CP-Calcolo professionale by Dino Vodola

Calcolo professionale Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

A. Kohler Editore: CFP Società Svizzera Impresari Costruttori, Sezione Ticino

Edizione 2011 ampliata e attualizzata ISBN 978-88-85118-91-1 Copyright© SSIC sezione Grigioni, 7002 Coira SSIC sezione Grigioni e sezione Ticino Ristampe, copie, fotocopie, microfilm, rilevatore ottico e traduzioni anche parziali sono vietati Editore: Centro Formazione Professionale Società Svizzera Impresari Costruttori-Sezione Ticino Gordola Rappresentazione e realizzazione grafica: Süsskind SGD, Coira Stampa: Tipografia Poncioni SA, Losone Printed in Switzerland Traduzione in lingua italiana a cura dell’arch. Bettina Galetti Dechet

Libro di testo calcolo professionale

Prefazione Le conoscenze professionali per l’acquisizione dell’attestato federale di capacità (AFC) per la professione di muratrice/muratore sono determinate dal regolamento sulla formazione di base. Un regolamento separato stabilisce le conoscenze professionali necessarie per il raggiungimento del certificato federale di formazione pratica (CFP) per la professione aiuto muratrice/aiuto muratore. I piani di formazione per le due professioni sono orientati alle capacità e circoscrivono gli obiettivi didattici da raggiungere. Inoltre definiscono il contenuto didattico dei tre luoghi di formazione, azienda, corsi interaziendali e scuola professionale. La formazione di base riveste un importante significato per la SSIC. È un elemento essenziale per il mantenimento e lo sviluppo delle conoscenze professionali nel ramo dell’edilizia. Una formazione di base solida è inoltre il presupposto per la continuazione della formazione e per la specializzazione professionale dei quadri dell’edilizia a tutti i livelli. La SSIC è cosciente dell’importanza di basi solide nella formazione professionale per raggiungere gli obiettivi previsti dalla formazione stessa. Per questo s’impegna da molti anni come curatrice di una serie esauriente di libri di testo per la formazione professionale nel ramo dell’edilizia. Con la presente edizione questo impegno continua. Questi libri di testo sono adatti: - come libro di testo per le lezioni professionali da muratrici/ muratori e aiuto muratrici/aiuto muratori alle scuole professionali. - come base per la specializzazione professionale dopo la formazione di base - come opera di consultazione nella pratica quotidiana o per lo studio da autodidatta. Il contenuto del libro di testo sul calcolo professionale soddisfa le direttive e gli obiettivi professionali per le professioni muratrice/muratore (AFC) e anche aiuto muratrice/aiuto muratore (CFP). Prevede però un numero minore di lezioni per la professione aiuto muratrice/aiuto muratore. Come sostegno per gli insegnanti e per rispondere alle distinte esigenze formative, il libro di testo è suddiviso per tipo di formazione. La strutturazione relativa al contenuto e la profondità didattica nella trasmissione dello stesso, trovano la loro realizzazione nel programma scolastico tramite gli insegnanti. L’autore di questa edizione è Alois Kohler, architetto HTL e insegnante pluriennale della scuola professionale. La SSIC sezione Grigioni lo ringrazia sentitamente per il suo efficace contributo a beneficio della formazione professionale nel ramo dell’edilizia. Grazie al suo impegno, la riconosciuta serie di libri di testo sarà a disposizione di apprendisti, insegnanti delle scuole professionali, formatori e altri utenti interessati. Andreas Felix, Dipl. Architekt FH / amministratore unico, SSIC sezione Grigioni

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Libri di testo Panoramica

Panoramica muratrice/ muratore (AFC)

Aiuto muratrice/ aiuto muratore (CFP)

Conoscenze professionali

Libro di testo

Calcolo professionale

Calcolo professionale soluzione

Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

Calcolo professionale formule

Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

A. Kohler Editore: CFP Società Svizzera Impresari Costruttori, Sezione Ticino

Conoscenze professionali Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

A. Kohler Editore: CFP Società Svizzera Impresari Costruttori, Sezione Ticino

1 Impresa e contesto Calcolo professionale/soluzioni/raccolta formule

Disegno professionale

Disegno professionale soluzione

Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

A. Kohler Editore: CFP Società Svizzera Impresari Costruttori, Sezione Ticino

1 Basi per l’esecuzione Disegno professionale / soluzioni

Conoscenza dei materiali Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

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2 Basi per l’esecuzione Conoscenza dei materiali

Conoscenza della costruzione

Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC)

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Conoscenza della costruzione

Procedimenti di costruzione Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

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4 Esecuzione

2 Esecuzione Procedimenti di costruzione

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Piano di formazione Griglia delle lezioni scuola professionale

Muratrici/muratori con attestato federale di capacità (AFC)

1. anno

2. anno

3. anno

Totale

200

600

Insegnamento professionale

Materia scolastica contenuto principale

1 I mpresa e contesto

Calcolo professionale

120

2 Basi per l’esecuzione

Disegno professionale Conoscenza dei materiali Conoscenza della costruzione

80 80

360

40 0

3 Fase preliminare all’esecuzione 4 Esecuzione

Procedimento

120

5 Controllo del mandato B.

Cultura generale

Educazione fisica

Totale lezioni scuola professionale (AFC)

120

360

120

360

1080

Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP) 1. 2. anno anno A. Insegnamento professionale

Materia scolastica contenuto principale

Totale

200

400

1 Basi per l’esecuzione

Disegno professionale Conoscenza dei materiali Conoscenza della costruzione

80 40 40

320

2 Esecuzione

Procedimento

Sorveglianza del compito

B. Cultura generale

120

240

C. Educazione fisica

360

720

Totale lezioni scuola professionale (CFP)

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Calcolo professionale Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

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Piano di formazione muratrice/muratore (AFC) Conoscenze professionali 1 Impresa e contesto

Calcolo professionale Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

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Calcolo professionale

Obiettivo operativo:

Muratrici e muratori conoscono l’importanza di calcoli precisi e corretti per il lavoro quotidiano

Obiettivi di valutazione:

Muratrici e muratori sono capaci di >> utilizzare le basi dei calcoli >> calcoli di lunghezza >> calcoli di superficie >> calcoli di volume >> calcoli delle quantità di materiale

Panoramica:

Piano di formazione parte A muratrice/muratore (AFC)

1 Impresa e contesto

Obiettivi

1.1 Calcolo professionale 1.2 Diritto, leggi, prescrizioni 1.3 … e norme 1.4 Impresa, organizzazione 1.5 Impresa, atteggiamenti 1.6 Impresa, richieste dei clienti 1.7 Impresa, successo 1.8 Impresa, flusso di informazioni

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luoghi di formazione Scuola professionale (SPAI) SPAI Azienda e SPAI Azienda Azienda, corsi interaziendali e SPAI Azienda, corsi interaziendali Azienda Azienda

Piano di formazione aiuto muratrice/aiuto muratore (CFP) Conoscenze professionali 1 Basi per l’esecuzione

Calcolo professionale Muratrice/muratore con certificato federale di capacità (AFC) Aiuto muratrice/aiuto muratore con certificato federale di formazione pratica (CFP)

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Calcolo professionale

Operativo:

Aiuto muratrici e aiuto muratori sono coscienti dell’importanza di calcoli corretti nel lavoro quotidiano

Obiettivi di valutazione:

Aiuto muratrici e aiuto muratori sono capaci di >> utilizzare le basi dei calcoli >> effettuare calcoli di lunghezza >> effettuare calcoli di superficie >> effettuare calcoli di volume >> realizzare calcoli delle quantità di materiale

Panoramica:

Piano di formazione parte A aiuto muratrice/aiuto muratore (CFP)

1 Basi per l’esecuzione

Obiettivi 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Piani/disegno professionale Sicurezza sul lavoro, protezione della salute … e dell’ambiente Materiali da costruzione Macchinari e apparecchi > impiego Macchinari e apparecchi > manipolazione Calcolo professionale

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luoghi di formazione Tutti i luoghi di formazione Tutti i luoghi di formazione Tutti i luoghi di formazione Tutti i luoghi di formazione Azienda e corsi interaziendali Azienda, corsi interaziendali Scuola professionale

Calcolo professionale Indice

Indice

Nozioni di base calcolo professionale Operazioni fondamentali Frazioni Equazioni Unità di base Unità derivate Il sistema internazionale di unità

100 110 120 130 140 150 160

Rapporti e proporzioni Problemi del tre semplice Calcolo percentuale Rapporti numerici Rappresentazioni grafiche

200 210 220 230 240

Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione Calcoli di lunghezza Calcolo di superfici (con linee rette) Calcolo di superfici (con linee curve) Calcolo di volumi (solidi paralleli) Calcolo di volumi (solidi a punta) Calcolo di volumi (solidi tronchi)

300 310 320 330 340 350 360

Calcolo di quantità di materiale In generale Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte Scavi e riporti Calcestruzzo e calcestruzzo armato Murature e intonaci

370

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400 410 420 430 440 450

Calcolo professionale Programma didattico di base

Suddivisione lezioni calcolo professionale lezioni AFC lezioni CFP Nozioni di base calcolo professionale 24 7 4 6 Operazioni fondamentali Frazioni 6 Equazioni 3 Unità di base 2 Unità derivate 3 Il sistema internazionale di unità 1 Prove 5 1 Rapporti e proporzioni 16 14 3 4 Problemi del tre semplice Calcolo percentuale 3 4 Rapporti numerici 5 4 3 2 Prove Rappresentazioni grafiche 2 Dimensioni di elementi di costruzione 34 21 Introduzione 2 Calcoli di lunghezza 6 3 7 8 Calcolo di superfici (con linee rette) Calcolo di superfici (con linee curve) 4 Calcolo di volumi (solidi paralleli) 4 7 2 Calcolo di volumi (solidi a punta) Calcolo di volumi (solidi tronchi) 3 Prove 6 3 Calcolo di quantità di materiale 28 22 In generale 4 Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte 4 5 Scavi e riporti 4 4 Calcestruzzo e calcestruzzo armato 5 5 Murature e intonaci 5 5 Prove 6 3 Preparazione alla procedura di qualificazione 8 6 Lezioni di calcolo professionale

110

Lezioni perdute: giorni festivi, assenze, escursioni e lezioni sucessive alla procedura di qualificazione

120

Orari di lezioni calcolo professionale secondo piano didattico

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Nozioni di base calcolo professionale Indice

100

Indice

Operazioni fondamentali Introduzione operazioni fondamentali Priorità delle operazioni Uso delle parentesi Numeri decimali

110 110 111 112 113

Frazioni Introduzione frazioni Trasformazione di frazioni Addizione e sottrazione di frazioni Moltiplicazione di frazioni Divisione di frazioni Frazioni decimali

120 120 121 122 124 125 126

Equazioni Introduzione equazioni Equazioni numeriche Equazioni letterali Messa in equazione di problemi

130 130 131 132 133

Unità di base Introduzione unità di base Metro e chilogrammo Secondo e gradi Kelvin Ampère, mole e candela Elenco delle unità di base

140 140 141 142 143 143

Unità derivate Introduzione unità derivate Forza (peso) Lavoro, energia e quantità di calore Potenza Densità (massa volumica) e densità lorda

150 150 151 153 155 156

Il sistema di misura Introduzione sistema di misura Elenco delle unità di misura Multipli e sottomultipli decimali

160 160 161 163

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Nozioni di base calcolo professionale Operazioni fondamentali

110

Introduzione operazioni fondamentali Per calcolare occorrono valori numerici e diversi segni matematici.

Ricorda:

Numeri naturali sono numeri interi e positivi. Sulla retta dei numeri vengono rappresentati a destra dello zero con distanze uguali. I numeri negativi sono preceduti dal segno meno. Sulla retta dei numeri si trovano a sinistra dello zero.

Numeri naturali

Numeri negativi −2

numeri positivi 0

−1

−3

−5

frazioni

2.5 3.14

numeri decimali

Numeri razionali

I numeri razionali sono frazioni e numeri decimali che riducono la distanza fra i numeri interi sia positivi, sia negativi sulla retta dei numeri.

Importante:

I segni matematici ci indicano le procedure di calcolo da effettuare oppure quale relazione esiste fra i numeri.

Livello del calcolo

Tipo di operazione Esempio

Segno

Addizioni e sottrazioni

Addizioni (sommare)

6+3=9 6 e 3 sono addendi

più

Totale

Sottrazione (dedurre, sottrarre)

9-6=3 9 minuendo, 6 sottraendo

−

meno

Differenza

Moltiplicazione (moltiplicare)

4∙2=8 4 e 2 sono i fattori

∙

per

Prodotto

Divisione (dividere)

8∶2=4 8 dividendo e 2 divisore

∶

diviso

Quoziente

Moltiplicazioni e divisioni

Osservazione:

Altri segni o simboli utilizzati per il calcolo sono: = uguale ≈ approssimativamente uguale ≠ disuguale corrisponde

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≙

Risultato

> maggiore di < minore di

Nozioni di base calcolo professionale Operazioni fondamentali

111

Priorità delle operazioni Se in un calcolo subentrano più operazioni, si deve dare la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni (livello di calcolo più elevato) e, in seguito, eseguire le addizioni e le sottrazioni.

Esempio:

9 ∙ 3 + 3 ∙ 4 - 4 ∙ 6 ∶ 2 + 6 ∙ 5 - 12 ∶ 3 = 27 +

Esercizi:

12 -

Addizioni e sottrazioni 1.

3758 + 95 + 15.78 + 0.617 + 0.03 =

540 − 68.9 − 12.466 − 3.245 − 0.59 =

780.5 − 60 + 18.53 − 5.176 − 0.141 =

21.005 + 173.77 − 305.07 + 1091 =

Moltiplicazioni e divisioni 5.

6324 ∙ 0.741 ∙ 0.115 =

8.75 ∶ 0.125 ∶ 2.468 =

5.127 ∙ 38.66 ∶ 7.14 =

310.87 ∶ 9.7 ∙ 90.67 =

Calcoli misti 9.

15.7 ∙ 3.5 + 8.2 ∙ 3.5 - 14 =

10.

0.785 ∙ 18 + 0.785 ∙ 91.2 =

11.

127.45 ∶ 25.4 + 215.5 ∶ 4 =

12.

40.3 ∙ 0.785 + 30.8 - 52.5 =

13.

182 ∙ 4.5 - 0.556 ∶ 0.1255 =

14.

40.65 + 20 ∙ 35 - 10 - 6 ∶ 5 =

15.

876 ∶ 30 - 36 ∶ 30 + 7 ∙ 8.5 =

16.

310.85 ∶ 8.7 + 19.25 - 210 =

17.

935 ∙ 12.25 ∶ 78.33 ∶ 9.8 =

18.

18.005 ∶ 37.2 ∙ 50 ∙ 3.23 =

19.

40.65 + 21.33 ∙ 35 - 10 - 687 ∶ 5.9 =

20.

127 ∶ 25.4 + 215.5 ∶ 4.25 ∙ 7 - 53.2 =

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+ 30

4 = 53

Nozioni di base calcolo professionale Operazioni fondamentali

112

Uso delle parentesi I calcoli appartenenti al medesimo svolgimento sono da mettere tra parentesi. È necessario calcolare dapprima il risultato delle operazioni all’interno della parentesi. Nel caso di più parentesi si iniziano a risolvere i calcoli tra le parentesi più interne.

Esempio:

>>> (42 + 36) - (24 - 15) = 78 - 9 = 69 >>> ( 3 + 8) - [9 - (4 - 2)] = 11 - (9 - 2) = 4

Esercizi:

1. 15 ∙ (5 + 7) - 3 ∙ 14 = 2. 15 ∙ (5 + 7 - 3) ∙ 14 = 3. (12 - 4) ∙ (9 + 11) = 4. (7 + 8) ∶ (6 - 2) = 5. (423 - 78) ∙ 16 + (24 - 8) ∙ 6 = 6. [(36 - 18 + 56) ∶ 3.5] - 7.8 ∶ 2 = 7. [13 ∙ (3.14 - 1.141)] ∙ 2 ∶ (7 + 5) = 8. 13 ∙ (3.14 - 1.141) ∙ 2 ∶ 7 + 5 = 9. (36.5 - 6.25) ∶ 1.5 - 2 ∙ 8.8 = 10. 36.5 ∙ 6.25 ∶ (15 - 2 ∙ 0.88) = 11. (17 + 3) - 3 ∙ (4.2 - 1.6) = 12. 17 + 3 - [3 ∙ (4.2 - 1.6)] = 13. [(8 + 4) ∙ (4 + 6) + 3] ∶ 1.25 = 14. [8 + 4 ∙ 4.4 - 4.2 - 6.6] ∶ 3.7 = 15. [(8.2 + 4.4) - 4.2 - 6.6] ∶ 3.7 = 16. [(8.2 + 4.4) - (4.2 - 6.6)] ∶ 3.7 = 17. 3120 + (350.5 + 72.35 + 4.825) ∙ 3.14159 = 18. 4720 + (557.8 + 68.75 + 5.785) ∙ 0.875 = 19. (3120 + 557.8 ∙ 7.235 ) - 4.825 ∙ 1.414 = 20. (4720 - 557.8 + 68.75 ∶ 5.987) ∙ 0.707 =

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Nozioni di base calcolo professionale Operazioni fondamentali

113

Numeri decimali I numeri decimali sono composti da cifre a sinistra e a destra della virgola. Le cifre a destra della virgola sono chiamate cifre decimali. Il numero di cifre decimali può essere ridotto tramite l’approssimazione.

Esempi:

>>> approssimare a 2 decimali

>>> approssimare a 3 decimali

19.6792 m

19.68 m

36.78492 N dà

36.785 N

48.54 m2

73. 41326 kg dà

73.413 kg

dà

48.5442 m2 dà Ricorda:

L’approssimazione avviene per difetto se l’ultima cifra decimale è da 0 – 4 oppure avviene per eccesso se l’ultima cifra decimale è da 5 – 9.

Esercizi:

approssimare a 2 decimali

approssimare a 3 decimali

1. 2.37843

5. 8.953126

2. 8.04577

6. 1.085324

3. 2.37461

7. 3.984973

4. 6.39823

8. 5.354582

Approssimare secondo la pratica o secondo esigenze professionali. A due decimali: per es. lunghezze, superfici e costi e a tre decimali: per es. volumi, masse e forze.

Indicazione:

9. 23.5843 CHF

13. 129.6589 m3

10. 23.602387 kg

14. 878.45 km

11. 53.1156 m

15. 736.75 W

12. 45.528 l

16. 54.784 m2

Esercizi di ripetizione delle operazioni fondamentali (risultato con 2 decimali). 17. 35.701 + 95 + 19.35 + 0.55 + 0.0328 = 18. 75.988 - 19.632 - 0.375 - 0.0707 - 0.004 = 19. 18.05 + 1700 ∙ 5 - 307 ∙ 5 + 3.306 - 12.34 = 20. 458.98 ∙ 1.523 = 21. 9320 ∶ 7.35 = 22. 532 + 38 ∙ 16 + 42 - 64 ∶ 16 = 23. 817.45 ∶ (3.14 ∙ 5 - 6.738) + 190.35 - 210 = 24. 4720 - (557.8 ∙ 6.75) + 587 ∶ 41.3 =

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Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

120

Introduzione alle frazioni Si distinguono due tipi di frazioni

0.666

0.333

1 3

Frazioni ordinarie

Ricorda:

numeratore

denominatore

Il numeratore indica il numero di parti. Il denominatore descrive la suddivisione dell’intero e dà il nome alla frazione.

