VBTL 5/6 D-gevorderde wiskunde - Leerboek Combinatoriek en kansrekenen - inkijk methode (materiaal v

LEERBOEK

Combinatoriek

i Kansrekenen

D-finaliteit gevorderde wiskunde

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Dit boek bevat twee hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond.

Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur.

Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets.

Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

Welkom in de boeiende studie van combinatoriek en kansrekenen.

In de combinatoriek zullen de formules voor variaties, permutaties en combinaties het werkinstrument worden bij het oplossen van telproblemen. Hierbij zal het aantal gevallen soms zodanig toenemen dat een visuele voorstelling (zoals dit boomdiagram in King’s Cross, een station in Londen) niet meer mogelijk is. Mooie toepassingen zijn de driehoek van Pascal en het binomium van Newton.

Bij kansrekenen leggen we de klemtoon op boomdiagrammen en de wet van Laplace die enkel geldt als de uitkomsten bij een kansexperiment even waarschijnlijk zijn. We maken ook kennis met verschillende kanswetten die de plaats innemen van boomdiagrammen als die te ingewikkeld worden. Uiteindelijk schotelen we de kruistabellen voor : een handige voorstelling om snel voorwaardelijke kansen af te lezen.

De auteurs van VBTL wensen je veel plezier met deze twee bijzondere takken van de wiskunde.

Geschiedenis van de combinatoriek en de kansrekening

De combinatoriek en de kansrekening vormen een onderdeel van de wiskunde dat pas vrij laat tot ontwikkeling is gekomen. Kansspelen bestaan echter al duizenden jaren. In de prehistorie werd er al gespeeld en gegokt met een sprongbeen, een voorloper van onze huidige dobbelsteen. In Ur, een stad in het oude Mesopotamië, is een bordspel teruggevonden met dobbelstenen in de vorm van een viervlak. Op Egyptische grafschilderingen uit 3500 voor Christus zijn er mensen te zien die met astralagi of hielbotjes dobbelden. Ook bij de Grieken was het dobbelen een bekend gokspel (de

drie broers Zeus, Poseidon en Hades dobbelden zelfs om de heerschappij over het heelal : Zeus won de hemelen, Poseidon de zeeën en Hades, de verliezer, kreeg de onderwereld).

De eerste vraagstukken over telproblemen treffen we aan in India in de 12e eeuw bij Bhaskara II (1114–1185). Toch duurde het tot de 14e eeuw voordat wiskundigen zich echt met gokspelletjes zouden bezighouden. Een eerste belangrijke vraagstuk, het ‘partijenvraagstuk’, vinden we in een Italiaans geschrift van 1380, maar een oplossing kwam er niet. “Twee partijen spelen een balspel waarbij punten gescoord kunnen worden. Ze hebben allebei evenveel kans om een punt te scoren. Er is geen tijdsduur voor het spel vastgelegd en de partij die als eerste 6 punten gescoord heeft, wint de pot van 60 dukaten. Wegens slechte weersomstandigheden moet het spel bij de stand 5–3 gestaakt worden. Er wordt besloten om de pot te verdelen. De vraag is hoe dat moet gebeuren.”

Halfweg de 17e eeuw kreeg de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623–1662) het bovenstaande partijenvraagstuk voorgelegd door de Franse edelman en verwoed gokker Chevalier de Méré. Die schotelde hem ook andere kansproblemen voor die hij zelf niet kon oplossen. Pascal stortte zich samen met Pierre de Fermat (1601–1665), jurist van beroep en raadsheer bij de rechtbank van Toulouse, op de vraagstukken en rond 1655 waren de meeste ervan opgelost. Noem de twee heren dus gerust de grondleggers van de kansrekening zoals we die tegenwoordig nog steeds beoefenen.

Blaise Pascal

Twee Italianen onderzochten dit vraagstuk een eeuw later, maar ze kwamen tot een andere oplossing : wiskundige Luca Pacioli (1445–1517) en zijn collega Girolamo Cardano (1501–1576), die eigenlijk arts was van opleiding. Die laatste was de auteur van het boek over kansspelen Liber de ludo aleae, en dat was de eerste praktische start voor de kansrekening.

Pascal werkte zijn theorie uit in zijn boek Traité du triangle arithmétique, dat verscheen in 1666 na zijn dood. In dit boek gebruikte hij de driehoek van Pascal om deze problemen aan te pakken. Verder gebruikte hij bij de oplossing van zijn kansproblemen telsystemen die al veel eerder waren ontdekt. Hij werkte namelijk met permutaties en combinaties, wat al omstreeks 850 beschreven werd door de Indische wiskundige Mahariva (±800–870).

Onder invloed van de handel en de ontdekkingsreizen kwamen tussen de 15e en de 17e eeuw in Italië en in Holland de eerste verzekeringsmaatschappijen op. Er ontstond daarbij behoefte aan werken met kansen om de risico’s op uitbetaling te berekenen. De Nederlandse geleerde Christiaan Huygens (1629–1695) publiceerde in 1657 zijn boek over kansrekening Van rekeningh in Spelen van Geluck. Verscheidene problemen over kansspelen werden in deze publicatie opgelost.

Girolamo Cardano

Christiaan Huygens

Ook de albekende Duitser Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) deed zijn duit in het zakje met zijn boek De arte combinatoria van 1666 ; daar voerde hij de benaming variatie in. Raadspensionaris van Holland Johan de Witt (1625–1672) paste Huygens’ ideeën toe op het verzekeringswezen. In zijn Waerdije van Lijfrenten naar Proportie van Losrenten uit 1671 berekende hij de sterftekansen die gebruikt werden bij het afsluiten van levensverzekeringen.

De Engelse koopman John Graunt (1620–1674) maakte in 1662 voor het eerst schattingen van dergelijke sterftekansen. Dat was een hele prestatie, want systematisch bevolkingsgegevens bijhouden deden ze toen nog niet. Hij zorgde er ook voor dat de eerste firma’s die levensverzekeringen afsloten, gebruik konden maken van zijn statistieken. Zijn gegevens werden ook gebruikt om lijfrenten te berekenen. We kunnen dus stellen dat de eerste systematische behandeling van de kansrekening dateert uit het midden van de 17e eeuw.

John Graunt

Gottfried Wilhelm Leibniz

In de 18e eeuw werd de theoretische basis gelegd van deze ontluikende wetenschap door de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654–1705) in zijn werk Ars conjectandi Daarin werd voor het eerst gewerkt met kansen tussen 0 en 1. In dit werk is ook het boek van Huygens opgenomen en aangevuld met onder meer een grondige behandeling van de combinatieleer. Aan Bernoulli hebben we ook de benaming permutatie te danken. Ook de Britse wiskundige Abraham de Moivre (1667–1754) zette de studie van Huygens voort in zijn boek Doctrine of Chances, dat hij publiceerde in 1716.

De kansrekening werd een autonome wetenschap dankzij Gauss (1777–1855) en vooral dankzij Pierre-Simon Laplace (1749–1827) met zijn beroemde werk Théorie analytique des probabilités, dat in 1812 het signaal was voor een buitengewone ontwikkeling van de jonge wetenschap.

In dit boek wordt de kans ingevoerd via de formule die je ook op blz. 81 vindt. In de 20e eeuw is tegen deze vorm van de definitie gereageerd door terug te grijpen naar het begrip relatieve frequentie, dat in feite ook al Pascal en Fermat had geïnspireerd.

Tegenwoordig wordt algemeen uitgegaan van een axiomatisch systeem dat we danken aan de Russische wiskundige Andrej Kolmogorov (1903–1987) met zijn werk Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1933). Sindsdien werd het wiskundige instrument op punt gesteld ten dienste van andere wetenschappen en van de techniek. De bepaling van risico’s speelt tegenwoordig een belangrijke rol voor bedrijven, vooral voor financiële instellingen zoals banken en verzekeringsmaatschappijen.

Andrej Kolmogorov

Jakob Bernoulli

Carl Friedrich Gauss

1

2

Als acht deelnemers de finale van een 100 meter lopen, weet je wellicht nog van vorig jaar hoe je het aantal mogelijke podiums kunt berekenen. Iets moeilijker wordt het om te berekenen op hoeveel verschillende manieren ze over de finish kunnen lopen. Maar wat dan te zeggen over de marathon van Boston, een van de grootste ter wereld die jaarlijks zo’n 20 000 deelnemers telt … Combinatoriek schuilt in talloze voorbeelden en kun je ook toepassen in evenveel dagdagelijkse situaties. Net als de Boston Marathon zelf is dit brokje wiskunde erg boeiend om mee te maken!

© Boston Athletics Association

Combinatoriek

1.4

1.1 Inleiding

1 Noodzaak tot formalisering

In het vierde jaar heb je al kennisgemaakt met eenvoudige telproblemen. Om die op te lossen, leerde je het aantal elementen van een verzameling tellen met behulp van figuren of schema’s. Dat kan als volgt :

a Door ze aanschouwelijk voor te stellen

1 Boomdiagram

We stellen een probleem schematisch voor met takken en vertakkingen van een boom. Het totale aantal mogelijkheden is het product van de vertakkingsaantallen per niveau.

2 Wegendiagram

Daarin vind je het aantal mogelijkheden door het aantal wegen tussen de knooppunten te vermenigvuldigen.

3 Rooster

Het aantal wedstrijden in een competitie met 4 voetbalploegen is in het rooster af te lezen. Het aantal is 12.

4 Systematisch noteren van de mogelijkheden Stijn, Dries en Karlien kunnen op 6 manieren achter elkaar staan.

5 Venndiagram

De gegevens worden overzichtelijk voorgesteld in een venndiagram. We bepalen eerst A ∩ B ∩ C en vullen dan verder aan.

6 Driehoek van Pascal

Het getallenpatroon van deze driehoek wordt gebruikt om het aantal wegen tussen 2 punten A en B te tellen.

b Door gebruik te maken van de volgende regels

1De productregel (vermenigvuldigingsregel)

SKD DKS KSD

Hetexperimentbestaatuithandeling1ENhandeling2EN...ENhandeling k #(A1 × A2 × × Ak ) = #A1 · #A2 · · #Ak = n

2De somregel (inclusie-exclusieprincipe)

Hetexperimentbestaatuithandeling1OFhandeling2.

A ∩ B = ∅ :#(A ∪ B) = #A + #B #(A ∩ B)

A ∩ B = ∅ (AenBzijndisjunct):#(A ∪ B) = #A + #B

3De complementregel (ontkenning)

Wegaanoverophetcomplement AvanA: #A + #A = #(A ∪ A) = #U

2De somregel (inclusie-exclusieprincipe)

Hetexperimentbestaatuithandeling1OFhandeling2.

A ∩ B = ∅ :#(A ∪ B) = #A + #B #(A ∩ B)

A ∩ B = ∅ (AenBzijndisjunct):#(A ∪ B) = #A + #B

3De complementregel (ontkenning)

Wegaanoverophetcomplement AvanA:

#A + #A = #(A ∪ A) = #U wantA ∩ A = ∅ enA ∪ A = U dus:#A = #U #A met#U = totaalaantalmogelijkheden #A = mogelijkhedendienietinaanmerkingkomen

4 Duivenhokprincipe

Worden n voorwerpengeplaatstin r doosjes (n > r ),danisereendoosjemetminimaaltweevoorwerpen.

De combinatoriek is een zekere formalisering van die telproblemen. In dit hoofdstuk zullen de zogenaamde formules uit de combinatoriek ons werkinstrument zijn bij het oplossen van telproblemen.

Voorbeeld 1 :

In de posterwinkel hebben ze mooie replica’s van vier schilderijen van Van Gogh. Je kunt kiezen tussen drie soorten lijsten om ze in te kaderen. Hoeveel mogelijke keuzes kan Lise maken als ze een schilderij voor haar oma wil kopen ?

Oplossing :

We maken een boomdiagram met de mogelijke keuzes.

lijst model A

replica 1

replica 2

replica 3

replica 4

Antwoord :

lijst model B

lijst model C

lijst model A

lijst model B

lijst model C

lijst model A

lijst model B

lijst model C

lijst model A

lijst model B

lijst model C

Lise kan in totaal 4 · 3 = 12 keuzes maken bij de aankoop van een ingelijste replica van Van Gogh.

Veronderstel dat er 20 mogelijke replica’s zijn en 12 soorten lijsten in 4 verschillende houtsoorten. Het opstellen van een boomdiagram is dan niet meer het aangewezen middel om alle mogelijke keuzes te bepalen.

We kunnen dit probleem wel nog oplossen met de productregel : #replica’s · #lijsten · #houtsoorten = 20 · 12 · 4 = 960

In dat geval zijn er 960 mogelijke keuzes bij de aankoop van een replica.

Voorbeeld 2 :

Een grootmoeder wil graag twee van haar zes kleinkinderen (Anke, Bert, Carsten, Daisy, Elke en Fanny) meenemen naar een plaatselijke boekenbeurs. Op hoeveel manieren kan ze een keuze maken ?

Oplossing :

We zetten alle mogelijkheden op een rijtje :

Anke & Bert

Anke & Carsten Bert & Carsten

Anke & Daisy Bert & Daisy Carsten & Daisy

Anke & Elke Bert & Elke Carsten & Elke Daisy & Elke

Anke & Fanny Bert & Fanny Carsten & Fanny Daisy & Fanny Elke & Fanny A

Antwoord :

Ze kan op 15 mogelijke manieren twee kleinkinderen meenemen naar de boekenbeurs.

Veronderstel dat je zes getallen moet kiezen uit de getallen 1 tot 45 (zoals bij de Lotto). Heel waarschijnlijk ben je meer dan een dag bezig om alle mogelijkheden op te schrijven. Het opstellen van algemene formules (formalisering) is dus noodzakelijk.

2 n-faculteit

In wat volgt hebben we regelmatig producten nodig van opeenvolgende natuurlijke getallen, zoals :

6 5 4 3 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Hiervoor kennen we al de verkorte notatie faculteit.

