العلاقة بين معامل الارتباط وميل خط الانحدار

‫)‪(٢‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0   Y   x  Y ,‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1  Y ‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪  2y (1   2 ) .‬‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ ،‬اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷ رطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬إذا ﻋﻠ م ‪ x‬طﺑﯾﻌ ﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 12‬وﯾﺟب أن ﻧﻌﻠم أن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷ رطﻲ‬ ‫‪ E(Y|x)=  0  1x‬وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‪ Y‬إذا ﻋﻠم ‪ x‬ھو ﻧﻣوذج ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم ‪ .‬وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك ﯾوﺟد ﻋﻼﻗﮫ ﺑﯾن ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫اﻻرﺗﺑﺎط ‪ ‬واﻟﻣﯾل ‪ . 1‬ﻣ ن)‪ (٢‬ﻧﺟ د أﻧ ﮫ ﻋﻧ دﻣﺎ ‪  =0‬ﻓ ﺎن ‪ 1  0‬واﻟﺗ ﻲ ﺗﻌﻧ ﻲ‬ ‫ﻋ دم وﺟ ود ﻋﻼﻗ ﮫ ﺧطﯾ ﮫ ﺑ ﯾن ‪ ، X,Y‬أي أن اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن ‪ x‬ﻻ ﺗﺳ ﺎﻋد ﻓ ﻲ اﻟﺗﻧﺑ ﺄ‬ ‫ﻋن‪ . Y‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻻﻣﻛﺎن اﻷﻋظم ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم ‪  0 , 1‬ﺣﯾث ﻣﻘ درات‬ ‫اﻻﻣﻛﺎن اﻷﻋظم ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم ‪  0 ,1‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫)‪(٤‬‬

‫‪b 0  y  b1x ,‬‬ ‫‪SXY‬‬ ‫‪SXX‬‬

‫‪‬‬

‫)‪ x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ yi (x i‬‬

‫)‪ x‬‬

‫‪ (xi‬‬

‫‪b1 ‬‬

‫اﻟﺗﻘ دﯾرات ﻓ ﻲ )‪ (٣‬و)‪ (٤‬ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ اﻟﺗ ﻲ ﺗ م اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت‬ ‫اﻟﺻﻐرى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻓﺗراض أن ‪ x‬ﻣﺗﻐﯾر ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم ‪.‬‬ ‫ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻓ ﺈن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ X,Y‬ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﯾﻣﻛن ﺗﺣﻠﯾﻠﮫ ﺑ ﺎﻟطرق اﻟﺳ ﺎﺑﻘﮫ اﻟﺗ ﻲ اﺳ ﺗﺧدﻣﻧﺎھﺎ ﻋﻧ دﻣﺎ ﻛ ﺎن ‪ x‬ﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم‪ .‬وذﻟ ك ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻲ أن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ Y‬إذا ﻋﻠ م ‪ x‬ﻣﺳ ﺗﻘل وﯾﺗﺑ ﻊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 12‬ھذه اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أﯾﺿﺎ ﺗﺗﺣﻘق‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 0  1x‬وﺗﺑﺎﯾن ﺛﺎﺑت‬ ‫ﻷي داﻟﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﮫ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﺑﺣﯾث أن اﻟداﻟﺔ اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬إذا‬ ‫ﻋﻠم ‪ x‬ﺗﻛون طﺑﯾﻌﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن إﺟراء اﺳﺗدﻻﻻت ﻋن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ‪ ‬ﻓﻲ ھذا اﻟﻧﻣوذج ‪.‬اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﮫ ‪‬‬ ‫ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط ‪ r‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪٤‬‬