Page 1

‫اﻻﺣﺻﺎء واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ ‫ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪Mathematica‬‬ ‫ﺗﺎﻟﯾف‬ ‫اﻟدﻛﺗورة ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم‬ ‫ﻣﺣﻣد‬ ‫اﺳﺗﺎذ ﻣﺷﺎرك‬ ‫ﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟدﻣﺎم – ﻛﻠﯾﺔ اﻟﻌﻠوم ﺑﺎﻟدﻣﺎم‬ ‫ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت )ﺳﺎﺑﻘﺎ(‬ ‫‪٢٠١٣‬م‬

‫‪١‬‬


٢


‫اﻟﻰ ﺳﻔﯾر اﻟﻣﻣﻠﻛﺔ اﻟﻌرﺑﯾﺔ اﻟﺳﻌودﯾﺔ ﻓﻰ ﻣﺻر اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻻﺳﺗﺎذ اﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻌزﯾز ﻗطﺎن‬ ‫ٕواﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻟدﻛﺗور ﻣﺣﻣد اﻟﻌرﯾﻔﻰ‬ ‫ٕواﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻟﺷﯾﺦ ﻋﺎﺋض اﻟﻘرﻧﻰ‬ ‫وذﻟك ﻟﺣﺑﻬم اﻟﺻﺎدق ﻟﻣﺻر اﻟﺣﺑﯾﺑﺔ‬ ‫واﯾﺿﺎ اﻫدى ﻛﺗﺎﺑﻰ إﻟﻰ‬ ‫اﺧﻰ ﻓﻰ اﷲ اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻻﺳﺗﺎذ اﻟدﻛﺗور ﻋﺑد اﻟرﺣﻣن ﻣﺣﻣد اﺑو ﻋﻣﺔ‬ ‫ٕواﻟﻰ‬ ‫اﺧﻰ ﻓﻰ اﷲ اﻟﻣﻛرم ﺳﻌﺎدة اﻻﺳﺗﺎذ اﻟدﻛﺗور ﻣﺣﻣد اﺑراﻫﯾم ﻋﻘﯾل وذﻟك ﻟﺣﺑﻬﻣﺎ اﻟﺻﺎدق ﻟﻣﺻر‬ ‫اﻟﺣﺑﯾﺑﺔ‬ ‫و ﻟﻣﺎ ﻗدﻣﺎﻩ ﻟﻰ ﻣن ﺗﺷﺟﯾﻊ ﺧﻼل اﻗﺎﻣﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﺳﻌودﯾﺔ‬ ‫واﺧﯾرا اﻟﻰ ﻛل ﻣن ﯾﻌﻣل ﺑﺟد ﻟﺻﺎﻟﺢ اﻟﻌﺎﻟم ﺑﺎﻛﻣﻠﻪ‬ ‫وﻻ ﯾﺑﻐﻰ اﻻ وﺟﻪ اﷲ‬ ‫د‪ .‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم‬

‫‪٣‬‬


‫ﺑﺳم اﷲ اﻟرﺣﻣن اﻟرﺣﯾم‬ ‫ﺗﻣﻬﯾد‬ ‫اﻟﺣﻣـد ﷲ رب اﻟﻌــﺎﻟﻣﯾن واﻟﺻـﻼة واﻟﺳــﻼم ﻋﻠـﻰ أﺷــرف اﻟﻣرﺳـﻠﯾن ﻣﺣﻣــد وﻋﻠـﻰ آﻟــﻪ وﺻــﺣﺑﻪ‬ ‫أﺟﻣﻌﯾن‪ .‬أﻣﺎ ﺑﻌد‪ ،‬ﻓﺎﻟﺣﻣد ﷲ اﻟـذي ﻫـداﻧﺎ وﻣـﺎ ﻛﻧـﺎ ﻟﻧﻬﺗـدي ﻟـوﻻ أن ﻫـداﻧﺎ اﷲ اﻟـذي أﻧﻌـم ﻋﻠـﻲ ﺑﻛﺗﺎﺑـﺔ‬

‫ﻫذا اﻟﻛﺗﺎب ﺗﻠﺑﯾﺔ ﻟﻧداء اﻟﺗﻌرﯾب اﻟذي ﯾﺗﺑﻧﺎﻩ اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻌﻠﻣﺎء واﻟﻣﺛﻘﻔﯾن‪.‬‬

‫ﯾﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ‪ Mathematica‬ﻗطﺎﻋﺎ ﻛﺑﯾ ار ﻣن اﻟﺗﺧﺻﺻـﺎت اﻟﻌﻠﻣﯾـﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ‬ ‫ﺣﯾــث ﯾﻘــوم ﺑــﺈﺟراء اﻟﻌﻣﻠﯾــﺎت اﻟﺣﺳــﺎﺑﯾﺔ اﻟﻌددﯾــﺔ ‪ Numerical Calculations‬اﻟﻣﺗﻌــﺎرف ﻋﻠﯾﻬــﺎ‬

‫ﻣﺛ ــل اﻟﺟﻣ ــﻊ واﻟط ــرح واﻟﻘﺳ ــﻣﺔ وﺣﺳ ــﺎب اﻻﺳ ــس واﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣ ــﺎت و اﻟ ــدوال اﻟﻣﺛﻠﺛﯾ ــﺔ و اﻟزاﺋدﯾ ــﺔ ﺳـ ـواء‬

‫ﻟﻼﻋــداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾــﺔ او اﻻﻋــداد اﻟﻣرﻛﺑــﺔ وﻛــذﻟك ﯾﻘــوم ﺑــﺈﺟراء اﻟﻌﻣﻠﯾــﺎت اﻟرﯾﺎﺿــﯾﺔ اﻟرﻣزﯾــﺔ ‪Symbolic‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻌﺎرف ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻓﻰ ﻓروع ﻛﺛﯾرة ﻣن اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﻣﺛل اﻟﺟﺑـر اﻟﺧطـﻰ واﻻﺣﺻـﺎء واﻟﺗﻔﺎﺿـل واﻟﺗﻛﺎﻣـل‬ ‫واﻟ ــدوال اﻟﺧﺎﺻ ــﺔ واﻟﻣﻌ ــﺎدﻻت اﻟﺗﻔﺎﺿ ــﻠﯾﺔ واﻟﺗﺣﻠﯾ ــل اﻟﻌ ــددى واﻟﺑرﻣﺟ ــﺔ اﻟﺧطﯾ ــﺔ ‪ .‬ﻛﻣ ــﺎ ﯾﻘ ــوم ﺑرﺳ ــم‬

‫اﻟ ــدوال ﺳـ ـواء اﻟﻣﺑﺎﺷـ ـرة او اﻟﺑﺎراﻣﺗرﯾ ــﺔ ﻓ ــﻰ ﺑﻌ ــدﯾن او ﺛ ــﻼث اﺑﻌ ــﺎد‪ .‬ﻛﻣ ــﺎ ﯾﻣﻛ ــن اﺳ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ‬ ‫اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﻠﻐﺔ ﺑرﻣﺟﺔ ﻟﻛﺗﺎﺑـﺔ ﺑـراﻣﺞ ﺗﺣـل ﻣﺷـﻛﻼت ﻛﺑﯾـرة ‪ ،‬ﻓـﻰ ﻣﺟـﺎﻻت ﻛﺛﯾـرة ﻣﺛـل اﻟرﯾﺎﺿـﯾﺎت‬ ‫واﻻﺣﺻـﺎء واﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت‪ ،‬ﯾﻌﺟــز ﺣﻠﻬــﺎ اﻣـر واﺣــد وﻫــذا ﻫــدﻓﻧﺎ ﻓــﻰ ﻫـذا اﻟﻛﺗــﺎب ‪ .‬وﻟﻘــد اﻋﺗﻣــدت ﻓــﻰ‬

‫وﺿ ــﻊ ﻫ ــذا اﻟﻛﺗ ــﺎب ﻋﻠ ــﻰ اﻻﺻ ــدار ‪ 5‬ﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ وﯾﻣﻛ ــن ﻟﻠﻣﺳ ــﺗﺧدم ﻻى اﺻ ــدار اﺧ ــر‬ ‫اﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﯾﻪ ﻻﻧﻪ ﯾﺗﻧﺎول اﻻﺳﺎﺳﯾﺎت واﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ اى اﺻدار ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑ ـ ــر ﻫ ـ ــذا اﻟﻛﺗ ـ ــﺎب ﻛﺟ ـ ــزء ﺛ ـ ــﺎﻧﻰ ﻟﻛﺗ ـ ــﺎﺑﻰ ﻣ ـ ــدﺧل ﺣ ـ ــدﯾث ﻟﻠﺑرﻣﺟ ـ ــﺔ ﺑﺎﺳ ـ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ـ ــﺎﻣﺞ‬

‫‪ Mathematica‬واﻟﻣﻧﺷــور ﻓــﻰ ﻣﻧﺗ ــدى اﻻﺣﺻــﺎﺋﯾﯾن اﻟﻌ ــرب ﻓــﻰ اﻟﻛﺗــب واﻟﻣ ارﺟ ــﻊ اﻟﻌرﺑﯾــﺔ واﻟﻘﺎﺑ ــل‬ ‫ﻟﻠﺗﺻـﻔﺢ واﻟﺗﺣﻣﯾــل و ﻟــذﻟك اﻧﺻــﺢ اﻟﺑــﺎﺣﺛﯾن ﺑﻘـراءة ﻛﺗـﺎﺑﻰ ﻣــدﺧل ﺣــدﯾث ﻟﻠﺑرﻣﺟــﺔ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﺑرﻧــﺎﻣﺞ‬ ‫‪ Mathematica‬ﻗﺑـ ــل ﻗـ ـ ـراءة ﻫ ـ ــذا اﻟﻛﺗ ـ ــﺎب اﻟ ـ ــذى ﺑـ ــﯾن اﯾ ـ ــدﯾﻛم اﻻن ﻻﻧ ـ ــﻪ ﯾﺣﺗ ـ ــوى ﻋﻠ ـ ــﻰ اﻟﻣﺑ ـ ــﺎدئ‬ ‫اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ‪.‬‬

‫ﻫـذا اﻟﻛﺗــﺎب ﯾﺻـﻠﺢ ﻛﻣﻘــرر ﻟطــﻼب اى ﻛﻠﯾـﺔ ﯾــدرس ﻓﯾﻬـﺎ اﻻﺣﺻــﺎء ‪ ،‬ﻛﻣــﺎ ﯾﺻـﻠﺢ ﻷن ﯾﻛــون ﻣﻘــر ار‬ ‫ﻟطــﻼب اﻟد ارﺳــﺎت اﻟﻌﻠﯾــﺎ ﻓــﻰ ﻣﺟــﺎل اﻻﺣﺻــﺎء ﻟﺗﺳــﺎﻋدﻫم ‪ ،‬ﻓــﻰ رﺳــﺎﻟﺔ اﻟﻣﺎﺟﺳــﺗﯾر واﻟــدﻛﺗوراﻩ ‪ ،‬ﻓــﻰ‬ ‫ﻋﻣل ﺑراﻣﺞ ﺑﻠﻐﺔ ‪ Mathematica‬ﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﻟﻔرع اﻟذى ﯾﻌﻣﻠون ﻓﯾﻪ ‪.‬‬

‫وﻓــﻲ وﺿــﻊ ﻫــذا اﻟﻛﺗــﺎب اﺳــﺗﻌﻧت ﺑﻌــدد ﻣــن اﻟﻣ ارﺟــﻊ واﻷﺟﻧﺑﯾــﺔ ﻛﻣــﺎ اﺳــﺗﻌﻧت ﺑﺧﺑرﺗــﻲ ﻓــﻲ‬

‫ﺗدرﯾس ﻫذا اﻟﻣﻘرر ﻟطﻼب اﻟدراﺳﺎت اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻓﻲ ﻣرﺣﻠﺔ اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر واﻟدﻛﺗوراﻩ ‪.‬‬ ‫وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﻛﺗﺎب اول ﻛﺗﺎب ﻓﻰ اﻟﻌﺎﻟم اﻟﻌرﺑﻰ ﻓـﻰ ﻫـذا اﻟﻣﺟـﺎل ﻛﻣـﺎ اﻋﺗﺑـرﻩ ﻻ ﯾﻘـل ﻋـن اﻟﻛﺗـب‬

‫اﻻﺟﻧﺑﯾﺔ وﺳوف اﺗرك اﻟﺣﻛم ﻟﻛم ‪ .‬وﻟﻘد اﻟﻔت ﻣن ﻗﺑل ﻛﺗـﺎب ﻓـﻰ اﻟﺑرﻣﺟـﺔ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﻓـﻰ‬ ‫ﻣﺟﺎل اﻻﺳﺗدﻻل اﻻﺣﺻﺎﺋﻰ وﻫو ﻓﻰ ﻣﻧﺗدى اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﯾن اﻟﻌرب ﻓﻰ اﻟﻛﺗـب واﻟﻣ ارﺟـﻊ اﻟﻌرﺑﯾـﺔ وﻟﻣـﺎ‬ ‫ﻛﺎن ﻫذا اﻟﻛﺗﺎب ﯾﺣﺗﺎج اﻣﺎ اﻟﻰ ﻋﺿو ﻫﯾﺋـﺔ ﺗـدرﯾس ﻟﺷـرﺣﺔ او ان ﯾﻛـون اﻟﻣﺳـﺗﺧدم ﻋﻧـدﻩ ﻣﻌﻠوﻣـﺎت‬ ‫‪٤‬‬


‫ﻋــن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻟــذﻟك اﻗــدﻣت ﻋﻠــﻰ ﺗــﺎﻟﯾف ﻣــدﺧل ﺣــدﯾث ﻟﻠﺑرﻣﺟــﺔ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﺑرﻧــﺎﻣﺞ ‪Mathematica‬‬ ‫واﻟـ ــذى ﯾﺑـ ــدا ﻣـ ــن ﻧﻘطـ ــﺔ اﻟﺻـ ــﻔر وﯾﻧﺗﻬـ ــﻰ ﺑﻣﻌرﻓـ ــﺔ اﻟﺑرﻣﺟـ ــﺔ ﻓـ ــﻰ ﻣﺟـ ــﺎﻻت ﻛﺛﯾ ـ ـرة ﻣﺛـ ــل اﻟرﯾﺎﺿـ ــﯾﺎت‬ ‫واﻻﺣﺻﺎء‪ .‬واﻻﻟﻣﺎم ﺑﺎﻟﺑرﻣﺟﺔ ﺑﺎﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺳـﻬل ﺟـدا وﯾﺣﺗـﺎج اﻟـﻰ ﻣﻣﺎرﺳـﺔ واﻟﺗـﻰ ﺗﻌطـﻰ اﻟﻣﺳـﺗﺧدم‬ ‫ﺧﺑ ـرة ﻓــﻰ اﻟﺗﻌﺎﻣــل ﻣــﻊ اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ واﻧــﺎ ﺗﻌﻠﻣــت ﻫــذﻩ اﻟﻠﻐــﺔ ﺑﻧﻔﺳــﻰ ﺑــﺎﻻطﻼع واﻟﻣﻣﺎرﺳــﺔ وﻋﻠﻣﺗﻬــﺎ ﻟﻛﺛﯾــر‬ ‫ﻣن اﻟزﻣﻼء ‪.‬‬ ‫وﻗـد ﺳـﺗﻌﻧت ﻓـﻰ وﺿـﻊ ﻛﺗـﺎﺑﻰ ﻫـذا ﺑـﺑﻌض اﻟﺑـراﻣﺞ اﻟﺧﺎﺻـﺔ ﺑﺎﻟـدﻛﺗور ‪ Kevin Hastings‬واﻟـذى‬

‫ﯾﻌﻣل ﻓﻰ ﺟﺎﻣﻌﺔ ‪:‬‬

‫‪Galesburg Illnois‬‬

‫‪ . Knox College‬وﺗﺑـدا اﻟﻘﺻـﺔ ﻋﻧـدﻣﺎ اﺷـﺗرﯾت ﻛﺗﺎﺑـﺔ ﻣـن اﻟﻧـت‬

‫‪ Introduction To Probability with Mathematica‬واﻋﺟﺑـت ﺑـﻪ ﻻن اﻟﻛﺗـﺎب ﻟـﻪ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ‬

‫ﯾﺳــﻣﻰ ‪ KnoxProb‬وﻫــذا اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻋﺑــﺎرة ﻋــن اﻟﻛﺗــﺎب ﻓــﻰ ﺻــورة اﻟﻛﺗروﻧﯾــﺔ وﻗــد اﺗﺻــﻠت ﺑﺎﻟــدﻛﺗور‬ ‫ﻻﺳــﺗﺎذﻧﻪ ﻓــﻰ اﺳــﺗﺧدام ﺑﻌــض اﻟﺑ ـراﻣﺞ وﻗــد رﺣــب ﺑﺷــدة ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ وﺗداوﻟــﻪ ﻋﻠــﻰ ان اﻛﺗــب‬ ‫اﻟﻣﺻدر ‪.‬‬

‫ﯾﺣﺗ ــوي ﻫ ــذا اﻟﻛﺗ ــﺎب ﻋﻠ ــﻰ ﻋﺷـ ـرة ﻓﺻ ــول‪ ،‬ﯾﻘ ــدم اﻟﻔﺻ ــل اﻷول ﺷ ــرح واﻓ ــﻰ ﻟﺑ ــدا اﻟﻌﻣ ــل ﺑﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ‬

‫‪ KnoxProb‬واﻟﻔﺻـ ـ ـ ــول اﻟﺑﺎﻗﯾـ ـ ـ ــﺔ ﺗﻬـ ـ ـ ــﺗم ﺑﺑرﻣﺟـ ـ ـ ــﺔ ﻣواﺿـ ـ ـ ــﯾﻊ اﻻﺣﺻـ ـ ـ ــﺎء واﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ــﺎﻻت ﺑﺑرﻧـ ـ ـ ــﺎﻣﺞ‬ ‫‪ . Mathematica‬ﻓﺎﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻧﻲ‬

‫ﯾﻘــدم ﻣﻘدﻣــﺔ ﻓــﻰ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﯾﻬــﺗم اﻟﻔﺻــل اﻟﺛﺎﻟــث‬

‫ﺑــﺎﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ وﺗوزﯾﻌﺎﺗﻬ ــﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ‪ ،‬أﻣــﺎ اﻟﻔﺻ ــل اﻟ ارﺑــﻊ ﻓﯾﺗطــرق اﻟ ــﻰ ﻋــرض ووﺻ ــف‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪ ،‬و ﯾﺗطرق اﻟﻔﺻل اﻟﺧﺎﻣس إﻟﻰ اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪.‬اﻣﺎ اﻟﻔﺻـل اﻟﺳـﺎدس ﻓﯾﺗطـرق اﻟـﻰ‬

‫ﺑﻌــض اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌــﺔ ‪ ،‬واﻟﻔﺻــل اﻟﺳــﺎﺑﻊ ﯾﻬ ـﺗم ﺑــﺑﻌض اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ ‪ .‬واﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻣن‬ ‫ﯾﻬﺗم ﺑﺗوﻟﯾد اﻻرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ ‪ ،‬واﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﺳـﻊ ﯾﻬـﺗم ﺑﺎﺳﺎﺳـﯾﺎت ﺗﺣﻠﯾـل اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣﺗﻌـددة‪،‬‬ ‫واﺧﯾ ار اﻟﻔﺻل اﻟﻌﺎﺷر ﯾﻬﺗم ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ ‪.‬‬

‫ﺳــوف ﯾﻠﺣــق ﺑﺎﻟﻛﺗــﺎب ﺑرﻧــﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬وﺑﻌــض اﻟﺑ ـراﻣﺞ اﻟطوﯾﻠــﺔ او اﻟﺟــﺎﻫزة ﻓــﻰ ﻛــل ﻓﺻــل‬ ‫واﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ ﺑﺎﺳــم اﻟﻣﺛــﺎل اﻟﺗــﻰ ﺗﻧﺗﻣــﻰ اﻟﯾــﻪ ‪ ،‬وﺑﺻــورة ﻋﺎﻣــﺔ ﯾﻣﻛــن ﻟﻠﻣﺳــﺗﺧدم ﻻى ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اى ﯾﺳــﺗﺑدل‬ ‫ﺑﯾﺎﻧﺎﺗــﺔ ﺑﺎﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣوﺟــودة ﻓــﻰ اﻟﺑـراﻣﺞ ﻟﯾﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻧﺗــﺎﺋﺞ ﺗﺧﺻــﺔ ﺑــدون ﻣﻌﺎﻧــﺎﻩ ﻣﺛــل اى ﺑرﻧــﺎﻣﺞ‬

‫اﺧــر وﯾﻧﺻــﺢ ﻓــﻰ ﻛــل ﻣ ـرﻩ ﯾﺷــﻐل اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اى ﯾﺧــرج ﻣﻧــﻪ ﻗﺑــل ﺗﻧﻔﯾــذ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﺧــر ﻟﺗﺟــب ﺣــدوث‬ ‫ﻣﺷــﺎﻛل ﻓــﻰ ﺑﻌــض اﻻﺣﯾــﺎن ‪ .‬ﻛﻣــﺎ ﯾﻧﺻــﺢ ﻋﻧــد اﺳــﺗﺧدام اﻟﺑـراﻣﺞ اﻟﺟــﺎﻫزة اﺧــذ ﻧﺳــﺧﺔ واﻟﻌﻣــل ﻋﻠﯾﻬــﺎ‬ ‫ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻰ اﻟﺑراﻣﺞ اﻻﺻﻠﯾﺔ ‪.‬‬

‫وأﺳﺄل اﷲ أن أﻛون ﻗد وﻓﻘت ﻓﻲ ﻫذا اﻟﻣﺟﻬود اﻟﻣﺗواﺿﻊ ﺧدﻣﺔً ﻟﻘﺿﺎﯾﺎ اﻟﺑﺣـث اﻟﻌﻠﻣـﻲ ﻓـﻲ‬

‫وطﻧﻧﺎ اﻟﻌرﺑﻲ‪.‬‬

‫ٕواﻧﻧﻲ أرﺣب ﺑﻛل ﻧﻘد ﺑﻧﺎء ﯾﻬدف إﻟﻰ اﻷﻓﺿل‪ ،‬وﻣﺎ اﻟﻛﻣﺎل إﻻ ﷲ وﺣدﻩ‪.‬‬ ‫واﷲ وﻟﻲ اﻟﺗوﻓﯾق‬ ‫د‪ .‬ﺛروت ﻣﺣﻣد ﻋﺑد اﻟﻣﻧﻌم‬ ‫‪٥‬‬


‫اﻟﻔﺻـل اﻷول ‪ :‬ﺑدا اﻟﻌﻣل ﻣﻊ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪KnoxProb‬‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ‪ :‬ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ ‫)‪(١ -٢‬‬

‫ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻻﺣداث‬

‫)‪(٢ -٢‬‬

‫طرق اﻟﻌد‬

‫)‪(٣ -٢‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫)‪(٤-٢‬‬

‫اﻟﺧواص اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻘﯾم اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫)‪(٥ -٢‬‬

‫ﺑﻌض ﻗواﻧﯾن اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫)‪(٦-٢‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻰ‬

‫)‪(٧ -٢‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ وﻗﺎﻋدة ﺑﯾﯾز‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث ‪ :‬اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﺗوزﯾﻌﺎﺗﻬﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ‬

‫)‪(١-٣‬‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‬

‫)‪(٢ -٣‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ )اﻟﻣﻧﻔﺻﻠﺔ(‬

‫)‪(٣-٣‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺳﺗﻣرة(‬ ‫اﻟﻔﺻـل اﻟراﺑﻊ ‪ :‬ﻋرض ووﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬

‫)‪(١-٤‬‬

‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت‬

‫)‪(٢-٤‬‬

‫ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬

‫)‪(٣-٤‬‬

‫ﻋرض اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‬

‫)‪(٤-٤‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى‬

‫)‪(٥-٤‬‬

‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‬

‫)‪(٦-٤‬‬

‫اﻟرﺑﯾﻌﺎت واﻟﻌﺷﯾرات واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‬

‫)‪(٧-٤‬‬

‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت‬

‫)‪(٨-٤‬‬

‫اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال‬

‫)‪(٩-٤‬‬

‫ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ‬ ‫اﻟﻔﺻـل اﻟﺧﺎﻣس ‪ :‬اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬

‫)‪(١-٥‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬

‫)‪(٢ -٥‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة‬ ‫اﻟﻔﺻـل اﻟﺳﺎدس ‪ :‬ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬

‫)‪(١ -٦‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم‬

‫)‪(٢-٦‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن‬

‫)‪(٣-٦‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى‬

‫)‪(٤-٦‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون‬ ‫‪٦‬‬


‫)‪(٥ -٦‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎﺑﻊ ‪ :‬ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬

‫)‪(١-٧‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم‬

‫)‪(٢-٧‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫)‪(٣-٧‬‬

‫ﻧﺻف اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫)‪(٤-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬

‫)‪(٥-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى‬

‫)‪(٦-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﻛﺎى‬

‫)‪(٧-٧‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ‬

‫)‪(٨-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل‬

‫)‪(٩-٧‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﺗﻣﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫)‪(١٠-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ‬

‫)‪(١١-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ‪extreme value‬‬

‫)‪(١٢-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ‬

‫)‪(١٣-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ت‬

‫)‪(١٤-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ ‪F‬‬

‫)‪(١٥-٧‬‬

‫ﺗوزﯾﻌﺎت اﺧرى‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻣن ‪ :‬ﺗوﻟﯾد اﻻﻋداد اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ‬

‫)‪(١-٨‬‬

‫ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ‬

‫)‪(٢-٨‬‬

‫ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ‬

‫)‪(٣-٨‬‬

‫ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ‬

‫)‪(٤-٨‬‬

‫اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة وﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‬

‫)‪(٥-٨‬‬

‫اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة‬

‫)‪(٦-٨‬‬

‫ﻗﺎﻧون اﻟﻘوة ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة‬

‫)‪(٧-٨‬‬

‫اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻓﻰ ﺣل اﻟﻣﺷﺎﻛل‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺗﺎﺳﻊ ‪ :‬اﺳﺎﺳﯾﺎت ﺗﺣﻠﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻌددة‬

‫)‪(١-٩‬‬ ‫)‪(٢-٩‬‬

‫ﺗﻧظﯾم ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾرات‬ ‫اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﻌﺎﺷر ‪ :‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫)‪(١-١٠‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫)‪(٢-١٠‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫)‪(٣-١٠‬‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‬

‫)‪(٤-١٠‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺷرطﯾﺔ‬ ‫‪٧‬‬


‫)‪(٥-١٠‬‬

‫ﺧواص اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬

‫)‪(٦-١٠‬‬

‫اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﺷرطﻰ‬

‫)‪(٧-١٠‬‬

‫اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ‬

‫)‪(٨-١٠‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﺛﻧﺎﺋﻰ‬

‫‪٨‬‬


‫اﻟﻔﺻل اﻻول‬ ‫ﺑدا اﻟﻌﻣل ﻣﻊ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪KnoxProb‬‬

‫‪٩‬‬


‫اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪KnoxProb‬‬ ‫واﻟذى ﯾﻌﺗﺑر ﻛﺗﺎب اﻟﻛﺗروﻧﻰ واﻟﻣرﻓق ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب اﻟﺧﺎص ﺑﺎﻟدﻛﺗور‬ ‫)‪Kevin J. Hastings (2000‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑراﻣﺞ ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺑداﯾﺔ ﻻ ﺑد ان ﯾﻛون ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬ﻣﺣﻣﻼ ﺛم ﯾﺣﻣل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.KnoxProb‬‬ ‫وﻟﺟﻌل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻣﺗواﺻل ﻣﻊ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻧذﻫب اﻟﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬وﻧﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻣﻠف‬ ‫اﻟﻣﺣدد ﻓﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ واﻟﻣﺳﻣﻰ ‪. Utilites.m‬‬

‫‪١٠‬‬


‫وﻣن ﺳطﺢ اﻟﻣﻛﺗب ﻧﺧﺗﺎر ‪ Computer‬وﻣﻧﻪ ﻧﺧﺗﺎر ) ‪ Local Disk( C‬ﺛم ﻧﺧﺗﺎر اﻟدﻟﯾل‬ ‫‪ Program Files‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ Program Files‬ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﺗظﻬر ﻟﻧﺎ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ وذﻟك ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل اﻟرﺋﯾﺳﻰ ﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ واﻟﻣﺳﻣﻰ ‪:‬‬ ‫‪: WolfResearch‬‬

‫‪١١‬‬


‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ WolfResearch‬ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬

‫ﺗظﻬر اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل ‪: Mathematica‬‬

‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ Mathematica‬ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗظﻬر اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫ﺑﻌد ﺗﺣدي اﻟدﻟﯾل ‪: 5.0‬‬

‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ 5.0‬ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل‬ ‫‪: AddOns‬‬

‫‪١٢‬‬


‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ AddOns‬ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟدﻟﯾل ‪: ExtraPackage‬‬

‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ ExtraPackage‬ﻣن اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﻌد ﻋﻣل دﻟﯾل ﺑﺎﺳم‬ ‫‪ KnoxProb‬وﺑﻌد ﺗﺣدﯾدﻩ ‪:‬‬

‫اﻻن ﯾﺗم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﻣﻠف ‪ Utilites.m‬ﻓﯾﻪ ‪ ،‬واﻟﻣﺎﺧوذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪KnoxProb‬‬ ‫) ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان وﺿﺣﻧﺎ(‪ ،‬ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل ‪ KnoxProb‬اﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﺎﺷﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫واﺧﯾ ار ﻧﺑدا ﻓﻰ ﺗﺷﻐﯾل ‪ KnoxProb‬ﻣن اﻟدﻟﯾل اﻟﻣوﺟود ﺑﻪ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ ‪KnoxProb‬‬ ‫ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪١٣‬‬


‫ﻓﺗظﻬر ﻟﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﻛﺗﺎب) اى اﻟﻔﺻول اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻛﺗﺎب( ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪١٤‬‬


‫ﻧﺧﺗﺎر ﻣﻧﻬﺎ اﻟﻔﺻل اﻟﻣطﻠوب اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻌﻪ ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﺎ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ ‪ Sec2.1‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫اى اﻟوﺻـول اﻟـﻰ اﻟﺟـزء ‪ 2.1‬ﻣـن ‪ ) Chapter 2‬اﻟﻔﺻـل اﻟﺛـﺎﻧﻰ( واﻟﺧـﺎص ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌـﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌـﺔ‬ ‫واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﯾﻣﻛن ﺗﺻﻔﺣﻪ ﻛﻣﺎ ﺳﻧوﺿﺢ ﻋﻧد اﺳﺗﺧداﻣﻪ‪:‬‬

‫‪١٥‬‬


‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ‬ ‫ﻣﻘدﻣﺔ ﻓﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪١٦‬‬


‫)‪٢‬ـ‪ (١‬ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻷﺣداث‬

‫‪Sample Space and Events‬‬

‫ﺗُﺟرى اﻷﺑﺣﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺎﻻت ﻛﺛﯾرة‪ ،‬ﻓﻔ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻟط ب ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر دواء‬ ‫ﻣرض ﻣﺎ‪ ،‬وﻓﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻻﻗﺗﺻ ﺎد ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ أﺳ ﻌﺎر ﺛ ﻼث ﺳ ﻠﻊ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻣﻌﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻔﺎء ﻣن‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻲ ﻓﺗرات زﻣﻧﯾﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‪ ،‬وﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟزراﻋﺔ ﻗ د ﯾﮭ ﺗم ﺑﺎﺣ ث ﺑدراﺳ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر ﺳ ﻣﺎد ﻛﯾﻣ ﺎﺋﻲ‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﻣﺣﺻ ول‪ .‬اﻟطرﯾ ق اﻟوﺣﯾ د ﻟﻠﺑﺎﺣ ث ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن اﻟظ ﺎھرة ﻣوﺿ ﻊ‬ ‫اﻟدراﺳﺔ ھو إﺟراء ﺗﺟرﺑﺔ ‪ experiment‬وھﻰ أي إﺟراء ﻧﺣﺻل ﺑﮫ ﻋﻠﻰ ﺑﯾ ﺎن )ﻣﺷ ﺎھدة( ﺳ واء‬ ‫ﻓﻲ اﻟطﺑﯾﻌﺔ أو ﻓﻲ اﻟﻣﻌﻣل وھذا اﻟﺑﯾﺎن ﻗد ﯾﻛون رﻗﻣﻲ أو وﺻﻔﻰ ‪.‬‬ ‫ﻧﺟد ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت أن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ اﻟﺗﺟرﺑ ﺔ ﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ ﻋواﻣ ل اﻟﺻ دﻓﺔ ) ﻋواﻣ ل ﺧﺎرﺟ ﺔ‬ ‫ﻋن إرادة اﻟﺑﺎﺣث أي ﻓﻲ ﻋﻠم ﷲ( وﻻ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻧﺑؤ ﺑﮭﺎ ﺑﺷﻲء ﻣن اﻟﺗﺄﻛﯾد‪ ،‬وﻟﻛ ن ﯾﻣﻛ ن وﺻ ف ﻓﺋ ﺔ‬ ‫ﻛل اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﮭﺎ ﻗﺑل إﺟراﺋﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﻋﻧﺎﺻرھﺎ ﺗﻣﺛل ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١-٢‬‬ ‫ﺑﻔرض ﻟدﯾﻧﺎ اﻻرﻗﺎم ‪1,2,3,4,5‬واﻟﻣطﻠوب ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋرض ﻟﻛل اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻰ‬ ‫ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ رﻗﻣﯾن ﻣن ﺗﻠك اﻻرﻗﺎم ﻣﻊ اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻌﻧﺎﺻر داﺧل اﻟﻔﺋﺔ ‪.‬‬

‫اﻟﺣـل‪:‬‬ ‫وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻧﺑدا ﻓﻰ ﺗﺷﻐﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻟدﻟﯾل اﻟﻣﺣﻔوظ ﻓﯾﻪ ﺣﯾث ﺗظﻬر ﻟﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﻛﺗﺎب) اى‬ ‫اﻟﻔﺻول اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻛﺗﺎب ( ﺛم ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﺟزء ‪ sec1.2‬ﻓﺗظﻬر اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪١٧‬‬


‫وﺑﺗﺻﻔﺢ اﻟﺟزء ‪ sec1.2‬ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻣن اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪١٨‬‬


‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺣل ‪:‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻟﻣﺛﺎل اﺧر ﻓﻣﺛﻼ اذا ﻛﺎن اﻟﻣطﻠ وب ﻓﺿ ﺎء اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟ ذى ﯾﻣﺛ ل ﻋ رض ﻟﻛ ل‬ ‫اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﻋﻧﺎﺻر ﻣن ﺗﻠك اﻟﻌﻧﺎﺻر اﻻرﺑﻌﺔ ﻣﻊ اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﺗرﺗﯾ ب اﻟﻌﻧﺎﺻ ر‬ ‫داﺧل اﻟﻔﺋﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وداﺋﻣﺎ ﯾﻔﺿل ﻋدم اﺟراء ﺗﻐﯾﯾ ر ﻓ ﻰ ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﺣﯾ ث ﯾﺎﺧـذ ﻧﺳـﺧﺔ ﻣـن اﻟﺟـزء اﻟرﻣـﺎدى‬ ‫ﻣــن اﻟﺷﺎﺷــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ )ﺑﻌــد ﺗﻧﻔﯾــذ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻻﺻ ــﻠﯾﺔ وﻗﺑــل اﺟ ـراء ﺗﻐﯾﯾ ـر ﻓــﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﺗــﻰ ﺗﺧ ــص‬ ‫اﻟﻣﺳــﺗﺧدم( ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻣــر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘــل اﻟــﻰ ﻣﻠــف ﺟدﯾــد ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ وﯾ ﺗم ﺗﻐﯾﯾ ر‬

‫‪١٩‬‬


‫اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻟ ﺗﺧص ﻣﺛﻠﻧ ﺎ ﺛ م اﻟﺗﻧﻔﯾــذ ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎج اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ وذﻟــك ﺑﺎﻟﺿــﻐط ﻋﻠــﻰ ‪ kernel‬ﻣــن ﻗﺎﺋﻣــﺔ‬ ‫ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺛم ﻋﻠﻰ ‪ evaluate cell‬ﻓﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﺗظﻬر ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪ Don'tsave‬وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬ﯾﺳﻣﻰ أي ﻋﻧﺻر ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ ‪. sample point‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ event‬ھﻲ أي ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾ ف‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺟزﺋﯾ ﺔ ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋﻧﺻ ر واﺣ د ﻓﻘ ط ﺗﺳ ﻣﻰ ﺣﺎدﺛ ﺔ ﺑﺳ ﯾطﺔ ‪simple‬‬ ‫‪ ٠event‬أﻣ ﺎ اﻟﺣﺎدﺛ ﺔ اﻟﻣرﻛﺑ ﺔ ‪ compound event‬ﻓﮭ ﻲ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻧ ﺗﺞ ﻣ ن اﺗﺣ ﺎد أﺣ داث‬ ‫ﺑﺳﯾطﺔ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢-٢‬‬ ‫أﻟﻘﯾت ﻋﻣﻠﺗﯾن ﻣرة واﺣدة اذﻛر اﻟﺣﺎدﺛﺔ‪:‬‬ ‫)ب( ظﮭور ﻛﺗﺎﺑﺔ واﺣدة ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪.‬‬ ‫)أ( ظﮭور ﻛﺗﺎﺑﺔ واﺣدة‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( })‪) A = {(TH),(HT‬ﺣﯾث ‪ T‬ﺗﻌﻧﻰ ﻛﺗﺎﺑﺔ و ‪ H‬ﺗﻌﻧﻰ ﺻورة (‬ ‫)ب( })‪B = {(TH),(HT),(TT‬‬

‫‪٢٠‬‬


‫ﻣﺛﺎل)‪(٣-٢‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (١-٢‬ﻓﺎن ﻛل اﻻﺣداث اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋرض ﻟﻛل اﻟﻔﺋ ﺎت اﻟﺗ ﻰ‬ ‫ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺛ ﻼث ارﻗ ﺎم ﻣ ﺎﺧو ذة ﻣ ن اﻻرﻗ ﺎم ‪ 1,2,3,4,5‬ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن ﺑرﻧ ﺎﻣﺞ‬ ‫‪ KnoxProb‬واﻟﻣﺳﻣﺎه )‪ (H‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وذﻟك ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟﺟزء ‪ sec1.2‬ﻣن اﻟﻛﺗﺎب ‪.‬ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟﺣل ظﮭور‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ }{ وھذه ﺗﻣﺛل اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣدوث ‪ ،‬اى ﺗﻣﺛل اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ ‪. ‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬ ‫ﯾﻘﺎل أن ‪ A , B‬ﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗﺎن ) ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗﺎن( ‪ exclusive events‬إذا ﻛﺎن وﻗوع إﺣداھﻣﺎ‬ ‫ﯾﻣﻧﻊ وﻗوع اﻵﺧر وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن ‪. A  B  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤-٢‬‬ ‫‪٢١‬‬


‫ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء زھ رة ﻧ رد ﻣ رة واﺣ دة‪ ،‬ﻣ ﺎ ھ ﻲ ﺣﺎدﺛ ﺔ ظﮭ ور رﻗ م زوﺟ ﻲ وﻣ ﺎ ﺣﺎدﺛ ﺔ ظﮭ ور رﻗ م‬ ‫ﻓردي؟ وھل اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺗﯾن؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم زوﺟﻲ ھﻲ }‪ A  {2,4,6‬وﺣﺎدﺛﺔ ظﮭور رﻗم ﻓردى ھﻲ }‪B  {1,3,5‬‬ ‫و ‪ A  B   .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺎدﺛﺗﺎن ﻣﺎﻧﻌﺗﺎن‪.‬‬

‫)‪ (٢ – ٢‬طرق اﻟﻌد‬

‫‪Counting Methods‬‬

‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬إذا أﻣﻛ ن إﺟ راء ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ ﺑط رق ﻋ ددھﺎ ‪ n1‬وإذا أﻣﻛ ن إﺟ راء ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺑط رق‬ ‫ﻋددھﺎ ‪ n 2‬و ‪ ...‬وإذا أﻣﻛن إﺟراء ﻋﻣﻠﯾﺔ ‪ k‬ﺑطرق ﻋددھﺎ ‪ ، n k‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن إﺟراء ھ ذه اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺎت‬ ‫ﻣﻌﺎ ﺑطرق ﻋددھﺎ ‪. n1  n 2  ...  n k‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥-٢‬‬ ‫ﺷرﻛﺔ طﯾران ﻟﮭﺎ ﺳت رﺣﻼت ﻣ ن ﺑﻠ د ‪ A‬إﻟ ﻰ ‪ B‬وﺳ ﺑﻊ رﺣ ﻼت ﻣ ن ‪ B‬إﻟ ﻰ ‪) C‬ﯾوﻣﯾ ﺎ ً( ﻣ ﺎ‬ ‫ﻋدد اﻟرﺣﻼت اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺟزھﺎ ﯾوﻣﯾﺎ ً ﻣن ‪ A‬إﻟﻰ ‪ C‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪A ‬‬ ‫‪ B ‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪n1  6 , n 2  7‬‬ ‫إذن ﻋدد اﻟرﺣﻼت اﻟﻣﻧﺟزة ﯾوﻣﯾﺎ ً ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n1  n 2  6  7  42.‬‬ ‫ﻋﺎدة ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﻔراغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟ ذي ﻋﻧﺎﺻ ره ﻛ ل اﻟﺗرﺗﯾﺑ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء‪٠‬‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‪ ،‬ﻗ د ﻧﮭ ﺗم ﺑﻣﻌرﻓ ﺔ ﻋ دد اﻟﺗرﺗﯾﺑ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﺟﻠ وس ﺳ ﺗﺔ أﺷ ﺧﺎص ﻋﻠ ﻰ ﻣﺎﺋ دة‬ ‫ﻣﺳﺗدﯾرة‪ ٠‬اﻟﺗرﺗﯾﺑﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﺗﺑﺎدﯾل ‪٠ Permutations‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﺗﺑدﯾل ھﻲ ﺗرﺗﯾب ﻟﻛل أو ﺟزء ﻣن ﻓﺋﺔ ﻣن اﻷﺷﯾﺎء‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ‪ n‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾزة ﻣﺄﺧوذة ﺟﻣﯾﻌﺎ ﻓﻲ ﻧﻔس اﻟوﻗت ھو !‪. n‬‬

‫ﻣﺎ ﻋدد اﻟطرق اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺷﺧص داﺧل ﻣﺣل ﻣﻼﺑس ﻻﺧﺗﯾﺎر رﺑطﺔ ﻋﻧق وﻗﻣ ﯾص إذا ﺗ وﻓر ﻟ ﮫ‬ ‫‪ 4‬أرﺑطﺔ ﻋﻧق و‪ 5‬ﻗﻣﺻﺎن ﻓﻲ اﻟﻣﺣل؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر رﺑطﺔ اﻟﻌﻧق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n1  4‬‬

‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘﻣﯾص ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n 2  5.‬‬

‫إذن ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪٢٢‬‬


‫‪n1n 2 =4  5  20.‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾ ﺎن ﻗ د ﯾﻛ ون اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﺗﺑﺎدﯾ ل ﻷﺷ ﯾﺎء ﻣﻣﯾ زة ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ﻣ ﺄﺧوذة ‪ r‬ﻓ ﻲ ﻛ ل‬ ‫ﻣرة‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل اﻟﺣروف ‪ a,b,c‬ﻣﺄﺧوذة اﺛﻧﯾن ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ھو ‪:‬‬ ‫‪ab ba ac ca bc cb .‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ‪ n‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾزة ﻣﺄﺧوذة ‪ r‬ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ھو‪-:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪P(n,r)  n  (n  1)  (n  r  1) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٧-٢‬‬ ‫ﺑﺎﻟرﺟوع اﻟﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (١-٢‬ﺣﯾث ﻟدﯾﻧﺎ اﻻرﻗﺎم ‪ 1,2,3,4,5‬واﻟﻣطﻠوب ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟذى ﯾﻣﺛل‬ ‫ﻋرض ﻟﻛل اﻟﻔﺋﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ رﻗﻣﯾن ﻣن ﺗﻠك اﻻرﻗﺎم ﻣﻊ اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺗرﺗﯾب‬ ‫!‪n‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﻓﻰ‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﻌﻧﺎﺻراﻻرﻗﺎم داﺧل اﻟﻔﺋﺔ وﺑﻌد ﻋدد اﻟطرق ﻧﺟدھﺎ ‪ 20‬‬ ‫!)‪(n  r)! (5  2‬‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ‪.‬‬ ‫ﯾراد أﺣﯾﺎﻧﺎ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﯾﺎء ﯾﻛ ون ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣﺗﻣ ﺎﺛﻼ وﺗﻧ ﺗﺞ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣ ﺔ‬ ‫ﻟﮭذا اﻟﻌدد ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋدد اﻟﺗﺑﺎدﯾ ل اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻷﺷ ﯾﺎء ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ﺣﯾ ث ‪ 1‬ﻣ ن ﻧ وع و ‪ 2‬ﻣ ن ﻧ وع ﺛ ﺎﻧﻲ و…و ‪ k‬ﻣ ن‬ ‫اﻟﻧوع رﻗم ‪ k‬ھو‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫! ‪n1 !n 2 !...n k‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٨-٢‬‬ ‫إذا ﻟﻌب ﻓرﯾق ﻛرة اﻟﻘدم ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﺧﻼل اﻟﻣوﺳ م ﺑﻛ م طرﯾﻘ ﺔ ﯾﺳ ﺗطﯾﻊ اﻟﻔرﯾ ق ﻓ ﻲ ﻧﮭﺎﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﻣوﺳم أن ﯾﻛﺳب ‪ 4‬وﯾﻔﻘد ‪ 3‬وﯾﺗﻌﺎدل ‪1‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬

‫!‪8‬‬ ‫‪40320‬‬ ‫=‬ ‫‪= 280‬‬ ‫!‪4! 3! 1‬‬ ‫‪144‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4 31‬‬ ‫‪280‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢٣‬‬


‫ﻋدد اﻟطرق ﻟﺗﺟزﺋﺔ ﻓﺋﺔ ‪ n‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء إﻟﻰ ‪ r‬ﻣن اﻟﺧﻼﯾﺎ ﺑﻌﻧﺎﺻر ﻋددھﺎ ‪ n1‬ﻓ ﻲ اﻟﺧﻠﯾ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ‬ ‫و ‪ n 2‬ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻓﻲ اﻟﺧﻠﯾﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ و ‪ ...‬و ‪ n r‬ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻓﻲ اﻟﺧﻠﯾﺔ رﻗم ‪ r‬ﯾﻛون‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫! ‪n1 !n 2 !...n r‬‬ ‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪n1  n 2  ...  n r  n‬‬ ‫ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟ ﺗﻛن اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ a, b, c, d‬اﻟﺗﺟزﺋﯾ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﮭ ذه اﻟﻔﺋ ﮫ اﻟ ﻰ ﺧﻠﯾﺗ ﯾن ﺗﺣﺗ وى‬ ‫اﻻوﻟﻰ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﻋﻧﺎﺻر واﻟﺧﻠﯾﮫ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻋﻧﺻر وﺣد ھﻰ‪:‬‬ ‫‪ a, b,c  ,d, a, b,d  ,c, b,c,d  ,a, a,c,d  ,b.‬‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب ﻋﻠﻰ ﺷﻛل داﺋرة‪ :‬ﻋدد اﻟطرق اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺑواﺳ طﺗﮭﺎ ﺗرﺗﯾ ب ‪ n‬ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾ زة ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺷﻛل داﺋرة ھو‪:‬‬

‫!)‪(n  1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٩-٢‬‬ ‫ﺑﻛم طرﯾﻘﺔ ﯾﻣﻛن زراﻋﺔ ‪ 8‬ﺷﺟرات ﻋﻠﻰ ﺷﻛل داﺋرة؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟطرق ﻟزراﻋﺔ اﻟﺷﺟرات ﺑﺷﻛل داﺋرة ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪(8  1)!  7!  5040.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫!)‪(8-1‬‬ ‫‪5040‬‬

‫ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻛل ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﻌدد اﻟطرق ﻻﺧﺗﯾﺎر أﺷﯾﺎء ﻋ ددھﺎ ‪ r‬ﻣ ن ﺑ ﯾن أﺷ ﯾﺎء ﻣﻣﯾ زة‬ ‫ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ودون اﻋﺗﺑ ﺎر ﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗرﺗﯾ ب‪ .‬ھ ذه اﻻﺧﺗﯾ ﺎرات ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺗواﻓﯾ ق ‪combinations‬‬ ‫‪ ٠‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﻟﺗوﻓﯾﻘﺔ ‪ combination‬ھو ﺗﺟزﺋﺔ ﺑﺧﻠﯾﺗﯾن‪ ،‬ﺧﻠﯾﺔ ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ‪ r‬ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء‬ ‫واﻟﺧﻠﯾﺔ اﻷﺧرى ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ )‪ (n  r‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺑﺎﻗﯾﺔ وﻋ دد ھ ذه اﻟﺗواﻓﯾ ق ﯾرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋدد اﻟﺗواﻓﯾق ﻷﺷﯾﺎء ﻣﻣﯾزة ﻋددھﺎ ﻣﺄﺧوذة ‪ r‬ﻛل ﻣرة ھو‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r  r!(n  r)!.‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٠-٢‬‬ ‫ﻛم ﻋدد اﻟطرق ﻻﺧﺗﯾﺎر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أﺷﺧﺎص ﻟﻔرﯾق ﻛرة اﻟﻘدم ﻣن ‪ 14‬ﺷﺧﺻﺎ ً؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٢٤‬‬


‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أﺷﺧﺎص ﻣن ﺑﯾن ‪ 14‬ﺷﺧص ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪ 14 ‬‬ ‫!‪14‬‬ ‫‪ 3003.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫!‪8! . 6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪8 6‬‬

‫‪3003‬‬ ‫]‪Binomial[14,8‬‬ ‫‪3003‬‬

‫)‪ (٣-٢‬اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪Probability‬‬

‫ﺗﻣدﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺑﻔﺋﺔ ﻣن اﻷرﻗﺎم ﺗﺳﻣﻰ اﻷوزان ‪ weights‬ﺗﺗراوح ﻣن اﻟﺻﻔر‬ ‫إﻟﻰ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ واﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن ﺗﻘدﯾر ﻹﻣﻛﺎﻧﯾﺔ )ﻓرﺻﺔ( وﻗوع اﻷﺣداث اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺗﺞ ﻣن‬ ‫ﺗﺟﺎرب إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ .‬ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻧﻌﯾن وزن ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻣﺟﻣوع اﻷوزان ﯾﺳﺎوى‬ ‫اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ ٠‬إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﺳﺑب ﻟﻛﻲ ﻧﻌﺗﻘد أن ھﻧﺎك إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻟوﻗوع ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓﺿﺎء‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ رﻗﻣﺎ ً ﻗرﯾﺑﺎ ً ﻣن اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ .‬وﻣن ﻧﺎﺣﯾﺔ أﺧرى ﯾﻌﯾن وزن ﻗرﯾب ﻣن‬ ‫اﻟﺻﻔر ﻟﻧﻘﺎط اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ وﻗوﻋﮭﺎ ﺿﺋﯾل‪ ٠‬ﻟﻠﻧﻘﺎط ﺧﺎرج ﻧطﺎق اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ ،‬أي اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﻲ‬ ‫ﯾﺳﺗﺣﯾل ﺣدوﺛﮭﺎ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻌﯾن ﻟﮭﺎ اﻟرﻗم ﺻﻔر وﺗﺳﻣﻰ اﻷﺣداث اﻟﻣﺳﺗﺣﯾﻠﺔ اﻟﺣدوث‪ .‬ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد‬ ‫ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻔﺎھﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت وھﻰ ‪ :‬اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم )اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ(‬ ‫و ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ‪ ،‬واﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ‪.‬‬

‫)‪ ( ١-٣-٢‬اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ) اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻛﻼﺳﯾﻛﻲ ( )‪(Classical Concept‬‬ ‫ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم ﺗﺣدد أرﻗﺎم اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت أو ﯾﻣﻛن ﺗﻘ دﯾرھﺎ ﻗَ ْﺑﻠِﻲ ‪ ) a priori‬ﻗﺑل اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ‬ ‫‪ ٠ ( before fact‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪ ،‬اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟﺿﺑط ‪ exact probability‬أن ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﺗﻘﻊ ﺗﺣدد‬ ‫ﻗﺑل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ‪ .‬اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﻘدﯾم ﻟﻼﺣﺗﻣﺎل ﻣﺑﻧﻰ ﻋﻠﻰ أﺳﺎس أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت ﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺣﺗوى‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪M‬ﻣن اﻟﻧﻘﺎط‪ ،‬أي أن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ ھو ‪ M‬وﻛﺎﻧت ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ‬ ‫إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث وإذا اﺣﺗوت اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﻋدد ‪ m‬ﻣن اﻟﻧﻘﺎط ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ھو‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪P(A)  ‬‬ ‫‪M‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١١-٢‬‬ ‫ﺛﻼث أﺟزاء ﻣن ﻛﺗﺎب ﻣوﺿوﻋﺔ ﻋﻠﻰ رف ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫)أ( اﻷﺟزاء ﻓﻲ وﺿﻌﮭﺎ اﻟﺻﺣﯾﺢ؟‬ ‫اﻷول؟‬

‫)ب( اﻟﺟ زء اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻛ ﺎن‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو‪:‬‬ ‫‪S  1 2 3 , 1 3 2  ,  2 1 3 ,  2 3 1 ,  3 1 2  ,  3 2 1‬‬

‫‪٢٥‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪) A  1 2 3   P(A)  ‬أ(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪) B   2 1 3 ,(2 3 1  P(B)=  .‬ب(‬ ‫‪6 3‬‬

‫) ‪ ( ٢-٣-٢‬ﻣﻔﮭوم اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ‬

‫)‪(Relative Frequency Concept‬‬

‫ﯾﺷﺗرط ھذا اﻟﻣﻔﮭوم إﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋدد ﻛﺑﯾر ﻣن اﻟﻣرات وﻣﻌرﻓﺔ ﻧﺗﺎﺋﺟﮭﺎ وﺑﻌد ذﻟك‬ ‫ﻗﯾﺎس اﻻﺣﺗﻣﺎل‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪ N‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرات ) اﻟﻣﺣﺎوﻻت ‪ ( trails‬اﻟﺗﻲ أﺟرﯾت ﺑﮭﺎ ﺗﺟرﺑﺔ‬ ‫ﻣﺎ ﺗﺣت ﻧﻔس اﻟظروف و ‪ n‬ﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات )اﻟﺗﻛرار( ظﮭور اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﺧﻼل ‪ N‬ﻣن‬ ‫اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﻛررت ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P(A)  lim‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ھو اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺗﺟﺎرب اﻟﺗﻲ ﻋددھﺎ ‪. N‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫‪N‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﺻﻧﻊ ﻹطﺎرات اﻟﺳﯾﺎرات ﺗﺑﯾن أن ﻛل ‪ 100000‬إطﺎر ﻣﻧ ﺗﺞ ﯾﻛ ون ﻣ ن ﺑﯾﻧﮭ ﺎ ‪ 300‬إط ﺎر‬ ‫ﺗﺎﻟف‪ .‬ﻓﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻹطﺎرات ‪ N=100000‬ﻋدد اﻹطﺎرات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ‪ ٠ n  300‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾﺎر إطﺎر ﺗﺎﻟف ھو ‪-:‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪P(A) ‬‬ ‫‪ 0.003.‬‬ ‫‪100000‬‬

‫)‪ ( ٣-٣-٢‬اﻟﻣﻔﮭوم اﻟﺷﺧﺻﻲ‬

‫‪Subject Probability‬‬

‫ﺗﺑﻌﺎ ﻟﮭذا اﻟﻣﻔﮭوم‪ ،‬اﻻﺣﺗﻣﺎل ھو درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ ﻓﻲ وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ واﻟﻣﻘررة ﻣن ﺷﺧص ﻣﺎ‬ ‫ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ دﻟﯾل ﻣﺗوﻓر ﻟدﯾﮫ‪ ٠‬ھذا اﻟدﻟﯾل ﻗد ﯾﻛون أي ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻛﻣﯾﺔ أو ﻏﯾر ﻛﻣﯾﺔ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﯾﺣدد اﻟﺷﺧص اﻟﻘﺎﺋم ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺷﺗرﯾﺎت ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ 0.25‬ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ أن ﺷﺣﻧﺔ‬ ‫ﻣﺎ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ‪ 2%‬وﺣدات ﺗﺎﻟﻔﺔ‪ ٠‬ھذا اﻟﻣﻔﮭوم ﯾﺧﺗﻠف ﻣن ﺷﺧص إﻟﻰ آﺧر وذﻟك‬ ‫ﻟﻌواﻣل ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﮭﺎ اﻟﺧﺑرة‪٠‬‬

‫) ‪ (٤-٢‬اﻟﺧواص اﻟﻣﻣﯾ زة ﻟﻘ ﯾم اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ‪Characteristics of Probability‬‬ ‫‪Numbers‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ S‬ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺔ وإذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,...‬ﺗﻣﺛل ﻛل اﻷﺣداث اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ‬ ‫ﻓﺈن ﻗﯾم اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘدرة ﻟﻸﺣداث اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻻﺑد أن ﺗﺗواﻓر ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫)أ( ﯾراﻓق ﻛل ﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﻋدد ﻣﻌﯾن )‪ P(A‬ﯾﺳﻣﻰ اﺣﺗﻣﺎل ‪ A‬وﯾﺣﻘق ‪P(A)  0 .‬‬ ‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣؤﻛدة ﯾﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ ،‬أي أن ‪P(S)  1‬‬ ‫)ج( إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,A 3 ...‬ﻋدد ﻹﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل أي‬ ‫‪ A i  A j   , i  j‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  A 3  ...)  P(A1 )  P(A 2 )  P(A 3 )  ....‬‬ ‫‪٢٦‬‬


‫وﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أﻧﮫ إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ ﺑﺎﻟﺗﺑﺎدل ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  ...  A n )  P(A1 )  P(A 2 )  ...  P(A n ).‬‬ ‫أﯾﺿﺎ إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,...A n‬ﺗﻣﺛل ﺗﺟزﺋﺔ ﻟﻔراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ S‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  ...  A n )  P(A1 )  P(A 2 )  ...  P(A n )  1.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٣-٢‬‬ ‫ﺻﻧﻌت زھرة ﻧرد ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﺣﺗﻣﺎل ظﮭ ور اﻟ رﻗم واﺣ د ﺛﻼﺛ ﺔ أﺿ ﻌﺎف أي رﻗ م آﺧ ر‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ‬ ‫ﻛل اﻟوﺟوه اﻷﺧرى ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻟﻔرﺻﺔ ﻓﻲ اﻟظﮭور‪ .‬ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟ رﻗم اﺛﻧ ﯾن ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء‬ ‫اﻟﻧرد ﻣرة واﺣدة؟ وﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم واﺣد ھو )‪P(1‬‬‫ ﻧﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور أي رﻗم آﺧر ھو )‪ P(A‬ﺑﺣﯾث ‪A  1‬‬‫ اﺣﺗﻣﺎل ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪. P(S)  1‬‬‫وﺑﻣﺎ أن ‪:‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪P(1)  P(2)  P(3)  P(4)  P(5)  P(6)  1‬‬ ‫‪P(1)  5 P(A)  1‬‬ ‫‪P(1)  3P(A),‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3P(A)  5P(A)  1  8P(A)  1  P(A)  ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫إذن اﺣﺗﻣﺎل ظﮭور اﻟرﻗم )‪ (2‬ھو‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(2)  ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل ظﮭور رﻗم )‪ (١‬ھو‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P(1)  ‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٤-٢‬‬ ‫اﺧﺗﯾ رت ﺛﻼﺛ ﺔ ﻛﺗ ب ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻣ ن رف ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ ‪ 5‬ﻛﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﺗ ﺎرﯾﺦ و‪ 3‬ﻛﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﻌﻠ وم‬ ‫وﻗﺎﻣوس ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫)ب( ﻗﺎﻣوس و‪ 2‬ﻋﻠوم‬ ‫)أ( ﻗﺎﻣوس و‪ 2‬ﺗﺎرﯾﺦ‬ ‫)ج( ﻗﺎﻣوس وﺗﺎرﯾﺦ وﻋﻠوم‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ :‬ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ‪ 3‬ﻛﺗب ﻣن ‪ 9‬ﻛﺗب‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 3   84 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)أ( ‪ A‬ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس و‪ 2‬ﺗﺎرﯾﺦ( أذن‪:‬‬ ‫‪٢٧‬‬


‫‪ 5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪   10  5 ‬‬ ‫‪84 42‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫)ب( ‪ B‬ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس و‪ 2‬ﻋﻠوم( أذن‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪  3  1 ‬‬ ‫‪84 28‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)ج( ‪ C‬ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس وﺗﺎرﯾﺦ وﻋﻠوم( أذن‪:‬‬ ‫‪ 5  3‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪     15  5 ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪84 28‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P(A)   ‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P(B)   ‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪P(C)   ‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ا( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪Binomial3, 0  Binomial1, 1  Binomial5, 2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Binomial9, 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪42‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ب( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪Binomial5, 0  Binomial1, 1  Binomial3, 2‬‬ ‫‪Binomial9, 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪28‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ج( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪Binomial1, 1  Binomial5, 1  Binomial3, 1‬‬ ‫‪Binomial9, 3‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪28‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٥-٢‬‬ ‫ﻣﺳﺗﺣﺿر ﻓﻲ أﻧﺑوﺑﺔ اﺧﺗﺑﺎر ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻋﺷرﯾن ﻣ ن ﺣﺑ وب ﻟﻘ ﺎح اﻟﺻ ﻧوﺑر وﺧﻣﺳ ﺔ ﻣ ن ﻟﻘ ﺎح‬ ‫اﻟﺑﻠوط ‪ ،‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ أرﺑﻌﺔ ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح ‪ ،‬ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن‪:‬‬ ‫)أ( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر‪.‬‬ ‫‪٢٨‬‬


‫)ب( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط‪.‬‬ ‫)ج( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح اﻟﺻﻧوﺑر‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر ھو ‪:‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 4  0‬‬ ‫‪969‬‬ ‫‪P(A)      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ A‬ﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ا( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪Binomial20, 4  Binomial5, 0‬‬ ‫‪Binomial25, 4‬‬ ‫‪969‬‬ ‫‪2530‬‬

‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط‪:‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 1   3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪P(B)      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ B‬ﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ب( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪Binomial20, 1  Binomial5, 3‬‬ ‫‪Binomial25, 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪253‬‬

‫)ج( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح اﻟﺻﻧوﺑر‪:‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 3  1‬‬ ‫‪ 4  0‬‬ ‫‪1140‬‬ ‫‪969‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(C) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫‪P(A)      ‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1140 969 2109‬‬ ‫‪P(C  A)  P(C)  P(A) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2530 2530 2530‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ C‬ﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑﺔ ﻣن ﺣﺑوب اﻟﺻﻧوﺑر وﺣﺑﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﺑﻠوط‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ )ج( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٢٩‬‬


‫‪Binomial20, 3  Binomial5, 1‬‬ ‫‪Binomial25, 4‬‬ ‫‪Binomial20, 4  Binomial5, 0‬‬ ‫‪Binomial25, 4‬‬

‫‪a‬‬

‫‪114‬‬ ‫‪253‬‬

‫‪c‬‬

‫‪969‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪a+c‬‬

‫‪2109‬‬ ‫‪2530‬‬

‫)‪ (٥-٢‬ﺑﻌض ﻗواﻧﯾن اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪Some Probability Laws‬‬

‫ﻋﺎدة ﯾﻛون ﻣن اﻟﺳﮭل ﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎل ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ﻣن اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻌروﻓﺔ ﻟﻸﺣداث اﻷﺧرى‬ ‫وھذا ﯾﻛون ﺻﺣﯾﺢ إذا أﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻛﺎﺗﺣﺎد ﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن أﺧرﺗﯾن أو ﻣﻛﻣﻠﺔ ﻟﺣﺎدﺛﺔ‪ .‬ﻓﻲ ھذا‬ ‫اﻟﺑﻧد ﺳوف ﻧﻌرض ﺑﻌض اﻟﻘواﻧﯾن اﻟﺗﻲ ﺗﺳﮭل ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬ﻷي ﺣﺎدﺛﺗﯾن ‪ A , B‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B).‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٦-٢‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺳﺗﻌﻣرة ﻛﺑﯾرة ﻟذﺑﺎﺑﺔ اﻟﻔﺎﻛﮭﺔ‪ 20% ،‬ﻣن اﻟذﺑﺎب ﺑﮫ طﻔرة ﻓ ﻲ اﻟﺟﻧ ﺎح‪ 35% ،‬ﺑ ﮫ طﻔ رة ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻌﯾن‪ 10% ،‬ﺑﮫ طﻔرة ﺑﻛل ﻣن اﻟﺟﻧﺎح واﻟﻌﯾن‪ .‬اﺧﺗﯾرت ذﺑﺎﺑ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺳ ﺗﻌﻣرة ﻋﺷ واﺋﯾﺎ‪ .‬ﻣ ﺎ ھ و‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﺑﮭﺎ أﺣد اﻟطﻔرﺗﯾن ﻋﻠﻰ اﻷﻗل؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ﺑﮫ طﻔرة ﻓﻲ اﻟﺟﻧﺎح ‪P(A)  0.2‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ﺑﮫ طﻔرة ﻓﻲ اﻟﻌﯾن ‪P(B)  0.35‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ﺑﮫ طﻔرة ﻓﻲ اﻟﺟﻧﺎح واﻟﻌﯾن ‪P(A  B)  0.10‬‬

‫‪AB‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A B‬‬ ‫‪25%‬‬

‫‪10%‬‬

‫‪C‬‬

‫‪AB‬‬

‫‪10%‬‬

‫‪P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)  0.2  0.35  0.10  0.45 .‬‬ ‫ﻧظرﯾﮫ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ A‬ﺣﺎدﺛﺔ وﻛﺎﻧت ‪ A c‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﻣﻛﻣﻠﺔ ﻟﮭﺎ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪P(A)  1  P(A c ).‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٧-٢‬‬ ‫ﺣﻘﻧت ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻓﺋران ﺑﻌﻘﺎر ﻣﻌﯾن وﺗم رﺻد ﻋدد اﻟﻔﺋران اﻟﺗﻲ ﻣﺎﺗ ت ﺧ ﻼل ﯾ وم‪ ،‬إذا ﻛ ﺎن اﺣﺗﻣ ﺎل‬ ‫ﻣوت ﺳﺗﺔ ﺑﺎﻟﺿ ﺑط ھ و ‪ 0.03‬واﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻣ وت ﺳ ﺑﻌﺔ أو ﺛﻣﺎﻧﯾ ﺔ ھ و ‪ ، 004‬أوﺟ دي اﺣﺗﻣ ﺎل‬ ‫أن‪:‬‬ ‫‪٣٠‬‬


‫)أ( ﯾﻣوت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران أو أﻛﺛر‪.‬‬

‫)ب( ﯾﻣوت ﺧﻣﺳﺔ أو أﻗل‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻣوت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران أو أﻛﺛر‬ ‫‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣوت ﺳﺗﺔ ﺑﺎﻟﺿﺑط ھو‪:‬‬ ‫‪P(A)  0.03‬‬ ‫‪ B‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣوت ﺳﺑﻌﺔ أو ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ھو‪:‬‬ ‫‪P(B)  0.04‬‬ ‫‪P(E1 )  P(A  B)  0.03  0.04  0.07‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ E1‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن ﯾﻣوت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران أو أﻛﺛر‪.‬‬ ‫)ب( ﯾﻣوت ﺧﻣﺳﺔ أو أﻗل‪.‬‬ ‫‪P(E 2 )  1  P(E1 )  1  0.07  0.93 ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ E 2‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن ﯾﻣوت ﺧﻣﺳﺔ ﻓﺋران أو أﻗل‪.‬‬

‫)‪ (٦-٢‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ‬

‫‪conditional probability‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻟﺗﺟﺎرب ﯾﺗﺄﺛراﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟذي ﯾﺧﺻص ﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ )ﻟﺗﻛن ‪ (A‬ﺑﺎﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺣدوث‬ ‫أو ﻋدم ﺣدوث ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى وﻟﺗﻛن ‪ .B‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻌﺑﺎرة ‪ :‬اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع‬ ‫ﺣﺎدﺛﺔ ‪A‬ﺑﺷرط وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ‪ B‬واﻟذي ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز )‪P(A|B‬‬ ‫وﯾﻘرأ" اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ‪ A‬اﻟﺷرط وﻗوع ‪."B‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﺷرط ‪ B‬ﯾﻣﺛل ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ )‪ P(A | B‬و ﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫)‪P(A  B‬‬ ‫‪P(A | B) ‬‬ ‫‪, P(B)  0.‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ھذا اﻟﺗﻌرﯾف ﻋﺎم وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻓراغ ﻋﯾﻧﺔ ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ أﺣداث ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫اﻟﺣدوث وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن ‪:‬‬ ‫)‪P(A  B‬‬ ‫‪P(B | A) ‬‬ ‫‪, P(A)  0.‬‬ ‫)‪P(A‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟﻧواﺗﺞ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﺣدوث ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)‪n(A  B‬‬ ‫‪P(A | B) ‬‬ ‫)‪n(B‬‬ ‫ﺣﯾث )‪ n(A  B‬ﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ A  B‬و )‪ n(B‬ﻋدد ﻧواﺗﺞ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪. B‬‬ ‫ﻧﻔس اﻟﺷﺊ‪:‬‬ ‫)‪n(A  B‬‬ ‫‪P(B | A) ‬‬ ‫)‪n(A‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا وﻗﻌت ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ‪ A‬ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ‪ ،‬ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ ﺣﺎدﺛﺔ ‪ B‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)P(B | A).‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ‪ A ,B‬ﻓﻲ ﺗرﺗﯾب ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻘﻊ ‪ A‬أوﻻ ﻣﺿروﺑﺎ ﻓﻲ اﺣﺗﻣﺎل‬ ‫وﻗوع ‪ ، B‬ﺷرط أن ‪ A‬وﻗﻌت‪ ٠‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون‪-:‬‬ ‫‪٣١‬‬


‫‪P(A  B)  P(B)P(A | B).‬‬ ‫وھذا ﯾﺗوﻗف ﻋﻠﻰ أي اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ﻗد ﺗﻘﻊ أوﻻ‪٠‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ أي ﺗﺟرﺑﺔ إذا وﻗﻌت اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ ، A1‬ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ ، A 2‬ﯾﺗﺑﻌﮭﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ ، A 3‬وھﻛذا ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(A1  A 2  A 3  ...)  P(A1 )P(A 2 | A1 )P(A 3 | A1  A 2 )...‬‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ‪ ،‬اﺣﺗﻣﺎل وﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ‪ A‬ﻻ ﯾﺗﺄﺛر وﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ وﻗوع أو ﻋدم وﻗوع‬ ‫ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ‪ ٠ B‬ﺑﻌﺑﺎرة أﺧرى وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻘﺎل أن ‪ A‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن ‪ B‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫)‪ P(A | B)  P(A‬وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)‪P(A  B‬‬ ‫‪P(A | B) ‬‬ ‫‪=P(A).‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫وﻣﻧﮭﺎ‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)P(B).‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ A‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن ‪ B‬ﻓﺈن ‪ B‬ﺗﻛون ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن ‪ A‬ﻷن‪:‬‬

‫)‪P(A  B) P(A)P(B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P(B).‬‬ ‫)‪P(A‬‬ ‫)‪P(A‬‬

‫‪P(B | A) ‬‬

‫وﻣﻧﮭﺎ‪:‬‬

‫‪P(A  B)  P(A)P(B).‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﻘﺎل أن اﻟﺣﺎدﺛﺗﯾن ‪ B ، A‬ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ‪ ، independent‬إذا وﻓﻘط إذا ‪:‬‬ ‫‪P(A  B)  P(A)P(B).‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٨-٢‬‬ ‫ﻓﻲ اﺳﺗطﻼع ﻟﻠرأي ﻋن ﺗﺄﺛﯾر اﻹﻋﻼﻧﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﻊ ﻓ ﻲ ﻣرﻛ ز ﻟﺗﺳ وﯾق اﻷﻏذﯾ ﺔ‪ ،‬أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن‬ ‫‪ 230‬ﻓرد ﻣن اﻟﻣﺗرددﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣرﻛ ز وﺳ ﺟﻠت إﺟ ﺎﺑﺗﮭم‪ .‬اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ اﻟﻣ زدوج اﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﯾوﺿ ﺢ‬ ‫ﺗوزﯾ ﻊ اﻷﻓ راد ﺣﺳ ب اﻟﺷ راء )ﯾﺷ ﺗري وﻻ ﯾﺷ ﺗري( وﺣﺳ ب ﻣﺷ ﺎھدة اﻹﻋﻼﻧ ﺎت )ﯾﺷ ﺎھد وﻻ‬ ‫ﯾﺷ ﺎھد(‪ .‬ﺳ ﺣﺑت اﺳ ﺗﻣﺎرة ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻓ ﺈذا ﻋﻠ م أن اﻟﺷ ﺧص ﯾﺷ ﺎھد اﻹﻋﻼﻧ ﺎت ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل أن‬ ‫ﯾﺷﺗري؟‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬ ‫‪180‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪230‬‬

‫ﻻ ﯾﺷﺗرون)‪(B‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪130‬‬

‫ﯾﺷﺗرون )‪(A‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪100‬‬

‫ﯾﺷﺎھد)‪(C‬‬ ‫ﻻ ﯾﺷﺎھد)‪(D‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪80‬‬ ‫)‪P(A  C‬‬ ‫‪230  80  n(A  C) .‬‬ ‫‪P(A C) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪180‬‬ ‫)‪P(C‬‬ ‫‪180‬‬ ‫)‪n(C‬‬ ‫‪230‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫}}‪aa1={{80,100},{20,30‬‬ ‫‪٣٢‬‬


‫}}‪{{80,100},{20,30‬‬ ‫]‪bb1=Apply[Plus,aa1‬‬ ‫}‪{100,130‬‬ ‫]‪cc1=Apply[Plus,bb1‬‬ ‫‪230‬‬ ‫]‪dd1=Transpose[aa1‬‬ ‫}}‪{{80,20},{100,30‬‬ ‫]‪ee1=Apply[Plus,dd1‬‬ ‫}‪{180,50‬‬ ‫]‪cc1=Apply[Plus,ee1‬‬ ‫‪230‬‬ ‫‪aa11,1‬‬ ‫‪cc1‬‬ ‫‪ee11‬‬ ‫‪cc1‬‬

‫‪nn1 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫واﻧﺗﮭز ھذه اﻟﻔرﺻﺔ ﻻوﺿﺢ ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﻋﻣل ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ‪ .‬ﺑﻔرض‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل وﻧرﯾد اﻧﺷﺎء ﺟدول ﻣﺛﻠﺔ او ان ﻧواﺗﺞ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧرﯾد ان ﻧﺳﺗﺧرﺟﮭﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺷﻛل ﺟدول ﺳوف ﻧﺷرح اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻن ﻋﻠﻰ اﻟﺟدول اﻟذى ﻓﻰ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]"‪rt2=List["A ","B ","total‬‬ ‫;]‪rt3=List[80,100,180‬‬ ‫;]‪rt4=List[20,30,50‬‬ ‫;]‪rt5=List[100,130,230‬‬ ‫;}} ‪zz1=TableHeadings->{{ "","C ","D "},{adress‬‬ ‫]‪uu1=TableForm[{rt2,rt3,rt4,rt5},zz1‬‬

‫‪total‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪230‬‬

‫‪adress‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫وﻗد اﺿطررت ﻟﻛﺗﺎﺑﺗﮫ ﺑﺎﻟﻠﻐﺔ اﻻﻧﺟﻠﯾزﯾﺔ ﻻن اﻟﻛﻼم اﻟﻌرﺑﻰ ﻻ ﯾظﮭروﯾﻣﻛن ﻟﻠﻣﺳﺗﺧدم ان ﯾﺣﺎول‬ ‫واﻧﺎ واﺿﺣت اﻟطرﯾﻘﺔ ﻓﻘط ‪.‬‬

‫)‪ ( ٧-٢‬اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ وﻗﺎﻋدة ﺑﯾﯾز‪Total Probability and Bayes` Rule‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻷﺣداث ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛ ل ﺗﺟزﯾﺋ ﺎ ﻟﻔ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ وﻣﺎﻧﻌ ﺔ ﻟﺑﻌﺿ ﮭﺎ اﻟ ﺑﻌض‬ ‫واﺗﺣﺎدھم ھو ‪) S‬أﺣداث ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ ‪( mutually exclusive and exhaustive‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ‪٠ n  6‬ﺑﻔرض أن ‪ E‬أي ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪E  S  E  (A1  A 2  ...  A n )  E‬‬

‫)‪=(A1  E)  (A 2  E)  ...  (A n  E‬‬

‫‪٣٣‬‬


‫ﻧظرﯾﺔ ‪) :‬ﻧظرﯾﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻛﻠﻰ ‪:(total probability‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻷي ﺣﺎدﺛﺔ ‪ E‬ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪P(E)   P(A i )P(E | A i ).‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪) :‬ﻧظرﯾﺔ ﺑﯾﯾز ‪(Bayes` Theorem‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ A1 ,A 2 ,...,A n‬ﺗﻣﺛل ‪ n‬ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎﻧﻌﺔ وﺷﺎﻣﻠﺔ وﻛﺎن ظﮭ ور إﺣ داھﻣﺎ ﯾﻧ ﺗﺞ ﻋﻧ ﮫ‬ ‫ظﮭور ﺣﺎدﺛﺔ أﺧرى ‪ ) E‬أي أن ‪ E‬ﺗﻘﻊ إذا وﻗﻌت واﺣدة ﻣن اﻟﺣوادث اﻟﻣﺎﻧﻌﺔ ( ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫) ‪P(A k )P(E | A k‬‬ ‫‪P(A k | E)  n‬‬ ‫‪, k  1,2,...,n.‬‬ ‫) ‪ P(Ai )P(E | Ai‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪P  A1  E  0.06‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.22 .‬‬ ‫‪PE‬‬ ‫‪0.27‬‬

‫‪P  A1 | E  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٩-٢‬‬ ‫ﺗﻣﺛ ل اﻟطﺎﻟﺑ ﺎت ‪ 30%‬ﻣ ن ﺣﺟ م اﻟدارﺳ ﯾن ﻓ ﻲ ﻛﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ‪ .‬ﯾ درس ‪ 30%‬ﻣ ن اﻟط ﻼب ﻣ ﺎدة‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت وﺗدرس ‪ 20%‬ﻣن اﻟطﺎﻟﺑﺎت ﻣﺎدة اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪ .‬إذا اﺧﺗﯾ را واﺣ د ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ووﺟ د‬ ‫وإذا اﺧﺗﯾرا واﺣد ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ‬ ‫اﻧﮫ ﯾدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪ ،‬ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﻣﺧﺗﺎر طﺎﻟﺑﺔ؟‬ ‫إذا اﺧﺗﯾ را واﺣ د‬ ‫ووﺟد اﻧﮫ ﯾدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪ ،‬ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﻣﺧﺗﺎر طﺎﻟب؟‬ ‫وإذا‬ ‫ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ ووﺟد اﻧﮫ ﯾدرس اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪ ،‬ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﻣﺧﺗﺎر طﺎﻟﺑﺔ؟‬ ‫اﺧﺗﯾ را واﺣ د ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ووﺟ د اﻧ ﮫ ﻻﯾ درس اﻟرﯾﺎﺿ ﯾﺎت‪ ،‬ﻣ ﺎ ھ و اﺣﺗﻣ ﺎل أن ﯾﻛ ون اﻟﻣﺧﺗ ﺎر‬ ‫طﺎﻟب؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧﻔرض‪ A1 :‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﺧﺗﯾﺎر طﺎﻟﺑﺔ ﻣن اﻟﻛﻠﯾﮫ و ‪ A 2‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﺧﺗﯾﺎر طﺎﻟب ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ‬ ‫و ‪ E‬واﺣد ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ ﯾدرس رﯾﺎﺿﯾﺎت و ‪ E C‬واﺣد ﻣن اﻟﻛﻠﯾﺔ ﻻ ﯾدرس رﯾﺎﺿﯾﺎت‪.‬‬ ‫‪P(E | A1 )  0.2 , P(E  A1 )  0.06‬‬

‫‪E‬‬

‫‪P(E C | A1 )  0.8 , P(E C  A1 )  0.24‬‬

‫‪EC‬‬

‫‪P(E | A 2 )  0.3 , P(E  A2 )  0.21‬‬

‫‪E‬‬

‫‪P(E C | A 2 )  0.7 , P(E C  A 2 )  0.49‬‬

‫‪EC‬‬

‫‪P(A1 )  0.3‬‬

‫‪P(A 2 )  0.7‬‬

‫‪P  E   0.06  0.21  0.27 .‬‬

‫‪P  E C   0.24  0.49  0.73 .‬‬ ‫‪P  A1  E  0.06‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.22 .‬‬ ‫‪PE‬‬ ‫‪0.27‬‬ ‫‪٣٤‬‬

‫‪P  A1 | E  ‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A2‬‬


P  A2 | E  

P  A1 | E

C

P  A2 | E

C

 

P  A 2  E  .21   .78 . P E 0.27

P  A1  E C  P  EC  P  A2  EC  PE

C

0.24  0.33 . 0.73

.49  0.67 . 0.73

: ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

.06 .27 0.222222

.21 .27 0.777778

.24 .73 0.328767

.49 .73 0.671233

٣٥


‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ وﺗوزﯾﻌﺎﺗﮭﺎ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ‬

‫‪٣٦‬‬


‫)‪ (١-٣‬اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

‫‪Random Variable‬‬

‫ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﻠﻣﺔ ﺗﺟرﺑﺔ )ﻛﻣﺎ ذﻛرﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ( ﻷي إﺟراء ﻧﻌﻠم ﻣﺳﺑﻘﺎ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧواﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟ ﮫ وإن‬ ‫ﻛﻧﺎ ﻻ ﻧﺳﺗطﯾﻊ أن ﻧﺗﻧﺑﺄ ﺑﺄي ﻣن ھذه اﻟﻧواﺗﺞ ﺳﯾﺗﺣﻘق ﻓﻌﻼ‪ ٠‬رﺑﻣ ﺎ ﻻ ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﺿ روري دراﺳ ﺔ‬ ‫ﻓﺋ ﺔ ﻛ ل اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ )ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ( ﻟﺗﺟرﺑ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ وﻟﻛ ن ﯾﻛ ون اھﺗﻣﺎﻣﻧ ﺎ ﻣﻧﺻ ﺑﺎ ﻋﻠ ﻰ ﻗ ﯾم‬ ‫رﻗﻣﯾ ﺔ ﻣرﺗﺑط ﺔ ﺑﮭ ذه اﻟﻧ واﺗﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ‪ ٠‬إن اﻟﻘ ﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ھ ذه ھ ﻲ ﻣ ﺎ ﻧﻌﺑ ر ﻋﻧ ﮫ ﺑﻘ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋﻰ‪٠‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣﺎ واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺻص ﻋددا ﺣﻘﯾﻘﯾﺎ ﻟﻛل ﻧﻘط ﺔ ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‪٠‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟرﻣز ‪ X‬ﻟﯾﻣﺛل اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‪ x ،‬ﻟواﺣدة ﻣن ﻗﯾﻣﮫ‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١-٣‬‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﺑذرﺗﺎن ﻣ ن ﻧﺑ ﺎت ﻣزھ ر ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻣ ن ﻛ ﯾس ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﺧﻣ س ﺑ ذور زھورھ ﺎ ﺣﻣ راء‬ ‫وﺛﻼث ﺑذور زھورھﺎ ﺻﻔراء وذﻟك ﻻﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ‪ ٠‬ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻛون‪:‬‬ ‫}‪S  {yy,ry, yr,rr‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ r‬ﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء‪ y ،‬ﺗرﻣز إﻟﻰ اﻟﺑذرة اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺻﻔراء‪٠‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻋرﻓﻧﺎ اﻟداﻟﺔ ‪ X‬اﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑذور اﻟﺗﻲ زھورھﺎ ﺣﻣراء ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ ٠‬ھ ذه اﻟداﻟ ﺔ‬ ‫ﺳوف ﺗﺧﺻص ﻋدداﺣﻘﯾﻘﯾﺎ ﻟﻛل ﻧﻘطﺔ ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ S‬اﻟﻣراﻓق ﻟﺗﺟرﺑﺗﻧﺎ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ ٠‬ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻧﺟد أن ﻛل ﻧﻘطﺔ ﻓﻲ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ارﺗﺑطت ﺑﻌددﺣﻘﯾﻘﻲ واﺣد ﻋن طرﯾق اﻟداﻟﺔ ‪٠ X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪ry‬‬ ‫‪yr‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻌﯿﻨﺔ‬ ‫‪rr‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم ‪. 0 , 1 , 2‬‬ ‫ﻗد ﯾﺣﺗوى ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻣﺣدود ﻣ ن اﻟ ﻧﻘط ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺛ ﺎل اﻟﺳ ﺎﺑق‪ ،‬أو ﻗ د ﯾﻛ ون‬ ‫ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣﻌ دود ‪ countable infinite sample space‬وھ و اﻟﻔ راغ اﻟ ذي ﯾﺣﺗ وى‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣ ن اﻟﻌﻧﺎﺻ ر ﻟﻛﻧ ﮫ ﻗﺎﺑ ل ﻟﻠﻌ د ‪ ،‬ﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺑﻛﺗرﯾ ﺎ ﻓ ﻲ ﻟﺗ ر ﻣ ن اﻟﻣ ﺎء اﻟﻧﻘ ﻲ‬ ‫وﯾﺳﻣﻰ ﻓراغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﻧﻔﺻ ل )ﻣﺗﻘط ﻊ( ‪٠discrete sample space‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﻧﻔﺻ ل ﯾﺳ ﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻ ل )ﻣﺗﻘط ﻊ(‪.‬‬ ‫أﯾﺿ ﺎ إذا ﻛ ﺎن ﻓ راغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﯾﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد ﻻ ﻧﮭ ﺎﺋﻲ ﻣ ن اﻟ ﻧﻘط ‪infinite sample space‬‬ ‫اﻟﻐﯾر ﻣﻌدودة ﻣﺛل ﻛل اﻷطوال اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ‪ ،‬اﻷوزان‪ ،‬درﺟﺎت اﻟﺣرارة ‪...،‬اﻟﺦ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن ﻓ راغ‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺗﺻل )ﻣﺳﺗﻣر( ‪ ٠continuous sample space‬اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﻌ رف ﻋﻠ ﻰ ﻓ راغ‬ ‫ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﺗﺻ ل ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل‪ .‬ﻓ ﻲ ﻣﻌظ م اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﻧﻔﺻ ﻠﺔ ﺗﻣﺛ ل ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻗﺎﺑﻠ ﺔ ﻟﻠﻌ د‪ ،‬ﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺣ وادث ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ‪ ،‬ﻋ دد اﻷﺧط ﺎء ﻓ ﻲ ﺻ ﻔﺣﺔ ﻣ ن‬ ‫ﻗ ﺎﻣوس‪ ،‬ﻋ دد اﻟﻔﺋ ران ﻓ ﻲ ﻓ دان ﻣ ن اﻟﻘﻣ ﺢ‪٠٠٠‬اﻟ ﺦ‪ ٠‬أﻣ ﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻ ﻠﺔ ﻓﺗﻣﺛ ل‬ ‫ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻘﺎﺳﺔ‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢-٣‬‬ ‫ﺻﻧف اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ إﻟﻰ ﻣﻧﻔﺻﻠﺔ وﻣﺗﺻﻠﺔ ‪-:‬‬ ‫)ب( اﻟزﻣن اﻟﻼزم ﻹﻧﮭﺎء اﻣﺗﺣﺎن‪.‬‬ ‫)أ( اﻟزﻣن اﻟﻼزم ﻟوﺻول طﺎﺋرة‪.‬‬ ‫)ج( ﻋدد اﻟﻣﺻﺎﺑﯾﺢ اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ﻓﻲ ﺻﻧدوق ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻣﺻﺎﺑﯾﺢ‪.‬‬ ‫)د( ﻋدد اﻷﺧطﺎء اﻟﺗﻲ ﯾﺗﻌرض ﻟﮭﺎ ﺷﺧص ﻣﺎ ﻋﻧد ﻛﺗﺎﺑﺔ ﺧطﺎب ﻋﻠﻰ اﻵﻟﺔ اﻟﻛﺎﺗﺑﺔ‪.‬‬ ‫‪٣٧‬‬


‫)ھـ( ﻛﻣﯾﺔ اﻟﻠﺑن اﻟﺣﻠﯾب اﻟﺗﻲ ﺗدرھﺎ ﺑﻘرة ﻓﻲ اﻟﻌﺎم‪.‬‬ ‫)و( ﻋدد اﻟﺑﯾض اﻟذي ﺗﺿﻌﮫ دﺟﺎﺟﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﮭر‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﻣﺗﺻل‪.‬‬ ‫)د( ﻣﻧﻔﺻل‪.‬‬

‫)ج( ﻣﻧﻔﺻل‪.‬‬ ‫)و( ﻣﻧﻔﺻل‪.‬‬

‫)ب( ﻣﺗﺻل‪.‬‬ ‫)ھـ( ﻣﺗﺻل‪.‬‬

‫)‪ (٢-٣‬اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ(‬ ‫‪Discrete Probability Distribution‬‬ ‫ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﻧﻔﺻل ﯾﻔرض ﻟﮭﺎ اﺣﺗﻣﺎل ﻓﻔ ﻲ ﻣﺛ ﺎل )‪ (١-٣‬ﺗﺣﺳ ب‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ X‬اﻟ ذي ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد اﻟﺑ ذور اﻟﺗ ﻲ زھورھ ﺎ ﺣﻣ راء ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ )إذا ﻛﺎن اﻻﺧﺗﯾﺎر ﺑدون إرﺟﺎع( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪-:‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P(X  0)  P(yy)  ( ) ( ) ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪3 5 30‬‬ ‫‪P(X  1)  P(ry)  P(yr)=( ) ( )  ( ) ( )  ,‬‬ ‫‪8 7‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪5 4 20‬‬ ‫‪P(X  2)  P(rr)  ( ) ( )  .‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎﻻﺗﮭﺎ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪P(X=x‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪56‬‬

‫ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪٠‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬ﻛل ﺟدول أو ﺻﯾﻐﺔ ﺗﻌطﻰ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﯾﺄﺧذھﺎ ﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل‪ ،‬ﻣﻊ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻧﮭﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻧﻔﺻل‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾرا ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺻورة اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء ﻋﻣﻠﺗ ﯾن ﻣ رة واﺣ دة ﻓ ﺈن‬ ‫‪ . x  0,1,2‬ﻓﻣﺎ ھو اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﮫ ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪٣٨‬‬

‫‪x‬‬


‫‪0.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.5‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﻋرض ھذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻷﻋﻣدة ‪ bar chart‬ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪٠‬‬

‫ﺷﻛل )‪(١-٢‬‬ ‫ﺣﯾث ﯾﻣﺛل اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻗﯾم ‪ x‬وﯾﻣﺛل اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ﻗ ﯾم ) ‪ f (x‬ﻓﻣ ﺛﻼ ﻋﻧ د ‪ x  0‬ﯾﻘ ﺎم ﻋﻣ ود‬ ‫ارﺗﻔﺎﻋ ﮫ ﯾﺗﻧﺎﺳ ب ﻣ ﻊ ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟداﻟ ﺔ ﻋﻧ د ھ ذه اﻟﻧﻘط ﺔ وھ و ‪ 0.25‬وﻛ ذﻟك ﻋﻧ د ‪ x  1‬ﯾﻘ ﺎم ﻋﻣ ود‬ ‫ارﺗﻔﺎﻋﮫ ‪ 0.5‬وﻋﻧد ‪ x  2‬ﯾﻘﺎم ﻋﻣود ارﺗﻔﺎﻋﮫ ‪ 0.25‬وﺑﺧﻼف ھذه اﻟﻧﻘط ﻓﺎﻟداﻟ ﺔ ﻟ ﯾس ﻟﮭ ﺎ وﺟ ود‪٠‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾ ل اﻟﺷ ﻛل اﻟﺳ ﺎﺑق إﻟ ﻰ ﻣ ﺎ ﯾﺳ ﻣﻰ ﺑﺎﻟﻣ درج اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ‪probability histogram‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﺗﺣوﯾل اﻷﻋﻣدة اﻟﻣوﺟ ودة إﻟ ﻰ ﻣﺳ ﺗطﯾﻼت ﺑﺣﯾ ث ﯾﻛ ون ارﺗﻔ ﺎع ﻛ ل‬ ‫ﻣﺳ ﺗطﯾل ﻣﺳ ﺎوﯾﺎ ﻻﺣﺗﻣ ﺎل ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ x‬اﻟواﻗﻌ ﺔ ﻓ ﻲ ﻣﻧﺗﺻ ف ﻗﺎﻋ دة اﻟﻣﺳ ﺗطﯾل‪ ٠‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن‬ ‫) ‪ P(X  x‬ﯾﺳ ﺎوى ﻣﺳ ﺎﺣﺔ اﻟﻣﺳ ﺗطﯾل اﻟ ذي ﺗﻘ ﻊ ‪ x‬ﻓ ﻲ ﻣﻧﺗﺻ ف ﻗﺎﻋدﺗ ﮫ‪ ٠‬ھ ذا اﻟﻣﻔﮭ وم ﻟﺣﺳ ﺎب‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺿروري ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺗﺻل‪٠‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫!‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪  , x  0, 1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪x!(4  x)!  2 ‬‬ ‫‪= 0 e.w.‬‬ ‫‪٣٩‬‬


‫)ﺣﯾث ‪ e.w.‬اﺧﺗﺻﺎ ار ﻟـ ‪(elsewhere‬‬ ‫وﻛﺎﻟﻌﺎدة ) ‪ .(0! = 1‬ﻻﯾﺟﺎد )‪ P(X  0 or X  1‬ﻧﺗﺑﻊ اﻻﺗﻰ ‪: :‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4!  1 ‬‬ ‫‪4!  1 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P(X  0 or X  1) ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   .‬‬ ‫‪0!4!  2  1!3!  2  16‬‬ ‫وﻓﯾﻣ ــﺎ ﯾﻠ ــﻰ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗ ــوب ﺑﻠﻐ ــﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺗ ــم اﻋ ــدادﻩ ﻻﯾﺟ ــﺎد اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻟﻰ ﻟﻬ ــذا اﻟﻣﺛ ــﺎل‬ ‫ﺑطـ ـرﯾﻘﺗﯾن ‪ .b,c‬وﻗ ــد ﺗ ــم ﺗﻌرﯾ ــف داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﺑﺎﻟداﻟ ــﺔ ‪ f‬وﻋ ــدد اﻟﻘ ــﯾم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻰ ‪4‬‬ ‫واﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ ‪n‬‬

‫و ﻗــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ اﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ ‪ . a‬وﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻻﻣــر ‪ Clear‬ﻻ ازﻟــﺔ اى‬

‫ﻣﺳﻣﯾﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬

‫‪n=4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪fn, x_ : Binomialn, x  1 2n‬‬ ‫}‪a={0,1,2,3,4‬‬ ‫}‪{0,1,2,3,4‬‬ ‫]}‪b=Table[f[n,x],{x,0,n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, , , ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 4 8 4 16‬‬

‫‪‬‬

‫}]‪c= {f[n,0],f[n,1],f[n,2],f[n,3],f[n,4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 3 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, , , ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 4 8 4 16‬‬

‫‪‬‬

‫واﺧﯾ ار ﺗم اﯾﺟﺎد ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4!  1 ‬‬ ‫‪4!  1 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P(X  0 or X  1) ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪   .‬‬ ‫‪0!4!  2  1!3!  2  16‬‬ ‫واﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ d‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪d=f[n,0]+f[n,1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٥-٣‬‬

‫‪٤٠‬‬


‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ٕواذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫}‪x  {1,2,3,...‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f (x)   ‬‬ ‫‪2‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪:‬‬ ‫}‪B  {x x  1, 3, 5, 7,...‬‬

‫ﻓـﺈن ‪:‬‬

‫‪1 1 3 1 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( )  ( )  ...  .‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪P[X  B] ‬‬

‫‪1 x‬‬ ‫‪fx_ :  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]}‪b=Sum[f[x],{x,1,,2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت ‪:‬‬

‫}‪C  {x x  2, 4,6,8,...‬‬ ‫ﻓـﺈن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P[X  C]  ( ) 2  ( ) 4  ( )6  ( )8  ....‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫]}‪c=Sum[f[x],{x,2,,2‬‬

‫او ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪P[X  C]  1  P[X  B]  1   .‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1 x‬‬ ‫‪fx_ :  ‬‬ ‫‪2‬‬

‫]}‪b=Sum[f[x],{x,1,,2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c=1-b‬‬ ‫‪٤١‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ‪:‬‬

‫}‪D  {x x  1, 2,3,4,...‬‬ ‫ﻓـﺈن ‪:‬‬

‫‪1 1 2 1 3 1 4‬‬ ‫‪ ( )  ( )  ( )  ...‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ P[X  B]  P[X  C]  1.‬‬ ‫‪P[X  D] ‬‬

‫ﻻﻧﻪ ﯾﻣﺛل ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪.‬‬

‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫]}‪d=Sum[f[x],{x,1,‬‬ ‫‪1‬‬

‫او ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪ fx‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٦-٣‬‬ ‫ﻗﺎم ﺑﺎﺣث ﻓﻲ ﻣﻛﺗﺑـﺔ اﻟﺟﺎﻣﻌـﺔ ﻓـﻲ اﻷﺳـﺑوع اﻷول ﻣـن اﻟد ارﺳـﺔ ﺑﻣﻼﺣظـﺔ اﻟطﺎﻟـب اﻟﺗـﺎﻟﻲ وﻣـﺎ‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻗد أﺷﺗرى آﻟﺔ ﺣﺎﺳﺑﺔ ﻣـن ﻧـوع ‪ A‬أو ﻣـن ﻧـوع ‪ . B‬ﻟـﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘﯾﻣـﺔ ‪1‬‬ ‫إذا أﺷﺗرى اﻟطﺎﻟب اﻟﻧوع ‪ A‬وﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ 0‬إذا أﺷﺗرى اﻟطﺎﻟـب اﻟﻧـوع ‪ . B‬ﻓـﺈذا أﺷـﺗرى ‪ 20%‬ﻣـن‬ ‫اﻟطﻠﺑﺔ اﻵﻟﺔ ﻣن ﻧوع ‪ A‬ﻓﺈن ‪ p.d.f‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪f(0) = P( X = 0 ) = .8‬‬ ‫‪f(1) = P ( X = 1 ) = .2‬‬ ‫‪f(x) = 0 e.w .‬‬ ‫وﯾﻣﻛن وﺿﻊ ‪ p.d.f.‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة ‪:‬‬ ‫‪f(x) = .8‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪= .2‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪= 0‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f(x‬ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻧﺑدا ﻓﻰ ﺗﺷﻐﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻟدﻟﯾل اﻟﻣﺣﻔوظ ﻓﯾﻪ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻻﯾﻘوﻧﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٤٢‬‬


‫ﺣﯾث ﺗظﻬر ﻟﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﻛﺗﺎب) اى اﻟﻔﺻول اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻛﺗﺎب( ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﺛم ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ ‪ sec2.1‬ﻛﻣﺎﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪٤٣‬‬


‫اى اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺟزء ‪ Sec2.1‬ﻣن ‪ Chapter 2‬واﻟﺧﺎص ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﺛم ﻧﺗﺻﻔﺢ ‪ Sec 2.1‬ﻣن ‪ Chapter 2‬ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٤٤‬‬


‫ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدة ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٤٥‬‬


‫وﯾــﺗم ذﻟــك ﻟﺗﺣﻣﯾــل ﻫــذا اﻟﺟــزء ‪ .‬وﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﻣــدرج اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻟﻠداﻟــﺔ )‪ f(x‬اﻟﺧﺎﺻــﺔ ﺑﻣﺛﺎﻟﻧــﺎ‬ ‫ﯾﺎﺧــذ ﻧﺳــﺧﺔ ﻣــن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ)ﻻﻧﻧــﺎ اﺳــﺗﻧﺑطﻧﺎ ﻫــذا اﻟﺑ ـراﻣﺞ ﻣــن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻻﺻــﻠﻰ ﺣﺗــﻰ ﯾﻼﺋ ــم‬ ‫ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ( ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ‪:‬‬

‫}"}‪ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},AxesLabel{"x","f{x‬‬ ‫]‬

‫ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪٤٦‬‬


‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬ﻓﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫}"}‪ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},AxesLabel{"x","f{x‬‬ ‫]‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫وﯾﻼﺣظ أن اﻟﻌﻣودﯾن اﻟﻣرﺳوﻣﯾن ﻓوق ﻗﯾﻣﺗﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ‬

‫ﺗﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ اﺣﺗﻣﺎل ﻫﺎﺗﯾن اﻟﻘﯾﻣﺗﯾن ‪.‬‬

‫ﻫــذا وﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﺣــل ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻧﻔﺳــﻪ وذﻟــك ﺑﻌــد ﺗﻐﯾﯾــر اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت ﺛــم‬ ‫ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ ‪ kernel‬ﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺛم ﻋﻠﻰ ‪.evaluate‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺛـﺎل اﻟﺳـﺎﺑق ‪ f(1) = .2 , f(0) = .8‬ﻷن ‪ 20%‬ﻣـن اﻟﻣﺷـﺗرﯾن اﺧﺗـﺎروا اﻵﻟـﺔ اﻟﺣﺎﺳـﺑﺔ ﻣـن‬ ‫ﻧـوع ‪ .A‬ﻓـﻲ ﻣﻛﺗﺑـﺔ أﺧـرى ﯾﻣﻛـن أن ﺗﻛـون ‪ .f(0) = .1 , f(1) = .9‬ﻋﻣوﻣـﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ‬ ‫اﻟـذي ﯾﺄﺧــذ اﻟﻘﯾﻣـﺔ ‪ 1‬أو ‪ 0‬ﯾﺳــﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ ﺑرﻧــوﻟﻲ ‪ Bernoulli‬إذا أﻣﻛـن اﻟﺗﻌﺑﯾــر ﻋــن‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪٤٧‬‬


‫‪x0‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪e.w.‬‬

‫‪1  p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x;p)   p‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺣﯾث ‪.0 < p < 1‬‬ ‫وﯾﻣﻛــن اﯾﺟــﺎد اﻟﻣــدرج اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻻى داﻟــﺔ اﺧــرى ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل اذا ﻛــﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾــر ﯾﺎﺧــذ اﻟﻘﯾﻣــﺔ‬ ‫‪ 0,12‬ﺑﺎﺣﺗﻣﺎﻻت ‪ .4,.2,.4‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﻐﯾر ﻓﻘط ﻓﻰ اﻻﻣر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ProbabilityHistogram[{0,1,2},{.4,.2,.4},AxesLabel{"x","f‬‬ ‫]}"}‪{x‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫وﻫﻛذا ﻻى داﻟﺔ اﺧرى ‪ .‬وﺑﻌد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Knoxprob‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪.Don'tsave‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٧-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪ p.d.f.‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = .2 , x = 1, 2, 3, 4, 5 .‬‬

‫‪٤٨‬‬


‫ﻋﻧد اﻟرﻏﺑﺔ ﻓﻰ رﺳم ﻫذا اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻣﻊ اﻟﻣـدرج اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ اﻟﺧـﺎص ﺑﺎﻟﻣﺛـﺎل )‪ (٦-٣‬ﻓﺎﻧﻧـﺎ‬ ‫ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻧﺗﺻﻔﺢ ‪ Sec2.1‬ﻣن ‪ Chapter 2‬ﻛﻣﺎ اوﺿﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدة ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٤٩‬‬


‫وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء ‪ .‬وﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣـدرﺟﯾن اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﯾن ﻣﻌـﺎ ﯾﺎﺧـذ ﻧﺳـﺧﺔ ﻣـن اﻟﺟـزء‬

‫اﻟرﻣــﺎدى اﻟﻣﺣــدد اﻟﺳــﺎﺑق ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻣــر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘــل اﻟــﻰ ﻣﻠــف ﺟدﯾــد ﻓــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ‬ ‫وﯾﺗم ﺗﻌدﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺟزء اﻟﻣﻧﻘول ﺛم ﯾﺗم ﺗﻧﻔﯾذﻩ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان اوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪g1=ProbabilityHistogram[{0,1},{.8,.2},DisplayFunctionIde‬‬ ‫;]}‪ntity,DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪g2=ProbabilityHistogram[{1,2,3,4,5},{.2,.2,.2,.2,.2},Disp‬‬ ‫;]}‪layFunctionIdentity,DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪Show[GraphicsArray[{{g1,g2}}],DisplayFunction$DisplayFun‬‬ ‫;]‪ction‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﺑﻔرض أن )‪ f(x‬ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ﻛﻣﯾـﺔ واﻟﺗـﻲ ﯾﻌـﯾن ﻟﻬـﺎ أي رﻗـم ﻣـن اﻷﻋـداد اﻟﺣﻘﯾﻘﯾـﺔ وﻣـﻊ ﻛـل‬ ‫ﻗﯾﻣــﺔ ﺗﻘــدر داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ‪ .‬ﻣﺛــل ﻫــذﻩ اﻟﻛﻣﯾــﺔ ﺗﺳــﻣﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣــﺔ ‪parameter‬‬ ‫ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ‪ .‬اﻟﺗﺟﻣــﻊ ﻟﻛــل اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ ﻟﻘــﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻣــن اﻟﻣﻌﻠﻣــﺔ ﺗﺳــﻣﻲ ﻋﺎﺋﻠــﺔ ﻣــن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ‬

‫‪ . family of probability distributions‬ﻓﻌﻠــﻰ‬

‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ) ‪ f ( x ; .6‬ﺗﺧﺗﻠف ﻋن ) ‪. f ( x ; .5‬‬ ‫‪٥٠‬‬


‫ﻣﺛﺎل )‪(٨-٣‬‬ ‫ﻋﻧد زﻣن ﻣﺣدد إذا ﺗم ﻣﻼﺣظﺔ اﻟﺟﻧس ﻟﻛل طﻔـل ﺣـدﯾث اﻟـوﻻدة ﻓـﻲ ﻣﺳﺗﺷـﻔﻲ ﻣـﺎ ﺣﺗـﻰ وﻻدة‬ ‫طﻔــل ذﻛــر )‪ .(b‬ﺑﻔــرض أن‬

‫)}‪ p = P({b‬وﺑﻔــرض أن )‪ (g‬ﺗرﻣــز ﻟﻠﺣﺎدﺛــﺔ أن اﻟطﻔــل أﻧﺛــﻰ‬

‫وﺑﻔرض أن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪f(1) = P ( X = 1 ) = P ({b}) = p,‬‬ ‫)}‪f(2) = P ( X = 2 ) = P({g b}) = P({g}) P({b‬‬ ‫‪= ( 1-p ) p,‬‬ ‫)}‪f(3) = P( X = 3 ) = P ({ggb‬‬ ‫‪=P({g}) P({g}) P({b})= ( 1- p )2 p.‬‬

‫وﺑﺎﻻﺳ ــﺗﻣرار ﻋﻠـ ـﻰ ﻫ ــذا اﻟﻣﻧـ ـوال ﻓﺈﻧ ــﻪ ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻ ــول ﻋﻠ ــﻰ اﻟﺻ ــورة ﻋﺎﻣ ــﺔ ﻟداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪(1  p) x 1 p‬‬ ‫‪x  1,2,3,...‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪e.w.‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﻛﻣﯾﺔ ‪ p‬ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻣﺛل ﻋدد ﯾﻧﺣﺻر ﺑﯾن ‪ . 1, 0‬وﯾﻣﺛل ﻣﻌﻠﻣﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٩-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪ p.d.f.‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = .25 , x = 1, 2, 3, 4 .‬‬ ‫ﺑﯾﺎن )‪ f(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪g1=ProbabilityHistogram[{1,2,3,4},{.25,.25,.25,.25},AxesL‬‬ ‫]}"}‪abel{"x","f{x‬‬

‫‪٥١‬‬


‫‪fx‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫ﯾﺳـﻣﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ ﺑــﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم وذﻟــك ﻷن اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ‪P ( X=x ) = .25‬‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٠-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = 1 , x = x1‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫ﺑﯾﺎن )‪ f(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋﻧدﻣﺎ ‪. x = 3‬‬

‫ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟذي ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺧﺎﻣل ‪. degenerated distribution‬‬

‫"}‪g1=ProbabilityHistogram[{0,3},{0,1},AxesLabel{"x","f{x‬‬ ‫]}‬

‫‪٥٢‬‬


‫‪fx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١١-٣‬‬ ‫إذا أﻟﻘــﻲ زوج ﻣــن اﻟﻧــرد )اﻟﻣﺗــزن( وﻛــل ﻧــرد ﻟــﻪ ‪ 12‬وﺟــﻪ ٕواذا ﻛﺎﻧــت اﻟوﺟــوﻩ ﻣرﻗﻣــﺔ ﺑﺎﻷرﻗــﺎم‬

‫اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ﻣن ‪ 1‬إﻟﻲ ‪ . 12‬وﺑﻔرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل أﻋﻠـﻰ رﻗـم ﯾظﻬـر ﻋﻠـﻰ اﻟﻧـردﯾن ‪.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟـك ‪ X‬ﺳـوف ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘـﯾم ‪ . 1, 2, 3, …,12‬داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪X‬‬ ‫ﺳوف ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫) ‪f(x) = c (2 x-1‬‬ ‫‪x = 1, 2, …,12‬‬ ‫‪= 0 , e.w .‬‬ ‫ﺣﯾث )‪ ( 2 x – 1‬ﻫﻰ ﻋدد اﻟطرق ﻟوﻗوع أي ﻗﯾﻣﺔ ‪ . x‬ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺛﺎﺑت ‪ c‬ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   f (x)  c  (2x  1)  c  2  x  12 ‬‬ ‫‪ x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫)‪ 2(12)(13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪ 12   c(12)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪c  1 (12) 2  1/144.‬‬

‫وﻓﯾﻣــﺎ ﯾﻠــﻰ ﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗــوب ﺑﻠﻐــﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ ﺗــم اﻋــدادﻩ ﻻﯾﺟــﺎد اﻟﺛﺎﺑــت ‪ c‬ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻟﻬــذا‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل وﻗد ﺗم ﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟداﻟﺔ ‪ f‬واﻟﺛﺎﺑت ‪ c‬ﺑﺎﻟﻣﺳﻣﻰ ‪ .c‬وﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر‬ ‫‪ Clear‬ﻻزاﻟﺔ اى ﻣﺳﻣﯾﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ‪ f‬ان وﺟدت ‪:‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫‪٥٣‬‬


‫‪12‬‬

‫‪d   fx‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪144‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬

‫)‪ (١-٢-٣‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ‪The Dstribution Function‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪144‬‬

‫ﺑﻔــرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ ﻟــﻪ اﻻﺣﺗﻣــﺎل )‪ P(B‬ﺣﯾــث ‪ B‬ﻓﺋــﺔ ﻓــﻲ اﻟﺑﻌــد‬

‫اﻷول‪ٕ .‬واذا ﻛــﺎن ‪ x‬ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘــﻲ وﻛﺎﻧــت ‪ B‬ﻓﺋــﺔ ﻣــن ‪  ‬إﻟــﻲ ‪ x‬ﺣﯾــث ﺗﺷــﺗﻣل ﻋﻠــﻰ اﻟﻧﻘطــﺔ ‪. x‬‬ ‫ﻟﻣﺛل ﻫذﻩ اﻟﻔﺋﺎت ‪ B‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪P(B)  P[X  B]  P(X  x) .‬‬

