Issuu on Google+

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط‬ ‫وﻣﯾل اﻻﻧﺣدار‬ ‫ﻓــﻲ ﺣﺎﻟــﺔ اﻻﻧﺣــدار اﻟﺧطــﻲ اﻟﺑﺳــﯾط ﺣﯾــث ﯾوﺟــد ﻣﺗﻐﯾــر ﻣﺳــﺗﻘل واﺣــد ‪ x‬وﻣﺗﻐﯾــر‬

‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻓﺈن اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ﺗﻣﺛل ﺑﺄزواج اﻟﻣﺷﺎﻫدات‪ . ( x i , yi), i  1,2,..., n‬ﯾﻌرف ﻛـل‬

‫ﻣﺗﻐﯾـر ﻋﺷـواﺋﻲ ‪ Yi  Y | x i‬ﺑﻧﻣـوذج إﺣﺻـﺎﺋﻲ ‪ Statistical model‬وذﻟـك ﺗﺣـت‬ ‫ﻓرض أن ﻛل اﻟﻣﺗوﺳطﺎت ‪  Y|x i‬ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧـط ﻣﺳـﺗﻘﯾم ﻛﻣـﺎ ﻫـو ﻣوﺿـﺢ ﻓـﻲ اﻟﺷـﻛل‬

‫اﻟﺗﺎﻟﻰ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ﻛل ﻣﺗﻐﯾر ‪ Yi‬ﯾﻣﻛن وﺻﻔﻪ ﺑﻧﻣوذج اﻧﺣدار ﺑﺳﯾط ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)‪(١‬‬

‫‪Yi   Y|xi   i   0  1x i   i ,‬‬

‫ﺣﯾث اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ ،  i‬ﺧطﺄ اﻟﻧﻣوذج ‪ ،‬ﻻﺑد أن ﯾﻛون ﻟﻪ ﻣﺗوﺳط ﯾﺳﺎوي ﺻﻔر‪.‬‬

‫ﺗﺷﯾر اﻟﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ 1‬ﻓﻲ ﻧﻣوذج اﻻﻧﺣدار )‪) (١‬واﻟﺗﻲ ھﻲ ﻣﯾ ل ﺧ ط اﻻﻧﺣ دار( إﻟ ﻰ‬ ‫اﻟﺗﻐﯾر ﻓﻲ ﻣﺗوﺳط اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻟﻛ ل وﺣ دة زﯾ ﺎدة ﻓ ﻲ ‪ .x‬أﻣ ﺎ‬ ‫‪١‬‬


