Page 1

UNIVERSITATEA DIN BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE

florescu daniela

CURS DE MECANICĂ TEHNICĂ

Pentru studenţii Facultăţii de Inginerie Editura Alma Mater Bacău, 2007


______________________________________________________________________

PREFAŢĂ

Prezentul curs de mecanică a fost alcătuit cu scopul de a pune la dispoziţia celor interesaţi un material util pentru studiul individual, absolut necesar asimilării noţiunilor teoretice de mecanică şi pentru formarea deprinderilor de aplicare practică a acestor noţiuni. În introducere s-a realizat o prezentare a noţiunilor fundamentale, evidenţiindu-se latura realităţii obiective oglindită de fiecare noţiune şi s-a precizat sfera de aplicabilitate a principiilor şi legilor mecanicii clasice. Volumul cuprinde, cu mici modificări, totalitatea noţiunilor de statică, cinematică şi dinamică iar accentul este pus pe teoremele generale ale mecanicii şi pe aplicaţiile legate de pregătirea viitorilor ingineri. S-a adoptat această ordine deoarece corespunde gradului de complexitate crescândă. Întreaga lucrare este unitară, situându-se la nivelul exigenţelor actuale în ceea ce priveşte rigoarea ştiinţifică, iar prin modul ales, cu caracter teoretic şi aplicativ, constituie un ajutor pentru înţelegerea altor discipline tehnice, cât şi în activitatea de cercetare şi proiectare. Lucrarea se adresează unui cerc larg de cititori, cuprinzând, în primul rând, studenţii de la Facultatea de Inginerie. De asemenea, lucrarea poate fi utilizată de inginerii şi profesorii care se ocupă cu rezolvarea unor probleme legate de mecanica tehnică.

Dr. ing. DANIELA FLORESCU


CUPRINS ____________________________________________________________________________________

CUPRINS

Capitolul I. INTRODUCERE 1.1. Mecanica – ştiinţă a naturii ...............................................................................7 1.2. Repere istorice...................................................................................................7 1.3. Teoria şi practica...............................................................................................9 1.4. Diviziunile mecanicii.............................................................. ..........................9 1.5. Limitele mecanicii .................................................................. ........................10 1.6. Modelele mecanicii clasice..................................................... ........................10 1.7. Noţiuni fundamentale ale mecanicii................................................................11 1.8. Principiile mecanicii clasice ................................................... ........................11 1.9. Forţa: 1.9.1. Forţa ca vector .......................................................... ........................12 1.9.2. Clasificarea forţelor din sistemele mecanice .............. ........................13 1.10. Sisteme de coordonate: 1.10.1. Coordonate carteziene ortogonale ........................... ........................14 1.10.2. Coordonate oblice.................................................... ........................16 1.10.3. Coordonate sferice................................................... ........................16 1.10.4. Coordonate cilindrice .............................................. ........................17 1.10.5. Coordonate Frenet ................................................... ........................17 Capitolul II. STATICA II.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL A. Punctul material liber .....................................................................................18 2.1. Reducerea forţelor concurente: 2.1.1. Compunerea forţelor concurente pe cale geometrică.....................18 2.1.2 . Compunerea forţelor concurente pe cale analitică .......................20 2.1.3. Teorema proiecţiilor ......................................................................21 2.1.4. Descompunerea unei forţe după direcţii paralele ......................... 21 2.1.5. Descompunerea unei forţe după trei direcţii ortogonale .............. 22 2.2. Echilibrul punctului material liber ........................................................... 22 B. Punctul material supus la legături: 2.3. Axioma legăturilor ................................................................................... 23 2.4. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare .....................24 2.5. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare ....................... 26 II.2. STATICA CORPULUI SOLID 2.6. Momente: 2.6.1. Momentul unui vector alunecător în raport cu un punct .............. 29 2.6.2. Momentul unui vector alunecător în raport cu o dreaptă ............. 30 2.6.3. Teorema lui Varignon sau Teorema momentelor ......................... 30 2.6.4. Momentul unui cuplu de forţe ...................................................... 31


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

2.7. Reducerea sistemelor de forţe concurente: 2.7.1. Reducerea unei forţe într-un punct.................................................. 32 2.7.2. Reducerea unui sistem de forţe oarecare într-un punct ..................32 2.7.3. Concluzii privind reducerea sistemelor de forţe concurente ..........33 2.7.4. Invarianţii scalari ai operaţiei de reducere........................................34 2.8. Reducerea sistemelor de forţe paralele: 2.8.1.Forţe paralele în spaţiu......................................................................35 2.8.2. Cazuri particulare de forţe paralele ................................................36 2.8.3. Descompunerea unei forţe după direcţii paralele ...........................37 2.9. Geometria maselor: 2.9.1. Greutatea şi masa corpurilor...........................................................38 2.9.2. Densitatea corpurilor ......................................................................39 2.9.3. Centre de mase (centre de greutate) .............................................. 40 2.10. Echilibrul solidului rigid: 2.10.1. Echilibrul solidului rigid liber..................................................... 44 2.10.2. Echilibrul solidului rigid supus la legături ...................................45 II.3. STATICA SISTEMELOR: 2.11. Sisteme articulate plane: 2.11.1. Generalităţi ................................................................................. 53 2.11.2. Echilibrul sistemelor de rigide ....................................................54 2.12. Sisteme de puncte materiale ...............................................................56 II.4. STATICA FIRELOR 2.13. Generalităţi ......................................................................................... 57 2.14. Ecuaţia generală a firelor ....................................................................57 2.15. Ecuaţiile diferenţiale ale firelor în diferite sisteme de coordonate: 2.15.1. Sistem cartezian......................................................................... 58 2.15.2. Sistem Frenet ............................................................................ 58 2.16.Cazuri particulare ................................................................................ 59 II.5. MAŞINI SIMPLE ...................................................................................... 61 Capitolul III: CINEMATICA III.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 3.1. Noţiuni fundamentale ................................................................................63 3.1.1. Noţiunea de traiectorie ........................................................................ 63 3.1.2. Noţiunea de viteză .............................................................................. 64 3.1.3.Noţiunea de acceleraţie ........................................................................ 65 3.1.4. Hodograful vitezelor .......................................................................... 65 3.2 Viteza şi acceleraţia în sistemul de coordonate carteziene triortogonal drept ................................................................ 66 3.3.Mişcări particulare ale punctului material: 3.3.1. Clasificare ..........................................................................................67 3.3.2. Mişcarea rectilinie .......................................................................... 68 3.3.3. Mişcarea circulară .......................................................................... 70


CUPRINS ____________________________________________________________________________________

III.2. CINEMATICA CORPULUI SOLID 3.4. Legile de mişcare .......................................................................................... 71 3.5. Derivata absolută şi relativă a unei funcţii vectoriale de timp ..................... 72 3.6. Relaţiile lui Euler pentru viteze şi acceleraţii: 3.6.1. Distribuţia de viteze ............................................................................74 3.6.2. Distribuţia de acceleraţii .................................................................... 74 3.7. Mişcări particulare ale rigidului: 3.7.1. Clasificarea mişcărilor particulare ale corpului rigid ....................... 75 3.7.2. Mişcarea de translaţie: 3.7.2.1. Generalităţi ................................................................................ 75 3.7.2.2. Legea de mişcare ....................................................................... 76 3.7.2.3. Distribuţia de viteze .................................................................. 75 3.5.2.4. Distribuţia de acceleraţii ........................................................... 75 3.7.3. Mişcarea de rotaţie (rigid cu axă fixă): 3.7.3.1. Generalităţi ................................................................................ 76 3.7.3.2. Legea de mişcare ....................................................................... 77 3.7.3.3. Distribuţia de viteze .................................................................. 78 3.7.3.4. Distribuţia de acceleraţii ........................................................... 78 3.7.4. Mişcarea plan paralelă: 3.7.4.1. Generalităţi ............................................................................... 79 3.7.4.2. Legea de mişcare ....................................................................... 79 3.7.4.3. Distribuţia de viteze .................................................................. 80 3.7.4.4. Distribuţia de acceleraţii ........................................................... 82 III.3. CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE 3.8. Mişcarea relativă a punctului material .................................................... 84 3.9. Mişcarea relativă a corpului solid ........................................................... 85 Capitolul IV. DINAMICA IV.1. NOŢIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE 4.1.1. Lucrul mecanic ............................................................................... 87 4.1.2. Puterea mecanică ............................................................................ 90 4.1.3. Randamentul mecanic ..................................................................... 90 4.1.4. Impulsul mecanic ............................................................................ 91 4.1.5. Momentul cinetic ............................................................................ 92 4.1.6. Energia mecanică: 4.1.6.1. Energia cinetică ...................................................................... 93 4.1.6.2. Energia potenţială .................................................................. 94 4.1.7. Teoreme fundamentale: 4.1.7.1. Teoremele impulsului ............................................................. 94 4.1.7.2. Teoremele momentului cinetic ............................................... 95 4.1.7.3. Teoremele energiei cinetice ................................................... 96 IV.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 4.2.1. Dinamica punctului material liber 4.2.1.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

punctului material liber ................................................................ 99 4.2.1.2. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării scrise în coordonate carteziene .................................................... 99 4.2.1.3. Mişcarea punctului material în vid ........................................ 100 IV.3. DINAMICA SISTEMULUI DE PUNCTE MATERIALE ŞI A RIGIDULUI 4.3.1. Ecuatiile de miscare ale unui sistem de puncte materiale ....................................................................... 103 4.3.2. Momente de inerţie mecanice: 4.3.2.1. Definiţii ............................................................................... 103 4.3.2.2. Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele .................................................................. 104 BIBLIOGRAFIE .................................................................................. ..................... 105


_____________________________________________________________________________________

Capitolul I. INTRODUCERE 1.1. Mecanica - ştiinţă a naturii Mecanica este o ştiinţă a naturii, considerată a fi un capitol al fizicii. Ea se ocupă cu studiul ştiinţific al materiei şi mişcării, care scoate în evidenţă existenţa ei sub forma unor sisteme fizice. Scopul ei este descrierea, explicarea şi prevederea fenomenelor naturii, pentru a le putea stăpâni şi utiliza. Dezvoltarea mecanicii a fost stimulată de necesităţile practice ale omenirii. Mecanica stabileşte legi în urma observaţiilor şi a experimentelor ştiinţifice. Legea stabileşte legătura necesară şi esenţială între fenomene, legătura dintre cauză şi efect, care condiţionează dezvoltarea determinantă a fenomenelor. Observaţia constă în studiul fenomenului în condiţii normale de desfăşurare, în timp ce experimentul ştiinţific este reproducerea fenomenului în diverse condiţii create artificial, cu scopul de a descoperi legităţile fenomenului. Descrierea şi explicarea fenomenelor mecanice trebuie realizată cantitativ - condiţie fundamentală a ştiinţelor exacte - de aceea matematica este un instrument indispensabil al mecanicii. Cantitatea se stabileşte prin măsurări, de aceea măsurarea este un proces fundamental în mecanică. La baza celor studiate în mecanică sunt două noţiuni fundamentale: materia şi mişcarea. Mecanica studiază cele mai simple şi generale forme de mişcare ale materiei cunoscută sub denumirea de mişcare mecanică. Prin materie se înţelege realitatea obiectivă care există independent de conştiinţa umană şi este reflectată adecvat de aceasta. Atributul fundamental al materiei, modul ei de existenţă, este mişcarea. Prin mişcare se înţelege orice proces sau schimbare (deplasare mecanică, proces biologic, reacţie chimică etc.). Teoriile despre structura materiei diferă în timp, în funcţie de nivelul cunoştinţelor ştiinţifice ale epocii, însă latura filosofică a acestor teorii confirmă teza despre materialitatea şi cognoscibilitatea lumii. Materia reflectă existenţa obiectivă a lumii, are caracter primordial faţă de conştiinţă, este inepuizabilă şi indestructibilă, are un caracter infinit. 1.2. Repere istorice Evoluţia în timp a mecanicii a fost extrem de complexă. La dezvoltarea ei au contribuit numeroşi savanţi de renume mondial, a căror simplă înşiruire ar necesita foarte mult spaţiu. Ne vom limita la amintirea celor mai prestigioase nume care au pus bazele acestei discipline şi au contribuit la dezvoltarea ei. În antichitate, gânditorii antici considerau că la baza fenomenelor stau elemente ca apa, lemnul, focul sau metalul. Ei confundau materia, care este mult mai complexă, cu substanţa. Aristotel (384-322 î.e.n.) celebru filosof grec, mintea genială a antichităţii, enunţa principiul inerţiei, care avea să domine ştiinţa vreme de peste două milenii. Arhimede (287-212 î.e.n.), cunoscut drept întemeietorul Staticii, cunoştea legile pârghiilor şi legile de compunere a forţelor paralele. Emite teoria centrului de greutate (~ 250 î.e.n.), momentul forţei etc. pune bazele hidrostaticii şi realizează multe alte invenţii tehnice. Din epoca Renaşterii, pictor şi sculptor de a cărui creaţie (artă) omenească nu se poate înlocui, arhitect priceput şi inginer militar, Michelangelo Buonarroti (1475-1564) este alături de Leonardo da Vinci (1452-1510) marele pictor, savant şi inginer italian cea mai puternică pildă de geniu universal. Leonardo da Vinci studiază legile frecării corpurilor, enunţă o teorie a mecanismelor şi principiul imposibilităţii mişcării perpetue. Tot Leonardo da Vinci


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

8

studiază şi legile planului înclinat şi defineşte şi aplică momentul forţei. Nicolae Copernic (1473-1543), astronom polonez de talie mondială, pune bazele teoriei heliocentrice. Iniţiatorul dinamicii este italianul Galileo Galilei (1564-1642) care a descoperit legea inerţiei, legile căderii corpurilor, legile pendulului etc. El răstoarnă concepţia aristoteliană asupra inerţiei al cărui principiu îl enunţă într-o formă mult mai clară şi stabileşte legea fundamentală a mecanicii cât se câştigă în forţă se pierde în viteză. Legile dinamicii şi întemeierea mecanicii teoretice au fost stabilite de Isaac Newton (1642-1727). El defineşte principiile fundamentale ale mecanicii în celebra sa carte “Philosophiae naturalis Principia mathematica“ (Principiile matematice ale filosofiei naturale) în anul 1687. Tot aici formulează şi legea atracţiei universale care sta la baza mecanicii cereşti. Newton, considera materia ca fiind totalitatea corpurilor fizice formate din atomi (particule indivizibile). El considera masa ca o formă de manifestare a materiei. Din această cauză Newton considera forţa ca existând în afara materiei şi drept cauză a mişcării mecanice. Aceste limite în concepţiile newtoniene au un caracter metafizic /3/. Pentru descrierea poziţiei în spaţiu a unui eveniment, Descartes René (1596-1650) a ales un sistem de coordonate rectangular denumit sistem de coordonate cartezian. A pus bazele geometriei analitice, a introdus printre primii noţiunea de mărime variabilă şi pe aceea de funcţie, a descoperit legea refracţiei luminii şi a formulat legea conservării cantităţii de mişcare. Johannes Kepler (1571-1630), astronom şi matematician german este unul din fondatorii astronomiei moderne. Stabileşte legile de mişcare ale planetelor care-i poartă numele. Christian Huygens (1629-1695) descoperă pendulul fizic, introduce noţiunile de forţă centrifugă, moment de inerţie, centru de oscilaţie. Pune bazele teoriei ondulatorii în lucrarea “Tratatul despre lumină”. La dezvoltarea mecanicii clasice au contribuit ulterior o serie de savanţi. Leonhard Euler (1707—1783) studiază mişcarea punctului material şi a rigidului; Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) filosof şi matematician francez a formulat teoria fundamentală a algebrei, potrivit căreia orice polinom cu coeficienţi reali are cel puţin o rădăcină reală sau complexă. Elaborează numeroase lucrări de mecanică sub titlul “Tratat de dinamică”. Joseph Louis Lagrange (1736-1813), matematician şi astronom francez a pus bazele mecanicii analitice („Mecanica analitica”) şi ale calculului variaţiilor, ocupându-se de integrarea derivatelor parţiale. Are numeroase contribuţii în mecanica cerească şi analiza numerică, unde a introdus polinoamele de integrare care-i poartă numele. Al nume reprezentativ este Karl Friederich Gauss (1777-1855) fizician, matematician şi astronom german, care a adus numeroase contribuţii la dezvoltarea teoriei numerelor (“Disquisitiones arithmeticae”, 1801), a studiat geometria diferenţială, a aplicat metodele matematice în studiul electricităţii şi al magnetismului. William Rowan Hamilton (1805-1865) stabileşte sistemul de ecuaţii canonice care-i poartă numele. Stabilitatea sistemelor dinamice a fost studiată de Jean Henri Poincaré (1845-1912), matematician francez care a studiat teoria funcţiilor. Are numeroase realizări de fizică matematică şi mecanică cerească “Metode noi în mecanica cerească”. Dinamica corpurilor cu masă variabilă a fost elaborată de cercetătorul rus Ivan Vsevolodovici Mescerski (1859-1935) şi Tullio Levi-Civita (1873-1941), matematician italian care a pus bazele calculului diferenţial absolut. Au numeroase contribuţii în geometria diferenţială şi în teoria relativităţii. Mecanica modernă este legată de numele lui Max Planck (1858-1947) descoperitorul cuantei şi a teoriei cuantelor, al lui Erwin Schrödinger (1887-1955) care pune bazele mecanicii cuantelor şi al lui Albert Einstein (1879-1955) creatorul teoriei relativităţii care stă la baza fizicii moderne. La noi în ţară contribuţii valoroase în mecanica teoretică şi aplicată au adus


INTRODUCERE 9 ____________________________________________________________________________________

Spiru Haret (1851-1912), matematician, sociolog şi om politic. Teza sa de doctorat “Asupra invariabilităţii axelor mari a orbitelor planetare”, din anul 1878, a adus contribuţii în mecanica cerească. Lucrarea “La mécanique sociale” (Paris, 1910), deşi face o analogie forţată între legile mecanicii şi legile sociale, reprezintă una dintre primele contribuţii recunoscute pe plan mondial la matematizarea sociologiei. Andrei Ioachimescu (1868-1943) inginer şi matematician este profesor universitar la Politehnica din Bucureşti, şi fondatorul revistei “Gazeta matematică”. Ion Ionescu (1870-1946) este colaborator apropiat cu Andrei Ioachimescu. Matematicianul de renume mondial Dimitrie Pompei (1873-1954), aduce contribuţii importante la teoria funcţiilor şi a calculului diferenţial (“Asupra complexităţii funcţiilor de o variabilă complexă”). A definit funcţii care-i poartă numele, precum şi noţiuni de “derivată areolară” şi “distanţa dintre două mulţimi închise”. Victor Vâlcovici (1885-1970) matematician, profesor universitar la Cluj şi Bucureşti, are numeroase lucrări de mecanică teoretică (“Principiile variaţionale ale mecanicii”), mecanica fluidelor perfecte şi teoria elasticităţii. Traian Lalescu (1882-1029) matematician şi profesor universitar la Timişoara şi Bucureşti, personalitate proeminentă a şcolii matematice româneşti are multiple contribuţii în domeniul matematicii pure şi aplicate; este unul dintre fondatorii teoriei ecuaţiilor integrale (“Introducere în teoria ecuaţiilor integrale”, prima lucrare sintetică importantă în acest domeniu din literatura ştiinţifică universală). Anghel Saligny (1854-1925) inginer şi profesor universitar la Bucureşti a utilizat pentru prima oară în lume betonului armat în construcţia silozurilor (1884), a proiectat şi construit podul peste Dunăre de la Cernavodă (1890-1895), pe atunci cel mai lung din Europa. Gheorghe Vrânceanu (1900-1975) matematician şi profesor universitar la Bucureşti are numeroase contribuţii în domeniul geometriei diferenţiale moderne, în special asupra spaţiilor neolonome (“Lecţii de geometrie diferenţială”), lucrări de analiză şi de teoria relativităţii generalizate. 1.3. Teoria şi practica Domeniul fenomenelor studiate de mecanică s-a lărgit odată cu dezvoltarea practicii social-istorice a omenirii. Însuşi obiectul şi metodele de cercetare au evoluat. În secolul al XVIII-lea a predominat mecanica, în secolul al XIX-lea electromagnetismul, iar în secolul nostru fizica atomică. Practica apare cu rol triplu: ca izvor al cunoştinţelor, de criteriu al adevărului şi de scop al cunoaşterii. Teoria explică ansamblul fenomenelor utilizând un număr oarecare de ipoteze sau legi fundamentale, numite principii, care sunt abstrase din experienţă. Cercetarea ştiinţifică este unitatea dintre teorie şi practică, în care rolul practicii este hotărâtor iar al teoriei conducător. Orice teorie trebuie verificată în practică. Noţiunile şi mărimile mecanice nu sunt creaţii arbitrare, subiective. Teoriile mecanicii nu sunt eterne. Ele pot suferi modificări, dezvoltări, treptat calitative ducând la un moment dat la crearea unor salturi, a unor teorii calitativ noi. 1.4. Diviziunile mecanicii Mecanica este ştiinţa care se ocupă cu studiul mişcări mecanice a corpurilor solide, lichide şi gazoase, anume deplasarea lor în timp şi spaţiu, precum şi cu cauzele care o produc. Statica - prima parte a mecanicii se ocupă cu studiul echilibrului corpurilor şi cu analiza sistemelor de forţe care acţionează în scopul reducerii lor.


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

10

Cinematica - se ocupă cu studiul mişcării corpurilor fără să se ţină seama de forţele care acţionează. Dinamica - parte a mecanicii care se ocupă cu studiul mişcării corpurilor, ţinând cont de forţele care acţionează şi de schimbul energetic care are loc. Mecanica analitică - parte importantă a mecanicii care are la bază principii matematice de rezolvare a problemelor. 1.5. Limitele mecanicii Concepţiile mecanicii newtoniene au exercitat influenţă asupra întregii mecanici. Astfel a apărut concepţia mecanicistă asupra lumii, conform căreia toate ştiinţele naturii trebuie reduse la legi mecanice. La sfârşitul secolului trecut teoria a fost infirmată deoarece fenomenele electromagnetice nu au putut fi reduse la mişcări mecanice. S-a încercat atunci explicarea tuturor fenomenelor prin cele electromagnetice. Dar nici aceste explicaţii nu au fost veridice deoarece forţele nucleare nu pot fi reduse la forţe electromagnetice. Materia fiind inepuizabilă şi infinită, nici o teorie nu poate fi universală. Domeniul de valabilitatea al mecanicii este restrâns la corpurile de dimensiuni obişnuite şi macroscopice şi la viteze mici comparativ cu viteza luminii în vid (c = 3.108 m/s). Pentru viteze foarte mari, apropiate de viteza luminii a fost creată în anul 1905 mecanica relativistă de către Albert Einstein. Pentru particulele de dimensiuni atomice a fost creată în anul 1925 mecanica cuantică de E. Schrödinger, W. Heisenberg, P.A.M. Dirac şi alţii. Teoria gravitaţiei a lui Newton a fost depăşită de teoria generală a relativităţii a lui Einstein (1916). Teoriile sunt calitativ deosebite de mecanica newtoniană, pe care o conţin ca un caz particular sau ca un caz limită. Din disciplina de mecanică s-au desprins noi ramuri de o excepţională importanţă pentru cucerirea de noi culmi de către lumea contemporană. Mecanica fluidelor, hidrostatica şi aerostatica studiază lichidele şi gazele în stări diferite de echilibru. Mecanica ondulatorie studiază propagarea undelor în medii diverse, acustica studiază producerea şi propagarea undelor etc. 1.6. Modelele mecanicii clasice Deoarece materia este infinită, obiectele şi fenomenele din natură se găsesc în diverse forme de organizare şi manifestare, în nesfârşite interdependenţe şi conexiuni. De aceea, în studiul fenomenelor naturii se impune simplificarea, schematizarea proceselor analizate. Trebuie create modele teoretice de calcul şi de analiză pentru fenomenele naturii. Fără aceste modele, mecanica ar fi total neputincioasă pentru că nu s-ar putea aplica nimic din cunoştinţele matematicii, iar mecanica este cea dintâi aplicaţie a matematicii în studiu cantitativ şi cauzal al fenomenelor naturii. Un model optim ar trebui să ţină seama de particularităţile principale ale fenomenului studiat în problema pusă, lăsând la o parte trăsăturile secundare, neesenţiale. Astfel se pot stabili legile şi relaţiile cantitative. Cel mai simplu model mecanic este punctul material, un corp (punct geometric) care are dimensiuni neglijabile şi căruia i se atribuie masă. El reprezintă cea mai mică diviziune dintr-un corp, care are proprietăţile fizice ale acestuia şi care are dimensiuni neglijabile. Sistemul de puncte materiale reprezintă o mulţime finită de puncte materiale, aflate în interacţiune mecanică. Continuu material reprezintă în mecanica clasică modelul unui corp la care se admite la scară macroscopică că un element de volum conţine substanţă, adică are masă. Se consideră că acesta este limita unui sistem de puncte materiale care ocupă acelaşi domeniu. Linia materială reprezintă


INTRODUCERE 11 ____________________________________________________________________________________

o linie care are masă uniform distribuită şi se identifică cu corpuri la care se neglijează două dimensiuni, precum barele şi firele, primele nedeformabile iar celelalte deformabile. Suprafaţa materială reprezintă un corp material la care se neglijează o singură dimensiune şi căruia i se atribuie masă uniform distribuită, de exemplu plăci şi membrane. Volumul material sau blocul este modelul corpului rigid la care cele trei dimensiuni sunt comparabile între ele ca mărime. Corpul solid rigid sau rigidul reprezintă un corp material care este nedeformabil şi se caracterizează prin trei dimensiuni, deci un corp spaţial. 1.7. Noţiuni fundamentale ale mecanicii Spaţiul este o noţiune complexă, care caracterizează o formă obiectivă de existenţă a materiei, reflectând poziţia corpurilor şi întinderea lor. Această noţiune a fost abordată încă din antichitate când s-au pus bazele geometriei. Euclid, prin lucrările sale a dominat ştiinţa vreme de două milenii (din sec. III î.e.n. până la începutul sec. XIXlea), când matematicianul rus Nicolae Lobacevscki (1793-1856) a demonstrat limitele geometriei euclidiene. Ulterior K. F. Gauss şi Bernhard Riemann (1826-1866), matematician german au creat spaţiul cu n dimensiuni numit spaţiu riemann, fundamental pentru teoria relativităţii. În mecanica teoretică spaţiul este considerat cu trei dimensiuni, este continuu, izotrop, omogen, veşnic şi permite rezolvarea problemelor puse de tehnica modernă. Un alt element fundamental, necesar în mecanică este timpul. Noţiunea timp este direct legată de simultaneitatea şi succesiunea evenimentelor. În mecanică ne interesează durata mişcării care este măsurată prin timpul scurs (notat t) între două momente (de exemplu momentul plecării corpului şi momentul opririi sale). Timpul este infinit, continuu, omogen, uniform crescător şi ireversibil. Prin convenţie timpul este o mărime fundamentală pozitivă. Masa, definită de Newton, este o noţiune care reflectă proprietăţile generale şi obiective de inerţie şi gravitaţie ale materiei. În mecanica newtoniană, masa se găseşte sub două forme: masa inertă şi masa gravifică. Masa inertă este o mărime fizică scalară, pozitivă, care reflectă proprietatea de inerţie a materiei. Sub această formă masa intervine în legea fundamentală a mecanicii (v. rel.1.3). Masa gravifică este o mărime scalară pozitivă, care reliefează proprietatea materiei de a fi grea, de a produce un câmp gravitaţional. Această mărime intervine în Legea gravitaţiei universale, descoperită tot mm F = f ⋅ 12 2 de Newton: (1.1) r unde F este forţa care interacţionează două particule de mase m1 şi m2, situate la distanţa r una de alta. 1.8. Principiile mecanicii clasice La baza mecanicii clasice sunt o serie de principii, legi şi axiome, adevăruri care sunt verificate experimental de-a lungul timpurilor, dar care nu se pot demonstra teoretic. Isaac Newton a enunţat pentru prima oară în formă definitivă principiile mecanice în capitolul “Axiomele sau legile mişcării” din lucrarea sa “Principiile matematice ale filozofiei naturale”, în anul 1686. Principiul inerţiei (Legea I): Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă, în raport cu un sistem de referinţă considerat fix, atât timp cât asupra corpului nu apare o acţiune exterioară care să-i modifice această stare.


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

12

Principiul acţiunii forţei (Legea a II-a): Orice forţă care acţionează asupra unui punct material liber, îi imprimă acestuia o acceleraţie coliniară şi de acelaşi sens cu forţa, mărimea acceleraţiei fiind proporţională cu masa punctului. Pornind de la acest principiu Newton a stabilit legea fundamentală a mecanicii F21 F12=−F21 F = m⋅a (1.2) A1 A2 Dacă F = 0 rezultă a = 0 , o altă formă a principiului inerţiei. Fig. 1.1 Principiul acţiunii şi reacţiunii (Legea a III-a): Acţiunile reciproce a două corpuri materiale sunt egale şi dirijate în sensuri opuse, figura 1.1. Principiul independenţei acţiunii forţelor (principiul paralelogramului): Dacă asupra unui corp acţionează mai multe forţe, acţiunea lor poate fi înlocuită cu o forţă unică care este chiar rezultanta forţelor aplicate. Dacă asupra unui corp acţionează două forţe, acţiunea lor este aceeaşi ca şi când asupra punctului ar acţiona o singură forţă, având mărimea şi sensul diagonalei paralelogramului construit cu cele două forţe ca laturi. Acest principiu a fost denumit de Newton Corolarul I. 1.9. Forţa 1.9.1. Forţa ca vector Enunţând principiul fundamental al mecanicii Newton arată că forţa este egală cu produsul dintre masa unui corp şi acceleraţia acestuia. Se înţelege că forţa este o noţiune derivată din noţiunile fundamentale ale mecanicii. Forţa este definită ca o mărime vectorială care măsoară interacţiunea şi transmiterea mişcării mecanice între puncte materiale. Se simbolizează prin litere mari de tipar, cu o bară deasupra. Aceleaşi litere fără bară reprezintă numai valoarea numerică a forţei respective. Caracterul vectorial al forţei derivă din faptul că efectul acesteia nu depinde numai de intensitatea forţei (modul) ci şi de orientarea ei în spaţiu, deci de direcţie şi sens. Simbolul matematic ataşat unei mărimi vectoriale se numeşte vector, convenţional el fiind reprezentat geometric printr-un segment de dreaptă orientat. În scris, vectorul este reprezentat cu litere mici sau mari de tipar barate. Elementele constitutive ale unui vector sunt (figura 1.2): • originea sau punctul de aplicaţie al forţei este punctul A al corpului unde se exercită acţiunea forţei; • linia de acţiune sau suportul forţei este dreapta ∆ pe care este aşezată forţa sau în lungul căreia acţionează această forţă; • Sensul sau orientarea pe suport a forţei, de la originea A către celălalt capăt B indicat de săgeată în B; Modul F • Valoarea numerică, intensitatea sau modulul, numărul pozitiv care Notaţie vectorială F A B Suport (∆) reprezintă măsura forţei în unitatea de măsură aleasă. Sens Se defineşte ca versor sau vector Origine sau punct Extremitate unitate, vectorul al cărui modul sau de aplicaţie mărime este egal cu 1. În consecinţă, Fig. 1.2. dacă notăm cu u versorul direcţiei şi prin v modulul acestuia, atunci se poate scrie: v = vu .


INTRODUCERE 13 ____________________________________________________________________________________

Doi vectori se numesc echipolenţi dacă au acelaşi modul, aceeaşi direcţie şi acelaşi sens, figura 1.3. Realitatea fizică conduce la considerarea a trei feluri de vectori şi anume: vectori liberi, legaţi şi alunecători. Un vector este liber dacă punctul său de aplicaţie poate fi luat arbitrar. Rezultă că vectorii liberi pot fi deplasaţi paralel cu ei înşişi rămânând egali. Un exemplu de vector liber este considerat vectorul viteză din mişcarea de translaţie a unui corp rigid. Vectorii viteză ai diferitelor puncte sunt paraleli, egali şi de acelaşi sens, diferind numai prin punctul de aplicaţie, figura 1.4. G a F G (∆) G G v G v v v b F Fig. 1.3.

Fig. 1.4.

Fig. 1.5.

Vectorul legat este vectorul al cărui punct de aplicaţie este fix. Un vector legat este vectorul forţă aplicat unui punct material. Vectorul alunecător este vectorul al cărui punct de aplicaţie poate fi mutat pe linia de acţiune. Un exemplu tipic al acestui caz este forţa aplicată rigidului, efectul ei fiind acelaşi la deplasarea sa pe linia de acţiune (dreapta suport), figura 1.5. Doi vectori liberi sunt egali dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul, adică sunt echipolenţi. Doi vectori legaţi sunt egali dacă au aceeaşi dreaptă suport, acelaşi modul şi acelaşi punct de aplicaţie. Doi vectori alunecători sunt egali dacă au acelaşi suport, acelaşi sens şi acelaşi modul. O mulţime de vectori constituie un sistem. În funcţie de caracterul acestuia se disting sisteme de vectori liberi, legaţi sau sisteme de vectori alunecători, fiecăruia fiindu-i specifice anumite moduri de calcul. Caracterul vectorial al forţei oferă avantajul că se poate analiza matematic toate fenomenele de interacţiune mecanică dintre corpuri prin utilizarea cunoştinţelor de calcul vectorial. Prin sistem de forţe se înţelege o mulţime de forţe acţionând asupra unui corp. Sistemele de forţe care nu au particularităţile enumerate se numesc sisteme de forţe oarecare. Sistemele de două forţe egale dar de sens contrar, având acelaşi punct de aplicaţie au efect nul indiferent dacă solicită un corp rigid sau un corp elastic. Cuplu de forţe este un sistem alcătuit din două forţe care au modulele egali şi care acţionează pe suporţi paraleli, în sensuri opuse. Cuplul de forţe este o măsură a interacţiunii mecanice dintre două corpuri punând în evidenţă efectul de rotaţie al acestora. Forţa este un vector alunecător în cazul rigidului şi un vector legat în cazul corpului deformabil. Prin urmare, putem să introducem sau să eliminăm perechi de forţe egale, opuse şi având aceeaşi linie de acţiune când sunt aplicate unui rigid. 1.9.2. Clasificarea forţelor din sistemele mecanice

În mecanica tehnică forţele se clasifică după modul de acţionare şi după natura lor astfel: - forţe exterioare - sunt forţe care se exercită asupra unui sistem material şi sunt datorate acţiunii mecanice a unui sistem material exterior sistemului considerat; exemple sunt forţa de atracţie universală, forţa de atracţie gravitaţională etc. - forţe interioare – sunt forţe care se exercită între punctele materiale ale aceluiaşi sistem, potrivit principiului acţiunii şi reacţiunii;


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

14

- forţe de legătură – sunt acele forţe care înlocuiesc mecanic echivalent legăturile geometrice impuse unui punct dintr-un sistem material. Ele se pot diviza în două categorii: a. forţe de legătură de contact provenite din obligaţia unui punct din sistem de a se afla pe o anumită suprafaţă sau curbă şi care apar ca reacţiuni ale suprafeţelor sau curbelor ca şi cum acestea sunt realizate material; b. forţe de legătură la distanţă provenite din obligaţia ca distanţa dintre două puncte ale sistemului să fie o funcţie dată de timp, în particular o constantă. Categoriile enunţate anterior pot fi grupate şi în forţe concentrate şi forţe distribuite. Numim forţă concentrată o forţă cu acţiune punctuală. Forţe concentrate sunt un sistem de forţe care acţionează asupra unui rigid şi au acelaşi punct de aplicaţie. Forţa distribuită este forţa care revine unei porţiuni elementare dintr-un mediu material asupra căreia acţionează. Din acest punct de vedere se deosebesc: - forţe volumice sau forţe de masă care sunt distribuite în întregul volum al corpului, ca de exemplu greutatea corpurilor, forţele electrice sau magnetice. - forţe superficiale sau forţe de suprafaţă care acţionează asupra corpurilor pe suprafeţele lor laterale, ca de exemplu forţele de frecare, presiunea gazelor, rezistenţa aerului etc. - forţe distribuite liniar care acţionează pe o curbă oarecare sau pe o dreaptă. După criterii particulare deosebim: - forţe percutante sunt acele forţe de intensitate foarte mare care acţionează într-un interval de timp foarte mic al unei ciocniri; - forţe centrale sunt forţe al căror suport trece mereu prin acelaşi punct fix numit centrul forţelor; - forţă conservativă este forţa care se poate exprima prin gradientul unei funcţii scalare de coordonatele punctului de aplicaţie al forţei: F = grad U (1.3) - forţă disipativă este acea forţă care produce lucru mecanic care nu se poate transforma în energie cinetică, ca de exemplu forţa de frecare; - forţa de inerţie - reacţiunea punctului material aplicată asupra corpului care îi imprimă acestuia o acceleraţie; se exprimă prin produsul cu semn schimbat dintre masă şi acceleraţia punctului - forţa elastică – este o forţa de atracţie sau de repulsie a cărei modul este proporţional cu distanţa de la punctul material asupra căreia acţionează la centru de atracţie sau de respingere considerat: F = ± k ⋅ r (1.4) Măsurarea forţelor se realizează cu ajutorul dinamometrelor. Aceste aparate au la bază efectul static de întindere sau compresiune a unui resort la care deformaţiile sunt proporţionale cu solicitările. Unitatea de măsură pentru forţă este newtonul şi se utilizează ca unitate în sistemul internaţional. Relaţia dimensională pentru noţiunea de (1.5) forţă este: [F] = [m] [a] = LMT-2 1.10. Sisteme de coordonate 1.10.1. Coordonate carteziene ortogonale

Pentru determinarea sistemului cartezian se alege mai întâi un punct în spaţiu drept origine. Prin acesta se construiesc trei axe perpendiculare două câte două între ele. Ele se numesc axe de coordonate şi se notează cu Ox, Oy, Oz, denumirile lor cele mai întâlnite fiind axa absciselor, axa ordonatelor şi axa cotelor. Ele formează un triedru. Feţele triedrului sunt planele de coordonate xOy, yOz, xOz. Cele trei plane de


INTRODUCERE 15 ____________________________________________________________________________________

coordonate împart spaţiul în opt regiuni numite octante. Versorii axelor de coordonate sunt i pe axa Ox, j pe axa Oy şi k pe axa Oz. Aceşti versori orientează fiecare axă de coordonate şi în general orientează sistemul de coordonate. Partea axei de coordonate care începe în origine şi care are direcţia versorului se numeşte axa pozitivă; cealaltă negativă. Două axe determină un cadran principal, iar cele trei cadrane principale determină octantul principal. Un sistem de referinţă în spaţiu Oxyz este drept (dextrotors) când pentru a aduce axa Ox peste axa Oy (pe drumul cel mai scurt) trebuie să o rotim pozitiv (de la dreapta la stânga) în raport cu axa Oz (figura 1.6.)

Rezultă, de asemenea, rotaţii pozitive pentru a aduce Oy peste Oz în raport cu axa Ox şi pentru a aduce Oz peste Ox în raport cu axa Oy. Când rotaţiile se realizează invers, adică de la stânga către dreapta sistemul de referinţă se numeşte sistem stâng sau levotors. În mecanică sistemul de referinţă cel mai întrebuinţat este sistemul cartezian, triortogonal, drept.

z y O Fig. 1.6.

x

Cu titlu de curiozitate amintim că Ampère a preconizat o regulă simplă pentru definirea sistemului de coordonate Oxyz drept şi anume printr-un „bonhomme” aşezat cu picioarele în O şi capul către z şi care trebuie să vadă axa Ox la dreapta sa şi axa Oy la stânga. Maxwell introduce ideea unui burghiu (analog şurubului), care înaintează în lungul axei Oz în timp ce se roteşte de la dreapta către stânga în jurul aceleiaşi axe. Această convenţie a devenit ulterior regula burghiului (ca în trigonometrie, invers mersului acelor de ceasornic). Practic, un sistem drept este reprezentat prin trei degete de la mâna dreaptă şi anume: degetul gros ca axa Ox, arătătorul ca axa Oy şi degetul mijlociu ca axa Oz. Această reprezentare se numeşte regula celor trei degete.

