CINEMATICA CORPULUI SOLID
77
______________________________________________________________________ 3.7.3. Mişcarea de rotaţie (rigid cu axă fixă) 3.7.3.1. Generalităţi
Un solid rigid execută o mişcare de rotaţie, dacă în tot timpul mişcării două puncte ale sale rămân fixe în spaţiu. Cele două puncte determină o axă de rotaţie, rezultând că axa de rotaţie rămâne fixă în spaţiu în tot timpul mişcării. Dacă un rigid execută o mişcare de rotaţie, punctele rigidului vor efectua mişcări circulare pe cercuri perpendiculare pe axa de rotaţie, cu centrele pe această axă. 3.7.3.2. Legea de mişcare
Pentru a determina poziţia rigidului este suficient să cunoaştem unghiul θ determinat de un plan al rigidului care trece prin axa de rotaţie şi alt plan fix al acestuia. Alegem ca axă de rotaţie axa O1z1 care se suprapune peste axa sistemului mobil Oz, figura 3.18. În aceste condiţii unghiul θ va fi format de planele O1x1z1 şi Oxz. Rigidul (3.82) aflat în mişcare de rotaţie are un singur grad de libertate şi anume θ = θ (t ) care reprezintă şi legea de mişcare a corpului rigid. Versorul axei Oz este identic cu versorul axei O1z1 şi constant: k = k 1 = Const. Realizând o vedere a planurilor suprapuse Oxy şi O1x1y1, figura 3.19, se pot determina versorii axelor mobile, funcţie de versorii axelor fixe: i = cos θi1 + sin θ j1 ; j = − sin θi1 + cos θ j1 (3.83) Derivând relaţiile (3.83) se obţine: i& = −θ& sin θ i1 + θ& cos i1 = θ& ⋅ j (3.84) Pentru a determina vectorul ω se analizează componentele sale în funcţie de versorii sistemului mobil: k = ct. k& = 0; j ⋅ k = 0; &j k + jk& = 0 ⇒ &j = 0 . Rezultă: ω x = &j k = 0; ω y = k& i = 0; ω z = i& j = θ j j = θ& (3.86) Aşadar: ω = θ& k
(3.85)
z ≡ z1
iar acceleraţia unghiulară, ca derivată a vitezei este: ε = θ&& k (3.87)
O2
r1 = r = OM = = x1 i1 + y1 j1 + z1k1 = x i + y j + zk
_ j
d
Rezultă că vectorii ω şi ε sunt coliniari cu axa de rotaţie. Poziţia unui punct arbitrar M din corpul rigid este dată prin vectorul de poziţie:
_ _ k ≡ k1
x1
O ≡_O1 i1 _ i
θ
x
y1
y
M
r
_ j_ j1
θ j_ 1
i θ
x x1
O ≡ O1
i1
y y1
Fig. 3.15
Fig. 3.14
(3.88) Înlocuind versorii i , j , k în ultimul membru al relaţiilor (3.88) şi identificând coeficienţii versorilor i1 , j1 , k1 , obţinem legea de mişcare a punctului M a rigidului, care are coordonatele (x, y, z) faţă de sistemul legat de corp: x1 = x cos θ − y sin θ; y1 = x sin θ + y cos θ; z1 = z (3.89) Prin eliminarea timpului din relaţiile (3.89), prin intermediul relaţiei (3.82) se obţine traiectoria analitică a punctului M în coordonate carteziene: x12 + y12 = x 2 + y 2 = const. z1 = z. (3.90)