Frazioni decimali

0.33

0.60

0.88

denominatore

1.74

Ricorda:

Frazioni decimali sono frazioni ordinarie suddivise, p.es. 1 : 3 = 0.33, 3 : 5 = 0.60…

Indicazione:

Le frazioni ordinarie possono essere ulteriormente distinte: Tipo di frazione

Condizione

Frazione propria

numeratore più piccolo

del denominatore

Frazione impropria

numeratore più grande

del denominatore

Frazione con denominatore

denominatori uguali

uguale Frazione con denominatore

denominatori diversi

Disuguale Numero misto

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numero intero con frazione

Esempi 4 5 6 5 4 6 3 5

; ; ; ;

7 8 9 8 3 6 2 8

; ; ; ;

13 15 16 12 5 6 10 15

4 5 ; 3 7 8 9

Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

121

Trasformazione di frazioni Le frazioni ordinarie possono essere ampliate o semplificate secondo necessità. Ampliare. Numeratore e denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero. Il valore della frazione rimane invariato. 3 3 ∙ 5 15 = = 4 4 ∙ 5 20

Esempi:

5 5 ∙ 8 40 = = 7 7 ∙ 8 56

Semplificare. Numeratore e denominatore vengono divisi per lo stesso numero. Il valore della frazione rimane invariato. 6 6 ∶ 2 3 = = 8 8 ∶ 2 4

Esempi:

8 8 ∶ 4 2 5 = 5 = 5 12 12 ∶ 4 3

Ricorda:

Ampliando le frazioni si cercano denominatori comuni, semplificando si vogliano evitare i grandi numeri.

Esercizi:

Ampliare le frazioni: 1.

5 6

11 13

3 5

7 9

; ;

7 12

15 16

;

1 40

147

;

13 14

48 30

286

3 5

;

4 7

9 = 11 44

;

5 = 12 108

7 8

;

5 6

5 7

;

11 143 = 12

Semplificare le frazioni: 9.

6 12

;

5 15

;

4 16

13.

6 8

;

8 12

;

9 12

10.

12 18

;

24 30

;

48 60

14.

12 15

;

25 30

;

40 60

11.

68 72

;

51 93

;

52 91

15.

22 32

;

56 84

;

91 104

12.

56 16

;

28 42

;

126 90

16.

385 165

;

28 126

;

85 102

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Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

122

Addizione e sottrazione di frazioni In caso di frazioni con lo stesso denominatore, i numeratori vengono addizionati o sottratti mentre il denominatore rimane invariato. 1 4

Ricorda:

3 4

1 + 5 - 3

3 4

2 13 2 + 13 15 5 + 3 = 4 + = 4 = 4 9 27 27 27 27

Si possono addizionare o sottrarre direttamente solo frazioni con lo stesso denominatore.

Frazioni con denominatori diversi devono essere trasformati in frazioni con lo stesso denominatore prima di procedere all’addizione o alla sottrazione secondo le seguenti regole. Regola 1:

BPer avere un denominatore in comune le frazioni con denominatori piccoli vengono moltiplicati tra di loro e in seguito tutti i nominatori aumentati con lo stesso fattore del denominatore. 2 1 3 2 ∙ 16 − 1 ∙ 10 + 3 ∙ 40 142 71 − + = = = 40 5 8 2 80 80 Denominatore comune: 5

Regola 2:

∙

Fattori:

= 80

80 ∶ 80 ∶ 80 ∶

5 8 2

= 16 = 10 = 40

Per frazioni con denominatori elevati è necessario trovare il minimo comune multiplo (mcm), scomponendo in fattori i singoli denominatori. 7 5 13 7 ∙ 3 + 5 ∙ 4 − 13 ∙ 2 15 5 − + = = = 12 12 9 18 36 36 Minimo comune multiplo:

Fattori:

mcm di

36 ∶ 12 = 3 36 ∶ 9 = 4 36 ∶ 18 = 2

12 = 9 = 18 =

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∙

2 2 2

∙ ∙ ∙

3 3 3 3

∙ ∙ ∙

3 3 3

= 36

Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

Esercizi:

123

Addizioni di frazioni 1. 2. 3. 4.

1 1 1 + + 2 3 4 2 3 4 + + 3 4 5 1 3 5 + + 4 5 6 4 3 + 4 + 5 20

= = = =

Sottrazioni di frazioni 5. 6. 7. 8.

1 4 1 3 − 6 1 2 − 3 3 4 3 1 − 3 7 5 3

5 = 6 1 − = 15 5 − = 6

13 −

−

− 2

Addizioni e sottrazioni di frazioni 3 12 3 10. 7 1 11. 6 6 12. 7

13. 8 14. 15. 16.

3 24 3 + 5 3 12 5 8

8 36 3 + 10 5 + 2 1 + 4

3 5 − 4 11 7 4 4 + 9 11 6 − 15 3 3 − 5

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= 3 = 35 4 5 + = 3 6 12 5 2 + + = 8 4 7

+ 5

7 = 12 3 + = 25 7 − = 12

−

Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

124

Moltiplicazioni di frazioni Nelle moltiplicazioni di frazioni si distinguono i seguenti casi: Moltiplicazione di una frazione con un numero intero 4 9 Ricorda:

∙ 7

4 ∙ 7

28 9

= 3

1 9

Si moltiplica una frazione con un numero intero, moltiplicando il numeratore con il numero intero.

Moltiplicazione di una frazione con una frazione 3 5

∙

3 ∙ 4

5 ∙ 7

12 35

Ricorda:

Si moltiplica una frazione ordinaria con una frazione, moltiplicando i numeratori e i denominatori fra di loro.

Esercizi:

Moltiplicazione di frazioni 1. 2. 3. 4. 5. 6.

3 11 4 9 3 4 72 5 12 7 6 7

∙ 4 =

∙ 18 =

∙ ∙ ∙ ∙

3 5 15 36 21 36 5 14 4 5

10.

11.

2 = 5 7 ∙ = 12 5 ∙ = 7

∙

12. 13. 14.

5 7 3 2 ∙ 4 5 4 7 3 5 ∙ 4 9 7 11 3 5.6 ∙ 4 8 14 ∙

8 = 15

∙

3 =

1 = 3 3 ∙ 5 = 5 3 = 3.33 ∙ 7.36 ∙ 8 4 1 1 ∙ 4 ∙ 3 2 = 3 5 3 7 1 ∙ 9 ∙ 8 = 6 4 9 4

12 ∙

15.

7 3 1 5 7 2 4 1 3 ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ ∙ = 8 5 2 8 10 3 5 4 8

16.

3 2 7 3 5 1 ∙ 5 + 2 ∙ 5 - 3 ∙ 4 = 4 3 9 4 6 3

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∙

∙ 2

Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

125

Divisione di frazioni Nella divisione di frazioni si distinguono questi casi: Divisioni di frazione per un numero intero 7 ∶ 4 9 Ricorda:

7 9 ∙ 4

7 36

Si divide una frazione di un numero intero moltiplicando il denominatore con il numero intero.

Divisioni di frazione per una frazione (frazioni doppie) 5 4 5 ∙ 3 ∶ = 8 3 8 ∙ 4

15 32

Ricorda:

Per dividere una frazione per un’altra frazione si moltiplica la prima frazione per l’inverso della seconda frazione (invertire numeratore e denominatore).

Esercizi:

Divisione di frazioni 1.

2 4 ∶ = 5 15

25 5 ∶ = 26 13

11 3 ∶ = 28 7

3 ∶ 6 = 7

4 4 ∶ = 5 7

10. 5

1 1 ∶ 2 = 6 2

5 ∶

2 = 5

11. 5

5 2 ∶ 1 = 6 5

5. 10

5 3 ∶ 2 = 6 5

12. 14.28 ∶ 4

1 = 5 1 = 4

28.8 ∶ 3

1 = 5

13.

84 ∶ 5

75.25 ∶ 10

3 = 4

14.

5 ∶

15.

3 16 3

16. =

7 Calcolo professionale | www.ssic-ti.ch

9 16 27 36

5 4 3 15 + 7 ∶ + 10 ∶ − 3 ∶ = 7 7 8 11

17. 17 =

125 85 25

18. 39 =

49 26 84

Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

126

Frazioni decimali Con le frazioni decimali si possono eseguire tutte le operazioni come con i numeri interi. 0.3 ∙ 4.3 = 1.29

0.9 + 0.55 = 1.45 2.4 − 1.8

Ricorda:

16.8 ∶ 2.1 =

0.6

Calcolando con frazioni decimali si deve prestare attenzione a dove collocare la virgola nel risultato.

Per trasformare una frazione ordinaria in un numero decimale o viceversa si procede nel seguente modo:

Frazione ordinaria in numero decimale 1 4 Ricorda:

= 1 ∶ 4 = 0.25

= 22 ∶ 7 = 3.14285…

Per trasformare una frazione ordinaria in numero decimale si divide il numeratore per il denominatore.

Numero decimale in frazione ordinaria 0.20 =

0.75 =

Ricorda:

0.20 ∙ 10 10 0.75 ∙ 100 100

2 10 75 100

0.375 =

5 3

0.025 =

0.375 ∙ 1000 1000 0.025 ∙ 1000 1000

375 1000 25 1000

3 8 1 40

Per trasformare un numero decimale in frazione ordinaria, si moltiplica (si amplia) il numero decimale sempre per 10 10

;

100 100

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oppure

1000 1000

ecc.

Nozioni di base calcolo professionale Frazioni

Esercizi:

127

Calcoli con numeri decimali 1. 0.45 + 67 =

9. 3.6 + 22.5 =

2. 123.787 + 0.008 =

10. 567.012 + 601.06 =

3. 56.4 − 34.01 =

11. 3408.7 − 2345.654 =

4. 0.567 − 0.023 =

12. 2.505 − 1.6 =

5. 5 ∙ 4.6 =

13. 4.33 ∙ 5 =

6. 0.71 ∙ 4.6 =

14. 3.7 ∙ 0.006 =

7. 45 ∶ 0.3 =

15. 19.44 ∶ 0.8 =

8. 0.284 ∶ 0.04 =

16. 10.521 ∶ 0.7 =

Trasformare i numeri decimali in frazioni ordinarie 17. 0.7 =

21. 0.125 =

18. 0.4 =

22. 0.66 =

19. 0.75 =

23. 0.8 =

20. 0.01 =

24. 0.96 =

Trasformare le frazioni ordinarie in numeri decimali

25.

26.

27.

28.

1 5 17 33 22 5 6 25

29.

30.

31.

32.

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1 7 4 19 7 8 1500 175

Nozioni di base calcolo professionale Equazioni

130

Introduzione equazioni Un’equazione è costituita da due espressioni matematiche equivalenti. Per questo motivo le equazioni vengono paragonate ad una bilancia in equilibrio. 5 ∙ x − 50 = 30

Ricorda:

270 ∶ 18 ∙ 2

= a

∙ b

Superficie = lunghezza ∙ larghezza

Con l’aiuto di un’equazione è possibile determinare facilmente il valore di un’incognita x o di un’altra grandezza sconosciuta seguendo delle regole semplici.

La risoluzione di un’equazione avviene tramite trasformazione. L’incognita viene isolata nella parte sinistra dell’equazione. Tutti gli altri numeri vanno nella parte destra e dopo opportuni calcoli danno il valore della soluzione. Livello di calcolo 1 x + 5

Livello di calcolo 2

Livello di calcolo 3

5 x

x 2

225

15 5

225

= 15 − 5

x - 5

x 5

= 15 ∙ 5

15 2

225

= 15 + 5

Ricorda:

Un’equazione rimane in equilibrio quando le due parti subiscono la stessa operazione di calcolo.

Semplificazione importante:

Un’equazione rimane in equilibrio anche se un numero viene spostato da una parte all’altra cambiando il segno (come negli esempi).

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Nozioni di base calcolo professionale Equazioni

131

Equazioni numeriche Equazioni numeriche sono equazioni che oltre all’incognita, rappresentata p.es. dalla lettera x oppure da un’altra lettera, contengono solo numeri. Queste equazioni si chiamano anche equazioni condizionali.

Esercizi:

1. x + 14 = 32

6. 34 = 2 x − 32

2. x − 4 = 16

7. 5 x = 50 − (6 x + 17)

3. 36 − y = 28

8. 5 (x − 5) = x − 9

4. 24 + r = 125.6

9. 6 ∶ 14 = 72 ∶ x

5. 16 − x = 26 − 6 x

11.

3 = 4 x

12.

6 = x−1

13.

x 2

= 24

14.

3 4

5 8

15.

3 8

1 5

16.

1 3

17.

4 5

= 14

18.

15 7

4 7

10. 3 ∶ 25 = h ∶ 6.75

19. 9 x + 22 − 2 x = 100 − 11 x − 42

20. 100 + 2 x − 9 x + 15 = 10 − 7 x + 5 − 11 x

21. 7 x + 3 (x − 8) = 2 (x + 3) + 3 (2 x + 2)

22. 2.5 x − 0.5 x − 3 = 2 (5 x − 3) + 0.5 (3 x + 2)

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Nozioni di base calcolo professionale Equazioni

132

Equazioni letterali (formule) La risoluzione di equazioni letterali è identica a quella delle equazioni numeriche. La risoluzione può avvenire correttamente solo se uguali grandezze sono accompagnate anche da uguali unità.

Esempio:

Esercizi:

Quanto misura il perimetro di un rettangolo lungo 1.50 m e largo 65 cm? U = 2 ∙ a + 2 ∙ b = 2 ( a + b)

Nelle equazioni letterali invece delle incognite ci sono le variabili (lettere)

U = 2 ∙ (1.50 m + 0.65 m) = 4.30 m

Nelle equazioni di grandezze ogni variabile viene sostituita con valori numerici seguiti dalle loro unità: grandezza = valore numerico ∙ unità di misura

Trasformare le seguenti formule secondo le variabili richieste. 1.

U =

V =

d∙π

d =

A∙h

A =

h =

c 2 = a 2 + b 2

h =

6. 2 h + b =

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a = b =

l∙%

l =

100

% =

d 2 ∙ π 4

63 cm

d =

h = b =

7. 4.35 ∶ x =

3∶2

U =

2 (a + b)

U =

10.

M =

d1 + d2 2

x =

∙ π

a = b =

d1 = d2 =

d ∙ π ∙ s

d =

s =

11.

M = 2 (a + b) ∙ h

12.

W =

h = a =

G∙p

G =

100

p =

Nozioni di base calcolo professionale Equazioni

133

Messa in equazione di problemi Il problema contiene nel testo due affermazioni. Nella risoluzione del problema queste affermazioni vengono trasformate in due espressioni matematiche.

Ricorda:

Il quintuplo di un numero è uguale a tre volte il numero stesso aumentato di 6. Trasformato in due espressioni matematiche diventa: 5 x = 3 x + 6

Esercizi:

2 x = 6

x=3

1. Quale numero deve essere sommato a 567 per ottenere il risultato 765? 2. Quale numero, sottratto a 5.5, dà lo stesso risultato di quando è sommato a 2.75? 3. Un mucchio di sabbia di forma circolare ha la circonferenza U = 7.07 m. Quanto è il diametro del mucchio di sabbia? 4. Con dei listoni si deve costruire un modello di cubo. Si hanno a disposizione 18 m di listoni. Quanto sarà lungo uno spigolo del cubo? 5. Quanto è il diametro di una colonna in pietra se la sua sezione ha la superficie di 0.302 mq? 6. Un terreno rettangolare ha un’area di 480 mq. La parte adiacente la strada è lunga 18.50 m. Quanto è largo il terreno? 7. Il recinto di un terreno rettangolare è lungo 128 m. Quanto è largo il terreno se la lunghezza è tre volte la larghezza? 8. Il perimetro di un triangolo misura 40 cm. Il secondo lato è più lungo di 4 cm rispetto al primo e il terzo lato è più corto di 6 cm rispetto al primo lato. Quanto sono lunghi i tre lati del triangolo?

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Nozioni di base calcolo professionale Unità di base

140

Introduzione unità di base Lo scambio di beni ha determinato, già in passato, la necessità di trovare delle grandezze di riferimento per misurare e pesare. Queste unità variavano però da luogo a luogo e la stessa denominazione si riferiva a grandezze differenti. Con lo sviluppo del commercio nel diciottesimo secolo e con i progressi della scienza e della tecnica ci si accorse degli inconvenienti causati dalle diverse unità di misura. Infatti, nel 1801 si tentò per la prima volta di introdurre ufficialmente in Svizzera il sistema metrico esistente in Francia già dal 1793. Basandosi sulla Costituzione Federale il sistema metrico è stato dichiarato obbligatorio per tutta la Svizzera nel 1851 e nel 1875 è pure stata decisa l’adesione della Svizzera quale stato fondatore, alla Convenzione internazionale del metro. Con la firma della Convenzione del metro sono state unificate le grandezze di riferimento per lunghezze, superfici, volumi e masse. Ma presto ci si è accorti che anche altre unità fisiche avevano bisogno dell’unificazione. Questi sforzi hanno determinato nel 1948 il sistema MKSA (metro, chilogrammo, secondo, Ampère) al quale sono state aggiunte nel 1960 le unità Kelvin, Mol e Candela, facendo così nascere il sistema internazionale di misura (SI) tuttora valido.

Ricorda:

Con queste unità di base del SI si possono misurare tutte le più comuni grandezze fisiche. Queste unità di base devono essere definite in modo così preciso come lo consente la tecnica moderna di misurazione e devono poter essere riprodotte in laboratorio. Per poter soddisfare questa richiesta, le definizioni sono state modificate già più volte e ad eccezione del chilogrammo, non si basano più su prototipi, bensì su costanti naturali il cui valore può essere determinato in modo sperimentale in ogni momento.

Importante:

Le unità SI sono state inserite nella Legge federale sulla metrologia a partire dal 1° gennaio 1978 e il termine per la loro introduzione definitiva è scaduto il 31 dicembre 1982

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Nozioni di base calcolo professionale Unità di base

141

Il metro La dimensione del locale che ci circonda viene misurato con l’unità di misura SI per la lunghezza, ossia 1 m.

Ricorda:

I l metro è un multiplo della lunghezza d’onda della radiazione arancione dell’atomo di cripton (definizione semplificata). Originariamente è stato definito: Il metro equivale alla distanza fra i due segni indicati sul prototipo alla temperatura di 0°C.

Indicazione:

Il prototipo del metro consiste in una barra in lega di platino e iridio e corrisponde alla 40 milionesima parte del meridiano terrestre.

Il chilogrammo La materia delimitata in un determinato spazio e pesabile viene definita sempre massa o quantità di materia, la sua unità di misura è il chilogrammo.

Ricorda:

I l chilogrammo viene definito come massa di un decimetro cubo di acqua alla densità massima. L’acqua ha la sua densità massima a 4°C. Il prototipo del chilogrammo creato su questa base è un cilindro del diametro di 39 mm e l’altezza di 39 mm. È stato costruito da una lega di platino e iridio.

Indicazione:

Siccome tutti i tentativi effettuati per collegare la massa ad una costante naturale sono falliti, il prototipo del chilogrammo è considerato ancora quale grandezza di riferimento per la massa. Il prototipo, assieme a quello del metro, è custodito presso l’Ufficio internazionale dei pesi e delle misure di Sèvres, vicino a Parigi.

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Nozioni di base calcolo professionale Unità di base

142

Il secondo Una misurazione del tempo sempre più precisa ha stabilito che i movimenti degli astri della terra non sono più sufficientemente costanti e perciò l’unità di tempo per un secondo è stata stabilita con un procedimento legato all’atomo. Ricorda:

I l secondo è il multiplo della durata del periodo di transizione fra due livelli dell’atomo di cesio (definizione semplificata). Prima era stato definito: Un secondo è la 86’400esima parte di un giorno e un giorno ha 24 ore o 1440 minuti.

Indicazione:

La ripartizione del tempo per la vita quotidiana si basa sempre sulla rotazione della terra attorno al proprio asse per il giorno e sulla rivoluzione attorno al sole per l’anno.

Il Kelvin La temperatura è una grandezza fisica che caratterizza lo stato termico di un corpo. Per misurare il grado di riscaldamento o di raffreddamento è necessaria una scala delle temperature.

