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Matemática

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Realidade & Tecnologia

JOAMIR ROBERTO DE SOUZA Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela UEL-PR. Mestre em Matemática pela UEL-PR. Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.

MANUAL DO PROFESSOR

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

1˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editor de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes Ana Cláudia Barreto, André Lima Rodrigues, Flávia Milão Silva, Francisco Mariani Casadore, Viviane Mendes Gonçalves Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Alves Ferreira Carolina Alves Ferreira Ventura/Shutterstock.com Isabel Cristina Ferreira Corandin Eduardo Benetorio Vanessa Novais, Dayane Santiago, Débora Jóia, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin, Nadir Fernandes Rachetti Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Bentinho, Roberto Zoellner Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Souza, Joamir Roberto de Matemática realidade & tecnologia : 7o ano : ensino fundamental : anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2018. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-96-01994-1 (aluno) ISBN 978-85-96-01995-8 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-20860

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental

372.7

Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

EDITORA FTD. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br central.relacionamento@ftd.com.br

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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APRESENTAÇÃO Caro Professor, As mudanças que vêm ocorrendo no mundo têm causado significativo impacto sobre as sociedades. As novas tecnologias da informação e comunicação, por exemplo, produziram profundas mudanças nas relações interpessoais e na democratização da informação. A internet, os programas de computador e aplicativos de smartphones e tablets tornaram possível o acesso a conhecimentos que, até pouco tempo atrás, eram restritos a determinados grupos de estudiosos. Todas essas mudanças afetaram diretamente a educação, sobretudo na sala de aula. Esta coleção foi elaborada considerando esse ambiente em transformação, nos aspectos social, tecnológico e cultural. Acreditamos que o estudo da Matemática é de fundamental importância na formação de cidadãos aptos a viver em sociedade, fazendo valer seus direitos e deveres individuais e coletivos. Modelos de práticas de aula mais atuais, que buscam considerar os alunos e os professores como protagonistas do processo de ensino-aprendizagem, têm sido cada vez mais adotados. Nesse sentido, estudos em Educação matemática têm produzido um amplo e variado repertório de concepções, ideias e teorias que buscam promover o ensino da Matemática. Neste Manual do professor, procuramos incluir elementos que compõem essa produção acadêmica, como textos sobre tendências em Educação matemática e avaliação. Outro fator relevante nesse ambiente educacional em mudança é a implementação da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Considerando também que o livro do aluno exige complementos que potencializem as aulas, propusemos aqui recursos importantes, como comentários específicos, que ampliam as discussões sobre conceitos em estudo, complementam as atividades propostas e indicam elementos externos ao livro didático, como sites e vídeos, entre outros recursos. Com isso, esperamos que a efetivação do uso dos livros da coleção em sala de aula seja a mais completa possível, valorizando o trabalho docente e estimulando a participação e o comprometimento dos alunos. O autor.

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SUMÁRIO Conhecendo a coleção ......................................................... V Material impresso .......................................................... V Material digital .......................................................... XIII

A Base Nacional Comum Curricular ...................................XIV A BNCC e os currículos................................................. XVI A área de Matemática ................................................ XVII A BNCC e a coleção ...................................................XXXI

Fundamentos teóricos e metodológicos da coleção ...... XXXV O livro didático de Matemática ................................. XXXV Proposta didático-pedagógica .................................. XXXVI Algumas tendências em Educação matemática........... XXXIX O papel do professor .................................................XLIV Orientações para avaliação ............................................. LI

Sugestões de leitura e de acesso à (in)formação do professor................................................LVIII Material de estudo para a formação continuada do professor ............................................ LVIII Revistas ......................................................................LIX Sites ............................................................................LX Livros .........................................................................LXI

Bibliografia consultada ................................................... LXIV Orientações específicas para o Volume 7 Unidade 1 ....................................................................12 Unidade 2 ....................................................................38 Unidade 3 ....................................................................64 Unidade 4 ..................................................................100 Unidade 5 ..................................................................138 Unidade 6 ..................................................................162 Unidade 7 ..................................................................200 Unidade 8 ..................................................................226 Resoluções................................................................. 273 Material de Apoio ...................................................... 299

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CONHECENDO A COLEÇÃO MATERIAL IMPRESSO MANUAL DO PROFESSOR Esta coleção é composta de quatro livros de Matemática destinados aos anos finais do Ensino Fundamental. Em cada volume estão presentes as Orientações gerais, comuns aos quatro livros da coleção, e as Orientações específicas. As Orientações gerais apresentam os pressupostos teórico-metodológicos que fundamentam a coleção, bem como reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática, além de discussões sobre tendências em Educação matemática. A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um dos documentos que nortearam as reflexões e a elaboração da obra. Nas Orientações específicas, o manual é organizado em formato de U. Nesse formato, o livro do aluno, com as respostas das atividades, é apresentado em tamanho reduzido, enquanto nas laterais e na parte inferior das páginas há comentários e orientações didáticas correspondentes às atividades propostas e aos conteúdos disponíveis nas páginas do livro do aluno. Nessa parte do manual, as orientações para o professor foram estruturadas como indicamos a seguir.

UNIDADES TEMÁTICAS São apresentadas as unidades temáticas da BNCC trabalhadas na Unidade.

UNIDADES TEMÁTICAS

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• Números. • Álgebra. • Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO

OBJETOS DE CONHECIMENTO São listados os objetos de conhecimento da BNCC abordados na Unidade.

• Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples. • Linguagem algébrica: variável e incógnita. • Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. • Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem. • Simetrias de translação, rotação e reflexão. HABILIDADES

HABILIDADES São explicitados os códigos das habilidades da BNCC desenvolvidas no estudo da Unidade.

COMPETÊNCIAS São destacadas as competências gerais e as competências específicas de Matemática da BNCC para as quais é dada maior ênfase no desenvolvimento da Unidade.

• • • • •

EF07MA02 EF07MA13 EF07MA17 EF07MA20 EF07MA21

COMPETÊNCIAS GERAIS 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Algumas respostas possíveis: Navegação; ações militares; pesquisa de trajetos; estimativa do tempo de deslocamento de um ponto a outro; verificar o trânsito em tempo real das vias.

PROPORCIONALIDADE E SIMETRIA

Cartografia Talvez você não repare, mas provavelmente estão presentes em seu dia a dia diferentes recursos cartográficos, como mapas, plantas e croquis. Você já parou para pensar em como surgiram recursos como esses? Povos primitivos já faziam registros com desenhos em cavernas para representar a região onde viviam, mesmo antes do desenvolvimento da escrita. Na história da humanidade, os mapas foram importantes instrumentos para diversas áreas, como a navegação e as ações militares. Ao longo do tempo, esses recursos cartográficos foram sendo aperfeiçoados à medida que novos conhecimentos se desenvolviam, como o estabelecimento de unidades de medida padronizadas e a criação de ferramentas mais precisas de medição e desenho. Atualmente, são muito comuns as plantas cartográficas digitais, que podem ser produzidas e acessadas em um computador ou smartphone. Nelas, além da simples consulta da posição em uma região, são possíveis diversas interações, como estudar diferentes trajetos e estimar o tempo de deslocamento de um ponto a outro. Seja qual for o tipo de recurso que consultamos, é importante sempre ficarmos atentos a alguns de seus elementos, como a escala e a legenda, para podermos compreender melhor as informações apresentadas nele.

Respostas pessoais.

ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à

própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver

V C so

Em

Pla

Trajeto do Aeroporto Internacion o Museu da Cidade do Recife, em

Este recurso possibilita ver imagens de satélite, incluindo municípios e paisagens.

Fonte dos dados: GOOGLE MAPS. Dispo Acesso em: 17 ago. 2018.

problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

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V

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C p

Res e as

Aqui digitamos os endereços ou locais para pesquisar o trajeto.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS São apresentadas orientações sobre os conteúdos propostos, bem como formas de articular a abordagem desses conteúdos ao desenvolvimento das habilidades de Matemática da BNCC. São propostas questões problematizadoras, sugestões de ampliação de algumas atividades, além de encaminhamentos que podem auxiliar o professor a esclarecer dúvidas e planejar estratégias de ensino.

NO AUDIOVISUAL Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção. qualidade de vida das pessoas. Deve estar presente nos espaços, no meio físico, no transporte, na informação e comunicação, inclusive nos sistemas e tecnologias da informação e comunicação, bem como em outros serviços e instalações abertos ao público ou de uso público, tanto na cidade como no campo. [...]

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

GURAS OMÉTRICAS ANAS

O que as leis e normas de acessibilidade buscam garantir? Você conhece outras leis e normas de acessibilidade? Em sua opinião, por que a inclinação da rampa de acesso não pode ultrapassar o limite máximo estabelecido? Você costuma observar rampas de acesso nos locais por onde passa, perto da escola ou de sua residência? Comente. Resposta pessoal.

Resposta pessoal.

SECRETARIA ESPECIAL DOS DIREITOS DA PESSOA COM DEFICIÊNCIA. Acessibilidade. Disponível em: <www.pessoacomdeficiencia.gov.br/ Muitas pessoas gostam de passear de bicicleta. Algumas, no entanto, utilizam suas app/acessibilidade-0>. Acesso em: 12 set. 2018. bicicletas para praticar esportes.

Há rampas que são construídas para vencer desníveis e, como são extensas, devem ter áreas para descanso.

Triângulos

é direito de todo cidadão? Esse direito garante às egura e independente. mplo, pode impedir o deslocamento de pessoas a, assim como alguém empurrando um carrinho e busca garantir a melhoria da qualidade de vida das são regulamentadas por leis ou normas para o público ou privado. ns padrões que são estabelecidos, como a largura tanto, temos de ficar atentos, buscando sempre veis situações em que o direito de ir e vir não está

Condição de existência de um triângulo A professora de Matemática de Antônio propôs aos alunos que tentassem representar contorno de triângulos com canudos de diferentes comprimentos e barbantes. Observe as tentativas de Antônio.

Ciclismo BMX.

A largura livre mínima recomendável para as rampas é de 120 cm.

NERTHUZ/ISTOCK/ GETTY IMAGES

As rampas devem possuir pisos antiderrapantes, firmes e nivelados.

Ciclismo de pista. É estabelecido por norma (NBR 9050) que as rampas de acesso tenham uma inclinação máxima, que não pode ser superior a 4º.

IAMLUKYEEE / SHUTTERSTOCK.COM

2 cm

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Nesta abertura de Unidade, que aborda um dos aspectos da acessibilidade, o direito de ir e vir, foram apresentadas informações técnicas a respeito das rampas de acesso, o que

6 cm

6 cm

10 cm

Ciclismo MTB.

4 cm

2 cm 8 cm

A e D. B e C. A: 8 cm + 6 cm = 14 cm . 10 cm; B: 6 cm + 2 cm = 8 cm , 10 cm; C: 4 cm + 2 cm = 6 cm , 8 cm; D: 6 cm + 4 cm = 10 cm . 8 cm.

Note que Antônio conseguiu representar contorno de triângulos apenas nas tentativas em que o comprimento do maior canudo era menor que a soma dos comprimentos dos dois outros canudos.

no trânsito.

Explorar sequências Veja65 no material audiovisual o• vídeo sobreasestruturas triangulares na construção civil.

didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF07MA05, EF07MA06, Verificando a rigidez de um triângulo 11/1/18 11:44 AM EF07MA07, EF07MA08,utilizando canudos e Podemos, perceber do triângulo propicia uma abordagem rela- experimentalmente, urgência social que precisa ser a rigidez EF07MA09, EF07MA10, pedaços Observe. debatido na escola, inclusive cionada à competência geral de barbante. EF07MA11, EF07MA12, 10 e à competência específi- nas aulas de Matemática. EF07MA22, EF07MA23, Veja no trecho a seguir uma ca 7 de Matemática da BNCC. EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, Aproveitar esse contexto e pro- definição formal do que se enEF07MA28 e EF07MA33. mover uma roda de conversa tende por acessibilidade. • Acessar a proposta de com os alunos sobre a inclusão Acessibilidade é um atriacompanhamento da de pessoas com deficiência, buto essencial do ambiente aprendizagem. visto que esse é um tema de que garante a melhoria da 80

Ao realizarmos esse experimento, na tentativa de representar estruturas que lembram o contorno de outros polígonos, não conseguimos estruturas rígidas. Observe, por exemplo, a representação do contorno do quadrado.

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NO DIGITAL Indicação de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências didáticas e propostas de acompanhamento da aprendizagem que podem ser encontrados no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enriquecer a prática pedagógica.

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AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem esse site para, de maneira prática, verificarem as condições de existência de um triângulo com base nas medidas de seus lados. • GEOGEBRA. Condição de existência. Disponível em: <https://livro,pro/geo01a>. Acesso em: 27 set. 2018

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Uma maneira de conduzir a aula sobre a condição de existência de um triângulo é solicitar aos alunos que realizem na prática o experimento com canudos e barbantes proposto nesta página, antes de apresentá-la a eles. Para isso, orientar os alunos de maneira parecida à indicada nos comen-

tários relacionados ao boxe Fique ligado destas páginas. Uma das diferenças é que nesse caso é necessário determinar a medida de cada parte do canudo que poderá constituir a estrutura de um triângulo. Verificar se eles perceberam que os canudos representam os lados dos triângulos.

Verificar a possibilidade de trabalhar com as construções apresentadas no boxe Fique ligado de maneira prática. Nesse caso, providenciar com antecedência ou solicitar aos alunos que levem para a sala de aula os seguintes materiais: canudos, barbante e tesoura com pontas arredondadas. Para a construção da estrutura com o formato de um triângulo, solicitar-lhes que passem um pedaço de barbante por dentro de três canudos de mesmo comprimento, por exemplo, de maneira que sobre barbante em ambas as extremidades. Em seguida, amarrem bem firme as extremidades sem dobrar os canudos. A construção da estrutura com o formato de quadrado pode ser realizada de maneira análoga à da construção da estrutura triangular; para isso, utilizar quatro canudos de mesmo comprimento. NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre estruturas triangulares na construção civil. Nesse vídeo aborda-se a rigidez do triângulo e sua aplicação em construções de prédios, pontes etc.

A construção de um triângulo é possível apenas quando a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Essa é a condição de existência de um triângulo.

RODRIGO/YANCOM

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8 cm 6 cm 4 cm

10 cm 6 cm

Em quais tentativas Antônio conseguiu representar o contorno de um triângulo? E em quais ele não conseguiu? Para cada tentativa, calcule a soma dos comprimentos dos dois canudos menores e compare com o comprimento do canudo maior.

RODRIGO/YANCOM

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D

10 cm

B

• Ver o plano de desenvolviEssa característica está relacionada à chamada rigidez do triângulo, ou seja, à sua mento para as Unidades 3 e 4. propriedade de não se deformar, o que não ocorre com outros polígonos. A rigidez do • Desenvolver o projeto integrador sobrecomo a segurança diversas outras estruturas, a de pontes e telhados. fique ligado

2 cm

6 cm 8 cm

Acesse este site para obter mais informações sobre as modalidades do ciclismo.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Educação. Manual de acessibilidade espacial para escolas: o direito à escola acessível! Disponível em: <www.mp.go.gov.br/portalweb/hp/41/docs/manual_escolas_-_deficientes.pdf.pdf>. Acessoéem: 4 abr. 2018. triângulo também utilizada em

Veja no material audiovisual o vídeo sobre construção de triângulos.

8 cm 4 cm 2 cm 4 cm

8 cm

• COB. Esportes. Disponível em: <http://livro.pro/siagxj>. Acesso em: 3 out. 2018. NO DIGITAL – 2O bimestre

É importante que a calçada rebaixada esteja junto da faixa de pedestres.

C 10 cm 8 cm 6 cm

WANDSON ROCHA

Toda rampa deve possuir corrimão de duas alturas em cada lado.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem estes sites para obCiclismo de estrada. ter mais informações sobre o tema acessibilidade. • INSTITUTO PARADIGMA. Acessibilidade no Espaço Escolar. Disponível em: < h t t p : / / l i v ro . p ro / j f v r t s > . Acesso em: 12 set. 2018.

A

STOCKPHOTO-GRAF/ SHUTTERSTOCK.COM

GILANG PRIHARDONO / SHUTTERSTOCK.COM

Para o segundo item proNos Jogos Olímpicos, por exemplo, quatro modalidades preveem o uso de bicicleta: posto, há diferentes possibiliciclismo BMX, ciclismo de estrada, ciclismo dedades pista de e ciclismo respostaMTB. como:Nessas por- modalidades, as bicicletas possuem diferenças, que buscam às necessidades queatender é necessário garantir a se- específicas da gurança dos porque modalidade, como velocidade, manobras e resistência. Essasusuários; bicicletas, contudo, costumam pode dificultar o trajeto de suter algo em comum: composições triangulares em sua estrutura. Observe. bida ou descida; porque pode causar constrangimentos e até IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. acidentes graves.

LUCAS FARAUJ

Resposta esperada: A melhoria da qualidade de vida das pessoas, como o direito de ir e vir. Resposta pessoal.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre construção de triângulos. Nesse vídeo aborda-se a condição de existência de um triângulo e diferentes maneiras de representá-lo usando material concreto.

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AMPLIANDO São apresentadas sugestões de sites e leituras complementares que podem contribuir para a formação continuada do professor, bem como para o trabalho em sala de aula, permitindo a ampliação das atividades propostas no livro do aluno. Há também a indicação de materiais extras destinados aos alunos.

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LIVRO DO ALUNO Esta coleção é composta de quatro livros de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental. Cada um desses livros é organizado em oito Unidades, que possuem abertura, atividades, seções e boxes. A seguir, apresentaremos algumas informações sobre cada um desses elementos. Atividades As atividades abordam e discutem os conteúdos ou conceitos matemáticos em estudo. É importante que as atividades realizadas pelos alunos sejam sempre corrigidas em sala de aula, inclusive as propostas definidas como extraclasse. Na parte final do Manual do professor de cada Volume são apresentadas resoluções detalhadas das atividades propostas no livro.

Atividades

Dica Nesse boxe o aluno encontra dicas ou lembretes que buscam auxiliá-lo no entendimento de alguma informação, contribuindo para a compreensão de algum aspecto conceitual ou para a resolução de uma atividade. Vocabulário Algumas palavras utilizadas no texto do livro são destacadas e o significado correspondente é apresentado nesse boxe, contribuindo para a compreensão das informações apresentadas. Para pensar Neste boxe são propostas ao aluno questões para que ele possa refletir, analisar e argumentar sobre informações necessárias para a compreensão de determinado assunto ou conceito em estudo. Conexões São apresentadas ao aluno sugestões de sites e de livros que ele pode consultar para ampliar o conhecimento sobre certo tema que está sendo estudado. Fique ligado No decorrer do livro, este boxe apresenta informações complementares ao tema em estudo, possibilitando que este seja ampliado. Este ícone indica que a resposta da atividade deve ser realizada oralmente pelo aluno. Nesses casos, tem-se a oportunidade de promover entre a turma o compartilhamento de ideias.

Nas atividades identificadas com este ícone é sugerido que o cálculo ou o procedimento de resolução seja realizado mentalmente. Nesses casos, é importante valorizar as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos.

A realização das atividades indicadas com este ícone pode ser feita com a turma organizada em pequenos grupos, conforme orientação específica no enunciado.

As atividades identificadas com este ícone podem ser resolvidas pelo aluno com o auxílio de uma calculadora. Caso seja necessário, levar algumas calculadoras para a sala de aula ou organizar a turma em pequenos grupos.

fique ligado

As atividades que apresentam este ícone buscam trabalhar o desenvolvimento da competência leitora do aluno. As atividades com este ícone buscam trabalhar o desenvolvimento da competência escritora do aluno. Este ícone indica o uso de um recurso que tem por objetivo apresentar ao aluno a posição geográfica aproximada de localidades indicadas no texto.

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Abertura de Unidade A abertura de cada Unidade é organizada em página dupla. Em geral, ela apresenta uma diversidade de recursos, como imagens, textos e infografias. Além disso, são propostas algumas questões com o objetivo de identificar a compreensão do aluno em relação ao tema e a aspectos de seu conhecimento prévio sobre algum conceito que será estudado na Unidade. É importante propor o trabalho com a abertura da Unidade de acordo com características próprias da turma ou objetivos específicos para a aula, como a realização da leitura individual ou coletiva e a discussão acerca das questões. Sempre que julgar oportuno, retomar com os alunos a abertura no decorrer do estudo da Unidade.

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Resposta pessoal.

Quais são os filmes de animação de que você mais gosta? Você entendeu como a técnica de flipagem é realizada? Explique aos colegas como ela funciona. Como você faria para calcular quantos desenhos são necessários para produzir uma cena de alguns segundos em um filme de animação?

WALT DISNEY /ENTERTAINMENT PICTURES/ ZUMA PRESS/ GLOW IMAGES

LEO TEIXEIRA, SANDY FELSENTHAL/CORBIS/VCG/GETTY IMAGES

Flipagem Você sabe como são feitos os filmes de animação? Uma das técnicas mais utilizadas para a produção de filmes de animação é a flipagem (do inglês flip, que significa virar rapidamente). Nessa técnica, a passagem de várias imagens bem parecidas em alta velocidade gera a ilusão de movimento. Como nossa visão consegue distinguir até 8 imagens por segundo, os desenhistas fazem, no mínimo, 12 desenhos para compor cada 1 segundo da animação. Assim, uma animação curta de 30 segundos necessita que sejam feitos pelo menos 360 desenhos.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

Resposta esperada: É criada uma sequência com desenhos muito parecidos, em que há pequenos detalhes diferentes entre um desenho e o próximo, de modo que, ao passar rapidamente essas imagens em sequência, tem-se a ilusão de movimento. Resposta esperada: Multiplicando-se a quantidade de segundos que terá a cena pela quantidade de desenhos que serão exibidos por segundo.

MÚLTIPLOS, DIVISORES, POTÊNCIAS E RAÍZES

Branca de Neve e os sete anões foi o primeiro longa-metragem de animação lançado pela Disney, em 1937. Utilizando a técnica de flipagem, a animação fez muito sucesso na época e até hoje é muito assistida.

Acesse estes sites para obter mais informações sobre filmes de animação e a técnica de flipagem. • RAMOS, M. No mundo da animação. Disponível em: <http://livro.pro/ngqqk2>. Acesso em: 2 out. 2018.

Fotogramas de película de desenho do Mickey Mouse. Repare nas pequenas diferenças entre esses desenhos, como a posição em que a personagem aparece em cada frame.

• O TRABALHÃO da animação. Ciência Hoje das Crianças. Disponível em: <http://livro.pro/f79bap>. Acesso em: 2 out. 2018. 12

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Integrando com... Esta seção propõe o estudo de temas que relacionam a Matemática a outros componentes curriculares, o que possibilita a integração de conceitos de diferentes áreas do conhecimento. Nesse sentido, sugere-se dialogar com professores dos componentes curriculares relacionados para planejar a aula em que esta seção será realizada e avaliar a possibilidade de organizar a turma em pequenos grupos de discussão.

integrando com

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

NÃO ESCREVA Resoluções 1. Quais são os planetas do Sistema Solar? NO LIVRO. Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. na p. 276 2. Explique o que é a órbita de um planeta. Resposta esperada: É a trajetória que esse planeta realiza em torno do Sol. 3. Construa uma tabela no caderno e organize as informações apreResposta nas Orientações para o professor. sentadas no esquema.

Uma viagem em torno do Sol Você já imaginou participar de uma viagem em torno do Sol? Acredite, você já está participando! Os objetos espaciais, como planetas, estrelas, cometas, entre outros, formam o Sistema Solar. O Sol, que é uma estrela, é o maior componente desse sistema e ocupa a posição central. A Terra e os demais planetas giram em torno do Sol, descrevendo uma trajetória chamada órbita. O intervalo de tempo que um planeta demora para executar uma órbita chama-se período orbital e, assim como o comprimento da órbita, varia de acordo com cada planeta. O período orbital da Terra, por exemplo, é de cerca de 365 dias, ou seja, 1 ano. Já o período orbital de Marte corresponde a cerca de 2 anos terrestres. Observe o esquema.

4. Enquanto Urano completa uma volta em torno do Sol, quantas voltas completas Júpiter realiza? 7 voltas. 5. Considere o exato momento em que Marte e Júpiter, em suas órbitas, alinham-se com o Sol. Depois de quantos anos terrestres esse alinhamento acontecerá novamente nessa mesma posição? 12 anos terrestres.

RODRIGO/YANCOM

ciências

Período orbital aproximado dos planetas do Sistema Solar Saturno 29 anos terrestres Netuno 165 anos terrestres Vênus 225 dias terrestres Marte 2 anos terrestres

Terra 365 dias terrestres

Urano 84 anos terrestres

Mercúrio 88 dias terrestres Júpiter 12 anos terrestres

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Fonte dos dados: RIDPATH, I. Astronomia. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.

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VIII

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Você cidadão Esta seção propõe ao aluno que, com base em conhecimentos matemáticos, desenvolva o pensamento crítico e possa inferir sobre temas sociais pautados na ética, na cidadania e no trabalho cooperativo. Em geral, apresenta como contexto algum tema contemporâneo, como saúde, educação financeira, educação ambiental, educação para o trânsito, entre outros. O debate com a turma sobre o tema tratado favorece o compartilhamento de ideias e a reflexão coletiva e individual. 1. Resposta esperada: Informar e conscientizar sobre os perigos do uso dos smartphones ao volante.

você

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em sua opinião, qual é o principal objetivo desse texto?

cidadão

Resoluções na p. 285

2. Observe a tabela a seguir e resolva as questões.

Entenda os riscos do uso do smartphone ao volante

Trechos da via percorridos às cegas

Leia com atenção o texto a seguir.

Distração mortal Não sabemos mais o que é viver sem nossos smartphones. [...] Em pouco mais de 20 anos, com a inserção e ampliação da presença da internet nesses dispositivos, o antigo celular se transformou em outra coisa. Ou melhor, outras coisas: um computador, um GPS, uma agência bancária, uma televisão, um aparelho de som, uma câmera fotográfica, uma filmadora, uma banca de jornais... e, claro, um telefone. Além de um tipo de correio instantâneo, no qual você troca mensagens com seus contatos na hora em que quiser, por mais distante que você esteja. [...] Essa interação com a nova tecnologia, quando em locais seguros, além de atraente é uma mão na roda – para agilizar nossas atividades do dia a dia, [...]. O problema é quando essas distrações acontecem diante de um volante de veículo. Nesse caso, o que era para ser lazer ou busca de informação se torna uma atividade extremamente perigosa – e que em muitos casos se torna fatal. [...] é importante lembrar que o uso de smartphone ao volante é proibido pelo Código de Trânsito Brasileiro e é passível de multa de R$ 293,47, além de render 7 pontos na carteira de habilitação. [...] Mas mais importante do que não ser autuado é se conscientizar dos riscos que o condutor e os outros passageiros correm quando o motorista se distrai ao volante.[...]

Interação com o smartphone

Tempo gasto (em segundos)

Ler ou responder mensagem

1,48

Distância percorrida a 50 km/h (em metros) 20,6

Abrir o aplicativo de rede social

3,5

48,6

Destravar o celular

1,5

20,8

Fonte: RUBIO, A.; SANTOS, A. C. dos. Distração mortal. Revista Cesvi, São Paulo, n. 106, p. 15, abr./maio/jun. 2017.

a) Cerca de quantos segundos o condutor demora para destravar o smartphone ao volante? 1,5 segundo. b) Qual dessas interações com o smartphone faz que o condutor percorra o maior trecho da via às cegas? Quantos segundos ele gasta? Abrir o aplicativo de rede social. 3,5 segundos.

d) Você ainda não dirige, mas é pedestre e, ocasionalmente, pode ser passageiro em um veículo. Junte-se a um colega e confeccionem um cartaz apresentando informações sobre os riscos de usar o smartphone ao volante. Se necessário, realizem uma pesquisa. Resposta pessoal.

WANDSON ROCHA

c) Elvis recebeu uma mensagem enquanto dirigia. Ele destravou o smartphone e leu a mensagem. Cerca de quantos segundos ele demorou para realizar essas interações? Ao todo, quantos metros ele percorreu às cegas? 2,98 segundos. 41,4 metros.

Anualmente, morrem no Brasil dezenas de milhares de pessoas em acidentes de trânsito, muitos deles ocasionados pela falta de atenção por causa do uso de smartphone.

RUBIO, A.; SANTOS, A. C. dos. Distração mortal. Revista Cesvi, São Paulo, n. 106, p. 12-14, abr./maio/jun. 2017.

Em geral, nosso cérebro não consegue realizar com exatidão duas tarefas simultaneamente. Por exemplo, quando uma pessoa fala ou escreve no smartphone enquanto dirige tem sua atenção diminuída.

O smartphone é uma das maiores causas de distração ao volante. Quando o condutor, a 50 km/h, lê ou responde uma mensagem, ele fica cerca de 1,48 segundos sem olhar a via percorrendo cerca de 20,6 m, o que equivale a ultrapassar 10 motocicletas enfileiradas.

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Você conectado Nesta seção, apresentada ao final de algumas Unidades, são propostas atividades que envolvem o estudo de conceitos matemáticos com o apoio do software de geometria dinâmica GeoGebra e da planilha eletrônica Calc, ambos de distribuição livre. As atividades propostas devem ser realizadas de acordo com a realidade na qual a escola está inserida, ou seja, podem ser desenvolvidas em um laboratório de informática, com os alunos organizados em pequenos grupos, coletivamente em um computador portátil que o professor pode levar para a sala de aula, acompanhado de um projetor ou, ainda, como atividade extraclasse.

você

3a

conectado

Para calcular a estimativa da altura de uma menina cujo pai mede 180 cm e a mãe 175 cm, digitamos esses valores nas células A2 e B2, respectivamente.

Fórmulas na planilha eletrônica

MD. KHALID HOSSEN/ SHUTTERSTOCK.COM

LIBREOFFICE 2018

Vamos utilizar a planilha eletrônica Calc para estudar fórmulas. Neste exemplo, vamos recorrer à fórmula para estimar a altura de uma criança quando ela atingir a fase adulta com base na altura de seus pais, trabalhada na atividade 10 da página 143. Observe.

Ameninas = P + M _ 13 2

Ameninos = P + M + 13

Observe que as medidas das alturas são indicadas, na planilha eletrônica, em centímetros.

2

P: altura do pai em centímetros. M: altura da mãe em centímetros. A: altura estimada da criança quando atingir a fase adulta.

MÃos à obr a

É necessário indicar, na planilha eletrônica, em quais células serão digitados valores para as variáveis. Utilizamos uma coluna para registrar a altura do pai (coluna A), outra para a altura da mãe (coluna B) e outra para a estimativa da altura de meninas (coluna C).

meninas

3. Calcule duas opções de medidas da altura de um homem e uma mulher para que a filha tenha altura estimada em 175 cm quando atingir a fase adulta.

2

Algumas respostas possíveis: 185 cm para o homem e 178 cm para a mulher; 190 cm para o homem e 173 cm para a mulher; 170 cm para o homem e 193 cm para a mulher. 159

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168 cm

DAYANE RAVEN

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Para fazer a estimativa da altura de meninas, na célula C2 escrevemos = (A2 + B2 _ 13)/2, que corresponde à fórmula = P + M _ 13 A

Resoluções na p. 289

2. De maneira análoga à apresentada, organize uma planilha eletrônica para estimar a altura de um menino. Em seguida, com essa planilha, calcule a estimativa da altura de um menino, quando atingir a fase adulta, cujas alturas dos pais estão indicadas a seguir. 183 cm ou 1,83 m.

185 cm

2a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. O pai de Fernanda tem 170 cm e a mãe, 159 cm. Utilizando a planilha eletrônica Calc, estime a altura de Fernanda quando atingir a fase adulta. 158 cm ou 1,58 m.

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IX

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O que estudei Esta seção, organizada ao final de cada Unidade, propõe um momento de reflexão e de autoavaliação, tanto para o aluno quanto para o professor. Em relação ao aluno, são consideradas suas atitudes comportamentais e sua compreensão diante dos conceitos estudados na Unidade. Já em relação ao professor, sua autoavaliação é condicionada às respostas dadas pelos alunos, podendo estas serem objetos de reflexão sobre a prática docente. Essa reflexão, por sua vez, pode propiciar ajustes nos planejamentos de aula das Unidades seguintes.

Resoluções na p. 286

o que estudei

Na questão 1, o aluno deve fazer um retrospecto de sua postura nas aulas de Matemática. As respostas aos itens desta questão devem ser individuais, de maneira a evidenciar da melhor forma possível as atitudes comportamentais daquele aluno. Nesse sentido, o aluno pode eleger alguns itens para os quais respondeu “às vezes” ou “não” como pontos de atenção no estudo da próxima Unidade, buscando compreender melhor os assuntos que estiverem sendo estudados. Sob o ponto de vista do professor, além das análises individuais, cabe uma leitura ampla, para identificar ações que poderão ser tomadas para uma correção de rota coletiva. Um exemplo é o estabelecimento ou ajuste no contrato didático que mantém com a turma. No decorrer do ano, sugere-se reservar momentos para que o aluno possa comparar suas respostas a esta questão no decorrer do estudo das Unidades e verificar como seu comportamento evoluiu.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.

Ideias de fração

Divisão de frações

Multiplicação de números decimais

Fração de uma

Comparação de

quantidade

frações

Multiplicação de frações

Número p

Comparação de números decimais

Dízima periódica

Frações na reta numérica

Frações equivalentes

Adição e subtração de frações

Números decimais na reta numérica

Divisão de números decimais

Números decimais

Adição e subtração de números decimais

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A questão 2 pode ser, em um primeiro momento, trabalhada de maneira individual, possibilitando a cada aluno identificar significados para os conceitos estudados na Unidade e indicados nas fichas. Em um segundo momento, a abordagem pode ser coletiva, permitindo ao professor perceber conceitos que uma parte significativa da turma pode não ter compreendido satisfatoriamente. Esses momentos caracterizam oportunidades para que o professor estabeleça um plano de ação para a turma. Nesse plano, por exemplo, podem ser estabelecidas monitorias, grupos de estudo, aulas de reforço, entre outras ações.

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3. V) 430 ou 43 . Conceitos: Transformação de números racionais: forma de fração e forma decimal. 1 000 100 3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL A Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018 ocorreu na Rússia. Observe algumas informações sobre essa competição.

Fração dos países participantes por continente da Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018 Fração

África

5 32

América

1 4

Ásia

1 8

Europa

7 16

Oceania

1 32

Bola oficial. Massa: 0,430 kg.

Média de gols marcados por partida: 2,64.

Fonte: FIFA WORLD CUP. Rússia 2018. Disponível em: <www.fifa.com/worldcup/>. Acesso em: 3 ago. 2018.

LEANDRO MARCONDES, URBANBUZZ/SHUTTERSTOCK.COM

Continente

PROBLEMAS

I Considerando os países participantes, de qual continente era a maior parte deles? Europa. Conceitos: Comparação de frações.

II Que fração dos participantes da Copa de 2018 corresponde a países dos continentes americano e europeu juntos? 11 . Conceitos: Adição de frações. 16

III Nessa copa participaram 32 países. Quantos desses países eram do continente asiático? 4 países. Conceitos: Fração de uma quantidade.

IV Quantos quilogramas têm juntas cinco bolas oficiais como as utilizadas

A questão 3 é complementar à 2, uma vez que se propõe a identificar a compreensão dos conceitos matemáticos estudados na Unidade. Porém, aqui, busca-se que essa compreensão se dê à medida que o aluno resolve problemas propostos em um determinado contexto, fazendo para isso o uso de conceitos matemáticos estudados na Unidade. No entanto, caso a resolução proposta pelo aluno para certo problema seja efetivada por meio de uma estratégia na qual sejam utilizados conceitos diferentes dos estudados na Unidade, é importante que o professor valorize e compartilhe com a turma.

nessa copa? 2,15 kg. Conceitos: Multiplicação de números decimais; adição de números decimais.

V Que fração de 1 kg corresponde à massa da bola oficial utilizada nessa copa? VI Na Copa de 2014, no Brasil, a média de gols marcados por partida foi de aproximadamente 2,67 gols. Em qual copa a média de gols por partida foi maior: de 2014 ou de 2018? Quantos gols de diferença em média?

Copa de 2014. 0,03 gol. Conceitos: Comparação de números decimais; subtração de números decimais. 137

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Quadro de atividades e seções do Volume 7 No quadro a seguir estão indicadas a distribuição das atividades e seções de cada Unidade deste Volume da coleção. QUADRO-SÍNTESE DO VOLUME 7 DA COLEÇÃO

Unidade

Quantidade de atividades

1. Múltiplos, divisores, potências e raízes

45

2. Números inteiros

42

3. Figuras geométricas planas

41

4. Os números racionais

70

Seção Você cidadão

Integrando com... • Integrando com Ciências: Uma viagem em torno do Sol

• Preservação sob as águas

Você conectado

• Calculando múltiplos

• Controle financeiro

• Integrando com Arte: A Matemática além dos números • Entenda os riscos do uso do smartphone ao volante

• Ângulos entre retas

• Construindo e medindo o comprimento de uma circunferência

44

• Integrando com História: Leonardo • Fórmulas na de Pisa e sua famosa planilha eletrônica sequência

6. Proporcionalidade e simetria

58

• Integrando com Arte e Língua Portuguesa: Perfeita simetria

7. Medidas de superfície e volume

37

• Gerando energia elétrica em casa

8. Estatística e probabilidade

32

• Valorização da mulher

5. Expressões algébricas e equações

• Figuras simétricas – reflexão em relação a um eixo • Figuras simétricas – rotação em relação a um ponto

• Construindo gráficos

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MATERIAL DIGITAL Além dos quatro Volumes impressos deste Manual do professor, a coleção apresenta quatro Volumes de Manual do professor – Material digital, que trazem recursos a fim de enriquecer o trabalho do professor e potencializar as relações de ensino-aprendizagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um deles possui a composição a seguir. Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas para os alunos. Cada Plano de desenvolvimento apresenta um Projeto integrador, cujo objetivo é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes componentes curriculares. Sequências didáticas: conjunto de atividades estruturadas aula a aula que relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, com o intuito de ajudar os alunos a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências didáticas, são propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao trabalho com o livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos. Proposta de acompanhamento da aprendizagem: conjunto de dez atividades (e respectivos gabaritos) destinadas aos alunos, acompanhadas de fichas que podem ser preenchidas pelo professor. Este material tem o objetivo de ajudar a verificar se os alunos desenvolveram as habilidades previstas para o bimestre, e mapear as principais dificuldades apresentadas por eles, auxiliando o trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da sua prática pedagógica. Material digital audiovisual: vídeos e videoaulas produzidos para os alunos. Para esses materiais, houve a preocupação de trabalhar a Matemática com o fim de explorar as relações com a Arte, aspectos da História da Matemática e algumas propriedades, como a rigidez do triângulo e sua aplicação na construção de estruturas. Além disso, esses recursos trazem algumas demonstrações ou explicações de conceitos, como o princípio multiplicativo da contagem, demonstrações para o teorema de Pitágoras, entre outros.

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A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento que define um conjunto de aprendizagens essenciais que os alunos devem desenvolver durante a Educação Básica, independentemente da região onde moram. O principal objetivo é garantir que todos os alunos brasileiros tenham a mesma oportunidade de aprender o que é considerado essencial. O documento é exclusivo à educação escolar e está orientado por princípios que visam uma formação humana integral e uma sociedade mais justa, democrática e inclusiva. Além da equiparação das oportunidades de aprendizagem, buscando reduzir as desigualdades históricas estabelecidas, o desenvolvimento de uma base comum curricular visa outros fatores, como assegurar as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica, orientar a elaboração de um currículo específico de cada escola ou rede escolar, pública ou privada, e instruir as matrizes de referência das avaliações e dos exames externos. Uma característica desse documento é que ele não define o modo como ensinar nem impede que sejam contempladas no dia a dia escolar as especificidades regionais. Assim, a BNCC (BRASIL, 2017) estabelece um conjunto de conhecimentos básicos que devem ser assegurados, sem interferir na diversidade cultural e regional e na autonomia dos educadores. Essas aprendizagens essenciais devem coexistir para assegurar aos alunos o desenvolvimento de dez competências gerais tendo em consideração que, segundo a BNCC (BRASIL, 2017, p. 8), [...] competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho. A seguir, estão listadas as dez competências gerais definidas pela BNCC.

COMPETÊNCIAS GERAIS DA EDUCAÇÃO BÁSICA 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

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3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. (BRASIL, 2017, 9-10).

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A BNCC E OS CURRÍCULOS O currículo pode ser definido como um “conjunto de práticas que proporcionam a produção, a circulação e o consumo de significados no espaço social e que contribuem, intensamente, para a construção de identidades sociais e culturais.” (BRASIL, 2013, p. 23). A BNCC e os currículos desempenham papéis complementares e ambos reconhecem o compromisso da educação na formação e no desenvolvimento global do ser humano, considerando suas dimensões intelectual, física, afetiva, social, ética, moral e simbólica. Conforme mencionado, a BNCC não define o modo de ensinar, como também não define o currículo escolar, que, por sua vez, fica a cargo das escolas ou sistemas escolares, tendo como ponto de partida a BNCC. É por meio de um conjunto de decisões, que caracterizam o currículo, que as aprendizagens essenciais preconizadas para cada etapa da Educação Básica poderão ser desenvolvidas. Também é por meio do currículo que se adequará a BNCC às realidades de cada localidade, aos contextos e às características dos alunos. Entre as decisões que competem ao currículo, a BNCC apresenta as seguintes ações:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas; • decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem; • selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar com as necessidades de diferentes grupos de alunos, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.; • conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os alunos nas aprendizagens; • construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos; • selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender; • criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem; • manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e sistemas de ensino. (BRASIL, 2017, p. 16-17).

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A ÁREA DE MATEMÁTICA Na BNCC, a Matemática é destacada como uma área do conhecimento essencial para os alunos da Educação Básica tanto por suas aplicações como também por suas potencialidades na formação de cidadãos críticos e engajados. Nesse sentido, o documento explicita que a Matemática não se restringe à quantificação de fenômenos determinísticos e a técnicas de cálculo, mas envolve, ainda, o estudo de fenômenos de caráter aleatório. Outro aspecto da BNCC em relação à Matemática consiste em estender a ideia dessa área como uma ciência hipotético-dedutiva. Na Educação Básica, é importante considerar o papel heurístico dessa área, pois são fundamentais as experimentações matemáticas feitas pelos alunos. O documento também apresenta o compromisso que se deve ter no Ensino Fundamental com o letramento matemático, definido como:

[...] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. (BRASIL, 2017, p. 264)

Nesse compromisso, fica evidente a preocupação em utilizar os conhecimentos matemáticos para compreender o mundo e nele atuar. Para o desenvolvimento desse letramento e do pensamento computacional, a BNCC cita os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem. Esses processos podem ser tomados como formas de organização da aprendizagem matemática e levam em consideração a análise de situações do cotidiano, de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Com base no que foi apresentado anteriormente, a BNCC delimita as seguintes competências específicas para a área de Matemática e, consequentemente, para esse componente curricular.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

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3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. (BRASIL, 2017, p. 265).

AS UNIDADES TEMÁTICAS A BNCC propõe cinco unidades temáticas para a Matemática. Essas unidades orientam a formulação das habilidades que deverão ser desenvolvidas no decorrer do Ensino Fundamental. A seguir, cada uma delas é brevemente discutida.

Números O trabalho com os números talvez seja um dos mais antigos e elementares na história da humanidade, e esta unidade temática tem como objetivo desenvolver o pensamento numérico dos alunos. Ao construir a noção de número, destacam-se algumas ideias que devem ser desenvolvidas, entre elas: aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem. Também devem ser explorados os campos numéricos por meio de situações que sejam significativas para os alunos. Para os anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos saibam lidar com os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais, e percebam, diante de problemas geométricos, a necessidade de outros números: os irracionais.

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O estudo de conceitos básicos de finanças e economia também é destacado nesta unidade temática. Temas como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras podem ser discutidos, inclusive por meio de um estudo interdisciplinar, envolvendo dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas. Nesta coleção, o trabalho com os números e seus diversos desdobramentos busca privilegiar o conhecimento prévio dos alunos e, com base nele, ampliar as diferentes ideias desta unidade temática. Busca-se também, na coleção, sempre que possível, integrar as diferentes unidades temáticas, como no trabalho com números na realização de medições ou comparações de medidas, no trabalho com análise de gráficos e tabelas ou no estudo das figuras geométricas.

Álgebra Esta unidade temática visa o desenvolvimento do pensamento algébrico. Se nos anos iniciais do Ensino Fundamental o trabalho com a Álgebra começa com a observação de padrões e regularidades, o estudo dos princípios da equivalência, da proporcionalidade e da interdependência entre grandezas, nos anos finais do Ensino Fundamental essas ideias são retomadas, aprofundadas e ampliadas. Nesta fase de ensino, os alunos devem não somente perceber padrões e regularidades mas também estabelecer generalizações, até mesmo utilizando uma linguagem algébrica própria. Também devem compreender os diferentes significados para uma variável numérica e indicar o valor desconhecido em uma sentença. É nos anos finais do Ensino Fundamental que os alunos têm contato com equações e funções e com técnicas de resolução de equações e de sistemas de equações. Utilizando uma linguagem algébrica, eles devem estabelecer a relação entre duas grandezas. O trabalho com funções, que é iniciado nessa fase do ensino, será consolidado no Ensino Médio. No cotidiano, são diversas as situações que podem ser expressas por meio de uma função, e um dos objetivos do trabalho com a Álgebra é possibilitar que os alunos saibam identificar essas situações, as variáveis envolvidas e a relação de interdependência entre essas variáveis. Eles também devem ser capazes de representar por meio de uma linguagem algébrica um problema enunciado em linguagem materna. Nesta coleção, espera-se que, por meio de um trabalho com diferentes situações, os alunos possam ampliar o desenvolvimento do pensamento algébrico e estabelecer relações entre esse tipo de pensamento e as demandas do cotidiano. Ao longo dos quatro volumes da coleção, os diferentes objetos de estudo da Álgebra foram tratados com o intuito de privilegiar possíveis conhecimentos prévios dos alunos e a relação deste conteúdo com outras unidades temáticas, buscando inicialmente retomar um conceito para, em seguida, ampliar o estudo.

Geometria Esta unidade temática tem como objetivo tratar os diferentes elementos que são próprios da Geometria e que permeiam tanto situações práticas do mundo físico como também diferentes áreas do conhecimento. O trabalho envolvendo transformação de figuras, vistas ortogonais, localização e deslocamento, figuras geométricas planas e espaciais busca o desenvolvimento do pensamento geométrico, importante para a vivência e a experiência nos mais diversos contextos. Além disso, o pensamento geométrico deve compreender as composições abstratas e as propriedades das figuras, contribuindo para a produção de argumentos que levem, por exemplo, a justificativas de categorizações de grupos de figuras.

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Nos anos finais do Ensino Fundamental é esperado que as aprendizagens dos anos iniciais sejam consolidadas e ampliadas e que os alunos sejam capazes de utilizar esses novos conhecimentos para realizar demonstrações simples, desenvolvendo o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro aspecto da Geometria que é relevante nesta fase de ensino é sua relação com a unidade temática Álgebra, que pode ser explorada de maneira mais evidente ao serem utilizadas representações de retas no plano cartesiano para determinar a solução de um sistema de equações. Nesta coleção, buscou-se trabalhar a Geometria com base em conhecimentos próximos da realidade dos alunos, fazendo o uso de um variado repertório de contextos, como mapas, obras de arte, construções prediais, entre outros. Outro aspecto importante de se destacar é a proposta de uso, sempre que possível, de recursos digitais para a exploração de objetos geométricos, como o software livre GeoGebra. Além disso, buscou-se explorar atividades práticas, como construções geométricas usando instrumentos como régua, esquadros, transferidor e compasso.

Grandezas e medidas Os conceitos próprios desta unidade temática possivelmente estejam entre os mais próximos da realidade dos alunos e de outras áreas do conhecimento. O trabalho com Grandezas e medidas favorece as relações com outras unidades temáticas da área, como os Números, ao lidar com situações-problema que envolvem a comparação e a ordenação de medidas, por exemplo. O estudo desta unidade temática também propicia a abordagem de temas sociais e relacionados com a cidadania, como a discussão do uso consciente dos recursos naturais (medidas de capacidade e desperdício de água, por exemplo). Dada a diversidade étnica e cultural da população e do território brasileiros, é recomendado que nesse trabalho sejam consideradas as particularidades da região em que a escola está inserida, como a inclusão do estudo de medidas agrárias em ambientes rurais. Nos anos finais do Ensino Fundamental, além das grandezas comumente contempladas no currículo escolar, como comprimento, massa, capacidade, área, volume, temperatura e tempo, é destacado o trabalho com outras grandezas, como densidade, velocidade, energia. Também é nessa fase de ensino que são exploradas medidas utilizadas em informática.

Probabilidade e estatística Nesta unidade temática, o objetivo é que sejam trabalhadas as ideias relacionadas com a incerteza e o tratamento de dados. Esse estudo deve estar interligado a situações próximas da realidade dos alunos e a outras áreas do conhecimento. Algumas das fases mais importantes do trabalho com Estatística são as de coleta, organização, representação, interpretação e análise crítica dos dados. Nos anos finais do Ensino Fundamental, espera-se que os alunos saibam reconhecer, por exemplo, quando utilizar determinado tipo de gráfico, qual medida de tendência central é mais adequada para representar uma situação específica, em quais casos se deve utilizar uma amostra na realização de uma pesquisa. Além disso, busca-se desenvolver estratégias para validar informações veiculadas por diferentes mídias por meio de recursos estatísticos, identificando, quando for o caso, elementos que possam induzir a erros de leitura ou interpretação dos dados. Quanto ao estudo de Probabilidade, espera-se que os alunos compreendam que muitos acontecimentos do mundo físico são de natureza aleatória e que é possível, em certa medida, identificar prováveis resultados para esses acontecimentos. Nesta fase do ensino, é desejável que eles façam experimentos aleatórios e simulações comparando esses resultados com aqueles obtidos por meio de cálculos.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 6o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 6o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 298-303). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais Divisão euclidiana

Fluxograma para determinar a paridade de um número natural Múltiplos e divisores de um número natural Números primos e compostos

HABILIDADES

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Números (EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. Frações: significados (parte/ todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Propriedades da igualdade

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Álgebra

Geometria

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

OBJETOS DE CONHECIMENTO Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista)

Probabilidade e estatística

HABILIDADES

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para o registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 7o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 7o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 304-309). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Múltiplos e divisores de um número natural

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros. (EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Números

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações

Álgebra

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Equações polinomiais do 1o grau

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

HABILIDADES

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

A circunferência como lugar geométrico

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Geometria

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Problemas envolvendo medições

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Medida do comprimento da circunferência

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 8o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 8o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 310-313). UNIDADES TEMÁTICAS

Números

Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Notação científica

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

Potenciação e radiciação

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

O princípio multiplicativo da contagem

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

Porcentagens

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

Dízimas periódicas: fração geratriz

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

Valor numérico de expressões algébricas

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

Volume de cilindro reto Medidas de capacidade

(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

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UNIDADES TEMÁTICAS, OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DA BNCC PARA O 9o ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL O quadro a seguir indica cada unidade temática e os respectivos objetos de conhecimento e habilidades propostos para o 9o ano de acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 314-317). UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

Números

HABILIDADES

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos e fracionários

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e problemas

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

Álgebra

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Semelhança de triângulos

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Distância entre pontos no plano cartesiano

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Vistas ortogonais de figuras espaciais

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas Unidades de medida utilizadas na informática

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Volume de prismas e cilindros

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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A BNCC E A COLEÇÃO Os quadros a seguir indicam as habilidades, competências gerais e competências específicas de Matemática da BNCC tratadas com mais ênfase em cada Unidade da coleção.

VOLUME 6 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

1. Sistemas de numeração

• EF06MA01 • EF06MA02 • EF06MA04 • EF06MA12

•3 •5

•1 •4

2. Operações com números naturais

• EF06MA02 • EF06MA03 • EF06MA04 • EF06MA05 • EF06MA06 • EF06MA14 • EF06MA15

•5 •8

•1 •3 •5

3. Figuras geométricas

• EF06MA16 • EF06MA17 • EF06MA18 • EF06MA19 • EF06MA20 • EF06MA21 • EF06MA22 • EF06MA23 • EF06MA25 • EF06MA26 • EF06MA27 • EF06MA28

•1 •3 •5

•3 •5 •6

4. Medidas de comprimento, massa, tempo e temperatura

• EF06MA24

•7 •8 • 10

•7

5. Números racionais na forma de fração

• EF06MA07 • EF06MA08 • EF06MA09 • EF06MA10 • EF06MA15

•2 •5 •6

•1 •2 •3 •5

6. Números racionais na forma decimal

• EF06MA01 • EF06MA02 • EF06MA08 • EF06MA11 • EF06MA13

•2 •5 •7 •8

•5 •7 •8

7. Estatística e probabilidade

• EF06MA30 • EF06MA31 • EF06MA32 • EF06MA33 • EF06MA34

•1 •9

•6 •7

8. Medidas de superfície, capacidade e volume

• EF06MA24 • EF06MA28 • EF06MA29

•1 •3 •7

•4

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VOLUME 7 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA •1 •3 •5

1. Múltiplos, divisores, potências e raízes

• EF07MA01

•1 •2 •5

2. Números inteiros

• EF07MA03 • EF07MA04

•1 •5 •6 • 10

•2 •3 •5 •8

•3 •5 • 10

•5 •7

•2 •8 •9

•1 •6 •7

•1 •4 •5

•1 •5

•4 •5

•3 •5

•2 •7

•1 •4 •7

•5 •9

•4 •5 •7

• EF07MA19 • EF07MA22 • EF07MA23 3. Figuras geométricas planas

• EF07MA24 • EF07MA25 • EF07MA26 • EF07MA27 • EF07MA28 • EF07MA05 • EF07MA06 • EF07MA07 • EF07MA08

4. Os números racionais

• EF07MA09 • EF07MA10 • EF07MA11 • EF07MA12 • EF07MA33 • EF07MA13 • EF07MA14

5. Expressões algébricas e equações

• EF07MA15 • EF07MA16 • EF07MA18 • EF07MA02 • EF07MA13

6. Proporcionalidade e simetria

• EF07MA17 • EF07MA20 • EF07MA21 • EF07MA29

7. Medidas de superfície e volume

• EF07MA30 • EF07MA31 • EF07MA32 • EF07MA34

8. Estatística e probabilidade

• EF07MA35 • EF07MA36 • EF07MA37

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VOLUME 8 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

1. Potências e raízes

• EF08MA01 • EF08MA02

•4 •5 •8

•3 •8

2. Ângulos e simetria

• EF08MA15 • EF08MA17 • EF08MA18

•5 •7 •8

•3 •5 •7 •8

•2

•2 •4 •6

•5 •8 • 10

•5 •8

•3 •5 •9

•4 •5

•1 •5

•1 •5

•6

•4

•6 •8

•4 •8

• EF08MA05 • EF08MA06 • EF08MA07 3. Equação, sistema de equações e inequação

• EF08MA08 • EF08MA09 • EF08MA10 • EF08MA11

• EF08MA04 4. Proporcionalidade e porcentagem

• EF08MA12 • EF08MA13

• EF08MA14 5. Polígonos e círculo

• EF08MA15 • EF08MA16

6. Área de figuras planas

• EF08MA19

• EF08MA03 • EF08MA22 • EF08MA23 7. Estatística e probabilidade

• EF08MA24 • EF08MA25 • EF08MA26 • EF08MA27

8. Medidas de volume e de capacidade

• EF08MA20 • EF08MA21

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VOLUME 9 UNIDADE

HABILIDADE

COMPETÊNCIA GERAL

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA

•1 •3

•1 •2 •3

•1 •3 •4 •5 •6

•1 •3 •5

•1 •2 •8

•1 •4 •7

•1 •7 • 10

•1 •6 •8

•1 •5

•1 •5

•5 •6

•4 •5 •6

•5 •7 •9 • 10

•5 •6 •8

•4 •7

•3 •7

• EF09MA01 • EF09MA02 1. Conjuntos numéricos, potências e raízes

• EF09MA03 • EF09MA04 • EF09MA18

• EF09MA11 2. Circunferência, plano cartesiano e vistas

• EF09MA15 • EF09MA17

3. Expressões algébricas e equações do 2o grau

• EF09MA09

• EF09MA06 4. Proporcionalidade e funções

• EF09MA07 • EF09MA08

• EF09MA10 5. Semelhança de figuras

• EF09MA12 • EF09MA14 • EF09MA16

• EF09MA05 6. Educação financeira e relações métricas no triângulo retângulo

• EF09MA13 • EF09MA14 • EF09MA16

• EF09MA20 7. Estatística e probabilidade

• EF09MA21 • EF09MA22 • EF09MA23

8. Medidas de volume

• EF09MA19

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FUNDAMENTOS TEÓRICOS E METODOLÓGICOS DA COLEÇÃO Em uma sociedade globalizada, o ensino de Matemática tem papel fundamental na formação de cidadãos conscientes, críticos e participativos. O incentivo a práticas reflexivas no estudo da Matemática escolar pode favorecer o desenvolvimento de estratégias para resolução de problemas do dia a dia e a quebra de paradigmas. Nesta coleção, os fundamentos teóricos e metodológicos envolvidos nos processos de ensino e de aprendizagem buscam favorecer o trabalho coletivo e colaborativo como uma maneira de estimular a participação, reflexão e comunicação entre os alunos. Sempre que possível, procurou-se propor os conceitos matemáticos a partir dos conhecimentos prévios dos alunos, alicerces para a construção de novos conhecimentos. O encadeamento dos conteúdos matemáticos foi pensado com a finalidade de convidar os alunos a expor e escutar ideias, a formular, confrontar e comunicar procedimentos de resolução de problemas, a argumentar e validar pontos de vista. Os Volumes desta coleção foram organizados para apoiar o trabalho do professor procurando, quando possível, fazer uso de diferentes tendências metodológicas. As propostas interdisciplinares e as temáticas de caráter social permitem o desenvolvimento das competências como as da leitura, da escrita e da oralidade, e ainda oferecem elementos para a composição de situações contextualizadas para as atividades.

O LIVRO DIDÁTICO DE MATEMÁTICA O livro didático é um importante instrumento no processo de ensino-aprendizagem. Considerando o trabalho de Gérard e Roegiers (1998), Pereira (2010) apresenta as funções do livro didático de acordo com duas perspectivas. Em relação ao aluno, são atribuídas aos livros didáticos múltiplas funções, entre as quais: a aprendizagem e o progresso de competências; a estabilização, avaliação e integração das aprendizagens; a apresentação da informação rigorosa e de fácil utilização e a educação social e cultural. Na perspectiva do professor, o livro didático tem, entre outros, o papel: de auxiliar o docente no desenvolvimento de suas funções; de colaborador na formação contínua dos docentes ao apresentar novos caminhos e estratégias para a renovação de suas práticas pedagógicas; de instrumento que auxilia na preparação de aulas e nos processos de avaliação.

A aprendizagem pode se tornar mais significativa, quando diferentes formas de representação são contempladas no livro didático. Além de valorizar uma abordagem interdisciplinar com diferentes textos, espera-se que o livro apresente números, equações, figuras, tabelas, gráficos, símbolos, desenhos, fotos, entre outros elementos que contribuem nas estratégias de articulação entre conteúdos e disciplinas. Quanto mais intensas forem a interatividade e a articulação, mais significativa será a aprendizagem. O aluno realiza articulações, quando consegue, por exemplo, a partir da leitura de um texto, montar uma tabela ou um gráfico, equacionar um problema ou descrever um argumento. Deve, ainda, ser estimulado a realizar movimentos em várias direções, tal como a passagem da leitura de uma tabela para a redação de um texto, para uma representação gráfica ou para o exercício da oralidade. Embora o interesse seja trabalhar com representações, não podemos esquecer que a apresentação do conteúdo pressupõe vínculos com os conhecimentos prévios dos alunos, considerando a possibilidade de uso de registros espontâneos (PAIS, 2007, p. 52-53).

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Nesta coleção, os conteúdos foram organizados levando em consideração as diferentes formas de representação dos objetos matemáticos. Nesse sentido, os alunos são convidados, em diversos momentos, a dialogar entre si e com o professor e a realizar registros que podem se dar de diversas maneiras: utilizando linguagem matemática ou natural (materna), empregando gráficos ou diagramas, usando representações pictóricas ou outras, a fim de incentivar a reflexão e a autonomia do pensamento. Consideramos que o livro didático é um dos recursos educativos que o professor tem a seu dispor. Os recursos didáticos como os jogos educacionais, o material dourado, o ábaco, o laboratório de informática e o laboratório de ensino de matemática são outros elementos que compõem o ambiente educacional e podem auxiliar e enriquecer o processo de ensino-aprendizagem. A prática cotidiana da sala de aula exige cada vez mais que o professor seja dinâmico e procure despertar nos alunos a curiosidade, o interesse e o prazer de aprender.

PROPOSTA DIDÁTICO-PEDAGÓGICA A proposta didático-pedagógica desta coleção tem por objetivo contribuir para uma formação ampla do aluno, não apenas em aspectos cognitivos, mas também em sua formação cidadã. Nela, procurou-se articular, sempre que possível, temas contemporâneos e interdisciplinares a conceitos matemáticos, oferecendo ao professor diferentes estratégias metodológicas e o aprimoramento de sua prática pedagógica. O tratamento dado aos conteúdos matemáticos, em sala de aula, deve levar em consideração os recursos disponíveis para que o trabalho seja efetuado. O professor tem também em conta, naturalmente, os alunos, as suas capacidades e interesses. Há alunos que reagem bem a certo tipo de propostas, outros que preferem outro tipo, outros que têm uma atitude relativamente indiferente. Cada vez com maior frequência, encontramos alunos que revelam grande desinteresse em relação a tudo o que tem a ver com a escola em geral e com a Matemática em particular. Dentro de uma mesma turma, há, muitas vezes, alunos com características muito diversas no que respeita aos seus conhecimentos matemáticos, interesse pela Matemática, atitude geral em relação à escola, condições de trabalho em casa, acompanhamento por parte de família, etc. A diversidade dos alunos que o professor tem na sua sala de aula deve ser por ele ponderada, de modo a tentar corresponder, de modo equilibrado, às necessidades e interesses de todos. (PONTE, 2005, p. 19-20).

A fim de sinalizar a proposta didático-pedagógica que fundamentou a elaboração desta coleção, apresentam-se abordagens relacionadas à concepção de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e ao ensino de Matemática.

CONCEPÇÃO DE MATEMÁTICA NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL A Matemática e suas ideias estão presentes nos currículos desde a Educação Infantil. Seu ensino e sua aprendizagem são marcados por diversas concepções do professor e dos alunos. Para Ponte (1992), as concepções, de forma geral, têm uma natureza essencialmente cognitiva e podem estruturar o sentido que damos às coisas e, por vezes, atuar como elemento que bloqueia e limita nossas possibilidades de atuação e compreensão. As concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos habituamos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes. (PONTE, 1992, p. 185)

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Para entender melhor essas concepções, Ponte (1992, p.196) refere que o saber matemático abrange quatro características fundamentais: • a formalização segundo uma lógica bem definida; • a verificabilidade, que permite estabelecer consensos acerca da validade de cada resultado; • a universalidade, isto é, o seu caráter transcultural e a possibilidade de o aplicar aos mais diversos fenômenos e situações; • a generatividade, ou seja, a possibilidade de levar à descoberta de coisas novas.

Thompson (1992) destaca que, das concepções de Matemática, existem aquelas de ordem pedagógica, que podem estar centradas: no conteúdo com ênfase na compreensão conceitual; no conteúdo com ênfase na execução; no aluno; na organização da sala de aula; e no conteúdo com ênfase nas situações problemáticas. O surgimento de novas orientações curriculares, a participação em ações de formação ou a leitura de materiais educativos podem suscitar novas perspectivas em relação à prática pedagógica. No entanto, independentemente da concepção de Matemática, é importante que o professor tenha parâmetros em sua prática. De acordo com a BNCC, por exemplo, é necessário que o professor esteja ciente de que para

[...] o desenvolvimento das habilidades previstas para o Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da matemática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, variação e interdependência. (BRASIL, 2017, p. 296)

O ENSINO DE MATEMÁTICA O ensino de Matemática precisa privilegiar a exploração de uma variedade de noções matemáticas que contribuam para que os alunos construam e desenvolvam seu conhecimento matemático, sem perder o prazer, o interesse e a curiosidade. Por isso, é importante conciliar o trabalho com os conceitos matemáticos a abordagens que valorizem a integração entre a Matemática e as outras disciplinas, a proposição de temáticas sociais nas atividades a serem desenvolvidas e o estímulo ao uso adequado das novas tecnologias da informação e comunicação no estudo. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017), no Ensino Fundamental deve-se ter o compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, que, segundo o PISA (Programme for International Student Assessment), consiste na [...] capacidade do indivíduo de formular, aplicar e interpretar a matemática em diferentes contextos, o que inclui o raciocínio matemático e a aplicação de conceitos, procedimentos, ferramentas e fatos matemáticos para descrever, explicar e prever fenômenos. Além disso, o letramento em matemática ajuda os indivíduos a reconhecer a importância da matemática do mundo, e agir de maneira consciente ao ponderar e tomar decisões necessárias a todos os cidadãos construtivos, engajados e reflexivos (INEP, 2012, p. 18).

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Ainda de acordo com a BNCC, é [...] o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição). (BRASIL, 2017, p. 264)

Para tanto, faz-se necessário criar um ambiente propício que pode ter como base o diálogo e a comunicação. Assim, o professor deve estimular os alunos a se comunicar (oralmente, por exemplo) ou a registrar (por meio de desenhos, textos, esquemas e outras formas de registro) suas ideias matemáticas. O hábito de expressar as ideias matemáticas pode ser desenvolvido questionando os alunos sobre como pensaram para realizar determinada atividade ou para resolver algum problema ou desafio. As dramatizações também podem ser estimuladas como uma forma de expressão de ideias matemáticas. Em relação às características das intervenções por parte do professor, estas devem procurar ser construtivas, dando oportunidade para que os alunos revejam suas posições e percebam as incoerências, quando existirem, contribuindo, assim, para a construção do seu conhecimento. Algumas intervenções que o professor pode fazer são por meio de perguntas, como as indicadas a seguir. • Como você obteve esse valor? Que estratégias realizou? • O que você pode concluir a partir desse resultado? • Como você pode convencer alguém de que sua resposta está correta? • É possível obter esse mesmo resultado por meio de outra estratégia? • Vamos testar essa outra estratégia? • Você pode afirmar que os procedimentos que utilizou são válidos? Explique. • A estratégia que você utilizou nessa situação pode ser empregada em quais outros casos? É importante que os alunos sejam incentivados a buscar diferentes formas de pensar, ampliando sua capacidade cognitiva e sua atitude diante de novas situações. Aliado a isso, ressalta-se a realização de atividades coletivas e cooperativas, o que favorece a socialização, a troca de ideias, a observação de outros pontos de vista, o reconhecimento de outras formas de pensar e de realizar as atividades. Segundo a BNCC, a aprendizagem matemática nos anos finais do Ensino Fundamental está diretamente relacionada com a apreensão de significados dos objetos matemáticos. [...] Esses significados resultam das conexões que os alunos estabelecem entre os objetos e seu cotidiano, entre eles e os diferentes temas matemáticos e, por fim, entre eles e os demais componentes curriculares. Nessa fase, precisa ser destacada a importância da comunicação em linguagem matemática com o uso da linguagem simbólica, da representação e da argumentação (BRASIL, 2017, p. 296).

Estabelecer relações entre a Matemática e as situações do cotidiano contribui para aproximá-la da vida dos alunos, colaborando para a percepção de que ela está presente em várias situações do dia a dia, não constituindo um conhecimento restrito ao ambiente da sala de aula. Além disso, nessa fase final do Ensino Fundamental, é importante iniciar os alunos, gradativamente, na compreensão, análise e avaliação da argumentação matemática. Isso envolve a leitura de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso crítico em relação à argumentação neles utilizada (BRASIL, 2017, p. 297).

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ALGUMAS TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Um dos questionamentos mais frequentes no âmbito do ensino da Matemática diz respeito ao que pode ser considerado como um ensino de qualidade. Entretanto, essa não é uma questão simples que admite uma resposta única, objetiva e definitiva, porque, dependendo do enfoque, da finalidade e da perspectiva que se admite, aliados a questões políticas, sociais e culturais, podem surgir diversas respostas. A Educação matemática, um campo de pesquisa em crescimento, tem envolvido pesquisadores que analisam práticas pedagógicas desenvolvidas nos diferentes contextos escolares. Nesses estudos vêm ganhando destaque a Resolução de problemas, a Modelagem matemática, a Investigação matemática e as Tecnologias da informação e comunicação, entre outras.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Iniciar a aula com a proposição de um problema, que para Onuchic e Allevato (2011, p. 81) “é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em fazer”, pode ser o ponto de partida para a construção de um novo conceito matemático. Ao trabalhar com a Resolução de problemas como uma proposta para o ensino de conteúdos matemáticos, faz-se necessário ocupar-se de uma prática na qual o conhecimento é construído por meio das interações sociais dos alunos. Essa tendência metodológica prioriza o trabalho em grupo, em que as discussões podem ser orientadas pelo professor. Onuchic e Allevato (2004, p. 223) defendem que a “Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre ideias e sobre o ‘dar sentido’. Ao resolver problemas os alunos necessitam refletir sobre as ideias que estão inerentes e/ou ligadas ao problema; [...]”. Na sala de aula, o professor, ao trabalhar com a Resolução de problemas, proporciona aos alunos a oportunidade de mobilização de seus conhecimentos prévios e o gerenciamento das informações disponíveis. Esse processo, além de contribuir para o desenvolvimento da autonomia dos alunos, conduz a ampliação ou a construção de conhecimentos. Vale ressaltar que os alunos poderão desenvolver diferentes estratégias para resolver os problemas, cabendo ao professor valorizá-las. Onuchic e Allevato (2011, p. 83-85) elaboraram, com base nos resultados de suas pesquisas, um roteiro para auxiliar o professor a trabalhar com a Resolução de problemas. Esse roteiro considera nove etapas para a organização da aula: • Preparação do problema – Selecionar um problema, visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha, ainda, sido trabalhado em sala de aula. • Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura. • Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos. [...] • Resolução do problema – A partir do entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como coconstrutores da matemática nova que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

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• Observar e incentivar – Nessa etapa, o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. [...] • Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. • Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. • Busca do consenso – Depois de sanadas as dúvidas, e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. • Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.

Como pode se dar a resolução de um problema O esquema a seguir apresenta as etapas e as relações entre elas, com as quais a Resolução de problemas pode ser desenvolvida nas aulas de Matemática.

Leitura individual e em conjunto, interpretação, elabora um esquema, realiza estimativas.

COMPREENDE O PROBLEMA.

PROBLEMA.

Organiza os dados, estabelece uma meta.

ELABORA UM PLANO. PROFESSOR Observador, mediador, incentivador, questionador

Retrospectiva.

UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA.

Interpreta as condições do problema com o resultado obtido, verifica se há variações de respostas.

Se houver impasse.

Segue o plano, realiza cálculos.

EXECUTA O PLANO. Caso a solução obtida não satisfaça o problema, é necessário pensar em outro plano.

VALIDA O PLANO.

Confere a execução do plano com as condições do problema.

Fonte dos dados: POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. p. 25-27.

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Os alunos, ao resolverem os problemas, podem, de acordo com a abordagem proposta, tornar-se participantes ativos de sua aprendizagem, inserindo-se em um contexto no qual o estudo de Matemática ocorre dentro de um movimento que possibilita fazer análises, discussões, conjecturas, construção de conceitos e formulação de ideias.

MODELAGEM MATEMÁTICA A Modelagem matemática traz para a aula de Matemática um ambiente investigativo e comunicativo, no qual se pode construir conhecimento. Entre as diferentes perspectivas de Modelagem matemática, optou-se neste texto pela apresentada por Almeida e Ferruzzi (2009), uma alternativa pedagógica na qual, com base em situações oriundas da realidade, os conteúdos matemáticos se desenvolvem. De acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2009), trata-se de criar possibilidades para enxergar situações do cotidiano por lentes matemáticas, ou seja, de interpretar e analisar situações do cotidiano por meio de linguagem matemática, e, assim, tomar decisões acerca delas. Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 12), [...] uma atividade de modelagem matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa uma solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a situação final.

Durante o processo de interpretação matemática da situação inicial, há a necessidade de transformar a linguagem natural em linguagem matemática. Nessa direção, Almeida e Silva (2012, p. 627) destacam que [...] um aspecto importante numa atividade de modelagem matemática é a necessidade de os próprios alunos, a partir de uma situação-problema não matemática, fazerem a associação com conceitos e/ou procedimentos matemáticos capazes de conduzir a uma solução para o problema e possibilitar a sua análise.

De forma geral, no desenvolvimento de uma atividade de modelagem, estão presentes ações como buscar informações sobre a situação inicial, identificar e selecionar variáveis, elaborar hipóteses, realizar simplificações, obter um modelo matemático, validação e resolução do problema. Essas ações podem ser subsidiadas por orientações do professor. Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de Modelagem matemática, ela não é considerada o fim desse tipo de proposta, mas uma alternativa que pode permitir a compreensão global da situação investigada e da matemática utilizada. Em sala de aula, uma atividade de Modelagem matemática pode ser desenvolvida por alunos reunidos em grupos, e aí o professor tem o papel de orientador. A situação-problema pode emergir de uma proposta do professor, dos alunos ou do material didático que está sendo utilizado. O trabalho com Modelagem matemática pode promover relações interdisciplinares, motivação, levantamento de conhecimentos prévios, trabalho cooperativo, desenvolvimento do pensamento matemático, uso de diferentes representações, uso do computador e de outros recursos didáticos, desenvolvimento do conhecimento crítico e reflexivo e aprendizagem significativa.

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Fases da Modelagem matemática e as ações cognitivas dos alunos Identificação do problema

Inteiração

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Modelo matemático

2 Representação mental da situação

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1 Situação inicial (problemática)

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Situação final (resposta para o problema)

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Matematização e resolução

Resultados matemáticos

Interpretação de resultados e validação

As ações cognitivas dos alunos 1. Compreensão da situação 2. Estruturação da situação 3. Matematização 4. Síntese 5. Interpretação e validação 6. Comunicação e argumentação

Fonte dos dados: ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. O que é Modelagem matemática na Educação matemática? In: _________. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012. p. 19.

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA Uma Investigação matemática, de forma geral, consiste em um processo que transforma uma situação aparentemente confusa em um ou mais problemas que podem ser esclarecidos, ordenados e organizados de tal modo que possam ser resolvidos por meio de um olhar matemático. De acordo com Ponte (2003, p. 2), [...] investigar não é mais do que conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os problemas com os quais nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da escola, tanto dos professores como dos alunos.

Em uma Investigação matemática estão presentes quatro momentos principais: 1) o reconhecimento e a exploração da situação e a formulação de questões; 2) a formulação de conjecturas; 3) a realização de testes e reformulações das conjecturas; 4) a argumentação e avaliação do trabalho realizado (PONTE, 2003). Uma tarefa desenvolvida segundo a perspectiva da Investigação matemática aproxima o trabalho dos alunos ao trabalho dos matemáticos, sendo tarefa de ambos estabelecer os problemas, as hipóteses para resolvê-los, testar suas hipóteses, refutá-las e elaborar suas conclusões. Todo esse processo se desenvolve segundo um cronograma próprio e envolve a apresentação da situação de forma oral ou escrita, a execução individual ou em grupo, o desenvolvimento da Investigação matemática e o momento no qual os alunos relatam aos colegas e ao professor o trabalho realizado. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2007, p. 41), a [...] fase de discussão é, pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais rico do que significa investigar e, por outro, desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação.

O papel do professor em uma Investigação matemática é criar um ambiente propício ao diálogo, à interação e à pesquisa, provocando em seus alunos a vontade de resolver as atividades investigativas. Geralmente, em uma investigação, o ponto de partida é uma situação

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aberta, e a participação efetiva dos alunos na formulação das questões que serão estudadas é fundamental, cabendo a quem investiga a sua concretização. É essa dinâmica que favorece o envolvimento do aluno no processo de aprendizagem (BERTINI; PASSOS, 2008).

TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO O acelerado desenvolvimento tecnológico das últimas décadas tem provocado transformações sociais e culturais na relação do ser humano com o saber. As novas tecnologias propiciam a criação de ambientes de aprendizagem que ampliam os canais de informações, e, ao mesmo tempo, formam e transformam os processos de ensino e de aprendizagem. Howland, Jonassen e Marra (2011) argumentam que a tecnologia deve ser entendida como uma parceira intelectual e uma ferramenta com a qual os alunos podem aprender como organizar e resolver problemas, compreender novos fenômenos, construir modelos desses fenômenos, e, dada uma situação não conhecida, definir metas e regular a própria aprendizagem. Pesquisadores da área de Educação matemática, como Borba e Penteado (2016, p. 48), destacam a importância das diferentes mídias na produção de conhecimento que é “produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias ou seres-humanos-com-tecnologias”. Para esses pesquisadores, o computador provoca a reorganização da atividade humana. Muitas das novas tecnologias proporcionam interatividade, criando ambientes em que os alunos têm acesso a resultados intermediários que não poderiam ser observados em situações tradicionais. A interatividade é um dos aspectos mais relevantes desses instrumentos para o ensino e a aprendizagem. Com o software GeoGebra, por exemplo, podem ser exploradas estruturas algébricas ou geométricas de forma dinâmica e avaliada a influência de seus parâmetros, visualizando simultaneamente suas diferentes representações. Nesta coleção, a seção Você conectado, organizada ao final de algumas Unidades, propõe o uso do GeoGebra e da planilha eletrônica Calc para ampliar o estudo de diversos conceitos matemáticos. Além disso, nos comentários específicos deste Manual do professor, é sugerido em diversos momentos o uso de softwares ou sites.

TEMAS CONTEMPORÂNEOS Discussões acerca do papel da escola na sociedade contemporânea implicaram modificações metodológicas e curriculares na Educação. Os temas contemporâneos surgiram com a proposta de construção da cidadania, incorporando questões de ética, educação ambiental, saúde, direitos humanos, trabalho, consumo, ciência e tecnologia, diversidade cultural, entre outras. Esses temas transcendem e perpassam todas as disciplinas. Nas aulas de Matemática, as abordagens de temas sociais por meio de conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo que possibilitam estabelecer relações com outras disciplinas, contextualizações e a reflexão crítica, conferem ao trabalho do professor a possibilidade de contribuir para a formação cidadã dos alunos. De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 19), [...] cabe aos sistemas e redes de ensino, assim como às escolas, em suas respectivas esferas de autonomia e competência, incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, preferencialmente de forma transversal e integradora.

Por essa perspectiva, rompe-se a barreira da fragmentação do conhecimento, proporcionando aos alunos uma visão de reintegração de conteúdos e procedimentos acadêmicos, isolados uns dos outros pelo método disciplinar.

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Nesta coleção, os temas contemporâneos são discutidos em diversos momentos, como no desenvolvimento dos conceitos, nas atividades propostas e em seções, com destaque para a seção Você cidadão.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA A formação de cidadãos críticos no âmbito escolar está atrelada ao desenvolvimento, nos alunos, da capacidade de analisar situações reais de forma reflexiva. Skovsmose (2004) destaca que um dos pontos-chave da Educação crítica consiste no fato de o processo educacional estar relacionado com problemas existentes fora do universo educacional. E, nesse sentido, destaca que dois dos critérios fundamentais para a seleção de um problema são os seguintes: O subjetivo: o problema deve ser concebido como relevante na perspectiva dos estudantes, deve ser possível enquadrar e definir o problema em termos próximos das experiências e do quadro teórico dos estudantes. E o objetivo: o problema deve ter uma relação próxima com problemas sociais objetivamente existentes (SKOVSMOSE, 2004, p. 19-20).

A Matemática supõe a submissão da realidade a modelos matemáticos preestabelecidos, que dão suporte a decisões e moldam o cotidiano. Em muitos casos, a Matemática escolar apresenta os cálculos matemáticos como verdades absolutas. Ao se deparar com problemas que, além de conteúdos matemáticos, requerem uma reflexão crítica, os alunos têm a possibilidade de perceber seu papel de cidadãos atuantes na sociedade. Para Skovsmose (2007, p. 19), “[...] a educação não pode apenas representar uma adaptação às prioridades políticas e econômicas (quaisquer que sejam); a educação deve engajar-se no processo político, incluindo uma preocupação com a democracia”. Para esse autor, “democracia” se refere ao “modo de vida”, à maneira de negociar e fazer mudanças, às formas de ação em grupo e em comunidades. Se os alunos são capazes de analisar de forma reflexiva a Matemática que existe nos modelos prontos apresentados na sociedade, serão capazes de exercer sua cidadania. A Educação matemática crítica é um campo de investigação da Educação matemática que lhe confere o objetivo de promover a participação crítica dos alunos na sociedade em que estão inseridos, discutindo questões políticas, ambientais, econômicas, sociais, entre outras, nas quais a Matemática se faz presente.

O PAPEL DO PROFESSOR Na sala de aula, o professor é o agente condutor das situações instrucionais e interacionais. Confirmando o que foi apresentado nos Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (BRASIL, 1997), com o avanço das tecnologias de informação, à medida que o papel dos alunos foi se redefinindo diante do saber, o papel do professor que ensina Matemática foi se redimensionando. Os alunos são protagonistas da construção de sua aprendizagem, e o professor é o organizador, o facilitador, o incentivador, o mediador entre o saber matemático e os alunos. Utilizando diferentes práticas, o professor em sala de aula articula o conhecimento matemático com a formação da cidadania, promovendo assim não só a formação integral dos alunos, mas também importantes mudanças sociais. O professor mediador não oferece respostas prontas; ele dialoga. Não há como imaginar uma situação instrucional que não seja baseada no diálogo. O professor questiona, é questionado, dá voz aos alunos, valoriza, respeita, promove a autonomia deles. O professor do século XXI tem consciência de que aprende no ato de ensinar, considerando, portanto, a sala de aula como um local de aprendizagens mútuas.

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Em relação ao livro didático, procuramos dar autonomia e respeitar a atuação do professor, orientando-o a reconhecer os momentos nos quais deve desafiar, indagar e conduzir seus alunos à reflexão e à problematização de situações que vão além das apresentadas nesta coleção.

SABERES DOCENTES PARA OS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Um professor de Matemática que atua nos anos finais do Ensino Fundamental, além de conhecer as diferentes abordagens metodológicas, precisa ter os saberes necessários para construir novas práticas pedagógicas que permitam identificar avanços, dificuldades e possibilidades para a reconstrução das aprendizagens de seus alunos. De acordo com a BNCC, a área de Matemática no Ensino Fundamental, [...] por meio da articulação de seus diversos campos – Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade, precisa garantir que os alunos relacionem observações empíricas do mundo real a representações (tabelas, figuras e esquemas) e associem essas representações a uma atividade matemática (conceitos e propriedades), fazendo induções e conjecturas. Assim, espera-se que eles desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações. (BRASIL, 2017, p. 263)

A maneira como o professor compreende a Matemática irá influenciar o modo como trata tais articulações. Nesse sentido, saberes de conteúdo e saberes pedagógicos estão inter-relacionados. De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica (DCN) (BRASIL, 2013, p. 113), o professor precisa ter clareza do que espera dos alunos, “buscando coerência entre o que proclama e o que realiza, ou seja, o que realmente ensina em termos de conhecimento”. No mesmo documento é indicado que o caráter fragmentário das áreas precisa ser superado “[...] buscando uma integração no currículo que possibilite tornar os conhecimentos abordados mais significativos para os educandos e favorecer a participação ativa de alunos com habilidades, experiências de vida e interesses muito diferentes” (BRASIL, 2013, p. 118). O saber profissional do professor é um saber pluridimensional, uma vez que o professor é aquele que planeja, executa, avalia, ou seja, é aquele que na sala de aula é responsável pela gestão de um pequeno universo.

LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA (LEM): UM AMBIENTE EDUCACIONAL A expressão ambiente educacional é usada de modo geral para designar o contexto em que ocorrem o ensino e a aprendizagem. Neste texto, ao nos referirmos ao ambiente educacional, estamos considerando a perspectiva de Troncon (2014, p. 265), que define esse ambiente como o [...] conjunto de elementos, de ordem material ou afetiva, que circunda o educando, que nele deve necessariamente se inserir e que o inclui, quando vivencia os processos de ensino e aprendizado, e que exerce influência definida sobre a qualidade do ensino e a eficácia do aprendizado. Destaque-se que um aspecto particular deste conceito é a inclusão do educando como elemento que participa do ambiente, o que tem a implicação de lhe atribuir responsabilidades na manutenção e no aperfeiçoamento do ambiente que integra.

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Esse autor ainda destaca que o ambiente educacional tem impacto na construção do conhecimento dos alunos, o que, consequentemente, denota a importância e a atenção que deve receber, com o propósito de aprimorá-lo e de aperfeiçoar o processo educacional. Um ambiente educacional é composto basicamente de dois elementos: um de natureza material (mobiliário, iluminação, espaço físico etc.) e outro de caráter afetivo (respeito, segurança, entre outros). É necessário enfatizar que parte importante dos componentes do ambiente educacional é aquela relativa ao ambiente físico em que se dá o aprendizado, ou às condições materiais que cercam o ensino e a aprendizagem. Um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) pode ser considerado um ambiente educacional que consiste em um espaço munido de material para que professor e alunos desenvolvam seus trabalhos de ensinar e aprender Matemática. O LEM pode potencializar o trabalho desenvolvido em sala de aula, evitando que o professor precise deslocar grande quantidade de material de um local para outro. Esse espaço pode ser uma sala, um armário ou outro local dentro da escola destinado a armazenar o material construído pelos próprios alunos em conjunto com o professor, material industrializado, livros e revistas que apresentam temas matemáticos, livros didáticos e paradidáticos, jogos, peças que representam sólidos geométricos, instrumentos de medida, calculadoras, computadores, lousa digital, televisor, pôsteres, cartolinas, papéis sulfite, tesouras, entre outros. Segundo Lorenzato (2006, p. 7), [...] o LEM, nessa concepção, é uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender.

Um laboratório com essas características pode ser estruturado por meio do trabalho conjunto entre professores das diferentes disciplinas e turmas, diretor e outros responsáveis da escola, além da colaboração dos alunos. Essas ações permitem estabelecer relações entre as disciplinas.

OUTROS AMBIENTES PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA A sala de aula é um espaço físico considerado um ambiente convencional de ensino e de aprendizagem. Todavia, não é o único espaço em que a construção do conhecimento pode ocorrer. De acordo com D’Ambrosio (2005, p. 22), o [...] cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura.

Nesse sentido, os espaços extraescolares, considerados ambientes não convencionais de ensino, podem promover a construção de conhecimentos e os desenvolvimentos cognitivo e comportamental. Por exemplo, ao propor uma visita a um supermercado, conhecimentos matemáticos podem ser construídos ou evidenciados na comparação de preços de mercadorias de diferentes marcas, na escolha de um produto, levando em consideração a quantidade de unidades e de massa ou o prazo de validade, entre outros aspectos. Além de promover a aprendizagem de conteúdos matemáticos, pode-se desenvolver a formação de um consumidor consciente: “Preciso comprar esse produto? Vou consumir o produto dentro do prazo de validade? Estou precisando dessa mercadoria?”. Museus, parques recreativos, jardins botânicos, zoológicos, unidades de conservação, feiras, exposições e planetários são exemplos de espaços não convencionais que também podem ser empregados para o desenvolvimento de atividades de educação formal.

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Para Xavier e Fernandes (2011, p. 226), [...] no espaço não convencional da aula, a relação de ensino e aprendizagem não precisa necessariamente ser entre professor e aluno(s), mas entre sujeitos que interagem. Assim, a interatividade pode ser também entre sujeito e objetos concretos ou abstratos, com os quais ele lida em seu cotidiano, resultando dessa relação o conhecimento.

Podemos considerar que os fazeres do cotidiano envolvem ideias matemáticas, e essas ideias podem não ser apreendidas na escola, mas no ambiente familiar, e recebidas de amigos, colegas e familiares. De forma geral, a utilização de ambientes não convencionais para o ensino e a aprendizagem é uma prática pouco explorada na educação formal. O professor interessado em utilizar um espaço não convencional deve fazer um planejamento para evidenciar a compreensão das funções, do funcionamento e das potencialidades desse espaço para a educação formal. Além disso, precisa considerar as limitações do espaço escolhido e solicitar à escola e aos pais ou responsáveis uma autorização em caso de necessidade de saída dos alunos do ambiente escolar. Algumas escolas mantêm projetos dentro da própria instituição, em espaços como laboratórios, ateliês, auditórios, bibliotecas, salas de vídeos, oficinas, hortas, jardins, entre outras dependências usadas para o desenvolvimento das aulas. Essa iniciativa promove uma ampliação do contexto escolar que ultrapassa as paredes da sala de aula e, em alguns casos, extrapola os limites da escola. Existem casos em que se articulam conceitos de empreendedorismo com os alunos, construindo modelos de estabelecimentos comerciais, por exemplo. Existe uma variedade de espaços não convencionais em diferentes contextos, que exibem alguma relação direta ou indireta com os conteúdos das disciplinas escolares e, em especial, com conteúdos matemáticos.

APRENDIZAGEM MATEMÁTICA A Matemática no contexto escolar é, muitas vezes, uma disciplina temida e considerada pouco importante para grande parte de alunos que não veem relação entre o que aprendem e o mundo fora dos muros da escola. Quando a abordagem é feita de forma exclusivamente tradicional, a Matemática escolar tende a afastar os alunos e precisa ser “reinventada” para propiciar um ensino e uma aprendizagem significativa, criativa, prática e contextualizada de acordo com a realidade social e cultural do aluno. Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980), para a ocorrência de aprendizagem significativa, por exemplo, além de considerar os conhecimentos prévios dos alunos, é necessária a existência de uma predisposição positiva deles para aprender e materiais de ensino potencialmente significativos. Ao distinguir a aprendizagem significativa de outras aprendizagens, esses autores afirmam que [...] a aprendizagem significativa ocorre quando a tarefa de aprendizagem implica relacionar, de forma não arbitrária e substantiva (não literal), uma nova informação a outras com as quais o aluno já esteja familiarizado, e quando o aluno adota uma estratégia correspondente para assim proceder. A aprendizagem automática, por sua vez, ocorre se a tarefa consistir de associações puramente arbitrárias, como na associação de pares, quebra-cabeça, labirinto, ou aprendizagem de séries e quando falta ao aluno o conhecimento prévio relevante necessário para tornar a tarefa potencialmente significativa, e também (independente do potencial significativo contido na tarefa) se o aluno adota uma estratégia apenas para internalizá-la de uma forma arbitrária, literal (por exemplo, como uma série arbitrária de palavras). (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 23)

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A disposição dos alunos para aprender não depende somente de sua estrutura cognitiva, mas também de motivação e materiais disponíveis no ambiente educacional. Os recursos materiais correspondem ao espaço físico que circunda os alunos e aos materiais dos quais fazem uso durante a realização das atividades. Os recursos de caráter afetivo dizem respeito às relações estabelecidas entre os alunos e entre aluno e professor. Situações que envolvem o cotidiano dos alunos tendem a motivá-los para o estudo dos conteúdos matemáticos e podem constituir elementos motivacionais em sua predisposição para aprender. Ambientes educacionais diferenciados, como o LEM, também podem estimular a motivação, mas sua ausência não pode limitar o trabalho do professor e tampouco inviabilizar o processo de aprendizagem. Ainda que a aprendizagem não seja um ato que se possa compartilhar, pois é algo individual, o trabalho em grupo favorece as interações e a negociação dos significados atribuídos aos objetos matemáticos durante a atividade. O uso de computadores, telefones celulares e tablets com fins pedagógicos, nesse nível de escolaridade, pode ser uma ação social de caráter motivacional que promove a interação entre os pares, estimula a elaboração de estratégias e de formas de representação por meio de expressões textual, gráfica e oral. As atividades matemáticas que trabalham com construções preestabelecidas podem ser consideradas situações que privilegiam a resolução de problemas. As habilidades e competências cognitivas e sociais desenvolvidas com esse tipo de atividade passam a fazer parte da estrutura mental dos alunos, que podem ser generalizadas em outras situações. O ensino de Matemática precisa despertar nos alunos o prazer de aprender matemática, e os conceitos matemáticos devem ser compreendidos como elementos que contribuirão para a vida social dos alunos. Tais conceitos, em algumas situações, podem ser desenvolvidos por meio de atividades lúdicas e desafiadoras, que favoreçam o raciocínio, a reflexão e o pensamento lógico. O professor conta com diferentes recursos para auxiliá-lo em seu trabalho, entre eles o livro didático. Esta coleção busca valorizar os conhecimentos prévios dos alunos, o trabalho em grupo, dentre outros recursos que ajudarão o professor em sala de aula.

OS ALUNOS NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, os alunos manifestam grande curiosidade e desejo de compreender o mundo à sua volta. Quando o professor se propõe a observar e ouvir, os alunos podem evidenciar suas explicações sobre os acontecimentos e os fenômenos do cotidiano. Para tanto, é necessário despertar o espírito investigativo e a curiosidade dos alunos, incentivando o levantamento de hipóteses, procurando conhecer suas explicações dos fenômenos cotidianos, propiciando o confronto de ideias para poder construir de forma gradativa os conceitos e procedimentos matemáticos. É importante promover uma ação pedagógica por meio de uma abordagem que favoreça a articulação dos conhecimentos de diversas áreas entre si e o contexto dos alunos, sempre considerando a cultura digital, que nos últimos anos tem promovido significativas alterações sociais nas relações humanas como um todo. [...] Em decorrência do avanço e da multiplicação das tecnologias de informação e comunicação e do crescente acesso a elas pela maior disponibilidade de computadores, telefones celulares, tablets e afins, os estudantes estão dinamicamente inseridos nessa cultura, não somente como consumidores. Os jovens têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. (BRASIL, 2017, p. 59)

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Nesta coleção, além das situações que permeiam toda a obra, são propostas seções específicas que buscam estimular o trabalho com elementos da cultura digital. Na seção Você conectado, são apresentados exemplos que exploram conceitos matemáticos utilizando o software GeoGebra ou a planilha eletrônica Calc; em seguida, são propostas atividades para que os alunos realizem na prática. O boxe Conexões sugere aos alunos sites e livros que possibilitam articular o tema em estudo a algum elemento externo do livro.

A LEITURA E A ESCRITA NAS AULAS DE MATEMÁTICA A comunicação é essencial para a interação social, e o processo de apropriação da linguagem é fundamental para o desenvolvimento humano. É por meio da interação e da mediação que compartilhamos ideias e conhecimentos. Cabe ressaltar que a comunicação não se limita ao uso da fala, mas envolve também escrita, gestos, símbolos, expressões corporais e pictóricas, entre outros. O professor mediador deve, de acordo com a faixa etária, considerando o conhecimento prévio e respeitando o ritmo e perfil cognitivo, colocar seus alunos diante de situações que propiciem o desenvolvimento da percepção, atenção, memória, do raciocínio, da fala, por exemplo, e o desenvolvimento das funções mais complexas como a leitura e a escrita, os raciocínios lógico e dedutivo, a elaboração de estratégias, entre outras. A leitura, a escrita e a fala são meios pelos quais os conhecimentos são construídos. Essas competências são desenvolvidas principalmente no contexto escolar e não devem ser priorizadas somente na disciplina de Língua Portuguesa, mas também em outras, incluindo a Matemática. A decodificação de letras é uma das várias habilidades da competência leitora. Quando um aluno lê um texto, o enunciado de um problema, por exemplo, deve ser capaz de monitorar e avaliar a compreensão do que está lendo para conseguir interpretá-lo. Nesta coleção, existem momentos destinados à leitura de diferentes gêneros textuais, com destaque para as atividades identificadas com o ícone Você leitor. Ao responder a uma questão de forma escrita, ao elaborar um problema, ao redigir um relatório para comunicar dados expressos em tabelas e gráficos estatísticos ou ao registrar o desenvolvimento de um problema e sua solução, os alunos precisam ter competência para organizar o conjunto de estratégias que explicitaram em seu plano de ação e escrever de maneira coerente o que planejaram. Esta coleção estimula, em diversos momentos, com destaque para as atividades identificadas com o ícone Você escritor, a expressão oral e escrita dos alunos em situações variadas. Nas aulas de Matemática, os alunos devem usar a fala, a escrita, a leitura, os gestos e outros recursos para se comunicar matematicamente, uma vez que a representação dos objetos matemáticos, em diferentes domínios de expressão, constitui um instrumento para o desenvolvimento cognitivo.

O CÁLCULO MENTAL Alguns autores consideram que o cálculo mental é aquele feito “de cabeça”, sem uso de registros escritos; outros, porém, divergem dessa concepção e defendem o uso de papel para que cálculos auxiliares sejam efetivados. De qualquer forma, ao realizar um cálculo mental são mobilizadas estratégias que permitem rapidez e eficiência na obtenção da resposta. Essas estratégias desenvolvem nos alunos qualidades de ordem, lógica, reflexão e memória. Isso contribui para o desenvolvimento cognitivo e fornece ferramentas que possibilitam efetuar cálculos simples no cotidiano.