Voorbeelden :

2 ! = 2 5 ! = 120

=

Merk op dat :

of algemeen :

Faculteit

De notatie n ! en de benaming faculteit werden in 1808 door de Franse wiskundige Christian Kramp (1760 –1826) ingevoerd. Hij studeerde geneeskunde maar had een uiterst breed interesseveld, gaande van de kristallografie tot … de wiskunde.

Toen Keulen in 1794 voor een kleine twintig jaar onder Frans bewind kwam te staan, doceerde hij er verschillende jaren wiskunde, chemie en fysica. Hij werd professor in zijn geboortestad Straatsburg in 1809 en werkte ook voor de Franse Académie des Sciences.

3 Geordende of ongeordende keuzes, zonder of met herhaling

Probleemstelling :

Een basketbalcoach kreeg twee ballen cadeau van een fabrikant. Op hoeveel manieren kan de coach de ballen verloten onder de zeven spelers die op de training aanwezig zijn (Ahmed, Billy, Cas, Daan, Eva, Florian en Guus)?

SITUATIE 1

De ballen zijn duidelijk verschillend en er wordt afgesproken dat één speler slechts één bal kan winnen.

Oplossing :

Bal A wordt verloot. Er zijn zeven kandidaten, m.a.w. 7 mogelijkheden.

Bal B wordt verloot. Er zijn nog zes kandidaten, m.a.w. 6 mogelijkheden.

De 42 mogelijkheden kun je als volgt opschrijven :

CF, BD, EG, FG, …

CF = Cas heeft bal A, Florian heeft bal B

Merk op : CF ≠ FC ; CC kan niet.

Antwoord :

De coach kan op 42 manieren de 2 verschillende ballen verloten onder 7 spelers als één speler slechts één bal mag winnen.

Dit is een voorbeeld van een telprobleem waarbij de volgorde van de keuze belangrijk is en herhaling niet mag.

Dit noemen we een variatie

SITUATIE 2

De ballen zijn nog steeds duidelijk verschillend en er wordt afgesproken dat één speler (als hij geluk heeft) twee ballen kan winnen.

Oplossing :

Bal A wordt verloot. Er zijn zeven kandidaten, m.a.w. 7 mogelijkheden.

Bal B wordt verloot. Er zijn opnieuw zeven kandidaten, m.a.w. 7 mogelijkheden.

Totaal aantal mogelijkheden : 7 · 7 = 49

De 49 mogelijkheden kun je als volgt opschrijven :

CF, BD, AA, FG, …

CF = Cas heeft bal A, Florian heeft bal B

Merk op : CF ≠ FC ; CC mag.

Antwoord :

De coach kan op 49 manieren de 2 verschillende ballen verloten onder 7 spelers als één speler twee ballen mag winnen.

Dit is een voorbeeld van een telprobleem waarbij de volgorde van de keuze belangrijk is en herhaling mag.

Dit noemen we een herhalingsvariatie

SITUATIE 3

De ballen zijn nu identiek en er wordt afgesproken dat één speler slechts één bal kan winnen.

Oplossing :

Bal A wordt verloot. Er zijn zeven kandidaten, m.a.w. 7 mogelijkheden.

Bal B wordt verloot. Er zijn nog zes kandidaten, m.a.w. 6 mogelijkheden.

Totaal aantal mogelijkheden bij het verloten van de ballen : 7 6 = 42

Maar omdat hier CF = FC (de ballen zijn immers identiek en voor Cas speelt het geen rol of hij bij de eerste loting of bij de tweede loting prijs heeft) heb je elke oplossing twee keer. We moeten bijgevolg delen door twee.

Totaal aantal mogelijkheden : 42 : 2 = 21

De 21 mogelijkheden kun je als volgt opschrijven :

AB, CF, BG, BE, DF, …

CF = Cas en Florian hebben elk een bal

Merk op : CF = FC ; CC kan niet.

Antwoord :

De coach kan op 21 manieren twee identieke ballen verloten onder 7 spelers als één speler slechts één bal mag winnen.

Dit is een voorbeeld van een telprobleem waarbij de volgorde van de keuze niet belangrijk is en herhaling niet mag. Dit noemen we een combinatie

SITUATIE 4

De ballen zijn nog steeds identiek en er wordt afgesproken dat één speler (als hij geluk heeft) twee ballen kan winnen.

Oplossing :

Dit is dezelfde situatie als de vorige keer met dit verschil dat de mogelijkheden AA, BB, CC, DD, EE, FF en GG nu ook kunnen voorkomen.

M.a.w. er zijn 21 + 7 = 28 mogelijkheden.

De 28 mogelijkheden kun je als volgt opschrijven :

AA, CF, BG, EF, BB, …

CF = Cas en Florian hebben elk een bal

Merk op : CF = FC ; CC mag.

Antwoord :

De coach kan op 28 manieren twee identieke ballen verloten onder 7 spelers als één speler twee ballen mag winnen.

Dit is een voorbeeld van een telprobleem waarbij de volgorde van de keuze niet belangrijk is en herhaling mag. Dit noemen we een herhalingscombinatie.

4 De productregel

Voorbeeld : hemden en broeken

Matteo heeft 4 verschillende hemden en 2 verschillende broeken.

Op hoeveel verschillende manieren kan hij zich kleden met een hemd en een broek ?

Uit de volgende figuur volgt onmiddellijk dat het antwoord 8 is.

We kunnen ook een boomdiagram gebruiken :

Stel

C wordt de productverzameling van A en B genoemd.

Notatie : C = A × B met #C = 8 = 4 · 2 = #A · #B

Hieruit volgt de productregel :

Productregel : #( A × B) = #A #B

Opmerking :

Die regel geldt ook voor het product van 3 of meer verzamelingen.

Aantal kledingcombinaties = aantal hemden maal aantal broeken, dus 4 2 = 8.

5 De somregel

In een klas zitten 25 leerlingen. Op de vraag ‘Wie is er lid van een jeugdvereniging ?’ antwoorden volgende leerlingen positief : Ofelia, Isolde, Frauke, Michau, Nigel en Joachim. Op de vraag ‘Wie is er aangesloten bij een sportvereniging ?’ antwoorden Joachim, Rozalie, Isolde en Jarne positief.

Hoeveel leerlingen zijn nu aangesloten bij een jeugdvereniging OF een sportvereniging ?

Oplossing :

We plaatsen de leerlingen in een diagram, waarbij links de leden van de jeugdvereniging (A) en rechts de leden van de sportclub (B) zitten.

We merken dat in de doorsnede twee leerlingen zitten. Zowel Isolde als Joachim zit in een sportclub en een jeugdvereniging.

Om het totale aantal leerlingen te hebben, tellen we het aantal leden van de jeugdbeweging op met het aantal van de sportclub. Maar dan hebben we Isolde en Joachim (de doorsnede) twee keer meegeteld. Vandaar dat we dat aantal één keer zullen aftrekken.

Het juiste aantal leerlingen aangesloten bij een jeugd- of een sportvereniging is dus 6 + 4 – 2 = 8.

Somregel :

Als A ∩ B ≠ ∅, dan is #(A ∪ B) = #A + #B – #(A ∩ B)

Ofelia Isolde Frauke

Michau Nigel Joachim Jarne Rozalie A ∩ B A B

Als A ∩ B = ∅, dan is #(A ∪ B) = #A + #B (A en B zijn disjunct)

Andere toepassingen :

Hoeveel getallen kleiner dan 100 zijn een veelvoud van 2 of 3 ?

Hoeveel leerlingen van je klas zijn in januari of februari jarig ?

6 De complementregel

Voorbeeld 1 :

Bij het coderen van een bepaald toestel moeten getallen gevormd worden van vier cijfers, gebruikmakend van de cijfers 9, 8, 7, 6 en 5. Het cijfer 6 moet minstens één keer voorkomen (A). Hoeveel mogelijkheden zijn er ?

Oplossing :

Dit probleem kunnen we oplossen door eerst het totale aantal getallen te berekenen van vier cijfers die gemaakt kunnen worden met de cijfers 5, 6, 7, 8 en 9 (U)

Er zijn 5 5 5 5 = 54 = 625 mogelijkheden.

Vervolgens berekenen we het aantal getallen van vier cijfers waar het cijfer 6 NIET in voorkomt (A) A noemen we het complement van A.

Er zijn 4 4 4 4 = 44 = 256 mogelijkheden.

We berekenen het verschil van beide resultaten : 625 – 256 = 369.

Antwoord : er zijn 369 combinaties van vier cijfers mogelijk met de cijfers 9, 8, 7, 6 en 5 waarbij 6 minstens één keer voorkomt.

Complementregel :

Als A het complement is van A, dan is #A = #U – #A U A A –

Voorbeeld 2 :

Hoeveel woorden van vier verschillende letters (met of zonder betekenis) kunnen we vormen met de letters van het woord ‘wiskunde’ zodat er minstens één klinker in voorkomt ?

Oplossing :

We bepalen het aantal woorden met vier verschillende letters uit ‘wiskunde’ :

8 7 6 5 = 1680

We bepalen het aantal woorden met vier verschillende letters zonder klinker (dus enkel met de medeklinkers W, S, K, N, D) :

5 4 3 2 = 120

Door toepassing van de complementregel bekomen we het aantal woorden met vier verschillende letters waar minstens één klinker in staat. Dat zijn 1680 – 120 = 1560 mogelijkheden.

7 Samenvatting

• Je weet wat n ! betekent.

∀ n ∈ N0\{ 1}: n ! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1 0 ! = 1 1 ! = 1

• Je kent de 4 types keuzes die je kunt maken om telproblemen op te lossen.

volgorde belangrijk, geordend volgorde niet belangrijk, ongeordend zonder herhaling variatie combinatie met herhaling herhalingsvariatie herhalingscombinatie

• Je kunt gebruikmaken van de productregel (of vermenigvuldigingsregel).

Het experiment bestaat uit handeling 1 EN handeling 2 EN … EN handeling k .

#( A1 × A2 × × Ak ) = #A1 #A2 #Ak = n 1 ⋅ n 2 ⋅ … ⋅ n k

• Je kunt gebruikmaken van de somregel.

Het experiment bestaat uit handeling 1 OF handeling 2.

A ∩ B ≠ ∅ : #( A ∪ B) = #A + #B – #( A ∩ B)

A ∩ B = ∅ ( A en B zijn disjunct): #( A ∪ B) = #A + #B

• Je kunt gebruikmaken van de complementregel. We gaan over op het complement A van A :

#A + #A = #( A ∪ A) = #U want A ∩ A = ∅ en A ∪ A = U

#A = #U – #A met #U = totaal aantal mogelijkheden #A = aantal mogelijkheden die niet in aanmerking komen U A A –

8 Oefeningen

Bereken.

a8! 7!

b 22! 18!

Toon aan dat :

a (n + 1) n ! =(n + 1

b n ! = n (n 1) !d

Als je 225 ! op je rekenmachine wil uitrekenen, dan lukt dat niet. Toch kun je 225! 221! uitrekenen. Hoe ?

Voor welke waarden van n ∈ N geldt : 108 < n ! < 1012 ?

Voor een tafeltennistoernooi zijn 10 leerlingen ingeschreven, die eerst elk precies één keer tegen alle deelnemers spelen. De beste vier spelers spelen (na loting) de halve finales en ten slotte volgt de finale.

a Hoeveel wedstrijden worden er in totaal gespeeld ?

b Hoeveel wedstrijden heeft de kampioen gespeeld ?

Jonas en Kim spelen een tenniswedstrijd tot een van beiden drie sets gewonnen heeft.

a Noteer alle mogelijkheden.

b Op hoeveel manieren kan de partij verlopen ?

Een bowlingclub laat een nieuwe vlag ontwerpen die bestaat uit drie horizontale banen.

Elke baan moet groen, oranje of paars zijn.

Twee naast elkaar gelegen banen mogen niet dezelfde kleur hebben.

Hoeveel mogelijke ontwerpen zijn er ?

In een scholengemeenschap met 8642 leerlingen wordt elke leerling aangegeven met een code bestaande uit de letters r, s, t, u en v. Uit hoeveel letters moet zo’n code minimaal bestaan om elke leerling een code te kunnen geven ?

Thomas staat op, doet zijn kast open en ziet 3 broeken, 4 sweaters, 6 T-shirts, 8 boxershorts, 4 soorten kousen en 2 paar schoenen liggen. Op hoeveel manieren kan hij zich kleden ?

Een restaurant in het stadscentrum beweert dat klanten bij hen kunnen kiezen uit meer dan 200 menu’s. Op de menukaart staat het volgende :

– soep of kaaskroketjes

– falafel, zalm of kip

• met frietjes, stoemp of couscous

• met een fris slaatje, gegrilde groenten of wokgroentjes

– desserts

Hoeveel verschillende desserts moeten er minstens op de kaart staan als er inderdaad keuze is uit meer dan 200 menu’s ?

Hier keuze uit meer dan 200 menu’s : soep / kaaskroketjes + falafel / zalm / kip

☛ met frietjes, stoemp of couscous

☛ met een fris slaatje, gegrilde groenten of wokgroentjes +

Over welk type telprobleem is er sprake in de onderstaande gevallen ?

desserts

geordend of niet herhaling toegelaten of niet type

a 20 stukken van 1 euro verdelen onder 3 broers.

b Een vlag met drie verschillende kleuren maken als je over 6 kleuren beschikt.

c Een getal met 4 cijfers vormen als je alleen oneven cijfers mag gebruiken.

d 3 kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten.

e Het bepalen van de 6 lottocijfers.

f Een afgevaardigde en een plaatsvervanger kiezen voor de leerlingenraad in een klas met 20 leerlingen.

g Hans en Grietje die een drankje bestellen.

h 8 gebakjes kiezen bij de bakker als die 3 soorten gebak heeft.

Op hoeveel manieren kun je uit 7 kleuren twee kleuren kiezen als :

a de volgorde belangrijk is en herhaling niet mag ?

b de volgorde belangrijk is en herhaling mag ?

c de volgorde niet belangrijk is en herhaling niet mag ?

d de volgorde niet belangrijk is en herhaling mag ?