‫ﺣﯾ ــث ﯾﻌﺗﻣ ــد اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻧﻘط ــﺔ ‪ ، x‬أي أن ﻫ ــذا اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل داﻟ ــﺔ ﻓ ــﻲ اﻟﻧﻘط ــﺔ ‪ . x‬ﯾرﻣ ــز ﻟداﻟ ــﺔ‬ ‫اﻟﻧﻘط ــﺔ ﻫـ ــذﻩ ﺑـ ــﺎﻟرﻣز ) ‪ . F( x )  P(X  x‬ﺗﺳـ ــﻣﻰ اﻟداﻟـ ــﺔ )‪ F(x‬داﻟـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ) داﻟـ ــﺔ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ‬ ‫اﻟﺗﺟﻣﯾﻌ ــﻲ‬

‫‪function‬‬

‫‪ (cumulative‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ‪ .X‬وﺑﻣـ ــﺎ أن‬

‫‪distribution‬‬

‫) ‪ ، F( x )  P(X  x‬ﺣﯾث )‪ f(x‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪F( x )   f ( w‬‬ ‫‪w x‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٢-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪.4‬‬

‫)‪P(X=x‬‬

‫أوﺟد )‪ F(x‬وﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪F(1)  P(X  1)  P(X  1)  f (1)  .4,‬‬ ‫)‪F(2)  P(X  2)  P(X  1 or 2‬‬ ‫‪= f(1) + f(2) = .7,‬‬

‫‪٥٤‬‬


‫)‪F(3)  P(X  3)  P(X  1 or 2 or 3‬‬ ‫‪ f (1)  f (2)  f (3)  .9,‬‬ ‫)‪F(4)  P(X  4)  f (1)  f (2)  f (3)  f (4‬‬ ‫‪ 1,‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪F(x)  0‬‬

‫‪x 1‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪2x3‬‬

‫‪ .4‬‬ ‫‪ .7‬‬

‫‪3 x  4‬‬

‫‪ .9‬‬

‫‪4  x.‬‬

‫‪ 1‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻧﺗﺑﻊ ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺗﺑﻌت ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗـﻰ اﻟوﺻـول اﻟـﻰ اﻟﻔﺻـل اﻟﺛـﺎﻧﻰ ‪Sec 2.1‬‬ ‫وﻫﻧــﺎ ﯾــﺗم ﺗﺻــﻔﺢ اﻟﺟــزء ‪ Sec2.1‬ﺣﺗــﻰ ﯾــﺗم اﻟوﺻــول اﻟــﻰ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ﺣﯾــث ﯾــﺗم اﻟﺿــﻐط ﻋﻠــﻰ‬

‫اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﻠﺟزء اﻟﻣظﻠل ﺑﺎﻟﻠون اﻟرﻣﺎدى ‪:‬‬

‫‪٥٥‬‬


‫ﺛ ــم ﯾ ــﺗم ﺗﻧﻔﯾ ــذ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ وذﻟ ــك ﺑﺎﻟﺿ ــﻐط ﻋﻠ ــﻰ‬

‫‪ kernel‬ﻣ ــن ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺛ ــم ﻋﻠ ــﻰ‬

‫‪ evaluate cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﯾــﺗم ذﻟــك ﻟﺗﺣﻣﯾــل ﻫــذا اﻟﺟــزء‪ .‬وﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ﺑﯾــﺎن ﻟﻠداﻟــﺔ )‪ F(x‬ﯾﺣــدد اﻟﺟــزء اﻟرﻣــﺎدى ﻛﻣــﺎ ﻓــﻰ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٥٦‬‬


‫وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬

‫وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘـوس اﻻﯾﺳـر ﻟﺗﺣدﯾـدﻩ ﻛﻣـﺎ ﯾﺗﺿـﺢ ﻓﯾﻣـﺎ‬

‫ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٥٧‬‬


F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,.4,2x<3,.7,3x<4,.9,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,4.6},{1,2,3,4},DotSize.02,Axe sOrigin{0,-.01},PlotRange{.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}]; 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1

2

3

4

4.6

. ‫ ﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل‬Word ‫وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟرﺳم وﺗﻧﻘل اﻟﻰ‬

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1

2

3

4

4.6

: ‫ ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬KnoxProb ‫وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

٥٨


. ‫ وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬Don'tsave ‫وﻧﺿﻐط‬

(١٣-٣) ‫ﻣﺛﺎل‬

: ‫ ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬X ‫إذا ﻛﺎن‬ x

1

2

3

4

P(X=x)

.2

.3

.4

.1 . ‫ وﻣﺛﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‬F(x) ‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬

F(x)  0  .2

x 1 1 x  2

 .5

2x3

 .9

3 x  4

 1

4  x. . ‫ ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬F(x) ‫ﺑﯾﺎن‬

F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,.2,2x<3,.5,3x<4,.9,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,4.6},{1,2,3,4},DotSize.02,Axe sOrigin{0,-.01},PlotRange{.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

٥٩


‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4.6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١٤-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ وداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻪ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪f(x) = x/6 ,‬‬ ‫‪x = 1, 2,3‬‬ ‫‪= 0 e.w.‬‬ ‫ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪F(x)  0‬‬

‫‪x 1‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪2 x3‬‬ ‫‪3  x.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻫﻧـﺎ ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ )‪ F(x‬داﻟــﺔ ﺳــﻠﻣﯾﺔ واﻟﺗــﻲ ﺗﻛـون ﺛﺎﺑﺗــﺔ ﻓــﻲ أي ﻓﺗـرة ﻻ ﺗﺣﺗــوي‬ ‫‪3 2 1‬‬ ‫ﻋﻠــﻰ ‪ 1‬أو ‪ 2‬أو ‪ 3‬وﻟﻛــن ﻟﻬــﺎ ﻗﻔ ـزات ﺑﺎرﺗﻔﺎﻋــﺎت ‪ , ,‬ﻋﻧــد ﺗﻠــك اﻟــﻧﻘط ﻋﻠــﻰ اﻟﺗ ـواﻟﻲ ‪ .‬أﯾﺿــﺎ‬ ‫‪6 6 6‬‬ ‫ﯾﻼﺣظ أن )‪ F(x‬ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ‪.‬‬ ‫;]‪F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,1/6,2x<3,3/6,x1,1‬‬ ‫‪PlotStepFunction[F[x],{x,0,3.6},{1,2,3},DotSize.02,AxesO‬‬ ‫‪rigin{0,-.01},PlotRange{-.01,1.01},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬

‫‪٦٠‬‬


‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3.6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻫﻧﺎك ﺑﻌض اﻟﺧواص ﻟداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﻧـذﻛر ﺑﻌﺿـﻬﺎ ‪ .‬ﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻟرﻣـزﯾن‬

‫)‪ F(‬و )‪ F( ‬ﻟﺗﻌﻧﻲ ) ‪lim F( x) , lim F( x‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪x ‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪.‬‬

‫)أ( ‪. 0  F( x )  1‬‬ ‫)ب( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻏﯾر ﺗﻧﺎﻗﺻﯾﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﺑﻣﻌﻧﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧت ‪ x   x ‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪F(x )  F(x‬‬

‫)ج( ‪ F()  1‬و ‪. F()  0‬‬

‫)د( )‪P(X  b)  F(b )  F(b ‬‬

‫ﺣﯾث )‪ F(b-‬ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ F(x‬ﻋﻧـد ‪ .x = b‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـك اﻻﺣﺗﻣـﺎل أن ‪X‬‬

‫‪ = b‬ﻫو طول اﻟﻘﻔزة اﻟﺗﻲ ﺗﺄﺧذﻫﺎ )‪ F(x‬ﻋﻧد ‪. x = b‬‬ ‫)ﻫـ( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻣن اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ ‪ . x‬أي أن ‪F( a+) - F(a) = 0 :‬‬

‫ﺣﯾث )‪ F(a+‬ﻫﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻣـن اﻟﯾﻣـﯾن ﻟﻠداﻟـﺔ )‪ F(x‬ﻋﻧـد ‪ .x = a‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـك )‪ F(x‬ﻣﺗﺻـﻠﺔ ﻣـن‬

‫اﻟﯾﻣﯾن ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻌطــﻰ اﻟﺟــدول اﻟﺗــﺎﻟﻲ اﻟﺻــﯾﻎ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻟﺣﺳــﺎب اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ﻷﺣــداث ﻣﺗﻌــددة وذﻟــك ﺑﺎﺳــﺗﺧدام داﻟــﺔ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ )‪. F(x‬‬ ‫اﻟﺣﺎدﺛﺔ‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﺣﺎدﺛﺔ‬ ‫ﻣﻘدار اﻟﻘﻔزة ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻋﻧد ‪x = a‬‬ ‫)‪1- F(a‬‬ ‫} ‪1- F(a) + P {X = a‬‬ ‫‪٦١‬‬

‫}‪{X = a‬‬ ‫} ‪{a < X‬‬ ‫}‪{a<X‬‬


X<b X<b {a < X < b } {a < X < b } {a < X < b } {a<X<b}

F (b) F(b) – P {X = b } F(b) – F(a) – P{ X = b } F(b) – F(a) + P{X = a } F(b) – F(a) + P(X = a } – P{X = b } F(b) – F (a)

(١٥-٣) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻫﻲ‬

0 1  8  4 F(x)   8 7 8  1

,x  0 ,0  x  1 ,1  x  2 ,2  x  3 ,x  3 . f(x) :‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬

x

: ‫ ﺣﯾث‬F(x) ‫ ﻣن اﻟداﻟﺔ‬f (x) ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب‬ 1 1 P(X  0)  F(0)  F(0  )   0  8 8 4 1 3 P(X  1)  F(1)  F(1 )    8 8 8 7 4 3 P(X  2)  F(2)  F(2 )    8 8 8 7 1 P(X  3)  F(3)  F(3 )  1   8 8 : ‫ ﻣﻌطﺎة ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‬f(x) ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬ 1 2 3 4

٦٢


‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫)‪ (٢-٢-٣‬اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻰ ‪Mathematical Expectation‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل وﻣﻧﺗﮭﻲ ﻟﮫ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪-:‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫…‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪P(X  x‬‬ ‫) ‪f (x1‬‬ ‫) ‪f (x 2‬‬ ‫) ‪f (x n‬‬ ‫…‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿ ﻲ ) اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ أو ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ ( population mean ‬ﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪E(X)   x i f (x i ) .‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٦-٣‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟرﺟﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھم ﻟﻣﮭﻣﺔ ﻋﻠﻣﯾﺔ ﻣن ‪ 3‬أﺷﺧﺎص ﻣن ﺑﯾن ‪5‬‬ ‫رﺟﺎل وﺳﯾدﺗﯾن )اﻟﺳﺣب ﺑدون إرﺟﺎع( ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ھﻲ ‪ x  1,2,3 :‬واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟرﺟﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھم‬ ‫ﻟﻣﮭﻣﺔ ﻋﻠﻣﯾﺔ ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪. n  3‬‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪ x  3  x ‬‬ ‫‪ , x  1,2,3‬‬ ‫‪P(X  x)   ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪ 1  2 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P(X  1)     ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 2  1  20‬‬ ‫‪P ( X  2) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 3  0  10‬‬ ‫‪P(X  3) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪٦٣‬‬


‫إذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ھو‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪E (X)   x f(x)  1( )  2( )  3( )  2.143 .‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪X‬‬

‫) ‪P(X  x‬‬

‫ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬

‫ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫وﻗد ﺗم ﺗﻌرﯾف داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﻟداﻟـﺔ ‪ f‬و ‪ n  3‬ﺗﻣﺛل ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣ ن‬ ‫اﻟﺣﺟ م ‪ m=7‬ﺣﯾ ث ‪ n1=5‬ﺗﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟرﺟ ــﺎل ﻓ ــﻰ اﻟﻣﺟﺗﻣ ــﻊ و‪n2=2‬‬

‫ﺗﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟﻧﺳ ــﺎء ﻓ ــﻰ‬

‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر ‪ Clear‬ﻻزاﻟﺔ اى ﻣﺳﻣﯾﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ‪ f‬ان وﺟدت ‪:‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫‪n=3;n1=5;m=7;n2=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Binomialn1, x  Binomialn2, n  x‬‬ ‫‪Binomialm, n‬‬

‫‪fx_ :‬‬

‫]}‪a=Table[f[x],{x,1,n‬‬

‫‪1 4 2‬‬ ‫‪, , ‬‬ ‫‪7 7 7‬‬

‫‪‬‬

‫]}‪b=Table[x,{x,1,n‬‬ ‫}‪{1,2,3‬‬ ‫]}‪c=Transpose[{a,b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, 1,  , 2,  , 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪‬‬

‫]‪MatrixForm[c‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪   x  fx  N‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2.14286‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٧-٣‬‬

‫‪٦٤‬‬


‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾرا ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛل ﻋدد أﺟﮭزة اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻌرض ﻟﻠﺗﻠف ﻣن ﺑﯾن ﺧﻣﺳﺔ‬ ‫أﺟﮭزة وذﻟك أﺛﻧﺎء ﺗوﺻﯾﻠﮭﺎ إﻟﻰ ﻣرﻛز أﺑﺣﺎث‪ ،‬ﺑﻔرض أن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﻠف ‪ 0.25 ،‬أﯾﺿﺎ ً ﺑﻔرض‬ ‫أن ﻛل ﺟﮭﺎز ﻣﺳﺗﻘل ﻋن اﻵﺧر ﻓﻲ اﻟﺗﻠف أو ﻋدم اﻟﺗﻠف أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻸﺟﮭزة اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x  0,1, 2,3,4,5‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن اﺣﺗﻣﺎل ﺗﻠ ف ﺟﮭ ﺎز ﺣﺎﺳ ب آﻟ ﻲ ھ و ‪ p  0.25‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك اﺣﺗﻣ ﺎل أن اﻟﺟﮭ ﺎز‬ ‫اﻵﻟﻲ ﺳﻠﯾم ھو ‪ q  0.75‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P(X  x)    (0.25) x (0.75)5  x , x  0,1,2,3,4,5 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪P(X  0)    (0.25)0 (0.75)5 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪405‬‬ ‫‪P(X  1)    (0.25)1 (0.75)4 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪P(X  2)    (0.25)2 (0.75)3 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪P(X  3)    (0.25)3 (0.75)2 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪P(X  4)    (0.25)4 (0.75)1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  5)    (0.25) 5 (0.75) 0 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪270‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪405‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪243‬‬ ‫‪1024‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪P(X  x‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪405‬‬ ‫‪270‬‬ ‫( ‪E(X)   xf (x)  0‬‬ ‫( ‪) 1‬‬ ‫(‪)  2‬‬ ‫‪)‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪x o‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪3‬‬ ‫(‪)  4‬‬ ‫(‪)  5‬‬ ‫‪)  1.25‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫وﻓﯾﻣـﺎ ﯾﻠــﻰ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗــوب ﺑﻠﻐـﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛــﺎ ﺗـم اﻋــدادﻩ ﻟﺣﺳـﺎب اﻟﺗوﻗــﻊ اﻟرﯾﺎﺿـﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ‬

‫اﻟﺧـﺎص ﺑﻬــذا اﻟﻣﺛــﺎل ‪ .‬وﻗـد ﺗــم ﺗﻌرﯾــف داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺑﺎﻟداﻟــﺔ ‪ f‬وﻋـدد اﻻﺟﻬـزة اﻟﻣوﺻــﻠﺔ ﻓــﻰ‬ ‫اﻟﻣرﻛز واﻟﻣﻌرﺿﺔ ﻟﻠﺗﻠف واﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ n‬و ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ ‪ . a‬وﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر‬ ‫‪٦٥‬‬


‫‪ Clear‬ﻻزاﻟﺔ اى ﻣﺳـﻣﯾﺎت ﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠداﻟـﺔ ‪ f‬ان وﺟـدت ‪ .‬اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﺗـم اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ‬ ‫ﺑطـ ـرﯾﻘﺗﯾن‪ ،‬اﻟطرﯾﻘ ــﺔ اﻻوﻟ ــﻰ واﻟﻣﺳ ــﻣﺎﻩ ‪ b‬واﻟطرﯾﻘ ــﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ــﺔ واﻟﻣﺳـ ـﻣﺎﻩ ‪ .d‬اﻻﻣ ــر ‪ c‬اﺛﺑ ــت ان ﻣﺟﻣ ــوع‬ ‫اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ﻋﻠــﻰ ﻓﺿــﺎء اﻟﻌﯾﻧــﺔ ﯾﺳــﺎوى واﺣــد ﺻــﺣﯾﺢ ‪ ،‬وﻗــد ﺗــم ﻛﺗﺎﺑﺗــﻪ اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﺑﺻــﯾﻐﺔ اﻻدﺧــﺎل‬

‫وﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ‪ .‬وﻗد ﺗـم ﺣﺳـﺎب اﻟﻘﯾﻣـﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﺑطـرﯾﻘﺗﯾن ﻣـرة ﺑﺻـﯾﻐﺔ اﻻدﺧـﺎل وﻣـرة ﺑﺎﻟﺻـﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪. ‬‬ ‫‪n=5;p=.25‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬

‫‪fx_ : Binomialn, x  px  1  p nx‬‬ ‫]}‪a=Table[x,{x,0,n‬‬ ‫}‪{0,1,2,3,4,5‬‬ ‫]}‪b=Table[f[x],{x,0,n‬‬ ‫‪{0.237305,0.395508,0.263672,0.0878906,0.0146484,0.0009765‬‬ ‫}‪63‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪c   fx‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪1.‬‬ ‫]‪c=Apply[Plus,b‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫]‪d=Map[f,a‬‬ ‫‪{0.237305,0.395508,0.263672,0.0878906,0.0146484,0.0009765‬‬ ‫}‪63‬‬ ‫‪cc=a*b‬‬ ‫}‪{0,0.395508,0.527344,0.263672,0.0585938,0.00488281‬‬ ‫]‪=Apply[Plus,cc‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪   x  fx‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪1.25‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٨-٣‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺣﺻل ﻻﻋب ﻛرة اﻟﺗﻧس ﻋﻠﻰ ھدف ﻓﻲ أي ﻣﺑﺎراة ﯾﻠﻌﺑﮭﺎ ھو ‪ ، 0.3‬اوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻷھداف اﻟﺗﻲ ﯾﻛﺳﺑﮭﺎ ﻓﻲ ﺧﻣس ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﻗﺎدﻣﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪x  0 ,1, 2 ,3, 4 ,5‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ھدف ﻓﻲ أي ﻣﺑﺎراة ﯾﻠﻌﺑﮭﺎ ھو ‪ p  0.3‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﻻ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ھدف ھو ‪ q  0.7‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪٦٦‬‬


5 P(X  x)    (0.3) x (0.7)5 x , x  1,2,3,4,5 . x  5 P(X  0)    (0.3)0 (0.7)5  0.16807 ,  0  5 P(X  1)    (0.3) 1 (0.7) 4  0.36015 , 1 5 P(X  2)    (0.3) 2 (0.7) 3  0.3087 ,  2  5 P(X  3)    (0.3) 3 (0.7) 2  0.1323 ,  3  5 P(X  4)    (0.3)4 (0.7)1  0.02835 ,  4  5 P(X  5)    (0.3) 5 (0.7) 0  0.002 .  5 x

0

1

2

3

4

5

P(X  x )

0.16807

0.36015

0.3087

0.1323

0.02835

0.002

E(X)  0 (0.16807)  1 (0.36015)  2 (0.3087)  3 (0.1323)  4 (0.02835)  5(0.00243)  1.502 .

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗوﻗﻊ اﻟرﯾﺎﺿﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‬ . ‫اﻟﺧﺎص ﺑﻬذا اﻟﻣﺛﺎل‬ n=5;p=.3 0.3 Clear[f]

fx_ : Binomialn, x  px  1  p nx a=Table[x,{x,0,n}] {0,1,2,3,4,5} b=Table[f[x],{x,0,n}] {0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243} n

c   fx x0

1. c=Apply[Plus,b] 1. d=Map[f,a] {0.16807,0.36015,0.3087,0.1323,0.02835,0.00243} cc=a*b {0,0.36015,0.6174,0.3969,0.1134,0.01215} =Apply[Plus,cc] 1.5

٦٧


‫‪n‬‬

‫‪   x  fx‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1.5‬‬

‫)‪ (٣-٢-٣‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗوﻗﻌﺔ ﻟداﻟﺔ ‪The Expected Value of a Function‬‬ ‫ﻋ ــﺎدة ﯾﻛـ ــون اﻻﻫﺗﻣـ ــﺎم ﺑﺎﻟﻘﯾﻣـ ــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌـ ــﺔ ﻟ ــﺑﻌض اﻟـ ــدوال )‪ u(X‬أﻛﺛـ ــر ﻣـ ــن اﻻﻫﺗﻣـ ــﺎم ﺑﺎﻟﻘﯾﻣـ ــﺔ‬ ‫اﻟﻣﺗوﻗﻌـﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ . X‬ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻓـﺈن ﻣﺳـﺎﺣﺔ ﻗـرص ﯾﻛـون داﻟـﺔ ﻓـﻲ ﻧﺻـف اﻟﻘطـر أي أن‬ ‫‪. Y   X2‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(١٩-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪.5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪.3‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬

‫ٕواذا ﻛﺎﻧت ‪:‬‬

‫‪Y  u(X)  20  3X  .5 X 2‬‬ ‫ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪ g(y‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪.2‬‬

‫‪56‬‬ ‫‪.3‬‬

‫‪y‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪.5‬‬

‫)‪g(y‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪E(Y)  E[u(X)]   yg(y‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪ (40)(.5)  (56)(.3)  (76)(.2‬‬ ‫)‪ u(4).(.5)  u(6).(.3)  u(8).(.2‬‬ ‫‪  u(x).f (x)  52.‬‬ ‫‪x‬‬

‫وﻓﯾﻣـ ـ ــﺎ ﯾﻠ ـ ـ ــﻰ ﺑرﻧـ ـ ــﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗ ـ ـ ــوب ﺑﻠﻐـ ـ ــﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ـ ـ ــﺎ ﺗـ ـ ــم اﻋ ـ ـ ــدادﻩ ﻻﯾﺟـ ـ ــﺎد اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌ ﺔ ﻟ ـ‬ ‫‪ Y  u(X)  20  3X  .5 X 2‬وھذه اﻟداﻟﺔ ﺗم ﺗﻌرﯾﻔﮭﺎ ﺑﺎﻻﺳم ‪ u‬و ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ‬

‫‪ X‬اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ . a‬اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ b‬و ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ‪Y‬‬

‫اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ‬

‫‪ y‬و‪ ‬ﻫو اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﻣطﻠوب ‪.‬‬ ‫]‪Clear[u,f‬‬

‫‪ux_ : .5x2  3x  20‬‬ ‫}‪a={4,6,8‬‬ ‫‪٦٨‬‬


‫}‪{4,6,8‬‬ ‫}‪b={.5,.3,.2‬‬ ‫}‪{0.5,0.3,0.2‬‬ ‫]‪y=Map[u,a‬‬ ‫}‪{40.,56.,76.‬‬ ‫‪c=b*y‬‬ ‫}‪{20.,16.8,15.2‬‬ ‫]‪=Apply[Plus,c‬‬ ‫‪52.‬‬

‫ﺗﺑﻌ ــﺎ ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟ ــﺔ اﻟﺳـ ــﺎﺑﻘﺔ ﯾﻛ ــون ﻣـ ــن اﻟﺿ ــرورى ﺗﻘ ــدﯾر داﻟـ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ ‪Y‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ )‪ . E(Y‬ﺑــدﻻً ﻣـن ذﻟـك ﻓـﺄن اﻟﻘﯾﻣـﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌــﺔ اﻟﻣطﻠوﺑـﺔ ﻫـﻲ اﻟﻣﺗوﺳــطﺔ اﻟﻣـرﺟﺢ ﻟﻛــل‬ ‫ﻗﯾم ) ‪. u (X‬‬

‫ﻧظرﯾــــﺔ ‪ :‬إذا ﻛ ــﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌ ــﺎً ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﺣﺗﻣ ــﺎل )‪ٕ f(x‬واذا ﻛﺎﻧ ــت )‪ u(x‬ﻗﯾﻣ ــﺔ‬ ‫ﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟداﻟﺔ ﻣﺟﺎﻟﻬﺎ ﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ‪ X‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪E  u(X)    u(x) f (x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺗﺑﻌـﺎً ﻟﻠﻧظرﯾـﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻓـﺈن ])‪ E [u (x‬ﯾﻣﻛـن ﺣﺳـﺎﺑﻬﺎ ﺑـﻧﻔس طرﯾﻘـﺔ ﺣﺳـﺎب )‪ E (X‬ﻓﯾﻣـﺎ ﻋـدا )‪u(x‬‬ ‫ﺗﺣل ﻣﺣل ‪. x‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٠-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾرا ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﺑﺗوزﯾﻊ اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )‪-: (X  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪P(X  x‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪E(X 2  1)   (x 2  1) f(x‬‬ ‫‪I 1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪ [(1)  1] f(-1)  [(0) 2 -1] f(0)  [(1)1  1] f(1)  [(2)2  1] f(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ (0)( )  (1)( )  (0)( )  (3)( ) ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟـ )‪-: (X  1‬‬

‫‪٦٩‬‬


‫وﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر ‪ Clear‬ﻻ ازﻟـﺔ اى ﻣﺳـﻣﯾﺎت ﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻟ ـ ‪ f ,u‬ان وﺟـدت وﻗـد ﺗـم ﺗﻌرﯾـف اﺧـر‬ ‫ﻗﯾﻣـﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ واﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ ‪ n‬و ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ ‪ . a‬اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ b‬و‪ ‬ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟـ )‪. (X  1‬‬ ‫‪n=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪Clear[u,f‬‬

‫‪ux_ : x2  1‬‬ ‫]}‪a=Table[x,{x,-1,n‬‬ ‫}‪{-1,0,1,2‬‬

‫‪1 1 3 1‬‬ ‫‪f  , , , ‬‬ ‫‪8 4 8 4‬‬ ‫‪1 1 3 1‬‬ ‫‪, , , ‬‬ ‫‪8 4 8 4‬‬

‫‪‬‬

‫]}‪b=Table[u[x],{x,-1,n‬‬ ‫}‪{0,-1,0,3‬‬ ‫‪c=f*b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪, 0, ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0, ‬‬

‫]‪=Apply[Plus,c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢١-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫) ‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ u(X) = Y = (X – 3 )2‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ ])‪. E[u(X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫) ‪E[u ( x )]  E(X  3) 2   ( x  3) 2 f ( x‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (0  3) 2    ...  (6  3) 2  ‬‬ ‫‪ 16 ‬‬ ‫‪ 16 ‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪  Y .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‪:Y‬‬ ‫‪٧٠‬‬


‫‪ u(X) = Y = (X – 3 )2‬وﺳـوف ﻧﺳـﺗﺧدم اﻻﻣـر ‪ Clear‬ﻻ ازﻟـﺔ اى ﻣﺳـﻣﯾﺎت ﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻟ ـ ‪u, f‬‬ ‫ان وﺟـدت ‪ .‬ﻗـﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ ‪ . a‬اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﻓـﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣـﺔ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ ‪ f‬و‪‬‬

‫ﻫو اﻟﺗوﻗﻊ اﻟﻣطﻠوب ‪.‬‬

‫]‪Clear[u,f‬‬

‫‪ux_ : x  32‬‬ ‫]}‪a=Table[x,{x,0,6‬‬ ‫}‪{0,1,2,3,4,5,6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 16 16 16 16 16 16‬‬

‫‪f ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 8 16 16 16 16 16‬‬

‫‪‬‬

‫]}‪c=Table[u[x],{x,0,6‬‬ ‫}‪{9,4,1,0,1,4,9‬‬ ‫‪d=c*f‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪, 0,‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 2 16‬‬ ‫‪16 4 16‬‬

‫‪‬‬

‫]‪=Apply[Plus,d‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪8‬‬

‫وﺳوف ﻧﺣل ﻧﻔس اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى اﻛﺛر اﺧﺗﺻﺎ ار ‪:‬‬

‫;}‪x={0,1,2,3,4,5,6‬‬ ‫;}‪f={1/16,2/16,3/16,3/16,5/16,1/16,1/16‬‬

‫‪u  x  32‬‬ ‫}‪{9,4,1,0,1,4,9‬‬ ‫‪c=u*f‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪, 0,‬‬ ‫‪, ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16 2 16‬‬ ‫‪16 4 16‬‬

‫‪‬‬

‫]‪Apply[Plus,c‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ u (X )  (X  ) 2‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺗوﻗﻌﺔ ﺧﺎﺻﺔ وﻣﻬﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪19‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪Var(X)  E[(X  )2‬‬ ‫ﻫﻧﺎك رﻣوز أﺧرى ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ﻣﺛل ‪  2‬أو ‪ 2X‬أو )‪ . V(x‬اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌـﻲ ﻟﻠﺗﺑـﺎﯾن ﯾﺳـﻣﻲ اﻻﻧﺣـراف‬ ‫اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪ standard deviation‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ .X‬أي أن ‪:‬‬

‫)‪  X  Var(X‬‬ ‫ﯾﻌطــﻲ اﻟﺗﺑــﺎﯾن ﻣﻘﯾــﺎس ﻟﻠﺗﺷــﺗﯾت ‪ variability‬أو ﻛﻣﯾــﺔ اﻻﻧﺗﺷــﺎر ‪ spread‬ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X‬‬

‫‪٧١‬‬


‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٢-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪. X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﺣﺗوي اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪:‬‬ ‫) ‪( x  ) 2 f ( x‬‬

‫‪(x  ) 2‬‬

‫)‪(x  ‬‬

‫)‪x f (x‬‬

‫) ‪f (x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪49‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪128‬‬

‫‪49‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪8‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪٧٢‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬


‫‪22‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪  E(X)   xf (x) ‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪2  Var(X)  E[X  ]2‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪128‬‬

‫‪  (x  )2 f (x) ‬‬ ‫‪x‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪: KnoxProb‬‬ ‫ﻧﺗﺑــﻊ ﻧﻔــس اﻟﺧط ـوات اﻟﺗــﻰ اﺗﺑﻌــت ﻓــﻰ اﻟﻣﺛــﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗــﻰ اﻟوﺻــول اﻟــﻰ اﻟﺟــزء ‪ Sec 2.1‬ﻣــن‬ ‫اﻟﻔﺻــل اﻟﺛ ــﺎﻧﻰ ‪ .‬وﻫﻧ ــﺎ ﯾــﺗم ﺗﺻ ــﻔﺢ ﻫ ــذا اﻟﺟــزء ﺣﺗ ــﻰ ﯾ ــﺗم اﻟوﺻــول اﻟ ــﻰ اﻟﺷ ــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث ﯾ ــﺗم‬

‫اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﻠﺟزء اﻟﻣظﻠل ﺑﺎﻟﻠون اﻟرﻣﺎدى ‪:‬‬

‫ﺛ ــم ﯾ ــﺗم ﺗﻧﻔﯾ ــذ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ وذﻟ ــك ﺑﺎﻟﺿ ــﻐط ﻋﻠ ــﻰ‬

‫‪ kernel‬ﻣ ــن ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺛ ــم ﻋﻠ ــﻰ‬

‫‪ evaluate cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٧٣‬‬


‫وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء‪ .‬ﺛم ﯾﺗم ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﻛﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ ‫وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ‬ ‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٧٤‬‬


‫وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ وﻧﻧﻘﻠﻬﺎ اﻟﻰ ‪ Word‬ﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ‪.‬‬ ‫وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Knoxprob‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪ Don'tsave‬وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.Knoxprob‬‬

‫ﻧﻔس اﻟﺧطوات ﺳوف ﻧﺗﺑﻌﻬﺎ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن و اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﺣﯾث ﻧﺗﺻﻔﺢ‬ ‫اﻟﺟزء ‪ Sec 2.1‬ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٧٥‬‬


‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ ﺷرﺣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ اﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف‬

‫اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪squared ‬‬

‫‪N1 21  8  2  22 8  3  23 8 ‬‬ ‫‪4 22  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  N squared ‬‬ ‫‪0.9375‬‬ ‫‪0.968246‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل )‪ٕ f(x‬واذا ﻛـﺎن ‪ a, b‬ﻣﻘـدارﯾن‬ ‫ﺛﺎﺑﺗﯾن وﻛﺎن )‪ g(x) , h(x‬ﻗﯾﻣﺗﺎن ﺣﻘﯾﻘﯾﺗﺎن ﻟداﻟﺗﯾن ﻣﺟﺎﻟﻬﻣﺎ ﻛل اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ‪ X‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫])‪E[a g(X)  b h(X)]  aE [g(X)]  bE[ h(X‬‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪:‬‬

‫‪E  a X + b  = a E(X) + b‬‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ b = 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪E ( a X ) = a E (X‬‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ a = 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪٧٦‬‬


‫‪E (b) = b‬‬

‫ﺻﯾﻐﺔ ﻣﺧﺗﺻرة ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ‪The Expected A Shortcut Formula  2‬‬ ‫ﻋــدد اﻟﻌﻣﻠﯾ ــﺎت اﻟﺣﺳ ــﺎﺑﯾﺔ اﻟﺿ ــرورﯾﺔ ﻟﺣﺳ ــﺎب ‪  2‬ﯾﻣﻛ ــن اﺧﺗزاﻟﻬ ــﺎ ﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام اﻟﺻ ــﯾﻐﺔ اﻟﺑدﯾﻠ ــﺔ‬

‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪Var(X)  2  E(X) 2  [E(X)]2‬‬ ‫‪  x 2f (x)   2 .‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻛﻣ ــﺎ ذﻛرﻧ ــﺎ ﺳ ــﺎﺑﻘﺎ ﻓ ــﺈن اﻟﺗﺑ ــﺎﯾن ﯾﻣ ــدﻧﺎ ﺑﻣﻘﯾ ــﺎس ﻟﻛﻣﯾ ــﺔ اﻻﻧﺗﺷ ــﺎر ﻓ ــﻲ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل أو‬ ‫اﻟﺗﺷـﺗت ﺣــول ﻋﻧﺎﺻــر اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ‪ .‬إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﯾﺄﺧــذ ﻗﯾﻣــﺔ واﺣــدة ﻓﻘــط ‪ ،‬أي أن ‪ P(X=c) =1‬ﻓــﻲ‬ ‫ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ E(X) = c‬و ‪. Var(X) = 0‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٣-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﻘطﻌﺎً ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪f(x) = .5‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪= .25‬‬ ‫‪x = 4, 8‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻬذﻩ اﻟداﻟﺔ ﯾﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪E(X) = (2) (.5) + (4) (.25) + (8) (.25) = 4 ,‬‬ ‫)‪E(X2) = (22) (.5) + 42 (.25) + 82 (.25‬‬ ‫‪= 22 .‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2  E(X 2 )  [E(X)]2‬‬ ‫‪ 22  4 2  6.‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو ‪:‬‬

‫‪.   6  2.45‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻬذا‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺧﺗﺻرة ﺣﯾث ‪ ‬ﻣﺳﻣﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و‪Sgmasg‬‬

‫ﻣﺳﻣﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن و‪ sigma‬ﻣﺳﻣﻰ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ) اﻻن ﯾﻣﻛن ﻟﻠﻘﺎرئ ان ﯾﻔﻬم ﺧطوات‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻟﺷرح اﻟﺳﺎﺑق (‪:‬‬ ‫}‪xx={2,4,8‬‬ ‫}‪{2,4,8‬‬

‫‪x2  xx2‬‬ ‫}‪{4,16,64‬‬ ‫}‪fx={.5,.25,.25‬‬ ‫}‪{0.5,0.25,0.25‬‬ ‫‪٧٧‬‬


c=xx*fx {1.,1.,2.}

d  xx2  fx {2.,4.,16.} =Apply[Plus,c] 4. ex=Apply[Plus,d] 22.

sgmasq  ex 2 6.

sgma 



sgmasq

2.44949

(٢٤-٣) ‫ﻣﺛﺎل‬ .(٢٢-٣) ‫أوﺟد اﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺧﺗﺻرة ﻟﻠﻣﺛﺎل‬

x

f (x )

x f (x)

x2

x 2 f (x)

1

1 8 2 8 3 8 2 8

1 8 4 8 9 8 8 8

1

1 8 8 8 27 8 32 8

2 3 4 ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬



4 9 16

22 8

E (X 2 ) 

68 8 : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

22 , 8 x 68 x 2 f (x)  , 8

  E(X)   x f (x)  E(X 2 )   x

Var(X)  E(X 2 )  [E(X)]2 68 22 2   ( )  0.9375. 8 8

٧٨


‫‪15‬‬ ‫‪ 0.9375‬‬ ‫‪16‬‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻬذا‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻣﺧﺗﺻرة ﺣﯾث ‪‬ﻣﺳﻣﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و‪sgmasg‬‬

‫ﻣﺳﻣﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن و‪ sigma‬ﻣﺳﻣﻰ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ‪:‬‬

‫}‪xx={1,2,3,4‬‬ ‫}‪{1,2,3,4‬‬

‫‪x2  xx2‬‬ ‫}‪{1,4,9,16‬‬ ‫}‪fx={1/8,2/8,3/8,2/8‬‬

‫‪1 1 3 1‬‬ ‫‪, , , ‬‬ ‫‪8 4 8 4‬‬

‫‪‬‬

‫‪c=xx*fx‬‬

‫‪1 1 9‬‬ ‫‪, , , 1‬‬ ‫‪8 2 8‬‬ ‫‪d  xx2  fx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪ , 1,‬‬ ‫‪, 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬

‫]‪=Apply[Plus,c‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫]‪ex=Apply[Plus,d‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪sgmasq  Nex  2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0.9375‬‬

‫‪sgma  N sgmasq ‬‬ ‫‪0.968246‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً وﻛﺎن ‪ b, a‬ﺛﺎﺑﺗﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪Var ( a X + b ) = a2 Var (X‬‬ ‫اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻌﻧـﻲ أن إﺿـﺎﻓﺔ اﻟﺛﺎﺑـت ‪ b‬ﻻ ﯾـؤﺛر ﻋﻠـﻰ اﻟﺗﺑـﺎﯾن وذﻟـك ﻷن إﺿـﺎﻓﺔ ‪ b‬ﻏﯾـر اﻟﻣوﻗـﻊ‬ ‫) اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ( وﻟم ﯾؤﺛر ﻋﻠﻰ اﻧﺗﺷﺎر اﻟﻘﯾم ‪.‬‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪:‬‬

‫‪ax  a . x‬‬

‫‪2aX  a 2 2X‬‬

‫‪,‬‬

‫وﺟــود اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌــﺔ ﻓــﻲ ﺻــﯾﻐﺔ اﻻﻧﺣ ـراف اﻟﻣﻌﯾــﺎري ‪  aX‬ﺳــﺑﺑﻬﺎ أن ‪ a‬ﻗــد ﺗﻛــون ﺳــﺎﻟﺑﺔ‬ ‫ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻻ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ﺳﺎﻟب ‪.‬‬

‫‪٧٩‬‬


‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪:‬‬

‫‪2X b  X2 .‬‬ ‫إذا ﻛ ـ ــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـ ـراً ﻋﺷـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﺑﻣﺗوﺳ ـ ــط ‪ ‬واﻧﺣـ ـ ـراف ﻣﻌﯾ ـ ــﺎري ‪ ‬ﻓ ـ ــﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻲ‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪ u(X)  Y ‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﻣﻌﯾﺎري ) أو اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ( ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ .X‬ﻣن اﻟﺳﻬل إﺛﺑﺎت أن‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E(Y)  0 , Var(Y) =1.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٥-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻷﺳرة اﻟﺗﻲ ﺗـزور ﻋﯾـﺎدة طﺑﯾـﺔ ﺳـﻧوﯾﺎً ٕواذا ﻛﺎﻧـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.03‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪.05‬‬

‫‪.15‬‬

‫‪.40‬‬

‫‪.37‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫أوﺟد اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ Y‬ﺣﯾث‬

‫‪. Y  (X  ) / ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ X  .9891  .9945 .‬‬

‫‪ X2  .9891‬‬

‫‪,‬‬

‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪.Y‬‬ ‫) ‪P ( X  x )  P( Y  y‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﻌﯾﺎرﯾﺔ‬ ‫‪y  [(x  E(X)]/ ‬‬ ‫‪.37‬‬ ‫‪.40‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫‪.05‬‬ ‫‪.03‬‬

‫‪-.98‬‬ ‫‪.03‬‬ ‫‪1.04‬‬ ‫‪2.04‬‬ ‫‪3.05‬‬

‫‪ X  .97‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد ﻗﯾم‪. Y‬‬ ‫وﻗد اﺳﺗﻌﻧﺎ ﺑﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪X‬‬ ‫}‪a={0,1,2,3,4‬‬ ‫}‪{0,1,2,3,4‬‬ ‫])‪=N[(0)(.37)+(1)(.4)+(2)(.15)+(3)(.05)+(4)(.03‬‬ ‫‪0.97‬‬ ‫‪٨٠‬‬


‫‪squared 02.3712.422.1532.0542.03‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ N squared‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0.9891‬‬ ‫‪0.994535‬‬

‫‪fx_ :‬‬

‫]‪y=Map[f,a‬‬ ‫}‪{-0.97533,0.0301648,1.03566,2.04115,3.04665‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٦-٣‬‬

‫‪e 1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫!‪x‬‬

‫‪, x  0,1,2,‬‬ ‫أوﺟد ‪:‬‬

‫))‪. (  (   1‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪e 1‬‬ ‫)‪(  (  1))   x(x  1‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪2‬‬ ‫!‪y‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪y 0‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻻﺣـظ ﻓــﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ أن اﻟﻣﺟﻣــوع ﻣﺗﻘـﺎرب ﻧﺣــو اﻟﻌـدد ‪ e‬و ﻫــذا ﯾﻌﻧــﻲ أن اﻟﺗوﻗـﻊ أﻋــﻼﻩ ﻣوﺟــود و‬ ‫ﻣﺳﺎو إﻟﻰ ‪. e1  e  1‬‬ ‫ٍ‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻻﯾﺟﺎد‬

‫))‪: (  (   1‬‬

‫‪Exp1‬‬ ‫‪ xx  1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪fx_ :‬‬

‫]}‪a=Sum[f[x],{x,0,‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪ (٤-٢-٣‬اﻟﻌزوم ‪Moments‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ u(X) = X r‬ﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول ﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪ 'r  E (X r )   x r f ( x ) , r  1,2,3,...‬‬

‫)أ( ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ r = 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪٨١‬‬


‫‪'0  E(X 0 )   x 0f (x)   f (x)  1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ r  1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1'  E(X)   x f (x)   .‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪ u (X )  (X  ) r‬ﻓﺈن اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ r  E(X  ) r   (x   ) r f (x),r  1, 2,3,...‬‬ ‫‪x‬‬

‫)أ( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 1‬ﻓﺈن ‪. 1  0‬‬

‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 2‬ﻓﺈن ‪.  2  2‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﻌزم ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻌزم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 2‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2       ( ) 2 j 'j‬‬ ‫‪j0  j ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪ () 2  '0    () 1'   '2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  2  2 2   '2 .‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬

‫‪ 2   '2   2 .‬‬ ‫ﺑﻔرض أن )‪ u(X) = X(X-1) (X-2) …(X-j+1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ﻋزم اﻟﻣﺿروب ) اﻟﻌزم اﻟﻌﺎﻣﻠﻰ ( ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ j‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪[ j]  E[X(X  1)(X  2)...(X  j  1)] .‬‬ ‫)أ( ﻋزم اﻟﻣﺿروب اﻷول ﻫو ‪:‬‬ ‫‪[1]  E(X)   x f (x)   .‬‬ ‫‪x‬‬

‫)ب( ﻋزم اﻟﻣﺿروب اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪[2]  E[X(X  1)]   x f (x)   x f (x)  E(X 2 )  E(X‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪'2   .‬‬ ‫و ﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ '2  [ 2]  .‬‬ ‫‪٨٢‬‬


‫)ج( ﻋزم اﻟﻣﺿروب اﻟﺛﺎﻟث ﻫو ‪:‬‬

‫])‪[3]  E[X(X  1)(X  2‬‬ ‫‪ 3'  3'2  2 .‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ‪:‬‬

‫‪'3  [3]  3[2]  [1] .‬‬

‫‪r‬‬

‫‪ X ‬‬ ‫‪ u(X)  ‬ﻓـ ــﺈن اﻟﻌـ ــزم اﻟﻘﯾﺎﺳـ ــﻲ ﻣ ــن اﻟدرﺟـ ــﺔ ‪ ) r‬اﻟﻣﻌﯾـ ــﺎري ( ﻟﻣﺗﻐﯾـ ــر‬ ‫ﺑﻔ ــرض أن ‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ ‪X‬‬ ‫ﯾﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪X ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪ r  E‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x   ‬‬ ‫‪r  1,2,3,....‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 1‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1  0 .‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪2  1.‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 3‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪32 / 2‬‬

‫‪3 ‬‬

‫واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ‪.‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ r = 4‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 22‬‬

‫‪4 ‬‬

‫واﻟذي ﯾﺳﻣﻲ ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٧-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪٨٣‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪3 f(x‬‬


‫)أ( أوﺟد اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر وﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ‪.‬‬ ‫)ب( ﺣﺳﺎب ﻋزوم اﻟﻣﺿﺎرﯾب اﻷرﺑﻌﺔ‪.‬‬

‫)ج( اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ وﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫) أ ( اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﻪ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر ﻣﻌطﺎﻩ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول ﻧﺟد أن اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪1  3 , 2  9.5 , 3  31.5 , 4  108.5.‬‬

‫‪x 4 f x ‬‬

‫‪x 3 f x ‬‬

‫‪x 2 f x ‬‬

‫‪xf x ‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪40.5‬‬

‫‪13.5‬‬

‫‪4.5‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪64‬‬

‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪108.5‬‬

‫‪31.5‬‬

‫‪9.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪x    x   f x ‬‬

‫‪x   f x  x    f x  x   f x ‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪ 0.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪ 0.25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪,‬‬

‫‪ 4  0.5.‬‬

‫‪3  0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 2  0.5‬‬

‫‪1  0 ,‬‬

‫)ب( ﺣﺳﺎب ﻋزوم اﻟﻣﺿﺎرﯾب اﻷرﺑﻌﺔ ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪ 4  6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪3  9‬‬

‫‪,‬‬ ‫‪٨٤‬‬

‫‪ 2  6.5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1  3‬‬


‫) ج ( اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻌطﻲ اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ ‪:‬‬ ‫وﻟﻛن أوﻻً ‪ :‬ﺑﻔرض أن‬

‫اﻟﺟدول ﺳﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺻورﻩ اﻟﺗﺎﻟﯾﻪ‪:‬‬

‫‪X ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Z  u X ‬‬

‫‪z 4 gz ‬‬

‫‪z 3 gz ‬‬

‫‪z 2 gz ‬‬

‫‪zg z ‬‬

‫‪gz ‬‬

‫‪z‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0.999  1‬‬

‫‪ 0.706‬‬

‫‪0.455  0.5‬‬

‫‪ 0.3535‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0.999  1‬‬

‫‪0.706‬‬

‫‪0.455  0.5‬‬

‫‪0.3535‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪1.414‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1.999  2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪ 4  1.998  2.‬‬

‫‪3  0 ,‬‬

‫‪2  1 ,‬‬

‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ‪  3‬ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء و ﯾﻌطﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3 ‬‬

‫‪‬‬

‫و أن ‪  4‬ﻫو ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ و ﯾﻌطﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪‬‬

‫‪4 ‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﺣﯾث‪‬‬

‫‪,  2 , 3 ,  4‬‬ ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر و ‪:‬‬

‫‪z11, z 22, z33, z44‬‬ ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻌزوم اﻟﻣﺿﺎرﯾب اﻻرﺑﻌﺔ اﻻوﻟﻰ و ‪:‬‬

‫‪ex1, ex 2, ex 3, ex 4‬‬ ‫‪٨٥‬‬

‫‪1  0 ,‬‬


: ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و‬ ‫ و‬z1, z 2, z3, z4

. ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﻌزوم اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ اﻻرﺑﻌﺔ‬

alf 3, alf 4 ‫و‬ ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟـ‬ : ‫ وﻣﻦ اﻟﻤﻌﻠﻮم ان‬. ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﻟﺘﻮاء واﻟﺘﻔﻠﻄﺢ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻰ‬

 3 =alf3 , =(2)(.25)+(3)(.5)+(4)(.25) 3. xx={2,3,4}; fx={.25,.5,.25}; c=xx*fx; d=xx^2*fx; e=xx^3*fx; 4=Apply[Plus,f] f=xx^4*fx; 108.5 =Apply[Plus,c] 3. 2=Apply[Plus,d] 9.5 3=Apply[Plus,e] 31.5 4=Apply[Plus,f] 108.5 cc=(xx-)*fx {-0.25,0.,0.25}

dd  xx 2  fx {0.25,0.,0.25}

ee  xx 3  fx {-0.25,0.,0.25}

ff1  xx 4  fx {0.25,0.,0.25} ex1=Apply[Plus,cc] 0. ex2=Apply[Plus,dd] 0.5 ex3=Apply[Plus,ee] 0. ex4=Apply[Plus,ff1] 0.5





ex4

0.707107 ٨٦

 4 =alf4


a1=xx*fx {0.5,1.5,1.} a2=xx(xx-1)*fx {0.5,3.,3.} a3=xx(xx-1)(xx-2)*fx {0,3.,6.} a4=xx(xx-1)(xx-2)(xx-3)*fx {0,0,6.} z11=Apply[Plus,a1] 3. z22=Apply[Plus,a2] 6.5 z33=Apply[Plus,a3] 9. z44=Apply[Plus,a4] 6.

r1  

xx   

  fx

{-0.353553,0.,0.353553}

r2  

xx   

2

  fx

{0.5,0.,0.5}

r3  

xx   

3

  fx

{-0.707107,0.,0.707107}

r4  

xx   

4

  fx

{1.,0.,1.} z1=Apply[Plus,r1] 0. z2=Apply[Plus,r2] 1. z3=Apply[Plus,r3] 0. z4=Apply[Plus,r4] 2.

alf3 

z3 2

z2 3 0.

alf4 

z4 z22

2.

(‫( اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ )اﻟﻣﺳﺗﻣرة‬٣-٣) Continuous Probability Distributions ٨٧


‫ﻣن ﺻﻔﺎت اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻل اﻧﮫ ﻻ ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ھﻧﺎك اﺣﺗﻣ ﺎل ﻣوﺟ ب ﻣراﻓ ق‬ ‫ﻟﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر أي أن ‪ P(X  x)  0‬وﻟﻛن ﯾﻛون ھﻧﺎك اﺣﺗﻣﺎل ﻣراﻓق ﻟﻛل ﻓﺗ رة ﻣ ن‬ ‫ﻓﺗرات اﻟﻣﺗﻐﯾر‪ .‬وﻟﮭذا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل ﺑﺟ دول وﻟﻛ ن‬ ‫ﻧﻌﺑ ر ﻋﻧ ﮫ ﺑﺻ ﯾﻐﺔ داﻟ ﺔ )‪ f (x‬واﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﻣﻰ داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ‪probability density‬‬ ‫‪ . function‬اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾ ﺎﻧﻲ ﻟﻠداﻟ ﺔ )‪ f (x‬ﺳ وف ﯾﻛ ون ﻣﺗﺻ ل وﯾﺄﺧ ذ أﺷ ﻛﺎل ﻛﺛﯾ رة ‪ .‬واﺣ د ﻣ ن‬ ‫ھ ذه اﻷﺷ ﻛﺎل ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ وﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺗﺣ ت ﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟداﻟ ﺔ )‪f (x‬‬ ‫واﻟﻣﺣددة ﺑﻣﺣور ﺗﺳﺎوي اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ‪ .‬أﯾﺿﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺄﺧذ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻗﯾﻣ ﺔ ﺑ ﯾن‬ ‫‪ x  x 2‬و ‪ x  x1‬ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﺗﺣت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل ﺑ ﯾن ‪ x  x1‬و ‪x  x 2‬‬ ‫‪ .‬اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺑﺎﻟﺿ ﺑط ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ط رق اﻟﺗﻛﺎﻣ ل ‪ .‬وﻷن اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺎت ﺗﻣﺛ ل‬ ‫اﺣﺗﻣﺎﻻت واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻗﯾم ﻣوﺟﺑﺔ‪ ،‬ﻓﺈن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻻﺑد أن ﺗﻛون ﻓوق ﻣﻧﺣﻧﻰ ‪. x‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ )‪ f (x‬ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ‪ X‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾ ﺔ‬ ‫ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ واﻟﻣﺣددة ﺑﻣﺣور ‪ x‬ﺗﺳ ﺎوي اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ ‪ .‬أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﺗﺣ ت اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ‬ ‫ﺑﯾن أي ﻗﯾﻣﺗﯾن ‪ x  x1‬و ‪ x  x 2‬ﺗﻌطﻲ اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ﯾﻘ ﻊ ﺑ ﯾن ‪ x  x1‬و‬ ‫‪. x  x2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٨-٣‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻟﺷﺧص ‪ I‬ﯾﺳﺗﻘل وﺳﯾﻠﺔ اﻟﻧﻘل اﻟﻌﺎم ﻓ ﻲ اﻟ ذھﺎب إﻟ ﻲ ﻋﻣﻠ ﮫ ‪ .‬وﺑﻔ رض أن ﻛ ل‬ ‫ﺧﻣﺳ ﺔ دﻗ ﺎﺋق ﺗﺻ ل ﺳ ﯾﺎرة إﻟ ﻰ اﻟﻣﺣط ﺔ ‪.‬إذا ﻛ ﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ را ً ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ًﻣﺗﺻ ﻼ ً ﯾﻣﺛ ل زﻣ ن‬ ‫اﻻﻧﺗظﺎر ﻟﮭذا اﻟﺷﺧص ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣطﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ] ‪ [ 0 , 5‬ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪,0  x  5,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 0 e.w .‬‬ ‫‪٨٨‬‬


‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪ f (x‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﺔ ﻣن اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪fx_ :‬‬

‫]}‪Plot[f[x],{x,0,5‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ‪ f ( x )  0‬وأن اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗﺳﺎوي ‪. 5.   1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ‪ I‬ﺳوف ﯾﻧﺗظر ﻣن ‪ 1‬إﻟﻲ ‪ 3‬دﻗﺎﺋق ھو ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪x 3 2‬‬ ‫‪P(1  X  3)   f ( x ) dx  ‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪fx_ :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ fxx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬وذﻟك ﺑﺎﻟذﻫﺎب اﻟﻰ اﻟﺟزء‬ ‫‪ Sec3.1‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث‪.‬‬ ‫وﺑﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٨٩‬‬

‫‪1‬‬


. ‫وﺑﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت واﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟذى ﺗﻧﺎوﻟﻧﺎه ﻣن ﻗﺑل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب‬

1 PlotContsProb , x, 0, 5, 1, 3, 5 Ticks  0, 1, 3, 5, Automatic, AxesOrigin  0, 0, PlotRange  All, DefaultFont  "TimesRoman", 8; 0.2

0.15

0.1

0.05

1

3

5 1

P(X  4)   f ( x ) dx   4

4 5

dx   0 dx  5

5

x 5

5 4

: ‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل‬ 1  . 5

: ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮫ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

fx_ :

1 5

٩٠


‫‪5‬‬

‫‪ fxdx‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺣﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪PlotContsProb , x, 0, 5, 4, 5,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Ticks  0, 4, .5, 5, Automatic,‬‬ ‫‪AxesOrigin  0, 0, PlotRange  All,‬‬ ‫;‪DefaultFont  "TimesRoman", 8‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪4‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪.‬‬

‫)‪ (٣-٣-٣‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫ﻋرﻓﻧـﺎ ﻣــن اﻟﻔﺻــل اﻟﺛــﺎﻧﻲ أن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطــﻊ )‪ ، F(x‬ﻷي ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘــﻰ ‪،‬‬

‫‪ ، X‬ﻫـﻲ ) ‪ P(X < x‬وﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑﺟﻣـﻊ )‪ f(y‬ﻋﻠـﻰ ﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم ‪ y‬اﻟﺗـﻲ ﺗﺣﻘـق اﻟﺷـرط‬

‫أن ‪y < x‬‬

‫‪ .‬أﯾﺿـﺎ ﻓـﺈن داﻟـﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ ﻣﺗﺻـل ﻫـﻲ ) ‪ P(X < x‬وﻟﻛـن ﯾﻣﻛـن‬

‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺗﻛﺎﻣل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل )‪ f(y‬ﻣن ‪  ‬ﺣﱴ ‪. x‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻷي ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻰ ‪ x‬ﺗﻌرف ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪F( x )  P(X  x )   f ( y) dy .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﻣﺛــل اﻟداﻟــﺔ )‪ F(x‬ﻷي ﻋــدد ﺣﻘﯾﻘــﻲ ‪ x‬اﻟﻣﺳــﺎﺣﺔ ﺗﺣــت اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻋﻠــﻰ ﯾﺳــﺎر‬ ‫اﻟﻌــدد ‪ x‬ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣوﺿــﺢ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ‪ .‬أﯾﺿــﺎ ﯾﻼﺣــظ ﻣــن ﺑﯾــﺎن )‪ F(x‬أن )‪ F(x‬ﺗزﯾــد زﯾــﺎدة‬ ‫ﻣﺿطردة ﻣﻊ زﯾﺎدة ‪. x‬‬

‫‪٩١‬‬


‫ﺗﺣﻘق داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪0  F(x)  1‬‬

‫)ب( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﺗﺗزاﯾد ﺗ ازﯾـداً ﻣﺿـطرداً ﻟﺟﻣﯾـﻊ ﻗـﯾم ‪ ، x‬أي أﻧـﻪ إذا ﻛﺎﻧـت ‪ a , b‬ﻗﯾﻣﺗـﯾن ﻓـﻲ‬ ‫ﻧطﺎق اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻓﺈن )‪. a  b  F(a )  F(b‬‬ ‫)ج( اﻟداﻟﺔ )‪ F(x‬ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻋﻧد ﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم ‪. x‬‬ ‫ﯾرﺟــﻊ أﻫﻣﯾــﺔ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ )‪ F(x‬ﻓــﻲ أﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن ﺣﺳــﺎب اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت ﻟﻠﻔﺗ ـرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ وذﻟــك ﻣــن‬

‫ﺻ ــﯾﻐﺔ )‪ F(x‬أو ﺟ ــدول ﺧ ــﺎص ﺑداﻟ ــﺔ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ )‪ . F(x‬ﻓ ــﺈذا ﻛ ــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﺑداﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل )‪ f (x‬وداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻓﺈﻧﻪ ﻷي ﻗﯾﻣﺗﯾن ‪ a , b‬ﺣﯾث ‪ a < b‬ﯾﻛون‪:‬‬ ‫‪P(a  X  b)  F(b)  F(a ) .‬‬

‫واﻟﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٩٢‬‬


‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٩-٣‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً وﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪, 0x6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫ﻟﻘﯾم ‪ x < 0‬ﻓﺈن ‪ F(x) = 0‬وذﻟك ﻟﻌدم وﺟـود ﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ ﻟداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر اﻟﻘﯾﻣـﺔ ‪ X‬ﻟﻘـﯾم ‪ x > 6‬ﻓـﺈن ‪ F(x) = 1‬وذﻟـك ﻷن ﻛـل اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺗﺟﻣـﻊ إﻟـﻲ‬

‫اﻟﯾﺳﺎر ﻣن ‪ X‬ﻓﻲ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﻟﻘﯾم ‪ 0  x  6‬ﻓﺈن‬

‫‪x‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪dy ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫﻲ ‪-:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪F(x)   f (y) dy  ‬‬

‫‪0 6‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪0x6‬‬ ‫‪x  6.‬‬

‫ﺑﯾﺎن )‪ F(x‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٩٣‬‬

‫‪‬‬

‫‪F(x)  0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬


‫اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗـﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟـﺎد )‪ F(x‬واﯾﺿـﺎ ﻻﯾﺟـﺎد ﺑﯾـﺎن ﻛـل ﻣـن )‪ f(x) , F(x‬ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ‬ ‫اﻟﺷﻛﻠﯾﯾن اﻟﺗﺎﻟﯨﯾن ‪:‬‬ ‫‪ t‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪gx_ :‬‬

‫‪6‬‬

‫‪Plot[g[x],{x,0,6},PlotStyle‬‬‫‪>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪٩٤‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬


fx_ :

1 6

Plot[f[x],{x,0,6},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"TimesRoman",8}];

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

1

2

3

4

5

6

(٣٠-٣)‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬X ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‬

 0 f ( x)   2 ax a x e

x0 x0 : ‫ ﺛﺎﺑت ﻣوﺟب أوﺟد داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ‬a ‫ﺣﯾث‬ :‫اﻟﺣــل‬

 0 x 0 x  F(x)   f (y)dy   x 2 ay   a y e dy x 0   0 : ‫ وﺑﺈﺟراء اﻟﺗﻛﺎﻣل ﺑﺎﻟﺗﺟزﺋﺔ ﻓﺈن‬u = ay ‫ﺑوﺿﻊ‬ x

ax

ax

0

0

0

2 ay u u  a y e dy   u e du  u( e )

 ax e ax  ( e u )

ax

  ( e u )du 0

ax 0

 1  (1  ax)e ax , :‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ٩٥


‫‪x<0‬‬

‫‪F (x) = 0‬‬

‫‪ 1  (1  ax)e ax , x  0.‬‬ ‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬

‫)‪ (٢-٣-٣‬اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪Percentile‬‬ ‫ﯾﻣﻛن وﺻف ﺧﺻﺎﺋص أﺧرى ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺧﻼل ﻛﻣﯾﺎت ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾـف ‪ :‬إذا ﻛـﺎن ‪ ، 0 < p < 1‬ﻓـﺈن اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ )‪ (100p‬ﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل )أو‬ ‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ ( X‬ﻫو اﻟﺣل ‪ xp‬ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪xp‬‬ ‫‪p  F(x p )   f (y) dy .‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﺑﻌــﺎً ﻟﻠﺻــﯾﻐﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ‪ ،‬ﻓــﺈن ‪ x p‬ﻫــو اﻟﻘﯾﻣــﺔ ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘــﻲ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﺑﺣﯾــث أن‬ ‫‪ 100p%‬ﻣـ ــﻦ اﻟﻣﺳـ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣـ ــت ﻣﻧﺣﻧـ ــﻰ )‪ f (x‬ﯾﻘـ ــﻊ ﻋﻠـ ــﻰ ﯾﺳـ ــﺎر ‪ x p‬و ‪ 100(1-p)%‬ﺗﻘـ ــﻊ ﻋﻠـ ــﻰ‬ ‫ﯾﻣﯾﻧﻬ ــﺎ‪ .‬ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل ‪ x .75‬هو اﻟﻣﺋ ــﯾن اﻟﺧ ــﺎﻣس واﻟﺳ ــﺑﻌﯾن واﻟ ــذي اﻟﻣﺳ ــﺎﺣﺔ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻲ‬ ‫)‪ f (x‬ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎر اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ x.75‬ﻫو ‪ . p=0.75‬اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ اﻟﺗﻌرﯾف ‪:‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎً ‪ ،‬ﻗد ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﺻل وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺳوف ﯾوﺟد ﺑﻌـض اﻟﻘـﯾم ‪ p‬واﻟﺗـﻲ ﺗﻛـون اﻟﻣﻌﺎدﻟـﺔ‬

‫)‪ p = F (xp‬ﻟﻬﺎ أﻛﺛـر ﻣـن ﺣـل و ﯾﻣﻛـن وﺿـﻊ ﺗﻌرﯾـف ﻋـﺎم ﻟﻠﻣﺋـﯾن ﺣﯾـث اﻟﻣﺋـﯾن ذو اﻟرﺗﺑـﺔ ‪( 100‬‬ ‫)‪ p‬ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫو اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ xp‬ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬

‫‪٩٦‬‬


‫‪P [ X  x p ]  p and P [ X  x p ]  1-p .‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬ ‫اﻟوﺳــﯾط ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﺗﺻــل ﻣــﺎ ‪ ،‬ﯾرﻣــز ﻟــﻪ ﺑــﺎﻟرﻣز ‪ ، m0‬ﻫــو اﻟﻣﺋــﯾن اﻟﺧﻣﺳــﯾن وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ‪ m0‬ﯾﺣﻘــق‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪. F(m0) = .5‬أي أن ﻧﺻﻧف اﻟﻣﺳـﺎﺣﺔ ﺗﺣـت داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺗﻘـﻊ ﻋﻠـﻰ ﯾﺳـﺎر ‪ m0‬و‬ ‫اﻟﻧﺻـف اﻵﺧــر ﯾﻘـﻊ ﻋﻠــﻰ ﯾﻣــﯾن ‪ . m0‬ﻓـﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻟﺗطﺑﯾﻘـﺎت ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟوﺳــﯾط ﺑـدﻻ ﻣــن اﻟﻣﺗوﺳــط‬ ‫ﻛﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪.‬‬

‫إﯾﺟﺎد )‪ f(x‬ﻣن )‪F(x‬‬ ‫ﻋرﻓﻧﺎ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أﻧﻪ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷـواﺋﻲ ﻣﺗﻘطـﻊ ﻓـﺈن )‪ f(x‬ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺑـﺎﻟﻔرق ﺑـﯾن‬ ‫ﻗﯾﻣﺗــﯾن ﻟﻠداﻟــﺔ )‪ . F(x‬ﺑﯾﻧﻣــﺎ إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻــﻼً ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل )‪f(x‬‬

‫وداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ )‪ F(x‬ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻧد أي ﻧﻘطﺔ ‪ x‬ﺣﯾث أن اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ اﻷوﻟﻲ )‪ F(x‬ﻣﻌرﻓﺔ ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)‪dF(x‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪(٣١-٣‬‬

‫أوﺟد دوال ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ F(x‬اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٩٧‬‬


‫‪1exp  x ‬‬ ‫‪F(x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬

‫‪,0 x ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪exp  x ‬‬ ‫‪,x 0‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ F(x‬اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫‪Fx_ : 1 x‬‬ ‫]‪D[F[x],x‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪ (٣-٣-٣‬اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ‪The Expected Value‬‬

‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﻘطﻊ ‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﻋرﻓﻧﺎ ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻲ ‪ ،‬ﻓﺈن )‪ E(X‬ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾـﻪ ﺑﺟﻣـﻊ‬

‫)‪ x f(x‬ﻟﺟﻣﯾــﻊ ﻗــﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ‬

‫‪ .X‬ﻫﻧــﺎ ) ﺑﺎﻟﻧﺳــﺑﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﺗﺻــل ( ﺳــوف‬

‫ﻧﺳﺗﺑدل اﻟﻣﺟﻣوع ﺑﺎﻟﺗﻛﺎﻣل ‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾــف ‪ :‬اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌــﺔ أو اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﻣﺗوﺳــطﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﻣﺗﺻــل ﻟــﻪ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣﺎﻟﯾــﺔ‬ ‫)‪ f (x‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  E(X)   xf (x) dx .‬‬ ‫‪‬‬

‫وﯾﻘﺎل أن )‪ E(X‬ﻣوﺟودة إذا و إذا ﻓﻘط ﻛﺎن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪x f (x) dx  ‬‬

‫‪Ex  ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٣٢-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺑﯾﻌﺎت اﻷﺳﺑوﻋﯾﺔ ﻟﺳﻠﻌﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪f (x)  (1  x 2‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد اﻟﺗوﻗﻊ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٩٨‬‬


‫‪‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪  E(X)   xf (x) dx   x (1  x 2 )dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪3 x2 x4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪  (x  x )dx  ( ‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗوﻗﻊ ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1  x2x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٣-٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1/ ‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪   x  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ x/‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  E(X)  ‬‬ ‫) ‪dx  lim ( log(1  x 2‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 x‬‬ ‫واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻏﯾر ﻣﻌﻠوﻣﺔ ‪ ،‬أي أن ‪ ‬ﻏﯾر ﻣوﺟود ‪.‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺗوﻗﻊ ‪:‬‬

‫…‪on , . More‬‬

‫‪1 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1  x2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Integrate ::idiv  : ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Integral of‬‬ ‫‪does not converge‬‬ ‫‪   x2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪  1  x2‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻧﺎﺗﺞ اﺛﺑت ان اﻟﺗوﻗﻊ ﻏﯾر ﻣوﺟود واﺧرج ﻟﻧﺎ ﻣرة اﺧرى اﻟﻣدﺧل ﺑﻌد ارﺳﺎل رﺳﺎﻟﺔ ‪.‬‬

‫‪٩٩‬‬

‫‪‬‬


( ٣٤-٣) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬X ‫إذا ﻛﺎن‬  1 0 x 1  f (x)   2 x 0 , e.w. ٠ 2 X ‫ و‬E(X) ‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬

1 1 1 E(X)   x dx  . 3 0 2 x 1 1 1 2 E(X )   x 2 dx  . 5 0 2 x 2X  E(X 2 )  [E(X)]2 , 1 1 4    . 5 9 45 . ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ ﺗﻣﺛﯾل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‬

1

fx_ :

2 x

Plot[f[x],{x,0,1},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"TimesRoman",8}] 12 10 8 6 4 2

0.2

0.4

0.6

0.8

Graphics

1

xx1   x  fx x 0

١٠٠

1


‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪xx2   x2  fxx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪var=xx2-xx1^2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪45‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟوﺳﯾط ﻫو اﻟﻣﺋن اﻟﺧﻣﺳﯾن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٥ -٣‬‬ ‫ﺑﻔرض أن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪F(x)  1  e (x / 3‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫اﻟوﺳﯾط ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪0.5  1  e (m0 / 3‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪m 0  3[ ln(1  .5)]2  3 ln 2  2.498.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻻﯾﺠﺎد اﻟﻮﺳﯿﻂ وﺳﻮف ﻧﺎﺧﺬ اﻟﺤﻞ ان اﻟﻮﺳﯿﻂ‬ ‫ﯾﺳﺎوى ‪x2.49766‬‬ ‫‪ x 2‬‬

‫‪  0.5  0, x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Solve1  ‬‬

‫}}‪{{x-2.49766},{x2.49766‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٦ -٣‬‬ ‫ﻟﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪f (x)  4x 3‬‬

‫‪0  x 1‬‬

‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪١٠١‬‬


‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪ x4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪F(x)  0‬‬

‫‪4y4‬‬ ‫‪  4y dy ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪F(m 0 )  .5‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪( m 0 ) 4  .5‬‬

‫‪=0.840896415.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط‪:‬‬

‫‪1/4‬‬

‫)‪m0 = (.5‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪aa1   4t3t‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪m‬‬

‫]‪Solve[aa1-0.50,m‬‬ ‫‪{{m-0.840896},{m0. -0.840896 },{m0. +0.840896‬‬ ‫‪},{m0.840896}} x0.840896‬‬

‫ﺳوف ﻧﺎﺧذ اﻟﺣل ان اﻟوﺳﯾط ﻫو ‪m 0.840896‬‬ ‫ﺣل اﺧر ‪:‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ 4  x x  1 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻣن اﻟﻣﺧرج ﻧﺣﺳب ‪ m‬وﻫو اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪m ‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﻟﻬـﺎ ﻗﯾﻣـﺔ ﻋظﻣـﻰ وﺣﯾـدة ﻋﻨـﺪ ‪x‬‬ ‫‪ = m‬أي أن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻌظﻣﻰ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x‬ﺗﺴﺎوى )‪ f(m‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓـﺈن ‪ m‬ﯾﺳـﻣﻰ ﻣﻧـوال اﻟﻣﺗﻐﯾـر‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪. X‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٣٧ -٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪١٠٢‬‬


‫‪x 0‬‬ ‫‪0 x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F(x)   x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫أوﺟد واﻟﻣدى‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻣدى ﻫو ‪: x 0.75  x 0.25‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن‪،‬‬

‫‪0.75  x 0.75  x 0.75  (0.75)2‬‬ ‫‪0.25 x 0.25  x 0.25 (0.25)2‬‬ ‫إذن‬

‫‪x 0.75  x 0.25  (0.75)2  (0.25)2  0.5.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٨ -٣‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠدوال اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)أ(‬ ‫)ب(‬

‫‪f (x)  12 x 2 (1  x) , 0  x‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x)  x 2 e x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫)‪df (x‬‬ ‫‪ 24x  36x 2 ,‬‬ ‫)أ(‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪df (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو ‪m ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل )ا(‬

‫‪fx_ : 12x21  x‬‬ ‫]‪aa1=D[f[x],x‬‬ ‫‪١٠٣‬‬


‫‪24 1  x x  12 x2‬‬ ‫]‪Solve[aa10,x‬‬

‫ﺳوف ﻧﺧﺗﺎر ﻣن اﻟﻣﺧرج اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوى ‪.3/2‬‬ ‫)‪df (x‬‬ ‫)ب( اﻟﻣﻧوال ﻫو اﻟﺣل ﻟﻠﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪ 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪2xe x  x 2 e x  0‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﻧوال ﻫو ‪. m  2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x  0, x ‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻣﻧوال ‪:‬‬

‫‪1 x 2‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫]‪Solve[%==0,x‬‬ ‫}}‪{{x0},{x2‬‬

‫وﻗد اﻋطﺎﻧﺎ ﺣﻠﯾن وﻟﻛن ﻧﺎﺧذ اﻟﺣل اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوى اﺛﻧﯾن ‪.‬‬

‫ﻋﻣوﻣـ ــﺎ ‪ ،‬ﯾﺧﺗﻠـ ــف اﻟﻣﺗوﺳـ ــط ﻋـ ــن اﻟوﺳـ ــﯾط ﻋـ ــن اﻟﻣﻧ ـ ـوال وﻟﻛـ ــن ﻫﻧـ ــﺎك ﺣـ ــﺎﻻت ﯾﻛـ ــون ﻓﯾﻬـ ــﺎ اﻟﺛﻼﺛـ ــﺔ‬ ‫ﻣﺗﺳ ــﺎوﯾﯾن ‪ .‬ﯾﻘ ــﺎل ﻟﻠﺗوزﯾ ــﻊ أﻧ ــﻪ ﻣﺗﻣﺎﺛ ــل ‪ symmetric‬إذا ﻛ ــﺎن ﺑﯾ ــﺎن )‪ f (x‬ﻋﻠ ــﻰ ﯾﺳ ــﺎر ﻧﻘط ــﺔ ﻣ ــﺎ ‪،‬‬ ‫ﻟ ــﺗﻛن ‪ ، c‬ﻫ ــﻰ اﻟﺻ ــورة ﻓ ــﻲ اﻟﻣـ ـرآة ﻋﻠ ــﻰ ﯾﻣ ــﯾن ﻫ ــذﻩ اﻟﻧﻘط ــﺔ ‪ .‬ﺗﺳ ــﻣﻰ اﻟﻧﻘط ــﺔ ‪ c‬ﻧﻘط ــﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛ ــل ‪.‬‬ ‫وﺑﻣﻌﻧـﻰ آﺧــر إذا أﻣﻛﻧﻧـﺎ أﻗﺎﻣــﺔ ﻋﻣـود ﻋﻠــﻰ اﻟﻣﺣــور اﻷﻓﻘـﻰ ﺑﺣﯾــث ﯾﻘﺳـم اﻟﻌﻣــود اﻟﺗوزﯾـﻊ إﻟــﻰ ﻗﺳــﻣﯾن‬

‫ﯾﻧطﺑﻘــﺎن ﻋﻠــﻰ ﺑﻌﺿــﻬﻣﺎ ﺗﻣــﺎم اﻻﻧطﺑ ــﺎق ‪ .‬اﻟﻧﻘطــﺔ ‪ c‬اﻟﺗــﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧــﺎ ﻣ ــن إﻗﺎﻣــﺔ اﻟﻌﻣــود ﺗﺳــﻣﻰ ﻧﻘط ــﺔ‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛـ ـ ــل ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧـ ـ ــت )‪ f (x‬ﻣﺗﻣﺎﺛﻠـ ـ ــﺔ ﺣـ ـ ــول اﻟﻧﻘطـ ـ ــﺔ ‪ c‬وﻛـ ـ ــﺎن اﻟﻣﺗوﺳـ ـ ــط ﻣوﺟـ ـ ــود ﻓـ ـ ــﺈن ‪. c  ‬‬ ‫وﺑﺎﻹﺿ ــﺎﻓﺔ ﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك إذا ﻛﺎﻧ ــت ﻟﻠداﻟ ــﺔ )‪ f (x‬ﻧﻘط ــﺔ ﻋظﻣ ــﻲ وﺣﯾ ــدة ﻋﻧ ــد ‪ ) m‬اﻟﻣﻧـ ـوال( ووﺳ ــﯾط‬ ‫وﺣﯾد ‪ m0‬ﻓﺈن ‪   m  m 0‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪١٠٤‬‬

‫‪c‬‬


‫إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈﻧـﻪ ﯾﻛـون ﻣﻠﺗوﯾـﺎً وﻗـد ﯾﻛـون ﻣﻠﺗوﯾـﺎً ﻧﺎﺣﯾـﺔ اﻟﯾﻣـﯾن ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ‬

‫اﻟﺷﻛل اﻟذى ﯾﻠﯾﻪ أو ﻣﻠﺗوﯾﺎً ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﺳـﺎر ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ ‪ .‬ﯾﻛـون اﻟﺗوزﯾـﻊ‬ ‫ﻣﻠﺗوﯾــﺎ ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﻣــﯾن أو ﻣوﺟــب اﻻﻟﺗ ـواء ‪positive skewed‬‬

‫إذا ﻛــﺎن ﻣﻌــدل اﻟﺗﻧــﺎﻗص ﻓــﻲ‬

‫اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أﺳـرع ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﻣـﯾن ﻣﻧـﻪ ﺟﻬـﺔ اﻟﯾﺳـﺎر ﺑﺣﯾـث ﯾﻛـون اﻟﺟﺎﻧـب اﻷﯾﻣـن ﻣـن اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ أطـول ﻣـن‬ ‫اﻟﺟﺎﻧــب اﻷﯾﺳــر ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎً إﻟــﻰ اﻟﯾﺳــﺎر وﺳــﺎﻟب اﻻﻟﺗ ـواء ‪ negative skewed‬إذا‬ ‫ﻛﺎن ﻣﻌدل اﻟﺗﻧﺎﻗص ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﺳرع ﺟﻬﺔ اﻟﯾﺳﺎر ﻣﻧﻪ ﺟﻬﺔ اﻟﯾﻣـﯾن ﺑﺣﯾـث ﯾﻛـون اﻟﺟﺎﻧـب اﻷﯾﺳـر‬

‫ﻣــن اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ أطــول ﻣــن اﻟﺟﺎﻧ ــب اﻷﯾﻣــن ‪ .‬ﯾﺳــﺗﺧدم ﻣﻌﺎﻣــل اﻻﻟﺗـ ـواء ‪،‬اﻟــذي ﺗﻧﺎوﻟﻧــﺎﻩ ﻓــﻲ اﻟﻔﺻ ــل‬ ‫اﻟﺛــﺎﻧﻲ ﻓــﻲ ﻗﯾــﺎس اﻻﻟﺗ ـواء وﯾﻌﺗﺑــر ﻣﻘﯾــﺎس ﻧﺳــﺑﻲ ﻻ ﯾﻌﺗﻣــد ﻋﻠــﻰ وﺣــدات اﻟﻘﯾــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪3/ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪١٠٥‬‬


‫ﯾﺄﺧذ ﻛل ﻣن ‪  3 , 3‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣوﺟﺑـﺔ أو اﻟﺳـﺎﻟﺑﺔ أو اﻟﺻـﻔر وداﺋﻣـﺎً ﯾﻛوﻧـﺎن ﻣﺗﻔﻘـﺎن ﻓـﻲ اﻹﺷـﺎرة‬ ‫‪ .‬اﻟﻘﯾﻣــﺔ اﻟﺳــﺎﻟﺑﺔ ﻣــن ‪  3‬داﺋﻣــﺎ ﺗوﺟــد ﻋﻧــدﻣﺎ ﯾﻛــون اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻠﺗوﯾــﺎً ﻧﺎﺣﯾــﺔ اﻟﯾﺳــﺎر ﺑﯾﻧﻣــﺎ اﻟﻘﯾﻣــﺔ‬ ‫اﻟﻣوﺟﺑﺔ ﻣن ‪ 3‬ﺗوﺟد داﺋﻣﺎً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎً ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن‪.‬‬ ‫ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﻌــزم اﻟ ارﺑــﻊ ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳــط ﻛــدﻟﯾل ﻟﻠــﺗﻔﻠطﺢ أو اﻟﺗــدﺑب ﻟﺗوزﯾــﻊ اﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ‪ ،‬وﻋﻠــﻰ‬ ‫ذﻟك ﻓﺈن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪  4‬ﻫو ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ X ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫واﻟ ــذي ﻻ ﯾﻌﺗﻣـ ــد ﻋﻠ ــﻰ وﺣـ ــدات اﻟﻘﯾـ ــﺎس ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ ‪ . X‬ﻟﺗﻘـ ــدﯾر ﺗ ــدﺑب اﻟﻘﻣـ ــﺔ ﻟﺗوزﯾـ ــﻊ‬ ‫اﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﯾﺳـﺗﺧدم ﺗوزﯾـﻊ ﻣﺷـﻬور وﻫـو اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻲ اﻟـذي ﺳـوف ﻧﺗﻧﺎوﻟـﻪ ﻓـﻲ اﻟﻔﺻـل اﻟﺳـﺎدس‬

‫ﻛﻣﻘﯾــﺎس ﻷن ‪  4‬ﻟﻬــذا اﻟﺗوزﯾــﻊ ﺗﺳــﺎوي ‪ . 3‬ﻷي ﺗوزﯾــﻊ آﺧــر ﻧﻘــول أن اﻟﺗوزﯾــﻊ أﻛﺛــر ﺗــدﺑﺑﺎ ﻣــن‬

‫اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ إذا ﻛــﺎن ‪ .  4 > 3‬أﯾﺿــﺎ ﻧﻘــول أن اﻟﺗوزﯾــﻊ أﻛﺛــر ﺗﻔﻠطﺣــﺎً ﻣــن اﻟﺗوزﯾــﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ إذا ﻛﺎن ‪ .  4 < 3‬اﻷﻧواع اﻟﺛﻼﺛﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫‪١٠٦‬‬


‫ﻓﻔـﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺳــﺎﺑق ﺛــﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾـﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ ﻓــﻲ ﻛﻣﯾــﺔ اﻟـﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ ‪ ، A ،‬ذو اﻟﻘﻣــﺔ اﻟﻣدﺑﺑــﺔ‪.‬‬

‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺛﺎﻧﻲ ‪ ، B ،‬وﻫو اﻟﻣﻌﺗدل ﯾﻛـون ﻣﺗوﺳـط اﻟـﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬وأﺧﯾـراً اﻟﻣﻧﺣﻧـﻰ‬

‫‪ ، C ،‬اﻟﻣﻔﻠطـﺢ‬

‫واﻟــذى ﯾﻛــون ﻣﻧﺑﺳــطﺎً وﺗــﻧﺧﻔض ﻗﻣﺗــﻪ ﻋــن ﻗﻣــﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﻣﻌﺗــدل ‪ .‬وأﺧﯾ ـراً اﻟﻣﻌﻠوﻣــﺎت ﻋــن اﻟﺗﺷــﺗت‬ ‫واﻟﻣوﻗﻊ واﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﺎدة ﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ إﻋطﺎء ﺻورة ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬

‫ﻧظرﯾــﺔ ‪ :‬إذا ﻛ ــﺎن ﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﻣﺗﻣﺎﺛ ــل ﺣــول اﻟﻣﺗوﺳ ــط )‪   E(X‬ﻓ ــﺈن اﻟﻌ ــزم‬ ‫اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ‪ ‬ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر أي أن ‪.  3  0‬‬ ‫ﺗﻌﻧﻲ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن ‪  3  0‬ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻻ ﯾﻛون ﻣﺗﻣﺎﺛل واﻟﻌﻛـس ﻏﯾـر ﺻـﺣﯾﺢ‬ ‫ﺑﻣﻌﻧﻲ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون ‪.  3  0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٩ -٣‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل‬ ‫‪2(1 x) 0 x 1‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻌزوم ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪١٠٧‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪E(X r )  2  x r (1 x)dx,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2  (x r  x r 1)dx,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x r 1 x r  2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪ r 1 r  2  (r 1)(r  2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ ﺣول اﻟﺻﻔر ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪fr_ :  2 xr  1  xx‬‬ ‫‪0‬‬

‫]‪f[1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‪f[2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫]‪f[3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫]‪f[4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٤٠ -٣‬‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل‬ ‫ا‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪X‬‬ ‫‪0x 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬

‫أوﺟد‪:‬أ( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر‪٠‬‬

‫ب( اﻟﻌزوم اﻻرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط‪٠‬‬ ‫ج( ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ‪٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ(‬ ‫‪١٠٨‬‬


r 1 1 1 x r  E(X r )   x r dx  , r  1 0 0 1  r 1,2,3, r 1

1 1 1 1 1  , 2  , 3  , 4  . 2 3 4 5 1 r r  E(X  0.5)   (x 0.5)r dx, 0 1  (x 0.5)r 1  1  r 1    0.5 (0.5)r 1 .   r 1   r 1  0

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

(‫ب‬

:‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

1  0 ,  2  0.083 , 3  0 ,  4  0.0125. :‫ج(ﻣﻌﺎﻣل اﻹﻟﺗواء ﻫو‬  3  3  0. 3 2 2

:‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو‬

 0.0125 4  4   1.81.  22 (0.083)2

1

fr_ :  xrx 0

f[1]

1 2 f[2]

1 3 f[3]

1 4 ١٠٩

: ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟﺣل‬


f[4]

1 5

1

gr_ :  x  mr x 0

g[1] 0

2=g[2]

1 12 3=g[3] 0

4=g[4]

1 80 3 

3 3

2 2 0

4 

4  N 22

1.8

١١٠


‫اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ‬ ‫ﻋرض ووﺻف اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬

‫‪١١١‬‬


‫)‪ (١-٤‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت واﻟﻌﯾﻧﺎت‬

‫‪Populations and Samples‬‬

‫ﺗﺳﺟل ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﺗﺟرﺑﺔ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬إﻣﺎ ﺑﻘﯾﻣ ﺔ رﻗﻣﯾ ﺔ أو ﺗﻣﺛﯾ ل وﺻ ﻔﻰ‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‬ ‫ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻣره واﺣ دة وإذا ﻛ ﺎن اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﻧﻘ ﺎط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﺳ طﺢ اﻟﻌﻠ وي‬ ‫ﻟﻠﻧ رد ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺳ ﺟل ﻗﯾﻣ ﺔ رﻗﻣﯾ ﺔ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د ﺳ ؤال ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ھﯾﺋ ﺔ ﻣ ﺎ ﻋ ن اﻟﺣﺎﻟ ﺔ‬ ‫اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ ﻟﻛل ﻣﻧﮭم‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟوﺻﻔﻲ ﯾﻛون أﻛﺛر ﻓﺎﺋدة‪ .‬ﻋﺎدة ﯾﮭﺗم اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﺑ ﺎﻟﻘﯾم اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ‬ ‫ﻟ ذﻟك ﻓ ﺈن اﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟوﺻ ﻔﻲ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺣوﯾﻠ ﮫ إﻟ ﻰ ﻗ ﯾم ﻋددﯾ ﺔ‪ .‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺟل ﻣ ن ﻧﺗﯾﺟ ﺔ ﺗﺟرﺑ ﺔ‬ ‫إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﺑﯾﺎن أو ﻣﺷ ﺎھدة )ﻣﻘﯾ ﺎس( ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻘ وم ﺑﺎﺣ ث ﺑﺗﺻ ﻧﯾف اﻟﻌ ﺎﻣﻠﯾن ﻓ ﻲ ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ‬ ‫ﺣﺳب اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾﺔ‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﻟدﯾﮫ ﻋدد ﻣﺣ دود ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات‪ .‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻋﻧ د إﻟﻘ ﺎء‬ ‫زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وﺗﺳﺟﯾل ﻋدد اﻟﻧﻘط اﻟﺗﻲ ﺗظﮭر ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻓﺋﺔ ﻻﻧﮭﺎﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻘﯾم‪ .‬ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ‪ ،‬ﺳواء ﻛﺎﻧت ﻣﺣدودة أو ﻏﯾر ﻣﺣدودة‪ ،‬ﺗﺳ ﻣﻰ‬ ‫ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ ٠population‬ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧوات اﻟﻣﺎﺿ ﯾﺔ ﻛﺎﻧ ت ﻛﻠﻣ ﺔ ﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ ﻣﺷ ﺎھدات ﻣ ن‬ ‫دراﺳ ﺎت إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﺗﺷ ﻣل أﺷ ﺧﺎص‪ .‬أﻣ ﺎ اﻵن ﻓ ﺈن اﻹﺣﺻ ﺎﺋﻲ ﯾﺳ ﺗﺧدم ھ ذه اﻟﻛﻠﻣ ﺔ ﻟﺗﺷ ﯾر إﻟ ﻰ‬ ‫ﻣﺷ ﺎھدات ﻋ ن أي ﺷ ﻲء ﻣوﺿ ﻊ اھﺗﻣﺎﻣ ﮫ ﺳ واء ﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﺧﺎص‪ ،‬ﺣﯾواﻧ ﺎت‪ ،‬ﻧﺑﺎﺗ ﺎت…‪.‬‬ ‫اﻟﺦ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣن ﻛل اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺗﻲ ﻧﮭﺗم ﺑﮭﺎ ‪.‬‬ ‫ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳ ﻣﻰ ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ وﻋ ﺎدة ﯾرﻣ ز ﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺑ ﺎﻟرﻣز‬ ‫‪ ،N‬وﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻘول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د ﺗﺻ ﻧﯾف ‪ 500‬ﺷﺧﺻ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺷ رﻛﺔ ﻣ ﺎ ﺣﺳ ب اﻟﺣﺎﻟ ﺔ اﻻﺟﺗﻣﺎﻋﯾ ﺔ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﻘ ول أن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﺣ دود وﺣﺟﻣ ﮫ ‪ ٠N=500‬اﻷط وال‬ ‫واﻷوزان واﻟدﺧل اﻟﺳﻧوي ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﺧﺎص أﻣﺛﻠﺔ ﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﻣﺣدودة‪ .‬ﻓﻲ ﻛ ل ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌ دد‬ ‫اﻟﻛﻠﻰ ﻟﻠﻣﺷﺎھدات رﻗم ﻣﺣدود‪ .‬ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون ﺣﺟ م اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻏﯾ ر ﻣﺣ دود‪ ،‬ﻣﺛ ل ﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫ﻛ رات اﻟ دم اﻟﺑﯾﺿ ﺎء اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ رى ﻓ ﻲ دم إﻧﺳ ﺎن‪ .‬أﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺷ ﺎھدات اﻟﺗ ﻲ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻣ ن ﻗﯾ ﺎس‬ ‫اﻟﺿﻐط اﻟﺟوى ﻛل ﯾوم ﻣن اﻟﻣﺎﺿﻲ إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗﻘﺑل ﺗﻣﺛل ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻏﯾر ﻣﺣدود‪.‬‬ ‫ﻛل ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪. X‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ د‬ ‫إﻟﻘﺎء زھرة ﻧرد ﻋدد ﻻﻧﮭﺎﺋﻲ ﻣن اﻟﻣرات وإذا ﻛﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟ ﻧﻘط اﻟﺗ ﻲ ﺗظﮭ ر ﻋﻠ ﻰ اﻟﻧ رد ﻛ ل‬ ‫ﻣ رة‪ ،‬أي أن ‪ ، x=1,2,3,4,5,6‬ﻓ ﺈن ﻛ ل ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ﻗ ﯾم اﻟﻣﺗﻐـ ـﯾر‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋـﻲ ‪.X‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻘﯾم اﻟﻌددﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗوﺻف اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻟم‪.‬‬ ‫ﯾﮭ ﺗم اﻟﺑﺎﺣ ث ﺑﺎﻟوﺻ ول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗﻧﺗﺎﺟﺎت ﺗﺧ ص ﻣﻌ ﺎﻟم اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ‪ ،‬وﻟﻛ ن ﻋ ﺎدة ﯾﻛ ون ﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل أو ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻣﻼﺣظﺔ ﻛل ﻗﯾم اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﻣﺛﻠﺔ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻻﺑد ﻣن اﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻲ اﻟوﺻول إﻟ ﻰ اﺳ ﺗدﻻﻻت ﻋ ن اﻟﻣﻌ ﺎﻟم‪ ،‬وھ ذا ﯾﺄﺧ ذﻧﺎ إﻟ ﻰ‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ‪. theory of sampling‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ sample‬ھﻲ ﻓﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‪.‬‬ ‫ﺣﺗ ﻰ ﯾﻛ ون اﻻﺳ ﺗدﻻل ﺻ ﺣﯾﺢ ﻻﺑ د ﻣ ن ﻓﮭ م اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ واﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ .‬ﻣ ن اﻟﻣؤﻛ د أن‬ ‫اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺳ وف ﺗﻣﺛ ل اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻟ ذﻟك ﻻﺑ د أن ﺗﻛ ون ﻏﯾ ر ﻣﺗﺣﯾ زة ‪ unbiased‬أي ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ‬ ‫‪. random sample‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ھﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﺗﺧﺗﺎر ﺑﺣﯾ ث أن ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﺟزﺋﯾ ﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ n‬ﻣ ن‬ ‫ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾﺎر‪.‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺳﻣﻰ اﻹﺣﺻﺎء ‪ . statistic‬وﺑﻣﺎ أن ﻋﯾﻧﺎت ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻛﺛﯾ رة ﯾﻣﻛ ن‬ ‫اﺧﺗﯾﺎرھﺎ ﻣ ن ﻧﻔ س اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺗوﻗ ﻊ أن ﯾﺧﺗﻠ ف اﻹﺣﺻ ﺎء ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ إﻟ ﻰ أﺧ رى‪ ،‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻹﺣﺻﺎء ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻌﺗﻣد ﻓﻘط ﻋﻠﻰ ﻗﯾم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة‪.‬‬

‫‪١١٢‬‬


‫‪Entering Data into‬‬

‫)‪ (٢-٤‬ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ‬ ‫‪Mathematica‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١ -٤‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ وﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت وﻋدد اﻋﺿﺎء ﻫﯾﺋﺔ اﻟﺗدرﯾس ﻓﻰ‬

‫اﺣدى اﻟﺟﺎﻣﻌﺎت ‪:‬‬

‫اﻋﺿﺎء ﻫﯾﺋﺔ اﻟﺗدرﯾس‬

‫ﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت‬

‫ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪20‬‬

‫‪300‬‬

‫‪555‬‬

‫‪1997‬‬

‫‪23‬‬

‫‪200‬‬

‫‪662‬‬

‫‪1998‬‬

‫‪26‬‬

‫‪250‬‬

‫‪721‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪28‬‬

‫‪300‬‬

‫‪800‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪30‬‬

‫‪250‬‬

‫‪880‬‬

‫‪2001‬‬

‫‪36‬‬

‫‪330‬‬

‫‪900‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪40‬‬

‫‪400‬‬

‫‪932‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪41‬‬

‫‪430‬‬

‫‪981‬‬

‫‪2004‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ ﺗﻠك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ‪ .‬ﺳوف ﻧﺿﻊ ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ‬ ‫ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪ aa1‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬ ‫{‪},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},‬‬ ‫;}}‪2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺗم ادﺧﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻰ اﻟﺟدول ﺻف ﺻف ‪.‬‬ ‫وﯾﺗم وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪.TableForm‬‬ ‫]‪TableForm[aa1‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪41‬‬

‫‪١١٣‬‬

‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪330‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪430‬‬

‫‪555‬‬ ‫‪662‬‬ ‫‪721‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪880‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪932‬‬ ‫‪981‬‬

‫‪1997‬‬ ‫‪1998‬‬ ‫‪1999‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2001‬‬ ‫‪2002‬‬ ‫‪2003‬‬ ‫‪2004‬‬


‫‪Selecting Rows‬‬

‫)‪ (١-٢-٤‬اﺧﺗﯾﺎر اﻟﺻﻔوف‬

‫ﻻﺧﺗﯾﺎر ﺻﻔوف ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر ‪ .Part‬و ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن‬ ‫ﻫذا اﻻﻣر ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪?Part‬‬

‫‪expri or Partexpr, i gives the ith part of‬‬ ‫‪expr. expri counts from the end. expr0‬‬ ‫‪gives the head of expr. expri, j, ...  or‬‬ ‫‪Partexpr, i, j, ...  is equivalent to expr‬‬ ‫‪i j ... . expr i1, i2, ...   gives‬‬ ‫…‪a list of the parts i1, i2, ... of expr. More‬‬

‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎدﺧﺎل اﻻﻣر ‪:‬‬ ‫]‪Part[aa1,2‬‬ ‫}‪{1998,662,200,23‬‬

‫او ‪:‬‬ ‫]]‪aa1[[2‬‬ ‫}‪{1998,662,200,23‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ‪. aa1‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‪:‬‬

‫]}‪Part[aa1,{2,4,5‬‬ ‫}}‪{{1998,662,200,23},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30‬‬

‫او ‪:‬‬ ‫]]}‪aa1[[{2,4,5‬‬ ‫}}‪{{1998,662,200,23},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺻﻔوف اﻟﺛﺎﻧﻰ و اﻟراﺑﻊ و اﻟﺧﺎﻣس ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪. aa1‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺻﻔوف اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪ aa1‬ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر ‪ Take‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Take[aa1,3‬‬ ‫}}‪{{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﺻﻔوف اﻟﺛﻼﺛﺔ اﻻﺧﯾرة ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪ aa1‬ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر‬ ‫‪ Take‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Take[aa1,-3‬‬ ‫}}‪{{2002,900,330,36},{2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﺻﻔوف ﻣن اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻟث اﻟﻰ اﻟﺻف اﻟﺳﺎدس ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪aa1‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر ‪ Take‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]}‪Take[aa1,{3,6‬‬ ‫‪{{1999,721,250,26},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,‬‬ ‫}}‪36‬‬

‫‪١١٤‬‬


‫‪Selecting Columns‬‬

‫)‪ (٢-٢-٤‬اﺧﺗﯾﺎر اﻻﻋﻣدة‬

‫ﻻﺧﺗﯾﺎر اى اﻋﻣدة ﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ‪ DataManipulation‬واﻟﻣوﺟودة‬ ‫ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل ‪.Statistics‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر ‪Help‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ ﻧﻛﺗب ﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬

‫اﻻن وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎدﺧﺎل اﻻﻣر ‪:‬‬ ‫]‪Column[aa1,3‬‬ ‫}‪{300,200,250,300,250,330,400,430‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت ﺧﻼل اﻻﻋوام ‪ 1997 -2004‬ﻣن اﻟﺟدول ‪ ،‬اى اﻟﻌﻣود اﻟﺛﺎﻟث ﻣن‬ ‫‪aa1‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‪:‬‬

‫‪١١٥‬‬


‫]}‪Column[aa1,{2,4‬‬ ‫‪{{555,20},{662,23},{721,26},{800,28},{880,30},{900,36},{932,40},{981,‬‬ ‫}}‪41‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻣود اﻟﺛﺎﻧﻰ واﻟﻌﻣود اﻟراﺑﻊ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻣن اﻟﺟدول )او ﻣن ‪.(aa1‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‪:‬‬ ‫]}‪ColumnTake[aa1,{2,4‬‬ ‫‪{{555,300,20},{662,200,23},{721,250,26},{800,300,28},{880,250,30},{90‬‬ ‫}}‪0,330,36},{932,400,40},{981,430,41‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻻﻋﻣدة ﻣن اﻟﺛﺎﻧﻰ اﻟﻰ اﻟ ارﺑﻊ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻣن اﻟﺟدول)او ﻣن ‪. (aa1‬‬

‫)‪ (٣-٤‬ﻋرض اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛن ﻋرض اﻧواع اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺗﻰ ﯾﻘدﻣﻬﺎ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)‪ (١-٣-٤‬اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‬

‫ﺗﻘدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ رﺳوﻣﺎ ﺗﺗﻌﻠق ﺑﻘﯾم ﻟﻣﺗﻐﯾر او اﻛﺛر ﺑﺣﯾث ﺗﻌطﻰ ﻓﻛرة ﺑﺳﯾطﺔ إﺟﻣﺎﻟﯾﺔ‬

‫وﺳرﯾﻌﺔ وﻣﻧظورة ﻟﻠﻘﺎرئ او ﺻﺎﺣب اﻟﻌﻣل ‪ .‬ﻓﺎﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻣن اﻻدوات اﻟﺗﻰ ﺗﻘوم ﺑﺗﻣﺛﯾل اﻟﻘﯾم‬ ‫ﺗﻣﺛﯾﻼ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺣﯾث ﯾﺳﻬل ﻓﻬم واﺳﺗﯾﻌﺎب ﻫذة اﻟﻘﯾم ﻣن ﺧﻼل ﻧظرة ﻓﺎﺣﺻﺔ ﺳرﯾﻌﺔ ‪.‬‬ ‫وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ ‪Graphics‬‬

‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ‪ .‬ﻓﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺿﻐط‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ Help‬وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺿﻐط ﻋﻠﻰ ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪١١٦‬‬


‫ﺣﯾث ﻧﺣﺻل ﻣﻧﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت واﻣﺛﻠﺔ ﻋن اﻟﺣزﻣﺔ ﻣوﺿﻊ اﻻﻫﺗﻣﺎم ‪.‬‬ ‫اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﻧﻔﯾذة ‪:‬‬ ‫‪?BarChart‬‬ ‫‪BarChart[list1, list2, ...] generates a bar chart of the data in the‬‬ ‫‪lists.‬‬

‫ﻫﻧﺎك ﺛﻼث اﺷﻛﺎل ﻣن اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ‪:‬‬ ‫)أ( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ‪Simlple‬‬ ‫ﻗد ﺗﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ﻟدراﺳﺔ اﻟﺗطور اﻟذى ﯾﺣدث ﻓﻰ ظﺎﻫرة ﻣﻌﯾﻧﺔ او ﻣوﺿوع‬

‫ﻣﻌﯾن ﺧﻼل ﻓﺗرات ﻣن اﻟزﻣن ﺣﯾث ﯾﺗﻧﺎﺳب ارﺗﻔﺎع اﻻﻋﻣدة ﻣﻊ اﺣﺟﺎم او اوزان او اﻋداد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛﻠﻬﺎ ‪.‬‬

‫‪١١٧‬‬


‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (١-٤‬وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ‪ ،‬اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ ﺧﻼل اﻻﻋوام ‪1997-2004‬وﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل‬ ‫اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫‪aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬ ‫{‪},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},‬‬ ‫;}}‪2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬ ‫;]}‪ruthruns=Column[aa1,{2,1‬‬ ‫;]‪BarChart[ruthruns‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪2002 2003 2004‬‬

‫‪2000 2001‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪1997 1998‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (١-٤‬وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟراﺑﻊ ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ‪ ،‬اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ‬ ‫ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻋﺿﺎء ﻫﯾﺋﺔ اﻟﺗدرﯾس ﺧﻼل اﻻﻋوام ‪ 1997-2004‬وﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺷﻛل اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫‪aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬ ‫{‪},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},‬‬ ‫;}}‪2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬ ‫;]}‪t2=Column[aa1,{4,1‬‬ ‫;]‪BarChart[t2‬‬

‫‪١١٨‬‬


‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2004‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪2001‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪1998‬‬

‫‪1997‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (١-٤‬وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻟث ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ‪ ،‬اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ‬ ‫ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﺎﻟﺑﺎت ﺧﻼل اﻻﻋوام ‪ 1997-2004‬وﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻋﻣدة‬ ‫ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫‪aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬ ‫{‪},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},‬‬ ‫;}}‪2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬ ‫;]}‪t2=Column[aa1,{3,1‬‬ ‫;]‪BarChart[t2‬‬

‫‪400‬‬

‫‪300‬‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪2004‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪2000 2001‬‬

‫‪١١٩‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪1998‬‬

‫‪1997‬‬


‫وﯾﻣﻛن اﺟراء ﺑﻌض اﻟﺗﺣﺳﯾﻧﺎت او اﻻﺿﺎﻓﺎت اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﯾث ﺗﻠون ﺑﺜﻼث اﻟﻮان‬

‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﺣﺴﺐ طول اﻟﻌﻣود وذﻟك ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺨﯿﺎر ‪ . BarStyle‬اﯾﻀﺎ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺨﯿﺎر ‪:‬‬ ‫‪GridLines -> Automatic‬‬

‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﺷﺑﻛﻰ ‪.‬‬

‫وﺳوف ﯾﺗم ذﻟك ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻋﺿﺎء اﻟﺗدرﯾس‬ ‫ﺧﻼل اﻻﻋوام ‪:1997-2004‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫‪aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬ ‫{‪},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},‬‬ ‫;}}‪2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬ ‫]‪t2=Column[aa1,4‬‬ ‫}‪{20,23,26,28,30,36,40,41‬‬ ‫‪BarChart[t2,‬‬ ‫>‪BarStyle -‬‬ ‫[‪(Which‬‬ ‫‪# >36, RGBColor[0,1,0],‬‬ ‫‪# < 26, RGBColor[1,0,0],‬‬ ‫‪True, RGBColor[1,1,0]]&),‬‬ ‫‪GridLines -> Automatic‬‬ ‫‪,BarLabels{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","20‬‬ ‫]}"‪03","2004‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2004‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪2001‬‬

‫‪1999 2000‬‬

‫‪1998‬‬

‫‪1997‬‬

‫)‪(Graphics‬‬

‫)ب( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ‪SimlplClustered‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ظﺎﻫرﺗﯾن او اﻛﺛر ﻟﻌدد ﻣن اﻟﺳﻧوات ﻛﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻋداد‬ ‫اﻟذﻛور واﻻﻧﺎث ﻟﻌدة ﺳﻧوات ‪.‬‬ ‫‪١٢٠‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢ -٤‬‬ ‫اظﻬرت اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ ﺑوداﺋﻊ اﺣد اﻟﺑﻧوك ﺧﻼل اﻟﺳﻧوات ﻣن ‪ 1997-2004‬ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬ ‫)ﻣﻠﯾون ﺟﻧﯾﻪ(‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫وداﺋﻊ اﻟﺗوﻓﯾر‬

‫اﻟوداﺋﻊ اﻟﺗﺟﺎرﯾﺔ‬

‫وداﺋﻊ اﻻﺟل‬

‫اﻟﺳﻧﺔ‬

‫‪1997‬‬

‫‪22‬‬

‫‪51‬‬

‫‪31‬‬

‫‪1998‬‬

‫‪25‬‬

‫‪56‬‬

‫‪32‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪27‬‬

‫‪58‬‬

‫‪36‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪28‬‬

‫‪61‬‬

‫‪39‬‬

‫‪2001‬‬

‫‪30‬‬

‫‪59‬‬

‫‪37‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪35‬‬

‫‪68‬‬

‫‪40‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪37‬‬

‫‪71‬‬

‫‪42‬‬

‫‪2004‬‬

‫‪37‬‬

‫‪75‬‬

‫‪45‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل وداﺋﻊ اﻟﺑﻧك ﺑﺎﻧواﻋﻬﺎ اﻟﺛﻼﺛﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺎس اﻻﻋﻣدة اﻟﻣزدوﺟﺔ ﻋﻠﻰ ﻣدى‬ ‫اﻟﺳﻧوات اﻟﻣذﻛورة ‪.‬‬

‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬

‫;}‪kk1={22,25,27,28,30,35,37,37‬‬

‫;}‪kk2={51,56,58,61,59,68,71,75‬‬

‫;}‪kk3={31,32,36,39,37,40,42,45‬‬

‫‪BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels{"1997","1998","1999","200‬‬ ‫]}"‪0","2001","2002","2003","2004‬‬

‫‪١٢١‬‬


‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2004‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪2001‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪1998‬‬

‫‪1997‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫‪‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺟراء ﺑﻌض اﻟﺗﺣﺳﯾﻧﺎت او اﻻﺿﺎﻓﺎت اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫;}‪kk1={22,25,27,28,30,35,37,37‬‬ ‫;}‪kk2={51,56,58,61,59,68,71,75‬‬ ‫;}‪kk3={31,32,36,39,37,40,42,45‬‬

‫‪BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels{"1997","1998","1999","200‬‬ ‫‪0","2001","2002","2003","2004"},BarOrientation‬‬‫]‪>Horizontal‬‬ ‫‪2004‬‬ ‫‪2003‬‬ ‫‪2002‬‬ ‫‪2001‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪1999‬‬ ‫‪1998‬‬ ‫‪1997‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪50‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫ھﻨﺎك اﺿﺎﻓﺎت اﺧرى اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٢٢‬‬


(٣ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

. ‫( وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣزدوﺟﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل وداﺋﻊ اﻟﺑﻧوك‬٢-٤) ‫ﻟﻠرﺟوع اﻟﻰ ﻣﺛﺎل‬ <<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; b1=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarStyle>{GrayLevel[0.3],GrayLevel[0.6]},BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },DisplayFunction->Identity]; b2=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },BarEdges->None,DisplayFunction->Identity]; b3=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarSpacing->0.2,BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },DisplayFunction->Identity]; b4=BarChart[kk1,kk2,kk3,BarSpacing->-0.2,BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" },DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{b1,b2},{b3,b4}}]]

70

70

60

60

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

70

70

60

60

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

 GraphicsArray ١٢٣

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004


‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻗﺎﺋﻣﺗﯾن ﻣن اﻻﻋداد وﻻ ﯾﺷﺗرط ﺗﺳﺎوى اﻟﻌدد داﺧل ﻛل‬ . ‫ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺣﯾث ﯾﺗﺿﺢ ذﻟك ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ <<Graphics`Graphics` [{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}] <<Graphics`Graphics` BarChart[{1, -3, 4, 5, 2, 3}, {3, 6, 4, 3}] 6

4

2

1

2

3

4

5

6

-2

 Graphics

‫ ﺣﯾث ﯾﺗم اﺳﺗﺧدام‬business chart ‫ﺗﻌﺗﺑر اﻻﻋﻣدة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﺛﺎل ﻟـ‬

{1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, {3, 2, 5, 3} ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن‬

.TextStyle ‫ﻣﻊ ﺧﯾﺎرات ﻗﯾﺎﺳﯾﺔ ﻣﺛل اﻟﺧﯾﺎر‬ <<Graphics`Graphics` BarChart[{1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, {3, 2, 5, 3}, BarSpacing -> -.3, BarGroupSpacing -> .5, BarStyle -> {GrayLevel[.6], Hue[0]}, BarEdgeStyle -> {{Dashing[{.01}],Hue[0]},GrayLevel[0]}, BarLabels -> {"Apr","May","Jun","Jul","Aug","Sep"}, PlotLabel -> "Projected and Current Profit, Tourist Season", TextStyle -> {"FontFamily" -> "Helvetica", "FontSize" -> 9} ] Projected and Current Prof it,

Tourist Season

5 4 3 2 1

Apr

May

Jun

Jul

Aug

١٢٤

Sep


‫‪Graphics‬‬

‫)ج( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺟزاة ‪Stacked‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺟزاة اﯾﺿﺎ ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ظﺎﻫرﺗﯾن او اﻛﺛر ﻟﻌدد ﻣن اﻟﺳﻧوات ﻛﻣﻘﺎرﻧﺔ‬

‫اﻟﻣدﺧﻧﯾن واﻟﻐﯾر ﻣدﺧﻧﯾن ﻟﻌدة ﺳﻧوات ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻋﻣدة اﻟﻣﺟزاة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪?StackedBarChart‬‬

‫‪StackedBarChartlist1, list2, ... generates a‬‬ ‫…‪stacked bar chart of the data in the lists. More‬‬

‫اﻻن ﺳوف ﻧﻣﺛل وداﺋﻊ اﻟﺑﻧك ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٢-٤‬ﻋﻠﻰ اﺳﺎس اﻻﻋﻣدة اﻟﻣﺟزﺋﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫;}‪kk1={22,25,27,28,30,35,37,37‬‬ ‫;}‪kk2={51,56,58,61,59,68,71,75‬‬ ‫;}‪kk3={31,32,36,39,37,40,42,45‬‬ ‫‪sb2=StackedBarChart[kk1,kk2,kk2,BarLabels‬‬‫"‪>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004‬‬ ‫]}‬

