Matemática Fina TEORIA DE CONJUNTOS 1. Introdução Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para o seu desenvolvimento. A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas. Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos. Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência. 2. Notação e Representação A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO
• Listagem dos Elementos Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.
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Matemática Fina Exemplos 1o) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então: A = {verde, amarelo, azul, branco} 2o) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {a, e, i, o, u} 3o) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO
• Uma Propriedade de seus Elementos A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos. A = {x / x possui uma determinada propriedade P} Exemplos 1o) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso alfabeto} 2o) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
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MatemĂĄtica Fina NOTAĂ‡ĂƒO E REPRESENTAĂ‡ĂƒO
• Diagrama de Euler-Venn A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de EulerVenn Ê gråfica e, portanto, muito pråtica. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado. Exemplo
3. Relação de Pertinência Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:
đ?‘Ľâˆˆđ??´ em que o sĂmbolo ∈ ĂŠ uma versĂŁo da letra grega epsĂlon e estĂĄ consagrado em toda matemĂĄtica como sĂmbolo indicativo de pertinĂŞncia. Para indicarmos que um elemento x nĂŁo pertence ao conjunto A, indicamos:
đ?‘Ľâˆ‰đ??´ RELAĂ‡ĂƒO DE PERTINĂŠNCIA
•Exemplo
Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8} O algarismo 2 pertence ao conjunto A:
2∈đ??´ O algarismo 7 nĂŁo pertence ao conjunto
A:7 ∉ đ??´
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Matemåtica Fina 4. Relação de Inclusão Subconjuntos Dizemos que o conjunto A estå contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer tambÊm a B. Indicamos que o conjunto A estå contido em B por meio da seguinte simbologia:
đ??´âŠ‚đ??ľ
(lĂŞ-se A estĂĄ contido em B)
Obs. – Podemos encontrar em algumas publicaçþes outra notação para a relação de inclusão:
đ??ľâŠƒđ??´
(lĂŞ-se B contĂŠm A)
O conjunto A nĂŁo estĂĄ contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que nĂŁo pertence a B. Indicamos que o conjunto A nĂŁo estĂĄ contido em B desta maneira:
đ??´âŠ„đ??ľ
(lĂŞ-se A nĂŁo estĂĄ contido em B)
Se o conjunto A estĂĄ contido no conjunto B, dizemos que A ĂŠ um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A ĂŠ subconjunto de A e, por extensĂŁo, todo conjunto ĂŠ subconjunto dele mesmo.
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Matemática Fina Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos. Errado:
2 ⊂ 0, 2, 4, 6, 8 2 ∈ 0, 2, 4, 6, 8
2 ∈ 0, 2, 4, 6, 8 2 ⊂ 0, 2, 4, 6, 8 Correto: 2 ∈ 0, {2}, 4, 6, 8 2 ⊄ 0, {2}, 4, 6, 8 Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas. Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir: {1, 2} é um conjunto, porém no conjunto A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} ∈A. Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.
5. Conjuntos Especiais Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum. CONJUNTOS ESPECIAIS
•Conjunto Unitário
Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento. Exemplos 1o) Conjunto dos números primos, pares e positivos:
{2}
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MatemĂĄtica Fina 2o) Conjunto dos satĂŠlites naturais da Terra: {Lua} 3o) Conjunto das raĂzes da equação x + 5 = 11:
{6}
CONJUNTOS ESPECIAIS
•Conjunto Vazio
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossĂvel. Exemplos 1o) Conjunto das raĂzes reais da equação: x2 + 1 = 0 2o) Conjunto: {đ?‘Ľ ∕ đ?‘Ľ ≠đ?‘Ľ} O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: ď Ś ou { }. NĂŁo podemos confundir as duas notaçþes representando o conjunto vazio por { ď Ś }, pois estarĂamos apresentando um conjunto unitĂĄrio cujo elemento ĂŠ o ď Ś . O conjunto vazio estĂĄ contido em qualquer conjunto e, por isso, ĂŠ considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
CONJUNTOS ESPECIAIS
•Conjunto Universo
Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemåtica, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto Ê chamado de conjunto universo e Ê representado pela letra maiúscula U. Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.
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Matemåtica Fina Exemplos 1o) A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta �=
1 2
, −1, 3 đ?‘ đ?‘’ đ?‘ˆ = â„?
đ?‘† = −1, 3 đ?‘ đ?‘’ đ?‘ˆ = ℤ đ?‘† = 3 đ?‘ đ?‘’ đ?‘ˆ = â„• 2o) O conjunto dos pontos equidistantes de um ponto dado pode ser formado: Por apenas dois pontos, se o conjunto universo for uma reta que passa pelo ponto dado; A1
d
P d
A2
Pelos infinitos pontos de uma circunferĂŞncia, se o conjunto universo for um plano que passa pelo ponto dado;
pelos infinitos pontos de uma superfĂcie esfĂŠrica, se o conjunto universo for o espaço a que o ponto dado pertence.
