06 by Diogo Tavares

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Distribuição Binomial

Probabilidade de um acontecimento • Qual a probabilidade de ser homem e de ser mulher? • P(homem) = 0,5 • P(mulher) = 0,5 • A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1.

50% homens 50% mulheres 2

Modelo de probabilidades POPULAÇÃO Opinião a respeito do governo

20%

AMOSTRA: 1 pessoa observada ao acaso

Modelo probabilístico Resultado

Probab.

50% 30% bom/ótimo regular sem opinião

bom/ótimo regular Sem opinião

0,20 0,30 0,50 3

Variável aleatória Função que a cada elemento do espaço amostral faz corresponder um número real

X = número de faces comuns em 2 lançamentos de uma moeda;  = {(nacional, nacional), (comum, nacional), (nacional, comum), (comum, comum)} X: 0

Exemplos de variáveis aleatórias: • Vida útil (em horas) de um televisor. • Número de peças com defeito num lote produzido. • Número de acidentes registados durante um mês na Autoestrada. • Na internet, o tempo (em segundos) para uma determinada mensagem chegar ao seu destino: Se a mensagem chega (X = 1), ou não (X = 0), ao seu destino

Variáveis aleatórias variável aleatória discreta

os possíveis resultados estão contidos num conjunto finito ou enumerável

0 1 2 3 4 ... número de defeitos em ...

contínua

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais

0 tempo de resposta de ... 6

Distribuição de probabilidades X = núm. de faces comuns em dois lançamentos de uma moeda 0,50 xi

p(x = xi)

0 1 2

0,25 0,50 0,25

0,25

p(x)

0 x

2 7

Construção de distribuições de probabilidades Sortear 2 bolas com reposição

X = número de bolas pretas na amostra 8

Sortear 2 bolas com reposição X = número de bolas pretas na amostra

(10)

(20) 3/5

3/5

2/5

3/5 2/5

xi p(x = xi) 0 9/25 (0,36) 1 12/25 (0,48) 2 4/25 (0,16) 9

Sortear 2 bolas sem reposição X = número de bolas pretas na amostra (10)

(20) 2/4

3/5

2/4

2/5

3/4 1/4

xi p(x=xi) 0 6/20 (0,30) 1 12/20 (0,60) 2 2/20 (0,10) 10

Sortear 2 bolas X = número de bolas pretas na amostra Distrib. de X com reposição

xi p(x=xi) 0 0,36 1 0,48 2 0,16

Distrib. de X sem reposição

xi p(x=xi) 0 0,30 1 0,60 2 0,10 11

Mais um exemplo: Considera que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias.

Possibilidades

Probabilidade

BBB BBF BFB FBB BFF FBF FFB FFF

0 1 1 1 2 2 2 3

0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216 13

Distribuição de probabilidade de X:

xi 0 1 2 3 Total

p(x=xi) 0,064 0,288 0,432 0,216 1

0,432

0,288 0,216

0,064

número de dias com falhas na rede 14

Média e desvio padrão x p(x)

x1 x2 ... xn

  E  X    xi pi

p1 p2 ... pn

Total

  V  X    xi    pi 2

  V X  

 x   

pi 15

X = número de dias com falhas na rede. xi

p(x=xi)

0 1 2 3

0,064 0,288 0,432 0,216



  E  X    xi pi

= 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8 16

X = número de dias com falha na rede. x

p(x)

0 1 2 3

0,064 0,288 0,432 0,216

  V  X    xi    pi 2

V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 – 1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES FICHA DE TRABALHO Nº7

Experiência de provas repetidas de Bernoulli • consiste em n experiências;

• cada experiência tem somente dois resultados: “sucesso” , “insucesso”; • As experiências são independentes, com P(sucesso) = p (0 < p < 1 constante ao longo das experiências); ====> X = número de sucesso nas n experiências

Exemplos de experiências de Bernoulli  Número

de faces comuns em 10 lançamentos de uma moeda;  Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens (supondo amostragem aleatória e com reposição);  Número de eleitores favoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande). 20

Cálculo das probabilidades em experiências de Bernoulli X

= número de faces comuns em 3 lançamentos de uma moeda com P(face comum) = p;  P(X = 1) = ? X=1

CKK KCK KKC

P(CKK) = p (1 - p)2

P(X = 1) = 3 p (1 - p)2 3

C1 21

O modelo binomial Para um particular x = 0, 1, ..., n:

P( X  x ) Cx p 1  p  n

n x

  n p V ( X )  n  p  (1  p) 22

Novamente o mesmo exemplo:

Considera que numa grande rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falhas na rede, considerando o período de observação de três dias.