‫‪175‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2004‬‬

‫‪2003‬‬

‫‪2002‬‬

‫‪2001‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪1999‬‬

‫‪1997 1998‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫ﻫﻧﺎك اﺿﺎﻓﺎت اﺧرى اﻟﻰ اﻻﻋﻣدﯾﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﺧﺎﺻﺔ‬

‫ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل )‪: (٢-٤‬‬

‫‪١٢٥‬‬


<<Graphics`Graphics` kk1={22,25,27,28,30,35,37,37}; kk2={51,56,58,61,59,68,71,75}; kk3={31,32,36,39,37,40,42,45}; w=BarLabels>{"1997","1998","1999","2000","2001","2002","2003","2004" } sb1=BarChart[kk1,kk2,kk3,w,DisplayFunctionIdentity]; sb2=StackedBarChart[kk1,kk2,kk3,w,PlotRangeAll,DisplayFu nctionIdentity]; sb3=StackedBarChart[kk1,kk2,kk3,w,PlotRangeAll,DisplayFu nctionIdentity]; sb4=StackedBarChart[kk1,kk2,kk2,w,PlotRangeAll,DisplayFu nctionIdentity,BarOrientationVertical]; Show[GraphicsArray[{{sb1,sb2},{sb3,sb4}}]]

70

150

60

125

50

100

40

75

30 50

20

25

10 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

150

175

125

150

100

125 100

75

75 50

50

25

25 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

 GraphicsArray

‫ﻫذا وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻗﺎﺋﻣﺗﯾن ﻣن اﻻﻋداد وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة‬

: ‫ ﺣﯾث ﺗﻛون اﻻﻋﻣدة ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻰ اﻟطول ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬percentile bar ‫اﻟﻣﺋوﯾﺔ‬ : ‫ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﺗم اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﻘﺎﺋﻣﺗﯾن‬ ١٢٦


‫}‪{1, -3, 4, 5, 2, 3},{3, 6, 4, 3‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫‪PercentileBarChart[{1, -3, 4, 5, 2, 3},‬‬ ‫]}‪{3, 6, 4, 3‬‬ ‫‪100 %‬‬ ‫‪80%‬‬ ‫‪60%‬‬ ‫‪40%‬‬ ‫‪20%‬‬ ‫‪0%‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪20%‬‬

‫‪ Graphics‬‬ ‫‪‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻼﻋﻣدة اﻟﻣﺋوﯾﺔ )او اﻻﻋﻣدة ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ( وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ ‫ﺧﯾﺎرات ﻟرﺳم اﻻﻋﻣدة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫}‪ {1,3,-4,5,3.5,3},{-3,2,5,3‬ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪PercentileBarChart[{1,3,-4,5,3.5,3},‬‬ ‫‪{-3,2,5,3},‬‬ ‫‪BarStyle -> {RGBColor[0,1,0],‬‬ ‫‪RGBColor[1,1,0]},‬‬ ‫‪BarOrientation -> Horizontal,‬‬ ‫]‪Axes -> False, Frame -> True‬‬ ‫‪20% 40% 60% 80% 100 %‬‬

‫‪60% 40% 20% 0%‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪20% 40% 60% 80% 100 %‬‬

‫‪60% 40% 20% 0%‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫)د( اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ ﺟداول ﻣزدوﺟﺔ‬

‫‪١٢٧‬‬


‫ﻣﺛﺎل )‪(٤-٤‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺟﻣﻌت ﻣن اﺳﺗﯾﺑﺎﻧﺔ وزﻋت ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 27‬ﻓرد واﻟﻣطﻠوب وﺿﻊ ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫ﻓﻰ ﺟدول ﻣزدوج وﺗﻣﺛﯾﻠﮭﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻰ اﻟﺑﻌد اﻟﺛﺎﻟث ﺣﯾث ‪ f‬ﺗرﻣز اﻟﻰ اﻧﺛﻰ و ‪ m‬ﺗرﻣز اﻟﻰ ذﻛر ‪:‬‬ ‫اﻟﺟﻧس‬ ‫اﻟون اﻟﻣﻔﺿل‬ ‫اﻟﻌﻣر‬ ‫اﻟﺟﻧس‬ ‫‪f‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪black‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪black‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪red‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪black‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪blond‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪red‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪black‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪blond‬‬ ‫‪٢٦‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪١٤‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪blond‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪red‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪١٧‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪blond‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪blond‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪black‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪blond‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪red‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪٢٦‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪brown‬‬ ‫‪٤٤‬‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎھز اﻟﺗﺎﻟﻰ وھﻧﺎك ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﮫ ﻣﻠﺣﻘﺔ ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب ﺑﻧﻔس اﺳم اﻟﻣﺛﺎل ‪.‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪: dataset‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺗﻌدﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﯾﻧﺎﺳب ﺑﯾﺎﻧﺎت اﺧرى ‪.‬‬ ‫‪dataset={{f,20,brown},{f,20,brown},{f,21,black},{m,23,bla‬‬ ‫‪ck},{f,21,brown},{f,22,red},{f,30,black},{f,24,brown},{f,‬‬ ‫‪22,brown},{m,23,blond},{f,22,red},{m,21,black},{f,26,blon‬‬ ‫‪d},{m,25,brown},{m,32,brown},{f,23,blond},{f,23,red},{m,2‬‬ ‫‪0,brown},{f,20,blond},{m,22,brown},{f,23,blond},{m,22,bla‬‬ ‫‪١٢٨‬‬


ck},{f,20,blond},{m,21,brown},{f,24,red},{f,20,brown},{m, 44,brown}}; <<Statistics`DataManipulation` Clear[contingencyarray] contingencyarray[dataset_,{rows_,columns_}]:=Module[{data ,rowvars,columnvars}, data=Column[dataset,{rows,columns}]; rowvars=Column[dataset,rows]//Union; columnvars=Column[dataset,columns]//Union; rowsandcolumns=Table[Count[data,{rowvars[[i]],column vars[[j]]}],{i,1,Length[rowvars]},{j,1,Length[columnvars] }]; {rowvars,columnvars,rowsandcolumns} ] Clear[contingencyTableCategory] contingencyTableCategory[dataset_,{rows_,columns_},opts__ _]:=Module[{array}, array=contingencyarray[dataset,{rows,columns}]; TableForm[array[[3]],opts,TableHeadings>{array[[1]],array[[2]]}] ] contingencyTableCategory[dataset,{1,3}] contingencyTableCategory[dataset,{1,3},TableHeadings>{{"Female","Male"},{"Black","Blond","Brown","Red"}}] <<Graphics`Graphics3D` Clear[contingencyGraphCategory] contingencyGraphCategory[dataset_,{rows_,columns_},opts__ _]:=Module[{array}, array=contingencyarray[dataset,{rows,columns}]; BarChart3D[array[[3]],opts,AxesLabel>{array[[1]],array[[2]],None},Ticks>{None,None,Automatic}] ] contingencyGraphCategory[dataset,{1,3}]

black blond brown red f 2 5 6 4 m 3 1 6 0 Black Blond Brown Red Female 2 5 6 4 Male 3 1 6 0

١٢٩


‫‪black , blond , brown , red ‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f, m‬‬

‫‪Graphics3D‬‬

‫)‪ (٢-٣-٤‬ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٥-٤‬‬ ‫ﺗﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣرﺗب ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻻﺷﺧﺎص ﺑﺎﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت وذﻟك وﻓق اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ‬ ‫‪ .‬واﻟﻣطﻠوب ﻋرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل رﺳم ﺑﯾﺎﻧﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ‪.‬‬ ‫رﻗم اﻟﻣوظف‬

‫اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ‬

‫اﻟﻣرﺗب‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪85‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪80‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪120‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪130‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪210‬‬ ‫‪١٣٠‬‬


‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪120‬‬

‫‪11‬‬

‫‪2‬‬

‫‪190‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪160‬‬

‫‪13‬‬

‫‪4‬‬

‫‪85‬‬

‫‪14‬‬

‫‪4‬‬

‫‪140‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻌرض ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﻓﻰ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر وﺳوف ﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ‫ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺗﺳﻣﻰ ‪: aa1‬‬ ‫}‪aa3={{1,85},{2,90},{2,80},{4,100},{4,120},{4,130},{4,200‬‬ ‫;}}‪,{3,210},{3,100},{3,120},{2,190},{4,160},{4,85},{4,140‬‬ ‫‪sp1=ListPlot[aa3,AxesOrigin->{0,7},PlotRange‬‬‫‪>{{0,5},{5,220}},Ticks‬‬‫‪>{{{1,"1"},{2,"2"},{3,"3"},{4,"4"}},Automatic},PlotStyle‬‬‫]]‪>PointSize[0.02‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫‪200‬‬

‫‪150‬‬

‫‪100‬‬

‫‪50‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪١٣١‬‬

‫‪1‬‬


‫)‪ (٣-٣-٤‬رﺳم‬

‫ﺑﺎرﯾﺗو‪ParetoPlot‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦ -٤‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﺗﺻﻧﯾف ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻻﺷﺧﺎص ﺣﺳب ﺧﺎﺻﯾﺔ ﻣﺎ‬ ‫وذﻟك ﺑﻣﺎ ﯾﺳﻣﻰ رﺳم ﺑﺎرﯾﺗو‬ ‫‪a, b, c, d, d, d, e, d, e, e, f, a, b, c‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪StatisticsPlots‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ ‪Statistics‬‬

‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ اﻻﻣر ‪: ParetoPlot‬‬ ‫`‪<<Statistics`StatisticsPlots‬‬ ‫[‪ParetoPlot‬‬ ‫}‪{a, b, c, d, d, d, e, d, e, e, f, a, b, c‬‬ ‫]‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪f‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪c‬‬

‫‪e‬‬

‫‪d‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧ -٤‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ واﻟﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣﺗداﺧﻠﺔ ﺣﯾث ﻛل ﻗﺎﺋﻣﺔ داﺧﻠﯾﺔ‬

‫ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺣﺻول واﻟﻛﻣﯾﺔ اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﻣﻧﻪ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم ﺑﺎرﯾﺗو ‪:‬‬

‫}}‪{{"Oats", 34.3},{"Wheat", 72.1}, {"Rye", 10.2}, {"Soy", 68.2‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ ‪ StatisticsPlots‬ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل‬

‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ اﻻﻣر ‪: ParetoPlot‬‬ ‫‪١٣٢‬‬

‫‪Statistics‬‬


<<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ {{"Oats", 34.3},{"Wheat", 72.1}, {"Rye", 10.2}, {"Soy", 68.2}} ] 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Wheat

Soy

Oats

Rye

 Graphics

(٨ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺳوف ﻧوﻟد ﺧﻣﺳون رﻗﻣﺎ ﺻﺣﯾﺢ ﻣن واﺣد اﻟﻰ ﻋﺷرة وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم رﺳم ﺑﺎرﺗو ﻓﻰ ﻋرﺿﻬم‬ . ‫ﻣﻊ اﺳﺗﺧدام ﺧﯾﺎرات ﻣﺗﻌددة‬ Statistics ‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

StatisticsPlots

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

: ParetoPlot ‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻣﻊ اﻻﻣر‬ <<Statistics`StatisticsPlots` ParetoPlot[ Table[Random[Integer, {1,10}], {50}], BarLabels -> None, BarOrientation -> Horizontal, BarStyle -> GrayLevel[1], BarEdgeStyle -> Dashing[{0.02}], PlotJoined -> False, SymbolShape -> PlotSymbol[Box] ]

١٣٣


‫‪1‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪ Graphics‬‬

‫)‪ (٤-٣-٤‬اﻟدواﺋر اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ‪PieChart‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم اﻟدواﺋر اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻋﻧد وﺟود ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻘﺳﯾﻣﻬﺎ اﻟﻰ ﻋدة اﺟزاء او ﺣﺻص‬

‫ﺑﺣﯾث ﯾﻣﺛل ﻛل ﺟزء او ﺣﺻﺔ ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺋوﯾﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻣﺟﻣوع اﻟﻛﻠﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٩ -٤‬‬

‫اذا ﻛﺎن ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺟﺎﻣﻌﺎت ﺧﻼل اﻟﻌﺎم اﻟدراﺳﻰ ‪ 2005-2006‬ﺣﺳب‬ ‫اﻟﻛﻠﯾﺎت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫اﻟﻛﻠﯾﺎت‬

‫ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ‬

‫‪arts‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪law‬‬

‫‪2500‬‬

‫‪engineering‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪economic‬‬

‫‪4600‬‬

‫‪computer‬‬

‫‪3300‬‬

‫‪pharmacy‬‬

‫‪1100‬‬

‫‪medicin‬‬

‫‪800‬‬

‫‪agriculture‬‬

‫‪900‬‬

‫‪١٣٤‬‬


‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ ﺑﺎﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﺣﺳب اﻟﻛﻠﯾﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣن ﺧﻼل اﺳﺗﺧدام‬ . ‫اﻟدواﺋر اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‬ : ‫اﻟﺣل‬ : spending ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﻰ اﻟﺣل واﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‬ <<Graphics`Graphics` spending={3000,2500,4600,1200,3300,1100,800,900}; PieChart[spending,PieLabels>{"arts","law","economics","engineering","computer","Mpha rmacy","medicine","agriculture"},PieExploded->{{9,0.1}}] (Graphics)

law

arts economics

agriculture medicine engineering

Mpharmacy computer

‫( ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن‬٩-٤) ‫وﻫﻧﺎك ﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻟﻧﻔس ﻣﺛﺎل‬ :‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Graphics`Graphics` grays=Table[GrayLevel[i],{i,0.4,1,0.6/8}]; PieChart[spending,PieLabels>{"arts","law","economics","engineering","computer","Mpha rmacy","medicine","agriculture"},PieExploded>{{1,0.1},{2,0.3},{3,0.1}},PieStyle->grays]

١٣٥


‫‪law‬‬

‫‪arts‬‬ ‫‪economics‬‬

‫‪agriculture‬‬ ‫‪medicine‬‬ ‫‪engineering‬‬

‫‪Mpharmacy‬‬ ‫‪computer‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٠ -٤‬‬ ‫اﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪590,157,484,57,15,19,32‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‬ ‫‪: Revenue‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫;}‪revenue={590,157,484,57,15,19,32‬‬ ‫]‪PieChart[revenue‬‬

‫‪١٣٦‬‬


1

2 7 6 5 4

3

(١١ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫وﻫﻧﺎك ﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﺧرى ﻣوﺿوﻋﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ‬ : Spending ‫اﻟﻣﺳﻣﺎه‬

<<Graphics`Graphics` spending={274,20,252,333,157,89,92,114,232}; PieChart[spending,PieLabels>{"Defense","International","National","SS","Medicare","M edicaid","Entitlements","Other","Net Interest"},PieExploded->{{9,0.1}}]

١٣٧


National International Defense SS

Net Interest Medicare Other Medicaid Entitlements

Graphics

: Spending ‫وﻫﻧﺎك ﺷﻛل اﺧر ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬

<<Graphics`Graphics` grays=Table[GrayLevel[i],{i,0.4,1,0.6/8}]; PieChart[spending,PieLabels>{"Defense","International","National","SS","Medicare","M edicaid","Entitlements","Other","Net Interest"},PieExploded-

١٣٨


International National

Defense SS

Net Interest Medicare Other Medicaid Entitlements

 Graphics

. ‫وﻫﻧﺎك اﺷﻛﺎل اﺧرى ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺣﺳب ﺧﯾﺎرات ﻣﻌﯾﻧﺔ وﺑﺎوﺿﺎع ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‬

(١٢ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

: ‫ﻣن ﺧﻼل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﺷﻛﺎل اﺧرى ﻟﻠداﺋرة اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‬ <<Graphics`Graphics` DisplayTogetherArray[ PieChart[{.2,.3,.1}], PieChart[{.2,.3,.1}, PieExploded->All], PieChart[{.2,.3,.1}, PieExploded->{{3,.2}}] ]

1

1

2

3

2

1 2

3

GraphicsArray ١٣٩

3


(١٣ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

: ‫وﻗد ﯾﻛرر اﻟﺗﻠوﯾن ﻣن ﺧﻼل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Graphics`Graphics` PieChart[{.1, .2, .3, .4}, PieStyle->{ GrayLevel[.3], GrayLevel[.8]}]

2 3

1

4

Graphics

(١٤ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ :‫ﻣن ﺧﻼل ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺟدﯾدة ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗوﺿﻊ اﻟﻌﻧﺎوﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Graphics`Graphics` PieChart[{12, 21, 18}, PieLabels -> {"Joe", "Helen", "Bob"}, PlotLabel -> "Sales" ] Sales

Joe Helen

Bob

 Graphics

PieLine Charts ‫( اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ‬٥-٣-٤) ١٤٠


‫ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ اﺳﺎس ﺧطوط ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻣﻊ ﻣﻘﺎرﻧﺗﻬﺎ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر وذﻟك ﺑﻬدف‬ ‫ﺗوﺿﯾﺢ اﻻﺗﺟﺎﻩ اﻟﻌﺎم ﻟظﺎﻫرة ﻣﺎ او ﻋدة ظواﻫر ﺧﻼل ﻓﺗرات زﻣﻧﯾﺔ ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ وﻫﻧﺎك ﺛﻼث اﺷﻛﺎل‬ ‫ﻣن اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ‪:‬‬

‫)أ( اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ﻛﺛﯾ ار ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺗﻐﯾر واﺣد ﻟﻣراﻗﺑﺔ ﺗطورة ﻋﻠﻰ ﻣر اﻟﻔﺗرات‬ ‫اﻟزﻣﻧﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٥ -٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (١-٤‬واذا ﻛﺎن اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﺧﻼل اﻻﻋوام ‪1997-2004‬‬ ‫ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫‪aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26‬‬ ‫{‪},{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},‬‬ ‫;}}‪2003,932,400,40},{2004,981,430,41‬‬ ‫;]}‪ruthruns=Column[aa1,{1,2‬‬ ‫ﻟﻌرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ‪ ruthruns‬ﻋﻠﻰ ﺷﻛل ﺧطوط ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺑﺳﯾطﺔ وﻣﻘﺎرﻧﺗﻬﺎ ﻣﻊ ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪lp1=ListPlot[ruthruns,PlotStyle‬‬‫;]‪>PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity‬‬ ‫‪lp2=ListPlot[ruthruns,PlotJoined->True,DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫]]}‪Show[GraphicsArray[{lp1,lp2‬‬

‫‪1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004‬‬

‫‪900‬‬

‫‪900‬‬

‫‪800‬‬

‫‪800‬‬

‫‪700‬‬

‫‪700‬‬

‫‪1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004‬‬

‫‪ GraphicsArray‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻣر ‪ ListPlot‬ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﻧﻔﯾذة ‪:‬‬ ‫‪١٤١‬‬


??ListPlot ListPlot[{y1, y2, ... }] plots a list of values. The x coordinates for each point are taken to be 1, 2, ... . ListPlot[{{x1, y1}, {x2, y2}, ... }] plots a list of values with specified x and y coordinates. Attributes[ListPlot] = {Protected} Options[ListPlot] = {AspectRatio -> GoldenRatio^(-1), Axes -> Automatic, AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic, AxesStyle -> Automatic, Background -> Automatic, ColorOutput -> Automatic, DefaultColor -> Automatic, Epilog -> {}, Frame -> False, FrameLabel -> None, FrameStyle -> Automatic, FrameTicks -> Automatic, GridLines -> None, ImageSize -> Automatic, PlotJoined -> False, PlotLabel -> None, PlotRange -> Automatic, PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic, Prolog > {}, RotateLabel -> True, Ticks -> Automatic, DefaultFont :> $DefaultFont, DisplayFunction :> $DisplayFunction, FormatType :> $FormatType, TextStyle :> $TextStyle} <<Statistics`DataManipulation` 

Multiple ‫)ب( اﻟﺧطوط اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﻣﺗﻌددة‬ ‫ وﯾرﯾد اﻟﺑﺎﺣث ان ﯾراﻗب‬، ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﻫذا اﻟﻧوع ﻣن اﻟرﺳوم اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻣﺗﻐﯾﯾرﯾن ﻓﺎﻛﺛر‬

.‫ﻋﻠﻰ اﺳﺎس ان ﯾﻛون ذﻟك ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟرﺳم‬، ‫اﻟﺗطورات ﻟﻬذﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻋﻠﻰ ﻣر ﻓﺗرات ﻣن اﻟزﻣن‬ (١٦ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ . 2000-2005 ‫ ﺧﻼل اﻻﻋوام‬A,B,C ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ ﺛﻼث ﺟﺎﻣﻌﺎت‬ . ‫واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﺧطوط اﻟﻣﺗﻌددة‬ A=1000,1223,1400,1500,1600,1600 B=1300,1600,1820,1880,1890,1900 C=2000,2200,2450,2460,2500,2550

: ‫اﻟﺣل‬ : ‫ﺳوف ﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻟﻣﺳﻣﯾﺎت اﻻﺗﯾﺔ‬ ‫ و‬B ‫ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻊ‬rr2 ‫ و‬A ‫ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ‬rr1 . C ‫ ﺗﻣﺛل اﻋداد اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻊ‬rr3

MultipleListPlot ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺳوف ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ‬ Graphics ‫ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل‬ ١٤٢


. ‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟرﺳم‬MultipleListPlot ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‬ <<Graphics`MultipleListPlot` rr1={1000,1223,1400,1500,1600,1600}; rr2={1300,1600,1820,1880,1890,1900}; rr3={2000,2200,2450,2460,2500,2550}; <<Graphics`MultipleListPlot` MultipleListPlot[rr1,rr2,rr3,PlotJoined>True,PlotLegend->{"A","B","C"}] 2500 2250 A

2000 1750

B

1500 C

1250 1 2 (Graphics)

3

4

5

6

. 2000-2005 ‫ ﺗﻘﺎﺑل اﻻﻋوام ﻣن‬1,2,3,4,5,6 ‫اﻻرﻗﺎم ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ‬ (١٧ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﺷﻛﺎل اﺧرى ﺑﺘﻨﻔﯿﺬ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ‬ <<Graphics`MultipleListPlot` rr1={1000,1223,1400,1500,1600,1600}; rr2={1300,1600,1820,1880,1890,1900}; rr3={2000,2200,2450,2460,2500,2550}; mpl1=MultipleListPlot[rr1,rr2,PlotJoinedTrue,PlotLabel" Number of Students",DisplayFunctionIdentity]; mpl2=MultipleListPlot[rr1,rr3,PlotJoinedTrue,PlotLabel" Number of Students",DisplayFunctionIdentity]; MultipleListPlot[rr2,rr3,PlotJoinedTrue,PlotLabel"Numbe r of Students",PlotLegend{"B","C"}] Show[GraphicsArray[{{mpl1,mpl2}}]]

١٤٣


‫‪of Students‬‬

‫‪Number‬‬ ‫‪2400‬‬ ‫‪2200‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2000‬‬ ‫‪1800‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪1600‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫‪Number of Students‬‬

‫‪Number of Students‬‬ ‫‪2500‬‬

‫‪1800‬‬ ‫‪2250‬‬ ‫‪2000‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪1750‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪1500‬‬ ‫‪1200‬‬

‫‪1250‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪GraphicsArray‬‬

‫ﺣﯾث اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ﯾﺧص اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن ‪B,C‬‬

‫واﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﯾﺧص اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن ‪A,B‬‬ ‫واﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﯾﺧص اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن ‪A,C‬‬

‫)ج( رﺳوم اﺧرى‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٨-٤‬‬ ‫ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ اﺧﺗﺑﺎر ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣن ﺣﯾث ﺗوﻓر ﺷروط ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‬ ‫ﻫل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻧﺎﺳﺑﻬﺎ ﺗوﻓﯾق ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻬﺎ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ او ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﻧوﻟد ﺑﯾﺎﻧﺎت وﻧﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻣﻊ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ‬

‫اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ‪:‬‬ ‫{‪data = Table[{n/15, (n/15)^2 + 2 + Random[Real,‬‬‫‪.3,.3}]},‬‬ ‫‪١٤٤‬‬


{n, 15}]; fit = Fit[data, {1, x, x^2}, x] 1.60225  1.12205 x  0.148019 x2 altfit = Fit[data, {1,x^3}, x] 1.94133  1.10294 x3 aa1=Plot[altfit, {x,0,1}, PlotStyle -> Hue[.6],DisplayFunction->Identity]; aa2= ListPlot[data, PlotStyle -> {Hue[0], PointSize[.03]},DisplayFunction->Identity]; aa3= Plot[fit, {x,0,1}, PlotStyle -> {GrayLevel[0], Dashing[{.03}]},DisplayFunction->Identity] Show[aa1,aa2,aa3,DisplayFunction->$DisplayFunction] Graphics 3 2.8 2.6 2.4 2.2 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.8 1.6 Graphics

(١٩ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

Statistics ‫ ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل‬StatisticsPlots ‫ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫وذﻟــك ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﻣــن ﻣﺟﻣــوﻋﺗﯾن ﻣــن اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت واﺧﺗﺑــﺎر ﻫــل‬

QuantilePlot

‫وﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻻﻣــر‬

‫ﯾﻧﺗﻣــون اﻟــﻰ ﻧﻔــس اﻟﺗوزﯾــﻊ واذا ﺗﺣﻘــق ﻫــذا اﻟﺷــرط ﻓﻧﺟــد ان اﻟﺗــوزﯾﻌﯾن ﯾﻠﺗﻔــﺎن ﺣــول اﻟﺧ ـط اﻟﻣﺳــﺗﻘﯾم‬ Quantile- ‫ﻛﻣ ــﺎ ﯾﺗﺿ ــﺢ ﻣ ــن اﻟﺑﯾﺎﻧ ــﺎت اﻟﺗ ــﻰ ﻧوﻟـ ـدﻫﺎ ﻓ ــﻰ ﻫ ــذا اﻟﻣﺛ ــﺎل واﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠ ــﺔ وﯾﺳ ــﻣﻰ ﻫ ــذا اﻟرﺳ ــم‬

.Quantile Plots <<Statistics`StatisticsPlots` QuantilePlot[ Table[Random[], {300}], Table[Random[], {300}] ] ١٤٥


‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٠ -٤‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺳوف ﻧرﺳم ‪ Quantile-Quantile Plots‬ﺑﺧﯾﺎرات ﻣﺗﻌددة ‪.‬‬

‫`‪<<Statistics`StatisticsPlots‬‬ ‫‪QuantilePlot[Table[Random[], {300}], Table[Random[],‬‬ ‫‪{300}],‬‬ ‫‪SymbolShape -> None,‬‬ ‫‪PlotJoined -> True,‬‬ ‫]}]}‪ReferenceLineStyle -> {Hue[0], Dashing[{0.02‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢١ -٤‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر ﺑﯾن ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﻊ اﺧﺗﺑﺎر ﻫل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾرﯾن‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺧطﯾﺔ )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ( ﺣﯾث اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪ aa1‬ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﻣﺛل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور‬ ‫اﻻﻓﻘﻰ و اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪ aa2‬ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﻣﺛل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻟراﺳﻰ ‪ .‬واﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺧطﯾﺔ ﻣﻣﺛﻠﺔ‬

‫ﺑﺎﻟداﻟﺔ ‪. f‬‬

‫‪١٤٦‬‬


: ‫اﻟﺣل‬ : ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﯾﻣﻛن ﺗﻐﯾﯾرة ﻻﻣﺛﻠﺔ اﺧرى او ﺣﺎﻻت اﺧرى‬ aa1={1,2,3,4,5,6}; aa2={11,15,19,32,23,34}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}] {{1,11},{2,15},{3,19},{4,32},{5,23},{6,34}} f[x_]:=3+4x sp1=ListPlot[aa3,AxesOrigin->{0,0},PlotRange>{{0,10},{0,36}},PlotStyle>PointSize[0.02],DisplayFunction->Identity]; sp2=Plot[f[x],{x,0,10},AxesOrigin->{0,0},PlotRange>{{0,10},{0,36}},DisplayFunction->Identity]; Show[sp1,sp2,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRangeA ll] 40

30

20

10

Graphics

2

4

6

8

10

(٢٢ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ‬، ‫( وﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن اﻟﺟدول ﻣن اﻟﯾﺳﺎر‬١-٤) ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل‬ ‫ وﻗد ﺗم ﻋرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻠﻰ ﺷﻛل اﻋﻣدة‬1997-2004 ‫ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟطﻠﺑﺔ ﺧﻼل اﻻﻋوام‬

: ‫ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

١٤٧


1000 800 600 400 200

1997 1998

‫واﻟﻣوﺟود ﻓﻰ اﻟﺣزﻣﺔ‬

1999

2000 2001

TextListPlot‫اﻻﻣر‬

2002 2003 2004

‫اﻻن واﻟﻣطﻠوب ﻋرﺿﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ :

Graphics

‫ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل‬

Graphics

<<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` aa1={{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26 },{2000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{ 2003,932,400,40},{2004,981,430,41}};

{{1997,555,300,20},{1998,662,200,23},{1999,721,250,26},{2 000,800,300,28},{2001,880,250,30},{2002,900,330,36},{2003 ,932,400,40},{2004,981,430,41}} aa2=Column[aa1,2] {555,662,721,800,880,900,932,981} TextListPlot[aa2] 8 7 900

5

800

6

4 3

700 2

1

2

3

4

5

6

١٤٨

7

8


‫ﯾﻣﻛن اﻟذﻫﺎب اﻟﻰ اﻟﻔرﺷﺎة ‪ Paint‬واﺳﺗﺑدال ﻗﯾم اﻟﻣﺣور اﻻﻓﻘﻰ ﺑﻘﯾم اﻻﻋوام ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٣ -٤‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻟﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣوظﻔﯾن ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت ﻓﻰ ﻋﺎم ﻣﺎ واﻟﻣطﻠوب‬

‫ﻋرﺿﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ ‫‪Graphics‬‬

‫اﻻﻣر‪TextListPlot‬‬

‫واﻟﻣوﺟود ﻓﻰ اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل‬

‫‪:‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫}‪aa1={30,40,100,50,90,60,150,180‬‬ ‫}‪{30,40,100,50,90,60,150,180‬‬ ‫]‪TextListPlot[aa1‬‬

‫‪١٤٩‬‬


‫‪180‬‬

‫‪8‬‬

‫‪160‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٤ -٤‬‬

‫اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق اﻟﻣطﻠوب ﻋرﺿﻪ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪LabeledListPlot‬‬

‫واﻟﻣوﺟود ﻓﻰ اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل‬

‫‪Graphics‬‬

‫‪:‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫;}‪aa1={30,40,100,50,90,60,150,180‬‬ ‫]‪LabeledListPlot[aa1‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪8‬‬

‫‪160‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٥ -٤‬‬

‫‪١٥٠‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Graphics‬‬


‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ﻫﻧﺎك ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺎ رﻗﻣﻰ ﻣﺻﻧف ﺗﺑﻊ ﺻﻔﺔ ﻣﺎ ‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل‬

‫ﻣرﺗﺑﺎت ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن ﻓﻰ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ﻣﺻﻧﻔﺔ ﺗﺑﻌﺎ ﻟدرﺟﺎﺗﻬم اﻟﻰ ‪A,B,C‬‬ ‫واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ aa1‬ﺗﻣﺛل ازواج‬

‫اﻟﻘﯾم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ﺣﯾث ‪. A=1,B=2,C=3‬‬

‫{‪aa1={{2,13},{2,8},{2,18},{2,18.7`},{2,16},{2,22},{3,26},‬‬ ‫‪2,19},{2,11.6`},{2,7.5`},{3,16},{2,21},{2,19},{2,15},{3,2‬‬ ‫}‪0},{2,17},{1,15.4`},{2,20},{1,19},{2,18.5`},{1,21},{2,15‬‬ ‫{‪,{2,20},{3,18.2`},{2,11.03`},{2,20},{1,24.1`},{2,21.5`},‬‬ ‫‪1,18.6`},{2,10.5`},{3,17},{3,22.89`},{3,22.3`},{1,17},{2,‬‬ ‫{‪21},{2,17},{3,22},{2,22.4`},{2,26},{2,16},{1,18},{2,20},‬‬ ‫}`‪3,20},{2,19},{1,16},{2,17.7`},{2,23},{1,20.35`},{2,22.2‬‬ ‫;}}‪,{2,9‬‬ ‫‪sp1=ListPlot[aa1,AxesOrigin->{0,7},PlotRange‬‬‫‪>{{0,5},{7,26}},Ticks‬‬‫‪>{{{1,"A"},{2,"B"},{3,"C"}},Automatic},PlotStyle‬‬‫]]‪>PointSize[0.02‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪22.5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪17.5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ Graphics‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٦ -٤‬‬ ‫ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺳوف ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد ازواج ﻣن اﻟﻘﯾم ﺛم ﺗﻣﺛﯾل اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﻬم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‬ ‫‪ ErrorListPlot‬ﺑﺣﯾث اﻟﺧط ﻋﻧد ﻛل ﻧﻘطﺔ ﯾﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ وﻫذا اﺧﺗﯾﺎرى ‪.‬‬

‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫[‪expdata = Table‬‬ ‫‪{x, .92 10^(.94 x) + Random[Real,‬‬ ‫]}‪{-1.0, 1.0}]}, {x, 0.2, 1.2, .1‬‬

‫‪١٥١‬‬


‫{‪{{0.2,1.82859},{0.3,1.71064},{0.4,2.37924},{0.5,2.3441},‬‬ ‫‪0.6,4.35803},{0.7,3.23384},{0.8,4.72316},{0.9,5.73992},{1‬‬ ‫}}‪.,7.40686},{1.1,9.33359},{1.2,12.4843‬‬ ‫]‪erexpdata = Map[Append[#, 1.0]&, expdata‬‬ ‫‪{{0.2,1.82859,1.},{0.3,1.71064,1.},{0.4,2.37924,1.},{0.5,‬‬ ‫‪2.3441,1.},{0.6,4.35803,1.},{0.7,3.23384,1.},{0.8,4.72316‬‬ ‫‪,1.},{0.9,5.73992,1.},{1.,7.40686,1.},{1.1,9.33359,1.},{1‬‬ ‫}}‪.2,12.4843,1.‬‬ ‫]‪errorp=ErrorListPlot[erexpdata‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.2‬‬

‫)‪ (٤-٤‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري‬

‫‪0.8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪ Graphics‬‬

‫‪Frequency Distribution‬‬

‫)‪ (١-٤-٤‬ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ‬ ‫ﻏﺎﻟﺑ ﺎ ﻣ ﺎ ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻏﯾ ر ﻣﻌ روف‪ .‬ﺗﻌﺗﺑ ر اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‬ ‫اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺟﻣﻌﮭﺎ اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛﻣﯾﺎت ﻛﺑﯾرة ﻣﻔﯾدة ﺟدا ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ ﺳ ﻠوك اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ إذا‬ ‫ﺗ م ﻋرﺿ ﮭﺎ ﺑﺷ ﻛل ﻣﻧﺎﺳ ب‪ .‬اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت اﻟﻛﺛﯾ رة ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺗﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺎت‬ ‫‪ classes‬وﺣﺳﺎب ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ‪ .‬ﻣﺛ ل ھ ذا اﻟﺗﻧظ ﯾم ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫ﻧﻘوم ﺑﺗﺟﻣﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﻓﺋﺎت ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ أﺣﺳ ن ﺻ ورة ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ وﻟﻛﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻧﻔﻘد اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗﻔﺻﯾﻼت ﻋن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ .‬ﻋدد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ ﻓﺋ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ‬ ‫ﯾﺳ ﻣﻰ ﺗﻛ رار اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ class frequency‬وﯾرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪ . f‬اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛ ل اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫اﻟﺗﻛراري ﻷطوال ‪ 22‬ﻧﺑﺎت ﻣن ﻧوع ﻣﺎ )اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣﻌطﺎة ﻷﻗرب ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ(‪ .‬ﻓ ﻲ ھ ذا اﻟﻣﺛ ﺎل‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ ‪ 6‬ﻓﺋﺎت وھم ‪ . 35-39 , 40-44 , 45 -49 , 50-54 , 55-59 , 60-64:‬ﯾﺷﺎر إﻟﻰ أﺻﻐر وأﻛﺑر‬ ‫اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺑﺣدود ھذه اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ . class limits‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ‪55 – 59‬‬ ‫أﺻﻐر رﻗ م ھ و ‪ 55‬وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ‪ lower class limit‬وأﻛﺑ ر رﻗ م ھ و ‪ 59‬وﯾﻣﺛ ل اﻟﺣ د‬ ‫اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ ‪ ٠upper class limit‬وﺣﯾث أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻷﺻ ﻠﯾﺔ ﻣﺳ ﺟﻠﺔ ﻷﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ‪ ،‬ﻓ ﺈن‬ ‫‪ 4‬ﻣﺷﺎھدات ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ ‪ 55-59‬ﯾﻣﺛﻠون ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﻗﯾﻣﮭم أﻛﺑ ر ﻣ ن أو ﯾﺳ ﺎوى‬ ‫‪ 54.5‬وأﺻ ﻐر ﻣ ن ‪ . 59.5‬اﻷرﻗ ﺎم ‪ 54.5‬و ‪ 59.5‬ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ دود اﻟﻔﻌﻠﯾ ﺔ ‪ class boundaries‬ﻟﻠﻔﺋ ﺔ‬ ‫‪ . 55-59‬اﻟرﻗم ‪ 54.5‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ‪ lower class boundary‬واﻟرﻗم ‪ 59.5‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د‬ ‫اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ‪ ٠upper class boundary‬أﯾﺿﺎ اﻟرﻗم ‪ 59.5‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ‬ ‫‪١٥٢‬‬


‫أي اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ . 60-64‬وﯾﻼﺣ ظ أﻧ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻏم ﻣ ن أن اﻟﻔﺋ ﺎت ﻟﮭ ﺎ ﺣ دود ﻓﻌﻠﯾ ﺔ ﻣﺷ ﺗرﻛﺔ إﻻ أﻧ ﮫ ﻣ ن ﻏﯾ ر‬ ‫اﻟﻣﻣﻛن أن ﺗﻘﻊ ﻣﺷﺎھدة واﺣدة ﻋﻠﻰ أﺣد ھذه اﻟﺣدود وذﻟك ﻷن اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺎت ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺧﺎﻧﺎت ﻋﺷرﯾﺔ أﻛﺑر ﻣن ﺗﻠك اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﻔﺳﮭﺎ‪.‬‬ ‫‪60-64‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪55-59‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪50-54‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪40-44‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪45-49‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪35-39‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬

‫ﯾﻌرف اﻟﻔرق ﺑ ﯾن اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ واﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ ﺑط ول اﻟﻔﺋ ﺔ ‪class width‬‬

‫وﯾﺳ ﺎوى أﯾﺿ ﺎ اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ واﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ زاﺋ دا وﺣ دة دﻗ ﺔ‪ ،‬أي وﺣ دة ﻣ ن‬ ‫اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﻗرﺑت إﻟﯾﮭﺎ اﻷﻋداد ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت )ﻓ ﻲ ھ ذا اﻟﻣﺛ ﺎل وﺣ دة اﻟدﻗ ﺔ ھ ﻲ اﻟواﺣ د اﻟﺻ ﺣﯾﺢ‬ ‫ﻷﻧﻧﺎ ﻗرﺑﻧ ﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻷﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ(‪ .‬ﻣ ن اﻟﻧﺎﺣﯾ ﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺔ ﯾﻔﺿ ل اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﻓﺋ ﺎت ذات‬ ‫أطوال ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻣﺎ أﻣﻛن‪ .‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻟطول اﻟﻔﺋﺔ ﺑ ﺎﻟرﻣز ‪  .‬أط وال اﻟﻔﺋ ﺎت ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ وﺗﺳﺎوى ‪.   5‬‬ ‫ﻣﻧﺗﺻف اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ midpoint‬ﺗﺳ ﻣﻰ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ class midpoint‬أو ‪ class mark‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ واﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ وﻗﺳ ﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣ وع ﻋﻠ ﻰ ‪ 2‬وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض‬ ‫أن ﺟﻣﯾ ﻊ اﻟﻣﺷ ﺎھدات داﺧ ل اﻟﻔﺋ ﺔ ﺗﺄﺧ ذ ﻗﯾﻣ ﺎ ﺗﺗط ﺎﺑق ﻣ ﻊ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ‪ .‬ﻣﺛ ﺎل ذﻟ ك اﻓﺗ راض أن ‪8‬‬ ‫ﺗﻛرارات ﻓﻲ اﻟﻔﺋﺔ ‪ 60-64‬ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ 62‬واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻣرﻛز ھذه اﻟﻔﺋ ﺔ‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ﺑﺟﻣﻊ اﻟﺣد اﻷدﻧ ﻰ واﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ وﻗﺳ ﻣﺔ اﻟﻣﺟﻣ وع ﻋﻠ ﻰ ‪ . 2‬ﻣ ن اﻟﺟ دول‬ ‫اﻟﺳﺎﺑق ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ھ م ‪ ٠ 37 , 42 , 47 , 52 , 57 , 62 :‬ﯾﻣﺛ ل اﻟﺟ دول اﻟﺳ ﺎﺑق ﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري‬ ‫ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟ ذي ﻧﺷ ﺎھده ﻓ ﻲ اﻟﺗﻘ ﺎرﯾر اﻟﻣﻧﺷ ورة ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﺣف‪ .‬ﻟﻸﻏ راض اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﯾﻛ ون ﻣ ن‬ ‫اﻷﻓﺿل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ذات ﺗﻔﺻﯾﻼت أﻛﺛر‪ ،‬ﻛﻣ ﺎ ھ و ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ اﻟﺟ دول اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻟ ﻧﻔس‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫\‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪37‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪34.5-39.5‬‬ ‫‪39.5-44.5‬‬ ‫‪44.5-49.5‬‬ ‫‪49.5-54.5‬‬ ‫‪54.5-59.5‬‬ ‫‪59.5-64.5‬‬

‫‪35-39‬‬ ‫‪40-44‬‬ ‫‪45-49‬‬ ‫‪50-54‬‬ ‫‪55-59‬‬ ‫‪60-64‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٧-٤‬‬ ‫اذا ﻛﺎن ﻟدﯾك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪::‬‬

‫‪60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71,‬‬ ‫‪65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63,‬‬ ‫‪62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب وﺿﻌﻬﺎ ﻓﻰ ﺟدول ﺗﻛرارى ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ‪6‬‬ ‫‪١٥٣‬‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪::‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺑداﯾﺔ ﻧﻘرر ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت واﻟﺗﻲ ﺳوف ﺗﺗوزع ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‪ .‬ﻋﺎدة ﯾﻔﺿل أن ﺗﻛ ون ﻋ دد‬ ‫اﻟﻔﺋﺎت ﻣن ‪ 5‬إﻟﻰ ‪ .20‬إذا زاد ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ﻋن ﻋﺷرﯾن ﺧﺳر اﻟﺑﺎﺣ ث اﻟﺑﺳ ﺎطﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﻛﺳ ﺑﮭﺎ ﻋ ﺎدة‬ ‫ﻋﻧد وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري‪ ،‬وإذا ﻗل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ﻋن ‪ 5‬ﻓ ﺈن ذﻟ ك ﯾ ؤدى إﻟ ﻰ ﺿ ﯾﺎع‬ ‫اﻟﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗﻔﺻﯾﻼت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‪ .‬ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ ﻗررﻧﺎ أن ﯾﻛون ﻋدد اﻟﻔﺋ ﺎت ‪ ،6‬ﻟﺣﺳ ﺎب‬ ‫طول اﻟﻔﺋﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ أوﻻ ﻧﺣﺳب اﻟﻣدى وھ و ﻋﺑ ﺎرة ﻋ ن اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن أﻛﺑ ر وأﺻ ﻐر ﻣﺷ ﺎھدة ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون اﻟﻣ دى ‪ . 74-45=29‬ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﻧﻘﺳ م اﻟﻣ دى ﻋﻠ ﻰ ﻋ دد اﻟﻔﺋ ﺎت اﻟﻣﻘﺗرﺣ ﺔ أي‬ ‫‪29‬‬ ‫وﯾﻘرب اﻟﻧﺎﺗﺞ ﻣن ﺧ ﺎرج اﻟﻘﺳ ﻣﺔ إﻟ ﻰ أﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ )ﻷن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺧ ﺎم‬ ‫‪ 4.83333‬‬ ‫‪6‬‬ ‫أﺻ ﻼ ﻣﻘﺎﺳ ﺔ ﻷﻗ رب رﻗ م ﺻ ﺣﯾﺢ(‪ .‬أي أن ط ول اﻟﻔﺋ ﺔ ﺳ وف ﯾﻛ ون ‪   5 .‬ﻧﺣ دد ﺑداﯾ ﺔ اﻟﻔﺋ ﺔ‬ ‫اﻷوﻟﻰ )اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ( واﻟذي ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ ﯾﻛون أﺻﻐر رﻗم ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وھ و ‪ ،45‬وﻛ ذﻟك‬ ‫ﻧﺣدد اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺑﺈﺿ ﺎﻓﺔ ط ول اﻟﻔﺋ ﺔ إﻟ ﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ‪ ،‬وھﻛ ذا ﻟﺗﻌﯾ ﯾن‬ ‫اﻟﺣدود اﻟدﻧﯾﺎ ﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻔﺋﺎت‪ .‬أﻣﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﺗﺣدﯾد اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻌﯾﯾﻧ ﮫ ﺑﺈﺿ ﺎﻓﺔ‬ ‫ط ول اﻟﻔﺋ ﺔ إﻟ ﻰ اﻟﺣ د اﻷدﻧ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ ﺛ م ﻧط رح ﻣ ن ﺣﺎﺻ ل اﻟﺟﻣ ﻊ ﻣﻘ دار وﺣ دة دﻗ ﺔ ﻣ ن‬ ‫اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﻗرﺑت إﻟﯾﮭﺎ اﻷﻋداد ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎھدات‪ ،‬أي ‪ . 1‬وﻛذﻟك ﻧﺣ دد اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ‬ ‫ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ طول اﻟﻔﺋﺔ إﻟﻰ اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ‪ ،‬وھﻛذا ﻟﺗﻌﯾﯾن اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ ﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻔﺋﺎت‪ ،‬وذﻟ ك‬ ‫ﺗﺣت ﺷرط أن اﻟﻔﺋﺎت ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ اﻷطوال‪.‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌطﺎه ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎه ‪: x‬‬ ‫‪x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,‬‬ ‫‪71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,‬‬ ‫;}‪63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪b=Max[x‬‬ ‫‪74‬‬ ‫]‪n=Length[x‬‬ ‫‪50‬‬ ‫]‪a=Min[x‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪r=b-a‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪d‬‬

‫‪4.83333‬‬ ‫]‪del=Round[d‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]}‪c1=Table[i,{i,a,b,del‬‬ ‫}‪{45,50,55,60,65,70‬‬ ‫‪c2=c1+del-1‬‬ ‫}‪{49,54,59,64,69,74‬‬

‫‪c1  c2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪mid ‬‬

‫}‪{47,52,57,62,67,72‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]‪RangeCounts[x,c1‬‬ ‫}‪{0,5,9,4,13,10,9‬‬ ‫]‪ff=Drop[%,1‬‬ ‫}‪{5,9,4,13,10,9‬‬ ‫‪١٥٤‬‬


‫‪TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L‬‬ ‫]}}"‪ower","Upper","Midpoint","Frequency‬‬

‫‪Frequency‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪Midpoint‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪Upper‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪Lower‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪70‬‬

‫اﻟﻣﺧرج اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﺛل ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ‪.‬‬ ‫ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﺑﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺟدول‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﺑﻘﺳﻣﺔ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود‬ ‫‪ Frequency‬اﻟﺳﺎﺑق ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟﺗﻛرارات ‪.‬‬ ‫;‪aa2=ff/Length[x]//N‬‬ ‫}‪{0.1,0.18,0.08,0.26,0.2,0.18‬‬ ‫"{‪TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa2}],TableHeadings{{},‬‬ ‫]}}"‪Lower","Upper","Midpoint","Frequency‬‬

‫‪Frequency‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.18‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪0.26‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.18‬‬

‫‪Midpoint‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪Upper‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪Lower‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪70‬‬

‫ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻﻫﺗﻣﺎم ﺑﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺋوى وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺟدول‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻧﺳﺑﻰ اﻟﺳﺎﺑق وذﻟك ﺑﺿرب ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود‬ ‫‪ Frequency‬اﻟﺳﺎﺑق ﻓﻰ ‪. 100‬‬ ‫‪aa3=aa2*100‬‬ ‫}‪{10.,18.,8.,26.,20.,18.‬‬ ‫"{‪TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa3}],TableHeadings{{},‬‬ ‫]}}"‪Lower","Upper","Midpoint","Frequency‬‬

‫‪Frequency‬‬ ‫‪10.‬‬ ‫‪18.‬‬ ‫‪8.‬‬ ‫‪26.‬‬ ‫‪20.‬‬ ‫‪18.‬‬

‫‪Midpoint‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪72‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪١٥٥‬‬

‫‪Upper‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪Lower‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪70‬‬


aa5=CumulativeSums[ff] {5,14,18,31,41,50} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa5}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 45 50 55 60 65 70

Upper 49 54 59 64 69 74

Midpoint 47 52 57 62 67 72

Frequency 5 14 18 31 41 50

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻧﺳﺑﻰ وذﻟك ﺑﻘﺳﻣﺔ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود‬ : ‫ررات‬ ‫ اﻟﺳﺎﺑق ﻋﻠﻰ ﻋدد اﻟﺗﻛ ا‬Frequency aa6=N[aa5/n] {0.1,0.28,0.36,0.62,0.82,1.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa6}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 45 50 55 60 65 70

Upper 49 54 59 64 69 74

Midpoint 47 52 57 62 67 72

Frequency 0.1 0.28 0.36 0.62 0.82 1.

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻣﺋوى وذﻟك ﺑﺿرب ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ ﻋﻣود‬ .100 ‫اﻟﺳﺎﺑق ﻓﻰ‬

Frequency

aa7=aa6*100 {10.,28.,36.,62.,82.,100.} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa7}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 45 50 55 60 65 70

Upper 49 54 59 64 69 74

Midpoint 47 52 57 62 67 72

Frequency 10. 28. 36. 62. 82. 100.

‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻓﻲ ﺷﻛل ﺟدوﻟﻲ ﺗﺻﺑﺢ أﺳﮭل ﻓ ﻲ اﻟﻔﮭ م إذا‬ ‫ ﻣ ن أﻛﺛ ر اﻷﺷ ﻛﺎل اﻟﺑﯾﺎﻧﯾ ﺔ اﻟواﺳ ﻌﺔ اﻻﻧﺗﺷ ﺎر ﻓ ﻲ ﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﻣ ﺎ‬٠‫ﺗ م ﻋرﺿ ﮭﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ‬ ١٥٦


‫ﯾﻌرف ﺑﺎﻟﻣدرج اﻟﺗﻛ راري ‪ histogram‬واﻟ ذي ﯾﻧﺎﺳ ب اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﺗﺻ ﻠﺔ‪ .‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑﺗﻣﺛﯾ ل‬ ‫ﺗﻛ رار ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن ﻓﺋ ﺎت اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺑﻣﺳ ﺗطﯾل ﻗﺎﻋدﺗ ﮫ اﻟﺣ دود اﻟﻔﻌﻠﯾ ﺔ ﻟﺗﻠ ك اﻟﻔﺋ ﺔ وارﺗﻔﺎﻋ ﮫ ﯾﺳ ﺎوى‬ ‫ﺗﻛرار اﻟﻔﺋﺔ‪ .‬وﯾﺗم ذﻟك ﺑرﺳم ﻣﺣورﯾن أﺣدھﻣﺎ أﻓﻘ ﻲ واﻵﺧ ر رأﺳ ﻲ وﻧرﺻ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ‬ ‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ ﻟﻛل ﻓﺋﺔ ﻣن ﻓﺋ ﺎت اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري وﻧﻘ ﯾم ﻋﻠ ﻰ ﻛ ل ﻓﺋ ﺔ ﻣﺳ ﺗطﯾل ارﺗﻔ ﺎع ﯾﺳ ﺎوى‬ ‫ﺗﻛرار ﺗﻠك اﻟﻔﺋﺔ‪ .‬اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري ﻟﻣﺛﻠﻧﺎ ﻣوﺿﺢ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫‪x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,‬‬ ‫‪71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,‬‬ ‫;}‪63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪b=Max[x‬‬ ‫‪74‬‬ ‫]‪n=Length[x‬‬ ‫‪50‬‬ ‫]‪a=Min[x‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪r=b-a‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪d‬‬

‫‪4.83333‬‬ ‫]‪del=Round[d‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]}‪c1=Table[i,{i,a,b,del‬‬ ‫}‪{45,50,55,60,65,70‬‬ ‫‪c2=c1+del-1‬‬ ‫}‪{49,54,59,64,69,74‬‬

‫‪c1  c2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪mid ‬‬

‫}‪{47,52,57,62,67,72‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]‪RangeCounts[x,c1‬‬ ‫}‪{0,5,9,4,13,10,9‬‬ ‫]‪ff=Drop[%,1‬‬ ‫}‪{5,9,4,13,10,9‬‬ ‫]}‪aa3=Transpose[{ff,mid‬‬ ‫}}‪{{5,47},{9,52},{4,57},{13,62},{10,67},{9,72‬‬ ‫">‪BarChart[aa3,BarSpacing->-.2,PlotLabel-‬‬ ‫]}"‪histogram",AxesLabel->{"limits","frequency‬‬

‫‪١٥٧‬‬


‫‪frequency‬‬

‫‪histogram‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪limits‬‬ ‫‪67‬‬

‫‪72‬‬

‫‪57‬‬

‫‪62‬‬

‫‪52‬‬

‫‪47‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌ ض اﻟﻣﺷ ﺎﻛل ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻷﻓﺿ ل وﺿ ﻊ اﻟﺗﻛ رار اﻟﻧﺳ ﺑﻲ أو اﻟﻣﺋ وي ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻟرأﺳ ﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري اﻟﻧﺳ ﺑﻲ ‪relative frequency‬‬ ‫‪ histogram‬أو اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺋ وي ‪ ، percentage frequency histogram‬وﯾﻛ ون‬ ‫ﻟﮭﻣﺎ ﻧﻔس ﺷﻛل اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري‪ ،‬ﻛﻣﺎ أن ﻣﺟﻣ وع ﻣﺳ ﺎﺣﺎت اﻷﻋﻣ دة ﻟﻠﻣ درج اﻟﺗﻛ راري اﻟﻧﺳ ﺑﻲ‬ ‫ﺗﺳﺎوى اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‪.‬‬ ‫وﻣﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري اﻟﻧﺳﺑﻲ ‪:‬‬ ‫‪aa4=ff/Length[x]//N‬‬ ‫}‪{0.1,0.18,0.08,0.26,0.2,0.18‬‬ ‫]}‪aa5=Transpose[{aa4,mid‬‬ ‫‪{{0.1,47},{0.18,52},{0.08,57},{0.26,62},{0.2,67},{0.18,72‬‬ ‫}}‬ ‫]‪BarChart[aa5,BarSpacing->-.2‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫‪72‬‬

‫‪62‬‬

‫‪67‬‬

‫‪57‬‬

‫‪52‬‬

‫‪47‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺋوى ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪aa6=aa4*100‬‬ ‫}‪{10.,18.,8.,26.,20.,18.‬‬ ‫]‪BarChart[aa6,BarSpacing->-.2‬‬ ‫}‪{10.,18.,8.,26.,20.,18.‬‬ ‫‪١٥٨‬‬


‫}‪{10.,18.,8.,26.,20.,18.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(Graphics‬‬

‫اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ اﻟﻣﻔﯾ دة ﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟرﻗﻣﯾ ﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ھ و اﺳ ﺗﺧدام اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري‬ ‫‪ frequency polygon‬واﻟذي ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺗﻧﺻﻧﯾف اﻷﺿﻼع اﻟﻌﻠوﯾﺔ ﻟﻠﻣﺳ ﺗطﯾﻼت ﻓ ﻲ اﻟﻣ درج‬ ‫اﻟﺗﻛراري ﺛم ﻧوﺻل ھ ذه اﻟﻧﻘ ﺎط ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﺑ ﺎﻟﺑﻌض‪ .‬وﻟﻛ ﻲ ﻧﻐﻠ ق اﻟﺧ ط اﻟﻣﻧﻛﺳ ر اﻟ ذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ‬ ‫ﻧﺣدد ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ وﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﻼﺣﻘ ﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷﺧﯾ رة‬ ‫وﻧﻐﻠق اﻟﻣﺿﻠﻊ‪.‬‬ ‫وھﻧ ﺎك طرﯾﻘ ﺔ أﺧ رى ﻟرﺳ م اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري وذﻟ ك ﺑرﺳ م ﻣﺣ ورﯾن أﺣ دھﻣﺎ أﻓﻘ ﻲ واﻵﺧ ر‬ ‫رأﺳﻲ‪ .‬ﯾﻣﺛل اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺎت وﯾﻣﺛ ل اﻟﻣﺣ ور اﻟرأﺳ ﻲ اﻟﺗﻛ رارات‪ .‬ﻧﻌﺗﺑ ر ﻣرﻛ ز ﻛ ل‬ ‫ﻓﺋﺔ إﺣداﺛﯾﺎ أﻓﻘﯾﺎ ﻟﻧﻘطﺔ وﻧﻌﺗﺑر ﺗﻛرار ھ ذه اﻟﻔﺋ ﺔ أﻹﺣ داﺛﻲ اﻟرأﺳ ﻲ ﻟﺗﻠ ك اﻟﻧﻘط ﺔ‪ .‬وﻟﻛ ﻲ ﻧﻐﻠ ق اﻟﺧ ط‬ ‫اﻟﻣﻧﻛﺳر اﻟذي ﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾ ﮫ ﻧﺣ دد ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﻣرﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ وﻣرﻛ ز‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ اﻟﻼﺣﻘﺔ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة وﻧﻐﻠق اﻟﻣﺿﻠﻊ‪.‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟرﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪:(٢٧-٤‬‬ ‫‪aa11={{42,0},{47,5},{52,9},{57,4},{62,13},{67,10},{72,9},‬‬ ‫;}}‪{77,0‬‬ ‫]}‪ListPlot[aa11,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪75‬‬

‫‪65‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟرﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪:(٢٧-٤‬‬

‫‪١٥٩‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪Graphics‬‬


‫‪bb1={{42,0},{47,.1},{52,.18},{57,.08},{62,.26},{67,.2},{7‬‬ ‫;}}‪2,.18},{77,0‬‬

‫]}‪ListPlot[bb1,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫‪75‬‬

‫‪70‬‬

‫‪65‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟرﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺋوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪(٢٧-٤‬‬ ‫‪bb2={{42,0},{47,10},{52,18},{57,8},{62,26},{67,20},{72,18‬‬ ‫;}}‪},{77,0‬‬ ‫]}‪ListPlot[bb2,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪75‬‬

‫‪65‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻋﻧ د اﻟرﻏﺑ ﺔ ﻓ ﻲ ﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻓﺋﺗ ﯾن ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔﺗ ﯾن ﻓ ﻲ ﻋ دد ﻣﻔرداﺗﮭﻣ ﺎ ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻣﺛﯾ ل‬ ‫اﻟﻣﺿﻠﻌﯾن اﻟﺗﻛرارﯾﯾن ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟرﺳم ‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻻﺑ د ﻣ ن اﺳ ﺗﺧدام اﻟﺗﻛ رارات اﻟﻧﺳ ﺑﯾﺔ أو‬ ‫اﻟﻣﺋوﯾﺔ‪.‬‬ ‫‪١٦٠‬‬


‫أﻣ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ اﻟﻣﺗﺟﻣﻌ ﺔ ﻓﮭﻧ ﺎك ﻣ ﺎ ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ‬ ‫‪ cumulative frequency polygon‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑرﺳ م ﻣﺣ ورﯾن أﺣ دھﻣﺎ أﻓﻘ ﻲ واﻵﺧ ر‬ ‫رأﺳﻲ وﻛل ﻧﻘط ﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟرﺳ م إﺣ داﺛﯾﺎﺗﮭﺎ اﻟﺣ د اﻷﻋﻠ ﻰ اﻟﻔﻌﻠ ﻲ ﻟﻠﻔﺋ ﺔ واﻟﺗﻛ رار اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ وﺑﺗوﺻ ﯾل‬ ‫اﻟﻧﻘﺎط ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ‪.‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟرﺳم ﻟﻠﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪(٢٧-٤‬‬ ‫‪bb3={{42,0},{47,5},{52,14},{57,18},{62,31},{67,41},{72,50‬‬ ‫;}}‬ ‫]}‪ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪70‬‬

‫‪65‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﯾﻣﻛ ن ﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ اﻟﻧﺳ ﺑﻲ واﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ اﻟﻣﺋ وي ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ‪،‬‬ ‫ﺑ ﻧﻔس اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﻣﺛﻠﻧ ﺎ ﺑﮭ ﺎ اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟﻣﺗﺟﻣ ﻊ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ‪ ،‬وذﻟ ك ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﻟﺗﻛ رارات‬ ‫اﻟﻣﺗﺟﻣﻌﺔ اﻟﻧﺳﺑﯾﺔ واﻟﺗﻛرارات اﻟﻣﺗﺟﻣﻌﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ‪٠‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟرﺳم ﻟﻠﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻧﺳﺑﻰ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪(٢٧-٤‬‬ ‫‪aa11={{42,0},{47,.1},{52,.28},{57,.36},{62,.62},{67,.82},‬‬ ‫;}}‪{72,1‬‬ ‫]}‪lp2=ListPlot[aa11,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪70‬‬

‫‪65‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ رﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﻣﺋوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪(٢٧-٤‬‬ ‫‪١٦١‬‬


‫‪bb3={{42,0},{47,10},{52,28},{57,36},{62,62},{67,82},{72,1‬‬ ‫;}}‪00‬‬ ‫]}‪ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪70‬‬

‫‪65‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ھﻧ ﺎك طرﯾﻘ ﺔ أﺧ رى ﻟﺗﻣﺛﯾ ل اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ وذﻟ ك ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﺗﻛ راري‬ ‫‪ . frequencycurve‬وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑرﺳ م اﻟﻣﺿ ﻠﻊ اﻟﺗﻛ راري وﺗﻣﮭﯾ د اﻟﺧط وط اﻟﻣﻧﻛﺳ رة اﻟﺗ ﻲ‬ ‫ﺗﺻ ل ﺑ ﯾن ھ ذه اﻟ ﻧﻘط‪ .‬وﻗ د ﯾﻛ ون اﻟﺗﻣﮭﯾ د ﺑﺎﻟﯾ د أو ﺑط رق رﯾﺎﺿ ﯾﺔ وﻻ ﯾﺷ ﺗرط أن ﯾﻣ ر اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ‬ ‫ﺑﺟﻣﯾﻊ رؤوس اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري‪ .‬ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻛﻠﻣ ﺎ ﺿ ﺎﻗت أط وال اﻟﻔﺋ ﺎت وزاد ﻋ دد اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﺈن‬ ‫اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري ﯾؤول إﻟﻰ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗﻛراري‪.‬‬ ‫ﻋﻧد اﻟرﻏﺑﺔ ﻓ ﻲ ﺗﻘ دﯾر اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ ﻣﺗﺻ ل ‪ X‬ﻧﻘ وم ﺑﺗﻣﮭﯾ د اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ‬ ‫اﻟﺗﻛ راري اﻟﻧﺳ ﺑﻲ‪ ٠‬ﺷ ﻛل اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﯾﺳ ﺎﻋدﻧﺎ ﻓ ﻲ اﻗﺗ راح ﺷ ﻛل )‪ f (x‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ اﻟﻣﺗﺻ ل‬ ‫ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ‪ .‬ﻋﻠﻰ اﻟرﻏم ﻣن أﻧﻧﺎ ﺗﻣﻛﻧﺎ ﻣن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘ دﯾر ﻟﻠداﻟ ﺔ )‪ f (x‬ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ﻓ ﻼ ﻧ زال‬ ‫ﻧﺟﮭل اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺔ أو اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﺑﺎﻟداﻟ ﺔ )‪ f (x‬وﺑﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ﻻ ﻧﺳ ﺗطﯾﻊ ﺣﺳ ﺎب ﺗﻘ دﯾرات‬ ‫ﻟﻼﺣﺗﻣﺎﻻت ‪ .‬ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﮭ ﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﺷ ﻛل اﻟﻧ ﺎﻗوس ‪bell‬‬ ‫ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ‪ ٠‬اﻟﺻ ﯾﻐﺔ أو اﻟﻣﻌﺎدﻟ ﺔ اﻟﺧﺎﺻ ﺔ ﺑﺎﻟداﻟ ﺔ )‪ f (x‬ﻣﻌروﻓ ﺔ )داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣ ﺎل( وﺗﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗ ﯾن ‪  ,  .‬ﺑﻣﺟ رد اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﻟﻛ ل ﻣﻧﮭﻣ ﺎ ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‬ ‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻣﻘدرة ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﺣﺳﺎب أي ﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‪٠‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪١٦٢‬‬


‫ﻋﺎدة ﺗﺄﺧذ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت أﺷ ﻛﺎل ﻛﺛﯾ رة وﯾﻣﻛ ن اﺷ ﺗﻘﺎق ﻣﻌﺎدﻟﺗﮭ ﺎ ﺑﺗﻘ دﯾر ﻣﻌﺎﻟﻣﮭ ﺎ اﻟﻣﺟﮭوﻟ ﺔ‪ .‬ﻣﺷ ﺎﻛل‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺻﻌﺑﺔ ﺟدا وﺗﻧﺗﻣﻲ إﻟﻰ ﻓرع اﻹﺣﺻﺎء اﻟرﯾﺎﺿﻲ‪.‬‬ ‫ﻋﺎدة ﺗﺄﺧذ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت أﺷﻛﺎل ﻛﺛﯾرة وﯾﻣﻛن اﺷﺗﻘﺎق ﻣﻌﺎدﻟﺗﮭﺎ ﺑﺗﻘدﯾر ﻣﻌﺎﻟﻣﮭﺎ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻘ ﺎل ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ أﻧ ﮫ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل ‪ ، symmetrical‬ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺳ ﺎﺑق إذا أﻣﻛﻧﻧ ﺎ إﻗﺎﻣ ﺔ ﻋﻣ ود‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺣ ور اﻷﻓﻘ ﻲ ﺑﺣﯾ ث ﯾﻘﺳ م ھ ذا اﻟﻌﻣ ود اﻟﺗوزﯾ ﻊ إﻟ ﻰ ﻗﺳ ﻣﯾن ﯾﻧطﺑﻘ ﺎن ﻋﻠ ﻰ ﺑﻌﺿ ﮭﻣﺎ ﺗﻣ ﺎم‬ ‫اﻻﻧطﺑﺎق‪ .‬اﻟﻧﻘطﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻣﻛﻧﻧﺎ ﻣن إﻗﺎﻣﺔ اﻟﻌﻣود ﺗﺳﻣﻰ ﻧﻘطﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل‪ .‬أﻣﺎ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﻛ ون ﻋ دم‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل واﺿﺣﺎ ﻓﺗﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﻠﺗوﯾ ﺔ ‪ . skewed‬ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾ ﺎ إﻟ ﻰ اﻟﯾﻣ ﯾن أو ﻣوﺟ ب‬ ‫اﻻﻟﺗ واء ‪ positive skewed‬إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ دل اﻟﺗﻧ ﺎﻗص ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ أﺳ رع ﺟﮭ ﺔ اﻟﯾﻣ ﯾن ﻣﻧ ﮫ‬ ‫ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ أط ول ﻣ ن اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﺳ ر ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪x‬‬ ‫ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﻠﺗوﯾ ﺎ إﻟ ﻰ اﻟﯾﺳ ﺎر وﺳ ﺎﻟب اﻻﻟﺗ واء ‪ negative skewed‬إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ دل‬ ‫اﻟﺗﻧﺎﻗص ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﺳرع ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر ﻣﻧﮫ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن ﺑﺣﯾث ﯾﻛون اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﺳر ﻣن اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ‬ ‫أطول ﻣن اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﻣن ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﺷﻛل )‪(٧-٣‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻋﻧد ﻣﻘﺎرﻧﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت وﺣﯾدة اﻟﻘﻣﺔ ﻗد ﻧﺟدھﺎ ﺗﺧﺗﻠف ﻣن ﺣﯾث ﺷﻛل اﻟﻘﻣﺔ‪ .‬ﻓﻘد ﺗﻛ ون ﻗﻣ ﺔ إﺣ داھﻣﺎ‬ ‫أﻛﺛر ﺗدﺑﺑﺎ أو ﺗﻔرطﺣﺎ ﻣ ن ﺑﻌ ض اﻟﻘﻣ م اﻷﺧ رى‪ ٠‬ﻓﻔ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﺛ ﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾ ﺎت ﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ‪ ٠‬اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ‪ ، A ،‬ذو اﻟﻘﻣ ﺔ اﻟﻣدﺑﺑ ﺔ ‪ leptokurtic‬ﯾﻣﺛ ل ﺗوزﯾ ﻊ ﺑﻘ ﯾم ﺗﺗرﻛ ز ﺑﺷ دة‬ ‫ﺣ ول ﻧﻘط ﺔ اﻟوﺳ ط ‪ ٠midpoint‬اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ‪ ، B ،‬وھ و اﻟﻣﻌﺗ دل ‪ mesokurtic‬ﯾﻛ ون‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﺗﻔﻠطﺢ وﯾﻣﺛل ﺗوزﯾﻊ ﺑﻘ ﯾم ﺗﺗرﻛ ز ﺑدرﺟ ﺔ أﻗ ل ﺣ ول ﻧﻘط ﺔ اﻟوﺳ ط ﻋ ن اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﻣ دﺑب‪٠‬‬ ‫وأﺧﯾ را اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ‪ ، C‬اﻟﻣﻔﻠط ﺢ ‪ platykurtic‬واﻟ ذي ﯾﻛ ون ﻣﻧﺑﺳ طﺎ وﺗ ﻧﺧﻔض ﻗﻣﺗ ﮫ ﻋ ن ﻗﻣ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﻣﻌﺗدل‪ ٠‬وھذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن ﻗﯾﻣﮫ ﺗﻘﻊ ﺣول ﻧﻘطﺔ اﻟوﺳط ﻓﻲ ﻣدى ﻏﯾر ﺿﯾق‪٠‬‬

‫‪١٦٣‬‬


‫)‪ (٢-٤-٤‬ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ و ﺑﯾﺎﻧﺎت وﺻﻔﯾﺔ‬ ‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٨-٤‬‬ ‫ﺗم إﻟﻘ ﺎء ‪ 10‬ﻋﻣ ﻼت ‪ 100‬ﻣ رة وﺗﺳ ﺟﯾل ﻗ ﯾم ‪ x‬اﻟﺗ ﻲ ﺗﻣﺛ ل ﻋ دد ﻣ رات ظﮭ ور اﻟﺻ ورة ﻛﻣ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪ ،‬واﻟﻣطﻠ وب ‪ :‬إﯾﺟ ﺎد اﻟﻣ درج اﻟﺗﻛ راري ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺗﻛ راري اﻟ ذي ﯾﻣﺛ ل ﻋ دد ﻣ رات‬ ‫ظﮭور اﻟﺻورة‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻣﺎ أن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻓﺳوف ﺗﺳﺗﺧدم طرﯾﻘﺔ اﻷﻋﻣدة ﻟﺗﻣﺛﯾل ھذه اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪.‬‬ ‫ﻋدد اﻟﺻور‬

‫اﻟﺗﻛرار ) ‪(f i‬‬

‫) ‪(x‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪100‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾرﺳم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑطرﯾﻘﺔ اﻻﻋﻣدة اﻟﺑﺳﯾطﺔ ‪ .‬وطﺑﻌﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺧﯾﺎرات‬ ‫اﻟﺗﻰ ﺗﻌرﻓﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻓﻰ ﻋﻣل ﻋﻧوان ﻟﻠرﺳم او ﻟﻠﻣﺣﺎور ‪.‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬

‫‪ruthruns={{8,0},{12,1},{16,2},{20,3},{15,4},{3,5},{12,6},‬‬ ‫}}‪{4,7},{5,8},{0,9},{5,10‬‬ ‫;]‪BarChart[ruthruns‬‬ ‫‪١٦٤‬‬


‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢٩-٤‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧــت ﻟــدﯾﻧﺎ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾــﺔ اﻟﻣﻧﻔﺻــﻠﺔ ﻓــﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣــﺔ اﻟﻣﺳــﻣﺎﻩ ‪ aa1‬وﻧرﯾــد وﺿــﻌﻬﺎ ﻓــﻰ‬ ‫ﺟــدول ﺗﻛ ـرارى ﺛــم ﻋرﺿــﻬﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻋﻣــدة اﻟﺑﺳــﯾطﺔ ‪.‬ﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ وﺳــوف‬ ‫ﻧﺳ ــﺗﺧدم اﻟﺣزﻣ ــﺔ ‪ DataManipulation‬ﺗﺣ ــت اﻟ ــدﻟﯾل ‪ Statistics‬واﻻﻣ ــر‬ ‫‪:Frequencies‬‬

‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫;}‪aa1={1,2,2,4,4,4,4,3,3,3,2,4,4,4‬‬ ‫]‪Frequencies[aa1‬‬ ‫}}‪{{1,1},{3,2},{3,3},{7,4‬‬ ‫‪Frequencies[aa1]//TableForm‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫]‪BarChart[Frequencies[aa1],PlotRange->All‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪١٦٥‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Graphics‬‬


‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻻﻣر‪ Frequencies‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪?Frequencies‬‬

‫‪Frequencieslist gives a list of the‬‬ ‫‪distinct elements in list, together with‬‬ ‫…‪the frequencies with which they occur. More‬‬

‫) ‪ ( ٥-٤‬ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‬

‫‪Measures of Central Tendency‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ وﺣده ﻻ ﯾﻣد اﻟﺑﺎﺣث ﺑﻛل اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ‬ ‫ﻣن ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ‪ ،‬ﻓﺎﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻﺑد أن ﺗوﺻف وﺗﺣﻠل‪ .‬واﺣد ﻣن اﻟطرق ﻟوﺻف‬ ‫ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات‪ ،‬ﺳواء ﻋﯾﻧﺔ أو ﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ ،‬ھو اﺳﺗﺧدام اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ‪ ) averages‬ﻣﻘﺎﯾﯾس‬ ‫اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ( ‪ .‬ﻓﺎﻟﻣﺗوﺳط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗرﻛز ﺣوﻟﮭﺎ ﻣﻌظم اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ .‬ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﻌرض أرﺑﻌﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪.‬‬

‫) ‪ (١-٥-٤‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪Arithmetic Mean‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟو ﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن أﻓﺿل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻣرﻛز ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x N‬ﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون‬ ‫ﻛﻠﻬﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ ،‬ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎﻫدات ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ ، N‬ﻓﺈن اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٠-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺷﺎﻫداﺗﻪ ﻫﻲ ‪8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11 . :‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪8  10  13  9  7  11  10  12  10  9  11‬‬ ‫‪11‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪ DescriptiveStatistics‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 10.‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪: Statistics‬‬

‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11,10‬‬ ‫]‪Mean[aa1‬‬ ‫‪١٦٦‬‬


‫‪10‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ‪ ، x 1 , x 2 ,..., x n‬ﻟﯾس ﻣن اﻟﺿروري أن ﺗﻛون ﻛﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ‪ ،‬ﺗﻣﺛل ﻣﺷﺎﻫدات ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ ، n‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﯾﻣﻛن‬ ‫ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٣١-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ ‪6,7,7,8. :‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪6778‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪28‬‬ ‫‪ 7.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪: Statistics‬‬

‫‪ DescriptiveStatistics‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل‬

‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={6,7,7,8‬‬ ‫]‪Mean[aa1‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﻋﻧد وﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻔﻘد اﻟﮭوﯾﺔ ﻷي ﻣﺷﺎھدة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺑﻘﻰ ھﻲ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻛل ﻓﺋﺔ‪ .‬ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن‬ ‫ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻧﻔﺗرض أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات داﺧل ﻓﺋﺔ ﻣﻌطﺎة ﺗﻘﻊ ﻋﻧد ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ x1 , x 2 ,..., x k‬ھﻲ ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫‪) f1 , f 2 ,..., f k‬ﺣﯾث ‪ k‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪f x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪١٦٧‬‬

‫‪x‬‬


‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٢ -٤‬‬ ‫إذا أﻋطﯾت اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫)أ( أوﺟد ﻗﯾم ﻗﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ N  100‬اﻟﺗﻲ ﻣﺛﻠت ھذا اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪ ‬ﺑطرﯾﻘﺗﯾن‬ ‫)ب(‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪P(X  x‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫)أ( ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﺗﻲ ﻣﺛﻠت اﻟﺟدول ﻧوﺟدھﺎ ﻣن اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫)‪n(x‬‬ ‫‪P(X  x) ‬‬ ‫‪n  N‬‬ ‫ﺣﯾث )‪ n(x‬ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ﻋﻧد ‪ x‬و )‪ N(x‬ﻋدد ﻣﺷﺎھدات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪.‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻣﻌطﻰ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻌﺗﺑر ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛرارى ﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺣﯾث طول اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫ﺗﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ‪ .‬وﻣﻣﺎ ھو ﺟدﯾر ﺑﺎﻟذﻛر ان ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺧﯾر ﻣﺛﺎل ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ واﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪fi‬‬

‫) ‪P(X  x‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪0.25‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫)ب( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪  E(X )   x i P(x i )  1(0.25)  2(0.25)  3(0.5)  2.25 .‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪ x f ( x )  1(25)  2(25)  3(50)  2.25‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪100‬‬

‫‪i‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫)‪aa1=1(.25)+2(.25)+3(.5‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫‪125  225  350‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪aa2  N‬‬ ‫‪2.25‬‬

‫اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ اﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﯾدوﯾﺎ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٣-٤‬‬

‫‪١٦٨‬‬


‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻠﺿراﺋب اﻟﺗﻲ ﺗم ﺗﺣﺻﯾﻠﮭﺎ ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﻣوظﻔﯾن ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻟﺗﺳﺧﯾن اﻟﺑﺗرول ﻓﻲ ﻋﺎم ‪. 1990‬‬ ‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫‪400  500 501 601 602  702 703 803 804  904‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫وﺣدة اﻟدﻗﺔ = ‪1‬‬

‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪:‬‬ ‫طول اﻟﻔﺋﺔ = اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ – اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ ‪+‬وﺣدة اﻟدﻗﺔ = ‪101‬‬ ‫اﻵن ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪x ifi‬‬

‫ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ‪x i‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪fi‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬

‫‪7650‬‬ ‫‪13775‬‬ ‫‪18908‬‬ ‫‪18825‬‬

‫‪450‬‬ ‫‪551‬‬ ‫‪652‬‬ ‫‪753‬‬ ‫‪854‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪400  500‬‬ ‫‪501 601‬‬ ‫‪602  702‬‬ ‫‪703 803‬‬ ‫‪804  904‬‬

‫‪23912‬‬ ‫‪83070‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫إذا اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﺳﺎوي ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x i f i 83070‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 669.919.‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪ fi‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٤-٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٢٧-٤‬ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪:‬‬ ‫‪x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,‬‬ ‫‪71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,‬‬ ‫;}‪63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪b=Max[x‬‬ ‫‪74‬‬ ‫]‪a=Min[x‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪r=b-a‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪d‬‬

‫‪4.83333‬‬ ‫]‪del=Round[d‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]}‪c1=Table[i,{i,a,b,del‬‬ ‫‪١٦٩‬‬


‫}‪{45,50,55,60,65,70‬‬ ‫‪c2=c1+del-1‬‬ ‫}‪{49,54,59,64,69,74‬‬

‫‪c1  c2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪mid ‬‬

‫}‪{47,52,57,62,67,72‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]‪RangeCounts[x,c1‬‬ ‫}‪{0,5,9,4,13,10,9‬‬ ‫]‪ff=Drop[%,1‬‬ ‫}‪{5,9,4,13,10,9‬‬ ‫‪TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L‬‬ ‫]}}"‪ower","Upper","Midpoint","Frequency‬‬

‫‪Frequency‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪Midpoint‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪Upper‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪Lower‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪70‬‬

‫]‪n=Length[x‬‬ ‫‪50‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬

‫‪Dot mid, ff‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪xb ‬‬

‫‪61.1‬‬

‫ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ وﻋﯾوﺑﮫ ‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﻣﯾزات ا ﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻧﮫ ﻣﺄﻟوف وﺳﮭل اﻟﻔﮭم ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﻌرف ﻷي ﻓﺋﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﻗﯾﻣﺗﮫ وﺣﯾدة ‪ .‬أﯾﺿﺎ ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗدﺧل ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ ‪.‬أﻣﺎ ﻋﯾوﺑﮫ ﻓﮭﻲ ﺗﺄﺛره‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﻟذﻟك ﻻ ﯾﻧﺻﺢ ﺑﺎﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﻣﻧﺣﻧﺎھﺎ ﺷدﯾد اﻻﻟﺗواء‪ .‬أﯾﺿﺎ ﻻ ﯾﻣﻛن‬ ‫ﺗﻘدﯾره ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ‪ .‬وأﺧﯾرا ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ ﺑﺎﻟرﺳم‬ ‫اﻋﻣدة ﺑﯾﺎﻧﯾﺔ ﺑﺳﯾطﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم ﻫذﻩ اﻻﻋﻣدة ﻟﺑﯾﺎن اﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾرات ﻣﻧﻔﺻﻠﺔ ﻋن ﺑﻌﺿﻬﺎ ﻣﺛل اﻟﻣﻘﺎرﻧﺎت اﻟﻘﺑﻠﯾﺔ‬ ‫واﻟﺑﻌدﯾﺔ ﻟﻧﻔس اﻟظﺎﻫرة ﺗﺣت اﻟدراﺳﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٥ -٤‬‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت اﻟﺗﻰ ﻗﺎم ﺑﻬﺎ ﻋﺷرة ﻣوظﻔﯾن ﻗﺑل وﺑﻌد ﺣﺿور دورة اﻟﺗدرﯾﺑﯾﺔ‬ ‫وﺑﻌدﻫﺎ واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﻻﻋﻣدة ‪.‬‬ ‫‪١٧٠‬‬


‫ﻗﯾم اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﻗﺑل اﻟدورة‬

‫ﻗﯾم اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت ﺑﻌد اﻟدوة‬

‫‪200‬‬

‫‪210‬‬

‫‪210‬‬

‫‪220‬‬

‫‪230‬‬

‫‪240‬‬

‫‪300‬‬

‫‪410‬‬

‫‪210‬‬

‫‪220‬‬

‫‪231‬‬

‫‪240‬‬

‫‪600‬‬

‫‪610‬‬

‫‪210‬‬

‫‪220‬‬

‫‪231‬‬

‫‪240‬‬

‫‪312‬‬

‫‪330‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﻫﻧﺎ ﺳوف ﻧﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﺗوﺳطﺎت ﻛل ﻋﻣود واﻟذى ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﻪ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312‬‬ ‫;}‪aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330‬‬ ‫]‪cc1=Mean[aa1‬‬ ‫‪1397‬‬ ‫‪5‬‬

‫]‪cc2=Mean[aa2‬‬ ‫‪294‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫;]}‪BarChart[{cc1,cc2‬‬

‫‪١٧١‬‬


‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٦-٤‬‬ ‫ﺗﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ اﻟﻣرﺗب ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 14‬ﻣوظﻔﺎ ﻣن اﻟﻌﺎﻣﻠﯾن ﻓﻰ ﺑﺎﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت وذﻟك وﻓق‬ ‫اﻟﺟﻧس واﯾﺿﺎ وﻓق اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ ‪.‬‬ ‫رﻗم اﻟﻣوظف‬

‫اﻟﺟﻧس‬

‫اﻟﻣﺳﺗوى اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ‬

‫ﻣرﺗب اﻟﻣوظف‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪85‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪89‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪120‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪130‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪210‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪101‬‬

‫‪11‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪120‬‬

‫‪13‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪130‬‬

‫‪14‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪140‬‬

‫‪١٧٢‬‬


‫ﺑﻔرض اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺎﻟﻌﻣود اﻻول واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪ .‬اى اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗوﺿﺢ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣرﺗب اﻟﻣوظف وﻣﺳﺗواﻩ اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ ‪ .‬ﺳوف ﻧﻌرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻋﻣدة‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ‪.‬‬ ‫وﺳوف ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ ﻋﻣل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟذﻟك ﺣﯾث ‪ aa1‬ﺗﻣﺛل ﻣرﺗﺑﺎت اﻟﻣوظﻔﯾن ﻣرﺗﺑﺔ ﺣﺳب اﻟﻣﺳﺗوى‬ ‫اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟداﺧﻠﯾﺔ }‪{90.,89,90‬ﺗﻣﺛل ﻣرﺗﺑﺎت اﻟﻣوظﻔﯾن ﻋﻧد‬

‫اﻟﻣﺳﺗواﻫم اﻟﺗﻌﻠﯾﻣﻰ ‪ 2‬وﻫﻛذا ‪ ،‬ﺛم ﯾﺣﺳب اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻣرﺗﺑﺎت اﻟﻣوظﻔﯾن ﻟﻛل ﻣﺳﺗوى‬ ‫ﺗﻌﻠﯾﻣﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫وﺳوف ﻧﺣﺗﺎج اﻟﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ‪ DescriptiveStatistics‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل‬ ‫‪ Statistics‬وﯾﻣﻛن ﻓﻬم ﺑﻘﯾﺔ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬

‫‪aa1={{85.},{90.,89,90},{210.,100,101},‬‬ ‫;}}‪{100.,120,130,200‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫]‪f[x_]:=Mean[x‬‬ ‫]‪aa2=Map[f,aa1‬‬ ‫}‪{85.,89.6667,137.,137.5‬‬ ‫;}‪aa3={1,2,3,4‬‬ ‫]}‪aa4=Transpose[{aa2,aa3‬‬ ‫}}‪{{85.,1},{89.6667,2},{137.,3},{137.5,4‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫]‪BarChart[aa4‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ )‪ f (x‬ﻟﮭﺎ اﻟﻘﯾم ) ‪f (x i‬‬ ‫ﻟﻠداﻟﺔ ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪١٧٣‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ او اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ‬


‫‪1 n‬‬ ‫) ‪ f (x i‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫اذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ‪ n‬ﻣن اﻟﻘﯾم ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬ﻓﺎن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ھو ‪:‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪n i1‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٣٠-٤‬ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={8,10,13,9,7,11,10,12,10,9,11,10‬‬ ‫]‪Mean[aa1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪f[y_]:=y‬‬ ‫]‪ExpectedValue[f[y],aa1,y‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻔﺗرض أن ﻛل ﻗﯾﻣﺔ ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ‪ ،‬ﻣﺛل ھذا اﻟﻔرض ﻗد‬ ‫ﯾﻛون ﺧﺎطﺊ‪ .‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻘﯾم ﻟﯾس ﻟﮭﺎ ﻧﻔس اﻷھﻣﯾﺔ ﯾﻛون ﻣن اﻷﻓﺿل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧت ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬ﺗﻣﺛل ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ ، X‬وﻛﺎﻧت ‪w 1 , w 1 ,..., w n‬‬ ‫اﻷوزان اﻟﻣﻧﺎظرة ﻟﮭﺎ ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ﯾﻛون ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪w x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪xw ‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﯾﻌﺎب ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ھو ﻋدم وﺟود ﻗﺎﻋدة ﻟﺗﺣدﯾد اﻷوزان وﺗﺧﺿﻊ‬ ‫ﻟﻠﺗﻘدﯾر اﻟﺷﺧﺻﻲ‪ .‬ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ إذا ﻛﺎﻧت‬ ‫اﻷوزان ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٧-٤‬‬ ‫ﯾﺷﺗري ﺷﺧص ‪ 4‬ﻗﻣﺻﺎن ﻣن اﻟﺷرﻛﺔ ‪ A‬ﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د ‪ 22$‬و ‪ 4‬ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ ‪B‬‬ ‫ﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د ‪ 25$‬و ‪ 7‬ﻗﻣﺻ ﺎن ﻣ ن اﻟﺷ رﻛﺔ ‪ C‬ﺑﺳ ﻌر اﻟواﺣ د ‪ . 30$‬أوﺟ د ﻣﺗوﺳ ط ﺳ ﻌر‬ ‫اﻟﻘﻣﯾص‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻣﺗوﺳط ﺳﻌر اﻟﻘﻣﯾص ﻧوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ اﻟذي ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪w x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪xw ‬‬

‫‪w‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪x1  22, x 2  25, x 3  30‬‬ ‫‪w1  4, w 2  4, w 3  7‬‬ ‫‪١٧٤‬‬


‫اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون اﻟذي ﯾﻌطﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ‪:‬‬

‫‪ 22  4   25 4   30  7  398  26.53.‬‬

‫‪447‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ اﻟﻣرﺟﺢ ‪:‬‬

‫‪xw ‬‬

‫‪224  254  307‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 4  7‬‬

‫‪aa1  N‬‬ ‫‪26.5333‬‬

‫) ‪ ( ٢-٥-٤‬اﻟوﺳﯾط ‪Median‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻷﻓﺿل ﺑﻌد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪ .‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻟوﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز ~‪ ‬ووﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ . ~x‬اﻟوﺳﯾط ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ (‬ ‫ھو اﻟﻌدد اﻷوﺳط ﻣﻧﮭﺎ إذا ﻛﺎن ﻋددھﺎ ﻓردﯾﺎ وھو اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻌددﯾن اﻷوﺳطﯾﯾن إذا ﻛﺎن‬ ‫ﻋددھﺎ زوﺟﯾﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬ﺗﻣﺛل ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات اﻟﻣرﺗﺑﺔ ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ) أو ﺗﻧﺎزﻟﯾﺎ ( ﻓﺈن‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ﻟﮭذه اﻟﻔﺋﺔ ھو اﻟﻌدد ‪ x n 1‬إذا ﻛﺎن ‪ n‬ﻓردﯾﺎ وھو اﻟﻌدد ] ‪ [x n  x n  2‬إذا‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‪2 (2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﺎﻧت ‪ n‬زوﺟﯾﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٣٨-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﻣﺷﺎھداﺗﮫ ‪. 10,9,8,6,7‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ‪ ، 6,7,8,9,10‬ھﻧﺎ ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ n‬ﻓردﯾﺎ وﻟذﻟك ﻓﺈن‬ ‫اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟوﺳطﯾﺔ أي أن وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ھو ‪.   8‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪:‬‬ ‫]}‪aa1=Sort[{10,9,8,6,7‬‬ ‫}‪{6,7,8,9,10‬‬ ‫]‪n=Length[aa1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)]]‪aa1=If[OddQ[n],aa1[[(n+1)/2]],(aa1[[(n+2)/2]]+aa1[[n/2‬‬ ‫]‪/2‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﺧر ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={10,9,8,6,7‬‬ ‫]‪Median[aa1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪١٧٥‬‬


‫ﻣﺛﺎل )‪( ٣٩-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻟوﺳﯾط ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﻣﺷﺎھداﺗﮭﺎ ھﻲ ‪.10,9,6,1, 2,7‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺗرﺗﯾب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ أي ‪ ، 1,2,6,7,9,10‬ﻋدد اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ n‬زوﺟﻲ وﻟذﻟك اﻟوﺳﯾط ھو‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻘﯾﻣﺗﯾن اﻟوﺳطﯾﺗﯾن أي أن وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو ‪:‬‬ ‫‪6  7 13‬‬ ‫‪  6.50‬‬ ‫‪. x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪:‬‬ ‫;]}‪aa1=Sort[{10,9,6,1,2,7‬‬ ‫]‪n=Length[aa1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)]]‪aa1=If[OddQ[n],aa1[[(n+1)/2]],(aa1[[(n+2)/2]]+aa1[[n/2‬‬ ‫]‪/2‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪N[%‬‬ ‫‪6.5‬‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ اﺧﺮ ﻟﺣﺳﺎب وﺳﯾط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa2={10,9,6,1,2,7‬‬ ‫]‪Median[aa2‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪N[%‬‬ ‫‪6.5‬‬

‫ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط وﻋﯾوﺑﮫ ‪:‬‬ ‫ﻣن ﻣﻣﯾزات اﻟوﺳﯾط أﻧﮫ ﺳﮭل اﻟﻔﮭم وﻻ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة‪.‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻓﺋﺎت ﻣﻔﺗوﺣﺔ ‪.‬وﻣن ﻋﯾوب اﻟوﺳﯾط أن ﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﻻ ﺗدﺧل ﻓﻲ‬ ‫ﺣﺳﺎﺑﮫ‪ .‬ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻣﺛل اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪ ،‬ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ‪ ،‬ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ ﺻﻧﺎﻋﯾﺔ ‪، artificial‬‬ ‫ﺑﻣﻌﻧﻰ ﻋدم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻲ ﻓﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ،‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪ ،‬ﺗﻣﺛل اﻟوﺳﯾط‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﻷي ﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻓﺈن اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳﯾـط ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾطﺔ ‪median‬‬ ‫‪. class‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 F‬‬ ‫‪x  L  ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪  F‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪،‬‬ ‫‪  L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪،‬‬ ‫‪  f m‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬ ‫‪  ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪،‬‬ ‫‪١٧٦‬‬


‫ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﯾﺗم ﺗﺣدﯾد ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻣﺣور اﻟرأﺳﻲ ﺛم ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ﻧﻘطﺔ ﻣوﻗﻊ اﻟوﺳﯾط ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﻋﻧد‬ ‫اﻟﺗﻘﺎﺋﮫ ﺑﺎﻟﻣﺿﻠﻊ ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﺗﻛون ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٤٠-٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٣٣-٤‬اوﺟد اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﯾدوﯾﺎ ﻟﻣﻌرﻓﺔ طرﯾﻘﺔ اﻟﺣل ‪.‬‬ ‫وﺣدة اﻟدﻗﺔ = ‪1‬‬ ‫طول اﻟﻔﺋﺔ = اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ – اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﻲ ‪+‬وﺣدة اﻟدﻗﺔ = ‪101‬‬ ‫اﻟوﺳﯾط ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 F‬‬ ‫‪x  L  ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ =L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪ = F ،‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‬ ‫‪ = f m ،‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ‪.‬‬ ‫‪ = ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط‬ ‫‪n 124‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﺣﺳب أوﻻ اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ وﺛﺎﻧﯾﺎ ً ﻧﺣﺳب ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط واﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي ‪ 62‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ،‬ﺣﯾث‬

‫‪ n‬ﯾﺳﺎوي ﻣﺟﻣوع اﻟﺗﻛرارات وذﻟك ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ‬ ‫‪17‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪124‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻌﻠﯾﺎ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺎت‬ ‫أﻗل ﻣن ‪500.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪601.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪702.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪803.5‬‬ ‫أﻗل ﻣن ‪904.5‬‬

‫اﻟﺗﻛرار ‪fi‬‬

‫اﻟﺣدود اﻟﻔﻌﻠﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﻔﺋﺔ‬

‫‪17‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪399.5  500.5‬‬ ‫‪500.5  601.5‬‬ ‫‪601.5  702.5‬‬ ‫‪702.5  803.5‬‬ ‫‪803.5  904.5‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫ﻓﺋﺔ اﻟوﺳﯾط ھﻲ اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ‪:‬‬ ‫اﻵن ﻧﻌوض ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧون ‪:‬‬

‫‪ 62  42 ‬‬ ‫‪. x  601.5  ‬‬ ‫‪101  601.5  69.655  671.155.‬‬ ‫‪ 29 ‬‬ ‫‪١٧٧‬‬


‫ﻣﺛﺎل )‪(٤١ -٤‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٢٧-٤‬اوﺟد اﻟوﺳﯾط وﻣﺛﻠﮫ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ ودون اﻟﺣﺎﺟﺔ ﻟوﺿﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ ﺟدول ﺗﻛرارى اي ﻣن‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻻﺻﻠﯾﺔ ورﺳم اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ واﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻣﻧﮫ وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫‪Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫ﻣن اﻟدﻟﯾل ‪ Statistics‬وذﻟك ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫‪x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,‬‬ ‫‪71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,‬‬ ‫;}‪63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬

‫اﻟوﺳﯾط ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Median[x‬‬ ‫‪63‬‬

‫اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛرارى اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ‪:‬‬

‫‪x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,‬‬ ‫‪71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,‬‬ ‫;}‪63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪b=Max[x‬‬ ‫‪74‬‬ ‫]‪n=Length[x‬‬ ‫‪50‬‬ ‫]‪a=Min[x‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪r=b-a‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪d‬‬

‫‪4.83333‬‬ ‫]‪del=Round[d‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]}‪c1=Table[i,{i,a,b,del‬‬ ‫}‪{45,50,55,60,65,70‬‬ ‫‪c2=c1+del-1‬‬ ‫}‪{49,54,59,64,69,74‬‬

‫‪c1  c2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪mid ‬‬

‫}‪{47,52,57,62,67,72‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫‪١٧٨‬‬


RangeCounts[x,c1] {0,5,9,4,13,10,9} ff=Drop[%,1] {5,9,4,13,10,9} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L ower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 45 50 55 60 65 70

Upper 49 54 59 64 69 74

Midpoint 47 52 57 62 67 72

Frequency 5 9 4 13 10 9

aa5=CumulativeSums[ff] {5,14,18,31,41,50} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,aa5}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 45 50 55 60 65 70

Upper 49 54 59 64 69 74

Midpoint 47 52 57 62 67 72

Frequency 5 14 18 31 41 50

bb3={{42,0},{47,5},{52,14},{57,18},{62,31},{67,41},{72,50 }}; ListPlot[bb3,PlotJoined->True,AxesOrigin->{42,0}] 50 40 30 20 10

45

Graphics

50

55

60

65

70

: ‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟوﺳﯾط ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫ ﻟﻌﻣل اﻟﺧطوط‬Paint ‫ ﺣﯾث ﯾﺎﺧذ اﻟرﺳم اﻟﻰ اﻟﻔرﺷﺔ‬50/2=25.5 ‫ﺑﻣﺎ ان ﺗرﺗﯾب اﻟوﺳﯾط ﻫو‬ : ‫اﻟظﺎﻫرة ﻋﻠﻰ اﻟرﺳم‬

١٧٩


‫اى ان اﻟوﺳﯾط ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺳﺎوى ‪ 60‬ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‬

‫)‪ ( ٣-٥-٤‬اﻟﻣﻧوال‬

‫‪Mode‬‬

‫ﯾﻌرف اﻟﻣﻧوال ﺑﺄﻧﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ أو اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛرر أﻛﺛر ﻣن ﻏﯾرھﺎ‪ .‬ﻓﻲ ﺑﻌض‬ ‫اﻷﺣﯾﺎن ﻻ ﯾوﺟد ﻣﻧوال ﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﺣﯾث ﻻ ﺗﺗﻛرر اﻟﻘﯾم أﻛﺛر ﻣن ﻣرة ‪ ،‬وإذا وﺟد ﻗد ﻻ‬ ‫ﯾﻛون وﺣﯾدا ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٤٢-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ‪3,5,5,5,5,5,5,5,7,7,9‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ أﺣﺎدي اﻟﻣﻧوال وﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﻧوال ﺗﺳﺎوي ‪. 5‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={3,5,5,5,5,5,7,7,9‬‬ ‫]‪Mode[aa1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٤٣-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻣﻧوال ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ‪. 2,4,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﻣﻧوال ﺣﯾث اﻟﻣﻧوال ھو ‪. 6,7‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬

‫‪١٨٠‬‬


‫;}‪aa2={2,4,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9‬‬ ‫]‪Mode[aa2‬‬ ‫}‪{6,7‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣﻧوال أﻗل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ اﺳﺗﺧداﻣﺎ‪ .‬ﻟﻠﻔﺋﺎت اﻟﺻﻐﯾرة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ‬ ‫ﯾﻛون ﻟﮫ ﻓﺎﺋدة ‪ ،‬ﻓﻘط ﯾﻛون ﻟﮫ ﻣﻌﻧﻰ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺑﯾرا ‪ .‬وﻣن ﻣﻣﯾزاﺗﮫ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺣﺗﺎج‬ ‫إﻟﻰ ﻋﻣﻠﯾﺎت ﺣﺳﺎﺑﯾﺔ‪ ،‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟوﺻﻔﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﯾﻌرف اﻟﻣﻧوال ﺑﺎﻧﮫ ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار‪.‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻌطﻰ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (٤١-٤‬اﻋﻠﻰ ﺗﻛرار ھو ‪ 13‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪62‬‬ ‫‪ ،‬أي أن اﻟﻣﻧوال ﯾﺳﺎوي ‪. 62‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟﻣﻧوال ﺑﺎﻟرﺳم ﻣن اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛراري ﺣﯾث ﻧﺻل اﻟرأس اﻷﯾﻣن اﻟﻌﻠوي‬ ‫ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾـل اﻟذي ﯾﻣﺛـل أﻛﺑر ﺗﻛرار ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﻣن ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺳﺎﺑق ﻟﮫ‪ ،‬أﯾﺿﺎ ﻧﺻل اﻟرأس‬ ‫اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻷطول ﻣﺳﺗطﯾل ﺑﺎﻟرأس اﻷﯾﺳر اﻟﻌﻠوي ﻟﻠﻣﺳﺗطﯾل اﻟﺗﺎﻟﻲ ﻟﮫ ﻓﯾﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺎن‬ ‫ﻓﻲ ﻧﻘطﺔ‪ ،‬ﻧﺳﻘط ﻋﻣود ﻣن ھذه اﻟﻧﻘطﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ ﻓﯾﻛون ھو اﻟﻣﻧوال ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٤٤-٤‬‬ ‫اوﺟد اﻟﻣﻧوال ﺣﺳﺎﺑﯾﺎ وﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪: (٤١-٤‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻣﻧوال ﻣﺑﺎﺷرة ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻻﺻﻠﯾﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫‪x={60,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,‬‬ ‫‪71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,‬‬ ‫;}‪63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪Mode[x‬‬ ‫‪54‬‬

‫وﻗد ﺗم اﯾﺟﺎد اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻟﮫ وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﮫ ﺑﻌد ارﺳﺎﻟﮭﺎ اﻟﻰ اﻟﻔرﺷﺎة‬

‫‪١٨١‬‬


‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣﻧوال ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪ f (x‬ھو ﻗﯾﻣﺔ ‪ x‬اﻟﺗﻲ ﻋﻧدھﺎ ﯾﺄﺧذ‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ أﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎر ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻘﺎﺑﻠﮭﺎ أﻋﻠﻰ ﺗﻛرار ھو ﺗﻘدﯾر‬ ‫ﻟﻠﻣﻧوال ‪.‬‬

‫) ‪ ( ٤-٥-٤‬اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ‬

‫‪The geometric Mean‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﻟﻪ اﺳﺗﺧداﻣﺎت ﺧﺎﺻﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻻﻗﺗﺻﺎدﯾﺔ وﻓﻲ‬

‫اﻟﻣﺟﺎل اﻟﺳﻛﺎﻧﻲ‪.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ، x1 , x 2 ,..., x n‬ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ‬ ‫ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪G  n x1  x 2  ...  x n .‬‬ ‫وﻟﺗﺳﻬﯾل ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﺗﺳﺗﺧدم اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ إذا ﻛﺎن ‪: n  2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ log x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪( ٤٥-٤‬‬ ‫إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ دل اﻟﺗﺿ ﺧم ﻟﺷ ﻌب ﻣ ﺎ ھ و ‪ 3%‬ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ اﻷوﻟ ﻰ و ‪ 4%‬ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ و ‪8%‬‬ ‫ﻟﻠﺳﻧﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻟﻣﻌدﻻت اﻟﺗﺿﺧم ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪ log‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ log3  log 4  log8‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  0.4771  0.6020  0.9030   1.9821  0.6607.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻵن ﻧﺣﺳب ﻗﯾﻣﺔ ‪ G‬واﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ‪. G  4.5782‬‬ ‫‪G‬‬

‫ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﻬﻧدﺳﻰ ‪:‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪N 3  4  8 ‬‬ ‫‪4.57886‬‬

‫اﯾﻀﺎ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻟﻮﺳﻂ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻻﻣﺮ ‪:‬‬ ‫‪ ExpectedValue‬واﺳﺗﺧدام اﻟﻘﺎﻧون ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ log x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫ﺛﻢ اﺳﺘﺨﺪام اﻟﺪاﻟﺔ ‪ Exp‬ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫}‪aa1={3,4,8‬‬ ‫‪١٨٢‬‬


‫]‪f[y_]:=Log[y‬‬ ‫]‪aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪Log3  Log4  Log8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪aa3=Exp[aa2]//N‬‬ ‫‪4.57886‬‬

‫داﺋﻣﺎ ﯾﻛون اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪ .‬ﻛﻣﺎ أن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻻ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﮫ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت إﺣدى اﻟﻘﯾم ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻟﻠﺻﻔر أو رﻗم ﺳﺎﻟب‪.‬ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ﻣن ﺟداول‬ ‫ﺗﻛرارﯾﺔ ﻣن اﻟﺗﻌرﯾف اﻟﺗﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ x 1 , x 2 ,..., x k‬ﺗﻣﺛل ﻣراﻛز اﻟﻔﺋﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻛراري ﻣﻊ ﺗﻛراراﺗﮭﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫‪ ) f1 ,f 2 ,...,f k‬ﺣﯾث ‪ k‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻔﺋﺎت ( ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ‪ G‬ﯾﺣﺳب ﻣن‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪G  n x1f  x f2  ...  x fn .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫او ﻣن اﻟﻘﺎﻧون ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ f log x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٤٦-٤‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛ راري ﻷط وال ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ﺧﻣﺳ ﯾن ﻧﺑ ﺎت ﻣ ن ﻧ وع ﻣ ﺎ‬ ‫واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻰ‪٠‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪55.1799‬‬ ‫‪ 1.103598.‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ f log x‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪LogG ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻓﺈن اﻟﻮﺳﻂ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻫﻮ ‪٠ G  12.69399.‬‬ ‫‪log x i‬‬ ‫‪f i log x i‬‬ ‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪ x i‬اﻟﺗﻛرار ‪fi‬‬ ‫‪5.0706‬‬ ‫‪10.0000‬‬ ‫‪16.7085‬‬ ‫‪14.4492‬‬ ‫‪8.9516‬‬ ‫‪55.1799‬‬

‫‪0.8451‬‬ ‫‪1.0000‬‬ ‫‪1.1139‬‬ ‫‪1.2041‬‬ ‫‪1.2788‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪١٨٣‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪50‬‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫‪6-8‬‬ ‫‪9-11‬‬ ‫‪12-14‬‬ ‫‪15-17‬‬ ‫‪18-20‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬


‫ﺳﻮف ﻳﺘﻢ ﺣﻞ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﺎل ﺑﺎﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﺣﯾث اﻟوﺳط اﻟﮭﻧدﺳﻲ ‪ G‬ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪G  n x1f  x f2  ...  x fn .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪:‬‬ ‫;}‪m={6,10,15,12,7‬‬ ‫]‪d=Apply[Plus,m‬‬ ‫‪50‬‬

‫;}‪xx={7,10,13,16,19‬‬ ‫;‪bb1=xx^m‬‬ ‫;]‪bb=Apply[Times,bb1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬

‫‪c  N bb ‬‬ ‫‪12.6943‬‬

‫)‪ (٦-٤‬اﻟرﺑﯾﻌﺎت واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت واﻟﻌﺷﯾرات ‪uartiles, Percentiles, Deciles‬‬ ‫ﻛﻣ ﺎ ذﻛرﻧ ﺎ ﺳ ﺎﺑﻘﺎ‪ ،‬إذا رﺗﺑﻧ ﺎ ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺣﺳ ب ﻗﯾﻣﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ﻓ ﺈن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ‬ ‫ﺗﻛون ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف واﻟﺗﻲ ﺗﻘﺳ م اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت إﻟ ﻰ ﻗﺳ ﻣﯾن ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﯾن ﻓ ﻲ اﻟﻌ دد ھ ﻲ اﻟوﺳ ﯾط‪ ٠‬وﺑﺗﻌﻣ ﯾم‬ ‫اﻟﻔﻛرة وﺗﻘﺳﯾم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت إﻟﻰ أرﺑﻌﺔ أﺟزاء ﻣﺗﺳ ﺎوﯾﺔ ) ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾ ب اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ ( ﻓ ﺈن ﻧﻘ ﺎط‬ ‫اﻟﺗﻘﺳﯾم ﯾرﻣز ﻟﮭﺎ ﺑﺎﻟرﻣوز ‪ Q1 ، Q 2 ، Q 3‬ﺣﯾث ‪ Q1‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ‪) first quartile‬اﻟرﺑﯾ ﻊ‬ ‫اﻷدﻧ ﻰ ‪ (lower quartile‬و ‪ Q 2‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ‪) second quartile‬ﻧﻔﺳ ﮫ اﻟوﺳ ﯾط( و‬ ‫‪ Q 3‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟ ث ‪) third quartile‬اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷﻋﻠ ﻰ ‪ upper quartile‬ﻓ ﺎﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ھ و‬ ‫اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ Q1‬اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ رﺑ ﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﺛﻼﺛ ﺔ أرﺑ ﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‪ ٠‬واﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ )وھ و أﯾﺿ ﺎ‬ ‫اﻟوﺳﯾط( ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ Q 2‬اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﻧﺻ ف اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ ﻧﺻ ف اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‪ ٠‬وﻓ ﻲ اﻟﻧﮭﺎﯾ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ‬ ‫اﻟﺛﺎﻟث وھو اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ Q 3‬اﻟﺗﻲ ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ ﺛﻼﺛﺔ أرﺑﺎع اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ رﺑﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت‪ ٠‬ﻋﻧ د اﺳ ﺗﺧدام ﻓﺋ ﺔ‬ ‫ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﺈن اﻟرﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﺛﻼﺛ ﺔ ﯾ ﺗم ﺣﺳ ﺎﺑﮭﺎ ﺑﺗﻌ ﯾن ﻣوﻗﻌﮭ ﺎ أوﻻ ﻓﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و‬ ‫‪3n  2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﻣوﻗﻌﮫ ھو‬ ‫واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣوﻗﻌﮫ ھو‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪( ٤٧-٤‬‬ ‫‪12  2‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺷ ﺎھدات ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻷول ھ و ‪ 3.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪57‬‬ ‫ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛ ﺔ واﻟراﺑﻌ ﺔ أي ‪ 6‬‬ ‫‪ ٠ Q1 ‬أﯾﺿ ﺎ ﻣوﻗ ﻊ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ھﻣ ﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫إﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﮫ ﻓﮭ ﻲ‬

‫‪١٨٤‬‬


‫‪36  2‬‬ ‫‪12  1‬‬ ‫‪ 9.5 ،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪ 6.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17  19‬‬ ‫‪11  13‬‬ ‫‪ 18 ، Q2 ‬‬ ‫اﻟﺗواﻟﻲ ھﻣﺎ ‪ 12‬‬ ‫‪٠ Q3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟرﺑﯾ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ واﻟﺛﺎﻟ ث ﻋﻠ ﻰ‬

‫‪22‬‬

‫‪20‬‬

‫‪16 17‬‬

‫‪19‬‬

‫‪13‬‬

‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد اﻟرﺑﯾﻌﺎت ﺣﯾث ‪ aa1‬ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣدﺧﻼت ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={1,4,5,7,10,11,13,16,17,19,20,22‬‬ ‫]‪Median[aa1‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻫو اﻟرﺑﯾﻌﺎت ‪:‬‬ ‫]‪bb2=Quartiles[aa1‬‬ ‫}‪{6,12,18‬‬ ‫اﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻤﺔ اﻟﻤﺨﺮﺟﺎت ھﻮ اﻟﻮﺳﯿﻂ وﻓﻰ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﺔ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻟﺜﺎﻧﻰ ‪.‬‬

‫ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟﺛﺎﻟث ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪، Q1  L   4‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ Q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪  L‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ‪،‬‬ ‫‪  ‬طول ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ ‪،‬‬