De pincode van een gsm bestaat uit vier cijfers.

a Hoeveel mogelijke pincodes zijn er ?

b Hoeveel pincodes zijn er mogelijk met vier verschillende cijfers ?

c Hoeveel pincodes zijn er mogelijk met vier verschillende oneven cijfers ?

d Hoeveel pincodes zijn er mogelijk die eenmaal het cijfer 3 en tweemaal het cijfer 1 bevatten ?

e Hoeveel pincodes zijn er mogelijk bestaande uit vier verschillende cijfers die de cijfergroep ‘23’ bevatten ?

f Hoeveel pincodes bestaande uit vier verschillende cijfers zijn deelbaar door 5 en bevatten niet de cijfers 0 en 9 ?

Je beschikt over zes verschillende kleuren verf.

Op hoeveel manieren kun je deze figuur kleuren als :

a alle figuren onderling een verschillende kleur moeten hebben die ook verschilt van de achtergrondkleur ?

b elke figuur een kleur moet hebben verschillend van de achtergrondkleur. Onderling kunnen de figuren dezelfde kleur hebben.

Je beschikt over vier verschillende kleuren verf.

Op hoeveel manieren kun je volgende draaischijf kleuren ?

De drie sectoren zijn even groot en hebben een verschillende kleur.

Op hoeveel manieren kan een kleuterjuf vier dezelfde speelgoedautootjes verloten onder drie kleuters (m.a.w. één kleuter kan de vier autootjes winnen)?

Alle dobbelstenen zien er hetzelfde uit. Leg je de zes onderaan, dan ligt altijd de één bovenaan. Leg je nu de vijf vooraan, dan ligt links van de vijf de drie, rechts van de vijf de vier en tegenover de vijf de twee. Veronderstel dat je willekeurig de cijfers 1 t.e.m. 6 op een dobbelsteen zou mogen plaatsen. Hoeveel verschillende dobbelstenen kun je dan maken ?

Dries stelt mengelingen van noten en gedroogd fruit samen. Hij koopt daarvoor voldoende cashewnoten, walnoten en hazelnoten. Hij haalt ook gedroogde frambozen, abrikozen, vijgen en braambessen in huis. Dries maakt alleen mengelingen waar minstens twee soorten noten en minstens drie soorten fruit in zitten, telkens 100 gram per soort. Hoeveel verschillende mengelingen kan hij maken ?

(A) 12 (B) 15 (C) 16 (D) 18 (E) 20

VWO 2022 tweede ronde, vraag 6 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

We noteren n ! voor het product van de natuurlijke getallen 1 tot en met n . Zo is 3! = 1 2 3 = 6. Wat is het kleinste natuurlijke getal n waarvoor n ! groter is dan 3n ?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

VWO 2022 tweede ronde, vraag 8 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Zeven gymnasten maken een menselijke piramide zoals in de figuur. Ze hebben allemaal een verschillend nummer op de voorkant van hun gympak. Ze moeten zich opstellen voor de jury zodanig dat elke gymnast enkel gymnasten met een hoger nummer ondersteunt. Hoeveel verschillende piramides kunnen zij vormen ?

(A) 24 (B) 48 (C) 80 (D) 180 (E) 360

VWO 2022 tweede ronde, vraag 25 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

We noteren n ! voor het product van de natuurlijke getallen 1 tot en met n . Zo is 4! = 1 2 3 4 = 24. Waaraan is het product 3 6 9 999 gelijk ?

(A) 3 333! (B) 3333 333! (C) 999! 333! (D) (333!)3 (E) 999!

VWO 2023 eerste ronde, vraag 20 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Jasper heeft een rode, een oranje, een gele, een groene en een blauwe stift. Hij wil die zo op een rij leggen dat: - rood niet de laatste stift in de rij is; - geel altijd juist voor groen komt; - en oranje niet juist naast blauw ligt. Op hoeveel manieren kan Jasper dat doen?

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11

VWO 2024 eerste ronde, vraag 12 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

1.2 Telproblemen zonder herhaling

1 Variaties

Voorbeeld 1 : loopwedstrijd

Zes vrienden (Arnoud, Bert, Carsten, Dries, Evert en Faroek) houden een loopwedstrijd.

Op hoeveel manieren kunnen de podiumplaatsen (goud, zilver en brons) worden verdeeld ?

We geven enkele mogelijkheden :

ABC (= Arnoud goud, Bert zilver en Carsten brons)

CAB, BED, FAC, ACF, …

Het is duidelijk dat de volgorde van aankomst belangrijk is. Ook kan elke persoon ten hoogste één podiumplaats bekleden, m.a.w. herhaling is niet toegestaan. Dit is een duidelijk geval van een variatie.

Omdat we voor de ereplaatsen drie personen halen uit een reeks van zes kandidaten, spreken we van een variatie van 3 elementen uit 6.

Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Voor de eerste plaats, het goud, zijn er 6 mogelijkheden.

Voor de tweede plaats, het zilver, zijn er nog 5 mogelijkheden, want de persoon die goud haalde doet niet meer mee voor het zilver.

Voor de derde plaats, het brons, zijn er nog 4 mogelijkheden.

In totaal zijn er voor de drie ereplaatsen dus 6 · 5 · 4 = 120 mogelijkheden.

Notatie: V 3 6 = 6 5 4 = 120

Uitbreiding 1 :

In plaats van zes vrienden lopen er nu n personen mee voor de drie ereplaatsen.

Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Voor de eerste plaats, het goud, zijn er n mogelijkheden.

Voor de tweede plaats, het zilver, zijn er nog n – 1 mogelijkheden.

Voor de derde plaats, het brons, zijn er nog n – 2 mogelijkheden.

In totaal zijn er voor de drie ereplaatsen dus n ( n – 1) ( n – 2) mogelijkheden.

Notatie: V 3 n = n (n 1) (n 2)

Uitbreiding 2 :

Veronderstel dat er p ( p ⩽ n ) ereplaatsen zijn voor n lopers. Hoeveel mogelijkheden zijn er dan ?

Voor de eerste plaats zijn er n mogelijkheden.

Voor de tweede plaats zijn er n – 1 mogelijkheden.

Voor de derde plaats zijn er n – 2 mogelijkheden.

Voor de p -de plaats zijn er n – ( p – 1) = n – p + 1 mogelijkheden.

Notatie: V p n = n · (n 1) · (n 2) · · (n p + 1)

Algemeen :

Een variatie van p elementen uit n elementen ( p ⩽ n ) is een geordend p -tal van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

Notatie : het aantal variaties van p elementen uit n elementen noteren we als Notatie: ∀n , p ∈ N0 en p ⩽ n : V p n = n (n 1) (n 2) (n p + 1) .

Notatie: ∀n , p ∈ N0 en p ⩽ n : V p n = n · (n 1) · (n 2) · · (n p + 1)

Verder stellen we V 0 n = 1en V 0 0 = 1 .

Het is blijkbaar niet nodig de formule letterlijk uit het hoofd te leren. We schrijven eerst de grootste factor n op en vullen daarna aan met natuurlijke getallen die telkens een eenheid kleiner zijn. We stoppen zodra er p factoren staan.

Andere vorm voor de formule :

V p n = n · (n 1) · (n 2) · · (n p + 1)

= n (n 1) (n 2) ... (n p + 1) (n p ) !

= n ! (n p ) !

V p n = n ! (n p ) !

Voorbeeld 2 : voetbaltruitjes

(n p ) !

Een sportzaak heeft voetbaltruitjes in tien verschillende kleuren beschikbaar. De vier plaatselijke voetbalploegen willen truitjes met een verschillende kleur. Hoeveel mogelijkheden zijn er ? De kleuren : rood, geel, blauw, paars, roze, groen, oranje, grijs, bruin en kaki. De ploegen : A, B, C en D. De mogelijkheden :

A B C D rood geel blauw groen rood blauw groen geel oranje paars rood groen paars oranje rood groen

Blijkbaar is de volgorde van de kleuren belangrijk en moeten de kleuren verschillend zijn. Uit 10 verschillende kleuren moeten er dus 4 in een bepaalde volgorde gekozen worden.

Aantalmogelijkheden: V 4 10 = 10! (10 4) ! = 10!

= 10 9 8 7 = 5040

2 Permutaties

Voorbeeld 1 :

Op hoeveel verschillende manieren kunnen de zes lopers uit voorbeeld 1 (loopwedstrijd) over de finish lopen ? We geven alvast een mogelijkheid :

We merken op dat de volgorde belangrijk is. Bovendien kan elke loper slechts één keer over de eindstreep lopen.

Dit is een variatie. Het grote verschil ligt in het feit dat elk element ook effectief opgenomen wordt. Wanneer bij een variatie elk beschikbaar element optreedt, spreken we van een permutatie

Bovenstaand voorbeeld is een permutatie van 6 elementen.

Notatie: P6 = V 6 6 = 6! (6 6) ! = 6! 0! = 6! 1 = 6! = 720

Algemeen :

Een permutatie van n elementen is een variatie van n elementen uit n gegeven elementen.

Een permutatie van n elementen is een geordend n -tal van n verschillende elementen. Notatie:hetaantalpermutatiesvan n elementenstellenwevoorals Pn ∀n ∈ N : Pn = n (n 1) (n 2) ... 1 = n !

In het bijzonder is P1 = 1! = 1en P0 = V 0 0 = 0! = 1

Voorbeeld 2 :

Op hoeveel manieren kan een scoutsleider twaalf verschillende zaklampen verdelen onder zijn twaalf welpjes ?

Als elk welpje één zaklamp krijgt, en die zijn allemaal verschillend, is dat een permutatie van 12 elementen :

P 12 = 12 ! = 479 001 600

3 Combinaties

Voorbeeld 1 : de zangwedstrijd

Aan de preselectie voor een zangwedstrijd doen zes vriendinnen mee (Anke, Bea, Christel, Daisy, Eva en Fanny). Uit de zes kandidaten zullen er drie worden gekozen om mee te doen aan de volgende ronde. Hoeveel mogelijkheden zijn er ?

We geven enkele mogelijkheden :

ABC = BCA (Anke, Bea en Christel gaan door).

Andere combinaties :

BDE, ACF, ADF, …

We zien duidelijk dat de volgorde waarin de kandidaten gekozen worden niet belangrijk is. Bovendien kan elke persoon ten hoogste eenmaal gekozen worden, m.a.w. herhaling is niet toegestaan. Dit is een duidelijk geval van een combinatie

Omdat we drie personen kiezen uit een reeks van zes kandidaten spreken we van een combinatie van 3 elementen uit 6. Het aantal dergelijke combinaties noteren we als Notatie: C 3 6 .

Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Het kiezen van een geordend drietal uit een groep van zes elementen was een variatie Notatie: V 3 6 Die variatie kunnen we ook beschouwen als het kiezen van een niet-geordend drietal uit een groep van zes, een combinatie Notatie: C 3 6 , waarbij nadien de volgorde tussen het gekozen drietal wordt vastgelegd met een permutatie P 3

M.a.w. : V 3 6 = C 3 6 P3

Uitbreiding :

In plaats van zes vriendinnen zijn er nu n vriendinnen waaruit er p kandidaten moeten worden gekozen. Dat is een combinatie van p elementen uit n elementen, notatie C p n

Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Het kiezen van een geordend p -tal uit n -elementen is een variatie V p n .

Die variatie kan beschouwd worden als het kiezen van een geordend p -tal uit een groep van n elementen, een combinatie C p n , waarbinnen dan achteraf een orde wordt vastgelegd met een permutatie V p n = C p n Pp .

M.a.w. : V p n = C p n Pp

Waaruit volgt : C p n = V p n Pp = n (n 1) (n 2) ... (n p

Algemeen :

Een combinatie van p elementen uit n elementen ( p ⩽ n ) is een deelverzameling van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. De volgorde is niet van belang Het aantal combinaties van p elementen uit n elementen noteren we als C p n = V p n Pp = n · (n 1) · (n 2) · · (n p + 1) p (p 1) (p 2) 2 1 of C .

∀ n , p ∈ N0 , p ⩽ n : C p n = n (n 1) (n 2) (n p + 1) p (p 1) (p 2) 2 1 = n ! (n p ) ! p !

Verder stellen we dat C 0 n = 1

Andere notatie :

Combinaties komen ook nog in andere takken van de wiskunde voor, o.a. in reeksontwikkelingen. Om praktische redenen gebruiken ze daar soms een andere notatie voor een combinatie van p elementen uit n elementen. n p = C p n

Indecombinatoriekmoeten n , p ∈ N0

Indegevallenwaarinditnietechthoeft,gebruikenwesteedsdenotatie n p . Zois

Voorbeeld 2 : Harry Potter-poppetjes Ahmed is een grote fan van de boeken en de films van Harry Potter en mag voor zijn verjaardag drie poppetjes kiezen van zijn peter. Ze gaan samen naar een winkel, waar ze in totaal nog acht verschillende poppetjes van de Harry Potter-films hebben liggen. Nu alleen nog beslissen welke drie het zullen worden …

Het is logisch dat hij drie verschillende poppetjes zal kiezen.

De volgorde is blijkbaar niet belangrijk. Het aantal mogelijkheden is dus :

C 3 8 = 8!

Voorbeeld 3 : de lotto

Op hoeveel manieren kun je zes getallen trekken uit een reeks van 45 getallen ? Wanneer je met spanning zit te wachten op het resultaat van de lottotrekking heeft de volgorde van de getallen geen belang, zolang je ze maar op je formulier aangekruist hebt. Verder kan eenzelfde getal slechts eenmaal voorkomen. Het aantal mogelijkheden is dus : C

eigenschap

∀ n , p ∈ N0 , p ⩽ n : C p n = C n p n

Immers : C n p n = n ! (n p ) ! (n (n p )) ! = n ! (n p ) ! p ! = C p n

Voorbeeld :

4 Samenvatting

• Je kent de betekenis van de volgende keuzes zonder herhaling.

a Variaties

Een variatie van p elementen uit n elementen ( p ⩽ n ) is een geordend p -tal van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

Het aantal variaties van p elementen uit n elementen noteren we als Notatie: ∀n , p ∈ N0 en p ⩽ n : V p n = n (n 1) (n 2) (n p + 1)

∀ n , p ∈ N0 , p ⩽ n : V p n = n · (n 1) · (n 2) · · (n p + 1)= n ! (n p ) !

b Permutaties

Een permutatie van n elementen is een geordend n -tal van n verschillende elementen.