‫اﻟﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪  0‬ﻓﺗﻣﺛ ل اﻟﺗﻘ ﺎطﻊ اﻟﺻ ﺎدي ﻟﺧ ط اﻻﻧﺣ دار‪ .‬وإذا اﺣﺗ وى ﻣ دى اﻟﻧﻣ وذج‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ‪ x  0‬ﻓ ﺎن ‪ 0‬ﺗﻌط ﻲ ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻻﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻟﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫‪ . x  0‬وﻟﯾس ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪  0‬أي ﺗﻔﺳﯾر ﺧﺎص ﺑﮭﺎ ﻛﺣ د ﻣﻧﻔﺻ ل ﻓ ﻲ ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار‬ ‫إذا ﻟم ﯾﺗﺿﻣن ﻣﺟﺎﻟﮫ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪. x  0‬‬ ‫ﯾﻘ ﺎل ﻋ ن اﻟﻧﻣ وذج )‪ (١‬اﻧ ﮫ ﺑﺳ ﯾط وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﻣﺳﺗﻘل‪ .‬ﻓﮭو ﺑﺳﯾط ﻷﻧﮫ ﯾﺳﺗﺧدم ﻣﺗﻐﯾرا ﻣﺳﺗﻘﻼ واﺣدا ﻓﻘط‪ ،‬وﺧطﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﻌ ﺎﻟم ﻷﻧ ﮫ‬ ‫ﻻ ﺗظﮭر أي ﻣﻌﻠﻣﮫ ﻛ ﺄس أو ﻣﺿ روﺑﺔ ﺑﻣﻌﻠﻣ ﮫ أﺧ رى‪ ،‬وﺧط ﻲ ﻓ ﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل‬ ‫ﻻن ھ ذا اﻟﻣﺗﻐﯾ ر ﻻ ﯾظﮭ ر إﻻ ﻣرﻓوﻋ ﺎ ﻟ ﻸس اﻟواﺣ د‪ .‬أﯾﺿ ﺎ ﯾﻌ رف اﻟﻧﻣ وذج )‪(١‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﻣوذج ﻣن اﻟرﺗﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻧﺎﻗﺷﺗﻧﺎ ﻟﻼﻧﺣدار اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﯾﻔﺗرض أن ‪ x‬ﻣﺗﻐﯾر ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم ﯾﻘﺎس ﺑﺄﺧطﺎء‬ ‫ﯾﻣﻛن اھﻣﺎﻟﮭﺎ وأن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ‪ .‬ﺗﺷ ﺗﻣل ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﺗطﺑﯾﻘ ﺎت ﻟﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﻻت ﯾﻛ ون ﻓﯾﮭ ﺎ ﻛ ل ﻣ ن ‪ X,Y‬ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ وﻣﺳ ﺗوﯾﺎت ‪ X‬ﻻ ﯾﻣﻛ ن‬ ‫اﻟ ﺗﺣﻛم ﻓﯾﮭ ﺎ ‪ .‬ﻓ ﻲ ﺗﻠ ك اﻟﺣ ﺎﻻت ﻓﺈﻧﻧ ﺎ ﻋ ﺎدة ﻧﻔﺗ رض أن اﻟﻣﺷ ﺎھدات ) ‪ ( X, Y‬ﺣﯾ ث‬ ‫‪ i  1,2,..., n‬ﻟﮭﻣ ﺎ ﺗوزﯾ ﻊ اﺣﺗﻣ ﺎﻟﻲ ﻣﺷ ﺗرك‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﺑﻔ رض أﻧﻧ ﺎ ﻧرﯾ د‬ ‫إﯾﺟﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻧﺣدار ﻣﻘدره ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ ﺑ ﯾن ﻣﺑﯾﻌ ﺎت اﻟﻣﺛﻠﺟ ﺎت ودرﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻌظﻣ ﻰ‬ ‫اﻟﯾوﻣﯾﺔ‪ .‬ﻣن اﻟواﺿﺢ أﻧﻧﺎ ﻻﯾﻣﻛ ن اﻟ ﺗﺣﻛم ﻓ ﻲ درﺟ ﺔ اﻟﺣ رارة اﻟﻌظﻣ ﻰ‪ .‬ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ n‬ﻣن اﻷﯾﺎم وﻧﻼﺣظ درﺟ ﺔاﻟﺣرارة اﻟﻌظﻣ ﻰ ‪ x i‬وﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﺑﯾﻌ ﺎت ‪y i‬‬ ‫ﻟﻛل ﯾوم‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ) ‪ ( x i , y i‬ﻟﮭﻣﺎ ﺗوزﯾ ﻊ ﻣﺷ ﺗرك‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ X,Y‬ﻛﻼھﻣ ﺎ ﻣﺗﻐﯾ رﯾن‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾن ﻓﺈن اﻟﻧﻣوذج )‪ (١‬ﯾﺻ ﺑﺢ ‪ . Y=  0  1X  ‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﺳ وف ﯾﻛ ون‬ ‫ﻟﮭﻣ ﺎ داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﻣﺷ ﺗرﻛﺔ وﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ‪correlation‬‬ ‫‪ coefficient‬ﺑﯾن ‪ X,Y‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫)‪Cov(X, Y‬‬ ‫‪{Var(X)Var(Y)}1 / 2‬‬