‫‪ 3n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q3  L   4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ Q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪  F‬اﻟﺗﻛرار اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻔﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ‬ ‫‪  fQ‬ﺗﻛرار ﻓﺋﺔ اﻟرﺑﯾﻊ‪٠‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول واﻟﺛﺎﻟث ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣن اﻟﻣﺿﻠﻊ اﻟﺗﻛراري اﻟﻣﺗﺟﻣﻊ ﺑ ﻧﻔس اﻟطرﯾﻘ ﺔ‬ ‫اﻟﺗﻲ اﺳﺗﺧدﻣت ﻓﻲ ﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻣﻊ اﺳﺗﺧدام ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ ﺑدﻻ ﻣن ﻣوﻗﻊ‬ ‫أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻋﺷ رة أﻗﺳ ﺎم‬ ‫وﻧرﻣ ز ﻟ ﻧﻘط اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﺑ ﺎﻟرﻣوز ‪ D1 , D 2 ,..., D 9‬ﺣﯾ ث ‪ D1‬اﻟﻌﺷ ﯾر اﻷول وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وھﻛ ذا ﻟﻠﻌﺷ ﯾرات اﻷﺧ رى‪ ٠‬ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ‬ ‫ﯾﺳﺑﻘﮭﺎ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و ‪ D2‬اﻟﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ‬

‫إﯾﺟ ﺎد اﻟﻘ ﯾم اﻟﺗ ﻲ ﺗﻘﺳ م ﻓﺋ ﺔ ﻣ ن اﻟﻣﺷ ﺎھدات )ﺑﻌ د ﺗرﺗﯾﺑﮭ ﺎ ﺗﺻ ﺎﻋدﯾﺎ( إﻟ ﻰ ﻣﺎﺋ ﺔ ﻗﺳ م وﻧرﻣ ز ﻟ ﻧﻘط‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺗﻘﺳ ﯾم ﺑ ﺎﻟرﻣوز ‪ P1 , P2 ,..., P99‬ﺣﯾ ث ‪ P1‬اﻟﻣﺋ ﯾن اﻷول ھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ‬ ‫‪100‬‬

‫‪١٨٥‬‬

‫ﻣن‬


‫‪2‬‬ ‫‪99‬‬ ‫ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت و ‪ P2‬اﻟﻣﺋ ﯾن اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھ و ﯾﻣﺛ ل اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾﺳ ﺑﻘﮭﺎ‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وﯾﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪98‬‬ ‫ﻣ ن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت وھﻛ ذا ﻟﺑ ﺎﻗﻲ اﻟﻣﺋﯾﻧ ﺎت‪ ٠‬ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﺗوزﯾﻌ ﺎت اﻟﺗﻛرارﯾ ﺔ ﯾﻣﻛ ن‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﻠﯾﮭﺎ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻷول‬ ‫ﺑـ‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﻌﺷﯾرات و اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﺑﻧﻔس طرﯾﻘﺔ ﺣﺳ ﺎب اﻟوﺳ ﯾط ﻣ ﻊ اﺳ ﺗﺑدال‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺋ ﯾن اﻷول و‬ ‫ﻟﻠﻌﺷ ﯾر اﻟﺛ ﺎﻧﻲ وھﻛ ذا ﻟﺑ ﺎﻗﻲ اﻟﻌﺷ ﯾرات‪ ٠‬أﯾﺿ ﺎ اﺳ ﺗﺑدال ﺑ ـ‬ ‫و‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻣن‬

‫ﻟﻠﻣﺋﯾن اﻟﺛﺎﻧﻲ وھﻛذا اﻟﺑﺎﻗﻲ اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت‪٠‬‬ ‫ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻌﺷﯾرات واﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={1,4,5,7,10,11,13,16,17,19,20,22‬‬ ‫]‪Median[aa1‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻫو اﻟرﺑﯾﻌﺎت ‪:‬‬ ‫]‪bb2=Quartiles[aa1‬‬ ‫}‪{6,12,18‬‬

‫اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻫو اﻟوﺳﯾط وﻓﻰ اﻟوﻗت ﻧﻔﺳﺔ اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧﻣﺳﯾن واﯾﺿﺎ اﻟﻌﺷﯾر اﻟﺧﺎﻣس ‪:‬‬ ‫]‪InterpolatedQuantile[aa1,.5‬‬ ‫‪12.‬‬

‫اﻟﻤﺨﺮج ﻟﻼﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ھﻮ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫]‪InterpolatedQuantile[aa1,.75‬‬ ‫‪18.‬‬

‫اﻟﻤﺨﺮج ﻟﻼﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ھﻮ اﻟﺮﺑﯿﻊ اﻻول ‪:‬‬ ‫]‪InterpolatedQuantile[aa1,.25‬‬

‫)‪ (٧-٤‬ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗـت‬

‫‪Measures of Dispersion‬‬

‫ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﻧزﻋ ﺔ اﻟﻣرﻛزﯾ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻣ ت ﻣﻧﺎﻗﺷ ﺗﮭﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺑﻧ د اﻟﺳ ﺎﺑق ﻻ ﺗﻛﻔ ﻲ ﻹﻋط ﺎء وﺻ ف ﻛ ﺎﻓﻲ‬ ‫ﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ﻓﻼ ﺗوﺿﺢ طﺑﯾﻌﺗﮭﺎ وﻻ ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻣﺷ ﺎھداﺗﮭﺎ‪ .‬ﻛﻣ ﺎ أن اﻻﻋﺗﻣ ﺎد ﻓﻘ ط‬ ‫ﻋﻠﻰ أي ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ﻟﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻋدة ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻻ ﯾﻛﻔﻲ ﻹظﮭ ﺎر ﺣﻘﯾﻘ ﺔ اﻟﻣﻘﺎرﻧ ﺔ‪ ،‬ﻓﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﻣﻛن أن ﯾﻛون ﻟﻌدة ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﻔس اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط وﻟﻛﻧﮭم ﯾﺧﺗﻠﻔوا ﻋ ن‬ ‫ﺑﻌﺿ ﮭم ﺗﻣ ﺎم اﻻﺧ ﺗﻼف‪ .‬ﻓﻘ د ﺗﻛ ون ﻣﺷ ﺎھدات إﺣ دى اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺎت ﻣﺗﻘﺎرﺑ ﺔ ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣ ن ﺑﻌ ض‬ ‫)ﻣﺗﻣرﻛزة ﺣول ﻣﺗوﺳطﮭﺎ ( أو ﻣﺑﻌﺛرة )ﻣﺗﺷﺗﺗﺔ ( ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻲ ﺳوف ﻧﻘدم ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻷﻛﺛر أھﻣﯾﺔ‪.‬‬

‫) ‪ (١-٧-٤‬اﻟﻣدى وﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫‪The range and semi interquartile range‬‬ ‫‪١٨٦‬‬


‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻣدى ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﺷﺗت ﻣن اﻟﺳﮭل ﺟدا ﺣﺳﺎﺑﮫ وﯾﻌطﻰ ﻓﻛرة ﺳرﯾﻌﺔ ﺟدا ﻋن طﺑﯾﻌﺔ‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺛﯾرا ﻓﻲ ﻣراﻗﺑﺔ اﻟﺟودة وﻛذﻟك ﻓﻲ وﺻف اﻷﺣوال اﻟﺟوﯾﺔ‪ ٠‬وﻟﻛن ﻣن ﻋﯾوﺑﮫ‬ ‫أﻧﮫ ﯾﺗﺄﺛر ﺑﺎﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة وﯾﻌطﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﺧﺎطﺋﺔ ﻋن اﻻﻧﺗﺷﺎر اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ ﻟﻣﻌظم اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﻣﺎ أﻧﮫ ﻻ‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم ﺟﻣﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ ﺣﺳﺎﺑﮫ‪٠‬‬ ‫ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛرارﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣدى ﯾﺣﺳب ﺑﻌدة طرق ﺳوف ﻧذﻛر ﻣﻧﮭ ﺎ اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ‬ ‫‪:‬‬ ‫اﻟﻣدى= اﻟﺣد اﻷﻋﻠﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷﺧﯾرة‪-‬اﻟﺣد اﻷدﻧﻰ اﻟﻔﻌﻠﻲ ﻟﻠﻔﺋﺔ اﻷوﻟﻰ‪.‬‬ ‫ھﻧﺎك ﻣﻘﺎﯾﯾس أﺧرى ﻟﻠﺗﺷﺗت ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮭﺎ ﺑدﻻ ﻣن اﻟﻣدى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟود ﻗﯾم ﺷﺎذة‪٠‬‬ ‫ﺗﻌﺗﻣد ھذه اﻟﻣﻘﺎﯾﯾس ﻋﻠﻰ إھﻣﺎل ﺟزء ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻋﻧد طرﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺗﻰ ﻧﺗﺧﻠص ﻣن اﻟﻘﯾم‬ ‫اﻟﺷﺎذة وﺗﺳﻣﻰ ﺷﺑﯾﮭﺎت اﻟﻣدى‪ ٠‬ﻓﻣﺛﻼ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ ‪ 10%‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات وأﺻﻐر ‪ 10%‬ﻣﻧﮭﺎ‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟﻣﺋﯾﻧﻲ أي ‪. P90  P10‬‬ ‫أﯾﺿﺎ ﺑﺣذف أﻋﻠﻰ ‪ 25%‬ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت وأﺻﻐر ‪ 25%‬ﻣﻧﮭﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ أي‬ ‫‪ ٠ Q 3  Q 1‬وأﺧﯾرا ھﻧﺎك ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﯾﺳﺗﻧﺗﺞ ﻣن اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ وھو ﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫) اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ ( ‪ semi interquartile range‬وﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﺑﻘﺳﻣﺔ اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 2‬ﻓﺈذا رﻣزﻧﺎ ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ MR‬ﻓﺈن ‪-:‬‬ ‫‪Q 3  Q1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪MR ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤٨-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧ ت درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻣﺋوﯾ ﺔ ﻓ ﻲ إﺣ دى اﻟﻣ دن ﺧ ﻼل أﯾ ﺎم إﺣ دى اﻷﺳ ﺎﺑﯾﻊ ھ ﻲ ‪:‬‬ ‫‪22,9,13,12,18,15,9‬‬

‫أﺣﺳب ﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫) ا ( اﻟوﺳﯾط واﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال‪.‬‬ ‫) ب ( اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ وﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻲ واﻟﻣدى‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟوﺳﯾط‬ ‫ﺑﺎﻟﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدﯾﺎ ً ‪9,9,12,13,15,18,22‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن اﻟﻌدد ﻓردي ‪ 7 ‬إذا ً اﻟوﺳﯾط ھو اﻟﻌدد اﻟذي ﯾﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻣﻧﺗﺻف ‪13 ‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪:‬‬ ‫‪9  15  18  12  13  9  22 98‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻟﻣﻧوال‪ :‬ھو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻷﻛﺛر ﺷﯾوﻋﺎ ً ‪9‬‬

‫‪‬‬

‫)ب(‬

‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ ‪Q3  Q1‬‬ ‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪3n  2‬‬ ‫‪ 5.75,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 5‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 6‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ھو اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 5‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 6‬أي‪:‬‬

‫‪١٨٧‬‬


‫‪15  18  16.5.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Q3 ‬‬

‫ﻣوﻗﻊ اﻟرﺑﯾﻊ اﻷول ﯾﺣدد ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ 2.25.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أي ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 2‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 3‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻛون ﻗﯾﻣﺔ اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول ھو اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 2‬واﻟﻣﺷﺎھدة رﻗم ‪ 3‬أي‪:‬‬

‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ ‪Q3  Q1‬‬ ‫‪ MR  16.5  10.5  6.‬‬ ‫‪Q 3  Q1‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟرﺑﯾﻌﻲ‬ ‫‪2‬‬

‫‪MR ‬‬

‫‪Q 3  Q 1 16.5  10.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ MR ‬‬

‫اﻟﻣدى‪ :‬أﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ – أﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 22  9  13‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={22,9,13,12,18,15,9‬‬ ‫]‪Median[aa1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫]‪Mode[aa1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫]‪Mean[aa1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫]‪bb2=Quartiles[aa1‬‬

‫‪39‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪, 13,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪c1=bb2[[3]]-bb2[[1]]//N‬‬ ‫‪7.5‬‬

‫‪(Last[bb2]-First[bb2])/2‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫]‪N[%‬‬ ‫‪3.75‬‬

‫ﯾﻼﺣظ اﺧﺗﻼف ﺑﺳﯾط ﻓﻰ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻻﺧﯾرة ﻋن اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﯾدوﯾﺎ وذﻟك ﻟﻌﻣﻠﯾﺔ اﻟﺗﻘرﯾب ‪.‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‪ InterquartileRange‬ﻻﯾﺟﺎد‬ ‫اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ ﺛم ﻗﺳﻣﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﺛﻧﯾن ﻻﯾﺟﺎد ﻧﺻف اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ ‪.‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20‬‬ ‫‪c1=InterquartileRange[aa1]//N‬‬ ‫‪7.5‬‬ ‫‪b1=%/2‬‬ ‫‪3.75‬‬

‫اﻟﻣدى ﯾﺣﺳب ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪١٨٨‬‬


‫]‪SampleRange[aa1‬‬ ‫‪13‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫]‪aa3=Max[aa1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫]‪aa4= Min[aa1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪m=aa3-aa4‬‬ ‫‪13‬‬

‫رﺳم اﻟﺻﻧدوق ‪BoxPlot‬‬

‫ﯾﻘوم ﺷﻛل اﻟﺻﻧدوق اﺳﺎﺳﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﻬوم اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت وﯾﺳﺗﺧدم ﻛﺎداة ﻟﺗﻣﺛﯾل ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺗوزﯾﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪.‬‬

‫ﯾﻌرض ﺷﻛل اﻟﺻﻧدوق ﺛﻼث رﺑﯾﻌﺎت ‪ ،‬اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ او اﻟوﺳﯾط واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث‬ ‫‪،‬ﺣﯾث ﯾﻣﺛل اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث ﺣﺎﻓﺔ اﻟﺻﻧدوق ‪.‬اﻣﺎ طول اﻟﺻﻧدوق ﻓﻬو ﻋﺑﺎرة ﻋن‬ ‫اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟرﺑﯾﻊ اﻻول )اﺳﻔل اﻟﺻﻧدوق( واﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻟث )اﻋﻠﻰ اﻟﺻﻧدوق( وﻫو اﻟﻣدى اﻟرﺑﯾﻌﻰ‬

‫‪ .‬وﻫﻧﺎك ﺧط اوﺳط داﺧل اﻟﺻﻧدوق ﯾﻣﺛل اﻟوﺳﯾط او اﻟرﺑﯾﻊ اﻟﺛﺎﻧﻰ ‪ ،‬ﻓﺎذاوﻗﻊ ﺧط اﻟوﺳط ﻓﻰ‬ ‫ﻣﻧﺗﺻف اﻟﺻﻧدوق ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻌﺎ ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻏﯾر ﻣﻠﺗو ‪ ،‬اﻣﺎ اذا ﻛﺎن اﻗرب اﻟﻰ ﻗﺎﻋدة‬ ‫اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻓﺎن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﯾم ﻣﻠﺗوﯾﺎ اﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ‪ .‬واذا ﻛﺎن ﺧط اﻟوﺳط اﻗرب اﻟﻰ ﻗﻣﺔ اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻓﺎن‬

‫ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﯾم ﻣﻠﺗوﯾﺎ اﻟﺗواء ﺳﺎﻟﺑﺎ ‪ .‬وﺗﻌﺗﺑر اﻟﻘﯾم ﻣﺗطرﻓﺔ ‪ Extreme‬اذا ﻛﺎﻧت ﺗﺑﻌد ﻋن ﻗﻣﺔ او ﻗﺎﻋدة‬ ‫اﻟﻣﺳﺗطﯾل ﻣﺳﺎﻓﺔ ﺗزﯾد ﻋن ﺛﻼث اﺿﻌﺎف طول اﻟﻣﺳﺗطﯾل ‪ .‬اﻣﺎ اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة واﻟﺗﻰ ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟرﻣز ‪ outlies‬ﻓﻬﻰ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺷﺎﻫدة او اﻟﻣﺷﺎﻫدات اﻟﺗﻰ ﺗﺑﻌد ﻗﯾﻣﺗﻬﺎ ﻋن ﻗﻣﺔ او ﻗﺎﻋدة اﻟﻣﺳﺗطﯾل‬ ‫ﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن ﻣرة وﻧﺻف وﺛﻼث اﺿﻌﺎف طول اﻟﻣﺳﺗطﯾل ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٩-٤‬‬ ‫اﻻرﻗﺎم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﺣﺟم ﻣﺑﯾﻌﺎت ‪ 24‬ﻣوظﻔﺎ ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت ﻓﻰ ﺳﻧﺔ ‪1998‬‬ ‫‪71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,‬‬ ‫‪72,68,66,70,35‬‬

‫وﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﺧﺮى ﺗﻣﺛل ﺣﺟم ﻣﺑﯾﻌﺎت ‪ 23‬ﻣوظﻔﺎ ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟﺷرﻛﺔ ﻓﻰ ﺳﻧﺔ ‪1999‬‬ ‫‪75,64,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,85,71,‬‬ ‫‪72,68,88,188‬‬ ‫‪١٨٩‬‬


. ‫واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل ﺗﻠك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺻﻧدوق‬ : ‫اﻟﺣل‬ .‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎھز اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب‬ ‫وﺳوف ﻧﻠﺣق ھذا اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣرﻓﻘﺎت ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب ﺗﺎﺑﻊ ﻟﻠﻔﺻل اﻟراﺑﻊ وﺑﻧﻔس اﺳم اﻟﻣﺛﺎل‬ : ‫ اوﻻ ﯾﺗم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬. ‫ﺑﺣﯾث ﻻ ﯾﻌﺎد ﻛﺗﺎﺑﺗﮫ ﻣرة اﺧرى‬ Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Statistics`DescriptiveStatistics` Horizontal Box and Whiskers boxandwhiskers[list_,i_]:=Module[{data,min,max,iqr,lif,ui f,lof,uof,n,lav,uav,lov,uov}, data=Sort[list]; min=Min[data]; max=Max[data]; med=Median[data]; quarts=N[Quartiles[data]]; iqr=quarts3-quarts1;

lif=quarts1-1.5 iqr;

uif=quarts3+1.5 iqr;

lof=quarts1-3 iqr;

uof=quarts3+3 iqr;

outliers=Select[data,#1<lif&&#1lof||#1>uif&&#1uof& ]; ١٩٠


outliers=Point/@({#1,i}&)/@outliers; extremeoutliers=Select[data,#1<lof||#1>uof&]; extremeoutliers=Thread[Circle[({#1,i}&)/@extremeoutl iers,0.1]];box=Graphics[{Line[{{quarts1,i-

0.2},{quarts1,i+0.2},{quarts3,i+0.2},{quarts3,i-

0.2},{quarts1,i-

0.2}}],Line[{{lif,i},{quarts1,i}}],Line[{{quarts3,i},

{uif,i}}],extremeoutliers,Thickness[0.01],Line[{{quarts2

,i-

0.2},{quarts2,i+0.2}}],PointSize[0.01],outliers}];Show[

box,FrameTrue,FrameTicks{Automatic,None},DisplayFunctio nIdentity]]

boxplotLists[lists_,options___]:=If[ListQ[lists1],graph

١٩١


s=Table[boxandwhiskers[listsi,i-

1],{i,1,Length[lists]}];Show[graphs,options,DisplayFuncti on$DisplayFunction],graph=boxandwhiskers[lists,0];Show[g raph,options,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{ All,{-3,3}}]] boxplotArray[dataset_,columns_,options___]:= Module[{data}, data=ToExpression[Table[Column[dataset,columns[[j]]] ,{j,1,Length[columns]}]]; data=Map[DropNonNumeric,data]; boxplotLists[data,options]] Vertical Box and Whiskers boxandwhiskersv[list_,i_]:=Module[{data,min,max,iqr,lif,u if,lof,uof,n,lav,uav,lov,uov}, data=Sort[list]; min=Min[data]; max=Max[data]; med=Median[data]; quarts=N[Quartiles[data]]; iqr=quarts3-quarts1;

lif=quarts1-1.5 iqr;

uif=quarts3+1.5 iqr;

lof=quarts1-3 iqr;

١٩٢


uof=quarts3+3 iqr;

outliers=Select[data,#1<lif&&#1lof||#1>uif&&#1uof& ];outliers=Point/@({i,#1}&)/@outliers; extremeoutliers=Select[data,#1<lof||#1>uof&]; extremeoutliers=Thread[Circle[({i,#1}&)/@extremeoutl iers,0.1]];box=Graphics[{Line[{{i.2,quarts1},{i+.2,quarts1},{i+.2,quarts3},{i-

.2,quarts3},{i-

.2,quarts1}}],Line[{{i,lif},{i,quarts1}}],Line[{{i,qu

arts3},{i,uif}}],Thickness[0.01],Line[{{i-

.2,quarts2},{i+.2,quarts2}}],PointSize[0.01],outliers

}];Show[box,FrameTrue,FrameTicks{None,Automatic},Displa yFunctionIdentity]]

boxplotListsV[lists_,options___]:=If[ListQ[lists1],grap

١٩٣


hs=Table[boxandwhiskersv[listsi,i-

1],{i,1,Length[lists]}];Show[graphs,options,DisplayFuncti on$DisplayFunction],graph=boxandwhiskersv[lists,0];Show[ graph,options,DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange {{-3,3},Automatic}]] boxplotArrayV[dataset_,columns_,options___]:= Module[{data}, data=ToExpression[Table[Column[dataset,columns[[j]]] ,{j,1,Length[columns]}]]; data=Map[DropNonNumeric,data]; boxplotListsV[data,options]] <<Statistics`DataManipulation` : ‫ﯾﺘﻢ ادﺧﺎل اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬

‫وﺳوف ﻧﺳﻣﻰ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﺳم‬ Column4 ‫ واﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬column2 column2={71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88, 67,65,71,72,68,66,70,35};

column4={75,64,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88, 67,85,71,72,68,88,188}; bp1=boxplotLists[column2,PlotRange->All,DisplayFunction>Identity]; bp2=boxplotLists[column4,PlotRange->All,DisplayFunction>Identity]; bp3=boxplotListsV[column2,PlotLabel->"Year 1998",PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; bp4=boxplotListsV[column4,PlotLabel->"Year 1999",PlotRange->All,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{bp1,bp2},{bp3,bp4}}]]

40 50 60 70 80 90

40 60 80100120140160180

Year 1998 90 80 70 60

Year 1999 100 90 80 70 60 50

GraphicsArray

١٩٤


‫اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ ‪1998‬‬ ‫وﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﺧﺎرﺟﺔ وﻫﻰ ‪ 35‬واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﺎﻟﺧط اﻟراﺳﻰ‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ‪.‬‬

‫اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ ‪1999‬‬ ‫وﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳم وﺟود ﻗﯾﻣﺔ ﺧﺎرﺟﺔ وﻫﻰ ‪ 188‬واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﺑﺎﻟﺧط اﻟراﺳﻰ‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن وﻟم ﯾوﺿﺢ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ان ﻛﺎﻧت ﺷﺎذة ام ﻣﺗطرﻓﺔ ‪.‬‬

‫اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﻣﯾن ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ ‪.1999‬‬ ‫اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﯾﺳﺎر ﯾﻣﺛل ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻟﺳﻧﺔ ‪.1998‬‬ ‫وﻗد ﺗم ﻋرض اﻟرﺳم ﺑﺷﻛل اﺧر ﻋن اﻟﺻف اﻻول ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳم ﻛﻣﺎ ان‬

‫اﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗطرﻓﺔ او اﻟﺷﺎذة ﻻ ﺗظﻬر ﻓﻰ اﻟرﺳم ﻓﻰ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻰ وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ ان اﻟﻣﺳﺗﺧدم اذا ﻛﺎن‬ ‫ﯾرﯾد ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻘﯾم اﻟﺧﺎرﺟﺔ ﯾﻠﺗزم ﺑﺎﻟرﺳوم اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﺻف اﻻول ‪.‬‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﯾﺿم اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن اﻟﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺔ واﺣدة وﺑﺷﻛﻠﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﯾن ‪.‬‬ ‫;]‪both=Join[column2,column4‬‬ ‫‪bothbp=boxplotLists[both,PlotRange->All,DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫‪bothbpv=boxplotListsV[both,PlotRange‬‬‫;]‪>All,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫]]}‪Show[GraphicsArray[{bothbp,bothbpv‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪175‬‬

‫‪150‬‬

‫‪125‬‬

‫‪100‬‬

‫‪75‬‬

‫‪50‬‬

‫‪GraphicsArray‬‬

‫وﺑﻔﺮض ان ھﻨﺎل ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﺧﺮى ﺗﻣﺛل ﺣﺟم ﻣﺑﯾﻌﺎت ‪ 23‬ﻣوظﻔﺎ ﻓﻰ اﺣدى اﻟﺷرﻛﺎت ﻓﻰ ﺳﻧﺔ‬ ‫‪ 2000‬وﺑﯾﺎﻧﺎﺗﮭﺎ ھﻰ ‪:‬‬

‫‪١٩٥‬‬


61,90,65,88,75,75,67,57,73,98,66,71,65,64,69,88,67,35,81, 72,68,66,70

: ‫واﻻن ﺳوف ﯾﺗم ﻋرض اﻟﺛﻼث ﻣﺟﻣوﻋﺎت ﻓﻰ ﻧﻔس اﻟوﻗت ﺑطرﯾﻘﺗﯾن‬ column6={61,90,65,88,75,75,67,57,73,98,66,71,65,64,69,88,6

7,35,81,72,68,66,70}

percents={column2,column4,column6}; percentsbp=boxplotLists[percents,PlotRange>All,DisplayFunction->Identity]; percentsbpv=boxplotListsV[percents,PlotRange>All,DisplayFunction->Identity];

Show[GraphicsArray[{percentsbp,percentsbpv}]]

100 90 80 70 60 50 50 75 100 125 150 175 GraphicsArray

(٥٠-٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫( ﻣﺎ ﯾﺳﻣﻰ ﺻﻧدوق وﯾﺷر‬٢٧-٤) ‫اﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام واﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل‬ : BoxWhisker 60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53,71 ,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74,63 ,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70

: ‫اﻟﺣل‬ Statistics ‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

StatisticsPlots

‫وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

.x ‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻠك اﻻﻋﻣدة وذﻟك ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ <<Statistics`StatisticsPlots` ١٩٦


‫‪x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53‬‬ ‫‪,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74‬‬ ‫;}‪,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪BoxWhiskerPlot[x‬‬

‫‪70‬‬

‫‪65‬‬

‫‪60‬‬

‫‪55‬‬

‫‪50‬‬

‫‪45‬‬

‫‪ Graphics‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥١-٤‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﻣﺟﺎﻣﯾﻊ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻌﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺻﻧدوق وﯾﺷر‪:‬‬ ‫‪ 12,14,16,18,30,50‬اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫‪ 13,16,18,20,60,56‬اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ‬ ‫‪20,22,30,40,90,40‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪StatisticsPlots‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ ‪Statistics‬‬

‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`StatisticsPlots‬‬ ‫;}‪bb1={12,14,16,18,30,50‬‬ ‫;}‪bb2={13,16,18,20,60,56‬‬ ‫;}‪bb3={20,22,30,40,90,40‬‬ ‫;]}‪bb4=Transpose[{bb1,bb2,bb3‬‬ ‫]‪BoxWhiskerPlot[bb4‬‬ ‫‪١٩٧‬‬


‫‪80‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ Graphics‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٢ -٤‬‬ ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻣﺛﺎل )‪ (٣٥-٤‬واﻟﺗﻰ ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺑﯾﻌﺎت اﻟﺗﻰ ﻗﺎم ﺑﻬﺎ ﻋﺷرة ﻣوظﻔﯾن ﻗﺑل‬

‫وﺑﻌد ﺣﺿور دورة اﻟﺗدرﯾﺑﯾﺔ وﺑﻌدﻫﺎ واﻟﻣطﻠوب ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﻻﻋﻣدة ‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪StatisticsPlots‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ ‪Statistics‬‬

‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`StatisticsPlots‬‬ ‫;}‪aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312‬‬ ‫;}‪aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330‬‬ ‫;]}‪aa3=Transpose[{aa1,aa2‬‬ ‫]‪BoxWhiskerPlot[aa3‬‬

‫‪١٩٨‬‬


600

500

400

300

200 1

2

Graphics

(٥٣ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻣﻛن ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق وﺑﺷﻛل اﺧر ﻟرﺳم اﻟﺻﻧدوق ﻣﻊ ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﺧرى‬ :‫ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ : ‫اﻟﺣل‬ Statistics ‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ‬

StatisticsPlots

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

: ‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب‬ <<Statistics`StatisticsPlots` aa1={200,210,230,300,210,231,660,210,231,312}; aa2={210,220,240,410,220,240,610,220,240,330}; aa3=Transpose[{aa1,aa2}]; aa4={200,240,400,500,330,600}; BoxWhiskerPlot[ aa3,aa4, BoxOrientation -> Horizontal, BoxLabels -> {"a", "b"}, BoxExtraSpacing -> {0, 0.5}, BoxStyle -> {Hue[0], Hue[0.5]}, BoxMedianStyle -> Dashing[{0.05}]

١٩٩


‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪600‬‬

‫‪500‬‬

‫‪400‬‬

‫‪300‬‬

‫‪200‬‬

‫]‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٤-٤‬‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل )‪ (٥٠-٤‬اﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﺗطرﻓﺔ او اﻟﺷﺎذة ‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫وﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪StatisticsPlots‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺪﻟﯿﻞ ‪Statistics‬‬

‫ﻣﻊ ﻋﻣل ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺷﺎذة واﻟﺗﻰ ﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ﻧﺟﻣﺔ او اﻟﻣﺗطرﻓﺔ واﻟﺗﻰ ﯾرﻣز‬ ‫ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ﻣرﺑﻊ وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ رﺳم اﻟﺻﻧدوق وذﻟك ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪x‬‬

‫‪x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53‬‬ ‫‪,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74‬‬ ‫;}‪,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫‪BoxWhiskerPlot[Join[x, {100,150,200, 2.5, 3.,9}],‬‬ ‫‪BoxQuantile -> 0.4,‬‬ ‫‪BoxOutliers -> All,‬‬ ‫‪BoxOutlierShapes -> {PlotSymbol[Star],‬‬ ‫}]‪PlotSymbol[Box‬‬ ‫]‬

‫‪٢٠٠‬‬


‫‪200‬‬

‫‪150‬‬

‫‪100‬‬

‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ Graphics‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪ (٢-٧-٤‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪The average Deviation‬‬ ‫ﺗﻣﺛ ل | ‪ | x i  ‬أو | ‪ | x i  x‬اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣطﻠﻘ ﺔ ﻻﻧﺣ راف أي ﻗﯾﻣ ﺔ ﻋ ن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ أو اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ‪٠‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت ﻟدﯾﻧﺎ اﻟﻔﺋﺔ ﻣن اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ ، x 1 , x 2 ,..., x n‬ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط ﯾﻣﻛ ن‬ ‫ﺣﺳﺎﺑﮫ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪-:‬‬

‫‪n‬‬

‫|‪x‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪| x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥٥-٤‬‬ ‫ﻓ ﻲ ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 20‬طﺎﻟ ب ﻓ ﻲ ﻛﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ ﺗ م ﺗﺳ ﺟﯾل ﻋ دد أﯾ ﺎم اﻟﻐﯾ ﺎب ﻟﻛ ل طﺎﻟ ب ﺧ ﻼل‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟدراﺳﻲ اﻷول وﻛﺎﻧت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1 :‬‬ ‫أﺣﺳب‪:‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪.‬‬ ‫‪٢٠١‬‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1  2  2  3  3  0  0  0  0 11111  4  5  4  3  0 1‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪ 1.65‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪x‬‬

‫‪25.6‬‬ ‫‪ 1.28.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزم اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪:‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1‬‬

‫اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ‪:‬‬ ‫]‪MeanDeviation[aa1‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪25‬‬ ‫]‪N[%‬‬ ‫‪1.28‬‬

‫ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﺧر ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ‪:‬‬ ‫;}‪aa1={1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1‬‬ ‫]‪b1=Length[aa1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫]‪b2=Apply[Plus,aa1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪b3=b2/b1‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪20‬‬ ‫]‪b3=N[%‬‬ ‫‪1.65‬‬ ‫]‪bb4=Abs[aa1-b3‬‬ ‫‪{0.65,1.65,1.35,2.35,3.35,2.35,0.65,0.65,0.65,0.65,0.65,1‬‬ ‫}‪.65,1.65,1.65,1.65,1.35,1.35,0.35,0.35,0.65‬‬ ‫‪٢٠٢‬‬

‫‪x‬‬


‫]‪b5=Apply[Plus,bb4‬‬ ‫‪25.6‬‬ ‫‪b6=b5/b1‬‬ ‫‪1.28‬‬

‫ﺗﻌرﯾ ف ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ x 1 , x 2 ,..., x k‬ﺗﻣﺛ ل ﻣراﻛ ز اﻟﻔﺋ ﺔ ﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺗﻛ راري ﻣ ﻊ ﺗﻛراراﺗﮭ ﺎ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠ ﺔ‬ ‫‪ f1 , f 2 ,..., f k‬ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ھو ‪-:‬‬

‫‪k‬‬

‫| ‪| xi  x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥٦-٤‬‬ ‫أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫| ‪fi | xi  x‬‬ ‫‪325.6‬‬ ‫‪235.2‬‬ ‫‪153.6‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫‪176.8‬‬ ‫‪224.4‬‬ ‫‪304‬‬ ‫‪1428.8‬‬

‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪xi  x‬‬ ‫‪-29.6‬‬ ‫‪-19.6‬‬ ‫‪-9.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪10.4‬‬ ‫‪20.4‬‬ ‫‪30.4‬‬

‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ ‪x i‬‬ ‫‪34.5‬‬ ‫‪44.5‬‬ ‫‪54.5‬‬ ‫‪64.5‬‬ ‫‪74.5‬‬ ‫‪84.5‬‬ ‫‪94.5‬‬ ‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

‫‪fi‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ‪٠ x  64.1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪1428.8‬‬ ‫‪ 14.288.‬‬ ‫‪100‬‬

‫| ‪| xi  x‬‬

‫‪i‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪M.D ‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪mid={34.5,44.5,54.5,64.5,74.5,84.5,94.5‬‬ ‫;}‪ff={11,12,16,23,17,11,10‬‬ ‫‪٢٠٣‬‬


‫;]‪bb1=Apply[Plus,ff‬‬ ‫‪bb2=mid*ff‬‬ ‫}‪{379.5,534.,872.,1483.5,1266.5,929.5,945.‬‬ ‫]‪bb3=Apply[Plus,bb2‬‬ ‫‪6410.‬‬ ‫;‪xb=bb3/bb1‬‬ ‫‪64.1‬‬

‫‪Dot Abs mid  xb, ff‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪bb1‬‬

‫‪cc ‬‬

‫‪14.288‬‬ ‫]‪aa3=Abs[mid-xb‬‬ ‫}‪{29.6,19.6,9.6,0.4,10.4,20.4,30.4‬‬ ‫‪aa4=aa3*ff‬‬ ‫}‪{325.6,235.2,153.6,9.2,176.8,224.4,304.‬‬ ‫]‪aa5=Apply[Plus,aa4‬‬ ‫‪1428.8‬‬ ‫‪aa5=aa5/bb1‬‬ ‫‪14.288‬‬

‫) ‪ (٣-٧-٤‬اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪The Variance‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬إذا أﻋطﯾت ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ‪ x 1 , x 2 ,..., x N‬ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻫو‪-:‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪) 2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬

‫‪2 ‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪ ،‬وﯾرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﺗﻛ اررﯾﺔ ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪-:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪( x i f i ) 2‬‬ ‫‪].‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[ x i2 f i ‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬

‫‪k‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫) ﺣﯾث ‪(  f i  n‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥٧-٤‬‬ ‫أﺳرة ﻟدﯾﮭﺎ ‪ 8‬أطﻔﺎل‪ ،‬أﻋﻣﺎرھم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪ 8,10,6,14,14,12,18,20 :‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪8  10  6  14  14  12  18  20 102‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12.75.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺟﺗﻣﻊ ھو ‪:‬‬

‫‪٢٠٤‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬

‫‪‬‬


‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪  xi   ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪N‬‬

‫‪2 ‬‬

‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ھو‪:‬‬ ‫‪  2  19.93  4.46.‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﯿﺎرى ﻟﻠﻤﺠﺘﻤﻊ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={8,10,6,14,14,12,18,20‬‬ ‫]‪VarianceMLE[aa1‬‬

‫‪319‬‬ ‫‪16‬‬ ‫]‪N[%‬‬ ‫‪19.9375‬‬

‫‪‬‬

‫‪%‬‬

‫‪aa2 ‬‬ ‫‪4.46514‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪:‬‬

‫إذا ﺳﺣﺑت اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪ x 1 , x 2 ,..., x n‬ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻐﯾر ﻣﺗﺣﯾز ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ x) 2‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو ‪:‬‬

‫‪s  s2‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥٨-٤‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻋدد أﺳﻣﺎك اﻟﺳﺎﻟﻣون اﻟﺗﻲ ﺗ م ﺻ ﯾدھﺎ ﺑواﺳ طﺔ ‪ 10‬ﺻ ﯾﺎدﯾن ﻓ ﻲ اﻟﯾ وم اﻷول ﻣ ن اﻟﻣوﺳ م‬ ‫ھﻲ‪ ، 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10 :‬أوﺟد ‪ :‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫﻮ ‪:‬‬

‫‪34.87‬‬ ‫‪ 3.874‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ x‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪s  3.874  1.96‬‬

‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﻴﺎرى ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢٠٥‬‬

‫‪s2 ‬‬


<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={3,5,6,7,7,7,7,8,9,10}; Variance[aa1]

349 90 N[%] 3.87778

aa2 



%

1.96921

-: ‫ﻫﻧﺎك ﺻﯾﻐﺔ أﺧرى ﻟﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﻔﯾد ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام اﻵﻟﺔ اﻟﺣﺎﺳﺑﺔ وﻫﻲ‬ ( x i ) 2 1 2 s  [ x i  ]. n 1 n 2

1 (69) 2  [511  ]  3.874. 9 10

:‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺤﺴﺎب اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻤﻌﻴﺎرى ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ aa1={3.,5.,6.,7.,7.,7.,7.,8.,9.,10.}; f[x_]:=Apply[Plus,x] aa2=f[aa1] 69. aa3=f[aa1^2] 511. n=Length[aa1] 10

aa22       N aa4  aa3  n 1  n 

1

3.87778

aa5 



aa4  N

1.96921

: ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﻛ اررﯾﺔ ﯾﺎﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬

( x ifi )2 1 2 s  [ x i fi  ] , n   xi n 1 n 2

(٥٩-٤)‫ﻣﺛﺎل‬

٢٠٦


‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻟﻌدد اﻟدﻗﺎﺋق اﻟﺗﻲ ﯾﺗﺄﺧرھﺎ ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻲ دﺧ وﻟﮭم اﻟﻣﺣﺎﺿ رة‬ ‫ﺑﻌد دﺧول اﻷﺳﺗﺎذ ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺄﺧﯾر ﺑﺎﻟدﻗﺎﺋق‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺗﻛرار‬ ‫‪180‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أوﺟد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﮭذا اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ھو‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ k xf ‬‬ ‫‪ i i ‬‬ ‫‪1 k 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪  x i f i   i 1‬‬ ‫‪n  1  i 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‪:‬‬

‫‪s  2.1637  1.46.‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم اﯾﺟﺎد اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻣن ﺟدول ﺗﻛرارى ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫}‪mid={0,1,2,3,4,5,6‬‬ ‫}‪{0,1,2,3,4,5,6‬‬ ‫}‪ff={180,1,2,3,5,6,6‬‬ ‫}‪{180,1,2,3,5,6,6‬‬ ‫]‪n=Apply[Plus,ff‬‬ ‫‪203‬‬ ‫‪aa1=ff*mid‬‬ ‫}‪{0,1,4,9,20,30,36‬‬ ‫]‪aa2=Apply[Plus,aa1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪aa3=mid*mid*ff‬‬ ‫}‪{0,1,8,27,80,150,216‬‬ ‫]‪aa4=Apply[Plus,aa3‬‬ ‫‪482‬‬

‫‪aa2^2‬‬ ‫‪  N‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪aa4 ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪s2 ‬‬

‫‪2.14227‬‬

‫‪‬‬

‫‪s2  N‬‬

‫‪s‬‬

‫‪1.46365‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘرﯾر ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟوﺳﯾط واوﺳﺎط اﺧرى ﻣن اﻻﻣر‬ ‫‪ LocationReport‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٦٠-٤‬‬ ‫‪٢٠٧‬‬


‫( ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘرﯾر ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟوﺳﯾط واوﺳﺎط‬٢٧-٤) ‫ﻣن اﻟﻣﺛﺎل‬ : ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬LocationReport ‫اﺧرى ﻣن اﻻﻣر‬ <<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53 ,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74 ,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; LocationReport[x]//N {Mean61.02,HarmonicMean60.0657,Median63.} : ‫ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎت ﻋﻦ ھﺬا اﻻﻣﺮ ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ?LocationReport

LocationReportlist gives the Mean, HarmonicMean, and Median location statistics for list. More…

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺗﻘرﯾر ﯾﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺑﺎﯾن واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى واﻟﻣدى واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﺗوﺳط‬ : ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬DispersionReport ‫وﺗﻘدﯾرات اﺧرى ﻟﻠﺗﺷﺗت ﻣن اﻻﻣر‬ <<Statistics`DescriptiveStatistics` x={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,53 ,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,74 ,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70}; DispersionReport[x]//N {Variance56.1424,StandardDeviation7.49283,SampleRange2 9.,MeanDeviation6.2184,MedianDeviation7.,QuartileDeviat ion6.}

: ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻻﻣر ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ?DispersionReport

DispersionReportlist gives the Variance, StandardDeviation, SampleRange, MeanDeviation, MedianDeviation, and QuartileDeviation dispersion statistics for list. More…

Coefficient of Variation

‫( ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف‬٤-٧-٤)

‫ﺗﻌﺗﺑر ﻛل ﻣﻘﺎﯾﯾس اﻟﺗﺷﺗت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣﻘﺎﯾﯾس ﻣطﻠﻘﺔ ﻷﻧﮭﺎ ﺗﺄﺧذ ﺗﻣﯾﯾز اﻟوﺣدات اﻷﺻﻠﯾﺔ‬ ‫ ﻟذﻟك ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش‬. ‫وﻟذﻟك ﻻ ﺗﺻﻠﺢ ﻟﻠﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن وﺣدات اﻟﻘﯾﺎس ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف واﻟذي ﯾﺣول اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري إﻟﻰ ﻣﻘﯾﺎس ﻧﺳﺑﻲ ﺑﺎﻋﺗﺑﺎر‬ ‫ وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف‬. ‫أﻧﮫ ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺋوﯾﺔ ﻣن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬ ٢٠٨


‫ﻣن إﺣدى اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪V   100‬‬ ‫‪x‬‬

‫أو‬

‫‪‬‬ ‫‪V   100‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻟﺗﺳﮭﯾل اﺳﺗﺧدام ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻧﻘدم اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ واﻟذي ﯾوﺿﺢ ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﻓﻲ ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ‬ ‫ﺧﻼل ‪ 80‬ﺷﮭرا ﺛم ﻛﻣﯾﺔ اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل ﻓﺗرة ﺛﺎﻧﯾﺔ ﻣﻘدارھﺎ ‪ 15‬ﺷﮭرا وﻗد ﺗم ﺣﺳﺎب اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري وﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣﺟﻣوﻋﺔ واﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﺟدول ‪.‬‬ ‫ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أن اﻹﻧﺗﺎج ﺧﻼل ‪ 15‬ﺷﮭرا ﻟﮫ وﺳط ﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر وﻣﻌﺎﻣل اﺧﺗﻼف أﻗل واﻟذي‬ ‫ﯾﻌﺗﺑر ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة ﻟﻣدﯾر اﻹﻧﺗﺎج واﻟذي ﯾﮭﺗم ﺑزﯾﺎدة اﻹ ﻧﺗﺎج واﻧﺧﻔﺎض ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ‪.‬‬ ‫وﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻗد زاد ﻣن ‪ 13.2‬إﻟﻰ ‪ 15‬إﻻ أﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﻟﻘول ﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف أن اﻟﻔﺗرة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ أﻗل ﺗﺷﺗﺗﺎ ﻣن اﻟﻔﺗرة اﻷوﻟﻰ ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪V   100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10.56‬‬

‫‪9.375‬‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﻔﺗرة‬

‫‪13.2‬‬

‫‪125‬‬

‫‪80‬‬

‫‪15‬‬

‫‪160‬‬

‫‪15‬‬

‫‪s‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪( ٦١-٤‬‬ ‫ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺎ ﯾﺗﻘﺎﺿ ﻰ اﻷﺳ ﺗﺎذ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗوﺳ ط ‪ $15,000‬دوﻻر ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ $5,000‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ‬ ‫ﻓ ﻲ ﺟﺎﻣﻌ ﺔ أﺧ رى ﯾﺗﻘﺎﺿ ﻰ اﻷﺳ ﺗﺎذ أﺟ ر ﻗ دره ‪ $10,000‬ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ $3,000‬أوﺟ د‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ وأي اﻟﺟﺎﻣﻌﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت اﻟﻼزﻣﺔ ﻹﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف‬ ‫‪s1‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.333‬‬ ‫‪x 1 15000‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪V2  1 ‬‬ ‫‪ 0. 3‬‬ ‫‪x 2 10000‬‬

‫‪V1 ‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫‪5000‬‬

‫‪15000‬‬

‫اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ‬

‫‪3000‬‬

‫‪10000‬‬

‫اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬

‫إذن اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻷوﻟﻰ أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪( ٦٢- ٤‬‬ ‫>>>>>>>>>>‬

‫‪٢٠٩‬‬


‫اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻷﻋﻣﺎر ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻛﻠﯾﺔ ﻣﺎ ‪.‬‬ ‫‪23 24‬‬

‫‪21 22‬‬

‫‪19  20‬‬

‫‪17  18‬‬

‫‪15  16‬‬

‫اﻟﻌﻣر‬

‫‪190‬‬

‫‪160‬‬

‫‪130‬‬

‫‪125‬‬

‫‪100‬‬

‫اﻹﻧﺎث‬

‫‪200‬‬

‫‪146‬‬

‫‪150‬‬

‫‪131‬‬

‫‪110‬‬

‫اﻟذﻛور‬

‫)أ( أوﺟد اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث ‪.‬‬ ‫)ب(أوﺟد ﻣﻌﺎﻣل اﻻﺧﺗﻼف ﻟﻛل ﻣن اﻟذﻛور واﻹﻧﺎث وأي اﻟﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﺌﺔ‬

‫ﺗﻜﺮار اﻟﺬﻛﻮر‬

‫ﺗﻜﺮار اﻹﻧﺎث‬

‫اﻟﺤﺪود اﻟﻔﻌﻠﻴﺔ‬

‫ﺣﺪود اﻟﻔﺌﺔ‬

‫‪15.5‬‬ ‫‪17.5‬‬ ‫‪19.5‬‬ ‫‪21.5‬‬

‫‪110‬‬ ‫‪131‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪146‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪160‬‬

‫‪14.5  16.5‬‬ ‫‪16.5  18.5‬‬ ‫‪18.5  20.5‬‬ ‫‪20.5  22.5‬‬

‫‪15  16‬‬ ‫‪17  18‬‬ ‫‪19  20‬‬ ‫‪21 22‬‬

‫‪23.5‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪737‬‬

‫‪190‬‬ ‫‪705‬‬

‫‪22.5  24.5‬‬

‫‪23 24‬‬

‫اﻟذﻛور‬

‫اﻹﻧﺎث‬

‫‪x  14861.5 / 737  20.02‬‬

‫‪x  14272.5 / 705  20.10‬‬ ‫‪S2 ‬‬

‫‪1 / 736(306272.25)  (14861.5) 2 / 737‬‬ ‫‪ 2.822‬‬

‫‪S1 ‬‬ ‫]‪1 / 704[295138.75  (14272.5) 2 / 705‬‬ ‫‪ 2.799‬‬

‫‪V1  2.799 / 20.20 = 0.139‬‬

‫‪V2  2.822 / 20.02  0.1409‬‬

‫ﻧﺳﺗﻧﺗﺞ أن اﻟذﻛور أﻛﺛر ﺗﺷﺗﺗﺎ ً ‪.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫}‪c1={15,17,19,21,23‬‬ ‫}‪{15,17,19,21,23‬‬ ‫}‪c2={16,18,20,22,24‬‬ ‫‪٢١٠‬‬


{16,18,20,22,24}

mid  N

c1  c2  2

{15.5,17.5,19.5,21.5,23.5} ff1={100,125,130,160,190} {100,125,130,160,190} ff2={110,131,150,146,200} {110,131,150,146,200} TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff1}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 15 17 19 21 23

Upper 16 18 20 22 24

Midpoint 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5

Frequency 100 125 130 160 190

TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff1}],TableHeadings{{},{" Lower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 15 17 19 21 23

Upper 16 18 20 22 24

Midpoint 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5

n1=Apply[Plus,ff1] 705 n2=Apply[Plus,ff2] 737

xb1 

Dotmid, ff1  N n1

20.1099

xb2 

Dotmid, ff2  N n2

20.0292

var1 

Dotmid  xb12, ff1  N n1

7.82657

Dotmid  xb22, ff2 var2   N n2 7.95336

s1 



var1

2.7976

s2 



var2

2.82017 v1=s1/xb1 ٢١١

Frequency 100 125 130 160 190


‫‪0.139115‬‬ ‫‪v2=s2/xb2‬‬ ‫‪0.140803‬‬

‫)‪ (٨-٤‬اﻻﻟﺗواء واﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال‬ ‫‪Skewness and the Relation of the Mean , Median , and‬‬ ‫‪Mode‬‬ ‫ﻋرﻓﻧﺎ ﻣﻣﺎ ﺳﺑق أن اﻻﻟﺗواء ھو ﺑﻌد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛراري ﻋن اﻟﺗﻣﺎﺛل‪ ٠‬ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻼ ﻓﺳوف ﻧﺟد أن ‪ 50%‬ﻣن اﻟﻘﯾم ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن اﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪٠‬‬

‫)‪f(x‬‬

‫‪50%‬‬

‫‪50%‬‬

‫‪x‬‬ ‫اﻟﻤﻨﻮال=اﻟﻮﺳﻴﻂ=اﻟﻮﺳﻂ‬

‫اﻟﺤﺴﺎﺑﻲ‬

‫أﯾﺿ ﺎ ﻧﻼﺣ ظ ﻣ ن اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻟ ﮫ ﻣﻧ وال واﺣ د ‪) unimodal‬وﺣﯾ د اﻟﻣﻧ وال(‬ ‫وأن اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ = اﻟوﺳ ﯾط= اﻟﻣﻧ وال‪ ٠‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ ﻧﺟ د أن ھﻧ ﺎك ﻋﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن‬ ‫اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ واﻟوﺳ ﯾط واﻟﻣﻧ وال ﺣﯾ ث اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ > اﻟوﺳ ﯾط > اﻟﻣﻧ وال وذﻟ ك ﻷن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ ﺟﮭﺔ اﻟﯾﺳﺎر‪٠‬‬

‫اﳌﻨﻮال‬ ‫)‪f(x‬‬

‫اﻟﻮﺳﻴﻂ‬

‫اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺟد أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ < اﻟوﺳﯾط < اﻟﻣﻧوال وذﻟك ﻷن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوﯾﺎ‬ ‫ﺟﮭﺔ اﻟﯾﻣﯾن‪ ٠‬وﻓﻲ ﻛﻠﺗﺎ اﻟﺣﺎﻟﺗﯾن ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻛﻣﺎ أن اﻟوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ﯾﻘﻊ داﺋﻣﺎ ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟﻘﯾم اﻟﺷﺎذة‪٠‬‬ ‫‪٢١٢‬‬


‫اﳌﻨﻮال‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫اﻟﻮﺳﻂ اﳊﺴﺎﰊ‬

‫اﻟﻮﺳﻴﻂ‬

‫‪x‬‬

‫ﻋﺮض اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺴﺎق واﻟﻮرﻗﺔ )‪:(stem –and- leaf‬‬ ‫ﯾﺳــﺗﺧدم ﺷــﻛل اﻟﺳــﺎق واﻟورﻗــﺔ ﻟﺑﯾــﺎن ﺗوزﯾــﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘــﺔ ﺑــﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻛﻣــﻰ وﯾﺷــﺑﻪ ﻫــذا اﻟﺷــﻛل‬

‫اﻟﻣـ ــدرج اﻟﺗﻛ ـ ـرارى اﻻ اﻧـ ــﻪ ﯾﻌطـ ــﻰ ﻓﻛ ـ ـرة اﻓﺿـ ــل ﻟﻠﻘـ ــﺎرئ ﻋـ ــن اﻻرﻗـ ــﺎم واﻟﺗﻛ ـ ـ اررات اﻟﻣﺗﻌﻠﻘـ ــﺔ ﺑـ ــﺎﻟﻣﺗﻐﯾر‬ ‫‪.‬ﺑﻣوﺟ ــب ﻫ ــذا اﻟﺷ ــﻛل ﻓ ــﺎن ﻛ ــل رﻗ ــم ﯾﻘﺳ ــم اﻟ ــﻰ ﻗﺳ ــﻣﯾن ‪:‬اﻟﺟ ــزء اﻻول )اﻟﺳ ــﺎق( وﯾﺗﻛ ــون ﻣ ــن ﺧﺎﻧ ــﺔ‬ ‫اﺳﺎﺳــﯾﺔ او اﻛﺛــر ‪ . Leading Digits‬واﻟﺟــزء اﻟﺛــﺎﻧﻰ )اﻟورﻗــﺔ( وﯾﺗﻛــون ﻣــن اﻟﺧﺎﻧــﺔ او اﻟﺧﺎﻧــﺎت‬ ‫اﻟﺑﺎﻗﯾﺔ ‪.Remaining‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٣ -٤‬‬ ‫إذا أردﻧﺎ ﺗطﺑﯾق طرﯾﻘﺔ اﻟﻌرض ) اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ ( ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﻪ ﻣﻛوﻧﻪ ﻣن‪ 30‬وﺣدﻩ‬ ‫‪202 208 208 212 202 193 208 206 206‬‬ ‫‪213 204 204 204 218 204 198 207 218‬‬ ‫‪212 212 205 203 196 216 200 215 202‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﯾدوﯾﺎ ﻟﺗوﺿﯾﺢ اﻟطرﯾﻘﺔ ﺛم ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن اﻷرﻗﺎم ﻫﻧﺎ ﻣن ﺛﻼث ﺧﺎﻧﺎت ﻓﺳوف ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﻧﻘﺳم اﻟوﺣدات إﻟﻰ إﺣدى اﻟﺧﯾﺎرات اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺳﺎق= أول ﺧﺎﻧﺔ واﻟورﻗﺔ = اﻟﺧﺎﻧﺗﯾن اﻻﺧرﯾﺗﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺳﺎق= أول ﺧﺎﻧﺗﯾن واﻟورﻗﺔ= اﻟﺧﺎﻧﺔ اﻷﺧﯾرة‪.‬‬

‫‪٢١٣‬‬

‫‪216‬‬ ‫‪206‬‬ ‫‪204‬‬


‫وﺳوف ﻧﺧﺗﺎر اﻟﺧﯾﺎر اﻟﻣﻧﺎﺳب ﻫﻧﺎ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت وﻫـو اﻟﺧﯾـﺎر اﻟﺛـﺎﻧﻲ ﻷﻧﻧـﺎ ﺳـوف ﻧﺣﺻـل ﻣﻧـﻪ ﻋﻠـﻰ ﻋـدد‬ ‫ ﺑﯾﻧﻣــﺎ ﻟــو اﺳــﺗﺧدﻣﻧﺎ اﻟﺧﯾــﺎر اﻷول ﻓﺳــوف ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ‬،‫)ﺛــﻼث ﺳــﯾﻘﺎن( وﻋــدد ﻣﻌﻘــول ﻣ ـن اﻷوراق‬ .‫ﻋدد )ﺳﺎﻗﯾن ( ﻣﻊ أوراق ﻛﺛﯾرة وﻫو ﺧﯾﺎر ﻏﯾر ﻣﻧﺎﺳب‬

. ‫ ﻧرﺗب ﻛل ﺳﺎق داﺧل ﻋﻣود‬-٢ . ‫ﻧرﺗب اﻷوراق ﻓﻲ اﻟﺻﻔوف اﻟﻣﻧﺎﺳﺑﺔ ﻟﻬﺎ‬-٣

stem 19 20 21

leaf

Frequency

368 0 2 2 2 3 4 4 4 4 4 5 8 8 86 6 6 7 2 2 2 356 688

3

total

18 9

30

‫اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ ‫ﺳــوف ﻧﺳــﺗﺧدم اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺟــﺎﻫز اﻟﺗــﺎﻟﻰ وﻻﺳــﺗﺧداﻣﺔ ﯾوﺟــد ﻧﺳــﺧﺔ ﻣﻠﺣﻘــﺔ ﺑﺎﻟﻛﺗــﺎب وﺳــوف ﯾوﺟــد ﻓــﻰ‬

: ‫ وﻧﻘوم ﺑﺗﺣﻣﯾﻠﺔ ﺛم ﺗﻧﻔﯾذﻩ‬. ‫ﺑراﻣﺞ اﻟﻔﺻل اﻟراﺑﻊ‬

Off[General::spell1]; <<Statistics`DescriptiveStatistics` <<Statistics`DataManipulation` Functions printStats[]:=Module[{}, Print["N: ",n]; Print["Minimum: ",mn]; Print["First Quartile: ",q1]; Print["Median: ",med]; Print["Third Quartile: ",q3]; Print["Maximum: ",mx]] rDigits[x_]:=Module[{}, If[Head[x]==Integer,digitString=intToRealDigits[x]]; If[And[Head[x]==Real,x==0.],digitString={{0},1}]; If[And[Head[x]==Real,x!=0.],digitString=RealDigits[x ]]; digitString] intToRealDigits[x_]:=Module[{}, intDigits=IntegerDigits[x]; addDigitsToLeft[intDigList_]:={intDigList,Length[int DigList]}; addDigitsToLeft[intDigits]] ٢١٤


leaf[x_]:=Module[{}, rd=rDigits[x]; r=rd[[2]]; Take[rd[[1]],{r}]] Clear[stemlist] stemlist[x_]:=Module[{m,r}, rd=rDigits[x]; m=Length[rd[[1]]]; r=rd[[2]]; Drop[rd[[1]],-(m-r+1)]] lub[list1_,val_]:=Module[{newlist}, k=1; newlist=Sort[list1]; While[newlist[[k]]<=val,k=k+1]; newlist[[k]]] glb[list1_,val_]:=Module[{newlist,n}, k=1; n=Length[list1]; newlist=Sort[list1]; While[And[k<=n,newlist[[k]]<val],k=k+1]; newlist[[k-1]]] intQ[x_]:=Module[{rd,k}, rd=rDigits[x]; k=Length[rd[[1]]]; If[k==rd[[2]],True,False]] intListQ[list1_]:=Module[{}, tflist=Map[intQ,list1]; int=Intersection[tflist]; If[int=={True},True,False]] mult[list1_]:=Module[{}, fact=fact+1; 10.0*list1] intConvert[list1_]:=Module[{m,list2}, list2=list1; m=Map[rDigits,list1]; df[rdList_]:=Length[rdList[[1]]]-rdList[[2]]; dfList=Map[df,m]; fct=Max[dfList]; 10^fct*list2] integerCheck[valueList_]:=Module[{}, intFlag=0; intermed=valueList; headInt=Map[Head,valueList]//Intersection; If[headInt=={Integer},intFlag=1]; If[intFlag==1,intermed=1.0*valueList]; intermed] subadd[x_]:=Module[{}, j=1; While[And[j<=Length[inter],MatchQ[inter[[j]],stemlis t[x]]]==False,j=j+1]; ٢١٥


AppendTo[sub[[j]],x]] dp[y_]:=Drop[y,1] addto[x_]:=Module[{sec}, sec=SequenceForm[x]; chars=Join[chars,sec]] trnc[x_]:=Module[{rd,t}, rd=rDigits[x]; r=rd[[2]]; If[r>0,t=rd[[1,r]],t=0]; (x-t)/10] stemchars[st_]:=Module[{m,i}, tempSet=st; If[tempSet=={},tempSet={0}]; m=Length[tempSet]; chars=SequenceForm[tempSet[[1]]]; i=2; While[i<=m,addto[tempSet[[i]]];i++]; chars] leafList[valueset_]:=Module[{}, If[Length[valueset]==0,chars=" ",leaftable[valueset]]; chars] leaftable[valueset_]:=Module[{m}, leaftab=Map[leaf,valueset]//Flatten; m=Length[leaftab]; sortleaftab=Sort[leaftab]; chars=SequenceForm[sortleaftab[[1]]]; i=2; While[i<=m,addto[sortleaftab[[i]]];i++]; chars] printStemAndLeaves[valueset_]:=Module[{}, st=stemlist[valueset[[1]]];stemPrint=stemchars[st]; leafPrint=leafList[valueset]; Print[stemPrint," ",leafPrint]] Clear[modify] modify[n_]:=Module[{}, counter=counter+1; ic=Map[trnc,ic]; statcalc[ic]; If[And[ns<=20,n/ns>1.5],flag=0]] statcalc[vals_]:=Module[{}, mn=Min[vals]//N; mx=Max[vals]//N; q1=Quantile[vals,0.25]//N; med=Median[vals]//N; q3=Quantile[vals,0.75]//N; iqr=q3-q1; lif=q1-1.5(iqr); uif=q3+1.5(iqr); ٢١٦


lof=q1-3(iqr); uof=q3+3(iqr); n=Length[vals]; lav=lub[vals,lif]; uav=glb[vals,uif]; lov=lub[vals,lof]; uov=glb[vals,uof]; lovt=trnc[lov]; uovt=trnc[uov]; ns=uovt-lovt+1] findOutsideVals[vals_]:=Module[{m}, m=Length[vals]; outerlist={0}; i=1; While[i<=m,outside[i];i++]; Drop[outerlist,1]] outside[i_]:=Module[{}, If[Or[lof<=vals[[i]]<lif,uif<vals[[i]]<=uof],AppendT o[outerlist,vals[[i]]]]] findFarOutVals[vals_]:=Module[{}, m=Length[vals]; i=1; outerlist2={0}; While[i<=m,farOutside[i];i++]; Drop[outerlist2,1]] farOutside[i_]:=Module[{}, If[Or[vals[[i]]<lof,vals[[i]]>uof],AppendTo[outerlis t2,vals[[i]]]]] Options[stemAndLeaf]={printStatistics->False}; Clear[stemAndLeaf] stemAndLeaf[valslist_,opts___]:=Module[{}, vals=valslist; fct=0; counter=0; statPrint=printStatistics/. {opts} /. Options[stemAndLeaf]; statcalc[vals]; Print["Title: Stem-and-Leaf Plot"]; If[statPrint===True,printStats[]]; valsOutside=findOutsideVals[vals]; valsOutside=Sort[valsOutside]; valsFarOutside=findFarOutVals[vals]; valsFarOutside=Sort[valsFarOutside]; ic=intConvert[vals]; statcalc[ic]; flag=0; counter=0; If[Or[ns>20,n/ns<=1.5],flag=100]; While[flag>0,modify[n]]; ٢١٧


leafDigitUnit=N[10^(-fct+counter)]; stmlist=Map[stemlist,ic]; inter=Intersection[stmlist]; sub=Table[{0},{j,1,Length[inter]}]; sublists=Table[subadd[ic[[j]]],{j,1,Length[ic]}]; subtable=Table[sub[[j]],{j,1,Length[inter]}]; newsubtable=Map[dp,subtable]; Print["Leaf Unit: ",leafDigitUnit]; If[And[2<=ns<=4,n/ns>13],splitIntoFiveParts[newsubta ble], If[And[2<=ns<=4,n/ns<=13],splitIntoTwoParts[newsubta ble], If[And[5<=ns<=10,n/ns>6.5],splitIntoTwoParts[newsubt able], If[ns==1,splitIntoFiveParts[newsubtable],onePiece[ne wsubtable]]]]]; Print["Outside Values: ",valsOutside]; Print["Far Outside Values: ",valsFarOutside]]; onePiece[newsubtable_]:=Module[{}, Do[printStemAndLeaves[newsubtable[[j]]],{j,1,Length[ newsubtable]}]] findNonEmpty[valueset_]:=Module[{}, j=1; While[valueset[[j]]=={},j=j+1]; st=valueset[[j]]] Split Stem into 2 Parts: splitIntoTwoParts[newsubtable_]:=Module[{n}, n=Length[newsubtable]; ts=Table[split2[j],{j,1,n}]; printpairsFirst[ts[[1]]]; Do[printpairs[ts[[i]]],{i,2,n-1}]; printpairsLast[ts[[n]]]] split2[j_]:=Module[{m1}, sub1={0}; sub2={0}; m1=Length[newsubtable[[j]]]; sortsubtable=Sort[newsubtable[[j]]]; i=1; While[i<=m1,fives[i];i++]; Map[dp,{sub1,sub2}]] fives[i_]:=Module[{}, lf=sortsubtable[[i]]; If[leaf[lf][[1]]<=4,AppendTo[sub1,lf],AppendTo[sub2, lf]]] ٢١٨


printpairs[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]; printit[stem2,lf2one]; lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]; printit[stem2,lf2two]] printpairsFirst[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; flag2=1; If[twosubsets[[1]]=={},flag2=100]; If[flag2<100,lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]]; If[flag2<100,printit[stem2,lf2one]]; lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]; printit[stem2,lf2two]] printpairsLast[twosubsets_]:=Module[{st2,stem2}, st2=findNonEmpty[twosubsets]; stlist=stemlist[st2[[1]]]; stem2=stemchars[stlist]; flag2=1; If[twosubsets[[2]]=={},flag2=100]; lf2one=leafList[twosubsets[[1]]]; printit[stem2,lf2one]; If[flag2<100,lf2two=leafList[twosubsets[[2]]]]; If[flag2<100,printit[stem2,lf2two]]] Split Stem into 5 Parts: splitIntoFiveParts[newsubtable_]:=Module[{n}, n=Length[newsubtable]; ts=Table[split5[j],{j,1,n}]; If[n==1,specialPrintFive[ts[[1]]]]; If[n>1,printfivepartsFirst[ts[[1]]]]; If[n>=2,Do[printfiveparts[ts[[i]]],{i,2,n-1}]]; If[n>=3,printfivepartsLast[ts[[n]]]]] split5[j_]:=Module[{}, sub1={0}; sub2={0}; sub3={0}; sub4={0}; sub5={0}; n=Length[newsubtable[[j]]]; sortsubtable=Sort[newsubtable[[j]]]; i=1; While[i<=n,twos[i];i++]; Map[dp,{sub1,sub2,sub3,sub4,sub5}]] findNonEmpty[valueset_]:=Module[{}, j=1; While[valueset[[j]]=={},j=j+1]; st=valueset[[j]]] ٢١٩


twos[i_]:=Module[{}, lf=sortsubtable[[i]]; If[leaf[lf][[1]]<=1,AppendTo[sub1,lf]]; If[2<=leaf[lf][[1]]<=3,AppendTo[sub2,lf]]; If[4<=leaf[lf][[1]]<=5,AppendTo[sub3,lf]]; If[6<=leaf[lf][[1]]<=7,AppendTo[sub4,lf]]; If[8<=leaf[lf][[1]]<=9,AppendTo[sub5,lf]]] printfiveparts[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]; printit[stem5,lf5one]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]; printit[stem5,lf5five]; ] specialPrintFive[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag1=0; flag5=0; If[fivesubsets[[1]]=={},flag1=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; If[flag1<100,lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]]; If[flag1<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; If[fivesubsets[[5]]=={},flag5=100]; If[flag5<100,lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5five]]; ] printfivepartsFirst[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag5=0; ٢٢٠


If[fivesubsets[[1]]=={},flag5=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; If[flag5<100,lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]; printit[stem5,lf5five]; ] printfivepartsLast[fivesubsets_]:=Module[{}, st5=findNonEmpty[fivesubsets]; flag5=0; If[fivesubsets[[5]]=={},flag5=100]; st5list=stemlist[st5[[1]]]; stem5=stemchars[st5list]; lf5one=leafList[fivesubsets[[1]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5one]]; lf5two=leafList[fivesubsets[[2]]]; printit[stem5,lf5two]; lf5three=leafList[fivesubsets[[3]]]; printit[stem5,lf5three]; lf5four=leafList[fivesubsets[[4]]]; printit[stem5,lf5four]; If[flag5<100,lf5five=leafList[fivesubsets[[5]]]]; If[flag5<100,printit[stem5,lf5five]] ] printit[st_,lf_]:=Print[st," ",lf] column2 ‫ﺳﻮف ﻧﺴﻤﻰ ﻗﺎﺋﻤﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳﻢ‬ : ‫وﻧﺪﺧﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ column2={216,202,208,208,212,202,193,208,206,206,206,213, 204,204,204,218,204,198,207,218,204,212,212,205,203,196,2 16,200,215,202}; : ‫وﻧﻜﺘﺐ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ‬ stemAndLeaf[column2,printStatistics->True]

: ‫وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ Title: Stem-and-Leaf Plot N: 30 Minimum: 193. First Quartile: 203. Median: 206. ٢٢١


‫‪Third Quartile: 212.‬‬ ‫‪Maximum: 218.‬‬ ‫‪Leaf Unit: 1.‬‬ ‫‪1 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 9‬‬ ‫‪6 8‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪0 2 2 2 3 4 4 4 4 4‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪5 6 6 6 7 8 8 8‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 2 2 3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪5 6 6 8 8‬‬ ‫}{ ‪Outside Values:‬‬ ‫}{‬

‫‪Far Outside Values:‬‬

‫ﻧﻼﺣظ ان ﻣﺧرج اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻗد اﺧﺗﻠف ﺑﻌض اﻟﺷﺊ ﻋن اﻟﺣل اﻟﯾدوى وﻟﻛن اﻟﻧﺗﯾﺟﺗﯾن ﺻﺣﯾﺣﺗﯾن‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٤ -٤‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ ‪:‬‬

‫‪71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,72,68,66,7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫اوﻻ ‪ :‬ﻧﻘوم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺧﺻوص وﺗﻧﻔﯾذﻩ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯾﺎ ‪ :‬ﻧﺳﻣﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳم ‪column2‬‬ ‫وﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪column2={71,60,65,68,75,79,87,97,73,78,66,71,65,64,69,88,67,65,71,7‬‬ ‫;}‪2,68,66,70‬‬ ‫وﻧﻜﺘﺐ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪stemAndLeaf[column2,printStatistics->True‬‬

‫وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪Title: Stem-and-Leaf Plot‬‬ ‫‪N: 23‬‬ ‫‪Minimum: 60.‬‬ ‫‪First Quartile: 66.‬‬ ‫‪Median: 70.‬‬ ‫‪Third Quartile: 75.‬‬ ‫‪Maximum: 97.‬‬

‫‪٢٢٢‬‬


‫‪Leaf Unit: 1.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 5 5 6 6 7 8 8 9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0 1 1 1 2 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5 8 9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫}‪Outside Values: {97‬‬ ‫}{ ‪Far Outside Values:‬‬

‫وﺑﺎﺳﺗﻌراض ﺷﻛل اﻟورﻗﺔ واﻟﺳﺎق ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﯾﺗﺿﺢ اﻧﻪ ﺗم اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺳﺎق)‬ ‫‪ .6,6,7,7,8,8,9,9 : (Stems‬وﻗد ﻗﺎم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺗﻘﺳﯾم رﻗم ‪ 6‬اﻟﻰ ﺳﺎﻗﯾﯾن‬

‫اﻟﺳﺎق اﻻول ﻣن ‪ 6.0-7.4‬واﻟﺳﺎق اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ‪. 6.5-6.9‬‬

‫وﯾﻣﻛن ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدات ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدة = ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺳﺎق ‪ ) +‬ﻗﯾﻣﺔ اﻟورﻗﺔ‪ X (.1X‬ﻋرض اﻟورﻗﺔ ‪.‬‬ ‫ﻓﺎذا اﺳﺗﻌرﺿﻧﺎ اﻟﺳطر اﻻول ﻧﺟد ان ﻫﻧﺎك ﻣﺷﺎﻫدﺗﯾن ‪:‬‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدة اﻻوﻟﻰ = ‪60=10 X(.1X0)+ 6‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﻟﻠﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ = ‪64=10 X(.1X4)+ 6‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٥ -٤‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ ‪:‬‬ ‫‪13,12,15,16,18,19,20,33,22,12,23,34,34,34‬‬

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﻣﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳم ‪column2‬‬ ‫وﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫وﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫;}‪column2{=13,12,15,16,18,19,20,33,22,12,23,34,34,34‬‬

‫وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫]‪stemAndLeaf[column2,printStatistics->True‬‬

‫‪٢٢٣‬‬


‫‪Title: Stem-and-Leaf Plot‬‬ ‫‪N: 14‬‬ ‫‪Minimum: 12.‬‬ ‫‪First Quartile: 15.‬‬ ‫‪Median: 19.5‬‬ ‫‪Third Quartile: 33.‬‬ ‫‪Maximum: 34.‬‬ ‫‪Leaf Unit: 1.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 6 8 9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 4 4 4‬‬ ‫}{ ‪Outside Values:‬‬ ‫}{‬

‫‪Far Outside Values:‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦٦ -٤‬‬

‫ﺳﺣﺑت ﻋﯾﻧﻪ ﺣﺟﻣﻬﺎ ‪ n=25‬ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ اﻟﻣطﻠوب ﻋرض ﻫذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎق‬ ‫واﻟورﻗﺔ ‪:‬‬ ‫‪1.94‬‬

‫‪1.23‬‬

‫‪3.76‬‬

‫‪3.53‬‬

‫‪1.38‬‬

‫‪1.16‬‬

‫‪0.02‬‬

‫‪0.71‬‬

‫‪2.41‬‬

‫‪1.61‬‬

‫‪1.17‬‬ ‫‪0.96‬‬

‫‪0.82‬‬ ‫‪3.07‬‬

‫‪0.19‬‬ ‫‪2.59‬‬

‫‪1.59‬‬

‫‪0.75‬‬

‫‪2.01‬‬

‫‪0.92‬‬

‫‪2.10‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪4.75‬‬ ‫‪0.47‬‬ ‫‪1.40‬‬

‫اوﻻ ‪ :‬ﻧﺣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻻول ﯾدوﯾﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪ _١‬ﻧﻘﺳم اﻟوﺣدات إﻟﻰ ﻗﺳﻣﯾن ﺳﺎق وورﻗﻪ‪ ،‬وﺑﻣﺎ إن اﻟوﺣـدات ﻣﻛوﻧـﻪ ﻣـن ﺛـﻼث ﺧﺎﻧـﺎت ﺳـﯾﻛون ﻟﻧـﺎ‬ ‫ﺧﯾﺎرﯾن‬

‫اﻟﺳﺎق =أول ﺧﺎﻧﻪ واﻟورﻗﺔ = اﻟﺧﺎﻧﺗﯾن اﻷﺧﯾرﺗﯾن‬ ‫او‪ :‬اﻟﺳﺎق = أول ﺧﺎﻧﺗﯾن واﻟورﻗﺔ = اﻟﺧﺎﻧﺔ اﻟﺧﯾرة‬ ‫وﻟﻬذﻩ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺳوف ﻧﺧﺗﺎر اﻟﺧﯾﺎر اﻷول ﻓﻬو اﻷﻧﺳب‬ ‫‪ -٢‬ﻧرﺗب اﻟﺳﯾﻘﺎن ﻓﻲ ﻋﻣود‪.‬‬

‫‪ -٣‬ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻧﺧﺗﺎر اﻷوراق وﻧﺿﻌﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﺻف اﻟﻣﻧﺎﺳب ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫وواﺿــﺢ أن أول ﻋﻧﺻــر ‪ ، 0.02‬واﻟﻌﻧﺻــر اﻟﺛــﺎﻧﻲ ‪ 0.15‬وﻫﻛــذا‪ .‬و ﺑﺎﻹﻣﻛــﺎن وﺿــﻊ اﻟﻔﺎﺻــﻠﺔ ﻓــﻲ‬ ‫ﻣﻛﺎﻧﻬﺎ اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪.‬‬

‫‪٢٢٤‬‬


stem

Leaf frequency

0

0 2 15 19 47 71 75 82 92 69

1

16 17 23 38 40 59 61 94

9

8 2

01 16 41 59

3

07 53 76

4

3 4 total

75

1 25

: ‫ ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز‬: ‫ﺛﺎﻧﯾﺎ‬ mm1 ‫ﺳوف ﻧﺳﻣﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﻻﺳم‬ ‫وﻧدﺧل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ mm1={1.17,1.61,1.16,1.38,3.53,1.23,3.76,1.94,0.96,4.75,0.15,2.41,0. 71,0.02,1.59,.19,.82,.47,.75,2.59,3.07,1.4};

: ‫وﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ stemAndLeaf[mm1,printStatistics->True] : ‫وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ Title: Stem-and-Leaf Plot N: 15 Minimum: 0.15 First Quartile: 0.75 Median: 1.23 Third Quartile: 1.61 Maximum: 2.41 Part ::partw  :  Part 17 of 2, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 does not exist . More…

٢٢٥


Part ::partw  :  Part 17 of 2, 4, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 does not exist . More… 16

Leaf Unit: 1.  10 Outside Values: {} Far Outside Values:

{}

. ‫وﻫذا ﯾوﺿﺢ ان ﺑﻌض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻻ ﺗﺳﺟﯾب اﻟﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

(٦٧ -٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫اﻟﻣطﻠوب ﻋرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام رﺳم اﻟﺳﺎق واﻟورﻗﺔ‬ 2.16,2.02,2.08,2.12,2.02,1.93,2.08,2.06,2.06,2.06,2.04,2. 04,2.04,2.18,2.04,1.98,2.07,2.18,2.04,2.12,2.12,2.05,2.03 ,1.96,2.16,2.00,2.15,2.00,2.00,2.15

: ‫اﻟﺣل‬ : ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز‬ : ‫وﻧﺪﺧﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﺎت ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ cc1={2.16,2.02,2.08,2.12,2.02,1.93,2.08,2.06,2.06,2.06,2. 04,2.04,2.04,2.18,2.04,1.98,2.07,2.18,2.04,2.12,2.12,2.05 ,2.03,1.96,2.16,2.00,2.15,2.00,2.00,2.15}; : ‫وﻧﻜﺘﺐ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ‬ stemAndLeaf[cc1,printStatistics->True]

: ‫وﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺗظﻬر اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ Title: Stem-and-Leaf Plot N: 30 Minimum: 1.93 First Quartile: 2.02 Median: 2.055 Third Quartile: 2.12 Maximum: 2.18 Leaf Unit: 0.01 1 9 3 1 9 6 8 2 0 0 0 0 2 2 3 4 4 4 4 4 2 0 5 6 6 6 7 8 8 2 1 2 2 2 2 1 5 5 6 6 8 8 Outside Values: {} Far Outside Values:

{}

٢٢٦


‫)‪ (٩-٤‬ﺑﻌض ﻣﻘﺎﯾﯾـس اﻻﻟﺗـواء واﻟﺗﻔﻠطـﺢ‬ ‫‪Some Measures of Skewness and Kurtosis‬‬ ‫أوﻻ ً ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﻘﺎﯾﯾس اﻻﻟﺗواء‪ ،‬ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻼﻟﺗواء اﻷول وﯾﺳﻣﻰ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون‬ ‫ﻟﻼﻟﺗواء ‪ Pearsonian coefficient for skewness‬ﺗﻌرف ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3(x  x‬‬ ‫‪Sk ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ x‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ و ‪ ~x‬اﻟوﺳﯾط و ‪ s‬اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ‪ .‬ﯾﻧﺣﺻر ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل ﺑﯾرﺳون ﺑﯾن ‪  3‬إﻟﻰ ‪.  3‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ Sk  0‬ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛل‪ .‬وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫‪ Sk‬ﻣوﺟﺑﺔ ﻓﮭذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﻛﺑر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال وﺑذﻟك ﯾﻛون اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻣﻠﺗوﯾﺎ وﻟﮫ ذﯾل ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﻣﯾن وﯾﻛون اﻻﻟﺗواء ﻣوﺟﺑﺎ‪ .‬وأﺧﯾرا وإذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ ‪ Sk‬ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﮭذا‬ ‫ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ أﺻﻐر ﻣن اﻟوﺳﯾط وﻣن اﻟﻣﻧوال‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٦٨-٤‬‬ ‫ﺗﻣﺗﻠك ﺷرﻛﺔ ﻣﺎ ‪ 10‬ﻗوارب ﻟﻠﺻﯾد ‪ ،‬ﻗﺎﻣت اﻟﺷرﻛﺔ ﺑﺗﺳﺟﯾل ﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﺻ ﯾﺎﻧﺔ ﻛ ل ﻗ ﺎرب )ﺑﺎﻟ دوﻻر(‬ ‫وﻛﺎﻧت ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪ 500,505, 460, 470,530,506,994,880,600,460 :‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳوف ﻟﻼ ﻟﺗواء ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‬

‫‪5905‬‬ ‫‪ 590.5.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳﯾط ﺗرﺗب اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗرﺗﯾب ﺗﺻﺎﻋدي ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪460,460,470,500,505,506,530,600,880,994.‬‬ ‫~‬ ‫‪505  506‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 505.5.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3(x  x‬‬ ‫‪Sk ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(5905)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ x  n  9 (3808497)  10  189.03.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫)‪3(590.5  505.5‬‬ ‫‪ 1.3489.‬‬ ‫‪189.031‬‬ ‫‪٢٢٧‬‬

‫‪Sk ‬‬


‫أي أن ھﻧﺎك ﻛﻣﯾﺔ ﻣن اﻻﻟﺗواء اﻟﻣوﺟب‪.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻘﯾﺎس ﺑﯾرﺳون ﻟﻼﻟﺗواء ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪aa1={500,505,460,470,530,506,994,880,600,460‬‬ ‫]]‪aa2=N[Mean[aa1‬‬ ‫‪590.5‬‬ ‫‪aa3=Median[aa1]//N‬‬ ‫‪505.5‬‬ ‫]]‪s=N[StandardDeviation[aa1‬‬ ‫‪189.031‬‬ ‫‪sk=(3(aa2-aa3))/s//N‬‬ ‫‪1.34899‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺳﺎﺑق ﻟﻼﻟﺗواء ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﻓﻲ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﻠﺗوﯾﺔ ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط ﯾﻘﻊ ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ ﻓ ﻲ‬ ‫‪3‬‬

‫اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﻣﻧوال ﻓﻲ اﺗﺟﺎه اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ وھ ذا ﻏﯾ ر ﺻ ﺣﯾﺢ داﺋﻣ ﺎ‪ .‬وﻟ ذﻟك‬ ‫ﺳوف ﻧﺗﻧﺎول ﻣﻘﯾﺎس آﺧر ﻟﻼﻟﺗواء ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻣﻘدر ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌزم ‪ r‬ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻔﺋﺔ اﻟﻣﺷﺎھدات ‪ x1 , x 2 ,..., x n‬ھو ‪-:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ x)r‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪mr ‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٢٧-٤‬ﯾﺗم ﺣﺳﺎب اﻟﻌزوم ﻟﮫ ﺣول اﻟﻣﺗوﺳط ﻣن اﻟﺛ ﺎﻧﻰ اﻟ ﻰ اﻟراﺑ ﻊ ) اﻟﻌ زم اﻻول ﺣ ول‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوى ﺻﻔر( ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫‪aa1={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,‬‬ ‫‪53,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,‬‬ ‫;}‪74,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫‪f[y_]:=(y-Mean[aa1])^2‬‬ ‫‪aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N‬‬ ‫‪55.0196‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫‪f[y_]:=(y-Mean[aa1])^3‬‬ ‫‪aa3=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N‬‬ ‫‪-127.001‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫‪f[y_]:=(y-Mean[aa1])^4‬‬ ‫‪aa4=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N‬‬ ‫‪6736.33‬‬

‫اﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻟﻼﻟﺗواء و اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو‪:‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫‪٢٢٨‬‬


‫إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ ، a1  0‬ﻓﮭ ذا ﯾ دل ﻋﻠ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗﻣﺎﺛ ل‪ .‬وإذا ﻛ ﺎن ‪ a1  0‬ﯾﻛ ون اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣوﺟ ب‬ ‫اﻹﻟﺗواء‪ ٠‬وإذا ﻛﺎن ‪ a1  0‬ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ ﺳﺎﻟب اﻻﻟﺗواء‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯾ ﺎ ﺑﺎﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﻟﻣﻘ ﺎﯾﯾس اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ ﺳ وف ﻧﺗﻧ ﺎول ﻣﻘﯾ ﺎس ﯾﻌﺗﻣ د ﻋﻠ ﻰ اﻟﻌ زم اﻟراﺑ ﻊ ﺣ ول اﻟﻣﺗوﺳ ط‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺗﮫ ھﻲ ‪-:‬‬ ‫‪m4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪s4‬‬

‫‪a2 ‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ ، a 2  3‬ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن اﻟﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺗوﺳ ط اﻟ ﺗﻔﻠطﺢ‪ .‬وإذا ﻛ ﺎن ‪ a 2  3‬ﻓ ذﻟك ﯾﻌﻧ ﻰ أن‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ ﻗﻣﺔ ﻣدﺑﺑﺔ وإذا ﻛﺎن ‪ a 2  3‬ﻓﮭذا ﯾدل ﻋﻠﻰ أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺣﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٦٩-٤‬‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 10‬ﻣﺳ ﺎﻣﯾر ﻟﺗﻘ دﯾر ﻛﻣﯾ ﺔ اﻟﺿ ﻐط اﻟﺿ روري ﻟﻛﺳ ر اﻟﻣﺳ ﻣﺎر وﻛﺎﻧ ت‬ ‫اﻟﻧﺗ ﺎﺋﺞ ﻛﺎﻟﺗ ﺎﻟﻲ ‪ 18,22,26,25, 27,26,19,17,22,20 :‬أﺣﺳ ب ﻛ ﻼ ﻣ ن ‪:‬اﻟوﺳ ط اﻟﺣﺳ ﺎﺑﻲ –‬ ‫اﻟوﺳ ﯾط – اﻟﻣﻧ وال – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﺗوﺳ ط – اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‪ -‬ﻣﻘﯾ ﺎس اﻻﻟﺗ واء ‪ a1‬وﻣﻘﯾ ﺎس‬ ‫اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪. a 2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪18  22  26  25  27  26  19  17  22  20‬‬ ‫‪ 22.2‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪i‬‬

‫‪‬‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x i )2 ‬‬ ‫‪1 n 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n  1  i 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s  3.64.‬‬

‫ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪s3‬‬

‫‪a1 ‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪15.84‬‬ ‫‪ 1.58 ,‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪ x)3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪m3 ‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1.584‬‬ ‫‪a1 ‬‬ ‫‪ 0.0327.‬‬ ‫‪(3.645)3‬‬ ‫أي أن ھﻧﺎك اﻟﺗواء ﺳﺎﻟب ﺑﺳﯾط ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ ﺳﺎﻟﺑﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢٢٩‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬


a2 

m4 , s4

: ‫ﺣﯾث‬ n

m4 

 (x

i

 x) 4

i 1

n

2179.95  217.9 , 10 217.9 a2   1.234. 176.510 . 3 ‫أي أن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻔﻠطﺢ ﻷن ﻗﯾﻣﺗﮫ أﻗل ﻣن‬ ‫ ﺗﺣ ت اﻟ دﻟﯾل‬DescriptiveStatistics ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫ وﻣﻘﯾ ﺎس‬aa1 ‫ ﺣﯾث اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺣ ت اﻟﻣﺳ ﻣﻰ‬ExpectedValue ‫ وﻋﻠﻰ اﻻﻣر‬Statistics : a2 ‫ وﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬a1 ‫اﻻﻟﺗواء ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ 

<<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; f[y_]:=(y-Mean[aa1])^3 s=N[StandardDeviation[aa1]] 3.64539 aa2=ExpectedValue[f[y],aa1,y]//N -1.584 a1=aa2/(s^3) -0.0326981 ff[y_]:=(y-Mean[aa1])^4 aa3=ExpectedValue[ff[y],aa1,y]//N 217.995 a2=aa3/(s^4) 1.23444

: ‫ھذا وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﺑﻌﻣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; f[x_]:=Apply[Plus,x] g[x_]:=Length[x] n=g[aa1] 10 xb=f[aa1]/n//N 22.2

s2 

1 n 1

faa1^2 

faa1 ^2   N n

13.2889

s



s2

3.64539 aa3=((aa1-xb)^3)//N

٢٣٠


{-74.088,-0.008,54.872,21.952,110.592,54.872,-32.768,140.608,-0.008,-10.648} b1=f[aa3]/n -1.584 a1=b1/(s^3) -0.0326981 aa4=(aa1-xb)^4//N {311.17,0.0016,208.514,61.4656,530.842,208.514,104.858,73 1.162,0.0016,23.4256} b2=f[aa4]/n 217.995 a2=b2/(s^4) 1.23444

:CentralMoment ‫ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻻﻣر‬ <<Statistics`DescriptiveStatistics` aa1={18,22,26,25,27,26,19,17,22,20}; var=Variance[aa1]

598 45 aa2=Table[CentralMoment[aa1,r],{r,2,4}]//N {11.96,-1.584,217.995}

a1  aa22   var



var   N

-0.0326981 a2=aa2[[3]]/(var*var)//N 1.23444

( ٧٠-٤ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ٠‫أوﺟد ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ وﻣﻘﯾﺎس ﻟﻼﻟﺗواء ﻟﻠﻣﺷﺎھدات ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫ﺣدود اﻟﻔﺋﺔ‬ ‫ﻣرﻛز اﻟﻔﺋﺔ‬

‫اﻟﻣﺟﻣوع‬

2-6

7-11

12-16

17-21

22-26

4

9

14

19

24

2

3

5

3

7

20

8 -12.5 -25 312.5 -3906.3

27 -7.5 -22.5 168.75 -1265.6

70 -2.5 -12.5 31.25 -78.1

57 2.5 7.5 18.75 46.9

168 7.5 52.5 393.75 2953.1

330

xi fi

‫اﻟﺘﻜﺮار‬ x i fi

( x i  x) ( x i  x) fi

( x i  x ) 2 fi ( x i  x ) 3 fi

٢٣١

925 -2250


‫‪80781.7‬‬

‫‪22148.3‬‬

‫‪117.3‬‬

‫‪9492.0‬‬

‫‪195.3‬‬

‫‪( x i  x ) 4 fi‬‬

‫‪48828.8‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ﻓﺈن اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ھو ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪ x i fi‬‬

‫‪330‬‬ ‫‪ 16.5‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S  46.25‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪s 3  339.6896 , s 4  2370.1523 ,  ( x i  x) 3 fi  2250 .‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪2250‬‬ ‫‪ 112.5.‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ ( x i  x ) fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫‪m3 ‬‬

‫) ‪(  fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس اﻻﻟﺗواء ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪-:‬‬

‫‪m3‬‬

‫‪ 112.5‬‬ ‫‪a1  3 ‬‬ ‫‪ 0.331185.‬‬ ‫‪339‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6896‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪4‬‬ ‫وﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ﻣﻘﯾﺎس اﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪ a 2‬وذﻟك ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪ ( x i  x) fi  80781.7 ,‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪80781.7‬‬ ‫‪ 4039.085 .‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪ x) 4 fi‬‬ ‫‪‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ (xi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪ fi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪m4 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯾﺎس ﻟﻠﺗﻔﻠطﺢ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪-:‬‬

‫‪m4‬‬

‫‪4039.085‬‬ ‫‪a2  4 ‬‬ ‫‪ 1.704146.‬‬ ‫‪2370‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1523‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣطﻠوب ﻟﮭذا اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DescriptiveStatistics‬‬ ‫;}‪c1={2,7,12,17,22‬‬ ‫;}‪c2={6,11,16,21,26‬‬

‫‪c1  c2‬‬ ‫;‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٢٣٢‬‬

‫‪mid  N‬‬


ff={2,3,5,3,7}; TableForm[Transpose[{c1,c2,mid,ff}],TableHeadings{{},{"L ower","Upper","Midpoint","Frequency"}}]

Lower 2 7 12 17 22

Upper 6 11 16 21 26

Midpoint 4. 9. 14. 19. 24.

n=Apply[Plus,ff] 20

xb 

Dot mid, ff  N n

16.5

Dotmid  xb2, ff var   N n 46.25

s



var

6.80074

Dotmid  xb3, ff m3   N n -112.5

m4 

Dotmid  xb4, ff  N n

4039.06 a1=m3/(s^3) -0.357672 a2=m4/(s^4) 1.88824

٢٣٣

Frequency 2 3 5 3 7


‫اﻟﻔﺻل اﻟﺧﺎﻣس‬

‫اﻟدوال اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬

‫‪٢٣٤‬‬


‫ﺗﻌﺗﺑـر اﻟـدوال اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم أداة ﻗوﯾـﺔ ﻓـﻲ ﻧظرﯾـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت ‪ ،‬ﻓﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟـدوال اﻟﻣوﻟـدة ﯾﻣﻛـن‬ ‫اﻟﺣﺻـ ــول ﻋﻠـ ــﻰ ﺗوزﯾﻌـ ــﺎت أو ﻋـ ــزوم ﻟﺗوزﯾﻌـ ــﺎت ﺑطرﯾﻘـ ــﺔ ﻣﺑﺎﺷ ـ ـرة واﻗـ ــل ﺗﻌﻘﯾـ ــدا ﻣـ ــن طـ ــرق اﻟﺣﺳـ ــﺎب‬ ‫اﻷﺧـرى‪ .‬ﯾوﺟـد اﻟﻌدﯾـد ﻣـن اﻟـدوال اﻟﻣوﻟـدة ‪ ،‬وﻛــل واﺣـدة ﻣﻔﯾـدة ﻷﻧـواع ﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ﻣـن اﻟﻣﺷـﺎﻛل وأﯾﺿــﺎ‬ ‫ﻷﻧواع ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (١-٥‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬

‫‪Moments Generating Function‬‬

‫ﺑﻔـرض وﺟـود رﻗـم ﻣوﺟـب ‪ h‬ﺑﺣﯾـث ﻟﻠﻔﺗـرة ‪ -h < t < h‬ﯾﻛـون اﻟﺗوﻗـﻊ ) ‪ E(e tX‬ﻣوﺟـود‬ ‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ . X‬ﺗﺑﻌﺎ ﻟذﻟك ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (x) dx‬‬

‫‪tx‬‬

‫‪e‬‬

‫‪tX‬‬

‫‪E(e ) ‬‬

‫‪‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل أو‪:‬‬ ‫‪E(e tX )   e tX f (x),‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻋﻧــدﻣﺎ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـ ار ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﻣــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﻘطــﻊ‪ .‬ﻫــذا اﻟﺗوﻗــﻊ ﯾﺳــﻣﻰ اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر‬ ‫اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪) X‬أو اﻟﺗوزﯾﻊ ( وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ اﻟرﻣز )‪ M X (t‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫) ‪M X (t)  E(e tX‬‬

‫ﻋﻧــدﻣﺎ ‪t  0‬‬

‫ﻓ ــﺈن ‪ . M X (0)  1‬إن وﺟ ــود اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم ﻣـ ـرﺗﺑط ﺑﻛ ــون اﻟﻣﺟﻣ ــوع أو‬

‫اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻣﺗﻘﺎرب ﻋﻠﻰ ﻧﺣو ﻣطﻠق ٕواذا ﻟم ﯾﻛن ﻛذﻟك ﻓﻌﻧدﺋـذ ﯾﻘـﺎل أن اﻟداﻟـﺔ ﻏﯾـر ﻣوﺟـودة‪ .‬اﯾﺿـﺎ اذا‬ ‫وﺟدت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻓﺎﻧﻬﺎ ﺗﻛون وﺣﯾدة ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١ -٥‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f (x)  e ,0  x  ‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪٢٣٥‬‬


‫‪e (1 t ) X dx‬‬ ‫‪t  1.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪e tx e  x dx ‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 t‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪M X (t) ‬‬

‫‪ 1 (1 t ) x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1 t‬‬

‫‪‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪:‬‬ ‫]‪f[x_]:=Exp[t*x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ Expxfxx‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1  t‬‬ ‫‪Integrate1t x, x, 0, , Assumptions  Ret  1‬‬

‫‪IfRet  1, ‬‬

‫اﻟﻣﺧرج ﯾﻌﻧﻰ ان اﻟداﻟﺔ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ‪.t<1‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢ -٥‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬

‫‪, x = 1, 2, 3,...‬‬ ‫أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم؟‬

‫‪6‬‬ ‫‪2 x 2‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪6e tx‬‬ ‫‪M X (t)  E(e )   e f (x)   2 2 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1  x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪tX‬‬

‫‪tx‬‬

‫ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗﺳﻠﺳـﻠﺔ ﺗﺑﺎﻋدﯾـﻪ ﻋﻧـدﻣﺎ ‪ t  0‬وذﻟـك ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﺧﺗﺑـﺎر اﻟﻧﺳـﺑﺔ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻻ‬ ‫ﯾوﺟــد ﻋــدد ﻣوﺟــب ‪ h‬ﺣﯾــث )‪ MX (t‬ﺗﻛــون ﻣوﺟــودة و ‪ . h  t  h‬وﺗﺑﻌــﺎ ﻟــذﻟك‬

‫)‪ f (x‬ﻟﻬــذا‬

‫اﻟﻣﺛﺎل ﻟﯾس ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‪.‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﻛﺷف ﻋن وﺟود اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬ ‫;]‪f[x_]:=Exp[t*x‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪2x2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪6 PolyLog2, t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٢٣٦‬‬


‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺧرج ﻋدم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻﯾﻐﺔ ﺻرﯾﺣﺔ ﻟﻠداﻟﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣ -٥‬‬ ‫ﻫل ﯾﻣﻛن أن ﺗﻛون اﻟداﻟﺔ )‪ M X (t‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪t‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1 t‬‬

‫‪M X (t) ‬‬

‫وذﻟك ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬وﻟﻣﺎذا ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻻ ﯾﻣﻛــن أن ﺗﻛ ــون اﻟداﻟ ــﺔ )‪ M X (t‬ﻋﻠ ــﻰ اﻟﺷ ــﻛل اﻟﻣﻌط ــﻰ وذﻟ ــك ﻻن ﺷ ــرط اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم‬ ‫)‪ M X (t‬ﻋﻧد ‪ t  0‬ﻫو‪:‬‬

‫‪M X (0)  1.‬‬

‫‪0‬‬ ‫وﻟﻛن ﻧﺟد أن اﻟداﻟﺔ )‪ MX (t‬اﻟﻣﻌطﺎة ﻋﻧد ‪ t  0‬ﺗﺳﺎوي ‪ 0‬‬ ‫‪1 0‬‬

‫‪M X (t) ‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﻻﺗﻣﺛل داﻟﺔ ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤ -٥‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧت )‪ f (x‬ﻫﻲ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ٕواذا ﻛﺎﻧـت ﻗـﯾم‬ ‫‪ X‬ﻫﻲ ‪ a, b, c. d :‬وﻛﺎﻧت اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪1 t 2 2t 3 3t 4 4t‬‬ ‫‪e  e  e  e‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻲ أن ‪:‬‬

‫‪٢٣٧‬‬

‫‪M X (t)   e tx f (x) ‬‬ ‫‪x‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b  2 , f (b) ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c  3 , f (c) ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪d  4 , f (d) ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪a  1 , f (a) ‬‬

‫أو ﺑﺑﺳﺎطﺔ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪, x = 1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫إن ﻋﻣﻠﯾــﺔ اﻟﺗﻌــرف ﻋﻠــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻣــن ﺧــﻼل اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم ﻟﯾﺳــت ﺳــﻬﻠﺔ ﻓــﻰ‬ ‫‪f (x) ‬‬

‫ﻛل اﻟﺣﺎﻻت ‪ .‬ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل إذا ﻛـﺎن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل ﺑداﻟـﺔ ﻣوﻟـدة‬ ‫ﻟﻠﻌزوم ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪t  1.‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(1  t‬‬

‫‪M X (t) ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t  1.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪  e tx f ( x ) dx,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(1  t‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻪ ﻣن اﻟﺻﻌب اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ )‪ f(x‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ وذﻟك ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن‬ ‫أﻧﻪ ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪0  x  ‬‬

‫‪f (x)  x e-x‬‬ ‫‪ 0 e.w .‬‬

‫ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪t  1.‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ذﻟك ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪M X (t)  ( 1 - t )-2‬‬ ‫;]‪f[x_]:=Exp[t*x‬‬ ‫‪٢٣٨‬‬


‫‪‬‬

‫‪ x  Expxfxx‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 1  t2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪IfRet  1,‬‬

‫‪Integrate1t x x, x, 0, , Assumptions  Ret  1‬‬

‫ﺑﻌض اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم )‪ M X (t‬ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﻣﺑﺎﺷـرة‬

‫ﻣن )‪. M X (t‬‬

‫ﻓ ــﺈذا أﻣﻛ ــن ﺗﻔﺎﺿ ــل اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣوﻟ ــدة ﻟﻠﻌ ــزوم ‪ r‬ﻣ ــن اﻟﻣـ ـرات ﻓ ــﺈن )‪ . E(X r )  M r X (0‬ﻋﻠ ــﻰ ﺳ ــﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن )‪ t  1 , M X (t)  (1  t‬ﻓﺎن اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﻟﻠداﻟﺔ )‪M X (t‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪M X (r ) (t)  r!(1  t)  r 1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ) ‪ E(X‬ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ ، r‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫!‪E(X r )  M X (r ) (0)  r‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ‪ ‬ﻫو‪:‬‬

‫‪  E(X)  1!  1‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن‪:‬‬

‫‪ 2  E(X 2 )   2  2  (1) 2  1.‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺣﺳﺎب ‪  , ‬ﻣن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ xf (x)dx ،‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x f (x)dx  ‬‬

‫‪2 ‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥ -٥‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪f (x)    , x  1, 2,3,...‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﺣﺳب )‪. E(X ), E(X‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٢٣٩‬‬

‫ﻫﻲ ‪:‬‬


12 M X (t)  E(e )   e   23 x 1 tX

x

tx

x

1   2e t     2 x 1  3   2e t  1 3  et   ,  2  2et  3  2e t  1  3   3e t  M X (t)  3  2e t

MX (t) 

t  log

3 2

2

3e t (3  2e t )

3  2e  t

3

MX (0)  E(X)  3 MX (0)  E(X 2 )  15   ‫ﻫو‬

ex2 ‫ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و‬ ‫اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﻟﻠﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث‬ 2 E(X ) :

f[x_]:=Exp[t*x]; 

1 2 x     fx 3 x1 2  

t  3  2 t aa3=D[aa2,t] 3 t

 3  2 t2 Ex2 3 aa4=D[aa2,{t,2}] 3 8 2t 2 t        t 3 t 2 2   3  2    3  2    ex2=aa4/.t0 15

: ‫وﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑطرﯾﻘﺔ اﺧرى واﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ‬

٢٤٠


f[x_]:=Exp[t*x]; 

1 2 x     fx 3 x1 2  

t  3  2 t aa3=D[aa2,t]

3 t  3  2 t2 =aa3/.t0 3 aa4=D[aa3,t] 12 2t 3 t    3  2 t3  3  2 t2 ex2=aa4/.t0 15

(٦ -٥ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﻣــن‬n ‫ﻋﻧــد إﻟﻘــﺎء ﻋﻣﻠــﺔ ﻣﺗزﻧــﺔ‬

(H) ‫ ﻣﺗﻐﯾـ ار ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ﯾﻣﺛــل ﻋــدد ﻣـرات ظﻬــور اﻟﺻــورة‬X ‫إذا ﻛــﺎن‬ 2 .  , E(X) ‫اﻟﻣرات أوﺟد‬

:‫اﻟﺣــل‬ :‫ ﻫﻲ‬X ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

 n   1  x  1 n  x f (x)        , x  0,1, 2,3,... x 2 2     

: ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻫﻲ‬

x

n

 n  1   1  M X (t)   e tx        x  2   2  x 0

n x

n  n   t 1 x  1 n  x

    e    x 0  x   2   2 

: ‫وﻣن ﻧظرﯾﺔ ﺛﻧﺎﺋﻲ اﻟﺣدﯾن ﻓﺎن‬

٢٤١


1 1  M X (t)    e t  2 2  1 e    t

n

2n

  MX (0) 

n

2 : ‫ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‬ , E(X) ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب‬

n(1  e t )n 1e t 2n n(1  1)n 1 2n

t 0

n 2

n(n  1)(1  e t )n  2 (e t )2 e t  n((1  e t )n 1 e t t 0 μ'2  M"X  0   2n n 2 n 1

n(n  1)(1  1)

 n(1  1)

2n

n(n  1)  2n n 2  n   4 4 2

 

σ E X

2

2

n2  n  n  n   E  X       . 4 4 2 2

: ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن‬2 ‫ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ و‬ ‫اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﻟﻠﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث‬ 1 x 1 nx gx_ : Binomialn, x      2 2 f[x_]:=Exp[t*x]; n

aa1   fx  gx x0 n

2 1  tn aa2=D[aa1,t]

2n t 1  t1n n =aa2/.t0

n 2 aa3=D[aa2,t]

2n t 1  t1n n  2n 2t 1  t2n  1  n n ٢٤٢


‫‪ex2=aa3/.t0‬‬

‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  n n‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫]‪2=Simplify[ex2-^2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧ -٥‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, a<x<b‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪, e.w.‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫أوﺟد )أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﺛﺑت أن ‪. MX (0)  1‬‬ ‫)ب(أوﺟد اﻟﻌزوم اﻷرﺑﻌﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣول اﻟﺻﻔر ‪.‬‬ ‫)ج( اﻟﻌزوم ﺣول اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ(‬ ‫‪b‬‬

‫‪e tx‬‬ ‫‪M X (t)  E(e )  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪tX‬‬

‫‪b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪e tb  e ta‬‬ ‫‪tx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e dx ‬‬ ‫‪,t  0‬‬ ‫‪b  a a‬‬ ‫)‪t(b  a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ M X (t‬أن‬ ‫ﯾﻼﺣـ ــظ ﻣـ ــن اﻟداﻟـ ــﺔ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ M X (0)  1‬وﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن ‪ M X (0)  1‬ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪ M X (0) ‬وﻫـ ــو ﺷـ ــﻛل ﻏﯾـ ــر ﻣﺣـ ــدد وﻣـ ــن اﻟﻣﻌـ ــروف أن‬

‫)‪e tb  e ta g1 (t‬‬ ‫‪M X (t) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪t(b  a) g 2 (t‬‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻗﺎﻋدة ﻟوﺑﯾﺗﺎل واﻟﺗﻲ ﺗﻧص ﻋﻠﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن ‪g1 (y)  0,g 2 (y)  0 :‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪g1 (t‬‬ ‫)‪g2(t‬‬ ‫‪tb‬‬ ‫‪ta‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن‪ g1(t)  b e  a e ،‬و‬

‫)‪g (t‬‬ ‫‪lim 1  lim‬‬ ‫‪t0 g2(t) t0‬‬ ‫‪ g2 (t)  b  a‬إذن‬

‫‪betb  aeta b  a‬‬ ‫‪lim MX(t)  lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪٢٤٣‬‬


‫ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻻﺳﻠوب اﻟﻣﺳﺧدم ﻓﻰ اﻟﺑراﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم وﻋﻠﻰ‬ : ‫اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

1

gx_ :

b a

f[x_]:=Exp[t*x];

: ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن اﻟﻣﺧرج ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ b

aa1   fx  gx x a

at  bt

a t b t

: ‫اﻣﺎ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر ﻓﻠم ﻧﺳﺗطﻊ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻻن‬ 0 M X (0)  0

aa2=D[aa1,t]

a  b at  bt a t  b t2

a at  b bt at bt

=aa2/.t0

Power ::infy  :  Infinite

expression

1 02

encountered . More…

::indet  :  Indeterminate 0 a  b ComplexInfinity

Power ::infy  :  Infinite Indeterminate aa3=D[aa2,t] 2 a  b2 at  bt

a t  b t3

expression encountered . More… 1 expression encountered . More… 0

2 a  b a at  b bt a2 at  b2 bt  a t  b t2 at bt ex2=aa3/.t0

Power ::infy  :  Infinite

expression

1 03

encountered . More…

::indet  :  Indeterminate expression 2 0 a  b ComplexInfinity encountered . More… 1 Power ::infy  :  Infinite expression encountered . More… 02

Power ::infy  :  Infinite

expression

1

encountered . More… 0 General ::stop  :  Further output of Power ::infy will be suppressed during this calculation . More… Indeterminate 2=ex2-^2 Indeterminate Simplify[2] 0

٢٤٤


‫)ب( ﺑﻣــﺎ أن اﺳــﺗﺧدام اﻟداﻟــﺔ اﻟﻣوﻟــدة ﻟﻠﻌــزوم ﻓــﻲ إﯾﺟــﺎد اﻟﻌــزوم ﺣــول اﻟﺻــﻔر ﺗﺑــدو ﻣﻌﻘــدة‪ ،‬ﻟ ــذﻟك‬ ‫ﺳــوف ﻧﺳــﺗﻌﯾض ﻋــن ﻫــذﻩ اﻟداﻟــﺔ ﻣــن ﺧــﻼل اﺷــﺗﻘﺎق ﺻــﯾﻐﺔ اﻟﻌــزوم ﻣــن اﻟرﺗﺑــﺔ‬

‫اﻟﺻﻔر ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‪:‬‬

‫‪b‬‬

‫‪r‬‬

‫ﺣــول‬

‫‪b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x r 1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪E(X ) ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b  a a‬‬ ‫‪(b  a)(r  1) a‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪b r 1  a r 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ M (rX ) (0) , r  1, 2, 3, ‬‬ ‫)‪(b  a)(r  1‬‬

‫)ج (‬ ‫‪r 1‬‬

‫‪b     (a  )r 1‬‬ ‫‪1 b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪E(X  ) ‬‬ ‫‪ (x  ) dx ‬‬ ‫‪(b  a) a‬‬ ‫)‪(r  1) (b-a‬‬ ‫‪r‬‬

‫وﺑﻣﺎ أن‪:‬‬

‫‪a  b b a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ab ab‬‬ ‫وأن‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ٕواﺧراج ﻋﺎﻣل ﻣﺷﺗرك ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫‪(b  )  b ‬‬

‫‪(a  )  a ‬‬

‫] ‪(b  a)r 1[1  (1)r 1‬‬ ‫‪E(X )  r 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪2 (r 1) (b  a‬‬ ‫‪r‬‬

‫وﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ أن‪:‬‬ ‫زوﺟﻲ ‪, r‬‬ ‫ﻓردي ‪r‬‬

‫‪,‬‬

‫‪(b  a)r‬‬ ‫‪E(X  )  r‬‬ ‫)‪2 (r  1‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪=0‬‬

‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن‪.‬‬

‫)‪ (٢-٤‬اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪The Characteristic Function‬‬ ‫ﻛﻣـ ــﺎ ﻻﺣظﻧـ ــﺎ ﺳـ ــﺎﺑﻘﺎً ‪ ،‬ﻓـ ــﺈن اﻟﻌﯾـ ــب اﻟرﺋﯾﺳـ ــﻲ ﻟﻠداﻟـ ــﺔ )‪  X (t‬أﻧﻬ ـ ـﺎ ﻏﯾـ ــر ﻣوﺟـ ــودة ﻟـ ــﺑﻌض‬

‫اﻟﺗوزﯾﻌ ــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾـ ــﺔ ‪ .‬ﻋﻠـ ــﻰ ﺧ ــﻼف ذﻟـ ــك ﻓـ ــﺈن اﻟداﻟـ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾـ ـزة )أو ﺗﺣوﯾﻠـ ــﻪ ﻓـ ــورﯾر‬ ‫‪٢٤٥‬‬