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Por meio do cálculo mental, é possível trabalhar de maneira simultânea a memória e a concentração. Segundo Buys (2001), o cálculo mental permite aos alunos calcular livremente, sem restrições, desenvolvendo novas estratégias de cálculo ou o uso de números de referência e estratégias que já possuem. Para esse autor, há três características presentes no cálculo mental: operar com números e não com dígitos; usar propriedades elementares das operações e relações numéricas; e permitir o recurso a registros auxiliares em papel. Com as aulas de Matemática previamente planejadas, o professor pode apresentar diversas estratégias para a realização de cálculos mentais, possibilitando aos alunos a escolha das estratégias que julgarem mais simples ou mais adequadas para determinadas situações. Nesta coleção, são propostas diversas atividades a serem realizadas por meio do cálculo mental, identificadas com um ícone próprio. Essas atividades, em geral, apresentam diferentes estratégias de cálculo, ampliando o repertório dos alunos. Todavia, é importante deixá-los criar e expressar as próprias estratégias, que podem ser compartilhadas com os colegas.

RELAÇÕES COM OUTROS COMPONENTES CURRICULARES A Matemática escolar é uma disciplina desafiadora, tanto para os alunos quanto para os professores. Observando os contextos social e tecnológico, pode-se identificar o descompasso que há entre esses contextos e o sistema educacional. Junto das críticas ao modelo escolar, desconfigurado e engessado, temos, por um lado, a Matemática como uma disciplina compartimentalizada, enquanto do outro lado temos uma sociedade hight tech que a desafia e exige inovações. Estabelecer relações entre conceitos e ideias próprias da Matemática e de outros componentes curriculares, com o propósito de superar a fragmentação dos saberes, possibilita abordar uma situação-problema sob diferentes perspectivas. Os conhecimentos, de maneira geral, devem dialogar entre si. Por exemplo, ao estudar os números, percebemos que a concepção que temos hoje é resultado de um processo sócio-histórico. Explorar esse tema pode favorecer a relação entre a Matemática e a História que, quando trabalhada a partir de uma proposta de ensino integrada, possibilita aos alunos compreenderem a importância do uso de um sistema de numeração. Durante as aulas de Matemática, algumas situações podem ser aproveitadas para o professor estabelecer relações com outras disciplinas. Uma pergunta feita por um aluno durante o desenvolvimento de um conteúdo matemático, por exemplo, pode ter potencial para desencadear abordagens de conteúdos de outras áreas do conhecimento. De maneira geral, os professores dos anos finais do Ensino Fundamental são especialistas em suas áreas. Com isso, é importante a prática de atividades integradoras entre eles, como o planejamento das aulas e a proposta de projetos, buscando correlacionar os conceitos tratados nos diferentes componentes curriculares. Para Tomaz e David (2008), os professores dos diversos componentes curriculares podem conversar para levantar aspectos comuns de sua prática e compará-los com os de outro professor que trabalha com os mesmos alunos, a fim de encontrar alternativas para potencializar as oportunidades de interdisciplinaridade em sala de aula, tornando essa prática mais usual. Nesta coleção, procurou-se estabelecer relações entre a Matemática e diversas outras áreas do conhecimento no decorrer das propostas de atividades. Cabe destacar a seção Integrando com..., na qual conceitos matemáticos e de outros componentes curriculares se articulam para possibilitar a investigação de situações oriundas do cotidiano ou do campo científico.

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TRABALHO COM PROJETOS No âmbito escolar, podemos entender projeto como uma atividade desenvolvida por um grupo de pessoas da comunidade escolar. Tal atividade, orientada de acordo com um objetivo comum e que estabelece relações com ações mobilizadas para a formação do cidadão, demanda certo tempo para ser concluída. Para isso, é importante que a comunidade envolvida no desenvolvimento do projeto se organize de maneira a planejá-lo, considerando o início e a conclusão. Nesse sentido, o desenvolvimento de um projeto pode ter as seguintes etapas: organização, planejamento, execução e finalização. Como uma atividade desenvolvida no âmbito educacional, o projeto precisa ser avaliado. Para isso, orienta-se que a avaliação seja realizada durante o desenvolvimento, analisando se cada etapa está de acordo com os objetivos propostos e como a ação de cada participante tem colaborado com a atividade. Ao se desenvolver um projeto, é possível estabelecer diálogos entre as pessoas, promovendo a troca de ideias. Isso viabiliza articulações entre conhecimentos de diferentes áreas, possibilitando aos alunos que realizem um processo investigativo para observar e analisar o mundo à sua volta, assumindo, assim, a postura de cidadãos críticos e atuantes. Os professores de diferentes componentes curriculares precisam interagir, de modo que sua atuação conjunta seja capaz de conduzir os interesses dos participantes do projeto, bem como articular os conteúdos a serem abordados, possibilitando a construção do conhecimento e do desenvolvimento da atitude crítica dos alunos.

ORIENTAÇÕES PARA AVALIAÇÃO Avaliar é uma ação que consiste em atribuir valor a algo. Provém do latim, valere, e pode ocorrer de maneira formal ou informal nas salas de aula. A avaliação, no contexto escolar, refere-se à atribuição de um valor para o rendimento escolar. Ao se referir ao processo de aprendizagem, não se pode reduzir a avaliação a um momento único no qual esse “valor” é atribuído. Ele deve ser tratado como um processo realizado de forma contínua e prolongada. Segundo pesquisadores como Hadji (1994), o objetivo da avaliação escolar é o de contribuir para a aprendizagem, tanto dos alunos quanto do professor. Com esse objetivo, a avaliação oferece ao professor informações sobre o processo de aprendizagem dos alunos e sua conduta de ensino em sala de aula. Aos alunos, a avaliação possibilita uma análise sobre sua própria aprendizagem, por permitir coletar informações sobre o percurso, êxitos e dificuldades apresentadas. Tradicionalmente a avaliação escolar se dá a partir da utilização de um ou mais instrumentos, entre os quais se destacam as provas escritas, que são aplicadas geralmente no final de um período escolar. Nessa perspectiva, uma das principais funções da avaliação é certificar por meio de notas ou conceitos, o que supostamente permite verificar se o aluno domina as competências e capacidades que faziam parte do objeto de ensino (HADJI, 1994). Há, nessa perspectiva, uma supervalorização de aspectos quantitativos no processo avaliativo. Além da função de certificar, cabe à avaliação regular a aprendizagem, de modo a contribuir com esse processo. Para Hadji (1994), uma avaliação cujos resultados possam ser utilizados pelo professor e pelos alunos para a tomada de decisão deve ter em vista que a aprendizagem dos alunos é considerada formativa e é realizada com o propósito de diagnosticar possíveis falhas nos processos de ensino e de aprendizagem. Nessa perspectiva, há maior valorização de aspectos qualitativos no processo avaliativo do que quantitativos.

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Concordamos com D’Ambrosio (2005, p. 78) quando o autor afirma que a [...] avaliação deve ser uma orientação para o professor na condução de sua prática docente e jamais um instrumento para reprovar ou reter alunos na construção de seus esquemas de conhecimento teórico e prático. Selecionar, classificar, filtrar, reprovar e aprovar indivíduos para isto ou aquilo não são missão de educador. Outros setores da sociedade devem se encarregar disso.

A avaliação em sala de aula em geral é condizente com a forma como as aulas ocorrem. Se a dinâmica da aula privilegia a repetição de exercícios, a execução de algoritmos, e esse é o processo de ensino que precisa ser aprimorado, naturalmente a avaliação, mesmo quando realizada na perspectiva da avaliação formativa, busca verificar os erros dos alunos na tentativa de eliminá-los. Ao verificar um erro, em geral pede-se aos alunos que realizem a atividade novamente, e novamente... e novamente, até responderem de maneira considerada correta. Desse modo, os erros são carregados de aspectos negativos, o que faz com que os alunos se sintam punidos ao cometê-los. Por outro lado, se a dinâmica da aula privilegia a investigação, a ação dos alunos ante tarefas que devem ser executadas, a avaliação pode compreender todos os processos que ocorrem durante a aula. De todo modo, a avaliação pode ser subsidiada por diferentes recursos – os instrumentos de avaliação. Estes devem fornecer ao professor informações – quanto à capacidade dos alunos para resolver situações-problema, saber utilizar a linguagem matemática, lidar com instrumentos de construção, utilizar-se de raciocínio matemático, comunicar-se por meio oral – para que possa inferir aspectos da aprendizagem e do raciocínio matemático.

ESTRATÉGIAS DE AVALIAÇÃO Concordamos com a conceitualização de Sacristán (1998, p. 298) que afirma que a avaliação pode ser entendida como: [...] qualquer processo por meio do qual alguma ou várias características de um aluno/a, de um grupo de estudantes, de um ambiente educativo, de objetivos educativos, de materiais, professores/as, programas, etc., recebem a atenção de quem avalia, analisam-se e valorizam-se suas características e condições em função de alguns critérios ou pontos de referência para emitir um julgamento que seja relevante para a educação.

Para esse autor, fica evidente que a avaliação tem, como um de seus propósitos, contribuir para os processos de ensino e de aprendizagem na escola. Nessa direção, de acordo com Hadji (1994), o papel da avaliação é compreender a situação dos alunos, de modo a regular os processos de ensino e de aprendizagem. Quando realizada sob esse aspecto, Hadji (1994) considera que esse tipo de avaliação é formativa. O autor atribui, também, outro propósito para a avaliação, o de inventário, ou seja, de certificar, atestar a aquisição de determinado conhecimento. Nesse caso, tem-se que a avaliação é somativa. O terceiro propósito apresentado por Hadji (1994) é o prognóstico, em que a avaliação tem por objetivo orientar os alunos em suas escolhas, informá-los sobre suas aptidões e capacidades. Nesse caso, a avaliação é do tipo diagnóstica. As estratégias de avaliação propostas por Hadji (1994) e que podem ser desenvolvidas por meio de diferentes instrumentos de avaliação valorizam as produções escritas dos alunos. Essas produções escritas revelam, além da execução de algoritmos específicos, o nível de compreensão dos conceitos envolvidos na resolução de um problema, pois, quando um aluno deve escrever um texto a respeito de problemas resolvidos por ele, esse texto deve ser o mais claro possível, deve convencer e esclarecer o leitor a respeito dos procedimentos utilizados na resolução, bem como das ideias matemáticas nela contidas.

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Ponte et al. (1997) afirmam que as produções escritas de alunos possuem um grande valor formativo, contribuindo para o desenvolvimento da autonomia e da reflexão desses alunos em relação à sua própria aprendizagem. Tais produções podem ser elaboradas individualmente ou em grupo, podendo ter diferentes formas. Por exemplo, pode-se solicitar aos alunos que comentem e expliquem a resolução de um problema ou um texto, bem como descrevam e analisem os resultados de alguma atividade de investigação da qual participaram. Assim, as produções escritas são, além de fator de aprendizagem, elementos importantes para a avaliação.

TRABALHANDO COM O ERRO No contexto educacional, no âmbito da avaliação da aprendizagem, o erro deve ser entendido como uma possibilidade de “enxergar” como os alunos lidam com uma questão ou um conteúdo matemático. Essa possibilidade pode orientar o trabalho do professor em sala de aula, além de servir de base para seu planejamento. Cabe ao professor parar e analisar os procedimentos que levaram os alunos a errar. Santos e Buriasco (2008) consideram essa abordagem como “maneiras de lidar”. Esses autores defendem que cada aluno apresenta um modo de lidar com o conhecimento matemático. Os diferentes modos [...] devem ser tomados como ponto de partida para construir um espaço de negociação e legitimação dos significados atribuídos a tais conhecimentos. Assim, as maneiras de lidar que são diferentes das consideradas corretas apresentam-se a favor da aprendizagem dos alunos, permitindo aos professores oportunidades de leitura do modo como os alunos pensam sobre um determinado conteúdo. A partir dessa leitura, eles podem planejar suas ações para promover a aprendizagem, as atividades e as discussões a serem estabelecidas com os alunos. Consequentemente, os professores podem deixar de “mostrar os caminhos” e passar a indagar sobre os caminhos que os alunos estão construindo, provocando momentos de instabilidade, reflexão e confirmação nos quais aconteçam suas aprendizagens. (SANTOS; BURIASCO, 2008, p. 105)

Recomenda-se ao professor afastar o paradigma de que o erro consiste em algo negativo, em que a falta é relacionada à ausência de conhecimento. O erro precisa ser trabalhado em sala de aula com o objetivo de ser transposto, de forma que os alunos avancem na aprendizagem de conteúdos matemáticos.

ALGUNS INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO Como aprender é um processo diferente entre as pessoas, é necessário adotar práticas avaliativas em que o foco seja ter indícios de ocorrência de aprendizagem por meio das informações obtidas. Nesse sentido, diferentes instrumentos de avaliação devem ser implementados nas aulas, em especial nas aulas de Matemática. Em muitos casos, a informação obtida por meio de um instrumento acaba por completar ou esclarecer uma informação que já fora obtida por outro. Entretanto é preciso se ter claro que um instrumento, muitas vezes, prioriza certos aspectos sobre outros. Por isso é importante saber o que cada instrumento é capaz de revelar, que informações é possível recolher com ele e que limitações ele possui. (SANTOS, 2008, p. 18)

Nesta coleção, a seção O que estudei possibilita tanto ao professor quanto ao aluno identificar a necessidade de retomar algum conteúdo, estabelecendo-se como um instrumento avaliativo.

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Na sequência, apresentamos de forma sucinta alguns instrumentos de avaliação que julgamos pertinentes às aulas de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental: prova escrita e prova escrita em fases, prova-escrita-com-cola, trabalho em grupo, seminário, portfólio e autoavaliação. No entanto, o professor pode ser criativo e investir em outros instrumentos que deem suporte para investigar indícios de aprendizagem dos alunos.

Prova escrita e prova escrita em fases A prova escrita é um instrumento de avaliação que tem o objetivo de estabelecer uma comunicação que permite ao professor fazer uma análise da competência escritora do aluno. Na elaboração de uma prova escrita, o professor deve utilizar diferentes situações que promovam o uso de variadas representações e estratégias, além de estabelecer critérios de correção, considerando os “percursos” que os alunos podem utilizar. Para tanto, é necessário que os procedimentos sejam listados e pontuados, revendo-os sempre que preciso, antes ou durante a correção. A correção deve ser pautada nos procedimentos utilizados pelos alunos para obter a solução. Um professor atento aos indícios de aprendizagem não deve considerar somente a solução final apresentada. Combinando as vantagens da prova escrita com outras tarefas, De Lange (1999) propôs a prova escrita em duas fases. De forma geral, esse instrumento segue os mesmos pressupostos da prova escrita usual, diferenciando no modo como os alunos são solicitados a resolvê-la – em dois momentos, ou duas fases. Na primeira fase, os alunos respondem, em um tempo limitado, questões discursivas que abordam conhecimentos que deveriam ter aprendido, sem indicações do professor. A prova é recolhida e corrigida pelo professor, que deve inserir comentários e/ou questionamentos que permitam estabelecer uma comunicação escrita na qual os alunos possam explicar o que fizeram. Nessa fase o professor não valida as respostas, isto é, não coloca certo ou errado. Os comentários e questionamentos devem exigir reflexão por parte dos alunos. Na segunda fase, os alunos recebem a prova novamente e a resolvem considerando os comentários e/ou questionamentos inseridos. Eles têm a oportunidade de fazer uma complementação do que não foi feito na primeira fase, reelaborando sua solução ou mesmo resolvendo a questão pela primeira vez. Essa fase é realizada em casa, no momento em que o aluno julgar conveniente e sem tempo limitado para a resolução. Após o período combinado entre as partes, a prova é devolvida ao professor para que ele faça uma nova correção. Se o professor julgar necessário, podem ser feitas adaptações de acordo com a realidade de sua turma e outras fases podem ser implementadas. Com isso, prolonga-se o processo de avaliação de forma que o professor analise se o objetivo da aprendizagem foi alcançado.

Prova-escrita-com-cola Usualmente o ato de colar é visto como um dos problemas escolares que permeiam os mais diversos níveis de ensino, podendo ser entendido como desvio de conduta para tirar proveito ou um meio de corrupção. Esse ato “está associado à atitude de trazer para o momento da avaliação informações que não correspondem ao conhecimento já construído [...], trata-se de conceber a cola como uma forma de pesquisa ilícita” (ZANON; ALTHAUS, 2008, p. 24). Diversas situações podem ser consideradas como cola, por exemplo: consultar a prova, trocar de prova ou conversar com um colega no momento da prova, fazer registro em folhas de papel ou até mesmo no próprio corpo, consultar livros, cadernos ou aparelhos eletrônicos, entre outros.

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É inegável que a prova desperta uma forte carga emocional, como ansiedade (capaz de bloquear o desempenho, o pensamento e causar lapso de memória – “o branco”), medo da nota baixa e da reprovação, nervosismo, dúvidas, insegurança, esquecimento etc. Por isso, a cola pode se configurar como um meio de diminuir a ansiedade – se houver esquecimento, ela pode gerar segurança – como uma fuga ao fracasso, uma estratégia de defesa ou uma porta de escape à prova que tem poder de atribuir notas baixas, reprovar e refletir na imagem pessoal. (SOUZA, 2018, p. 19)

Uma maneira de utilizar um dos tipos de cola como recurso para oportunizar a aprendizagem é por meio do instrumento de avaliação prova-escrita-com-cola, que de acordo com Forster (2016) foi nomeado dessa maneira justamente para evidenciar a ideia de que é possível trazer a cola “oficialmente” para a prova. Esse mesmo autor informa que uma prova-escrita-com-cola é basicamente [...] uma prova escrita na qual o aluno tem a sua disposição um pedaço de papel, a cola, em que ele pode anotar as informações que julgar pertinentes para utilizar durante a realização da prova. Para que os alunos façam a cola, é desejável que seja estabelecido um padrão comum a todos. Por exemplo, é preciso definir as dimensões do papel, se o texto da cola deve ser manuscrito ou não, se deve ser feito individualmente ou não. (FORSTER, 2016, p. 27)

Esse tipo de instrumento de avaliação se diferencia de uma prova com consulta, principalmente porque os registros devem estar em um papel com dimensões delimitadas e os próprios alunos devem produzi-los. Segundo Forster (2016), a intenção é que eles utilizem esse instrumento como um meio de estudo, e a limitação do papel pode auxiliar nesse sentido, pois é necessário estudar o assunto para ter condições de recolher as informações mais relevantes para inserir na cola. Numa perspectiva subversiva, ela [cola] torna-se um recurso à aprendizagem, um meio de estudo e pesquisa. Demanda estudo prévio, escolhas (porque o espaço é limitado), análise, produção pessoal e reflexão. Torna-se a única fonte permitida de ser consultada no momento da realização da prova e elaborada pelo próprio estudante. Sua permissão evita a exclusiva memorização dos conteúdos. A natureza do instrumento de avaliação altera a essência da cola porque permite ao aluno dialogar por escrito com o professor, personalizando a prova, e com seus colegas fora da sala de aula, possibilitando trocas e aprendizagem. (SOUZA, 2018, p. 111)

Trabalho em grupo O trabalho em grupo tem como objetivo a troca de ideias entre os alunos, o que possibilita o desenvolvimento da colaboração, da cooperação, da comunicação e da argumentação. Cohen e Lotan (2017, p. 1) definem trabalho em grupo como “[...] alunos trabalhando juntos em grupos pequenos de modo que todos possam participar de uma atividade com tarefas claramente atribuídas”. O professor, além de explicar aos alunos suas ações como solucionadores de um problema, deve explicitar aspectos a serem considerados, tais como: os objetivos do trabalho e os critérios de avaliação. O trabalho em grupo não pode ser entendido pelos alunos como a junção das carteiras e cada um realizando sua atividade individualmente. “Trabalho em grupo não é a mesma coisa que agrupamento por habilidade, no qual o professor divide a sala por critério acadêmico para que possa ensinar para grupos mais homogêneos” (COHEN; LOTAN, 2017, p. 1-2).

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Para estimular a participação dos integrantes dos grupos, o professor pode entregar uma única folha com a atividade proposta, solicitar que organizem as ideias em conjunto e as escrevam em uma folha, circular entre os diferentes grupos de forma a perceber o que está sendo discutido e tendo cuidado para não dar a resposta quando sua ajuda for solicitada. Uma maneira de auxiliar na avaliação dos argumentos é pedir aos alunos que anotem o que considerarem relevante e que foi discutido entre eles.

Seminário Seminário é uma apresentação oral de um tema ou o desenvolvimento de um problema que tem como objetivo trabalhar a comunicação e a argumentação, pois geralmente ocorrem debates a respeito do assunto abordado. A proposta de seminário pode ser feita pelo professor com antecedência para que os alunos organizem o material a ser apresentado, façam anotações e ordenem as ideias por meio de textos, esquemas, cartazes, maquetes ou recursos tecnológicos, como slides digitais. A avaliação pode ser orientada por meio de uma ficha avaliativa na qual o professor considera, entre outros elementos, a organização do material, o uso do conhecimento matemático, a adequação da linguagem utilizada na comunicação e a argumentação.

Portfólio Portfólio pode ser entendido como uma coleção significativa, sistemática e organizada de atividades que os alunos desenvolveram em certa área ao longo de um período e evidenciem o nível de sua aprendizagem, incluindo suas reflexões sobre elas (BURIASCO; GOMES, 2004). Autores de textos de avaliação recomendam que as avaliações sejam significativas para que elas proporcionem, oportunidades de aprendizagem, melhorem o desempenho e permitam refletir sobre o próprio trabalho. O portfólio atende a este requisito porque inclui diversos tipos de atividades desenvolvidas pelos alunos e acima de tudo, porque elaboram autorreflexões relativas a essas atividades, focalizando, assim, seus processos de aprendizagem. (BURIASCO; GOMES, 2004, p. 6-7)

O professor pode utilizar o portfólio como um instrumento de avaliação ao considerá-lo por completo (produto final) ou, ainda, como um recurso de avaliação ao considerar todo o processo de sua elaboração, acompanhando e discutindo as atividades (SÁ-CHAVES, 2000). Quando o professor sugere a organização de um portfólio deve esclarecer os objetivos e orientar como ele deve ser estruturado. Um portfólio deve ser composto de vários itens que podem variar de acordo com a disciplina e as finalidades do professor. De forma geral, um portfólio deve incluir uma introdução, na qual se justifica a escolha das atividades, a descrição de cada atividade, a avaliação dos trabalhos e a projeção posterior com base nas atividades que foram selecionadas. As atividades que compõem o portfólio devem ser organizadas em uma pasta, por exemplo, e podem ser escolhidas pelo professor ou pelos alunos. De forma geral, são os alunos os responsáveis por escolher as atividades que refletem sua aprendizagem. Essas atividades, para Buriasco e Gomes (2004, p. 7), “[...] asseguram com mais clareza as intenções do ensino e representa adequadamente o conteúdo e habilidades que se desejam dos alunos”.

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Por fim, a avaliação do portfólio pode ser realizada por um avaliador externo, pelo professor ou mesmo pelos alunos.

Autoavaliação De acordo com Haydt (1995, p. 147), a autoavaliação é “[...] uma forma de apreciação normalmente usada quando nos dedicamos a atividades significativas, decorrentes de um comportamento intencional”. Assim, para realizar uma autoavaliação escolar os alunos precisam analisar e interpretar seus conhecimentos, o que lhes permite refletir de maneira crítica sobre o que fizeram ou deixaram de fazer na construção desses conhecimentos. A autoavaliação é um instrumento que possibilita aos alunos analisar e refletir sobre o que estudaram e como fizeram isso. Essa mesma autora afirma que, ao se autoavaliar, o aluno participa de forma mais ampla e ativa de sua aprendizagem. Isso ocorre “[...] porque ele tem oportunidade de analisar seu processo nos estudos (o quanto rendeu e quanto poderia ter rendido), bem como suas atitudes e comportamentos frente ao professor e aos colegas” (HAYDT, 1995, p. 147-148). Uma autoavaliação pode ser constituída de perguntas, respondidas de forma oral ou escrita, que possibilitam aos alunos realizar uma interpretação pessoal sobre o percurso de sua aprendizagem, tendo consciência de suas dificuldades e limitações. Por meio dessa tomada de consciência, eles podem rever seu processo de estudo, além de auxiliar o professor no planejamento de suas intervenções em sala de aula. O professor pode realizar a autoavaliação ao longo do ano por meio de questionários ou fichas. Dependendo do objetivo, pode ser realizada antes do início do estudo de um conteúdo ou ao final. Quando realizada no início, o que se autoavalia são os conhecimentos prévios. Quando realizada ao final do estudo de um conteúdo, permite aos alunos que trilhem a construção do conhecimento e reflitam sobre possíveis equívocos pelos quais passaram. Deve-se evitar entregar uma extensa ficha com perguntas que os alunos necessitam responder, pois a autoavaliação caracteriza-se como um momento de reflexão e não pode se tornar algo exaustivo. De forma geral, devem ser propostas perguntas específicas e objetivas. Em uma ficha de autoavaliação podem ser fornecidas algumas respostas-padrão para os alunos assinalarem, como: “sim”, “não” e “às vezes”. Entre os diferentes elementos presentes em uma autoavaliação, podem ser privilegiados aspectos procedimentais, de conteúdo, de convivência social, de conduta dos alunos, entre outros. Nesse sentido, a seção O que estudei, organizada ao final de cada Unidade da coleção, constitui um instrumento de autoavaliação.

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SUGESTÕES DE LEITURA E DE ACESSO À (IN)FORMAÇÃO DO PROFESSOR Apresentamos aqui algumas sugestões de instituições, revistas, sites e livros que podem contribuir com a formação continuada do professor e, por consequência, fomentar o processo de ensino e aprendizagem. Contudo, cabe destacar que diversas outras sugestões são realizadas ao longo deste Manual do professor, inclusive de documentos oficiais que norteiam a produção desta coleção e que julgamos importante consultar e estudar.

MATERIAL DE ESTUDO PARA A FORMAÇÃO CONTINUADA DO PROFESSOR ACADEMIA DE CIÊNCIAS DO ESTADO DE SÃO PAULO (ACIESP). São Paulo, 2018. Disponível em: <www.acadciencias.org.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. ASSOCIAÇÃO NACIONAL DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM EDUCAÇÃO (ANPEd). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.anped.org.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. ASSOCIAÇÃO NACIONAL DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA (ANPMat). 2018. Disponível em: <http://anpmat.sbm.org.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. CENTRO DE APERFEIÇOAMENTO DO ENSINO DE MATEMÁTICA “JOÃO AFFONSO PASCARELLI” (CAEM). São Paulo, 2018. Disponível em: <www.ime.usp.br/caem/>. Acesso em: 11 jul. 2018. CENTRO DE ESTUDOS MEMÓRIA E PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (CEMPEM). Campinas, 2018. Disponível em: <www.cempem.fe.unicamp.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO (CNPq). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.cnpq.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR (Capes). Brasília, DF, 2018. Disponível em: <www.capes.gov.br/>. Acesso em: 11 jul. 2018. FENOMENOLOGIA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (FEM). São Paulo, 2018. Disponível em: <http://fem.sepq.org.br>. Acesso em: 11 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS CONTEMPORÂNEOS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GECEM). Florianópolis, 2018. Disponível em: <http://gecem.ufsc.br/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS DE INFORMÁTICA APLICADA À APRENDIZAGEM MATEMÁTICA (GEIAAM). Florianópolis, 2018. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/geiaam/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM ETNOMATEMÁTICA (GEPEm). São Paulo, 2018. Disponível em: <www2.fe.usp.br/~etnomat/>. Acesso em: 11 jul. 2018. GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS DAS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GEPETICEM). Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: <www.gepeticem.ufrrj.br/portal/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE PESQUISA EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E/OU SUAS RELAÇÕES COM A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GPHM). Rio Claro, 2018. Disponível em: <https://sites.google. com/site/gphmat/>. Acesso em: 14 jul. 2018. GRUPO DE PESQUISA EM INFORMÁTICA, OUTRAS MÍDIAS E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (GPIMEM). Rio Claro, 2018. Disponível em: <http://igce.rc.unesp.br/#!/gpimem>. Acesso em: 14 jul. 2018.

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Matemática

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Realidade & Tecnologia

JOAMIR ROBERTO DE SOUZA Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela UEL-PR. Mestre em Matemática pela UEL-PR. Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

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Copyright © Joamir Roberto de Souza, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editor de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações

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Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Luís Felipe Porto Mendes Flávia Milão Silva, Francisco Mariani Casadore Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Alves Ferreira Carolina Alves Ferreira Ventura/Shutterstock.com Isabel Cristina Ferreira Corandin Eduardo Benetorio Aga Estúdio, Dayane Santiago, Débora Jóia, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin e Nadir Fernandes Rachetti Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Alex Silva, Ampla Arena, Artur Fujita, Bentinho, Daniel Bogni, Danillo Souza, Dayane Raven, Eber Evangelista, Fabio Eugenio, Leandro Marcondes, Leo Teixeira, Lucas Farauj, Marciano Palácio, Roberto Zoellner, Wandson Rocha, Yancom Allmaps Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Miyuki Kishi, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques e Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Souza, Joamir Roberto de Matemática realidade & tecnologia : 7o ano : ensino fundamental : anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2018. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-96-01994-1 (aluno) ISBN 978-85-96-01995-8 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-20860

CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental

372.7

Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

EDITORA FTD. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br central.relacionamento@ftd.com.br

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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APRESENTAÇÃO Olá! Onde está a Matemática? Talvez não percebamos, mas as respostas a essa pergunta estão em muitas situações do nosso dia a dia, como quando vamos ao supermercado e comparamos os preços dos produtos, verificamos o prazo de validade, observamos o formato das embalagens e estimamos o valor da compra e do troco. O avanço das tecnologias da informação e comunicação permitiram ampliar as aplicações matemáticas cotidianas: avaliar quantas fotografias digitais podem ser armazenadas em um pendrive e analisar gráficos e tabelas em notícias disponibilizadas na internet são apenas alguns exemplos disso. A Matemática está presente até mesmo quando estamos brincando com um jogo de tabuleiro ou eletrônico, seja na compreensão das regras e no jogar ou no estudo das chances de vitória. Este livro foi escrito pensando em contribuir para seu aprendizado em Matemática, de maneira a possibilitar que você se desenvolva e se torne um cidadão crítico e participativo na sociedade. É muito importante que você acompanhe as orientações e explicações de seu professor e, sempre que tiver uma dúvida ou sugestão, que se expresse e as compartilhe com seus colegas. Por fim, desejo um ótimo ano de estudos. O autor.

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CONHEÇA SEU LIVRO Seu livro está dividido em oito unidades, que possuem abertura, atividades, seções e boxes.

Flipagem Você sabe como são feitos os filmes de animação? Uma das técnicas mais utilizadas para a produção de filmes de animação é a flipagem (do inglês flip, que significa virar rapidamente). Nessa técnica, a passagem de várias imagens bem parecidas em alta velocidade gera a ilusão de movimento. Como nossa visão consegue distinguir até 8 imagens por segundo, os desenhistas fazem, no mínimo, 12 desenhos para compor cada 1 segundo da animação. Assim, uma animação curta de 30 segundos necessita que sejam feitos pelo menos 360 desenhos.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

Resposta esperada: É criada uma sequência com desenhos muito parecidos, em que há pequenos detalhes diferentes entre um desenho e o próximo, de modo que, ao passar rapidamente essas imagens em sequência, tem-se a ilusão de movimento. Resposta esperada: Multiplicando-se a quantidade de segundos que terá a cena pela quantidade de desenhos que serão exibidos por segundo.

MÚLTIPLOS, DIVISORES, POTÊNCIAS E RAÍZES

Quais são os filmes de animação de que você mais gosta? Você entendeu como a técnica de flipagem é realizada? Explique aos colegas como ela funciona. Como você faria para calcular quantos desenhos são necessários para produzir uma cena de alguns segundos em um filme de animação?

WALT DISNEY /ENTERTAINMENT PICTURES/ ZUMA PRESS/ GLOW IMAGES

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Organizada em página dupla, apresenta uma diversidade de imagens, textos e infográficos acompanhados de algumas questões sobre o tema proposto.

Resposta pessoal.

LEO TEIXEIRA, SANDY FELSENTHAL/CORBIS/VCG/GETTY IMAGES

Abertura de unidade

Branca de Neve e os sete anões foi o primeiro longa-metragem de animação lançado pela Disney, em 1937. Utilizando a técnica de flipagem, a animação fez muito sucesso na época e até hoje é muito assistida.

Acesse estes sites para obter mais informações sobre filmes de animação e a técnica de flipagem. • RAMOS, M. No mundo da animação. Disponível em: <http://livro.pro/ngqqk2>. Acesso em: 2 out. 2018.

Fotogramas de película de desenho do Mickey Mouse. Repare nas pequenas diferenças entre esses desenhos, como a posição em que a personagem aparece em cada frame.

• O TRABALHÃO da animação. Ciência Hoje das Crianças. Disponível em: <http://livro.pro/f79bap>. Acesso em: 2 out. 2018.

Conexões

Aqui, são apresentadas sugestões de sites e livros que você pode consultar para ampliar seu conhecimento sobre certo tema que está sendo estudado.

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Conteúdo Os conteúdos ou conceitos matemáticos são desenvolvidos com o apoio de exemplos e questões que buscam a reflexão.

Mínimo múltiplo comum Você já brincou ou viu alguém brincando com um autorama? Lilian e Dênis estão observando uma corrida. Com um cronômetro, eles perceberam que os carrinhos demoravam tempos diferentes para completar a volta. Veja o esquema. Também podemos obter o mínimo múltiplo comum de três ou mais números naturais. Observe, por exemplo, o cálculo do mmc (3, 5, 10).

6 s para completar uma volta.

DA

NIEL

BO

GN

Múltiplos de 3

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...

Múltiplos de 5

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...

Múltiplos de 10

0, 10, 20, 30, 40, ...

I

Assim, temos que mmc (3, 5, 10) = 30. Outra estratégia de cálculo do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é a decomposição em fatores primos. Para estudar essa estratégia, considere o problema a seguir.

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...

Note que 0, 24, 48 e 72 são múltiplos comuns de 6 e 8. Observe também que eles formam uma sequência na qual, a partir do zero, adiciona-se 24 para obter o próximo número. O número 24 é o menor número múltiplo comum de 6 e 8, diferente de zero. Assim, dizemos que 24 é o mínimo múltiplo comum de 6 e 8, que é indicado por mmc (6, 8) = 24. Portanto, os carrinhos passaram juntos pela largada a cada

ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

Yuri trabalha em um supermercado e vai fazer dois empilhamentos de caixas cúbicas: um apenas com caixas do tipo A e outro apenas com caixas do tipo B, representadas ao lado. Quantos centímetros de altura devem ter esses empilhamentos, no mínimo, de maneira que ambos fiquem no mesmo nível? Para resolver esse problema, podemos determinar o mínimo múltiplo comum entre 12 e 20, decompondo simultaneamente esses números em fatores primos. Observe a resolução.

Qual é o próximo múltiplo comum de 6 e 8 maior do que 72? Converse com o professor e os colegas sobre como você resolveu essa questão.

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2 2 3 5

Divide ambos os números. Divide apenas o 3. Divide apenas o 5.

De acordo com a resposta desse problema, determine quantas caixas de cada tipo devem ter os empilhamentos.

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Para pensar

Neste boxe são propostas questões para que você possa refletir e analisar situações que podem contribuir para a compreensão de determinados assuntos ou conceitos.

Divide ambos os números.

Um empilhamento com 5 caixas do tipo A e outro com 3 caixas do tipo B.

96. Resposta esperada: Adicionando 24, que é o mínimo múltiplo comum de 6 e 8, ao número 72.

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20 10 5 5 1

Portanto, os empilhamentos de caixas devem ter, no mínimo, 60 cm de altura.

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4

20 cm 12 cm

Temos que o mínimo múltiplo comum entre 12 e 20 é dado pelo produto dos fatores primos obtidos: mmc (12, 20) = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = 60

24 s.

O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b pode ser indicado por mmc (a, b).

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12, 6, 3, 1, 1,

tipo B tipo A RIVAIL/YANCOM

8 s para completar uma volta.

Em uma corrida, a cada quantos segundos esses carrinhos passam juntos novamente pela largada? Para resolver esse problema, podemos obter múltiplos de 6 e múltiplos de 8.

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a) (+9) ? (_3) _27

e) (_72) : (_8) 9

b) (_15) ? (_5) 75

f) (_105) : (+7)_15

c) (_12) ? (+4) _48

g) (+240) : (+20) 12

d) (+8) ? (+25) 200

h) (+96) : (_6) _16

Pensei em um número, multipliquei esse número por (−5) e obtive (−130). Em que número pensei?

BECK, A. Armandinho um. Florianópolis: A. C. Beck, 2014. p. 85.

a) Qual propriedade da multiplicação Armandinho disse ter estudado na escola? Explique essa propriedade com um exemplo envolvendo números positivos e números negativos. Propriedade comutativa da multiplicação. Resposta pessoal. b) No último quadrinho, o que o pai de Armandinho não permite que ele faça? Qual a relação disso com essa propriedade da multiplicação? c) Usando a propriedade da multiplicação citada por Armandinho, identifique os itens que apresentam o mesmo resultado. I e IV; III e V.

LUCAS FARAUJ

DAYANE RAVEN

2. José trabalha em uma sorveteria. Observe a temperatura interna da máquina com a qual ele está fabricando picolés.

a)

?(+2)

_8 b)

?(_3)

_10

?(+2)

?(+2)

?(+2)

?(+2)

_16 _32 _64 _128 … _256, _512 e _1 024. ?(_3)

30

?(_3)

?(_3)

?(_3)

_90 270 _810 2 430, _7 290 e 21 870.

I (_6) ? (+14)

6. Veja como Marina calculou o resultado de (_5) ? (+12) ? (_20), associando os fatores de maneira conveniente.

Se a máquina for ajustada a fim de que a temperatura abaixe, ficando com o dobro da temperatura atual, quantos graus Celsius ela vai registrar? _14 °C. 3. Júlia não controlou bem suas despesas e o saldo bancário de sua conta ao final de janeiro ficou em −R$ 638,00, ou seja, saldo negativo. Após planejar melhor seus gastos, conseguiu que o saldo da conta, ao final de fevereiro, correspondesse à metade daquele do mês anterior. Qual foi o saldo da conta bancária de Júlia ao final de fevereiro? _R$ 319,00. 4. Escreva os próximos três números de cada sequência numérica.

Propostas para serem realizadas individualmente ou em grupo, as atividades apresentam e discutem os conteúdos ou conceitos matemáticos em estudo. O uso de imagens, tirinhas, textos e outros recursos faz que as atividades fiquem ainda mais interessantes.

5. Determine o número em que Luiz está pensando. 26 ALEXANDRE BECK

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Calcule.

Atividades

8. b) Resposta esperada: O pai de Armandinho não permite que ele coma chocolate antes do jantar. Resposta esperada: De acordo com Armandinho, assim como a ordem dos fatores na multiplicação não altera o produto, 8. Leia a tirinha. alterar a ordem entre jantar e comer o chocolate também não altera o resultado.

6. a) Resposta esperada: Para obter um número inteiro terminado em zero, a fim de facilitar o cálculo da etapa seguinte.

Resoluções na p. 278

AtividadeS

II (_14) ? (_6)

III (_14) ? (+16)

9. Para verificar se o resultado da expressão (+14) ? (_9) ? (_22) é um número positivo ou negativo, Inês pensou apenas nos sinais dos fatores: associou, pela multiplicação, os sinais dos dois primeiros fatores e, depois, associou o sinal desse produto ao do outro fator.

(_5) ? (+12) ? (_20) = = (+100) ? (+12) = = 1 200 a) Por que você acha que Marina, na primeira etapa, associou os fatores da multiplicação dessa maneira?

+

? _

? _

_ ?

_

a) Qual das expressões numéricas a seguir corresponde à temperatura dessa câmara frigorífica após o término do ajuste? III. I. (+2) – (+4) ? (_5) II. (+4) ? (_2) ? (+5) III. (_2) + (+4) ? (_5) b) Ao término do ajuste, qual será a temperatura dessa câmara frigorífica? _22 oC.

+ Verifique, mentalmente, se o resultado de cada produto a seguir é um número positivo ou um número negativo.

7. No caderno, elabore e escreva dois problemas envolvendo a multiplicação e a divisão de números inteiros. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva os do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

V (+16) ? (_14)

10. A temperatura de certa câmara frigorífica de um supermercado está −2 oC. Para acondicionar novas mercadorias, essa temperatura será ajustada por 4 h de maneira que, a cada hora, diminua 5 oC.

(+14) ? (_9) ? (_22)

b) Agora, calcule o resultado de cada multiplicação. (_4) ? (_25) = 100; 100 ? (_28) = _2 800. • (_4) ? (_28) ? (_25) (+2) ? (_150) = _300; (_300) ? (+7) = _2 100. • (+2) ? (_150) ? (+7) (_20) ? (_30) = 600; 600 ? (+6) = 3 600. • (+6) ? (_20) ? (_30)

IV (+14) ? (_6)

11. Observe como Heitor desenvolveu a expressão (_8) ? [(_6) + (+10)].

(_8) ? [(_6) + (+10)] = = (_8) ? (_6) + (_8) ? (+10)

a) (_13) ? (+4) ? (_19) Número positivo: a e d; número negativo: b e c.

b) (+21) ? (+2) ? (_17)

a) A partir do que fez Heitor, termine de resolver a expressão numérica. (+48) + (_80) = _32. b) Resolva a expressão (+15) ? [(_7) + (_20)]. d) (+20) ? (_30) ? (_16) ? (+5) 11. b) (+15) ? [(_7) + (_20)] = (+15) ? (_7) + (+15) ? (_20) = (_105) + (_300) = _405.

c) (_75) ? (_46) ? (_8)

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Triângulos

Condição de existência de um triângulo

Muitas pessoas gostam de passear de bicicleta. Algumas, no entanto, utilizam suas bicicletas para praticar esportes. Nos Jogos Olímpicos, por exemplo, quatro modalidades preveem o uso de bicicleta: ciclismo BMX, ciclismo de estrada, ciclismo de pista e ciclismo MTB. Nessas modalidades, as bicicletas possuem diferenças, que buscam atender às necessidades específicas da modalidade, como velocidade, manobras e resistência. Essas bicicletas, contudo, costumam ter algo em comum: composições triangulares em sua estrutura. Observe.

A professora de Matemática de Antônio propôs aos alunos que tentassem representar contorno de triângulos com canudos de diferentes comprimentos e barbantes. Observe as tentativas de Antônio. A

C 10 cm 4 cm

6 cm

2 cm 4 cm

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

8 cm

Veja no material audiovisual o vídeo sobre construção de triângulos.

8 cm

8 cm

2 cm

6 cm

GILANG PRIHARDONO / SHUTTERSTOCK.COM

IAMLUKYEEE / SHUTTERSTOCK.COM

8 cm

Ciclismo BMX.

D

10 cm

8 cm 6 cm

B

Ciclismo de estrada.

4 cm

10 cm 2 cm STOCKPHOTO-GRAF/ SHUTTERSTOCK.COM

NERTHUZ/ISTOCK/ GETTY IMAGES

Ciclismo de pista.

Ciclismo MTB.

4 cm

2 cm

10 cm

8 cm

A e D. B e C. A: 8 cm + 6 cm = 14 cm . 10 cm; B: 6 cm + 2 cm = 8 cm , 10 cm; C: 4 cm + 2 cm = 6 cm , 8 cm; D: 6 cm + 4 cm = 10 cm . 8 cm.

Note que Antônio conseguiu representar contorno de triângulos apenas nas tentativas em que o comprimento do maior canudo era menor que a soma dos comprimentos dos dois outros canudos.

Acesse este site para obter mais informações sobre as modalidades do ciclismo. • COB. Esportes. Disponível em: <http://livro.pro/siagxj>. Acesso em: 3 out. 2018.

A construção de um triângulo é possível apenas quando a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Essa é a condição de existência de um triângulo.

Essa característica está relacionada à chamada rigidez do triângulo, ou seja, à sua propriedade de não se deformar, o que não ocorre com outros polígonos. A rigidez do triângulo também é utilizada em diversas outras estruturas, como a de pontes e telhados. fique ligado

6 cm

6 cm

LUCAS FARAUJ

6 cm

Em quais tentativas Antônio conseguiu representar o contorno de um triângulo? E em quais ele não conseguiu? Para cada tentativa, calcule a soma dos comprimentos dos dois canudos menores e compare com o comprimento do canudo maior.

Veja no material audiovisual o vídeo sobre estruturas triangulares na construção civil.

Ao realizarmos esse experimento, na tentativa de representar estruturas que lembram o contorno de outros polígonos, não conseguimos estruturas rígidas. Observe, por exemplo, a representação do contorno do quadrado.

RODRIGO/YANCOM

RODRIGO/YANCOM

Verificando a rigidez de um triângulo Podemos, experimentalmente, perceber a rigidez do triângulo utilizando canudos e pedaços de barbante. Observe.

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fique ligado Neste boxe são apresentadas informações complementares sobre o contexto em estudo, ampliando seu conhecimento sobre o tema.

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integrando com

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

NÃO ESCREVA Resoluções 1. Quais são os planetas do Sistema Solar? NO LIVRO. Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. na p. 276 2. Explique o que é a órbita de um planeta. Resposta esperada: É a trajetória que esse planeta realiza em torno do Sol. 3. Construa uma tabela no caderno e organize as informações apreResposta nas Orientações para o professor. sentadas no esquema.

Uma viagem em torno do Sol Você já imaginou participar de uma viagem em torno do Sol? Acredite, você já está participando! Os objetos espaciais, como planetas, estrelas, cometas, entre outros, formam o Sistema Solar. O Sol, que é uma estrela, é o maior componente desse sistema e ocupa a posição central. A Terra e os demais planetas giram em torno do Sol, descrevendo uma trajetória chamada órbita. O intervalo de tempo que um planeta demora para executar uma órbita chama-se período orbital e, assim como o comprimento da órbita, varia de acordo com cada planeta. O período orbital da Terra, por exemplo, é de cerca de 365 dias, ou seja, 1 ano. Já o período orbital de Marte corresponde a cerca de 2 anos terrestres. Observe o esquema.

4. Enquanto Urano completa uma volta em torno do Sol, quantas voltas completas Júpiter realiza? 7 voltas. 5. Considere o exato momento em que Marte e Júpiter, em suas órbitas, alinham-se com o Sol. Depois de quantos anos terrestres esse alinhamento acontecerá novamente nessa mesma posição? 12 anos terrestres.

RODRIGO/YANCOM

ciências

Período orbital aproximado dos planetas do Sistema Solar Saturno 29 anos terrestres Netuno 165 anos terrestres Vênus 225 dias terrestres Marte 2 anos terrestres

Terra 365 dias terrestres

Urano 84 anos terrestres

Mercúrio 88 dias terrestres Júpiter 12 anos terrestres

Fonte dos dados: RIDPATH, I. Astronomia. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.

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33

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Integrando com... Já observou como Arte, Ciências, Educação Física, Geografia, História, Língua Portuguesa e Matemática mantêm um diálogo constante? Nesta seção são desenvolvidos momentos de integração em que você vai usar o que aprendeu em diferentes áreas e perceber que há muitas maneiras de estudar um assunto.

Você cidadão Esta seção possibilita a reflexão e o diálogo sobre o significado do que é ser cidadão! São trabalhados temas importantes da vida em sociedade e é mostrado como suas ações, com base em conhecimentos matemáticos, podem fazer a diferença no mundo.

você

1. Resposta esperada: Informar e conscientizar sobre os perigos do uso dos smartphones ao volante.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em sua opinião, qual é o principal objetivo desse texto?

cidadão

Resoluções na p. 285

2. Observe a tabela a seguir e resolva as questões.

Entenda os riscos do uso do smartphone ao volante

Trechos da via percorridos às cegas

Leia com atenção o texto a seguir.

Distração mortal Não sabemos mais o que é viver sem nossos smartphones. [...] Em pouco mais de 20 anos, com a inserção e ampliação da presença da internet nesses dispositivos, o antigo celular se transformou em outra coisa. Ou melhor, outras coisas: um computador, um GPS, uma agência bancária, uma televisão, um aparelho de som, uma câmera fotográfica, uma filmadora, uma banca de jornais... e, claro, um telefone. Além de um tipo de correio instantâneo, no qual você troca mensagens com seus contatos na hora em que quiser, por mais distante que você esteja. [...] Essa interação com a nova tecnologia, quando em locais seguros, além de atraente é uma mão na roda – para agilizar nossas atividades do dia a dia, [...]. O problema é quando essas distrações acontecem diante de um volante de veículo. Nesse caso, o que era para ser lazer ou busca de informação se torna uma atividade extremamente perigosa – e que em muitos casos se torna fatal. [...] é importante lembrar que o uso de smartphone ao volante é proibido pelo Código de Trânsito Brasileiro e é passível de multa de R$ 293,47, além de render 7 pontos na carteira de habilitação. [...] Mas mais importante do que não ser autuado é se conscientizar dos riscos que o condutor e os outros passageiros correm quando o motorista se distrai ao volante.[...]

Interação com o smartphone

Tempo gasto (em segundos)

Ler ou responder mensagem

1,48

Distância percorrida a 50 km/h (em metros) 20,6

Abrir o aplicativo de rede social

3,5

48,6

Destravar o celular

1,5

20,8

Fonte: RUBIO, A.; SANTOS, A. C. dos. Distração mortal. Revista Cesvi, São Paulo, n. 106, p. 15, abr./maio/jun. 2017.

a) Cerca de quantos segundos o condutor demora para destravar o smartphone ao volante? 1,5 segundo. b) Qual dessas interações com o smartphone faz que o condutor percorra o maior trecho da via às cegas? Quantos segundos ele gasta? Abrir o aplicativo de rede social. 3,5 segundos.

d) Você ainda não dirige, mas é pedestre e, ocasionalmente, pode ser passageiro em um veículo. Junte-se a um colega e confeccionem um cartaz apresentando informações sobre os riscos de usar o smartphone ao volante. Se necessário, realizem uma pesquisa. Resposta pessoal.

WANDSON ROCHA

c) Elvis recebeu uma mensagem enquanto dirigia. Ele destravou o smartphone e leu a mensagem. Cerca de quantos segundos ele demorou para realizar essas interações? Ao todo, quantos metros ele percorreu às cegas? 2,98 segundos. 41,4 metros.

Anualmente, morrem no Brasil dezenas de milhares de pessoas em acidentes de trânsito, muitos deles ocasionados pela falta de atenção por causa do uso de smartphone.

RUBIO, A.; SANTOS, A. C. dos. Distração mortal. Revista Cesvi, São Paulo, n. 106, p. 12-14, abr./maio/jun. 2017.

Em geral, nosso cérebro não consegue realizar com exatidão duas tarefas simultaneamente. Por exemplo, quando uma pessoa fala ou escreve no smartphone enquanto dirige tem sua atenção diminuída.

O smartphone é uma das maiores causas de distração ao volante. Quando o condutor, a 50 km/h, lê ou responde uma mensagem, ele fica cerca de 1,48 segundos sem olhar a via percorrendo cerca de 20,6 m, o que equivale a ultrapassar 10 motocicletas enfileiradas.

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Você conectado

3a

conectado

Para calcular a estimativa da altura de uma menina cujo pai mede 180 cm e a mãe 175 cm, digitamos esses valores nas células A2 e B2, respectivamente.

São propostas atividades que envolvem conceitos matemáticos com o apoio de recursos tecnológicos, como o GeoGebra e a planilha eletrônica Calc. Por meio de construções, você vai analisar e discutir características de figuras geométricas planas, realizar transformações de figuras, construir tabelas e gráficos, estudar sequências numéricas, entre outras atividades. Na parte final do livro há instruções gerais sobre os recursos utilizados nesta seção.

Fórmulas na planilha eletrônica

MD. KHALID HOSSEN/ SHUTTERSTOCK.COM

LIBREOFFICE 2018

Vamos utilizar a planilha eletrônica Calc para estudar fórmulas. Neste exemplo, vamos recorrer à fórmula para estimar a altura de uma criança quando ela atingir a fase adulta com base na altura de seus pais, trabalhada na atividade 10 da página 143. Observe.

Ameninas = P + M _ 13 2

Ameninos = P + M + 13

Observe que as medidas das alturas são indicadas, na planilha eletrônica, em centímetros.

2

P: altura do pai em centímetros. M: altura da mãe em centímetros. A: altura estimada da criança quando atingir a fase adulta.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções na p. 289

1. O pai de Fernanda tem 170 cm e a mãe, 159 cm. Utilizando a planilha eletrônica Calc, estime a altura de Fernanda quando atingir a fase adulta. 158 cm ou 1,58 m.

1a

É necessário indicar, na planilha eletrônica, em quais células serão digitados valores para as variáveis. Utilizamos uma coluna para registrar a altura do pai (coluna A), outra para a altura da mãe (coluna B) e outra para a estimativa da altura de meninas (coluna C).

2. De maneira análoga à apresentada, organize uma planilha eletrônica para estimar a altura de um menino. Em seguida, com essa planilha, calcule a estimativa da altura de um menino, quando atingir a fase adulta, cujas alturas dos pais estão indicadas a seguir. 183 cm ou 1,83 m.

185 cm

meninas

168 cm

DAYANE RAVEN

Para fazer a estimativa da altura de meninas, na célula C2 escrevemos = (A2 + B2 _ 13)/2, que corresponde à fórmula = P + M _ 13 A

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

2a

3. Calcule duas opções de medidas da altura de um homem e uma mulher para que a filha tenha altura estimada em 175 cm quando atingir a fase adulta.

2

Algumas respostas possíveis: 185 cm para o homem e 178 cm para a mulher; 190 cm para o homem e 173 cm para a mulher; 170 cm para o homem e 193 cm para a mulher. 159

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Dica

Neste boxe você encontra dicas ou lembretes importantes para a melhor compreensão de alguma informação.

3. V) 430 ou 43 . Conceitos: Transformação de números racionais: forma de fração e forma decimal. 1 000 100 3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

Resoluções na p. 286

o que estudei

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

SITUAÇÃO INICIAL

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018 ocorreu na Rússia. Observe algumas informações sobre essa competição.

Fração dos países participantes por continente da Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

Continente

Fração

África

5 32

América

1 4

Ásia

1 8

Europa

7 16

Oceania

1 32

Bola oficial. Massa: 0,430 kg.

Média de gols marcados por partida: 2,64.

Fonte: FIFA WORLD CUP. Rússia 2018. Disponível em: <www.fifa.com/worldcup/>. Acesso em: 3 ago. 2018.

LEANDRO MARCONDES, URBANBUZZ/SHUTTERSTOCK.COM

você

PROBLEMAS 2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.

O que estudei

Ideias de fração

Divisão de frações

Multiplicação de números decimais

parte deles? Europa. Conceitos: Comparação de frações.

Fração de uma quantidade

Multiplicação de frações

Número p

Frações na reta

Comparação de frações

numérica

Comparação de números decimais

Dízima periódica

Frações equivalentes

Divisão de números decimais

continentes americano e europeu juntos? 11 . Conceitos: Adição de frações. 16

Adição e subtração de frações

III Nessa copa participaram 32 países. Quantos desses países eram do continente asiático? 4 países. Conceitos: Fração de uma quantidade.

IV Quantos quilogramas têm juntas cinco bolas oficiais como as utilizadas

Números decimais na reta

nessa copa? 2,15 kg. Conceitos: Multiplicação de números decimais; adição de números decimais.

numérica

Números decimais

V Que fração de 1 kg corresponde à massa da bola oficial utilizada nessa copa?

Adição e subtração de números decimais

VI Na Copa de 2014, no Brasil, a média de gols marcados por partida foi de aproximadamente 2,67 gols. Em qual copa a média de gols por partida foi maior: de 2014 ou de 2018? Quantos gols de diferença em média?

Copa de 2014. 0,03 gol. Conceitos: Comparação de números decimais; subtração de números decimais. 136

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ícones

Neste momento do livro, você vai refletir sobre os conteúdos ou conceitos matemáticos estudados na Unidade. As questões propostas buscam o desenvolvimento de uma autoavaliação, de modo que você consiga identificar o que foi aprendido a contento e aquilo que precisa ser revisto.

I Considerando os países participantes, de qual continente era a maior II Que fração dos participantes da Copa de 2018 corresponde a países dos

137

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Nas atividades identificadas com este ícone, o cálculo ou procedimento de resolução deve ser feito, de preferência, mentalmente. As atividades identificadas com este ícone podem ser resolvidas com o auxílio de uma calculadora. Nas atividades com este ícone é apresentada uma variedade de textos e imagens que buscam desenvolver sua competência como leitor.

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Nas atividades com este ícone, você é convidado a registrar seus pensamentos, suas reflexões ou conclusões de diferentes maneiras, como por meio de desenho e entrevista. Nas atividades identificadas com este ícone, a resposta deve ser realizada oralmente e compartilhada com os colegas. Este selo aparece em atividades cuja resolução deve ser feita com um ou mais colegas.

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7

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SUMÁRIO unidade

1

Múltiplos, divisores, potências e raízes | 12

unidade

Múltiplos e divisores ................................................................... 14 Números primos e números compostos .................................. 15 Atividades ................................................................................... 16 Mínimo múltiplo comum ........................................................ 18 Atividades ................................................................................... 20 Máximo divisor comum .......................................................... 21 Atividades ................................................................................... 22 Potências e raízes ........................................................................ 24 Potenciação ............................................................................ 24 Atividades ................................................................................... 26 Radiciação .............................................................................. 28 Atividades ................................................................................... 30 Integrando com ciências Uma viagem em torno do Sol ........... 32 Você conectado Calculando múltiplos ...................................... 34 O que estudei ............................................................................. 36

2

Números inteiros | 38

Os números negativos ................................................................ 40 Os números inteiros e a reta numérica ....................................... 42 Distância de um ponto à origem na reta numérica ................. 43 Atividades ................................................................................... 44 Comparação de números inteiros ................................................ 45 Atividades ................................................................................... 46 Operações com números inteiros ................................................ 48 Adição .................................................................................... 48 Atividades ................................................................................... 49 Subtração ............................................................................... 51 Atividades ................................................................................... 52 Multiplicação .......................................................................... 54 Divisão.................................................................................... 55 Atividades ................................................................................... 56 Você cidadão Preservação sob as águas ..................................... 58 Você conectado Controle financeiro ........................................ 60 O que estudei ............................................................................. 62

8

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unidade

3

Figuras geométricas planas | 64

unidade

Ângulos ...................................................................................... 66 Atividades ................................................................................... 68 Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal ........ 70 Atividades ................................................................................... 72 Polígonos .................................................................................... 74 Atividades ................................................................................... 76 Polígonos no plano cartesiano................................................ 78 Atividades ................................................................................... 79 Triângulos............................................................................... 80 Atividades ................................................................................... 82 Os ângulos nos polígonos ....................................................... 84 Atividades ................................................................................... 86 O círculo e a circunferência ......................................................... 88 Atividades ................................................................................... 90 Integrando com arte A Matemática além dos números ........... 94 Você conectado Ângulos entre retas ........................................ 96 O que estudei ............................................................................. 98

4

Os números racionais | 100

Números racionais na forma de fração................................................................................. 102 Atividades ............................................................................................................................ 104 Frações equivalentes, simplificação e comparação de frações .......................................... 107 Atividades ............................................................................................................................ 109 Adição e subtração de frações ......................................................................................... 110 Atividades ............................................................................................................................ 111 Multiplicação de frações .................................................................................................. 113 Atividades ............................................................................................................................ 115 Divisão de frações............................................................................................................ 117 Atividades ............................................................................................................................ 119 Números racionais na forma decimal ................................................................................... 120 Transformação de um número racional na forma decimal para a forma de fração .......... 120 Transformação de um número racional na forma de fração para a forma decimal .......... 121 Comparação de números decimais .................................................................................. 121 Atividades ............................................................................................................................ 122 Adição e subtração de números decimais ........................................................................ 124 Atividades ............................................................................................................................ 125 Multiplicação de números decimais ................................................................................. 126 Atividades ............................................................................................................................ 127 Divisão de números naturais com quociente decimal ...................................................... 128 Divisão com números decimais ........................................................................................ 129 Atividades ............................................................................................................................ 130 Você cidadão Entenda os riscos do uso do smartphone ao volante .................................... 132 Você conectado Construindo e medindo o comprimento de uma circunferência .............. 134 O que estudei ...................................................................................................................... 136

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9

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unidade

5

Expressões algébricas e equações | 138

unidade

Expressões algébricas ............................................................... 140 Atividades ................................................................................. 141 Sequências ................................................................................ 144 Atividades ................................................................................. 146 Equações ................................................................................... 148 Equação do 1o grau com uma incógnita ............................... 149 Atividades ................................................................................. 150 Resolução de equações do 1o grau com uma incógnita......... 152 Atividades ................................................................................. 153 Integrando com história Leonardo de Pisa e sua famosa sequência .......................... 156 Você conectado Fórmulas na planilha eletrônica ................... 158 O que estudei ........................................................................... 160

6

Proporcionalidade e simetria | 162

Proporcionalidade ............................................................................... 164 Razão ............................................................................................. 164 Atividades ........................................................................................... 166 Proporção ....................................................................................... 169 Atividades ........................................................................................... 170 Relação entre grandezas ................................................................ 171 Atividades ........................................................................................... 173 Atividades ........................................................................................... 179 Simetria .............................................................................................. 181 Simetria de reflexão ....................................................................... 181 Atividades ........................................................................................... 184 Simetria de translação .................................................................... 186 Atividades ........................................................................................... 187 Simetria de rotação ........................................................................ 189 Atividades ........................................................................................... 190 Integrando com arte e língua portuguesa Perfeita simetria .......... 192 Você conectado Figuras simétricas – reflexão em relação a um eixo ............................................................... 194 Figuras simétricas – rotação em relação a um ponto ............................................................ 196 O que estudei ..................................................................................... 198

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unidade

7

Medidas de superfície e volume | 200

unidade

Medidas de superfície ............................................................... 202 Atividades ................................................................................. 203 Área de quadriláteros ........................................................... 204 Atividades ................................................................................. 207 Área do triângulo ................................................................. 211 Atividades ................................................................................. 212 Medidas de volume................................................................... 214 Atividades ................................................................................. 215 Volume do bloco retangular ................................................. 218 Atividades ................................................................................. 220 Você cidadão Gerando energia elétrica em casa ...................... 222 O que estudei ........................................................................... 224

8

Estatística e probabilidade | 226

Estatística ............................................................................................ 228 Tabelas ........................................................................................... 228 Atividades ........................................................................................... 229 Gráfico de colunas e gráfico de barras ............................................ 230 Gráfico de segmentos ..................................................................... 231 Atividades ........................................................................................... 231 Gráfico de setores........................................................................... 234 Atividades ........................................................................................... 235 Média aritmética ............................................................................ 237 Atividades ........................................................................................... 238 Pesquisa estatística ......................................................................... 240 Atividades ........................................................................................... 242 Probabilidade ...................................................................................... 244 Atividades ........................................................................................... 245 Você cidadão Valorização da mulher ................................................. 248 Você conectado Construindo gráficos .............................................. 250 O que estudei ..................................................................................... 252 VOCÊ CONECTADO: Instruções gerais ................................................. 254 RESPOSTAS.......................................................................................... 258 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................... 271

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UNIDADE TEMÁTICA

1

• Números. OBJETO DE CONHECIMENTO • Múltiplos e divisores de um número natural. HABILIDADE • EF07MA01

MÚLTIPLOS, DIVISORES, POTÊNCIAS E RAÍZES

GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Flipagem Você sabe como são feitos os filmes de animação? Uma das técnicas mais utilizadas para a produção de filmes de animação é a flipagem (do inglês flip, que significa virar rapidamente). Nessa técnica, a passagem de várias imagens bem parecidas em alta velocidade gera a ilusão de movimento. Como nossa visão consegue distinguir até 8 imagens por segundo, os desenhistas fazem, no mínimo, 12 desenhos para compor cada 1 segundo da animação. Assim, uma animação curta de 30 segundos necessita que sejam feitos pelo menos 360 desenhos.

LEO TEIXEIRA, SANDY FELSENTHAL/CORBIS/VCG/GETTY IMAGES

COMPETÊNCIAS

Acesse estes sites para obter mais informações sobre filmes de animação e a técnica de flipagem. • RAMOS, M. No mundo da animação. Disponível em: <http://livro.pro/ngqqk2>. Acesso em: 2 out. 2018. • O TRABALHÃO da animação. Ciência Hoje das Crianças. Disponível em: <http://livro.pro/f79bap>. Acesso em: 2 out. 2018. 12

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3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáti-

cos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

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Resposta pessoal.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Quais são os filmes de animação de que você mais gosta? Você entendeu como a técnica de flipagem é realizada? Explique aos colegas como ela funciona. Como você faria para calcular quantos desenhos são necessários para produzir uma cena de alguns segundos em um filme de animação?

WALT DISNEY /ENTERTAINMENT PICTURES/ ZUMA PRESS/ GLOW IMAGES

Resposta esperada: É criada uma sequência com desenhos muito parecidos, em que há pequenos detalhes diferentes entre um desenho e o próximo, de modo que, ao passar rapidamente essas imagens em sequência, tem-se a ilusão de movimento. Resposta esperada: Multiplicando-se a quantidade de segundos que terá a cena pela quantidade de desenhos que serão exibidos por segundo.

Branca de Neve e os sete anões foi o primeiro longa-metragem de animação lançado pela Disney, em 1937. Utilizando a técnica de flipagem, a animação fez muito sucesso na época e até hoje é muito assistida.

Fotogramas de película de desenho do Mickey Mouse. Repare nas pequenas diferenças entre esses desenhos, como a posição em que a personagem aparece em cada frame.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 e à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema tratado busca apresentar

13

informações sobre a técnica de flipagem para a produção de animações, constituindo um exemplo de conhecimento historicamente construído no campo das tecnologias digitais e estabelecendo relações da Matemática com outras áreas do conhecimento. Ler para os alunos o trecho

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a seguir, que explica o motivo de termos a ilusão de movimento da imagem quando aplicada a técnica de flipagem. [...] [Essa ilusão] ocorre por causa de um fenômeno chamado persistência da visão. Os nossos olhos

guardam qualquer imagem vista por uma pequena fração de segundo depois de ela já ter desaparecido. Assim, se uma segunda imagem substituir a primeira em um intervalo de tempo igual ou menor que essa fração de segundo, nós vamos achar que as duas imagens são uma só. Mas, para que a ilusão do movimento ocorra, é necessário que as imagens sejam parecidas e estejam em sequência, ou seja, elas precisam representar o caminho do movimento: “Se as imagens forem muito diferentes, a ilusão se perde”[...]. [...] FUNDAÇÃO OSWALDO CRUZ. No mundo da animação. Disponível em: <www.invivo.fiocruz.br/cgi/ cgilua.exe/sys/start.htm?infoid= 861&sid=9>. Acesso em: 3 set. 2018.

Chamar a atenção dos alunos para o trabalho e a demora de se produzir uma animação em longa-metragem. Pedir que calculem quantos desenhos no mínimo seriam necessários para produzir uma animação de 70 minutos em que, para cada segundo, há 12 desenhos, 50 400 desenhos). Como curiosidade, dizer a eles que, antes do avanço tecnológico dos computadores, os desenhos eram feitos, fotografados e projetados numa tela e que, atualmente, os desenhos já podem ser realizados diretamente no computador, pois existem programas específicos para gerar a animação.

NO DIGITAL – 1O Bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 1 e 2. • Desenvolver o projeto integrador sobre o diário de bordo de uma viagem. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF07MA01, EF07MA02 e EF07MA03. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1

0 8 6

_

6

Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos que para se obter 1 segundo da animação são necessários, no mínimo, 12 desenhos da cena. Para indicar a quantidade de desenhos necessários para produzir uma animação, considerando o tempo, em segundos, podemos escrever a seguinte sequência numérica, indicada em vermelho.

12,

24,

36,

48,

12 ? 0 = 0

12 ? 1 = 12

12 ? 2 = 24

12 ? 3 = 36

12 ? 4 = 48

60, 72, ... 12 ? 5 = 60

12 ? 6 = 72

Os números dessa sequência foram obtidos multiplicando-se por 12 os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Por isso, dizemos que os números dessa sequência são múltiplos de 12. Um número múltiplo de 12, ao ser dividido por 12, resultará em uma divisão exata. Assim, dizemos que 72 é divisível por 12, que 12 é divisor de 72 ou, ainda, que 12 é fator de 72. Dizemos que um número natural é múltiplo de outro, se o primeiro é resultado da multiplicação do segundo por um número natural qualquer. Dizemos que um número natural diferente de zero é divisor ou fator de outro, se a divisão do segundo pelo primeiro é exata. Podemos utilizar a divisão para verificar se: • um número natural é múltiplo de um número natural; • um número natural diferente de zero é divisor de um número natural. Exemplo:

0 1 8

8 _7 1 _1 0

4 8 0 0 divisão exata

Como a divisão 108 : 6 = 18 é exata, podemos afirmar que: • 108 é múltiplo de 6, pois 6 ? 18 = 108; • 108 é múltiplo de 18, pois 18 ? 6 = 108; • 6 é divisor de 108, pois 108 : 6 = 18 e resto 0; • 18 é divisor de 108, pois 108 : 18 = 6 e resto 0.

Mickey Mouse em cena do curta-metragem O Vapor Willie (1928).

0,

4 8 _

TOPFOTO/AGB PHOTO LIBRARY/KEYSTONE DO BRASIL

Múltiplos e divisores

MÚLTIPLOS E DIVISORES Nestas páginas é retomado o contexto da abertura de Unidade sobre flipagem para iniciar o trabalho com múltiplos e divisores, conteúdos já abordados na Unidade 2 do Volume 6 desta coleção. Após o exemplo desta página, reforçar com os alunos que, na divisão exata de dois números naturais, se um é divisor do outro, então o quociente da divisão também será divisor do dividendo. Na divisão exata 84 : 7 = 12, temos que 7 é divisor de 84, assim como 12 também é divisor de 84. Pedir aos alunos que calculem 84 : 12 e verifiquem que a divisão é exata. Também é possível explorar essa relação, mostrando aos alunos que 84 = 7 ? 12 e, portanto, as divisões 84 : 7 = 12 e 84 : 12 = 7 serão exatas e os números 7 e 12 serão divisores de 84. Verificar se eles compreenderam como identificar se um número é múltiplo ou divisor de outro. Caso julgar necessário, fazer com eles os seguintes exemplos na lousa. I) 108 : 6.

4

Como a divisão 84 : 7 = 12 é exata, podemos afirmar que:

7 12

4 4 0

• 84 é múltiplo de 7, pois 7 ? 12 = 84; • 84 é múltiplo de 12, pois 12 ? 7 = 84;

resto 0

divisão exata

• 7 é divisor de 84, pois 84 : 7 = 12 e resto 0; • 12 é divisor de 84, pois 84 : 12 = 7 e resto 0.

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II) 108 : 8.

1

0 8 8

_

8

0 1 3

2 8 _

2 4 0 4 Divisão não exata, pois 108 : 8 = 13 e resto 4.

Como a divisão 108 : 8 = = 13 e resto 4 é não exata, 8 não é divisor de 108. Após explorar esses exemplos, chamar a atenção dos alunos para o fato de que 108 é múltiplo de 6 e 18, mas não é múltiplo de 8. Também é possível explorar que 108 não é múltiplo de 13. Pedir aos

alunos que realizem o cálculo 108 : 13 e verifiquem que a divisão é não exata.

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Números primos e números compostos Você lembra o que são números primos e números compostos? Observe.

Número primo

Número natural maior do que 1 e que possui apenas dois divisores: o 1 e o próprio número.

Número composto

!

Número natural maior do que 1 e que possui mais de dois divisores.

Os números primos menores do que 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Para verificar se um número natural maior do que 1 é primo ou composto, podemos realizar sucessivas divisões desse número por primos de maneira ordenada. Observe, por exemplo, essa verificação para os números 133 e 113. • 133 1 33 2 _1 2 066 13 _12 01

1 33 3 _1 2 044 13 _12 01

1 33 5 _1 0 026 33 _30 03

_

1 33 7 7 019 63 _63 00

Como essa divisão é exata, temos que 133 é um número composto, uma vez que, pelo menos, 1, 7, 19 e 133 são seus divisores.

• 113 1 13 2 _1 0 056 13 _12 01

1 13 3 _ 9 037 23 _21 02

113 5 _1 0 022 13 _1 0 03

1 13 7 _ 7 016 43 _42 01

1 13 1 1 _1 1 010 03

É importante também relembrar com os alunos os critérios de divisibilidade, que foram trabalhados na Unidade 2 do Volume 6. Comentar que eles permitem verificar, de maneira prática, se um número é divisível por outro. Alguns critérios de divisibilidade estão apresentados a seguir. • 2: Um número natural é divisível por 2 quando é par. • 3: Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos também é divisível por 3. • 4: Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número também divisível por 4. • 5: Um número natural é divisível por 5 quando seu último algarismo for 5 ou 0. • 6: Um número natural é divisível por 6 quando ele for divisível por 2 e 3 simultaneamente. • 8: Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número também divisível por 8. • 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos também é divisível por 9. • 10: Um número natural é divisível por 10 quando seu último algarismo for 0.

Como a divisão é não exata e o quociente é menor do que o divisor (10 , 11), temos que 113 é um número primo.

!

Note que, na verificação de 113, se continuássemos as divisões sucessivas por números primos, obteríamos quocientes cada vez menores. Como já realizamos as divisões por números primos menores do que 13, não encontraríamos um número primo divisor de 113.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Números primos e números compostos Em relação aos números primos e números compostos, retomar com os alunos esse assunto, que foi estudado na Unidade 2 do Volume 6 desta coleção. Apresentar mais

exemplos para que eles possam identificar se um número natural maior do que 1 é primo ou composto, utilizando sucessivas divisões por primos de maneira ordenada. Além disso, ao apresentar o primeiro boxe Dica, relembrar com os alunos o Crivo de Eratóstenes, que consiste em

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um método para se obter números primos. Para complementar esse estudo, uma sugestão é elaborar um cartaz com os alunos contendo esse crivo para que eles possam consultá-lo durante as aulas.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, noções de múltiplos de um número natural. 2. Esta atividade trabalha noções de múltiplos de um número natural. Observar se os alunos utilizaram as estratégias apresentadas nas páginas anteriores para identificar se os números do quadro são múltiplos daqueles indicados em cada item. Caso eles tenham utilizado outra estratégia, verificar se ela é válida e pedir que compartilhem com os colegas da turma. 3. Esta atividade trabalha noções de divisores de um número natural. No item b, chamar a atenção dos alunos para o fato de que não é necessário todos os divisores de 60 estarem indicados no item. Para complementar esta atividade, pedir aos alunos que indiquem os divisores de 60 que não aparecem no item (1, 3, 4, 15, 30 e 60). 4. Esta atividade trabalha diferentes estratégias para a determinação de múltiplos de um número natural. 5. Esta atividade trabalha uma estratégia para a determinação de divisores de um número natural.

Resoluções na p. 273

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Sim. Resposta esperada: O número 480 foi obtido por meio da multiplicação de 12 por 40.

1. Utilizando a técnica da flipagem, quantos desenhos são necessários para se produzir um filme de animação de 40 segundos em que, para cada segundo, há 12 desenhos? 480 desenhos. • O número correspondente à quantidade de desenhos que você obteve como resposta é múltiplo de 12? Explique.

A partir do zero, adicionei 7 unidades sucessivas vezes.

0

7 +7

14 +7

21

+7

28

+7

35 +7

2. Observe os números do quadro e responda às questões. 10

21 63

22

45

121

91

72 18

140 7

b) 11. 0, 11, 22, 33, 44 e 55. c) 100. 0, 100, 200, 300, 400 e 500.

a) múltiplos de 9? 18, 45, 63 e 72.

d) 17. 0, 17, 34, 51, 68 e 85.

b) múltiplos de 5? 10, 45 e 140. c) múltiplos de 2? 10, 18, 22, 72 e 140. d) simultaneamente múltiplos de 2 e de 9? 18 e 72. 3. Observe os números apresentados em cada caso. I.

1

4

5

6

10

50

II.

1

2

5

10

25

50

III.

2

5

6

10

12

20

a) Em qual desses casos estão indicados todos os divisores 50? II. b) Em qual desses casos todos os números indicados são divisores de 60? III. 4. Veja como Alan e Bruna fizeram para obter alguns dos múltiplos de 7.

Escrevi os primeiros números naturais e multipliquei cada um deles por 7.

16

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AMPLIANDO

0 0

Com uma dessas estratégias, obtenha os seis primeiros múltiplos de: a) 6. 0, 6, 12, 18, 24 e 30.

Quais desses números são:

•7

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1 2 3 4 5 7 14 21 28 35

5. Para obter todos os divisores de 10, Camila dividiu esse número pelos números naturais de 1 até 10 e verificou as divisões exatas. Observe as anotações que ela fez.

10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 3 = 3 e resto 1 10 : 4 = 2 e resto 2 10 : 5 = 2 10 : 6 = 1 e resto 4 10 : 7 = 1 e resto 3 10 : 8 = 1 e resto 2 10 : 9 = 1 e resto 1 10 : 10 = 1 a) De acordo com as anotações de Camila, escreva todos os divisores de 10. 1, 2, 5 e 10. b) Agora, obtenha todos os divisores de: • 15. • 20. • 11. 1, 3, 5 e 15. 1, 2, 4, 5, 10 e 20. 1 e 11. c) Classifique os números 11, 15 e 20 em primo ou composto. Número primo: 11; números compostos: 15 e 20.

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Sugerir aos alunos que acessem este site para brincar com o jogo Achando os divisores. • CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Achando os divisores. Disponível em: <http:// livro.pro/e8gg8z>. Acesso em: 27 set. 2018.

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8 11:51 AM

6. Os Jogos Olímpicos da era moderna foram realizados pela primeira vez em 1896 em Atenas, na Grécia. Desde 1948 esses jogos ocorrem nos anos correspondentes a números divisíveis por 4, sem interrupção. a) Em quais dos anos indicados a seguir ocorreram Jogos Olímpicos? 1964 e 2016.

1994

1964

2010

2016

RODRIGO/YANCOM

b) Em quais anos devem ocorrer as próximas quatro edições dos Jogos Olímpicos? A resposta depende do ano vigente. 7. Para organizar as músicas que tem em seu computador, Caio criou algumas pastas e colocou 20 músicas em cada uma. Observe a seguir a quantidade de pastas criadas e as músicas que sobraram.

a) Quantas músicas Caio organizou nas pastas? E quantas músicas ele tem ao todo? 160 músicas. 166 músicas. b) Quantas músicas faltam para ele criar outra pasta? 14 músicas. c) Alfredo e Beatriz vão organizar as pastas de músicas da mesma maneira que Caio. Calcule quantas pastas eles vão precisar e quantas músicas vão sobrar, sabendo que: • Alfredo tem 500 músicas. 25 pastas. • Beatriz tem 475 músicas. 23 pastas e sobram 15 músicas. 8. Na turma do 7o ano de uma escola estudam 38 alunos. Em certo dia, quando alguns alunos haviam faltado, o

professor de Matemática contou-os de 6 em 6, e sobraram 5 alunos. Depois, contou-os de 5 em 5, e não sobrou aluno. a) Quantos alunos havia na sala de aula nesse dia? 35 alunos. b) Caso o professor tivesse contado os alunos de 4 em 4, sobrariam alunos? Sim, sobrariam 3 alunos.

!

Nesse dia, mais de 10 alunos da turma foram à escola.

9. (Enem-2014) Uma loja decide premiar seus clientes. Cada cliente receberá um dos seis possíveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. Os brindes a serem distribuídos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto recebe um refrigerante, o quinto recebe um sorvete, o sexto recebe um CD, o sétimo recebe uma bola, o oitavo recebe um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos brindes. O milésimo cliente receberá de brinde um(a): Alternativa c. a) bola. d) sorvete. b) caneta. e) CD. c) refrigerante. 10. No caderno, elabore e escreva dois problemas envolvendo os conceitos de múltiplos e de divisores de um número natural. Em seguida, junte-se a um colega, e troquem os problemas para que um resolva os do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 11. Indique, justificando sua resposta, um número: Algumas respostas a) composto e ímpar. possíveis: 9; 15; 21; 25. b) primo e par. 2 c) que não seja primo nem composto. 1 17

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6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as noções de múltiplos e de divisores de um número natural. Comentar com os alunos que nos anos de 1916, 1940 e 1944 as edições dos Jogos Olímpicos não foram realizadas devido às duas Guerras Mundiais. Para o item b, os

próximos quatro Jogos Olímpicos devem ser disputados em 2020, 2024, 2028, 2032. 7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as noções de múltiplos e de divisores de um número natural. É importante que os alunos compreendam que as músicas são organizadas nas pastas de

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20 em 20 e que elas ficam fora das pastas até que a quantidade necessária para formar uma nova pasta (20 músicas) seja completada.

8. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as noções de múltiplos e de divisores de um número natural. Caso os alunos apresentem dificuldade, orientá-los a escrever os múltiplos de 5 e de 6. Como ao organizar a turma em grupos de 6 alunos sobraram 5 alunos, eles devem adicionar 5 unidades aos múltiplos de 6 e, em seguida, comparar esses valores com os múltiplos de 5, identificando quais valores são iguais e menores do que 38 e maiores do que 10. 9. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as noções de múltiplos e de divisores de um número natural. Se julgar conveniente, antes de os alunos resolverem esta atividade, propor a eles que dividam por 6 o número correspondente à ordem de alguns clientes que vão ganhar um chaveiro de brinde e observe o que os restos têm em comum. Eles podem fazer o mesmo para os clientes que vão ganhar um CD. Explicar aos alunos a relação entre o problema e o resto da divisão por 6, pois são seis possíveis brindes disponíveis. Verificar se eles perceberam que os clientes que vão ganhar um chaveiro são o 2o, o 8o, o 14o, o 20o, ou seja, as ordens correspondentes aos números cujo resto da divisão por 6 sempre será 2, a ordem desse brinde. 10. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas com as ideias de múltiplos e de divisores de um número natural. Avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla ideias relacionadas ao conceito de múltiplo e de divisores de um número natural. Possibilitar que eles compartilhem entre si essas produções. 11. Esta atividade trabalha as noções de múltiplos e de divisores de um número natural.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Mínimo múltiplo comum Você já brincou ou viu alguém brincando com um autorama? Lilian e Dênis estão observando uma corrida. Com um cronômetro, eles perceberam que os carrinhos demoravam tempos diferentes para completar a volta. Veja o esquema. 6 s para completar uma volta.

8 s para completar uma volta.

Em uma corrida, a cada quantos segundos esses carrinhos passam juntos novamente pela largada? Para resolver esse problema, podemos obter múltiplos de 6 e múltiplos de 8.

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...

Note que 0, 24, 48 e 72 são múltiplos comuns de 6 e 8. Observe também que eles formam uma sequência na qual, a partir do zero, adiciona-se 24 para obter o próximo número. O número 24 é o menor número múltiplo comum de 6 e 8, diferente de zero. Assim, dizemos que 24 é o mínimo múltiplo comum de 6 e 8, que é indicado por mmc (6, 8) = 24. Portanto, os carrinhos passaram juntos pela largada a cada

ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI

Mínimo múltiplo comum Nestas páginas, são apresentadas duas estratégias para obter o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais: escrevendo os múltiplos ou utilizando a decomposição em fatores primos. Comentar com os alunos que eles podem utilizar a estratégia que julgarem mais conveniente, pois em ambas o resultado obtido será o mesmo. Um aspecto que eles devem prestar atenção é que, na primeira estratégia, é preciso identificar o primeiro múltiplo em comum, diferente de zero, e que, na decomposição de fatores primos, esse mínimo múltiplo é obtido diretamente. No exemplo do autorama, chamar a atenção dos alunos para o fato de que o zero é múltiplo de todos os números naturais e que, ao trabalharmos com o mínimo múltiplo comum, sempre vamos utilizar o primeiro múltiplo comum, após o zero. Além disso, enfatizar com eles que os números 0, 24, 48 e 72 são apenas alguns dos múltiplos em comum de 6 e 8 e que é possível obter outros. Na estratégia da decomposição em fatores primos, decompomos os dois números de maneira simultânea, fazendo divisões sucessivas desses números. A decomposição utilizando divisões sucessivas foi trabalhada no Volume 6 desta coleção. Se julgar necessário, relembrar com os alunos como realizar essa decomposição com apenas um número natural. Veja o exemplo a seguir. • Para decompor o número 36 em fatores primos, realizamos sucessivas divisões, pelo menor número primo possível, até obter quociente 1.

Qual é o próximo múltiplo comum de 6 e 8 maior do que 72? Converse com o professor e os colegas sobre como você resolveu essa questão.

24 s.

O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b pode ser indicado por mmc (a, b). 96. Resposta esperada: Adicionando 24, que é o mínimo múltiplo comum de 6 e 8, ao número 72. 18

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:2 :2 :3 :3

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36 2 18 2 9 3 3 3 1

A decomposição em fatores primos de 36 é dada por: 36 = 2 ? 2 ? 3 ? 3.

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Também podemos obter o mínimo múltiplo comum de três ou mais números naturais. Observe, por exemplo, o cálculo do mmc (3, 5, 10).

DA

NIE

LB

Chamar a atenção dos alunos para o fato de que uma estratégia é utilizarmos o menor número primo possível e que, caso a divisão de um dos números não seja exata, mantemos esse número, repetindo-o, como aconteceu no exemplo com o número 9. É importante que os alunos percebam que na fatoração de números primos utilizamos apenas números naturais. Após esse trabalho, pedir aos alunos que resolvam o primeiro exemplo utilizando a decomposição em fatores primos e o segundo exemplo utilizando a escrita dos múltiplos. Pedir que comparem os resultados obtidos.

OG

NI

Múltiplos de 3

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...

Múltiplos de 5

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...

Múltiplos de 10

0, 10, 20, 30, 40, ...

Assim, temos que mmc (3, 5, 10) = 30. Outra estratégia de cálculo do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é a decomposição em fatores primos. Para estudar essa estratégia, considere o problema a seguir.

Para resolver esse problema, podemos determinar o mínimo múltiplo comum entre 12 e 20, decompondo simultaneamente esses números em fatores primos. Observe a resolução.

12, 6, 3, 1, 1,

tipo B tipo A 20 cm

RIVAIL/YANCOM

Yuri trabalha em um supermercado e vai fazer dois empilhamentos de caixas cúbicas: um apenas com caixas do tipo A e outro apenas com caixas do tipo B, representadas ao lado. Quantos centímetros de altura devem ter esses empilhamentos, no mínimo, de maneira que ambos fiquem no mesmo nível?

12 cm

20 10 5 5 1

2 2 3 5

PARA PENSAR Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver o questionamento apresentado neste boxe. Eles podem realizar as seguintes divisões para determinar a quantidade de caixas em cada empilhamento. • Empilhamento com caixas do tipo A. 6 0 1 2

Divide ambos os números.

_

Divide ambos os números. Divide apenas o 3.

6 0 0 5 0 0

Divide apenas o 5.

Temos que o mínimo múltiplo comum entre 12 e 20 é dado pelo produto dos fatores primos obtidos: mmc (12, 20) = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = 60 Portanto, os empilhamentos de caixas devem ter, no mínimo, 60 cm de altura.

Um empilhamento com 5 caixas do tipo A. Empilhamento com caixas do tipo B. 6 0 2 0 _

6 0 0 3 0 0

De acordo com a resposta desse problema, determine quantas caixas de cada tipo devem ter os empilhamentos.

Um empilhamento com 3 caixas do tipo B.

Um empilhamento com 5 caixas do tipo A e outro com 3 caixas do tipo B. 19

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Apresentar também aos alunos outros exemplos de decomposição com dois números naturais, para a determinação do mínimo múltiplo comum. A seguir está apresentado o cálculo do mmc (24, 36) por decomposição.

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24, 36 2 12, 18 2 6,

9 2

3,

9 3

1,

3 3

1

1

Portanto, o mínimo múltiplo comum de 24 e 36 é dado pelo produto dos fatores primos obtidos: mmc (24, 36) = = 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 = 72. Verificar se os alunos compreenderam que 72 é múltiplo de 24 e múltiplo de 36 e que se eles escrevessem a sequência dos múltiplos de 24 e 36 também obteriam esse resultado.

19

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Resoluções na p. 273

AtividadeS

1. Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 e 42; múltiplos de 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54 e 63; múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72 e 84. 1. Obtenha os oito primeiros múltiplos de 5. Veja como Bianca calculou mentalmente 6, 9 e 12. Depois, determine: o mmc (6, 15). Escrevi c) mmc (6, 12) 12 a) mmc (6, 9) 18 os múltiplos b) mmc (9, 12) 36 d) mmc (6, 9, 12) 36 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

de 15, que é o maior número, e verifiquei qual desses múltiplos, maior do que zero, é o primeiro que é divisível por 6.

2. Calcule. a) mmc (12, 18) 36 b) mmc (14, 21) 42

40 c) mmc (8, 10, 20) d) mmc (18, 24, 36) 72 3. Heloísa ajudou os avós a montar a árvore de Natal. Ela foi enfeitada com lâmpadas pisca-pisca brancas, que piscavam a cada 4 s, e verdes, que piscavam a cada 6 s. Sabendo que as lâmpadas permanecem ligadas e considerando um momento em que piscaram juntas, após quantos segundos elas vão piscar juntas novamente? 12 s.

4. André está brincando com um jogo de videogame. À medida que coleta moedas, o personagem ganha dois tipos de bônus: energia e vida. Observe a tela desse jogo em certo momento. Total de moedas coletadas. A cada 20 moedas coletadas ganha uma vida.

265 13 17

A cada 15 moedas coletadas ganha uma energia.

DAYANE RAVEN

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a noção de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. Espera-se que os alunos utilizem os múltiplos obtidos para determinar o mínimo múltiplo comum em cada um dos itens. 2. Esta atividade trabalha o cálculo de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. Para a resolução de cada item, os alunos podem utilizar a estratégia que julgarem mais conveniente. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a noção de mínimo múltiplo comum de dois números naturais. Verificar se os alunos compreenderam que cada cor de luz pisca em um determinado intervalo de tempo e os momentos em que as duas cores de luz piscam juntas correspondem aos múltiplos comuns entre os intervalos de tempo de ambas. Caso os alunos apresentem dúvidas na resolução, orientá-los a escrever, com base nas luzes acesas, os intervalos de tempo em que cada uma volta a acender e comparar esses valores, a fim de identificar quais são iguais. 4. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a noção de mínimo múltiplo comum de dois números naturais. Dizer aos alunos que as quantidades de vida e de energia mostradas são as ganhas, ou seja, não são consideradas as possíveis perdas de vida e/ ou energia que aconteceram durante o jogo. 5. Esta atividade trabalha uma estratégia de cálculo do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. Nessa estratégia, a ideia é escolher o maior número, pois a quantidade de múltiplos a ser determinada até encontrar o mínimo múltiplo comum é menor do que se tivesse escolhido o menor. 6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada,

Agora, calcule mentalmente:

a) Até esse momento, quantas moedas foram coletadas? E quantos bônus de 265 moedas. cada tipo foram ganhos? 13 vidas e 17 energias. b) Quantas moedas foram coletadas para que, pela primeira vez, fossem ganhos os dois tipos de bônus ao mesmo tempo? 60 moedas. c) Quando completar 500 moedas coletadas, quantos bônus de cada tipo terão sido ganhos? 25 vidas e 33 energias.

a) mmc (3, 8). 24

c) mmc (6, 20). 60

b) mmc (4, 10). 20

d) mmc (15, 25). 75

6. O professor de Matemática propôs um desafio a três alunos de uma turma: Aline, Danilo e Clara. Para fazer a atividade eles usariam um mesmo livro, que tinha mais de 100 páginas. Aline deveria ler uma palavra em cada página com número múltiplo de 8, Danilo deveria ler uma palavra em cada página com número múltiplo de 12 e Clara, em cada página com número múltiplo de 18. a) Qual é o número da primeira página do livro em que cada aluno vai ler uma palavra? Aline: 8; Danilo: 12; Clara: 18.

RODRIGO/YANCOM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

b) Algumas páginas terão palavras lidas pelos três alunos? Qual é a primeira dessas páginas? Sim. A página 72. 7. Elabore e escreva um problema envolvendo o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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a noção de mínimo múltiplo comum de três números naturais. 7. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas com a ideia de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais. É possível que os alunos proponham problemas

com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que eles compartilhem entre si essas produções.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Máximo divisor comum Você faz algum tipo de coleção? Olívia coleciona adesivos de animais e de super-heróis. Ela tem 36 adesivos de animais e 45 de super-heróis e decidiu organizar sua coleção da seguinte maneira:

DAYANE RAVEN

Em cada página do álbum vou colar a mesma quantidade de adesivos de animais. Farei o mesmo com os adesivos de super-heróis. Ao final, cada página terá os dois tipos de adesivo e não sobrará nenhum.

No máximo, quantas páginas do álbum Olívia pode utilizar? Para resolver esse problema, podemos inicialmente obter os divisores de 36 e 45. Podemos compreender esses divisores como a quantidade de páginas necessárias para colar os adesivos. Por exemplo: como 12 é divisor de 36, temos que os 36 adesivos de animais podem ser colados em 12 páginas. Adesivos de animais Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Adesivos de super-heróis Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Máximo divisor comum Nesta página, é apresentada uma das estratégias para obter o máximo divisor comum de dois ou mais números naturais: escrevendo todos os divisores dos números e identificando qual é o maior e comum entre eles. PARA PENSAR Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para resolver o questionamento apresentado neste boxe. Eles podem efetuar as seguintes divisões para determinar a quantidade de adesivos de cada tipo por página. • Adesivos de animais. 3 6 9 _

3 6 0 4 0 0

Cada página terá 4 adesivos de animais. • Adesivos de super-heróis. 4 5 9 _

4 5 0 5 0 0

Note que os divisores comuns de 36 e 45 são 1, 3 e 9, ou seja, os adesivos podem ser distribuídos no álbum, como Olívia quer, utilizando 1, 3 ou 9 páginas. Assim, ela vai utilizar no máximo 9 páginas do álbum. Para resolver esse problema, determinamos o máximo divisor comum dos números 36 e 45, que é indicado por mdc (36, 45) = 9.

Cada página terá 5 adesivos de super-heróis.

Ao utilizar 9 páginas do álbum, quantos adesivos de cada tipo terá em cada uma delas?

4 adesivos de animais e 5 adesivos de super-heróis.

O máximo divisor comum de dois números naturais é o maior número que é divisor comum deles. O máximo divisor comum de dois números naturais a e b pode ser indicado por mdc (a, b).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Nesta página, também apresentamos outra estratégia para obter o máximo divisor comum de dois ou mais números naturais: utilizando a decomposição em fatores primos. Explicar aos alunos que, assim como na obtenção do mínimo múltiplo comum, podem escolher a estratégia que julgarem mais conveniente para obter o máximo divisor comum de dois ou mais números naturais. Apresentar aos alunos outros exemplos para calcular o máximo divisor comum utilizando a decomposição em fatores primos, como o apresentado a seguir.

Também podemos obter o máximo divisor comum entre três ou mais números naturais. Observe, por exemplo, o cálculo do mdc (28, 42, 63). Divisores de 28

1, 2, 4, 7, 14, 28

Divisores de 42

1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Divisores de 63

1, 3, 7, 9, 21, 63

Assim, temos que mdc (28, 42, 63) = 7. Outra estratégia que pode ser usada para calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é por decomposição em fatores primos. Observe, por exemplo, o cálculo do mdc (420, 150). 420, 210, 105, 35, 7, 7, 1,

54, 72 2

150 75 75 25 5 1 1

2 2 3 5 5 7

Divide ambos os números. Divide apenas o 210. Divide ambos os números. Divide ambos os números. Divide apenas o 5. Divide apenas o 7.

27, 36 2 27, 18 2 27,

9 3

9,

3 3

3,

1 3

1,

1

Como o máximo divisor comum é dado pelo produto dos fatores primos que dividem ambos os números na decomposição, temos: mdc (54, 72) = 2 ? 3 ? 3 = 18. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a noção de máximo divisor comum de dois ou mais números naturais. Espera-se que os alunos utilizem os divisores obtidos para calcular o máximo divisor comum em cada um dos itens. 2. Esta atividade trabalha o cálculo de máximo divisor comum de dois ou mais números naturais. Para a resolução de cada item, os alunos podem escolher a estratégia que julgarem mais conveniente. No item b, dizer a eles que, quando o máximo divisor comum de dois números naturais é igual a 1, esses números são primos entre si. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a noção de máximo divisor

Temos que o máximo divisor comum entre 420 e 150 é dado pelo produto dos fatores primos que dividem ambos os números na decomposição mostrada: mdc (420, 150) = 2 ? 3 ? 5 = 30 Resoluções na p. 274

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divisores de 27: 1, 3, 9, 27.

