SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplos 1o) Sequências dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequências infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplos 2o) sequências dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequencia infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplos 3o) sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8 e a10 = 9.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Exemplos 4º) A sequencia (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x=5; y=8; z=15 e t=17.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Observação Importante Notemos que as sequencias (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Fórmula do termo geral Exemplos 1o) Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = n2 – 2n, com n N* 2o) Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = 3 · n + 2, com n N* 3o) Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4 · n, com n N*
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Lei de Recorrências Exemplos 1o) Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2 · an – 4, onde n N* 2o) Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+1 = an – 2 , onde n N*
PROGRESSĂƒO ARITMÉTICA (PA)
Definição PA ĂŠ uma sequĂŞncia numĂŠrica em que cada termo, a partir do segundo, ĂŠ o anterior somado a uma constante r chamada razĂŁo da PA. đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? = đ?’‚đ?’? + đ?’“ com đ?’‚đ?&#x;? conhecido e đ?’? ∈ ℕ∗
PROGRESSĂƒO ARITMÉTICA (PA)
Observação Para determinar a razão de uma PA, basta efetuarmos a diferença entre dois termos consecutivos: o posterior menos o anterior.
đ?’“ = đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? − đ?’‚đ?’?
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Exemplos 1o) (0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) é uma PA de primeiro termo a1 = 0 e razão r = 3.
2o) (11, 9, 7, 5, 3, 1, –1, ...) é uma PA de primeiro termo a1 = 11 e razão r = – 2. 3o) (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PA de primeiro termo a1 = 5 e razão r = 0.
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Classificação r > 0 => PA crescente r < 0 => PA decrescente r = 0 => PA constante
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Fórmula do termo Geral Vamos considerar uma PA de primeiro termo a1 e razão r. Assim, teremos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 3r a5 = a4 + r = a1 + 4r . . . . . . an = a1+(n – 1) . r
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Exemplos 1o) Numa PA de primeiro termo a1 = 0 e razão r = 3, temos o termo geral igual a: Assim, se quisermos determinar o termo a23 desta PA, teremos: 2o) Numa PA de primeiro termo a1 = 11 e razão r = – 2, temos o termo geral igual a: Assim, se quisermos determinar o termo a12 desta PA, basta fazermos:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Artifícios de Resolução PA com três termos com razão igual r: (a – r), a e (a + r), PA com quatro termos com razão igual a 2r: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r) PA com cinco termos com razão igual r: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Exemplo Determinar os números a, b e c cuja soma é igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Propriedades P1: Para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a média aritmética dos outros dois termos. P2: Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.
PROGRESSĂ&#x192;O ARITMĂ&#x2030;TICA (PA)
Propriedades P3: Numa PA com n termos, em que n ĂŠ um nĂşmero Ămpar, o termo mĂŠdio (am) ĂŠ a mĂŠdia aritmĂŠtica dos extremos. đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;?
EXERCÍCIOS (MACK-SP) – O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é: 63
c) 65
95
d) 98
e) 92
(FEI-SP) – A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12, vale: a) -5
c) -9
b) -7
d) 0
e) -6
EXERCÍCIOS O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1. Então o terceiro termo da PA vale: a) 2
c) 3
b) 6
d) 4
e) 5
PUC – PR) – Calculando o número de termos de uma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o último termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se: a) 45
c) 38
b) 31
d) 57
e) 43
EXERCÍCIOS ((UFMA – 2004) O casal Silva tem 5 filhos. Sabendo que a diferença entre a idade de cada um e a idade do seu antecessor é constante, que o produto da idade do mais novo pela idade do mais velho é igual a 240 e que a soma das idades dos outros três filhos é igual a 48 anos, é correto afirmar que a soma das idades do filho mais novo e do mais velho é igual a: a) 30 anos.
d) 31 anos.
b) 33 anos.
e) 32 anos.
c) 34 anos.
EXERCÍCIOS
A soma do 4º e 8º termos de PA é 20; o 31º termo é o dobro do 16º termo. Determine a PA: (-5, -2, 1, ...)
d) (5, 6, 7, ...)
(0, 2, 4, ...)
e) (0, 3, 6, 9, ...)
(1, 3, 5, ...)