Ricorda:

L ’unità 1 Kelvin è la 273.16esima parte della temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua, o più semplicemente: 1 Kelvin è uguale a un 1°Celsius. 0 Kelvin corrisponde allo zero assoluto, ossia a -273.15°C, significa stato di inerzia di tutte le molecole di una sostanza.

Indicazione:

Per la pratica professionale quotidiana vale semplificato: -273 °C = 0 K / 0 °C = 273 K / 100 °C = 373 K

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Nozioni di base calcolo professionale Unità di base

143

Ampère, mole e candela Le seguenti unità di base non servono nella meccanica e termodinamica. Vengono menzionate solo per motivi di completezza.

Ampère

Forza tra due conduttori paralleli attraversati da corrente elettrica

Mol

Riferimento alla quantità di materia dell’isotopo del carbonio 12 C

Candela

Intensità luminosa di una superficie di un corpo nero alla temperatura di congelamento del platino.

Elenco delle unità di base Grandezza

Unità

Nome

Simbolo

Nome

Simbolo

Lunghezza

l *

metro

Massa

chilogrammo

Tempo

secondo

Temperatura

Kelvin

Intensità della corrente

I **

Ampère

Mol

mol

candela

Quantità di materia atomica n Intensità luminosa

Iv ***

* lettera minuscola ** Lettera maiuscola *** Lettera minuscola e maiuscola

Importante:

I simboli delle grandezze devono essere sempre scritte in carattere corsivo, mentre quelli delle unità di misura sono scritti in carattere normale per non confondere grandezza e unità con gli stessi simboli. Esempio: m per massa e m per metro

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Nozioni di base calcolo professionale Unità derivate

150

Introduzione unità derivate Le unità SI non comprendono soltanto le sette unità di base, descritte dettagliatamente, ma anche molte unità derivate.

Unità SI derivate

Esempi:

velocità massa volumica tensione

= metro / secondo = chilogrammo / metro cubo = Newton / metro quadrato

Ricorda:

Per unità derivate si intendono determinate combinazioni di unità che comprendono sempre unità di base. Molte di queste combinazioni vengono utilizzate spesso nella pratica professionale e hanno perciò per ragione di praticità un proprio nome, come il Newton.

Unità ammesse non appartenenti al SI Esempi:

superficie volume tempo massa

= = = =

aro, ettaro litro, ettolitro minuto, ora, giorno grammo, tonnellata

Ricorda:

In Svizzera oltre alle unità SI ci sono altre unità ammesse legalmente anche se non fanno parte delle unità SI.

Importante:

Se si vuole descrivere la quantità di una grandezza, occorrono sempre un’unità, un valore numerico e, secondo la grandezza del valore numerico, un multiplo o un sottomultiplo. Esempi:

grandezza unità valore numerico

= lunghezza = metro = 9.80

lunghezza = 9.80 m

grandezza unità valore numerico

= forza = Newton = 12'000

forza= 12 kN

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Nozioni di base calcolo professionale Unità derivate

151

Forza (peso) Per molte persone, nella vita quotidiana, forza e massa hanno lo stesso significato, ossia il peso.

È necessario però distinguere:

A) Se carichiamo una bilancia a molla, il peso del nostro corpo corrisponde alla forza con cui carichiamo la molla. Se potessimo effettuare la stesso tentativo sulla luna, questa bilancia a molla indicherebbe un peso corrispondente solo a circa 1/6 del nostro peso sulla scala.

12 kg Luna

B) Se immaginiamo di ripetere i due tentativi menzionati con una bilancia a bracci, si possono fare le seguenti osservazioni: grazie alla modifica della forma e della posizione, una bilancia a molla indica una forza (peso), mentre la bilancia a bracci determina la massa tramite il confronto fra masse.

Ricorda: La causa che determina la modifica di forma e/o di posizione si chiama forza. 72 kg Terra

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Il termine peso/carico sottintende sempre la forza-peso e mai la massa!

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Continuazione:

152

Forza (peso) Tutti i tipi di forza possono essere misurati con la stessa unità, ossia con la forza-peso.

assa (prototipo) indipendente dal luogo nello spazio, p.es. è uguaM le sia sulla terra, sia sulla luna.

9.81 m/s2

Forza-peso che agisce tramite la forza di attrazione terrestre sulla massa di 1 kwg con un’accelerazione di 9.81 m / s2.

Vecchia unità: 1 kp (Kilopond = unità di base del sistema tecnico) corrisponde alla forza che determina, su una massa di 1 kg, un’accelerazione di 1 m/s2.

Unità attuale: 1 N (Newton = unità derivata del SI) corrisponde alla forza che determina, su una massa di 1 kg, un’accelerazione di 1 m/ s2.

1.00 m/s2 Ricorda:

Unità: 1 kg (chilogrammo = unità di base SI per massa)

Massa (kg), spazio (m) e tempo (s) sono le grandezze fisiche che compongono la grandezza di una forza. Grandezza = forza (F) Unità = Newton (N) Forza di 1 N = 1 kg m/s2

Indicazione:

Con un movimento uniforme un corpo percorre sempre lo stesso percorso nell’unità di tempo. Velocità ( v ) = m / s Se il movimento è accelerato uniformemente, la velocità del corpo aumenta in modo uguale nell’unità di tempo. Accelerazione ( a ) = ( m / s ) ∶ s = m / s 2

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153

Lavoro, energia, quantità di calore Il lavoro meccanico dal punto di vista fisico, avviene quando una forza agisce lungo un certo spostamento. Si distinguono due tipi di lavoro: >>> Lavoro di sollevamento, quando la forza agisce in senso contrario alla forza di attrazione terrestre

>>> Lavoro di attrito, quando la forza supera la resistenza di attrito

Per entrambi i tipi di lavoro vale la regola: se aumenta la forza e/o lo spazio, aumenta anche il lavoro effettuato. Ricorda:

Lavoro è uguale a forza per spostamento J (Joule) è l’unità SI derivata per il lavoro quando, con la forza di 1N viene percorso lo 1 spazio di 1 m (1J = 1 N x 1m = 1 Nm)

Per energia si intende il lavoro immagazzinato oppure, espresso in un altro modo, la capacità di svolgere un certo lavoro. Si distinguono anche due tipi di energia:

>>> energia potenziale o energia statica come >>> energia cinetica quando per es. viene per es. il carico che viene tenuto sollevato fatto cadere un oggetto oppure l'acqua oppure la massa d'acqua immagazzinata che scorre in una conduttura a pressione in un bacino d'accumulazione

Ricorda:

Importante:

Energia può essere paragonata all’unità per il lavoro. 1 J (Joule) è anche l’unità per tutti i tipi d’energia

L’energia non può essere distrutta, ma solo trasformata in un'altra forma o in un altro tipo di energia!

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Continuazione:

154

Lavoro, energia, quantità di calore Anche la quantità di calore contenuta in tutte le sostanze fino all'arresto completo di tutte le molecole, è energia e corrisponde in quel momento ad un lavoro immagazzinato. Nello studio del calore (termodinamica), in passato, l’energia termica era espressa in cal (calorie). 1 cal corrisponde alla quantità di energia che riscalda di 1 K o 1°C, 1 g di acqua. Oggi, secondo le unità SI, la quantità di calore viene espressa in J (Joule). Dopo tanti tentativi si è riusciti a determinare la seguente uguaglianza: 1 cal = 4.184 J (1 cal corrisponde a ca. 4.2 J)

Indicazione:

L’energia può anche essere acquistata sotto forma di:

elettricità

1 kWh 3 600 kJ 860 kcal

metano

1 m 3

21 000 kJ 5 000 kcal

olio di ricaldamento

1 kg

42 000 kJ

carbone

1 kg

31 500 kJ 7 500 kcal

legna

1 kg

15 540 kJ 3 700 kcal

Esercizio:

Su una tavoletta di cioccolata sta scritto: 100 g contengono 2’320 kJ.

Calcola: a) Con questa energia a quale altezza è possibile sollevare una massa di 75 kg? b) Quale massa può essere sollevata a 8 m d’altezza con la medesima energia?

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10 000 kcal

Nozioni di base calcolo professionale Unità derivate

155

Potenza Si parla di potenza quando un lavoro viene effettuato in un tempo determinato.

Ricorda: Potenza

lavoro

tempo

forza di spostamento tempo

1 W (Watt) è l’unità derivata SI per la potenza, quando con la forza di 1 N viene percorso lo spazio di 1 m in 1 s. Una persona che sale le scale fornisce una potenza di: (75 kg ∙ 9.81 m / s 2 ) ∙ 1 m ∶ 1 s = 736 W

Indicazione:

Prima valeva 75

Importante:

kg m s

1 PS (cavallo vapore)

L a potenza è sempre direttamente proporzionale al lavoro effettuato e indirettamente proporzionale al tempo impiegato. Perciò: se aumentano la forza e/o lo spostamento (cioè il lavoro) e se diminuisce il tempo, aumenta la potenza.

Esercizio:

na gru da cantiere deve sollevare 500 kg di calcestruzzo fresco ad un’altezza di 12 m in 8 U secondi per poter eseguire una tappa di getto in un tempo ragionevole. a) Quale potenza deve sviluppare il motore elettrico se si trascura la perdita di potenza del motore in seguito alla cessione di calore, all’attrito delle parti mobili ecc.? b) Quanta sarebbe la potenza se si risolvesse il problema con l’unità CV oggi non più ammessa?

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Nozioni di base calcolo professionale Unità derivate

156

Densità (massa volumica) e densità lorda Per caratterizzare un determinato materiale da costruzione è importante per il muratore conoscere anche la massa per unità di volume del materiale. La densità è il quoziente fra la massa e il volume di una sostanza compatta. Densità = Massa ∶ Volume

Per densità lorda si intende la densità di sostanze porose o sciolte.

Densità lorda = Massa ∶ Volume comprese le cavità

Ricorda:

Con l’unità derivata kg/m3 si indica la grandezza per la densità e la densità lorda.

Importante:

S e si conosce la densità e il volume di un materiale da costruzione è possibile calcolare la massa di un elemento di costruzione costituito con questo materiale.

Esempi:

Densità e densità lorda in kg / m3 per alcuni materiali da costruzione importanti roccia cristallina

2'800

acciaio da costruzione

7'850

roccia sedimentaria

2'600

lastre di gesso

1'000

sabbia, ghiaia

lastre isolanti vetro

30 − 100 2 500

calcestruzzo armato

2'400

calcestruzzo leggero

1'000 − 1'700

muratura in:

malta per intonaco

1'400 − 1'800

>>> mattoni modulari

1'100

>>> mattoni silico-calcari

1'600

rivestimento in cemento

Esercizio:

1'800 − 2'000

2'200

legno resinoso

450 − 500

>>> mattoni di cemento

2'000

faggio, quercia

700 − 800

>>> mattoni cls leggero

550

na soletta dello spessore di 18 cm viene gettata con calcestruzzo. U Misura 8.40 m x 6.70 m e ha un risparmio circolare per una scala a chiocciola del diametro 2.10 m. Calcola il volume e la massa del calcestruzzo.

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Nozioni di base calcolo professionale Il sistema internazionale di unità

160

Introduzione al sistema internazionale di unità Rappresentazione delle grandezze e delle rispettive unità di misura secondo il sistema internazionale (SI). Grandezza

Massa (m )

Lunghezza ( l )

Tempo ( t )

Unità

Chilogrammo (kg)

Metro (m)

Secondo (s) Grandezza con unità di base

Grandezza

Forza(F )

Lavoro (W )

Potenza (P )

Unità

Newton (N)

Joule (J)

Watt (W)

Grandezza con unità derivate

Grandezza

Temperatura (T )

Densità (ρ)

Unità

Kelvin (K)

kg/m3

Unità di base

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Unità derivate

Nozioni di base calcolo professionale Il sistema internazionale delle unità

161

Elenco delle unità di misura Elenco delle unità legali di misura utilizzate più frequentemente nella pratica professionale dell’edilizia.

Grandezza

Unità SI e altre unità ammesse Nome

Spazio e tempo

lunghezza

metro

superficie

metro quadro aro

m2 a

unità di base 1 m2 = 1 m ∙ 1 m 1 a = 100 m2

1 ha = 10'000 m2

volume

metro cubo al secondo

1 m3 = 1 m ∙ 1 m ∙ 1 m

tempo

secondo

velocità

Energia e potenza

Relazione

ettaro

unità di base

min

1 min = 60 s

ora

1 h = 3600 s

giorno

1 d = 86'400 s

minuto

Mecanica

Simbolo

metri al secondo

m / s

chilometro all'ora

km / h

accelerazione

metro al secondo2

m / s2

frequenza

Hertz

1 Hz = 1 / s

massa

chilogrammo

unità di base

grammo

1 g = 10-3 kg

tonnelata

1 t = 103 kg

densità

chilogrammo al metro cubo

forza

Newton

momento

Newtonmetro

tensione

Newton per metro quadrato

pressione

kg / m3 N

1 N = 1 kg ∙ m / s2

Nm N / m2

1 N / m2 = 1 Pa

Pascal

1 Pa = 1 N / m2

Bar

bar

1 bar = 105 Pa

lavoro, energia

Joule

e quantità di calore

chilowattora

potenza

Watt

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1 km / h = 0.27 m / s

J kWh W

1 J = 1 Nm = 1 Ws 1 kWh = 3.6 MJ 1 W = 1 J / s = 1 Nm / s

Nozioni di base calcolo professionale Il sistema internazionale delle unità

Continuazione:

162

Elenco delle unità di misura Grandezza

unità SI e altre unità ammesse Nome

Temperatura e calore temperatura

Kelvin

º C

capacità termica

Joule al Kelvin

J / K

capacità termica specifica

Joule al chilogrammo Kelvin

potere calorico

Joule al chilogrammo

coefficiente di trasmissione termica Watt al metro quadrato per Kelvin

Luce

Acustica

grado Celsius

conducibilità termica Watt al metro quadrato per Kelvin

Elettricità

Simbolo

Relazione unità di base 1 º C = 1 K

J / (kg ∙ K) J / kg W / (m ∙ K)

W / (m2 ∙ K)

intensità corrente

Ampère

unità di base

tensione

Volt

1 V = 1 W / A

resistenza

Ohm

1 W = 1 V / A

densità corrente

Ampère al metro quadrato

intensità luminosa

Candela

flusso luminoso

lumen

illuminazione

Lux

luminosità

Luxsecondo

frequenza

Hertz

lunghezza d'onda

metro

velocità del suono

metro al secondo

potenza acustica

Watt

potenza del suono

Watt al metro quadrato

pressione suono

Pascal

livello suono

Pascal su Pascal decibel

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A / m2

unità di base

1 lx = 1 lm / m2

lx ∙ s 1 Hz = 1 / s

m / s W

1 W = 1 J / s

W / m2 Pa Pa / Pa dB

1 Pa = 1 N / m2

Nozioni di base calcolo professionale Il sistema internazionale delle unità

163

Multipli e sottomultipli decimali Per valori numerici superiori a 1’000 o inferiori a 0.001, per ragioni di praticità e di leggibilità, il sistema internazionale (SI) ammette anche multipli e sottomultipli.

Ricorda:

Per i multipli e sottomultipli decimali si utilizzano prefissi particolari con simboli che vengono scritti immediatamente davanti all’unità SI senza spazio.

Fattore

Esempi:

Potenza

Nome

Prefisso

Simbolo

1 000 000 000 000 000 000

10 18

trilioni di volte

esa

1 000 000 000 000 000

10 15

biliardi di volte

peta

1 000 000 000 000

10 12

bilioni di volte

tera

1 000 000 000

10 9

miliardi di volte

giga

1 000 000

10 6

milioni di volte

mega

1 000

10 3

mille volte

chilo

100

10 2

cento volte

etto

10 1

dieci volte

deca

0.1

10 -1

decima parte

deci

0.01

10 -2

centesima parte

centi

0.001

10 -3

millesima parte

milli

0.000 001

10 -6

milionesima parte micro

0.000 000 001

10 -9

miliardesima parte nano

0.000 000 000 001

10 -12

bilionesima parte

0.000 000 000 000 001

10 -15

biliardesima parte femto

0.000 000 000 000 000 001

10 -18

trilionesima parte

pico

atto

12 000 N = 12 ∙ 103 N = 12 kN 15 600 000 m 2 = 15.6 ∙ 106 m2 = 15.6 ∙ (10 3 ∙ m) 2 = 15.6 km2 0.000004 kg = 4 ∙ 10 -6 kg = 4 ∙ 10 -3 g = 4 mg

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Rapporti e proporzioni Indice

200

Indice

Problemi del tre semplice ProporzionalitĂ diretta ProporzionalitĂ indiretta Problemi del tre composto

210 210 211 212

Calcolo percentuale Introduzione Valore della percentuale Tasso percentuale Valore di base

220 220 221 222 223

Rapporti numerici Teorema di Pitagora Terne pitagoriche Proporzioni Rapporti di riduzione dei piani Applicazione dei rapporti di riduzione

230 230 233 234 236 237

Rappresentazione grafica Introduzione Diagramma a colonne Diagramma a barre Diagramma circolare Diagramma lineare

240 240 240 241 241 242

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Rapporti e proporzioni Problemi del tre semplice

210

Proporzionalità diretta Nei problemi del tre semplice, partendo dalle grandezze note si arriva all’unità per poi calcolare la nuova grandezza cercata.

Esempio:

10 cazzuole costano nel negozio per materiale da costruzione 65.00 CHF. Quanto costano 15 cazzuole?

1a fase 10 cazzuole costa 65.00 CHF 2a fase 1 cazzuola costa 3a fase

Ricorda:

Importante:

65.00 CHF : 10 = 6.50 CHF

15 cazzuole costano 6.50 CHF ∙ 15 = 97.50 CHF

Più semplicemente la soluzione può essere rappresentata così: 10 cazzuole

65.00 CHF ∙ 15

15 cazzuole

= 97.50 CHF

Nelle proporzionalità dirette vale sempre: tutte le grandezze variabili aumentano o diminuiscono nella stessa proporzione.

Esercizi:

1. Una persona in formazione guadagna in 42 ore 247.35 CHF. Quanto guadagna in 178 ore? 2. Quanti mattoni a vista occorrono per costruire uno zoccolo di 0.550 m3 se per 1.200 m3 occorrono 400 mattoni? 3. Quanta malta confezioni con 5 sacchi di cemento Portland da 25 kg, se per 35 litri di malta serve ½ sacco di cemento? 4. Un muratore esegue 5 casseri uguali in 23 ore. Quanto guadagna per eseguire tre elementi se percepisce una paga oraria di 30.95 CHF? 5. In 90 minuti un rubinetto perde 1.4 l d’acqua. Quanto è la perdita d’acqua in 24 ore? 6. Un camioncino consuma 12.8 l di carburante ogni 100 km. Quanti chilometri percorre con un pieno di 55 l?

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Rapporti e proporzioni Problemi del tre semplice

211

Proporzionalità indiretta I problemi del tre semplice possono presentare anche una proporzionalità indiretta. Esempio:

Ricorda:

Importante:

3 operai svolgono un lavoro in 18 giorni. Quanti giorni impiegherebbero 5 operai per lo stesso lavoro? 1a fase 3 operai impiegano 18 giorni 2a fase

1 operaio impiega 18 giorni • 3 = 54 giorni

3a fase

5 operai impiegano 54 giorni : 5 = 10.8

11 giorni

Più semplicemente la soluzione può essere rappresentata così: 3 operai

18 giorni ∙ 3

5 operai

= 10.8

11 giorni

Nella proporzionalità indiretta vale sempre: una grandezza aumenta, mentre l’altra diminuisce nella stessa proporzione

Esercizi:

1. Per pulire un cantiere 5 operai impiegano 15 ore. Quante ore impiegano 3 operai? 2. Tre operai effettuano uno scavo in 30 ore. Quanto tempo impiegano 2 operai? 3. Per la staccionata attorno a 8 appezzamenti sono previsti 9 pali alla distanza di 2.55 m. Qual è la distanza fra i pali con 12 appezzamenti? 4. Per il cassero di una soletta servono 30 tavole della larghezza di 18 cm. Quante tavole larghe 12 cm servono per eseguire lo stesso cassero? 5. Tre muratori impiegano 170 ore per eseguire un lavoro. Quanto tempo impiegano 12 muratori per lo stesso lavoro? 6. Il contenuto di un recipiente con additivo viene travasato in 42 contenitori di 5 litri. Quanti contenitori di 3 litri servirebbero?