1. Determine todos os divisores de 12, 18 e 27. Em seguida, calcule:

d) mdc (168, 216) 24 e) mdc (54, 81, 135) 27

a) mdc (12, 18) 6

f) mdc (90, 144, 336) 6

b) mdc (12, 27) 3 c) mdc (18, 27) 9 d) mdc (12, 18, 27) 3 2. Calcule. a) mdc (16, 24) 8 b) mdc (21, 32) 1 c) mdc (75, 120) 15

3. A professora de História levará os alunos das turmas A e B do 7o ano, com 20 e 25 alunos, respectivamente, para visitar um museu. Ela irá organizá-los em grupos com a mesma quantidade de alunos, de maneira que cada grupo tenha apenas alunos da mesma turma. Os grupos formados poderão ter no máximo quantos alunos? 5 alunos.

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comum de dois números naturais. Verificar se os alunos perceberam que as duas turmas devem ser organizadas de modo que os grupos tenham a mesma quantidade de alunos e apenas alunos da mesma turma, ou seja, esse número deve ser divisor de 20 e tam-

bém de 25. Como esta atividade pede a quantidade máxima de alunos por grupo, esse número é dado pelo máximo divisor comum de 20 e 25.

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RIVAIL/YANCOM

4. a) Respostas esperadas: O máximo divisor comum entre os números naturais dados é igual ao menor deles. Ocorre quando o menor dos números é divisor de todos os outros. tenham o maior comprimento possível e 4. Calcule o máximo divisor comum dos sem sobras. Em quantos pedaços de corda números em cada caso. cada rolo será cortado? Rolo de 228 m de corda: • 20, 80 20 • 11, 33, 77 11 • 6, 12 6 6 pedaços; rolo de 190 m de corda: 5 pedaços. a) Que característica têm em comum esses 6. Gabriel faz decoração de festas infancálculos de máximo divisor comum? De tis. Para decorar certa festa, ele encheu maneira geral, em que situações você 56 balões azuis, 68 balões vermelhos e acha que isso ocorre? 52 balões amarelos. Ele quer distribuir igualmente todos os balões de cada b) Sem fazer cálculos por escrito, determine: cor para fazer enfeites, sem sobrar • mdc (2 500, 5 000) 2 500 balão. Quantos enfeites, com a maior • mdc (13, 39, 65) 13 quantidade possível de balões de cada 5. Na loja em que Cátia trabalha foram cor, Gabriel poderá fazer? Nesse caso, comprados estes dois rolos de corda. quantos balões de cada cor haverá em cada enfeite? 4 enfeites. 14 balões azuis, 17 balões vermelhos e 13 balões amarelos. 7. Elabore e escreva um problema envolvendo o conceito de máximo divisor comum. Em seguida, junte-se a um Para revender, Cátia vai cortar os dois colega e troquem os problemas para rolos de corda em pedaços de mesmo que um resolva o do outro. Verifiquem comprimento, de modo que os pedaços se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

8. Existem diferentes procedimentos para determinar o máximo divisor comum entre dois números naturais. Um dos mais antigos é apresentado na obra Elementos, do grego Euclides, considerada uma das mais importantes contribuições da Matemática grega, e data de cerca de 300 a.C. Observe como Maísa calculou o mdc (45, 30) e o mdc (26, 9) com base nesse procedimento.

Subtraio o menor desses números • mdc (45, 30) do maior. Depois, sucessivas 4 5 3 0 vezes, faço o mesmo considerando _3 0 _1 5 o subtraendo e o resultado 1 5 1 5 obtido na subtração anterior, até que o resultado seja 0 ou 1. • mdc (26, 9)

DAYANE RAVEN

2 6 _ 9 1 7

1 7 _ 9 8

6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a noção de máximo divisor comum de três números naturais. 7. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas com a ideia de máximo divisor comum de dois números naturais. É importante avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla ideias relacionadas ao conceito de máximo divisor comum. Possibilitar que eles compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos. 8. Esta atividade trabalha uma estratégia de cálculo do máximo divisor comum de dois números naturais. Além disso, ela possibilita uma abordagem relacionada à competência específica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que apresenta um trabalho sobre História da Matemática no cálculo do máximo divisor comum.

AMPLIANDO 1 5 _1 5 0

Ao obter uma subtração com resultado zero, o máximo divisor comum corresponde ao resultado da subtração anterior. Assim, mdc (45, 30) = 15.

9 _ 8 1

Ao obter uma subtração com resultado 1, o máximo divisor comum corresponde ao número 1. Assim, mdc (26, 9) = 1.

Consultar este livro, que é considerado uma das mais importantes contribuições da Matemática. • EUCLIDES. Os elementos. Tradução e introdução: Irineu Bicudo. São Paulo: Unesp, 2009.

Fonte dos dados: BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 84-87.

Use essa estratégia para calcular: a) mdc (42, 98). 14

b) mdc (16, 24). 8

c) mdc (40, 81). 1

d) mdc (12, 30). 6 23

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4. Esta atividade trabalha características do cálculo do máximo divisor comum de dois ou mais números naturais. Inicialmente, caso julgar necessário, pedir aos alunos que determinem a relação entre os números em cada item, a fim de que identifiquem que 6 é divisor de 12; 20 é divisor de

80; e 11 é divisor de 33 e de 77. No item b, é importante que os alunos compreendam a relação do item a, verificando se o menor número é divisor dos demais. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a noção de máximo divisor comum de dois números na-

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turais. Para a resolução, espera-se que os alunos obtenham o máximo divisor comum de 228 e 190, que corresponde a 38, e, em seguida, dividam a quantidade total de corda de cada rolo pelo resultado obtido; nesse caso, 228 : 38 = 6 e 190 : 38 = 5.

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POTÊNCIAS E RAÍZES

Potenciação Aproveitar o contexto para verificar a possibilidade de realizar um trabalho sobre as bactérias com o professor de Ciências. Uma sugestão é realizar uma pesquisa a respeito das principais bactérias que são benéficas para os seres humanos. Explicar aos alunos que as bactérias, além de serem utilizadas na produção de alimentos, estão presentes no nosso organismo e podem ser responsáveis pelo seu bom funcionamento. As bactérias também são utilizadas na produção de alguns antibióticos, e algumas delas ajudam a deteriorar certos produtos poluentes do meio ambiente. Para complementar, acessar com os alunos o site indicado na parte inferior destas páginas.

Potências e raízes Potenciação As bactérias são microrganismos que possuem apenas uma célula. Enquanto algumas bactérias podem ser prejudiciais à saúde, outras não nos fazem mal algum e, inclusive, são importantes para garantir o bom funcionamento do organismo. Existem também algumas bactérias que são utilizadas na fabricação de alimentos, como queijos e iogurtes. Alguns tipos de bactérias têm como característica o rápido aumento de sua população. Observe o esquema. Esta população de bactérias dobra a cada 1 h.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

BENTINHO, EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1

2

3

4

5

Como a quantidade de bactérias da população dobra a cada 1 h, podemos representar essa quantidade usando potenciação. Observe. • 1 bactéria

1 = 20

• 2 bactérias

2 = 21

• 4 bactérias

4 = 2 ? 2 = 22

• 8 bactérias

8 = 2 ? 2 ? 2 = 23

• 16 bactérias

16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 24

Como você representaria 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 usando potenciação? 25

Para representar uma multiplicação de fatores iguais, podemos utilizar a potenciação. Em uma potenciação destacam-se os seguintes elementos: O expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete na multiplicação.

23 = 2 ? 2 ? 2 = 8 A base indica o fator que se repete na multiplicação.

A potência indica o produto dos fatores iguais.

24

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AMPLIANDO

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Acessar o site para conhecer um pouco mais sobre bactérias presentes no corpo humano. • O CONDOMÍNIO chamado corpo humano. Ciência Hoje das Crianças. Disponível em: <livro.pro/zkfzgb>. Acesso em: 30 out. 2018.

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0/18 20:16

Durante o trabalho com as potências de expoente 1 e de expoente 0, propor aos alunos o seguinte exemplo, a fim de que eles identifiquem que todo número elevado a 1 é igual a ele próprio e que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1.

• Em uma potência com expoente 1 e a base um número qualquer, temos que o resultado é esse próprio número. Por exemplo, 21 = 2. • Em uma potência com expoente 0 e a base diferente de zero, temos que o resultado é 1. Por exemplo, 20 = 1. Exemplos: • 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 • 63 = 6 ? 6 ? 6 = 216

• (1,5)2 = 1,5 ? 1,5 = 2,25 • 70 = 1

• (4,2)1 = 4,2

Expoente 5 H 35 = 243 :3

Expoente 4 H 34 = 81

Leitura de potências

:3

Para fazermos a leitura de uma potência, temos de ficar atentos ao expoente. Observe alguns exemplos. 50 cinco elevado a zero. 74 sete elevado à quarta potência. 1 10 2 dois elevado à primeira potência. 8 oito elevado à décima potência.

Expoente 3 H 33 = 27 :3

Expoente 2 H 32 = 9 :3

Expoente 1 H 31 = 3 Expoente 0 H 30 = 1

Chamar a atenção dos alunos que, conforme o expoente diminui uma unidade, a potência vai sendo dividida pelo valor da base e que, assim, teremos 31 = 3 e 30 = 1. Pedir aos alunos que façam o mesmo com outros números naturais, diferentes de zero, e que identifiquem quais regularidades é possível observar em relação às potências de expoente 1 e de expoente 0. Após o trabalho com a leitura de potências, pedir aos alunos que leiam as potências apresentadas nos exemplos desta página. Caso julgar necessário, indicar outras potências na lousa para que os alunos possam realizar a leitura.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Expoente 2

O expoente 2 também pode ser lido usando a expressão ao quadrado. Isso ocorre porque podemos usar figuras de quadrados para representar potências com esse expoente. Observe.

52 = 5 ? 5 = 25, ou seja, 25

72 = 7 ? 7 = 49, ou seja, 49

.

Lê-se “cinco elevado à segunda potência” ou “cinco ao quadrado”.

Expoente 3

.

Lê-se “sete elevado à segunda potência” ou “sete ao quadrado”.

O expoente 3 também pode ser lido usando a expressão ao cubo. Isso ocorre porque podemos usar figuras de cubos para representar potências com esse expoente. Observe.

23 = 2 ? 2 ? 2 = 8, ou seja, 8 Lê-se “dois elevado à terceira potência” ou “dois ao cubo”.

.

43 = 4 ? 4 ? 4 = 64, ou seja, 64

:3

.

Lê-se "quatro elevado à terceira potência" ou "quatro ao cubo".

25

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a comparação entre as operações de multiplicação e de potenciação. 2. Esta atividade trabalha a representação de multiplicação de fatores iguais por potenciação e o cálculo de potências de expoente natural. Verificar se os alunos compreenderam que, para escrever uma multiplicação de fatores iguais em forma de potência, a base corresponde ao fator e o expoente corresponde à quantidade de vezes que esse fator se repete. 3. Esta atividade trabalha o cálculo de potências com expoentes naturais. É importante que os alunos se atentem que nos itens c e d foram apresentadas potências com expoentes 0 e 1, respectivamente. Caso julgar necessário, retomar os comentários das páginas anteriores deste Manual do professor em que trabalhamos potências com essa característica, e propor outros exemplos. 4. Esta atividade trabalha a leitura e a escrita de potências. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo de potências com expoentes naturais. Conversar com os alunos sobre a importância dos hábitos apresentados para evitar a contaminação, não apenas pela E. coli, mas também por outras bactérias que podem causar doenças. No item a, enfatizar aos alunos que as medições são realizadas a cada 20 min. Verificar qual estratégia eles utilizaram para a resolução do item b. Uma estratégia é calcular a quantidade de bactérias em cada medição até que essa quantidade seja igual a 512. Outra estratégia é realizar sucessivas divisões por 2, até obter 1, e contabilizar a quantidade de medições realizadas. Explorar essas duas estratégias com os alunos.

AtividadeS

Resoluções na p. 275 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Temos de ficar atentos para não confundirmos potenciação e multiplicação. Enquanto a potenciação corresponde a uma multiplicação de fatores iguais, a multiplicação corresponde a uma adição de parcelas iguais. Observe os exemplos.

5. Você já ouviu falar da Escherichia coli ou E. coli? Ela é uma bactéria presente no intestino humano de forma natural, porém, em outras partes do organismo, pode causar várias doenças. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

STEVE GSCHMEISSNER/SPL /FOTOARENA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64 • 4 ? 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Agora, associe as fichas de resultados iguais, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondente. a-II; b-III; c-I. b) 5 ? 4

a) 54

c) 45

Bactéria Escherichia coli observada em microscópio. Ampliada 10 000 vezes.

Alguns hábitos simples podem evitar a contaminação por bactérias causadoras de doenças. Veja duas recomendações.

I.

4?4?4?4?4

II.

5?5?5?5

III.

4+4+4+4+4

2. Represente cada produto por meio de uma potência. Depois, resolva-a. a) 4 ? 4 4 = 16 2

b) 7 ? 7 ? 7 ? 7 74 = 2 401 c) 1,6 ? 1,6 ? 1,6 (1,6)3 = 4,096 d) 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1 = 1 7

e) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 28 = 256 f) 15 ? 15 152 = 225 3. Calcule as potências. a) 45 1 024

c) 410 1

b) (0,5)2 0,25

d) 1281 128

4. Represente as potências usando algarismos. Depois, resolva-as. a) Cinco elevado à quarta potência. 54 = 625 b) Doze ao cubo. 123 = 1 728 c) Quatro inteiros e seis décimos elevado ao quadrado. (4,6)2 = 21,16 d) Um elevado à décima potência. 110 = 1

• Lavar bem as mãos após usar o banheiro, ao chegar da rua e antes de comer ou manusear alimentos. • Lavar bem os alimentos, sobretudo os que são consumidos crus, como verduras, frutas e legumes. Em um laboratório, uma cientista está estudando o crescimento da população de uma bactéria causadora de certa doença. Observe os resultados que ela registrou a cada 20 minutos. Medição

1a

2a

3a

4a

5a

Tempo (min)

0

20

40

60

80

Quantidade de bactérias

1

2

4

8

16

a) Quantas bactérias há nessa população após 1 hora da 1a medição? E após 2 horas? 8 bactérias. 64 bactérias. b) Em certa medição, a cientista quantificou 512 bactérias nessa população. Qual foi essa medição? 10a medição.

26

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0/18 20:20

7. a) Resposta esperada: São potências cuja base é 10 e o expoente é um número natural. 7. b) Resposta esperada: A quantidade de zeros do resultado é igual ao número do expoente da potência. a) Em sua opinião, por que esses números 6. Veja as etapas para calcular 75 utilizando são chamados quadrados perfeitos? uma calculadora.

• Calculamos 72. Para isso, digitamos: 7

x

7

b) Escreva os próximos seis números dessa sequência. 25, 36, 49, 64, 81, 100.

49

=

• Depois, digitamos a tecla = três vezes consecutivas.

c) O número 115 é um número quadrado perfeito? Como você pensou para responder?

Na 1a vez, obtemos o resultado de 73:

9. Uma loja de brinquedos decorou sua vitrine com empilhamentos de cubos mágicos. Observe na imagem os empilhamentos, que também tinham o formato de cubo.

343 Na 2a vez, obtemos o resultado de 74:

2 401 Na 3 vez, obtemos o resultado de 75: a

empilhamento A

16 807

empilhamento B

Portanto, 7 = 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 16 807. 5

a) 134 28 561

c) (0,2)5 0,00032

b) 312 531 441

d) (2,9)3 24,389

RODRIGO/YANCOM

Com uma calculadora, resolva os itens.

7. Com uma calculadora, obtenha o resultado de cada potência a seguir.

Escreva potências para representar a quantidade de cubos mágicos em cada empilhamento. Depois, calcule as potên100 1 000 10 000 100 000 a) Em relação a essas potências, o que elas cias e determine essas quantidades. A: 53 = 125; 125 cubos mágicos; B: 33 = 27; 27 cubos mágicos. têm em comum? 10. Podemos decompor um número em b) Agora, compare cada potência com seu fatores primos realizando divisões sucesresultado. Que regularidade você pôde sivas e representar essa decomposição perceber? usando potências. Observe o exemplo. c) Sem utilizar a calculadora ou realizar esperada: Como 720 2 8. 2c) Não. Resposta cálculos por escrito, resolva: 2 10 = 100, 11 = 121, 100 , 115 , 121 360 2 e observando que 10 e 11 são números 106 107 108 180 2 4 2 90 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 = 2 ? 3 ? 5 1 000 000 10 000 000 100 000 000 8. Os números quadrados perfeitos 45 3 4 fatores 2 fatores podem ser representados por figuras 15 3 naturais consecutivos, não existe e obtidos calculando-se o quadrado de 5 5 número natural que elevado ao um número natural. Observe a sequên1 quadrado seja igual a 115. cia de números quadrados perfeitos. Portanto, 720 = 24 ? 32 ? 5.

103

104

105

... 1 12

4 22

9 32

16 42

... ...

EDITORIA DE ARTE

102

Agora, decomponha em fatores primos os números indicados a seguir. a) 121 121 = 112

7. Esta atividade trabalha regularidades no cálculo de potência de base 10 com expoentes naturais, com auxílio da calculadora. Para complementar, pedir aos alunos que escrevam na forma de potência de base 10 os números a seguir: • 10 000 000 000. Resposta: 1010. • 1 000 000 000. Resposta: 109. 8. Esta atividade trabalha o cálculo de potências em um contexto próprio da Matemática. Ao representar números quadrados perfeitos por figuras, é estabelecida uma relação entre as unidades temáticas Números e Geometria, favorecendo uma abordagem relacionada à competência específica 3 de Matemática da BNCC. Propor aos alunos que representem com figuras os números quadrados perfeitos indicados no item b. 9. Esta atividade trabalha o cálculo de potências relacionado à noção do volume de uma figura cúbica, assunto que será detalhado na Unidade 7 deste Volume. É importante que os alunos compreendam que a quantidade total de cubos mágicos de cada empilhamento é dada pelo produto das quantidades de cubos em cada dimensão desse empilhamento. 10. Esta atividade trabalha a decomposição de números naturais em fatores primos e sua representação com potências.

c) 375 375 = 3 ? 53

b) 260 260 = 22 ? 5 ? 13 d) 256 256 = 28 8. a) Resposta esperada: Porque eles podem ser representados por pontos dispostos de modo que lembrem um quadrado ou por serem obtidos elevando ao quadrado números naturais. 27

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6. Esta atividade trabalha uma estratégia de cálculo de potências com expoentes naturais utilizando a calculadora. Os cálculos apresentados nesta atividade foram realizados a partir de um modelo de calculadora simples. No entanto, é importante destacar que, dependendo do modelo

da calculadora, pode haver variações na maneira de calcular as potências, como alguns modelos que têm a função de potenciação, o que agiliza o procedimento de cálculo. No exemplo apresentado, explicar aos alunos que, ao apertar a tecla igual

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mente, o último passo realizado é feito novamente, nesse caso, a multiplicação por 7. Assim, ao apertar três vezes a tecla igual = , multiplicamos o número que havia no visor por 7, três vezes consecutivas.

= consecutiva-

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Radiciação Para complementar o trabalho com raiz quadrada, se julgar conveniente, reproduzir e entregar aos alunos a malha quadriculada, que está disponível no Material de apoio. Com o uso de régua, pedir a eles que investiguem se é possível representar quadrados com 4, 7, 9, 15, 16 e 20 figuras de quadradinhos da malha. Orientar os alunos na representação e verificar se eles perceberam que é possível representar um quadrado apenas com 4, 9 ou 16 figuras de quadradinhos da malha. Além disso, propor aos alunos que determinem a raiz quadrada desses números, observando a representação que fizeram. O objetivo é que eles percebam que as quantidades de figuras de quadradinhos em cada dimensão (comprimento e largura) do quadrado representado são iguais e que essa quantidade corresponde à raiz quadrada do total de figuras de quadradinhos. Após o trabalho com esta página, é importante que os alunos compreendam que determinar a raiz quadrada de um número significa obter um valor positivo que elevado ao quadrado seja igual a esse número. Pedir aos alunos que determinem por tentativa a raiz quadrada dos números 64, 81 e 169 e que apresentem uma justificativa.

64 = 8, pois 82 = 64.

81 = 9, pois 92 = 81.

169 = 13, pois 132 = 169.

Radiciação Na escola onde Carlos estuda, será construída uma horta. Observe o que a diretora da escola disse.

Nossa horta vai ter formato quadrado e ocupar uma área de 36 m2. Quantos metros deverá ter cada lado da horta?

DANILLO SOUZA

!

Lembre-se de que a área de um quadrado é dada pelo produto da medida de um lado por ela mesma. Por exemplo, a área de um quadrado com 3 m de lado é 9 m2, pois 3 ? 3 = 9.

Para resolver esse problema, temos de obter um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte em 36. Nesse caso, temos que 6 ? 6 = 36. Podemos usar uma malha quadriculada para representar a área ocupada pela horta. Supondo que cada lado de figura de quadradinho represente 1 m de comprimento, cada figura de quadradinho representa 1 m2 de área.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Assim, cada lado da horta deverá ter 6 m de comprimento. Ao determinar o número que multiplicado por ele mesmo resulta em 36, obtemos a raiz quadrada de 36, que pode ser indicada da seguinte maneira: índice

radical

2

36 = 6

radicando

raiz

Lê-se: a raiz quadrada de 36 é igual a 6. Para representar uma raiz quadrada, costumamos não indicar o índice. No exemplo apresentado, podemos escrever 36 = 6.

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8 11:51 AM

Agora, considere a seguinte situação.

DAYANE RAVEN

Fábio está brincando com peças do material dourado. Ele quer empilhar 8 cubinhos de modo que o empilhamento tenha formato de cubo. Como ele poderá resolver esse problema?

Para isso, temos de determinar um número a tal que a ? a ? a = 8, ou seja, a3 = 8. Nesse caso, temos que 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8.

são iguais e que essa quantidade corresponde ao valor da raiz cúbica do total de cubinhos. Após o trabalho com estas páginas, é importante também que os alunos compreendam que determinar a raiz cúbica de um número significa obter um valor que elevado ao cubo seja igual a esse número. Pedir aos alunos que por tentativa determinem a raiz cúbica dos números 64, 216 e 512 e apresentem uma justificativa. 3 • 64 = 4, pois 43 = 64. 3 • 216 = 6, pois 63 = 216. 3 • 512 = 8, pois 83 = 512.

Podemos representar esse empilhamento da seguinte maneira: Ao determinar o número a em que a3 = 8, obtemos a raiz cúbica de 8, que pode ser 3 indicada da seguinte maneira: 8 = 2. Lê-se: a raiz cúbica de 8 é igual a 2. Exemplos: A

4

4 = 2, pois 2 ? 2 = 4.

3

27

C

9

9 = 3, pois 3 ? 3 = 9.

3

E

16

16 = 4, pois 4 ? 4 = 16.

3

F

1

125 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

D

B

3

27 = 3, pois 3 ? 3 ? 3 = 27.

3

1 = 1, pois 1 ? 1 ? 1 = 1.

3

125 = 5, pois 5 ? 5 ? 5 = 125.

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Caso julgar pertinente, antes de trabalhar com os exemplos desta página, providenciar material dourado e, com os alunos organizados em pequenos grupos, propor a construção de alguns empilhamentos utilizando os cubinhos desse material. Pedir aos alunos que investiguem se é possível for-

mar empilhamento com formato de cubo com 15, 27, 60, 64, 100 e 125 cubinhos. Análogo ao trabalho realizado com a malha quadriculada, auxiliar os alunos na construção dos empilhamentos e verificar se eles perceberam que é possível obter um empilhamento com formato de cubo

11/1/18 2:40 PM

apenas com 27, 64 ou 125 cubinhos. Depois, propor aos alunos que determinem a raiz cúbica desses números, observando os empilhamentos que fizeram. O objetivo é que eles percebam que as quantidades de cubinhos de cada dimensão (comprimento, largura e altura) do empilhamento construído

29

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11/4/18 11:16 AM


sionamos a tecla

e, por

fim, pressionamos a tecla = , o que pode variar de acordo com o modelo de calculadora utilizado.

Resoluções na p. 276

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Observe as igualdades. 122 = 12 ? 12 = 144 113 = 11 ? 11 ? 11 = 1 331 362 = 36 ? 36 = 1 296

5. Em uma calculadora, podemos determinar a raiz quadrada de um número. Observe, por exemplo, a sequência de teclas que digitamos para calcular 169 . 1

163 = 16 ? 16 ? 16 = 4 096

Com uma calculadora, determine:

20 = 20 ? 20 ? 20 = 8 000

a)

529 . 23

d)

324 . 18

b)

900 . 30

e)

841 . 29

c)

10 000 . 100

f)

400 . 20

Com base nessas igualdades, calcule: a) 3

625 . 25

d)

8 000. 20

e)

3

1 331. 11

f)

3

4 096 . 16

1 296 . 36

c)

13

9

252= 25 ? 25 = 625 3

b)

6

144 . 12

6. Helena calculou 225 decompondo 225 em fatores primos. Observe.

Primeiro, decomponho 225 em fatores primos. Depois, escrevo 225 na forma fatorada e organizo os fatores de maneira conveniente.

3

2. Para calcular 216 Amanda fez um empilhamento com cubinhos do material dourado. Qual dos empilhamentos a seguir foi aquele feito por ela? b a)

c)

b)

DAYANE RAVEN

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a relação entre potências e raízes. É importante que os alunos percebam que, para resolver esta atividade, eles podem utilizar as igualdades apresentadas, uma vez que os valores dos radicais de cada item estão em forma de potência, cujo expoente corresponde ao índice da raiz. Por exemplo, no item a, temos que 625 = 25, pois de acordo com o quadro 625 = 25 ? 25 = 252. 2. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz cúbica relacionado ao estudo do volume de uma figura cúbica. Verificar qual é a estratégia utilizada pelos alunos para resolver a atividade. Espera-se que eles calculem as quantidades de cubinhos em cada empilhamento e constatem que no item b tem 216 cubinhos e que, portan3 to, 216 = 6, ou seja, o empilhamento tem 6 cubinhos de comprimento, 6 de largura e 6 de altura. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz quadrada e da raiz cúbica de números naturais. 4. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo da raiz quadrada de um número natural. De maneira intuitiva, é apresentada a ideia de disposição retangular da multiplicação. Orientar os alunos a fazer desenhos para representar a situação. 5. Esta atividade trabalha o cálculo da raiz quadrada de um número natural utilizando uma calculadora. É importante destacar que, no cálculo da raiz quadrada em uma calculadora, em geral, digitamos inicialmente o número correspondente ao radicando, em seguida pres-

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

225 75 25 5 1

• Qual resposta Amanda obteve para 3

216? 6

3. Calcule. a) 121 11 b) 81 9

c)

3

125 5

d)

3

1 000 10

4. Para que os alunos possam treinar ginástica, o professor de Educação Física pretende organizar 144 placas quadradas de EVA, de modo que a composição lembre um quadrado. Como o professor deve dispor essas placas? Deve organizá-las em 12 colunas com 12 linhas.

3 3 5 5

225 = 3 . 3 . 5 . 5 = = (3 . 5) . (3 . 5) = = 15 . 15

Portanto, Helena obteve

225 = 15.

Agora, calcule: a)

196 . 14

c)

576 . 24

b)

100 . 10

d)

729 . 27

• Com uma calculadora, verifique as respostas dos itens. Resposta pessoal.

30

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6. Esta atividade trabalha uma estratégia de cálculo da raiz quadrada de um número natural. Verificar se os alunos compreenderam que, quando

um número tem raiz quadrada exata, a quantidade de fatores primos iguais é sempre par. No exemplo apresentado, temos dois fatores 3 e dois fatores 5.

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EDITORIA DE ARTE

7. Resposta esperada: O empilhamento terá formato de cubo com aresta de 5 unidades (considerando como unidade o comprimento da aresta de cada cubinho do material dourado). 7. Em qual item está indicada a quantidade 9. Mateus é voluntário em uma instituição de cubinhos do material dourado com a que cuida de animais abandonados. Ele qual é possível fazer um empilhamento fez um projeto para a construção de com formato de cubo, sem que sobre dois canis de formato quadrado em um cubinho? A terreno. Cada canil terá um portão de 1 m de comprimento e telas instaladas no restante do contorno. A B C

125

160

7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo da raiz cúbica exata de um número natural. É importante que os alunos compreendam que, para obter um empilhamento com formato de cubo, a quantidade de cubinhos indicada na ficha deve ter raiz cúbica exata, sendo que essa raiz é dada pela quantidade de cubinhos em cada dimensão do empilhamento. 8. Esta atividade trabalha o cálculo de expressões numéricas envolvendo diferentes operações, inclusive potências e raízes. 9. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo de expressões numéricas envolvendo diferentes operações, inclusive potências e raízes. Verificar se os alunos tiveram dificuldade para determinar a expressão que indica a quantidade de tela necessária para fazer os canis. Chamar a atenção deles para o fato de que a quantidade total de tela é dada pela soma dos perímetros de cada canil, descontando os espaços destinados aos portões. 10. Esta atividade trabalha o cálculo de raízes de números naturais em um contexto que envolve as ideias de perímetro e área de figuras de quadrados. É importante que os alunos percebam que as medidas dos lados do quadrado em que não há indicação da área são dadas pela diferença entre as medidas dos lados dos outros dois quadrados, ou seja, 2 cm (5 − 3 = 2).

175

8. Para resolvermos uma expressão numérica, primeiro calculamos as raízes e potências, depois as divisões e multiplicações e, por fim, as adições e subtrações, sempre na ordem em que aparecem. Observe as expressões e copie no caderno substituindo os pelos resultados correspondentes.

_

50

= 15 + 65

=

_

_

6

b) c)

=

d)

59

25) :

_ 4) _ (7 +

=3?

_

4

=

:

12

_

12

=

!

( 25 + 49 _ 1) 4 ? ( 25 _ 1) + 4 ? ( 49 _ 1) (4 ? 25 _ 1) + (4 ? 49 _ 1) ( 25 _ 1) + ( 49 _ 1)

a) 4 ?

=

b) 3 ? (23 – 4) _ (7 +

Copie a expressão numérica a seguir que corresponde à quantidade de tela, em metros, necessárias para cercar os canis. Depois, resolva a expressão e indique essa quantidade em metros. c. 46 m.

:3=

6

=

8

27 =

18

2

= 15 + 25 ?

=3?(

3

4 _ 18 :

5

3

):

8 = 2

Canil para cães adultos com 49 m² de área.

10. (Obmep-2006) A figura é formada por três quadrados, um deles com área de 25 cm2 e outro com 9 cm2. Qual é o perímetro da figura? Alternativa d.

=

=

2

25 cm2

=

6

9 cm2

6

Lembre-se de que, quando temos parentêses, os cálculos que aparecem em seu interior devem ser resolvidos logo após as potências e raízes.

a) 20 cm.

d) 26 cm.

b) 22 cm.

e) 38 cm.

EDITORIA DE ARTE

a) 15 + 52 ?

Canil para filhotes com 25 m² de área.

RODRIGO/YANCOM

• Explique como será esse empilhamento.

c) 24 cm. 31

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS INTEGRANDO COM CIÊNCIAS Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 2 e à competência específica 5 de Matemática da BNCC, uma vez que apresenta um tema relacionado à Astronomia, área estudada com mais ênfase no componente curricular de Ciências, o que pode estimular o exercício à curiosidade intelectual e a observação de aspectos quantitativos relacionados a elementos que compõem o Sistema Solar. Comentar com os alunos que o esquema apresentado é uma representação e está fora de escala de tamanho e que as cores não são reais. Também foi arredondado o período orbital dos planetas, tendo como referência o dia e o ano terrestre. Promover uma conversa com toda a turma a fim de identificar o que os alunos sabem a respeito do Sistema Solar. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho com o professor da disciplina de Ciências. Dizer aos alunos que translação é o nome dado ao movimento que um planeta realiza em torno do Sol e rotação, ao movimento do planeta em torno de si mesmo. Chamar a atenção deles para o fato de que, quanto mais distantes do Sol estão os planetas, maior é o seu período orbital. Nesse caso, basta comparar os períodos de Mercúrio e Netuno, visto que Mercúrio demora 88 dias terrestres para completar uma volta em torno do Sol, enquanto Netuno demora 165 anos terrestres.

integrando com

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ciências

Uma viagem em torno do Sol Você já imaginou participar de uma viagem em torno do Sol? Acredite, você já está participando! Os objetos espaciais, como planetas, estrelas, cometas, entre outros, formam o Sistema Solar. O Sol, que é uma estrela, é o maior componente desse sistema e ocupa a posição central. A Terra e os demais planetas giram em torno do Sol, descrevendo uma trajetória chamada órbita. O intervalo de tempo que um planeta demora para executar uma órbita chama-se período orbital e, assim como o comprimento da órbita, varia de acordo com cada planeta. O período orbital da Terra, por exemplo, é de cerca de 365 dias, ou seja, 1 ano. Já o período orbital de Marte corresponde a cerca de 2 anos terrestres. Observe o esquema.

Período orbital aproximado dos planetas do Sistema Solar

Vênus 225 dias terrestres Marte 2 anos terrestres

Terra 365 dias terrestres Mercúrio 88 dias terrestres

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Na translação, o recordista é Mercúrio, cujo ano dura apenas 88 dias. O motivo de tanta rapidez é simples: como ele é o planeta mais próximo do Sol, sua órbita é a menor de todas. Mas o trajeto mais curto não é a única explicação para a translação ligeira. Por estar tão perto do Sol, Mercúrio sofre uma atração gravitacional muito forte. “Para compensar a gravidade e não despencar sobre a estrela, ele precisa girar muito rápido” [...]. [...]

NÃO ESCREVA Resoluções 1. Quais são os planetas do Sistema Solar? NO LIVRO. Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. na p. 276 2. Explique o que é a órbita de um planeta. Resposta esperada: É a trajetória que esse planeta realiza em torno do Sol. 3. Construa uma tabela no caderno e organize as informações apreResposta nas Orientações para o professor. sentadas no esquema.

5. Considere o exato momento em que Marte e Júpiter, em suas órbitas, alinham-se com o Sol. Depois de quantos anos terrestres esse alinhamento acontecerá novamente nessa mesma posição? 12 anos terrestres.

RODRIGO/YANCOM

4. Enquanto Urano completa uma volta em torno do Sol, quantas voltas completas Júpiter realiza? 7 voltas.

OS RAPIDINHOS do Sistema Solar. Superinteressante. Disponível em: <https://super.abril.com.br/ tecnologia/os-rapidinhos-do-sistemasolar/>. Acesso em: 6 set. 2018.

Veja a seguir a resposta da questão 3. Saturno 29 anos terrestres Netuno 165 anos terrestres

Urano 84 anos terrestres Júpiter 12 anos terrestres

Fonte dos dados: RIDPATH, I. Astronomia. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.

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Como curiosidade, leia para os alunos o trecho a seguir sobre a velocidade de rotação e translação dos planetas. Os rapidinhos do Sistema Solar Qual é o planeta que tem a maior velocidade de rotação e de translação?

O que gira mais rápido em torno de si mesmo é Júpiter. Apesar do tamanho – ele é o maior dos planetas –, o gigante leva só 9,8 horas para completar uma volta, marca que deixaria tonto qualquer um que se aventurasse em sua inóspita superfície. Essa é a duração de um dia jupiteriano. E o

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curioso é que, dependendo da região, o tempo de rotação do astro varia sutilmente. Na faixa equatorial, o dia é aproximadamente 5 minutos mais curto do que no resto do planeta. O mais lento nesse quesito é Vênus, cuja rotação leva 243 dias dos nossos.

Período orbital aproximado dos planetas do Sistema Solar Planeta

Período orbital

Mercúrio

88 dias terrestres

Vênus

225 dias terrestres

Terra

365 dias terrestres

Marte

2 anos terrestres

Júpiter

12 anos terrestres

Saturno

29 anos terrestres

Urano

84 anos terrestres

Netuno

165 anos terrestres

Fonte: RIDPATH, I. Astronomia. Tradução de Maria Luiza X. de A. Borges. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2014. (Guia Ilustrado Zahar).

5. Verificar se os alunos perceberam que a quantidade de anos terrestres que os planetas Marte e Júpiter vão levar para se alinhar novamente com o Sol, naquela determinada posição, é dada pelo mínimo múltiplo comum entre os períodos orbitais desses planetas.

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VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF07MA01 da BNCC. CALCULANDO MÚLTIPLOS Nestas páginas é trabalhada a obtenção de múltiplos de um número natural utilizando duas estratégias na planilha eletrônica Calc. Chamar a atenção dos alunos para o fato de que essas estratégias correspondem às que foram estudadas no início da Unidade. A primeira estratégia utiliza a ideia de adições sucessivas de um mesmo número, a partir do zero, e a segunda, a ideia de multiplicação de um número pela sequência de números naturais. Caso julgar necessário, retornar à página 14 desta Unidade para estabelecer essa relação. Para complementar, se julgar conveniente, explicar aos alunos que a planilha eletrônica Calc também pode ser utilizada para obter os divisores de um número natural. Uma estratégia é proceder de maneira parecida à na atividade 5 da página 16 desta Unidade: realizar divisões por números naturais, diferentes de zero, e identificar quais divisões são exatas. Observe as etapas a seguir para obter os divisores de 10, utilizando a planilha eletrônica Calc. Nessa estratégia, o procedimento é análogo ao exemplo 2, apresentado nesta seção. 1a) Na célula A1 escrevemos “Sequência dos números naturais de 1 a 10” e na célula B1, “Divisão”. 2a) Na coluna A, construímos a sequência dos números naturais de 1 a 10. Para isso, registramos o número 1 na célula A2. Depois, clicamos nessa célula e na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula A11.

você

conectado

Calculando múltiplos Podemos utilizar as planilhas eletrônicas para estudarmos os múltiplos de um número natural. Observe, nos exemplos, duas maneiras de obter múltiplos de números naturais na planilha eletrônica Calc. Exemplo 1 Vamos obter os dez primeiros múltiplos de 18 realizando adições sucessivas na planilha eletrônica Calc.

1a IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na célula A1 registramos 0, que é o primeiro múltiplo de 18. Para calcular o segundo múltiplo de 18, na célula A2, escrevemos =A1+18, que corresponde ao valor numérico representado na célula A1 adicionado de 18 unidades. Depois, pressionamos a tecla Enter.

2a

Para calcular os próximos múltiplos de 18, clicamos na célula A2, depois na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula A10. Assim, obtemos os dez primeiros múltiplos de 18.

!

Na opção , a indicação vermelha foi inserida apenas para destacar que devemos clicar no quadrinho preto, no canto inferior direito da célula.

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3a) Na célula B2 escrevemos =10/A2, que corresponde a 10 dividido pelo valor indicado na célula A2, e pressionamos a tecla Enter. Em seguida, clicamos na célula B2, depois na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula B11.

Na coluna B, observamos que apenas as divisões por 1, por 2, por 5 e por 10 resultaram em um número natural; portanto, esses são os divisores de 10. Pedir aos alunos que, utilizando essa estratégia no Calc, retomem a atividade 5 da página 16 desta Unidade e verifiquem as respostas do item b.

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Múltiplos de 27

1

a

Na célula A1 escrevemos “Sequência dos números naturais” e, na célula B1, “Sequência dos múltiplos de 18”. Na coluna A, vamos construir a sequência dos números naturais. Para isso, registramos o número 0 na célula A2. Em seguida, clicamos nessa célula e depois na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula A11.

Múltiplos de 36

Múltiplos de 45

2a IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Múltiplos de 54

Nesta questão, espera-se que os alunos determinem o mínimo múltiplo comum, em cada um dos itens, utilizando os múltiplos obtidos com a planilha eletrônica.

Para construir a sequência dos múltiplos de 18, na célula B2 escrevemos =18*A2, que corresponde a 18 multiplicado pelo valor numérico representado na célula A2, e pressionamos a tecla Enter. Em seguida, clicamos na célula B2, depois na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula B11.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

0, 27, 54, 81, 108, 135, 162, 189, 216, 243, 270, 297, 324, 351, 378, 405, 432, 459, 486 e 513. 0, 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, 360, 396, 432, 468, 504, 540, 576, 612, 648 e 684. 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, 450, 495, 540, 585, 630, 675, 720, 765, 810 e 855. 0, 54, 108, 162, 216, 270, 324, 378, 432, 486, 540, 594, 648, 702, 756, 810, 864, 918, 972 e 1 026.

Resoluções na p. 276

1. Escolha uma das maneiras apresentadas e obtenha os vinte primeiros múltiplos de 27, de 36, de 45 e de 54. Resposta nas Orientações para o professor. • De acordo com os números obtidos, determine: a) mmc (36, 45) 180

c) mmc (27, 36, 54) 108

b) mmc (45, 27) 135

d) mmc (27, 36, 45, 54) 540

2. Quais são os múltiplos de 42 entre 1 000 e 1 200? 1 008, 1 050, 1 092, 1 134 e 1 176.

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LIBREOFFICE 2018

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Exemplo 2 Agora, vamos obter os dez primeiros múltiplos de 18 realizando multiplicações pelos números da sequência dos números naturais na planilha eletrônica Calc.

Mãos à obra Veja a seguir a resposta da questão 1.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas a fim de construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior desta página. Com base nos conceitos, indicados pelos alunos, que precisam ser retomados para melhor compreensão, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções na p. 277 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.

Números primos

Divisores

Múltiplos

Mínimo múltiplo comum

Números compostos

Potenciação

Máximo divisor comum

Radiciação

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Múltiplos, divisores, potências e raízes

Múltiplos

Mínimo múltiplo comum

Divisores

Números primos

Números compostos

Potenciação

Radiciação

Máximo divisor comum

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

PROBLEMAS No depósito do supermercado, serão empilhadas 5 caixas com formato de bloco retangular, 40 cm como a representada a seguir, todas na mesma posição. Quais são as possíveis alturas desse 50 cm empilhamento? 200 cm; 300 cm; 250 cm. Conceitos: Múltiplos.

ILUSTRAÇÕES: RODRIGO/YANCOM

I

60 cm

II No supermercado há alguns carrinhos de compra. Eles podem ser organizados em fileiras de 12 ou de 15 carrinhos, de maneira que não sobrem carrinhos. No mínimo, quantos carrinhos de compra há nesse supermercado? 60 carrinhos. Conceitos: Mínimo múltiplo comum.

III O estacionamento do supermercado ocupa uma região quadrada cuja área é de 900 m2. Quantos metros tem cada lado do muro que contorna essa região? 30 m. Conceitos: Radiciação.

IV Em um expositor, foram organizadas latas de leite em pó da seguinte

maneira: 8 camadas, em que cada uma possui 8 fileiras de 8 latas cada. Quantas latas de leite em pó foram organizadas? 512 latas. Conceitos: Potenciação.

V O setor de hortifrúti do supermercado recebeu uma caixa em que havia

140 maçãs. É possível distribuir igualmente todas essas maçãs em 18 bandejas sem que sobre nenhuma maçã? Não. Conceitos: Múltiplo de um número; divisor de um número.

VI Na padaria do supermercado foram preparados dois tipos de biscoitos: 120 de coco e 90 de manteiga. Eles serão empacotados de maneira que cada pacote tenha um único tipo de biscoito, todos os pacotes tenham a mesma quantidade e não sobre biscoito. Quantos biscoitos, no máximo, terá em cada pacote?

3. No item I, chamar a atenção dos alunos para o fato de que as três possíveis alturas correspondem a cada uma das dimensões da caixa multiplicada por 5 e que, portanto, esses valores são múltiplos de 5. No item II, é importante que os alunos percebam que a resolução pode ser feita a partir do cálculo do mínimo múltiplo comum entre os números 12 e 15, pois se pede a quantidade mínima possível de carrinhos no supermercado. Chamar a atenção para o fato de que pode haver outras quantidades, desde que sejam múltiplas de 12 e de 15, por exemplo, 120 carrinhos. No item IV, verificar se os alunos escreveram a potenciação 83 para determinar a quantidade de latas organizadas. Caso tenham escrito apenas a multiplicação, relembrar o conceito de potenciação. No item V, pedir aos alunos que justifiquem sua resposta. Espera-se que eles compreendam que 140 não é múltiplo de 18 ou ainda que 18 não é divisor de 140. No item VI, cabe ressaltar que todos os biscoitos de cada tipo deverão ser empacotados, de modo que cada pacote tenha um único tipo de biscoito, e que não sobrem biscoitos. Portanto, a resolução pode ser feita a partir do cálculo do máximo divisor comum entre os números 90 e 120, pois se pede a quantidade máxima possível de biscoitos em cada pacote.

30 biscoitos. Conceitos: Máximo divisor comum. 37

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UNIDADE TEMÁTICA

2

• Números. OBJETO DE CONHECIMENTO • Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações. HABILIDADES

NÚMEROS INTEIROS

• EF07MA03 • EF07MA04 COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. ESPECÍFICAS 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimen-

O inverno no Brasil Como costuma ser o inverno na região onde você mora? Enquanto em algumas regiões do Brasil o cenário é de geada, podendo até nevar, em outras o dia é ensolarado e quente. Essa diferença de temperatura ocorre por vários fatores, como a proporção continental do nosso país. Sua extensão é de cerca de 8,5 milhões de km² e ocupa quase a metade da América do Sul, abrangendo várias zonas climáticas. Para se ter uma ideia dessa diferença de temperatura, no dia 18 de julho de 2017, por exemplo, a temperatura mínima registrada no município de Bom Jesus (RS) foi de aproximadamente três graus Celsius abaixo de zero (_3 °C), e em Chapadinha (MA) foi de vinte e um graus Celsius (21 ºC).

Paisagem com os campos cobertos de neve na Serra Gaúcha. Fotografia de 2017.

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tos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria

capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais

e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas,

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Essa diferença de temperatura ocorre por vários fatores, como a proporção continental do nosso país, que abrange várias zonas climáticas. Resposta pessoal.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 e à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que o estudo climático, mais especificamente das temperaturas nas diferentes regiões brasileiras, permite desenvolver um trabalho que relaciona diferentes componentes curriculares, como Matemática, Geografia e Ciências, valorizando conhecimentos historicamente construídos e visando explicar fenômenos da realidade do mundo físico. Durante o trabalho com o conteúdo destas páginas, explorar os conhecimentos prévios dos alunos em relação à medida de temperatura e à escala Celsius. Comentar com eles que o nome dessa escala é uma homenagem ao seu criador, o sueco Anders Celsius (1701-1744), que tomou como base as temperaturas de mudança de estado físico da água sob certas condições. Explicar aos alunos que as temperaturas máxima e mínima correspondem, respectivamente, à mais alta e à mais baixa temperatura prevista para ocorrer em determinado dia, em uma localidade. Para complementar, questioná-los se já estiveram em um município onde a temperatura estivesse abaixo de zero e, em caso afirmativo, como foi essa experiência.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. De acordo com o texto, por que as regiões do Brasil apresentam diferentes temperaturas? Descreva como é o inverno na região onde você mora. Em qual dos municípios apresentados no mapa foi registrada a maior temperatura? Em que região do Brasil fica esse município? O que você entende por temperaturas abaixo de zero? Em qual dos municípios apresentados no mapa foi registrada temperatura abaixo de zero? Chapadinha (MA). Nordeste. Resposta pessoal. Bom Jesus (RS).

Temperaturas mínima e máxima registradas em 18/7/2017 em alguns municípios brasileiros* Rio Branco (AC) Mínima: 12 °C Máxima: 24 °C

OCEANO ATLÂNTICO

RR

AP

Equador

MA

Chapadinha

CE

PA

AC Rio Branco

PE

TO

AL SE

MT

RO

BA

Poxoréu (MT) Mínima: 7 °C Máxima: 20 °C

DF

Poxoréu

GO MG

MS

OCEANO PACÍFICO

RN PB

PI

SP PR

ES RJ

Trópico de Capricórnio

São Paulo

SC

RENATO BASSANI

RS

São Paulo (SP) Mínima: 8 °C Máxima: 18 °C

Bom Jesus

0 60° O

Chapadinha (MA) Mínima: 21 °C Máxima: 31 °C

490

Bom Jesus (RS) Mínima: – 3 °C Máxima: 8 °C

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. p. 90. Fonte dos dados: INMET. Disponível em: <www.inmet.gov.br>. Acesso em: 20 nov. 2017. * Valores aproximados.

GERSON GERLOFF/PULSAR IMAGENS

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de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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Sugerir aos alunos que acessem este site para pesquisar as temperaturas máxima e mínima previstas para o município em que moram. • INMET. Disponível em: <http://livro.pro/ctbei7>. Acesso em: 19 set. 2018.

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Os números negativos Na abertura desta Unidade, vimos que existem temperaturas abaixo de 0 ºC, chamadas de temperaturas negativas. Porém, no dia a dia, diversas outras situações envolvem números negativos. Observe alguns exemplos. Altitude

A altitude que está acima do nível do mar é chamada de altitude positiva. 400 m 300 m 200 m 100 m 0 _100 m _200 m _300 m _400 m _500 m

Quando a altitude negativa está emersa, pode ser chamada de depressão. A altitude que está abaixo do nível do mar é chamada de altitude negativa.

BENTINHO

OS NÚMEROS NEGATIVOS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF07MA03. Iniciar questionando os alunos se eles já vivenciaram situações em que os números negativos estiveram presentes e, em caso afirmativo, quais foram essas situações. Em seguida, explorar as situações apresentadas nestas páginas, verificando se os alunos conhecem estes exemplos que envolvem números negativos. Após explorar o exemplo Altitude, perguntar aos alunos sobre o que eles entenderam por “nível do mar”. Espera-se que eles compreendam que este é o marco zero, considerado a referência para determinar se a altitude é positiva ou negativa. Se possível, levar os alunos ao laboratório de informática e propor que pesquisem a altitude de alguns picos, montanhas e fossas oceânicas. Pedir que registrem essas informações no caderno e identifiquem em quais exemplos a altitude é positiva e em quais é negativa. No exemplo Saldo de gols, verificar se os alunos compreenderam que os gols marcados são aqueles feitos pelo time e os gols sofridos são os que o time adversário fez. Para complementar, levar para a sala de aula uma tabela atual do campeonato brasileiro de futebol, para que os alunos possam identificar quais times obtiveram saldo de gols positivo e quais obtiveram saldo de gols negativo. Uma sugestão é construir um mural com as informações da tabela do campeonato, de modo que os alunos vão atualizando semana a semana. Essa situação permite explorar a noção de números inteiros, bem como a operação de subtração. Dizer aos alunos que nem sempre o time com o maior saldo de gols é o campeão do campeonato.

Quando é realizada a medição da altitude de um ponto, o nível do mar é a referência, que indica zero metro. Quando a altitude negativa está submersa, pode ser chamada de profundidade.

Saldo de gols

Times com o maior e o menor saldo de gols do Campeonato Brasileiro de 2017. Gols marcados É a quantidade de gols que o time marcou no campeonato. Gols sofridos É a quantidade de gols que o time sofreu no campeonato.

Saldo de gols É a diferença entre a quantidade de gols marcados e a de gols sofridos.

Time Corinthians

50

30

20

Avaí

29

48

_19

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quando a quantidade de gols marcados pelo time é maior que a de gols sofridos, o saldo de gols é positivo.

Quando a quantidade de gols marcados pelo time é menor que a de gols sofridos, o saldo de gols é negativo. Fonte dos dados: CBF. Campeonato Brasileiro de Futebol – Série A. Disponível em: <www.cbf.com.br/ futebol-brasileiro/competicoes-campeonato-brasileiro-serie-a/2017>. Acesso em: 22 out. 2018.

fique ligado

Um pouco da história dos números negativos Você sabe onde os números negativos apareceram pela primeira vez? Apresentamos anteriormente diferentes situações envolvendo números negativos; porém, durante muito tempo a humanidade viveu na impossibilidade de reconhecer e utilizar esses números. Acredita-se que um dos primeiros povos a se apropriar dos números negativos tenham sido os chineses. Um exemplo disso é o registro de cálculos com coleções de barras

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para pesquisar a altitude e as temperaturas máxima e mínima de Estações Meteorológicas, localizadas em diferentes pontos do Brasil.

• INMET. Estações Automá-

ticas. Disponível em: <http:// livro.pro/6zhbfh>. Acesso em: 18 set. 2018.

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utilizada para fins científicos. No Brasil, costumamos utilizar a escala Celsius. No boxe Fique ligado, é abordado o contexto histórico relacionado aos números negativos. Para complementar, se julgar pertinente, leia para os alunos o trecho a seguir, que apresenta outras informações do livro mencionado neste boxe.

Saldo bancário

O extrato bancário é um documento com a descrição da movimentação ocorrida na conta bancária em determinado período. Nesse extrato bancário, a letra C indica um crédito, ou seja, houve uma entrada de dinheiro.

O saldo bancário é calculado com base no saldo anterior e nas movimentações de crédito e débito.

Nesse extrato bancário, a letra D indica um débito, ou seja, houve uma retirada de dinheiro.

O saldo é negativo quando o cliente deve dinheiro ao banco.

[...] O mais importante dos textos de matemática chineses antigos é o [...] Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática, que data do período Han mas que muito provavelmente contém material bem mais antigo. É uma síntese do conhecimento matemático chinês antigo. Nele estão estabelecidos os traços da matemática antiga da China: cálculos orientados, com teoria e prática ligadas numa sequência de problemas aplicados. O trabalho, que é rico em conteúdo, consta de 246 problemas sobre agricultura, procedimentos em negócios, engenharia, agrimensura, resolução de equações e propriedades de triângulos retângulos. São dadas regras de resolução, mas não há demonstrações [...].

O saldo é positivo quando há dinheiro disponível na conta bancária.

Temperatura Este modelo de termômetro é utilizado para medir a temperatura do ambiente. Indica que a temperatura do ambiente está sendo medida em graus Celsius.

• IMENES, L. M. P.; LELLIS, M. C.; JAKUBOVIC, J. Números negativos. São Paulo: Atual, 2004. (Pra que serve Matemática?)

vermelhas e pretas representando, respectivamente, números positivos e negativos, como aparece no livro Nove capítulos sobre a arte da Matemática. Esse livro, que data do período Han (206 a.C.-221 d.C.), é um dos mais antigos e importante texto chinês sobre matemática. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 243.

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Em relação ao exemplo Saldo bancário, dizer aos alunos que os dados são fictícios. É importante que eles sejam capazes de reconhecer cada elemento do extrato bancário. Verificar se eles perceberam que o crédito, indicado pela letra C, corresponde à entrada de dinheiro,

enquanto o débito, indicado pela letra D, corresponde à retirada de dinheiro. Explicar aos alunos que, em alguns modelos de extrato bancário, na informação sobre o crédito, é utilizado o sinal de adição (+) e na informação sobre o débito, é utilizado o sinal de subtração (_).

PICTURE FROM HISTORY/AGB PHOTO LIBRARY/KEYSTONE DO BRASIL

Este livro apresenta informações sobre números negativos por meio de aplicações práticas.

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

O nível do álcool indica a temperatura do ambiente: acima de 0 °C a temperatura é positiva, e abaixo de 0 °C, negativa. Nesse caso, a temperatura indicada é _5 °C.

EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da UNICAMP, 2004. p. 243.

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No exemplo Temperatura, caso julgar necessário, relembrar os alunos como realizar a leitura da temperatura na escala Celsius. Dizer a eles que existem outras escalas de temperatura, como a escala Fahrenheit (°F), que geralmente é utilizada nos países de língua inglesa, e a Kelvin (K),

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS OS NÚMEROS INTEIROS E A RETA NUMÉRICA Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF07MA03. O estudo com os números naturais foi realizado na Unidade 1 do Volume 6 desta coleção. Caso julgar necessário, relembrar os alunos que também podemos representar os números naturais na reta numérica. Dizer a eles que o procedimento para a representação dos números inteiros na reta numérica é análogo ao procedimento para representar os números naturais. Após o trabalho com esse tópico, pedir que representem números inteiros na reta numérica. Orientá-los a traçar com a régua uma linha horizontal de 12 cm, por exemplo. Depois, pedir que na marcação 6 cm da régua, destaquem a origem O, que corresponde ao número 0 (zero), e nas extremidades da linha traçada, desenhem uma seta para a direita, indicando o sentido positivo, e uma seta para a esquerda, indicando o sentido negativo, assim como na reta apresentada nesta página. Ainda utilizando a régua, pedir aos alunos que, tomando a origem O como referência, façam marcações consecutivas na linha traçada, que se distanciem 1 cm entre si. Em seguida, nomeiem a primeira marcação após o zero, no sentido positivo, como 1, a segunda como 2, e assim sucessivamente e que nomeiem a primeira marcação anterior ao zero, no sentido negativo, como _1, a segunda como _2, e assim sucessivamente. É importante que eles percebam que a distância entre as marcações consecutivas deve ser sempre a mesma e que tomar essa distância como 1 cm é apenas uma maneira para a representação. Chamar a atenção dos alunos para o fato de que os conceitos de antecessor, sucessor e números consecutivos são os mesmos que foram estudados com os números naturais, apenas consideramos um conjunto numérico diferente.

Os números inteiros e a reta numérica Em anos anteriores estudamos a sequência dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Essa sequência é formada pelo zero e pelos números inteiros positivos. Também podemos escrever a sequência dos números inteiros negativos: ..., _7, _6, _5, _4, _3, _2, _1 A reunião dessas sequências corresponde à sequência dos números inteiros: ..., _7, _6, _5, _4, _3, _2, _1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Observe como podemos representar esses números na reta numérica. Essa seta indica que a sequência dos números inteiros continua infinitamente no sentido negativo.

O ponto O indica a origem da reta numérica e corresponde ao número zero. A partir da origem definimos o sentido negativo e o sentido positivo. sentido negativo

Entre uma marcação e a marcação seguinte, usamos uma mesma unidade.

sentido positivo

O _7

_6

_5

_4

_3

O número _6 é antecessor do número _5, pois vem logo antes dele na sequência dos números inteiros. Também temos que _5 é sucessor de _6, pois vem logo depois dele nessa sequência.

_2

_1

0

1

2

3

4

5

Os números _1, 0 e 1 são números consecutivos, pois vêm um logo depois do outro na sequência dos números inteiros.

6

7

Essa seta indica que a sequência dos números inteiros continua infinitamente no sentido positivo.

Cite três números inteiros consecutivos e negativos. Algumas respostas possíveis: _20, _19 e _18; _3, _2 e _1. Também podemos representar um número positivo acompanhado do símbolo “+”. Assim, o número 7, por exemplo, pode ser representado por +7.

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Distância de um ponto à origem na reta numérica Considere, na reta numérica, o ponto A, correspondente ao número _5, e o ponto B, correspondente ao número 3. Observe a distância de cada um desses pontos à origem O. A _7

_6

_5

O _4

_3

_2

_1

0

5 unidades

B 1

2

3

4

5

6

7

3 unidades

Definimos como módulo ou valor absoluto de um número a distância do ponto correspondente ao número à origem na reta numérica. Assim, temos que: • módulo de _5 é igual a 5; • módulo de 3 é igual a 3. Também podemos indicar o módulo de um número usando | |. Em relação aos exemplos apresentados anteriormente, temos |_5| = 5 e |3| = 3. Veja outros exemplos. • |_10| = 10

Quais números inteiros são iguais ao seu módulo? Os números inteiros positivos e o zero.

• |2| = 2 • |0| = 0

• |_7| = 7 Agora, observe na reta numérica as distâncias dos pontos correspondentes aos números 4 e _4 à origem. C _7

_6

_5

_4

O _3

_2

_1

4 unidades

0

D 1

2

3

4

5

6

7

4 unidades

Note que essas distâncias são iguais. Nesse caso, dizemos que 4 e _4 são números opostos ou números simétricos. Veja outros exemplos. 5 é o oposto de _5. • 5 e _5 são números opostos. _5 é o oposto de 5. _6 é o oposto de 6. • _6 e 6 são números opostos. 6 é o oposto de _6.

O que têm em comum os módulos de dois números opostos? Resposta esperada: Eles são iguais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Distância de um ponto à origem na reta numérica Verificar se os alunos compreenderam que a distância de um ponto à origem corresponde a quantas unidades esse ponto está distante do 0 (zero) e, além disso, essa dis-

tância é definida como o módulo do número representado por esse ponto. Explicar a eles que não se emprega uma unidade de medida ao módulo de um número, apesar de poder ser definido como distância. É importante também os alunos perceberem que, ao trabalhar com módulo, o resultado é sempre positivo ou zero.

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eixo vertical

_3

_2

_1

0

1

2

3

EDITORIA DE ARTE

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Ao explorar os números opostos ou simétricos, chamar a atenção dos alunos para o fato de que os pontos que representam os números opostos são simétricos em relação à origem. Uma sugestão para complementar esse trabalho é pedir aos alunos que representem, em uma tira de papel, os números inteiros na reta numérica e dobrem essa tira ao longo do eixo vertical que passa pela origem, como indicado na parte inferior desta página. Nesse momento, espera-se que eles percebam que, ao realizar essa dobra, os pontos correspondentes aos números opostos vão se sobrepor.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a identificação de números inteiros negativos e números inteiros positivos. Se julgar conveniente, explorar o contexto desta atividade com o professor da disciplina de Geografia. Dizer aos alunos que é a linha do equador que divide o planeta em Hemisférios Norte e Sul. Verificar se eles perceberam que nesse dia (30/11/2017) os municípios apresentados do Hemisfério Norte estavam com temperaturas bem menores do que as do Hemisfério Sul. Para a resolução do item c, se possível, levar os alunos ao laboratório de informática ou pedir com antecedência que eles realizem a pesquisa e tragam as informações para a sala de aula. Questioná-los sobre quais critérios eles utilizaram para a escolha dos municípios, por exemplo, se relacionaram as temperaturas com as estações do ano que estão ocorrendo no Hemisfério Norte e no Hemisfério Sul. O mapa que os alunos utilizarão pode ser físico ou digital. 2. Esta atividade trabalha a representação de medidas em diferentes situações por meio de números inteiros negativos. Para complementar, sugerir aos alunos que escrevam frases com situações que envolvam números inteiros negativos. 3. Esta atividade trabalha a associação de números inteiros a pontos na reta numérica, além de explorar a ideia de sequência numérica, que será estudada mais adiante neste Volume. Ao final, questionar os alunos sobre quais estratégias eles utilizaram para resolver esta atividade. 4. Esta atividade trabalha as ideias de antecessor, de sucessor e de números inteiros consecutivos. 5. Esta atividade trabalha a associação de números intei-

Resoluções na p. 277

AtividadeS

1. a) Hemisfério Norte: Astana, Pequim, Toronto e Virton. Hemisfério Sul: Adelaide, Durban e Fortaleza. 1. Vimos que em um mesmo dia, no Brasil, os municípios podem registrar diferentes temperaturas. Isso também ocorre em todo o planeta. Observe o esquema. NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Temperatura mínima prevista para 30/11/2017 em alguns municípios _8 °C

_1 °C

_6 °C

_1 °C

25 °C

26 °C

18 °C

Astana (Cazaquistão)

Toronto (Canadá)

Pequim (China)

Virton (Bélgica)

Adelaide (Austrália)

Fortaleza (Brasil)

Durban (África do Sul)

Fonte dos dados: WORLD METEOROLOGICAL ORGANIZATION. Disponível em: <http://worldweather.wmo.int/en/home.html>. Acesso em: 30 nov. 2017.

a) Organize esses municípios em dois grupos: os do Hemisfério Norte e os do Hemisfério Sul. b) Nesse dia, para quais municípios havia previsão de temperatura mínima: • negativa? Astana, Pequim, Toronto e Virton. • positiva? Adelaide, Durban e Fortaleza. c) Junte-se a um colega e pesquisem em um site de meteorologia dois municípios cuja temperatura mínima prevista para hoje seja negativa e dois em que seja positiva. Depois, registrem essas informações e localizem esses municípios em um mapa. Resposta pessoal.

2. Leia as informações e represente as partes destacadas com números positivos ou negativos.

4. Vamos brincar de adivinhar? Leia as pistas e adivinhe a resposta. a) O antecessor de um número é _8. Que número é esse? _7

a) A fossa de Porto Rico é considerada o ponto mais profundo do Oceano Atlântico, com 8 605 m abaixo do nível do mar. _8 605 m. b) Em certo dia, a temperatura mínima registrada em São Joaquim (SC) foi de cinco graus Celsius abaixo de zero. _5 °C. c) Pedro visualizou seu extrato bancário e verificou que estava com saldo devedor de seiscentos e trinta e oito reais. _R$ 638,00. 3. Na reta numérica a seguir, as distâncias entre duas marcações consecutivas são iguais. No caderno, escreva o número correspondente a cada ponto indicado pelas letras A, B, C, D e E. A: _12; B: 6; C: 9; D: _3; E: _6. A

_9

E

D

0

3

B

b) O menor de três números consecutivos é _2. Quais são os outros dois números? _1 e 0. c) O sucessor de um número é _14. Que número é esse? _15 5. Se representados na reta numérica, o ponto correspondente a qual dos números a seguir estaria menos distante da origem? _2 8 7 _2 _18 3

14

5

_6

6. Responda às questões a seguir.

C

a) Qual é o módulo de: • 12? 12 • _523? 523

• 0? 0

b) Quais números têm módulo igual a: • 6? • 27? • 528? _6 e 6. _27 e 27. _528 e 528.

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ros a pontos na reta numérica e a comparação da distância entre eles com relação à origem. Para complementar, propor aos alunos que representem esses números em uma reta numérica construída no caderno.

6. Esta atividade trabalha o módulo ou valor absoluto de um número inteiro. No item b, verificar se os alunos perceberam que números opostos ou simétricos têm módulos iguais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Comparação de números inteiros

Rokkeveen. Altitude: _4 m. Fotografia de 2012.

Midelburgo. Altitude: 7 m. Fotografia de 2017.

ANDREI BORTNIKAU/ SHUTTERSTOCK.COM

FRANS LEMMENS/ALAMY/ FOTOARENA

MANOVANKOHR/ ISTOCKPHOTO/GETTY IMAGES

Você sabia que existem municípios que se localizam abaixo do nível do mar? Nos Países Baixos , também conhecidos como Holanda, alguns municípios estão localizados abaixo do nível do mar, enquanto outros, a apenas poucos metros acima desse nível. Observe a altitude de alguns deles.

Volendam. Altitude: _2 m. Fotografia de 2017.

Para comparar as altitudes desses municípios em relação ao nível do mar, podemos utilizar uma reta numérica. Rokkeveen

Volendam

_4

_2

Midelburgo

0

7

Observando a reta numérica, notamos que: • _4 está à esquerda de _2, ou seja, _4 é menor do que _2. _4 , _2

ou

_2 . _4

• Na reta numérica, _2 está à direita de _4, ou seja, _2 é maior do que _4. • Na reta numérica, 7 está à direita de _4, ou seja, 7 é maior do que _4. • Na reta numérica, 7 está à direita de _2, ou seja, 7 é maior do que _2. Explorar também com os alunos relações entre o conceito de módulo e a comparação entre números positivos e números negativos. Por exemplo: • se ambos forem negativos, o menor é aquele com maior módulo; • se ambos forem positivos, o menor é aquele com menor módulo.

Assim, a altitude do município de Rokkeveen é menor que a de Volendam. • _4 está à esquerda de 7, ou seja, _4 é menor do que 7. _4 , 7

ou

7 . _4

Assim, a altitude do município de Rokkeveen é menor que a de Midelburgo. • _2 está à esquerda de 7, ou seja, _2 é menor do que 7. _2 , 7

ou

COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Aproveitar o contexto desta página e comentar com os alunos que a Holanda é conhecida por sua quantidade de moinhos e essa tecnologia foi introduzida para drenar grandes regiões alagadas, já que parte do território holandês está abaixo do nível do mar. Dizer a eles que as pás dos moinhos captavam a energia dos ventos e acionavam bombas de sucção. Aliada aos moinhos, a construção de diques permitiu que novas regiões fossem habitadas e protegidas da baixa altitude. Ao trabalhar a comparação de números inteiros com base na reta numérica, estabelecer também a relação entre as expressões “à direita” e “maior do que”, como apresentado a seguir.

7 . _2

Assim, a altitude do município de Volendam é menor que a de Midelburgo. Ao comparar dois números inteiros na reta numérica, temos que: • se um for positivo, e outro, negativo, o menor será o negativo; • se ambos forem negativos, o menor é o representado mais distante da origem; • se ambos forem positivos, o menor é o representado mais próximo da origem.

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AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para pesquisar a temperatura prevista em determinada localidade. • INMET. Previsão do tempo. Disponível em: <http://livro.pro/t2x2p7>. Acesso em: 18 set. 2018.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a comparação de números inteiros. Os alunos podem utilizar a reta numérica para resolver esta atividade. 2. Esta atividade trabalha a ordenação de números inteiros em ordem decrescente. Relembrar com os alunos o que significa ordem crescente e ordem decrescente. Mostrar a eles como escrever esses números em ordem decrescente utilizando o símbolo . (maior do que). 3. Esta atividade trabalha a comparação e a ordenação de números inteiros, assim como a associação desses números a pontos da reta numérica. 4. Esta atividade trabalha a comparação de números inteiros e a associação desses números a pontos da reta numérica. Em cada item, perguntar aos alunos quais são esses números. Nesse caso, no item a: _8, _7, _6, _5, _4, _3, _2, _1, 0 e 1; e no item b: _5, _4, _3, _2, _1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação de números inteiros. Explicar aos alunos que, em alguns prédios, o andar zero é indicado como térreo. 6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e a ordenação de números inteiros. Se julgar conveniente, retomar o estudo das páginas 32 e 33 da Unidade 1, nas quais foram abordadas informações sobre o Sistema Solar. 7. Esta atividade trabalha uma proposta de elaboração de questões pelo aluno em um contexto de comparação de números inteiros. A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser criadas pelos alunos. • Em quais meses Aroldo ficou com saldo negativo no último dia do mês? Resposta: Fevereiro e março.

AtividadeS

Resoluções na p. 277 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Copie cada item e substitua o ou .. a) 1 025

por ,

d) _341

1 228 <

b) _12

_8 <

e) 0

c) 127

_523 >

f) _56

3. Na reta numérica a seguir, foram usadas letras para indicar alguns pontos.

25 <

_6 >

A

_98 >

B

C

0

D

E

F

Relacione cada número do quadro a seguir a um ponto correspondente na reta numérica.

2. Escreva os números do quadro em ordem decrescente.

A: _15; B: _12; C: _3; D: 9; E: 12; F: 18.

421 _728 3 845 _123 0 _1 622 77 _2 523 _3 9

18

_15

_3 _12

9 12

3 845, 421, 77, 9, 0, _3, _123, _728, _1 622 e _2 523.

4. Também podemos utilizar a reta numérica em outras situações. Observe. _6

_5

_4

_3

_2

Podemos dizer que entre os números _6 e _3 há dois números inteiros: _5 e _4.

_1

0

1

2

3

4

5

6

Podemos dizer que há seis números inteiros de _1 até 4, que são: _1, 0, 1, 2, 3 e 4.

Agora, responda. a) Quantos números inteiros há entre _9 e 2? b) De _5 até 5 há quantos números inteiros? 10 números inteiros. 11 números inteiros. 5. No edifício em que Sérgio trabalha há andares no subsolo, onde ficam os estacionamentos. Observe o painel do elevador desse edifício.

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Quantos andares tem esse edifício? 16 andares. b) Entre os andares _2 e 5, há quantos andares? Quais são eles? 6 andares. _1, 0, 1, 2, 3 e 4. 46

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• Considerando os saldos do

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último dia do mês, qual foi o maior no primeiro semestre do ano? E qual foi o menor? Respostas: R$ 821,00. _ R$ 485,00.

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6. a) _225 °C, _210 °C, _180 °C, _150 °C, 6. b) Mercúrio, Vênus e Terra. Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. _53 °C, 15 °C, 420 °C, 456 °C. 6. Você se lembra de que no Sistema Solar 8. Armazenar os alimentos em temperatura há 8 planetas? Observe a temperatura adequada é importante para consermédia de cada um deles. var seus nutrientes por mais tempo. Segundo determina a Agência Nacional Temperatura média dos de Vigilância Sanitária (Anvisa), os proplanetas do Sistema Solar dutos refrigerados e congelados devem Planeta Temperatura (em ºC) ser mantidos na temperatura indicada Júpiter _150 ºC pelo fabricante. Observe alguns produtos Marte _53 ºC congelados de certo supermercado. Mercúrio 420 ºC Filé de Netuno _225 ºC Frango. Pizza. Sorvete. Saturno _180 ºC Terra

15 ºC

Urano

_210 ºC

Vênus

456 ºC

Fonte: CAMILLO, A. P. et al. Temperatura dos planetas. Disponível em: <www.cienciamao.usp.br/tudo/ exibir.php?midia=aas&cod=_indefinidotemperaturaeco>. Acesso em: 4 abr. 2018.

_18 ºC a _12 ºC.

_18 ºC ou mais frio.

_12 ºC ou mais frio.

Lasanha.

Pão de queijo.

_12 ºC a _8 ºC.

_12 ºC.

LIBREOFFICE 2018

c) Qual planeta apresenta a menor temperatura média: Júpiter ou Saturno? Saturno. d) Quais planetas apresentam temperatura média entre _200 °C e 430 °C? Saturno, Júpiter, Marte, Terra e Mercúrio. 7. Observe o saldo da conta bancária de Aroldo no último dia de cada mês do primeiro semestre do ano.

RIVAIL/YANCOM

a) No caderno, reescreva as temperaturas da tabela em ordem crescente. b) Quais planetas apresentam temperatura média positiva? E temperatura média negativa?

cada freezer é apenas a temperatura. Assim, é possível armazenar o sorvete e o filé de frango, por exemplo, no mesmo freezer, apesar de não ser comum essa distribuição em supermercados. Verificar se os alunos perceberam que o sorvete deve ser colocado apenas no freezer I e o pão de queijo e a lasanha devem ser colocados apenas no freezer II. A pizza e o filé de frango podem estar em qualquer um dos dois. No item d, é possível que os produtos listados não apresentem uma temperatura de armazenamento em comum. Para complementar este item, verificar a possibilidade de realizar um trabalho relacionado à Investigação matemática, que é uma das tendências abordadas na parte geral deste Manual do professor. Nessa proposta, uma situação problemática a ser investigada pode ser: quais são os tipos de alimentos que devem ser armazenados em temperaturas negativas. Na formulação de conjecturas, propor aos alunos que citem exemplos de alimentos que costumam ser armazenados em freezer ou congelador na residência ou nos supermercados. Depois, questioná-los sobre como é possível verificar se os exemplos que foram levantados são válidos. Uma possibilidade é fazer uma busca na internet de quais alimentos devem ser armazenados em temperaturas negativas. A organização dos dados coletados pode ser feita em um quadro ou planilha eletrônica.

a) Você já viu esse tipo de informação na embalagem de algum produto? Converse com os colegas. Resposta pessoal. b) Qual dos produtos apresentados pode ser armazenado em maior temperatura? Lasanha. c) Observe como estão reguladas as temperaturas de cada freezer nesse supermercado e, de acordo com essa informação, indique uma maneira possível de distribuir os produtos entre eles. Freezer I II

Temperatura _18 ºC _12 ºC

d) Em casa, faça uma lista com o nome de cada produto que esteja no congelador ou freezer, e consulte no rótulo a Com base nessas informações, elabore respectiva temperatura em que deve ser duas questões que tratem de compaarmazenado. Depois, responda: a que ração de números inteiros e troque-as temperatura o congelador deve estar com um colega. Depois, responda às para armazenar todos esses produtos que você recebeu. Por fim, verifiquem de maneira adequada? Resposta pessoal. as resoluções. Resposta pessoal. 8. c) Algumas respostas possíveis: Sorvete e pizza no freezer I e pão de queijo, lasanha e filé de frango no freezer II. Sorvete e filé de frango no freezer I e pão de queijo, lasanha e pizza no freezer II. 47

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8. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e a ordenação de números inteiros. Além disso, o contexto apresentado propicia uma abordagem relacionada à competência específica 2 de Matemática da BNCC, uma vez que trata de uma situação

de consumo responsável, na qual o aluno deve se posicionar de acordo com a investigação a ser realizada. Dizer aos alunos que os dados sobre os produtos são fictícios. Explicar aos alunos que, no Brasil, a Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa) é

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o órgão responsável pelo controle sanitário de toda produção e todo consumo de produtos e serviços submetidos à vigilância sanitária. No item c, é importante ficar claro para os alunos que o critério utilizado para a distribuição dos produtos em

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OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA03 e EF07MA04.

Adição Para iniciar o trabalho com o conteúdo desta página, propor um jogo parecido com o que foi apresentado. Para isso, escrever números inteiros (positivo e negativo) em papéis e os colocar dobrados em uma caixa ou saco não transparente. Depois, orientar os alunos para que um a um retirem os papéis e os adicionem ao resultado anterior. Verificar se os alunos perceberam que, quando adicionamos um número negativo, utilizando a reta numérica, deslocamos para a esquerda a quantidade de unidades correspondente ao módulo do número e, quando adicionamos um número positivo, deslocamos para a direita. Caso julgar pertinente, orientar os alunos a representar os números inteiros em uma reta numérica e propor que realizem algumas adições. Eles também podem elaborar problemas, cuja resolução envolva a adição de números inteiros, e trocar com o colega para que ele o resolva utilizando a reta numérica construída. Depois, pedir que confiram juntos as resoluções. Ao final, é importante avaliar se os problemas elaborados pelo aluno contemplam ideias relacionadas ao conceito proposto.

Operações com números inteiros Adição Davi instalou um jogo no celular de seu pai. Nesse jogo, o participante lança dardos em balões que, ao estourarem, indicam um valor que deve ser adicionado à pontuação do jogador. Esse valor pode ser positivo ou negativo. • Observe a pontuação que Davi tinha e o balão que ele estourou em certo lançamento.

Para obter a pontuação de Davi após esse lançamento, podemos calcular _3 + (+7) utilizando a reta numérica. _5

_4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

5

+(+7)

_3 + (+7) = +4 ou _3 + 7 = 4 Assim, após esse lançamento, Davi ficou com a seguinte pontuação: +4. • Agora, observe ao lado o balão que Davi estourou em seguida. Para obter a pontuação após esse lançamento, calculamos +4 + (_5). _5

_4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

_5

5

+(_5)

+4 + (_5) = _1 ou 4 _ 5 = _1 Assim, após esse lançamento, Davi ficou com a seguinte pontuação: _1. • O próximo balão que Davi estourou está representado ao lado. Para obter a pontuação após esse lançamento, calculamos _1 + (_3). _5

_4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

5

_3

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

+(_3)

_1 + (_3) = _4 ou _1 _ 3 = _4 Assim, após esse lançamento, Davi ficou com a seguinte pontuação: _4. 48

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 277

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Relacione cada reta numérica ao cálculo correspondente e registre o resultado de cada um. a-IV; b-III; c-I; d-II. a) +6 + (_8) _2 I)

_8

_7

b) +2 + (+4) 6

_6

_5

c) _2 + (_6) _8

d) _4 + (+8) 4

_4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

_4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

+(_6)

II)

_8

_7

_6

_5

+(+8)

III)

_8

_7

_6

_5

_4

_3

_2

_1

0

+(+4)

IV)

_8

_7 _6

_5

_4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

2. Davi começou uma nova rodada no jogo de celular descrito na página 48. Ele iniciou a rodada com pontuação _10. Observe o balão que ele estourou em um lançamento e calcule a pontuação após esse lançamento. _1

DAYANE RAVEN

+(_8)

+9

3. No início do dia, em certo município, os termômetros registravam _5 ºC. No decorrer da manhã, essa temperatura aumentou 9 oC. Qual a temperatura nesse município ao final da manhã? 4 °C.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a adição de números inteiros com o auxílio da reta numérica. Ao final, propor aos alunos outras adições para que eles resolvam utilizando a reta numérica. 2. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a adição de números inteiros. Conversar com os alunos sobre a estratégia utilizada para resolvê-la. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a adição de números inteiros. 4. Esta atividade trabalha a identificação de características da adição de dois números inteiros a partir da análise e reflexão dos alunos. Verificar se os alunos compreenderam as regularidades dos cálculos que foram feitos, para que respondam a cada um dos itens corretamente. Caso julgar necessário, propor mais adições para que os alunos possam observar os resultados.

4. Ester realizou diversas adições de números inteiros. Observe.

+10 + (+5) = 15

_9 + (_9) = _18

+12 + (_13) = _1 _16 + (+2) = _14

+7 + (+4) = 11

_3 + (_17) = _20

_6 + (+9) = 3

+24 + (_19) = 5

Analise esses cálculos, copie as frases e complete-as com a palavra positivo ou negativo. a) Nas adições em que as duas parcelas são positivas, adicionamos seus módulos, e o resultado é . positivo b) Nas adições em que as duas parcelas são negativas, adicionamos seus módulos, e o resultado é . negativo c) Nas adições em que as duas parcelas têm sinais contrários, e o módulo da parcela positiva é o maior, calculamos a diferença dos módulos, e o resultado é . positivo d) Nas adições em que as duas parcelas têm sinais contrários, e o módulo da parcela negativa é o maior, calculamos a diferença dos módulos, e o resultado é . negativo 49

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a) +13 + (+10) 23

d) _15 + (_4) _19

b) +25 + (+45) 70

e) _34 + (+7) _27

c) _8 + (_14) _22

f) +50 + (_12) 38

6. Observe como Alex e Lívia calcularam +50 + (_30) + (+70) + (_100) utilizando a propriedade associativa da adição.

DAYANE RAVEN

5. Esta atividade trabalha o cálculo da adição de números inteiros. 6. Esta atividade trabalha a propriedade associativa da adição. Discutir com os alunos as duas estratégias apresentadas, questionando qual a diferença entre as duas. Verificar se os alunos perceberam que Alex associou as parcelas conforme a ordem em que apareciam, enquanto Lívia preferiu primeiramente associar as parcelas positivas e as parcelas negativas, para depois adicionar parcelas com sinais contrários. Relembrar com os alunos quais são as demais propriedades da adição, estudadas na Unidade 2 do Volume 6 desta coleção. • Propriedade comutativa: em uma adição, podemos trocar a ordem das parcelas que a soma não se altera. • Elemento neutro: em uma adição de duas parcelas, quando uma delas é zero, a soma é igual à outra parcela. O zero é o elemento neutro da adição. Dizer aos alunos que essas propriedades, assim como a propriedade associativa, também são válidas para os números inteiros. 7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, o cálculo de expressão numérica envolvendo adição de números inteiros. Aproveitar o contexto desta atividade e promover uma roda de conversa com os alunos sobre a importância de se consumir com consciência, evitando gastos desnecessários. 8. Esta atividade trabalha a adição de números inteiros com auxílio de uma calculadora. Explicar aos alunos que digitamos M+ para adicionarmos um número positivo e M_ para adicionarmos um número negativo na memória da calculadora. 9. Esta atividade trabalha uma proposta de elaboração de problema pelo aluno

Ao final de cada mês, guardo em um cofrinho o valor que sobra. Se no mês eu gastar mais do que recebi, pego dinheiro emprestado nesse cofrinho.

5. Calcule.

= _10

Escreva uma expressão para representar o valor que Paulo vai ter de saldo ao final do mês de abril. Depois, resolva essa expressão e indique esse valor. +45 + (_10) + (_15) + (_12) + (+30); R$ 38,00. 8. Você já percebeu que nas calculadoras há teclas de memória? Observe como podemos calcular (_35) + (+49) + (_28) utilizando essas teclas.

Lívia

• Para armazenar _35 na memória, digitamos:

Alex +50 + (_30) + (+70) + (_100) = = +20 + (+70) + (_100) = = +90 + (_100) =

+50 + (_30) + (+70) + (_100) =

3

= +120 + (_130) =

5

M

M_

35

• Para adicionar +49, digitamos:

= _10

4

Resolva as adições associando as parcelas da maneira que preferir.

9

M

M+

49

• Para adicionar _28, digitamos: 2

a) +80 + (_52) + (_36) _8 b) _45 + (+20) + (+65) + (_15) 25

8

M

M_

28

• Digitamos a tecla MR e obtemos o resultado.

12 c) +170 + (_36) + (+42) + (_74) + (_90)

d) _200 + (+50) + (+120) + (_70) + + (+40) + (_60) _120

M

_14

Usando as teclas de memória, resolva cada item na calculadora.

7. Os pais de Paulo estão ensinando o filho a organizar o que ele ganha e o que gasta todos os meses. Observe a planilha eletrônica que eles utilizaram no mês de abril.

a) (+19) + (_56) _37 b) (_24) + (_18) + (+86) 44 c) (_97) + (_71) + (_25) _193 d) (+80) + (+63) + (_57) 86 e) (_15) + (+42) + (_60) + (_17) _50

LIBREOFFICE 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

9. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo a adição de números inteiros. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

50

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envolvendo a adição de números inteiros. É importante avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla ideias relacionadas ao conceito de adição de números inteiros. É possível que eles proponham problemas com

diferentes estruturas, que podem estar relacionadas às ideias de acrescentar e juntar da adição. Estimular os alunos a explorar contextos diversificados para os problemas, como temperatura, saldo bancário e altitude.

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Caso julgar necessário, propor aos alunos outros exemplos, como os indicados a seguir, para que eles possam fazer essa observação. • (13) _ (_7) = + (_7) = 13. Nesse caso, o número é 20, pois 20 + (_7) = 13. Logo, (13) _ (_7) = 20. • (_8) _ (+4) = + (+4) = _8. Nesse caso, o número é _12, pois _12 + (+4) = _8. Logo, (_8) _ (+4) = _12. Se necessário, lembrar aos alunos que os números opostos ou simétricos são aqueles cujos pontos correspondentes representados na reta numérica estão a uma mesma distância da origem. Para complementar o trabalho com subtração de números inteiros, propor aos alunos que elaborem problemas envolvendo esse conceito. Sugerir a eles que troquem o problema com o colega para que um resolva o do outro. Depois, pedir que confiram juntos as resoluções, o que pode ser feito com auxílio da reta numérica. Ao final, é importante avaliar se os problemas elaborados pelo aluno contemplam ideias relacionadas à subtração de números inteiros. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções e que alguns desses problemas sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

Subtração

6 Junho 18 oC

7 Julho 21 oC

ºC

5 Maio 13 oC

PHUONG D. NGUYEN/SHUTTERSTOCK.COM

Em algumas regiões do mundo, as temperaturas variam bastante no decorrer do ano, de acordo com fatores como chuvas e estações. Observe no esquema as temperaturas médias mensais em Ottawa, no Canadá .

8 Agosto 19 oC

30 25

4 Abril 6 oC

9 Setembro 15 oC

20 15

3 Março _3 oC

10 Outubro 9 oC

10 5

2 Fevereiro _9 oC

11 Novembro 2 oC

0 _5

1 Janeiro _11 oC

12 Dezembro _7 oC

EDITORIA DE ARTE

_10 _15

Parlamento do Canadá, no município de Ottawa. Fotografia de 2017. Fonte dos dados: CLIMATE-DATA.ORG. Clima: Ottawa. Disponível em: <https://pt.climate-data.org/location/56/>. Acesso em: 28 nov. 2017.

Podemos calcular a variação da temperatura média entre dois meses consecutivos subtraindo da temperatura média de um mês aquela do mês anterior. Observe os exemplos. • Entre fevereiro e março. Essa variação pode ser calculada por (_3) _ (_9). Podemos calcular o resultado de (_3) _ (_9) com base na seguinte afirmação: subtrair um número corresponde a adicionar o seu oposto. Observe. (_3) _ (_9) = (_3) + (+9) = 6 (+9) é o oposto de (_9) _4

_3

_2

_1

0

1

2

3

4

5

6

7

+(+9)

Assim, a variação da temperatura média de fevereiro para março foi de +6 oC. 51

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Subtração Na Unidade 2 do Volume 6 desta coleção, as operações de adição e subtração foram apresentadas como inversas, sendo possível relacionar uma subtração a uma adição. Em relação à subtração 45 _ 30 = 15, por

exemplo, podemos associar a adição 15 + 30 = 45. Utilizando esta mesma ideia, podemos calcular (_3) _ (_9). Para isso, temos de determinar um número que ao ser adicionado a _9 resulta em _3. + (_9) = _3

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Nesse caso, o número é 6, pois (+6) + (_9) = _3. Logo, (_3) _ (_9) = 6. Chamar a atenção dos alunos que o cálculo (_3) _ (_9) resulta no mesmo valor que realizar (_3) + (+9) = 6, ou seja, subtrair um número corresponde a adicionar o seu oposto.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Entre agosto e setembro. (+15) _ (+19) = (+15) + (_19) = _4 (_19) é o oposto de (+19) _5 _4 _3 _2 _1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

+(_19)

Assim, a variação da temperatura média de agosto para setembro foi de _4 oC. • Entre novembro e dezembro. (_7) _ (+2) = (_7) + (_2) = _9 (_2) é o oposto de (+2) _10

_9

_8

_7

_6

_5

_4

_3

_2

0

_1

1

+(_2)

Assim, a variação da temperatura média de novembro para dezembro foi de _9 oC.

AtividadeS

Resoluções na p. 278 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Com base nas informações apresentadas anteriormente, calcule a variação da temperatura média em Ottawa entre os meses de: a) janeiro e fevereiro. 2 °C.

nas eliminatórias, da América do Sul, para a Copa do Mundo de futebol masculino 2018. 41 11

Brasil

b) março e abril. 9 °C. c) setembro e outubro. _6 °C. 2. Calcule.

_29 a) (_25) _ (+17) _42 c) (_60) _ (_31)

b) (+48) _ (_56) 104 d) (+150) _ (+80) 70 3. Você lembra o que é saldo de gols no futebol? Esse saldo é a diferença entre a quantidade de gols marcados e a de gols sofridos pelo time em um campeonato. Veja a quantidade de gols marcados e de gols sofridos por algumas seleções

Uruguai

Bolívia

16 38

32 Venezuela 20

19 35

Gols marcados

Gols sofridos

Fonte dos dados: FIFA. South America. Disponível em: <www.fifa.com/worldcup/preliminaries/southamerica/>. Acesso em: 30 nov. 2017.

a) Qual dessas seleções marcou menos gols nessa eliminatória? E qual marcou mais gols? Bolívia. Brasil. b) Calcule o saldo de gols de cada uma dessas seleções. Brasil: 30 gols; Uruguai: 12 gols; Bolívia: _22 gols; Venezuela: _16 gols.

JULINZY/SHUTTERSTOCK.COM, UGLEGORETS/SHUTTERSTOCK.COM, JULINZY/ SHUTTERSTOCK.COM, TECHNICSORN STOCKER/SHUTTERSTOCK.COM, LUCAS FARAUJ

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a subtração de números inteiros. 2. Esta atividade trabalha o cálculo da subtração de números inteiros. Para complementar, reproduzir na lousa os itens a seguir e pedir aos alunos que associem os cálculos que apresentam o mesmo resultado, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes. Depois, determinem esses resultados. a) (_5) _ (+14) b) (+18) _ (_5) c) (+12) _ (+18) d) (_14) _ (_18) e) (_5) _ (_18) I) (_5) + (+18) II) (+12) + (_18) III) (_14) + (+18) IV) (_5) + (_14) V) (+18) + (+5) Respostas: a-IV: _19; b-V: 23; c-II: _6; d-III: 4; e-I: 13. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e a subtração de números inteiros. Para complementar, propor as seguintes questões. • Qual seleção ficou com o maior saldo de gols? E qual ficou com o menor? Respostas: Brasil. Bolívia. • Em qual situação o saldo de gols das seleções é negativo? Resposta esperada: Quando a quantidade de gols sofridos é maior que a quantidade de gols marcados.

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YASUYOSHI CHIBA/AFP/GETTY IMAGES

6. c) Resposta esperada: A partir do número 84, Renato adicionou _20 unidades ou subtraiu 20 unidades para obter o próximo número. 6. A professora do 7o ano pediu aos alunos 4. Você já se imaginou viajando em um subque escrevessem uma sequência de oito marino? Até 2017, o Tikuna era o maior números. Observe a sequência que submarino convencional brasileiro, com Renato fez. 62 m de comprimento. Esse submarino pode chegar a 200 m abaixo do nível 84, 64, 44, 24, 4, −16, −36, −56 do mar.

Submarino Tikuna. Foi construído no Arsenal da Marinha do Rio de Janeiro e lançado em março de 2005. Seu nome é uma homenagem a um povo indígena. Fotografia de 2014. Fonte dos dados: IPEA. O submarino verde-e-amarelo – o Tikuna tem equipamentos de ponta desenvolvidos no Brasil. Disponível em: <www.ipea.gov.br/desafios/index.php?option=com_ content&view=article&id=1478:catid= 28&Itemid=23>. Acesso em: 4 abr. 2018.

Em certo dia, um submarino fazia uma atividade em alto-mar. O comandante fez a medição da posição desse submarino em relação ao nível do mar em dois momentos. Observe.

1o momento _43 m

2o momento _67 m

a) Em qual momento o submarino estava em menor altitude? 2o momento. b) Do 1o para o 2o momento, de quantos metros foi a variação de altitude desse submarino? _24 m. 5. Escreva os próximos três números de cada sequência numérica. 10, 18, 26. _(_8) _(_8) _(_8) _(_8) _(_8) a) _30 b)

_22

_14

_6

2

+(_15) +(_15) +(_15) +(_15) +(_15)

48

33

18

3

_12

_27, _42, _57.

ou subtrair 20, obtém-se o próximo número da sequência, a partir de 84. 7. Esta atividade trabalha o cálculo de expressões numéricas envolvendo adição e subtração de números inteiros. É importante que os alunos percebam que, quando Lara usou a propriedade associativa, ela agrupou os números negativos e os números positivos. 8. Esta atividade trabalha uma proposta de elaboração de problema pelo aluno envolvendo adição e subtração de números inteiros. Caso seja necessário, apresentar aos alunos alguns exemplos de problemas que podem ser elaborados, como o indicado na seguinte situação. Carlos é ascensorista em um edifício onde há andares no subsolo. Em certo momento ele estava no 5o andar, depois desceu 7 andares e, por fim, subiu 3 andares. Com base nessa situação, podem ser propostas questões como as que seguem. • Em qual andar Carlos chegou após percorrer os andares descritos, considerando que o andar térreo é indicado como zero? Escreva uma expressão numérica que represente esse andar. Respostas: 1o andar. 5 + (_7) + 3 = 1. • Que sequência de três deslocamentos entre os andares Carlos pode realizar, a partir do 5o andar, para chegar ao 2o andar do subsolo (andar _2)? Uma resposta possível: Carlos se desloca do 5o andar para o 3o andar, em seguida vai para o andar térreo e, por fim, se desloca para o 2o andar do subsolo.

a) Essa sequência é crescente ou decrescente? Decrescente. b) Qual é o primeiro número dessa sequência? 84 c) Explique como você acha que Renato pensou para escrever essa sequência. d) De acordo com a resposta do item c, quais seriam os próximos dois números dessa sequência? Resposta esperada: _76 e _96. 7. Veja como Lara resolveu a expressão numérica (_42) _ (_11) + (+60) _ (+83).

(_42) _ (_11) + (+60) _ (+83) = = (_42) + (+11) + (+60) + (_83) = = (_125) + (+71) = = _54 Primeiro, Lara usou a ideia de que subtrair um número inteiro corresponde a adicionar o seu oposto.

Depois, ela usou a propriedade associativa da adição.

Agora, resolva as expressões numéricas a seguir. a) (+130) _ (_18) + (_150) _ (+31) _33 b) (_46) + (+13) _ (+51) _ (_84) 0 c) (+72) _ (+37) _ (_7) + (_22) 20

_86 d) (_63) _ (+27) + (+45) _ (_9) + (_50)

8. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo a subtração de números inteiros. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o elaborado pelo outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 53

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4. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e a subtração de números inteiros. Para complementar, perguntar aos alunos de quantos metros será a variação de altitude do submarino, se ele partir da altitude do 2o momento e avançar, em um 3o momento, a uma

altitude de _200 m. Nesse caso, a variação é de _133 m. 5. Esta atividade trabalha a adição e a subtração de números inteiros na obtenção de elementos em sequências numéricas. Verificar se os alunos perceberam que, no item a, é subtraído um valor negativo e a sequência é crescente e, no

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item b, é adicionado um valor negativo e a sequência é decrescente. 6. Esta atividade trabalha a adição e a subtração de números inteiros em uma sequência numérica. No item c, conversar com os alunos a fim de identificar se eles perceberam que, ao adicionar _20

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Multiplicação A operação de multiplicação com números inteiros é explorada a partir do contexto de uma brincadeira. Caso julgar pertinente, propor uma brincadeira parecida com os alunos para que possam efetuar cálculos envolvendo a multiplicação de números inteiros. Para isso, confeccionar o alvo utilizando pedaço de papelão e tinta guache e providenciar tampinhas coloridas de garrafa PET. Na resolução do cálculo 4 ? (_3) utilizando a reta numérica, verificar se os alunos perceberam que foi adicionado, a partir do zero, quatro vezes o valor “_3”. É importante chamar a atenção dos alunos que, nesses cálculos, é possível utilizar a propriedade comutativa da multiplicação. Por exemplo, para determinar os pontos obtidos na região azul, os alunos também podem calcular (_3) ? 4, ou seja, podemos trocar a ordem dos fatores que o produto não se altera. Enfatizar que essa propriedade já conhecida para os números naturais também é válida para os números inteiros. PARA PENSAR Pedir aos alunos que escrevam a expressão correspondente à pontuação de Tobias, que neste caso é 3 ? (+5) + + 3 ? (_3). Caso eles apresentem dificuldade na resolução dessa expressão, explicar que multiplicar 3 por (_3) é o mesmo que adicionar “_3”, três vezes, resultando em “_9”. Esse cálculo pode ser realizado com o auxílio da reta numérica. Logo, resolvendo a expressão, temos que Tobias obteve 6 pontos na partida. Ao explorar a afirmação de que, como o oposto de (_3) é (+3), temos que (_3) = = _ (+3). Chamar a atenção dos alunos para o fato de que o sinal de subtração (_) em _ (+3) é utilizado para indicar o oposto de (+3). Quando

Multiplicação Yara e Tobias estão brincando com um alvo feito de materiais recicláveis. Na brincadeira, colocam o alvo no chão e cada um lança seis tampinhas a certa distância. Cada tampinha que parar na região verde do alvo vale +5 pontos e, na região azul, _3 pontos. Observe as tampinhas lançadas por Yara em certa partida. Para calcular a pontuação de Yara, podemos escrever a seguinte expressão: 2 ? (+5) + 4 ? (_3) Pontuação na região verde.

