https://www.gov.br/cidades/pt-br/acesso-a-informacao/acoes-e-programas/saneamento/snis/produtos-do-snis/ diagnosticos/DIAGNOSTICO_TEMATICO_VISAO_GERAL_AE_SNIS_2023.pdf. Acesso em: 10 ago. 2024.
PARA PENSAR
Em seu entendimento, quais são as vantagens e as desvantagens da pesquisa estatística com dados secundários em relação àquela realizada com dados primários?
Resposta esperada: Algumas vantagens são o menor custo e a maior rapidez na realização da pesquisa. Algumas desvantagens podem ser a indisponibilidade dos dados de interesse e a confiabilidade dos dados disponíveis.
Depois de analisar os dados obtidos, com o auxílio de uma planilha eletrônica, foi possível construir os seguintes gráficos para representar os resultados da pesquisa.
Proporção de óbitos por diarreia e gastroenterite em menores de 5 anos de idade, por região do Brasil, 2022
Proporção de óbitos (%)
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Painel de monitoramento da mortalidade CID-10. Brasília, DF: MS: Plataforma Ivis, 2024. Disponível em: http://plataforma.saude.gov.br/mortalidade/cid10/. Acesso em: 10 abr. 2024.
Índice de atendimento com rede de água tratada, do total da população, por região do Brasil, 2022
Sem atendimento com rede de água tratada
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério das Cidades. Secretaria Nacional de Saneamento Ambiental. Diagnóstico temático: serviços de água e esgoto: visão geral: ano de referência 2022. Brasília, DF: MCID: SNSA: SNIS, 2023. p. 33. Disponível em: https://www.gov.br/cidades/pt-br/acesso-a-informacao/acoes-e-programas/saneamento/snis/ produtos-do-snis/diagnosticos/DIAGNOSTICO_TEMATICO_VISAO_GERAL_AE_SNIS_2023.pdf. Acesso em: 10 ago. 2024.
27. Leia as seguintes situações.
27. a) pesquisa censitária: II; pesquisa amostral: I, III e IV
I) Em um terreno, é plantada a mesma quantidade de semente de trigo por metro quadrado. Esse terreno é dividido em regiões com 1 m2 , das quais é coletada uma amostra da semente germinada para a realização de uma análise.
II) Uma clínica odontológica analisou a ficha de todos os pacientes e identificou que 45 % deles precisariam utilizar aparelho ortodôntico.
III) Em um hospital com 180 pacientes internados, foram selecionados 20 aleatoriamente para realizar uma entrevista sobre seus hábitos alimentares.
IV) Para realizar um teste de resistência, a cada 50 peças de aço fabricadas por certa empresa, uma é selecionada, de acordo com a ordem de fabricação.
a) Qual(is) dessas situações menciona(m) uma pesquisa censitária? E uma pesquisa amostral?
b) Ind ique qual técnica de amostragem pode ter sido utilizada nas pesquisas amostrais indicadas no item anterior.
I: estratificada; III: casual simples; IV: sistemática
28. Em relação à pesquisa com dados primários descrita nas páginas 277 a 279, resolva os itens a seguir.
a) Qual foi o objetivo dessa pesquisa?
b) Nessa pesquisa, foram entrevistados mais estudantes do sexo feminino ou do sexo masculino?
c) Quais áreas de interesse tiveram mais indicações que a média?
28. b) masculino ciências exatas, ciências biológicas e da saúde, ciências humanas e sociais aplicadas
d) Essa pesquisa foi censitária ou amostral? Justifique a escolha pela realização desse tipo de pesquisa pela escola.
e) Ex plique como a seleção dos estudantes poderia ser realizada nessa pesquisa utilizando outra técnica de amostragem.
f) Observe as ações que a escola estabeleceu para serem promovidas de acordo com o resultado da pesquisa e determine quais delas deverão ser realizadas.
Resposta pessoal. ação I
I) Se o desvio padrão das idades dos entrevistados for menor ou igual a 1, será realizada uma palestra para apresentar mais informações sobre algumas profissões de cada área, como atividade profissional, mercado de trabalho e pré-requisitos para se atuar na profissão.
II) Se cada área de interesse for indicada por mais de 10 % dos estudantes, será organizada uma visita em uma instituição de Ensino Superior para conhecer a rotina de alguns cursos da área indicada.
III) Se cada área de interesse for indicada entre 5 % e 20 % dos estudantes, serão organizadas rodas de conversa com alguns profissionais de cada área para que os estudantes possam esclarecer possíveis dúvidas ou curiosidades.
28. a) Resposta esperada: Conhecer as áreas de interesse dos estudantes do Ensino Médio e, com base nos resultados obtidos, promover ações complementares específicas a fim de auxiliá-los na escolha profissional.
28. d) Resposta esperada: Amostral, pois na escola estavam matriculados estudantes em grande quantidade no Ensino Médio.
29. e) Uma resposta possível: Possivelmente sim, pois, nas regiões em que há maior falta de atendimento à rede de água tratada à população, ocorrem uma proporção maior de óbitos de crianças com menos de 5 anos de idade por diarreia e gastroenterite. No entanto, para embasar melhor essa pesquisa, uma sugestão é investigar outras possíveis causas para a incidência dessas doenças, como a falta de acesso à rede de tratamento de esgoto e de acesso ao atendimento médico para a população.
29. Em relação à pesquisa com dados secundários descrita nas páginas 280 e 281 , resolva os itens a seguir.
29. a) Resposta esperada: Verificar uma possível relação entre as mortes por diarreia e gastroenterite em pessoas menores de 5 anos de idade e a falta de acesso da população à rede de água tratada no Brasil, em 2022.
a) Qual era o objetivo da pesquisa realizada?
b) Como os dados analisados foram obtidos para a realização dessa pesquisa?
29. b) Os dados foram obtidos em sites governamentais, vinculados ao Ministério da Saúde e ao Ministério das Cidades.
c) N o Brasil, a proporção total de óbitos por dia rreia e gastroenterite em menores de 5 anos de idade foi de 1,86 % . Em qual(is) região(ões) essa proporção foi maior que a observada em todo o território nacional?
Região Norte e Região Centro-Oeste
d) Em 2022, o índice de atendimento com rede de água tratada, do total da população do Brasil, foi de 84,9 % . Em qual(is) região(ões) esse índice foi menor que o observado em todo o território nacional?
Região Norte e Região Nordeste
e) D e acordo com os resultados apresentados na pesquisa, responda: Você acredita ser possível estabelecer alguma inferência relacionando o índice de atendimento à rede de água tratada à população com a proporção de óbitos por dia rreia e gastroenterite em menores de 5 anos de idade? Justifique sua resposta.
f) A lém da diarreia, a falta de saneamento básico pode causar outras doenças, como a leptospirose, infecção potencialmente grave causada por bactérias transmitidas pela urina de animais infectados, principalmente a de ratos. Analise o gráfico de setor. Realize uma pesquisa sobre outras doenças que podem estar relacionadas com a falta de saneamento básico à população (falta de acesso às redes de água tratada e de esgoto sanitário). Depois, registre no caderno os dados obtidos nessa pesquisa e sugira iniciativas que possam melhorar esse panorama nas diferentes regiões do país.
Pesquisa do estudante.
Casos confirmados de leptospirose no Brasil, por região, 2022
Sul Norte Nordeste
Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Painel de monitoramento da mortalidade CID-10. Brasília, DF: MS: Plataforma Ivis, 2024. Disponível em: http://plataforma. saude.gov.br/mortalidade/cid10/. Acesso em: 10 ago. 2024.
30. Leia as situações a seguir em que estão descritas pesquisas amostrais realizadas e como essas amostras foram definidas.
I) Em uma sala de aula, o professor realizou uma pesquisa com os estudantes para verificar se eles conseguiam enxergar claramente informações escritas na lousa. Para a amostra dessa pesquisa, foram escolhidos os cinco estudantes que se sentavam na primeira carteira das respectivas fileiras.
II) Certa fábrica opera em três turnos de produção: T1 das 8 h às 16 h; T2 das 16 h à 0 h e, T3, da 0 h às 8 h. O departamento de recursos humanos dessa empresa realizou uma pesquisa com os funcionários sobre a qualidade da iluminação do ambiente de trabalho. Para a amostra dessa pesquisa, foram selecionados ao acaso 30 funcionários do turno T1.
a) P ara cada situação, explique por que a maneira como a amostra da pesquisa foi definida pode apresentar inadequações.
Resposta nas Orientações para o professor
b) E xplique como cada situação apresentada pode ser ajustada de maneira que a amostra evite a ocorrência de inadequações. Para isso, sugira o uso de uma das técnicas de amostragem estudada.
Uma resposta possível: I) Para a elaboração da amostra dessa pesquisa, poderia ser utilizada a técnica de
amostra casual simples, de maneira que, por sorteio, fossem selecionados alguns estudantes da turma ao acaso. II) Para a elaboração da amostra dessa pesquisa, poderia ser utilizada a técnica de amostra estratificada, de maneira que, de cada turno, fosse sorteada a mesma quantidade de funcionários.
31. Junt e-se a quatro colegas, e realizem uma pesquisa estatística amostral. A seguir, estão apresentadas algumas dicas para cada etapa a ser considerada nessa pesquisa. Não se esqueçam de que cada uma dessas etapas é fundamental. Pesquisa dos estudantes.
Realizem um debate e escolham um tema para a pesquisa. É importante que o tema escolhido seja de interesse social e os resultados da pesquisa possam ser de interesse da escola, da comunidade ou do município em que moram. Algumas sugestões de temas são: alimentação saudável, direitos da criança e do adolescente, consumo consciente, educação ambiental, respeito e valorização dos idosos etc. Após a escolha do tema, elaborem uma ou mais questões para a entrevista.
Definam a população da pesquisa: estudantes da escola, moradores do bairro ou do município, entre outras opções. Em seguida, decidam quantas pessoas devem compor a amostra e qual será a técnica de amostragem mais apropriada para representar a população escolhida.
Realizem a entrevista com as pessoas que compõem a amostra selecionada por vocês. Para isso, organizem com antecedência os materiais necessários para a entrevista, definam como serão anotadas as respostas e dividam as tarefas a ser realizadas pelos integrantes do grupo.
Após a realização da entrevista, organizem as respostas obtidas em listas ou quadros, o que pode ser feito com auxílio de uma planilha eletrônica.
Utilizando os dados organizados, escolham recursos que representem esses resultados, como tabelas e gráficos, de acordo com as características dos dados que desejam comunicar, destacar ou resumir. Caso contribua para a compreensão de algum resultado, calculem medidas de posição e de dispersão dos dados coletados. Para isso, podem ser utilizadas diferentes ferramentas, como planilha eletrônica ou outro programa de computador específico. Por fim, escrevam um relatório que descreva a pesquisa realizada, apresentando uma interpretação dos resultados obtidos e, com base neles, propostas de soluções ou ações de acordo com o tema escolhido. Esse relatório pode ser impresso ou publicado em algum meio digital.
DiCA
Caso, por algum motivo, seja inviável a realização de uma pesquisa amostral com dados primários, ou seja, fazendo entrevistas na coleta de dados, pode-se optar por uma pesquisa com dados secundários. Nesse caso, será necessário consultar os dados em diferentes fontes confiáveis, como sites governamentais.
Elaborar um bom currículo e conquistar uma colocação no mercado de trabalho é um desafio para a maioria das pessoas. E esse desafio é ainda maior para os jovens que procuram o primeiro emprego, uma vez que precisam lidar com a falta de experiência e de qualificação em um mercado de trabalho cada vez mais competitivo.
Nesse sentido, uma opção para incentivar o primeiro emprego e a profissionalização é a inscrição no programa brasileiro Jovem Aprendiz, regulamentado pela lei n o 10.097/2000. Nesse programa, jovens entre 14 anos e 24 anos incompletos, que estão cursando, ou já concluíram, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, são contratados em regime especial da Consolidação das Leis do Trabalho (CLT) com tempo predeterminado. Atualmente, há diversas instituições e sites que anunciam vagas para aprendizes e fazem a integração entre as empresas e os jovens. Os jovens selecionados podem ocupar vagas relacionadas ao varejo, à indústria, à administração, à gastronomia etc. Uma oportunidade como essa propicia, além do conhecimento do ofício, a oportunidade de aprender outras relações no mundo corporativo, como autonomia, responsabilidade, atitudes comportamentais e de cidadania, por exemplo.
Fonte dos dados: BRASIL. Lei no 10.097, de 19 de dezembro de 2000. Altera dispositivos da Consolidação das Leis do Trabalho – CLT, aprovada pelo Decreto-Lei no 5.452, de 1o de maio de 1943. Brasília, DF: Presidência da República, [2022]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l10097.htm. Acesso em: 12 ago. 2024.
Jovens brasileiros inseridos no mercado de trabalho. O programa Jovem Aprendiz abre oportunidades para o primeiro emprego.
Acompanhe, a seguir, informações obtidas na pesquisa Empregabilidade Jovem Brasil, realizada em 2022 pelo Ministério do Trabalho e Emprego, a respeito da empregabilidade de jovens no Brasil.
Cerca de 17% dos brasileiros eram jovens de 14 a 24 anos, o que correspondia a aproximadamente 34 milhões de pessoas.
NO MUNDO
DO TRABAlHO
Entre os jovens desocupados: Havia cerca de 5,2 milhões de jovens desempregados.
52% eram mulheres
66% eram pretos e pardos.
Havia cerca de 500 mil jovens trabalhando na condição de aprendiz.
Eram aproximadamente 642 mil estagiários. Desse total, cerca de 70% atuavam em órgãos do Executivo e do Legislativo de estados e municípios.
Currículo Fonte dos dados: ALBUQUERQUE, Flávia. Pesquisa mostra 5,2 milhões de jovens entre 14 e 24 anos sem emprego. Agência Brasil, Brasília, DF, 26 maio 2023. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2023-05/ pesquisa-mostra-52-milhoes-de-jovens-entre-14-e-24-anos-sem-emprego. Acesso em: 10 ago. 2024.
Em geral, um documento essencial para ingressar no mercado de trabalho é o currículo. Nesse documento, que permite a uma pessoa se candidatar a uma vaga de emprego, são apresentadas informações que possam interessar ao recrutador ou chamar a atenção deste. Um currículo deve ser completo, objetivo, contendo essencialmente dados pessoais, objetivo profissional, qualidades, experiências e formação. No caso do programa Jovem Aprendiz, é esperado pelo recrutador que o candidato tenha pouca ou nenhuma experiência. Assim, é importante que as demais informações no currículo estejam bem organizadas e escritas. A formação pode ser indicada pela escolaridade e pelos cursos que o candidato tenha feito. Assista ao vídeo indicado a seguir para obter dicas do que não pode faltar em um currículo de Jovem Aprendiz.
• MELHORE seu currículo de jovem aprendiz com essas 5 dicas. [S. l.: s . n .], 2023. 1 vídeo (4 min). Publicado pelo canal Senai Play. Disponível em: www.youtube.com/watch?v=E78IZq3CoV8. Acesso em: 10 ago. 2024.
4. a) 2022. Ministério do Trabalho e Emprego.
1. Em seu entendimento, o que é necessário cons iderar no momento de escolher uma profissão? Resposta pessoal.
4. c) Havia cerca de 142 mil jovens estagiários a mais que aprendizes.
2. Você já pensou na profissão que pretende exercer? O que é necessário fazer para alcançar esse objetivo? Respostas pessoais.
3. De acordo com o texto, o que é necessário para ser um Jovem Aprendiz?
4. Em relação à pesquisa descrita na página 286, resolva os itens a seguir.
a) Em que ano essa pesquisa foi realizada? Que órgão realizou essa pesquisa?
b) S e uma pesquisa como essa fosse realizada atualmente, você acredita que os resultados seriam parecidos? Por quê? Respostas pessoais.
c) Havia no Brasil mais aprendizes ou estagiários? Quantos jovens de diferença?
d) E scolha uma informação sobre os resultados dessa pesquisa e indique um tipo de gráfico, tabela ou medida de posição ou dispersão que possa ser utilizada para representá-la. Resposta pessoal.
5. Nesta questão, exploraremos a seguinte situação-problema
Que experiências no mercado de trabalho têm os jovens que estudam na mesma escola que você?
a) Você está inserido ou já teve alguma experiência no mercado de trabalho como: Jovem Aprendiz, est agiário, freelancer etc.? Resposta pessoal.
b) No município em que mora, há alguma instituição que realiza a integração entre o jovem e a empresa pelo programa Jovem Aprendiz? Resposta pessoal.
c) A gora, for me um grupo com quatro colegas para a realização de uma pesquisa, que pode seguir as etapas apresentadas anteriormente nesta Unidade. O tema deve estar relacionado à inserção do jovem no mercado de trabalho. É importante que os grupos formados na turma tenham propostas distintas a fim de identificar diferentes características sobre esse tema. Na etapa de organização dos dados, pode ser utilizada planilha eletrônica para a construção de grá ficos e tabelas ou para o cálculo das medidas de posição ou dispersão. Os resultados da pesquisa devem ser interpretados para que sejam realizadas propostas de acordo com o tema escolhido. Ao final, os resultados das pesquisas dos grupos da turma podem ser reunidos em um único relatório e divulgados em formato impresso ou publicado em algum meio digital. Pesquisa e elaboração dos estudantes.
1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você concorda , concorda parcialmente ou não concorda com cada uma das afirmações.
a) Ouvi com atenção as explicações do professor.
b) Q uando precisei, pedi ajuda ao professor.
c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.
d) P articipei das discussões propostas à turma.
e) F iz as atividades propostas na sala de aula.
f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.
g) Respeitei os colegas nas atividades em grupo.
h) Auxiliei os colegas quando eles tiveram dúvidas.
i) L evei para a sala de aula os materiais necessários.
2 . Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreendê-lo.
Respostas pessoais. Resposta pessoal.
Média aritmética
Moda
Medidas de posição para dados agrupados em intervalos de classe
Variância
Média aritmética ponderada
Amplitude
Mediana
Pesquisa estatística
Desvio padrão
Técnicas de amostragem: casual simples, estratificada e sistemática
3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois colegas e sigam as etapas. Respostas pessoais.
Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em que foi constatada necessidade de retomada de estudo.
APRESENTAR
Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para que cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais colegas da turma.
Juntos, façam uma revisão do estudo desse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.
Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o que pode ser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem ser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem ser propostas atividades para que os demais colegas da turma resolvam.
4. b) A pesquisa foi amostral. Resposta esperada: Porque a população-alvo era muito grande, de maneira que entrevistar todas as crianças e adolescentes de 9 a 17 anos residentes no Brasil poderia implicar diversas dificuldades, como tempo e custo.
4. e) aproximadamente 80%
4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre o uso da internet e de outras tecnologias digitais. Sobre esse tema, observe a tabela a seguir e resolva as questões.
Crianças e adolescentes no Brasil, por frequência de uso da internet e por faixa etária, 2023
Faixa etária
Frequência de uso De 9 a 10 anosDe 11 a 12 anosDe 13 a 14 anosDe 15 a 17 anos
Mais de uma vez por dia 972 048816 3161 349 5061 589 624
Pelo menos uma vez por dia 261 001957 089261 252273 238
Pelo menos uma vez por semana 147 872133 80078 71973 087
Pelo menos uma vez por mês 71 60972 13617 28736 460
Menos de uma vez por mês 43 98538 26039 40014 503
Fonte dos dados: CENTRO REGIONAL DE ESTUDOS PARA O DESENVOLVIMENTO DA SOCIEDADE DA INFORMAÇÃO. [Microdados] TIC Kids Online Brasil: 2023: pais e responsáveis. São Paulo: Cetic.br, 2023. Disponível em: https://cetic.br/pt/arquivos/kidsonline/2023/pais/. Acesso em: 12 ago. 2024.
a) C aso você fosse entrevistado nessa pesquisa, qual seria sua resposta em relação à frequência com que usa a internet?
Resposta pessoal.
b) N essa pesquisa, a população-alvo era composta de crianças e adolescentes com idades entre 9 e 17 anos, residentes no Brasil. Para sua realização, foi selecionada apenas uma parte dessa população-alvo para ser entrevistada. Essa foi uma pesquisa censitária ou amostral? Em seu entendimento, por que isso ocorreu?
c) Q ual foi a frequência de uso de internet pela maioria das crianças e dos adolescentes em 2023? E pela minoria deles?
mais de uma vez por dia; menos de uma vez por mês
d) Determine a média, a moda e a mediana das idades das crianças e dos adolescentes considerados na tabela, em anos.
média: aproximadamente 12,80 anos; moda: 11,5 anos; mediana: 13,5 anos
e) Que porcentual dos jovens de 15 a 17 anos de idade usam a internet mais de uma vez por dia?
f) Em certa turma de Ensino Médio, há apenas estudantes com 16 e 17 anos de idade. Para estimar quantas horas por dia da semana os estudantes dessa turma usa m a internet, a professora de Matemática sorteou um estudante com 16 anos de idade e outro com 17. Em seguida, solicitou a eles que registrassem na lousa a quantidade de horas aproximada de uso diário, obtendo os dados a seguir. Acompanhe.
Dia
Idade seg.ter.qua.qui.sex.sáb.dom.
16 anos
3,533,54,54,566,5
17 anos 2,53,53,52,5354,5
Em relação ao tempo, em hora, de uso de internet por dia que cada estudante indicou, determine:
• a amplitude;
• a média aritmética;
• a variância;
• o desvio padrão.
estudante com 16 anos: 3,5 h; estudante com 17 anos: 2,5 h estudante com 16 anos: 4,5 h; estudante com 17 anos: 3,5 h estudante com 16 anos: 1,5; estudante com 17 anos: aproximadamente 0,79 estudante com 16 anos: aproximadamente 1,22 h; estudante com 17 anos: aproximadamente 0,89 h
g) Na situação descrita no item f, que técnica de amostragem a professora utilizou para definir os estudantes entrevistados?
Resposta esperada: Amostra estratificada.
1. (Enem/MEC) Um gerente decidiu fazer um estudo financeiro da empresa onde trabalha analisando as receitas anuais dos três últimos anos. Tais receitas são apresentadas no quadro.
Estes dados serão utilizados para projetar a receita mínima esperada para o ano atual (ano IV), pois a receita esperada para o ano IV é obtida em função das variações das receitas anuais anteriores, utilizando a seguinte regra: a variação do ano IV para o ano III será igual à variação do ano III para o II adicionada à média aritmética entre essa variação e a variação do ano II para o I.
alternativa c
O valor da receita mínima esperada, em bilhão de reais, será de a) 10,0. b) 12,0. c) 13,2. d) 16,8. e) 20,6.
2. (UPE) Ao realizar o levantamento das famílias de uma pequena cidade do interior, cujos filhos são beneficiários de algum programa social, um pesquisador obteve os seguintes dados:
Beneficiados em Programa
3. (Enem/MEC) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 0 00 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é
a) 20,25.
b) 4,50.
alternativa a
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o desvio padrão do número de filhos dessa amostra é de, aproximadamente: a) 1,4 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,5 e) 6,7
a) R $ 6.245,00.
b) R $ 6.752,00.
c) R $ 6.834,00.
c) 0,71. d) 0,50. e) 0,25.
4. (UFMS) A despesa mensal de uma família foi de R $ 6.240,00 durante os primeiros 3 meses, R $ 6.780,00 durante os próximos 4 meses e R $ 7.236,00 durante os últimos 5 meses de um ano. Se a economia total durante o ano foi de R $ 7.080,00, qual foi a renda média mensal da família?
d) R $ 6.957,50. e) R $ 7.425,00.
5. (IFPE) Embora pouco conhecida, a “média harmônica” é utilizada em várias situações do dia a dia. Por exemplo, para calcular a velocidade média em um percurso que é feito metade da distância com velocidade v 1 e a outra metade com velocidade v 2 . Podemos definir a média harmônica entre dois valores não nulos x e y, como sendo o número H , tal que:
1 H + 1 H = 1 x + 1 y
Utilizando a definição anterior, encontre uma expressão algébrica destacando H em função de x e y alternativa c
a) H = √ xy .
b) H = x + y 2
e) H = x + y 4 alternativa e alternativa e
c) H = 2xy x + y d) H = √ x 2 + y 2 2
6. (Enem/MEC) A tabela apresenta uma estimativa da evolução da população brasileira por faixa etária, em milhões de pessoas, para 2020, 2030 e 2045.
Ano
Faixa etária 202020302045
Até 14 anos 494848
De 15 a 49 anos 111112110
De 50 anos ou mais 506378
Total 210223236
STEFANO, F. Mais velho e mais rico: os ganhos da maturidade. Exame, ed. 1003, ano 45, n. 21, 2 nov. 2011 (adaptado).
Com base na tabela, o valor que mais se aproxima da média dos percentuais da população brasileira na faixa etária até 14 anos, nos anos de 2020, 2030 e 2045, é alternativa b a) 21,5. b) 21,7. c) 48,0. d) 48,3. e) 48,5.
7. (Unitins-TO) Ana, João, José e Maria são alunos do 3o ano do Ensino Médio e estão comparando as médias anuais obtidas nas disciplinas de Matemática, Física, Química e Biologia.
O quadro a seguir demonstra os resultados obtidos ao longo de um ano de estudos.
Disciplina Aluno Matemática Física Química Biologia
Ana 8,99,68,59,3
João 9,38,98,79,8
José 9,78,99,09,5
Maria 9,29,18,69,5
De acordo com as notas obtidas por cada aluno, é possível afirmar que: alternativa a
a) Ana e João apresentam a mesma mediana das disciplinas pesquisadas.
b) a média e a mediana apresentadas por José, nas quatro disciplinas, são iguais.
c) a mediana das disciplinas apresentada por José é 0,25 unidade maior do que a apresentada por Maria.
d) a média das disciplinas de Maria é 0,175 unidade maior do que a apresentada por José.
e) a média de João nas quatros disciplinas é 9,075.
8. (Enem/MEC) Uma empresa de transporte faz regularmente um levantamento do número de viagens realizadas durante o dia por todos os 160 motoristas cadastrados em seu aplicativo. Em um certo dia, foi gerado um relatório, por meio de um gráfico de barras, no qual se relacionaram a quantidade de motoristas com a quantidade de viagens realizadas até aquele instante do dia.
510152025303540455055
Quantidade de motoristas
Comparando os valores da média, da mediana e da moda da distribuição das quantidades de viagens realizadas pelos motoristas cadastrados nessa empresa, obtém-se
a) mediana = média , moda.
b) mediana = moda , média.
c) mediana , média , moda.
d) moda , média , mediana.
e) moda , mediana , média.
9. (PSC/UFAM) Em uma prova de seleção, o critério de aprovação leva em conta a média e o desvio padrão de três provas. Logo, a média e o desvio padrão de um candidato que obteve nas três provas 64, 57 e 62 pontos são, respectivamente:
a) 49 e √ 6,79
b) 52 e √ 7,68
c) 61 e √ 8,67
d) 74 e √ 6,27
e) 81 e √ 9,75
10. (UEA-AM) Em um grupo de 30 pessoas, 8 têm 14 anos, 7 têm 15 anos, 6 têm 16 anos e as demais têm 17 anos. Usando as abreviações Me para a média aritmética, Md para a mediana e Mo para a moda, para esse grupo de pessoas tem-se que: alternativa e
a) Mo , Md , Me
b) Me , Mo , Md
c) Me , Md , Mo
d) Md , Mo , Me
e) Md , Me , Mo alternativa e alternativa c
11. (Unifesp-SP) Um estudo médico recrutou 160 pacientes homens com histórico de alterações no antígeno prostático específico (PSA). Os pacientes foram submetidos aos exames laboratoriais de PSA total e de PSA livre e, em seguida, a uma biópsia da próstata. A biópsia apontou, em cada caso, se a patologia era maligna ou benigna. A tabela apresenta os resultados das médias dos exames laboratoriais do grupo de pacientes com patologia maligna e do grupo de pacientes com patologia benigna.
PSA (média)
Biópsia com indicação de patologia maligna
Biópsia com indicação de patologia benigna
PSA total (ng/mL) 10 8
PSA livre (ng/mL) 1,9 2
PSA livre ÷ PSA total 0,190,25
Pedro foi um dos pacientes que participou do estudo e seus exames indicaram PSA total = = 9,5 ng/mL e PSA livre = 2,28 ng/mL.
a) Calcule o quociente entre o PSA livre e o PSA total de Pedro. Usando esse indicador como referência na comparação com os dados da tabela, indique se o resultado do exame de Pedro está numericamente mais próximo ao resultado médio do exame de quem tem a patologia maligna ou de quem tem a patologia benigna.
13. (Enem/MEC) Uma grande rede de supermercados adota um sistema de avaliação dos faturamentos de suas filiais, considerando a média de faturamento mensal em milhão. A matriz da rede paga uma comissão para os representantes dos supermercados que atingirem uma média de faturamento mensal (M ), conforme apresentado no quadro.
Comissão Média de faturamento mensal (M )
I 1 < M , 2
II 2 < M , 4
III 4 < M , 5
IV 5 < M , 6
V M > 6
Um supermercado da rede obteve os faturamentos num dado ano, conforme apresentado no quadro.
Faturamento mensal (em milhão de real) Quantidade de meses
b) Sabendo que 40% dos pacientes foram diagnosticados com patologia maligna, calcule a média do PSA total dos 160 pacientes que participaram do estudo.
12. (UEFS-BA) Conhecidos os percentuais de aprovação, por parte da população, de 10 projetos viáveis para desenvolvimento sustentável em dez cidades de certa região, como 15%, 12%, 15%, 8%, 86%, 13%, 13%, 83%, 11% e 13%, quanto aos valores percentuais da mediana (Me) e da moda (Mo), é correto afirmar que
a) Me , Mo.
b) Me < Mo.
0,24; patologia benigna 8,8 ng/mL alternativa c
c) elas são equivalentes.
d) Me . Mo.
e) Me > Mo.
Nas condições apresentadas, os representantes desse supermercado avaliam que receberão, no ano seguinte, a comissão de tipo
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
14. (UEG-GO) Os números de casos registrados de acidentes domésticos em uma determinada cidade nos últimos cinco anos foram: 100, 88, 112, 94 e 106. O desvio padrão desses valores é aproximadamente
a) 3,6
b) 7,2
c) 8,5
d) 9,0
e) 10,0 alternativa b alternativa c
Atividades
1. a) 216 d) 81 16
b) 16 e) 36 25
c) 1 25 f) 1
2. a) ( 5 3 )12 d) 326
b) ( 6)7 e) ( 45 8 )7
c) 37 f) 2027
3. a) 1 25 c) 4 9
b) 196 d) 21
4. 34 vezes
5. aproximadamente 73,6%
6. a)
• 3 ? 210 B
• 5 2 20 TB
• 2 33 kB
• 7 2 30 GB
b) I e III
7. 7
9. a) 5,68 ? 1011 d) 6 ? 10 7
b) 1,0263 1016 e) 7,98 10 9
c) 9,07 1014 f) 6,04 10 13
10. a) 1,4 102
b) 1,015 ? 10 1
c) 3, 37125 105
11. a) aproximadamente 7 505 anos-luz
b) 1,67824 10 5 A °
12. a) 0,0028 g
b) 2,8 10 3 g
13. alternativa d
14. a) 2,55 cm
b) 2,85 cm
c) 3, 25 cm
15. a) aproximadamente 1,6 L
b) 1 é algarismo certo; 6 é algarismo duvidoso
16. a) 3,86 cm; algarismos certos: 3 e 8; algarismo duvidoso: 6; 7,43 cm; algarismos certos: 7 e 4; algarismo duvidoso: 3
b) 3,86 cm = 3,86 10 2 m; 7,43 cm = 7,43 ? 10 2 m.
17. Aproximadamente 7,31 103 leucócitos por milimetro cúbico de sangue. Essa concentração de leucócitos está entre os valores de referência.
18. a) 7 ? 107 células-tronco b) 6, 2 10 4 g
19. a) 9 3 4
b) 8 1 6 c) 35 d) ( 2 5 ) 1 2 e) (1,5) 2 9 f ) 4 2 3 g) (2, 7) 2 3 h) ( 1 3 ) 7 5
20. a) 4 √ 45 c) 3 √ 36
b) 7 √ 2 9 d) 10 √ 100
21. b) • 2 5 √ 7 • 10 3 √ 5 • 3 6 √ 3 • 6 3 √ 26
22. a) 9 √ 2 2 c) 5 √ 7 18
b) √ 6 4 d) 7 + 7 √ 3 2
23. Considerando as informações do enunciado, não é possível comparar os valores das duas expressões.
25. a) 4,7 c) 1,6
b) 22,2 d) 8,8
26. alternativa a
27. alternativa a
28. a, c e f
29. a) 81 d) 2
b) 512 e) 19
c) 1 9 f) 115
31. a) 32 bactérias; 64 bactérias
b) 4 096 bactérias
c) f ( x) = 2 x
32. a) 0,25 mg; 0,0625 mg
b) h(x) = ( 1 2 )x
c) aproximadamente 0,074 mg ou 0,105 mg
33. a) decrescente; ]0, 1[
b) (0, 1)
c) não
34. a) s b) f c) g d) t
35. a) função f: crescente; função g: decrescente
b) f ( x) = 2 2 x 3; g( x) = 3x + 4
c) Im(f ) = { y [ r | y . 3}; Im( g) = r
38. a) alternativa II
b) 59 048 compartilhamentos
39. b) nível 5: 256 participantes; nível 6: 1 024 par ticipantes
c) q(n) = 4 n _ 1 ou q(n) = 1 4 ? 4 n
d) R $ 86.016.000,00
41. a) S = { 3 4 } d) S = { 2 3 }
b) S = { 7} e) S = {1}
c) S = {1, 2} f) S = {9}
42. a) S = {1}
b) S = {1, 3}
c) S = {2, 3}
44. a) II
b) 81 quadrados na cor laranja
c) Figura 6
45. ( 1, 3)
46. alternativa c
47. a) R$ 6.561,00
b) 2,5 anos ou 2 anos e 6 meses
49. a) 0,5 mg; 0,25 mg b) III d) 10 h
50. a) S = {x [ r | x > 3 2 }
b) S = {x [ r | x < 9 7 }
c) S = {x [ r | 3 , x , 0}
d) S = {x [ r | x . 5}
e) S = {x [ r | 2 < x < 2}
f ) S = {x [ r | x , 7}
51. a) D(f ) = {x [ r | x > 7 6 }
b) D(g) = {x [ r | x , 11}
c) D(h) = {x [ r | x > 4 3 }
d) D(m) = {x [ r | x < 2}
52. alternativa b
53. S = {x [ r | x > 2}
54. a) m(t) = 1 250 ( 3 5 ) t
b) 1 250 ( 3 5 ) t , 162; t . 4; após 4 horas
55. alternativa d
56. alternativa c
57. a) R$ 3.150,00; R$ 600,00 b) junho de 2024
c) investimento de Sérgio: 4% ao mês; investimento de Carla: 3% ao mês
d) aproximadamente R $ 830,54
58. a) B
b) R $ 500,00
c) A: 6%; B: 5%
d) A: M(t) = 30t + 500, função afim; B: M(t) = 500 ? (1,05)t, função do tipo exponencial
e) A: de 1 a 8 meses; B: a partir de 9 meses f) II
59. alternativa e
60. a) 40 500 unidades b) 91 125 unidades
61. a) R$ 5.000,00
b) R $ 9.649,75
c) M(t) = {5 000 (1, 1) t , se 0 < t < 3 998,25t + 3 660,25, se 3 , t < 6
62. a) 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 e 1 16
b) 1 2
63. a) População submetida à substância B
b) a = 3, b = 1, c = 4 e d = 8; f (m) = 3m 1 e
g(m) = 4 8 m 1
c) população submetida à substância A: 20 bactérias; população submetida à substância B: 1 048 576 bactérias
64. a) (200, 100, 50, 25, ...); q = 1 2
b) f : n H r , dada por f(x) = 200 ( 1 2 )x
65. a) razão da PG determinada pela função f: 2; razão da PG determinada pela função g: 3
b) a = 2 e b = 3; f ( x) = 2 x e g( x) = 3 x 2
66. alternativa c
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa d
2. alternativa d
3. alternativa c
4. alternativa d
5. alternativa c
6. alternativa c
7. alternativa 02
8. alternativa e
9. alternativa a
10. alternativa c
11. alternativa c
12. alternativa b
13. alternativa b
14. alternativa d
15. alternativa a
16. alternativa c
Unidade 2 • Logaritmo e função logarítmica
Atividades
1. a) 4 3
c) 3
b) 2 d) 5
2. a) x = 7 4 c) x = 10
b) x = 216
3. a) 2,04
b) 1, 38
d) x = 100
c) 1,71
d) 0,22
4. a) x . 13 c) x , 8 e x 5 9
b) x . 5 2 e x 5 2 d) 1 , x , 2
5. a) 2 c) 9
b) 1 d) 3 2
6. 5
7. 16 meses
8. a) log 1 = 0,00; log 2 1 0,301029995663981; log 3 1 0,477121254719662; log 4 1 0,602059990327962
b) Logaritmando Logaritmo aproximado na base 10 6 0,77815125 7 0,84509804 8 0,903089987 9 0,954242509 10 1
9. a) log ( 8 15 )
b) log6 5
c) log7 40
d) log3 4
10. a) 3,86
b) 3, 26
c) 0,82
d) 0, 32
11. a) aproximadamente 1,44
b) aproximadamente 6,64
c) 0, 3
d) aproximadamente 0,93
12. a) 2,688
b) 532,09
c) 0,097
d) 1,02
13. a) 192 lados b) 1 024 81 c) Passo 21
14. 175 min
15. a) M(t) = A ( 1 2 ) t 30
b) aproximadamente 7,3 g de césio-137
c) aproximadamente 369 anos
16. a) 34 884 bps
17. alternativa d
19. a) 1 4 d) 0
b) 1 2 e) 7
c) 2
20. a) D(f) = {x [ r | x . 9}
b) D( g) = {x [ r | x , 2 ou x . 2}
c) D(h) = {x [ r | x . 8}
d) D(m) = {x [ r | x . 2 e x 5 3}
21. a) crescente d) decrescente
b) decrescente e) crescente
c) crescente
22. a) t . 4
b) 9 2 , t , 4
24. a = 1; b = 5
25. a) f 1 : r + * H r, definida por f 1(x) = log 4 x
b) g 1 : r H r + * , definida por g 1(x) = 2, 5 x
26. t(M) = 2 + log2 M
28. g(x) = log4 x
29. a) A ordenada do ponto A do gráfico da função p corresponde à abscissa do ponto B do gráfico da função m, e a ordenada do ponto B corresponde à abscissa do ponto A
b) a 1 0,95; b 1 0,85
c) m(a) 1 0,5; m(b ) 1 1,5 d) m(h) = log(0,9) h
31. a) S = {7} c) S = {3}
b) S = @ d) S = { 3 2 }
32. a) x 1 1,56 c) x 1 0,032 b) x 1 1,716 d) x 1 3,17
33. x = 4,2
34. 47 meses
35. alternativa e
36. a) R$ 83.635,20 b) aproximadamente 5 anos e 5 meses
37. a) S = {x [ r | 8 9 , x , 73 81 }
b) S = {x [ r | x . 1}
c) S = {x [ r | x > 16 3 }
38. um
39. a) S = {x [ r | 0 , x , 4}
b) S = {x [ r | x . 0,2}
40. a) 20 cm; 30 cm
41. a) É a razão entre o PIB e a quantidade de habitantes do município.
b) ano 1: 21,8 mil reais; ano 2: 22,6 mil reais; ano 3: 23,3 mil reais
c) a partir do 15o ano
42. marcas A e B
43. aproximadamente 4,5 ? 108 anos ou 450 milhões de anos
44. alternativa c
45. alternativa d
46. a) aproximadamente R$ 1.377,46
b) 9 anos
49. a) 1022,3 erg
b) 1025,3 erg
50. a) não
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa d
2. alternativa a
3. alternativa b
4. alternativa d
5. alternativa d
6. alternativa a
7. alternativa a
8. alternativa e
9. alternativa e
c) S = @
d) S = {x [ r | x > 6}
c) g(t) = 10 log2 (t + 2) b) 14 meses d) 30 meses
10. alternativa c
11. a) 400 mg/L
b) a = 1; k = 200
12. alternativa c
13. alternativa a
14. alternativa d
15. alternativa a
16. alternativa c
17. alternativa b
Unidade 3 • Sequências e noções de linguagem de programação
Atividades
1. cerca de 1 080 quadros
2. a) (7, 4, 1, 2, 5, ...)
b) ( 8, 14, 20, 26, 32, ...)
c) ( 9 4 , 17 4 , 25 4 , 33 4 , 41 4 , ...)
3. a) Algumas respostas possíveis: 1, 2 e 4; 2, 4 e 8; 4, 8 e 16; 8, 16 e 32.
b) 32; 2
4. a) não recursiva b) f inita c) Marcela
5. a) figura 1: 4 palitos e 1 quadrado; figura 2: 7 palitos e 2 quadrados; figura 3: 10 palitos e 3 quadrados
b) • 13 palitos; 4 quadrados
c) A partir da figura 2 , acrescentam-se três palitos à figura anterior, de maneira a obter um quadrado a mais do que essa figura anterior possui.
d) (4, 7, 10, ...); a n = 3n + 1, com n [ n *
6. Recursiva: a1 = 0 e a n = a n 1 + 13, com n [ n* e n > 2; não recursiva: a n = 13(n 1) ou a n = 13n 13, com n [ n*
7. a) 238 e 355
b) 2 38: 28a posição; 355: 41a posição
8. a) (1, 1, 2, 3, 5, ...)
b) A partir do 3o mês, a quantidade de casais de coelhos corresponde à soma das quantidades de casais nos dois meses anteriores.
c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e 144; 144 casais de coelhos
d) {a1 = a2 = 1 a n = a n 2 + a n 1 , com n [ n e n > 3
9. b, c, d
• b: r = 18, crescente; c: r = 8, decrescente; d: r = 0, constante
10. a) ( 2, 5, 12, 19, 26)
b) ( 29, 8, 13, 34, 55)
c) (9, 28 3 , 29 3 , 10, 31 3 )
d) ( 3, 3, 3, 3, 3)
e) (40, 36, 32, 28, 24)
f) (16, 7, 2, 11, 20)
11. alternativa c
12. 5, 11 e 17
13. (7, 4, 1, 2, 5, 8)
14. 17, 60 e 220
15. 25 cm²
16. 517
17. 12 mesas
18. a) 22 termos c) 15 termos
b) 76 termos
19. a) 2024: 99 municípios; 2025: 144 municípios
b) 2033
20. a) r = 4
b) ( 77, 65, 53, 41, 29, 17, 5, 7, 19, 31)
c) 6 meios aritméticos
21. a) 21 múltiplos c) 42 múltiplos
b) 37 múltiplos
22. a) crescente
b) Sim, pois a 21 = 106.
c) • 338
• 2
d) f : n * H r , tal que f (n) = 8n 62
23. a) ( 2, 5, 8, ...); a1 = 2 e r = 3
24. a) 8 anos de uso
b) f : A H r , com A = {n [ n | 1 < n < 8}, tal que f (n) = 625n + 15 800
26. a) a n = 125 550 + (n 1) ? ( 1 620) ou
a n = 1 620n + 127 170
b) 114 210 domicílios
27. a) 120 copos; 300 copos
b) 12 camadas; 19 camadas
c) n 2 + n 2
28. 5 278
29. 7 200
30. 50, 41, 32, 23 e 14
31. 260 poltronas
32. a) 627 c) 204 880
b) 1 200
33. alternativa d
34. 466 000 visitantes
35. 100
36. 100°, 108°, 116°, 124° e 132°
37. 185 palitos
38. razão: 8; a40 = 312
39. a) x = 15 b) m = 3 c) p = 40
40. opção 1; R$ 856,00
41. 4
42. 92
43. a) 55 6 ou 55 6 b) 5 3 , 65 6 , 20, 175 6 e 115 3
44. a) q = 1 3 ; crescente d) q = 6; alternante
b) q = 1; constante e) q = 2 2; decrescente
c) q = 4; decrescente
45. a) √ 7 , 28, 112 √ 7 e 3 136 c) 9, 93, 95 e 97
b) 125 8 , 25 8 , 5 8 e 1 8
46. 4 375 32
47. q = 1 5 ; a1 = 20
48. a) 729 triângulos pretos
b) f igura 10
c) (1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , ...) d) PG • a n = ( 1 2 )n 1 e) 3 32 m
49. alternativa c
50. a) (500; 250; 125; 62,5; …) b) PG
51. 1, 6, 36, 216 e 1 296
52. 19 termos
53. 3 7
54. a) (40, 80, 160, 320, 640, ...)
b) PG
c) a n = 40 2 n 1
d) f (n) = 40 2 n 1 ou f (n) = 5 2 n + 2
e) 2 621 440 bactérias
55. aproximadamente R$ 2.154,02
56. a) ( 2, 6, 18, ...); a1 = 2 e q = 3
57. f: n* H r, definida por f(n) = 1 8 4 n 1 ou f(n) = 22n 5
58. a) 6 anos
b) f : A H r , com A = {n [ n | 1 < n < 6}, definida por f(n) = 32 ? ( 3 2 )n 1 ; f (4) = 108
59. a) 488 281 c) 59 048
b) 208 3 d) 1 434 891
60. a) 84 000 entregas
b) aproximadamente 608 639 entregas
61. alternativa c
62. alternativa d
63. 6
64. 546 125 32
65. a) aproximadamente 3,57 m
b) • 46 m • 81,02525 m
66. a) De acordo com a ordem das linhas, o primeiro número das sequências corresponde a um termo de uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2. Já em cada linha, a sequência corresponde a uma PA de razão r = 3. Na 1a linha tem apenas um número e, a partir da 2a linha, a quantidade de números é o dobro da que tem na linha anterior. b) 4 560
67. alternativas b, d e e
68. a) 16 5 c) 9 28
b) 3 125 4 d) 2 500 99
69. a) 16 9 c) 91 99
b) 8 104 999 d) 79 33
70. alternativa d
71. x = 24
72. a) Todo número natural é par ou é ímpar, e qualquer número par é divisível por 2.
b) Sim. O passo que questiona se a divisão, realizada no passo anterior, tem resto igual a zero.
c)
• Primeiro realizamos a divisão 237 : 2 = 118, com resto 1. Como o resto da divisão não é igual a zero, concluímos que 237 é ímpar.
• Primeiro realizamos a divisão 108 : 2 = 54, com resto zero. Como o resto da divisão é igual a zero, concluímos que 108 é par.
73. a) O currículo é arquivado e retoma-se o processo.
b) N ão, além da análise de currículo, são analisadas as referências pessoais e profissionais do candidato e realizada uma entrevista para indicação de um candidato apto ao cargo.
c) Verificar se a entrevista indica um candidato apto ao cargo.
74. (5, 3, 13, 19, 45, ... ); a n = 2a n 1 + 7 e a1 = 5, com n [ n* e n > 2
75. e - a - d - f - c - b
77. a) • frigorífico
• pesqueiro
• tanque de engorda
78. b) 153
80. a) Exemplo 1: variáveis: x, y, z; operadores: +, =. Exemplo 2: variáveis: a, b, soma; operadores: +, = .
b) É calculada a soma 10 + 5 = 15.
c) No exemplo 1, o algoritmo realiza a adição de dois números inteiros predefinidos, 10 e 5; já no exemplo 2 , o algoritmo realiza a adição de dois números quaisquer do tipo real, que devem ser inseridos ao executar o algoritmo.
81. a) não
82. alternativa d
83. a) figura I
b) R esposta esperada: II – Use a caneta; repita 5 vezes (mova 150 passos; gire 72 graus para a direita). III – Use a caneta; repita 3 vezes (mova 150 passos; gire 120 graus para a direita).
84. a) recursiva
b) 5; 2.
c)
• a n = 5 a n 1, para n [ n , com n > 2 e a1 = 2
• a n = 2 ? ( 5)n 1, para n [ n *
85. a) Uma resposta possível: III, V, II, IV e I.
b) Uma resposta possível: 24.
c) f ( x) = 2( x + 10) ou f ( x) = 2 x + 20
86. a) 62,5; aprovado b) 56; reprovado
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa d
2. alternativa c
3. alternativa b
4. alternativa d
5. alternativa b
6. alternativa c
7. alternativa c
8. alternativa b
9. alternativa d
10. alternativa b
11. alternativa c
12. alternativa d
13. alternativa b
14. alternativa d
15. alternativa d
16. alternativa d
17. alternativa b
Unidade 4 • Trigonometria na circunferência e funções trigonométricas
Atividades
1. a) OB, OC, OD e OG c) AH, CG e EF b) CG
2. a) 31,4 cm c) 21,98 m b) 56,52 dm
3. a) 2,5 cm c) 70 cm b) 4 00 cm d) 12 cm
5. catraca B: 600 voltas; catraca C: 1 200 voltas
6. 2 p unidade de medida de comprimento ou aproximadamente 0,637 unidade de medida de comprimento
7. aproximadamente 25,12 cm
8. a) 180° d) 270 °
b) 7 2 ° e) 60 ° c) 30 ° f) 45°
9. comprimento de ⏜ APB: aproximadamente 11,775 cm; med(⏜ APB) =135°
10. a) med( ⌢ AB) = 5p 6 rad c) med( ⌢ AB) = 17p 9 rad
b) med( ⌢ AB) = 10p 9 rad d) med( ⌢ AB) = 25p 18 rad
11. 300° ou 5p 3 rad
12. 65,94 cm
13. 14,99 cm
15. a) 170° d) 330 °
b) 11p 9 rad e) 80 °
c) 8p 9 rad f) 2p 9 rad
16. a) Algumas respostas possíveis: 10p 3 , 4p 3 , 8p 3 , 14p 3 .
b) Algumas respostas possíveis: 5p , 3 p , p , 3 p .
17. a) 690° b) 19 casas
18. a) 315° + k 360°, com k [ z
b) 5p 12 rad + k 2p rad, com k [ z
c) 17p 10 rad + k 2p rad, com k [ z
d) 2 20 ° + k ? 360 °, com k [ z
20. a) 135° ou 3p 4 rad b) H
21. a) √ 3 2 f ) √ 2 2
b) 1 g) √ 3 2
c) 1 2 h) √ 3
d) √ 3 3 i) 1 2
e) √ 3 2 j) 1 2
22. alternativa c
23. Nenhum desses estudantes acertou a resposta à questão.
24. 54 m
25. √ 3 8 u.a.
26. √ 3 2
28. a) 1 b) √ 3 2
29. a) p 2
b) _p , p e 3 p
c) 11p 3 , 7p 3 , 5p 3 , p 3 e p 3
30. a) 6 < m < 5 c) 7 5 < m < 1
b) 8 < m < 10 d) 2 3 < m < 4 3
32. a) valor mínimo: 1; valor máximo: 3
b) valor mínimo: 7; valor máximo: 3
c) valor mínimo: 2 3 ; valor máximo: 2
d) valor mínimo: 2; valor máximo: 8
34. S = {x [ r | p 4 < x < 5p 4 ou 9p 4 < x < 13p 4 }
35. A ( 3p 2 , 1), B( 3p 4 , √ 2 2 ), C( p 6 , 1 2 ),
D( 2p 3 , √ 3 2 ), E( 3p 2 , 1), F(2p , 0) e G( 13p 6 , 1 2 )
36. a) 2p c) 8
b) p 4 d) 6 p
37. a) Im(f ) = [ 7, 7] c) Im(m) = [0, 8]
b) Im( g) = [ 3, 13] d) Im(n) = [2, 3]
38. alternativa d
41. b) Sim, em três pontos.
42. alternativa c
43. alternativa b
44. alternativa a
45. a) p(t) = 90 + 20 ? cos (2,5pt)
b) II
48. a) 0,18 ampere; 0,18 ampere
b) I = 0,18; w = 120 p
c) I (t) = 0,18 sen (120 pt )
d) 0 ampere; 0,18 ampere
49. a) S = {x [ r | x = kp ou x = 3p 2 + 2kp, com k [ z}
b) S={x [ r | x = 7p 6 + 2kp ou x = 11p 6 + 2kp, com k [ z}
c) S = {x [ r | x = p 6 + 2kp, com k [ z}
d) S = {x [ r | x = p 12 + kp ou x = 11p 12 + kp, com k [ z}
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa a
2. alternativa a
3. alternativa e
4. alternativa e
5. alternativa a
6. alternativa d
7. alternativa c
8. 115,625 milhões de kilometros
9. alternativa b
Unidade 5 • Figuras geométricas planas, perímetro e área
Atividades
1. a, b, d e e
2. 420 cm
3. 25 dm
4. a) BC = 18 cm; AB = 54 cm
b) 24 cm
5. 726 u.c.
6. alternativa c
7. a) 15 lados
b) 2 340 °
8. a) 2,54 cm
b) aproximadamente 81,28 cm
c) aproximadamente 2,2 m
9. a) Pista C. Pista A. b) pista C
10. 170 m
11. a) 21 cm e 30 cm
b) 24,9 cm e 15,9 cm
c) 5, 25 cm
13. a) 5 vértices; 2 diagonais
b) A , B e F
c) AC e CF ; AC
d) 5 diagonais
e) D = (n 3) n 2
14. c) A soma das medidas de cada par de ângulos é 180°
d) A soma das medidas de todos os ângulos externos é 360°
15. a) ABO: 78°; AOB: 24°
b) 15 lados
16. a) 30 m
b) aproximadamente 4,62 m
17. alternativa e
18. alternativa d
19. alternativa c
20. l = r e a = r√ 3 2
21. 210° 22. a e d
23. alternativa b
25. Triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.
26. a) 4 pisos
b) 96 pisos
c) L adrilhamento regular do plano por quadrados.
27. a, b e d
• a) hexágonos regulares; b) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares; d) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares
29. a) 111,6 cm2 c) 112 √ 3 cm2 b) 7 2 cm2 d) 32,49 cm2
30. x = 5 m
31. alternativa c • 220,5 cm2
32. 19 800 ingressos
33. 56 cm
34. a) s(x) = x2 + 80x b) A largura e o comprimento devem ter 40 m.
35. a) automóvel: 750 vagas; bicicleta: 225 vagas; motocicleta: 90 vagas
36. 81 √ 3 4 cm2
37. a) 442 m2
38. alternativa d
39. alternativa b
40. alternativa a
41. a) • 16,36%
• 8 painéis solares; 13,2 m2
42. R$ 3.798,00
43. 10 400 m2
44. a) 16,5 dm2 d) 29,6 dm2 b) 18,45 dm2 e) 9 √ 3 dm2
c) 6 √ 5 dm2 f) 14 √ 5 dm2
45. alternativa c; área: 10 √ 2 cm2
46. 173,76 cm2
47. alternativa d
48. 30 m
49. alternativa b
50. 7 344 cm2
51. a) peça com formato de pentágono regular: aproximadamente 43,125 cm2; peça com formato de hexágono regular: 37, 5 √ 3 cm2 ou, aproximadamente, 65 cm2
b) 6,48 m
52. a) f: gráfico IV; g: gráfico I
b) f(x) = 3x; g(x) = √ 3 4 x 2; f: função afim; g: função quadrática
53. a) p(x) = 4x; a(x) = x 2
54. a) 314 cm2
b) 38,465 m2
c) 113,04 dm2
d) 2 54,34 cm2
55. 8,55 cm2
56. 3 m
57. alternativa c
58. a) A área da coroa circular é 39p cm2 ou, aproximadamente, 122,46 cm2.
b) A = p (R2 r 2)
59. a) 216,66 cm2
b) 51,025 cm2
60. alternativa b
61. a) Utilizando como estratégia o método de contar a quantidade de quadradinhos internos à figura e a quantidade necessária para cobri-la e, em seguida, calcular a média aritmética dos resultados obtidos, pode-se obter a área aproximada de 9,875 cm2
b) Utilizando como estratégia a construção de um polígono com formato e tamanho próximos aos da figura e, em seguida, calcular a área utilizando a fórmula de Pick, pode-se obter a área aproximada de 107,5 m 2 .
62. • 2,7 dm2
63. a) 14 400 km2
b) 2 52 000 km2
64. a) 268 750 m2
b) 1 075 000 m2
65. estudante 1: 112,5 m2; estudante 2: 114 m2
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa c
2. alternativa d
3. alternativa a
4. alternativa d
5. A = (196 + 98p) cm2
6. alternativa c
7. alternativa d
8. alternativa d
9. alternativa e
10. alternativa b
11. alternativa b
12. alternativa a
13. alternativa e
14. alternativa d
15. alternativa c
16. alternativa a
Unidade 6 • Estatística: pesquisa e medidas de posição e de dispersão
Atividades
1. a) média: 23,8; moda: 19; mediana: 20,5
b) média: 4,5; moda: 5,5 e 3,2; mediana: 4,3
c) média: 12; amodal; mediana: 12
d) média: 35; moda: 25, 33 e 48; mediana: 33
2. a) média: 139 kWh; moda: 129 kWh e 155 kWh; mediana: 138,5 kWh
b) junho, julho, agosto, setembro e novembro
3. a) Das mor tes no trânsito brasileiro em 2022.
b) outubro; fevereiro
c) 1o trimestre: 2 554 mortes; 2o trimestre: 2 722 mortes; 3o trimestre: 2 915 mortes; 4 o trimestre: 2 829 mortes; 3o trimestre
d) 2 755 mortes
4. a) ingresso do tipo inteiro do setor C
b) 300 ingressos
c) média: R $ 72,00; moda: R $ 100,00; mediana: R $ 70,00
6. 9,7
7. a) média: 103,25 mm; amodal; mediana: 71,5 mm
b) 6 meses
c) a = 257; b = 71,5; c = 17
8. a) média: 186 cm; moda: 189 cm; mediana: 189 cm
b) Valéria
c) A média aumentou para 188,8 cm e a moda e a mediana não se alteraram.
d) 191,6 cm
9. a) R$ 6,19; autoposto G.
b) média: R $ 6,44; moda: R $ 6,39; mediana: R $ 6,39
10. média: aproximadamente 35,85 anos; moda: 40 anos; mediana: 40 anos
11. 14,851
12. 36,4 anos
13. b) • média: aproximadamente 62,67 kg; moda: 55 kg; mediana: 60 kg
• média: 56 kg; moda: 55 kg; mediana: 55 kg
c) É possível estimar que a média e a mediana diminuíram, enquanto a moda se manteve.
14. a) seminário: 3,5; prova escrita: 4; trabalho: 2,5
b) 7, 25
15. 25 mor tes
16. alternativa c
17. a) aproximadamente R$ 226,26
b) média: aproximadamente 73,11 km/h; moda: 66 k m/h; mediana: 66 km/h
18. a) média: R$ 8,50; mediana: R$ 8,75
b) R $ 8,25
20. a) média: 5,5 kg; moda: 3 kg; mediana: 5,5 kg; amplitude: 6 kg; variância: aproximadamente 4,58; desvio padrão: aproximadamente 2,14 kg
b) m édia: 7,8 cm; amodal; mediana: 7 cm; amplitude: 7 cm; variância: 6,16; desvio padrão: aproximadamente 2,48 cm
c) m édia: 7 L; moda: 4,1 L; mediana: 7,6 L; amplitude: 5,9 L; variância: aproximadamente 4,9; desvio padrão: aproximadamente 2,2 L
22. 1o colocado: competidor C; 2o colocado: competidor A; 3o colocado: competidor B
23. alternativa e
24. alternativa a
25. a) empresa A: boa; empresa B: ótima; empresa C: ótima
b) Algumas respostas possíveis: 4, 10, 6, 3 e 12 dias; 2, 8, 9, 5 e 11 dias.
27. a) pesquisa censitária: II; pesquisa amostral: I, III e IV
b) I: estratificada; III: casual simples; IV: sistemática
28. a) Conhecer as áreas de interesse dos estudantes do Ensino Médio e, com base nos resultados obtidos, promover ações complementares específicas a fim de auxiliá-los na escolha profissional.
b) masculino
c) ciências exatas, ciências biológicas e da saúde, ciências humanas e sociais aplicadas
d) Amostral, pois na escola estavam matriculados estudantes em grande quantidade no Ensino Médio.
f) ação I
29. a) Verificar uma possível relação entre as mortes por diarreia e gastroenterite em pessoas menores de 5 anos e a falta de acesso da população à rede de água tratada no Brasil, em 2022.
b) Os dados foram obtidos em sites governamentais, vinculados ao Ministério da Saúde e ao Ministério das Cidades.
c) Região Norte e Região Centro-Oeste
d) Região Norte e Região Nordeste
e) Possivelmente sim, pois nas regiões em que há maior falta de atendimento à rede de água tratada à população ocorre uma proporção maior de óbitos de crianças com menos de 5 anos por diarreia e gastroenterite No entanto, para embasar melhor essa pesquisa, uma sugestão é investigar outras possíveis causas para a incidência dessas doenças, como o acesso à rede de tratamento de esgoto e acesso ao atendimento médico para a população.
30. a) I) A inadequação pode ocorrer pelo fato de a amostra contemplar apenas estudantes que se sentavam na primeira carteira das fileiras, onde, supostamente, pode-se naturalmente enxergar melhor a lousa do que em carteiras mais distantes dela. II) A inadequação pode ocorrer pelo fato de não compor a amostra funcionários dos turnos T2 e T3; turnos em que, por causa do horário de funcionamento, ocorre menor incidência de iluminação natural.
b) I) Para a elaboração da amostra dessa pesquisa, poderia ser utilizada a técnica de amostra casual simples, de maneira que, por sorteio, fossem selecionados alguns estudantes da turma ao acaso. II) Para a elaboração da amostra dessa pesquisa, poderia ser utilizada a técnica de amostra estratificada, de maneira que, de cada turno, fosse sorteada a mesma quantidade de funcionários.
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa c
2. alternativa a
3. alternativa e
4. alternativa e
5. alternativa c
6. alternativa b
7. alternativa a
8. alternativa e
9. alternativa c
10. alternativa e
11. a) 0,24; patologia benigna b) 8,8 ng/mL
12. alternativa c
13. alternativa b
14. alternativa c
Enem/MEC: Exame Nacional do Ensino Médio
Esamc-SP: Escola Superior de Administração, Marketing e Comunicação
Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular
Ifal: Instituto Federal de Alagoas
IFBA: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia
IFCE: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
IFPE: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco
IFSC: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Santa Catarina
Insper-SP: Instituto de Ensino e Pesquisa
ITA-SP: Instituto Tecnológico de Aeronáutica
PSC/UFAM: Processo Seletivo Contínuo da UFAM
Udesc: Universidade do Estado de Santa Catarina
UEA-AM: Universidade do Estado do Amazonas
UECE: Universidade Estadual do Ceará
UEFS-BA: Universidade Estadual de Feira de Santana
UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás
UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina
UEMG: Universidade do Estado de Minas Gerais
UERJ: Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Uesb-BA: Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia
UFAM: Universidade Federal do Amazonas
UFGD-MS: Universidade Federal da Grande Dourados
UFJF-MG: Universidade Federal de Juiz de Fora
UFMS: Universidade Federal do Mato Grosso do Sul
UFPA: Universidade Federal do Pará
UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
UFRR: Universidade Federal de Roraima
UFU-MG: Universidade Federal de Uberlândia
Unesp: Universidade Estadual Paulista
Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas
Unifesp-SP: Universidade Federal de São Paulo
Unitins-TO: Fundação Universidade do Tocantins
UPE: Universidade de Pernambuco
UTFPR: Universidade Tecnológica Federal do Paraná
ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012.
• Aborda diferentes possibilidades de trabalho com atividades de modelagem matemática em sala de aula.
AUSUBEL, David Paul; NOVAK, Joseph Donald; HANESIAN, Helen. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
• Discute o papel da psicologia educacional na concepção de ensino e aprendizagem significativa.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 1.
• Apresenta os principais tópicos da Matemática elementar por meio de uma abordagem em que os conceitos mais complexos são construídos a partir das noções mais básicas.
BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem teóricoprática. Porto Alegre: Penso, 2018.
• Aborda diferentes metodologias ativas que podem ser aplicadas na condução de atividades pedagógicas.
BOLDRINI, José Luiz et al Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1980.
• Apresenta conceitos básicos de Álgebra linear.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática).
• Expõe resultados de estudos sobre a informática educativa nas aulas de Matemática.
BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História da matemática. Tradução: Elza Furtado Gomide. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2010.
• Apresenta tópicos sobre a história da Matemática, com destaque para os estudiosos que a desenvolveram ao longo do tempo.
BRACKMANN, Christian Puhlmann. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. 2017. Tese (Doutorado em Informática na Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle /10183/172208/001054290.pdf?sequence = 1&isAllowed =y. Acesso em: 29 set. 2024.
• A pesquisa tem como objetivo verificar a possibilidade de desenvolver o Pensamento Computacional na Educação Básica por meio de atividades “desplugadas” (sem o uso de computadores).
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística básica. 4. ed. São Paulo: Atual, 1987. (Métodos qualitativos).
• Trata de conceitos básicos de Estatística, como análise de dados, probabilidades e variáveis aleatórias, e apresenta tópicos sobre inferência estatística.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2012. (Ciência aberta).
• Apresenta conceitos de Matemática elementar, bem como a relação entre esses conceitos e seu contexto histórico.
CHANG, Raymond. Química geral: conceitos essenciais. Tradução: Maria José Ferreira Rebelo et al. 4. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010.
• Trata de conceitos e princípios de Química, bem como de suas aplicações na vida prática.
COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. E-book.
• Nesse livro, são discutidas ideias do trabalho em grupo em turmas heterogêneas como uma estratégia potencialmente eficaz de ensino e aprendizagem.
D’AMBROSIO, Ubiratan Educação matemática: da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática).
• Aborda aspectos da cognição, da natureza da Matemática e questões teóricas da educação, além de discutir temas ligados à sala de aula e às inovações na prática docente.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática).
• A abordagem feita nesse livro proporciona uma visão geral da Etnomatemática.
DANZA, Hanna Cebel. Projetos de vida e educação moral: um estudo na perspectiva da teoria dos modelos organizadores do pensamento. 2014. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014. Disponível em: https://www.teses.usp.br/teses/disponi veis/48/48134/tde-14102014-112835/publico/HANNA_ CEBEL_DANZA.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Dissertação de mestrado em que são apresentados estudos de projetos de vida de jovens em idade escolar.
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.
• Narra trechos da história da Matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos.
GARDNER, Howard. Inteligências múltiplas : a teoria na prática. Tradução: Maria Adriana Veríssimo Veronese. Porto Alegre: Artmed, 1995.
• Apresenta ideias fundamentais da teoria das inteligências múltiplas, bem como sugestões de como aplicá-las em sala de aula.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: eletromagnetismo. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 3.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física : gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. v. 2.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
• Série de livros que aborda diversas áreas da Física, como Mecânica, Ondulatória, Termodinâmica, Eletromagnetismo, Óptica e Relatividade.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: combinatória, probabilidade. 8. ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 5.
• Aborda o estudo da análise combinatória e do cálculo de probabilidade.
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
• Apresenta conceitos e princípios da Física.
HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo e aplicações. Tradução: Elza Furtado Gomide. São Paulo: Blucher, 1999.
• Exemplifica o uso da tecnologia no trabalho com os conceitos para o cálculo de uma variável.
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
• Aprofunda o tratamento de aspectos das simbolizações concretas, orais e escritas dos números ao longo da história.
LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. (Coleção do Professor de Matemática, v. 1).
• Aborda uma variedade de temas matemáticos do Ensino Médio, por meio de discussões conceituais, exemplos e atividades.
LIMA, Elon Lages. Geometria analítica e álgebra linear 1. ed. Rio de Janeiro: Impa, 2014. (Coleção matemática universitária).
• Abrange conceitos de álgebra linear e de geometria analítica, plana e espacial.
MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antônio Carlos Pedroso de. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2023. (Acadêmica, v. 1).
• Introduz conceitos de probabilidade e de estatística, destacando relações entre estatística descritiva, probabilidade e variáveis aleatórias.
MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Manual de redação matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2018. (Coleção do Professor de Matemática).
• Além de apresentar considerações gerais sobre a boa redação matemática, abrange a estruturação das frases, sugestões técnicas, dicas de gramática, uso correto de termos, de ortografia e de notações em Matemática.
NEVES, Iara Conceição Bitencourt et al (org.). Ler e escrever: compromisso de todas as áreas. 9. ed. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2011.
• Reúne textos de diversas áreas do conhecimento que destacam a maneira como cada uma delas pode se engajar em uma proposta de ensino interdisciplinar.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2012.
• Reúne uma coletânea de textos com diferentes perspectivas sobre o movimento da pesquisa em educação matemática.
PAIS, Luiz Carlos. Educação escolar e as tecnologias da informática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Coleção Trajetória).
• Organiza um conjunto de ensaios referentes a várias questões sobre a inserção da informática na educação escolar.
PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
• Propõe reflexões acerca de aspectos da Matemática estudada na Educação Básica e apresenta propostas didáticas que buscam oportunizar conceitualizações, reflexões e questionamentos na sala de aula.
POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
• Descreve métodos para resolver problemas e propõe quatro princípios da resolução de problemas.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2019. (Tendências em Educação Matemática).
• Analisa práticas de investigação desenvolvidas por matemáticos e que podem ser transpostas para a sala de aula.
REECE, Jane B. et al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2015.
• Aborda conceitos de diversas áreas das Ciências Biológicas.
RIDPATH, Ian. Astronomia. Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2014. (Guia Ilustrado Zahar).
•Apresenta informações sobre Astronomia, como sua história, a formação do Sistema Solar, as constelações, entre outros tópicos.
SILVEIRA, Paulo; ALMEIDA, Adriano. Lógica de programação: crie seus primeiros programas usando JavaScript e HTML. São Paulo: Casa do Código, 2014.
• Apresenta conceitos básicos de programação e de lógica de programação.
SOUZA, Michel Figueiredo de; COSTA, Christine Sertã. Scratch : guia prático para aplicação na educação básica. Rio de Janeiro: Imperial, 2018. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/566023/2/ Produto % 20- % 20Michel % 20de % 20Souza % 202019.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
•Guia que apresenta algumas possibilidades de práticas pedagógicas escolares que visam favorecer o desenvolvimento do pensamento computacional por meio do uso da linguagem de programação Scratch.
TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática).
•Trata de questões sobre interdisciplinaridade e aprendizagem no ensino de Matemática e apresenta situações ocorridas em sala de aula que exemplificam diferentes abordagens interdisciplinares.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
• Apresenta conceitos relacionados à Matemática financeira, abordando o uso da calculadora.
Documentos oficiais
BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto. gov.br/ccivil_03/constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 29 set. 2024.
•Atual conjunto de leis fundamentais que organiza o estado brasileiro.
BRASIL. Lei no 14.945, de 31 de julho de 2024. Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), a fim de definir diretrizes para o ensino médio, e as Leis nos 14.818, de 16 de janeiro de 2024, 12.711, de 29 de agosto de 2012, 11.096, de 13 de janeiro de 2005, e 14.640, de 31 de julho de 2023. Brasília,
DF: Presidência da República, 2024. Disponível em: https:// www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2023-2026/2024/lei/ l14945.htm. Acesso em: 27 set. 2024.
•Legislação que altera a lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, com definição de diretrizes para o Ensino Médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/ images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
•Documento que regulamenta as aprendizagens essenciais na Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 2000. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ blegais.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
• Conjunto de textos que norteiam a elaboração dos currículos escolares do Ensino Médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF: MEC: SEB, 2006. (Orientações curriculares para o ensino médio, v. 2). Disponível em: http://portal.mec. gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Documento com orientações que buscam atender às necessidades e às expectativas das escolas e dos professores na estruturação do currículo para o Ensino médio.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF: MEC: SEB: [200-]. (Orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais). Disponível em: http://portal.mec.gov. br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
•Documento que visa complementar os Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio) apresentando orientações que têm em vista a escola em sua totalidade.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília, DF: SEB: Dicei, 2013. Disponível em: https://www. gov.br/mec/pt-br/acesso-a-informacao/media/seb/pdf/ d_c_n_educacao_basica_nova.pdf. Acesso em: 29 set. 2024.
• Documento normativo obrigatório que orienta a estrutura do currículo das escolas da Educação Básica.
As mudanças que vêm ocorrendo no mundo têm causado significativo impacto sobre as sociedades. As novas tecnologias da informação e da comunicação, por exemplo, produziram profundas mudanças nas relações interpessoais, na democratização da informação, na cultura juvenil e no mundo do trabalho. Essas tecnologias tornaram possível o acesso a conhecimentos, que, até pouco tempo atrás, eram restritos a determinados grupos de estudiosos. Todas essas mudanças afetaram diretamente a educação, sobretudo na sala de aula. Esta coleção foi elaborada considerando esse ambiente em transformação nos aspectos social, tecnológico e cultural. Acreditamos que o estudo da Matemática é de fundamental importância na formação de cidadãos aptos a viver em sociedade, fazendo valer seus direitos e deveres individuais e coletivos.
Modelos de práticas de aula mais atuais, que buscam considerar os estudantes e os professores como protagonistas do processo de ensino-aprendizagem, têm sido cada vez mais adotados. Nesse sentido, estudos em educação matemática têm produzido um amplo e variado repertório de concepções, ideias e teorias que buscam promover o ensino da Matemática. Nestas Orientações gerais para o professor, procuramos incluir elementos que compõem essa produção acadêmica. Considerando também que o Livro do estudante exige complementos que potencializem as aulas, propusemos recursos importantes, como comentários específicos, que ampliam as discussões sobre os conceitos em estudo, complementam as atividades propostas e indicam elementos externos ao livro didático, como sites, vídeos, aplicativos, entre outros recursos. Com isso, esperamos que a efetivação do uso dos livros da coleção em sala de aula seja a mais completa possível, valorizando o trabalho docente e incentivando a participação e o comprometimento dos estudantes. O autor.
Orientações gerais ......................................... 307
Conhecendo a coleção ................................ 307
Estrutura do Livro do estudante .............. 307
Estrutura das
Orientações específicas ................................. 308
O Ensino Médio .................................................... 308
A Base Nacional Comum
Curricular (BNCC) ............................................. 309
As competências gerais .................................. 309
A área de Matemática e suas Tecnologias ................................................. 310
Os Temas Contemporâneos
Transversais (TCTs) ........................................... 313
Fundamentos teóricos e metodológicos da coleção ...................... 313
O ensino de Matemática ................................. 314
Aprendizagem matemática........................... 314
Metodologias ativas e algumas tendências em educação matemática ...................................... 316
Orientações para avaliação ......................... 317
Alguns instrumentos de avaliação .......... 318
O papel do professor de Matemática ..................................................... 320
Saberes docentes para o ensino de Matemática .................................. 320
Os estudantes no Ensino Médio ........ 320
Dimensões física, social, emocional e cultural dos estudantes .... 320
Reflexos da violência no âmbito escolar e local ...................................... 320
Culturas juvenis....................................................321
Projeto de vida e mundo do trabalho ............................................ 321
Gestão da sala de aula ............................... 321 Ambiente educacional ..................................... 321
Leitura e argumentação nas aulas de Matemática ............................... 323 Estratégias de cálculo e o uso da calculadora.....................................323
Relações com outras áreas do conhecimento e seus componentes curriculares ............................ 323
Referências bibliográficas comentadas ........................................................... 324
Indicações para o professor .................
Instituições e grupos de estudo para a formação continuada do professor 327
e plataformas........................................328
específicas
.............................................. 329 Unidade 1 Função exponencial ....................... 330 Unidade 2 Logaritmo e função logarítmica ......................... 334
Unidade 3 Sequências e noções de linguagem de programação ..... 337
Unidade 4 Trigonometria na circunferência e funções trigonométricas ............ 340
Unidade 5 Figuras geométricas planas, perímetro e área ............................. 343
Unidade 6 Estatística: pesquisa e medidas de posição e de dispersão ......... 347
Transcrições dos podcasts do 2o ano 350
Resolução das atividades propostas no Livro do estudante .............................................. 353
Esta coleção é composta de três livros da área de Matemática e suas Tecnologias destinados ao Ensino Médio. Nas Orientações gerais para o professor, estão presentes informações sobre o Ensino Médio, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), os fundamentos teóricos e metodológicos da coleção, orientações para avaliação, o papel do professor de Matemática, os estudantes no Ensino Médio, gestão da sala de aula, referências bibliográficas comentadas e indicações para o professor, comuns aos três livros da coleção, e são apresentadas, para cada volume, as orientações específicas e as resoluções das atividades propostas no Livro do estudante.
Na parte comum aos três volumes, é apresentada uma visão detalhada da estrutura do Livro do estudante e das orientações específicas, assim como os pressupostos teórico-metodológicos que fundamentam a coleção e trazem reflexões acerca do ensino e da aprendizagem na área de Matemática e suas Tecnologias, explorando algumas tendências em educação matemática e metodologias ativas. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC)1 é um dos documentos que nortearam as reflexões e a elaboração desta coleção.
Nas orientações específicas, são apresentados comentários, complementos e orientações didáticas correspondentes às atividades propostas e aos conteúdos disponíveis nas páginas do Livro do estudante. Além disso, são apresentadas informações gerais sobre o Volume da coleção, com sugestões de cronograma bimestral, trimestral e semestral e comentários referentes a cada uma de suas seis Unidades.
Cada um dos três Livros do estudante desta coleção é organizado em seis Unidades que contêm abertura, atividades, seções e boxes. A seguir, serão apresentadas informações sobre alguns desses elementos.
Na Abertura de cada Unidade, são apresentados recursos, como imagens, textos e infografias. Além disso, são propostas questões com o objetivo de identificar a compreensão dos estudantes em relação ao tema da Unidade e a aspectos de seu conhecimento prévio sobre algum conceito que será estudado. É importante propor o trabalho com a abertura da Unidade de acordo com as características próprias da turma ou com os objetivos específicos para a aula, como a realização de leitura individual ou coletiva e discussão acerca das questões. Sempre que julgar oportuno, retomar com os estudantes a abertura no decorrer do estudo da Unidade.
A seção Integrando com... propõe o estudo de temas que relacionam a área de Matemática e suas Tecnologias às outras áreas do conhecimento, em especial à área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, o que possibilita a integração de conceitos de diferentes perspectivas. Sugere-se dialogar com professores das áreas relacionadas para planejar as aulas em que a seção será realizada.
Na seção Você conectado, são propostas atividades que envolvem o estudo de conceitos matemáticos com o apoio do software de geometria dinâmica GeoGebra ou da planilha eletrônica LibreOffice Calc, ambos de livre acesso na internet. As atividades propostas devem ser realizadas de acordo com a realidade na qual a escola está inserida, ou seja, podem ser desenvolvidas em um laboratório de informática ou coletivamente em um computador portátil, que o professor pode levar para a sala de aula, acompanhado de um projetor ou, ainda, como uma atividade extraclasse.
A seção O que estudei, apresentada ao final de cada Unidade, propõe um momento de reflexão e de autoavaliação tanto para os estudantes como para o professor. Em relação aos estudantes, são consideradas suas atitudes comportamentais e sua compreensão dos conceitos estudados na Unidade. Em relação ao professor, sua autoavaliação é condicionada às respostas dadas pelos estudantes, as quais podem ser objetos de reflexão a respeito de sua prática docente. Essa reflexão, por sua vez, pode propiciar ajustes nos planejamentos de aula das Unidades seguintes.
Na questão 1, os estudantes devem fazer um retrospecto de seu comportamento nas aulas de Matemática. As respostas aos itens dessa questão devem ser individuais, de maneira a evidenciar, da melhor maneira possível, suas atitudes comportamentais. Os estudantes podem eleger alguns itens para os quais responderam “concorda parcialmente” ou “não concorda” como pontos de atenção, de modo que devam mudar a sua atitude para que, no estudo das próximas Unidades, a resposta a tais itens seja “concorda”. No decorrer do ano, sugere-se reservar momentos para que os estudantes possam comparar suas respostas a essa questão e verificar como seu comportamento evoluiu. Do ponto de vista do professor, além das análises individuais, cabe uma análise do todo para identificar ações que poderão ser desenvolvidas para uma correção de rota coletiva.
A questão 2 pode ser, em um primeiro momento, trabalhada de maneira individual, de modo que os estudantes identifiquem, entre os conteúdos apresentados, quais eles não compreenderam satisfatoriamente. A partir das respostas dos estudantes, em um segundo momento, o professor, ao identificar conteúdos que uma parte significativa da turma pode não ter compreendido, tem a possibilidade de estabelecer um plano de ação para a turma, no qual podem ser propostas monitorias, grupos de estudo, aulas de reforço, entre outras ações.
A questão 3 possibilita aos estudantes, de maneira coletiva, produzir materiais que contribuam com a retomada de conteúdos estudados na Unidade. Nessa proposta, que utiliza elementos da metodologia ativa “sala de aula invertida”, o objetivo é que os estudantes se preparem e estudem para ministrar um conteúdo escolhido a priori. Sugere-se distribuir os conteúdos entre os grupos para que sejam contemplados todos aqueles indicados nas fichas da questão 2. A metodologia ativa mencionada será tratada mais adiante, no tópico Metodologias ativas e algumas tendências em educação matemática.
A questão 4 tem como objetivo obter indícios em relação à compreensão dos conceitos matemáticos estudados na Unidade, com base na retomada do tema abordado na página de abertura.
1 BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br. Acesso em: 9 set. 2024.
Espera-se, nessa questão, que os estudantes resolvam os itens propostos usando os conceitos matemáticos estudados na Unidade. No entanto, caso os estudantes empreguem procedimentos e estratégias nos quais sejam utilizados conceitos diferentes dos estudados, é importante que o professor os valorize e, se possível, compartilhe com a turma.
Na seção Praticando: Enem e vestibulares, apresentada ao final de cada Unidade, são propostas questões do Enem e de vestibulares aplicadas nas diferentes regiões do Brasil e que tratam de conceitos estudados em cada Unidade. Sugere-se propor as questões dessa seção ao final do trabalho com cada Unidade a fim de verificar se os estudantes compreenderam os conceitos abordados, o que pode constituir um momento de avaliação somativa. Para isso, propor a eles que realizem as questões em um tempo predeterminado durante a aula e individualmente, uma vez que questões de avaliações de larga escala são propostas nesse formato. A correção das questões pode ser realizada com toda a turma, constituindo, assim, momentos de aprendizagem.
Boxes
Os boxes estão distribuídos no decorrer das Unidades e cada um tem uma finalidade. O boxe Dica apresenta informações complementares ao texto principal ou fornece informações que auxiliem os estudantes na resolução de alguma atividade. No boxe Para ampliar , são indicados materiais complementares, como sites , vídeos, livros, documentos, que visam enriquecer a abordagem apresentada no Livro do estudante. No boxe Para Pensar , são apresentadas questões cujo objetivo é desencadear reflexões acerca da teoria ou de algum exemplo apresentado. O boxe Matemática na história tem como objetivo apresentar fatos que mostrem a Matemática como uma ciência construída socialmente, por diversos membros da comunidade científica, no decorrer da história. O boxe No mundo do trabalho explora as profissões e suas características, destacando as soft skills – habilidades comportamentais essenciais para os profissionais atuais. Além disso, oferece informações sobre o mercado de trabalho.
Orientações Unidade a Unidade
Em cada Unidade, é apresentado um Quadro-síntese contendo as competências gerais, competências específicas e habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias, os Temas Contemporâneos Transversais e os conteúdos abordados. Quando pertinente, também são citadas competências específicas de outras áreas do conhecimento, em especial, da área Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Na sequência, são apresentados os Objetivos da Unidade e as Orientações didáticas
Nas Orientações didáticas, são apresentados comentários referentes à Abertura da Unidade e aos tópicos trabalhados no Livro do estudante. Nesses comentários, são abordadas orientações sobre os conteúdos propostos, bem como maneiras de articular a abordagem
desses conteúdos ao desenvolvimento das competências e habilidades da BNCC e sugestões de momentos em que o professor pode avaliar os estudantes. Ainda, são apresentados comentários específicos em relação a cada uma das seções trabalhadas no Livro do estudante. No decorrer das Orientações didáticas, também são propostas sugestões de atividades extras, como complemento de conteúdo ou de atividade, e são apresentadas, no boxe Conexões, indicação de materiais complementares para pesquisa ou consulta (sites, vídeos, livros, documentos etc.), diferentes daqueles que estão disponíveis no Livro do estudante no boxe Para ampliar.
A Educação Básica brasileira é dividida em três etapas: Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio. A última etapa, à qual esta coleção se destina, vem passando por várias mudanças nos últimos anos e é regulamentada, atualmente, pela resolução no 3, de 21 de novembro de 20182, e pela lei no 14.945, de 31 de julho de 2024, que trazem um conjunto de alterações na legislação3 Essa legislação e a BNCC propõem uma renovação curricular das instituições públicas e privadas que oferecem vagas para esse segmento de ensino. A proposta constitui uma renovação resultante de um longo debate educacional. A seguir, são relembrados alguns momentos históricos que fizeram parte desse debate e que contribuíram para a estruturação do atual Ensino Médio.
• 1988: Fica estabelecido pela Constituição da República Federativa do Brasil de 1988, em seu artigo 205, que a educação é um direito de todos, “visando ao pleno desenvolvimento da pessoa, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o trabalho”4
• 1996: A lei no 9.394 estabelece as Leis de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB)5, na qual se define o Ensino Médio com duração mínima de três anos, cujas finalidades são consolidar e aprofundar conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental; preparar para o trabalho e a cidadania do educando; aprimorar o educando como pessoa humana; e tornar o educando capaz de compreender os fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos.
• 1998: A resolução da Câmara de Educação Básica (CEB) no 3 institui as Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN)6 para o Ensino Médio, contendo definições que dizem respeito à organização pedagógica e curricular das unidades escolares dos sistemas de ensino.
• 2000 : Publicam-se os Parâmetros Curriculares Nacionais –Ensino Médio, com a finalidade de “difundir os princípios da reforma curricular e orientar o professor, na busca de novas abordagens e metodologias”7
• 2014: O Ministério da Educação lança o Plano Nacional da Educação, lei no 13.0058, para o período de 2014 a 2024, cujas metas 3 e 6 preveem, respectivamente, universalizar o atendimento escolar de jovens de 15 a 17 anos e ampliar a oferta de educação em tempo integral.
2 BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB no 3, de 21 de novembro de 2018. Atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 2018. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/novembro-2018-pdf/102481-rceb003-18/file. Acesso em: 9 set. 2024.
3 BRASIL. Lei no 14.945, de 31 de julho de 2024. Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), a fim de definir diretrizes para o ensino médio, e as Leis nos 14.818, de 16 de janeiro de 2024, 12.711, de 29 de agosto de 2012, 11.096, de 13 de janeiro de 2005, e 14.640, de 31 de julho de 2023. Brasília, DF: Presidência da República, 2024. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2023-2026/2024/lei/l14945.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
4 BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
5 BRASIL. Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9394.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
6 BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB no 3, de 26 de junho de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/rceb03_98.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
7 BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 2000. p. 4. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
8 BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014. Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/l13005.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
• 2017: A lei no 13.415 apresenta alterações para até a atual legislação vigente9, estabelecendo a ampliação da carga horária mínima, e propõe um currículo composto da BNCC e dos itinerários formativos.
• 2018: A publicação da resolução no 310 atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, de 1998. Entre as alterações na organização curricular, estão que os currículos serão compostos de uma formação geral básica, com carga horária máxima de 1 800 horas, e por itinerários formativos, com carga horária de 1 200 horas. A formação geral básica será composta de competências e habilidades previstas na BNCC. A partir dessa resolução e da lei de 2017, fica estabelecido o chamado Novo Ensino Médio.
• 2023: O Novo Ensino Médio é suspenso, e são abertas consultas públicas para estabelecer a nova estrutura do Ensino Médio.
• 2024: Pela lei no 14.94511, fica estabelecido que o Ensino Médio será composto de uma formação geral básica, com carga horária de 2 400 horas, e pelos itinerários formativos, com carga horária prevista de 600 horas.
Na atual estrutura do Ensino Médio, os componentes curriculares Língua Portuguesa, Matemática, Língua Inglesa, Arte, Educação Física, Biologia, Física, Química, História, Geografia, Filosofia e Sociologia deverão ser obrigatórios nos três anos, e os itinerários formativos vão se restringir às áreas previstas na BNCC.
A BNCC define um conjunto de aprendizagens essenciais que os estudantes brasileiros devem desenvolver durante a Educação Básica, independentemente da região onde vivem. Com isso, busca-se reduzir as desigualdades históricas estabelecidas, além de orientar a elaboração de um currículo específico de cada escola ou rede escolar, pública ou privada, e instruir as matrizes de referência das avaliações e dos exames externos. O principal objetivo é garantir que todos os estudantes brasileiros tenham a mesma oportunidade de aprender o que é considerado essencial. O documento é exclusivo à educação escolar e está orientado por princípios que visam a uma formação humana integral e a uma sociedade mais justa, democrática e inclusiva.
Uma das características desse documento é que ele não define o modo como ensinar nem impede que sejam contempladas, no dia a dia escolar, as especificidades regionais. Assim, a BNCC estabelece um conjunto de conhecimentos básicos que devem ser assegurados, sem interferir na diversidade cultural e regional e na autonomia dos educadores.
Essas aprendizagens essenciais devem coexistir para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de dez competências gerais no decorrer da Educação Básica.
Em articulação com as competências gerais e com as áreas do conhecimento em que o Ensino Médio está organizado, nomeadamente, Linguagens e suas Tecnologias, Matemática e suas Tecnologias, Ciências da Natureza e suas Tecnologias e Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, a BNCC define competências específicas para cada uma dessas áreas e habilidades que lhes correspondem.
Nesta coleção, buscou-se articular, em diversos momentos, abordagens que integrassem o desenvolvimento de competências gerais e competências específicas e habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias. Nas Orientações específicas, serão apresentadas essas articulações e como elas estão sendo contempladas no Livro do estudante.
A seguir, estão listadas as dez competências gerais da Educação Básica definidas pela BNCC.
1
2
3
4
Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5
Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
9 BRASIL. Lei no 13.415, de 16 de fevereiro de 2017. Altera as Leis no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, e 11.494, de 20 de junho 2007, que regulamenta o Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica e de Valorização dos Profissionais da Educação, a Consolidação das Leis do Trabalho […]. Brasília, DF: Presidência da República, [2023]. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2015-2018/2017/Lei/L13415.htm?msclkid=99fb7879d0c 211ec91a329a85274182b. Acesso em: 7 set. 2024.
10 BRASIL, ref. 2.
11 BRASIL, ref. 3.
6
7
Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
8
9
10
Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários12
A BNCC e os currículos
Considerando os múltiplos conhecimentos desenvolvidos pela humanidade ao longo do tempo, o currículo escolar é aquele que seleciona e organiza o que os estudantes devem aprender, regulando as práticas didáticas que se desenvolvem na sala de aula13. Nesse sentido, existem diversos fatores que contribuem para a elaboração do currículo escolar, como as políticas educativas nacionais, as secretarias de Educação de estados e municípios, as escolas e os professores. Embora cada um desses fatores assuma a responsabilidade de concretizar o currículo nos diversos níveis, todos eles deveriam trabalhar para atingir as mesmas metas educacionais.
Considerada uma das principais políticas curriculares nacionais, a BNCC é o documento que define as aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica14. Com base nesse documento, são as redes de ensino e as escolas as encarregadas de definir seu currículo escolar. Para isso, devem adequar as orientações da BNCC às realidades de cada localidade e contexto escolar, assim como às características dos estudantes. Cada estado, por exemplo, tem autonomia para elaborar o próprio currículo, desde que siga as orientações propostas pela BNCC.
Nesse processo, as redes e as instituições escolares podem tomar decisões relativas a como vão contextualizar os conteúdos, definir as diversas formas de organização dos componentes curriculares, elaborar procedimentos de avaliação formativa, selecionar e produzir materiais e recursos para apoiar o processo de ensino-aprendizagem, entre outras ações. Assim, a BNCC e os currículos escolares desempenham papéis diferentes, mas complementares, e ambos reconhecem o compromisso da educação na formação e no desenvolvimento global do ser humano.
Considerando as especificidades e os desafios do Ensino Médio, a BNCC organiza as aprendizagens essenciais para esse nível em áreas do conhecimento, definindo, para cada uma delas, competências específicas e habilidades a ser desenvolvidas. Esse modo de organização, que privilegia a integração dos componentes curriculares, tem impacto na formulação do currículo sem excluir, necessariamente, componentes curriculares; o objetivo é fortalecer as relações e a integração entre eles para que os estudantes possam melhor compreender a complexidade da realidade e nela intervir. Tal organização impacta no trabalho dos professores, que são chamados a desenvolver atividades de planejamento e implementação de maneira cooperativa e conjunta com os de outros componentes curriculares.
Na BNCC, a Matemática é destacada como uma área do conhecimento essencial para os estudantes da Educação Básica tanto por suas aplicações como por suas potencialidades na formação de cidadãos críticos e engajados. Para o Ensino Médio, a proposta é a de que as aprendizagens desenvolvidas na etapa anterior sejam consolidadas, ampliadas e aprofundadas15, com foco na construção de uma visão integrada da Matemática e de sua aplicação à realidade, bem como com outras áreas do conhecimento.
O documento também apresenta o compromisso que se deve ter no Ensino Médio com a ampliação do letramento matemático, definido como: “[…] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas”16
12 BRASIL, ref. 1, p. 9-10.
13 SACRISTÁN, José Gimeno. Saberes e incertezas sobre o currículo. Porto Alegre: Penso, 2013.
14 BRASIL, ref. 1.
15 BRASIL, ref. 1.
16 BRASIL, ref. 1, p. 266.
Dessa maneira, a proposta é a de que sejam desenvolvidas as habilidades mencionadas, visando à ampliação dos conhecimentos matemáticos e maior reflexão e abstração dos estudantes para resolver problemas mais complexos a fim de que sejam capazes de compreender o mundo e nele atuar.
Para isso, a BNCC cita os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e de modelagem. Esses processos podem ser tomados como formas de organização da aprendizagem matemática e consideram a análise de situações do cotidiano, de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática.
Com base no que foi apresentado, a BNCC delimita competências específicas e habilidades relacionadas a cada uma delas para a área de Matemática e suas Tecnologias. Diferentemente do que é apresentado para o Ensino Fundamental, as competências específicas e habilidades para o Ensino Médio não focam conteúdos específicos, mas a formação geral dos estudantes para a cidadania e o protagonismo no mundo em que vivem. Essas competências não têm uma ordem preestabelecida, e a mobilização de uma ou mais delas pode ocorrer em determinadas situações. As habilidades podem contribuir para o desenvolvimento de uma ou mais competências específicas.
Competências específicas e habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio
Competência específica 1
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação geral 17 .
Essa competência propõe aos estudantes que utilizem seus conhecimentos matemáticos como ferramenta para interpretar e compreender as mais diversas situações e analisar criticamente e refletir acerca das informações relacionadas a elas.
Habilidades
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT102) Analisar tabelas, gráficos e amostras de pesquisas estatísticas apresentadas em relatórios divulgados por diferentes meios de comunicação, identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de interpretação, como escalas e amostras não apropriadas.
(EM13MAT103) Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos.
17 BRASIL, ref. 1, p. 532.
18 BRASIL, ref. 1, p. 533.
19 BRASIL, ref. 1, p. 534.
20 BRASIL, ref. 1, p. 534.
21 BRASIL, ref. 1, p. 535.
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica (índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros), investigando os processos de cálculo desses números, para analisar criticamente a realidade e produzir argumentos.
(EM13MAT105) Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas levando-se em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele método contraceptivo, optar por um tratamento médico em detrimento de outro etc.)18
Competência específica 2
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens próprios da Matemática19
O desenvolvimento dessa competência visa contribuir para que os estudantes sejam atuantes na sociedade e possam identificar e investigar eventuais problemas na comunidade em que vivem, buscando e propondo ações para solucioná-los individual ou coletivamente.
Habilidades
(EM13MAT201) Propor ou participar de ações adequadas às demandas da região, preferencialmente para sua comunidade, envolvendo medições e cálculos de perímetro, de área, de volume, de capacidade ou de massa.
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral sobre questões relevantes, usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e comunicar os resultados por meio de relatório contendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e das medidas de dispersão (amplitude e desvio padrão), utilizando ou não recursos tecnológicos.
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na execução e na análise de ações envolvendo a utilização de aplicativos e a criação de planilhas (para o controle de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), para tomar decisões20.
Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente21.
Essa competência está relacionada à ação de resolver situações-problema, contemplando tanto contextos próprios da Matemática
como de outras áreas do conhecimento e do cotidiano dos estudantes. Além da resolução, é proposto aos estudantes que elaborem problemas a fim de mobilizar os conceitos estudados e refletir sobre eles.
Habilidades
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT302) Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1o ou 2o graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT303) Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
(EM13MAT307) Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT308) Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
(EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
(EM13MAT311) Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
(EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
(EM13MAT313) Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de
22 BRASIL, ref. 1, p. 536-537.
23 BRASIL, ref. 1, p. 538.
24 BRASIL, ref. 1, p. 539.
algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras (velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.).
(EM13MAT315) Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.
(EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão)22
Competência específica 4
Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas23.
Essa competência trata da utilização e da compreensão de diferentes tipos de registro na resolução de situações-problema, buscando expressar ideias matemáticas relacionadas e possibilitando a ampliação da capacidade dos estudantes de pensar matematicamente.
Habilidades
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1o grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2o grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
(EM13MAT403) Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT405) Utilizar conceitos iniciais de uma linguagem de programação na implementação de algoritmos escritos em linguagem corrente e/ou matemática.
(EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo ou não o uso de softwares que inter-relacionem estatística, geometria e álgebra.
(EM13MAT407) Interpretar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de diferentes diagramas e gráficos (histograma, de caixa (box-plot), de ramos e folhas, entre outros), reconhecendo os mais eficientes para sua análise24
Competência específica 5
Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos, como observação de padrões, experimentações e diferentes tecnologias, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas25 O desenvolvimento dessa competência possibilita aos estudantes perceberem a natureza do raciocínio hipotético-dedutivo da Matemática e se apropriarem dessa ideia para raciocinar logicamente e validar proposições. Ao investigar, formular hipóteses e realizar tentativas de validá-las ou refutá-las, os estudantes buscam utilizar os conceitos matemáticos estudados em suas argumentações e, dessa maneira, estabelecer relações entre eles.
Habilidades
(EM13MAT501) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1o grau.
(EM13MAT502) Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2o grau do tipo y = ax 2
(EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
(EM13MAT505) Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
(EM13MAT506) Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
(EM13MAT510) Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
(EM13MAT511) Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades26.
De acordo com o documento Temas Contemporâneos Transversais na BNCC27, os TCTs têm como objetivo contextualizar o que é ensinado, contribuindo com temas que sejam interessantes e relevantes para a formação dos cidadãos. Ao todo, são 15 temas distribuídos em seis macroáreas: Cidadania e Civismo (Vida Familiar e Social; Educação para o Trânsito; Educação em Direitos Humanos; Direitos da Criança e do Adolescente; Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso); Meio Ambiente (Educação Ambiental; Educação para o Consumo); Saúde (Saúde; Educação Alimentar e Nutricional); Multiculturalismo (Diversidade Cultural; Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras); Economia (Trabalho; Educação Financeira; Educação Fiscal); Ciência e Tecnologia (Ciência e Tecnologia).
Nas aulas de Matemática, as abordagens de questões sociais, por meio de conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo que possibilitam estabelecer relações com outras áreas do conhecimento, permitem contextualizações e reflexões críticas, além de conferir ao trabalho do professor a possibilidade de contribuir para a formação cidadã dos estudantes.
De acordo com a BNCC, […] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora28
Nessa perspectiva, busca-se romper com a ideia de que a Matemática é uma ciência restrita à sala de aula e que não está relacionada à realidade dos estudantes. Assim, espera-se que os estudantes percebam a Matemática presente nos mais diferentes contextos de vida deles.
Nesta coleção, os TCTs são discutidos em diversos momentos, sempre conectando-os aos conceitos matemáticos em estudo e, por vezes, estabelecendo relações com outras áreas do conhecimento. Por exemplo, em uma proposta de estudo de conceitos estatísticos, envolvendo a situação de bullying, em especial no ambiente escolar, tratou-se também dos TCTs Direitos da Criança e do Adolescente e Saúde.
Em uma sociedade globalizada, o ensino de Matemática tem papel fundamental na formação de cidadãos conscientes, críticos e participativos. O incentivo a práticas reflexivas no estudo da Matemática escolar pode favorecer o desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas do dia a dia e a quebra de paradigmas.
25 BRASIL, ref. 1, p. 540.
26 BRASIL, ref. 1, p. 541.
27 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
28 BRASIL, ref. 1, p. 19.
A proposta didático-pedagógica desta coleção tem por objetivo contribuir para uma formação ampla dos estudantes, não apenas em aspectos cognitivos mas também em sua formação cidadã e na observância no mundo do trabalho. Nela, procurou-se articular, sempre que possível, temas contemporâneos e interdisciplinares a conceitos matemáticos, oferecendo ao professor diferentes estratégias metodológicas e o aprimoramento de sua prática pedagógica. O tratamento dado aos conteúdos matemáticos, em sala de aula, deve considerar os recursos disponíveis para que o trabalho seja efetuado.
A fim de sinalizar a proposta didático-pedagógica que fundamentou a elaboração desta coleção, apresentam-se abordagens relacionadas à concepção de ensino e de aprendizagem de Matemática no Ensino Médio.
O ensino de Matemática precisa privilegiar a exploração de uma variedade de noções matemáticas que contribuam para que os estudantes construam e desenvolvam seu conhecimento matemático, sem perder o prazer, o interesse e a curiosidade. Por isso, é importante que esse trabalho seja realizado com abordagens que valorizem a integração entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, a proposição de temáticas sociais nas atividades a ser desenvolvidas e o incentivo ao uso adequado das novas tecnologias da informação e comunicação no estudo.
De acordo com a BNCC, deve-se ter o compromisso de promover ações que ampliem o letramento matemático, o qual, segundo o Programme for International Student Assessment (Pisa), conforme definição publicada pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep) no Relatório Nacional do PISA 2012, consiste na
[…] capacidade do indivíduo de formular, aplicar e interpretar a matemática em diferentes contextos, o que inclui o raciocínio matemático e a aplicação de conceitos, procedimentos, ferramentas e fatos matemáticos para descrever, explicar e prever fenômenos. Além disso, o letramento em matemática ajuda os indivíduos a reconhecer a importância da matemática do mundo, e agir de maneira consciente ao ponderar e tomar decisões necessárias a todos os cidadãos construtivos, engajados e reflexivos29
Para isso, é necessário criar um ambiente propício em sala de aula que tenha como base o diálogo e a comunicação. Assim, o professor deve incentivar os estudantes a se comunicar (oralmente, por exemplo) ou a registrar (por meio de textos, esquemas ou outras formas de registro) suas ideias matemáticas. O hábito de expressá-las pode ser desenvolvido questionando os estudantes sobre como pensaram para realizar determinada atividade ou para resolver algum problema ou desafio.
Em relação às características das intervenções por parte do professor, elas devem ser construtivas, dando oportunidade aos estudantes de reverem suas posições e perceberem as incoerências, quando existirem, contribuindo, assim, para a construção de seus conhecimentos. O professor pode fazer algumas intervenções por
meio de perguntas, por exemplo: Como você obteve esse valor? Que estratégias você utilizou? É possível obter esse mesmo resultado por meio de outra estratégia? A estratégia que você utilizou nessa situação pode ser empregada em que outros casos?
É importante que os estudantes sejam incentivados a buscar diferentes maneiras de pensar, ampliando sua capacidade cognitiva e sua atitude diante de novas situações. Aliado a isso, ressalta-se a realização de atividades coletivas e cooperativas, o que favorece a socialização, a troca de ideias, a observação de outros pontos de vista, o reconhecimento de outras maneiras de pensar e de realizar as atividades.
A Matemática no contexto escolar é, muitas vezes, temida e considerada pouco importante para uma parte de estudantes que não percebem a conexão entre o que aprende na sala de aula e o mundo além dos muros da escola. Por isso, é essencial despertar nos estudantes o prazer de aprender Matemática, mostrando que os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como elementos que contribuirão para sua vida social.
Quando a abordagem é feita exclusivamente de maneira expositiva, a Matemática escolar tende a afastar os estudantes e precisa ser “reinventada” a fim de propiciar ensino e aprendizagem significativos, criativos, práticos e contextualizados de acordo com a realidade social e cultural dos estudantes.
Os autores Ausubel, Novak e Hanesian30 distinguem a aprendizagem significativa de outras aprendizagens ao proporem que, para a ocorrência de aprendizagem significativa, por exemplo, além de considerar os conhecimentos prévios dos estudantes, é necessária a existência de uma predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente significativos.
[…] a aprendizagem significativa ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e substantiva (não literal), uma nova informação a outras com as quais o aluno já esteja familiarizado, e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim proceder.
Aprendizagem automática, por sua vez, ocorre se a tarefa consistir de associações puramente arbitrárias, como na associação de pares, quebra-cabeça, labirinto, ou aprendizagem de séries e quando falta ao aluno o conhecimento prévio relevante necessário para tornar a tarefa potencialmente significativa, e também (independentemente do potencial significativo contido na tarefa) se o aluno adota uma estratégia apenas para internalizá-la de uma forma arbitrária, literal (por exemplo, como uma série arbitrária de palavras)31.
A disposição dos estudantes para aprender não depende somente de sua estrutura cognitiva mas também de motivação e materiais disponíveis no ambiente educacional. Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os estudantes e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. Os recursos de caráter afetivo dizem respeito às relações estabelecidas entre os estudantes e entre os estudantes e o professor.
Situações que envolvem o cotidiano dos estudantes tendem a motivá-los para o estudo dos conteúdos matemáticos e podem
29 BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Relatório Nacional PISA 2012: resultados brasileiros. Brasília, DF: MEC: Inep, 2012. p. 18. Disponível em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/resultados/2014/relatorio_nacional_pisa_2012_resultados_brasileiros.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
30 AUSUBEL, David Paul; NOVAK, Joseph Donald; HANESIAN, Helen. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
31 AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, ref. 30, p. 23.
constituir elementos motivacionais em sua predisposição para aprender. Ambientes educacionais diferenciados, bem como o uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos também podem motivar os estudantes. Esses recursos tendem a promover a interação entre os pares e possibilitar a elaboração de estratégias e de modos de representação por meio de expressões textual, gráfica e oral. No entanto, é preciso destacar que a ausência desses recursos não pode limitar o trabalho do professor nem inviabilizar o processo de aprendizagem.
Assim como em outras áreas do conhecimento, a área de Matemática e suas Tecnologias apresenta características próprias que definem o tipo de conhecimento por ela desenvolvida. O modo de desenvolver raciocínios matemáticos é uma dessas características. Nesse tipo particular de raciocínio, a argumentação matemática, a produção de inferências e o pensamento computacional têm um papel central.
A argumentação matemática é indispensável para que os estudantes possam assimilar significados dos objetos matemáticos e desenvolver a racionalidade matemática. Para envolver os estudantes em atividades de argumentação matemática, é necessário que o professor ofereça oportunidades para explorar os porquês de determinados resultados ou situações; resolver desacordos por meio de explicações e justificativas válidas de um ponto de vista matemático; formular conjecturas, investigar sua plausibilidade e refutá-las ou validá-las por meio da procura de contraexemplos ou a avaliação de demonstrações matemáticas, respectivamente32
Fica evidente que, para desenvolver as capacidades argumentativas dos estudantes, é necessário propor tarefas que devem ir além da simples manipulação de símbolos ou procedimentos matemáticos. É necessário desafiá-los com atividades investigativas que tenham potencial de originar discussões matemáticas, confrontar ideias e resoluções e justificar suas soluções. Nessa direção, a BNCC propõe, também, o uso de diferentes tecnologias para que os estudantes do Ensino Médio investiguem e explorem conjecturas vinculadas a conceitos e propriedades matemáticas, observem padrões, analisem dados e informações de maneira crítica, modelem e solucionem problemas da vida cotidiana. Nesse processo, é importante propor uma trajetória que leve os estudantes a compreender como se originam e se formulam as argumentações matemáticas. É fundamental que eles aprendam a distinguir uma conjectura de uma afirmação demonstrada; compreendam que a apresentação de vários exemplos não garante a validade de uma conjectura; e vivenciem a elaboração de demonstrações matemáticas como um modo de explorar o motivo da validade de uma conjectura.
A reflexão a respeito da maneira como se estruturam as argumentações matemáticas leva a outro ponto central dos raciocínios matemáticos: a produção de inferências. Inferir é o processo por meio do qual se derivam conclusões a partir de certas premissas. Em Lógica, podem-se distinguir três tipos de inferência: as deduções,
que partem de uma regra geral e uma premissa para inferir um caso particular; as induções, que partem de premissas menores e buscam sua generalização mediante a experimentação e a comprovação; e as abduções, que partem de dados que descrevem uma situação e colocam uma hipótese que melhor explique ou esclareça esses dados. Embora a Matemática, quando considerada disciplina formal, muitas vezes se apoie em inferências dedutivas, os três tipos de inferência têm um papel relevante quando se consideram os processos de produção dos conhecimentos matemáticos.
Pensamento computacional
Atualmente, para que os estudantes possam exercer sua plena cidadania, de modo a contribuir com um mundo mais justo e menos desigual, é necessário desenvolver competências e habilidades relacionadas ao pensamento computacional. Diferentemente do que se possa presumir, o pensamento computacional não diz respeito a navegar pela internet na busca de informações. Brackmann propõe em sua tese que
[…] O Pensamento Computacional é uma distinta capacidade criativa, crítica e estratégica humana de saber utilizar os fundamentos da Computação, nas mais diversas áreas do conhecimento, com a finalidade de identificar e resolver problemas, de maneira individual ou colaborativa, através de passos claros, de tal forma que uma pessoa ou uma máquina possam executá-los eficazmente […]33.
O pensamento computacional é um dos eixos que deve ser trabalhado na Educação Básica, além do mundo digital e da cultura digital. O parecer no 2, de 12 de fevereiro de 2022, referente às normas sobre computação na Educação Básica, define que o pensamento computacional
[…] refere-se à habilidade de compreender, analisar definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções de forma metódica e sistemática, através do desenvolvimento da capacidade de criar e adaptar algoritmos, aplicando fundamentos da computação para alavancar e aprimorar a aprendizagem e o pensamento criativo e crítico nas diversas áreas do conhecimento34.
Mobilizar o pensamento computacional contribui para o desenvolvimento do pensamento abstrato, distinguindo níveis de abstração nos problemas para poder solucioná-los; do pensamento algorítmico, que requer encontrar uma série de passos eficazes para resolver o problema; do pensamento lógico, formulando e excluindo hipóteses; e do pensamento dimensionável, vinculado à decomposição de um problema em pequenas partes.
Promover o desenvolvimento do pensamento computacional é uma oportunidade rica de os estudantes desenvolverem o raciocínio matemático. Para isso, o professor pode utilizar diferentes tecnologias, como planilhas eletrônicas, softwares de geometria dinâmica, calculadoras e aplicativos que permitam investigar situações matemáticas, auxiliando na elaboração e na interpretação de algoritmos,
32 BOAVIDA, Ana Maria; GOMES, Anabela; MACHADO, Sílvia. Argumentação na aula de matemática: olhares sobre um projeto de investigação colaborativa. Educação e Matemática, Lisboa, n. 70, p. 18-26, 2002. Disponível em: https://em.apm.pt/index.php/em/article/view/1141/1182. Acesso em: 9 set. 2024.
33 BRACKMANN, Christian Puhlmann. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. 2017. Tese (Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. p. 29. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/bitstream/ handle/10183/172208/001054290.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 9 set. 2024
34 BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Parecer CNE/CEB no 2, de 12 de fevereiro de 2022. Brasília, DF: MEC: CNE, 2022. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=235511-pceb002-22&category_slug=fevereiro-2022-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 12 set. 2024.
além de propor a utilização de alguma linguagem de programação e o uso de registros por meio de fluxograma. Nesta coleção há momentos que possibilitam ao professor incentivar os estudantes no desenvolvimento do pensamento computacional, como na realização de atividades em que o pensamento computacional é trabalhado de maneira desplugada (sem o uso de computador), ou no estudo de noções de linguagem de programação, em que se propõe, por exemplo, o trabalho com a linguagem Scratch.
As profundas modificações que vêm ocorrendo em nossa sociedade, principalmente aquelas vinculadas ao desenvolvimento tecnológico, desafiam os professores a adotar novas metodologias. Para Moran,
[…] as metodologias precisam acompanhar os objetivos pretendidos. Se queremos que os alunos sejam proativos, precisamos adotar metodologias em que os alunos se envolvam em atividades cada vez mais complexas, em que tenham que tomar decisões e avaliar os resultados, com apoio de materiais relevantes. Se queremos que sejam criativos, eles precisam experimentar inúmeras novas possibilidades de mostrar sua iniciativa35.
Assim, as chamadas metodologias ativas podem se tornar um meio de alcançar tais objetivos. Nessas metodologias, são empregadas estratégias de ensino em que os estudantes assumem uma postura ativa na problematização e na análise de situações complexas, enquanto o professor assume o papel de mediador de discussões e de orientador dos estudantes. A seguir, são apresentadas brevemente algumas dessas metodologias.
A sala de aula invertida consiste em uma metodologia ativa de ensino em que o professor, de antemão, disponibiliza o conteúdo que será abordado na sala de aula, por meio de vídeos, textos, áudios, entre outros materiais. Aos estudantes, cabe a responsabilidade de estudar em casa o material proposto, anotando dúvidas que possam surgir nesse momento. Durante a aula, o professor assume o papel de mediador, ao esclarecer as dúvidas que os estudantes tiveram, e propõe atividades relacionadas ao conteúdo. Após a aula, os estudantes devem revisar o conteúdo trabalhado, e o professor deve preparar novos materiais a ser propostos.
Na aprendizagem baseada em projetos (Project-Based Learning – ABP), o objetivo é trabalhar problemas e/ou questões da realidade, principalmente, associados ao cotidiano dos estudantes. Nessa abordagem, os estudantes se envolvem em um trabalho colaborativo, no qual buscam respostas a partir de seus conhecimentos prévios, enquanto constroem novos conhecimentos, com a mediação do professor. Outro ponto importante é o desenvolvimento do pensamento crítico e da comunicação, por meio do trabalho com essa metodologia, uma vez que os estudantes têm de pesquisar e selecionar informações, propor soluções com base no que foi encontrado e discutido e, por fim, comunicar os resultados. Na aprendizagem baseada em problemas (Problem-Based Learning – PBL), os estudantes têm como ponto de partida um problema que precisam solucionar com os conhecimentos que têm a priori. Em grupos, eles exploram o problema, levantam hipóteses, identificam o que sabem e o que não sabem e delegam responsabilidades
a cada um dos integrantes do grupo, na busca pelas respostas que faltam. Em um segundo momento, após o estudo autônomo, os estudantes compartilham o que encontraram, ensinando uns aos outros. O professor, nessa metodologia, tem o papel de propor os problemas aos estudantes e mediar a interação entre eles.
A rotação por estações consiste em tornar a sala de aula uma espécie de circuito de aprendizagem, em que os estudantes, organizados em pequenos grupos, passam por todas as estações, realizando as atividades que são propostas. As atividades devem ser independentes umas das outras; no entanto, devem atender a um objetivo principal. Geralmente, uma das atividades da estação envolve o uso de tecnologia. O papel do professor nessa metodologia é escolher as atividades, que podem trabalhar diferentes competências e habilidades, e mediar as discussões que acontecem nos pequenos grupos. Os estudantes devem se envolver com a atividade proposta e resolvê-la, e cada grupo tem um tempo predeterminado para permanecer em cada uma das estações.
Além disso, no campo da educação matemática, são propostas práticas de ensino e de aprendizagem, comumente denominadas tendências em educação matemática, em que os estudantes também são levados a assumir uma postura de protagonistas dos processos de ensino-aprendizagem. A seguir, são apresentadas algumas dessas tendências.
Nessa perspectiva, a proposição de um problema, que, para Onuchic e Allevato “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em fazer”36, pode ser o ponto de partida para a construção de um novo conceito matemático. Para isso, é necessária uma prática na qual o conhecimento é construído por meio de interações sociais entre os próprios estudantes e entre os estudantes e o professor.
As autoras Onuchic e Allevato37 elaboraram, com base nos resultados de suas pesquisas, um roteiro para auxiliar o professor no trabalho com a resolução de problemas. Esse roteiro considera nove etapas para a organização da aula.
1a) Seleção do problema, denominado problema gerador.
2a) Leitura individual dos estudantes.
3a) Leitura em conjunto.
4a) Resolução do problema pelos estudantes de modo cooperativo e colaborativo.
5a) Observação e incentivo por parte do professor.
6a) Registro das resoluções na lousa.
7a) Plenária, com discussão das diferentes resoluções registradas na lousa.
8a) Busca de consenso em relação ao resultado correto.
9a) Formalização do conteúdo, com apresentação formal dos conceitos, princípios ou procedimentos construídos no decorrer da resolução do problema.
Espera-se que os estudantes, ao resolverem os problemas, se tornem participantes ativos de sua aprendizagem, inserindo-se em um contexto no qual o estudo da Matemática ocorre em um movimento que possibilita fazer análises, discussões, conjecturas, construção de conceitos e formulação de ideias. E o professor, nessa perspectiva, deve proporcionar aos estudantes a oportunidade de mobilizar seus conhecimentos prévios e gerenciar as informações disponíveis. Esse
35 MORÁN, José. Mudando a educação com metodologias ativas. In: SOUZA, Carlos Alberto de; MORALES, Ofelia Elisa Torres (org.). Convergências midiáticas, educação e cidadania: aproximações jovens. Ponta Grossa: Proex: UEPG, 2015. v. II, p. 15-33. p. 17. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4941832/mod_resource/content/1/Artigo -Moran.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
36 ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011. p. 81. Disponível em: https://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/5739/4625. Acesso em: 9 set. 2024.
37 ONUCHIC; ALLEVATO, ref. 36, p. 83-85.
processo, além de contribuir para o desenvolvimento da autonomia dos estudantes, conduz à construção de conhecimentos. O professor deixa de ser o transmissor do conhecimento para ser o mediador, que guia os estudantes.
Entre as diferentes perspectivas de modelagem matemática, optou-se, neste texto, pela apresentada por Almeida e Ferruzzi38, uma alternativa pedagógica na qual, com base em situações oriundas da realidade, os conteúdos matemáticos se desenvolvem. De acordo com Almeida, Silva e Vertuan39, trata-se de criar possibilidades para enxergar situações do cotidiano por lentes matemáticas, ou seja, de interpretar e analisar situações do cotidiano por meio de linguagem matemática, e, assim, tomar decisões acerca delas.
De modo geral, no desenvolvimento de uma atividade de modelagem, estão presentes ações como buscar informações sobre a situação inicial, identificar e selecionar variáveis, elaborar hipóteses, realizar simplificações, obter um modelo matemático, validar e solucionar problemas. Essas ações podem ser subsidiadas por orientações do professor.
Durante o processo de interpretação matemática da situação inicial, é necessário transformar a linguagem natural em linguagem matemática. Nessa direção, Almeida e Silva destacam que
[…] um aspecto importante numa atividade de modelagem matemática é a necessidade de os próprios alunos, a partir de uma situação-problema não matemática, fazerem a associação com conceitos e/ou procedimentos matemáticos capazes de conduzir a uma solução para o problema e possibilitar a sua análise40
Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de modelagem matemática, ela não é considerada o fim desse tipo de proposta, mas uma alternativa que possibilita a compreensão global da situação investigada e da Matemática utilizada.
Em sala de aula, uma atividade de modelagem matemática pode ser desenvolvida por estudantes reunidos em grupos; nesse caso, o professor tem o papel de orientador. A situação-problema pode emergir de uma proposta do professor, dos estudantes ou do material didático que está sendo utilizado.
Investigação matemática
Uma investigação matemática, de modo geral, consiste em um processo que transforma uma situação aberta em um ou mais problemas que podem ser resolvidos por meio de um olhar matemático.
Nessa perspectiva, estão presentes quatro momentos principais: 1) o reconhecimento e a exploração da situação e a formulação de questões; 2) a formulação de conjecturas; 3) a realização de testes e reformulações das conjecturas; 4) a argumentação e a
avaliação do trabalho realizado41. Uma tarefa desenvolvida segundo essa perspectiva aproxima o trabalho dos estudantes ao trabalho dos matemáticos, sendo tarefa de ambos estabelecer os problemas, as hipóteses para resolvê-los, testar suas hipóteses, refutá-las e elaborar suas conclusões.
Todo esse processo se desenvolve segundo um cronograma próprio e envolve a apresentação da situação de forma oral ou escrita, a execução individual ou em grupo, o desenvolvimento da investigação matemática e o momento no qual os estudantes relatam aos colegas e ao professor o trabalho realizado.
O papel do professor em uma investigação matemática é criar um ambiente propício ao diálogo, à interação e à pesquisa, despertando nos estudantes a vontade de resolver as atividades investigativas. Geralmente, em uma investigação, o ponto de partida é uma situação aberta, e a participação efetiva dos estudantes na formulação das questões que serão estudadas é fundamental, cabendo a quem investiga a sua concretização. É essa dinâmica que favorece o envolvimento dos estudantes no processo de aprendizagem42
As novas tecnologias propiciam a criação de ambientes de aprendizagem que ampliam os canais de informações e, ao mesmo tempo, formam e transformam os processos de ensino-aprendizagem.
Howland, Jonassen e Marra43 argumentam que a tecnologia deve ser entendida como uma parceira intelectual e uma ferramenta com a qual os estudantes possam aprender como organizar e resolver problemas, compreender novos fenômenos, construir modelos desses fenômenos e, dada uma situação não conhecida, definir metas e regular a própria aprendizagem.
Pesquisadores da área de educação matemática, como Borba e Penteado, destacam a importância das diferentes mídias na produção de conhecimento que é “produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias ou seres-humanos-com-tecnologias”44. Para esses pesquisadores, o computador provoca a reorganização da atividade humana. Muitas das novas tecnologias proporcionam interatividade, criando ambientes nos quais os estudantes têm acesso a resultados intermediários que não poderiam ser observados em situações tradicionais.
Com o software GeoGebra, por exemplo, podem ser exploradas estruturas algébricas ou geométricas de maneira dinâmica e avaliada a influência de seus parâmetros, além da visualização simultânea de suas diferentes representações.
Avaliar é uma ação que consiste em atribuir valor a algo. É proveniente do latim, valere, e pode ocorrer de maneira formal ou
38 ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; FERRUZZI, Elaine Cristina. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria: Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 117-234, 2009. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/view/37952/28980. Acesso em: 9 set. 2024.
39 ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. O registro gráfico em atividades de modelagem matemática: um estudo da conversão entre registros segundo a teoria dos registros de representação semiótica. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2009, São Paulo. Anais […]. São Paulo: Uniban, 2009.
40 ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de modelagem matemática: um olhar sobre os modos de inferência. Ciência e Educação, Bauru, v. 18, p. 623-642, 2012. p. 627. Disponível em: https://www.scielo.br/j/ciedu/a/v4qMkLjq9MFHmddXVmSJ7nh/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 9 set. 2024.
41 PONTE, João Pedro da. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa: APM, 2003. (CD-ROM).
42 BERTINI, Luciane de Fatima; PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion. Uso da investigação matemática no processo de ensino e aprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2008, Rio Claro. Anais […]. Rio Claro: Unesp, 2008. p. 135-151. Disponível em: www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/135-1-A-gt8_bertini_ta.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
43 HOWLAND, Jane L.; JONASSEN, David; MARRA, Rose. Meaningful learning with technology. 4th ed. Boston: Pearson, 2011.
44 BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática, p. 48).
informal nas salas de aula. A avaliação, no contexto escolar, refere-se à atribuição de um valor para o rendimento escolar. Ao se referir ao processo de aprendizagem, não se pode reduzir a avaliação a um momento único no qual esse “valor” é atribuído. Ele deve ser tratado como um processo realizado de maneira contínua e prolongada.
Concordamos com D’Ambrosio quando o autor afirma que a […] avaliação deve ser uma orientação para o professor na condução de sua prática docente e jamais um instrumento para reprovar ou reter alunos na construção de seus esquemas de conhecimento teórico e prático. Selecionar, classificar, filtrar, reprovar e aprovar indivíduos para isto ou aquilo não são missão de educador. Outros setores da sociedade devem se encarregar disso45
Segundo pesquisadores como Hadji46, o objetivo da avaliação escolar é contribuir para a aprendizagem tanto dos estudantes como do professor. Com esse objetivo, a avaliação oferece ao professor informações sobre os possíveis conhecimentos prévios e o processo de aprendizagem dos estudantes, bem como de sua conduta de ensino em sala de aula. Aos estudantes, a avaliação possibilita uma análise sobre a própria aprendizagem, por permitir coletar informações sobre o percurso, os êxitos e as dificuldades apresentadas. Para esse autor, o papel da avaliação é compreender a situação dos estudantes, de modo a regular os processos de ensino-aprendizagem. Quando realizada por esse aspecto, Hadji47 considera que essa avaliação é do tipo formativa e deve ser integrada à ação de formação, sendo efetivada durante esse processo e centrada nos processos e nas atividades. Nesse caso, pode-se dizer que a avaliação também assume um caráter ipsativo, em que os estudantes são comparados a eles mesmos em vários momentos de sua formação.
Esse autor atribui, ainda, outro propósito para a avaliação – o de inventário –, ou seja, de certificar, de atestar a aquisição de determinado conhecimento. Nesse caso, a avaliação é somativa e costuma ser realizada depois de determinada ação de formação. Conforme Hadji48, esse tipo de avaliação é centrado nos produtos, e os estudantes, muitas vezes, são comparados em relação aos outros. Assim, a avaliação também tem o caráter comparativo.
O terceiro propósito apresentado por Hadji49 é o prognóstico, em que a avaliação tem por objetivo identificar características dos estudantes a fim de planejar ações formativas futuras. Nesse caso, a avaliação é do tipo diagnóstica, sendo realizada antes da ação de formação.
Pensando na avaliação como oportunidade de aprendizagem, o erro deve ser entendido como uma possibilidade de perceber como os estudantes lidam com uma questão ou com um conteúdo matemático. Isso pode orientar o trabalho do professor em sala de aula, além de servir de base para seu planejamento.
Cabe ao professor analisar os procedimentos que levaram os estudantes a errar. Santos e Buriasco consideram essa abordagem como “maneiras de lidar”. Esses autores defendem que cada estudante apresenta um modo de lidar com o conhecimento matemático. Os diferentes modos
[…] devem ser tomados como ponto de partida para construir um espaço de negociação e legitimação dos significados atribuídos a tais conhecimentos. Assim, as maneiras de lidar que são diferentes das consideradas corretas apresentam-se a favor da aprendizagem dos alunos, permitindo aos professores oportunidades de leitura do modo como os alunos pensam sobre um determinado conteúdo50.
Recomenda-se ao professor afastar o paradigma de que o erro consiste em algo negativo, em que a falta é relacionada à ausência de conhecimento. O erro precisa ser trabalhado em sala de aula com o objetivo de ser transposto a fim de que os estudantes avancem na aprendizagem de conteúdos matemáticos.
Como aprender é um processo diferente para cada pessoa, é necessário adotar práticas avaliativas em que o foco seja ter indícios de ocorrência de aprendizagem por meio das informações obtidas. Nesse sentido, diversos instrumentos de avaliação devem ser implementados nas aulas, em especial, nas aulas de Matemática.
Eles devem fornecer ao professor informações – quanto à capacidade dos estudantes para resolver situações-problema, saber utilizar a linguagem matemática, lidar com instrumentos de construção, valer-se de raciocínio matemático, comunicar-se por meio oral – para que ele possa, assim, inferir aspectos da aprendizagem e do raciocínio matemático.
Na sequência, são apresentados, de maneira sucinta, alguns instrumentos de avaliação que podem ser pertinentes às aulas de Matemática do Ensino Médio. No entanto, o professor pode ser criativo e investir em outros instrumentos que deem suporte para investigar indícios de aprendizagem dos estudantes.
Prova escrita e prova escrita em fases
A prova escrita é um instrumento de avaliação que tem o objetivo de estabelecer uma comunicação que permite ao professor fazer uma análise da competência escritora dos estudantes.
Na elaboração de uma prova escrita, o professor deve utilizar diferentes situações que promovam o uso de variadas representações e estratégias, além de estabelecer critérios de correção, considerando os “percursos” que os estudantes podem utilizar. Para isso, é necessário que os procedimentos sejam listados e pontuados, revendo-os sempre que preciso, antes ou durante a correção. A correção deve ser pautada nos procedimentos utilizados pelos estudantes para obter a solução. Um professor atento aos indícios de aprendizagem não deve considerar somente a solução final apresentada.
Combinando as vantagens da prova escrita com outras tarefas, De Lange51 propôs a prova escrita em duas fases. De maneira geral, esse instrumento segue os mesmos pressupostos da prova escrita usual, diferenciando-se no modo como os estudantes são solicitados a resolvê-la em dois momentos, ou em duas fases.
Na primeira fase, os estudantes respondem, em um tempo limitado, a questões discursivas que abordam conhecimentos que
45 D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática, p. 78).
46 HADJI, Charles. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Porto: Porto Editora, 1994.
47 HADJI, ref. 46.
48 HADJI, ref. 46.
49 HADJI, ref. 46.
50 SANTOS, João Ricardo Viola dos; BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Da ideia de erro para as maneiras de lidar: caracterizando nossos alunos pelo que eles têm e não pelo que lhes falta. In: BURIASCO, Regina Luzia Corio de (org.). Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008. p. 87-108. (Coleção SBEM, p. 105).
51 DE LANGE, Jan. Framework for classroom assessment in mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, 1999.
deveriam ter aprendido, sem indicações do professor. A prova é recolhida e corrigida pelo professor, que deve inserir comentários e/ou questionamentos que permitam estabelecer uma comunicação escrita na qual os estudantes possam explicar o que fizeram. Nessa fase, o professor não valida as respostas, isto é, não coloca certo ou errado. Os comentários e questionamentos devem exigir reflexão por parte dos estudantes.
Na segunda fase, os estudantes recebem a prova novamente e a resolvem considerando os comentários e/ou questionamentos inseridos. Eles têm a oportunidade de fazer uma complementação do que não foi feito na primeira fase, reelaborando sua solução ou resolvendo a questão pela primeira vez. Essa fase é realizada em casa, quando os estudantes julgarem conveniente, e sem tempo limitado para a resolução. Após o período combinado entre as partes, a prova é devolvida ao professor para que ele faça uma nova correção.
Prova-escrita-com-cola
Usualmente, o ato de colar é considerado um dos problemas escolares que permeiam os mais diversos níveis de ensino, podendo ser entendido como desvio de conduta para tirar proveito ou ser considerado até mesmo um meio de corrupção. Diversas situações podem ser consideradas como cola, por exemplo: consultar a prova de um colega, trocar de prova ou conversar com um colega no momento da prova, fazer registro em folhas avulsas ou no próprio corpo para consultas durante a prova, consultar livros, cadernos ou aparelhos eletrônicos, entre outras.
O instrumento de avaliação prova-escrita-com-cola é uma maneira de utilizar um dos tipos de cola como recurso para possibilitar a aprendizagem. De acordo com Forster52, esse instrumento de avaliação foi nomeado dessa maneira justamente para evidenciar a ideia de que é possível trazer a cola “oficialmente” para a prova. Esse mesmo autor informa que uma prova-escrita-com-cola é basicamente
[…] uma prova escrita na qual o aluno tem a sua disposição um pedaço de papel, a cola, em que ele pode anotar as informações que julgar pertinentes para utilizar durante a realização da prova. Para que os alunos façam a cola, é desejável que seja estabelecido um padrão comum a todos. Por exemplo, é preciso definir as dimensões do papel, se o texto da cola deve ser manuscrito ou não, se deve ser feito individualmente ou não53
Esse tipo de instrumento de avaliação se diferencia de uma prova com consulta, principalmente, porque os registros devem estar em um papel com dimensões delimitadas, e os próprios estudantes devem produzi-los. Segundo Forster54, a intenção é que eles utilizem esse instrumento como um meio de estudo, e a limitação do papel pode auxiliar nesse sentido, pois é necessário estudar o assunto para ter condições de recolher as informações mais relevantes para inserir na cola.
Atividades e trabalhos em grupo
O trabalho em grupo tem como objetivo a troca de ideias entre os estudantes, o que possibilita o desenvolvimento da colaboração, da cooperação, da comunicação e da argumentação.
Cohen e Lotan definem trabalho em grupo como “[…] alunos trabalhando juntos em grupos pequenos de modo que todos possam participar de uma atividade com tarefas claramente atribuídas”55. O professor, além de explicar aos estudantes suas ações como solucionadoras de um problema, deve explicitar aspectos a ser considerados, tais como os objetivos do trabalho e os critérios de avaliação.
O trabalho em grupo não pode ser entendido pelos estudantes como a junção das carteiras e cada um realizando sua atividade individualmente. “Trabalho em grupo não é a mesma coisa que agrupamento por habilidade, no qual o professor divide a sala por critério acadêmico para que possa ensinar para grupos mais homogêneos”56
Para incentivar a participação dos integrantes dos grupos e avaliar o desempenho de cada um, o professor pode entregar uma única folha com a atividade proposta, solicitar que organizem as ideias em conjunto e as escrevam em uma folha avulsa. Durante esse processo, o professor pode circular entre os diferentes grupos de modo a perceber o que está sendo discutido, tendo cuidado para não dar a resposta quando sua ajuda for solicitada. Essa estratégia pode ser utilizada para avaliar os estudantes ao realizarem as atividades em grupo propostas nesta coleção, ao final das quais são solicitadas a elaboração de relatórios, peças publicitárias (fôlder, cartaz, vídeo ou podcast), escritas de textos em uma rede social ou blogue, slides etc. Uma maneira de auxiliar na avaliação dos argumentos é pedir aos estudantes que anotem o que considerarem relevante e que foi discutido entre eles.
De acordo com Haydt, a autoavaliação é “[…] uma forma de apreciação geralmente usada quando nos dedicamos a atividades significativas, decorrentes de um comportamento intencional”57 Assim, para realizar uma autoavaliação escolar, os estudantes precisam analisar e interpretar seus conhecimentos, o que lhes permite refletir de maneira crítica sobre o que fizeram ou deixaram de fazer na construção desses conhecimentos.
Uma autoavaliação pode ser constituída de perguntas, respondidas de forma oral ou escrita, que possibilitam aos estudantes realizar uma interpretação pessoal sobre o percurso de sua aprendizagem, tendo consciência de suas dificuldades e limitações. Por meio dessa tomada de consciência, eles podem rever seu processo de estudo, além de auxiliar o professor no planejamento de suas intervenções futuras em sala de aula.
O professor pode realizar a autoavaliação ao longo do ano por meio de questionários ou fichas. Deve-se evitar entregar uma extensa ficha com perguntas que os estudantes necessitem responder, pois a autoavaliação caracteriza-se como um momento de reflexão e não pode se tornar algo exaustivo. De modo geral, devem ser propostas perguntas específicas e objetivas. Em uma ficha de autoavaliação, podem ser fornecidas algumas respostas-padrão para os estudantes assinalarem, como “sim”, “não” e “às vezes”. Entre os diferentes elementos presentes em uma autoavaliação,
52 FORSTER, Cristiano. A utilização da prova-escrita-com-cola como recurso à aprendizagem. 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) –Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. Disponível em: https://pos.uel.br/pecem/wp-content/uploads/2021/08/FORSTER-Cristiano.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
53 FORSTER, ref. 52, p. 27.
54 FORSTER, ref. 52.
55 COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. p. 1. E-book
56 COHEN; LOTAN, ref. 55, p. 1-2.
57 HAYDT, Regina Célia Cazaux. Avaliação do processo ensino-aprendizagem. 5. ed. São Paulo: Ática, 1995. p. 147.
podem ser privilegiados aspectos procedimentais, de conteúdo, de convivência social, de conduta dos estudantes, entre outros. Assim, a seção O que estudei, organizada ao final de cada Unidade da coleção, constitui um instrumento de autoavaliação.
Na sala de aula, o professor é o agente condutor das situações instrucionais e interacionais. Confirmando o que foi apresentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática58, com o avanço das tecnologias de informação, à medida que o papel dos estudantes foi se redefinindo diante do saber, o papel do professor que ensina Matemática foi se redimensionando. Os estudantes são protagonistas da construção de sua aprendizagem, e o professor é o organizador, o facilitador, o incentivador, o mediador entre o saber matemático e os estudantes. Utilizando diferentes práticas, o professor, em sala de aula, articula o conhecimento matemático com a formação da cidadania, promovendo não só a formação integral dos estudantes mas também importantes mudanças sociais.
O professor mediador não oferece respostas prontas; ele dialoga. Não há como imaginar uma situação instrucional que não seja baseada no diálogo. O professor questiona, é questionado, ouve os estudantes, valoriza, respeita e promove a autonomia deles.
Em relação ao Livro do estudante, procurou-se dar autonomia e respeitar a atuação do professor, orientando-o a reconhecer os momentos nos quais deve desafiar, indagar e conduzir os estudantes à reflexão e à problematização de situações que vão além das apresentadas nesta coleção. Cabe destacar também a importância do trabalho participativo entre o professor da área de Matemática e suas Tecnologias e os professores de outras áreas, buscando o planejamento e a realização de aulas e projetos multidisciplinares.
Um professor de Matemática que atua no Ensino Médio, além de conhecer as diferentes abordagens metodológicas, precisa ter os saberes necessários para construir novas práticas pedagógicas que permitam identificar avanços, dificuldades e possibilidades para a ampliação das aprendizagens de seus estudantes.
Ainda, o professor deve ser “capaz de articular os diferentes saberes escolares à prática social ao desenvolvimento de competências para o mundo do trabalho”59. Isso pode ser feito ao propor situações-problema que envolvam diversos contextos do cotidiano dos estudantes, considerando seus diferentes perfis, e procurando relacioná-las a outras áreas do conhecimento, bem como a conhecimentos da própria Matemática, por meio de atividades, trabalhos em grupos, utilização de tecnologias, textos científicos divulgados pela mídia etc. Dessa maneira, o professor contribui para o desenvolvimento da capacidade dos estudantes de realizar análises críticas, criativas e propositivas.
A maneira como o professor compreende a Matemática vai influenciar o modo como trata tais articulações. Nesse sentido,
saberes de conteúdo matemático e saberes pedagógicos estão inter-relacionados.
O saber profissional do professor é um saber pluridimensional, uma vez que o professor é aquele que planeja, executa, avalia, ou seja, é aquele que, na sala de aula, é responsável pela gestão de um pequeno universo.
As transformações que vêm ocorrendo na sociedade contemporânea também têm causado impacto nos estudantes do Ensino Médio, resultando em mudanças tanto no campo das relações sociais como no mundo do trabalho, ambos caracterizados, na atualidade, pela sua fluidez e pelo seu dinamismo. Essa situação coloca novos desafios para os docentes, em geral, e para o ensino da Matemática, em particular.
Dimensões física, social, emocional e cultural dos estudantes
No cenário atual, é importante que os envolvidos no âmbito educacional considerem, de maneira intencional e explícita, não só o desenvolvimento intelectual mas também as dimensões física, social, emocional e cultural dos estudantes. Assim, para além do trabalho com os conteúdos e com as competências e habilidades próprias das diversas áreas do conhecimento, é necessário criar espaços para que os estudantes do Ensino Médio conheçam seu corpo, seus sentimentos e suas emoções, lidando com as relações interpessoais para serem respeitados e respeitarem os demais.
Considerando a Matemática uma área frequentemente associada a um baixo rendimento acadêmico, à ansiedade e ao desenvolvimento de emoções negativas, o professor precisa assumir a convicção de que todos os estudantes podem aprender e alcançar seus objetivos em relação a essa área, independentemente de suas características pessoais, seus percursos ou suas histórias60 Transformar a maneira com a qual os estudantes se vinculam à Matemática é possível quando o professor, por exemplo, orienta seu trabalho no sentido de despertar o espírito investigativo e a curiosidade dos estudantes, incentivando o levantamento de hipóteses, procurando conhecer suas explicações dos fenômenos cotidianos e propiciando o confronto de ideias para poder construir, de maneira gradativa, os conceitos e procedimentos matemáticos.
