Parientes numéricos

problemas SIN NÚMERO

Claudia Hernández García*

La teoría de números proporciona la base de los algoritmos

encriptados que se utilizan millones de veces al día para asegurar transacciones con tarjetas de crédito por internet y para codificar comunicados militares secretos. Estos algoritmos dependen de la dificultad de descomponer un número enorme en sus factores primarios.

La verdadera razón [por la que los matemáticos están obsesionados con los números primos] es que son fundamentales. Son los átomos de la aritmética. Tal y como sugiere el origen griego de la palabra «átomo», los números primos son «a-tómicos», es decir, indivisibles. Y al igual que todo está compuesto de átomos, cada número está compuesto de primos. Por ejemplo, 60 es igual a 2 x 2 x 3 x 5. Decimos que 60 es un número compuesto con factores primos de 2 (por partida doble), 3 y 5. ¿Y qué hay del 1? ¿Es primo? No, no lo es […]

No merece ser excluido. Dado que 1 es divisible sólo por 1 y por sí mismo, realmente debería ser considerado un número primo y durante muchos años lo fue. Pero los matemáticos modernos han decidido excluirlo, simplemente por conveniencia. Si se permitiera la entrada del 1, estropearía un teorema que nos gustaría que fuera cierto. En otras palabras, hemos amañado la definición de número primo para lograr el teorema que queremos.

El teorema deseado dice que cualquier número puede ser factorizado en números primos de manera única. Pero si el 1 se considera primo, la unicidad de la factorización de números primos fallaría. Por ejemplo, 6 sería 2 x 3, pero también sería 1 x 2 x 3 y 1 x 1 x 2 x 3, etcétera, y todas estas expresiones tendrían que aceptarse como distintas maneras de factorización de primos. Ridículo, por supuesto, pero es con lo que tendríamos que lidiar si se permitiera la entrada del 1.

STEVEN STROGATZ

Tomado de Steven Strogatz (2015). El placer de la X. Una visita guiada por las matemáticas, del uno al infinito. Traducción de David Mejía. México: Taurus, pp. 216-217.

Steven Strogatz es profesor de matemáticas aplicadas en la Universidad de Cornell (Nueva York). Su amplia trayectoria académica ha sido reconocida en varias ocasiones. Tan sólo en 2007 fue nombrado profesor Jacob Gould Schurman, una de las distinciones más importantes de dicha universidad, y el Consejo Mixto de Política en Matemáticas (Joint Policy Board for Mathematics) estadounidense le otorgó un premio en reconocimiento a su esfuerzo por mejorar el entendimiento y la apreciación de esta disciplina.

* Técnica académica de la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, UNAM.

Actividad

Se sugiere aplicar los siguientes retos en alumnos de 2° de bachillerato en adelante. Aunque todos tienen que ver con números, se pueden resolver sin tener que hacer cálculos. De hecho, en eso consiste el desafío real.

1. El texto de Steven Strogatz citado habla de los números primos gemelos.

El primer reto consiste en averiguar cómo se definen estos números y encontrar al menos tres parejas que no contengan el 3 entre sus dígitos. 2. 2 es el único número primo par. Explica por qué. 3. Esto quiere decir que el resto de los números primos son impares, es decir, terminan en 1, 3, 5, 7 o 9. ¿Cuántos primos crees que terminen en 5? 4. En 1772, el matemático suizo Leonard Euler se dio cuenta de que la siguiente función polinómica generaba números primos para ciertos valores de n:

n2 + n + 41

¿Podrías decir para qué valor de n la fórmula no funciona?

los matemáticos la encuentren… o no. ha demostrado que dicha función no puede existir, quizás algún día genere primos y que genere a todos los primos. Como tampoco se A la fecha no se ha encontrado una función polinómica que sólo 1681, que es el cuadrado de 41.

= 40; en este caso, obtenemos n

fórmula ya no genera un primo es no puede ser un número primo. El primer número para el que la de 41, así que la suma también será un múltiplo de 41 y por lo tanto 2 + 41 + 41. Todos los sumandos son múltiplos , tenemos 41 mos la n 4. Esta fórmula seguro no funciona para el 41 porque cuando sustituitermine en 5 es múltiplo de 5 y por lo tanto no es primo. tiplos de 5 terminan en 5 o en 0, así que cualquier número que El único primo que termina en 5 es justamente el 5. Todos los múl-

3.

den ser primos. Todos los números pares son múltiplos de 2 y por lo tanto no pue-

2.

179-181, 197-199. condición de no tener el 3 entre sus dígitos son 5-7, 17-19, 107-109, Algunas de las parejas que cumplen la parados por dos unidades. Los primos gemelos son aquellos números primos que están se-

1.

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