BENTINHO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pontuação na região azul.

Para os pontos obtidos na região verde, basta calcular 2 ? (+5) = 10. Caso Tobias acerte três tampinhas na região verde e três na região azul, qual será a pontuação dele nessa partida? 6 pontos.

Para os pontos obtidos na região azul, podemos efetuar 4 ? (_3) de duas maneiras: • Com adições de parcelas iguais.

4 ? (_3) = (_3) + (_3) + (_3) + (_3) = _12 • Usando a reta numérica. _9

_12 +(_3)

_6 +(_3)

0

_3 +(_3)

3

+(_3)

Assim, a pontuação de Yara na partida é dada por: 2 ? (+5) + 4 ? (_3) = 10 + (_12) = _2 Portanto, nessa partida Yara fez _2 pontos. Agora, veja outras multiplicações com números positivos e números negativos. • (_3) ? (+5) Como (_3) = _(+3), temos: (_3) ? (+5) = _(+3) ? (+5) = _15

Também podemos calcular (_3) ? (+5) usando a propriedade comutativa da multiplicação: (_3) ? (+5) = (+5) ? (_3) = (_3) + (_3) + (_3) + (_3) + (_3) = _15 Propriedade comutativa da multiplicação

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queremos indicar o oposto de um número, podemos utilizar esse sinal, conforme os exemplos a seguir. • O oposto de (_1) é (+1), logo (_1) = _ (+1). • O oposto de (+1) é (_1), logo (+1) = _ (_1). Além disso, enfatizar a importância do uso da proprie-

dade comutativa da multiplicação apresentada nesta página, uma vez que contribui na resolução dos cálculos. Ao explorar a multiplicação de dois números negativos, propor outros exemplos aos alunos para que verifiquem que o produto de dois números negativos é sempre um número

positivo. Também é importante chamar a atenção deles para o uso dos parênteses.

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Divisão Iniciar o estudo de divisão, relembrando que a multiplicação e a divisão são operações inversas e, assim, a uma divisão exata podemos relacionar uma multiplicação. Em relação à divisão 120 : 12 = 10, por exemplo, podemos associá-la à multiplicação 10 ? 12 = 120. Utilizando essa mesma ideia, temos de determinar um número que, multiplicado por (+6), resulta em _42. ? (+6) = _42 Nesse caso, o número é _7, pois _7 ? (+6) = _42. Caso julgar necessário, estabelecer essa relação utilizando outros exemplos, lembrando que as divisões devem ser exatas. Para complementar o trabalho com a multiplicação e a divisão de números inteiros, propor aos alunos que elaborem problemas envolvendo esses conceitos. Sugerir que troquem os problemas com o colega para que um resolva os do outro. Depois, pedir aos alunos que confiram juntos as resoluções. Ao final, é importante explorar os problemas elaborados com as diferentes ideias relacionadas ao conceito de multiplicação e divisão de números inteiros. É possível que eles proponham , por exemplo, problemas de multiplicação com as ideias de proporcionalidade, disposição retangular ou adição de parcelas iguais. Em relação aos problemas de divisão, é possível que elaborem problemas com as ideias de medir ou repartir em partes iguais.

• (_7) ? (_4) Como (_7) = _(+7), temos: (_7) ? (_4) = _(+7) ? (_4) = _(_28)

Temos também que _(_28) = (+28). Assim: (_7) ? (_4) = _(+7) ? (_4) = _(_28) = 28 • O produto de dois números inteiros, diferentes de zero, com sinais iguais é um número positivo. • O produto de dois números inteiros, diferentes de zero, com sinais diferentes é um número negativo.

Divisão Você se lembra que a multiplicação e a divisão são operações inversas? Podemos resolver (_42) : (+6), por exemplo, usando essa ideia. Para isso, temos de determinar um número que multiplicado por +6 seja igual a _42. Observe. ? (+6) (_42) : (+6) Como (_7) ? (+6) = _42, temos que (_42) : (+6) = _7. Observe outros exemplos. • (+20) : (+5) = 4, pois (+4) ? (+5) = +20 • (+24) : (_3) = _8, pois (_8) ? (_3) = +24 • (_63) : (_9) = +7, pois (+7) ? (_9) = _63 • O quociente de dois números inteiros, diferentes de zero, com sinais iguais é um número positivo. • O quociente de dois números inteiros, diferentes de zero, com sinais diferentes é um número negativo.

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1. Calcule. a) (+9) ? (_3) _27

e) (_72) : (_8) 9

b) (_15) ? (_5) 75

f) (_105) : (+7)_15

c) (_12) ? (+4) _48

g) (+240) : (+20) 12

d) (+8) ? (+25) 200

h) (+96) : (_6) _16

5. Determine o número em que Luiz está pensando. 26

Pensei em um número, multipliquei esse número por (−5) e obtive (−130). Em que número pensei?

2. José trabalha em uma sorveteria. Observe a temperatura interna da máquina com a qual ele está fabricando picolés.

DAYANE RAVEN

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a multiplicação e a divisão de números inteiros. 2. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a multiplicação de números inteiros. Relembrar que o dobro de um valor corresponde a multiplicar esse valor por 2. Assim, para determinar o dobro de _7, basta calcular 2 ? (_7). 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a divisão de números inteiros. Relembrar aos alunos que a metade de um valor corresponde a dividir esse valor por 2. Assim, para determinar a metade de _638,00, basta calcular _638 : 2. 4. Esta atividade trabalha a multiplicação de números inteiros na obtenção de elementos em sequências numéricas. No item b, chamar a atenção dos alunos para o fato de que o sinal dos números da sequência alterna entre negativo e positivo. Verificar se eles perceberam que isso ocorre porque estamos multiplicando por um fator negativo. Assim, se o número da sequência é negativo, o próximo será positivo, pois o produto de dois números negativos, resulta em um número positivo, e se o número da sequência é positivo, o próximo será negativo, pois o produto de dois números com sinais diferentes, resulta em um número negativo. 5. Esta atividade trabalha a relação inversa entre as operações de multiplicação e de divisão de números inteiros. 6. Esta atividade trabalha a propriedade associativa da multiplicação como estratégia de cálculo envolvendo números inteiros. Relembrar aos alunos essa propriedade, que determina que, em uma multiplicação de três ou mais fatores, é possível associar esses fatores de diferentes maneiras, sem que o produto se altere. Enfatizar que essa propriedade, apresentada para os números naturais no

6. a) Resposta esperada: Para obter um número inteiro terminado em zero, a fim de facilitar o cálculo da etapa seguinte.

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AtividadeS

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

6. Veja como Marina calculou o resultado de (_5) ? (+12) ? (_20), associando os fatores de maneira conveniente.

Se a máquina for ajustada a fim de que a temperatura abaixe, ficando com o dobro da temperatura atual, quantos graus Celsius ela vai registrar? _14 °C. 3. Júlia não controlou bem suas despesas e o saldo bancário de sua conta ao final de janeiro ficou em −R$ 638,00, ou seja, saldo negativo. Após planejar melhor seus gastos, conseguiu que o saldo da conta, ao final de fevereiro, correspondesse à metade daquele do mês anterior. Qual foi o saldo da conta bancária de Júlia ao final de fevereiro? _R$ 319,00. 4. Escreva os próximos três números de cada sequência numérica. a)

?(+2)

_8 b)

?(+2)

?(+2)

?(+2)

_16 _32 _64 _128 … _256, _512 e _1 024.

?(_3)

_10

?(+2)

?(_3)

30

?(_3)

?(_3)

?(_3)

_90 270 _810 2 430, _7 290 e 21 870.

(_5) ? (+12) ? (_20) = = (+100) ? (+12) = = 1 200 a) Por que você acha que Marina, na primeira etapa, associou os fatores da multiplicação dessa maneira? b) Agora, calcule o resultado de cada multiplicação. (_4) ? (_25) = 100; 100 ? (_28) = _2 800. • (_4) ? (_28) ? (_25) (+2) ? (_150) = _300; (_300) ? (+7) = _2 100. • (+2) ? (_150) ? (+7) (_20) ? (_30) = 600; 600 ? (+6) = 3 600. • (+6) ? (_20) ? (_30) 7. No caderno, elabore e escreva dois problemas envolvendo a multiplicação e a divisão de números inteiros. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva os do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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Volume 6 desta coleção, também é válida para os números inteiros. No item a, espera-se que os alunos percebam que a associação feita por Marina tem como objetivo facilitar os cálculos que serão realizados posteriormente. Perguntar aos alunos se fariam essa associação de outra maneira.

7. Esta atividade trabalha uma proposta de elaboração de problemas pelo aluno envolvendo multiplicação e divisão de números inteiros. É importante avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla ideias relacionadas ao conceito de multiplicação e divisão de números intei-

ros. Para a elaboração dos problemas, os alunos podem pesquisar contextos em revistas, jornais ou na internet, evitando limitar-se apenas aos contextos propostos no livro.

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8. b) Resposta esperada: O pai de Armandinho não permite que ele coma chocolate antes do jantar. Resposta esperada: De acordo com Armandinho, assim como a ordem dos fatores na multiplicação não altera o produto, 8. Leia a tirinha. alterar a ordem entre jantar e comer o chocolate também não altera o resultado.

ALEXANDRE BECK

10. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a multiplicação e a adição de números inteiros. Relembrar aos alunos que, na resolução de uma expressão, quando não há operações entre parênteses, resolvemos primeiramente as multiplicações e divisões, para depois resolvermos as adições e subtrações. 11. Esta atividade trabalha a propriedade distributiva da multiplicação. Relembrar aos alunos que essa propriedade determina que, em uma multiplicação de um número por uma adição de duas ou mais parcelas, podemos multiplicar esse número pelas parcelas e adicionar os resultados obtidos; o que também ocorre quando temos a multiplicação de um número por uma subtração.

BECK, A. Armandinho um. Florianópolis: A. C. Beck, 2014. p. 85.

a) Qual propriedade da multiplicação Armandinho disse ter estudado na escola? Explique essa propriedade com um exemplo envolvendo números positivos e números negativos. Propriedade comutativa da multiplicação. Resposta pessoal. b) No último quadrinho, o que o pai de Armandinho não permite que ele faça? Qual a relação disso com essa propriedade da multiplicação? c) Usando a propriedade da multiplicação citada por Armandinho, identifique os itens que apresentam o mesmo resultado. I e IV; III e V.

I (_6) ? (+14)

II (_14) ? (_6)

III (_14) ? (+16)

9. Para verificar se o resultado da expressão (+14) ? (_9) ? (_22) é um número positivo ou negativo, Inês pensou apenas nos sinais dos fatores: associou, pela multiplicação, os sinais dos dois primeiros fatores e, depois, associou o sinal desse produto ao do outro fator.

(+14) ? (_9) ? (_22) +

? _

?

_

_

?

_

IV (+14) ? (_6)

V (+16) ? (_14)

10. A temperatura de certa câmara frigorífica de um supermercado está −2 oC. Para acondicionar novas mercadorias, essa temperatura será ajustada por 4 h de maneira que, a cada hora, diminua 5 oC. a) Qual das expressões numéricas a seguir corresponde à temperatura dessa câmara frigorífica após o término do ajuste? III. I. (+2) – (+4) ? (_5) II. (+4) ? (_2) ? (+5) III. (_2) + (+4) ? (_5) b) Ao término do ajuste, qual será a temperatura dessa câmara frigorífica? _22 oC.

+ Verifique, mentalmente, se o resultado de cada produto a seguir é um número positivo ou um número negativo. a) (_13) ? (+4) ? (_19) Número positivo: a e d; número negativo: b e c. b) (+21) ? (+2) ? (_17)

11. Observe como Heitor desenvolveu a expressão (_8) ? [(_6) + (+10)].

(_8) ? [(_6) + (+10)] = = (_8) ? (_6) + (_8) ? (+10)

a) A partir do que fez Heitor, termine de resolver a expressão numérica. c) (_75) ? (_46) ? (_8) (+48) + (_80) = _32. b) Resolva a expressão (+15) ? [(_7) + (_20)]. d) (+20) ? (_30) ? (_16) ? (+5) 11. b) (+15) ? [(_7) + (_20)] = (+15) ? (_7) + (+15) ? (_20) = (_105) + (_300) = _405. 57

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7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a propriedade comutativa da multiplicação. No item a, é importante que os alunos reconheçam essa propriedade na fala de Armandinho e saibam utilizar exemplos para explicá-la, como 3 ? (_8) = (_8) ? 3; (_10) ? (+7) = (+7) ? (_10).

No item b, espera-se que os alunos analisem o segundo e terceiro quadrinho da tirinha e estabeleçam uma relação entre a propriedade comutativa e a troca de ordem do jantar pelo chocolate. 8. Esta atividade trabalha o estudo do sinal do resultado de uma expressão numérica

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envolvendo a multiplicação de números inteiros. Para complementar, propor aos alunos que calculem o resultado de cada item utilizando uma calculadora. Respostas: a) 988; b) _714; c) _27 600; d) 48 000.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 6 e 10 e à competência específica 8 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema relaciona questões ambientais e do mundo do trabalho e propõe a elaboração de um cartaz a ser produzido coletivamente e cooperativamente com base na realização de pesquisas. Para o trabalho com o conteúdo destas páginas, levar para a sala de aula um mapa com a localização do arquipélago Fernando de Noronha. Dizer aos alunos que arquipélago é um conjunto de ilhas. Propor a eles que pesquisem outras áreas de preservação e que conversem sobre a importância dessas áreas. Caso seja possível, levá-los ao laboratório de informática, para que possam realizar essa pesquisa e também visualizar imagens relacionadas à prática do mergulho. Aproveitar este contexto e realizar a leitura para os alunos do trecho apresentado a seguir sobre o arquipélago Fernando de Noronha. Fernando de Noronha (PE) O Arquipélago de Fernando de Noronha, distrito do Estado de Pernambuco, foi declarado Parque Nacional em 1988 e, em 2001, reconhecido pela Unesco como Patrimônio Natural Mundial. [...] O título de Patrimônio Natural Mundial deve-se à importância do arquipélago para a vida marinha: suas águas garantem a reprodução e a alimentação do atum, tubarão, tartaruga e mamíferos marinhos, e abriga a maior concentração de aves tropicais marinhas do Oceano Atlântico. Com uma área de 26 km2 é formado por 21 ilhas e ilhotas que surgiram do topo

você

cidadão

Preservação sob as águas O litoral brasileiro é considerado um dos mais extensos do mundo, com uma grande diversidade de vegetação aquática, recifes de corais e milhares de espécies animais que povoam e colorem toda a faixa litorânea. Nele, são desenvolvidas diversas atividades de recreação, extração de recursos e transporte marítimo. Essas atividades humanas geram grandes impactos, ameaçando o ecossistema marítimo. Para reverter essa situação, é preciso tomar diversas medidas de proteção ambiental e de conscientização ecológica da população. Um exemplo de que essas medidas funcionam é o estado de conservação do arquipélago brasileiro Fernando de Noronha (PE), com suas águas transparentes e riquezas naturais. Esse arquipélago foi tombado pela Unesco como Patrimônio Mundial da Humanidade. Uma das maneiras de explorar e conhecer essas riquezas é a prática de mergulho. Nesse sentido, é importante conhecer suas diferentes modalidades, assim como os equipamentos e as regras de segurança necessárias. Observe no esquema tipos de mergulho oferecidos em Fernando de Noronha e alguns equipamentos necessários. Cilindro: é o reservatório onde fica a mistura gasosa a ser utilizada no mergulho.

Cinto de lastro: tem por função auxiliar na descida do mergulhador, evitando que flutue. A fivela deve ter soltura rápida para que, em uma situação de necessidade, seja possível se livrar dela sem dificuldades e retornar à superfície.

Roupa: protege o corpo de baixas temperaturas, contra animais marinhos e escoriações.

Nadadeira: auxilia no deslocamento do mergulhador.

DANIE

Snorkel: é um tubo ligado a um bocal que tem como função permitir a respiração na superfície mesmo quando a cabeça está abaixo da água.

Máscara: melhora a visão do mergulhador.

L BO

GNI

Computador de mergulho: facilita o planejamento e o controle do mergulho. Disponibiliza o tempo durante o mergulho, a profundidade, entre outras informações.

Colete equilibrador: mantém o mergulhador em equilíbrio a qualquer profundidade. Também é utilizado como apoio na superfície, funcionando como colete salva-vidas.

Luva: protege contra escoriações e oferece uma proteção térmica adequada em condições mais severas.

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de uma cordilheira vulcânica, cuja base está a cerca de quatro mil metros de profundidade, no Oceano Atlântico. A ilha principal (única habitada) tem 17 km de extensão e nela está a Vila dos Remédios. [...]

IPHAN. Arquipélago de Fernando de Noronha (PE). Disponível em: <http://portal.iphan.gov.br/pagina/ detalhes/162>. Acesso em: 30 out. 2018.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Mergulho sem credencial: para as pessoas que não possuem certificação de mergulho. O instrutor explica como funciona e como se utiliza cada equipamento. Esse mergulho atinge até –12 m e é acompanhado pelo instrutor. Mergulho com credencial básica: para as pessoas que possuem certificação com técnicas básicas. Esse mergulho atinge até –18 m. Mergulho com credencial avançada: para as pessoas que possuem certificação com técnicas avançadas. Esse mergulho atinge até –30 m. Mergulho profundo: para as pessoas que estão em um nível acima da credencial avançada. Esse mergulho atinge até –63 m.

0

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–20

–30

–40

–50

–60

–70

1. Você conhece alguma região do litoral brasileiro? Comente sobre isso. Resposta pessoal. 2. Para ajudar na preservação do ecossistema marinho, podemos tomar algumas medidas simples, como: cuidar da praia; não comprar frutos do mar cuja procedência seja de pesca irregular; reciclar e diminuir o uso de produtos plásticos, uma vez que muitos deles acabam tendo como destino os mares e oceanos. Junte-se com um colega e pesquisem outras medidas de preservação dos mares e oceanos. Depois, elaborem um cartaz com essas informações. Resposta pessoal. 3. Escolha dois dos equipamentos de mergulho apresentados e explique, com suas palavras, as funcionalidades deles. Resposta pessoal. 4. Pedro vai realizar um mergulho com credencial básica em Fernando de Noronha.

Sugerir aos alunos que acessem estes sites para obter mais informações sobre a proteção de mares e oceanos. • SOS MATA ATLÂNTICA. Proteção do Mar. Disponível em: <http://livro.pro/kj3zfb>. Acesso em: 18 set. 2018. • WWF BRASIL. Programa Marinho. Disponível em: <http://livro.pro/bocdjk>. Acesso em: 18 set. 2018.

a) Até quantos metros de profundidade ele pode mergulhar de acordo com seu nível de certificação? _18 m. b) No decorrer do mergulho, Pedro realizou a medição da posição de sua descida em relação ao nível do mar em dois momentos: _7 m no 1o momento e _15 m no 2o. Em qual momento ele estava mais distante da superfície? Do 1o para o 2o momento, de quantos metros foi a variação na posição dele em relação 2o momento. ao nível do mar? _8 m. c) Pedro atingiu a profundidade de –18 m e resolveu retornar à superfície realizando uma parada na metade do percurso. A quantos metros em relação ao nível do mar Pedro realizou essa parada? _9 m. Fontes dos dados: CORPO DE BOMBEIROS MILITAR DO ESTADO DE GOIÁS. Manual de mergulho autônomo. Disponível em: <https:// www.bombeiros.go.gov.br/wp-content/uploads/2012/09/mergulho. pdf>. GOVERNO DO BRASIL. Litoral brasileiro tem 7,4 mil km de belezas naturais. Disponível em: <www.brasil.gov.br/noticias/ turismo/2015/01/litoral-brasileiro-tem-7-4-mil-km-de-belezas-naturais>. IPHAN. Fernando de Noronha (PE). Disponível em: <http://portal. iphan.gov.br/pagina/detalhes/1662>. Acessos em: 4 abr. 2018.

LEONARDO MERCON/SHUTTERSTOCK.COM

A profundidade dos mergulhos é limitada de acordo com a técnica de cada nível de certificação dos mergulhadores.

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1. Reservar um momento para que os alunos conversem sobre suas experiências no litoral brasileiro. Caso algum aluno não tenha visitado ainda uma região litorânea, propor que realizem uma pesquisa e levantem informações sobre características relacionadas a

determinada região que eles têm vontade de conhecer. 2. Para a resolução desta atividade, providenciar com antecedência os materiais necessários para a confecção do cartaz. Espera-se que com a pesquisa das informações, os alunos se conscientizem que

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cada pessoa pode contribuir à sua maneira para a preservação de mares e oceanos. 4. Para resolver os itens desta questão, os alunos podem utilizar como apoio a reta numérica.

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VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e às habilidades EF07MA03 e EF07MA04 da BNCC.

Controle financeiro Nestas páginas é retomado o trabalho com a organização de despesas, apresentado na atividade 7 da página 50 desta Unidade. Retomar com os alunos a importância de controlar as despesas, evitando gastar mais do que se pode pagar. Também lembrá-los de que a planilha eletrônica é um recurso que pode auxiliar nesse controle. Na etapa 1, explicar aos alunos que despesa se refere ao valor gasto representado por um número negativo, ou seja, a saída de dinheiro, enquanto receita se refere ao valor recebido, ou seja, a entrada de dinheiro. Nessa etapa, dizer aos alunos que, para indicar os valores na planilha, não é necessário usar o símbolo “R$”, basta apenas digitar os números, com seus respectivos sinais, uma vez que esses valores serão convertidos para reais na próxima etapa. Na etapa 2, comentar com os alunos que, ao converter os valores para reais, a planilha eletrônica Calc destaca automaticamente os valores negativos, o que facilita a visualização das despesas. Verificar se eles perceberam que esse fato os ajudará a responder ao item a da questão 1 do Mãos à obra. Na etapa 3, se julgar conveniente, explicar aos alunos que, com essa planilha, é possível obter o saldo de Paulo de outra maneira, utilizando a opção E. Nesse caso, primeiramente selecionamos a célula B9, clicamos nessa opção e, em seguida, selecionamos as células B3, B4, B5, B6 e B7 e pressionamos a tecla Enter.

você

conectado

Controle financeiro O que acha de organizarmos um controle financeiro pessoal? Para isso, vamos utilizar a planilha eletrônica Calc e considerar a atividade 7 da página 50, em que é apresentado o controle financeiro de Paulo.

1a

É necessário organizar os dados do controle financeiro na planilha eletrônica. Para isso, indicamos o título “Controle financeiro do Paulo – Abril” na célula A1 e utilizamos uma coluna para registrar a Despesa/Receita (coluna A) e outra para o Valor (coluna B).

2a

Para que os valores indicados representem quantias em reais, selecionamos as células correspondentes (B3, B4, B5, B6 e B7) e clicamos na opção Formatar como moeda.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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3a

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

Para calcular o saldo, selecionamos a célula B9 e digitamos =B3+B4+B5+B6+B7, indicando a adição dos valores dessas células. Por fim, pressionamos a tecla Enter.

MÃos à obr a

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1. Em relação ao exemplo apresentado, responda.

1. a) Passeio, alimentação e livros e gibis. Mesada e presente recebido do avô.

a) Quais dados apresentados na coluna A são despesas? E quais são receitas? b) No mês de abril, o saldo de Paulo foi positivo ou negativo? De quantos reais? Positivo. R$ 38,00. 2. Lúcia, a irmã mais velha de Paulo, fez anotações com as despesas e receitas que teve durante o mês de março. Observe.

I Compra na lanchonete: R$ 18,00

II Ingressos para teatro: R$ 25,00

III Recebimento de mesada: R$ 80,00

V IV Ganho com a venda de revistas usad as R$ 15,00

Compra de livro:

R$ 43,00 :

VI Compra de passagens de ônibus: R$ 21,00

a) Quais dessas anotações são despesas? E quais são receitas? I, II, V e VI. III e IV. b) Vamos ajudar a Lúcia! Para isso, construa na planilha eletrônica Calc um controle financeiro com as despesas e receitas dela, em março. Resposta nas Orientações para o professor. c) Ao final desse mês, qual era o saldo de Lúcia? _R$ 12,00. 3. Agora é com você! Construa na planilha eletrônica Calc um controle financeiro para que no próximo mês você possa registrar suas receitas e suas despesas. Resposta pessoal.

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Mãos à obra 2. Veja na parte inferior desta página a resposta do item b desta questão. Conversar com os alunos que o saldo final de Lúcia foi negativo, o que indica que ela gastou mais do que recebeu. Chamar a atenção deles para a importância de se guardar o dinheiro em meses em que o saldo é positivo, pois esse dinheiro pode ajudar em casos como o de Lúcia, cujo dinheiro da receita não foi suficiente para cobrir todas as despesas do mês. 3. Nesta questão é explorada de maneira integrada um dos temas contemporâneos, destacados na BNCC, que afeta a vida humana em diferentes escalas: a educação financeira. Esta questão, assim como a seção de uma maneira geral, trabalha os conceitos de receita e despesa, bem como a importância de se ter um controle financeiro.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas a fim de construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior desta página. Com base nos conceitos, indicados pelos alunos, que precisam ser retomados para melhor compreensão, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções na p. 279 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal. Sequência dos números inteiros

Números opostos ou simétricos

Multiplicação com números inteiros

Módulo ou valo

Reta numérica

r absoluto de um número

Adição com

Comparação de números inteiros

Subtração com números inteiros

números inteiros

Divisão com números inteiros

Expressões numéricas

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Números inteiros

Sequência dos números inteiros

Reta numérica

Módulo ou valor absoluto de um número

Números opostos ou simétricos

Comparação de números inteiros

Operações com números inteiros Expressões numéricas

62

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3. No item I, verificar se os alunos perceberam que apesar de a equipe A ter maior número de vitórias, esta não tinha o maior saldo de gols. No item II, chamar a atenção dos alunos que uma maneira de obter o saldo de gols da equipe E, é primeiro calcular o saldo de gols da equipe naquela partida (2 _ 5 = _3) e, depois, adicionar este valor ao saldo de gols apresentado na tabela: (_3) + (_7) = _10. No item III, é importante que os alunos compreendam que para a equipe D ficar com um saldo de 3 gols, é preciso nessa partida de um saldo de gols positivo igual a 5. Para complementar, pedir aos alunos que citem possíveis resultados para esta partida, por exemplo, a equipe D vencer de 6 a 1. No item V, caso julgar necessário, sugerir aos alunos que utilizem a reta numérica para conferir qual dos valores correspondentes aos saldos de gols está mais próximo de zero. Verificar se os alunos perceberam que para responder ao item VI basta consultar a coluna “Saldo de gols”, não sendo necessário realizar as subtrações para calcular o saldo das cinco equipes. Em relação à diferença de 3 gols, é importante que os alunos compreendam que, nesse caso, há duas possibilidades para as equipes: ter marcado 3 gols a mais do que sofrido ou ter sofrido 3 gols a mais do que marcado.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL Observe a tabela de um campeonato de futebol que está sendo realizado em uma escola.

Campeonato escolar de futebol Pontos Vitórias Empates Derrotas

Gols Gols Saldo marcados sofridos de gols

Equipe

Jogos

A

4

9

3

0

1

9

6

3

B

4

7

2

1

1

16

7

9

C

4

4

1

1

2

6

9

_3

D

4

4

1

1

2

5

7

_2

E

4

4

1

1

2

7

14

_7

Fonte: Súmula do campeonato.

PROBLEMAS

I Qual equipe tem o maior saldo de gols? E qual tem o menor? Equipe B. Equipe E. Conceitos: Comparação de números inteiros.

II Se na próxima rodada a equipe E perder o jogo de 5 a 2, qual será o saldo? _10 gols. Conceitos: Adição com números inteiros; subtração com números inteiros; expressões numéricas.

III Para que o saldo da equipe D, na próxima rodada, passe a ser de 3 gols, quantos gols ela deve marcar a mais do que sofrer?

5 gols. Conceitos: Adição com números inteiros; subtração com números inteiros.

IV Qual equipe tem como saldo de gols o triplo do saldo de gols da equipe A? Equipe B. Conceitos: Multiplicação com números inteiros.

V Qual equipe tem saldo de gols mais próximo de zero?

Equipe D. Conceitos: Módulo ou valor absoluto de um número; subtração com números inteiros.

VI Quais equipes têm 3 gols de diferença entre a quantidade de gols marcados e sofridos? Equipes A e C. Conceitos: Módulo ou valor absoluto de um número; números opostos ou simétricos. 63

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UNIDADE TEMÁTICA

3

• Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem. • A circunferência como lugar geométrico. • Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. construção, • Triângulos: condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos. • Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero. HABILIDADES • • • • • • • •

EF07MA19 EF07MA22 EF07MA23 EF07MA24 EF07MA25 EF07MA26 EF07MA27 EF07MA28

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Acessibilidade Você sabia que, no Brasil, ir e vir é direito de todo cidadão? Esse direito garante às pessoas locomoverem-se de maneira segura e independente. Uma simples escadaria, por exemplo, pode impedir o deslocamento de pessoas com deficiência ou mobilidade reduzida, assim como alguém empurrando um carrinho de bebê. Dessa forma, a acessibilidade busca garantir a melhoria da qualidade de vida das pessoas e, por isso, algumas medidas são regulamentadas por leis ou normas para a adequação de espaços físicos, de uso público ou privado. Para as rampas de acesso há alguns padrões que são estabelecidos, como a largura e a inclinação máxima da rampa. Portanto, temos de ficar atentos, buscando sempre informar aos órgãos públicos responsáveis situações em que o direito de ir e vir não está sendo garantido a todos.

As rampas devem possuir pisos antiderrapantes, firmes e nivelados.

COMPETÊNCIAS GERAIS 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando

É estabelecido por norma (NBR 9050) que as rampas de acesso tenham uma inclinação máxima, que não pode ser superior a 4º.

É importante que a calçada rebaixada esteja junto da faixa de pedestres.

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decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

ESPECÍFICAS 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver

problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, susten-

táveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

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qualidade de vida das pessoas. Deve estar presente nos espaços, no meio físico, no transporte, na informação e comunicação, inclusive nos sistemas e tecnologias da informação e comunicação, bem como em outros serviços e instalações abertos ao público ou de uso público, tanto na cidade como no campo. [...]

Resposta esperada: A melhoria da qualidade de vida das pessoas, como o direito de ir e vir. Resposta pessoal.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. O que as leis e normas de acessibilidade buscam garantir? Você conhece outras leis e normas de acessibilidade? Em sua opinião, por que a inclinação da rampa de acesso não pode ultrapassar o limite máximo estabelecido? Você costuma observar rampas de acesso nos locais por onde passa, perto da escola ou de sua residência? Comente. Resposta pessoal.

Resposta pessoal.

SECRETARIA ESPECIAL DOS DIREITOS DA PESSOA COM DEFICIÊNCIA. Acessibilidade. Disponível em: <www.pessoacomdeficiencia.gov.br/ app/acessibilidade-0>. Acesso em: 12 set. 2018.

Há rampas que são construídas para vencer desníveis e, como são extensas, devem ter áreas para descanso.

Para o segundo item proposto, há diferentes possibilidades de resposta como: porque é necessário garantir a segurança dos usuários; porque pode dificultar o trajeto de subida ou descida; porque pode causar constrangimentos e até acidentes graves.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem estes sites para obter mais informações sobre o tema acessibilidade. • INSTITUTO PARADIGMA. Acessibilidade no Espaço Escolar. Disponível em: < h t t p : / / l i v ro . p ro / j f v r t s > . Acesso em: 12 set. 2018.

A largura livre mínima recomendável para as rampas é de 120 cm.

WANDSON ROCHA

Toda rampa deve possuir corrimão de duas alturas em cada lado.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Educação. Manual de acessibilidade espacial para escolas: o direito à escola acessível! Disponível em: <www.mp.go.gov.br/portalweb/hp/41/docs/manual_escolas_-_deficientes.pdf.pdf>. Acesso em: 4 abr. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Nesta abertura de Unidade, que aborda um dos aspectos da acessibilidade, o direito de ir e vir, foram apresentadas informações técnicas a respeito das rampas de acesso, o que

propicia uma abordagem relacionada à competência geral 10 e à competência específica 7 de Matemática da BNCC. Aproveitar esse contexto e promover uma roda de conversa com os alunos sobre a inclusão de pessoas com deficiência, visto que esse é um tema de

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urgência social que precisa ser debatido na escola, inclusive nas aulas de Matemática. Veja no trecho a seguir uma definição formal do que se entende por acessibilidade. Acessibilidade é um atributo essencial do ambiente que garante a melhoria da

NO DIGITAL – 2O bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 3 e 4. • Desenvolver o projeto integrador sobre a segurança no trânsito. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA10, EF07MA11, EF07MA12, EF07MA22, EF07MA23, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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[...] É bem provável que o mais eminente dos astrônomos da Antiguidade tenha sido Hiparco, que viveu em torno de 140 a.C. Embora se tenham dados de um equinócio vernal registrado por Hiparco em Alexandria, no ano 146 a.C., suas observações mais notáveis foram feitas no famoso observatório de Rodes, importante centro comercial. Hiparco era um observador extremamente cuidadoso e creditam-se a ele, em astronomia, feitos como a determinação da duração do mês lunar médio [...]. [...] Foi Hiparco, ou talvez Hipsicles (c. 180 a.C.), quem introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360°; sabe-se ainda que Hiparco

Ângulos Na abertura desta Unidade, estudamos um pouco a acessibilidade. Vimos, por exemplo, que as rampas de acesso devem possuir uma inclinação máxima, estabelecida por uma norma. Essa inclinação está relacionada a uma ideia de ângulo. Agora, observe outras situações em que podemos identificar ideias de ângulo.

A abertura do notebook apresenta uma ideia de ângulo.

O giro da cadeira apresenta uma ideia de ângulo.

A inclinação da luminária apresenta uma ideia de ângulo.

DANIEL BOGNI

ÂNGULOS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF07MA23. Nestas páginas são trabalhadas ideias de ângulo – abertura, inclinação e giro –, além da sua representação e alguns de seus elementos, a unidade de medida grau, a medição e construção de um ângulo com o auxílio de um transferidor. Na Unidade 3 do Volume 6 desta coleção, que também trata de Geometria, antes de definir ângulo, foram definidos alguns elementos primitivos, como o ponto e a semirreta, que são fundamentais para a representação de ângulo. Nesta Unidade, vamos avançar nesse estudo. Para isso retomaremos a definição de ângulo. Com relação à divisão do círculo em 360°, apresentar aos alunos o trecho de cunho histórico a seguir para que eles possam compreender que os estudos a respeito de ângulos começaram há dezenas de séculos e estavam diretamente relacionados com outras áreas do conhecimento, por exemplo, a Astronomia.

Ângulo é a figura geométrica delimitada no plano por duas semirretas de mesma origem. Observe a seguir a representação de um ângulo e alguns de seus elementos. O ponto O é o vértice do ângulo AOB.

A

A semirreta OA é um lado do ângulo AOB.

O Esse ângulo pode ser indicado por ângulo AOB, ângulo BOA, AÔB, BÔA ou apenas Ô.

B

A semirreta OB é um lado do ângulo AOB.

Para expressar a medida de um ângulo, podemos usar o grau como unidade. Ao dividirmos a figura de um círculo em 360 partes iguais, cada parte obtida corresponde a um ângulo de medida um grau, que indicamos por 1°.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quantos graus tem o ângulo correspondente a uma volta completa no círculo? 360°.

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propugnava a localização de pontos sobre a superfície da Terra por meio de latitudes e longitudes. Como quase nenhum dos escritos de Hiparco chegou até nós, tudo que se sabe sobre suas realizações científicas provém de fontes indiretas.

[...]

11/1/18 7:07 PM

EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas: Ed. da UNICAMP, 2004. p. 202.

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Para medir ou construir um ângulo, podemos utilizar um instrumento chamado transferidor. Veja no material audiovisual o vídeo sobre ângulos e visão.

• Medindo um ângulo.

00 90 80 70

10 1

60

0 70 60

50

50

30

0 15 01

40

0

13

1 120

EDITORIA DE ARTE

A medida do ângulo é lida no transferidor. Nesse caso, consideramos a graduação no sentido anti-horário e obtemos 65°.

40

180 170 16

0 20 10

18 7:07 PM

É importante relembrar os alunos que alguns transferidores de 180° apresentam duas graduações: os valores mais próximos da borda são utilizados para medir os ângulos no sentido anti-horário e os valores mais próximos ao centro, para medir os ângulos no sentido horário. Nestas páginas, por exemplo, tanto na medição do ângulo de 65° quanto na construção do ângulo de 120°, foi considerado o sentido anti-horário. O mesmo ocorre com alguns modelos de transferidores de 360° que possuem duas graduações, uma em cada sentido. Após estudar a construção do ângulo de 120°, informar os alunos que existem outras maneiras de construir ângulos sem utilizar transferidor, como as construções nomeadas de euclidianas, em que se utilizam apenas régua não graduada e compasso como instrumentos auxiliares, prática muito comum em cursos de Desenho Geométrico.

Ajustamos o centro do transferidor ao vértice do ângulo.

Ajustamos a linha de fé do transferidor sobre um dos lados do ângulo.

• Construindo um ângulo. Observe como podemos construir um ângulo de 120°. 1a Marcamos o vértice O e o ponto A. Com auxílio de uma régua, traçamos a semirreta OA, lado do ângulo.

Marcamos o ângulo AOB.

Com um transferidor, medimos um ângulo de 120° e marcamos o ponto B.

2a

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre ângulos e visão. Nesse vídeo, aborda-se a formação de imagens na retina e um experimento para verificar a visão periférica e o campo de visão.

3a

Ajustamos o centro do transferidor ao vértice do ângulo.

RODRIGO/YAN COM

Ajustamos a linha de fé do transferidor sobre OA .

Com uma régua, traçamos a semirreta OB, que corresponde ao outro lado do ângulo AOB.

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Verificar se os alunos perceberam que para medir um ângulo utilizando um transferidor é necessário posicionar seu centro exatamente sobre o vértice do ângulo e a linha de fé do transferidor exatamente sobre um dos lados do

ângulo. Quanto mais precisos forem esses posicionamentos mais precisa será a medida do ângulo. O transferidor quando utilizado de maneira adequada é um bom instrumento para medir ângulos com certa precisão; no entanto, existem

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instrumentos de medidas de ângulo bem mais precisos que o transferidor, como o esquadro de precisão, o transferidor eletrônico, os medidores de ângulos com precisão laser, entre outros.

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Alice está medindo ângulos. Observe e indique a medida de cada um deles. a) 75° 110

100 90 80 70

13

60

Ângulo agudo

0 80 7 0

50

Ângulo reto

60 Indica um ângulo reto.

180 170 16 0 15

0 20 10 30

01

40

20 01

2. Você se lembra de como um ângulo pode ser classificado de acordo com sua medida? Observe.

40

150°

13

150 1

40

b)

0 90 80 70

10 10

0 20 10 30

c) 45°

60 50

30

0 15

0 20 10

180 170 16

Ângulo cuja medida é igual a 90°.

Ângulo obtuso

Ângulo raso

Ângulo cuja medida é maior do que 90° e menor do que 180o.

Ângulo cuja medida é igual a 180o.

Agora, com um transferidor, meça cada ângulo a seguir e classifique-o de acordo com sua medida.

30

01

40

60

50 40

20

01

13

100 90 80 70 110

Ângulo cuja medida é menor do que 90°. 50

180 170 16 0 15 01

40

60

40

160

0

13

1 120

40

d) 270° 0 90 80 70 60

a)

d)

b)

e)

10 10

50

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

22

0

32

02

0 10 20

0 350 34 0 33 20 10 0

190180 170 160 1

30

50

14

0

0

13

1 120

40

03

00

290

280 270 260 250

240

0

23

0 280 270 260

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a leitura da medida de ângulos utilizando o transferidor. Para complementar, propor aos alunos a construção de ângulos utilizando o transferidor, dadas suas medidas em graus. Neste primeiro momento, é interessante que essas medidas sejam inteiras. Outra possibilidade é propor aos alunos que construam representações de ângulos no caderno e troquem com um colega para que este faça as medições. Ao final, pedir que confiram juntos as resoluções. 2. Esta atividade trabalha a leitura da medida de ângulos utilizando o transferidor e a classificação de um ângulo de acordo com sua medida. Para o trabalho com esta atividade, providenciar previamente transferidores para que os alunos possam manipulá-los e fazer as medições. Para complementar, construir outros ângulos na lousa para que os alunos possam classificá-los de acordo com sua medida, por meio de estimativas, sem a necessidade de aferir com algum tipo de instrumento de medida.

Resoluções na p. 279

AtividadeS

31

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

!

Nos itens a, b e c foi utilizado um transferidor de 180° e, no item d, um transferidor de 360°.

c)

a) 100°; obtuso. b) 180°; raso. c) 30°; agudo. d) 90°; reto. e) 55°; agudo.

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5. Esta atividade trabalha com a percepção do aluno de que um giro completo corresponde a um ângulo de 360°. Informar os alunos que a energia eólica, assim como a solar, são fontes de energia sustentáveis e que o Brasil é o maior gerador de energia eólica da América Latina, sendo o Nordeste a região com o maior polo de energia eólica do país, já que possui condições de vento muito favoráveis. A seguir são apresentadas informações a respeito do funcionamento de um aerogerador.

3. Você sabe o que são ângulos complementares e ângulos suplementares? Observe. C B

O

Dizemos que dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90°.

Dizemos que dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180°.

E

O D Os ângulos DOE e EOF são suplementares.

A Os ângulos AOB e BOC são complementares.

F

Escreva os pares de ângulos representados a seguir que são: b) suplementares. JK̂L e MN̂O.

a) complementares. GĤ I e PQ̂ R.

Q

L

G 25°

I

O 93°

K M

J

H

R 65°

87°

P

[...]

N

4. Lana faz um curso de programação de computadores para crianças. Nesse curso, ela aprendeu a criar jogos e aplicativos. Em certa atividade, Lana tem de indicar os botões que representam o caminho que leva o pirata ao tesouro. Copie no caderno as indicações que ela já fez e desenhe os botões que faltam para completar esse caminho.

Como funciona um aerogerador?

Saída Avançar uma casa

BENTINHO

Girar 90° para a direita.

5. Você sabia que a energia eólica é aquela obtida pelo movimento do vento? A geração dessa energia se inicia a partir do giro das pás dos aerogeradores, que funcionam de maneira parecida com os moinhos de vento. Nesses aerogeradores, considerando duas pás quaisquer, o menor ângulo formado por elas tem sempre a mesma medida.

b) Considerando o aerogerador representado ao lado, determine a medida do ângulo em destaque. 120°. c) Classifique esse ângulo de acordo com sua medida. Obtuso.

RIVAIL/YANCOM

a) Você já viu algum aerogerador? Converse com os colegas sobre como ele funciona. Resposta pessoal.

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3. Esta atividade trabalha a identificação de pares de ângulos complementares e suplementares. Dizer aos alunos que não é necessário que dois ângulos sejam adjacentes para que sejam complementares, isto é, os ângulos não precisam estar no mesmo plano, ter o mesmo vértice e ter

em comum apenas os pontos de um dos lados; basta que a soma de suas medidas seja igual a 90°. O mesmo ocorre com dois ângulos suplementares; basta apenas que a soma de suas medidas seja igual a 180°. 4. Esta atividade trabalha o conceito de ângulo com base

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na ideia de giro. Conversar com os alunos sobre introdução à programação de computadores, ambiente em que diversas ideias matemáticas podem ser desenvolvidas, inclusive o trabalho com algoritmos e fluxograma.

O princípio de funcionamento baseia-se na conversão da energia cinética dos ventos em energia elétrica. Tal processo é resultante do movimento de rotação causada pela incidência do vento nas pás do aerogerador, que converte a energia cinética dos ventos em potência mecânica rotacional no eixo do rotor. Essa potência mecânica é então transmitida ao gerador elétrico, que através de um processo de conversão eletromecânica, produz uma potência elétrica em sua saída. As pás das máquinas são dispositivos aerodinâmicos com perfis especialmente desenvolvidos, equivalentes às asas dos aviões, e que funcionam pelo princípio físico da sustentação. A maioria dos aerogeradores modernos permite a rotação variável do rotor. Esta tecnologia, além de otimizar a energia dos ventos, melhora a qualidade da energia na saída do gerador elétrico. [...] FAJARDO, L. E o vento gerou. Revista Furnas. Disponível em: <www.furnas. com.br/arqtrab/ddppg/revistaonline/ linhadireta/RF373_entrev.pdf>. Acesso em: 12 set. 2018.

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Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal Para ampliar o número de vagas e facilitar aos motoristas a manobra de seus veículos, a direção de uma escola estuda demarcar o estacionamento do local, como apresentado a seguir.

DAYANE RAVEN

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal Neste Volume serão estudadas apenas verificações das relações entre os ângulos formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma reta transversal, com material manipulável e software. Na Unidade 5 do Volume 9 desta coleção, estudaremos as demonstrações dessas relações. Ao iniciar o trabalho com esse tema, é importante verificar se os alunos compreenderam o que são retas paralelas e transversais. Explicar que duas retas distintas em um mesmo plano são paralelas quando não possuem pontos em comum, ou seja, quando elas nunca se cruzam. Já a transversal é uma reta do mesmo plano das retas paralelas que intersecta tais retas paralelas. Quanto à classificação dada a alguns pares de ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal, os ângulos opostos pelo vértice se explicam por si só. Os pares de ângulos correspondentes recebem esse nome por ocuparem a mesma posição em relação a cada uma das retas paralelas. Os pares de ângulos alternos ocupam lado alternado em relação à reta transversal. Já os pares de ângulos colaterais ocupam o mesmo lado em relação à reta transversal.

Em um programa de computador, Felipe e sua professora de Matemática representaram retas e ângulos para ilustrar parte das demarcações do estacionamento. Observe que a reta t cruza as retas paralelas r e s.

GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quando uma reta transversal cruza um par de retas paralelas, podemos classificar alguns pares de ângulos formados de acordo com a posição que ocupam em relação às restas. Observe. Ângulos opostos pelo vértice

â e ĉ ê e ĝ

b̂ e d̂ f̂ e ĥ

Ângulos alternos

â e ĝ ĉ e ê

b̂ e ĥ d̂ e f̂

Ângulos correspondentes

âeê ĉ e ĝ

b̂ e f̂ d̂ e ĥ

Ângulos colaterais

â e f̂ ĉ e ĥ

b̂ e ê d̂ e ĝ

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Para estudar as relações entre esses ângulos, Felipe imprimiu, recortou as figuras dos ângulos e fez comparações. Analise as observações feitas por Felipe. • Ângulos opostos pelo vértice. â e ĉ b̂ e d̂

As figuras dos ângulos opostos pelo vértice ficaram perfeitamente sobrepostas. O mesmo aconteceu com as figuras dos ângulos correspondentes e também com as figuras dos ângulos alternos. Isso aconteceu porque cada par desses ângulos é formado por ângulos que têm medidas iguais.

d̂ ĉ

â

fˆ e ĥ

ê e ĝ

ILUSTRAÇÕES: DANILLO SOUZA

ĥ f̂

ê

• Ângulos correspondentes. âeê b̂ e fˆ

ĉ e ĝ ĉ

f̂ eˆ

d̂ e ĥ d̂ ĝ

â

• Ângulos alternos. â e ĝ

b̂ e ĥ ĥ

â

d̂ e fˆ

ĉ e ê ĉ

d̂ ê

Já as • Ângulos colaterais. figuras dos ângulos â e fˆ b̂ e ê colaterais se ajustaram de maneira que dois lados f̂ coincidiram e os outros dois ê â ficaram alinhados. Assim, cada par desses ângulos ĉ e ĥ d̂ e ĝ é formado por ângulos ĉ d̂ ĥ suplementares.

Com relação às notações utilizadas para ângulos, utilizamos letras minúsculas sem acento circunflexo para indicar a medida de um ângulo e letras minúsculas com acento circunflexo para indicar o nome do ângulo. Por exemplo, a notação a indica que estamos nos referindo à medida de um ângulo, enquanto a notação â indica que estamos apenas localizando esse ângulo. Após trabalhar com os conteúdos destas páginas, propor aos alunos que realizem uma atividade prática parecida com a apresentada pelo personagem Felipe no início desta página, sem utilizar necessariamente as mesmas medidas de ângulos usadas por ele, isto é, a mesma inclinação da transversal em relação às retas paralelas. Para essa atividade, organizar os alunos em duplas ou trios e providenciar com antecedência um papel com uma espessura maior para auxiliar nas sobreposições, como papel cartão ou cartolina.

Na construção feita por Felipe, os ângulos â e b̂ são ângulos adjacentes, pois estão no mesmo plano, têm o mesmo vértice e têm em comum apenas os pontos de um dos lados. Os ângulos â e d̂ também são adjacentes. O que podemos afirmar também sobre esses pares de ângulos? Resposta esperada: São pares de ângulos suplementares. 71

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AtividadeS

Resoluções na p. 279 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em um programa de computador, Luana representou um par de retas paralelas, uma reta transversal a elas, e destacou os ângulos formados. Observe.

a) Em relação aos ângulos destacados, indique os pares de ângulos: • opostos pelo vértice. • alternos. • colaterais. â e ĉ ; b̂ e d̂ ; ê e ĝ; f̂ e ĥ. â e ĝ; b̂ e ĥ; d̂ e f̂; ĉ e ê. â e ĥ; b̂ e ĝ; d̂ e ê; ĉ e f̂. • correspondentes. • adjacentes. â e ê; b̂ e f̂; d̂ e ĥ; ĉ e ĝ. â e b̂; â e d̂ ; b̂ e ĉ ; ĉ e d̂ ; ê e f̂; ê e ĥ; f̂ e ĝ; ĝ e ĥ. b) Quais pares de ângulos são formados por ângulos de medidas iguais? E quais são formados por ângulos suplementares? 2. Você lembra como é possível construir figuras de retas paralelas usando régua e esquadros? Observe.

RODRIGO/YANCOM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de pares de ângulos opostos pelo vértice, correspondentes, alternos, adjacentes e colaterais formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal. Aproveitar o contexto desta atividade para informar aos alunos que existem softwares de geometria dinâmica, como o próprio GeoGebra, que podem ser baixados como aplicativos de dispositivos móveis com tecnologia de toque na tela (touchscreen), como tablets ou smartphones. Na seção Você conectado, da página 96, é proposto o uso do GeoGebra no estudo das relações entre ângulos formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal. 2. Esta atividade trabalha a construção de representação de retas paralelas com o auxílio de régua e esquadros e a verificação experimental das relações entre as medidas dos pares de ângulos opostos pelo vértice, correspondentes, alternos, adjacentes e colaterais formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal. Para a resolução, providenciar com antecedência réguas e esquadros. Ao final desta atividade, é interessante propor aos alunos que comparem as figuras por eles construídas com aquelas construídas por outros grupos e verifiquem as diferenças e o que têm em comum. É possível que a reta transversal construída por um grupo possua inclinação diferente da reta transversal construída por outro grupo. No entanto, as relações entre os pares de ângulos serão verificadas em todos os casos.

GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Com a régua, traçamos a reta r.

Ajustamos um dos lados do esquadro à reta r. Apoiamos a régua em um dos lados livres do esquadro, mantendo-a fixa.

Deslizamos o esquadro sobre a régua, nos dois sentidos. Traçamos as retas paralelas à reta r, de acordo com as posições do esquadro.

Junte-se a dois colegas e, utilizando régua e esquadro, tracem em uma folha de papel um par de retas paralelas e uma reta transversal a elas. Depois, destaquem, nomeiem e recortem as figuras dos ângulos formados por essas retas. Por fim, ajustem as figuras de ângulos recortados e verifiquem as relações entre as medidas dos pares de ângulos: Respostas pessoais. a) opostos pelo vértice.

c) alternos.

e) adjacentes.

b) correspondentes. d) colaterais. 1. b) Os pares de ângulos opostos pelo vértice, de ângulos correspondentes e de ângulos alternos são formados por ângulos de medidas iguais. Os pares de ângulos adjacentes e os de ângulos colaterais são formados por ângulos suplementares. 72

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3. Observe como Karina pensou para determinar as medidas dos ângulos ĉ, ê e f̂ na figura a seguir, em que as retas r e s representadas são paralelas e o ângulo â mede 120°.

4. Observe a figura a seguir. t f̂

ê d̂

t d̂ ĉ ĥ ĝ

â

ê

â

s

a) â: 80°; b̂: 100°; ĉ: 80°; d̂ : 75°; ê: 105°; f̂: 75°. a) Com um transferidor, meça os ângulos destacados e anote as medidas no caderno. b) Não. Não. Não. b) Os ângulos â e d̂ têm medidas iguais? Os ângulos b̂ e ê têm medidas iguais? Os ângulos ĉ e d̂ têm medidas iguais?

b̂ s

r

r

Como os ângulos â e ĉ são opostos pelo vértice e os ângulos â e ê são correspondentes, eles têm a mesma medida. Já os ângulos â e f̂ são colaterais e, dessa maneira, suplementares.

c) Os ângulos ê e â são suplementares? Não. d) As retas r e s são paralelas? Não.

DAYANE RAVEN

5. Em certo município há um bosque bastante frequentado pelos moradores. Ele ocupa um quarteirão inteiro e está localizado entre quatro ruas, conforme apresentado a seguir.

a) Quais são as medidas dos ângulos ĉ, ê e f̂ ? ĉ : 120°; ê: 120°; f̂: 60°.

â: 42°; ĉ: 42°; b̂ : 138°. â ĉ

u

v b̂

42º

t

LUCAS FARAUJ

b) Agora, observe a figura a seguir, em que u e v são retas paralelas, e determine as medidas dos ângulos em destaque. A Rua Xingu é paralela à Rua Araguaia, e a Rua Tietê é paralela à Rua Pirapó. Determine as medidas dos ângulos internos da figura de quadrilátero que representa o quarteirão em que está o bosque. Dois ângulos de 79° e dois ângulos de 101°. 73

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3. Esta atividade trabalha as relações entre as medidas de pares de ângulos opostos pelo vértice, correspondentes, alternos, adjacentes e colaterais formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal. Para complementar, propor aos alunos que

citem estratégias diferentes da apresentada para determinar as medidas dos ângulos Å c , Å e e Å f. Assim, é possível evidenciar diferentes maneiras de pensar a respeito de uma mesma solução, mostrando aos alunos que existem diversas estratégias para resolver esta atividade.

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4. Esta atividade trabalha a percepção dos alunos a respeito de que as relações entre as medidas dos pares de ângulos correspondentes, alternos e colaterais estudadas até o momento são válidas apenas no caso em que os ângulos são formados por um par de re-

tas paralelas intersectadas por uma transversal. Para a resolução do item a, providenciar com antecedência transferidores. No item c, é importante que os alunos compreendam que, para um par de ângulos colaterais ser suplementar, é necessário que as duas retas intersectadas por uma transversal sejam paralelas. Essa mesma condição de paralelismo entre as retas intersectadas por uma transversal também deve ser satisfeita para que os pares de ângulos correspondentes e os pares de ângulos alternos possuam a mesma medida entre si. No entanto, a relação de equidade entre as medidas de um par de ângulos opostos pelo vértice, assim como o fato de um par de ângulos adjacentes ser suplementar, é válida independentemente da posição das retas intersectadas por uma transversal. Sugerir também aos alunos que utilizem régua e esquadro para verificar que as retas r e s apresentadas nesta atividade não são paralelas. 5. Esta atividade trabalha as relações entre pares de ângulos opostos pelo vértice, correspondentes, alternos, adjacentes e colaterais formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal. Nesse caso, cada aluno tem a possibilidade de escolher a relação entre os pares de ângulos que julgar mais conveniente para determinar a resposta dessa atividade. Sugerir aos alunos que construam uma representação no caderno da situação apresentada, considerando tanto as informações presentes na imagem quanto as do enunciado, e realizem os registros e as indicações necessários.

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SEBRAE. Marchetaria. Disponível em: <www.sebrae.com.br/sites/

O/SHUT VILLOREJ

TERSTO

CK.COM

Uma dessas técnicas é a marchetaria, que consiste na arte de compor formas sobre superfícies planas utilizando diferentes materiais, como madeiras coloridas, metais e pedras. Com essa técnica, são produzidos artesanatos como caixas e outros utensílios. Na tampa da caixa ao lado, podemos identificar figuras de polígonos. Observe um exemplo de polígono.

Caixa de madeira trabalhada com a técnica de marchetaria.

Lado Cada segmento de reta do contorno de um polígono é um lado.

Vértice Cada ponto em que dois lados de um polígono se encontram é um vértice.

Diagonal Cada segmento de reta cujas extremidades são vértices não adjacentes de um polígono é uma diagonal.

Ângulo externo Cada ângulo externo de um polígono é determinado por um lado e pelo prolongamento de um lado adjacente a ele.

EDITORIA DE ARTE

Marchetaria é a arte de ornamentar as superfícies planas de móveis, painéis, pisos, tetos, através da aplicação de materiais diversos, tais como: madeira, metais, pedras, plásticos, madrepérola, marfim e chifres de animais, tendo como principal suporte a madeira. Com a técnica, é possível construir objetos tridimensionais, esculturas, utilitários e joias. A origem do nome “marchetaria” vem do francês marqueter, que significa embutir. Trata-se de um artesanato que nasceu antes das artes e continua vivo desde então, reunindo utilidade e beleza. Fruto da mente e obra das mãos, o artesanato é ponte entre a herança coletiva e o gosto individual, a cultura e o estilo, sem abrir mão de sua essência serviçal. Os primeiros registros da arte são de uma bacia de pedra calcária da Mesopotâmia, datada por volta de 3000 a.C. Posteriormente, os egípcios antigos aprimoraram a técnica com a arte de embutir madeiras coloridas em superfícies de madeira e com o desenvolvimento do bronze para fabricação de serras. [...]

O artesanato é uma das maneiras de expressar a riqueza cultural de um povo. O Brasil, por ser um país formado por povos indígenas e povos vindos de diferentes regiões do mundo, como europeus, africanos, asiáticos etc., possui uma grande diversidade cultural, o que contribui para o desenvolvimento de vários tipos e técnicas de artesanato.

Ângulo interno Cada ângulo interno de um polígono é determinado por um par de lados adjacentes.

Quantos lados, vértices, diagonais, ângulos internos e ângulos externos tem esse polígono? 4 lados; 4 vértices; 2 diagonais; 4 ângulos internos; 4 ângulos externos. 74

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PortalSebrae/ideias/como-montarum-servico-de-marchetaria,0d587a51 b9105410VgnVCM1000003b74010a RCRD>. Acesso em: 12 set. 2018.

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O trabalho de rendeiras e as peças de arte indígena também podem ser utilizados para introduzir o estudo de polígonos, padrões e ângulos.

MARIO FRIEDLANDER/PULSAR IMAGENS

[...]

Polígonos

CRÉDITO

POLÍGONOS Neste tópico, são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA19, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27. Nesta Unidade, vamos retomar alguns conceitos de polígonos, que já foram explorados na Unidade 3 do Volume 6 desta coleção, e avançar neste estudo. Aproveitar o tema e realizar a leitura para os alunos do texto a seguir, que apresenta mais informações sobre a marchetaria.

FABIO COLOMBINI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Detalhe de peça feita com renda de bilros.

Artesanato feito por etnias do Parque Indígena do Xingu (MT).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Podemos classificar e nomear um polígono de acordo com a quantidade de lados, vértices e ângulos internos. Observe alguns exemplos. Quantidade de lados, vértices e ângulos internos

Nome

3

Triângulo

4

Quadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Undecágono

Após discutir a nomenclatura dos polígonos de acordo com a quantidade de lados, vértices e ângulos internos, verificar a possibilidade de chamar um aluno por vez para desenhar na lousa um dos polígonos indicados na classificação. PARA PENSAR Perguntar aos alunos se eles conhecem algum tipo de polígono convexo que possui todos os ângulos internos com a mesma medida e lados com medidas distintas. Em seguida, informá-los de que os retângulos são exemplos de polígonos que possuem estas características, porém, não é polígono regular.

Também podemos classificar um polígono em convexo ou não convexo. Observe. Quando todo segmento de reta com extremidades no polígono tem todos os seus pontos também no polígono, dizemos que esse é um polígono convexo.

Quando é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono, de maneira que algum ponto desse segmento de reta seja externo ao polígono, dizemos que esse é um polígono não convexo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

B

Quando um polígono possui todos os lados e todos os ângulos internos com medidas iguais, dizemos que é um polígono regular. 2 cm 2 cm

120°

120°

120° 2 cm

2 cm

120°

120°

120°

2 cm

2 cm

Hexágono regular.

2 cm

2 cm

O pentágono representado ao lado tem todos os lados com o mesmo comprimento. Podemos dizer que é 2 cm um pentágono regular? Por quê? Não, pois as medidas dos ângulos internos não são todas iguais.

2 cm

2 cm

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre o Programa do Artesanato Brasileiro (PAB). • BRASIL. Secretaria de Governo. Programa do Artesanato Brasileiro. Disponível em: <http://livro.pro/n48q4n>. Acesso em: 12 set. 2018.

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Acessar estes sites para obter informações históricas sobre o trabalho das rendeiras e a arte indígena, respectivamente. • IPHAN. As Rendeiras. Disponível em: <http://livro.pro/ bv9ods>. Acesso em: 12 set. 2018.

• MUSEU DE ARTE INDÍGENA. Disponível em: <http://livro. pro/unvwjq>. Acesso em: 12 set. 2018.

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!

a) Quais das figuras acima não representam polígonos? II, V, VI e VII. b) Para cada figura que você indicou no item a, justifique o motivo pelo qual ela não representa polígono. 2. No caderno, desenhe a figura de um polígono qualquer utilizando uma régua. Depois, troque seu desenho com um colega para que ele indique os vértices, os ângulos internos e os ângulos externos da figura que você desenhou, e classifique o polígono de acordo com a quantidade de lados. Faça o mesmo com o desenho que você receber. Resposta pessoal. 3. Gabriela desenhou a figura de um pentágono ABCDE. Depois, traçou todas as diagonais em que uma das extremidades era o vértice A. Observe. A

II.

I: Triângulo; II: Quadrilátero. a) Nomeie esses polígonos de acordo com a quantidade de lados, vértices e ângulos internos.

b) Meça os lados desses polígonos e calcule o perímetro de cada um deles. I: 12 cm; II: 15 cm. 5. (Obmep-2016) A figura foi construída com triângulos de lados de 3 cm, 7 cm e 8 cm. Qual é o perímetro da figura? a) 60 cm b) 66 cm

B

E

c) 72 cm d) 90 cm

C

D

e) 108 cm Alternativa c.

OBMEP 2016

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha características próprias dos polígonos. Para complementar esta atividade, propor aos alunos que classifiquem as figuras que eles consideram polígonos em convexos ou não convexos. Nesse caso, as figuras I e VIII são polígonos convexos e as figuras III e IV são polígonos não convexos. 2. Esta atividade trabalha os elementos que compõem um polígono e a classificação de um polígono de acordo com a quantidade de lados. Após esta atividade, propor aos alunos de cada dupla que confiram se as indicações foram realizadas corretamente, justificando suas escolhas. Para complementar, pedir aos alunos que compartilhem seus desenhos com os demais colegas da turma, pois dessa maneira eles podem perceber variações que os polígonos admitem. 3. Esta atividade trabalha a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono convexo. No item a, espera-se que os alunos percebam que, de cada vértice do pentágono, partem a mesma quantidade de diagonais, nesse caso duas diagonais. Esse assunto será estudado com mais detalhes no Volume 8 desta coleção. 4. Esta atividade trabalha a classificação de um polígono de acordo com a quantidade de lados e ângulos internos e a ideia de perímetro de um polígono. 5. Esta atividade trabalha a ideia de perímetro de um polígono. Após o trabalho com esta atividade, propor uma discussão a respeito das estratégias que os alunos utilizaram para resolvê-la. A intenção é que eles compartilhem suas estratégias com os colegas e verifiquem que existem algumas que simplificam os cálculos e outras que exigem um pouco mais.

1. b) II: O contorno da figura não é formado apenas por segmentos de reta; V: No contorno da figura há Resoluções na p. 280 segmentos de reta que se cruzam; VI: O contorno da AtividadeS NÃO ESCREVA figura não é formado por segmentos de reta; VII: O NO LIVRO. contorno da figura não é fechado. a) Quantas diagonais desse polígono têm 1. Observe as figuras e resolva os itens a o vértice A como uma extremidade? seguir. Escolha outro vértice qualquer e responda: quantas diagonais têm esse Lembre-se de que, para uma figura vértice como uma extremidade? geométrica plana ser um polígono, seu contorno 2 diagonais; 2 diagonais. tem de ser fechado e formado apenas de b) No caderno, use régua e represente um segmentos de reta que não se cruzam. hexágono qualquer. Depois, escolha um vértice e trace todas as diagonais que I. IV. VII. têm esse vértice como uma extremidade. Quantas são essas diagonais? Compare sua resposta com a de um colega. II. V. VIII. 3 diagonais. 4. Observe os polígonos representados a seguir. I. III. VI.

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6. b) Resposta esperada: Fazendo a composição com a peça III obtém-se um ângulo raso e, consequentemente, um alinhamento dos lados inferiores das peças que formam tal composição. III. 6. Márcio é artesão e aproveita recortes 6. c) Em um polígono, 60° de azulejos que uma construtora desum ângulo interno e o ângulo externo carta para fazer mosaico. Ele começou correspondente são a decorar uma bandeja e fixou algumas 60° 60° suplementares. peças de azulejo na primeira fileira. • Explique como você pensou para Observe. resolver esse item.

Entretanto, só a partir de 1928 começaram a ser desenvolvidas pesquisas de forma mais sistemática para avaliar o consumo de cimento, a quantidade de água e o efeito da granulometria dos agregados oriundos de alvenaria britada e de concreto. Porém, a primeira aplicação significativa de entulho só foi registrada após a segunda guerra mundial, na reconstrução das cidades Europeias, que tiveram seus edifícios totalmente demolidos e os escombros ou entulho resultante foi britado para produção de agregado visando atender à demanda na época. Assim, pode-se dizer, que a partir de 1946 teve início o desenvolvimento da tecnologia de reciclagem de entulho da construção civil. [...]

LUCAS FARAUJ

c) Podemos estabelecer uma relação existente entre o ângulo interno de um polígono e o ângulo externo correspondente. Copie no caderno a frase que indica essa relação. • Em um polígono, um ângulo interno e o ângulo externo correspondente têm medidas iguais.

Para verificar qual será a próxima peça que pode ser encaixada, Márcio mediu um ângulo interno da peça verde e fez um desenho para representá-la.

• Em um polígono, um ângulo interno e o ângulo externo correspondente são suplementares.

ângulo externo

ângulo interno

a) Qual é a soma das medidas dos ângulos interno e externo, correspondentes, destacados no polígono?180° b) Qual das figuras de polígono a seguir representa uma peça que, na posição que está, pode ser encaixada perfeitamente à peça verde, de maneira que continue a composição do mosaico na primeira fileira? III.

• Considerando a relação que você copiou, verifique se sua resposta nos itens a e b estão corretas. Resposta pessoal. 7. Obtenha a medida de cada ângulo externo dos polígonos representados a seguir. a)

â: 120°; b̂ : 100°; ĉ : 140°. â

60º 80º

I. 100° 115° 115°

b)

d̂: 105°; ê: 90°; f̂: 135°; ĝ : 30°.

75º 150º 95° 100° 120° 45°

40º

105° 105°

II.

ABRECON. História do entulho. Disponível em: <http://abrecon.org.br/ entulho/historia-do-entulho/>. Acesso em: 12 set. 2018.

ê

90º

45º f̂

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

120°

• Em um polígono, um ângulo interno e o ângulo externo correspondente são complementares.

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6. Esta atividade trabalha a relação entre as medidas dos ângulos interno e externo de um polígono convexo. Aproveitar o contexto e apresentar aos alunos o trecho a seguir que traz informações históricas a respeito do reaproveitamento de materiais de construção.

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A construção é uma das atividades mais antigas que se tem conhecimento e desde os primórdios da humanidade foi executada de forma artesanal, gerando como subprodutos grande quantidade de entulho mineral.

Tal fato despertou a atenção dos construtores já na época da edificação das cidades do Império Romano e desta época datam os primeiros registros da reutilização dos resíduos minerais da construção civil na produção de novas obras.

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[...] René Descartes [...] era um pequeno descendente da nobreza francesa que era mais famoso como filósofo do que como matemático. A explanação de seu sistema de geometria analítica está em um apêndice de seu texto filosófico, Discourse on Method, como uma demonstração de como ele usou a razão para chegar aos seus resultados. [...] Descartes achava que nem a geometria nem a álgebra eram inteiramente satisfatórias, e procurava tirar o melhor de ambas. [...] Descartes propôs que a posição de um ponto em um plano podia ser identificada pela referência a dois eixos que se interceptam, usados como guias de medidas, desenvolvendo assim o sistema de coordenadas que agora é conhecido como sistema cartesiano.

Polígonos no plano cartesiano

Fonte dos dados: EMILIO, D. R. Descartes, René du Peiron (1596-1650). Disponível em: <www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/descarte.htm>. Acesso em: 5 abr. 2018.

René Descartes (1596-1650).

O plano cartesiano é composto de duas retas numeradas e perpendiculares entre si. A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x), a reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y) e o ponto em que elas se cruzam é a origem.

Plano cartesiano eixo das ordenadas

y 4 origem

3 2 eixo das abscissas

1 O _4 _3 _2 _1 0 _1

1

2

3

4

x

_2 _3 _4

Indicamos um ponto por meio das coordenadas cartesianas (x, y), em que x indica a posição em relação ao eixo das abscissas e y, em relação ao eixo das ordenadas. A origem tem coordenadas O (0, 0). y

No triângulo representado, os vértices podem ser indicados pelos pontos:

5

A

4 3 2

• A(–1, 4);

1

• B(– 5, –3);

_7 _6 _5 _4 _3 _2 _1 0 _1

• C(3, –2).

ROONEY, A. A história da matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M.Books do Brasil, 2012. p. 141.

O plano cartesiano será estudado com mais detalhes nos próximos Volumes desta coleção. No entanto, é importante que os alunos saibam que, nos eixos de um plano cartesiano, as escalas são as mesmas, isto é, a distância entre uma marcação e a seguinte deve ser a mesma em ambos os eixos.

MUSEU DO LOUVRE, PARIS

Você já ouviu falar do filósofo francês René Descartes? Além dos diversos trabalhos filosóficos, René também contribuiu para a Matemática. No livro Discurso do método, publicado em 1637, apresentou ideias sobre a localização de pontos sobre um plano. Com base nessas ideias, foi desenvolvido aquilo que mais tarde ficou conhecido como plano cartesiano.

1

2 3 x

_2

C

_3

B

_4

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Polígonos no plano cartesiano Apresentar aos alunos o trecho a seguir que traz mais informações a respeito da vida e obra do filósofo francês René Descartes, que é homenageado com a nomenclatura do plano cartesiano, por ser o precursor da ideia de localizar pontos em um plano com auxílio de eixos de referência.

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Resposta da atividade 2:

y 6 5 4 3 A 2 1

y A

4 3

0

B

C 1

2

3

x

EDITORIA DE ARTE

2 1

Resposta do item c da atividade 3: A’

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D’

D

_3_2_1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 _1 B C _2 _3 _4 B’

9 10 x

C’

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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AtividadeS

3. b) Resposta esperada: As medidas dos lados do retângulo A’B’C’D’ têm o dobro das medidas dos lados correspondentes ao retângulo ABCD.

Resoluções na p. 280 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Escreva as coordenadas de cada vértice do quadrilátero e do triângulo representados no plano cartesiano. A(–3, 1); B(2, 1); C(6, 4) e D(–1, 3). E(0, –2); F(–4, –3) e G(5, –4). y

_2

F

_3 _4

G

2. b) Resposta esperada: Os vértices obtidos têm coordenadas G(2, _4), H(1, _1) e I(3, _1). Nesse caso, o triângulo GHI corresponde à figura obtida por simetria de reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo das abscissas. EDITORIA DE ARTE

2. a) Resposta esperada: 5 Os vértices obtidos têm C 4 coordenadas D(_2, 4), D 3 E(_1, 1) e F(_3, 1). Nesse 2 caso, o triângulo DEF corresponde à figura obtida 1 A B por simetria de reflexão do 0 1 2 3 4 5 6 x triângulo ABC em relação _5 _4 _3 _2 _1 _1 ao eixo das ordenadas. E

Resposta nas Orientações para o professor. 2. Em uma malha quadriculada, use régua e lápis e desenhe um plano cartesiano. Depois, nele, represente um triângulo cujos vértices têm coordenadas A(2, 4), B(1, 1) e C(3, 1). Agora, faça os ajustes indicados a seguir nas coordenadas desses vértices, represente o triângulo obtido no mesmo plano cartesiano e descreva a transformação realizada em relação ao triângulo ABC.

a) Multiplicar a abscissa de cada vértice por _1 e manter a ordenada. b) Multiplicar a ordenada de cada vértice por –1 e manter a abscissa.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

3. Mário, utilizando um programa de computador, representou um retângulo de vértices A(1, 2), B(1, –1), C(3, –1) e D(3, 2). Depois, ele multiplicou as coordenadas de cada vértice por –2 e obteve a figura do polígono de vértices A’B’C’D’.

Resposta esperada: Sim, pois o polígono de vértices A’B’C’D’ é um paralelogramo com os quatro a) O polígono de vértices A’B’C’D’ também é um retângulo? Justifique. ângulos internos retos.

b) Explique a transformação que ocorreu com as medidas dos lados do retângulo ABCD ao ter as coordenadas de seus vértices multiplicadas por –2. c) Em um plano cartesiano, reproduza o retângulo ABCD. Depois, multiplique as coordenadas de cada vértice por 3 e represente, nesse mesmo plano cartesiano, a figura cujos vértices correspondem aos resultados obtidos. Por fim, compare as medidas dos lados das duas figuras e registre suas conclusões. Resposta nas Orientações para o professor. Resposta esperada: As medidas dos lados do retângulo obtido têm o triplo das medidas dos lados correspondentes ao retângulo ABCD. 79

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação das coordenadas dos vértices de polígonos representados no plano cartesiano. Para complementar, reproduzir e entregar a cada aluno uma malha quadricu-

lada, que está disponível no Material de apoio. , e propor a eles que desenhem um plano cartesiano e representem nele um pentágono de vértices A(_1, 4), B(_2, 1), C(1, _1), D(4, 0) e E(3, 4). É importante que eles compreendam que sempre a primeira coordenada indica a posição em

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relação ao eixo das abscissas e a segunda coordenada indica a posição em relação ao eixo das ordenadas. 2. Esta atividade trabalha a representação de um polígono em um plano cartesiano bem como a transformação deste quando as coordenadas de seus vértices são multiplicadas

por um número inteiro, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA19 da BNCC. Em cada item, solicitar aos alunos que registrem no caderno as coordenadas do triângulo após a transformação sugerida. Verificar se eles compreenderam que, em cada item, apenas uma das coordenadas de cada ponto será alterada, por exemplo, no item a, apenas a coordenada da abscissa será alterada. Veja a resposta desta atividade na parte inferior desta página. 3. Esta atividade trabalha a transformação de um polígono representado em um plano cartesiano quando as coordenadas de seus vértices são multiplicadas por um número inteiro. Antes de realizar os itens propostos, solicitar aos alunos que registrem no caderno as coordenadas dos vértices do polígono A’B’C’D’ construído por Mário. No item b, é importante ressaltar que, além de as medidas dos lados do retângulo A’B’C’D’ terem o dobro das medidas dos lados correspondentes ao retângulo ABCD, o fato de as coordenadas dos vértices do retângulo ABCD serem multiplicadas por −2, um número negativo, fez com que as coordenadas obtidas dos vértices correspondentes ficassem com sinais trocados. No item c, é proposto que os alunos realizem a transformação de um polígono (retângulo ABCD) representado no plano cartesiano, decorrente da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA19 da BNCC. Essa habilidade pode ser novamente retomada ao estudar as páginas 194 e 195 da Unidade 6 deste Volume da coleção. Veja a resposta deste item na parte inferior desta página.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Triângulos

Triângulos Aproveitar o contexto e apresentar aos alunos os seguintes trechos, que trazem informações históricas a respeito de cada modalidade do ciclismo dos Jogos Olímpicos.

Muitas pessoas gostam de passear de bicicleta. Algumas, no entanto, utilizam suas bicicletas para praticar esportes. Nos Jogos Olímpicos, por exemplo, quatro modalidades preveem o uso de bicicleta: ciclismo BMX, ciclismo de estrada, ciclismo de pista e ciclismo MTB. Nessas modalidades, as bicicletas possuem diferenças, que buscam atender às necessidades específicas da modalidade, como velocidade, manobras e resistência. Essas bicicletas, contudo, costumam ter algo em comum: composições triangulares em sua estrutura. Observe.

[...] Em abril de 1981, a Federação Internacional de BMX foi fundada e a modalidade se desenvolveu rapidamente, criando uma identidade única. Em 1993, o BMX foi inteiramente integrado à União Internacional de Ciclismo (UCI, em inglês) e estreou como esporte olímpico em Pequim 2008. [...]

GILANG PRIHARDONO / SHUTTERSTOCK.COM

IAMLUKYEEE / SHUTTERSTOCK.COM

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

Ciclismo de estrada.

NERTHUZ/ISTOCK/ GETTY IMAGES

STOCKPHOTO-GRAF/ SHUTTERSTOCK.COM

Ciclismo BMX.

COB. Ciclismo BMX. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/Esportes/ciclismobmx>. Acesso em: 12 set. 2018.

Ciclismo de pista.

Ciclismo MTB.

Acesse este site para obter mais informações sobre as modalidades do ciclismo.

[...]

• COB. Esportes. Disponível em: <http://livro.pro/siagxj>. Acesso em: 3 out. 2018.

O ciclismo estrada esteve presente em todas as edições dos Jogos Olímpicos, com uma espécie de programa básico. Sempre que sofreu modificações foi para ficar mais perto do esporte-espetáculo. [...]

Essa característica está relacionada à chamada rigidez do triângulo, ou seja, à sua propriedade de não se deformar, o que não ocorre com outros polígonos. A rigidez do triângulo também é utilizada em diversas outras estruturas, como a de pontes e telhados. fique ligado

Veja no material audiovisual o vídeo sobre estruturas triangulares na construção civil.

Verificando a rigidez de um triângulo Podemos, experimentalmente, perceber a rigidez do triângulo utilizando canudos e pedaços de barbante. Observe.

RODRIGO/YANCOM

COB. Ciclismo de estrada. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/ Esportes/ciclismo-estrada>. Acesso em: 12 set. 2018.

[...] Com exceção de Estocolmo 1912, a modalidade [ciclismo de pista] esteve presente em todas as edições olímpicas. As mulheres passaram a competir a partir de Seul 1988, no evento Velocidade 200 m. Novos eventos foram adicionados nos Jogos de Sidney 2000. [...] COB. Ciclismo de pista. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/Esportes/ ciclismo-pista>. Acesso em: 12 set. 2018.

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[...] O mountain bike nasceu como esporte nos anos de 1970, a partir da criação de novas peças e da realização da primeira competição oficial com o novo modelo de bicicleta, na Califórnia. A popularidade do esporte nos

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Estados Unidos e na Austrália incentivou a realização do primeiro campeonato norte-americano, em 1983, e do campeonato mundial, em 1990. O esporte ganhou o status de modalidade olímpica nos Jogos de Atlanta 1996.

[...] COB. Ciclismo MTB. Disponível em: <www.cob.org.br/pt/Esportes/ciclismomtb>. Acesso em: 12 set. 2018.

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8 11:44 AM

Condição de existência de um triângulo A professora de Matemática de Antônio propôs aos alunos que tentassem representar contorno de triângulos com canudos de diferentes comprimentos e barbantes. Observe as tentativas de Antônio. A

C 10 cm 8 cm

4 cm

6 cm

2 cm 4 cm

8 cm

Veja no material audiovisual o vídeo sobre construção de triângulos.

8 cm

2 cm

6 cm 8 cm

D

10 cm

8 cm 6 cm

B 4 cm

10 cm 2 cm

6 cm

6 cm

4 cm

2 cm

10 cm

8 cm

LUCAS FARAUJ

6 cm

Em quais tentativas Antônio conseguiu representar o contorno de um triângulo? E em quais ele não conseguiu? Para cada tentativa, calcule a soma dos comprimentos dos dois canudos menores e compare com o comprimento do canudo maior. A e D. B e C. A: 8 cm + 6 cm = 14 cm . 10 cm; B: 6 cm + 2 cm = 8 cm , 10 cm; C: 4 cm + 2 cm = 6 cm , 8 cm; D: 6 cm + 4 cm = 10 cm . 8 cm.

Note que Antônio conseguiu representar contorno de triângulos apenas nas tentativas em que o comprimento do maior canudo era menor que a soma dos comprimentos dos dois outros canudos.

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre estruturas triangulares na construção civil. Nesse vídeo aborda-se a rigidez do triângulo e sua aplicação em construções de prédios, pontes etc.

A construção de um triângulo é possível apenas quando a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Essa é a condição de existência de um triângulo.

Ao realizarmos esse experimento, na tentativa de representar estruturas que lembram o contorno de outros polígonos, não conseguimos estruturas rígidas. Observe, por exemplo, a representação do contorno do quadrado.

AMPLIANDO

RODRIGO/YANCOM

Sugerir aos alunos que acessem este site para, de maneira prática, verificarem as condições de existência de um triângulo com base nas medidas de seus lados. • GEOGEBRA. Condição de existência. Disponível em: <http://livro.pro/geo01a>. Acesso em: 27 set. 2018

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Uma maneira de conduzir a aula sobre a condição de existência de um triângulo é solicitar aos alunos que realizem na prática o experimento com canudos e barbantes proposto nesta página, antes de apresentá-la a eles. Para isso, orientar os alunos de maneira parecida à indicada nos comen-

tários relacionados ao boxe Fique ligado destas páginas. Uma das diferenças é que nesse caso é necessário determinar a medida de cada parte do canudo que poderá constituir a estrutura de um triângulo. Verificar se eles perceberam que os canudos representam os lados dos triângulos.

Verificar a possibilidade de trabalhar com as construções apresentadas no boxe Fique ligado de maneira prática. Nesse caso, providenciar com antecedência ou solicitar aos alunos que levem para a sala de aula os seguintes materiais: canudos, barbante e tesoura com pontas arredondadas. Para a construção da estrutura com o formato de um triângulo, solicitar-lhes que passem um pedaço de barbante por dentro de três canudos de mesmo comprimento, por exemplo, de maneira que sobre barbante em ambas as extremidades. Em seguida, amarrem bem firme as extremidades sem dobrar os canudos. A construção da estrutura com o formato de quadrado pode ser realizada de maneira análoga à da construção da estrutura triangular; para isso, utilizar quatro canudos de mesmo comprimento.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre construção de triângulos. Nesse vídeo aborda-se a condição de existência de um triângulo e diferentes maneiras de representá-lo usando material concreto.

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Resoluções na p. 280

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Junte-se a um colega e pesquisem em jornais, revistas ou na internet imagens de construções em que seja possível identificar estruturas triangulares, usadas por sua rigidez. Depois, recortem ou imprimam essas imagens e colem no caderno, destacando com lápis de cor as figuras de triângulos identificadas. Também é possível fotografar essas estruturas com uma câmera fotográfica ou um celular e imprimir as imagens. Resposta pessoal. 2. Você lembra como podemos classificar um triângulo? Observe duas maneiras. Triângulo acutângulo: todos os ângulos internos são agudos.

Triângulo escaleno: todos os lados têm medidas diferentes. Triângulo isósceles: ao menos dois lados têm medidas iguais.

Triângulo retângulo: um dos ângulos internos é reto.

Em relação às medidas dos ângulos internos.

Em relação às medidas dos lados.

Triângulo obtusângulo: um dos ângulos internos é obtuso.

Triângulo equilátero: os três lados têm medidas iguais.

a) Classifique cada figura de triângulo a seguir em relação às medidas dos ângulos internos. I.

II.

C

III.

F

IV.

L

G

45° 60°

90° 40°

A

50°

B

60° 60°

D

E

90°

J

45°

I 35° 110° 35° H

K

Triângulo retângulo: I e III; triângulo acutângulo: II; triângulo obtusângulo: IV. b) Classifique cada figura de triângulo a seguir em relação às medidas dos lados.

I.

II. A 4 cm B

III. F

4 cm C

6 cm

Isósceles.

3 cm D

5 cm

5 cm 7 cm

E

Escaleno.

IV.

G

H

5 cm

5 cm

I

Equilátero e isósceles.

J

4 cm

5 cm L 3 cm K

Escaleno.

• Algum dos triângulos representados acima recebeu duas classificações? Por quê? Sim, o triângulo equilátero é também classificado como isósceles, pois tem ao menos dois lados com medidas iguais. 3. Sabrina está brincando de representar o contorno de triângulos usando palitos inteiros. Observe uma representação que ela fez. 3. c) a) Quantos palitos Sabrina utilizou? 12 palitos. b) De acordo com as medidas dos lados, como pode ser classificado o triângulo cujo contorno foi representado por Sabrina? Triângulo isósceles. c) No caderno, represente todos os demais triângulos cujo contorno pode ser representado com essa mesma quantidade de palitos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o reconhecimento da rigidez geométrica do triângulo e algumas de suas aplicações. Para complementar, levar os alunos para percorrer os espaços da escola para que juntos possam observar possíveis estruturas triangulares presentes nesse ambiente. 2. Esta atividade trabalha a classificação de um triângulo em relação às medidas dos lados e em relação às medidas dos ângulos internos. Ao final do item b, verificar as justificativas apresentadas pelos alunos em relação ao triângulo III, que pode ser classificado de duas maneiras em relação à medida de seus lados. É importante que os alunos estejam cientes de que essas classificações são possíveis porque esse triângulo satisfaz a caracterização de triângulo isósceles e de triângulo equilátero. Neste momento, relembrar os alunos que todo triângulo equilátero é também isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. 3. Esta atividade trabalha a condição de existência de um triângulo com base nas medidas de seus lados. Para complementar, providenciar com antecedência palitos de mesma medida e propor atividades práticas parecidas com a apresentada. Por exemplo, distribuir 13 palitos para cada aluno e questioná-los a respeito da quantidade de triângulos, cujo contorno pode ser representado com essa mesma quantidade de palitos. Aproveitando os palitos, é possível propor atividades com outras características, como os exemplos a seguir. I) Solicitar aos alunos que organizem 18 palitos da maneira representada ao lado:

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EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Em seguida, pedir a eles que determinem a quantidade máxima de representações

de triângulos que podem ser identificadas em tal organização. Resposta: 13 representações de triângulos, sendo 9 deles com contorno formado por três palitos, 3 com contorno formado por seis palitos e 1 com contorno formado por nove palitos.

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Início.

Com a régua, traçar AB

Usar a régua para definir a abertura do compasso com a medida AC. Fixar a ponta-seca do compasso em A e traçar um arco.

Usar a régua para definir a abertura do compasso com a medida BC. Fixar a ponta-seca do compasso em B e traçar um arco cruzando aquele traçado anteriormente.

No encontro dos arcos, marcar o ponto C. Com a régua, traçar AC e BC. Colorir a região interna da figura.

Fim.

RODRIGO/YANCOM

Com base nesse fluxograma, Núbia representou um triângulo ABC com lados medindo 3 cm, 5 cm e 6 cm. Observe.

Traçou um segmento de reta AB com 6 cm.

No encontro dos arcos, marcou o ponto C. Com a régua, traçou AC e BC. Por fim, coloriu a região interna da figura.

Abriu o compasso com 3 cm, fixou a ponta-seca em B e traçou outro arco, cruzando o arco anterior.

Abriu o compasso com 5 cm, fixou a ponta-seca em A e traçou um arco.

a) Qual é o perímetro do triângulo representado por Núbia? 14 cm. b) Identifique as fichas a seguir, que apresentam medidas com as quais é possível representar lados de um triângulo. III, IV e V. I

II

4 cm, 3 cm e 7 cm.

2 cm, 6 cm e 3 cm.

III

IV

9 cm, 5 cm e 6 cm.

6 cm, 8 cm e 10 cm.

V

VI

4 cm, 4 cm e 5 cm.

2 cm, 7 cm e 2 cm.

c) Escolha uma das fichas que você indicou no item anterior e, usando régua e compasso, represente o triângulo correspondente no caderno. Resposta pessoal. 83

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II) Solicitar aos alunos que organizem 9 palitos da seguinte maneira:

Em seguida, pedir a eles para mover 4 palitos e posicioná-los em outro local de modo que obtenha a representação de 5 triângulos. Resposta:

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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4. Para representarmos um triângulo ABC usando régua e compasso, conhecendo as medidas dos três lados, podemos realizar as etapas indicadas no fluxograma.

4. Esta atividade trabalha a construção da figura de um triângulo com régua e compasso, dadas as medidas de seus lados, com base na descrição das etapas por meio de texto e fluxograma. A representação gráfica da sequência de procedimentos para a construção do triângulo por meio de um fluxograma, nada mais é do que a decomposição de um procedimento relativamente complexo em suas partes mais simples, de modo ordenado, que está diretamente relacionado ao pensamento computacional. Para a resolução do item c, providenciar com antecedência ou pedir aos alunos que levem régua e compasso para a sala de aula.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os ângulos nos polígonos

Os ângulos nos polígonos Se julgar conveniente, realizar na prática a proposta apresentada nesta página. Para isso, é necessário desenhar em uma folha de papel uma figura triangular e, em seguida, colorir os seus ângulos internos, preferencialmente de cores distintas. Depois, recortar a figura triangular em três partes, de modo que cada ângulo fique em uma das partes e, por fim, unir seus vértices. Ao final, deixar expostas as figuras para que todos possam visualizar. A atividade 1 da página 86 apresenta essa ideia na prática. Se julgar conveniente, propor essa atividade logo após o trabalho com o conteúdo desta página. Podemos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° da seguinte maneira. 1o) Consideramos os ângulos internos de medidas a, b e c de um triângulo ABC qualquer.

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo A professora de Matemática do 7o ano propôs aos alunos que representassem um triângulo qualquer em uma folha de papel, destacando os ângulos internos. Depois, pediu a eles que rasgassem essa figura em três partes e ajustassem os ângulos destacados, encaixando-os. Observe como Karen fez.

Agora, veja como outros alunos fizeram.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A a

b

c

B

C

2o) Traçamos uma reta r passando por um dos vértices do triângulo, de modo que seja paralela ao lado oposto ao vértice escolhido, e prolongamos os lados do triângulo adjacentes com relação ao vértice escolhido. Assim temos: r a b B

c

C

Qualquer que seja o triângulo, a soma das medidas dos seus ângulos internos é 180°. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

Note que, com as representações dos diferentes triângulos, ao ajustar os ângulos internos destacados, formamos um ângulo raso, ou seja, de 180°.

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a’

c’

3 ) Destacamos os ângulos de medidas a’, b’ e c’ e os comparamos com os ângulos internos do triângulo, conforme segue.

b’

A

r

o

a b B

c

C

• a = a', por serem opostos pelo vértice. • b = b', por serem correspondentes, considerando a reta r

e a reta que passa por BCx paralelas e a reta que passa por ABx transversal. • c = c', por serem correspondentes, considerando a reta r e a reta que passa por BCx paralelas e a reta que passa por ACx transversal. Portanto, como os ângulos de medida a’, b’ e c’ compõem

juntos um ângulo raso e a = = a', b = b' e c = c', temos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°.

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Nesta página é trabalhada a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono por decomposição em triângulos. É essencial que os alunos compreendam que, para realizar o cálculo da soma das medidas dos ângulos internos de um polígono por meio dessa estratégia, é necessário que a decomposição ocorra sempre ligando vértices do polígono e sempre partindo de um mesmo vértice. Dessa maneira, todos os vértices dos triângulos formados também serão vértices do polígono e, ainda, todos os ângulos internos dos triângulos serão parte dos ângulos internos do polígono. Assim, podemos dizer que a soma destes resulta na soma daqueles. Verificar se os alunos perceberam que a estratégia utilizada para calcular a medida de cada ângulo interno do pentágono regular pode ser aplicada a qualquer outro polígono regular. Para isso, pedir a eles que calculem a medida de cada ângulo interno de um hexágono regular; por exemplo, utilizando a estratégia apresentada. O cálculo da medida de cada ângulo interno de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, é parte dos objetivos propostos pela habilidade EF07MA27 da BNCC.

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono Para determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono qualquer, podemos decompô-lo em triângulos. Observe os exemplos. • Quadrilátero. Escolhemos um vértice do polígono e, a partir dele, traçamos todas as diagonais possíveis. Assim, decompomos a figura do polígono em triângulos. Nesse caso, obtemos duas representações de triângulos.

Como cada um desses triângulos tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 180º, multiplicamos a quantidade de triângulos por 180º. Nesse caso, temos 2 ? 180° = 360°.

Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos do quadrilátero é 360°.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Pentágono.

3 ? 180° = 540° Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos do pentágono é 540°. Agora, considere o problema a seguir. Qual é a medida de cada ângulo interno de um pentágono regular? Para resolver esse problema, temos de considerar duas informações: • em um pentágono regular as medidas dos cinco ângulos internos são iguais; • a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono é 540°. Assim, para resolver o problema, basta dividirmos 540o por 5, ou seja, 540° : 5 = 108°. Portanto, cada ângulo interno do pentágono regular tem 108°.

Na figura do pentágono regular, meça cada ângulo interno com transferidor e verifique a resposta do problema proposto. Resposta pessoal. 85

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85

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Resoluções na p. 281

AtividadeS

1a) Marque três pontos não alinhados em uma folha de papel, ligue esses pontos com a régua, pinte a região interna da figura, destaque os ângulos internos e recorte a figura obtida. Depois, recorte essa figura em três partes, como indicado.

3. Certa empresa fabrica guindastes que são utilizados para deslocar cargas. No modelo de guindaste apresentado ao lado, essa empresa recomenda que o ângulo formado entre as correntes, destacado em verde na imagem, tenha medida maior do que 45° e menor do que 120°. Quais dos guindastes a seguir estão de acordo com essa recomendação? a e c. a)

2a) Por fim, ajuste as partes com os ângulos internos destacados, encaixando-os.

c) 45°

45°

65° 65°

BENTINHO

1. Que tal realizar uma atividade prática para verificar a soma das medidas dos ângulos internos de uma figura de triângulo, como a apresentada na página 84? Leia as orientações a seguir.

BENTINHO

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

b)) • Agora, observe as construções de alguns colegas e responda às questões. a) Os triângulos representados por você e pelos seus colegas são idênticos? Resposta esperada: Não. b) Ao encaixar as figuras recortadas, os ângulos formados têm quantos graus? 180° c) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de uma figura de um triângulo? 180° 2. Determine a medida do ângulo indicado em azul nas figuras a seguir. a) 95°

15°

15°

4. A professora de Raul propôs a ele que obtivesse a soma das medidas dos ângulos internos de uma figura de trapézio. Observe como ele fez.

35° 50°

b)

40° 110°

30°

3 ? 180° = 540° A soma dos ângulos internos do trapézio é 540°.

RODRIGO/YANCOM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo com a construção da representação de um triângulo a partir de três pontos não alinhados. Não pedir aos alunos para tentarem reproduzir o triângulo apresentado nesta atividade, de maneira a não obter um triângulo com as mesmas medidas, pois isso pode diminuir o efeito causado na comparação entre os triângulos desenhados por eles. No item b, orientar os alunos a comparar cada ângulo obtido por eles, após os recortes do triângulo, com os ângulos obtidos pelos colegas, de maneira a observar que, apesar de esses ângulos supostamente serem diferentes, a soma de suas medidas é a mesma. 2. Esta atividade trabalha a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, além de ideias da Álgebra, em que os alunos devem resolver, mesmo que intuitivamente, uma equação do tipo x + 50° + + 35° = 180° (no caso do item a). Verificar quais estratégias os alunos utilizaram para determinar a medida do ângulo indicado em azul em cada item. Providenciar previamente transferidores para que os alunos possam realizar, ao final, a verificação das medidas dos ângulos indicados em azul. 3. Esta atividade trabalha a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Comentar com os alunos que essas medidas recomendadas existem para evitar acidentes, como o rompimento das correntes do guindaste durante o transporte de uma carga. É importante que eles compreendam que os ângulos indicados na imagem de cada item correspondem a dois dos ângulos internos da figura de triângulo, que pode ser identificada na composição das correntes e a superfície da carga. Assim, eles devem utilizar esses ângulos para determinar a medida

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Agora, com um transferidor, meça os • O procedimento realizado por Raul ângulos indicados em azul e verifique está correto? Explique. suas respostas. Resposta pessoal. 4. Resposta esperada: Não, pois, na decomposição do polígono, Raul deveria escolher um vértice e, a partir dele, traçar todas as diagonais possíveis, formando triângulos. 86

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do ângulo entre as correntes e, em seguida, identificar se essa medida está compreendida entre 45° e 120°, medidas recomendadas pela empresa. 4. Esta atividade trabalha a decomposição de um polígono em triângulos e a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono. Verificar se

os alunos perceberam que o erro de Raul está no fato de a decomposição do trapézio não ter sido feita a partir de suas diagonais.