Fiind dat un sistem de coordonate carteziene, oricărui punct în spaţiu îi putem asocia un triplet de numere şi invers, oricărui triplet de numere un punct. Cele trei numere pe care le asociem punctului se numesc coordonatele carteziene ale punctului. Pentru a determina coordonatele carteziene ale unui punct ducem perpendiculare din punct pe cele trei axe şi măsurăm lungimile orientate ale proiecţiilor în unităţi egale cu lungimea versorului. Valorile obţinute sunt coordonatele x, y, z ale punctului, pe care le utilizăm şi în notaţia vectorială. Pornind din origine, vectorul r = xi + yj + zk (1.6) are vârful în punctul dat. Lungimea lui este distanţa de la origine la punct, adică r =

x2 + y2 + z2 ,

(1.7)

conform teoremei lui Pitagora. Se consideră o forţă oarecare Fi aplicată într-un punct Ai ( xi , y i , z i ) , raportată la un sistem de referinţă cartezian drept Oxyz ale cărui axe Ox, Oy, Oz au versorii i , j , k , figura 1.7. Se notează cu X i , Yi , Z i proiecţiile pe axe ale forţei Fi , cu α i , β i , γ i unghiurile pe care Fi le face cu axele de coordonate. Conform definiţiei proiecţiei: X i = Fi i = Fi cos α i ; Yi = Fi j = Fi cos βi ; Zi = Fi k = Fi cos γ i (1.8) Deoarece Fi este diagonala paralelipipedului construit pe muchiile X i , Yi , Z i atunci

Fi = X i + Yi + Z i = X i i + Yi j + Z i k

(1.9)

Vectorii X i , Yi , Z i se numesc componentele forţei Fi pe axele sistemului cartezian drept, mărimile scalare ale acestor componente fiind chiar proiecţiile forţei Fi pe aceleaşi axe. Din (1.9) rezultă: cos αi =

Xi Y Z ; cos βi = i ; cos γ i = i Fi Fi Fi

(1.10)


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

16

z

Vectorul de poziţie OAi = ri al punctului de

Z

aplicaţie al forţei Fi în raport cu originea O a sistemului de referinţă este dat de expresia (1.7).

k i x

Ai F

ri

Xi

O j

1.10.2. Coordonate oblice

Yi

z y

y

xi

Fig. 1.7.

Sistemul de coordonate oblice este generalizarea celui rectangular. Pentru determinarea lui sunt suficiente: originea, trei drepte care nu sunt coplanare şi versorii. Coordonatele unui punct oarecare se numesc

coordonate oblice. Ele se determină trasând din punctul dat paralele la axele de coordonate care vor forma cu axele un paralelipiped. Mărimea laturilor orientate ale paralelipipedului aflate pe axe sunt coordonatele oblice ale punctului. Vectorul de poziţie este dat de relaţia (1.7) dar distanţa de la origine la punct nu mai este exprimată cu relaţia (1.8) deoarece teorema lui Pitagora nu este valabilă pentru un triunghi oarecare. 1.10.3. Coordonate sferice

Un punct oarecare P poate fi determinat prin: 1. distanţa r ≥ 0 a punctului P faţă de originea O şi se numeşte rază vectoare; π⎞ ⎛ π 2. unghiul ϕ format de OP cu planul xOy ⎜ − ≤ ϕ ≤ ⎟ şi se numeşte azimut; 2⎠ ⎝ 2 3. unghiul λ format de proiecţia lui OP pe planul xOy cu axa pozitivă Ox (0 ≤ λ ≤ 2π ) şi se numeşte longitudine. Parametrii r, ϕ, θ reprezintă coordonatele sferice ale punctului P sau coordonatele polare în spaţiu, figura 1.8. Aceste direcţii sunt ortogonale şi au versorii: pentru raza vectoare u ρ ; pentru azimut uϕ ; pentru longitudine uθ . Fiecărui triplet de coordonate sferice îi corespunde un punct, dar nu oricărui punct îi corespunde un triplet, ca de exemplu în cazul când punctul P se află pe axa Oz sau în origine. În primul caz unic determinanţi sunt

r şi ϕ = ±

Fig. 1.8.

π

, iar în al doilea caz r = 0, ϕ şi λ 2 sunt nedefiniţi. Coordonatele carteziene sunt:

x = r cos ϕ cos θ; y = r cos ϕ sin θ; z = r sin ϕ r 2 = x2 + y 2 + z 2 ;

x x +y 2

2

= cos θ

y x +y 2

2

= sin θ ,

(1.11) z x +y 2

2

=

sin ϕ = tg ϕ cos ϕ

y sin θ = = tgθ (1.12) x cosθ Relaţiile care realizează trecerea rapidă de la coordonatele carteziene la cele sferice sunt următoarele:


INTRODUCERE 17 ____________________________________________________________________________________

ϕ = arctg

r = x2 + y2 + z2 ϕ = π + arctg

y x

( x < 0) ;

y x

(x > 0, y > 0)

ϕ = 2π + arctg

y x

( x > 0, y < 0 )

(1.13)

1.10.4. Coordonate cilindrice

Pentru problemele cu suprafeţe cilindrice se introduc coordonatele cilindrice, figura 1.9. Un punct oarecare din spaţiu poate fi definit prin: 1. distanta ρ ≥ 0 a punctului A faţă de originea O, unde OA' este proiecţia lui OA pe planul xOy şi se numeşte rază polară; 2. unghiul θ, pe care-l face OA' cu axa pozitivă Ox (0 ≤ θ ≤ 2π ) numit unghi polar; 3. distanţa orientată z a punctului A faţă de planul xOy (− ∞ < z < +∞ ) , numită cotă. z Aceste direcţii sunt ortogonale şi au versorii: A - pentru raza polară u ρ ; -

pentru unghiul polar uθ ∈ Oxy ;

-

pentru cotă k .

Fiecărui triplet de coordonate cilindrice îi corespunde un punct P; reciproca nu este adevărată, de exemplu în cazul în care P se află pe Oz. Pentru punctele de pe Oz avem ρ = 0 şi z unic determinat, pe când θ poate lua orice valoare.

r

k O uρ

x

z

θ

ρ

y

A’ Fig. 1.9.

Coordonatele cilindrice se utilizează de exemplu la studierea corpurilor cilindrice, la determinarea momentelor de inerţie ale unui cilindru, la propagarea căldurii în corpuri cilindrice etc. Coordonatele cilindrice se compun din coordonatele polare ale lui A’ în planul xOz şi coordonata carteziană z a lui A. Relaţiile de transformare de la coordonatele carteziene la cele cilindrice considerate numai pentru cazul x 2 + y 2 ≠ 0 sunt următoarele: z = z (1.14) x y x = ρ cos θ; ρ = x 2 + y 2 ; y = ρ sin θ; cos θ = ; sin θ = 2 2 2 x +y x + y2 1.10.5. Coordonate Frenet

β

Plan rectifiant

Plan normal

τ

Sistemul de coordonate Frenet, numite şi coordonate naturale sau intrinseci, este un sistem de (C) referinţă mobil, figura 1.10, cu originea în punctul care efectuează mişcarea şi care are axele: Plan - tangenta (sensul pozitiv în sensul parametrului osculator O scalar s crescător, măsurat de la originea arcelor A0); - normala principală, adică intersecţia dintre planul osculator şi planul normal; - binormala, adică intersecţia dintre planul normal şi planul rectifiant.

s A0

n Fig. 1.10.


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

18

Capitolul II. STATICA Statica se ocupă cu echilibrul corpurilor materiale, studiind sistemele de forţe care îşi fac echilibru, precum şi cu reducerea lor. Din punct de vedere didactic, capitolul de statica este divizat ca-n figura 2.1. II.1 Statica punctului material II.2. Statica solidului rigid

STATICA

liber A. liber fără frecare

B. supus la legături

II.3. Statica sistemelor

cu frecare

II.4. Statica firelor II.5. Maşini simple

Fig. 2.1.

II.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL A. Punctul material liber 2.1. Reducerea forţelor concurente A reduce (a compune, a aduna) un sistem de forţe înseamnă a găsi cele mai simple elemente mecanice, dacă este posibil o forţă unică, care să înlocuiască sistemul de forţe date, adică să producă singură acelaşi efect ca efectul simultan al tuturor forţelor sistemului. În acest caz forţa unică se numeşte rezultanta sistemului de forţe considerate. Forţele concurente sunt forţele care au aceeaşi origine; în cazul rigidului, se consideră drept forţe concurente, forţele care au suporturile lor concurente, deoarece se pot deplasa pe propriul lor suport, astfel încât punctele lor de aplicaţie să fie chiar punctul de concurenţă al suporturilor. Reducerea acestor sisteme concurente se realizează prin metode grafice şi metode analitice. 2.1.1. Compunerea forţelor concurente pe cale geometrică a. Rezultanta a două forţe concurente Fie două forţe F1 şi F2 , figura 2.2. Conform principiului 4, acţiunea acestor două (2.1) forţe poate fi înlocuită cu rezultanta lor: R = F1 + F2 F2

O

α

Fig. 2.2

Cele două forţe se compun după regula paralelogramului. Mărimea rezultantei este:

R π-α

F1

R = F12 + F22 − 2 ⋅ F ⋅1 F2 cos α (2.2) Pentru a preciza direcţia rezultantei, trebuie să determinăm unghiurile dintre rezultantă şi forţele date; pentru această aplicăm teorema sinusurilor în cele două triunghiuri: R R F1 F2 = = = sin(π − α ) sin α sin( R, F2 ) sin( R, F1 )


STATICA PUNCTULUI MATERIAL 19 _____________________________________________________________________________________

de unde rezultă: Rezultanta a două forţe concurente este reprezentată în valoare numerică, direcţie şi sens prin diagonala paralelogramului constituit cu cele două forţe (2.3) F F (2.4) sin( R, F 2 ) = 1 sin α ; sin( R, F 2 ) = 2 sin α R R ca laturi; acest rezultat este denumit regula paralelogramului.

b. Rezultanta a trei forţe concurente Fie trei forţe F1 , F2 , F3 , oarecare concurente. Aceste forţe considerate două câte două formează trei plane. Prin extremităţile A, B şi C se duc alte trei plane paralele respectiv cu primele trei. Cele şase plane astfel obţinute formează prin intersecţia lor un paralelipiped oblic, având drept muchii forţele date. Diagonala OD a acestui paralelipiped se consideră ca o forţă R de origine O şi extremitate D. Această forţă (2.5) reprezintă rezultanta forţelor date (figura 2.3), adică R = F1 + F2 + F3 Rezultanta a trei forţe concurente este reprezentată în mărime, direcţie şi sens prin diagonala paralelipipedului având ca muchii forţele date; acest C D rezultat este denumit regula paralelipipedului. R c. Rezultanta unui număr oarecare de forţe concurente Fie F1 = OA, F2 = OB, F3 = OC , F4 = OD un număr F2 B oarecare de forţe concurente (figura 2.4). Se duce prin O D extremitatea uneia dintre forţe (de obicei prin extremitatea lui F1 ) un vector egal, paralel şi de acelaşi sens cu forţa Fig. 2.3. F1 A următoare (fie ea F2 ). În extremitatea lui F2 se duce un vector echipolent cu F3 şi apoi un vector echipolent cu F4 . Se obţine astfel punctul F3

final H şi dreapta de închidere OH . Dreapta considerată ca o forţă cu originea în punctul O şi extremitatea în punctul final reprezintă rezultanta forţelor date, adică R = F1 + F2 + F3 + F4 . Forţele se numesc componente iar poligonul obţinut OAEFH se numeşte poligonul forţelor. F2 Observaţii: E 1. dacă poligonul forţelor nu se A F3 F2 închide (pe figură punctul H este B diferit de punctul O) se obţine drept F1 F rezultantă a forţelor concurente date o O forţă unică determinată prin vectorul F4 R F4 R = OH ; D H 2. dacă poligonul forţelor date se C F3 Fig. 2.4. închide, adică extremitatea adică extremitatea conturului poligonului forţelor coincide cu punctul de aplicaţie O comun, în acest caz rezultanta este nulă R = 0 ; 3. dacă forţele concurente au aceeaşi direcţie şi sens, poligonul se reduce la o dreaptă, segmentul de închidere are direcţia şi sensul comun forţelor concurente date. Rezultanta forţelor concurente are valoarea numerică R + F1 + F2 + ... + Fn . Rezultă de aici că


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

20

forţele concurente de aceeaşi direcţie şi sens se adună aritmetic; 4. dacă forţele concurente au aceeaşi direcţie dar sensuri contrare; fie forţele F1 , F2 , F3 , de o direcţie şi un sens dat şi F4 , F5 două forţe de aceeaşi direcţie dar de sens contrar. Să presupunem numeric că F4 + F5 > F1 + F2 + F3 . Primele trei forţe dau o rezultantă parţială R1 = F1 + F2 + F3 iar ultimele două F4 + F5 = R2 . Rezultanta totală va avea valoarea numerică R = R2 − R1 = F4 + F5 − F1 − F2 − F3 , direcţia comună tuturor forţelor şi sensul celor a căror sumă este mai mare. Rezultă că forţele concurente de aceeaşi direcţie şi sensuri contrare se adună algebric. Suma vectorială a forţelor date are proprietăţile analoge oricărei sume algebrice. 2.1.2 .Compunerea forţelor concurente pe cale analitică

a. Rezultanta a două forţe concurente Se consideră relaţia vectorială care exprimă rezultanta forţelor R = F1 + F2 , care se înmulţeşte scalar cu F1 , respectiv cu F2 . Rezultă: R ⋅ F1 = F12 + F1 ⋅ F2 sau

∧ ∧

∧ ∧

R ⋅ F1 ⋅ cos( R, F1 ) = F12 + F1 ⋅ F2 ⋅ cos( F1 , F2 ) şi în mod analog: ⎤ 1⎡ cos( R, F1 ) = ⎢ F1 + F2 ⋅ cos( F1 , F2 )⎥ (2.6) R ⎢⎣ ⎥⎦ b. Rezultanta a trei forţe concurente Prin ridicarea la pătrat a relaţiei (2.5) se obţine valoarea numerică a rezultantei R :

R2 = F12 + F22 + F32 + 2F12 F22 cos(F1 , F2 ) + 2F12 F32 cos(F1 , F3 ) + 2F22 F32 cos(F2 , F3 ) Această relaţie se mai poate scrie şi sub forma:

R 2 = F1 F1 + F1 F2 cos( F1 F2 ) + F1 F3 cos( F1 F3 ) + F2 F1 cos( F2 F1 ) + F2 F2 +

∧ ∧

+ F2 F3 cos( F2 F3 ) + F2 F3 cos( F2 F3 ) + F3 F1 cos( F3 F1 ) + F3 F2 cos( F3 F2 ) + F3 F3 3

sau R2 = ∑ Fi Fj cos(Fi , Fj )

(2.7)

i , j =1

Pentru a determina direcţia rezultantei R cu forţa dată F 1 , se înmulţeşte relaţia (2.5) cu

2

F 1 : RF1 cos( F1 , R ) = F1 + F1 F2 cos( F1 , F2 ) + F1 F3 cos( F1 , F3 ) , de unde rezultă:

cos( R, F1 ) =

⎤ 1⎡ ⎢ F1 + F2 ⋅ cos( F1 , F2 ) + F3 ⋅ cos( F1 , F3 )⎥ sau: R ⎢⎣ ⎥⎦

cos( R, F1 ) =

⎤ 1⎡ 3 ⎢ ∑ Fj ⋅ cos( F1 , Fj )⎥ R ⎣⎢i , j =1 ⎦⎥

(2.8)

Dacă sistemul de forţe este dat prin proiecţiile forţelor pe un sistem de referinţă rectangular Oxyz, astfel încât forţa: Fl = X l ⋅ i + Yl ⋅ j + Z l ⋅ k cu l = 1, 2,…, n, mărimea 2

rezultantei este

2

⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ R = ⎜ ∑ X l ⎟ + ⎜ ∑ Yl ⎟ + ⎜ ∑ Z l ⎟ ⎝ l =1 ⎠ ⎝ l =1 ⎠ ⎝ l =1 ⎠

2

(2.9)


STATICA PUNCTULUI MATERIAL 21 _____________________________________________________________________________________

Înmulţind succesiv (2.5) scalar cu F1 , F2 , F3 , se poate determina unghiurile pe care rezultanta R le face cu forţele date, prin cosinusurile directoare: 1 n 1 n 1 n cos( R, Ox) = ⋅ ∑ X l ; cos( R, Oy ) = ⋅ ∑ Yl ; cos( R, Oz ) = ⋅ ∑ Z l R l =1 R l =1 R l =1

c.

Rezultanta unui număr oarecare de forţe concurente

În general pentru n forţe concurente: R =

n

∑ F F cos( F , F ) i

j

i

(2.10)

j

i , j =1

Direcţia rezultantei R faţă de suportul forţei F i este dată de relaţia ⎤ 1⎡ n cos( R, Fi ) = ⎢ ∑ Fj ⋅ cos( Fi , Fj )⎥ R ⎣⎢i , j =1 ⎦⎥

(2.11)

2.1.3. Teorema proiecţiilor

Se consideră n forţe Fi (i = 1,…, n) concurente într-un punct O1 şi R rezultanta n

lor dată de relaţia R = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fi

(2.12)

i =1

Fie o axă ∆ oarecare având versorul u , figura 2.5. Înmulţind scalar relaţia (2.12) cu n

u rezultă: R u = F1u + F2 u + ... + Fn u = ∑ Fi u . Proiecţia unei forţe F pe o axă ∆ este i =1

pr∆ F = Fu = F cos α;

pr∆ F = AB cos α.

(2.13) n

Conform definiţiei rezultă: pr∆ R = pr∆ F1 + pr∆ F2 + ... + pr∆ Fn = ∑ pr∆ Fi

F A

α

B u

A’

B’ Fig. 2.5.

(2.14)

i =1

Relaţia (2.14) exprimă o teoremă fundamentală a staticii denumită teorema proiecţiilor şi care se enunţă astfel: Proiecţia pe o axă a rezultantei mai multor forţe este egală cu suma algebrică a proiecţiilor pe aceeaşi axă a forţelor componente.

2.1.4. Descompunerea unei forţe după direcţii paralele

a. Descompunerea unei forţe după două direcţii paralele Se consideră, figura 2.6, două direcţii paralele ∆1 şi ∆2 situate în acelaşi plan cu o forţă R = MM 1 . Forţa trebuie descompusă după cele două direcţii date. Prin O’ punctul de aplicaţie al forţei R se duce o dreaptă ∆ 1 şi apoi ∆ 2 . Prin vârful forţei R se duce o dreaptă ∆ 1 şi apoi ∆ 2 . Direcţiile fiind cunoscute, rezultă că lungimile sunt determinate. Metoda se numeşte metoda paralelogramului de descompunere a unei forţe după două direcţii date. b. Descompunerea unei forţe după trei direcţii paralele Dacă se urmăreşte descompunerea unei forţe după trei direcţii paralele cu forţa ∆1,


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

22

∆2 şi ∆3, nesituate în acelaşi plan, figura 2.7. Prin punctul M se duce un plan P oarecare ∆2 D2 ∆1 D’ B F2 D1 D D3 R ∆ 2 M ∆ 2 F2 F' R α ∆1 C A F1 O’ F3 ∆1 O F1 M1 Fig. 2.6.

Fig. 2.7.

şi se obţine astfel triunghiul ABC. În triunghi se duce dreapta AMD. Se descompune mai întâi forţa R în două componente paralele F1 trecând prin A şi F ' trecând prin D; forţa F ' la rândul ei se descompune în două componente paralele, F2 trecând prin B şi F3 trecând prin C. 2.1.5. Descompunerea unei forţe după trei direcţii ortogonale ∆3

∆3

Se consideră forţa rezultantă R şi se doreşte descompunerea ei după trei direcţii ortogonale ∆1, ∆2 ∆2 şi ∆3, figura 2.8. Din vârful rezultantei se R ∆2 coboară pe planul ∆10∆2 o paralelă la direcţia ∆3 F3 până când aceasta intersectează planul, în punctul F2 ∆1 M. Prin acest punct se duc două paralele la M O direcţiile ∆1, ∆2. Punctul unde ∆ 2 intersectează ∆1 F1 prima direcţie este tocmai extremitatea forţei F1 , Fig. 2.8. iar punctul unde ∆1 intersectează a doua direcţie este tocmai extremitatea forţei F2 . Cele două forţe se compun prin metoda paralelogramului, iar locul unde paralela la rezultanta lor intersectează a treia direcţie este forţa F3 . 2.2. Echilibrul punctului material liber

Studiul echilibrului punctului material constituie problema fundamentală a staticii. In proiectarea oricăror lucrări (mecanice, civile etc.) trebuie să se aibă în vedere ca lucrarea proiectată să îndeplinească toate condiţiile de echilibru, de aceste condiţii depinzând însăşi existenţa lucrării. Punctul material, model utilizat în mecanică, este constituit dintr-un punct geometric căruia i se atribuie masă. Se poate considera ca fiind cea mai mică diviziune dintr-un corp care are proprietăţile acestuia şi care are dimensiunile neglijabile. Punctul material liber este punctul material care poate ocupa orice poziţie în spaţiu. Poziţia lui la un moment dat este definită de coordonatele scalare x, y, z, adică prin trei parametri independenţi; se spune că punctul material liber în spaţiu are trei grade de libertate. Fie un punct material liber M, a cărui poziţie este raportată la un sistem de referinţă convenabil ales şi sistemul de forţe concurente Fi (i = 1,..., n ) care acţionează asupra lui. Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material liber care se află în


STATICA PUNCTULUI MATERIAL 23 _____________________________________________________________________________________

repaus (sau în mişcare rectilinie şi uniformă) să rămână în aceeaşi stare mecanică este ca rezultanta forţelor care-l acţionează să fie nulă. Condiţia de echilibru sub forma n

vectorială este: R = ∑ Fi = 0

(2.15)

i =1

Proiectând relaţia (2.15) succesiv pe axele sistemului de referinţă cartezian se obţin n

n

n

i =1

i =1

i =1

relaţiile scalare: R x = ∑ Fix = 0; R y = ∑ Fiy = 0; R z = ∑ Fiz = 0

(2.16)

Cu ajutorul relaţiilor (2.16) se pot rezolva în statica punctului material următoarele categorii de probleme: a. Problema directă: se cunosc forţele care solicită punctul material şi se cere să se determine poziţia lui de echilibru. Aceste probleme au soluţii unice, bine determinate. b. Problema indirectă: se cunoaşte poziţia de echilibru a punctului material (de exemplu coordonatele poziţiei) şi se cere determinarea sistemului de forţe care trebuie să acţioneze pentru a-l menţine în echilibru în poziţia dată. Aceste tipuri de probleme sunt nedeterminate pentru că pot fi imaginate o infinitate de sisteme de forţe care menţin punctul material în echilibru într-o poziţie dată. c. Problema mixtă: se cunosc o serie de parametri ai poziţiei de echilibru şi unele dintre caracteristicile forţelor care-l solicită şi se cer celelalte caracteristici necunoscute care privesc atât sistemul de forţe cât şi poziţia de echilibru. Problemele de statică în care numărul necunoscutelor scalare depăşeşte numărul ecuaţiilor de echilibru şi care nu oferă alte relaţii suplimentare, independente, între aceste necunoscute, se numesc probleme static nedeterminate.

B. Punctul material supus la legături 2.3. Axioma legăturilor Punctul material supus la legături este punctul material căruia i se impune o restricţie geometrică (obligaţia de a rămâne pe o curbă sau pe o suprafaţă). Legătura este bilaterală dacă restricţia geometrică nu permite punctului să părăsească curba sau suprafaţa. Legătura este unilaterală, dacă restricţia geometrică împiedică deplasarea numai într-un singur sens. Poziţia unui punct material pe o suprafaţă este determinată de doi parametri scalari independenţi, rezultă că punctul material are două grade de libertate. Un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur grad de libertate, deoarece se poate mişca numai în lungul curbei. Un punct material fix nu are nici un grad de libertate. Introducerea restricţiilor geometrice, adică a legăturilor, reduce numărul gradelor de libertate. În natură nu există puncte materiale libere, ele fiind totdeauna supuse la diverse legături. Aceste legături exercită asupra punctului material anumite constrângeri mecanice reprezentate prin forţa de legătura sau reacţiunea. Axioma legăturilor postulează că orice legătură poate fi suprimată şi înlocuită cu elemente mecanice (de exemplu forţe sau momente) corespunzătoare. Ca urmare, punctul este considerat liber şi în consecinţă echilibrul său se studiază cu ecuaţiile (2.15), (2.16). Pentru punctul material, legătura se înlocuieşte cu o reacţiune R ' . Condiţia necesară şi suficientă ca un punct material supus la legături să fie în echilibru este ca rezultanta forţelor aplicate direct şi a forţei de legătură să fie nulă, adică: R + R ' = 0 (2.17) ' ' ' (2.18) sau proiectată pe axe: R x + R x = 0; R y + R y = 0; R z + R z = 0;


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

24

Din relaţia (2.18) se observă că rezultanta R a forţelor direct aplicate şi forţa de legătură R ' trebuie să fie egale şi opuse. Legăturile punctului material sunt rezemarea pe o suprafaţă, rezemarea pe o curbă (în plan sau în spaţiu) şi prinderea cu fire, care poate fi considerată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sferă a cărei rază este tocmai lungimea firului respectiv. Legăturile punctului pot fi legături cu frecare (sau aspre) şi legături fără frecare (lucii sau ideale). O legătură este cu frecare dacă suprafaţa sau curba de reazem aparţin unor corpuri reale şi au la suprafaţa lor asperităţi, care se opun mişcării punctului material; apare astfel forţa de frecare. O legătură fără frecare presupune existenţa unei suprafeţe sau curbe ideale, perfect lustruite şi nu apare nici o forţă de frecare. În realitate, ele nu există, dar unele pot fi aproximate ca fiind lucii când forţa de frecare este foarte mică şi deci neglijabilă.

2.4. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare a. Legătura pe o suprafaţă: Se consideră un punct material M, rezemat pe o suprafaţă (S) şi acţionat de un sistem de forţe concurente Fi (i = 1,..., n ) care are

rezultanta R şi reacţiunea R ' . Rezultanta forţelor direct aplicate R poate fi descompusă în două componente şi anume componenta normală R N (după normala Mn) şi în componenta tangenţială RT (după dreapta ∆ care rezultă din intersecţia planului (P), tangent la (S) în M, cu planul determinat de normala Mn şi forţa R ), figura 2.9. Analog, reacţiunea R ' se descompune după aceleaşi direcţii

în reacţiunea normală N şi în forţa de frecare de alunecare T . Forţa R N tinde să îndepărteze punctul M de pe suprafaţă

Fig. 2.9.

şi efectul ei este anulat de N . Forţa RT caută să deplaseze punctul M pe suprafaţa (S). Deoarece legătura este fără frecare forţa de frecare nu poate să apară, deci T = 0. Din cele prezentate anterior rezultă că în cazul punctului material supus la legături fără frecare: - rezultanta forţelor exterioare R trebuie să fie dirijată după

normala la suprafaţă în punctul respectiv; - reacţiunea este o forţă N dirijată după normala la suprafaţă în punctul respectiv. (2.19) Ecuaţia de echilibru este: R + N = 0 (2.20) sau proiectată pe axe: R x + N x = 0; R y + N y = 0; R z + N z = 0; Se consideră o suprafaţă dată de ecuaţia implicită f (x,y,z) = 0. Condiţia ca un punct să fie în echilibru pe această suprafaţă este ca suma dintre rezultanta forţelor aplicate şi normala la suprafaţă să fie zero. Normala, într-un punct curent la suprafaţă, are ∂f ∂f ∂f , , , calculaţi în punctul considerat. Rezultă că normala parametri directori ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f se poate scrie sub forma: N = ⋅i + ⋅ j+ ⋅ k = grad ⋅ f (2.21) ∂x ∂y ∂z Condiţia de echilibru (2.19) devine: R +λ grad f = 0. (2.22)


STATICA PUNCTULUI MATERIAL 25 _____________________________________________________________________________________

Deoarece rezultanta R şi grad f în punctul considerat sunt vectori coliniari rezultă că R R R (2.23) au componentele proporţionale: x = y = z ; f ( x, y , z , ) = 0 ∂f ∂f ∂f ∂x ∂y ∂z Sistemul astfel format determină poziţiile de echilibru ale punctului material situat pe suprafaţa (S) dată de f(x,y,z,) = 0. Legătura pe o suprafaţă reduce la două numărul gradelor de libertate ale punctului.

b. Legătura pe o curbă: Se consideră un punct material M, rezemat pe o curbă (C) şi acţionat de un sistem de forţe concurente Fi (i = 1,..., n ) care are rezultanta R .

Similar cazului a, ecuaţia de echilibru este: R + N = 0 . Deoarece N nu poate fi cunoscută (poate ocupa orice poziţie în planul normal la curbă) pentru aplicaţii se utilizează descompunerea lui N după două direcţii perpendiculare între ele, N x , N y . Condiţia de echilibru a punctului material supus la legătură pe o curbă este: R + Nxi + Ny j = 0

(2.24)

Dacă se consideră o curbă dată de intersecţia a două suprafeţe: (C) ⎧ f 1 ( x, y , z ) = 0 , condiţia de echilibru este tot R + N = 0 , însă normala N se va găsi în ⎨ ⎩ f 2 ( x, y , z ) = 0 planul normal la curba respectivă, determinat în punctul considerat de normalele la cele ⎧ N = λ1 ⋅ gradf1 . Condiţia două suprafeţe N 1 şi N 2 . Acestea pot fi exprimate astfel: ⎨ 1 ⎩ N 2 = λ 2 ⋅ gradf 2 de echilibru va fi: R + λ1 ⋅ gradf1 + λ 2 ⋅ gradf 2 = 0 . Considerând funcţiile f1 şi f2 derivabile parţial, putem scrie ecuaţia vectorială de echilibru sub forma unui sistem, ∂f ∂f ∂f ştiind că: gradf = ⋅i + ⋅ j+ ⋅k (2.25) ∂y ∂x ∂z

⎧ ∂f1 ∂f 2 ⎪ R x + λ1 ⋅ ∂x + λ 2 ⋅ ∂x = 0 ⎪ ∂f1 ∂f ⎪ + λ2 ⋅ 2 = 0 (2.26) ⎨ R y + λ1 ⋅ ∂y ∂y ⎪ ⎪ ∂f 1 ∂f + λ2 ⋅ 2 = 0 ⎪ R z + λ1 ⋅ ∂z ∂z ⎩ Dacă privim sistemul ca un sistem în λ1 şi λ2 , condiţia să fie compatibil este ca determinantul caracteristic să fie nul, adică: ∂f 1 ∂f 2 Rx ∂x ∂x ∂f 1 ∂f 2 Ry = 0; f 1 ( x, y, z ) = 0; f 2 ( x, y, z ) = 0 (2.27) ∂y ∂y ∂f 1 ∂f 2 Rz ∂z ∂z S-a adăugat la determinant condiţia ca punctul considerat să fie pe curba dată şi s-au obţinut condiţiile de echilibru ale punctului material pe curba respectivă. Legătura pe o


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

26

curbă reduce la unul numărul gradelor de libertate pentru punctul material, deoarece coordonatele lui trebuie să verifice simultan cele două ecuaţii care reprezintă curba. T Rt

Rn R

Fig. 2.10.

c. Legătura pe un fir: În mecanică firul este considerat perfect flexibil, inextensibil şi se comportă ca un solid rigid numai dacă forţele care-l acţionează îl solicită la întindere, figura 2.10. Firul nu poate prelua nici o forţă. R = Rt + Rn ; Rn = 0 ⇒ R = Rt ⇒ Rt + T = 0 (2.28)

Forţa T se numeşte tensiune şi este îndreptată întotdeauna de la punctul studiat spre locul unde este secţionat firul.

2.5. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare a. Generalităţi Ipoteza făcută anterior asupra corpurilor că sunt perfect lucii şi nedeformabile nu este reală. Oricât de bine ar fi lustruite şi de dure, corpurile reale nu devin perfecte şi sunt întotdeauna deformabile. Prin urmare, vor prezenta asperităţi; prin deformaţie punctele de contact se vor transforma în suprafeţe de contact, iar pe aceste suprafeţe moleculele se vor întrepătrunde, împiedicând în anumite limite orice fel de mişcare. Rezultă că la studierea corpurilor reale, la înlocuirea legăturilor va trebui să ţinem seama pe lângă elementele mecanice de legătură cunoscute şi de cele datorate asperităţilor şi întrepătrunderii corpurilor în punctul lor de contact. Aceste elemente se numesc frecări. Ele vor fi de atâtea feluri câte feluri de mişcări sunt. Pentru a pune în evidenţă forţa de frecare se recurge la o experienţă executată cu aparatul numit tribometru, figura 2.11, a. R' R' N N α

ϕ

F T

G a.

F

b. Fig. 2.11.

G

Fmax Tmax

G

c.

Se consideră un plan orizontal şi pe el un corp asimilat cu un punct material de greutate G, care este acţionat de o forţă orizontală F , care poate varia continuu. Corpul este legat cu un fir orizontal şi de care, după ce trece peste un scripete, se prinde un platan (taler). În acest taler se adaugă în mod treptat alice (greutăţi) până se pune corpul în mişcare. Pentru valori mici ale forţei, corpul nu se mişcă. Aceasta se datorează faptului că i se opune o forţă egală şi de sens opus, pe aceeaşi direcţie, forţa de frecare de alunecare pe care o notăm cu T . Aceasta dovedeşte că reacţiunea R ' este înclinată cu unghiul α faţă de normală şi poate fi descompusă în două componente, reacţiunea normală N şi forţa de frecare T , (fig. 2.11, b). Când forţa aplicată depăşeşte o anumită valoare Tmax , corpul se mişcă, (fig. 2.11, c). Rezultă că forţa de frecare T ia valori cuprinse în intervalul (0… Tmax ). În cazul limită, forţele F şi T iau valori limită şi unghiul α este egal cu valoarea limită ϕ, care se numeşte unghi de frecare.


STATICA PUNCTULUI MATERIAL 27 _____________________________________________________________________________________

T ⇒ T = N tgα N = N tgα şi cum α ≤ ϕ se poate restrânge: T ≤ N tgα

Din figura 2.11 rezultă: tgα =

(2.29)

şi la limită: Tmax

(2.30)

P1min P2min P = = ... = min = µ ⇒ Pmin = µG G1 G2 G Deoarece N = G; P − T = 0 ⇒ T = µN (2.31) unde µ este coeficient de frecare la alunecare, mărime adimensională care ia valori diferite în funcţie de natura corpurilor în contact (de exemplu pentru un oţel-oţel µ ia valori între 0,2 ÷0,25, pentru oţel – gheaţă între 0,015 ÷ 0,027, iar pentru bronz – bronz are valoarea 0,02). Dintre experienţele efectuate asupra forţelor de frecare, s-au remarcat cele a lui Coulomb, care au condus la stabilirea legilor frecării de alunecare: 1. Forţa de frecare nu depinde de mărimea suprafeţelor de contact, iar dacă se produce mişcarea nu depinde nici de viteza relativă de deplasare; 2. Forţa de frecare Tmax depinde de natura corpurilor şi de starea suprafeţelor; 3. Mărimea forţei de frecare de alunecare maximă este proporţională cu mărimea reacţiunii normale. Acestor legi ale frecării uscate li s-au adus şi critici, cum ar fi: µ depinde de viteza relativă de mişcare, între o valoare µ0 de aderenţă, corespunzătoare vitezei zero şi valori foarte mici pentru valori mari ale vitezei, conform figurii 2.12. Forţa de frecare este o µ µ0 0

Fig. 2.12.

forţă pasivă, deoarece apare doar când există o acţiune care o precede. Dacă punctul se mişcă pe o curbă aspră, direcţia forţei de frecare este tangentă la curbă, sensul ei fiind invers tendinţei de mişcare, modulul ei fiind singura necunoscută. Dacă punctul se află pe o suprafaţă aspră, forţa de frecare se v află în planul tangent la suprafaţa dată şi atunci trebuie determinată atât direcţia cât şi modulul forţei.

b. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare

În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material, de obicei soluţia nu mai este unică, ca în cazul studiat anterior şi se exprimă de obicei printr-o inegalitate. Se poate analiza mai multe cazuri de echilibru în funcţie de legătură: a. Punctul material se găseşte pe o suprafaţă plană orizontală şi forţa este aplicată în acelaşi plan (figura 2.13). Fie R rezultanta celor două forţe G şi F aplicate. Dacă punctul M este în echilibru înseamnă că rezultantei R se opune o forţă R′ , coliniară cu ea, egală în modul şi de sens contrar. R′ este rezultanta dintre reacţiunea normală şi forţa de frecare. Reacţiunea are aceeaşi valoare, dar forţa de frecare poate creşte până la Tmax, când rezultanta face unghiul ϕ cu normala. În acest caz: unde unghiul ϕ este numit unghi de T µN (2.32) frecare: tgϕ = max = =µ N N Rezultă că valoarea coeficientului de frecare la alunecare este egală cu tangenta unghiului de frecare. Se poate concluziona că punctul material este în echilibru, dacă suportul rezultantei forţelor aplicate G şi F se găseşte în interiorul unghiului de frecare.


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

28

R max

R′max

R′

N ϕ

α

R Tmax

M

G

N

R

Rmax

αϕ T max T

G R′

T

Fig. 2.13.

T max R

R

R

N

β ϕ

(S)

F

Tmax

T

τ

π 2

−ϕ

(C

Fig. 2.14.

Fig. 2.15.

b. Punctul material se găseşte pe o suprafaţă oarecare în spaţiu (figura 2.14). Rezultanta forţelor aplicate corespunzătoare tendinţei de mişcare, când forţa de frecare ia valoarea maximă Rmax şi R , poate ocupa orice poziţie în jurul normalei la suprafaţă, respectând unghiul ϕ pe care trebuie să-l facă cu aceasta. Se determină astfel un con dublu cu unghiul la vârf 2ϕ, care se numeşte con de frecare. Punctul material va fi în echilibru, dacă rezultanta forţelor aplicate, se găseşte în interiorul conului de frecare, sau pe generatoarea acestui con, adică dacă R face un unghi mai mic decât ϕ cu normala la suprafaţă. Dacă suprafaţa (S) este dată de ecuaţia f(x,y,z) = 0, funcţia f fiind ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ derivabilă parţial în raport cu x, y, z atunci normala la suprafaţă va fi N ⎜⎜ , , ⎟⎟ . ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Componentele rezultantei forţelor aplicate, vor fi Rx, Ry, Rz iar condiţia de 1 R⋅N ≥ (2.33) echilibru α < ϕ impune condiţia: cos α ≥ cos ϕ , adică: cos α = R⋅N 1+ µ 2 Exprimând relaţia (2.33), se obţine condiţia de echilibru al punctului material, la care sa adăugat condiţia ca punctul material să aparţină suprafeţei (S): ∂f ∂f ∂f ⎧ Rx + Ry + Rz ⎪ 1 ∂x ∂y ∂z ≥ ⎪⎪ 2 2 2 (2.34) 1+ µ 2 ⎨ 2 ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 2 2 ⎟ ⎜ + R R R + + + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ x y z ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎪ f ( x, y , z ) = 0 ⎩⎪ c) Punctul material se găseşte pe o curbă aspră, (figura 2.15). Normala unei curbe poate avea orice poziţie în plan tangent la curbă. De aceea se consideră poziţiile rezultantelor forţelor faţă de tangenta la curbă, considerând complementele unghiurilor de frecare. Dacă curba dată sub formă parametrică: ⎛ dx dy dz ⎞ (C ) : x = x (t ); y = y (t ); z = z (t ) . Direcţia tangentei este dată de versorul: τ ⎜ , , ⎟ . ⎝ dt dt dt ⎠ Poziţiile posibile ale rezultatelor forţelor R şi Rmax determină un con dublu în jurul tangentei, numit con complementar de frecare. Condiţia de echilibru pentru punctul material situat pe curba (C) este ca rezultanta forţelor aplicate să fie în exteriorul conului complementar de frecare, adică unghiul β ≥

π

2

−ϕ .