Reflexos da violência no âmbito escolar e local
Em uma sociedade marcada pelo confronto entre diversos grupos culturais e sociais, o trabalho do professor no Ensino Médio, bem como o dos demais envolvidos, requer a promoção de uma cultura de paz tanto na escola como na esfera social mais ampla. Para isso, todos os envolvidos devem promover o diálogo e a solução não violenta de conflitos, permitindo aos estudantes manifestar opiniões divergentes, mas de maneira respeitosa. Como o desempenho em Matemática é considerado socialmente um importante indicador das capacidades dos estudantes, será essencial propor atividades orientadas à promoção da saúde mental deles, sobretudo no que tange ao combate da violência autoprovocada e à
58 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1997. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
59 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: Dicei, 2013. p. 171. Disponível em: https://www.gov.br/mec/pt-br/acesso-a-informacao/media/seb/pdf/d_c_n_educacao_basica_nova.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
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intimidação sistemática (bullying e cyberbullying), rejeitando estereótipos e discriminações de qualquer natureza. Em escala mais ampla, o professor deve incentivar o bom convívio entre os estudantes, promovendo o diálogo entre eles, que muitas vezes carregam consigo elementos culturais distintos em sua formação social, sempre considerando como parâmetros os direitos humanos e os princípios democráticos61
A juventude não deve ser compreendida como um período de passagem da infância para a maturidade, mas como uma etapa singular e dinâmica. Participantes ativos da sociedade, os jovens são, também, produtores de múltiplas culturas juvenis62. Acolher tais culturas na escola requer o desenvolvimento de um trabalho de maneira transversal que, de modo intencional, promova o respeito à diversidade, potencialize os interesses de cada estudante e considere as novas formas de aprendizagem originadas pelo desenvolvimento tecnológico. Particularmente, é necessário considerar que os jovens, mais do que meros consumidores, têm se tornado protagonistas da cultura digital63. Torna-se essencial, assim, que os estudantes compreendam os impactos da revolução digital em nossa sociedade, e, nesse ponto, a Matemática tem muito a contribuir.
O Ensino Médio se orienta de modo a oferecer ferramentas para que os estudantes possam definir seu projeto de vida, ou seja, possam definir aquilo que almejam para sua trajetória profissional e para seu estilo de vida, considerando tanto sua identidade como as demandas sociais e culturais do contexto no qual estão inseridos. É particularmente importante que, no Ensino Médio, os estudantes possam desenvolver competências que lhes permitam se inserir de maneira crítica, criativa e responsável em um mundo do trabalho complexo, imprevisível e dinâmico. É primordial preparar os estudantes para ocupar “profissões que ainda não existem, para usar tecnologias que ainda não foram inventadas e para resolver problemas que ainda não conhecemos”64. Para isso, a área de Matemática e suas Tecnologias tem um papel central nesses processos. Nessa direção, o professor deverá propor atividades que visibilizem as bases científicas e tecnológicas próprias dos processos produtivos e nas quais os estudantes mobilizem recursos e ferramentas matemáticas para resolver problemas complexos que exijam reflexão e abstração e, simultaneamente, desenvolvam uma visão integrada da Matemática e da sua aplicação à realidade.
A sociedade vem passando por diferentes modificações que requerem do professor uma mudança atitudinal e, consequentemente, uma gestão de sala de aula diferente da vivenciada há alguns anos. Além de ensinar a estudantes que estão inseridos em um mundo globalizado, com acesso facilitado às mais diversas
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informações, o professor deve acolher estudantes que vivenciam diversas realidades, bem como buscar estratégias de ensino e de aprendizagem que atendam a estudantes de diferentes perfis, como aqueles em situação de itinerância ou com deficiência, por exemplo.
De acordo com a perspectiva de Troncon, o ambiente educacional pode ser definido como o […] conjunto de elementos, de ordem material ou afetiva, que circunda o educando, que nele deve necessariamente se inserir e que o inclui, quando vivencia os processos de ensino e aprendizado, e que exerce influência definida sobre a qualidade do ensino e a eficácia do aprendizado. […]65
Esse autor destaca que o ambiente educacional tem impacto na construção do conhecimento dos estudantes, o que, consequentemente, denota a importância e a atenção que deve receber, com o propósito de aprimorá-lo e de aperfeiçoar o processo educacional. Um ambiente educacional é composto basicamente de dois elementos: um de natureza material (mobiliário, iluminação, espaço físico etc.) e outro de caráter afetivo (respeito e segurança, entre outros). É necessário enfatizar que parte importante dos componentes do ambiente educacional é aquela relativa ao ambiente físico em que se dá o aprendizado, ou seja, as condições materiais que cercam o ensino e a aprendizagem.
No que diz respeito ao caráter afetivo, o professor deve propiciar um ambiente acolhedor e de respeito entre os estudantes. Estes devem se sentir seguros para expor suas dúvidas, trocar ideias com os colegas e com o professor e contribuir com o processo de ensino-aprendizagem de toda a turma. Desse modo, é preciso criar estratégias para uma boa convivência.
Assim, o professor pode, no início do ano letivo, propor alguns combinados com a turma, desde que esses respeitem as regras da instituição de ensino. Algumas regras que podem ser estabelecidas são: respeitar professores e colegas; evitar atrasos; zelar pela limpeza da sala de aula; não utilizar termos pejorativos e/ou que ofendam o outro; praticar a empatia com os colegas; questionar sempre que houver dúvidas em relação ao conteúdo.
Outro aspecto de caráter afetivo que pode ser destacado é a acolhida a estudantes em situação de itinerância, como circenses, migrantes e pertencentes a povos ciganos. Sugere-se promover uma roda de conversa com toda a turma a fim de que esse estudante se apresente e conte como é a experiência de estudar em diferentes locais no decorrer da vida acadêmica. Essa pode ser uma estratégia eficaz, desde que o estudante não se sinta constrangido.
Em relação a aspectos de natureza material, destacam-se a organização da sala de aula, o uso do Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) e ambientes não convencionais.
A sala de aula não precisa se limitar à organização convencional de estudantes enfileirados. Uma alternativa é organizá-los em pequenos grupos, favorecendo o diálogo e a integração entre eles. Outra opção é a organização das carteiras em formato de “U”, em que os estudantes têm contato direto com diversos colegas. Assim, é possível que eles sanem dúvidas, troquem ideias a respeito de atividades e busquem soluções para problemas propostos.
62 DAYRELL, Juarez. A escola “faz” as juventudes?: reflexões em torno da socialização juvenil. Educação & Sociedade, Campinas, v. 28, n. 100, p. 1105-1128, 2007. Disponível em: https://www.scielo.br/j/es/a/RTJFy53z5LHTJjFSzq5rCPH/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
63 BRASIL, ref. 1.
64 BRASIL, ref. 1, p. 473.
65 TRONCON, Luiz Ernesto de Almeida. Ambiente educacional. Medicina, Ribeirão Preto, v. 47, n. 3, p. 264-271, 2014. p. 265. Disponível em: https://www.revistas.usp.br/rmrp/article/ view/86614/89544. Acesso em: 9 set. 2024.
O LEM pode ser considerado um ambiente educacional que consiste em um espaço munido de material para que professor e estudantes desenvolvam seus trabalhos de ensinar e aprender Matemática. Esse ambiente pode potencializar o trabalho desenvolvido em sala de aula, evitando que o professor precise deslocar grande quantidade de material de um local para outro.
Esse espaço pode ser uma sala, um armário ou outro local na escola em que se possa armazenar: o material construído pelos próprios estudantes em conjunto com o professor, material industrializado, livros e revistas relacionados a temas matemáticos, livros didáticos e paradidáticos, jogos, peças que representam sólidos geométricos, instrumentos de medida, calculadoras, computadores, lousa digital, televisor, pôsteres, cartolinas, papéis sulfite, tesouras, entre outros. Segundo Lorenzato, […] o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender66.
Um laboratório com essas características pode ser estruturado por meio do trabalho conjunto entre professores de diferentes áreas e turmas, diretor e outros responsáveis da escola, além da colaboração dos estudantes. Durante as atividades ou experimentos realizados em laboratórios, é importante que a segurança e a integridade dos estudantes e de outras pessoas presentes sejam garantidas. Apesar de a sala de aula ser considerada um ambiente convencional de ensino e de aprendizagem, esse não é o único espaço em que a construção do conhecimento pode ocorrer.
De acordo com D’Ambrosio, o
[…] cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura67.
Nesse sentido, os espaços extraescolares, considerados ambientes não convencionais de ensino, podem promover a construção de conhecimentos e o desenvolvimento cognitivo e comportamental. Existe uma variedade de espaços não convencionais em diferentes contextos, que exibem alguma relação direta ou indireta com os conteúdos das áreas do conhecimento e, em especial, com conteúdos matemáticos.
Por exemplo, ao propor um trabalho de investigação envolvendo prédios públicos, que tenham rampas de acesso, no município em que os estudantes moram, conhecimentos matemáticos podem ser construídos ou evidenciados na medição das dimensões da rampa, na análise e na comparação com o padrão de inclinação estabelecido pela legislação, entre outros aspectos. Além de promover a aprendizagem de conteúdos matemáticos, pode-se desenvolver a formação de um cidadão crítico e engajado ao elaborar um relatório com informações sobre os prédios analisados e sugerir ações que possam contribuir para a melhoria da acessibilidade nesses prédios.
Museus, parques recreativos, jardins botânicos, zoológicos, unidades de conservação, feiras, exposições e planetários são exemplos de espaços não convencionais que também podem ser utilizados para o desenvolvimento de atividades de educação formal. Nas Orientações específicas, são apresentadas sugestões de ambientes como esses, onde os estudantes podem realizar visitas relacionadas aos conteúdos matemáticos ou aos temas abordados em diferentes momentos durante o trabalho com esta coleção.
De modo geral, a utilização de ambientes não convencionais para o ensino e a aprendizagem é uma prática pouco explorada na educação formal. O professor interessado em utilizar um espaço não convencional deve fazer um planejamento para evidenciar a compreensão das funções, do funcionamento e das potencialidades desse espaço para a educação formal. Além disso, precisa considerar as limitações do espaço escolhido e solicitar à escola e aos pais ou responsáveis uma autorização em caso de necessidade de saída dos estudantes do ambiente escolar.
No ambiente educacional, é preciso pensar na inclusão de estudantes com deficiência. O professor deve estar atento a estratégias de acolhimento e, em muitos casos, buscar estratégias diferenciadas de ensino e de aprendizagem. Também é preciso se ater à promoção da acessibilidade, garantindo a todos os estudantes o acesso ao meio físico, à informação e à comunicação.
Ao professor, recomenda-se que o primeiro passo seja conhecer o estudante com deficiência, buscando compreender laudos médicos e o seu histórico escolar. O diálogo com a família também se mostra relevante nesse momento para compreender quais são as principais necessidades desse estudante. Algumas instituições de ensino têm sala de recursos, com materiais que viabilizam a aprendizagem dos estudantes, e o Atendimento Educacional Especializado, garantido por lei. De acordo com o Ministério da Educação, por meio da Secretaria de Educação Especial, [o] atendimento educacional especializado – AEE tem como função identificar, elaborar e organizar recursos pedagógicos e de acessibilidade que eliminem as barreiras para a plena participação dos alunos, considerando suas necessidades específicas68
Assim, o professor de Matemática, em conjunto com os demais professores e com os profissionais do AEE, pode elaborar um Plano de Desenvolvimento Individual (PDI) com as devidas adaptações necessárias. O importante é atender às particularidades de cada estudante e promover atividades em que nenhum estudante se sinta excluído. Em Matemática, o professor pode utilizar tecnologias digitais para trabalhar com estudantes com Transtorno do Espectro Autista (TEA), uma vez que essas tecnologias têm potencial de contribuir com as interações entre esses estudantes e os demais colegas da turma, o que é fundamental para o processo de aprendizagem. Outro exemplo é o uso do software GeoGebra para explorar conceitos geométricos com estudantes com TEA. Esse trabalho possibilita a esse estudante manipular o software, por meio de suas ferramentas, para visualizar e verificar propriedades geométricas de maneira dinâmica e interativa, ampliando seu protagonismo no processo de aprendizagem, além de incentivar seu relacionamento com o professor e os colegas.
66 LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 1. ed. Campinas: Autores Associados, 2006. (Formação de professores, p. 7).
67 D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática, p. 22).
68 BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Diretrizes Operacionais da Educação Especial para o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEE, 2008. p. 1. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=428-diretrizes-publicacao&Itemid=30192. Acesso em: 9 set. 2024.
Considerada uma prática social, a comunicação não se limita ao uso da fala. Ela envolve, também, a produção da escrita, a utilização de símbolos e de expressões pictóricas e corporais, assim como os processos de interpretação dessas diferentes linguagens. A comunicação é, então, essencial para os processos de interação social e de desenvolvimento humano. Dessa maneira, o aperfeiçoamento das competências leitoras e argumentativas dos estudantes é um objetivo que transpassa o Ensino Médio, não sendo priorizado somente na área de Linguagens e suas Tecnologias mas também nas outras áreas do conhecimento. Particularmente, o professor de Matemática pode contribuir, de maneira decisiva, na aprendizagem de estratégias de leitura de textos matemáticos ou que contenham dados ou argumentos de natureza matemática.
Nas últimas décadas, as práticas que requerem a mobilização de competências leitoras têm se multiplicado e se diversificado. Muitas delas exigem do leitor a mobilização de conhecimentos matemáticos para interpretar, por exemplo, informações estatísticas veiculadas nas mídias e na publicidade. Assim, visando à formação de cidadãos críticos, é importante que os professores ofereçam oportunidades para que os estudantes do Ensino Médio possam interpretar, interagir e argumentar sobre esses textos nos suportes em que aparecem e nas situações cotidianas.
Por sua vez, os textos matemáticos também apresentam suas características específicas, sendo necessário que o professor atue como mediador nos processos de interação dos estudantes com esses textos69. Visando aprimorar a compreensão e a interpretação dos textos matemáticos, incluindo enunciados de situações-problema, o professor deve fornecer aos estudantes dados relevantes e condições que, como em situações similares, possam ser utilizadas em sua resolução.
A apropriação da linguagem simbólica própria da Matemática tem se mostrado uma tarefa complexa, com muitos dos obstáculos vinculados à interpretação e à utilização da linguagem algébrica. Nessa direção, o trabalho envolvendo a leitura de textos e a produção de argumentos matemáticos utilizando diversas linguagens – algébrica, discursiva, gráfica, pictórica etc. – tem sido uma estratégia frutífera. O professor pode propor múltiplas tarefas com essa orientação ao solicitar, por exemplo, a leitura e a interpretação de textos que combinam a linguagem discursiva com a gráfica, a produção de argumentos matemáticos utilizando diversos tipos de linguagem, a tradução de informações expressas em linguagem algébrica para a linguagem discursiva, a escrita de textos discursivos que apresentem o desenvolvimento de um problema e sua solução, a leitura e a escrita de relatórios que sintetizem dados expressos em tabelas e gráficos estatísticos, a elaboração de enunciados de problemas a partir de uma expressão algébrica, entre outros. A utilização dos diversos tipos de registro próprios da Matemática contribuirá para o desenvolvimento cognitivo dos estudantes e para o aprimoramento da comunicação na sala de aula.
Nas aulas de Matemática, é importante propor situações que possibilitem aos estudantes utilizarem diferentes estratégias de cálculo, ampliando seu repertório. Essas estratégias podem envolver cálculos por escrito, cálculo mental, uso de calculadora científica ou computador, entre outras. Nesse nível de escolaridade, é importante que os estudantes escolham as próprias estratégias, julgando a mais adequada para resolver determinados problemas.
Realizar um cálculo por escrito auxilia os estudantes a registrar e organizar os resultados no papel.
Ao realizar um cálculo mental, são mobilizadas estratégias que visam rapidez e eficiência na obtenção de uma resposta, e é possível trabalhar, de maneira simultânea, a memória e a concentração. Segundo Buys70, o cálculo mental permite aos estudantes calcular livremente, sem restrições, desenvolvendo novas estratégias de cálculo ou o uso de números de referência e estratégias que já detêm. Para esse autor, há três características presentes no cálculo mental: operar com números, e não com dígitos; usar propriedades elementares das operações e relações numéricas; e permitir o recurso a registros auxiliares em papel.
As calculadoras científicas devem ser um dos instrumentos tecnológicos presentes nas aulas de Matemática e disponíveis aos estudantes, pois seu uso de maneira reflexiva pode contribuir para o aprendizado, auxiliando os estudantes a investigar e a identificar regularidades e propriedades, generalizar, conferir cálculos por escrito, realizar cálculos mais complexos, tomar decisões etc. Cabe destacar que aplicativos de calculadoras científicas estão disponíveis na maioria dos smartphones.
A Matemática escolar é desafiadora, tanto para os estudantes como para os professores. Observando os contextos social e tecnológico, pode-se identificar o descompasso que há entre esses contextos e o sistema educacional.
Junto às críticas ao modelo escolar, que é desconfigurado e engessado, tem-se, de um lado, a Matemática como uma área compartimentalizada e, de outro, uma sociedade high tech que a desafia e exige inovações.
Assim, buscando atender às necessidades e expectativas dos jovens do Ensino Médio, a BNCC define e organiza as aprendizagens essenciais por áreas do conhecimento e incentiva a integração entre essas áreas.
Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprios da Matemática e de outras áreas do conhecimento, com o propósito de superar a fragmentação dos saberes, possibilita abordar uma situação-problema de diferentes perspectivas.
Durante as aulas de Matemática, algumas situações podem ser aproveitadas para o professor estabelecer relações com outras áreas do conhecimento. Uma pergunta feita por um estudante durante o
69 OLIVEIRA, Emilio Celso de; PIRES, Célia Maria Carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema, Rio Claro, v. 23, n. 37, p. 931-953, 2010. Disponível em: https://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/4300/3434. Acesso em: 9 set. 2024. 70 BUYS, K. Mental arithmetic. In: HEUVEL-PANHUIZEN, Marja van den (ed.). Children learn mathematics. Rotterdam: Sense, 2001. p. 121-146. Developed by the TAL Team. Utrecht: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University and National Institute for Curriculum Development (SLO).
desenvolvimento de um conteúdo matemático, por exemplo, pode ter potencial para desencadear abordagens de conteúdos de outras áreas.
Para Tomaz e David71, os professores dos diversos componentes curriculares podem conversar para levantar aspectos comuns de sua prática e compará-los com os de outro professor que trabalha com os mesmos estudantes a fim de encontrar alternativas para potencializar as oportunidades de interdisciplinaridade em sala de aula, tornando essa prática mais usual.
Nesta coleção, procurou-se estabelecer relações entre a Matemática e suas Tecnologias a outras áreas do conhecimento, com destaque para a área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias. As competências específicas 1, 2 e 3 de Ciências da Natureza e suas Tecnologias são abordadas em diferentes momentos da coleção, seja no decorrer de desenvolvimentos conceituais, seja no decorrer de propostas de atividades ou da seção Integrando com.... No Volume 1, na Unidade 1, por exemplo, desenvolve-se a competência específica 3, uma vez que propõem-se uma discussão acerca de transfusões de sangue e uma análise do sistema ABO e do fator Rh, no contexto do estudo das relações entre conjuntos. Outro exemplo, também no Volume 1, que possibilita desenvolver as competências específicas 1 e 2, é apresentado na Unidade 3, ao abordar a temática mobilidade urbana sustentável, bem como sua importância para a redução de impactos ambientais, relacionando essa temática ao estudo de funções.
Apresentamos, a seguir, as principais referências que nortearam a produção desta coleção, bem como as que foram citadas no texto. Por consequência, essas referências podem fomentar o processo de ensino-aprendizagem, ampliando e complementando o que foi proposto na obra.
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; FERRUZZI, Elaine Cristina. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria : Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, Florianópolis, v. 2, n. 2, p. 117-234, 2009. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/alexandria/article/ view/37952/28980. Acesso em: 9 set. 2024. Nesse artigo, os autores apresentam uma situação-problema para evidenciar a possibilidade de trabalhar atividades de modelagem matemática em sala de aula na perspectiva socioepistemológica.
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de modelagem matemática: um olhar sobre os modos de inferência. Ciência e Educação, Bauru, v. 18, p. 623-642, 2012. Disponível em: https://www.scielo.br/j/ciedu/a/v4qMkLjq9M FHmddXVmSJ7nh/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 9 set. 2024. Análise de uma atividade de modelagem para investigar relações entre ações cognitivas evidenciadas em atividades desse tipo e os modos de inferência na semiótica peirceana.
• ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de; SILVA, Karina Alessandra Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. O registro gráfico em atividades de modelagem matemática: um estudo da conversão entre registros segundo a teoria dos registros de representação semiótica. In : SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2009, São Paulo. Anais […]. São Paulo: Uniban, 2009. Discussão sobre as conversões ligadas ao registro gráfico realizadas por estudantes de uma turma de licenciatura em atividades de modelagem matemática.
• AUSUBEL, David Paul; NOVAK, Joseph Donald; HANESIAN, Helen. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980. Obra em que os autores apresentam sua teoria da aprendizagem significativa.
• BERTINI, Luciane de Fatima; PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion. Uso da investigação matemática no processo de ensino e aprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2008, Rio Claro. Anais […]. Rio Claro: Unesp, 2008. Disponível em: www2.rc.unesp.br/eventos/mate matica/ebrapem2008/upload/135-1-A-gt8_bertini_ta.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Nesse artigo, as autoras distinguem problema de exercício e defendem a realização de investigações matemáticas pelos estudantes para promover sua aprendizagem.
• BOAVIDA, Ana Maria; GOMES, Anabela; MACHADO, Sílvia. Argumentação na aula de matemática: olhares sobre um projeto de investigação colaborativa. Educação e Matemática, Lisboa, n. 70, p. 18-26, 2002. Disponível em: https://em.apm.pt/index.php/em/ article/view/1141/1182. Acesso em: 9 set. 2024.
Relato de experiência de implementar tarefas com foco na argumentação matemática em sala de aula.
• BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2016. (Tendências em Educação Matemática).
Trabalho sobre o uso de informática educativa no ambiente escolar, contendo debates relacionados às políticas governamentais e às questões epistemológicas e pedagógicas.
• BRACKMANN, Christian Puhlmann. Desenvolvimento do pensamento computacional através de atividades desplugadas na educação básica. 2017. Tese (Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/bits tream/handle/10183/172208/001054290.pdf?sequence=1& isAllowed=y. Acesso em: 9 set. 2024.
A pesquisa objetiva verificar a possibilidade de desenvolver o pensamento computacional na Educação Básica por meio de atividades “desplugadas”, isto é, sem o uso de computadores.
• BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/ constituicao/constituicao.htm. Acesso em: 9 set. 2024. Conhecida como Constituição Cidadã, é o atual conjunto de leis fundamentais que organiza o estado brasileiro.
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Legislação que regulamenta o sistema educacional do Brasil no âmbito público ou privado, da Educação Básica até o Ensino Superior.
71 TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática).
• BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014. Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, [2024]. Disponível em: https:// www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/ l13005.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
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Legislação que altera a regulamentação do sistema educacional do Brasil no âmbito público ou privado.
B RASIL. Lei n o 1 4.945, de 31 de julho de 2024 . Altera a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), a fim de definir diretrizes para o ensino médio, e as Leis nos 14.818, de 16 de janeiro de 2024, 12.711, de 29 de agosto de 2012, 11.096, de 13 de janeiro de 2005, e 14.640, de 31 de julho de 2023. Brasília, DF: Presidência da República, 2024. Disponível em: https://www.planalto.gov.br/ ccivil_03/_ato2023-2026/2024/lei/l14945.htm. Acesso em: 9 set. 2024.
Legislação que altera a lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, com definição de diretrizes para o Ensino Médio.
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Normas sobre Computação na Educação Básica – Complemento à BNCC.
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• BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Resolução CNE/CEB n o 3, de 21 de no vembro de 2018 . Atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, DF: MEC: CNE, 2018. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/novembro-2018-pdf/ 102481-rceb003-18/file. Acesso em: 9 set. 2024.
Documento que atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.
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Documento sobre os resultados nacionais do Pisa de 2012.
• BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília, DF: MEC, 2000. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Textos que norteiam a reforma curricular do Ensino Médio.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica. Brasília, DF: SEB: Dicei, 2013. Disponível em: https://www.gov.br/mec/pt-br/acesso-a-informacao/ media/seb/pdf/d_c_n_educacao_basica_nova.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Normas obrigatórias que definem os princípios, fundamentos e procedimentos na Educação Básica a fim de orientar o planejamento curricular das escolas brasileiras e dos sistemas de ensino.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ implementacao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Texto que discorre sobre os temas contemporâneos transversais, apresentando sua contextualização, sua relação com a BNCC e os pressupostos teóricos para sua abordagem.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Especial. Diretrizes Operacionais da Educação Especial para o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEE, 2008. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias=428 -diretrizes-publicacao&Itemid=30192. Acesso em: 9 set. 2024. Documento contendo as Diretrizes Operacionais da Educação Especial para o Atendimento Educacional Especializado na Educação Básica.
• BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Conjunto de textos que norteiam a elaboração dos currículos escolares do Ensino Fundamental.
• BUYS, K. Mental arithmetic. In : HEUVEL-PANHUIZEN, Marja van den (ed.). Children learn mathematics . Rotterdam: Sense, 2001. Developed by the TAL Team. Utrecht: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University and National Institute for Curriculum Development (SLO).
Trabalho que propõe discussão e reflexão sobre estratégias de cálculo mental por crianças e adolescentes.
• COHEN, Elizabeth G.; LOTAN, Rachel A. Planejando o trabalho em grupo: estratégias para salas de aula heterogêneas. 3. ed. Porto Alegre: Penso, 2017. E-book
Nesse livro, as autoras apresentam e defendem a ideia do trabalho em grupo em turmas heterogêneas como uma estratégia potencialmente eficaz de ensino-aprendizagem, além de teorias e orientações para a prática em sala de aula.
• D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática : da teoria à prática. 12. ed. Campinas: Papirus, 2005. (Perspectivas em Educação Matemática).
Discussão geral relacionada à educação matemática, propondo uma reflexão sobre a Matemática, aspectos teóricos e temas ligados à sala de aula e à prática docente.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Tendências em Educação Matemática).
Nessa obra, o autor procura proporcionar uma visão geral da Etnomatemática, principalmente aspectos teóricos.
DAYRELL, Juarez. A escola “faz” as juventudes?: reflexões em torno da socialização juvenil. Educação & Sociedade, Campinas, v. 28, n. 100, p. 1105-1128, 2007. Disponível em: https://www. scielo.br/j/es/a/RTJFy53z5LHTJjFSzq5rCPH/?lang=pt&format =pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Nesse artigo, é possível conhecer mais as culturas juvenis e sua relação com a escola.
DE LANGE, Jan. Framework for classroom assessment in mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, 1999.
Nessa publicação, o autor apresenta os objetivos da avaliação escolar e lista padrões e princípios para sua realização nas aulas de Matemática (texto em língua inglesa).
FORSTER, Cristiano. A utilização da prova-escrita-com-cola como recurso à aprendizagem. 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. Disponível em: https://pos.uel. br/pecem/wp-content/uploads/2021/08/FORSTER-Cristiano. pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Estudo sobre a utilização de uma prova-escrita-com-cola como recurso na avaliação que oportuniza a aprendizagem.
HADJI, Charles. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. 4. ed. Porto: Porto Editora, 1994. Proposta de abordagem de avaliação da aprendizagem escolar, incluindo reflexões e análises relacionadas aos tipos de avaliação.
• HAYDT, Regina Célia Cazaux. Avaliação do processo ensino-aprendizagem. 5. ed. São Paulo: Ática, 1995. Nessa obra, a autora discute as funções da avaliação escolar, incluindo a autoavaliação como parte do processo de ensino-aprendizagem.
• HOWLAND, Jane L.; JONASSEN, David; MARRA, Rose. Meaningful learning with technology. 4th ed. Boston: Pearson, 2011. Demonstração de como os professores podem utilizar a tecnologia para incentivar e auxiliar na aprendizagem significativa dos estudantes (texto em língua inglesa).
• LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 1. ed. Campinas: Autores Associados, 2006. (Formação de professores).
Discussão sobre o papel de Laboratórios de Ensino de Matemática (LEM) no ensino e na aprendizagem de Matemática.
• MORÁN, José. Mudando a educação com metodologias ativas. In : SOUZA, Carlos Alberto de; MORALES, Ofelia Elisa Torres (org.). Convergências midiáticas, educação e cidadania : aproximações jovens. Ponta Grossa: Proex: UEPG, 2015. v. II, p. 15-33. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile. php/4941832/mod_resource/content/1/Artigo-Moran.pdf. Acesso em: 9 set. 2024.
Texto sobre metodologias ativas e mudanças educacionais.
• OLIVEIRA, Emilio Celso de; PIRES, Célia Maria Carolino. Uma reflexão acerca das competências leitoras e das concepções e crenças sobre práticas de leitura nas aulas de Matemática. Bolema, Rio Claro, v. 23, n. 37, p. 931-953, 2010. Disponível em: https:// www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/ view/4300/3434. Acesso em: 9 set. 2024.
Artigo sobre as competências leitoras em Matemática.
• ONUCHIC, L ourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema , Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, 2011. Disponível em: https://www.periodicos.rc. biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/5739/ 4625. Acesso em: 9 set. 2024.
Esse artigo apresenta os estudos sobre resolução de problemas desenvolvidos até então pelo grupo de pesquisa do qual as autoras participavam.
• PONTE, João Pedro da. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa: APM, 2003. (CD-ROM).
Apresentação dos conceitos de investigar, ensinar e aprender e analisar relações entre eles no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
• SACRISTÁN, José Gimeno. Saberes e incertezas sobre o currículo
Porto Alegre: Penso, 2013. Reflexão sobre a organização e o desenvolvimento do currículo.
• SANTOS, João Ricardo Viola dos; BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Da ideia de erro para as maneiras de lidar: caracterizando nossos alunos pelo que eles têm e não pelo que lhes falta. In: BURIASCO, Regina Luzia Corio de (org.). Avaliação e educação matemática Recife: SBEM, 2008. (Coleção SBEM). Avaliação crítica de alguns trabalhos de pesquisadores sobre análise de “erros” de estudantes em diversos contextos e caracterização dos seus processos de resolução, considerando o que eles trazem.
• TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade e aprendizagem da matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2008. (Tendências em Educação Matemática).
Nesse livro, são apresentadas algumas perspectivas teóricas e exemplos de situações de sala de aula em que é possível perceber diferentes abordagens interdisciplinares de conteúdos escolares.
• TRONCON, Luiz Ernesto de Almeida. Ambiente educacional. Medicina, Ribeirão Preto, v. 47, n. 3, p. 264-271, 2014. Disponível em: https://www.revistas.usp.br/rmrp/article/view/86614/89544. Acesso em: 9 set. 2024.
Artigo sobre ambiente educacional e seus principais componentes, incluindo uma discussão acerca da participação desse tipo de ambiente no aprendizado.
Nesta seção, são apresentadas sugestões de trabalhos, sites, plataformas e cursos, com vistas a contribuir com o processo de formação dos professores e, consequentemente, com os processos de ensino-aprendizagem.
• ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessoa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na educação básica
São Paulo: Contexto, 2012.
Essa obra apresenta a definição e as características da modelagem matemática, atividades que foram desenvolvidas na Educação Básica, incluindo discussões e encaminhamentos para a sala de aula e outros temas a ser trabalhados nessa perspectiva.
BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia R. da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2016.
Esse livro apresenta propostas de uso de tecnologias nas aulas de Matemática.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Novas reflexões sobre ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho (org.). Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. Esse texto apresenta informações gerais sobre resolução de problemas.
POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. Estudo de métodos de resolução de problemas, incluindo uma proposta de etapas para resolver problemas.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula . Belo Horizonte: Autêntica, 2007. (Tendências em Educação Matemática).
Análise de como a investigação matemática pode ser desenvolvida em sala de aula a partir de resultados de pesquisas.
SACRISTÁN, José Gimeno. A avaliação no ensino. In: SACRISTÁN, José Gimeno; GÓMEZ, Angel I. Pérez. Compreender e transformar o ensino. Tradução: Ernani F. da Fonseca Rosa. 4. ed. Porto Alegre: Artmed, 1998.
Texto sobre avaliação no ensino, no qual o autor apresenta e discute seu conceito, prática, funções, classificações, entre outros.
THOMPSON, Alba G. Teachers’ beliefs and conceptions: a synthesis of the research. In: GROUWS, D. A. (ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning. Nova York: MacMillan, 1992.
Texto sobre crenças e concepções de professores referentes à educação matemática (texto em língua inglesa).
Instituições e grupos de estudo para a formação continuada do professor
• ASSOCIAÇÃO NACIONAL DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA
NA EDUCAÇÃO BÁSICA. Rio de Janeiro, c2024. Site. Disponível em: https://anpmat.org.br/. Acesso em: 8 set. 2024.
Associação de professores de Matemática que atuam na Educação Básica em todo o país.
• CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www. cnpq.br. Acesso em: 9 set. 2024.
Fundação pública cujas principais atribuições são fomentar as pesquisas científica, tecnológica e de inovação e a formação de pesquisadores.
• COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.capes. gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Instituição que busca a expansão e a consolidação dos cursos de mestrado e de doutorado em todo o país.
• GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ETNOMATEMÁTICA. São Paulo, [2024]. Site. Disponível em: www2.fe.usp.br/~etnomat. Acesso em: 8 set. 2024.
Grupo de pesquisa organizado em torno do interesse pela diversidade matemática produzida e utilizada em vários contextos socioculturais.
• GRUPO DE PESQUISA EM INFORMÁTICA, OUTRAS MÍDIAS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Rio Claro, [2024]. Site. Disponível em: http://igce.rc.unesp.br/#!/gpimem. Acesso em: 8 set. 2024. Grupo de pesquisa que estuda questões ligadas às tecnologias na educação matemática, bem como as mudanças que trazem a inserção das tecnologias digitais na educação.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Brasília, DF, 2012. Site. Disponível em: www.sbembrasil.org.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Sociedade civil, de caráter científico e cultural, sem fins lucrativos, que busca congregar profissionais da área de educação matemática e de áreas afins.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. Rio Claro, [2024]. Site. Disponível em: www.sbhmat.org. Acesso em: 8 set. 2024.
Sociedade científica de história da Matemática criada com o objetivo de divulgar dados, reflexões e informações referentes à história da Matemática.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro, c2024. Site. Disponível em: www.sbm.org.br. Acesso em: 8 set. 2024. Entidade civil, de caráter cultural e sem fins lucrativos, que tem, entre suas finalidades, reunir os matemáticos e professores de Matemática do Brasil e contribuir para a melhoria do ensino de Matemática em todos os níveis.
• BOLEMA: Boletim de Educação Matemática. Rio Claro: Unesp, [2024]. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema/. Acesso em: 7 set. 2024.
Periódico que publica artigos relacionados ao ensino e à aprendizagem de Matemática e/ou ao papel da Matemática e da educação matemática na sociedade.
• EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA. Brasília, DF: SBEM, [2024]. Disponível em: https://www.sbembrasil.org.br/periodicos/ index.php/emr. Acesso em: 8 set. 2024.
Revista que tem como foco o trabalho do professor em sua prática de educador matemático.
• EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PESQUISA. São Paulo: PUC, [2024]. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/emp. Acesso em: 8 set. 2024. Revista que divulga produções científicas na área de educação matemática em âmbito internacional.
• REVEMAT: Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis: GPEEM: UFSC, [2024]. Disponível em: https://periodicos. ufsc.br/index.php/revemat. Acesso em: 8 set. 2024. Revista científica que visa promover o aprofundamento da investigação sobre temas ligados à epistemologia, à formação de professores e ao ensino e aprendizagem da Matemática.
• REVISTA EUREKA! Rio de Janeiro: SBM: OBM, c2024. Disponível em: https://www.obm.org.br/revista-eureka/. Acesso em: 8 set. 2024.
Revista que divulga artigos relevantes para a preparação dos estudantes que participarão da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM).
RPM: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, [2024]. Disponível em: http://rpm.org.br/default.aspx?m_id=1. Acesso em: 9 set. 2024.
Revista que publica artigos sobre Matemática em nível elementar ou avançado, que sejam apropriados para o professor do Ensino Médio e para estudantes de cursos de Licenciatura em Matemática.
ZETETIKÉ: Revista de Educação Matemática. Campinas: Unicamp: [2024]. Disponível em: http://ojs.fe.unicamp.br/ged/zetetike. Acesso em: 8 set. 2024.
Revista que busca contribuir para a formação de pesquisadores e para o desenvolvimento da pesquisa na área de educação matemática por meio do intercâmbio e da divulgação de pesquisas e estudos realizados.
FUNDAÇÃO BIBLIOTECA NACIONAL. Rio de Janeiro, [2024]. Site Disponível em: https://www.gov.br/bn/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024.
Apresenta informações acerca da FBN e da produção bibliográfica nacional.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Contém dados, informações e análises sociais, econômicas e geográficas sobre o Brasil, obtidos e produzidos pelo próprio instituto.
INSTITUTO BRASILEIRO DO MEIO AMBIENTE E DOS RECURSOS NATURAIS RENOVÁVEIS. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.gov.br/ibama/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024. Disponibiliza informações e leis sobre o meio ambiente brasileiro, bem como ações e programas do instituto, visando à conservação e preservação ambiental.
• INSTITUTO DO PATRIMÔNIO HISTÓRICO E ARTÍSTICO NACIONAL. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: https://www.gov. br/iphan/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024.
Apresenta informações sobre os patrimônios históricos e artísticos reconhecidos.
• INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: www.inmetro. gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza normas e informações sobre metrologia, fiscalização e qualidade de produtos.
• INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. São José dos Campos, [2024]. Site. Disponível em: www.inpe.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Apresenta informações sobre o instituto, pesquisas, produtos e serviços nas áreas espacial e do ambiente terrestre do Brasil.
• MINISTÉRIO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E INOVAÇÃO. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.mctic.gov.br. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza diversas informações, como estrutura organizacional, agendas, planejamento estratégico, ações e programas referentes à área de ciência e tecnologia.
• MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.gov.br/mec/pt-br. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza diversas informações, como estrutura organizacional, competências, ações e programas na área de educação.
• MINISTÉRIO DA SAÚDE. Brasília, DF, [2024]. Site. Disponível em: www.saude.gov.br. Acesso em: 8 set. 2024. Portal em que são disponibilizados dados, informações, notícias e campanhas sobre a saúde no Brasil.
• PORTAL DOMÍNIO PÚBLICO. Brasília, DF, [2004]. Site. Disponível em: www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm. jsp. Acesso em: 8 set. 2024.
Disponibiliza obras literárias, artísticas e científicas em formato de textos, sons, imagens e vídeos que são de domínio público, ou que tenham sua divulgação devidamente autorizada, e que constituem patrimônio cultural brasileiro e universal.
• AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM DO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Brasília, DF, 2024. Site . Disponível em: https:// avamec.mec.gov.br/. Acesso em: 9 set. 2024.
Oferece diferentes cursos on-line voltados para professores e outros profissionais envolvidos com a educação.
• CENTRO DE APERFE CIOAMENTO DO ENSINO DE MATEMÁTICA – “JOÃO AFONSO PASCARELLI”. São Paulo, SP, [2024]. Site. Disponível em: https://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em: 9 set. 2024.
Oferece cursos, oficinas, palestras e promoção de eventos para professores que ensinam Matemática nas redes pública e/ou privada.
• GOOGLE SALA DE AULA. [S. l., 2024]. Site. Disponível em: https:// classroom.google.com/. Acesso em: 9 set. 2024.
Ambiente virtual que possibilita ao professor interagir com os estudantes, compartilhando atividades e dialogando por meio de chats e videochamadas.
• KHAN ACADEMY. [S. l.], c2024. Site. Disponível em: https://pt.kha nacademy.org/. Acesso em: 9 set. 2024.
Organização sem fins lucrativos que disponibiliza aulas e atividades de Matemática e de outras áreas de forma gratuita.
• ME STRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. Rio de Janeiro, [2024]. Site. Disponível em: https:// profmat-sbm.org.br/. Acesso em: 9 set. 2024.
Programa de mestrado semipresencial voltado para professores de Matemática da Educação Básica em âmbito nacional.
• O GEOGEBRA. [S. l. , 2024]. Site. Disponível em: https://ogeogebra. com.br/site/index.php. Acesso em: 9 set. 2024.
Curso do software de geometria dinâmica GeoGebra para professores de todos os estados brasileiros.
Uma proposta de cronograma para o desenvolvimento deste Volume da coleção, considerando um planejamento semestral, trimestral e bimestral, é apresentada a seguir. É importante ressaltar que essa proposta é apenas uma sugestão e que o cronograma deve ser adequado às escolhas feitas pela comunidade escolar, de acordo com a quantidade de aulas estabelecidas no ano letivo para a área de Matemática e suas Tecnologias.
Semana
1 o semestre
1 o trimestre
1 o bimestre
Tópicos
1a Abertura; Potenciação 1 2a Radiciação 1
3a Função exponencial: características e definição; Gráfico de uma função exponencial 1
4a Você conectado; Equações exponenciais; Inequações exponenciais 1 5a Função exponencial: algumas aplicações 1 6a Integrando com…; O que estudei; Praticando: Enem e vestibulares 1 7a
Logaritmo
8a Função logarítmica: características e definição 2 9a Função inversa; Relações entre função exponencial e função logarítmica
40a
Competências gerais: 2 e 8
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 1, 3, 4 e 5
BNCC
Temas
Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 2
Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT101; EM13MAT103; EM13MAT303; EM13MAT304; EM13MAT313; EM13MAT404; EM13MAT508
Ciência e Tecnologia; Educação Financeira; e Saúde
Potenciação, notação científica, radiciação, conceito de função exponencial, gráfico de uma função exponencial, funções do tipo exponencial e suas aplicações, equações e inequações exponenciais.
Compreender e reconhecer o uso de unidades de medidas de armazenamento de dados, realizando conversões entre elas.
Relembrar e ampliar o conceito de potenciação e de radiciação.
Aplicar as propriedades da potenciação e da radiciação.
Compreender e representar um número utilizando notação científica.
Determinar os algarismos significativos, os algarismos certos e os algarismos duvidosos para expressar medidas aproximadas, de acordo com o contexto apresentado.
Compreender o conceito de função exponencial.
Esboçar e analisar gráficos de uma função exponencial, identificando suas características.
Compreender quando uma função exponencial é crescente ou decrescente.
Determinar o domínio de uma função exponencial.
Compreender o conceito de funções do tipo exponencial e analisar algumas de suas aplicações.
Resolver equações e inequações exponenciais.
Nesta Unidade, são abordados os conteúdos de potenciação, radiciação e função exponencial a partir de diferentes situações. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância desses conteúdos na exploração de conceitos sociais, históricos, biológicos, físicos e químicos, ao mesmo tempo que desenvolvem argumentos, propõem e testam hipóteses e conjecturas, além de resolverem e elaborarem problemas de diferentes naturezas. Tais abordagens possibilitam um contexto de compreensão da diversidade humana, da importância das ciências e da valorização da saúde.
Página 11
Abertura da Unidade
O trabalho com essa abertura de Unidade favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, uma vez que explora a capacidade de armazenamento de
dados de smartphones. Para complementar as informações apresentadas no esquema, ler para os estudantes os tópicos a seguir, explicando cada uma das atitudes de otimização.
• Salvar arquivos grandes em nuvens: nessa opção, é possível fazer o backup de arquivos grandes, como fotografias e vídeos, em serviços próprios de armazenamento, sendo possível acessá-los em qualquer lugar com conexão de internet, sem a necessidade de mantê-los ocupando a memória do aparelho.
• Utilizar a versão lite dos aplicativos: alguns aplicativos têm uma versão correspondente mais leve, que ocupa menos espaço na memória do aparelho e possibilita o seu uso para quem tem uma quantidade reduzida de memória em seu smartphone
• Mover aplicativos para o cartão SD (Secure Digital Card ): em alguns smartphones, existe a opção de inserir um cartão de memória com a finalidade de expandir a capacidade de armazenamento do aparelho, o que possibilita mover aplicativos e arquivos grandes para esse cartão.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Não, pois parte dessa memória é ocupada pelo sistema operacional do aparelho.
2. Resposta pessoal.
3. Gigabaite (GB), megabaite (MB) e terabaite (TB). Resposta esperada: baite (B) e kilobaite (KB).
Páginas 12 a 23
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 1 e 3 e das habilidades EM13MAT103 e EM13MAT313 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que trata de medidas de armazenamento de dados, bem como o uso da notação científica para expressar medidas, compreendendo noções de algarismos significativos, algarismos certos e algarismos duvidosos na indicação de medidas aproximadas
Para complementar as informações do início da página 12 , ler para os estudantes o trecho a seguir, que apresenta, de maneira simplificada , mais informações sobre o baite (ou byte , em inglês).
No caso do kilo e de outras medidas de nosso dia a dia, a estrutura numérica é construída sobre a base 10. O termo kilo representa a milhar constituída de alguma coisa. Nossa base de trabalho numérica, sendo 10, faz com que, quando a base é elevada à terceira potência, atinja a milhar exatamente com 1 000 unidades.
Mas, quando falamos em bytes, grupos de bits, não estamos falando em base 10, mas sim em uma estrutura fundamentada no código binário, ou seja, na base 2, nos 2 modos que o computador detecta, geralmente chamados de 0 e 1.
Assim, quando queremos um kilo de bytes, temos que elevar essa base a algum número inteiro, até conseguir atingir a milhar.
Mas não há número inteiro possível que atinja exatamente o valor 1 000. Então, ao elevarmos a base 2 à décima potência, teremos 1 024.
BARBOSA, Luiz Sérgio de Oliveira. Arquitetura e organização de computadores. Humaitá: UEA: Pró-Inovalab, [entre 2014 e 2017]. p. 19. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/206151/2/ apostila%20de%20AOC_Luiz%20S%C3%A9rgio.pdf. Acesso em: 6 out. 2024. Antes de apresentar as informações da página 12 sobre potenciação, realizar uma avaliação diagnóstica com os estudantes a fim de identificar os conhecimentos prévios deles em relação ao conceito de potência. Para isso, realizar questionamentos como: O que
vocês compreendem por potenciação? Quais são as diferenças entre as operações de potenciação e de multiplicação? Em que situações do dia a dia ou de outras áreas do conhecimento a potenciação é empregada? Exemplifique como calcular o resultado de uma potenciação. A partir das respostas dos estudantes, ajustar o trabalho com os conteúdos das próximas páginas da Unidade.
Ao abordar as propriedades de potências com expoentes inteiros, destacar para os estudantes que, restringindo os expoentes m e n para valores diferentes de zero, ambas as bases a e b podem assumir valores nulos nas propriedades I, III e V. Já na propriedade IV, ao restringir os valores dos expoentes, apenas a base a pode assumir valor igual a zero.
A seção Atividades das páginas 15 e 16 tem como objetivo trabalhar com o cálculo de potências, bem como a simplificação de expressões envolvendo propriedades de potência. Ao abordar o item c da atividade 6, explicar aos estudantes que, em um algoritmo, é essencial que todas as etapas sejam cumpridas para que o problema seja resolvido. O processo da escrita de um algoritmo está associado ao pensamento algorítmico e, consequentemente, ao pensamento computacional, tema abordado na parte geral destas Orientações para o professor.
Nas páginas 17 e 18, os contextos apresentados na introdução do tópico Notação científica propiciam uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Ciência e Tecnologia e Saúde, uma vez que apresenta informações sobre a primeira imagem de um buraco negro e sobre o vírus da dengue.
Discutir inicialmente com os estudantes sobre notação científica a fim de verificar seus conhecimentos prévios a respeito desse conteúdo, tratado em anos anteriores.
Na página 17, ao expressar 500 quintilhões em notação científica, relembrar os estudantes das classes do sistema de numeração decimal até a classe do quintilhão, conforme apresentado a seguir.
Classe das unidades simples H uma unidade: 1.
Classe dos milhares H uma unidade de milhar: 1 000.
Classe dos milhões H uma unidade de milhão: 1 000 000.
Classe dos bilhões H uma unidade de bilhão: 1 000 000 000.
Classe dos trilhões H uma unidade de trilhão: 1 000 000 000 000.
Classe dos quatrilhões H uma unidade de quatrilhão:
1 000 000 000 000 000.
Classe dos quin tilhões H uma unidade de quintilhão: 1 000 000 000 000 000 000.
Ao explorar as informações da página 18, discutir com os estudantes sobre o aumento dos casos de dengue em várias regiões do país, em determinadas épocas do ano, e propor que pensem em ações que possam ajudar na prevenção e no controle da transmissão do vírus da dengue. Comentar com eles que o combate à transmissão do vírus da dengue é uma ação de responsabilidade do poder público e de toda a sociedade, que deve se envolver e desempenhar papéis sociais de maneira crítica e democrática.
A seção Atividades das páginas 21 a 23 tem como objetivo trabalhar a representação de números em notação científica em diferentes contextos, da realidade ou próprios da Matemática, bem como explorar a ideia de algarismos significativos, algarismos certos e algarismos duvidosos. A atividade 17 trabalha a representação de números em notação científica em um contexto relacionado ao sangue humano, o que propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde. Comentar com os estudantes que o sangue faz parte do sistema circulatório do corpo humano e tem ação direta na distribuição de nutrientes, oxigênio e hormônios para as células.
Para a realização do item c da atividade 18, verificar a possibilidade de desenvolver um trabalho em parceria com um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias para esclarecer as características de um texto argumentativo. Discutir com os estudantes sobre a importância da divulgação científica para a sociedade, comentando que ela pode tratar de diferentes assuntos, como vírus e bactérias, contágio e transmissão de doenças, alimentação saudável e vacinação.
Antes de abordar as informações da página 24, realizar uma avaliação diagnóstica com os estudantes a fim de identificar os conhecimentos prévios deles em relação a radiciação. Para isso, realizar alguns questionamentos, como: Como calculamos a raiz quadrada de um número? E a raiz cúbica? Que propriedades da radiciação vocês sabem? Vocês poderiam exemplificar? Após essa conversa inicial, trabalhar com as próximas páginas da Unidade de acordo com o nível de conhecimento que os estudantes demonstraram ter sobre esse conteúdo.
Como no estudo de função exponencial cuja lei de formação é dada por f (x ) = a x, conteúdo que será abordado ainda nesta Unidade, tem-se que a deve ser necessariamente um número real positivo e diferente de 1, optou-se por apresentar apenas as propriedades e os exemplos envolvendo radicais com radicando positivo.
Ao abordar o tópico Potência com expoente racional, explicar aos estudantes que as propriedades estudadas anteriormente para potências também são válidas para quando os expoentes são números racionais.
A seção Atividades das páginas 27 e 28 trabalha a relação entre radiciação e potenciação, a utilização das propriedades de radiciação para simplificar expressões, bem como o cálculo de potências com expoentes reais (racionais ou irracionais). A atividade 21 trabalha a simplificação de radicais por meio de um algoritmo que deve ser representado pelos estudantes utilizando fluxograma, o que possibilita desenvolver o pensamento algorítmico e, por consequência, o pensamento computacional.
Na atividade 22, caso necessário, relembrar aos estudantes o produto notável da soma pela diferença de dois termos, utilizado em uma das etapas do cálculo apresentado: (a + b) (a b) = a 2 b 2
Para complementar a atividade, solicitar aos estudantes que, em grupos de três integrantes, elaborem um fluxograma para representar o algoritmo utilizado na racionalização do denominador da fração conforme o exemplo apresentado.
Atividade Extra
Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique aquelas que julgar falsas, apresentando um contraexemplo.
a) O cubo do produto de dois números reais é igual ao produto dos cubos desses números. Resposta: Verdadeira.
b) O quadrado da soma de dois números reais é igual à soma dos quadrados desses números. Resposta: Falsa. Contraexemplo: (2 + 3)2 = 52 = 25 e 22 + 32 =13.
c) A raiz quadrada do produto de dois números reais é igual ao produto das raízes quadradas desses números. Resposta: Verdadeira.
d) A raiz quadrada da soma de dois números reais positivos é igual à soma das raízes quadradas desses números. Resposta: Falsa. Contraexemplo: √16 + 9 = 5 e √ 16 + √ 9 = 4 + 3 = 7.
Páginas 29 a 37 Função exponencial: características e definição
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 8, da competência específica 1 e das habilidades EM13MAT101 e EM13MAT103 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que é proposta a utilização de diferentes estratégias e procedimentos para explorar contextos de diversas áreas, em especial da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.
Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com o professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias a fim de detalhar o processo de mitose. Explicar aos estudantes que, antes de ocorrer a divisão do núcleo de uma célula, os cromossomos são duplicados para que as células-filha tenham a mesma quantidade de cromossomos que a célula original.
Em relação ao exemplo apresentado, foi mencionada a exploração da ideia de função exponencial. Comentar com os estudantes que a escolha do termo ideia se deve ao fato de o domínio da função que descreve a quantidade de células-filha na divisão celular ser restrito a n, enquanto, na definição de função exponencial, seu domínio corresponde a r.
A seção Atividades da página 30 trabalha com a identificação de funções exponenciais, bem como o cálculo de seu valor numérico. Também são abordadas a função exponencial em diferentes contextos. A atividade 32 trabalha a função exponencial em um contexto de meia-vida de uma substância. Para complementar, comentar com os estudantes que meia-vida é um conceito que não é associado, apenas, a medicamentos e corpo humano. Por exemplo, é possível determinar a meia-vida do isótopo radioativo césio-137.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter informações sobre a história de um acidente radioativo com césio-137, em Goiânia (GO).
GOIÁS. Secretaria de Estado da Saúde. História do césio 137 em Goiânia. Goiânia: SES-GO, 27 fev. 2024. Disponível em: https:// goias.gov.br/saude/historia-do-cesio-137-em-goiania/. Acesso em: 6 out. 2024.
Ao esboçar os gráficos das funções exponenciais, no tópico Gráfico de uma função exponencial, na página 31, questionar os estudantes sobre o motivo de os pontos do gráfico serem ligados da maneira representada e se é possível garantir que não há ponto desse gráfico que não siga esse padrão. Sugerir a eles que realizem essa verificação e analisem o comportamento do gráfico de uma função exponencial utilizando o GeoGebra.
A atividade resolvida R10 trabalha função do tipo exponencial, meia-vida e taxa de variação média. Se julgar conveniente, indicar no gráfico da função as variações de t e as variações correspondentes de m (t ). No boxe Para pensar, organizar uma roda de conversa para que os estudantes compartilhem as informações pesquisadas com os demais colegas. Propor aos estudantes que apresentem dúvidas e considerações a respeito da pesquisa dos colegas.
A seção Atividades das páginas 35 a 37 trabalha com situações envolvendo o gráfico de uma função exponencial e do tipo exponencial. Também são explorados contextos que podem ser modelados por meio de uma função do tipo exponencial.
Na atividade 37, propor aos estudantes que façam uma interpretação das igualdades apresentadas nos itens b e c. Alguns estudantes podem, por exemplo, no item b, dizer que a função exponencial “transforma” uma soma em um produto, uma vez que o valor dessa função para uma soma x1 + x2 do domínio é igual ao produto das imagens de x1 e x2. De maneira análoga, no item c, eles podem dizer que a função exponencial “transforma” um produto em uma potência, pois o valor dessa função para um produto n x do domínio, com n [ r, é igual à imagem de x elevada a n.
A atividade 38 possibilita um trabalho integrado com a área de Linguagens e suas Tecnologias, uma vez que discute meios de combate à proliferação de notícias falsas, denominadas fake news. No item c, propor que, com o professor dessa área, os estudantes elaborem cartazes ou postagens em redes sociais a fim de disponibilizar as estratégias pesquisadas para a comunidade escolar.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter meios de como identificar fake news ou desinformação.
• SÃO PAULO. Tribunal Regional Eleitoral. Saiba como identificar fake news ou desinformação. São Paulo: TRE, 2023. Disponível em: www.tre-sp.jus.br/comunicacao/noticias/2023/Agosto/ saiba-como-identificar-fake-news-ou-desinformacao. Acesso em: 6 out. 2024.
Páginas 38 e 39 Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 5 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que propõe uma investigação em relação aos valores dos parâmetros na lei de formação de uma função do tipo exponencial, com o uso de recursos tecnológicos.
Na proposta apresentada, os casos para a , 0 e a = 1 não foram considerados, já que a função do tipo exponencial não foi definida para esses casos.
Na etapa B, para obter o gráfico da função f, explicar para os estudantes que o símbolo “*” representa multiplicação e o símbolo “^” representa potenciação.
Mãos à obra - página 39
2. Orientar os estudantes na movimentação dos controles deslizantes: basta clicar sobre o controle desejado e, com o botão do mouse pressionado, arrastá-lo até a posição almejada.
3. Dizer aos estudantes que, para obter a assíntota de uma curva exponencial no GeoGebra, o termo Assíntota deve ser digitado no campo Entrada considerando o acento agudo, conforme apresentado.
Páginas 40 a 46
Equações exponenciais
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho, comentar com os estudantes que, para se tornar biomédico, é preciso cursar o bacharelado em Biomedicina. Perguntar a eles se conhecem algum biomédico e, em caso afirmativo, se seria possível propor uma conversa com o profissional para saber mais a respeito da profissão. Essa conversa pode ser na própria instituição de ensino ou apenas com alguns estudantes, que, nesse caso, devem compartilhar as informações obtidas com os colegas.
A seção Atividades das páginas 43 e 44 trabalha a resolução de equações exponenciais e problemas de aplicação de funções do tipo exponencial. A atividade 44 aborda a função do tipo exponencial em uma situação envolvendo o reconhecimento de regularidades em uma sequência de figuras. Para sua resolução, uma sugestão é propor aos estudantes que a resolvam em grupos. Durante as discussões entre os integrantes de cada grupo, realizar alguns questionamentos, como: Que alterações vocês podem perceber de uma figura para outra? Quantos quadrados na cor laranja aumentam de uma figura para a seguinte? Podemos estabelecer alguma relação entre a quantidade de quadrados na cor laranja e o número da figura? Se sim, que relação?
A atividade 49 trabalha a função do tipo exponencial e a equação exponencial em um contexto relacionado ao tabagismo, o que favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 8 e, ainda, propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, uma vez que aborda os malefícios da nicotina e a importância do cuidado com o bem-estar físico. Propor aos estudantes que realizem uma pesquisa, em grupos, sobre os malefícios do uso do cigarro (incluindo o cigarro eletrônico) e que apresentem as informações obtidas para a turma por meio de um cartaz. É importante que os estudantes utilizem uma linguagem adequada e que chame a atenção de quem leia o cartaz, principalmente para ressaltar o perigo do uso do tabaco.
Essa atividade também pode ser utilizada para a proposição de uma avaliação, com o objetivo de verificar se os estudantes compreenderam os conceitos trabalhados até o momento. Os estudantes podem realizar, em uma folha avulsa, os itens a, b, c e d Complementar a atividade questionando-os se a função indicada no item b é crescente ou decrescente (Resposta: Decrescente.).
No tópico Inequações exponenciais, reforçar com os estudantes que, para uma inequação ser classificada como inequação exponencial, é necessário que a incógnita esteja apenas em expoente.
A seção Atividades da página 46 tem como objetivo trabalhar a resolução de inequações exponenciais. A atividade 55, cujo contexto abordado é de um investimento financeiro, será tratada com mais detalhes no próximo tópico, ao ser estabelecida a relação entre função exponencial e juro composto.
Páginas 47 a 52
Função exponencial: algumas aplicações
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 3, 4 e 5 e das habilidades EM13MAT303, EM13MAT304, EM13MAT404 e EM13MAT508 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois trata da representação algébrica e da representação gráfica de uma função exponencial e suas aplicações cotidianas.
O contexto apresentado em Função exponencial e juro composto propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira, uma vez que explora a relação entre função exponencial e o sistema de juro composto. Perguntar aos estudantes se eles conhecem a modalidade de aplicação financeira mencionada, comentando que esse tipo de aplicação pode ser utilizado para poupar. Ressaltar que, atualmente, é possível realizar aplicações em bancos digitais.
Comentar que o sistema de juro composto é tratado com mais detalhes no estudo sobre Matemática Financeira, na Unidade 1 do Volume 3 desta coleção.
A atividade resolvida R16 trabalha uma situação envolvendo aplicação financeira no sistema de juro composto e função do tipo exponencial. A resolução apresentada utiliza etapas que estão associadas à resolução de problemas. Sugere-se estruturar e executar essas etapas, como foi apresentado na resolução, sempre que perceber que os estudantes estão com dificuldades na resolução de um problema matemático.
No estudo de Função exponencial e progressão geométrica, dizer aos estudantes que, para determinar a razão de uma PG, uma possibilidade é dividir um termo da sequência, a partir do segundo, por seu antecessor. Destacar que, para ser uma PG, é necessário que essas divisões resultem sempre em um mesmo quociente. Comentar com os estudantes que a PG e outras sequências numéricas serão estudadas com mais detalhes na Unidade 3 deste Volume.
A seção Atividades das páginas 50 a 52 tem como objetivo principal abordar função do tipo exponencial e suas relações com juro composto e progressão geométrica. As atividades 56, 57, 58 e 61 trabalham com contextos de aplicações financeiras em sistemas de juro simples e de juro composto. Verificar se os estudantes associaram a variação do montante da aplicação no sistema de juro simples e no sistema de juro composto a uma função afim e a uma função do tipo exponencial, respectivamente. Argumentar com os estudantes que o comportamento dos gráficos, que representam essas aplicações, é associado à natureza das funções relacionadas a eles. Vale destacar que a atividade 61, ao propor o estudo de uma função definida por mais de uma sentença, aborda a habilidade EM13MAT404. Páginas 53 a 55
Integrando com Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2, das competências específicas 1 e 3 e das habilidades EM13MAT101, EM13MAT304 e EM13MAT313 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois aborda a interpretação de situações ligadas a elementos da natureza por meio do uso e de interpretação de modelos matemáticos relacionados à função do tipo exponencial. Além disso, possibilita o desenvolvimento da competência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, uma vez que analisa e utiliza interpretações sobre a dinâmica da vida para elaborar argumentos e realizar previsões acerca da evolução dos seres vivos.
A seção, ainda, propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, ao tratar do papel da Ciência na explicação do desenvolvimento humano, principalmente no que diz respeito à datação de fósseis.
Ao explorar as informações apresentadas, considerar a possibilidade de propor um trabalho em parceria com professores da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para auxiliar na discussão de alguns conceitos, como isótopo, isótopo radioativo e carbono-14.
Comentar com os estudantes que o estudo do decaimento do carbono-14 é realizado em laboratório especializado e que, após descobertos, os fósseis são direcionados a esse laboratório, onde as massas de carbono-12 e de carbono-14 são contabilizadas e registradas com precisão.
Nesse momento, destacar a importância do desenvolvimento da Ciência, de maneira que os estudantes consigam compreender que, a partir dela e de seus estudos, podem ser realizadas inferências sobre a história da humanidade, como é o caso do crânio de Luzia. Assim, a Ciência proporciona argumentos que podem explicar o desenvolvimento humano, tanto do ponto de vista social/humano como do ponto de vista químico, físico, matemático ou biológico. Argumentar, também, que o acesso à Ciência deve ser democrático, ou seja, é importante que todas as pessoas tenham acesso ao conhecimento científico.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter informações sobre a determinação da idade de rochas.
• BRANCO, Pérsio Moraes. Como sabemos a idade das rochas? Brasília, DF: SGB, [2024]. Disponível em: www.sgb.gov.br/como -sabemos-a-idade-das-rochas. Acesso em: 6 out. 2024.
A questão 3 do Pensando no assunto trabalha uma investigação sobre o carbono-14 e pode ser desenvolvida pelos estudantes, organizados em grupos, por meio das etapas sugeridas a seguir.
• Introdução da atividade, em que os estudantes realizam a leitura de todo o enunciado e esclarecem suas dúvidas com o professor.
• Desenvolvimento da atividade em grupos, em que os estudantes tentam resolvê-la e o professor os orienta, apresentando questionamentos.
• Discussão coletiva da atividade, em que alguns estudantes, selecionados pelo professor, apresentam as resoluções dos itens propostos. Avaliar a necessidade de realizar a discussão dos três primeiros itens coletivamente, sem registrá-los na lousa.
• Fechamento da atividade, em que o professor encerra a discussão, sistematizando os conceitos envolvidos.
Páginas 56 e 57
O que estudei
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha informações relacionadas a diversas características de smartphones, retomando o tema da abertura desta Unidade. No item a, se necessário, relembrar os estudantes de que 1 GB equivale a 210 MB. No item b, destacar que o modelo matemático corresponde a uma função do tipo exponencial, em que a = 4 5 , b = 150 e c = 150. No item c, realizar uma roda de conversa com os estudantes para discutir sobre outros tipos de aparelho tecnológico que sofrem depreciação em seu valor, como computadores, tablets e televisores.
Páginas 58 a 60
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas
Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Quadro-síntese
Competências gerais: 2, 5 e 8
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 1, 3 e 4
BNCC
Temas
Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Competências específicas de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 1 e 3
Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT101; EM13MAT103; EM13MAT305; EM13MAT403
Ciência e Tecnologia; Educação para o Consumo; e Saúde
Logaritmo, função logarítmica, gráfico de uma função logarítmica, função inversa, equações e inequações logarítmicas.
Compreender o conceito de logaritmo e analisar as suas condições de existência.
Compreender relações que decorrem da definição de logaritmo e as propriedades operatórias.
Calcular logaritmos utilizando uma calculadora científica.
Compreender o conceito de função logarítmica e explorar algumas de suas aplicações
Esboçar e analisar gráficos de uma função logarítmica, identificando suas características.
Determinar o domínio de uma função logarítmica e classificá-la em crescente ou decrescente.
Resolver equações e inequações logarítmicas.
Compreender o conceito de função inversa.
Estabelecer relações entre função exponencial e função logarítmica.
Nesta Unidade, os conteúdos são desenvolvidos a partir de exemplos e questões que visam incentivar a interpretação de situações em diferentes contextos. Os estudantes são convidados a construir modelos para resolver problemas, à medida que percebem a importância do conceito de logaritmo e de função logarítmica para descrever situações presentes no dia a dia e em outras áreas do conhecimento.
Página 61
Abertura da Unidade
O tema apresentado nessa abertura de Unidade tem relação com a área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Assim, verificar a possibilidade de desenvolver um trabalho em parceria com um professor dessa área para que ele possa auxiliar na discussão com
os estudantes, apresentando mais informações referentes à altitude e à pressão atmosférica.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. A pressão parcial do oxigênio diminui. Com isso, o ar se torna rarefeito, o que reduz a quantidade de moléculas de oxigênio disponíveis em cada ciclo de respiração.
2. A resposta depende do município onde o estudante mora.
3. Tem-se que p (2) = (0,9)2 = 0,81 indica que, nessa localidade, a uma altitude de 2 km, a pressão atmosférica aproximada é de 0,81 atm.
Páginas 62 a 74
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 1 e da habilidade EM13MAT103 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que explora informações de cunho científico, empregando unidades de medida de diferentes grandezas.
Ao abordar o boxe Matemática na história na página 63, explicar aos estudantes que, no passado, utilizavam-se os logaritmos para “transformar” operações consideradas complexas, como multiplicação ou divisão, em operações consideradas mais simples, como adição e subtração. Dizer que serão apresentados alguns exemplos desses cálculos durante o estudo das propriedades operatórias de logaritmos.
Na última relação apresentada na página 64, comentar com os estudantes que essa relação também é válida para as bases dos logaritmos, ou seja, loga c = logb c k a = b, conforme apresentado no exemplo c
A seção Atividades da página 67 tem como objetivo trabalhar o cálculo de logaritmos, a resolução de equações exponenciais utilizando logaritmos, bem como a determinação de restrições para a base e o logaritmando para que o logaritmo possa ser definido. Na atividade 3, dizer aos estudantes que o procedimento de utilizar uma calculadora científica é válido para o cálculo de logaritmos decimais, ou seja, de base 10. No entanto, há modelos de calculadoras científicas que permitem também o cálculo de logaritmos em outras bases. Comentar, ainda, que a sequência de teclas a ser pressionadas para calcular o logaritmo de um número pode ser diferente da apresentada, dependendo do modelo da calculadora.
A atividade 7 trabalha logaritmo em um contexto de aplicação financeira no sistema de juro composto. Relembrar os estudantes de que o montante M obtido nesse tipo de aplicação pode ser expresso por M = c (1 + i )t, em que c, i e t correspondem, respectivamente, ao capital, à taxa de juro e ao tempo.
Ao trabalhar com as informações apresentadas no tópico Propriedades operatórias dos logaritmos, espera-se que os estudantes compreendam tais propriedades a fim de utilizá-las para efetuar cálculos e resolver equações envolvendo logaritmos. Sugere-se propor aos estudantes que verifiquem numericamente cada uma das propriedades apresentadas utilizando uma calculadora científica.
Conexões
Consultar o livro indicado a seguir para obter mais informações sobre as propriedades operatórias dos logaritmos.
• LIMA, Elon Lages. Logaritmos. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1996. (Coleção do Professor de Matemática).
Após trabalhar as propriedades operatórias dos logaritmos, retomar com os estudantes a discussão proposta para o tópico Logaritmo , apresentada anteriormente nesta Unidade, para explicar por que os logaritmos são utilizados para “transformar” operações consideradas mais complexas em outras consideradas mais simples.
Após o trabalho com a atividade resolvida R6, propor aos estudantes a atividade a seguir.