‫‪‬‬

‫ﺣﯾ ث )‪ Cov (X,Y‬ھ و ﺗﻐ ﺎﯾر‪ . X,Y‬ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون داﻟ ﮫ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﻣﺷ ﺗرﻛﺔ‬ ‫)‪ f(x,y‬ﻣن اﻟﻧوع اﻟﻣﺗﺻل ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪Cov (X, Y ) ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫} ‪f ( x , y )dxdy , {x   X }{y   Y‬‬

‫‪f ( x , y)dxdy ,‬‬

‫‪٢‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ( x   X ) Var ( X ) ‬‬ ‫‪ ‬‬


‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪  (y  Y‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪Var ( Y )  f ( x , y)dxdy ,‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪E(X) ‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪ E ( Y)   Y‬‬

‫‪ X = x f(x, y) dxdy ,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬

‫‪y f(x, y) dxdy . ‬‬

‫ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون داﻟ ﺔ ﻛﺛﺎﻓ ﺔ اﻻﺣﺗﻣ ﺎل اﻟﻣﺷ ﺗرﻛﺔ ﻣ ن اﻟﻧ وع اﻟﻣﺗﻘط ﻊ ﯾﺳ ﺗﺑدل اﻟﺗﻛﺎﻣ ل‬ ‫ﺑﺎﻟﻣﺟﻣوع ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‪ .‬ﯾﻣﻛن إﺛﺑﺎت أن ‪ .1    -1‬اﻟﻛﻣﯾ ﮫ ‪ ‬ﺗﻌﺗﺑ ر ﻣﻘﯾ ﺎس‬ ‫ﻟﻼرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن‪ . X,Y‬ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ دﻣﺎ ‪  = 1‬ﻓ ﺎن ‪ X,Y‬ﻟﮭﻣ ﺎ‬ ‫ارﺗﺑ ﺎط ﺗ ﺎم ﻣوﺟ ب ‪.‬ﻋﻧ دﻣﺎ ‪  = 0‬ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻘ ﺎل أن اﻟﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻏﯾ ر ﻣ رﺗﺑطﯾن ‪ ،‬أي ﻻ‬ ‫ﯾوﺟ د ﻋﻼﻗ ﺔ ﺧطﯾ ﮫ ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ ‪ .‬وھ ذا ﻻ ﯾﻌﻧ ﻲ أن ‪ X,Y‬ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن ‪ .‬ﻋﻧ دﻣﺎ‪ = -1‬‬ ‫ﻓﺎن ‪ X,Y‬ﯾﻛوﻧﺎن ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ ارﺗﺑ ﺎط ﺗ ﺎم ﺳ ﺎﻟب‪ ٠‬ﻏﺎﻟﺑ ﺎ ﻓ ﻲ ﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ﯾﻔﺗ رض أن‬ ‫داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣﺷﺗرﻛﺔ )‪ f(x,y‬ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ‬ ‫ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x  X 2‬‬ ‫‪x  X y  Y‬‬ ‫‪y  Y 2 ‬‬ ‫‪exp‬‬ ‫([‬ ‫(‪)  2‬‬ ‫()‬ ‫(‪)‬‬ ‫‪) ] ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪ 2(1   ) X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2XY 1  2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪f (x, y) ‬‬

‫‪   x  ,  y  ‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪  Y ,  2Y‬ھﻣ ﺎ اﻟﻣﺗوﺳ ط واﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪Y‬و ‪  2X ,  X‬ھﻣ ﺎ اﻟﻣﺗوﺳ ط‬ ‫واﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬و‪:‬‬

‫) ‪E(Y-Y )(X  X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪X  Y‬‬ ‫‪X Y‬‬

‫‪‬‬

‫ھ و ﻣﻌﺎﻣ ل اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن ‪ . X,Y‬اﻟﺣ د ‪ 12‬ھ و اﻟﺗﻐ ﺎﯾر ﺑ ﯾن ‪. X,Y‬اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ Y‬إذا ﻋﻠﻣت ﻗﯾﻣﺔ ‪ x‬ھو ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 y  0  1x 2‬‬ ‫( [‪exp‬‬ ‫] )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪212‬‬