STATICA CORPULUI RIGID 29 ____________________________________________________________________________________

II.2. STATICA CORPULUI SOLID În studiul echilibrului sau a mişcării corpurilor reale, nu ne putem mărgini la conceptul de punct material şi la principiile enunţate anterior decât în unele cazuri cu totul particulare. Problemele fundamentale ale staticii punctului material rămân valabile şi pentru statica solidului solid sau rigidul. Ca şi în cazul punctului material, rigidul poate fi liber sau supus la legături. Orice forţă care acţionează un corp solid are caracter de vector alunecător, deoarece îţi poate schimba punctul de aplicaţie în lungul suportului ei. z 2.6. Momente v 2.6.1. Momentul unui vector alunecător în raport cu un punct y 0 x Un vector alunecător este caracterizat de cinci scalari, componentele sale şi coordonatele punctului de intersecţie a A(x,y,0) suportului vectorului respectiv cu planul xOy, de exemplu Fig. 2.16. A(x,y,0), figura 2.16. Se consideră un punct oarecare din spaţiu şi un vector oarecare V . Fie r vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al vectorului, figura 2.17. Se numeşte momentul vectorului V faţă de punctul O, produsul vectorial r × V şi se notează cu: (2.35) M 0 (V ) = r × V Fiind definit de un produs vectorial, despre vectorul moment se spune că este perpendicular pe planul determinat de punctul O şi vectorul V , are ca mărime aria determinată de vectorul de poziţie r şi de vectorul V prin formarea unui paralelogram iar sensul este dat de regula burghiului drept. Modulul vectorului moment se poate determina ca produsul dintre mărimea vectorului V şi distanţa de la punctul faţă de care calculăm momentul la suportul vectorului, figura 2.18. Mo

O

V r

Fig. 2.17.

α

r

O

180-α

V

r1

O

r

b Fig. 2.18.

v

V B

A Fig. 2.19.

M 0 (V ) = r × V = r P V P sin α = V P r P sin(180 − α ) = b P V

În cazul vectorului alunecător V se poate arăta că momentul său în raport cu puntul O este acelaşi, indiferent de poziţia punctului de aplicaţie a vectorului pe suport, ( r reprezintă în acest caz vectorul de poziţie al unui punct oarecare de pe suportul vectorului), figura 2.19. M 0 (V ) = r × V M 0l (V ) = r1 × V = ( r + A B ) × V = r × V + A B × V Deoarece AB este coliniar cu V , produsul lor vectorial este nul: M 0l (V ) = M 0 (V ) . Momentul unui vector alunecător, depinde de punctul faţă de care se calculează (figura 2.20). M Q (V ) = AB × V = ( r − rQ ) × V = ( r × V ) − ( rQ × V )


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

30

_ V

O _ r

_ rQ

A

Q Fig. 2.20.

M Q (V ) = M 0 (V ) − ( rQ xV )

(2.36)

Relaţia (2.36) este necesară pentru determinarea momentului unui vector când nu se schimbă polul şi se cunoaşte momentul faţă de vechiul pol. Putem face observaţia că dacă rQ este paralel cu V (Q se găseşte pe

paralela prin O la suportul vectorului V ), momentul vectorului V nu se schimbă. Se consideră vectorul de poziţie r şi pentru vectorul V componentele: r (x,y,z), V (x,y,z) şi punctul O originea sistemului de referinţă ales. Vectorul moment se calculează cu determinatul: i j k

M 0 (V ) = x

y

Vx

Vy

z = i ( yV z − zV y ) + j (zV x − xV z ) + k (xV y − yV x )

Vz

Notând cu Mx, My, Mz componentele vectorului moment (momentele axiale ale vectorului V în raport cu axele de coordonate), rezultă: M x = ( yVz − zVy ); M y = ( zVx − xVz ); M x = ( xVy − yVx ) (2.37) În cazul particular, când V este în planul xOy, Mx = 0 şi My = 0, componenta Mz este pozitivă dacă vectorul V acţionează în sens invers acelor de ceas. 2.6.2. Momentul unui vector alunecător în raport cu o dreaptă

Prin momentul unui vector V în raport cu axa ∆ se înţelege scalarul egal cu proiecţia pe dreapta ∆ a momentului vectorului faţă de un M0(V) punct oarecare pe dreapta ∆. Se consideră dreapta ∆ şi u versorul acestei drepte, iar O un r _ punct oarecare de pe dreaptă, figura 2.21. _ r’ O ∆ Momentul axial este egal cu produsul u __ mixt dintre versorul axei, vectorul de poziţie al O’ M∆(V) unui punct de pe suportul vectorului şi vectorul respectiv. Momentul axial nu depinde de Fig. 2.21. alegerea punctului O pe axă. (2.38) M ∆ (V ) = pr M O (V ) = M O (V ) ⋅ u = u ⋅ (r × V ) = (u , r , V )

V

2.6.3. Teorema lui Varignon sau Teorema momentelor

Teorema lui Varignon pentru momentul polar spune că: „Pentru un sistem de vectorii alunecători cu suporturile concurente, momentul rezultant al sistemului în raport cu un punct (pol) este egal cu momentul rezultantei”. Pentru demonstrarea acestei teoreme se consideră că toţi vectorii alunecători sunt deplasaţi cu punctul de aplicaţie în punctul P, în care suporturile tuturor vectorilor se intersectează. Se reduce acest sistem de vectori concurenţi şi se obţine rezultanta: n

R = ∑ V i = V1 + V2 + ...Vn . i =1

( ) n

R × r = ∑ V i × r = V1 × r + V2 × r + ...Vn × r i =1

(2.39)


STATICA CORPULUI RIGID 31 ____________________________________________________________________________________

( ) n

Momentul rezultantei este: M O ( R) = R × r = ∑ V i × r , unde r este vectorul de poziţie i =1

al punctului P faţă de polul O, (figura 2.23). Vi V1

(∆)

R P

r

V2

A1

_ u

−V

A2

O

Vn

b

Fig. 2.22

Fig. 2.23

r1 r2

V

O

Momentul rezultant al sistemului de vectori considerat este: n

n

M O ( R ) = ∑ r × V i = ∑ M Oi = r × R

(2.40) Se consideră dreapta ∆, caracterizată de versorul u şi se calculează momentele faţă de această dreaptă a vectorilor din sistemul respectiv şi al rezultantei. i =1

(

i =1

)

n

n

n

M ∆ ( R ) = u , r , R = (u , r , ∑ V i ) = ∑ (u , r , V i ) = ∑ M ∆ (Vi )

i =1 i =1 i =1 (2.41) Rezultă că momentul rezultantei faţă de o dreaptă este egal cu suma momentelor vectorilor ce compun sistemul considerat, faţă de aceeaşi dreaptă. Aceasta este Teorema lui Varignon pentru momentul axial.

2.6.4. Momentul unui cuplu de forţe

Sistemul de vectori format din vectori alunecători egali în modul, de sens opus şi situaţi pe două drepte suport paralele se numeşte cuplu, figura 2.23. Rezultanta cuplului este nulă, iar momentul cuplului este: M cuplu = r1 × V + r 2 × (− V) = (r1 − r 2 ) × V = A 2 A1 × V (2.42) Momentul unui cuplu este egal cu momentul unuia din vectorii cuplului în raport cu punctul de aplicaţie al celuilalt vector şi este un vector liber, adică nu depinde de (2.43) polul ales: |Mcuplu| = V b Momentul cuplului nu se schimbă dacă se roteşte întreg cuplul cu dreptele suport în planul lor sau într-un plan paralel sau se translatează în plan sau într-un plan paralel. Două cupluri sunt echivalente dacă şi numai dacă au aceleaşi momente. 2.7. Reducerea sistemelor de forţe concurente

A reduce o forţă într-un punct înseamnă a o înlocui cu elemente mecanice, legate de punctul considerat, care să producă acelaşi ca şi forţa dată. Operaţiile elementare de echivalenţă sunt acele operaţii simple, care se pot executa cu vectorii alunecători dintrun sistem oarecare, sistemul rezultat fiind echivalent cu cel iniţial. Principalele operaţii elementare sunt: - substituirea unui subsistem de vectori concurenţi aparţinând sistemului dat prin alt subsistem de vectori concurenţi având acelaşi echivalent cu cel iniţial; - alunecarea pe dreapta sa de acţiune nu schimbă datele iniţiale;


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

32

- compunerea sau descompunerea unui vector din sistem după direcţii concurente; - introducerea sau suprimarea a doi vectori egali în modul, de sens opus dar cu aceeaşi linie de acţiune. 2.7.1. Reducerea unei forţe într-un punct

Se consideră o forţă F pe un suport ∆, care acţionează un rigid S în punctul A. Se cere reducerea forţei într-un punct O al rigidului, figura 2.34.a. Conform operaţiilor elementare de echivalenţă în punctul cerut se introduc două forţe egale în modul şi de sens opus, fără a modifica cu ceva starea iniţială a sistemului. Dar forţa F de pe suportul ∆ şi forţa − F de pe suportul ∆ ' , unde ∆ ∆ ' , formează un cuplu de forţe care poate fi înlocuit mecanic echivalent cu vectorul moment al cuplului. M = OA × F = r × F = M 0 ( F ) M (F ) 0

∆`

O

-F ∆

F

F r (S)

O

∆`

A F

=

a.

r

F

A

(S)

b.

Fig. 2.24.

Forţa se reduce, mecanic echivalent în raport cu un punct O la 2 elemente vectoriale şi anume forţa F egală, paralelă şi de acelaşi sens cu forţa dată şi un cuplu reprezentat de momentul forţei date în raport cu punctul O, figura 2.24.b. Sistemul mecanic echivalent cu forţa dată, format din F şi M 0 ( F ) aplicate în punctul O, se numeşte torsorul de reducere în raport cu punctul O. El se notează simbolic: τ0 ( F ) = ⎡⎣ F , M 0 ( F ) ⎤⎦ .

(2.44)

2.7.2. Reducerea unui sistem de forţe oarecare într-un punct

(

)

Fie un rigid oarecare S solicitat de sistemul de forţe oarecare Fi i = 1, n aplicate în punctele A1 , A2 ,... An . Se cere să se calculeze efectul mecanic produs în punctul O de acţiunea simultană a forţelor din sistemul dat, figura 2.25.a. Forţele date se reduc pe rând în punctul O şi se obţin două sisteme de vectori concurenţi, figura 2.25.b, respectiv sistemul forţele F1 , F2 ,..., Fn şi sistemul momentelor M 1 , M 2 ,..., M n. Forţele F1 , F2 ,..., Fn din punctul O sunt echipolente cu forţele aplicate iniţial asupra rigidului în punctele A1 , A2 ,... An . Momentele forţelor au expresiile:

M 1 ( F1 ) = r1 × F1 ; M 2 ( F2 ) = r2 × F2 ... M n ( Fn ) = rn × Fn .

Se reduc cele două sisteme de vectori concurenţi si rezultă: R = F1 + F2 + ... + Fn ; M 0 = M 1 + M 2 + ... + M n (2.45) Torsorul unui sistem format din n forţe concurente, figura 2.25.c, în raport cu punctul O n

n

i =1

i =1

este sistemul format din vectorii: R = ∑ Fi ; M 0 = ∑ ri × Fi

(2.46)


STATICA CORPULUI RIGID 33 ____________________________________________________________________________________

aplicaţi în punctul O. Simbolul torsorului aplicat în punctul O este Γ 0 ⎡⎣ R , M 0 ⎤⎦ . Proprietăţile torsorului vectorilor alunecători sunt aceleaşi cu cele de la vectorii legaţi. Componentele R şi M 0 ale torsorului unui sistem de vectori alunecători într-un punct O sunt invariante faţă de operaţiile elementare de echivalenţă.

O rn

r1

A1

F1 A2

rj

An

Fn

Fi

ri Ai

Aj

F2

F1

F2 =

Mn

Fi

O

Fj a.

Mj

Mi

=

Fn M 1 M2

Fj

O

M0

b.

R0

c.

Fig. 2.25.

2.7.3. Concluzii privind reducerea sistemelor de forţe concurente

Reducerea unui sistem de forţe concurente este operaţia de substituire a sistemului dat printr-un alt sistem cu un număr mic de elemente, echivalent cu primul şi obţinut prin aplicarea operaţiilor elementare de echivalenţă. Un sistem de vectori este echivalent cu un sistem format din doi vectori aplicaţi în puncte bine determinate. Teorema de echivalenţă a două sisteme de forţe concurente se enunţă astfel: dacă două sisteme de vectori alunecători au acelaşi vector rezultant şi acelaşi vector moment rezultant într-un punct oarecare, adică acelaşi torsor, atunci cele două sisteme de vectori alunecători sunt echivalente, adică se pot deduce unul din altul printr-o succesiune de operaţii de echivalenţă. Se disting următoarele cazuri de reducere în funcţie de componentele vectoriale R şi M 0 şi anume: •

R = 0,

M 0 = 0 - sistemul de forţe concurente este echivalent cu zero;

R ≠ 0,

M 0 = 0 - sistemul de forţe concurente este echivalent cu un vector

R aplicat în punctul O, deoarece acest sistem are acelaşi torsor în punctul O ca şi sistemul considerat; M 0 ≠ 0 - sistemul de forţe concurente este echivalent cu un • R = 0, sistem de doi vectori egali, paraleli şi de sens contrar, având liniile de acţiune diferite; • R ≠ 0, M 0 ≠ 0 - din capitolul anterior s-a aflat că M 0 se descompune după două direcţii concurente, paralelă şi respectiv perpendiculară pe direcţia vectorului rezultant şi anume M 0 = M R + M N ⋅ M R , constituie componenta momentului independentă în raport cu punctul de reducere. Ca urmare se disting două situaţii şi anume: ▪ M R = 0 adică M 0 ⋅ R = 0, M 0 ⊥ R , sistemul de forţe M0 ≠ 0 concurente este echivalent cu un sistem format din R aplicat pe axa centrală, figura 2.26, deoarece acesta R ≠0 constituie locul geometric al punctelor pentru care x − x0 y − y 0 z − z 0 momentul este minim; = = Axă centrală Vx Vz Vz R Fig. 2.26


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

34

Axa centrală a unui sistem de vectori alunecători este locul geometric al punctelor din spaţiu pentru care momentul rezultant este minim. Este o dreaptă paralelă cu rezultanta. Dacă R şi M 0 sunt vectori coliniari, rezultă proporţionalitatea componentelor celor doi vectori: R (R x , R y , R z ) , M 0 (M 0x , M 0y , M 0z ) şi anume: M 0x M 0y M 0z = = Rx Ry Rz

(2.47)

Axa centrală este situată într-un plan (P) ⊥ M 0 plasată la distanţa d = M0

O

axa centrală

R d

A

R

R

(2.48)

Pentru a calcula momentul rezultantei în raport cu punctul A se utilizează relaţia (2.36), figura 2.27: M A ( R ) = M 0 ( R ) + OA × R . Dacă punctul A se află pe axa

centrală, M A ( R ) trebuie să aibă direcţia lui R şi atunci: M 0 ( R ) + OA × R = mR

(P)

(2.49)

unde m este un scalar: M 0 ( R ) − AO × R = mR

Fig. 2.27.

m=

M0

i M 0x i + M 0 y j + M 0zk − x

j y

Rx

Ry

M 0x − ( yR z − zR y )

=

k z = m ( Rx i + Ry j + Rz k ) Rz

M 0y − ( zR x − xR z )

=

M 0z − ( xR y − yR x )

(2.50) Rx Ry Rz Combinând pe rând primul raport cu al doilea şi al doilea cu al treilea, obţinem ecuaţiile ⎧ f1 ( x, y, z ) = 0 a două plane, care intersectate dau axa centrală sub forma (∆ )⎨ (2.51) ⎩ f 2 ( x, y , z ) = 0 ▪ M R ≠ 0 adică M0 ⋅ R ≠ 0, sistemul de forţe concurente este echivalent cu un sistem (torsor minimal) format din vectorii R şi M R , aplicaţi pe axa centrală. Un torsor este minimal dacă unghiul dintre vectori este zero sau π (vectorii sunt coliniari) şi se mai numeşte dinam, răsucitor sau şurub. 2.7.4. Invarianţii scalari ai operaţiei de reducere

Dacă operaţia de reducere se efectuează în alt punct Q ≠ O , atunci rezultă n

R = ∑ Fi i =1

M Q = M 0 + OQ × Fi

⇒ τQ ⎡⎣ R , M Q ⎤⎦

(2.52)

Relaţia (2.52) arată că în raport cu oricare punct de reducere, rezultanta este aceeaşi, adică forţa rezultantă nu se modifică şi se spune că este un invariant. Primul invariant scalar este modulul rezultantei vectorilor, R . Pentru a determina un alt invariant scalar, se înmulţeşte relaţia de schimbare a momentului rezultant, la modificarea polului, cu


STATICA CORPULUI RIGID 35 ____________________________________________________________________________________

R (produs scalar) şi anume: M Q ⋅ R = ( M O − r Q × R )⋅ R . Rezultă:

(2.53) R ⋅ M Q = R ⋅ M O − R ⋅ (r Q × R ) = R ⋅ M O − (R , r Q , R ) = R ⋅ M O adică produsul dintre rezultantă şi momentul rezultant în orice punct este constant. Considerând expresiile celor doi vectori, produsul scalar dintre R şi M O este: (2.54) R ⋅ M 0 =R x M 0x + R y M 0y + R z M 0z = const. şi reprezintă al doilea invariant al sistemului de vectori, care se mai numeşte şi trinom invariant. Se pune problema determinării momentului minim al sistemului de vectori. Se observă din figura 2.28 că valoarea minimă a momentului Mmin se obţine când R momentul este paralel cu rezultanta. Se scrie că: M min = M min . |R| Scalarul Mmin este tocmai proiecţia pe direcţia rezultantei a momentului rezultant. R ⋅M R ⋅M R R ⋅M sau M min = ⋅ = R (2.55) R ⋅ M =| R | ⋅ prR M =| R | ⋅M min ; M min = R2 |R| |R| |R| M0 adică momentul minim este coliniar cu R . α MP P O R ⋅M este al treilea invariant al Raportul R2 R R operaţiei de reducere. prR Mo prR MP Fig. 2.28

2.8. Reducerea sistemelor de forţe paralele 2.8.1.Forţe paralele în spaţiu

Fie n forţe Fi (i = 1,..., n ) paralele în spaţiu. Reducând sistemul de forţe într-un punct oarecare O, se obţine un torsor de reducere compus din forţa rezultantă R paralelă cu direcţia comună a forţelor şi un cuplu rezultant reprezentat de momentul M situat într-un plan P, perpendicular pe direcţia comună a forţelor, figura 2.29. Rezultă M R = 0 , sistemul se reduce la forţa rezultantă R şi suportul ∆ al acestei forţe, care este axa centrală. În cazul forţelor paralele, axa centrală are o proprietate importantă şi anume aceea că trece printr-un punct G a cărui poziţie depinde de mărimea forţelor date şi de poziţia punctelor lor de aplicaţie, dar nu depinde de direcţia comună a forţelor; cu alte cuvinte, rotind forţele date în acelaşi sens şi cu acelaşi unghi (pentru a rămâne paralele) în jurul punctelor de aplicaţie, axa centrală se roteşte şi ea în acelaşi sens şi cu acelaşi unghi în jurul lui G. Punctul G se numeşte centrul forţelor paralele (dacă forţele paralele sunt de greutate se numeşte centru de greutate) şi este punctul de aplicaţie al forţei rezultante R , figura 2.30. Coordonatele punctului centrului G al rezultantei sunt: n

rG =

∑Fr i =1 n

i i

∑F i =1

i

unde rG = OG . Proiectată pe axe relaţia (2.56) devine:

(2.56)


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

36

F1

z

Fi

R C x

R'

G

O’

C R

i =1 n

∑F

i

n

yG =

∑ Fi yi i =1 n

∑F i =1

i

Fn'

Fn

∆'

Fig. 2.29

∑ Fi xi i =1

Fi '

y

d=

n

R’

Ai

Fi

O

[P]

xG =

R

Fn

An

Fig. 2.30

n

zG =

∑F z i =1 n

i i

∑F i =1

(2.57)

i

În determinarea poziţiei centrului forţelor paralele, intervin expresii de forma Fi xi , adică produsul dintre o forţă de direcţie oarecare cu distanţa de la punctul de aplicaţie a forţei la un plan (planul yOz); un astfel de produs se numeşte moment static al forţei date în raport cu planul considerat. Momentul static al rezultantei mai multor forţe paralele în raport cu un plan este egal cu suma algebrică a momentelor statice ale componentelor în raport cu acelaşi plan. Momentele statice sunt expresii algebrice, care diferă de momentele cunoscute. 2.8.2. Cazuri particulare de forţe paralele a. Cazul a două forţe paralele de acelaşi sens Fie F1 = AA1 , F2 = BB1 două forţe paralele şi de acelaşi sens, aplicate în punctele A şi B şi R suma sau rezultanta lor, aplicată într-un punct necunoscut C, situat undeva pe dreapta AB, figura 2.31. Proiecţiile forţelor componente pe o direcţie B C E ∆ perpendiculară pe direcţia comună a D forţelor sunt nule şi conform teoremei A proiecţiei şi proiecţia rezultantei va fi nulă. α α F2 Rezultă de aici că rezultanta R este paralelă B1 cu forţele date. α F1 R Pentru determinarea punctului de A1 ∆ aplicaţie C, se aplică teorema lui Varignon în raport cu punctul C. Fig. 2.31

Mărimea momentului forţei F1 este F1xEC, pentru F2 este (–F2)xDC, respectiv mărimea momentului rezultantei este nul (EC şi DC sunt lungimile perpendicularelor coborâte F DC din punctele C pe F1 şi F2). Se obţine F1 × EC − F2 × DC = 0 sau 1 = . Ţinând F2 EC F BC seama de asemănarea triunghiurilor AEC şi BCD rezultă 1 = . Punctul C trebuie F2 AC


STATICA CORPULUI RIGID 37 ____________________________________________________________________________________

să se găsească între A şi B, deoarece în caz contrar, atât momentul lui F1 cât şi cel al lui F2 ar avea acelaşi semn şi suma lor ar fi nulă. Prin urmare, rezultanta a două forţe paralele şi de acelaşi sens, are ca mărime suma algebrică a forţelor date, direcţia şi sensul comun acestor forţe şi punctul de aplicaţie, un punct pe segmentul de dreaptă care uneşte punctele de aplicaţie ale forţelor date, astfel încât împarte acest segment în două părţi invers proporţionale cu forţele date. F1 F R (2.58) = 2 = BC AC AB unde R = F1 + F2 . Dacă forţele sunt rotite cu un unghi oarecare α în jurul punctelor de aplicaţie A şi B, reluând demonstraţia precedentă, se remarcă imediat că rezultanta se roteşte şi ea cu acelaşi unghi α, păstrându-şi mărimea şi punctul său de aplicaţie C, neschimbate.

b. Cazul a două forţe paralele de sensuri contrare Dacă forţele sunt paralele dar de sensuri opuse, figura 2.32, se constată că poziţia punctului C de aplicaţie al rezultantei nu se mai află între A şi B (deoarece în această poziţie momentele forţelor date în raport cu C au acelaşi semn şi suma lor nu este nulă). A1 Aplicând teorema lui Varignon rezultă D E C F DC α F1 − F1 ⋅ CE + F2 ⋅ DC = 0 sau 1 = . Spunem că B F2 EC F2 α α rezultanta a două forţe paralele şi de sensuri contrare A are ca mărime suma algebrică (diferenţa) a forţelor B1 R date, direcţia comună, sensul forţei mai mari şi ∆ punctul de aplicaţie un punct pe prelungirea Fig. 2.32 segmentului dreptei ce uneşte punctele de aplicaţie ale forţelor, situat de partea forţei celei mai mari astfel încât împarte segmentul în părţi invers proporţionale cu forţele date. Relaţia (2.58) este identică, iar R = F2 − F1 . 2.8.3. Descompunerea unei forţe după direcţii paralele

a. Descompunerea unei forţe după două direcţii paralele Se consideră două direcţii paralele ∆1 şi ∆2 situate în acelaşi plan cu o forţă R = MM 1 . Forţa trebuie descompusă după cele două direcţii date. Prin M punctul de aplicaţie al forţei R se duce o dreaptă AMB. Direcţiile fiind cunoscute, rezultă că lungimile AM, BM şi AB sunt determinate. Rezolvând sistemul de ecuaţii (2.57) în raport cu necunoscutele F1 şi F2, se obţine soluţia problemei conform figurii 2.33. BM AM F1 = R F2 = R , (2.59) AB AB

b. Descompunerea unei forţe după trei direcţii paralele Dacă se doreşte descompunerea unei forţe după trei direcţii paralele cu forţa ∆1, ∆2 şi ∆3, nesituate în acelaşi plan, figura 2.34, prin punctul M se duce un plan P oarecare şi se obţine astfel triunghiul ABC. În triunghi se duce dreapta AMD. Se descompune mai întâi forţa R în două componente paralele F1 trecând prin A şi F ' trecând prin D; forţa


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

38

F ' la rândul ei se descompune în două componente paralele, F2 trecând prin B şi F3 trecând prin C. Valorile numerice ale forţelor componente sunt, conform (2.59) MD MA CD MA BD (2.60) F1 = R F2 = R ⋅ F3 = R ⋅ , , AD AD BC AD BC c. Descompunerea unei forţe după mai multe direcţii paralele Dacă se doreşte descompunerea unei forţe după mai multe direcţii paralele situate în planul forţei, problema admite o infinitate de soluţii, adică este nedeterminată. B

F2 D3

A

F1

D’

E

R'

C

M1

D1

D

B1

A1

D2 B

F'

C

F2

M

F3 M1

Fig. 2.33

R F1

A

Pentru acest caz, se pot alege, după voie, mărimea componentelor după direcţii suplimentare, după care se reduce problema la cazurile a sau b.

Fig. 2.34

2.9. Geometria maselor 2.9.1. Greutatea şi masa corpurilor

Masa este o noţiune introdusă de Isaac Newton, ca fiind caracteristică oricărui corp, diferită de greutate, dar proporţională cu aceasta, este mărimea fizică pe care a pus-o la baza dezvoltării mecanice clasice. Masa este o mărime scalară pozitivă, în general invariabilă şi reprezintă o caracteristică complexă şi universală a materiei. Conform principiului II al mecanicii, dacă se consideră două puncte materiale A1 (m1 ) şi A2 (m2 ) , aflate iniţial în repaus, asupra cărora se aplică o aceeaşi forţă F , cele două puncte vor a avea acceleraţii diferite a1 , a 2 şi deoarece m1 a1 = m2 a 2 ⇒ m2 = m1 1 (2.61) a2 Considerând masa m1 ca unitate de masă, masa m2 rezultă ca raport dintre acceleraţiile punctelor, produse de aceeaşi forţă. Cu cât masa unui corp este mai mare, cu atât ea se opune mai mult la modificarea stării lui de mişcare. Masa caracterizează inerţia corpurilor, adică proprietatea de a se opune tendinţei de a fi pus în mişcare, sau de a i se schimba mişcarea, măsurând astfel inerţia acelui corp material. Masa astfel determinată se numeşte masă inertă. Toate particulele materiale care se află la suprafaţa Pământului sau în apropierea acestuia (până la o anumită distanţă) sunt supuse acţiunii câmpului gravitaţional terestru care se manifestă prin forţa de atracţie G = m⋅ g (2.62) care a fost denumită forţă gravifică sau greutate. Această forţă depinde de masa particulei materiale m şi de vectorul g care se numeşte acceleraţie gravitaţională şi care variază în raport cu poziţia particulei materiale faţă de suprafaţa Pământului. Masa corpului determinată ca raport dintre greutatea G şi acceleraţia gravitaţională se numeşte masă gravifică sau masă grea. Masa unui corp depinde de cantitatea de materie pe care o conţine corpul şi este aceeaşi în orice punct al globului. Greutatea corpului este însă variabilă cu latitudinea şi altitudinea, deoarece acceleraţia gravitaţională variază în acest sens. Astfel, la pol


STATICA CORPULUI RIGID 39 ____________________________________________________________________________________

g = 9,831 m / s 2 , la ecuator g = 9,7811 m / s 2 , la latitudinea noastră de 45o şi la nivelul mării g = 9,80665 m / s 2 ; pentru calcule care nu necesită precizie deosebită se poate considera g = 9,81 m / s 2 . Acceleraţia gravitaţională variază şi cu altitudinea, după ⎛ 2h ⎞ (2.63) formula aproximativă: g h = g 0 ⎜1 − ⎟ R⎠ ⎝ unde: gh este acceleraţia gravitaţională la altitudinea h deasupra nivelului mării; g0 este acceleraţia gravitaţională la nivelul mării; R – raza Pământului adică R = 6400 km. La aceeaşi latitudine greutatea corpurilor scade cu altitudinea datorită micşorării lui gh. Fenomenele noi, descoperite la sfârşitul secolului trecut, au condus la formula lui m0 (2.64) Lorentz: m = 2 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠ în care: mo este masa de repaus a corpului; m este masa de mişcare; v este viteza corpului iar c - viteza luminii în vid. Conform acestei relaţii masa nu mai este constantă ci variază cu viteza. Pentru viteze mici în comparaţie cu viteza luminii, masa poate fi considerată constantă, eroarea comisă fiind foarte mică şi deci neglijabilă. Pentru viteze mari, masa nu mai poate fi considerată constantă. Relaţia (2.64) este astăzi utilizată pe scară largă în fizica atomului (acceleratoare de particule: betatroane, ciclotroane, sincrotroane etc.). În natură masa m a unui punct material nu se menţine constantă, ci variază continuu cu timpul, fiind crescătoare în cazurile când i se adaugă prin alipire mase dm > 0, sau descrescătoare când se desprind din ea mase dm < 0. Pentru corpurile de la suprafaţa Pământului, masa lor se determină practic prin cântărire. Aparatele de cântărit sunt de o mare diversitate de tipuri şi forme constructive: balanţe cu braţe egale, bascule, cântare semiautomate şi automate etc. La aparatele de cântărit cu pârghii, masa corpurilor se determină direct, stabilindu-se prin cântărire egalitatea dintre greutatea corpului şi greutatea etalon, între care se elimină acceleraţia gravitaţională. La alte aparate (cântare cu arc, balanţe de torsiune, cântare hidraulice, cântare electrice etc), care măsoară greutatea corpurilor, masa acestora se determină în mod indirect. Masa unui punct material se notează cu m, masele punctelor unui sistem de puncte materiale Ai (i = 1,..., n ) cu mi, iar masa totală a sistemului cu n

M = ∑ mi

(2.65)

i =1

pentru un continuum material sau solid M =

∫ dm

(2.66)

(D )

Greutatea unui sistem de puncte materiale este n

n

i =1

i =1

4. 5 ) G = m1 g + m2 g + ... + mn g = g ∑ mi ⎯(⎯ ⎯→ M g = ∑ Gi

Pentru corpul solid devine G = ∫ gdm = g ∫ dm = M g

(2.67) (2.68)

2.9.2. Densitatea corpurilor

Raportul

∆m i se numeşte densitate medie a volumului ∆Vi , iar limita către care ∆Vi


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

40

∆mi dm = ∆Vi →0 ∆V dV i

tinde acest raport, când ∆Vi → 0 este ρ V = lim

(2.69)

se numeşte densitate volumică punctuală. Corpurile care au una din dimensiuni neglijabilă (grosimea, de exemplu) în raport cu celelalte două se numesc plăci. Pentru ele se ia în considerare densitatea superficială sau densitatea de suprafaţă a masei, definită ca limita către care tinde raportul dintre masa ∆mi şi suprafaţa ∆S i a unei porţiuni foarte mici din placă, când ∆S i → 0 ∆mi dm (2.70) = ∆S i →0 ∆S dS i Dacă corpul la care ne referim este o bară sau un fir, adică dimensiunile secţiunii sale transversale sunt neglijabile, în raport cu lungimea, se defineşte densitatea liniară sau densitatea de lungime a masei ca limita raportului ∆mi şi lungimea ∆l i a unei porţiuni

ρ S = lim

∆mi dm (2.71) = ∆li →0 ∆l dl i Pentru corpurile eterogene densitatea este o funcţie continuă de punct ρ = ρ ( x, y, z ) .

foarte mici din lungimea barei, când ∆l i → 0 rezultă ρ l = lim

2.9.3. Centre de mase (centre de greutate) a. Definiţia centrului de masă Greutatea unui sistem de puncte materiale, care este rezultanta tuturor greutăţilor punctelor materiale componente ale sistemului, este aplicată într-un punct numit centrul de greutate al sistemului de puncte materiale. Deoarece greutăţile punctelor materiale componente sunt forţe paralele între ele şi de acelaşi sens (vertical descendent) centrul de greutate se bucură de toate proprietăţile centrului forţelor paralele şi poate fi n

n

determinat în raport cu un pol O prin vectorul de poziţie: rG =

∑rG i =1 n

i

∑G i =1

i

=

∑r m

i

i =1 n

i

∑m i =1

i

(2.72)

i

Noţiunea de centru de masă sau de greutate, notată cu G sau C a fost introdusă de Daniel Bernoulli. Proiectată pe axele unui sistem cartezian relaţia (2.72) devine: xG =

i =1 n

i i

∑m i =1

i

n

n

n

∑m x

; yG =

∑m y i =1 n

i

∑m i =1

i

i

; zG =

∑m z i =1 n

i i

(2.73)

∑m i =1

i

Din expresia (2.73) se constată existenţa centrului G chiar în cazul când sistemul material se găseşte în afara acţiunii gravitaţiei, adică în cazul corpurilor fără greutate; poziţia lui G depinde numai de distribuţia meselor, indiferent dacă sistemul este greu sau nu. Dacă sistemul material este alcătuit dintr-un acelaşi material, adică dacă este corp omogen, atunci densitatea ρ i este aceeaşi pentru orice părticică a lui. Rezultă că n

ρ i = ρ = constant, iar mi = ρVi iar formulele precedente devin: rG =

∑V r i =1 n

i i

∑V i =1

i

(2.74)


STATICA CORPULUI RIGID 41 ____________________________________________________________________________________

unde: ρ este densitatea materialului corpului iar Vi - volumul său. Din relaţia (2.74) rezultă că poziţia centrului de greutate depinde numai de forma lor geometrică, indiferent de materia din care sunt făcute. Pentru un solid rigid definit ca un continuum material nedeformabil, centrul de masă se calculează, considerând un element de masă ∫ rdm (2.75) dm şi vectorul de poziţie al acestui element r : rG = ∫ dm de masă în unele materiale bibliografice sunt C (ξ ,η , ς ) ξ = xG ,η = y G , ς = z G . Poziţia centrului de masă C este dată de vectorul de poziţie ρ = rG .