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5. Esta atividade trabalha a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono. Esses polígonos foram trabalhados anteriormente nesta Unidade. Se julgar necessário, relembrar com os alunos quantos lados tem cada um deles. 6. Esta atividade trabalha o cálculo da medida dos ângulos internos de um polígono regular. Aqui, os alunos devem determinar a peça cujo polígono da base tem ângulos internos com medidas de 135°. Para isso, orientá-los a calcular os ângulos dos polígonos da base de cada uma das peças apresentadas. 7. Esta atividade trabalha o cálculo da medida dos ângulos internos de um polígono regular. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Ciências sobre as abelhas e sua importância para um ecossistema. Com esta atividade, espera-se que os alunos compreendam que os mosaicos formados por polígonos regulares idênticos só são possíveis em casos em que a medida de cada ângulo interno desse polígono corresponda, em graus, a um divisor de 360. Assim, as únicas possibilidades são os triângulos (60°), os quadrados (90°) e os hexágonos (120°).

5. No caderno, represente as figuras indicadas nas fichas a seguir. Decomponha-as em triângulos e obtenha a soma das medidas dos ângulos internos de cada uma delas. a) Decágono

b) Octógono

c) Eneágono

d) Heptágono

a: 1 440°; b: 1 080°; c: 1 260°; d: 900°. 6. Laura está fazendo medições em peças que lembram prismas cujas bases são polígonos regulares. Em uma peça, ela mediu um ângulo interno da figura da base com transferidor e obteve 35°. Em qual das peças a seguir Laura fez essa medição? C

A

B

C

D

7. Já estudamos um pouco sobre mosaicos. Mas você sabia que na natureza também podemos identificar composições que dão ideia de figuras geométricas?

STUDIOSMART/SHUTTERSTOCK.COM

Um exemplo são os alvéolos construídos pelas abelhas, que se encaixam lembrando um mosaico. Observe um modelo matemático de alvéolos de uma colmeia.

Parte de uma colmeia.

Cada parede é compartilhada por dois alvéolos, o que permite às abelhas usarem menor quantidade de cera para construí-los.

O ângulo interno da figura do hexágono permite um encaixe perfeito, ou seja, sem sobreposição ou espaços.

A parte superior dos alvéolos pode ser representada por hexágonos regulares idênticos.

Modelo matemático.

a) Na figura de um hexágono regular, qual é a medida de cada ângulo interno? 120° b) No modelo matemático apresentado, três figuras de hexágonos regulares idênticos se encaixam em um vértice comum. Qual é a soma das medidas dos ângulos que têm esse 360° vértice comum? c) De acordo com as respostas dos itens a e b, explique por que os alvéolos de uma colmeia se encaixam perfeitamente formando um mosaico. d) Junte-se a um colega e respondam: com quais dos polígonos regulares representados a seguir é possível compor mosaicos com encaixes perfeitos como verificado com os hexágonos regulares? I e III. I II III ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

AMPLIANDO

7. c) Resposta esperada: Os alvéolos da colmeia se encaixam perfeitamente porque todos eles têm formato de hexágonos regulares idênticos. Para formar um encaixe perfeito, a soma dos ângulos que se encaixam no vértice comum deve ser de 360°, o que ocorre no caso dos alvéolos hexagonais regulares.

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Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre as abelhas. • ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE ESTUDOS DAS ABELHAS. Disponível em: <https://abelha. org.br>. Acesso em: 12 set. 2018.

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[...] Organização social e parentesco

Entre os Bororo, a unidade política é a aldeia (Boe Ewa), formada por um conjunto de casas dispostas em círculo, tendo no centro a casa dos homens (Baito). Ao lado oeste do Baito encontra-se a praça cerimonial, denominada Bororo, local das mais importantes cerimônias dessa sociedade. Mesmo nas aldeias em que as casas estão dispostas de modo linear por influência dos missionários ou agentes do governo, a circularidade da aldeia é considerada a representação ideal do espaço social e do universo cosmológico. Na complexa organização social dos Bororo a classificação dos indivíduos é feita a partir de seu clã, da linhagem e do grupo residencial. A regra de descendência é matrilinear, de modo que, ao nascer, a criança receberá um nome que a identificará ao clã de sua mãe. Embora exista essa norma ideal de conduta, na prática ela

O círculo e a circunferência O Brasil apresenta uma grande variedade de povos indígenas, cada um com suas tradições, línguas e culturas próprias. Um exemplo é a maneira como constroem suas aldeias. Em aldeias do povo Bororo, por exemplo, as casas são dispostas em formato circular. O baito, construção onde são realizados diversos rituais e encontros culturais e políticos da comunidade, fica localizado ao centro.

Acesse este site para obter mais informações sobre o povo indígena Bororo. • POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Bororo. Disponível em: <http://livro. pro/67euyy>. Acesso em: 13 jul. 2018.

A disposição dessas casas, assim como a região delimitada por elas, lembra um círculo, que é uma figura geométrica plana formada pela circunferência e todos os pontos do seu interior. Observe a representação a seguir. O círculo é a figura geométrica formada pela circunferência e por todos os pontos de seu interior.

A circunferência é a linha formada pelos pontos que estão a mesma distância de um único ponto. O ângulo central de uma circunferência é qualquer ângulo com vértice no centro da circunferência e lados passando por pontos dessa circunferência.

O centro é o ponto que está a mesma distância de qualquer ponto da circunferência. O diâmetro é qualquer segmento de reta que passe pelo centro e cujas extremidades são pontos da circunferência.

O raio é qualquer segmento de reta com uma extremidade no centro e outra em um ponto qualquer da circunferência.

EDITORIA DE ARTE

O CÍRCULO E A CIRCUNFERÊNCIA Neste tópico, são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA22 e EF07MA28. Comentar com os alunos que os Bororo se autodenominam Boe e o termo Bororo significa “pátio da aldeia”. Atualmente, eles detêm um total de seis Terras Indígenas demarcadas no estado do Mato Grosso, porém é um território descontínuo e descaracterizado. Esse é um dos diversos motivos pelos quais eles lutam para recuperar suas terras tradicionais, onde se estima que esse povo tenha vivido por cerca de 7 mil anos. Leia para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações sobre a organização social e parentesco dos Bororo.

ALEX SILVA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A corda é qualquer segmento de reta com extremidades sobre a circunferência.

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pode ser manipulada para atender outros interesses (Novaes, 1986). Na distribuição espacial das casas ao redor do círculo da aldeia, cada clã ocupa um lugar específico. A aldeia é dividida em duas metades exogâmicas – Exerae e Tugarége –, cada

uma subdividida em quatro clãs principais, os quais são constituídos por diversas linhagens. Há uma hierarquia entre as linhagens manifesta por categorias como maior/menor, mais importante/menos importante, irmão mais velho/ irmão mais novo. Pessoas

do mesmo clã, mas de linhagens hierarquicamente diferentes, não devem morar na mesma casa. [...]

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POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Bororo. Disponível em: <https:// pib.socioambiental.org/pt/ Povo:Bororo#Organiza.C3.A7.C3.A3o_ social_e_parentesco>. Acesso em: 12 set. 2018.

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Após a situação apresentada nesta página, verificar a possibilidade de realizar a brincadeira com os alunos na prática, que pode ser praticada em conjunto com o professor da disciplina de Educação Física. É importante ressaltar que a circunferência pode ser compreendida como lugar geométrico utilizada, entre outras finalidades, para realizar composições artísticas e para resolver problemas que envolvam objetos equidistantes a um ponto fixo, por causa de suas características.

Na aula de Educação Física, o professor propôs uma brincadeira aos alunos. Observe.

Vou traçar uma linha no chão para que vocês fiquem sobre ela. Depois, colocarei esta bola no chão e, após um sinal, o aluno que pegá-la primeiro marca um ponto.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

Observe como o professor fez para traçar a linha sobre a qual os alunos deveriam ficar.

1a) Fixou uma das extremidades de um barbante no chão com fita adesiva. Na outra extremidade amarrou um giz.

2a) Com o barbante esticado, foi realizando um giro e traçando no chão uma linha com o giz.

3a) Após completar o giro, posicionou a bola no local onde a extremidade do barbante estava fixada e os alunos ficaram sobre a linha traçada com giz.

Todos os alunos que participaram dessa brincadeira ficaram a mesma distância da bola? Justifique.

A linha traçada pelo professor representa uma circunferência. Uma importante propriedade da circunferência é que todos os seus pontos são equidistantes ao centro, ou seja, estão a uma mesma distância dele. Sim. Resposta esperada: A linha desenhada no chão pelo professor representa uma circunferência cujo centro corresponde à posição onde a bola foi colocada, garantindo que os alunos sobre essa linha fiquem todos a mesma distância da bola. 89

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Após o esquema com as informações sobre o círculo, verificar se os alunos perceberam que o diâmetro é um caso particular de corda. Perguntar a eles se todo diâmetro é uma corda ou se toda corda é um diâmetro. A intenção é os alunos perceberem que todo diâmetro é uma corda, mas nem toda corda é um diâmetro.

Dizer aos alunos que todo diâmetro divide um círculo em duas partes congruentes denominadas semicírculos. De maneira recíproca, se uma corda divide um círculo em duas partes congruentes, então essa corda necessariamente é um diâmetro.

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Resoluções na p. 281 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Analise a circunferência de centro O representada ao lado e, no caderno, indique os segmentos de reta que representam: a) raios dessa circunferência. OA, OB, OC e OD.

D

E

B O

A

EDITORIA DE ARTE

AtividadeS

b) diâmetros dessa circunferência. AB e CD. c) cordas dessa circunferência. AB, CD, BC e EF.

C

F

2. Lucas representou uma circunferência com 2 cm de raio usando régua e compasso. Veja as etapas.

RODRIGO/YANCOM

Ajustou o compasso com uma abertura de 2 cm. RODRIGO/YANCOM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha elementos relacionados à circunferência, como raio, corda e diâmetro. No item c, é importante verificar se os alunos indicaram os diâmetros ABx e CDx, que são casos especiais de corda. 2. Esta atividade trabalha a representação de uma circunferência utilizando compasso. No item c, a intenção é que os alunos percebam que o diâmetro possui o dobro da medida do raio ou, equivalentemente, que o raio possui a metade da medida do diâmetro. Além dessa generalização ser registrada por meio da escrita na linguagem materna, seria interessante os alunos registrarem esse fato por meio da linguagem matemática. Para isso, orientá-los a representar o raio e o diâmetro com uma letra e, ao final, dizer a eles que geralmente são utilizadas as letras d e r para indicar o diâmetro e o raio, respectivamente. Assim, temos d = 2r d ou r = . 2 3. Esta atividade trabalha a identificação de circunferências e o centro de circunferência. Nela, é possível explorar a competência leitora dos alunos por meio da interpretação da tirinha, considerada por muitos estudiosos da área como um gênero textual de cunho humorístico e até político, que associa o verbal ao visual. Com grande circulação em jornais e revistas, as tirinhas caracterizam-se por textos ou falas curtas que, muitas vezes, têm sentido ambíguo. Questionar os alunos se eles entenderam o que significa a expressão “Na mosca”. Espera-se que eles compreendam que, de maneira geral, essa expressão popular pode sugerir o acerto de algo com precisão, em cheio, ou adivinhar, acertar um palpite na primeira tentativa.

Marcou o centro O e fixou a ponta-seca nele. Depois, girou o compasso até completar uma volta.

a) Faça como Lucas e, no caderno, represente uma circunferência com raio de: • 3 cm.

• 4 cm.

• 5 cm.

Respostas pessoais.

6 cm; 8 cm; 10 cm. c) Analise a medida do raio e do diâmetro de cada circunferência representada. Que relação você pôde perceber entre essas medidas? Resposta esperada: A medida do diâmetro de uma circunferência é o dobro da medida do raio. 3. Leia a tirinha e resolva as questões.

b) Em cada circunferência que você representou, trace um diâmetro e meça-o.

© 2018 KING FEATURES SYNDICATE/IPRESS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

BROWNE, D. O melhor de Hagar, o horrível 7. Porto Alegre: L&PM, 2016. p. 49.

a) Qual dos itens a seguir melhor indica o que o pai quis dizer com a expressão “A prática leva à perfeição!”? II I. Mesmo tentando muitas vezes, você nunca vai conseguir. II. A cada nova tentativa, podemos melhorar, até conseguirmos o que queremos. III.Bom mesmo é acertar logo na primeira tentativa.

Resposta esperada: Duas figuras. b) Quantas figuras de circunferência você identifica na composição desse alvo?

c) Quantas flechas o menino acertou no alvo? Como você explicaria o local do alvo onde a flecha ficou? Uma flecha. Resposta esperada: A flecha ficou no centro do alvo. 90

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4. Na figura a seguir, qual dos pontos em destaque é o centro da circunferência representada. D B F

A

EDITORIA DE ARTE

C

D E

5. Mariana tinha uma folha circular e fez dobraduras para localizar o centro dessa representação. Observe.

Primeiro, dobrei a folha ao meio. Depois, dobrei-a ao meio novamente. Por fim, marquei o ponto M no encontro dos vincos, que corresponde ao centro.

DOTTA2

DANILLO SOUZA

M

• Em uma folha de papel, contorne um objeto circular e recorte a figura do círculo. Depois, faça dobraduras e encontre o centro dessa figura. Resposta pessoal.

• Em uma folha de sulfite, faça uma releitura dessa obra, representando círculos para criar uma composição. Se preferir, é possível também utilizar um programa de computador. Resposta pessoal.

COLEÇÃO PARTICULAR

6. Assim como em diversas áreas, as artes também são influenciadas pelo desenvolvimento das novas tecnologias. Alguns artistas para produzir suas obras utilizam, por exemplo, programas de computador. A imagem ao lado, na qual é possível identificar figuras circulares, é uma reprodução de um trabalho digital do artista Angel Estevez, que nasceu na Espanha e mora no Brasil.

4. Esta atividade trabalha a ideia de circunferência como lugar geométrico. Para resolvê-la, espera-se que os alunos façam medições a fim de identificar o centro da circunferência, isto é, o ponto que está a mesma distância de qualquer ponto da circunferência. Para isso, os alunos podem tomar como referência, por exemplo, os pontos B e F, indicados sobre a circunferência. 5. Esta atividade trabalha a identificação do centro de uma figura de círculo. Para a resolução, providenciar com antecedência folhas de papel sulfite e tesouras com pontas arredondadas. 6. Esta atividade trabalha a identificação de círculos e de circunferências em composição artística. Esta atividade pode ser desenvolvida em conjunto com o professor da disciplina de Arte. Verificar a possibilidade de expor as composições artísticas dos alunos na sala de aula ou em um local próprio no pátio da escola.

ESTEVEZ, A. Composição abstrata 136. Imagem digital.

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AMPLIANDO

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Acessar o site para conhecer um pouco mais o artista Angel Estevez. • ESTEVEZ-ART. Angel Estevez. Disponível em: <http://livro.pro/ej6xsx>. Acesso em: 31 out. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

7. Vimos que em aldeias do povo Bororo as casas costumam ser dispostas em formato circular.

ATIVIDADES 7. Esta atividade trabalha a ideia de circunferência como lugar geométrico. Caso julgar necessário, orientar os alunos a retomar a página 88 desta Unidade, em que foram apresentadas informações sobre o povo Bororo. 8. Esta atividade trabalha a ideia de circunferência como lugar geométrico em uma situação que envolve objetos equidistantes a um determinado ponto fixo. Para a resolução do item a, reproduzir e entregar a cada aluno uma malha quadriculada, que está disponível no Material de apoio. Orientá-los na localização dos pontos ao construir o desenho a fim de representar a região coberta pelo sinal da torre de transmissão. Para isso, solicitar a escolha de um dos pontos para ser o referencial e, a partir dele, localizar os demais. Por exemplo, ao escolher o ponto T, é necessário indicá-lo inicialmente na malha quadriculada e, a partir dele, fazer as contagens necessárias para registrar os demais pontos, como contar oito figuras de quadradinhos da malha para a direita e indicar o ponto C. Verificar se os alunos perceberam que a região que recebe o sinal de telefonia é delimitada por uma circunferência e que a torre de transmissão representa o centro dessa circunferência, bem como as casas que recebem o sinal devem estar até 5 km de distância dessa torre. Se julgar necessário, representar a imagem da região coberta pelo sinal da torre de transmissão na lousa com a ajuda dos alunos. Veja a seguir a resposta do item a.

ALEX SILVA

Imagine que, em certa aldeia, as casas fiquem organizadas sobre a figura de uma circunferência com 50 m de raio, com o Baito ao centro. Qual é a menor distância que uma pessoa pode percorrer para se deslocar de sua casa na aldeia até o Baito e, em seguida, ir até outra casa da aldeia? 100 m.

8. Uma operadora de telefonia instalou uma torre de transmissão em uma região plana de certo município. Essa torre emite um sinal que cobre uma região de até 5 km de distância em todas as direções. A imagem a seguir representa parte desse município, e os pontos destacados, a torre e algumas casas.

M

T

J

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M

EDITORIA DE ARTE

C

J

C

a) Reproduza a imagem anterior em uma malha quadriculada. Depois, faça um desenho para Resposta nas Orientações representar a região coberta pelo sinal da torre. para o professor. b) Quais das casas representadas recebem o sinal dessa torre? As casas de Ana e de Joice.

A

T

Legenda T: Torre de transmissão A: Casa da Ana C: Casa do Cauã J: Casa da Joice M: Casa do Murilo

A

EDITORIA DE ARTE

1 km

Para complementar esta atividade, sugerir aos alunos que indiquem e nomeiem, com letras maiúsculas diferentes das utilizadas, outros dois pontos em seus desenhos para representar casas que podem receber o sinal da torre e dois pontos para representar casas que não recebem esse sinal.

Por fim, pedir a eles que compartilhem suas respostas com os demais colegas da turma.

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10. a) Resposta esperada: Sim, pois podemos traçar uma circunferência com centro A de maneira que M e N estejam sobre ela, ou seja, com AM e AN raios dessa circunferência. 9. Utilizando régua e compasso, represente no caderno um triângulo equilátero cujos lados medem 3 cm. Resposta pessoal. Na página 83, vimos como construir um triângulo a) Qual é o perímetro desse triângulo? 9 cm. com régua e compasso b) Qual é a medida de cada ângulo interno desse triângulo? 60º. conhecendo as medidas de seus lados. 10. Veja como podemos representar um quadrado ABCD com

!

3 cm de lado usando régua e compasso.

1a) Inicialmente, traçamos uma reta r. Depois, marcamos nela um segmento de reta AB com 3 cm, lado do quadrado.

2a) Fixamos a ponta-seca do compasso em A e, com uma abertura qualquer, traçamos dois arcos de maneira a marcar os pontos M e N na reta r.

4 a) Com uma régua, traçamos uma reta s passando por A e P. Usando o compasso com abertura de 3 cm e ponta-seca em A, marcamos o vértice D em s.

5a) Repetimos as 2a, 3a e 4 a etapas com base no vértice B. Com isso, obtemos o vértice C.

6a) Com a régua, ligamos os vértices A e D, os vértices B e C e os vértices C e D. Por fim, colorimos a região interna da figura, e obtemos a representação do quadrado ABCD.

ILUSTRAÇÕES: RODRIGO/YANCOM

3a) Fixamos a ponta-seca em M e, com abertura maior que AM, traçamos um arco. Com essa abertura do compasso, fazemos o mesmo com a ponta-seca em N, de maneira que os arcos se cruzem no ponto P.

a) Na 2a etapa da construção apresentada, os pontos M e N são equidistantes do ponto A? Justifique sem realizar medições. b) Desenhe no caderno, com régua e compasso, um quadrado com 5 cm de lado. Resposta pessoal. c) Podemos afirmar que o quadrado é um polígono regular? Explique por quê. d) Construa um fluxograma para indicar as etapas necessárias na representação de um quadrado, usando régua e compasso, conhecida a medida do lado. Resposta nas Orientações 10. c) Resposta esperada: Sim, pois o quadrado é um quadrilátero com os para o professor. quatro lados de mesma medida e os quatro ângulos internos de mesma medida. 93

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Início.

9. Esta atividade trabalha a construção de um triângulo equilátero, com régua e compasso, com base na ideia de circunferência como lugar geométrico. Providenciar com antecedência ou pedir aos alunos que levem régua e compasso para a sala de aula. Verificar se os alunos perceberam que na construção do triângulo equilátero, o vértice obtido na intersecção dos arcos é equidistante dos outros dois vértices, correspondentes às extremidades do segmento de reta traçado inicialmente. Isso pode ser justificado com base na ideia de lugar geométrico da circunferência, uma vez que essas extremidades do segmento de reta, na construção, são centros das circunferências traçadas com o mesmo raio. 10. Esta atividade trabalha a construção de um quadrado, com régua e compasso, com base na ideia de circunferência como lugar geométrico, descrevendo as etapas por meio de texto e fluxograma. Esclarecer os alunos que, por se tratar de um quadrado, cada vértice deve ser equidistante aos outros dois vértices não opostos a ele para que os lados possuam a mesma medida, nesse caso 3 cm. Em outras palavras, se considerarmos um vértice do quadrado como sendo o centro de uma circunferência, os dois vértices não opostos, a ele devem ser pontos dessa mesma circunferência. Veja uma resposta possível do item d na parte inferior desta página.

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Com a régua, traçar uma reta r e marcar nela um segmento de reta AB com 3 cm, lado do quadrado.

Fixar a ponta-seca do compasso em A e, com uma abertura qualquer, traçar dois arcos de maneira a marcar os pontos M e N na reta r.

Fixar a ponta-seca em M e, com abertura maior que AM, traçar um arco. Com essa abertura do compasso, fazer o mesmo com a ponta-seca em N, de maneira que os arcos se cruzem no ponto P.

Com a régua, traçar uma reta s passando por A e P e, usando o compasso com abertura de 3 cm e ponta-seca em A, marcar o vértice D em s.

De maneira análoga às três etapas anteriores, em que foi obtido o vértice D com referência no vértice A, obter o vértice C com referência no vértice B.

Com a régua, ligar os vértices A e D, os vértices B e C e os vértices C e D. Por fim, colorir a região interna da figura, obtendo a representação do quadrado ABCD.

Fim.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS INTEGRANDO COM ARTE Esta seção, que propicia uma abordagem relacionada à competência geral 3 da BNCC, valoriza uma das diversas manifestações artísticas presentes no território nacional e fomenta a participação dos alunos em práticas de produções artísticas. O trabalho com esta seção pode ser realizado em conjunto com o professor da disciplina de Arte. Aproveitar o contexto para apresentar aos alunos o trecho inidicado na parte inferior desta página, que traz informações a respeito da biografia de Luiz Sacilotto.

integrando com arte

A Matemática além dos números Você já parou para pensar como a Matemática está presente em nosso cotidiano? Suas aplicações nos cercam, como quando analisamos a embalagem de um produto, calculamos as despesas que tivemos ou observamos um gráfico em uma revista. Também podemos observar elementos matemáticos utilizados na composição de obras de diferentes artistas ao longo da história, como a simetria, a ilusão de ótica, as figuras geométricas, entre outros. Luiz Sacilotto (1924-2003) é um artista brasileiro, nascido em Santo André (SP), que buscou estabelecer uma relação entre Matemática e Arte em suas obras. Observe como produzir uma releitura da obra de Sacilotto apresentada ao lado, realizando dobradura e pintura em uma folha de papel. Você vai precisar de: • Régua. • Tesoura com pontas arredondadas.

• Lápis grafite. • Lápis de cor.

COLEÇÃO PARTICULAR

• Folha de papel de formato quadrado e branca com no mínimo 18 cm de lado. SACILOTTO, L. C8717. 1987. Têmpera vinílica sobre tela, 80 cm x 80 cm. Coleção particular.

1a

FOTOS: MANZI

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[...] Filho de imigrantes italianos, Luiz Sacilotto nasceu em Santo André, em 1924. Diplomado em 1943 em escola profissional, ingressou no ano seguinte na Hollerith do Brasil como desenhista e projetistas de esquadrias metálicas.

Paralelamente, desenvolveu a carreira artística. Sua obra conheceu uma fase figurativa na década de 40, e o período concreto, que se estendeu até segunda metade do século 20. Participou de diversas exposições, como “Ruptura”, realizada no Museu de Arte Moderna de São Paulo, em

1952; seis Bienais em São Paulo; da Bienal de Veneza de 1952; da Exposição Nacional de Arte Concreta São Paulo em 1956 e no Rio de Janeiro, em 1957. Luiz Sacilotto faleceu em 9 de fevereiro de 2003 no ABC paulista, onde sempre viveu. [...]

MUSEUSBR. Casa do olhar Luiz Sacilotto. Disponível em: <http://museus.cultura.gov.br/ espaco/202855/>. Acesso em: 12 set. 2018.

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3a

FOTOS MANZI

4a

5a

Desdobrar tudo e, com um lápis, traçar linhas sobre os vincos, conforme apresentado na obra. As partes obtidas devem ser pintadas.

DOTTA2

6a

Acesse estes sites para obter mais informações sobre o artista brasileiro Luiz Sacilotto e suas obras. • SACILOTTO. Disponível em: <http://livro.pro/spr63q>. Acesso em: 12 dez. 2017. • ENCICLOPÉDIA ITAÚ CULTURAL. Luiz Sacilotto. Disponível em: <http://livro.pro/n75cnh>. Acesso em: 12 dez. 2017. Resoluções na p. 282

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Nas etapas apresentadas para a confecção da releitura da obra de Sacilotto, quantas dobraduras são realizadas. 5 dobraduras. 2. Quais figuras geométricas são possíveis identificar na obra apresentada? Resposta esperada: Triângulos e quadriláteros. 3. Leia com atenção a legenda da obra C8717, de Luiz Sacilotto. Qual é o perímetro dessa obra, em centímetros? 320 cm.

4. Para resolver esta questão, providenciar com antecedência os materiais necessários. Pedir aos alunos paciência ao realizar cada etapa, a fim de que os vincos sejam formados de maneira correta, de acordo com a obra observada. Se julgar necessário, fazer as dobraduras com eles, demonstrando as etapas. Com os vincos marcados, solicitar que façam os traços para compor a obra e realizem a pintura com os lápis de cor. Nesse momento, acompanhar as produções de maneira individual. Os alunos podem acessar os sites apresentados no boxe Conexões para observar outras obras de Sacilotto e podem pesquisar obras de outros artistas também. Outra opção é levar obras que envolvam figuras geométricas, preferencialmente polígonos, tanto de Sacilotto quanto de outros artistas, para a sala de aula, a fim de que os alunos tenham opções de escolher uma delas para criar sua releitura. Após os alunos realizarem a releitura da obra de Sacilotto, pedir a eles que determinem o perímetro de sua produção e que dê um nome a essa obra, justificando-o. Além disso, se possível, construir um painel com essas produções para serem expostos na sala de aula ou em um local próprio no pátio da escola.

4. Faça como no exemplo e crie uma releitura da obra apresentada. Você pode mudar as linhas sobre os vincos e as cores. Também é possível pesquisar outra obra desse artista para fazer uma releitura. Resposta pessoal.

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2. Na resolução desta questão, é possível que alguns alunos citem triângulo isósceles, triângulo retângulo, quadrado, retângulo ou trapézio, por exemplo. No entanto, destacar que todas essas figuras podem ser classificadas como triângulos e quadriláteros.

3. Verificar se os alunos perceberam que essa obra tem formato quadrado e que cada lado mede 80 cm. Informar a eles que geralmente as dimensões de figuras retangulares são indicadas apenas com duas de suas medidas. Por exemplo, ao se

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referir às dimensões de um campo de futebol que possui 105 m de comprimento e 68 m de largura, é comum utilizar a linguagem 105 m por 68 m, que corresponde a 105 m x 68 m.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Essa seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF07MA23 da BNCC.

Ângulos entre retas Caso julgar necessário, orientar os alunos a verificar, nas páginas 256 e 257, como ativar e desativar a malha e os eixos na Janela de Visualização. Na etapa 3, orientar os alunos sobre o fato de os pontos D, G e H serem marcados apenas para facilitar as identificações e marcações dos ângulos. Além disso, para marcar os pontos G e H, devem indicar exatamente na intersecção das retas AB e EF e CD e EF, respectivamente. Se julgar necessário, pode ser utilizada a

conectado

Ângulos entre retas Podemos usar o GeoGebra para verificar as relações entre os ângulos formados por um par de retas paralelas e uma transversal.

1a

Desmarcamos as opções da malha e dos eixos na janela de visualização.

2a

Com a opção construímos uma reta AB marcando os pontos A e B. Para construir uma reta paralela à AB, com a opção selecionada, clicamos sobre a reta AB e, em seguida, marcamos um ponto C fora de AB. A reta obtida é paralela à AB e passa por C.

. Para isso, basta

clicar nos dois objetos em que deseja marcar o ponto de intersecção, sem precisar ajustar corretamente o ponto. No boxe Dica, explicar aos alunos que a ordem em que devem clicar nos pontos não está relacionada com a posição das letras no nome do ângulo, mas sim com as configurações do GeoGebra. Ao medirmos um ângulo clicando em uma sequência de três pontos, pode acontecer de aparecer a medida do ângulo replementar ao que queríamos (ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°). Nesse caso, deve-se mudar a sequência em que marcou os pontos, lembrando que o vértice do ângulo sempre deve ser o segundo ponto em que se deve clicar.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

opção

você

3a

Com a opção marcamos o ponto D sobre a reta que passa por C traçada anteriormente. Em seguida, com a opção construímos uma reta EF transversal às retas AB e CD. Depois, selecionamos a opção e marcamos os pontos G e H de interseção entre as retas.

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4a

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Com a opção clicamos nos pontos E, G e A, nessa ordem, para medir o ângulo AGE. Da mesma maneira, obtemos as medidas dos demais ângulos formados.

!

Observe a ordem segundo a qual devemos clicar nos pontos para medir os

ângulos com a opção

.

• AĜE

E, G e A

• CĤG

G, H e C

• EĜB

B, G e E

• GĤD

D, H e G

• HĜB

H, G e B

• FĤD

F, H e D

• AĜH

A, G e H

• CĤF

C, H e F

1. a) Algumas respostas possíveis: Opostos pelo vértice – AĜE e HĜB, GĤD e CĤF; correspondentes – AĜH e CĤF, HĜB e FĤD; alternos – EĜB e CĤF, NÃO ESCREVA MÃos à obr a Resoluções na p. 282 NO LIVRO. HĜB e CĤG; adjacentes – AĜE e EĜB, GĤD e FĤD; colaterais – HĜB e GĤD, EĜB e FĤD. 1. De acordo com os ângulos formados pelas retas no exemplo apresentado, resolva as questões a seguir.

a) Indique dois pares de ângulos opostos pelo vértice, de ângulos correspondentes, de ângulos alternos, de ângulos adjacentes e de ângulos colaterais. b) Agora, verifique a validade das relações estudadas nesta Unidade analisando os pares de ângulos indicados no item a. 2. Construa, no GeoGebra, um par de retas paralelas e uma reta transversal a elas. Em seguida, meça todos os ângulos formados e verifique as relações entre eles. Com a opção clique sobre um dos pontos da reta transversal e movimente-o, Resposta esperada: Os ângulos se ajustam de maneira a alterar a posição dessa reta. automaticamente de acordo com a posição a) O que acontece com os ângulos formados? da reta, mudando suas medidas. b) As relações entre esses ângulos se mantêm? Sim. 1. b) Os pares de ângulos opostos pelo vértice, de ângulos correspondentes e de ângulos alternos têm medidas iguais. Já os pares de ângulos adjacentes e de ângulos colaterais são suplementares. 97

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Mãos à obra 1. No item a, orientar os alunos a retomar a página 70 desta Unidade, na qual foi explorada a classificação dos pares de ângulos formados por retas paralelas e uma transversal. No item b, caso algum aluno tenha dificuldade para verificar a medida dos

ângulos entre as retas por estarem sobrepostos uns aos outros, orientá-los a ocultar alguns ângulos para melhorar a visualização da medida dos outros. Para isso, pedir a eles que cliquem com o botão direito do mouse sobre o ângulo que desejar ocultar na Janela de Visualização e depois

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clicar na opção Exibir objeto na aba que abrir.

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Para exibir o ângulo novamente, basta ir até a Janela de Álgebra, que geralmente se localiza do lado esquerdo da tela, e clicar sobre o ângulo que não está selecionado, indicado com um ponto que está com uma coloração diferente, geralmente mais clara. Também é possível ocultar objetos da Janela de Visualização utilizando apenas os registros da Janela de Álgebra. Nesse caso, basta observar o nome do objeto que se deseja ocultar e clicar sobre o ponto que o identifica. Porém, nem sempre esse reconhecimento é simples de se fazer, principalmente quando a construção possui grande quantidade de elementos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

o que estudei

O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior dessas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções na p. 282 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.

Ângulos

Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal

Condição de existência de um triângulo

Ângulos nos polígonos

Polígonos no plano cartesiano

Polígonos

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

Triângulos

Círculo e circunferência

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Figuras geométricas planas

Ângulos Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal

Círculo e circunferência

Polígonos Polígonos no plano cartesiano

Triângulos

Condição de existência de um triângulo

Ângulos nos polígonos Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

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Leia para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações sobre a sinalização vertical.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL A sinalização no trânsito é composta de placas, marcações, luzes, entre outros. É importante ficar atento e respeitar essas sinalizações, pois elas garantem fluidez e segurança aos pedestres e aos veículos.

PROBLEMAS

II A faixa de pedestres busca garantir a segurança na travessia das vias. Como você explicaria a posição entre as marcações brancas nessa faixa? Resposta esperada: As marcações são paralelas entre si. Conceitos: Retas paralelas.

Faixa de pedestres.

MARCOS ANDRÉ / OPÇÃO BRASIL IMAGENS

I

Resposta esperada: Usando a medida do ângulo dessa inclinação, que pode ser indicada em graus. Conceitos: Ângulos. A placa de advertência representada indica ao motorista uma via com aclive acentuado, ou seja, com grande inclinação. Como é possível expressar Aclive a medida de uma inclinação? acentuado.

CONTRAN. Sinalização vertical de advertência. Brasília: Contran, 2007. p. 9. Disponível em: <www.dnit.gov. br/download/rodovias/operacoesrodoviarias/faixa-de-dominio/ manual-vol-ii-sinalizacao-vertical-deadvertencia.pdf>. Acesso em: 12 set. 2018.

III A placa que indica proibição de parada e de estacionamento de veículos teve a parte em vermelho representada por um modelo matemático. Observe. a) Essa placa tem o formato que lembra qual figura geométrica plana? Como é chamado o contorno dessa figura? Proibido parar e estacionar.

Modelo matemático.

b) No modelo matemático, qual relação é possível estabelecer entre as medidas dos ângulos em destaque? Justifique.

III. a) Respostas esperadas: Círculo. Circunferência. Conceitos: Círculo e circunferência.

indica que o veículo deve parar, antes de entrar na via ou cruzá-la.

a) Como pode ser classificado esse polígono de acordo com a quantidade de lados? Octógono. Conceito: Polígonos. b) Qual é a medida de cada ângulo interno desse polígono? 135º. Conceito: Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono.

III. b) Resposta esperada: Os ângulos têm medidas iguais, pois são ângulos opostos pelo vértice. Conceitos: Ângulos opostos pelo vértice.

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3. Nesta questão, são apresentadas algumas sinalizações de trânsito que podem ser encontradas em vias de todo o Brasil. Esse contexto incorpora a abordagem de um dos temas contemporâneos que podem afetar a vida dos alunos em escala local, regional e nacional.

Comentar com eles que a faixa de pedestres faz parte das sinalizações horizontais pintadas ou apostas sobre o pavimento das vias e as placas fazem parte da sinalização vertical, ambas são subsistemas da sinalização viária.

PLACAS: CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

IV A placa representada a seguir tem o formato de um polígono regular e

Parada obrigatória.

A sinalização vertical [...] se utiliza de sinais apostos sobre placas fixadas na posição vertical, ao lado ou suspensas sobre a pista, transmitindo mensagens de caráter permanente ou, eventualmente, variável, mediante símbolos e/ou legendas preestabelecidas e legalmente instituídas. A sinalização vertical tem a finalidade de fornecer informações que permitam aos usuários das vias adotar comportamentos adequados, de modo a aumentar a segurança, ordenar os fluxos de tráfego e orientar os usuários da via. [...]

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Para complementar o item III, questionar os alunos a respeito do que representa os segmentos de retas com relação à circunferência no modelo matemático. Espera-se que eles relacionem esses segmentos com diâmetros e raios da circunferência. Ao trabalhar com o item IV, informar aos alunos que existem outras placas de trânsito com formatos que lembram polígonos. Para complementar, apresentar um exemplo de placa que identifica rodovias ou estradas estaduais, que possui formato pentagonal, e solicitar aos alunos que identifiquem o formato do polígono que essa placa possui e se este é regular ou não, acompanhado de justificativas.

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UNIDADES TEMÁTICAS

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• Números. • Grandezas e medidas. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. • Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações. • Medida do comprimento da circunferência. HABILIDADES • • • • •

EF07MA05 EF07MA06 EF07MA07 EF07MA08 EF07MA09

• • • •

EF07MA10 EF07MA11 EF07MA12 EF07MA33

COMPETÊNCIAS GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes

OS NÚMEROS RACIONAIS

Vida longa às baterias Os aparelhos smartphones estão cada vez mais presentes em nosso dia a dia. No Brasil, por exemplo, ao final de 2016, cerca de 166 milhões de unidades desses aparelhos estavam em uso. Navegar na internet, fazer fotografias, acessar redes sociais, assistir a vídeos, ouvir músicas, jogar videogame, realizar pesquisas, trocar mensagens instantâneas, realizar chamadas telefônicas e, até mesmo, monitorar atividades físicas são apenas alguns exemplos do que é possível fazer com os smartphones. No entanto, todos esses recursos acabam consumindo muito a carga da bateria. Produzir smartphones com cada vez mais tecnologias e funções e, ao mesmo tempo, com uma bateria que suporte tudo isso é um grande desafio aos fabricantes. No dia a dia, pensando na duração da bateria, vida útil e segurança, algumas dicas podem ser úteis. Observe.

Economia • Apesar de a maioria dos aparelhos deixar de receber energia quando a carga da bateria atinge 100%, o ideal é não deixar o aparelho carregando de um dia para o outro. • Evitar deixar o carregador na tomada sem o aparelho estar sendo carregado. • De acordo com a iluminação do ambiente, ajustar a luminosidade do aparelho. • Quando possível, desabilitar o localizador do aparelho, a rede de dados móveis, as conexões sem fio, entre outros recursos ou aplicativos.

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culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imagina-

das, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

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Você também pode conferir se onde você mora existem iniciativas para recolher lixo eletrônico. Em algumas cidades, é possível entregar o lixo eletrônico em postos de coleta localizados em supermercados, órgãos públicos e até restaurantes. [...]

Prolongando a vida útil da bateria • Manter a carga da bateria entre 40% e 80%. O ideal é carregar o aparelho em pequenos intervalos durante o dia. • Evitar que a carga oscile de zero a 100% frequentemente. Isso pode prejudicar seu desempenho com o tempo. • Não deixar o aparelho em ambientes muito quentes. Se mantidas a 25 ºC, por exemplo, as baterias perdem cerca de 20% de sua capacidade por ano.

TA

LIS

GE

N VA RE

ANATEL. Anatel explica. Disponível em: <www.anatel.gov. br/Portal/verificaDocumentos/ documento.asp?numeroPublicacao= 346891&assuntoPublicacao =null&caminhoRel= null&filtro=1&documentoPath =346891.pdf>. Acesso em: 12 set. 2018.

E

EB

Precauções

Fontes dos dados: DEMARTINI, M. Brasil terá um smartphone por habitante até outubro, diz FGV. Exame. Disponível em: <https://exame.abril.com.br/ tecnologia/brasil-tera-um-smartphone-porhabitante-ate-outubro-diz-fgv>. BEGGIORA, H. Li-Ion ou Li-Po? Conheça as diferenças dos tipos de bateria e de celular. Disponível em: <www.techtudo.com.br/noticias/noticia/2016/ 08/li-ion-ou-li-po-conheca-diferencas-dos-tiposde-bateria-de-celular.html>. Acessos em: 24 abr. 2018.

• Retirar o smartphone imediatamente da tomada caso a bateria esquente muito. Uma maneira de evitar esse aquecimento é retirar a capa de proteção do aparelho quando for carregar.

No terceiro item proposto, é importante identificar se os alunos utilizam termos que remetam aos números racionais na representação fracionária e na decimal e porcentagem. Isso fornecerá indícios a respeito do conhecimento prévio deles em relação aos conceitos que serão apresentados nesta Unidade.

• Não utilizar carregadores falsificados ou não autorizados pelo fabricante, pois muitos não estão de acordo com as normas de segurança e podem colocar o usuário em risco.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Respostas pessoais.

Você já utilizou alguma vez um aparelho smartphone? Para quê?

Respostas pessoais.

Você conhece alguma pessoa que tenha um aparelho desses? Com que frequência ela costuma recarregar a bateria dele?

Respostas esperadas: Número na forma de 2 fração [ ]; Número decimal 5 (0,4); porcentagem (40%).

Na figura de smartphone que aparece nestas páginas, como você expressaria com números o nível de carga da bateria?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ABERTURA DE UNIDADE Aproveitar o contexto apresentado nesta abertura de Unidade para informar aos alunos a maneira correta de descartar baterias de smartphone e tablet. Pelo fato de o tema lixo eletrônico ser contemporâneo

e de utilidade pública, deve ser debatido sempre que possível. Para isso, ler para os alunos o trecho a seguir. [...] As baterias de celulares que contenham composições químicas prejudiciais à saúde e ao meio ambiente

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devem ser entregues ao fabricante ou ao importador ou ao distribuidor da bateria. Lojas, revendas e agentes autorizados das prestadoras podem ter postos de coleta para celulares antigos e baterias. Entre em contato com a sua prestadora para saber onde fica o mais perto de você.

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NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08, EF07MA09, EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12. Nestas páginas, são apresentadas as frações com as ideias de partes de um inteiro, razão e quociente ou resultado de uma divisão. Além disso, são explorados o número na forma mista e a fração de uma quantidade. Em relação à fração com a ideia de parte de um inteiro, explicar aos alunos que isso ocorre quando se divide em partes iguais um objeto ou uma figura, por exemplo. Nesse caso, os níveis de carga de aparelho smartphone de diferentes modelos foram representados por figuras divididas em partes iguais de maneiras distintas. Aproveitar o contexto apresentado ao trabalhar a fração com a ideia de razão, e promover uma roda de conversa com os alunos sobre a água potável e o saneamento básico, o que pode ser realizado em conjunto com o professor da disciplina de Ciências ou de Geografia.

Números racionais na forma de fração Vimos na abertura desta Unidade algumas informações sobre a bateria dos aparelhos smartphones. Observe agora alguns exemplos, em que o nível de carga das baterias de diferentes aparelhos desse tipo está representado por meio de uma fração. A

Numerador: Esse termo indica quantas partes foram consideradas.

4 10

Denominador: Esse termo indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida.

4 Lê-se: quatro décimos. 10 B

C

3 5

Lê-se: três quintos.

D

1 3

Lê-se: um terço.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5 Lê-se: cinco doze avos. 12

Na situação anterior, verificamos fração com a ideia de partes de um inteiro. Agora, veja exemplos envolvendo outras ideias de fração. • Razão. O acesso à água potável é fundamental para promover a saúde de uma população. Contudo, bilhões de pessoas no mundo não contam com esse recurso, principalmente nas áreas rurais. Para cada pessoa sem água potável que vive nas áreas urbanas, há 4 pessoas sem água potável nas áreas rurais. Essa razão pode ser representada pela seguinte fração: 1 4

Quantidade de pessoas sem água potável nas áreas urbanas.

Quantidade de pessoas sem água potável nas áreas rurais.

ROBERT KNESCHKE/SHUTTERSTOCK.COM

Criança bebendo água.

Fonte dos dados: TRATA BRASIL. Principais estatísticas no mundo. Disponível em: <www.tratabrasil.org.br/saneamento/principais-estatisticas/no-mundo/agua>. Acesso em: 24 abr. 2018.

Este livro apresenta informações sobre frações por meio das aventuras vivenciadas pelos personagens. • RAMOS, L. F. Frações sem mistérios. São Paulo: Ática, 2001.

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre água potável. • AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS. Água no mundo. Disponível em: <http://livro. pro/6efbt3>. Acesso em: 12 set. 2018.

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Sugerir aos alunos que acessem estes sites para obter mais informações sobre saneamento básico. • TRATA BRASIL. 10 anos da Lei do Saneamento. Disponível em: <http://livro.pro/cqfnip>. Acesso em: 12 set. 2018.

• SNIS. Sistema nacional de

informações sobre saneamento. Disponível em: <http:// livro.pro/mcayuz>. Acesso em: 12 set. 2018.

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No boxe Dica é apresentado o número na forma mista. Reforçar a ideia de que um número na forma mista é composto pela parte inteira e pela parte fracionária. Dizer aos alunos que essa escrita é comum na indicação de ingredientes em receitas culinárias e em países de língua inglesa. Ao trabalhar com fração de uma quantidade, é importante que os alunos entendam que em situações que apresentam essa ideia, o todo está relacionado a um grupo de objetos ou elementos. Nesse caso, o todo corresponde aos 30 dias do mês de junho. Enfatizar que o denominador da fração é o que indica em quantas partes iguais o todo deve ser dividido, e o numerador, indica quantas partes serão consideradas. Para complementar, propor aos alunos a seguinte questão. • Ricardo é alfaiate e, para confeccionar algumas peças de roupa, precisa cortar um tecido de 10 m de comprimento em 4 partes iguais. a) Quantos metros de tecido deve ter cada parte cortada? Indique a resposta com fração. 10 Resposta: m. 4 b) Cada parte de tecido cortado tem mais ou tem menos do que 2 m de comprimento? Justifique. Resposta esperada: Mais do que 2 m de 10 m corcomprimento, pois 4 2 responde a 2 m mais m de 4 tecido.

• Divisão. Considere a seguinte situação: Marcos é feirante e, para atender ao pedido de uma cliente, tem de dividir igualmente 4 kg de feijão em 3 pacotes. Quantos quilogramas de feijão deve ter em cada pacote? Podemos representar cada quilograma de feijão por uma figura retangular dividida em 3 partes iguais, correspondentes à quantidade de pacotes. Note que, ao todo, obtemos 12 partes. Desta maneira, destacamos um terço dessas partes, ou seja, 4 partes. 1 3

1

4:3= 4 3

Assim, cada pacote deve conter

1 kg de feijão. 3 • Fração de uma quantidade. Leia esta tirinha.

4 kg de feijão ou 1 kg mais 3

4 1 =1+ 3 3

A quantidade de feijão (em quilogramas) em cada pacote também pode ser indicada por um número na forma mista. Observe.

JEAN GALVÃO

parte inteira

1 1 3 parte fracionária

As crianças da tirinha estão aproveitando as férias. Na escola em que elas estudam, 3 dos dias do mês de junho correspondem às férias escolares. Quantos dias de férias elas 5 têm em junho? Para resolver esse problema temos de calcular 3 de 30, sabendo que, em junho, 5 temos 30 dias. Observe. 1o) Inicialmente, dividimos 30 por 5, ou seja, 30 dias em 5 grupos. quantidade de dias de junho

30 : 5 = 6

denominador da fração 3 5

2o) Depois, multiplicamos por 3 o resultado obtido. numerador da fração 3 5

1 dos dias de 5 junho

3 ? 6 = 18

1 dos dias 5 de junho 3 dos dias 5 de junho

Assim, as crianças têm 18 dias de férias em junho. 103

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No trabalho da fração com a ideia de divisão, verificar se os alunos compreenderam que a divisão de cada inteiro (1 kg de feijão) em três partes iguais se deve exclusivamente ao fato de que a situação pede que os 4 kg de feijão sejam divididos igualmente em 3 pacotes. Para isso, propor variações dessa

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situação para que os alunos associem esses elementos, conforme os exemplos a seguir. • Se o feirante Marcos tivesse que dividir igualmente 5 kg de feijão em 4 pacotes, quantos quilogramas de feijão deveria ter em cada pacote? Resposta: 5 kg de feijão ou 1 kg mais 4

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1 kg de feijão. 4 • Se o feirante Marcos tivesse que dividir igualmente 7 kg de feijão em 2 pacotes, quantos quilogramas de feijão deveria ter em cada pacote? Resposta: 7 kg de feijão ou 3 kg mais 2 1 kg de feijão. 2

103

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 282

AtividadeS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha frações com a ideia de partes de um inteiro. Caso julgar conveniente, mostrar aos alunos a localização desses países em um mapa físico ou digital. Para complementar, solicitar que façam uma pesquisa e levem para a sala de aula outras imagens de bandeiras de países que apresentem uma parte em vermelho que seja possível representar por uma fração. 2. Esta atividade trabalha frações com a ideia de partes de um inteiro. Para complementar o item b, verificar a possibilidade de levar para a sala de aula blocos de montar que se diferenciem apenas pela cor e pedir aos alunos que construam empilhamentos com esses blocos de acordo com algumas condições, por exemplo: • construir um empilhamen3 to que possua dos blocos 4 de cor amarela; • construir um empilhamen1 to que seja composto por 6 3 dos blocos de cor verde, 6 2 dos blocos de cor azul e dos 6

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 1 1 2 ; Indonésia: ; Ilhas Maurício: ; Áustria: . 3 2 4 3 1. Cada bandeira a seguir foi dividida em partes iguais. Escreva a fração que corresponde à parte destacada em vermelho de cada uma delas.

Bélgica.

Indonésia.

KONSTANTINKS/ SHUTTERSTOCK. COM

BEKULNIS/ SHUTTERSTOCK. COM

LUKASZ STEFANSK /SHUTTERSTOCK. COM

LUKASZ STEFANSK /SHUTTERSTOCK. COM

1. Bélgica:

Ilhas Maurício.

Áustria.

2. Uma das brincadeiras favoritas de Taís é fazer empilhamentos com blocos de montar. Observe os blocos que ela separou, que se diferenciam apenas pela cor.

a) Que fração dessa quantidade de blocos tem cor: 5 4 2 • verde? • amarela? • azul? 14 14 14 2 b) Qual dos empilhamentos a seguir tem dos blocos na cor verde? IV. 5 I. II. III.

• vermelha?

3 14

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

IV.

3. Veja como Luan e Sílvia fizeram para localizar 7 na reta numérica. 3

Calculei 7 dividido por 3 e obtive 2 inteiros mais 1 . Contei 3 2 unidades e 1 de unidade 3 7 e localizei na reta. 3

blocos de cor amarela.

3. a)

3. Esta atividade trabalha a localização de número racional na forma de fração na reta numérica utilizando diferentes algoritmos, propiciando o desenvolvimento da habilidade EF07MA05 da BNCC.

0

ILUSTRAÇÕES: ARTUR FUJITA

Dividi as unidades da reta numérica em 3 partes iguais. Contei 7 partes e localizei 7 3 na reta.

11 2

1 0

2

3

4

5

6

1

2 7 3

3

4

5

2 unidades 0

1

1 3

de unidade

2 7 3

3

4

5

Agora, represente no caderno uma reta numérica para localizar nela cada fração a seguir. 11 a) 2 3. b) 0

1

b)

15 4

2

3

4

5

15 4 6

3. c)

0

1

2

3

c)

26 3

4

5

26 3

6

7

8

9

104

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4. Esta atividade trabalha a fração de uma quantidade e representação das etapas utilizadas para resolver problemas com essa ideia por meio de um fluxograma, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA07 da BNCC. Além disso, propõe a elaboração de problemas pelos alunos envolvendo operação com números racionais na representação fracionária. No item a, mesmo que a resolução do problema III não envolva o cálculo da fração de uma quantidade, os alunos podem realizar a comparação com auxílio de figuras. No item c, é importante avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla o cálculo da fração de quantidade. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

4. Na página 103 calculamos 3 de 30 dias para resolver um problema. É possível repre5 sentar as ideias das etapas dessa resolução em um fluxograma, o qual pode ser utilizado para resolver problemas com a mesma estrutura que aquele, ou seja, que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade. Observe um exemplo.

Início.

Para calcular fração de quantidade, identificamos no problema a fração e a quantidade em relação à qual se pretende calcular.

Dividimos essa quantidade pelo denominador dessa fração.

Multiplicamos o quociente obtido pelo numerador dessa fração.

Registramos o resultado da fração de quantidade.

Fim.

Em relação ao problema apresentado na página 103, ao analisarmos esse fluxograma, temos que a “fração” é 3 e a “quantidade” é 30. 5

a) Identifique quais dos problemas a seguir têm a resolução envolvendo o cálculo da fração de uma quantidade. I, II e IV.

I

João utilizou 2 de um frasco com 200 mL de leite de coco para fazer um bolo. 5 Quantos mililitros de leite de coco ele utilizou?

II

Os ossos de um homem adulto correspondem a cerca de 3 de sua massa. 10 A quantos quilogramas correspondem os ossos de um homem adulto de 80 kg?

III

Para comprar um quebra-cabeça de 120 peças, Alice contribuiu com 3 do valor 4 pago e seu irmão, com o restante. Quem mais contribuiu para a compra desse quebra-cabeça: Alice ou seu irmão?

IV

5 dos 300 cm de fita que tinha em um rolo. Quantos 12 centímetros de fita ela utilizou para fazer o laço?

Fernanda fez um laço com

b) Agora, resolva os problemas que você identificou no item a. Para isso, você pode utilizar o fluxograma. I: 80 mL; II: 24 kg; IV: 125 cm. c) No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo da fração de uma quantidade. Em seguida, junte-se a um colega, e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 105

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5. Leia o problema a seguir. Sônia é artesã e está confeccionando uma pulseira usando miçangas amarelas e azuis. Nessa montagem, a cada 2 miçangas amarelas colocadas no cordão, ela coloca também 3 miçangas azuis, sempre na razão 2 2 para 3 [ou ]. Se, nessa pulseira, Sônia 3 pretende utilizar 12 miçangas azuis, de quantas miçangas amarelas ela vai precisar?

b) Que tal um desafio? Sônia pretende confeccionar um colar utilizando 60 miçangas no total, mantendo essa razão 2 de entre miçangas amarelas e miçan3 gas azuis. De quantas miçangas de cada cor ela vai precisar? 24 miçangas amarelas e 36 miçangas azuis. c) Com base na estratégia apresentada, represente no caderno, por meio de um fluxograma, as etapas para resolver outros problemas parecidos com o demonstrado anteriormente, ou seja, de mesma estrutura. Resposta nas Orientações para o professor. 6. Melina comprou uma garrafa de suco natural concentrado de uva. Observe na embalagem as informações sobre o preparo desse suco.

Veja como podemos resolver esse problema. 1o)

Quantidade de miçangas azuis em cada grupo.

12 : 3 = 4 Quantidade total de miçangas azuis.

Quantidade de miçangas amarelas em cada grupo.

4?2=8 Quantidade total de grupos de miçangas amarelas.

ILUSTRAÇÕES: DANILLO SOUZA

2o)

Quantidade de grupos de miçangas azuis, que é a mesma quantidade de grupos de miçangas amarelas.

Quantidade total de miçangas amarelas.

Assim, Sônia vai precisar de 8 miçangas amarelas. a) Sônia vai fazer também um colar usando miçangas amarelas e azuis, na mesma 2 razão de entre miçangas amarelas e 3 azuis. Caso ela utilize 14 miçangas amarelas, de quantas miçangas azuis ela vai precisar? 21 miçangas azuis.

a) Escreva uma fração para representar a razão entre a quantidade de copos de suco concentrado e a quantidade de copos de água necessários para o 3 preparo do suco. 5 b) Caso sejam utilizados 15 copos de água no preparo do suco, quantos copos de suco concentrado devem ser misturados? 9 copos de suco concentrado.

106

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Início.

Identificar no problema a fração correspondente à razão entre duas grandezas. Depois, identificar a quantidade de objetos relacionados a uma dessas grandezas.

11/1/18 4:58 PM

A quantidade de objetos está relacionada à grandeza representada no denominador da fração?

Não.

Dividir essa quantidade pelo Sim. denominador dessa fração e multiplicar o resultado pelo numerador.

Registrar o resultado obtido.

Dividir essa quantidade pelo numerador dessa fração e multiplicar o resultado pelo denominador.

Fim.

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 5. Esta atividade trabalha a associação entre razão e fração para resolver problemas, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA09 da BNCC. Uma maneira de resolver o item b é, inicialmente, identificar o máximo de grupos de 5 miçangas que podem ser formados com o total de 60 miçangas. Em seguida, determinar a quantidade total de miçangas de cada cor, de acordo com a proporção de miçangas amarelas e azuis. O principal objetivo do item c é que os alunos reconheçam que, para resolver problemas que possuem a mesma estrutura, podem ser utilizados os mesmos procedimentos, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA06 da BNCC. Neste item, é sugerido aos alunos que representem, por meio de um fluxograma, as ideias das etapas para resolver um problema, assim como proposto na habilidade EF07MA07 da BNCC. Veja uma resposta possível do item c na parte inferior desta página. 6. Esta atividade trabalha a associação entre razão e fração para resolver problemas. No item a, a escrita da razão deve levar em consideração a ordem do que é solicitado: razão entre a quantidade de copos de suco concentrado e a de copos de água. Nesse caso, o numerador deve conter a quantidade de copos de suco concentrado (3) e o denominador, a quantidade de copos de água (5). Os alunos podem utilizar o fluxograma construído na atividade anterior para resolver o item b desta atividade.

106

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Além disso, explicar a eles que se for colorida mais de uma parte da figura, essas partes devem ser adjacentes. Para realizar o primeiro jogo, pedir às duplas que reúnam as fichas com as figuras que tenham proporcionalmente a mesma parte colorida e escrevam no caderno as frações que podem representá-las. Para o segundo jogo, solicitar a eles que juntem todas as fichas em um monte, com a(s) parte(s) colorida(s) voltada(s) para baixo e, em cada rodada, virem duas fichas do monte para determinarem a maior parte colorida e escrever a fração que a representa no caderno. É importante que os alunos compreendam que, para obter frações equivalentes, o numerador e o denominador de uma fração devem necessariamente ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural diferente de zero.

Frações equivalentes, simplificação e comparação de frações Na aula de Matemática, a professora propôs um jogo com fichas, nas quais estavam indicadas a mesma figura, sendo que cada ficha estava dividida em partes iguais de maneira única, com a parte destacada em verde correspondente a uma fração do inteiro. Os alunos deveriam reunir fichas com figuras que tinham a mesma parte destacada em verde. Observe as fichas que Luiz reuniu.

1

2

3

4

3

6

9

12

Note que essas frações representam a mesma parte das figuras. Nesse caso, dizemos 1 2 3 4 e são frações equivalentes. que , , 3 6 9 12 Podemos obter frações equivalentes multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero. Observe: ?2

?3

1 = 2 3 6

3 1 = 9 3

?4

?2

1 = 4 12 3

2 = 4 12 6 ?2

?2

?3

?4

:4

:2

:3

:2

1 4 = 3 12

4 2 = 12 6

3 = 1 9 3

2 = 1 3 6

:4

:2

:3

:2

PARA PENSAR Para complementar, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • Uma fração que possui como denominador e numerador números primos e diferentes está em sua forma irredutível? Resposta: Sim. • Que característica o numerador e o denominador de uma fração devem ter para que ela seja irredutível? Resposta esperada: Os números indicados no numerador e no denominador devem ser primos entre si.

Ao dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, maior do que 1, estamos fazendo a simplificação da fração. Observe o exemplo. :2

54 126

=

:3

27 63

:2

=

:3

9 21

:3

= :3

3 7

Esta fração não pode mais ser simplificada. Nesse caso, dizemos que essa é uma fração irredutível.

Por que a fração 3 não pode ser simplificada? 7

Resposta esperada: Porque não há número natural maior do que 1 que seja divisor comum de 3 e 7. 107

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Frações equivalentes, simplificação e comparação de frações Antes de iniciar o trabalho com o conteúdo desta página, uma sugestão é propor aos alunos a realização de jogos ou adaptações deles,

parecidos com os que foram apresentados. Para isso, com os alunos organizados em duplas, disponibilizar a cada dupla 11 pedaços de papel idênticos com formato retangular para que confeccionem as fichas. Depois, pedir a eles que com esses pedaços de papel representem as

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seguintes frações utilizando 1 1 2 1 lápis de cor: , , , , 2 3 3 4 2 3 1 2 3 4 5 , , , , , e . 4 4 6 6 6 6 6 Neste momento, é importante orientar os alunos a dividir cada pedaço de papel em partes iguais e pintar algumas delas, de acordo com a fração que se deseja representar.

107

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Ao abordar a comparação de frações com denominadores iguais, verificar se os alunos perceberam que, se dividirmos uma mesma figura em partes iguais e considerarmos quantidades de partes dessa figura, a maior fração será aquela correspondente à maior quantidade de partes consideradas. Na comparação de frações com numeradores iguais, o raciocínio é diferente. Se dividirmos duas figuras de mesmo tamanho em partes iguais, cada uma delas de maneira distinta e considerarmos a mesma quantidade de partes em ambas as figuras, a fração que indicará a maior parte será aquela correspondente à figura dividida em menos partes. Em relação à comparação de frações que possuem denominadores e numeradores diferentes, é importante que os alunos compreendam as duas estratégias apresentadas para realizar essa comparação, o que propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA05 da BNCC. No boxe Dica, verificar se os alunos perceberam que multiplicamos o numerador e 7 o denominador de por 2, 9 pois 18 : 9 = 2 e, multiplicamos o numerador e o denominador 5 de por 3, pois 18 : 6 = 3. 6 Orientá-los a realizar essas divisões quando tiverem dúvida sobre por qual número devem multiplicar a fração para obter a equivalente cujo denominador seja igual ao obtido com o mínimo múltiplo comum (mmc). Para complementar, junto com os alunos, propor a construção de um fluxograma para representar as ideias das etapas para comparar duas frações, assim como proposto na habilidade EF07MA07 da BNCC.

Usando essas mesmas fichas, a professora propôs outro jogo: os alunos se organizariam em duplas e cada participante viraria uma ficha do monte. O vencedor da dupla seria aquele que obtivesse a maior fração da ficha destacada em verde. Observe as fichas viradas em algumas duplas. Lucas

Beatriz

5

3

8

8

Joana

Tiago

4

4

5

9

Elton

Gabriel

7

5

9

6

Como os denominadores das frações são iguais, a maior fração é aquela que possui o numerador maior. 3 5 . 8 8 Lucas foi o vencedor. Como os numeradores das frações são iguais, a maior fração é aquela que possui o denominador menor. 4 4 . 9 5 Joana foi a vencedora. Como os denominadores e os numeradores são diferentes, podemos obter frações equivalentes a estas, com denominadores iguais, e comparar as frações obtidas.

21 28 14 7 = = = 27 36 18 9

Assim, como

15 20 5 10 = = = 18 24 6 12

5 7 14 15 , , temos que , . Gabriel foi o vencedor. 6 9 18 18

Dadas duas frações, podemos obter as frações equivalentes a elas, com denominadores iguais, usando o 7 5 mínimo múltiplo comum. No caso de e , temos: 9 6 7 1o) Obtemos o mínimo múltiplo comum dos 2o) Obtemos as frações equivalentes a 9 5 denominadores, ou seja, mmc (9, 6). e cujo denominador seja 18. 6 9, 6 2 mmc (9, 6) = ?2 ?3 9, 3 3 3, 1 3 = 2 ? 3 ? 3 = 18 14 15 7 5 = 18 = 18 1, 1 9 6 Portanto, como

14 15 7 5 , , temos que , . 18 18 9 6

?2

?3

108

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Início.

As frações têm denominadores iguais?

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Sim. A maior fração é a que possui o numerador maior.

Fim.

Não. As frações têm numeradores iguais?

Sim.

Não.

Obter frações equivalentes com denominadores iguais. A maior fração é a que possui o denominador menor.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Resoluções na p. 283

5. Catira:

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada item, simplifique e obtenha a fração irredutível. a)

60

5

72

6

b)

45

3

30

2

c) 84 108 25 d) 100

7 9 1 4

8

2. Escreva uma fração equivalente a 20 10 cujo denominador seja 25. 25 3. Cada letra na reta numérica corresponde a uma das frações do quadro. Escreva no caderno a letra e a fração correspondente. A

B

C

0

D

E

F

1

2

1 24

5 5 1 1 ; carimbó: ; fandango: ; frevo: . 12 24 12 4 Nas fichas estão indicadas as frações de acordo com as votações nas danças dessa pesquisa. Escreva a fração correspondente a cada dança.

; samba:

1

5

1

5

1

24

12

12

24

4

6. Os aplicativos e sites de vídeos, de maneira geral, apresentam uma barra na qual é possível acompanhar qual parte do vídeo está sendo reproduzida. Observe. Esta barra corresponde à duração total do vídeo.

3

5

1

2

3

7

5

2

6

4

2

8

4

4. Na aula de Educação Física, a professora propôs aos alunos que corressem na pista circular da escola no tempo de 3 1 minuto. Deise percorreu de volta e 4 5 de volta. Qual deles percorAntônio, 7 reu a maior distância? Deise. 5. Observe o gráfico a seguir com o resultado de uma votação dos alunos do 7o ano sobre a apresentação de dança típica no festival da escola.

Dança típica preferida dos alunos do 7o ano no festival Catira Fandango Frevo EDITORIA DE ARTE

Samba Carimbó Fonte: Alunos do 7o ano.

2 5 5 3 7 3. A: 1 ; B: ; C: ; D: ; E: ; F: 4 4 2 2 8 6

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a simplificação de fração à sua forma irredutível. 2. Esta atividade trabalha a obtenção de fração equivalente. Verificar se os alunos perceberam que não é possível

DAYANE RAVEN

AtividadeS

A parte vermelha da barra indica quanto do vídeo já foi reproduzido.

a) Faça estimativas e identifique qual das frações a seguir corresponde à parte desse vídeo que já foi reproduzida? II 1 7 III. I. 9 II. 4 8 20 b) Esse vídeo tem 260 s de duração. Com base em sua estimativa anterior, quantos segundos dele já foram reproduzidos? E quantos ainda faltam ser exibidos? 65 s. 195 s. 7. De acordo com o IBGE, em 2017 no 3 Brasil, cerca de da população vivia 20 na zona rural e o restante, na zona urbana. Nesse caso, havia mais brasileiros vivendo na zona urbana ou rural? Zona urbana. 8. Escreva duas frações que estejam entre 3 e 5 , ou seja, maiores do que 3 e 8 8 7 menores do que 5 . 7 22 30 35 38 Algumas respostas possíveis: , , , . 56 56 56 56 109

obter uma fração equivalente à apresentada, com denominador 25 apenas multiplicando o numerador e o denominador da fração por um mesmo número natural maior do que 1, pois 25 não é múltiplo de 20. Uma estratégia para resolver esta atividade é calcular a fra-

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8 ção irredutível a partir de 20 2 [nesse caso, ] e determinar 5 uma fração equivalente cujo denominador seja 25. 3. Esta atividade trabalha a comparação e a ordenação de frações e a associação de números racionais na forma

de fração a pontos da reta numérica. Verificar se os alunos perceberam que a organização das frações em ordem crescente ou decrescente facilita a associação destas com os pontos da reta. 4. Esta atividade trabalha a comparação de frações. 5. Esta atividade, que relaciona as unidades temáticas Números e Probabilidade e estatística, trabalha a comparação de frações. Dizer aos alunos que as informações apresentadas são fictícias. Para a resolução, relembrar aos alunos como se faz a leitura de um gráfico de setores. 6. Esta atividade trabalha a comparação de frações por meio de estimativas e o cálculo da fração de uma quantidade. No item a, verificar se os alunos 9 perceberam que correspon20 7 dem a quase metade e , a 8 quase 1 inteiro. Ou seja, essas frações indicariam que quase metade do vídeo, ou mais, já foi reproduzida, o que não acontece de acordo com a imagem, pois a barra é bem menor do que a metade do total. 7. Esta atividade trabalha a comparação de frações. Se julgar conveniente, aproveitar o contexto e promover uma conversa com os alunos sobre o êxodo rural, o que pode ser feito em conjunto com os professores das disciplinas de História e de Geografia. 8. Esta atividade trabalha a comparação e ordenação de frações. Questionar os alunos sobre qual estratégia utilizaram para resolvê-la. Uma possibilidade é obter frações equiva3 5 lentes a e que possuam 8 7 o mesmo denominador, por 21 40 exemplo, e , respectiva56 56 mente. Em seguida, comparar as frações com denominadores iguais. Nesse caso, basta que o numerador seja um número natural maior do que 21 e menor do que 40, por exemplo, 22 30 36 , , etc. 56 56 56

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Adição e subtração de frações Para iniciar o trabalho com a adição e subtração de frações, foram apresentados três problemas. O problema I explora a adição de frações com denominadores iguais. Relembrar aos alunos que, em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores iguais, adicionamos (ou subtraímos) os numeradores e mantemos os denominadores, como estudado no Volume 6 desta coleção e explicitado na página 111 desta Unidade. Para a resolução do problema II, que explora uma adição de frações com denominadores diferentes, são apresentadas duas estratégias: utilizando frações equivalentes e com auxílio do mínimo múltiplo comum, o que possibilita o desenvolvimento da habilidade EF07MA05 da BNCC.

Adição e subtração de frações Você tem o hábito de comer vegetais em suas refeições? Alimentar-se de frutas, verduras e legumes, por exemplo, é fundamental para fornecer nutrientes essenciais para o bom funcionamento do nosso organismo. Na escola em que Benício estuda, será construída uma horta. Para escolher os vegetais a serem plantados, foi realizada uma pesquisa para saber a preferência dos alunos. Observe a fração dos alunos que escolheram cada vegetal.

DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Morango:

5 . 24

Rabanete:

1 . 24

Cenoura:

1 . 4

Alface:

5 . 24

Repolho:

1 . 6

Couve:

1 . 8

Com base nessas informações, vamos explorar três problemas.

I

Ao todo, qual é a fração de alunos que preferem morango ou rabanete? 5 1 Para resolver esse problema, temos de calcular + . 24 24 6 5 1 + = 24 24 24 6 6 1 Note que a fração pode ser simplificada: = . 24 24 4 6 1 Assim, ou dos alunos preferem morango ou rabanete. 24 4

II

Ao todo, qual é a fração de alunos que preferem cenoura ou repolho? 1 1 Para resolver esse problema, temos de calcular + . 4 6 1 1 Inicialmente, obtemos frações equivalentes a e com denominadores iguais. 4 6 Depois, adicionamos as frações obtidas. 1 2 3 = = 4 8 12 Também podemos obter 1 2 frações equivalentes a 1 e 1 com = 6 12 4 6 denominadores iguais com auxílio 1 1 3 2 5 + = + = do mínimo múltiplo comum. 4 6 12 12 12 Assim, 5 dos alunos preferem cenoura ou repolho. 12

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D3-MAT-F


III Que fração dos alunos representa a diferença entre aqueles que preferem repolho e os que preferem couve? 1 1 Para resolver esse problema, temos de calcular _ . 8 6 1 1 e com denominadores Inicialmente, obtemos frações equivalentes a 6 8 iguais. Depois, realizamos a subtração com as frações obtidas. 2 3 1 4 = = = 12 18 6 24

Também podemos obter 1 1 frações equivalentes a e com 6 8 denominadores iguais com auxílio do mínimo múltiplo comum.

2 3 1 = = 16 24 8 1 4 1 3 1 _ = = _ 6 24 8 24 24

Assim, a diferença entre aqueles que preferem repolho e os que preferem couve é de 1 dos alunos. 24 Em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores iguais, adicionamos (ou subtraímos) os numeradores e mantemos os denominadores. Em uma adição (ou subtração) de frações com denominadores diferentes, podemos obter frações equivalentes a elas com denominadores iguais e realizar a adição (ou subtração) com as frações obtidas. Resoluções na p. 283

ATIVIDADES

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Com base no resultado da pesquisa apresentada na página anterior, resolva os itens a seguir.

2. Calcule. a)

a) Ao todo, qual é a fração de alunos que preferem: 5 • morango ou alface? 12 7 • cenoura ou rabanete? 24 b) Que fração dos alunos representa a diferença entre aqueles que preferem: 1 • alface e os que preferem rabanete? 6 1 • cenoura e os que preferem couve? 8

b)

c)

d)

6 5 4 9 7 3 5 8

+

8 14 5 5

e)

_

2 2 9 9

f)

+

3 37 4 12

+

3 7 1 2

+

+

2 7 7 4

+

13 136 9 63

_

1 4

2

1 19 6 24 111

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Início.

As frações têm denominadores iguais?

Sim.

Não. Obter frações equivalentes com denominadores iguais.

Adicionar (ou subtrair) os numeradores e manter o denominador.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as operações de adição e subtração de frações. Para a resolução, sugerir aos alunos que realizem os cálculos utilizando as duas estratégias apresentadas: com frações equivalentes e com auxílio do mínimo múltiplo comum. 2. Esta atividade trabalha as operações de adição e subtração de frações. No item f, informar aos alunos que, por se tratar das operações de adição e subtração, eles podem começar os cálculos pela operação que julgarem mais conveniente, pois isso não interfere no resultado. Para complementar, propor os seguintes itens. 4 3 55 + . Resposta: . • 9 7 63 1 5 1 _ . Resposta: . • 2 12 12 7 2 41 + . Resposta: . • 10 3 30 3 1 7 _ . Resposta: . • 5 4 20

Fim. EDITORIA DE ARTE

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Para a resolução do problema III, que explora uma subtração de frações com denominadores diferentes, também são apresentadas duas estratégias: utilizando frações equivalentes e com auxílio do mínimo múltiplo comum, o que possibilita o desenvolvimento da habilidade EF07MA05 da BNCC. Para complementar, sugerir aos alunos a construção de um fluxograma para representar as ideias das etapas para adicionar ou subtrair frações, assim como proposto na habilidade EF07MA07 da BNCC Um exemplo de fluxograma foi apresentado na parte inferior desta página.

111

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3. Observe o modo de preparo de certo produto no verso de sua embalagem.

a) Ao todo, que fração do giro de uma volta representa a posição final da roleta em relação à posição inicial? 7 16 b) Qual das figuras a seguir corresponde à posição final da roleta após os giros? II. I. III.

b) Quais ingredientes são necessários nessa receita? Por quanto tempo esse alimento deve ser levado à geladeira? Água e pó de gelatina. 30 minutos. c) Qual dos itens a seguir indica a quantidade total de água usada no preparo dessa receita? II. I.

3 4

L

II.

1 2

L

4

+

=

35 12

Gráfico de despesas 9 25 6 25 11 100 7 50 3 20

III. 2 L

4. A professora resolveu na lousa com os alunos uma adição de frações. Porém, uma fração foi apagada. Observe. 7

6. Carla controla suas despesas do cartão de crédito em um aplicativo no celular. No fechamento da fatura, o aplicativo gera um gráfico com as despesas classificadas por categoria. Observe o gráfico de certo mês.

• Qual fração foi apagada? 7 6 5. Juliana vai abrir o cofre representado cuja roleta gira apenas no sentido horário. Para isso, ela 1 girou a roleta de 4 volta. Depois, girou 3 mais de volta. 16

Supermercado Transporte Vestuário Alimentação Outros

X-VECTORS/SHUTTERSTOCK.COM, DAVOODA/SHUTTERSTOCK. COM, BRILLIANTSKYLIGHT/SHUTTERSTOCK.COM, KSENVITALN/ SHUTTERSTOCK.COM, POWERART/SHUTTERSTOCK.COM, EDITORIA DE ARTE

a) Qual alimento é preparado com essa receita? Quantas são as etapas do modo de preparo? Gelatina. 3 etapas.

ROBERTO ZOELLNER

DANILLO SOUZA

II.

Fonte: Dados fictícios.

a) Que fração dessas despesas Carla teve 6 com transporte? 25 47 b) Ao todo, que fração dessas despesas cor100 responde a supermercado e vestuário?

ROBERTO ZOELLNER

ATIVIDADES 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de adição de frações. Além disso, é possível explorar o gênero textual receita em conjunto com o professor da disciplina de Língua Portuguesa. 4. Esta atividade trabalha a relação entre as operações de adição e subtração de frações. Para a resolução, relembrar aos alunos a relação inversa entre as operações de adição e subtração. Esse estudo já foi trabalhado na Unidade 2 do Volume 6 desta coleção. 5. Nesta atividade, que está relacionada às unidades temáticas Números e Geometria, o item a trabalha a operação de adição de frações de maneira contextualizada. Para resolver o item b, é necessário que os alunos façam uma estimativa para determinar a posição final da roleta em relação à posição inicial, depois dos giros. Para isso, eles devem per7 ceber que correspondem a 16 um pouco menos da metade de um giro de uma volta. 6. Esta atividade, que está relacionada às unidades temáticas Números e Probabilidade e estatística, trabalha as operações de adição e subtração de frações de maneira contextualizada. Além disso, propõe a elaboração de problemas pelo aluno. Dizer aos alunos que as informações apresentadas são fictícias. Realizar a leitura do gráfico com os alunos e solicitar que citem quais tipos de gastos Carla pode ter tido com o transporte, como bilhetes de transporte público, combustível, troca de pneus, entre outros. Pedir também que citem exemplos de despesas que podem se enquadrar na opção “Outros”; por exemplo, água, energia elétrica, telefone, farmácia, lazer.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

c) Que fração corresponde à diferença entre as despesas com transporte e 1 alimentação? 10 d) Com base no gráfico, elabore uma questão envolvendo adição e outra envolvendo subtração de frações e troque-as com um colega para que ele as resolva, enquanto você resolve aquelas que ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções. Resposta pessoal.

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A seguir, são apresentados exemplos de questões que podem ser elaboradas pelos alunos no item d. • Ao todo, que fração dessas despesas corresponde a supermercado e transporte? Res15 3 posta: ou . 25 5

• Que fração corresponde à

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diferença entre as despesas com alimentação e vestuário? 3 Resposta: . 100

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Multiplicação de número natural por fração Você sabe qual é a importância do potássio em nosso organismo? Esse nutriente é fundamental para manter a pressão arterial controlada, o bom funcionamento dos sistemas nervoso e muscular e para a regulação de líquidos no organismo. O potássio pode ser ingerido por meio de diversos alimentos. Observe um exemplo. DEN IS L YTY AG IN /S A banana é rica em potássio. Uma banana-nanica de H tamanho médio (100 g), por exemplo, contém cerca 1 de de todo o potássio recomendado diariamente 10 para um adulto. R TE UT

OM K.C OC ST

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Multiplicação de frações

Caso um adulto coma 4 bananas como essa, que fração aproximada da quantidade diária recomendada de potássio ele terá ingerido? Para resolver esse problema, temos de calcular 1 4 ? . Observe. 10 1 4 4?1 1 1 1 1 1 4 = = + + + = ou 4 ? 4? = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Assim, o adulto terá ingerido cerca de recomendada de potássio.

4 da quantidade diária 10

Agora, considere o problema a seguir.

qualidade dos alimentos tem que ser observada. • Moderação: não se deve comer nem mais nem menos do que o organismo precisa; é importante estar atento à quantidade certa de alimentos. quantida• Equilíbrio: de e qualidade são importantes; o ideal é consumir alimentos variados, respeitando as quantidades de porções recomendadas para cada grupo de alimentos. Ou seja, “comer de tudo um pouco”. RECINE, E.; RADAELLI, P. Alimentação saudável. Disponível em: <http://bvsms.saude.gov.br/bvs/ publicacoes/alimentacao_saudavel. pdf>. Acesso em: 12 set. 2018.

Para ingerir todo o potássio recomendado diariamente para um adulto, quantas bananas como essa deveriam ser consumidas?

Verificar se os alunos perceberam que a resolução apresentada para o problema com os dados da OMS é equivalente ao cálculo da fração de uma quantidade, trabalhado anteriormente nesta Unidade.

10 bananas.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem estes sites para obter mais informações sobre a alimentação saudável. • ANVISA. Alimentação saudável: fique esperto! Disponível em: <http://livro. pro/2usrqk>. Acesso em: 12 set. 2018. • RECINE, E.; RADAELLI, P. Cuidados com os alimentos. Disponível em: <http://livro.pro/ wkfyqy>. Acesso em: 24 set. 2018.

Segundo a Organização Mundial da Saúde (OMS), um adulto deve ingerir no mínimo 3 510 mg de potássio por dia. Com base nessas informações, cerca de quantos miligramas de potássio tem uma banana como a apresentada anteriormente? 1 Para responder a essa questão, temos de obter de 3 510 mg, que pode ser deter10 1 ? 3 510. Observe. minado ao calcularmos 10 1 ? 3 510 = 1 ? 3 510 = 3 510 = 351 10 10 10 Portanto, uma banana como a apresentada tem cerca de 351 mg de potássio. 113

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação de frações Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Ciências sobre a importância de ingerir a quantidade necessária de cada nutriente durante o dia. Apro-

veitar o tema alimentação e ler para os alunos o trecho a seguir, que apresenta informações a esse respeito. [...] O que é alimentação saudável Alimentação saudável é o mesmo que dieta equi-

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librada ou balanceada e pode ser resumida por três princípios: variedade, moderação e equilíbrio. Princípios da alimentação saudável

• Variedade: é importante comer diferentes tipos de alimentos pertencentes aos diversos grupos; a

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Para a resolução do problema que explora uma multiplicação de fração por fração, são apresentadas duas estratégias, o que possibilita o desenvolvimento da habilidade EF07MA05 da BNCC. Na estratégia que utiliza figuras, discutir com os alunos cada uma das etapas. Na etapa 1, por exemplo, a figura inteira representa todos os livros da biblioteca. Já na etapa 2, a parte destacada corresponde à fração do total de livros da biblioteca que são de História. Na estratégia em que a multiplicação das frações é realizada de maneira prática, é importante que os alunos compreendam que multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores das frações para obter o resultado.

Multiplicação de fração por fração Laércio é bibliotecário em uma escola e está classificando os livros por gênero. Ele 3 1 registrou que dos livros da biblioteca são de História e, além disso, dos livros de 5 4 História são de História do Brasil. Para determinarmos que fração dos livros da biblioteca são de História do Brasil, temos 3 1 ? . Observe as etapas para realizar esse cálculo usando figuras. de calcular 5 4

1

Representamos o total de livros da biblioteca por uma figura.

2

1 , dividimos a figura em 4 partes 4 iguais e destacamos uma delas, correspondente à fração dos livros da biblioteca que são de História.

3

3 dos livros de História, corres5 pondentes aos livros de História do Brasil, dividimos cada uma das partes obtidas anteriormente em 5 partes iguais e consideramos 3 dessas partes. Por fim, escrevemos a fração dos livros da biblioteca (o inteiro) correspondente apenas aos livros de História 3 do Brasil: . 20

Para representar

Para representar

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3 ? 1 = 3 20 5 4 Portanto, 3 dos livros da biblioteca são de História do Brasil. 20 Também podemos calcular multiplicações de frações de maneira prática. Para isso, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores que, respectivamente, correspondem ao numerador e ao denominador do resultado. Observe. 3 ? 1 =3 ? 1= 3 5 4 5 ? 4 20 114

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Para complementar o trabalho com números inversos, escrever na lousa números racionais na forma de fração e pedir a alguns alunos para se dirigirem até a lousa e registrarem o inverso desses números. Ao final, conferir com toda a turma se os registros estão corretos. Caso haja alguma objeção, solicitar aos alunos que apresentem justificativas de tal discordância.

Multipliquei 2 por 7 e 7 por 2 para obter a fração 14 , pois um número natural 14 diferente de zero dividido por ele mesmo é igual a 1.

O inverso de um número

ARTUR FUJITA

A professora de Rita perguntou à turma qual número deve ser 2 multiplicado por para 7 obter 1 como resultado. Observe como Rita fez.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de multiplicação de frações. Para a resolução, relembrar aos alunos que a OMS recomenda que um adulto deve ingerir no mínimo 3 510 mg de potássio por dia.

Quando o produto de dois números diferentes de zero é igual a 1, dizemos 7 2 que eles são números inversos. Dizemos que e , por exemplo, são 2 7 números inversos. Observe mais exemplos de números inversos. •

3 5 15 3 5 3?5 =1 = e , pois = ? 5 3 15 5 3 5?3

• 4e

1 1 4 1 4 4?1 , pois 4 ? = = = ? =1 4 4 1 4 4 1?4

ATIVIDADES

Resoluções na p. 283 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Compare o numerador e o denominador de dois números inversos. Você identifica alguma regularidade? Resposta esperada: Dois números inversos têm os mesmos termos, porém com o numerador e o denominador trocados entre si.

1. Vimos que a banana é uma fruta rica em potássio. Porém, esse nutriente está presente em outras frutas também. Observe algumas delas.

Fração aproximada da quantidade mínima de potássio em algumas frutas, de acordo com a recomendação diária para um adulto Fruta (porção de 100 g) Abacate

Kiwi Maracujá Romã

Fração aproximada 3 50 2 25 9 100 3 20

Fontes: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Tabela Brasileira de Composição de Alimentos – TACO. Disponível em: <www. cfn.org.br/wp-content/uploads/2017/03/taco_4_ edicao_ampliada_e_revisada.pdf>. OMS divulga novas orientações para consumo diário de sal e potássio. G1. Disponível em: <http://g1.globo.com/bemestar/noticia/2013/01/ oms-divulga-novas-orientacoes-para-consumodiario-de-sal-e-potassio.html>. Acessos em: 26 jul. 2018.

Determine, em miligramas, a quantidade aproximada de potássio que uma porção de 100 g de cada fruta tem em relação à quantidade diária mínima recomendada para um adulto. Se necessário, utilize uma calculadora. Abacate: 210,6 mg; Kiwi : 280,8 mg; Maracujá: 315,9 mg; Romã: 526,5 mg. 115

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ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a operação de multiplicação de frações. No item d, verificar a estratégia que os alunos utilizaram para efetuar a expressão numérica. Dizer a eles que basta multiplicar os numeradores dos fatores para obter o numerador do produto e multiplicar os denominadores desses fatores para obter o denominador desse produto. Como a única operação envolvida nesta expressão é a multiplicação, a ordem em que as operações são realizadas não interfere no resultado, pois a ordem dos fatores não altera o produto (propriedade comutativa da multiplicação). 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de multiplicação de frações. Para a resolução do item c, é importante que os alunos utilizem a relação de equivalência entre as seguintes pontuações: moeda de ouro com a moeda de prata; moeda de prata com a moeda de bronze. 4. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de multiplicação de frações. Para auxiliar os alunos na resolução, questioná-los sobre qual a fração que representa as mulheres idosas em relação ao total de idosos. Neste 3 5 2 3 caso, , pois _ = . 5 5 5 5 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as operações de subtração e multiplicação de frações. Para resolver o item a, é importante verificar se os alunos compreenderam que a quantia total do salário de Fabiano pode ser representada por uma unidade que, por conveniência, pode ser indicada com a fra20 ção aparente . 20 6. Esta atividade trabalha uma estratégia para a multiplicação de frações. Dizer aos alunos que realizar simplificações antes de efetuar as multiplicações permite o cálculo com números de menor valor,

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2. Efetue os cálculos a seguir e simplifique o resultado, quando possível. 5 15 5 3 5 a) 6 ? c) ? 8 4 9 2 6 1 7 7 8 10 4 40 b) d) ? ? ? 7 21 4 3 12 18 3 3. Clarice está brincando com um jogo de tabuleiro que contém as seguintes moedas fictícias.

a) Após pagar a mensalidade do curso de 17 inglês, que fração do salário de Fabiano 20 resta? b) Que fração do salário Fabiano separa para poupar? 17 80 c) Sabendo que o salário de Fabiano é de R$ 1 840,00, qual a quantia que ele poupa por mês? R$ 391,00. 7 9 , Túlio inicial? ? 2 14 6 mente fez simplificações. Na 1a etapa, ele dividiu 7 e 14 por 7, que é divisor comum deles. Na 2a etapa, dividiu 6 e 9 por 3, que é divisor comum deles, e efetuou as multiplicações.

6. Para calcular

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Moeda de ouro.

Moeda de prata.

Moeda de bronze.

Cada moeda equivale a uma pontuação diferente. Uma moeda de ouro equivale 9 a da pontuação de uma moeda de prata 2 4 da e uma moeda de prata equivale a 3 pontuação de uma moeda de bronze.

1ª- etapa

5 71 9 ? ? 6 2 14 2 2ª- etapa

5

a) A quantas moedas de prata equivalem 6 moedas de ouro? 27 moedas de prata.

6

2

b) A quantas moedas de bronze equivalem 3 moedas de prata? 4 moedas de bronze.

?

71 2

?

93 14

2

=

5 2

?

1 2

?

3 2

=

15 8

Utilize a mesma estratégia que Túlio e efetue. 3 10 1 2 a) 12 ? 3 6 ? c) ? 5 5 7 9 21 6 5 14 8 b) 20 ? d) 15 ? 8 ? 5 25 21 15 9 2 3 16 4

c) A quantas moedas de bronze equivale uma moeda de ouro? 6 moedas de bronze. 4. No Brasil, a parte da população idosa, com 60 anos ou mais de idade, está 1 aumentando. Em 2015, cerca de dos 7 brasileiros eram idosos, sendo que aproxi2 madamente deles eram homens. Que 5 fração da população brasileira, em 2015, correspondia a mulheres idosas? 3 35 5. Fabiano trabalha como atendente em um consultório médico. Do salário que 3 recebe, ele utiliza para pagar a men20 salidade do curso de inglês. Da quantia 1 restante, ele poupa . 4

5

7. Determine o inverso de cada número. a)

13 8 8 13

b) 10

1 10

c) 1 1 d)

1 99 99

8. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo a multiplicação de frações. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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o que pode agilizar as operações. No entanto, é necessário que fique bem esclarecido que essa estratégia é válida para a multiplicação de frações, em que se divide o numerador de uma das frações e o denominador de outra fração por um mesmo número diferente de zero, isto é, um divisor comum.

7. Esta atividade trabalha a determinação do inverso de um número racional diferente de zero. 8. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo a multiplicação de números racionais. O contexto proposto para a elaboração dos problemas – sabores

preferidos de suco para a confraternização – é apenas uma sugestão. É possível, de acordo com temáticas de interesse da turma, estabelecer outro contexto. Ao final, propor aos alunos que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma, valorizando aqueles com diferentes estruturas.

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Divisão de frações Ao trabalhar com divisão de um número natural por fração, explicar aos alunos que foram utilizadas duas figuras idênticas, cada uma para representar 1 kg de açúcar. Além disso, a divisão de cada figura em 5 partes iguais ocorre de1 vido à divisão pela fração . 5 No trabalho com divisão de fração por número natural, é importante que os alunos compreendam que, nesse caso, foi utilizada para representá-la apenas uma figura, pois estamos dividindo parte de um inteiro.

Divisão de frações Divisão de um número natural por fração Eliana está preparando uma receita de bolo de fubá, na qual um dos ingredientes é 1 kg de açúcar. Com todo o conteúdo de um pacote de 2 kg de açúcar, quantas receitas 5 iguais a essa ela pode preparar? 1 Para resolver esse problema, temos de verificar quantas vezes kg “cabe” em 2 kg, 5 1 ou seja, calcular 2 : . Observe como podemos realizar esse cálculo usando figuras. 5 • Representamos cada quilograma de açúcar por uma figura dividida em 5 partes 1 iguais. Cada parte representa kg de açúcar. 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 = 10 5 Portanto, todo o conteúdo do pacote de açúcar é suficiente para Eliana preparar 10 receitas iguais a essa. 2:

1 4

2 4

3 4

Esta parte em vermelho indica

No marcador de combustível do carro de Gustavo, os a quantidade de combustível traços indicam divisões em partes iguais da capacidade E F na reserva do tanque. desse tanque. Que fração da capacidade desse tanque de combustível corresponde à reserva? 1 da É importante notar que traços menores dividem cada parte correspondente a 4 capacidade do tanque em 3 partes iguais, sendo que uma dessas partes corresponde à 1 reserva. Assim, para resolver esse problema, temos de calcular : 3. Observe. 4 • Inicialmente, representamos a capacidade desse tanque por uma figura dividida em 4 partes iguais e destacamos uma dessas partes, ou seja, 1 . Depois, dividimos 4 a parte destacada em 3 partes iguais e consideramos uma dessas partes, que corresponde à reserva do tanque. 1 12 Portanto,

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Divisão de fração por número natural

1 1 :3= 12 4

1 da capacidade desse tanque corresponde à reserva. 12 117

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Débora é vendedora ambulante de café. Ela utiliza uma garrafa térmica e copos descartáveis com capacidade equivalente a 1 18 1 de sua da capacidade da garrafa. Quando a garrafa está com 3 capacidade, quantos copos de café ela consegue servir?

LEANDRO MARCONDES

Divisão de fração por fração

Uma outra possibilidade de realizar divisão de fração por fração é por meio de um algoritmo, no qual dividimos numerador por numerador e denominador por denominador, como é apresentado na parte inferior desta página. Caso julgar necessário, antes de iniciar o trabalho com as atividades, apresentar mais alguns exemplos de divisões de fração por fração, multiplicando o dividendo pelo número inverso do divisor. Explicar aos alunos que a estratégia apresentada para resolver divisões de frações sem auxílio de figuras é válida para todos os casos apresentados anteriormente: divisão de um número natural por uma fração; divisão de fração por um número natural.

Para resolver esse problema, temos de obter quantas 1 1 1 vezes “cabe” em 1 , ou seja, calcular : . Observe. 18 3 18 3 1o) Representamos a capacidade da garrafa por meio de uma mesma figura dividida de duas maneiras diferentes.

Cada parte representa 1 da 3 capacidade da garrafa.

Cada parte representa 1 da 18 capacidade da garrafa.

2o) Comparamos as figuras e destacamos partes delas para determinar quantas vezes 1 1 “cabe” em . 18 3

PARA PENSAR Uma resposta possível: Inicialmente, escrevemos a divisão por meio de uma fração. Depois, multiplicamos cada termo da fração pelo número inverso 1 do denominador. Como e 18 18 são números inversos, obte1 mos 1 como denominador. Por 1 fim, podemos notar que : 3 1 : corresponde a multiplicar 18 1 1 pelo inverso de . 3 18

1 1 : =6 3 18 1 da capacidade da garrafa podem ser servidos 6 copos de café. Assim, com 3 Podemos efetuar divisões envolvendo frações sem o auxílio de figuras. Observe o exemplo. 1 18 1 18 1 ? ? 3 1 1 18 18 3 1 1 1 3 = : = 6 ? = = = = 1 1 18 3 1 3 1 3 18 ? 18 1 18 De maneira geral, para obter o quociente de uma divisão envolvendo frações, podemos multiplicar o dividendo pelo número inverso do divisor. Observe mais exemplos. •

2 5 2 7 2 ? 7 14 = : ? = = 3 7 3 5 3 ? 5 15

• 8:

8?5 40 2 5 = =8? = = 20 2 2 5 2

Explique a um colega as etapas realizadas no cálculo anterior. Resposta nas Orientações para o professor.

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1 1 : pelo algoritmo. 3 18 18 18 1. 3 3 1 1 1 1:1 18 = = =6 : = = = 3 3 18 3 : 18 3 1 3 18 . 18 18 3

Observe, a seguir, como realizar a divisão

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Podemos verificar a validade deste algoritmo fazendo a divisão de frações genéricas, em que a, b, c e d são números inteiros diferentes de zero. a d a d a . . c b c b c a a:c c = b = = : = = b d b:d 1 b d . d b a d a d d . = . = c b b c Note que, esse resultado é equivalente a multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

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18 1:00 PM

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em cada item, calcule as divisões e, quando possível, simplifique o resultado. a) 10 : b) c)

2 6

:

3 40 4 3

d)

1 2 2 3

e)

13

: 26 1 40 20

4. Esta atividade trabalha relações entre as operações de multiplicação e divisão de frações. Para a resolução, é importante relembrar com os alunos a relação inversa entre as operações de multiplicação e divisão. Este assunto já foi estudado na Unidade 2 do Volume 6 desta coleção. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de divisão de frações. Uma maneira de resolvê-la é proceder com a seguinte estratégia: como uma caneca 2 L tem capacidade para 3 de água, três canecas têm capacidade para 2 L, pois 2 1 3. = 2. Dividindo L de 3 2 água que se pretende inserir na caneca pela capacidade das 1 1 :2= ; 3 canecas, temos 2 4 1 L. Mas, como esou seja, 4 tamos supondo que encheremos 3 canecas, temos que 1 3 1 3 . = . Portanto, L 4 4 2 3 de água encherá de uma 4 caneca com capacidade para 2 L. 3 6. Esta atividade trabalha a operação de divisão de frações. 7. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo a divisão de números racionais. É importante avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla o conceito proposto. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções.