Para iniciarmos qualquer procedimento matemĂĄtico, ĂŠ importante sabermos em qual conjunto universo vamos atuar.
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MatemĂĄtica Fina 6. Conjunto de Partes Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), ĂŠ o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. CONJUNTO DE PARTES
•Determinação do Conjunto de Partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos: 1o) Subconjunto vazio: đ?œ™ , pois o conjunto vazio ĂŠ subconjunto de qualquer conjunto. 2o) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}. 3o) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}. 4o) Subconjuntos com trĂŞs elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto ĂŠ subconjunto dele mesmo. Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = { đ?œ™, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} CONJUNTO DE PARTES
•Número de Elementos do Conjunto de Partes
Podemos determinar o nĂşmero de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o nĂşmero de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P (A). Para isso, basta partirmos da idĂŠia de que cada elemento do conjunto A tem duas opçþes na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto ou ele nĂŁo pertence ao subconjunto e, pelo uso do princĂpio multiplicativo das regras de contagem, se cada elemento apresenta duas opçþes, teremos: đ?‘›đ?‘ƒ đ??´
= 2đ?‘› , onde n ĂŠ o nĂşmero de elementos de A
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, Ê de se supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
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MatemĂĄtica Fina 7. Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos sĂŁo iguais se, e somente se, eles possuĂrem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do nĂşmero de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos: {1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1} Observação Se o conjunto A estĂĄ contido em B (đ??´ ⊂ đ??ľ) e B estĂĄ contido em A (đ??ľ ⊂ đ??´), podemos afirmar que đ??´ ⊂ đ??ľ.
8. Operaçþes com Conjuntos OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
•União de Conjuntos (U)
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a uniĂŁo dos conjuntos A e B, de notação đ??´ âˆŞ đ??ľ (lĂŞ-se: A uniĂŁo B), ĂŠ o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou B. Podemos representar a uniĂŁo de dois conjuntos pela seguinte sentença:
Graficamente, temos:
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MatemĂĄtica Fina Exemplo Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular đ??´ âˆŞ đ??ľ. Resolução đ??´ âˆŞ đ??ľ.= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} Graficamente, teremos
Observe que os elementos comuns não são repetidos. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
•Intersecção de Conjuntos ( ∊ )
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a intersecção dos conjuntos A e B, de notação đ??´ ∊ đ??ľ (lĂŞ-se: A intersecção B), ĂŠ o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Podemos representar a intersecção de dois conjuntos pela seguinte sentença:
Graficamente, temos:
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MatemĂĄtica Fina Exemplos 01. Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9} determinar
.
Resolução đ??´ ∊ đ??ľ= {3, 5, 8}, apenas os elementos comuns a A e B. Graficamente:
02. Calcule M ∊ N onde M = {2, 3, 5} e N = {4, 6}. M∊N=Ă˜ NĂŁo hĂĄ elementos comuns, nesse caso dizemos que os conjuntos sĂŁo disjuntos. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
•Diferença de Conjuntos ( - )
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a diferença dos conjuntos A e B, nessa ordem e com notação A – B (lê-se: A menos B), Ê o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Podemos representar a diferença de dois conjuntos por meio da seguinte sentença:
Graficamente, temos:
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Matemåtica Fina OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
•Conjunto Complementar
Quando dois conjuntos A e B sĂŁo de tal maneira que B estĂĄ contido em A (đ??ľ ⊂ đ??´), dizemos que a diferença A – B ĂŠ o conjunto complementar de B em relação a A, cuja representação podemos ver a seguir:
∠đ??ľđ??´ = đ??´ − đ??ľ Graficamente, temos:
∠đ??ľđ??´ Exemplos 01. Calcular A – B, sabendo que A = {3, 4, 6, 8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 10} Resolução A – B = {3, 8, 9} Elementos que estĂŁo em A mas nĂŁo estĂŁo em B. Graficamente:
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MatemĂĄtica Fina 02. Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6}, calcule: a) A – B b) B – A Resolução a) A – B = Ă˜, nĂŁo existe elemento de A que nĂŁo pertença a B. b) đ??´ ⊂ đ??ľ ⇒ đ??ľ − đ??´ = ∠đ??ľđ??´ = {0, 6} Graficamente
Observação Se A ĂŠ um subconjunto do conjunto universo U, o complementar de A em relação a U pode ser representado por A’ ou , dessa forma, teremos đ??´ = đ??´â€˛ = ∠đ?‘ˆđ??´ = đ?‘ˆ − đ??´
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Matemåtica Fina OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
•Número de Elementos da União de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.
n ( A ďƒˆ B)  n ( A)  n ( B) ď€ n ( A ďƒ‡ B)
Note que ao subtrairmos os elementos comuns đ?‘› đ??´ ∊ đ??ľ evitamos que eles sejam contados duas vezes. Observaçþes 1a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada serĂĄ verdadeira. 2a) Podemos ampliar a relação do nĂşmero de elementos para trĂŞs ou mais conjuntos com a mesma eficiĂŞncia. Observe o diagrama e comprove.