Coordonatele

centrului

unde

Proiectată pe axele unui sistem cartezian Oxyz, relaţia (2.75) devine: ∫ xdm ; y = ∫ ydm ; z = ∫ zdm (2.76) xG = G G ∫ dm ∫ dm ∫ dm Corpurile a căror densitate sau masă specifică (volumică, superficială sau liniară) este constantă, în orice punct al corpului, se numesc corpuri omogene. Pentru aceste cazuri, relaţiile generale de calcul sunt simplificate, deoarece masa specifică fiind un factor constant poate fi scos de sub semnul integralei. Astfel vectorul de poziţie al centrului de masă este: ∫ rdm = ∫ r ⋅ dV ⋅ ρV = ∫ r ⋅ dV (2.77) - pentru volumele omogene: rG = m dV ⋅ dV d ρ V ∫ ∫ ∫

∫ rdm = ∫ r ⋅ dS ⋅ ρ = ∫ r ⋅ dS ∫ dm ∫ dS ⋅ ρ ∫ dS ∫ rdm = ∫ r ⋅ dl ⋅ ρ = ∫ r ⋅ dl = ∫ dm ∫ dl ⋅ ρ ∫ dl S

- pentru suprafeţe (plăci) omogene: rG =

(2.78)

S

- pentru bare sau fire omogene: rG

l

(2.79)

l

Analizând relaţiile anterioare se constată că în cazul corpurilor omogene, poziţia centrelor de masă depinde numai de forma geometrică a corpurilor. Se introduce astfel denumirea de centru de masă geometric, care coincide cu centrul maselor sau cu centrul de greutate mecanic. b. Proprietăţi 1. Poziţia centrului de masă al unui sistem de puncte materiale, faţă de punctele sistemului, nu depinde de poziţia sistemului faţă de reperul de referinţă ales; 2. Poziţia centrului de masă nu se modifică dacă masele sistemului dat se amplifică sau micşorează cu acelaşi raport; 3. Centrul de masă se află în interiorul oricărei suprafeţe convexe care conţine în interiorul ei toate punctele sistemului; 4. Dacă punctele sistemului sunt situate pe o dreaptă, pe ea se află şi centrul maselor; 5. Dacă punctele sistemului sunt situate într-un, în acel plan se află şi centrul maselor; 6. Dacă sistemul de puncte materiale admite un plan de simetrie, o axă sau un centru de simetrie, centrul de masă se află în acel plan, pe acea axă respectiv în acel centru; 7. Dacă sistemul de puncte materiale este format din p subsisteme (S1 ), (S 2 ),..., (S p ) ale căror mase M 1 , M 2 ,..., M p şi centre de masă G1 , G2 ,..., G p sunt cunoscute, poziţia centrului masă de masă se determină cu relaţia:


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

42

rG =

M 1 rG1 + M 2 rG 2 + ... + M p rGp

(2.80) M 1 + M 2 + ... + M p 8. Dacă sistemul dat de puncte materiale (S) este rezultatul unui alt sistem de puncte materiale (S1) din care lipseşte un subsistem (S2), cărora li se cunoaşte masele M1, M2 şi poziţia centrelor de masă G1, G2, atunci vectorul de poziţie al centrului de M r − M 2 rG 2 (2.81) masă G se determină cu formula: rG = 1 G1 M1 − M 2 c. Determinarea centrelor de masă la corpuri omogene simple c.1. Bare omogene (linii materiale)

a) Segmente de dreaptă. Centrul de greutate se află la mijlocul segmentului, acesta fiind şi centrul său de simetrie. b) Bare sub formă de arc de cerc cu unghiul la centru 2α.. Considerăm axa Ox, axă de simetrie şi conform proprietăţilor centrului de masă ştim că se va găsi întotdeauna pe axele se simetrie, deci yG = 0, figura 2.35. Determinăm poziţia pe axa ∫ x&ds unde ds = x& 2 + y& 2 dθ . Utilizând coordonatele Ox a centrului de greutate xG = AB ∫ ds AB

polare plane: y

B ds

O

α α

⎧x = R cosθ θ ∈[−α,+α] ⎨ ⎩ y = Rsinθ Rezultă: y& = R cos θ şi x& = − R sin θ , adică ds = R.dθ

x A

şi xG =

Fig. 2.35

α

∫α R cosθ ⋅ Rdθ

α

∫ dθ

α

=

R sin θ | α

θ |−α

−α

=R

α

(2.82)

−α

π 2R 2 π 2R ⇒ xG = ; α = ⇒ xG = . 4 2 π π c.2. Plăci omogene (suprafeţe materiale)

În cazuri particulare, rezultă: α =

sin α

(2.83)

a. Suprafeţe triunghiulare. Se consideră o placă plană triunghiulară omogenă cu vârfurile în A, B şi C de vectori de poziţie r A , r B şi r C , figura 2.36. Centrul de masă se află la intersecţia 1 medianelor şi se determină cu relaţia: r G = (r A + r B + r C ) . 3 1 B C ⎧ y ⎪ xG = 3 ( x A + xB + xC ) de unde: ⎨ (2.84) 1 r ⎪ B yG = ( y A + y B + yC ) rC 3 ⎩ rA A Din relaţia (4.24) se constată că centrul de greutate x O al suprafeţei triunghiulare este şi centrul de intersecţie al medianelor triunghiului dat. Fig. 2.36


STATICA CORPULUI RIGID 43 ____________________________________________________________________________________

b. Suprafaţa patrulaterului Fie ABCD un patrulater oarecare, figura 2.37. Unind B cu D se poate descompune patrulaterul dat în două triunghiuri ABD şi BCD, având centrele de greutate în G1 şi G2, situate pe medianele AE şi CE la două treimi de vârfurile A şi C. Centru de greutate se va găsi pe dreapta G1G2, astfel încât

G 2 G sup rafata ABD . Dar suprafeţele ABD şi = G1G sup rafata BCD

BCD au baza comună BD, raportul lor va fi egal cu raportul înălţimilor coborâte din A şi C pe BD sau cu raportul proporţionalelor AF şi CF. Rezultă G2 G = AF . Punctul de G1G

CF

intersecţie al dreptei G1G2 cu BD este M. Din asemănarea triunghiurilor EG1M, EAF şi G M EM G2 M GM AF G2 G . ale triunghiurilor EG2M şi ECF se obţine: 1 = = ⇒ 1 = = AF EF CF G M CF G G 2 1 A Aplicând o proprietate a proporţiilor se obţine: G1 G1 M G2 G M = . Numitorii fiind amândoi F B D E G2 M + G1 M G 2 G + G1G G egali cu G1G2 rezultă că şi numărătorii sunt egali, adică G2 G2 G = G1 M . Această relaţie permite calcularea grafică Fig. 2.37 a centrului G, prin construcţia punctelor G1, G2 a dreptei C G1G2 şi punctul M.; ulterior se consideră pe dreapta G1G2 lungimea G2G egală cu G1M. c.3. Con circular drept

Se consideră un con oarecare, circular drept, care are raza R şi înălţimea h, figura ∫∫∫ zdxdydz , 2.38. Se alege axa Oz axă de simetrie şi rezultă: xG = 0; yG = 0; zG = V ∫∫∫ dxdydz V

unde z se determină ţinând cont de proporţionalitatea laturilor în triunghiurile formate: z r rh = ⇒z= h R R

⎡ rhR ⎤ r 2h2 h2 1 z ⋅ d x d y d z = z d z d x d y = d x d y = ⎢ ⎥ ∫∫∫V ∫∫D ⎣∫0 ⎦ 2 ∫∫D R 2 2R 2 Schimbăm coordonatele carteziene în coordonate polare:

2

dxdy

⎧ r ∈ [0, R] D′⎨ dxdy = r ⋅ drdθ ⎩θ ∈ [0,2π ] R 2π h2 h2 πh 2 R 2 3 3 θ θ r r z x y z r r ⋅ d d d = d d = d d = ∫∫∫V 2 R 2 ∫∫D 1 2 R 2 ∫0 ∫0 4

R r h

z

Integrala de la numitor, reprezintă volumul conului y

D Fig. 2.38

D

⎧ x = r cosθ ⎨ ⎩ y = r sin θ

z

x

∫∫ r

πhR 2 3

,

3 h (2.85) 4 Conform relaţiei (2.85) se observă că în cazul conului cu baza circulară fie drept fie oblic, centrul de greutate se află pe dreapta care uneşte vârful cu centrul cercului bazei, la ¾ din înălţimea lui. deci: zG =


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

44

2.10. Echilibrul solidului rigid 2.10.1. Echilibrul solidului rigid liber

Rigidul liber este un rigid căruia nu i se impun restricţii geometrice şi ocupă în spaţiu poziţii care depind numai de forţele care acţionează asupra lui. Se consideră un sistem oarecare de forţe, care acţionează asupra unui rigid liber. Acest sistem poate fi asimilat cu un sistem de vectori liberi. El poate fi redus într-un punct O, obţinându-se un torsor determinat de rezultanta R şi de momentul rezultant M 0 . Condiţia necesară şi suficientă ca un rigid aflat în echilibru să rămână în echilibru este ca torsorul forţelor aplicate asupra rigidului, calculat într-un punct oarecare al spaţiului să fie nul. n

n

i =1

i =1

R = ∑ Fi = 0; M 0 = ∑ ri × Fi = 0

(2.86)

⎧⎪ R x = 0; R y = 0; R z = 0 (2.87) Această condiţie presupune un sistem cu 6 ecuaţii: ⎨ ⎪⎩M x = 0; M y = 0; M z = 0 Observaţii a. dacă forţele care acţionează un rigid liber sunt concurente în O, în spaţiu, atunci ecuaţiile de momente faţă de O fiind îndeplinite de la sine, rezultă (2.88) ∑ Fxi = 0; ∑ Fyi = 0; ∑ Fzi = 0 b. dacă forţele care acţionează un rigid liber sunt concurente în O, în plan, se obţine ∑ Fxi = 0; ∑ Fyi = 0; (2.89) c. dacă forţele care acţionează un rigid liber sunt paralele în spaţiu, atunci considerând axa Oz paralelă cu suportul forţelor, trei din ecuaţiile (2.87) sunt îndeplinite de la sine şi conduc la identităţi (0 = 0), aşa că rămân ecuaţiile: (2.90) ∑ Fzi = 0; ∑ M xi = 0; ∑ M yi = 0 d. dacă forţele care acţionează un rigid liber sunt forţe paralele, în plan, luând axa Oy paralelă cu suportul forţelor, se obţine: (2.91) ∑ Fyi = 0; ∑ M Oi = 0; e. dacă forţele care acţionează un rigid liber sunt cupluri în spaţiu, rezultă: (2.92) ∑ M xi = 0; ∑ M yi = 0; ∑ M zi = 0 f. dacă forţele care acţionează un rigid liber sunt cupluri în plan atunci: ∑ M Oi = 0 (2.93) Pentru a stabili poziţia unui rigid oarecare în spaţiu este necesar să se cunoască coordonatele a trei puncte necoliniare A1 (x1 , y1 , z1 ), A2 (x 2 , y 2 , z 2 ), A3 (x3 , y 3 , z 3 ) . Aceste nouă coordonate nu sunt însă independente, deoarece distanţele d1 , d 2 , d 3 dintre puncte rămân constante, corpul fiind nedeformabil. Se pot scrie relaţiile: A1 A2 =

(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

= d1

A2 A3 =

( x 3 − x 2 )2 + ( y 3 − y 2 ) 2 + ( z 3 − z 2 ) 2

= d2

(2.94)

A3 A1 = (x1 − x3 ) + ( y1 − y 3 ) + (z1 − z 3 ) = d 3 Pentru că între cei 9 parametri scalari se scriu 3 relaţii, rezultă că doar 6 sunt independenţi. În concluzie, un rigid liber are 6 grade de libertate. În plan este necesar să se cunoască poziţia a două puncte, deci un rigid liber în plan are trei grade de 2

2

2


STATICA CORPULUI RIGID 45 ____________________________________________________________________________________

libertate. Problemele echilibrului rigidului liber sunt: - problema directă: se dau forţele care acţionează rigidul şi se cere poziţia sa de echilibru. Problema este static determinată, pentru că apar în spaţiu 6 necunoscute şi stau la dispoziţie 6 ecuaţii. - Problema inversă: Se cunoaşte poziţia de echilibru a rigidului şi se cer forţele pentru echilibru. Problema este static determinată numai dacă numărul necunoscutelor este egal cu cel al ecuaţiilor. 2.10.2. Echilibrul solidului rigid supus la legături a. Punerea problemei

Rigidul supus la legături este corpul căruia i se impun anumite restricţii geometrice, de exemplu să rămână pe o suprafaţă, pe o curbă sau într-un punct fix. Rigidul supus la legături este acţionat de forţe şi momente exterioare, direct aplicate şi de forţe şi momente de legătură (deoarece legăturile sunt mai complexe decât în cazul punctului material). Din axioma legăturilor se ştie că orice legătură poate fi înlocuită cu o forţă şi deci se obţine un sistem de forţe de legătură, care poate fi redus într-un punct O, obţinând torsorul forţelor de legătură, format din rezultanta R ' şi '

momentul rezultant M O . Condiţia de echilibru se exprimă cu relaţiile vectoriale: R + R ' = 0; M 0 + M 0' = 0 care în cazul general conduc la 6 ecuaţii scalare de echilibru.

(2.95)

b. Echilibrul rigidului supus la legături fără frecare

Legăturile posibile ale rigidului sunt rezemarea sau reazemul simplu, articulaţia, încastrarea şi prinderea cu fire. În studiul legăturilor rigidului se urmăresc două aspecte: unul geometric, referitor la numărul gradelor de libertate şi unul mecanic, legat de elementele mecanice cu care se înlocuiesc legăturile. Pentru fiecare legătură în parte se vor studia: a) mobilitatea, adică numărul gradelor de libertate care rămân rigidului după aplicarea legăturii, care arată câte posibilităţi de mişcare independente îi rămân rigidului. b) Forţele şi momentele pe care le introduce legătura. Să cercetăm pe fiecare din aceste legături. b.1. Reazemul simplu Rezemarea este legătura prin care un punct O al unui rigid este obligat să rămână permanent pe o suprafaţă sau pe o curbă dată. Se consideră o sferă (S) aşezată pe o placă fixă (P). Se presupune că cele două corpuri aflate în contact sunt rigide şi perfect lustruite astfel încât frecarea dintre ele să poată fi neglijată, iar contactul se realizează într-un singur punct. Asupra sferei acţionează un sistem de forţe oarecare Fi (i = 1,..., n ) cu punctele de aplicaţie Ai (i = 1,..., n ) care se reduc în raport cu punctul de contact

C(O) la un torsor format din R , M 0 , figura 2.39. Se alege un sistem de referinţă

cartezian, cu originea în punctul de contact C(O). Reacţiunea planului asupra sferei (N ) are direcţia normalei comune la cele două suprafeţe în contact şi sensul mişcării interzise de placă, valoarea reacţiunii putând fi oricât de mare datorită rigidităţii


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

46

suprafeţei de sprijin. Reazemul simplu suprimă posibilitatea rigidului de a se deplasa pe

Fig. 2.39

direcţia normală şi de aceea el se înlocuieşte cu o recţiune normală. Mărimea acestei forţe este necunoscută şi se determină din condiţia ⎧⎪ R + N = 0 de echilibru: ⎨ (2.96) ⎪⎩M = 0 Un reazem simplu este deci înlocuit cu o forţă (N ) dirijată după normala comună în punctul de contact. Pentru reprezentarea simbolică (simplificată) se utilizează un triunghi cu baza sprijinită pe o linie şi cu vârful plasat în punctul de contact al corpului cu suprafaţa reală de sprijin (v. fig. 2.39. c). Rezemarea simplă asigură corpului 5 grade de libertate, corespunzător cu mişcările simple posibile indicate prin săgeţile punctate (v. fig. 2.39, a) şi suprimă corpului un singur grad de libertate, fapt pentru care se mai numeşte şi cuplă cinematică de clasa I. În natură, rezemarea într-un singur punct este foarte greu de realizat practic. b. 2. Articulaţia Articulaţia este legătura prin care un punct O al rigidului este obligat să rămână în permanenţă fix. În acest caz, rigidul poate efectua numai mişcarea de rotaţie. Articulaţiile pot fi sferice şi în acest caz rigidul poate efectua rotaţii în jurul punctului fix O, iar în cazul articulaţilor cilindrice, rigidul poate efectua mişcări de rotaţie în jurul unei axe. Să presupunem corpul solid (C) supus acţiunii unor forţe în spaţiu care se reduc în O la rezultanta R şi cuplul C , figura 2.40. Cuplul va căuta să rotească corpul în jurul lui O şi oricât de mic R ar fi tot va roti acest corp, în ipoteza lipsei frecării. Pentru (C ) echilibru va trebui ca C = 0. Forţa R va căuta să desprindă corpul din articulaţie, ceea ce nu poate deoarece este O împiedicată de legătura dată. Corpul va fi în echilibru dacă rezultanta trece prin O. Dar R reprezintă o acţiune a corpului C N asupra articulaţiei O şi conform principiului acţiunii şi Fig. 2.40 reacţiunii, articulaţia O va exercita asupra corpului o reacţiune N , egală şi direct opusă cu R . Reacţiunea N înlocuieşte

⎧⎪ R + N = 0 (2.97) legătura de articulaţia în O. Condiţia de echilibru este: ⎨ ⎪⎩M = 0 Dacă corpul solid este supus la un sistem de forţe în spaţiu, reacţiunea articulaţiei este reprezentată prin cele trei componente R x , R y , R z aplicate în punctul articulaţiei. Dacă forţele acţionează în plan, apar cele două componente H (R x ) şi V (R y ) .


STATICA CORPULUI RIGID 47 ____________________________________________________________________________________

Deci articulaţia sferică introduce trei necunoscute şi cea plană două. Articulaţia sferică este o cuplă cinematică de clasa a III-a care se aplică unui corp atunci când dorim să suprimăm acestuia 3 grade de libertate, lăsând posibile numai rotaţiile corpului în raport cu trei axe rectangulare trecând prin centrul cuplei. Notarea simbolică a articulaţiei sferice punctuale este un triunghi cu baza fixă şi cu vârful plasat în punctul teoretic de aplicare a legăturii. Articulaţia cilindrică este o cuplă cinematică de clasa a IV-a, care se aplică unui corp atunci când dorim să-i suprimăm acestuia numai 2 grade de libertate, rotaţia şi translaţia în raport cu aceeaşi axă. Înlocuirea mecanic echivalentă a acestei legături se realizează printr-un sistem de forţe N i (i = 1,..., n ) care intersectează rectangular axa de rotaţie şi sunt distribuite după o lege necunoscută sau prin rezultanta forţelor de legătură N şi momentul rezultant al forţelor de legătură M 0 , care introduc 4 necunoscute ( N x , N z , M x , M z ) . Faţă de punctul teoretic de contact (C) legătura se înlocuieşte mecanic echivalent prin elementele torsorului minimal. Echilibrul este posibil dacă forţele exterioare se reduc la o rezultantă unică R faţă de punctul O. În n

acest caz şi sistemul forţelor de legătură se reduse la forţa unică N = ∑ N i = − R , care i =1

comportă numai două necunoscute. Cupla cinematică este legătura dintre două corpuri care limitează libertatea de mişcare relativă a unuia faţă de celălalt. Teoretic, toate legăturile de contact ale rigidului cu suprafeţe sau curbe, pot fi utilizate în sistemele mecanice drept cuple cinematice. Analog unei legături, cupla cinematică limitează gradele de libertate ale rigidului impunând un număr de constrângeri k, variind de la unu la cinci, numărul gradelor de libertate permise notându-se cu f, k şi f satisfăcând relaţia: k + f = 6. Clasa uni cuple cinematice este dată de numărul gradelor de libertate suprimate de aceasta, adică de numărul constrângerilor impuse. Cuplele pot fi inferioare, când contactul dintre cele două corpuri se realizează pe o suprafaţă şi superioare când contactul este punctiform sau după o curbă. Constructiv, cuplele pot fi închise sau deschise după cum, pentru desfacerea legăturii este necesară demontarea sau distrugerea corpurilor care o formează.

b.3. Încastrarea Încastrarea este legătura prin care un rigid oarecare pătrunde cu o anumită porţiune într-un alt rigid, astfel încât este suprimată orice posibilitate de mişcare, figura 2.41. Zona de contact, dintre cele două corpuri este o suprafaţă oarecare. Să considerăm sistemul de forţe care acţionează corpul (C2) redus la forţa R şi un cuplu de moment C , aplicate în punctul de încastrare O. Atât forţa cât şi cuplul vor acţiona asupra

corpului (C1) astfel încât acesta va reacţiona prin forţa R ' şi cuplul C ' , egale şi direct opuse cu primele. Metoda pentru studiul echilibrului în cazul încastrării este similară cu aceea întrebuinţată la toate celelalte cazuri cu legături: se îndepărtează încastrarea şi se înlocuieşte cu rezultanta forţelor de legătură şi de momentul rezultant al acestor forţe. Condiţia de echilibru este dată de sistemul: ⎧⎪ R x + R x′ = 0; R y + R ′y = 0; R z + R z′ = 0 R' C' (2.98) ⎨ (C2) ⎪⎩M x + M x′ = 0; M y + M ′y = 0; M z + M z′ = 0 O b.4. Legătura prin fire sau bare articulate Firele se consideră inextensibile (nu pot fi lungite prin R C întindere) tot aşa precum corpurile solide sunt considerate nedeformabile. Spre deosebire de corpurile solide firele sunt (C1) Fig. 2.41 flexibile, putând fi îndoite, înfăşurate pe roţi etc.


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

48

Supuse la tensiuni, firele se desfăşoară şi rămân întinse; firele însă nu pot fi comprimate din cauza flexibilităţii lor. Se consideră un corp prins de punctul O cu un fir OM, flexibil, figura 2.42. Este cazul unei legături unilaterale de rezemare a corpului. Se poate înlocui legătura cu o forţă dirijată după direcţia normalei la suprafaţă adică îndreptată către rază, deci după direcţia firului şi având sensul către exteriorul corpului considerat. Prinderea cu fire sau bare este o legătură care se poate înlocui cu forţele de întindere dirijate de-a lungul lor numite tensiuni în fir.

O

T M Fig. 2.42

Problema echilibrului corpurilor legate prin fire se rezolvă “tăind” firul şi înlocuindu-l cu o forţă care are punctul de aplicaţie în punctul de prindere a firului de corp, direcţia firului, sensul către exteriorul corpului şi mărime necunoscută şi apoi aplicând condiţiile de echilibru ca şi în cazul punctului material sau a rigidului liber. Acelaşi efect mecanic se obţine dacă în locul firelor avem bare articulate. Valoarea tensiunii din bară este aceeaşi cu valoarea tensiunii din fir. În cazul barelor pot apare şi forţe de compresiune, bara fiind o legătură bilaterală.

c. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare Problemele de echilibru în acest caz, se rezolvă la fel ca şi la corpurile ideale, introducând pe lângă forţele de legătură obişnuite şi forţe sau momente de frecare, în funcţie de felul frecării. Un corp rezemat bilateral pe un altul, nu poate pătrunde sau nu se poate dezlipi de corpul pe care se reazemă; corpul considerat poate totuşi să se deplaseze paralel cu el însuşi în planul tangent comun dus în punctul de contact al corpurilor – mişcare de alunecare – sau se poate roti în jurul unei drepte situate în planul tangent – mişcare de rostogolire – sau se poate roti în jurul normale comune corpurilor trecând prin punctul de contact – mişcare de pivotare. De asemenea, un corp care are o articulaţie, nu se poate desprinde de ea, dar se poate roti în jurul ei – mişcare de rotaţie în articulaţii şi lagăre. Experimental se observă că mişcările mai sus menţionate nu se produc decât dacă elementele mecanice care caută să pună în mişcare sunt superioare unor anumite valori. În consecinţă, la studiul corpurilor solide, la înlocuirea legăturilor trebuie să ţinem seama pe lângă elementele de legătură mecanice cunoscute şi de cele datorate frecărilor. Ele vor fi de atâtea feluri, câte feluri de mişcări avem. În cele ce urmează le vom studia succesiv. Tabelul 2.1 prezintă simbolul, elementele mecanice înlocuitoare şi numărul necunoscutelor pentru fiecare tip de legătură mecanică.

c.1. Frecarea de alunecare apare în planul tangent la suprafaţa de contact dintre două corpuri şi are valoarea maximă µN, unde N este reacţiunea normală, iar µ = tgϕ este coeficientul de frecare de alunecare. Condiţia de echilibru este T < µN, cu µ = tgϕ , unde ϕ este unghi de frecare. Acest unghi fiind unghiul maxim al reacţiunii cu normala, rezultă că locul geometric al reacţiunilor posibile ocupă spaţiul din interiorul unui con cu vârful în punctul A şi a cărui generatoare face cu normala unghiul ϕ. Conul obţinut se numeşte con de frecare. În rezumat, frecarea de alunecare este o forţă de direcţie şi sens cunoscute, fiind direct opusă tendinţei de mişcare, iar de mărime variabilă de la zero la o valoarea maximă egală cu µN în care N reprezintă mărimea reacţiunii normale dintre corpurile de contact, iar µ un coeficient experimental dat de tabele. În cazul frecării maxime, reacţiunea în punctul de contact face cu normala un unghi numit unghi de frecare şi a


STATICA CORPULUI RIGID 49 ____________________________________________________________________________________

cărei tangentă este chiar coeficientul de frecare. Tabelul 2.1. Legătura

Simbol

Elemente mecanice înlocuitoare

Nr. necunoscute 1

Reazemul simplu

N

V Plană

H

3

Articulaţia

Rz Sferică (spaţială)

R

Rx H

2

Mi 3

Plană

V Încastrarea

Mz

Spaţială

R

Prinderea cu fire sau bare

Rz

Mx T

My

R

6

1

Legile frecării uscate studiate în cazul echilibrului punctului material cu frecare sunt valabile, la fel ca şi cele afirmate despre coeficientul de frecare de alunecare. c.2. Frecarea de rostogolire se manifestă ca un moment de frecare, ce acţionează în sens invers tendinţei de mişcare, figura 2.43. La rostogolirea corpului C1 peste corpul C, vom aplica un cuplu de forţe, al cărui moment M să fie îndreptat după o dreaptă ce trece prin punctul O şi situată în planul tangent. Sub acţiunea acestui moment M, corpul C1 va tinde să se rostogolească peste corpul C. Se observă însă că atât timp cât momentul M este mai mic decât o valoare M1 , corpul C rămâne în echilibru. Roata şi calea de rulare (figura 2.44) deformându-se, contactul are loc pe o suprafaţă pe care sunt M distribuite atât forţele normale pi cât şi cele tangenţiale t i (fig. 2.44, P a, b).Pentru o poziţie oarecare de echilibru, înlocuind forţele pi şi t i C1 prin rezultantele lor N , T se obţine situaţia prezentată în fig. 2.44, c, Mr determinată de faptul că zona de contact este asimetrică faţă de planul O N median, fiind mai mare în partea în care roata are tendinţa să se C deplaseze. Pentru echilibru la limită se obţine situaţia prezentată în s fig. 2.44, d. După reducerea în punctul de contact O se obţine situaţia Fig. 2.43 din fig. 2.44, e.


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

50

Fig. 2.44

Acest cuplu, caracterizat de momentul M1 reprezintă frecarea de rostogolire maximă dintre corpurile C1 şi C (sau dintre roată şi calea de rulare). În general, corpul C1 este în echilibru într-o tendinţă de mişcare de rostogolire, dacă momentul datorat cuplului care apare în mişcarea de rostogolire şi notat Mr este mai mic sau egal cu valoarea M1. Apariţia acestui cuplu se explică astfel: din cauza întrepătrunderii dintre cele două corpuri, punctul de contact A se transformă într-o suprafaţă de contact şi în fiecare punct al acestei suprafeţe apare o reacţiune elementară, deci există un sistem de reacţiuni elementare. Dacă se reduce acest sistem în punctul O se obţine o reacţiune normală N care se echilibrează cu forţa P şi un cuplu de moment M r care se opune cuplului aplicat M . Experimental s-a stabilit că valoarea M1 este proporţională cu reacţiunea normală; valoarea M1 depinde de natura materialelor din care s-au confecţionat cele două corpuri şi de starea de prelucrare a suprafeţelor. (2.99) Rezultă: Mr < sN = M1 unde s – coeficient de frecare de rostogolire şi reprezintă distanţa maximă cu care se poate deplasa reacţiunea normală N faţă de punctul O. Coeficientul are dimensiunile unei lungimi şi valoarea sa depinde de raza roţii şi natura materialelor aflate în contact. Ca exemplu, dacă bila este de rulment iar inelul rulmentului din oţel călit, coeficientul de frecare de rostogolire este s ≈ 0,005...0,01 mm. Se face observaţia că odată cu frecarea de rostogolire are loc şi frecarea de alunecare dar coeficientul de frecare de rostogolire s este în general mult mai mic decât coeficientul frecării de alunecare µ, frecarea prin rostogolire fiind învinsă mult mai repede. c.3. Frecarea de pivotare apare când asupra unuia din cele două corpuri aflate în contact acţionează un cuplu al cărui moment este pe direcţia normalei la suprafeţele în contact. Se studiază cazul pivotului vertical, de raze R1 , R2 , încărcat cu forţa axială G şi momentul M, coeficientul de frecare de alunecare fiind µ, figura 2.45. Se introduc ipotezele că forţa G este repartizată uniform pe toată lungimea de contact şi că µ care aceeaşi valoare pe toată suprafaţa de contact. Forţa de frecare elementară, care apare pe (2.100) suprafaţa dA este: dT = µ p dA; dA =2πxdx G . (2.101) unde p este presiunea de contact, determinată cu relaţia: p = 2 π ( R2 − R12 ) 2Gxdx . (2.102) Forţa normală pe suprafaţa elementară este: dN = pdA = 2 R2 − R12 2 µ Gx dx (2.103) Forţa de frecare pe suprafaţa elementară, la limită este: dT = µdN = 2 R2 − R12 Momentul elementar de frecare produs de forţa dT faţă de axa de rotaţie este la limita 2 µ Gx 2 dx echilibrului: dM = xdT = 2 . Momentul total de frecare, adică momentul de R2 − R12


STATICA CORPULUI RIGID 51 ____________________________________________________________________________________

pivotare Mp este: M R2 G R1

M

p

=

R2

∫ xd T =

R1

M

p

=

R2

∫ xµ p 2π xd x =

R1

(2.104)

2πµ p 3 ( R 2 − R13 ) 3

2 R − R13 µ N = µ KN 3 R − R12 3 2 2 2

2 R23 − R13 ⋅ ⋅µ (2.105) 3 R22 − R12 este un coeficient de proporţionalitate numit coeficient de frecare de pivotare, care depinde de dimensiunile suprafeţei de contanct iar N este forţa de apăsare normală pe suprafaţa de contact. Deoarece G = N se obţine M p = KN . Pentru unde K =

N

Mp

dT

dx

x

dA echilibru este necesar ca M p ≤ KN

(2.106)

2 µ RG . 3 Frecarea de pivotare este întâlnită la lagărele verticale ale maşinilor, numite pivoţi. c.4. Frecarea în articulaţie se manifestă prin faptul că tendinţei de rotaţie i se opune un sistem de forţe de frecare care apar pe suprafeţele de contact a celor două corpuri, datorită neregularităţilor suprafeţelor şi deformaţilor care se produc în articulaţii. Este cazul frecării uscate, fără lubrifiant, introducerea lubrefianţilor schimbând esenţial problema. Se consideră cazul lagărului cu joc, contactul având loc teoretic într-un punct A, figura 2.46. Torsorul forţelor exterioare în O (pe axa arborelui) este alcătuit din F , M 0 . Vectorul M 0 fiind dirijat după axa arborelui are tendinţa să imprime arborelui o mişcare de rotaţie. Acţiunii lui i se opune momentul de frecare din lagăre M f . În punctul A se produce un fenomen de frecare de alunecare şi unul de Fig. 2.45

Dacă arborele este plin, R1 = 0, R2 = R ⇒ M p ≤

rostogolore. Torsorul forţelor de legătură este alcătuit din reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare T şi din momentul de frecare de rostogolire Mr. La limita echilibrului, se poate scrie: M0 – Mr – TR = 0 sau după înlocuiri: s M0 = sN + µRN = (s + µR)N = (µ + )RN = µ`RN =µ`NR (2.107) R s (2.108) unde µ ' = µ + R este coeficientul de frecare în articulaţie şi se determină experimental. (2.109) La echilibru se obţine M 0 ≤ µ ' RN . Conform principiului acţiunii şi reacţiunii momentul de frecare din articulaţie (lagăr) M f este egal şi direct opus lui M 0 . Analog forţa F este egală şi direct opusă reacţiunii R ' , care se descompune în plan în două componente (H şi V) şi în spaţiu în trei componente R x , R y , R z . Ţinând seama de

acestea, se obţin expresiile momentului de frecare în articulaţie: - în articulaţie şi lagăre cilindrice: M f = µ ' R H 2 + V 2 ; - în articulaţii sferice: M f = µ ' R R + R + R ; 2 x

2 y

2 z

Relaţiile obţinute conduc la soluţii acceptabile calitativ, dar

y R

M0

F

α Mr Fig. 2.46

x T A N


CURS DE MECANICĂ ____________________________________________________________________________________

52

pentru rezultate exacte se impune studii şi calcule aprofundate, cu atât mai mult dacă în spaţiul dintre fus şi lagăr se introduce lubrifiant. c.5. Frecarea firelor înfăşurate pe suporturi circulare apare atunci când roata pe care este înfăşurat firul este fixă şi firul are tendinţă de a se mişca, sau când firul este fix şi se mişcă roata. Se cer condiţiile de echilibru a unui fir situat pe un disc, pe un arc de cerc, cu unghiul la centru θ, figura 2.47, a. Pentru calcule se consideră un element de arc foarte mic cu unghiul la centru dϕ, figura 2.47, b. y N Ff = x θ dϕ/2 dϕ/2 T1 T2 T T d Fig. 2.47 b a dϕ dϕ dϕ ⎧ ⎧ ⎪⎪(T + dT ) cos 2 − T cos 2 − µN = 0 ⎪⎪dT cos 2 = µN sau: ⎨ (2.110) ⎨ ⎪− (T + dT ) sin dϕ − T sin dϕ + N = 0 ⎪2T sin dϕ + dT sin dϕ = N ⎪⎩ ⎪⎩ 2 2 2 2 dϕ dϕ dϕ Deoarece unghiul este foarte mic, se consider[ că, sin = ştiind că 2 2 2 ⎧dT = µN sinx dϕ dT , care lim = 1 , iar cos = 1 . În aceste condiţii, rezultă = µ ⋅ dϕ sau ⎨ x →0 x T 2 ⎩Tdϕ = N T θ după integrare devine: lnT T2 = µ ϕ 0 , de unde: T2 = T1 eµθ (2.111) 1

relaţie stabilită de Euler şi care face legătura dintre tensiunile din cele două capete ale firului trecut peste un suport circular. Schimbând tendinţa de deplasare θ = - θ , condiţia T1 e-µθ < T2 < T1 eµθ (2.112) de echilibru devine: 2.10.3.Stabilitate

Se consideră un corp acţionat de diferite forţe şi legături, în poziţie de echilibru. Se deplasează corpul în orice direcţie permisă de legături şi este lăsat liber. Se pot întâmpla trei situaţii: - corpul se reîntoarce în poziţia de echilibru. Echilibrul său se numeşte stabil (cazul paralelipipedului drept aşezat pe o masă orizontală, un con circular drept sau un cilindru drept, aşezate pe baza lor pe o suprafaţă orizontală etc.); - corpul se îndepărtează de poziţia iniţială; în acest caz echilibrul său se numeşte instabil (cazul conului aşezat în vârf, cilindrul oblic aşezat pe baza sa astfel încât verticala centrului său de greutate să treacă prin extremitatea bazei etc.); - corpul rămâne mai departe în noua poziţie; echilibrul se numeşte indiferent. (cazul sferei aşezate pe o masă, un cilindru sau un con aşezat pe o generatoare etc.). În acest caz se observă că oricât s-ar deplasa corpurile, centrele lor de greutate rămân la o aceeaşi înălţime deasupra bazei. Suprafaţa pe care se reazemă corpul se numeşte bază de susţinere. Pentru determinarea gradului de stabilitate al unei construcţii se calculează un coeficient K, un raport dintre suma momentelor, în raport cu axa de răsturnare a forţelor care caută să stabilizeze construcţia şi suma momentelor în raport cu aceeaşi axă, al forţelor care tind să răstoarne construcţia.


STATICA SISTEMELOR

53

______________________________________________________________________ II.3. STATICA SISTEMELOR 2.11. Sisteme articulate plane 2.11.1. Generalităţi

Un număr oarecare de bare rectilinii, de greutate neglijabilă, prinse între ele la capete prin articulaţii, astfel încât să formeze o figură indeformabilă şi supuse la forţe şi legături numai în articulaţii, formează un sistem articulat de bare sau o grindă cu zăbrele. Când acest sistem de bare se află în acelaşi plan, sistemul se numeşte sistem articulat plan sau grindă plană cu zăbrele. Punctele în care barele se prind între ele prin articulaţii se numesc noduri. Pentru a-şi putea îndeplini funcţiile lor constructive, grinzile cu zăbrele trebuie să satisfacă condiţii de nedeformabilitate geometrică şi să aibă o poziţie invariabilă faţă de corpul de reazem de care sunt legate, sub acţiunea sistemelor de forţe exterioare la care sunt solicitate. Sistemele articulate plane sunt utilizate în construcţii, ca elemente de rezistenţă, sub diferite forme, (figura 6.1), ferme pentru acoperişuri, grinzi pentru poduri şi poduri rulante, schele pentru construcţii ale macaralelor etc. Cea mai simplă grindă are forma unui triunghi. Pentru grinzile cu zăbrele se admit următoarele ipoteze simplificatoare: - greutatea barelor este neglijabilă; - grinda cu zăbrele este formată din bare drepte, cu secţiunea mult mai mică decât lungimea; - frecările din articulaţie sunt neglijabile; forţele care acţionează asupra grinzilor, sunt aplicate numai în Fig. 2.48. articulaţii, care se numesc noduri; - dacă greutatea unei bare nu se poate neglija, atunci ea se împarte în mod egal pe cele două noduri extreme. În cele ce urmează, vom presupune că toate barele grinzii se află în acelaşi plan, iar forţele care acţionează sunt şi ele în planul respectiv. O grindă cu zăbrele fiind un sistem de corpuri, putem aplica metodele de lucru din paragraful precedent. Dacă izolăm o bară din grindă, deoarece am presupus bara de greutate neglijabilă şi forţele aplicate numai în noduri, bara nu poate fi supusă decât la tensiuni de-a lungul ei, fie de întindere fie de compresiune. Forţele concurente de la fiecare capăt al barei se reduc la o forţă rezultantă, astfel că bara se află sub acţiunea a două forţe, care pentru echilibru trebuie să fie egale în modul şi de sensuri opuse. În mod analog, dacă secţionăm o bară perpendiculară pe axa ei, în secţiune va apare o forţă de legătură ce trebuie să fie de-a lungul barei în sens opus sensului forţei de la capătul barei secţionate. Studiul grinzilor ce zăbrele constă în două părţi: 1. determinarea reacţiunilor din grindă (a legăturilor dintre grinda cu zăbrele şi corpurile înconjurătoare). 2. determinarea tensiunilor în bare. Pentru ca rigiditatea grinzii cu zăbrele să fie asigurată, trebuie să existe o relaţie bine determinată între numărul barelor şi numărul nodurilor din care este alcătuită. Fie un sistem articulat plan format din b bare şi n noduri. Pentru rigidizarea unui nod este


CURS DE MECANICĂ

54

______________________________________________________________________ nevoie de două bare, dar la rigidizarea primelor trei noduri au fost utilizate numai trei bare în loc de şase, astfel că relaţia dintre numărul de bare şi numărul de noduri necesare pentru rigidizarea întregului sistem este (2.113) b = 2n − 3 Dacă b < 2n –3 numărul barelor este insuficient pentru formarea unor grinzi cu zăbrele rigide, iar dacă b > 2n –3 atunci se obţin grinzi cu bare de prisos. Grinzile cu zăbrele pot fi reprezentate prin două modele mecanice: • un sistem plan, nedeformabil de puncte materiale (noduri) legate rigid prin legături bilaterale (barele) interioare şi fixate pe corpul de reazem prin legături exterioare reprezentând articulaţii cilindrice şi reazeme simple; • un sistem plan, nedeformabil de corpuri rigide (barele) legate între ele la capete prin articulaţii plane punctiforme (nodurile) şi fixat pe corpul de reazem prin aceleaşi legături exterioare. Pentru ca grinda să fie static determinată este necesar ca numărul ecuaţiilor să fie egal cu numărul necunoscutelor, adică (2.114) 2n = b + 3 2.11.2. Echilibrul sistemelor de rigide În practică corpurile rigide nu sunt izolate, ci au legături între ele, formând sisteme de corpuri. Corpurile dintr-un sistem pot fi legate între ele prin diferite tipuri de legături. Forţele care se întâlnesc la sisteme de corpuri sunt: forţe exterioare direct aplicate; forţe de legătură cu exteriorul, adică cu corpurile care nu fac parte din sistem; forţe interioare, care apar între corpurile din cadrul sistemului şi în baza principiului acţiunii şi reacţiunii sunt câte două egale şi direct opuse. Problemele care se pun la sistemele de corpuri sunt: 1) Să se determine poziţia de echilibru a sistemului, cunoscând forţele care acţionează asupra sa; 2) Să se determine forţele care acţionează asupra sistemului, cunoscând poziţiile de echilibru ale rigidelor. Dacă trebuie analizat echilibrul unui sistem de rigide, desfacem sistemul în corpuri componente prin îndepărtarea legăturilor între ele şi înlocuim legăturile cu elemente mecanice echivalent; apoi studiem echilibrul fiecărui corp în parte, aplicând metodele cunoscute. Se consideră o grindă plană rigidizată căreia trebuie să-i determinăm reacţiunile din legăturile exterioare, apoi se calculăm tensiunile din bare. Se cunosc următoare metodele: a. metoda echilibrării nodurilor, care se bazează pe izolarea fiecărui nod în parte, iar dacă grinda este în echilibru, atunci fiecare nod va fi în echilibru. Asupra fiecărui nod vor acţiona atât forţele exterioare aplicate, cât şi tensiunile din barele legate de nod, care sunt „tăiate” când se izolează nodurile. Forţele vor fi concurente în plan iar condiţia de echilibru conduce la două ecuaţii de echilibru, care cuprind sumele proiecţiilor forţelor pe două direcţii perpendiculare. Dacă tensiunile sunt îndreptate spre exterior, ele sunt tensiuni de întindere şi în caz contrar de compresiune. Dacă din calcule o tensiune rezultă cu semnul minus, înseamnă că are sens opus faţă de cel desenat pe figură. b. metoda secţiunilor, metodă prin care grinda se separă în două părţi printr-o secţiune şi se studiază echilibrul uneia sau a ambelor părţi. În ecuaţiile de echilibru ale rigidului format vor intra forţele exterioare date, reacţiunile care apar asupra părţii considerate, precum şi tensiunile din barele tăiate. Secţiunea efectuată trebuie să taie cel


STATICA SISTEMELOR

55

______________________________________________________________________

mult trei bare, ale căror tensiuni sunt necunoscute, deoarece nu dispunem decât de trei ecuaţii de echilibru. Pentru determinarea tensiunii din una dintre barele secţionate, putem scrie o ecuaţie de momente în raport cu punctul de intersecţie al celorlalte două bare în care tensiunile sunt necunoscute. În cazul în care două bare sunt paralele scriem ecuaţia proiecţiilor forţelor pe direcţia perpendiculară pe cele două bare şi astfel apare o singură necunoscută în ecuaţia de echilibru. Metoda se utilizează când trebuie determinate tensiunile numai din anumite bare ale sistemului şi când metoda anterioară ar conduce la calcule inutile. Această metodă poate avea rezolvare analitică cunoscută şi sub numele de metoda Ritter. Procedeul este simplu: se determină reacţiunile exterioare ale sistemului, ca şi cum sistemul întreg ar fi un solid. Se secţionează apoi trei bare neconcurente în acelaşi punct şi care nu sunt toate paralele între ele ale căror tensiuni trebuie determinate. Din cele două sisteme obţinute se alege cel care este încărcat cu un număr mai mic de forţe exterioare date, astfel ca ecuaţiile de echilibru să fie cât mai simple. Metoda grafică cunoscută sub denumirea de metoda Culmann este corespondentă metodei Ritter şi constă în determinarea grafică a tensiunilor în barele unei secţiuni care îndeplineşte condiţiile enunţate anterior. Metoda se reduce la descompunerea unei forţe după trei direcţii (axele barelor secţionate) coplanare şi neconcurente cu ea. a) Metoda izolării corpurilor are la bază Teorema echilibrului părţilor: dacă un sistem de corpuri rigide este în echilibru sub acţiunea forţelor active şi de legătură care îi sunt aplicate atunci fiecare corp al său se va afla în echilibru. F2

F3

B

C

F1 I A Fig. 2.49

F4

II III D

Forţele care acţionează asupra fiecărui corp din sistem, formează un sistem de forţe echivalent cu un torsor nul. Această metodă, constă în izolarea fiecărui corp al sistemului şi scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru fiecare corp, apoi rezolvarea acestora. Prin această metodă se pot determina toate forţele de legătură interioare şi exterioare. Se consideră un sistem plan format din trei corpuri I, II şi III articulate între ele în punctele B şi C şi prinse

de fundaţie prin articulaţiile A şi D, figura 2.49. Izolăm fiecare corp în parte, trecând forţele care le acţionează, figura 2.50. Asupra fundaţiei acţionează forţele din figura 2.51. b) Metoda solidificării sau rigidizării are la bază Teorema solidificării: dacă un sistem de corpuri, liber sau supus la legături exterioare se află în echilibru, sub acţiunea unui sistem de forţe date, el rămâne în echilibru sub acţiunea acestor forţe şi în cazul când ar deveni nedeformabil, păstrându-şi legăturile iniţiale. Se utilizează de obicei, când nu se cer toate necunoscutele problemei şi se doreşte aflarea valorilor legăturilor exterioare. F2 F3 YC B YB C XC F1 F4 XB XC B C YA XB YB II I YD YC XA XD A III D Fig. 2.50


CURS DE MECANICĂ

56

______________________________________________________________________ Condiţia ca un sistem de n corpuri în echilibru supuse la l legături să fie static XD D determinat, se poate verifica prin relaţia: YA e = q + ni + n e (2.115) YD Fig. 2.51 în care: e este numărul ecuaţiilor de echilibru care se pot scrie (0 ≤ e ≤ 6n ) în spaţiu şi (0 ≤ e ≤ 3n ) în plan; ni , ne reprezintă numărul necunoscutelor introduse de reacţiunile interioare, respectiv exterioare, (0 ≤ ni + ne ≤ 6l ) în spaţiu şi (0 ≤ ni + ne ≤ 3l ) în plan. XA

A

2.12. Sisteme de puncte materiale Uneori, un sistem de corpuri reale poate fi asimilat cu un sistem de puncte materiale. Un sistem de n puncte materiale libere are 3n grade de libertate, iar un sistem de puncte materiale supuse la legături va avea cu atât mai puţine grade de libertate cu cât numărul relaţiilor scalare de dependenţă impuse de legături este mai mare. Un sistem de puncte materiale pot fi solicitat de forţe interioare şi exterioare după cum punctul sau corpul din partea căruia se exercită forţa, face sau nu parte din sistemul considerat. Un sistem de puncte materiale este în echilibru, dacă fiecare punct material al său este în echilibru. Fiecare punct al sistemului fiind supus unui sistem de forţe concurente, rezultă că sistemul de puncte materiale va fi în echilibru dacă: Ri +

n

∑F

i , j =1

ij

(i, j = 1,2,..., n; i ≠ j )

= 0;

(2.116)

unde Ri reprezintă rezultanta forţelor exterioare şi Fi , j forţele interioare sistemului care solicită punctul material considerat Ai . Insistăm asupra faptului că pe baza principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele interioare sunt două câte două egale şi direct opuse, adică: (2.117) Fij = − F ji , de unde se obţine: Fij + F ji = 0 Pentru a elimina din calcule forţele interioare se utilizează teorema solidificării. Pentru a demonstra teorema se însumează ecuaţiile de tipul (5.50) scrise pentru toate punctele n

n

n

n

n

sistemului. Se obţine: ∑ Ri + ∑ ∑ Fij = 0; ∑ ∑ Fij = 0 . i =1

i =1 j =1

i =1 j =1

(2.118)

Înmulţim vectorial relaţia (2.118) cu vectorul de poziţie ri şi însumând pentru toate n

puncte sistemului rezultă că: ∑ ri × Ri = 0; i =1

n

∑ Ri

=0

(2.119)

i =1

relaţii care exprimă teorema solidificării adică suma forţelor exterioare şi a momentelor forţelor exterioare sunt nule (torsorul forţelor exterioare în raport cu un punct oarecare este nul). La echilibrul sistemelor de puncte materiale se pot deosebi trei tipuri de probleme: a. fiind date forţele active care solicită sistemul să se determine poziţia de echilibru a punctelor materiale ale sistemului; b. fiind dată poziţia punctelor sistemului în echilibru, să se determine forţele care acţionează asupra sistemului; c. probleme mixte în care este necesar să se determine anumiţi parametri, dintre care unii se referă la poziţia de echilibru iar alţii definesc forţele de legătură.