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Rapporti e proporzioni Problemi del tre semplice

212

Problemi del tre composto Nei problemi del tre composto sono conosciuti più di 3 numeri di grandezza. Esempio:

Ricorda:

Esercizi:

5 camion scaricano in 8 ore 360 m3 di materiale in un deposito. Quanti m3 scaricano 6 camion in 10 ore? 1a fase 5 camion in 8 ore = 360 m3 2a fase

1 camion in 8 ore

= 360 m3 ∶ 5 = 72 m3

3a fase

1 camion in 1 ora

= 72 m3 ∶ 8 = 9 m3

4a fase

6 camion in 1 ora

= 9 m3 ∙ 6 = 54 m3

5a fase

6 camion in 10 ore

= 54 m3 ∙ 10 = 540 m3

Più semplicemente la soluzione può essere così rappresentata: 5 camion 8 h

360 m 3 ∙ 6 ∙ 10

6 camion 10 h

5∙8

= 540 m3

1. Quattro camion trasportano 240 tonnellate di materiale in 10 ore. Quanto materiale trasportano 7 camion in 7.5h? 2. Tre operai preparano in 12 giorni 21 elementi di calcestruzzo uguali. Quanti elementi preparano quattro operai in 6 giorni? 3. Due pompe d’acqua trasportano 4'800 litri in 24 ore. Quanta acqua trasportano 5 pompe in 10 ore? 4. Quattro impianti producono 320m3 di calcestruzzo in 9 ore. Quanto calcestruzzo producono 3 impianti in 8 ore? 5. Quale superficie possono casserare quattro operai in quattro giorni, lavorando 9 ore al giorno, se tre muratori possono casserare 280m2 in 5 giorni, lavorando 8 ore al giorno? 6. Quanto guadagnano 2 operai in 32 ore, se un operaio guadagna 247.60 CHF in 8 ore?

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Rapporti e proporzioni Calcolo percentuale

220

Introduzione calcolo percentuale Quasi quotidianamente siamo confrontati con la parola “percento” per confrontare delle grandezze. Sia nell’aumento di costi della vita, sia nel risultato di votazioni, oppure nel lavoro in cantiere soprattutto per pendenze e inclinazioni. Il confronto con 100 si chiama percento (1 ‰ = 1 ⁄ 1000 ) e si parla di tasso percentuale. In caso di valori molto più piccoli ci si riferisce al 1000 e si parla di tasso permille (1 ‰ = 1 ⁄ 1000 ).  altezza 1.87 m (h)

Ricorda:

 pendenza 2.5 %

 lunghezza 74.80 m (I) Importante:

Nel calcolo percentuale si distingue tra valore di base, tasso percentuale e valore della percentuale.

 Per valore di base (B) si intende il numero considerato la base o punto di partenza per il calcolo percentuale e corrisponde sempre al valore del 100%.

b Il tasso percentuale (%) esprime il numero di parti rispetto alle 100 del valore di base. Può essere espresso anche in frazione o numero decimale.

c Il valore della percentuale (p) è la parte del valore di base che può essere calcolata con il tasso percentuale.

Indicazione:

il valore di base 100% è

in rapporto a

la lunghezza orizzontale

l’inclinazione, la pendenza

il capitale

l’interesse, lo sconto

il costo complessivo

l’utile, la perdita

il prezzo iniziale

l’utile, la perdita

l’ammontare della fattura

il ribasso, lo sconto, il prezzo in contanti

l’offerta indicativa

l’offerta inferiore, il ribasso

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Rapporti e proporzioni Calcolo percentuale

221

Valore della percentuale Una miscela di calcestruzzo viene preparata con 2.4% di additivo ritardante. Quanti kg di ritardante sono necessari per 350 kg/m3 di cemento?

Ricorda:

100 %

350 kg ∙ 2.4

2.4 %

100

= 8.4 kg di ritardante

Semplificato come formula: valore della percentuale =

valore di base ∙ tasso percentuale 100 %

G∙% 100

Indicazione:

I calcoli percentuali possono sempre essere risolti con la regola del tre semplice o con la formule derivate.

Esercizi:

1. Calcola il valore percentuale per un tasso di 4.5% e un valore di base di 1’150.00CHF. 2. Su una fattura di 1’280.00 CHF il venditore ha concesso il 3% di sconto. Quanti franchi può dedurre l’acquirente dalla fattura? 3. Una condotta di drenaggio è lunga 63 m e ha una pendenza dell'1.5%. Quanto è il dislivello tra il punto iniziale e il punto finale della condotta? 4. Una canalizzazione ha una pendenza del 3%. Il punto più basso dellacanalizzazione si trova a 448.57 m s.l.m. La lunghezza della canalizzazione è di 54.75 m. Calcola la quota del punto più alto. 5. Il volume di scavo è di 1’570 m3. L’estrazione e il carico del materiale determina un aumento del volume del 15%. Quanto materiale deve essere trasportato? 6. Il mobilio domestico di un monolocale del valore di 13'500.00 CHF viene assicurato con un tasso del 1.8‰. A quanto ammonta il premio annuale per il proprietario dell’appartamento?

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Rapporti e proporzioni Calcolo percentuale

222

Tasso percentuale Il prezzo di una carriola per muratore è stato ridotto da 214.00CHF a 182.00CHF. Quanto è il ribasso in percento?

Ricorda:

214.– CHF

100 % ∙ 32

32.– CHF

214

Semplificato come formula tasso percentuale =

Esercizi:

= 15 % di ribasso

100 % ∙ valore percentuale valere di base

100 % ∙ W G

1. Calcola il tasso percentuale per un valore di base di 750.00 CHF e un valore percentuale di 62.50 CHF. 2. Per un veicolo VW usato del valore a nuovo di 21'000.00 CHF si offrono 17'000.00 CHF. Quanto è la diminuzione di prezzo in percento? 3. Una strada d’accesso supera un dislivello di 13.07 m su una tratta di 163.45 m ha. Qual è la pendenza della strada? 4. La canalizzazione tra due pozzetti è lunga 59.70 m. Il dislivello dall’uscita fino all’entrata è di 1.79 m. Calcola la pendenza della canalizzazione. 5. Il volume di uno scavo è di 89.500 m3. Con il materiale estratto sono stati caricati 21 camion con una capacità di 5 m3. Qual'è l’aumento del volume di dissodamento in percento? 6. Per un terrapieno di 825 m3 sono stati portati 950 m3 di materiale sciolto. Calcola il grado di addensamento in percento del materiale. 7. Una procedura di lavoro che finora durava 72 minuti è stata ridotta di 26 minuti in seguito all’introduzione di una nuova macchina. Quanto è il risparmio di tempo in %? 8. Con il pagamento rateale il prezzo di una macchina aumenta da 8’250.- CHF a 8’750.CHF. Di quanto è aumentato di prezzo in %?

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Rapporti e proporzioni Calcolo percentuale

223

Valore di base Un cliente beneficia di un ribasso del 3% sull’importo della fattura. Il ribasso corrisponde a 42.60CHF. A quanto ammonta la fattura?

Risorda:

3 %

42.60 CHF ∙ 32

100 %

Semplificando come formula: valore di base =

Esercizi:

= 1420.– CHF

valore percentuale ∙ 100 % tasso percentuale

G =

W ∙ 100 %

1. Calcola il valore di base se il tasso percentuale è di 12% e il valore della percentuale è di 13.50 CHF. 2. La cifra d’affari di una piccola impresa è diminuita di 187'547.- CHF ossia del 9% rispetto all’anno precedente. A quanto ammontava la cifra d’affari l’anno precedente? 3. La pendenza di una canalizzazione fra due pozzetti è indicata con il 3.5%. Il dislivello fra i due pozzetti è di 3.28 m. Quanto è lunga la canalizzazione? 4. L’apprendista Giorgio ha misurato un muro di sostegno con la corona inclinata longitudinalmente. Tornato in ufficio si ricorda soltanto che con il dislivello di 58 cm la pendenza è del 4%. Che lunghezza ha il muro di sostengo? 5. Su una rampa sono stati trasportati 680 m3 di ghiaia. Per l’addensamento è stato considerato un supplemento del 12%. Che volume ha il materiale addensato? 6. Quanti m2 di muratura possono essere eseguiti con 4’500 mattoni B10/14, se per ogni m2 servono 22.2 mattoni considerando un aumento per rotture del 5%? 7. Un’azienda occupa 31 stranieri oltre ai 39.22% di impiegati svizzeri. Quanti dipendenti conta l’azienda?

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Rapporti e proporzioni Calcolo percentuale

Esercizi:

224

Calcola i valori mancanti nella tabella: lunghezza

altezza

pendenza

25.80

_____

2 %

_____

0.36

5 %

15.20

2.28

_____

1.12

2.4 %

7.60

1.30

_____

2.80

_____

1.5 %

schizzo

Determina i valori mancanti nei seguenti schizzi 7.

10.

11. Una canalizzazione viene posata con una pendenza del 3%. Quanto è il dislivello se la canalizzazione è lunga 17.20 m? 12. Il pavimento di un’officina dalla lunghezza di 14.20m e dalla larghezza di 6.75 m ha una pendenza trasversale di 1% e una pendenza longitudinale di 2.5%. Calcola le quote negli angoli se quello con la quota inferiore è di +3.20 m.

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

230

Teorema di Pitagora Con l’aiuto del Teorema di Pitagora (filosofo greco) è possibile calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo.

Nel triangolo rettangolo il lato maggiore viene denominato ipotenusa, mentre gli altri due lati sono i cateti.

L’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto. I cateti costituiscono sempre i lati dell’angolo retto.

Ricorda:

Nel triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. c2 = a2 + b2

a2 = c2 - b2

b2 = c2 - a2

Di conseguenza per il calcolo dei lati vale:

Esempio:

c = a2 + b2

a = c2 - b2

b = c2 - a2

In un triangolo rettangolo il cateto a misura 8.1cm e il cateto b misura 17.4cm. Calcola la lunghezza dell’ipotenusa c.

Soluzione:

c = a2 + b2 = 8.12 + 17.42

= 368.37 = 19.192 cm

Controllo:

a = 19.22 - 17.42

= 65.88 = 8.1 cm

b = 19.22 - 8.12

= 295.39 = 17.4 cm

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

Esercizi:

231

Completa la seguente tabella: Esercizio

Cateto a

34 cm

27 mm

8.3 dam

Cateto b

47 cm

53 m

1.4 dam

6.2 dm

Ipotenusa

76 m

41 mm

7.3 dm

Calcola le lunghezze mancanti nei seguenti triangoli:

9. Sono da calcolare i due lati obliqui del frontone.

10. Quanto sono lunghe le due falde del tetto a falde sfalsate?

11. Durante il risanamento del tetto di una mansarda si devono demolire cornicioni della testata. Quanto sono lunghe in totale le testate?

12. Il capo muratore misura il rapporto della scarpata di uno scavo di 6.20 m : 4.65 m. Quanto è lungo il lato obliquo della scarpata?

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

232

Esercizi: 13. Si deve effettuare il tracciamento dei lavori di scavo. Che dimensioni ha la corona dello scavo generale?

14. Quanto è grande la misura di controllo per la verifica dell’angolo retto sulla corona dello scavo?

15. Calcola la distanza a) considerando che i puntelli hanno una lunghezza di 3.00 m?

16. Quanto devono essere lunghi i puntelli se la distanza massima orizzontale a) può essere solo di 1.5 m?

17. Quale altezza massima può essere raggiunta con una scala lunga 5 m se la distanza fra la parete e il piede della scala deve essere di 0.95 m e se la scala deve sporgere 1.10 m oltre lo spigolo di appoggio in alto?

18. L’accesso doppio di una casa viene provvisto di un parapetto in muratura a vista. Quanto è lunga la copertina sulla corona del muro?

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

233

Terne pitagoriche Quando i lati di un triangolo sono in rapporto 3 : 4 : 5, il triangolo è sempre rettangolo.

Ricorda:

Il rapporto 3 : 4 : 5 viene chiamato terna pitagorica (allineamento).

Importante:

Con queste terne è possibile costruire o verificare in modo semplice angoli retti sul cantiere.

Esempio: Per la costruzione di un angolo retto si hanno a disposizione 3 listoni. Il più lungo misura 1.80m. Calcola la lunghezza degli altri due listoni. Soluzione: 5 parti = 180 cm 1 parte = 180 ∶ 5 = 36 cm 3 parti = 36 ∙ 3 = 108 cm 4 parti = 36 ∙ 4 = 144 cm

Esercizi:

I valori mancanti nella tabella devono essere calcolati in modo da completare la terna pitagorica desiderata. Esercizio

3 parti

2.10 m

2. 3.

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4 parti

5 parti

1 parte

5.00 m 0.50 m

perimetro

Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

234

Proporzioni Con il rapporto numerico vengono indicate inclinazioni superiori al 100% oppure a 45&. Se si paragonano due rapporti numerici si parla di proporzione.

Importante:

Se nel disegno due delle tre indicazioni sono conosciute, la misura mancante può essere calcolata facilmente. Si deve osservare: 3 parti

∶ 2 parti

N umero anteriore ∶ N umero posteriore Misura verticale ∶ Misura orizzontale

La pendenza della scarpata

3 ∶ 2

è uguale al rapporto numerico

4.11 ∶ X

risulta la proporzione: 4.11 ∶ X = 3 ∶ 2 Questa proporzione viene trasformata e risolta come un’equazione X =

4.11 ∙ 2

Ricorda: incognita =

Attenzione:

= 2.74

prodotto dei medi o degli estremi altro termine conosciuto

Se possibile indicare una pendenza sempre con numeri interi.

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

Esercizi:

235

Calcola i valori mancanti nella tabella: V 1.

rapporto

1.80

1∶2 1.95

2. 3.

1.10

5.60

1.44

schizzo

1∶3

1.65 8∶1 1.08 32.00

2∶5

Attenzione:

Se si cerca il rapporto numerico, la proporzione viene indicata con V : H = 1 : x. Se il valore x è un numero decimale, il rapporto numerico viene arrotondato in un numero intero.

Esercizi:

Determina i valori mancanti nei seguenti schizzi: 7.

10.

11. Il tetto a falda unica ha un rapporto di pendenza di 1 : 8 e una lunghezza di 12.40 m. Quanto sarà la sua altezza? 12. A quale rapporto corrisponde una pendenza del 4% su una lunghezza di 13.85 m?

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

236

Scale di riduzione nel disegno (R) I rapporti di misura nel disegno determinano il rapporto “scala” di grandezza fra l’oggetto e il disegno.

Ricorda:

Scala Rapporto

Il rapporto indica sul piano quante volte la misura sul disegno è più piccola rispetto a quella reale.

1∶1000 1∶500 1∶200 1000

500

200

1000

100

1∶100

1∶50

1∶25

1∶20

1∶10

1∶5

1∶2

100

Vantaggi di calcolo dividi per dividi ancora per

moltiplica per

Indicazione:

2 2

Scala di riduzione per piani: R 1∶1000 R 1∶500

piani di situazione e planimetrie

R 1∶200 R 1∶100

piani di progetto e domanda di costruzione

R 1∶50 R 1∶20

piani esecutivi

R 1∶25 R 1∶10 R 1∶5 R 1∶2

piani di dettagli

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

237

Applicazione scale dei disegni La lunghezza grafica può essere determinata quando si conosce la lunghezza reale e il rapporto di riduzione. Ricorda:

lunghezza grafica =

lunghezza reale Rapporto di riduzione

Esempio: La lunghezza reale è 2.48m. È stato scelto il rapporto di riduzione di 1:20.

Lunghezza grafica = 248 cm ∶ 20 = 12.4 cm

La lunghezza reale può essere calcolata conoscendo la lunghezza grafica e il rapporto di riduzione. Ricorda:

Lunghezza reale = lunghezza grafica ∙ rapporto di riduzione

Esempio: La lunghezza grafica è 7.3cm. La scala del disegno è 1:50.

Lunghezza reale = 7.3 cm ∙ 50 = 365 cm

3.65 m

Il rapporto di riduzione (scala) può essere calcolato conoscendo la lunghezza grafica e quella reale. Ricorda:

Rapporto di riduzione =

lunghezza reale lunghezza grafica

Esempio: La lunghezza reale è 16.00m. La lunghezza grafica è 8cm.

Rapporto di riduzione = 1600 cm : 8 cm = 200

La scala del disegno è 1∶200

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Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

Esercizi:

238

1. Calcola la lunghezza grafica in centimetri: lunghezza reale

scala 1∶50

scala 1∶100

scala 1∶5

scala 1∶20

0.70 m

1.35 m

0.40 m

1.15 m

4.60 m

7.40 m

12.55 m

23.85 m

0.45 m

47.50 m

scala 1∶50

scala 1∶20

scala 1∶100

scala 1∶5

3.85 cm

1.45 cm

8.40 cm

17.35 cm

32.60 cm

23.50 cm

41.25 cm

0.25 cm

12.70 cm

9.15 cm

2. Calcola la lunghezza reale in metri: lunghezza nel disegno

3. Calcola il rapporto (scala) di riduzione: Lunghezza reale Lunghezza grafica Scala

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78.0 cm

2.35 m

0.75 m

3.10 m

3.9 cm

4.7 cm

7.5 cm

3.1 cm

Rapporti e proporzioni Rapporti numerici

Esercizi:

239

4. Un terreno di forma rettangolare misura 34.7 m di larghezza e 19.20 m di larghezza. Calcola le dimensioni grafiche per il disegno in scala 1:500. 5. L’apertura di una porta in parete avente le dimensioni reali di 0.87 x 2.08 m deve essere disegnata in scala 1:20. Calcola le dimensioni grafiche. 6. Un muro à lungo 2.45 m. Quali sono le dimensioni grafiche in scala 1:5, 1:10, 1:20. E 1:50? 7. In un piano di situazione in scala 1:500, le distanze fra i confini del terreno e l’edificio misurano 10 e 14 mm. Calcola le distanze reali. 8. Su un piano in scala 1:50 si rilevano le seguenti lunghezze: 5 cm, 10.4 cm e 2 mm. Calcola le lunghezze reali. 9. Su un piano in scala 1:20 le lunghezze grafiche risultano di 12 cm, 14.2 cm e 7 mm. Calcola le lunghezze reali. 10. In un piano un segmento misura 8.9 cm, la misura reale è di 53.40 m. In quale scala è stata disegnata? 11. In una rivista di architettura è stato riprodotto una pianta di un edificio senza indicazione della scala. Spiega come si potrebbe determinare la scala del disegno. 12. Disegna più volte, utilizzando sempre una scala diversa, la pianta dell’aula in cui ti trovi.