Notatie:Hetaantalpermutatiesvan n elementenstellenwevoorals Pn .

∀n ∈ N : Pn = n · (n 1) · (n 2) · · 1 = n ! ∀ n ∈ N : Pn = V n n = n · (n 1) · (n 2) · · 2 · 1 = n !

c Combinaties

Een combinatie van p elementen uit n elementen (p ⩽ n) is een deelverzameling van p verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

De volgorde is niet van belang.

Het aantal combinaties van p elementen uit n elementen noteren we als C p n = V p n Pp = n (n 1) (n 2) (n p p (p 1) (p 2) ... 2 1

∀ n , p ∈ N0 , p ⩽ n : C p n = n · (n 1) · (n 2) · · (n p + 1) p (p 1) (p 2) ... 2 1 = n ! (n p ) ! p !

• Je kent de volgende eigenschap :

∀ n , p ∈ N0 , p ⩽ n : C p n = C n p n

5 Oefeningen

Opmerking vooraf :

Voor het oplossen van telproblemen (combinatoriek) bestaan er geen algemene absolute regels. De meeste van de volgende opgaven zijn oplosbaar met formules opgesteld in dit hoofdstuk ; toch kun je via een correcte logische redenering dikwijls op een andere manier tot de juiste oplossing komen. Als er slechts een beperkt aantal mogelijkheden zijn, is het soms zelfs eenvoudiger en duidelijker om alle oplossingen effectief uit te schrijven.

In een kamer staan zes stoelen rond een tafel. Er komen vier personen de kamer binnen.

Elke persoon neemt plaats op een stoel. Op hoeveel manieren kan dat ?

Een frisbeetoernooi wordt gespeeld door zes ploegen :

A, B, C, D, E en F. Elke ploeg moet tegen elke andere een uitwedstrijd en een thuiswedstrijd spelen.

Stel de lijst op van alle te spelen wedstrijden.

Hoeveel zijn er dat ?

Hoeveel verschillende getallen met drie verschillende oneven cijfers kun je vormen ?

Een vlag moet bestaan uit drie verticale banen met een verschillende kleur. Je beschikt over zeven kleuren. Hoeveel vlaggen kun je samenstellen ?

Met de cijfers 0 tot 9 worden getallen bestaande uit vijf verschillende cijfers gevormd.

a Hoeveel van die getallen bestaan er (niet beginnend met het cijfer nul) ?

b Hoeveel van die getallen bevatten het cijfer 6 ?

c Hoeveel van die getallen bevatten de cijfers 0 en 7 ?

d Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 5 en bevatten het cijfer 8 ?

e Hoeveel van die getallen zijn even en bevatten het cijfer 5 ?

f Hoeveel van die getallen zijn even en bevatten het cijfer 4 ?

Vier basketbalploegen spelen een toernooi.

Schrijf alle mogelijke eindrangschikkingen op van het toernooi in de veronderstelling dat twee ploegen nooit op dezelfde plaats kunnen eindigen.

Tien spurters staan klaar voor de 100 m. Hoeveel mogelijke uitslagen kan deze sprint hebben ?

Hoeveel woorden met of zonder betekenis kun je vormen door de herschikking van de letters van :

a op ;

b sop ;

c soep ;

d snoep ; e polsen ?

Een rechthoekig stuk karton wordt verdeeld in vier gelijke rechthoekjes. Je hebt vier verschillende kleuren.

Hoeveel mogelijke composities zijn er als je telkens alle kleuren gebruikt ?

Je hebt vijf verschillende kleuren die je moet aanbrengen op de vijf gelijke sectoren van een verdraaibare schijf.

Hoeveel mogelijkheden zijn er ?

Twaalf paarden lopen na elkaar in de piste van een circusarena.

De cirkel is gesloten, er loopt dus geen paard voorop.

a Op hoeveel manieren kan de opstelling van de 12 paarden gebeuren ?

b Op hoeveel manieren kan de opstelling gebeuren als er voldoende ruimte is tussen het eerste en het laatste paard (m.a.w. als er toch een paard als eerste loopt) ?

In een sprookjesverhaal beschikt de moedige ridder over twaalf verschillende sleutels.

Daarvan moet jij er tien verschillende in de juiste volgorde gebruiken om de lieftallige prinses te verlossen.

Op hoeveel manieren kan de ridder de sleutels kiezen ?

Aan een paardenkoers nemen acht paarden deel.

Er wordt gevraagd de eerste vier paarden in de juiste volgorde te geven.

Hoeveel dergelijke voorspellingen zijn er mogelijk ?

In een spelprogramma moet een kandidaat zes baasjes (A, B, C, D, E en F) bij hun respectievelijke hond zien te plaatsen.

a Hoeveel mogelijkheden heeft de kandidaat om de zes baasjes bij de zes honden te plaatsen ?

b In hoeveel gevallen heeft hij A correct geplaatst ?

c In hoeveel gevallen heeft hij B, D en F correct geplaatst ?

d In hoeveel gevallen heeft hij juist vijf koppels correct geplaatst ?

Op een gocart zijn zes plaatsen, vier trappers en twee gewone zitplaatsen.

a Op hoeveel manieren kunnen Jonas, Kasper, Lise, Magda, Niels en Olga plaatsnemen ?

b Op hoeveel manieren kunnen ze plaatsnemen als Jonas of Kasper aan het stuur willen zitten ?

c Op hoeveel manieren kunnen ze plaatsnemen als Kasper, Niels en Lise zeker willen trappen ?

d Op hoeveel manieren kunnen ze plaatsnemen als Kasper of Niels wil sturen en Lise niet wil trappen ?

Waarover gaat het in de volgende situaties : variaties, permutaties of combinaties ?

a Uit een klas worden zes leerlingen gekozen om een basketbalteam te vormen.

b In een tombola zijn er drie prijzen te winnen voor verschillende winnaars : een computer, een fiets en een reis.

c In een klas worden vier vrijkaarten voor Crammerock verloot.

d Op een klasreünie komen zes oud-leerlingen opdagen.

e Vier verschillende computerspelletjes verloten onder je vier neefjes.

Acht vrienden gaan samen badmintonnen.

a Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen ?

b Hoeveel verschillende partijen dubbelspel kunnen ze spelen ?

Je wil een salade maken met drie verschillende ingrediënten en je hebt er zes om uit te kiezen : sla (A), tomaat (B), wortelen (C), komkommer (D), witte kool (E) en radijsjes (F) .

Hoeveel verschillende salades kun je met die ingrediënten samenstellen ?

In een voetbaltoernooi met vijf ploegen (A, B, C, D en E) wordt overeengekomen dat elke ploeg precies één wedstrijd speelt tegen elke andere ploeg (en dat op een neutraal terrein). Stel de lijst op van alle te spelen wedstrijden.

Op hoeveel manieren kun je drie (gelijke) rode balletjes in vijf verschillende bakjes (A, B, C, D en E) plaatsen als er in elk bakje maar plaats is voor ten hoogste één balletje ?

Op hoeveel manieren kun je acht kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten als er bij de acht kaarten :

a precies drie azen moeten zitten ;

b minstens drie azen moeten zitten ;

c ten hoogste drie azen mogen zitten ;

d precies twee azen en twee heren moeten zitten ;

e precies twee azen, maar geen dame mag zitten ;

f hartenaas en vier klaveren moeten zitten ;

g enkel azen en rode kaarten mogen zitten ;

h precies drie azen en vier harten moeten zitten ;

i precies drie azen en vier harten, maar geen dame mag zitten ;

j precies twee azen, twee heren, twee dames en twee tienen moeten zitten ;

k precies twee azen, twee heren en vier harten moeten zitten.

In een klas zitten 10 meisjes en 15 jongens.

Op hoeveel manieren kun je een panel voor een klasdebat samenstellen bestaande uit drie jongens en twee meisjes ?

De plaatselijke supermarkt zoekt twee jobstudenten. Er zijn zeven gegadigden.

Op hoeveel manieren kunnen ze hun keuze bepalen ?

Een winkel heeft twee uitstalramen. Om de nieuwe zomercollectie te promoten, moeten er zes kledingstukken geëtaleerd worden.

a Op hoeveel manieren kun je de kledingstukken verdelen over de twee uitstalramen ?

b Op hoeveel manieren kun je de kledingstukken etaleren over de twee uitstalramen als er in elk uitstalraam precies drie kledingstukken van de zomercollectie moeten hangen ?

c Op hoeveel manieren kun je de kledingstukken etaleren als er in elk uitstalraam ten minste twee kledingstukken van de nieuwe zomercollectie moeten hangen ?

Acht vrienden gaan kamperen. Ze hebben twee tenten.

a Op hoeveel manieren kunnen ze ’s avonds gaan slapen als er in de ene tent vijf slaapplaatsen en in de andere tent drie slaapplaatsen zijn ?

b Op hoeveel manieren kunnen ze gaan slapen als het twee tenten van vier slaapplaatsen zijn ?

Bij het einde van een vergadering geeft elk van de aanwezigen elk van de anderen een handdruk. Er wordt in totaal 105 maal een handdruk gewisseld. Hoeveel aanwezigen waren er ?

Een examen bestaat uit tien vragen. Elke vraag wordt ofwel als ‘juist’ (= 1 punt), ofwel als ‘foutief’ (= 0 punten) beoordeeld.

a Op hoeveel manieren kun je acht punten halen ?

b Op hoeveel manieren kun je acht punten halen als je weet dat de eerste twee vragen correct werden opgelost ?

c Op hoeveel manieren kun je acht punten halen wanneer je weet dat minstens drie van de eerste vier vragen correct werden beantwoord ?

Juffrouw Laura heeft twaalf vriendinnen.

a Op hoeveel manieren kan ze zes van die vriendinnen uitnodigen op een koffiekransje ?

b Op hoeveel manieren kan ze zes vriendinnen uitnodigen als twee van de twaalf vriendinnen zussen zijn en het onbeleefd is om slechts een van de twee uit te nodigen ?

c Op hoeveel manieren kan ze zes vriendinnen uitnodigen als twee van de twaalf vriendinnen ruzie hebben en elkaar niet willen ontmoeten ?

Kim probeert het paswoord van haar vriendin te kraken. Ze weet dat het een vijfletterwoord is bestaande uit vijf verschillende letters. Hoeveel keer moet Kim proberen vooraleer ze de code kan kraken ?

Een verfdoos bevat 12 kleuren. Op hoeveel manieren kun jij deze figuur kleuren als elk vakje een andere kleur moet hebben ?

Een leerkracht Frans maakte drie versies van een huistaak op voor een klas met 24 leerlingen.

a Op hoeveel manieren kan hij 8 van de 24 leerlingen kiezen voor huistaak versie 1 ?

b Op hoeveel manieren kan hij 8 leerlingen kiezen uit de overige 16 leerlingen voor huistaak versie 2 ?

c Op hoeveel manieren kan hij de drie versies van de huistaken verdelen over de klas als er telkens 8 leerlingen een welbepaalde versie krijgen ?

Op het einde van een quizprogramma heeft de winnaar de letters {a, e, o, k, l, p, r, t} verzameld. De winnaar moet nu nog de brandkast kraken waarin de hoofdprijs zit. Hij krijgt te horen dat de code van de brandkast uit drie van de verzamelde letters bestaat : twee klinkers en een medeklinker.

Hoeveel codes (de volgorde is belangrijk) zijn er mogelijk ?

In een vrachtwagen staan 25 kisten gestapeld. Een dievenbende heeft in 5 van de 25 kisten smokkelwaar verstopt, maar de vrachtwagen wordt wel door de douanepolitie gecontroleerd.

a De douanepolitie controleert willekeurig vier van de 25 kisten. Op hoeveel manieren kon die keuze gebeuren ?

b In hoeveel van die gevallen is er minstens één kist met gesmokkelde goederen bij ?

Op de menukaart van een restaurant staan 12 voorgerechten, 15 hoofdgerechten en 8 desserts. Elke week maakt het restaurant een promotiemenu waarbij de klant kan kiezen uit 2 voorgerechten, 3 hoofdgerechten en 2 desserts, alle afkomstig van de gewone menukaart. Op hoeveel manieren kan de uitbater van het restaurant een promotiemenu samenstellen ?

De knapen van de plaatselijke KSA spelen dit weekend een moordspel in het bos. Ze zijn in totaal met 17. De leiding moet twee knapen kiezen die als moordenaar zullen fungeren en drie andere die het slachtoffer spelen.

Op hoeveel manieren kan de leiding die keuze maken ?

38

Als je met de cijfers 2, 4, 6 en 8 getallen met verschillende cijfers vormt die je rangschikt van klein naar groot, op welke plaats staat dan het getal 64 ?

Drie koppels willen in de zomer samen op reis naar Costa Rica. Ze spreken af bij een van hen om de reis te plannen en nemen daarvoor plaats aan de grote ronde eettafel.

a Op hoeveel manieren kunnen ze plaatsnemen ?

b Op hoeveel manieren kan dat als de plaats aan de tafel niet primeert, maar wel de positie van wie t.o.v. wie zit ?

c Op hoeveel manieren kunnen ze plaatsnemen als iedereen naast zijn eigen partner zit ?

d Op hoeveel manieren kunnen ze plaatsnemen als er geen twee mannen naast elkaar mogen zitten ?

Een urne bevat 3 groene, 5 blauwe en 7 gele bollen. Koen trekt 4 bollen uit de urne. Hoeveel viertallen zijn er mogelijk met :

a minstens 2 groene bollen erbij ?

b evenveel blauwe als gele bollen ?

39

Een urne bevat 4 groene, 6 blauwe en 8 gele bollen. Lars trekt 5 bollen uit de urne. Hoeveel vijftallen zijn er mogelijk met :

a geen gele bollen erbij ?

b ten hoogste 2 blauwe bollen erbij ?

c evenveel groene als gele bollen ?