đ?‘› đ??´ âˆŞ đ??ľ âˆŞ đ??ś = đ?‘› đ??´ + đ?‘› đ??ľ + đ?‘› đ??ś − đ?‘› đ??´ ∊ đ??ľ − đ?‘› đ??´ ∊ đ??ś − −đ?‘›(đ??ľ ∊ đ??ś) + đ?‘›(đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś)
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MatemĂĄtica Fina 9. Problemas com Conjuntos Para resolvermos problemas com conjuntos, podemos usar as fĂłrmulas acima mencionadas, contudo, tambĂŠm poderemos fazĂŞ-lo atravĂŠs o diagrama de Euler-Venn. Veja o exemplo: Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esportes elas apreciam entre futebol, basquete e vĂ´lei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vĂ´lei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e vĂ´lei; 8 de basquete e vĂ´lei e 5 gostam das trĂŞs modalidades. a) Quantas pessoas nĂŁo gostam de nenhum dos esportes? b) Quantas gostam somente de futebol? c) Quantas nĂŁo gostam nem de futebol e nem de vĂ´lei? Resolução: 1Âş- Devemos primeiramente destacas todos os dados fornecidos no problema. đ?‘› đ?‘ˆ = 50; đ?‘› đ??š = 23; đ?‘› đ??ľ = 18; đ?‘› đ?‘‰ = 14; đ?‘› đ??š ∊ đ??ľ = 10; đ?‘› đ??š ∊ đ?‘‰ = 9; đ?‘› đ??ľ ∊ đ?‘‰ = 8 e đ?‘› đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ?‘‰ =sendo F=futebol, B=basquete e V=vĂ´lei. 2Âş- Devemos começar sempre com a intersecção dos trĂŞs conjuntos, depois com a intersecção de dois e, finalmente, com os que gostam sĂł de um esporte, sempre desconsiderando os jĂĄ contados. U F B 5
9
5
5 3
4
2
17
V
a) 50 – (5+5+4+3+5+2+9) = 17 b) 9 pessoas gostam só de futebol c) 17+2=19 pessoas não gostam nem de futebol e nem de vôlei.
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Matemática Fina 9. Exercícios Propostos 01. Assinale a FALSA: a) Ø {3} b) {3}{3} c) 6 {3} d) 3 = {3} e) 3 {3} 02. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é: a) 120 b) 125 c) 127 d) 120 e) 110 03. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi: a) 570 b) 720 c) 800 d) 700 e) 500
Marcas
A
B
C
AeB
AeC
BeC
A, B e C
Nenhu ma delas
04. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa tabelados abaixo:
Nº de Consumi-dores
109
203
162
25
28
41
5
115
Determine: a) O número de pessoas consultadas. b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C. c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas. d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C.
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Matemática Fina e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C. 05. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar: a) B A b) A = B c) A B d) a = A e) {A}B 06. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é: a) 64 b) 32 c) 21 d) 256 e) 128 07. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio, paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se: a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? b) Quantos cariocas foram ao estádio? c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? h) Quantos eram corintianos ou paulistas? i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? 08. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a A, b A e a b}, o número de elementos de B que são números pares é: a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13 09. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é: a) 25% b) 50%
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Matemática Fina c) 15% d) 30% e) 33% 10. (FGV) Uma pesquisa com três marcas concorrentes de refrigerantes, A, B e C, mostrou que 60% das pessoas entrevistadas gostam de A, 50% gostam de B, 57% gostam de C, 35% gostam de A e C, 18% gostam de A e B, 24% gostam de B e C, 2% gostam das três marcas e o restante das pessoas não gosta de nenhuma das três. Qual é a porcentagem dessas pessoas que gostam de apenas uma marca de refrigerante a) 16%. b) 19%. c) 20%. d) 25%. e) 27%. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
•Respostas
1- d 4 c) 84 7a)80mil 7f) 5 mil 9–d
2- c 4 d) 4% 7b)16mil 7g)20mil 10 – b
3–e 4e)1,8% 7c)85mil 7h)89mil
4 a) 500 5–e 7d)15mil 7i)11mil
4 b) 257 6–e 7e)80mil 8–c
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