Desenvolva um exemplo numérico da relação explorada na atividade resolvida R6 e troque-o com um colega para que um avalie o exemplo do outro, fazendo correções se necessário. Uma resposta possível: log3 2 = 1 log2 3
A resolução apresentada na atividade resolvida R8 utiliza etapas que estão associadas à resolução de problemas. Sugere-se estruturar e executar essas etapas, como foi apresentado na resolução, sempre que perceber que os estudantes estão com dificuldades na resolução de um problema matemático. Explicar a eles que o fator 2 t 2 , da expressão apresentada na terceira etapa da resolução, indica que a quantidade de transistores por centimetro quadrado em um processador dobra a cada dois anos, a partir de 1986, quando essa quantidade era de 4 105 transistores.
A seção Atividades das páginas 72 a 74 trabalha as propriedades operatórias de logaritmos, bem como aborda função exponencial e o uso de logaritmos para resolver equações e inequações exponenciais. O contexto da atividade 15, envolvendo a meia-vida de um isótopo radioativo, favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, em particular para discutir conceitos relacionados à Química, como o elemento químico césio.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre emergências radiológicas no Brasil.
INSTITUTO DE PESQUISAS ENERGÉTICAS E NUCLEARES. Emergência radiológica. São Paulo: Ipen, c2024. Disponível em: www. ipen.br/portal_por/portal/interna.php?secao_id=32. Acesso em: 6 out. 2024.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho da página 73, comentar com os estudantes que existem leis específicas para trabalhadores que exercem funções consideradas de risco, como receber adicional de insalubridade ou de periculosidade e ter concedida a aposentadoria especial, em que se exige menos tempo para se aposentar comparado ao demais trabalhadores. Explicar aos estudantes que a insalubridade se refere a atividades que ocorrem em ambientes insalubres, ou seja, não sadios. E a periculosidade se refere a atividades que oferecem risco à integridade física do trabalhador, como lidar com inflamáveis ou com energia elétrica.
Ao final do trabalho com essas páginas, propor aos estudantes que elaborem um resumo acerca do que foi estudado até o momento na Unidade, o que pode constituir uma avaliação. Para nortear essa elaboração, sugerir alguns itens que devem ser contemplados, como: o que são logaritmos; quais são as consequências de sua definição; quais são as propriedades de logaritmos; citar exemplos de situações em que os logaritmos costumam ser aplicados.
Páginas 75 e 76
Função logarítmica: características e definição
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 1 e da habilidade EM13MAT101 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que aborda a variação de grandezas por meio da análise de gráfico e de representação algébrica.
Ao apresentar a definição de função logarítmica, explicar que, para cada número real positivo x do domínio, a função o relaciona com o logaritmo desse número na base a. Destacar que o logaritmo de qualquer número real na base a, desde que exista, é único.
Ao abordar o primeiro boxe Para pensar da página 76, solicitar aos estudantes que justifiquem o fato de o ponto de coordenadas (1, 0) pertencer a todos os gráficos de funções logarítmicas. Espera-se que eles argumentem que, como loga 1 = 0, para todo a real positivo e diferente de 1, então (1, 0) é um ponto pertencente ao gráfico de toda função logarítmica.
Páginas 77 a 81 Função inversa
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 4 e da habilidade EM13MAT403 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao estabelecer relações entre as representações de funções exponencial e logarítmica.
Verificar se os estudantes compreenderam o conceito de função bijetiva, questionando-os por que as funções f e g, apresentadas no final da página 77, podem ser classificadas como bijetivas. Para isso, sugerir a eles que consultem a definição apresentada nessa página.
Entre os objetivos da seção Atividades, das páginas 80 e 81, estão o de determinar o valor numérico e o domínio de funções logarítmicas, classificar funções logarítmicas em crescente ou em decrescente e construir o gráfico de uma função logarítmica. Ainda, essas atividades abordam a relação entre função exponencial e função logarítmica como funções inversas.
Páginas 82 a 84
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT305 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao abordar a resolução de problemas envolvendo funções logarítmicas por meio de equações logarítmicas.
Ao apresentar as resoluções de equações logarítmicas, destacar para os estudantes a necessidade de analisar as condições de existência de um logaritmo.
Explicar detalhadamente, aos estudantes, a resolução da equação logarítmica apresentada na atividade resolvida R15 da página 84 Inicialmente, como y = 9x + 1, substitui-se y por logb (N ) e x por logb (t ). Em seguida, utiliza-se a propriedade do logaritmo da potência para substituir 9 logb (t) por logb (t 9) e uma das relações decorrentes da definição de logaritmo para substituir 1 por logb b. Então, utiliza-se a propriedade do logaritmo do produto para substituir logb (t 9) + logb b por logb (b ? t 9).
A seção Atividades da página 84 tem como objetivo trabalhar a resolução de equações logarítmicas, bem como o uso de logaritmos para resolver equações exponenciais. Na atividade 32, ressaltar aos estudantes que os logaritmos apresentados no enunciado são aproximações.
Páginas 85 a 87
Inequações logarítmicas
Nesse tópico, espera-se que os estudantes compreendam a resolução de inequações logarítmicas e interpretem e resolvam problemas por meio de tais inequações. Reforçar para eles que a propriedade apresentada no início da página 85 decorre do estudo do crescimento ou do decrescimento da função logarítmica.
A seção Atividades da página 87 trabalha a resolução de inequações logarítmicas, bem como de sistemas de inequações logarítmicas. Além disso, aborda a função logarítmica em diferentes contextos, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT305 da área de Matemática e suas Tecnologias. Para complementar a atividade 40, pedir aos estudantes que calculem quanto tempo é necessário para que a altura da planta ultrapasse 100 cm (Resposta: A partir de 1 022 dias.). Chamar a atenção deles para o tempo necessário para a altura da planta crescer de 50 cm para 100 cm. Discutir com os estudantes o comportamento da função logarítmica e da função exponencial correspondente em relação à taxa de crescimento.
Páginas 88 a 94
Função logarítmica: algumas aplicações
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 1, 3 e 4 e das habilidades EM13MAT101, EM13MAT103, EM13MAT305 e EM13MAT403 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao tratar de diferentes situações de caráter científico que envolvem funções logarítmicas, como abalos sísmicos e pH, e ao explorar relações entre as funções exponencial e logarítmica. Além disso, esse tópico possibilita o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, na medida em que aborda aplicações do conhecimento científico na proposição de soluções locais, regionais ou globais.
Ao trabalhar a função logarítmica relacionada à Sismologia, verificar a possibilidade de propor uma avaliação diagnóstica a fim de verificar se os estudantes compreendem as propriedades de potência e as propriedades operatórias dos logaritmos. Para isso, propor alguns itens na lousa para que os estudantes os resolvam.
No tópico Função logarítmica e Sismologia, se possível, promover um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para que ele possa explorar conceitos referentes às placas tectônicas no Brasil e os motivos dos abalos sísmicos no país.
Para discutir função logarítmica relacionada ao pH (potencial hidrogeniônico), verificar a possibilidade de desenvolver um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para que ele possa auxiliar na compreensão do conceito e da importância do pH para o estudo em Química.
Na página 89 , destacar aos estudantes que, como o produto das concentrações de H + e OH é 10 14, utiliza-se a propriedade envolvendo produto de potências para determinar a concentração de cada um dos íons H + e OH , expressas por potências de base 10. No exemplo apresentado, uma solução com concentração de 10 2 mol/L de H + tem concentração de 10 12 mol/L de OH , pois 10 2 ? 10 12 = 10 2 + ( 12) = 10 14
Porém, nos casos em que a concentração de H + é a 10 x, com a 5 1, deve-se resolver uma equação exponencial para determinar a concentração de OH , e vice-versa.
Atividade
Propor aos estudantes que realizem uma pesquisa sobre o pH de diferentes alimentos consumidos por eles. Para isso, solicitar que façam uma lista com os 10 alimentos mais consumidos. Explicar que eles devem escolher alimentos, como batata, arroz, pepino e alface, que não sejam preparados com diferentes ingredientes, porque cada alimento tem seu próprio pH. Em seguida, propor que pesquisem o pH desses alimentos. Ao final, se possível, com apoio de um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, promover uma roda de conversa para discutir com os estudantes sobre as consequências do consumo excessivo de alimentos ácidos e sobre os problemas da falta de acidez no estômago, por exemplo. As informações pesquisadas podem ser registradas em um relatório e compartilhadas com a comunidade escolar.
Na página 90, ao tratar do boxe No mundo do trabalho, comentar com os estudantes que a formação superior em Química se divide em dois cursos: Bacharelado e Licenciatura. O primeiro tem como finalidade formar bacharéis em Química, que podem atuar na indústria ou em pesquisas. Já o curso de Licenciatura visa formar profissionais licenciados para atuarem como professores. Comentar, ainda, que um mesmo profissional pode ser formado em ambas as modalidades. Se possível, convidar um químico para conversar com os estudantes a respeito do curso de graduação e das atividades profissionais exercidas por ele. Algumas questões que podem nortear a conversa são: Qual é o tempo de duração do curso? Quais são
as principais disciplinas? Na região em que a escola se localiza, existe demanda para profissionais dessa área?
A seção Atividades das páginas 92 a 94 trabalha com o cálculo de logaritmos e com funções logarítmicas em diferentes contextos. A atividade 42 aborda o contexto envolvendo análise do pH de algumas marcas de água sanitária comercializadas, o que propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo. A atividade 43 trata da datação de um fóssil por meio da contagem de átomos de urânio-238, o que estabelece uma relação com o Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para uma visita virtual a um museu de Paleontologia, em que são apresentados fósseis de diferentes localidades do mundo, além de ilustrações e mapas.
• MUSEU DE PALEONTOLOGIA IRAJÁ DAMIANI PINTO. Porto Alegre, c2024. Site. Disponível em: https://tourvirtual360.com.br/museu paleontologia/. Acesso em: 6 out. 2024.
As atividades 47 e 48 abordam o contexto do pH de águas de piscinas, de acordo com normas estabelecidas, o que favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde. Após as pesquisas realizadas pelos estudantes, solicitar que apresentem para a turma as informações obtidas. Discutir sobre a importância do cuidado com a água das piscinas, não somente pela questão legal mas também pela saúde dos banhistas.
Páginas 95 a 98 Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas e Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 2 e 8, das competências específicas 1 e 3 e das habilidades EM13MAT103 e EM13MAT305 da área de Matemática e suas Tecnologias e das competências específicas 1 e 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, ao abordar aplicações do conhecimento científico na proposição de ações que melhorem a qualidade de vida da população. Além disso, ao apresentar informações sobre o uso de logaritmos para o estudo do nível de intensidade sonora, propicia-se uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Ciência e Tecnologia, Saúde e Educação para o Consumo.
A questão 2 do Pensando no assunto trabalha logaritmo em cálculos do nível de intensidade sonora, em decibel, para limites de audibilidade. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para explorar mais informações sobre o sistema auditivo humano e os limites de audibilidade.
A proposição da questão 4 possibilita uma abordagem por meio da metodologia ativa aprendizagem baseada em projetos. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa metodologia ativa, no qual são apresentadas mais informações a respeito dela.
Páginas 99 e 100
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 4 e da habilidade EM13MAT403 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao analisar e estabelecer relações, com o apoio de recursos tecnológicos, entre as representações de funções exponencial e logarítmica.
Na construção do gráfico de uma função exponencial no GeoGebra, comentar com os estudantes que o símbolo “^” é
utilizado para indicar potenciação ao digitar a lei de formação da função e que, para acrescentar uma expressão como expoente, é necessário indicá-la entre parênteses.
Para construir o gráfico de uma função logarítmica no GeoGebra, comentar com os estudantes que é necessário indicar a base e o logaritmando entre parênteses após a indicação “log”, separados por vírgula. Nos casos em que a base é 10, pode ser escrito apenas o logaritmando. Assim, para indicar log 15, por exemplo, deve-se digitar log(15)
Mãos à obra - página 100
2. Essa questão trabalha a construção e análise dos gráficos de funções logarítmicas e exponencial cuja base é um número entre 0 e 1.
Páginas 101 e 102
O que estudei
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha funções logarítmicas em um contexto relacionado à pressão atmosférica e à altitude, retomando a temática da abertura desta Unidade. Verificar se os estudantes utilizaram as propriedades operatórias dos logaritmos na resolução dos itens b e c. Se necessário, retomar o estudo desse conteúdo.
Páginas 103 a 106
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Sequências e noções de linguagem de programação
Competências gerais: 1, 2 e 5
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 3, 4 e 5
• Classificar uma sequência numérica em finita ou em infinita.
• Identificar regularidades em uma sequência numérica ou figural e defini-la de maneira recursiva ou não recursiva.
• Compreender o conceito de progressão aritmética (PA) e de progressão geométrica (PG), associando-as a funções e representando-as graficamente no plano cartesiano.
• Obter e utilizar a fórmula do termo geral de uma PA e de uma PG para determinar qualquer um de seus termos de acordo com o primeiro termo e a razão.
• Classificar progressões aritméticas e geométricas de acordo com o comportamento de seus termos.
• Representar os termos de uma PA ou PG de diferentes maneiras.
• Determinar a soma de termos de uma PA e de uma PG.
• Determinar a fração geratriz de uma dízima periódica.
• Reconhecer e analisar o uso de linguagens de programação no funcionamento de aparelhos eletrônicos para executar determinadas tarefas.
• Interpretar e construir algoritmos em linguagem corrente, matemática ou representados por fluxograma a fim de descrever as etapas necessárias para executar uma tarefa ou resolver um problema, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
• Utilizar a linguagem de programação Scratch para descrever um algoritmo.
Nesta Unidade, busca-se favorecer a valorização dos conhecimentos historicamente construídos como meios de atuação democrática em sociedade, em um contexto de respeito à pluralidade de ideias. Além disso, a construção de algoritmos utilizando diferentes tipos de representação, seja por meio de linguagem corrente ou matemática, seja por meio de fluxograma ou de uma linguagem de programação, incentiva o desenvolvimento do pensamento computacional e a capacidade de pensar matematicamente para interpretar e resolver um problema.
Página 107
Abertura da Unidade
O trabalho com essa abertura de Unidade favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 1 e uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, uma vez que possibilita aos estudantes valorizarem e refletirem sobre uma técnica digital utilizada pela sociedade para a construção de animações, o stop-motion, conhecendo parte de sua história e das ideias de como ela funciona.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
BNCC
Competência específica de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas: 1 Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT315; EM13MAT405; EM13MAT507; EM13MAT508
Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia
Conteúdos
Sequências numéricas, progressão aritmética, progressão geométrica, linguagem de programação.
• Compreender a ideia de sequência numérica como uma função cujo domínio é um subconjunto de n
1. Resposta esperada: Um objeto é fotografado de um mesmo ângulo diversas vezes, mas com pequenas alterações em sua posição. Cada fotografia obtida corresponde a um quadro. Os quadros são colocados em disposição sequencial, relacionando os anteriores com os subsequentes, o que possibilita criar um vídeo com a ideia de movimento contínuo.
2. Respostas pessoais.
3. Resposta esperada: Multiplicando-se a quantidade de quadros necessários para produzir 1 segundo de animação pelo tempo, em segundo, de duração da cena.
No primeiro item proposto, ressaltar para os estudantes que, no stop-motion, é importante que os objetos produzidos sejam fotografados, e não filmados em movimento. É essencial que, nessa técnica, a combinação de figuras estáticas, em sequência, forneça a sensação de movimentação, pois essa é a principal intenção no stop-motion
Páginas 108 a 111
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2, ao exercitar a curiosidade intelectual dos estudantes e recorrer a abordagens próprias das ciências, como investigação, reflexão e criatividade.
Ao explorar as informações da página 108, sugere-se realizar uma avaliação diagnóstica a fim de identificar os conhecimentos prévios dos estudantes acerca do assunto. Para isso, propor aos estudantes que apresentem exemplos de sequência que conheçam. Podem ser sequências numéricas, não numéricas ou figurais. Realizar uma discussão com eles de maneira que reconheçam que sequências não necessariamente precisam ser numéricas, como a sequência dos meses do ano, a sequência dos dias da semana e a sequência dos nomes da lista de chamada da turma.
Explicar aos estudantes que uma sequência numérica pode também ser denominada sucessão numérica. Ao discutir com eles sobre a diferença entre sequências finitas e infinitas, argumentar que, na sequência finita, as reticências são utilizadas para indicar que alguns de seus termos foram omitidos; e, na sequência infinita, as reticências são utilizadas para representar que seus termos seguem indefinidamente.
Entre os objetivos abordados na seção Atividades das páginas 110 e 111, estão identificar padrões e regularidades em sequências e trabalhar a determinação de termos de uma sequência definida de maneira recursiva ou não recursiva, bem como fazer ouso de linguagem algébrica para escrever a lei de formação de uma sequência.
Ao abordar a atividade 5, uma sugestão é desenvolver uma investigação matemática, tendência em educação matemática tratada na parte geral destas Orientações para o professor. Para isso, providenciar palitos de madeira e organizar os estudantes em grupos. Propor a eles que representem uma sequência utilizando os palitos disponibilizados. A ideia é que seja uma sequência diferente da apresentada na atividade. Depois, propor que elaborem problemas, formulem e testem conjecturas e, ao final, escrevam uma lei de formação da sequência que eles criaram.
No boxe Matemática na história da atividade 8, comentar com os estudantes que a sequência de Fibonacci está presente em diversas situações na natureza, conforme apresentado no vídeo sugerido a seguir.
Conexões
Sugerir aos estudantes que assistam ao vídeo indicado a seguir para obter mais informações sobre o matemático Leonardo Pisano Fibonacci (c. 1170-c. 1240) e sua sequência.
O QUE é a sequência de Fibonacci e por que é chamada de ‘código secreto da natureza’. [S. l.: s. n.], 2021. 1 vídeo (7 min). Publicado pelo canal BBC News Brasil. Disponível em: https://www.youtube. com/watch?v=cHZWZhHQq4g. Acesso em: 6 out. 2024.
Páginas 112 a 118
Progressão aritmética (PA)
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2, da competência específica 5 e da habilidade EM13MAT507 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao associar progressões aritméticas a funções de domínio discreto.
Para auxiliar os estudantes na compreensão dos aspectos do enésimo termo de uma PA, solicitar a eles que atribuam alguns valores para n e substituam na fórmula a n = a n 1 + r, com n [ n e n > 2, de modo a perceber que a n 1 corresponde ao antecessor de a n
Ao abordar o início da página 114, é importante que os estudantes consigam associar uma PA a uma função de domínio discreto.
Para auxiliar nessa discussão, retomar a definição de sequência numérica (finita e infinita) a fim de que os estudantes percebam que, na própria definição de sequência, finita ou infinita, ela é associada a uma função.
A atividade resolvida R5 trabalha a determinação da quantidade de termos de uma PA em uma situação contextualizada. A resolução apresentada utiliza etapas que estão associadas à resolução de problemas. Sugere-se estruturar e executar essas etapas, como foi apresentado na resolução, sempre que perceber que os estudantes estão com dificuldades na resolução de um problema matemático.
A seção Atividades das páginas 116 a 118 tem entre os objetivos trabalhar com as características de uma PA e a determinação de seus termos e, ainda, explorar situações que envolvem a determinação de uma fórmula que fornece o enésimo termo de uma PA, bem como situações que associam a PA a uma função.
A atividade 19 trabalha a interpretação gráfica em um contexto sobre serviço de fibra óptica e a associação de alguns valores a termos de uma PA crescente. Ao resolverem o item b, é possível que os estudantes utilizem diferentes estratégias; por isso, é importante valorizar os modos de raciocínio.
Páginas 119 a 123
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Após a dedução da expressão de cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA, verificar a possibilidade de propor aos estudantes a atividade a seguir.
Atividade
Solicitar aos estudantes que pesquisem como, supostamente, o matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizou a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos não nulos. Em seguida, propor a eles que comparem a estratégia utilizada por esse matemático com o estudo realizado até aquela época. Espera-se que eles percebam que o raciocínio utilizado por Gauss permitiu a construção da expressão para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA, pois ele observou que a soma do primeiro número (1) com o último (100) era igual à soma do segundo número (2) com o penúltimo (99), e assim sucessivamente. Desse modo, para resolver o problema, bastaria somar 50 vezes o número 101 (101 50 = 5 050).
A seção Atividades das páginas 122 e 123 tem como principal objetivo trabalhar a soma dos n primeiros termos de uma PA em diversos contextos. Na atividade 36, lembrar os estudantes de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° Para determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, pode-se decompor esse polígono em triângulos, a partir de um único vértice dele.
Páginas 124 a 129
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 5 e da habilidade EM13MAT508 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao associar progressões geométricas a funções de domínio discreto.
Ao discutir com os estudantes a associação da PG a uma função, ressaltar que o domínio dessa função é o conjunto dos números naturais positivos. Além disso, chamar a atenção deles para a representação gráfica de uma progressão geométrica constante. Por exemplo, na PG constante (2, 2, 2, 2, 2, 2), o gráfico é dado por pontos de coordenadas ( n , 2), sendo n um número natural positivo.
Atividade Extra
Com um colega, considerem uma sequência formada por quadrados em que a primeira figura corresponde a um quadrado de lado x e as figuras seguintes são obtidas a partir da primeira, da maneira
a seguir: marcar o ponto médio dos lados do quadrado anterior, ligar com segmentos de reta os pontos médios dos lados opostos e considerar a menor figura de quadrado formada. Escrevam uma PG cujos termos estejam associados a essas figuras de acordo com alguma regularidade observada. Resposta possível: Uma PG em que os termos correspondem às medidas do lado do menor quadrado formado em cada uma das etapas (x, x 2 , x 4 , x 8 , ), sendo x a medida do lado do quadrado inicial.
A seção Atividades das páginas 128 e 129 possibilita aos estudantes explorar diversas situações que podem ser descritas por uma PG, além de trabalhar outros aspectos da PG, como sua classificação e a determinação de seu termo geral e de seus elementos. Na atividade 48, questionar os estudantes se é possível escrever uma PG cujos termos correspondam às quantidades de triângulos em branco nas figuras em cada etapa. Espera-se que eles percebam que isso não é possível, pois a quantidade de triângulos em branco em cada etapa, independentemente do tamanho, não corresponde a uma PG (0, 1, 4, 13, ...).
A fim de avaliar se os estudantes compreenderam as ideias de PA e de PG, propor a eles que realizem a atividade 54 em uma folha avulsa. No item b, é possível identificar se eles compreenderam a diferença entre PA e PG. Para complementar a atividade, propor aos estudantes que elaborem uma questão semelhante envolvendo os conceitos de PA e PG estudados e a resolvam.
Páginas 130 a 132
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Nesse tópico, espera-se que os estudantes consigam compreender a dedução da expressão para o cálculo da soma nos n primeiros termos de uma PG. Para complementar, ressaltar a restrição q 5 1 na expressão S n = a 1 (1 q n) 1 q , uma vez que, se q = 1, o
denominador seria igual a 0. Perguntar como seria possível determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG quando q = 1. Espera-se que percebam que, quando q = 1, todos os termos da PG são iguais a a1; nesse caso, S n = a1 ? n
Acompanhe, a seguir, a resposta esperada do segundo boxe Para pensar da página 130
Como as parcelas no primeiro membro dessa igualdade correspondem aos dez primeiros termos de uma PG em que a1 = 1 e q = 2, tem-se:
S n = a 1 (1 q n) 1 q h S 10 = 1 (1 2 10) 1 2 = 1 2 10 1 = 210 1 = = 2 29 1 = 29 + 29 1
Portanto, como S10 = 29 + 29 1, tem-se que a igualdade apresentada é válida.
A seção Atividades da página 132 tem como objetivo principal trabalhar a ideia da soma dos n primeiros termos de uma PG. A atividade 66 envolve a exploração de regularidades relacionadas a PA e a PG. É importante destacar que as respostas foram elaboradas considerando determinada interpretação. Caso algum estudante apresente uma resposta diferente, avaliar as argumentações dele.
Páginas 133 a 135
Soma dos termos de uma PG infinita
Ao explorar as informações da página 133 e o boxe Matemática na história, é importante que os estudantes compreendam o que é o paradoxo de Zenão e que estabeleçam relações com a ideia da soma dos termos de uma PG infinita. Verificar a possibilidade de discutir esse exemplo com um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, de maneira a explorar ideias relacionadas a conceitos como paradoxo, realidade e infinito. Para isso, é importante planejar essa aula conjunta com antecedência.
Na página 134, discutir com os estudantes a afirmação “quanto maior o valor de n considerado, mais próximo de zero é q n ”. Sabendo que 1 , q , 1 e q 5 0, apresentar um exemplo em que q = 0,5. Nesse caso, tem-se: n = 1 H (0,5)1 = 0,5; n = 2 H (0,5)2 = 0,25; n = 4 H (0,5)4 = 0,0625. Verificar se os estudantes percebem que os resultados obtidos se aproximam cada vez mais de 0 à medida que se aumenta o valor de n
Levar os estudantes a perceber que, dado q 5 0 e q , 1 ou q . 1, a PG não converge; assim, não é possível calcular a soma dos infinitos termos.
A seção Atividades da página 135 tem como objetivo trabalhar com a ideia da soma dos termos de uma PG infinita. Na atividade 70, caso os estudantes apresentem dificuldade para resolvê-la, solicitar que explicitem a sequência formada pelos comprimentos das circunferências.
Páginas 136 e 137
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 5 e das habilidades EM13MAT507 e EM13MAT508 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que aborda a associação de PA e de PG a funções de domínio discreto.
Solicitar aos estudantes que reproduzam as etapas A e B na planilha LibreOffice Calc. Nesse momento, auxiliá-los na realização dessas etapas e pedir que confiram se os valores digitados estão corretos. Em cada etapa, é importante chamar a atenção dos estudantes na indicação das fórmulas, incluindo o uso de parênteses, por exemplo.
Mãos à obra - página 137
1. No item b, auxiliar os estudantes na construção do gráfico, conforme os procedimentos descritos a seguir.
• Selecionar as células de A2 a B11
• Clicar na opção Inserir gráfico
• Na caixa de diálogo Assistente de gráficos, selecionar as opções XY(Dispersão) e Somente pontos
• Clicar em Concluir Páginas 138 a 140 Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2, da competência específica 5 e das habilidades EM13MAT507 e EM13MAT508 da área de Matemática e suas Tecnologias. Também possibilita o desenvolvimento da competência específica 1 da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas, ao abordar aplicações do conhecimento científico na análise de processos sociais nos âmbitos locais e regionais. Além disso, propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho, perguntar aos estudantes se eles conheciam a profissão de demógrafo. Propor que assistam ao vídeo sugerido e pesquisem mais a respeito do trabalho desse profissional a fim de promover uma roda de conversa. Outra sugestão é verificar a possibilidade de entrevistar um demógrafo.
A atividade 5 do Pensando no assunto pode ser trabalhada por meio da metodologia ativa aprendizagem baseada em projetos, tratada na parte geral destas Orientações para o professor. Para isso, organizar os estudantes em grupos com até cinco integrantes. Depois, propor as seguintes etapas.
1. Pesquisar em livros ou sites de instituições a população do município, em diferentes anos, desde sua fundação até projeções para os próximos anos.
2. Investigar situações que possam ter influenciado na variação da população ao longo do tempo, como o fluxo migratório.
3. Analisar a variação da população ao longo do tempo, em algum período, verificando se pode ser modelada por meio do método aritmético ou do método geométrico apresentados.
4. Com base nas estimativas da população para os próximos anos, elaborar propostas de adequações de serviços públicos do município, como a possível necessidade de construções de escolas ou unidades básicas de saúde para atender à demanda.
5. Organizar as informações coletadas e das produções em um relatório, que pode ser apresentado à comunidade escolar e divulgado em redes sociais.
Páginas 141 a 145 Noções de linguagem de programação
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 3 e 4 e das habilidades EM13MAT315 e EM13MAT405 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao abordar o uso de algoritmos e a escrita de fluxogramas, bem como os conceitos iniciais de linguagem de programação. Verificar se os estudantes conseguem reconhecer que as linguagens de programação não são utilizadas apenas em computadores, mas também em outros aparelhos eletrônicos, como micro-ondas e televisores.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho , verificar a possibilidade de convidar profissionais da área para conversar com os estudantes. Para isso, sugerir a eles que elaborem questões para nortear a conversa, como: Em qual área da programação você trabalha? Por que você decidiu trabalhar nessa área? Como é o seu dia a dia? Quais são os desafios da profissão? Na região em que vivemos, você considera que há demanda para esse tipo de profissional?
A seção Atividades das páginas 143 a 145 aborda o uso de algoritmos e de fluxogramas em diferentes situações. A atividade 79 trabalha a ideia de fluxograma para descrever as etapas de realização de uma tarefa do dia a dia. Propor aos grupos que troquem o fluxograma que elaboraram e que cada grupo descreva, por meio de um texto, a tarefa que é realizada de acordo com o fluxograma que recebeu.
Páginas 146 a 149
Linguagem de programação
Nesse tópico, trabalha-se a introdução de uma linguagem específica de programação: Scratch. Verificar a possibilidade de levar os estudantes a um laboratório de informática e propor que utilizem o software Scratch para reproduzir o algoritmo apresentado na página 146. Ressaltar que, ao abrir o Scratch, é possível que o comando Use a caneta não esteja disponível. Nesse caso, é necessário clicar no botão Adicionar uma extensão, no canto inferior esquerdo da tela, e adicionar a categoria Caneta
A seção Atividades das páginas 148 e 149 aborda diferentes conceitos utilizando a linguagem de programação Scratch. A atividade 86 trabalha a representação de algoritmos em uma planilha eletrônica e discute duas maneiras de analisar e construir um algoritmo. Assim, é possível explorar que um mesmo problema pode ser resolvido utilizando meios diferentes e que a escolha mais adequada depende do perfil dos estudantes e da natureza do trabalho a ser realizado. No item d, comentar com os estudantes que não há uma resposta correta.
Páginas 150 e 151
O que estudei
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Na questão 4, são retomadas informações sobre stop-motion No item a, auxiliar os estudantes a determinar os cinco primeiros termos da sequência e orientá-los a classificar a sequência formada em PA ou PG. No item b, são retomados os conceitos de sequência e de linguagem de programação. Para o item c, propor uma roda de conversa para que os estudantes possam compartilhar suas produções.
Páginas 152 a 154
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
na circunferência
Quadro-síntese da Unidade BNCC
Competências gerais: 1, 2 e 5 Competência específica de Matemática e suas Tecnologias: 3 Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 2 Habilidade de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT306
Temas
Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Ciência e Tecnologia; Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras; e Saúde
Circunferência, ciclo trigonométrico, seno, cosseno e tangente de um número real, funções trigonométricas, funções do tipo trigonométrica e equações trigonométricas.
• Identificar elementos de uma circunferência.
• Identificar arcos em uma circunferência e determinar seu comprimento e a sua medida angular.
• Compreender o ciclo trigonométrico para associar arcos de diferentes medidas angulares e números reais a pontos da circunferência que compõem essa estrutura.
• Determinar a medida de arcos congruentes entre si e representá-los no ciclo trigonométrico.
• Determinar o seno, o cosseno e a tangente de um número real, utilizando ou não o ciclo trigonométrico.
• Compreender o conceito das funções seno, cosseno e do tipo trigonométrica, além de esboçar e analisar o gráfico dessas funções, identificando suas características.
• Determinar o domínio, o conjunto imagem e o período da função seno e da função cosseno, bem como os intervalos reais em que essas funções são crescentes ou decrescentes.
• Reconhecer fenômenos periódicos da natureza e a possibilidade de modelá-los por funções do tipo trigonométrica.
• Analisar e investigar aplicações de funções do tipo trigonométrica, explorando situações de diferentes áreas do conhecimento.
• Resolver equações trigonométricas.
O estudo de funções trigonométricas possibilita aos estudantes reconhecer situações ou fenômenos da natureza que podem ser modelados por esse tipo de função, com ou sem auxílio de recursos tecnológicos, além da compreensão de seu conceito e de aplicações em diferentes contextos ou áreas do conhecimento. Além disso, os conhecimentos abordados, de natureza física, social, cultural ou digital, possibilitam o desenvolvimento de argumentações críticas a esse respeito e que se associam ao conhecimento matemático. Página 155
Abertura da Unidade
O trabalho com essa abertura de Unidade propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, uma vez que trata do estudo da cultura indígena e problematiza as características distintas das moradias em aldeias de diferentes povos indígenas.
Dizer aos estudantes que, no Brasil, há vários povos indígenas distribuídos pelas regiões do país. Cada um desses povos tem língua, costumes, arte, crenças, saberes e modos de vida próprios. Entre os traços característicos de uma cultura, também está a maneira como são construídas e organizadas as moradias.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Resposta pessoal. Espera-se que as respostas dos estudantes destaquem, por exemplo, que a manutenção dos costumes e tradições contribuem para a valorização da identidade dos povos indígenas e a preservação do meio ambiente.
2. As respostas dependem da região em que os estudantes moram.
3. Resposta esperada: Círculo.
Conexões
Consultar o livro indicado a seguir, que apresenta conceitos importantes relacionados aos povos indígenas.
FUNARI, Pedro Paulo; PIÑON, Ana. A temática indígena na escola: subsídios para os professores. São Paulo: Contexto, 2010.
Páginas 156 a 161 Circunferência
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 1, ao valorizar e utilizar conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural. Na apresentação das informações da página 156, argumentar com os estudantes que o círculo é uma figura geométrica distinta da circunferência. A circunferência corresponde à linha que limita o círculo, e o círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos de seu interior.
Na página 157, verificar a possibilidade de planejar e realizar a aula em parceria com um professor da área de Ciências Humanas e Sociais Aplicadas com o objetivo de discutir sobre arquitetura românica e outros estilos de arquitetura. Ao explorar a ideia de arco de circunferência, argumentar com os estudantes que dois arcos com mesmas extremidades podem ter comprimentos distintos, como no caso dos arcos com extremidades nos pontos A e B na primeira circunferência apresentada na página 157. Essa observação é válida, também, para o ângulo central de uma circunferência, ou seja, dois arcos de circunferência com mesmas extremidades podem ter ângulos centrais correspondentes distintos.
A seção Atividades das páginas 160 e 161 trabalha o reconhecimento dos elementos de uma circunferência, o cálculo do comprimento de uma circunferência e a sua representação geométrica, bem como o comprimento e a medida angular de arco de circunferência, a conversão de medidas angulares de radiano para grau e de grau para radiano e a ideia de setor circular.
Páginas 162 a 165 Ciclo trigonométrico
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao empregar estratégias, procedimentos e conceitos matemáticos para resolver diferentes problemas.
Comentar com os estudantes que, no ciclo trigonométrico, um arco trigonométrico tem sua medida angular em radiano e seu comprimento numericamente iguais. Uma justificativa possível para tal proposição é que o ciclo trigonométrico tem raio unitário, ou seja, com medida igual a 1 unidade de comprimento (1 u.c.). Além disso, um arco de medida angular 1 rad tem comprimento igual ao do raio da circunferência. Assim, no ciclo trigonométrico, um arco de medida angular 1 rad tem comprimento igual a 1 u.c.
No tópico Números reais associados a pontos do ciclo trigonométrico, explicar aos estudantes que essa associação entre medidas angulares de um arco trigonométrico e números reais é justificada pela proposição comentada anteriormente.
A seção Atividades da página 165 tem, entre os objetivos, trabalhar a associação entre arcos côngruos no ciclo trigonométrico e números reais e demais ideias associadas ao ciclo trigonométrico. A atividade 18 aborda a determinação de uma expressão que descreve os arcos côngruos de um arco trigonométrico dado. Destacar para os estudantes que há diferentes maneiras de apresentar essas expressões. Por exemplo, no item a, pode-se apresentar as seguintes expressões: 315° + k 360°, com k [ z; 675° + k 360°, com k [ z; 45° + k ? 360°, com k [ z
Páginas 166 a 173
Seno, cosseno e tangente de um número real
Antes de apresentar as informações desse tópico, propor uma avaliação diagnóstica aos estudantes a fim de verificar os conhecimentos prévios acerca do conteúdo abordado. Para isso, solicitar a eles que calculem o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos internos agudos do triângulo retângulo apresentado anteriormente.
Nesse caso, tem-se que: sen a = 0,6; sen b = 0,8; cos a = 0,8; cos b = 0,6; tg a = 0,75; tg b = 4 3
Observe, a seguir, a resposta ao boxe Para pensar da página 168
0 Não está definida.
Não está definida. 2
Caso os estudantes apresentem dificuldades na compreensão da redução ao 1o quadrante, solicitar a eles que observem atentamente, no plano cartesiano, os segmentos de reta associados ao seno, ao cosseno e à tangente em cada situação (2o, 3o ou 4o quadrante). Isso possibilita aos estudantes fazer uma análise crítica e reconhecer em que condições os sinais do seno, do cosseno ou da tangente são mantidos ou alterados quando comparados aos valores correspondentes ao 1o quadrante.
A seção Atividades das páginas 172 e 173 aborda a determinação do seno, do cosseno e da tangente de números reais, bem como reduções ao 1o quadrante. A atividade 24 trabalha, em uma situação contextualizada, a determinação da medida do raio de uma circunferência e o cálculo envolvendo o ciclo trigonométrico. Para auxiliar os estudantes na resolução, explicar que, no ciclo trigonométrico, a origem dos arcos a ser medidos tem coordenadas (1, 0). Assim, para uma circunferência de raio com medida igual a 100 m, a origem passaria a ser o ponto de coordenadas (100, 0), que pode ser associado ao ponto A na representação da roda-gigante.
Páginas 174 a 180
Funções trigonométricas
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT306 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao abordar situações que envolvem fenômenos periódicos que podem ser representados por meio das funções seno e cosseno.
Para complementar a abordagem ao contexto sobre marés, avaliar a necessidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias. Nesse trabalho, pode-se planejar uma discussão acerca dos aspectos físicos e biológicos relacionados ao movimento das marés.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre a influência da Lua no movimento das marés.
THÉVENIN, Mariana. O que é e como funciona a maré. [S l.]:
Oceano para leigos, 2023. Disponível em: https://www.oceanopa raleigos.com/post/mar%C3%A9s. Acesso em: 9 out. 2024.
Antes de apresentar a função seno, enfatizar aos estudantes a característica de repetição de comportamento, típica de fenômenos periódicos que costumam ser modelados por funções trigonométricas.
Discutir com os estudantes o que significa dizer que o período de uma função seno é igual a 2p. Espera-se que eles compreendam que isso se deve ao fato de que a função seno repete seus valores a cada período correspondente a 2p, por exemplo, nos intervalos … 2p, 0], [0, 2p], [2p, 4p], …
Verificar a possibilidade de propor aos estudantes que representem o gráfico da função seno e o gráfico da função cosseno utilizando o GeoGebra. Propor também que eles construam os gráficos dessas funções em um mesmo plano cartesiano, de maneira a poder compará-los. É importante destacar, nesse momento, que o gráfico da função seno é simétrico em relação à origem do plano cartesiano, e o gráfico da função cosseno é simétrico em relação ao eixo y
A seção Atividades da página 180 aborda diferentes aspectos das funções seno e cosseno, como o valor numérico, a análise do conjunto imagem, as ideias de função par e função ímpar, e a representação algébrica de ambas as funções. Na atividade 33, comentar com os estudantes que pode ser elaborado um problema cuja solução não seja possível obter em razão da falta de dados no enunciado. Nesse caso, o colega que receber o problema deve propor sugestões de ajustes ao enunciado com o objetivo de torná-lo resolvível.
Ao término desse tópico, propor aos estudantes a realização de uma avaliação formativa, empregando estratégias da prova escrita em fases, tratada na parte geral destas Orientações para o professor. Para isso, sugere-se que, em duplas, eles elaborem um resumo
dos principais pontos estudados. Nesse momento, os estudantes não devem consultar materiais didáticos. Em seguida, o professor deve recolher os resumos e tecer comentários com o intuito de estabelecer uma comunicação com os estudantes, propondo questionamentos e reflexões. Os estudantes devem receber novamente seus resumos e responder ao que foi proposto.
Páginas 181 a 191 Funções do tipo trigonométrica
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT306 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao abordar fenômenos periódicos que podem ser descritos por meio das funções do tipo trigonométrica, como o movimento das marés, as ondas sonoras e a pressão arterial, por exemplo.
Dizer aos estudantes que a expressão p = 2p |c | , tratada na página 182, também pode ser utilizada para determinar o período de uma função do tipo g (x ) = a + b cos (cx + d ).
Com um colega, utilizando um software de geometria dinâmica, como o GeoGebra, resolvam os itens a seguir.
a) Esbocem o gráfico da função seno ou da função cosseno.
b) Considerando a função explicitada no item a, esbocem o gráfico de uma função do tipo trigonométrica e destaquem os parâmetros utilizados.
c) Escrevam um texto que apresente uma comparação entre os gráficos que vocês construíram nos itens a e b. É importante descrever a relação de cada parâmetro da função do tipo trigonométrica e o gráfico correspondente.
Respostas: Construção e elaboração dos estudantes.
A seção Atividades da página 185 tem como principal objetivo trabalhar características de funções do tipo trigonométrica e suas representações.
Os contextos apresentados para o trabalho com o tópico Funções do tipo trigonométrica: algumas aplicações, a partir da página 186, propiciam uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Saúde e Ciência e Tecnologia, uma vez que envolvem a determinação de modelos matemáticos descritos por essas funções e obtidos por meio da exploração de situações sociais relacionadas a esses temas. Ao explorar as atividades resolvidas das páginas 186 a 189, destacar para os estudantes que a Matemática tem um papel relevante na sociedade, pois busca explicar fenômenos de diferentes áreas do conhecimento.
A atividade resolvida R17 pode ser realizada em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias a fim de contribuir com informações a respeito do ciclo menstrual. Pode-se propor aos estudantes a realização de pesquisas relacionadas ao tema e que sejam de interesse deles, como as produções hormonais na fase da adolescência. Na atividade resolvida R18, reforçar para os estudantes que o nível de equilíbrio se refere ao ponto de repouso.
A seção Atividades das páginas 189 a 191 aborda associações entre diferentes contextos e funções do tipo trigonométrica. Para complementar a atividade 45, solicitar aos estudantes que pesquisem a hipertensão, destacando seus perigos para a saúde e como evitá-la. Comentar a importância de uma alimentação equilibrada e a prática de atividades físicas como ações preventivas e a influência de fatores genéticos no desenvolvimento de doenças cardiovasculares. Solicitar que compartilhem as informações pesquisadas com os colegas.
Na atividade 48, destacar para os estudantes que a frequência angular, também denominada velocidade angular, se refere à velocidade com que uma partícula realiza um ciclo de variação, o que corresponde a um ângulo de 360° ou a 2p radianos.
Páginas 192 e 193
Equações trigonométricas
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT306 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois trata das aplicações de equações trigonométricas na resolução de problemas envolvendo fenômenos periódicos.
A seção Atividades da página 193 aborda a análise e a resolução de equações trigonométricas. Caso os estudantes apresentem dificuldades para resolver a atividade 51, conduzir uma conversa de maneira que percebam a estratégia de isolar cos x em um dos membros da equação. Após essa compreensão, pedir a eles que, mentalmente, indiquem números reais x tais que cos x = √2 2 . Em seguida, verificar se eles atentaram à restrição 0 < x < 3p
Páginas 194 e 195
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT306 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que propõe o uso de tecnologias digitais para compreender conceitos e resolver problemas.
Na etapa C, para a representação do gráfico da função f no GeoGebra, comentar com os estudantes que o símbolo “*” é utilizado para indicar uma multiplicação ao digitar a lei de formação dessa função.
Mãos à obra - página 195
As atividades do Mãos à obra trabalham a representação gráfica de funções do tipo trigonométrica, sendo abordadas a análise dos parâmetros de uma função do tipo trigonométrica e o cálculo de seu valor numérico.
Páginas 196 a 198
Integrando com Ciências Humanas e
Sociais Aplicadas e Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, uma vez que exercita a curiosidade intelectual e recorre a abordagens próprias da Ciência para elaborar argumentos e realizar previsões a partir da dinâmica da Terra e do Cosmos. Além disso, possibilita o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT306 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao abordar fenômenos periódicos.
Verificar a possibilidade de planejar o trabalho com essa seção em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para discutir aspectos relacionados a conceitos da Astronomia, como os movimentos de rotação e translação da Terra, e conceitos relacionados à produção de energia solar. Se possível, organizar uma visita a um planetário, em que alguns dos conceitos abordados podem ser explorados com mais detalhes.
A questão 5 do Pensando no assunto trabalha uma investigação sobre a variação da duração solar do dia no município em que os estudantes moram. Sugere-se que essa questão seja desenvolvida em grupos. O trabalho pode ser realizado de acordo com as seguintes etapas da modelagem matemática, uma das tendências metodológicas abordadas na parte geral destas Orientações para o professor
1a) Reconhecimento/definição da situação-problema: Os estudantes reconhecem a situação-problema, que se associa à variação da duração solar do dia no município em que moram.
2a) Elaboração de hipóteses: Os estudantes elaboram hipóteses considerando as experiências e os conhecimentos que têm a respeito da duração solar do dia no munícipio em que moram.
3a) Exploração da situação-problema: Com base nas hipóteses elaboradas na segunda etapa, os estudantes investigam a situação-problema, buscando resolvê-la.
4a) Determinação do modelo matemático: Os estudantes buscam organizar as informações obtidas na terceira etapa por meio de tabela, gráfico, esquema, expressão etc. A ideia é organizar as informações a fim de que sejam apresentadas ou divulgadas a outras pessoas para que possam compreendê-las com mais facilidade.
5a) Discussão dos resultados: Os grupos apresentam aos demais colegas os resultados que obtiveram.
Páginas 199 e 200 O que estudei
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha informações sobre as moradias indígenas, retomando o tema da abertura desta Unidade. No item a, se necessário, retomar a definição de circunferência com os estudantes, de maneira que eles a compreendam como uma linha fechada e formada por todos os pontos equidistantes a um único ponto (centro da circunferência). No item b, são tratados alguns aspectos da cultura de povos indígenas, em especial sobre as pinturas corporais e de utensílios.
Páginas 201 a 202
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor , o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Quadro-síntese
Competências gerais: 1, 5, 6 e 7
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 2, 3 e 5
BNCC
Temas Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 1
Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT201; EM13MAT307; EM13MAT505; EM13MAT506
Ciência e Tecnologia; Diversidade Cultural; Educação Ambiental; Educação em Direitos Humanos; e Vida Familiar e Social
Polígonos, polígonos regulares e ladrilhamento do plano, cálculo do perímetro de polígonos, cálculo da área de polígonos e do círculo e cálculo da área aproximada de figuras planas irregulares.
• Compreender o conceito de polígono e reconhecer seus elementos.
• Classificar um polígono de acordo com a quantidade de vértices, lados e ângulos internos e em polígono convexo ou não convexo.
• Determinar o perímetro de figuras poligonais.
• Ob ter uma expressão para calcular a soma das medidas dos ângulos internos e a quantidade de diagonais de um polígono convexo.
• Compreender o conceito de polígono regular, bem como reconhecer e determinar a medida do seu apótema.
• Perceber que um polígono regular pode ser decomposto em triângulos isósceles.
Obter uma expressão para calcular a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular em função da medida do raio da circunferência que circunscreve esse polígono.
C ompreender e realizar composições de ladrilhamento utilizando polígonos regulares no plano, com e sem apoio de tecnologias digitais.
Verificar com quais polígonos regulares é possível compor um ladrilhamento regular do plano.
Compreender e estabelecer expressões para calcular a área de polígonos e do círculo.
Utilizar diferentes métodos para calcular a área de triângulos.
Estabelecer relações entre a área e o perímetro de polígonos regulares, com base nas medidas de seus lados.
Compreender e utilizar diferentes estratégias para calcular a área, aproximada ou exata, de superfícies, com e sem apoio de tecnologias digitais.
Construir mosaicos correspondentes a ladrilhamentos do plano utilizando um software de geometria dinâmica.
Nesta Unidade, busca-se favorecer, em diferentes momentos, o trabalho coletivo e colaborativo de modo a incentivar a participação, a reflexão, a interpretação e a comunicação entre os estudantes. Os conteúdos são desenvolvidos com apoio de exemplos e questões que incentivam os estudantes a analisar diferentes estratégias de resolução de problemas e a interpretar situações nas quais a compreensão dos conceitos de perímetro e de área são importantes.
Página 203
Abertura da Unidade
O trabalho com essa abertura de Unidade propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, uma vez que trata da evolução dos videogames diante dos avanços tecnológicos. São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. As respostas dependem das experiências pessoais dos estudantes.
2. Algumas respostas possíveis: Animações, computação gráfica 3D e esculturas digitais.
3. Algumas respostas possíveis: Game designer – responsável pelo desenvolvimento conceitual do jogo; programador – responsável pela parte de programação do jogo; tester – responsável por testar toda a parte técnica do jogo; animador – responsável pelo desenvolvimento da animação do jogo; designer de personagem e cenário – responsável pela ilustração do cenário e das personagens; produtor-executivo – responsável pela coordenação da equipe.
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências específicas 2 e 5 e das habilidades EM13MAT201 e EM13MAT505 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que aborda diferentes situações que demandam cálculos de perímetros de figuras geométricas planas, incluindo em contextos locais, e análise sobre ladrilhamento no plano.
Ao abordar a definição de polígonos, na página 204, verificar se os estudantes compreendem que dois segmentos de reta se cruzam quando se intersectam em um ponto que não corresponde à extremidade deles e que, por definição, isso nunca ocorre em um polígono.
Na classificação dos polígonos, espera-se que os estudantes estabeleçam uma relação entre o prefixo do nome do polígono e a quantidade de vértices, de lados e de ângulos internos. Se julgar conveniente, propor a eles que pesquisem a nomenclatura de outros polígonos; por exemplo, um polígono formado por 20 lados é denominado icoságono – o prefixo ico significa “vinte”.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho da página 205, promover uma roda de conversa com os estudantes a respeito da indústria de jogos digitais. Perguntar a eles se conheciam essa área de atuação profissional e se conhecem alguém que trabalha nessa área. Antes de promover essa conversa, sugere-se que os estudantes acessem o relatório indicado no boxe para obter mais informações sobre esse segmento profissional no Brasil.
Ao apresentar os polígonos convexos e os polígonos não convexos, explicar aos estudantes que essa é uma maneira de classificá-los de acordo com o formato dos polígonos.
O contexto da atividade resolvida R2 propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, uma vez que trata de aspectos relacionados à acessibilidade, como informações técnicas sobre rampas de acesso.
A seção Atividades das páginas 207 a 209 trabalha a classificação dos polígonos, o cálculo envolvendo o perímetro de um polígono e a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.
A atividade 9 propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Ciência e Tecnologia, pois trata do uso de mapa digital interativo para a realização de medições.
A atividade 11 trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo envolvendo o perímetro de um polígono e medições relacionadas às diagonais de um losango e ao raio do círculo. Além disso, propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois propõe a avaliação dimensional da bandeira do Brasil em relação aos critérios estabelecidos na legislação brasileira.
A atividade 12 também propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201, pois leva os estudantes a refletir sobre a inclusão de pessoas com deficiência ou com mobilidade reduzida e a sugerir uma adequação para alguma rampa de acesso, com base em conceitos relacionados ao cálculo de perímetro.
No tópico Polígonos regulares, é importante enfatizar aos estudantes que, para um polígono ser classificado como regular, é preciso satisfazer simultaneamente duas condições: todos os lados serem congruentes e todos os ângulos internos serem congruentes.
Ao apresentar a afirmação de que é possível mostrar que todo polígono regular de n lados pode ser decomposto, a partir de seu centro, em n triângulos isósceles congruentes, chamar a atenção dos estudantes para o fato de que essa relação pode ser verificada ao considerar dois lados de cada triângulo obtido nessa decomposição. Esses lados correspondem a raios da circunferência que circunscreve esse polígono, o que garante que esses triângulos sejam isósceles e congruentes entre si.
A seção Atividades das páginas 212 e 213 tem, entre os principais objetivos, o de trabalhar a soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono e o cálculo da medida do apótema de um polígono regular. A atividade 20 aborda a obtenção de expressões relacionadas às medidas do lado e do apótema de um hexágono regular em função da medida do raio da circunferência que circunscreve esse hexágono.
O trabalho com polígonos regulares e ladrilhamento do plano contribui para o desenvolvimento da habilidade EM13MAT505 da área de Matemática e suas Tecnologias; ainda, ao explorar a obra do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003), propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural. Comentar com os estudantes que Sacilotto buscou estabelecer relações entre Matemática e Arte em suas obras.
Na página 214, ao explorar a composição de um ladrilhamento regular do plano, chamar a atenção dos estudantes para o fato de que o número 60 é divisor de 360, e, por isso, um ângulo de 360° pode ser decomposto em ângulos de 60° sem sobra.
A seção Atividades das páginas 215 a 217 tem como principal objetivo abordar o ladrilhamento do plano. A atividade 22 propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Diversidade Cultural, ao tratar da origem dos mosaicos.
Atividade Extra
Em um laboratório de informática, sugerir aos estudantes que pesquisem obras de artistas brasileiros que utilizam a técnica do mosaico, como Paulo Werneck (1907-1987). Essa pesquisa pode ser acompanhada por um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias. Em seguida, pedir a eles que identifiquem os polígonos que compõem essas obras. Eles podem, por exemplo, realizar uma releitura de uma dessas obras utilizando um software de geometria dinâmica, como o GeoGebra.
No boxe No mundo do trabalho da página 217, questionar os estudantes sobre que outras características eles consideram essenciais para atuar como azulejista. Chamar a atenção dos estudantes para a importância de, cada vez mais, mulheres estarem ocupando posições na sociedade que, até então, eram majoritariamente destinadas aos homens. Propor a eles que citem outros exemplos de que esse fato tem ocorrido, como, por exemplo, o aumento da quantidade de mulheres na política.
Páginas 218 e 219
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 5 e da habilidade EM13MAT505 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que propõe a construção de ladrilhamentos no plano utilizando um software de geometria dinâmica.
Na etapa A, orientar os estudantes na construção dos polígonos regulares. Por exemplo, para construir o hexágono regular utilizando a opção Polígono regular, eles devem marcar inicialmente os pontos A e B clicando sobre o plano. Em seguida, na caixa de texto que abrir, digitar o número 6, que corresponde à quantidade de lados do hexágono e, por fim, clicar em OK. De maneira análoga, eles devem construir os quadrados e, na etapa B, os triângulos equiláteros.
Mãos à obra - página 219
2. É importante que os estudantes percebam que, ao utilizar os mesmos polígonos, também com quantidades iguais de cada um deles, é possível que os ladrilhamentos construídos sejam diferentes.
Páginas 220 a 235
Área de polígonos
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 7, das competências específicas 2, 3 e 5 e das habilidades EM13MAT201, EM13MAT307 e
EM13MAT506 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que apresenta propostas para que os estudantes realizem argumentações tendo como base conhecimentos sobre o cálculo de área de polígonos em contextos diversos, incluindo os socioambientais. Além disso, ao apresentar informações sobre o monitoramento do desmatamento na Amazônia Legal, aborda-se o Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental e à competência específica 1 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias.
Ao abordar esse tópico, propor aos estudantes uma avaliação diagnóstica a fim de verificar os conhecimentos prévios deles sobre quadriláteros. Propor a eles que descrevam as características dos quadriláteros retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio. Verificar se os estudantes compreendem que o paralelogramo é um quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos, e o trapézio tem apenas um par de lados opostos paralelos.
A resolução apresentada na atividade resolvida R6 utiliza etapas que estão associadas à resolução de problemas. Sugere-se estruturar e executar essas etapas, como foi apresentado na resolução, sempre que perceber que os estudantes estão com dificuldades na resolução de um problema matemático. Na parte geral destas Orientações para o professor, há informações sobre a tendência em educação matemática resolução de problemas.
A seção Atividades das páginas 225 a 228 aborda o cálculo da área de quadriláteros. Além disso, algumas delas, como as atividades 35, 37, 39 e 41, favorecem o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201 da área de Matemática e suas Tecnologias, pois tratam de resolução de problemas envolvendo cálculos de área ou perímetro.
A atividade 35 propicia a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Vida Familiar e Social, uma vez que propõe a investigação da quantidade adequada de vagas em estacionamentos de acordo com normas de instalações. No item b, sugerir aos estudantes que apresentem no texto informações relacionadas às resoluções que estabelecem a quantidade de vagas que devem ser reservadas para idosos ou pessoas com deficiência ou mobilidade reduzida em estacionamentos públicos.
As atividades 37, 39 e 41 propiciam a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental. Na atividade 37, comentar com os estudantes que a taxa de permeabilidade é um dos parâmetros que definem características de uso e ocupação do solo em terrenos urbanos, e seu cálculo pode ser realizado dividindo a área permeável pela área total do terreno. Na atividade 39, verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias a fim de discutir a importância da neutralização do carbono a partir do plantio de árvores. A proposição dessas atividades também pode ser utilizada como um momento de avaliação formativa.
Comentar com os estudantes que a fórmula de Herão, apresentada na página 230, pode ser demonstrada; no entanto, optou-se, nesta coleção, apenas por apresentá-la.
Antes de iniciar o estudo da área de um polígono regular, relembrar os estudantes da definição de um polígono regular apresentada no início desta Unidade.
Ao trabalhar as relações entre a área e o perímetro do quadrado, na página 231, verificar se os estudantes compreenderam que, aumentando ou diminuindo a medida do lado do quadrado, o perímetro aumenta ou diminui na mesma proporção, porém isso não ocorre quando se considera a área dessa figura.
A seção Atividades das páginas 234 e 235 tem como principais objetivos abordar o cálculo da área de triângulos e de polígonos regulares. A atividade 45 trabalha as condições de existência e o cálculo da área de um triângulo. Para a resolução, relembrar os estudantes da seguinte condição de existência de um triângulo: a construção de um triângulo é possível apenas quando a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para, de maneira prática, verificar as condições de existência de um triângulo com base nas medidas de seus lados.
• MATHIAS, Carmen. Condição de existência . [ S l .]: GeoGebra, 2014. Disponível em: www.geogebra.org/m/N3k6m3fV. Acesso em: 9 out. 2024.
Ao abordar a atividade 48, ler para os estudantes as informações a seguir.
Heliponto significa uma área delimitada em terra, na água ou em uma estrutura destinada para uso, no todo ou em parte, para pouso, decolagem e movimentação em superfície exclusivamente de helicópteros. Os helipontos podem ser públicos ou privados.
AGÊNCIA NACIONAL DE AVIAÇÃO CIVIL. Regulamento brasileiro da aviação civil: RBAC no 155: emenda no 01. Brasília, DF: Anac, 2024. Localizável em: Subparte A: Generalidades: 155.3 Termos e definições: § 31. Disponível em: https://www.anac.gov.br/assuntos/legislacao/legislacao-1/rbha-e-rbac/ rbac/rbac-155. Acesso em: 9 out. 2024.
As atividades 52 e 53 trabalham a representação gráfica da variação do perímetro e da área de um triângulo equilátero e de um quadrado, respectivamente, de acordo com a medida de seus lados. Também são propostas a análise e a classificação das funções que expressam essas variações, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT506 da área de Matemática e suas Tecnologias. Explicar aos estudantes que os gráficos apresentados na atividade 52 não estão com as escalas proporcionais entre si.
Páginas 236 a 238 Área do círculo
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT307 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao explorar estratégias para verificar a expressão para o cálculo da área do círculo. Antes de iniciar o estudo da área do círculo, relembrar com os estudantes que a reunião da circunferência com os pontos de seu interior corresponde ao círculo.
Na 2a maneira apresentada para a obteção da expressão para o cálculo da área de um círculo, explicar aos estudantes que, conforme se aumenta a quantidade de partes iguais em que o círculo é dividido, cada vez mais a figura composta dessas partes se aproxima do formato de um paralelogramo.
A seção Atividades da página 238 aborda o cálculo da área do círculo, do setor circular e da coroa circular. A atividade 58 trabalha a escrita de um algoritmo para calcular a área de uma coroa circular e a obtenção de uma expressão que fornece tal área. Dessa maneira, essa atividade favorece o desenvolvimento do pensamento computacional, tratado na parte geral destas Orientações para o professor, e da competência específica 5 da área de Matemática e suas Tecnologias.
Ao témino desse tópico, propor aos estudantes que elaborem um resumo do conteúdo estudado até o momento nesta Unidade. Esse resumo pode ser elaborado em um espaço limitado e de maneira individal. Sugere-se que os estudantes o utilizem em uma prova-escrita-com-cola, conforme proposta na parte geral destas Orientações para o professor Páginas 239 a 240
Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento das competências gerais 1 e 6, das competências específicas 2 e 3 e das habilidades EM13MAT201 e EM13MAT307 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que utiliza conhecimentos historicamente construídos para medições de áreas, valorizando
as vivências culturais de diferentes povos e regiões, e destaca o papel da Matemática nas práticas sociais relacionadas à agricultura. A abordagem dessa seção está relacionada com a Etnomatemática, uma das vertentes metodológicas da Educação Matemática.
Comentar com os estudantes que o método apresentado também é conhecido por “cubação da terra”. Aproveitar o contexto e discutir sobre as unidades de medidas não padronizadas utilizadas pelos povos antigos para realizar medições aproximadas de terrenos, como aquelas que envolvem as partes do corpo. Comentar, ainda, que, atualmente, são usadas, em algumas regiões brasileiras, unidades de medidas agrárias não convencionais.
Na questão 4 do Pensando no assunto, caso não seja possível identificar um método comumente utilizado na região em que moram para estimar a área de terrenos, pode-se optar pelo método da cubagem da terra, estudado nessa seção, ou por aqueles que serão estudados a seguir: a fórmula de Pick, o uso de malha quadriculada ou do GeoGebra.
Páginas 241 a 244 Outras estratégias para o cálculo de área de superfícies
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, das competências específicas 2 e 3 e das habilidades EM13MAT201 e EM13MAT307 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que propõe situações envolvendo a determinação de áreas exatas ou aproximadas de figuras planas, com ou sem o uso de recursos tecnológicos, em contextos do dia a dia ou de outras áreas do conhecimento.
Ao explorar as etapas apresentadas nas páginas 241 e 242, para calcular a área aproximada de uma região, relembrar com os estudantes que a média aritmética é uma medida de tendência central que pode ser usada para representar um conjunto de dados. Para calcular a média de dois ou mais números, adicionam-se esses números e divide-se a soma obtida pela quantidade de números adicionados.
Conexões
Acessar o site indicado a seguir para obter mais informações sobre Georg Alexander Pick (1859-1942).
• HERMES, Joelson Dayvison Veloso. O teorema de Pick. Ciência e Natura, Santa Maria, v. 37, Ed. Especial PROFMAT, p. 203-213, 2015. Disponível em: http://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/ article/download/14606/pdf. Acesso em: 9 out. 2024.
A seção Atividades das páginas 243 e 244 tem como principal objetivo trabalhar o uso de diferentes estratégias para calcular a área de superfícies. A atividade 64 propicia o desenvolvimento da habilidade EM13MAT201 da área de Matemática e suas Tecnologias e a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, uma vez que trata de medições de área relacionadas a reserva legal e da reflexão acerca da preservação de áreas nativas. Dizer aos estudantes que reserva legal corresponde a uma área localizada no interior de uma propriedade rural que conserva a vegetação natural e tem como um dos objetivos servir de abrigo e de proteção à fauna silvestre e à flora nativa. Comentar, ainda, que há um porcentual das propriedades e posses rurais que deve ser preservado ou recomposto como reserva legal.
Página 245
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT307 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao propor o uso de um software de geometria dinâmica como recurso para o cálculo aproximado da área de figuras planas irregulares.
Na etapa A, dizer para os estudantes que a imagem pode ser inserida no GeoGebra utilizando a opção Inserir Imagem. Ao
selecionar essa opção, pode ser feito o upload de qualquer imagem presente em um computador local. Também há a opção de inserir uma imagem por meio da câmera do dispositivo em uso.
Mãos à obra - página 245
2. Ao digitalizar a imagem, por meio de aplicativos, ou ao fazer uso da câmera do celular, é possível que as proporções da imagem não sejam mantidas, o que vai interferir, consequentemente, na área determinada. Por isso, mesmo que a área calculada pelos estudantes seja diferente da área apresentada no Livro do estudante, é importante verificar se os procedimentos empregados estão corretos.
Páginas 246 e 247
O que estudei
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo da área de polígonos. No item a, para determinar a medida do lado da tela do videogame, verificar se os estudantes percebem que, como x expressa a medida do lado dessa tela, ela pode ser expressa apenas por números positivos. No item b, relembrar com os estudantes que o cubo é um caso particular de bloco retangular que tem todas as arestas com medidas iguais.
Páginas 248 a 250
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
medidas de posição e de dispersão
Quadro-síntese da Unidade
Competências gerais: 5 e 6
Competências específicas de Matemática e suas Tecnologias: 1, 2 e 3
• Compreender o conceito e calcular medidas de posição: média aritmética, média ponderada, moda e mediana.
• Identificar qual das medidas de posição melhor representa um conjunto dos dados.
• Compreender o conceito e calcular medidas de dispersão: amplitude, variância e desvio padrão.
• Reconhecer quando uma pesquisa é censitária e quando é amostral.
• Compreender ideias de técnicas de amostragem: amostra casual simples, amostra estratificada e amostra sistemática.
• Definir qual técnica de amostragem é a mais adequada para obter uma amostra, de acordo com a natureza da população e das variáveis investigadas.
• Realizar pesquisas estatísticas amostrais, com dados primários ou secundários, para investigar questões relevantes e utilizar gráficos, tabelas e medidas de tendência central e de dispersão para interpretar e divulgar os resultados obtidos, com ou sem auxílio de planilha eletrônica.
Ao planejar e realizar pesquisas para investigar questões relevantes, sejam elas voltadas a demandas da região em que moram, sejam voltadas ao mercado de trabalho, entre outras, os estudantes têm a oportunidade de mobilizar e articular conceitos matemáticos, como a técnica de amostragem mais adequada e o cálculo e a interpretação de medidas de tendência central e de dispersão. O acesso a informações para a pesquisa e o processo de tratamento das informações obtidas para a elaboração de relatórios podem ser feitos com a utilização de recursos tecnológicos e de diferentes linguagens. Com isso, os estudantes têm aporte para tomar decisões responsáveis e de maneira ética em relação à questão investigada.
Página 251
Abertura da Unidade
O trabalho com essa abertura de Unidade propicia uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Ciência e Tecnologia e Saúde, pois trata dos avanços relacionados às tecnologias da informação e comunicação no mundo virtual, destacando como essas tecnologias podem influenciar no comportamento e na saúde das pessoas.
BNCC
Temas
Contemporâneos Transversais
Conteúdos
Competência específica de Ciências da Natureza e suas Tecnologias: 3 Habilidades de Matemática e suas Tecnologias: EM13MAT102; EM13MAT202; EM13MAT316
Ciência e Tecnologia; Educação Alimentar e Nutricional; Educação Ambiental; Educação em Direitos Humanos; Educação Financeira; Educação Fiscal; Educação para o Trânsito; Saúde; e Trabalho
Medidas de posição, medidas de dispersão, pesquisa estatística e técnicas de amostragem.
É importante que os estudantes reflitam sobre o uso inadequado da internet e os problemas desencadeados pelo mau uso desta. Discutir também sobre o comportamento diante das redes sociais, para que eles possam compreender a importância de estabelecer limite entre o público e o privado. Propor aos estudantes que respondam como eles lidam com os amigos na internet por meio de um texto individual, de modo que não se sintam constrangidos ao expor suas experiências.
Conexões
Acessar o site indicado a seguir para obter mais informações e dicas sobre o uso adequado de recursos tecnológicos para crianças e adolescentes.
• SOCIEDADE BRASILEIRA DE PEDIATRIA. Departamento de Adolescência. Manual de orientação : saúde de crianças e adolescentes na era digital. Rio de Janeiro: SBP, 2016. n. 1. Disponível em: www.sbp.com.br/fileadmin/user_upload/2016 /11/19166d-MOrient-Saude-Crian-e-Adolesc.pdf. Acesso em: 9 out. 2024.
São apresentadas, a seguir, as respostas aos itens propostos nessa seção.
1. Respostas pessoais. As respostas dependem das vivências dos estudantes.
2. Resposta esperada: Representa uma estimativa do tempo diário que os brasileiros ficam diante de telas.
3. Respostas pessoais. As respostas dependem das vivências dos estudantes.
Páginas 252 a 263
Medidas de posição
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT316 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que trata do cálculo e da interpretação de medidas de tendência central.
Antes de abordar cada uma das medidas de posição, promover uma avaliação diagnóstica a fim de verificar os conhecimentos prévios dos estudantes em relação ao conteúdo. Para isso, solicitar a eles que citem situações do cotidiano em que é interessante utilizar um único valor para representar um conjunto de dados obtidos em uma pesquisa. Propor que apresentem exemplos de conjuntos de dados, dizendo qual medida de tendência central é mais adequada para representá-lo e por quê.
Ao apresentar a média aritmética, destacar que essa é a medida de posição mais utilizada, podendo ser calculada a partir dos dados apresentados sem a necessidade de ordenação e de agrupamento. Além disso, ela é utilizada no cálculo de medidas de dispersão, que serão estudadas mais adiante nesta Unidade.
Chamar a atenção dos estudantes para o fato de que a média aritmética de um conjunto de dados pode ser um valor diferente dos valores do conjunto.
No trabalho com a média aritmética ponderada, na página 253, questionar os estudantes se a média aritmética é um caso particular de média aritmética ponderada. Espera-se que eles percebam que, no cálculo da média aritmética, os pesos dos dados são todos iguais.
Ao explorar a situação apresentada sobre a leitura de livros, na página 254, explicar aos estudantes que cada número organizado no quadro indica uma alternativa respondida na pesquisa.
É importante enfatizar que a moda, quando houver, é sempre um elemento do conjunto de dados analisado.
O contexto apresentado na página 255 favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, ao abordar os tipos de diabetes e alguns dos seus principais sintomas.
Destacar para os estudantes que, assim como a média aritmética, a mediana de um conjunto de dados pode ser um valor que não necessariamente coincida com um dos valores desse conjunto.