‫‪Fourier‬‬


‫‪ (transform‬ﻣﻌرﻓ ــﺔ ﻟﺟﻣﯾ ــﻊ اﻟﺗوزﯾﻌ ــﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾ ــﺔ ‪ .‬اﻟداﻟ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾـ ـزة ﻟﻣﺗﻐﯾ ــر ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﺗﻌ ــرف‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬

‫)‪X (t)  eitxf(x‬‬ ‫‪X‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﻘطﻊ ﺑﯾﻧﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X (t)   eitx f (x) , - < t < ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ‪ .‬ﻫﻧﺎ ‪i  1‬‬

‫أي اﻟﻌدد اﻟﺗﺧﯾﻠﻲ ‪.‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم واﻟﻌﻛس ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾﻧﻬم ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪t‬‬ ‫) ( ‪X (t)  M X (it), M X (t)  M X‬‬ ‫‪i‬‬

‫اﻟﻌزوم ﺑدﻻﻟﺔ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪:‬‬

‫ﺑﺗﻔﺎﺿـ ــل اﻟداﻟـ ــﺔ اﻟﻣﻣﯾ ـ ـزة ﺑﺎﻟﻧﺳـ ــﺑﺔ إﻟـ ــﻰ‬

‫‪ t‬ووﺿـ ــﻊ ‪ t  0‬ﻓـ ــﺈن ‪ . x (0)  i‬اﯾﺿـ ــﺎ‬

‫‪x (0)  i 22‬‬

‫ﻋﻣوﻣﺎ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو‪:‬‬

‫)‪1 (r‬‬ ‫‪ (0).‬‬ ‫‪ir‬‬

‫‪r ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٨ -٥‬‬ ‫أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم و اﻟﻌـزوم اﻟﺧﻣﺳـﺔ اﻻوﻟـﻰ ﺣـول اﻟﺻـﻔر ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﺛـل ﻋـدد‬ ‫ﻣرات اﻟظﻬور رﻗم ‪ 6‬ﻋﻧد إﻟﻘﺎء زﻫرﺗﯾن ﻣرة واﺣدة ‪ .‬اوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌـزوم ﺛـم اوﺟـد ﻣﻧﻬـﺎ اﻟداﻟـﺔ‬

‫اﻟﻣﻣﯾزة ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪٢٤٦‬‬


x

0

1

2

f(x)

25/36

10/36

1/36

25 10 1 )  e t (1) ( )  e t (2) ( ) 36 36 36 25 t 10 1 M X (t)   e ( )  e 2t ( ) 36 36 36 10 2 12 1  M X (t) t 0  e t ( )  e 2t ( ) t 0  36 36 36 10 4 14 2  MX (t) t 0  e t ( )  e 2t ( ) t 0  36 36 36 10 8 18 3  M X (t) t 0  e t ( )  e 2t ( ) t 0  36 36 36 26 t 10 2t 16 4  M (4) (t)  e ( )  e ( )  X t 0 t 0 36 36 36 32 42 t 10 5  M (5) )  e 2t ( ) t 0  . X (t) t  0  e ( 36 36 36 M X (t)   e tx f (x)  e t (0) (

 ‫ اﻟﻌزم اﻟﺛﺎﻟث ﺣول اﻟﺻﻔر و‬ ‫اﻻن اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث‬

‫اﻟﻌزم اﻟراﺑﻊ ﺣول اﻟﺻﻔر و‬

. ‫ اﻟﻌزم اﻟﺧﺎﻣس ﺣول اﻟﺻﻔر‬

aa2  Exp0 t 25 5 t 2t   36 18 36

25 10 1   Exp1  t   Exp2  t  36 36 36

aa3=D[aa2,t] 5 t 2t 

18

18

=aa3/.t0

1 3 aa4=D[aa3,t] 5 t 2t 

18

9

ex2=aa4/.t0

7 18 2=ex2-^2 ٢٤٧


5 18 aa5=D[aa4,t] 5 t 2 2t 

18

9

3=aa5/.t0

1 2 aa6=D[aa5,t] 5 t 4 2t 

18

9

4=aa6/.t0

13 18 aa7=D[aa6,t] 5 t 8 2t 

18

9

5=aa7/.t0

7 6

: ‫ ﻧﺗﺑﻊ اﻵﺗﻲ‬X ‫ﻹﯾﺟﺎد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬ :‫ﺑﻣﺎ أن‬

 X (t) 

1 (25  10e t  e 2 t ) . 36

:‫ ﻫﻲ‬X ‫ﻓﺈن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

1 (25  10eit  e 2it ) 36 25 10 it 1 2it  X (t)   e  e . 36 36 36 X (t)  M X (it) 

: ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ 25 10 1 aa2  Exp0 t   Exp1  t   Exp2 t  36 36 36 25 5 t 2t   36 18 36

aa2/.tit 25 5 it 2it  

36

18

36

(٩ -٥ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ٢٤٨


‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻل ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2a‬‬

‫‪, a  X  a‬‬ ‫أوﺟد‪ :‬أ( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬؟‬

‫‪f (x) ‬‬

‫)ب( اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ(‬ ‫‪a‬‬

‫‪f (x)dx‬‬

‫‪tx‬‬

‫‪e‬‬

‫‪tx‬‬

‫‪M X (t)  E(e ) ‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 e tx‬‬ ‫‪tx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e dx ‬‬ ‫‪2a a‬‬ ‫‪2a t‬‬ ‫‪1 ta  ta‬‬ ‫‪(e  e ).‬‬ ‫‪2at‬‬

‫‪‬‬

‫ب(‬ ‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪itx‬‬ ‫‪X (t)  E(e ) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2a a‬‬ ‫‪itx‬‬

‫‪1 eitx a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a it‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(eita  e ita ).‬‬ ‫‪2ait‬‬

‫أو ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن اﻟداﻟﻪ ﻟﻠﻌزوم واﻟداﻟﻪ اﻟﻣﻣﯾزة ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪M X (it)  X (t‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪eita  e ita .‬‬ ‫‪2a it‬‬

‫‪‬‬

‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫=‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٠ -٥‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪٢٤٩‬‬


x

1

2

3

4

5

f(x)

1 8

1 8

4 8

1 8

1 8

‫أوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ؟‬ :‫اﻟﺣــل‬ 5 itx

X (t)  E(e )   eitx f (x) x 1

1 1 4 1 1  eit (1) ( )  eit (2) ( )  eit (3) ( )  eit (4) ( )  eit (5) ( ). 8 8 8 8 8 : ‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﺣل ﺑﺎﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

1 5 itx aa1    8 x1 1 it  2it  3it  4it  5it 8

٢٥٠


‫اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎدس‬

‫ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬

‫‪٢٥١‬‬


‫)‪ (١-٦‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪Uniform Distribution‬‬ ‫ﺗﻌرﯾــف ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ﻓ ـراغ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﻫــو } ‪ R  {x1, x 2 ,..., x n‬ﻓــﺈن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم‬ ‫ﯾﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪, x  x1 , x 2 ,..., x n .‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪f (x;n) ‬‬

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺻﯾﻐﺔ )‪ f(x; n‬ﺑدﻻ ﻣن )‪ f(x‬ﻟﺗوﺿـﯾﺢ أن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﯾﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ اﻟﻣﻌﻠﻣـﺔ‬ ‫‪ . n‬ﺳــوف ﻧﻛﺗــب )‪ X ~ DU(n‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻲ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم‬ ‫اﻟﻣﺗﻘطﻊ ‪.‬‬

‫وﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﯾﺗم ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ ‪ DiscreteDistributions‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ‪ Statistics‬وذﻟك ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ‪:‬‬

‫`‪ <<Statistics`DiscreteDistributions‬ﺛم ﺗﻧﻔﯾذة ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ‪.‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر ‪Help‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٢٥٢‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١ -٦‬‬ ‫ﯾﺗﻛــون اﻟﻛﺗــﺎب اﻟﺧــﺎص ﺑــداﺋرة اﻟﻣﻌﻠوﻣــﺎت اﻟﺑرﯾطﺎﻧﯾــﺔ ﻟﻌــﺎم ﻣــﺎ ﻣــن ‪ 20‬ﺟــزء ‪ ،‬ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﻟﻣطﻠــوب‬ ‫اﺧﺗﯾﺎر ﺟزءاً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ‪ .‬أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬اﻟـذي ﯾﻣﺛـل رﻗـم اﻟﺟـزء اﻟﻣﺧﺗـﺎر‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋﻧ ـ ــد اﺧﺗﯾ ـ ــﺎر ﺟ ـ ــزءاً ﻋﺷـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﻣ ـ ــن ‪ 20‬ﺟ ـ ــزء ﻓ ـ ــﺈن ﻛ ـ ــل ﻋﻧﺻ ـ ــر ﻓ ـ ــﻲ ﻓـ ـ ـراغ اﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ــر اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻋﻠــﻲ ذﻟــك ﯾﻛــون ﻟــدﯾﻧﺎ ﺗوزﯾــﻊ ﻣﻧــﺗظم ﺑداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ‬ ‫} ‪ R  {x1 , x 2 ,..., x 20‬ﯾﻘــﻊ ﺑﺎﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫‪20‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪, x  1, 2 , .. ., 2 0 .‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪f (x ; 20) ‬‬

‫وﻟﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻧﻛﺗب ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫‪٢٥٣‬‬


. 20 ‫ﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻌرﯾف ان اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬ dist=DiscreteUniformDistribution[20] : ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﮭﺬا اﻻﻣﺮ ھﻰ‬ dist=DiscreteUniformDistribution[n]

.‫ ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب‬n ‫ﺣﯾث‬ : ‫وﻟﺗﻌرﯾف ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﻧﻛﺗب اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ Domain[dist] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

: ‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻌطﻰ ﻧﻔس ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻻﻣر اﻟﺳﺎﺑق‬ b=Table[i,{i,1,20}] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ واﻟﻣﻌطﺎﻩ‬ . e ‫ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‬ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[20] DiscreteUniformDistribution[20] Domain[dist] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} b=Table[i,{i,1,20}] {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} f[x_]:=PDF[dist,X] c=Table[f[x],{x,1,20}]

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1 , 20

1 , 20 1  20

e= Transpose[{b,c}]

1 1 1 1 1 , 2, , 3, , 4, , 5, , 20 20 20 20 20 1 1 1 1 1 6, , 7, , 8, , 9, , 10, , 20 20 20 20 20 1 1 1 1 1 11, , 12, , 13, , 14, , 15, , 20 20 20 20 20 1 1 1 1 1 16, , 17, , 18, , 19, , 20,  20 20 20 20 20

1,

٢٥٤


‫اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﺧطوات اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ‪:‬‬

‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﻣﺗﺑﻌﺔ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء‬ ‫‪ Sec2.1‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KonoxProb‬وﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء‬

‫اﻟرﻣﺎدى ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٢٥٥‬‬


‫وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء‪ .‬وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻻﻣـر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘـل اﻟـﻰ‬ ‫ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬

‫وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ‬ ‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ ‪ kernel‬ﻣن ﻗﺎﺋﻣﺔ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪dist1=DiscreteUniformDistribution[20‬‬ ‫;]}‪statelist=Table[i,{i,1,20‬‬ ‫;]}‪problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,20‬‬ ‫‪ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim‬‬ ‫;]}‪es-Roman",8‬‬

‫‪٢٥٦‬‬


‫‪0.05‬‬

‫‪0.04‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪0.02‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20‬‬

‫وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ وﻧﻧﻘﻠﻬﺎ اﻟﻰ ‪ Word‬ﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ‪.‬‬

‫وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪ Don'tsave‬وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.KnoxProb‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢ -٦‬‬ ‫أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﻣﻛن اﺧﺗﯾﺎرﻫﺎ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 2‬ﻣن اﻟﻘﯾـم‬ ‫} ‪. { 1, 2, 3, 4‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ 4‬‬ ‫ﻋ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــدد اﻟﻌﯾﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎت اﻟﻣﻣﻛـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــن اﺧﺗﯾﺎرﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــو ‪    6‬وﻫـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻋﻠـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ اﻟﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﻟﻲ‬ ‫‪ 2‬‬ ‫}‪ . {1,2},{1,3},{1,4},[2,3},{2,4},{3,4‬ﻛــل اﻟﻌﯾﻧــﺎت اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻟﻬــﺎ ﻧﻔــس اﻟﻔرﺻــﺔ ﻓــﻲ اﻟظﻬــور‬

‫ﻋﻧد اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟـم ‪ n = 2‬ﻣـن اﻟﻘـﯾم }‪ . {1,2,3,4‬ﺗوزﯾـﻊ اﻟﻌﯾﻧـﺎت ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ‬ ‫اﻟﻣﻧﺗظم ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪٢٥٧‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪f ( x;6)  , x  1,2,..., 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺣﯾـث ‪ 1‬ﺗﻌﻧـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ }‪ 2, {1,2‬ﺗﻌﻧـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ }‪ … {1,3‬اﻟـﺦ ‪ .‬وﻋﻠـﻲ ذﻟـك ﻓـﺈن اﺣﺗﻣـﺎل اﺧﺗﯾـﺎر‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ 1‬ﻫو ‪ . P({1,2})  P( X  1) ‬ﻋﻣوﻣﺎ ﻋﻧد اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪ n‬ﻣـن‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺣدود ﺣﺟﻣﻪ ‪ N‬ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ c‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺗﻌطﻲ ﻣن ‪.  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وذﻟك‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬

‫وﺗﻌرﯾف اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪dist=DiscreteUniformDistribution[6‬‬

‫وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪f ( 2 )  P ( X  2‬‬

‫اﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ )ﻛﺗﻛﻣﻠﺔ ﻟﻠﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق( ﻻﺛﺑﺎت ان ﻣﺟﻣوع ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﺗﺳﺎوى واﺣد‬ ‫وﻫﻰ اﺣدى ﺷروط داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫]‪f[x_]:=PDF[dist,x‬‬

‫‪10‬‬

‫‪ fx‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪P ( X  2‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪CDF[dist,2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٢٥٨‬‬


‫]‪CDF[dist,5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪P ( X  5‬‬

‫ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Domain[dist‬‬ ‫}‪{1,2,3,4,5,6‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﺤﺴﺎب ﺗﺒﺎﯾﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪Variance[dist‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪StandardDeviation[dist‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪Skewness[dist‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Kurtosis[dist‬‬

‫‪303‬‬ ‫‪175‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪ E ( X 2‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪E ( X 3‬‬

‫‪ExpectedValuex2, dist, x‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ExpectedValuex3, dist, x‬‬ ‫‪147‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪ E ( X 4‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٢٥٩‬‬


ExpectedValuex4, dist, x 2275 6 : ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻲ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺎﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ dist1=DiscreteUniformDistribution[6]; statelist={1,2,3,4,5,6}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,6}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim es-Roman",8}]; 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025

1

2

3

4

5

6

‫ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ : ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[n]; Domain[dist] Range[n] PDF[dist,x]

1 n Mean[dist]

1 n 2 Variance[dist]

1 1  n2 12 StandardDeviation[dist]

  1  n2 2  3 Skewness[dist] 0 ٢٦٠


‫]‪Kurtosis[dist‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 1  n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  n 1  2 n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1  n2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  n 1  2 n  1  3 n  3 n2‬‬ ‫‪30‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻪ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫]‪CharacteristicFunction[dist,t‬‬ ‫‪ t 1   nt‬‬

‫‪ 1   t n‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 6‬ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=DiscreteUniformDistribution[6‬‬ ‫]‪RandomArray[dist,10‬‬ ‫}‪{6,4,2,1,4,5,6,4,1,6‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=DiscreteUniformDistribution[6‬‬ ‫]‪Random[dist‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣ -٦‬‬ ‫ﯾﺣﺗوي اﻣﺗﺣﺎن ﻋﻠﻲ ‪ 20‬ﺳؤال ﻣن ﻧوع ﺻﺢ وﺧطﺄ وﻛـل ﺳـؤال ﻟـﻪ أرﺑـﻊ أﺟوﺑـﺔ ﻣﺣﺗﻣﻠـﺔ ﻣﻧﻬـﺎ واﺣـد‬

‫ﻫــو اﻹﺟﺎﺑــﺔ اﻟﺻــﺣﯾﺣﺔ‪ .‬ﻷي ﺳ ـؤال ﻣﻌطــﻲ ﻓــﺈن اﻹﺟﺎﺑــﺔ اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﻣﺛــل ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﺣﯾــث‬ ‫)‪ X ~ DU(4‬وﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻫﻲ ‪ 1, 2, 3,4‬واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل أرﻗـﺎم اﻹﺟﺎﺑـﺎت اﻟﻣﺣﺗﻣﻠـﺔ ‪ .‬ﻣﺛـل‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل وداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‪.‬‬ ‫‪٢٦١‬‬


:‫اﻟﺣــل‬ : ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾﻠﻬﺎ ﺑﺎﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ statelist={1,2,3,4}; problist=Table[PDF[dist1,x],{x,1,4}]; ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim es-Roman",8},AxesLabel{"x","f{x}"}]; f x 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 x 1

2

3

4

: ‫وداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

F[x_]:=Which[x<1,0,1x<2,1/4,2x<3,1/2,3x<4,3/4,x4,1]; PlotStepFunction[F[x],{x,0,406},{1,2,3,4},DotSize.02,Axe sOrigin{0,-.01},PlotRange{.01,1.01},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

٢٦٢


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1

2

3

4

‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت اﺧرى ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ‬

: ‫اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=DiscreteUniformDistribution[4]; f[x_]:=PDF[dist,x] 1

 fx x1

1 4 10

 fx x1

1 CDF[dist,3]

3 4 CDF[dist,5] 1 Domain[dist] {1,2,3,4} Mean[dist]

5 2 Variance[dist]

5 4 StandardDeviation[dist] 

5 2

Skewness[dist] 0 Kurtosis[dist]

41 25 ٢٦٣


‫‪ExpectedValuex2, dist, x‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ExpectedValuex3, dist, x‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪ExpectedValuex4, dist, x‬‬ ‫‪177‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤ -٦‬‬ ‫إذا أﻟﻘﯾت زﻫرة ﻧرد ﻣﺗزﻧﺔ ﻟﻬﺎ أرﺑﻌﺔ أوﺟﻪ ٕواذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛـل اﻟـرﻗم اﻟـذي ﯾظﻬـر ﻋﻠـﻲ‬

‫ﺳطﺢ اﻟﻧرد ‪ ،‬وﻋﻠﻲ ذﻟك )‪ X ~ DU(4‬ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x;4) ‬‬ ‫‪x  1, 2,3, 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬ ‫أوﺟد )‪. P(X  2‬‬ ‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥ -٦‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﻧﻔﺻل ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪ ،‬أي أن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x;n) ‬‬ ‫‪, x = 1,2,...,n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫أوﺟد )‪ E(X‬وﺗﺑﺎﯾن ‪ X‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫ﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪n 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪N‬‬

‫‪E(X)   xf (x) ‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  E (X )   E (X ) ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫‪٢٦٤‬‬


‫وذﻟك ﻻﯾﺟﺎد )‪ E(X‬وﺗﺑﺎﯾن ‪ X‬ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ‪.‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=DiscreteUniformDistribution[n‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪1 n‬‬

‫‪2‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1  n2‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦ -٦‬‬ ‫إذا أﻟﻘﯾــت زﻫـ ـرة ﻧ ــرد ﻣﺗزﻧ ــﺔ ﻣـ ـرة واﺣ ــدة ‪ٕ ،‬واذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟ ــﻧﻘط اﻟﺗ ــﻲ ﺗظﻬ ــر ﻋﻠ ــﻰ‬ ‫اﻟوﺟﻪ اﻟﻌﻠوي ﻟﻠزﻫرة ﻋﻧد اﻟرﻣﻲ‪.‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ‪ ) :‬أ ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪X‬‬ ‫)ب( )‪P(X>4‬‬

‫‪P(X-3<0) ,‬‬

‫)ج( اﻟﺗوﻗﻊ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪. X‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪:X‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪, x  1,2,3,4,5,6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)ب( )‪P(X  3  0) , P(X  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P (X  4)  P (X  5)  P (X  6) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P ( X  3  0 )  P ( X  3 )  P ( X  1)  P ( X  2 ) ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ج( اﻟﺗوﻗﻊ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪. X‬‬ ‫‪f (x) ‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪62 1‬‬ ‫‪36 1‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪xf (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫‪٢٦٥‬‬

‫‪E (X ) ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧ -٦‬‬ ‫أوﺟــد ﺻــﯾﻐﺔ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ اﻟﺧــﺎص ﺑــﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ X‬اﻟــذي ﯾﻣﺛــل رﻗــم اﻟﻛ ـرة اﻟﻣﺧﺗــﺎرة ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً‬ ‫ﻣن وﻋﺎء ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ‪ 10‬ﻛرات ﻣرﻗﻣﺔ ﻣن واﺣد اﻟﻰ ‪. 10‬‬

‫ﻣﺎ ﻫو اﻻﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟرﻗم اﻟﻣﺧﺗﺎر أﻗل ﻣن ‪ 5‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪x = 1,2,…10 ,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪f (x) ‬‬

‫)‪P(X<5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪     .‬‬ ‫‪10 10 10 10 10‬‬ ‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٨ -٦‬‬ ‫أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻟﻔﺋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﺣﺟﻣﻬﺎ ﺛﻼﺛﺔ أﺷﻬر ﻣن اﻟﺳﻧﺔ ﺛم أوﺟد )‪ P(X=90‬و)‪E(X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾ ــث أن ﻋ ــدد اﺷ ــﻬر اﻟﺳ ــﻧﺔ ﯾﺳ ــﺎوي ‪ 12‬ﺷ ــﻬراً ‪ ،‬وﻋﻠﯾ ــﻪ ﻓﺈﻧ ــﻪ ﯾﻣﻛ ــن إﺧﺗﯾ ــﺎر ﺛﻼﺛ ــﺔ أﺷ ــﻬر ﺑﺷ ــﻛل‬ ‫‪ 12 ‬‬

‫ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ﺑط ــرق ﻋ ــددﻫﺎ ‪    220‬طرﯾﻘ ــﺔ ‪ ،‬وﺑﺗ ــرﻗﯾم اﻟﻔﺋ ــﺎت اﻟﺟزﺋﯾ ــﺔ ﻣ ــن‬ ‫‪3 ‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻫو‪:‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪x =1,2,3,...,220‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   220‬‬ ‫‪0 , e.w.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  90) ‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪n  1 220  1‬‬ ‫‪E(X) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 11.05‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  E(X )  [E(X)] ‬‬ ‫‪ 4033.25‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪٢٦٦‬‬

‫‪ 1‬اﻟ ــﻰ ‪ 220‬ﻓ ــﺈن‬


‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫)‪ (٢-٦‬ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ‪Binomial Distribution‬‬

‫ﻓـﻲ ﻛﺛﯾـر ﻣـن اﻷﺣﯾــﺎن ﻗـد ﺗﺷـﺗﻣل ﺗﺟرﺑــﺔ ﻣـﺎ ﻋﻠـﻲ ‪ n‬ﻣـن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛـررة اﻟﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﺑﺣﯾــث‬

‫ﯾﻛون ﻟﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻧﺗﯾﺟﺗﯾن اﺛﻧﺗﯾن ﻓﻘط ‪ ،‬ﺗﺳﻣﻲ اﻷوﻟﻲ ﻧﺟﺎح وﺗﺳﻣﻲ اﻷﺧرى ﻓﺷـل ‪ ،‬ﺣﯾـث اﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫اﻟﻧﺟـﺎح ‪ p‬واﺣﺗﻣــﺎل اﻟﻔﺷــل ‪ . q = 1-p‬ﺗﺳــﻣﻲ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ اﻟﺗــﻲ ﺗﺣﻘـق ﻫــذﻩ اﻟﺷــروط ﺑﺗﺟرﺑــﺔ ﺛﻧــﺎﺋﻲ‬ ‫اﻟﺣدﯾن ‪ .binomial experiment‬ﻓﻌﻠﻲ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧد إﻟﻘـﺎء ﻋﻣﻠـﺔ ﻣﺗزﻧـﺔ ‪ 5‬ﻣـرات ﺣﯾـث ﻛـل‬

‫ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻗد ﺗﻛون ﺻورة أو ﻛﺗﺎﺑﺔ وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻧﺟﺎح ﻫو ظﻬـور اﻟﺻـورة ‪ .‬ﻫﻧـﺎ اﻟﻣﺣـﺎوﻻت‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . p ‬وﯾﺟـب‬ ‫اﻟﻣﺗﻛررة ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻛﻣـﺎ أن اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﻧﺟـﺎح ﺛﺎﺑـت ﻣـن ﻣﺣﺎوﻟـﺔ إﻟـﻲ أﺧـرى وﯾﺳـﺎوي‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻼﺣظــﺔ أﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن ﺗﻌرﯾــف اﻟﻧﺟــﺎح واﻟﻔﺷــل ﻋﻛــس ذﻟــك ﺗﻣﺎﻣــﺎً ‪ ،‬أي ﺟﻌــل ظﻬــور اﻟﻛﺗﺎﺑــﺔ ﻧﺟــﺎح ‪،‬‬ ‫وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﺗﺗﺑدل ﻗﯾﻣﺗﻲ ‪. p , q‬‬

‫وﻫﻧﺎك أﻣﺛﻠﺔ ﻛﺛﯾرة ﻋﻠﻲ ﺗﺟـﺎرب ذي اﻟﺣـدﯾن ﻣﺛـل اﺧﺗﯾـﺎر ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪) n‬ﻣـﻊ‬ ‫اﻹرﺟـﺎع( ﻣــن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﺗﺣــت اﻟد ارﺳــﺔ ‪ .‬ﻛـل وﺣــدﻩ ﻓـﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ﺗﺻــﻧف إﻟـﻰ واﺣــد ﻣـن ﻧــوﻋﯾن وذﻟــك‬ ‫وﻓﻘــﺎً ﻟﺧﺎﺻــﯾﺔ ﻣــﺎ‪ .‬ﻋﻠــﻲ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل ‪ ،‬اﻟوﺣــدة ﻗ ــد ﺗﻛــون ﺷــﺧص واﻟﺻــﻔﺔ ﻗــد ﺗﻛــون ﻣــﺎ إذا ﻛ ــﺎن‬ ‫اﻟﺷﺧص ﻗﺎل ﻧﻌم أوﻻ ﻓﻲ اﻟﺗﺻـوﯾت ﻋﻠـﻲ ﺗﺄﯾﯾـد ﺷـﺧص ﻣـﺎ ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧـت اﻟوﺣـدة ﺟـزء ﻣـن آﻟـﻪ‪ ،‬ﻫـذﻩ‬ ‫اﻟﺻﻔﺔ ﻗد ﺗﻛون ﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﺟزء ﺳﻠﯾم أو ﺗﺎﻟف ‪ .‬إذا ﻛﺎﻧـت اﻟوﺣـدة ورﻗـﺔ ﺷـﺟرة ﻓﺎﻟﺻـﻔﺔ ﻗـد ﺗﻛـون‬ ‫اﻟورﻗ ــﺔ ﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ﻣ ــن اﻹﺻ ــﺎﺑﺔ ﺑﺎﻟﺣﺷـ ـرات أم ﻻ ‪ .‬ﻋﻣوﻣ ــﺎً ﯾﻣﻛ ــن اﻟﻘ ــول أن ﺗﺟرﺑ ــﺔ ذي اﻟﺣ ــدﯾن ﻫ ــﻲ‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻵﺗﯾﺔ ‪:‬‬

‫أ‪ -‬اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺗﻛون ﻣن ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛررة ‪.‬‬ ‫ب ‪-‬ﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﯾﻣﻛن ﺗﺻﻧﯾﻔﻬﺎ إﻟﻲ ﻧﺟﺎح أو ﻓﺷل ‪.‬‬

‫ج‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ‪ ،‬وﻫو ‪ p‬ﯾﺑﻘﻲ ﺛﺎﺑت ﻣن ﻣﺣﺎوﻟﺔ إﻟﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ‪.‬‬ ‫د ‪ -‬اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣﺗﻛررة ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﺑﻌﺿﻬﺎ ﻋن ﺑﻌض ‪.‬‬ ‫ﻗـد ﺗﺷــﺗﻣل ﺗﺟرﺑــﺔ ﻋﻠــﻲ ﻣﺗﺗﺎﺑﻌـﺔ ) ﻋــددﻫﺎ ‪ ( n‬ﻣــن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻟﻣﺳـﺗﻘﻠﺔ ﺣﯾــث ﯾوﺟــد أﻛﺛــر ﻣــن‬

‫ﻧﺗﯾﺟﺗــﯾن ﻓــﻲ أي ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ‪ .‬ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻟﺣﺎﻟــﺔ ﯾﻣﻛــن اﻋﺗﺑﺎرﻫــﺎ ﺗﺟرﺑــﺔ ذي اﻟﺣــدﯾن ﺑﻌــد ﺗﻘﺳــﯾم اﻟﻧﺗــﺎﺋﺞ‬

‫اﻟﻣﻣﻛﻧ ــﺔ إﻟ ــﻲ ﻣﺟﻣ ــوﻋﺗﯾن ‪ .‬ﻋﻠ ــﻲ ﺳ ــﺑﯾل اﻟﻣﺛ ــﺎل إذا أﻟﻘﯾﻧ ــﺎ زﻫـ ـرة ﻧ ــرد ﻣﺗزﻧ ــﺔ ‪ 10‬ﻣـ ـرات ٕواذا ﻛ ــﺎن ‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺗﻐﯾـ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن وﯾﻣﺛ ــل ظﻬ ــور اﻟ ــرﻗم واﺣ ــد ) ﻧﺟ ــﺎح( ﺑﺎﺣﺗﻣ ــﺎل ‪ p ‬ﻓ ــﺈن ﻗ ــﯾم‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﺳوف ﺗﻛون ‪ .0, 1, 2, …, 10‬اﻟﻔﺷل ﻫﻧﺎ ﻫو ﻋدم ظﻬور ‪ 1‬أي ظﻬور ‪2,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3,…,6‬واﻟﻔﺷل ﯾﺣدث ﻫﻧﺎ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪. q ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪٢٦٧‬‬


‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﻋدد ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح ‪ X‬ﻓـﻲ ‪ n‬ﻣـن اﻟﻣﺣـﺎوﻻت ﻟﺗﺟرﺑـﺔ ذي اﻟﺣـدﯾن ﯾﺳـﻣﻲ ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ‪. binomial random variable‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ﯾﺳـﻣﻲ ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ‪binomial‬‬

‫‪ distribution‬وﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز )‪ b(x; n, p‬وذﻟك ﻷن ﻗﯾﻣـﺔ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ ﻋـدد اﻟﻣﺣـﺎوﻻت‬ ‫واﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣﻌطﺎة‪ .‬اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪ n  x n x‬‬ ‫‪p q , x  0,1,2,..., n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b(x,n,p)   x ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪e.w.‬‬ ‫‪‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x  0,0 e.w.‬‬

‫)‪B(x;n,p)   b(k, n,p‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫ﺑﻌض ﻗﯾم )‪ B (x; n, p‬ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (١‬ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪. n, p‬‬ ‫ﻗــﯾم داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﯾﻣﻛ ــن اﻟﺣﺻ ــول ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﺑﺳ ــﻬوﻟﺔ ﻣ ــن اﻟﺟــدول ﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق )‪ (١‬ﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪b (x; n, p) = B (x; n, p) – B (x –1 ; n , p ) .‬‬ ‫ﺳوف ﺗﻛﺗب )‪ X ~ BIN (n, p‬ﻟﺗوﺿﯾﺢ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن وﯾﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻲ ‪n‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻧﺟﺎح ‪. p‬‬ ‫ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[n,p‬‬

‫]‪Domain[dist‬‬ ‫]‪Range[0,n‬‬ ‫]‪PDF[dist,x‬‬ ‫‪1  pnx px Binomialn, x‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪n p‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪n (1-p) p‬‬ ‫‪٢٦٨‬‬


StandardDeviation[dist]

 n 1  p p

Skewness[dist] 1 2 p  n 1  p p

Kurtosis[dist]

3

1  6 1  p p n 1  p p

ExpectedValuex2, dist, x 

n 1  pn p 1  p  n p  1  

n p    1 p

ExpectedValuex3, dist, x n p    n 1  pn p  1   1  3 p  3 n p  2 p2  3 n p2  n2 p2 1 p 

ExpectedValuex4, dist, x

٢٦٩


2 1  p 4n  6 p   1p  n 1  p1n p      1  p2  p 4n  1p  1  p2

3 n2 p2 1 

p 4n  1p  1  p3

3 n2 p3 1 

9 n p2 1 

2 n p3 1 

p 4n  1p  1  p3

n3 p3 1 

6 n p 1 

p 3n  1p

1 p

p 4n  1p  1  p2 p 4n  1p  1  p3

6 p 1 

p 3n  1p

1 p

p 3n  1p  1  p2

3 n p2 1  

p 3n  1p   1  2 1  p 

3 n2 p2 1 

2n p     1p

n p 1 

p 2n     1p 

1 p

    

CharacteristicFunction[dist,t] n 1  p   t p

:‫ ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧﺎﻣس واﻟﻌﺷرﯾن‬،‫اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ‬ Quantile[DiscreteUniformDistribution[10],0.25] 3

.

25,50,75 ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺟدول ﺑﺎﻟﻣﺋﯾن‬

Table[Quantile[DiscreteUniformDistribution[10],0.25k],{k, 2,1,3}] {3,5,8}

(٩ -٦ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﺑﻔـرض أن اﻟﻣﺳﺗﺷــﻔﻲ‬.‫ أطﺑـﺎء ﯾﻘــررون دواء ﻣـﺎ‬40 ‫ أطﺑـﺎء ﯾوﺟـد‬100 ‫ﻓـﻲ ﺑﻠـد ﻣـﺎ وﺟــد أﻧـﻪ ﻣـن ﺑــﯾن‬

‫ اﻟﻣطﻠـوب ﺗﻣﺛﯾـل اﻟداﻟـﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ ﻣـﺎ ﻫـو اﻻﺣﺗﻣـﺎل أﻧـﻪ ﻋﻠـﻰ‬، ً‫ أطﺑـﺎء ﻋﺷـواﺋﯾﺎ‬10 ‫ﺳـوف ﺗرﺷـﺢ ﻟﻠﻌﻣـل‬ .‫اﻷﻛﺛر ﯾوﺟد اﺛﻧﯾن ﻣﻧﻬم ﯾﻘررون ﻫذا اﻟدواء‬ :‫اﻟﺣــل‬

p

4 10

, ٢٧٠

n= 10


‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو‪:‬‬ ‫)‪P(X  2)  P(X  0)  P(X  1)  P(X  2‬‬

‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[10,.4‬‬ ‫]‪CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.16729‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[10,.4‬‬ ‫]‪RandomArray[dist,10‬‬ ‫}‪{3,4,2,4,3,2,3,2,5,8‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[10,.4‬‬ ‫]‪Random[dist‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻻن ﺳوف ﻧﺷرح ﺧطوات اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﯾث ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء‬ ‫‪ Sec2.1‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KonoxProb‬ﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى‬

‫ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٢٧١‬‬


‫وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﯾ ــﺗم ذﻟ ــك ﻟﺗﺣﻣﯾ ــل ﻫ ــذا اﻟﺟ ــزء ‪ .‬وﯾﺎﺧ ــذ ﻧﺳ ــﺧﺔ ﻣﻧ ــﻪ ﻣ ــن اﻟﺟ ــزء اﻟرﻣ ــﺎدى ﺑﺎﺳ ــﺗﺧدام اﻻﻣ ــر ‪Copy‬‬ ‫وﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ ‪:‬‬

‫‪٢٧٢‬‬


‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪dist1=BinomialDistribution[10,.4‬‬ ‫;}‪statelist={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10‬‬ ‫;]}‪problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,10‬‬ ‫‪ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim‬‬ ‫;]}‪es-Roman",8‬‬ ‫‪0.25‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫وﻓﻰ اﻟﻧﻬﺎﯾﺔ ﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ وﻧﻧﻘﻠﻬﺎ اﻟﻰ ‪ Word‬ﻛﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ‪.‬‬ ‫وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Knoxprob‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪ Don'tsave‬وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.Knoxprob‬‬

‫‪٢٧٣‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٠ -٦‬‬ ‫أﺷﺎرت اﺣدي اﻟﺑﺣوث اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﻔﺣص اﻷﺑﻧﯾﺔ ﺑﺎن ‪ 6‬أﺑﻧﯾﺔ ﻣن ﻛـل ‪ 20‬ﺑﻧﺎﯾـﺔ ﺟدﯾـدة ﻓـﻲ اﻟﻣدﯾﻧـﺔ ﻻ‬

‫ﺗطــﺎﺑق ﻣواﺻــﻔﺎت اﻟﺑﻧــﺎء ﻓــﺈذا أﺧــذت ‪ 10‬اﺑﻧﯾــﻪ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﺑﻐــرض ﻓﺣﺻــﻬﺎ ﻓﻣــﺎ اﺣﺗﻣــﺎل وﺟــود ﺑﻧﺎﯾــﺔ‬ ‫واﺣ ــدة ﻏﯾ ــر ﻣطﺎﺑﻘ ــﺔ ﻟﻣواﺻ ــﻔﺎت اﻟﺑﻧ ــﺎء؟ وﻣ ــﺎ اﺣﺗﻣ ــﺎل وﺟ ــود ﻋﻠ ــﻲ اﻷﻗ ــل ﺑﻧ ــﺎﯾﺗﯾن ﻏﯾ ــر ﻣط ــﺎﺑﻘﺗﯾن‬ ‫ﻟﻠﻣواﺻﻔﺎت ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺟدول ذى اﻟﺣدﯾن ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (١‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪10 ‬‬ ‫‪P(X  1)    (0.3)1 (0.7)9‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ P(X  1)  P(X  0)  0.149  .028  .121.‬‬ ‫)‪P(X  2)  1  P(X  2‬‬ ‫])‪ 1  [P(X  0)  P(X  1‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪ 1  [  (.3) 0 (.7)10    (.3)1 (.7) 9 ] =1-.149=.851.‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1 ‬‬

‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫)‪ P(X  1‬ﯾﻣﻛن ﺣﻠﻬﺎ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺣﯾث اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[10,.3‬‬ ‫]‪PDF[dist,1‬‬ ‫‪0.121061‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺣﯾث )‪P(X  1)  P(X  1)  P(X  0‬‬ ‫]‪CDF[dist,1]-CDF[dist,0‬‬ ‫‪0.121061‬‬

‫اﻻن ‪P(X  2)  1  P(X  1) :‬‬ ‫‪٢٧٤‬‬


‫]‪1-CDF[dist,1‬‬ ‫‪0.850692‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١١ -٦‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧــت ﻧﺳــﺑﺔ اﻹﻧــﺎث ﻓــﻲ ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻣــﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟطﻔل وﻟد ﻫو ‪ . 5‬اوﺟد ‪:‬‬

‫‪ . p ‬أﺧــذت ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن ‪ 5‬أﺷــﺧﺎص و ﺗﺣــت ﻓــرض أن‬

‫أ ( ‪ 3‬أوﻻد ‪.‬‬

‫ب( ﻋدد اﻷوﻻد اﻗل ﻣن ﻋدد اﻟﺑﻧﺎت ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ( إذا ﻛﺎن‪ X‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑﻧﺎت ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺎن ‪ X‬ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪x = 0, 1, 2,3,4,5‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن ‪Y‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻷوﻻد ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﺎن ‪ Y‬ﯾﺄﺧذ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪y = 0, 1, 2,3,4,5‬‬ ‫‪n  5 , p  .5,‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪P(Y  3)    (.5)3 (.5)2 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ب( أي أن اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (١‬ﻫو ‪:‬‬ ‫)‪P(X  3)  P(X  3)  P(X  4)  P(X  5‬‬

‫‪ 1  P(X  3)  1  P(X  2)  1  .5  .5.‬‬ ‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[5,.5‬‬ ‫]‪PDF[dist,3‬‬ ‫‪0.3125‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٢ -٦‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻧﺳﺑﺔ اﻹﻧﺎث ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫)أ( ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون ﻛل أﻓراد اﻟﻌﯾﻧﺔ إﻧﺎث‬

‫‪ . p ‬أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 10‬أﺷﺧﺎص ‪:‬‬

‫)ب( ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾوﺟد ﻋﻠﻲ اﻷﻗل ‪ 8‬إﻧﺎث ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫)ج( ) ‪P ( 4  X  6‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٢٧٥‬‬


‫ﻣن اﻟﺟدول ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪: (١‬‬

‫‪10  1 1‬‬ ‫)‪P(X  10)    ( )10 ( ) 0  P(X  10)  P(X  9‬‬ ‫‪10  2 2‬‬ ‫‪ 1  .999  .001.‬‬

‫أ(‬ ‫ب(‬

‫‪10  1 1‬‬ ‫‪P(X  8)     ( )x ( )10 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 8  x  2‬‬ ‫‪ 1  P(X  7)  1  .945  .055.‬‬ ‫‪10‬‬

‫ج(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10  1 1‬‬ ‫‪P(4  X  6)    ( ) x ( )10x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 4  x  2‬‬ ‫‪P(X  6)  P(X  3)  .828  .172  .656.‬‬

‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[10,.5‬‬ ‫]‪PDF[dist,10‬‬ ‫‪0.000976563‬‬ ‫]‪CDF[dist,10]-CDF[dist,9‬‬ ‫‪0.000976563‬‬

‫]‪1-CDF[dist,7‬‬ ‫‪0.0546875‬‬

‫]‪CDF[dist,6]-CDF[dist,3‬‬ ‫‪0.65625‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٣ -٦‬‬ ‫ﻓــﻲ ﻓﺗ ـرة زﻣﻧﯾــﺔ طوﯾﻠــﺔ وﺟــد أن دواء ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﯾر ﻋﻠــﻰ ‪ 30%‬ﻣــن اﻟﺣــﺎﻻت اﻟﺗــﻲ وﺻــف ﻟﻬــﺎ ‪ ٠‬إذا‬

‫أﻋطــﻲ اﻟطﺑﯾــب ﻫــذا اﻟــدواء إﻟــﻲ ‪ 4‬ﻣرﺿــﻲ ﻣــﺎ ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل أﻧــﺔ ﺳــوف ﯾﻛــون ﻟــﻪ ﺗــﺄﺛﯾر ﻓــﻲ ﺛﻼﺛــﺔ‬ ‫ﻣرﺿﻲ ﻋﻠﻲ اﻷﻗل‪.‬‬

‫)‪P(X  3)  P(X  3)  P(X  4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪   (.3)3 (.7)1    (.3)4 (.7)0‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫)‪ 1  P(X  2‬‬

‫‪٢٧٦‬‬


‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[4,.3‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺗﯾن ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.0837‬‬

‫]‪PDF[dist,3]+PDF[dist,4‬‬ ‫‪0.0837‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٤ -٦‬‬ ‫ط ــﺎﺋرة ﺗﺷ ــﺗﻐل ﺑ ــﺎرﺑﻊ ﻣﺣرﻛ ــﺎت ﻣﺳ ــﺗﻘﻠﺔ ﻋـ ــن ﺑﻌﺿ ــﻬﺎ اﻟ ــﺑﻌض و اﺣﺗﻣ ــﺎل ﺗوﻗ ــف أي ﻣﻧﻬ ــﺎ ﯾﺳـ ــﺎوي‬ ‫‪ 0.002‬وﻟﻛﻲ ﺗواﺻل اﻟطﺎﺋرة رﺣﻠﺗﻬﺎ ﯾﺟب أن ﯾﺷـﺗﻐل ﻋﻠـﻰ اﻷﻗـل اﺛﻧـﺎن ﻣـن ﻫـذﻩ اﻟﻣﺣرﻛـﺎت ‪ ،‬ﻓـﺈذا‬ ‫ﻗﺎﻣت اﻟطﺎﺋرة ﺑرﺣﻠﺔ ﺟوﯾﺔ ﻓﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻬﺎ ﺳﺗﻛﻣل اﻟرﺣﻠﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻫــذﻩ اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﺗﺗﺿــﻣن أرﺑﻌــﺔ ﻣﺣــﺎوﻻت ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ ﻋــن ﺑﻌﺿــﻬﺎ اﻟــﺑﻌض وﻛــل ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﺗﺗﺿــﻣن أﻣــﺎ‬ ‫ﻣﺣــرك ﯾﺷــﺗﻐل ) ﻧﺟــﺎح ( أو ﻻ ﯾﺷ ــﺗﻐل ) ﻓﺷــل ( و ﻋﻠﯾــﻪ إذا ﻛ ــﺎن ‪ p‬ﯾﻣﺛــل اﺣﺗﻣــﺎل أن اﻟﻣﺣ ــرك‬ ‫ﯾﺷـﺗﻐل ﻓـﺈن ‪ p = 1-0.002=0.998‬وﻫـو ﻣﺗﺳـﺎوي ﻟﻛـل ﻣﺣـرك وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ‬

‫ﯾﻣﺛـل ﻋـدد اﻟﻣﺣرﻛـﺎت اﻟﺗـﻲ ﺗﺷـﺗﻐل وﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن ‪n = 4‬‬

‫‪p = 0.998 ,‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪p(X  2)     (0.998) x )0.002)4 x‬‬ ‫‪x 2  x ‬‬ ‫‪= 1-P(X < 2)= 1-  P(X = 0) + P(X = 1).‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[4,.998‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,1‬‬ ‫‪1.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٥ -٦‬‬ ‫اﺣﺗﻣ ــﺎل أن ﯾﺷ ــﻔﻰ ﻣـ ـرﯾض ﻣ ــن ﻣ ــرض ﻧ ــﺎدر ﻓ ــﻲ اﻟ ــدم ﻫ ــو ‪ ، 0.2‬ﻓ ــﺈذا ﻛ ــﺎن ﻣﻌ ــروف أن ‪15‬‬ ‫ﺷﺧص ﻋﻧدﻫم ﻫذا اﻟﻣرض أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ‪:‬‬ ‫‪٢٧٧‬‬


‫)أ( ﯾﺷﻔﻰ ‪ 9‬ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ‪.‬‬

‫)ب( ﯾﺷﻔﻰ ﻣن ‪ 4‬إﻟﻰ ‪ 8‬ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ‪.‬‬

‫)ج( ﯾﺷﻔﻰ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر أﺛﻧﯾن ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﺑﻔرض أن ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣرﺿﻰ اﻟذﯾن ﺳوف ﯾﺷﻔوا ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪P(X  9)  1  P(X  9)  1  P(X  8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 1   b(x;15,0.2)  1  0.999  0.001.‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺷﻔﻰ ﻣن ‪ 4‬إﻟﻰ ‪ 8‬ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪P(4  X  8)   b(x;15,0.2)   b(x;15,0.2‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪ 0.999  0.648  0.351.‬‬ ‫)ﺟـ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﺷﻔﻰ ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر أﺛﻧﯾن ﻣن ﻫذا اﻟﻣرض ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P(X  2)   b(x;15,0.2)  0.3980.‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[15,.2‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,8‬‬ ‫‪0.000784985‬‬ ‫]‪CDF[dist,8]-CDF[dist,3‬‬ ‫‪0.351053‬‬ ‫]‪CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.398023‬‬

‫ﻧظرﯾﮫ ‪:‬‬

‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن )‪ b(x ; n , p‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪ 2  npq.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪  np‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٦ -٦‬‬ ‫ﻳﻮﻟﺪ ‪ 30%‬ﻣن ﻣواﻟﯾد ﺳﻼﻟﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻷرﻧب ﺑﺷﻌر طوﯾل أوﺟد ‪:‬‬ ‫)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺣﯾواﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﺗوﻟد ﺑﺷﻌر طوﯾل ﻓﻲ ﺑطن ﻣن أرﺑﻌﺔ أراﻧب ‪.‬‬ ‫)ب( أوﺟد )‪P(X = 1‬‬

‫)ج( أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪. X‬‬ ‫‪٢٧٨‬‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺣﯾواﻧﺎت اﻟﺗﻲ ﺗوﻟد ﺑﺷﻌر طوﯾل ﻓﻲ ﺑطن ﻣن أرﺑﻌﺔ أراﻧب ﻫو‪:‬‬ ‫‪p  0.3 , n = 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪b(x;4,0.3)     0.3   0.7  , x  0,1, 2,3,4.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)ب( )‪ P(X=1‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b(1;4,0.3)     0.3   0.7  .‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫)ج( اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪E(X) = n p = (4) (0.3) = 1.2‬‬

‫‪   2  npq  0.916.‬‬ ‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[4,.3‬‬ ‫]‪PDF[dist,1‬‬ ‫‪0.4116‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫]‪StandardDeviation[dist‬‬ ‫‪0.916515‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٧ -٦‬‬ ‫أﻋطﯾت ﺳﺗﺔ ﻓﺋران ﺟرﻋﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣـن ﺳـم وﻟـوﺣظ ﻋـدد اﻟﻔﺋـران اﻟﺗـﻲ ﺗﻣـوت ﺧـﻼل ‪ 72‬ﺳـﺎﻋﺔ ‪ .‬ﻓـﺈذا‬ ‫ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل ﻣــوت ﻛــل ﻓــﺄر ﻫــو ‪ . 0.2‬أوﺟــد اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻟﻌــدد اﻟﻔﺋـران اﻟﺗــﻲ ﺗﻣــوت ﺧــﻼل‬ ‫‪ 72‬ﺳﺎﻋﺔ وأوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪. X‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬

‫‪n=6‬‬

‫‪,‬‬

‫‪p  0.2‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻔﺋران اﻟﺗﻲ ﺗﻣوت ﺧﻼل ‪ 72‬ﺳﺎﻋﺔ ﻫو ‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪b(x;6,0.2)     0.2   0.8  , x  0,1, 2,3,4,5,6.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوي ‪:‬‬ ‫‪  np  (6)(0.2)  1.2‬‬

‫‪2  npq  (6)(0.2)(0.8)  0.96.‬‬

‫‪٢٧٩‬‬


‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[6,.2‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪0.96‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٨ -٦‬‬ ‫دُرِب ﺣﯾـ ـوان ﻋﻠ ــﻰ ﻟﻣ ــس واﺣ ــدة ﻣ ــن راﻓﻌﺗ ــﯾن إذا أﻣ ــر ﺑ ــذﻟك ‪ .‬ﺑﻔ ــرض أن اﺣﺗﻣ ــﺎل ﻟﻣ ــس اﻟراﻓﻌ ــﺔ‬ ‫اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ إذا أﻣر ﺑذﻟك ﻫو ‪ . 0.8‬أوﺟـد اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻲ ﻟﻌـدد ﻣـرات ﻟﻣـس اﻟراﻓﻌـﺔ اﻟﺻـﺣﯾﺣﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻻت ﻋددﻫﺎ ‪ 10‬وأوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟذي ﺣﺻﻠت ﻋﻠﯾﻪ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬

‫‪p = 0.8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n = 10‬‬

‫ﻓﺈن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد ﻣرات ﻟﻣس اﻟراﻓﻌﺔ اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪b(x;10,0.8)    (0.8) x (0.2)10x , x  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫واﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوي ‪:‬‬ ‫‪  np  (10)(0.8)  8,‬‬

‫‪2  npq  (10)(0.8)(0.2)  1.6 .‬‬ ‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[10,.8‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪8.‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪1.6‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٩ -٦‬‬ ‫ﻓـﻲ ﺗﺟرﺑـﺔ زراﻋﯾــﺔ ﻛﺎﻧـت ﻧﺳــﺑﺔ اﻹﺻـﺎﺑﺔ ﺑﻔطــر ﻣـﺎ ‪ 0.2‬ﻓـﻲ ﻧﻬﺎﯾــﺔ اﻟﺗﺟرﺑـﺔ ‪ .‬ﻓــﺈذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﻧﺑﺎﺗﺎت اﻟﻣﺻﺎﺑﺔ ﺑﺎﻟﻔطر ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 10‬ﻧﺑﺎﺗﺎت ‪ ،‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻧﺑﺎﺗﺎت اﻟﻣﺻﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫ج‪-‬‬

‫ب‪ -‬أوﺟد )‪. P(X = 0‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٢٨٠‬‬

‫‪. 2 , ‬‬


‫)أ(‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻧﺑﺎﺗﺎت اﻟﻣﺻﺎﺑﺔ ‪.‬‬

‫)ب(‬

‫‪ 10 ‬‬ ‫‪b(x;10,0.2)    (0.2) x (0.8)10x , x  0,1,2,...,10.‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫)‪ P (X=0‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪b(0;10,0.2)    (0.2)0 (0.8)10 .‬‬ ‫‪0 ‬‬

‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٠-٦‬‬ ‫اﺣﺗﻣ ــﺎل أن ﺗﺻ ــﯾب أي ط ــﺎﺋرة أﺣ ــد أﻫ ــداف اﻟﻌ ــدو ﻫ ــو ‪ ، 0.9‬ﻓ ــﺈذا أﻏ ــﺎرت ﺧﻣ ــس ط ــﺎﺋرات ﻋﻠ ــﻰ‬

‫اﻟﻬدف ‪ ،‬أوﺟد ‪:‬‬

‫)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟطﺎﺋرات اﻟﺗﻲ ﺗﺻﯾب اﻟﻬدف ‪.‬‬ ‫)ب( ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ وﻛذﻟك اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟطﺎﺋرات ‪ n = 5 :‬اﺣﺗﻣﺎل إﺻﺎﺑﺔ اﻟطﺎﺋرة ﻟﻠﻬدف ‪ p = 0.9 :‬اﺣﺗﻣـﺎل ﻋـدم إﺻـﺎﺑﺔ اﻟطـﺎﺋرة‬ ‫ﻟﻠﻬدف ‪ q = 0.1 :‬وﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻲ ‪x = 0,1,2,3,4,5 :‬‬ ‫)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟطﺎﺋرات اﻟﺗﻰ ﺗﺻﯾب اﻟﻬدف ﻫو ‪:‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪b(x;5,0.9)    (0.9) x (0.1)5 x .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)ب( ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫو ‪:‬‬

‫‪  np  (5)(0.9)  4.5.‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻫو ‪:‬‬

‫‪   2  npq  (5)(0.9)(0.1)  0.6708.‬‬ ‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪The Characteristic Function‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪X (t)  [p eit +q]n .‬‬

‫‪٢٨١‬‬


‫اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪Skeweness and Kurtosis‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﺣﺳب ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3  332 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو ‪:‬‬

‫‪3 npq(1  2p) 1  2p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪32 2‬‬ ‫‪(npq)3 2‬‬ ‫‪npq‬‬

‫‪3 ‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n  ‬ﻓﺎن ‪  4‬ﯾؤول إﻟﻲ اﻟﺻﻔر ‪٠‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1  6pq‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪npq‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n  ‬ﻓﺎن‬

‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪4 ‬‬

‫ﯾؤول إﻟﻲ‪٠ 3‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢١ -٦‬‬ ‫إذا ﻋﻠﻣــت أن ‪ 10%‬ﻣــن اﻟﻣﺻــﺎﺑﯾن ﺑﻣــرض ﻣﻌــﯾن ﯾــﺗم ﺷــﻔﺎؤﻫم ‪ ،‬ﻓــﺈذا ﺗــم اﺧﺗﯾــﺎر ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ‬

‫ﺗﺗﻛـ ــون ﻣـ ــن ‪ 6‬أﺷـ ــﺧﺎص ﯾﻌـ ــﺎﻧون ﻣـ ــن ﻫـ ــذا اﻟﻣـ ــرض وﻛـ ــﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾـ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﺛـ ــل ﻋـ ــدد‬ ‫اﻻﺷـﺧﺎص اﻟـذﯾن ﺳـﯾﺗم ﺷـﻔﺎؤﻫم ﻣـن ﻫـذا اﻟﻣـرض ﻓـﺈن )‪ X  BIN(6,.1‬اﻟﻣطﻠـوب‬ ‫اﯾﺟﺎد ‪:‬‬ ‫)‪M X (t‬‬

‫وﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء وﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪it n‬‬

‫‪it 6‬‬

‫‪X (t)  (q  pe )  (0.9  0.1e ) .‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو ‪:‬‬

‫‪3 npq(1  2p) 1  2p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪32 2‬‬ ‫‪(npq)3 2‬‬ ‫‪npq‬‬

‫‪3 ‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻫو ‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1  6pq‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪npq‬‬

‫‪4 ‬‬

‫ﺳوف ﻧوﺟد اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫‪٢٨٢‬‬


dist=BinomialDistribution[6,.1]; CharacteristicFunction[dist,t] 6

0.9  0.1  t Skewness[dist] 1.08866 Kurtosis[dist] 3.85185

Bernoulli Distribution ‫ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ‬ 1 ‫ ﯾﺄﺧـذ اﻟﻘـﯾم‬Y ‫ ﺣﯾـث‬Y ‫ﻓﻲ ﻛل ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣن ﺗﺟرﺑﺔ ذي اﻟﺣدﯾن ﯾﻣﻛن ﺗﻌرﯾف اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ‬ : ‫ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل‬0 ‫أو‬

1  f (y,p)    p y q1-y y=0,1  y = 0 , e.w. .n=1 ‫وﻋﻣوﻣﺎ ﻫو ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ : ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BernoulliDistribution[p]; Domain[dist] {0,1} BDF[dist,x] BDF[BernoulliDistribution[p],x] CDF[dist,x] 1-p Mean[dist] p Variance[dist] (1-p) p StandardDeviation[dist]

 1  p p Skewness[dist] 1 2 p  1  p p Kurtosis[dist] ٢٨٣


‫‪1  6 1  p p‬‬ ‫‪1  p p‬‬

‫‪3‬‬

‫]‪CharacteristicFunction[dist,t‬‬ ‫‪1  p   t p‬‬

‫)‪ (٣-٦‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ‪Hypergometric Distribution‬‬ ‫ﺑﻔـرض أن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﯾﺗﻛـون ﻣــن ﻋـدد ﻣﺣــدود ﻣـن اﻟوﺣــدات‪ ،‬وﻟـﯾﻛن ‪ ، N‬وأن ﻫﻧــﺎك ‪ ، k‬ﻣــن‬ ‫اﻟوﺣــدات ﻣــن اﻟﻧــوع ‪) A‬ﻧﺟــﺎح( واﻟوﺣــدات اﻟﺑﺎﻗﯾــﺔ ﻣــن ﻧــوع ‪) B‬ﻓﺷــل( ‪ ،‬وﺑﻔــرض أن ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺳﺣﺑت ﻣن ﻫـذا اﻟﻣﺟﺗﻣـﻊ وﺑـدون إرﺟـﺎع‪.‬ﺑﻔـرض أن ‪ x‬ﺗﻣﺛـل ﻋـدد اﻟوﺣـدات ﻣـن اﻟﻧـوع‬

‫‪ A‬اﻟﺗﻲ ﺗظﻬر ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ .‬اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓﻲ إﯾﺟﺎد)‪. P(X=x‬‬

‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ ﺗﺳـﻣﻰ ﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي ‪. Hypergometric experiment‬ﺗﺣﻘـق ﺗﺟرﺑـﺔ‬ ‫اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي اﻟﺷروط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﺗﺧﺗﺎر ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ‪ N‬ﻣن اﻟوﺣدات‬

‫ب ‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذي ﺣﺟﻣﻪ ‪ N‬ﻓﺈن ‪ k‬ﻣن اﻟوﺣدات ﺗﺻف ﻧﺟﺎح و ‪ N-k‬ﺗﺻف ﻓﺷل‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾــــف‪ :‬ﻋـ ــدد ﺣ ــﺎﻻت اﻟﻧﺟـ ــﺎح ﻓـ ــﻲ ﺗﺟرﺑ ــﺔ اﻟﻬﻧدﺳـ ــﻲ اﻟ ازﺋـ ــدي ﯾﺳ ــﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾـ ــر ﻋﺷ ـ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑـ ــﻊ‬ ‫اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ‪.‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي ﯾﺳـﻣﻰ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي‬

‫وﯾﻣﺛـل ﺑـﺎﻟرﻣز )‪ h(x;N,n,k‬وذﻟـك ﻻن ﻋـدد ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح ‪ x‬ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ‪ k‬اﻟﻣوﺟـودة ﻓـﻲ‬ ‫اﻟﻔﺋﺔ ‪ ، N‬ﺣﯾث ﯾﺧﺗﺎر ﻣن ‪ N‬وﺣدات ﻋددﻫﺎ ‪ . n‬وﻟﻼﺧﺗﺻﺎر ﺗﻛﺗب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ k  N  k ‬‬ ‫‪ x  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x) ‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪, x = 0,1,2,3,4,n.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٢ -٦‬‬

‫‪٢٨٤‬‬


‫ﯾوﺟـد ﻣﻛﺗﺑــﺔ ‪ 20‬ﻧﺳـﺧﺔ ﻣــن ﻛﺗــﺎب ﻓـﻰ ﻣﻘدﻣــﺔ اﻻﺣﺻـﺎء ‪ ،‬ﻣــﻧﻬم ‪ 12‬طﺑﻌــﺔ أوﻟـﻰ و‪ 8‬طﺑﻌــﺔ ﺛﺎﻧﯾــﺔ ‪،‬‬ ‫ﻓــﺈذا أﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ٕ n=5‬واذا ﻛﺎﻧــت ‪ X‬ﺗﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﻛﺗــب اﻟﻣﺧﺗــﺎرة ﻣــن طﺑﻌــﺔ‬

‫ﺛﺎﻧﯾﺔ أوﺟد )‪ P(X=2‬؟ ﻣﻼﺣظﺔ اﻟﺳﺣب ﺑدون إرﺟﺎع ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪k=8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪n=5‬‬

‫‪, x = 0,1,2,3,4,5‬‬

‫‪N = 20 ,‬‬ ‫‪ 8 12 ‬‬ ‫‪ x  5  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   ‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ 8 12 ‬‬ ‫‪ 2  3 ‬‬ ‫‪28(220) 6160‬‬ ‫= ‪P(X = 2) =   ‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.397.‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪15504 15504‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻓﯿﻤﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺤﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[8,5,20‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬

‫‪385‬‬ ‫‪969‬‬ ‫]‪N[%‬‬ ‫‪0.397317‬‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻼﻣر ]‪ HypergeometricDistribution[8,5,20‬ھﻮ ‪:‬‬ ‫]‪HypergeometricDistribution[k,n,N‬‬

‫وﻣﻣﺎ ﯾﺟدر اﻻﺷﺎرة اﻟﯾﻪ ان ﻫﻧﺎك ﺟداول ﻟﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت وﻟﻛن اﻛﺗﻔﯾﻧﺎ ﻫﻧﺎ ﺑﺎﻟﺑراﻣﺞ اﻟﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﺑﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ‪.‬‬ ‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬ ‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫;]‪dist1=HypergeometricDistribution[8,5,20‬‬ ‫;}‪statelist={0,1,2,3,4,5‬‬ ‫;]}‪problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,5‬‬ ‫‪٢٨٥‬‬


‫‪ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim‬‬ ‫;]}‪es-Roman",8‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٣ -٦‬‬ ‫ﺻ ــﻧدوق ﯾﺣﺗ ــوي ﻋﻠ ــﻰ رﻗ ــﺎﺋق ﺑﺎﻟﻐ ــﺔ اﻟﺻ ــﻐر ﻣﻧﻬ ــﺎ ‪ 10‬ﺟﯾ ــدة و ‪ 3‬ﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ﻓ ــﺈذا ﺗﻘ ــرر اﺧﺗﯾ ــﺎر ﻋﯾﻧ ــﺔ‬ ‫ﻋﺷـ ـواﺋﯾ ﺔ ﻣ ــن ﺛﻼﺛ ــﺔ رﻗ ــﺎﺋق ٕواذا ﻛﺎﻧ ــت ‪ X‬ﺗﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻟوﺣ ــدات اﻟﺗﺎﻟﻔ ــﺔ ﻓ ــﻰ اﻟﻌﯾﻧ ــﺔ اﻟﻣﺧﺗ ــﺎرة أوﺟ ــد‬

‫)‪ P(X3‬؟ ﻣﻼﺣظﺔ اﻟﺳﺣب ﺑدون ارﺟﺎع ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪n=3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪k=3‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪:‬‬

‫‪٢٨٦‬‬

‫‪,‬‬

‫‪N =13‬‬


‫‪ 3 10 ‬‬ ‫‪ x  3  x ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪P(X  3)  ‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪ 3 10   3 10   3 10   3 10 ‬‬ ‫‪ 0  3  1  2   2 1   3  0 ‬‬ ‫‪=                .‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪13 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[3,3,13‬‬ ‫]‪f[x_]:=PDF[dist,x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x0 fx‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٤ -٦‬‬ ‫ﯾـ ـراد اﺧﺗﯾ ــﺎر ﻟﺟﻧ ــﺔ ﻣ ــن ﺛﻼﺛ ــﺔ أﺷ ــﺧﺎص ﻣ ــن ﺑ ــﯾن ‪ 4‬ﺳ ــﯾدات و‪ 5‬رﺟ ــﺎل واﻟﻣطﻠ ــوب إﯾﺟ ــﺎد اﻟﺗوزﯾ ــﻊ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﺳﯾدات ﻓﻲ اﻟﻠﺟﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺳـﯾدات ﻓـﻲ اﻟﻠﺟﻧـﺔ اﻟﻣﺧﺗـﺎرة‪ .‬اﻟﺷـروط ﻟﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ‬ ‫اﻟزاﺋدي ﻣﺗوﻓرة وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫)‪P(X  0)  h(0;9,3,4‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪ 0  3 ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪P(X  1)  h(1;9,3,4‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪1  2 ‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪٢٨٧‬‬


‫)‪P(X  2)  h(2;9,3, 4‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪ 2 1 ‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪P(X  3)  h(3;9,3,4‬‬ ‫‪ 4  5 ‬‬ ‫‪ 3  0 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪     .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺑﺎﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪P(X=x‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗم اﻋدادﻩ ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت‬ ‫اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ وﺣﺳﺎب ﻗﯾم داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ اﻟزاﺋدى ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[4,3,9‬‬ ‫]}‪Table[PDF[dist,x],{x,0,3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪42 21 14 21‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٥ -٦‬‬ ‫اﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ n = 3‬ﻣــن ﺻــﻧدوق ﯾﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ‪ 5‬ﻛـرات ﺣﻣـراء و‪ 4‬ﻛ ـرات‬ ‫ﺳوداء ‪ .‬ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل ظﻬور ﺛﻼث ﻛرات ﺣﻣراء ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺣﯾث ‪ x = 3, k = 5, n = 3, N = 9‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ 5  4‬‬ ‫‪ 3  0‬‬ ‫‪P(X  3)     ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪٢٨٨‬‬


‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪Binomial5, 3  Binomial4, 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪Binomial9, 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪42‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٦ -٦‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ اﻟ ازﺋـدي ﺣﯾـث ‪ k =5, n =4 , N=25‬أوﺟـد‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫ب‪P(X 2) -‬‬

‫أ‪P(X=2) -‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)ا(‬

‫‪ 5   20 ‬‬ ‫‪2  2 ‬‬ ‫‪P(X  2)     ‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ب(‬

‫)‪P(X  2)  P(X  0 or X=1 or X=2‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[5,4,25‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬

‫‪38‬‬ ‫‪253‬‬

‫)ب( ﺳوف ﺗﺣل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ‪:‬‬ ‫]‪f[x_]:=PDF[dist,x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ fx‬‬ ‫‪x0‬‬

‫‪2489‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫]‪CDF[dist,2‬‬ ‫‪٢٨٩‬‬


‫‪2489‬‬ ‫‪2530‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺣﯾث ‪k =5, n =4 ,‬‬ ‫‪ N=25‬ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[5,4,25‬‬ ‫]‪RandomArray[dist,10‬‬ ‫}‪{6,3,5,5,4,1,4,2,4,3‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[5,4,25‬‬ ‫]‪Random[dist‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٧ -٦‬‬ ‫ﻟــدى ﻣرﻛــز ﻟﺑﯾــﻊ اﺟﻬـزة اﻟرادﯾــو ‪ N=200‬ﻣــﻧﻬم ﺛﻼﺛــﺔ ﻏﯾــر ﺻــﺎﻟﺣﺔ ‪ .‬ﻓــﺈذا أﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ‬ ‫ﺣﺟﻣﻬﺎ ‪ n = 3‬ﺑدون إرﺟﺎع وﺗم إرﺳﺎﻟﻬﺎ اﻟـﻰ ﻋﻣﯾـل‪ .‬أوﺟـد اﺣﺗﻣـﺎل أن ﻋـدد اﻷﺟﻬـزة اﻟﻐﯾـر ﺻـﺎﻟﺣﺔ‬

‫ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺗﺳﺎوي ‪. 2‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ 3  197 ‬‬ ‫‪ 2  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(X  2)    ‬‬ ‫‪ 200 ‬‬ ‫‪ 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫]‪Clear[f‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[3,3,200‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬

‫‪197‬‬ ‫‪437800‬‬ ‫‪٢٩٠‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٨ -٦‬‬ ‫ﻗﺎم ﺑﺎﺣث ﻓﻲ ﻋﻠم اﻟﺟﯾوﻟوﺟﯾﺎ ﺑﺗﺟﻣﯾﻊ ‪ 10‬وﺣدات ﻣن ﺻـﺧور اﻟﺑﺎزﻟـت و‪ 10‬وﺣـدات ﻣـن اﻟﺟراﻧﯾـت‬

‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻟﻠﺑﺎﺣث ﻣﻌﻣل وطﻠب ﻣن ﻣﺳﺎﻋدﻩ ان ﯾﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﻪ ﻣن ‪ 5‬وﺣدة ﻟﻠﺗﺣﻠﯾل أوﺟد ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد وﺣدات اﻟﺑﺎزﻟت ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣﺧﺗﺎرة‪.‬‬

‫)ب( إﺣﺗﻣﺎل أن اﻟوﺣدات اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻣن اﻟﺟراﻧﯾت ﺗﺳﺎوى ﺛﻼﺛﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪n=5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪k = 10‬‬

‫‪, x = 0,1,2,3,4,5.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪N = 20‬‬

‫‪10 10 ‬‬ ‫‪ x  5  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   ‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺣل )ا( ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺣﯾث ‪ fx‬اﻟﻣﺳﻣﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻌدد وﺣدات اﻟﺑﺎزﻟت ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ و‪aa4‬‬ ‫ﺗﺛﺑت ان ﻣﺟﻣوع اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﺗﺳﺎوى واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ‪.‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[10,5,20‬‬ ‫]}‪aa1=Table[x,{x,0,5‬‬ ‫}‪{0,1,2,3,4,5‬‬ ‫]}‪aa2=Table[PDF[dist,x],{x,0,5‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪225 225‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1292 1292 646 646 1292 1292‬‬

‫‪‬‬

‫]‪aa4=Apply[Plus,aa2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]}‪fx=Transpose[{aa1,aa2‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪, 1,‬‬ ‫‪, 2,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1292‬‬ ‫‪1292‬‬ ‫‪646‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪, 4,‬‬ ‫‪, 5,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪646‬‬ ‫‪1292‬‬ ‫‪1292‬‬

‫‪0,‬‬

‫)ب( إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟوﺣدات ﻣـن ﺻـﺧور اﻟﺑﺎزﻟـت ﻓـﺈن ‪ x‬ﯾﺎﺧـذ اﻟﻘـﯾم ‪0,1,2,3,4,5‬‬ ‫ٕواذا ﻛـ ـ ــﺎن ‪ Y‬ﯾﻣﺛـ ـ ــل ﻋـ ـ ــدد اﻟوﺣـ ـ ــدات ﻣـ ـ ــن ﺻـ ـ ــﺧور اﻟﺟراﻧﯾـ ـ ــت ﻓـ ـ ــﺎن ‪ Y‬ﯾﺄﺧـ ـ ــذ اﻟﻘـ ـ ــﯾم‬ ‫‪ 5,4,3,2,1,0‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪x  0,1, 2,3,4,5‬‬ ‫‪y  5,4,3,2,1,0‬‬ ‫‪٢٩١‬‬


‫أي أن ‪:‬‬

‫‪10  10 ‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪P(Y  3)  P(X  2)     ‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫]‪Clear[f‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[10,5,20‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬

‫‪197‬‬ ‫‪437800‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٩ -٦‬‬ ‫أوﺟـ ــد اﺣﺗﻣـ ــﺎل أن ﺗﺣﺗـ ــوي ﻣﺟﻣوﻋـ ــﺔ ورق اﻟﻠﻌـ ــب ﻋﻠـ ــﻰ ﻋـ ــدد ‪ 2‬ﻣـ ــن ﻧـ ــوع ‪ aces‬إذا ﺳـ ــﺣﺑﻧﺎ ﻋﯾﻧـ ــﺔ‬ ‫ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ارﺑﻌــﺔ ورﻗــﺎت ‪ ،‬وﻓرﺿــﻧﺎ أن ﻋــدد اﻟــورق ﻣــن اﻟﻧــوع ‪ aces‬ﯾﻣﺛــل ﻋــدد ﺣــﺎﻻت‬ ‫اﻟﻧﺟﺎح ‪ k = 4‬واﻟﺣﺎﻻت اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ ‪ N-k=52-4=48‬ﺗﻣﺛل ﺣﺎﻻت )ﻓﺷل ورﻗﺎت(ﻏﯾر ‪. aces‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ 4   48 ‬‬ ‫‪ 2  2 ‬‬ ‫‪P(X  2)     ‬‬ ‫‪ 52 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢٩٢‬‬


‫]‪Clear[f‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[4,4,52‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬

‫‪6768‬‬ ‫‪270725‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٠ -٦‬‬ ‫وﻋــﺎء ﯾﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ‪ 100‬وﺣ ــدات ﻣﻧﻬــﺎ ‪ 80‬ﺟﯾــدة و‪ 20‬ﺗﺎﻟﻔــﺔ‪ .‬أﺧﺗﯾ ــرت ‪ 10‬وﺣــدات ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن‬ ‫اﻟوﻋﺎء ﺑدون إرﺟﺎع أوﺟد )‪ P(X  3‬ﺣﯾث ‪X‬ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدى ﺣﯾث ‪ k = 20 , N = 100 , n =10‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪ 20  80‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x 10  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(X  3)  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﻫﻣﺎ‪:‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪Nn k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, 2 ‬‬ ‫‪.n. (1  ).‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N 1 N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧــت ‪ n‬ﺻــﻐﯾرة ﺑﺎﻟﻧﺳــﺑﺔ اﻟــﻰ‪ N‬ﻓﺈﻧــﻪ ﯾﻣﻛــن إﺳــﺗﺧدام ﺗوزﯾــﻊ ذي اﻟﺣــدﯾن ﻛﺗﻘرﯾــب ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ . p ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن ﺗﻘرﯾب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻲ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬ ‫اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﺣﯾث‬ ‫‪N‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪  np ‬‬ ‫‪,  2  npq  n. (1  ).‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣١-٦‬‬ ‫ﻓ ــﻲ ﺳ ــﻧﺗرال وﺟ ــد أﻧ ــﻪ ﻣ ــن ﺑ ــﯾن ‪ 4000‬ﺗﻠﯾﻔ ــون ﺗ ــم ﺗ ــرﻛﯾﺑﻬم ﻓ ــﻲ ﻣﻧطﻘ ــﺔ ﺣدﯾﺛ ــﺔ ﯾوﺟ ــد ‪ 3000‬ﻣ ــﻧﻬم‬

‫ﯾﺧﺗﻠف ﻟـوﻧﻬم ﻋـن اﻟﻠـون اﻷﺳـود‪ .‬ﺗﺣـدث ‪ 5‬أﺷـﺧﺎص ﻋﺷـواﺋﯾﺎ‪ ،‬اوﺟـد اﻟﻣﺗوﺳـط واﻟﺗﺑـﺎﯾن ﻟﻌـدد اﻟـذﯾن‬ ‫ﯾﺗﻛﻠﻣون ﻣن ﺗﻠﯾﻔون ﻟوﻧﻪ اﺳود ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪٢٩٣‬‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[3000,5,4000‬‬ ‫‪Mean[dist]//N‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪Variance[dist]//N‬‬ ‫‪0.936562‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٢ -٦‬‬ ‫ﻟﻧﻔ ــرض أن ﻟ ــدﯾﻧﺎ ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺗﺿ ــم ‪ 1000‬ﺷ ــﺧص ‪ 950 ،‬ﻣ ــﻧﻬم ﺑ ــﺎﻟﻐﯾن و ‪ 50‬أطﻔ ــﺎل وﺗ ــم ﺳ ــﺣب ‪5‬‬ ‫اﺷﺧﺎص ﺑﺻورة ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺑدون ارﺟﺎع ﻓﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻛون اﻟﺧﻣس اﺷﺧﺎص ﻣن اﻟﺑﺎﻟﻐﯾن؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪ 950  50 ‬‬ ‫‪ 5  0 ‬‬ ‫‪   0.7734‬‬ ‫‪P(X  5)  ‬‬ ‫‪1000 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن ﻛﺗﻘرﯾب ﻟﻠﻬﻧدﺳﻲ اﻟزاﺋدي ﻓﺈن‬ ‫‪k 950‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪ 0.95 , n  5,‬‬ ‫‪N 1000‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P(X  5)    .95  .05 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪= .95   0.7738.‬‬ ‫ﻧﻼﺣظ أن اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻣﺗﻘﺎرﺑﺔ ﻣﻊ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺗﻲ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻋﻧد ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺿﺑوط ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد‬ ‫ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=HypergeometricDistribution[950,5,1000‬‬ ‫‪٢٩٤‬‬


‫]]‪N[PDF[dist,5‬‬ ‫‪0.773373‬‬ ‫;]‪dist=BinomialDistribution[5,.95‬‬ ‫]‪PDF[dist,5‬‬ ‫‪0.773781‬‬

‫)‪ ( ٤ – ٦‬ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ‪Poisson Distribution‬‬ ‫إن اﻟﺗﺟ ــﺎرب اﻟﺗ ــﻲ ﺗﻌطﯾﻧ ــﺎ ﻋ ــدد ﺣ ــﺎﻻت اﻟﻧﺟ ــﺎح واﻟﺗ ــﻲ ﺗﺣ ــدث ﻓ ــﻲ ﻓﺗـ ـرة زﻣﻧﯾ ــﺔ ﻣﻌﯾﻧ ــﺔ أو ﻓ ــﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘـﺔ ﻣﺣـددة ﺗﺳــﻣﻲ ﺗﺟـﺎرب ﺑواﺳـون ‪ ٠ Poisson experiment‬اﻟﻔﺗـرة اﻟزﻣﻧﯾـﺔ ﻗــد ﺗﻛـون دﻗﯾﻘــﺔ‪،‬‬

‫ﯾوم ‪ ،‬أﺳﺑوع ‪ ،‬ﺷﻬر أو ﺣﺗﻰ ﺳﻧﺔ ‪ ٠‬وﻋﻠﻲ ذﻟك ﺗﺟرﺑﺔ ﺑواﺳون ﻗـد ﺗﻧـﺗﺞ ﻣﺷـﺎﻫدات ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ‬ ‫‪ X‬ﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾــﺔ ﻓــﻲ اﻟﺳــﺎﻋﺔ واﻟﻣﺳــﺗﻘﺑﻠﺔ ﻣــن ﻣﻛﺗــب ‪ ،‬أو ﻋــدد اﻷﯾــﺎم ﻓــﻲ اﻟﺳــﻧﺔ‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻐﻠق ﻓﯾﻬﺎ ﺑﻌض اﻟﻣدارس ﺑﺳﺑب اﻟﺻﻘﯾﻊ ﻓﻲ ﺑﻠد ﻣـﺎ ‪ ،‬اﻟﻣﻧطﻘـﺔ اﻟﻣﺣـددة ﯾﻣﻛـن أن ﺗﻛـون ﺧـط‬ ‫اﻷﻋداد اﻟطﺑﯾﻌﯾﺔ ‪ ،‬ﻣﺳﺎﺣﺔ ‪،‬ﺣﺟم أو رﺑﻣـﺎ ﻗطﻌـﺔ ﻣـن اﻟﻣﻌـدن ‪ ٠‬ﻓـﻲ ﻫـذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ ‪ X‬ﯾﻣﻛـن أن ﺗﻣﺛـل‬ ‫ﻋدد اﻟﻔﺋران ﻓﻲ ﻓدان ﻣن اﻟﻘﻣﺢ ‪ ،‬ﻋدد اﻟﺑﻛﺗﯾرﯾﺎ ﻓﻲ ﻟﺗر ﻣن اﻟﻣﺎء اﻟﻧﻘﻲ‪ ،‬ﻋدد اﻷﺧطـﺎء ﻓـﻲ ﺻـﻔﺣﺔ‬

‫ﻣن ﻗﺎﻣوس ‪ .‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺑواﺳون ﻫو ‪:‬‬

‫‪e  x‬‬ ‫‪f (x; ) ‬‬ ‫‪, x = 0,1,2,...‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫ﺣﯾ ــث ‪ ‬ﻣﺗوﺳ ــط ﺣـ ــﺎﻻت اﻟﻧﺟ ــﺎح اﻟﺗـ ــﻲ ﺗﺣ ــدث ﻓ ــﻲ اﻟﻔﺗ ـ ـرة اﻟﻣﻌط ــﺎة أو اﻟﻣﻧطﻘـ ــﺔ اﻟﺧﺎﺻ ــﺔ‬

‫و‬

‫‪ . e  2.71828‬ﺳــوف ﻧﻛﺗــب )‪ X  POI(‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠــﻲ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـ ار ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ‬

‫ﺑواﺳون ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪٠ ‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺣﯾث )‪ X  POI(‬ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫]‪[ x‬‬

‫‪F(x; )   f (k; ), x  0, 0 e.w.‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫اﻟداﻟ ــﺔ )‪ F(x; ‬ﻻ ﯾﻣﻛ ــن وﺿ ــﻌﻬﺎ ﻓ ــﻲ ﺻ ــﯾﻐﺔ ﺑﺳ ــﯾطﺔ وﻫﻧ ــﺎك ﺟ ــداول ﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق )‪ (٢‬ﻟﺣﺳ ــﺎب‬ ‫)‪ f (x; ‬وذﻟك ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪ ‬و ‪. x‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻫﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪ 2  .‬‬

‫‪E(X)  ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٣ -٦‬‬

‫‪٢٩٥‬‬


‫إذا ﻋﻠﻣــت أن ﻣﺗوﺳــط ﻋــدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾــﺔ اﻟﺗــﻰ ﯾﺳــﺗﻘﺑﻠﻬﺎ ﻋﺎﻣــل ﻋﻠــﻰ ﻟوﺣــﺔ ﺳــوﯾﺗش ﻫــﻲ ‪5‬‬ ‫ﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻓﻲ اﻟدﻗﯾﻘﺔ ‪ٕ ،‬واذا ﻛﺎن أﻗﺻﻰ ﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﻟﻠوﺣﺔ اﻟﺳوﯾﺗش اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻌﻬﺎ ﻫـو ‪ 8‬ﻣﻛﺎﻟﻣـﺎت ﻓـﻲ‬

‫اﻟدﻗﯾﻘﺔ أوﺟد‪:‬‬ ‫أ‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل ﻋدم اﺳﺗطﺎﻋﺔ ﻟوﺣﺔ اﻟﺳوﯾﺗش ﻣن اﻟﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻓﻲ ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ؟‬ ‫ب‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل وﺻول ﻣﻛﺎﻟﻣﺗﯾن ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻧﺎ ﻫو ﻋدد اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﺗﻠﯾﻔوﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺻل اﻟﻰ ﻟوﺣﺔ اﻟﺳوﯾﺗش ﺣﯾث‬ ‫)‪ XPOI(5‬واﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب )‪ P( X > 8‬أي أن ‪:‬‬

‫‪5k‬‬ ‫‪P(X  8)  1  P(X  8)  1   e‬‬ ‫‪ 0.068.‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫)ب(‬

‫‪P(X 2) 0.125.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد‬

‫ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist= PoissonDistribution[5.‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,8‬‬ ‫‪0.0680936‬‬ ‫]‪CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.124652‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=PoissonDistribution[5‬‬ ‫]‪RandomArray[dist,10‬‬ ‫}‪{5,11,4,8,3,2,4,8,3,5‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫}‪{5,11,4,8,3,2,4,8,3,5‬‬ ‫]‪Random[dist‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ‪:‬‬

‫‪٢٩٦‬‬


‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﺟزء ‪ Sec 2.1‬ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KonoxProb‬وﺑﻌد ﺗﺣدﯾد اﻟﺟزء اﻟرﻣﺎدى ﻛﻣﺎ ﻫو واﺿﺢ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﯾﺗم ذﻟك ﻟﺗﺣﻣﯾل ﻫذا اﻟﺟزء‪ .‬وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﻣن اﻟﺟزء اﻟرﻣـﺎدى ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻻﻣـر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘـل‬ ‫اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ ‫‪٢٩٧‬‬


‫وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﺛم ﯾﺗم اﻟﺿﻐط ﻋﻠﻰ اﻟﻘوس اﻻﯾﺳر ﻟﺗﺣدﯾدﻩ‬ ‫ﺛم ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ وذﻟك ﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠـﻰ ‪ kernel‬ﻣـن ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﺛـم ﻋﻠـﻰ ‪evaluate‬‬ ‫‪ cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪dist1=PoissonDistribution[5‬‬ ‫;]}‪statelist=Table[x,{x,0,40‬‬ ‫;]}‪problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,40‬‬ ‫‪ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim‬‬ ‫;]}‪es-Roman",8‬‬ ‫‪0.175‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.125‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.075‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.025‬‬

‫‪0 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٤ -٦‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ﻣﻌــدل ﻋ ــدد اﻷﯾــﺎم اﻟﺗــﻲ ﺗﻐﻠ ــق ﻓﯾﻬــﺎ ﺑﻌــض اﻟط ــرق ﺑﺳــﺑب ﺳــﻘوط اﻟﺛﻠ ــوج ﺧــﻼل ﻓﺻ ــل‬ ‫اﻟﺷﺗﺎء ﻓﻲ ﻣدﯾﻧﺔ ﻣﺎ ﻫﻲ ‪ 5‬أﯾـﺎم ﻓﻣـﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل أن ﺗﻐﻠـق ﻫـذﻩ اﻟطـرق ﻟﻣـدة ‪ 8‬أﯾـﺎم ﺧـﻼل اﻟﺷـﺗﺎء‬ ‫اﻟﻘﺎدم‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪٢٩٨‬‬


‫‪ = 5,‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫)‪P(X  8)   f (k;5)   f (k;5‬‬ ‫‪k 0‬‬

‫‪k 0‬‬

‫‪=0.932-0.867=0.065.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ‬ ‫اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫;`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist= PoissonDistribution[5.‬‬ ‫]‪CDF[dist,8]-CDF[dist,7‬‬ ‫‪0.065278‬‬ ‫]‪PDF[dist,8‬‬ ‫‪0.065278‬‬

‫ﻣﻠﺣوظﺔ ‪ :‬ﻓﻰ اﻻﻣر ]‪ PoissonDistribution[5.‬ﺗم وﺿﻊ ﻧﻘطﺔ ﺑﻌد اﻟرﻗم ﺧﻣﺳﺔ‬

‫ﺣﺗﻰ ﯾﻛون ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻋﺷرﯾﺔ وﺣﺗﻰ ﯾﺗم اﻟﺣل‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٥ -٦‬‬

‫ﺗﻌطــل ﻣﺎﻛﯾﻧــﺔ ﻟﺗﺻــﻧﯾﻊ اﻟﺣﻠــوى ﻓــﻲ اﻟﻣﺗوﺳــط ﺧﻣــس ﻣ ـرات ﻓــﻲ اﻻﺳــﺑوع ﻣــﺎ ﻫــو اﻻﺣﺗﻣــﺎل أن‬ ‫ﺗﻌطل اﻟﻣﺎﻛﯾﻧﺔ ﺛﻼث ﻣرات ﻓﻲ اﻻﺳﺑوع ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺣﯾث ‪  = 5 , x = 3‬وﻣن ﺟدول ﺑواﺳون ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٣‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e5 53‬‬ ‫‪f (3;5) ‬‬ ‫)‪  f (k;5)   f (k;5‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪= 0.2650-0.125=0.14.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ‬

‫اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫;`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist= PoissonDistribution[5.‬‬ ‫]‪CDF[dist,3]-CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.140374‬‬ ‫]‪PDF[dist,3‬‬ ‫‪0.140374‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٦ -٦‬‬

‫‪٢٩٩‬‬


‫ﺗﻣــر ﻓــﻲ اﻟﻣﺗوﺳــط ‪ 20‬ﺳــﯾﺎرة ﻓــﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﻣــن أﻣــﺎم ﻛﺷــك رﺳــوم اﻟﻣــرور ﺧــﻼل ﺳــﺎﻋﺔ اﻟ ـزروة ‪٠‬‬ ‫اوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ﻣرور‪ 7‬ﺳﯾﺎرات ﻣن أﻣﺎم اﻟﻛﺷك ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺎ ‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ﻣرور ‪7‬ﺳﯾﺎرات ﻣن أﻣﺎم اﻟﻛﺷك ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺔ ﻫو ‪:‬‬

‫‪e20 (20)7‬‬ ‫‪P(X  7) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ‬ ‫اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫;`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=PoissonDistribution[20.‬‬ ‫]‪CDF[dist,7]-CDF[dist,6‬‬ ‫‪0.000523468‬‬ ‫]‪PDF[dist,7‬‬ ‫‪0.000523468‬‬

‫ﻧظرﯾــــﺔ‪ :‬إذا ﻛ ــﺎن )‪ X  BIN(n, p‬وﻋﻠـ ــﻲ ذﻟ ــك ﻟﻛـ ــل ﻗﯾﻣ ــﺔ ‪0,1,…….,n‬‬

‫=‬

‫‪ x‬وﻋﻧـ ــدﻣﺎ‬

‫‪ p  0‬ﺣﯾث ‪ np  ‬ﺛﺎﺑت ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪n x‬‬ ‫‪e  x‬‬ ‫‪n x‬‬ ‫‪lim   p (1  p) ‬‬ ‫‪n  x‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﺗﻔﯾد اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺗﻘرﯾب )‪ b(x;n, p‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n‬ﻛﺑﯾرة و‪ p‬ﺻﻐﯾرة ‪.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﯾﻌط ــﻰ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت ﻣ ــن ‪ x=0‬اﻟ ــﻰ ‪ x=12‬ﻟﻛ ــل ﻣ ــن ﺗوزﯾ ــﻊ ﺑواﺳ ــون وﺗوزﯾ ــﻊ ذى‬ ‫اﻟﺣدﯾن ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n=100,p=.04‬واﻟذى ﯾﺛﺑت اﻟﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس ﺧطوات ﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗﻰ ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن اﻟﺟزء‬ ‫‪ Sec2.4‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪:KonoxProb‬‬

‫‪٣٠٠‬‬


‫وﺑﻌد ﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﻧﺻل اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌد ﺗﺣدﯾدﻩ ‪.‬‬

‫‪٣٠١‬‬


: ‫وﺑﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان ﺷرﺣﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ Needs["Statistics`DiscreteDistributions`"]; Poissonpmf[x_]:=N[PDF[PoissonDistribution[4],x]]; Binomialpmf[x_]:=PDF[BinomialDistribution[100,.04],x]; TableForm[Join[{{"x","Poisson","binomial"}},Table[{x,Pois sonpmf[x],Binomialpmf[x]},{x,0,12}]]]

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Poisson 0.0183156 0.0732626 0.146525 0.195367 0.195367 0.156293 0.104196 0.0595404 0.0297702 0.0132312 0.00529248 0.00192454 0.000641512

binomial 0.0168703 0.070293 0.144979 0.197333 0.199388 0.159511 0.105233 0.0588803 0.0285201 0.0121475 0.00460591 0.0015702 0.000485235

: ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟرﺳم اﻟداﻟﺗﯾن‬ ٣٠٢


‫;]}‪Poissonlist=Table[{x,N[Poissonpmf[x]]},{x,0,12‬‬ ‫;]}‪Binomiallist=Table[{x,N[Binomialpmf[x]]},{x,0,12‬‬ ‫‪g1=ListPlot[Poissonlist,PlotJoined->True,‬‬ ‫‪PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫‪g2=ListPlot[Binomiallist,‬‬ ‫‪PlotJoined->True,PlotStyle‬‬‫;]‪>RGBColor[0,0,1],DisplayFunction->Identity‬‬ ‫‪Show[g1,g2,DisplayFunction‬‬‫;]}‪>$DisplayFunction,DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق ان اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﯾن ﻟﻠداﻟﺗﯾن ﻣﺗﻘﺎرﺑﺗﺎن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٧ -٦‬‬ ‫ﺗﺷﯾر اﻟدراﺳﺎت ﻋﻠﻲ أن ‪ 0.002‬ﻣـن اﻟﻘـوى اﻟﻌﺎﻣﻠـﺔ اﻟﻘوﻣﯾـﺔ ﻓـﻲ ﺑﻠـد ﻣـﺎ ﯾﺻـﺎﺑون ﺑﻣـرض ﺧطﯾـر‬ ‫ﺧﻼل ﻋﺎم ‪ ٠‬ﻓﺈذا اﺧﺗﯾر ‪ n = 30‬ﺷﺧص ﻋﺷواﺋﯾﺎ ‪ ٠‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟذﯾن ﯾﻣرﺿون ﻓﻲ اﻟﻌﺎم ‪٠‬‬ ‫ب‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل أن ﻋﺎﻣﻠﯾن ﯾﻣرﺿون ﺧﻼل ﻋﺎم ‪.‬اﺳﺗﺧدم ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻛﺗﻘرﯾب ذي اﻟﺣدﯾن‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ( اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟﻌدد اﻟذﯾن ﯾﻣرﺿون ﻓﻲ اﻟﻌﺎم ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪n=30 ,   = np = 30×0.002 = 0.06‬‬

‫‪p  0.002 ,‬‬

‫ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﻋﺎﻣﻠﯾن ﯾﻣرﺿون ﺧﻼل ﻋﺎم ﻫو ‪:‬‬

‫‪e 0.06 (0.06) 2‬‬ ‫‪f (2;0.06) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد‬

‫ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=PoissonDistribution[.06‬‬ ‫‪٣٠٣‬‬


‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪0.06‬‬

‫]‪PDF[dist,2‬‬ ‫‪0.00169518‬‬

‫وﻋــﺎء ﺑــﻪ ‪ 10000‬ﺟــزئ ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل ﻫــروب ﺟــزئ ﻣــن اﻟوﻋــﺎء ﻫــو ‪ 0.0004‬ﻓﻣــﺎ اﺣﺗﻣــﺎل‬ ‫ﻫروب أﻛﺛر ﻣن ‪ 5‬ﺟزﯾﺋﺎت ؟) ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺗﻘرﯾب ﺑواﺳون(‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل ﻫروب أﻛﺛر ﻣن ‪ 5‬ﺟزﯾﺋﺎت ﯾﺳﺎوى ‪:‬‬

‫)‪P(X  5)  1  P(X  5‬‬ ‫])‪=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4‬‬ ‫‪e4 40 e 4 41 e 4 42 e 4 43 e4 4 4 e 4 45‬‬ ‫[‪1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪].‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد‬ ‫ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫;`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist= PoissonDistribution[4.‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,5‬‬ ‫‪0.21487‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٩ -٦‬‬ ‫ﻓﻲ ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺗﺻﻧﯾﻊ ﻛرات اﻟﺗﺣﻣﯾل وﺟد أن اﺣﺗﻣﺎل وﺟود ﻛرة ﺗﺎﻟﻔﺔ ‪ 0.1‬ﻣﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻـول‬ ‫ﻋﻠﻲ ‪ 10‬ﻛرات ﺗﺎﻟﻔﺔ ﻣن ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺑﻬﺎ ‪ 1000‬وﺣدة ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪p= 0.1 q = 0.9‬‬

‫‪n  1000‬‬

‫‪1000 ‬‬ ‫‪f(x)= ‬‬ ‫‪(0.1) x (0.9)1000 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫ﺑﻣ ــﺎ أن ‪ n‬ﻛﺑﯾـ ـرة ﺟ ــدا و‪ p‬ﺗ ــؤول إﻟ ــﻲ اﻟﺻ ــﻔر ﻓ ــﺎن ﺗوزﯾ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن ﯾﻣﻛ ــن أن ﯾﻌﺑ ــر ﻋﻧ ــﺔ ﺑﺗوزﯾ ــﻊ‬ ‫ﺑواﺳون ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪٣٠٤‬‬


‫‪  np  1000(0.1)  100,‬‬ ‫‪e 100 (100) x‬‬ ‫‪x=0,1,...‬‬ ‫!‪x‬‬ ‫‪e 100 (100)10‬‬ ‫=)‪P(X=10‬‬ ‫!‪10‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد‬ ‫‪f (x; ) ‬‬

‫ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist= PoissonDistribution[100.‬‬ ‫]‪PDF[dist,10‬‬

‫‪1.02515  1030‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X  POI‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪M X (t)  e (e 1‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪: The Characteristic Function‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫)‬

‫‪it‬‬

‫‪X (t)= e- (1e‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٠ -٦‬‬ ‫ﺗﻣﺛل ﻋﻣﻠﯾﺔ وﺻول اﻟﺳﻔن اﻟﺗﺟﺎرﯾﺔ إﻟﻲ اﻟﻣﯾﻧﺎء ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﺑﻣﻌدل ﺳـﻔﯾﻧﺗﯾن ﻓـﻲ اﻟﺳـﺎﻋﺔ أى أﻧـﻪ‬

‫ﯾﺗم ﺗﻔرﯾﻎ ﺑﺿﺎﺋﻊ اﻟﺳﻔن ﺑﻣﻌدل ‪ 2‬ﻟﻛل ﺳﺎﻋﺔ واﻟوﻗت اﻟـذي ﯾﺳـﺗﻐرﻗﻪ اﻟﺗﻔرﯾـﻎ ﯾﻣﺛـل ﻋﻣﻠﯾـﺔ ﺑواﺳـون‬ ‫‪ ٠‬ﻣﺎ اﺣﺗﻣﺎل ﻋدم وﺟود ﺳﻔﯾﻧﺔ ﺗﻧﺗظر دورﻫﺎ ﻓﻲ اﻟﺗﻔرﯾﻎ ؟ ﺛم اوﺟد اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٣٠٥‬‬


‫‪e 2 20‬‬ ‫‪P(X  0) ‬‬ ‫‪ e 2  0.135.‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫اﻟداﻟﻪ اﻟﻣوﻟدﻩ ﻟﻠﻌزوم ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب‬ ‫ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫;`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=PoissonDistribution[2.‬‬ ‫]‪PDF[dist,0‬‬ ‫]‪CharacteristicFunction[dist,t‬‬ ‫‪0.135335‬‬ ‫‪2. 1 t‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤١ -٦‬‬ ‫ﻣﺟﻠﺔ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ‪ 100‬ﺻﻔﺣﺔ وﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ‪ 100‬ﺧطﺄ ﺗﺗـوزع ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻋﻠـﻰ ﺻـﻔﺣﺎﺗﻬﺎ ﺳـﺣﺑت‬

‫ﺻــﻔﺣﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ‪ .‬اﺣﺳــب اﺣﺗﻣــﺎل أن ﺗﺣﺗــوي ﺻــﻔﺣﺔ ﻋﻠــﻰ اﻷﻗــل ﻋﻠــﻰ ﺧطﺋــﯾن ﺛــم أوﺟــد اﻟداﻟــﻪ‬ ‫اﻟﻣﻣﯾزة‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣن اﻟواﺿﺢ أن ‪   1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫)‪P(X  2)  1  P(X  2‬‬ ‫‪ 1   P(X  0)  P(X  1) ‬‬ ‫‪ e 1 (1)0 e1 (1)1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1  [0.736  0.368]  0.632.‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٢ -٦‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ﻋــدد اﻟﺳــﯾﺎرات اﻟﺗــﻰ ﺗﻣــر ﻋﻧــد ﻧﻘطــﺔ ﻣــﺎ ﻋﻠــﻰ اﻟطرﯾ ـق ﻓــﻲ اﻟدﻗﯾﻘــﺔ ﺗﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺑواﺳــون‬

‫ﺑﻣﻌﻠوﻣﯾﺔ ‪   4‬أوﺟد ‪:‬‬

‫أ‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل أرﺑﻌﺔ ﺳﯾﺎرات ﺗﻣر ﻓﻲ اﻟدﻗﯾﻘﺔ ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﻣر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﺳﯾﺎرات ﺧﻼل دﻗﯾﻘﺗﯾن ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ(‬ ‫)ب(‬

‫‪e 4 (4)4‬‬ ‫‪P(X  4) ‬‬ ‫‪ 0.629  0.433  0.196‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪  (2)(4)  8,‬‬ ‫‪٣٠٦‬‬


‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن‪.‬‬

‫‪8(8) e 8‬‬ ‫‪P(X  8) ‬‬ ‫‪ 0.593  0.453  .14‬‬ ‫!‪8‬‬

‫)‪ (٥-٦‬ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ‪Negative Binomial Distribution‬‬ ‫ﺑﻔـرض أن ﺗﺟرﺑــﺔ ﻣـﺎ ﻟﻬــﺎ ﻧﻔـس اﻟﺧﺻــﺎﺋص اﻟﺗـﻲ ﺳــﺑق أن ذﻛرﻧﺎﻫـﺎ ﻟﺗوزﯾــﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن ‪ ،‬وﻟﻛــن‬

‫ﻣﻊ ﺗﻛرار اﻟﻣﺣﺎوﻻت ﺣﺗﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋدد ﺛﺎﺑت ﻣن ﺣـﺎﻻت اﻟﻧﺟـﺎح ‪ .‬وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ‪ ،‬ﺑـدﻻ‬ ‫ﻣـن إﯾﺟــﺎد اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻــول ﻋﻠـﻰ ‪ x‬ﻧﺟــﺎح ﻓــﻲ ‪ n‬ﻣـن اﻟﻣﺣــﺎوﻻت ‪ ،‬ﻓـﺈن اﻻﻫﺗﻣــﺎم ﺳـوف ﯾﻛــون ﻓــﻲ‬ ‫إﯾﺟــﺎد أن اﻟﻧﺟــﺎح رﻗ ـم ‪k‬‬

‫ﺳــوف ﯾﺣــدث ﻓــﻰ اﻟﻣﺣــﺎوﻻت رﻗــم ‪ . x‬اﻟﺗﺟــﺎرب ﻣــن ﻫــذا اﻟﻧــوع ﺗﺳــﻣﻰ‬

‫ﺗﺟﺎرب اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ‪. Negative Binomial Distribution‬‬

‫ﺑﻔـ ــرض أن ﻻﻋـ ــب ﻛ ـ ـرة اﻟﺳـ ــﻠﺔ ﯾـ ــﻧﺟﺢ ﻓـ ــﻲ اﻟﺗﺻـ ــوﯾب ﻧﺣـ ــو اﻟﻬـ ــدف ﻓـ ــﻲ ‪ 80%‬ﻣـ ــن اﻟﻣﺣـ ــﺎوﻻت ‪.‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾـﻧﺟﺢ ﻓـﻲ ﺗﺻـوﯾب اﻟﻬـدف اﻟﺧـﺎﻣس ﻓـﻰ اﻟﻣﺣﺎوﻟـﺔ رﻗـم ‪ . 8‬ﺳـوف ﻧرﻣـز‬

‫ﻟﻠﻧﺟ ــﺎح ﻓ ــﻲ اﻟﺗﺻ ــوﯾب ﺑ ــﺎﻟرﻣز '‪ D‬وﻧرﻣ ــز ﻟﻠﻔﺷ ــل ﻓ ــﻲ اﻟﺗﺻ ــوﯾب ﺑ ــﺎﻟرﻣز ‪ ، D‬وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك ﻟﺗرﺗﯾ ــب‬ ‫ﻣطﻠوب ﺳوف ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ '‪ D'D'DDDD'D'D‬واﻟذي ﯾﺣدث ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪ . (0.8)(0.8)(0.2)(0.2)(0.2)(0.8)(0.8)(0.8)=(0.8)5(0.2)3‬وﯾﻣﻛـن ﺣﺻـر ﻛـل اﻟﺗرﺗﯾﺑــﺎت‬

‫ﺑﺈﻋ ــﺎدة ﺗرﺗﯾ ــب ﺣــﺎﻻت اﻟﻧﺟ ــﺎح واﻟﻔﺷ ــل ﻣﺎﻋ ــد اﻟﻣﺣﺎوﻟ ــﺔ اﻷﺧﯾـ ـرة واﻟﺗ ــﻰ ﻻﺑ ــد أن ﺗﻛ ــون اﻟﻧﺟ ــﺎح رﻗ ــم‬ ‫ﺧﻣﺳﺔ ‪ .‬اﻟﻌدد اﻟﻛﻠﻲ ﻣن اﻟﺗرﺗﯾﺑﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﯾﺳﺎوى ﻋـدد اﻟطـرق ﻟﺗﺑـدﯾل ‪ 7‬ﻋﻧﺎﺻـر ﻣﻧﻬـﺎ ‪ 4‬ﻣـن ﻧـوع‬ ‫ﻧﺟــﺎح و‪ 3‬ﻣــن ﻧــوع ﻓﺷــل ‪ .‬ﻫــذا اﻟﻌــدد اﻟﻛﻠــﻲ ﻣــن اﻟﺗرﺗﯾﺑــﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧــﺔ ﯾﺣ ـدث ﺑطــرق ﻣﺗﻧﺎﻓﯾــﺔ ﻋــددﻫﺎ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ .  ‬وﺣﯾث أن ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 5‬أﻫداف ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P(X  8)    (0.8)5 (0.2)3  0.0917504.‬‬ ‫‪ 4‬‬

‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻌدد ‪ X‬ﻣن اﻟﺣﺎﻻت واﻟذي ﯾﻧﺗﺞ ‪ k‬ﺣﺎﻻت ﻧﺟـﺎح ﻓـﻲ ﺗﺟرﺑـﺔ ذي اﻟﺣـدﯾن اﻟﺳـﺎﻟب ﯾﺳـﻣﻰ‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ‪.‬‬

‫ﺳ ــوف ﻧﻛﺗ ــب )‪ X~NB(k,p‬ﻟﻠدﻻﻟ ــﺔ ﻋﻠ ــﻰ ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ــر ﻋﺷـ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑ ــﻊ ﺗوزﯾ ــﻊ ذي اﻟﺣ ــدﯾن اﻟﺳـ ــﺎﻟب‬ ‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪. k , p‬‬ ‫ﺑﻌض اﻟﻣﺷﺎﻛل اﻟﺗﻰ ﻟﻬﺎ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻛﺛﯾرة ﻣﻧﻬﺎ ‪:‬‬

‫‪ -١‬ﻋدد اﻟوﺣدات اﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗﺑر ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋدد ﻣﺣدد ﻣن اﻟوﺣدات اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬ﻋدد اﻟﻘذاﺋف اﻟﺗﻲ ﺗطﻠق ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول إﻟﻰ ﻋدد ﺛﺎﺑت ﻣن اﻷﻫداف ‪.‬‬ ‫‪٣٠٧‬‬


‫اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ ذي اﻟﺣــدﯾن اﻟﺳــﺎﻟب ﯾﺳــﻣﻰ ﺗوزﯾــﻊ ذي اﻟﺣــدﯾن اﻟﺳــﺎﻟب ‪،‬‬ ‫ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﯾﺄﺧذ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x-1‬‬ ‫‪b* (x;k,p)    p k q x k , x  k,k  1, k  2‬‬ ‫‪ k-1 ‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﺷﺗق اﺳم ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻣن أن ﻛل ﺣد ﻓﻰ اﻟﻣﻔﻛوك ‪:‬‬

‫‪ pk(1-q)-k‬ﯾﻘﺎﺑل ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم )‪ b*(x; k, p‬ﺣﯾث ‪. x = k, k +1 ,k + 2,...‬‬ ‫ﻓــﻰ اﻟﺣﻘﯾﻘــﺔ ﻓــﺎن اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ﻻ ﯾﺗﻌﺎﻣــل ﻣﺑﺎﺷ ـرة ﻣــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ ‪ X‬وﻟﻛــن ﯾﺗﻌﺎﻣــل ﻣــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر‬ ‫اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ ‪ Y=X-k‬اى ﻋــدد ﺣــﺎﻻت اﻟﻔﺷــل ﺣﺗــﻰ اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ ‪ k‬ﻣــن اﻟﻧﺟﺎﺣــﺎت ‪ .‬وﻋﻠــﻰ ﻟــذﻟك‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣطﻠوب ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﺗﻣﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪.Y‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻌدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ‪ Y‬ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ k‬ﻣن ﺣﺎﻻت اﻟﻧﺟﺎح ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪ y + k - 1 k y‬‬ ‫‪b   y k,p  = ‬‬ ‫‪ p q , y = 0 , 1 , 2 , ...‬‬ ‫‪ k-1 ‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫ﻫﻧﺎك ﺟداول ﺗﻌطﻲ اﻟداﻟﺔ ‪ b  y k,p ‬ﻟﻠﻘﯾم اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ‪y = 0 ,1 ,2, ...‬‬ ‫ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن‬

‫‪k‬‬

‫و ‪.p‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٣ -٦‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣـﺎل وﻻدة ذﻛـر ﻓـﻲ أي وﻻدة ﺗﻣـر ﺑﻬـﺎ ﺳـﯾدة ﻫـو‬ ‫‪2‬‬

‫أوﺟـد اﺣﺗﻣـﺎل أن ﺗﺿـﻊ‬

‫ذﻛرﯾن ﺑﻌد أرﺑﻊ وﻻدات ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﯾث ‪ p  ,k  2, x  4‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪b * (4;2,0.5)    0.520.52‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3!  1   1 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.       .1875.‬‬ ‫‪1!2!  2   2  16‬‬ ‫اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬ﯾﺎﺧذ اﻟﻘﯾم ‪x  2,3,4,...‬‬ ‫)‪P(X  4)  P(Y  k  4)  P(Y  4  k‬‬

‫‪ P(Y  4  2)  P(Y  2).‬‬ ‫‪٣٠٨‬‬


‫ﻫذا اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,2‬‬ ‫‪0.1875‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٤ -٦‬‬ ‫ﻗررت ﻋﺎﺋﻠﺔ ﺗﻧظﯾم اﻹﻧﺟـﺎب إذا رزﻗﻬـﺎ اﷲ ﺑﺧﻣﺳـﺔ ذﻛـور ‪ ،‬ﻓـﺈذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣـﺎل وﻻدة ذﻛـر ﻓـﻲ ﻫـذﻩ‬

‫اﻟﻌﺎﺋﻠـ ـ ـ ــﺔ ﻫـ ـ ـ ــو ‪ 0.4‬أوﺟـ ـ ـ ــد اﻟﺗوزﯾـ ـ ـ ــﻊ اﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ــﺎﻟﻲ ﻟﻌـ ـ ـ ــدد ﻣ ـ ـ ـ ـرات اﻟﺣﻣـ ـ ـ ــل ) اﻟوﺿـ ـ ـ ــﻊ ( ‪ .‬اوﺟـ ـ ـ ــد‬

‫)‪P(X  8),P(X  10‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﯾث ‪ X‬ﺗﻣﺛل ﻋدد ﻣرات اﻟﺣﻣل ‪.‬‬ ‫‪p = 0.4 , q = 0.6 , k = 5‬‬ ‫‪ x-1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x 5‬‬ ‫‪f (x)     0.4   0.6  , x = 5 , 6 , ...‬‬ ‫‪ 5-1 ‬‬ ‫ﺑﻔرض اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ Y=X-k‬اى ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ k‬ﻣن اﻟﻧﺟﺎﺣﺎت‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ Y‬ﯾﺎﺧذ اﻟﻘﯾم ‪. y  0,1,2,...‬‬ ‫)‪P(X  8)  P(Y  k  8)  P(Y  8  k‬‬

‫‪ P(Y  8  5)  P(Y  3),‬‬ ‫‪P(X  10)  P(Y  5).‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4‬‬ ‫]‪PDF[dist,3‬‬ ‫‪0.0774144‬‬ ‫]‪PDF[dist,5‬‬ ‫‪0.100329‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم ‪) y‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4‬‬ ‫]‪RandomArray[dist,10‬‬ ‫‪٣٠٩‬‬


‫}‪{17,1,10,6,6,13,9,11,2,15‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[5,.4‬‬ ‫]‪Random[dist‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٥ -٦‬‬