‫ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪٣‬‬

‫‪f (x, y) ‬‬


‫)‪(٢‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0   Y   x  Y ,‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1  Y ‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪  2y (1   2 ) .‬‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ ،‬اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷ رطﻲ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬إذا ﻋﻠ م ‪ x‬طﺑﯾﻌ ﻲ ﺑﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . 12‬وﯾﺟب أن ﻧﻌﻠم أن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟﺷ رطﻲ‬ ‫‪ E(Y|x)=  0  1x‬وﺗﺑﺎﯾن‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر‪ Y‬إذا ﻋﻠم ‪ x‬ھو ﻧﻣوذج ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم ‪ .‬وأﻛﺛر ﻣن ذﻟك ﯾوﺟد ﻋﻼﻗﮫ ﺑﯾن ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫اﻻرﺗﺑﺎط ‪ ‬واﻟﻣﯾل ‪ . 1‬ﻣ ن)‪ (٢‬ﻧﺟ د أﻧ ﮫ ﻋﻧ دﻣﺎ ‪  =0‬ﻓ ﺎن ‪ 1  0‬واﻟﺗ ﻲ ﺗﻌﻧ ﻲ‬ ‫ﻋ دم وﺟ ود ﻋﻼﻗ ﮫ ﺧطﯾ ﮫ ﺑ ﯾن ‪ ، X,Y‬أي أن اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن ‪ x‬ﻻ ﺗﺳ ﺎﻋد ﻓ ﻲ اﻟﺗﻧﺑ ﺄ‬ ‫ﻋن‪ . Y‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام طرﯾﻘﺔ اﻻﻣﻛﺎن اﻷﻋظم ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻣﻌﺎﻟم ‪  0 , 1‬ﺣﯾث ﻣﻘ درات‬ ‫اﻻﻣﻛﺎن اﻷﻋظم ﻟﻠﻣﻌﺎﻟم ‪  0 ,1‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫)‪(٤‬‬

‫‪b 0  y  b1x ,‬‬ ‫‪SXY‬‬ ‫‪SXX‬‬

‫‪‬‬

‫)‪ x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ yi (x i‬‬

‫)‪ x‬‬

‫‪ (xi‬‬

‫‪b1 ‬‬

‫اﻟﺗﻘ دﯾرات ﻓ ﻲ )‪ (٣‬و)‪ (٤‬ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ اﻟﺗ ﻲ ﺗ م اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﺑطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣرﺑﻌ ﺎت‬ ‫اﻟﺻﻐرى ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻓﺗراض أن ‪ x‬ﻣﺗﻐﯾر ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم ‪.‬‬ ‫ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻓ ﺈن ﻧﻣ وذج اﻻﻧﺣ دار ﻋﻧ دﻣﺎ ‪ X,Y‬ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﻋﺷ واﺋﯾن ﯾﺗﺑﻌ ﺎن اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﺛﻧﺎﺋﻲ ﯾﻣﻛن ﺗﺣﻠﯾﻠﮫ ﺑ ﺎﻟطرق اﻟﺳ ﺎﺑﻘﮫ اﻟﺗ ﻲ اﺳ ﺗﺧدﻣﻧﺎھﺎ ﻋﻧ دﻣﺎ ﻛ ﺎن ‪ x‬ﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫ﺗﺣت اﻟﺗﺣﻛم‪ .‬وذﻟ ك ﯾرﺟ ﻊ إﻟ ﻲ أن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ Y‬إذا ﻋﻠ م ‪ x‬ﻣﺳ ﺗﻘل وﯾﺗﺑ ﻊ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 12‬ھذه اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ أﯾﺿﺎ ﺗﺗﺣﻘق‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺑﻣﺗوﺳط ‪ 0  1x‬وﺗﺑﺎﯾن ﺛﺎﺑت‬ ‫ﻷي داﻟﺔ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺷﺗرﻛﮫ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾرﯾن ‪ X,Y‬ﺑﺣﯾث أن اﻟداﻟﺔ اﻟﺷرطﯾﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬إذا‬ ‫ﻋﻠم ‪ x‬ﺗﻛون طﺑﯾﻌﯾﺔ ‪.‬‬ ‫ﯾﻣﻛن إﺟراء اﺳﺗدﻻﻻت ﻋن ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ‪ ‬ﻓﻲ ھذا اﻟﻧﻣوذج ‪.‬اﻟﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﮫ ‪‬‬ ‫ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط ‪ r‬ﺣﯾث ‪:‬‬