40

Een pot bevat 7 gele, 8 rode , 8 blauwe en 5 groene bollen.

a Op hoeveel manieren kun je hieruit 2 rode en 3 blauwe bollen trekken ?

b Op hoeveel manieren kun je hieruit 4 bollen van dezelfde kleur trekken ?

c Op hoeveel manieren kun je hieruit 4 bollen van een verschillende kleur trekken ?

d Op hoeveel manieren kun je hieruit 4 bollen trekken ?

e Op hoeveel manieren kun je hieruit 4 bollen trekken, waarbij minstens twee bollen van dezelfde kleur ?

41

Voor het opstellen van een muziekvraag voor een quiz moet Thomas zeven muziekstukjes kiezen : vier tv-tunes en drie filmtunes. Thomas heeft een afspeellijst met 12 tv-tunes en 8 filmtunes.

a Op hoeveel manieren kan Thomas de muziekvraag opstellen als de tv-tunes en filmtunes door elkaar mogen staan ?

b Op hoeveel manieren kan Thomas de muziekvraag opstellen als eerst de vier tv-tunes moeten worden geraden ?

In Westende op de dijk is er een kraampje waar ze heerlijke smoothies maken.

Ze hebben acht soorten fruit in voorraad : aardbei, abrikoos, appel, banaan, blauwe bes, kiwi, mango en sinaasappel. Hoeveel soorten smoothies kunnen ze maken met maximaal drie soorten fruit ?

Voor een nieuwe queeste in Midden-Aarde heeft Gandalf zeven ‘personen’ nodig waaronder minstens twee hobbits, twee dwergen en één elf. Bij een rondvraag naar mogelijke kandidaten bieden zich acht hobbits, negen dwergen en vijf elfen aan. Op hoeveel manieren kan Gandalf de deelnemers van de queeste samenstellen ?

Op hoeveel manieren kunnen zes meisjes en drie jongens aan een ronde tafel met negen plaatsen plaatsnemen als elk meisje naast een jongen moet zitten en niet de zitplaats belangrijk is maar wel wie naast wie zit.

Een klas van 16 leerlingen organiseert een fuif. Tijdens de fuif werken ze met twee shifts. Een shift van 21.00 u. tot 23.00 u. en een shift van 23.00 u. tot 1.00 u. Tijdens elke shift moeten drie leerlingen helpen aan de bar en twee leerlingen aan de kassa.

a Op hoeveel manieren kunnen ze de shifts verdelen als niemand twee shifts doet ?

b Op hoeveel manieren kunnen ze de shifts verdelen als het mogelijk is dat iemand twee shifts doet ?

Op hoeveel manieren kunnen Lolsmurf, Smurfin, Moppersmurf, Knutselsmurf, Smulsmurf en Muzieksmurf op één rij gaan zitten als Moppersmurf niet naast Lolsmurf wil zitten en Smulsmurf sowieso naast Smurfin zit.

Met de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 worden getallen van zes verschillende cijfers gevormd.

a Hoeveel dergelijke getallen zijn er ?

b Bereken de som van al die getallen.

Met de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 worden getallen van vier verschillende cijfers gevormd, die we daarna rangschikken in stijgende volgorde.

a Welk rangnummer heeft het getal 5461 ?

b Welk getal staat op de tweehonderdste plaats ?

c Bereken de som van alle getallen.

a Hoeveel oneven getallen, gelegen tussen 4000 en 5000, bestaan uit vier verschillende cijfers ?

b Als je die getallen uit a in stijgende volgorde rangschikt, op de hoeveelste plaats staat het getal 4579 ?

52

Bepaal n ( ∈ N) als :

a3C n 1 2n 2C n +2 2n +1 = 0

b C 1 2n + C 2 2n + C 3 2n = 387n

c V 3 n = 240n

d V 4 n = 7 · V 2 2n

Bewijs als je weet dat n , p ∈ N0 en p ⩽ n

· C 2 n = 25 + 3 · C n 1 n

V 2 3n = P4 C n 2 n 5 P3

V 3 n P3 C n 2 n + P4 P2 = 0

a p · C p n = n · C p 1 n 1 d (2n ) !isdeelbaardoor (n !)2

b C p +1 n = C p n n p p + 1 e C p n V p 2n = C p 2n V p n

c V p n =(n p + 1) · V p 1 n f V p n · V p n +p = V 2p n +p

Met n ! bedoelen we het product van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met n . De volkomen kwadraten 1, 4, 9 en 16 zijn voorbeelden van delers van het getal 10 !.

Hoeveel delers van dat getal zijn een volkomen kwadraat ?

(A) 8 (B) 14 (C) 30 (D) 64 (E) 100

VWO 2023 tweede ronde, vraag 27 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

53

Een ziekenhuiscomité bestaat uit 3 artsen. Er zijn 9 kandidaten om hiervan deel uit te maken : 4 geriaters, 3 oncologen en 2 pediaters. Hoeveel verschillende comités kunnen er gevormd worden als hierin minstens 1 pediater moet gekozen worden ?

(A) 56

Toelatingsexamen arts 2022, vraag 10

54

(B) 49

(C) 42 (D) 36

Je moet een nieuwe pincode voor je bankkaart instellen. Die moet bestaan uit vier cijfers, te kiezen uit de cijfers 0 tot en met 9. Hoeveel mogelijke pincodes bestaan er als de eerste twee cijfers verschillend moeten zijn ?

(A) 4500

(B) 5040

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2021, vraag 11

55

(C) 9000 (D) 10 000

De code van een cijferslot bestaat uit drie cijfers. Voor elk cijfer zijn de mogelijke waarden 0, 1, 2, … , 9. Hoeveel verschillende codes zijn er die niet beginnen met het cijfer 5 ?

(A) 100

(B) 729

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur 2022, vraag 17

(C) 900 (D) 1000

1.3 Telproblemen met herhaling

1 Herhalingsvariaties

Voorbeeld 1 :

Een bakkerij biedt ook vijf soorten belegde broodjes aan : A = broodje gezond, B = broodje kaas, C = broodje ham, D = broodje Philadelphia, E = broodje zalm.

Drie vrienden (Kas, Lise en Michiel) kopen elk een broodje. Op hoeveel manieren kunnen zij hun keuze maken ?

We geven enkele mogelijkheden :

ABB (= Kas koopt een broodje gezond en Lise en Michiel kopen een broodje kaas)

ABC, BBB, CCD, …

We zien duidelijk dat de volgorde belangrijk is. Bovendien kunnen twee personen eenzelfde broodje bestellen, m.a.w. herhaling is toegestaan. Dit is een duidelijk geval van een herhalingsvariatie. In dit voorbeeld hebben we een herhalingsvariatie van 3 elementen uit 5 elementen. Het aantal dergelijke herhalingsvariaties noteren we als V 3 5

Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Kas bestelt en heeft keuze uit vijf mogelijkheden, Lise bestelt en heeft de keuze uit dezelfde vijf mogelijkheden, ook Michiel heeft bij zijn bestelling keuze uit vijf mogelijkheden.

Dus: V 3 5 = 5 5 5 = 53 = 125

Uitbreiding 1 :

Veronderstel dat de bakkerij geen vijf soorten broodjes heeft, maar n verschillende soorten broodjes. Hoeveel mogelijkheden zijn er dan ?

Zowel Kas, Lise als Michiel hebben nu de keuze uit n verschillende soorten, dus : V 3 n = n · n · n = n 3

Uitbreiding 2 :

In plaats van drie vrienden beschouwen we nu het geval met p vrienden die elk kunnen kiezen uit n verschillende broodjes. Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Elk van de p vrienden heeft de keuze uit n verschillende broodjes, dus : V p n = n n ... n p factoren = n p

Algemeen :

Een herhalingsvariatie van p elementen uit n elementen is een geordend p -tal van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

Notatie : ∀ n , p ∈ N0 : V p n = n p

Verder stellen we V 0 n = 1

Merk op dat p hier groter dan n mag zijn.

Voorbeeld 2 :

Bij een wiskundeolympiade moet je in de eerste ronde 30 vragen beantwoorden waarvoor er telkens vijf mogelijke uitkomsten zijn of blanco. Er zijn dus zes mogelijke antwoorden. Op hoeveel manieren kan het antwoordrooster worden ingevuld ?

Blijkbaar moet er 30 keer een keuze gemaakt worden uit zes mogelijkheden : A, B, C, D, E of blanco.

Dat is hier een geordend 30-tal waarbij herhaling is toegestaan. Dus :

V 30 6 = 630 = 221073919720733357899776

2 Herhalingspermutaties

Voorbeeld 1 :

Tante Sara heeft op de markt 12 sleutelbloemen gekocht : 5 rode, 4 gele en 3 blauwe. Op hoeveel manieren kan zij ze op één rij voor haar huisje planten ?

We geven enkele mogelijkheden :

R R R R R G G G G B B B

B B B G G G G R R R R R

R R G G R R B B G G R B

De volgorde is belangrijk en elk element, elk gekocht plantje, wordt geplant. Dit lijkt dus heel sterk op een permutatie. Het verschil is dat hier eenzelfde element meer dan één keer kan voorkomen. Zo hebben we 5 rode sleutelbloemen, geel komt 4 keer voor en blauw 3 keer.

Hoeveel mogelijkheden zijn er dan ?

Als we de plantjes als 12 verschillende planten beschouwen, zijn er P12 mogelijkheden. Dat zijn er echter te veel, want als we de 5 rode planten onderling permuteren, maakt dat geen verschil uit. Ook als we de 4 gele planten onderling permuteren of de 3 blauwe planten onderling laten permuteren, maakt dat voor het bloemenperk geen verschil.

In totaal zijn er dus ‘slechts’ P12 P5 P4 P3 mogelijkheden. We noteren :

P 5,4,3 12 = P12

27720

Uitbreiding :

Beschouw nu het geval waarbij tante Sara α rode bloemen, b gele en g blauwe heeft gekocht, met α + b + g = n . Hoeveel mogelijkheden zijn er dan ?

We kunnen opnieuw de n planten laten permuteren. Dat geeft ons echter te veel mogelijkheden ; het onderling permuteren van de α rode, de b gele of de g blauwe bloemen maakt immers geen verschil uit voor het uiteindelijke resultaat. We noteren :

P α,β ,γ n = n ! α ! β ! γ !

Algemeen :

Een herhalingspermutatie van n elementen, waaronder α elementen van een eerste soort, b elementen van een tweede soort, …, d elementen van een laatste soort waarbij α + b + + d = n , is een geordend n -tal gevormd met α elementen van de eerste soort, b van de tweede soort, …, d van de laatste soort.

Het aantal herhalingspermutaties van n elementen noteren we als P α,β ,...,δ n = n ! α ! β !... δ ! met n , α, β ,..., δ ∈ N en α P α,β ,...,δ n = n ! α ! β !... δ ! met n , α, β ,..., δ ∈ N en α + β + + δ = n

Opmerking :

Een herhalingspermutatie is steeds te berekenen als een product van combinaties. Hernemen we even het voorbeeld.

Tante Sara wil de 5 rode, 4 gele en 3 blauwe sleutelbloemen planten die ze op de markt gekocht heeft.

– Ze maakt een rij waarbij ze de twaalf plaatsen markeert waarop een plantje zal komen.

– Ze kiest hieruit willekeurig vijf plaatsen voor haar 5 rode sleutelbloemen. Dat kan op C 5 12 manieren.

– Nu heeft ze nog 12 – 5 = 7 plaatsen over.

– Hieruit kiest ze willekeurig vier plaatsen voor de 4 gele sleutelbloemen. Dat kan op C 4 7 manieren.

– De drie blauwe sleutelbloemen komen op de drie laatste plaatsen, dat kan slechts op 1 = C 3 3 manier.

Kortom, tante Sara kan haar bloemen planten op C 5 12 · C 4 7 · C 3 3 plaatsen.

C 5 12 · C 4 7 · C 3 3 = 12!

Voorbeeld 2 :

Hoeveel ‘kortste wegen’ zijn er van A naar B ?

We lossen deze opgave op met de methode die je in het vierde jaar hebt gezien :

15153570126

23456 1 1 1

410203556

36101521

15153570126

410203556

11111

23456 1 1 1

36101521

Blijkbaar zijn er 126 kortste wegen van A naar B.

We kunnen de opgave ook anders bekijken.

Iemand gaat van A naar B door 5 maal oostwaarts te stappen en 4 maal noordwaarts. Een mogelijke weg wordt dan beschreven door : O O N N O

11111

M.a.w. we verkrijgen alle mogelijke wegen door 9 elementen, waaronder 5 keer O en 4 keer N, te permuteren. Het aantal mogelijkheden of het aantal kortste wegen wordt gegeven door :

P 5,4 9 = 9!

4!5! = 126

Taak : toon aan dat je het aantal kortste wegen ook kunt berekenen met behulp van combinaties.

Voorbeeld 3 :

Juf Martine gaat op stap met haar klasje van 20 leerlingen. In het kader van ‘snoep gezond’ heeft ze fruit meegebracht om tijdens de pauze uit te delen aan haar leerlingen : 8 appels, 5 peren, 4 bananen en 3 sinaasappelen. Op hoeveel manieren kan ze elke leerling een stuk fruit geven ?

Blijkbaar speelt de volgorde waarin ze het fruit uitdeelt een rol, anderzijds is herhaling toegelaten en wordt alle fruit uitgedeeld. Het gaat hier dus om een herhalingspermutatie.

P 8,5,4,3 20 = 20! 8!5!4!3! = 3491888400

Oplossing met combinaties :

– Kies uit de 20 leerlingen 8 leerlingen die een appel krijgen.

– En kies uit de overige 12 leerlingen 5 leerlingen die een peer krijgen.

– En kies uit de overige 7 leerlingen 4 leerlingen die een banaan krijgen.

– De rest (3 leerlingen) krijgt een sinaasappel.

C 8 20 C 5 12 C 4 7 = 20! 8!12! 12! 5!7! 7! 4!3! = 3491888400

3 Herhalingscombinaties

Voorbeeld 1 :

We keren even terug naar de bakkerij van pagina 39. Ze verkopen nog steeds vijf belegde broodjes (A, B, C, D en E). Moeder vraagt aan Jonas om acht broodjes te halen. Ze zegt er niet bij wat hij moet bestellen. Op hoeveel manieren kan Jonas bestellen ?