‫ﺑﻔرض ان اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ Y‬ﯾﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ k‬ﻣن اﻟﻧﺟﺎﺣﺎت‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﺑﯾــﺎﻧﻰ ﻟداﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ Y‬ﺣﯾــث ‪ p=.2,k=20‬ﻧﺗﺑــﻊ ﻧﻔــس‬ ‫اﻟﺧطـ ـوات اﻟﺗ ــﻰ اﺗﺑﻌ ــت ﻓ ــﻰ اﻟﻣﺛ ــﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗ ــﻰ اﻟوﺻ ــول اﻟ ــﻰ ﻣﺣﺗوﯾ ــﺎت اﻟﻛﺗ ــﺎب ﺛ ــم اﺧﺗﯾ ــﺎر‬ ‫اﻟﺟزء ‪ Sec 2.3‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫وﺑﺎﻟﺿﻐط ﻋﻠﯾﻪ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪٣١٠‬‬


‫وﻧﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌدﻩ ﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل ‪:‬‬

‫)ﻟﻠﻌﻠم ﻟن ﻧﻐﯾر ﻓﯾﻪ ﻻﻧﻪ ﻧﻔس ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ(‬

‫ﺛ ــم ﯾ ــﺗم ﺗﻧﻔﯾ ــذ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ وذﻟ ــك ﺑﺎﻟﺿ ــﻐط ﻋﻠ ــﻰ‬

‫‪ kernel‬ﻣ ــن ﻗﺎﺋﻣ ــﺔ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ــﺎ ﺛ ــم ﻋﻠ ــﻰ‬

‫‪ evaluate cell‬وﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪٣١١‬‬


‫ﻓﻧﺿﻐط ‪ ok‬ﻓﯾظﻬر اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪f[x_]:=PDF[NegativeBinomialDistribution[20,.2],x‬‬ ‫;]}‪pmf=Table[{x,f[x]},{x,20,140‬‬ ‫‪ListPlot[pmf,PlotJoined->True,DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬ ‫‪0.02‬‬

‫‪0.015‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪0.005‬‬

‫‪140‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪80‬‬

‫‪60‬‬

‫‪40‬‬

‫‪20‬‬

‫وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪ Don'tsave‬وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫)وﻟﻠﻌﻠم ﻓﺎن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬وﻟﯾس اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪.(X‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ‪ X‬ﻣـن اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺳـﺎﺑق ﺑﺗﺑـﺎع ﺧطـوات‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٣١٢‬‬


f[x_]:=PDF[NegativeBinomialDistribution[20,.2],x]; pmf=Table[{x,f[x]},{x,20,140}]; ListPlot[pmf,PlotJoined->True,DefaultFont{"TimesRoman",8}]; 0.02

0.015

0.01

0.005

20

40

60

80

100

120

140

: Y‫ﺣﯾث اﻟرﺳم اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر‬ aa1=Transpose[pmf]; aa2=aa1[[1]]; aa3=aa2+20; aa4=aa1[[2]]; aa5={aa3,aa4}; aa6=Transpose[aa5]; ListPlot[aa6,PlotJoined->True,DefaultFont{"TimesRoman",8}]; 0.02

0.015

0.01

0.005

60

80

100

120

140

160

: X‫ﺣﯾث اﻟرﺳم اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ اﻟﺳﺎﺑق ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر‬

٣١٣


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٦ -٦‬‬ ‫ﯾﻠﻌــب اﻟﻔرﯾــق ‪ A‬ﻣــﻊ اﻟﻔرﯾــق ‪ B‬ﻓــﻲ ﺳﻠﺳــﻠﺔ ﻣــن اﻟﻣﺑﺎرﯾــﺎت ﻓــﺈذا ﻛــﺎن اﺣﺗﻣــﺎل أن ﯾﻛﺳــب ‪ A‬ﻓــﻰ‬ ‫ﻣﺑﺎراة ﯾﻠﻌﺑﻬـﺎ ﻣـﻊ ‪ B‬ﻫـو ‪ . 0.6‬ﺳـوف ﺗﻧﺗﻬـﻲ اﻟﺳﻠﺳـﻠﺔ ﻣـن اﻟﻣﺑﺎرﯾـﺎت ﻋﻧـدﻣﺎ ﯾﻛﺳـب إﻣـﺎ ‪ A‬أو ‪B‬‬ ‫أرﺑﻊ ﻣﺑﺎرﯾﺎت ‪ .‬اوﺟد اﺣﺗﻣﺎل ﻓوز ‪ A‬أو ‪ B‬ﻓﻰ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺳﺎدﺳﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)‪ ) = b*(6;4,.6‬ﯾﻔوز‪ A‬ﻟﻠﻣرة اﻟراﺑﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺑﺎراة اﻟﺳﺎدﺳﺔ(‪P‬‬

‫‪ 5 4 2‬‬ ‫‪P(X  6)=   (.6) (.4)  P(Y  2)=.20736.‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫)‪ ) = b*(6;4,.6‬ﯾﻔوز‪ B‬ﻟﻠﻣرة اﻟراﺑﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺑﺎراة اﻟﺳﺎدﺳﺔ(‪P‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪P (X  6 )=   (.4 ) 4 (.6 ) 2  P (Y  2 )  .0 9 2 1 6 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ) =.20736+0.09216 = 0.29952.‬ﻋدد اﻟﻣﺑﺎرﯾﺎت ﺗﻛون‪ 6‬ﻋﻧد اﻟﻔوز ﻟﻠﻣرة اﻟراﺑﻌﺔ (‪P‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[4,.6‬‬ ‫]‪a1= PDF[dist,2‬‬ ‫‪0.20736‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[4,.4‬‬ ‫]‪a2= PDF[dist,2‬‬ ‫‪0.09216‬‬ ‫‪a1+a2‬‬ ‫‪0.29952‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٧ -٦‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل ﺗﺻدﯾق ﺧﺑر ﻣﻌﯾن ﻫو ‪ 0.25‬أوﺟد إﺣﺗﻣﺎل أن ‪:‬‬ ‫اﻟﺷﺧص اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻋﺷر ﻫو راﺑﻊ اﻟﻣﺻدﻗﯾن ﻟﻠﺧﺑر‪.‬‬ ‫‪٣١٤‬‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻧﻔــرض أن ‪ X‬ﺗﻣﺛــل رﻗــم اﻟﺷــﺧص اﻟﺳــﺎﻣﻊ ﻟﻠﺧﺑــر‪ .‬وﯾﻛــون رﻗــم اﻟﺷــﺧص اﻟﻣﺻــدق ﻟﻠﺧﺑــر ﻫــو ﻋﺑــﺎرة‬ ‫ﻋن ﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟﺎح‪.‬‬

‫ﺣﯾــث أن اﻟﺷــﺧص اﻟﺛــﺎﻧﻲ ﻋﺷــر ﯾﺳــﻣﻊ اﻟﺧﺑــر وﺳــﯾﻛون ارﺑــﻊ اﻟﻣﺻــدﻗﯾن ﻟــﻪ وﻫــذا ﯾﻌﻧــﻲ أن ﺣﺎﻟــﺔ‬ ‫اﻟﻧﺟﺎح اﻟراﺑﻊ ﺗوﺟد ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ رﻗم ‪ 12‬أي أن ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻋﻧد‬ ‫‪ p = 0.25 , x = 12, k=4‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪12  1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12 4‬‬ ‫‪P(X  12)  ‬‬ ‫‪ 0.25   0.75‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 1 ‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪11   1   3 ‬‬ ‫‪=      .‬‬ ‫‪ 3  4   4 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪P(X  12)  P(Y  k  12)  P(Y  12  k‬‬ ‫‪ P(Y  12  4)  P(Y  8).‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[4,.25‬‬ ‫]‪PDF[dist,8‬‬ ‫‪0.0645259‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٨ -٦‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل وﻻدة ذﻛر ﻓﻲ أي وﻻدة ﺗﻣر ﺑﻬﺎ ﺳﯾدة ﻫو‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻌد أرﺑﻊ وﻻدات‪.‬‬

‫أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺿﻊ ‪ 3‬ذﻛور‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﯾث ‪, k = 3, x = 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b* (4;3,0.5)     0.5   0.5  .‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪ p ‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪٣١٥‬‬


‫)‪P(X  4)  P(Y  k  4)  P(Y  4  k‬‬ ‫)‪ P(Y  4  3)  P(Y  1‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[3,.5‬‬ ‫]‪PDF[dist,1‬‬ ‫‪0.1875‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤٩ -٦‬‬ ‫ﯾﻠﻌب ﻓرﯾق ‪ A‬ﻣﻊ ‪ B‬ﺳﻠﺳﺔ ﻣن اﻟﻣﺑﺎرﯾﺎت ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن اﺣﺗﻣﺎل أن ‪ A‬ﯾﻛﺳب ﻓﻲ اﻟﻣﺑﺎرة‬

‫اﻟواﺣدة اﻟﺗﻲ ﯾﻠﻌﺑﻬﺎ ‪ٕ 0.6‬واذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺑﺎرﯾﺎت ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪ ،‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻔرﯾق ‪ A‬ﻗد ﯾﻛون‬ ‫ﻛﺳب أرﺑﻌﺔ ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺳﺎدﺳﺔ ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﺣﺑث ‪ p = 0.6 , k = 4 , x = 6‬ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪(0.4) 2 .‬‬

‫‪4‬‬

‫‪   0.6 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫= )‪b (6 4,0.6‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫)‪P(X  6)  P(Y  k  6)  P(Y  6  k‬‬ ‫‪ P(Y  6  4)  P(Y  2).‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[4,.6‬‬ ‫]‪PDF[dist,2‬‬

‫‪0.20736‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة‬

‫‪The Characteristic Function‬‬

‫‪٣١٦‬‬


‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ Y‬ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﻫو ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪Y  t   p k 1  q eit  .‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٤٤-٦‬ﻓﺎن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻪ ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5‬‬

‫]‪CharacteristicFunction[dist,t‬‬

‫‪0.25‬‬ ‫‪1  0.5  t2‬‬

‫وﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ Y‬واﻟذى ﯾﺗﺑﻊ ذي اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬وﻫو ‪:‬‬

‫‪kq‬‬ ‫‪p‬‬

‫= ‪Y‬‬

‫واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬وﻫو ‪:‬‬

‫‪kq‬‬ ‫‪p2‬‬

‫‪2Y ‬‬

‫واﻟﻣﺗوﺳط و اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ k, X‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p2‬‬

‫‪X ‬‬

‫واﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬اﻟذي ﻟﻪ اﻟداﻟﺔ )‪ b (x k,p‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪X  t    p eit  1  qeit  .‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻰ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪k‬‬

‫‪ X  t    p e t  1  qe t  .‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ‪:‬‬

‫‪٣١٧‬‬


‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء واﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬

‫‪1  4q  q 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪kq‬‬

‫‪,‬‬

‫‪4 ‬‬

‫‪1 q‬‬ ‫‪kq‬‬

‫‪3 ‬‬

‫ﻟﻠﻣﺛﺎل )‪ (٤٤-٦‬وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪.Y‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=NegativeBinomialDistribution[2,.5‬‬

‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪4.‬‬ ‫]‪StandardDeviation[dist‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫]‪Skewness[dist‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫]‪Kurtosis[dist‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫]‪CharacteristicFunction[dist,t‬‬

‫‪0.25‬‬ ‫‪1  0.5  t2‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ‬

‫‪Geometric Distribution‬‬

‫ﻋﻧـدﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ اﻟﺣﺎﻟـﺔ اﻟﺧﺎﺻـﺔ ﻣـن ﺗوزﯾـﻊ اﻟﺣـدﯾن اﻟﺳـﺎﻟب ‪ ،‬أي ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ ﻧﺟـﺎح واﺣـدة ‪ .‬ﺗوزﯾـﻊ ذي اﻟﺣـدﯾن‬ ‫اﻟﺳﺎﻟب ﺳوف ﯾﺧﺗزل إﻟﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪b  x p   pq x 1 , x = 1,2,3,...‬‬

‫و اﻟذي ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ و ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ‪.g  x p ‬‬ ‫ﺳـوف ﻧﻛﺗـب )‪ X ~ GEO(p‬ﻟﻠداﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ أن اﻟﻣﺗﻐﯾـر ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ .p‬أﯾﺿﺎً ‪.2  2 , E  X  ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٠ -٦‬‬ ‫أوﺟد‪:‬‬

‫أ‪ -‬اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻟﻌ ــدد اﻟﻣﺣــﺎوﻻت اﻻزﻣــﺔ ﻟﻠﺣﺻ ــول ﻋﻠــﻰ ﺻــورة واﺣ ــدة وذﻟــك ﻋﻧــد اﻟﻘ ــﺎء‬ ‫ﻋﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﺔ‪.‬‬

‫‪٣١٨‬‬


‫ب‪ -‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﺣﯾث‬ ‫‪2‬‬

‫‪ p ‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫) أ ( اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻻﺣﺗﻣــﺎﻟﻲ ﻟﻌــدد اﻟﻣﺣـﺎوﻻت اﻻزﻣــﺔ ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠـﻰ ﺻــورة واﺣــدة وذﻟـك ﻋﻧــد اﻟﻘــﺎء‬ ‫ﻋﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﺔ ﻫو‪:‬‬

‫‪, x = 1,2,3,...‬‬

‫‪g(x;0.5)  (0.5)(0.5) x 1‬‬

‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ﻫو‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪g(4; )  (0.5)(0.5)3   0.0625  P(X  4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‪ P(Y  1  4)  P(Y  4  1)  P(Y  3‬‬ ‫اﯾﺿﺎ وﻟﻠﻌﻠم ﻓﺎن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺗﻌﺎﻣل ﻣﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ ) Y‬واﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻰ اﻟﺣﺻول‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟﺎح ( وﻟﯾس اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺣﯾث ‪ .( Y=X-1‬وﯾﻣﻛن ان ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻣﺎ‬

‫ﯾﺧص اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺑدﻻﻟﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬ﻛﻣﺎ ﺣدث ﻓﻰ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن اﻟﺳﺎﻟب ‪.‬‬

‫واﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=GeometricDistribution[.5‬‬ ‫]‪PDF[dist,3‬‬ ‫‪0.0625‬‬

‫اﻻن ﺳوف ﻧﻘدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ وﺳوف ﻧﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ ‫اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ وﺳوف ﻧﻘﺎرﻧﻬﺎ ﻣﻊ اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ﺣﯾث‬

‫‪).p=.5‬اﻟﻣﺗﻐﯾر ﻫﻧﺎ ﻫو ‪ Y‬واﻟذى ﯾﻣﺛل ﻋدد ﺣﺎﻻت اﻟﻔﺷل ﺣﺗﻲ اﻟوﺻول اﻟﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻧﺟﺎح ‪.‬‬ ‫وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺗﺑﻌت ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (٣٧-٦‬واﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺟزء ‪ Sec 3.2‬ﻣن‬ ‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث وﻧﺗﺻﻔﺢ اﻟﺟزء ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وذﻟك ﺑﻌد ﺗﺣدﯾدﻩ ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﻣن‬ ‫ﻗﺑل ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪٣١٩‬‬


: ‫وﻧﻧﻔذﻩ ﻛﻣﺎ ﺳﺑق ان وﺿﺣﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

f[x_]:=PDF[GeometricDistribution[.5],x]; geomprobs=Table[f[x],{x,0,8}]; states={0,1,2,3,4,5,6,7,8}; g1=ProbabilityHistogram[states,geomprobs,DisplayFunction Identity,DefaultFont{"Times-Roman",8}]; geomdatalist=RandomArray[GeometricDistribution[.5],500]; g2=Histogram[geomdatalist,9,DistributionDiscrete,Display FunctionIdentity]; Show[GraphicsArray[{g1,g2}],PlotRange>All,DisplayFunction$DisplayFunction]; 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

. ‫ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻣدرﺟﯾن ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﻣﺗطﺎﺑﻘﯾن ﻣﻣﺎ ﯾدل ﻋﻠﻰ ﻧﺟﺎح ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت‬ ٣٢٠


‫وﻓﯾﻣ ــﺎ ﯾﻠ ــﻰ ﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ ﻟﺣﺳ ــﺎب اﻟﻣ ــدرج اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻟﻰ ﻟﻠﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﻬﻧدﺳ ــﻰ ﺣﯾ ــث اﻟﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻰ ﻫﻧ ــﺎ ‪X‬‬ ‫وﻟﯾس ‪ Y‬وﺳوف ﻧﻌدل ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ .KnoxProb‬وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ اﻟﺧطوات ‪:‬‬ ‫ﻧﺗﺻﻔﺢ اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻧﻰ اﻟﺟزء ‪ 3.2‬ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺻﻔﺣﺔ اﻻﺗﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﺑﻌد ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﻣن ﻗﺑل ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫;]‪dist1=HypergeometricDistribution[5,10,20‬‬ ‫;}‪statelist={0,1,2,3,4,5‬‬ ‫;]}‪problist=Table[PDF[dist1,x],{x,0,5‬‬ ‫‪ProbabilityHistogram[statelist,problist,DefaultFont{"Tim‬‬ ‫;]}‪es-Roman",8‬‬ ‫‪0.35‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫وﯾﺎﺧذ ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪ Copy‬وﺗﻧﻘل اﻟﻰ ﻣﻠف ﺟدﯾد ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ‬

‫وﯾﺗم ﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻟﺗﻧﺎﺳب ﻣﺛﻠﻧﺎ وﺑﻌد ﺗﻧﻔﯾذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٣٢١‬‬


‫;]‪dist=GeometricDistribution[.5‬‬ ‫]‪f[x_]:=PDF[dist,x‬‬ ‫;]}‪aa1=Table[x,{x,1,21‬‬ ‫;]}‪aa2=Table[f[x],{x,0,20‬‬ ‫]}"}‪ProbabilityHistogram[aa1,aa2,AxesLabel{"x","f{x‬‬ ‫‪fx‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21‬‬

‫‪8‬‬

‫وﻋﻧد اﻟﺧروج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Knoxprob‬ﺗظﻬر اﻟرﺳﺎﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫وﻧﺿﻐط ‪ Don'tsave‬وذﻟك ﺣﺗﻰ ﻻ ﯾﺣدث ﺗﻐﯾرات ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥١ -٦‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن طﺎﻟب ﯾﺟﺗﺎز اﻣﺗﺣﺎن ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ رﺧﺻﺔ ﻗﯾﺎدة طﺎﺋرة ﻫو ‪ . 0.7‬أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن‬ ‫اﻟﺷﺧص ﯾﻧﺟﺢ ﻓﻲ اﻷﻣﺗﺣﺎن ‪:‬‬ ‫) ب ( ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ‪.‬‬

‫) أ ( ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ‪.‬‬ ‫‪٣٢٢‬‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ ‪:‬‬ ‫‪g(x,0.7)  (0.7)(0.3) x 1 , x = 1 , 2, ...‬‬ ‫) أ ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻧﺟﺢ ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬

‫‪x= 3‬‬

‫‪ p = 0.7 ,‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪b (31,0.7) = g (3,0.7‬‬ ‫)‪= (0.7) (0.3) 2 =P(X=3‬‬ ‫‪=P(Y=2)= 0.063.‬‬

‫) ب ( اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻧﺟﺢ ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ‪:‬‬ ‫ﺣﯾث‬

‫‪ p = 0.7 ,‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪x= 4‬‬

‫)‪b (41,0.7) = g (4,0.7‬‬ ‫)‪= (0.7) (0.3) 3 ==P(X=4‬‬ ‫‪=P(Y=3)= 0.0189.‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=GeometricDistribution[.7‬‬ ‫]‪PDF[dist,2‬‬ ‫‪0.063‬‬ ‫]‪PDF[dist,3‬‬ ‫‪0.0189‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٢ -٦‬‬ ‫أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل أن ﺷﺧص ﯾﻠﻘﻰ ﻋﻣﻠﺔ ﺳوف ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻌﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪p = q = 0.5‬‬ ‫)‪g(7,0.5) = (0.5)(0.5)6 = (0.5)7 =P(X=7‬‬ ‫‪=P(Y=6)=.0078 .‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=GeometricDistribution[.5‬‬

‫‪٣٢٣‬‬


‫]‪PDF[dist,6‬‬ ‫‪0.0078125‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٣ -٦‬‬ ‫ﻋﻧد إﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﻣﺗزﻧﺔ ‪ ،‬أوﺟد ‪:‬‬

‫)أ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻌدد اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة واﺣدة ‪.‬‬ ‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺻورة ﻓﻲ اﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟراﺑﻌﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ ﺣﯾث‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪g  x p   0.5 0.5 , x = 1,2,3,...‬‬ ‫)أ(‬

‫‪ x  4,p ‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫)ب(‬

‫‪ 1  1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  2 ‬‬

‫‪4 ;1, p ‬‬

‫‪g‬‬

‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﺣﯾث )‪ X ~ GEO(p‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪G  x p    pq i1   q i1  1  p   q i1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ q i1   qi1  1  q x .‬‬ ‫‪i2‬‬

‫=‬

‫‪i 1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٤ -٦‬‬ ‫ﻓـﻲ إﺣـدى اﻟﻣﻧــﺎطق ‪ ،‬إذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣــﺎل ﺣـدوث ﻋﺎﺻــﻔﺔ ﺑرﻗﯾـﺔ ﻓـﻲ أي ﯾــوم ﻣـن أﯾــﺎم اﻟﺻـﯾف ﻓــﻲ‬

‫ﺷﻬري ﯾوﻟﯾو و أﻏﺳطس ﻫو ‪ . 0.1‬و ﺗﺣت ﻓرض اﻻﺳﺗﻘﻼل ﻣن ﯾـوم إﻟـﻰ آﺧـر ﻓﻣـﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫أن ﺗﺣدث أول ﻋﺎﺻﻔﺔ ﺑرﻗﯾﺔ ﻓﻲ ﻓﺻل اﻟﺻﯾف ﻓﻲ ﯾوم اﻟﺛﺎﻟث ﻣن أﻏﺳطس ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔــرض أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛــل ﻋــدد اﻷﯾــﺎم ) اﺑﺗــداء ﻣــن أول ﯾوﻟﯾــو ( ﺣﺗــﻰ ﺣــدوث أول ﻋﺎﺻــﻔﺔ‬

‫ﺑرﻗﯾﺔ ﻓﺈن اﻟﻣطﻠوب ﻫو ﺣﺳﺎب]‪ . P [ X=34‬أي أن ‪:‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪P X  34  .9 .1  .003.‬‬ ‫‪٣٢٤‬‬


‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٥ -٦‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾؤدي اﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﯾن إﻟﻰ رد ﻓﻌل ﻣوﺟب ﻫو ‪ 0.4‬ﻓﻣـﺎ ﻫـو اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ أﻗـل‬ ‫ﻣن ﺧﻣس ردود ﻓﻌل ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻗﺑل أن ﯾﺗﺣﻘق أول رد ﻣوﺟب ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ Y=X-1‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل ﻋـدد ردود اﻟﻔﻌـل اﻟﺳـﺎﻟﺑﺔ ﻗﺑـل وﻗـوع رد اﻟﻔﻌـل اﻟﻣوﺟـب ‪.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪P  Y  y  q yp‬‬

‫‪y = 0,1,2,...‬‬

‫‪= 0 , e.w .‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو ‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪y‬‬

‫‪P  Y  5   .6  .4   .92.‬‬ ‫‪y 0‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=GeometricDistribution[.4‬‬ ‫]‪CDF[dist,4‬‬ ‫‪0.92224‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٦ -٦‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﻪ أﻟﻘﻲ زﻫرة ﻧرد ﻣﺗزﻧﺔ ﺣﺗﻰ ظﻬور اﻟرﻗم ‪. 1‬ﻓـﺈذا ﻛـﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﺛـل ﻋـدد‬ ‫اﻟﻣﺣﺎوﻻت اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﺣﺗﻰ ظﻬور اﻟرﻗم ‪ 1‬ﻷول ﻣرة ‪ .‬أوﺟد ‪:‬‬

‫) أ ( داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪X‬‬ ‫)ب( ) ‪P ( X = 3‬‬

‫) ج ( ) ‪2, E ( X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪٣٢٥‬‬


 5  x 1  1   f  x    6   6  0 , e.w. 

x = 1 ,2 ,3 ,...

31

 5   1  25 P  X  3        P  Y  2  6   6  216

(‫)ب‬ (‫)ج‬

1  E  Y  1  E(Y)  1  5  1  6. p 5   q 6 2   2   2  30  Var(Y  1)  Var(Y)  30. p 1   6 ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬ E X 

: ‫اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; PDF[dist,2]

25 216 Mean[dist] 5 =%+1 6 Variance[dist] 30

. ‫ اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ‬‫ﺣﯾث‬ ‫ )ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل( ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬y ‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم‬ : ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎﻫزة ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; RandomArray[dist,10] {2,1,1,0,1,0,10,2,0,2}

: ‫ ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬y ‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة‬ <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=GeometricDistribution[1/6]; 5

٣٢٦


‫ﯾﻘﺎل أن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻬﻧدﺳـﻲ ﻟﻼﺣﺗﻣـﺎﻻت ﻟـﯾس ﻟـﻪ ذاﻛـرة ﺑﻣﻌﻧـﻰ أﻧـﻪ إذا ﻟـم ﺗﻛـن اﻟﺣﺎدﺛـﺔ ‪ A‬ﻗـد وﻗﻌـت‬ ‫ﺧــﻼل اﻟﺗﻛـ ـ اررات اﻟﺗ ــﻲ ﻋ ــددﻫﺎ ‪ j‬اﻷوﻟ ــﻰ ﻟﻠﺗﺟرﺑ ــﺔ ﻓــﺈن اﺣﺗﻣ ــﺎل ﻋ ــدم وﻗوﻋﻬ ــﺎ ﺧ ــﻼل اﻟﺗﻛـ ـرارت اﻟﺗ ــﻲ‬ ‫ﻋددﻫﺎ ‪ k‬اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻫو ﻧﻔﺳﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﺄن اﻟﺣﺎدﺛﺔ ﻟن ﺗﻘﻊ ﺧﻼل اﻟﺗﻛرارت اﻟﺗﻲ ﻋددﻫﺎ ‪ k‬اﻷوﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٥٧ -٦‬‬ ‫إذا ﻛـﺎن اﺣﺗﻣــﺎل أن ﻻﻋــب ﻛـرة اﻟﺳـﻠﺔ ﯾﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻫــدف ﻓـﻲ أي ﻣﺣﺎوﻟــﺔ ﻫــو ‪ .3‬وﺑﻔــرض‬

‫أن اﻟﻣﺣـﺎوﻻت ﻣﺳــﺗﻘﻠﺔ ‪ .‬ﻓــﺈن اﺣﺗﻣــﺎل اﺣﺗﯾﺎﺟــﻪ إﻟــﻰ ﺧﻣــس ﻣﺣــﺎوﻻت ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ أول ﻫــدف ﻫــو‬ ‫‪ . g(5.3) = .7 4  .3 ‬ﺑﻔرض أﻧﻪ ﻗﺎم ﺑﻌﺷرة ﻣﺣﺎوﻻت دون اﻟﺣﺻول ﻋﻠـﻰ أي ﻫـدف ﻓـﺈن اﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫اﺣﺗﯾﺎﺟـﻪ إﻟــﻰ ﺧﻣـس ﻣﺣــﺎوﻻت ﻟﻠﺣﺻــول ﻋﻠـﻰ أول ﻫــدف ﻣــﺎ زال ‪ . 74 .3‬أﯾﺿـﺎً اﺣﺗﻣــﺎل اﺣﺗﯾﺎﺟــﻪ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻷﻛﺛر ﺧﻣس ﻣﺣﺎوﻻت ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ أول ﻫدف ﻫو ‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪= 1- q 5‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪ pq‬‬

‫= ‪G  5.3 ‬‬

‫‪i=1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪= 1- .7 ‬‬

‫‪= .83193=P(Y  4).‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻛﺗوب ﺑﻠﻐﺔ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل‬ ‫اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﻘطﻌﺔ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫;]‪dist=GeometricDistribution[.3‬‬ ‫]‪CDF[dist,4‬‬ ‫‪0.83193‬‬

‫‪٣٢٧‬‬


‫اﻟﻔﺻل اﻟﺳﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬

‫‪٣٢٨‬‬


‫)‪ (١-٧‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم‬

‫‪Uniform Distribution‬‬

‫ﺑﻔرض أن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻﻼً ﯾﺄﺧذ ﻗﯾﻣﻪ ﻓﻲ ﻓﺗرة ﻣﺣدودة ‪ ،‬ﻟﺗﻛن اﻟﻔﺗرة اﻟﻣﻔﺗوﺣﺔ‬ ‫)‪ ، ( a, b‬وﺑﻔـرض أن داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻬـذا اﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻫـﻲ ‪ f (x) = c‬ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة )‪. ( a, b‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ f‬ﻻﺑ ـ ـ ـ ـ ـ ــد أن ﺗﺣﻘـ ـ ـ ـ ـ ــق اﻟﺷـ ـ ـ ـ ـ ــرط أن ‪  f (x)dx  1‬وﻫـ ـ ـ ـ ـ ــذا ﯾﻌﻧ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ أن ‪:‬‬

‫اﻟداﻟـ ـ ـ ـ ـ ــﺔ )‪(x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪b‬‬

‫) ‪ c ( b-a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ 1   c dx  c x‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ) ‪ . c  1/ ( b - a‬ﺑوﺿــﻊ ‪ f(x)=0‬ﺧــﺎرج‬ ‫‪a‬‬

‫أﯾﺿـﺎ ﺗﺗﺣﻘـق‪ .‬ﯾﺳـﻣﻰ ﻫـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ ﺑـﺎﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة‬

‫اﻟﻔﺗـرة ﻓـﺈن اﻟﺧﺎﺻـﯾﺔ ‪f (x )  0‬‬

‫)‪ (a, b‬ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a  x  b‬‬ ‫‪b-a‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫‪f (x; a, b) ‬‬

‫ﺳـوف ﻧﻛﺗـب ) ‪ X ~ UNIF (a , b‬ﻟﻠدﻻﻟـﺔ ﻋﻠـﻰ أن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻـﻼً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ‬ ‫اﻟﻣﻧﺗظم ‪ .‬ﯾﻌطﻰ ﻫذا اﻟﻧﻣوذج اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر ﻧﻘطﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة )‪ .( a , b‬أﻫـم ﺗطﺑﯾـق ﻟﻬـذا‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫو ﺗوﻟﯾد اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻰ وﺗﺣت ﻓـرض أن اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﺗـﻰ ﻧﺣﺻـل‬ ‫ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ) ‪. UNIF (0, 1‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )‪ X ~ UNIF (a, b‬ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪F( x; a, b)  0‬‬ ‫‪x -a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b-a‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x  a‬‬ ‫‪a x b‬‬ ‫‪b  x.‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ‬

‫‪ p.‬‬ ‫أي أن ‪:‬‬ ‫ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﯾس ﻟﻪ ﻣﻧوال ‪.‬‬

‫)‪ ( 100 p‬وذﻟك ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪xp  a‬‬ ‫‪ba‬‬

‫‪F (x p ; a, b ) ‬‬

‫‪xp = a + ( b – a ) p .‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١ -٧‬‬

‫‪٣٢٩‬‬


‫إذا ﻛﺎن اﻟزﻣن اﻟذى ﯾﺳـﺗﻐرﻗﻪ ﺷـﺧص ﻟﻠـذﻫﺎب ﻣـن ﻣﻧزﻟـﻪ إﻟـﻰ ﻣﺣطـﺔ اﻟﻘطـﺎر ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم‬

‫ﺑـﯾن ‪ 20 , 15‬دﻗﯾﻘـﺔ ‪ .‬ﻓـﺈذا ﻛــﺎن اﻟﺷـﺧص ﯾﻐـﺎدر ﻣﻧزﻟــﻪ ﻋﻧـد اﻟﺳـﺎﻋﺔ ‪ 7:30‬ﺣﺗــﻰ ﯾﻠﺣـق اﻟﻘطــﺎر‬ ‫واﻟذى ﯾﻐﺎدر اﻟﻣﺣطﺔ ﻋﻧد اﻟﺳﺎﻋﺔ ‪ . 7: 48‬اﻟﻣطﻠوب ﺣﺳﺎب اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻠﺣق اﻟرﺟل اﻟﻘطﺎر ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﻔـرض أن ‪X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻣﺗﺻـﻼً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ] ‪ . [ 15, 20‬اﻟﻣطﻠـوب‬

‫ﺣﺳـ ــﺎب اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل )‪ P(15  X  18‬وذﻟـ ــك ﻷن اﻟﻘطـ ــﺎر ﯾﻐـ ــﺎدر اﻟﻣﺣطـ ــﺔ ﺑﻌـ ــد ‪ 18‬دﻗﯾﻘـ ــﺔ ﻣـ ــن‬ ‫ﻣﻐﺎدرة اﻟﺷﺧص ﻟﻣﻧزﻟﻪ ‪ .‬ﺑﻣﺎ أن ‪ b – a = 20 – 15 = 5‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪x 18 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪5 15 5‬‬

‫‪P ( 15  X  18 )  ‬‬

‫اﻻن ﺳوف ﯾﺗم اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪‬‬

‫‪15 20  15‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫وﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻻﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺑﺻورة ﺧﺎﺻﺔ و ﻟﻠﺗوزﯾﻌﺎت اﻟﻣﺗﺻﻠﺔ ﺑﺻورة‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ ﯾﺗم ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪ ContinuousDistributions‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ‪ Statistics‬وذﻟك ﺑﻛﺗﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫`‪ <<Statistics`ContinuousDistributions‬ﺛم ﺗﻧﻔﯾذة ﻛﻣﺎ ﺷرﺣﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺣزﻣﺔ وﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر ‪Help‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪٣٣٠‬‬


‫اﻻن ﺳوف ﻧﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﻛﯾﻔﯾﺔ اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﺧص اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﻧﻛﺗب اﻻﺗﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪dist=UniformDistribution[15,20‬‬ ‫]‪UniformDistribution[15,20‬‬ ‫]‪a=PDF[dist,18‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب )‪P ( X =18‬‬ ‫ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻻﺛﺑﺎت ان ﻣﺟﻣوع ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﺗﺳﺎوى واﺣد وﻫﻰ اﺣدى ﺷروط داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫ﻧﻛﺗب ‪:‬‬

‫]‪CDF[dist,20]-CDF[dist,15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪٣٣١‬‬


‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪P ( X  1 8‬‬

‫ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪CDF[dist,18‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪P ( X  3‬‬

‫ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪CDF[dist,3‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪P ( X  3 0‬‬

‫ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪CDF[dist,30‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Domain[dist‬‬ ‫]}‪Interval[{15,20‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﺤﺴﺎب ﺗﺒﺎﯾﻦ اﻟﺘﻮزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪Variance[dist‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪12‬‬

‫]‪StandardDeviation[dist‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪Skewness[dist‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪٣٣٢‬‬


‫ﻟﺣﺳﺎب ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Kurtosis[dist‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪ E ( X 2‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ExpectedValuex2, dist, x‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪E ( X 3‬‬

‫‪925‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ExpectedValuex3, dist, x‬‬ ‫‪21875‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ) ‪ E ( X 4‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ExpectedValuex4, dist, x‬‬ ‫‪97625‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ﻗﯾم ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪RandomArray[dist,10‬‬ ‫‪{16.6861,19.8197,17.1564,19.9501,17.4936,16.0747,19.2026,15.2206,17.5‬‬ ‫}‪121,16.2474‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾد ﻗﯾﻣﺔ واﺣدة ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Random[dist‬‬ ‫‪15.603‬‬

‫وﻫﻧﺎك ﺑﻌض اﻟﺣﺳﺎﺑﺎت ﯾﻣﻛن اﺟراﺋﻬﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺗﻛﺎﻣل اﻟﻌﺎدى ودون اﺳﺗﺧدام اﻟﺣزم‪ ،‬ﻓﻌﻠﻰ‬

‫ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻻﺛﺑﺎت ان ﻣﺟﻣوع ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ﺗﺳﺎوى واﺣد وﻫﻰ اﺣدى ﺷروط داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻧﻛﺗب ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪‬‬

‫‪15 20  15‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪٣٣٣‬‬


‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن )‪ f(x), F(x‬ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻣ ــن ﺑرﻧـ ــﺎﻣﺞ ‪KnoxProb‬‬

‫ﻧﺗﺑـ ــﻊ ﻧﻔـ ــس اﻟﺧط ـ ـوات اﻟﺗ ــﻰ اﺗﺑﻌـ ــت ﻓـ ــﻰ اﻟﻣﺛـ ــﺎل )‪ (٦-٣‬ﺣﺗـ ــﻰ‬

‫اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﺟزء ‪ Sec 3.2‬وﻫﻧﺎ ﯾﺗم ﺗﺻﻔﺢ ﻫذا اﻟﺟزء ﺣﺗـﻰ ﯾـﺗم اﻟوﺻـول اﻟـﻰ اﻟﺷـﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﺣﯾــث ﯾــﺗم اﻟﺿــﻐط ﻋﻠــﻰ اﻟﻘــوس اﻻﯾﺳــر ﻟﻠﺟــزء اﻟﻣظﻠــل ﺑــﺎﻟﻠون اﻟرﻣــﺎدى واﻟﺗﻧﻔﯾــذ ﻛﻣــﺎ ﺳــﺑق ان‬ ‫اوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻻﺗﻰ واﻟذى ﯾوﺿﺢ ﺑﯾﺎن )‪f(x), F(x‬‬

‫ﻟﺗوزﯾﻊ اﺧر وﻗد ﺗم اﯾﺟﺎد اﻟرﺳﻣﺗﯾن ﻣﻌﺎ‪.‬‬

‫‪٣٣٤‬‬


‫وﺑﺎﻟﻧﺳــب ﻟﻣﺛﺎﻟﻧــﺎ ﻓﻠــم ﻧﺳــﺗطﻊ ﻟــذﻟك ﺳــوف ﻧﻐﯾــر ﻓــﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت وﻧرﺳــم ﻛــل رﺳــﻣﺔ ﻋﻠــﻰ ﺣــدة ﻛﻣــﺎ‬ ‫ﯾﺗﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪g[x_,a_,b_]:=PDF[UniformDistribution[a,b],x‬‬ ‫‪Plot[g[x,15,20],{x,15,20},PlotStyle‬‬‫‪>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪18‬‬

‫‪19‬‬

‫‪17‬‬

‫‪16‬‬

‫;]‪G[x_,a_,b_]:=CDF[UniformDistribution[a,b],x‬‬ ‫‪Plot[G[x,15,20],{x,15,20},PlotStyle‬‬‫‪>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪18‬‬

‫‪19‬‬

‫‪17‬‬

‫‪16‬‬

‫ﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم‬ ‫ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ اﺟرﯾﻧﺎ ﻣﺣﺎﻛﺎة ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,10‬وذﻟك ﺑﺗوﻟﯾـد ﻋﯾﻧﺗـﯾن ﻛـل ﻣﻧﻬﻣـﺎ ﻣـن‬

‫‪ 100‬ﻗﯾﻣــﺔ ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻰ اﻟﻔﺗـرة )‪ (0,10‬وذﻟــك ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻻﻣــر ‪ RandomArray‬ﺛــم‬ ‫اوﺟدﻧﺎ اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻟﺗﻠك اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻋﺷرة اﻋﻣدة ﺳوف ﻧﺟـد ان اﻟﻣـدرج ﻟـﻪ ﻧﻔـس ﺗﺳـطﺢ‬ ‫ﻣﺛل اﻟﺗوزﯾﻊ وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٣٣٥‬‬


uniflist1=RandomArray[UniformDistribution[0,10],100]; uniflist2=RandomArray[UniformDistribution[0,10],100]; Show[GraphicsArray[{Histogram[uniflist1,10,Endpoints{0,1 0},DisplayFunctionIdentity,NumDigits1],Histogram[unifli st2,10,Endpoints{0,10},NumDigits1,DisplayFunctionIdent ity]}],DisplayFunction$DisplayFunction]; 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5

0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5

.(٦-٣) ‫وﻗد ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺗﺑﻌت ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل‬ (٢ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻗﺎم ﺑﺎﺣث ﻓﻲ ﻣﺟﺎل ﻋﻠم اﻷﺣﯾﺎء ﺑوﺿـﻊ ﻣﺟﻣوﻋـﺔ ﻣـن اﻟﺣﻣـﺎم ﻓـﻲ ﻏرﻓـﺔ ﻣظﻠﻣـﺔ ﻟﻌـدة أﯾـﺎم ﺛـم ﺑﻌـد‬

:‫ ﻓﺈذا ﻛﺎن اﺗﺟﺎﻩ اﻟطﯾران ﻟﻠطﺎﺋر ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﺣﯾث‬. ‫ذﻟك ﺗم إطﻼﻗﻬم ﻓﻲ اﻟﺿوء‬ . P ( 210  X  220 )

‫ أوﺟد‬. X ~ [ 0, 360 ] :‫اﻟﺣــل‬

: ‫ ﻓﺈن‬X ~ UNIF (0, 360) ‫ﺗﺣت ﻓرض أن‬

P ( 210  X  220 )  F (220) - F (210) 220 - 0 210  0   360 - 0 360  0 1  . 36

: ‫اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳوف ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬  Statistics`ContinuousDistributions` dist  UniformDistribution0, 360; CDFdist, 220  CDFdist, 210

1 36

: ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾــن‬

: ‫ ﻓﺈن‬X ~ UNIF (a, b) ‫إذا ﻛﺎن‬

٣٣٦


‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫‪b-a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪  E(X)   x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪b  a 2 (b  a )(b  a ) a  b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪2( b  a‬‬ ‫) ‪2( b  a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫‪E(X )   x 2 ‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪b 3  a 3 (b 2  ab  a 2 )(b  a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪3(b  a‬‬ ‫) ‪3(b  a‬‬

‫‪b 2  ab  a 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪b 2  ab  a 2 (a  b) 2‬‬ ‫‪  Var (X) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(b - a) 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﻧﺗﺎج أن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫو ﻧﻘطﺔ اﻟوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺗﻧﺎﺳب ﻣﻊ طول اﻟﻔﺗرة‬ ‫‪‬‬

‫) ‪ . ( a, b‬ﻋﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل إذا ﻛﺎﻧــت ﻗـراءة درﺟــﺔ اﻟﺣـ اررة ) ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻟﻔﻬرﻧﻬﯾــت ( ﻋﻧــد ﻧﻘطــﺔ‬ ‫زﻣﻧﯾـﺔ ﻣﺧﺗـﺎرة ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻓـﻲ ﻣوﻗـﻊ ﻣـﺎ ﯾﺗﺑـﻊ ) ‪ٕ X ~ UNIF (50 , 90‬واذا ﻛﺎﻧـت اﻟﻘـراءة ﻓـﻲ ﻣوﻗـﻊ‬ ‫آﺧ ــر ﯾﺗﺑ ــﻊ )‪110‬‬

‫‪(30,‬‬

‫‪UNIF‬‬

‫~‬

‫‪ . Y‬اﻟﻣﺗوﺳ ــط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـ ـرﯾن ‪Y‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ X‬واﺣ ــد ﺣﯾ ــث‬

‫‪  X   Y  70‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ‪  2X  400 / 3‬أﺻﻐر ﻣن ‪.  2Y  1600 / 3‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺳﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫;]‪dist=UniformDistribution[a,b‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪2‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a  b2‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﻟﻘد اﺛﺑﺗﻧﺎ ان اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﯾﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﻧﺗﺻف اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن ‪ . a,b‬ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث اﻟﺟزء ‪ Sec3.3‬ﺣﯾث ﺗم ﺗوﻟﯾد‬ ‫‪ 1000‬ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 10‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (2,6‬وﻗد ﺗم اﯾﺟﺎد اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻛل‬ ‫‪٣٣٧‬‬


‫ وﻫو‬4 ‫ﻋﯾﻧﺔ ﺛم ﺗﻣﺛﯾل ﻫذﻩ اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ وﻗد وﺟد ﻣن اﻟرﺳم ان اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﯾﻘﺗرب ﻣن‬ ‫ )ﻗﺎﻧون اﻟﻘوة‬Stronge Law of Large Number ‫اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ وﻫو ﯾﺣﻘق ﻧظرﯾﺔ‬

. ( ‫ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة واﻟذي ﺳوف ﻧﺗﻧﺎوﻟﻪ ﺑﺎﻟﺗﻔﺻﯾل ﻓﻰ اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻣن‬

Needs["Statistics`ContinuousDistributions`"] SimMeanSequence[distribution_,nummeans_,m_]:= Module[{nextsample,meanlist,runningsum,currnumobs}, currnumobs=0; runningsum = 0; meanlist = {}; While[currnumobs<nummeans, nextsample=RandomArray[distribution,m]; currnumobs = currnumobs+m; runningsum=runningsum + Apply[Plus,nextsample]; AppendTo[meanlist,runningsum/currnumobs]]; ListPlot[meanlist,PlotStyle->PointSize[.02],PlotJoined>True,DefaultFont{"Times-Roman",8}]]

SeedRandom[439873]; SimMeanSequence[UniformDistribution[2,6],1000,10]; 4.1

4.05

20

40

60

80

100

3.95

3.9 3.85

(٣ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫( واوﺟـدﻧﺎ اﻟﻣﺗوﺳـط‬0,2) ‫ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻧـﺗظم ﻓـﻰ اﻟﻔﺗـرة‬40 ‫ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬100 ‫ﺑﻔرض اﻧﻧﺎ ﻗﻣﻧﺎ ﺑﺗوﻟﯾد‬ ‫ﻟﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﺛم ﻗﻣﻧﺎ ﺑﺗﻣﺛﯾل ﺗﻠك اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـررى وذﻟـك ﺑﺎﺳـﺗﺧدام ﺑرﻧـﺎﻣﺞ‬ : ‫ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬Sec4.1 ‫ اﻟﺟزء‬KnoxProb SeedRandom[98996]; sampmeans=Table[Mean[RandomArray[UniformDistribution[0,2] ,40]],{i,1,100}]; g1=Histogram[sampmeans,8,Type->Scaled];

٣٣٨


‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1.22‬‬

‫‪1.16‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪1.04‬‬

‫‪0.92‬‬

‫‪0.98‬‬

‫‪0.87‬‬

‫‪0.81‬‬

‫ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد ان ﻣﻌظم ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺗﻘﺗرب ﻣن اﻟوﺳـط اﻟﺣﺳـﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾـﻊ وﻫـو واﺣـد‬

‫ﺻــﺣﯾﺢ ﻛﻣــﺎ ان اﻟرﺳــم ﯾﻘﺗــرب ﻣــن ﺷــﻛل اﻟﺟــرس ‪ ،‬اى ﺷــﻛل اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﻫــذا ﻣــﺎ ﺗــﻧص ﻋﻠﯾــﻪ‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ان ﺗوﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﺎت ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛﺑر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬

‫اﻟداﻟـﺔ اﻟﻣوﻟـدة ﻟﻠﻌـزوم ‪:‬‬

‫‪e tx‬‬ ‫‪e bt  e at‬‬ ‫‪M X ( t )  E(e )  ‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪t (b  a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪tx‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪ x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪b a‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ Expx  t ‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪at  bt‬‬

‫‪a t b t‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤ -٧‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ اًـر ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﻟ ــﻪ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻲ اﻟﻔﺗـ ـرة )‪. (2, 2‬أوﺟــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻹﺣﺗﻣ ــﺎل‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ .‬ﻣﺎﻫو )‪ . E(X‬ﻣﺎﻫو‪:‬‬ ‫)‪P(X  1),P(X  0),P(X  0.2),P(X  2),P(X  1‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ba 2(2) 4‬‬ ‫‪٣٣٩‬‬

‫‪f (x) ‬‬


‫أي أن )‪ f (x‬ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪-2 x  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)   4‬‬ ‫‪0 , e.w‬‬

‫‪a b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ E(X) ‬ﻫﻧﺎ ‪ a  2,b  2‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪ 2 2‬‬ ‫‪ 0.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  1)   dx  x  1 2  .‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  0)   dx  x  0  2  .‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪P(X  2)   dx  0.‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P(X 1)   dx  x  1 2  .‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 2 1‬‬ ‫‪P(X  2)   dx  x  2 2 1.‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪4 2 4‬‬ ‫‪E (X ) ‬‬

‫‪.‬‬

‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬

‫) ‪ ( ٢-٧‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ ‪The Normal Distribution :‬‬ ‫ﯾﻌﺗﺑـر اﻟﻌـﺎﻟم )‪ Abraham de Moivre (1733‬أول ﻣـن ﻧﺷـر ﺑﺣـث ﻋـن اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ‬ ‫وذﻟك ﻛﺗﻘرﯾب ﻟﺗوزﯾـﻊ ﻣﺟﻣـوع ﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ذى اﻟﺣـدﯾن ‪ .‬وﯾﻣﻛـن اﻟﻘـول أن اﻟﺗوزﯾـﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌـﻰ ) أﺣﯾﺎﻧـﺎ ﯾﺳـﻣﻰ ﺗوزﯾـﻊ ﺟـﺎوس ‪ ( Gaussian distribution‬ﯾﻌﺗﺑـر أﻫـم ﺗوزﯾـﻊ اﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺟﺎل اﻻﺣﺗﻣﺎل واﻹﺣﺻﺎء ﻓﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻌددﯾﺔ ﯾﻘﺗـرب ﻣﻧﺣﻧﺎﻫـﺎ ﻛﺛﯾـراً ﻣـن‬

‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل اﻷطـوال ‪ ،‬اﻷوزان ‪ ،‬ﻗﯾﺎﺳـﺎت اﻷﺧطـﺎء ﻓـﻰ اﻟﺗﺟـﺎرب اﻟﻧﻔﺳـﯾﺔ ‪،‬‬ ‫ﻗﯾﺎﺳـﺎت اﻟـذﻛﺎء‪ ،‬اﻟــدرﺟﺎت ﻓـﻰ اﻻﺧﺗﺑــﺎرات اﻟﻣﺧﺗﻠﻔـﺔ ‪ ،‬اﻟﻘﯾﺎﺳــﺎت اﻹﻗﺗﺻـﺎدﯾﺔ … اﻟــﺦ ‪ .‬أﯾﺿـﺎً ﺣﺗــﻰ‬ ‫‪٣٤٠‬‬


‫ﻟو ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﺗﻘطﻊ ﻓﺈن ﻣﺟﻣوﻋﻬﺎ أو ﻣﺗوﺳطﻬﺎ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗﻘرﯾﺑـﺎً اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ وذﻟـك ﺗﺣـت ﺷـروط‬ ‫ﻣﻧﺎﺳـﺑﺔ واﻟـذى ﯾﻌﺗﺑــر أﺳـﺎس ﻧظرﯾــﺔ اﻟﻧزﻋـﺔ اﻟﻣرﻛزﯾــﺔ اﻟﺗـﻰ ﺳـوف ﻧﺗﻧﺎوﻟﻬــﺎ ﻓـﻰ اﻟﻔﺻــل اﻟﺛـﺎﻣن ‪ .‬ﯾﻘــﺎل‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ــر اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـواﺋﻰ ‪ X‬إﻧـ ـ ـ ــﻪ ﯾﺗﺑـ ـ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ـ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌـ ـ ـ ــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـ ـ ـ ــﯾن ‪ ، ( 2 , ) ,  , ‬ﺣﯾ ـ ـ ـ ــث‬ ‫‪   0 , -     ‬ﺣﯾ ــث ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣ ــﺔ اﻟﻣوﻗ ــﻊ و ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣـ ــﺔ اﻟﻘﯾ ــﺎس إذا ﻛ ــﺎن داﻟ ــﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓـ ــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e (x -) /( 2 ) -   x  ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 2.71828‬ﺑﯾﻧﻣــﺎ ‪ ‬ﺗﻣﺛــل اﻟﺛﺎﺑــت‬ ‫ﺣﯾــث ‪ e‬ﺗرﻣــز ﻷﺳــﺎس اﻟﻠوﻏــﺎرﯾﺗم اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﺗﺳــﺎوى ﺗﻘرﯾﺑــﺎً‬

‫‪f (x; , ) ‬‬

‫اﻟﻣﺷـﻬور ﻓـﻰ اﻟرﯾﺎﺿــﯾﺎت واﻟـذى ﻗﯾﻣﺗــﻪ ﺗﻘرﯾﺑـﺎً ‪ . 2.14159‬ﺳــوف ﻧﻛﺗـب ) ‪ X ~ N(,  2‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ‬

‫ﻋﻠ ـ ــﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـ ـراً ﻋﺷـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ـ ــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗ ـ ــﯾن ‪ .  2 , ‬ﺑﯾ ـ ــﺎن ) ‪f ( x; ,  2‬‬

‫ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫ﺣﯾ ــث ﯾظﻬ ــر اﻟﻣﻧﺣﻧ ــﻰ اﻟطﺑﯾﻌ ــﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛ ــل ﺣ ــول ‪ ‬وﯾﺄﺧ ــذ ﺷ ــﻛل اﻟﺟ ــرس ) أو اﻟﻧ ــﺎﻗوس ( وﯾﺗﻘ ــﺎرب‬ ‫طرﻓﺎ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣن اﻟﺻﻔر ﻋﻧد ‪ x  ‬أو ‪. x  ‬‬

‫ﺗﺣﻘق اﻟداﻟﺔ ) ‪ f ( x; ,  2‬ﺷرطﻰ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل وﻫﻣﺎ ‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪f ( x ; ,  2 )  0‬‬

‫)ب(‬

‫‪2‬‬ ‫‪ f ( x; ,  ) dx  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻊ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ ‪:‬‬

‫‪ NormalDistribution‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ‪ Statistics‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٣٤١‬‬


‫`‪<<Statistics`NormalDistribution‬‬

‫ﻓﻣﺛﻼ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺻورة ﻋﺎﻣﺔ ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر‪:‬‬ ‫]‪CDF[NormalDistribution[,],x‬‬ ‫وﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻞ اﻟﻤﺌﯿﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ )‪ (100 p‬ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻻﻣﺮ‪:‬‬ ‫]‪Quantile[NormalDistribution[,],p‬‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪Standard Normal Distribution :‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﻪ ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﺳﻣﻲ اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪ .‬ﺑﻔرض أن ‪ Z‬ﺗرﻣز ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣﺗﺻل ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻲ ﻗﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن‬ ‫داﻟﺔ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻟذﻟك اﻟﻣﺗﻐﯾر ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪z2‬‬

‫‪1  2‬‬ ‫‪f (z) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-  z  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ z1‬ﻋدد ﺣﻘﯾﻘﻲ ﻣوﺟب ﻓﺎن اﻻﺣﺗﻣﺎل ) ‪ ( z1  Z  0‬ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ ،‬وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪. (٣‬‬

‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻲ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻏﯾر ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‬ ‫اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻟﻘﯾم ‪ z‬اﻟﺳﺎﻟﺑﺔ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬم ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻠﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ‪.‬‬

‫اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟواﻗﻌﺔ ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﺑﯾن ‪ z  0‬و ‪ z  z1‬ﺗﺳـﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ‬

‫اﻟواﻗﻌﺔ ﺑﯾن ‪ z  z1‬و ‪ z  0‬أي أن ‪:‬‬ ‫) ‪P(  z1  Z  0)  P(0  Z  z1‬‬

‫ﻣﻌظم اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة )‪ (-3,3‬وﻧﺎدرا ﻣﺎ ﻧﺟد ﻗﯾم ﺗﻘﻊ‬ ‫ﺧﺎرج ھذه اﻟﻔﺗرة ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥-٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ Z‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﺣﺳب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻵﺗﯾﺔ ﻣﻊ ﺗوﺿﯾﺢ‬ ‫‪٣٤٢‬‬


‫ذﻟك ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ‪.‬‬ ‫)أ( )‪P(0  Z  1.05‬‬ ‫)ج( )‪P( 0.47  Z  0.95‬‬ ‫)ھـ( )‪P( Z  2.02‬‬

‫)ب( )‪P( 1.06  Z  1.06‬‬ ‫)د( )‪P(1.6  Z  2‬‬ ‫)و( )‪P( Z  0.45‬‬

‫)ز( )‪P( Z  1.07‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫)أ( ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪ P(0  Z  1.05‬ﻧﺑﺣث ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷول ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻣﺎل ﻣن ﺟدول‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻋن اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ 1.0‬ﺛم ﻧﺗﺣرك أﻣﺎم ھذه اﻟﻘﯾﻣﺔ أﻓﻘﯾﺎ ﺣﺗﻰ ﻧﺻل إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻌﻣود اﻟذي رأس ﻋﻧواﻧﮫ اﻟرﻗم ‪ 0.05‬ﻓﺗﻛون ھﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣطﻠوﺑﺔ أي أن ‪:‬‬ ‫‪. P(0  Z  1.05)  0.3531‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺴﺎﺑﻖ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮫ ﻣﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺠﺰء‬ ‫‪ Sec3.1‬ﺑﺎﺗﺒﺎع اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﻰ ذﻛﺮﻧﺎھﺎ ﻓﻰ ﻣﺜﺎل )‪ (٦-٣‬ﻣﻊ‬

‫ﺗﻐﯾﯾر ﻓﻰ ﺑﻌض اﻻواﻣر ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﯾﻧﺎﺳب ﻣﺛﺎﻟﻧﺎ ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`Continuous Distributions‬‬ ‫]‪f[x_]:=PDF[NormalDistribution[0,1],x‬‬ ‫{{‪PlotContsProb[f[x],{x,-3,3},{0,1.05},Ticks‬‬‫‪3,0,1.05,3},Automatic},AxesOrigin{0,0},PlotRangeAll,Def‬‬ ‫;]}‪aultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪٣٤٣‬‬


‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1.05‬‬

‫)ب( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ P(1.06  Z  1.06‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﻧظرا ﻟﺗﻣﺎﺛل اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫)‪P(1.06  Z  1.06)  P(1.06  Z  0)  P(0  Z  1.06‬‬

‫‪ 2P(0  Z  1.06)  2(0.3554)  0.7108.‬‬ ‫)ج( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ P(0.47  Z  0.95‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫وﻧظرا ﻟﺗﻣﺎﺛل اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪P (0.47  Z  0.95)  P ( 0.47  Z  0)  P (0  Z  0.95‬‬ ‫‪ P (0  Z  0.47)  P (0  Z  0.95)  0.1808  0.3289  0.5097.‬‬

‫‪٣٤٤‬‬


‫)د( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ P(1.6  Z  2‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫)‪P(1.6  Z  2)  P(0  Z  2)  P(0  Z  1.6‬‬ ‫‪ 0.4772  0.4452  0.032.‬‬

‫)ھـ( ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺣﻘﯾﻘﺔ أن )‪ P( Z  0‬ﯾﺳﺎوي ﻧﺻف اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻛﻠﯾﺔ ﺗﺣت‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ أي أن ‪ P( Z  0)  0.5‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫)‪P(Z  2.02)  P( Z  0)  P(0  Z  2.02‬‬ ‫‪ 0.5  0.4783  0.0217.‬‬

‫)و( اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ P( Z  0.45‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫و ﻧظرا ﻟﺗﻣﺎﺛل اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫)‪P( Z  0.45)  P( Z  0.45‬‬ ‫)‪ P(Z  0)  P(0  Z  0.45‬‬ ‫‪ 0.5  0.1736  0.3264.‬‬

‫)ز(اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ P( Z  1.07‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٣٤٥‬‬


‫وﻻن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗﻣﺎﺛل وﻣﺳﺎﺣﺔ ﻛل ﺟﺎﻧب ﻣن ﺟﺎﻧﺑﻲ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗﺳﺎوي ‪ 0.5‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫)‪P( Z  1.07)  P( Z  0)  P(0  Z  1.07‬‬ ‫‪ 0.5  0.3577  0.8577.‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرھﺎ ﺗﻣﺎرﯾن ﺗﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬

‫ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫ﯾﻘوم ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬ﺑﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪ z1  z ‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪P(  z1  Z  0)  P(0  Z  z1‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٦-٧‬‬ ‫ﻗدر اﻟﻘﯾم ‪z ‬‬

‫ﻟﻠﻘﯾم ‪  .1,.05,.01,.001,.0001,.00001‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة ‪:‬‬ ‫‪ Statistics`ContinuousDistributions‬وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬

‫وﻟﻠﺗذﻛﯾر ﻓﺈن اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة ‪ DiscriptiveStatistics‬ﺗﺗﺣﻣل ﺗﻠﻘﺎﺋﯾﺎ ‪.‬‬ ‫‪٣٤٦‬‬


‫ ﺣﯾث‬: zdist=NormalDistribution[0,1] ‫اﻻﻣر‬ :‫ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر‬z  ‫ ﯾﻌرف اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ وﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾم ﻋدﯾدة ﻟـ‬zdist 2 commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]// N

{x,(100  x) /100,(100  x) / 200, z  }

‫وذﻟك ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ‬

2

: ‫ ﺑﺣﯾث ان‬X=90,95,99,99.9,99.999 : ‫ﻟﻛل ﻣن اﻟﻘﯾم‬

(100  x) (100  x)   ,  . 100 200 2

: ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‬

TableFormcommonvalues, TableHeadings  , "Confidence Level", ,   2, z2 ‫ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ‬  2

Confidence Level

90. 95. 99. 99.9 99.99 99.999

0.1 0.05 0.01 0.001 0.0001 0.00001

0.05 0.025 0.005 0.0005 0.00005 5.  106

z 2

1.64485 1.95996 2.57583 3.29053 3.89059 4.41717

. ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` zdist=NormalDistribution[0,1];

commonvalues=Map[{#,(100-#)/100,(100#)/200,Quantile[zdist,(100+#)/200]}&,{90,95,99,99.9,99.99,99.999}]//N ;

TableFormcommonvalues, TableHeadings  , "Confidence Level", ,   2, z2

٣٤٧


‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1.64485‬‬ ‫‪1.95996‬‬ ‫‪2.57583‬‬ ‫‪3.29053‬‬ ‫‪3.89059‬‬ ‫‪4.41717‬‬

‫‪0.05‬‬ ‫‪0.025‬‬ ‫‪0.005‬‬ ‫‪0.0005‬‬ ‫‪0.00005‬‬ ‫‪5.  106‬‬

‫‪‬‬

‫‪Confidence Level‬‬ ‫‪90.‬‬ ‫‪95.‬‬ ‫‪99.‬‬ ‫‪99.9‬‬ ‫‪99.99‬‬ ‫‪99.999‬‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪0.0001‬‬ ‫‪0.00001‬‬

‫اﺳﺗﺧدام اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻻﺳﺗﺧراج اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت ﺗﺣت اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ‪:‬‬ ‫اﻵن ﻧﻌود ﻣرة أﺧري إﻟﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ ﻣﺗوﺳطﮫ ‪ ‬واﻧﺣراﻓﮫ‬ ‫اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪  .‬ﯾﻣﻛن ﺗﺣوﯾل اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬إﻟﻰ ﻣﺗﻐﯾر طﺑﯾﻌﻲ ﻗﯾﺎﺳﻲ ‪ ‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺻﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Z‬‬

‫اﻟﺗﺣوﯾل ﻣن ‪ X‬إﻟﻰ ‪ ‬ﯾﻣﺛل اﻧﺗﻘﺎل ﻟﻧﻘطﺔ اﻷﺻل ﻣﺻﺣوﺑﺎ ً ﺑﺗﻐﯾر ﻟﻣﻘﯾﺎس اﻟرﺳم ‪.‬ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫‪ x  ‬ﻓﺈن ‪ ، z  0‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪ x    ‬ﻓﺈن ‪ ، z  - 1‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪ x    2‬ﻓﺈن ‪ z  2‬ھﻛذا ‪.‬أي‬ ‫أن ﻣﻘﯾﺎس اﻟرﺳم ﻗد ﺗﻐﯾر ﺣﯾث ﺗﻧﺎظر ﻣﺳﺎﻓﺔ ‪ ‬ﻋﻠﻰ ﻣﺣور اﻟﺳﯾﻧﺎت ﻣﺳﺎﻓﺔ ﻗدرھﺎ واﺣد ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺣور ‪ ، z‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺟداول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻟﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻷي‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻷﻣﺛﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٧-٧‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣدﯾﻧﺔ ﺻﻐﯾرة وﺟد أن أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﻣﺳﺟﻠﺔ ﯾوﻣﯾﺎ ﺧﻼل ﻓﺻل اﻟرﺑﯾﻊ ﻟﮭﺎ ﻣﺗوﺳط‬ ‫‪ 20c‬اﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 5c‬ﺑﻔرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ ) X‬أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﯾوﻣﯾﺎ (‬ ‫ﯾﺧﺿﻊ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪ ،‬أوﺟد اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﮭﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ‪:‬‬ ‫)ب(ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ‪28c‬‬ ‫)أ(ﺑﯾن ‪ 22c‬و ‪26c‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫)أ( إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﯾرﻣز ﻷﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﻣﺳﺟﻠﺔ ﯾوﻣﯾﺎ ﻓﺎن ‪ X‬ﯾﻛون ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ طﺑﯾﻌﻲ‬ ‫ﻣﺗوﺳطﮫ ‪   20‬واﻧﺣراﻓﮫ اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪   5 .‬اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ اﻟﻣﻧﺎظر ھو ‪:‬‬ ‫‪X -  X  20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪Z‬‬

‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  22‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪22  20‬‬ ‫‪ 0. 4.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫وﻋﻧدﻣﺎ ‪ x 2  26‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪26  20‬‬ ‫‪ 1. 2.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪٣٤٨‬‬

‫‪z2 ‬‬


‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ p(22X26‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫)‪P(22  X  26)  P(0.4  Z  1.2‬‬ ‫‪ 0.3849  0.1554  0.2295.‬‬ ‫أي أن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﮭﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﺑﯾن ) ‪ 22c‬و ‪ ( 26c‬ھﻲ ‪. %‬‬

‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ x1  28‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪28  20‬‬ ‫‪ 1. 6.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪z1 ‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ھو )‪ P(X 28‬وھو ﯾﺳﺎوي اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫)‪P(X  28)  P(Z  1.6‬‬ ‫)‪ P( Z  0)  P(0  Z  1.6‬‬ ‫‪ 0.5  0.4452  0.0548.‬‬

‫أي أن اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺋوﯾﺔ ﻟﻸﯾﺎم اﻟﺗﻲ ﻓﯾﮭﺎ أﻋﻠﻰ درﺟﺔ ﺣرارة ﻓوق ‪ 28c‬ھﻲ ‪. 5.48 %‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻋﺗﺑﺎرھﺎ ﺗﻣﺎرﯾن ﺗﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪X‬‬ ‫ﺣﯾث ) ‪ X ~ N(,  2‬ﻓﺈن ‪Var(X)   2 ,E(X)  ‬‬ ‫اﻟرﺳم اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء‪Sec4.1‬‬

‫ﺑﺎﺗﺑﺎع اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ ذﻛرﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ . (٦-٣‬ﻓﻰ ﻫذا اﻟرﺳم اﻋﺗﺑرت داﻟﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ داﻟﺔ ﻓﻰ ‪. x,‬‬ ‫ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﺛﺎﺑت وﯾﺳﺎوى اﺛﻧﯾن‪.‬‬ ‫‪٣٤٩‬‬


‫‪Plot3D[f[x,,2],{x,-8,8},{,-2,2},PlotPoints->30,‬‬ ‫‪ViewPoint->{-0.012, -3.293, 0.779},AxesLabel‬‬‫;]}‪>{"x","",None},DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪x‬‬

‫اﻟوﺳﯾط واﻟﻣﻧوال وﻧﻘﺎط اﻻﻧﻘﻼب ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ) ‪ X ~ N(,  2‬ﻓﺈن اﻟوﺳﯾط = اﻟﻣﻧوال = اﻟوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ ‪.‬‬ ‫و ﻧﻘطﺗﻰ اﻻﻧﻘﻼب ﺗﻛون ﻋﻧد ‪x    ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٨ -٧‬‬ ‫إذا ﻛـ ـ ــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـ ــر ﻋﺷ ـ ـ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑـ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ـ ــﻊ اﻟطﺑﯾﻌـ ـ ــﻲ ﺑﻣﺗوﺳـ ـ ــط ‪   100‬واﻧﺣ ـ ـ ـراف ﻣﻌﯾـ ـ ــﺎري‬ ‫‪   500‬أوﺟد )‪ P(X  100‬؟ وﺑدون إﺳﺗﺧدام اﻟﺟداول‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪X 100 100100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪),‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪ P(Z0)0.5.‬‬

‫(‪P(X  100)  P‬‬

‫‪X 100‬‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫‪500‬‬ ‫اﻟﺣل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪٠Z ‬‬

‫`‪<<Statistics`NormalDistribution‬‬

‫‪1-CDF[NormalDistribution[100,500^2],100]//N‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪٣٥٠‬‬


‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ) ‪ X ~ N(,  2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫)أ(‬

‫‪1‬‬ ‫‪t  2 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪M X (t)  e‬‬

‫)ب(‬

‫‪, r =1,2,...‬‬

‫)ج (‬

‫‪, r = 1,2,...‬‬

‫‪2! 2r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r!2r‬‬

‫‪2r‬‬

‫)‪E(X  ‬‬

‫‪E(X  ) 2r 1  0‬‬

‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻﻟﺗواء ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪1  32 / 32 / 2  0‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﻔﻠطﺢ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪ 2   4 /  22  3.‬‬ ‫ﯾﺗرك ذﻟك ﻛﺗﻣرﯾن ﻻﺳﺗﺧراﺟﻪ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٩ -٧‬‬ ‫ﻟﻠرﺟــوع اﻟــﻰ ﻣﺛــﺎل )‪ (٦-٣‬ﺑﻔــرض اﻧﻧــﺎ ﻗﻣﻧــﺎ ﺑﺗوﻟﯾــد ‪100‬ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ 40‬ﻟﺗوزﯾــﻊ ﻣﻧــﺗظم ﻓــﻰ‬

‫اﻟﻔﺗرة )‪ (0,2‬واوﺟدﻧﺎ اﻟﻣﺗوﺳـط ﻟﻛـل ﻋﯾﻧـﺔ ﺛـم ﻗﻣﻧـﺎ ﺑﺗﻣﺛﯾـل ﺗﻠـك اﻟﻣﺗوﺳـطﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ ﺑﺎﺳـﺗﺧدام اﻟﻣـدرج‬ ‫اﻟﺗﻛررى وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec4.1‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪SeedRandom[98996‬‬ ‫]‪sampmeans=Table[Mean[RandomArray[UniformDistribution[0,2‬‬ ‫;]}‪,40]],{i,1,100‬‬ ‫;]‪g1=Histogram[sampmeans,8,Type->Scaled‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1.22‬‬

‫‪1.16‬‬

‫‪1.1‬‬

‫‪1.04‬‬

‫‪0.98‬‬

‫‪0.92‬‬

‫‪0.87‬‬

‫‪0.81‬‬

‫ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﻧﺟد ان ﻣﻌظم ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺗﻘﺗرب ﻣن اﻟوﺳـط اﻟﺣﺳـﺎﺑﻰ ﻟﻠﺗوزﯾـﻊ وﻫـو واﺣـد‬ ‫ﺻــﺣﯾﺢ ﻛﻣــﺎ ان اﻟرﺳــم ﯾﻘﺗــرب ﻣــن ﺷــﻛل اﻟﺟــرس ‪ ،‬اى ﺷــﻛل اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﻫــذا ﻣــﺎ ﺗــﻧص ﻋﻠﯾــﻪ‬

‫‪٣٥١‬‬


‫ﻧظرﯾــﺔ اﻟﻧزﻋــﺔ اﻟﻣرﻛزﯾــﺔ ان ﺗوزﯾ ــﻊ ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﯾﻘﺗــرب ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ﻋﻧــدﻣﺎ ﺗﻛﺑ ــر‬ ‫ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬

‫اﻻن اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,2‬ﻫو واﺣد واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو ‪(2  0) 2 /12  1/ 3‬‬

‫وﻣن اﻟﻣﻌروف ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟـ ‪ X‬اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺧﺗﺎرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺗﻧﺎ ﻓﺎن ‪ X‬ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوى‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن ‪  2‬ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ‪ ‬وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫‪n‬‬ ‫واﺣد ﺻﺣﯾﺢ وﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى ‪ . (1/ 3) / 40  1/120‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺎن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﺳوف‬

‫ﯾﻛون ‪ . 1/120  0.09‬اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﻟﻧﺎ ان اﻟﺗوزﯾﻊ ل ‪ X‬ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ﺣﯾث ‪ n=40‬وﻫو ﺗﻛﻣﻠﺔ ﻟﻠﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪g2  Plotfx, 1, 1  120 , x, .75, 1.25,‬‬ ‫‪DisplayFunction  Identity,‬‬ ‫;‪DefaultFont  "TimesRoman", 8‬‬ ‫‪Showg1, g2, DisplayFunction ‬‬ ‫‪$DisplayFunction,‬‬ ‫;‪Ticks  0, .75, 1, 1.25, Automatic‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1.25‬‬

‫) ‪ ( ٣-٧‬ﻧﺼﻒ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌـﻰ ‪Half- Normal Distribution :‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ )ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ( ﺗﻌرف ﺑﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪0  x  ‬‬

‫‪ - 2 x 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪2 ‬‬ ‫‪f (x; , ) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٣٥٢‬‬

‫‪0.75‬‬


Truncated normal ‫وﯾﻌﺗﺑر ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺿﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻣﺑﺗور‬ : ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻫﻰ‬. a  x  b ‫ واﻟذى ﯾﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺗرة‬distribution -1

b 2 2  2 2  1 1 (x- ) /( 2  ) (x- ) /( 2  ) f (x; , )  e e dx a  x  b    2  2    a  ‫ و ﻓﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬  X   ‫ ﯾﻌرف ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻧﺻف اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬

. ‫ ﺗﺳﺎوى ﺻﻔر‬ ‫اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﯾﻬﺗم ﺑﺎﻟﺣﺎﻟﺔ ﻋﻧدﻣﺎ‬ ‫ ﯾﻣﻛن‬Half-Normal Distribution ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ ‫ ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل‬ContinuousDistributions ‫اﻟرﺟوع اﻟﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﻣن اﻟﺣزﻣﺔ‬

: ‫ وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ‬Statistics

<<Statistics`ContinuousDistributions` f[_,x_]=PDF[HalfNormalDistribution[],x] 2 2 x  2E  

 Mean[HalfNormalDistribution[]]

1  Variance[HalfNormalDistribution[]] 2  

2 2 pdfplot[_]:=Plot[f[,x],{x,0,20},DisplayFunction>Identity] graphs=Table[pdfplot[],{,0.1,0.4,0.1}]; Show[Evaluate[graphs],DisplayFunction->$DisplayFunction] 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

5

10

15

20

Graphics

Gamma Distribution ٣٥٣

‫( ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‬٤-٧)


‫ﯾﻌﺗﺑــر ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ واﺣــد ﻣــن اﻟﺗوزﯾﻌــﺎت اﻟﻣﺗﺻــﻠﺔ اﻟﺷــﺎﺋﻌﺔ اﻻﺳــﺗﺧدام ﻓــﻲ اﻟﺗطﺑﯾــق‪ ،‬ﻓﻛﺛﯾــر ﻣــن‬

‫اﻟﻣﺗﻐﯾ ـرات اﻟﻌﺷ ـواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﻣﺛــل زﻣــن اﻟﺧدﻣــﺔ ﻓــﻲ ﻣرﻛــز ﻟﻠﺑﯾــﻊ أو اﻟــزﻣن اﻟــﻼزم ﻹﻋــﺎدة‬ ‫ﺗﺟدﯾد اﻟﺳﯾﺎرة ‪ .‬ﻟﻘد أﺷﺗق اﺳم اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن ﻋﻼﻗﺗﻪ ﺑداﻟﺔ ﺗﺳﻣﻰ داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ ‪. gamma function‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬داﻟﺔ ﺟﺎﻣﺎ وﯾرﻣز ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪ ،  ( k‬ﻷي ‪ k > 0‬ﺗﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪(k )   t k 1 e t dt .‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻧدﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻓﺈن ‪e t dt  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪ (n  1)  n‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪.  (1) ‬‬

‫‪n  1, 2,3,...‬‬

‫ﻧظرﯾـﺔ ‪ :‬ﯾﻘـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ X‬أﻧــﻪ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن ‪   0 , k  0‬إذا ﻛﺎﻧــت‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x k-1 e x/ , x  0‬‬ ‫)‪ (k‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪f (x; , k) ‬‬

‫ﺗﺣﻘ ــق اﻟداﻟ ــﺔ )‪ f (x; , k‬ﺷ ــرطﻲ داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﺣﯾ ــث ‪ f (x; , k)  0‬وﺑوﺿ ــﻊ‬ ‫‪‬‬

‫‪ t  x / ‬ﻓ ــﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣ ــل ‪  f (x; , k) dx‬ﻧﺣﺻ ــل ﻋﻠ ــﻰ ‪ .  (k ) /  ( k )  1‬ﺳ ــوف‬ ‫‪0‬‬

‫ﻧﻛﺗـب )‪ X ~ GAM (, k‬ﻟﻠدﻻﻟــﺔ ﻋﻠـﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ‪.‬‬

‫)‪f (x; , k‬‬ ‫ﯾوﺟد ﺛﻼث أﺷﻛﺎل أﺳﺎﺳﯾﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x; , k‬ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫‪ k < 1‬أو ‪ k = 1‬أو‪ .k > 1‬ﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻓـﺈن ‪ f ( 0,  , 1 )  1/‬وﻋﻨـﺪﻣﺎ ‪ k > 1‬ﻓـﺈن‬

‫‪ . f (0; , k)  0‬وﻋﻨﺪﻣﺎ‪ k<1‬ﻓﺈن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺮاﺳﻲ ﻳﺤﺎذى ) ‪(x;  , k‬‬

‫‪٣٥٤‬‬

‫‪. y= f‬‬


‫أﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻠداﻟﺔ )‪ f (x; , k‬ﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن وذﻟك ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪. k , ‬‬

‫وﺑﺎﺗﺒــﺎع ﻧﻔــﺲ اﻟﺨﻄــﻮات اﻟﺘــﻰ اﺳــﺘﺨﺪﻣﻨﺎﻫﺎ ﻓــﻰ ﻣﺜــﺎل )‪ (٦-٣‬وﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل ﻋﻠــﻰ اﻟﺮﺳــﻤﺘﻴﻦ‬

‫اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺠﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﯩﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪: KnoxProb‬‬

‫;]‪g[x_,k_,_]:=PDF[GammaDistribution[k,],x‬‬ ‫‪Plot[{g[x,2,2],g[x,2,3],g[x,3,2]},{x,0,20},PlotStyle‬‬‫‪>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬

‫‪٣٥٥‬‬


0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 5

10

15

20

g[x_,k_,_]:=PDF[GammaDistribution[k,],x]; Plot[{g[x,.5,.5],g[x,1,5]},{x,0,8},PlotStyle>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"TimesRoman",8}]; 1

0.8

0.6

0.4

0.2

2

4

6

8

‫ ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل‬، ‫ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ‬f (x; , k) ‫ﻛﻤــﺎ ﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل رﺳــﻢ ﻟﻠﺪاﻟــﺔ‬ .   2, k=3 ‫ﻋﻧد‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[3,2] ChiSquareDistribution[6] Plot[PDF[dist,x],{x,0,20}]

٣٥٦


‫‪0.12‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫‪5‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )‪ X ~ GAM (, k‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ dt.‬‬

‫‪‬‬

‫‪k -1‬‬

‫‪e‬‬

‫‪t‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬

‫) ‪ ( k‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪F (x; , k)  ‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ u  t / ‬ﻓـﻲ اﻟﺗﻛﺎﻣـل ﻓـﺈن )‪ F (x; , k)  F( x ; 1 , k‬ﺣﯾـث ) ‪ F (. , k‬ﺗﺳـﻣﻰ داﻟـﺔ‬ ‫‪‬‬

‫ﺟﺎﻣـﺎ اﻟﻧﺎﻗﺻـﺔ ‪ incomplete gamma function‬واﻟﺗـﻰ ﺗﻌﺗﻣـد ﻋﻠـﻰ ‪ ‬ﻓﻘـط ) ﻣﻌﻠﻣـﺔ اﻟﻘﯾـﺎس (‬ ‫وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪. x / ‬‬ ‫ﻛﻤــﺎ ﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل رﺳــﻢ ﻟﻠﺪاﻟــﺔ )‪ F(x; , k‬ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ ‪ ،‬ﻓﻌﻠــﻰ ﺳــﺑﯾل اﻟﻣﺛــﺎل‬ ‫ﻋﻧد ‪.   2, k=3‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪dist=GammaDistribution[3,2‬‬ ‫]‪ChiSquareDistribution[6‬‬ ‫]}‪Plot[CDF[dist,x],{x,0,20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪٣٥٧‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬


‫‪Graphics‬‬

‫ﻛﻤــﺎ ﻳﻤﻜــﻦ اﻟﺤﺼــﻮل رﺳــﻢ ﻟﻠﺪاﻟــﺔ )‪ F (x; , k‬ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ )ﻛﻣــﺎ ﻫــو ﻣﺗﺑــﻊ ﻓــﻰ‬ ‫ﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ﻣﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ ‪: KnoxProb , k‬‬

‫;]‪G[x_,k_,_]:=CDF[GammaDistribution[k,],x‬‬ ‫‪Plot[{G[x,2,2],G[x,2,3],G[x,3,2]},{x,0,20},PlotStyle‬‬‫‪>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻋﻣوﻣــﺎً داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ X‬ﺣﯾــث )‪ X ~ GAM (, k‬ﻻ ﯾﻣﻛــن وﺿــﻌﻬﺎ ﻓــﻲ ﺷــﻛل‬ ‫ﺻﯾﻐﺔ وﻟﻛن إذا ﻛﺎﻧت ‪ k‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن اﻟﺗﻛﺎﻣل ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋﻧﻪ ﻛﻣﺟﻣوع ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪( x / )i x/‬‬ ‫‪e .‬‬ ‫!‪i‬‬

‫‪k -1‬‬ ‫‪F ( x; , k )  1 - ‬‬ ‫‪i0‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٠ -٧‬‬ ‫‪٣٥٨‬‬


: ‫ أوﺟد‬X ~ GAM (1, 2 ) ‫إذا ﻛﺎن زﻣن اﻟﺗﻔﺎﻋل ﯾﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث‬ ٠ P( 3  X  5)

(‫)أ‬

٠P( X > 4 )

(‫)ب‬ :‫اﻟﺣــل‬

: ‫( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬٥) ‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻓﻲ )أ( و )ب( ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎدﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق‬

P( 3  X  5 )  F (5, 2 ) - F (3, 2 )  .95957 - .80085  .15872 . P( X  4 )  1 - P( X  4 )

(‫)أ‬ (‫)ب‬

= 1 – F (4; 2) = 1 - .90842 = .09158 . : ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[2,1] GammaDistribution[2,1] CDF[dist,5]-CDF[dist,3]//N 0.158721 1-CDF[dist,4]//N 0.0915782

Sec4.4 ‫ ﺑﺎﻟذﻫﺎب اﻟﻰ اﻟﺟزء‬KnoxProb ‫ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻰ )ا( ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ : ‫وﺗﻐﯾﯾر اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻰ ﺑﯾﺎﻧﺗﻧﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ Needs["KnoxProb`Utilities`"]; f[x_]:=PDF[GammaDistribution[2,1],x]; PlotContsProb[f[x],{x,0,18},{3,5},Ticks{{1,3,5,7,9,11,13 ,15},Automatic},DefaultFont{"Times-Roman",8}];

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

1

3

5

7

9

11

13

٣٥٩

15


‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎدﻩ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪N fx  x‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0.158721‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١١ -٧‬‬ ‫إذا ﻛــﺎن زﻣــن اﻟﺑﻘــﺎء ) ﻣﻘــﺎس ﺑﺎﻷﺳــﺑوع ( ﻟــذﻛر اﻟﻔــﺄر اﻟﻣﻌــﺎﻟﺞ ﺑﺄﺷــﻌﺔ ﺟﺎﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷ ـواﺋﻰ‬ ‫‪ X‬ﺣﯾث ) ‪X ~ GAM (15, 8‬‬ ‫أوﺟد اﻻﺣﺗﻣﺎل أن اﻟﻔﺄر ﺳوف ﯾﺑﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﻗﯾد اﻟﺣﯾﺎة ﺑﯾن ‪ 120 , 60‬أﺳﺑوع ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺟﺎﻣﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫) ‪P(60  X  120 )  P(X  120 ) - P( X  60‬‬ ‫) ‪= F (120 / 15 ; 8 ) - F( 60/15 ; 8‬‬ ‫) ‪= F (8; 8 ) - F (4; 8‬‬ ‫‪= .54704 - .05113 = . 49591 .‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪dist=GammaDistribution[8,15‬‬ ‫]‪GammaDistribution[8,15‬‬ ‫‪CDF[dist,120]-CDF[dist,60]//N‬‬ ‫‪0.495906‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٢ -٧‬‬ ‫‪٣٦٠‬‬


‫ﺑﻔرض أن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﻣﺳﺗﻘﺑﻠﺔ ﻓﻲ ﺳوﯾﺗش ﺗﺗﺑﻊ ﻋﻣﻠﯾـﺔ ﺑواﺳـون ﺣﯾـث ‪   5‬ﻣﻛﺎﻟﻣـﺎت ﻓـﻲ اﻟدﻗﯾﻘـﺔ‬

‫‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﻣﺛل اﻟزﻣن ﺑﺎﻟدﻗﺎﺋق ﺣﺗـﻰ اﺳـﺗﻘﺑﺎل ﻣﻛـﺎﻟﻣﺗﯾن ﺣﯾـث ‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺟﺎﻣﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪   , k  2‬أوﺟد )‪٠ P(X  1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  x) ‬‬ ‫‪ xe  dx.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P(X 1) 25  xe 5x dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P(X 1) 1e5 (15)  0.959.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٣ -٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ﻛﻣﯾﺔ اﻟﺗرﺳﯾب ﻓﻲ ﻧﻬر ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻﺔ ( ﺗﻣﺛل ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﺣﯾث‬ ‫)‪. X ~ GAM (.2, 6‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ‪٠P ( X > 2 ) :‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x 6-1 e (x/.2) dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪P( X  2 )  ‬‬

‫)‪(.2)  (6‬‬ ‫) ‪ 1- F ( 2; .2, 6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10i 10‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e  0.067 .‬‬ ‫‪i 0‬‬ ‫!‪i‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (٢‬ﻋﻧد ‪.   10‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫]‪dist=PoissonDistribution[10‬‬ ‫]‪PoissonDistribution[10‬‬ ‫‪CDF[dist,5]//N‬‬ ‫‪0.067086‬‬

‫‪٣٦١‬‬


: ‫اﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=GammaDistribution[6,.2] GammaDistribution[6,0.2]

1-CDF[dist,2]//N 0.067086

(١٤ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ X ~ GAM (0.5, 10 ) ‫ﺑﻔرض أن ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺣﯾث‬ ٠

P(X  5),P(5  X  7) ‫أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬

:‫ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ ﺣﯾث‬P(X  5) ‫ ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﻓﺈن‬k=10 ‫ﺑﻣﺎ أن‬ P(X  5)  F(5,0.5,10) 

5 i 5 9 ( ) 9 (10)i 10 0.5 0.5 1  e 1  e 0.542. i! i! i 0 i 0 9 (10)i 10 e   10 ‫( ﺣﯾث‬٢) ‫ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎﺑﻬﺎ ﻣن ﺟداول ﺑواﺳون ﻓﻰ ﻣﻠﺣق‬ ‫ﺣﯾث‬ i! i 0 P(5  X  7)  F(7)  F(5)  9 (14)i 14 9 (10)i 10 (1  e )(1  e )0.349. i! i! i 0 i 0 ‫اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﺣل ﻓﻰ‬ . ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ‬aa1,aa3 <<Statistics`DiscreteDistributions` dist=PoissonDistribution[10] PoissonDistribution[10] aa1=1-CDF[dist,9]//N 0.54207 dist1=PoissonDistribution[14] PoissonDistribution[14] aa2=1-CDF[dist1,9]//N 0.890601 aa3 =aa2-aa1 0.34853

٣٦٢


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٥ -٧‬‬

‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎن اﻟدﺧل ﻟﻸﺳرة اﻟواﺣدة ﻓﻲ ﺑﻠد ﻣﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺣﯾث ) ‪, 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ﻣﻘﺎس ‪ .( $ 10000‬أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط و ) ‪. P ( X > 2‬‬

‫( ‪X ~ GAM‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻣﺗوﺳــط اﻟــدﺧل ﻟﻸﺳ ـرة اﻟواﺣــدة ﻓــﻲ اﻟﺑﻠــد اﻟﻣﻌﻧــﻰ ﻫــو ‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ) ( k  )  2.‬ﻣﻘــﺎس‬

‫‪$‬‬

‫‪ .( 10000‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛـل اﻟـدﺧل ‪ ،‬ﺑوﺣـدات ‪ ، $ 1000‬ﻷﺳـرة ﻣﺧﺗـﺎرة‬ ‫ﯾﺗم ﺣﺳﺎب ) ‪ P( X > 2‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1 e 2x dx,‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪( )  (2) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4  x e 2x dx,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2x ‬‬ ‫( ‪4‬‬‫) ‪e‬‬ ‫‪ 2  e 2x dx,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (-2 . e 2x - e 2x ) ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪P (X  2) ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ - ( 2x  1 ) e 2x‬‬

‫‪ 5 e 4  .0916 .‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل ﻟﻬذا اﻟﻣﺛﺎل ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪dist=GammaDistribution[2,.5‬‬ ‫]‪GammaDistribution[2,0.5‬‬ ‫]‪1-CDF[dist,2‬‬ ‫‪0.0915782‬‬

‫اﻟﻌزوم ﺣـول اﻟﺻﻔـر ‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻣن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪٣٦٣‬‬


‫‪x k 1 e x/‬‬ ‫‪M X (t)   e k‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪ (k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪e(t-1/)x dx‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ (k) 0‬‬ ‫‪tx‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑوﺿﻊ ‪ u  - (t - 1/) x‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪-k‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪M X (t)    t  k‬‬ ‫‪ u e du.‬‬ ‫‪    (k) 0‬‬

‫أي أن ‪:‬‬

‫‪t  1/.‬‬

‫‪-k‬‬

‫‪M X (t)  1   t ‬‬

‫اﻟﻣﺷﺗﻘﺔ ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ ، r‬ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ ،‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪M (Xr ) ( t )  ( k  r - 1 )... (k  1 ) k r (1 -  t)- k - r‬‬ ‫‪(k  r) r‬‬ ‫‪ ( 1- t)-k-r .‬‬ ‫)‪(k‬‬

‫‪‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪ M X (0) :‬ﺗﻌطﻰ اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪(r‬‬

‫‪( k  r ) r‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫) ‪(k‬‬

‫‪E(X r ) ‬‬

‫وﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ اﻟوﺳـط اﻟﺣﺳـﺎﺑﻰ ﻟﻬـذا اﻟﺗوزﯾـﻊ وﻫـو ‪   k‬واﻟﺗﺑـﺎﯾن‬ ‫وﻫو ‪ .   2 k‬ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻫذﻩ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪dist=GammaDistribution[2,.5‬‬ ‫]‪GammaDistribution[2,0.5‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪dist=GammaDistribution[k,‬‬ ‫]‪GammaDistribution[k,‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪k 2‬‬

‫ﻋﻧــدﻣﺎ ‪ k   / 2 ,   2‬ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﺻــورة ﺧﺎﺻــﺔ ﻟﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ ﺗﺳــﻣﻰ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ‬

‫ﻛـﺎي ‪ chi – square distribution‬ﺑﻣﻌﻠﻣـﺔ ‪ ‬ﺗﺳـﻣﻰ درﺟـﺎت اﻟﺣرﯾـﺔ ‪ .‬ﺗوزﯾـﻊ ﻣرﺑـﻊ ﻛـﺎي‬ ‫ﺳـوف ﻧﻧﺎﻗﺷـﻪ ﺑﺎﻟﺗﻔﺻـﯾل ﻓـﻲ اﻟﺑﻧـد ) ‪ . (٤-٧‬ﻋﻧـدﻣﺎ ‪ k = 1‬ﻧﺣﺻـل ﻋﻠـﻰ ﺣﺎﻟـﺔ ﺧﺎﺻـﺔ ﺗﺳـﻣﻰ‬

‫‪٣٦٤‬‬


‫اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻷﺳــﻰ ‪ exponential distribution‬واﻟــذى ﺳــوف ﻧﻧﺎﻗﺷــﻪ ﺑﺎﻟﺗﻔﺻــﯾل ﻓــﻲ اﻟﺑﻧ ــد‬ ‫) ‪. ( ٦-٧‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣﻣﯾزة ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪X ( t )  ( 1 - it ) - k‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٦ -٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎن )‪ X ~ GAM (3, 2‬أوﺟد )‪٠ f (x) , M (t) , E(X r ) , F(x‬‬ ‫‪X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪f (x)  xe‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪,‬‬

‫‪, t‬‬

‫‪M x (t)(13t)2‬‬ ‫‪ x  k 6.‬‬

‫‪,r 1,2,3...‬‬

‫‪2  2k 18.‬‬ ‫)‪E(X r )3r (r  2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪F(x)   ue 3 du  1  (  1)e 3 .‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﯾﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٧ -٧‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛـ ــﺎن )‪ X ~ GAM (, k‬ﺑـ ــرﻫن ﻋﻠـ ــﻰ أن اﻟوﺳـ ــط اﻟﺗ ـ ـواﻓﻘﻲ ﺣﯾـ ــث )) (‪ E‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ﻟﻠﻣﻧوال ﺛم اﺷﺗق ﺻﯾﻐﺔ ) ‪ E(X  r‬و ‪ r‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب‪٠‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٣٦٥‬‬

‫( ﻣﺳـ ــﺎو‬


‫ﺣﺳب ﺗﻌرﯾف اﻟوﺳط اﻟﺗواﻓﻘﻲ ﻓﺈن‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  1 k 1  ‬‬ ‫‪ E( ) ‬‬ ‫‪e dx,‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪X  (k)k 0 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e  dx,‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(k) 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (k 1)k 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(k‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪(k)‬‬ ‫‪1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪:‬‬

‫‪H  (k  1).‬‬ ‫ﺗﺗرك ﻛﺗﻣرﯾن ﯾﺣل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬

‫) ‪ ( ٥-٧‬ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي‬

‫‪The chi – square Distribution‬‬

‫ﻛﻣــﺎ ﺳــﺑق أن ذﻛرﻧــﺎ ﯾﻌﺗﺑــر ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي ﺣﺎﻟــﺔ ﺧﺎﺻــﺔ ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ ﺟﺎﻣــﺎ وﯾﻠﻌــب دور ﻫــﺎم‬

‫ﻓـﻲ اﻹﺣﺻـﺎء ‪ .‬ﻟـﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣـﺔ ‪ k   / 2 ,   2‬ﺣﯾــث‬ ‫‪ ‬ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ﻣوﺟب ﯾﺳﻣﻰ درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ‪ .‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x; ) ‬‬ ‫‪x /2-1 e x/2 , 0  x  .‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪(/2)2‬‬

‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻟرﻣز )‪  2 (‬ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪. ‬اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬

‫‪  k    ,  2  k 2  2  .‬‬ ‫وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوى ﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ‪ ،‬واﻟﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى ﺿﻌف ﻋدد درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ‬ ‫‪ .‬ﻣن اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﻲ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﻟﻘول أن اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم‬ ‫ﻟﺗوزﯾﻊ )‪  2 (‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t‬‬

‫‪M X ( t )  ( 1 - 2t ) - /2‬‬

‫ﯾﻌطﻰ ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺛﻼث ﻣﻧﺣﻧﯾﺎن ﻟﺗوزﯾﻊ )‪  2 (‬ﻋﻧد ‪.   2,3,5‬‬ ‫‪٣٦٦‬‬


. KnoxProb ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺳﻣﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ chisq1= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[2],x],{x,0,12},DisplayFunc tion->Identity]; chisq2= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[3],x],{x,0,12},DisplayFunc tion->Identity]; chisq3= Plot[PDF[ChiSquareDistribution[5],x],{x,0,12},DisplayFunc tion->Identity]; Show[chisq1,chisq2,chisq3,DisplayFunction>$DisplayFunction] 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

2

Graphics

4

6

8

10

12

. KnoxProb ‫ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫ ﻋﻧد ﻗﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن‬ 2 () ‫ﯾﻌطﻰ ﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟﺗوزﯾﻊ‬ f[x_,r_]:=PDF[ChiSquareDistribution[r],x] Plot[{f[x,5],f[x,6],f[x,7],f[x,8]},{x,0,20}, ٣٦٧


‫‪PlotStyle{Dashing[{.01}],GrayLevel[.5],Thickness[.004],T‬‬ ‫;]}‪hickness[.01]},DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.125‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.075‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.025‬‬

‫‪15‬‬

‫‪20‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد ﺻﯾﻐﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ‪:‬‬ ‫]‪PDF[ChiSquareDistribution[n],x‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2n2 Ex2 x‬‬

‫‪Gamma n ‬‬ ‫‪2‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬ﺗﻛون ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪w /2-1 e w/2dw .‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(/2)2/2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪F( x; ) ‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﻻ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﻬﺎ ﻓﻲ ﺷﻛل ﺻﯾﻐﺔ‪.‬‬ ‫اﺋﯾﺎ‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ ‬اﺣﺗﻣﺎل ﻣوﺟب ٕواذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷو ً‬

‫ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﺑدرﺟﺎت‬

‫‪2‬‬ ‫‪  ‬ﻫو اﻟﻌدد ﺑﺣﯾث أن ‪:‬‬ ‫ﺣرﯾﺔ ‪ ‬ﻓﺈن )‪(‬‬

‫‪P ( X   2 () )   .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬و ﻫو اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ ) ‪ 100(1  ‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫أي أن )‪(‬‬

‫‪٣٦٨‬‬


‫وﻷن ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ذات أﻫﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻓﻲ اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻓﺈن ﻫﻧﺎك ﺟداول ﻹﯾﺟﺎد ﻗﯾﻣﺔ )‪ 2 (‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬وذﻟك ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪ ‬و ‪ ‬ﺣﯾث ‪ ‬ﺗﺄﺧذ‬ ‫‪ .‬اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٤‬ﯾﻌطﻰ ﻗﯾم )‪(‬‬ ‫اﻟﻘﯾم ‪:‬‬

‫‪.995 , .99, .975, .95, .90, .10, .05, 0.025, .01, .005‬‬ ‫ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻣن ‪   1‬إﻟﻰ ‪ .   40‬ﯾوﺿﺢ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﺟدول ﻗﯾم ‪ ‬واﻟﻌﻣود‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .  ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫اﻷول ﻣن اﻟﺷﻣﺎل ﻗﯾم درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﻬﻲ ﻟﻘﯾم )‪(‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ )‪  2 (6‬واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى ‪ .05‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺑﺣث‬

‫ﻓﻲ اﻟﺟدول ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻف اﻟذي ﺑﻪ ‪   6‬ﻣﻊ اﻟﻌﻣود ‪ .05‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫‪ . .205 (6)  12.592‬وﻟﻌدم ﺗﻣﺎﺛل ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﻼ ﺑد ﻣن اﺳﺗﺧدام‬ ‫اﻟﺟدول ﻹﯾﺟﺎد ‪. .295 (6)  1.635‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪:(١٨-٧‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻧﻘﺎط اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ 2‬ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪: (٤‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ν=12 ، .95‬‬ ‫أ‪-‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ν=1 ، .05‬‬ ‫ب‪-‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ‪= 5.226 -‬‬ ‫ب‪= 3.843 -‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪.95‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.05‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٩ -٧‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أوﺟد اﻟﻘﯾﻣﺔ )‪ .01 (14‬ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺑﺣث ﻓﻲ ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٤‬ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻف‬ ‫‪   14‬ﻣﻊ اﻟﻌﻣود ‪  = 0.01‬ﻧﺟد أن‬

‫‪.  2.01 (14)  29.141‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢٠ -٧‬‬

‫‪٣٦٩‬‬


‫إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي ﺑــدرﺟﺎت ﺣرﯾــﺔ ‪ ‬أوﺟــد ﻗﯾﻣــﺔ )‪ 2 (4‬اﻟﺗــﻲ‬ ‫ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرﻫﺎ ﺗﺳﺎوى ‪. 0.99‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﻘﯾﻣﺔ )‪ 2 (4‬ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرﻫﺎ ﺗﺳﺎوي ‪ .99‬وﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .01‬ﻫﻲ ﺗﻠك اﻟﻘﯾﻣﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺗﺳﺎوى ‪ 1- .99 = .01‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪(4)  13.277‬‬

‫ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻋﻧد ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺻف ‪   4‬واﻟﻌﻣود ‪.  = .01‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺣﺳب ‪  ‬ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪ ‬و ‪ ‬ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٢١-٧‬‬ ‫ﻗدر اﻟﻘﯾم ‪  2‬ﻟﻠﻘﯾم ‪   .995,.99,.01,.975,.95‬وذﻟك ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻣن ‪١‬اﻟﻰ‪١٥‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة ‪:‬‬ ‫‪ Statistics‬ﺗﺣت اﻟدﻟﯾل ‪ ContinuousDistributions‬وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﯾﻛﺗب ﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.00‬‬ ‫;]}`‪5`,0.01`,0.025`,0.05‬‬ ‫;]}‪cv[n_]=Flatten[{n,m‬‬

‫ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﻣطﻠوب ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫‪TableForm t, TableHeadings ‬‬

‫‪", .9952, .992, .9752, .952,‬‬

‫‪, "Degrees‬‬ ‫‪ofFreedom‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت ‪:‬‬

‫‪٣٧٠‬‬

‫‪TableSpacing‬‬


‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫‪m=Map[Quantile[ChiSquareDistribution[n],#]&,{0.00‬‬ ‫;]}`‪5`,0.01`,0.025`,0.05‬‬ ‫;]}‪cv[n_]=Flatten[{n,m‬‬ ‫‪TableForm t, TableHeadings ‬‬

‫‪", .9952, .992, .9752, .952,‬‬

‫‪, "Degrees‬‬ ‫‪ofFreedom‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪TableSpacing‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.95‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.975‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.99‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0.995‬‬

‫‪0.00393214‬‬ ‫‪0.102587‬‬ ‫‪0.351846‬‬ ‫‪0.710723‬‬ ‫‪1.14548‬‬ ‫‪1.63538‬‬ ‫‪2.16735‬‬ ‫‪2.73264‬‬ ‫‪3.32511‬‬ ‫‪3.9403‬‬ ‫‪4.57481‬‬ ‫‪5.22603‬‬ ‫‪5.89186‬‬ ‫‪6.57063‬‬ ‫‪7.26094‬‬

‫‪0.000982069‬‬ ‫‪0.0506356‬‬ ‫‪0.215795‬‬ ‫‪0.484419‬‬ ‫‪0.831212‬‬ ‫‪1.23734‬‬ ‫‪1.68987‬‬ ‫‪2.17973‬‬ ‫‪2.70039‬‬ ‫‪3.24697‬‬ ‫‪3.81575‬‬ ‫‪4.40379‬‬ ‫‪5.00875‬‬ ‫‪5.62873‬‬ ‫‪6.26214‬‬

‫‪0.000157088‬‬ ‫‪0.0201007‬‬ ‫‪0.114832‬‬ ‫‪0.297109‬‬ ‫‪0.554298‬‬ ‫‪0.87209‬‬ ‫‪1.23904‬‬ ‫‪1.6465‬‬ ‫‪2.0879‬‬ ‫‪2.55821‬‬ ‫‪3.05348‬‬ ‫‪3.57057‬‬ ‫‪4.10692‬‬ ‫‪4.66043‬‬ ‫‪5.22935‬‬

‫‪0.0000392704‬‬ ‫‪0.0100251‬‬ ‫‪0.0717218‬‬ ‫‪0.206989‬‬ ‫‪0.411742‬‬ ‫‪0.675727‬‬ ‫‪0.989256‬‬ ‫‪1.34441‬‬ ‫‪1.73493‬‬ ‫‪2.15586‬‬ ‫‪2.60322‬‬ ‫‪3.07382‬‬ ‫‪3.56503‬‬ ‫‪4.07467‬‬ ‫‪4.60092‬‬

‫‪Degrees‬‬ ‫‪of Freedom‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬

‫إذا ﺗﻛرر ﺳﺣب ﻋﯾﻧﺎت ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺗﺑﺎﯾﻧﻪ ‪ٕ  2‬واذا ﺗم ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن‬

‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ s2‬ﻟﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾم ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ . S2‬اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ S2‬ﻟﻪ‬

‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت ﻗﻠﯾﻠﺔ ﻓﻲ اﻹﺣﺻﺎء ‪ .‬اﻻﻫﺗﻣﺎم ﯾﻛون ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر ‪ X2‬واﻟﺗﻲ ﺗﺣﺳب ﻗﯾﻣﺗﻪ ﻣن‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻵﺗﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X2‬ﯾﺳﻣﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ ) 2‬ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ( ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ ‫‪   n  1‬ﺣﯾث ‪ ‬ﺗﺳﺎوى اﻟﻣﻘﺎم ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪. s2‬‬ ‫‪٣٧١‬‬


‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻌرض اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ crimerates‬ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ واﻟﺗﻰ ﺣﺟﻣﻬﺎ‬ ‫‪.25‬‬ ‫‪crimerates={7.08,7.04,6.27,5.03,4.75,4.44,4.43,4.33,4.28,‬‬ ‫‪4.09,3.87,3.76,3.67,3.66,3.37,3.22,2.88,2.86,2.73,2.72,2.‬‬ ‫;}‪65,2.59,2.55,2.54,2.42,1.68‬‬ ‫;]}‪DotPlot[crimerates,DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻟﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻧﺗﺑﻊ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪Ssquared=Variance[crimerates‬‬ ‫]‪S=StandardDeviation[crimerates‬‬ ‫‪1.92459‬‬ ‫‪1.3873‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ‪ 90%‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪n  1S 2  b , n  1S 2  a‬‬

‫ﺣﯾث ‪ a,b‬ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪:‬‬ ‫]‪a=Quantile[ChiSquareDistribution[25],.05‬‬ ‫]‪b=Quantile[ChiSquareDistribution[25],.95‬‬ ‫‪14.6114‬‬ ‫‪37.6525‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ‪ 90%‬ﺗﻛون ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪25 S‬‬

‫‪‬‬

‫‪a‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪25  S‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪b‬‬

‫}‪{5.39647,8.99452‬‬

‫ﺣﯾث ‪. 25  n  1‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻣن اﻟﺟزء ‪ Sec4.5‬واﻟذى ﯾﻌطﻰ‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﻣﺛل ﺑﺎﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى واﻟﺗﻰ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻪ ﻣن ‪ 200‬ﻋﯾﻧﺔ‬ ‫ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 10‬ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﻣﺗوﺳطﻪ ﺻﻔر وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ‪ .‬ﺣﯾث‬ ‫‪ numvars‬ﺗرﻣز ﻟﻌدد اﻟﻌﯾﻧﺎت و‪ sampsize‬ﺗرﻣز ﻟﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ و‪ ,‬ﻫﻣﺎ ﻣﻌﺎﻟم اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫‪٣٧٢‬‬


‫ ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﻣﻠﺗوى ﻧﺎﺣﯾﺔ اﻟﯾﺳﺎر وﻫو ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺷﺑﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى‬. ‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬ : 39 ‫( اى‬n-1) ‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬

Needs["KnoxProb`Utilities`"]; SimSampleVariances[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[Variance[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsi ze]],{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[SimSampleVariances[200,10,0,1],8]; 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0.34

0.64

0.94

1.25

1.55

1.85

2.15

2.46

.,=6 ‫ﻧﻔس اﻟﻛﻼم ﻋن اﻟﻣدرج اﻟﺳﺎﺑق وﻟﻛن ﻫﻧﺎ‬ Needs["KnoxProb`Utilities`"]; SimSampleVariances[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Variance[RandomArray[NormalDistribution[,],samps ize]]-)((sampsize-1)/(^2)),{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[SimSampleVariances[200,10,60,6],8]; 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

 11.97

9.24

6.52

3.79

1.07

1.66

٣٧٣

4.38

7.11


‫)‪ (٦-٧‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﺎى ‪Chi Distribution‬‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﻛﺎى ﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ ‪   0‬ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪0  x  , >0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x  -1 e x /2 ,‬‬

‫‪f (x; ) ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(/2)2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫اذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراﻋﺷواﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﺎن اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻰ ﻟـ ‪ X‬ﻫو ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ‬ ‫ﻛﺎي ‪ .‬وﻻن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﻟﻬﺎ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ﻓﺎن‬

‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛﺎي ‪.‬‬ ‫ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﺎن ﺗﻣﺛﯾل داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻋﻧد ‪   1,2,5‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺗم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫=‪chi1‬‬ ‫‪Plot[PDF[ChiDistribution[1],x],{x,0,5},DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫=‪chi2‬‬ ‫‪Plot[PDF[ChiDistribution[2],x],{x,0,5},DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫=‪chi3‬‬ ‫‪Plot[PDF[ChiDistribution[5],x],{x,0,5},DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫]‪Show[chi1,chi2,chi3,DisplayFunction->$DisplayFunction‬‬ ‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اى ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﻧﻔس اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺗﻰ ﺣﺻﻠﻧﺎ ﺑﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي ‪.‬‬

‫‪٣٧٤‬‬


‫)‪ (٧-٧‬اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳﻰ ‪The Exponential Distributio‬‬ ‫ﺗﻌطﻰ ﻋﺎﺋﻠﺔ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻷﺳﯾﻪ ﻧﻣﺎذج اﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻣﻔﯾدة ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﻬﻧدﺳﺔ واﻟﻌﻠوم ﺣﯾث‬

‫ﺗﺻف ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟظواﻫر ﻣﺛل أﻋﻣﺎر ﺑﻌض اﻟﺳﻠﻊ اﻟﻛﻬرﺑﺎﺋﯾﺔ ‪ ،‬اﻟوﻗت اﻟﻼزم ﺣﺗﻰ ﺗﺗﻌطل ﺑﻌض‬ ‫اﻷﻧظﻣﺔ اﻹﻟﻛﺗروﻧﯾﺔ – وﻗت اﻻﻧﺗظﺎر ﻟوﻗوع ﺣﺎدﺛﺔ ﻣﺎ ‪.‬‬ ‫ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬أﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ إذا ﻛﺎﻧت داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x  0‬‬

‫‪1  x‬‬ ‫‪f ( x; ) ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬

‫ﺣﯾث ‪ ‬ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﻘﯾﺎس ) ﺑﻌض اﻟﻣؤﻟﻔﯾن ﯾﺳﺗﺧدﻣون اﻟﺻورة ‪  e x‬ﺣﯾث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .    ‬ﺳوف ﻧﻛﺗب ) ‪ X ~ EXP ( ‬ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻷﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ . ‬ﺑﻣﺎ أن ) ‪ X ~ exp ( ‬ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺣﯾث ‪ k = 1‬ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪ .  2   2 ,   ‬أي أن ﻛﻼ ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﯾﺳﺎوﯾﺎن ‪. ‬‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﻛﺗب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪PDF[ExponentialDistribution[  ],x‬‬ ‫اى اﻧﻪ ﺗﻌرﯾف ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪x  0‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f ( x; )   e  x ,‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬

‫‪.‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ‪ f  x; ‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪  .5 ,   2‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.   2 ,   1/ 2‬‬

‫‪٣٧٥‬‬


<<Statistics`ContinuousDistributions` f[x_]:=PDF[ExponentialDistribution[2],x] g[x_]:=PDF[ExponentialDistribution[1/2],x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0,2}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Graphics

0.5

1

1.5

2

.   2.4 ‫ ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋﻧدﻣﺎ‬f  x;  ‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻻﯾﺟﺎد ﺑﯾﺎن‬ Plot[PDF[ExponentialDistribution[1/2.4],x],{x,0,8}]

0.4

0.3

0.2

0.1

2

4

6

8

Graphics

: ‫ ﻫﻲ‬X ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ F (x;  )  1 - e x/

٣٧٦

,

x  0


.   .5 ,   2 ‫ ﻋﻧدﻣﺎ‬F  x;  ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد ﺑﯾﺎن‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` f[x_]:=CDF[ExponentialDistribution[5],x] g[x_]:=CDF[ExponentialDistribution[1/2],x] Plot[{f[x],g[x]},{x,0,2}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Graphics

0.5

1

1.5

2

(٢١ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ أوﺟد‬X ~ Exp (5) ‫ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﺣﯾث‬X ‫إذا ﻛﺎن‬ ٠ P( 5

٠ P( X  10 )

(‫)أ‬

 X  10 )

(‫)ب‬ :‫اﻟﺣــل‬

P ( X  10 )  F ( 10 ; 5)

(‫)أ‬

 1 - e (.2) (10) 1- e2  1 - .135  .865 . (‫)ب‬

٣٧٧


P ( 5  X  10 )  F (10; 5) - F ( 5, 5)  (1 - e 2 )  ( 1 - e1 )  . 233 . (‫ واﻟﺣل )ب‬aa1 ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺣﯾث اﻟﺣل )ا( ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ : aa2 ‫ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/5]; aa1=CDF[dist,10]//N 0.864665

aa1  

10 1

5

0

Exp

x  x  N 5

0.864665 aa2=CDF[dist,10]-CDF[dist,5]//N 0.232544

aa2  

10 1

5

5

Exp

x  x  N 5

0.232544

(٢٢ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ اﻟزﻣن ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﺎﻋﺎت ﺑﯾن ﺣوادث اﻟﺳﯾﺎرات ﻓﻲ ﺗﻘﺎطﻊ ﻣﺎ ﺣﯾث‬X ‫إذا ﻛﺎن‬ . P(X  24) : ‫ أوﺟد‬X ~ Exp (10) :‫اﻟﺣــل‬

P ( X  24 )  1- P( 0  X  24 ) 1 e x/10 dx 0 10 24  1  e x/10  1  e 24/10 - e 0 0 24

 1- 

 e 24/10  .091 . :aa1 ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺣﯾث اﻟﺣل ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/10]; aa1=1-CDF[dist,24]//N 0.090718

aa1  1  

24 0

1 x Exp x  N 10 10

0.090718

٣٧٨


‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻷﺳـﻰ‬ ‫‪Applications of the Exponential Distribution‬‬ ‫ﻋﺎدة ‪ ،‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﻛﻧﻣوذج ﻟﺗوزﯾﻊ اﻷزﻣﻧﺔ ﺑﯾن وﻗوع أﺣداث ) ﻧﺟﺎﺣﺎت (‬ ‫ﻣﺛل اﻟﻌﻣﻼء اﻟذﯾن ﯾﺻﻠون إﻟﻰ ﻣرﻛز اﻟﺧدﻣﺔ أو اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﺗﻰ ﺗﺳﺗﻘﺑﻠﻬﺎ ﻟوﺣﺔ ﺳوﯾﺗش‪.‬‬ ‫ﯾرﺟﻊ ذﻟك إﻟﻰ اﻻرﺗﺑﺎط اﻟوﺛﯾق ﺑﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ وﺑﯾن ﻋﻣﻠﯾﺔ ﺑواﺳون‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬ﺑﻔرض أن ﻋدد اﻷﺣداث )‪ X(t‬اﻟﺗﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻓﺗرة زﻣﻧﯾﺔ طوﻟﻬﺎ ‪ t‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﺑواﺳون ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪)  t‬ﺣﯾث ‪ ‬اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﻗﻌﺔ ﻟوﻗوع اﻷﺣداث ﻓﻲ وﺣدة واﺣدة ﻣن اﻟزﻣن‬ ‫( وأن ﻋدد ﻣرات وﻗوع اﻷﺣداث ﻓﻲ ﻓﺗرات زﻣﻧﯾﺔ ﻏﯾر ﻣﺗﻘﺎطﻌﺔ ) ﻣﺗﻧﺎﻓﯾﺔ ( ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن‬ ‫ﺑﻌﺿﻬﺎ ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن أطوال اﻟﻔﺗرات اﻟزﻣﻧﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻔﺻل ﺑﯾن ﻟﺣظﺎت وﻗوع اﻷﺣداث‬

‫ﺗﻛون ﻣﺗﻐﯾ ار ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣﺗﺻﻼ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٣ -٧‬‬ ‫ﺑﻔرض أن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت اﻟﻣﺳـﺗﻘﺑﻠﺔ ﻋﻠـﻰ ﻟوﺣـﺔ اﻟﺳـوﯾﺗش ﺧـﻼل ‪ 24‬ﺗﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺑواﺳـون ﺣﯾـث ‪  .5‬‬

‫ﻣﻛﺎﻟﻣـﺔ ﻟﻛــل ﯾــوم‪ .‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﻋــدد اﻷﯾــﺎم ‪ X‬ﺑـﯾن ﺣــدوث ﻣﻛﺎﻟﻣــﺎت ﯾﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻷﺳــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ ‪.5‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﺣﺗﻣﺎل أن أﻛﺛر ﻣن ﯾوﻣﯾن ﺗﻔﺻل ﺑﯾن اﻟﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻫو ‪:‬‬ ‫) ‪P( X  2 )  1 - P( X  2‬‬ ‫‪ e (.5) (2)  .368 .‬‬ ‫اﻟزﻣن اﻟﻣﺗوﻗﻊ ﺑﯾن ﻣﻛﺎﻟﻣﺎت ﻧﺎﺟﺣﺔ ﻫو ‪ 1/ .5 = 2‬ﯾوم ‪.‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﻣﺗﺻل ‪ X‬ﻓﺈن )‪ X~ EXP (‬إذا وﻓﻘط إذا ‪:‬‬

‫] ‪P[ X  a  t X  a ]  P[ X  t‬‬ ‫ﻟﻛل ﻗﯾم ‪. t > 0 , a > 0‬‬ ‫أي أن اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ‪ a‬وﻫذا ﯾوﺿﺢ أن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻰ ﻫو اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟﻣﺗﺻل اﻟوﺣﯾد اﻟذي ﯾﺣﻘق ﻓﻘد اﻟذاﻛرة ‪ no – memory‬وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أﻧﻪ إذا ﻛﺎن ﺟﻬﺎز‬ ‫ﻗد اﺳﺗﺧدم ﻟﻣدة ‪ a‬وﺣدة زﻣﻧﯾﺔ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل أن ﯾﻌﯾش ‪ t‬وﺣدة زﻣﻧﯾﺔ أو اﻛﺛر ﻻ ﯾﻌﺗﻣد‬ ‫‪٣٧٩‬‬


‫ﻋﻠﻰ ‪ ، a‬أي ﻻ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻣدة اﻟﺗﻰ ﺳﺑق اﺳﺗﺧداﻣﻬﺎ ﻓﯾﻬﺎ ‪ .‬وﻫذا ﯾﻌﻧﻰ أن اﻟﺟﻬﺎز ﻏﯾر‬ ‫ﻣﻌرض ﻻن ﯾﺑﻠﻰ ﺑﺎﻻﺳﺗﻌﻣﺎل ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٤-٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﻣﺛل اﻟزﻣن ﻟﻘراءة رﺳﺎﻟﺔ )ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟدﻗﺎﺋق( ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺣﯾث ‪X‬‬

‫)‪ ~ EXP (2‬أوﺟد‪:‬‬

‫أ( )‪P(X  1‬‬ ‫ب( اﻟوﺳﯾط )ج( اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ )‪ (90‬ﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾر‪X‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫أ(‬

‫‪x‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪  2  f (x)  e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪P(X 1)1 P(X 1)1 P(0 X 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪1  e 2 dx 1 (e 2‬‬ ‫‪02‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1(e 2 e0 )e 2 0.60653 0.607.‬‬ ‫ب(‬ ‫اﻟوﺳﯾط‬

‫‪٣٨٠‬‬


x F(x)  1  e 2 , 1 F(m ) . 2 m m   1 1   1e 2   e 2 , 2 2 1 m 1 ln     2ln    m 2 2 2 m 1.38629. 