No trabalho com medidas de posição para dados agrupados em intervalos de classes, na página 256, relembrar inicialmente com os estudantes que a tabela de distribuição de frequência é um recurso utilizado para organizar um conjunto de dados, de modo a identificar diferentes características desses dados. Há situações em que é necessário agrupar os dados por faixas, denominadas intervalos de classe
Em relação ao exemplo apresentado, ressaltar que a notação 140 ¿ 150 indica que esse intervalo de classe corresponde à altura dos estudantes, que é igual ou maior que 140 cm e menor que 150 cm. Esse intervalo de classe também pode ser indicado pelo intervalo real [140, 150[.
A seção Atividades das páginas 259 a 263 aborda o cálculo da média aritmética, da moda e da mediana de um conjunto de dados. O contexto da atividade 2 favorece uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, uma vez que propõe aos estudantes ações para a redução do consumo de energia elétrica na residência em que moram.
Os contextos das atividades 3 e 17 propiciam uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Trânsito,
pois tratam, respectivamente, do número de mortes no trânsito brasileiro e das multas aplicadas no Brasil por excesso de velocidade. Comentar com os estudantes a campanha governamental de abrangência nacional “Maio Amarelo”, que mobiliza forças do Estado e da sociedade civil com o intuito de sensibilizar e conscientizar a população sobre os altos índices de acidentes e de mortalidade no trânsito.
Conexões
Sugerir aos estudantes que acessem o site indicado a seguir para obter mais informações sobre o Movimento Maio Amarelo.
• MAIO AMARELO. [S. l., 2024]. Site. Disponível em: https://maioa marelo.com/. Acesso em: 9 out. 2024.
Na atividade 7, é abordado o box-plot , conteúdo tratado na Unidade 6 do Volume 1 desta coleção. Relembrar com os estudantes que, em um box-plot , os valores maiores ou iguais ao limite inferior e os menores ou iguais ao limite superior são denominados valores adjacentes . Os demais valores, quando existirem, são denominados valores exteriores e costumam ser indicados por asterisco (*).
O contexto da atividade 9 propicia uma abordagem dos Temas Contemporâneos Transversais Educação Financeira e Educação Fiscal, pois trata do uso de um programa para a pesquisa de preços de produtos vendidos em estabelecimentos no estado do Paraná. O contexto da atividade 13 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Alimentar e Nutricional, uma vez que trata de uma campanha de combate à obesidade.
Com os estudantes organizados em grupos, propor a eles que pesquisem, em uma fonte de informação confiável, dados estatísticos relacionados à obesidade de crianças e adolescentes no Brasil. Em seguida, pedir que elaborem uma questão envolvendo as informações pesquisadas e o conceito de média aritmética. Por fim, eles devem compor um relatório de pesquisa, apresentando essa questão e os respectivos cálculos, além de elaborar um texto ressaltando a importância do combate à obesidade e identificando estratégias de prevenção. O relatório pode ser ilustrado e conter gráficos e tabelas que contribuam para a apresentação das informações. Atentar para que, nessa atividade, não ocorra práticas de bullying
O contexto da atividade 15 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, ao abordar a quantidade de mortes violentas de pessoas da comunidade LGBTQIA+. Se julgar conveniente, comentar com os estudantes que essa sigla representa a comunidade formada por pessoas lésbicas, gays, bissexuais, travestis, transexuais, queer, intersexo, assexuais e outras. Promover uma roda de conversa com os estudantes a respeito da importância do combate ao preconceito e à discriminação para que mortes não ocorram.
Conexões
Acessar o site indicado a seguir para obter informações a respeito da comunidade LGBTQIA+ e de seus direitos.
• BRASIL. Ministério dos Direitos Humanos e da Cidadania. Secretaria Nacional dos Direitos das Pessoas LGBTQIA+. Brasília, DF: MDH, [2024]. Disponível em: https://www.gov.br/mdh/pt-br/ navegue-por-temas/lgbt. Acesso em: 9 out. 2024.
Páginas 264 a 270
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT316 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que trata do cálculo e da interpretação de medidas de dispersão.
Comentar com os estudantes que há situações nas quais somente a análise de dados utilizando as medidas de posição não são suficientes. Assim, faz-se necessário o uso de outras medidas para avaliar detalhadamente um conjunto de dados.
Ao explorar a amplitude do conjunto de dados, na página 265, comentar com os estudantes que essa medida fornece a maior variação possível dos dados. Apesar de o cálculo da amplitude ser simples, não é considerada, na prática, uma boa medida de dispersão, pois são utilizados apenas os valores extremos do conjunto.
Ao explorar a medida de dispersão desvio padrão, explicar aos estudantes que, diferentemente da variância, o desvio padrão é expresso na mesma unidade do conjunto de dados. Comentar que, quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, menor será a dispersão dos dados, ou seja, a distribuição é mais homogênea.
Para complementar o estudo da variância e do desvio padrão, chamar a atenção dos estudantes para o fato de que essas medidas podem ser utilizadas para comparar a dispersão (ou grau de variabilidade) de dois ou mais conjuntos de dados, quando esses conjuntos apresentarem médias iguais, mesmo número de dados e ser expressos nas mesmas unidades.
Fonte dos dados: TAVARES, Marcelo. Estatística aplicada à administração. 3. ed. rev. ampl. Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração: UFSC; Brasília: Capes: UAB, 2014. p. 61.
A resolução apresentada na atividade R5 utiliza etapas que estão associadas à resolução de problemas. Sugere-se estruturar e executar essas etapas, como foi apresentado na resolução, sempre que perceber que os estudantes estão com dificuldades na resolução de um problema matemático. Comentar com os estudantes que o símbolo S corresponde à escrita da letra minúscula sigma, 18a do alfabeto grego. Em alguns materiais, esse símbolo é utilizado para representar o desvio padrão.
A seção Atividades das páginas 269 e 270 aborda o cálculo de medidas de posição e de dispersão de conjuntos de dados. O contexto apresentado na atividade 26 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos, uma vez que trata de um serviço para denúncias acerca da violação de direitos humanos.
A fim de verificar se os estudantes compreenderam os conteúdos estudados até o momento, propor que realizem as atividades 20 e 22 em uma folha avulsa, que deve ser entregue ao professor. Para complementar a atividade 20, pedir aos estudantes que indiquem a medida de tendência central que melhor representa o conjunto de dados apresentados e que interpretem o desvio padrão obtido em cada item.
Páginas 271 e 272
Você conectado
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 5, da competência específica 3 e da habilidade EM13MAT316 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que propõe o uso de recursos tecnológicos para o cálculo de medidas de posição e de dispersão de um conjunto de dados.
Na etapa B, explicar aos estudantes que, para o cálculo da amplitude, utiliza-se as funções MÁXIMO e MÍNIMO. Na situação apresentada, ao digitar separadamente “=MÁXIMO(A1:A12)” e “ =MÍNIMO(A1:A12)”, obtêm-se o maior e o menor valor do conjunto de dados, respectivamente.
Explicar aos estudantes que, caso o conjunto de dados tenha mais de uma moda, o valor apresentado na planilha eletrônica corresponderá à moda de menor valor.
Mãos à obra - página 272
2. Sugerir aos estudantes que obtenham as medidas de posição e de dispersão dos dados de duas maneiras diferentes, conforme apresentado nas etapas B e C
Páginas 273 a 284 Pesquisa estatística
O trabalho com esse tópico favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 2 e da habilidade EM13MAT202 da área de Matemática e suas Tecnologias, ao tratar do planejamento e da realização de uma pesquisa estatística amostral, e da competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias, uma vez que aborda possíveis soluções para situações-problema de demandas locais e regionais, por meio do uso de procedimentos próprios da Ciência.
Nas páginas 274 e 275, explicar aos estudantes que a amostra casual simples, geralmente, é utilizada quando se tem uma população finita constituída por unidades homogêneas, em que é possível listar todas essas unidades, e a amostra estratificada geralmente é utilizada quando se tem uma população constituída por unidades heterogêneas. Explicar aos estudantes que, de modo geral, considera-se a amostra sistemática como uma amostra semiprobabilística, que se constitui a partir de unidades retiradas de uma população, de modo que a primeira unidade é selecionada aleatoriamente e as demais são selecionadas a partir da primeira por meio de alguns processos preestabelecidos.
Ao explorar o boxe Matemática na história da página 276, é importante que os estudantes compreendam a função dos censos em diferentes momentos da história. Questioná-los acerca de quais eram e quais são os motivos para a realização de censos.
O tema da pesquisa apresentada como exemplo nas páginas 277 a 279 propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Trabalho. Promover uma roda de conversa sobre os interesses profissionais dos estudantes a fim de que eles reflitam acerca do futuro e da carreira que pretendem seguir.
O contexto apresentado nas páginas 280 e 281 favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias e propicia uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, uma vez que aborda a mortalidade de crianças por doenças diarreicas e a falta de acesso da população à rede de água tratada e a saneamento no Brasil. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em parceria com um professor da área de Ciências da Natureza e suas Tecnologias para discutir com os estudantes sobre a importância do saneamento básico.
Ressaltar para os estudantes que, ao realizar uma pesquisa com dados secundários, é importante que se utilizem fontes de informações confiáveis a fim de evitar a publicação e o compartilhamento de notícias falsas, conhecidas como fake news (em inglês).
A seção Atividades das páginas 282 a 284 aborda pesquisas estatísticas, bem como características e conceitos associados. A atividade 30 possibilita, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência específica 1 e da habilidade EM13MAT102 da área de Matemática e suas Tecnologias, uma vez que aborda a identificação de possíveis inadequações presentes em relatórios de pesquisas estatísticas.
A atividade 31 propõe a elaboração de um relatório contendo gráficos, tabelas e interpretação por meio de medidas de posição e de dispersão dos dados coletados. Para a realização da pesquisa, é interessante que cada grupo escolha um tema diferente, que seja pertinente para a execução de ações futuras. Em relação à elaboração do questionário, orientá-los a optar por questões cujos dados sejam quantitativos, o que possibilita o cálculo de medidas de posição e de dispersão. Também é imprescindível que a questão elaborada esteja relacionada ao tema. Para o tema alimentação saudável, por exemplo, os estudantes podem questionar os moradores do bairro sobre a frequência com que ingerem frutas e verduras na semana.
Páginas 285 a 287
Integrando com Ciências Humanas e Sociais Aplicadas
O trabalho com essa seção favorece, com maior ênfase, o desenvolvimento da competência geral 6, das competências específicas 2 e 3 e das habilidades EM13MAT202 e EM13MAT316 da área de Matemática e suas Tecnologias, além de propiciar uma abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Trabalho, uma vez que trata do jovem e o mercado de trabalho e sugere a reflexão dos estudantes sobre relações próprias do mundo do trabalho, favorecendo a preparação e escolhas alinhadas ao exercício da cidadania. Também oportuniza aos estudantes a realização de observações de aspectos qualitativos e quantitativos de uma pesquisa sobre empregabilidade de jovens no Brasil, de modo a interpretar, avaliar criticamente e comunicar informações relevantes.
Ao explorar o texto dessa seção, explicar aos estudantes que a Consolidação das Leis do Trabalho (CLT) foi instituída em 1943 e consiste em uma série de leis trabalhistas que garantem os direitos aos trabalhadores e estabelecem normas das relações entre empregador e empregados no Brasil.
Ao abordar o boxe No mundo do trabalho, perguntar aos estudantes se eles já elaboraram um currículo e, em caso afirmativo, que informações eles apresentaram. Outra sugestão é elaborar um currículo fictício com os estudantes ou propor que cada um faça o seu. Esse trabalho pode ser realizado em parceria com um professor da área de Linguagens e suas Tecnologias a fim de que os auxiliem com a escrita das informações.
No item a da questão 5 do Pensando sobre o assunto, explicar aos estudantes que o termo em inglês freelancer corresponde a um
profissional liberal que presta serviços de maneira autônoma para empresas ou pessoas, por exemplo.
Páginas 288 e 289
A seção tem como objetivo possibilitar um momento de reflexão e de autoavaliação para o professor e os estudantes. Para o trabalho com as questões 1, 2 e 3, sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, em que são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
A questão 4 trabalha a interpretação de tabelas e o cálculo de medidas de posição e de dispersão, além da identificação da técnica de amostragem de uma pesquisa. No item d, para o cálculo da média, espera-se que os estudantes determinem, inicialmente, o valor médio de cada intervalo de classe. Em relação à moda, é importante que eles percebam que essa medida corresponde ao valor médio do intervalo de classe de maior frequência. Como a quantidade de valores do conjunto é par, a mediana corresponde à média dos valores médios dos intervalos de classe que contêm os dois valores centrais.
Páginas 290 a 292
Praticando: Enem e vestibulares
Essa seção possibilita a realização de uma avaliação somativa dos estudantes. Sugere-se localizar, na parte geral destas Orientações para o professor, o tópico que trata especificamente dessa seção, no qual são apresentadas mais informações sobre como conduzi-la.
Saúde em foco
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Você sabia que o tabagismo é considerado uma doença crônica pela Organização Mundial de Saúde? Pois é. A dependência de nicotina atinge uma parcela enorme da população mundial e é responsável por provocar diversas doenças, além de afetar a qualidade de vida das pessoas. Esse uso já é considerado um problema de saúde pública.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
O mundo tem cerca de 1 bilhão e 250 milhões de fumantes. São pessoas que têm um risco elevado de desenvolver problemas graves de saúde. O uso de cigarro e de outros produtos de tabaco aumenta as chances de desenvolver cerca de 50 doenças, como o câncer e doenças respiratórias e cardiovasculares. Os estudos estimam que fumantes têm de duas a quatro vezes mais chance de desenvolver doenças cardiovasculares em comparação com pessoas que não fumam.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
O tabagismo é a maior causa de morte evitável no mundo. No Brasil, cerca de 428 mortes diárias são causadas pelo tabagismo e pela exposição passiva ao tabaco. Isso significa cerca de 156 mil óbitos anuais. Se considerarmos a população mundial, as doenças relacionadas ao tabaco provocam a morte de mais de 8 milhões de pessoas por ano.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Apesar dos inúmeros malefícios que o tabagismo pode causar, muitas pessoas ainda têm dificuldades quando o assunto é parar de fumar. Isso ocorre por causa da dependência que o tabaco provoca. Mas você sabe como essa dependência se desenvolve?
A resposta está na maneira como a nicotina, que está presente no tabaco, atua no corpo. Ela age nos neurônios, promovendo
a liberação de diversos neurotransmissores, incluindo a dopamina. Essa substância ajuda a regular funções, como cognição, aprendizado, humor, controle de movimentos, e influencia no sistema de recompensa do cérebro.
Estima-se que a nicotina começa a fazer efeito de 10 a 15 segundos após o uso do cigarro.
Com o tempo, a nicotina deixa o cérebro e, sem ela, ocorre a redução na quantidade de dopamina liberada pelos neurônios, e a vontade de fumar volta.
Ao longo do tempo, o cérebro passa a produzir menos dopamina para a mesma quantidade de nicotina. Isso faz com que o fumante precise de mais nicotina para ter as mesmas sensações.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Por causa da dependência que a nicotina provoca, parar com o uso do tabaco é um desafio, mas não é impossível. O Brasil é um exemplo no combate ao tabagismo. De acordo com a Organização Mundial de Saúde, o consumo de tabaco no país caiu 35% desde 2010. Essa redução é resultado das campanhas de conscientização sobre os riscos do tabaco, das políticas públicas voltadas para o controle do tabagismo e de outras iniciativas promovidas pelo governo federal e outras organizações. Essas ações não só melhoram a qualidade de vida das pessoas, mas também têm um impacto importante no Sistema Único de Saúde. O SUS gasta mais de 125 bilhões de reais por ano com o tratamento de doenças e incapacidades causadas pelo uso do tabaco. Mas, apesar dessa redução, ainda há muito a ser feito e novos desafios a enfrentar.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Um dos desafios atuais é, sem dúvida, o aumento do uso de cigarros eletrônicos ou vapes, que tem causado uma epidemia do uso de nicotina em jovens de vários países. De acordo com o Instituto de Inteligência em Pesquisa e Consultoria Estratégica, o número de usuários desses dispositivos aumentou 600% entre 2018 e 2023,
com mais de 2 milhões de brasileiros consumindo cigarros eletrônicos diariamente.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Muitas pessoas acreditam que os cigarros eletrônicos são menos prejudiciais à saúde do que os cigarros tradicionais, mas essa ideia está longe da realidade. Usuários de cigarros eletrônicos também estão expostos ao risco de câncer e de doenças cardiovasculares. Além da nicotina, esses dispositivos têm diversas substâncias químicas perigosas, e os efeitos de algumas delas ainda são desconhecidos. Por isso, fique atento: embora o cigarro eletrônico pareça mais inofensivo, ele também apresenta um grande risco à saúde.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
E como parar de fumar? Parar de fumar é uma jornada desafiadora, mas possível. Para isso, é importante buscar o apoio de médicos e terapeutas, que vão ajudar a pensar em estratégias para essa mudança.
Para quem tem vontade de parar de fumar, o SUS oferece aos brasileiros um programa de tratamento antitabagismo, incluindo a oferta de medicamentos. Interessados podem procurar a Unidade Básica de Saúde da sua região para obter mais informações sobre o tratamento ou ligar para o Disque Saúde pelo número 136.
Embora seja um desafio, parar de fumar é um passo fundamental para melhorar a saúde.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Créditos: Todos os áudios usados nesse podcast são da Freesound.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Pode parecer estranho, mas o desenvolvimento das ideias relacionadas à computação começou há mais de 5 mil anos, com as antigas civilizações usando pedrinhas para realizar cálculos. O ábaco, uma das ferramentas mais antigas criadas com essa finalidade, foi encontrado na Mesopotâmia, Egito e até na China, e pode ser considerado um precursor das calculadoras, que, de certa maneira, foram os primeiros computadores.
A primeira máquina de calcular de que se tem registro foi inventada por um estudioso alemão no século XVII e aperfeiçoada por diversas pessoas ao longo do tempo. No século XIX, surgiu um dos principais conceitos da computação moderna: a programação.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Mas, se é para considerarmos alguém como o precursor da computação, esse título é do inglês Alan Turing, amplamente reconhecido como o “pai da computação”. Ele criou o modelo teórico, publicado pela primeira vez em 1936, da máquina de Turing, um dispositivo capaz de realizar cálculos, entre outras funções, de acordo com instruções previamente recebidas. Em outras palavras, ela podia ser programada com o uso de algoritmos.
Vale lembrar que o primeiro algoritmo foi criado por Ada Lovelace, uma matemática inglesa, quase um século antes, no período em que ela colaborava no projeto da primeira máquina analítica, que está exposta no Museu de Ciências de Londres.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Alan Turing também se destacou graças às suas contribuições durante a Segunda Guerra Mundial. Trabalhando para o governo britânico, ele liderou uma das equipes responsáveis por decifrar as mensagens codificadas pela máquina Enigma, um dispositivo alemão que usava um sistema de criptografia para enviar comunicados secretos entre seus aliados. Além de Turing, o grupo contava com especialistas como o campeão de xadrez Gordon Welchman e a criptoanalista Joan Clarke. Ao decodificar as mensagens trocadas pelos nazistas, a equipe fez uma enorme contribuição para a vitória dos Aliados.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Ada Lovelace, Alan Turing, Gordon Welchman e Joan Clarke tinham algo em comum: todos eram matemáticos, e isso não é um detalhe. A Matemática é fundamental na computação e na programação, pois ambas utilizam a lógica matemática.
Além disso, muitos algoritmos de programação são desenvolvidos utilizando conhecimentos matemáticos. A programação se baseia em aspectos do pensamento computacional estudados em Matemática, como raciocínio lógico, resolução de problemas, pensamento algorítmico, organização de informações e modelagem de soluções.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Além de desenvolver os princípios da computação, Alan Turing fez contribuições importantes para a inteligência artificial, um campo da Ciência voltado para a criação de máquinas e computadores capazes de raciocinar, aprender e atuar de modo parecido com os seres humanos. Ele desenvolveu o Teste de Turing, que funcionava assim: um operador conversava simultaneamente com uma máquina e um humano, sem saber quem era quem, e, baseando-se nas respostas, deveria distinguir se a resposta era do humano ou da máquina. Se o operador não conseguisse, a máquina teria passado no teste com sucesso. Esse exercício proposto por Turing foi um dos primeiros envolvendo inteligência artificial.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Com o tempo, a inteligência artificial vem se aprimorando e se tornando cada vez mais presente em nossas vidas. Atualmente, temos acesso a ela por meio de chats e aplicativos capazes de gerar múltiplas respostas para determinada questão, selecionar quais são as melhores e avaliá-las posteriormente. Com essas tecnologias, é possível realizar cálculos, criar imagens e até mesmo desenvolver novos códigos de programação.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
A inteligência artificial já influencia uma série de atividades em todo o mundo. Por ser capaz de analisar grandes volumes de dados e identificar padrões e tendências, ela pode ser aplicada para aprimorar as mais variadas operações, como personalizar a experiência do usuário, trazer avanços para as áreas da saúde, educação, transportes e muito mais.
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Mas, apesar dos avanços significativos que proporciona à sociedade, também surgem algumas preocupações. Entre elas, estão as falhas nos sistemas e brechas de segurança; os efeitos chamados “aprendiz de feiticeiro” e “autonomia compartilhada”, que ocorrem quando uma inteligência artificial “aprende” algo considerado senso comum, mas que não é necessariamente verdadeiro, o que pode levar a conclusões equivocadas. Além disso, o aumento do uso dessa tecnologia provoca impactos socioeconômicos, como a possível extinção de diversos postos de trabalho, cujas funções foram automatizadas, ou seja, podem ser realizadas por meio de programas de inteligência artificial. Esses são temas que devem ser avaliados não apenas por cientistas e engenheiros da computação, mas por toda a sociedade.
Que tal refletir sobre o impacto da inteligência artificial na sociedade e os cuidados que devemos ter ao lidar com essa tecnologia?
[MÚSICA DE TRANSIÇÃO]
Créditos: Os áudios inseridos neste podcast são da Freesound.
[SOM DE PESSOAS CONVERSANDO]
De 2010 para 2022, o Brasil teve um aumento de 12 milhões de habitantes. Embora expressiva, essa quantidade ficou abaixo do esperado: 4 milhões e 700 mil pessoas a menos do que as estimativas previam. Mas você sabe como esse dado é obtido?
Esse e outros dados são obtidos por meio do Censo Demográfico, realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), órgão federal vinculado ao Ministério da Economia.
O Censo Demográfico é uma pesquisa nacional periódica que reúne informações sobre a população do país. Ele coleta dados como idade, sexo, raça, educação, renda e condições de moradia, com o objetivo de compreender quem somos, como vivemos e quais são as nossas características. E para que servem essas informações?
Os dados coletados, analisados e divulgados pelo Censo ajudam a conhecer melhor a realidade brasileira. Essas informações são importantes para o planejamento de políticas públicas e para direcionar corretamente os investimentos governamentais, revelando, por exemplo, onde é necessário construir mais escolas, hospitais e investir em infraestrutura.
[SOM DE PESSOA DIGITANDO EM TECLADO]
Outro levantamento relevante feito pelo IBGE é a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio Contínua, também conhecida como PNAD.
De 1967 a 2015, a periodicidade da PNAD variou, mas pode-se dizer que ela era predominantemente anual. A partir de 2016, foi substituída pela PNAD Contínua, passando a ser realizada mensal ou trimestralmente. As informações coletadas permitem acompanhar a evolução dos indicadores do mercado de trabalho e o desenvolvimento socioeconômico.
A principal diferença entre essas duas pesquisas é que o Censo Demográfico é uma pesquisa censitária, em que todos os elementos da população são investigados, enquanto a PNAD Contínua é uma pesquisa amostral, na qual apenas uma parte da população é investigada, buscando retratar características dessa população. A PNAD Contínua complementa o Censo, que tem um objeto de estudo mais amplo.
[ÁUDIO EXTRAÍDO DE VÍDEO]
“Um bom amigo vai bater à sua porta.
Quem é?
É o agente do Serviço Nacional de Recenseamento.
Jesus! O que será isso?
Nada de sustos, abra-lhe a porta sem receio.”
O trecho que acabou de ser apresentado foi transmitido como uma propaganda de rádio em 1940, ano em que o IBGE realizou o primeiro levantamento oficial de dados no país. Mas você sabia que, desde o Brasil colonial, já eram realizadas pesquisas para determinar a quantidade de habitantes?
O primeiro censo deveria ter ocorrido em 1852, mas a população desconfiava de divulgação de dados pessoais, como nome, idade, escolaridade, profissão e condição social, ou seja, se era livre ou escravizada. Assim, o censo só foi realizado 20 anos depois, pela Diretoria Geral de Estatística do Brasil imperial. Em 1872, descobriu-se que a população brasileira era de pouco mais de 9 milhões e 900 mil pessoas.
[SOM DE PESSOAS CONVERSANDO]
Atualmente, para realizar o Censo Demográfico, o IBGE utiliza um questionário que coleta dados sobre emprego, renda, migrações entre as regiões do país, informações sobre o crescimento e o envelhecimento da população, entre outros temas. Desde os primeiros censos, quando os agentes atravessavam o país no lombo de mulas, muita coisa mudou. Em 2010, a coleta
passou a ser totalmente digital, com os recenseadores utilizando computadores de mão.
Hoje, o Censo alcança todas as casas brasileiras por meio da internet, do telefone ou por entrevistas presenciais. Devido à pandemia de covid-19, o último Censo, que deveria ser realizado em 2020, sofreu um atraso de dois anos.
[SOM DE CAMPAINHA]
Entre agosto e dezembro de 2022, quase 90 milhões de moradias foram visitadas por cerca de 183 mil recenseadores – os profissionais encarregados de realizar essa pesquisa. As visitas incluíram comunidades quilombolas e Terras Indígenas. Este foi o primeiro Censo a levantar dados específicos sobre cidadãos que se autoidentificam como quilombolas e indígenas no país.
No Censo de 2022, havia dois tipos de questionários: o simples, que levava 5 minutos para ser respondido, e o ampliado, que demandava 16 minutos. Cerca de 11% dos domicílios foram selecionados por amostragem para responder ao questionário ampliado, proporcionando uma gama maior de informações para os pesquisadores.
Com a base de dados disponibilizada pelo IBGE, governos, universidades e empresas privadas podem realizar análises e estudos, considerando informações sobre a população, a média de moradores por domicílio, densidade demográfica, comparações entre regiões e mapeamento de áreas de interesse e de risco.
[SOM DE PESSOA DIGITANDO EM TECLADO]
O levantamento de 2022 mostrou que o Brasil tinha mais de 203 milhões de habitantes, um aumento de 12 milhões de pessoas em relação ao Censo anterior, realizado em 2010. E, como comentamos no início do podcast, o resultado foi, ainda assim, menor do que o previsto.
Um dado interessante sobre a educação revela a queda da taxa de analfabetismo, que passou de 9,6% em 2010 para 7% em 2022. Apesar desse avanço, é importante entender em quais contextos a alfabetização ainda é deficiente para que possamos pensar em políticas públicas mais eficientes. A taxa de analfabetismo no Nordeste, por exemplo, é de 14,2%, enquanto no Sul e no Sudeste é inferior a 4%. Além disso, esse índice é quatro vezes maior em pequenos municípios do que em cidades com mais de 500 mil habitantes.
Com base nessas informações, governos e instituições podem tomar providências para enfrentar esse e outros problemas, priorizando os locais com maior necessidade de alfabetização e investindo, por exemplo, em unidades de Educação para Jovens e Adultos (EJA). Essa iniciativa é responsável pela formação de pessoas que não conseguiram concluir a Educação Básica, ou seja, o Ensino Fundamental e o Médio no tempo determinado.
Neste podcast , você pôde perceber a importância das pesquisas estatísticas e dos estudos realizados pelo IBGE para compreendermos melhor o nosso presente e exigirmos dos governantes um planejamento adequado para o futuro do país, não é mesmo?
[SOM DE PESSOAS CONVERSANDO]
Créditos: a propaganda do IBGE sobre o Censo Demográfico de 1940 foi veiculada em reportagem da TV Brasil em 2022. Os demais áudios deste podcast são da Freesound.
Unidade 1 • Função exponencial
1. a) 6 6 6 = 216
b) ( 4) ? ( 4) = 16
c) 25 1 = 1 25
d) 3 2 3 2 3 2 3 2 = 81 16
e) ( 5 6 ) 2 = ( 6 5 )2 = 6 5 6 5 = 36 25 f) 450 = 1, pois a 0 = 1, se a 5 0
2. a) 5 2 (5 2) 5 3 6 2 = 5 2 5 10 3 12 = 5 12 3 12 = ( 5 3 )12
b) ( 6)9 + ( 2) = ( 6)7
c) (3 4) 9 3 2 4 9 = = 3 9 ? 4 9 ? 3 2 4 9 = 3 9 + ( 2) = 3 7
d) 9 6 3 : 3 10 = 9 18 : 3 10 = (3 2) 18 : 3 10 = = 3 2 18 : 3 10 = 3 36 : 3 10 = 3 36 10 = 3 26
e) (15 3) 7 8 5 + 2 = ( 45 8 )7
f ) (4) 3 15 5 45 20 18 = 4 45 ? 5 45 20 18 = = (4 5) 45 20 18 = 20 45 20 18 = 20 45 18 = 20 27
3. a) 1 5 3 : 5 5 = 5 3 5 = 5 2 = 1 25
b) 7 2 ( 3) ? 1 3 4 3 ? (2 ? 7) 8 = = 7 6 ? 1 3 (2 2) 3 ? 2 8 ? 7 8 = = 2 8 6 7 8 6 = 2 2 7 2 = 196
c) ( 3) 5 2 2 ( 3) 7 = = ( 3) 5 ? ( 3) 7 2 2 = ( 3) 5 7 2 2 = = ( 3) 2 2 2 = ( 3 2 ) 2 = ( 2 3 )2 = 4 9
d) ( 9) 2 7 4 (3 7) 3 1 = (3 2) 2 7 4 3 3 7 3 = 3 4 7 4 3 3 7 3 = = 3 4 3 ? 7 4 3 = 3 ? 7 = 21
4. quantidade de grãos da última casa: 264 1 = 263 2 63 2 29 = 2 63 29 = 2 34
Portanto, seria necessário dobrar 34 vezes a produção de 2022/2023.
5. 1 TB = 1 024 GB
1 024 270 = 754 754 1 024 1 0,736 H H aproximadamente 73,6%
6. a) • 3 210 B
• 5 2 10 2 10 = 5 2 20 H 5 2 20 TB
• 8 ? 210 ? 210 ? 210 = 23 ? 230 = = 233 H 233 kB
• 7 2 10 2 10 2 10 = = 7 2 30 H 7 2 30 GB
b) I e III
I) 16 210 = 24 210 = 214 II) 4 210 = 22 210 = 212 III) 32 ? 210 = 25 ? 210 = 215
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes sejam capazes de estabelecer algoritmos para a conversão de unidades de medida de armazenamento de dados, de modo que utilizem potências de base 2 e suas propriedades nessas conversões. Mostrar aos estudantes como a realização das conversões com as potências de mesma base pode facilitar os cálculos de divisão e de multiplicação.
7. 454 ? 2549 = (22)54 ? (52)49 = 2108 ? 598 = = 210 298 598 = 210 (2 ? 5)98 = = 1 024 1098
Como na multiplicação obtida o fator 10 98 apenas acrescenta 98 zeros à direita de 1 024, temos que a soma dos algarismos do produto é:
1 + 2 + 4 = 7.
8. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem atividades que envolvam uma ou mais propriedades de potência estudadas. Desafiá-los a compor questões em que mais de uma propriedade é utilizada no mesmo item e pedir que, durante as resoluções das atividades dos colegas, justifiquem os cálculos apresentando as propriedades utilizadas.
9. Para escrever os números em notação científica, podemos contar as ordens até dispormos a vírgula de modo a obter um fator entre 1 e 10 e considerar essa contagem para determinar o expoente no fator que é uma potência de 10.
a) 5,68 1011
b) 1,0263 1016
c) 9,07 1014
d) 6 10 7
e) 7,98 10 9
f ) 6,04 ? 10 13
10. a) 6, 51 10 8 4, 65 10 10 = 1, 4 10 2
b) 7, 25 ? 10 5 ? 1, 4 ? 10 7 = = 7, 25 ? 1, 4 ? 10 5 ? 10 7 = = 1, 015 ? 10 1
c) 6, 51 ? 10 8 ? 7, 25 ? 10 5 1, 4 10 7 = = 6, 51 7, 25 10 8 10 5 1, 4 10 7 = = 3,37125 10 5
11. a) 7, 1 10 16 9, 46 ? 10 12 1 0, 7505 ? 10 4 H
H aproximadamente 7 505 anos-luz
b) 1,67824 10 15 10 10 = = 1,67824 10 5 H 1,67824 10 5 º A
• R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes busquem contextos em que as medidas apresentadas são “muito grandes” ou “muito pequenas”, de maneira que faça sentido convertê-las em ano-luz ou angstrom, respectivamente. É importante observar se os estudantes convertem corretamente as medidas entre as unidades convencionais.
12. a) 2,83 10 3 = 0,00283
Portanto, a massa indicada no visor é 0,0028 g.
b) 2,8 10 3 g
13. alternativa d 40 10 9
3 ? 10 6 1 13,333 10 3 H
H 1,3 104 km
14. a) 2,5 + 2,6 2 = 2,55 H 2,55 cm
b) 2,8 + 2,9 2 = 2,85 H 2,85 cm
c) 3,2 + 3,3 2 = 3,25 H 3,25 cm
15. a) Resp osta possível: Aproximadamente 1,6 L. Para estimar o volume de líquido, pode-se calcular a média aritmética de 1,5 L e 1,75 L, que é 1,625 L, e arredondar essa medida ao décimo do litro mais próximo, obtendo 1,6 L.
b) Resposta possível: 1 é algarismo certo; 6 é algarismo duvidoso.
16. a) • 3,86 cm; algarismos certos: 3 e 8; algarismo duvidoso: 6
• 7,43 cm; algarismos certos: 7 e 4; algarismo duvidoso: 3
b) C omo 1 m equivale a 100 cm, podemos multiplicar cada medida por 10 2, obtendo:
3,86 cm = 3,86 ? 10 2 m; 7,43 cm = 7,43 10 2 m.
c) R espostas pessoais. Espera-se que os estudantes compreendam e apliquem os conceitos de algarismos certos e duvidosos. Certificar-se de que eles medirão corretamente objetos cuja medida, na unidade escolhida, não pode ser aferida de maneira precisa.
17. 5,4 L = 5,4 106 mm3
3,95 10 10
5,4 10 6 1 0,731 10 4 1
1 7, 31 ? 10 3
Aproximadamente 7,31 ? 103 leucócitos por milimetro cúbico de sangue. Essa concentração de leucócitos está entre os valores de referência.
18. a) 70 ? 1 ? 106 = 7 ? 107 H H 7 107 células-tronco
b) 0,7 70 = x 62 h 70x = 43,4 h x = 0,62
0,62 mg = 0,62 10 3 g = 6,2 10 4 g
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem um texto contendo informações e características sobre os textos científicos, bem como as diferenças entre eles de acordo com o público a que se destinam, por exemplo. Espera-se que no texto eles utilizem argumentos que defendam a ciência para a evolução da humanidade, sua importância para o combate da disseminação de notícias falsas e para a busca de uma sociedade mais justa e sustentável. Eles podem citar exemplos de produções da ciência, como o desenvolvimento das vacinas na pandemia de covid-19, e a utilização de fontes de energias renováveis para diminuir a degradação do meio ambiente.
19. Utilizando a definição de potência com expoente racional, temos:
a) 9 3 4
b) 8 1 6
c) 3 10 2
Decomponha o radicando em fatores primos.
Utilize propriedades de radiciação e simplifique a raiz. Organize os fatores do radicando de maneira a obter potências com expoente igual ao índice da raiz.
R esposta esperada: Considerando as informações do enunciado, não é possível comparar os valores das duas expressões, pois, se 0 , x , 1, o valor da expressão I será maior que o da expressão II ; se x . 1, o valor da expressão I será menor que o da expressão II ; e se x = 1, as duas expressões terão valores iguais.
24. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem expressões que possam ser simplificadas utilizando as propriedades de radiciação e empreguem as propriedades para resolver as expressões dos colegas. É importante que justifiquem, a cada etapa, a propriedade utilizada.
25. a) Digitando 3 elevado a √ 2 na calculadora, obtemos aproximadamente 4,7.
b) Digitando 4 elevado a √ 5 na calculadora, obtemos aproximadamente 22,2.
c) Digitando √2 elevado a √2 na calculadora, obtemos aproximadamente 1,6.
d) Digitando 2 elevado a p na calculadora, obtemos aproximadamente 8,8.
26. alternativa a
a) 82 = 8 ? 8 = 64
b) 28 = 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 = 256
c) Como 4 , 8 , 9, temos que:
√ 4 , √ 8 , √ 9 h 2 , √ 8 , 3
Logo, como 22 = 4 e 23 = 8, temos que
2√ 8 está entre 4 e 8.
d) Como 3 , p , 4, temos que:
53 , 5p , 54 h 125 , 5p , 625
e) (√ 15 )4 = 152 = 225
27. alternativa a 6 √ 2 1 61,4 = 6 14
28. Observando todos os itens em que a função é do tipo f (x ) = a x, temos: a, c e f
29. a) f (4) = 34 = 81
b) g (3) = 83 = 512
c) f ( 2) = 3 2 = 1 9
d) g( 1 3 ) = 8 1 3 = 2
e) f (3) g (1) = 33 81 = 19
f ) 2g (2) f (5) = 2 82 35 = 115
30. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes sejam capazes de escrever a lei de formação de uma função exponencial e reconhecer e indicar elementos de seu domínio. Além disso, é importante que eles compreendam como calcular valores da função para os elementos do domínio indicados pelos colegas e que relacionem os resultados desses cálculos com as imagens dos respectivos valores.
31. a) etapa 5: 25 = 32 H 32 bactérias etapa 6: 26 = 64 H 64 bactérias
b) 4 60 20 = 12 H 12 etapas
212 = 4 096 H 4 096 bactérias
c) C omo a quantidade de bactérias dobra a cada etapa, temos: f (x )= 2x
32. a) após dois dias: 1 4 = 0,25 H 0,25 mg após quatro dias: 1 16 = 0,0625 H H 0,0625 mg
b) Como esse princípio ativo é reduzido à metade a cada dia, temos h(x ) = ( 1 2 )x
c) tempo entre a ingestão do 2o e a do 3o comprimido: 42 horas
tempo entre a ingestão do 1o e a do 2o comprimido:
36 horas (42 6 = 36) ou 48 horas (42 + 6 = 48)
tempo entre a ingestão do 1o e a do 3o comprimido:
78 horas (42 + 36 = 78) ou 90 horas (42 + 48 = 90)
78 horas = 78 24 dias = 3,25 dias
h(3,25) = ( 1 2 )3,25 1 0, 105
90 horas = 90 24 dias = 3,75 dias
h(3,75) = ( 1 2 )3,75 1 0, 074
Portanto, a quantidade do princípio ativo do primeiro comprimido no organismo de Bruna era de aproximadamente 0,074 mg ou 0,105 mg.
33. a) Analisando o gráfico, temos que a função é decrescente. Então, a pertence ao intervalo ]0, 1[.
b) f (0) = a0 = 1 ponto de coordenadas (0, 1)
c) Não, pois, como f é uma função exponencial, f (x ) . 0 para todo x [ r
d) Como g (x ) = f (x ), podemos afirmar que g é uma função negativa em todo o seu domínio, ou seja, g (x ) , 0 para todo x [ r
34. a) s; b) f; c) g; d) t
s(2) = 1 8 2 2 = 1 2 e s(4) = 1 8 2 4 = 2
f (4) = 3 4 4 + 1 = 2 e
f (5) = 3 5 4 + 1 = 4
g ( 2) = ( 1 2 ) 2 3 = 1 e
g (1) = ( 1 2 )1 3 = 5 2
t (0) = 5 1 0 3 = 2 e
t(1) = 5 1 1 3 = 2
35. a) Analisando o c omportamento do gráfico das funções, temos: função f : crescente; função g: decrescente.
b) Temos que f (0) = 1 e f (2) = 5. Assim:
f (0) = b 20 + c = 1 h b + c = 1
f (2) = b ? 22 + c = 5 h 4b + c = 5
Para determinar os números reais b e c , podemos escrever e resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas.
{b + c = 1
4b + c = 5 h b = 2 e c = 3
Logo, f (x ) = 2 2x 3.
Temos ainda que g (2) = 2 e
g (1) = f (1) = 1. Assim, considerando a lei de formação de g como
g (x ) = mx + n, temos:
g (2) = 2m + n = 2
g (1) = m + n = 1
Para determinar os números reais m e n , podemos escrever e resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas.
{2m + n = 2 m + n = 1 h m = 3 e n = 4
Logo, g (x ) = 3x + 4. c) C omo 2 x . 0, podemos multiplicar por 2 ambos os membros dessa desigualdade.
2 2x . 2 0 h 2 2x . 0
Agora, subtraímos 3 em ambos os membros da desigualdade obtida.
2 2x 3 . 0 3 h f (x ) . 3
Portanto, Im(f ) = {y [ r | y . 3}.
Im(g) = r
36. a) ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES 0 1 2 3 x y 4 5 6 7 8
f ( x ) = 3x + 1
37. a) f (1) = a1 = a b) f (x1 + x2) = a (x1 + x2) = a x1 a x2 = = f (x1) ? f (x2)
c)
(nx
38. a) alternativa II
Coordenadas de alguns dos pontos pelos quais passa o gráfico da função: (0, 0), (1, 2), (2, 8), (3, 26), (4, 80).
I) f (2) = 1 + 22 = 1 + 4 = 3 H H não condiz
II) f (0) = 1 + 30 = 1 + 1 = 0
f (1) = 1 + 31 = 1 + 3 = 2
f (2) = 1 + 32 = 1 + 9 = 8
f (3) = 1 + 33 = 1 + 27 = 26
f (4) = 1 + 34 = 1 + 81 = 80
III) f (0) = 20 + 1 = 2 H não condiz
b) f (10) = 1 + 310 = 1 + 59 049 = = 59 048 H 59 048 compartilhamentos c) P esquisa do estudante. Espera-se que os estudantes pesquisem e compreendam estratégias para verificar a veracidade de uma informação e apresentem itens como: verificar se o título é muito chamativo; se a notícia tem erros ortográficos e gramaticais; se outros veículos de comunicação também publicaram algo a respeito da mesma notícia; a data de publicação da notícia; a URL do site em que foi publicado; e se há opiniões explícitas no texto (notícias jornalísticas devem ser isentas de opiniões pessoais).
39. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compartilhem suas experiências a respeito do assunto e compreendam os perigos de participar de esquemas de pirâmide, que podem levar à reclusão e multa.
b) nível 5: 64 4 = = 256 H 256 participantes; nível 6: 256 4 = = 1 024 H 1 024 participantes
c) Observe que:
nível 1: 1 = 40 = 41 1
nível 2: 4 = 41 = 42 1
nível 3: 16 = 42 = 43 1
nível 4: 64 = 43 = 44 1
nível 5: 256 = 44 = 45 1
nível 6: 1 024 = 45 = 46 1
nível n : q (n) = 4n 1 ou
q(n) = 4 n 4 = 1 4 4 n
d) q(7) = 47 1 = 46 = 4 096
q(8) = 48 1 = 47 = 16 384
q(9) = 49 1 = 48 = 65 536
65 536 + 16 384 + 4 096 = 86 016
86 016 1 000 = 86 016 000 H
H R$ 86.016.000,00
40. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes relacionem os dados da tabela a funções exponenciais, ou seja, verifiquem que a variação da quantidade de indivíduos em função do tempo pode ser expressa por uma função exponencial e, a partir disso, elaborem uma situação-problema.
41. a) 113 = 114x h 4x = 3 h
h x = 3 4 H S = { 3 4 }
b) 25x + 9 = 252 h x + 9 = 2 h
h x = 7 H S = { 7}
c) 3 2(x 2 + 2) = 3 3(2x ) h 3 2x 2 + 4 = 3 6x h
h 2x 2 6x + 4 = 0 h
h {x = 1 ou x = 2 H S = {1, 2}
d) 7 2 = 73x h x = 2 3 H S = { 2 3 }
e) 26(1 2x ) = 2 2(3x ) h 6 12x = 6x h
h x = 1 H S = {1}
f ) 3 2x 4 = 3 4 3 1 2 h x 2 = 4 + 1 2 h
h x 2 = 9 2 h x = 9 H S = {9}
42. a) 7x = 42 (7x )2 h (7x )2 7x 42 = 0
Fazendo y = 7x, temos:
y2 y 42 = 0 h {y = 7 ou
y = 6
Para y = 7, temos 7 = 7x h x = 1.
Para y = 6, temos 6 = 7x (impossível).
Portanto, S = {1}.
b) 81 = 10 ? 3 ? 3x (3x )2 h
h (3x )2 30 3x + 81 = 0
Fazendo y = 3x, temos:
y2 30y + 81 = 0 h {y = 27 ou y = 3
Para y = 27, temos 33 = 3x h x = 3.
Para y = 3, temos 3 = 3x h x = 1.
Portanto, S = {1, 3}.
c) 4x 4 1 + 8 = 3 2x h
h (2x )2 ? 0,25 + 8 = 3 ? 2x h
h 0,25 (2x )2 3 2x + 8 = 0
Fazendo y = 2x, temos:
0,25y2 3y + 8 = 0 h {y = 4 ou y = 8
Para y = 4, temos 22 = 2x h x = 2.
Para y = 8, temos 23 = 2x h x = 3.
Portanto, S = {2, 3}.
43. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes utilizem a criatividade para compor equações de diferentes níveis de dificuldade, utilizando propriedades de potência e de radiciação estudadas na Unidade. É importante que eles compreendam que cada membro da equação deve ser indicado de maneira que todos possam ser escritos como potências de mesma base.
44. a) Analisando que f (1) = 3 = 31, f (2) = = 9 = 32 e f (3) = 27 = 33, temos que a lei de formação correta é a do item II
b) f (4) = 34 = 81 H
H 81 quadrados na cor laranja
c) 729 = 3x h 36 = 3x h
h x = 6 H figura 6
45. Para determinar o ponto de interseção, fazemos:
( 1 2 )x + 1 = 6 ? 2 x h
h (2 x ) 1 + 1 = 6 2 x h
h 6 2x 1 (2x ) 1 = 0
Fazendo y = 2x, temos:
6y 1 y 1 = 0 h
h 6y2 y 1 = 0 h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y = 1 2 ou y = 1 3
Para y = 1 2 , temos 2 1 = 2x h
h x = 1.
Para y = 1 3 , temos 1 3 = 2x (impossível).
f ( 1) = 6 2 1 = 3
Portanto, o ponto de interseção é ( 1, 3).
46. alternativa c 1 000 20,0625t = 2 000 h 20,0625t = 2 h
h 0,0625t = 1 h t = 16 H 16 anos
47. a) p (0) = 6 561 3 0,4 0 = = 6 561 H R$ 6.561,00
b) 6 561 ? 3 0,4t = 2 187 h
h 3 0,4t = 3 1 h _0,4t = 1 h t = 2,5
Portanto, 2,5 anos ou 2 anos e 6 meses.
c) 0 1 000 2 000 3 000 t p 4 000 5 000 6 000 12 3 4
d) Pesquisa do estudante. Os estudantes podem responder, por exemplo, que um produto sofre depreciação em razão do lançamento de atualizações do mesmo produto no mercado e da sua obsolescência.
48. Atividade de elaboração do estudante. É importante que os estudantes compreendam que, ao descrever uma situação de depreciação com uma função exponencial relacionando o tempo e o valor, essa função deve ser decrescente, uma vez que o bem perde valor com o decorrer do tempo. Ainda nesta atividade, é importante que eles mostrem que compreenderam a utilização dessa função para representar situações de depreciação.
49. a) Como essa quantidade é reduzida à metade a cada duas horas, temos:
1 : 2 = 0,5
0,5 : 2 = 0,25
Portanto, 0,5 mg e 0,25 mg, respectivamente.
b) Temos que, após 2 horas, o nível de nicotina será 0,5 mg. Assim:
I) f (2) = 1 2 2 = 0 H não convém
II) f (2) = 1 2 2 = 1 4 H não convém
Logo, a lei da função que representa a situação é a III c)
f (t ) t
Uma resposta possível:
O ponto (8; 0,06) indica que a quantidade de nicotina restante no organismo de uma pessoa que fumou um cigarro há 8 horas é de 0,06 mg.
d) 2 1 2 t = 1 2 5 h 1 2 t = 5 h
h t = 10 H 10 horas
e) Pesquisa do estudante. Espera-se que os estudantes abordem, na peça publicitária, os malefícios do tabagismo para a saúde. Eles podem buscar as informações em sites confiáveis, como o do Ministério da Saúde, do Governo Federal, e o do Instituto Nacional de Câncer (Inca). É importante que os estudantes se conscientizem e conscientizem a comunidade escolar do mal que o tabagismo representa à saúde pública.
50. a) 32(x + 2) > 3
Como a . 1, temos:
2x + 4 > 1 h x > 3 2
Portanto, S = {x [ r | x > 3 2 }.
b) ( 1 2 )2(5 _ 3x ) < ( 1 2 )x + 1
Como 0 , a , 1, temos:
10 6x > x + 1 h x < 9 7
Portanto, S = {x [ r | x < 9 7 }
c) 7 x 2 _ 3x , 7 2(3x )
Como a . 1, temos: x2 3x , 6x h 3 , x , 0
Portanto, S = {x [ r | 3 , x , 0}.
d) 62x 10 . 60
Como a . 1, temos:
2x 10 . 0 h x . 5
Portanto, S = {x [ r | x . 5}.
e) ( 3 4 )x 2 _ 4 > ( 3 4 )0
Como 0 , a , 1, temos:
x 2 4 < 0 h 2 < x < 2
Portanto, S = {x [ r | 2 < x < 2}.
f ) 2x 23 2x 2 , 768 h
h 2x (23 2) , 768 h 2x , 128 h
h 2x , 27 h x , 7
Portanto, S = {x [ r | x , 7}.
51. a) 43x + 1 512 > 0 h 22(3x + 1) > 29 h
h 6x + 2 > 9 h x > 7 6
Logo, D(f ) = {x [ r | x > 7 6 }
b) ( 1 3 )x _ 5 1 729 . 0 h
h 3 (x 5) . 3 6 h _x + 5 . 6 h
h x , 11
Logo, D(g ) = {x [ r | x , 11}.
c) 7 x + 1 ( 1 7 ) 2x + 3 > 0 h
h 7x + 1 > 7 (2x + 3) h
h x + 1 > 2x 3 h x > 4 3
Logo, D(h) = {x [ r | x > 4 3 }
d) 5 x ? 5 + 5 x ? 5 2 126 > 0 h
h 5 x (5 + 5 2) > 126 h
h5 x > 52 h x < 2
Logo, D(m) = {x [ r | x < 2}.
52. alternativa b
Analisando o intervalo em que o gráfico da função f está abaixo da função g , temos: S = {x [ r | 0 < x < 4}.
53. 4x + 3 4x 2 > 1 023 h
h 4x (43 4 2) > 1 023 h
h 4x 1 023 16 > 1 023 h 4x > 42 h x > 2
Logo, S = {x [ r | x > 2}.
54. a) Considerando que a massa do medicamento diminui 40% a cada hora, resta 60% a cada hora. Então, temos:
m(t ) = 1 250 ( 60 100 )t h
h m(t ) = 1 250 ? ( 3 5 ) t
b) 1 250 ? ( 3 5 ) t , 162 h
h ( 3 5 ) t , 162 1 250 h ( 3 5 ) t , ( 3 5 )4 h
h t . 4 H após 4 horas
55. alternativa d
Como o montante M dobra todo ano, temos M = 2 500 2t. Assim, temos:
M . 40 000 h 2 500 2t . 40 000 h
h 2t . 40 000 2 500 h 2t . 16 h
h t . 4 H 4 anos
56. alternativa c
Analisando diretamente os gráficos e sabendo que a capitalização, no primeiro intervalo de tempo, se deu de modo linear (juro simples) e, no segundo período, se deu de maneira exponencial (juro composto), conclui-se que o gráfico que melhor representa essa variação do montante é apresentado pela alternativa c.
57. a) R$ 3.150,00; R$ 600,00
b) 3 150 + 126t = 3 780 h
h 126t = 630 h t = 5 H junho de 2024
c) • Sérgio: 3 780 = 3 150 (1 + 5i) h
h 1,2 = 1 + 5i h i = 0,04 H 4% ao mês
• Carla: 1 + i = 1,03 h
h i = 0,03 H 3% ao mês
d) M = 600 (1,03)11 h M 1 830,54 H
H aproximadamente R$ 830,54
58. a) B. Resposta esperada: Porque, a partir do 2o mês nesse investimento, as razões entre os montantes de certo mês e o mês anterior são aproximadamente iguais.
b) Considerando o investimento A, temos:
j = 560 530 = 30
c = 530 30 = 500 H R$ 500,00
c) A: 530 = 500 ? (1 + i) h i = 0,06 H 6%
B: 525 = 500 ? (1 + i) h i = 0,05 H 5%
d) A: Considerando que o capital é de R$ 500,00 e o juro é de R$ 30,00 a cada intervalo de tempo, temos:
M(t ) = 30t + 500, função afim.
B: Considerando que o capital é de R$ 500,00 e que o montante aumenta em 5% ao mês, temos:
M(t ) = 500 (1,05)t, função do tipo exponencial.
e) Ana lisando os dados da planilha, podemos comparar os meses em que A é mais rentável e os meses em que B é mais rentável. Assim, temos: A: de 1 a 8 meses; B: a partir de 9 meses.
f ) Considerando que o capital é R$ 500,00 e a resposta ao item e, temos que o gráfico que representa esses investimentos é o II
59. alternativa e
Considerando que, no primeiro ano de funcionamento, a indústria fabricou 8 000 unidades e que a produção aumenta 50% por ano, temos:
P (t ) = 8 000 1,5t 1
60. a) P (5) = 8 000 1,54 h
h P (5) = 40 500 H 40 500 unidades
b) P (7) = 8 000 1,56 h
h P (7) = 91 125 H 91 125 unidades
61. a) Analisando o ponto em que o gráfico intersecta o eixo y , concluímos que Marcela estuda investir R$ 5.000,00. b) Analisando o valor da ordenada do ponto do gráfico de abscissa 6, temos que, ao final dos 6 anos de aplicação, Marcela vai obter o montante de R$ 9.649,75.
c) Para os três primeiros anos, ou seja,
0 < t < 3, a aplicação foi a juro composto, em que o montante é dado por
M (t ) = C ? (1 + i )t
Para C = 5 000, M = 6 655 e t = 3, temos:
6 655 = 5 000 (1 + i )3 h
h 1,331 = (1 + i )3 h
h 1 + i = 3√ 1,331 h i = 0,1
Logo, M (t ) = 5 000 (1 + 0,1)t h
h M (t ) = 5 000 ? (1,1)t
Para os três últimos anos, ou seja, 3 , t < 6 a aplicação foi a juro simples, em que o montante é dado por
M (t ) = C (1 + i t ).
Como não temos o valor do capital inicial, vamos determinar a expressão utilizando a lei da função afim
f (x ) = ax + b e os pontos (6; 9 649,75)
e (3; 6 655,00). Assim:
9 649,75 = 6a + b (I)
6 655,00 = 3a + b (II)
Subtraindo II de I, temos:
2 994,75 = 3a h a = 998,25
Substituindo a = 998,25 em I, temos:
9 649,75 = 6 998,25 + b h
h b = 9 649,75 5 989,50 = 3 660,25 Logo, M(t ) = 998,25t + 3 660,25. Assim,
M(t )={5 000 (1,1) t , se 0 < t < 3 998,25t + 3 660,25, se 3 , t < 6
62. a) f (0) = ( 1 2 )0 = 1;
f (1) = ( 1 2 )1 = 1 2 ;
f (2) = ( 1 2 )2 = 1 4 ; f (3) = ( 1 2 )3 = 1 8 ; f (4) = ( 1 2 )4 = 1 16 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 e 1 16 b) q = 1 2 1 = 1 2 c)
63. a) A: 5 : 2 = 2,5; 8 : 5 = 1,6 B: 32 : 4 = 8; 256 : 32 = 8; 2 048 : 256 = 8; 16 384 : 2 048 = 8
População submetida à substância B, pois a razão entre a quantidade de indivíduos dessa população de uma medição e da anterior, a partir da 2a medição, é constante e igual a 8.
b) 2 = 1a + b (I)
5 = 2a + b (II)
Subtraindo II de I, temos:
3 = 1a h a = 3
Substituindo a = 3 em I, temos:
2 = 1 ? 3 + b h b = 1
Logo, f (m) = 3m 1.
g (m) = c d m 1
Como a razão da PG é 8, temos que d = 8. Como g (1) = 4, temos:
4 = c 81 1 h c = 4. Assim,
g (m) = 4 ? 8m 1
Logo, a = 3, b = 1, c = 4 e
d = 8, e as funções são f (m) = 3m 1
e g (m) = 4 8m 1
c) A: f (7) = 3 7 1 = = 21 1 = 20 H 20 bactérias
B: g (7) = 4 ? 87 1 = 4 ? 86 = 4 ? 262 144 = = 1 048 576 H 1 048 576 bactérias
64. a) (200, 100, 50, 25, ...); q = 100 200 = 1 2
b) Resposta esperada: f: n H r, dada por f (x ) = 200 ( 1 2 ) x
65. a) função f: q = 4 2 = 2
função g: q = 3 1 = 3
A razão da PG determinada pela função f é 2, e a razão da PG determinada pela função g é 3.
b) f (1) = 2 h a1 = 2 h a = 2; f (x ) = 2x
g (3) = 3 h b3 2 = 3 h b = 3;
g (x ) = 3x 2
66. alternativa c
De acordo com o enunciado, o conjunto imagem de f corresponde a uma PG de razão 2 e a1 = 1. Assim, temos que:
a2 = 2 a1 = 2 1 = 2
a1 = f (1) h 1 = p q1 h 1 = p ? q (I)
a2 = f (2) h 2 = p ? q2 h
h 2 = p ? q ? q (II)
Substituindo o valor de p q = 1 de I em II, temos: 2 = 1 ? q h q = 2
Substituindo q = 2 em I, temos:
1 = p ( 2) h p = 1 2
Assim, p + q = 1 2 + ( 2) = 5 2
67. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes possam relacionar os conceitos estudados de função exponencial e PG, bem como compor uma lei de formação de algum caso real que pode ser descrito por elas. Conversar com os estudantes sobre tipos de contextos a que essa função se aplica.
Integrando com...
1. Resposta esperada: Luzia é o fóss il humano mais antigo encontrado na América. Com base em seu crânio, foi possível estimar o período em que esse ser humano viveu, o que possibilitou o avanço nos estudos e na investigação de como foi o povoamento desse continente.
2. Resposta esperada: Não, pois esse método de datação com 14 C é eficiente para fósseis que viveram há até 75 000 anos; em fósseis mais antigos é difícil detectar a presença desse isótopo.
3. a) 5 730 anos. Indica que, a cada 5 730 anos, a quantidade de 14C diminui pela metade em um fóssil, em relação ao período anterior.
b) duas meias-vidas:
5 730 2 = 11 460 H 11 460 anos três meias-vidas:
5 730 ? 3 = 17 190 H 17 190 anos c) Aproximadamente duas meias-vidas, pois os arqueólogos acreditam que Luzia tenha vivido há mais de 11 mil anos.
d) n(x ) = n0 ? ( 1 2 )x , em que n0 é a quantidade de 14C presente no indivíduo quando ele estava vivo. e) Resposta esperada: Temos que 40 000 anos correspondem a aproximadamente sete meias-vidas do 14C, pois 7 5 730 = 40 110. Assim, n(7) = n0 ( 1 2 )7 = n0 1 128 = = 0,0078125 n0, ou seja, em um fóssil datado com cerca de 40 mil anos, a quantidade remanescente de 14C é aproximadamente 0,78% daquela que havia no indivíduo quando ele estava vivo.
4. Pesquisa do estudante. Espera-se que os estudantes abordem, em seus textos, argumentos com justificativas para a teoria escolhida por eles e percebam que bons argumentos, geralmente, estão acompanhados de dados de fontes confiáveis.
O que estudei
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) I) 256 ? 230 = 28 ? 230 = 238 H 238 B
II) 2 ? 220 = 221 H 221 B
As fotografias devem ocupar 50% de 238 B, ou seja, metade da memória do smartphone. Assim, temos:
2 38
2 = 2 37
D ividindo a memória ocupada pelo tamanho de cada fotografia, temos:
2 37
2 21 = 2 16 = 65 536 1 65 500
Portanto, a alternativa que mais se aproxima é 65 000 fotografias.
b) I) tipo exponencial
II) C(100) = 150 ? ( 4 5 ) 0,04 100 + 150 = = 150 256 625 + 150 = 88,56
C (100) = 88,56, o que indica que, após 100 min carregando, a bateria do smartphone estava com 88,56% de sua capacidade carregada.
O smartphone estará completamente carregado quando passados aproximadamente 120 min ou 2 h.
c) I) f (0) = 2 000 h a 2b 0 = 2 000 h h a = 2 000
f (10) = 1 000 h 2 000 ? 2b 10 = 1 000 h h 2b 10 = 2 1 h 10b = 1 h b = 0,1
Logo, f (x ) = 2 000 2 0,1x
II) f (5) = 2 000 2 0,1 5 1 1 414,21 H H aproximadamente R$ 1.414,21
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa d
P (0) = 40 ? 2 3 0 = 40 Como 20 min correspondem a 1 3 de hora, temos:
P( 1 3 ) = 40 2 3 1 3 = 80
Portanto, após 20 min, a população de bactérias será duplicada.
2. alternativa d
7,8 ? 10 6 = 78 d h
= = 1 10 7 = 107 = 10 000 000
3. alternativa c a 3 b 3 a b = (a b)(a 2 + ab + b 2) a b = = a 2 + ab + b 2
Fazendo a = 27 e b = 26, temos: 272 + 27 26 + 262 = = 729 + 702 + 676 = 2 107
4. alternativa d
h t = 2 3 H 2 3 ano ou 8 meses
5. alternativa c De acordo com o enunciado, temos:
• V = 200 000
• y = 200 000 : 2 = 100 000 para x = 4
Substituindo esses valores na expressão dada, temos que:
100 000 = 200 000 ? a4 h a4 = 1 2 h h a = ( 1 2 ) 1 4 ou a = ( 1 2 ) 1 4 (não convém)
Calculando y para x = 8, temos: CBOOK PRODUÇÕES 0 20 40 60 80 100 (123,08; 100) 2040 60 80 100120140160180 C t 123,08
y = 200 000 ? ( 1 2 ) 1 4 8 =
= 200 000 ( 1 2 )2 = 200 000 1 4 =
= 50 000 H R$ 50.000,00
6. alternativa c
V(4) = 5 + 24 = 21
V(5) = 5 + 25 = 37
V(6) = 5 + 26 = 69
21 + 37 + 69 = 127 H 127 refrigeradores
7. alternativa 02
N (t ) = (32)t 2 3t + 3 =
= (3t )2 2 3t + 3
Adotando x = 3t, temos
N (x ) = x 2 2x + 3. Assim:
N (x ) . 678 h x 2 2x + 3 . 678 h
h x 2 2x 675 . 0 h
h x , 25 ou x . 27
Voltando para a variável t, temos:
3t , 25 (não convém)
3t . 27 h 3t . 33 h t . 3
Logo, o tempo mínimo necessário para o número de colônias ultrapassar 678 é de 3 horas.
8. alternativa e 2 x + 3 = 32 h
h 2 x + 3 = 2 5 h x + 3 = 5 h
h x = 2 2 x = 2 2 = 1 4
9. alternativa a 6,4 10 10 = 10 9 4 3t h
h 6,4 10 = 4 3t h
h 2 6 = 2 6t h t = 1 H 1 hora
10. alternativa c
Como o crescimento é exponencial, podemos representar a produção de cada mês, em milhar de unidade, por uma função f cuja lei de formação é dada por f (x ) = k ? ax, sendo x o número do mês correspondente (janeiro: 0, fevereiro: 1, março: 2, abril: 3) e a e k constantes reais, com a 5 0.
Assim, temos:
x = 0 H f (0) = k a0 h
h 120 = k ? 1 h k = 120
Segue-se que:
x = 3 H f (3) = 120 a3 h
h 960 = 120 a3 h a3 = 8 h a = 2
Dessa maneira, temos f (x ) = 120 ? 2x
Calculando f (1), obtemos a produção de fevereiro:
f (1) = 120 ? 21 = 240 H 240 mil peças
11. alternativa c
Q(t ) = q0 ( 1 2 ) t 12 H 10 = q0 ( 1 2 ) 36 12 h
h 10 = q0 ? 1 8 h q0 = 80 H 80 mg
12. alternativa b
I) falsa, pois, por exemplo, para x = 1, temos:
3 1 2 1 = 1 3 1 2 = 1 6 e 1 6 , 0
II) verdadeira, pois:
32x > 3x 2x h 32x 3x + 2x > 0 h
h 3x (3x 1 + ( 2 x 3 x )) > 0 h
h 3x 1 + ( 2 3 )x > 0
Segue-se que:
• se x > 0 H 3x > 1 (I)
• se x , 0 H ( 2 3 )x > 1 (II)
De I e II, temos que
3x 1 + ( 2 3 )x > 0 para todo x [ r
III) falsa, pois, por exemplo, se x = 1, temos:
3 2 + 3 1 2 1 = 1 9 + 1 3 1 2 = = 1 18 , 0
13. alternativa b
54 675 = 25 32t 7 h
h 2 187 = 32t 7 h 37 = 32t 7 h
h 7 = 2t 7 h t = 7 H 7 dias
14. alternativa d
32t + 7 = 18 3t 2 + 10 h
h 32t 18 3t 2 3 = 0 h
h 32t 18 ? 3 t 9 _ 3 = 0 h
h (3t )2 2 3t _ 3 = 0
Fazendo y = 3t, temos:
y 2 2y 3 = 0
Resolvendo essa equação, temos:
y = 3 ou y = 1 (não convém).
Substituindo y = 3 em y = 3t, temos:
3 = 3t h t = 1
Calculando A(1), temos:
A(1) = 32 1 + 7 = 9 + 7 = 16 H
H 16 mil microrganismos A
15. alternativa a
31 = (37 25) (6 √ 2 ) t + 25 h
h 31 25 = 12 (6 √ 2 ) t h
h 1 2 = 2 1 6 t h 2 1 = 2 1 6 t h
h t = 6 H 6 horas
Como o corpo foi encontrado às 5 horas da manhã do dia 28, a morte ocorreu 6 horas antes, ou seja, às 11 horas da noite do dia 27.
16. alternativa c
Do enunciado, temos que f (0) = 3 e f (7) = 18 000. Assim, temos: f (0) = t u0 h 3 = t 1 h t = 3
Segue-se que:
f (7) = 3 u7 h 18 000 = 3 u7 h
h u7 = 6 000 h u = 6 000 1 7
Consultando o gráfico da função g, temos:
u = g (7) = 6 000 1 7 1 3,47
Por fim, temos:
t + u H 3 + 3,47 = 6,47
Unidade 2 • Logaritmo e função logarítmica
1. a) Considerando log8 16 = x, temos:
8x = 16 h 23x = 24 h x = 4 3
b) Considerando log 9 ( 1 81 ) = x, temos:
9 x =( 1 81 ) h 32x = 3 4 h x = 2
c) Considerando log0,2 125 = x, temos:
0,2x = 125 h ( 1 5 )x = 5 3 h
h 5 x = 53 h x = 3
d) Considerando log √ 7 (49√ 7 ) = x, temos: 7 1 2 x = 7 2 7
= 5
2. a) 16x = 128 h 24x = 27 h x = 7 4
b) 63 = x h x = 216
c) x 1 2 = 10 1 2 h x = 10
d) 2log x = 22 h log x = 2 h
h 102 = x h x = 100
3. Para calcular os logaritmos decimais, podemos digitar a tecla log seguida dos algarismos do logaritmando em cada caso, e para finalizar, clicar na tecla = . Assim, temos:
a) 2,04
b) 1,38
c) 1,71
d) 0,22
4. a) Como o logaritmando deve ser maior que zero, temos: 4x 52 . 0 h x . 13
b) Como a base deve ser maior que zero e diferente de 1, temos:
Portanto, x . 5 2 e x 5 2.
c) • A base deve ser maior que zero e diferente de 1. Logo, temos para a base:
I) { x 8 . 0 h x , 8 x 8 5 1 h x 5 9
• O logaritmando deve ser maior que zero. Logo, temos para o logaritmando: II) x2 + 7x . 0 h x (x + 7) . 0 h
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
Portanto, x , 8 e x 5 9.
d) • A base deve ser maior que zero e diferente de 1. Logo, temos para a base:
I) {x 1 . 0 h x . 1 x 1 5 1 h x 5 2
• O logaritmando deve ser maior que zero. Logo, temos para o logaritmando: II) x 2 3x + 10 . 0 h 5 , x , 2
c) Considerando log0,04 5 = x, obtemos:
0,04x = 5 h ( 1 25 )x = 5 h
h 5 2x = 5 1 h x = 1 2 (log0,04 5) [5 log 5 20+ log2 0,25] = = 1 2 [20 + log2 2 2] = = 1 2 [20 2] = 9
d) Considerando log √ 3 27 = y, obtemos: 3 1 2 y = 3 3 h y = 6 log 3 81 3 log √ 3 27 2 log 6 ( 1 6 ) = = log 3 (3 4) 3 6 2 log 6 6 1 = = 12 6 2 ? ( 1) = 12 8 = 3 2
6. log4 x = 4,5 h x = 44,5 h x = 512 log4 2x = y h 4y = 1 024 h h 4 y = 45 h y = 5
7. 14 478 = 5 700 (1 + 0,06)t h h 2,54 = 1,06t h log1,06 2,54 = = log1,06 1,06t h t = 16 H 16 meses
8. a) log 1 = 0,00; log 2 1 0,301029995663981; log 3 1 0,477121254719662; log 4 1 0,602059990327962
b) Utilizando a calculadora, temos:
Logaritmando
Portanto, 1 , x , 2.