STATICA FIRELOR

57

______________________________________________________________________ II.4. STATICA FIRELOR 2.13. Generalităţi

Firul este considerat un corp care are următoarele caracteristici: - i se pot neglija două dimensiuni în raport cu cea de a treia; - se caracterizează prin flexibilitate, care este proprietatea de a nu se opune deformării, fără modificarea lungimii; - este inextensibil, adică are proprietatea de a nu se alungi, oricât de mari ar fi forţele care acţionează (de exemplu cablurile funicularelor). Firul poate fi întins, dar din cauza flexibilităţii nu poate fi comprimat. O consecinţă a flexibilităţii firului este că el ia o formă de echilibru o linie dreaptă, dacă este supus la capetele sale A şi B la două forţe de tensiune egale şi direct opuse, cu condiţia ca între capete să nu acţioneze o altă forţă. Acest fir este firul de greutate neglijabilă. Ca exemple de fire sunt lanţurile, cablurile, curele de transmisie, conductoarele electrice etc. Problemele principale urmărite de statica firelor sunt stabilirea formei de echilibru a firului şi determinarea tensiunilor interioare din firele supuse acţiunii unor forţe exterioare. Firele pot fi solicitate de forţe exterioare repartizate, de forţe concentrate sau concomitent de forţe concentrate şi forţe repartizate. Cazul firului acţionat de forţe concentrate revine la determinarea poligonului funicular al forţelor. 2.14. Ecuaţia generală a firelor Se consideră un fir uniform încărcat, fixat în două punte A şi B, figura 2.52. Se secţionează firul în punctul M, iar pentru menţinerea echilibrului se introduce tensiunea -T(s) M M

A

I

B

∆P

M

T Fig. 2.52

-T

M

ll

T(s+ds) Ml

Fig. 2.53

în fir ( T şi − T ), vector necunoscut care trebuie determinat prin calcule. Pentru aceasta, se consideră un element de lungime ∆s, arcul de curbă MM`, figura 2.53. Se înlocuieşte încărcarea uniformă a firului cu o forţă concentrată ∆P, plasată în punctul Mll∈MMl. Pentru echilibru, trebuie ca suma forţelor care acţionează să fie nulă, de asemenea suma momentelor faţă de punctul Ml trebuie să fie nulă: ⎧⎪− T ( s ) + T ( s + ∆s ) + ∆ P = 0 (2.120) ⎨ ⎪⎩− M l M × T ( s ) + M l M ll × ∆ P = 0 Se împarte fiecare ecuaţie la ∆s şi se trece la limită pentru ∆s→0. Rezultă: dT T ( s + ∆s ) − T ( s ) ∆P + p=0 (2.121) lim = 0 sau + lim ∆s → 0 ∆s → 0 ∆ s ds ∆s unde p este sarcina unitară specifică. Relaţia (6.13) reprezintă ecuaţia generală a firelor. ∆P M ′M × T ( s ) + lim M ′M ′′ × = 0. Pentru ecuaţia a doua, obţinem: lim ∆s →0 ∆s ∆s →0 ∆s


58

CURS DE MECANICĂ

______________________________________________________________________ M ′M = 1 şi are direcţia tangentei la curbă, adică reprezintă versorul tangentei τ , ∆s →0 ∆s iar lim M ′M ′′ = 0 , deci ecuaţia a doua devine: τ × T ( s ) = 0 (2.122)

Dar lim ∆s →0

care corespunde în cazul când T(s)≠0, cu τ || T ( s) adică: T = T ⋅ τ . ⎧ dT + p=0 ⎪ Sistemul de echilibru, devine : ⎨ ds (2.123) ⎪T = T ⋅ τ ⎩ Aceste relaţii exprimă faptul că tensiunea din fir într-un punct este dirijată după tangenta în acel punct, solicită firul la întindere şi se numeşte tensiune din fir.

2.15. Ecuaţiile diferenţiale ale firelor în diferite sisteme de coordonate 2.15.1. Sistem cartezian Se proiectează ecuaţiile sistemului (2.123) pe un sistem de axe cartezian Oxyz. Se notează cu px py şi pz proiecţiile forţelor unitare p pe cele trei axe şi ţinând seama de ⎛ dx dy dz ⎞ componentele versorului tangentei la curbă τ ⎜ , , ⎟ . Rezultă: ⎝ ds ds ds ⎠ dx dy dz Tx = T cos α = T ; T y = T cos β = T ; Tz = T cos γ = T ; p = p x i + p y j + p z k ds ds ds Proiecţiile pe axe ale primei ecuaţii a sistemului (2.123), vor fi: ⎧ d ⎛ dx ⎞ d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dz ⎞ (2.124) ⎨ ⎜ T ⎟ + px = 0; ⎜T ⎟ + p y = 0; ⎜ T ⎟ + pz = 0 ds ⎝ ds ⎠ ds ⎝ ds ⎠ ⎩ ds ⎝ ds ⎠ la care trebuie să se adauge relaţia pe care o îndeplinesc cosinusurile directoare ale 2

2

2

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ tangentei: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 0 (2.125) ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ Sistemul (2.124) redă ecuaţiile generale ale firelor scrise în coordonate carteziene. Necunoscutele din sistem sunt tensiunea din fir T şi coordonatele x, y, z. Problema poate fi rezolvată, dacă se cunosc anumite date suplimentare (condiţii la limită), cum ar fi coordonatele extremităţilor firului, lungimea firului sau tensiunea în fir în diferite puncte caracteristice. 2.15.2. Sistem Frenet Se consideră triedrul lui Frenet aplicat într-un punct M al curbei, figura 2.54, (care cuprinde normala, tangenta şi binormala, caracterizate de versori ν , τ şi β ).

Utilizând ecuaţiile din sistemul (2.123), prima ecuaţie devine

d (T τ ) + p=0 ds

(2.126)

dT dτ + p=0 (2.127) τ +T ds ds 1 dτ unde se poate înlocui cu ν , conform primei formule a lui Frenet, în care ρ ρ ds reprezintă raza de curbură în punctul M considerat. Rezultă: Dezvoltând, se obţine:


STATICA FIRELOR

59

______________________________________________________________________

dT T τ + ν + p=0 (2.128) ds ρ Relaţia (2.128) se proiectează pe cele trei direcţii ale triedrului şi se obţin ecuaţiile generale ale firului scrise în coordonate ⎧ dT T Frenet: ⎨ (2.129) + pτ = 0; + pν = 0; pβ = 0 ρ ⎩ ds

β M

τ ν

Fig. 2.54

2.16. Cazuri particulare a) Fir nesolicitat de sarcini exterioare În acest caz forţa repartizată p = 0, adică pν = 0, pτ = 0, pβ = 0. Sistemul (2.129) devine: dT T =0 (2.130) =0; ds ρ T - dacă T ≠ 0, există tensiune în fir, deoarece = 0 , rezultă ρ → ∞, ceea ce înseamnă

ρ

că starea de echilibru este o linie dreaptă. Deoarece

dT = 0 , rezultă T = Const. adică ds

tensiunea este constantă în orice punct pe curbă. - dacă T = 0, rezultă că firul este în echilibru pentru orice rază de curbură adică pentru orice formă a firului. b) Fir acţionat de sarcini normale În acest caz, pτ = 0, pν ≠ 0, pβ = 0. Din prima ecuaţie a sistemului (2.129) rezultă dT = 0 , adică T = const., deci scalarul tensiuni este constant. Rezultă că un fir trecut ds peste scripeţi sau inele, în absenţa frecărilor are aceeaşi tensiune în lungul său, asupra lui acţionând numai forţe normale. c) Fir sub acţiunea greutăţii proprii Se consideră un fir omogen, situat în planul xOy, prins în punctele A(x1, y1,0) şi B(x2, y2,0), figura 2.55. Firul omogen reprezintă un caz particular al firului încărcat cu o sarcină repartizată, care în acest caz este greutatea p a unităţii de lungime. Componentele forţei unitare p vor fi: p(0,− p,0) ; proiecţiile în sistemul cartezian ale ecuaţiilor diferenţiale ale firelor sunt: ⎧ d ⎛ dx ⎞ d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dz ⎞ (2.131) ⎨ ⎜ T ⎟ = 0; ⎜T ⎟ − p = 0; ⎜T ⎟ = 0 ds ⎝ ds ⎠ ds ⎝ ds ⎠ ⎩ ds ⎝ ds ⎠ dx dz = C, T = D sau eliminând scalarul Integrând prima şi a treia ecuaţie, se obţine: T ds ds D dx C = ⇒ dz = dx (2.132) T: C dz D D Se integrează relaţia (2.132) în funcţie de x: z = x + c1 . C y A B A(x1,y1,0) H T2 z

B(x2,y2,0)

p

x Fig. 2.55

V2

V1

T1

H

H Fig. 2.56


60

CURS DE MECANICĂ

______________________________________________________________________ Se impun condiţiile la limită ca punctele A şi B să aparţină planului xOy. Pentru: D ⎧ 0 = x1 + c1 ⎪ ⎧ x = x1 z = 0 D ⎪ C ( x1 − x2 ) = 0 şi pentru x1 ≠ x2, rezultă: ⎨ de unde: ⎨ C ⎩ x = x1 z = 0 ⎪0 = D x + c 1 1 C ⎩⎪ D D = 0 şi C1 = 0. Deoarece z = x + c1 , rezultă z = 0, adică firul se menţine în planul C C xOy, (în planul determinat de punctele de fixare). Se consideră în continuare cea de a doua ecuaţie a sistemului (2.131), în care se înlocuieşte tensiunea exprimată din prima dx ds d ⎛ dy ⎞ d ⎛ ds dy ⎞ = C; T = C; ecuaţie: T ⎜T ⎟ − p = 0 ⇒ ⎜ C ⎟− p = 0. ds dx ds ⎝ ds ⎠ ds ⎝ dx ds ⎠ d ⎛ dy ⎞ dy − p = 0 . Se înlocuieşte elementul După simplificări se obţine: C ⎜ ⎟ = p sau C ds ds ⎝ dx ⎠ 2

⎛ dy ⎞ de arc ds cu expresia : ds = dr = dx + dy = 1 + ⎜ ⎟ dx = 1 + y 2 dx şi se obţine: ⎝ dx ⎠ y dy p p = = sau, altfel scris: , (2.133) 2 2 1 + y dx C 1 + y dx C Se înlocuieşte pe y = sh u, unde u este o altă funcţie de x şi se obţine: p ch u ⋅ u p (2.134) = . Ştiind că ch u = 1 + sh 2u rămâne : u ′ = C 1 + sh 2 u dx C 2

2

p ⎛p ⎞ x + c ′ sau y = sh⎜ x + c ′ ⎟ . C ⎝C ⎠ C ⎛x ⎞ (2.135) Integrând din nou obţinem: y = a sh⎜ + c′ ⎟ + c′′ unde a = p ⎝a ⎠ Ecuaţia (2.135) corespunde unei curbe denumită curba lănţişor. Se poate ajunge la o ecuaţie mai simplă, dacă raportăm curba la un sistem particular de axe. Constantele c’ şi c” se determină din condiţiile: y=a ⎧x = 0 . Înlocuind în y şi y, obţinem: 0 = sh c’ şi a = ash c’ + c” de ⎨  x = 0 y = 0 ⎩ x (2.136) unde c’ = c” = 0, iar ecuaţia lănţişorului devine: y = ach a ds în care se înlocuieşte Pentru a determina tensiunea în fir folosim relaţia T = C dx x x x x (2.137) ds = 1 + y 2 dx . y = sh ( y = ach ) rezultă: T = C ⋅ ch = pach = py . a a a a Măsura unui arc de lănţişor, măsurat de la vârful lui C, până la un punct curent M, de abscisă x, are expresia : x x x (2.138) s = ∫ ds = ∫ 1 + y 2 dx = ∫ 1 + sh2 dx = ∫ ch dx = ach a a a Integrăm ecuaţia (2.134) în funcţie de x: u =


MAŞINI SIMPLE

61

______________________________________________________________________ II.5. MAŞINI SIMPLE

Maşinile simple sunt corpuri sau sisteme simple de corpuri acţionate de o forţă motoare Fm şi o forţă rezistentă Fr . Scopul pentru care sunt construite este acela de a învinge cu o forţă motoare mică o forţă rezistentă mare. Cele mai simple şi cele mai vechi maşini sunt pârghiile. Ele sunt alcătuite în principal dintr-o singură piesă, care are un punct fix O, (o articulaţie), un plan de simetrie, care trece prin O şi conţine forţa motoare Fm şi forţa rezistentă Fr, forţe aplicate în punctele A şi B. Pârghiile sunt de trei feluri: de primul ordin, în care punctul fix O se află între punctele A şi B de aplicaţie ale forţelor Fm şi Fr; de ordinul doi, când forţa rezistentă este aplicată într-un punct situat între punctul fix O şi punctul A de aplicaţie al forţei Fm; de ordinul al treilea, în care forţa motoare Fm este aplicată într-un punct situat între punctele O şi B, figura 2.57.

Fr

Fm Fr

Fm

Fr

Fig. 2.57

Fm

Se consideră o pârghie AOB. Pentru echilibru, fără frecare (în articulaţie frecările sunt neglijabile), din ecuaţia de momente în raport cu punctul O obţinem (relaţia lui NO b = ⋅ Fr . Arhimede): Fm ⋅ MO = Fr ⋅ NO ⇒ Fm = Fr ⋅ (2.139) MO a Pentru pârghiile de primul şi al doilea ordin, se poate realiza constructiv ca raportul b/a să fie suficient de mic, pentru a micşora forma motoare la o anumită valoare prestabilită. Dacă în articulaţia O există frecare (raza fusului fiind r iar coeficientul de frecare pe fus µ) atunci acţionează momentul de frecare iar relaţia (2.139) devine: M f = µ N r Fm ⋅ MO − Fr ⋅ NO = µ N r = µ r Fm2 + Fr2 + 2 Fm Fr cos α

(2.140)

unde α este unghiul dintre cele două forţe. Cele mai cunoscute pârghii sunt: cleştele, balanţa, foarfecele etc. (pârghii de ordinul I iar cleştele şi foarfecele sunt pârghii duble); roaba, spărgătorul de nuci etc. (pârghii de ordinul II); pedala tocilarului sau a maşinilor de cusut, cleştele de zahăr etc. (pârghii de ordinul III). a. Cântarul Cântarul reprezintă o aplicaţie curentă a pârghiilor de ordinul I, fiind utilizată, încă din cele mai vechi timpuri, în industrie sau în comerţ pentru determinarea greutăţii mărfurilor, de obicei prin comparare cu greutăţi - etalon. b. Balanţa ordinară (figura 2.58) este o pârghie cu braţe egale (a = b) şi cu frecare în articulaţia O neglijabilă (deoarece raza fusului r este foarte mică şi materialul de construcţie fiind dur, coeficientul de frecare m este mic, iar momentul de frecare este neglijabil). Pentru stabilitate, centrul de greutate al balanţei g se aplică sub punctul său de sprijin O. O balanţă trebuie să fie justă, fidelă şi sensibilă. Justeţea unei balanţe se măsoară prin egalitatea braţelor, a greutăţilor acestor braţe inclusiv lanţurile şi platanele şi prin realizarea unei articulaţii a cărei frecare să fie practic nulă.


CURS DE MECANICĂ

62

_______________________________________________________________________

Fm

P

Fm+ p Fig. 2.59

Fm

Fig. 2.58

Sensibilitatea unei balanţe este măsurată prin unghiul dintre pârghia AOB şi orizontala, când uneia din greutăţi, fie ea Fm , i se adaugă o greutate adiţională p. Fie G greutatea balanţei, iar AO = OB = a şi Og = d. Calculând momentul în raport cu punctul O rezultă: (Fm + p )a cos α − Fm a cos α − Gd sin α = 0 , de unde se obţine unghiul dintre pa pârghie şi orizontală astfel: tgα = (2.141) Gd Balanţa va fi cu atât mai sensibilă cu cât unghiul α va fi mai mare, adică cu cât a este mai mare, iar d şi G mai mici. Lungimea braţelor balanţei este impusă constructiv, d nu poate fi prea mic, deoarece în acest caz balanţa devine instabilă. c. Cântarul roman se compune din pârghia AOB, susţinută în punctul O de un cârlig şi care prins în punctul A un platan în care se vor aşeza materialele de cântărit. Un cursor C este mobil pe porţiunea B1B a pârghiei, figura 2.59. Fie P greutatea cursorului şi G greutatea aparatului neîncărcat şi fără cursor, cu D punctul de aplicaţie al acestei greutăţi. Notăm cu Mo poziţia cursorului pe braţul B1B în care greutatea lui echilibrează greutatea aparatului. Momentul în raport cu punctul O este: G ⋅ DO = P ⋅ OM 0 . Dacă încărcăm platanul cu greutatea Fm şi mutăm cursorul într-o altă poziţie M pentru a restabili echilibrul, atunci momentul calculat în raport cu acelaşi punct O este: Fm ⋅ AO + G ⋅ DO = P ⋅ OM = P ⋅ OM o + M 0 M AO (2.142) de unde avem M 0 M = Fm ⋅ P Deoarece mărimile AO şi P sunt constante prin construcţia aparatului, distanţa M 0 M este proporţională cu greutatea din platan. Pe acest considerent, cântarul poate fi gradat considerând pentru Fm 1 kg, spre exemplu şi apoi determinând o lungime anumită de deplasare a cursorului M 0 M 1 ; pentru 2 kg vom avea M 0 M 2 = 2M 0 M 1 etc. În dreptul punctelor M 0 , M 1 , M 2 etc. se notează cifrele 0, 1, 2 etc. Astfel gradat, cântărirea se realizează aşezând cântarul cu cursorul în poziţia care echilibrează materialul pus în platan şi apoi citind direct numărul de kilograme sau subdiviziuni indicate în dreptul cursorului. c. Balanţa zecimală este compusă dintr-o pârghie mobilă în jurul unei articulaţiei fixe O şi care are suspendat în punctul A un platan pentru aşezat greutăţi. În punctele B şi C sunt prinse braţele verticale BB1 , CC1 . De capătul inferior al barei BB1 este suspendată o platformă orizontală B1 D , rezemată cu capătul D pe a doua platformă orizontală C1 E , prinsă în C1 pe bara C1C , şi aşezată în E pe sol. Se aşează în punctul F pe platforma B1 D un corp de greutate Q, iar în platan un corp de greutate P pentru echilibru. Pentru poziţia de echilibru pârghia AOBC mobilă trebuie să fie orizontală ca la orice balanţă.

(

)


CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

63

______________________________________________________________________ Capitolul III: CINEMATICA

Cinematica este o parte a mecanicii care studiază mişcarea corpurilor materiale, fără a ţine seama de masele acestor corpuri şi de forţele care acţionează asupra lor. În cinematică se realizează un studiu geometric al mişcărilor din care cauză această parte importantă a mecanicii se mai numeşte şi geometria mişcărilor. În cinematică sunt utilizate mărimile fundamentale de spaţiu şi timp. Noţiunea de mişcare este o noţiune complexă, care înglobează în sfera ei mai multe elemente: corpul care efectuează mişcarea se numeşte mobil; mediul în care se efectuează mişcarea se numeşte spaţiu; reperul în raport cu care se efectuează mişcarea se numeşte sistem de referinţă. Dacă reperul ales este presupus fix atunci mişcarea se numeşte absolută, iar dacă reperul este mobil, mişcarea este relativă. Problema generală a cinematicii este: cunoscând poziţia în orice moment a unui sistem III.1. Cinematica material oarecare într-un triedru de punctului material referinţă să se determine caracteristicile mişcării fiecărei III.2. Cinematica particule care compune sistemul solidului rigid material şi anume: traiectoria, viteza CINEMATICA şi acceleraţia în sistemul de referinţă III.3. Cinematica considerat. Capitolul de cinematica mişcării relative este divizat ca-n figura 3.1. Fig. 3.1.

III.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL Problema fundamentală a cinematicii punctului material constă în determinarea traiectoriei (curba după care se face deplasarea), a vitezei şi acceleraţiei punctului, adică a elementelor cinematice ale mişcării lui. Poziţia punctului faţă de un sistem de referinţă este dată de vectorul de poziţie OM = r , figura 3.2. Mişcarea lui este cunoscută dacă în orice moment se poate preciza poziţia lui în raport cu punctul presupus fix O. Acest lucru este posibil dacă se cunoaşte vectorul de poziţie r ca funcţie de timp z (C) r = r (t ) (3.1) Funcţia vectorială (3.1) trebuie să îndeplinească următoarele M condiţii: să fie continuă (drumul parcurs de punct nu poate fi cu r întreruperi); să fie uniform (drumul parcurs de punct nu poate fi k z ramificat deoarece punctul material nu poate ocupa simultan j O y mai multe poziţii în spaţiu); să fie finită în modul şi derivabilă de cel puţin două ori. Funcţia vectorială (2.1) reprezintă ecuaţia x i y mişcării punctului material. Acest vector este definit de două x funcţii scalare în plan şi trei funcţii scalare în spaţiu. Fig. 3.1 3.1. Noţiuni fundamentale 3.1.1. Noţiunea de traiectorie Traiectoria unui punct material reprezintă locul geometric al poziţiilor succesive ocupate în spaţiu de acesta. Între curba descrisă de punctul material şi traiectorie nu există întotdeauna o identitate, spre exemplu mişcarea unui punct material pe un cerc


CURS DE MECANICĂ

64

______________________________________________________________________ poate să însemne doar un arc de cerc sau poate ca acesta să parcurgă de mai multe ori cercul respectiv. Se consideră un punct material M, raportat la un sistem de referinţă cu originea în punctul O, figura 3.2, poziţia lui fiind determinată prin vectorul de poziţie r = OM . Locul geometric al extremităţii M al vectorului s M1 de poziţie r reprezintă traiectoria (C) a punctului M material în acest sistem de referinţă. A cunoaşte r (C) în orice moment poziţia punctului M, înseamnă a (C) avea expresiile vectorului de poziţie r în funcţie O M0 Fig. 3.2 Fig. 3.3 de timpul t. Traiectoria descrisă de un punct este determinată de poziţiile succesive ocupate de punctul material în orice moment. Punctul M se deplasează pe curba (C) în sensul indicat pe săgeată, figura 3.3. La un moment dat punctul ocupă poziţia M1. Se alege poziţia reperului M0 şi un sens de parcurgere pozitiv al curbei. Poziţia punctului la un moment dat este determinată de arcul de curbă M 0 M 1 = s. Dacă se cunoaşte funcţia: s = s (t ) (3.2) poziţia punctului este cunoscută în orice moment. Ecuaţia (3.2) se numeşte ecuaţia orară a mişcării sau legea orară a mişcării. Ecuaţiile traiectoriei se obţin în general eliminând timpul t din ecuaţiile mişcării. În coordonate carteziene: r = xi + yj + zk (3.3) (3.4) unde: x = x ( t ) ; y = y ( t ) ; z = z ( t ) iar i , j , k sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz. Relaţiile (3.4) se numesc ecuaţiile de mişcare ale punctului şi reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului M. Referitor la traiectorie sunt urmărite două categorii de probleme: a. se cunosc funcţiile scalare care definesc vectorul de poziţie r = r (t ) şi se cer ecuaţiile traiectoriei care se determină prin eliminarea parametrului variabil, care în cazul nostru este timpul. b. se cunoaşte traiectoria punctului material şi se cere să se determine în fiecare moment poziţia acestuia. Dacă traiectoria este o curbă continuă şi are în orice punct o tangentă unică, poziţia punctului se poate determina utilizând un singur parametru scalar, elementul de arc s, figura 3.3. Dacă se cunoaşte funcţia continuă s = s(t ) , poziţia punctului se poate determina în orice moment.

3.1.2. Noţiunea de viteză

În mişcările mecanice se pot întâlni situaţii când mobilele parcurg aceleaşi distanţe în intervale diferite de timp sau distanţe diferite în aceleaşi intervale de timp, ceea ce implică introducerea unei noţiuni specifice şi anume viteza. Viteza este mărimea care arată în ce mod se realizează mişcarea punctului material pe traiectorie. Se consideră traiectoria mişcării (curba C) şi originea sistemului de coordonate Mo, iar faţă de acesta poziţia punctului material la un moment dat este dată de lungimea arcului de curbă s dintre cele două puncte. La momentul t, punctului material care se mişcă de curba (C) îi corespunde punctul M, iar la momentul t1, punctul M1, figura 3.4. Se consideră raportul arcMM 1 s1 − s (3.5) dintre arcul MM1 şi diferenţa de timp t1 – t: = t1 − t t1 − t Expresia (2.5) poartă denumirea de viteză medie a punctului material în intervalul de timp [t1 – t] = ∆t. Viteza medie depinde, în general, de intervalul de timp ∆t considerat.


CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

65

______________________________________________________________________ M(t)

M1(t1)

Pentru un alt interval de timp ∆t1 = t2 – t, se va obţine altă valoare pentru viteza medie. Viteza momentană a unui punct material se determină trecând la limită în relaţia (3.5):

(C)

s

MM 1 s − s ds (3.6) = lim 1 = = s& t → t 1 t1 − t t1 − t dt unde am considerat că s(t) este derivabilă. Convenţional, Fig. 3.4 M viteza se consideră a fi un vector care are modulul egal cu s& , direcţia tangentei la traiectorie în punctul considerat şi sensul acelaşi cu sensul de mişcare. Dacă τ este versorul tangentei putem scrie: v = s&τ . Derivăm relaţia (3.1) şi dr dr dr ds = s&τ . Rezultă: v = r& = s&τ = (3.7) obţinem: r& = = dt ds dt dt adică, viteza în mişcarea unui punct material este egală cu derivata vectorului de poziţie al punctului material în raport cu timpul. Viteza este o mărime ataşată punctului material, care precizează direcţia şi sensul în care se desfăşoară mişcarea. Este o mărime vectorială, iar unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este m/s. v = lim

s1

t1 →t

3.1.3.Noţiunea de acceleraţie

Acceleraţia este mărimea care ne arată cum se modifică viteza. Această noţiune cinematică a fost introdusă de Galileo Galilei cu ocazia studiilor sale asupra căderii corpurilor în vid. Se consideră două poziţii ale punctului material M şi M1 situate pe curba (C), corespunzătoare timpilor t şi t1, în care vitezele sunt v şi v1, figura 3.5. v −v (3.8) Raportul 1 = am t1 − t poartă denumirea de acceleraţie medie a punctului material în intervalul de timp [t1, t]. (C)

z

_ k _ O x i

_ r

j

M(x,y,z) t v r1

M1(x1,y1,z1) v1 y

Fig. 3.5

Acceleraţia momentană pentru un punct material la momentul t este limita raportului considerat pentru t1 → t: v − v d v dr& && (3.9) = = =r a = lim 1 t1 →t t − t dt dt 1 adică, acceleraţia unui punct material este egală cu derivata vitezei în raport cu timpul, sau derivata a doua a vectorului de poziţie r în raport cu timpul.

Este o mărime vectorială, iar unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este m/s2. Dacă schimbăm reperul faţă de care se studiază mişcarea punctului material, figura 2.7, putem scrie: r1 = r0 + r (3.10) Prin derivări succesive ale relaţiei (3.10) obţinem: r&1 = r& = v şi &r&1 = &r& = a (3.11) Observăm că viteza şi acceleraţia sunt invarianţi în raport cu schimbarea reperului de referinţă. 3.1.4. Hodograful vitezelor

La deplasarea unui punct material pe o curbă C, acesta ocupă poziţiile succesive


CURS DE MECANICĂ

66

______________________________________________________________________ M1, M2, …, Mn şi are vitezele v1 , v 2 , …, v n . Într-un punct O, arbitrar ales, se construiesc vectorii echipolenţi cu vectorii viteză. vn Locul geometric al Mn M extremităţilor acestor vectori este curba v2 r (t ) C1 numită hodograful vitezelor, cu v 2' M2 ajutorul căreia se poate observa uşor cum variază viteza punctului material la O r0 r1 (t ) v1 v1' deplasarea pe curba C. Viteza unui M1 v n' O1 O punct pe curba hodograf este tocmai (C) acceleraţia punctului material Fig. 3.7 considerat pe traiectorie. Fig. 3.6 3.2 Viteza şi acceleraţia în sistemul de coordonate carteziene triortogonal drept

Considerăm un punct material raportat la un sistem de referinţă cartezian, vectorul de poziţie r fiind exprimat în funcţie de acest sistem r = xi + y j + z k (3.12) unde x, y, z sunt coordonatele punctului M, respectiv proiecţiile pe cele trei plane ale sistemului, iar i , j, k sunt versorii sistemului cartezian, figura 3.8. Coordonatele (3.13) punctului M sunt şi ele funcţii de timp: x = x(t ); y = y (t ); z = z (t ) (3.14) sau vectorial r = r (t ) . z

M(x,y,z)

_ k _ O i _ j x

r y

Fig. 3.8

Ecuaţiile (3.14) reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei mişcării punctului material. Pentru a obţine ecuaţia traiectoriei, eliminăm timpul t din ecuaţiile ⎧ f 1 ( x, y , z ) = 0 sistemului (2.14) şi obţinem: ⎨ adică ⎩ f 2 ( x, y , z ) = 0 ecuaţiile a două suprafeţe a căror intersecţie ne determină traiectoria căutată. Viteza v şi acceleraţia a se obţin prin derivarea expresiei (3.2) şi (3.7). Astfel:

dx dy dx i+ j+ i dt dt dt În relaţia (3.15) componentele vitezei sunt: v x = x&; v y = y& ; v z = z& v = x& i + y& j + z& k =

(3.15) (3.16)

iar modulul vitezei este: | v |= x& 2 + y& 2 + z& 2 (3.17) Unghiurile vectorului viteză cu axele de coordonate sunt date de cosinusurile directoare: v v x& y& cos α = cos ( v , i ) = x = ;cos β = cos ( v , j ) = y = ; 2 2 2 2 v v x& + y& + z& x& + y& 2 + z& 2 (3.18) vz z& = cos γ = cos ( v , k ) = . v x& 2 + y& 2 + z& 2 În mod analog determinăm componentele acceleraţiei: a = &x&i + &y& j + &z&k , unde: a x = &x&, a y = &y&, a z = &z& .

(3.19)

Mărimea acceleraţiei este: | a |= &x&2 + &y&2 + &z&2

(3.20)


CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

67

______________________________________________________________________

În cazul particular al unei mişcări plane, fiecare vector de poziţie va avea două componente, deci şi viteza şi acceleraţia vor avea la fel. dx dy (3.21) r = xi + yj ; v = x& i + y& j = i + j ; v x = x&; v y = y& ; | v |= x& 2 + y& 2 ; dt dt a = &x&i + &y& j ; a x = &x&, a y = &y& ; | a |= &x&2 + &y& 2 . Pentru studiul mişcării pe o axă, se consideră ca sistem de referinţă tocmai axa respectivă, cu un punct oarecare drept origine a sistemului; relaţiile de calcul se vor simplifica corespunzător: dx r = xi ; v = x& i = i ; v x = x& ; (3.22) | v |= x& ; a = &x&i ; a x = &x& = a . dt

3.3. Mişcări particulare ale punctului material 3.3.1. Clasificare Mişcarea unui punct material, figura 3.9, poate fi clasificată după mai multe criterii: uniformă:

v = const ; a = 0.