X



= número de dias com falhas

binomial com n=3 p = 0,6

1 – p = 0,4

P( X  x ) Cx 0,6 0,4 3

3 x

P( X  x ) Cx 0,6 0,4 3

3 x

n=3 p = 0,6 P(X=0) = 1.0,60.0,43 = 0,064 P(X=1) = 3.0,61.0,42 = 0,288 P(X=2) = 3.0,62.0,41 = 0,432 P(X=3) = 1.0,63.0,40 = 0,216 25

Distribuição da variável X x

p(x)

0 1 2 3

0,064 0,288 0,432 0,216

Total

0,432

0,288

  n  p  3  0,6  1,8 V ( X )  n  p  (1  p)  3  0,6  0,4  0,72

0,216

0,064

3 26

Exercício: • Num lote, sabe-se que 10 % das peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao retirarem 6 peças ao acaso: – a) uma ser defeituosa? – b) no máximo uma ser defeituosa? – c) pelo menos duas serem defeituosas?

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES FICHA DE TRABALHO Nº8 Doexer1 até exer5

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Distribuição Normal

Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma populaĂ§ĂŁo. O histograma por densidade ĂŠ o seguinte:

D e n s id a d e

0 .04

0 .03

0 .02

0 .01

0 .00 30

Peso

1 00

A análise do histograma indica que:

- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;

- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);

- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população. Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?

Densidade

0 .03 0

0.01 5

0.00 0 30

10 0

P es o

A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.

A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois: Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos:

altura;

pressão sangüínea;

peso.

Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições.

Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal. Exemplo: Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.

A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica - grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horas.

Modelos Contínuos de Probabilidade Variável Aleatória Contínua: • Assume valores num intervalo de números reais. • Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis valores de uma v.a. contínua.

• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.

Nota: No caso das variáveis aleatórias contínuas, apenas interessa determinar a probabilidade correspondente a um intervalo, não fazendo sentido determinar a probabilidade num ponto. A probabilidade em qualquer ponto é sempre zero.

Propriedades dos Modelos Contínuos Uma v.a. X contínua é caracterizada por uma função densidade de probabilidade f(x) com as seguintes propriedades: (i) A área sob a curva de densidade é 1; (ii) P(a  X  b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b; (iii) f(x)  0, para todo x; (iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.

Assim, P(a < X < b) = P(a  X < b) = P(a < X  b) = P(a  X  b).

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros  e  se a sua função densidade de probabilidade é dada por: Notação : X ~ N( ;  )

1.  é o valor esperado (média) de X ( - <  < ); 2.  2 é a variância de X ( 2 > 0).

Propriedades de X ~ N(;)

• E(X) =  (média ou valor esperado); • Var(X) =  2 (e portanto, DP(X) =  ); • f (x)  0 quando x  ; • x =  é ponto de máximo de f (x); •  -  e  +  são pontos de inflexão de f (x);

• a curva Normal é simétrica em torno da média .

A distribuição Normal depende dos parâmetros  e 

N(  1;  )

N(  2;  )



Curvas Normais com o mesmo desvio padrão  mas médias diferentes (2 > 1).

Influência de  na curva Normal N(;1) 2 > 1

N(;2)

 Curvas Normais com mesma média , mas com variâncias diferentes (2 > 1).

Cálculo de probabilidades P(a < X < b)

Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b.



Denotamos : A(z) = P(Z ď&#x201A;Ł z), para z ď&#x201A;ł 0.

Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular a) P(Z  0,32)

P(Z  0,32) = 0,6255.

b) P(0 < Z  1,71)

P(0 < Z  1,71) = 0,4564

Obs.:

P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.

c) P(1,32 < Z  1,79)

P(1,32 < Z  1,79) = 0,0567

d) P(Z  1,5)

P(Z > 1,5) = 0,0668

e) P(Z  –1,3)

P(Z  – 1,3) = 0,0968

Obs.: Pela simetria, P(Z  – 1,3) = P(Z  1,3).

f) P(-1,5  Z  1,5)

g) P(–1,32 < Z < 0)

P(–1,32 < Z < 0) = 0,4066

Valores Tabelados:

Z (i)

P(  -   X   +  ) = 0,683.

(ii) P(  – 2  X   + 2 ) = P(– 2  Z  2 ) = 0,954. (iii) P(  – 3  X   +3 ) = P( –3  Z  3 ) = 0,998.

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONCLUSÃO DA FICHA DE TRABALHO Nº8

FIM