(90) ‫)ج( اﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ‬

P  F(x )  P(x  x ) p p x  0.9 0.91e 2 x  0.9 x e 2 0.1 0.9 ln(0.1) 2 x 0.9  4.60517  4.601.

‫ و )ب( ﺗﺣت‬aa1 ‫وﻗد ﺗم ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺣﯾث )ا( ﺗم ﺣﻠﻪ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ : aa3 ‫ و)ج( ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬aa2 ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/2];

aa1  

1

1 x Exp  x  N 2 2

0.606531 aa1=1-CDF[dist,1]//N 0.606531 aa2-Quantile[dist,.5]//N 1.38629 aa3=Quantile[dist,.90]//N 4.60517

(٢٥ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ : ‫ﺑﻔرض أن اﻟزﻣن )ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺳﺎﻋﺎت( ﻋﻧد ﻓﺷل ﺗرﻧزﺳﺗور ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺣﯾث‬ X ~ EXP (100) ٠ P(X  10) ‫ و‬P(X  15) ‫أ( أوﺟد‬ ٣٨١


٠ Var(X) ‫ب( أوﺟد‬ :‫اﻟﺣــل‬ (‫أ‬

P(X  15)  1  P(X  15)  1  F(15), 15 100F(15)1e 100 , 15 15 P(X 15)1[1e 100 ]e 100 0.8607. P(X  10)  1  P(X  10)  1  F(10), 10 F(10)1e 100 , 20 10 P(X  20)  1  [1  e 100 ]  e 100  0.8607.

2  62  (100)2 ‫ب( اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو‬ : ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=ExponentialDistribution[1/100];  aa1  15

1 Exp x  x  100 100

N

0.860708 aa1=1-CDF[dist,15]//N 0.860708 

1 x Exp  x  N 100 20 100

aa2  

0.818731 aa2=1-CDF[dist,20]//N 0.818731 Variance[dist] 10000

Weibull Distribution ‫( ﺗﻮزﻳﻊ واﻳﺒـﻞ‬٨-٧ ) ‫ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻻﺳﺗﺧداﻣﻪ ﻓﻲ اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻟرﻗﻣﯾﺔ ﻣﺛل أزﻣﻧﺔ‬W. Weibull ‫أﻗﺗرح اﻟﻌﺎﻟم‬ . ‫اﻟﺣﯾﺎة أو ﻗوة اﻟﻛﺳر ﻟﻠﻣﻌﺎدن‬ ‫ إذا ﻛﺎﻧت‬  0 ,   0 ‫ أﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‬X ‫ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬

: ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬

٣٨٢


‫‪x  0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ -1‬‬ ‫‪(x/ )‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 , e.w .‬‬

‫‪f ( x;  ,  ) ‬‬

‫ﺳوف ﻧﻛﺗب ) ‪ X ~ WEI (  , ‬ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل‬

‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ . , ‬ﺗﺳﻣﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل وذﻟك ﻛﻣﺎ ﻫو اﻟﺣﺎل ﻓﻲ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‪ .‬ﯾوﺟد‬

‫ﻟﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺛﻼﺛﺔ أﺷﻛﺎل وذﻟك ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﺣﯾث ‪  < 1‬أو ‪  = 1‬أو > ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪  > 1‬ﻓﺈن ‪ f (0;  ,  )  0‬وﻋﻧدﻣﺎ ‪  = 1‬ﻓﺈن ‪ f (0;  , 1 ) ‬أي أن‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﯾﻘطﻊ اﻟﻣﺣور اﻷﺳﻰ ﻋﻧد اﻟﻧﻘطﺔ ‪ . 1 / ‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪  1‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻣﺣور اﻟراﺳﻲ ﯾﺣﺎذى ) ‪. y = f (x;  , ‬أﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻣوﺿﺣﺔ‬ ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد أﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫‪plotWeibullpdf[  _,  _]:=Plot[PDF[WeibullDistribution[  ,‬‬ ‫;]‪ ],x],{x,0,4},DisplayFunction->Identity‬‬ ‫;]}‪wgraphs=Table[plotWeibullpdf[a,1],{a,1,4‬‬ ‫‪Show[Evaluate[wgraphs],DisplayFunction‬‬‫]‪>$DisplayFunction,PlotRange->All‬‬

‫‪٣٨٣‬‬


‫‪1.4‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪x  0.‬‬

‫‪‬‬

‫)‪F (x; ,  )  1  e (x/‬‬

‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ) ‪ F ( x/ ; , 1 , ‬واﻟﺗﻲ ﺗﻌﻧﻰ أن ‪ ‬ﻫﻲ‬ ‫ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﻘﯾﺎس ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪  = 2‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﯾﺳﻣﻰ رﯾﻸي ‪Rayleigh‬‬ ‫‪. distribution‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد ﺑﯾﺎن داﻟﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ واﯾﺒﻞ ﻣﻊ ﺑﯿﺎن داﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪  2,   3‬‬ ‫وذﻟك ﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺗﻰ اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎﻫﺎ ﻓﻰ ﻣﺛﺎل )‪ (٦-٣‬ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.KnoxProb‬‬ ‫;]‪g[x_,  _,  _]:=PDF[WeibullDistribution[ ,  ],x‬‬ ‫;]‪G[x_,  _,  _]:=CDF[WeibullDistribution[ ,  ],x‬‬ ‫‪Plot[{g[x,2,3],G[x,2,3]},{x,0,8},PlotStyle‬‬‫‪>{Thickness[.01],Thickness[.007]},DefaultFont{"Times‬‬‫;]}‪Roman",8‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪٣٨٤‬‬

‫‪2‬‬


(٢٦ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ) ﻣﻘﺎس ﺑﺎﻟﺑوﺻـﺔ( ﺑـﯾن اﻟﺗﺻـوﯾب ﻟﻠﻬـدف وﻣرﻛـز اﻟﻬـدف ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ واﯾﺑـل ﺣﯾـث‬ . P( X < 5 ) ‫ أوﺟد‬X ~ WEI (10, 2 ) :‫اﻟﺣــل‬ 2 P ( X  5 )  F ( 5; 10, 2 )  1 - e (5/ 10)  .221 .

‫ﺗﻌرﯾف اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ dist=WeibullDistribution[,]

: ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣل اﻟﻣﺛﺎل‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=WeibullDistribution[2,10]; CDF[dist,5]//N 0.221199

: ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾـن‬ : ‫ ﻫو‬X ~ WEI (, ) ‫اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬

1 E(X)   (1  ),  : ‫واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻫو‬

Var (X)  2

2 1 (1  )   2 (1  )].  

: ‫( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‬100 p) ‫ﻣن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ‬

x  [ ln(1  p)] p

1  : ‫وﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﺎن‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=WeibullDistribution[,]; Mean[dist]

 Gamma1 

1

  Variance[dist] 1 2 2   2   Gamma1    Gamma1        Quantile[dist,p] ٣٨٥


‫‪1‬‬ ‫‪ Log1  p ‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﯾﻣﻛن اﯾﺟﺎد اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺗوزﯾﻊ ﻋﻧدﻣﺎ ‪   2,   3‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن‬ ‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪  N‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2  Gamma1 ‬‬ ‫‪1.78596‬‬

‫) ‪ (٩-٧‬ﺗﻮزﻳـﻊ ﺑﺎرﻳﺘـﻮ ‪Pareto Distribution‬‬ ‫ﯾﻘﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ X‬أﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ ﺗو\زﯾﻊ ﺑﺎرﺗﯾو ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ k > 0 , a > 0‬إذا ﻛﺎن داﻟﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺗﻪ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪ (k 1‬‬

‫‪x  0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪k ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x; a , k) ‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 0 e.w.‬‬

‫اﺋﯾﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو ‪.‬‬ ‫ﺳوف ﻧﻛﺗب )‪ X ~ PAR ( a, k‬ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷو ً‬ ‫اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ k‬ﺗﺳﻣﻰ ﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﺷﻛل ‪.‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﺗﻌطﻰ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪x  0.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪‬‬ ‫‪F ( x; a , k)  1  1 ‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻻن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻣﻛن وﺿﻌﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ) ‪ F (x/a ; 1, k‬ﻓﺈن ‪ a‬ﺗﻛون ﻣﻌﻠﻣﺔ‬

‫اﻟﻣﻘﯾﺎس‪ .‬ﯾﺳﺗﺧدم ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو ﻛﻧﻣوذج ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟطب ﺣﯾث ﯾﺻف زﻣن اﻟﺣﯾﺎة ﺑﻌد ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫زرع اﻟﻘﻠب ‪.‬‬ ‫إذا ﻛﺎن )‪ X ~ PAR (a, k‬ﻓﺈن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ وﺗﺑﺎﯾﻧﻪ ﻫﻣﺎ ‪:‬‬

‫)‪Var (X)  a 2 k / [(k - 2) (k - 1) 2 ] , E(X)  a / (k - 1‬‬

‫أﯾﺿﺎ اﻟﻣﯾﺋن ذو اﻟرﺗﺑﺔ )‪ ( 100p‬ﻫو‪x p  a [ (1 - p)1/k  1] :‬‬ ‫ﻫﻧﺎك ﺷﻛل آﺧر ﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو وﻫو ‪:‬‬ ‫)‪ (k 1‬‬

‫‪y  ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪k y‬‬ ‫‪f ( y;  , k)     ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫‪٣٨٦‬‬


, . k > 0 ,   0 ‫ﺣﯾث‬ . ‫ﯾﻬﺗم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺑﺎﻟﺻﯾﻐﺔ اﻻﺧﯾرة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﺑﺎرﯾﺗو‬ : ‫ﺑﯾﺎن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻬذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻟﻘﯾم ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻣﻌﺎﻟم ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` Ppdf[_,k_,x_]=PDF[ParetoDistribution[,k],x] k x1k k Plot[{Ppdf[1,.5,x],Ppdf[1,1,x]},{x,1,5}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

3

4

5

Graphics Plot[{Ppdf[10,5,x],Ppdf[10,10,x]},{x,10,15}] 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Graphics

11

12

13

14

15

: ‫ ( اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬١٠-٧ ) The Lognormal Distribution

٣٨٧


‫ﯾﻘﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪ X‬أﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪Y‬‬

‫)‪ = ln (X‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ .  2 , ‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪X‬‬

‫ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x  0‬‬

‫) ‪/(2  2‬‬

‫‪1‬‬ ‫] ‪e [ln(x)-‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f1 ( x; , ) ‬‬

‫ﺳوف ﻧﻛﺗب )‪ X ~ LOG ( , ‬ﻟﻠدﻻﻟﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ‬ ‫ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ‪ .  , ‬وﯾﺟب أن ﺗﻌﻠم أن ‪  , ‬ﻫﻧﺎ ﻟﯾﺳت اﻟﻣﺗوﺳط واﻹﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪X‬‬ ‫وﻟﻛﻧﻬﺎ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر )‪. ln (X‬‬ ‫اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻫو ‪:‬‬ ‫‪2 r 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪r  1, 2, 3,...‬‬

‫‪r‬‬

‫‪e‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  e / 2 ,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Var(X)  e 2 . (e  1).‬‬

‫ﺑﯾﺎن ) ‪ f ( x; , ‬ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺣﯾث ﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻠوﻏﺎرﯾﺗﻣﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻟﻪ إﻟﺗواء‬ ‫ﻣوﺟب ‪.‬‬

‫‪٣٨٨‬‬


‫ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﺑدﻻﻟﺔ داﻟﺔ‬X ‫ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﻓﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ln (X) ‫ﻷن‬ : ‫ أى أن‬. x > 0 ‫ ﻟﻘﯾم‬Z ~ N (0, 1 ) ‫ ﺣﯾث‬Z ‫ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ‬ (z ) ‫اﻟﺗوزﯾﻊ‬

F1 (x, , )  P ( X  x )  P ( ln (X)  ln x )  P(

Z

ln(x)- ) 

 ln (x)-      .    : ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺳوﻣﺎت اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` LNrml[_,_,x_]=PDF[LogNormalDistribution[,],x]; Plot[{LNrml[0,.3,x],LNrml[0,.5,x],LNrml[0,1,x]},{x,0,5},P lotStyle->{GrayLevel[0],GrayLevel[0.1],GrayLevel[0.5]}] 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Graphics

1

2

3

4

5

Plot[{LNrml[2,1,x],LNrml[2.5,1,x],LNrml[3,1,x]},{x,0,50}, PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLevel[0.1],GrayLevel[0.5]}] 0.08

0.06

0.04

0.02

10

20

30

40

Graphics

٣٨٩

50


‫اﻟﻣﻧوال ﻫو ‪:‬‬ ‫‪m  exp (  -  2 ).‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٧ -٧‬‬

‫إذا ﻛﺎن ) ‪ X ~ LOG (3.5 , 1.2‬أوﺟﺪ )‪ Var (X) , E(X‬وأوﺟد ) ‪P ( 50  X  250‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪= 68‬‬

‫‪3.5 + .72‬‬

‫‪E (X) = e‬‬

‫‪Var (X) = e8.44 ( e1.44 – 1) = 14907.2 .‬‬ ‫) ‪P ( 50  X  250‬‬ ‫) ‪= F (250; 3.5, 1.2 ) – F (50, 3.5 , 1.2‬‬

‫‪ ln (250) - 3.5 ‬‬ ‫‪ ln (50) - 3.5 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ - ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪  (1.68) -  ( .34‬‬ ‫‪ .9535 - .6331  .3204 .‬‬ ‫وذﻟك ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪. (٣‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﺣل اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪Mean[dist‬‬ ‫‪68.0335‬‬ ‫]‪Variance[dist‬‬ ‫‪14907.2‬‬ ‫]‪CDF[dist,250]-CDF[dist,50‬‬ ‫‪0.319629‬‬

‫) ‪ ( ١١-٧‬ﺗوزﯾـﻊ ﺑﯾﺗـﺎ ‪Beta Distribution‬‬ ‫ﯾﻘﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ X‬أﻧﻪ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪ B , A , ( a > 0 , b > 0 ) a , b‬إذا‬ ‫ﻛﺎن ﻟﻪ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪٣٩٠‬‬


‫‪b 1‬‬

‫‪A  x  B‬‬

‫‪ Bx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ BA ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 (a  b)  x-A ‬‬ ‫‪f (x, a, b, A, B) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B-A (a)(B)  B-A ‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫اﻟﻣﺗوﺳط واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﺎﻟم ‪ A, B, a, b‬ﻫﻣﺎ ‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪(B  A)2 a b‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(a  b) 2 (a  b  1‬‬

‫‪  A  ( B-A) .‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٨ -٧‬‬

‫إذا ﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـراً ﻋﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺗوزﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺑﯾﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﺣﯾ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــث‬ ‫‪: a = 2, b = 3 A = 2 , B = 5‬‬

‫أوﺟد اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﺗوزﯾﻊ و ) ‪P ( X < 3‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪E(X)  2  3 (.4)  3.2 ,‬‬ ‫‪3 1 4!  x  2   5-x 2‬‬ ‫)أ(‬ ‫‪P( X  3)   .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪4 11 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (x  2) (5-x) dx  .  .407.‬‬ ‫‪27 2‬‬ ‫‪27 4 27‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ‪ A = 0 , B = 1‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ اﻟﻣﻌﯾﺎرى )اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ(‪.‬ﺑﯾﺎن ) ‪f (x; a, b, A, B‬‬

‫ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪ . A,B‬اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻬﺗم ﺑﻬذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫اﻟﺗﻛﺎﻣل ﻟﻠداﻟﺔ ) ‪ f ( x; a, , A, B‬ﺳﻬﻠﺔ ﻓﻘط ﻋﻧدﻣﺎ ‪ A,B‬ﺗﺄﺧذ ﻗﯾم ﺻﺣﯾﺣﺔ ‪.‬‬

‫‪٣٩١‬‬


. a, b ‫ ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻻﺷﻛﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن‬f (x; a, b ) ‫ﺑﯾﺎن‬

: ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟرﺳوم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` p1=Plot[PDF[BetaDistribution[2,3],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p2=Plot[PDF[BetaDistribution[3,2],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p3=Plot[PDF[BetaDistribution[2,2],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p4=Plot[PDF[BetaDistribution[1/2,2],x],{x,0,1},PlotRange>{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p5=Plot[PDF[BetaDistribution[1/2,1/2],x],{x,0,1},PlotRang e->{{0,1},{0,2}},DisplayFunction->Identity]; p12=Show[p1,p2,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{p12,p3},{p4,p5}}],DisplayFunction>$DisplayFunction]

٣٩٢


‫‪2‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2 0.4 0.6 0.8 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.2 0.4 0.6 0.8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2 0.4 0.6 0.8 1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.2 0.4 0.6 0.8‬‬ ‫‪GraphicsArray‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٩ -٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧـ ـ ـ ــت ﻧﺳـ ـ ـ ــﺑﺔ اﻟﻘـ ـ ـ ــوة اﻟﻌﺎﻣﻠـ ـ ـ ــﺔ اﻟﻌﺎطﻠـ ـ ـ ــﺔ ﻓـ ـ ـ ــﻰ ﯾـ ـ ـ ــوم ﻣﻌطـ ـ ـ ــﻰ ﻧﺗﺑـ ـ ـ ــﻊ ﺗوزﯾـ ـ ـ ــﻊ ﺑﯾﺗـ ـ ـ ــﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـ ـ ـ ــﯾن‬ ‫‪ a = 2 , b =1 8‬أوﺟد ‪:‬‬

‫) ‪< 1‬‬

‫‪. P ( 0.2 < X‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪ (20) .1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪P(.2  X  1 ) ‬‬ ‫‪ x (1  x) dx‬‬ ‫‪(2)(18) .2‬‬ ‫‪.1‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪ x(1  x) dx‬‬

‫)‪ (19.18‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪ -x(1-x)18 (1  x)19  1‬‬ ‫‪ ( 19. 18) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18.19  .2‬‬ ‫‪ 18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   19 x (1-x)18 - ( 1-x)19‬‬ ‫‪ .0829.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫;]‪dist=BetaDistribution[2,18‬‬ ‫]‪CDF[dist,1]-CDF[dist,.2‬‬ ‫‪0.0828662‬‬

‫اﻟﻌزم ﻣن اﻟدرﺟﺔ ‪ r‬ﺣول اﻟﺻﻔر ﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﯾﺗن ‪ a ,b‬ﻫو‪:‬‬

‫‪٣٩٣‬‬


E(X)r 

1 B( a  r , b) (a  r) (a  B)   . B(a,b) B(a,b) (a) (a  b  r) 1

‫ ﻟﺟﻣﯾﻊ ﻗﯾم‬f (x; a, b)  0 ‫ وﺑﻣﺎ أن‬ f ( x; a, b) dx  1 ‫ ﻓﺈن‬k = 0 ‫ وﺑوﺿﻊ‬r  0 ‫ﺣﯾث‬ 0

‫ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺑوﺿﻊ‬f (x; a, b ) ‫ [ ﻓﺈن ﻫذا ﯾﺑرﻫن أن‬0, 1 ] ‫ ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة‬x : ‫ ﻓﺈن‬r = 2, r = 1

 (a+1) (a-b) a , (a) (a  b  1) a  b  (a+2)  (a-b) (a  1) (a) E(X 2 )  ,  (a) (a  b  2) (a  b  1) (a  b) E(X) 

: ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‬

  E (X)  2  E(X 2 ) 

a , ab E (X)  2

ab . (a  b) (a  b  1) 2

: ‫ﻟﻠﺘﺬﻛﯿﺮ‬

: ‫ ﻣﻦ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬E ( X ) ‫ﻟﺣﺳﺎب‬ 2

2

ExpectedValuex , dist, x

: ‫ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

E ( X 3 ) ‫ﻟﺣﺳﺎب‬

ExpectedValuex3, dist, x

: ‫ ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬E ( X 4 ) ‫ﻟﺣﺳﺎب‬ ExpectedValuex4, dist, x

: ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﻌزوم ﺣول اﻟﺻﻔر واﻟﺗﺑﺎﯾن‬ <<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[a,b]; ٣٩٤


Mean[dist]

a a b

ExpectedValuex2, dist, x a 1  a a  b 1  a  b ExpectedValuex3, dist, x Gamma3  a Gammab Betaa, b Gamma3  a  b ExpectedValuex4, dist, x Gamma4  a Gammab Betaa, b Gamma4  a  b Variance[dist]

ab a  b2 1  a  b

: ‫ ﻓﺈن‬a = b = 1 ‫ﻋﻧدﻣﺎ‬

(a  b) (2) . x a-1 ( 1-x) b-1  x 0 ( 1-x)0  1 (a)(B) (1)(10) : ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺗﺻﺑﺢ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺑﯾﺗﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬

1 f (x)   0

0 x 1 , e.w.

. ( 1, 0 ) ‫أى ﺗﺻﺑﺢ داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة‬ (٣٠ -٧ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ . ,  2 ‫ أوﺟد‬a  2,b  3 ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑﯾﺗﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن‬ ً‫ا‬ X ‫إذا ﻛﺎن‬ :‫اﻟﺣــل‬

a 2  a b 5 ab 1 2   . (a  b 1)(a  b)2 25



: ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺣل‬

٣٩٥


<<Statistics`ContinuousDistributions` dist=BetaDistribution[2,3]; Mean[dist]

2 5 Variance[dist]

Extreme Value ‫( ﺗﻮزﻳـﻊ‬١١-٧ ) :‫ﺗﻌرﯾف‬

:‫ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺑـ‬T ‫إذا ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬ 1

f (t)     t 

e   t 

, t 0, 0,0

: ‫ ﺣﯾث‬Extreme Value ‫ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ‬X  ln T ‫ﻓﺈن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ‬ 1 u   ln   b   : ‫ﻓﺎن‬

1 f (x)  e b

 x u       x  u   e  b      b    

,  x  : ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ‬

F(x)  1  e

 x u    b 

 e

,  x  , b0

‫ وﯾﻣﻛــن اﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻘﯾﺎﺳــﻲ ﺑوﺿــﻊ‬.‫ ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﻣوﻗــﻊ‬u ‫ ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﻣﻘﯾــﺎس َ و‬b ‫ﺣﯾــث‬ ‫ وﻋﻧدﻫﺎ ﺗﻛون داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬u  0 , b  1

 x e  x

f (x)  e

,  x  : ‫اﻟﻌزوم‬ ‫ﺗﻌطﻰ اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ‬

M X (t)  (t  1) ٣٩٦


‫)‪M(t)  (t  1)  M(0)  (1‬‬ ‫‪E(T)  (1)    0.5772‬‬ ‫)‪M(t)  (t  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M(0)  (1)    2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Var(T)    2   2 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪Xu‬‬ ‫وﻟــﯾﻛن‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﻟﻘﯾم اﻟﺣرﺟﺔ ﺑﺎﻟﻣﻌﺎﻟم ‪. u,b‬‬

‫‪ T ‬ﺣﯾــث ‪ T‬ﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ اﻟﻘــﯾم اﻟﺣرﺟــﺔ اﻟﻘﯾﺎﺳــﻲ‪ ،‬ﻋﻧــدﻫﺎ ﻓــﺈن‬

‫‪E(X)  b( )  u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪V ar(X)  b var(T)  b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﻣﺋﯾﻧﺎت ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫وﯾﻌطﻰ اﻟﻣﺋﯾن ذو اﻟرﺗﺑﺔ ‪ 100p‬ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪p‬‬

‫‪ xp u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ e‬‬

‫‪ xp u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ e‬‬

‫‪ x p u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b ‬‬ ‫‪ x p u ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b ‬‬

‫‪xp  u‬‬

‫‪ 1 e‬‬

‫‪F(x p )  p‬‬

‫‪ 1 p  e‬‬

‫‪ ln(1  p)  e‬‬

‫‪  ln(1  p)  e‬‬

‫‪ ln( ln(1  p)) ‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪ x p  bln( ln(1  p))  u‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف اﻟﺗوزﯾﻊ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻛون ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫]‪dist= ExtremeValueDistribution[u,b‬‬ ‫ﻟﻠﺗﻌرف ﻋﻠﻰ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎن ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﺣﯾث ‪ u=0,b=1‬ﻧﺳﺗﺧدم اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٣٩٧‬‬


‫‪Plot[PDF[ExtremeValueDistribution[0,1],x],{x,‬‬‫]}‪2.5,7.5},AxesOrigin->{-2.5,0‬‬ ‫‪0.35‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪Graphics‬‬

‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻻﯾﺠﺎد ﺑﻌﺾ اﻟﻤﺌﯿﻨﺎت وﻣﻘﯿﺎس ﻟﻼﻟﺘﻮاءوﻣﻘﯿﺎس‬ ‫ﻟﻠﺘﻔﻠﻄﺢ ﻋﻨﺪم ‪: u=0,b=1‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫‪Table[Quantile[ExtremeValueDistribution[u,b],0.25k],{k,1,‬‬ ‫]}‪3‬‬ ‫}‪{-0.326634 b+u,0.366513 b+u,1.2459 b+u‬‬ ‫‪Table[Quantile[ExtremeValueDistribution[0,1],0.25k],{k,1,‬‬ ‫]}‪3‬‬ ‫}‪{-0.326634,0.366513,1.2459‬‬ ‫‪Skewness[ExtremeValueDistribution[u,b]]//N‬‬ ‫‪1.13955‬‬ ‫‪Kurtosis[ExtremeValueDistribution[u,b]]//N‬‬ ‫‪5.4‬‬

‫) ‪ (١٢-٧‬ﺗﻮزﻳﻊ ﻛﻮﺷﻰ‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (x; ) ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪ 1  (x  )2‬‬ ‫ﯾﺷــﺑﻪ ﺑﯾــﺎن داﻟــﺔ ﻛوﺷــﻲ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻲ ﻓــﻲ أﻧــﻪ ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول ﻧﻘطــﺔ‪ .‬ﻫﻧــﺎ ﺗوزﯾــﻊ ﻛوﺷــﻲ‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛــل ﺣــول ‪ . ‬وﻋﻠــﻰ ذﻟــك ﺗﻌﺗﺑــر ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻟﻣوﻗــﻊ ﻟﻬــذا اﻟﺗوزﯾــﻊ‪ .‬واﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻲ ﯾوﺿــﺢ داﻟــﺔ‬ ‫ﻛوﺷﻲ ﻣﻊ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.25‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.15‬‬

‫‪  0 ,   1/.67449‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪.05‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪٣٩٨‬‬

‫‪4‬‬


: ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` p1= Plot[PDF[CauchyDistribution[0,1],x],{x,5,5},PlotStyle->{GrayLevel[0]},DisplayFunction>Identity]; p2= Plot[PDF[NormalDistribution[0,1/.67449],x],{x,5,5},PlotStyle->{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction>Identity]; Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -4

Graphics

-2

2

4

.‫ ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ﻓﺈن ﻣﺗوﺳطﻪ ﻏﯾر ﻣوﺟود‬X ‫إذا ﻛﺎن‬ :‫ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗﯾن ﯾﺄﺧذ اﻟﺷﻛل‬X ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ‬ 1  f (x; , )  ,  x   2  (x  ) 2 : ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎف اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﻌرﻓﺔ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ‬ PDF[CauchyDistribution[  ,  ],x]

‫ واﻟوﺳـﯾط ﯾﻣﻛـن اﻟﺣﺻـول‬.‫ ﻏﯾـر ﻣﻌرﻓـﺔ وﻛـذﻟك ﻛـل اﻟﻌـزوم‬f (x; , ) ‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﻠداﻟـﺔ‬

:‫ﻋﻠﯾﻪ ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬

m

1 0  F(m0 )   2 dx  0.5     (x  )2

٣٩٩


‫‪m0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫‪  tan 1 ‬‬ ‫‪  0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬

‫‪1  1  x  m0  ‬‬ ‫‪tan ‬‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫أو ‪. m 0  ‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﻧوال ﺑﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫‪ 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d    2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪      (m  )    0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪d 2 f (x; , ‬‬ ‫وﻣﻧﻬﺎ ‪ m  ‬ﺣﯾث ‪ 0‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪. m  ‬‬ ‫‪dx 2‬‬

‫)‪ (١٣-٧‬ﺗوزﯾﻊ‬ ‫ﯾﻌ ــد ﺗوزﯾ ــﻊ ‪t‬‬

‫ت‬

‫‪The t Distribution‬‬

‫ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾﻌ ــﺎت اﻹﺣﺻ ــﺎﺋﯾﺔ اﻟﻬﺎﻣ ــﺔ اﻟﺗ ــﻰ ﺗﺳ ــﺗﺧدم ﻓ ــﻰ ﻣﺟ ــﺎل اﻹﺣﺻـ ــﺎء‬

‫اﻻﺳ ــﺗﻧﺗﺎﺟﻰ ﻹﺟ ـ ـراء اﻟﻌدﯾ ــد ﻣـ ــن اﺧﺗﺑـ ــﺎرات اﻟﻔ ــروض اﻟﻣﺗﻌﻠﻘـ ــﺔ ﺑﺗﺣﻠﯾـ ــل اﻟﺗﺑ ــﺎﯾن وﺗﺻـ ــﻣﯾم اﻟﺗﺟـ ــﺎرب‬ ‫واﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﻧوﯾﺔ ﺧطوط اﻻﻧﺣدار وﻏﯾر ذﻟك ﻣن اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ Z‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ أي أن ‪:‬‬ ‫)‪ٕ ، Z ~ N (0, 1‬واذا ﻛﺎن ‪ W‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎي أي أن ) ‪، W ~ (2‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎن ‪ Z , W‬ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪W/‬‬ ‫ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬وذﻟك ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫]‪[(  1) / 2‬‬ ‫‪f (t) ‬‬ ‫‪,   t  ‬‬ ‫‪( / 2)(1  t 2 / )( 1) / 2‬‬ ‫‪T‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر اﻟﻌدد ‪ ‬ﻫو ﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗوزﯾﻊ ‪ . t‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣـﺎل ﻟﺗوزﯾـﻊ ‪ t‬ﺑـدرﺟﺎت ﺣرﯾـﺔ ‪ r‬ﻣـن ﺑرﻧـﺎﻣﺞ‬ ‫‪ KnoxProb‬ﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪f[x_,r_]:=PDF[StudentTDistribution[r],x‬‬ ‫]‪f[x,r‬‬ ‫‪1r‬‬ ‫‪ r2  2‬‬ ‫‪rx‬‬

‫‪‬‬ ‫‪r Beta r , 1 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪٤٠٠‬‬

‫‪2‬‬


.   2, 20 ‫ ﺣﯾث‬t ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﻣﻧﺣﻧﯾﺎن ﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫ ﯾﻼﺣظ‬. Z ‫ وﻣﻧﺣﻧﻲ‬  1,3,7 ‫ ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬T ‫اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﺛﻼﺛﺔ اﻟﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬ . ‫ اوﺳﻊ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‬t ‫ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أن ذﯾل ﺗوزﯾﻊ‬

: ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺳﺎﺑق ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬ studentpdf[_,x_]=PDF[StudentTDistribution[],x]; normalpdf[_,_,x_]=PDF[NormalDistribution[,],x]; p1= Plot[studentpdf[1,x],{x,-3,3},PlotStyle>{GrayLevel[0]},DisplayFunction->Identity]; p2= Plot[studentpdf[5,x],{x,-3,3},PlotStyle>{GrayLevel[0.1]},DisplayFunction->Identity];

٤٠١


‫‪p3= Plot[studentpdf[10,x],{x,-3,3},PlotStyle‬‬‫‪>{GrayLevel[0.5]},‬‬ ‫;]‪DisplayFunction->Identity‬‬ ‫‪p4= Plot[normalpdf[0,1,x],{x,-3,3},PlotStyle‬‬‫;]‪>{Dashing[{0.02}]},DisplayFunction->Identity‬‬ ‫]‪Show[p1,p2,p3,p4,DisplayFunction->$DisplayFunction‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻟﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد ‪ t = 0‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺗوﻗﻊ أن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ﻻﺑد وأن ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‪ ،‬أي‬ ‫أن ‪ E  T   0‬ﻋﻧـ ــدﻣﺎ ‪ .   2‬ﻋﻧـ ــدﻣﺎ ‪   1‬ﯾﺻـ ــﺑﺢ اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ ‪ t‬ﻫـ ــو ﺗوزﯾـ ــﻊ ﻛوﺷـ ــﻲ وﯾﻣﻛـ ــن‬ ‫إﺛﺑﺎت أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻏﯾر ﻣوﺟود ﻋﻧدﻣﺎ ‪ .   1‬ﺗﺑﺎﯾن ‪ T‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Var(T)  E(T 2 ) ‬‬ ‫‪  3.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻋﻣوﻣــﺎً ﯾﻛــون ﻣــن اﻟﺻــﻌوﺑﺔ ﺗﻘــدﯾر داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾــر ﻋﺷ ـواﺋﻲ ‪ . T‬ﺟــدول ﺗوزﯾــﻊ ‪t‬‬ ‫ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻣﻠﺣـ ـ ـ ـ ـ ـ ــق ) ‪ ( ٥‬ﯾﻌط ـ ـ ـ ـ ـ ــﻲ ‪ P[T  t  ( )]  ‬ﻛﻣـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺎ ﻫ ـ ـ ـ ـ ـ ــو ﻣوﺿـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺢ ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟﺷـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻛل‬ ‫اﻟﺗ ــﺎﻟﻰ ﺣﯾ ــث ) ‪ t  (‬ﺗرﻣ ــز ﻟﻘﯾﻣ ــﺔ ‪ t‬اﻟﺗ ــﻲ ﺗوﺟ ــد ﻋﻠ ــﻰ اﻟﻣﺣ ــور اﻷﻓﻘ ــﻲ ﺗﺣ ــت ﻣﻧﺣﻧ ــﻰ ﺗوزﯾ ــﻊ ‪t‬‬ ‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬واﻟﺗﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﻗدرﻫﺎ ‪.‬‬

‫‪٤٠٢‬‬


‫اﻟﺟدول ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٥‬ﯾﻌطﻰ ﻗﯾم ) ‪ t  (‬اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺎظر اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ ‬ﻟدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ‬ﺣﯾث‬ ‫‪ ‬ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪ .10, .05, .025, .01, .005, .001, .0005 :‬ودرﺟﺎت‬ ‫إﻟﻰ ‪    .‬ﯾوﺿﺢ اﻟﺻف اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﺟدول ﻗﯾم ‪‬‬

‫اﻟﺣرﯾﺔ ﺗﺄﺧذ اﻟﻘﯾم ﻣن ‪  1‬‬

‫واﻟﻌﻣود اﻷول ﻣن اﻟﺷﻣﺎل ﻗﯾم درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ‪ . ‬أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﻬﻲ اﻟﻘﯾم ) ‪. t  (‬‬ ‫وﻷن اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﻣﺗﻣﺎﺛل ﻓﺈن ) ‪ t1 ( )   t  (‬ﻛﻣﺎ ﻫو ﻣوﺿﺢ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣١ -٧‬‬ ‫أوﺟد‬

‫)ب(‬

‫)أ( ‪t .005 15  ,‬‬

‫‪. t ,995 15 ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﺑﺎﻟﺑﺣ ــث ﻓ ــﻲ ﺟ ــدول ﺗوزﯾ ــﻊ ‪ t‬ﻓ ــﻲ ﻣﻠﺣ ــق )‪ (٥‬ﻋﻧ ــد ﺗﻘ ــﺎطﻊ اﻟﺻ ــف ‪  15‬‬

‫‪   .005‬ﻧﺟد أن‬

‫‪. t .005 15   2.947‬‬

‫)ب( ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪t .995 15    t .005 15 ‬‬

‫أي أن ‪. t .995 15   2.947‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٢ -٧‬‬ ‫أوﺟد ﻗﯾﻣﺔ ‪ ‬ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪t  (16)  1.746‬‬

‫‪٤٠٣‬‬

‫واﻟﻌﻣ ــود‬


‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن ﻗﯾﻣﺔ ‪ t‬ﺳﺎﻟﺑﺔ ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟذﯾل اﻷﯾﺳر ﻣن ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻟﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪t1 (16)   t  (16)  1.746‬‬

‫وﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (٤‬ﻓﺈن ‪1- = .05‬‬

‫وﻣﻧﻬﺎ ‪.  = .95‬‬

‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺣﺳب ‪ t ‬ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن ‪ ‬و ‪ ‬ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٣-٧‬‬ ‫ﻗدر اﻟﻘﯾم ‪ t ‬ﻟﻠﻘﯾم ‪   .05,.025,.01,.005,.001,.0005‬وذﻟك ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻣن ‪١‬اﻟﻰ‪١٥‬‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ Mathematica‬وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة ‪:‬‬ ‫‪ Statistics`ContinuousDistributions‬وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬

‫اﻻﻣر‬ ‫]‪Quantile[StudentTDistribution[n],1-#‬‬

‫ﯾﻌرف ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬و ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﻟـ ‪ t ‬ﯾﺳﺗﺧدم اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1‬‬‫;‪#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten‬‬ ‫;]}‪commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15‬‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪TableFormcommonvalues,‬‬ ‫‪TableHeadings ‬‬ ‫‪, "Degrees of Freedom", t.1, t.05, t.025,‬‬ ‫‪t.01, t.005, t.001, t.0005‬‬ ‫ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﻣطﻠوب‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت ‪.‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫‪tvals[n_]:={n,Map[Quantile[StudentTDistribution[n],1‬‬‫;‪#]&,{.1,.05,.025,.01,.005,.001,.0005}]}//Flatten‬‬

‫‪٤٠٤‬‬


‫;]}‪commonvalues=Table[tvals[n],{n,1,15‬‬

‫‪TableFormcommonvalues,‬‬ ‫‪TableHeadings ‬‬ ‫‪, "Degrees of Freedom", t.1, t.05, t.025,‬‬ ‫‪t.01, t.005, t.001, t.0005‬‬ ‫‪t0.0005‬‬ ‫‪636.619‬‬ ‫‪31.5991‬‬ ‫‪12.924‬‬ ‫‪8.6103‬‬ ‫‪6.86883‬‬ ‫‪5.95882‬‬ ‫‪5.40788‬‬ ‫‪5.04131‬‬ ‫‪4.78091‬‬ ‫‪4.58689‬‬ ‫‪4.43698‬‬ ‫‪4.31779‬‬ ‫‪4.22083‬‬ ‫‪4.14045‬‬ ‫‪4.07277‬‬

‫‪t0.001‬‬ ‫‪318.309‬‬ ‫‪22.3271‬‬ ‫‪10.2145‬‬ ‫‪7.17318‬‬ ‫‪5.89343‬‬ ‫‪5.20763‬‬ ‫‪4.78529‬‬ ‫‪4.50079‬‬ ‫‪4.29681‬‬ ‫‪4.1437‬‬ ‫‪4.0247‬‬ ‫‪3.92963‬‬ ‫‪3.85198‬‬ ‫‪3.78739‬‬ ‫‪3.73283‬‬

‫‪t0.005‬‬ ‫‪63.6567‬‬ ‫‪9.92484‬‬ ‫‪5.84091‬‬ ‫‪4.60409‬‬ ‫‪4.03214‬‬ ‫‪3.70743‬‬ ‫‪3.49948‬‬ ‫‪3.35539‬‬ ‫‪3.24984‬‬ ‫‪3.16927‬‬ ‫‪3.10581‬‬ ‫‪3.05454‬‬ ‫‪3.01228‬‬ ‫‪2.97684‬‬ ‫‪2.94671‬‬

‫‪t0.025‬‬ ‫‪12.7062‬‬ ‫‪4.30265‬‬ ‫‪3.18245‬‬ ‫‪2.77645‬‬ ‫‪2.57058‬‬ ‫‪2.44691‬‬ ‫‪2.36462‬‬ ‫‪2.306‬‬ ‫‪2.26216‬‬ ‫‪2.22814‬‬ ‫‪2.20099‬‬ ‫‪2.17881‬‬ ‫‪2.16037‬‬ ‫‪2.14479‬‬ ‫‪2.13145‬‬

‫‪t0.01‬‬ ‫‪31.8205‬‬ ‫‪6.96456‬‬ ‫‪4.5407‬‬ ‫‪3.74695‬‬ ‫‪3.36493‬‬ ‫‪3.14267‬‬ ‫‪2.99795‬‬ ‫‪2.89646‬‬ ‫‪2.82144‬‬ ‫‪2.76377‬‬ ‫‪2.71808‬‬ ‫‪2.681‬‬ ‫‪2.65031‬‬ ‫‪2.62449‬‬ ‫‪2.60248‬‬

‫‪t0.05‬‬ ‫‪6.31375‬‬ ‫‪2.91999‬‬ ‫‪2.35336‬‬ ‫‪2.13185‬‬ ‫‪2.01505‬‬ ‫‪1.94318‬‬ ‫‪1.89458‬‬ ‫‪1.85955‬‬ ‫‪1.83311‬‬ ‫‪1.81246‬‬ ‫‪1.79588‬‬ ‫‪1.78229‬‬ ‫‪1.77093‬‬ ‫‪1.76131‬‬ ‫‪1.75305‬‬

‫‪t0.1‬‬ ‫‪3.07768‬‬ ‫‪1.88562‬‬ ‫‪1.63774‬‬ ‫‪1.53321‬‬ ‫‪1.47588‬‬ ‫‪1.43976‬‬ ‫‪1.41492‬‬ ‫‪1.39682‬‬ ‫‪1.38303‬‬ ‫‪1.37218‬‬ ‫‪1.36343‬‬ ‫‪1.35622‬‬ ‫‪1.35017‬‬ ‫‪1.34503‬‬ ‫‪1.34061‬‬

‫‪DegreesofFreedom‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻷﺑﺣﺎث وﻏﺎﻟﺑﺎ ﯾﻛون ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذى ﺗﺧﺗﺎر ﻣﻧﻪ اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﺟﻬوﻻ‪ .‬ﻟﻠﻌﯾﻧﺎت‬

‫اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n >30‬ﻓﺈن اﻟﺗﻘدﯾر اﻟﺟﯾد ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 2‬ﻫو ‪ .s2‬إذا ﻛﺎﻧت ‪n > 30‬‬ ‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪z‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ Z‬ﺗﻘرﯾﺑﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ ‪ .‬أﻣﺎ إذا ﻛﺎن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﺻﻐﯾر ) ‪ ( n < 30‬ﻓﺈن ﻗﯾم )‪ (x  ) /(s / n‬ﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ‪ .‬ﻓﻲ‬ ‫ً‬ ‫ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻛون اﻫﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﺗوزﯾﻊ ﻹﺣﺻﺎء ﻣﺎ ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ، T‬واﻟذى ﻗﯾﻣﻪ‬ ‫ﺗﻌطﻰ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫‪٤٠٥‬‬


‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫)‪ (x i  x‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪,i  1,2,..., n‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪s‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ x‬و ‪ s2‬ﻫﻣﺎ اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬

‫‪ n‬ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ‪ ‬وﺗﺑﺎﯾن ‪ 2‬ﻏﯾر ﻣﻌروف ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪t‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ T‬ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .   n  1‬ﺑﻔرض ان اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﺣﺳﺎﺑﻰ‬

‫ﻟﻌﯾﻧﺔ‬

‫ﻣن‬

‫اﻟﺣﺟم‬

‫‪n=25‬‬

‫ﻣﺎﺧوذة‬

‫ﻣن‬

‫ﺗوزﯾﻊ‬

‫وﻛﺎﻧت‬

‫طﺑﯾﻌﻰ‬

‫‪ x  26.5,s 2  2.7,   28‬ﻓﺎن اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻫﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻰ ‪T‬‬ ‫وذﻟك ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪.4.5‬‬

‫‪26.5  28‬‬ ‫‪‬‬

‫‪25‬‬

‫‪t‬‬

‫‪2.7 ‬‬

‫‪-2.77778‬‬

‫اﯾﺿﺎ ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب )‪ P(T<-2.7778‬وذﻟك ﻋﻧد درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ ‪ 24‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫]‪CDF[StudentTDistribution[24],-2.7778‬‬ ‫‪0.00522692‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec 4.5‬ﺑﻌد ﺗﻌدﯾﻠﺔ ﺣﯾث ﺗم ﺗوﻟﯾد‬ ‫‪ 200‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 10‬ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 60‬واﻧﺣراف‬ ‫ﻣﻌﯾﺎرى ‪6‬‬

‫‪٤٠٦‬‬


T ‫ ﻟﺗﻠك اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺑﻣدرج اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وﻫو ﯾﻌطﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟـ‬t ‫وﻗد ﺗم ﺗﻣﺛﯾل ﻗﯾم‬ . ‫ درﺟﺔ ﺣرﯾﺔ وﻧﻼﺣظ ان اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوى ﻣن اﻟﯾﺳﺎر‬39 ‫( اى‬n-1) ‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ tt[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Mean[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize] ]-)/,{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[tt[200,10,60,6],8]; 0.25

0.2 0.15

0.1 0.05

0.61

 0.4

 0.19

0.02

0.23

0.44

0.65

0.86

‫ ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن‬20 ‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬200 ‫ﻧﻔس اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ وﻟﻛن ﺗم ﺗوﻟﯾد‬ 6 ‫ واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى‬10 ‫ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط‬

tt[numvars_,sampsize_,_,_]:= Table[(Mean[RandomArray[NormalDistribution[,],sampsize] ]-)/,{i,1,numvars}]; SeedRandom[984562]; Histogram[tt[200,20,10,2],8]; 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

 0.55

 0.38

0.22

0.05

0.12

0.29

٤٠٧

0.46

0.63


‫)‪ (١٤-٧‬ﺗوزﯾﻊ‬

‫‪F‬‬

‫‪The F Distribution‬‬

‫ﻧظرﯾــﺔ ‪ :‬إذا ﻛــﺎن ‪ W , V‬ﻣﺗﻐﯾ ـرﯾن ﻋﺷ ـواﺋﯾﯾن ﻣﺳــﺗﻘﻠﯾن ﻛــل ﻣﻧﻬﻣــﺎ ﯾﺗﺑــﻊ ﺗوزﯾــﻊ ﻣرﺑــﻊ ﻛــﺎي‬

‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 1 ,  2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪ ،‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪W / 1‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪V / 2‬‬

‫ﻟﻪ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ . 1 ,  2‬داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪ F‬ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪0u‬‬

‫‪(1   2 ) / 2](1 /  2 )1 / 2 u 1 / 21‬‬ ‫‪(1 / 2) ( 2 / 2) (1  1u /  2 )(12 ) / 2‬‬

‫‪f (u) ‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ m,n‬ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻣﻌرﻓﺔ‬ ‫ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫]‪f[x,m,n‬‬ ‫‪1 m‬‬ ‫‪ 1  mn‬‬ ‫‪2 n  m x 2‬‬

‫‪m m2 nn2 x‬‬

‫‪Beta m , n ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﯾﻌﺗﻣــد ﺗوزﯾــﻊ ‪ F‬ﻋﻠــﻰ ﻣﻌﻠﻣﺗــﯾن ‪ 1 ,  2‬ﺑــﻧﻔس اﻟﺗرﺗﯾــب ‪ .‬اﻟﻣﻌﻠﻣــﺔ اﻷوﻟــﻰ ‪ 1‬ﻫــﻲ ﻋــدد درﺟــﺎت‬

‫ﺣرﯾﺔ اﻟﺑﺳط واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪  2‬ﻫﻲ ﻋدد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ اﻟﻣﻘﺎم ‪ .‬اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾوﺿﺢ ﻣﻧﺣﻧﯾﺎت ﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻟزوﺟﯾن ﻣن درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪٤٠٨‬‬


‫ﺑﯾﺎن داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 20,20‬ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻣن‬ ‫اﻟﺟزء ‪ 4.5‬ﻣﻌطﺎﻩ ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪f[x_,m_,n_]:=PDF[FRatioDistribution[m,n],x‬‬ ‫;]}‪Plot[f[x,20,20],{x,0,6},DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬ ‫‪0.8‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺑﻔرض أن ) ‪ F (1 ,  2‬ﺗرﻣز ﻟﻘﯾﻣﺔ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ F‬ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺣور اﻷﻓﻘﻲ‬ ‫ﺗﺣت ﻣﻧﺣﻧﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 1‬و ‪  2‬واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﻬﺎ ﺗﺳﺎوى ‪‬‬ ‫واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ أى أن‪. P { F  F (1 ,  2 )]   :‬‬

‫‪٤٠٩‬‬


‫ﻻﺳﺗﺧراج ﻗﯾم ) ‪ F (1 ,  2‬ﯾوﺟد ﺟدوﻻن ﻓﻰ ﻣﻠﺣق )‪ (٦‬وﻣﻠﺣق )‪ ، (٧‬اﻷول ﻋﻧد ‪=.05‬‬

‫واﻵﺧر ﻋﻧد ‪  = .01‬وﻓﻰ ﻛل ﻣﻧﻬﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺻف اﻷول ﻟﻘﯾم ‪ 1‬واﻟﻌﻣود اﻷول ﻟﻘﯾم ‪  2‬أﻣﺎ‬ ‫ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﻬو ﻟﻘﯾم ) ‪ . F (1 ,  2‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻧﻼﺣظ أن ‪:‬‬ ‫‪F.01 (5,7)  7.46 , F.05 (1,4)  7.71‬‬ ‫‪F.01 (9,10)  4.94 , F.05 (4,1)  224.6‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٤ -٧‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﺗوزﯾﻊ ‪ ) F‬ﺳوف ﻧرﻣز ﻟﻪ ﺑﺎﻟرﻣز ( ) ‪ F (1 ,  2‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 1 ,  2‬أوﺟد ‪:‬‬ ‫)ب( ‪F.01  9, 4 ‬‬

‫)أ( ‪F.05  7,8 ‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﻋﻧدﻣﺎ ‪1  7 ,  2  8‬‬

‫ﻓﺈن ‪. F.05  7,8   3.5‬‬

‫)ب( ﻋﻧدﻣﺎ ‪ 1  9 ,  2  4‬ﻓﺈن ‪. F0.01  9,4   14.66‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻓﻰ إﯾﺟﺎد ) ‪ F1 (1 ,  2‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻻﺗﯾﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F1 ( 2 , 1 ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪F (1 ,  2‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗﯾﻣﺔ ‪ F.95  7,12 ‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.2801‬‬ ‫‪F.05 (12,7) 3.57‬‬

‫‪F.95 (7,12) ‬‬

‫ﺣﯾث أن ‪ F.05 12,7 ‬ﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٦‬ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪‬‬ ‫‪ = .05‬ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪. 1  12 ,  2  7‬‬ ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﺣﺳب ) ‪ F (1 ,  2‬ﻟﻘﯾم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن‬ ‫وذﻟك ﻣن ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫‪1, 2‬‬

‫ﺣﯾث ‪  .05‬‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(٣٥-٧‬‬ ‫ﻗ در اﻟﻘ ﯾم ) ‪ F (1 ,  2‬ﺣﯾ‪1‬ث‬ ‫‪ 1,2,3,4,5,6,…,15‬و ‪  0.05‬‬

‫ﺗﺎﺧ ذ اﻟﻘ ﯾم ‪1,2,3,4‬‬

‫‪٤١٠‬‬

‫و‬

‫ﺗﺎﺧ ذ اﻟﻘ ﯾم‬ ‫‪2‬‬


: ‫ وذﻟك ﺑﺈﺳﺗﺧدام اﻟﺣزﻣﺔ اﻟﺟﺎھزة‬Mathematica ‫ﺳوف ﯾﺗم ﺣل ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﺑﺈﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ : ‫ وذﻟك ﺑﺗﺣﻣﯾل اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬Statistics`ContinuousDistributions <<Statistics`ContinuousDistributions`

‫ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم اﻟﻣطﻠوﺑﺔ ﯾﺳﺗﺧدم اﻟداﻟﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯨﯾن‬ f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}] ‫ﯾﺗم اظﮭﺎر اﻟﺟدول اﻟﻣطﻠوب ﻣن اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}] . ‫وﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣﺧرﺟﺎت‬

<<Statistics`ContinuousDistributions` f[n1_,n2_]:=Quantile[FRatioDistribution[n1,n2],1.05]; v[n1_]:=Table[Flatten[{n2,f[n1,n2]}],{n2,1,15}] n1={1,2,3,4} {1,2,3,4}

TableForm[v[n1],TableHeadings{{},{"",1,2,3,4}}] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 161.448 18.5128 10.128 7.70865 6.60789 5.98738 5.59145 5.31766 5.11736 4.9646 4.84434 4.74723 4.66719 4.60011 4.54308

2 199.5 19. 9.55209 6.94427 5.78614 5.14325 4.73741 4.45897 4.25649 4.10282 3.9823 3.88529 3.80557 3.73889 3.68232

٤١١

3 215.707 19.1643 9.27663 6.59138 5.40945 4.75706 4.34683 4.06618 3.86255 3.70826 3.58743 3.49029 3.41053 3.34389 3.28738

4 224.583 19.2468 9.11718 6.38823 5.19217 4.53368 4.12031 3.83785 3.63309 3.47805 3.35669 3.25917 3.17912 3.11225 3.05557


‫ﻻﺳﺗﺧراج ﻗﯾم ) ‪ F (1 ,  2‬ﻣن اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق اﻟﻣﺳﺗﺧرج ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﯾﻛون اﻟﺻف اﻷول‬ ‫ﻟﻘﯾم ‪ 1‬واﻟﻌﻣود اﻷول ﻟﻘﯾم ‪ 2‬أﻣﺎ ﻣﺣﺗوﯾﺎت اﻟﺟدول ﻓﮭو ﻟﻘﯾم ) ‪ . F (1 ,  2‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل‬

‫اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫‪F (1,4)  7.70865,F (1,4)  224.583‬‬

‫ﯾﻌﺗﺑر ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﻣن اﻟﺗوزﯾﻌﺎت اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﻬﺎﻣﺔ اﻟﺗﻰ ﺗﺳﺗﺧدم ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻹﺣﺻﺎء‬

‫اﻟﺗطﺑﯾﻘﻰ ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت ‪ s2 , s1‬ﺗﻣﺛﻼن ﺗﺑﺎﯾﻧﻲ ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻋﺷواﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣن اﻟﺣﺟم ‪n 2 , n1‬‬

‫ﻣﺄﺧوذﺗﯾن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﻣن طﺑﯾﻌﯾﯾن ﺑﺗﺑﺎﯾﻧﺗﻰ ‪ 22 , 12‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪s12 / 12  22s12‬‬ ‫‪f  2 2  2 2.‬‬ ‫‪s 2 /  2 1 s 2‬‬

‫ﻫﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ F‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪. 1, 2‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﺎﺧوذ ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ Sec 4.5‬ﺑﻌد ﺗﻌدﯾﻠﺔ ﺣﯾث ﺗم ﺗوﻟﯾد‬ ‫‪ 200‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 10‬ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 60‬واﻧﺣراف‬ ‫ﻣﻌﯾﺎرى ‪ ،6‬ﺛم ﺗوﻟﯾد ‪ 200‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 10‬ﻣﺳﺣوﺑﺔ ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط‬

‫‪ 50‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ‪.5‬وﻗد ﺗم اﺳﺗﺧداﻣﻬم ﻓﻰ ﺣﺳﺎب اﻟﻘﯾم ‪:‬‬ ‫‪s12 / 12  22s12‬‬ ‫‪f  2 2  2 2.‬‬ ‫‪s 2 /  2 1 s 2‬‬

‫وﻗد ﺗم ﺗﻣﺛﯾل ﻗﯾم ‪ f‬ﻟﺗﻠك اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺑﻣدرج اﺣﺗﻣﺎﻟﻰ وﻫو ﯾﻌطﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟـ ‪F‬‬ ‫ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ )‪ (9-1) , (9-1‬وﻧﻼﺣظ ان اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣﻠﺗوى ﻣن اﻟﯾﺳﺎر ‪.‬‬

‫=‪ff[numvars_,sampsize_]:‬‬ ‫‪Table[(Variance[RandomArray[NormalDistribution[60,6],samp‬‬ ‫‪size]]/6^2)/(Variance[RandomArray[NormalDistribution[50,4‬‬ ‫;]}‪],sampsize]]/5^2),{i,1,numvars‬‬ ‫;]‪SeedRandom[984562‬‬ ‫;]‪Histogram[ff[200,10],8‬‬

‫‪٤١٢‬‬


‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪8.91‬‬

‫‪7.73‬‬

‫‪6.56‬‬

‫‪5.38‬‬

‫‪4.21‬‬

‫‪3.03‬‬

‫‪1.86‬‬

‫‪0.68‬‬

‫اﻟﺟزء اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺳوف ﻧوﺿﺢ ﻛﯾف ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻔﺎدة ﻣن ‪ F‬ﻓﻰ اﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﻧﯾن‬ ‫‪. 22 , 12‬‬

‫ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﺗم ﺣﺳﺎب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺗﯾن ‪ year1‬و‪ year2‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺗواﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪year1={9,14,16,8,19,7,14,17,16,7,13,16,11,9,30,14,9,9,9,1‬‬ ‫;}‪1,13,16,6,17,18,11,12,18,3,12,20,8,13,14,21,11,27,26,5‬‬ ‫‪year2={16,21,12,19,13,14,9,29,21,5,7,11,4,8,17,5,10,8,13,‬‬ ‫‪19,14,16,15,8,6,8,15,9,6,23,19,8,19,7,16,27,13,13,28,9,7,‬‬ ‫;}‪18,12,9,10,7,8,20,19‬‬ ‫]‪Length[year1‬‬ ‫]‪Length[year2‬‬ ‫]]‪VarX=N[Variance[year1‬‬ ‫]]‪VarY=N[Variance[year2‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪35.4103‬‬ ‫‪39.5323‬‬

‫اﯾﺿﺎ اﻟﻣﺋﯾن اﻟﺧﺎﻣس واﻟﻣﺋﯾن ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ ‪ 95‬وذﻟك ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪38,48‬‬ ‫]‪a=Quantile[FRatioDistribution[38,48],.05‬‬ ‫]‪b=Quantile[FRatioDistribution[38,48],.95‬‬ ‫‪0.594734‬‬ ‫‪1.65219‬‬

‫‪٤١٣‬‬


‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ‪ 90%‬ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن ﺗﺑﺎﯾﻧﯾن ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ‪ .‬وﺑﻣﺎ ان اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ‬ ‫داﺧل اﻟﻔﺗرة ﻓﻬذا ﯾﻌﻧﻰ ان اﻟﺗﺑﺎﯾﻧﯾن ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﯾن اﻟﻣﺳﺣوﺑﯾن ﻣﻧﻬﻣﺎ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﻣﺗﺳﺎوﯾﺎن وﻫذا ﯾﺳﻣﻰ‬

‫اﺧﺗﺑﺎر اﻟﺗﺟﺎﻧس ‪:‬‬

‫}‪{0.542148,1.5061‬‬ ‫ﻓﻰ اﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻔﺗرض ان اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ‪ .‬وﻻﺧﺗﺑﺎر‬ ‫ان اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﻣدرج ﺗﻛرارى ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟرﺳم ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻰ ﻧﺧﺗﺑرﻫﺎ وذﻟك ﻛﻣﺎ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل )‪: (٢٧-٣‬‬

‫‪f1={60.,66,71,63,61,54,54,54,66,55,65,54,49,74,65,55,45,5‬‬ ‫‪3,71,65,70,54,53,48,56,47,65,60,54,47,59,70,64,63,61,70,7‬‬ ‫;}‪4,63,62,61,54,66,70,64,65,64,63,68,66,70‬‬ ‫‪g1=Histogram[f1,8,Type->Scaled,DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫‪g2=Plot[f[x,61,7.4],{x,20,100},DefaultFont{"Times‬‬‫‪Roman",8},Ticks‬‬‫;]‪>{{20,61,100},Automatic,},DisplayFunction->Identity‬‬ ‫‪Show[g1,g2, DisplayFunction->$DisplayFunction,Ticks‬‬‫;]}‪>{{20,61,1100},Automatic‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.01‬‬

‫‪20‬‬

‫‪61‬‬

‫‪٤١٤‬‬


‫)‪ (١٥-٧‬ﺗوزﯾﻌﺎت اﺧرى‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﻫذﻩ اﻟﺗوزﯾﻌﺎت ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻣن اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟرﺋﯾﺳﯾﺔ ﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﺧﺗﺎر‬ ‫‪ Help‬وﻣﻧﻬﺎ ﻧﺧﺗﺎر ‪ Help Broswer‬ﻟﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ااﻟﻧﺎﻓذة اﻟﺗﻰ ﺳﺑق ان ﺗﻛﻠﻣﻧﺎ ﻋﻧﻬﺎ ﻓﻰ اول‬

‫اﻟﻔﺻل وﺑﻛﺗﺎﺑﺔ `‪ Statistics`ContinuousDistributions‬واﻟﺗﻧﻔﯾذ ﯾﻣﻛن اﻟوﺻول اﻟﻰ‬ ‫ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن ﺗﻠك اﻟﺗوزﯾﻌﺎت‪.‬‬ ‫)أ(‬

‫ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ‪Noncentral Chi Distribution‬‬

‫)ب(‬

‫ﺗوزﯾﻊ ف اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ‪Noncentral F Distribution‬‬

‫)ت(‬

‫ﺗوزﯾﻊ ت اﻟﻐﯾر ﻣرﻛزى ‪Noncentral t Distribution‬‬

‫)ث(‬

‫ﺗوزﯾﻊ ‪Rayleigh Distribution‬‬

‫)ج (‬

‫ﺗوزﯾﻊ ‪Logistic Distribution‬‬

‫)ح (‬

‫ﺗوزﯾﻊ ‪Laplace Distribution‬‬

‫‪٤١٥‬‬


‫اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻣن‬

‫ﺗوﻟﯾد اﻻﻋداد اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ واﻟﻣﺣﺎﻛﺎه‬

‫‪٤١٦‬‬


‫ﯾوﺟ ــد طـ ـرﯾﻘﺗﯾن ﻋ ــﺎﻣﺗﯾن ﻟﺗوﻟﯾ ــد اﻻﻋ ــداد ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ‪ :‬اﻟط ــرق اﻟﻔﯾزاﺋﯾ ــﺔ ‪methods‬‬

‫‪Physical‬‬

‫واﻟطـرق اﻟرﯾﺎﺿـﯾﺔ ‪ . arithmetric methods‬وﻣـن اﻣﺛﻠـﺔ اﻟطـرق اﻟﻔﯾزاﺋﯾـﺔ ﺳـﺣب ﻛـرة ﻣـن وﻋـﺎء‬ ‫او اﻟﻘ ـ ــﺎء ﻋﻣﻠ ـ ــﺔ او اﻟﻘ ـ ــﺎء ﻧ ـ ــرد اﻣ ـ ــﺎ اﻟط ـ ــرق اﻟرﯾﺎﺿ ـ ــﯾﺔ ﻓﺗﻌﺗﻣ ـ ــد ﻋﻠ ـ ــﻰ ﺧطـ ـ ـوات رﯾﺎﺿ ـ ــﯾﺔ ﻣﺧﺗﻠﻔ ـ ــﺔ‬ ‫‪algorithms‬‬

‫‪ . mathematical‬اﻻﻋ ـ ــداد اﻟﻌﺷـ ـ ـواﺋﯾﺔ اﻟﺗ ـ ــﻰ ﺗوﻟ ـ ــد ﺑـ ـ ـﺎﻟطرق اﻟرﯾﺎﺿ ـ ــﯾﺔ ﺗﺳ ـ ــﻣﻰ‬

‫‪ pseudorandom number‬واﻟﻣطﻠـب اﻻوﻟـﻰ ﻟﺗوﻟﯾـد ﺗﻠـك اﻻﻋـداد ﻫـو ﺗوﻟﯾـد اﻋـداد ﺗﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ‬ ‫اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗﺑرة )‪ . (0,1‬ﻓـﻰ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـﺎ ﻫـذة اﻟﻛﻔـﺎءة ﺗـﺗم ﻣـن ﺧـﻼل داﻟـﺔ ‪ . Random‬ﻟﻼﻋـداد‬ ‫اﻟﻌﺷـواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳـﻣﺎﻩ ‪ pseudorandom numbers‬واﻟﺗـﻰ ﻻ ﺗﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ‪ ،‬اى اﻻﻋـداد‬

‫اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾدﻫﺎ وﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ اﺧر ﻏﯾر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧظم ﻓﺎن اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﺗﻘدم ﻟﻧـﺎ اﻟداﻟـﺔ ‪Random‬‬ ‫واﻟداﻟ ـ ـ ــﺔ ‪ RandomArray‬واﻟﺗ ـ ـ ــﻰ ﺗﻣ ـ ـ ــدﻧﺎ ﺑﻬ ـ ـ ــذﻩ اﻟﻛﻔ ـ ـ ــﺎءة ‪ .‬ﺗﻠ ـ ـ ــك اﻟ ـ ـ ــدوال ﻣوﺟ ـ ـ ــودة ﻓ ـ ـ ــﻰ اﻟﺣ ـ ـ ــزم‬ ‫‪ ContinuousDistributions‬و ‪ DiscreteDistributins‬ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل ‪. Statistics‬‬

‫ﺗﻠــك اﻟﺣــزم ﻧﺣﻣﻠﻬــﺎ ﺑﻛﺗﺎﺑــﺔ '‪ <<Statistics`DiscreteDistributions‬ﻟﻠﺣزﻣــﺔ اﻻوﻟــﻰ وﺗﻧﻔﯾــذﻫﺎ او‬ ‫ﻛﺗﺎﺑﺔ '‪ <<Statistics`ContinuousDistributions‬ﻟﻠﺣزﻣﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﺗﻧﻔﯾذﻫﺎ ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻ ــول ﻋﻠ ــﻰ ﻣﻌﻠوﻣـ ــﺎت ﻋ ــن اﻟداﻟـ ــﺔ‬ ‫اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن وﻧﻧﻔﯾذﻫﻣﺎ ‪:‬‬

‫‪ Random‬اواﻟداﻟـ ــﺔ ‪ RandomArray‬ﻓﺎﻧﻧ ــﺎ ﻧﻛﺗـ ــب‬

‫`‬

‫‪?Random‬‬ ‫‪Random[ ] gives a uniformly distributed pseudorandom Real in the‬‬ ‫‪range 0 to 1. Random[type, range] gives a pseudorandom number of the‬‬ ‫‪specified type, lying in the specified range. Possible types are:‬‬ ‫‪Integer, Real and Complex. The default range is 0 to 1. You can give‬‬ ‫‪the range {min, max} explicitly; a range specification of max is‬‬ ‫‪equivalent to {0, max}. Random[distribution] gives a random number‬‬ ‫‪with the specified statistical distribution.‬‬

‫‪?RandomArray‬‬ ‫‪RandomArray[distribution, n] generates a list of length n, where‬‬ ‫‪each element is a random number with the specified statistical‬‬ ‫‪distribution. RandomArray[distribution, {n1, n2, ...}] generates an‬‬ ‫‪n1 X n2 X ... array of nested lists of random numbers.‬‬

‫ﺗﻌرﯾف‪:‬‬

‫ﺗﻌرف اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻋﻠـﻰ اﻧﻬـﺎ ﻋﻣﻠﯾـﺔ ﻟﺗﺻـﻣﯾم ﻧﻣـوزج رﯾﺎﺿـﻰ ‪ mathematical model‬او ﻧﻣـوزج‬

‫ﻣﻧطﻘـﻰ ‪ logical model‬ﻟﻧظـﺎم ﺣﻘﯾﻘـﻰ ﺛـم اﺳـﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـب اﻻﻟـﻰ ﻟوﺻـف او اﻟﺗﻧﺑـﺎ ﺑﺳـﻠوك ﻫـذا‬ ‫اﻟﻧﻣوزج ‪ .‬وﯾﻣﻛن ﺗوﺿﯾﺢ ذﻟك ﻣن اﻻﻣﺛﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫)‪ (١-٨‬ﺗوﻟﯾد)ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﻧﺎظرﯾﺔ‬ ‫اﻻن ﻧﺑدا ﺑﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ وﻻ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪.(0,1‬‬

‫‪٤١٧‬‬


‫ﺳ ـ ـ ــوف ﯾ ـ ـ ــﺗم ذﻟ ـ ـ ــك ﺑﺎﺳ ـ ـ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ـ ـ ــﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛ ـ ـ ــﺎ ﺑطـ ـ ـ ـرﯾﻘﺗﯾن‪ .‬اﻻوﻟ ـ ـ ــﻰ ﺗﻌﺗﻣ ـ ـ ــد ﻋﻠ ـ ـ ــﻰ اﻟﺣزﻣ ـ ـ ــﺔ‬ ‫‪ ، ContinuousDistributions‬واﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻧظرﯾﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن ‪:‬‬

‫ﻧظرﯾــﺔ)‪ :(١-٨‬ﻟ ــﯾﻛن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺎً ﻟــﻪ داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ )‪ F(x‬ﻣ ــن اﻟﻧــوع اﻟﻣﺗﺻ ــل‬ ‫وﻣﺗ ازﯾـدة ﺑﺈﺿـطراد ‪ .‬وﻋﻠـﻲ ذﻟـك اﻟﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ Y‬واﻟﻣﻌـرف ﺑﺎﻟﻌﻼﻗـﺔ )‪ Y = F(X‬ﻟـﻪ ﺗوزﯾـﻊ‬ ‫ﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة )‪. (0, 1‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١ -٨‬‬ ‫اﺋﯾﺎ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ) ﺗوزﯾﻊ ﻟوﺟﺳﺗﻲ ( ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ًار ﻋﺷو ً‬

‫‪x‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ex‬‬ ‫‪f X (x) ‬‬ ‫‪(1  e x ) 2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪ew‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F(x)  ‬‬ ‫‪dw ‬‬ ‫‪w 2‬‬ ‫‪1 ex‬‬ ‫) ‪ (1  e‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪ x ‬‬

‫‪,‬‬

‫وﻋﻠﻲ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪ F(X‬‬ ‫‪1  e x‬‬

‫‪Y‬‬

‫ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬

‫‪g (y) = 1 , 0 < y < 1‬‬ ‫‪= 0 , e.w,‬‬ ‫أي أن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻲ اﻟﻔﺗرة ) ‪.( 0,1‬‬ ‫ﻧظرﯾـﺔ)‪: (٢-٨‬‬

‫ﻟـﯾﻛن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة )‪(0, 1‬‬

‫) ‪Y ~ UNIF(0, 1‬‬

‫أي أن‬

‫‪ ،‬ﻟﺗﻛن )‪ F(x‬ﻟﻬﺎ اﻟﺧﺻﺎﺋص ﻟداﻟﺔ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌـﻲ ﻣـن اﻟﻧـوع اﻟﻣﺗﺻـل‬

‫ﺣﯾـث ‪ ، F(b) = 1 , F(a) = 0‬وﺑﻔـرض أن )‪ F (x‬ﻣﺗ ازﯾـدة ﺑﺈﺿـطراد ﻣـن اﻟﻔﺗـرة ‪a < x < b‬‬ ‫ﺣﯾـث‬

‫‪ b , a‬ﻣــن اﻟﻣﻣﻛــن أن ﯾﻛوﻧــﺎن ‪ ,‬ﻋﻠــﻲ اﻟﺗـواﻟﻲ ‪ .‬وﻋﻠــﻲ ذﻟــك اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪X‬‬

‫ﺣﯾث )‪ X  F 1 (Y‬ﻫو ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ )‪. F (x‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢ -٨‬‬

‫‪٤١٨‬‬


‫إذا ﻛـﺎن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾـراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺣﯾـث ) ‪ Y ~ UNIF ( 0, 1‬أوﺟـد داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر‬ ‫‪. X2 Y‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫]‪FX (x)  P[X  x]  P[2 Y  x‬‬ ‫]‪ P[Y  x 2 / 4‬‬ ‫‪ x 2 / 4.‬‬ ‫وﻋﻠﻲ ذﻟك داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪d FX (x) 2x x‬‬ ‫‪f X (x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,0  x  2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫ﻧﻼﺣظ ﻫﻧﺎ أن ‪ x , y‬ﯾرﺗﺑطﺎن ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪4‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﻛﺎﻓﻲء ‪:‬‬

‫‪y  F(x) ‬‬

‫)‪x  2 y  F1 (y‬‬ ‫أي أﻧــﻪ إذا ﻛﺎﻧــت ) ‪ Y ~ UNI( 0, 1‬ﻓــﺈن ‪ X  F 1 (Y)  2 Y‬ﯾﻛــون ﻟﻬــﺎ داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ‬ ‫إﺣﺗﻣﺎل ﺗﺟﻣﯾﻌﯾﺔ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪FX  x  ‬‬ ‫‪0  x  2.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﻔـ ـ ـ ـ ــرض أﻧﻧـ ـ ـ ـ ــﺎ ﺣﺻـ ـ ـ ـ ــﻠﻧﺎ ﻋﻠـ ـ ـ ـ ــﻲ ﻓﺋ ـ ـ ـ ـ ــﺔ اﻷﻋـ ـ ـ ـ ــداد اﻟﻌﺷ ـ ـ ـ ـ ـواﺋﯾﺔ ‪ y1, y 2,...., y n‬ﻓـ ـ ـ ـ ــﺈن اﻷﻋ ـ ـ ـ ـ ــداد‬

‫‪ x1  F1 (y1 )  2 y, x 2  2 y2 ,..., x n  2 y n‬ﺗﻣﺛ ـ ـ ـ ــل ‪ n‬ﻣ ـ ـ ـ ــن اﻟﻣﺷ ـ ـ ـ ــﺎﻫدات ﻟﻣﺗﻐﯾ ـ ـ ـ ــر‬ ‫ﻋﺷواﺋﻲ ‪ . X‬ﯾوﺿـﺢ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر ‪ . X‬ﯾﻌطـﻲ اﻟﺟـدول اﻟﺗـﺎﻟﻰ أول‬ ‫أﻋــداد ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ‪ ،‬ﻋــددﻫﺎ ‪ ، 15‬ﻟ ــﺗﻛن ‪ y1, y2,..., y n‬واﻟﻣــﺄﺧوذة ﻣــن اﻟﻌﻣ ــود اﻷﺧﯾــر ﻣــن ﺟ ــدول‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻋـداد ﻋﺷـواﺋﯾﺔ وذﻟـك ﺑﻌـد ﻗﺳـﻣﺔ ﻛـل ﻋـدد ﻋﻠـﻲ ‪10‬‬

‫ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﻘرﯾﺑﺎً‬

‫وﺑﺎﻟﺗـﺎﻟﻲ ﺗﻌﺗﺑـر اﻟﻘـﯾم ‪y1, y 2,...., y n‬‬

‫ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة ‪ 0,1‬‬

‫‪ .‬ﻫـذا وﯾﻣﻛـن اﺳـﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـب اﻵﻟـﻲ‬

‫ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم‪.‬‬ ‫ﻣﻠﺣوظﺔ ‪:‬‬

‫ﺟداول اﻻﻋداد اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻣوﺟودة ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻛﺗب اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪٤١٩‬‬


‫‪y‬‬

‫‪x2 y‬‬ ‫‪0.7782‬‬ ‫‪1.6367‬‬ ‫‪0.4591‬‬ ‫‪1.3783‬‬ ‫‪1.0770‬‬ ‫‪0.9704‬‬ ‫‪1.9659‬‬ ‫‪0.1311‬‬ ‫‪0.6334‬‬ ‫‪1.9175‬‬ ‫‪1.4101‬‬ ‫‪1.7080‬‬ ‫‪1.900‬‬ ‫‪1.8138‬‬ ‫‪1.5382‬‬

‫‪0.1514‬‬ ‫‪0.6697‬‬ ‫‪0.0527‬‬ ‫‪0.4749‬‬ ‫‪0.2900‬‬ ‫‪0.2304‬‬ ‫‪0.9662‬‬ ‫‪0.0043‬‬ ‫‪0.1003‬‬ ‫‪0.9192‬‬ ‫‪0.4971‬‬ ‫‪0.7293‬‬ ‫‪0.9118‬‬ ‫‪0.8225‬‬ ‫‪0.5915‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ . X‬ﺣﯾث ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,1‬ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ X,Y‬ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪X‬‬

‫وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ xx‬ﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم‪ Y‬وﻗﯾم ‪ X‬ﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪:‬‬ ‫‪ . Transpose‬وﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],15‬‬ ‫‪0.905693,0.204137,0.57258,0.663607,0.4576,0.770183,0.154581,0.987772,‬‬ ‫}‪0.320891,0.652021‬‬

‫‪‬‬

‫‪xx  2 y  N‬‬ ‫‪{1.90336,0.903631,1.51338,1.62924,1.35292,1.7552,0.786336,1.98773,1.1‬‬ ‫}‪3294,1.61496‬‬

‫‪Transpose[{y,xx}]//TableForm‬‬

‫‪٤٢٠‬‬


‫‪1.90336‬‬ ‫‪0.903631‬‬ ‫‪1.51338‬‬ ‫‪1.62924‬‬ ‫‪1.35292‬‬ ‫‪1.7552‬‬ ‫‪0.786336‬‬ ‫‪1.98773‬‬ ‫‪1.13294‬‬ ‫‪1.61496‬‬

‫‪0.905693‬‬ ‫‪0.204137‬‬ ‫‪0.57258‬‬ ‫‪0.663607‬‬ ‫‪0.4576‬‬ ‫‪0.770183‬‬ ‫‪0.154581‬‬ ‫‪0.987772‬‬ ‫‪0.320891‬‬ ‫‪0.652021‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣ -٨‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ( ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 10‬ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻲ ؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F x   ‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪  1  t 2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ tan 1  t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  tan 1  x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y  tan 1  x  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y    tan  x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﺗﻛﺎﻓﺊ أن ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  tan  y  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﯾﻌطﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻗﯾم ﻋﺷرة أرﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﻣود اﻷﺧﯾر ﻓﻲ ﺟدول اﻷرﻗﺎم اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ﻓﻲ‬ ‫وذﻟك ﺑﻌد ﻗﺳﻣﺔ ﻛل رﻗم ﻋﻠﻲ ‪ 104‬ﻣﻊ ﻗﯾم ‪ x‬اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪٤٢١‬‬


‫‪y‬‬ ‫‪0.1514‬‬ ‫‪0.6697‬‬ ‫‪0.0527‬‬ ‫‪0.4749‬‬ ‫‪0.2900‬‬ ‫‪0.2354‬‬ ‫‪0.9662‬‬ ‫‪0.0043‬‬ ‫‪0.1003‬‬ ‫‪0.9192‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪-1.9415‬‬ ‫‪0.5901‬‬ ‫‪-5.9847‬‬ ‫‪-0.0790‬‬ ‫‪-0.7757‬‬ ‫‪-1.0962‬‬ ‫‪9.3820‬‬ ‫‪-74.021‬‬ ‫‪-3.0678‬‬ ‫‪3.8595‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ X‬ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ‪:‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ) ﻣﺛل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ( ‪:‬‬ ‫ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,1‬ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ X,Y‬ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪X‬‬

‫وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ xx‬ﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم ‪ Y‬وﻗﯾم ‪ X‬ﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر ‪:‬‬

‫‪ . Transpose‬وﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ‪ContinuousDistributions‬‬

‫ﺣﯾث ﯾﺗم ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ X‬وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‪. xx1‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10‬‬ ‫‪{0.19519,0.682411,0.679846,0.272077,0.211702,0.510403,0.275044,0.5435‬‬ ‫}‪11,0.191376,0.772952‬‬

‫‪   y  N‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪xx  Tan ‬‬

‫‪{-1.42105,0.645295,0.633942,-0.870087,-1.27505,0.0326947,‬‬‫}‪0.853843,0.137551,-1.45786,1.15571‬‬

‫‪Transpose[{y,xx}]//TableForm‬‬

‫‪٤٢٢‬‬


‫‪1.42105‬‬

‫‪0.645295‬‬ ‫‪0.633942‬‬ ‫‪0.870087‬‬ ‫‪1.27505‬‬ ‫‪0.0326947‬‬ ‫‪0.853843‬‬ ‫‪0.137551‬‬ ‫‪1.45786‬‬ ‫‪1.15571‬‬

‫‪0.19519‬‬ ‫‪0.682411‬‬ ‫‪0.679846‬‬ ‫‪0.272077‬‬ ‫‪0.211702‬‬ ‫‪0.510403‬‬ ‫‪0.275044‬‬ ‫‪0.543511‬‬ ‫‪0.191376‬‬ ‫‪0.772952‬‬

‫]‪xx1=RandomArray[CauchyDistribution[0,1],10‬‬ ‫‪{3.92816,8.81074,0.586835,0.452596,2.77515,-10.5211,10.7721,‬‬‫}‪4.24567,0.826059,-0.0334645‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٤ -٨‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد )ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ( ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n = 10‬ﺗﺗﺑﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬؟‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪0 , x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪FX  x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ , x0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﺑوﺿﻊ ‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪Y  1 e‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪X    ln 1 Y  .‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻷﺳﻲ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬ ‫ﺑﻔ ــرض أن ‪   1‬وﻧرﯾ ــد ﺗوﻟﯾ ــد ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم ‪ n  10‬ﻣ ــن اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺳ ــﻲ‬ ‫ﺑﻣﻌﻠﻣﻪ ‪ .   1‬أوﻻ ﻧوﻟد ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ‪ y1 , y 2 ,..., y10‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪:‬‬

‫‪٤٢٣‬‬


‫‪x1   ln(0.55463)  0.589‬‬

‫‪y1  0.55463‬‬

‫‪x 2   ln(0.15389)  1.872‬‬

‫‪y 2  0.15389‬‬

‫‪x 3  ln(0.85941)  0.151‬‬

‫‪y 3  0.85941‬‬

‫‪x 4   ln(0.05219)  0.492‬‬

‫‪y 4  0.61149‬‬

‫‪x 5   ln(0.05219)  2.053‬‬

‫‪y 5  0.05219‬‬

‫‪x 6  in(0.41417)  0.881‬‬

‫‪y 6  0.41417‬‬

‫‪x 7   ln(0.28357)  1.260‬‬

‫‪y 7  0.28357‬‬

‫‪x 8   ln(0.17783)  1.727‬‬

‫‪y8  0.17783‬‬

‫‪x 9   ln(0.40950)  0.893‬‬

‫‪y 9  0.40950‬‬

‫‪x10   ln(0.82995)  0.186‬‬

‫‪y10  0.82995‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻰ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬ ‫) ‪x i  ln(1  y i‬‬

‫ﻧﺣﺻـ ـ ــل ﻋﻠـ ـ ــﻰ ‪ x1 , x 2 ,..., x10‬ﺗﺗﺑـ ـ ــﻊ اﻟﺗوزﯾـ ـ ــﻊ اﻻﺳـ ـ ــﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣـ ـ ــﺔ ‪ .   1‬وﯾﻣﻛـ ـ ــن اﺧـ ـ ــذ اﻟﺗﺣوﯾﻠـ ـ ــﻪ‬ ‫‪ X   ln Y‬ﺑدﻻ ﻣن )‪ X   ln(1  Y‬وذﻟك ﻻن )‪ (1  Y‬اﯾﺿﺎ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﻲ ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ X‬ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ‪:‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ) ﻣﺛل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ( ‪:‬‬ ‫ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد ‪ 10‬رﻗم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,1‬ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ X,Y‬ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪X‬‬

‫وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ xx‬ﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم ‪ Y‬وﻗﯾم ‪ X‬ﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‬ ‫‪ . Transpose‬وﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ وﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺰﻣﺔ ‪ContinuousDistributions‬‬ ‫ﺣﯾث ﯾﺗم ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ X‬وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‪. xx1‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10‬‬ ‫‪{0.839409,0.569581,0.903264,0.899301,0.333996,0.00953819,‬‬ ‫}‪0.0936295,0.769578,0.594237,0.489813‬‬ ‫‪xx=-(Log[1-y])//N‬‬ ‫‪{1.8289,0.842995,2.33577,2.29562,0.40646,0.00958397,0.098‬‬ ‫}‪3071,1.46784,0.901985,0.672978‬‬ ‫‪Transpose[{y,xx}]//TableForm‬‬

‫‪٤٢٤‬‬


0.839409 0.569581 0.903264 0.899301 0.333996 0.00953819 0.0936295 0.769578 0.594237 0.489813

1.8289 0.842995 2.33577 2.29562 0.40646 0.00958397 0.0983071 1.46784 0.901985 0.672978

f[x_]:=ExponentialDistribution[1] xx1=RandomArray[f[x],10] {0.796751,1.47951,0.294558,0.360798,2.80808,0.366114,1.60385,1.73506, 0.297923,0.328113}

(٥ -٨ ) ‫ﻣﺛﺎل‬

200 ‫ ﻟﺗوﻟﯾــد‬Sec4.3 ‫ ﻣـن اﻟﻔﺻــل اﻟ ارﺑـﻊ اﻟﺟـزء‬KnoxProb ‫اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗـﺎﻟﻰ ﻣـﺎﺧوذ ﻣــن ﺑرﻧـﺎﻣﺞ‬ ‫ ﺛم اﺳﺗﺧداﻣﻬم ﻓـﻰ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻰ اﻟﻣـدرج اﻻﺣﺗﻣـﺎﻟﻰ ﻣـﻊ‬  2 ‫ﻋﯾﻧﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫ وﻗــد اﺳـﺗﺧدم ﻓــﻰ ﺗوﻟﯾـد اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟطرﯾﻘـﺔ اﻻوﻟــﻰ ﻣــن‬.2 ‫ﺑﯾـﺎن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل اﻻﺳـﯾﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ‬ . ‫اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق‬

SimulateExpn_, _ : 1 Table  Log1  Random, n 

Needs["KnoxProb`Utilities`"] SeedRandom[13645]

datalist  SimulateExp200, .5; g1  Histogramdatalist, 8, Type  Scaled, Endpoints  .5, 11, DisplayFunction  Identity; g2  Plot.5E.5t, t, 0, 10, DefaultFont  "TimesRoman", 8, DisplayFunction  Identity; Showg1, g2, DisplayFunction  $DisplayFunction;

٤٢٥


‫‪0.5‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪10.34‬‬

‫‪9.03‬‬

‫‪7.72‬‬

‫‪6.41‬‬

‫‪5.09‬‬

‫‪3.78‬‬

‫‪2.47‬‬

‫‪1.16‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٦ -٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪   1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   x exp (x / )  , 0 < x < ‬‬ ‫‪f (x)    ‬‬ ‫‪0 ,‬‬ ‫‪e.w.‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻰ ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل ﺗﺄﺧذ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪:‬‬

‫‪0<X<‬‬

‫‪  X  ‬‬ ‫‪F(X)  1  exp     ,‬‬ ‫‪    ‬‬

‫أذن ‪:‬‬

‫‪٤٢٦‬‬


‫‪  X  ‬‬ ‫‪Y  1  exp    ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  X  ‬‬ ‫‪1  y  exp    ‬‬ ‫‪    ‬‬

‫‪  X  ‬‬ ‫‪ln(1  Y)     ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪ ln(1  Y)   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪( ln(1  Y))  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪( ln(1  Y))  X‬‬ ‫وﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ واﯾﺑل‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪( ln y)  x‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ X‬ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ‪:‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﯾﺗم ﺗوﻟﯾد ‪ 10‬رﻗم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,1‬ﺛم اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ‪ X,Y‬ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪X‬‬

‫وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ xx‬ﺛم وﺿﻊ ﻗﯾم ‪ Y‬وﻗﯾم ‪ X‬ﻓﻰ ﺟدول ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣر‬ ‫‪ . Transpose‬وﯾﻼﺣظ ان اﻻرﻗﺎم اﻟﻣوﻟدة ﺑﺎﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻻرﻗﺎم ﻓﻰ اﻟﺟدول اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪:‬‬

‫وﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ‪ContinuousDistributions‬‬ ‫ﺣﯾث ﯾﺗم ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﯾﺗﺑﻌون ﺗوزﯾﻊ ‪ X‬وذﻟك ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ‪. xx1‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10‬‬ ‫‪{0.882496,0.476891,0.413881,0.617387,0.400027,0.943363,0.‬‬ ‫}‪371596,0.828755,0.656483,0.694251‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪xx  3Logy 2  N‬‬ ‫‪{1.06067,2.58151,2.81773,2.08335,2.87159,0.724385,2.98488,1.30018,1.9‬‬ ‫}‪4621,1.81226‬‬

‫‪Transpose[{y,xx}]//TableForm‬‬

‫‪٤٢٧‬‬


‫‪1.06067‬‬ ‫‪2.58151‬‬ ‫‪2.81773‬‬ ‫‪2.08335‬‬ ‫‪2.87159‬‬ ‫‪0.724385‬‬ ‫‪2.98488‬‬ ‫‪1.30018‬‬ ‫‪1.94621‬‬ ‫‪1.81226‬‬

‫‪0.882496‬‬ ‫‪0.476891‬‬ ‫‪0.413881‬‬ ‫‪0.617387‬‬ ‫‪0.400027‬‬ ‫‪0.943363‬‬ ‫‪0.371596‬‬ ‫‪0.828755‬‬ ‫‪0.656483‬‬ ‫‪0.694251‬‬

‫]‪f[x_]:=WeibullDistribution[2,3‬‬ ‫]‪xx1=RandomArray[f[x],10‬‬ ‫‪{1.24877,4.76207,4.12441,1.18024,0.238233,3.49064,3.27543,2.42055,1.8‬‬ ‫}‪9561,1.05821‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٧ -٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪ exp   x /   x1‬‬ ‫‪,0  x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪()‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪,x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﺑﻔﺮض ان ‪ Y1 ,Y2 ,..., Y‬ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻓﻰ اﻟﻔﺘﺮة )‪(0,1‬‬ ‫ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X     log Yi     log   Yi ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ i1 ‬‬

‫ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪ exp   x /   x1‬‬ ‫‪,0  x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)  ‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪,x  0‬‬ ‫‪‬‬

‫وﻫﺬا ﻳﺘﻄﻠﺐ ‪ ‬ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻢ ‪ Y1 ,Y2 ,..., Y‬وذﻟﻚ ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ ﻗﻴﻤﺔ واﺣﺪة ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬

‫‪٤٢٨‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1 exp( ), 0  x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪()‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f (x) ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪elsewhere‬‬

‫ﺣﯾث ‪ ‬ﻗﯾﻣﺔ ﺻﺣﯾﺣﺔ ‪ .‬ﺑدﻻ ﻣن اﺳﺗﺧدام اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ أن ‪X‬‬ ‫ﺗﻣﺛل اﻟﻣﺟﻣوع ﻟﻣﺗﻐﯾرات ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ‪ X1 , X 2 ,...,X ‬وﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫) ‪f (x)  1 exp(‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺑرﻫﻧﺔ ذﻟك ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪ X (t)  (1  t) 1‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  (t)   (1  t) 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪ (1  t)‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل اﻟداﻟﺔ اﻟﻣوﻟدة ﻟﻠﻌزوم ﻟﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ‪.‬‬ ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﺑﺛﻼث طرق ﺣﯾث‬

‫‪=2 ,=3‬‬

‫‪.‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ان ‪ X‬ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻟﻤﺘﻐﯿﺮات ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ‬ ‫‪ X1 , X 2 ,...,X ‬ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻻﺳﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ ‪. ‬‬ ‫واﻟﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪. yy‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X     log Yi     log   Yi ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫واﻟﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪. xx‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻟﺛﺔ ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺣزﻣﺔ ‪ContinuousDistributions‬‬ ‫واﻟﻣﺷﺎﻫدة اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪: dd‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪ff[x_]:=ExponentialDistribution[3‬‬ ‫]‪dd=RandomArray[ff[x],2‬‬ ‫}‪{0.087505,0.14882‬‬ ‫]‪yy=Apply[Plus,dd‬‬ ‫‪0.236325‬‬ ‫‪٤٢٩‬‬


y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],2] {0.669605,0.592058} 2

xx  3Log yi  N i1

2.77565 f[x_]:=GammaDistribution[2,3] dd=Random[f[x]] 7.416

:(٨-٨) ‫ﻣﺜﺎل‬ :‫ﻣﺘﻐﻴﺮاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل )ﺗﻮزﻳﻊ ﻟﻮﺟﺴﺘﻲ( ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬X ‫إذا ﻛﺎن‬ f x 

e x

1  e  x

2

,   x  

 0 e.w. :‫اﻟﺣــل‬ :‫ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬X ‫داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‬

x

F x  



e t t 2

1  e  2

x

dt

 e 1  e  t

t

dt



 1  e  t 

x

1 

F x  

1 ,   x   1  e x  ٤٣٠


x  F1  z  y  F x  

1 1  ex 

y 1  1  e  x  

1 y

1  1  1  e  x  ln   1   x y y  1  x   ln   1 y  :‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ﻋﺷرة ارﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﯾﺗﺑﻊ ﻟﺗوزﯾﻊ ﻛوﺷﻰ‬ : ‫و ﺗﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ 1  x   ln   1 y  <<Statistics`ContinuousDistributions` y=RandomArray[UniformDistribution[0,1],10] {0.448093,0.433954,0.417999,0.675836,0.136709,0.118162,0.200579,0.574 76,0.273067,0.710582}

xx  Log

1  1  N y

{-0.208378,-0.265738,-0.330993,0.7347,-1.84289,-2.00995,1.38268,0.301298,-0.979115,0.898213}

Transpose[{y,xx}]//TableForm 0.448093 0.208378 0.433954 0.265738 0.417999 0.330993

0.675836 0.136709 0.118162 0.200579 0.57476 0.273067 0.710582

0.7347 1.84289 2.00995 1.38268 0.301298 0.979115 0.898213

:(٩-٨) ‫ﻣﺜﺎل‬ ٤٣١


:‫ﻣﺘﻐﻴﺮاً ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎً ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬X ‫إذا ﻛﺎن‬  (  )x 1 (1  x)1 ,0  x  1  f (x)   ( )() 0 e.w. 