We geven enkele mogelijkheden :

A A A B B C D D = D D C B B A A A

A A A A A A A A, B B C C D D E E,

A A B C C D E E, …

We zien duidelijk dat de volgorde niet belangrijk is. Bovendien kunnen twee of meer dezelfde broodjes besteld worden, m.a.w. herhaling is toegestaan. Dit is een duidelijk geval van een herhalingscombinatie

In dit voorbeeld hebben we een herhalingscombinatie van 8 elementen uit 5 elementen. Het aantal dergelijke herhalingscombinaties noteren we als C 8 5 . Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ?

Jonas kan acht broodjes bestellen uit vijf soorten. We stellen de broodjes voor door stippen en plaatsen 4 ( = 5 – 1) streepjes die de scheiding tussen de soorten weergeven.

• • • | • • | • | • | • = A A A B B C D E

• | | • • • | • • • • | = A C C C D D D D

| • • • | • | • • | • • = B B B C D D E E

Er zijn dus 12 plaatsen te bezetten, namelijk 8 door een broodje en 4 door een scheidingsteken. Het plaatsen van 8 stippen op twaalf plaatsen kan op C 8 12 manieren, wat hetzelfde is als het plaatsen van de vier scheidingstekens op 12 plaatsen want C 4 12 = C 8 12

De bestelling van acht broodjes kan dus op C 8 5 = C 8 8 + 5 1 = C 8 12 = 495 manieren gebeuren.

Uitbreiding :

Veronderstel dat Jonas p broodjes moet halen en de bakkerij n verschillende soorten heeft.

Op hoeveel manieren kan Jonas dan bestellen ?

We hebben dan p broodjes ( = p stippen) en n – 1 scheidingstekens. In totaal dus p + n – 1 plaatsen waarop we p stippen mogen plaatsen, dat kan dus op C p n = C p n + p 1 manieren gebeuren.

Algemeen :

Een herhalingscombinatie van p elementen uit n elementen is een niet-geordend p -tal van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n elementen stellen we voor door C p n = C p n + p 1 ∀ n , p ∈ N0 : C p n = C p n + p 1

Merk op dat p groter dan n mag zijn.

Voorbeeld 2 :

Elk lid van een 10-koppige vakjury moet zijn stem uitbrengen op drie mogelijke kandidaten A, B en C. Op hoeveel manieren kunnen de stemmen verdeeld zijn ?

De volgorde waarin de stemmen uitgebracht worden, heeft geen belang. Enkel de uitslag telt. Bovendien kunnen verschillende juryleden op eenzelfde kandidaat stemmen. We hebben dus te maken met een herhalingscombinatie van 10 stemmen op 3 kandidaten.

C 10 3 = C 10 3 + 10 1 = C 10 12 = 66

Taak : toon aan dat C p n = P n 1, p n + p 1

4 Overzicht

Volgorde belang Opgave

JA

NEEN

NEEN NEEN NEEN NEEN JA JA

JA

JA

5 Samenvatting

• Keuzes met herhaling :

a Herhalingsvariaties

Een herhalingsvariatie van p elementen uit n elementen is een geordend p -tal van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

Het aantal herhalingsvariaties van p elementen uit n elementen noteren we als ∀ n , p ∈ N0 : V p n = n p

∀ n , p ∈ N0 : V p n = n p

b Herhalingspermutaties

Een herhalingspermutatie van n elementen, waaronder α elementen van een eerste soort, b elementen van een tweede soort, …, d elementen van een laatste soort waarbij

α + b + + d = n , is een geordend n -tal gevormd met α elementen van de eerste soort, b van de tweede soort, …, d van de laatste soort.

Het aantal herhalingspermutaties van n elementen noteren we als P α,β ,...,δ n = n ! α ! β !... δ ! met n , α, β ,..., δ ∈ N .

P α,β ,...,δ n = n ! α ! β !... δ ! met n , α, β ,..., δ ∈ N en α + β + ... + δ = n

c Herhalingscombinaties

Een herhalingscombinatie van p elementen uit n elementen is een niet-geordend p -tal van p elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen.

Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n elementen noteren we als C p n = C p n + p 1 .

∀ n , p ∈ N0 : C p n = C p n + p 1

6 Oefeningen

Op een toets moet Ellen 10 meerkeuzevragen beantwoorden. Ze heeft niet geleerd en besluit om zomaar bij elke vraag lukraak een antwoord aan te kruisen. Elke vraag heeft de keuzemogelijkheid A, B of C. Op hoeveel mogelijke manieren kan Ellen het antwoordformulier indienen ?

Een vlag bestaat uit drie gekleurde banen. Je beschikt over vijf kleuren en herhaling van eenzelfde kleur mag. Hoeveel mogelijke vlaggen kun je maken ?

In een koffieautomaat zijn nog vier soorten koffie beschikbaar. Vier collega’s nemen na de middagpauze in de eetzaal elk een kopje koffie.

Op hoeveel verschillende manieren kunnen ze hun keuze maken ?

Op hoeveel manieren kun je deze figuur inkleuren als je verfdoos acht kleuren bevat ?

Het spelletje Mastermind begint met het vormen van een geheime code door 4 pinnetjes in een bepaalde volgorde te plaatsen.

De pinnetjes worden gekozen uit zes verschillende kleuren.

a Hoeveel codes zijn er mogelijk als herhaling van dezelfde kleur is toegelaten, maar op de vier plaatsen een pinnetje moet staan ?

b Hoeveel codes zijn er mogelijk als herhaling van dezelfde kleur is toegelaten en open plaatsen zijn toegestaan ?

c Hoeveel codes zijn er mogelijk als tweemaal dezelfde kleur niet mag en op de vier plaatsen een pinnetje moet staan ?

d Hoeveel codes zijn er mogelijk als tweemaal dezelfde kleur niet mag, maar open plaatsen zijn toegestaan ?

Een sultan heeft veertien (verschillende) kamelen en wenst die te verdelen onder zijn vier zonen. De oudste krijgt er vijf, de tweede krijgt er vier, de op een na jongste krijgt er drie en de jongste de overige twee.

Op hoeveel manieren kan hij zijn kamelen verdelen ?

11

12

13

14

15

16

In het laatste nummer van een tijdschrift zitten 8 verschillende posters van de nieuwe revelatie van het jaar. Karlien en Mirthe besluiten om de posters eerlijk te verdelen, elk vier. Op hoeveel manieren kunnen ze dit doen ?

Nummerplaten in de VS verschillen van staat tot staat. Zowel de kleuren, de afbeeldingen als de combinatie van cijfers en letters variëren. In Colorado of Oregon bijvoorbeeld kiezen ze voor drie cijfers gevolgd door drie letters, zoals op het voorbeeld.

a Hoeveel nummerplaten zijn er in totaal mogelijk ? Klinkers zijn toegestaan.

b Hoeveel van die nummerplaten bevatten geen gelijke letters ?

c Bij hoeveel van die nummerplaten zijn er geen gelijke letters en ook geen gelijke cijfers ?

Een ober brengt de bestelling bij een groepje van negen vrienden : vijf cola’s, drie Fanta’s en een tonic. Hij is echter vergeten wie wat bestelde en zet zomaar een glas voor iedere persoon. Op hoeveel verschillende manieren kan hij dat doen ?

Op hoeveel manieren kun je de volgende (uit zeven vlakken bestaande) figuur inkleuren als je driemaal rood, tweemaal geel en tweemaal blauw moet gebruiken ?

Twaalf vrienden trekken er een dagje opuit met de wagen. Er zijn drie wagens beschikbaar. Op hoeveel manieren kunnen ze zich indelen in drie groepjes van vier ?

Op hoeveel manieren kan iemand tien briefjes van € 20 verdelen onder drie personen ?

Op hoeveel manieren kan tante Katrien tien verschillende boeken verdelen onder haar drie neefjes ?

De som van een geordend zestal natuurlijke getallen ( a , b , c , d , e , f ) is 20. Hoeveel dergelijke zestallen zijn er mogelijk ?

Ten voordele van een actie besluiten Emma, Guus, Stan en Miel afzonderlijk auto’s te wassen. Op het einde van de dag hebben ze samen 37 wagens gewassen.

a Hoe is de verdeling van het aantal gewassen auto’s onder de vier vrienden mogelijk ?

b Hoe is de verdeling mogelijk als ze alle vier zeker elk vijf auto’s hebben gewassen ?

c Hoe is de verdeling mogelijk als je weet dat Stan en Miel samen 23 auto’s hebben gewassen ?

Ciska passeert elke schooldag twee broodjeszaken (Kappa en Lambda) en koopt elke dag een broodje in een van de twee broodjeswinkels.

a Stel een lijst op met het chronologische koopgedrag van Ciska gedurende één week (= vijf schooldagen). Hoeveel mogelijkheden zijn er ?

b Ciska koopt nu driemaal per week bij Kappa en tweemaal per week bij Lambda. Hoeveel mogelijkheden zijn er nu ? 7 8 9 10

Een sportzaal telt vier deuren. Op hoeveel manieren kunnen vijf mensen de zaal betreden ?

Een leerkracht moet 3 potloden, 2 geodriehoeken en 7 balpennen verdelen in een klas van 12 leerlingen. Op hoeveel manieren kan dat gebeuren als :

a elke leerling precies één voorwerp krijgt ?

b niet elke leerling noodzakelijk een voorwerp krijgt, maar alles uitgedeeld wordt ?

c niet elke leerling noodzakelijk een voorwerp krijgt en niet alle voorwerpen noodzakelijk uitgedeeld worden ?

Een doos bevat 4 rode, 5 gele en 6 blauwe knikkers. Kasper pakt vijf knikkers uit de doos. Hoeveel vijftallen zijn er mogelijk met :

a één rode, twee gele en twee blauwe knikkers ?

b allemaal gele knikkers ?

c allemaal blauwe knikkers ?

d precies vier gele knikkers ?

e geen enkele blauwe knikker erbij ?

f evenveel rode als gele knikkers ?

Op elk van de twee helften van een dominosteen staan 0, 1, 2, 3, 4, 5 of 6 stippen.

In een dominospel moeten alle mogelijke groeperingen van de zeven mogelijkheden voorkomen, ook de groeperingen met twee gelijk gemerkte helften.

Hoeveel stenen zijn er in een dominospel ?

Van twaalf gelijk uitziende ringen zijn er vijf met 75 % goudgehalte, vier met 58 % goudgehalte en drie zonder enig spoor van goud. Als iemand twee van de twaalf ringen uitkiest, in hoeveel gevallen heeft hij dan twee ringen van dezelfde soort ?

Een leraar moet zijn leerlingen evalueren door achter hun naam een van de vermeldingen ‘uitstekend, zeer goed, goed, voldoende, niet voldoende of slecht’ te schrijven. Op hoeveel manieren kan hij een lijst van twaalf leerlingen aanvullen ?

*

Een trap telt vier treden. Je bent niet verplicht op elke trede te stappen, want je kunt 1, 2, 3, 4 treden in één stap nemen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de trap op te wandelen of te lopen ?

Op een barbecue zijn 15 brochettes beschikbaar voor 6 deelnemers. Op hoeveel manieren kunnen we de verdeling doen als :

a alle brochettes opgegeten moeten worden ?

b alle brochettes opgegeten moeten worden en iedereen minstens één brochette krijgt ?

c niet alle brochettes opgegeten moeten worden ?

Op hoeveel manieren kan een dj vijf Engelstalige en vier Vlaamse hits draaien als hij :

a geen twee Engelstalige hits na elkaar wil draaien ?

b geen twee Vlaamse hits na elkaar wil draaien ?

Met de cijfers 1, 2, 3, …, 9 worden getallen van drie cijfers gevormd.

a Hoeveel dergelijke getallen zijn er ?

b Bereken de som van al die getallen.

c Als je die getallen in stijgende volgorde rangschikt, op de hoeveelste plaats staat het getal 231 ?

Van drie personen, in een bepaalde volgorde gegeven, moeten we de verjaardagen raden. Ga ervan uit dat een jaar 365 dagen telt.

a Hoeveel mogelijkheden zijn er ?

b Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij ten minste twee van de drie verjaardagen samenvallen ?

In het brailleschrift worden de tekens gevormd door zes stippen die je al dan niet kan voelen. Hiernaast zie je enkele letters in brailleschrift. Een zwarte stip is voelbaar, een witte stip niet.

a Hoeveel tekens zijn er mogelijk als er twee stippen voelbaar zijn ?

b Hoeveel tekens zijn er mogelijk als er drie stippen voelbaar zijn ?

c Hoeveel tekens zijn er in totaal mogelijk ? Het teken zonder voelbare stippen doet niet mee.

IL MATHS OVE

In 1838 stelde Samuel Morse het morsealfabet op. Hij gebruikte punten en strepen (lange en korte pulsen).

Voorbeeld :

Morse maakte series van 1, 2, 3 of 4 tekens om letters aan te geven.

a Hoeveel letters kon hij vormen door 1, 2 of 3 tekens te gebruiken ?

b Kon hij met maximaal 4 tekens het hele alfabet vormen ?

Steffie gooit tien keer met een geldstuk. Telkens noteert zij K (kop) of M (munt). Een mogelijke reeks is K K K M K M M K K M.

a Hoeveel reeksen zijn er met acht keer K en twee keer M ?

b Hoeveel reeksen zijn er met vijf keer K (en dus vijf keer M) ?

c Hoeveel reeksen zijn er met M als vijfde worp ?

d Hoeveel reeksen zijn er in het totaal mogelijk ?

Op hoeveel manieren kun je 22 kinderen verdelen in twee voetbalploegen (van elk elf kinderen) ?

Toen tien vrienden op reis gingen, was er een probleem. Hun vlucht was overboekt. Zes konden met de huidige vlucht mee, vier anderen met een vlucht later. Op hoeveel manieren konden ze zich opsplitsen ?

Uit twintig personen moeten drie commissies samengesteld worden : twee van zes en één van vijf personen.

a Op hoeveel manieren kan dat als één persoon maar in één commissie mag zitten ?

b Op hoeveel manieren kan dat als één persoon in verschillende commissies mag zitten ?