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Rapporti e proporzioni Rappresentazioni grafiche

240

Introduzione rappresentazione grafica Le rappresentazioni grafiche o diagrammi sono schemi che mostrano in modo riassuntivo tabelle numeriche che permettono il confronto fra diverse grandezze. Esempi:

Occupazione di un cantiere rappresentata con una tabella numerica. Mese

collaboratori

muratori

manovali

apprendisti

Febbraio

Marzo

Aprile

Maggio

Giugno

Luglio

Agosto

Settembre

Ottobre

Diagramma a colonne I diagrammi a colonne sono adatti per rappresentare soprattutto grandezze statistiche in un certo lasso di tempo. Esempio:

Lâ&#x20AC;&#x2122;occupazione di un cantiere rappresentata con un diagramma a colonne

20 Muratore Maurer

Manovale Bauarbeiter Lernende Apprendista

0 Feb Feb

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MĂ¤rz Mar

April Apr

Mai Mag

Juni Giu

Juli Lug

Aug Ago

Sep Set

Okt Ott

Rapporti e proporzioni Rappresentazioni grafiche

241

Diagramma a barre Un diagramma a barre è particolarmente adatto per presentare fasi di lavoro distribuite nel tempo.

Esempio:

Programma di lavoro per la costruzione di una piccola piscina Settimana Giorno Installazione Scavo Canalizzazione Platea Pareti Riempimento laterale Zona circostante

17 18 19 20 22 23 24 25 26 29 30 1 2 3 6 7 8 9 10 13 14 15

Diagramma circolare I diagrammi circolari rappresentano molto bene la composizione di sostanze oppure lo sfruttamento di superfici.

Esempio:

La ripartizione della granulometria degli inerti secondo la curva granulometrica della norma SN EN 206-1:2000 Apertura setacci in mm

Passanti parti di massa

16 – 31.5

40 %

8 – 16

20 %

4 – 8

15 %

0 – 4

25 %

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Rapporti e proporzioni Rappresentazioni grafiche

242

Diagramma lineare Con questo tipo di diagramma si può rappresentare in modo efficace la reciproca dipendenza di diverse grandezze.

Esempio 1:

Granulometria richiesta per aggregato naturale 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.125 0.25

0.5

31.5

125

Apertura dei setacci in mm

Larghezza delle maglie in mm

Esempio 2:

Curva granulometrica in mancanza di grani. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.125 0.25

0.5

Larghezza delle maglie in mm

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31.5

125

Apertura dei setacci in mm

Rapporti e proporzioni Rappresentazioni grafiche

Esercizi

243

1. DLe densità lorde dei seguenti materiali da costruzione devono essere rappresentate con un diagramma a colonne. Pareti di: calcestruzzo armato 2’400 kg/m3, mattoni modulari 1’100 kg/m3, mattoni di cemento 2’000 kg/m3, mattoni silico-calcari 1’600 kg/m3, mattoni filtranti 600 kg/m3 e come paragone lastre di gesso 1’000 kg/m3 e legno d’abete 470 kg/m3. 2. Le pareti esterne di una casa monofamiliare hanno la superficie di 180 m2, le finestre e porte hanno una superficie di 40 m2 e il tetto di 320 m2. Rappresenta le relative superfici con un diagramma circolare. 3. Rappresenta con un diagramma lineare le aree dei cerchi in funzione del diametro che varia da 1cm fino a 10 cm. Area del cerchio:: A = d2 ∙ π ⁄4 4. I costi complessivi medi per una casa monofamiliare sono stati: nel 1962: 78'000.- CHF, 1972: 350'000.- CHF, 1982: 510'000.- CHF, 1992: 730'000.- CHF e nel 1996: 940'000.CHF. A titolo di confronto i costi sono da rappresentare con un diagramma a colonne e un diagramma a barre. 5. Tre diverse miscele di calcestruzzo contengono diverse quantità di cemento per ogni m3 di calcestruzzo vibrato. Di conseguenza il calcestruzzo stagionato presenta diverse resistenze alla compressione. Con un contenuto di cemento 250 kg/m3 la resistenza alla compressione è di 30 N/mm2, con 300 kg/m3 è di 35 N/mm2 e con 350 kg/m3 è di 45 N/mm2. Rappresenta con un diagramma appropriato la resistenza alla compressione in funzione del contenuto di cemento. 6. Quando il legno d’abete essiccato assorbe acqua, la sua massa aumenta. Dopo 3 giorni l’aumento della massa è del 21%, dopo 7 giorni del 29%, dopo 15 giorni del 43%, dopo 22 giorni del 54% e dopo 30 giorni del 62%. Rappresenta con un diagramma appropriato l’aumento della massa del legno.

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Dimensioni di elementi di costruzione Indice

300

Indice Bauteilabmessungen

Introduzione Figure geometriche Lunghezze Superfici Solidi Calcoli di lunghezze, superfici e solidi Misure di lunghezza e di superficie Misure di volume Multiplo decimale e parti

310 310 310 311 312 313 314 315 315

Calcoli di lunghezze Misure concatenate Quote altimetriche Dimensione delle murature Dimensione delle scale

320 320 321 323 325

Calcoli di superfici (rettilinee) Quadrilateri Triangoli Poligoni

330 330 334 337

Calcoli di superfici (curvilinee) Il valore Ď&#x20AC; Cerchio ed ellisse Parti di cerchio

340 340 342 344

Calcoli di volumi (solidi paralleli) Cubo, prisma e cilindro

350 350

Calcoli di volumi (solidi a punta) Piramide e cono

360 360

Calcoli di volumi (solidi tronchi) Tronco di piramide e tronco di cono

370 370

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Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione

310

Figure geometriche Quasi tutte le attivitĂ umane sono legate alla geometria, intesa come scienza che riguarda lo spazio.

Un corpo solido si raffigura nello spazio e ha tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza.

Una superficie delimita un corpo solido e ha due dimensioni: lunghezza e larghezza.

Una linea delimita una superficie e ha una sola dimensione: la lunghezza. Un punto delimita una linea e non possiede nessuna dimensione.

Lunghezze Nella geometria si distinguano i seguenti tipi di lunghezze. Un punto che si muove in una direzione determina una retta denominata r oppure g1, g2 ecc. Una linea retta, delimitata da un punto Ă¨ chiamata semiretta. I punti vengono designati con A, B, C ecc. Una linea retta delimitata da due punti viene chiamata segmento. I segmenti sono denominati a, b, c, ecc. Segmenti che rappresentano una grandezza con direzione e senso di una forza vengono chiamati vettori.

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Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione

311

Superfici A dipendenza della forma con rettilinee o curvilinee si distinguono i seguenti tipi di superficie o figure piane. Quadrilateri o parallelogrammi si formano quando quattro rette si incrociano formando quattro angoli.

Triangoli o mezzi parallelogrammi sono le figure piane piĂš semplici. Tre rette si incrociano formando tre angoli.

Poligoni sono figure originate da triangoli e da quadrilateri, possono essere di forma regolare o irregolare.

La superficie di un cerchio viene formata da una linea piana e chiusa (circonferenza) equidistante da un punto fisso (centro).

La superficie di un'ellisse Ă¨ simile al cerchio, ma i suoi assi sono di diversa lunghezza.

Ricorda:

Le superficie sono una parte delimitate di un piano. Le linee di delimitazione possono essere rette o curve.

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Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione

312

Solidi Secondo la loro configurazione si possono distinguere i seguenti tipi di solidi:

I solidi paralleli hanno due basi e gli spigoli paralleli.

I solidi a punta hanno la base che si restringe regolarmente fino al vertice.

I solidi tronchi si ottengono tagliando un solido a punta parallelamente alla base.

La sfera deriva dalla rotazione della circonferenza attorno al suo diametro.

I solidi di rotazione derivano dalla rotazione di una superficie qualsiasi attorno a un determinato asse fisso.

Ricorda:

Un corpo solido Ă¨ uno spazio delimitato da superfici. Le superfici di delimitazione possono essere piane o curve.

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Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione

313

Calcoli di lunghezze, superfici e solidi Calcolare strutture geometriche ha tre significati: a) Calcolare le lunghezze, dei lati, degli spigoli, delle diagonali, della superficie, ecc.

b) Calcolare le superfici delle basi, le superfici laterali e totali, ecc.

c) Calcolare il volume o contenuto, la quantità di materiale, la massa (quantità di materia), massa volumica, ecc.

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Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione

314

Misure di lunghezza e di superficie metro

Multipli e sottomultipli del Prefisso

chilo

etto

deca

Simbolo

dam

100

1000

100

1000

100

1000

100

1000

100

Valore numerico

Ricorda:

centi

milli

Il passaggio da un’unità di misura all’altra si ottiene moltiplicando o dividendo per 10. Basta spostare la virgola di un posto verso destra o verso sinistra.

metro quadrato

Multipli e sottomultipli del Prefisso

chilo

etto

deca

Simbolo

km2

hm2

dam2

100

10 000

100

10 000

100

10 000

100

10 000

100

10 000

100

Valore numerico

Per superfici vale anche: 1 hm2 = 1 ha (ettaro) 1 dam2 = 1 a (aro)

Ricorda:

deci

100

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deci

centi

milli

dm2

cm2

mm2

Il passaggio da un’unità di misura all’altra si ottiene moltiplicando o dividendo per 100. Basta spostare la virgola di due posti verso destra o verso sinistra.

Dimensioni di elementi di costruzione Indice

315

Misure di volume metro cubo

Multipli e sottomultipli del Prefisso

chilo

etto

deca

Simbolo

km3

hm3

dam3

1000

Valore numerico

deci

centi

milli

dm3

cm3

mm3

1000 1

Per volumi vale anche: 1 m3 = 1000 l (1000 dm3 ) 1 litro = 10 dl = 100 cl = 1000 ml

Ricorda:

1000

1000 1

1000

Il passaggio da un’unità di misura all’altra si ottiene moltiplicando o dividendo per 1000. Basta spostare la virgola di tre posti verso destra o verso sinistra.

Multipli e sottomultipli decimali Per ragioni di praticità, i valori numerici superiori a 1'000 e inferiori a 0.001 sono scritti utilizzando i multipli e i sottomultipli decimali.

Indicazione:

I multipli e sottomultipli usati nella pratica professionale Fattore

potenza

nome

prefisso

simbolo

Milione volte tanto

mega

1 000 000

10 6

1 000

10 3

Mille volte tanto

chilo

100

10 2

Cento volte tanto

etto

10 1

Dieci volte tanto

deca

0.1

10 -1

Decimo

deci

0.01

10 -2

Centesimo

centi

0.001

10 -3

Millesimo

milli

0.000 001

10 -6

Milionesimo

micro

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Dimensioni di elementi di costruzione Introduzione

Esercizi:

316

Trasformare le seguenti grandezze nell’unità immediatamente superiore: 1. a) 92 cm b) 125.36 mm c) 5.3 dm d) 38.45 hm

4. a) 73 cm2 b) 13.8 ha c) 46.3 dam2 d) 572.56 a

2. a) 145.5 m b) 12 996.5 cm c) 27.3 dam d) 1862.75 mm

5. a) 28 653 dm3 b) 763 l c) 425 000 mm3 d) 58 cl

3. a) 321 m2 b) 678 dm2 c) 1285 ha d) 1136.4 mm2

6. a) 93.860 cm3 b) 750 ml c) 5.800 dm3 d) 1238 dl

Trasformare le seguenti grandezze nell’unità immediatamente inferiore: 7. a) 1.78 km b) 0.25 m c) 5.3 dm d) 83.2 dam

10. a) 105 dm2 b) 34.6 a c) 195.5 hm2 d) 12´491 ha

8. a) 1050 cm b) 0.375 km c) 195.48 hm d) 9.8 cm

1 1. a) 12.345 m3 b) 76.3 l c) 0.983 cm3 d) 33 cl

9. a) 11.2 km2 b) 0.25 m2 c) 5.35 cm2 d) 83.2 dam2

1 2. a) 5.781 dm3 b) 0.75 l c) 0.035 m3 d) 12.38 dl

Sommare le seguenti grandezze: 13. 72.7 dm + 1.28 m + 0.13 dam + 5721 mm + 83.5 cm = 14. 170 mm3 + 14 cm3 + 0.4 hl + 0.85 m3 + 9 dm3 + 0.6 m3 = 15. 25 dm2 + 3 ha + 27 800 cm2 + 185 763 mm2 + 735 dm2 = 16. 83 hl + 1237.5 l + 257 302 cl + 4568.92 dl + 650 745 ml =

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

320

Misure concatenate Nei disegni esecutivi le misure delle singole strutture sono indicate mediante la successione delle dimensioni su una linea continua, tutte le misure inferiori al metro sono espresse in cm, mentre quelle superiori in m.

Ricorda:

Per il calcolo con le misure concatenate bisogna usare una sola unitĂ di misura per tutte le lunghezze (di regola il metro).

Indicazione:

Nelle costruzioni metalliche e nella meccanica le misure sono espresse sempre in mm.

Esercizio 1:

Calcola le misure mancanti. Le battute delle finestre sono larghe 10cm.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

321

Quote altimetriche Nelle sezioni, oltre alle misure orizzontali e verticali sono indicate anche le quote altimetriche che si riferiscono ad un orizzonte ±0.00 (sovente quota sopra il livello del mare).

Ricorda:

Le quote situate sopra ±0.00 si indicano con il più (+), mentre quelle situate sotto ±0.00 si indicano con il segno meno (-) e sempre in metri.

Esercizio 2:

Calcola tutte le quote altimetriche mancanti.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

Esercizio 3:

322

Calcola e inserisci le misure nella pianta. Inserisci le quote altimetriche nella pianta ricavate dalla sezione (vedi esercizio 4).

PIANTA 1∶50 (2 cm = 1.00 m)

SOGGIORNO

Esercizio 4:

Completa la seguente sezione con le misure verticali e le quote altimetriche.

SEZIONE A 1∶50 (2 cm = 1.00 m)

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

323

Dimensioni delle murature Le dimensioni di un muro possono essere calcolate facilmente con le formule, sulla base dei disegni schematici. SPESSORE DEL MURO

d = d1 + d2 + d3

LUNGHEZZA DEL MURO

lI = n ∙ T + 1 cm Mattone + giunto

misura interna

Modulo

lv = n ∙ T

lA = n ∙ T - 1 cm

Sporgente

misura esterna

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misura altezza

RICORDA:

h=n∙S

modulo

Giunto + mattone

ALTEZZA DEL MURO

Normalmente per lo spessore del giunto orizzontale e di quello verticale si calcola 1 cm di malta. Indicazione: Se la muratura è eseguita senza giunti verticali, la lunghezza del muro è pari al multiplo dei mattoni.

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

Esercizi:

324

Qual è la lunghezza di una muratura eseguita con 31 mattoni faccia a vista B 25 / 12 / 6.5S per corso? 1. Misura esterna della muratura con legatura di fascia? 2. Misura interna della muratura con legatura di punta? 3. Corona muratura sporgente eseguita a coltello? Nello schizzo in pianta le dimensioni della muratura con legatura a blocco sono indicate come se i mattoni fossero posati di punta (larghezza del mattone). Calcola le misure in m dei muri in cm impiegando: 4. mattoni silico-calcari K 25 / 12 / 14 5. mattoni modulari paramano B 29 / 14 / 14S

Quali altezze del muro si raggiungono avendo a disposizione i seguenti dati: 6. Con 17 corsi di mattoni di cemento Z 25 / 12 / 13.5 e giunti orizzontali di 1.5cm? 7. Con 12 corsi di mattoni modulari B 17.5 / 19 e un corso di conguaglio B 17.5 / 9 con giunti orizzontali di normali? 8. Quanti corsi sono necessari per eseguire una muratura alta 2.55m con mattoni faccia a vista? Sono possibili due soluzioni.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

325

Dimensioni delle scale Il dimensionamento corretto dei gradini della scala è normalizzato. È necessario tener conto del rapporto alzata-pedata. RAPPORTO ALZATA-PEDATA 2a + p = 62 - 64 cm

63 cm

ALTEZZA DEL PASSO Di regola l’altezza ideale di un’alzata (a) è tra 17 e 18 cm.

Per facilitare il calcolo delle misure di una scala, seguire le indicazioni seguenti: a) Numero di alzate = altezza del passo H : 17.5 cm Attenzione: il numero delle alzate deve essere intero b) Altezza di un’alzata a = altezza del passo : numero di alzate scelto Importante: l’altezza di un’alzata non può essere arrotondata! c) Larghezza di una pedata p = 63 cm Indicazione: se possibile approssimare al cm intero la larghezza di una pedata. d) Lunghezza del passo L = numero delle pedate ∙ larghezza di una pedata Ricorda: Una scala ha sempre un numero in meno di pedate rispetto alle alzate!

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di lunghezze

326

Esercizi: 1. Calcola il numero di alzate e la loro altezza con le seguenti altezze del passo

2. Calcola la larghezza delle pedate con le seguenti altezze

3. Calcola le dimensioni delle seguenti scale a una rampa diritta per un'altezza del locale di:

a) 2.58 m

a) 16.8 cm

a) 2.62 m

b) 2.87 m

b) 17.5 cm

b) 2.65 m

c) 1.97 m

c) 17.8 cm

c) 2.75 m

d) 2.41 m

d) 18.2 cm

d) 2.52 m

4. In una casa d’abitazione l’altezza dei locali è di 2.45 m e la soletta ha uno spessore totale di 26 cm. Calcola con queste indicazioni tutti gli elementi di una scala a due rampe con pianerottolo intermedio. 5. Una scala esterna dello scantinato deve superare un dislivello di 1.68 m. Per motivi di spazio la lunghezza di passo non deve superare 2.10 m. Calcola il rapporto più favorevole tra alzate e pedata e la lunghezza di passo. 6. Nel piano cantina alto 3.10 m è prevista una scala diritta a due rampe con pianerottolo intermedio dello spessore di 16cm. L’altezza sotto il pianerottolo deve essere ad altezza testa. Quanto sarà la lunghezza di passo per ogni rampa? 7. In una scala con quarto di giro qui rappresentata, l’altezza di passo misura 2.45 m. Calcola la dimensione a per un numero di alzate di 14.

8. La scala con mezzo giro rappresentata, ha un’altezza di passo di 2.60 m. Calcola prima le diverse misure della scala, in seguito la dimensione b in pianta.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

330

Quadrilateri Tutti i parallelogrammi con la stessa base (a) e la stessa altezza (h) hanno la stessa area.

Ricorda: A1 = A 2 = A3 = a ∙ h

A=a∙h

I trapezi con la stessa linea mediana (m) e la stessa altezza (h) hanno la stessa area.

Ricorda: A1 = A 2 = A3 = m ∙ h

Indicazione:

A = m ∙ h

in cui m =

a+c 2

Le superfici delimitate da linee rette comprendono, oltre al quadrato, al rettangolo, al romboide e al rombo, anche tutti i triangoli e i poligoni regolari e irregolari.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

331

QUADRATO Area

A = a2

a = A

Perimetro U = 4a

a=U∶4

Diagonale e = 2 ∙ a

e = 1.414 ∙ a

a = 0.707 ∙ e

RETTANGOLO Area

A = a ∙ b

a=A∶b

Perimetro U = 2 (a+b)

a = (U ∶ 2) - b

Diagonale d = a2 + b2

b=A∶a

b = (U ∶ 2) - a

ROMBOIDE Area

A = a ∙ h

Perimetro U = 2 (a + b) Altezza

a=A∶h a = (U ∶ 2) - b

h = A ∶ a

TRAPEZIO

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Area

A = m ∙ h

h=A∶m

Linea mediana

m = (a + c) ∶ 2

a = 2m - c

Perimetro

U = a + b + c + d

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

Esercizi:

332

Calcola per gli esercizi dall'1 all'8 sempre l’area, il perimetro e la diagonale. 1. Pavimento del rifugio 4.78 m / 4.78 m 2. Plinto di fondazione 95 cm / 95 cm 3. Apertura in una parete 1.27 m / 1.27 m 4. Sezione del vano ascensore 1.85 m / 1.85 m 5. Parcella di terreno 32.40 m / 29.70 m 6. Pavimento di un’autorimessa 5.35 m / 7.28 m 7. Sezione di un pilastro 36 cm / 22 cm 8. Apertura di una porta 87 cm / 2.05 m 9. Uno scavo per canalizzazione profondo 2.70 m, è largo alla base 1.15 m e al bordo superiore 2.95 m. Calcola l’area della sezione dello scavo. Calcola il rapporto di pendenza della scarpata. 10. Calcola l’area di un rombo che misura di 4.60 m di lunghezza e 1.25 m di altezza. 1 1. Calcola l’area della parete nella mansarda a forma di trapezio che misura a = 5.78 m, c = 4.32 m, h = 2.63 m. 12. Si deve eseguire l’intonaco di un pilastro a sezione rettangolare di 1.36 m x 0.48 m fino all’altezza di 1.98 m. Quanti m2 devono essere intonacati? 13. Le misure di tracciamento per una casa monofamiliare sono di 12.15 m per 9.70 m. Calcola la misura di controllo per la verifica dell’angolo retto. 14. Il deposito del materiale di scavo ha una superficie in sezione a forma di trapezio di 17.40 m2. La base misura 8.20 m e l’altezza 2.75 m. Calcola la misura della corona. 15. La sezione rettangolare di un canale ha una larghezza interna di 80 cm e un’altezza di 1.44 m. Le pareti hanno lo spessore di 18 cm. Calcola l’area della sezione in calcestruzzo. 16. Una canna da camino in muratura ha le dimensioni esterne di 45 cm /45 cm e una superficie della sezione in muratura di 1584 cm2. Che dimensione interna ha il tiraggio?