‫‪٤‬‬


‫‪.‬‬

‫‪SXY‬‬ ‫‪SXX.SYY‬‬

‫)‪ x )( y i  y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y) 2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ (x i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ x ) 2  ( yi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ (x i‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪r‬‬

‫وﯾﺟب أن ﻧﺗذﻛر أن ‪:‬‬ ‫)‪(٥‬‬

‫‪SYY‬‬ ‫‪r .‬‬ ‫‪SXX‬‬

‫‪b1 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻣﯾل ‪ b1‬ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط اﻟﺑﺳﯾط ‪ r‬ﻣﺿروب ﻓﻲ ﻣﻌﺎﻣل ﯾﻣﺛل اﻟﺟ ذر‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ" ﻻﻧﺗﺷﺎر" ﻗﯾم ‪ y‬ﻣﻘﺳ وﻣﺎ ﻋﻠ ﻰ "اﻧﺗﺷ ﺎر" ﻗ ﯾم ‪. x‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ r , b1‬ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أن ﻛل واﺣد ﯾﻌطﻲ ﻣﻌﻠوﻣﮫ ﻣﺧﺗﻠﻔﮫ ‪ .‬ﻓﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ‪ r‬ھو ﻣﻘﯾﺎس‬ ‫ﻟﻼرﺗﺑﺎط ﺑﯾن ‪ X,Y‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ‪ b1‬ﯾﻘﯾس اﻟﺗﻐﯾر اﻟﻣﺗﻧﺑﺄ ﺑﮫ ﻟـ‪ y‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺗﻐﯾر ‪ x‬ﺑﻣﻘدار وﺣده‬ ‫واﺣده ‪ .‬ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ x‬ﺛﺎﺑﺗﮫ ﻓﺎن ‪ r‬ﻻ ﯾﻛون ﻟﮭﺎ ﻣﻌﻧﻰ ‪.‬اﻟﻣﻌﺎدﻟ ﺔ )‪ (٥‬ﺗﻌﻧ ﻲ أن إﺷ ﺎرة‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل اﻻرﺗﺑﺎط ھﻲ ﻧﻔس إﺷﺎرة ‪. b1‬‬ ‫أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ ‪ (٥) ،‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪SXX‬‬ ‫‪SYY‬‬ ‫‪b SXY‬‬ ‫‪SSR‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪SYY‬‬ ‫‪SYY‬‬

‫‪r 2  b12‬‬

‫‪R2 .‬‬

‫ﺣﯾث ‪ R 2‬ھو ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ‪ .‬أي أن ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺗﺣدﯾد ‪ R 2‬ھو ﻧﻔﺳﮫ ﻣرﺑﻊ ﻣﻌﺎﻣل‬ ‫اﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑ ﯾن ‪ . X, Y‬ﺑ ﺎﻟرﻏم ﻣ ن أن اﻻﻧﺣ دار واﻻرﺗﺑ ﺎط ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ ﻋﻼﻗ ﺔ ﻗوﯾ ﺔ ﻓ ﺈن‬ ‫اﻻﻧﺣ دار ﯾﻌﺗﺑ ر اﻷداء اﻷﻛﺛ ر ﻛﻔ ﺎءة ﻓ ﻲ ﻛﺛﯾ ر ﻣ ن اﻟﺣ ﺎﻻت‪ .‬ﻓﺎﻻرﺗﺑ ﺎط ﻓﻘ ط ﻣﻘﯾ ﺎس‬ ‫ﻟﻼرﺗﺑﺎط وﻗﻠﯾل اﻻﺳﺗﺧدام ﻓﻲ اﻟﺗﻧﺑؤ‪.‬‬

‫‪٥‬‬


العلاقة بين معامل الارتباط وميل خط الانحدار