:‫ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﺑﺪاﻟﺔ ﻛﺜﺎﻓﺔ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ‬X ‫ﻟﻴﻜﻦ‬   (  )x 1 (1  x)1 ,0  x  1  f (x)   ( )() 0 e.w.  Z1  Uniform Z2  Uniform 1 

Y1  Z1 ,Y2  Z2

1 

Y1  Z1 , Y2  Z2 f (y1 , y 2 )  f (z1 , z 2 ) | J |

| J |

z1 y1

z1 y 2

z 2 y1

z 2 y 2

y11

0

0

y 21

 y11 y 21 0  y1  1, 0  y 2  1

٤٣٢


:‫ﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﺤﻮﻳﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

X

Y1 , W  Y1  Y2 Y1  Y2

y1  xw y 2  w  y1  w  wx  w(1  x) dy1 dx J  dy 2 dx

dy1 dx dy 2 dx

٤٣٣


w x w 1  x

 w(1  x)  xw  w  wx  wx  w h(x | 0  W  1) 1

 g(x, w)dw 

1

0 1

 (1  1)

  g(x, w)dxdw 0

0

sin ce : 1

1

 g(x, w)dw   x 0

1

(1  x)1 w 1dw

0

1

 x

1

(1  x)

1

w    0

 x 1 (1  x)1    sin ce : 1

1

 (1  2)

1

 x 1 (1  x)1 0 g(x, w)dxdw  0  

 (, ) () ()    (   )  (    )

0

 (1  3)

: ‫( ﻓﺎن‬1-1) ‫( واﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ‬1-3) ‫ ( و‬1-2) ‫ﻣﻦ‬

 x 1 (1  x)1            h(x | 0  w  1)       ()() 

1 x 1 (1  x)1 ,0  x  1   ,  

٤٣٤


‫ﺑﻔﺮض اﻧﻨﺎ ﻧﺮﻏﺐ ﻓﻰ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ارﺑﻌﺔ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ‪:‬‬ ‫‪  14‬‬

‫‪  2 and‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ واﻟﺘﻰ ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ‪:‬‬ ‫‪z : 0.706, 0.392, 0.020, 0.882, 0.670, 0.922,‬‬ ‫‪0.441, 0.717, 0.577, 0.799, 0.055, 0.628‬‬ ‫اﻻن ﺳﻮف ﻧﺮﺗﺐ اﻟﺒﻴﺎﻧﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻰ ازواج وﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﻰ ﺗﻠﻰ ذﻟﻚ‪:‬‬ ‫‪Z1‬‬ ‫‪Z2‬‬

‫‪0.055‬‬ ‫‪0.628‬‬

‫‪0.577‬‬ ‫‪0.799‬‬

‫‪0.441‬‬ ‫‪0.717‬‬

‫‪0.670‬‬ ‫‪0.922‬‬

‫‪0.020‬‬ ‫‪0.882‬‬

‫‪0.706‬‬ ‫‪0.392‬‬

‫‪0.235‬‬

‫‪0.760‬‬

‫‪0.664‬‬

‫‪0.819‬‬

‫‪0.141‬‬

‫‪0.840‬‬

‫‪Y 1  Z1 2‬‬

‫‪0.156‬‬

‫‪0.408‬‬

‫‪0.264‬‬

‫‪0.722‬‬

‫‪0.605‬‬

‫‪0.024‬‬

‫‪0.391‬‬ ‫‪0.601‬‬

‫‪1.168‬‬ ‫‪Re ject‬‬

‫‪0.928‬‬ ‫‪0.716‬‬

‫‪1.541‬‬ ‫‪Re ject‬‬

‫‪0.746‬‬ ‫‪0.189‬‬

‫‪0.864‬‬ ‫‪0.972‬‬

‫‪Y 2  Z 24‬‬ ‫‪Y 1 Y 2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪X  1‬‬ ‫‪Y 1 Y 2‬‬

‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ارﺑﻌﺔ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻣﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﻴﺘﺎ ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ‪:‬‬ ‫‪  14‬‬

‫‪  2 and‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪z1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4‬‬ ‫}‪{0.479289,0.949933,0.884424,0.261462‬‬ ‫]‪z2=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4‬‬ ‫}‪{0.348875,0.775947,0.74622,0.342095‬‬

‫‪y1  z112‬‬ ‫}‪{0.692307,0.974645,0.940438,0.511333‬‬

‫‪y2  z24‬‬ ‫}‪{0.0148143,0.362517,0.310076,0.0136957‬‬

‫‪y1‬‬ ‫‪y1  y2‬‬

‫‪x‬‬

‫}‪{0.97905,0.728891,0.752041,0.973914‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٠-٨‬‬ ‫‪٤٣٥‬‬

‫‪1‬‬


‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺻﻴﻐﺔ ﺻﺮﻳﺤﺔ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻮزﻳﻊ )‪ F(x‬ﻟﺬﻟﻚ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﻤﺎﺛﻴﻤﺎﺗﻴﻜﺎ ﻓﻰ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺑﻴﺎﻧﺎت ﺗﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﻳﻊ اﻟﻄﺒﻴﻌﻰ و اﻟﺘﻰ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻈﺮﻳﺘﻴﻦ )‪-٨‬‬ ‫‪(١‬و)‪.(٢-٨‬‬

‫ﻓﻔﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ‪ x‬ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ x  F1 (y‬وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬

‫اﻻﻣر ]‪ . Quantile[distribution,x‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﻣطﻠوب اﯾﺟﺎد ‪ x‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫)‪ x  F1 (.77337‬ﻟﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﺻﻔر واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى اﺛﻧﯾن ‪.‬‬ ‫وﻗد وﺟد ان ‪. x=1.5‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪CDF[NormalDistribution[0,2],1.5‬‬ ‫]‪Quantile[NormalDistribution[0,2],.773373‬‬ ‫‪0.773373‬‬ ‫‪1.5‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١١-٨‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺣزﻣﺔ ‪ ContinuousDistributions‬ﻓﻰ اﻟدﻟﯾل ‪Statistics‬‬

‫ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾد ‪ 20‬رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 60‬واﻧﺣراف‬ ‫ﻣﻌﯾﺎرى ﺳﺗﺔ‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪z1=RandomArray[NormalDistribution[60,6],20‬‬ ‫‪{65.6032,51.7716,38.0498,65.8617,55.6379,65.9767,59.2237,59.4782,64.5‬‬ ‫‪115,50.4035,55.781,59.4861,56.2899,55.4536,46.6084,61.3402,62.633,61.‬‬ ‫}‪7094,63.8373,68.3‬‬

‫ﻣﺜﺎل )‪(١٢-٨‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬اﻟﺟزء ‪ 3.2‬ﻣن اﻟﻔﺻل اﻟﺛﺎﻟث ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد ‪ 200‬رﻗم‬

‫ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﺻﻔر واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى اﺛﻧﯾن وﺳوف ﻧﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ‪.‬‬ ‫=‪SimNormal[n_,_,_]:‬‬ ‫]}‪Table[Quantile[NormalDistribution[,],Random[]],{n‬‬ ‫;]‪datalist=SimNormal[200,0,2‬‬ ‫;]}‪DotPlot[datalist,DefaultFont{"Times-Roman",8‬‬

‫‪٤٣٦‬‬


4

2

0

2

4

(١٣-٨) ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ رﻗم ﯾﺗﺑﻌون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬1000 ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻓﻰ ﺗوﻟﯾد‬

‫ رﻗم ﺗﺣت‬10000 ‫ ﺛم ﺗوﻟﯾد‬data ‫ﺑﻣﺗوﺳط ﻋﺷرون واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى اﺛﻧﯾن ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ ‫ وﺳوف ﻧﻣﺛل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺷﻛﺎل ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ وﻫﻧﺎك ﻧﺳﺧﺔ ﻣﻧﻪ ﻣﻊ اﻟﻛﺗﺎب ﺑﻧﻔس‬data ‫اﻟﻣﺳﻣﻰ‬ . ‫رﻗم اﻟﻣﺛﺎل‬ ‫ واﻟﺛـ ـ ــﺎﻧﻰ ﺑﺎﺳ ـ ـ ــم‬scaleHistogram ‫ اﻻول ﺑﺎﺳـ ـ ــم‬. ‫وﺳـ ـ ــوف ﻧﺣﻣـ ـ ــل ﺑرﻧـ ـ ــﺎﻣﺟﯾن ﺟ ـ ـ ــﺎﻫزﯾن ﻟـ ـ ــذﻟك‬ normalHistogram : ‫ﺣﯾث اﻻول ﻫو‬ scaledHistogram Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` Clear[scaledHistogram] scaledHistogram[datalist_,classes_:10,opts___]:=Module[{m inimum,maximum,classwidth,lowerlimits,counts,step1,step2, step3,step4,frequencylist,heights,midpoints,tograph}, minimum=Min[datalist]; maximum=Max[datalist]; classwidth=(maximum-minimum)/(classes); lowerlimits=Table[i,{i,minimum,maximum, classwidth}]; counts=RangeCounts[datalist,lowerlimits]; step1=Drop[counts,1]; step2=Take[step1,-2]; ٤٣٧


step3=Apply[Plus,step2]; step4=Drop[step1,-2]; frequencylist=Append[step4,step3]; heights=frequencylist/(classwidth Length[datalist]); midpoints=Table[i,{i,minimum+classwidth/2,maximum, classwidth}]; tograph=Table[{midpoints[[i]],heights[[i]],classwidt h},{i,1,classes}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,AxesOrigin->{.98minimum,0},opts] ]

: ‫واﻟﺛﺎﻧﻰ ﻫو‬ normalHistogram Off[General::spell1]; <<Statistics`DataManipulation` <<Graphics`Graphics` Clear[scaledHistogram] scaledHistogram[datalist_,classes_:10,opts___]:=Module[{m inimum,maximum,classwidth,lowerlimits,counts,step1,step2, step3,step4,frequencylist,heights,midpoints,tograph}, minimum=Min[datalist]; maximum=Max[datalist]; classwidth=(maximum-minimum)/(classes); lowerlimits=Table[i,{i,minimum,maximum, classwidth}]; counts=RangeCounts[datalist,lowerlimits]; step1=Drop[counts,1]; step2=Take[step1,-2]; step3=Apply[Plus,step2]; step4=Drop[step1,-2]; frequencylist=Append[step4,step3]; heights=frequencylist/(classwidth Length[datalist]); midpoints=Table[i,{i,minimum+classwidth/2,maximum, classwidth}]; tograph=Table[{midpoints[[i]],heights[[i]],classwidt h},{i,1,classes}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,AxesOrigin->{.98minimum,0},opts] ] <<Statistics`ContinuousDistributions` Clear[normalHistogram] normalHistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{p1,mu,si gma,p2},

٤٣٨


‫‪p1=scaledHistogram[data,bars,DisplayFunction‬‬‫;]‪>Identity‬‬ ‫;]‪mu=Mean[data‬‬ ‫;]‪sigma=StandardDeviation[data‬‬ ‫‪p2=Plot[PDF[NormalDistribution[mu,sigma],x],{x,mu-3‬‬ ‫;]‪sigma,mu+3 sigma},DisplayFunction->Identity‬‬ ‫‪Show[p1,p2,PlotRange->All,opts,DisplayFunction‬‬‫]‪>$DisplayFunction‬‬ ‫]‬

‫ﻓــﻰ اﻟﺑرﻧــﺎﻣﺞ ‪ scaleHistogram‬ﯾــﺗم ﺗوﻟﯾــد ﻣــدرج ﺑﺣﯾــث ان اﻟﻣﺳــﺎﺣﺔ ﺗﺣــت ﻛــل اﻻﻋﻣــدة ﺗﺳــﺎوى‬ ‫واﺣــد ‪.‬اﻣ ــﺎ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺞ اﻟﺛ ــﺎﻧﻰ ‪ normalHistogram‬ﻓﯾﻛ ــون ﻋﻠــﻰ اﻟرﺳ ــم ﻣ ــﻊ اﻟﻣ ــدرج اﻟﺗﻛـ ـرارى رﺳ ــم‬

‫ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة‬

‫وﻋ ـ ــدد اﻻﻋﻣ ـ ــدة ﻓ ـ ــﻰ ﻛ ـ ــل طرﯾﻘ ـ ــﺔ ﺗﺧﺗ ـ ــﺎر ﻋﺷـ ـ ـرة وﯾﻣﻛ ـ ــن اﺳ ـ ــﺗﺧدام ﺧﯾ ـ ــﺎر اﺧ ـ ــر ﻟ ـ ــذﻟك ﺑﺎﺳ ـ ــﺗﺧدام‬ ‫‪.GeneralzedBarChart‬‬ ‫ﺛم ﻧﻧﻔذ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻌرﯾف ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 20‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ‪: 2‬‬ ‫;]‪dist=NormalDistribution[20,2‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 1000‬رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ‪:‬‬ ‫;]‪data=RandomArray[dist,1000‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ Short‬ﻻظﻬﺎر ﺟزء ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻓﻘط ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ ‪:‬‬ ‫]‪Short[data,5‬‬ ‫‪{16.6229,18.6393,21.6272,21.1272,16.8867,991,22.278,2‬‬ ‫}‪1.2962,17.0944,19.2237‬‬

‫اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻟﺣﺳﺎب اﺻﻐر ﻗﯾﻣﺔ واﻛﺑر ﻗﯾﻣﺔ ﻓﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ‪:‬‬ ‫]‪min=Min[data‬‬ ‫]‪max=Max[data‬‬ ‫‪13.207‬‬ ‫‪25.7216‬‬

‫اﻻﻣرﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﯾن ﻟﺣﺳﺎب واﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة ‪:‬‬ ‫]‪Mean[data‬‬ ‫‪19.9573‬‬ ‫]‪StandardDeviation[data‬‬ ‫‪1.9818‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫‪٤٣٩‬‬


scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max, stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{minstepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsiz e},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,opts] ]

. ‫ ﺑﯾﺎن ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ‬1000 ‫اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻧﺎﺗﺟﺔ ﻣن ﺗوﻟﯾد‬ p1=scaledhistogram[data] 0.175 0.15 0.125 0.1 0.075 0.05 0.025 16

Graphics

18

20

22

24

26

‫ ﺑﯾــﺎن ﻣﻣﺛﻠــﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى اﻟﻧﺳــﺑﻰ ﻣــﻊ‬1000 ‫اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻧﺎﺗﺟــﺔ ﻣــن ﺗوﻟﯾــد‬ ‫اﻟﻣﺣﺳــوﺑﺔ ﻓــﻰ‬

‫اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﺑﯾــﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ﺑﻣﺗوﺳــط و اﻧﺣ ـراف اﻟﻣﻌﯾــﺎرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻣوﻟــدة‬ . ‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ واﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى ﯾﺗﻛون ﻣن ﻋﺷرة اﻋﻣدة‬

p2=Plot[PDF[dist,x],{x,14,26},DisplayFunctionIdentity]; Show[p1,p2]

٤٤٠


‫‪0.2‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪26‬‬

‫‪24‬‬

‫‪20‬‬

‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪16‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫;]‪data=RandomArray[dist,10000‬‬

‫اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت اﻟﻧﺎﺗﺟــﺔ ﻣــن ﺗوﻟﯾــد ‪ 10000‬ﺑﯾــﺎن ﻣﻣﺛﻠــﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى اﻟﻧﺳــﺑﻰ ﻣــﻊ‬

‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑـﺎﯾن اﻟﺑﯾﺎﻧـﺎت اﻟﻣوﻟـدة اﻟﻣﺣﺳـوﺑﺔ ﻓـﻰ اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ واﻟﻣـدرج‬ ‫اﻟﺗﻛرارى ﯾﺗﻛون ﻣن ارﺑﻌﯾن ﻋﻣود ‪.‬‬ ‫‪p1=scaledhistogram[data,40,DisplayFunctionIdentity];Show‬‬ ‫]‪[p1,p2,DisplayFunction$DisplayFunction‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪27.5‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪22.5‬‬

‫‪17.5‬‬

‫‪12.5‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﺗم ﺗوﻟﯾدﻫﺎ ﻓـﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣـﺔ‬ ‫‪ data‬وﻋدﻫم ‪ 10000‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫]‪Mean[data‬‬ ‫‪19.9573‬‬ ‫]‪StandardDeviation[data‬‬ ‫‪1.9818‬‬

‫واﻟﻠـذان ﯾﻘﺗرﺑـﺎن ﻣــن اﻟﻣﺗوﺳــط واﻻﻧﺣـراف اﻟﻣﻌﯾــﺎرى ﻟﻠﻣﺟﺗﻣـﻊ اﻟــذى ﺗــم ﺗوﻟﯾــد اﻟﺑﯾﺎﻧــﺎت ﻣﻧــﻪ واﻟــذى‬ ‫ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ﻋﺷرون ﺗﺑﺎﯾن ﯾﺳﺎوى اﺛﻧﯾن ‪.‬‬ ‫‪٤٤١‬‬


‫)‪ (٢-٨‬ﺗوﻟﯾد)ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﻘطﻌﺔ‬ ‫اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻌﺗﺑر ﺗﻌﻣﯾم ﻟﻠﻧظرﯾﺔ )‪.(١-٨‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ) ‪ :(٣-٨‬اذا ﻛﺎﻧت )‪ F(x‬داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ‪ ،‬إذا ﻛﺎﻧت )‪ G(y‬ﻫﻰ ‪:‬‬

‫‪G(y)  min x y  F(x) , 0 < y < 1‬‬ ‫ٕواذا ﻛﺎﻧت )‪ Y ~ UNF (0, 1‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪. X = G (Y) ~ F (x‬‬ ‫أﻫـم ﺗطﺑﯾـق ﻟﻠﻧظرﯾـﺔ اﻟﺳـﺎﺑﻘﺔ ﻓـﻲ ﺗوﻟﯾـد ﻣﺗﻐﯾـرات ﻋﺷـواﺋﯾﺔ " ‪ “ pseudo‬ﻣـن ﺗوزﯾﻌـﺎت ﻣﺗﻘطﻌـﺔ‬

‫ﻣﻌﯾﻧﺔ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣﺎﺳـب اﻵﻟـﻲ ‪ .‬إذا ﻛـﺎن ‪ n‬اﻋـداد ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ‪ ،‬ﻟـﺗﻛن ‪ y1 , y2 ,…. , yn‬ﺗـم ﺗوﻟﯾـدﻫﺎ‬ ‫ﻋﻠـﻲ اﻟﺣﺎﺳـب اﻵﻟـﻲ ﻣـن ﺗوزﯾـﻊ ﻣﻧـﺗظم ﻓـﻲ اﻟﻔﺗـرة )‪ (0, 1‬وﺗﺑﻌـﺎ ﻟـذﻟك ﻓـﺈن ‪x1 , x2 , ….. xn‬‬ ‫ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪x i  G(y i‬‬

‫‪i  1,2,...,n‬‬

‫واﻟﺗــﻲ ﺗﻘﺎﺑــل ﺗوﻟﯾــد ﻋﯾﻧــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻣــن ﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ )‪ . F(x‬ﺑــﺎﻟطﺑﻊ ﻓــﻲ ﻛﺛﯾــر ﻣــن اﻷﻣﺛﻠــﻪ ﻓــﺈن )‪F(x‬‬ ‫ﺗﻛون ﺗﻧﺎظرﯾﺔ وﻋﻠﻲ ذﻟك ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام‬

‫) ‪. x i  F1 (yi‬‬

‫ﻟﻠﺗوﺿـﯾﺢ ﺑﻔـرض أن ﻓﺿـﺎء اﻟﻣﺗﻐﯾـر ‪ X‬ﻫـو }‪. A = { b1 , b2 , b3 ,….‬ﻓـﻲ ﻫــذﻩ‬ ‫اﻟﻣﻧﺎﻗﺷـﺔ ﺳـوف ﻧﻔﺗـرض وﺟـود ﺳـﺗﺔ ﻗـﯾم ﻓﻘـط ﻓـﻲ اﻟﻔﺿـﺎء ‪ A‬وأن ‪. 0 < b1 < b2 < …. < b6‬‬ ‫ﻟـﯾﻛن )‪ pi = p(X = bi) = f(bi‬ﺣﯾـث ‪ . i  1,2,3,...,6‬ﻫـذﻩ اﻻﺣﺗﻣـﺎﻻت ﻣوﺿـﺣﺔ ﻣـﻊ )‪F(x‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺷـﻛل اﻟﺗـﺎﻟﻰ ‪ .‬ﻟﺗوﻟﯾـد أي ﻣﺷـﺎﻫدة ﻣـن ‪ ، X‬ﻧﻘـوم ﺑﺗوﻟﯾـد ﻋـدد ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ Y = y‬ﺣﯾـث ‪ Y‬ﯾﺗﺑـﻊ‬

‫اﻟﺗوزﯾـ ــﻊ اﻟﻣﻧـ ــﺗظم ﻓـ ــﻲ اﻟﻔﺗ ـ ـرة‬

‫)‪(0,1‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧـ ــت ‪ y  p1‬ﻓـ ــﺈن ‪b1‬‬

‫=‬

‫‪ٕ X‬واذا ﻛﺎﻧـ ــت‬

‫‪ p1  y  p1  p 2‬ﻓ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﺈن ‪ X=b2‬وﻫﻛ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــذا ﺣﺗ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟوﺻ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــول‬ ‫‪ y  p1  ....  p 6  1‬‬

‫‪ p1  ...  p 2‬ﻓﺈن ‪. X  b 6‬‬

‫‪٤٤٢‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٤ -٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ داﻟﻪ اﻟﻛﺛﺎﻓﺔ اﻹﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪1/6‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ﺑﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6‬‬

‫‪e.w.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪f (x)  1/ 6‬‬ ‫‪=0‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y x2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ y x 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ y   x  4,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪0 y‬‬

‫‪٤٤٣‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪P(X=1‬‬


‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y x5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪y x 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺣﯾــث ‪ y‬ﺗﺗﺑــﻊ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻣﻧــﺗظم ﻓــﻰ اﻟﻔﺗ ـرة )‪ .(0,1‬اﻻن ﺑﻔــرض اﻧﻧــﺎ ﻧرﯾــد ﺗوﻟﯾــد ارﺑﻌــﺔ ارﻗــﺎم ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ‬ ‫ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟذى ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل اى ﻣﺣﺎﻛﺎة ﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻘـﺎء ﻧـرد ارﺑﻌـﺔ ﻣـرات واﻟﻣطﻠـوب رﻗـم اﻟوﺟـﻪ‬ ‫اﻟظﺎﻫر ‪ .‬اوﻻ ﻧوﻟد ارﺑﻊ ارﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫;]‪dist=UniformDistribution[0,1‬‬ ‫]‪z1=RandomArray[dist,4‬‬ ‫}‪{0.337838,0.298263,0.551268,0.818108‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y x3‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻻول ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y x2‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y x4‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻟث ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y x5‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟراﺑﻊ ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﺳوف ﻧﺣل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛﺎ وذﻟك ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﺣزم اﻟﺟﺎﻫزة‬ ‫‪. DiscreteDistributions‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٥ -٨‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﻰ ﻣﺣﺎﻛﺎة ﺗﺟرﺑﺔ اﻟﻘﺎء ﻧرد ﻣﺗزن ‪ 12‬ﻣرة ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻟﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻘـﺎء ﻧـرد ﻣﺗـزن ‪ 12‬ﻣـرة ﻧﺧﺗـﺎر ﻟـﻪ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم اﻟﻣﺗﻘطـﻊ ﺑﺎﻟﻣﻌﻠﻣـﺔ ‪ 6‬وذﻟـك ﻛﻧﻣـوزج ﻟـﻪ‬

‫واﻟذى ﻟﻪ اﻟﻘﯾم ‪1,2,3,4,5,6‬‬

‫‪٤٤٤‬‬


‫ﻓﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﺑﻌد ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]‪trial3=RandomArray[DiscreteUniformDistribution[6],12‬‬ ‫}‪{3,3,3,6,3,5,3,5,6,4,2,4‬‬

‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ وﻫﻰ اﻟﻘﺎء ﻧردﯾن ﻣﺗزﻧﯾن ‪ 100‬ﻣرة ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﻬﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫}‪trial4=RandomArray[DiscreteUniformDistribution[6],{100,2‬‬ ‫]‬ ‫‪{{5,2},{6,6},{5,6},{1,2},{1,2},{2,6},{2,4},{4,2},{4,1},{2,1},{5,5},{4‬‬ ‫}‪,3},{1,3},{3,5},{3,2},{6,6},{6,5},{4,6},{3,1},{4,2},{3,1},{3,4},{3,6‬‬ ‫‪,{3,4},{2,1},{4,4},{2,2},{2,1},{1,6},{4,6},{5,6},{3,4},{1,5},{2,5},{1‬‬ ‫}‪,5},{1,1},{5,1},{3,3},{2,5},{1,2},{6,1},{6,2},{2,2},{5,1},{1,5},{6,6‬‬ ‫‪,{3,5},{4,3},{1,5},{3,4},{3,1},{3,2},{6,5},{2,5},{6,6},{5,5},{6,6},{2‬‬ ‫}‪,2},{2,3},{6,6},{1,2},{1,6},{5,1},{5,5},{1,6},{4,6},{3,2},{3,3},{1,4‬‬ ‫‪,{6,2},{1,4},{4,4},{4,2},{1,5},{1,6},{6,1},{2,2},{2,3},{4,3},{1,5},{3‬‬ ‫}‪,4},{1,2},{5,3},{6,2},{1,5},{1,5},{1,6},{6,1},{4,1},{4,2},{4,6},{3,1‬‬ ‫}}‪,{5,3},{1,1},{1,1},{2,4},{4,6},{3,5},{3,3},{6,2‬‬

‫ﺑﺎﺳــﺗﺧدام‬

‫‪ Map‬ﻣــﻊ ‪ Plus‬ﻧﺣﺻــل ﻋﻠــﻰ ﻣﺟﻣــوع اﻟــوﺟﻬﯾن اﻟظــﺎﻫرﯾن ﻋﻠــﻰ اﻟﻧــردﯾن ﻓــﻰ ﻛــل ﻣ ـرة‬

‫اﻟﻘﺎء‬

‫]‪sums=Map[Apply[Plus,#]&,trial4‬‬

‫‪{7,12,11,3,3,8,6,6,5,3,10,7,4,8,5,12,11,10,4,6,4,7,9,7,3,8,4,3,7,10,1‬‬ ‫‪1,7,6,7,6,2,6,6,7,3,7,8,4,6,6,12,8,7,6,7,4,5,11,7,12,10,12,4,5,12,3,7‬‬ ‫‪,6,10,7,10,5,6,5,8,5,8,6,6,7,7,4,5,7,6,7,3,8,8,6,6,7,7,5,6,10,4,8,2,2‬‬ ‫}‪,6,10,8,6,8‬‬

‫ﻟﻧرى ﻛﯾف ﻛل ﻣﺟﻣوع ﯾﺣدث ﻧﺎﺳﺗﺧدم اﻻﻣر‪. Frequencie‬‬ ‫]‪Frequencies[sums‬‬ ‫‪{{3,2},{8,3},{9,4},{9,5},{20,6},{20,7},{12,8},{1,9},{8,10},{4,11},{6,‬‬ ‫}}‪12‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٦ -٨‬‬

‫إذا ﻛــﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾ ـراً ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً ﺑﺣﯾــث أن )‪ X ~ BIN(1,1/2‬ﻓــﺈن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﺗﻛــون‬ ‫ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪F(x)  0‬‬ ‫‪ 1/ 2‬‬

‫‪x0‬‬ ‫‪0  x 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1  x.‬‬ ‫واﻟداﻟﺔ )‪ G(y‬ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪٤٤٥‬‬


‫‪G(y)  0‬‬

‫‪0  y  1/ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y  1.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫واﻟﻣطﻠوب ﺗوﻟﯾد ارﺑﻌﺔ ارﻗﺎم ﺗﺗﺑﻊ ﻫذا اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬

‫‪ 1/ 2‬‬

‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫]‪z1=RandomArray[UniformDistribution[0,1],4‬‬ ‫}‪{0.2352,0.846453,0.537056,0.974374‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻻول ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0y‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ y  1 x 1‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻧﻰ ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ y  1 x 1‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟﺛﺎﻟث ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ y  1 x 1‬‬ ‫ﻧﺧﺗﺑر اﻟرﻗم اﻟراﺑﻊ ﻓﻰ ‪z1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٧ -٨‬‬ ‫اﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻓﻰ ﻣﺣﺎﻛﺎة اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ‪ 10‬ﻣرات ﺛم ‪.1000‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﺗﻌﺗﺑر اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﺗﺟرﺑﺔ ﺗﺗﻛـون ﻣـن ﻣﺣـﺎوﻻت ﻣﺗﻛـررة ﺑرﻧـوﻟﻰ ﺑﺎﺣﺗﻣـﺎل ﻧﺟـﺎح ‪ .1/2‬ﯾﻣﻛـن ﻣﺣﺎﻛـﺎة‬

‫اﻟﻘ ـ ــﺎء ﻋﻣﻠ ـ ــﺔ ﻋﺷـ ـ ـرة ﻣـ ـ ـرات ﺑﺎﺳ ـ ــﺗﺧدام ﺗوزﯾ ـ ــﻊ ﺑرﻧ ـ ــوﻟﻰ ﺑﺎﺣﺗﻣ ـ ــﺎل ﻧﺟ ـ ــﺎح ‪ .1/2‬ﺑﻔ ـ ــرض ان اﻟﺣزﻣ ـ ــﺔ‬ ‫‪ DiscreteDistributions‬ﻗد ﺗم ﺗﺣﻣﯾﻠﻬﺎ ﻓﺎﻧﻧﺎ ﺳوف ﻧﺳـﺗﺧدم‬

‫‪RandomArray‬‬

‫ﻟﺗوﻟﯾـد ﻗﺎﺋﻣـﺔ ﺑطـول‬

‫ﻋﺷـرة ‪ .‬ﺑﻔـرض ان ‪ T‬ﺗﻣﺛـل ظﻬـور اﻟﻛﺗﺎﺑـﺔ ‪ tail‬وان ‪ H‬ﺗﻣﺛـل ظﻬـور اﻟﺻـورة ‪ ، head‬ﻓـﺎن ﻧﺗﯾﺟـﺔ‬

‫اﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ ‪:‬‬

‫ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻗد ﺗﻛون ﺳﺗﺔ ‪ tails‬و ارﺑﻌﺔ ‪ heads‬ﻓﻰ اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬ ‫‪ T,T,T,T,T,H,H,T,H,H‬وذﻟك ﻋﻧد ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫]‪trial1=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],10‬‬ ‫}‪{0,0,0,0,0,1,1,0,1,1‬‬

‫‪٤٤٦‬‬


‫ﻋﻧد ﻣﺣﺎﻛﺎة اﻟﻘﺎء اﻟﻌﻣﻠﺔ ‪ 1000‬ﻣرة ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﻛﺗب اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬

‫وﺑدﻻ ﻣن اظﻬﺎر ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن ‪ 1000‬ﻋﻧﺻر ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﺣﻣل اﻟﺣزﻣﺔ ‪DataManipulation‬‬ ‫ﺛم ﻧﺳﺗﺧدم ‪ Frequencies‬واﻟﺗﻰ ﺗوﺿﺢ ﻟﻧﺎ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 486‬ﺻﻔر وﻋﻠﻰ‬ ‫‪ 514‬واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ‪.‬‬

‫;]‪trial2=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],1000‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]‪Frequencies[trial2‬‬ ‫}}‪{{486,0},{514,1‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٨ -٨‬‬ ‫‪f (x)  p(1  p) x 1 , x  1,2,...‬‬ ‫اﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺷرح طرﯾﻘﺗﯾن ﻟﺗوﻟﯾد ارﻗﺎم ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻰ ‪:‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻓﻰ ﻫذا اﻟﻣﺛﺎل واﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ﻫذا اﻟﻣﺟﻣوع ﺳوف ﻧﺳﺗﻔﯾد ﻣن اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪a = 1 p‬‬ ‫‪1  a k 1‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪ a ‬‬ ‫‪w 0‬‬ ‫‪k = x 1‬‬ ‫‪1 a‬‬ ‫‪1  (1  p) x  t 1‬‬ ‫‪P(X  x)  F(x)  p‬‬ ‫)‪1  (1  p‬‬

‫‪1-(1-p)x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=p‬‬ ‫‪ 1  (1  p)  , x  1‬‬ ‫‪11 p‬‬ ‫) ‪= P(Y  1-(1-p)x‬‬ ‫) ‪= P(Y  (1  p) x‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ Y‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم و ‪ 1  y‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم اﯾﺿﺎ‪.‬‬ ‫)‪ P(X  x)  P(X  x)  P(X  x  1‬‬

‫] ‪= p[(1-p) x  Y  (1  p) x 1‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا ﻛﺎﻧت ﻣﺷﺎﻫدة ‪ y‬ﻣن ‪ Y‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧوﻟد ﻣﺷﺎﻫدة ‪ x‬ﺑﺈﯾﺟﺎد اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ ﺑﺣﯾث ان‬ ‫‪(1  p) x  y‬‬ ‫‪٤٤٧‬‬


‫‪x log (1-p)  log y‬‬ ‫‪log y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪log(1  p‬‬ ‫‪x=  s ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ s‬اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ ﯾﺳﺎوى أو اﻛﺑر ﻣن ‪. s‬‬ ‫ﻟﯾﻛن‪:‬‬

‫اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ اﻛﺑر أو ﯾﺳﺎوى ‪. s‬‬

‫‪y  0.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪log y‬‬ ‫‪s‬‬ ‫)‪log(1-p‬‬ ‫‪ s ‬‬

‫‪0.69899‬‬ ‫‪ 2.32.‬‬ ‫‪0.3010‬‬ ‫اﺻﻐر رﻗم ﺻﺣﯾﺢ اﻛﺑر ﻣن أو ﯾﺳﺎوى ‪ s‬ﻫو ‪ 3‬أى أن ‪. x =3‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(١٩ -٨‬‬ ‫اﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟذى ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪f (x)  p(1  p) x 1 , x  1,2,...‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ ‪ 10‬ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻬﻧدﺳﻲ اﻟﺬى ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫‪f (y)  p(1  p) y , x  0,1,2,...‬‬

‫ﺛﻢ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ x=y+1‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪ 10‬ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪: X‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[GeometricDistribution[.5],20‬‬ ‫}‪{1,0,0,1,0,0,2,0,0,7,0,0,0,0,0,2,0,0,1,0‬‬ ‫‪x=y+1‬‬ ‫}‪{2,1,1,2,1,1,3,1,1,8,1,1,1,1,1,3,1,1,2,1‬‬

‫‪٤٤٨‬‬


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٠ -٨‬‬ ‫اﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ارﻗﺎم ﺗﺗﺑﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪P(X  x)    p x (1  p)n x , x  0,1, 2,..., n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫اﻟﺣــل‪:‬‬

‫ﺳﻮف ﻧﻮﻟﺪ رﻗﻢ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذى اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﻄﺮﻳﻘﺘﻴﻦ ‪:‬‬ ‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ‪:‬‬

‫‪n‬‬

‫ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻔﻴﺪ ﻣﻦ ان ‪ X   Xi‬ﺣﻴﺚ ‪ X1 , X 2 ,...,X n‬ﻣﺘﻐﻴﺮات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ‬ ‫‪i 1‬‬

‫ﺑﺮﻧﻮﻟﻰ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ ‪ p‬و‪ X‬ﻳﺘﺒﻊ ﺗﻮزﻳﻊ ذى اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﻤﻌﻠﻤﺔ ‪.n,p‬‬ ‫ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺘﻮﻟﻴﺪ رﻗﻢ ﻋﺸﻮاﺋﻰ ﻳﺘﺒﻊ ذى اﻟﺤﺪﻳﻦ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ‪n=10 , p=1/2‬‬

‫ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[BernoulliDistribution[1/2],10‬‬ ‫}‪{0,1,1,1,0,1,0,1,1,0‬‬ ‫]‪x=Apply[Plus,y‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧوﻟد ‪ 10‬ارﻗﺎم ﻋﺷواﺋﯨﺔ ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫]‪y=RandomArray[BinomialDistribution[10,.5],10‬‬ ‫}‪{4,6,5,5,6,5,6,5,6,5‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢١ -٨‬‬ ‫ﺳوف ﻧﻘدم ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10000‬ﺗوﻟﯾد رﻗم ﺗﺗﺑﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P(X  x)    p x (1  p)n x , x  0,1, 2,..., n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺣﯾث‪ .n=20, p=1/ 4‬وﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ و اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ‬ ‫ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻣﻌﺎ اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﯾﺿﺎ ﻣﻊ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ واﻟذى ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط‬ ‫واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﻣﺳﺎوى ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة ‪.‬‬ ‫‪٤٤٩‬‬


:‫اﻟﺣــل‬ scaledHistogram ‫ ﺳوف ﻧﺣﻣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬: ‫اوﻻ‬ : ‫ﺛم ﻧﻛﺗب اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

<<Statistics`DiscreteDistributions` dist=BinomialDistribution[20,1/4]; simulate=Table[Random[dist],{10000}];

. ‫ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ‬

p1=scaledHistogram[simulate,14] 0.2

0.15

0.1

0.05

2

4

6

8

10

Graphics t1=Table[PDF[dist,x],{x,0,20}]

٤٥٠

12


3486784401 5811307335 36804946455 , , , 1099511627776 274877906944 549755813888 36804946455 208561363245 13904090883 , , , 274877906944 1099511627776 68719476736 23173484805 7724494935 33472811385 , , , 137438953472 68719476736 549755813888 3719201265 2727414261 413244585 , , , 137438953472 274877906944 137438953472 413244585 10596015 3532005 , , , 549755813888 68719476736 137438953472 235467 392445 7695 , , , 68719476736 1099511627776 274877906944 855 15 1 , ,  549755813888 274877906944 1099511627776

t1//N 0.00317121, 0.0211414, 0.0669478, 0.133896, 0.189685,

0.202331, 0.168609, 0.112406, 0.0608867, 0.0270608, 0.00992228, 0.00300675, 0.000751688, 0.000154192, 0.0000256987, 3.4265  106, 3.56927  107, 2.79942  108, 1.55524  109, 5.45697  1011, 9.09495  1013

‫وﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ و اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻣﻌﺎ اﻟذى‬ . ‫ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ‬ p2=ListPlot[t1,PlotStylePointSize[0.03],DisplayFunction Identity];Show[p1,p2] 0.2

0.15

0.1

0.05

5

10

15

Graphics

dist2  NormalDistribution20  0.25, p2a  PlotPDFdist2, x, x, 0, 20, DisplayFunction  Identity; Show p1, p2, p2a ٤٥١

20

 20  0.25 0.75 ;


‫ﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ و اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن ﻣﻌﺎ اﻟذى‬

‫ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﯾﺿﺎ ﻣﻊ اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ واﻟذى ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ﻣﺳﺎوى‬ ‫ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣوﻟدة ‪.‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪0.05‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪ (٣-٨‬ﺗوﻟﯾد)ﻣﺣﺎﻛﺎة( ﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎت ﻣﺗﺻﻠﺔ ﻟﻬﺎ داﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﻏﯾر ﺗﻧﺎظرﯾﺔ‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٢ -٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷواﺋﯾﺎً ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫½ = )‪f(x‬‬ ‫‪1<|x–2|<2‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬ ‫ﺑﯾــﺎن داﻟــﺔ اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌــﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾــر ‪ X‬ﻣﻌطــﻲ ﻓــﻲ اﻟﺷــﻛل اﻟﺗــﺎﻟﻰ ‪ .‬ﯾﻼﺣــظ أن )‪ F(x‬ﻟﯾﺳــت داﻟــﺔ‬ ‫ﺗﻧﺎظرﯾﺔ وذﻟك ﻷن اﻟﻘﯾﻣﺔ ½ ﻣﻌرﻓﺔ ﻟﻛل ﻗـﯾم ‪ . 1 < x < 3‬أي أن ‪ X‬ﻻ ﯾﻧطﺑـق ﻋﻠﯾﻬـﺎ ﺷـروط‬ ‫اﻟﻧظرﯾﺔ )‪ (١-٨‬و اﻟﻧظرﯾﺔ )‪. (٢-٨‬‬

‫‪٤٥٢‬‬


‫اﻵن ﺳوف ﻧﺷرح ﻛﯾﻔﯾﺔ إﺳﺗﺧدام اﻟﻧظرﯾﺗﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﺗﯾن ﻓـﻲ ﺗوﻟﯾـد ﻣﺷـﺎﻫدات ﻣـن اﻟﺗوزﯾـﻊ واﻟﻣﻌطـﻲ‬

‫ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٣ -٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن )‪ Y ~ UNF (0, 1‬أﺷرح ﻛﯾف ﯾﻣﻛن ﺗوﻟﯾد ﻣﺷﺎﻫدة ﻟﻬﺎ داﻟﻪ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1 x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪f (x)  (x  (1  x) 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻟداﻟﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫)‪f (x)  a f1 (x)  (1  a) f 2 (x‬‬ ‫‪0  a  1‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪ dx  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f  x  dx   a f 1  x   1  a  f 2  x ‬‬

‫ﺣﯾث داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ f1  x ‬ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0  x 1‬‬

‫‪2 x‬‬

‫ﻓـﺈن داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪٤٥٣‬‬

‫‪f 1 (x) ‬‬


F1 (x)  x

0  x 1

1

x 1

1 2 f 2  x  ‫ اﯾﺿﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل‬X  F1 (Y)  Y ‫ ﻓﺈن‬Y  F1 (X)  X ‫ﺑوﺿﻊ‬

: ‫ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬ 1 1 f 2 (x)  (1  x) 2 2  0 , e.w.

,

0  x 1 : ‫ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬

F2 (x)  (1  x)

1 2

0 1

0  x 1 x0 x 1 ‫ﺑوﺿﻊ‬

Y  F2 (X)  (1  X)

1 2

: ‫ﻓـﺈن‬ X  F21 (x)  1  Y 2 : ‫ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‬f (x) ‫أي أن اﻟداﻟﺔ‬ 1     1 2   1 1 1 f (x)   x 2    1  x     2  2  2     ‫ اذا ﻛـﺎن اﻟﻧـﺎﺗﺞ‬X  1  Y 2  ‫ اذا ﻛﺎن اﻟﻧﺎﺗﺞ ﺻـورة ﺑﯾﻧﻣـﺎ‬X  Y 2 ‫اﻵن ﻧﻠﻘﻰ ﻋﻣﻠﺔ وﻧﻛﺗب‬

.‫ﻛﺗﺎﺑﺔ‬ : ‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻻﯾﺟﺎد رﻗم ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣذﻛور‬ <<Statistics`DiscreteDistributions` yy=Random[BernoulliDistribution[1/2]] 0 y=Random[UniformDistribution[0,1]] 0.398923 x  1  y2 0.84086

٤٥٤


‫ﻓﻰ ﻫذا اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد رﻗم ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ وذﻟك ﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ وﺑﻣﺎ ان اﻟﻧﺎﺗﺞ ﺻﻔر‬ ‫ﻓﻬذا ﯾﻘﺎﺑل ظﻬور اﻟﻛﺗﺎﺑﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻗﯾﻣﺔ ‪ X‬ﺳوف ﺗﻛون ‪ X  1  Y 2 ‬اى ﺗﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫اﻟﻣﺧرج ﻟﻠﻣدﺧل اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪ x‬ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٤ -٨‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾراً ﻋﺷـواﺋﯾﺎً ﺣﯾـث ) ‪ Y ~ UNlF (0,1‬أﺷـرح ﻛﯾـف ﯾﻣﻛـن اﺳـﺗﺧدام ‪ Y‬ﻟﻠﺣﺻـول‬ ‫ﻋﻠﻲ ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﺑداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﺣﺗﻣﺎل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x)  3 ((x  ) 2 )  1  2x 2 ) , 0  x  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟداﻟﺔ )‪ f (x‬ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺗﻬﺎ ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x)  (x  )  (1  2x)  (2x  1) 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f 1 (x)  f 2 (x)  f 3 (x).‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺣﯾث داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ f 1  x ‬ﺗﻛون ﻋﻠﻲ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f 1 (x)  12(x  ) 2‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬ ‫ﺑداﻟﺔ ﺗوزﯾﻊ ﺗﺟﻣﯾﻌﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F1 (x)  4(x  )3 ‬‬ ‫‪, 0  x<1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﺑوﺿـﻊ‪:‬‬

‫‪Y 1 13 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ Y  F1 (X)  4(x  )3 ‬ﻓـﺈن ‪X  F (Y)  (  ) ‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﯾﺿﺎ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ f 2  x ‬ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪٤٥٥‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪f 2 (x)  (1  2x)  1  2x‬‬ ‫‪ 0 , e.w.‬‬

‫ﻟﻬذة اﻟداﻟﺔ ﻧﺎﺧذ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪X  (1  Y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ X‬ﻫﻧﺎ ﻣﺗﻐﯾرﻋﺷواﺋﻲ ﻟﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ f 2  x ‬وذﻟك ﻻن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P  X  x   P  1  Y 2   x   1  1  2x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻣﺛل داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟداﻟﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪. f 2  x ‬‬ ‫واﺧﯾ ار داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ‪ f3  x ‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1  2x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫)‪f 3 (x)  (2 x  1‬‬

‫‪= 0 , e.w.‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻟﻬذة اﻟداﻟﺔ ﻧﺎﺧذ )‪X  (1  Y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وذﻟك ﻻﻧﺔ ﯾﻣﻛن اﺛﺑﺎت ان داﻟﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫)‪F3 (x)  (2x  1‬‬

‫ﻟﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻲ ﻟﻪ اﻟداﻟﺔ ‪ f3  x ‬وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻟﺗوﻟﯾـد ﻣﺷـﺎﻫدة ﺗﺗﺑـﻊ داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل )‪ f (x‬ﻧﻠﻘـﻰ‬ ‫ﻋﻣﻠﺔ ﺛﻼث ﻣرات وﺑﻔرض أن ‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ ظﻬور ﺛﻼﺛـﺔ وﺟـوﻩ أو ﺛﻼﺛـﺔ ﻛﺗﺎﺑـﺔ ) ﻓـﻲ أي ﺗرﺗﯾـب ( ‪B‬‬

‫اﻟﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠـﻰ ﺻـورﺗﯾن وﻛﺗﺎﺑـﺔ ﻓـﻰ أي ﺗرﺗﯾـب و ‪ C‬اﻟﺣﺎدﺛـﺔ اﻟﺣﺻـول ﻋﻠـﻲ أﺛﻧـﯾن ﻛﺗﺎﺑـﺔ‬ ‫ﺻورة ) ﻓﻲ أي ﺗرﺗﯾب ( وﻋﻠﻲ ذﻟك ﻧﻌرف اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ Y 1 3‬‬ ‫‪X      12‬‬ ‫‪ 4 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪X  (1  Y 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪X  (1  Y 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫إذا وﻗﻌت ‪A‬‬ ‫إذا وﻗﻌت ‪B‬‬ ‫إذا وﻗﻌت ‪C‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﻟﺘﻮﻟﯿﺪ رﻗﻢ ﯾﺘﺒﻊ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻟﻤﺬﻛﻮر ‪:‬‬

‫‪٤٥٦‬‬


‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫]]‪yy=Random[BinomialDistribution[3,1/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]]‪y=Random[UniformDistribution[0,1‬‬ ‫‪0.865914‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1  y2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0.125096‬‬

‫ﻓﻰ ﻫذا اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد رﻗم ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ ذى اﻟﺣدﯾن وذﻟك ﻟﻣﺣﺎﻛﺎﻩ اﻟﻘﺎء ﻋﻣﻠﺔ ﺛﻼﺛﺔ ﻣرات‬ ‫‪1‬‬ ‫وﺑﻣﺎ ان اﻟﻧﺎﺗﺞ اﺛﻧﯾن ﻓﻬذا ﯾﻘﺎﺑل اﻟﺣﺎدﺛﺔ ‪ C‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻗﯾﻣﺔ ‪ X‬ﺳوف ﺗﻛون ‪X  1  Y 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اى ﺗﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺔ اﻟﻣﺧرج ﻟﻠﻣدﺧل اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪ x‬ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺳﺎﺑق ‪.‬‬

‫)‪ (٤-٨‬اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة وﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‬ ‫ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻓﻰ اﻟﺗطﺑﯾﻘﺎت اﻻﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﯾﻔﺗرض ان اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذى اﺧﺗﯾرت ﻣﻧﮫ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ ‬وﺗﺑﺎﯾن ‪  2‬وﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺗﯾن اﻟﻣﺟﮭوﻟﺗﯾن ‪ ,  2‬او اﺟراء‬ ‫اﺧﺗﺑﺎرات ﻓروض ﺗﺧص ‪ ‬او ‪  2‬وذﻟك ﻣن ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬

‫اذا ﻛﺎﻧت ‪ X1 , X 2 ,...,X n‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺎﺧوذة ﻣن ﺗوزﯾﻊ ﻟﮫ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل )‪f (x‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫ﻓﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ X   X i‬ﯾﻣﺛل اﺣﺻﺎء ‪ ،‬اى ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫‪n i 1‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ S2 ‬ﯾﻣﺛل اﺣﺻﺎء ‪.‬‬ ‫ﻓﻘط ‪.‬اﯾﺿﺎ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪(X i  X) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻻى اﺣﺻﺎء ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ‬ ‫ﺑﻣﺟرد اﺟراء اﻟﺗﺟرﺑﺔ وﺗﻛررھﺎ ‪ n‬ﻣن اﻟﻣرات ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌروﻓﺔ ﻟـﻣﺗوﺳط‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ x,s 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ واﻟﺗﻰ ﻧﺎﻣل ان ﺗﺳﺎﻋدﻧﺎ ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪) ‬اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ ( و ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪)  2‬اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ (‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺗﺑر ‪ x, 2‬ﻗﯾﻣﺗﯾن ﻣن ﻗﯾم اﻻﺣﺻﺎء ‪ X,S2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪ ،‬اى ان ﻗﯾم ‪ x,s 2‬ﻣن‬ ‫اﻟﻣﻣﻛن ان ﺗﺧﺗﻠف ﻣن ﻋﯾﻧﺔ اﻟﻰ اﺧرى ‪ .‬اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺳوف ﯾﻛون ﻓﻰ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻣﻌﻠوﻣﺎت‬ ‫ﻋن ﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻛل ﻣن ‪ X,S2‬واﻟﻣﺳﻣﻰ ‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﻟﮫ اﻟﻣﺗوﺳط ‪ ‬واﻟﺗﺑﺎﯾن‬ ‫‪n‬‬ ‫واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ﻟﻛل ﻣﺗﻐﯾر ﻋﺷواﺋﻰ ‪ . X i‬اذا ﻛﺎن ﻛل ‪ X i‬ﺗﺗﺑﻊ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ µ‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ σ‬ﻓﺎن ‪ X‬ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ‪.‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ , ‬ھو اﻟﻣﺗوﺳط‬

‫‪٤٥٧‬‬


‫ﻧظرﯾﺔ‪:‬‬ ‫إذا أﺧ ذﻧﺎ ﻛ ل اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻣ نﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻣﻌ روف أﻧ ﮫ ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﺑﻣﺗوﺳ ط ‪µ‬‬ ‫واﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ σ‬ﻓ ﺈن اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﻌﯾﻧ ﻲ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ X‬ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌ ﺎ ً طﺑﯾﻌﯾ ﺎ ً ﺑﻣﺗوﺳ ط ‪X  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري‬ ‫‪n‬‬

‫‪  X ‬ﺣﯾث ‪ X‬و ‪  X‬ﯾرﻣزان ﻟﻠﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻋﻠ ﻰ‬

‫‪‬‬ ‫اﻟﺗواﻟﻲ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪. X‬و‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺳ وف ﻧﺳ ﮭل ﻓﮭ م ھ ذه اﻟﻧظرﯾ ﺔ ﺑﺎﻟﻣﺛ ﺎل ااﻟﺗ ﺎﻟﻰ وﺳ ــوف ﻧﺣﻣـ ــل اوﻻ اﻟﺑرﻧ ــﺎﻣﺟﯾن اﻟﺟـ ــﺎﻫزﯾن‬

‫‪  X ‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺧطﺎ اﻟﻘﯾﺎﺳﻰ‬

‫‪.standard error‬‬

‫‪ normalHistogram scaleHistogram‬واﻟذى ﺳﺑق ان ﺗﻛﻠﻣﻧﺎ ﻋﻧﻬﻣﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٥ -٨‬‬

‫ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾـد ‪ 10000‬ﻋﯾﻧـﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪ 3‬ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ ﺑﻣﺗوﺳـط ‪100‬‬

‫واﻧﺣـراف ﻣﻌﯾــﺎرى ‪ 16‬ﺛــم ﻧﺳــﺗﺧدم ﺗﻠــك اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﻓــﻰ ﺗﻣﺛﯾــل ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام‬ ‫اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـرارى )اﻟــذي ﯾﻌﺗﺑــر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻌﯾﻧــﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑــﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧـﺔ ﻫــذا اﻟﻣــدرج ﻣــﻊ ﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ‬

‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻋددﻫﺎ ‪.10000‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫اوﻻ ‪ :‬ﺳوف ﻧﺣﻣل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺟﯾن ‪ scaleHistogram‬و ‪normalHistogram‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬

‫`‪<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫`‪<<Graphics`Graphics‬‬ ‫‪scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max,‬‬ ‫‪stepsize,counts,heights,midpts,tograph},‬‬ ‫;]‪min=Min[data‬‬ ‫;]‪max=Max[data‬‬ ‫;)‪stepsize=(max-min)/(bars-1‬‬ ‫‪counts=BinCounts[data,{min‬‬‫;]}‪stepsize/2,max+stepsize/2,stepsize‬‬ ‫;‪heights=counts/(stepsize Length[data])//N‬‬ ‫;]}‪midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize‬‬ ‫‪tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsiz‬‬ ‫;]}‪e},{i,1,bars‬‬ ‫‪GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange‬‬‫]‪>All,opts‬‬ ‫]‬

‫‪٤٥٨‬‬


‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻌرﯾف ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 100‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ‪: 16‬‬ ‫;]‪dist=NormalDistribution[100,16‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗوﻟﯾد ‪ 10000‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪: 3‬‬ ‫;]}‪randomsample=RandomArray[dist,{10000,3‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ Take‬ﻟﻌرض ﺧﻣﺳﺔ ﻋﯾﻧﺎت ﻓﻘط ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ ‪:‬‬ ‫]‪Take[randomsample,5‬‬ ‫‪{{91.9725,82.9789,102.084},{134.97,124.844,102.083},{83.4‬‬ ‫‪281,77.5136,85.4568},{127.699,92.6188,105.86},{111.52,108‬‬ ‫}}‪.268,92.7449‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺣﺳﺎب ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺎت ‪:‬‬ ‫;]‪meanrandomsample=Map[Mean,randomsample‬‬

‫اﻻﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ Take‬ﻟﻌرض ﺧﻣﺳﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت ﻓﻘط ﻟﻠﺗوﺿﯾﺢ ‪:‬‬ ‫]‪Take[meanrandomsample,5‬‬ ‫}‪{92.3453,120.632,82.1328,108.726,104.177‬‬

‫اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﺻﻐر ﻣﺗوﺳط واﻛﺑر ﻣﺗوﺳط ‪:‬‬ ‫]‪min=Min[meanrandomsample‬‬ ‫‪65.0632‬‬ ‫]‪max=Max[meanrandomsample‬‬ ‫‪131.885‬‬

‫اﻻواﻣر اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻟﺣﺳﺎب اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎرى واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ‪:‬‬ ‫]‪Mean[meanrandomsample‬‬ ‫]‪StandardDeviation[meanrandomsample‬‬ ‫]‪Variance[meanrandomsample‬‬

‫‪99.8608‬‬ ‫‪9.2705‬‬ ‫‪85.9422‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ﻫﻧﺎ ان ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪99.8608‬‬ ‫وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﻟذى ﻟﻪ اﻟﻣﺗوﺳط ‪100‬‬

‫ﻛﻣﺎ ان اﻟﺗﺑﺎﯾن‬

‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ھو ‪:‬‬

‫‪ 2 (16) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 85.9422‬وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ‪ 85.33‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ 2‬ﺗﺑﺎﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ‪.‬‬ ‫‪٤٥٩‬‬


‫وﻫذا ﯾوﺿﺢ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ ﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪ 40‬ﻋﻣود ‪.‬‬ ‫]‪raph1=scaledhistogram[meanrandomsample,40‬‬ ‫‪0.04‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪0.02‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪130‬‬

‫‪110‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪80‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻣﺗوﺳــط اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﻣﻣﺛﻠ ــﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣ ــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى اﻟﻧﺳــﺑﻰ ‪ .‬ﻣ ــﻊ اﻟﺗﻣﺛﯾــل اﻟﺑﯾــﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾ ــﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻓﻰ اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪.‬‬ ‫]‪normalhistogram[meanrandomsample,40‬‬ ‫‪0.04‬‬

‫‪0.03‬‬

‫‪0.02‬‬

‫‪0.01‬‬

‫‪130‬‬

‫‪110‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪90‬‬

‫‪80‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗطﺎﺑق اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﻣﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬ ‫‪ .‬وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﻛون ﻗد وﺿﺣﻧﺎ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﺧطوات اﯾﺟﺎد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪:‬‬ ‫;]‪variancerandomsample=Map[Variance,randomsample‬‬ ‫]‪Take[variancerandomsample,5‬‬ ‫‪٤٦٠‬‬


{91.3596,283.699,17.0321,313.823,100.671} min=Min[variancerandomsample] 0.0387583 max=Max[variancerandomsample] 2126.48 Mean[variancerandomsample] StandardDeviation[variancerandomsample] Variance[variancerandomsample] 255.392 251.167 63084.8

‫ﺗﺑﺎﯾﻧﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟﻣدرج اﻟﺗﻛرارى اﻟﻧﺳﺑﻰ‬ scaledhistogram[variancerandomsample,40] 0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 500

1000

1500

2000

Graphics <<Graphics`Graphics` <<Statistics`DataManipulation` pdfapprox[data_,plotpoints_:100,opts___]:=Module[{min,max ,stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(plotpoints-1); counts=BinCounts[data,{minstepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]]},{i,1,p lotpoints}]; ListPlot[tograph,PlotJoined->True,PlotRange>All,opts] ]

: ‫ﺗﻔﯾد اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻓﻰ ﻓﻬم اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬

٤٦١


‫ﻓﻰ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﺣﺎﻻت ﯾﻛون اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺻﻠﻰ ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ اﻻﺻﻠﻰ ﻏﯾر طﺑﯾﻌﻰ وﯾﺗطﻠب اﻻﻣر‬ ‫ﻣﻌرﻓﺔ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط وﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ X,S2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻰ ‪ .‬ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻛﺑﯾرة او‬

‫اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﯾﺔ ﺳواء ﻛﺎﻧت ﻣﺗﺻﻠﺔ او ﻣﺗﻘطﻌﺔ ﺗﻧص اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‪:‬‬ ‫اذا اﺧﺗﯾرت ﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻛﺑﯾر او ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪‬‬ ‫وﺗﺑﺎﯾن ‪  2‬ﻓﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ ﻟﻼﺣﺻﺎء ‪ X‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻊ طﺑﯾﻌﺎ ﺑﻣﺗوﺳط ‪X  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  X ‬ﻋﻧدﻣﺎ ‪. n  ‬‬ ‫واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣﻠﺣوظ ــﺔ ‪ :‬ﻓ ــﻰ اﻟﺗطﺑﯾ ــق ﺗﺳ ــﺗﺧدم ﻧظرﯾ ــﺔ اﻟﻧزﻋ ــﺔ اﻟﻣرﻛزﯾ ــﺔ ﻋﻧ ــدﻣﺎ ‪ n‬ﻛﺑﯾـ ـرة ﺑدرﺟ ــﺔ ﻛﺎﻓﯾ ــﺔ‪ .‬اﻟﺗﻘرﯾ ــب‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌــﻰ ﺳــوف ﯾﻛــون ﺟﯾــدا اذا ﻛﺎﻧــت ‪ n  30‬ﺑﺻــرف اﻟﻧظــر ﻋــن ﺷــﻛل اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺻــﻠﻰ اﻟــذى‬ ‫اﺧﺗﯾــرت ﻣﻧــﻪ اﻟﻌﯾﻧــﺎت ‪ .‬اذا ﻛﺎﻧــت ‪ n  30‬اﻟﺗﻘرﯾــب ﯾﻛــون ﺟﯾــد ﻓﻘــط اذا ﻛــﺎن اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻻ ﯾﺧﺗﻠــف‬ ‫ﻛﺛﯾ ار ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺗﺑــر ﻫــذﻩ اﻟﻧظرﯾــﺔ ﻣــن اﻫــم اﻟﻧظرﯾــﺎت ﻓــﻰ ﻣﺟــﺎل اﻻﺳــﺗدﻻل اﻻﺣﺻــﺎﺋﻰ ‪ .‬ﺳــوف ﻧﺳــﻬل ﻓﻬــم ﻫــذﻩ‬ ‫اﻟﻧظرﯾـ ـ ـ ـ ــﺔ ﺑﺎﺳـ ـ ـ ـ ــﺗﺧدام ﺑرﻧ ـ ـ ـ ـ ـﺎﻣﺞ اﻟﻣﺎﺛﯾﻣﺎﺗﯾﻛـ ـ ـ ـ ــﺎ اﻟﺗـ ـ ـ ـ ــﺎﻟﻰ وﺳـ ـ ـ ـ ــوف ﻧﺣﻣـ ـ ـ ـ ــل اﻟﺑرﻧـ ـ ـ ـ ــﺎﻣﺟﯾن اﻟﺟـ ـ ـ ـ ــﺎﻫزﯾن‬

‫‪ scaleHistogram‬و ‪ normalHistogram‬وﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻻﻣﺛﻠﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٦ -٨‬‬ ‫ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد ‪10000‬ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم اﺛﻧﯾن وارﺑﻌﺔ وﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗطم‬ ‫ﻓــﻰ اﻟﻔﺗ ـرة )‪ (95,105‬ﺛــم ﻧﺳــﺗﺧدم ﺗﻠــك اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﻓــﻰ ﺗﻣﺛﯾــل ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام‬

‫اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـرارى )اﻟــذي ﯾﻌﺗﺑــر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻌﯾﻧــﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑــﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﻫــذا اﻟﻣــدرج ﻣــﻊ ﻣﻧﺣﻧــﻰ اﻟﺗوزﯾــﻊ‬

‫اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺟﺎﻫز ‪:normalHistogram‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫;]‪dist=UniformDistribution[95,105‬‬ ‫;]}‪sample1=RandomArray[dist,{10000,2‬‬ ‫]‪Take[sample1,3‬‬ ‫}}‪{{102.725,101.689},{103.266,104.99},{103.905,104.456‬‬ ‫‪٤٦٢‬‬


‫;]‪mean1=Map[Mean,sample1‬‬ ‫]‪Mean[mean1‬‬ ‫]‪StandardDeviation[mean1‬‬ ‫]‪Variance[mean1‬‬ ‫‪100.031‬‬ ‫‪2.05377‬‬ ‫‪4.21795‬‬ ‫;]‪g1=normalhistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫;]}‪sample2=RandomArray[dist,{10000,4‬‬ ‫;]‪mean2=Map[Mean,sample2‬‬ ‫;]‪g2=normalhistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫;]}‪sample3=RandomArray[dist,{10000,8‬‬ ‫;]‪mean3=Map[Mean,sample3‬‬ ‫;]‪g3=normalhistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫]]}‪Show[GraphicsArray[{g1,g2,g3‬‬ ‫‪0.4‬‬

‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪98 99100101102103‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪98 100 102 104‬‬

‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪96 98 100102104106‬‬

‫‪GraphicsArray‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ﻫﻧﺎ ان ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم اﺛﻧﯾن واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬

‫ﻫو ‪ 100.031‬وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﻟذى ﻟﻪ‬ ‫‪105  95‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط ‪ 100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ان اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ھو ‪:‬‬

‫‪(105  95)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ 8.333‬‬ ‫‪ 4.21795‬وﻫو ﻗرﯾب ﻣن‬ ‫‪12‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 2 8.333‬‬ ‫‪ 2‬ﺗﺑﺎﯾن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ و ‪ 2  4.1665‬‬ ‫‪. n‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟرﺳوم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬

‫ﻛﻠﻣﺎ زادت ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻫذا ﯾوﺿﺢ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٧ -٨‬‬

‫‪٤٦٣‬‬


‫ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾـد ‪ 2000‬ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪ 5,10,25,35‬ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﻣرﺑـﻊ‬ ‫ﻛـﺎى ﺑﻣﺗوﺳـط ‪ 1‬وﺗﺑـﺎﯾن‪) 2‬ﺑﻣﻌﻠﻣـﺔ واﺣـد ﺻـﺣﯾﺢ ( ﺛـم ﻧﺳـﺗﺧدم ﺗﻠـك اﻟﻌﯾﻧـﺎت ﻓـﻰ ﺗﻣﺛﯾـل ﻣﺗوﺳـطﺎت‬

‫اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣــدرج اﻟﺗﻛ ـرارى )اﻟــذي ﯾﻌﺗﺑــر اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟﻌﯾﻧــﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑــﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﻫــذا‬ ‫اﻟﻣدرج ﻣﻊ ﻣﻧﺣﻧﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫;]‪dist=ChiSquareDistribution[1‬‬

‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى ﻣﻣﺛﻠﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﺑﻣﻌﻠﻣﺔ ﺗﺳﺎوى‬

‫واﺣد ﺻﺣﯾﺢ ‪.‬‬

‫]‪Plot[PDF[dist,x],{x,0,2},PlotRange->{0,2},AspectRatio->1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.75‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪1.5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫;]}‪sample1=RandomArray[dist,{2000,5‬‬ ‫]‪Take[sample1,3‬‬ ‫‪{{1.33814,0.143846,1.53564,0.15573,0.0660311},{0.754176,0‬‬ ‫‪.0473923,0.106248,0.0108476,0.412087},{0.38653,2.05138,0.‬‬ ‫}}‪0587793,0.03298,3.0722‬‬ ‫;]‪mean1=Map[Mean,sample1‬‬ ‫]‪Mean[mean1‬‬ ‫]‪StandardDeviation[mean1‬‬ ‫]‪Variance[mean1‬‬ ‫‪٤٦٤‬‬


1.01425 0.640086 0.40971 g1=normalhistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity]; sample2=RandomArray[dist,{2000,10}]; mean2=Map[Mean,sample2]; g2=normalhistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity]; sample3=RandomArray[dist,{2000,25}]; mean3=Map[Mean,sample3]; g3=normalhistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity]; sample4=RandomArray[dist,{2000,35}]; mean4=Map[Mean,sample4]; g4=normalhistogram[mean4,50,DisplayFunction->Identity]; Show[GraphicsArray[{{g1,g2},{g3,g4}}]] 0.8 1 0.6

0.8

0.4

0.6 0.4

0.2

0.2

-1

1

2

3

4

5

1.5

2

3

1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25

1.25 1 0.75 0.5 0.25 0.5

1

1.5

2

0.5 0.75

1.25 1.5 1.75

GraphicsArray

‫ﯾﻼﺣظ ﻫﻧﺎ ان ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ﺧﻣﺳﺔ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ‬ ‫وﻫو ﻗرﯾب ﻣن ﻣﺗوﺳط ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ واﻟذى ﻟﻪ‬

1.01425 ‫ﻫو‬

‫ ﻛﻣﺎ ان اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ھو‬. ‫اﻟﻣﺗوﺳط واﺣد ﺻﺣﯾﺢ‬

2 2 2 ‫وﻫو ﻗرﯾب ﻣن‬   2  2(1)  2,   0.4 ‫ﺣﯾث‬ n 5 n 2

0.40971

. ‫ ﺗﺑﺎﯾن ﺗوزﯾﻊ ﻣرﺑﻊ ﻛﺎى اﻟذى ﺗم ﺗوﻟﯾد اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﻣﻧﻪ‬2 ‫و‬

٤٦٥

2


‫ﯾﻼﺣظ ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬ ‫ﻛﻠﻣﺎ زادت ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟذى ﯾﺛﺑت ﻟﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ ‪ .‬وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﻛون ﻗد وﺿﺣﻧﺎ ﻫذﻩ‬

‫اﻟﻧظرﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٨ -٨‬‬ ‫ﺳــوف ﻧﻘ ــوم ﺗوﻟﯾ ــد ‪ 2000‬ﻋﯾﻧ ــﺔ ﻣ ــن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﯾﺗﺑ ــﻊ اﻟﺗوزﯾ ــﻊ اﻻﺳ ــﻰ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم ‪30,25,10, 5‬‬

‫ﺑﻣﻌﻠﻣــﺔ اﺛﻧــﯾن ﺛ ــم ﻧﺳــﺗﺧدم ﺗﻠــك اﻟﻌﯾﻧ ــﺎت ﻓــﻰ ﺗﻣﺛﯾ ــل ﻣﺗوﺳــطﺎت اﻟﻌﯾﻧــﺎت ﺑﯾﺎﻧﯾ ــﺎ ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣ ــدرج‬ ‫اﻟﺗﻛرارى )اﻟذي ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑـﻰ ( وﻣﻘﺎرﻧـﺔ ﻫـذا اﻟﻣـدرج ﻣـﻊ ﻣﻧﺣﻧـﻰ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟطﺑﯾﻌـﻰ‬ ‫ﺑﻣﺗوﺳط و ﺗﺑﺎﯾن ﻣﺣﺳوب ﻣن ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ‪.‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫`‪<<Statistics`ContinuousDistributions‬‬ ‫;]‪dist=ExponentialDistribution[1/2‬‬ ‫]}‪Plot[PDF[dist,x],{x,0,8‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫;]}‪sample1=RandomArray[dist,{2000,5‬‬ ‫;]}‪sample2=RandomArray[dist,{2000,10‬‬ ‫;]}‪sample3=RandomArray[dist,{2000,25‬‬ ‫;]}‪sample4=RandomArray[dist,{2000,30‬‬ ‫;]‪mean1=Map[Mean,sample1‬‬ ‫;]‪mean2=Map[Mean,sample2‬‬ ‫;]‪mean3=Map[Mean,sample3‬‬ ‫;]‪mean4=Map[Mean,sample4‬‬ ‫;]‪g1=normalHistogram[mean1,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫;]‪g2=normalHistogram[mean2,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫;]‪g3=normalHistogram[mean3,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫‪٤٦٦‬‬


‫;]‪g4=normalHistogram[mean4,50,DisplayFunction->Identity‬‬ ‫]]}}‪Show[GraphicsArray[{{g1,g2},{g3,g4‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬

‫‪1 1.5 2 2.5 3 3.5‬‬

‫‪0.6‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5 6‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪1 1.5 2 2.5 3 3.5‬‬ ‫‪ GraphicsArray‬‬

‫ﻻﺣظ ﻣن اﻟرﺳم اﻟﺳﺎﺑق ان اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﯾﻘﺗرب ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ اﻟطﺑﯾﻌﻰ‬ ‫ﻛﻠﻣﺎ زادت ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻟذى ﯾﺛﺑت ﻟﻧﺎ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻧزﻋﺔ اﻟﻣرﻛزﯾﺔ‬

‫)‪ (٥-٨‬اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة‬

‫اذا ﻛﺎن ‪ E(X)  ‬ﯾﻣﺛـل ﻣﺗوﺳـط اﻟﺗوزﯾـﻊ ﻟﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻰ اﻟﻣﺷـﻛﻠﺔ ﺗﻘـدﯾر ‪ . ‬ﻣـن اﻟﻣﻌـروف‬

‫ان )‪ E(X‬ﻫو اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻌدد ﻻﻧﻬﺎﺋﻰ ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ ‪ . X‬ﻓـﻰ اى ﻣﺷـﻛﻠﺔ ﻓﺎﻧﻧـﺎ ﻧﻼﺣـظ‬ ‫ﻋدد ﻣﺣدود ﻣن ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷـواﺋﻰ )ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪ (n‬واﻟﺳـؤال اﻻن ﻫـل ﻫـذا اﻟﻌـدد‬ ‫اﻟﻣﺣ ــدود ﻣـ ــن ﻗـ ــﯾم ‪ X‬ﺗﻛﻔـ ــﻰ ﻟﻼﺳـ ــﺗدﻻل ﻋـ ــن )‪ ، E(X‬واﻻﺟﺎﺑـ ــﺔ ﻧﻌـ ــم وذﻟـ ــك ﺑﻣـ ــﺎ ﯾﺳـ ــﻣﻰ ﺑﺎﻟﻘـ ــﺎﻧون‬

‫اﻟﺿـﻌﯾف ﻟﻼﻋــداد اﻟﻛﺑﯾـرة ‪ . weak law of large number‬ﯾـﻧص ﻫــذا اﻟﻘـﺎﻧون ﻋﻠــﻰ اﻧــﻪ اذا‬

‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬او اﻛﺑر وذﻟك ﺑداﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﺣﺗﻣـﺎل )‪ ) f(x‬ﺣﯾـث ‪E(X)  ‬‬ ‫( ‪ ،‬ﻓﯾﻣﻛﻧﻧﺎ ﺟﻌل اﻻﺣﺗﻣﺎل ﯾﻘﺗرب ﻣن واﺣد )ﺣﺳب اﻟرﻏﺑﺔ ( ان ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪X‬‬

‫ﯾﻧﺣرف ﻋن ‪ ‬ﺑﻣﻘدار اﺧﺗﯾﺎرى ﺻﻐﯾر ﺟدا ‪.‬ﺑﺻورة اوﺿﺢ ﻓﺎن اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة‬

‫ﯾـ ــﻧص ﻋﻠ ـ ـﻰ اﻧـ ــﻪ ﯾوﺟـ ــد ﻋـ ــدد ﺻـ ــﺣﯾﺢ ‪ n‬ﻻى ﻋـ ــددﯾن اﺧﺗﯾـ ــﺎرﯾﯾن ‪ , ‬ﺣﯾـ ــث ‪0    1,   0‬‬

‫وﺑﺣﯾــث اذا اﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ n‬او اﻛﺑــر ﻣــن داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﺣﺗﻣــﺎل )‪ f(x‬واذا ﻛــﺎن ﻣﺗوﺳــط‬ ‫اﻟﻌﯾﻧـﺔ ﻫـو ‪ X n‬ﯾــﺗم ﺣﺳـﺎﺑﻪ ‪ ،‬ﻓــﺎن اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﺳــوف ﯾﻛـون اﻛﺑــر ﻣـن ‪) 1 ‬ﯾﻘﺗــرب ﻣـن واﺣــد ( ان‬ ‫‪ X n‬ﯾﻧﺣــرف ﻋــن ‪ ‬ﺑﻘﯾﻣــﺔ اﻗــل ﻣــن ‪ ) ‬وﺑﺎﻟﻣﺛــل ﯾﻘﺗــرب ﻣــن ‪ .( ‬وﯾﻣﻛــن اﻟﺗﻌﺑﯾــر ﻋــن اﻟﻘــﺎﻧون‬ ‫اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻻى ﻋـ ــددﯾن اﺧﺗﯾـ ــﺎرﯾﯾن ‪ , ‬ﺣﯾـ ــث ‪ 0    1,   0‬ﯾوﺟـ ــد ﻋـ ــدد ﺻـ ــﺣﯾﺢ ‪ n‬ﺑﺣﯾـ ــث اﻧـ ــﻪ ﻟﻛـ ــل‬

‫اﻻﻋداد اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ ‪ m  n‬ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪P(| X m   | )  1  ‬‬

‫‪٤٦٧‬‬

‫‪‬‬


‫ﻧظرﯾﺔ ‪):‬اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة(‬

‫اذا ﻛﺎﻧــت )‪ f(x‬داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ اﻻﺣﺗﻣــﺎل ﺑﻣﺗوﺳــط ‪ ‬وﺗﺑــﺎﯾن ﻣﻧﺗﻬــﻰ ‪ 2‬واذا ﻛــﺎن ‪X n‬‬

‫ﻣﺗوﺳ ــط اﻟﻌﯾﻧ ــﺔ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﻣ ــن اﻟﺣﺟ ــم ‪ n‬ﻣ ــن )‪ f(x‬وﻟ ــﯾﻛن ‪ , ‬ﻋ ــددﯾن ﺑﺣﯾ ــث ان‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 0    1,   0‬اذا ﻛﺎن ‪ n‬اى ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ اﻛﺑر ﻣن‬ ‫‪ 2‬‬

‫ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪ P(   X n    )  1  ‬اى ‪. P(| X n   | )  1  ‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٢٩ -٨‬‬

‫ﺑﻔــرض ان ﺗوزﯾــﻊ ﻟــﻪ ﻣﺗوﺳــط ﻏﯾــر ﻣﻌﻠــوم وﺗﺑــﺎﯾن ﯾﺳــﺎوى اﻟواﺣــد اﻟﺻــﺣﯾﺢ ‪.‬ﻣــﺎ ﺣﺟــم اﻟﻌﯾﻧ ــﺔ اﻻزم‬ ‫اﺧﺗﯾﺎرﻩ ﺑﺣﯾث ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻻﻗل اﺣﺗﻣﺎل ﻗدرﻩ ‪ 0.95‬ان اﻟﻔرق اﻟﻣطﻠق )‪P(| X n   | ‬‬

‫اﻗل ﻣن ‪.0.5‬‬ ‫اﻟﺣل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   1,   0.05,   0.5‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 2 ‬‬ ‫‪ 80‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.05(0.5) 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٠ -٨‬‬

‫ﻣــﺎ ﻫــو ﺣﺟــم اﻟﻌﯾﻧــﺔ اﻟــﻼزم اﺧﺗﯾــﺎرﻩ ﺑﺣﯾــث ﯾﻛــون اﻟﻔــرق اﻟﻣطﻠــق )‪ P(| X n   | ‬اﻗــل ‪0.5‬‬

‫ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ﻗدرﻩ ﻋﻠﻰ اﻻﻗل ‪0.99‬؟‬ ‫اﻟﺣل‬ ‫‪   0.5,   0.01‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 400‬‬ ‫‪ 2 0.01(0.5) 2 2‬‬

‫‪n‬‬

‫ﺳوف ﻧﺳﺗﻔﯾد ﻣن ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻓﻰ اﻟﺟزء ‪ Sec5.1‬ﻓﻰ ﻓﻬم ﻫـذﻩ اﻟﻧظرﯾـﺔ ﻣـن ﺧـﻼل اﻟﻣﺛـﺎل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣١ -٨‬‬ ‫ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾد ‪ 100‬ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ اﻟﺗوزﯾـﻊ اﻟﻣﻧـﺗظم ﻓـﻰ اﻟﻔﺗـرة )‪ (0,1‬ﻣـن‬ ‫اﻟﺣﺟــم ‪ 100,200,300‬ﺛــم اﯾﺟــﺎد اﻟﻣﺗوﺳــط ﻟﻛــل ﻋﯾﻧــﺔ ﻓــﻰ ﻛــل ﺣﺎﻟــﺔ ‪ .‬ﻣــن اﻟﻣﻌــروف ان ﻣﺗوﺳــط‬

‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻣﻧﺗظم ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪ (0,1‬ﯾﺳﺎوى ‪ 1/2‬و ﺳوف ﻧﺧﺗﺎر ‪.   .04‬‬

‫‪٤٦٨‬‬


‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻰ اﻟﺗﺟرﯾﺑﻰ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ﻋﻧد اﺣﺟﺎم ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻣن‬ : ‫اﻟﻌﯾﻧﺎت‬

Needs["KnoxProb`Utilities`"] SimulateSampleMeans[nummeans_,distribution_,sampsize_]:=T able[Mean[RandomArray[distribution,{sampsize}]],{nummeans }] SeedRandom[18732] list1=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],10 0]; list2=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],20 0]; list3=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],30 0]; Histogram[list1,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list2,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list3,6,Endpoints{.38,.62}]; 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.4

0.44

0.48

0.52

0.56

0.6

0.4

0.44

0.48

0.52

0.56

0.6

0.5

0.4 0.3

0.2 0.1

٤٦٩


0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.4

0.44

0.48

0.52

0.56

0.6

‫ اﻟﻰ‬   ‫ اى ﻣن‬.54 ‫ اﻟﻰ‬.46 ‫ﯾﻼﺣظ ان اﻟﻌﻣودﯾن اﻻوﺳطﯾن ﻓﻰ ﻛل ﻣدرج ﯾﻧﺣﺻران ﻣن‬ ‫ ( ﺣﯾث ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺧﺎرج ﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ﺗﻣﺛل ﺑﺎﻟطول اﻟﻛﻠﻰ‬  .04 ‫ )ﺣﯾث‬  

‫ ﯾﻼﺣظ ان ﻫذﻩ اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺗؤول اﻟﻰ اﻟﺻﻔر ﻛﻠﻣﺎ زادت‬. ‫ﻟﻠﻌﻣودﯾن ﻋﻠﻰ اﻻطراف ﻓﻰ ﻛل ﻣدرج‬ ، ‫ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻫذا ﻣﺎ ﯾﻔﺳر اﻟﻘﺎﻧون اﻟﺿﻌﯾف ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة‬

: ‫ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬500,800,1000 ‫ﺑﺎﻋﺎدة اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ ﻣﻊ ﺟﻌل ﺣﺟوم اﻟﻌﯾﻧﺎت‬ Needs["KnoxProb`Utilities`"] SimulateSampleMeans[nummeans_,distribution_,sampsize_]:=T able[Mean[RandomArray[distribution,{sampsize}]],{nummeans }] SeedRandom[18732] list1=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],50 0]; list2=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],80 0]; list3=SimulateSampleMeans[100,UniformDistribution[0,1],10 00]; Histogram[list1,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list2,6,Endpoints{.38,.62}]; Histogram[list3,6,Endpoints{.38,.62}]; 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.4

0.44

0.48

0.52

0.56

٤٧٠

0.6


‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.56‬‬

‫‪0.52‬‬

‫‪0.48‬‬

‫‪0.44‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.56‬‬

‫‪0.52‬‬

‫‪0.48‬‬

‫‪0.44‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬

‫ﯾﻼﺣظ ان ﻧﺳﺑﺔ ﻣﺗوﺳطﺎت اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺧﺎرج اﻟﻔﺗرة ﻣن ‪ .46‬اﻟﻰ ‪ .54‬اى ﺧﺎرج اﻟﻔﺗرة ﻣن ‪  ‬‬ ‫اﻟﻰ ‪)   ‬ﺣﯾث ‪ (   .04‬ﺗؤؤل اﻟﻰ اﻟﺻﻔر ﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣن اﻟﺣﺟم ‪.500,800,1000‬‬

‫)‪ (٦-٨‬ﻗﺎﻧون اﻟﻘوة ﻟﻼﻋداد اﻟﻛﺑﯾرة‬ ‫ﯾطﺑق ﻫذا اﻟﻘﺎﻧون ﻋﻠﻰ اى ﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ واﻟﺗﻰ ﻟﻬﺎ ﻧﻔس اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل اذا ﻛـﺎن ‪ X1 ,X 2 ,...,X n‬ﻣﺗﺗﺎﺑﻌـﺔ ﺑﺣﯾـث ان ﻛـل ‪ X i‬ﻟﻬـﺎ اﻟﻣﺗوﺳـط ‪ ‬واﻟﺗﺑـﺎﯾن‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪  2‬واذا ﻛــﺎن ‪ X   X i‬ﺗﻣﺛــل ﻣﺗوﺳــط اﻟﻌﯾﻧــﺔ ‪ ،‬ﻓــﺎن اﻻﺣﺗﻣــﺎل ان ‪ X‬ﺗﻘﺗــرب ﻣــن ‪ ‬ﯾــؤول‬ ‫‪n i 1‬‬ ‫اﻟـ ـ ـ ـ ــﻰ اﻟواﺣـ ـ ـ ـ ــد اﻟﺻـ ـ ـ ـ ــﺣﯾﺢ ﻋﻧـ ـ ـ ـ ــدﻣﺎ ‪ n‬ﺗﻛـ ـ ـ ـ ــون ﻛﺑﯾ ـ ـ ـ ـ ـرة ‪ .‬اﯾﺿـ ـ ـ ـ ــﺎ اﻻﺣﺗﻣـ ـ ـ ـ ــﺎل ان ﺗﺑـ ـ ـ ـ ــﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧـ ـ ـ ـ ــﺔ‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ S   (X i  X‬ﯾﻘﺗرب ﻣن ‪ ‬ﯾؤول اﻟﻰ اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n‬ﺗﻛون ﻛﺑﯾرة ‪.‬‬ ‫‪n i 1‬‬ ‫ﺳــوف ﻧﺳــﺗﻔﯾد ﻣــن ﺑرﻧــﺎﻣﺞ ‪ KnoxProb‬ﻓــﻰ اﻟﺟــزء ‪ Sec5.1‬ﻓــﻰ ﻓﻬــم ﻫــذﻩ اﻟﻧظرﯾــﺔ اﻟﺳــﺎﺑﻘﺔ ﻣــن‬ ‫ﺧﻼل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٢ -٨‬‬ ‫‪٤٧١‬‬


‫ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﺗوﻟﯾـد ‪ 2000‬ﻋﯾﻧـﺔ ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﯾﺗﺑـﻊ ﺗوزﯾـﻊ ﺟﺎﻣـﺎ ﺑﻣﻌﻠﻣﺗـﯾن ‪ 2,3‬ﺛـم ﺗﻌـدﯾل اﻟﻣﺗوﺳـط‬ ‫ﺑﻌد ﻋﺷـرة ﻣﻼﺣظـﺎت اى اﻧـﻪ ﻋﻧـد اﻟﻣﻼﺣظـﺔ اﻟﻌﺎﺷـرة ﯾﺣﺳـب اﻟﻣﺗوﺳـط وﻋﻧـد ﺗوﻟﯾـد اﻟﻣﻼﺣظـﺔ رﻗـم‬ ‫‪ 20‬ﯾﺣﺳب اﻟﻣﺗوﺳط ﺣﺗﻰ اﻟوﺻول اﻟﻰ اﻟﻣﻼﺣظـﺔ ‪ 2000‬ﻓﯾﺣﺳـب اﻟﻣﺗوﺳـط ﻟﺟﻣﯾـﻊ اﻟﻣﻼﺣظـﺎت ‪.‬‬ ‫ﻣن اﻟﻣﻌروف ان ﻣﺗوﺳط ﺗوزﯾﻊ ﺟﺎﻣﺎ ﻫو ‪2.3=6‬‬

‫اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ﯾﻘوم ﺑﻌﻣل اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫;]‪SeedRandom[44937‬‬ ‫;]‪SimMeanSequence[GammaDistribution[2,3],2000,10‬‬

‫‪200‬‬

‫‪150‬‬

‫‪100‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪5.9‬‬ ‫‪5.8‬‬ ‫‪5.7‬‬ ‫‪5.6‬‬ ‫‪5.5‬‬

‫ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟرﺳم ان اﻟﻣﺗﺗﺎﺑﻌﺔ ﻣن اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ﺗؤول اﻟﻰ ‪ 6‬وﻫو ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٣ -٨‬‬ ‫ﺑﻔــرض ان ﻟــدﯾﻧﺎ ﻣﺳﺗﺷــﻔﯾﺗﯾن ﻟﻠــوﻻدة اﻻوﻟــﻰ ﺳــﻌﺔ ‪ 20‬وﻻدة ﻓــﻰ اﻟﯾــوم واﻟﺛﺎﻧﯾــﺔ ﺳــﻌﺔ ‪ 200‬وﻻدة ﻓــﻰ‬ ‫اﻟﯾوم ‪ .‬ﺑﻔرض اﻧﻪ ﻓﻰ ﻋﺎم ‪ ،‬ﺗم ﺣﺳﺎب ﻋدد اﻻﯾﺎم واﻟﺗﻰ ﻛل ﻣﺳﺗﺷـﻔﻰ ﯾـﺗم ﻓﯾﻬـﺎ وﻻدة ﺣـواﻟﻰ اﻛﺛـر‬ ‫ﻣن ‪ 60%‬ﻣن اﻟﻣواﻟﯾد ذﻛور ‪ .‬اﻟﺳؤال اﻻن ﻣﺎ ﻫﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺗﻰ ﻧﺗوﻗﻊ ان ﺗﻛون اﻛﺛر ﻓـﻰ ﻋـدد‬ ‫اﻻﯾﺎم ؟ وذﻟك ﺗﺣت اﻟﻔرض ان اﺣﺗﻣﺎل وﻻدة طﻔل ذﻛر ﺗﺳﺎوى اﺣﺗﻣﺎل وﻻدة اﻧﺛﻰ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬

‫‪٤٧٢‬‬


‫اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻟﺳؤال ﺗﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ واﻟﺗﻰ ﺗﻧص ﻋﻠﻰ ان اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻣرﺗﻔﻊ ﻓﻰ ﻛل‬ ‫ﯾوم وﻻدة ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﻛﺑرى ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟذﻛور ﻓﻰ ﻛل ﯾوم وﻻدة ﯾﻘﺗرب ﻣن ‪ . 50%‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫ﺳوف ﻧﺗوﻗﻊ ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺻﻐرى ان ﻋدد اﻻﯾﺎم اﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﻛﺑرى واﻟﺗﻰ ﯾﺗم ﻓﯾﻬﺎ‬

‫وﻻدة اﻛﺛر ﻣن ‪ 60%‬ﻣن اﻟﻣواﻟﯾد ذﻛور ‪ .‬ﺳوف ﻧﻘوم ﺑﻌﻣل ﻣﺣﺎﻛﺎة ﻟﻠﺗﺣﻘق ﻣن ﺗﻠك اﻻﺟﺎﺑﺔ ‪.‬‬ ‫ﺑﻔرض ان ‪ 1‬ﺗﻣﺛل وﻻدة طﻔل ذﻛر و‪ 0‬ﺗﻣﺛل وﻻدة اﻧﺛﻰ ‪ .‬ﻟﺣﺳﺎب ﻧﺳﺑﺔ اﻻطﻔﺎل اﻟذﻛور‬ ‫اﻟﻣوﻟودون ﻓﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن اﻟﻣوﻟودون ﻓﻰ ﯾوم ﻣﺎ ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪f[x_]:=Module[{sum},‬‬ ‫;]‪sum=Apply[Plus,x‬‬ ‫]‪boys=sum/Length[x]//N‬‬

‫وﯾﻣﻛن اﺧﺗﯾﺎر ﺗوزﯾﻊ ﺑرﻧوﻟﻰ ﻛﻧﻣوزج ﻟﻣﺣﺎﻛﺎة وﻻدة طﻔل ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ذﻛر ‪ 1/2‬ر‪ .‬ﺑﻔرض ان اﻟﺣزﻣﺔ‬ ‫‪DiscreteDistributions‬‬

‫ﺗم ﺗﺣﻣﯾﻠﻬﺎ‪ .‬ﺳوف ﻧﻌﻣل ﻣﺣﺎﻛﺎﻩ ﻟوﻻدة ﻋﺷرون طﻔل ﻛل ﯾوم ﻟﻣدة ﻋﺎم ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺻﻐرى ‪.‬‬ ‫اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻣﺳﻣﺎﻩ ‪ small‬وﺳوف ﻧﻌﻣل اﺧﺗﺻﺎر ﻟﻠﻧواﺗﺞ ﻓﻰ ‪ small‬ﺑﺎﻻﻣر ‪.Short‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ﻋدد اﻻﯾﺎم اﻟﺗﻰ ﻋدد اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن ‪60%‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ‪ Map‬ﻟﺟﻣﻊ ‪ f‬ﻓﻰ اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ ‪ small‬وﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل اﻟﺣزﻣﺔ‬

‫‪ DataManipulation‬ﻧﺳﺗﺧدم ‪ BinCounts‬واﻟﺗﻰ ﺗﺧﺑرﻧﺎ ان ‪ 57‬ﻣن اﻻﯾﺎم ﺗﻛون ﻧﺳﺑﺔ‬ ‫وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن ‪ . 60%‬اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺳوف ﻧﺗﺑﻌﻬﺎ ﻓﻰ اﻟﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﻛﺑرى‬ ‫واﻟﺗﻰ ﺗﺧﺑرﻧﺎ ﺑﻌدم وﺟود اﯾﺎم ﺗﻛون ﻓﯾﻬﺎ ﺗﻛون ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن ‪.60%‬‬ ‫`‪<<Statistics`DiscreteDistributions‬‬ ‫‪Let 0 represent the birth of a boy and 1 represent the birth of a girl.‬‬ ‫]‪Clear[f,x‬‬ ‫‪f[x_]:=Module[{sum},‬‬ ‫;]‪sum=Apply[Plus,x‬‬ ‫]‪boys=sum/Length[x]//N‬‬ ‫;]}‪small=RandomArray[BernoulliDistribution[0.5],{365,20‬‬ ‫]‪Short[small,5‬‬ ‫‪{{0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0},{1,0,0,0,1,0,1‬‬ ‫‪,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1},361,{1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,‬‬ ‫‪0,1,1,0,1,1,0,0,0,0},{1,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1‬‬ ‫}}‪,1,0‬‬ ‫;]‪smallboys=Map[f,small‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]}‪BinCounts[smallboys,{0,1,.1‬‬ ‫}‪{0,1,16,64,123,104,45,12,0,0‬‬ ‫]}‪BinCounts[smallboys,{.6,1,.4‬‬ ‫}‪{57‬‬ ‫;]}‪large=RandomArray[BernoulliDistribution[0.5],{365,200‬‬ ‫;]‪largeboys=Map[f,large‬‬ ‫]}‪BinCounts[largeboys,{0,1,.1‬‬ ‫}‪{0,0,0,2,187,176,0,0,0,0‬‬ ‫‪٤٧٣‬‬


‫]}‪BinCounts[largeboys,{.6,1,.4‬‬ ‫}‪{0‬‬

‫ﻫﻧﺎك ﺑرﻧﺎﻣﺞ اﺧر اﺳﻬل ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﻪ وﻗد وﺟد ان ‪ 48‬ﻣن اﻻﯾﺎم‬ ‫ﺗﻛون ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن ‪ 60%‬ﻟﻠﻣﺳﺗﺷﻔﻰ اﻟﺻﻐرى‬

‫وﺑﻌدم وﺟود اﯾﺎم ﺗﻛون ﻓﯾﻬﺎ ﻧﺳﺑﺔ وﻻدة اﻟذﻛور اﻛﺛر ﻣن‪. 60%‬‬ ‫;‪n=20‬‬ ‫;‪p=0.5‬‬ ‫;‪q=0.5‬‬ ‫‪smallboys=RandomArray[BinomialDistribution[n,p],365]/n//N‬‬ ‫;‬ ‫]}‪BinCounts[smallboys,{0,1,.1‬‬ ‫}‪{0,3,17,89,110,98,41,7,0,0‬‬ ‫]}‪BinCounts[smallboys,{.6,1,.4‬‬ ‫}‪{48‬‬ ‫;‪n=200‬‬ ‫;‪p=0.5‬‬ ‫;‪q=0.5‬‬ ‫‪largeboys=RandomArray[BinomialDistribution[n,p],365]/n//N‬‬ ‫;‬ ‫]}‪BinCounts[largeboys,{0,1,.1‬‬ ‫}‪{0,0,0,0,188,177,0,0,0,0‬‬ ‫]}‪BinCounts[largeboys,{.6,1,.4‬‬ ‫}‪{0‬‬

‫)‪ (٧-٨‬اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻓﻰ ﺣل اﻟﻣﺷﺎﻛل‬

‫)‪(Monte Carlo Methods‬‬

‫اﻟﻣﺷــﺎﻛل اﻟﺗــﻰ ﺗﺣــل ﺑﺎﺳــﺗﺧدام اﻟﻣﺣﺎﻛــﺎﻩ ﺗﺳــﻣﻰ ﻣﺣﺎﻛــﺎﻩ ﻣوﻧــت ﻛــﺎرﻟو ‪ .‬اﻻﺳــﻠوب اﻟﻣﺳــﺗﺧدم ﻫــو‬

‫ﺗوﻟﯾد ﺑﯾﺎﻧـﺎت ﺗـرﺗﺑط ﺑﺗوزﯾﻌـﺎت اﺣﺗﻣﺎﻟﯾـﺔ ﺗﻣﺛﻠﻬـﺎ ‪ .‬ﻓﻌﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻋﻧـد د ارﺳـﺔ اﻻوزان او اﻻطـوال‬ ‫ﻗــد ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻟطﺑﯾﻌــﻰ وﻓــﻰ اﺧﺗﺑــﺎرات اﻟﺣﯾــﺎة ﻗــد ﯾﺳــﺗﺧدم اﻟﺗوزﯾــﻊ اﻻﺳــﻰ او ﺗوزﯾــﻊ واﯾﺑــل ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺗﻣــد ﻣﺣﺎﻛــﺎة ﻣوﻧــت ﻛــﺎرﻟو ﻋﻠــﻰ ﻗــﺎﻧون اﻟﻘــوة ﻟﻼﻋــداد اﻟﻛﺑﯾ ـرة واﻟﺗــﻰ ﺗــﻧص ﻋﻠــﻰ اﻧــﻪ ﻛﻠﻣــﺎ اﺟرﯾــت‬ ‫اﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻋدد اﻛﺑـر ﻣـن اﻟﻣـرات ﻛﻠﻣـﺎ ﻛـﺎن اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻛﺑﯾـر ان ﺣـل اﻟﻣﺣﺎﻛـﺎة ﯾﻛـون ﻗرﯾـب ﻣـن اﻟﻘﯾﻣـﺔ‬ ‫اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٤ -٨‬‬

‫‪٤٧٤‬‬


‫ﻟﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠـب اﻟـدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾـﺔ اﻟﻣﻧﺗﺟـﺔ ﻓـﻰ ﺷـﺣﻧﺔ ﻣﺷـﺗراﻩ ﻣـن اﻧﺗـﺎج ﻣﺻـﻧﻊ ﻻﻧﺗـﺎج ﻋﻠـب دﻫـﺎن‬ ‫ﺗﺎﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 30‬ﻋﻠﺑﺔ وﺗﺣﺳب ﻋدد ﻋﻠب اﻟدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓـﻰ اﻟﻌﯾﻧـﺔ ‪ .‬وﻻن ﻋـدد ﻋﻠـب‬ ‫اﻟــدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾــﺔ ﻗــد ﺗﺧﺗﻠــف ﻣــن ﻋﯾﻧــﺔ اﻟــﻰ اﺧــرى وﻟــذﻟك ﯾﻛــون اﻻﻫﺗﻣــﺎم ﺑﺎﻟﺣﺻــول ﻋﻠــﻰ اﻟدﻗــﺔ ﻓــﻰ‬ ‫اﻟﺗﻘ ــدﯾر واﻟﺗ ــﻰ ﯾﺗﺣﺻ ــل ﻋﻠﯾﻬ ــﺎ ﻣ ــن ﻋﯾﻧ ــﺔ واﺣ ــدة وﻋﻠ ــﻰ اﻻﺧ ــﺗﻼف ﺑ ــﯾن اﻟﺗﻘ ــدﯾرات اﻟﻣﻣﻛﻧ ــﺔ ﻣ ــن‬

‫اﻟﻌﯾﻧـﺎت اﻻﺧــرى ﻟـذﻟك اﻟﻣطﻠــوب ‪).‬ا( اﯾﺟـﺎد ﻧﻣــوزج ﻟﻣﺣﺎﻛـﺎة اﻟـوان اﻟﻌﻠـب ﻓــﻰ اﻟﻣﺻـﻧﻊ اﻟــذﻛور )ب(‬ ‫اﺳــﺗﺧدام اﻟﻣﺣﺎﻛــﺎة ﻟﺗﻣﯾﯾــز اﻟدﻗــﺔ ﻟﻼﺧﺗﻼﻓــﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧــﺔ ﻓــﻰ ﻗــوة اﻟﺗﻘــدﯾرات ﻟﻧﺳــﺑﺔ اﻟﻌﻠــب اﻟﺑﻧﯾــﺔ وذﻟــك‬ ‫ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ 30‬ﻣن ﻛل ﺷﺣﻧﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫)ا( ﺗﺑﻌﺎ ﻟﻔروض اﻟﻣﺻﻧﻊ اﻟﻣﻧﺗﺞ ﻟﻌﻠب اﻟدﻫﺎن ﻓﺎن ‪ 10%‬ﻟوﻧﻬم ﺑرﺗﻘﺎﻟﻰ ‪ orange‬و ‪10%‬‬ ‫ﻟوﻧﻬم اﺧﺿر ‪ green‬و ‪ 10%‬ﻟوﻧﻬم ازرق ‪ blue‬و ‪ 30%‬ﻟوﻧﻬم ﺑﻧﻰ ‪ brown‬و ‪ 20%‬ﻟوﻧﻬم‬

‫اﺻﻔر ‪ yellow‬و ‪ 20%‬ﻟوﻧﻬم اﺣﻣر ‪ . red‬ﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﺗﻠك اﻟﻧﺳب ﺳوف ﻧﻘﺳم اﻟﻔﺗرة ﻣن ﺻﻔر‬ ‫اﻟﻰ واﺣد ﺻﺣﯾﺢ اﻟﻰ ﻓﺗرات ﻣﺗﻧﺎﺳﺑﺔ ﻣﻊ ﻧﺳب اﻟﻌﻠب وﻧﻌرف اﻟداﻟﺔ ‪ ، m‬ﺛم ﻧﺳﺗﺧدم اﻟداﻟﺔ‬

‫] [‪ Random‬واﻟﺗﻰ ﺗوﻟد ﻟﻧﺎ ﻗﯾﻣﺔ ﻣن ﺻﻔر اﻟﻰ واﺣد وﻧﺳﺗﺧدم ‪ Table‬ﺗﺣت اﻟﻣﺳﻣﻰ ‪bag1‬‬

‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻗﺎﺋﻣﺔ ﻣن اﻻﻟوان ﻟﺛﻼﺛون ﻋﻠﺑﺔ اﺧﺗﯾرت ﻋﺷواﺋﯾﺎ ‪.‬‬

‫;‪m[x_]:=o /; 0<x<=.1‬‬ ‫;‪m[x_]:=g /; .1<x<=.2‬‬ ‫;‪m[x_]:=bl /; .2<x<=.3‬‬ ‫;‪m[x_]:=br /;.3<x<=.6‬‬ ‫;‪m[x_]:=y /;.6<x<=.8‬‬ ‫;‪m[x_]:=r/; .8<x<=1‬‬ ‫]}‪bag1=Table[m[Random[]],{30‬‬ ‫‪{bl,g,br,y,br,y,r,y,o,r,r,br,bl,y,o,g,br,br,y,br,br,bl,r,‬‬ ‫}‪r,br,g,y,g,o,br‬‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ ‪ countable‬ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﺗﻛرارى ﻟﻼﻟوان ‪.‬‬ ‫ﺑﻌد ﺗﺣﻣﯾل ‪ Graphics‬ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ رﺳم ﻟﻼﻋﻣدة ﺣﯾث ﻛل ﻋﻣود ﯾﻣﺛل ﻋدد‬ ‫اﻟﻌﻠب ﻓﻰ اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪.‬‬ ‫`‪<<Statistics`DataManipulation‬‬ ‫]‪Clear[countTable‬‬ ‫‪countTable[datalist_,opts___]:=Module[{column1,column2,go‬‬ ‫‪oddata},column1=Column[Frequencies[datalist],2];column2=C‬‬ ‫‪olumn[Frequencies[datalist],1];gooddata=Transpose[{column‬‬ ‫;]}‪1,column2‬‬ ‫‪٤٧٥‬‬


TableForm[gooddata,opts]] countTable[bag1]

bl br g o r y

3 9 4 3 5 6

<<Graphics`Graphics` freq1=Frequencies[bag1]; BarChart[freq1,BarStyle>{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[.6,.4,.2]},{RGBColor[0,1,0] },{RGBColor[.9,.2,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,1,0]} }] 8 6

4

2

bl

br

g

o

r

y

Graphics

brpercent ‫)ب( ﺳوف اﻟداﻟﺔ‬ m ‫وذﻟك ﻟﻣﺣﺎﻛﺎة ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ﺷﺣﻧﺔ اﻟﻣﺻﻧﻊ ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ‬ 100 ‫ﺛم ﺣﺳﺎب ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠب اﻟدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ ﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﺗﻰ ﻋددﻫم‬ .brownsimulation1‫وﯾﺗم ﺗﺧزﯾﻧﻬم ﻓﻰ‬

.Take ‫ اول ﻧﺗﺎﺋﺞ ﯾﻣﻛن اظﻬﺎرﻫﺎ ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬. 0.3 ‫ ﻗﯾﻣﺔ ﺗﻣﺛل ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ‬100 ‫ﻛل واﺣدة ﻣن‬ . ‫اى ﻧﺳﺑﺔ ﻋﻠب اﻟدﻫﺎن اﻟﺑﻧﯾﺔ اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺻﻧﻊ‬ Clear[brpercent] brpercent[n_]:=Module[{bag}, bag=Table[m[Random[]],{n}]; Count[bag,br]/n//N ] brownsimulation1=Table[brpercent[30],{100}] {0.333333,0.266667,0.3,0.266667,0.5,0.3,0.4,0.366667,0.36 6667,0.333333,0.2,0.466667,0.2,0.266667,0.266667,0.333333 ٤٧٦


‫‪,0.266667,0.333333,0.266667,0.4,0.3,0.2,0.4,0.266667,0.3,‬‬ ‫‪0.2,0.3,0.433333,0.433333,0.266667,0.233333,0.233333,0.2,‬‬ ‫‪0.233333,0.266667,0.266667,0.166667,0.433333,0.233333,0.4‬‬ ‫‪66667,0.3,0.3,0.233333,0.4,0.166667,0.233333,0.433333,0.2‬‬ ‫‪66667,0.266667,0.2,0.233333,0.2,0.466667,0.3,0.433333,0.3‬‬ ‫‪,0.233333,0.2,0.233333,0.333333,0.366667,0.266667,0.13333‬‬ ‫‪3,0.166667,0.233333,0.166667,0.266667,0.433333,0.3,0.2333‬‬ ‫‪33,0.166667,0.333333,0.333333,0.166667,0.233333,0.2,0.2,0‬‬ ‫‪.4,0.3,0.366667,0.433333,0.366667,0.3,0.333333,0.2,0.3,0.‬‬ ‫‪5,0.433333,0.3,0.333333,0.233333,0.3,0.266667,0.433333,0.‬‬ ‫}‪3,0.0666667,0.333333,0.333333,0.333333,0.366667‬‬ ‫]‪Take[brownsimulation1,5‬‬ ‫}‪{0.333333,0.266667,0.3,0.266667,0.5‬‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺑرﻧﺎﻣﺞ ‪ normalHistogram‬واﻟذى ﺳﺑق ﺗﻧﺎوﻟﻪ ﯾﻣﻛن ﻋرض ﻣدرج ﻟﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ‪.‬‬ ‫وﻣﻣﺎ ﯾﺟدر اﻻﺷﺎرة اﻟﯾﻪ ان اﻟﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ﺗﺗﺟﻪ ﻧﺣو اﻟﻣرﻛز اى ﺗﺗﺟﻪ ﻧﺣو اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ‪.0.3‬‬ ‫اﻟﻣﺗوﺳط اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ﻟﻠﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ﻫو‪ 0.297333‬ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى ‪.0.0891008‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪Graphics‬‬ ‫]‪Mean[brownsimulation1‬‬ ‫]‪StandardDeviation[brownsimulation1‬‬ ‫‪0.297333‬‬ ‫‪0.0891008‬‬

‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام اﻟداﻟﺔ ‪ Select‬و ‪ Length‬ﻓﺎﻧﻧﺎ ﻧﻘدر ان ‪ 62%‬داﺧل اﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى واﺣد‬ ‫) اى ﺣواﻟﻰ‪ (0.09‬اى اﻧﮫ ﺑﻔرض ان ˆ‪ p‬ﻧﺳﺑﺔ اﻟدھﺎن اﻟﺑﻧﻰ ﻓﻰ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n=30‬ﻓﺎن ‪62%‬‬ ‫ﻣﻧﮭم ﯾﻘﻌوا ﻓﻰ اﻟﻔﺗرة )‪(0.211 ,0.389‬وﻫذﻩ اﻟﻔﺗرة ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ‬ ‫وﻫﻰ ‪.0.3‬‬ ‫‪٤٧٧‬‬


(1  ) 0.3(0.7) ‫ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ‬.389 ‫اﻟرﻗم‬  0.3  n 30 (1  ) 0.3(0.7) ‫ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ‬.211 ‫و اﻟرﻗم‬ p  0.3  n 30 p

onesigma1=Select[brownsimulation1,And[#<.389,#>.211]&]; Length[onesigma1]/100//N 0.62 .97% ‫( اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ‬.18‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻧﺤﺮاﻓﯿﻦ ﻣﻌﯿﺎرﯾﻦ ) اى ﺣواﻟﻰ‬

(1  ) 0.3(0.7) ‫ ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ‬0.478 ‫اﻟرﻗم‬  0.3  2 n 30 (1  ) 0.3(0.7) ‫ ﻓﻰ اﻻﻣﺮ اﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻤﺜﻞ‬0.122 ‫و اﻟرﻗم‬ p2  0.3  2 n 30 p2

twosigma1=Select[brownsimulation1,And[#<.478,#>.122]&]; Length[twosigma1]/100//N 0.97

‫ وﺗﻛرار اﻟﺧطوات اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ‬75 ‫ اﻟﻰ‬30 ‫ﺑزﯾﺎدة ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن‬

. ‫اﻓﺿل‬

brownsimulation2=Table[brpercent[75],{100}] {0.32,0.32,0.293333,0.213333,0.32,0.373333,0.213333,0.186 667,0.253333,0.28,0.293333,0.28,0.4,0.28,0.226667,0.2,0.2 8,0.306667,0.306667,0.293333,0.373333,0.226667,0.386667,0 .253333,0.146667,0.28,0.333333,0.333333,0.213333,0.306667 ,0.253333,0.293333,0.293333,0.4,0.173333,0.32,0.386667,0. 253333,0.32,0.373333,0.28,0.266667,0.226667,0.4,0.306667, 0.306667,0.293333,0.306667,0.32,0.24,0.28,0.293333,0.28,0 .266667,0.373333,0.293333,0.346667,0.266667,0.24,0.4,0.26 6667,0.32,0.36,0.293333,0.346667,0.32,0.24,0.253333,0.333 333,0.28,0.2,0.306667,0.306667,0.386667,0.346667,0.333333 ,0.32,0.346667,0.306667,0.333333,0.346667,0.36,0.373333,0 .32,0.346667,0.333333,0.28,0.24,0.306667,0.173333,0.21333 3,0.2,0.293333,0.373333,0.32,0.293333,0.293333,0.293333,0 .32,0.32} Take[brownsimulation2,5] {0.32,0.32,0.293333,0.213333,0.32} normalHistogram[brownsimulation2]

٤٧٨


8

6

4

2

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Graphics Mean[brownsimulation2] StandardDeviation[brownsimulation2] 0.297467 0.0555659 onesigma2=Select[brownsimulation2,And[#<.356,#>.244]&]; Length[onesigma2]/100//N 0.67 twosigma2=Select[brownsimulation2,And[#<.411,#>.189]&]; Length[twosigma2]/100//N 0.96

(٣٥ -٨ ) ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ ﺳـوف ﻧﺷـﺎﻫد اﻟﺗﻐﯾـر ﻓـﻰ‬10000 ‫ ﺛـم اﻟـﻰ‬100 ‫ اﻟـﻰ‬30 ‫ﻓﻰ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﺑزﯾﺎدة ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣـن‬

‫اﻟﻣـدرج اﻟﺗﻛـرارى اﻟﻣﻣﺛــل ﺑﯾﺎﻧﯾـﺎ ﻣـن ﺧــﻼل اﻟﺑرﻧـﺎﻣﺞ اﻟﺗــﺎﻟﻰ وﻧﺟـد ان ﻧﺳــﺑﺔ اﻟﻌﻠـب اﻟﺑﻧﯾــﺔ ﺗﻘﺗـرب ﻣــن‬ . 0.3 ‫ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﻠب اﻟﻣﻔﺗرﺿﺔ ﻓﻰ اﻟﻣﺻﻧﻊ وﻫﻰ‬ : ‫اﻟﺣل‬ <<Statistics`DataManipulation` <<Statistics`ContinuousDistributions` m[x_]:=o /; 0<x<=.1; m[x_]:=g /; .1<x<=.2; m[x_]:=bl /; .2<x<=.3; m[x_]:=br /;.3<x<=.6; m[x_]:=y /;.6<x<=.8; m[x_]:=r/; .8<x<=1; bag1=Table[m[Random[]],{100}] {br,bl,o,r,br,y,r,g,r,y,br,r,r,r,y,o,r,bl,o,y,bl,r,y,o,r, br,y,g,br,r,y,o,br,br,g,o,br,br,br,o,y,o,br,br,br,bl,r,br ,br,y,bl,g,r,y,br,g,br,br,br,o,r,o,r,o,g,o,br,y,y,y,br,bl ٤٧٩


,br,o,br,o,br,br,r,r,r,r,br,r,o,r,br,r,r,r,g,bl,g,g,y,r,y ,o,bl,r} freq1=Frequencies[bag1] {{8,bl},{27,br},{9,g},{16,o},{25,r},{15,y}} <<Graphics`Graphics` BarChart[freq1,BarStyle>{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[.8,.4,0]},{RGBColor[0,1,0]} ,{RGBColor[.9,.4,0]},{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[1,1,0]}} ] 25 20 15 10 5

bl

br

g

o

r

y

Graphics percents[list_]:=Module[{step1}, step1=Frequencies[list]; Map[{#[[1]]/Length[list]//N,#[[2]]}&,step1] ] percents[bag1] {{0.08,bl},{0.27,br},{0.09,g},{0.16,o},{0.25,r},{0.15,y}} bag2=Table[m[Random[]],{10000}]; freq2=Frequencies[bag2] {{953,bl},{2975,br},{999,g},{1012,o},{2058,r},{2003,y}} BarChart[freq2] 3000 2500 2000 1500 1000 500 bl Graphics

br

g

o

r

٤٨٠

y


‫ﻣﺛﺎل ) ‪(٣٦ -٨‬‬ ‫ﻛﺗﻛﻣﻠــﺔ اﻟﻣﺛــﺎل )‪ (٣٤-٨‬ﺳــوف ﻧﻘ ــوم ﺑﻌﻣــل ﻣﻘﺎرﻧــﺔ ﺑــﯾن اﻟﻧﺗ ــﺎﺋﺞ ﻋﻧــدﻣﺎ ﺣﺟــم اﻟﻌﯾﻧــﺔ ‪ 60‬وﺣﺟ ــم‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪200‬‬

‫وﻗد ﺗم ﺗوﻟﯾد ‪ 100‬ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻰ ﻛل ﺣﺎﻟﺔ ‪.‬‬

‫اﻟﺣل ‪:‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم ﻧﻔس اﻟﺑرﻧﺎﻣﺞ اﻟﻣﺳﺗﺧدم ﻣﺛﺎل )‪ (٣٤-٨‬وﺑﺎﺗﺑﺎع ﻧﻔس اﻟﺧطوات ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ ‫‪:‬‬ ‫]‪percents[bag2‬‬ ‫}‪{{0.0953,bl},{0.2975,br},{0.0999,g},{0.1012,o},{0.2058,r‬‬ ‫}}‪,{0.2003,y‬‬ ‫;‪m[x_]:=o /; 0<x<=.1‬‬ ‫;‪m[x_]:=g /; .1<x<=.2‬‬ ‫;‪m[x_]:=bl /; .2<x<=.3‬‬ ‫;‪m[x_]:=br /;.3<x<=.6‬‬ ‫;‪m[x_]:=y /;.6<x<=.8‬‬ ‫;‪m[x_]:=r/; .8<x<=1‬‬ ‫]}‪bag3=Table[m[Random[]],{60‬‬ ‫‪{y,br,y,o,r,r,y,r,br,br,g,br,br,bl,g,bl,bl,r,r,br,g,o,g,r‬‬ ‫‪,br,br,br,r,y,br,r,r,bl,bl,y,br,r,o,br,g,y,o,y,y,br,o,br,‬‬ ‫}‪y,o,y,o,y,br,o,bl,r,bl,y,br,br‬‬ ‫]‪Count[bag3,br‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪Count[bag3,br]/60//N‬‬ ‫‪0.283333‬‬ ‫]‪Clear[brpercent‬‬ ‫‪brpercent[n_]:=Module[{bag},‬‬ ‫;]}‪bag=Table[m[Random[]],{n‬‬ ‫‪Count[bag,br]/n//N‬‬ ‫]‬ ‫]‪brpercent[60‬‬ ‫‪0.283333‬‬

‫ﻧﻼﺣظ ﻣن اﻟﻣﺧرج اﻟﺳﺎﺑق ان ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﺗﻘﺗرب ﻣن ‪ 0.3‬واﻟﻣﺣﺳوﺑﺔ ﻣن ﻋﯾﻧﺔ‬ ‫ﻣن اﻟﺣﺟم ‪. 60‬‬

‫اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ ‪ 100‬ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪n=60‬‬ ‫]}‪brownsimulation=Table[brpercent[60],{100‬‬

‫‪{0.283333,0.333333,0.416667,0.233333,0.366667,0.316667,0.‬‬ ‫‪35,0.283333,0.3,0.25,0.283333,0.216667,0.3,0.333333,0.333‬‬ ‫‪333,0.25,0.25,0.4,0.25,0.3,0.233333,0.316667,0.35,0.25,0.‬‬ ‫‪٤٨١‬‬


35,0.316667,0.25,0.233333,0.333333,0.233333,0.383333,0.35 ,0.333333,0.333333,0.283333,0.366667,0.3,0.4,0.2,0.283333 ,0.316667,0.3,0.316667,0.333333,0.233333,0.2,0.316667,0.4 16667,0.3,0.383333,0.25,0.183333,0.433333,0.4,0.25,0.2166 67,0.45,0.35,0.366667,0.266667,0.416667,0.333333,0.266667 ,0.3,0.3,0.25,0.333333,0.283333,0.3,0.183333,0.316667,0.3 16667,0.283333,0.316667,0.333333,0.316667,0.35,0.25,0.283 333,0.2,0.233333,0.233333,0.233333,0.383333,0.333333,0.35 ,0.383333,0.35,0.233333,0.183333,0.3,0.316667,0.316667,0. 35,0.233333,0.366667,0.283333,0.283333,0.133333,0.233333}

<<Graphics`Graphics` scaledhistogram[data_,bars_:10,opts___]:=Module[{min,max, stepsize,counts,heights,midpts,tograph}, min=Min[data]; max=Max[data]; stepsize=(max-min)/(bars-1); counts=BinCounts[data,{minstepsize/2,max+stepsize/2,stepsize}]; heights=counts/(stepsize Length[data])//N; midpts=Table[i,{i,min,max,stepsize}]; tograph=Table[{N[midpts[[i]],3],heights[[i]],stepsiz e},{i,1,bars}]; GeneralizedBarChart[tograph,PlotRange>All,opts] ] graph1=scaledhistogram[brownsimulation] : n=60 ‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬100 ‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ‬

: ‫ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬

6 5 4 3 2 1

‫ل‬

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Graphics

.0.0624428 ‫ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى‬0.301‫اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻠﻣﺋﺔ ﺗﻘدﯾر ﻫو‬ ٤٨٢


Mean[brownsimulation] Variance[brownsimulation] StandardDeviation[brownsimulation] 0.301 0.0038991 0.0624428 =0.3; n=60;

1   sd   n 0.0591608 dist=NormalDistribution[,sd]; graph2=Plot[PDF[dist,x],{x,0,.6},DisplayFunction>Identity]; Show[graph1,graph2]

‫ ﻣﻊ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ‬n=60 ‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬100 ‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ‬ :

‫ واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى‬=0.3 ‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط‬

1   sd   n

: ‫ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ‬

6 5 4 3 2 1 0.1

Graphics

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

‫ ﻣﺣﺳوب ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج‬0.2 ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﺷﺣﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻻﻛﺛر‬

: ‫ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

CDF[dist,.2] 0.0454845 ٤٨٣


‫ ﻣﺣﺳوب ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج‬0.5 ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﺷﺣﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻻﻛﺛر‬ : ‫ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ CDF[dist,0.5] 0.999638

‫ ﻣﺣﺳوب ﻓﻰ اﻟﻣﺧرج‬0.5 ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ان اﻟﺷﺣﻧﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ‬ : ‫ﻟﻼﻣر اﻟﺗﺎﻟﻰ‬ 1-CDF[dist,0.5]

n=200 ‫ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم‬100‫اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺗﻣﺛل ﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ‬ brownsimulation2=Table[brpercent[200],{100}] {0.365,0.28,0.255,0.37,0.305,0.28,0.245,0.305,0.305,0.24, 0.3,0.28,0.27,0.3,0.265,0.31,0.25,0.32,0.315,0.29,0.295,0 .26,0.295,0.315,0.325,0.335,0.275,0.295,0.305,0.305,0.325 ,0.3,0.33,0.29,0.34,0.29,0.3,0.335,0.275,0.31,0.32,0.29,0 .25,0.265,0.36,0.275,0.32,0.235,0.335,0.285,0.3,0.3,0.24, 0.29,0.325,0.305,0.32,0.3,0.355,0.32,0.285,0.345,0.315,0. 3,0.3,0.3,0.265,0.32,0.305,0.31,0.305,0.3,0.245,0.285,0.3 05,0.31,0.285,0.325,0.335,0.33,0.325,0.33,0.285,0.34,0.32 ,0.27,0.255,0.28,0.31,0.335,0.29,0.335,0.275,0.24,0.275,0 .315,0.295,0.275,0.31,0.24} graph3=scaledhistogram[brownsimulation2] 14 12 10 8 6 4 2 0.24

0.26

Graphics

0.28

0.32

0.34

0.36

0.38

n  200; 1   sd   n 0.0324037 dist=NormalDistribution[,sd]; graph4=Plot[PDF[dist,x],{x,0,.6},DisplayFunction>Identity]; Show[graph3,graph4] ٤٨٤


‫اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻧﺳب اﻟﻌﻠب اﻟﺑﻧﯾﺔ ﻓﻰ ‪ 100‬ﻋﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n=200‬ﻣﻊ اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ‬ ‫ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ =0.3‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى‬

‫‪:‬‬

‫‪1  ‬‬ ‫‪sd  ‬‬ ‫‪n‬‬

‫ﻣوﺿﺢ ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪Graphics‬‬

‫ﻓﯾﻣﺎ ﯾﻠﻰ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯾن اﻟﺗﻣﺛﯾل اﻟﺑﯾﺎﻧﻰ ﻟﻠﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ =0.3‬واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎرى‬

‫‪:‬‬

‫‪1  ‬‬ ‫‪sd  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ‪. n=200 , n=60‬‬ ‫‪Show[graph2,graph4,DisplayFunction‬‬‫]‪>$DisplayFunction,PlotRange->All‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪٤٨٥‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.1‬‬

‫‪Graphics‬‬