Promotie bij bakker Erik : zeven koffiekoeken voor slechts € 6,00, te kiezen uit chocoladekoeken, croissants, fruitkoeken en rozijnenkoeken.

Carsten besluit om er zeven te kopen.

a Op hoeveel manieren kan hij zijn keuze maken ?

b Op hoeveel manieren kan hij zijn keuze maken als hij van elke soort zeker één stuk neemt ?

Een bakker heeft kort voor sluitingstijd nog een beperkt aantal koffiekoeken liggen : 10 chocoladebroodjes, 7 croissants, 5 rozijnenkoeken en 5 met amandel.

Zes vrienden passeren de bakker en besluiten om elk één koffiekoek te kopen.

Op hoeveel manieren kunnen zij er (elk afzonderlijk) één kopen en die ook effectief ontvangen ?

Op hoeveel manieren kun je de volgende figuur inkleuren als :

a je slechts beschikt over twee kleuren (blauw en geel) en elk vakje een kleur moet krijgen ?

b er drie vakjes blauw, drie vakjes geel en drie vakjes groen moeten zijn ?

c er één vakje blauw, drie groen en de andere geel moeten zijn ?

d je over negen kleuren beschikt en je elk vakje een andere kleur wilt geven ?

41

Een cultureel centrum biedt de mogelijkheid om zelf een abonnement van vijf voorstellingen samen te stellen uit een aanbod van 20 voorstellingen. Hoeveel mogelijkheden zijn er ?

Iemand is van mening dat van 12 voetbalwedstrijden er 8 moeten eindigen met een overwinning van de thuisploeg, 1 met een overwinning van de bezoekers en 3 met een gelijkspel. Hoeveel mogelijkheden heeft hij om de uitslag van de twaalf wedstrijden te voorspellen ?

In een klas van 16 leerlingen beslissen de leerlingen door een stemming wanneer de overhoring wiskunde moet gebeuren. Ze hebben de keuze tussen drie dagen. Hoeveel uitslagen zijn er mogelijk ?

Op hoeveel manieren kun je 32 speelkaarten verdelen onder vier spelers ?

Bij een hockeywedstrijd is de eindstand 4 – 3.

a Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk ?

(Voorbeeld van een scoreverloop : 1– 0, 2 – 0, 2 –1, 2 – 2, 2 – 3, 3 – 3, 4 – 3).

b Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk als de stand bij de rust 3 –1 was ?

42

In de stripkast van een jeugdclub zitten 34 verschillende strips : 8 van Largo Winch, 14 van de Blauwbloezen en 12 van Kiekeboe. Tim leent drie strips.

a Op hoeveel manieren kan hij dat ?

b Op hoeveel manieren kan hij dat als hij van elke reeks één neemt ?

c Op hoeveel manieren kan hij dat als het drie strips van dezelfde reeks zijn ?

43

44 45 46 *

Op hoeveel manieren kun je met vier soorten snoepjes een zakje met dertien snoepjes samenstellen ?

Hoeveel verschillende bedragen (verschillend van € 0) kun je betalen met één stuk van € 1, vier stukken van € 2 en drie briefjes van € 10 ?

Op hoeveel manieren kunnen we vijf identieke rode ballen, vier identieke blauwe en drie identieke gele ballen rangschikken ?

Oma’s plantenbak moet gevuld worden met viooltjes. Er passen vier plantjes in een rij en er zijn viooltjes in vijf verschillende kleuren voorhanden. Op hoeveel verschillende manieren kan opa de bak voor oma opvullen als :

a elke kleur vaker mag voorkomen ?

b elke kleur slechts één keer mag voorkomen ?

c elke kleur ten hoogste twee keer mag voorkomen ?

10 vrienden willen zaterdag gaan schaatsen, maar niet iedereen is zeker of hij of zij vrij is. Ze spreken af dat ze sowieso samen als één groep gaan met iedereen die kan en spreken af om 16 uur aan de ingang. Als Daan gaat kijken, dan zal Quinten in ieder geval ook meegaan. Hoeveel verschillende groepen van minstens twee personen kunnen er gaan schaatsen ?

Merk op dat het best mogelijk is dat Quinten gaat en Daan niet.

52

53

In een vlak kies je vijf punten waarvan er geen drie collineair zijn.

Vier vrienden vieren samen Nieuwjaar en willen dat met cadeautjes doen. Om te beslissen wie voor wie een cadeau moet kopen, maken ze vier briefjes. Op elk briefje staat de naam van een van hen. Vervolgens worden de briefjes getrokken. Een trekking is geslaagd als niemand zijn eigen naam heeft getrokken. Hoeveel geslaagde trekkingen zijn er mogelijk ? 48 49 50 51 *

56

a Hoeveel rechten worden er bepaald door die vijf punten ?

b Hoeveel driehoeken bepalen de vijf punten ?

In een vlak liggen zes punten die een convexe zeshoek vormen.

a Hoeveel diagonalen kun je tekenen in die zeshoek ?

b In hoeveel nieuwe punten snijden de diagonalen elkaar ?

c Hoeveel van die nieuwe snijpunten liggen binnen de convexe zeshoek ?

Zeven verschillende evenwijdige rechten worden gesneden door vier verschillende evenwijdige rechten. Hoeveel parallellogrammen krijgen we ?

Bij het pokeren krijgt een speler vijf kaarten uit een spel van 52 kaarten.

a Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de speler ?

b In hoeveel gevallen kunnen het vijf kaarten van dezelfde soort zijn (flush) ?

c In hoeveel gevallen kunnen het vijf opeenvolgende kaarten zijn van al dan niet dezelfde soort (straight) ?

d In hoeveel gevallen kunnen het vijf opeenvolgende kaarten van dezelfde soort zijn (straight flush) ?

e In hoeveel gevallen kunnen het vijf opeenvolgende kaarten van dezelfde soort zijn met een aas als hoogste kaart (royal flush) ?

Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel ( x O y ) is het punt A( 9, 5) gegeven. Bereken het aantal kortste roosterpaden die de oorsprong O met het punt A verbinden.

Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel ( x , y , z ) met oorsprong O is het punt A( 10, 5, 6) gegeven. Bereken het aantal kortste roosterpaden die de oorsprong O met het punt A verbinden.

De kortste afstand om van de linkerbovenhoek A van een schaakbord naar de rechterbenedenhoek B te gaan door de zijden van de vierkante velden van het bord te volgen, bedraagt 16 zijden. Hoeveel van die kortste paden zijn er ? A

Hoeveel punten van het vlak met een koppel natuurlijke getallen als coördinaat behoren tot de rechte met vergelijking x + y = 10 ?

57

Hoeveel gehele positieve oplossingen hebben de volgende vergelijkingen ?

a x + y + z = 15

b x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 10

58

Een berucht combinatorisch probleem is het handelsreizigersprobleem. We kunnen dit als volgt formuleren. Een handelsreiziger vertrekt van thuis en moet een aantal klanten elk één keer bezoeken. Ten slotte keert hij terug naar huis. Hoe moet hij zijn route uitstippelen om zo weinig mogelijk kilometers af te leggen ? (Hierbij kent de handelsreiziger de kortste route van elke klant naar elke klant en er is steeds tweerichtingsverkeer mogelijk.) Om dit probleem op te lossen, kunnen we een computerprogramma alle mogelijke routes laten opsommen en voor elk van die routes het totale aantal kilometers berekenen.

a Hoeveel verschillende routes zijn er bij drie klanten ?

b Hoeveel verschillende routes zijn er bij vijf klanten ?

c Hoeveel verschillende routes zijn er bij n klanten ?

59

60

61

Hoeveel verschillende getallen met 9 cijfers kun je vormen met 3 zessen, 4 vijven en 2 achten ?

Hoeveel verschillende getallen met 3 cijfers kun je vormen met 3 zessen, 4 enen en 2 achten ?

Op hoeveel manieren kun je 13 containers verdelen over 4 vrachtschepen ?

62

63

64

Op de eerste rij van het auditorium van een school worden 10 zitplaatsen gereserveerd voor 10 eregasten. Drie ervan laten weten verhinderd te zijn. De overige 7 eregasten worden alle 7 naast elkaar gezet (dus zonder een lege zetel tussen 2 gasten). Op hoeveel manieren kan dat ?

Op hoeveel manieren kun je 7 rode en 2 blauwe knikkers op een rij plaatsen als er tussen de twee blauwe knikkers precies drie rode moeten liggen ?

Op het departement onderwijs worden 8 bureaus van nieuw meubilair voorzien. De leverancier heeft 7 modellen. De beslissing wordt als volgt genomen : eerst selecteert de directie 3 modellen, dan bepaalt elk van de 8 personeelsleden zijn keuze onder de drie geselecteerde modellen.

Hoeveel verschillende bestellingen zijn er mogelijk ?

Pieter verjaart en besluit zijn klasgenoten te trakteren op zelfgemaakte koekjes. Zijn moeder maakte vijf soorten en van elke soort zijn er steeds voldoende.

a Op hoeveel manieren kan Pieter 19 koekjes meenemen van thuis ?

b Uiteindelijk neemt hij 5 koekjes met chocolade mee, 5 met citroen, 5 met kokos en 4 met bessen. Op hoeveel manieren kan hij die 19 koekjes verdelen in de klas ? (De klas is volledig en telt 19 leerlingen.)

In Duinbergen op de dijk is er een kraampje met heerlijk dagvers roomijs. Vandaag hebben ze 11 smaken. Hoeveel verschillende ijsjes bestaande uit twee bollen ijs kun je hiermee maken ?

Tom en Danira gaan samen een ijsje eten. In het ijssalon hebben ze 7 verschillende smaken. Ze weten echt niet wat te kiezen. Alles ziet er even lekker uit.

• Tom bestelt eerst : “Voor mij graag 4 bollen met een verschillende smaak.”

Hoeveel mogelijke bestellingen zijn er voor Tom ?

• Daarna bestelt Danira : “Voor mij 3 bollen, eventueel twee keer dezelfde smaak mag maar sowieso niet drie bollen met dezelfde smaak.”

Hoeveel mogelijke bestellingen zijn er voor Danira ?

Niels en Laura gaan samenwonen.

Ze hebben in Ikea een tafel, zes (gelijke) stoelen en twee (gelijke) zetels gekocht.

De ouders van Niels en Laura waren meegereden, zodat er drie Kangoos klaarstaan om dit alles te vervoeren : een rode, een grijze en een groene.

In de koffer van een Kangoo kan ofwel de tafel met twee stoelen, ofwel vier stoelen, ofwel de twee zetels, ofwel een zetel met twee stoelen. Op hoeveel manieren kunnen ze alles vervoeren met de drie wagens ?

Er liggen 4 kiwi’s, 5 bananen, 6 peren en 7 appels voor je.

Op hoeveel manieren kun je nu een fruitmand vullen met zes stukken fruit ?

In een Chinees restaurant hebben ze keuze uit 6 visschotels, 9 kipschotels en 11 groenteschotels. Voor het menu van 45 euro mag je 2 visschotels, 2 kipschotels en 3 groenteschotels kiezen.

Op hoeveel manieren kan iemand die dit menu bestelt, zijn keuze maken ?

Mauro en Wouter gaan regelmatig fitnessen.

a Mauro gebruikt altijd dezelfde zes toestellen. De volgorde ligt wel niet vast. Op hoeveel verschillende manieren kan hij de zes toestellen doorlopen ?

b Wouter gebruikt slechts vier toestellen, maar passeert ze wel twee keer. Eerst doet hij een setje van vier en nadien nog eens een setje van vier waarbij hij begint met een ander toestel dan waarmee hij geëindigd was. Op hoeveel manieren kan Wouter zijn fitnessbeurt samenstellen ?

De ‘Leeuwkes’ hebben dorst.

a Een van hun leiders koopt 17 blikjes : 5 blikjes cola, 4 blikjes spuitwater, 6 blikjes fruitsap en 2 blikjes icetea. Op hoeveel manieren kan hij zijn 17 Leeuwkes van een drankje voorzien als elk Leeuwke een drankje krijgt ?

b Op een andere dag wil ook een andere leider de 17 Leeuwkes trakteren op een drankje. Ze kunnen weeral kiezen uit cola, spuitwater, icetea of fruitsap. Hij geeft een briefje met de vier mogelijkheden door zodat ze naast hun keuze een streepje kunnen plaatsen. Op hoeveel manieren kan dat als elk Leeuwke iets kiest ?

c Op nog een andere dag mogen ze één voor één bij leider Vincent om een drankje gaan. De keuzemogelijkheden zijn cola, spuitwater, icetea en fruitsap en van elke soort zijn er voldoende in voorraad. Op hoeveel manieren kan Vincent blikjes uitdelen als elk Leeuwke een drankje krijgt ?

Op hoeveel manieren kun je deze zoo bezoeken als je elke (bruine) weg juist eenmaal wil bewandelen ? Centrale

Acht vrienden gaan kamperen in Corsica, het eiland in de Middellandse Zee dat deel uitmaakt van Frankrijk.

a Ze vliegen met z’n allen eerst naar hoofdstad Ajaccio. Op het vliegtuig moeten ze zich opsplitsen in drie groepen : twee groepjes van drie en één groepje van twee. Op hoeveel manieren kan dat ?

b Ze boekten bij een camping vlak bij Piana, uitgeroepen tot een van de mooiste dorpjes van Frankrijk. Eenmaal op de kampplaats aangekomen, dicht bij het strand, verdelen ze de taken. Vier personen zetten de twee tenten recht terwijl twee andere inkopen gaan doen. De twee andere vrienden gaan naar het stadje om enkele activiteiten te boeken. Op hoeveel manieren kunnen ze die drie taken onderling verdelen ?

c Onze acht vrienden beschikken over twee tenten : een tent van vijf personen en een tent van vier personen. Op hoeveel manieren kunnen zij de slaapplaatsen verdelen als Jarre bij Thomas en Jelle bij Tom wil slapen ?

d Na een dagje aan het strand kiezen ze voor avontuur en plannen ze een via ferrata. Voordat ze beginnen klimmen, bespreken ze in welke volgorde ze de tocht zullen aanvatten. Ze spreken ook af dat ze tijdens de klim steeds in dezelfde volgorde zullen blijven. Op hoeveel manieren kunnen ze de via ferrata doorlopen ?

e In hoeveel van die gevallen zal Thomas voor Jarre klimmen ?

f In hoeveel van die gevallen klimt Jelle net voor Tom ?

g ’s Avonds wordt er lekker gebarbecued op het strand. Er zijn 14 groentebrochettes en 12 worstjes. Op hoeveel manieren kunnen ze de brochettes en de worstjes verdelen als iedereen minstens één brochette en één worstje krijgt en alles wordt opgegeten ?