Mişcarea rectilinie

uniformă

a = const. Mişcarea punctului material

Accelerată

a = const; a > 0;

Încetinită

a = const; a < 0;

Variată

neuniformă

a ≠0

a ≠ const.

uniformă: v = const. ca mărime Mişcarea curbilinie

neuniformă: v este variabilă ca mărime şi direcţie

Fig. 3.9

* după valorile componentelor acceleraţiei sale: a. Valoarea acceleraţiei normale: v2 = 0 ⇒ ρ → ∞ , adică raza de curbură a a.1. Mişcarea rectilinie, a n =

ρ

traiectoriei tinde către infinit, deci traiectoria este o dreaptă; v2 ≠ 0 ⇒ ρ are o valoare finită, adică traiectoria a.2. Mişcarea curbilinie, a n =

ρ

este o curbă. b. Valoarea acceleraţiei tangenţiale: b.1. Mişcări uniforme aτ = 0; b.2. Mişcări uniform variate aτ = ct ≠ 0; b.3. Mişcări neuniforme aτ = f (t ) ≠ ct. Deoarece acceleraţia tangenţială poate avea acelaşi sens cu viteza sau sens contrar acesteia, pentru mişcările uniform variate şi neuniforme distingem două situaţii. Dacă


CURS DE MECANICĂ

68

______________________________________________________________________ acceleraţia tangenţială are acelaşi sens cu viteza, mărimea vitezei creşte, adică mişcarea este accelerată, iar dacă acceleraţia tangenţială are sens contrar vitezei, mărimea acesteia scade iar mişcarea este încetinită sau decelerată. * după forma traiectoriei: a. Mişcarea rectilinie dacă traiectoria este o linie dreaptă; b. Mişcarea curbilinie dacă traiectoria mişcării este o linie curbă. * după legea de mişcare: a. Mişcări uniforme dacă viteza mobilului rămâne constantă în mărime; b. Mişcări variate dacă mărimea vitezei nu este constantă în timp. O categorie aparte a mişcării variate o formează mişcările periodice, adică acele mişcări care se repetă după un interval dat de timp, numit perioadă. 3.3.2. Mişcarea rectilinie

Traiectoriile mişcărilor rectilinii sunt linii drepte. Studiul acestor mişcări se realizează transformând dreapta care reprezintă traiectoria în axă de referinţă cu un punct fix drept originea sistemului de referinţă şi cu un sens pozitiv. De regulă denumirea axei este Ox, figura 3.10, iar poziţia la un moment dat a punctului este dată de coordonata: OM = x(t ) (3.23) x Poziţia punctului material este complet determinată la A O v0 momentul t dacă se cunoaşte coordonata x = x(t ) , iar x(t ) viteza şi acceleraţia la acelaşi moment sunt: v = x& ; a = &x& (3.24) Fig. 3.10 Pentru studiul mişcării sunt necesare datele iniţiale ale mişcării, pentru momentul t = 0 şi anume: - spaţiul iniţial sau poziţia iniţială pe axă x = x0 ; - viteza iniţială v = v0 . 1. Mişcarea rectilinie uniformă Caracteristicile acestei mişcări sunt: traiectoria este o linie dreaptă; viteza este constantă; acceleraţia este nulă. Pornind de la ultima condiţie (3.24), a = 0, sau &x& = 0 , ⎧ x& = A ⎧ x = At + C1 ⎪ ⎪ &y& = 0 , &z& = 0 , se integrează şi se obţine: ⎨ y& = B ⇒ ⎨ y = Bt + C2 . ⎪ z& = C ⎪ z = Ct + C 3 ⎩ ⎩

Pentru determinarea constantelor de integrare se folosesc condiţiile iniţiale (condiţii C1 = xo x = At + xo ⎧ x = xo ⎪ impuse): t = 0 ⇒ ⎨ y = yo C2 = yo y = Bt + yo ⎪z = z C3 = zo z = Ct + zo o ⎩ Dacă se elimină timpul din ultimele relaţii, se determină ecuaţia traiectoriei, care este o x − xo y − y o z − z o dreaptă: (3.25) = = A B C

Modulul vitezei este: v = A2 + B 2 + C 2

(3.26)

În cazul particular când mişcarea are loc în lungul axei Ox, cu viteza constantă v = v0 ,


CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

69

______________________________________________________________________

iar la momentul iniţial poziţia punctului este x = x0 , rezultă x& = v0 şi prin integrare x = v0t + C . Constanta de integrare se obţine din condiţiile iniţiale: C = x0 . Legea de (3.27) mişcare a punctului material pe traiectorie este: x = x0 + v0t Recapitulând, putem spune că mişcarea rectilinie este o mişcare fără acceleraţie. Ecuaţiile mişcării se scriu în funcţie de: alegerea sensului traiectoriei; alegerea sensului de mişcare a mobilului pe traiectorie; alegerea originii spaţiului. 2. Mişcarea rectilinie uniform variată Caracteristic pentru această mişcare este că acceleraţia este o constantă. Dacă mişcarea are loc în lungul axei Ox, ecuaţia mişcării va fi dată de x = x(t). Se consideră că în orice moment, acceleraţia va fi ao = const. deci &x& = a0 , se integrează şi se obţine:

t2 + C1t + C2 2 unde constantele de integrare C1 şi C2 se determină din condiţiile iniţiale: t = 0 ⇒ x = xo şi x& = vo . Rezultă : C1 = vo şi C2 = xo de unde:

x& = ao t + C1 ;

x = ao

t2 (3.28) + vo t + xo ; v = ao t + vo; a = ao 2 Astfel, în mişcarea rectilinie uniform accelerată viteza mobilului creşte uniform cu timpul, iar acceleraţia este egală numeric cu o constantă pozitivă. Pentru a obţine o relaţie între deplasare şi viteză, eliminăm timpul din primele două ecuaţii: x = ao

2

⎛ v − v0 ⎞ v − v0 a ⎛ v − v0 ⎞ ⎟⎟ + vo ⎜⎜ ⎟⎟ + xo t= ⇒ x = o ⎜⎜ a0 2 ⎝ a0 ⎠ ⎝ a0 ⎠ de unde: v 2 = v02 + 2a0 ( x − x0 ) (3.29) care reprezintă relaţia lui Torricelli. Dacă spaţiul iniţial şi viteza iniţială sunt nule (3.30) relaţia (3.29) devine: v = 2ax În cazul mişcării rectilinii uniform întârziată viteza mobilului scade uniform cu timpul şi acceleraţia este numeric egală cu o constantă negativă. Se poate scrie: a = - ao. t2 Legile mişcării rectilinii uniform întârziată sunt: legea spaţiului: x = −ao + vot + xo ; 2 legea vitezei: v = - ao t + vo; legea acceleraţiei: a = - ao. (3.31) 2.1. Mişcarea unui punct sub acţiunea gravitaţiei Acest caz particular, figura 3.11, este cunoscut şi sub denumirea de căderea liberă a unui punct material. În acest caz acceleraţia este egală cu acceleraţia gravitaţională: a = g . Rezultă pentru deplasare şi viteză relaţiile:

t2 + v0t + x0 v = v0 + gt (3.32) 2 Pentru căderea liberă din originea axei de referinţă condiţiile iniţiale sunt: t = 0, x0 = 0 , x=h=g

v0 = 0. Relaţiile pentru deplasare şi viteză devin: h =

Relaţia lui Torricelli devine v = 2 gh cunoscută sub numele de relaţia lui Galilei.

gt 2 ; v = gt 2

(3.33) (3.34)


CURS DE MECANICĂ

70

______________________________________________________________________ O

x=h

x0

A

x=h

M0

v M

x = hmax

M

v g

g

2.2. Aruncarea punctului material pe verticală La aruncarea punctului material pe verticală, figura 3.12, acceleraţia terestră g este de sens contrar vitezei şi deci mişcarea este uniform încetinită. Considerând axa Ox verticală cu originea în punctul de aruncare şi având sensul în sus, ecuaţiile mişcării se deduc din relaţiile (3.31) înlocuind pe a cu (- g) şi anulând spaţiul iniţial xo:

v0

x

h = −g

O

Fig. 3.11

t2 + vot ; 2

v = - g t + vo; a = - g. (3.35) Mobilul atinge înălţimea maximă în punctul A (unde vA =

Fig. 3.12

0) în timpul t A = hmax = − g

2 0

2 A

v0 g

parcurgând înălţimea

v t + vot A = . 2 2g

(3.36)

3.3.3. Mişcarea circulară

Traiectoria acestei mişcări este un cerc cu centrul O şi rază R, deci vectorul de poziţie al punctului material pe cerc este constant r = R . Mişcarea este complet determinată dacă se cunoaşte unghiul la centru θ în funcţie de timp. Poziţia pe cerc a punctului material este dată de unghiul θ făcut de vectorul de poziţie cu axa pozitivă Ox a sistemului cartezian ataşat, figura 3.13. Derivata de ordinul I a unghiului θ în raport cu timpul este ω, viteza unghiulară iar derivata de ordinul II este acceleraţia unghiulară ε: ω (t ) = θ&(t ); ε (t ) = θ&&(t ) (3.37) În coordonate carteziene, poziţia punctului este dată de x = R cos θ; y = R sin θ (3.38) Se elimină θ şi se obţine: x2 + y2 = R2, adică ecuaţia cercului de rază R, traiectoria punctului material. Componentele vitezei vor fi: vx = x& = – R⋅θ sinθ = – ωy vy = y& = R⋅θ cos θ = ωx. Rezultă: v = – ωy i + ωx j

(3.39) .

iar, dacă r = x i + y j , produsul v r devine: v r = –ω xy + ω xy = 0, deci viteza este perpendiculară pe vectorul de poziţie, adică este pe direcţia tangentei. Mărimea vitezei este: |v|= ω x + ω y = ω x + y = ωR Componentele acceleraţiei sunt: ax = &x& = – R θ&& sinθ –R θ& 2 cosθ = – ε⋅y – ω2x ay = &x& = R θ&& cosθ –R θ& 2 sinθ = ε⋅x – ω2y a = −ε ⋅ y −ω2x i + ε ⋅ x −ω2 y j Mărimea acceleraţiei: 2

(

2

2

2

2

) (

|a| = a x2 + a y2 = R ε 2 + ω 4

2

)

y

a v

(3.40)

_ r

M(x,y)

θ

(3.41)

O

(3.42)

Fig. 3.13.

x


CINEMATICA CORPULUI SOLID

71

______________________________________________________________________ III.2. CINEMATICA CORPULUI SOLID

A cunoaşte mişcarea unui rigid, înseamnă a cunoaşte mişcarea unui punct oarecare al rigidului. Pentru un punct material sunt necesare trei coordonate ca să-i definească poziţia în spaţiu, deci are trei grade de libertate. Se va arăta că un rigid are şase grade de libertate. Poziţia în spaţiu a unui rigid este complet determinată dacă se cunoaşte în orice moment coordonatele a trei puncte necoliniare A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) şi C(x2, y2, z3). Cele trei puncte formează un triunghi nedeformabil ABC situat întrun plan P legat invariabil de rigid. Rigidul are şase grade de libertate. A determina traiectoria unui rigid, înseamnă a determina coordonatele unui punct oarecare M al rigidului, în funcţie de cei şase parametri. Problemele cinematicii rigidului sunt: 1. fiind date legile de mişcare ale corpului rigid, se cer legile de mişcare, traiectoriile, vitezele şi acceleraţiile punctelor rigidului; 2. fiind date mişcările unor puncte ale corpului, se urmăreşte determinarea legilor de mişcare ale corpului rigid, adică a oricăror puncte din corp. 3.4. Legile de mişcare Studiul mişcării corpului rigid se realizează studiind mişcarea unui sistem de axe mobil, legat de corpul în mişcare, faţă de un sistem de referinţă fix. Poziţia unui corp oarecare faţă de un anumit reper din spaţiul euclidian tridimensional R3 este cunoscută dacă se cunosc poziţiile a trei puncte necoliniare ale sale. Pentru efectuarea studiului mişcării unui rigid, se alege un sistem de referinţă considerat fix, notat de regulă cu O1x1y1z1, care are versorii i1 , j1 , k1 şi un sistem de referinţă mobil, legat solidar cu rigidul aflat în mişcare, notat Oxyz, de versori i , j , k . Alegerea punctului O, originea sistemului de referinţă mobil este arbitrară. Poziţia originii sistemului de referinţă mobil este dată de vectorul de poziţie r0 , care este o funcţie vectorială de timp continuă, uniformă şi derivabilă de cel puţin două ori: r0 = O1O = x0 i1 + y 0 j1 + z 0 k1 , ceea ce conduce la cunoaşterea funcţiilor scalare de timp: x0 = x0 (t ); y 0 = y 0 (t ); z 0 = z 0 (t ). (3.43) Vectorul de poziţie al punctului M, un punct oarecare al rigidului, faţă de sistemul de referinţă fix este r1 , iar faţă de cel mobil este r , figura 3.14. r1 = O1 M = x1i1 + y1 j1 + z1k1 (3.44) unde coordonatele x1 , y1 , z1 ale punctului M sunt

z

z1

y r k

r1 k1 i1

M

j

O

r0

i

y1

j1

x

funcţii necunoscute. r = OM = xi + yj + zk

(3.45) Vectorul r = OM are modulul constant şi direcţia variabilă, deoarece distanţa dintre punctele O şi M rămâne constantă conform ipotezei rigidităţii corpului: OM 2 = x 2 + y 2 + z 2 = const. Între vectorii r0 , r1 şi r există relaţia:

r1 = r0 + r (3.46) Relaţia (3.7) reprezintă legea de mişcare a lui M sub (3.47) sub formă vectorială: r1 (t ) = ro (t ) + xi (t ) + yj (t ) + zk (t ) x1

Fig. 3.14


CURS DE MECANICĂ

72

______________________________________________________________________ Versorii i , j , k sunt la rândul lor funcţii de timp, deoarece îşi schimbă în timp poziţia odată cu axele pe care le caracterizează (vectori ortogonali). Se ştie că orice vector funcţie de timp se poate exprima cu ajutorul a trei funcţii scalare de timp, de obicei proiecţiile sale pe un sistem de axe. Dar aceste funcţii nu sunt independente, deoarece se pot scrie 6 relaţii specifice rezultate din condiţiile ca vectorii i , j , k să fie ortogonali:

i ⋅ j = j ⋅i = i ⋅k = k ⋅i = j ⋅k = k ⋅ j = 0

(3.48) i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k =1 Rezultă că vectorul r1 se exprimă cu ajutorul a şase funcţii scalare de timp independente. Trei din ele provin de la r0 , care defineşte poziţia originii O a sistemului de referinţă mobil în raport cu sistemul fix. Celelalte provin de la versorii i , j , k , care dau orientarea sistemului mobil faţă de cel fix. Astfel se demonstrează pe cale cinematică faptul că rigidul liber în spaţiu are şase grade de libertate. Cei 6 parametri scalari independenţi se pot alege după cum urmează: - coordonatele originii sistemului de referinţă mobil în raport cu cel fix, respectiv x 0 = x 0 (t ); y 0 = y 0 (t ); z 0 = z 0 (t );

- unghiurile care dau orientarea axelor sistemului mobil faţă de cele ale sistemului fix, respectiv ψ = ψ (t ); ϕ = ϕ (t ); θ = θ (t ). Aceste unghiuri se mai numesc şi unghiurile lui Euler şi sunt independente între ele. Dacă originile celor două sisteme de referinţă sunt identice O ≡ O1 , figura 3.14, unghiurile lui Euler sunt: unghiul de precesie, care se află în planul Ox1 y1 este ψ =< x1ON . unghiul de rotaţie proprie, care se află în planul Oxy este ϕ =< NOx . unghiul de nutaţie, care se află în planul Oz1 z este θ =< z1Oz . Sensurile pozitive ale acestor unghiuri sunt prezentate în figura 3.15. Dreapta ON se numeşte linia nodurilor şi reprezintă intersecţia planurilor Oxy şi Ox1 y1 . Această dreaptă este perpendiculară pe planul Oz1 z . Pentru studiul cinematic al rigidului se utilizează două tipuri de deplasări şi anume: - deplasările elementare sunt deplasările care se pot produce într-un timp infinitezimal şi se notează dt; - deplasările finite sunt deplasările care au loc în interval finit de timp şi care pot fi considerate compuse dintr-o succesiune de deplasări elementare. Aceste deplasări se notează ∆t = t 2 − t1 . Distribuţia de viteze şi acceleraţii, reprezintă totalitatea vectorilor v şi a la un moment dat, aplicaţi în punctele respective. Între vitezele şi acceleraţiile diferitelor puncte ale rigidului, există relaţii bine determinate, stabilite de Euler, care dau posibilitatea de a calcula pentru toate punctele rigidului Fig. 3.15. vitezele şi acceleraţiile şi de a le stabili distribuţia. 3.5. Derivata absolută şi relativă a unei funcţii vectoriale de timp

Se consideră două sisteme de referinţă triortogonale drepte, primul O1x1y1z1 considerat fix, iar Oxyz mobil şi un vector u (t ) variabil. Vectorul u (t ) raportat la


CINEMATICA CORPULUI SOLID

73

______________________________________________________________________ sistemul de referinţă fix este: u ( t ) = u x1 i1 + u y1 j1 + u z1 k1

(3.49)

Faţă de sistemul de referinţă mobil, vectorul u (t ) se poate scrie: u ( t ) = u x i + u y j + u z k .

Derivata în raport cu timpul a funcţiei vectoriale u (t ) raportată la sistemul de referinţă

fix se numeşte derivată absolută şi se notează:

du & = u = u& x1 i1 + u& y1 j1 + u& z1 k1 dt

(3.50)

Derivata în raport cu timpul a funcţiei vectoriale (3.49) este: & u& = u& x i + u& y j + u& z k + u x i& + u y &j + u z k

(3.51)

Prin analogie cu relaţia (3.50) a vectorului (3.49) se defineşte derivata relativă sau locală faţă de sistemul mobil în raport cu timpul a funcţiei vectoriale u (t ) şi se notează cu

∂u ∂u , vectorul = u& x i + u& y j + u& z k ∂t ∂t

(3.52)

du ∂u (3.53) = + u x i& + u y &j + u z k& dt ∂t Pentru a afla derivata în raport cu timpul a versorilor axelor mobile, se derivează relaţiile de ortogonalitate (3.48) în raport cu timpul. Prin convenţie se consideră că vectorul viteză unghiulară prin proiecţiile sale pe axele sistemului mobil este: &j ⋅ k = − k& ⋅ j = ω ; i& ⋅ j = − &j ⋅ i = ω ; k& ⋅ i = − i& ⋅ k = ω (3.54) Astfel

x

z

y

Pentru determinarea vectorilor i&, &j , k& se consideră un vector oarecare V care se poate (3.55) scrie: V = V x i + V y j + V z k = (V i )i + (V j ) j + (V k )k În locul acestui vector se aşează pe rând vectorii i&, &j, k& şi rezultă:

( ) ( ) ( ) &j = &j i i + &j j j + &j k k = −ω i + ω k = ω × j ( ) ( ) ( )

i& = i& i& i + i& j j + i& k k = ω z j − ω y k = ω × i& z

(3.56)

x

( ) ( ) ( )

& & & & k = k i i + k j j + k k k = ω y j − ωx i = ω × k

Relaţiile (3.56) se numesc relaţiile lui Poisson.

(

)

(

)

& u x i& + u y &j + u z k = u x ( ω× i ) + u y ( ω× j ) + u z ω× k = ω× u x i + u y j + u z k = ω× u

(3.57)

du ∂u (3.58) +ω ×u = dt ∂t În concluzie derivata absolută a unui vector variabil care este raportat la sistemul de referinţă mobil, se poate scrie cu ajutorul derivatei relative şi al vectorului viteză unghiulară utilizând versorii axelor mobile. Observaţii: a. Dacă vectorul u (t ) este invariabil faţă de sistemul de referinţă mobil atunci Relaţia (3.50) devine

∂u = ω ×u ∂t b. Dacă vectorul u (t ) este tocmai vectorul viteză unghiulară ω atunci:

relaţia (3.58) devine:

(3.59)

∂ω dω ∂ω + ω ×ω = = ω& x i& + ω& y j + ω& k (3.60) = ω& = ε = ∂t dt ∂t în care ε reprezintă acceleraţia unghiulară a sistemului de referinţă mobil. Proiecţiile vectorului acceleraţie unghiulară ε pe axele sistemului fix sunt:


CURS DE MECANICĂ

74

______________________________________________________________________

ε x1 = ω& x1 ; ε y1 = ω& y1 ; ε z1 = ω& z1

(3.61)

iar pe axele sistemului de referinţă mobil sunt: ε x = ω& x ; ε y = ω& y ; ε z = ω& z .

(3.62)

3.6. Relaţiile lui Euler pentru viteze şi acceleraţii 3.6.1. Distribuţia de viteze

Se consideră două puncte ale unui rigid A şi B, determinate de vectorii de poziţie rA şi rB , figura 3.16. Între punctele O, A şi B există relaţia vectorială: z _ rA x

OB = OA + AB (3.63) Pentru a afla vitezele punctelor A şi B, se derivează relaţia

A

rB

O

B

(3.63) şi anume: OB = OA+ AB sau: v B = vA + AB

y

Pentru a determina pe AB , derivăm relaţia AB = const.

• •

(3.64)

2

2 AB . AB = 0 , rezultă că AB ⊥ AB sau AB = ω × AB , unde Fig. 3.16 ω este un vector oarecare nedefinit. Relaţia (3.64) devine: vB = v A + ω× AB (3.65) Relaţia (3.65) se numeşte relaţia lui Euler pentru viteze. În această relaţie ω este un vector care caracterizează mişcarea rigidului respectiv şi se numeşte viteza unghiulară. Vectorul viteză unghiulară se poate scrie ω = ω x i + ω y j + ω z k (3.66) r r r & & & Astfel: v = r1 = r0 + r = v 0 + xi + yj + zk (3.67) unde v0 = r&0 reprezintă viteza originii sistemului mobil faţă de cel fix. Atunci v = v0 + ω × r (3.68) Relaţia (3.68) se numeşte formula generală a distribuţiei de viteze şi cu ajutorul ei se efectuează distribuţia de viteze a punctelor rigidului la un moment dat al mişcării sale. Componentele pe axe mobile ale vitezei se obţin din relaţia (3.31) şi anume: (3.69) vx = v0 x + zω y − yωz ; v y = v0 y + xωz − zωx ; vz = v0 z + yωx − xω y Relaţia (3.68) se mai numeşte şi formula lui Euler pentru distribuţia de viteze în mişcarea corpului rigid. 3.6.2. Distribuţia de acceleraţii

Dacă se derivează relaţia lui Euler pentru viteze (3.65) se obţine: v& = v& + ω& × AB + ω × A& B B

A

(

)

(3.70) sau după înlocuiri: a& B = a& A + ε × AB + ω × ω × AB care reprezintă formula lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii. Derivând relaţia (3.70) în raport cu timpul rezultă: a = v& = v&0 + ω& × r + ω × r&. (3.71) & & & unde a 0 = v0 = r0 se numeşte acceleraţia punctului O faţă de sistemul de referinţă fix, adică acceleraţia absolută. Ştiind că ω& x = ε x ; ω& y = ε y ; ω& z = ε z , adică r r r ε = ε xi + ε y j + ε z k . (3.72)


CINEMATICA CORPULUI SOLID

75

______________________________________________________________________

Înlocuind în relaţia (3.70) rezultă: a = a 0 + ε × r + ω × (ω × r ) (3.73) care reprezintă formula generală a distribuţiei de acceleraţii în mişcarea punctelor unui corp rigid. Proiecţiile pe axe sistemului mobil ale acceleraţiei se obţin din dezvoltarea relaţiei (3.73) şi anume: a x = a 0 x + (zε y − yε z ) + ω y ( yω x − xω y ) + ω z ( zω x − xω z ) a y = a 0 y + (xε z − zε x ) + ω z (zω y − yω z ) + ω x (xω y − yω x ) a z = a 0 z + ( yε x − xε y ) + ω x (xω z − zω x ) + ω y ( yω z − zω y )

(3.74)

3.7. Mişcări particulare ale rigidului 3.7.1. Clasificarea mişcărilor particulare ale corpului rigid

Clasificarea mişcărilor particulare ale unui corp solid rigid se poate realiza în funcţie de vectorii v0 , ω care caracterizează distribuţia vitezelor. Astfel: - mişcarea de translaţie în care v0 ≠ 0, ω = 0 ; - mişcarea de rotaţie (rigid cu o axă fixă) în care v0 = 0, ω ≠ 0 adică ω este coliniar cu o axă fixă ∆. Rezultă ω ║ ε . - mişcarea sferică (rigid cu un punct fix) în care v0 = 0, ω ≠ 0 , dar ω are o direcţie oarecare variabilă în timp. Vectorii ω şi ε au suporturi diferite. - mişcarea elicoidală în care v0 ≠ 0, ω ≠ 0 , iar v0 ║ ω şi coliniare cu o axă fixă ∆. − mişcarea plan – paralelă în care v0 ≠ 0, ω ≠ 0 , iar v0 ⊥ ω şi v0 cuprins într-un plan fix. - mişcarea generală în care v0 ≠ 0, ω ≠ 0 , iar v0 şi ω au direcţii diferite. 3.7.2. Mişcarea de translaţie 3.7.2.1. Generalităţi

Un rigid execută o mişcare de translaţie atunci când orice dreaptă solidară a sa rămâne paralelă cu ea însăşi în tot timpul mişcării. Mişcarea de translaţie poate fi: a) Translaţii rectilinii când orice punct de pe o dreaptă execută o mişcare rectilinie. Astfel de situaţii întâlnim în cazul mişcării ascensorului faşă de clădire, a unui sertar faţă de birou, a unui piston faţă de cilindru etc. b) Translaţii curbilinii care pot fi plane sau spaţiale. Mişcarea de translaţie este curbilinie plană atunci când traiectoriile punctelor rigidului sunt curbe plane paralele. Mişcarea bielei de antrenare a două roţi identice paralele, mişcarea scaunelor unui scrânciob faţă de pământ sau mişcarea bielei de cuplare a roţilor motoare de la o locomotivă cu abur faţă de calea de rulare rectilinie sunt exemple de astfel de mişcări de translaţie. Gradul de mobilitate al rigidului este egal cu doi, adică precizarea poziţiei oarecare a rigidului trebuie realizată prin cunoaşterea coordonatelor sale după două direcţii ale planului în care se mişcă corpul. Mişcarea de translaţie este curbilinie în spaţiu atunci când traiectoriile punctelor rigidului sunt curbe spaţiale paralele între ele. Gradul de mobilitate este trei, deoarece pentru precizarea poziţiei unui punct oarecare al rigidului trebuie să cunoaştem toate cele trei coordonate ale acestuia. Un exemplu de astfel de mişcare este deplasarea unei maşini-unelte într-o hală cu ajutorul unui pod rulant prevăzut cu câte un motor pentru fiecare din cele trei posibilităţi de mişcare,


CURS DE MECANICĂ

76

______________________________________________________________________ vertical, longitudinal sau transversal. Compunerea translaţiilor rectilinii este comutativă şi asociativă, adică fenomenul compunerii lor este liniar. Aceasta înseamnă că prin efectuarea lor succesivă şi în orice ordine rigidul ajunge în aceeaşi poziţie ca şi când ele s-ar efectua simultan. 3.7.2.2. Legea de mişcare

Pentru a pune în evidenţă caracteristicile mişcării de translaţie, se consideră un rigid căruia i se ataşează un sistem de referinţă Oxyz, raportat la un sistem fix O1 x1 y1 z1 , figura 3.17. Deoarece axele sistemului mobil rămân tot timpul mişcării paralele cu paralele cu ele, versorii sunt constanţi, deci derivatele lor sunt z1 z & nule: i, j , k = Ct. ⇒ i& = &j = k = 0 (3.75) M Rezultă că şi componentele vectorului ω sunt nule. Concluzia r este că toate punctele rigidului aflat în mişcarea de translaţie r1 r0 au viteza unghiulară şi implicit acceleraţia unghiulară nule: y O ω =0⇒ε =0 (3.76) O y1 Într-o mişcare de translaţie, traiectoriile diferitelor puncte ale x1 rigidului sunt identice, ele putând fi suprapuse printr-o x Fig. 3.17. translaţie geometrică. Acest fapt rezultă şi din relaţia: (3.77) r1 = r0 + r În cazul translaţiei, r = OM este un vector constant şi translaţia punctului O coincide cu translaţia punctului M. Se poate scrie: x1 = x0 + x; y1 = y 0 + y; z1 = z 0 + z , unde r = xi + yj + zk . Prin eliminarea parametrului timp se obţin ecuaţiile traiectoriei punctului M în coordonate carteziene. 3.7.2.3. Distribuţia de viteze

Se calculează viteza unui punct oarecare al rigidului, funcţie de viteza punctului O, originea sistemului mobil: vM = v0 + ω × OM = v0 + OM × ω = v0 (3.78) Rezultă că la un moment dat toate punctele rigidului au aceeaşi viteză, egală cu viteza originii sistemului de referinţă ataşat rigidului. Proiecţiile pe axe ale vitezei unui punct M sunt: v x = x& 0 ; v y = y& 0 ; v z = z& 0 . (3.79) 3.5.2.4. Distribuţia de acceleraţii

Se aplică relaţia lui Euler pentru acceleraţii şi ţinând seama de faptul că ε = 0 şi ω = 0 , se obţine: a M = a O + ε × OM + ω × ω × OM sau aM = a0 (3.80) adică toate punctele au aceeaşi acceleraţia la un moment dat. Aşadar, într-un rigid aflat în mişcare de translaţie nu există puncte de viteză nulă în nici un moment din timpul mişcării sale. Acceleraţiile sale pot fi nule doar dacă translaţia rigidului este rectilinie şi uniformă. Proiecţiile pe axe ale acceleraţiei punctului M sunt: a x = &x&0 ; a y = &y&0 ; a z = &z&0 . (3.81)

(

)


CINEMATICA CORPULUI SOLID

77

______________________________________________________________________ 3.7.3. Mişcarea de rotaţie (rigid cu axă fixă) 3.7.3.1. Generalităţi

Un solid rigid execută o mişcare de rotaţie, dacă în tot timpul mişcării două puncte ale sale rămân fixe în spaţiu. Cele două puncte determină o axă de rotaţie, rezultând că axa de rotaţie rămâne fixă în spaţiu în tot timpul mişcării. Dacă un rigid execută o mişcare de rotaţie, punctele rigidului vor efectua mişcări circulare pe cercuri perpendiculare pe axa de rotaţie, cu centrele pe această axă. 3.7.3.2. Legea de mişcare

Pentru a determina poziţia rigidului este suficient să cunoaştem unghiul θ determinat de un plan al rigidului care trece prin axa de rotaţie şi alt plan fix al acestuia. Alegem ca axă de rotaţie axa O1z1 care se suprapune peste axa sistemului mobil Oz, figura 3.18. În aceste condiţii unghiul θ va fi format de planele O1x1z1 şi Oxz. Rigidul (3.82) aflat în mişcare de rotaţie are un singur grad de libertate şi anume θ = θ (t ) care reprezintă şi legea de mişcare a corpului rigid. Versorul axei Oz este identic cu versorul axei O1z1 şi constant: k = k 1 = Const. Realizând o vedere a planurilor suprapuse Oxy şi O1x1y1, figura 3.19, se pot determina versorii axelor mobile, funcţie de versorii axelor fixe: i = cos θi1 + sin θ j1 ; j = − sin θi1 + cos θ j1 (3.83) Derivând relaţiile (3.83) se obţine: i& = −θ& sin θ i1 + θ& cos i1 = θ& ⋅ j (3.84) Pentru a determina vectorul ω se analizează componentele sale în funcţie de versorii sistemului mobil: k = ct. k& = 0; j ⋅ k = 0; &j k + jk& = 0 ⇒ &j = 0 . Rezultă: ω x = &j k = 0; ω y = k& i = 0; ω z = i& j = θ j j = θ& (3.86) Aşadar: ω = θ& k

(3.85)

z ≡ z1

iar acceleraţia unghiulară, ca derivată a vitezei este: ε = θ&& k (3.87)

O2

r1 = r = OM = = x1 i1 + y1 j1 + z1k1 = x i + y j + zk

_ j

d

Rezultă că vectorii ω şi ε sunt coliniari cu axa de rotaţie. Poziţia unui punct arbitrar M din corpul rigid este dată prin vectorul de poziţie:

_ _ k ≡ k1

x1

O ≡_O1 i1 _ i

θ

x

y1

y

M

r

_ j_ j1

θ j_ 1

i θ

x x1

O ≡ O1

i1

y y1

Fig. 3.15

Fig. 3.14

(3.88) Înlocuind versorii i , j , k în ultimul membru al relaţiilor (3.88) şi identificând coeficienţii versorilor i1 , j1 , k1 , obţinem legea de mişcare a punctului M a rigidului, care are coordonatele (x, y, z) faţă de sistemul legat de corp: x1 = x cos θ − y sin θ; y1 = x sin θ + y cos θ; z1 = z (3.89) Prin eliminarea timpului din relaţiile (3.89), prin intermediul relaţiei (3.82) se obţine traiectoria analitică a punctului M în coordonate carteziene: x12 + y12 = x 2 + y 2 = const. z1 = z. (3.90)


CURS DE MECANICĂ

78

______________________________________________________________________ În concluzie, un punct arbitrar dintr-un rigid care are o mişcare de rotaţie cu axă fixă are o traiectorie circulară, situată într-un plan ( z1 = z ) perpendicular pe axa de rotaţie, cu centrul pe axa de rotaţie şi raza egală cu distanţa de la punct la axa de rotaţie R = x2 + y2

(3.91)

3.7.3.2. Distribuţia de viteze

Viteza unui punct oarecare a rigidului M(x,y,z), conform celor stabilite de Euler, se determină cu relaţia: vM = ω × OM sau, dezvoltând produsul vectorial, se obţine: vM

i j k = 0 0 ω = − yωi + xω j x y z

(3.92)

Proiecţiile vectorului viteză pe axele sistemului mobil sunt: v x = −θ& y; v y = θ& x; v z = 0.

(3.93)

(3.94) Mărimea acestui vector este: | vM |= y 2ω 2 + x 2ω 2 = ω y 2 + x 2 = ω ⋅ R Se observă pentru viteza în mişcarea de rotaţie o variaţie liniară în funcţie de R, distanţa de la axa de rotaţie la punctul considerat. Se pot face câteva observaţii privind vitezele punctelor rigidului aflat în mişcare de rotaţie: - punctele de pe axa de rotaţie au viteza nulă; - punctele situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie, au vitezele egale; - vitezele punctelor rigidului sunt vectori situaţi în planuri perpendiculare pe axa de rotaţie; - punctele corpului rigid situate pe o dreaptă perpendiculară (∆1) pe axa de rotaţie Oz într-un punct P, au vitezele normale pe această dreaptă, iar modulele sunt proporţionale cu distanţa la axa de rotaţie. 3.7.3.3. Distribuţia de acceleraţii

Pentru a studia distribuţia acceleraţiilor în mişcarea de rotaţie, se exprimă acceleraţia punctului oarecare M, cu ajutorul relaţiei lui Euler: a M = a O + ε × OM + ω × ω × OM (3.95)

(

unde: a0 = 0, ( v0 = 0 ) , ε ( 0, 0, ε ) şi ω (0,0, ω )

i

j

k

i

aM = 0 0 ε + 0 x y z − yω

j

)

(3.96)

k

0 ω , de unde se determină proiecţiile pe axele reperului xω 0

mobil ale acceleraţiei: ax = − yε − xω2 ; ax = xε − yω2 ; az = 0 Modulul acceleraţiei are valoarea: | a M |=

(3.97)

(− yε − xω ) + (xε − yω ) 2 2

2 2

(3.98)

(3.99) sau după efectuarea calculelor rezultă: | a M |= R ⋅ ε 2 + ω 2 În cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă, acceleraţia are două componente şi anume: acceleraţia tangenţială, notată aτ ; acceleraţia normală, notată aν , care au expresiile:


CINEMATICA CORPULUI SOLID

79

______________________________________________________________________ aτ = ε × r ; aν = ω × (ω × r )

(3.100)

(3.101) şi mărimile: aτ = x 2 + y 2 ⋅ ε ; aν = x 2 + y 2 ⋅ ω 2 Se deduce că acceleraţia unui punct oarecare M din corpul rigid se determină ca şi în cazul mişcării circulare a punctului pe un cerc, cu centrul pe axa de rotaţie, planul cercului fiind perpendicular pe axa de rotaţie. Viteza şi acceleraţia unghiulară sunt aceleaşi pentru toate punctele rigidului. Asupra acceleraţiei se pot face următoarele observaţii: punctele situate pe axa de rotaţie au acceleraţia nulă; acceleraţiile punctelor situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie sunt egale. 3.7.4. Mişcarea plan paralelă 3.7.4.1. Generalităţi

Un rigid efectuează o mişcare plan paralelă, când trei puncte necoliniare ale rigidului rămân tot timpul mişcării conţinute în acelaşi plan fix din spaţiu. Cele trei puncte necoliniare determină un plan, deci un plan al rigidului se mişcă peste un plan fix din spaţiu, figura 3.16. Prin urmare, traiectoriile tuturor punctelor rigidului sunt z

z1 _ k O1 x1

_ i1

_ j1

_ _ k_ ro O _ j M(x,y) i

θ x

y1

Fig. 3.16

y

curbe plane situate în plane paralele cu planul fix, motiv pentru care mişcarea este denumită plan paralelă. Ca exemplu de astfel de mişcare se pot da mişcarea de la maşina de rectificat plan sau mişcarea roţii unui automobil în mişcare rectilinie. Un alt exemplu este mişcarea unei cărţi pe un birou, deplasare care trebuie realizată astfel încât planul de contact dintre carte şi birou din timpul repausului să se menţină şi în timpul mişcării. În particular, mişcarea de rotaţie cu axă fixă şi mişcarea de translaţie cu traiectorii plane sunt exemple de mişcări plane.

3.7.4.2. Legea de mişcare

Se alege un sistem de referinţă solidar cu rigidul astfel încât axa Oz să fie paralelă cu O1z1. În acest caz, poziţia rigidului este dată de vectorul de poziţie al originii sistemului de referinţă mobil r0 şi de unghiul θ pe care planul Oxy îl face cu planul O1x1y1: r o (t ) = xo (t )i1 + yo (t ) j1 ; θ = θ (t ) (3.102) Rezultă că în mişcarea plan paralelă, rigidul are trei grade de libertate: x,y şi θ. Efectuând calculele analoge celor de la mişcarea elicoidală se obţine: ω x = − k& j = 0 ; ω y = k&i = 0 ; ω z = i& j = θ& ω = θ& k şi ε = θ&& k (3.103) Legea de mişcare a corpului este dată de funcţiile: x0 = x0 (t ); y 0 = y 0 (t ); θ 0 = θ 0 (t ). (3.104) Între versorii celor două sisteme de referinţă există următoarele relaţii de legătură: (3.105) i = cos θ i1 + sin θ j1 ; j = − sin θ i1 + cos θ j1 ; k = k1. (3.106) Punctul M are poziţia dată de vectorul de poziţie: r1 = r0 + r ,


CURS DE MECANICĂ

80

______________________________________________________________________ (3.107) r1 = x1 i1 + y1 &j1 ; r0 = x0 i1 + y0 &j1 ; r = xi1 + yj&1 ; Ţinând seama de relaţiile (3.105) şi (3.107), prin proiectarea relaţiei (3.106) pe axele sistemului de referinţă fix se obţine: (3.108) x1 = x0 + x cos θ − y sin θ; y1 = y0 + x sin θ + y cos θ Prin eliminarea timpului între relaţiile (3.108) rezultă ecuaţia analitică a traiectoriei, în coordonate carteziene, a punctului M, care este evident o curbă plană. Deoarece vectorii viteză şi acceleraţie sunt tot timpul mişcării plasaţi în planul xOy, pot fi exprimaţi astfel: vo = vox i + voy j ; ao = aox i + aoy j (3.109) Componentele vitezei şi acceleraţiei pe direcţia axei Oz sunt: voz = 0 ; aoz = 0

(3.110)

3.7.4.3. Distribuţia de viteze

Viteza unui punct oarecare al rigidului care are vectorul de poziţie r ( x, y,0) este vM = v0 + ω × r . Pentru determinarea vitezei unghiulare se ţine seama de faptul că k = k ⇒ k& = k& = 0 , precum şi de relaţiile (3.105): 1

1

ωx = − k& ⋅ j = 0;

ω y = k& ⋅ i = 0;

ωz = i& ⋅ j = θ& ⇒

(3.111)

& = && ω = ωz k = ω k = θ& k ; ε = ω θ& k i

j

k

(

Atunci: v M = v Ox i + v Oy j + 0 0 ω = i (v Ox − yω ) + j v Oy + xω x y 0

)

(3.112)

Componentele vitezei unui punct oarecare al rigidului aflat în mişcare plan paralelă sunt: vx = v0 x − yω ; v y = v0 y + xω (3.113) Se observă că viteza oricărui punct al rigidului este plasată în planul xOy sau în planuri paralele cu acesta. De asemenea, distribuţia de viteze în cazul mişcării plan paralele, poate fi considerată compusă dintr-un câmp de viteze specific translaţiei şi unul specific mişcării de rotaţie în jurul unei axe perpendiculare pe planul mişcării. Din compunerea celor două câmpuri de viteze, rezultă existenţa unor puncte care să aibă viteza nulă şi ne propunem să căutăm în planul de mişcare coordonatele acestor puncte. v ⎧v Ox − yω = 0 v . Rezultă: x = − Oy şi y = Ox (3.114) v=0⇒⎨ ω ω ⎩v Ox − xω = 0 Există un singur punct în planul Oxy, care la momentul considerat are viteza nulă, acest punct se numeşte centrul instantaneu de rotaţie sau pe scurt CIR. Acest punct se schimbă de la un moment la altul. Axa perpendiculară în CIR pe planul fix, se numeşte axă instantanee de rotaţie şi corespunde tuturor punctelor de viteză nulă ale rigidului. Fie I centrul instantaneu de rotaţie. Dacă se exprimă viteza punctului oarecare M din planul mişcării în raport cu I, se obţine: vM = v1 + ω × IM = ω × IM (3.115) adică distribuţia de viteze în mişcarea plan paralelă este ca şi cum planul mobil s-ar roti în jurul lui I, transformând mişcarea plan paralelă într-o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω . Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie faţă de planul fix, este o curbă care se numeşte bază sau centroidă fixă. Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie faţă de planul mobil se numeşte rostogolitoare, rulantă sau


CINEMATICA CORPULUI SOLID

81

______________________________________________________________________

centroidă mobilă. Cele două curbe plane sunt tangente în punctul I, iar în timpul mişcării centrioda mobilă se rostogoleşte fără alunecare pe centroida fixă. Pentru determinarea vitezelor punctelor rigidului aflat în mişcare plan paralelă, utilizăm mai multe metode: a) metoda centrului instantaneu de rotaţie, care se utilizează când se cunoaşte viteza unui punct M şi direcţia vitezei altui punct N, figura 3.17. CIR se va găsi la intersecţia perpendicularelor ridicate din punctele M (respectiv viteza vM) şi perpendiculara dusă pe direcţia vitezei punctului N, în N. Este ştiut că viteza unui punct oarecare al rigidului poate fi exprimată ca în mişcarea de rotaţie:| vM | = | ω | . | IM | v de unde: (3.116) ω= M IM

Cunoscând valoarea vitezei unghiulare ω, determinăm viteza altui punct al rigidului, v punctul N, notată vN: v N = M IN (3.117) IM Distribuţia de viteze în mişcarea plan paralelă a unui corp rigid se obţine astfel: 1. se determină centrul instantaneu de rotaţie, ca intersecţie M a două normale pe suporturile vitezelor a două puncte; I α 2. se determină viteza unghiulară instantanee ω1 din jurul vM ω1 centrului instantaneu de rotaţie cunoscând modulul vitezei unui punct care are sensul vitezei punctului arbitrar ales; 3. se calculează unghiul α sub care se văd la un moment dat vitezele tuturor punctelor din CIR. Toate aceste unghiuri vN sunt egale deoarece ω1 nu diferă de la un punct la altul: N v Fig. 3.17 (3.118) tgα = M = ω1 IM b) metoda proiecţiilor vitezelor se aplică când se cunoaşte viteza unui punct A şi direcţia vitezei altui punct B, căutând să se determine viteza din acest ultim punct, adică vB. Această metodă este o metodă grafică care se bazează pe teorema proiecţiilor vitezei. Pe baza proprietăţii vitezelor unui rigid de a avea proiecţii egale pe direcţia dreptei care uneşte punctele respective, se determină proiecţia vitezei vA pe dreapta AB, figura 3.18.a, segmentul AA’. Se construieşte BB’ egal cu AA’ şi în acelaşi sens, apoi se ridică în B’ o perpendiculară pe AB, care intersectează direcţia vitezei lui B şi se obţine extremitatea vitezei vB . Această metodă se poate aplica şi atunci când se cunosc vitezele a două puncte A şi B şi se cere viteza altui punct C, figura 3.25.b. B

VA B

VA

B′

B′

|

| A A′

VB

A′

|

A

C′

A

a

VA

c B

VC C

a

VB

C

VB

b

b Fig. 3.25

π

Fig. 3.26

Se uneşte punctul C cu punctele A şi B, apoi se construieşte pe direcţiile AC şi BC proiecţiile vitezelor vA şi vB, pe care le translatează apoi în C.