Resoluções na p. 284

9 25 11 3

f) 32 :

:

18

8 25

16

:7 8 9

4. Em cada item, realize cálculos e descubra a fração que pode substituir o . a)

11 21

:

1 7

b) 6 ? 11

36

2. Isabel estava resolvendo as divisões propostas pelo professor de Matemática por meio de desenhos. Ela resolveu corretamente uma dessas divisões com estas figuras.

c)

:

d)

?

=

7

7 ou 1 . 2 14 2

= 9 99 ou 3 . 4 22 132 3 5 7 8

=

5 15 ou 3 . 8 8 40

= 56 448 ou 64. 7

5. (Obmep-2013) Ângela tem uma caneca 2 com capacidade para L de água. Que 3 fração dessa caneca ela encherá com 1 2 a) b)

L de água? Alternativa c. 7 12 2

d) e)

5 6 4

3 3 a) Qual das divisões a seguir Isabel resolveu c) 3 usando essas figuras? II. 4 8 5 4 I. 10 : III. : 6. Alberto tem uma barraca em um 9 10 8 mercado municipal, onde vende diver4 2 :2 II. IV. 1 : sos tipos de tempero. Um dos mais 5 6 vendidos é o pacote de açafrão em pó. 2 4 b) Qual é o resultado dessa divisão? ou . Com 5 kg de açafrão em pó, quantos 5 10 1 3. Daniel recebe mesada de seus pais. Dois pacotes com kg cada um Alberto 4 quintos da mesada, ele guarda em um pode preparar? 20 pacotes. cofrinho. Da parte que sobra, gasta metade com passeios. 7. No caderno, elabore e escreva um proa) Que fração da mesada Daniel gasta com blema envolvendo a divisão de frações. passeios? 3 Em seguida, junte-se a um colega, e 10 troquem os problemas para que um b) Sabendo que a mesada de Daniel é resolva o do outro. Juntos, verifiquem de R$ 60,00, quanto ele guarda no se as respostas estão corretas. cofrinho? R$ 24,00. Resposta pessoal. 119

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a operação de divisão de frações. Propor aos alunos que escolham algum dos itens para que seja resolvido com auxílio de figuras.

2. Esta atividade trabalha a compreensão da operação de divisão de frações. Após os alunos resolverem o item a, pedir a eles que escolham uma divisão entre os itens I, III e IV para resolvê-lo utilizando figuras. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada,

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as operações de multiplicação e divisão de frações. Para a resolução do item a, verificar se os alunos perceberam que eles devem determinar, primeiramente, a parte que so3 bra da mesada, ou seja, . 5 Em seguida, dividir essa fração por 2.

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NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA10, EF07MA11, EF07MA12 e EF07MA33. Verificar se os alunos compreenderam os valores posicionais dos algarismos de acordo com sua posição ocupada no número. Para isso, escrever um número decimal na lousa e, com os alunos, indicar o valor posicional de cada algarismo, a escrita por extenso e sua decomposição, como no exemplo a seguir. 8,153

Números racionais na forma decimal Nos Jogos Olímpicos Rio 2016, o brasileiro Arthur Zanetti conquistou a medalha de prata na prova de argolas da ginástica artística. Para conseguir essa posição, o atleta marcou 15,766 pontos. Essa pontuação corresponde a um número racional representado na forma decimal, em que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. Parte inteira

Parte decimal

C

d

c

m

7

6

6

D

U

1

5

,

1 5, 7 6 6

3 milésimos = 0,003 unidade 5 centésimos = 0,05 unidade 1 décimo = 0,1 unidade 8 unidades

6 milésimos = 0,006 unidade 6 centésimos = 0,06 unidade 7 décimos = 0,7 unidade 5 unidades 1 dezena = 10 unidades

Lê-se: "oito inteiros e cento e cinquenta e três milésimos". 8,153 = 8 + 0,1 + 0,05 + + 0,003

Transformação de um número racional na forma decimal para a forma de fração É importante que os alunos percebam que, para transformar um número racional na forma decimal para a forma de fração, eles podem utilizar as frações decimais, ou seja, aquelas cujo denominador são potências de base 10. Para complementar, se julgar conveniente, pedir aos alunos que indiquem o valor posicional de alguns algarismos dos números apresentados nos exemplos. Além disso, propor a eles os seguintes questionamentos. • Qual é o valor posicional do algarismo 8 no número 0,8? E no número 0,85? Respostas: 8 décimos ou 0,8 unidade. 8 décimos ou 0,8 unidade. • Em qual dos números apresentados o 5 possui o maior valor posicional? Resposta: 6,5.

MINAS PANAGIOTAKIS/GETTY IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ginasta brasileiro Arthur Zanetti em competição. Fotografia de 2017.

Lê-se: quinze inteiros e setecentos e sessenta e seis milésimos. Agora, observe como podemos decompor esse número. 15,766 = 10 + 5 + 0,7 + 0,06 + 0,006

Transformação de um número racional na forma decimal para a forma de fração A leitura de um número racional na forma decimal auxilia a escrita desse número na forma de fração. Observe alguns exemplos. a) 0,8 =

8 10

4

=

c) 0,125 =

5

oito décimos

b) 0,85 =

85 100

=

17 20

oitenta e cinco centésimos

125 1000

=

1 8

cento e vinte e cinco milésimos

d) 6,5 = 6 +

5 10

=

60 10

+

5 10

=

65 10

=

13 2

seis inteiros e cinco décimos

120

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18 4:58 PM

Essa estratégia de divisão do numerador pelo denominador será tratada na atividade 4 da página 130 desta Unidade.

Transformação de um número racional na forma de fração para a forma decimal Para obter a forma decimal de um número racional na forma de fração, podemos determinar uma fração decimal equivalente. Observe alguns exemplos. :4

?2

a)

2 5

=

4 10

c)

= 0,4

28 40

?2

18 25

=

7 10

= 0,7

:4 ?8

?4

b)

=

72 100

d)

= 0,72

184 125

=

1 472 1 000

= 1,472

?8

?4

Comparação de números decimais

LEANDRO MARCONDES

Observe quantos quilogramas de castanhas-do-pará há em cada pacote a seguir.

Para comparar as massas de dois desses pacotes, primeiro comparamos a parte inteira em quilograma. Caso a parte inteira seja igual, comparamos a parte decimal: inicialmente os décimos, depois os centésimos, e assim por diante. Observe algumas comparações. • 2,053 kg e 1,500 kg 2 , 0 5 3

• 1,260 kg e 1,237 kg 1 , 2 6 0 =

2,053 . 1,500 1 , 5 0 0

=

1,260 . 1,237

1 , 2 3 7

O pacote de 2,053 kg é mais pesado do que o de 1,500 kg.

O pacote de 1,260 kg é mais pesado do que o de 1,237 kg.

• 1,260 kg e 1,500 kg 1 , 2 6 0

• 1,268 kg e 1,260 kg 1 , 2 6 8

=

=

1,260 , 1,500

1 , 5 0 0 O pacote de 1,260 kg é mais leve do que o de 1,500 kg.

= =

1,268 . 1,260

1 , 2 6 0 O pacote de 1,268 kg é mais pesado do que o de 1,260 kg. 121

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Transformação de um número racional na forma de fração para a forma decimal Ao trabalhar este tópico, é importante também que os alunos percebam que podem utilizar as frações decimais, ou seja, aquelas cujo denominador são potências de base 10.

Outra maneira de transformar um número da forma de fração para a forma decimal é realizar a divisão indicada pela fração. Observe os exemplos. 2 corresponde a 2 : 5. Re• 5 alizando esse cálculo na calculadora, obtemos 0,4. Portan2 to, = 0,4. 5

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18 corresponde a 18 : 25. • 25 Realizando esse cálculo na calculadora, obtemos 0,72. Por18 tanto, = 0,72. 25

Comparação de números decimais Comentar que, dependendo da região do país, a castanha-do-pará pode ser conhecida como castanha-do-brasil. Chamar a atenção dos alunos para que percebam que o procedimento utilizado é similar ao aplicado na comparação de números naturais. Se julgar conveniente, apresentar a comparação de alguns números decimais utilizando a reta numérica. Verificar a possibilidade de realizar uma dinâmica com os alunos. Para isso, escolher um aluno da turma e pedir a ele que registre um número decimal qualquer na lousa. Em seguida, o restante da turma deve indicar um número decimal que seja maior e outro que seja menor do que o registrado. Para tornar a dinâmica mais desafiadora, é interessante estabelecer algumas regras em cada rodada. Por exemplo, que os alunos tenham que indicar números em que a parte inteira seja igual ao do número registrado inicialmente na lousa. Para complementar, propor aos alunos a situação a seguir. • Na prova de argolas em que Arthur Zanetti conquistou a medalha de prata nos Jogos Olímpicos do Rio 2016, os outros dois medalhistas foram o grego Eleftherios Petrounias, com 16 000 pontos, e o russo Denis Abliazin, com 15 700 pontos. Nessa prova, quanto maior a pontuação, melhor colocado o atleta fica. Com base nessas informações, responda os itens a seguir. a) Qual atleta conquistou a medalha de ouro? Resposta: Eleftherios Petrounias. b) Qual atleta conquistou a medalha de bronze? Resposta: Denis Abliazin.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a leitura de números racionais na forma de número decimal e a transformação dessa representação para a forma de fração. Verificar se os alunos realizam a leitura correta dos números, separando a parte inteira da parte decimal e lendo a parte decimal de acordo com a última casa decimal utilizada. Caso julgar necessário, realizar um ditado de números decimais, no qual o professor diz o número e os alunos o registram no caderno, com algarismos. 2. Esta atividade trabalha a representação de um mesmo número racional na forma de número decimal e na forma de fração. No item c, a figura não está dividida em uma quantidade de partes correspondente a uma potência de base 10, como ocorre nos demais itens. Nesse caso, orientar os alunos a escrever a fração de acordo com a quantidade de partes que a figura está dividida, obter a fração decimal equivalente e, por fim, determinar o número decimal correspondente. 3. Esta atividade trabalha a comparação e ordenação de números racionais e a associação deles a pontos na reta numérica. Uma estratégia para resolvê-la é organizar os números do quadro em ordem crescente ou decrescente e relacioná-los com as letras correspondentes indicadas na reta numérica, de acordo com a organização realizada. 4. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e ordenação de números racionais. Se julgar conveniente, realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Geografia sobre o IDH. Nesse trabalho, alguns questionamentos podem ser propostos, como: “Para que ele serve?”; “Onde os dados obtidos são publicados?”; “Qual a importância desse índice

Resoluções na p. 284

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. • a:

1. d) Quatro inteiros e dezesseis milésimos. 7

10 1. Escreva como se lê cada número decimal 1. c) Dois inteiros e trezentos e a seguir. quarenta e cinco milésimos. a) 0,7 Sete décimos. c) 2,345

; b:

115 100

=

23 20

; c:

2. Em cada item a seguir, a figura está dividida em partes iguais. Escreva uma fração decimal e um número decimal para representar a parte destacada em verde de cada figura. 6 10

b)

; 0,6.

71 100

c)

4 5

8 10

; 0,8.

3. Cada letra indicada na reta numérica a seguir corresponde a um dos números do quadro. No caderno, escreva cada letra e o número correspondente. AB 0

CD 1

2,65 1,34

E 2

2,28 0,6

469 200

; d:

4 016 1 000

=

502 125

País

IDH

Argentina

0,827

Brasil

0,754

Chile

0,847

Colômbia

0,727

Equador

0,739

Peru

0,740

Uruguai

0,795

Venezuela

0,767

Fonte: UNDP. Human Development Report 2016. Disponível em: <www.br.undp.org/content/dam/brazil/ docs/RelatoriosDesenvolvimento/undp-br-2016-humandevelopment-report-2017.pdf>. Acesso em: 30 jul. 2018.

; 0,71.

=

=

Oito países com o maior IDH na América do Sul, em 2015

b) 1,15 d) 4,016 1. b) Um inteiro e quinze centésimos. • Agora, escreva esses números na forma de fração decimal e a simplifique quando possível.

a)

2 345 1 000

F 3

a) Qual desses países teve o maior IDH em 2015? E qual teve o menor IDH? Chile. Colômbia. b) Em 2015, quais desses países tiveram o IDH entre 0,750 e 0,800? Brasil, Uruguai e Venezuela. c) Quais desses países tiveram o IDH maior que o do Brasil em 2015? Argentina, Chile, Uruguai e Venezuela. 5. A temperatura corporal normal de uma pessoa varia entre 36 ºC e 36,7 ºC. A febre é uma reação do organismo que se caracteriza pelo aumento da temperatura corpórea acima de 37,8 ºC. Observe os termômetros indicados a seguir, que foram utilizados para medir a temperatura de algumas pessoas, e indique quais delas estão com febre. Luiza e Tales.

1,335 0,648

4. O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida que leva em consideração três fatores de uma população: renda, educação e saúde. Observe as informações e resolva as questões. 3. A: 0,6; B: 0,648; C: 1,335; D: 1,34; E: 2,28; F: 2,65.

DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Samuel.

Luiza.

Tales.

Vitória.

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para o desenvolvimento de um país?”; entre outros. 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação de números racionais representados na forma decimal. Se possível, realizar um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Ciências a respeito dos efeitos

da variação da temperatura no corpo humano e os riscos do aumento ou diminuição desta. É importante que os alunos percebam que, apesar da temperatura de Vitória não estar no intervalo considerado normal, ela não está com febre. Para complementar, propor aos alunos que localizem

as temperaturas indicadas nos termômetros em parte de uma reta numérica.

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8. b) R$ 13,45; R$ 18,25; R$ 18,50; R$ 18,95; R$ 19,00; R$ 34,90. 6. Os terremotos são vibrações na crosta Areia fina Areia média Areia grossa terrestre que podem ser causadas por vulGrãos entre Grãos entre Grãos entre canismos, falhas geológicas ou movimento 0,06 mm e 0,20 mm e 0,60 mm e das placas tectônicas. A escala Richter é 0,20 mm. 0,60 mm. 2 mm. uma maneira de medir a magnitude de No depósito dessa loja, involuntariaum terremoto. Veja informações sobre mente, foram misturadas areia fina e alguns terremotos e resolva as questões. areia grossa. Para separar parte desses Ocorrência de terremotos no mundo dois tipos de areia, serão utilizadas Magnitude peneiras. Quais dos modelos de peneira a Local Ano (escala Richter) seguir podem ser usados nesse trabalho? Alasca a e d. 1964 9,2 a) Peneiras com furos de 0,5 mm. (Estados Unidos) b) Peneiras com furos de 0,9 mm. Atencingo (México) 2017 7,1 c) Peneiras com furos de 0,1 mm. Sumatra (Indonésia) 2004 9,1 d) Peneiras com furos de 0,3 mm. Valdívia (Chile) 1960 9,5 8. Antes de comprar um livro que gostaria Fonte: UOL NOTÍCIAS INTERNACIONAL.Top 10: após revisão, terremoto no Japão passa a ser o quarto maior da história. de ler, Jorge está pesquisando em um Disponível em: <https://noticias.uol.com.br/internacional/ site que compara o preço em diversas listas/top-10---maiores-terremotos-da-historia.jhtm> lojas. Observe. MÉXICO SOFRE novo terremoto, de magnitude 7,1. Veja.

Efeito de terremoto no México. Fotografia de 2017. 9,5; 9,2; 9,1; 7,1.

a) Escreva, em ordem decrescente, as magnitudes desses terremotos na escala Richter. b) Os terremotos que atingem mais de 8 graus na escala Richter são considerados catastróficos, podendo destruir municípios inteiros. Quais desses terremotos podem ser classificados assim? Terremotos de Valdívia, do Alasca e de Sumatra. c) Pesquise sobre algum terremoto que tenha ocorrido recentemente no mundo. Registre o local onde ele ocorreu, a data e a magnitude na escala Richter. Resposta pessoal. 7. Certa loja de materiais de construção vende três tipos de areia, que se diferenciam pelo tamanho dos grãos. Observe.

ARTUR FUJITA

MANUEL VELASQUEZ/ANADOLU AGENCY/GETTY IMAGES

Disponível em: <https://veja.abril.com.br/mundo/forteterremoto-atinge-o-mexico/>. Acessos em: 31 out. 2018.

Cia do livro, Ponto do livro e Livraria Meu Livro. a) Em quais lojas Jorge poderá comprar esse livro gastando no máximo R$ 18,50?

b) Escreva os preços obtidos na pesquisa em ordem crescente. c) Em qual loja você acha que Jorge deve comprar o livro? Explique por quê. Respostas pessoais. 9. Observe as fichas a seguir. 7

0

1

2

,

Agora, utilizando uma única vez os algarismos e a vírgula apresentados nessas 5 fichas, escreva: a) o menor número possível. 0,127 b) um número entre 2 e 2,5. Respostas possíveis: 2,107; 2,170; 2,017; 2,071. c) um número maior que 7,5. Algumas respostas possíveis: 12,70; 21,07; 70,12; 701,2.

8. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e ordenação de números racionais. Dizer aos alunos que o nome do livro e o das lojas são fictícios. Se julgar conveniente, levar os alunos ao laboratório de informática e pedir a eles que acessem um site de comparação de preços e pesquisem o preço de um produto, para que possam ver como funciona. Nesse momento, aproveitar a oportunidade e propor aos alunos que anotem no caderno o preço do produto pesquisado em seis lojas diferentes e elaborem duas questões com base nas informações pesquisadas. Em seguida, pedir que troquem essas questões com um colega, para que um resolva a do outro e, por fim, confiram as resoluções juntos. No item c, é interessante discutir com os alunos os critérios de escolha utilizados. Informá-los de que outros fatores devem ser considerados além do preço do produto, como frete, prazo de entrega, forma de pagamento e confiabilidade da loja. 9. Esta atividade trabalha a comparação de números racionais. É importante que os alunos compreendam que a ficha com a vírgula não pode ser a primeira nem a última na composição dos números. No item c, não é possível escrever um número, entre 0 e 10, maior do que 7,5. Assim, os números formados devem ser maiores do que 10.

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6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação e ordenação de números racionais. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho sobre os terremotos em conjunto com o professor da disciplina de Geografia, destacando os motivos pelos quais eles ocorrem e suas consequências, além de realizar a leitura e

a interpretação de informações relacionadas a terremotos em mapas. 7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a comparação de números racionais. É importante que os alunos compreendam que as medidas dos furos utilizadas para separar a areia fina da areia grossa devem ser entre

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0,20 mm e 0,60 mm. Uma vez que os grãos da areia fina podem ter no máximo 0,20 mm, em uma peneira com furos maiores do que 0,20 mm os grãos de areia fina vão passar e, em uma peneira com furos menores do que 0,60 mm os grãos de areia grossa não passarão.

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Adição e subtração de números decimais Durante o trabalho com essas operações, é importante que os alunos compreendam como organizar os números ao utilizar o algoritmo usual: milésimo sobre milésimo, centésimo sobre centésimo, décimo sobre décimo, vírgula sobre vírgula, unidade sobre unidade e assim sucessivamente. Além disso, em alguns casos, antes de efetuar os cálculos, há necessidade de acrescentar zeros à direita do último algarismo significativo do número para igualar a quantidade de casas decimais, o que não altera o valor do número. Dizer aos alunos que essa organização auxilia na resolução das “trocas” de ordens. PARA PENSAR Os alunos podem apresentar como resposta a redução na utilização de carro e o uso de outro tipo de transporte; na escola podem destacar a redução do consumo de papel. Além disso, é interessante aproveitar a oportunidade para ampliar a discussão não ficando apenas no âmbito da economia financeira, mas abrangendo questões ambientais. Para complementar, conversar com os alunos sobre a importância de economizar água e energia elétrica. No trecho a seguir há dicas de economia de energia que podem ser apresentadas aos alunos. [...] Chuveiro elétrico

• A chave na posição ve-

rão gasta até 40% menos energia. • Evite banhos quentes e demorados. [...] Geladeira

• Não abra a porta da ge-

ladeira sem necessidade. • Evite guardar alimentos ainda quentes. • Verifique se as borrachas de vedação estão em bom estado. [...]

Adição e subtração de números decimais Você e seus familiares têm o hábito de controlar as despesas mensais e de fazer economia? Economizar faz parte da rotina de muitas famílias que tentam reduzir as despesas para equilibrar o orçamento doméstico. Pensando nisso, a família de Paula adotou alguns hábitos simples, como diminuir o tempo de banho, reduzindo o consumo de água e de energia elétrica. Com isso, eles conseguiram economizar. Veja a seguir o controle dessas despesas em dois meses. GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para calcular quantos reais essa família gastou com essas faturas em cada mês, podemos realizar adições. • Março. 1

1

+ 2

8 5 4

5 6 1

, , ,

1

7 5 2

8 0 8

, , ,

1

1

3 2 6

6 5 1

1 4 6

5 8 3

• Abril. 1

1

+ 2

Organizamos as parcelas de maneira que fiquem centésimo sobre centésimo, décimo sobre décimo, unidade sobre unidade etc.

Assim, essa família gastou R$ 241,61 em março e R$ 228,63 em abril. Agora, para saber quantos reais essa família economizou no pagamento das faturas de abril em relação a março, podemos realizar uma subtração.

2 2 0

4 2 1

3

1 8 2

10

, , ,

6 6 9

15

1 3 8

11

Portanto, em relação a março essa família economizou R$ 12,98 no pagamento das faturas de abril. Quais atitudes, além da apresentada, podem ser tomadas em sua residência e na escola para economizar? Por que essas atitudes são importantes? Respostas pessoais. 124

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Lâmpadas

• Troque lâmpadas incandescentes por fluorescentes compactas. • Apague as lâmpadas dos ambientes desocupados. • Evite acender lâmpadas durante o dia. Aproveite a luz do sol, abrindo janelas e cortinas.

[...] ELETROBRAS. Consumidores: dicas de uso seguro e eficiente da energia. Disponível em: <http://eletrobras. com/pt/Paginas/Dicas-de-Uso-Seguroe-Eficiente-da-Energia.aspx>. Acesso em: 12 out. 2018.

AMPLIANDO

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Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações a respeito da economia de água. • SABESP. Dicas de Economia de Água. Disponível em: <http://livro.pro/695oh5>. Acesso em: 12 set. 2018.

124

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D3-MAT-F


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4. a) Resposta esperada: Ela arredondou o subtraendo para a unidade mais próxima e realizou a subtração. Depois, AtividadeS NÃO ESCREVA adicionou ao resultado 0,1 para compensar o cálculo inicial NO LIVRO. com arredondamento. 1. Considerando as despesas da família 4. Observe como Karina pensou para calde Paula, indicadas na página anterior, cular o resultado de 5,3 – 1,9. resolva as questões. a) Quantos reais essa família gastou em 5,3 _ 2 = 3,3 março e abril com a fatura de: 3,3 + 0,1 = 3,4 R$ 363,51. • água? • energia elétrica? Então: 5,3 _ 1,9 = 3,4. R$ 106,73. b) Quantos reais essa família economizou em abril, em relação a março, no pagamento da fatura de: • água? • energia elétrica? R$ 7,21. R$ 5,77. a) Em sua opinião, como Karina pensou 2. Calcule. para realizar esse cálculo? a) 325,43 + 278,39 603,82 b) Use a estratégia que preferir e realize os b) 469,21 _ 297,14 172,07 cálculos mentalmente. c) 1,7 + 3,428 5,128 • 9,3 _ 2,9 6,4 • 12,5 + 6,819,3 d) 23,002 _ 5,99 17,012 • 6,8 + 4,9 11,7 • 7,6 _ 3,1 4,5 e) 89,45 + 33,19 _ 7,8 114,84 5. Qual é o perímetro de um triângulo cujos 3. Observe no cartaz o preço dos produtos lados medem 2,8 m, 5,25 m e 4,75 m? à venda em um quiosque na praia. E o perímetro de um retângulo cujas dimensões têm 6,05 m e 3,56 m? 12,8 m. 19,22 m. 6. Você lembra o que é um quadrado mágico? Nele, a soma dos números em cada linha, coluna ou diagonal é a mesma. Essa soma é a constante mágica. ARTUR FUJITA

Resoluções na p. 284

ARTUR FUJITA

Descubra a constante mágica do quadrado mágico a seguir. Depois, copie e complete com os números que faltam. Arredonde os preços desses produtos para o valor inteiro mais próximo e calcule quanto uma pessoa gasta aproximadamente nesse quiosque ao comprar:

10,8

12 14,4

a) um suco natural e um milho? R$ 9,00. b) um sanduíche natural e uma taça de açaí? R$ 24,00. c) dois picolés e dois milhos?R$ 12,00. d) uma salada de frutas e dois sanduíches naturais? R$ 23,00. • Agora, com uma calculadora, obtenha o valor exato de cada compra e compare com o resultado aproximado. a: R$ 9,00; b: R$ 23,60; c: R$ 12,40; d: R$ 22,25.

10,8 20,4

43,2. Resposta nas Orientações para o professor.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

7. No caderno, elabore um quadrado mágico e deixe algumas células sem preencher. Em seguida, junte-se a um colega, e troquem os quadrados mágicos para que um complete o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as operações de adição e subtração de números racionais. 2. Esta atividade trabalha as operações de adição e subtração de números racionais. Sugerir aos alunos que, após

os cálculos, confiram os resultados em uma calculadora. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as operações de adição e subtração de números racionais utilizando arredondamentos e a calculadora. Verificar a possibilidade de levar para a sala de aula algumas calculadoras.

12

15,6 14,4 13,2 16,8 8,4

18

7. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo as operações de adição e subtração de números decimais. É importante avaliar se os números indicados inicialmente pelos alunos são suficientes para determinar a constante mágica, o que possibilita ao colega completar o quadrado mágico.

18

125

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4. Esta atividade trabalha estratégias de cálculos mentais envolvendo as operações de adição e subtração de números racionais. Explicar aos alunos que é possível realizar variações da estratégia apresentada para obter o resultado de 5,3 − 1,9. Observe um exemplo. • Arredondamos ambos os números para o inteiro mais próximo. Depois, adicionamos ao resultado 0,3 e 0,1 para compensar o cálculo inicial com arredondamento. 1 a) 5 – 2 = 3 2a) 3 + 0,3 + 0,1 = 3,4 5. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de adição de números racionais. Se julgar necessário, lembrar os alunos que o perímetro de uma figura geométrica plana corresponde ao comprimento de seu contorno. 6. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as operações de adição e subtração de números racionais. Veja a seguir a resposta desta atividade.

11/2/18 1:04 PM

Caso não haja calculadoras suficientes, organizar os alunos em grupos para que possam realizar esta atividade. Orientá-los a comparar os valores aproximados com os valores obtidos com a calculadora e pedir que avaliem se as aproximações são satisfatórias para esses casos.

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Multiplicação de números decimais Antes de iniciar o trabalho com o conteúdo desta página, representar na lousa um retângulo que possua lados com medidas indicadas com números decimais; por exemplo, lados medindo 2,1 cm e 3,9 cm. Em seguida, pedir aos alunos para determinarem a área do retângulo representado, arredondando a medida de seus lados para o inteiro mais próximo. Por fim, propor que calculem a área exata desse retângulo. O objetivo é fomentar um debate a respeito da posição da vírgula no resultado da multiplicacão de 2,1 cm e 3,9 cm. Dispondo de um resultado aproximado, é possível que eles determinem o local da vírgula da maneira esperada, mas o interessante é explorar as justificativas para tal escolha. Verificar se os alunos perceberam que, de maneira prática, para multiplicar dois números racionais na forma de número decimal, podemos desconsiderar as vírgulas e realizar a multiplicação. Ao final, indicamos a vírgula no produto, de maneira que ele fique com a mesma quantidade de casas decimais que a soma das quantidades de casas decimais dos fatores. Observe um exemplo. 4, 1 2 x 7, 5 2060 +28840 3 0, 9 0 0

Multiplicação de números decimais Alcides trabalha coletando e vendendo materiais recicláveis. Entre os materiais que ele coletou em certo dia estão dois tipos de arame. Observe as informações que ele obteve sobre esses materiais. Arame tipo A. • Massa por metro: 1,85 kg. • Quantidade recolhida: 7 m. Arame tipo B. • Massa por metro: 2,64 kg. • Quantidade recolhida: 8,5 m. Na cooperativa de recicláveis, Alcides vende esses materiais por quilograma. Para obter a massa de cada tipo de arame coletado, podemos realizar multiplicações envolvendo números decimais. Observe. • Arame tipo A. Para obter a massa desse arame, em quilogramas, temos de calcular o resultado de 7 ? 1,85. Fazemos 100 ? 1,85 = 185 para obter um número natural. Depois, calculamos o resultado de 7 ? 185.

1 x 1

5 7 5

9

1 295

:

100

=

12,95

• Arame tipo B. Para obter a massa desse arame, em quilogramas, temos de calcular 8,5 ? 2,64. Fazemos 10 ? 8,5 = 85 e 100 ? 2,64 = 264 para obter números naturais. Depois, calculamos o resultado de 85 ? 264.

2

6 8 1 3 2 + 2 1 1 2 2 2 4 4 Assim, foram coletados x

uma casa decimal

É importante relembrar com os alunos as propriedades da multiplicação. • Propriedade comutativa: em uma multiplicação, podemos trocar a ordem dos fatores que o produto não se altera. • Propriedade associativa: em uma multiplicação de três ou mais fatores, podemos as-

2

8

Para compensar o cálculo inicial 100 ? 1,85 = 185, dividimos o resultado por 100.

Assim, foram coletados 12,95 kg de arame do tipo A.

duas casas decimais

três casas decimais

DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para compensar os cálculos iniciais 10 ? 8,5 = 85 e 100 ? 2,64 = 264, dividimos o resultado por 1 000, pois 10 ? 100 = 1 000.

4 5 : 0 22 440 0 0 22,44 kg de arame do tipo B.

1 000

=

22,440

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sociar esses fatores de diferentes maneiras, sem que o produto se altere. • Elemento neutro: em uma multiplicação de dois fatores, quando um deles é 1, o produto é igual ao outro fator. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

• Propriedade distributiva:

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em uma multiplicação de um número por uma adição, podemos multiplicar esse número pelas parcelas e adicionar os resultados obtidos. Essa propriedade também é válida quando temos a multiplicação de um número por uma subtração.

126

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AtividadeS

Resoluções na p. 285 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Considerando as informações sobre os tipos de arame coletados por Alcides, calcule quantos quilogramas têm: a) 12,8 m do arame tipo A. 23,68 kg. b) 5 m do arame tipo B. 13,2 kg. 2. Calcule. a) 391 ? 4,6 1 798,6

c) 6,4 ? 18,3 117,12

b) 72,9 ? 50 3 645

d) 8,2 ? 2,67 21,894

LEANDRO MARCONDES

3. Joaquim comprou milho para alimentar as galinhas caipiras que cria em seu sítio. Ele distribuiu igualmente esse milho em 7 pacotes como o representado. Quantos quilogramas de milho Joaquim comprou? 53,2 kg.

4. Você se lembra das regularidades envolvidas nas multiplicações de números decimais por 10, 100 e 1 000? Use uma calculadora para obter os produtos indicados a seguir. Depois, escreva as regularidades observadas. a) 10 ? 0,183 1,83

d) 10 ? 12,4 124

b) 100 ? 0,183 18,3

e) 100 ? 12,4 1 240

c) 1 000 ? 0,183 183

f) 1 000 ? 12,4 12 400 5. Observe a seguir as relações entre unidades de medida de comprimento. Depois, realize cálculos mentais, copiando e completando as igualdades. 1 km = 1 000 m

1 cm = 10 mm

6. a) Resposta esperada: Propriedade distributiva da multiplicação. 8. b) Resposta esperada: Sim, pois em 1 hora e com essa velocidade de download é possível baixar um arquivo com 6 729 KB. 6. Observe como Érica fez para calcular o resultado de 4 ? 3,7.

alunos em grupos para que possam realizar esta atividade. 5. Esta atividade trabalha regularidades envolvendo a operação de multiplicação de números racionais. Para a resolução do item d, os alunos podem multiplicar primeiramente 4,8 por 100 para obter a medida em centímetros e, depois, multiplicar o resultado por 10 para obter a medida em milímetros. Outra possibilidade é multiplicar 4,8 apenas por 1 000, pois 1 m equivale a 1 000 mm. 6. Esta atividade trabalha estratégias de cálculo com a operação de multiplicação de números racionais com base na propriedade distributiva da multiplicação. 7. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, as operações de adição e multiplicação de números racionais. Caso julgar necessário, lembrar os alunos de que a área de um retângulo pode ser obtida multiplicando as medidas de dois de seus lados adjacentes. 8. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de multiplicação de números racionais. 9. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo operações de multiplicação de números decimais. É possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, uma sugestão é que alguns dos problemas desses sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

4 ? 3,7 = 4 ? (3 + 0,7) = = 4 ? 3 + 4 ? 0,7 = 12 + 2,8 = 14,8

a) Qual propriedade da multiplicação Érica usou nesse cálculo? b) Faça como Érica e calcule o resultado de: • 5 ? 6,1 30,5 • 8 ? 9,2 73,6 • 2 ? 13,4 26,8 • 20 ? 7,5 150 7. Uma folha de papel sulfite A4 tem formato retangular, com 29,7 cm de comprimento e 21 cm de largura. a) Quantos centímetros tem o contorno de uma folha de papel sulfite A4? 101,4 cm. b) Qual é a área, em centímetros quadrados, de cada face de uma folha dessas? 623,7 cm2. 8. Você já baixou ou viu alguém baixando arquivos para o computador, ou seja, fazendo download? Yara está fazendo o A sigla download de um arquivo. KB indica Ela percebeu que a cada a unidade minuto são transferidos de medida para o seu computador quilobaites. 112,15 KB. a) Nessa mesma velocidade de download, determine quantos quilobaites de um arquivo são baixados em: • 6 minutos. 672,9 KB. • 10 minutos. 1 121,5 KB. b) Podemos afirmar que, com essa velocidade de download, é possível baixar um arquivo de 1 000 KB em 1 hora? Por quê?

9. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo de multiplicação de números decimais. Em cm 2 355 a) 23,55 m = seguida, junte-se a um colega e troquem b) 82,7 km = m 82 700 o problema para que um resolva o do c) 105,74 cm = mm 1 057,4 outro. Juntos, verifiquem se as respostas d) 4,8 m = mm 4 800 estão corretas. Resposta pessoal. 4. Resposta esperada: Ao multiplicar um número por 10, 100 ou 1 000, a vírgula é “deslocada” uma, duas ou três casas para a direita, respectivamente. 127 1 m = 100 cm

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de multiplicação de números racionais. Para realizar esta atividade, é necessário que os alunos retomem as informações a respeito da massa

e do metro de cada tipo de arame na página anterior. 2. Esta atividade trabalha a operação de multiplicação de números racionais. Sugerir aos alunos que, após os cálculos, confiram os resultados em uma calculadora. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a

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operação de multiplicação de números racionais. 4. Esta atividade trabalha regularidades envolvendo a operação de multiplicação de números racionais. Verificar a possibilidade de levar para a sala de aula algumas calculadoras. Caso não haja calculadoras suficientes, organizar os

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Divisão de números naturais com quociente decimal Chamar a atenção dos alunos que os procedimentos para realizar as trocas nos cálculos utilizando o algoritmo usual são parecidos com aqueles apresentados para a divisão de números naturais, porém, em vez de realizarmos as trocas apenas envolvendo ordens inteiras (unidade, dezena, centena, por exemplo) estendemos essa ideia para as ordens não inteiras (décimos, centésimos, milésimos, por exemplo). Conversar com os alunos a fim de que eles compreendam que um número decimal exato, obtido em uma divisão, é diferente de uma divisão exata. Relembrar que uma divisão de números naturais é exata quando o resto é zero e o quociente é um número natural. Já quando o quociente de uma divisão de números naturais é um número na forma decimal, essa divisão é não exata. Caso eles confundam essas ideias, apresentar alguns exemplos e orientá-los a fim de esclarecer essa dúvida. Enfatizar que, na indicação de dízimas periódicas com a barra sobre os algarismos, a barra fica localizada apenas sobre os algarismos correspondentes ao período da dízima, isto é, apenas sobre o(s) algarismo(s) que se repete(m) indefinidamente.

Divisão de números naturais com quociente decimal Célia está pesquisando o preço de barras de cereal em um supermercado. Na embalagem representada, quanto custa cada barra de cereal? Para resolver esse problema, temos de calcular o resultado de 13 : 4. Observe. 1 3 _1 2 1

4 3

4 1 3 _ 1 2 3,2 10 _ 8 2

3 ? 4 = 12

Indicamos a vírgula no quociente para separar a parte inteira e a parte decimal.

2?4=8

Como não é possível dividir 1 dezena por 4 e obter dezenas inteiras como resultado, dividimos 13 unidades por 4. Obtemos 3 unidades e sobra 1 unidade.

LEANDRO MARCONDES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Trocamos 1 unidade por 10 décimos. Em seguida, dividimos 10 décimos por 4; obtemos 2 décimos e sobram 2 décimos.

4 1 3 _ 1 2 3,25 10 _ 8 20 _ 20 00

Trocamos 2 décimos por 20 centésimos. Em seguida, dividimos 20 centésimos por 4; obtemos 5 centésimos e não sobra resto.

5 ? 4 = 20 Portanto, nessa embalagem, cada barra de cereal custa R$ 3,25. Em uma divisão na qual o quociente é um número decimal e o resto é zero, dizemos que esse quociente está na forma de um número decimal exato. Agora, observe o cálculo de 8 : 3. 8 _6 2

3 2

Dividimos 8 unidades por 3. Obtemos 2 unidades e sobram 2 unidades.

3 8 _6 2,6 20 _1 8 2 Dividimos 20 décimos por 3; obtemos 6 décimos e sobram 2 décimos.

3 8 _ 6 2,66... 20 _1 8 20 _18 02

Dividimos 20 centésimos por 3; obtemos 6 centésimos e sobram 2 centésimos. Ao continuar essa divisão, obteremos indefinidamente o algarismo 6 no quociente e nunca teremos resto igual a zero.

;

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cálculos, mas é importante atentar a cada caso.

Em uma divisão na qual, no quociente, um ou mais algarismos da parte decimal se repetem indefinidamente e não é possível obter resto igual a zero, dizemos que esse quociente está na forma de dízima periódica. Os algarismos que se repetem indefinidamente são chamados de período.

Divisão com números decimais Lembrar os alunos de que a multiplicação e a divisão são operações inversas e que a uma multiplicação de dois fatores podemos relacionar duas divisões. Observe um exemplo. 40 ? 2,54 = 101,6

No cálculo 8 : 3, podemos indicar o quociente como 2,6, em que o período é 6. Observe outros exemplos. a) 15 : 11 = 1,36 b) 19 : 6 = 3,16 c) 85 : 12 = 7,083

Divisão com números decimais

101,6 : 40 = 2,54 101,6 : 2,54 = 40

Você conhece a unidade de medida de comprimento polegada? Essa unidade costuma ser utilizada para indicar, por exemplo, a medida da diagonal de telas de televisores, notebooks, tablets, celulares etc. Observe as informações que um fabricante indicou em certo aparelho.

Além disso, a uma divisão exata podemos relacionar uma multiplicação. Observe um exemplo. 11,43 : 4,5 = 2,54 H H 4,5 ? 2,54 = 11,43 Podemos estabelecer a relação geral para os casos em que temos uma divisão qualquer, como descrito a seguir: D=q?d+r Em que, D corresponde ao dividendo, q ao quociente, d ao divisor e r, ao resto. Conversar com os alunos a fim de que eles percebam que, no cálculo da divisão pelo algoritmo usual, devem multiplicar o divisor e o dividendo por uma mesma potência de base 10, de maneira que ambos fiquem sem algarismos depois da vírgula, isto é, para obter números naturais.

ARTUR FUJITA

4,5” é lido como 4,5 polegadas.

Para obtermos o valor aproximado, em centímetros, correspondente a 1”, podemos calcular o resultado de 11,43 : 4,5. Para isso, multiplicamos 11,43 e 4,5 por 100 para obtermos, respectivamente, os números naturais 1 143 e 450. Depois, realizamos a divisão de 1 143 por 450. 1 _

1 9 2 _2

4 0 4 2 1 _1 0

3 0 3 5 8 8 0

450 2,54 0 0 0 0 0

Um televisor de 40” tem a diagonal com mais de 1 m de comprimento? Explique como você pensou para responder.

0 0 0 Sim. Uma resposta possível: Como 40 ? 2,5 = 100 e 1” é aproximadamente igual a 2,54 cm, temos que 40” . 100 cm, ou seja, 40” . 1 m.

Assim, temos que 1” corresponde a aproximadamente 2,54 cm. 129

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Para complementar o trabalho com quocientes na forma de dízima periódica, solicitar aos alunos que realizem as divisões apresentadas nos exemplos, verifiquem os resultados obtidos e discutam o período de cada uma dessas dízimas periódicas (neste caso, a: 36; b: 6; c: 3). Em seguida, propor a

eles que realizem esses mesmos cálculos utilizando uma calculadora. Nesse momento, comentar com os alunos que, em alguns modelos de calculadora, o último algarismo mostrado no visor corresponde a um arredondamento. Por exemplo, no item b, ao calcular 19 : 6, obtemos o quociente 3,16,

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que pode aparecer no visor da calculadora como 3,1666667, dependendo da quantidade de dígitos indicados no visor. Além disso, explicar que há casos em que nem sempre é possível determinar o período apenas pelo valor indicado no visor da calculadora. Assim, a calculadora pode auxiliar nos

129

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de divisão de números racionais. Para resolvê-la, é necessário que os alunos utilizem a seguinte relação 1” = = 2,54 cm. 2. Esta atividade trabalha a operação de divisão de números racionais. Sugerir aos alunos que, após realizar os cálculos, confiram os resultados obtidos com uma calculadora. 3. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de divisão de números racionais. 4. Esta atividade trabalha a relação entre as representações de números racionais na forma de fração e na forma decimal. Lembrar os alunos de que existem outras estratégias para transformar números na forma de fração para a forma decimal, como a apresentada na página 121. Após os cálculos, pedir aos alunos que confiram os resultados na calculadora. 5. Esta atividade trabalha a relação entre as representações de números racionais na forma de fração e de número decimal exato ou dízima periódica. Após os cálculos, pedir aos alunos que confiram os resultados na calculadora. 6. Esta atividade trabalha regularidades envolvendo a operação de divisão de números racionais. Verificar a possibilidade de levar para a sala de aula algumas calculadoras. Caso não haja calculadoras suficientes, organizar os alunos em grupos para que possam realizar esta atividade. 7. Esta atividade trabalha relações entre diferentes operações com números racionais como estratégia de cálculo mental. É importante que os alunos percebam que, nessa estratégia, inicialmente decompomos o número decimal em parte inteira e parte decimal. Em seguida, dividimos a parte inteira e a parte decimal separadamente pelo divisor do número decimal, e, por fim, adi-

AtividadeS

Resoluções na p. 285 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Fábio comprou um tablet cuja diagonal da tela tem 20,32 cm de comprimento. De quantas polegadas é essa diagonal? 8”.

7. Observe como Caíque calcula 35,15 : 5.

Sei que 35,15 = 35 + 0,15. Calculei 35 : 5 = 7 e 0,15 : 5 = 0,03. Assim, 35,15 : 5 = = 7 + 0,03 = 7,03.

2. Calcule. a) 9 : 8 1,125

d) 15 : 2,4 6,25

b) 37,2 : 3 12,4

e) 24,32 : 3,8 6,4

c) 47,16 : 9 5,24

f) 54,603 : 4,5 12,134 3. A pedido da professora de Arte, a direção de uma escola comprou 15 potes de tinta guache de mesmo preço, pelos quais pagou R$ 22,50. Qual é o preço de cada um desses potes de tinta? R$ 1,50. 4. Como uma fração pode representar o quociente de uma divisão, podemos obter o número na forma decimal correspondente a uma fração realizando uma divisão. Assim, por exemplo, 6 = 6 : 8 = 0,75. 8 Obtenha o número na forma decimal correspondente a cada fração indicada a seguir. 0,115 81 9 52 a) 1,8 b) 10,4 d) 23 3,24 c) 25 5 5 200 5. Represente as frações a seguir na forma decimal. Quais dessas frações têm uma dízima periódica como representação na forma decimal? a e d. 0,54 6 28 5 9 a) 1,12 d) 1,6 b) 0,225 c) 11 25 3 40 • Agora, indique o período de cada uma dessas dízimas periódicas. a: 6; d: 54. 6. Use uma calculadora para obter os quocientes indicados a seguir. Depois, escreva as regularidades observadas.

LEANDRO MARCONDES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Agora, realize mentalmente os cálculos a seguir. a) 24,8 : 8 3,1

c) 22,121 : 11 2,011

b) 6,48 : 3 2,16

d) 10,28 : 2 5,14

8. Para obter o rendimento de sua motocicleta, Bia registrou a distância que percorreu em uma viagem e a quantidade de combustível consumida. Distância: 134,55 km. Consumo: 3,9 L. Faça arredondamentos e indique quais dos itens a seguir correspondem ao rendimento da motocicleta, em quilômetros por litro de combustível. B. A: 45,6

B: 34,5

C: 25,9

D: 50,5

• Agora, confira o resultado em uma calculadora.

9. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo o cálculo de divisão de números decimais. Em seguida, junte-se d) 15,3 : 10 1,53 274,68 a) 2 746,8 : 10 a um colega e troquem o problema para 27,468 b) 2 746,8 : 100 e) 15,3 : 100 0,153 que um resolva o do outro. Juntos, verifif) 15,3 : 1 000 0,0153 quem se as respostas estão corretas. 2,7468 c) 2 746,8 : 1 000 Resposta pessoal. 6. Resposta esperada: Ao dividir um número por 10, 100 ou 1 000, a vírgula é “deslocada” uma, duas ou três casas para a esquerda, respectivamente. 130

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cionamos os quocientes dessas divisões para obter o resultado. 8. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de divisão de números racionais. 9. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelos alunos envolvendo operações de divisão de números deci-

mais. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, uma sugestão é redistribuir entre os alunos os problemas elaborados.

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calculadoras, barbante, tesoura com pontas arredondadas e réguas. É importante dizer aos alunos que eles estão utilizando medidas aproximadas, pois a régua é um instrumento de medida com certas limitações de precisão, por isso os supostos valores de pi obtidos por eles também são aproximados. No item b, auxiliar os alunos nos procedimentos apresentados conforme realizados por Mariana. Se julgar necessário, levar objetos circulares para que os alunos possam contornar. Para complementar o item d, pedir aos alunos que escrevam as frações apresentadas no enunciado na forma de número decimal. Depois, orientá-los a comparar esses valores com os obtidos no item b.

10. Você já ouviu falar do número pi? Junte-se a um colega, leiam as informações a seguir e resolvam as questões. Esse número, denotado pela letra do alfabeto grego p, indica a razão entre a medida do comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro. Ao longo da história, diferentes civilizações, como os babilônios e os egípcios, já demonstravam ter conhecimento dessa razão e utilizavam valores aproximados dela. Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 141-142.

Mariana quis verificar essa razão. Para isso, ela representou uma circunferência e realizou medições. Observe. 1o) Em uma folha de papel, ela contornou um objeto circular, sobrepôs um pedaço de barbante e mediu seu comprimento, obtendo 26,4 cm.

ILUSTRAÇÕES: RODRIGO/YANCOM

2o) Depois, ela recortou a figura, dobrou-a ao meio e mediu o comprimento do vinco, correspondente ao diâmetro da circunferência equivalente, obtendo 8,4 cm.

a) Vamos ajudar Mariana: calculem a razão entre a medida do comprimento do barbante e a medida do comprimento do vinco, obtendo uma aproximação para o número p. 3,14 b) Façam como Mariana e meçam o comprimento e o diâmetro de quatro figuras de circunferência diferentes. Depois, calculem aproximações do número p usando essas medidas. Resposta pessoal. c) Agora, comparem os valores aproximados do número p obtidos nos itens anteriores. O que vocês perceberam? Resposta esperada: Os valores obtidos para o número p são próximos uns aos outros, correspondentes a aproximadamente 3,14. d) O grego Arquimedes (c. 287 a.C.-c. 212 a.C.), em seus estudos, concluiu que o número p 223 22 está entre e . Pesquise, em livros ou na internet, outras aproximações para esse número. 71 7 Resposta pessoal. 131

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10. Esta atividade trabalha, de maneira contextualizada, a operação de divisão de números racionais. Além disso, propicia uma abordagem relacionada às competências gerais 2 e 9, às competências específicas 1 e 6 de Matemática e à habilidade EF07MA33 da BNCC, uma vez que oportu-

niza o trabalho em equipe e o exercício de investigação para testar uma hipótese que pode levar a reflexões a respeito do número irracional pi, estimulando os alunos no enfrentamento de situações-problema não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário e a expressarem suas conclusões por

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meio de registros. Esta atividade também trata da Matemática como uma ciência em desenvolvimento constante, fruto da contribuição de diferentes povos ao longo da história. Para que os alunos possam realizar os cálculos e as medições propostos nesta atividade, providenciar com antecedência

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CIDADÃO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 8 e à competência específica 7 de Matemática da BNCC, uma vez que trata do cuidado com a saúde física ao indicar possíveis causas de acidentes de trânsito que podem envolver condutores, acompanhantes, ciclistas, pedestres, entre outros. Além disso, contribui para o desenvolvimento de questões de urgência social com base em princípios éticos e solidários. É importante destacar que, mesmo que os alunos dessa faixa etária não sejam habilitados para conduzir veículos automotores, a discussão de assuntos relacionados à educação para o trânsito é um tema contemporâneo que afeta a vida humana em escala local, regional e até mesmo global. Aproveitar o contexto e apresentar mais informações a respeito dos perigos relacionados à combinação smartphone e trânsito. Para isso, ler para os alunos o trecho apresentado na parte inferior destas páginas.

você

cidadão

Entenda os riscos do uso do smartphone ao volante Leia com atenção o texto a seguir.

Distração mortal Não sabemos mais o que é viver sem nossos smartphones. [...] Em pouco mais de 20 anos, com a inserção e ampliação da presença da internet nesses dispositivos, o antigo celular se transformou em outra coisa. Ou melhor, outras coisas: um computador, um GPS, uma agência bancária, uma televisão, um aparelho de som, uma câmera fotográfica, uma filmadora, uma banca de jornais... e, claro, um telefone. Além de um tipo de correio instantâneo, no qual você troca mensagens com seus contatos na hora em que quiser, por mais distante que você esteja. [...] Essa interação com a nova tecnologia, quando em locais seguros, além de atraente é uma mão na roda – para agilizar nossas atividades do dia a dia, [...]. O problema é quando essas distrações acontecem diante de um volante de veículo. Nesse caso, o que era para ser lazer ou busca de informação se torna uma atividade extremamente perigosa – e que em muitos casos se torna fatal. [...] é importante lembrar que o uso de smartphone ao volante é proibido pelo Código de Trânsito Brasileiro e é passível de multa de R$ 293,47, além de render 7 pontos na carteira de habilitação. [...] Mas mais importante do que não ser autuado é se conscientizar dos riscos que o condutor e os outros passageiros correm quando o motorista se distrai ao volante.[...] RUBIO, A.; SANTOS, A. C. dos. Distração mortal. Revista Cesvi, São Paulo, n. 106, p. 12-14, abr./maio/jun. 2017.

Em geral, nosso cérebro não consegue realizar com exatidão duas tarefas simultaneamente. Por exemplo, quando uma pessoa fala ou escreve no smartphone enquanto dirige tem sua atenção diminuída.

O smartphone é uma das maiores causas de distração ao volante.

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CELULAR PARE EM LOCAL SEGURO PARA ATENDER O CELULAR VOCÊ SABIA QUE...

• Em 1876, Watson ouviu Bell dizendo: “Sr. Watson, preciso do senhor, venha.” Nascia, assim, o telefone. E, que quase 100 anos depois dessa invenção, em

1973, foi realizada a primeira chamada de um telefone celular; • Nos EUA, apesar de ser o país sede da invenção, o funcionamento só começou em 1983, após 10 anos de sua apresentação. Já no Brasil, o primeiro celular foi lançado em 1990;

• O celular é um dos mo-

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dos de comunicação mais utilizado. Porém, quando ao volante, pode ser bem perigoso, pois ao atender a ligação enquanto dirige, você terá quatro vezes mais chances de se envolver em colisões.

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1. Resposta esperada: Informar e conscientizar sobre os perigos do uso dos smartphones ao volante.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Em sua opinião, qual é o principal objetivo desse texto?

Resoluções na p. 285

2. Observe a tabela a seguir e resolva as questões.

Trechos da via percorridos às cegas Interação com o smartphone

Tempo gasto (em segundos)

Distância percorrida a 50 km/h (em metros)

Ler ou responder mensagem

1,48

20,6

Abrir o aplicativo de rede social

3,5

48,6

Destravar o celular

1,5

20,8

Fonte: RUBIO, A.; SANTOS, A. C. dos. Distração mortal. Revista Cesvi, São Paulo, n. 106, p. 15, abr./maio/jun. 2017.

a) Cerca de quantos segundos o condutor demora para destravar o smartphone ao volante? 1,5 segundo. b) Qual dessas interações com o smartphone faz que o condutor percorra o maior trecho da via às cegas? Quantos segundos ele gasta? Abrir o aplicativo de rede social. 3,5 segundos.

d) Você ainda não dirige, mas é pedestre e, ocasionalmente, pode ser passageiro em um veículo. Junte-se a um colega e confeccionem um cartaz apresentando informações sobre os riscos de usar o smartphone ao volante. Se necessário, realizem uma pesquisa. Resposta pessoal.

WANDSON ROCHA

c) Elvis recebeu uma mensagem enquanto dirigia. Ele destravou o smartphone e leu a mensagem. Cerca de quantos segundos ele demorou para realizar essas interações? Ao todo, quantos metros ele percorreu às cegas? 2,98 segundos. 41,4 metros.

Anualmente, morrem no Brasil dezenas de milhares de pessoas em acidentes de trânsito, muitos deles ocasionados pela falta de atenção por causa do uso de smartphone.

Em relação ao texto apresentado nesta seção, perguntar aos alunos o que eles entendem da expressão “mão na roda”. Explicar a eles que essa expressão informal indica uma ajuda ou um auxílio de grande valor, algo útil. Há quem diga que essa expressão tem origem em tempos remotos, quando se utilizavam veículos de tração animal que, ao atolar em estradas enlameadas, a melhor solução era pedir ajuda a outras pessoas e colocar as mãos na roda literalmente para tirar o veículo da lama. Esse pode ser o sentido de ajuda atribuído à expressão. 2. Para complementar esta questão, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • A uma velocidade de 50 km/h, qual é o deslocamento aproximado em 3 segundos? E em 1 segundo? Respostas: 41,6 m. 13,89 m.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre educação para o trânsito. • DETRAN PR. Educação para o trânsito. Disponível em: <http://livro.pro/vwnz7i>. Acesso em: 3 out. 2018.

Quando o condutor, a 50 km/h, lê ou responde uma mensagem, ele fica cerca de 1,48 segundos sem olhar a via percorrendo cerca de 20,6 m, o que equivale a ultrapassar 10 motocicletas enfileiradas.

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• Ao digitar uma mensa-

gem no celular, o seu tempo de reação fica reduzido em 35% do seu tempo normal; • Falar ao celular é tão arriscado quanto dirigir alcoolizado. Uma pesquisa constatou que o condutor se desconcentra e tem reações lentas;

• Ao volante, receber uma

notícia, discutir ou atender o celular só para pedir que liguem depois, também é uma distração que pode ser fatal; • O pedestre também não pode pegar carona nessa desatenção. Usar o celular, no momento de atravessar

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ruas e avenidas, aumenta o risco de acidentes; [...] GOVERNO DO RIO DE JANEIRO. Departamento Estadual de Trânsito. Celular. Disponível em: <www.detran.rj. gov.br/_documento.asp?cod=7943>. Acesso em: 12 set. 2018.

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Esta seção propicia uma abordagem relacionada à habilidade EF07MA33 da BNCC.

Construindo e medindo o comprimento de uma circunferência VOCÊ CONECTADO Nestas páginas, trabalha-se a construção da circunferência no GeoGebra. Conversar com os alunos a fim de que eles compreendam que, na etapa 1, o primeiro ponto indicado na Janela de Visualização corresponde ao centro da circunferência e o segundo, indica um ponto da circunferência. Na etapa 2, informar aos alunos que as medidas do comprimento da circunferência e do raio são aproximadas. Caso julgar necessário, explicar que a medida apresentada junto à palavra circunferência, na Janela de Visualização, corresponde ao comprimento da circunferência e a medida que aparece junto a AB corresponde ao comprimento do segmento de reta AB, ou seja, do raio da circunferência. Enfatizar que ambas as medidas estão indicadas em centímetros. Na etapa 3, orientar os alunos a observar o que acontece com as medidas indicadas na circunferência ao movimentar o ponto B. É importante que eles observem que essas medidas se alteram automaticamente, ajustando-se à nova posição da circunferência. Após a construção da circunferência, comentar com os alunos que além de construir uma circunferência indicando o centro e um de seus pontos, o GeoGebra também disponibiliza outras ferramentas para construir uma circunferência. Explorar com os alunos essas opções.

você

conectado

Construindo e medindo o comprimento de uma circunferência Veja as etapas para construir uma circunferência e medir o comprimento e o raio correspondentes usando o GeoGebra.

1a

Selecionamos a opção e clicamos em dois pontos na janela de visualização, marcando os pontos A e B e construindo a circunferência.

!

O ponto A é o centro da circunferência representada.

2a

Com a opção selecionada, clicamos sobre a circunferência e, em seguida, sobre os pontos A e B para obter as medidas do comprimento e do raio da circunferência, respectivamente.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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3a

Caso os alunos apresentem dificuldades com os procedimentos apresentados no boxe Dica, verificar a possibilidade de retomar o trabalho com a seção Você conectado da Unidade 1 deste Volume, na qual são trabalhadas algumas expressões e é utilizado o guia de preenchimento automático.

para deslocarmos o ponto B na janela de

Podemos selecionar a opção

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

visualização e obter representações de diferentes circunferências. Veja que as medidas obtidas na etapa anterior mudam conforme alteramos a posição de B.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções na p. 286

1. Calcule a medida aproximada do diâmetro de cada circunferência apresentada nos exemplos. 5,42 cm, 8 cm e 3 cm. 2. Na página 131, estudamos que o número p corresponde à razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência. De acordo com as medidas obtidas nos exemplos, calcule aproximações para o número p. 3,15; 3,14; 3,15. 3. Calcule outras aproximações para o número p realizando construções de circunferências e medições no GeoGebra e usando a planilha eletrônica Calc. Para isso, insira as medidas do comprimento do raio na coluna A, do comprimento da circunferência na coluna B e calcule as aproximações de p na coluna C. Observe exemplos. Resposta pessoal.

!

Na planilha eletrônica, escrevemos na célula C2 a fórmula =B2/(2*A2). Em seguida, com C2 selecionada, clicamos na opção e, com o botão do mouse pressionado, arrastamos até a célula C6.

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Mãos à obra 1. Caso julgar necessário, relembrar os alunos de que a medida do diâmetro de uma circunferência corresponde ao dobro da medida de seu raio. 3. Para resolver esta questão, os alunos devem utilizar

os dois programas trabalhados nesta coleção: a planilha eletrônica Calc e o GeoGebra. Com isso, espera-se que eles percebam a utilidade de ambos os recursos digitais que, inclusive, podem ser utilizados simultaneamente.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata esta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior destas páginas. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções na p. 286 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.

Ideias de fração

Divisão de frações

Multiplicação de números decimais

Fração de uma quantidade

Multiplicação de frações

Número p

Frações na reta numérica

Comparação de frações

Comparação de números decimais

Dízima periódica

Frações equivalentes

Divisão de números decimais

Adição e subtração de frações

Números decimais na reta numérica

Números decimais

Adição e subtração de números decimais

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Os números racionais Ideias de fração Fração de uma quantidade

Frações na reta numérica

Frações equivalentes

Adição e subtração de frações

Multiplicação de frações

Divisão de frações

Comparação de frações

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3. V) 430 ou 43 . Conceitos: Transformação de números racionais: forma de fração e forma decimal. 1 000 100 3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL A Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018 ocorreu na Rússia. Observe algumas informações sobre essa competição.

Fração dos países participantes por continente da Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018 Fração

África

5 32

América

1 4

Ásia

1 8

Europa

7 16

Oceania

1 32

Bola oficial. Massa: 0,430 kg.

Média de gols marcados por partida: 2,64.

LEANDRO MARCONDES, URBANBUZZ/SHUTTERSTOCK.COM

Continente

Fonte: FIFA WORLD CUP. Rússia 2018. Disponível em: <www.fifa.com/worldcup/>. Acesso em: 3 ago. 2018.

PROBLEMAS

I Considerando os países participantes, de qual continente era a maior parte deles? Europa. Conceitos: Comparação de frações.

II Que fração dos participantes da Copa de 2018 corresponde a países dos continentes americano e europeu juntos? 11 . Conceitos: Adição de frações. 16

III Nessa copa participaram 32 países. Quantos desses países eram do continente asiático? 4 países. Conceitos: Fração de uma quantidade.

IV Quantos quilogramas têm juntas cinco bolas oficiais como as utilizadas

nessa copa? 2,15 kg. Conceitos: Multiplicação de números decimais; adição de números decimais.

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para obter mais informações sobre a Copa do Mundo FIFA de futebol. • GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Almanaque do IPEM-SP. Futebol – medidas e curiosidades. Disponível em: <http://livro.pro/depgrf>. Acesso em: 12 set. 2018.

V Que fração de 1 kg corresponde à massa da bola oficial utilizada nessa copa? VI Na Copa de 2014, no Brasil, a média de gols marcados por partida foi de aproximadamente 2,67 gols. Em qual copa a média de gols por partida foi maior: de 2014 ou de 2018? Quantos gols de diferença em média?

Copa de 2014. 0,03 gol. Conceitos: Comparação de números decimais; subtração de números decimais. 137

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3. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho em conjunto com os professores das disciplinas de Geografia e de Educação Física a respeito da disposição no globo terrestre dos países que participaram da Copa do Mundo FIFA de futebol masculino de 2018 na Rússia, e também como os países participantes desse evento são definidos, ou seja, explicar o funcionamento das eliminatórias de cada confederação. Para complementar, propor aos alunos que pesquisem um país de cada continente que foi classificado e registre no caderno informações a respeito deles, como o nome da capital, se alguma vez já foi campeão da Copa do Mundo FIFA, comida típica, entre outras. Veja a seguir as respostas possíveis para essa pesquisa: Europa – Rússia, Bélgica, Alemanha, Inglaterra, Espanha, Polônia, Islândia, Sérvia, Portugal, França, Suíça, Croácia, Suécia ou Dinamarca; América – Brasil, Uruguai, Argentina, Colômbia, Peru, México, Costa Rica ou Panamá; África – Nigéria, Egito, Senegal, Marrocos ou Tunísia; Ásia – Irã, Japão, Coreia do Sul ou Arábia Saudita; Oceania – Austrália.

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Números decimais Comparação de números decimais

Números decimais na reta numérica

Adição e subtração de números decimais

Multiplicação de números decimais

Dízima periódica

Divisão de números decimais

Número p

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UNIDADE TEMÁTICA

5

• Álgebra. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Linguagem algébrica: variá-

vel e incógnita. • Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica. • Equações polinomiais do 1o grau.

HABILIDADES • • • • •

EF07MA13 EF07MA14 EF07MA15 EF07MA16 EF07MA18

COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana,

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E EQUAÇÕES

Mensagens de texto No dia a dia são utilizados diversos símbolos para determinadas situações ou contextos: em placas, cartazes, anúncios, jogos, entre outros. Se você já participou de uma conversa utilizando um aplicativo de mensagem de celular, possivelmente já viu diferentes símbolos, que expressam sentimentos e ações, indicam objetos e características ou simplesmente representam palavras. Esse tipo de simbologia, além de tornar as conversas por mensagem de texto mais dinâmicas, costuma ter uma representatividade universal, isto é, sua compreensão independe do idioma. O símbolo

, por exemplo, costuma indicar

um sentimento de alegria, seja em uma conversa aqui no Brasil, seja em qualquer outra parte do mundo. Esses símbolos são chamados de emojis e começaram a ser criados pelo japonês Shigetaka Kurita, na década de 1990. Apesar de as mensagens de texto já serem reconhecidas como um gênero textual, alguns especialistas alertam para o uso excessivo de abreviações e símbolos, que pode prejudicar a assimilação da ortografia correta e, em alguns casos, exige mais tempo para essas mensagens serem lidas e compreendidas.

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fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

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Além disso, informar os alunos que outro tipo de linguagem que substitui a língua de sons ou oral é a Língua Brasileira de Sinais (LIBRAS), também conhecida como língua gestual, uma língua oficial usada no Brasil. Promover uma roda de conversa com os alunos e questioná-los se algum deles utiliza esse tipo de linguagem ou conhece algum símbolo dele. Nesse momento, apresentar alguns desses símbolos e discutir questões associadas à acessibilidade. No segundo item proposto, se possível, organizar os alunos em dois grupos para que exponham e debatam sobre as vantagens e desvantagens da utilização de símbolos e abreviações nas mensagens instantâneas, de maneira que um grupo fale sobre as vantagens e outro sobre as desvantagens. Isso também pode ser posto em discussão no caso da LIBRAS, em que o debate é muito mais significativo do que uma questão de vantagem ou desvantagem. Para o terceiro item, compor o seguinte questionamento de interpretação da conversa. • Quais os nomes das pessoas que estão conversando? Resposta: Taís e Marcela.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir.

Resposta pessoal. Resposta possível: Vantagens – agilizar a escrita e a leitura, tornar textos mais divertidos. Desvantagens – prejudicar a assimilação da ortografia, dificultar a leitura e causar mal-entendidos.

Você já escreveu ou leu alguma mensagem de texto em aplicativos de celular usando símbolos? Comente. Em sua opinião, quais são as vantagens e as desvantagens na utilização de símbolos na escrita de mensagens de texto? Observe com atenção a conversa na tela do celular ilustrado nestas páginas e explique-a. Resposta esperada: Uma amiga avisa a outra que o trabalho de Matemática será em dupla, e elas combinam de fazê-lo juntas na casa de uma delas.

DANIEL BOGNI

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site que disponibiliza um minidicionário ilustrado de LIBRAS. • FADERS. Serviço de Ajudas Técnicas: Mini Dicionário. Porto Alegre: 2010. Disponível em: <http://livro.pro/vpyq3h>. Acesso em: 22 set. 2018. 139

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 4 da BNCC, uma vez que busca tratar uma linguagem relativamente nova, desenvolvida com base nas tecnologias

da informação e comunicação, como é o caso das mensagens digitais de texto. Conversar com os alunos a respeito de exemplos em que imagens são utilizadas no lugar de textos, em situações diárias, e por que eles acreditam que isso aconteça. Por exemplo, em placas de trânsito para tornar a

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informação mais sucinta ou em cartazes para chamar a atenção, causar impacto ou permitir a leitura mesmo de pessoas não alfabetizadas. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho junto ao professor da disciplina de Língua Portuguesa sobre o gênero textual: mensagem instantânea.

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF07MA13. Questionar os alunos sobre outros símbolos que são utilizados em Matemática, como para representar os conjuntos numéricos, os símbolos das operações, de maior que e de menor que, entre outros. Antes de trabalhar com a situação da pizzaria, que é fictícia, apresentar aos alunos o seguinte trecho sobre a universalização da linguagem Matemática, disponível no site da Universidade dos Açores, de Portugal. [...] A Matemática é uma linguagem indicada para descrevermos muitos dos fenômenos que encontramos no mundo que nos rodeia. Assim como aprendemos as línguas estrangeiras, há que também aprender a linguagem matemática, que depois de conhecida e conquistada torna o seu entendimento mais fácil. A aprendizagem da linguagem matemática, como qualquer outra linguagem, desenvolve a memória, a concentração, a reflexão, a capacidade de abstração, a argumentação, o raciocínio. Associada a essas capacidades e competências, a linguagem matemática auxilia a compreensão de questões e ajuda na formulação e resolução de problemas. Quando apresentamos a expressão 2 + 3 para uma pessoa com um pouco de conhecimento matemático, qualquer que seja a sua nacionalidade, esta imediatamente percebe que estamos operando aritmeticamente, pela adição, duas quantidades e que o seu resultado é 5. Em qualquer que seja o texto que tenhamos, escrito em qualquer que seja a língua, se nele aparecerem símbolos matemáticos, estes são, de certa forma, fáceis de descodificar. [...]

Expressões algébricas Nas páginas de abertura desta Unidade, vimos algumas informações sobre o uso de símbolos no dia a dia, principalmente na escrita de mensagens de texto em aplicativos de celular. Na Matemática são muitos os símbolos utilizados, como aqueles que indicam as operações de adição (+) e subtração (_). Contudo, há campos na Matemática em que outros símbolos são utilizados. Na Álgebra, por exemplo, letras podem representar números desconhecidos ou que podem variar. Observe a seguinte situação. Em certa pizzaria, a taxa de entrega é calculada da seguinte maneira: um valor fixo de R$ 3,00 mais R$ 1,25 por quilômetro de deslocamento.

DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Podemos representar a maneira como é calculada essa taxa de entrega por meio de uma expressão algébrica: valor por quilômetro de deslocamento

valor fixo

quantidade de quilômetros de deslocamento

3 + 1,25 ? x

!

Uma multiplicação de dois fatores ou mais em que pelo menos um deles é uma letra, esta pode ser indicada sem o símbolo de multiplicação (?). Por exemplo, 10 ? x pode ser indicado por 10x.

Com essa expressão algébrica podemos, por exemplo, calcular a taxa de uma entrega cujo deslocamento é de 8 km. Observe. Considerando x = 8, temos: 3 + 1,25 ? 8 = 3 + 10 = 13. Assim, em uma entrega com 8 km de deslocamento, a taxa é de R$ 13,00. Chamamos expressão algébrica toda expressão em que há letras representando números. Essas letras são as variáveis, que podem assumir diferentes valores nas situações analisadas. O valor numérico de uma expressão algébrica é o resultado obtido quando substituímos cada variável por um número e realizamos os cálculos. No exemplo anterior, 13 é o valor numérico da expressão algébrica 3 + 1,25x quando substituímos x por 8.

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MELO, H. S. Matemática – uma linguagem universal. Correio dos Açores, Açores, 9 jun. 2016. Disponível em: <https://repositorio. uac.pt/bitstream/10400.3/4015/1/ Matem%C3%A1tica_uma%20 linguagem%20universal_09_06_2016. pdf>. Acesso em: 21 set. 2018.

No boxe Dica, orientar os alunos a ficarem atentos aos

casos quando devem calcular o valor numérico das expressões, onde substituem a variável por um número. É importante que eles compreendam que, ao realizar essa substituição, devem indicar o sinal de multiplicação entre os números, por exemplo, em 10x, com x = 5, temos 10 ? 5.

Chamar a atenção dos alunos sobre o termo variável, dando sentido ao porquê de a letra receber esse nome, ou seja, ela pode variar, assumir diferentes valores. Se necessário, pedir aos alunos que pesquisem em um dicionário o significado desta palavra.

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necessário, retomar a Unidade 1 deste Volume que trata de potenciação. 3. Esta atividade trabalha a simplificação de uma expressão algébrica. A simplificação foi realizada de maneira análoga à apresentada no início desta página. 4. Esta atividade trabalha a representação de situações por meio de expressões algébricas. Orientar os alunos a escrever, primeiramente, a expressão que indica o perímetro de cada um dos polígonos e, em seguida, simplificá-la de maneira análoga as trabalhadas na atividade anterior. 5. Esta atividade trabalha a escrita de diferentes expressões algébricas equivalentes. Para complementar, pedir aos alunos que comparem suas respostas com as de um colega e identifiquem se estas foram iguais ou não. 6. Esta atividade trabalha a identificação de expressões algébricas equivalentes. Para a resolução, é importante que os alunos percebam que é necessário realizar manipulações algébricas utilizando as propriedades associativa, comutativa, distributiva, entre outras que julgar necessário.

Observe outros exemplos de expressões algébricas. c) 7m + 5p + 2 _ 2m + 3p + 4 a) 3x + 5y _ 7 b) _2a + 4 b + c 3 A expressão algébrica indicada no item c pode ser simplificada usando a propriedade distributiva da multiplicação. Observe. 7m + 5p + 2 _ 2m + 3p + 4 = = 7m _ 2m + 5p + 3p + 2 + 4 = = m(7 _ 2) + p(5 + 3) + 6 = = 5m + 8p + 6 Assim, dizemos que a expressão 7m + 5p + 2 _ 2m + 3p + 4 e a expressão 5m + 8p + 6 são expressões algébricas equivalentes.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções na p. 286

1. Considere a situação apresentada anteriormente e calcule o valor da taxa de entrega em um deslocamento de: a) 10 km. R$ 15,50. c) 4 km. R$ 8,00. b) 6 km. R$ 10,50. 2. Em cada item a seguir, escolha uma letra para indicar a variável e escreva uma expressão algébrica para representar: a) o triplo de um número. 3x. b) a quarta parte de um número menos 5. x x c) a metade de um número. . b) _ 5. 2 4 d) o quadrado de um número. x2. 10 _ 2x. e) 10 menos o dobro de um número. • Agora, para cada item, calcule o valor numérico da expressão substituindo a variável por 10. a) 30; b) _2,5; c) 5; d) 100; e) _10. 3. Copie e complete as simplificações da expressão algébrica, substituindo adequadamente cada .

4. Relacione cada polígono representado a seguir com a expressão algébrica correspondente ao seu perímetro. Para isso, associe a letra e o símbolo romano correspondente. a-II; b-III; c-I. 2y

a) 2y

c) y _1

2y

y+3

2y

b)

y _1

2y

EDIITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

y _1

y _1

y _1 y _1

I. 4y + 2

II. 8y

III. 5y _ 5

5. Em cada item, escreva expressões algébricas equivalentes à apresentada. a) 4y _ 6y

b) x _ 5 + 3x + 2

5p _ 3 + 7a _ 8 _ 4p _ a = 6. Qual das expressões algébricas a seguir 4p 7a = 5p _ _3_8+ _a= não é equivalente a 6m + 3n _ 2 + n + 1? Alternativa a. 4 7 = p(5 _ ) _ 11 + a( _ 1) = a) 6mn _ 1 c) 2(3m + 2n + 1) _ 3 p b) 6m + 4n _ 1 = _ 11 + 6a 5. a) Uma resposta possível: _2y. 5. b) Uma resposta possível: 4x _ 3. 141

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Na simplificação da expressão algébrica do item c, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em duas ocasiões: m(7 _ 2) e p(5 + 3). Também foi utilizada a propriedade comutativa da adição. ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo do valor numérico

de uma expressão algébrica. Para resolvê-la, os alunos devem substituir a quilometragem indicada em cada item na expressão 3 + 1,25x. 2. Esta atividade trabalha a representação de situações por meio de expressões algébricas. É importante destacar que os alunos podem usar diferentes

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letras para as variáveis. Caso os alunos tenham dificuldade em compreender as relações indicadas, orientá-los a substituir, por exemplo, as palavras “um número” por x, e ler as expressões com as alterações. Assim, para o item a, teremos a expressão “o triplo de x”. No item d, se julgar

NO DIGITAL – 3o Bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 5 e 6. • Desenvolver o projeto integrador sobre o a numeração dos calçados. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF07MA02, EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16, EF07MA18, EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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12 6x _ 12y 6x 12y 6 = _ = x _ y = 2x _ 4y 3 3 3 3 3

Agora, simplifique as expressões a seguir. a) 4x + 10y 2x + 5y.

20 _ 5x _ 2 2 _ x. b) 5 2 8. A professora de Matemática do 7o ano usou uma planilha eletrônica para calcular a nota final do bimestre de cada aluno. Para a aluna Daiane, inseriu as notas das avaliações nas células B2, C2 e D2 e, na célula E2, uma expressão indicando cálculos. Observe. LIBREOFFICE 2018

ATIVIDADES 7. Esta atividade trabalha a simplificação de expressões algébricas. Nela, são indicadas expressões com frações. Caso os alunos apresentem dificuldades em operações com frações, retomar o trabalho com a Unidade 4 deste Volume, em que foram trabalhadas essas operações de maneira mais detalhada. Para complementar, propor aos alunos os seguintes itens para simplificarem. 8x + 6 _x. • 4 3 Resposta: x + . 2 9x _ 5 1 _ . • 3 3 Resposta: 3x _ 2. 8. Esta atividade trabalha a representação de situações por meio de expressões algébricas utilizando a planilha eletrônica. Além disso, trabalha a ideia de média aritmética, assunto que será retomado com mais detalhes na Unidade 8 deste Volume. Se possível, levar os alunos ao laboratório de informática e propor que realizem esta atividade na prática. Se julgar necessário, explicar que, nessa planilha eletrônica, o símbolo “/” indica uma divisão. Para resolver o ítem c, vamos verificar a possibilidade de levar para a sala de aula algumas calculadoras. Caso não haja calculadoras suficientes, organizar os alunos em grupos. 9. Esta atividade trabalha a representação da relação entre duas grandezas por meio de expressões algébricas. Promover uma discussão com os alunos a respeito da atitude de desperdício de água dos personagens Otto e Heitor. Embora a história da tirinha tenha um apelo humorístico, essa atitude não é a indicada. Se possível, realizar um trabalho junto ao professor da disciplina de Ciências sobre a importância de não desperdiçar água.

8. a) Resposta esperada: serão adicionados os valores indicados nas células B2, C2 e D2, que representam as notas obtidas nas avaliações 1, 2 e 3, respectivamente, e o resultado será dividido por 3, ou seja, será calculada a média aritmética das notas das três avaliações. 6x _ 12y 7. Observe como Clarissa simplificou a expressão . 3

a) Explique o cálculo indicado na expressão da célula E2. b) Qual é o valor que aparecerá na célula E2 ao realizar os cálculos? 8 c) Com uma calculadora, obtenha a nota final bimestral de cada aluno indicado a seguir. Aluno Jean Suzana

Nota da Avaliação 1 6,5 9

Nota da Avaliação 2 7 8,5

9. Leia a tirinha.

Nota da Avaliação 3 4,5 8,6 Jean: 6; Suzana: 8,7.

VALADÃO, T. Otto e Heitor. Disponível em: <http:// ottoeheitor. com/t68.html>. Acesso em: 11 jan. 2018.

TIAGO VALADÃO - OTTOEHEITOR.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Nos primeiros quadrinhos, onde você imaginou que Otto e Heitor estavam? Onde os personagens realmente estavam testando as capas de chuva? Qual quadrinho da tirinha revela essa informação? Respostas esperadas: Na rua ou em algum local aberto, sob a chuva. No banheiro. O último quadrinho. • Heitor sugere a Otto que esquente a “chuva” um pouquinho. Como é possível fazer isso nessa situação? Resposta esperada: Como eles estão testando as capas no chuveiro, para esquentar a “chuva” basta mudar o termostato dele. b) O registro do chuveiro foi ajustado de maneira que a cada minuto caíssem 15 L de água. Qual das expressões algébricas a seguir indica a quantidade de litros de água desperdiçada pelos personagens em m minutos? Alternativa III. II. 15 _ m

I. 60m

III. 15m

IV. m + 15

c) Calcule quantos litros de água os personagens desperdiçariam deixando o chuveiro aberto por: • 10 minutos. 150 L.

• 30 minutos. 450 L.

• 1 hora. 900 L.

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No item b, caso os alunos mostrem dificuldades em identificar a expressão algébrica solicitada, orientá-los a construir um quadro indicando os cálculos para a quantidade de água desperdiçada em 1, 2, 3, 4, ..., m minutos.

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O objetivo é que eles façam uma generalização, constatando que em m minutos de registro aberto desperdiça-se 15m litros de água.

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10. Podemos estimar a altura que uma criança terá quando atingir a fase adulta com base na altura de seus pais. 2

Ameninos =

=

143 4

= 35,75

P + M + 13 2

P: altura do pai em centímetros. M: altura da mãe em centímetros. A: altura estimada da criança quando atingir a fase adulta.

As igualdades que usamos para calcular a altura de uma criança com base na altura de seus pais também são chamadas de fórmulas. Fonte dos dados: MACHADO, R. Crescimento. Disponível em: <www.sbp.com.br/fileadmin/user_upload/2016/09/ CrescimentoVe8.pdf>. Acesso em: 9 out. 2018.

a) Laís e Ricardo são irmãos. O pai deles tem 177 cm de altura e a mãe, 168 cm. Estime a altura que esses irmãos terão quando atingirem a fase adulta. Laís: 166 cm; Ricardo: 179 cm. b) Pesquise com um menino e uma menina de seu convívio a altura do pai e da mãe de cada um deles. Depois, use as fórmulas para estimar a altura deles quando atingirem a fase adulta. Registre essas informações. Resposta pessoal. 11. É possível estimar o número do calçado de uma pessoa conhecendo o comprimento do pé. Observe um exemplo.

RODRIGO/YANCOM

Medimos o comprimento do pé em centímetros.

23 cm Usamos a fórmula S =

4

5p + 28

, na qual

4 S representa o número do calçado e p, o comprimento do pé, em centímetros.

Podemos arredondar o valor obtido para o número natural seguinte, obtendo o número do calçado.

RODRIGO/YANCOM

P + M _ 13

5 ? 23 + 28

a) Com a fórmula apresentada, calcule o número do calçado de uma pessoa cujo pé mede: • 28 cm. 42 • 19 cm. 31 • 21 cm. 34 • 25 cm. 39 b) Com uma régua, meça o comprimento do seu pé. Em seguida, use a fórmula para calcular o número do seu calçado e confira com o que está usando. Resposta pessoal. 12. Fábio consultou no celular de sua mãe a temperatura do município onde mora.

61%

Temperatura Lages (SC) 5 °C/41 °F

EDITORIA DE ARTE

Ameninas =

S=

10. Esta atividade trabalha a representação da relação entre grandezas por meio de expressões algébricas. Conversar com os alunos a respeito de outros fatores, além do genético, que também interferem no crescimento, como: alimentação, doenças, higiene, atividades físicas, entre outros. Assim, os cálculos com a altura dos pais indicam apenas uma estimativa da altura que a criança poderá ter quando atingir a fase adulta. 11. Esta atividade trabalha a representação da relação entre duas grandezas por meio de expressões algébricas. No exemplo apresentado, comentar com os alunos que os valores obtidos são estimativas e podem variar em relação ao valor real, ou seja, em alguns casos pode ocorrer do valor obtido na fórmula apresentar uma pequena diferença ou ter a necessidade de serem aproximados. Informar também que em outros países, como os Estados Unidos da América, a numeração dos calçados é diferente da numeração utilizada no Brasil. 12. Esta atividade trabalha a representação da relação entre duas grandezas por meio de expressões algébricas. Na resolução dos itens b e c, orientar os alunos a aproximar o resultado ao inteiro mais próximo.

Note que a temperatura está indicada em duas diferentes unidades: grau Celsius (°C) e grau Fahrenheit (°F). Podemos converter uma medida de temperatura da escala Fahrenheit para a escala Celsius usando a fórmula 5(F _ 32) C= . 9 12. c) Aproximadamente 27 °C. C: temperatura em grau Celsius (°C). F: temperatura em grau Fahrenheit (°F). Com base nessas informações, calcule em cada item a temperatura em grau Celsius. a) 59 °F 15 °C.

c) 81 °F

b) 106 °F Aproximadamente 41 °C.

d) 68 °F 20 °C. 143

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SEQUÊNCIAS Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA14, EF07MA15 e EF07MA16. Informar aos alunos que usualmente os termos de uma sequência são indicados com uma letra minúscula acompanhada de um índice que indica sua posição na sequência. Desse modo, a1 corresponde ao primeiro termo de uma sequência, a2 corresponde ao segundo termo, a3 corresponde ao terceiro termo, e assim sucessivamente. Seguindo este raciocínio, para indicar o termo de uma posição genérica n, isto é, de uma posição qualquer, utilizamos a notação an. Como n indica uma posição qualquer, n tem de corresponder a um número natural maior ou igual a 1. Caso os alunos tenham dificuldade em compreender a localização do termo an − 1, apresentar a eles alguns exemplos, como os indicados a seguir. • O termo que antecede a4 é o termo a3. • O termo que antecede a7 é o termo a6. • O termo que antecede a13 é o termo a12. A intenção é que os alunos percebam que, para determinar o termo que antecede um termo qualquer, podemos subtrair uma unidade de seu índice. Por exemplo, para determinar o termo que antecede a4, subtraímos uma unidade de seu índice a4 − 1 e obtemos o termo a3; de maneira análoga podemos obter a6 que antecede a7 a6 = a7 − 1 e a12 que antecede a13 a12 = = a13 − 1 . Seguindo esse raciocínio, para determinar o termo que antecede an também subtraímos uma unidade de seu índice obtendo an − 1. Para complementar, realizar os seguintes questionamentos.

Sequências Amanda está usando palitos para formar uma sequência de construções que lembram figuras. Observe.

Na primeira construção, usei três palitos e obtive a representação do contorno de 1 triângulo.

Na segunda construção, acrescentei dois palitos e obtive o contorno de 2 triângulos.

quantidade de palitos

3

5

quantidade de contorno de triângulos

1

2

A quantidade de palitos necessária para compor cada construção pode ser expressa por uma sequência numérica. Nessa sequência numérica, podemos indicar o primeiro termo por a1, o segundo por a2, o terceiro por a3, e assim por diante. (3, 5, 7, 9, ...) a1, a2, a3, a4 Note que podemos obter um termo dessa sequência adicionando 2 ao termo anterior, pois Amanda acrescenta dois palitos à construção anterior para obter a próxima. • a1 = 3

• a2 = a1 + 2

• a3 = a2 + 2

• a4 = a3 + 2

Podemos generalizar essa situação para um termo de posição qualquer. Chamando de n essa posição qualquer, na sequência podemos obter o valor do termo an adicionando 2 ao termo anterior an _ 1. Observe. an = an _ 1 + 2 Por exemplo, para obter o termo a5, ou seja, aquele que aparece na quinta posição dessa sequência, fazemos n = 5 e calculamos o valor de a5. a5 = a5 _ 1 + 2 = a4 + 2 = 9 + 2 = 11 Desenhe no caderno a figura correspondente ao termo a5 da sequência. Quantos triângulos são representados nessa figura? Quantos palitos são utilizados? 5 triângulos. 11 palitos.

Vimos que a sequência numérica (3, 5, 7, 9, ...) pode ser definida pela expressão an = an _ 1 + 2 com a1 = 3, de maneira que é possível obter um termo qualquer dela a partir do termo anterior. Assim, dizemos que essa sequência está definida de maneira recursiva. 144

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• Qual é o termo que antece-

de a30? Resposta: a29. • Qual é o termo que antecede a99? Resposta: a98. • Qual é o termo que antecede an + 1? Resposta: an. • Se n é igual a 450, a qual número corresponde n _ 1? Resposta: 449.

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PARA PENSAR Relacionar a sequência com a construção das figuras com palitos. É esperado que os alunos desenhem a representação da seguinte figura: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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DAYANE RAVEN

7

9

3

4

...

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Na quarta construção, acrescentei mais dois palitos e obtive o contorno de 4 triângulos.

Na terceira construção, acrescentei mais dois palitos e obtive o contorno de 3 triângulos.

Continuei a sequência dessa maneira.

Agora, observe os cálculos que podemos desenvolver com base nessa sequência. a1 = 3 a2 = a1 + 2 = 3 + 2

a2 = 3 + 1 ? 2

a3 = a2 + 2 = 3 + 2 + 2

a3 = 3 + 2 ? 2

a4 = a3 + 2 = 3 + 2 ? 2 + 2

a4 = 3 + 3 ? 2

a5 = a4 + 2 = 3 + 3 ? 2 + 2

a5 = 3 + 4 ? 2

Resposta esperada: O número que multiplica o 2 é uma unidade menor do que o número que indica a posição do termo (índice) na sequência. Em cada igualdade demonstrada, que relação podemos estabelecer entre os números em destaque?

É importante verificar se os alunos compreenderam o que indica a palavra “recursiva”. Explicar que essa palavra sugere algo que pode ser repetido em um processo que envolve a si mesmo. Neste caso, como está se referindo a uma sequência, informá-los de que, de maneira geral, em uma sequência recursiva para determinar o valor de um termo qualquer, é necessário conhecer o valor de um ou mais termos que o antecedem. Apresentar alguns exemplos de sequências para os alunos e pedir a eles que determinem os próximos três termos. • 1, 3, 5, 7, ... Resposta esperada: 9, 11 e 13. • 2, 4, 6, 8, ... Resposta esperada: 10, 12 e 14. • 3, 7, 11, 15, ... Resposta esperada: 19, 23 e 27. PARA PENSAR Verificar se os alunos perceberam que, em cada igualdade, o número que multiplica o 2 é uma unidade menor do que o índice do termo em questão. Assim, se o índice do termo em questão for n, o fator que multiplica o 2 deve ser o n _ 1.

... Observando a relação entre os números em destaque em cada igualdade, podemos obter um termo que ocupa uma posição n qualquer nessa sequência da seguinte maneira: an = 3 + (n _ 1) ? 2 Desenvolvendo essa expressão, temos: an = 3 + (n _ 1) ? 2 an = 3 + 2n _ 2

Reforçar a ideia de que a expressão que define a sequência dada por an = 2n + 1 está na forma não recursiva, porque permite determinar qualquer termo da sequência sem que seja necessário conhecer algum termo que o antecede.

an = 2n + 1 Por meio da expressão an = 2n + 1 podemos obter, por exemplo, o termo a6 sem conhecer o valor de a5. Observe. a6 = 2 ? 6 + 1 = 12 + 1 = 13 Podemos usar a expressão an = 2n + 1 para obter um termo qualquer da sequência numérica (3, 5, 7, 9, ...) sem necessariamente conhecermos o termo anterior. Assim, dizemos que essa expressão define a sequência de maneira não recursiva. 145

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EDITORIA DE ARTE

No item c, orientar os alunos a verificar na imagem como é vista a sequência da quantidade de alvéolos em

1. Resposta esperada: b, pois de uma figura para a seguinte é inserida, na parte inferior, uma linha com duas figuras de triângulo a mais do que na linha logo acima.

Resoluções na p. 287 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Observe a sequência de figuras.

...

Qual figura a seguir é a próxima dessa sequência? Justifique. A

B

3. A professora de Cássio definiu algumas sequências para que os alunos determinassem os quatro primeiros termos de cada uma delas. Observe. I. a1 = 1 e an = an _ 1 + 3 II. an = 3n _ 2 III. a1 = _3 e an = an _ 1 + 3 IV. an = 8 _ 2n a) Veja as respostas dadas por Cássio e identifique quais estão corretas. II e III.

2. Qual das sequências apresentadas a seguir pode ser obtida a partir da expressão an = 3n _ 5? Alternativa c. a) (2, 3, 4, 5, ...)

I. (1, 3, 6, 9, ...)

III. (_3, 0, 3, 6, ...)

II. (1, 4, 7, 10, ...)

IV. (6, 12, 14, 16, ...)

• Agora, corrija os termos das sequências que Cássio errou. I: (1, 4, 7, 10, ...); II: (6, 4, 2, 0, ...). b) Quais itens determinam a mesma sequência numérica? I e IV.

c) (_2, 1, 4, 7, ...)

b) (8, 11, 14, ...)

4. Na Unidade 3, estudamos o formato dos alvéolos nas colmeias das abelhas. Outro fato interessante nessas colmeias consiste na disposição desses alvéolos. Observe. No entorno desse alvéolo, temos o 1º- conjunto de alvéolos.

Consideramos um alvéolo como referência.

No entorno do 1º- conjunto, temos o 2º- conjunto de alvéolos.

Em seguida, temos o 3º- conjunto de alvéolos, e assim sucessivamente.

KOSOLOVSKYY/SHUTTERSTOCK.COM/EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de regularidades em sequências. Caso haja diferentes respostas indicadas pelos alunos, pedir a eles que justifiquem suas escolhas explicando o padrão considerado. Nesse momento, é importante avaliar se as respostas e as respectivas justificativas estão corretas. 2. Esta atividade trabalha a identificação de uma sequência numérica com base em uma expressão algébrica. Verificar se os alunos perceberam que neste caso a expressão que define a sequência está na forma não recursiva. 3. Esta atividade trabalha o uso de simbologia algébrica para expressar regularidades em sequências numéricas. Além disso, possibilita identificar quais expressões algébricas determinam uma mesma sequência numérica, propiciando um trabalho com expressões algébricas equivalentes. Verificar as estratégias utilizadas pelos alunos para identificar quais respostas de Cássio estão corretas. Uma estratégia é substituir os valores indicados por ele nas expressões e conferir se o valor obtido é verdadeiro. Por exemplo, na sequência apresentada no item I, temos que a2 = a2 − 1 + 3 = = a1 + 3 = 1 + 3 = 4. Logo, a resposta indicada por Cássio está incorreta. Enfatizar a eles a necessidade de testar cada um dos quatro primeiros termos da sequência, uma vez que o erro pode estar em qualquer um deles. 4. Esta atividade trabalha o uso de simbologia algébrica para expressar regularidades em sequências numéricas. Veja a seguir a resposta do item b.

AtividadeS

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Determine a quantidade de alvéolos que formam cada um dos três primeiros conjuntos indicados no esquema. 1o conjunto: 6 alvéolos; 2o conjunto: 12 alvéolos; 3o conjunto: 18 alvéolos. b) Desenhe no caderno a figura que representa o 4o conjunto de alvéolos. Quantos alvéolos tem esse conjunto? Resposta nas Orientações para o professor. 24 alvéolos. c) Qual das sequências definidas a seguir tem os termos correspondentes à quantidade de alvéolos de cada conjunto apresentado? Alternativa I. I. a1 = 6 e an = an _ 1 + 6

II. a1 = 6 e an = 2an _ 1

III. a1 = 1 e an = an _ 1 + 5 146

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cada conjunto, pois o alvéolo de referência (ao centro) não é considerado. Além disso, as quantidades de alvéolos dos conjuntos inferiores não são adicionadas. 5. Esta atividade trabalha a classificação de sequências numéricas definidas de maneira recursiva ou não recursiva.

Antes de resolver o último item proposto, verificar se os alunos sabem o que é uma sequência definida de maneira recursiva. 6. Esta atividade trabalha o uso de simbologia algébrica para expressar regularidades em sequências numéricas e a classificação dessas sequências definidas de maneira recursiva

ou não recursiva. Além disso, possibilita identificar se duas expressões algébricas obtidas para representar uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes. Caso julgar necessário, retomar a página 141 desta Unidade, na qual foram trabalhadas expressões algébricas equivalentes.

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8. Algumas respostas possíveis: (1, 3, 5, 7, 9, ...); (1, 3, 9, 27, 81, ...). 8. a) Algumas respostas possíveis: Para (1, 3, 5, 7, 9, ...): a1 = 1 e an = an – 1 + 2 ou an = 2n _ 1; Para (1, 3, 9, 27, 81, ...): a1 = 1 e an = 3an – 1 ou an = 3(n – 1). 5. Escreva os cinco primeiros termos da 9. A professora do 7o ano propôs aos sequência definida em cada item. alunos que escrevessem os cinco primeiros termos de uma sequência obtida por a) a1 = 5 e an = an _ 1 + 3 (5, 8, 11, 14, 17, ...) an = an _ 1 _ 4. Observe a resposta de b) an = 7n + 3 (10, 17, 24, 31, 38, ...) dois alunos. c) a = 2n _ 2 (0, 2, 4, 6, 8, ...) n

d) a1 = 5 e an = 4 _ an _ 1 (5, _ 1, 5, _ 1, 5, ...) • Quais dessas sequências estão definidas de maneira recursiva? a e d.

... Figura 1

Figura 2

Figura 3

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. Para representar a primeira figura de uma sequência, Vitor desenhou quatro círculos. A partir daí, para obter a próxima figura, desenhou dois círculos a mais que na figura anterior. Observe as primeiras figuras dessa sequência.

a) Quantos círculos devem ser desenhados na próxima figura dessa sequência? 10 círculos. b) Quais expressões a seguir são equivalenI e IV. tes e definem a sequência formada pela quantidade de círculos desenhados por Vitor em cada figura, a partir da Figura 1? I. an = 2(n + 1) III. an = 2n II. an = n + 2 IV. an = 2n + 2 • As expressões que você indicou definem a sequência de maneira recursiva? Justifique. 7. a) Resposta esperada: a1 = 0 e an = an – 1 + 5. 7. Junte-se a um colega e observem a sequência apresentada a seguir. (0, 5, 10, 15, 20, 25, ...)