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

Esercizi:

333

Calcoli le misure mancanti dei seguenti quadrilateri. 17.

18.

h = ? A = ?

A1 + A 2 = ?

19.

20.

U = ? A = ?

h = ? A 2 = ?

21.

22.

b = ? A = ?

A = ?

23. Un rettangolo con la superficie di 12.82 m2 ha una lunghezza di 5.25 m. Qual è la larghezza del parallelogrammo? 24. Un trapezio irregolare ha una lunghezza a = 2.25 m e c = 1.35 m. Il trapezio è alto h = 1.25 m. Calcola la lunghezza della linea media (m) e l’area.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

334

Triangoli Triangoli aventi la stessa base (a) e la stessa altezza (h) hanno la stessa area in quanto sono la metà di un quadrilatero.

Ricorda: A1 = A 2 = A3 =

a∙h 2

A =

a∙h 2

TRIANGOLO SCALENO Superficie

a∙h 2

a = 2A ∶ h

oppure secondo la fomula di Erone: A = s∙(s-a)∙(s-b)∙(s-c) di cui Perimetro

s=U∶2

U = a + b + c

TRIANGOLO EQUILATERO

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Superficie

A = 0.433 ∙ a2

Altezza

h = 0.866 ∙ a

a = h ∶ 0.866

Perimetro

U=3∙a

0.433

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

Esercizi:

335

Calcola l’area dei seguenti triangoli. 1. Frontone 2. Ingombro del tetto 3. Sottomurazione di una scala 4. Parcella di terreno

base 7.20 m 2.85 m 165 cm 18.25 m

Calcola le misure mancanti dei seguenti triangoli: 5.

A = ? U = ?

A = ? ha = ?

s = ? A = ?

a = ?

10.

c = ? hc = ?

a = ? h = ?

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altezza 3.75 m 1.30 m 95 cm 13.80 m

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

Esercizi:

336

11. L’altezza di un triangolo equilatero misura 1.21 m. Calcola la lunghezza dei lati, il perimetro e l’area. 12. L’area di un triangolo rettangolo con due lati uguali è di 11.52 m2. Quanto misurano i lati? 13. Per questo terreno con la pianta dell’edificio si deve calcolare la lunghezza dell’ipotenusa, la superficie del terreno e dell’edificio.

14. Disegna in scala 1 : 20 questo frontone. In seguito completa il disegno con le misure mancanti, poi calcola le aree A, B e C.

Indicazione:

Gli esercizi 13 e 14 sono esercizi dal libro “Geometria applicata per l’edilizia”, sesta edizione del 1965.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

337

Poligoni I poligoni con linee rette sono formati da un numero qualsiasi di triangoli. POLIGONI REGOLARI Area Perimetro

a∙h 2

∙n

U=a∙n n = numero di lati

Ricorda: Per facilitare il calcolo della lunghezza, dell’area A, del diametro d1 e d2 dei poligoni regolari si utilizzano in generale i valori di x, contenuti nella tabella seguente:

d1 =

d2 =

d1 ∙ x

d2 ∙ x

a2 ∙ x

d12 ∙ x

a∙x

d2 ∙ x

a∙x

d1 ∙ x

α°

1.732

0.866

0.433

1.299

0.577

0.500

1.154

2.000

1.000

0.707

1.000

0.707

1.414

0.726

0.588

1.721

0.908

1.376

0.809

1.702

1.236

108

0.577

0.500

2.598

0.866

1.732

0.866

2.000

1.155

120

0.414

0.382

4.828

0.828

2.414

0.924

2.614

1.082

135

0.325

0.309

7.694

0.812

3.078

0.951

3.236

1.052

144

0.268

0.259

11.196

0.804

3.732

0.966

3.864

1.035

150

POLIGONI IRREGOLARI Area

A = A1 + A 2 .... + An

Perimetro

U = a1 + a2 .... + an

Ricorda: Per calcolare l’area dei poligoni irregolari si suddivide la figura nel minor numero possibile di triangoli.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee rette)

Esercizi:

338

Calcola l’area dei seguenti poligoni. 1. Zoccolo esagonale di una fontana, lunghezza del lato 1.35 m 2. Sezione ottagonale di un pilastro, diametro interno 46 cm 3. Panchina pentagonale da giardino, diametro esterno 7.20 m. 4. Pavimento di una sala a forma di dodecagono, lunghezza del lato 3.80 m.

Calcola le misure mancanti dei seguenti poligoni: 5.

A = ? d2 = ?

a = ? A = ?

R A = ?

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R A = ?

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

340

Il numero π Con il numero π (pi greco) si definisce la relazione tra il diametro del cerchio e la sua circonferenza. Più si aumenta il numero di angoli o lati di un poligono più il suo perimetro tende ad avvicinarsi ad una circonferenza

oppure un cerchio può essere considerato anche un poligono con un numero infinito di angoli. Indicazione: Nella tabella è presentata la relazione fra il diametro del cerchio e il perimetro a dipendenza del numero di angoli: il calcolo del valore π diventa facilmente comprensibile.

Numero angoli

Perimetro interno

Perimetro esterno

d ∙ 3.0000000

d ∙ 3.4641101

d ∙ 3.1558285

d ∙ 3.2153903

d ∙ 3.1326286

d ∙ 3.1596599

d ∙ 3.1393502

d ∙ 3.1460862

d ∙ 3.1410322

d ∙ 3.1427146

192

d ∙ 3.1414525

d ∙ 3.1418731

384

d ∙ 3.1415576

d ∙ 3.1416628

768

d ∙ 3.1415839

d ∙ 3.1416102

1536

d ∙ 3.1415909

d ∙ 3.1415970

Esempio:

Ricorda: Un cerchio con il diametro d o il raggio r ha una circonferenza di: C = d ∙ π oppure C = 2r ∙ π Il numero che indica quante volte il diametro è contenuto nella circonferenza si chiama π (pi greco): π = 3.14159… oppure ≈ 22 : 7

Quali saranno la circonferenza e l’area di un cerchio con il diametro di 2.40 m? Soluzione:

U = d ∙ π = 2.40 ∙ 3.14159… = 7.54 m A = d2 ∙ π ⁄4 = 2.40 ∙ 2.40 ∙ 3.14159… : 4 = 4.52 m2

Quale sarà il diametro di un cerchio con la circonferenza di 13.09 m? Soluzione:

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d = U : π d = 13.98 : 3.14159… d = 4.4499

4.45 m

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

Esercizi:

341

1. Calcolare le circonferenze dei tondini di armatura con un diametro 6, 10, 14, 18 e 24 mm 2. Calcolare il diametro dei tondini d’acciaio con una circonferenza di 2.5, 3.75, 5.0, 6.3, e 6.9 cm. 3. Calcolare le misure mancanti del tronco di cono. Dati:

d1 = 35 cm C2 = 82 cm h = 23 cm

Da calcolare:

Circonferenza C1 diametro d2 apotema s

Calcolare i perimetri delle superfici punteggiate con il lato di ogni quadrato di 15cm. 4.

Calcolare i perimetri delle superfici punteggiate utilizzando le misure indicate del lato di ogni quadrato. 7.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

342

Cerchio ed ellisse La superficie di un cerchio può essere immaginata come un rettangolo costituito da moltissimi settori circolari (triangoli).

Ricorda: A = r ∙ π ∙ r

A = r2 ∙ π

∙

A = d2 ∙

∙ π

CERCHIO Area

A = r2 ∙ π

A = d2 ∙

π = 3.14159 π

d=2

Circonferenza U = d ∙ π

d=U∶π

ELLISSE Area

A = r1 ∙ r 2 ∙ π

A = d1 ∙ d2 ∙

Perimetro

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d1 + d2 2

π 4

∙π

d1 =

4A d2 ∙ π 2U π

- d2

π 4

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

Esercizi:

343

Calcolare l’area dei seguenti cerchi. 1. Tubo di calcestruzzo, diametro interno di 120 mm. 2. Pozzetto, diametro interno 80 cm. 3. Coperchio di un pozzetto, diametro 0.96 m. 4. Elemento di canna fumaria, diametro interno 35 cm. Calcola le misure mancanti delle seguenti figure: 5. 6.

r = ? A = ? C = ? A = ? C = ?

7. 8.

A = ? C = ? A = ? C = ?

10.

D = ? AE = ? d = ? 11. Per una scala a chiocciola deve essere casserato un risparmio in soletta del diametro 2.18m. Calcola l’area del risparmio e della circonferenza. 12. Gli angoli di uno zoccolo per un generatore con le dimensioni di 5.80 m x 5.30 m devono essere arrotondati. Calcola l’area dello zoccolo considerando un raggio di arrotondamento di 60 cm.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

344

Parti di cerchio Il settore circolare è una parte di cerchio con un angolo inferiore a 360°.

Per un cerchio intero vale: C = 2r ∙ π A = r2 ∙ π Per un settore circolare ne derivano: α b = 2r ∙ π ∙ 360 ° A = r2 ∙ π ∙

α 360 °

Il segmento circolare è la parte rimanente del settore circolare senza il rispettivo triangolo.

Ricorda: Per il settore circolare vale: Per il segmento circolare vale:

Oppure approssimativo per segmenti circolari: A =

b∙r 2 b∙r 2 2 3

s(r-h) 2

s∙h

La corona circolare è delimitata da due circonferenze concentriche, ma di diverso raggio. Ricorda: Per la corona circolare vale: A = r 1 2 ∙ π - r 2 2 ∙ π oppure A = (r 1 2 - r 2 2 ) ∙ π mentre per l’area di un settore della corona circolare vale: α A = (r 1 2 - r 2 2 ) ∙ π ∙ 360 ° Calcolo professionale | www.ssic-ti.ch

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

345

SETTORE CIRCOLARE b∙r

Area

oppure

A = r2 ∙ π ∙

Perimetro

U = b + 2r

b=r∙π∙

2 α

360 °

α 180 °

2A b

SEGMENTO CIRCOLARE Area oppure Perimetro

A= A=

b∙r 2

3 -

s∙h

s (r - h)

s2 8h

h = r - r2 -

U=b+s

s2 4

s = 2 h ( 2r - h )

CORONA CIRCOLARE Area

A = dm ∙ π ∙ a

dm =

oppure

A = (r 12 - r 22 ) ∙ π

Perimetro

A = (d 12 - d 22 ) ∙

d1 + d2 2 d1 - d2 2

π 4

SETTORE DELLA CORONA CIRCOLARE Area oppure

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A=l∙a A = (r 12 - r 22 ) ∙ π ∙

l= α 360 °

r m =

r m ∙ π ∙ a 180 ° r1 + r 2 2

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di superfici (con linee curve)

Esercizi:

346

Calcolare l’area delle seguenti parti di cerchio. 1. Segmento circolare (arco ribassato) con una corda di 2.10 m e la freccia di 28 cm. 2. Corona circolare di una fontana con un diametro interno di 70 cm e uno spessore della parete di 65 mm. 3. Elemento di protezione al piede per alberi con il raggio interno di 1.35 m, la larghezza del settore di 85 cm e un angolo al centro di 72°. 4. Settore circolare con il raggio di 1.84 m e l'arco di circonferenza di 4.20 m. Calcola le misure mancanti delle seguenti parti di cerchio:

5. 6.

A = ? α = ? b = ? A = ?

7. 8.

A = ? r = ?

10.

l = ? a = ? r = ? 1 1. Calcolare l’area di uno sporto estetico semicircolare con un diametro interno di 1.85 m e uno spessore di 32.5 cm. 12. Un arco acuto (arco gotico) ha un raggio e una corda della lunghezza di 2.40 m. Calcola l’altezza e l’area.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi paralleli)

350

Cubo, prisma e cilindro Il calcolo del volume per i solidi paralleli aventi le basi parallele, parte sempre dalle formule basilari.

Ricorda: V=A∙h

Volume di solidi paralleli = superficie di base ∙ altezza

L’area totale si ottiene sommando l’area laterale e l’area delle basi (sviluppo) sviluppo prisma rettangolare

sviluppo cilindro

Ricorda: area laterale = perimetro di base ∙ altezza

Al = P ∙ h

area totale

At = Al + 2A

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= area laterale + area delle basi

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi paralleli)

351

CUBO Volume

V = a3

a=3 V

Area totale

O = 6 a2

O=6A

Diagonale

d= 3∙a

d = 1.732 ∙ a

Volume

V=A∙h

V=a∙b∙h

Area laterale

M=U∙h

M = 2 (a+b) ∙ h

Area totale

O = M + 2A

PRISMA

CILINDRO Volume

V = d2 ∙

Area laterale

M=d∙ ∙h

Area totale

O = M + 2 ( d2 ∙

V = r2 ∙ ∙ h

∙h

M = 2r ∙ ∙ h

)

CILINDRO CAVO

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Volume

V = (d 12 - d 22 )

Area laterale

M 1 = U 1 ∙ h

Area totale

O = M 1 + M 2 + 2A

∙h M 2 = U 2 ∙ h

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi paralleli)

Esercizi:

352

Calcola il volume dei seguenti solidi prismatici. 1. Fondazione a banchina, lunghezza 10.80 m e sezione 50 / 35 cm. 2. Muro di calcestruzzo, lunghezza 10.60 m, spessore 30cm e altezza 2.70 m. 3. Soletta di una cantina di 10.60 per 15.70 m, spessore 16 cm. 4. Zoccolo di un camino, sezione 67 / 67 cm e altezza di 53 cm. Calcola le misure mancanti dei solidi seguenti: 5.

A sezione = ? V totale = ?

A scarpata = ? V scavo = ?

A = ? a = ? Al = ? V = ?

V = ? Al = ?

10.

V muro ad angolo = ?

V 1 = ? V 2 = ? b = ? a = ?

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi paralleli)

Esercizi:

353

11. Si hanno nove pilastri in calcestruzzo di 36 cm per 20 cm e l’altezza di 2.70 m. Calcola l’area della casseratura a contatto con il calcestruzzo e la quantità di calcestruzzo necessaria. 12. Che volume hanno in totale i seguenti provini di calcestruzzo: 18 cubi con spigoli di 20 cm e 35 cubi con spigoli di 15 cm?

Calcola il volume dei seguenti solidi cilindrici. 1 3. Raccoglitore di fango, diametro interno 60cm e profondità 52 cm. 14. Tronco d’albero, diametro 58 cm e lunghezza 6.75 m. 15. Tubo di calcestruzzo, diametro interno 120 mm, spessore della parete 30 mm e lunghezza 750 mm 16. Silo di foraggio, d1 = 3.10 m, d2 = 2.70 m e h = 6.85 m Calcola le misure mancanti dei solidi seguenti: 17.

18.

V = ? Al = ?

Al 1 = ? Al 2 = ? A = ?

19.

20.

V = ?

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V = ?

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi paralleli)

Esercizi:

354

21.

22.

A = ? V = ?

V = ?

23. Calcola il contenuto di un recipiente cilindrico dal diametro di 22 cm e dall’altezza di 55 cm. Il recipiente è riempito fino a 4 ⁄ 5. 24. Per la posa di una ringhiera si devono eseguire risparmi circolari con una profondità di 16 cm. Calcola la quantità di malta necessaria per 8 risparmi dal diametro 14 cm e 5 risparmi dal diametro 20 cm.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi a punta)

360

Piramide e cono Il volume di un solido a punta è uguale a un terzo del volume del solido parallelo con la stessa base e con la stessa altezza.

Ricorda: Volume =

superficie di base ∙ altezza 3

A∙h 3

L’area di un solido a punta si ottiene sommando le aree laterali con quelle di base. Sviluppo della piramide

Sviluppo del cono

area laterale

Al = Σ A s

area laterale

Al =

area totale

O = Al + A

area totale

O = Al + A

Ricorda:

Indicazione:

il segno Σ (Sigma) indica “somma”

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U∙s 2

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi a punta)

Continuazione:

361

Piramide e cono L’apotema di una piramide (altezza di una faccia laterale) e di un cono è calcolata con il Teorema di Pitagora.

Ricorda: h a = (

b 2 2 ) +h 2

h b = (

a 2 2 ) +h 2

s= (

d 2 2 ) +h 2

PIRAMIDE (con base quadrata) Volume

Area laterale At =

A∙h

3 a ∙ hs 2

∙4

3∙V h a

ha = (

) 2 + h2

Area totale O = At + A

CONO Volume

Area laterale At =

A∙h 3 d ∙π∙ s 2

Area totale O = At + A

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d2 ∙ π ∙ h 4∙3

s= ( A=

d 2

) 2 + h2

d2 ∙ π 4

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi a punta)

Esercizi:

362

Calcola il volume dei seguenti solidi a punta. 1. Mucchio di sabbia, diametro 1.90 m e altezza 85 cm. 2. Tetto a quattro falde, lati della base 6.30 m e altezza 4.80 m. 3. Recipiente conico, diametro e altezza = 54 cm. 4. Piramide a base pentagonale, lato a = 1.48 m, altezza h = 02.90 m. 5. Piramide a base ottagonale, diametro d1 = 9.60 m, altezza h = 8.40 m. 6. Piramide di Cheope, lati della base a = 240 m, altezza h = 146.60 m. Calcola le misure mancanti dei seguenti solidi a punta: 7.

h = ? M = ?

d = ? M = ?

10.

a = ? V = ?

V = ? M = ?

11. Una piramide con la base triangolare ha gli spigoli lunghi 1 m. Esegui uno schizzo e calcola l’altezza e il volume della piramide.

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Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi tronchi)

370

Tronchi di piramidi e di coni Se si deduce dal volume totale il volume della punta tagliata, si ottiene il volume dei solidi tronchi.

Ricorda: Volume = V totale - V punta tagliata

V =

A1 ∙ h1 3

A 2 ∙ h2 3

Importante:

Se l’altezza della punta tagliata è sconosciuta si può calcolare il volume del solido tronco con una formula precisa o una approssimativa.

Volumi precisi:

V =

h 3

(A1 + A 2 + A1 ∙ A 2 )

Volumi approssimativi: V = Am ∙ h dove Am = am ∙ bm

V =

π∙h 12

(d 12 + d 22 + d 1 ∙ d 2 )

V = Am ∙ h dove Am =

π 4

∙ d m2

Per calcolare l’area totale di un solido tronco si sommano le superfici dello sviluppo. Sviluppo del tronco di piramide

Sviluppo del tronco di cono

π∙s

area laterale Al = Σ As

area laterale Al =

area totale At = Al + A1 + A 2

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(d1 + d2 )

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi tronchi)

Continuazione:

371

Solidi tronchi di piramide e di cono L’altezza del solido completo può essere calcolata con una proporzione, l’apotema può essere calcolata con il teorema di Pitagora.