CURS DE MECANICĂ

82

______________________________________________________________________ Se construiesc perpendiculare în C’ şi C’’ a căror intersecţie dă extremitatea vitezei vC. c) metoda poligonului vitezelor utilizează o construcţie ajutătoare a vitezelor cunoscute, efectuată la scară. Se consideră trei puncte din planul mobil A, B, C, cu vitezele respective. Se construieşte într-un alt plan al vitezelor, într-un punct numit pol (π), figura 3.26, la scară, vitezele celor trei puncte şi se notează extremităţile lor cu a, respectiv b şi c (se respectă direcţiile şi sensurile vitezelor). În felul în care s-a procedat, fiecărui punct din planul vitezelor îi corespunde un punct din planul mobil al rigidului. Polul π corespunde centrului instantaneu de rotaţie, care are viteză nulă. Vectorii din planul vitezelor se pot exprima astfel: ba = v B − v A = v A + ω × AB − v A = ω × AB (3.119)

(

)

ba = ω × AB sin ω , AB = ω ⋅ AB ;

sau:

ba AB

=

ca AC

ca = ω ⋅ AC şi bc = ω ⋅ CB

bc

=

(3.120) (3.121)

CB

Conform relaţiei (3.121), figura din planul mobil se transformă într-o figură asemenea în planul vitezelor (∆ABC ~ ∆abc). Din relaţiile (3.120) se deduce perpendicularitatea segmentelor care formează cele două triunghiuri: ba = ω × AB ⇒ ba ⊥ AB ; ca = ω × AC ⇒ ca ⊥ AC ; bc = ω × CB ⇒ bc ⊥ CB (3.122) Rezultă că figurile sunt asemenea dar rotite cu 90° în sensul vectorului viteză ω . 3.7.4.4. Distribuţia de acceleraţii

Acceleraţia unui punct oarecare al rigidului aflat în mişcare plan paralelă se exprimă cu ajutorul relaţiei lui Euler: a M = a o + ε × OM + ω × (ω × OM ) , unde:

ω (0, 0, ω ) ; ε (0, 0, ε ) ; a o (ax , ay , 0) şi a M = a o + + ε × OM + ω × (ω × OM ) . Înlocuind, i

j

k

i

a M = ax i + ay j + 0 0 ε + 0 x y 0 − yω

j

k

0 ω de unde se obţine: xω 0

aMx = ax − yε − xω2 ; aMy = ay + xε − yω2

(3.123)

Se urmăreşte determinarea punctul care are acceleraţia nulă. Acest punct unic al planului mobil, caracterizat prin acceleraţie nulă, se numeşte “centrul acceleraţilor” şi a x ω 2 − εa y axε + ω 2 ay ; (3.124) se notează cu J: x = y = ε 2 +ω4 ε 2 +ω4 Dacă se exprimă acceleraţia punctului M faţă de acceleraţia punctului J, se obţine: a M = a J + ε × JM + ω × (ω × JM ) unde a J = 0 .

(

) (

)

ε × JM =| ε | ⋅ | JM | ⋅ sin(ε , JM ) = ε ⋅ JM ; ω × ω × JM = ω ω ⋅ JM − JM ω 2 = − JM ω 2 Modulul acceleraţiei este: a M = ε 2 ⋅ JM 2 + ε 4 ⋅ JM 2 = JM ε 2 + ω 4

(3.125)

adică este acelaşi ca şi la mişcarea de rotaţie. Componenta ε × JM a acceleraţiei este acceleraţia tangenţială a punctului respectiv şi este perpendiculară pe JM . Componenta ω × (ω × JM ) este acceleraţia normală, paralelă cu JM , figura 3.32.


CINEMATICA CORPULUI SOLID

83

______________________________________________________________________ Unghiul dintre cele două componente al acceleraţiei este: aτ ε ⋅ JM ε tgϕ = = 2 = 2 ω ⋅ JM ω aν

(3.126)

aν J

M

ϕ

Distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan paralelă este la fel ca în aM mişcarea de rotaţia a planului mobil în jurul centrului acceleraţiilor, Fig. 3.27 unghiul de rotaţie fiind ϕ. Se va prezenta doar metoda centrului acceleraţiilor pentru determinarea distribuţiei de acceleraţii şi a polului acesteia J în funcţie de elementele cunoscute ale mişcării unor puncte cuprinse în planul mişcării. Metoda centrului acceleraţiilor, figura 3.28 este o metodă grafo-analitică care se bazează pe proprietatea că distribuţia de acceleraţii este identică cu cea a unei mişcări de rotaţie cu axă fixă, care trece prin centrul acceleraţiilor şi este totodată perpendiculară pe planul mişcării. Această metodă se poate utiliza când se cunoaşte acceleraţia unui punct oarecare al rigidului a A , viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε şi se cere acceleraţia altui punct al rigidului. Fiind cunoscută acceleraţia punctului A se poate determina distanţa JA şi unghiul ϕ cu relaţiile: JA = aτ

aA

A

ϕ an

J

ε

ω

aA

ε2 +ω4

; ϕ = arctg

ε ω2

(3.127)

Acceleraţia punctului A are două componente: o componentă tangenţială ε × JA de mărime aτ = ε ⋅ JA , direcţie perpendiculară pe vectorul JA şi sensul dat de vectorul ε ; a doua componentă, normală are direcţia vectorului JA , sensul da la A spre J, iar mărimea an = ω 2 JA. Mărimea acceleraţiei

(3.128) punctului A este: aA = JA ε 2 + ω 4 şi face acelaşi unghi ϕ cu dreapta JA. Din relaţia (3.128) se B ϕ aB deduce prima relaţie de calcul pentru determinarea centrului aA (3.129) (polului) acceleraţiilor: JA = Fig. 3.28 ε2 +ω4 a JAε adică se obţine relaţia (3.127). La Din analiza figurii 3.28 se deduce tgϕ = τ = an JAω 2 acelaşi moment dat rezultă că şi unghiul ϕ nu se schimbă de la un punct la altul. În concluzie, polul acceleraţiilor J se determină urmând etapele: - prin punctul A se trasează o dreaptă înclinată cu unghiul ϕ faţă de acceleraţia a A , unghiul având acelaşi sens cu acceleraţia unghiulară şi cu mărimea dată de ecuaţia (3.128); - pe dreapta trasată prin punctul A de determină polul cu mărimea JA exprimată cu relaţia (3.129). Acceleraţia unui punct oarecare B se calculează ca la mişcarea de rotaţie cu axa perpendiculară în J pe planul secţiunii, cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε , calculând cele două componente: anB = JBω2 ; aτB = JBε. (3.130)


CURS DE MECANICĂ

84

______________________________________________________________________ III.3. CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE 3.8. Mişcarea relativă a punctului material Se consideră un sistem de referinţă fix O1 x1 y1 z1, un sistem de referinţă mobil faţă de primul Oxyz şi un punct M, care se mişcă în raport cu ambele sisteme. În mişcarea relativă a punctului material intervin trei tipuri fundamentale de mişcări mecanice şi anume: mişcarea punctului M faţă de sistemul considerat fix Oxyz este mişcarea absolută a punctului material; mişcarea punctului M faţă de sistemul mobil este mişcarea relativă, viteza şi acceleraţia în această mişcare purtând numele de relative. Mişcarea acestui punct este înregistrată de un observator situat în reperul mobil; Mişcarea de transport este mişcarea în raport cu sistemul fix a unui punct M’, solidar cu sistemul mobil, care coincide în momentul considerat, cu punctul mobil M, viteza şi acceleraţia corespunzătoare poartă numele de transport. Se consideră un punct material M oarecare şi două sisteme de referinţă din care unul este fix O1 x1 y1 z1 şi unul este mobil Oxyz. Se consideră vectorii de poziţie r1 = O1M şi r = OM ai punctului M faţă de sistemele de referinţă fix şi mobil, iar r0 = O1O vectorul de poziţie a originii sistemului mobil faţă de cel fix, figura 3.29. Între

aceşti vectori există relaţia r1 = r0 + r (3.132) Relaţia (3.132) reprezintă legea mişcării absolute a punctului material M. Vectorial această lege se scrie: r1 = x1i1 + y1 j1 + z1k1 (3.133) sau scalar: x1 = x1 (t ); y1 = y1 (t ); z1 = z1 (t ) (3.134) care sunt ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute a punctului M. _ z1 Legea mişcării relative a punctului M scrisă vectorial este: _ z r1 M r = xi + yj + zk (3.135) k y 1 _ O1 _ x = x(t ); y = y (t ); z = z (t ); (3.136) r j1 _ Relaţiile (3.136) reprezintă ecuaţiile parametrice (funcţie _ x1 _ _ k y de timp) ale traiectoriei relative a punctului considerat. i1 j r Legea de mişcare a originii sistemului de referinţă mobil O _ faţă de sistemul considerat fix este dată de vectorul r0 i Fig. 3.29. x (3.137) exprimat cu relaţia: r0 = x0i + y0 j + z 0 k

sau sub formă scalară: x0 = x0 (t ); y0 = y0 (t ); z0 = z0 (t ); (3.138) Pentru a obţine distribuţia de viteze din mişcarea relativă a punctului material se derivează relaţia (3.132) în raport cu timpul şi se obţine: r1 = r0 + r (3.139) sau: vM = vo + vr (3.140) unde vM este viteza absolută a punctului M faţă de sistemul de referinţă fix, iar vo este viteza originii O faţă de acelaşi sistem. Ştiind că r = xi + yj + zk , se calculează derivata: r = xi + y j + zk + xi + yj + zk . Suma primilor trei termeni din membrul doi ∂r (3.141) ∂t Relaţia (3.141) nu este o derivată parţială, ci o notaţie convenţională şi reprezintă viteza relativă a punctului material, adică viteza punctului M faţă de sistemul de referinţă mobil, ca şi cum acesta ar fi fix. Utilizând relaţiile lui Poisson: i = ω × i ; j = ω × j ;

este notată: v r = xi + yj + zk =


CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE

85

______________________________________________________________________

(

)

k = ω × k viteza punctului M devine: v M = v o + v r + ω × xi + y j + z k = v r + ω × r + v o . (3.142) Se notează: v o + ω × r = v t adică viteza de transport şi se obţine relaţia de compunere pentru viteza absolută ca suma dintre viteza relativă şi viteza de transport: vM = vr + vt = va (3.143) Pentru determinarea distribuţiei de acceleraţii în mişcarea relativă, se derivează relaţia (3.139) în raport cu timpul: r1 = r0 + r (3.144)

∂ 2r

∂r ⎛ ∂r ⎞ (3.145) +ε ×r +ω ×⎜ +ω ×r⎟ +ω × ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂t r 2 ∂r ∂ r (3.146) a M = a o + ε × r + ω × ω + r + 2 + 2ω × ∂t ∂t unde: 1. at este acceleraţia de transport; acceleraţia de transport se defineşte ca acceleraţie a punctului M solidar cu sistemul de referinţă mobil faţă de cel fix. at = ao + ε × r + ω × ω + r (3.147) 2. a0 este acceleraţia originii sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix; a0 = r0 = v0 (3.148)

Se obţine: a M = a o +

2

(

)

(

)

3. ar este acceleraţia relativă, adică acceleraţia punctului M faţă de sistemul de referinţă

∂2 r (3.149) ∂t 2 4. aC este acceleraţia Coriolis sau acceleraţia complementară. Ea exprimă influenţa simultană a mişcării de rotaţie a sistemului de referinţă mobil şi a mişcării relative a punctului asupra acceleraţiei absolute a punctului considerat. Acceleraţia Coriolis este un vector perpendicular pe planul determinat de vectorii ω şi vr , are sensul dat de regula burghiului drept care roteşte vectorul viteză unghiulară peste vectorul viteză ∂r = 2ω × vr (3.150) relativă; a c = 2ω × ∂t (3.151) Modulul acestei acceleraţii este: ac = 2ωvr sin (ω , vr ) mobil, ca şi cum acesta ar fi fix; a r =

Acceleraţia Coriolis este nulă în următoarele cazuri: ω = 0 , când mişcarea sistemului este o translaţie; vr = 0 , când avem cazul unui echilibru relativ; ω şi vr sunt doi vectori paraleli. Înlocuind se obţine: aM = ar + at + ac = aa (3.152) 3.9. Mişcarea relativă a corpului solid În cadrul cinematicii rigidului s-a analizat mişcarea acestuia în raport cu un sistem de referinţă considerat fix. Sunt situaţii când se impune să se analizeze mişcarea acestuia faţă de un reper care nu mai este fix, ci mobil. Acest capitol va determina legile de mişcare, când aceasta este raportată la un reper mobil. Se alege un corp solid oarecare (C) şi trei triedre: T1 ( O1 x1 y1 z1 ) este mobil; T0 ( Ox0 y0 z0 ) prin convenţie fix; T2 ( O2 x2 y 2 z 2 ) este legat solidar cu corpul rigid. Se cunoaşte mişcarea corpului faţă de triedrul mobil precum şi mişcarea triedrului mobil faţă de cel fix. Se doreşte determinarea mişcării corpului rigid faţă de triedrul fix. Mişcarea corpului faţă de


CURS DE MECANICĂ

86

______________________________________________________________________ triedrul mobil este prezentată în figura 3.30. Mişcarea corpului rigid faţă de triedrul fix T0 se numeşte mişcarea absolută. Mişcarea triedrului T2 faţă de triedrul T1 este o mişcare relativă. Mişcarea corpului rigid legat solidar cu triedrul T1 faţă de triedrul T0 este o mişcare de transport a corpului sau o mişcare de antrenare. Pentru studiul legilor de mişcare, a vitezelor şi acceleraţiilor se alege un punct arbitrar M din rigid. Un punct oarecare M din corpul rigid este definit de vectorii de poziţie: r2 = O2 M în raport cu originea triedrului T2; r1 = O1M în raport cu originea triedrului T1; r = OM în raport cu originea triedrului T0. Punctele O1 şi O2 sunt puse în evidenţă faţă de reperul fix prin vectorii de poziţie: r20 = OO2 vectorul de poziţie al originii sistemului T2 faţă de originea sistemului fix T0; r10 = OO1 vectorul de poziţie al

z1

z2

_ k1 i1

O1

r21

x1 z0 r10 x0

O

_ j1

r20 y0

M

r1 r2 k2

y1 y2

j2

O2 i2 (C) x2

Fig. 3.30

originii sistemului T1 faţă de originea sistemului fix T0; r21 = O1O2 vectorul poziţiei punctului O2 faţă de punctul O1. Legea mişcării absolute a punctului M se poate scrie sub forma: r = r10 + r21 + r2 ; r = r20 + r2 (3.153) Distribuţia de viteze a punctului M al corpului rigid faţă de triedrul fix se obţine similar cu cele prezentate la paragraful 3.8.2. Viteza relativă a punctului M este viteza lui faţă de triedrul T1. Deoarece punctul este solidar cu corpul rigid deci cu triedrul T2 se poate scrie: vr = v21 + ω 21 × r2 (3.154) Viteza de transport a punctului M este viteza punctului solidar legat cu triedrul mobil faţă de cel fix, deci: vt = v10 + ω10 × r1 (3.155) Viteza absolută se determină ca sumă vectorială a celor două viteze calculate cu relaţiile (3.154) şi (3.155) : va = vr + vt sau va = v10 + v21 + ω10 × r1 + ω 21 × r2 (3.156) Relaţia (3.156) nu permite determinarea vitezei absolute a punctelor corpului în funcţie de parametrii cinematici ai mişcărilor componente. Utilizând rezultatele obţinute la paragrafele anterioare se obţine acceleraţia relativă a punctului M: ar = a21 + ε 21 × r2 + ω 21 × (ω 21 × r2 ) (3.157) Acceleraţia de transport a punctului M este acceleraţia lui M solidar legat de triedrul mobil ,T1, faţă de cel fix, T0 şi este: at = a10 + ε10 × r1 + ω10 × (ω10 × r1 ) (3.158) Acceleraţia Coriolis se calculează utilizând viteza unghiulară de transport ω10 şi viteza relativă: aC = 2ω10 × vr = 2ω10 × (v21 + ω 21 × r2 ) (3.159) Expresia acceleraţiei absolute a punctului M al rigidului este M a20 = aa = ar + at + aC (3.160) relaţie care permite determinarea acceleraţiei absolute a punctelor corpului în funcţie de parametrii cinematici ai mişcărilor componente.


NOTIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE

87

______________________________________________________________________ CAPITOLUL IV. DINAMICA

Dinamica este parte a mecanicii care se ocupă cu studiul mişcării corpurilor, ţinând seama de forţele şi momentele care acţionează asupra lor, neglijând fenomenele secundare care însoţesc mişcările şi produc modificări în structura internă a corpurilor (încălzirea, fenomenele luminoase, electrice sau magnetice etc. nu influenţează mişcarea în mod sensibil şi din acest motiv, nu se iau în considerare). Dinamica studiază aceleaşi elemente ale mişcării ca şi cinematica, dar le va lega de interacţiunea corpurilor materiale. Suplimentar se vor studia şi reacţiunile din legături. IV.1. NOŢIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE 4.1.1. Lucrul mecanic Noţiunea de lucru mecanic a apărut din necesitatea de a măsura munca (fizică) depusă de om, precum şi de maşinile construite de el pentru a-1 ajuta în această muncă. Denumirea de lucru mecanic a fost dată de inginerul francez Gustave Gaspard Coriolis. Conţinutul noţiunii s-a adâncit, o dată cu cea de căldură, în secolul al XlX-lea când s-a dovedit experimental că există un raport constant între cantitatea de lucru mecanic (care este legat de mişcarea mecanică) şi cantitatea de căldură (care este legată de o formă de mişcare nemecanică a materiei) în care acesta se poate transforma. a. Definiţii Se consideră un punct material M care se deplasează pe traiectoria curbilinie (Γ), fiind acţionat de forţa variabilă F . La momentul t punctul material se află în M 1 având faţă de un punct de referinţă fix 0 vectorul de poziţie r , iar la momentul t + dt se află în M 2 , având vectorul de poziţie r + d r (figura 4.1). Prin definiţie se va numi lucrul mecanic elementar, corespunzător forţei F şi deplasării elementare d r , produsul scalar dL = F ⋅ d r = F ⋅ ds ⋅ cos F ⋅ d r (4.1)

(

)

dr unde d r = ds . Deoarece r = v = (4.2) , expresia (4.1) devine dL = F ⋅ v ⋅ dt dt Conform relaţiei (4.1) rezultă că: lucrul mecanic (Γ) ds elementar corespunzător unei forţe F şi unei deplasări M2 elementare d r a punctului de aplicaţie al forţei este dr (t + dt) egal cu produsul scalar dintre forţă şi deplasarea v elementară. Utilizând exprimarea analitică a M1 r + dr F (t) vectorilor F şi d r în funcţie de proiecţiile lor pe axele r z unui sistem cartezian Oxyz rezultă F = iFx + jFy + k Fz ; d r = idx + jdy + kdz , Fig. 4.1.

dL = Fx dx + Fy dy + Fz dz x

O

y

(4.3)

În funcţie de viteza v = r , expresia lucrului

(

)

mecanic elementar devine: d L = F ⋅ v ⋅ dt = Fx x + Fy y + Fz z dt . b. Proprietăţi a) lucrul mecanic este o mărime scalară care are ca unitate de măsură în Sistemul Internaţional SI Joule-ul (J) şi în sistemul tehnic kilogram - forţă - metrul (kgfm);


CURS DE MECANICĂ

88

______________________________________________________________________

(

)

⎛ π⎞ b) lucrul mecanic este pozitiv când unghiul  F ⋅ d r = α ∈ ⎜ 0, ⎟ şi poartă în acest caz ⎝ 2⎠ numele de lucru mecanic motor; lucrul mecanic este negativ când unghiul ⎛π ⎞  F ⋅ d r = α ∈ ⎜ , π ⎟ şi se numeşte în acest caz lucru mecanic rezistent; lucrul ⎝2 ⎠

(

)

mecanic este nul când unghiul α =

π

; 2 c) dacă deplasarea elementară d r este compusă din n deplasări elementare (4.4) d r = d r1 + d r2 + ... + d rn atunci dL = F ⋅ d r = F ⋅ d r1 + F ⋅ d r2 + ... + F ⋅ d rn În concluzie lucrul mecanic elementar corespunzător unei deplasări compuse este egal cu suma lucrurilor mecanice elementare aferente deplasărilor componente; d) dacă forţa F reprezintă rezultanta unică a unui sistem de forţe F = F1 + F2 + ... + Fn , (4.5) lucrul mecanic elementar este dL = F ⋅ d r = F1 ⋅ d r + F2 ⋅ d r + ... + Fn ⋅ d r adică, lucrul mecanic elementar corespunzător rezultantei unui sistem de forţe este egal cu suma algebrică a lucrurilor mecanice elementare ale forţelor componente. c. Lucrul mecanic total Dacă lucrul mecanic este corespunzător unei forţe variabile F şi unei deplasări finite a punctului material între punctele A şi B pe o traiectorie curbilinie se spune că lucrul mecanic este total şi este dat de expresia: L A− B = ∫ ( F ⋅ d r ) = ∫ (Fx ⋅ dx + Fy ⋅ dy + Fz ⋅ dz ) = ∫ ( F ⋅ ds ⋅ cos α ) (4.6) ( AB )

( AB )

( AB )

iar în cazul unui cuplu: Lθ1 −θ 2 = ∫

(θ1 −θ 2 )

(M ⋅ dθ ) = ∫

(θ1 −θ 2 )

( M ⋅ dθ ⋅ cos α )

(4.7)

unde M este momentul unui cuplu de forţe iar d θ este unghiul elementar de rotaţie. Din relaţia (4.6) se observă că lucrul mecanic corespunzător unei deplasări finite a unui punct material şi unei forţe variabile se exprimă cu ajutorul unei integrale curbilinii şi depinde atât de modul cum variază forţa, cât şi de forma traiectoriei. d. Lucrul mecanic în cazul forţelor conservative O forţă F este conservativă dacă se poate exprima cu ajutorul unei funcţii scalare U(x, y, z) de coordonatele punctului. Componentele forţei F ∂U ∂U ∂U ; Fy = ; Fz = . Funcţia U(x, y, z) se numeşte funcţia de forţă, iar sunt: Fx = ∂x ∂y ∂z forţa F forţă conservativă. Pentru a exista funcţia de forţă trebuie îndeplinite condiţiile ∂Fx ∂Fy ∂Fy ∂Fz ∂Fz ∂Fx ; ; . lui Cauchy: = = = ∂x ∂z ∂y ∂y ∂x ∂z ∂U ∂U ∂U k = gradU (4.8) j+ i+ F = ∇U = ∂y ∂x ∂z ∂U ∂U ∂U Lucrul mecanic elementar este: dL = F ⋅ d r = dz = dU (4.9) dy + dx + ∂x ∂y ∂z B

Lucrul mecanic total este L A− B =

∫ F ⋅ d r = ∫ dU = U B − U A

AB

A

(4.10)


NOTIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE

89

______________________________________________________________________

unde: U A = U ( x A , y A , z A ) şi U B = U ( x B , y B , z B ) sunt funcţiile de forţă corespunzătoare poziţiilor iniţială şi finală. Rezultă că lucrul mecanic total în cazul unei forţe conservative depinde numai de poziţiile iniţială şi finală ale punctului, fiind independent de forma traiectoriei. d.1. Forţa de greutate Pentru cazul în care F este o forţă gravitaţională (figura 4.2) notând-o cu G, ∂U rezultă: G x = G y = 0 , Gz = G = . Atunci G ⋅ ∂z = ∂U ⇒ U = zG + C . Conform (4.10) ∂z x rezultă L A− B = G ( z B − z A ) . (4.11) A(xA ,yA ,zA) În general L = ±Gh (4.12) unde h = z B − z A este diferenţa de cotă dintre h y cele două puncte pe traiectoriei. Astfel lucrul B(xB y, B z, B) mecanic al forţei de greutate nu depinde de G z forma traiectoriei pe care se deplasează punctul său de aplicaţie, ci depinde numai de poziţiile Fig. 4.2. extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile iniţială şi finală. d.2) Forţa elastică Se consideră un resort spiral OM în stare liberă fixat în punctul 0 (figura 4.3). Prin întinderea arcului cu lungimea x ia naştere o forţă F = kx, proporţională cu alungirea resortului. Coeficientul de proporţionalitate notat cu k poartă numele de constantă elastică a resortului şi reprezintă forţa necesară pentru a produce o alungire a resortului egală cu unitatea. Pentru o deplasare elementară dx a punctului M în M", lucrul mecanic elementar corespunzător forţei elastice F şi deplasării dx este: dL = − F ⋅ dx = − k ⋅ x ⋅ dx (4.13) Pentru o deplasare finită din A în B a extremităţii M a resortului când acesta este întins, lucrul mecanic total B 1 va fi LA− B = − ∫ k ⋅ x ⋅ dx = − k xB 2 − x A2 (4.14) 2 A

(

Fig. 4.3.

)

e. Lucrul mecanic elementar corespunzător unui sistem de forţe care acţionează un solid rigid Se consideră un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe active Fi ( i = 1, 2,...., n ) . Lucrul mecanic elementar corespunzător forţei Fi şi deplasării elementare d ri , a punctului de aplicaţie M i al forţei este: dLi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ vi ⋅ dt . Se notează: v0 - viteza punctului O care aparţine solidului rigid; ω - viteza unghiulară de rotaţie relativă a solidului rigid faţă de punctul 0. Lucrul mecanic elementar devine: dLi = Fi v0 − ω× ri ' dt = Fi ⋅ v0 ⋅ dt + ri ' × Fi ω' ⋅ dt , (4.15)

(

'

)

(

)

unde ri este vectorul de poziţie al punctului M i faţă de punctul 0. Pentru întregul


CURS DE MECANICĂ

90

______________________________________________________________________ n n ⎛ ′ ⎞ sistem de forţe se obţine dL = v0 ∑ Fi ⋅ dt + ω ∑ ⎜ ri × Fi ⎟dt . (4.16) ⎠ i =1 i =1 ⎝ Ştiind că: v 0 ⋅ dt = d r0 reprezintă deplasarea elementară prin translaţie a rigidului; n

ω ⋅ dt = d θ este unghiul elementar de rotaţie considerat ca vector; ∑ Fi = R - vectorul i =1

′ rezultant al sistemului de forţe active; ∑ ri × Fi = M 0 n

-

i =1

F

vectorul moment rezultant al sistemului de forţe active relativ la polul 0; atunci relaţia (4.16) devine: (4.17) dL = R ⋅ d r0 + M 0 ⋅ d θ f. Reprezentarea grafică a lucrului mecanic În figura 4.4 este reprezentat grafic lucrul mecanic cu ajutorul unei diagrame. În abscisă se reprezintă proiecţia deplasării pe direcţia forţei, iar în ordonată este reprezentată forţa. Lucrul mecanic corespunzător forţei F (s ) şi deplasării finite s1 s 2 este egal cu valoarea ariei dată de diagrama

S1

A

d

O S1 M

S2

s

a 01 '

s2

′ ′ a L = ∫ F ⋅ ds = suprafaţa s1 s1 s 2 s 2

S2

F(S

02 '

M(0 ) A

(4.18)

s1

iar în cazul unui cuplu prin valoarea suprafeţei date de diagrama b.

O

01

d

02

b

4.1.2. Puterea mecanică

Fig. 4.4.

Noţiunea de putere este legată de energia care se transferă unui sistem într-un interval de timp (t, t+∆t). Puterea la un moment dat t se defineşte ca limită a raportului dintre energia transferată şi intervalul ∆t, când ∆t tinde către zero. Puterea transferată dL prin lucrul mecanic poartă numele de putere mecanică şi are expresia: P = (4.19) dt În cazul unei singure forţe F care acţionează asupra unui punct de vector de poziţie r , F ⋅dr puterea mecanică are expresia: P = = F ⋅v (4.20) dt unde v este viteza punctului de aplicaţie al forţei. Noţiunea de putere mecanică are o largă utilizare în studiul dinamicii motoarelor, maşinile de lucru, agregatelor. Unitatea de măsură pentru putere în SI este watt – ul notat W iar în sistemul tehnic kgfm/s. Se aprobă ca unitate de măsură tolerată calul putere (cP) cu echivalenţa 1 cP = 0,736 kW şi 1 kW = 1,36 cP. (4.21) 4.1.3. Randamentul mecanic

În sensul general, prin randament se înţelege raportul dintre valoarea unei anumite mărimi scalare redată sub formă utilă de un sistem tehnic şi dintre valoarea aceleiaşi mărimi absorbite de acest sistem. În cazul în care mărimea scalară este energia mecanică sau puterea mecanică, raportul respectiv poartă numele de randament

s


NOTIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE

91

______________________________________________________________________

Lu P = u (4.22) Lm Pm unde Ln, Lm, Pn, Pm sunt respective lucrurile mecanice şi puterile mecanice utile şi absorbite (motoare). Orice maşină apare ca un transformator energetic şi atunci Lm = Lu + Lp , unde Lp reprezintă lucrul mecanic utilizat pentru învingerea frecărilor din mecanic. Expresia generală a randamentului este raportul: η =

maşină. Înlocuind se obţine: η =

L − Lp L Lu = m =1− p Lm Lm Lm

(4.23)

Lp

= ϕ reprezintă coeficientul de pierderi din maşină. Din cauza pierderilor Lm inevitabile în orice proces, energia mecanică utilă este întotdeauna inferioară celei absorbite, deci randamentul este subunitar 0<η <1. Randamentul mecanic se determină corespunzător stării de regim, este o mărime adimensională şi dă indicaţii asupra (4.24) modului cum o maşină utilizează lucrul mecanic motor: η = 1 − ϕ Raportul

4.1.4. Impulsul mecanic

Impulsul este o mărime fizică care măsoară mişcarea mecanică în ceea ce priveşte capacitatea ei de a se transforma într-o altă mişcare de asemenea mecanică. Noţiunea a fost enunţată ştiinţific de Leonardo da Vinci şi Galileo Galilei. a. Impulsul mecanic al punctului material Pentru un punct material, impulsul p este, prin definiţie, egal cu produsul dintre masa m şi viteza v a punctului: p = mv (4.25) Vectorul impuls este coliniar cu vectorul viteză şi are mărimea de m ori mai mare decât a acestuia. Dacă se consideră un sistem de referinţă Oxyz atunci proiecţiile vectorului (4.26) impuls pe axele acestui triedru sunt: px = mvx , p y = mv y , pz = mvz sau px = mx,

p y = my , pz = mz (4.27) unde x, y, z sunt coordonatele punctului oarecare ales în raport cu sistemul de referinţă. b. Impulsul unui sistem de puncte materiale Prin definiţie impulsul unui sistem de puncte materiale Mi (i=1,2,…,n) de mase mi şi care au vitezele v i este egal cu suma impulsurilor punctelor sistemului, adică: n

n

i =1

i =1

H = ∑ pi =∑ mi vi

(4.28)

Dacă se notează cu ri vectorul de poziţie al punctului material Mi , se exprimă viteza d ri . Înlocuind în relaţia (4.28) se obţine: dt dr d d⎛ ⎞ H = ∑mi i = ∑ mi ri = ⎜ ∑mi ri ⎟ . Din teoria centrelor de masă dt i dt dt ⎝ i i ⎠

acestui punct prin raportul

( )

∑m r = M ⋅r , i i

c

i

n

unde M este masa totală a sistemului de puncte M = ∑ mi , iar rc este vectorul de i =1

d d poziţie al centrului de masă. Rezultă: H = ( M ⋅ rc ) = M ⋅ (rc ) = M ⋅ vc dt dt

(4.29)


CURS DE MECANICĂ

92

______________________________________________________________________ unde: vc este viteza centrului de masă al sistemului. Relaţia (4.29) arată că impulsul unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul centrului de greutate al sistemului în care se presupune concentrată toată masa acestui sistem. Dacă se consideră un sistem de referinţă Oxyz atunci proiecţiile vectorului impuls pe axele acestui triedru sunt: H x = M ⋅ vCx , H y = M ⋅ vCy , H z = M ⋅ vCz . (4.30) c. Impulsul mecanic al corpului solid Pentru un corp rigid impulsul este dat de relaţia: d d H = ∫ v ⋅ dm = r ⋅ dm = ( M ⋅ rC ) = M ⋅ vC (4.31) ∫ dt dt Comparând relaţiile (4.29) şi (4.31) se constată că impulsul rigidului se exprimă prin aceleaşi relaţii ca şi impulsul sistemului de puncte materiale, unde M = ∫ dm reprezintă

(

)

masa rigidului. 4.1.5. Momentul cinetic

Momentul cinetic se mai numeşte şi momentul cantităţii de mişcare şi este o mărime vectorială legată de punctul faţă de care se calculează. Fiind un vector, momentul cinetic respectă toate proprietăţile vectorilor şi anume: are originea în punctul faţă de care se calculează; direcţia este perpendiculară pe planul format de vectorul de poziţie r şi impuls p (pentru punctul material) sau H pentru sistemul de puncte materiale sau rigid; orientarea vectorului moment cinetic se realizează conform orientării produsului vectorial (regula burghiului drept). a. Momentul cinetic al punctul material Se consideră un punct material M de masa m, care la un p moment oarecare se deplasează cu viteza v şi se găseşte v poziţionat faţă de un punct oarecare O prin vectorul de M k0 poziţie r , figura 4.5. Prin definiţie momentul cinetic al r punctului material este vectorul notat k0 şi anume 0 Fig. 4.5 (4.32) k0 = r × p = r × m v b. Momentul cinetic al sistemului de puncte materiale Pentru sistemul de puncte materiale momentul cinetic se notează cu K O şi reprezintă suma tuturor momentelor cinetice ale punctelor componente ale sistemului. Fie sistemul de puncte materiale Mi (i =1, 2,…, n) de mase mi , viteze vi şi vectori de n

n

n

i =1

i =1

i =1

poziţie r i . Momentul cinetic total este K o = ∑ K 0i = ∑ ri × kO = ∑ ri × mi vi

(4.33)

c. Momentul cinetic pentru corpul solid Pentru corpul rigid momentul cinetic este tot un vectorul notat K O şi se calculează cu

relaţia: K 0 = ∫ r × vdm

(4.34)

Dacă rigidul efectuează mişcare de translaţie atunci toate vitezele punctelor rigidului la un moment dat sunt egale şi anume: vi = v j = v iar momentul cinetic în raport cu punctul O, arbitrar ales este: KO = ∫ r × vC dm = ∫ r dm × vC = M ⋅ rC × vC

(4.35)

Expresia (4.34) devine: K O = rC × MvC = rC × H

(4.36)


NOTIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE

93

______________________________________________________________________

şi arată că momentul cinetic al unui rigid aflat în mişcare de translaţie este momentul cinetic al centrului său de masă în care se presupune că s-a concentrat întreaga masa a rigidului. Dacă rigidul se află în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix având cunoscute viteza unghiulară de rotaţie ω şi momentele de inerţie axiale atunci momentul cinetic (4.37) este: K O = ∫ r × vdm = ∫ r × ( ω× r )dm = ∫ r 2ωdm − ∫ ( ω⋅ r ) rdm 4.1.6. Energia mecanică

Energia mecanică poate fi energie cinetică sau energie de mişcare, notată Ec şi energie potenţială sau energie de poziţie Ep. Prin definiţie se numeşte energie mecanică (4.38) suma dintre energia cinetică şi potenţială la un moment dat: E = EC + E p 4.1.6.1. Energia cinetică a. Energia cinetică a punctului material Energia cinetică (de mişcare) a unui punct material de masă m şi viteză v este 1 prin definiţie: Ec = m ⋅ v 2 (4.39) 2 şi se caracterizează prin faptul că este o mărime scalară, pozitivă. Energia este o mărime fizică care caracterizează starea unui corp. Aceasta înseamnă că fiecărei stări prin care trece sistemul fizic îi corespunde întotdeauna o energiei ca atunci când trece de le o stare la alta energia variază cu o cantitate egală cu diferenţa energiilor corespunzătoare acestor stări. De aceea se spune ca energia este o mărime fizică de stare. Unitatea de măsură a energiei cinetice în Sistemul Internaţional este Joule (1J), iar în sistemul tehnic este kilogram forţă metru (kgfm). b. Energia cinetică a sistemului de puncte materiale Pentru un sistemul de puncte materiale energia cinetica se notează cu EC şi reprezintă suma tuturor energiilor cinetice ale punctelor componente ale sistemului. Fie sistemul de puncte materiale Mi (i =1, 2,…, n) de mase mi şi viteze vi . Energia cinetică n 1 1 n 1 (4.40) totală este: EC = ∑ EC = ∑ mi vi2 = ∑ mi vi2 = m1v12 + m2 v22 + ... + mn vn2 2 i =1 2 i =1 2

(

)

c. Energia cinetică a corpului solid Deoarece corpul solid este un continuum material pentru determinarea energiei cinetice se utilizează relaţia (2.77) în care sumele se înlocuiesc cu integrale şi anume: 1 EC = ∫ v 2 dm (4.41) 2 Deoarece vitezele punctelor corpului solid sunt dependente de tipul de mişcare a întregului corp expresia energiei cinetice are diferite forme corespunzătoare tipului de mişcare efectuată. Dacă rigidul efectuează mişcare de translaţie atunci toate vitezele punctelor rigidului la un moment dat sunt egale şi anume: vi = v j = vC , atunci energia

1 2 1 1 v dm = vC2 ∫ dm = MvC2 (4.42) ∫ 2 2 2 Relaţia (4.42) arată că energia cinetică a unui rigid aflat în mişcare de translaţie este identică cu cea a unui punct care poate fi chiar centrul de masă C al rigidului cu masa M. Dacă rigidul se află în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe având cunoscute cinetică este: EC =


CURS DE MECANICĂ

94

______________________________________________________________________ viteza unghiulară de rotaţie ω şi momentul de inerţie axiale J ∆ atunci energia cinetică 1 2 1 2 2 ω2 2 1 este: EC = ∫ v dm = ∫ l ω dm = l dm = J ∆ ω2 (4.43) ∫ 2 2 2 2 unde: v = ω× r reprezintă distribuţia de viteze ale punctelor aflate în mişcare de rotaţie. În modul v = ω× r = ω⋅l în care l este distanţa de la punctul oarecare considerat la axa de rotaţie ∆. J ∆ = ∫ l 2 dm