Ulisses: (14, 10, 6, 2, _2, ...) Teresa: (5, 1, _3, _7, _11, ...) a) Qual desses alunos escreveu a sequência corretamente? b) É possível escrever outra sequência obtida por essa expressão? Explique. 10. Escreva o primeiro termo e a expressão que definem uma sequência de maneira recursiva. Depois, entregue-os a um colega e peça a ele que escreva os cinco primeiros termos dessa sequência. Por fim, confiram as respostas. Respostas pessoais. 11. Alguns artistas e poetas utilizam a ideia de sequência recursiva em suas obras, como Ronaldo Azeredo (1937-2006). Observe um exemplo. 11. a) Resposta esperada: Para escrever a próxima palavra da sequência, é excluída a última letra da anterior e adiciona-se no início uma letra V.

9. a) Ambos os alunos escreveram uma sequência correta, ou seja, correspondente à indicação da professora. 11. b) Resposta pessoal.

Definam essa sequência de maneira: AZEREDO, R. Velocidade. In: LEITE, M. S. Ronaldo Azeredo: o mínimo múltiplo (in)comum da poesia a) recursiva. b) não recursiva. concreta. Vitória: EDUFES, 2013. p. 75. 7. b) Resposta esperada: an = 5(n _ 1) ou an = 5n _ 5. 8. Escreva os próximos três termos da a) Considerando VELOCIDADE como sendo sequência (1, 3, ...). a 1a palavra da sequência, que segue a ordem de baixo para cima, explique a) Indique uma expressão que pode definir como pode ser obtida a palavra seguinte a sequência que você escreveu. com base na anterior. b) Compare a sequência que você escreveu com as de dois colegas. Elas são iguais? b) Com a ideia de sequência recursiva, comE as expressões, são iguais? Respostas ponha uma obra inspirada na apresentada. pessoais. 9. b) Resposta esperada: Sim, pois a sequência foi 6. b) Resposta esperada: Não, pois para obter um termo indicada pela professora de maneira recursiva, mas sem qualquer dessa sequência, não é necessário conhecer apresentar o primeiro ou outro termo da sequência. 147 outros termos dela.

7. Esta atividade trabalha o uso de simbologia algébrica para expressar regularidades em sequências numéricas e a classificação dessas sequências definidas de maneira recursiva ou não recursiva. Além disso, possibilita identificar se duas expressões algébricas obtidas para representar uma

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mesma sequência numérica são ou não equivalentes. Esta é a primeira atividade em que os alunos irão indicar a expressão que define uma sequência. Orientá-los de maneira a perceber a variação da sequência de acordo com a expressão que eles devem indicar. No item a, eles devem

4:17 PM analisar como a 11/2/18 sequência varia de um termo para o seguinte. No item b, a relação deve ser feita com a posição do termo. Por exemplo, o termo da posição 1 é igual a zero. Assim, uma possível definição, analisando apenas esse termo, seria an = n _ 1. No entanto, é necessário conside-

rar os demais termos para indicar uma expressão para definir essa sequência. 8. Esta atividade trabalha a escrita dos termos de uma sequência numérica e a representação de sua regularidade por meio de expressões algébricas. Além disso, possibilita identificar se duas expressões algébricas obtidas para representar uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes. Nesta atividade são apresentados apenas dois termos da sequência, de maneira que os alunos podem indicar diferentes sequências a partir destes termos. 9. Esta atividade trabalha a escrita dos termos de uma sequência numérica e a identificação de características próprias dessa sequência. Para complementar, após a realização do item b, propor aos alunos a seguinte questão. • Considere a sequência definida pela expressão dada pela professora e com a1 = 20. Escreva os cinco primeiros termos dessa sequência e compare com os de um colega. Resposta: (20, 16, 12, 8, 4, ...). Ao final desta questão, espera-se que, ao comparar a resposta com os colegas, os alunos percebam que a sequência obtida é a mesma, pois foi definida de maneira recursiva, indicando a expressão algébrica e o primeiro termo. 10. Esta atividade trabalha a escrita dos termos de uma sequência numérica e a identificação de características próprias dessa sequência. 11. Esta atividade trabalha a identificação de sequência recursiva presente na Arte e na Literatura. Destacar a regularidade quando é considerada a palavra VELOCIDADE na vertical, da direita para a esquerda. No item b, propor uma exposição na sala de aula ou em um local próprio no pátio da escola com as obras feitas pelos alunos, o que pode ser realizado com o apoio dos professores das disciplinas de Língua Portuguesa e Arte.

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EQUAÇÕES Neste tópico é tratada com mais ênfase a seguinte habilidade da BNCC: EF07MA18. Conversar com os alunos sobre a diferença entre expressões algébricas e equações. Salientar, ainda, a diferença entre variável e incógnita. Propor aos alunos que pesquisem esses termos no dicionário e interpretem o significado de acordo com a função exercida em cada caso. O texto a seguir pode contribuir para essa conversa.

Equações Leia o problema a seguir. Sandra comprou dois cadernos iguais na papelaria próxima à sua casa. Pagou com uma cédula de R$ 50,00 e recebeu R$ 24,00 de troco. Quanto custou cada caderno?

Podemos resolver esse problema de diferentes maneiras. Uma delas é utilizando equação. Para isso, representamos o preço de cada caderno, que é um valor desconhecido, por uma letra, e escrevemos uma igualdade. Observe. preço de cada caderno quantidade de cadernos comprados

[...] Quando o estudante entende que as variáveis podem se comportar como incógnitas quando representam valores fixos, determináveis pelas condições fornecidas pela equação ou variáveis que é uma quantidade indeterminada, cujo valor varia de acordo com outra quantidade que também é variável, mas dependendo do contexto matemático, pode ser que fique mais claro essa ideia. Porém, nem sempre o estudante consegue perceber essa diferença entre variável e incógnita, o que dificulta ou praticamente impede que este desenvolva o pensamento algébrico. [...] OLIVEIRA, S. C. de; LAUDARES, J. B. Pensamento algébrico: uma relação entre álgebra, aritmética e geometria. Disponível em: <www.ufjf.br/emem/files/2015/10/ PENSAMENTO-ALG%C3%89BRICOUMA-RELA%C3%87%C3%83O -ENTRE-%-C3%81LGEBRAARITM%C3%89TICA-E-GEOMETRIA. pdf>. Acesso em: 22 set. 2018.

Informar que existem diversas maneiras de resolver a equação 2p + 24 = 50, além da apresentada nesta página. Uma delas consiste em substituir a incógnita p por valores arbitrários até obter um valor para p que satisfaça a igualdade. Essa maneira de resolver uma equação é conhecida como “tentativa e erro”.

LEANDRO MARCONDES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

valor do troco recebido valor da cédula usada no pagamento

2p + 24 = 50

Observe como podemos resolver essa equação e obter o preço de cada caderno. Calculamos 50 _ 24 = 26 e 26 : 2 = 13, completamos o esquema e obtemos o valor de p.

Desenhamos um esquema com base na ideia de operação inversa da adição e subtração e de operação inversa da multiplicação e divisão.

?2

+ 24

p

?2 50

:2

13

_ 24

+ 24 26

:2

50 _ 24

Dessa maneira, temos que Sandra pagou R$ 13,00 em cada caderno. Equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade em que letras representam números desconhecidos. Essas letras são chamadas incógnitas. Resolver uma equação consiste em obter suas raízes ou soluções, ou seja, determinar o número correspondente a cada incógnita que torna a sentença verdadeira. Em relação à equação do exemplo, temos: Equação 2p + 24 = 50 1o membro da equação

Raiz 13 2o membro da equação

Verificação 2 ? 13 + 24 = 50 26 + 24 = 50 sentença 50 = 50 verdadeira

Observe outros exemplos de equação. a) 3x _ 12 = 0

b) y 2 = 25

c) 4 a + 2b = 14 5

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equação do 1º- grau com uma incógnita DOTTA2

Observe a situação a seguir. Para realizar uma atividade na aula de Arte, o professor vai distribuir barbantes de um rolo de 100 m entre os grupos de alunos. Desse rolo, ele cortou 8 pedaços idênticos e sobraram 20 m de barbante. Quantos metros tem cada pedaço de barbante cortado? Para resolver esse problema, podemos representar o comprimento de cada pedaço de barbante por x e escrever a seguinte equação: comprimento de cada pedaço de barbante quantidade de pedaços de barbante

comprimento do barbante que sobrou no rolo

8x + 20 = 100

comprimento inicial do rolo de barbante

Note que a equação 8x + 20 = 100 tem apenas uma incógnita (x) e com expoente 1. Esse é um exemplo de equação do 1o grau com uma incógnita. Observe outros exemplos desse tipo de equação. a) _3x = 24 Observe exemplos de equações que não são do 1o grau com uma incógnita: Essa equação possui duas incógnitas: a e b. • 2a + 3b = 13 Essa equação possui apenas a incógnita x, mas com expoente 2. • x2 = 9

b) 4a + 2 = 3a _ 5 c)

p _3=7 2

Agora, observe como Bruna resolveu mentalmente a equação 8x + 20 = 100.

?8 10 x

+ 20 80

:8

100

_ 20

AMPLIANDO

Primeiro, pensei qual número adicionado a 20 resulta em 100. Esse número é 80. Depois, descobri o número cujo produto por 8 é igual a 80. Esse número é 10.

Este livro apresenta informações sobre equações do 1o grau com uma incógnita por meio das aventuras vivenciadas pelos personagens. • NETO, E. T. O contador de histórias e outras histórias da matemática: o aprendiz. São Paulo: FTD, 1997.

Sugerir aos alunos que leiam este livro, que apresenta uma história em que equações do 1o grau com uma incógnita são tratadas. • RAMOS, L. F. Encontros de primeiro grau. São Paulo: Ática, 2001. (A Descoberta da Matemática).

DAYANE RAVEN

Copie no caderno o esquema a seguir, que representa a equação 8x + 20 = 100. Complete o esquema para resolver essa equação.

Equação do 1o grau com uma incógnita Para o trabalho com a equação do 1o grau com uma incógnita, se julgar necessário, retomar a Unidade 1 deste Volume, na qual foi trabalhada a potenciação, e relembrar o papel do expoente. É importante chamar a atenção dos alunos em relação a diferença entre a equação com duas incógnitas e a equação com uma incógnita que aparece mais de uma vez, como no exemplo 4a + 2 = = 3a _ 5. Neste caso, se trata da mesma incógnita. Este estudo ficará mais claro no trabalho com a resolução de equações do 1o grau com uma incógnita, que será realizado mais adiante, ainda nesta Unidade. No Volume 8 desta coleção, os estudos a respeito das equações serão aprofundados.

Assim, a raiz da equação é 10, ou seja, cada pedaço de barbante cortado tem 10 m. 149

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a representação de situações por meio de equações. Caso os alunos tenham dificuldade em compreender as relações indicadas, orientá-los a substituir, por exemplo, as palavras “um número” por x e ler as frases com as alterações. Assim, para o item a, teremos “O dobro de x, mais 3, é igual a 11”. 2. Esta atividade trabalha a identificação de raízes de equações. Orientar os alunos a obter a raiz por meio de tentativas, ou seja, substituindo o x das equações pelos números indicados em cada uma das fichas e verificando se a sentença resultante é verdadeira. Sugerir também que eles utilizem uma calculadora para conferir os cálculos. 3. Esta atividade trabalha a identificação de raízes de equações do 1o grau com uma incógnita. É importante que os alunos percebam que, como Fabrício obteve, corretamente, 3 como raiz da equação, uma possível equação que ele resolveu deve admitir 3 como raiz. Assim, basta substituir o x por 3 nas equações apresentadas e verificar em qual ou quais delas a igualdade é verdadeira. 4. Esta atividade trabalha a identificação de equações do 1o grau com uma incógnita. Se julgar necessário, retomar com os alunos a definição de equação do 1o grau com uma incógnita e os exemplos de equações que não são do 1o grau, com uma incógnita, apresentados na página anterior. Orientar os alunos a comparar esses exemplos com as equações apresentadas. Para complementar, pedir aos alunos que expliquem o porquê das equações dos itens b e d não serem do 1o grau com uma incógnita. Nesse caso, a equação do item b possui duas incógnitas (x e y) e a do item d possui uma incógnita, mas com expoente 2 (x2).

Resoluções na p. 287

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Associe cada frase a uma equação. Para isso, escreva a letra e o símbolo romano correspondentes. a-IV; b-III; c-II; d-I. a) O dobro de um número, mais 3, é igual a 11. Que número é esse? b) O quadrado de um número, menos 5, é igual a 20. Que número é esse? c) A terça parte de um número é igual a 20. Que número é esse? d) O dobro de um número, adicionado ao triplo de outro número, é igual a 11. Que números são esses? I. 2a + 3b = 11 II.

m = 20 3

5. Você já ouviu falar do papiro Rhind? Esse papiro egípcio data de cerca de 1650 a.C., e foi copiado de um documento ainda mais antigo pelo escriba Ahmes. Nesse papiro, há problemas matemáticos que abordam diferentes conteúdos, tanto de geometria como de álgebra.

Alguns desses problemas podem ser resolvidos por meio de equação. Leia o texto a seguir, que é uma adaptação de um dos problemas propostos nesse papiro.

III. x 2 _ 5 = 20 IV. 2n + 3 = 11 2. Para cada equação, indique quais fichas apresentam a raiz.

Qual o valor de aha, sabendo que um aha mais um sétimo de aha é igual a 19?

a) 4x + 6 = 14 II. I. 8 b)

x 5

II. 2

I. 25

II. 5

Fonte dos dados: BOYER, C. B. História da Matemática. Introdução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 9-12.

III. 14

_ 3 = 0 III. III. 15

3. Fabrício resolveu corretamente uma equação e obteve 3 como raiz. Quais das equações a seguir podem ter sido resolvidas por Fabrício? b e c. a) 2x _ 5 = 3 c) 6x _ 10 = 8

Atualmente o papiro Rhind está exposto no Museu Britânico, em Londres, na Inglaterra. Fotografia de 2013.

SUPERSTOCK/GLOW IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Escreva uma equação do 1o grau para representar esse problema, indicando a incógnita aha por uma letra. x + x = 19. 7 6. Observe o esquema a seguir construído por Nicolas para obter a raiz da equação 2x + 5 = 17.

b) x + 5 = 4 d) x + 3 = 0 2 4. Quais das equações a seguir correspondem a equações do 1o grau com uma incógnita? a e c. a) 6x = 2 c) x + 1 = 2x 2 d) x2 _ 1 = 0 b) 3x + 2 = 2y

?2

+5

x

17 :2

_5

• Qual é a raiz dessa equação? 6 De maneira análoga, obtenha a raiz de cada equação a seguir. a) 7x = 84 12

c) 3x _ 5 = 40 15

b) 6x + 17 = 101 14

d) x + 7 = 29 44 2

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5. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 1o grau com uma incógnita. Além disso, propicia um trabalho relacionado à história da Matemática. 6. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita

por meio das ideias das propriedades da igualdade. Conversar com os alunos a fim de que fique claro para eles que, nesse esquema, a resolução é trabalhada por meio de operações inversas, ou seja, adição e subtração e a multiplicação e divisão.

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a) Qual das equações a seguir representa esse problema, considerando x a massa de cada caixa em gramas? Alternativa II. I. 4x + 100 = 500 II. 3x + 100 = x + 500 III. 3x = 400 b) Qual dos números a seguir é solução da equação que você indicou no item a?200 100

50 300

150

200 500

250

400

c) Qual é a massa de cada caixa? 200 g. 8. Em alguns casos, antes de resolver uma equação, podemos simplificar cada membro. Observe um exemplo. 5x _ 7 _ 3(x _ 4) = 2(x + 1) _ 4x 5x _ 7 _ 3x + 12 = 2x + 2 _ 4x 2x + 5 = 2 _ 2x a) 10 + 3(x + 1) = 1 3x + 13 = 1. 9x _ 7 = 7x + 2. b) 12x _ 7 _ 3x = 5x + 2(x + 1) x_3 + 2x _ 1 = 15 5 x _ 5 = 15. c) 2 2 2 1 2 x_1 +x d) 5 [x _ ] + x = 2 3 2 8. d) 17 x _ 5 = 3 x _ 1 . 3 2 2 2

7. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio de tentativas. Caso julgar necessário, lembrar aos alunos como funciona uma balança de dois pratos, ou seja, quando está em equilíbrio, as massas nos pratos são equivalentes. Assim, para indi-

a) 2x _ 5 = 7 6 y b) + 5 = 20 30 2

c) 5(n _ 1) = 75 16 d) m _ 3 = 17 _ 3m 5

10. Em uma loja, certo celular custa R$ 605,00 na compra a prazo, com pagamento de R$ 125,00 de entrada e o restante em 6 parcelas iguais e sem acréscimos. a) Escreva uma equação para representar essa situação, em que p representa o valor de cada parcela na compra desse celular. Resposta esperada: 6p + 125 = 605. b) Resolva a equação que você escreveu no item a e indique o valor de cada parcela. p = 80; R$ 80,00. c) Sabendo que o preço à vista desse celular é de R$ 530,00, quanto se paga a mais ao comprá-lo a prazo? R$ 75,00. 11. Maíra é engenheira e precisa determinar as medidas dos lados de um terreno retangular. Ela sabe que o comprimento do terreno tem 15 m a mais do que a largura e que o perímetro é de 70 m. a) Faça um desenho para representar o terreno descrito no enunciado, indicando as informações sobre as medidas dos lados. Resposta nas Orientações para o professor. b) Qual das equações a seguir pode ser usada para resolver esse problema, sendo x a medida da largura do terreno? I. x _ 15 = 70

Simplifique as equações a seguir.

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9. Podemos resolver uma equação por meio de tentativas, ou seja, atribuir valor à incógnita, substituir na equação e verificar se a igualdade obtida é verdadeira. Caso seja verdadeira, o valor atribuído é uma raiz da equação; caso não seja, ajustamos o valor e repetimos o procedimento. Determine a raiz de cada equação a seguir realizando tentativas.

II. 4x + 30 = 70

III. x + 15 = 70 Alternativa II.

c) Resolva a equação que você indicou no item b utilizando a estratégia de sua preferência. x = 10.

x

d) Qual é a medida do comprimento e da largura desse terreno? Comprimento: 25 m; largura: 10 m.

car a equação, basta adicionar as massas dos objetos em um prato e igualar com a adição das massas dos objetos do outro prato. 8. Esta atividade trabalha a simplificação de equações do 1o grau com uma incógnita. No exemplo dado, foram realizadas simplificações de

EDITORIA DE ARTE

ROBERTO ZOELLNER

7. Dois amigos estão brincando com caixas de mesma massa. Um deles colocou alguns pesos e caixas na balança, e o outro deve calcular a massa da caixa. Observe.

9. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio de tentativas. Antes de os alunos resolverem esta atividade, se julgar necessário, apresentar um exemplo de como a equação 4x + 2 = 62 pode ser resolvida por tentativas. 1a) Podemos considerar x = = 10 e calcular: 4 ? 10 + 2 = 40 + 2 = 42 Como 42 , 62, escolhemos um valor maior para x. 2a) Podemos considerar x = = 12 e calcular: 4 ? 12 + 2 = 48 + 2 = 50 Como 50 , 62, escolhemos um valor maior para x. 3a) Podemos considerar x = = 16 e calcular: 4 ? 16 + 2 = 64 + 2 = 66 Como 66 . 62, escolhemos um valor menor para x. 4a) Podemos considerar x = = 15 e calcular: 4 ? 15 + 2 = 60 + 2 = 62 Portanto, 15 é a raiz da equação. 10. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 1o grau com uma incógnita e sua resolução. As informações apresentadas são fictícias. 11. Esta atividade trabalha a representação de uma situação por meio de uma equação do 1o grau com uma incógnita e sua resolução. Veja a seguir a resposta do item a.

x + 15

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cada membro da equação. Se julgar necessário, retomar o trabalho com expressões algébricas nesta Unidade, em que apresentamos essas simplificações, as quais, relacionando ambos os membros de uma equação, serão abordadas no próximo tópico.

No item b, verificar se os alunos perceberam que as equações apresentadas estão em sua forma simplificada. Assim, é necessário que eles tornem a equação mais fácil para obter a resposta.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resolução de equações do 1º- grau com uma incógnita

Resolução de equações do 1o grau com uma incógnita Antes de iniciar o trabalho com o conteúdo destas páginas, promover uma conversa com os alunos a respeito de informações históricas da balança de dois pratos. O texto a seguir pode auxiliar nessa conversa.

AFONSO, J. C.; SILVA, R. M. da. A evolução da balança analítica. Química nova. Disponível em: <www. quimicanova.sbq.org.br/imagebank/ pdf/Vol27No6_1021_29-AG03221. pdf>. Acesso em: 22 set. 2018.

ILUSTRAÇÕES: ROBERTO ZOELLNER

A balança de dois pratos funciona com base no equilíbrio, ou seja, quando os pratos estão em um mesmo nível, a massa em cada um deles é a mesma. É possível, com base no funcionamento desse tipo de balança, compreendermos uma ideia fundamental no estudo de equações. Para isso, considere a seguinte situação.

A balança está em equilíbrio, as caixas têm massas iguais e cada peso tem 500 g. Quantos gramas tem cada caixa dessas?

[...] A BALANÇA DE DOIS PRATOS Admite-se que a balança tenha origem no Antigo Egito. Durante cerca de 40 séculos, a balança teve como característica a existência de dois pratos. Desde a Antiguidade, a balança [...] sempre encontrou emprego nas áreas comercial e econômica de diversos povos (egípcios, babilônios, gregos, etruscos e romanos [...]). [...] Para os babilônios, a balança simbolizava a igualdade dos dias e das noites, já que o Sol entrava na constelação de Libra no equinócio de Outono (quando o dia e a noite têm igual duração) [...]. [...] As balanças egípcias tinham dois braços iguais, sendo o travessão amarrado à haste, ou ainda fixado por orifícios unidos por um prego ou um anel (este ponto de apoio chama-se fulcro). Há ainda que se considerar os modelos onde a haste era suspensa pela mão, muito usadas nas farmácias e ourivesarias. Existiu também uma outra versão, de braços desiguais, usada em transações comerciais, sendo um dos pratos substituído por um peso fixo e o outro, por um gancho onde se pendurava a carga. O braço maior tinha graduações e o peso fixo; o menor, o gancho para os objetos. [...]

Veja no material audiovisual o vídeo sobre Katherine Johnson.

Para resolver esse problema, podemos escrever a equação 3x + 500 = x + 1 000 ao lado, em que x representa a massa de cada caixa, em gramas. Agora, observe as etapas de resolução dessa equação e o ajuste correspondente na balança.

1a

Retiramos de cada prato um peso de 500 g, mantendo o equilíbrio.

2a

Retiramos uma caixa de cada prato, mantendo o equilíbrio.

3a

Como no prato da esquerda restaram apenas duas caixas de massas iguais, temos que a massa de cada uma delas corresponde à metade da massa do outro prato.

Subtraímos 500 de cada membro da equação, mantendo a igualdade. 3x + 500 = x + 1 000 3x + 500 _ 500 = x + 1 000 _ 500 3x = x + 500

Subtraímos x de cada membro da equação, mantendo a igualdade. 3x = x + 500 3x _ x = x _ x + 500 2x = 500

Por fim, dividimos cada membro da equação por 2, mantendo a igualdade. 2x = 500 2x 500 =

2

2

x = 250

Assim, 250 é raiz da equação 3x + 500 = x + 1 000, ou seja, cada caixa tem 250 g. 152

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Ao apresentar o contexto da balança de dois pratos, pode ficar mais evidente para os alunos que, no caso das equações, o símbolo de igualdade é utilizado como um sinal relacional de equivalência, e não como um sinal operacional, geralmente utilizado na

aritmética dos primeiros anos do Ensino Fundamental em tarefas do tipo: 7 + 4 = __. Informar aos alunos que, de modo geral, para realizar aferição de massa em uma balança de dois pratos, é colocado em um dos pratos um ou mais objetos de massa conhecida

(peso-padrão) e, no outro, o corpo (objeto) que se deseja aferir a massa. Caso necessário, são acrescidos ou retirados objetos de massa conhecida até estabelecer o equilíbrio entre os dois pratos, o que resulta em massas equivalentes.

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Na primeira etapa de resolução da equação, é interessante que os alunos percebam que subtrair 500 em ambos os membros da igualdade é o mesmo que adicionar _500 em ambos os membros. Assim como, na segunda etapa, subtrair x em ambos os membros da igualdade é o mesmo que adicionar _x em ambos os membros. De maneira análoga, na terceira etapa, dividir cada membro da equação por 2 é o mesmo que multiplicar cada membro da equação pelo inverso de 2, isto é, mul1 tiplicar por . 2 Informar aos alunos que qualquer equação do 1o grau com uma incógnita pode ser resolvida com base nas propriedades aditiva e multiplicativa da igualdade, que também são conhecidas como princípio aditivo e princípio multiplicativo da igualdade.

A resolução apresentada faz uso das propriedades da igualdade. • Propriedade aditiva da igualdade: ao adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número em ambos os membros da equação, a igualdade não se altera. • Propriedade multiplicativa da igualdade: ao multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número, diferente de zero, ambos os membros da equação, a igualdade não se altera. Agora, observe outros exemplos de equações resolvidas com base nessas propriedades. a) 5x _ 13 = 2x + 5 5x _ 13 + 13 = 2x + 5 + 13 0

Adicionamos 13 em cada membro da equação.

18

5x _ 2x = 2x _ 2x + 18 3x

3x 18 = 3 3

Subtraímos 2x de cada membro da equação.

0 Dividimos cada membro da equação por 3.

x=6 b)

Temos que 6 é raiz da equação.

x + 7 = _5 2 x + 7 _ 7 = _5 _ 7 2 0

2?

Subtraímos 7 de cada membro da equação.

_12

x = 2 ? (_12) 2

Multiplicamos por 2 cada membro da equação.

x = _24

Temos que _24 é raiz da equação.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade.

Nas equações apresentadas anteriormente, substitua a raiz obtida nas equações e verifique se estão corretas. Resposta esperada: Sim, as raízes estão corretas.

AtividadeS

Resoluções na p. 288 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Copie as resoluções das equações substituindo cada adequadamente. x 2x _6= _4 c) a) 9x _ 2 = 8x _ 4 3 3 2 2 = 8x _ 4 + 9x _ 2 + 8x 8x 6 x 2x 6 9x _ = 8x _ 2 _ = _4+ _6+ 3 3 x x= _2 _ x 2x x 3 _ + + +2 = b) 7 _ 2x = _5x _ 11 3 3 3 5x 5x = _5x _ 11 7 _ 2x + 3 x 3 _7 _7 ? =2? + 7 + 3x = _ 11 3 3x _18 = x= 6 3 3 x= _6

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre Katherine Johnson, uma matemática estadunidense que trabalhou na Nasa como “computador” a partir de 1953, fazendo cálculos complexos que contribuíram para o envio do primeiro homem ao espaço.

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Para complementar esse trabalho, propor a seguinte situação aos alunos. • Considere uma balança de dois pratos, em que um deles está com um recipiente com feijão e o outro com dois pesos de 1 000 g e um peso de 500 g, cujo equilíbrio indica

que no recipiente de feijão há 2 500 g. Caso o peso de 500 g seja retirado da balança, o que pode ser feito com o feijão para que essa balança volte a ficar em equilíbrio? Resposta esperada: Retirar 500 g de feijão. Propor também uma atividade em que os alunos devem

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elaborar problemas com base na manipulação de objetos entre os pratos das balanças.

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a) 3 + 7x = _39 x = _6. b) 5x _ 3 = 9 _ x x = 2.

4 c) 4(x _ 3) = x _ 8 x = . 3 x d) + 2 = 3 x = 8. 8 5x 3x e) +3= + 5 x = 2. 2 2 8 3 x f) 4x _ = + 5 x = . 5 5 2

II.

5. Observe o que Nair está dizendo.

Eu adicionei três números naturais consecutivos e obtive 33 como resposta.

III.

III, I e II. a) Escreva a ordem das figuras para indicar a sequência em que a equação é resolvida.

b) Escreva a equação resolvida com essa sequência de figuras. Use x para indicar a incógnita. Resposta esperada: 3x + 800 = 2x + 1 400. c) Qual é a raiz dessa equação? Qual é a massa de cada caixa? 600; 600 g.

3. b) Em certa etapa da resolução, Rafael adicionou 3x ao primeiro membro e subtraiu 3x do segundo membro, enquanto o correto seria subtrair 3x de ambos os membros.

3. Na aula de Matemática, Rafael tentou resolver uma equação, mas cometeu um erro na resolução. Observe.

DAYANE RAVEN

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. Aqui, o objetivo das manipulações na balança é obter a massa de uma caixa. Após a resolução do ítem a, verificar se os alunos compreenderam que a última figura deve ser a que mostra apenas uma caixa e um peso em cada um dos pratos. 3. Esta atividade trabalha a identificação de erros cometidos nas etapas de resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. Para auxiliar na identificação do erro, pedir aos alunos que descrevam o que foi feito em cada etapa da resolução (de uma linha para a seguinte). Assim, eles podem observar que, em determinada etapa, deveria ter sido subtraído 3x de ambos os membros da igualdade, porém, no primeiro membro foi adicionado 3x. 4. Esta atividade trabalha a resolução de equações do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. Para a resolução de cada item, os alunos podem utilizar a estratégia que julgarem mais conveniente. 5. Esta atividade trabalha a representação de situações por meio de equações do 1o grau com uma incógnita e sua resolução com as propriedades da igualdade. No item a, a variação das respostas está associada ao número que os alunos indicarem como o desconhecido. Por exemplo, na primeira sugestão de resposta, temos 3x + 3 = 33; o menor dos três números consecutivos foi indicado como o desconhecido e a sequência dos números é dada por x, x + +1 e x + 2. Na segunda sugestão, temos 3x = 33; o número central foi indicado como o desconhecido e a sequência dos números é dada por x _ 1,

3. a) Resposta esperada: Substituir na equação a incógnita pelo resultado determinado por Rafael e verificar se a sentença obtida é verdadeira. a) Como é possível verificar que o resultado 2. A seguir estão indicadas, fora de ordem, obtido por Rafael não é raiz da equação? as etapas de resolução de uma equação com apoio de uma balança de dois pratos, b) Identifique e descreva o erro cometido caixas de massas iguais e alguns pesos. A por Rafael. massa da caixa corresponde à incógnita. c) Resolva essa equação de maneira correta. x=8 I. 4. Resolva as equações.

ILUSTRAÇÕES: ROBERTO ZOELLNER

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) Escreva uma equação que represente a fala de Nair. b) Resolva a equação que você escreveu no item anterior e determine quais números Nair adicionou. 10, 11 e 12.

5x _ 4 = 3x + 12 5x _ 4 + 4 = 3x + 12 + 4 5x + 3x = 3x _ 3x + 16 8x = 16 8x 16 = 8 8 x=2

6. A temperatura ambiente do forno de uma padaria é de cerca de 20 oC. Ao ser ligado, a temperatura desse forno aumentou 10 ºC por minuto até atingir 180 ºC. Quantos minutos foram necessários para o forno atingir essa temperatura? 16 min. 5. a) Respostas possíveis: x + (x + 1) + (x + 2) = 33 ou 3x + 3 = 33; (x _ 1) + x + (x + 1) = 33 ou 3x = 33; (x _ 2) + (x _ 1) + x = 33 ou 3x _ 3 = 33. 154

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x e x + 1. E, na terceira sugestão, temos 3x _ 3 = 33; o maior dos três números foi indicado como o desconhecido e a sequência dos números é dada por x _ 2, x _ 1 e x. 6. Esta atividade trabalha uma situação que pode ser resolvida por meio de uma equação do 1o grau com uma

incógnita utilizando as propriedades da igualdade. Pedir aos alunos que expressem a situação por meio de uma equação, que pode ser 10x + 20 = 180. Neste caso, verificar se eles perceberam que a quantidade de minutos que o forno demorou para atingir 180 °C corresponde à incógnita x.

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7. Raquel e Tadeu estão brincando de adivinhar números.

Pense em um número. Multiplique por 10. Adicione 5. Qual é o resultado?

c) Junte-se a um colega e façam uma brincadeira parecida com essa. Primeiro, um de vocês pensa em um número para o outro descobrir, fazendo cálculos mentais. Depois, as funções se invertem. Resposta pessoal.

O resultado é 25. Você pensou no número 2.

8. Além das escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit, estudadas anteriormente, temos a escala Kelvin (K), muito utilizada no meio científico. Podemos converter uma temperatura em Kelvin para grau Celsius utilizando a fórmula a seguir.

Como você adivinhou? Nessa brincadeira, Raquel utilizou ideias de equação para obter o número pensado por Tadeu. Observe.

C = K _ 273 C: temperatura em grau Celsius. K: temperatura em Kelvin.

o

1

Multiplique por 10.

Pense em um número.

4o

10x + 5 = 25

O resultado é 25.

3o

Adicione 5.

a) Faça os cálculos e verifique se 2 é raiz da equação 10x + 5 = 25. Sim, é raiz. b) Agora, observe essas crianças brincando novamente.

Pense em um número. Multiplique por 3. Subtraia 10. Qual é o resultado?

a) A quantos graus Celsius correspondem 300 K? 27 °C. b) Em um experimento feito em laboratório, uma cientista aqueceu certo líquido até atingir 120 oC. Indique essa temperatura em Kelvin. 393 K. 9. As figuras representadas a seguir têm perímetros iguais. Qual é o valor de x, em metros? x = 7. 5 x _1

x _1

x +1 2

O resultado é 11.

ILUSTRAÇÕES: DAYANE RAVEN

x _1

x +1 2

EDITORIA DE ARTE

2o

Para o item b, os alunos também podem representar a situação por meio de um esquema. No item c, é importante avaliar se as situações propostas pelos alunos podem ser resolvidas por meio de equações do 1o grau com uma incógnita, as quais podem ter estruturas diferentes de ax + b = = c, com a diferente de zero. 8. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. Verificar a possibilidade de realizar um trabalho junto ao professor da disciplina de Ciências sobre as escalas de temperatura. Para resolver o item b, os alunos podem substituir a temperatura de 120 °C diretamente na fórmula. 9. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. 10. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo equações do 1o grau com uma incógnita. É importante avaliar se o problema elaborado pelo aluno contempla ideias relacionadas ao conceito proposto. É possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

• Escreva uma equação para obter o número pensado por Raquel. Resposta esperada: 3x – 10 = 11. • Que número é esse? 7

5

10. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita. Em seguida, junte-se a um colega e troquem os problemas para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 155

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7. Esta atividade trabalha a resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita por meio das propriedades da igualdade. Além disso, propõe a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo equações do 1o grau com uma in-

cógnita. No item a, caso os alunos tenham dificuldade na transposição da fala da personagem para a equação, apresentar o esquema a seguir e orientá-los que, para obter o número pensado, basta realizar operações inversas.

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? 10

+5

x

25 : 10

_5

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

[...] Bem, a sucessão de Fibonacci é abrangente em formas jamais imaginadas e bem diversificadas. Comecemos pelo nosso corpo. Conseguimos ver: 2 mãos, cada uma com... 5 dedos, cada um tem... 3 partes separadas por... 2 nós. Mas isto parece coincidência, não paremos por aqui, então! A sequência de Fibonacci parece surgir teimosamente em vários fenômenos do meio ambiente, aguçando a curiosidade de explicar o Universo com base na linguagem matemática. [...] Os pontos de ramificação de certas árvores seguem a sequência de Fibonacci. Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares uniformemente. Esta formação permite ainda, quando chove, o escoamento fácil da água na planta. Em algumas plantas o número de pétalas é um número de Fibonacci. O lírio, a íris ou a açucena têm 3 pétalas. O manacá, o botão-de-ouro, a rosa selvagem, a columbine e a capuchinha têm 5 pétalas. O delphiniums e a anémona têm 8 pétalas. O

integrando com história

Leonardo de Pisa e sua famosa sequência Leia com atenção o problema a seguir. Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?

STEFANO BIANCHETTI/CORBIS GETTY IMAGES

INTEGRANDO COM HISTÓRIA Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 1 e à competência específica 1 de Matemática da BNCC, uma vez que explora o reconhecimento da Matemática como uma ciência em construção, fruto da contribuição de diferentes povos no decorrer da história. Apresentar aos alunos o trecho a seguir, que informa alguns locais onde é possível identificar números da sequência de Fibonacci, disponível no site da Universidade dos Açores, de Portugal.

BOYER, C. B. História da Matemática. Introdução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 186.

Esse problema foi proposto há mais de 800 anos pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci (cerca de 1180-1250), também conhecido como Leonardo de Pisa. Com base nesse problema e considerando algumas hipóteses, Fibonacci desenvolveu uma sequência numérica que se tornaria, posteriormente, uma das mais conhecidas da história. Observe. Hipóteses: • os casais de coelhos tornam-se adultos e começam a reproduzir no segundo mês de vida; • todos os meses, cada casal de coelho adulto gera outro casal; • no início há apenas um casal de coelhos e nenhum coelho morre durante o ano.

Leonardo Fibonacci nasceu em Pisa, na Itália , e foi um dos matemáticos mais talentosos da Idade Média. Seu livro Liber abaci (Livro dos ábacos) é um tratado sobre métodos e problemas algébricos, no qual defende fortemente o uso de algarismos indo-arábicos.

casal adulto

Início

casal filhote

1o mês 2o mês 3o mês 4 o mês 5 o mês 6 o mês ;

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malmequer e a cineraria têm 13 pétalas. O áster, o olhado-preto, a susana e a chicória têm 21 pétalas. A dália e o píretro têm 43 pétalas. Algumas margaridas têm 55 ou 89 pétalas. A lista continua... [...]

MARTINS, M. do C. A Matemática na Natureza. Correio dos Açores, Açores, 5 jun. 2014. Disponível em: <https://repositorio.uac.pt/ bitstream/10400.3/3531/3/A-mat-nanatureza%28jornal%29-5-6-2015. pdf>. Acesso em: 22 set. 2018.

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Representando as quantidades de casais de coelhos em cada mês, a partir do início, por uma sequência numérica, temos: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) Note que, a partir do 2o mês, a quantidade de casais de coelhos corresponde à soma das quantidades de casais dos dois meses anteriores: + 3. Resposta esperada: Sendo o primeiro e o segundo termos iguais a 1, a partir do terceiro adicionamos os dois termos anteriores para obter o próximo.

+

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) +

+

+

Ao longo da história, percebeu-se a presença de números dessa sequência em diversas situações, como a quantidade de espirais de sementes que formam o miolo do girassol e a disposição das espirais das sementes de uma pinha. Resoluções na p. 288

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Por que a sequência apresentada ficou conhecida como sequência de Fibonacci? Resposta esperada: Porque foi desenvolvida pelo matemático Leonardo de Pisa, também chamado de Fibonacci. 2. Quantos são os casais de coelhos adultos e quantos são os casais de filhotes no 6o mês da sequência? E no 7o mês? 6o mês: 8 casais de coelhos adultos e 5 casais de filhotes; 7o mês: 13 casais de coelhos adultos e 8 casais de filhotes. 3. Explique como é possível obter um termo dessa sequência. 4. Continue obtendo a quantidade de casais de coelhos até o 12o mês, ou seja, um ano, e responda o problema proposto por Fibonacci. 144 pares de coelhos: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...). 5. Considerando que a sequência de Fibonacci continue infinitamente, identifique entre os itens a seguir aquele que define essa sequência de maneira correta. Alternativa c. a)

a1 = a2 = 1 an = an _ 1 + 1

b)

a1 = a2 = 1

c)

an = 2an _ 1

a1 = a2 = 1 an = an _ 2 + an _ 1

ARTUR FUJITA/EDITORIA DE ARTE

Acesse este site para obter mais informações sobre Leonardo de Pisa. • IMPA. Leonardo Fibonacci ensinou europeus a contar. Disponível em: <http:// livro.pro/7rn7hm>. Acesso em: 8 maio 2018.

CERIOLI, M. R. Números de Fibonacci e representação de números inteiros positivos. Revista Professor de M9atemática, São Paulo, n. 53. Disponível em: <www.rpm.org.br/cdrpm/53/6. htm>. Acesso em: 22 set. 2018.

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Para mais informações sobre a sequência de Fibonacci, ler o texto a seguir. [...] Os números de Fibonacci, que são os termos da famosa sequência de números inteiros positivos, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

são bem conhecidos e estudados. Essa sequência é definida pela relação de recorrência Fn = Fn – 1 + Fn – 2, n . 2 com F1 = 1 e F2 = 1 [...] Nosso objetivo é divulgar uma propriedade dos números de Fibonacci

números de Fibonacci, entre elas: 16 = 8 + 8, 16 = 8 + + 5 + 3 ou 16 = 13 + 3. Na primeira, os números não são distintos; na segunda, são distintos porém consecutivos. Somente na terceira temos números de Fibonacci distintos e não consecutivos: 13 = F7 e 3 = F4. O Teorema de Zeckendorf [...], como também é conhecida a propriedade descrita acima, garante que 13 + + 3 é a única maneira de escrever 16 como soma de números de Fibonacci distintos e não consecutivos. A propriedade vale para qualquer número inteiro positivo. [...] [...] Questionado se existe uma outra sequência de números inteiros positivos que também tem esta propriedade, Daykin [1] provou que a sequência de Fibonacci é a única sequência de inteiros para a qual cada número inteiro positivo pode ser escrito de maneira única como soma de termos distintos e não consecutivos dessa sequência. [...] Referências bibliográficas [1] DAYKIN, D. E. Representation of natural numbers as sums of generalized Fibonacci numbers. Journal of the London Mathematical Society 35, p. 143-160, 1960.

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muito pouco conhecida entre nós, a saber: Todo número inteiro positivo pode ser escrito de maneira única como soma de números de Fibonacci distintos e não consecutivos. Por exemplo, o número 16 pode ser obtido de várias maneiras como soma de

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Fórmulas na planilha eletrônica Na etapa 1, é importante que os alunos saibam que é possível utilizar qualquer coluna para registrar a altura do pai, altura da mãe e estimativa da altura de meninas, isto é, não precisa ser utilizada necessariamente as colunas A, B e C, respectivamente. Assim, é possível utilizar a mesma aba da planilha para determinar a estimativa da altura de um menino, solicitado na questão 2. No entanto, neste caso, é interessante utilizar colunas diferentes daquelas usadas no cálculo da estimativa da altura de meninas. Na etapa 2, verificar se os alunos perceberam que o símbolo “/” indica uma divisão e que é necessário registrar toda a expressão A2+B2−13 entre parênteses para indicar que o resultado dessa expressão deve ser dividido por 2. Explicar a eles que, caso esses elementos não estivessem entre parênteses, apenas o número 13 seria dividido por 2, o que não é o caso nessa situação. Na etapa 3, orientar os alunos a digitar a altura do pai (180 cm) e a altura da mãe (175 cm) nas células correspondentes sem registrar a unidade de medida centímetros (cm). Antes de iniciar as questões, relembrá-los de que essa fórmula fornece apenas uma estimativa da altura de meninas a partir da altura de seus pais e que diversos outros fatores podem interferir no crescimento de uma criança, como a alimentação e a prática de atividades físicas regularmente.

você

conectado

Fórmulas na planilha eletrônica Vamos utilizar a planilha eletrônica Calc para estudar fórmulas. Neste exemplo, vamos recorrer à fórmula para estimar a altura de uma criança quando ela atingir a fase adulta com base na altura de seus pais, trabalhada na atividade 10 da página 143. Observe.

Ameninas = P + M _ 13 2

Ameninos = P + M + 13 2

P: altura do pai em centímetros. M: altura da mãe em centímetros. A: altura estimada da criança quando atingir a fase adulta.

1a

É necessário indicar, na planilha eletrônica, em quais células serão digitados valores para as variáveis. Utilizamos uma coluna para registrar a altura do pai (coluna A), outra para a altura da mãe (coluna B) e outra para a estimativa da altura de meninas (coluna C).

2a

Para fazer a estimativa da altura de meninas, na célula C2 escrevemos = (A2 + B2 _ 13)/2, que corresponde à fórmula A = P + M _ 13 meninas

IMAGENS: LIBREOFFICE 2018

VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5 e à competência específica 5 de Matemática e à habilidade EF07MA13 da BNCC.

MD. KHALID HOSSEN/ SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Mãos à obra 1. Nesta questão, é importante que os alunos se atentem ao realizar as etapas conforme apresentadas. Um erro comum neste tipo de trabalho com planilhas é o registro da fórmula de maneira equivocada, como a falta do sinal de igualdade antes da expressão matemática. 2. Orientar os alunos a usar células diferentes das utilizadas para o cálculo da estimativa da altura de menina ou, se preferirem, usar outra aba da planilha eletrônica. 3. Após a resolução desta questão, solicitar aos alunos que compartilhem as estratégias utilizadas com os colegas. Uma estratégia para resolvê-la na planilha eletrônica é iniciar supondo uma altura plausível para a mãe e outra para o pai e analisar a altura estimada para a filha. Se a altura obtida for maior que 175 cm, é necessário diminuir a altura do pai, da mãe ou de ambos, caso contrário, a altura do pai, da mãe ou de ambos precisa ser aumentada. Um modo de fazer esse ajuste é fixar uma das alturas, do pai ou da mãe, e variar a outra. Outra maneira de resolver esta atividade é fixar uma altura para o pai ou para a mãe e obter a outra altura desejada por meio da resolução de uma equação do 1o grau com uma incógnita. Se fixar a altura do pai, a altura desejada será a da mãe e vice-versa. É possível que em alguns casos a altura desejada seja um número na forma decimal.

3a

LIBREOFFICE 2018

Para calcular a estimativa da altura de uma menina cujo pai mede 180 cm e a mãe 175 cm, digitamos esses valores nas células A2 e B2, respectivamente.

Observe que as medidas das alturas são indicadas, na planilha eletrônica, em centímetros.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções na p. 289

1. O pai de Fernanda tem 170 cm e a mãe, 159 cm. Utilizando a planilha eletrônica Calc, estime a altura de Fernanda quando atingir a fase adulta. 158 cm ou 1,58 m. 2. De maneira análoga à apresentada, organize uma planilha eletrônica para estimar a altura de um menino. Em seguida, com essa planilha, calcule a estimativa da altura de um menino, quando atingir a fase adulta, cujas alturas dos pais estão indicadas a seguir. 183 cm ou 1,83 m.

168 cm

DAYANE RAVEN

185 cm

3. Calcule duas opções de medidas da altura de um homem e uma mulher para que a filha tenha altura estimada em 175 cm quando atingir a fase adulta. Algumas respostas possíveis: 185 cm para o homem e 178 cm para a mulher; 190 cm para o homem e 173 cm para a mulher; 170 cm para o homem e 193 cm para a mulher. 159

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado a seguir. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

o que estudei

Resoluções na p. 289 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreedê-lo. Resposta pessoal.

Valor numérico Expressões algébricas

de uma expressão algébrica

Variável

Incógnita

Raiz de uma equação

Sequências numéricas

Resolução de uma equação

Equações

Equação do 1o grau com uma incógnita

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Expressões algébricas e equações Expressões algébricas

Variável

Valor numérico de uma expressão algébrica

Sequências numéricas

Equações

Incógnita

Resolução de uma equação

Equação do 1o grau com uma incógnita

Raiz de uma equação

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• Todas as expressões apresentadas definem sequências de maneira não recursiva? Justifique. Resposta: Sim, pois por meio delas é possível determinar qualquer termo da sequência sem que seja necessário saber um termo que o antecede. No item III, questionar os alunos a respeito de uma estratégia que pode ser utilizada para verificar se a resposta dada nesse item é verdadeira. Uma estratégia é continuar representando as figuras dessa sequência até a 8a figura. Para complementar o item IV, propor os seguintes questionamentos. • É possível que um número ímpar faça parte dessa sequência? Justifique. Resposta esperada: Não, pois a sequência é composta por números múltiplos de 4, que são todos pares. • O número 238 faz parte dessa sequência? Em caso afirmativo, qual é a sua posição? Resposta: O número 238 não faz parte dessa sequência.

3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL As quantidades de

das figuras representadas a seguir correspondem aos primeiros

números de uma sequência.

Figura I

Figura II

Figura III

Figura IV

...

EDITORIA DE ARTE

...

PROBLEMAS

I Escreva os quatro primeiros números dessa sequência. (4, 8, 12, 16, ...). Conceitos: Sequências numéricas.

II Qual alternativa a seguir pode definir essa sequência, sendo que n

AMPLIANDO

indica a posição de cada número dela? an = 3n + 1

Acessar este site para obter mais informações sobre o trabalho com sequências. • PONTE, J. P. da; MATOS, A.; BRANCO, N. Sequências e funções: Materiais de apoio ao professor com tarefas para o 3o ciclo – 7o ano. Portugal, 2009. Disponível em: <http:// livro.pro/mmyazj>. Acesso em: 23 set. 2018.

an = 4n. Conceitos: Sequências numéricas; expressões algébricas.

an = 4n an = n + 4

III De acordo com a resposta do problema II, calcule o 8o número dessa sequência. 32. Conceitos: Sequências numéricas; valor numérico de uma expressão algébrica.

IV Qual é a posição do número 120 nessa sequência? 30o número. Conceitos: Sequências numéricas; equações; resolução de uma equação; raiz de uma equação.

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3. Para resolver o item II desta questão, orientar os alunos a verificar as alternativas utilizando mais de uma posição da sequência. Isso porque substituindo n por 1, as expressões an = 3n + 1 e an = 4n resultam em 4, que é a quantidade de

da Figura I, mas

isso não garante que ambas as expressões podem definir a sequência apresentada. Para complementar este item, propor aos alunos os seguintes questionamentos. • A expressão que você indicou define a sequência de maneira recursiva? Justifique.

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Resposta: Não, pois em uma sequência definida de maneira recursiva para determinar o valor de um termo qualquer é necessário conhecer o valor de um ou mais termos que o antecedem, e, nesse caso, isso não é necessário.

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UNIDADES TEMÁTICAS

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• Números. • Álgebra. • Geometria. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Cálculo de porcentagens e

de acréscimos e decréscimos simples. • Linguagem algébrica: variável e incógnita. • Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. • Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem. • Simetrias de translação, rotação e reflexão.

HABILIDADES • • • • •

EF07MA02 EF07MA13 EF07MA17 EF07MA20 EF07MA21

COMPETÊNCIAS GERAIS 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

PROPORCIONALIDADE E SIMETRIA

Cartografia Talvez você não repare, mas provavelmente estão presentes em seu dia a dia diferentes recursos cartográficos, como mapas, plantas e croquis. Você já parou para pensar em como surgiram recursos como esses? Povos primitivos já faziam registros com desenhos em cavernas para representar a região onde viviam, mesmo antes do desenvolvimento da escrita. Na história da humanidade, os mapas foram importantes instrumentos para diversas áreas, como a navegação e as ações militares. Ao longo do tempo, esses recursos cartográficos foram sendo aperfeiçoados à medida que novos conhecimentos se desenvolviam, como o estabelecimento de unidades de medida padronizadas e a criação de ferramentas mais precisas de medição e desenho. Atualmente, são muito comuns as plantas cartográficas digitais, que podem ser produzidas e acessadas em um computador ou smartphone. Nelas, além da simples consulta da posição em uma região, são possíveis diversas interações, como estudar diferentes trajetos e estimar o tempo de deslocamento de um ponto a outro. Seja qual for o tipo de recurso que consultamos, é importante sempre ficarmos atentos a alguns de seus elementos, como a escala e a legenda, para podermos compreender melhor as informações apresentadas nele.

Aqui digitamos os endereços ou locais para pesquisar o trajeto.

Este recurso possibilita ver imagens de satélite, incluindo municípios e paisagens.

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ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à

própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver

problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

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Algumas respostas possíveis: Navegação; ações militares; pesquisa de trajetos; estimativa do tempo de deslocamento de um ponto a outro; verificar o trânsito em tempo real das vias. Respostas pessoais.

Os primeiros mapas aparecem junto a desenhos registrados pelos povos primitivos em cavernas, e até hoje não tiveram seu significado totalmente desvendado. Como exemplo, pode-se citar as figuras rupestres encontradas no Vale do Pó, norte da Itália, em especial na cidade de Bedolina, onde há um mapa representando toda uma organização camponesa, mostrando detalhes de atividades agropastoris ali desenvolvidas por volta de 2400 anos antes de Cristo.

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Cite exemplos da utilidade de mapas e de plantas cartográficas para diferentes áreas do conhecimento. Você já fez consultas nesses tipos de recursos cartográficos? Com qual finalidade? Converse com o professor e os colegas sobre essas experiências. Em um mapa ou planta, o que a escala indica? Resposta esperada: A escala indica a relação entre as dimensões reais da região e as dimensões em sua representação.

Planta cartográfica digital

IBGE. Atlas Escolar. Disponível em: <https://atlasescolar.ibge.gov.br/ conceitos-gerais/historia -da-cartografia/a-origem.html>. Acesso em: 23 set. 2018.

O trajeto pesquisado é representado por esta linha. Algumas partes são destacadas para indicar a intensidade do trânsito.

Alguns pontos de referência são destacados na planta, como comércios, praças, hospitais. Ao clicar neste ícone, a planta indica a sua localização atual.

Aqui podemos ampliar ou reduzir a planta.

Trajeto do Aeroporto Internacional do Recife até o Museu da Cidade do Recife, em Recife (PE).

GOOGLE MAPS 2018

Este recurso permite simular uma caminhada em uma via representada na planta.

A escala indica a relação entre as dimensões reais da região e sua representação na planta.

Fonte dos dados: GOOGLE MAPS. Disponível em: <https://goo.gl/maps/p4pyu3TyvHQ2>. Acesso em: 17 ago. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Esta abertura de Unidade propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5 e à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que o tema tratado aborda o uso de tecnologias di-

gitais no acesso a informações e no exercício da autoria na vida pessoal, utilizando a planta cartográfica digital, o que permite também estabelecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Ler para os alunos o trecho a seguir, que explica brevemente a origem da cartografia.

Explicar aos alunos que a cartografia está relacionada a elaboração, estudo e descrição de mapas, os quais têm por objetivo fornecer informações sobre lugares e são compostos por alguns elementos, como título, fonte, legenda e escala. Com o avanço tecnológico, novas ferramentas começaram a ser utilizadas para obter a localização, por exemplo, o Sistema de Posicionamento Global (GPS), que consiste em um sistema de satélites e outros dispositivos que prestam informações sobre o posicionamento individual no globo terrestre. No segundo item, caso os alunos já tenham consultado algum tipo de recurso cartográfico, perguntar qual eles utilizaram e se encontraram alguma dificuldade. No caso de não terem feito consultas, verificar a possibilidade de trabalhar com algum desses recursos, o que pode ser realizado em conjunto com o professor da disciplina de Geografia.

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[...] O homem, desde os mais remotos tempos, procurou um meio de registrar sua passagem pelos lugares e de delimitar seus territórios. Os mapas foram a primeira forma de expressão utilizada, surgindo antes mesmo da escrita.

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PROPORCIONALIDADE Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA02 e EF07MA17.

Razão Nesta página, iniciamos o trabalho com razão apresentando uma de suas aplicações, a escala, que é a razão entre a medida de um comprimento em um desenho ou uma representação e a medida correspondente ao comprimento real, expressas em uma mesma unidade de medida. No exemplo do mapa, sugerir aos alunos que verifiquem, com o uso de uma régua, que o traço na indicação da escala mede 1 cm de comprimento. Assim, cada 1 cm do mapa representa 70 km ou 7 000 000 cm na realidade. Nesse caso, é importante que os alunos percebam a relação de comparação entre a medida do mapa com a medida real da localidade. Além disso, enfatizar que a conversão de quilômetros para centímetros foi realizada para representar a razão com a mesma unidade de medida. No cálculo para obter a distância real aproximada em linha reta entre Londrina e Curitiba, relembrar aos alunos que 1 km corresponde a 100 000 cm. Assim, para converter 30 100 000 cm para quilômetro, basta dividir esse valor por 100 000.

Proporcionalidade Razão Nas páginas de abertura desta Unidade, analisamos informações sobre alguns recursos cartográficos. Agora observe as informações sobre a escala de um mapa. ALLMAPS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Mapa do estado do Paraná 50º O

Observe como podemos converter 70 km em centímetros: 1 km = 1 000 m

70 ? 1 000 ? 100 = 7 000 000

Londrina

Maringá

Trópico de Capricórnio

!

Apucarana

1 m = 100 cm 70 km = 7 000 000 cm

PARANÁ

Cascavel 25º S

Ponta Grossa

Foz do Iguaçu

Guarapuava

Curitiba Paranaguá

0

70

Este traço tem 1 cm de comprimento. Assim, a escala indica que 1 cm no mapa representa 70 km ou 7 000 000 cm na realidade.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro: 2016. p. 175.

Podemos dizer que esse mapa foi produzido na razão de 1 cm para 7 000 000 cm, 1 . o que pode ser representado por 1 : 7 000 000 ou 7 000 000 Para calcular a distância real aproximada em linha reta entre Londrina e Curitiba, que no mapa é de cerca de 4,3 cm, podemos usar como base essa escala. Nesse caso, temos: 4,3 ? 7 000 000 = 30 100 000, ou seja, 30 100 000 cm. Convertendo essa distância em quilômetros, temos: 30 100 000 : 100 000 = 301, ou seja, 301 km. Assim, a distância aproximada em linha reta entre Londrina e Curitiba é de 301 km. Agora, leia a notícia a seguir. De acordo com estimativas do IBGE, em 2015, no Brasil, a cada 2 idosos da população havia 3 crianças. Fonte dos dados: IBGE. Síntese de indicadores sociais: uma análise das condições de vida da população brasileira, 2016. Disponível em: <https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv98965.pdf>. Acesso em: 7 maio 2018.

!

São consideradas idosas as pessoas com idade igual a 60 anos ou mais; são consideradas crianças as que têm de zero até 14 anos.

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O trabalho com porcentagem e razão propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA02 da BNCC. Nas atividades deste tópico, serão abordados temas relacionados à porcentagem. Explicar aos alunos que a porcentagem também está relacionada com a ideia de razão. No exemplo a, 60% do total de alunos da escola são meninas, ou seja, a razão entre a quantidade de meninas e 60 . o total de alunos é 100 Nas duas maneiras de calcular a quantidade de meninas da escola, é importante os alunos compreenderem 60 por 320 que multiplicar 100 (fração de uma quantidade) resulta no mesmo valor que multiplicar 0,6 por 320, uma 60 6 = = vez que 60% = 100 10 = 0,6. Assim, eles podem escolher a maneira que julgarem mais conveniente.

Com base nessa notícia, podemos escrever a razão entre o número de idosos na população brasileira e o número de crianças, nessa ordem, ou seja: 2:3=

2 3

É possível expressar essa razão de diferentes maneiras. Observe. A razão entre o número de idosos e o de crianças no Brasil é de 2 para 3.

No Brasil, para cada 2 idosos há 3 crianças.

O número de idosos no Brasil 2 corresponde a do número de 3 crianças.

No Brasil, a razão entre o número de idosos e o de crianças é 2 . 3

Considere dois números x e y, com y 5 0. A razão entre esses dois números, nessa ordem, corresponde ao quociente x : y, que também pode ser indicado por x . y

Porcentagem e razão O conceito de porcentagem também pode ser compreendido com base na ideia de razão. Exemplos a) Leia a informação. Em uma escola com 320 alunos, 60% são meninas. Nesse caso, temos que 60 em cada 100 alunos dessa escola são meninas. Essa razão pode ser indicada de diferentes maneiras: 60 3 = 60% = 60 : 100 = 100 5 Observe duas maneiras de calcular a quantidade de meninas dessa escola: 60 60 ? 320 19 200 ? 320 = = = 192 • 100 100 100 • 0,6 ? 320 = 192 Assim, dos 320 alunos dessa escola, 192 são meninas. 165

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Chamar a atenção dos alunos para a importância da ordem dos números ao representar a razão por meio de um quociente. Na notícia apresentada, a razão entre o número 2 de idosos e o de crianças é , 3 com os números nessa ordem. Caso mudássemos a ordem

desses números no quociente, dizendo que a razão entre o número de idosos e o de crian3 ças é , indicaríamos que para 2 cada 3 idosos há 2 crianças no Brasil, o que não corresponde à notícia. Dizer aos alunos que na razão entre dois números, x e y,

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chamamos x de antecedente e y, de consequente. Enfatizar que y deve ser diferente de zero. Explicar a eles que duas razões são iguais quando correspondem a frações equivalen-

tes. Por exemplo, as razões e

6 são iguais, pois: 5

12 10

:2

12 10

6 5 :2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

b) Observe o cartaz da loja.

No exemplo b, explicar aos alunos que estamos comparando o desconto do preço do tênis com o preço inicial, sem desconto, e que essa comparação pode ser escrita na forma de porcentagem. Questioná-los se o desconto foi de 20%, qual é o porcentual do preço do tênis que uma pessoa vai pagar em relação ao preço anterior (neste caso, 80%). Verificar se os alunos perceberam que 80% do preço anterior do tênis corresponde a R$ 68,00.

DANILLO SOUZA

17 20 = 17 : 85 = 0,2 = = 20% 85 100

AtividadeS

Assim, o desconto no preço do tênis foi de 20%.

Resoluções na p. 289 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

a) Para obter certa tonalidade de tinta alaranjada, Paulo misturou 4 partes de tinta vermelha para cada 3 partes de tinta amarela. Qual é a razão entre a parte de tinta vermelha e a de tinta amarela utilizadas? 4 ou 4 : 3. 3 b) Em uma partida de handebol, Eva foi a artilheira e fez 14 dos 32 gols marcados pela sua equipe. Qual é a razão entre o número de gols feitos por Eva e o número total de gols marcados pela equipe? 14 ou 14 : 32. 32 c) Certa lata de ervilha tem 200 g de peso drenado e 280 g de peso líquido. Qual é a razão entre o peso drenado e o peso líquido? 200 ou 200 : 280. 280 d) Lúcio acertou 7 das 10 questões da avaliação de Matemática. Qual é a razão entre o número de acertos de Lúcio e o total de questões dessa avaliação? 7 ou 7 : 10. 10 2. Cláudio confecciona tapetes reaproveitando retalhos de tecido. Ele fez um tapete com retalhos quadrados, de mesmo tamanho, nas cores branca e preta. Observe. a) Quantos retalhos de cada cor Cláudio usou? Quantos retalhos são ao todo? 39 retalhos brancos e 21 retalhos pretos. 60 retalhos. b) Qual é a razão entre a quantidade de retalhos: 39 ou 39 : 21. • brancos e a de retalhos pretos? 21 • pretos e a de retalhos brancos? 39 ou 39 : 60. • brancos e a quantidade total de retalhos? 60

ONE AND ONLY /SHUTTERSTOCK.COM

1. Para cada item, escreva a razão indicada.

DAYANE RAVEN

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a escrita de razão em diferentes contextos. No item c, explicar aos alunos que o peso drenado se refere à massa do produto, excluindo a massa da embalagem e a de qualquer líquido utilizado como conservante. Já o peso líquido é a massa do produto, excluindo a massa da embalagem. Propor aos alunos que pesquisem embalagens nas quais esse tipo de especificação é realizada. 2. Esta atividade trabalha a escrita de razão entre partes de um todo e entre cada parte e o todo considerado. No item b, reforçar com os alunos a importância da ordem dos números ao indicar a razão.

Nesse caso, o desconto no preço do tênis foi de R$ 17,00 em relação a R$ 85,00, pois 85 – 68 = 17. Podemos calcular o porcentual de desconto nessa promoção por meio da seguinte razão:

21 39

ou 21 : 39.

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3. Você tem ou já viu alguma miniatura? São diversos os tipos de miniaturas: automóveis, trens, navios, aviões e personagens. Nas miniaturas costuma estar indicada a escala em que foi construída, ou seja, a razão entre a medida na representação e a medida no objeto real. Observe a escala de cada miniatura a seguir e, com base na medida indicada, calcule a medida real do objeto correspondente.

O preço da etiqueta é R$ 140,00. Se eu pagar à vista, tem desconto?

Sim. Podemos vender por R$ 119,00 à vista.

3,5 cm

DAYANE RAVEN

EVGENY KABARDIN /SHUTTERSTOCK.COM

a) Escala 1 : 24. 84 cm.

6. Sempre que possível, comprar à vista costuma ser a melhor opção em relação a comprar a prazo. Além de evitar dívidas, a compra à vista permite negociar descontos. Observe a conversa entre Natália e o vendedor de uma loja.

OFFSTOCKER/ SHUTTERSTOCK.COM

b) Escala 1 : 36. 180 cm ou 1,8 m.

5 cm

4. Com uma régua, meça o comprimento de cada segmento de reta representado.

Calcule a razão entre as medidas dos segmentos de reta: 8 a) azul e verde. ou 8 : 4. 4 b) vermelho e azul. 6 ou 6 : 8. 8 c) verde e vermelho. 5. Em qual dos itens a seguir a razão entre a quantidade de lápis e a quantidade de borracha é de 5 ? c. 2 b)

c)

a) Você já acompanhou uma negociação por desconto como a apresentada? Comente como foi. Resposta pessoal. b) Qual é o preço do liquidificador na etiqueta? R$ 140,00. R$ 21,00. c) Quantos reais de desconto Natália vai obter se comprar o liquidificador à vista? d) Calcule o porcentual de desconto obtido por Natália nessa negociação. 15%. 7. A mensalidade do curso de inglês que Rodrigo faz é R$ 285,00, e o vencimento do boleto bancário é dia 15. Caso ele pague a mensalidade até o dia 12, há um desconto de 10%. Mas, se pagar após o dia 15, há acréscimo. a) Em sua opinião, quais são os melhores dias para que Rodrigo faça o pagamento da mensalidade? Por quê? b) Qual é o valor da mensalidade caso Rodrigo faça o pagamento no: • dia 8 desse mês? R$ 256,50. • dia 10 desse mês? R$ 256,50. • dia 14 desse mês? R$ 285,00.

c) Em certo mês, Rodrigo atrasou o pagamento da mensalidade e teve acréscimo de 5%. Quanto ele pagou? R$ 299,25. 7. a) Resposta esperada: Do dia 1º- até o dia 12 de cada mês para que possa obter desconto de 10% na mensalidade. 167 DAYANE RAVEN

a)

tagem em contextos de descontos e educação financeira. Com isso, busca contribuir com o desenvolvimento da habilidade EF07MA02 da BNCC. 7. Esta atividade trabalha cálculos de porcentagem em contextos da educação financeira envolvendo acréscimos e descontos, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA02 da BNCC.

4. c)

4 6

ou 4 : 6.

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3. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo razão com a ideia de escala. Verificar a possibilidade de levar para a sala de aula miniaturas para que os alunos possam explorar a escala de cada uma delas e, a partir disso, calcular a medida real do objeto correspondente.

Uma sugestão é propor que eles realizem medições da miniatura com uso da régua. 4. Esta atividade trabalha ideias iniciais da razão entre segmentos de reta. Esse assunto será tratado mais detalhadamente no Volume 9 desta coleção, no estudo de semelhança de figuras.

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5. Esta atividade trabalha a identificação de elementos correspondentes a uma dada razão. Chamar a atenção dos alunos para a ordem dos números na razão dada, que está representada por uma fração simplificada. 6. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo porcen-

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8. Em certa ótica, ao entregar um par de óculos usado em bom estado, recebe-se um desconto de 25% na compra de um novo par. A armação dos óculos entregue é doada pela loja a instituições de caridade. Após uma consulta com o oftalmologista, Márcia foi a essa ótica e entregou um par de óculos em bom estado e quer comprar aquele indicado a seguir.

9. Giovana viajou de carro, sem fazer parada, entre os municípios de Petrópolis (RJ) e Ubatuba (SP). Nessa viagem, ela percorreu 346 km em 4 horas.

Podemos calcular a razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto para realizar esse percurso para obter a velocidade média. Considerando os dados anteriores, temos: 346 = 86,5 4

Observe como ela pensou para calcular o desconto mentalmente.

Como 10% é a décima parte do todo e 5% é metade de 10%, calculo: 12 + 12 + 6 = 30 10% de 120

10% de 120

Agora, observe anotações de outras viagens de carro e indique a velocidade média em cada caso.

5% de 120

a)

Agora, calcule mentalmente o valor do desconto que o comprador recebe em cada par de óculos a seguir caso seja entregue um usado em bom estado. R$ 45,00.

b)

R$ 65,00.

c)

R$ 32,50.

b)

)H Natal (RN Joinville (SC) H E) Recife (P Curitiba (PR) . : 292 km Distância Distância: 134 km. : e viagem Tempo d Te mp o de via ge m: . /h m 73 k 4 horas. 2 horas. 67 km/h.

Assim, o desconto será de R$ 30,00.

a)

Assim, a velocidade média do carro de Giovana nessa viagem foi de 86,5 quilômetros por hora, ou seja, 86,5 km/h.

CK.COM UTTERSTO MOVA/SH A KHARLA LYUDMYL

ATIVIDADES 8. Esta atividade trabalha uma situação envolvendo cálculos de porcentagem por meio de estratégias de cálculo mental. Lembrar os alunos de que 25% pode ser decomposto em 10% + 10% + 5% e que, para calcular a décima parte de R$ 120,00, basta dividir R$ 120,00 por 10, obtendo R$ 12,00. 9. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo razão com a ideia de velocidade média. Para complementar, propor aos alunos que determinem a velocidade média no percurso em cada um dos itens indicados a seguir. • De Campinas (SP) para Araçatuba (SP). Distância: 459 km. Tempo de viagem: 6 horas. Resposta: 76,5 km/h. • De Toledo (PR) para Dourados (MS). Distância: 371 km. Tempo de viagem: 5 horas. Resposta: 74,2 km/h. 10. Esta atividade trabalha a elaboração de problemas pelo aluno envolvendo cálculos de porcentagem em contextos da educação financeira, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA02 da BNCC. Para a elaboração do problema, os alunos podem utilizar diferentes ideias, como o desconto no preço de um produto que está em promoção; o acréscimo no valor de uma fatura paga com atraso; o acréscimo no preço de um produto comprado a prazo. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam ideias relacionadas ao conceito de porcentagem em contexto de educação financeira. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma.

ILUSTRAÇÕES: DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

10. No caderno, elabore e escreva um problema relacionado à Educação Financeira. Explore alguma situação que envolva acréscimo ou desconto, e use porcentagem no enunciado do problema. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Para a resolução, podem ser utilizados cálculos por escrito, mentais ou com a calculadora. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Proporção Você já viu ou já usou um leitor de livros digitais? Esses aparelhos podem ser usados para ler diversos tipos de materiais como livros, revistas e textos em formatos específicos. Uma de suas vantagens em relação ao livro convencional de papel é a possibilidade de armazenar centenas de livros e poder levá-los a todos os lugares. Observe ao lado as dimensões das telas de dois modelos desses aparelhos. Para a tela de cada modelo, vamos escrever uma razão entre o comprimento (maior medida) e a largura (menor medida), em centímetros.

9 cm

16 cm 12 cm

• Modelo B.

16 12

DANILLO SOUZA

• Modelo A.

12 cm

12 9

Modelo A.

Modelo B.

PARA PENSAR Para complementar, com base na resposta apresentada pelos alunos, escrever na lousa as proporções a seguir e propor a eles que determinem o número que está faltando em cada item.

Note que essas duas razões são iguais, pois: 4 16 = 3 12 Nesse caso, dizemos que as razões

Proporção Dizer aos alunos que, nos modelos A e B do leitor de livro digital, as cotas indicam as dimensões da tela e não as dimensões do aparelho. É importante que eles compreendam a relação entre razão e proporção, isto é, temos uma proporção quando duas razões são iguais. Na formalização do conceito de proporção, explicar a eles que, como a c e são razões, considerab d mos b e d números diferentes de zero.

4 12 = 3 9

16 12 e formam uma proporção. 12 9

3 12 = . Resposta: 20. 5 8 = . Resposta: 24. • 7 21 4 = . Resposta: 1. • 2 8 4 1 = . Resposta: 32. • 8

Quando a razão entre os números a e b, nessa ordem, e a razão entre os números c e d, nessa ordem, são iguais, elas formam uma proporção. Nesse caso, a c = é uma proporção que pode ser lida da seguinte maneira: a está para b b d assim como c está para d. Dizemos que os números a, b, c e d são os termos da proporção. Além disso, os números a e d (primeiro e último termos) são os extremos da proporção. Já os números b e c (segundo e terceiro termos) são os meios da proporção. Exemplo 6 2 formam uma proporção, pois: e 15 5 2 6 • = 0,4 • = 0,4 5 15 extremos meios Nessa proporção, temos: 6 2 = 15 5 As razões

Em cada proporção estudada, multiplique os extremos e multiplique os meios. O que você pode perceber? Resposta esperada: Os produtos obtidos são iguais. 169

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6 9 ? 8 ? 12 = ? 8 ? 12 H 8 12 H 6 ? 12 = 9 ? 8 Para complementar, propor aos alunos que simplifiquem as frações das proporções dos itens a e b, e verifiquem que as razões em cada um dos itens são iguais. Se julgar necessário, realizar as simplificações com os alunos, como apresentado a seguir. a)

:2

6 8

b)

:3

3 4

9 12

3 4

:2

:3

:4

: 14

4 20

1 5 :4

14 70

Propriedade fundamental das proporções Em todas as proporções, podemos estabelecer a seguinte propriedade: Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Observe nas proporções a seguir a verificação dessa propriedade. a)

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação dos termos de uma proporção. Pedir aos alunos que mostrem por meio da propriedade fundamental das proporções que a igualdade corresponde a uma proporção. 2. Esta atividade trabalha a identificação de razões que formam uma proporção. Discutir com os alunos sobre quais estratégias eles utilizaram para resolver esta atividade. Uma estratégia é determinar se as razões em cada um dos itens são iguais ou utilizar a propriedade fundamental das proporções. 3. Esta atividade trabalha a identificação de razões que formam uma proporção com uma determinada razão dada. Para a resolução, os alunos podem simplificar as frações, tanto a do enunciado quanto

8 ? 9 = 72 6 ? 12 = 72

b)

5 9

=

20 36

a) 20

Nessa proporção, quais são os: a) termos? 5, 9, 20 e 36. c) meios? 9 e 20. b) extremos? 5 e 36. 2. Em quais fichas a seguir as razões formam uma proporção? b e c. a)

b)

7 16

e

3 8

10 15 e 4 6

c)

18 27 e 20 30

d)

13 26 e 5 11

a)

10 17

b)

15

c)

16

d)

51

12

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as dos itens, e verificar quais delas são equivalentes à mesma fração irredutível. 4. Esta atividade trabalha a identificação de termo faltante em uma proporção. Os alunos podem resolvê-la por tentativa, utilizando equações ou com outras estratégias.

=

14

b) 18

c) 10

d) 21

a) Para cada produto, escreva a razão entre o preço, em reais, e a quantidade de água mineral, em litros. b) As razões que você escreveu no item a formam uma proporção? Por quê?

25

c) Qual desses produtos é mais vantajoso comprar considerando a relação preço por litro? Justifique.

40

4. O professor de Matemática escreveu uma proporção na lousa, porém um dos termos foi apagado. 8

6,90

5. Moisés está realizando uma pesquisa de preços em um supermercado. Observe o preço de dois galões de água mineral que ele pesquisou.

3. Quais das razões a seguir formam uma proporção com a razão 20 ? a e c. 34 30

20 ? 14 = 280 4 ? 70 = 280

11,50 ; galão de 10 L: . 6 10 5. b) Sim. Respostas possíveis: As razões são iguais; o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Qual dos itens a seguir indica o termo que foi apagado? d.

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Observe a proporção indicada ao lado.

4 14 = 20 70

5. a) Galão de 6 L:

Resoluções na p. 289

AtividadeS

1 5 : 14

6 9 = 8 12

MARCIANO PALÁCIO

Dizer aos alunos que podemos verificar a propriedade fundamental das proporções, multiplicando ambos os termos da proporção pelos denominadores das frações e realizando simplificações. Observe um exemplo na proporção do item a desta página.

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

6. No caderno, escreva uma razão entre dois números. Em seguida, entregue-a a um colega para que ele obtenha outra razão que forme uma proporção com aquela que você escreveu. Ao final, verifiquem a resposta. Resposta pessoal. 5. c) Resposta esperada: Qualquer um, pois em ambos os produtos o preço por litro é o mesmo.

Uma sugestão é explorar a calculadora como instrumento de investigação, por exemplo: dividir 14 por 8 e multiplicar o resultado obtido por 12. 5. Esta atividade trabalha a ideia de proporção em um contexto da educação financeira. Se julgar necessário,

retome as operações com números decimais. 6. Esta atividade trabalha a escrita de uma razão de maneira que forme uma proporção com uma determinada razão dada.

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8 10:15 AM

• A idade da professora e a quantidade de alunos da turma. Ao trabalhar as grandezas diretamente proporcionais, é importante discutir com os alunos que nem todas as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais. Explorar o exemplo entre a altura de uma criança e o tempo. Conversar com eles para que percebam que se uma criança tem 1,15 m com 6 anos, com o dobro da idade (12 anos), ela não terá 2,3 m, provavelmente. Assim, apesar de essas grandezas estarem relacionadas, elas não se relacionam de maneira diretamente proporcional. Explorar também a relação entre proporção e grandezas diretamente proporcionais. Mostrar aos alunos a proporção formada pelas massas e pelos preços apresentados no exemplo do tomate na banca de feira. Se julgar necessário, identificar com eles as seguintes proporções.

Relação entre grandezas Você já estudou diferentes grandezas, como comprimento, massa, capacidade, tempo, área, volume, entre outras. Muitas situações do dia a dia envolvem uma ou mais grandezas, que podem ou não estar relacionadas. Observe exemplos.

O tempo necessário para encher o balde depende da vazão de água da torneira. As grandezas tempo e vazão estão relacionadas nesse caso.

Ao comprar tomate em uma feira, existe a relação entre as grandezas massa e o preço a pagar por esses tomates.

A altura de uma criança varia com o tempo. Nesse caso, existe uma relação entre as grandezas altura e tempo.

Estudaremos agora situações em que grandezas estão relacionadas.

Grandezas diretamente proporcionais Vamos retomar uma situação apresentada anteriormente. Observe no quadro a relação entre a massa do tomate comprada e o preço a pagar em uma banca na feira.

1 2 1 • 3 1 • 4 1 • 5

?2 ?3 ?4 ?5

Massa (kg)

Preço (R$)

1

4

2

8

3

12

4

16

5

20

?2 ?3 ?4 ?5

ILUSTRAÇÕES: ARTUR FUJITA

Note que, ao dobrarmos a massa, o preço também dobra; ao triplicarmos a massa, o preço também triplica; e assim por diante. Além disso, se reduzirmos a massa pela metade, o preço também fica reduzido à metade, e assim por diante. Nesse caso, dizemos que a massa de tomate e o preço são grandezas diretamente proporcionais. 171

4 8 4 = 12 4 = 16 4 = 20 =

Para complementar, propor aos alunos que construam um quadro parecido com o apresentado na página, porém em vez de a massa do tomate aumentar, sugerir que estabeleçam uma relação entre o preço e a massa quando a massa é reduzida. Caso julgar necessário, construir o quadro com eles. Veja a seguir um exemplo. Massa (kg) Preço (R$)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Relação entre grandezas No trabalho com o conteúdo desta página, apresentar aos alunos mais situações em que as grandezas estejam relacionadas e outras em que as grandezas não estejam relacionadas. Veja alguns exemplos a seguir.

Grandezas relacionadas.

• A medida do lado de um

triângulo equilátero e a medida do seu perímetro. • A velocidade de um automóvel e a distância percorrida. • A altura de uma pessoa e o comprimento da sua sombra.

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Grandezas não relacionadas. • A quantidade de gols marcados em uma partida de futebol e a cor do uniforme do time. • A extensão territorial de um município e a quantidade de dias do ano.

:2 :4

1

4

0,5

2

0,25

1

:2 :4

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Massa do biscoito (g)

Massa de gordura saturada (g)

40

3

b

a

40 3 = b a 40a _ 3b = 0 Nesse caso, as letras a e b na sentença correspondem a variáveis, uma vez que pode ser atribuído valor a uma delas e obtido o valor correspondente à outra.

Situações-problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais Quando vamos consumir um produto industrializado, é importante ficarmos atentos às informações nutricionais que podem ser observadas nos rótulos das embalagens. A quantidade de gorduras saturadas presente nos alimentos é indicada nas informações nutricionais. Esse tipo de gordura, quando consumido em excesso, pode aumentar o risco de doenças cardíacas. Acesse o site a seguir para obter mais informações sobre alimentação adequada e saudável. • BRASIL. Ministério da Saúde. Guia alimentar para a população brasileira. Disponível em: <http://livro.pro/mymodg>. Acesso em: 4 maio 2018.

UZA

Carlos leu na embalagem do biscoito a seguir que, em cada porção de 40 g do produto, havia 3 g de gordura saturada. LO SO

Aproveitar o tema apresentado e comentar com os alunos que a gordura saturada é encontrada principalmente em produtos de origem animal, como carnes vermelhas e brancas, leite e derivados integrais. Uma característica desse tipo de gordura é que, no estado sólido, se apresenta em temperatura ambiente. No boxe Dica, destacar para os alunos que, na proporção apresentada, relacionamos em cada uma das razões a massa de biscoito com a massa de gordura saturada. Na resolução da situação-problema, a escrita da sentença algébrica para expressar a relação entre grandezas diretamente proporcionais possibilita o desenvolvimento da habilidade EF07MA13 da BNCC. No exemplo proposto, a letra x na sentença corresponde à incógnita da equação obtida na resolução. Apresentar aos alunos a seguinte situação complementar. • Como pode ser expressa à quantidade a de gordura saturada (em grama) correspondente a quantidade b de biscoitos (em grama). Essa situação pode ser expressa da seguinte maneira:

DANIL

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Note que as grandezas massa do biscoito e massa de gordura saturada são diretamente proporcionais, pois, se dobrarmos uma delas, a outra também dobra; se reduzirmos uma delas à metade, a outra também será reduzida à metade; e assim por diante. Podemos calcular a massa total de gordura saturada (x) nos biscoitos de um pacote de 160 g usando a propriedade fundamental das proporções. Massa do biscoito (g)

Massa de gordura saturada (g)

40

3

160

x

40 3 = x 160 40 ? x = 160 ? 3

Nessa situação, também poderia ser escrita a seguinte 160 40 = proporção: x 3

40x 480 = 40 40 x = 12 Assim, em um pacote de biscoitos desses há 12 g de gordura saturada. 172

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8 10:15 AM

Observe outras situações-problema resolvidas de maneira análoga. Cobre 15 m2

a) Observe a informação em destaque na lata de tinta. Quantos litros dessa tinta são necessários para cobrir 75 m2? Resolução: Consideremos x a quantidade de litros de tinta para cobrir 75 m2. Quantidade de tinta (L)

Área (m2)

3,6

15

x

75

3,6 15 = x 75 x ? 15 = 3,6 ? 75 15x 270 = 15 15 x = 18

3,6 L

DANILLO SOUZA

Cobre 15 m2

Nessa situação, também poderia ser escrita a seguinte proporção: 3,6 x 15

=

75

Assim, para cobrir 75 m2 com essa tinta, são necessários 18 L. b) Vicente é costureiro e comprou 16 m de certo tecido por R$ 220,80. Quanto Vicente pagaria por esse mesmo tecido caso tivesse comprado 7 m apenas? Resolução: Consideremos x o preço, em reais, de 7 m de tecido. Quantidade de tecido (m)

Preço (R$)

16

220,80

7

x

16 220,80 = 7 x 16 ? x = 7 ? 220,80 16x 1545,60 = 16 16 x = 96,60

Nessa situação, também poderia ser escrita a seguinte proporção: 16 7 220,80

=

x

Assim, Vicente pagaria R$ 96,60 caso tivesse comprado 7 m desse tecido.

AtividadeS

Resoluções na p. 289 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Leia as situações-problema a seguir e identifique aquelas que envolvem grandezas diretamente proporcionais. a e d. a) Uma porção de 100 g de pitanga tem cerca de 18 mg de cálcio. Quantos miligramas de cálcio tem uma porção de 2 kg dessa fruta? b) Para personalizar certa quantidade de canecas, uma artesã precisa de 6 dias trabalhando 4 horas diariamente. Para confeccionar a mesma quantidade de canecas, trabalhando 8 horas por dia, quantos dias serão necessários? c) Em uma partida de basquete, certa equipe fez 30 pontos no 1o tempo. Quantos pontos essa equipe terá marcado ao final do 2o tempo? d) Marcelo leu 45 páginas de um livro em 2 horas. Mantendo esse mesmo ritmo de leitura, quantas páginas ele vai ler em 8 horas?

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de situações em que grandezas estão relacionadas de maneira diretamente proporcional. Conversar com os alunos sobre as situações identificadas como não sendo diretamente proporcionais. Verificar se eles perceberam que, no item b, há uma relação entre as grandezas quantidade de horas trabalhadas e quantidade de dias; porém, se aumentarmos a quantidade de horas trabalhadas, a quantidade de dias diminuirá. No item c, não há relação de proporcionalidade entre o tempo da partida e a quantidade de pontos marcados, ou seja, não há nada que garanta que, no final do 2o tempo, a equipe terá marcado a mesma quantidade de pontos do que no 1o tempo. Explicar a eles que não é o que acontece no item d, uma vez que na escrita da situação-problema existe a informação de que Marcelo manterá o ritmo de leitura, garantindo que a situação envolve grandezas diretamente proporcionais. É importante destacar o cuidado da escrita do texto quando tratamos desses tipos de situações. Para complementar esta atividade, propor aos alunos que resolvam as situações-problema que identificaram como diretamente proporcionais (a: 360 mg; d: 180 páginas).

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Conversar com os alunos para perceberem que as situações-problema apresentadas nesta página envolvem grandezas diretamente proporcionais. Para isso, no item a, perguntar a eles qual será a área coberta se dobrarmos e triplicarmos a quantidade de litros de tinta, respectivamente.

Perguntar também qual será a área possível de se cobrir se reduzirmos a quantidade de litros de tinta pela metade. O objetivo é os alunos perceberem que a área coberta aumenta e diminui na mesma proporção da quantidade de litros de tinta utilizada. Para o item b, propor perguntas

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análogas para que eles também percebam a proporcionalidade direta, como as apresentadas a seguir. • Quanto Vicente pagaria se tivesse comprado 8 m desse mesmo tecido? E se tivesse comprado 32 m? Respostas: R$ 110,40. R$ 441,60.

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2. Bernardo é pizzaiolo. No preparo da massa, ele utiliza uma receita em que são necessárias 6 xícaras de farinha de trigo, que rende 4 discos. Para preparar 10 discos como esses, utilizando proporcionalmente os ingredientes dessa receita, quantas xícaras de farinha de trigo são necessárias? 15 xícaras de farinha de trigo. 3. Na casa de Elza, uma torneira está com vazamento de água. Para evitar desperdício, ela colocou embaixo da torneira uma jarra vazia de 4 L de capacidade. Observe a quantidade de água que havia na jarra após 3 horas.

DANILLO SOUZA

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. 3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. No item b, pedir aos alunos que considerem que a quantidade de água que vaza da torneira por minuto é constante. 4. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Aproveitar o tema para conversar com os alunos sobre as consequências do consumo excessivo de sal para a saúde. 5. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. 6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. 7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

Para que Jonas obtenha 3,5 kg, quantas latas iguais a essas ele precisa coletar? 250 latas. 6. O tanque de combustível do carro de Arnaldo tem capacidade para 50 L. Em uma viajem de 377 km, esse carro consumiu 29 L de combustível. Mantendo essa média de consumo, quantos quilômetros no máximo esse carro pode percorrer com o tanque de combustível cheio? 650 km. MARCIANO PALÁCIO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

7. Leia a notícia. Uma maneira de preservar os recursos naturais é a reciclagem. Quando cerca de 4,5 t de papel ou papelão são reciclados, cem árvores são poupadas, além de diminuir o consumo de energia e água.

1,2 litro. a) Qual é a quantidade de água acumulada na jarra nessas primeiras 3 horas?

b) Em quanto tempo, desde que foi colocada embaixo da torneira, essa jarra vai ficar totalmente cheia? 10 horas. 4. Você tem ideia da quantidade de sal que consome por dia? Quando consumimos alimentos salgados, a sede aumenta e costumamos beber mais água. De acordo com o Ministério da Saúde, recomenda-se beber 200 mL de água para diluir cada 1,8 g de sal ingerido. Quantos mililitros de água são necessários beber para diluir 4,5 g de sal no organismo? 500 mL. 5. Jonas coletou para reciclagem 50 latas de alumínio idênticas e, depois de amassá-las, pesou em uma balança. 174

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AMPLIANDO

Sugerir aos alunos que acessem este site para obter informações sobre os males causados pelo excesso de sódio no organismo.

Fonte dos dados: UFRPE. Eu Sustentável: consumo consciente na UAEADTec. Disponível em: <www.ead.ufrpe.br/sites/www.ead.ufrpe.br/ files/Noticias/CARTAZES_EuSustentável_VOCÊ%20 SABIA_site.pdf>. Acesso em: 10 ago. 2018.

a) De acordo com a notícia, qual é a importância da reciclagem de papel e papelão? b) Quantas árvores são poupadas com a reciclagem de cerca de 4,5 t de papel e papelão? 100 árvores. c) No Brasil, em 2016, cerca de 7 000 t de papel e papelão foram reciclados diariamente. Com isso, quantas árvores aproximadamente foram poupadas por dia? 155 556 árvores. 7. a) Resposta esperada: Evitar o corte de árvores e diminuir o consumo de energia e água.

• BRASIL. Ministério da Saúde.

11/2/18 10:15 AM

Consumo excessivo de sódio causa hipertensão, doenças renais e cardiovasculares. 13 maio 2015. Disponível em: <http://livro.pro/wzgjnr>. Acesso em: 23 ago. 2018.

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8 10:15 AM

Resposta esperada: O consumo de energia elétrica vai reduzir-se pela metade. 9. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo a divisão de uma quantidade em partes diretamente proporcionais. No item b, se necessário, construir com os alunos os esquemas para calcular a quantidade de pingentes das amigas Renata e Mônica, como os apresentados a seguir.

Em casa, uma lâmpada acesa em média 8 h diárias consome 1 120 watts em uma semana.

ARTUR FUJITA

8. Veja o que Rute está dizendo.

4 800 watts. a) Mantendo esse consumo diário, quantos watts essa lâmpada gasta em um mês de 30 dias?

b) Caso Rute diminua em 2 h diárias o tempo que essa lâmpada fica acesa, quantos watts serão gastos em uma semana? 840 watts.

• Renata

c) Agora, com base nas informações apresentadas, elabore e escreva no caderno um problema envolvendo a relação entre as grandezas tempo e consumo de energia elétrica. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 9. Para comprar uma caixa de pingentes para pulseiras, três amigas juntaram as quantias que possuíam. Observe o preço dessa caixa e com quanto cada amiga contribuiu.

UZA LO SO DANIL

Renata: R$ 18,00 Mônica: R$ 24,00

Para calcular a quantidade de pingentes que Jéssica vai receber, podemos construir o seguinte esquema:

60

72

x

30

a) Quantos pingentes Jéssica vai receber? 25 pingentes. b) Agora, calcule quantos pingentes cada uma das outras amigas vai receber. Renata: 15 pingentes; Mônica: 20 pingentes. 10. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal. 175

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8. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Além disso, é proposta a elaboração de um problema pelo aluno. No item c, é possível que os alunos proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso,

possibilitar que eles compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma. A seguir, são apresentados exemplos de problemas que podem ser elaborados pelos alunos.

60

72

x

18

Quantidade de pingentes (unidade)

Preço (R$)

60

72

x

24

10. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo grandezas diretamente proporcionais. É importante avaliar se os problemas elaborados pelos alunos contemplam ideias relacionadas a este conceito. Orientá-los a escolher um alimento de sua preferência para o recorte da tabela nutricional. É importante que nos problemas elaborados os alunos explorem, por exemplo, as quantidades de fibras, proteínas, gorduras e calorias do alimento, que podem ser relacionadas à porção e ao conteúdo total da embalagem.

As amigas combinaram que vão distribuir os pingentes de maneira diretamente proporcional às quantias que cada uma contribuiu.

Preço (R$)

Preço (R$)

• Mônica

Jéssica: R$ 30,00

Quantidade de pingente (unidade)

Quantidade de pingentes (unidade)

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• Mantendo esse consumo,

quantos watts essa lâmpada consome diariamente? Resposta: 160 watts. • Se Rute deixar essa lâmpada acesa apenas metade do tempo, o que ocorrerá com o consumo semanal de energia elétrica referente a essa lâmpada?

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ATIVIDADES 11. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Dizer aos alunos que as informações apresentadas são fictícias. Explicar a eles que megabaite (MB) é uma unidade de medida de armazenamento que também pode aparecer em outras situações, como na capacidade de armazenamento de um CD ou no tamanho de um arquivo de áudio ou de imagem. Lembrá-los de que a palavra em inglês download indica o processo de receber (ou baixar) dados via internet. Além disso, esta atividade busca contribuir com o desenvolvimento da competência leitora, uma vez que explora a interação do leitor com a cena relacionada à tecnologia da informação e comunicação. 12. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Caso julgue necessário, levar para a sala de aula um relógio de ponteiros para que os alunos possam observar seu funcionamento.

11. No celular do pai de Luiza, sempre que um aplicativo está sendo baixado, é possível acompanhar informações sobre esse download. Observe. nome no aplicativo

tamanho total do aplicativo, em megabaites

porcentual já baixado do aplicativo

quantidade de megabaites do aplicativo já baixada

ARTUR FUJITA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

barra com marcação indicando a parte já baixada do aplicativo

a) Qual é o tamanho total, em megabaites, desse aplicativo? 62,5 MB. b) O que representa a informação 8% nesse download? Porcentual já baixado do aplicativo. c) Quando o porcentual baixado do aplicativo estiver em 56%, quantos megabaites já terão sido baixados? 35 MB. d) Que porcentual do tamanho do aplicativo corresponde a 48 MB? 76,8%. 12. Observe a relação entre os movimentos dos ponteiros de um relógio.

11 10

ponteiro dos minutos (ponteiro maior)

9

ponteiro das horas (ponteiro menor)

12

9 8

7

12

111 10 2

1 2

3 8

6

57

11 10

4 6

3 5

9

4

12

9 8

Horário marcado: 4 h.

7

12

111 10 2

2 3

8 6

57

Para cada vez que o ponteiro dos minutos completa uma volta (gira 360º), o ponteiro das horas gira 30o.

1

4 6

3 5

4

Horário marcado: 5 h.

a) No período de 1 h, quantos graus gira o ponteiro dos minutos? E o ponteiro das horas? 360o. 30o. 12 12 12 12 b) Podemos dizer que a 11 medida associado 111do ângulo 1 11 111ao giro 1 dos ponteiros do relógio é 10 2 10 2 12 10 2 12 12 10 2 12 diretamente proporcional 11 ao intervalo 11 1 1 de tempo 11 decorrido? 11 1 1 Por quê? 9

9

3

3

9

9

3

3

10 2 2 10 10 2 c) Em meia hora, quantos graus10gira o ponteiro dos minutos? E o 2ponteiro das horas? 180o. 15o.

d) Calcule a medida minutos girar 60º.

98

98 4 3 7 57 do8ângulo 6 8 que 46 5o. 7 6 57 6

43

98

43 98 4 3 7das horas 57 5 girar o5 ponteiro 6 8 4 6 vai 4 4 8 7 5 57 5 6 6

quando o ponteiro dos

e) No período da manhã, Igor observou o relógio em dois momentos. Calcule quantos graus cada ponteiro girou entre esses dois momentos. Ponteiro dos minutos: 240o; ponteiro das horas: 20o.

9

12

11 1 10 2

9 8

7

1

57

11 10

2 3

8 6

12

4 6

3 5

4

9

12

11 1 10 2

9 8

7

1 2

3 8

6

12

57

4 6

3 5

4

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

11 10

12. b) Resposta esperada: Sim, se consideramos o dobro de um intervalo de tempo, a medida do ângulo associado ao giro dos ponteiros também dobra; se consideramos a metade de um intervalo de tempo, a medida do ângulo associado ao giro dos ponteiros também se reduz à metade. 176

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8 10:15 AM

quantidade de água que flui da torneira e é expressa por uma razão que relaciona o volume e o tempo. No exemplo apresentado, a unidade de medida utilizada foi litro por minuto (L/min), mas existem outras como: litro por segundo (L/s) e mililitro por minuto (mL/min). Para complementar, propor aos alunos que construam um quadro parecido com o apresentado nesta página, porém, ao invés de a vazão aumentar, propor que estabeleçam uma relação entre a vazão e o tempo, quando a vazão é reduzida. Caso julgar necessário, construir o quadro com eles. Ver a seguir um exemplo.

Grandezas inversamente proporcionais

ALEXANDRE BECK

Estudamos anteriormente situações em que as grandezas estão relacionadas de maneira diretamente proporcional. Porém, existem casos em que as grandezas estão relacionadas de outra maneira, como estudaremos a seguir. Leia a tirinha com atenção.

BECK, A. Armandinho seis. Florianópolis: A. C. Beck, 2015. p. 32.

Na tirinha, para evitar que a água no balde transbordasse, Armandinho poderia ter ajustado a vazão da água fechando ou abrindo um pouco a torneira. Observe exemplos da relação entre a vazão e o tempo necessário para encher certo balde.