5. a) log4 16 log12 12 = log4 42 1 = 2 b) log (log7 710) log9 1 = = log (10) 0 = log 10 = 1
Logaritmo aproximado na base 10
6 0,77815125
7 0,84509804
8 0,903089987
9 0,954242509
10 1
9. a) De acordo com a propriedade do logaritmo do quociente, temos: log ( 8 15 )
b) Utilizando a propriedade da mudança de base, temos: log 4 log 6 log 5 log 4 = log 5 log 6 = log 6 5
c) Utilizando as propriedades do logaritmo da potência e do logaritmo do produto, respectivamente, temos: log 7 2 3 + log 7 5 = log 7 (8 5) = log 7 40
d) Utilizando as pr opriedades da mudança de base e do logaritmo do produto, respectivamente, temos: log 3 4
log 3 9 + log 3 2 =
= 2 log 3 2 2 + log 3 2 = log 3 4
10. a) log3 70 = log3 (7 5 2) = = log3 7 + log3 5 + log3 2 = = 1,77 + 1,46 + 0,63 = 3,86
b) log3 36 = log3 (22 32) = = log3 22 + log3 32 = 2 0,63 + 2 = 3,26
c) log 3 5 log 3 7 = 1,46 1,77 1 0,82
d) log 3 ( 7 10) = log3 7 log3 2 log3 5 = = 1,77 0,63 1,46 = 0,32
11. Inicialmente, utilizamos a propriedade da mudança de base para obter logaritmos decimais e, na sequência, usamos a calculadora científica. Assim, obtemos:
a) log 8 20 = log 20 log 8 1 1,44
b) log 2 100 = log 100 log 2 1 6,64
c) log 8 (0, 5) = log 0, 5 log 8 = 0,3
d) log 20 16 = log 16 log 20 1 0,93
12. a) x = 30,9 1 2,688
b) x = 53,9 1 532,09
c) x = 7 1,2 1 0,097
d) x = 100,01 1 1,02
13. Com base nos dados fornecidos, montamos o seguinte quadro:
Passo Número de lados Perímetro
03 3 ? 1
112 12 1 3
248 48 1 9
a) Como a quantidade de lados de cada figura da sequência aumenta em PG, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 4, temos:
l3 = 3 43 = 192 H 192 lados
b) Como o perímetro de cada figura da sequência aumenta em PG, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 4 3 , temos:
p5 = 3 ( 4 3 )5 = 1 024 81
c) ln = 3 4n H 3 4n . 6 1012 h
h 22n . 2 1012 h
h 2n log 2 . log 2 + 12 log 10 h
h 2n 0,301 . 0,301 + 12 h n . 20,4 Portanto, a partir do passo 21
14. 10 84 = ( 5 2 ) 6 5 t h
h log 10 84 = log ( 5 2 ) 6 5 t h
h 84 log 10 = 6 5 t log ( 5 2 ) h
h 70 log 10 = t log ( 10 4 ) h
h 70 = t ? (log 10 log 22) h
h 70 = t ? (1 2 ? 0,3) h
h t = 175 H 175 min
15. a) Considerando que a meia-vida é o tempo para que a massa da substância seja reduzida pela metade, temos que
a massa inicial será multiplicada por 1 2 a cada intervalo de tempo t, de acordo com a meia-vida. Neste caso, como a meia-vida é de 30 anos, temos t 30
Logo:
M(t ) = A ( 1 2 ) t 30
b) 2026 1987 = 39
M(39) = 18 ( 1 2 ) 39 30 1 7,3 H
H aproximadamente 7,3 g
c) 0, 0036 = 18 ( 1 2 ) t 30 h
h 2 ? 10 4 = 2 t 30 h
h log (2 10 4) = log 2 t 30 h
h log 2 4 log 10 = t 30 log 2 h
h log 2 4 = t 30 log 2 h
h 0,301 4 = t 30 0,301 h
h t 1 369 H
H aproximadamente 369 anos
d) P es quisa do estudante. Espera-se que os estudantes realizem uma pesquisa em sites confiáveis. É importante que eles compreendam que os materiais radioativos têm grande utilidade em diversas áreas. Porém, por serem materiais muito voláteis, devem ser manipulados apenas por profissionais qualificados e com os cuidados necessários, uma vez que mesmo um pequeno vazamento de algum desses materiais pode contaminar uma grande região. Eles podem indicar métodos de prevenção de acidentes, bem como métodos de contenção em caso de acidente.
16. a) M = 3 500 log2 (1 + 1 000) h
h M = 3 500 log 1 001 log 2 h h M = 3 500 3 0, 301 h h M 1 34 884 H H aproximadamente 34 884 bps
17. alternativa d 3 log 2 (36 25) + 3 log 2 ( 6 27) 2 log 2 ( 16
18. • Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem problemas que relacionem o gráfico de uma função exponencial ao estudo dos logaritmos, envolvendo não apenas o uso da definição de logaritmo mas também as suas propriedades. Utilizando o gráfico, eles podem, por exemplo, indicar uma quantidade de pessoas e solicitar que seja calculado o tempo correspondente.
19. a) f (2) = log 16 2 = log 2 2 log 2 2 4 = 1 4
b) f( 1 4 ) = log 16 ( 1 4 ) =
c) g( 1 1 296 ) = log 36 ( 1 1 296 ) = = log 6 6 4 log 6 6 2 = 2
d) g (1) = log 36 1 = 0
e) g (46 656) + f (65 536) = = log36 46 656 + log16 65 536 = = log 6 6 6 log 6 6 2 + log 2 2 16 log 2 2 4 = 3 + 4 = 7
20. a) 3x + 27 . 0 h x . 9
D(f ) = {x [ r | x . 9}
b) x2 4 . 0 h {x , 2 ou x . 2
D(g) = {x [ r | x , 2 ou x . 2}
c) x 8 . 0 h x . 8
D(h) = {x [ r | x . 8}
d) I) {x 2 . 0 h x . 2 x 2 5 1 h x 5 3 II) x 2 + x . 0 h {x , 1 ou x . 0 10 2 3 3 2 I II I " II x x x
D(m) = {x [ r | x . 2 e x 5 3}
21. a) crescente
b) decrescente
c) crescente
d) decrescente
e) crescente
22. a) 2t + 9 . 1 h t . 4
b) 0 , 2t + 9 , 1 h 9 2 , t , 4
23. Utilizando o GeoGebra , por exemplo, pode-se digitar a lei de formação da função no campo Entrada . Já se os esboços dos gráficos forem realizados em malha quadriculada, pode-se atribuir alguns valores arbitrários para x e determinar os valores correspondentes de y = f (x ). Assim, temos:
a) b) c) d)
y 1 12 3 4
1 1 x y 2 12 3 4
24. f (a) = 0 h log5 a = 0 h a = 50 h a = 1 f (b) = 1 h log5 b = 1 h b = 51 h b = 5
25. Considerando as etapas para a obtenção da função inversa apresentadas na Unidade, temos:
a) y = 4x
x = 4y log 4 x = log 4 4 y log 4 x =y log 4 4 log 4 x =y
f 1 : r + * H r, definida por f 1(x ) = log 4 x b) y = log 2,5 x x = log 2,5 y (2,5)x = y
g 1 : r H r + * , definida por g 1(x ) = 2,5x
26. Considerando as etapas para a obtenção da função inversa apresentadas na Unidade, temos:
M(t ) = 2(t 2)
t = 2(M 2) h t = 2 M 2 2
4t = 2M log 2 4t = log 2 2 M log 2 4 + log 2 t = M log 2 2 2 + log 2 t = M
t (M ) = 2 + log2 M
27. Sejam m e n números reais positivos, com m . n. Considerando que y1 = f (m) e y2 = f (n), temos:
y1 = loga m e y2 = loga n, ou seja, a y1 = m e a y2 = n. Como m . n, então a y1 . a y2 .
Se a .1, temos y1 . y2 h f (m) . f (n) Portanto, a função é crescente.
Se 0 , a , 1, temos y1 , y2 h
h f (m) , f (n). Portanto, a função é decrescente.
28. f (0,5) = 2 h a0,5 = 2 h a = 4
Como f (x ) = 4x e o gráfico de g é simétrico ao de f em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano, temos que g (x ) = log4 x
29. a) Resposta esperada: A ordenada do ponto A do gráfico da função p corresponde à abscissa do ponto B do gráfico da função m, e a ordenada do ponto B corresponde à abscissa do ponto A.
b) a = p (0,5) = (0,9)0,5 1 0,95
b = p (1,5) = (0,9)1,5 1 0,85
c) m(a) 1 0,5; m(b) 1 1,5
d) Como p (h) = 0,9h e o gráfico de m é simétrico ao de p em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano, temos: m(h) = log(0,9) h
30. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes determinem a função inversa de uma função logarítmica dada, a partir de sua lei de formação. Orientá-los para que elaborem os gráficos dessas funções com o objetivo de perceberem a simetria de reflexão entre esses gráficos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
31. a) condições de existência: x . 0 e x 5 1
definição: x3 = 343 h x3 = 73 h x = 7
S = {7}
b) condições de existência:
• x 2 . 0 h x . 2
• x 2 5 1 h x 5 3
definição: (x 2)2 = x2 h
h x2 x2 + 4x 4 = 0 h h x = 1
S = @
c) definição: 16x = 4 096 h
h 16x = 163 h x = 3
S = {3}
d) condições de existência: 2x 5 x +
h 16x + 16 = 2x 5 h h 14x = 21 h x = 3 2
S = { 3 2 }
32. a) log 2x = log 3 h x log 2 = log 3 h
h x 1 0,47 0,30 h x 1 1,56
b) log 22(2x + 5) = log 32 h
h (4x + 10) log 2 = 2 log 3 h
h 1,2x + 3 1 0,94 h x 1 1,716
c) log 10(5x + 1) = log 7 h
h (5x + 1) 1 1 0,84 h 5x 1 0,16 h
h x 1 0,032
d) log 30(6x 18) = log 35 h
h (6x 18) (log 3 + log 10) = = log 7 + log 5 h
h (6x 18) (0,47 + 1) 1 0,84 + 0,69 h
h 6x 18 1 1,53 1,47 h
h 6x 1 18 + 1,041 h
h x 1 3,17
33. log ((5x ) (x 4)) = log x h
h 5x 2 20x = x h
h 5x 2 21x = 0 h
h {x = 0 (não convém) ou x = 4,2
Portanto, x = 4,2.
34. M = C (1 + i )t
48 000 = 12 000 ? (1 + 0,03)t h
h 4 = (1,03)t h
h log 22 = log (1,03)t h
h 2 ? log 2 = t ? log (1,03) h
h 2 0,301 = t 0,013 h t 1 46,3
Logo, Juliana necessitará de 47 meses
35. alternativa e
P (0) = 250 ? 1,2 0 5 = 250
3 250 = 250 1,2 t 5 h
h log 3 = t 5 ? log 1,2 h
h 5 0,48 = t (log 12 log 10) h
h 2,4 = t (log 2 + log 2 + log 3 1) h
h 2,4 = t (0,3 + 0,3 + 0,48 1) h
h t = 30 H 30 anos
36. a) f (2) = 108 000 0,882 = 83 635,20 H
H R$ 83.635,20
b) 54 000 = 108 000 ? 0,88t h
h log 0,5 = t ? log 0,88 h t 1 5,42
Logo, Patrícia deverá vender o automóvel em aproximadamente 5 anos e 5 meses.
37. a) condição de existência:
9x 8 . 0 h x . 8 9 (I)
Assim, temos:
log 1 3 (9x 8) . 2 log 1 3 1 3 h
h log 1 3 (9x 8) . log 1 3 ( 1 3 ) 2
Como a = 1 3 e 0 , a , 1, então:
9x 8 , 1 9 h x , 73 81 (II) I II I " II x x x 73 81 73 81 8 9 8 9
S = {x [ r | 8 9 , x , 73 81 }
b) Tomando y = log5 (x + 2), temos:
2y . 1 h 2y . 20 h y . 0
Assim, consideramos log5 (x + 2) . 0. condição de existência: x + 2 . 0 h
h x . 2 (I)
Portanto, temos:
log5 (x + 2) . 0 log5 5 h
h log5 (x + 2) . log5 50
Como a = 5 e a . 1, então:
x + 2 . 50 h x . 1 (II)
A solução da inequação deve atender simultaneamente às condições I e II.
S = {x [ r | x . 1}
c) log2 (x + 4) < log2 (x 3) + 2 h
h log2 (x + 4) < log2 (x 3) + log2 4 h
h log2 (x + 4) < log2 4(x 3)
condições de existência:
• x + 4 . 0 h x . 4 (I)
• 4x 12 . 0 h x . 3 (II)
Como a base dos logaritmos é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido. Assim:
x + 4 < 4x 12 h 16 < 3x h
h x > 16 3 (III)
A solução da inequação deve satisfazer simultaneamente às condições I, II e III
39. a) Considerando a 1a inequação, temos: condição de existência: x + 3 . 0 h
h x . 3 (I)
Assim, temos:
log2 (x + 3) , 5 log2 2 h
h log2 (x + 3) , log2 25
Como a = 2 e a . 1, então:
+ 3 , 32 h x , 29 (II)
Considerando a 2 a inequação, temos: log0,2 (x + 4) , log0,2 (2x ) h h log 0,2 ( x + 4 2x ) , 0 condição de existência:
x < 2x + 3 h x > 3 (III) I
S = {x [ r | x > 16 3 }
38. condição de existência: 3x 9 . 0 h h x . 3 (I)
Assim, temos:
log 0,2 (3x 9) > 1 log 0,2 0,2 h
h log 0,2 (3x 9) > log 0,2 (0, 2 ) 1
Como a = 0,2 e 0 , a , 1, então:
3x 9 < (0,2) 1 h x < 14 3 (II)
A solução da inequação deve atender simultaneamente às condições I e II
Assim, temos:
h log 0,2 ( x + 4 2x )
Como a = 0,2 e 0 , a , 1, então:
SI = {x [ r | x . 0}
Considerando a 2a inequação, temos:
log0,2 x2 , log0,2 x + 1 h
h log0,2 x2 , log0,2 0,2x condições de existência:
• x2 . 0 h x . 0 ou x , 0 (I)
• 0,2x . 0 h x . 0 (II)
Como a base dos logaritmos (0,2) é maior que 0 e menor que 1, o sentido da desigualdade é invertido. Assim:
x2 . 0,2x h x2 0,2x . 0 h
h x , 0 ou x . 0,2 (III)
A solução da inequação deve satisfazer simultaneamente às condições I, II e III
I II III SII 0,2
S
= {x [ r | x . 0,2}
Como a solução do sistema de inequações deve atender simultaneamente às condições de SI e de S II, então:
S = {x [ r | 3 , x < 14 3 }
Como nesse conjunto existe apenas o elemento 4 como natural, então existe um único número natural que pertence ao conjunto solução dessa inequação.
SII = {x [ r | 0 , x , 4}
Como a solução do sistema de inequações deve atender simultaneamente às condições de SI e de SII, então:
Portanto, S = {x [ r | x . 0,2}.
c) Considerando a 1a inequação, temos: condições de existência:
• x2 4 . 0 h x , 2 ou x . 2 (I)
• x + 2 . 0 h x . 2 (II)
Como a base dos logaritmos ( 7 15 ) é maior que 0 e menor que 1, o sentido da desigualdade é invertido. Assim:
x2 4 > x + 2 h x2 x 6 > 0 h
h x < 2 ou x . 3 (III)
Portanto, S = {x [
| 0 , x , 4}.
b) Considerando a 1a inequação, temos: condições de existência:
• x . 0 (I)
• 2x + 3 . 0 h x . 3 2 (II)
Como a base dos logaritmos é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido. Assim:
SI = {x [ r | x > 3}
Considerando a 2a inequação, temos: condição de existência:
0,8x + 9 . 0 h x . 11,25 (I)
Então, temos:
log0,67 (0,8x + 9) > 2 h
h log0,67 (0,8x + 9) > log0,67 0,672
Como a base dos logaritmos (0,67) é maior que 0 e menor que 1, o sentido da desigualdade é invertido. Assim:
0,8x + 9 < 0,672 h x < 10,69 (II)
11,25 x x x
SII = {x [ r | 11,25 , x < 10,69}
d) g (t ) . 50 h 10 log2 (t + 2) . 50 h
h log2 (t + 2) . 5
condição de existência: t + 2 . 0 h
h t . 2 (I)
Assim, temos:
log2 (t + 2) . 5 log2 2 h
h (5 ? 0, 3 + 0, 47 2) 1
1 0, 3t 4, 5 10 9 h 0,135 ? 109 1 0,3t h
h t 1 4,5 108 H aproximadamente 4,5 108 anos ou 450 milhões de anos
Como a solução do sistema de inequações deve atender simultaneamente às condições de SI e de SII, então: 11,25 10,69
S x x x
Portanto, S = @ d) Considerando a 1a inequação, temos: condições de existência:
• x2 9 . 0 h x , 3 ou x . 3 (I)
• x 3 . 0 h x . 3 (II)
Como a base dos logaritmos é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido. Assim:
x2 9 . x 3 h x2 x 6 . 0 h h x , 2 ou x . 3 (III)
SI = {x [ r | x . 3}
Considerando a 2a inequação, temos: condições de existência:
• 5x . 0 h x . 0 (I)
• 3x + 12 . 0 h x . 4 (II) Como a base dos logaritmos é maior que 1, o sentido da desigualdade é mantido. Assim:
5x > 3x + 12 h 2x > 12 h x > 6 (III)
SII = {x [ r | x > 6}
Como a solução do sistema de inequações deve atender simultaneamente às condições de SI e de SII, então: 3 6 6 SI SII S x x x Portanto, S = {x [ r | x > 6}.
40. a) Analisando as ordenadas dos pontos cujas abscissas são 2 e 6, temos, respectivamente, 20 cm e 30 cm.
b) De acordo com o gráfico, temos que a planta atingiu 40 cm de altura após 14 meses.
c) g (t ) = 10 ? log2 (t + 2), pois o ponto de coordenadas (0, 10) pertence ao gráfico da função g e, além disso, g (0) = 10 log2 (0 + 2) = 10 log2 2 = = 10 1 = 10. ILUSTRAÇÕES:
h log2 (t + 2) . log2 25
Como a = 2 e a . 1, então: t + 2 . 32 h t . 30 (II)
Portanto, após 30 meses, a planta ultrapassará 50 cm.
41. a) Resposta esperada: É a razão entre o PIB e a quantidade de habitantes do município.
b) ano 1: P (1) = 5,8 log2 [1,35 (1 + 9)] h
h P (1) = 5,8 log2 13,5 1 21,8 H
H 21,8 mil reais
ano 2: P (2) = 5,8 ? log2 [1,35 ? (2 + 9)] h
h P (2) = 5,8 ? log2 14,85 1 22,6 H
H 22,6 mil reais
ano 3: P (3) = 5,8 log2 [1,35 (3 + 9)] h
h P (3) = 5,8 log2 16,2 1 23,3 H
H 23,3 mil reais
c) 5,8 log2 [1,35 (t + 9)] . 29 h
h log2 1,35 + log2 (t + 9) . 5 h
h log2 (t + 9) . 5 0,43 h
h log2 (t + 9) . 4,57 log2 2 h
h log2 (t + 9) . log2 24,57 h
h t + 9 . 23,75 h t . 14,75
Assim, a partir do 15o ano, esse município terá PIB per capita maior que 29 mil reais.
42. marca A: pH =
= log (2,3 ? 10 13) =
= log 2,3 + 13 log 10 1 0,36 + + 13 1 12,64
marca B: pH =
= log (7,4 ? 10 14) = log 7,4 + + 14 log 10 1 0,87 + 14 1 13,13
marca C: pH =
= log (1,9 ? 10 14) = log 1,9 + + 14 log 10 1 0,28 + 14 1 13,72
marca D: pH = = log (1,6 ? 10 14) = log 1,6 + + 14 log 10 1 0,2 + 14 1 13,8 Portanto, apenas as marcas A e B estão em conformidade com a regulamentação da Anvisa.
43. Sendo I a idade do fóssil e A0 a quantidade inicial de átomos de urânio-238 do fóssil, temos que I = A0( 1 2 ) t 4,5 109 . Assim:
96
100 A0 = A
44. alternativa c
Como o número de pessoas infectadas dobrava a cada 3 dias e sendo p ( t ) o número de pessoas infectadas ao longo de t dias, temos que:
p (t ) = 1 ? 2 t 1 3
N essa lei de formação, subtrai-se 1 de t no expoente de 2 porque, no 1o dia, há apenas 1 pessoa infectada e, ao passar mais 3 dias, o número dobra.
Assim, temos:
2 t 1 3 > 4 000
log 10 2 t 1 3 = log 10(2 2 ? 10 3)
t 1 3 log 10 2 = 2 log 10 2 + 3 log 10 10
t 1 3 ? 0, 3 =2 ? 0,3 + 3 ? 1
t 1=36 t = 37
Note que:
p (37) = 2 37 1 3 = 212 = 4 096
Como p (37) . 4 000 e considerando que o número de pessoas infectadas dobra a cada 3 dias, segue-se que:
p (37 3) = p (34) = 2 34 1 3 =
= 211 = 2 048
Assim, o número de infectados atingirá a marca de 4 mil entre o 32 o dia e o 38o dia após o primeiro contágio.
45. alternativa d
9, 5 = 2 3 log ( x 7 ? 10 3 ) h
h 14,25 = log x log 7 + 3 log 10 h
h 14,25 + 0,84 3 1 log x h
h 12,09 1 log x h x 1 1012,09 h
h x 1 1,23 1012
1,23 ? 10 12 2,3 10 8 1 5 347,83
46. a) M = 1 000 (1 + 0,1375)3 h
h M 1 1 471,82
1 000 + 0,80 ? (1 471,82 1 000) 1
1 1 377,46 H
H aproximadamente R$ 1.377,46
b) 3 000 (1 + 0,1375)t > 9 000 h
h (1,1375)t > 3 h t log 1,1375 > log 3 h
h t 0,056 > 0,477 h t > 8,5
Portanto, serão necessários, no mínimo, 9 anos.
47. a) P esquisa do estudante. Espera-se que os estudantes citem aspectos como aplicar produtos específicos para o tratamento da água, conforme o resultado da análise. Eles podem complementar a resposta citando o tipo de produto que pode ser aplicado para a correção do pH.
b) Resposta pessoal. As respostas dependem do município onde os estudantes moram. Espera-se que eles pesquisem e registrem as normas referentes à manutenção de piscinas. Caso no município não haja normas específicas para esse fim, orientá-los a pesquisar a esse respeito em municípios próximos para que compreendam as normas que são praticadas.
48. Atividade de elaboração dos estudantes. Espera-se que eles elaborem problemas envolvendo funções logarítmicas com contexto relacionado ao pH de substâncias. Para resolver esses problemas, pode ser necessária, por exemplo, a realização do cálculo do valor da variável dependente ou independente, utilizando-se as propriedades estudadas na Unidade. É importante que a aplicação da função ao contexto seja realizada de modo adequado.
49. a) log E = 11,8 + 1,5 ? 7 h
h log E = 11,8 + 10,5 h
h log E = 22,3 h
h E = 1022,3 H 1022,3 erg b) log E = 11,8 + 1,5 9 h
h log E = 11,8 + 13,5 h
h log E = 25,3 h
h E = 1025,3 H 1025,3 erg
50. a) Resposta esperada: Não, pois outros fatores, como a distância de locais povoados, o tipo de terreno, as construções, as estruturas e o preparo para esse tipo de ocorrência, também determinam o efeito da devastação que esse fenômeno provoca. Por exemplo, o terremoto que atingiu Porto Príncipe teve menor magnitude que o terremoto que atingiu Rikuzentakata, porém o efeito da devastação sobre a população haitiana foi maior que os efeitos de devastação na cidade japonesa.
b) Atividade de elaboração dos estudantes. Espera-se que eles utilizem o contexto da energia liberada pelos terremotos para produzir o problema envolvendo funções logarítmicas e suas propriedades. A atividade 49 é um exemplo de modelo em que eles podem se inspirar. É possível também sugerir que pesquisem um exemplo de terremoto ocorrido e indicar a energia liberada, solicitando que identifiquem qual foi a magnitude do terremoto na escala Richter.
Integrando com...
1. Comparando os níveis de intensidade sonora das situações apresentadas com o nível recomendado, temos que a situação que pode provocar lesões irreversíveis no ouvido é a exposição ao avião a jato a 5 m. 130 dB.
2. • limite do audível:
NIS = 10 log ( 10 12 10 12 )= = 10 ? log 1 = 0 H 0 dB
• limiar de dor:
NIS = 10 ? log ( 1 10 12 )=
= 10 ? (log 1 + 12 ? log 10) =
= 10 12 = 120 H 120 dB
3. Secador de cabelo:
NIS = 10 log ( 5 10 5 10 12 ) =
= 10 log (5 10 7)=
=10 (log 5 + log 10 7) 1
1 10 (0,7 + 7) 1 77 H
H 77 dB. Classificação 1. Liquidificador:
NIS = 10 log( 4 10 4 10 12 )=
= 10 log (4 10 8) =
= 10 (log 4 + log 10 8) 1
1 10 (0,6 + 8) 1 86 H H 86 dB. Classificação 2. Aspirador de pó:
NIS = 10 log( 1 10 3 10 12 )=
= 10 log 10 9 = 10 9 = 90 H
H 90 dB. Classificação 4.
4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes compreendam que existem níveis de ruído considerados saudáveis para não comprometer a audição e que, ao se expor a ruídos que ultrapassem esses níveis, a saúde pode ser afetada. Isso pode resultar no rompimento de membranas e tecidos auditivos (causando perda da audição), dificuldades de concentração, distúrbios do sono, aumento do estresse, entre outros problemas. Espera-se que, com a pesquisa realizada e o vídeo produzido, os estudantes contribuam para conscientizar a comunidade local a respeito dos níveis de intensidade sonora dos eletrodomésticos, comparando-os com os valores saudáveis e recomendados pelos órgãos competentes para a manutenção da saúde.
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) III , pois é o único gráfico em que, à medida que x aumenta, y diminui exponencialmente.
b) Aumentou, pois, quando a pressão atmosférica diminui, a altitude aumenta.
0,4 = 0,9 x h log 0,4 = x ? log 0,9 h
h x 1 0,398 0,046 h x 1 8, 65
0,3 = 0,9 x h log 0,3 = x log 0,9 h h x 1 0,523 0,046 h x 1 11,37 11,37 8,65 = 2,72 1 2,7 H 2,7 km c) h(0,5) = 20 log ( 1 0,5 ) = = 20 log 2 = 20 0,3 = 6 H 6 km
Praticando:
Enem e vestibulares
1. alternativa d T (t ) = 3 000 (0,99)2t h
h 30 = 3 000 (0,99)2t h
h 0,01 = (0,99)2t h
h log ( 1 100 ) = log ( 99 100 ) 2t h
h log 1 log 100 = = 2t (log(32 11) log 100) h
h 2 = 2t (log 32 + log 11 2) h
h 2 = 2t ? (2 ? 0,477 + 1,041 2) h
h t = 200 H 200 horas
2. alternativa a f = A r B h log f = log A r B h
h log f = log A log rB h
h Y = log A B log r h
h Y = log A B ? X
3. alternativa b log 22 + log 23 + log 24 + ... + log 250 = = 2 log 2 + 3 log 2 + 4 log 2 + + + 50 log 2 = (2 + 3 + 4 + + 50) ? log 2
Como a soma S dos n primeiros números naturais positivos é dada por
S = n 2 + n 2 , temos que:
S = n 2 + n 2 h 1 + 2 + 3 + 4 + ... + + 50 = 50 2 + 50 2 h 1 + 2 + 3 + + 4 + + 50 = 1 275 h
h 2 + 3 + 4 + + 50 = 1 275 1 h
h 2 + 3 + 4 + + 50 = 1 274
Segue-se que:
(2 + 3 + 4 + ... + 50) log 2 = = 1 274 log 2 = log 21 274
4. alternativa d
10 = 16 log2 (3h + 1) h
h 6 = log2 (3h + 1) h
h 26 = 3h + 1 h h = 21 H 21 horas
5. alternativa d
pH = log (2 10 8) = = log 2 + 8 log 10 = 0,3 + 8 = 7,7
6. alternativa a
Representando o número inicial por n, temos:
B H 5n
A H log 5n
B H 5 log 5n
Como o resultado desse processo é 10, então:
5 ? log 5n = 10 h log 5n = 2 h
h 5n = 100 h n = 20
7. alternativa a
A sequência de teclas digitadas corresponde aos seguintes cálculos:
log 1 0000,5 = 0,5 log 1 000 = = 0,5 3 = 1,5
8. alternativa e
Para a flor ser comercialmente mais valorizada, temos: log10 x , 8 h log10 x . 8 h x . 10 8
Entretanto, se pH , 7, a flor é azul, e queremos que a flor seja cor-de-rosa.
Assim, temos:
log10 x . 7 h log10 x , 7 h x , 10 7
Portanto, 10 8 , x , 10 7
9. alternativa e
Fazendo log4 14 = x e utilizando as propriedades operatórias de logaritmos, temos:
x = log 14 log 4 h x = log (2 7) log 2 2 h
h x = log 2 + log 7 2 log 2 h
h x = log 2 2 log 2 + log 7 2 log 2 h
h x = 1 2 + 1 2 ( log 7 log 2 ) h
h x = 1 2 ? (1 + log 7 log 2 ) h
h x = 1 2 ? [1 + ( log 2 log 7 ) 1] h
h x = 1 2 [1 + (log 7 2) 1]
Como log7 2 = w, temos
x = 1 2 [1 + w 1] h
h x = 1 2 [1 + 1 w ]h
h x = 1 2 ? [ 1 + w w ] h x = [ 1 + w 2w ]
10. alternativa c
MS = 3,30 + log (2 000 ? 0,2) =
= 3,30 + log 400 =
= 3,30 + log (4 100) = = 3,30 + log 4 + log 100 = = 3,30 + log 22 + log 100 = = 3,30 + 2 ? log 2 + log 100 = = 3,30 + 2 0,3 + 2 = 5,9 H moderado
11. a) c(0) = 400 k log3 (a 0 + 1) = = 400 k ? log3 1 = = 400 k 0 = 400 H 400 mg/L
b) c (2) = 0,5. c (0) = 200 e c (8) = 0 {400 k log 3 (2a + 1) = 200
400 k log 3 (8a + 1) = 0 h
12. alternativa c
200 000 = 100 000 ? (1 + 0,008)n h
h 2 = (1,008)n h log 2 = log (1,008)n h
h 0,3 = n 0,003 h n = 100
13. alternativa a
40 = 36 ? 10 t 100 h
h log 10 9 = log 10 t 100 h
h log 10 log 9= t 100 log 10 h
h 1 0,95 = t 100 1 h
h t = 5 H 5 horas
14. alternativa d
log (E ) = 11,8 + 1,5 ? 8,2 h
h log (E ) = 24,1 h
h E = 1024,1 1 1024
15. alternativa a
Sendo A1 a área do retângulo, A2 a área do triângulo e AS a área sombreada, temos:
AS = A1 + A2 = 1 ? (log 3 log 2) + + 1 2 2 (log 5 log 3) = = log 3 log 2 + log 5 log 3 = = log 5 log 2 = log 5 2 H log 5 2 u.a.
16. alternativa c
Como a medida da diagonal do quadrado de lado x é dada por x √ 2 e o primeiro quadrado tem lado de medida 1, temos: 1
, sendo x2 a medida do lado do quadrado acrescentado na Etapa 2. √ 2 2 = x3 √ 2 h x
, sendo x3 a medida do lado do quadrado acrescentado na Etapa 3.
= x
√ 2 h x
=
2 4 , sendo x4 a medida do lado do quadrado acrescentado na Etapa 4. Segue-se que:
h _4 = (n 1)(log √ 2 log 2) h
h 4 = (n 1)( 1 2 log 2 log 2) h
h 4 = (n 1)( 1 2 ? 0,3 0,3) h
h n 1 27,67
Portanto, o lado terá medida menor que um décimo de milésimo a partir da etapa 28.
17. alternativa b
A lei de formação da função que representa a extensão desgastada da estrada é dada por f (x ) = 130 ? (1 + 0,117)x, pois 130 km é a quantidade desgastada inicialmente (para x = 0), e acrescenta-se 11,7% a cada ano. Logo, temos: 1 000 = 130 (1,117)x h
h 100 13 = 1,117x h
h log ( 100 13 ) = log (1,117x ) h
h log 100 log 13 = x ? log 1,117 h
h 2 1,1 = x ? 0,05 h
h 0,9 = 0,05x h x = 0,9 0, 05 = 18
Segue-se que: 2 004 + 18 = 2 022
Unidade 3 • Sequências e noções de linguagem de programação
1. 45 24 = 1 080 H cerca de 1 080 quadros
2. a) • a1 = 10 3 1 = 7
• a2 = 10 3 2 = 4
• a3 = 10 3 3 = 1
• a4 = 10 3 4 = 2
• a5 = 10 3 5 = 5
(7, 4, 1, 2, 5, ...)
b) • a1 = 8
• a2 = a1 6 = 8 6 = 14
• a3 = a2 6 = 14 6 = 20
• a4 = a3 6 = 20 6 = 26
• a5 = a4 6 = 26 6 = 32
( 8, 14, 20, 26, 32, ...)
c) • a1 = 2 1 + 1 4 = 9 4
• a2 = 2 ? 2 + 1 4 = 17 4
• a3 = 2 3 + 1 4 = 25 4
k = 400 log 3 (8a + 1)
h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ k = 200 log 3 (2a + 1)
200 log 3 (2a + 1) = 400 log 3 (8a + 1) h
h log3 (8a + 1) = 2 log3 (2a + 1) h
h log3 (8a + 1) = log3 (2a + 1)2 h
h 8a + 1 = 4a2 + 4a + 1 h a2 = a h
h {a = 1 ou
a = 0 (não convém)
k = 200
log 3 (2a + 1) h
h k = 200
log 3 (2 1 + 1) h k = 200
Portanto, a = 1 e k = 200.
Logo, o n-ésimo quadrado terá lado com medida:
• a4 = 2 ? 4 + 1 4 = 33 4
• a5 = 2 5 + 1 4 = 41 4
( 9 4 , 17 4 , 25 4 , 33 4 , 41 4 , ...)
3. a) Respostas possíveis: 1, 2 e 4; 2, 4 e 8; 4, 8 e 16; 8, 16 e 32.
b) Considerando que o sucessor de 16 é o termo que vem depois dele e o antecessor de 4 é o termo que vem antes dele, temos: 32 e 2, respectivamente.
4. a) Resposta esperada: Não recursiva, pois, para determinar um termo qualquer da sequência, não é necessário conhecer o valor de um ou mais termos anteriores.
b) Finita, pois o seu domínio é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
c)
• a1 = 12 4 ? 1 + 3 = 0
• a2 = 22 4 2 + 3 = 1
• a3 = 32 4 3 + 3 = 0
• a4 = 42 4 4 + 3 = 3
• a5 = 52 4 5 + 3 = 8
Portanto, Marcela foi quem escreveu corretamente todos os termos da sequência.
5. a) figura 1: 4 palitos e 1 quadrado; figura 2: 7 palitos e 2 quadrados; figura 3: 10 palitos e 3 quadrados.
b) Resposta esperada:
• 13 palitos. 4 quadrados.
c) R esposta esperada: A partir da figura 2 , acrescentam-se três palitos à figura anterior, de maneira a obter um quadrado a mais do que essa figura anterior tem d) (4, 7, 10, ...)
A partir do segundo termo, cada termo é igual ao anterior somado com 3. Assim:
• a1 = 4
• a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 4 + 1 3
• a3 = a2 + 3 = 4 + 3 + 3 = 4 + 2 3
• a4 = a3 + 3 = 4 + 3 + 3 + 3 = = 4 + 3 3 ; Assim, podemos definir essa sequência de maneira não recursiva por meio do termo geral an = 4 + (n 1) 3.
Resposta esperada: an = 3n + 1, com n [ n*
6. Resposta esperada:
• Recursiva: O primeiro termo é igual a 0 e, a partir do segundo, cada termo é igual ao anterior somado com 13, ou seja, definimos an = an 1 + 13 e a1 = 0, com n [ n* e n > 2.
• Não recursiva: Os termos da sequência são os múltiplos não negativos de 13, sendo an = 13(n 1) ou an = 13n 13, com n [ n * .
7. a) Nota-se que an = 9( n 1) 5 = = 9n 14. Assim, um número k é termo da sequência se, e somente se, existe n [ n* tal que 9n 14 = k
• Para k = 238:
9n 14 = 238 h 9n = 252 h h n = 28 [ n*
• Para k = 483:
9n 14 = 483 h 9n = 497 h h n = 55,2 { n*
• Para k = 260:
9n 14 = 260 h 9n = 274 h
h n = 30,4 { n*
• Para k = 355:
9n 14 = 355 h 9n = 369 h
h n = 41 [ n*
Portanto, 238 e 355 são termos da sequência.
b) Temos que a 28 = 238 e a 41 = 355, ou seja, 238 é o termo da 28a posição e 355, da 41a posição.
8. a) Analisando o esquema c om os coelhos apresentado no enunciado, temos: (1, 1, 2, 3, 5, ...).
b) Resposta esperada: A partir do 3o mês, a quantidade de casais de coelhos corresponde à soma das quantidades de casais nos dois meses anteriores.
c) • 1o mês: 1
• 2o mês: 1
• 3o mês: 1 + 1 = 2
• 4o mês: 1 + 2 = 3
• 5o mês: 2 + 3 = 5
• 6o mês: 3 + 5 = 8
• 7o mês: 5 + 8 = 13
• 8o mês: 8 + 13 = 21
• 9o mês: 13 + 21 = 34
• 10o mês: 21 + 34 = 55
• 11o mês: 34 + 55 = 89
• 12o mês: 55 + 89 = 144 Portanto, ao final do 12o mês haverá 144 casais de coelhos.
d) Resposta esperada:
É PA, pois:
c) É PA, pois:
d) É PA, pois:
• b: r = 18, crescente; c: r = 8, decrescente; d: r = 0, constante 10. a) • a1 = 2
• a2 = 2 + 7 = 5
• a3 = 5 + 7 = 12
• a4 = 12 + 7 = 19
• a5 = 19 + 7 = 26
( 2, 5, 12, 19, 26)
b) • a3 = a1 + (3 1)r h
h 13 = a1 + 2 21 h a1 = 29
• a1 = 29
• a2 = 29 + 21 = 8
• a3 = 8 + 21 = 13
• a4 = 13 + 21 = 34
• a5 = 34 + 21 = 55
( 29, 8, 13, 34, 55)
c)
• a1 = 9
• a2 = 9 + 1 3 = 28 3
• a3 = 28 3 + 1 3 = 29 3
• a4 = 29 3 + 1 3 = 10
• a5 = 10 + 1 3 = 31 3
(9, 28 3 , 29 3 , 10, 31 3 )
d) Como r = 0, a PA é constante, sendo essa PA ( 3, 3, 3, 3, 3).
e) • a4 = a1 + (4 1)r h
h 28 = a1 + 3 ( 4) h a1 = 40
• a1 = 40
• a2 = 40 + ( 4) = 36
• a3 = 36 + ( 4) = 32
• a4 = 32 + ( 4) = 28
• a5 = 28 + ( 4) = 24
(40, 36, 32, 28, 24)
f) a2 = 7 e r = 9
a1 + ( 9) = 7 h a1 = 7 + 9 = 16
a1 = 16
a2 = 7
a3 = 7 + ( 9) = 2
a4 = 2 + ( 9) = 11
a5 = 11 + ( 9) = 20
(16, 7, 2, 11, 20)
11. alternativa c
a) É uma PA definida por recorrência com r = 8 . 0; logo, é uma PA crescente.
b) É uma PA com termo geral:
an = 9n 2 h an = 9(n 1) + 9 2 h
h an = 7 + (n 1) 9
A razão é r = 9 . 0; logo, é uma PA crescente.
c) É uma PA definida por recorrência com r = 6 , 0; logo, é uma PA decrescente.
d) Não é uma PA, pois:
• a1 = 12 = 1
• a2 = 22 = 4
• a3 = 32 = 9
Assim: ( 4) ( 1) 3 5 ( 9) ( 4) 5
12. Escrevendo a 11 em função de a 8 e r , temos:
a11 = a1 + 10r h a11 = a1 + 7r ⏟ a8 + 3r h
h a11 = a8 + 3r
Assim, a razão r é dada por:
65 = 47 + 3r h r = 6
E o primeiro termo a1 é dado por:
a11 = a1 + 10r h 65 = a1 + 10 ? 6 h
h a1 = 5
Segue-se que:
• a1 = 5
• a2 = 5 + 6 = 11
• a3 = 11 + 6 = 17
13. A PA (a1, a2, a3, a4, a5, a6) pode ser expressa como (a2 r, a2, a2 + r, a5 r, a5, a5 + r ), sendo r a razão da PA. De acordo com o enunciado:
• (a2 r ) + a2 + (a2 + r ) = 12 h
h 3a2 = 12 h a2 = 4
• (a5 r ) + a5 + (a5 + r ) = 15 h
h 3a5 = 15 h a5 = 5
Segue-se que:
a4 a3 = r h (a5 r ) (a2 + r ) = r h
h a5 a2 = 3r h 5 4 = 3r h
h r = 3
Assim, os outros termos são:
• a1 = 4 ( 3) = 7
• a3 = 4 + ( 3) = 1
• a4 = 5 ( 3) = 2
• a6 = 5 + ( 3) = 8
Portanto, a PA é (7, 4, 1, 2, 5, 8).
14. Inicialmente, vamos determinar o termo geral da PA. Temos:
a24 = a1 + 23r h 73 = a1 + 23 7 h
h a1 = 88
Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h an = 88 + (n 1) 7 h an = 7n 95
Logo, um número k é um termo da PA se, e somente se, existe n [ n*, tal que
7n 95 = k.
• Para k = 17:
7n 95 = 17 h 7n = 112 h
h n = 16 [ n*
• Para k = 60:
7n 95 = 60 h 7n = 35 h
h n = 5 [ n*
• Para k = 198:
7n 95 = 198 h 7n = 293 h
h n = 293
7 { n*
• Para k = 39:
7n 95 = 39 h 7n = 134 h
h n = 134
7 { n*
• Para k = 152:
7n 95 = 152 h 7n = 247 h
h n = 247
7 { n*
• Para k = 75:
7n 95 = 75 h 7n = 20 h
h n = 20
7 { n*
• Para k = 220:
7n 95 = 220 h 7n = 315 h
h n = 45 [ n*
• Para k = 287:
7n 95 = 287 h 7n = 382 h
h n = 382
7 { n*
• Para k = 4:
7n 95 = 4 h 7n = 99 h n = 99 7 { n*
Portanto, apenas 17, 60 e 220 são termos da PA.
15. C omo as medidas formam uma PA, temos:
10x (8x 1) = x + 13 2 10x h
h 2x + 1 = 9x + 13 2 h
h 11x = 11 2 h x = 1 2
Assim, as medidas do trapézio, em centimetro, são:
• base menor: 8 ? 1 2 1 = 3
• altura: 10 ? 1 2 = 5
• base maior: 1 2 + 13 2 = 7
Logo, a área do trapézio é: 3 + 7 2 5 = 25 H 25 cm2
16. Temos a1 = 20 e
r = 27 ( 20) = 7. Assim: a72 = a1 + 71r = 20 + 71 ( 7) = = 517
17. Temos que, a cada nova mesa adicionada, a quantidade de lugares aumenta em 2 unidades. Logo, a quantidade de cadeiras an em relação à quantidade n de mesas pode ser representada pela PA (4, 6, 8, 10, ...), em que a1 = 4 e r = 2. Para calcular a quantidade de mesas em que se obtêm 26 lugares, calculamos: 26 = 4 + (n 1) 2 h n = 12
Logo, serão necessárias 12 mesas.
18. a) Temos a 1 = 3 e r = 11 3 = 8. Vamos determinar n, tal que an = 171:
an = a1 + (n 1)r h
h 171 = 3 + (n 1) 8 h 8n = 176 h
h n = 22
Portanto, 22 termos.
b) Temos a1 = 10 e r = 29 10 = 19. Vamos determinar n, tal que an = 1 435:
an = a1 + (n 1)r h
h 1 435 = 10 + (n 1) ? 19 h
h 19n = 1 444 h n = 76
Portanto, 76 termos.
c) Temos a1 = 286 e r = 244 286 = = 42. Vamos determinar n, tal que an = 302:
an = a1 + (n 1)r h
h 302 = 286 + (n 1) ( 42) h
h 42n = 630 h n = 15
Portanto, 15 termos.
19. a) A quantidade de municípios atendidos em cada ano do período forma uma
PA com a1 = 54 e a4 = 189. Temos:
a4 = a1 + 3r h 189 = 54 + 3r h
h 3r = 135 h r = 45
Assim, a quantidade de municípios atendidos era:
• em 2024:
a2 = 54 + 45 = 99 H 99 municípios
• em 2025:
a3 = 99 + 45 = 144 H 144 municípios
b) De acordo com a resolução do item a, temos a1 = 54 e r = 45. Assim:
an . 500 h a1 + (n 1)r . 500 h
h 54 + (n 1) 45 . 500 h
h 45n . 491 h
h n . 491 45 1 10, 91
Logo, a empresa ultrapassará 500 municípios atendidos no ano correspondente a n = 11, ou seja, em 2033.
c) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem diferentes maneiras de resolver a questão e comparem-nas, de modo a identificar pontos
positivos de cada uma. É possível que a resolvam com apoio de inequação, como no modelo de resolução, mas também podem resolver utilizando a igualdade e estimando os resultados obtidos.
20. a) r = 4. Resposta esperada: Como devem ser interpolados cinco termos entre 10 e 14, temos que a PA obtida deve ter sete termos, em que a1 = 10 e a7 = 14. Assim, calculamos a7 = 10 + + (7 _ 1) r h 14 = 10 + 6r h r = 4.
b) Temos a1 = 77 e a10 = 31. Assim: a10 = a1 + 9r h 31 = 77 + 9r h h 9r = 108 h r = 12
Segue-se que:
• a2 = 77 + ( 12) = 65
• a3 = 65 + ( 12) = 53
• a4 = 53 + ( 12) = 41
• a5 = 41 + ( 12) = 29
• a6 = 29 + ( 12) = 17
• a7 = 17 + ( 12) = 5
• a8 = 5 + ( 12) = 7
• a9 = 7 + ( 12) = 19
(77, 65, 53, 41, 29, 17, 5, 7, 19, 31)
c) Sendo a1 = 19, an = 264 e r = 35, temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 264 = 19 + (n 1) 35 h
h 35n = 280 h n = 8
Logo, devem-se interpolar 6 meios aritméticos.
21. a) Temos 45 12 = 3,75 e 290 12 = 24,16; logo, o primeiro múltiplo de 12 no intervalo é 4 ? 12 = 48 e o último, 24 12 = 288. Assim, os múltiplos de 12 formam uma PA em que a1 = 48,
an = 288 e r = 12. Temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 288 = 48 + (n 1) 12 h
h 12n = 252 h n = 21
Portanto, existem 21 múltiplos de 12 no intervalo.
b) De maneira similar ao feito no item a, temos 105 12 = 8,75
e 550 12 = 45, 83; logo, a1 = 9 ? 12 = 108,
an = 45 12 = 540 e r = 12. Temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 540 = 108 + (n 1) ? 12 h
h 12n = 444 h n = 37
Portanto, existem 37 múltiplos de 12 no intervalo.
c) De maneira similar ao feito no item a, temos 640 12 = 53, 3 e
1 146 12 = 95,5; logo, a1 = 54 ? 12 = 648,
an = 95 ? 12 = 1 140 e r = 12. Temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 1 140 = 648 + (n 1) 12 h
h 12n = 504 h n = 42
Portanto, existem 42 múltiplos de 12 no intervalo.
22. a) De ac ordo com o gráfico, a PA é crescente.
b) Temos a1 = 54 e
r = 46 ( 54) = 8. Assim, o termo geral é:
an = a1 + (n 1)r h
h an = 54 + (n 1) 8 h
h an = 8n 62
Assim, para verificar se 106 é um termo da PA, fazemos:
8n 62 = 106 h 8n = 168 h n = 21 Logo, o número 106 é termo da PA com a21 = 106.
c) De acordo com a resolução do item b, o termo geral é an = 8n 62. Assim:
• o 50o termo é:
a50 = 8 50 62 = 338
• an . 0 h 8n 62 . 0 h 8n . 62 h
h n . 7,75
Logo, o primeiro termo positivo é:
a8 = 8 8 62 = 2
d) f : n* H r, tal que f (n) = 8n 62
23. a) Se an = f (n) = 3n + 1 para n [ n* , temos:
• a1 = 3 ? 1 + 1 = 2
• a2 = 3 ? 2 + 1 = 5
• a3 = 3 ? 3 + 1 = 8
; Assim, temos a PA ( 2, 5, 8, ...) em que o primeiro termo é a 1 = 2 e a razão é r = 5 ( 2) = 3.
b)
0 1 1 2 n a n 3 4 5 6 7 8 12 3 4
ILUSTRAÇÕES: CBOOK PRODUÇÕES
24. a) Temos a1 = 15 175 e r = 14 550 15 175 = 625. Sendo an = 10 800 o último termo da PA, temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 10 800 = 15 175 + (n 1) ( 625) h
h 625n = 5 000 h n = 8
Assim, a PA tem 8 termos; logo, o preço da motocicleta pode ser estimado por até 8 anos de uso.
b) Como a 1 = 15 175 e r = 625, o termo geral da PA é:
an = a1 + (n 1)r h
h an = 15 175 + (n 1) ( 625) h
h an = 625n + 15 800
Assim, definimos f : A H r, com
A = {n [ n | 1 < n < 8}, tal que f (n) = 625n + 15 800.
c)
h n ? (1 + n) 2 < 195 h n(n + 1) < 390
Utilizando o mesmo argumento que o utilizado para 78 copos, observamos que 19 2 ⏟ 361 < 390 < 20 2 ⏟ 400 , estimamos que n = 19 e calculamos S19:
S19 = 19 (1 + 19) 2 = 190
25. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes consigam relacionar a PA a uma função de domínio discreto e saibam relacionar as representações algébrica e gráfica dela. Eles podem, por exemplo, ao término da atividade, relacionar os coeficientes da função com características da PA, como a razão e o primeiro termo.
26. a) Temos a1 = 125 550 e r = 1 620. Assim, a fórmula do termo geral é:
an = a1 + (n 1)r h
h an = 125 550 + (n 1) ( 1 620) h
h an = 1 620n + 127 170
b) A quan tidade de domicílios com acesso à TV por assinatura em dezembro de 2025 corresponde ao termo a8.
Temos:
a8 = 1 620 8 + 127 170 =
= 114 210 H 114 210 domicílios
27. Para resolver os itens a e b, considere a PA (1, 2, 3, 4, ...) em que o termo geral é an = n, que expressa a quantidade de copos em cada camada.
a) • 15 camadas:
S15 = 15 (a 1 + a 15)
= 15 (1 + 15)
2 = 120 H 120 copos
• 24 camadas:
S24 = 24 ? (a1 + a24)
2 =
= 24 ? (1 + 24) 2 = 300 H 300 copos
b) • 78 copos:
Sn < 78 h n (a1 + an) 2 < 78 h
h n (1 + n) 2 < 78 h n(n + 1) < 156
Note que, como n [ n, temos
n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, ou seja, n(n + 1) está entre dois quadrados perfeitos consecutivos.
Como 12 2 ⏟ 144 < 156 < 13 2 ⏟ 169 , estimamos que
n = 12 e calculamos S12:
S12 = 12 ? (1 + 12) 2 = 78
Portanto, podem ser empilhadas no máximo 12 camadas.
• 195 copos:
Sn < 195 h n (a1 + an) 2 < 195 h 0
Ao somar os copos da 20a camada, obteríamos um total de 190 + 20 = 210 copos, o que supera os 195 copos permitidos; logo, podem ser empilhadas no máximo 19 camadas.
c) Utilizando a expressão de cálculo da soma dos termos de uma PA, em que a1 = 1, r = 1 e an = n, temos: (1 + n) ? n 2 = n 2 + n 2
28. • X é a soma dos termos da PA em que a1 = 10, r = 5 e o último termo é an = 150. Temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 150 = 10 + (n 1) ? 5 h n = 29
Logo, a PA tem 29 termos e X é dado por:
X = S29 = 29 (a1 + a29) 2 = = 29 (10 + 150) 2 = 2 320
• Y é a soma dos termos da PA em que a1 = 150, r = 3 e o último termo é
an = 198. Temos:
an = a1 + (n 1)r h
h 198 = 150 + (n 1) ? 3 h n = 17
Logo, a PA tem 17 termos e Y é dado por:
Y = S17 = 17 ? (a1 + a17) 2 = = 17 ? (150 + 198) 2 = 2 958
Segue-se que: X + Y = 2 320 + 2 958 = 5 278
29. Temos: a15 = a1 + 14r = 4 + 14 68 = 956
Assim:
S15 = 15 (a1 + a15) 2 = = 15 (4 + 956) 2 = 7 200
30. Temos: {S8 = 148 S16 = 280 h h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 8 ? (a1 + a8) 2 = 148 16 ? (a1 + a16) 2 = 280 h
h {a1 + a8 = 37 a1 + a16 = 35 h
h {a1 + a1 + 7r = 37 a1 + a1 + 15r = 35 ( 1) h
h {
2 a1 + 7r = 37
2 a1 15r = 35 + 0 a1 8r = 72 h r = 9
Substituindo r = 9 na equação
2a1 + 7r = 37, temos:
2a1 + 7 ? ( 9) = 37 h a1 = 50
Como a1 = 50 e r = 9, os cinco primeiros termos da PA são 50, 41, 32, 23 e 14.
31. A quantidade de poltronas forma uma PA de 10 termos em que a1 = 17 e r = 2. O último termo é:
a10 = a1 + 9r = 17 + 9 ? 2 = 35
Assim, o total de poltronas é dado por:
S10 = 10 (a1 + a10)
2 = = 10 (17 + 35) 2 = 260 H 260 poltronas
32. a) Temos a1 = 2, r = 13 2 = 11 e o último termo é an = 112. Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h 112 = 2 + (n 1) ? 11 h n = 11
Logo, a PA tem 11 termos e sua soma é:
S11 = 11 (a1 + a11)
2 = = 11 (2 + 112) 2 = 627
b) Temos a1 = 127, r = 121 127 = 6
e o último termo é an = 47. Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h 47 = 127 + (n 1) ? ( 6) h n = 30
Logo, a PA tem 30 termos e sua soma é:
S30 = 30 (a1 + a30)
2 =
= 30 [127 + ( 47)]
2 = 1 200
c) Temos a1 = 60, r = 70 60 = 10 e o último termo é an = 2 020. Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h 2 020 = 60 + (n 1) 10 h n = 197
Logo, a PA tem 197 termos e sua soma é:
S197 = 197 ? (a1 + a197)
2 = = 197 ? (60 + 2 020)
2 = 204 880
33. alternativa d
a) Falsa. Temos a1 = 13 e r = 16 13 = 3, assim:
a20 = a1 + 19r = 13 + 19 3 = 70
Segue-se que:
S20 = 20 (a1 + a20) 2 = = 20 ? (13 + 70) 2 = 830 5 2 150
b) Falsa. O primeiro termo comum das duas PAs é 16. Os outros termos comuns são todos os números que são a soma de 16 com um número simultaneamente múltiplo de 4 e de 6; logo, esses termos formam uma PA em que a1 = 16 e r = 12, pois 12 é o menor número que é múltiplo comum de 4 e 6.
Assim:
a10 = a1 + 9r = 16 + 9 12 = 124
Segue-se que:
S10 = 10 ? (a1 + a10)
2 =
= 10 (16 + 124)
2 = 700 5 660
c) Falsa. Temos a1 = 8 e
r = 12 8 = 4, assim:
a25 = a1 + 24r = 8 + 24 ? 4 = = 104 5 108
d) Verdadeira. O primeiro termo comum das duas PAs é 16. A partir desse termo, todos os termos seguintes da PA indicada em II também são termos da PA indicada em III, pois a razão da PA indicada em II (r = 6) é um múltiplo da razão da PA indicada em III (r = 3). Logo, os termos comuns formam uma PA em que a1 = 16 e r = 6. Assim:
a12 = a1 + 11r = 16 + 11 ? 6 = 82
Segue-se que:
S12 = 12 (a1 + a12)
2 =
= 12 (16 + 82)
2 = 588
34. Temos a1 = 34 000, r = 36 800 34 000 = = 2 800, e o termo correspondente à quantidade estimada de visitantes em 2037 é o termo a10. Temos:
a10 = a1 + 9r = 34 000 + 9 2 800 = = 59 200
Então, a quantidade total de visitantes de 2028 até 2037 será:
S10 = 10 (a1 + a10)
2 =
= 10 (34 000 + 59 200)
2 =
= 466 000 H 466 000 visitantes
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes pesquisem informações sobre museus próximos de onde moram e façam um levantamento dos dados úteis para visitação, como o tipo de exposição do museu, os horários de funcionamento e o preço da entrada.
35. {a15 = 40 a45 = 80 h
h {a1 + 14r = 40 ( 1) a1 + 44r = 80 h
h { a1 14r = 40
a1 + 44r = 80 +
0 a1 + 30r = 120 h r = 4
Substituindo r = 4 na equação
a1 + 14r = 40, temos:
a1 + 14 ? 4 = 40 h a1 = 96
O último termo da PA é:
a50 = a1 + 49r = 96 + 49 4 = 100
Assim, a soma dos termos da PA é:
S50 = 50 (a1 + a50)
2 =
= 50 ? ( 96 + 100)
2 = 100
36. O hexágono pode ser decomposto em 4 triângulos; logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é
4 180° = 720°
Assim, as medidas dos ângulos internos do hexágono formam uma PA de 6 termos em que a6 = 140 e S6 = 720. Logo:
S6 = 6 (a1 + a6) 2 h
h 720 = 6 (a1 + 140)
2 h a1 = 100
A razão r da PA é dada por:
a6 = a1 + 5r h 140 = 100 + 5r h r = 8
Portanto, as medidas dos demais ângulos internos do hexágono são 100° , 108°, 116°, 124° e 132° .
37. Na 1 a figura, utiliza-se 1 palito para formar cada um dos cinco lados do contorno do pentágono. A partir da 2a figura, adiciona-se uma quantidade constante de 1 palito nos dois lados aproveitados da figura anterior e, nos outros lados, são adicionados um total de 3 ? n palitos. Logo, a quantidade de palitos adicionados na 2 a figura, em relação à 1 a, é 8 (2 + 3 2); na 3a figura, em relação à 2a, são adicionados 11 (2 + 3 3); e assim sucessivamente. Dessa maneira, a quantidade de palitos de uma figura para a seguinte aumenta de acordo com uma PA em que a1 = 8 e r = 3.
Portanto, a quantidade de palitos na 10 a figura corresponde à soma dos 9 primeiros termos dessa PA, acrescida de 5 palitos, correspondentes à 1a figura. Assim, temos:
a9 = a1 + 8r = 8 + 8 ? 3 = 32
Segue-se que:
S9 = 9 ? (8 + 32) 2 = 9 40 2 = 180
Assim, temos: 180 + 5 = 185 Logo, a 10a figura terá 185 palitos.
38. Temos:
• a1 = S1 = 4 ? 12 4 ? 1 = 0
• a1 + a2 = S2 h
h 0 + a2 = 4 22 4 2 h a2 = 8
Assim:
• razão: r = 8 0 = 8
• 40o termo:
a40 = a1 + 39r = 0 + 39 8 = 312
39. a) As parcelas formam uma PA em que
a1 = x + 1 3 , r = (x + 1) (x + 1 3 ) = 2 3
e o último termo é an = x + 35 3 . Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h x + 35 3 = x + 1 3 + (n 1) ? 2 3 h
h (n 1) 2 3 = 34 3 h
h n 1 = 17 h n = 18
Segue-se que:
S18 =378 h 18 ? (a1 + a18) 2 = 378 h
h (x + 1 3 ) + (x + 35 3 ) = 42 h
h 2x + 12 = 42 h x = 15
b) As parcelas formam uma PA
em que a1 = 4m 27, r = (4m 10) (4m 27) = 17 e o
último termo é an = 4m + 551. Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h 4m + 551 = 4m 27 + (n 1) 17 h
h (n 1) 17 = 578 h
h n 1 = 34 h n = 35
Segue-se que:
S35 = 8 750 h
h 35 ? (a1 + a35) 2 = 8 750 h
h (4m 27) + (4m + 551) = 500 h
h 8m + 524 = 500 h m = 3
c) As parcelas formam uma PA
em que a1 = 44 + p,
r = (38 + p) (44 + p) = 6 e o último termo é an = 70 + p. Assim:
an = a1 + (n 1)r h
h 70 + p = 44 + p + (n 1) ? ( 6) h
h (n 1) 6 = 114 h
h n 1 = 19 h n = 20
Segue-se que:
S20 = 540 h 20 (a1 + a20) 2 = 540 h
h (44 + p) + ( 70 + p) = 54 h
h 26 + 2p = 54 h p = 40
40. Vamos calcular o valor total a ser pago em cada opção, em reais.
• Opção 1: 20 000 + 60 ? 750 = 65 000
• Opção 2: S48 = 48 (a1 + a48) 2 =
= 24 ? (2 500 + 244) = 65 856 Logo, a opção 1 é mais vantajosa, e o valor a ser pago a menos é: 65 856 65 000 = 856 H R$ 856,00
41. Temos: {a4 + a9 = 74
S10 = 330 h
h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (a1 + 3r) + (a1 + 8r) = 74
10 (a1 + a10) 2 = 330 h
h {2 a1 + 11r = 74
a1 + a1 + 9r = 66 ?( 1) h
h { 2 a1 + 11r = 74
2 a1 9r = 66 +
0 a1 + 2r = 8 h r = 4
Portanto, a razão é igual a 4.
42. Temos que:
a1 + a2 + a3 + … + a12 12 = 92 h
h S12 12 = 92 h 12 ? (a1 + a12) 2 12 = = 92 h a1 + a12 2 = 92
Nota-se que a2 e a11 são termos equidistantes dos extremos a1 e a12; logo, a 2 + a 11 = a 1 + a 12. Assim, a média aritmética dos termos de a 1 até a 12, desconsiderando-se a2 e a11, é:
S12 (a2 + a11) 10 = = 12 (a1 + a12) 2 (a1 + a12) 10 = = 10 (a1 + a12) 2 10 = a1 + a12 2 = 92
43. a) Nota -se que não importa a ordem com que as partes são entregues a cada homem; então, vamos supor que a PA é crescente. Assim, como as três partes maiores são a3, a4 e a5, temos: a3 + a4 + a5 7 = a1 + a2 h
h a3 + a4 + a5 = 7(a1 + a2) Além disso, como o total de pães é 100, temos:
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem outros problemas encontrados no papiro de Rhind e identifiquem conceitos matemáticos envolvidos nesse problemas. Verificar se eles conseguem identificar os conceitos e elaborar hipóteses e estratégias de resolução para resolver tais problemas. A socialização das respostas pode ser uma oportunidade de incentivar a argumentação dos estudantes.
44. a) • q = 10 30 = 1 3
• Crescente, pois 0 , q , 1 e a1 , 0.
b) • q = 5 9 : 5 9 = 1
• Constante, pois q = 1.
c) • q = ( 4) : ( 1) = 4
• Decrescente, pois q . 1 e a1 , 0.
d) • q = 18 : ( 3) = 6
• Alternante, pois q , 0.
e) • q = 2 4 : 2 2 = 2 2
• Decrescente, pois 0 , q , 1 e a1 . 0.
45. a) • a1 = √ 7
• a2 = √ 7 ? 4√ 7 = 4 7 = 28
• a3 = 28 4√ 7 = 112√ 7
a1 + a5 = 40 Assim, temos o sistema:
a1 + a2 = 25 2
Logo, a razão da PA é 55 6 . Ao inverter a ordem de entrega dos pães, teríamos uma PA decrescente de razão 55 6
b) De acordo com a resolução do item a, temos a1 + a2 = 25 2 e r = 55 6 . Assim:
a1 = 20 12 = 5 3
• a2 = 5 3 + 55 6 =
6 =
3 Logo, as quantidades recebidas foram 5 3 , 65 6 , 20, 175 6 e 115 3
• a4 = 112√ 7 ? 4√ 7 = 448 7 = 3 136
Portanto, √ 7 , 28, 112√ 7 e 3 136.
b) a5 = a1 q4 h
h 1 40 = a1 ( 1 5 ) 4 h
• a1 = 125 8
• a2 = 125 8 ( 1 5 ) = 25 8
• a3 = 25 8 ? ( 1 5 ) = 5 8
• a4 = 5 8 ( 1 5 ) = 1 8
Portanto, 125 8 , 25 8 , 5 8 e 1 8
c) a3 = a1 ? q2 h 95 = a1 ? (92)2 h
h a1 = 95 9 4 = 9
• a1 = 9
• a2 = 9 92 = 93
• a3 = 93 92 = 95
• a4 = 95 ? 92 = 97
Portanto, 9, 93, 95 e 97
46. a7 = a1 ? q6 = a1 ? q3 ? q3 = a4 ? q3 =
= ( 70) ( 5 4 )3 = ( 70) ( 125 64 ) = = 35 125 32 = 4 375 32
47. {a2 = a1 q a6 = a1 q 5 h
h {4 = a1 q 4 625 = a1 q 5 h {a1 = 4 q 1 a1 ? q 5 = 4
Substituindo a1 = 4 q 1 na segunda equação, temos:
4 q 1 q5 = 4 625 h q4 = 1 5 4 h
h q = 1 5 ou q = 1 5
Como a PG é decrescente, temos q = 1 5 , pois a razão q = 1 5 indica uma PG alternante. Substituindo q = 1 5 na primeira equação, temos:
a1 = 4 ? ( 1 5 ) 1 h a1 = 4 ? 5 = 20
Portanto, q = 1 5 e a1 = 20.
48. Temos a1 = 1 e q = 3. Assim:
a) a7 = a1 q6 = 1 36 = 729 H H 729 triângulos pretos
b) an = a1 qn 1 h 19 683 = 1 3n 1 h
h 3n 1 = 39 h n 1 = 9 h
h n = 10 H figura 10
c) Cada figura, a partir da segunda, é formada por triângulos com a medida do lado correspondente à metade da medida dos triângulos pretos da figura anterior. Assim, essas medidas formam a sequência (1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , )
d) PG, pois, a partir do 2o termo, o quociente entre um termo qualquer da sequência e seu antecessor é constante e igual a q = 1 2 .
• Fórmula do termo geral:
an = a1 qn 1 h an = ( 1 2 ) n 1
e) A medida do lado de cada triângulo, em metro, é:
a6 = ( 1 2 )5 = 1 32
Logo, o perímetro é:
3 1 32 = 3 32 H 3 32 m 49. alternativa c
a) Falsa. A população estimada do Brasil forma uma PG em que a1 = 203 062 512 e q = 1,0052, sendo a população estimada em 2027 correspondente ao termo a 6. Calculando a 6, temos:
a6 = a1 ? q5 = 203 062 512 ? (1,0052)5 1
1 208 397 332
b) Falsa. Calculando a2, temos:
a2 = a1 q1 = 203 062 512 (1,0052)1 1 1 204 118 437
Portanto, em 2023, a população brasileira não ultrapassou 205 milhões de habitantes.
c) Verdadeira. A estimativa da população brasileira em 2030 corresponde ao 9o termo da respectiva PG, que representa sua população no decorrer dos anos. Assim, a estimativa da população nesse ano é:
• 203 062 512 (1,0052)8 1
1 211 665 265 H aproximadamente 211,7 milhões
d) Falsa. Como foi considerado que a taxa de crescimento será mantida até 2030, a população brasileira deve variar de acordo com uma PG crescente e, portanto, vai aumentar até 2030. Após esse período, o enunciado não fornece dados para analisarmos a variação da população brasileira.
50. a) a2 = 500 : 2 = 250
a3 = 250 : 2 = 125
a4 = 125 : 2 = 62,5 (500; 250; 125; 62,5; ...)
b) A sequência é uma PG, pois, a partir do 2 o termo, o quociente entre um termo qualquer da sequência e seu antecessor é constante. A razão dessa
PG é 1 2 , pois 250 500 = 1 2 .
51. (x + 1)2 = (x 4) ? (5x + 11) h h x2 + 2x + 1 = = 5x2 + 11x 20x 44 h
h 4x2 11x 45 = 0 h {x1 = 5 x2 = 9 4
Como os termos são positivos, temos
x = 5, pois o primeiro termo seria negativo para x = 9 4 . Assim,
a1 = x 4 = 5 4 = 1 e q = x + 1 x 4 = 5 + 1 5 4 = 6. Segue-se que:
• a1 = 1
• a2 = 1 6 = 6
• a3 = 6 6 = 36
• a4 = 36 6 = 216
• a5 = 216 6 = 1 296
Portanto, 1, 6, 36, 216 e 1 296.
52. Temos a1 = 4, q = 8 : 4 = 2 e o último termo é an = 410. Assim:
an = a1 qn 1 h 410 = 4 2n 1 h
h (22)10 = 22 2n 1 h 220 = 2n + 1 h
h 20 = n + 1 h n = 19
Portanto, a PG tem 19 termos.
53. ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a2 + a3 = 4 9
9 a1 ? q 4 + a1 ? q 5 = 12 343
Dividindo-se a segunda equação pela primeira, temos:
a1 q 4 + a1 q 5
a1 ? q + a1 ? q 2 = 12 343 : ( 4 9 ) h
h q 3(a1 q + a1 q 2)
a1 ? q +
54. a) • a1 = 40
• a2 = 40 2 = 80
• a3 = 80 ? 2 = 160
• a4 = 160 2 = 320
• a5 = 320 2 = 640 ; (40, 80, 160, 320, 640, ...)
b) PG, pois, a partir do 2o termo, o quociente entre um termo qualquer da sequência e seu antecessor é igual a uma constante denominada razão. Nesse caso, a razão q = 2.
c) Temos a1 = 40 e q = 2. Assim, o termo geral é:
an = a1 qn 1 h an = 40 2n 1
d) f (n) = an h f (n) = 40 2n 1
Como 40 = 23 5, também podemos escrever:
f (n) = 23 ? 5 ? 2n 1 h
e) O tempo, em hora, após o início da análise em que é feita cada verificação forma uma PA em que b1 = 0 e r = 3. Após 2 dias, que correspondem a 48 h, é feita a verificação n, tal que bn = 48.
Temos:
bn = b1 + (n 1)r h
h 48 = (n 1) 3 h n = 17
Logo, a quantidade de bactérias após 2 dias é:
a17 = 5 ? 217 + 2 = 2 621 440 H
H 2 621 440 bactérias
55. O montante da aplicação forma uma PG em que a1 = 1 800 e q = 1,005, sendo an o montante da aplicação após n 1 meses, para n [ n, com n > 2. Assim, o montante ao final de três anos de aplicação, que correspondem a 36 meses, é:
a37 = a1 q36 = 1 800 (1,005)36 1
1 2 154,02 H
H aproximadamente R$ 2.154,02
56. a) • a1 = f (1) = 2 31 1 = 2
• a2 = f (2) = 2 32 1 = 6
• a3 = f (3) = 2 33 1 = 18 ; ( 2, 6, 18, ...)
Temos a1 = 2 e q = ( 6) : ( 2) = 3.
0 2 4 n a n 6
57. Temos a1 = 1 8 e q = 1 2 : 1 8 = 1 2 8 = 4. Assim, o termo geral da PG é:
an = a1 ? qn 1 h an = 1 8 ? 4n 1 Então, definimos f : n* H r por
f (n) = 1 8 ? 4n 1. Observe que:
1 8 4n 1 = 1 2 3 (22)n 1 = = 2 3 ? 22n 2 = 22n 5
Logo, também podemos escrever f (n) = 22n 5
58. a) A PG é tal que a1 = 32, q = 48 32 = 3 2 e o último termo é an = 243. Assim:
an = a1 qn 1 h 243 = 32 ( 3 2 ) n 1 h
h ( 3 2 ) n 1 = 243 32 h
h ( 3 2 ) n 1 = ( 3 2 )5 h
h n 1 = 5 h n = 6
Logo, estima-se que as árvores param de crescer 6 anos após o plantio.
b) Uma resposta possível: f : A H r, com A = {n [ n | 1 < n < 6}, definida por f (n) = 32 ( 3 2 )n 1
Temos que f (4) = 108 indica que a estimativa de altura dessas árvores, 4 anos após o plantio, seja de 108 cm.
59. a) Temos a1 = 1 e
q = ( 5) : ( 1) = 5. Assim:
S9 = a1 (1 q 9) 1 q = = ( 1) ? (1 5 9) 1 5 = = 1 5 9 4 = 488 281
b) Temos a1 = 4 21 e
q = 4 7 : 4 21 = 4 7 21 4 = 3. Assim:
S6 = a1 (1 q 6) 1 q = 4 21 1 3 6 1 3 = = 2 21 (3 6 1) = 208 3
c) Temos a1 = 2 e q = 6 : 2 = 3. Assim:
S10 = a1 (1 q 10) 1 q = 2 (1 3 10) 1 3 =
= 310 1 = 59 048
d) Temos a1 = 3 e q = ( 27) : 3 = 9. Assim:
S7 = a1 (1 q 7) 1 q = = 3 [1 ( 9) 7] 1 ( 9) = 3 10 (1 + 9 7) =
= 1 434 891
60. a) 75 000 ? 1,12 = 84 000 H H 84 000 entregas
b) O total de entregas esperadas no primeiro semestre de 2026 corresponde à soma dos seis primeiros termos da PG em que a1 = 75 000 e q = 1,12, ou seja:
S6 = a1 (1 q 6) 1 q = = 75 000 (1 1,12 6) 1 1,12 = = 625 000 (1,126 1) 1 608 639 H H aproximadamente 608 639 entregas
61. alternativa c
Temos a1 = 3 e q = 1. Assim:
a) Falsa, pois:
S25 = a1 ? (1 q 25) 1 q = = 3 [1 ( 1) 25] 1 ( 1) = 3 ? 2 2 = 3
b) Falsa, pois:
a38 = a1 ? q37 = 3 ? ( 1)37 = 3
c) Verdadeira. Assim como no item a , podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG para mostrar que S50 = 0 ou observar que os termos se anulam em pares; logo, ao somar uma quantidade par de termos consecutivos, o resultado é zero. d) Falsa. A PG é alternante.
62. alternativa d
A quantidade total de grãos de trigo corresponde à soma dos 64 primeiros termos da PG em que a1 = 1 e q = 2, ou seja:
S64 = a1 (1 q 64) 1 q = = 1 (1 2 64) 1 2 = 2 64 1
63. Temos a1 = 7 e, sendo n a quantidade de termos, an = 54 432 e Sn = 46 655. Assim, a razão q é dada por:
Sn = an q a1 q 1 h
h 46 655 = 54 432 q 7 q 1 h
h 46 655q + 46 655 = = 54 432q 7 h
h 7 777q = 46 662 h q = 6
64. Temos: a8 = a1
Assim: 25 32 = 800 ? q5 h q5 = 1 1 024 h
h q5 = ( 1 4 )5 h q = 1 4
P ara determinar o primeiro termo, observe que:
a3 = a1 q2 h 800 = a1 ( 1 4 )2 h
h a1 = 12 800
Segue-se que a soma dos termos da PG é:
S8 = a8 q a1 q 1 = = 25 32 1 4 12 800 1 4 1 = = 1 638 375 128 3 4 = 546 125 32
65. O s termos da PG em que a 1 = 20 e q = 0,65, a partir do 2o termo, correspondem às alturas, em metro, que a bola atinge após cada choque com o solo, sendo o termo an + 1 a altura atingida após o n-ésimo choque.
a) A altura que a bola atinge após o 4o choque é:
a5 = a1 q4 = 20 0,654 1
1 3,57 H aproximadamente 3,57 m
b) • No momento em que se choca com o solo pela 2a vez, a bola percorreu as distâncias correspondentes à descida da bola das alturas a1 e a2 e à subida da bola até a altura a2, ou seja:
a1 + 2a2 = 20 + 2 ? (20 ? 0,65) = = 46 H 46 m
• No momento em que se choca com o solo pela 5a vez, a bola percorreu as distâncias correspondentes à descida da bola das alturas a1, a2, a3, a4 e a5 e à subida da bola até as alturas a2, a3, a4 e a5. O total percorrido corresponde a:
2S5 a1 = 2 a1 (1 q 5) 1 q a1 =
= 2 20 ? (1 0,65 5)
1 0,65 20 = = 81,02525 H 81,02525 m
66. a) Resposta esperada: De acordo com a ordem das linhas, o primeiro número das sequências corresponde a um termo de uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2. Já em cada linha, a sequência corresponde a uma PA de razão r = 3. Na 1a linha, tem apenas um número e, a partir da 2a linha, a quantidade de números é o dobro da que tem na linha anterior.
b) O primeiro termo da PA da 6a linha corresponde ao sexto termo da PG de primeiro termo 3 e razão 2, ou seja: a1 = 3 25 = 96
A quantidade n de termos dessa PA corresponde ao sexto termo da PG de primeiro termo 1 e razão 2, ou seja:
n = 1 ? 25 = 32
Como a razão dessa PA é r = 3, o seu
último termo é:
a32 = a1 + 31r = 96 + 31 3 = 189
Assim, a soma dos termos da sequência da 6a linha é:
S32 = 32 (a1 + a32) 2 =
= 32 ? (96 + 189) 2 = 4560
67. alternativas b, d e e
Para que o limite da soma dos termos de uma PG convirja para um número real, temos que 1 , q , 1. Logo, temos:
a) q = 4 2 =2
b) q = 20 80 = 1 4
c) q = 6 5 2 5 = 6 5 5 2 =3
d) q = 2 10 = 1 5
e) q = 9 12 = 3 4
f) q = 9 6 = 3 2
68. a) Temos a1 = 4 e q = 1 4 , assim:
S = 4 1 ( 1 4 ) = 4 4 5 = 16 5
b) Temos a 1 = 625 e q = 125 625 = 1 5 , assim:
S = 625 1 1 5 = 625 5 4 = 3 125 4
c) Temos a1 = 3 7 e q = ( 1 7 ) : 3 7 = 1 3 , assim:
S = 3 7 1 ( 1 3 ) = 3 7 ? 3 4 = 9 28
d) Temos a1 = 25 e q = 0,25 : 25 = 1 100 , assim:
S = 25 1 1 100 = 25 100 99 = 2 500 99
69. a) 1,7777... = 1 + 0,7 + 0,07 + + 0,007 + 0,0007 + = = 1 + 7 10 + 7 100 + 7 1 000 + 7 10 000 +
S As parcelas destacadas formam uma PG em que a1 = 7 10 e q = 7 100 : 7 10 = 1 10 ; logo: S =
8,112 = 8 + 0,112 + 0,000112 + + 0,000000112 + ... = = 8 +
As parcelas destacadas formam uma PG em que a1 = 112 10 3 e q
determinar a fração geratriz correspondente. Orientá-los a escrever pelo menos uma dízima periódica composta.
70. alternativa d
A partir da 2a circunferência, o quociente do perímetro de cada circunferência com o perímetro da circunferência anterior é 2pr 2p 2r = 1 2 ; logo, os perímetros das circunferências formam uma PG em que a1 = 2p ? 10 = 20p e q = 1 2 . Assim, o limite da soma dos perímetros das circunferências é:
S = 20p 1 1 2 = 20p ? 2 = 40p H 40p cm
71. As par celas do 1 o membro formam uma PG em que a1 = x e q = x 5 : x = 1 5 . Assim: x + x 5 + x 25 +
S = 30 h h x 1 1 5 = 30 h x ? 5 4 = 30 h x = 24
Integrando com...
parcelas da soma destacada formam
= (
Assim:
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam características de uma dízima periódica e consigam
1. Resposta pessoal. Os estudantes podem mencionar aspectos como analisar as características das populações e fundamentar a proposição de políticas públicas.
2. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes respondam com base em suas experiências pessoais. Levantar hipóteses com os estudantes a respeito de possíveis relações entre mudanças ocorridas nas políticas públicas do município e a variação na quantidade de habitantes.
3. a) Gráfico de segmentos.
b) Analisando o título do gráfico ou os dados do eixo horizontal, temos que os dados correspondem ao período de 1950 a 2100.
c) Entre 1950 e 2000: 6,1 2,5 = 3,6 H
H 3,6 bilhões de habitantes.
Entre 2000 e 2050: 9,7 6,1 = 3,6 H
H 3,6 bilhões de habitantes.
Entre 2050 e 2100: 10,3 9,7 = 0,6 H
H 0,6 bilhão de habitantes.
d) A sequência não corresponde a uma PA, pois a diferença entre um termo e o anterior, a partir do 2 o termo, não é igual. A sequência não corresponde a uma PG, pois a razão entre um termo e o an terior, a partir do 2 o termo, não é igual.
4. a) método geométrico; método aritmético
b) Método aritmético: 20 000 + 2 000 = = 22 000 H 22 000 habitantes
Método geométrico:
24 883 ? 1,2 = 29 859,6 H aproximadamente 29 860 habitantes
c) Resposta esperada: Não, pois, nas estimativas realizadas, a população não cresce igualmente em valores absolutos nem a uma mesma taxa de crescimento.
5. a) Respostas pessoais. As respostas dependem do município em que os estudantes moram. Incentivá-los a analisar o contexto local sobre o crescimento populacional e o contexto nacional a fim de elaborarem hipóteses e argumentos.
b) A resposta depende do município em que os estudantes moram. Espera-se que os estudantes consigam, a partir dos métodos estudados, estimar a população para o município em que moram.
c) R esposta pessoal. Ao socializarem as respostas desse item, propor aos estudantes que verifiquem se os objetivos dos institutos com essas pesquisas foram os mesmos e se houve mudanças nos métodos de pesquisa e de divulgação, resultantes de diferenças nas intencionalidades dessas pesquisas. Em seguida, promover uma discussão com a turma sobre como essas estimativas podem contribuir para o desenvolvimento do município, indicando a necessidade de proposição de políticas públicas para o futuro.
72. a) R esposta esperada: Todo número natural é par ou é ímpar, e qualquer número par é divisível por 2.
b) Sim. O passo que questiona se a divisão, realizada no passo anterior, tem resto igual a zero.
c) • 237: Primeiro, realizamos a divisão 237 : 2, obtendo quociente 118 e resto 1. Como o resto da divisão não é igual a zero, concluímos que 237 é ímpar.
• 108: Primeiro, realizamos a divisão 108 : 2 = 54, com resto zero. Como o resto da divisão é igual a zero, concluímos que 108 é par.
d) Uma resposta possível:
Início.
Determine o algarismo das unidades de n
Esse algarismo é 0, 2, 4, 6 ou 8?
Sim. Não.
O número n é ímpar.
73. a) Analisando o fluxograma, temos que o currículo é arquivado e retoma-se o processo.
b) Resposta esperada: Não, além da análise de currículo, são analisadas as referências pessoais e profissionais do candidato e realizada uma entrevista para indicação de um candidato apto ao cargo.
c) Analisando a última questão do fluxograma, temos que a última tomada de decisão é verificar se a entrevista indica um candidato apto ao cargo.
d) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes compartilhem suas experiências pessoais e relacionem a entrevista ou seleção pela qual passaram com a ideia de fluxograma apresentada na atividade.
74. De acordo com o fluxograma:
• a1 = 5
• a2 = 5 ( 2) + 7 = 3
• a3 = ( 3) ( 2) + 7 = 13
• a4 = 13 ( 2) + 7 = 19
• a5 = 19 ( 2) + 7 = 45 ; Portanto, (5, 3, 13, 19, 45, ...). an = 2an 1 + 7 e a1 = 5, com n [ n* e n > 2
75. e – a – d – f – c – b
O número n é par.
Fim.
76. Resposta esperada:
• Utilizar a régua para traçar um segmento AB com 3 cm de comprimento, correspondente a um lado do triângulo.
• Com abertura de medida AB , fixar a ponta-seca do compasso em A e traçar uma circunferência.
• Com a mesma abertura, fixar a ponta-seca do compasso em B e traçar outra circunferência. Marcar o ponto C em um dos cruzamentos das circunferências.
• Com a régua, traçar BC e CA . Por fim, colorir a região interna da figura obtida.
77. a) • 495 g: frigorífico, pois: 350 , 495 , 700.
• 810 g: pesqueiro, pois 810 > 700.
• 309 g: tanque de engor da, pois 309 < 350.
b) Resposta esperada:
Início.
Faça a pesagem da tilápia.
A tilápia tem até 350 g de massa?
Sim. Não. Não.
Destine a tilápia ao pesqueiro.
A tilápia tem menos de 700 g de massa?
Destine a tilápia ao frigorífico.
Fim.
78. a) Resposta esperada:
Sim.
Destine a tilápia a outro tanque de engorda.
Considere o último termo obtido.
Sim.
Defina a 1 = 7.
Subtraia 20. Início.
Registre o resultado.
Calcular o próximo termo?
Não.
Fim.
b) A sequência é uma PA em que a1 = 7 e r = 20, assim: a9 = a1 + 8r = 7 + 8 ( 20) = 153
79. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes sejam capazes de representar alguma de suas atividades diárias por meio de um passo a passo, descrevendo-o por meio de um algoritmo, e, por fim, representem as etapas da atividade em um fluxograma.
80. a) Exemplo 1: variáveis: x, y, z; operadores: +, = Exemplo 2: variáveis: a, b, soma; operadores: +, = .
b) De acordo com as informações apresentadas, nesse algoritmo, é calculada a soma 10 + 5 = 15.
c) Resposta esperada: No exemplo 1, o algoritmo realiza a adição de dois números inteiros predefinidos, 10 e 5;
já no exemplo 2, o algoritmo realiza a adição de dois números quaisquer do tipo real, que devem ser inseridos pelo usuário ao executar o algoritmo.
d) Uma resposta possível: Início
real: a, b, c, produto
escreva (“Digite o primeiro número: ”); leia a
escreva (“Digite o segundo número: ”); leia b
escreva (“Digite o terceiro número: ”); leia c produto = a * b * c
escreva (“O produto dos números é igual a: ”, produto); Fim
81. a) R esposta esperada: Não, pois no algoritmo construído quem determina os valores das variáveis é o criador do algoritmo, e não o usuário.
b) Uma resposta possível:
Espera-se que os estudantes reproduzam algoritmos parecidos, com a possibilidade de mudança apenas na ordem em que a variável e as condições aparecem.
82. Alternativa d, pois, se a, x e b são três termos consecutivos de uma PA, então o termo central x é dado por x = a + b 2
83. a) Figura I, pois, a cada uma das 6 repetições, determina-se um segmento de 150 unidades de comprimento e a direção é alterada em 60°, que corresponde à medida do ângulo externo de um hexágono regular, resultando na representação de um hexágono regular com 150 unidades de lado.
b) Resposta esperada: II Use a caneta; repita 5 vezes (mova 150 passos; gire 72 graus no sentido horário). III Use a caneta; repita 3 vezes (mova 150 passos; gire 120 graus no sentido horário). O algoritmo descrito para II determina um pentágono regular com lados de 150 unidades, enquanto o algoritmo descrito para III determina um triângulo equilátero com lados de 150 unidades.
84. a) Resposta esperada: Recursiva, pois, para obter esse termo, o termo anterior é multiplicado por 5.
b) Considerando a resposta ao item a, temos que a razão é dada por q = 5. primeiro termo: a2 = a1 q h h 10 = a1 ? ( 5) h a1 = 2
c)
• recursiva: an = 5 an 1, para n [ n, com n > 2 e a1 = 2
• não recursiva: an = 2 ? ( 5)n 1 , para n [ n*
85. a) Uma resposta possível: III, V, II, IV e I
b) Uma resposta possível: Após clicar na bandeira verde, o código é executado da seguinte maneira:
• III: a bandeira foi clicada;
• V: x tem o valor alterado para 2;
• II: é adicionado 10 a x, que passa a ter o valor 2 + 10 = 12;
• IV: f (x ) tem o valor alterado para x 2, que corresponde a 12 2 = 24;
• I: o personagem fala o valor de f (x ) , que é 24.
c) Uma resposta possível:
f (x ) = 2(x + 10) ou f (x ) = 2x + 20.
86. a) Analisando a célula B6, temos que a média das notas foi 62,5. Analisando a célula E6, temos que o estudante foi aprovado, o que ocorreu porque a média das notas dele foi 62,5, que não é um número menor que 60.
b) Temos:
45 + 66 + 50 + 63 4 = 224 4 = 56
Logo, na célula B6, aparecerá 56 e, como 56 , 60, aparecerá o texto “Reprovado” na célula E6
c) Uma resposta possível:
Início.
Obtenha as notas
n 1, n 2, n3 e n4
Calcule a média
m = (n 1 + n 2 + n3 + n4)/4 e registre o resultado.
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes comparem as duas maneiras de criar algoritmos e decidam por aquela que mais lhes parecer conveniente a partir de argumentos plausíveis. Ao argumentarem, verificar se compreenderam a estrutura de funcionamento da planilha eletrônica e do Scratch.
87. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes construam um algoritmo para resolver algum problema matemático elaborado por eles e que apresente algum conceito matemático que eles tenham estudado. É necessário que os estudantes sejam capazes de reproduzir o algoritmo no Scratch, aplicando corretamente tanto as ferramentas desse programa como os conceitos matemáticos considerados.
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) I) A cada minuto, utilizam-se 24 ? 60 = = 1 440 quadros. Assim, os cinco primeiros termos da sequência são:
• 1 440 1 = 1 440
• 1 440 ? 2 = 2 880
• 1 440 3 = 4 320
• 1 440 4 = 5 760
• 1 440 ? 5 = 7 200
Essa sequência é uma PA em que a1 = 1 440 e r = 1 440.
II) f (n) = 1 440n III) Temos: 1h15min = (60 + 15) min = 75 min
Assim, o total de quadros utilizados é: f (75) = 1 440 ? 75 =
= 108 000 H 108 000 quadros
Não.
O estudante foi aprovado.
Fim. Sim. A média m é menor que 60?
O estudante foi reprovado.
b) I) Uma resposta possível:
A cada personagem a mais no filme, a quantidade de comandos é multiplicada por 2. Assim, as quantidades são:
• 1 personagem: 2 000
• 2 personagens: 2 000 2 = 4 000
• 3 personagens: 4 000 2 = 8 000
• 4 personagens: 8 000 2 = 16 000
• 5 personagens: 16 000 ? 2 = 32 000
• 6 personagens: 32 000 2 = 64 000
• 7 personagens: 64 000 ? 2 = 128 000
• 8 personagens: 128 000 2 = 256 000
• 9 personagens: 256 000 2 = 512 000
• 10 personagens:
512 000 ? 2 = 1 024 000 Essa sequência é uma PG em que a1 = 2 000 e q = 2. II) f (n) = 2 000 2n _ 1 =
= 2 000 2 n 2 = 1 000 2n
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem outras animações com as mesmas características de produção e elaborem um texto a respeito contendo informações parecidas às apresentadas nessa atividade.
Praticando:
Enem e vestibulares
1. alternativa d
Os instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente formam uma PA em que a1 = 1 e a razão é igual ao mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 4, ou seja, r = 12. Assim, o termo geral é:
an = a1 + (n 1)r h an = 12(n 1) + 1
A quantidade de termos dessa PA corresponde ao maior inteiro n0 tal que:
12(n0 1) + 1 , 60 h
h 12(n0 1) , 59 h
h n0 1 , 59 12 h n0 , 71 12 1 5,9
Portanto, o termo geral é12(n 1) + 1, com n um número natural, tal que 1 < n < 5.
2. alternativa c
A quantidade de chapas fabricadas em cada mês do período forma uma PA em que a1 = 28 000 e a7 = 8 800. A razão r da PA é dada por:
a7 = a1 + 6r h 8 800 = 28 000 + 6r h h 6r = 19 200 h r = 3 200 Então, a produção de maio e junho totaliza:
a5 + a6 = (a1 + 4r) + (a1 + 5r) =
= 2a1 + 9r = 2 28 000 + 9 ( 3 200) = = 56 000 28 800 = 27 200 H H 27 200 chapas
3. alternativa b
Considere a PG (1, 1 2 , 1 4 , ...) em que
a1 = 1 e q = 1 2 : 1 = 1 2 . Assim:
a100 = 1 ? ( 1 2 ) 100 1 = ( 1 2 ) 99
4. alternativa d
Como R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00 são os três primeiros termos da PA, temos:
r = 126 120 = 6
a24 = 120 + (24 1) 6 = 120 + + 23 6 = 120 + 138 = 258
S24 = (120 + 258) ? 24 2 = 4 536
a19 = 120 + (19 1) ? 6 =
= 120 + 18 6 = 120 + 108 = 228
4 536 _ 228 = 4 308 H R$ 4 308,00
5. alternativa b
Considerando uma equipe que chegue até a final do torneio, temos: 1o jogo da fase de grupos H
H 1 dia + 3 dias de descanso
2o jogo da fase de grupos H
H 1 dia + 3 dias de descanso
3o jogo da fase de grupos H
H 1 dia + 3 dias de descanso
Jogo das oitavas de final H
H 1 dia + 3 dias de descanso
Jogo das quartas de final H
H 1 dia + 3 dias de descanso
Jogo das semifinais H
H 1 dia + 3 dias de descanso para a final
Jogo da final H 1 dia
No total, temos:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1 = 25 H
H 25 dias.
6. alternativa c
Como o polígono tem 20 lados, a soma dos ângulos internos dele é dada, em grau, por:
S = (20 2) ? 180 = 18 ? 180 = 3 240
As medidas dos ângulos internos do polígono formam uma PA de 20 termos, em que a1 = x e r = 4 (em grau). Assim, temos:
a20 = x + (20 1 ) ? 4 = x + 76
Igualando a soma dos 20 termos da PA à soma dos ângulos internos do polígono, temos:
S20 = 3 240 h (x + x + 76) 20 2 =
= 3 240 h (2x + 76) = 324 h x = 124
O produto entre o menor e o maior ângulo, em grau, é dado por: 124 (124 + 76) = 24 800
7. alternativa c
Temos duas progressões aritméticas:
(a, b, c) e (ab, bc, ca).
Da primeira, temos:
r = b a (I)
r = c b (II)
Da segunda, temos:
r = bc ab = b (c a) (III)
r = ca bc = c (a b) (IV)
De (I) + (II), temos: 2r = c a (V)
De (III) e (V), temos: b ? 2r = r h
h b = 1 2 (VI)
De (IV) e (I), temos: c ( r ) = r h
h c = _1 (VII)
De (II), (VI) e (VII), temos:
r = 1 1 2 = 3 2
Assim, segue-se que:
a = 1 2 _ ( 3 2 ) = 2
Portanto, abc = 2 ? 1 2 ? ( 1) = 1.
8. alternativa b
Analisando a função, temos:
f (x ) = ba x
f (1) = ba1
f (2) = ba 2
f (3) = ba 3
Logo, temos uma PG de razão a
Calculando o limite da soma dos termos dessa PG infinita, temos:
S = ba 1 a = ab 1 a
9. alternativa d
Considerando que, a cada 20 minutos a quantidade de bactérias duplica, temos:
N0, 2 N0 = 2N0, 2 2N0 = = 4N0, 2 4N0 = 8N0 , 2 8N0 = = 16N0, 2 16N0 = 32N0
Logo, a sequência será:
N0, 2N0, 4N0, 8N0, 16N0, 32N0
10. alternativa b
Temos que:
a + b + c = 26
a2 + b2 + c2 = 364
Sendo (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 +
+ 2ab + 2bc + 2ac, segue-se que:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + + 2ab + 2bc + 2ac
262 = 364 + 2(ab + bc + ac)
676 _ 364 = 2(ab + bc + ac)
Sabendo que (a, b e c) formam uma PG, temos que esses termos podem ser reescritos da seguinte maneira: ( b q , b, bq)
Assim, temos:
312 = 2( b2 q + b2q + b2) h
h 156 = b2( 1 q + q + 1)
Note que:
a + b + c = b q + b + bq =
= b( 1 q + q + 1) = 26
Assim, temos:
156 = b2 ? ( 26 b ) h b = 6
11. alternativa c
As distâncias percorridas em cada dia do treinamento formam uma PA em que a 1 = 6, r = 2 e o último termo, an = 42. Vamos determinar o número n de termos dessa PA.
an = a1 + (n 1)r h
h 42 = 6 + (n 1) 2 h
h n 1 = 18 h n = 19
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, em kilometro, corresponde à soma dos termos dessa PA, ou seja:
S19 = 19 (a1 + a19) 2 =
= 19 (6 + 42) 2 = 456
12. alternativa d
Em uma PA qualquer, a soma dos n primeiros termos é:
Sn = n ? (a1 + an)
2 =
= n ? [a1 + a1 + (n 1)r]
2 = = n ? [2 a1 + (n 1)r]
2
• Na primeira PA, o primeiro termo é 16 e a razão é 2; assim, a soma Sn é:
Sn = n ? [32 + 2 ? (n 1)]
2 =
= 32n + 2n (n 1)
2 =
= 16n + n 2 n = n 2 + 15n
• Na segunda PA, o primeiro termo é 1 2
e a razão é 5 2 ; assim, a soma S ’ n é:
n [1 + 5 2 (n 1)]
S ’ n =
2 = = n + 5n 2 (n 1)
2 = = 5n 2 2 3n 2 2 = 5n 2 3n 4
Logo, quando Sn = S ’ n , temos:
n 2 + 15n = 5n 2 3n 4 h
h 4 n 2 + 60n = 5 n 2 3n h
h n 2 63n = 0 h
h n(n 63) = 0 h
h {n = 0 (não convém) ou
n = 63
Assim, as duas pr ogressões terão somas iguais quando o valor dessa soma for:
S63 = 632 + 15 ? 63 = 4 914
13. alternativa b Temos uma PA de razão 2, pois 154 152 = 2
Assim, segue-se que: a10 = 152 + (10 1) ? 2 = = 152 + 18 = 170
14. alternativa d
Considerando a PG formada pelas parcelas da adição indicada no primeiro membro da equação apresentada, temos:
a1 = x
q = x 3 x = x 3 1 x = 1 3
S = x 1 1 3 = x 2 3 = 3x 2
Assim, de acordo com a equação, temos:
3x 2 = 18 h 3x = 36 h x = 12
15. alternativa d
70% de 16 anos: 0,70 16 = 11,2 H 11,2 anos
Segue-se que:
r = 5,8 5,2 = 0,6
11,2 = 5,2 + (n 1) ? 0,6 h
h 6 = 0,6n 0,6 h
h 0,6n = 6,6 h n = 11
Como a pesquisa ocorre a cada 4 anos, teremos para o 11o termo um salto de 40 anos (4 10), ou seja: 1995 + 10 ? 4 = 1995 + 40 = 2035
16. alternativa d
a) Incorreta.
PA: a4 = 200 + (4 1) ? 20 =
= 200 + 60 = 260
PG: b4 = 2 33 = 2 27 = 54
a4 . b4
b) Incorreta.
a2 = 200 + (2 1) ? 20 = 220
b2 = 2 3 = 6
10 a4 = 10 260 = 2 600
220 6 5 2 600
c) Incorreta.
a3 = 200 + (3 1) ? 20 = 240
b3 = 2 32 = 2 9 = 18
18 5 2 ? 240
d) Correta.
Para n = 6, temos:
a6 = 200 + (6 1) ? 20 =
= 200 + 100 = 300
b6 = 2 35 = 2 243 = 486
Como a razão da PA é 20 e a da PG é 3, temos bn . an para n > 6.
e) Incorreta.
a5 = 200 + (5 1) ? 20 =
= 200 + 80 = 280
b5 = 2 ? 34 = 2 ? 81 = 162
Assim, a5 . b5
17. alternativa b
p (x ) = x + 2 024
p (2x ) = 2x + 2 024
p (3x ) = 3x + 2 024
p (2 023x ) = 2 023x + 2 024
p (2 024x ) = 2 024x + 2 024
Esses resultados formam uma PA de razão r = x e a1 = x + 2 024.
Assim, temos:
S2024 = = (x + 2 024 + 2 024x + 2 024) 2 024 2 =
= (2 025x + 4 048) ? 1 012 = 0 2 025x + 4 048 = 0 h
h 2 025x = 4 048 h
h x = 4 048 2 025 1 1,999
Logo, _2 , x , 0.
Unidade 4 • Trigonometria na circunferência e funções trigonométricas
1. a) Os segmentos de reta com extremidades no centro e na circunferência são OB , OC , OD e OG
b) O único segmento de reta com extremidades na circunferência e que passa pelo centro é CG
c) Os segmentos de reta com extremidades na circunferência são AH , CG e EF
2. a) 2p 5 = 2 3,14 5 = 31,4 H 31,4 cm
b) 2p 18 2 = 2 3,14 9 = = 56,52 H 56,52 dm
c) 2p ? 7 2 = 3,14 ? 7 = 21,98 H 21,98 m
3. a) 2pr = 15,7 h 2 ? 3,14r = 15,7 h
h r = 2,5 H 2,5 cm
b) 2pr = 25,12 h 2 ? 3,14r = 25,12 h
h r = 4 H 4 m ou 400 cm
c) 2pr = 43,96 h 2 ? 3,14r = 43,96 h
h r = 7 H 7 dm ou 70 cm
d) 2pr = 75,36 h 2 ? 3,14r = 75,36 h
h r = 12 H 12 cm
4. a) Espera-se que os estudantes construam uma circunferência com 5 cm de raio, ou seja, com 10 cm de diâmetro (2 5 = 10).
b) Espera-se que os estudantes construam uma circunferência com 8 cm de diâmetro, ou seja, com 4 cm de raio (8 : 2 = 4).
c) 7p = 2pr h 7 = 2r h r = 7 2 = 3,5
Espera-se que os estudan tes construam uma circunferência com 3,5 cm de raio, ou seja, com 7 cm de diâmetro (2 ? 3,5 = 7).
5. Como o comprimento de uma circunferência é diretamente proporcional à medida de seu raio, então cada giro da catraca A corresponde a dois giros da catraca B e a quatro giros da catraca C Assim:
Giros da catraca AGiros da catraca B 1 2
300 x
1 300 = 2 x h x = 600
Giros da catraca AGiros da catraca C 1 4
300 y
1
300 = 4 y h y = 1 200
Portanto, a catraca B gira 600 voltas e a catraca C, 1 200 voltas.
6. Sejam r e r ’ os raios, respectivamente, da circunferência original e da ampliação. Então, seus respectivos comprimentos C = 2pr e C’ = 2pr’ são tais que C’ = C + 4.
Logo:
2pr’ = 2pr + 4 h r’ = 2pr + 4 2p h
h r’ = r + 2 p
Portanto, o raio da circunferência obtida na ampliação aumentou em 2 p unidade de medida de comprimento, o que equivale a aproximadamente 0,637 unidade de medida de comprimento.
7. Sejam d1, d2, d3, ..., d7 os diâmetros das semicircunferências. O comprimento C da curva corresponde à soma dos comprimentos das semicircunferências, ou seja:
C= d1p 2 + d2p 2 + d3p 2 + + d7p 2 = = p 2 ? (d1 + d2 + d3 + + d7)
C omo a soma dos diâmetros das semicircunferências corresponde ao comprimento do segmento em preto, temos:
C = p 2 ? 16 1 25,12 H
H aproximadamente 25,12 cm
8. a) Medida do arco, em grau
Medida do arco, em radiano 360 2p x p
360 x = 2p p h 2px = 360p h x = 180
Portanto, p rad corresponde a 180°
b)
360 x = 2p 2p 5 h 2px = 360 2p 5 h x = 72
Portanto, 2p 5 rad corresponde a 72°
c) Medida do arco, em grau Medida do arco, em radiano
2p x p 6
360 x = 2p p 6 h 2px = 360 p 6 h x = 30
Portanto, p 6 rad corresponde a 30°
d)
do
h x = 270
Portanto, 6p 4 rad corresponde a 270°
e) Medida do
Portanto, p 3 rad corresponde a 60°
f) Medida do arco, em grau
= 2p x h
11.
Portanto, p 4 rad corresponde a 45°
9. Medida do arco, em grau Comprimento
Portanto:
• c omprimento de ⏜ APB : aproximadamente 11,775 cm
• med( ⏜ APB ) = 135°
Portanto,
b)
x = 2p 12 62,8 h 24px = 22 608 h
h x = 22 608 24 3,14 = 300
Assim, a medida do arco de circunferência é de 300°. Vamos calcular essa medida em radiano:
Medida do arco, em grau
Medida do arco, em radiano
2p
x
= 2p x h 360x = 600p h
h x = 600p 360 = 5p 3
Portanto, a medida do arco é de 300° ou 5p 3 rad.
12. O raio da circunferência mede 36 2 cm = 18 cm. Temos:
Medida do arco, em grau Comprimento do arco, em cm 360 2p 18 210 x 360 210 = 2p 18 x h 360x = 7 560p h
h x = 7 560p 360 = 21p = 65,94
Portanto, o arco de circunferência tem 65,94 cm de comprimento.
13. Inicialmente, vamos determinar o comprimento do arco correspondente ao ângulo central, cuja medida é 7p 4 rad, pois: 2p p 4 = 7p 4
Medida do arco, em radiano Comprimento do arco, em cm
2p 2p 2
7p 4 x
2p 7p 4 = 2p 2 x h x = 7p 4 ? 2 h
h x = 7p 2 = 10, 99
Então, o perímetro do setor circular é: 10,99 + 2 ? 2 = 14,99 H 14,99 cm
14. Por definição, um arco de 1 rad tem o comprimento r do raio da circunferência na qual está contido. Assim, temos a seguinte regra de três:
Medida do arco, em radiano Comprimento do arco
1 r 2 x
1 2 = r x h x = 2r
Logo, o comprimento de um arco ⌢ AB contido em uma circunferência de centro O e raio r, sendo med(A ˆ O B) = 2 rad, é igual ao diâmetro 2r dessa circunferência.
15. a) 1 970 360 1 800 5
170
Assim, 1 970° = 170° + 5 ? 360° Portanto, a 1a determinação positiva de 1 970° é 170°
b) 65p 9 = 11p 9 + 54p 9 = = 11p 9 + 6p = 11p 9 + 3 2p
Portanto, a 1a determinação positiva de 65p 9 rad é 11p 9 rad.
c) 10p 9 + 2p = 8p 9 h
h 10p 9 = 8p 9 + ( 1) ? 2p
Portanto, a 1a determinação positiva de 10p 9 rad é 8p 9 rad.
d) 1 110 360 1 080 3
30
Assim, 1 110° = (30° + 3 ? 360°) = = 30° 3 ? 360° e
30° + 360° = 330°
Segue-se que:
1 110° = 330° + ( 4) 360°
Portanto, a 1a determinação positiva de 1 110° é 330°
e) 1 520 360 1 440 4
80
Assim, 1 520° = 80° + 4 360° Portanto, a 1a determinação positiva de 1 520° é 80°
= 16p 9 6p = _ 16p 9 3 ? 2p e
16p 9 + 2p = 2p 9
Segue-se que:
70p 9 = 2p 9 + ( 4) 2p
Portanto, a 1a determinação positiva de 70p 9 rad é 2p 9 rad.
16. a) Algumas respostas possíveis: •
b) Algumas respostas possíveis:
do arco, em grau
h x = 690
Portanto, os três giros correspondem a um ângulo de 690°
b) Como p rad corresponde a 180 °, a medida de cada ângulo, em grau, é:
• Para 2p 3 , temos: 2 3 180° = 120°
• Para 3p 2 , temos: 3 2 180° = 270°
• Para 5p 3 , temos: 5 3 180° = 300°
Como Rafael gira a roleta a partir da posição em que o ponteiro parou no giro anterior, ele obteve na roleta os números 5, 2 e 12. Assim, deve deslocar o peão em 5 + 2 + 12 = 19 H 19 casas.
18. Inicialmente, analisamos se o arco é a 1a determinação positiva e, na sequência, escrevemos a expressão dos arcos côngruos para cada caso.
a) 315° + k 360°, com k [ z
b) 5p 12 rad + k ? 2p rad, com k [ z
c) A 1a determinação positiva do arco é 2p 3p 10 = 17p 10 Assim, a expressão é 17p 10 rad + k 2p rad, com k [ z
d) 220° + k 360°, com k [ z
19. Inicialmente, vamos calcular a 1a determinação positiva de cada arco.
1 250 360 1 080 3 170
Assim, 1 250° = 170° + 3 360°. Logo, a 1a determinação positiva do arco de 1 250° é 170° 35p 4 =
Segue-se que: 35p 4 = 5p 4 + ( 5) 2p
Logo, a 1a determinação positiva do arco de 35p 4 rad é 5p 4 rad, que corresponde a 225° O x y A P Q 4 5p 170°
20. a) 3 8 360° = 135° ou 3 8 2p rad = 3p 4 rad
b) 31p 4 = 7p 4 + 24p 4 = = 7p 4 + 6p = 7p 4 + 3 ? 2p
Assim, a 1a determinação positiva do arco de 31p 4 é 7p 4 . Temos 7p 4 : 2p = 7 8 ; logo, a extremidade do arco coincide com o vértice H, pois a 1a determinação positiva corresponde a 7 8 do arco de uma volta.
21. a) 10p 3 = 4p 3 + 6p 3 = 4p 3 +2p
L ogo, a 1 a determinação positiva de 10p 3 é 4p 3 , que está no 3 o quadrante. Assim, reduzindo do 3o para o 1o quadrante, temos: sen 10p 3 = sen 4p 3 =
= sen( 4p 3 p) = sen( p 3 ) = √ 3 2
b) 6p 4 , 7p 4 , 8p 4
Assim, 7p 4 está no 4o quadrante.
Reduzindo do 4o para o 1o quadrante, temos:
tg 7p 4 = tg (2p 7p 4 )=
= tg ( p 4 ) = 1
c) 44p 3 = 2p 3 + 42p 3 = 2p 3 +7 2p
L ogo, a 1 a determinação positiva de 44p 3 é 2p 3 , que está no 2 o quadrante.
Assim, reduzindo do 2o para o 1o quadrante, temos:
cos 44p 3 = cos 2p 3 =
= cos (p 2p 3 ) = cos ( p 3 ) = 1 2
d) 19p 6 = 7p 6 12p 6 =
= 7p 6 + ( 1) 2p e 7p 6 + 2p = 5p 6
L ogo, a 1 a determinação positiva de 19p 6 é 5p 6 , que está no 2o quadrante.
Assim, reduzindo do 2o para o 1o quadrante, temos:
tg ( 19p 6 ) = tg 5p 6 =
= tg (p 5p 6 ) = tg ( p 6 ) = √ 3 3
e)
31p 6 = 7p 6 24p 6 =
= 7p 6 + ( 2) 2p e 7p 6 + 2p = 5p 6
L ogo, a 1 a determinação positiva de 31p 6 é 5p 6 , que está no 2o quadrante.
Assim, reduzindo do 2o para o 1o quadrante, temos:
cos ( 31p 6 ) = cos 5p 6 =
= cos (p 5p 6 ) = cos ( p 6 ) = √ 3 2
f) 13p 4 = 5p 4 8p 4 =
= 5p 4 + ( 1) 2p e 5p 4 + 2p = 3p 4
L ogo, a 1 a determinação positiva de 13p 4 é 3p 4 , que está no 2o quadrante.
Assim, reduzindo do 2o para o 1o quadrante, temos:
sen ( 13p 4 ) = sen 3p 4 =
= sen (p 3p 4 ) = sen ( p 4 ) = √ 2 2
g) 43p 6 = 7p 6 36p 6 =
= 7p 6 + ( 3) 2p e 7p 6 + 2p = 5p 6
L ogo, a 1 a determinação positiva de 43p 6 é 5p 6 , que está no 2o quadrante.
Assim, reduzindo do 2o para o 1o quadrante, temos:
cos ( 43p 6 ) = cos 5p 6 = = cos (p 5p 6 ) = cos ( p 6 ) = √ 3 2
h) 17p 3 = 5p 3 + 12p 3 = 5p 3 + 2 2p
L ogo, a 1 a determinação positiva de 17p 3 é 5p 3 , que está no 4o quadrante.
Assim, reduzindo do 4o para o 1o quadrante, temos: tg 17p 3 = tg 5p 3 = _tg (2p 5p 3 ) = = tg ( p 3 ) = √ 3 i) 31p 6 = 7p 6 + 24p 6 = 7p 6 + 2 2p
L ogo, a 1 a determinação positiva de 31p 6 é 7p 6 , que está no 3o quadrante.
Assim, reduzindo do 3o para o 1o quadrante, temos:
sen 31p 6 = sen 7p 6 =
= sen ( 7
L ogo, a 1 a determinação positiva de 22p 3 é 4p 3 , que está no 3o quadrante.
Assim, reduzindo do 3o para o 1o quadrante, temos:
cos 22p 3 = cos 4p 3 =
= cos ( 4p 3 p) = cos ( p 3 ) = 1 2
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que, inicialmente, obtiveram a 1a determinação positiva de cada arco e, em seguida, realizaram a redução ao 1o quadrante, identificando o valor a partir dos ângulos notáveis.
22. alternativa c Como sen m . 0 e tg m , 0, a extremidade do arco pertence ao 2o quadrante. Considere t a reta tangente à circunferência na origem dos arcos. Note que a reta que contém o segmento BO intersecta a reta t em um ponto de ordenada menor que 1, pois o ângulo entre BO e o eixo y é menor que 45°. Portanto, o ponto C é o único que pode corresponder à extremidade desse arco.
23. R esposta esperada: Nenhum desses estudantes acertou a resposta à questão. Ana errou porque, no 2o quadrante, tem-se cos m , 0. Já Bento errou porque, no 3o quadrante, tg m . 0. A resposta correta à questão é o 4o quadrante, no qual se tem tg m , 0 e cos m . 0.
24. Note que a distância de A até a base corresponde à distância do centro C até B somado com 4 m, logo: BC + 4 = 104 h BC = 100
Então, a roda-gigante pode ser representada por uma circunferência com 100 m de raio.
Temos 1 290° = 210° + 3 360°; logo, a roda-gigante realizou 3 voltas completas e mais um giro de 210°, de modo que o ponto A ficou na posição ilustrada na imagem.
Como a circunferência tem 100 m de raio, então a distância do ponto A até o eixo x, em metro, corresponde a: 100 ? |sen (210°)| = = 100 ? | sen (210° 180°)| = = 100 ? | sen (30°)| = 100 ? | 1 2 | = 50
Logo, a distância do ponto A até a base é: 100 50 + 4 = 54 H 54 m
25. S = OA AB 2 = = cos p 6 ? sen p 6 2 = √ 3
26. Temos:
• sen p = 0
• A extremidade do arco de 5p 6 rad está no 2o quadrante, assim: cos 5p 6 = cos (p 5p 6 ) =
= cos p 6 = √ 3 2
• A extremidade do arco de 7p 4 rad está no 4o quadrante, assim: tg 7p 4 =
Segue-se que:
27. Para realizar a demonstração, vamos considerar os pontos em cada quadrante simétricos ao ponto P (cos m, sen m) do 1o quadrante.
a) Para o 2o quadrante, considere o ponto T (cos t, sen t ), simétrico a P em relação ao eixo y. Assim, podemos escrever: • OT = 1;
• OT’ = TT” = sen t = sen (p m) = sen m;
• OT” = cos t = cos (p m) = cos m
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OT”T, temos:
(OT )2 = (OT” )2 + (TT” )2 h 1 = ( cos m)2 + (sen m)2 h h sen2 m + cos2 m = 1
b) Para o 3o quadrante, considere o ponto S (cos s, sen s), simétrico a P em relação ao ponto O. Assim, podemos escrever:
• OS = 1;
• OS’ = SS” = sen s = sen (p + m) = sen m;
• OS” = cos s =cos (p + m) = cos m.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OS”S, temos:
(OS)2 = (OS” )2 + (SS” )2 h 1 = ( cos m)2 + ( sen m)2 h h sen2 m + cos2 m = 1
c) Para o 4o quadrante, considere o ponto V (cos v, sen v), simétrico a P em relação ao eixo x. Assim, podemos escrever:
• OV = 1;
• OV’ = VV” = sen v = sen (2p m) = _sen m;
• OV” = cos v =cos (2p m) = cos m
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OV”V, temos:
(OV)2 = (OV” )2 + (VV” )2 h 1 = (cos m)2 + ( sen m)2 h
h sen2 m + cos2 m = 1
d) Para pontos nos eixos coordenados, temos m = 0, m= p 2 , m = p, m= 3p 2 e m = 2p. Nesses casos, o triângulo não é formado, pois dois dos três pontos considerados são coincidentes. Então, podemos verificar a relação substituindo os valores para cada um dos casos.
• Para m = 0:
sen2 m + cos2 m = sen2 0 + cos2 0 = 02 + 12 =1
• Para m = p 2 :
sen 2 m + cos 2 m = sen 2 p 2 + cos 2 p 2 = 1 2 + 0 2 = 1
• Para m = p:
sen2 m + cos2 m = sen2 p + cos2 p = 02 + ( 1)2 =1
• Para m = 3p 2 :
sen 2 m + cos 2 m = sen 2 3p 2 + cos 2 3p 2 = ( 1) 2 + 0 2 = 1
• Para m = 2p: sen2 m + cos2 m = sen2 2p + cos2 2p = 02 + 12 =1
28. a) Temos 11p 2 = 3p 2 + 2 2p, assim:
f ( 11p 2 ) = sen 11p 2 = sen 3p 2 = 1
b) Temos 23p 6 = p 6 + 2 ? 2p, assim:
g( 23p 6 ) = cos 23p 6 = cos ( p 6 ) = cos p 6 = √ 3 2
29. a) sen x = 1 h x = p 2 + 2kp, k [ z
Para 0 < x < 2p (1a volta positiva do ciclo trigonométrico), temos
k = 0 e, portanto, x = p 2 + 2 0 p = p 2
b) cos x = 1 h x = p + 2kp, k [ z
Para 2p < x < 4p e k [ z, temos:
2p < p + 2kp < 4p h 3p < 2kp < 3p h 3 2 < k < 3 2 h
h k = 1, 0, 1
Logo:
• x = p + 2 ( 1) p = _p
• x = p + 2 ? 0 ? p = p
• x = p + 2 1 p = 3p
c) cos x = 1 2 h x = p 3 + 2kp ou x = p 3 + 2kp, k [ z
Para 4p < x < p e k [ z, temos:
• 4p < p 3 + 2kp < p h 13p 3 < 2kp < 2p 3 h
h 13 6 < k < 1 3 h k = 2, 1, 0
• 4p < p 3 + 2kp < p h_ 11p 3 < 2kp < 4p 3 h
h 11 6 < k < 2 3 h k= 1, 0
Logo:
• x = p 3 + 2 ( 2) p = 11p 3
• x = p 3 + 2 ( 1) p = 7p 3
• x = p 3 + 2 ( 1) p = 5p 3
• x = p 3 + 2 ? 0 ? p = p 3
• x = p 3 + 2 0 p = p 3
30. a) 1 < 2m + 11 < 1 h 12 < 2m < 10 h
h 6 < m < 5
b) 1 < 9 m < 1 h _10 < m < 8 h 8 < m < 10
c) 1 < 5m + 1 6 < 1 h 6 < 5m + 1 < 6 h
h 7 < 5m < 5 h 7 5 < m < 1
d) 3 + sen x = 3m h sen x = 3m 3
Assim:
1 < 3m 3 < 1 h 2 < 3m < 4 h 2 3 < m < 4 3
31. a) Resposta esperada: No gráfico de função par, é possível identificar simetria de reflexão em relação ao eixo das ordenadas, ou seja, se um ponto P (a, b) pertence ao gráfico de uma função par, então o ponto P ’( a, b) também pertence a esse gráfico. Já no gráfico de função ímpar, é possível identificar simetria em relação ao ponto O, ou seja, se um ponto P (a, b) pertence ao gráfico de uma função ímpar, então o ponto P ’( a, b) também pertence a esse gráfico.
b) Algumas respostas possíveis: função par:
• f (x ) = cos (x ), pois: f ( x ) = cos ( x) = cos (x ) = f (x )
• f (x ) = |x|, pois: f ( x) = | x| = | 1| |x| = |x| = f (x )
• f (x ) = x 2, pois: f ( x) = ( x) 2 = ( 1)2 x 2 = x 2 = f (x ) função ímpar:
• f (x ) = sen (x ), pois: f ( x ) = sen ( x ) = sen (x ) = f (x )
• f (x ) = x, pois: f ( x ) = x = f (x )
• f (x ) = x 3, pois: f ( x ) = ( x )3 = ( 1)3 x3 = x3 = f (x )
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam características do gráfico de funções pares e de funções ímpares.
32. a) 1 < cos x < 1 h 1 < cos x + 2 < 3
valor mínimo: 1; valor máximo: 3
b) 1 < sen x < 1 h 2 < 2 ? sen x < 2 h
h _7 < 2 ? sen x 5 < 3
valor mínimo: 7; valor máximo: 3
c) 1 < sen x < 1 h 1 < sen x + 2 < 3 h
h 1 2 < sen x + 2 2 < 3 2 h 2 3 < 2 sen x + 2 < 2
valor mínimo: 2 3 ; valor máximo: 2
d) 1 < cos x < 1 h 1 < cos x < 1 h 5 < 5 cos x < 5 h h 2 < 3 5 cos x < 8 valor mínimo: 2; valor máximo: 8
33. A tividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes sejam capazes de elaborar problemas envolvendo fenômenos com comportamentos periódicos, utilizando as funções seno e cosseno na modelagem. Um contexto possível é a temperatura da água de um lago. Eles ainda podem elaborar problemas com contexto puramente matemático e solicitar aos colegas que determinem o conjunto imagem da função, o va lor da variável independente a partir de u m valor conhecido da variável dependente, ou construir o gráfico da função.
34. Podemos observar que o gráfico da função f, representado pela curva em verde, está acima do gráfico da função g, representado em vermelho, nos intervalos [ p 4 , 5p 4 ] e [ 9p 4 , 13p 4 ], ou seja, o
conjunto solução é S = {x [ r | p 4 < x < 5p 4 ou 9p 4 < x < 13p 4 }
35. A( 3p 2 , 1), B( 3p 4 , √ 2 2 ), C
E( 3p 2 , 1), F (2p, 0) e G( 13p 6 , 1 2 )
36. a) p = 2p |c| = 2p |1| = 2p
b) p = 2p |c| = 2p |8| = p 4
c) p = 2p |c| = 2p | p 4 | = 2p 4 p = 8
d) p = 2p |c| = 2p | 1 3 | = 2p ? 3 = 6p
37. a) • Valor mínimo de f : 7 ( 1) = 7
• Valor máximo de f : 7 1 = 7
Logo, Im(f ) = [ 7, 7].
b)
• Valor mínimo de g: 5 + 8 ? ( 1) = 3
• Valor máximo de g: 5 + 8 1 = 13
Logo, Im(g) = [ 3, 13].
c)
• Valor mínimo de m: 4 4 1 = 0
• Valor máximo de m: 4 4 ? ( 1) = 8
Logo, Im(m) = [0, 8].
d) O valor mínimo e o máximo de |cos x| são, respectivamente, 0 e 1. Assim:
• Valor mínimo de n: 2 + 0 = 2
• Valor máximo de n: 2 + 1 = 3 Logo, Im(n) = [2, 3].
38. alternativa d
Suponha que g é da forma g (x ) = a + b cos (cx + d ).
• Como o gráfico é deslocado 3 unidades para baixo, temos a = 3.
• Como a amplitude do gráfico é ( 1) ( 5) = 4, então:
|b | = 4
2 = 2
• Como o período de g é p = p 3 , temos:
p = 2p |c | h p 3 = 2p |c | h |c | = 6
• Como o gráfico é deslocado em p unidades para a esquerda, temos:
| d c | = p h |d | 6 = p h |d | = 6p
Portanto, a lei de formação de g pode ser a da alternativa d
39. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes ajustem os valores dos coeficientes de uma função do tipo trigonométrica e sejam capazes de reconhecer a modificação realizada no gráfico a partir de cada um deles, em relação ao gráfico da função seno. 40. a) 1 2 0 2 p 8 p 4 p x y 1
y = f (x ) = 2
(4x) (x, y) 0 y = 2 sen (4 0) ⏟ 0 = 0 (0, 0)
8 y = 2 sen (4 p 8 ) ⏟ p 2 = 2 ( p 8 , 2)
4 y = 2 sen (4 p 4 ) ⏟ p = 0 ( p 4 , 0) 3p 8 y = 2 sen (4 3
y = g (x ) = _3 + cos (x + p 4 ) (x, y)
4 y = 3 + cos ( p 4 + p 4 )
3p 2 = 3 ( 5p 4 , 3) 7p 4 y = 3 + cos ( 7p 4 + p 4 )
xy = m (x ) = 4 + 3cos (2x p)(x, y)
p 2 y = 4 + 3 cos (2 p 2 p)
0 = 7 ( p 2 , 7)
3p 4 y = 4 + 3 cos (2 3p 4 p) p 2 = 4 ( 3p 4 , 4)
p y = 4 + 3 cos (2 p p) p = 1 (p, 1)
5p 4 y = 4 + 3 cos (2 5p 4 p)
3p 2 = 4 ( 5p 4 , 4)
3p 2 y = 4 + 3 cos (2 3p 2 p) 2p = 7 ( 3p 2 , 7)
b) Analisando os gráficos do item a, sim, eles se intersectam em três pontos, cujas coordenadas são (0, 0), (p, 0) e (2p, 0).
42. alternativa c
• Como os valores máximo e mínimo da função são, respectivamente, 0,5 e 0,5, então |a| = 0,5.
• Como o período da função é p = p 2 , então:
p = 2p |b| h p 2 = 2p |b| h |b| = 4
• Como f (0) = 0, temos: a cos (b 0 + y) = 0 h cos y = 0 h y = p 2 + kp, k [ z
Logo, a alternativa c é a correta.
43. alternativa b
Vamos calcular a frequência f = 1 p da onda sonora correspondente a cada função, sendo p o seu período, em segundo.
a) f = |30p| 2p = 15 H 15 Hz
b) f = |240p| 2p = 120 H 120 Hz
c) f = |20p| 2p = 10 H 10 Hz
d) f = | 151p 4 | 2p = 18, 875 H 18, 875 Hz
Logo, a função da alternativa b é a que pode descrever uma onda sonora audível por uma pessoa, pois é a única cuja frequência está no intervalo entre 20 Hz e 20 000 Hz.
44. alternativa a
• Altura máxima:
1,8 + 1,2 1 = 3,0 H 3,0 m
x y = n (x ) = 1 2sen ( x 2 p 6 ) (x, y)
p 3 y = 1 2 sen ( 1 2 p 3 p 6 ) 0 = 1 ( p 3 , 1)
4p 3 y = 1 2 sen ( 1 2 4p 3 p 6 )
2 = 1 ( 4p 3 , 1)
7p 3 y = 1 2 sen ( 1 2 7p 3 p 6 ) p = 1 ( 7p 3 , 1)
10p 3 y = 1 2 sen ( 1 2 10p 3 p 6 ) 3p 2 = 3 ( 10p 3 , 3)
13p 3 y = 1 2 sen ( 1 2 13p 3 p 6 )
= 1 ( 13p 3 , 1)
• Altura mínima:
1,8 + 1,2 ( 1) = 0,6 H 0,6 m
45. a) Sendo 110 mmHg e 70 mmHg, respectivamente, a pressão arterial máxima e mínima, temos:
{A + B ? 1 = 110
A + B ( 1) = 70 h
h { A + B = 110 A B = 70 +
2A + 0B = 180 h A = 90
Substituindo A = 90 na primeira equação, temos: 90 + B = 110 h B = 20
Para determinar o período, observe a seguinte proporção:
Batimentos
Tempo (s)
75 60 1 x
75 1 = 60 x h x = 60 75 = 4 5
Segue-se que: p = 2p |k| h 4 5 = 2p |k| h |k| = 2, 5p h
h k = ±2,5p
Observe que, como cos (kt ) = cos ( kt ), podemos considerar k = 2,5p. Portanto, uma resposta possível é
p (t ) = 90 + 20 cos (2,5pt ).
b) O valor da função varia de 70 mmHg a 110 mmHg e seu período é de 4 5 = 0, 8 . Logo, o gráfico II é o que melhor a representa.
46. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes utilizem o contexto e a função apresentada no enunciado para elaborar um problema e explorar elementos de funções do tipo
trigonométrica, como a relação de cada coeficiente, valor máximo ou mínimo, representação gráfica ou zeros da função.
47. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes compreendam as relações entre funções do tipo trigonométrica e fenômenos com comportamento periódico, representando-os por meio dessas funções. Eles podem, por exemplo, explorar o contexto de uma situação-problema no GeoGebra e, com o auxílio do controle deslizante, observar a periodicidade do fenômeno. É importante verificar, no texto redigido pelos estudantes, se utilizam corretamente a linguagem matemática, bem como os conceitos estudados na Unidade.
48. a) 0,18 ampere; 0,18 ampere
b) • Seja t0 [ D(i ) tal que sen (wt0 + !) = 1. Assim, i (t0) assume seu valor máximo ou mínimo, logo:
|i(t0)| = 0,18 h h |I sen (wt0 + !)| = 0,18 h |I | = 0,18
Como I é não negativo, a amplitude é I = 0,18.
• Como o período da função é
p = 1 60 , temos:
p = 2p |w| h 1 60 = 2p |w| h |w| = 120p
Como w é não negativo, a frequência angular é w = 120p
c) Sendo i uma função do tipo trigonométrica e observando o gráfico, temos que o ponto de máximo destacado tem abscissa 1 60 : 4 = 1 240 . Assim:
i( 1 240 ) = 0,18 h
h 0, 18 sen ( 120p 240 + !) = 0, 18 h
h sen ( p 2 + !) = 1 h
h p 2 + ! = p 2 + 2kp, k [ z h
h ! = 2kp, k [ z
Tomando k = 0, obtemos a constante de fase ! = 0. Assim:
i (t ) = 0,18 sen (120pt ) d) • t = 1:
i (1) = 0,18 sen (120p 1) =
= 0,18 sen (60 2p) =
= 0,18 0 = 0 H 0 ampere
• t = 241
240 :
i ( 241 240 ) = 0,18 ? sen (120p ? 241 240 ) =
= 0,18 ? sen ( 241p 2 ) =
= 0,18 ? sen ( p 2 + 60 ? 2p) =
= 0,18 ? 1 =
= 0,18 H 0,18 ampere
49. a) sen2 x + sen x = 0 h
h sen x (sen x + 1) = 0 h h {sen x = 0 ou sen x = 1 h h ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x = kp, k [ z ou x = 3p 2 + 2kp, k [ z
Portanto, S = {x [ r | x = kp ou
x = 3p 2 + 2kp, com k [ z}
b) cos (x p 2 ) + 3 = 5 2 h h cos (x p 2 ) = 1 2
• x p 2 = 2p 3 + 2kp h x = 7p 6 + 2
; • x p 2 = 4p 3 + 2kp h
h x = 11p 6 + 2kp
Portanto, S = {x [ r | x = 7p 6 + 2kp ou x = 11p 6 + 2kp, com k [ z) c) sen ( 4p 3 + x) = 1 h h 4p 3 + x = 3p 2 + 2kp h h x = p 6 + 2kp
Portanto, S = {x [ r | x = p 6 + 2
Portanto, S = {x [ r | x = p 12 + kp ou
x = 11p 12 + kp, com k [ z}
50. a) sen2 x = 1 h {sen x = 1 ou sen x = 1
Logo, para x [ [0, 2p[, temos x = p 2 ou
x = 3p 2 . b) cos2 x = 1 2 h
Logo, para x [ [_p, p], temos x = 3p 4 ,
x = p 4 , x = p 4 ou x = 3p 4
c) sen2 x + cos x = 1 h
h (1 cos2 x ) + cos x = 1 h
h cos x ( cos x + 1) = 0 h
h {cos x = 0 ou
cos x = 1
Logo, para x [ [ p 2 , 5p 2 [, temos x = p 2 ,
x = 3p 2 ou x = 2p
d) sen (x + 5p 4 ) = 0 h
h x + 5p 4 = kp, com k [ z h
h x = 5p 4 + kp, com k [ z
Para x [ ]2p, 4p], temos: 2p , x < 4p h
h 2p , 5p 4 + kp < 4p h
h 13p 4 , kp < 21p 4 h
h 13 4 , k < 21 4 h k = 4 ou k = 5
Portanto, x = 5p 4 + 4p = 11p 4 ou
x = 5p 4 + 5p = 15p 4
51. 2 cos x = √ 2 h cos x = √ 2 2
Assim, x = p 4 + 2kp ou x = 7p 4 + 2kp, com k [ z
Para 0 < x < 3p, temos x = p 4 , x = 7p 4 ou x = 9p 4
Portanto, a equação tem 3 raízes reais nesse intervalo.
52. 2x x a b
PRODUÇÕES
Como a e b são ângulos agudos, temos:
• sen a = x 2x h sen a = 1 2 h a = 30°
• cos b = x 2x h cos b = 1 2 h b = 60°
Portanto, os ângulos internos medem
30°, 60° e 90°
53. alternativa d
Como o conjunto imagem da função cosseno é [ 1, 1] e, de acordo com a lei de formação da função f, temos que o valor máximo de f é obtido quando cos (p (t 3) 12 ) = 1. Assim, podemos substituir (p ? (t 3) 12 ) por 1
na lei de formação de f para obter o valor máximo dessa função.
f (t ) = 1,625 + 1,25 1 = 2,875
Assim, a maior taxa de câmbio da moeda X em relação à moeda Y é de 2,875.
Para determinar o mês em que o valor máximo ocorre, temos de considerar que cos x = 1 para x = 2kp, com k [ z
Assim, temos:
cos (p (t 3) 12 ) = 1 h
h p (t 3) 12 = 2kp h
h t = 24k + 3 com k [ z
Como a análise da taxa de câmbio ocorreu no período de 1 ano e t = 9 indica a taxa no início de outubro, temos que:
0 < t < 11 h 0 < 24k + 3 < 11 h
h 3 < 24k < 8 h 1 8 < k < 1 3
Dado que k [ z , segue-se que k = 0.
Assim: t = 24 0 + 3 = 3
Logo, a maior taxa de câmbio da moeda X em relação à moeda Y ocorreu quando t = 3, ou seja, no início de abril.
54. A tiv idade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes possam elaborar e resolver as situações-problema utilizando os conceitos estudados na Unidade. É possível verificar, a partir da atividade, conceitos que precisem ser retomados para a compreensão dos estudantes.
Integrando com...
1. Resposta pessoal. As respostas dependem da região em que os estudantes moram. No geral, espera-se que respondam que sim, notando a presença de dias com maior duração solar na primavera e no verão e dias com menor duração solar em períodos do outono e do inverno.
2. Resposta esperada: Movimento de rotação, pois nele a Terra gira em torno de seu eixo imaginário.
3. • Analisando a primeira linha da tabela apresentada, temos: 14,4 horas no dia 21/12/2024.
• Analisando a segunda linha da tabela apresentada, temos: 9,92 horas no dia 20/06/2025.
4. h(100) = 12,16 + + 2,24 cos (2p 100 365 ) 1 11,82 H
H aproximadamente 11,82 h
5. a) R esposta pessoal. A re sposta depende do município em que os estudantes moram.
b) R esposta pessoal. A r esposta depende do município em que os estudantes moram.
c) Resposta pessoal. Para realização desse item, os estudantes podem se basear no modelo apresentado no início da seção, ajustando os valores dos parâmetros para aqueles pesquisados referentes ao município em que moram.
d) Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes, com base nas respostas aos itens anteriores e nas atividades realizadas, sejam capazes de
elaborar uma situação-problema relacionando o contexto apresentado a funções do tipo trigonométrica. Os estudantes podem identificar a variação na duração do dia no município em que moram e, a partir disso, pensar, por exemplo, em possibilidades de potencializar suas ações para cada época do ano, aproveitando o máximo possível a luz solar e diminuindo o consumo de energia elétrica.
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a) I) Resposta esperada: Sim, as moradias estão dispostas em formato circular cujo centro corresponde à posição onde o baito está localizado, garantindo que todas essas moradias fiquem, aproximadamente, à mesma distância do baito
II) • Comprimento da circunferência:
2p ? 90 = 180p H 180p m ou aproximadamente 565,2 m
• A distância de uma moradia até o baito corresponde à medida do raio da circunferência; logo, a pessoa vai percorrer:
2 90 = 180 H 180 m
• Medida do arco em grau:
360° : 15 = 24° ; medida do arco em radiano: 2p 15 rad.
b) I) Im(f ) = [ 1, 1]; período de f : 4p ; valor máximo de f: 1; valor mínimo de f : 1
II) Como o período da função é p = 4p, temos:
p = 2p |k| h 4p = 2p |k| h |k| = 1 2 h
h k = ± 1 2
• Para k = 1 2 : f (p) = sen ( p 2 ) = 1
• Para k = 1 2 : f (p) = sen ( p 2 ) = 1 (Incorreto)
Pelo gráfico, podemos observar que f (p) = 1; logo, k = 1 2 . Assim, a lei de formação de f é f (x ) = sen ( 1 2 x)
III) Resposta esperada: Função ímpar, pois:
f ( x ) = sen ( 1 2 x) =
= sen ( 1 2 x) = f (x )
IV) Os gráficos das funções g, h e m correspondem a deslocamentos verticais do gráfico da função f em 1 unidade para cima, 1 unidade para baixo e duas unidades para cima, respectivamente.
g (x ) = 1 + sen ( 1 2 x);
h(x ) = 1 + sen ( 1 2 x);
m(x ) = 2 + sen ( 1 2 x)
Praticando:
Enem e vestibulares
1. alternativa a A pressão mínima ocorre quando cos (kt ) = 1, e a pressão máxima, quando cos (kt ) = 1. Assim, temos o sistema:
{A + B ( 1) = 78
A + B 1 = 120 h
h {A B = 78
A + B = 120 h A = 99 e B = 21
Para determinar k, observe que:
Batimentos Tempo (em segundo)
90 60
1 x
90 1 = 60 x h x = 60 90 = 2 3
L ogo, o período da função é igual a 2 3 segundo. Assim, como k é positivo:
2 3 = 2p k h k = 3p
Portanto, P (t ) = 99 + 21cos (3pt ).
2. alternativa a
Como o ponto de coordenadas (0, 1) pertence ao gráfico da função, temos: 1 = a + b cos 0 h a + b = 1
Note que, como 1 não é o valor máximo da função e cos 0 = 1, então o valor máximo é obtido quando cos x = 1; logo:
a + b ? ( 1) = 5 h a b = 5
Resolvendo o sistema
{a + b = 1 a b = 5 , temos a = 2 e b = 3.
Assim: 5a + 2b = 5 2 + 2 ( 3) = 4
3. alternativa e
• Altura máxima:
12,6 + 4 1 = 16,6 H 16,6 metros
• Altura mínima:
12,6 + 4 ( 1) = 8,6 H 8,6 metros
• O tempo gasto para uma volta completa corresponde ao período p da função, o qual é dado por:
p = 2p p 18 = 36 H 36 segundos
4. alternativa e Temos:
tg 30° = OM CO h √ 3 3 = OM 1 h
h OM = √ 3 3
Assim, a área do triângulo é: CO OM 2 = 1 √ 3 3 2 = √ 3 6
5. alternativa a Como a função passa pelo ponto de coordenadas (0, 3), analisamos as duas possíveis expressões:
• P (0) = ±A cos (w 0) h
h 3 = ±A cos 0 h 3 = ±A
• P (0) = ±A sen (w ? 0) h
h 3 = ±A sen 0 h 3 = ±A ? 0 h
h 3 = 0 (absurdo)
Logo, a expressão adequada é
P (t ) = ±A cos (wt ) e ±A = 3.