(4.44)

4.1.6.2. Energia potenţială

Unele sisteme materiale au posibilitatea de a produce un lucru mecanic deci au o energie datorată poziţiei pe care o ocupă la un moment dat. Un resort întins sau comprimat, o greutate situată la o anumită înălţime sunt exemple de corpuri care posedă energie tocmai datorita poziţiei lor. Această energie se numeşte energie potenţială sau energie de poziţie. Energia potenţială este o mărime care caracterizează capacitatea de a efectua o anumită cantitate de mişcare mecanică. Pentru a calcula această energie se presupune că acesta este plasat într-o poziţie a cărei energie potenţială este nulă şi aducem corpul într-o altă poziţie. Lucrul mecanic efectuat şi considerat cu semn schimbat este tocmai energia potenţială a corpului: E p = − L = − ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) (4.45) 4.1.7. Teoreme fundamentale

În mecanică se întâlnesc numeroase legi şi teoreme. Aceste teoreme fundamentale sunt teoremele impulsului, ale momentului cinetic şi ale energiei mecanice. Printre acestea un rol deosebit îl au legile de conservare, legi care exprimă caracterul aditiv-conservativ al unor mărimi fizice. Aceste legi au o mare importanţă teoretică şi practică, deoarece sunt simple şi universale. Orice lege de conservare arată că atunci când un sistem fizic evoluează, un anumit aspect al sistemului rămâne neschimbat. 4.1.7.1. Teoremele impulsului a. Teoremele impulsului pentru punctul material Utilizând legea a doua a lui Newton se scrie: Fdt = dp şi prin operaţiunea de t

integrare, se obţine: ∫ Fdt = mv − mv0 t0

(4.46)

Primul membru al egalităţii se numeşte impuls total al forţei. Relaţia (3.4) exprimă legea impulsului. În cazul când forţa F este constantă expresia (4.46) se scrie sub (4.47) forma Ft = mv − mv0 Dacă intervalul de timp cât acţionează forţa este foarte scurt atunci mărimea Ft sau Fdt se numeşte percuţie. Relaţia (4.47) arată că produsul dintre forţa şi timp este egal cu variaţia impulsului. Revenind la relaţia (4.47) se scrie: m1v1 + m2 v2 = 0 (4.48) Ştiind impulsul unui punct material şi derivând în raport cu timpul se obţine: p = mv = ma = F (4.49)


NOTIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE

95

______________________________________________________________________

unde a este acceleraţia punctului. Teorema impulsului pentru punctul material este p = F (4.50) şi spune că derivata în raport cu timpul a impulsului este egală cu suma forţelor care acţionează punctul. Ţinând seama de relaţia impulsului şi de ecuaţia fundamentală a d p d mv dv dinamicii rezultă: = =m = m ⋅ a = F . Proiectată pe axele unui sistem de dt dt dt (4.51) referinţă cartezian se obţine: p x = ∑ Fxi ; p y = ∑ Fyi ; p z = ∑ Fzi . (4.52) Dacă punctul material este izolat (rezultanta forţelor este nulă) rezultă: p = 0

( )

de unde p = const. adică impulsul în acest caz se conservă. Constanta se determină din condiţiile iniţiale. Relaţia (4.52) reprezintă legea conservării impulsului pentru punctul material. b. Teoremele impulsului pentru sistemul de puncte materiale şi corpul rigid Pentru un sistem de puncte materiale sau rigid impulsul este dat de relaţiile (4.29) şi (4.31). Derivând în raport cu timpul se obţine: H = ∑ mi vi = ∑ mi ai (4.53) ∑ mi ai = ∑ F = ∑ Fi + ∑ Fij unde: Fi sunt forţe exterioare date şi de legătură; Fij sunt forţe interioare. Conform (4.54) principiului acţiunii şi reacţiunii Fij = − F ji ⇒ ∑ Fij = 0. Rezultă H = Fext şi spune că derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale sau rigid este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează sistemul dat. Relaţia (4.54) reprezintă teorema impulsului pentru un sistem de puncte materiale sau corp rigid. În absenţa oricăror forţe exterioare impulsul total al unui sistem rămâne constant. Aceasta reprezintă una din formulările principiului inerţiei, lege fundamentală a mecanicii. Aşadar, legea inerţiei este o lege de conservare şi anume legea conservării impulsului total al unui sistem. Principiul inerţiei este valabil în toate cazurile menţionate şi se exprimă prin relaţia H = const. valabilă numai în sistemele de referinţă inerţiale. 4.1.7.2. Teoremele momentului cinetic a. Teoremele momentului cinetic pentru punctul material Se consideră momentul cinetic al unui punct material k0 = r × p = r × m ⋅ v . Derivând în raport cu timpul rezultă: k0 = r × m ⋅ v + r × m ⋅ v = r × m ⋅ a = r × F k0 = M 0 (4.55) şi exprimă faptul că derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O este egală cu momentul rezultant al forţelor care acţionează asupra punctului, calculat tot în raport cu punctul O. Aceasta este teorema momentului cinetic pentru punctul material. Dacă momentul rezultant este nul (punctul material este izolat), rezultă: k0 = 0 , k0 = const. (4.56) adică momentul cinetic se conservă. Constanta se determină din condiţiile iniţiale. Relaţia (4.56) reprezintă teorema de conservare a momentului cinetic pentru un punct material. b. Teoremele momentului cinetic pentru sistemul de puncte materiale şi corpul rigid Pentru sistemul de puncte materiale sau rigid, momentul cinetic calculat în raport cu


CURS DE MECANICĂ

96

______________________________________________________________________ un punct fix O este: K 0 = ∑ri × mi vi . Derivând în raport cu timpul rezultă: K 0 = ∑ri × mi vi + ∑ri × mi vi . Deoarece ri = vi se observă că ∑ri × mi vi =0. Dar mi vi = mi ai = F ext + F int, unde F ext reprezintă rezultanta forţelor exterioare, iar F int rezultanta forţelor interioare. Relaţia devine: K o = ri × ( F ext + F int ) = ∑M 0ext +

∑M 0int

(4.57)

Deoarece momentul în raport cu punctul O al fiecărei perechi de forţe interioare este nul, rezultă că suma momentelor interioare este de asemenea nulă, adică: ∑M 0int =0. Rezultă teorema momentului cinetic: K = M (4.58)

0 ext

adică derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O este egală cu suma momentelor forţelor exterioare calculate în raport cu acelaşi punct. În cazul în care momentul rezultant al forţelor exterioare este nul, momentul d K0 = 0 ⇒ K0 = 0 (4.59) cinetic se conservă: M 0 = 0 ⇒ dt În cazul unui sistem izolat în care momentul rezultant este nul momentul cinetic se conservă, adică în tot timpul mişcării are aceeaşi valoare, egală cu valoarea iniţială. Relaţia (4.59) reprezintă teorema de conservare a momentului cinetic. Observaţii: Teoremele impulsului şi momentului cinetic se aplică numai cu vitezele 1. absolute; Teoremele impulsului şi momentului cinetic elimină forţele interioare; 2. Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei impulsului faţă de o axă pe care 3. forţele sunt perpendiculare sau faţă de o axă după care sunt cunoscute vitezele; Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei momentului cinetic în raport cu 4. o axă faţă de care momentul forţelor este nul sau faţă de care este cunoscută mişcarea (vitezele). 4.1.7.3. Teoremele energiei cinetice a. Teoremele energiei cinetice pentru punctul material Pentru un punct material de masă m şi care se deplasează cu viteza v, energia dr 1 ⇒ dr = vdt . Prin diferenţiere se obţine: cinetică este Ec = mv 2 . Ştiind că v = dt 2 1 d r dv dEc = md v 2 = m ⋅ v ⋅ dv = m ⋅ ⋅ dt = m ⋅ dr ⋅ a (4.60) dt dt 2 dEc = F ⋅ dr = dL

( )

(4.61) S-a obţinut teorema energiei cinetice sub forma dEC = dL adică variaţia energiei cinetice în intervalul de timp dt este egală cu lucrul mecanic elementar efectuat în acelaşi interval de timp de către forţa rezultantă care acţionează dEc dL = asupra punctului material dat. Dacă adică: E c = P (4.62) dt dt ceea ce înseamnă că derivata energiei cinetice este egală cu puterea. Sub formă finită teorema energiei cinetice este: EC1 − E0 = L0−1 (4.63) adică diferenţa dintre energiile cinetice finală şi iniţială este egală cu lucrul mecanic total al forţelor care acţionează punctul material între cele două poziţii.


NOTIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE

97

______________________________________________________________________

Dacă forţele care acţionează asupra unui punct material derivă din funcţii de forţă, atunci energia mecanică a punctului rămâne constantă în tot timpul mişcării. Ştiind că: dEc = dL , dL = dU , U = − E p , rezultă: dEc = −dE p ; dEc + dE p = 0 ⇒ d ( Ec + E p ) = 0 adică: Ec + E p = const.

(4.64)

ceea ce reprezintă teorema conservării energiei mecanice şi care spune că energia mecanică se conservă. b. Teoremele energiei cinetice pentru sistemul de puncte materiale şi corp solid Se consideră două planuri înclinate, de lungimi diferite l1 şi respectiv l2 (l1 > l2), având aceeaşi înălţime h, figura 4.6. Lungimile fiind inegale, unghiurile formate cu orizontala sunt de asemenea neegale (α1 < α2 ). Se presupune că planurile sunt identice din punct de vedere al gradului de prelucrare a suprafeţei lor. Pe aceste planuri se lăsă să se deplaseze, cu viteză iniţială zero, două cărucioare identice, de la aceeaşi înălţime h. În ambele cazuri deplasarea are loc datorită unei componente a forţei gravitaţionale. Se poate demonstra că vitezele cu care ajung ele la baza planului sunt egale şi ca această viteză este aceeaşi ca valoare cu viteza cu care ar ajunge cărucioarele de la acelaşi nivel cu baza planului dacă ar cădea liber de la înălţimea h.

l2

h

h

α2

Α1

l1

α1 Fig. 4.6.

Α2

h1 h2

Fig. 4.7.

Din demonstraţie se obţine formula v2 = 2gh (4.65) care este valabilă pentru oricare alte corpuri identice cu condiţia ca mişcarea să înceapă din punctul cel mai de sus, deci de la înălţimea h. Fie un alt plan înclinat (figura 4.7) şi pe el doua repere A1 şi A2 aflate la înălţimile h1 şi h2. Pe plan se rostogoleşte un corp a cărui viteză, când trece prin dreptul reperelor este v1 si v2 corpul începe rostogolirea de la înălţimea h. Variaţia pătratelor vitezelor este independentă de forma şi lungimea drumului pe care se deplasează corpul. Viteza corpului când trece prin dreptul reperelor v22 = 2g(h – h2) se va scrie ţinând cont de relaţia (4.65) v12 = 2g(h – h1) v22 − v12 = 2 g ( h1 − h2 )

(4.66)

1 2 1 1 v1 + gh1 = v22 + gh2 sau v 2 + gh = const. (4.67) 2 2 2 Această lege este importantă şi cu ajutorul ei se poate demonstra legea conservării energiei mecanice totale a unui sistem (corp). Expresia (4.67) a fost obţinută în condiţiile în care s-a neglijat frecarea. Ea este valabilă pentru orice plan înclinat, pentru orice drum care constă din urcări şi coborâri continui. Justificarea celor afirmate constă în aceea că orice drum poate fi împărţit în porţiuni rectilinii şi evident cu cât aceste porţiuni sunt mai mici cu atât linia frântă formată din ele se va apropia de o curbă. Aşa fiind fiecare porţiune dreapta ce alcătuieşte linia curbă se poate considera ca o porţiune de plan înclinat şi deci se poate aplica legea stabilită prin relaţia (4.67). Se consideră un scripete fix şi o sfoară trecută peste el, de ale cărei capete sunt prinse


CURS DE MECANICĂ

98

______________________________________________________________________ două corpuri cu mase diferite M şi m (M > m). Sistemul creat se va mişca accelerat în sensul arătat de figura 4.8, adică M va coborî, în timp ce m va urca. Luând în considerare două momente ale mişcării se arată că suma expresiilor (4.67) înmulţită cu masele celor două corpuri este constantă. Se poate demonstra că ⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ m ⎜ 2 + gh2 ⎟ + M ⎜ 2 + gH 2 ⎟ = m ⎜ 1 + gh1 ⎟ + M ⎜ 1 + gH1 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ sau

n

n

i =1

i =1

∑ EC1 + ∑ E P1 = const.

(4.68)

Relaţia (4.68) exprimă legea conservării energiei mecanice totale a unui sistem. Se observa că pentru ca relaţia să se menţină constantă trebuie ca o creştere a energiei cinetice să fie compensată de o scădere a energiei potenţiale şi invers.

m

Gm

M

GM

Fig. 4.8.

Într-un sistem izolat de corpuri (în lipsa acţiunilor din exterior şi a frecării) energia mecanică se poate transforma dintr-o formă în alta, energia totală – adică suma energiilor cinetice şi potenţiale - rămânând constantă. Aceasta este formularea legii conservării energiei totale a unui sistem mecanic. În concluzie, energia cinetică a unui corp este dată de jumătatea produsului dintre masa corpului şi pătratul vitezei lui, iar energia potenţială este dată de produsul dintre greutatea corpului respectiv şi înălţimea la care se află faţă de sol, sau alt nivel de referinţă ales arbitrar. Nu se poate determina energia potenţială a unui corp, ci numai variaţiile ei şi acestea reprezintă de fapt importanţă practică. Totuşi pentru a calcula energia potenţială a unui corp se alege un nivel de referinţă, nivel corespunzător stării în care valoarea energiei potenţiale este nulă. Acest zero de energie potenţială se alege convenţional şi este deci cu totul relativ. Concluzii: 1. legea conservării energiei mecanice nu a fost contrazisă până acum de nici o observaţie făcută asupra naturii. Totuşi, au fost situaţii în istoria mecanicii când această lege părea că este atinsă. Dar la o mai atentă analiza a faptelor s-a văzut că legea este valabilă. 2. legea conservării energiei mecanice face parte dintr-o lege generală de conservare a energiei care arată că energia totală – indiferent de natura ei - se conservă întotdeauna. 3. măsurarea variaţiilor de energie se realizează prin intermediul lucrului mecanic, pentru că în toate transformările de energie apar forţe care produc lucru mecanic. Lucrul mecanic este o mărime de proces, depinzând nu de starea sistemului fizic la un moment dat, ci de evoluţia lui, de transformările succesive pe care le suferă sistemul fizic. 4. Legea conservării energiei are multiple aplicaţii tehnice. 5. Nu se poate determina energia potenţială a unui corp, ci numai variaţiile ei şi acestea reprezintă de fapt importanţă practică. Totuşi pentru a calcula energia potenţială a unui corp se alege un nivel de referinţă, nivel corespunzător stării în care valoarea energiei potenţiale este nulă. Acest zero de energie potenţială se alege convenţional şi este deci cu totul relativ. Experimental se poate demonstra transformarea reversibilă a energiilor cinetică şi potenţială (Ec↔Ep) cu ajutorul pendulului lui Maxwell.


DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

99

______________________________________________________________________ IV.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

Dinamica punctului material presupune rezolvarea a două tipuri de probleme: a) Problema directă a dinamicii presupune cunoaşterea forţele care acţionează asupra punctului material şi se cere să se determine mişcarea acestui punct, adică vectorul de poziţie al punctului în funcţie de timp. Forţa este dată de expresia: F = F ( t , r , r ) (4.69) Forţa F depinde de timp, de vectorul de poziţie r , de viteza r şi de natura ei (forţă de greutate, forţa de frecare, forţă electromagnetică etc.). A cunoaşte mişcarea punctului material înseamnă a afla relaţia vectorială de tipul: r = r ( t ) .

(4.70)

Se pleacă de la relaţia fundamentală a dinamicii F = m ⋅ a , în care se înlocuieşte acceleraţia a cu r şi se introduce în relaţia (4.69): mr = F ( t , r , r ) (4.71) Relaţia (4.71) reprezintă o ecuaţie diferenţială de gradul II şi se numeşte ecuaţia diferenţială a mişcării punctului material. b) Problema inversă a dinamicii presupune cunoaşterea vectorului r = r ( t ) şi se cere forţa care a produs mişcarea. În general problema nu este în totalitate determinată deoarece nu se poate preciza şi natura forţei care a cauzat mişcarea. Dacă se dau unele condiţii suplimentare privind natura forţei, problema devine determinată. Pentru rezolvarea problemei se derivează relaţia (4.71) de două ori în raport cu timpul şi se introduce în relaţia fundamentală a dinamicii. 4.2.1. Dinamica punctului material liber 4.2.1.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului material liber Ecuaţia diferenţială (4.71) se poate proiecta pe axele diferitelor sisteme de referinţă şi se obţine: (4.72) m ⋅  x = ∑ Fxi ; m ⋅  y = ∑ Fyi ; m ⋅  z = ∑ Fzi

în sistemul cartezian, unde: ∑ Fxi ,∑ Fyi ,∑ Fzi reprezintă proiecţiile pe axele sistemului

cartezian ale rezultantei forţelor care acţionează punctul material. v2 (4.73) m ⋅  s = ∑ Fτ ; m ⋅ = ∑ Fγ ; 0 = ∑ Fβ ; ρ în triedrul Frenet sau sistemul de axe natural, unde ∑ Fτ , ∑ Fγ , ∑ Fβ sunt proiecţiile pe axele sistemului (tangenta, normala şi binormala) ale rezultantei forţelor care acţionează punctul material. (4.74) m  r − r θ 2 = ∑ Fρ ; m 2rθ + r θ = ∑ F θ ; mz = ∑ Fzi ;

(

)

(

)

în coordonate polare, plane, unde

∑ F ,∑ F ,∑ F ρ

θ

zi

sunt proiecţiile pe axele raza

polară, normala la raza polară şi cota ale rezultantei forţelor. 4.2.1.2. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării scrise în coordonate carteziene Fiecare ecuaţie obţinută este diferenţială de ordinul doi. Se consideră ecuaţiile


CURS DE MECANICĂ

100

______________________________________________________________________ scrise pentru sistemul de referinţă cartezian, se integrează de două ori şi se obţine: mx = Fx ( t , x, y, z , x , y , z ) ; my = Fy ( t , x, y, z , x , y , z ) ; mz = Fz ( t , x, y, z , x , y , z ) (4.75) sistem care reprezintă ecuaţii diferenţiale de ordinul II cu necunoscutele: (4.76) x = x (t ) ; y = y (t ) ; z = z (t ) care sunt ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului. ⎧ x = x ( t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎪ (4.77) ⎨ y = y ( t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎪ ⎩ z = z ( t , c 1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) Se derivează sistemul (4.77) în raport cu timpul şi rezultă: ⎧ x = x ( t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎪ (4.78) ⎨ y = y ( t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎪ ⎩ z = z ( t , c 1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) Cele şase constante de integrare de care depind soluţiile sistemului se determină din condiţiile iniţiale, adică pentru t=t0 referitoare la poziţia iniţială x0 , y0 , z0 ; viteza iniţială x0 , y 0 , z0 ; Rezultă la momentul t=t0;

⎧ x0 = x ( t0 , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎪ - ⎨ y0 = y ( t0 , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎪ ⎩ z0 = z ( t0 , c 1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ - x0 = v0 x = ⎜ ⎟ ; y 0 = v0 y = ⎜ ⎟ ; z0 = v0 z = ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠t =t0 ⎝ dt ⎠t =t0 ⎝ dt ⎠t =t0 Sistemul obţinut are şase ecuaţii cu şase necunoscute, deci se pot determina constantele de integrare. După determinarea constantelor de integrare, se reformează sistemul (4.77) respectiv (4.78) pentru aflarea ecuaţiilor parametrice ale traiectoriei şi componentele vitezei la un moment dat. Soluţia problemei este univocă.

4.2.1.3. Mişcarea punctului material în vid Se consideră un corp de dimensiuni neglijabile lansat de la suprafaţa Pământului dintr-un punct O cu viteză iniţială v 0 a cărei direcţie face unghiul α cu planul orizontal, figura 4.9. Se alege un sistem de axe carteziene cu originea în punctul de lansare O, cu axa Oy verticală iar axa Ox în planul vertical care conţine vectorul v 0 . Se consideră punctul material la un moment dat pe traiectorie în reperul A, acţionat de greutatea sa G = mg . Ecuaţia fundamentală a dinamicii va fi: ma = mg sau a = g . (4.79) (4.80) Proiectând ecuaţia (4.79) pe axe se obţin ecuaţiile: x = 0 ; y = − g ; z = 0 . Prin două integrări succesive in raport cu timpul se obţine soluţia generală: (4.81) x = C 1 ; y = − gt +C 2 ; z = C 3 gt 2 (4.82) + C 2 t + C5 ; z = C3t + C 6 2 Constantele de integrare C1 ,..., C6 de care depind soluţiile sistemului se determină din x = C1t + C 4 ; y = −


DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL

101

______________________________________________________________________

condiţiile iniţiale privind poziţia şi viteza în momentul t = 0 : y = 0; x = 0; z=0 y x =v 0 cos α ; y = v0 sin α ; z = 0 . Înlocuind se obţin sistemele: 0 = 0 + 0 + C5 ; 0 = 0 + C6 ; 0 = 0 +C 4 ; P V0 v0 cos α = C1 ; v 0 sin α = 0 + C 2 ; 0 = C 3 ; Din aceste sisteme se deduc constantele de A 1 integrare şi anume: O A2 x O 12 O1 A

A

z

Fig. 4.9.

C1 = v0 cos α; C2 = v0 sin α; C3 = C4 = C5 = C6 = 0

Introducând aceste valori în soluţia generală se obţine soluţia particulară căutată:

x = (v0 cos α)t ; (4.83) gt 2 + (v0 sin α)t ; z = 0; 2 Ecuaţia z = 0 a planului xOy în spaţiu, arată că traiectoria descrisă de mobil este plană şi anume situată în planul vertical ce conţine vectorul v 0 . Eliminând timpul din relaţiile (4.83) se obţine ecuaţia traiectoriei sub formă explicită: y=−

2

x 1 ⎛ x ⎞ x t= ⇒ y = − g⎜ ⋅ ( v0 sin α ) ⎟ + v0 cos α 2 ⎝ v0 cos α ⎠ v0 cos α

g x 2 + x tgα . (4.84) 2 2v cos α Traiectoria este o parabolă cu axa de simetrie verticală. a. Timpul cât durează mişcarea Se calculează când y = 0 în ecuaţia (4.84) şi păstrând rădăcina diferită de zero. y=−

2 0

2v sin α gt 2 ⎡ 1 ⎤ . y=− + (v0 sin α )t = 0 ⇒ t ⎢ − gt + v0 sin α ⎥ = 0 şi se obţine: t0 = 0; t A1 = 0 2 g ⎣ 2 ⎦ b. Bătaia Distanţa OA1 între punctul de lansare O şi punctul A1 în care traiectoria întâlneşte din nou axa Ox se numeşte bătaie. Se înlocuieşte t A în relaţia (4.83) şi rezultă 2v0 sin α v 2 sin 2α ; (4.85) OA1 = x A1 = 0 g g Bătaia depinde de viteza iniţială şi de unghiul de lansare α . Pentru acelaşi unghi α , bătaia creşte cu pătratul vitezei iniţiale, deci pentru o viteză iniţială dublă se obţine o bătaie de 4 ori mai mare, pentru o viteză iniţială triplă o bătaie de 9 ori mai mare etc. Pentru aceeaşi viteză iniţială bătaia creşte cu sin 2α , valoarea maximă obţinându-se v2 pentru 2α = 1 , adică pentru α = 45D . Această valoare maximă este: OA1 max = 0 . g c. Înălţimea maximă a punctului material Înălţimea maximă atinsă de mobil în timpul mişcării se află scriind condiţia dy dy g = 0 obţinându-se: =− 2 2 x + tgα = 0. (4.86) dx dx 2v0 cos 2 α x = (v0 cos α)t A = v0 cos α ⋅


CURS DE MECANICĂ

102

______________________________________________________________________ Se deduce abscisa punctului de înălţime maximă, rezultând: x A2 =

v02 sin 2α 2g

(4.87)

OA1 ; aceasta se explică prin proprietăţile de simetrie ale 2 v 2 sin 2 α parabolei. y max = A2 P = 0 (4.88) 2g Înălţimea maximă depinde, ca şi bătaia, de viteza iniţială şi de unghiul de lansare α . Pentru acelaşi unghi de lansare înălţimea maximă creşte cu pătratul vitezei iniţiale, iar pentru aceeaşi viteză iniţială înălţimea maximă creşte cu pătratul sinusului unghiului de lansare atingând cea mai mare valoare pentru sin α = 1 deci α = 90 D adică pentru v 02 lansarea pe verticală, când se obţine: A2 Pmax = (4.89) 2g d. Timpul în punctul maxim al traiectoriei La înălţimea maximă atinsă în punctul P se ajunge în timpul tP atunci când viteza din punctul P devine nulă. Prin derivare: x = v0 cos α ; y = − gt + v 0 sin α ; z = 0; (4.90) v sin α t A1 (4.91) yP = ymax ⇒ − gt P + v0 sin α = 0 ⇒ t P = 0 = 2 g Acest rezultat arată că traiectoria este simetrică faţă de punctul P. e. Viteza Pentru viteză se obţine: v = x 2 + y 2 + z 2 = v02 cos 2 α + (− gt + v0 sin α )2 = v02 + g 2t 2 − 2v0 gt sin α = Se observă că x A2 = OA2 =

(4.92) ⎡ gt 2 ⎤ = v02 − 2 g ⎢ − + v0t sin α ⎥ = v02 − 2 gy . ⎣ 2 ⎦ Expresia rezultată (4.92) arată că în două puncte M şi N de aceeaşi înălţime y , figura 4.10, viteza are acelaşi modul: y (4.93) vM = v N P În ceea ce priveşte direcţiile celor două viteze, VM vectorii v M şi v N sunt egal înclinaţi faţă de axa Ox : α M = α N

(4.94)

M

N

M

Q

N aceasta datorită proprietăţilor de simetrie ale y VN parabolei. Datorită aceloraşi proprietăţi de simetrie punctele M şi N sunt echidistante faţă de A1 A2 x O verticala PQ a punctului de înălţime maximă, Fig. 4.10 (4.95) adică: MQ = QN Din expresia (4.93) rezultă că viteza v are modulul în punctul P de înălţime maximă. De asemenea rezultă că dacă în calea punctului material nu există nici o piedică atunci ordonata y tinzând către infinit ( − ∞ ), modulul vitezei tinde către ( + ∞ ), este teoretic nelimitat. Cu privire la traiectorie se observă că fiind parabolică nu are asimptote, în particular nu admite asimptotă verticală.


DINAMICA SISTEMULUI DE PUNCTE MATERIALE ŞI A RIGIDULUI 103 _____________________________________________________________________________________

IV.3. DINAMICA SISTEMULUI DE PUNCTE MATERIALE ŞI A RIGIDULUI 4.3.1. Ecuaţiile de mişcare ale unui sistem de puncte materiale Mişcarea unui sistem de puncte materiale Ai( i = 1, 2, 3, ....., n) având masele mi şi poziţiile definite în raport cu un reper fix O cu ajutorul vectorilor de poziţie r i , se studiază cu ajutorul unui sistem de ecuaţii vectoriale: mi  ri = ∑ F i + ∑ F ij ( i = 1, 2,....., n) (4.96) unde Fi reprezintă forţele exterioare, iar Fij forţele interioare. Acest sistem se poate soluţiona, pe baza teoremei Cauchy – Kovalevskaia şi se obţine un sistem unic de soluţii ri , numite integrale generale, de forma: r i = r i(t C 1, C 2, ....., C 2n) (4.97) unde C 1, C 2, ......., C 2n sunt 2n constante vectoriale de integrare. Aceste 2n constante de integrare se determina punând 2n condiţii iniţiale, dintre are n referitoare la poziţie şi n referitoare la viteză. Sistemul de ecuaţii diferenţiale (4.96) admite integrale prime, care la fel ca în cazul unui punct material, exprimă conservarea mărimilor care caracterizează mişcarea, cum sunt: impulsul, momentul cinetic şi energia mecanică. Deci relaţiile care exprimă conservarea impulsului, conservarea momentului cinetic şi conservarea energiei mecanice reprezintă integrale prime ale sistemului de ecuaţii diferenţiale (4.96). 4.3.2. Momente de inerţie mecanice 4.3.2.1. Definiţii Momentele de inerţie sunt mărimi geometrice care folosesc la caracterizarea modulului de răspândire a masei unui sistem de puncte materiale. Cu ajutorul momentelor de inerţie se exprimă inerţia unui corp de mişcare de rotaţie. Se consideră un sistem de n puncte materiale Ai (i = 1,2, ..., n), fiecare având masa mi. Fie li distanţa de la punctul Ai la o axă ∆. Prin definiţie momentul de inerţie al sistemului de puncte în n

raport cu axa ∆ este: J∆ =

mili2.

(4.98)

i =1

Pentru corpul solid, suma se transformă în integrală pe domeniul ocupat de corp J ∆ = ∫∆ l 2 dm (4.99) 2 2 Unităţile de măsură pentru momentele de inerţie sunt: [J]=ML , respectiv kgm . Dacă în relaţiile (4.98) şi (4.99) lungimea li reprezintă distanţa la z un plan, axa sau punct se defineşte momentul de inerţie planar, r i Ai (mi) axial sau respectiv polar, figura 4.11. zi - Momente de inerţie planare y 0 2 2 Jxoz = ∑mizi ; Jzoz = ∑mixi ; Jxoy = ∑miyi (4.100) xi yi Jxoz = ∫ z2dm; Jzoz = ∫ x2dm; Jxoz = ∫ y2dm (4.101) x (D)

(D)

Fig. 4.11.

(D)

- Momente de inerţie axiale Jy = ∑mi ( xi2 + zi2 ; Jz = ∑mi (xi2 + yi2 ); (4.102) Jx = ∑mi(yi2 + zi2; 2 2 2 2 2 2 Jx = ∫ ( x + z ) dm; Jy = ∫ ( x + z ) dm; Jz = ∫ ( x + y ) dm; (4.103) (D)

-

(D)

Momentul de inerţie polar

(D)


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

104

J0 = ∑miri2 =∑mi(xi2 + y2i + zi2); J0 = ∫ r2 dm = ∫ (x2 + y2 + z2) dm; (D)

(4.104) (4.105)

(D)

Momentele de inerţie planare, axiale şi polare sunt mărimi scalare pozitive. În particular momentul de inerţie poate fi nul, de exemplu în cazul unei plăci când se calculează momentul de inerţie în raport cu planul care conţine placa. - Momentele de inerţie centrifuge sunt prin definiţie: Jxy = ∑mixiyi ; Jyz = ∑miyizi ; Jzx = ∑mixizi (4.106) Jxy = ∫ xy dm; Jyz = ∫ yz dm ; Jzx = ∫ xz dm; (4.107) (D)

(D)

(D)

(4.108) Se observă că: Jzy = Jyz Momentele de inerţie centrifuge sunt mărimi scalare pozitive, negative sau nule. Momentul de inerţie centrifugal este nul când una dintre axe este axă de simetrie a corpului. 4.3.2.2. Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele Se consideră un sistem triortogonal Oxyz şi cunoscut momentul de inerţie faţă de dreapta ∆, care trece prin centrul de greutate al unui rigid şi se urmăreşte determinarea momentul de inerţie al aceluiaşi corp faţă de o dreaptă paralelă ∆′ , figura 4.12. Distanţa de la un punct oarecare M al rigidului, în care se găseşte un element de masă dm, la dreapta ∆′ este l, iar momentul de inerţie faţă de această dreaptă este: 2 2 J = ∫ l 2 d m = ∫ ( x − a ) + ( y − b ) d m unde J ∆′ = l 2 d m = ((x − a )2 + ( y − b )2 + (z − z )2 )d m

(

(D )

)

(D )

z

M(x,y,z)

l

J ∆′ =

∫ (x

(D)

2

(D )

)

+ y 2 dm − 2a ∫ xdm − 2b ∫ ydm + (D)

(D)

∫ (a

2

+ b 2 ) dm

(D)

Din teoria centrelor de masă se ştie că:

B(a b c)

G(0,0,zg)

(D )

∫ xdm

y

(D )

∫ ydm

(D )

xG = ; yG = A(a,b,0) Fig. 4.12. M M ( ∆′ ) (∆) x care sunt nule deoarece centrul de masă aparţine axei Oz. Rezultă că integralele

∫( )xdm D

∫( )ydm sunt nule. Şi atunci: J ∆′ = J ∆ + M ⋅ d unde: J = ∫ (x + y )dm şi d2 = a2 + b2. Relaţia 2

şi

(4.109)

D

2

2

(4.109) reprezintă Teorema lui

( D)

Steiner, demonstrată de Euler în 1749 şi arată că momentul de inerţie faţă de o axă este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu prima şi care trece prin centrul de greutate al corpului, adunat cu produsul dintre masa rigidului şi pătratul distanţei dintre cele două axe. Teorema este valabilă şi pentru sisteme de puncte materiale. Consecinţele teoremei lui Steiner sunt: momentul de inerţie este minim faţă de o axă care trece prin centrul de masă al rigidului; locul geometric al axelor paralele faţă de care momentele de inerţie sunt egale, este o suprafaţă cilindrică circulară a cărei axă de simetrie trece prin centrul de masă al rigidului; teorema lui Steiner se aplică asemănător pentru toate tipurile de momente de inerţie, d fiind distanţa dintre centrul de masă şi punctul considerat în cazul momentelor polare, sau distanţa dintre două plane dintre care unul conţine centrul de masă, în cazul momentelor de inerţie planare.


BIBLIOGRAFIE 105 _____________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIE 1. * * * „Mică enciclopedie matematică”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1980; 2. * * * Îndrumar matematic şi tehnic (traducere din limba rusă), Editura Tehnică, Bucureşti, 1964; 3. * * * Manualul inginerului mecanic, Vol. I, Bucureşti, Editura tehnică, 1966; 4. * * * Mic Dicţionar Enciclopedic, Editura Enciclopedică Română, Bucureşti, 1972; 5. Aristotel - „Metafizica”, Editura Academiei, Bucureşti, 1965, p. 59; 6. Atanasiu, M. – „Mecanica”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973; 7. Bălan, Şt., Ivanov, Igor – „Din istoria mecanicii”, Bucureşti, Editura Tehnică, Bucureşti, 1958; 8. Bălan, Ştefan – „Probleme de mecanică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977; 9. Bîrcă, M., Erblich, E. – „Tehnica măsurării maselor”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964; 10. Bunget, Ioan, ş.a. – „Compendiu de fizică pentru admiterea în învăţământul superior”, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1972; 11. Buzdugan, G. – „Culegere de probleme de mecanică”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1950; 12. Buzdugan, G. – „Rezistenţa materialelor”, Ed. a X-a revizuită, Editura Tehnică, Bucureşti, 1974; 13. Buzdugan, G., ş.a. – „Culegere de probleme de rezistenţa materialelor”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1963; 14. Caius, Iacob – „Mecanica teoretică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1971; 15. Ceauşu, V., Enescu, N. – „Probleme de mecanică. Statică şi cinematică”, Editura Corifeu, Bucureşti, 2002; 16. Ceauşu, V., Enescu, N., Ceauşu, F. – „Culegere de probleme de mecanică. Statica”, Institutul Politehnic Bucureşti, Catedra de Mecanică, Bucureşti, 1983; 17. Comănescu, A., Suciu, I., ş.a. – „Mecanica, rezistenţa materialelor şi organe de maşini”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982; 18. Comorovski, Cornelia – “Literatura Umanismului şi Renaşterii”, Vol. I, Editura Albatros, Bucureşti, 1972; 19. d’Holbach – „Sistemul naturii”, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1957, p. 72; 20. Diderot, D. – „Principes philosophiques sur la matière et le mouvement” în „Oeuvres choisies de Diderot”, Paris, C. Reinwald Libraire – Editure, 1884, p.74; 21. Dragnea, Ovidiu – „Geometria maselor”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972; 22. Druică-Zeletin, Ioan, Popescu, Armand – „Probleme de mecanică şi acustică”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977; 23. Einstein, Albert – „Evoluţia fizicii”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1957; 24. Einstein, Albert – „Teoria relativităţii”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1957, p. 41; 25. Florescu, Iulian – „Mecanica”, Editura Artemis, Bucureşti, 2000; 26. Florescu, D, Florescu, I. – „Mecanica. Statica”, Vol. I. Editura Tehnica Info Chişinău, 2004 27. Florescu, D, Florescu, I. – „Mecanica. Cinematica”, Vol. II. Editura Tehnica Info Chişinău, 2005


CURS DE MECANICĂ _____________________________________________________________________________________

106

28. Gafiţanu, M., Mocanu, D., ş.a. – „Organe de maşini”, Vol. I, Editura Tehnică, Bucureşti, 1981; 29. Hristev, Anatoli – „Mecanică şi acustică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982; 30. Hristev, Anatolie – „Probleme de fizică”, Vol. I. Mecanică, Editura APH, Bucureşti, 1996; 31. Hristev, Anatolie – „Probleme rezolvate de fizică”, Editura APH, Bucureşti, 1997. 32. Huţanu, Gh. – „Principii şi legi fundamentale în fizică”, Editura Albatros, Bucureşti, 1983; 33. Ionescu, Ion – „Momente statice absolute” (articol), Bucureşti, 1919; 34. Ionescu, Ion – „Momente statice polare” (articol), Bucureşti, 1911; 35. Iscrulescu, I., Ispăşoiu, Gh., Petrescu, V. – „Sistemul internaţional de unităţi de măsură”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1970; 36. Kocin, N. E. – „Calculul vectorial şi introducere în calculul tensorial” (traducere), Editura Tehnică, Bucureşti, 1954; 37. Manea, Gh. – „Organe de maşini”, Vol. I, Editura Tehnică, Bucureşti, 1970; 38. Nebrasov, A. I. – „Curs de mecanică teoretică” (traducere), Editura Tehnică, Bucureşti, 1955; 39. Newton, Isaac – „Principiile matematice ale filozofiei naturale”, Editura Academiei, Bucureşti, 1956, p. 30-31; 40. Paizi, Gh, ş.a. – „Organe de maşini şi mecanisme”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977; 41. Pavelescu, D. – „Tribologie”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977; 42. Rădoi, M, Deciu, E – „Mecanica”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977; 43. Rădoi, M., Deciu, E., Voiculescu, D. – „Curs de mecanică. Statică şi cinematică”, Institutul Politehnic Bucureşti, ed. III – 1975; 44. Rădoi, M., Popescu-Burschi, I. – „Mecanica”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969; 45. Ripianu, A. – „Curs de Statică”, Litografia Institutului Politehnic Cluj, ed. II– 1965; 46. Sarian, M. – „Mecanica şi rezistenţa materialelor”, Partea I. Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965; 47. Staicu, Şt. – „Mecanica – Statică şi cinematică”, Institutul Politehnic Bucureşti, Catedra de Mecanică, Bucureşti, 1973; 48. Stoenescu, Al., Buzdugan, Gh., Ripianu, A., Atanasiu, M. – „Culegere de probleme de mecanică teoretică”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1958; 49. Stoenescu, Al., Silaş, Gh. – „Curs de mecanică teoretică”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1957; 50. Ţiţeica, Gh. – „Teorie şi probleme de statică”, Institutul Politehnic Bucureşti, Catedra de Mecanică, Bucureşti, 1972; 51. Voiculescu, D., ş.a. – „ Mecanica şi rezistenţa materialelor”, Partea I. Mecanica, Institutul Politehnic Bucureşti, Catedra de Mecanică, Bucureşti, 1989; 52. Voinarovski, R – „Mecanica teoretică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967; 53. Voinea, R., Voiculescu, D., Ceauşu, V. – „Mecanica”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975; 54. www.fizica.go.ro\home html.

Curs mecanica  

Curs mecanica

Curs mecanica  

Curs mecanica

Advertisement