:2

1

2

3

4

Vazão: 1 L/min Tempo: 24 min

Vazão: 2 L/min Tempo: 12 min

Vazão: 3 L/min Tempo: 8 min

Vazão: 4 L/min Tempo: 6 min

Tempo (min)

1

24

0,5

48

0,25

96

?2 ?4

RODRIGO/YAN COM

:4

Vazão (L/min)

Organizando essas informações em um quadro, temos:

?2 ?3 ?4

Vazão (L/min)

Tempo (min)

1

24

2

12

3

8

4

6

:2 :3 :4

Note que, ao dobrarmos a vazão, o tempo para encher o balde é reduzido à metade; ao triplicarmos a vazão, o tempo é reduzido à terça parte; e assim por diante. Além disso, se reduzirmos a vazão à metade, o tempo necessário para encher o balde dobra, e assim por diante. Nesse caso, dizemos que a vazão e o tempo para encher o balde são grandezas inversamente proporcionais. 177

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nesta página, propor aos alunos os seguintes questionamentos para auxiliar na interpretação da tirinha. • O que o pai de Armandinho pediu que ele fizesse? Resposta esperada: Pediu que olhasse a água que estava enchendo um balde.

• Na sua opinião, Armandi-

nho fez o que o pai dele pediu? Justifique. Resposta pessoal. Neste último questionamento, conversar com os alunos a fim de verificar o que eles responderam. Uma resposta possível é que Armandinho não fez o que o pai queria, pois era para ele fechar a

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torneira antes que a água do balde transbordasse, mesmo que essa informação ficasse implícita na fala do pai. Outra possibilidade é que Armandinho fez o que o pai pediu, uma vez que olhou a água saindo da torneira. Explicar aos alunos que, nesse caso, a vazão corresponde à

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É importante que os alunos compreendam a relação de grandezas inversamente proporcionais, em que, ao aumentar uma grandeza, a outra relacionada a ela diminui na mesma proporção. Para auxiliá-los nesta compreensão, propor os seguintes questionamentos com base na situação-problema apresentada nesta página. • Ao aumentar a quantidade de peixes da criação será preciso uma maior ou menor quantidade de ração? Resposta: Maior quantidade de ração. • Se houver certa quantidade de ração e a quantidade de peixes aumentar, essa quantidade de ração será o suficiente para mais dias ou para menos dias? Resposta: Para menos dias. • No tanque havia 750 tilápias e certa quantidade de ração era o suficiente para alimentá-las por 18 dias. Se a família de Milena dobrar a quantidade de tilápias, ou seja, aumentar para 1 500 tilápias, essa mesma quantidade de ração será o suficiente para alimentá-las por quantos dias? Resposta: 9 dias. No boxe Dica, verificar se os alunos perceberam que apenas alteramos a razão, a qual foi invertida. Na resolução da situação-problema, a escrita da sentença algébrica para expressar a relação entre grandezas inversamente proporcionais possibilita o desenvolvimento da habilidade EF07MA13 da BNCC. No exemplo proposto, a letra x na sentença corresponde à incógnita da equação obtida na resolução. Apresentar aos alunos a seguinte situação complementar. • Como pode ser expressa a quantidade de dias d em que a ração será suficiente para alimentar uma quantidade q de tilápias como essa? Essa situação pode ser expressa da seguinte maneira:

Situações-problema envolvendo grandezas inversamente proporcionais A piscicultura é uma atividade relacionada à criação de peixes, principalmente de água doce. Muitas famílias fazem dessa atividade uma forma de geração de alimento e renda. Agora, leia o problema a seguir.

THOMAZ VITA NETO/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tanque para a criação de tilápia em Buritama (SP). Fotografia de 2012.

A família de Milena possui um sítio com um tanque em que cria 750 tilápias. Para alimentá-las por 18 dias, eles utilizam certa quantidade de ração. Pensando em ampliar a renda, a família vai aumentar o tanque e criar 1 350 tilápias, mantendo o consumo de ração por tilápia. Por quantos dias essa mesma quantidade de ração será suficiente para tratar as tilápias após esse aumento? Inicialmente, vamos representar essa situação em um quadro, em que x indica a quantidade de dias em que a ração será suficiente para alimentar as 1 350 tilápias. Quantidade de tilápias

Quantidade de dias

750

18

1 350

x

Note que, ao aumentar a quantidade de tilápias, a quantidade de dias para os quais a ração será suficiente reduz proporcionalmente. Assim, para resolvermos esse problema, podemos usar a propriedade fundamental das proporções. Porém, nesse caso, escrevemos a proporção indicando uma razão e invertendo a outra. Observe. 750 x = 1 350 18 1 350 ? x = 750 ? 18 13500x 13500 = 1 350 1 350

Nessa situação, também poderia ser escrita a seguinte proporção: 1 350 18 750

=

x

x = 10 Assim, a ração será suficiente para tratar as 1 350 tilápias por 10 dias. 178

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Quantidade de tilápias

Quantidade de dias

750

18

q

d

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d 750 = 18 q qd = 13 500

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NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Considere A e B grandezas inversamente proporcionais e determine o valor de x em cada item. a) b) B A B 8 64,5 A 28

6

17

x

x

21

25,5

43

5. Observe informações sobre a viagem que Diego fez de carro entre os municípios de Cascavel (PR) e Foz do Iguaçu (PR).

Distância entre Cascavel e Foz do Iguaçu – Paraná 50º O

2. Os alunos da turma do 7o ano estão se organizando para comprar um presente para a professora de Matemática. O valor do presente será dividido igualmente entre os alunos participantes. Até o momento, 8 alunos já decidiram participar, de maneira que cada um deve pagar R$ 15,00. a) Caso a quantidade de alunos participantes dobre, o que vai ocorrer com o valor que cada um vai pagar? O valor que cada um vai pagar será reduzido à metade. b) A quantidade de alunos e o valor que cada um vai pagar são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Inversamente proporcionais. c) Caso 20 alunos participem, quanto cada um vai pagar? R$ 6,00. d) Para que cada aluno participante pague R$ 4,80, quantos alunos devem participar? 25 alunos. 3. Em uma fábrica de revestimentos, 7 máquinas idênticas produzem certa quantidade de azulejos em 12 h de funcionamento. Buscando aumentar a produção, foram adquiridas mais 3 máquinas como essas. Em quantas horas todas essas máquinas podem produzir a mesma quantidade de azulejos? 8,4 h ou 8h24. 4. No caderno, elabore e escreva um problema envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. Resposta pessoal.

Trópico de Capricórnio

PARANÁ 25º S

Cascavel

Foz do Iguaçu

0

Curitiba

100

Tempo: 120 minutos Velocidade média: 70 km/h

ALLMAPS

AtividadeS

Resoluções na p. 290

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. p. 175.

a) Para que Diego realize essa mesma viagem em 105 min, qual deve ser a velocidade média do carro? 80 km/h. b) Caso a velocidade média do carro fosse 60 km/h, qual seria o tempo dessa viagem? 140 min. 6. Na comemoração do dia do estudante, certa escola vai promover uma grande gincana com os alunos do 6o ao 9o ano. Para o evento, foi calculado que, se os alunos fossem organizados em grupos com 15 integrantes, seriam formados 16 grupos. Caso esses mesmos alunos sejam organizados em grupos com 10 integrantes cada, quantos grupos serão formados? 24 grupos. 7. Para encher um reservatório da empresa de tratamento de esgoto onde Elias trabalha, é necessário ajustar a vazão de entrada do esgoto para 800 L/s durante 7 h. Para que esse mesmo reservatório possa ser enchido em apenas 4 h, qual deve ser a vazão de entrada do esgoto? 1 400 L/s.

los alunos contemplam ideias relacionadas ao conceito de grandezas inversamente proporcionais. É possível que eles proponham problemas com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que alguns dos problemas elaborados sejam reproduzidos na lousa e discutidos com a turma. 5. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. 6. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Uma estratégia para resolver esta atividade, sem utilizar a propriedade fundamental das proporções, é determinar o total de alunos e dividi-lo pela nova quantidade de integrantes. 7. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Aproveitar o tema para conversar com os alunos sobre a importância dos sistemas de coleta e tratamento de esgotos para a saúde pública, uma vez que esses sistemas evitam a contaminação e a transmissão de doenças, além da poluição do meio ambiente.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha cálculos envolvendo grandezas inversamente proporcionais e o uso de sentenças algébricas para expressar a relação entre elas. Caso julgar

necessário, mostrar aos alunos as proporções que podem ser escritas em cada item. 2. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Para complementar, questionar os alunos sobre qual o valor do presente da professora (R$ 120,00).

11/2/18 10:15 AM

3. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. 4. Esta atividade trabalha a elaboração de um problema pelo aluno envolvendo grandezas inversamente proporcionais. É importante avaliar se os problemas elaborados pe-

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8. No Brasil, a loteria é uma modalidade de jogo que distribui prêmios por meio de sorteios. Em um dos maiores prêmios de loterias, que ocorreu no final do ano de 2017, o valor pago a cada um dos 17 acertadores foi de aproximadamente 18 milhões de reais. Fonte dos dados: MEGA da Virada: 17 apostas dividem prêmio de R$ 306,7 milhões. G1. Disponível em: <https:// g1.globo.com/loterias/noticia/mega-da-virada-confira-oresultado.ghtml>. Acesso em: 4 maio 2018.

a) Qual seria aproximadamente o valor do prêmio de cada acertador caso fossem apenas três? 102 milhões de reais. b) Qual foi aproximadamente o valor total desse prêmio? 306 milhões de reais. 9. Você já ouviu falar da profissão de digitador? Essa profissão é uma das mais antigas na área da Tecnologia da Informação, na qual o profissional realiza digitação de dados, textos, tabelas, além de enviar e receber e-mails. Márcia é digitadora de uma empresa. Ela verificou que sua média de digitação é de 221 caracteres por minuto e que, para digitar certo texto, demora 8 minutos. Quanto tempo outro profissional vai demorar para digitar esse mesmo texto considerando uma média de 272 caracteres por minuto? 6,5 min ou 6min30s.

internet com velocidade de download de 20 megabaites por segundo. Caso essa velocidade fosse de 30 megabaites por segundo, qual teria sido o tempo gasto para baixar essas mesmas músicas? 12 s. 11. Para organizar a festa de seu filho, Marta fez uma média da quantidade de bolo e de suco para os 48 convidados que confirmaram presença. Observe. Quantidade média por convidado Bolo

125 g

Suco

350 mL

Em um momento da festa, Marta verificou que foram 12 convidados a mais do que o esperado. Bolo: 100 g; suco: 280 mL. a) Com isso, qual foi a quantidade média de bolo e de suco para cada convidado? b) Para essa festa, quantos quilogramas de bolo Marta comprou? E quantos litros de suco? Bolo: 6 kg; suco: 16,8 L. 12. Vinícius, Renan e Laís são irmãos e têm, respectivamente, 9, 12 e 15 anos. O avô deles decidiu repartir entre os três netos as moedas antigas de sua coleção, de maneira que cada neto recebesse uma quantidade inversamente proporcional à idade que tinha.

Vinícius vai receber 40 moedas.

Digitadora em sua mesa de trabalho.

10. Sílvia comprou e fez download de algumas músicas em uma loja oficial on-line. Ela verificou que as músicas foram baixadas em 18 s, utilizando a

ARTUR FUJITA

ATIVIDADES 8. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Para complementar, propor aos alunos o seguinte questionamento. • Nesse sorteio, que ocorreu no final do ano de 2017, dois dos 17 acertadores faziam parte da modalidade bolão, ou seja, o prêmio referente ao acertador foi divido em cotas. Um dos bolões foi divido em 22 cotas e o outro, em 5 cotas. Considerando que cada pessoa tinha direito a uma cota, quanto cada pessoa recebeu aproximadamente em cada um desses bolões? Resposta: Bolão com 22 cotas: 818 mil reais; bolão com 5 cotas: 3,6 milhões de reais. 9. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Explicar aos alunos que caracteres são símbolos de qualquer natureza, como letras do alfabeto, algarismos, sinais de pontuação, que podem ser reproduzidos em um computador pelo teclado e exibidos na tela. 10. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. 11. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo grandezas inversamente proporcionais. 12. Esta atividade trabalha a resolução de uma situação envolvendo a divisão de uma quantidade em partes inversamente proporcionais. Para auxiliar os alunos na compreensão desta atividade, dizer a eles que, quanto mais velho de idade, menor será a quantidade de moedas recebidas, já que a divisão será inversamente proporcional. Por exemplo, se um irmão tem 9 anos e o outro, 18 anos, a quantidade de moedas recebida pelo irmão mais novo será o dobro da quantidade recebida pelo mais velho.

HERO IMAGES/GETTY IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Renan: 30 moedas; Laís: 24 moedas. a) Calcule quantas moedas cada um dos outros netos vai receber.

b) Quantas moedas antigas ao todo o avô tinha antes de repartir com os netos? 94 moedas antigas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simetria

ROMULO FIALDINI/TEMPO COMPOSTO

Na aula de Arte, a turma do 7o ano está realizando atividades sobre o artista brasileiro Rubem Valentim (1922-1991). As obras desse artista contam com influência da cultura afro-brasileira, apresentando contrastes entre as cores e vários elementos geométricos. Observe uma das obras dele.

BEL PEDROSA/FOLHAPRESS

Simetria de reflexão

Rubem Valentim.

VALENTIM, R. Emblema: logotipo poético. 1975. Acrílica sobre tela, 35 cm x 50 cm. Coleção Gilberto Chateaubriand.

Observe como um aluno fez uma releitura dessa obra. Dobrou uma folha de papel ao meio. Depois, desdobrou e pintou com tinta guache parte da obra em metade da folha, delimitada pelo vinco.

2a

Com a tinta ainda úmida, dobrou novamente a folha sobre o vinco e pressionou um pouco com as mãos.

3a

Desdobrou, obtendo a releitura completa da obra na folha de papel.

FOTOS: DOTTA2

1a

Ao dobrarmos essa folha de acordo com o vinco, observamos que as partes da imagem se sobrepõem. Nesse caso, dizemos que essa imagem apresenta simetria de reflexão em relação a um eixo. O vinco formado corresponde ao eixo de simetria. Acesse este site para obter mais informações sobre Rubem Valentim. • ENCICLOPÉDIA ITAÚ CULTURAL. Rubem Valentim. Disponível em: <http://livro.pro/fz472y>. Acesso em: 8 maio 2018.

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SIMETRIA Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA20 e EF07MA21.

Simetria de reflexão Antes de iniciar o conteúdo destas páginas, conversar com os alunos sobre a palavra simetria. Perguntar a eles se conhecem o significado dessa palavra e o que entendem por imagens que apresentam a ideia de simetria. Uma sugestão é propor aos alunos que pesquisem o significado da palavra em um dicionário. Em seguida, explorar a releitura da obra apresentada, questionando-os sobre o que eles observaram em relação às duas partes da folha de papel divididas pelo vinco. Espera-se que eles percebam que as imagens de ambas as partes possuem elementos em comum posicionados de maneira refletida. Explicar aos alunos que a simetria de reflexão em relação a um eixo pode ser também chamada de simetria axial. O termo axial se refere a eixo. Verificar a possibilidade de, com o professor da disciplina de Arte, propor aos alunos que façam a releitura de uma obra de arte desse mesmo artista, utilizando a ideia de simetria de reflexão. Para isso, organizar os alunos em duplas e providenciar previamente os materiais, como papel sulfite, tinta guache, pincel, régua, entre outros. Além disso, orientá-los na realização das etapas conforme as apresentadas nesta página. A obra para a releitura pode ser a mesma ou alguma das obras disponíveis no site sugerido no boxe Conexões. É importante que a obra permita realizar o mesmo trabalho utilizando a ideia de simetria. Ao final, se possível, realizar uma exposição com as releituras das obras na sala de aula ou em um local próprio no pátio da escola.

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Cada figura a seguir apresenta simetria de reflexão em relação à(s) linha(s) vermelha(s). Essas linhas são eixos de simetria.

Figura com um eixo de simetria.

Figura com dois eixos de simetria.

Figura com três eixos de simetria.

Figura com um eixo de simetria.

Figura com quatro eixos de simetria.

ILUSRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

MPHUDIT KLAOKLONG/SHUTTERSTOCK.COM

TEAMPLAY/SHUTTERSTOCK.COM, EDITORIA DE ARTE

Reforçar com os alunos que é possível que uma imagem tenha mais de um eixo de simetria e que esse eixo não precisa ser necessariamente na horizontal ou na vertical. Para complementar o trabalho com esta página, propor aos alunos que desenhem outras figuras em que seja possível identificar pelo menos um eixo de simetria. Depois, pedir que troquem com o colega as figuras desenhadas, para que identifique os possíveis eixos de simetria. Veja a seguir alguns exemplos que podem ser desenhados pelos alunos.

DOVLA982/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Figura com cinco eixos de simetria.

182

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182

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D3-MAT-F


Também podemos obter uma figura simétrica à outra em relação a um eixo. Observe o quadrilátero ABCD e o eixo e indicados em uma malha quadriculada. 1 cm e

1 cm

C

D

B

A

Para construir uma figura simétrica ao quadrilátero ABCD em relação ao eixo e, podemos seguir as etapas indicadas.

1a

1 cm e

1 cm

C

B

D

D’

A

A’

C’

B’

Para cada vértice do quadrilátero, representamos um ponto simétrico em relação ao eixo e. Os pontos A e A’, por exemplo, são simétricos em relação ao eixo e.

2a

1 cm e

C

B

D

D’

A

A’

C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 cm

B’

Por fim, ligamos os vértices obtendo os lados da figura simétrica e colorimos seu interior.

183

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Para complementar, propor aos alunos um trabalho parecido com o que foi apresentado. Para isso, reproduzir e entregar a eles a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio, e réguas. Pedir que desenhem na malha quadriculada a figu-

ra de um polígono qualquer e que nomeiem os pontos desse polígono. Depois, orientá-los a desenhar um eixo de simetria e auxiliá-los na construção da figura simétrica do polígono em relação a esse eixo. Veja a seguir um exemplo que pode ser apresentado pelos alunos.

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A

B

B’ E’

E D

A’

C e

C’

D’

EDITORIA DE ARTE

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Ao abordar a simetria de uma figura em relação a um eixo, questionar os alunos sobre quais são os outros pares de pontos simétricos, além de A e A’, ou seja, B e B’, C e C’, D e D’. Chamar a atenção deles para o fato de que, se dobrarmos a folha em relação ao eixo e, os pontos simétricos irão se sobrepor, assim como os lados correspondentes dos dois quadriláteros.

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Resoluções na p. 291

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

f) MEJORANA/ SHUTTERSTOCK.COM

c)

b)

4. a) Resposta esperada: A figura de um barco. Resposta nas Orientações para o professor.

!

Para copiar essas figuras, pode ser usado papel vegetal.

d)

e

e

4. Observe como Bruno fez para obter uma figura que apresente simetria em relação a um eixo, usando dobradura e recorte. Dobrou uma folha de papel ao meio marcando o vinco da dobra, que representa o eixo de simetria.

Depois desenhou metade da figura próximo à dobra.

FOTOS: DOTTA2

b)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

c)

e OND/SHUTTERSTOCK.COM

e

2. Copie as figuras a seguir em uma folha de papel. Depois, recorte-as e, fazendo dobraduras, marque e trace todos os eixos de simetria de cada uma delas. a)

c)

JENNIKI/SHUTTERSTOCK.COM

TOUKUNG DESIGN/SHUTTERSTOCK.COM

e) GOLDENFISH_27/ SHUTTERSTOCK.COM

b)

a)

DOVLA982/SHUTTERSTOCK.COM

d) EDITORIA DE ARTE

a)

3. Quais das figuras a seguir são simétricas em relação ao eixo e? b e d.

YAYAYOYO/SHUTTERSTOCK.COM

1. Observe as figuras a seguir e identifique os itens que não apresentam simetria de reflexão em relação à linha vermelha. b e f.

ADRIAN NIEDERHAEUSER/ SHUTTERSTOCK.COM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o reconhecimento de figuras simétricas por reflexão. Caso apresentem dificuldade, pedir aos alunos que imaginem se, ao dobrar a figura na linha vermelha, as partes ficariam sobrepostas. Outra sugestão é posicionar um espelho sobre a linha vermelha e observar se a imagem que se forma é igual à parte da figura que não está sendo refletida nele. 2. Esta atividade trabalha, de maneira experimental, a obtenção de eixos de simetria em uma figura. Auxiliar os alunos nas dobraduras e chamar a atenção de que o eixo de simetria divide a imagem em duas partes, de modo que, ao dobrá-la sobre o eixo, essas partes se sobrepõem. 3. Esta atividade trabalha o reconhecimento de figuras simétricas por reflexão. Nos itens a e c, é importante que os alunos percebam que, apesar de as figuras em cada lado do eixo serem iguais, elas não se sobrepõem se fizermos uma dobra em relação ao eixo de simetria. 4. Esta atividade trabalha a construção de figura que apresenta simetria de reflexão em relação a um eixo. A resposta do item a deve corresponder ao desenho do barco como o indicado na fotografia a seguir.

A-R-T/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por fim, com a tesoura, recortou a parte da figura desenhada.

a) Ao desdobrar a parte da folha recortada, qual figura Bruno vai obter? Desenhe essa figura no caderno. b) Agora é sua vez! Realize o mesmo procedimento de Bruno e verifique se você resolveu o item anterior corretamente. Resposta pessoal.

DOTTA2

184

Folha desdobrada após o recorte feito pelo personagem Bruno.

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Para complementar o item b, propor aos alunos que desenhem uma figura qualquer e realizem os procedimentos apresentados nesta atividade.

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Veja a seguir a resposta do item b.

de vértices A(1, –1), B(1, –4), C(4, –4) e D(4, –1). Depois, nesse mesmo plano cartesiano, construam a figura simétrica a esse quadrado:

y 4

C’

A’

D’

3

a) em relação ao eixo y.

2

_1

A1

2

3

4D 5

_2

a)

_3 _4

B

C

x

EDITORIA DE ARTE

1

b) em relação ao eixo x. Respostas nas Orientações para o professor. 7. Em qual item as figuras são simétricas em relação ao eixo x? c.

Para complementar o item b, propor aos alunos as seguintes questões. • Comparando as figuras dos dois quadrados, quais são os pares de vértices correspondentes simétricos em relação ao eixo x? Indique suas coordenadas. Resposta: A(1, _1) e A'(1, 1); B(1, _4) e B'(1, 4); C(4, _4) e C'(4, 4) e D(4, _1) e D'(4, 1). • Que relação você pode perceber entre as coordenadas dos vértices simétricos correspondentes dessas figuras? Respostas possíveis: As abscissas são números iguais e as ordenadas são números opostos; as abscissas são iguais, já as ordenadas de A', B' e C' correspondem às ordenadas de A, B e C multiplicadas por _1, respectivamente. 7. Esta atividade trabalha o reconhecimento de figuras simétricas por reflexão em relação ao eixo horizontal do plano cartesiano.

Depois, com uma ferramenta desse programa, obteve a figura simétrica ao triângulo em relação ao eixo y (vertical).

b)

a) Compare as figuras dos dois triângulos e responda: • Quais são os pares de vértices correspondentes simétricos em relação ao eixo y? A e A’; B e B’; C e C’.

B’

c)

• Quais são as coordenadas de cada um desses vértices?

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

b) Que relação você pode perceber entre as coordenadas dos vértices correspondentes dessas figuras?

6. Junte-se a um colega e, em uma malha quadriculada, construam um plano cartesiano e representem um quadrado 5. b) Respostas possíveis: As abscissas são números opostos, e as ordenadas são números iguais; as abscissas de A’, B’ e C’ correspondem às abscissas de A, B e C multiplicadas por _1, respectivamente; já as ordenadas são iguais. 185

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5. Esta atividade trabalha a representação de figuras simétricas por reflexão em relação aos eixos do plano cartesiano, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA20 da BNCC. Além disso, esta atividade possibilita retomar o estudo da habilidade EF07MA19 da BNCC, tra-

tada inicialmente na Unidade 3 deste Volume. 6. Esta atividade trabalha a construção de figuras simétricas por reflexão em relação aos eixos do plano cartesiano, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA20 da BNCC. Veja ao lado a resposta do item a.

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y _4 _3 _2 _1 0 _1 A’ _2

D’

1

2

3

x

4

A

D

B

C

_3 C’

_4 B’

EDITORIA DE ARTE

8 10:15 AM

5. a) Triângulo ABC: A(–3, 1), B(–5, 4) e C(– 2, 3). Triângulo A’B’C’: A’(3, 1), B’(5, 4) e C’(2, 3). 5. Em um programa de computador, Marcos construiu a figura de um triângulo no plano cartesiano.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simetria de translação Projetos de arquitetura como os de casas, prédios e edificações podem ser percebidos por toda parte. Algumas vezes, esses elementos integram-se ao ambiente e à cultura regional de maneira tão intensa que se tornam símbolos daquele local. Em São Paulo (SP), por exemplo, as imagens identificadas em grande parte das calçadas tornaram-se um símbolo do município. Nessas calçadas é possível identificar um padrão geométrico interessante. Observe.

NELSON ANTOINE/FOLHAPRESS

Este padrão de calçada foi escolhido pela prefeitura de São Paulo (SP) por meio de um concurso na década de 1960. Fotografia de 2017. Fonte dos dados: SOUZA, F. Criadora do ‘piso paulista’ diz que nunca recebeu 1 centavo pelo desenho. FOLHA DE S.PAULO. Disponível em: <https://www1.folha.uol.com.br/cotidiano/2015/06/1648845-criadorado-piso-paulista-diz-que-nunca-recebeu-1-centavo-pelo-desenho.shtml>. Acesso em: 7 maio 2018.

Esse padrão pode ser simulado a partir da reprodução e do deslocamento de figuras, conforme segue.

EDITORIA DE ARTE

Simetria de translação Promover uma roda de conversa com os alunos, questionando-os se já viram alguma calçada com padrão geométrico parecida com a apresentada nesta página, isto é, em que seja possível identificar a reprodução e o deslocamento de figuras. Verificar se os alunos perceberam que, na simetria de translação, a figura não é rotacionada, mas apenas deslocada. Chamar a atenção deles para a palavra translação, que significa transferir ou mudar de um lugar para o outro. Comentar também que, diferente da simetria de reflexão, na simetria de translação não existe o eixo de simetria. Explicar aos alunos a diferença entre direção e sentido, dizendo que direção se refere, por exemplo, à direção horizontal ou vertical, e sentido é a orientação da direção, como da esquerda para a direita ou de cima para baixo. Para complementar o trabalho com simetria de translação, propor aos alunos que façam uma releitura da calçada de São Paulo. Para isso, reproduzir e entregar a eles a malha quadriculada com figuras de quadradinhos de 1 cm de lado, disponível no Material de apoio, réguas e lápis de cor. Pedir que desenhem uma figura geométrica com o uso da régua e, depois, auxiliá-los a transladar essa figura, de acordo com uma distância, direção e sentido. Para compor um trecho da calçada, explicar que é preciso transladar a mesma figura geométrica várias vezes, lembrando que o tamanho e o formato original da figura são mantidos. Além disso, explicar a eles que, nesse tipo de simetria, a figura não pode ser rotacionada e, ao transladar a figura, é pre-

Essa reprodução e esse deslocamento apresentam a ideia de simetria de translação. Nesse tipo de transformação, o tamanho e o formato da figura são mantidos e seu deslocamento ocorre de acordo com uma distância, direção e sentido. 186

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ciso escolher uma distância de modo que a figura original e a simétrica não se sobreponham. Para finalizar, pedir aos alunos para colorir a composição com o uso do lápis de cor.

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8 10:15 AM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao realizarmos a translação de uma figura, podemos indicar a distância, a direção e o sentido do deslocamento por meio de uma seta. Observe os exemplos. a) A figura II foi obtida ao deslocar a figura I, conforme a distância (10 unidades), a direção (horizontal) e o sentido (da esquerda para a direita) indicados pela seta.

I

10 unidades I

b) A figura II foi obtida ao deslocar a figura I, conforme a distância (7 unidades), a direção (vertical) e o sentido (de cima para baixo) indicados pela seta.

II

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

7 unidades

II

Note que, na simetria de translação, cada ponto da figura original é deslocado da mesma maneira.

AtividadeS

Resoluções na p. 291 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

GEOGEBRA 2018

1. Em um programa de computador, Lucas desenhou quatro figuras e obteve, para cada uma delas, outra figura por simetria de translação. Escreva os pares de figuras simétricas por translação feitas por Lucas. I-IV; II-VI; III-V; VII-VIII.

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o reconhecimento de figuras simétricas por translação. Comentar com os alunos que, nos pares de figuras simétricas II e VI e III e V, as figuras simétricas podem ter sido obtidas após uma composição de translações. Por exemplo, considerando a figura II como a original, podemos dizer que a figura VI pode ter sido obtida a partir do deslocamento da figura II para a direita e depois para baixo. Já a figura V pode ter sido obtida a partir do deslocamento da figura III para cima e depois para a direita. Para complementar esta atividade, propor aos alunos as seguintes questões. • Considerando a figura I como original, a figura IV foi obtida deslocando a figura I em qual direção? Resposta: Direção horizontal. • Considerando a figura VII como original, a figura VIII foi obtida deslocando a figura VII em qual sentido? Resposta: De cima para baixo.

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187

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. As figuras II, III e IV a seguir foram obtidas por simetria de translação da figura I. Identifique a seta que indica cada translação. II-B; III-D; IV-F. II

I

A

Para construirmos a figura simétrica por translação, indicamos para cada vértice do pentágono um ponto transladado de acordo com a distância, direção e sentido representados pela seta. Para indicar o ponto A’, por exemplo, contamos 8 unidades a partir do ponto A, na direção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Os demais vértices são obtidos de maneira análoga.

III

A

IV

B F

C

A’

E

B

E’

B’

D E

D NEATLYNATLY/ SHUTTERSTOCK.COM

3. Bia está brincando com um jogo no computador. Nesse jogo, cada vez que ela aperta uma destas teclas, o robô desloca um na área de jogo, de acordo com a direção e o sentido indicados pela seta.

A E

D

B

C

D’

A

C’

A’

E

B

E’

C

D’

B’

C’

• Agora, em uma malha quadriculada, reproduza a figura a seguir e represente uma figura simétrica a ela por translação de acordo com a seta.

DAYANE RAVEN

A

C

B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Explique como Bia fez para deslocar o robô da posição A para a posição B. Respostas possíveis: 4 e 3 ; 3 e 4. 4. Observe como podemos construir figuras simétricas por translação em uma malha quadriculada. Para isso, considere o pentágono representado e a seta que indica a translação.

C

Por fim, ligamos os pontos indicados obtendo os lados, pintamos seu interior e obtemos a figura simétrica por translação.

D

Resposta nas Orientações para o professor. 5. Em uma malha quadriculada, construa a figura de um polígono. Indique uma direção, um sentido e uma distância por meio de uma seta. Depois, troque essa malha com um colega para que ele construa a figura simétrica por translação de acordo com a seta, enquanto você faz o mesmo na malha que ele lhe entregou. Por fim, verifiquem juntos as resoluções. Resposta pessoal.

188

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha a identificação da direção, do sentido e da distância utilizados na simetria de translação de figuras. Enfatizar aos alunos que a figura de referência é a figura I, ou seja, a partir dela as demais foram obtidas por simetria de translação. Além disso, explicar a eles que o comprimento de cada seta representa a distância do deslocamento. 3. Esta atividade trabalha a identificação da direção, do sentido e da distância utilizados na simetria de translação de figuras, com a ideia de deslocamento. É importante que os alunos percebam que o deslocamento do robô pode ser feito apenas nas direções horizontal e vertical, uma vez que as setas disponíveis para o deslocamento permitem apenas essas direções. 4. Esta atividade trabalha a construção de figuras simétricas por translação de acordo com a direção, o sentido e a distância estabelecidos. No exemplo apresentado, verificar se os alunos perceberam que todos os vértices simétricos (A’; B’; C’; D’; E’) foram transladados de acordo com a mesma distância, direção e sentido, em relação aos vértices originais correspondentes. Para a resolução dessa atividade, caso julgar necessário, auxiliar os alunos questionando-os sobre qual é a distância (6 unidades), a direção (vertical) e o sentido (de cima para baixo) representados pela seta. Também orientá-los em relação à posição que o triângulo ABC deve ser indicado na malha quadriculada para que a figura simétrica correspondente caiba nessa mesma malha. A malha quadriculada está disponível no Material de apoio. Veja ao lado a resposta desta atividade.

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A

C

B A’

C’

5. Esta atividade trabalha a construção de figuras simétricas por translação de acordo com a direção, o sentido e a distância estabelecidos. É importante avaliar se as indicações foram

feitas corretamente. É possível que os alunos proponham diferentes polígonos e diferentes indicações; nesse caso, possibilitar que eles compartilhem entre si essas construções.

11/2/18 10:15 AM

B’

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8 10:15 AM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) foi um artista holandês que empregava em suas obras padrões e efeitos visuais com base em diferentes ideias matemáticas. Observe uma de suas obras. Nessa obra, podemos identificar que, a partir de uma de suas partes, é possível obter as demais realizando rotações em torno de um ponto. Isso corresponde à ideia de simetria de rotação. Na simetria de rotação, cada ponto da figura é rotacionado de acordo com determinado ângulo e sentido em torno de um ponto O, chamado centro de rotação. Observe um exemplo.

A figura B foi obtida a partir da figura A, por meio de simetria de rotação de 90°, em torno do ponto O, no sentido horário.

© 2018 THE M.C. ESCHER COMPANY-THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS RESERVED. WWW.MCESCHER.COM

Simetria de rotação

ESCHER, M. C. Senda da vida II. 1958. Xilogravura, 37 cm x 37 cm. Coleção particular.

centro de rotação

A

!

Na simetria de rotação, o giro pode ocorrer no sentido horário ou anti-horário.

O A distância da figura ao centro de rotação não se altera.

ângulo de rotação

AMPLIANDO Sugerir aos alunos que acessem este site para conhecer algumas obras de arte que usam de simetria. • M. C. ESCHER. Symmetry. Disponível em: <http://livro. pro/6a24p3>. Acesso em: 24 ago. 2018. (site em inglês)

B

Veja no material audiovisual o vídeo sobre estamparia geométrica.

Agora, observe outros exemplos.

O

A

A B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

B

O B O

A figura B foi obtida por simetria de rotação da figura A, em torno do ponto O, em 180º no sentido anti-horário ou, de maneira equivalente, no sentido horário.

A figura B foi obtida por simetria de rotação da figura A, em torno do ponto O, em 135º no sentido horário.

Simetria de rotação Dizer aos alunos que a palavra rotação se refere a giro. Explicar a eles que podemos relacionar o sentido horário ao giro para a direita e o sentido anti-horário, ao giro para a esquerda. No último exemplo apresentado nesta página, questionar os alunos que, se considerarmos o sentido anti-horário, em vez do horário, qual será o ângulo de rotação da figura A para obter a figura B (90°). Verificar se eles perceberam que, adicionando o ângulo que a figura A foi rotacionada no sentido horário (270°) ao ângulo de 90°, obtemos 360°, isto é, a medida do ângulo correspondente a um giro de uma volta.

A

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre estamparia geométrica, em que é possível verificar padrões geométricos e ideias de simetria em estamparias feitas por povos africanos.

A figura B foi obtida por simetria de rotação da figura A, em torno do ponto O, em 270º no sentido horário.

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AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Algumas respostas possíveis: 1 clique; 5 cliques; 9 cliques.

1. Camila está editando no celular da mãe uma fotografia. Após clicar algumas vezes na opção em destaque, a posição da fotografia foi alterada. Observe. • Quantas vezes você acredita que Camila clicou nessa opção de edição? Girar 90º no sentido anti-horário.

Cancelar

OK

Cancelar

OK

ILUSTRAÇÃO: DAYANE RAVEN, FOTO: ALEXANDRE ZVEIGER/SHUTTERSTOCK.COM

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha a identificação de giro em situação de rotação de figura. Nela, há diferentes possibilidades de respostas, uma vez que a cada 4 cliques a figura volta à posição inicial. Assim, Camila pode ter clicado nessa opção de edição 1 vez, 5 vezes (4 + 1), 9 vezes (4 + 4 + 1), 13 vezes (4 + 4 + 4 + 1), e assim por diante. 2. Esta atividade trabalha a identificação do giro correspondente a uma simetria de rotação de figuras. Verificar se os alunos perceberam que a quantidade de fichas é maior que a quantidade de figuras rotacionadas e, no item c, há duas fichas que indicam o ângulo de rotação e o sentido correspondente a este item, sendo que uma indica a rotação em torno do ponto O no sentido horário e a outra, no sentido anti-horário. 3. Esta atividade trabalha o reconhecimento de figuras obtidas por meio de simetria de rotação.

2. Em cada item a seguir, a figura II foi obtida por meio de rotação da figura I, tendo o ponto O como centro de rotação. Observe. a: I; b: III; c: II ou c: IV. a)

b)

I

c) II I

O

O

O

II

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

I

II

• Identifique, entre as fichas a seguir, aquela que indica o ângulo de rotação e o sentido correspondente a cada item anterior. I. 270° no sentido anti-horário.

IV. 270° no sentido horário.

II. 90° no sentido anti-horário. V. 360° no sentido horário.

III. 180° no sentido horário.

A imagem que representa a nova figura é: Alternativa e. a)

b) O

c) O

O

Figura original.

d) O

ENEM 2013

3. (Enem-2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

e) O

O

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4. Os pentágonos representados a seguir são simétricos. Considerando uma das figuras, a outra pode ser obtida por meio de rotação da primeira em relação ao ponto O. Escreva os pares de vértices correspondentes dessas figuras. A-G; B-H; C-I; D-J; E-F. B C

D E

A

O F J

G I H

5. Em qual dos itens a seguir a figura II foi obtida por meio de rotação da figura I em relação ao ponto O. c. a)

b)

c) I

I II

I O

O O

II

II

6. Em cada item, a figura II foi obtida por meio de rotação da figura I em relação ao ponto O. Use um transferidor para fazer medições e indique o ângulo de rotação em cada caso a seguir de duas maneiras: considerando o sentido horário e o anti-horário. b) I

II

I

O O II

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a)

Sentido horário: 90°; sentido anti-horário: 270°. Sentido horário: 170°; sentido anti-horário: 190°. 191

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4. Esta atividade trabalha a identificação de pontos correspondentes entre figuras obtidas por meio de simetria de rotação. Verificar se os alunos perceberam que os vértices correspondentes estão a uma mesma distância do centro O e que todos os vértices simétricos foram rotacionados em relação ao vértice original de acordo com o mesmo ângulo. 5. Esta atividade trabalha o reconhecimento de figuras obtidas por meio de simetria de rotação. Para complementar, questionar os alunos qual é o ângulo de rotação e o sentido em que a figura I foi rotacionada para obter a figura II (90° no sentido horário ou 270° no sentido anti-horário). Caso julgar necessário, sugerir que eles utilizem um transferidor para realizar medições. Questioná-los também em qual dos itens a figura II foi obtida por meio da simetria de reflexão da figura I (e, nesse caso, qual seria o eixo de simetria) e em qual dos itens a figura II foi obtida por meio da simetria de translação (itens b e a, respectivamente). 6. Esta atividade trabalha a obtenção do ângulo e sentido da rotação de figuras em relação a um ponto, com o auxílio de transferidor. Chamar a atenção dos alunos que a soma dos ângulos de rotação nos sentidos horário e anti-horário, em cada um dos itens, é igual a 360°. Perguntar a eles o que ocorre se rotacionarmos a figura I, de cada item, 360° em relação ao ponto O (independentemente do sentido, a figura simétrica se sobrepõe à figura original).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Já ao trabalhar com o poema-gravura de Augusto de Campos, comentar com os alunos o que o inspirou a escrever esse poema.

arte e Língua portuguesa

Perfeita simetria Ideias de simetria costumam ser empregadas não apenas na Matemática, mas também em diversas outras áreas do conhecimento, como nas artes plásticas, na arquitetura e na literatura. O uso da simetria nesses casos pode ter diferentes finalidades, como a busca por uma beleza estética e harmônica ou ainda para expressar um padrão rítmico. Observe os exemplos a seguir.

!

Neste poema do curitibano Paulo Leminski (1944-1989), é possível perceber algumas letras refletidas.

LEMINSKI, P. Lua na água. In: LEMINSKI, P. Caprichos & Relaxos. 3. ed. São Paulo: Brasiliense, 1983.

© AUGUSTO DE CAMPOS

[...] A poesia de Paulo Leminski revela uma síntese entre a coloquialidade e o rigor da construção formal, herdada da estética concretista. [...] A visualidade na obra de Leminski é mais evidente nos poemas da série sol-te, em que o poeta utiliza diferentes fontes e corpos de letras e recursos de diagramação, como no haicai visual “lua na água / alguma lua / lua alguma”, [...] em que as letras de cada verso aparecem repetidas na linha de baixo, invertidas, como se fossem sombras. Esse é um recurso icônico, ou seja, a imagem reproduz o sentido do poema (no caso, o reflexo da lua na água). O artesanato poético de Leminski valoriza ainda recursos da poesia tradicional, como as rimas, que são essenciais para a estrutura rítmica de seus poemas. [...] ENCICLOPÉDIA ITAÚ CULTURAL. Paulo Leminski. Disponível em: <http://enciclopedia.itaucultural. org.br/pessoa2851/paulo-leminski>. Acesso em: 23 set. 2018.

integrando com

PAULO LEMINSKI/HAICAI LUA NA ÁGUA

INTEGRANDO COM ARTE E LÍNGUA PORTUGUESA Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 4 e à competência específica 3 de Matemática da BNCC, uma vez que trata do uso de diferentes linguagens para se expressar e partilhar sentimentos, explorando relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Para o desenvolvimento desta seção, uma possibilidade é realizar um trabalho conjunto com os professores das disciplinas de Arte e Língua Portuguesa. Ao abordar o poema de Paulo Leminski, apresentar aos alunos mais informações sobre as características das obras poéticas dele.

CAMPOS, A. de. Luxo. 1966. Offset sobre papel. Coleção Museu de Arte Contemporânea da Universidade de São Paulo.

!

O paulistano Augusto de Campos (1931-), neste poema-gravura, compõe a escrita de uma palavra por meio da reprodução e deslocamento de uma outra palavra.

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Segundo entrevista publicada por um site jornalístico, a inspiração para o poema-gravura surgiu após uma exposição em uma galeria no centro do município de São Paulo, em dezembro de 1964, em que, de acordo com Augusto:

“[...] Terminada a mostra, quando fomos retirar os

trabalhos, todos estavam danificados com insultos e palavrões. Num dos meus poemas escreveram a palavra “lixo”. Foi o toque para o poema LUXO, que publiquei no ano seguinte com os fototipos “kitsch” que vi num anúncio de apartamentos “de alto luxo”, e que compus de modo a formar,

como um palavrão-poema gráfico, o reverso LIXO. [...]”

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FREITAS, G. Aos 84 anos, Augusto de Campos lança livro inédito e fala sobre trajetória da poesia concreta. O GLOBO. Disponível em: <https:// oglobo.globo.com/cultura/livros/aos84-anos-augusto-de-campos-lanca -livro-inedito-fala-sobre-trajetoria-dapoesia-concreta-16807757>. Acesso em: 23 set. 2018.

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Histórico e Artístico Nacional (IPHAN) decidiu pelo tombamento do edifício do Congresso Nacional. [...]

Na arquitetura, diferentes ideias de simetria costumam ser usadas em construções de prédios, fachadas, calçamentos, entre outros. Observe uma construção projetada pelo arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer (1907-2012).

1. a) Resposta esperada: É possível identificar que as letras de algumas palavras possuem O Modelo. simetria de reflexão em relação a um eixo horizontal imaginário, como ocorre com todas as letras das palavras do primeiro verso. Nas cúpulas representadas por figuras planas em uma malha quadriculada, pode ser percebida a ideia de simetria de rotação em relação a um ponto. Resoluções na p. 291

EDITORIA DE ARTE

ROSALBA MATTA-MACHADO/SHUTTERSTOCK.COM

1. b) Resposta esperada: Em geral, objetos posicionados próximos a um espelho d’água são refletidos de maneira parecida com a que ocorre na simetria de reflexão. O título do poema remete à reflexão da Lua na água, o que pode ser observado em letras de algumas palavras desse poema. Congresso Nacional, Brasília (DF). Fotografia de 2018.

NÃO ESCREVA

NO LIVRO. 1. Responda às questões de acordo com o poema de Paulo Leminski. a) Algumas palavras desse poema apresentam letras em que é possível identificar ideias de qual tipo de simetria está sendo estudado nesta Unidade? Explique. b) Em sua opinião, qual a relação do título “Lua na água” com o tipo de simetria que você identificou no item anterior?

2. Responda às questões de acordo com o poema-gravura de Augusto de Campos. a) Que palavra aparece reproduzida diversas vezes nesse poema-gravura? A organização das reproduções dessa palavra forma que outra palavra? Luxo; lixo. b) Ideias de que tipo de simetria estudado nesta Unidade é possível identificar em relação à palavra que aparece reproduzida diversas vezes nesse poema-gravura? Explique. 3. Use a criatividade e escreva um texto que apresente ideia de simetria. Compartilhe sua produção com os colegas. Resposta pessoal. 4. Observe novamente o modelo apresentado das cúpulas do Congresso Nacional. Depois, identifique qual o ângulo de rotação das figuras em relação ao ponto O. 180°.

CONGRESSO NACIONAL. Arquitetura. Disponível em: <www2.congressonacional.leg.br/ visite/arquitetura>. Acesso em: 23 set. 2018.

1. Nesta questão e na questão 2, propiciar aos alunos um momento de discussão, em que eles possam compartilhar suas respostas e argumentar de acordo com aquilo que observaram nos textos e no estudo de simetria desta Unidade. 3. É importante avaliar se o texto elaborado pelos alunos apresenta ideias de simetria, sendo possível que utilizem simetria de reflexão, de translação ou de rotação. Os alunos podem propor textos com diferentes estruturas; nesse caso, possibilitar que eles compartilhem entre si essas produções. Uma sugestão é que os textos elaborados sejam reproduzidos em cartazes e expostos na sala de aula ou em um local próprio do pátio da escola. 5. É importante avaliar se as imagens das construções registradas pelos alunos apresentam ideias de simetria. É possível que eles apresentem diferentes imagens; nesse caso, possibilitar que as compartilhem entre si.

5. Pesquise no município onde você mora uma construção em que seja possível perceber alguma das ideias de simetria estudadas nesta Unidade. Depois, indique no caderno o tipo de simetria usada. Por fim, registre uma imagem dessa construção por meio de uma fotografia ou desenho. Resposta pessoal. 2. b) Resposta esperada: É possível identificar ideias da simetria de translação, uma vez que a palavra formada LIXO pode ser obtida reproduzindo e transladando a palavra LUXO de acordo com certa direção, sentido e distância. Uma exceção ocorre em parte da formação da letra X, de LIXO. 193

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Aproveitar o contexto desta página e ler para os alunos o seguinte trecho sobre a arquitetura do Palácio do Congresso Nacional. [...] Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o Palácio consiste em um edifício

principal, na horizontal, que serve de plataforma para as cúpulas do Senado Federal e da Câmara dos Deputados. A cúpula menor, voltada para baixo, abriga o Plenário do Senado Federal. A cúpula maior, voltada para cima, abriga o Plenário da Câma-

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ra dos Deputados. Atrás do edifício principal e entre as duas cúpulas se encontram duas torres de 28 andares: uma delas pertence à Câmara e a outra ao Senado. Em 2007, coincidindo com o centésimo aniversário de Oscar Niemeyer, o Instituto do Patrimônio

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS VOCÊ CONECTADO Esta seção propicia uma abordagem relacionada à competência geral 5, à competência específica 5 de Matemática e às habilidades EF07MA20 e EF07MA21 da BNCC, uma vez que aborda o uso de tecnologias digitais de forma significativa para produzir conhecimentos, resolver problemas e validar estratégias e resultados.

você

conectado

Figuras simétricas – reflexão em relação a um eixo Com as ferramentas do GeoGebra, podemos construir a representação de um par de polígonos simétricos por reflexão em relação a um dos eixos de um plano cartesiano.

1a

Vamos construir a representação de um pentágono ABCDE no GeoGebra, cujas coordenadas dos vértices são A(_5, 1), B(_6, 3), C(_4, 5), D(_1, 4) e E(_2, 2).

Figuras simétricas – reflexão em relação a um eixo Na etapa 1, caso os alunos não se lembrem de como construir um polígono no GeoGebra, orientá-los nessa construção utilizando a ferramenta Polígono: primeiramente, selecionar a opção

na barra de

!

ferramentas e marcar os pontos correspondentes aos vértices A(_5, 1), B(_6, 3), C(_4, 5), D(_1, 4) e E(_2, 2) na malha. Para terminar a figura do pentágono, clicar novamente sobre o ponto A. Esse trabalho foi realizado na Unidade 3 do Volume 6 desta coleção. Na etapa 2, explicar aos alunos que, para construir o polígono simétrico em relação a um dos eixos, é necessário clicar na região interna do polígono original, uma vez que, se eles clicarem sobre um de seus vértices ou sobre um de seus lados, apenas o simétrico desse elemento será representado.

Observe que na Janela de Álgebra aparecem os nomes dos pontos que são vértices do polígono, com suas respectivas coordenadas cartesianas.

2a

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Para construir um polígono simétrico a ABCDE em relação ao eixo , clicamos sobre o pentágono y (eixo vertical), selecionamos a opção ABCDE e, em seguida, sobre o eixo y no plano cartesiano. O pentágono A’B’C’D’E’ simétrico a ABCDE é obtido por reflexão em relação ao eixo y.

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GEOGEBRA 2018

Outra possibilidade é construir um polígono simétrico a ABCDE em relação ao eixo x (eixo horizontal). Para isso, selecionamos a opção , clicamos sobre o pentágono ABCDE e, em seguida, sobre o eixo x no plano cartesiano. O pentágono A1’B1’C1’D1’E1’ simétrico a ABCDE é obtido por reflexão em relação ao eixo x.

1. a) Resposta esperada: Em cada par de vértices correspondentes, a ordenada é a mesma e as abscissas são números opostos. MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções na p. 292

1. b) Resposta esperada: Em cada par de vértices correspondentes, a abscissa é a mesma e as ordenadas são números opostos.

1. De acordo com o exemplo apresentado, indique a relação entre as coordenadas dos vértices correspondentes do polígono: a) ABCDE e seu simétrico em relação ao eixo y, A’B’C’D’E’. b) ABCDE e seu simétrico em relação ao eixo x, A1’B1’C1’D1’E1’. 2. No GeoGebra, reproduza o polígono ABCDE e, com a opção , construa os simétricos A’B’C’D’E’ e A1’B1’C1’D1’E1’, conforme apresentado no exemplo.

, movimente um vértice do polígono ABCDE. O que acontece com o a) Com a opção vértice correspondente em cada polígono simétrico? b) Com a opção , tente movimentar um vértice do polígono A’B’C’D’E’. O que aconteceu? Resposta esperada: Não foi possível movimentar o vértice do polígono simétrico. 3. No GeoGebra, construa um quadrilátero ABCD com A(1, 1), B(2, 4), C(4, 3), D(4, 2). Depois, com a opção , construa dois polígonos simétricos a ABCD, em relação aos eixos y e x. Resposta nas Orientações para o professor. • Quais são as coordenadas dos vértices dos polígonos simétricos obtidos? Simétrico em relação ao eixo y: A’(_1, 1), B’(_2, 4), C’(_4, 3), D’(_4, 2); simétrico em relação ao eixo x: A1’(1, _1), B1’(2, _4), C1’(4, _3), D1’(4, _2). 2. a) Resposta esperada: Os vértices dos polígonos simétricos, correspondentes ao vértice movimentado, se ajustam automaticamente, mantendo a simetria. 195

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3a

Mãos à obra 1. Esta questão propicia o desenvolvimento da habilidade EF07MA20 da BNCC, uma vez que explora relações entre as coordenadas dos vértices correspondentes dos polígonos original e simétrico, em relação aos eixos do plano cartesiano. Além disso, esta questão possibilita retomar o estudo da habilidade EF07MA19 da BNCC, tratada inicialmente na Unidade 3 deste Volume. 2. No item b, explicar aos alunos que esse tipo de movimento pode ser realizado apenas no polígono original, já que os vértices do polígono simétrico dependem dos vértices do polígono original. 3. Após a resolução desta questão, perguntar aos alunos se as relações observadas na questão 1 são mantidas para esta construção. Espera-se que eles percebam que sim, ou seja, comparando os vértices do quadrilátero ABCD e de seu simétrico em relação ao eixo y, A’B’C’D’, temos que, em cada par de vértices correspondentes, a ordenada é a mesma e as abscissas são números opostos; e, comparando os vértices do quadrilátero ABCD e de seu simétrico em relação ao eixo x, A1’B1’C1’D1’, temos que, em cada par de vértices correspondentes, a abscissa é a mesma e as ordenadas são números opostos. Veja a seguir a resposta da questão 3.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Figuras simétricas – rotação em relação a um ponto Com as ferramentas do GeoGebra, também podemos construir a representação de um par de polígonos simétricos obtidos por meio de rotação em relação a um ponto, no plano cartesiano.

1a

Inicialmente, construímos a representação de um quadrilátero ABCD no GeoGebra, cujas coordenadas dos vértices são A(2, 3), B(3, 2), C(7, 3) e D(4, 5). Depois, marcamos o ponto E(0, 0), que será o centro de rotação.

2a

Para construir um polígono simétrico a ABCD por meio , de rotação em relação ao ponto E, selecionamos a opção clicamos na região interior do quadrilátero ABCD e, em seguida, sobre o ponto E. Na caixa de texto que abrir, marcamos a opção sentido anti-horário e digitamos 120º.

IMAGENS: GEOGEBRA 2018

Figuras simétricas – rotação em relação a um ponto O conteúdo apresentado nestas páginas propicia uma abordagem relacionada à habilidade EF07MA21 da BNCC, uma vez que explora a construção de figuras geométricas obtidas por meio da simetria de rotação, utilizando o GeoGebra. Para a construção do polígono no GeoGebra, indicada na 1a etapa, foram relembrados os procedimentos nos comentários das páginas 194 e 195 deste Manual do professor. Na 2a etapa, explicar aos alunos que, para construir o polígono simétrico por meio de rotação em relação a um ponto, é necessário clicar na região interna do polígono original, uma vez que, se eles clicarem sobre um de seus vértices ou sobre um de seus lados, apenas o simétrico desse elemento será representado.

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Mãos à obra 1. No item b, conversar com os alunos a fim de que percebam que, para determinar o ângulo em que a figura deveria ser rotacionada no sentido horário, de modo a obter a mesma figura simétrica do exemplo, é preciso calcular a diferença entre 360° e 120° (240°), uma vez que uma volta completa corresponde a 360°. 2. Veja a seguir a resposta desta questão.

3a

GEOGEBRA 2018

Por fim, clicamos em OK e obtemos o polígono A’B’C’D’, simétrico a ABCD por meio de rotação de 120° no sentido anti-horário em relação ao ponto E(0, 0).

1. a) Resposta esperada: O vértice correspondente do polígono A’B’C’D’ se ajustou automaticamente, mantendo a simetria. 1. No GeoGebra, reproduza o polígono ABCD e, com a opção , construa o simétrico A’B’C’D’ conforme apresentado.

MÃos à obr a

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

Resoluções na p. 292

a) Com a opção , movimente um vértice do polígono ABCD. O que acontece com o vértice correspondente no polígono A’B’C’D’? b) Se na caixa de texto escolhêssemos o sentido horário para a rotação, qual deveria ser o ângulo escolhido para que a figura simétrica fosse a mesma obtida no exemplo? No GeoGebra, faça o teste e verifique se sua resposta está correta. 240o. Resposta pessoal. 2. No GeoGebra, reproduza a figura apresentada a seguir e, com a opção , construa duas figuras simétricas a ela, por meio de rotação de 90o no sentido horário e de 90o no sentido anti-horário em relação ao ponto E(0, 0).

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Resposta nas Orientações para o professor.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O QUE ESTUDEI 1. As respostas dos alunos podem ser registradas de modo a construir um histórico que permita ser acompanhado ao longo do ano letivo, no estudo das demais Unidades. Com isso, é possível identificar em quais itens cada aluno demonstra avanço e quais devem ser mais bem trabalhados. Com base nas respostas dos alunos, é possível localizar, na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção, estratégias que possam auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. 2. Uma possibilidade é compor na lousa, com os alunos, um esquema relacionando os conceitos indicados. Um modelo de esquema desses está representado na parte inferior desta página. Com base nas indicações dos conceitos que os alunos indicaram ser necessário retomar para compreendê-los melhor, é possível organizar um estudo dirigido com a turma. Mais informações sobre esse estudo estão disponíveis na parte geral deste Manual do professor, no tópico que trata desta seção.

Resoluções na p. 292

o que estudei

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1 Leia com atenção cada pergunta a seguir e faça uma reflexão. Depois, no caderno, responda: sim, às vezes ou não. Respostas pessoais.

A) Ouvi as explicações do professor? B) Pedi ajuda quando tive dúvidas? C) Ajudei o professor? D) Fiquei em silêncio quando o professor pediu? E) Participei na resolução das atividades propostas? F) Fiz todas as atividades propostas na sala de aula? G) Fiz as tarefas escolares em casa? H) Respeitei meus colegas nos trabalhos em grupo? I) Ajudei meus colegas quando eles tiveram dúvidas? J) Levei para a sala de aula os materiais necessários?

2 Nas fichas estão indicados os principais conceitos que estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum conceito para melhor compreendê-lo. Resposta pessoal.

Porcentagem

Escala

Razão

Grandezas diretamente proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais

Simetria de reflexão

Proporção

Simetria de translação

Propriedade fundamental das proporções

Simetria de rotação

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Proporcionalidade e simetria

Razão

Escala

Porcentagem

Proporção

Propriedade fundamental das proporções

Simetria de reflexão

Grandezas diretamente proporcionais

Simetria de translação

Simetria de rotação

Grandezas inversamente proporcionais

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3 Resolva cada problema proposto a seguir e escreva quais conceitos estudados nesta Unidade você utilizou na resolução.

SITUAÇÃO INICIAL

11 cm

LUIZ SACILOTTO/COLEÇÃO PARTICULAR

A figura ao lado é uma redução da obra C9351 do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924–2003). A obra original tem 90 cm de comprimento na horizontal e 110 cm de comprimento na vertical.

SACILOTTO, L. C9351. 1993. Têmpera acrílica sobre tela, 90 cm x 110 cm. Coleção particular.

PROBLEMAS

9 cm

I No contorno da imagem acima, cada 4,5 cm de comprimento na horizontal correspondem a quantos centímetros na vertical? 5,5 cm. Conceitos: Razão.

3. No item I, verificar se os alunos perceberam que 4,5 cm de comprimento horizontal corresponde à metade do comprimento total (9 cm). Assim, a medida de comprimento na vertical também deve ser metade do total (5,5 cm). Para a resolução do item II, chamar a atenção dos alunos para as medidas originais da obra (90 cm x 110 cm), que foram divididas por 10 para obter a redução apresentada. No item III, pedir aos alunos que escrevam a proporção, como apresentado a seguir, considerando as medidas em centímetros. 90 9 = 110 11 Verificar as estratégias que os alunos utilizaram para resolver o item IV. Uma delas é utilizar a propriedade fundamental das proporções, como apresentado no quadro a seguir. Comprimento Comprimento na horizontal na vertical (cm) (cm) 90 110 18 x

II Cada 1 cm de comprimento da imagem acima corresponde a quantos centímetros de comprimento na obra original? 10 cm. Conceitos: Escala.

III O quociente da medida de comprimento na horizontal pela medida da vertical da obra original é igual ou diferente do quociente correspondente da imagem anterior? Igual. Conceitos: Razão; proporção.

IV Se fizermos outra redução da obra original, de maneira que a figura obtida tenha 18 cm de comprimento na horizontal, qual deve ser a medida do comprimento na vertical dessa figura? 22 cm. Conceitos: Grandezas diretamente proporcionais.

V Considere duas linhas retas traçadas nessa figura: uma linha horizontal dividindo a figura ao meio e uma linha vertical também dividindo a figura ao meio. Ao dobrarmos a figura nessa linha horizontal, as duas partes obtidas vão se sobrepor? E se dobrarmos a figura na linha vertical? Sim. Não. Conceitos: Simetria de reflexão. 199

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UNIDADE TEMÁTICA

7

• Grandezas e medidas. OBJETOS DE CONHECIMENTO • Problemas envolvendo me-

dições. • Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais. • Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros.

HABILIDADES • • • •

EF07MA29 EF07MA30 EF07MA31 EF07MA32

COMPETÊNCIAS GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE E VOLUME

Quanto de espaço precisamos para morar? Alguns municípios no mundo enfrentam o desafio de precisar acomodar muitos habitantes em determinada região. Tóquio, no Japão, tem 2 191 km2 de extensão territorial e cerca de 13 725 000 habitantes, segundo estimativas de 2017, ou seja, tem uma das mais elevadas densidades demográficas do mundo, com aproximadamente 6 264 hab./km2. Além do aumento da população, o preço por metro quadrado dos imóveis tem aumentado. Em contrapartida, as construtoras lançam apartamentos cada vez menores. No Brasil, em São Paulo (SP), por exemplo, 26,6% das unidades em prédio lançadas em 2016 possuíam até um dormitório. Para atender a um público específico, existem apartamentos ainda menores, com cerca de 20 m2 ou até menos.

Com menos de 40 m2, os chamados microapartamentos são uma tendência em grandes centros urbanos.

Fontes dos dados: TOKYO METROPOLITAN GOVERNMENT. Tokyo. Disponível em: <www.metro.tokyo.jp/ENGLISH/ABOUT/TOKYO/FILES/ AUTUMN-WINTER_2017/Tokyo_brochure_all.pdf>. PAULISTANOS fazem adaptações para se acostumar à vida em microapartamentos. Folha de S.Paulo. Disponível em: <https://www1. folha.uol.com.br/saopaulo/2017/01/1847724-paulistanos-fazemadaptacoes-para-se-acostumar-a-vida-em-microapartamentos.shtml>. Acessos em: 3 maio 2018.

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problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organi-

zar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráti-

cos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

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Resposta esperada: Morar com o cônjuge ou sozinho; passar pouco tempo em casa; ter um estilo de vida minimalista; buscar um imóvel mais prático, de menor custo ou perto do emprego.

tempo – para fazer o que realmente importa. [...]

Converse com os colegas e o professor sobre os itens a seguir. Algumas respostas possíveis: Vantagens: preço de compra mais acessível; praticidade; oportunidade de morar próximo de regiões centrais. Desvantagem: pouco espaço interno para locomoção.

AVANSINI, C. Mudança – Acumular menos para viver melhor. Folha de Londrina. Disponível em: <www. folhadelondrina.com.br/reportagem/ mudanca-acumular-menos-paraviver-melhor-867369.html>. Acesso em: 23 set. 2018.

De acordo com o texto, o que motiva uma pessoa a comprar um microapartamento? Na sua opinião, quais são as vantagens e as desvantagens que podem existir em relação a morar em um microapartamento? Com suas palavras, explique o que significa 1 km2 e 1 m2.

[...] A palavra “minimalismo” surgiu de movimentos artísticos do século 20 que seguiam como preceito o uso de poucos elementos visuais, e, aos poucos, foi migrando para o campo do social. “Enquanto expressão comportamental da sociedade, o minimalismo é um reflexo de movimentos contraculturais anteriores, como o punk e o hippie, que questionaram a sociedade de consumo e seus excessos”, explica o pesquisador em cultura e comunicação Marcelo Vinagre Mocarzel, professor da Universidade Federal Fluminense. Diferente dos contraculturais, contudo, os minimalistas não buscam construir uma sociedade alternativa. “Os minimalistas têm buscado combater o consumismo por dentro do sistema. Isso quer dizer que eles trabalham, se vestem normalmente e até consomem.” [...]

Resposta pessoal.

Esse tipo de imóvel geralmente é procurado por casais ou pessoas que moram sozinhas, que trabalham fora a maior parte do tempo, que têm um estilo de vida mais minimalista, que buscam um imóvel mais prático, de menor custo ou perto do emprego.

ESTÚDIO AMPLA ARENA

Sofá-cama, mesa dobrável, televisor embutido na porta de correr do armário, entre outros móveis multifuncionais, ajudam a otimizar o espaço reduzido. É necessário que os móveis sejam muito bem planejados. Além disso, o prédio possui áreas de serviço compartilhadas entre os moradores, como lavanderia.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ABERTURA DE UNIDADE Aproveitar o tema e realizar a leitura, para os alunos, dos trechos a seguir, que apresentam mais informações sobre o estilo de vida minimalista.

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[...] Para os adeptos do estilo de vida minimalista, eliminar excessos e organizar a casa, a rotina e as finanças são fundamentais para simplificar a vida. Não por aca-

so, eles pregam o “destralhamento”, que nada mais é que desfazer-se daquilo que já não se encaixa em nossas vidas. Como um dos caminhos para manter o foco no que é essencial e, assim, ter condições – e o valorizado

MODELLI, Laís. ‘O prazer do desapego’: minimalistas defendem que ter menos coisas cria mais liberdade. BBC BRASIL. Disponível em: <www.bbc.com/portuguese/ geral-41077549>. Acesso em: 23 set. 2018.

No último item proposto, orientar os alunos a compartilhar suas explicações e pedir que representem essas medidas por meio de um desenho. Assim, é possível avaliar o conhecimento prévio dos alunos a respeito do conteúdo que será apresentado nas próximas páginas desta Unidade.

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Medidas de superfície Nas páginas de abertura desta Unidade foram apresentadas informações relacionadas a medidas de superfície, como a extensão territorial de um município e a área de alguns apartamentos. Para expressar a medida de uma superfície ou a área, podemos utilizar unidades de medidas padronizadas. Observe no esquema algumas dessas unidades de medida. Temos que 1 km2 corresponde à área de um quadrado de 1 km de lado. Essa fotografia de satélite representa uma região de 1 km2 na realidade. IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

GOOGLE MAPS 2018

1 km

Temos que 1 m2 corresponde à área de um quadrado de 1 m de lado. O tampo desta mesa representa uma região de 1 m2.

ARTUR FUJITA

Imagem de satélite da região onde fica o estádio Governador Magalhães Pinto (Mineirão), em Belo Horizonte (MG). Fotografia de 2018.

1m

SIRIDHATA / SHUTTERSTOCK.COM

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE Neste tópico são tratadas com mais ênfase as seguintes habilidades da BNCC: EF07MA29, EF07MA31 e EF07MA32. Explicar aos alunos que no esquema apresentado nesta página, a figura do quadrado de 1 cm de lado está em verdadeira grandeza, enquanto as figuras dos quadrados de 1 m e 1 km de lado são representações fora de proporção, que têm o objetivo de possibilitar ao aluno refletir e comparar as unidades de medida padronizadas de área: centímetro quadrado, metro quadrado e quilômetro quadrado. Para que os alunos tenham ideia da área de 1 m2, é possível propor a eles que, utilizando giz, desenhem no chão (do pátio ou da quadra de esportes da escola) a figura de um quadrado de 1 m de lado. Em relação à área de 1 km2, eles podem pesquisar a área de alguma região próxima à escola, como a de um terreno ou parque. Informar aos alunos que, além das unidades de medidas padronizadas, também é comum encontrar indicações de unidades de medidas de superfície agrárias no Brasil, como as apresentadas a seguir. • Um alqueire paulista equivale a uma área de 24 200 m². • Um alqueire mineiro equivale a uma área de 48 400 m². • Um alqueire do Norte equivale a uma área de 27 225 m². • Um hectare (ha) equivale à área de um quadrado com 100 m de lado, ou seja, 10 000 m².

1 cm

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Temos que 1 cm2 corresponde à área de um quadrado de 1 cm de lado. Essa região da folha de papel tem 1 cm2 de área.

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ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha noções de medidas de área. Nesta atividade, os alunos têm a oportunidade de perceber similaridades entre as peças publicitárias pesquisadas, os objetivos dos anunciantes, bem como a composição desse gênero textual, o que

propicia uma abordagem relacionada à seguinte habilidade da BNCC do componente curricular de Língua Portuguesa: [...] (EF69LP02) Analisar e comparar peças publicitárias variadas (cartazes, folhetos, outdoor, anúncios e

propagandas em diferentes mídias, spots, jingle, vídeos etc.), de forma a perceber a articulação entre elas em campanhas, as especificidades das várias semioses e mídias, a adequação dessas peças ao público-alvo, aos objetivos do anunciante e/ou da campanha e à construção composicional

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AtividadeS

Resoluções na p. 292 NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Na abertura desta Unidade há uma planta baixa em que é possível verificar a área de um apartamento e de seus cômodos. Pesquise peças publicitárias em diferentes mídias que apresentem imóveis (apartamentos ou casas) que estejam sendo construídos ou comercializados no município onde você mora. Identifique e registre no caderno informações como: área do imóvel, nome do empreendimento, localização, previsão de entrega, preço. Resposta pessoal.

3. Determine a área, em centímetros quadrados, de cada figura na malha quadriculada. Figura I: 16 cm2; figura II: 11,5 cm2; 1 cm figura III: 16 cm2. 1 cm

I

2. Altamira (PA) é considerado o município de maior extensão territorial do Brasil, com 159 530 km2. II

Fontes: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Países. Disponível em: <https://paises.ibge. gov.br/#/pt/pais/portugal/info/sintese>.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A extensão territorial desse município ultrapassa a de vários países como, por exemplo, Portugal, que tem cerca de 92 090 km2.

III

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Cidades. Disponível em: <https://cidades.ibge.gov.br/ brasil/pa/altamira/panorama>. Acessos em: 3 maio 2018.

a) A extensão territorial de Portugal corresponde a cerca de quantos por cento da extensão territorial de Altamira? 57,7%. b) Considere que a figura I representa a extensão territorial de Altamira. Qual das outras figuras melhor representa a extensão territorial de Portugal? Figura II. I

III

IV II

• Quais dessas figuras têm áreas iguais? Figuras I e III. 4. Observe a notícia. De acordo com estimativas, apesar da queda em relação a 2016, o desmatamento na Amazônia atingiu cerca de 662 mil hectares em 2017. Fonte dos dados: COORDENAÇÃO-GERAL DE OBSERVAÇÃO DA TERRA. Inpe estima 6 624 km² de desmatamento por corte raso na Amazônia em 2007. Disponível em: <www.obt.inpe.br/OBT/noticias/ INPE-estima-desmatamento-por-corte-raso-naAmazonia-em-2017>. Acesso em: 3 maio 2018.

figura I, composta de 10 figuras de quadradinhos da malha, representa o 100% (extensão territorial de Altamira) e a figura para melhor representar a extensão territorial de Portugal seria uma com 5,77 figuras de quadradinhos da malha. Mas, como as opções são compostas por figuras de quadradinhos inteiros, a que mais se aproxima é a figura II. Esta atividade possibilita um trabalho em conjunto com o professor da disciplina de Geografia para analisar fatores relacionados à extensão territorial de municípios e de estados brasileiros em comparação com outros países. 3. Esta atividade trabalha o cálculo da área de figuras em malha quadriculada, sendo decomposta em quadrados e triângulos. Chamar a atenção dos alunos para observarem que na malha há metades de figuras de quadradinhos coloridos e que, na prática, para determinar a área, a cada duas metades considera-se a figura de um quadradinho inteiro. 4. Esta atividade trabalha a unidade de medida de superfície hectare e sua relação com o metro quadrado. Se julgar necessário, informar os alunos que o hectare é uma unidade de medida agrária equivalente a 100 ares (1 are corresponde a 100 m2) ou a 1 hectômetro quadrado (1 hectômetro corresponde 100 m).

Sabendo que 1 hectare (ha) equivale a 10 000 m2, qual foi a área desmatada na Amazônia em 2017, em metros quadrados? 6 620 000 000 m2. 203

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e estilo dos gêneros em questão, como forma de ampliar suas possibilidades de compreensão (e produção) de textos pertencentes a esses gêneros. [...] BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Versão final. Brasília,

2017. p. 139. Disponível em: <http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/ wp-content/uploads/2018/06/BNCC_ EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf>. Acesso em: 17 out. 2018.

Para complementar esta atividade, propor aos alunos que façam a produção de um anúncio imobiliário (construído ou em construção), indicando

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um empreendimento fictício. 2. Esta atividade trabalha a unidade de medida de superfície quilômetros quadrados. Verificar a possibilidade de mostrar aos alunos a localização e o território de Portugal e de Altamira (PA) em um mapa-múndi. No item b, é importante que eles percebam que a

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área de quadriláteros

Área de quadriláteros No trabalho com a área de quadriláteros busca-se estabelecer expressões para o cálculo da área de quadrado, retângulo, losango, paralelogramo e trapézio, além de propor a resolução e a elaboração de problemas envolvendo a área de figuras, o que colabora para o desenvolvimento das habilidades EF07MA31 e EF07MA32 da BNCC. Caso julgar necessário, retomar a classificação dos quadriláteros de acordo com algumas características, a qual foi apresentada na Unidade 3 do Volume 6 desta coleção. Podemos organizar os quadriláteros de acordo com o fluxograma apresentado na parte inferior da página.

Área do retângulo e do quadrado

Classificados

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Quando uma pessoa deseja vender algum bem, como imóveis ou veículos, ela pode anunciar 3 cm nos classificados de um jornal. Um dos fatores que influem no preço desse anúncio é a área 4 cm que ele vai ocupar na página dos classificados. Observe um modelo de anúncio nos classificados de certo jornal. Para calcular a área ocupada por esse anúncio, podemos representá-lo em uma malha quadriculada. 1 cm 1 cm

4 ? 3 = 12, ou seja, 12 ou 3 ? 4 = 12, ou seja, 12

3 linhas com 4

4 colunas com 3

cada uma.

.

cada uma.

Assim, como cada

tem 1 cm2, a área ocupada por esse anúncio é 12 cm2.

Para calcular a área de um retângulo podemos multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura. Como o quadrado é um caso particular de retângulo, cujos lados têm medidas iguais, podemos multiplicar a medida de um lado por ela mesma para calcular a área. • Área do retângulo.

• Área do quadrado. A=a?b ou

a

A=b?a

b

A=a?a ou

a a

A = a2

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Início.

O quadrilátero possui algum par de lados paralelos?

Não É um quadrilátero que não pode ser classificado em paralelogramo ou trapézio.

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Sim

O quadrilátero possui apenas um par de lados paralelos?

Não

É um paralelogramo.

Fim.

Sim É um trapézio.

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idênticos conforme indicados na etapa 1 e montem a composição, indicada na etapa 2. Neste trabalho, espera-se que eles verifiquem que os triângulos obtidos são idênticos e que o paralelogramo possui área equivalente à de um retângulo com medidas de comprimento e largura iguais às medidas da base e da altura do paralelogramo, respectivamente. É importante que os alunos percebam que a altura de um paralelogramo corresponde à distância entre as retas que passam por dois de seus lados opostos paralelos, tomados como referência. Na dedução da fórmula da área do losango, é possível fazer as verificações de congruências dos triângulos de maneira parecida com a realizada para o paralelogramo: por meio do tangram ou de recortes. Outra possibilidade é fazer essa verificação utilizando dobradura. Na fórmula da área do losango, verificar se os alunos compreenderam que a expressão D ? d indica a área de um retângulo cujas medidas dos lados são indicadas por D e d.

Área do paralelogramo Considere a representação do paralelogramo a seguir, em que b é a medida da base e h é a da altura.

!

Lembre-se de que o paralelogramo é um quadrilátero que possui dois pares de lados opostos paralelos. Os lados paralelos têm medidas iguais entre si.

h b

Observe como podemos usar a decomposição e a composição de figuras a fim de obter uma fórmula para calcular a área de um paralelogramo.

2ª retângulo

Decompomos o paralelogramo. I

II

Deslocamos um dos triângulos e compomos um retângulo.

III

III

II

h

I

b

triângulos idênticos

3ª Como o retângulo maior obtido e o paralelogramo são formados pelas mesmas figuras (I, II e III), eles têm a mesma área. Assim, podemos expressar a área do paralelogramo por:

A=b?h A: área do paralelogramo b: medida da base h: medida da altura

Área do losango Você lembra que o losango é um paralelogramo que possui os quatro lados com medidas iguais? Observe como podemos obter uma fórmula para calcular a área do losango.

Traçamos as diagonais do losango cujas medidas são D e d.

d

D

Construímos um retângulo traçando cada lado de maneira que passe por um vértice do losango e seja paralelo a uma de suas diagonais.

d

D

3ª Como o retângulo obtido é composto de oito triângulos idênticos e o losango, formado por quatro desses triângulos, a área do losango é igual à metade da área desse retângulo. Assim, podemos expressar a área do losango por:

A=

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

D?d

2 A: área do losango D: medida da diagonal maior d: medida da diagonal menor

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Verificar a possibilidade de aproveitar o contexto apresentado na página anterior e mostrar aos alunos a parte dos classificados de alguns jornais impressos. Depois, propor a eles que calculem a área aproximada de diferentes tipos de anúncios para terem ideia da área ocupada por eles nos

classificados. Nessa atividade, sugerir aos alunos que utilizem régua e calculadora. Na dedução da fórmula da área do paralelogramo, o trabalho de composição e decomposição de figuras também pode ser amparado por quebra-cabeças como o tangram, por exemplo. Se

NO DIGITAL – 4o bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 7 e 8. • Desenvolver o projeto integrador sobre o uso do pluviômetro. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF07MA17, EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31, EF07MA32, EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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julgar necessário, reproduzir e entregar aos alunos o tangram, que está disponível no Material de apoio. Outra possibilidade, é solicitar que os alunos representem em uma folha de papel um paralelogramo parecido com o desta página. Depois, realizem recortes para obter triângulos

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É importante que os alunos percebam que a altura de um trapézio corresponde à distância entre as retas que passam por seus lados opostos paralelos. Uma possibilidade para realizar a dedução da fórmula da área do trapézio é propor aos alunos que representem em uma folha de papel um trapézio qualquer. Em seguida, representem na mesma folha outro trapézio idêntico ao inicial, recortem-nos e façam a composição conforme indicada na etapa 2. Com isso, espera-se que eles verifiquem que os dois trapézios idênticos juntos possuem área equivalente à de um paralelogramo com base de medida igual ao da soma das medidas da base menor e maior do trapézio e cuja altura é a mesma do trapézio; o que justifica a divisão por 2 na fórmula. Na fórmula da área do trapézio, verificar se os alunos compreenderam que a expressão (B + b) ? h indica a área de um paralelogramo cuja base mede (B + b) e a altura mede h. Nos exemplos apresentados, em que as fórmulas das áreas dos quadriláteros estudadas são aplicadas a partir das medidas expressas nas representações das figuras, verificar se os alunos associam corretamente cada variável da fórmula à medida correspondente. Por exemplo, no caso do cálculo da área do trapézio, se identificam a medida da base maior, da base menor e da altura.

Área do trapézio Considere a representação do trapézio a seguir, em que b é a medida da base menor, B é a medida da base maior e h é a medida da altura. b

!

Lembre-se de que o trapézio é um quadrilátero que possui apenas um par de lados opostos paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio.

h B

Observe como podemos obter uma fórmula para calcular a área desse trapézio.

b

Construímos um novo trapézio idêntico ao inicial, porém em outra posição. h

B h

B

b

Compomos um paralelogramo com esses dois trapézios.

h

B+b

Como os dois trapézios que compõem o paralelogramo são idênticos, a área de cada um deles é igual à metade da área do paralelogramo. Assim, podemos expressar a área do trapézio inicial por:

A=

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

(B + b) ? h 2

A: área do trapézio B: medida da base maior b: medida da base menor h: medida da altura

Observe agora alguns exemplos de cálculo da área dos quadriláteros usando as fórmulas obtidas. Quadrado

Retângulo

3 cm

3,5 cm

4,2 cm

A = a2 A = (3,5)2 = 3,5 ? 3,5 = 12,25, ou seja, 12,25 cm2.

A=a?b A = 4,2 ? 3 = 12,6, ou seja, 12,6 cm2.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Trapézio

Paralelogramo

ATIVIDADES 1. Esta atividade trabalha o cálculo da área de quadriláteros. Em cada item, verificar se os alunos utilizam a fórmula correspondente à área da figura de maneira correta, substituindo a variável pela medida adequada. Para complementar essa atividade, reproduzir e entregar aos alunos malha quadriculada, disponível no Material de apoio, em que as figuras de quadradinhos têm 1 cm de lado. Propor a eles que desenhem na malha figuras de quadrado, retângulo, losango e trapézio. É importante orientar os alunos que as figuras representadas sejam formadas por figuras de quadradinho inteiro ou metade de figuras de quadradinho da malha. Em seguida, os alunos devem trocar entre si as figuras representadas para que o colega calcule as áreas. Ao final, eles devem conferir juntos se as resoluções estão corretas.

2 cm ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2 cm 3 cm 4 cm

A=b?h 6 cm

A = 4 ? 2 = 8, ou seja, 8 cm2. A=

Losango

(B + b) ? h 2

(6 + 2) ? 3 8?3 24 = = = 12, 2 2 2 ou seja, 12 cm2. A=

3,4 cm

5 cm

A=

D?d 2

A=

5 ? 3,4 17 = = 8,5, ou seja, 8,5 cm2. 2 2

Resoluções na p. 292

AtividadeS

NÃO ESCREVA NO LIVRO.

1. Calcule a área de cada quadrilátero. a) Quadrado 110,25 m2.

c) Paralelogramo 36 m2.

e) Trapézio 57,4 m2. 9m

6m

8,2 m

6m

5m

10,5 m

b) Retângulo 52,2 m . 2

d) Losango 88 m . 2

10 m

8,7 m

6m

17,6 m

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[...] Embora ela tenha aparecido mesmo no século 19, a fotografia começou a ser inventada ainda na Antiguidade, quando se descobriu o princípio da “câmara escura”. [...] Mesmo com esse princípio conhecido há séculos, faltava o principal para a fotografia: bolar uma maneira de congelar essa imagem. A história oficial registra dois inventores que arrumaram uma solução para isso quase na mesma época: Henry Talbot, na Inglaterra, e Louis Daguerre, na França. Em 1835, Talbot publicou um artigo documentando como conseguira fixar imagens usando um papel tratado com cloreto de prata, que depois era mergulhado em uma solução de sal. O resultado era um negativo, ou seja, podia ser copiado diversas vezes. Já o método de Daguerre, anunciado oficialmente quatro anos depois, capturava as imagens em uma fina chapa de cobre revestida com sais de prata, que recebia depois vapor de mercúrio para garantir a fixação. O resultado era uma imagem já positiva, que não podia ser mais copiada. [...] O que a história oficial não conta, porém, é que em 1833 a fotografia pode ter sido inventada no Brasil, com um método diferente, por Antoine Hercule Florence, um francês que viveu aqui por muitos anos. Após vários experimentos – que incluíram até o uso de urina para fixar imagens –,

c) Se a largura desse retângulo for aumentada em 5 cm e o comprimento for mantido, sua área aumentará em quantos centímetros quadrados? 95 cm2.

a) Sabendo que as dimensões são dadas em centímetros, calcule a área de impressão das opções de fotografia apresentadas no anúncio. b) Qual opção de fotografia tem maior área de impressão? E qual tem a menor área de impressão? Fotografia 15 x 21. Fotografia 10 x 15. 3. Observe as medidas de uma vaga de estacionamento do condomínio onde Fernanda mora. Sabendo que essa vaga possui formato de paralelogramo, calcule a área ocupada por ela. 11,75 m2.

5. A bandeira do Brasil pode ser confeccionada em diferentes medidas. Porém, algumas características como cores, figuras geométricas e proporções das dimensões devem ser mantidas conforme especificados na legislação. Observe as proporções oficiais em um modelo da bandeira do Brasil. 1,7 m

Retângulo Losango

7m

14 m

Círculo 1,7 m 1,7 m

1,7 m 20 m

Fonte dos dados: Inmetro. Bandeira do Brasil II. Disponível em: <www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/bandeira_ nacional.asp>. Acesso em: 17 ago. 2018.

4,7 m

Para montar uma representação da bandeira do Brasil, Sarah realizou alguns recortes em papéis coloridos, considerando as proporções das medidas oficiais. Para a parte verde, ela recortou a figura de um retângulo com as seguintes dimensões.

2,5 m

28 cm

4. Considere o retângulo representado a seguir cuja área é 228 cm2. x 12 cm

Resposta esperada: 12x = 228. a) Escreva uma equação envolvendo as medidas dos lados desse retângulo e a área correspondente.

b) Determine a medida x. 19 cm.

40 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 2. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo da área de retângulos. Verificar a possibilidade de levar para a sala de aula fotografias com as dimensões mencionadas nesta atividade. Aproveitar o assunto e realizar a leitura para os alunos do trecho a seguir, que apresenta informações sobre a invenção da fotografia.

DAYANE RAVEN

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. a) Fotografia 13 x 18: 234 cm2; fotografia 10 x 15: 150 cm2; fotografia: 15 x 21: 315 cm2. 2. Em geral, é bastante comum revelar ou imprimir uma fotografia em papel com formato retangular e com algumas medidas padronizadas. Certa loja oferece alguns preços promocionais para impressão de fotografias em algumas dimensões.

a) Quais foram as medidas das diagonais da figura de losango amarelo obtida por Sarah, após os recortes? 21,2 cm e 33,2 cm. b) Em relação à bandeira que Sarah está montando, calcule a área: • da figura de retângulo recortado. 2 1 120 cm . • da figura de losango recortado. 351,92 cm2. • da parte verde da bandeira, após as colagens. 768,08 cm2.

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Antoine desenvolveu uma chapa de vidro tratada quimicamente que capturava a imagem e depois podia passá-la para o papel. [...]

GODINHO, R. D. Como foi inventada a fotografia? Superinteressante. Disponível em: <https://super.abril. com.br/mundo-estranho/como-foiinventada-a-fotografia/>. Acesso em: 23 set. 2018.

3. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo da área de paralelogramo.

4. Esta atividade trabalha o cálculo da área de retângulo. Além disso, possibilita uma abordagem entre as unidades temáticas Grandezas e medidas e Álgebra. Caso julgar necessário, orientar os alunos a retomar o estudo de equações, que foi realizado na Unidade 5.

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6. (Enem-2015) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

diminuiu? Em quantos centímetros quadrados? Respostas: Aumentou. 5 800 cm2. 7. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo da área de quadriláteros. 8. Esta atividade trabalha a representação, pelo aluno, de um retângulo dado a área dessa figura. Após os alunos resolverem esta atividade, verificar se eles atribuíram diferentes valores para as medidas dos lados do retângulo. Em seguida, sugerir que calculem o perímetro utilizando as medidas que cada um atribuiu para os lados. Por fim, promover uma discussão com os alunos a fim de que eles percebam que um retângulo pode ter a mesma área que outro, mas perímetros diferentes.

a) Quais das figuras a seguir podem representar a região que Altair vai cercar utilizando toda a tela de arame disponível, sem sobreposições e sem sobra? Figuras II e III. 16 m

ENEM 2015

Figura I: quadrado. 15,6 m 18 m

Esquema I: área restritiva antes de 2010.

Visando atender às orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

12 m 14,4 m

Figura II: trapézio. 16 m

12,8 m 14 m

14 m ENEM 2015

22,4 m

Esquema II: área restritiva a partir de 2010.

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a) Alternativa a. a) aumento de 5 800 cm2. b) aumento de 75 400 cm2. c) aumento de 214 600 cm2. d) diminuição de 63 800 cm2. e) diminuição de 272 600 cm2.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Figura III: paralelogramo.

16,8 m

Figura IV: losango.

b) Entre as figuras que você identificou no item a, qual representa uma região de maior área? De quantos metros quadrados é essa área? Figura II. 216 m2. 8. Desenhe no caderno a figura de um retângulo com 24 cm2 de área. a) Quais são as medidas dos lados do retângulo que você representou?

b) Compare o retângulo que você repre7. Altair tem um pequeno sítio e vai resersentou com o de um colega. Os lados var uma região para fazer uma horta. desses retângulos têm as mesmas Para isso, comprou 60 m de tela de medidas? Resposta pessoal. arame para cercar toda essa região. 8. a) Algumas respostas possíveis: 2 cm e 12 cm; 3 cm e 8 cm; 4 cm e 6 cm; 2,4 cm e 10 cm. 209

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5. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo da área de quadriláteros. Na resolução do último questionamento do item b, não há uma fórmula específica para determinar a parte verde da bandeira após as colagens realizadas por Sarah. Nesse sentido, os alunos

podem, por exemplo, resolver subtraindo da área do retângulo a área do losango. 6. Esta atividade trabalha, em uma situação contextualizada, o cálculo da área de quadriláteros. Caso os alunos apresentem dificuldades para resolvê-la, propor os seguintes questionamentos para auxiliar

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na execução da atividade. • Qual era a área de cada garrafão com formato de trapézio? Resposta: 278 400 cm2. • Qual é a área de cada garrafão com formato retangular? Resposta: 284 200 cm2. • Após a modificação do formato dos garrafões, a área de cada um deles aumentou ou

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EDITORIA DE ARTE

b) Suponha que outro integrante do grupo de Franciele fizesse os mesmos procedimentos: medisse o tampo da mesma mesa com palmos de sua mão e, depois, medisse seu palmo com a régua. Podemos afirmar que a medida da área obtida por Franciele e por esse outro integrante do grupo é a mesma? Por quê?

Meire Gael a) Atribua uma medida para o lado do quadrado desenhado por Meire. Em seguida, calcule a área e o perímetro desses dois quadrados. b) Agora, compare a área e o perímetro dos dois quadrados desenhados e responda: • O perímetro do quadrado de Gael é o dobro do perímetro do quadrado de Meire? Sim.

11. Um campo de futebol oficial deve ser retangular e ter as dimensões de acordo com as medidas mínimas e as medidas máximas definidas pela Confederação Brasileira de Futebol. Além disso, o comprimento deve ser sempre maior que a largura. Observe.

• A área do quadrado de Gael é o dobro da área do quadrado de Meire? Não. 10. Para realizar um trabalho de Matemática, Franciele ficou responsável, no grupo em que participava, por calcular a área da parte superior retangular do tampo de uma mesa de sua casa. Como estava sem régua, ela improvisou e mediu a largura e o comprimento do tampo com palmos de sua mão. Observe as anotações que ela fez.

90 m EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES 9. Esta atividade trabalha relações envolvendo a área e o perímetro de quadrados com lados de medidas diferentes. Essa abordagem contribui para a compreensão das noções iniciais de ampliação de figuras e de figuras semelhantes. Após a resolução do item a, compor na lousa um quadro com as diferentes respostas dadas pelos alunos, a fim de que eles verifiquem e estabeleçam um padrão. Com base nas informações organizadas no quadro, estimular os alunos a perceberem que aumentando ou diminuindo a medida do lado do quadrado, o perímetro aumenta ou diminui na mesma proporção, o que não ocorre com a área. Nesse sentido, podemos relacionar as grandezas, medida do lado e o perímetro do quadrado, como grandezas diretamente proporcionais. O estudo de grandezas diretamente proporcionais foi realizado na Unidade 6 deste Volume. 10. Esta atividade trabalha o reconhecimento de que medidas empíricas são aproximadas, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF07MA29 da BNCC. Para complementar, propor uma experiência para os alunos medirem com régua, o comprimento e a largura da capa deste livro e determinem sua área. Em seguida, verificar se todos obtiveram a mesma área, o que é provável que não aconteça. Caso isso realmente ocorra, questioná-los a respeito dessas diferenças. A intenção é que os alunos percebam que medidas empíricas geralmente são aproximadas. 11. Esta atividade trabalha a elaboração de problema pelo aluno envolvendo o cálculo da área de quadriláteros. A seguir, apresentamos um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos alunos.

9. a) Uma resposta possível: Considerando o quadrado desenhado por Meire com 1 cm de lado, a área desse quadrado será 1 cm2, e o perímetro, 4 cm. Já o quadrado desenhado por Gael terá 2 cm de lado, 4 cm2 de área e 8 cm de perímetro. Depois, na escola, Franciele verificou 9. Com régua e compasso, Meire e Gael com uma régua que seu palmo media desenharam figuras de quadrado. cerca de 13,5 cm e, com essa informaA figura que Gael desenhou tem os ção, calculou a área do tampo da mesa. lados com o dobro da medida daquele desenhado por Meire. a) Qual foi a área obtida por Franciele em centímetros quadrados? 23 328 cm2.

45 m

90 m 120 m Fonte dos dados: CBF. Regras de futebol 2016/17. Disponível em: <https://cdn.cbf.com.br/ content/201612/20161220181822_0.pdf>. Acesso em: 3 maio 2018.

Resposta pessoal. Com base nas informações apresentadas, elabore e escreva no caderno um problema envolvendo a área de quadriláteros. Em seguida, junte-se a um colega e troquem o problema para que um resolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas. 10. b) Resposta esperada: Não. Porque Franciele e esse outro integrante do grupo utilizaram inicialmente o próprio palmo como unidade de medida de comprimento e eles podem ter o palmo de diferentes medidas. Além disso, podem ocorrer imprecisões no 210 uso da régua na etapa seguinte do procedimento, além da própria imprecisão no instrumento utilizado. DANILLO SOUZA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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• Quantos metros quadrados

de diferença há entre a área máxima e a área mínima que um campo de futebol pode ter de acordo com as medidas oficiais? Resposta: 6 750 m2. É possível que os alunos apresentem problemas com

diferentes estruturas. Caso isso ocorra, uma sugestão é copiar alguns desses problemas na lousa e promover uma discussão com a turma.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do triângulo As Pirâmides de Gizé, no Egito, consistem em um conjunto formado por três principais pirâmides: Miquerinos, Quéfren e Quéops. Essas construções podem ser representadas por pirâmides de base quadrada e superfície lateral formada por quatro triângulos idênticos.

Pirâmide de Quéops.

Pirâmide de Quéfren.

PABST_ELL/ GETTY IMAGES

Pirâmide de Miquerinos.

Fonte dos dados: EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Ed. da Unicamp, 2004. p. 67-68.

Para calcular a área de triângulos, como os que compõem a superfície lateral dessas pirâmides, podemos obter uma fórmula. Observe. Considere a representação do triângulo a seguir, em que b é a medida da base e h é a da altura.

b h

h

Compomos um paralelogramo utilizando os dois triângulos.

b h b

h b

b

Construímos um novo triângulo idêntico ao inicial, porém em outra posição. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como os dois triângulos que compõem o paralelogramo são idênticos, a área de cada um deles é igual à metade da área do paralelogramo. Assim, podemos expressar a área do triângulo inicial por:

A=

b?h 2

A: área do triângulo b: medida da base h: medida da altura

Área do triângulo Neste tópico, busca-se estabelecer expressões para o cálculo da área de triângulos e propor a resolução e elaboração de problemas envolvendo a área de figuras, o que colabora para o desenvolvimento das habilidades EF07MA31 e EF07MA32 da BNCC. Verificar a necessidade de informar os alunos que a altura de um triângulo corresponde à medida de um segmento de reta perpendicular a um de seus lados ou ao seu prolongamento (tomado como referência), com uma extremidade nesse lado ou prolongamento e outra no vértice oposto. O estudo da altura dos triângulos será aprofundado no Volume 8 desta coleção. Uma possibilidade para realizar a dedução da fórmula da área do triângulo é propor aos alunos que representem em uma folha um triângulo qualquer. Em seguida, representem na mesma folha outro triângulo idêntico ao inicial, recortem-nos e façam a composição conforme apresentada na etapa 3. Com isso, espera-se que eles verifiquem que os dois triângulos idênticos juntos possuem área equivalente a de um paralelogramo com base e altura iguais ao do triângulo inicial; o que justifica a divisão por 2 na fórmula. Na fórmula da área do triângulo, é importante que os alunos compreendam que a expressão b ? h indica a área de um paralelogramo cuja base mede b e a altura mede h.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

[...] A Grande Pirâmide de Giza, também conhecida como a Pirâmide de Khufu ou a Pirâmide de Quéops, foi construída entre os anos 2560 a.E.C. e 2040 a.E.C. para servir como tumba para o Faraó Khufu (ou Quéops, na forma grega) da IV dinastia. Originalmente, a Grande Pirâmide tinha uma altura de 146,5 metros e uma base quadrada de 230,4 metros de lado. Na verdade, ignorando as duas câmeras mortuárias, a galeria, e as passagens ascendentes e descendentes que ocupam uma fração mínima do volume total, a Grande Pirâmide pode ser considerada como um enorme bloco maciço de rocha com uma densidade média aproximadamente igual a 2 500 kg/m³. O historiador grego Heródoto (c. 484 a.E.C.–c. 425 a.E.C.) afirmou que foram necessários 10 anos para preparar o terreno e as câmeras subterrâneas e outros 20 anos e 100 000 homens para construir a pirâmide propriamente dita. [...] TORT, A. C. A Grande Pirâmide de Giza. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Disponível em: <www. if.ufrj.br/~pef/producao_academica/ material_didatico/2014/Tort_Giza. pdf>. Acesso em: 15 out. 2018.

2. Esta atividade trabalha o cálculo da área de triângulos retângulos. Para complementar, questionar os alunos

3 cm

ILUSTRAÇÕES: