الاحصاء والاحتالات باستخدام برنامج ماثيماتيكا الجزء الاول

‫ﻣن ﺻﻔﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻل اﻧﮫ ﻻ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ھﻧﺎك اﺣﺗﻣ ﺎل ﻣوﺟ ب ﻣراﻓ ق‬ ‫ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر أي أن ‪ P(X  x)  0‬وﻟﻛن ﯾﻛون ھﻧﺎك اﺣﺗﻣﺎل ﻣراﻓق ﻟﻛل ﻓﺗ رة ﻣ ن‬ ‫ﻓﺗرات اﻟﻣﺗﻐﯾر‪ .‬وﻟﮭذا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل ﺑﺟ دول وﻟﻛ ن‬ ‫ﻧﻌﺑ ر ﻋﻧ ﮫ ﺑﺻ ﯾﻐﺔ داﻟ ﺔ )‪ f (x‬واﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﻣﻰ داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ‪probability density‬‬ ‫‪ . function‬اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾ ﺎﻧﻲ ﻟﻠداﻟ ﺔ )‪ f (x‬ﺳ وف ﯾﻛ ون ﻣﺗﺻ ل وﯾﺄﺧ ذ أﺷ ﻛﺎل ﻛﺛﯾ رة ‪ .‬واﺣ د ﻣ ن‬ ‫ھ ذه اﻷﺷ ﻛﺎل ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ وﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺗﺣ ت ﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟداﻟ ﺔ )‪f (x‬‬ ‫واﻟﻣﺣددة ﺑﻣﺣور ﺗﺳﺎوي اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ‪ .‬أﯾﺿﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺄﺧذ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻗﯾﻣ ﺔ ﺑ ﯾن‬ ‫‪ x  x 2‬و ‪ x  x1‬ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﺗﺣت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ﺑ ﯾن ‪ x  x1‬و ‪x  x 2‬‬ ‫‪ .‬اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺑﺎﻟﺿ ﺑط ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ط رق اﻟﺗﻛﺎﻣ ل ‪ .‬وﻷن اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺎت ﺗﻣﺛ ل‬ ‫اﺣﺗﻣﺎﻻت واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻗﯾم ﻣوﺟﺑﺔ‪ ،‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻻﺑد أن ﺗﻛون ﻓوق ﻣﻧﺣﻧﻰ ‪. x‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ )‪ f (x‬ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ‪ X‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾ ﺔ‬ ‫ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ واﻟﻣﺣددة ﺑﻣﺣور ‪ x‬ﺗﺳ ﺎوي اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ ‪ .‬أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺗﺣ ت اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ‬ ‫ﺑﯾن أي ﻗﯾﻣﺗﯾن ‪ x  x1‬و ‪ x  x 2‬ﺗﻌطﻲ اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن ‪ x  x1‬و‬ ‫‪. x  x2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٨-٣‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻟﺷﺧص ‪ I‬ﯾﺳﺗﻘل وﺳﯾﻠﺔ اﻟﻧﻘل اﻟﻌﺎم ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻲ ﻋﻣﻠ ﮫ ‪ .‬وﺑﻔ رض أن ﻛ ل‬ ‫ﺧﻣﺳ ﺔ دﻗ ﺎﺋق ﺗﺻ ل ﺳ ﯾﺎرة إﻟ ﻰ اﻟﻣﺣط ﺔ ‪.‬إذا ﻛ ﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ را ً ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ًﻣﺗﺻ ﻼ ً ﯾﻣﺛ ل زﻣ ن‬ ‫اﻻﻧﺗظﺎر ﻟﮭذا اﻟﺷﺧص ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣطﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ] ‪ [ 0 , 5‬ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪,0  x  5,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 0 e.w .‬‬ ‫‪٨٨‬‬