Ricorda: h∶

a 1 - a 2 2

ha = (

= h 1 ∶

a 1 - a 2 2

TRONCO DI PIRAMIDE

a 1

h 1 ∶

h ∙ a 1

h∶

a 1 - a 2

) 2 + h 2

d1 - d2 2

s= (

= h 1 ∶

d1 - d2 2

h 3

TRONCO DI CONO

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h ∙ d 1 d 1 - d 2

(A1 + A 2 + A1 ∙ A 2 )

ha = ( hb = (

b1 - b2 2 a1 - a2 2

) 2 + h2 ) 2 + h2

At = Al + A1 + A 2

Volume approssimativo Volume esatto

h 1 =

Am = am ∙ bm

Area laterale Al = Σ Area totale

) 2 + h 2

Volume V = Am ∙ h approssimativo Volume esatto

d 1

V = Am ∙ h

π∙h 12

π 4

∙ d m2

(d12 + d22 + d1 ∙ d2 )

π∙s

Area laterale

Al =

Area totale

At = Al + A1 + A 2

Am =

(d1 + d2 )

s = (

d1 - d2 2

) 2 + h2

Dimensioni di elementi di costruzione Calcoli di volumi (solidi tronchi)

Esercizi:

372

Calcola il volume dei seguenti tronchi solidi: 1. Mucchio di ghiaia, diametro d1 = 4.30 m, d2 = 2.80 m e altezza h = 75 cm. 2. Zoccolo di calcestruzzo, lato a1 48 cm, lato a2 36 cm e altezza h = 29 cm. 3. Secchio d’acqua, d1 = 20 cm, d2 = 26 cm e altezza h = 30 cm 4. Cassa per la malta, base 60/30 cm, parte superiore 70/34 cm, profondità 25 cm. Calcola le misure mancanti dei seguenti solidi: 5.

V = ?

V = ? Al = ?

10.

V = ? Al = ?

11. Quanti dm3 di calcestruzzo contiene un imbuto per la prova del calcestruzzo fresco con le dimensioni: d1= 20 cm, d2 = 13 cm, h = 20 cm. 12. Un tronco d’albero ha un diametro di 39 cm alla base e 22 cm all’estremità superiore. Che volume ha il tronco se la lunghezza è di 7.25 m? Calcolo professionale | www.ssic-ti.ch

Calcolo di quantitĂ di materiale Indice

400

Indice

In generale Introduzione al calcolo del materiale Massa, densitĂ e peso Valori dei materiali da costruzione Esercizi

410 410 411 412 414

Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte Introduzione al dosaggio dei calcestruzzi e delle malte Impasti a macchina Esercizi Impasti a mano Esercizi

420 420 421 422 423 424

Scavi e canalizzazioni Introduzione a scavi e canalizzazioni Esercizi

430 430 431

Calcestruzzo e calcestruzzo armato Introduzione calcestruzzo e calcestruzzo armato Esercizi

440 440 441

Muratura e intonaci Introduzione a muratura e intonaci Esercizi

450 450 451

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Calcolo di quantità di materiale In generale

410

Introduzione al calcolo del materiale Il calcolo dei materiali (determinazione della quantità e del fabbisogno) insieme al calcolo dei costi (offerte e contabilizzazione) è di grande importanza nell’ambito della costruzione. Un muratore qualificato deve essere in grado di definire in modo autonomo i quantitativi dei singoli materiali necessari per l’esecuzione di piccoli incarichi e per i lavori a regia.

Indicazione:

I calcoli delle quantità di materiali devono essere fatti per es. per i seguenti lavori professionali: >>> calcolo dei componenti per miscele di calcestruzzi e malte >>> ordinazioni di materiale per il cantiere presso il fornitore di aggregati, per la centrale di betonaggio, per i centri di vendita di materiali edili, per la segheria, ecc. >>> consumo del materiale quale base per la fatturazione di prestazioni e il computo per la verifica dei costi

Ricorda:

Per facilitare la soluzione degli esercizi è opportuno eseguire degli schizzi. Essi illustrano meglio la procedura di calcolo e stimolano la fantasia. In generale i risultati per lunghezze, superfici e costi sono approssimati alla seconda cifra decimale. Per i volumi, le masse (quantità di materiale) e le forze, l’approssimazione è applicata alla terza cifra decimale. Per il calcolo di miscele si utilizzano le capienze di carriole, secchi o pale, in numeri interi o in mezze unità.

Importante:

Per evitare soluzioni senza senso e per esercitare il calcolo di verifica, si raccomanda di stimare in modo sistematico, anche attraverso il calcolo mentale, il risultato degli esercizi da affrontare.

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Calcolo di quantità di materiale In generale

411

Massa, densità e peso Massa (m)

Densità (ρ)

Peso (F )

Quantità di materia

Massa per unità di volume

Forza, carico

Grandezza:

Grandezza per il commercio o il trasporto di materiali da costruzione

Unità:

chilogrammo (kg)

Grandezza che permette di calcolare la massa di elementi di costruzione

Grandezza per calcoli di tecnica della costruzione (statica)

chilogrammo al metro cubo (kg / m3 )

Newton (N)

Indicazione:

Ogni corpo è costituito di una quantità di materia, denominata massa.

La densità è la massa per unità di volume (quantità di materia).

Tutti i corpi sono soggetti alla forza di attrazione terrestre.

Ricorda:

La massa di un corpo viene determinata dal volume e dalla densità.

La massa volumica dipende dalla massa e dal volume di un corpo.

La forza-peso di un corpo è data dalla massa e dall'accelerazione terrestre*.

Equazione con:

Massa

Densità

Peso

Grandezze:

m=V∙ρ

ρ=m∶V

F = m ∙ g *

Unità: m = m3 ∙

kg m3

*g = 9.81 m / s2

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ρ=

kg m3

F = kg ∙

9.81 N

1 kg ∙ 9.81 m / s2 = 9.81 kgm / s2 = ca. 10 Newton

Calcolo di quantità di materiale In generale

412

Valori dei materiali da costruzione Gruppo

materiali da costruzione

densità o densità lorda in kg / m3

Pietre e terreni

Pietra naturale compatta

2700 – 2900

Pietra naturale porosa

2500 – 2700

Terreno non coesivo

1600 – 1700

Terreno coesivo

1700 – 1800

Limo

1300 – 1400

Sabbia 0-3mm sciolta

1300 – 1600

Sabbia 0-8mm sciolta

1500 – 1900

Ghiaia/sabbia 0-32mm sciolta

1800 – 2000

Cemento

1250

Aggregati

Leganti

Calce idraulica

900

Calce bianca

650

Gesso

850

Cemento in silo

1050 – 1400

Bitume

1100 – 1200

Calcestruzzo e malte Calcestruzzo senza armatura

2100 – 2300

Calcestruzzo armato Calcestruzzo leggero (espanso)

Muratura

650 – 1500

Malta di cemento

2200 – 2400

Malta di cemento allungata

1900 – 2100

Malta di gesso

1000 – 1200

Intonaco per l’interno

1200 – 1400

Intonaco per l’esterno

1800 – 2000

Intonaco plastico

1100 – 1300

Mattoni modulari (16.7 pz / m2 ) Mattoni normali (26

pz / m2 )

1100 1200

Mattoni a vista

1400

Mattoni silico-calcari

1600 – 1800

Mattoni di cemento

2000

Mattoni a blocco di cemento

1200

Mattoni di calcestruzzo cellulare

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2300 – 2500

400 – 700

Calcolo di quantità di materiale In generale

Continua:

413

Valori dei materiali da costruzione Gruppo

materiali da costruzione

Legno e materiali a base legno

Legno resinoso (pino, abete)

450 – 550

Legno di latifoglie (faggio, quercia)

700 – 800

Pannelli di legno truciolare

650 – 800

Pannelli con fibra di legno rigide

800

Pannelli con fibra di legno porose

200 – 400

Pannelli di legno compensato

800

Materiali isolanti

Materiali diversi

Isolanti di materia fibrosa (lastre)

densità o densità lorda in kg / m3

40 – 200

Materie porose inorganiche

100 – 200

Materie naturali organiche

50 – 200

Materie schiumose organiche

20 – 100

Acciaio

7850

Alluminio

2700

Vetro

2500

Ghiaccio 0°C

820 – 920

Asfalto

2100

Impiego densità, massa e peso.

Esempio 1: Densità

Un mattone di calcestruzzo cellulare con formato a blocco (PL30) ha le dimensioni 61/30/20 cm e la massa di 25.4 kg. Calcola la densità lorda di questo mattone poroso. ρ=

Esempio 2: Massa

m V

25.4 6.1 ∙ 3.0 ∙ 2.0

25.4 36.6

= 0.69398

Per un cantiere vengono preparati dei mazzi di 18 travetti di legno di 12/8 cm e della lunghezza di 4 m. Che massa ha il mazzo di travetti considerando una densità di 500 kg/m3? m = V ∙ ρ = 0.12 ∙ 0.08 ∙ 4.00 ∙ 18 ∙ 500 = 345.6

Esempio 3: Peso

ρ = 0.694 kg / dm3

m = 345.600 kg

In laboratorio vengono prefabbricati 10 pilastri in calcestruzzo con una sezione di 20/36 cm e un’altezza di 3.12 m. Che peso hanno i pilastri se il calcestruzzo ha una densità di 2’440 kg/m3? F = m ∙ g = 0.20 ∙ 0.36 ∙ 3.12 ∙ 2430 ∙ 10 = 5436.288

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F = 5.414 kN

Calcolo di quantità di materiale In generale

Esercizi:

414

Calcola la densità, rispettivamente la densità lorda: 1. Mattone SwissModul B 12.5/19(29/12.5/19), massa 6.5 kg. 2. Tondone di legno diametro 30 cm, lunghezza 2.50 m, massa 80 kg. 3. Un carico di ghiaia di 4.5 m3 con una massa di 7.6 t. 4. Un parapetto prefabbricato con uno spessore di 12 cm, un’altezza di 1.15 m e una lunghezza di 2.80 m con una massa 940 kg. Calcola la massa: 5. Mattone Optitherm BL 15/14 (30/15/14), densità 0.98 kg/dm3 6. 5 lastre di pietra naturale 30/8/120 cm, densità 2.6 kg/dm3 7. Il ponte di un autocarro è lungo 3.60 e largo 2.10 m. Che massa ha un carico di sabbia se l’altezza di carico è di 0.6 m e la densità in mucchio è di 1.45 t/m3? 8. Che massa ha un tubo di cemento della lunghezza di 100 cm, del diametro interno di 20 cm dello spessore di 3 cm e con una densità di 2.55 kg/dm3 ? Calcola il peso: 9. Pilastro rettangolare in calcestruzzo con sezione 0.73 m per 0.45 m, lunghezza 2.80 m e densità 2.4 t/m3. 10. Canna fumaria alta 11.80 m dallo zoccolo con una massa di 122 kg/m1. 11. Una parete di un scantinato alta 2.8 m, spessore di 30cm viene gettata per una lunghezza di 16.40 m. Il calcestruzzo ha una densità di 2.42 t/m3. Qual'è il peso per m1 ? 12. Un bidone ha un diametro di 80cm e un’altezza di 1.40 m. È riempito d’acqua fino a 20 cm sotto il bordo. Quale peso ha l’acqua contenuta?

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Calcolo di quantità di materiale Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte

420

Introduzione al dosaggio dei calcestruzzi e delle malte I componenti dei calcestruzzi e delle malte si calcolano facilmente con il seguente schema dell’uguaglianza volumetrica. volume cemento = massa CEM ∶ densità CEM Schema 1.a Fase

quantità d'acqua = massa CEM ∙ valore A/C volume degli aggregati

uguale

1000 dm3 calcestruzzo in opera

meno volume additivi = massa additivi. ∶ densità additivi proposità = 1000 dm3 ∙ %

Schema 2.a Fase

Esempio:

massa (m) degli aggregati

uguale

per

volume (dm3 ) degli aggregati

Calcola la massa degli aggregati per m3 di calcestruzzo in opera con un dosaggio di cemento di 340 kg/m3 e una rapporto acqua-cemento di 0.45. Massa aggregati (m) =

Importante:

densità (ρ) degli aggregati

2.7 ∙ ( 1000 -

340 3.1

- 340 ∙ 0.45 ) = 1990 kg

>>> La densità per cemento con aggregati normali può essere considerata con i valori costanti di 3.1 e 2.7 kg/l (dm3 ) nell’uguaglianza volumetrica. >>> La massa degli additivi e la porosità possono essere trascurate nell’uguaglianza volumetrica semplificata.

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Calcolo di quantità di materiale Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte

421

Impasti a macchina Lo specialista allestisce un dosaggio secondo l’uguaglianza volumetrica. Per un impasto a macchina, il muratore è in grado di calcolare le componenti del calcestruzzo o della malta.

Esempio 1:

Per una miscela da determinare a massa il dosaggio è il seguente: 2’000 kg di aggregati e 300 kg di cemento con un rapporto A/C di 0.5. Quanto cemento e quanta acqua occorrono per 800 kg di aggregati?

Per 2000 kg

300 kg CEM ∙ 800

Per 800 kg

2000

= 120 kg CEM

Quantità d'acqua = 120 kg CEM ∙ 0.5 = 60 l

Esempio 2:

Per una miscela da determinare a volume il dosaggio è il seguente: 1'130 l di aggregati e 300 kg di cemento con un rapporto A/C di 0.5. Quanto cemento e quanta acqua occorrono per 400 l di aggregati?

Per 1130 kg

300 kg CEM ∙ 400

Per 400 kg

1130

Qantità d'acqua = 106 kg CEM ∙ 0.5 = 53 l

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= 106 kg CEM

Calcolo di quantità di materiale Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte

422

Importante:

Nei seguenti esercizi la quantità di cemento deve essere sempre arrotondata per eccesso a chilogrammo intero, il contenuto d’acqua deve essere arrotondato per difetto a litro intero.

Esercizi:

In un cantiere è istallata una betoniera con una capacità produttiva di 1200 kg. Calcola la quantità di cemento e di acqua per le seguenti miscele. 1. Calcestruzzo CEM l 32.5; 150 kg/m3, A/C 0.40, aggregati 2’240 kg 2. Calcestruzzo CEM l 42.5; 250 kg/m3, A/C 0.50, aggregati 2’100 kg 3. Calcestruzzo CEM l 52.5; 300 kg/m3, A/C 0.45, aggregati 2’040 kg 4. Malta CEM l 42.5; 350 kg/m3, A/C 0.60, sabbia 1’700 kg

Una betoniera da cantiere ha una capacità produttiva di 300 kg. Quanto cemento e quanta acqua servono per le seguenti miscele? 5. Calcestruzzo CEM l 32.5; 150 kg/m3, A/C 0.40, aggregati 1’320 kg 6. Calcestruzzo CEM l 42.5; 250 kg/m3, A/C 0.55, aggregati 1’230 kg 7. Calcestruzzo CEM l 42.5; 325 kg/m3, A/C 0.45, aggregati 1’160 kg 8. Malta CEM l 42.5; 450 kg/m3, A/C 0.55, sabbia 1’200 kg

Una betoniera non è provvista di bilancia per il cemento. Calcola le quantità di cemento in litri per impasto: 9. Per impasto occorrono 105 kg CEM l 52.5 R 10. Per impasto occorrono 72 kg CEM l 42.5 HS

In un autosilo devono essere gettati 16 pilastri dal diametro di 35 cm e dall’altezza di 2.50 m con un dosaggio del cemento di 350 kg/m3 e un rapporto A/C di 0.45. Per ogni m3 di calcestruzzo si calcolano 1’110 l di aggregati. È a disposizione una betoniera da cantiere con una resa di 500 l. 11. Quanti m3 di aggregati e quanti sacchi di cemento devono essere ordinati? 12. Calcola la quantità di cemento e di acqua per ogni impasto.

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Calcolo di quantità di materiale Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte

423

Impasti a mano Con una regola del tre semplice si procede alla trasformazione nell’unità desiderata considerando un dosaggio per un m3 di malta o di calcestruzzo, come per es. carriola, sacco, secchio oppure pala. Esempio:

Per confezionare una malta di cemento allungata oppure un calcestruzzo è richiesto il seguente dosaggio: 20 carriole di sabbia (1200 l) di sabbia, 260 kg di calce idraulica (CI) e 85 kg di cemento. Quanta sabbia e quanto cemento servono per ogni sacco di calce CI?

Ricorda:

Per 260 kg NHL 5

20 carrette di sabbia ∙ 25

Per 25 kg NHL 5

260

Per 260 kg NHL 5

85 kg CEM ∙ 25

Per 25 kg NHL 5

260

= 1.92

= 8.17

2 carriole di sabbia

1 secchio CEM

Per i calcoli d’impasto a mano valgono i seguenti dati semplificati: 1) Per ogni m3 di malta o calcestruzzo si calcola sempre una quantità di 20 carrette o 1’200 l di aggregati. 2) La quantità d’acqua viene determinata dal rapporto A/C oppure secondo la consistenza giusta della miscela per la lavorazione. Cemento CEM I 42.5

Calce idraulica CI 5

Calce bianca CB

25 kg

20 l

27.5 l

39 l

1.25 kg / l

0.9 kg / l

0.65 kg / l

1 secchio

10 l

12.5 kg

9.0 kg

6.5 kg

1 palata

5 l

6.2 kg

4.5 kg

3.2 kg

3) Leganti 1 sacco

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Calcolo di quantità di materiale Dosaggio dei calcestruzzi e delle malte

424

Importante:

Per una semplificazione dei calcoli considerare tutti i leganti contenuti in sacco da 25 kg arrotondando per difetto o per eccesso (sacchi, secchi oppure palate) in unità intere.

Esercizi:

1. Per un calcestruzzo con 300 kg di cemento per m3, quante carriole di aggregati sono necessarie per ogni sacco di cemento? 2. Calcola la quantità di cemento necessaria per 1 carriola di sabbia per un rinzaffo con 600 kg di cemento per m3 . 3. Per un intonaco di base con CI 300 + CEM 100 deve la quantità di cemento e, sacco per sacco, di calce idraulica. 4. Per una malta allungata con CI 270 + CEM 85 la miscela deve essere calcolata per sacco di calce idraulica. 5. Per intonacare uno zoccolo si usa CEM 350 + CI 50. La miscela deve essere calcolata considerando un sacco di cemento. 6. Per un intonaco di sottofondo vale la miscela CEM 350 + CI 270. Calcola la quantità di legante necessaria per ogni carriola di sabbia. 7. Per un calcestruzzo si sono mescolate 3 carriole di aggregati con un sacco di cemento. Quanto cemento è stato usato per m3 di calcestruzzo? 8. Per la confezione di una malta allungata, il capo muratore ha ordinato di miscelare un sacco di CI, mezzo secchio di CEM e 2 carriole di sabbia. Qual è il dosaggio per un m3 di malta?

Per un pavimento in uno scantinato di 3.20 m per 4.90 m, il muratore deve eseguire cappa di malta CEM 450 dello spessore di 2 cm. 9. Quanto materiale, cioè sabbia e cemento, è necessario per questo lavoro. 10. Qual è il rapporto di miscela fra i due componenti (cemento e sabbia)?

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Calcolo di quantità di materiale Scavi e canalizzazioni

430

Introduzione a scavi e canalizzazioni I lavori con la terra comprendono l’asportazione di terra vegetale, l’esecuzione dei scavi generali, per canalizzazioni, incavi nel terreno, riempimento di spazi di lavoro e l’esecuzione di terrapieni.

Esercizi:

Il fondo di uno scavo è lungo 14.20 m e largo 11.10 m. La profondità è di 1.15 m. Le dimensioni esterne della casa sono di 12.50 m per 9.50 m. 1. Quanti m3 di materiale di scavo devono essere depositati per il successivo riempimento dello spazio attorno alla costruzione? 2. Quanti viaggi dovrà effettuare un autocarro con una possibilità di carico di 5 m3 per lo sgombero del materiale in esubero, se si considera un aumento del 20% dovuto al dissodamento?

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Calcolo di quantità di materiale Scavi e canalizzazioni

Esercizi:

431

Lo scavo generale di un grande progetto di costruzione deve essere eseguito fino a una profondità di 2.80 m. Il fondo dello scavo misura 23.80 m per 19.40 m e la scarpata ha una pendenza di 2:1. 3. Calcolare il volume dello scavo generale. 4. Sul fondo dello scavo si deve realizzare uno strato di calcestruzzo filtrante dello spessore di 20 cm. Quanto calcestruzzo filtrante deve essere ordinato? 5. Le scarpate dello scavo devono essere coperte con un foglio di plastica contro le intemperie. Qual è la superficie della scarpata? 6. Attorno alla corona dello scavo, alla distanza di 1 m viene effettuato uno scavo di drenaggio largo 20 cm. Quanti metri di tubo di drenaggio in plastica devono essere posati?

Uno scavo per canalizzazioni con un profilo a V deve essere eseguito su una lunghezza di 54.00 m e una profondità di 3.80 m. La larghezza del fondo dello scavo deve essere di 1.10 m e le scarpate hanno una pendenza di 3:1. 7. Calcola le misure superiori del profilo dello scavo. 8. Qual è il volume del materiale scavato considerando un aumento dovuto al dissodamento del 15%?

Durante l’allargamento di un tronco di strada lungo 84.00 m, il rapporto di pendenza della scarpata viene modificato da 1:1 a 2:1. 9. Calcola la quantità del materiale da scavare per un’altezza della scarpata di 2.30 m. 10. La superficie della nuova scarpata deve essere seminata. Quanta semenza occorre se si calcolano 35 g/m2? 11. Quanti metri quadrati di tela di juta servono per la protezione della superficie seminata?

Un deposito intermedio per il materiale di scavo misura alla base 18.00 m x 34.00 m e il rapporto di pendenza della scarpata è di 1:1 per un’altezza di 5.00 m. 12. Quanto materiale di scavo viene depositato? 13. Durante l’operazione di scavo e di trasporto, il materiale subisce un aumento del volume di dissodamento del 25%. Qual è il volume originario?

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Calcolo di quantità di materiale Scavi e canalizzazioni

Esercizi:

432

Uno scavo generale è da eseguire secondo la sezione rappresentata:

14. Qual è volume della terra vegetale se lo strato ha uno spessore di 30 cm? 15. Quanto materiale deve essere scavato e asportato e quanto materiale deve rimanere in cantiere per il riempimento? 16. Per l’isolamento termico si deposita direttamente sul fondo dello scavo uno strato di 50 cm di schiuma di vetro sciolta. Quanto materiale deve essere comandato considerando un fattore di addensamento di 1.2? 17. Il materiale sciolto di schiuma di vetro viene fornito in sacchi giganti (Big-Bags) di 2 m3. Quanti Big-Bags devono essere comandati?

Per una piccola casa di vacanza si devono eseguire gli scavi per le fondazioni come rappresentato nella pianta in scala 1:100.

18. Calcola il volume delle fondazioni indicate se la profondità dello scavo è di 45 cm. 19. Tra le fondazioni si scava ad una profondità supplementare di 15 cm per la massicciata di ghiaia. Qual è il volume dello scavo supplementare?

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Calcolo di quantità di materiale Scavi e canalizzazioni

Esercizi:

433

Lo scavo rappresentato per una condotta del gas deve essere eseguito per una lunghezza di 365 m. La condotta del gas sarà ricoperta di sabbia fino a 30 cm sopra il tubo e la parte superiore verrà riempita di materiale di scavo.

20. Calcola il volume del materiale da asportare e da depositare in cantiere considerando un aumento per dissodamento del 20%. 21. Che volume ha la sabbia da portare in cantiere calcolando un supplemento del 10% per l’addensamento?

Si deve eseguire uno scavo per canalizzazioni su una lunghezza di 28.35 m. La profondità supera 1.50 m e per questo lo scavo necessita della sbadacchiatura.

22. Quanti m3 di scavo sono eseguiti? 23. Quanti m2 di pareti dello scavo devono essere sbadacchiati?

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Calcolo di quantità di materiale Scavi e canalizzazioni

Esercizi:

434

Un canale per l’acqua esistente deve essere abbassato per essere in seguito impermeabilizzato e rivestito.

24. Calcola il volume del materiale secondo la nuova sezione di scavo per una lunghezza di 435.00 m. 25. Quanti viaggi dovranno essere eseguiti per il trasporto del materiale, se l’aumento di volume è del 20% e se il mezzo a disposizione può trasportare un carico utile di 4.5 m3? 26. Il canale viene ricoperto con uno foglio impermeabile fino a 30 cm dal bordo dello scavo. Calcola i m2 di fogli considerando un aumento del 6% per le sovrapposizioni. 27. Quanti m3 di materiale sono necessari per formare uno strato di ghiaia dello spessore di 15 cm?

Un terrapieno lungo 189 m viene eseguito secondo le seguenti indicazioni:

28. Calcola il volume del terrapieno completato. 29. Quanto materiale sciolto si deve trasportare considerando un aumento del 15%?

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Calcolo di quantità di materiale Scavi e canalizzazioni

Esercizi:

435

Una rampa d’accesso viene eseguita con materiale non gelivo e in seguito completata con un rivestimento di asfalto.

30. Quanto materiale è necessario per eseguire la rampa considerando un aumento del 12%? 31. Calcola l’area della superficie carrozzabile per l’asfaltatura.

Dopo la realizzazione di una paratia (profilati HEB e cls) si procede allo scavo generale tra due edifici esistenti.

PIANTA 32. Calcola il volume del materiale di scavo (senza paratia)?

SEZIONE A

33. Quanto calcestruzzo è necessario per la paratia considerando un aumento del 18% dovuto alle irregolarità delle pareti di scavo?

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Calcolo di quantità di materiale Calcestruzzo e calcestruzzo armato

440

Introduzione al calcestruzzo e al calcestruzzo armato Già nell’antichità si costruiva utilizzando materiali simili al calcestruzzo. In seguito all’evoluzione del cemento Portland, circa 150 anni fa, e al successivo impiego di acciaio di armatura con il calcestruzzo, sono state create le premesse per tutti gli elementi portanti di costruzione di sottostrutture.

Esercizi:

Si deve costruire un muro di confine lungo 14.76 m verso il terreno confinante. 1. Quanto calcestruzzo è necessario per eseguire uno strato di pulizia particolarmente spesso di 10 cm? 2. Quanto calcestruzzo si deve ordinare per le fondazioni a banchina? 3. Quanti metri quadrati di casseratura servono per tutta la lunghezza del muro? 4. Il muro e suddiviso in tre tappe di getto uguali. Quanto calcestruzzo serve per ogni tappa?

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Calcolo di quantità di materiale Lavori in calcestruzzo e calcestruzzo armato

Esercizi:

441

Una platea di fondazione rettangolare per una casa d’abitazione misura 22.80 m per 16.20 m e ha uno spessore di 35 cm. 5. Quanto calcestruzzo deve essere ordinato per la platea tenendo conto di due risparmi dal terreno naturale di 2.80 m per 1.30 m e 3.20 m per 1.90 m? 6. Quanto calcestruzzo è stato necessario per l’esecuzione precedente dello strato di pulizia dello spessore di 10 cm? 7. Quanti pannelli di casseratura della dimensione 250/50 cm sono stati necessari per il cassero di sponda della platea? 8. Qual è la massa dell’acciaio d’armatura considerando 8 kg per m2? Per le fondazioni a banchina di una casa monofamiliare il capo muratore ha rilevato le seguenti misure di scavo: a ) Pareti esterne, larghezza scavo 50 cm, lunghezza scavo 37.50 m b ) Pareti interne, larghezza scavo 40 cm, lunghezza scavo 19.80 m c) Pareti interne, larghezza scavo 35 cm, lunghezza scavo 7.65 m d ) Fondazione canna fumaria, allargamento 55 cm, lunghezza 65 cm 9. Quanto calcestruzzo serve per lo strato di pulizia dello spessore di 5 cm da stendere sotto le banchine di fondazione? 10. Quanto calcestruzzo serve per il getto delle fondazioni alte 35 cm? 11. Calcola quale larghezza e quale lunghezza devono avere le strisce di carta catramata necessarie per lo strato impermeabile posato sopra le fondazioni. Per l’esecuzione di un capannone devono essere costruiti 32 plinti di fondazione la cui base misura 80/80 cm, la sommità 60/60 cm e l’altezza 50 cm. 12. Calcola il calcestruzzo necessario per tutti i plinti. 13. Calcola l’area laterale di un singolo plinto. Nel muro perimetrale di uno scantinato lungo 9.30 m, alto 2.70 m e spesso 25 cm, vi sono 3 aperture, una di 0.80/2.00 m e due di 1.20/0.60 m senza mazzetta. 14. Calcola la quantità di calcestruzzo da ordinare per il getto del muro. 15. Quanti metri lineari di cassero sono necessari per le aperture per l’esecuzione dei risparmi senza soglia?

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Calcolo di quantità di materiale Calcestruzzo e calcestruzzo armato

Esercizi:

442

Nello scantinato di una casa monofamiliare sopra la platea di calcestruzzo si deve eseguire il betoncino in malta di cemento. Le misure dei locali sono: a ) Locale 1, misure 3.80 m per 4.25 m, spessore 12 cm b ) Locale 2, misure 4.70 m per 2.90 m, spessore 12 cm c) Locale 3, misure 2.30 m per 4.25 m, spessore 12 cm d ) Locale 4, misure 4.70 m per 1.29 m, spessore 15 cm 16. Calcola la quantità di calcestruzzo necessaria per tutti i pavimenti. 17. Quanta malta di cemento è necessaria per eseguire una cappa dello spessore di 2 cm in tutti i locali della cantina? Si deve procedere al getto di una soletta di calcestruzzo della lunghezza di 14.20 m e la larghezza di 11.50 m con un risparmio circolare del diametro 2.35 m per una scala a chiocciola. 18. Quanti m3 di calcestruzzo fresco devono essere ordinati? 19. Che superficie ha il cassero di sponda del risparmio circolare? Il silo di foraggio ha un diametro interno di 2.90 m, lo spessore della parete è di 20 cm e l’altezza è di 4.55 m a partire dalla platea. 20. Calcola l’area del cassero interno ed esterno. 21. Quanto calcestruzzo C 30/37; XC4; Dmax.32; CI 0.10; C3 è necessario per il getto della parete? 22. È richiesta l’aggiunta di un additivo plastificante al calcestruzzo CEM325 kg/m3. Quanti kg di additivo sono necessari per un dosaggio del 3% del peso del cemento? 23. Il silo viene ricoperto con uno strato protettivo. 1 kg di materiale ha una resa di 8-10m2. Quanto materiale deve essere ordinato? In una fattoria deve essere costruita una fossa biologica con le misure interne di 7.60/4.80/2.50 m. Lo spessore della platea, della soletta e delle pareti è di 25 cm e il passo d’uomo nella soletta misura 80/80 cm. 24. Presenta la procedura di costruzione, calcola le quantità di calcestruzzo per le diverse tappe di costruzione e la quantità totale da ordinare. 25. Per il calcolo rifletti anche sulle fasi di posa della casseratura, in seguito calcola l’area totale del cassero. 26. Determina il numero di puntelli necessari e la quantità di travetti necessari per il getto della soletta.

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Calcolo di quantità di materiale Calcestruzzo e calcestruzzo armato

Esercizi:

443

Per un magazzino si devono costruire 8 pilastri in calcestruzzo armato a fungo. 27. Calcola il volume del calcestruzzo per il getto di due pilastri. 28. Quantifica i m2 di casseratura per gli otto pilastri. 29. Che massa ha un pilastro se la densità del calcestruzzo è di 2’430 kg/m3?

Per l’impianto di depurazione deve essere costruito un contenitore. 30. Quanto calcestruzzo ordino per gettare il contenitore? 31. Qual è l’area interna del contenitore? 32. Qual è l’area esterna del contenitore?

Un muro di sostegno della lunghezza di 35.00 m deve essere eseguito in due tappe. 33. Calcola la quantità di calcestruzzo per la fondazione e l’elevazione di ogni tappa. 34. Quanti viaggi deve effettuare un veicolo adatto al trasporto di calcestruzzo fresco, se ha una capacità di carico di 5 m3? 35. Sulla parte anteriore del muro viene posto un cassero a vista. Quanto è grande la superficie da casserare? 36. La parte posteriore del muro viene coperta con vernice impermeabile. Quanto è grande la superficie?

Per una funivia si devono costruire 17 fondazioni per i piloni. Il calcestruzzo CEM l 42.5; 350 kg/m3 viene preparato sul posto. 37. Quanto calcestruzzo serve per tutti i piloni? 38. Calcola la quantità di aggregati e di leganti da preparare.

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Calcolo di quantità di materiale Muratura e intonaci

450

Introduzione a muratura e intonaci Nei lavori di muratura si utilizzano pietre naturali e artificiali combinate con le malte secondo regole stabilite. Le parti costruttive non a vista sono abbellite e protette con intonachi la cui funzione à appunto essenzialmente estetica e protettiva.

Esercizi:

Un vicino vuole delimitare la sua proprietà con un muro da giardino contro un posteggio dietro la chiesa. 1. Quanti mattoni silico-calcari K 18 (250/180/140 mm) devono essere comandati per l’esecuzione di questo muro lungo 15.40m e alto 1.65 m, se si calcolano 26 mattoni per m2 e un supplemento di 5% per lo scarto? 2. La parte posteriore del muro deve essere intonacata. Calcola la superficie da intonacare. 3. Come copertura della corona del muro sono previste lastre in pietra artificiale della lunghezza di ca. 60 cm. La sporgenza delle lastre è di 3 cm e lo spessore dei giunti è di 10mm. Quante lastre sono necessarie per coprire l’intera corona? 4. Calcola la lunghezza esatta delle lastre di copertura.

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Calcolo di quantità di materiale Muratura e intonaci

Esercizi:

451

Le pareti interne dello scantinato di una casa d’abitazione sono da costruire con mattoni di cemento. Secondo i piani le lunghezze dei muri sono di 9.37 m, 3.51m e 3.88 m. Nella sezione l’altezza dei muri è di 2.70 m. 5. Calcola la superficie delle pareti deducendo tre aperture di 80 cm x 2.30 m. 6. Quanti mattoni sono necessari se si calcolano 23 mattoni per m2 senza supplemento per lo scarto? 7. Quanta malta deve essere confezionata se per ogni m2 di muratura servono 31 litri di malta?

Indicazione:

Per rivestimenti a strati di intonaco la malta necessaria per m2 è uguale allo spessore in mm dello strato di malta (p. es. 15 mm 15 l / m2 ).

Esercizi:

Un bacino di contenimento di un serbatoio di 5.86 m per 3.25 m deve essere rivestito con un intonaco impermeabile fino a un’altezza di 1.25 m. 8. Calcola la quantità di malta necessaria per un rivestimento di 25 mm e considera un supplemento del 10% per perdite di malta durante l’applicazione. 9. Quanto cemento serve per l’intonaco impermeabile con una dosaggio di CEM l 42.5; 600 kg/m3? 10. Alla malta devi aggiungere un additivo resistente agli idrocarburi con un dosaggio dello 0.4% della massa di cemento. Quanti kg di additivi servono?

Accanto a un fienile viene costruita una casa d’abitazione. La parete del fienile deve essere ricostruita come muro tagliafuoco. 11. Calcola la superficie del muro tagliafuoco se la parete del fienile è larga 12.87 m, l’altezza della gronda è di 8.65 m e l’altezza del colmo è di 14.05 m. 12. Per l’esecuzione di un muro dello spessore di 25 cm servono 16.7 mattoni B 7.5/19 e B 15/19 per m2 di muratura. Quanti mattoni devono essere comandati calcolando un supplemento del 5% per lo scarto? 13. Quanta malta è necessaria per il muro tagliafuoco se si calcolano 37 l/m2?

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Calcolo di quantità di materiale Muratura e intonaci

Indicazione:

452

Con i valori d’uso è possibile calcolare il fabbisogno di materiale per l’esecuzione di un lavoro. Ad esempio per murature:

Spessore del cm 8 10 12.5 15 17.5 17.5

Esercizi:

Tipi di mattoni ZP 8 B 10 / 19 B 12.5 / 19 B 15 / 19 B 17.5 / 19 B 17.5 / 9 Calmo

mattoni (pz / m2 ) 10 16.7 16.7 16.7 16.7 33.3

Malta (l / m2 ) 11 19 24 29 33 43

Calcola il fabbisogno di mattoni e di malta con i seguenti dati: 14. Pareti divisorie spessore 8 cm, superficie 14.80 m2 15. Pareti portanti, spessore 12.5 cm, superficie 37.25 m2 16. Pareti portanti, spessore 15 cm, superficie 11.70 m2 17. Parete con isolazione fonica, spessore 17.5 cm, superficie 22.58 m2

Durante il riattamento l’impresario deve eseguire i sottofondi in tre locali. Le misurazioni hanno dato le seguenti misure: a ) Locale 1, dimensione 5.80 m per 4.25 m, spessore totale 10 cm b ) Locale 2, dimensione 4.70 m per 2.60 m, spessore totale 10 cm c) Locale 3, dimensione 1.40 m per 4.25 m, spessore totale 12 cm 18. Che lunghezza hanno le strisce di bordo se per le tre porte si devono dedurre 2.34 m? 19. Calcola l’area dello strato fonoassorbente di 3 cm. 20. Quanta malta di cemento deve essere ordinata per i sottofondi dei tre locali?

Sulla corona di un muro in calcestruzzo armato i risparmi per la posa di 16 montanti della ringhiera vengono riempiti. a ) I risparmi hanno una forma cilindrica del diametro di 18 cm e la profondità di 28 cm. b ) I montanti hanno una forma prismatica e una sezione di 4.5 cm per 6.5cm e penetrano nel risparmio per 22 cm. 21. Quanti litri di malta da colare servono al muratore per la posa dei montanti?

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Calcolo di quantità di materiale Muratura e intonaci

Esercizi:

453

Per un cancello d’entrata si devono costruire due pilastri di muratura a vista con mattoni “klinker”. 22. Quanti m3 di muratura in mattoni “klinker” sono da murare? 23. Le copertine di calcestruzzo da gettare sul posto hanno lo spessore di 8 cm e la sporgenza di 3 cm. Quanto calcestruzzo deve essere confezionato? 24. La muratura è protetta dalle intemperie con un liquido impermeabilizzante. Quanto liquido serve se per m2 servono 0.2 l?

Per un’autorimessa come da schizzo, si deve intonacare la facciata. 25. Quanto è grande la superficie tenendo conto degli stipiti larghi 18 cm? 26. Quanta malta è necessaria per l’intonaco di sottofondo di 20 mm e per la stabilitura di 6 mm? 27. Le aperture nelle pareti devono essere chiuse con fogli di polietilene. È sufficiente un pezzo di 8 m x 1.50 m?

Il dettaglio del passaggio della canna fumaria attraverso l’orditura del tetto è disegnato in scala 1:20, la canna fumaria è larga 70 cm. 28. Quanto calcestruzzo è necessario approssimativamente per creare una corona attorno alla canna fumaria? 29. Quanti aggregati e quanto cemento sono necessari per l’esecuzione di questo lavoro? 30. Quanti m3 di lana di roccia di 10 mm sono necessari tra la canna fumaria e l’anello di calcestruzzo?

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