O período da função é dado por:
p 0 = p
Segue-se que:
2p p =w h w=2
Portanto, P (t ) = 3 cos (2t ).
6. alternativa d
Às 6h20min, em relação à indicação do 12 no relógio, temos que a medida do ângulo do giro de cada ponteiro, em grau, é dado por:
• ponteiro dos minutos: (360° : 60) ? 20 = 120°
• ponteiro das horas:
6 30° + (30° : 60) 20 = 190°
Assim, entre os ponteiros, os ângulos formados têm as seguintes medidas:
• 190° 120° = 70°
• 360° 70° = 290°
7. alternativa c
Observe o esquema, que representa a Terra com a linha do equador e o paralelo 30° N traçados.
comprimento é dado pela seguinte regra de três:
Medida do arco (em grau)
Comprimento do arco (em km)
8. Os valores de rM para 0 = 0° e 0 = 180° correspondem, respectivamente, à distância do Sol até o ponto A e à distância do Sol até o ponto P , em milhão de kilometro. Logo:
PA = 555 10 2 ? cos 0° ⏟ 1 +
9. alternativa b
• Valor máximo: 3 5 ( 1) = 8;
• Valor mínimo: 3 5 1 = 2;
• Período: 2p |2| = p
Unidade 5 • Figuras geométricas planas, perímetro e área
1. As figuras dos itens a, b, d e e representam polígonos convexos. Os polígonos representados nos itens c e f não são convexos, pois é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono de maneira que algum ponto desse segmento seja externo ao polígono.
5. Como foram utilizadas 180 peças para formar a faixa, temos que cada lado dessa faixa mede:
• lado superior:
180 : 2 = 90
90 3 + 90 = 360 H 360 u.c.
• lado inferior:
180 : 2 = 90
90 3 + 90 = 360 H 360 u.c.
• lado esquerdo: 3 u.c.
• lado direito: 3 u.c.
Segue-se que o perímetro da faixa é dado por: 360 + 360 + 3 + 3 = 726 H 726 u.c.
6. alternativa c Seja (x 6, x 3, x, x + 3, x + 6) a PA de razão 3 cujos termos correspondem às medidas dos ângulos internos do pentágono. A soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono é (5 2) ? 180° = 540°, logo: (x 6) + (x 3) + x + (x + 3) +
+ (x + 6) = 540 h 5x = 540 h
h x = 108
Assim, o menor ângulo mede: x 6 = 108 6 = 102 H 102°
7. a) Seja n a quantidade de lados desse polígono. A soma das medidas de seus ângulos internos pode ser expressa, em grau, por 130 + 2 ? 145 + (n 3) ? 160 e por (n 2) ? 180. Logo:
130 + 2 ? 145 + (n 3) ? 160 = = (n 2) ? 180 h 160n 60 =
= 180n 360 h 20n = 300 h
h n = 15 H 15 lados
b) (15 2) ? 180° = 2 340°
8. a) Medida (em polegada) Medida (em centimetro)
4,5 11,43
1 x
A medida OA corresponde ao raio da Terra R = 6 300 km, enquanto AB = r corresponde ao raio da circunferência do paralelo 30° N. Assim:
cos 30° = r R h √ 3 2 = r 6 300 h
h r = 3 150 √ 3
A figura a seguir representa os pontos P e Q sobre esse paralelo.
2. 7 ? 60 = 420 H 420 cm
3. O polígono tem 9 lados; logo, cada lado mede:
225 : 9 = 25 H 25 dm
4. a) Temos AD = BC e AB = CD, assim:
AB + BC + CD + AD = 144 h
4,5 1 = 11,43 x h
h x = 11,43 4, 5 = 2,54 H 2,54 cm
b) 32 ? 2,54 = 81,28 H 81,28 cm
c) Observe o esquema a seguir, que representa a tela do televisor, sendo x a medida da largura, em polegada.
2x
15° 45° r B Q P
O menor arco ⌢ PQ nessa circunferência é o arco de medida 60 ° ⏟ cujo
CBOOK PRODUÇÕES 15° + 45°
h 2AB + 2AD = 144
Substituindo AD = 1 3 AB nessa equação, temos:
2AB + 2 3 AB = 144 h 8 3 AB = 144 h
h AB = 54
Segue-se que:
BC = AD = 1 3 AB = 1 3 ? 54 = 18
Portanto, BC = 18 cm e AB = 54 cm. b) Como O é o ponto médio de AC , então:
AO = AC 2 = 48 2 = 24 H 24 cm
32’’ x
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
x2 + (2x )2 = 322 h 5x2 = 1 024 h
h x2 = 204,8 h
h {x 1 14,3
ou
x 1 14,3 (não convém)
Assim, o perímetro da tela é:
x + 2x + x + 2x = 6x 1
1 6 ? 14,3 = 85,8 H 85,8’
Realizando as conversões, temos:
85,8’ = 85,8 ? 2,54 cm = = 217,932 cm 1 2,2 m
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes realizem as medições indicadas e, a partir dos resultados obtidos, determinem as demais por meio de cálculos envolvendo o teorema de Pitágoras. 9. a) Vamos calcular o perímetro de cada pista:
• Pista A: 100 + 100 + 100 + 100 = = 400 H 400 m
• Pista B: 17 + 57 + 157 + 60 + 151 = = 442 H 442 m
• Pista C: 150 + 222 + 143 + 205 = = 720 H 720 m
Portanto, a pista C tem o maior perímetro e a pista A, o menor perímetro.
b) Temos que 4,9 km correspondem a 4 900 m. Vamos determinar, para cada pista, o menor inteiro p tal que a distância percorrida em p voltas seja maior que 4 900, bem como a distância d ultrapasse a meta.
• Pista A: 4 900 = 13 ⏟ p ? 400 300 ⏟ d
• Pista B: 4 900 = 12 ⏟ p ? 442 404 ⏟ p
• Pista C: 4 900 = 7 ⏟ p ? 720 140 ⏟ p Logo, ao escolher a pista C, a meta será ultrapassada na menor medida.
c) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem uma questão envolvendo o conceito de perímetro e que consigam resolver a questão elaborada pelo colega. Inc entivá-los a elaborar questões que não apenas solicite a determinação de perímetro mas também a compreensão de outros conceitos, como a identificação de polígonos e a conversão de unidades de medida de comprimento.
10. Seja x o comprimento do maior lado, em metro. Então:
x + 3 4 x + x + 3 4 x = 238 h
h 7 2 x = 238 h x = 68
Assim, o maior lado mede 68 m e o menor lado, 51 ⏟ m. d 68 m 51 m
Assim, a quantidade mínima de fio necessária para a instalação é:
85 + 85 = 170 H 170 m
11. a) Seja x equivalente a uma unidade tal que a peça retangular tenha dimensões
20x e 14x. Então:
20x + 14x + 20x + 14x = 102 h
h 68x = 102 h x = 102 68 = 3 2
Assim, as dimensões são 14 ? 3 2 = 21 cm e 20 ? 3 2 = 30 cm.
b) As diagonais da peça com formato de losango medem:
• 20 2 ? 1,7 = 16,6 H 16,6 u
• 14 2 ? 1,7 = 10,6 H 10,6 u
Como cada unidade corresponde a 3 2 cm, as medidas são 24,9 ⏟ cm e 15,9 ⏟ cm.
c) 7 2 3 2 = 5,25 H 5,25 cm
d) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes realizem as medições, consigam determinar as proporções da bandeira do Brasil e avaliem se estão dentro das normativas vigentes descritas na atividade.
12. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes avaliem as medidas de uma rampa de acesso conforme solicitado na atividade e avaliem se essa rampa atende às normas da ABNT. Caso não atendam, espera-se que eles proponham soluções, com base nos cálculos realizados, para que a rampa de acesso atenda aos critérios definidos.
13. a) 5 vértices. 2 diagonais.
b) A, B e F
c) AC e CF ; AC
d) As diagonais são: AC , AE , BE , BF e CF . Portanto, 5 diagonais.
e) De cada um dos n vértices partem n 3 diagonais, porém cada diagonal parte de dois vértices distintos. Assim, o número (n 3) ? n corresponde ao dobro da quantidade de diagonais, pois cada diagonal foi contada duas vezes.
colegas, demonstrando a compreensão dos conceitos e propriedades envolvidos na atividade.
15. a) • med(A ˆ B O) = med(B ˆ A O) = 78°
• med(A ˆ O B) + 78° + 78° = 180° h h med(A ˆ O B) = 24°
b) n ? 24° = 360° h n = 15 H 15 lados
16. a) 10 ? 3 = 30 H 30 m
b) Como o jato de água será disparado do centro da fonte, a distância máxima horizontal que ele deverá alcançar corresponde ao raio da circunferência inscrita ao decágono de lado 3 m, ou seja, à medida do apótema a. Vamos calcular a . Considere que o decágono regular tenha sido decomposto em 10 triângulos isósceles congruentes a partir de seu centro O, sendo ABO um desses triângulos.
a
1,5 m1,5 m
Temos med( A ˆ O B ) = 360 : 10 = 36 ° , logo:
a + a + 36° = 180 h a = 72°
Segue-se que:
tg 72° = a 1, 5 h 3,08 = a 1, 5 h a = 4,62
Portanto, o jato de água pode alcançar uma distância horizontal de até aproximadamente 4,62 m.
17. alternativa e
Sendo AB um dos lados do octógono, temos:
• med(A ˆ O B) = 360° : 8 = 45°
• med(B ˆ A O) = med(A ˆ B O) e med(B ˆ A O) + med(A ˆ B O) + 45° = 180° Logo: med(B ˆ A O) = med(A ˆ B O) = 67,5°
18. alternativa d
Portanto: D = (n _ 3) ? n 2
14. a) R esposta pessoal. As respostas dependem dos polígonos desenhados pelos estudantes. Verificar se tais polígonos são convexos.
b) R esposta pessoal. Se necessário, auxiliar os estudantes na realização das medições usando o transferidor.
A medida d de uma das diagonais é dada por:
d 2 = 512 + 682 h d 2 = 7 225 h
h {d = 85 ou d = 85 (não convém) 3 4 68
c) R esposta esperada: A soma das medidas de cada par de ângulos é 180°
d) R esposta esperada: A soma das medidas de todos os ângulos externos é 360° .
e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes avaliem as resoluções dos
Inicialmente, vamos determinar a medida r do raio dessa circunferência.
Observe que r = OB e med(C ˆ BO) = 60° : 2 = 30°, conforme a figura a seguir.
BC O
r 30° 2 cm
3,5 cm3,5 cm
Assim:
sen 30° = 2 r h 1 2 = 2 r h r = 4
A figura a seguir representa o pentágono inscrito nessa circunferência, sendo l a medida de seu lado.
aa
r DE O l 2 l
Temos med(D ˆ O E) = 360° : 5 = 72°, assim:
2a + 72° = 180° h a = 54°
Segue-se que:
cos 54° = l 2 r h 0, 59 = l 2 4 h l = 4,72
Portanto, a medida do lado do pentágono é de aproximadamente 4,7 cm.
19. alternativa c
A D B C a b a
Cada lado do octógono mede
16 : 8 = 2 m; logo, AD = 2 : 2 = 1 m.
A medida a é dada por:
2a = 360° 8 h a = 22,5°
Assim, a medida b é dada por: a ⏟ + b + 90° = 180° h b = 67,5°
22,5°
Segue-se que:
tg 67,5° = AC AD h 2,41 = AC 1 h
h AC = 2,41
Portanto, a distância aproximada entre os competidores é:
AB = 2 ? 2,41 = 4,82 H 4,82 m
20. Como med(A ˆ B O) = 60°, temos:
• cos 60° = l 2 r h 1 2 = l 2r h l = r
• sen 60° = a r h √ 3 2 = a r h a = r √ 3 2
21. Seja a a medida do ângulo destacado. Os ângulos internos do triângulo equilátero e do quadrado medem, respectivamente, 60° e 90°. Assim: a + 60° + 90° = 360° h a = 210°
22. Mosaicos a e d, pois são os únicos que representam ladrilhamentos formados somente por polígonos regulares congruentes entre si, sendo o do item a formado por triângulos equiláteros e o do item d, por hexágonos regulares.
23. alternativa b
Medida de cada ângulo interno do hexágono regular: [(6 2) 180°] : 6 = 120°
Medida de cada ângulo interno do quadrado: [(4 2) ? 180°] : 4 = 90° Ao elaborar o mosaico, temos que, a partir de um vértice do hexágono regular, serão justapostos dois quadrados, sendo um ajustado em cada lado do hexágono. Assim, a medida do ângulo formado por um ângulo interno do hexágono e um ângulo interno de cada quadrado é dada por: 120° + 2 90° = 300° Desse modo, para completar os 360° da composição do mosaico, em cada vértice do hexágono falta 60° (360° 300° = = 60°). Portanto, a figura que complementa esse mosaico é um triângulo equilátero, que tem cada ângulo interno com medida igual a 60° (180° : 3 = 60°).
24.
25. Resposta esperada: Triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular, pois as medidas de cada um de seus ângulos internos correspondem a um número divisor de 360.
26. a) Cada piso ocupa uma área de: 0,5 ? 0,5 = 0,25 H 0,25 m2 Logo, 4 ⏟ pisos serão assentados
por metro quadrado. b) O chão da sala tem 24 ⏟ 6 4 m2 de área; logo, são necessários 24 ? 4 = 96 pisos. c) Ladrilhamento regular do plano por quadrados.
27. a, b e d
• a) hexágonos regulares; b) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares; d ) triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares.
28. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam compor ladrilhamentos e mosaicos a partir de diferentes polígonos regulares, de acordo com os conceitos estudados. Verificar se eles compreenderam que a soma das medidas dos ângulos internos adjacentes das figuras justapostas na composição deve ser igual a 360°
29. a) A = (10 + 8) ? 12, 4 2 = 111,6 H H 111,6 cm2
31. alternativa c
Um quadrado é um losango em que as duas diagonais têm a mesma medida. Assim, a área A de um quadrado cuja diagonal mede d é:
A = d d 2 = d 2 2
• A = 21 2 2 = 220,5 H 220,5 cm2
32. Área total do salão: 90 ? 110 = 9 900 H 9 900 m2
Área do palco:
10 ? 90 + (90 + 60) 10 2 = = 900 + 750 = 1 650 H 1 650 m2
Área destinada ao público:
9 900 1 650 = 8 250 H 8 250 m2
Capacidade de público:
8 250 2,5 = 20 625 H 20 625 pessoas Como serão disponibilizados ingressos na quantidade correspondente a 96% da capacidade, temos:
0,96 ? 20 625 = 19 800 H H 19 800 ingressos
33. Sendo x a medida do lado menor do retângulo, temos:
x ? 3x = 147 h 3x2 = 147 h h x = 7 H 7 cm
Assim, o perímetro do retângulo é dado por:
7 + 7 + 3 7 + 3 7 = 56 H 56 cm
34. a) Considerando que a região é retangular e que um par de lados mede x e outro y, em metro, temos:
2x + 2y = 160 h y = 80 x Assim, a área s dessa região pode ser expressa por:
s(x ) = x ? (80 x ) h s (x ) = x2 + 80x
b) Considerando a lei de formação da função s obtida no item a, temos: xv = b 2a = 80 2 ? ( 1) = 40
Da equação y = 80 x obtida no item a, temos: y = 80 40 = 40
Portanto, o comprimento e a largura da região retangular devem ter 40 m.
35. a) A área construída do hipermercado é: 250 ? 90 = 22 500 H 22 500 m2 Assim, a quantidade de vagas para cada tipo de veículo é dada a seguir.
• Automóvel: 22 500 30 = 750 H 750 vagas
• Bicicleta: 22 500 100 = 225 H 225 vagas
• Motocicleta: 22 500 250 = 90 H 90 vagas
30.
=
b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem as normas em relação a vagas de estacionamento em estabelecimentos no município em que moram. É importante lembrá-los de que devem utilizar fontes confiáveis para obter as informações.
36. Cada lado do losango mede 36 : 4 = = 9 cm. Seja E o ponto de interseção das duas diagonais do losango. Então:
• sen 30° = DE AD h 0,5 = DE 9 h
h DE = 4,5
Logo, a diagonal DB mede: DB = 4,5 ? 2 = 9
• cos 30° = AE AD h √ 3 2 = AE 9 h
h AE = 9√ 3 2
Logo, a diagonal AC mede: AC = 9√ 3 2 2 = 9√ 3
Portanto, a área do losango ABCD é: 9 9√ 3
2 = 81√ 3 2
Observe que a parte azul é formada por 8 triângulos congruentes que podem ser rearranjados de modo a cobrir a parte verde sem que haja sobra, ou seja, a área da parte azul é igual à área da parte verde. Portanto, a área da parte azul corresponde à metade da área do losango ABCD. Logo, essa área é: 81√ 3
2 2 = 81√ 3 4 H 81√ 3 4 cm 2
37. a) O terreno pode ser decomposto em duas partes, uma retangular e outra em forma de trapézio, conforme a figura.
dos lados dos três quadrados são 5, x 5 e x, conforme ilustra a figura.
5 x 5 x
Assim:
x 2 + (x 5)2 + 52 = 258 h
h x 2 + x 2 10x + 25 + 25 = 258 h
h 2x 2 10x 208 = 0 h
h x 2 5x 104 = 0 h
h {x = 13 ou
x = 8 (não convém)
Portanto, o perímetro do maior quadrado é:
13 ? 4 = 52 H 52 cm
39. alternativa b
Para neutralizar 37,1 toneladas de CO2 em um ano, serão necessárias 37,1 : 0,14 = = 265 árvores. A área da região para abrigar essa quantidade de árvores é dada pela seguinte regra de três:
Quantidade de árvores
Área da região (em m2)
50 300 265 x
50 265 = 300 x h x = 1 590 H 1 590 m2
Vamos calcular a área da região e a respectiva diferença para a área necessária em cada item:
• Base maior v(9) = 1 2 ? 9 + 50 = 109 2
• Altura |9 3| = 6
Portanto, a distância percorrida é: ( 103 2 + 109 2 ) ? 6 2 = 106 ? 6 2 =
= 318 H 318 km
41. a) • Eficiência energética:
270 1,65 1 : 10 1 16,36 H
H aproximadamente 16,36%
• O painel tem 1,65 ? 1 = 1,65 metro quadrado. Logo, cada painel gera 34,65 ⏟ kWh por mês. Como
1,65 21
275 : 34,65 1 7,9, então é necessário instalar 8 painéis. A área ocupada por esses painéis será:
8 ? 1,65 = 13,2 H 13,2 m2
b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes determinem a quantidade de painéis a partir do consumo indicado na fatura de energia elétrica da residência em que moram. Eles podem usar os dados do consumo do mês mais recente ou calcular a média de consumo de dois meses ou mais.
21,5 m
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Assim, a área total do terreno, em metro quadrado, é:
A = 12 ? 30 + (30 + 10) 8 2 = 520
Como é necessário ter, no mínimo, 15% de área permeável, então a edificação pode ocupar, no máximo, 85% do terreno, o que corresponde a: 520 ? 0,85 = 442 H 442 m2 b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem normas de permeabilidade no município em que moram e, para isso, utilizem fontes de informação confiáveis, como o site da prefeitura municipal. Em relação à proposta que devem elaborar, verificar se eles utilizaram corretamente os conceitos estudados ao desenvolver o exemplo.
38. alternativa d
Seja x a medida, em centimetro, do lado do maior quadrado. Então, as medidas
a) Área: 39 ? 39 = 1 521 H 1 521 m2
Diferença: |1 590 1 521| = 69 H 69 m2
b) Área: 54 ? 30 = 1 620 H 1 620 m2
Diferença: |1 590 1 620| = 30 H 30 m2
c) Área: 35 ? 30 = 1 050 H 1 050 m2
Diferença: |1 590 1 050| = 540 H H 540 m2
d) Área: 432 = 1 849 H 1 849 m2
Diferença: |1 590 1 849| = 259 H H 259 m2
e) Área: 50 ? 33 = 1 650 H 1 650 m2
Diferença: |1 590 1 650| = 60 H 60 m2 Logo, a região com a área mais próxima da necessária é a do item b, com 30 m2 de diferença.
40. alternativa a Como v é uma função polinomial do 1o grau, então essa função é da forma v ( t ) = at + b , com a , b [ r Como o gráfico de v passa pelos pontos (0, 50) e (10, 55), temos:
• v(0) = 50 h a ? 0 + b = 50 h b = 50
• v(10) = 55 h a ? 10 + b ⏟ 50 = 55 h
h 10a = 5 h a = 1 2
Logo, v (t ) = 1 2 t + 50. Assim, a distância percorrida pelo móvel, em kilometro, do instante 3 h a 9 h corresponde à área de um trapézio com:
• Base menor v(3) = 1 2 ? 3 + 50 = 103 2
c) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem argumentos a respeito do uso de painéis solares com base em critérios ambientais e financeiros. Eles podem pesquisar em diferentes fontes confiáveis para obter as informações necessárias para a elaboração do croqui e do relatório.
42. Como serão 30 painéis retangulares com dimensões de 1,65 m por 1 m, e cuja composição terá 1,65 m de largura, temos que o comprimento dessa composição é de 30 m (30 ? 1 = 30).
Assim, o perímetro total da composição será:
30 + 30 + 1,65 + 1,65 = 63,3 H 63,3 m Como a viga será instalada no contorno de toda a composição, ao custo de R$ 60,00 o metro, temos que o custo total com essa viga será de:
63,3 ? 60 = 3 798 H R$ 3.798,00
43. Área da região delimitada pelo contorno externo da pista:
AE = (200 + 80) ? 120 2 = = 16 800 H 16 800 m2
Área da praça:
AP = (120 + 40) 80 2 = = 6 400 H 6 400 m2
Área da pista:
AE AP = 16 800 6 400 = = 10 400 H 10 400 m2
44. a) A = 5,5 6 2 = 16,5 H 16,5 dm2
b) A = 8,2 4, 5 2 = 18,45 H 18,45 dm2
c) O semiperímetro do triângulo é
s = 7 + 7 + 4 2 = 9. Assim:
A = √ 9 ? (9 7) ? (9 7) ? (9 4) = = √ 9 2 2 5 = √ 3 2 2 2 5 =
= 6√ 5 H 6√ 5 dm 2
d) A = 8 7,4 2 = 29,6 H 29,6 dm2
e) A = 6 2 √ 3 4 = 9√ 3 H 9√ 3 dm 2
f) O semiperímetro do triângulo é
s = 7 + 9 + 12 2 = 14. Assim:
A = √ 14 ? (14 7) ? (14 9) ? (14 12) = = √ 14 7 5 2 =
= √ 2 2 7 2 5 = 14√ 5 H 14√ 5 dm 2
45. alternativa c
As condições de existência de um triângulo exigem que a soma das medidas de dois lados quaisquer seja sempre maior que a medida do terceiro lado.
a) Não cumpre as condições, pois
4 + 3 = 7.
b) Não cumpre as condições, pois
5 + 10 , 16.
c) Cumpre as condições, pois:
• 9 + 5 . 6;
• 9 + 6 . 5;
Portanto, o perímetro dessa região triangular é:
3l = 3 ? 10 = 30 H 30 m
49. alternativa b
A bandeira tem duas regiões com formato de triângulo com 0,65 ⏟ m de base e 0,35 ⏟ m de altura. Logo, a soma das áreas em formato triangular é:
52. a) • f é representada pelo gráfico IV, pois corresponde a uma reta e expressa o fato de que o perímetro de um triângulo de lado 27 é igual a 3 ? 27 = 81.
• 5 + 6 . 9.
d) Não cumpre as condições, pois
3 + 3 , 7.
Vamos calcular a área do triângulo cujos lados têm as medidas dadas no item c O seu semiperímetro é
s = 9 + 5 + 6 2 = 10. Assim:
A = √ 10 (10 9) (10 5) (10 6) =
= √ 10 1 5 4 = √ 2 2 5 2 2 = = 10√ 2 H 10√ 2 cm2
46. Esse polígono r egular pode ser decomposto, a partir de seu centro, em 8 triângulos isósceles congruentes de base 6 cm e altura 7,24 ⏟ cm. Logo, sua área é:
A = 8 ? 6 7,24 2 = 173,76 H 173,76 cm2
47. alternativa d
As cerâmicas têm o formato de hexágono regular com 0,1 m de lado. Assim, cada cerâmica ocupa uma área, em metro quadrado, de: 6 0,1 2 √ 3 4 = 6 0,01 ? 1,7 4 = 0, 0255
Assim, a quantidade necessária de pedras de cerâmica é de 25,5 0,0255 = 1 000.
48. Seja l a medida do lado do triângulo equilátero com 25√ 3 m2 de área. Então:
A = l 2√ 3 4 h 25√ 3 = l 2√ 3 4 h
h l 2 = 100 h {l = 10 ou l = 10 (não convém) 14,48 : 2
2 ? 0, 65 0, 35 2 = 0,2275 H 0,2275 m2
50. N o ladrilhamento, foram utilizados 12 hexágonos regulares e 48 triângulos equiláteros, todos esses polígonos com 12 cm de lado. Como cada hexágono desses pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros com lados medindo 12 cm, temos que a área desse ladrilhamento corresponde à área de 120 triângulos desses (12 6 + 48 = 120).
Assim, a área do ladrilhamento é dada por: 120 ? 12 2√ 3 4 = 120 ? 36√ 3 =
= 4 320√ 3 1 7 344 H 7 344 cm2
51. a) • Peça com formato de pentágono regular:
• g é representada pelo gráfico I, pois corresponde a uma curva que aparenta ser um parte de uma parábola e expressa o fato de que a área de um triângulo de lado 8 é igual a 8 2√ 3 4 = 16√ 3
b) • O p erímetro de um triângulo de lado x é igual a 3 x ; logo, a função f é dada por f (x ) = 3x e corresponde a uma função afim.
• A área de um triângulo de lado x é igual a √ 3 4 x 2 ; logo, a função g é dada por g (x ) = √ 3 4 x 2 e corresponde a uma função quadrática.
53. a) O perímetro e a área de um quadrado de lado x são, respectivamente, iguais a 4x e x 2; logo, p (x ) = 4x e a (x ) = x 2
b) R esposta pessoal. Espera-se que os estudantes atribuam valores para a variável independente x nas funções p e a, identificando que os resultados obtidos correspondem ao perímetro e à área do quadrado, respectivamente. c)
O apótema a do pentágono é dado, em centimetro, por: tg 54° = a 5 2 h 1, 38 = 2a 5 h a = 3, 45
Logo, a área dessa peça é: 5 ? 5 ? 3, 45 2 = 43,125 H
H aproximadamente 43,125 cm2
• Peça com formato de hexágono regular: 6 5 2 √ 3 4 = 37, 5 √ 3 H 37, 5 √ 3 cm2
ou aproximadamente 65 cm2
b) P ara compor a superfície da bola, são utilizadas 12 peças com formato de pentágono e 20 peças com formato de hexágono. Essas peças têm, no total, 12 ? 5 + 20 ? 6 = 180 lados. Como cada costura une dois desses lados, serão feitas 90 ⏟ costuras no total; logo, a
0,35 180 : 2
quantidade de linha necessária é: 90 ? 7,2 = 648 H 648 cm ou 6,48 m
p: função afim; a: função quadrática
54. a) A = p ? 102 = 3,14 ? 100 = 314 H 314 cm2
b) A = p ? 3,52 = 3,14 ? 12,25 = 38,465 H 38,465 m2
c) A = p ? ( 12 2 )2 = 3,14 ? 36 = 113,04 H 113,04 dm2
d) O raio r, em centimetro, é dado por:
2pr = 56,52 h 6,28r = 56,52 h r = 9
Logo:
A = p ? 92 = 3,14 ? 81 = 254,34 H 254,34 cm2
55. Área total do círculo, em cm2:
p ? ( 7 2 )2 = 12,25p
360 80 = 12,25p x h
Medida do ângulo central (em grau) Área do setor (em cm2)
360 12,25p
80 x
h 360x = 980p h x 1 8,55 H aproximadamente 8,55 cm2
56. Os dois aspersores, juntos, irrigam uma área de 2 ? pr2. Como essa área corresponde a 36% ⏟ da área do jardim, temos:
2 ? pr2 = 0,36 ? (7,85 ? 20) h 6,28r2 = 56,52 h
h r2 = 9 h {r = 3 ou r = 3 (não convém)
Portanto, r = 3 m.
57. alternativa c Se a área da superfície circular é de 2 000 m2, o seu diâmetro d é dado por:
p ? ( d 2 )2 = 2 000 h 3,14 ? d 2 4 = 2 000 h
h d2 1 2 548 h {d 1 50 ou d 1 50 (não convém)
Portanto, o diâmetro é de aproximadamente 50 m.
58. a) Resposta esperada: O cálculo da área é feito por etapas:
1a) Calcular a área A1 da circunferência de raio 8 cm:
A1 = p ? 82 = 64p
2a) Calcular a área A2 da circunferência de raio 5 cm:
A2 = p 52 = 25p
3a) Calcular A1 A2, que corresponde à área da coroa circular:
A = A1 A2 = 64p 25p = 39p
Portanto, a área da coroa circular é 39p ou aproximadamente 122,46 cm2 (39 3,14 = 122,46).
b) A1 = p R2 = R2p
A2 = p r2 = r2p
A = A1 A2 = R2p r2p = p(R2 r2)
59. a) A = p(R2 r2) = 3,14 (132 102) = 3,14 69 1 216,66 h
h 216,66 cm2
b) A = p(R2 r2) = 3,14 (4,52 22) = 3,14 ? 16,25 1 51,025 h
h 51,025 cm2
60. alternativa b
A placa pode ser decomposta em um semicírculo de raio 20 cm e um quadrado de lado 40 cm, conforme ilustra a figura.
• Área do semicírculo:
p 20 2 2 = 3, 14 ? 400 2 =
= 628 H 628 cm2
• Área do quadrado: 402 = 1 600 H 1 600 cm2
Assim, a soma das áreas de 10 placas é: 10 ? (1 600 + 628) = 22 280 H 22 280 cm2
Integrando com...
1. Algumas respostas possíveis: Engenheiro agrimensor, pedreiro, geólogo.
2. a) Considerando que o perímetro do quadrilátero corresponde à soma das medidas de seus lados, temos:
p = a + b + c + d
b) Média aritmética entre as medidas dos lados opostos:
• a + c 2 • b + d 2
Tomando essas médias como medidas de lados de um retângulo, temos:
s = ( a + c 2 )? ( b + d 2 ) = ab + ad + bc + cd 2
3. Área aproximada do terreno:
s = 180 225 + 180 120 + 225 95 + 95 120 4 = = 23 718,75 H 23 718,75 m2
Quantidade estimada de sementes: 12 23 718,75 = 284 625 H 284 625 sementes
4. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes identifiquem algum método prático de estimativa de área de terrenos utilizada por comunidades na região em que moram e que compreendam e expliquem as etapas desse método.
b) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes apliquem o método pesquisado no item a para estimar a área de um terreno. Acompanhá-los na realização das etapas propostas para essa produção, de maneira a identificar as contribuições de cada integrante do grupo.
61. a) Uma resposta possível: Utilizando como estratégia o método de contar a quantidade de quadradinhos internos à figura e a quantidade necessária para cobri-la e, em seguida, calcular a média aritmética dos resultados obtidos, pode-se obter a área aproximada de 9,875 cm2
b) Uma resposta possível: Utilizando como estratégia a construção de um polígono com formato e tamanho próximos aos da figura e, em seguida, calcular a área utilizando a fórmula de Pick, pode-se obter a área aproximada de 107,5 m2
62. A área aproximada calculada com a estratégia da malha quadriculada foi:
68 + 109 2 = 88,5
Assim, a diferença entre os dois valores é:
88,5 85,8 = 2,7 H 2,7 dm2
63. a) Cada quadradinho no mapa representa um quadrado de 120 km de lado; logo, sua área é:
1202 = 14 400 H 14 400 km2
b) Temos, B = 17 e I = 10, logo, pela fórmula de Pick, a área do polígono é:
0,5 ? 17 + 10 1 = 17,5 H 17,5 cm2
Como 1 cm2 no mapa corresponde a uma área de 14 400 km2, a área aproximada do estado de Roraima é:
17,5 ? 14 400 = 252 000 km2
c) Resposta pessoal. Espera-se que a área obtida pelos estudantes seja, razoavelmente, próxima da área real indicada. É importante que os estudantes compreendam que a variação no resultado se deve a diversos fatores, como o cálculo aproximado e as irregularidades do terreno.
64. a) A área aproximada do desenho, em centimetro quadrado, é de: 21, 57 + 32, 18 2 = 26,875
Como 1 cm2 equivale a uma região com 100 m ? 100 m = 10 000 m2, a área aproximada da reserva é:
26,875 ? 10 000 = 268 750 H 268 750 m2
b) (268 750 : 0,20) 0,8 = = 1 075 000 H 1 075 000 m2
c) Resposta pessoal. Espera-se que, com base na legislação vigente e nas pesquisas que indicam as causas de mudanças climáticas no mundo, os estudantes argumentem sobre a necessidade de preservação de áreas nativas.
65. Estudante 1:
A = 91 + 134 2 = 112,5 H 112,5 m2
Estudante 2: B = 36 e I = 97, logo:
A = 0,5 ? 36 + 97 1 = 114 H 114 m2 Resposta pessoal.
66. R esposta pessoal. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes elaborem um problema que envolva a determinação de uma estimativa para a área de uma figura irregular construída em uma malha quadriculada. Verificar se os estudantes utilizaram um método de aproximação estudado na Unidade.
O que estudei
1. Respostas pessoais.
2. Resposta pessoal.
3. Respostas pessoais.
4. a)
• Área do plano de frente:
4 ? 6 = 24 H 24 cm2
• Área do plano de fundo:
72,25 24 = 48,25 H 48,25 cm2
• Lado da tela:
x2 = 72,25 h x = 8,5 H 8,5 cm
b) • Perímetro de cada face:
4 ? 5 = 20 H 20 cm
• Área da superfície de cada face: 52 = 25 H 25 cm2
• Os triângulos obtidos nas faces do cubo são isósceles de base 5 cm, e a medida dos dois lados congruentes desses triângulos é igual à metade da medida da diagonal do quadrado de lado 5 cm; logo, as medidas de seus lados são:
5 cm, 5√ 2 2 cm e 5√ 2 2 cm
A área de cada triângulo corresponde a 1 4 da área do quadrado, ou seja:
1 4 ? 52 = 25 4 = 6,25 H 6,25 cm2
• O perímetro dobra. A área é multiplicada por 4.
Praticando:
Enem e vestibulares
1. alternativa c Por simetria, todos os ângulos das pontas da estrela são congruentes entre si, então vamos determinar a medida a.
Observe que:
• a diagonal AD é paralela ao lado BC , logo A ˆ D C e o ângulo externo de medida c 1 são ângulos correspondentes, de modo que med(A ˆ D C ) = c1;
• a diagonal AC é paralela ao lado DE , logo A ˆ C D e o ângulo externo de medida d 1 são ângulos alternos internos, de modo que med(A ˆ C D) = d1. Cada ângulo externo do pentágono regular mede 360° : 5 = 72°, assim: med(A ˆ D C ) = med(A ˆ C D) = 72° Como, ao somar as medidas dos ângulos internos do triângulo ADC , obtemos
180°, segue-se que:
a + 72° + 72° = 180° h a = 36°
Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos das pontas da estrela é 5 36° = 180°
2. alternativa d
Como o pentágono regular tem cinco ângulos internos congruentes, cada ângulo desses mede: (n 2) 180° 5 = (5 2) 180° 5 = = 3 180° 5 = 540° 5 = 108°
Agora, considere o pentágono regular representado a seguir, com as diagonais que partem do vértice A traçadas.
(20 + 5 + 5)2
400 =
= 900 400 = 500 H 500 m2
5. Seja r a medida, em cm, do raio dos semicírculos que formam as folhas.
O perímetro do quatrefoil equivale ao comprimento de duas circunferências de raio r, logo:
2 2pr = 28p h r = 7 H 7 cm
A figura pode ser decomposta em um quadrado de lado 2r e quatro semicírculos de raio r, logo sua área é de:
(2 7) 2 + 4 p ? 7 2 2 = 196 + 98p H
H (196 + 98p) cm2
6. alternativa c Área da pizza individual:
p ( d 2 )2 H p ( d 2 )2 cm2
Área da pizza de 20 cm de diâmetro:
p 102 = 100p H 100p cm2
Como o preço da pizza é proporcional à sua área, segue-se que:
4 p ? ( d 2 )2 = 100p h d = 10 H 10 cm
7. alternativa d
Como o quadrado EFGH tem 16 cm2 de área, segue-se que a medida de seus lados é: √ 16 = 4 H 4 cm
Assim, AD = HG = 4 cm.
Como o retângulo ABCD tem 32 cm2 de área, segue-se que:
AD AB = 32 h AD 4 = 32 h
h AD = 8 H 8 cm
Desse modo, segue-se que:
Do triângulo ABC, temos:
2x + 108° = 180° h x = 36°
Assim, segue-se que:
2 36° + y = 108° h y = 36°
Portanto, as medidas dos ângulos determinadas são:
36°, 72° (36° + 36° = 72°) e 108° (36° + 36° + 36° = 108°).
3. alternativa a
Sabendo que um hexágono regular de lado l pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros de lado l, temos que a área ocupada pelo mosaico é dada por: 4 6 10 2√ 3 4 = 600√ 3 H 600√ 3 cm2
As dimensões da moldura são dadas por:
• comprimento: 5 10 = 50 H 50 cm2
• largura: 4 10√ 3 2 = 20√ 3 H
H 20√ 3 cm2
Área da região interna da moldura sem azulejo:
(50 20√ 3 ) 600√ 3 =
= 400√ 3 H 400√ 3 cm2
4. alternativa d
Calculando a medida x do lado da piscina, temos:
x 2 = 400 h x = 20 H 20 m
Assim, a área ocupada pela calçada é dada por:
AE = FB = DH = GC = = (8 4 ) : 2 = 2 H 2 cm
Pelo caso AA, os triângulos DCB, DGQ e DHP são semelhantes. Assim, temos:
• BC QG = DC DG h 4 QG = 8 6 h
h QG = 3 H 3 cm
• BC PH = DC DH h 4 PH = 8 2 h
h PH = 1 H 1 cm
Portanto, a área do trapézio GHPQ é dada por: (3 + 1) 4 2 = 8 H 8 cm2
8. alternativa d O quadrado cujos lados passam pelos pontos A, B, C e D tem os lados medindo 2 cm (1 + 1 = 2).
Assim, a área da região hachurada, em cm2, corresponde à diferença entre a área desse quadrado e o quádruplo de 1 4 da área do círculo de raio 1 cm: 22 4 1 4 p 12 = 4 p
9. alternativa e
a) Incorreta, pois:
cos 60° = 12
BC h 1 2 = 12 BC h
h BC = 24 H 24 cm e 24 { i
b) Incorreta, pois:
tg 60° = AC 12 h √ 3 = AC 12 h AC = 12√ 3 H 12√ 3 cm
c) Incorreta, pois o perímetro do triângulo ABC é dado por:
12 + 24 + 12√ 3 = 36 + 12√ 3 = = 12 (3 +√ 3 ) H 12 (3 +√ 3 ) cm
d) Incorreta, pois a área do triângulo ABC é dada por: 12√ 3 ? 12 2 = 72√ 3 H 72√ 3 cm2
e) Correta, pois:
AB AC = 12 12 √ 3 = √ 3 3
10. alternativa b
Como ABCD é um retângulo, o ângulo B ˆ C D mede 90°. Assim, como os ângulos destacados são congruentes entre si, a medida de cada um deles é dada por: 90° : 3 = 30°
Desse resultado, segue-se que:
AE AB = 2 3 h AE = 2 3 AB
Assim, a razão entre a área do triângulo AEC e o retângulo ABCD é dada por:
AE BC 2
AB BC = 2 3 AB BC 2 AB BC = 1 3 AB BC AB BC = 1 3
11. alternativa b
Como os ângulos destacados são congruentes e os triângulos EDF e BFE são triângulos retângulos, pelo caso AA estes triângulos são semelhantes. Assim, se a razão entre as áreas desses triângulos é 9 4 , a razão entre as medidas dos lados deles é dada por:
√ 9 4 = 3 2
Assim, podemos estabelecer as seguintes proporções:
DF 12 = 3 2 h DF = 18 12 EB = 3 2 h EB = 8
Segue-se que:
AB = CD = 18 + 8 = 26
Portanto, o perímetro do retângulo ABCD é dado por: 26 + 26 + 12 + 12 = 76 H 76 cm
12. alternativa a
A área de queimada corresponde à área do triângulo ABO subtraída da área de um setor circular de 10 km de raio, conforme ilustra a figura.
De acordo com as informações do enunciado, tem-se OA = 30 km, OB = 40 km e a = 360° : 12 = 30°. A medida da altura AC do triângulo é dada por: sen 30° = AC AO h 1 2 = AC 30 h AC = 15 H 15 cm
Assim, temos:
• Área do triângulo ABO: OB ? AC 2 = 40 ? 15 2 = 300 H 300 km2
• Área do setor circular:
Ângulo (em grau)
Área do setor circular (em km2)
360 p 102
30 x
360 30
13. alternativa e Área dos pisos:
3 0,25 1,0 = 0,75 H 0,75 m2
Área dos espelhos:
3 ? 0,20 ? 1,0 = 0,60 H 0,60 m2
Área das paredes laterais:
2 6 0,25 0,20 = 0,60 H 0,60 m2
Assim, a área a ser revestida de cerâmica é dada por: 0,75 + 0,60 + 0,60 = 1,95 H 1,95 m2
14. alternativa d Como a área do triângulo MBN é 1, BM = 1 2 AB e a altura desse triângulo corresponde à metade da altura h do trapézio ABCD, temos: 1 2 h 2 2 = 1 h h = 8
Assim, a área do trapézio ABCD é: (5 + 1) ? 8 2 = 24
15. alternativa c Representando a figura descrita no enunciado, temos: yb x h Bw k z
Como YW = ZK e ZW é lado dos triângulos YWZ e WZK, temos que esses triângulos são semelhantes e WK tem a mesma medida b da base menor do trapézio XYZW. Assim, segue-se que:
• A área do trapézio XYZW: (B +b) h 2
• Área do triângulo WZK: b h 2
• Área do triângulo XYZ: b h 2
• Área do triângulo XZK: (B +b) ? h 2
Portanto, a área do trapézio XYZW é igual à área do triângulo XZK.
16. alternativa a
É possível identificar 26 quadradinhos inteiros no interior da região e 61 necessários para cobrir toda a região. Logo, como cada quadradinho representa uma área de 0,162 km2, a área aproximada desse campus é: (26 + 61) 8 2 = 0,16 2 = 43,5 0,0256 = 1,1136 H 1,1136 km2
Portanto, a alternativa a é a correta.
Unidade 6 • Estatística: pesquisa e medidas de posição e de dispersão
1. a) x = 35 + 19 + 27 + 18 + 19 + 30 + 32 + 17 + 22 + 19 10 = 238 10 = 23,8
Mo = 19
Md = 19 + 22 2 = 41 2 = 20,5
b) x = 5,5 + 7,8 + 3,8 + 2,2 + 3,2 + 5,5 + 3,2 + 4,8 8 = 36 8 = 4,5
Mo = 5,5; Mo = 3,2
Md = 3,8 + 4,8 2 = 8, 6 2 = 4,3
c) x = 11 + 15 + 10 + 13 + 16 + 12 + 7 7 = 84 7 = 12
conjunto amodal
Md = 12
d) x = 25 + 12 + 48 +
Mo = 25; Mo = 33; Mo = 48
Md = 33
2. a) x = 99 + 129 + 122 +
11 =
12 =
Mo = 129 H 129 kWh; Mo = 155 H 155 kWh
Md = 138 + 139 2 = 277 2 = 138,5 H 138,5 kWh
b) junho, julho, agosto, setembro e novembro
= 139 H 139 kWh
c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes calculem a média, a moda e a mediana do consumo de energia elétrica de suas residências e apresentem estratégias para a redução do consumo de energia elétrica, como apagar as luzes de cômodos inutilizados, desligar aparelhos eletrônicos que não estão sendo utilizados, abrir janelas para a entrada de luz natural nos ambientes, entre outras.
3. a) Das mortes no trânsito brasileiro em 2022.
b) Analisando a tabela, temos que a maior quantidade de mortes no trânsito, no Brasil, em 2022, foi no 1o mês do 4o trimestre, ou seja, outubro. E a menor quantidade ocorreu no 2o mês do 1o trimestre, ou seja, fevereiro.
c) 1o trimestre: x = 2 532 + 2 489 + 2 640 3 = 7 661 3 1 2 554 H aproximadamente 2 554 mortes
2o trimestre: x = 2 641 + 2 812 + 2 712 3 = 8 165 3 1 2 722 H aproximadamente 2 722 mortes
3o trimestre: x = 3 043 + 2 844 + 2 857 3 = 8 744 3 1 2 915 H aproximadamente 2 915 mortes
4o trimestre: x = 3 076 + 2 605 + 2 805 3 = 8 486 3 1 2 829 H aproximadamente 2 829 mortes
d) x = 2 532 + 2 489 + 2 640 + 2 641 + 2 812 + 2 712 + 3 043 + 2 844 + 2 857 + 3 076 + 2 605 + 2 805 12 = 33 056 12 1 2 755 H H aproximadamente 2 755 mortes. Respostas possíveis: Calcular a média aritmética a partir da quantidade de mortes no trânsito em cada um dos 12 meses de 2022, apresentadas na tabela; calcular a média aritmética dos quatro resultados obtidos no item c, ou seja, das médias mensais da quantidade de mortes de cada trimestre de 2022.
4. a) Analisando o quadro, temos que o ingresso de maior preço é o do tipo inteiro do setor C, que custa R$ 200,00.
b) 80 + 70 + 130 + 20 = 300 H 300 ingressos
c) x = 40 80 + 20 70 + 100 130 + 200 20 300 = 21 600 300 = 72 H R$ 72,00
Mo = 100 H R$ 100,00
Md = 40 + 100 2 = 140 2 = 70 H R$ 70,00
5. Resposta pessoal. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes sejam capazes de elaborar um problema envolvendo o cálculo da mediana com os dados sobre a quantidade de mortes no trânsito brasileiro, em cada mês de 2022. Para isso, eles podem utilizar, por exemplo, os dados referentes ao ano todo ou a algum trimestre ou semestre daquele ano.
6. 3,7 ? 4,5 + x ? 5,5 4, 5 + 5,5 > 7 h 16, 65 + 5,5x 10 > 7 h 16,65 + 5,5x > 70 h 5,5x > 53,35 h x > 9,7
7. a) x = 155 + 198 + 60 + 126 + 24 + 61 + 17 + 32 + 22 + 205 + 257 + 82 12 = 1 239 12 = 103,25 H 103,25 mm conjunto amodal
Md = 61 + 82 2 = 143 2 = 71,5 H 71,5 mm
b) Analisando os dados no box-plot, temos que, em 50% dos meses, a precipitação acumulada foi de 26 mm até 187,25 mm, ou seja, em 6 meses.
c) Considerando que a, b e c correspondem, respectivamente, aos valores do limite superior, do 2o quartil e do limite inferior, temos que a = 257, b = 71,5 e c = 17.
8. a) x = 176 + 189 + 182 + 189 + 194 5 = 930 5 = 186 H 186 cm
Mo = 189 H 189 cm
Md = 189 H 189 cm
b) Valéria, pois ela é a única suplente que tem estatura maior que a de Clara (1,96 . 1,94).
c) x = 190 + 189 + 182 + 189 + 194 5 = 944 5 = 188,8 H 188,8 cm
Resposta esperada: A média aumentou para 188,8 cm, e a moda e a mediana não se alteraram.
d) x = 196 + 194 + 190 + 189 + 189 5 = 958 5 = 191,6 H 191,6 cm
9. a) R$ 6,19; autoposto G
b) x = 6,39 + 6,49 + 6,29 + 6,59 + 6,39 + 6,39 + 6,19 + 6,69 + 6,69 + 6,29 10 = 64,40 10 = 6,44 H R$ 6,44
Mo = 6,39 H R$ 6,39
Md = 6,39 + 6,39 2 = 12,78 2 = 6,39 H R$ 6,39
10. 15 + 25 2 = 20; 25 + 35 2 = 30; 35 + 45 2 = 40; 45 + 55 2 = 50; 55 + 65 2 = 60
x = 18 20 + 25 30 + 34 40 + 12 50 + 5 60 18 + 25 + 34 + 12 + 5 = 3 370 94 1 35,85 H aproximadamente 35,85 anos
Mo = 40 H 40 anos
Md = 40 + 40 2 = 80 2 = 40 H 40 anos
11. 14,100 + 12,900 + x 3 . 13,950 h 27, 000 + x 3 . 13,950 h 27, 000 + x . 41,850 h x . 14,850 H x = 14,851
12. x1 + x2 + x3 + x4 + 62 5 = 44 h x1 + x2 + x3 + x4 + 62 = 220 h x1 + x2 + x3 + x4 = 158
x = x1 + x2 + x3 + x4 + 24 5 = 158 + 24 5 = 182 5 = 36, 4 H 36,4 anos
13. a) Resposta pessoal. Espera-se que, pela análise dos gráficos, os estudantes tirem conclusões a respeito das massas ao final da campanha e argumentem sobre elas com base nos dados apresentados.
b) 40 + 50 2 = 45; 50 + 60 2 = 55; 60 + 70 2 = 65; 70 + 80 2 = 75; 80 + 90 2 = 85
• x = 5 45 + 10 55 + 7 65 + 3 75 + 5 85 30 = 1 880 30 1 62,67 H aproximadamente 62,67 kg
Mo = 55 H 55 kg
Md = 55 + 65 2 = 120 2 = 60 H 60 kg
• x = 3 ? 35 + 7 ? 45 + 10 ? 55 + 5 ? 65 + 4 ? 75 + 1 ? 85 30 = 1 680 30 = 56 H 56 kg
Mo = 55 H 55 kg
Md = 55 + 55 2 = 110 2 = 55 H 55 kg
c) Resposta esperada: É possível estimar que a média e a mediana diminuíram, enquanto a moda se manteve.
14. a)
⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 5s + 8,5p + 10t = 76,5 7s + 9,5p + 3,8t = 72,0 10s + 4p + 9,6t = 75,0
538,2t = 1 345,5 h t = 2,5
12p + 51 ? 2,5 = 175,5 h 12p + 127,5 = 175,5 h 12p = 48 h p = 4
5s + 8,5 4 + 10 2,5 = 76,5 h 5s + 59 = 76,5 h 5s = 17,5 h s = 3,5
b) x = 10 ? 3,5 + 5 ? 4 + 7 ? 2,5 10 = 72, 5 10 = 7,25
15. 30 + 25 + 25 + 35 + 25 + 25 + 20 + 35 + 25 + 25 + 15 + 15 12 = 300 12 = 25 H 25 mortes
16. alternativa c
60 = 20 46 + 10 60 + 30 50 + 40 x 20 + 10 + 30 + 40 h x = 74, 5
17. a) x = 130,16 60 + 195,23 25 + 880,41 10 95 = 21 494,45 95 1 226,26 H aproximadamente R$ 226,26
b) Tipo I: 60 (1 + 0,20) = 60 + 1,2 = 72 H 60 km/h , x < 72 km/h
Valor médio: 60 + 72 2 = 132 2 = 66 H 66 km/h
Tipo II: 60 (1 + 0,50) = 60 + 1,5 = 90 H 72 km/h , x < 90 km/h
Valor médio: 72 + 90 2 = 162 2 = 81 H 81 km/h
Tipo III: 60 ? (1 + 0,70) = 60 + 1,7 = 102 H 90 km/h , x < 102 km/h
Valor médio: 90 + 102 2 = 192 2 = 96 H 96 km/h
x = 66 60 + 81 25 + 96 10 95 = 6 945 95 1 73,11 H aproximadamente 73,11 km/h
Mo = 66 H 66 km/h
Md = 66 H 66 km/h
18. a) x = 10,75 + 6,00 + 9,50 + 11,00 + 5,25 + 7,00 + 10,50 + 8,00 8 = 68, 00 8 = 8,50 H R$ 8,50
Md = 8,00 + 9,50 2 = 17, 50 2 = 8,75 H R$ 8,75
b) 10,75 + 6,00 + 9,50 + 11,00 + 5,25 + 7,00 + 10,50 + 8,00 + 2x 10 = 8,45 h 68,00 + 2x = 84,50 h 2x = 16,50 h
h x = 8,25 H R$ 8,25
19. Resposta pessoal. Atividade de elaboração do estudante. É importante verificar se, na situação-problema elaborada com o contexto dos casos de dengue na região, os estudantes abordam adequadamente os conceitos de média, moda e mediana e se determinam essas medidas na situação-problema proposta pelo colega.
20. a) x = 3 + 5 + 3 + 7 + 6 + 9 6 = 33 6 = 5,5 H 5,5 kg
Mo = 3 H 3 kg
Md = 5 + 6 2 = 11 2 = 5,5 H 5,5 kg
a = 9 3 = 6 H 6 kg
v = (5 5,5) 2 + 2 (3 5,5) 2 + (7 5,5) 2 + (6 5,5) 2 + (9 5,5) 2 6 = 27, 5 6 1 4,58
d = √ 4,58 1 2,14 H aproximadamente 2,14 kg
b) x = 12 + 9 + 5 + 6 + 7 5 = 39 5 = 7,8 H 7,8 cm
conjunto amodal
Md = 7 H 7 cm
a = 12 5 = 7 H 7 cm
v = (12 7,8)
d = √ 6,16 1 2,48 H aproximadamente 2,48 cm
c) x = 4,1 + 8,6 + 4,1 + 8 + 7,2 + 10 6 = 42 6 = 7 H 7 L
Mo = 4,1 H 4,1 L
Md = 7,2 + 8 2 = 15, 2 2 = 7,6 H 7,6 L
a = 10 4,1 = 5,9 H 5,9 L
v = 2 (4,1 7) 2 + (8,6 7) 2 + (10 7) 2 + (8 7) 2 + (7,2 7) 2 6 = 29, 42 6 1 4,9
d = √ 4,9 1 2,2 H aproximadamente 2,2 L
21. Resposta pessoal. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes sejam capazes de elaborar e resolver problemas com medidas de dispersão, utilizando corretamente a interpretação de cada medida de dispersão no contexto apresentado. Se necessário, retomar o estudo da atividade resolvida R5.
22. A: x = 7 + 6 + 8 + 9 + 10 5 = 40 5 = 8 H 8 pontos
v = (7 8) 2 + (6 8) 2 + (8 8) 2 + (9 8) 2 + (10 8) 2 5 = 10 5 = 2
d = √ 2 1 1,41 H aproximadamente 1,41 pontos
B: x = 10 + 10 + 6 + 7 + 7 5 = 40 5 = 8 H 8 pontos
v = 2 ? (10 8) 2 + (6 8) 2 + 2 ? (7 8) 2 5 = 14 5 = 2,8
d = √ 2,8 1 1,67 H aproximadamente 1,67 pontos
C: x = 8 + 8 + 7 + 10 + 9 5 = 42 5 = 8,4 H 8,4 pontos
1o colocado: competidor C; 2o colocado: competidor A; 3o colocado: competidor B
23. alternativa e IV e V são falsas. Um contraexemplo para ambos os itens é um conjunto em que todos os elementos são iguais, como: 3, 3, 3.
24. alternativa a
A: x = 6 + 6 + 6 3 = 18 3 = 6 H 6 pontos, v = (6 6) 2 + (6 6) 2 + (6 6) 2 3 = 0 3 = 0
B: x = 7 + 3 + 8 3 = 18 3 = 6 H 6 pontos, v = (7 6) 2 + (3 6) 2 + (8 6) 2 3 = 14 3 1 4,67
C: x = 5 + 7 + 6 3 = 18 3 = 6 H 6 pontos, v = (5 6) 2 + (7 6) 2 + (6 6) 2 3 = 2 3 1 0,67
D: x = 4 + 6 + 8 3 = 18 3 = 6 H 6 pontos, v = (4 6) 2 + (6 6) 2 + (8 6) 2 3 = 8 3 1 2,67
E: x = 5 + 8 + 5 3 = 18 3 = 6 H 6 pontos, v = (5 6) 2 + (8 6) 2 + (5 6) 2 3 = 6 3 = 2,0
Classificação: A, C, E, D e B
25. a) A: x = 2 + 3 + 3 + 6 + 7 5 = 21 5 = 4,2 H 4,2 dias
v = (2 4,2) 2 + 2 (3 4,2) 2 + (6 4,2) 2 + (7 4,2) 2 5 = 18, 8 5 = 3,76
d = √ 3,76 1 1,94 H aproximadamente 1,94 dias
B: x = 5 + 2 + 3 + 1 + 1 5 = 12 5 = 2,4 H 2,4 dias
v = (5 2,4) 2 + 2 (1 2,4) 2 + (3 2,4) 2 + (2 2,4) 2 5 = 11,2 5 = 2,24
d = √ 2, 24 1 1,50 H aproximadamente 1,50 dias
C: x = 2 + 3 + 1 + 5 + 3 5 = 14 5 = 2,8 H 2,8 dias
v = (2 2,8) 2 + 2 ? (3 2,8) 2 + (1 2,8) 2 + (5 2,8) 2 5 = 8,8 5 = 1,76
d = √ 1,76 1 1,33 H aproximadamente 1,33 dias
empresa A: boa; empresa B: ótima; empresa C: ótima b) Algumas respostas possíveis: 4, 10, 6, 3 e 12 dias; 2, 8, 9, 5 e 11 dias.
x = 4 + 10 + 6 + 3 + 12 5 = 35 5 = 7 H 7 dias
v = (4 7) 2 + (10 7) 2 + (3 7) 2 + (6 7) 2 + (12 7) 2 5 = 60 5 = 12
d = √ 12 1 3,46 H aproximadamente 3,46 dias
5 = 10
d = √ 10 1 3,16 H aproximadamente 3,16 dias
c) Respostas pessoais. Os estudantes podem indicar, por exemplo, sites governamentais, como o disponível em https://www. consumidor.gov.br/ (acesso em: 18 set. 2024), e, nele, consultar a classificação de alguma empresa em relação à sua reputação
26. R esposta pessoal. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se que os estudantes, a partir dos dados do gráfico sobre a violação dos direitos humanos, elaborem um problema envolvendo medidas de posição e de dispersão. Esta atividade oferece uma oportunidade de verificar se os estudantes conseguem diferenciar tais medidas, bem como interpretá-las e utilizá-las corretamente em determinado contexto.
27. a) De acordo com os conceitos de pesquisa censitária e pesquisa amostral apresentados, temos: pesq uisa censitária: II ; pesquisa amostral: I, III e IV
b) De acordo com os conceitos dos tipos de pesquisa amostral apresentados, temos: I : estratificada; III : casual simples; IV : sistemática.
28. a) Resposta esperada: Conhecer as áreas de interesse dos estudantes do Ensino Médio e, com base nos resultados obtidos, promover ações complementares específicas a fim de auxiliá-los na escolha profissional.
b) De acordo com o gráfico de colunas duplas apresentado na página 279, temos que foram entrevistados 31 estudantes do sexo masculino (13 + 8 + 9 + 1 = 31) e 29 estudantes do sexo feminino (7 + 11 + 10 + 1 = 29). Assim, foram entrevistados mais estudantes do sexo masculino.
c) Artes e comunicação: 1 + 4 + 2 = 7 H 7 , 8,57
Atividades burocráticas: 1 + 1 + 3 = 5 H 5 , 8,57
Ciências agrárias e ambientais: 3 + 2 + 2 = 7 H 7 , 8,57
Ciências exatas: 6 + 5 + 3 = 14 H 14 . 8,57
Ciências biológicas e da saúde: 6 + 4 + 3 = 13 H 13 . 8,57
Ciências humanas e sociais aplicadas: 2 + 5 + 4 = 11 H H 11 . 8,57
Entretenimento: 2 + 1 + 0 = 3 H 3 , 8,57
ciências exatas, ciências biológicas e da saúde, ciências humanas e sociais aplicadas
d) Resposta esperada: Amostral, pois na escola estavam matriculados estudantes em grande quantidade no Ensino Médio.
e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes comentem como outras técnicas de amostragem poderiam ser utilizadas para a pesquisa. Por exemplo, em relação à amostragem casual simples, os estudantes poderiam ser sorteados de maneira aleatória, independentemente do ano escolar em que estão matriculados.
f) ação I
29. a) Resposta esperada: Verificar uma possível relação entre as mortes por diarreia e gastroenterite em pessoas menores de 5 anos e a falta de acesso da população à rede de água tratada no Brasil, em 2022.
b) Os dados foram obtidos em sites governamentais, vinculados ao Ministério da Saúde e ao Ministério das Cidades.
c) De acordo com o gráfico de barras, Região Norte e Região Centro-Oeste.
d) De acordo com o gráfico de colunas, Região Norte e Região Nordeste.
e) Uma resposta possível: Possivelmente sim, pois, nas regiões em que há maior falta de atendimento à rede de água tratada
à população, ocorre uma proporção maior de óbitos de crianças com menos de 5 anos por diarreia e gastroenterite. No entanto, para embasar melhor essa pesquisa, uma sugestão é investigar outras possíveis causas para a incidência dessas doenças, como a falta de acesso à rede de tratamento de esgoto e de acesso ao atendimento médico para a população.
f) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem doenças causadas pela falta de saneamento básico e, com base nos dados obtidos, proponham ideias e ações que possam ser convertidas em políticas públicas para mitigar e erradicar tais problemas, principalmente nas regiões mais afetadas.
30. a) Resposta esperada: I) A inadequação pode ocorrer em razão de a amostra contemplar apenas estudantes que se sentavam na primeira carteira das fileiras, de onde, supostamente, pode-se naturalmente enxergar melhor a lousa do que em carteiras mais distantes dela. II) A inadequação pode ocorrer por não fazerem parte da amostra funcionários dos turnos T2 e T3, turnos em que, por causa do horário de funcionamento, ocorre menor incidência de iluminação natural.
b) Uma r esposta possível: I) Para a elaboração da amostra dessa pesquisa, poderia ser utilizada a técnica de amostra casual simples, de maneira que, por sorteio, fossem selecionados alguns estudantes da turma ao acaso. II) Para a elaboração da amostra dessa pesquisa, poderia ser utilizada a técnica de amostra estratificada, de maneira que, de cada turno, fosse sorteada a mesma quantidade de funcionários.
31. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes, em grupos, realizem a pesquisa estatística com base nas etapas indicadas. Na realização da atividade, verificar se os estudantes são assertivos na escolha do tema, na elaboração do questionário e na definição da amostra. Ao final da produção, é possível propor um debate acerca das escolhas dos grupos e oportunizar que argumentem sobre elas, utilizando conceitos estudados na Unidade.
1. Resposta pessoal. Os estudantes podem responder que devem ser considerados aspectos como afinidade com a área, remuneração e perspectiva de vagas no mercado de trabalho.
2. Respostas pessoais. As respostas dependem da profissão escolhida pelos estudantes.
3. É necessário ter idade entre 14 anos e 24 anos incompletos e estar cursando, ou ter concluído, o Ensino Fundamental ou o Ensino Médio e procurar instituições ou sites para realizar a integração entre a empresa e o jovem.
4. a) 2022. Ministério do Trabalho e Emprego.
b) Respostas pessoais. É importante incentivar os estudantes a responder com base em argumentos sólidos, como dados a respeito do desemprego no Brasil.
c) 642 500 = 142
Havia cerca de 142 mil jovens estagiários a mais do que aprendizes.
d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes indiquem o tipo de gráfico, ou medida, mais adequado de acordo com a natureza dos dados e os objetivos delimitados. A socialização desta atividade com a turma pode ser um instrumento de revisão e avaliação dos conceitos estudados na Unidade.
5. a) Respostas pessoais. As respostas dependem das experiências pessoais dos estudantes.
b) Resposta pessoal. As respostas dependem da região do Brasil em que os estudantes moram.
c) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes realizem uma pesquisa sobre a temática e a apresentem utilizando as medidas de posição e de dispersão estudadas para fazer inferências sobre os dados coletados. É importante que, nessa etapa, sejam avaliados desde a preparação e as tomadas de decisões acerca da pesquisa até a apresentação final.
que estudei
1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. Respostas pessoais.
4. a) Resposta pessoal.
b) A pesquisa foi amostral. Resposta esperada: Porque a população-alvo era muito grande, de maneira que entrevistar todas as crianças e adolescentes de 9 a 17 anos residentes no Brasil poderia implicar diversas dificuldades, como tempo e custo.
c) Mais de uma vez por dia: 972 048 + 816 316 + 1 349 506 + 1 589 624 = 4 727 494
Pelo menos uma vez por mês: 43 985 + 38 260 + 39 400 + 14 503 = 136 148
d) 9 + 10 2 = 9,5; 11 + 12 2 = 11,5; 13 + 14 2 = 13,5; 15 + 17 2 = 16,0
9 a 10 anos: 972 048 + 261 001 + 147 872 + 71 609 + 43 985 = 1 496 515
11 a 12 anos: 816 316 + 957 089 + 133 800 + 72 136 + 38 260 = 2 017 601
13 a 14 anos: 1 349 506 + 261 252 + 78 719 + 17 287 + 39 400 = 1 746 164
15 a 17 anos: 1 589 624 + 273 238 + 73 087 + 36 470 + 14 503 = 1 986 912
x = 9,5 1 496 515 + 11,5 2 017 601 + 13,5 1 746 164 + 16 1 986 912 7 247 192 = 92 783 110 7 247 192 1 12,80 H
H aproximadamente 12,80 anos
Como a idade mais frequente das crianças e adolescentes considerados na tabela está na faixa etária de 11 a 12 anos, temos: Mo = 11 + 12 2 = 11,5 H 11,5 anos
Como ao todo são considerados 7 247 192 crianças e adolescentes na tabela, a mediana das idades é dada pelo ponto médio da faixa etária de 13 a 14, ou seja: Md = 13 + 14 2 = 13,5 H 13,5 anos.
e) Considerando o cálculo do item c, há 1 986 912 adolescentes de 15 a 17 anos nesta pesquisa. Destes, 1 589 624 usam mais de uma vez por dia. Portanto, temos: 1 589 624 1 986 912 1 0,80 H aproximadamente 80%.
f) • estudante com 16 anos: a = 6,5 3 = 3,5 H 3,5 h estudante com 17 anos: a = 5,0 2,5 = 2,5 H 2,5 h
• estudante com 16 anos: x = 3,5 + 3 + 3,5 + 4,5 + 4,5 + 6 + 6,5 7 =
estudante com 17 anos: x = 2,5 + 3,5 + 3,5 + 2,5 + 3 + 5 + 4,5 7 =
• estudante com 16 anos: v = 2 (3,5 4,5) 2 + 2 (4,5 4,5) 2 + (3 4,5)
H 4,5 h
= 3,5 H 3,5 h
estudante com 17 anos: v = 2 ? (3,5 _ 3,5) 2 + 2 ? (2,5 3,5) 2 + (3 3,5) 2 + (5
• aluno com 16 anos: d = √ 1,5 1 1,22 H 1,22 h aluno com 17 anos: d = √ 0,79 1 0,89 H 0,89 h
e) Resposta esperada: Amostra estratificada.
Praticando: Enem e vestibulares
1. alternativa c ano II para o ano I: 4,2 2,2 = 2 ano III para o ano II: 7,4 4,2 = 3,2 ano IV para o ano III: 3,2 + 2 + 3, 2 2 = 3,2 + 2,6 = 5,8
7,4 + 5,8 = 13,2
2. alternativa a
x = 5 3 + 4 7 + 3 21 + 2 28 + 1 23 + 0 18 3 + 7 + 21 + 28 + 23 + 18 = 185 100 = 1, 85 v = 3 (5 1, 85) 2 + 7 (4 1, 85) 2 + 21 (3 1,
= 168,75 100 1 1,7
dp = √ 1, 7 1 1,3
3. alternativa e
3 000 m2 = 30 000 10 000 ha = 3 ha
90 kg = 90 60 sacas = 1,5 saca 1,5 saca 3 ha = 0,5 saca / ha v = (0,5)2 = 0,25 h 0,25 (saca/hectare)2
4. alternativa e 6
5. alternativa c 1 H + 1 H = 1 x + 1 y h 2 H = y + x xy h 2xy = H(y + x ) h H
6. alternativa b
49
+ 48
+
7. alternativa a
MdAna = 8,9 + 9,3 2 = 9,1; Md João = 8,9 + 9,3 2 = 9,1
8. alternativa e
média: 10 1 + 10 2 + 55 3 + 25 4 + 50 6 + 10 7 160 =
moda: 3 H 3 viagens
mediana: 4 + 4 2 = 4 H 4 viagens
Portanto, moda , mediana , média.
9. alternativa c
x = 64 + 57 + 62 3 = 183 3 = 61
Segue-se que:
64 61 = 3
57 61 = 4
62 61 = 1
Variância:
32 + ( 4)2 + 12 3 = 26 3 1 8,67
Desvio padrão: √ 8,67
10. alternativa e
Me : 8 ? 14 + 7 ? 15 + 6 ? 16 + 9 ? 17 30 = 466
Mo: 17 H 17 anos
Md: 15+16 2 = 15,5 H 15,5 anos
Portanto, Md , Me , Mo
11. a) 2,28 9,5 = 0,24
Patologia benigna b) 0,40 160 = 64
x = 64 10 + 96 8 160 = 1 408 160 = 8,8 ng/mL
12. alternativa c Me = 13% + 13% 2 = 13% Mo = 13%
13. alternativa b
3, 5 3
2 < 3,5 , 4
14. alternativa c
x = 100 + 88 + 112 + 94 + 106 5 h x =
2 + (88
d = √ 72 1 8,5
1 4,16 H aproximadamente 4,16 viagens