Vijf vrienden (Jenti, Karl, Lukas, Mike en Nick) gaan een weekendje kamperen. Ze beschikken over twee verschillende tenten (een blauwe en een groene) waarin telkens drie personen kunnen slapen.

a Op hoeveel manieren kunnen onze vijf vrienden zich verdelen over de twee tenten ?

Tijdens het vriendenweekend bezoeken ze een pretpark. Een bepaalde attractie bestaat uit karretjes waarin drie personen kunnen plaatsnemen. Ze spreken af dat eerst drie personen op de attractie gaan en nadien de andere twee plus iemand die al de eerste keer meeging.

b Op hoeveel manieren kunnen ze zich verdelen in een groepje van drie personen en een tweede groepje bestaande uit de twee anderen plus iemand uit de eerste groep ?

Tijd om een broodje te bestellen. De keuze is beperkt. Er zijn slechts vier soorten beschikbaar (smos, tonijn, veggie en deluxe). Iedereen bestelt één broodje. Lukas neemt de bestelling op :

SMOSTONIJNVEGGIEDELUXE

Jenti x

Karl x

Lukas x

Mike x

Nick x

c Op hoeveel manieren was bovenstaande bestelling mogelijk ?

Als iedereen besteld heeft, maakt Lukas een nieuw papiertje om af te geven aan de snackbar.

SMOSTONIJNVEGGIEDELUXE

AANTAL 2 2 0 1

d Op hoeveel manieren was bovenstaande bestelling mogelijk ?

In de namiddag gaan ze onder andere naar de reuzenwaterglijbaan. Ze dragen elk hun bootje mee naar boven en maken een voor een de dolle rit naar beneden.

e Op hoeveel manieren kunnen ze van de waterglijbaan afdalen als Jenti niet als eerste wil gaan en Nick niet als laatste ?

Tijd voor een ijsje. In een van de ijsjeszaken hebben ze 10 verschillende smaken. Ze spreken af dat iedereen twee verschillende smaken neemt en dat iedereen smaken neemt die iemand anders niet heeft. Anders gezegd : de 10 smaken worden mooi verdeeld onder onze vijf vrienden.

f Op hoeveel manieren kan dat ?

Wiskundeleerkracht Adil moet in december een mondeling examen afnemen bij een bepaalde klas. Er zijn 18 leerlingen in totaal.

• Een week voor het examen moet de volgorde bepaald worden.

a Hoeveel mogelijke rangschikkingen kan Adil maken als elke leerling apart binnenkomt ?

b Hoeveel mogelijke rangschikkingen kan hij maken als hij wil dat Adrian en Britt voor Carsten (niet noodzakelijk net ervoor) aan bod komen ?

c Daan, Elke en Falco komen altijd samen naar school. Adil wil de drie onmiddellijk na elkaar aan de beurt laten komen. De volgorde van de drie heeft geen belang. Hoeveel mogelijke rangschikkingen kan hij zo maken ?

• Als de leerlingen op het examen binnenkomen, dan trekken ze elk een vragenreeks. Er zijn 7 verschillende reeksen.

d Hoeveel trekkingen zijn er mogelijk ? Elke versie is steeds voor elke leerling beschikbaar.

e Hoeveel trekkingen zijn er mogelijk als de getrokken versies pas worden teruggelegd nadat alle zeven versies gepasseerd zijn ?

f Elke reeks bestaat uit vijf vragen die elk op een vijfde van het puntenaantal staan. Een vraag is ofwel volledig juist, ofwel volledig fout. Op hoeveel manieren kan een leerling slagen voor een vragenreeks ?

• Na het examen beseft Adil dat het systeem van leerling per leerling te tijdrovend is. In juni volgt er weer een mondeling examen met dezelfde klas : dan wil hij werken met groepjes van telkens zes leerlingen.

g Op hoeveel manieren kan Adil zijn leerlingen indelen in drie groepjes van zes ?

h Op hoeveel manieren kan hij zijn leerlingen indelen in drie groepjes van zes als Adrian, Britt en Carsten in dezelfde groep moeten zitten, net als Daan, Elke en Falco ?

i In elk groepje krijgt elke leerling twee opgaven die hij of zij eerst schriftelijk voorbereidt. Telkens als een leerling met een opgave klaar is, komt hij die mondeling toelichten. Hoeveel mogelijke volgordes zijn er (per groepje) waarin Adil de leerlingen te zien krijgt ? Een leerling kan ook twee opgaves na elkaar gaan toelichten bij de wiskundeleerkracht.

j Omdat het mondeling examen het laatste examen van het schooljaar is, biedt Adil elke leerling tijdens het examen een drankje aan. De leerlingen moesten op voorhand hun keuze maken. Ze konden kiezen uit drie soorten drankjes : U, V of W. Op hoeveel manieren kan de koelbox met 18 drankjes van meester Adil gevuld worden ?

1.4 De driehoek van Pascal en het binomium van Newton

1 Inleiding

∀ a , b ∈ R :

(a + b )0 = 1

(a + b )1 = a + b

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

Weproberenditnuvoorttezetten:

(a + b )3 =(a + b )2 (a + b )(a + b )4 =(a + b )3 (a + b ) =(a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b ) =(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) (a + b ) = a 3 + a 2 b

Weberekenennuook (a + b )5 , (a + b )6 en (a + b )7 metICT:

Wat valt op ?

( a + b )n optredende coëfficiënten

Dit is de zogenaamde driehoek van Pascal.

Het volgende valt op :

De coëfficiënt van de 4e term uit de ontwikkeling van ( a + b )4 is gelijk aan de som van de coëfficiënten van de 3e en de 4e term uit de ontwikkeling van ( a + b )3

We kunnen de driehoek van Pascal ook noteren met binomiaalcoëfficiënten.

Merk eerst op dat

C 2 3 = 3! 2!(3 2) ! = 3

C 3 3 = 3! 3!(3 3) ! = 1

C 3 4 = 4! 3!(4 3) ! = 4

Ergeldtdus: C 3 4 = C 3 3 + C 2 3 ofalgemeen:

formule van Stifel-Pascal

∀ n , p

Bewijs :

Michael Stifel (1486 – 1567)

De Duitser Stifel en de Fransman Pascal hebben elkaar nooit ontmoet, ze leefden zelfs in een andere eeuw, maar beiden hebben wel hun aandeel verdiend in bovenstaande formule. Stifel was trouwens niet enkel wiskundige, maar ook monnik. Ooit waagde hij zich aan een voorspelling van het einde van de wereld (in 1533), maar die is dus nooit uitgekomen. Op de volgende pagina maak je kennis met Blaise Pascal.

Blaise Pascal (1623 – 1662) en het bord van Galton Pascal, geboren in Clermont-Ferrand, werd al vroeg in de wiskunde onderwezen door zijn vader. Op zestienjarige leeftijd formuleerde hij al een belangrijke stelling in de projectieve meetkunde, later bekend als de stelling van Pascal. Na zijn studies legde hij zich toe op wetenschappelijk onderzoek m.b.t. fysica en wiskunde. Hij formuleerde o.a. theorieën over de luchtdruk en de luchtledigheid. Natuurkundige ideeën paste hij ook praktisch toe. Zo vond hij in 1642 het eerste mechanische ‘rekentoestel’ uit en stond hij aan de basis van de ontwikkeling van de hydraulische pers en de barometer.

In de wiskunde gaf Pascal zijn naam o.a. aan de slakkenlijn en aan de driehoek van Pascal. De driehoek van Pascal is in 1645 niet door Blaise Pascal uitgevonden, maar werd in China voor het eerst vermeld in het boek ‘Kostbare Spiegel van de vier Elementen’ van Shijie Zhu (gepubliceerd in 1303). De driehoek (de ‘Oude Spiegel’ genoemd) werd rond 1100 door de wiskundige Jia Xian besproken en werd door hem ‘de tabel voor het ontsluiten van binomiale coëfficiënten’ genoemd.

Het bord van Galton (genoemd naar een Britse ontdekkingsreiziger en wetenschapsman, 1822 –1911) is een mooie illustratie van de driehoek van Pascal. Het toestel bestaat uit een hellend vlak waarop zich pinnetjes bevinden zoals door de bolletjes voorgesteld op de figuren hieronder. Het vlak helt, zodat het bovenste deel van de figuren hieronder het hoogst is.

De afstand tussen 2 naburige pinnetjes is net groot genoeg om een knikker door te laten. Laat nu bovenaan een knikker los. De knikker rolt naar links of naar rechts, dan weer naar links of naar rechts enz. Is op een zeker ogenblik de knikker op de plaats waar het getal n staat, dan geeft het getal het aantal mogelijke wegen aan waarlangs de knikker die plaats kon bereiken.

Blaise Pascal

2 Het binomium van Newton : bewijs door volledige inductie

∀ n ∈ N0 : (a + b )n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n 1 b + + C n 1 n ab n 1 + C n n a 0 b n met C p n = n ! p ! (n p ) !

Doordat C 0 n = n ! 0!n ! = 1en C n n = n ! n !0! = 1

wordt het te bewijzen :

binomium van Newton

(a + b )n = a n + C 1 n a n 1 b + + C n 1 n ab n 1 + b n met C p n = n ! p ! (n p ) !

Bewijs :

① n = 1 De formule is juist als n = 1 want

(a + b )1 = a + b = C 0 1 a 1 b 0 + C 1 1 a 0 b 1

② We tonen aan : als de formule waar is voor een zekere waarde n, dan is ze ook waar voor n + 1.

Gegeven :

(a + b )n = a n + C 1 n a n 1 b + C 2 n a n 2 b 2 + ... + C n 1 n ab n 1 + b n

Te bewijzen :

(a + b )n +1 = a n +1 + C 1 n +1 a n b + C 2 n +1 a n 1 b 2 + ... + C n n +1 ab n + b n +1

Bewijs :

(a + b )n +1 =(a + b )n (a + b )

=(a n + C 1 n a n 1 b + + C n 1 n ab n 1 + b n )(a + b )

= a n +1 + C 1 n a n b + C 2 n a n 1 b 2 + ... + C n 1 n a 2 b n 1 + ab n + a n b + C 1 n a n 1 b 2 + ... + C n 1 n ab n + b n +1

= a n +1 +(C 1 n + 1)a n b +(C 2 n + C 1 n )a n 1 b 2 + ... +(1 + C n 1 n )ab n + b n +1

= a n +1 +(C 1 n + C 0 n )a n b +(C 2 n + C 1 n )a n 1 b 2 + +(C n n + C n 1 n )ab n + b n +1

Er geldt nu dat :

C p n + C p 1 n = C p n +1 (formule van Stifel-Pascal)

Dus : (a + b )n +1 = a n +1 + C 1 n +1 a n b + C 2 n +1 a n 1 b 2 + + C n n +1 ab n + b n +1

Aangezien de formule al zeker waar is voor n = 1, geldt ze dus ook voor n = 2, bijgevolg voor n = 3 enz., dus voor elke n ∈ N0

Verkorte vorm van de formule :

(a + b )n = n k = 0 C k n a n k b k

of: (a + b )n = n k = 0 n k a n k b k

Opmerkingen :

1 De veelterm in het rechterlid bevat n + 1 termen. De eerste ervan vinden we voor k = 0, de tweede voor k = 1, …

2 De getallen C k n worden binomiale coëfficiënten genoemd. Merk ook nog op dat de binomiale coëfficiënten op gelijke afstand van de uiterste termen in de gerangschikte veelterm aan elkaar gelijk zijn.

Er geldt immers : C k n = C n k n

3 De p -de term in de ontwikkeling van ( a + b )n wordt gegeven door :

Tp = C p 1 n a n p +1 b p 1

Inderdaad :

(a + b )4 = 4 k = 0 C k 4 a 4 k b k

= a 4 + C 1 4 a 3 b + C 2 4 a 2 b 2 + C 3 4 ab 3 + b 4

= a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab

T3 = 6a 2 b 2 = C 2 4 a 2 b 2

T4 = 4ab 3 = C 3 4 ab 3

(a + b )n = a n + C 1 n a n 1 b + C 2 n a n 2 b 2 + ... + C p 1 n a n p +1 b p 1 + C p n a n p b p + ... + C n 1 n ab n 1 + b n ↓↓

Isaac Newton

Binomium van Newton

Isaac Newton ontdekte een verband tussen de uitkomst van de macht van een tweeterm (bi = twee, nomen = naam) en de getallen die voorkomen in de driehoek van Pascal. Met deze binomiaalformule kun je eenvoudig en snel machten van tweetermen vinden. De ontwikkeling van ( x + a) n voor n ∈ N was zeer vroeg bekend in de Chinese en Arabische wiskunde. In Europa is de ontwikkeling zeker vanaf 1527 bekend. Blaise Pascal was in 1654 de eerste die het verband inzag tussen de coëfficiënten uit de formule en het aantal combinaties van p elementen uit n elementen.

Voor een reële exponent n werd het probleem door Newton behandeld in ‘Analysi’ (1669) waarin hij de methode geeft om algebraïsche functies te benaderen door een reeks (binomiale reeks). In samenhang hiermee ontdekte hij het binomium van Newton.

3 Grafische interpretatie

We bepalen het aantal verschillende kortste wegen om van O naar A te gaan via de rasterlijnen.

b-weg

Er zijn dus 6 = C 2 4 verschillende wegen om van O naar A te gaan.

( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )

We zoeken eigenlijk de coëfficiënt van a 2b 2 in de ontwikkeling van ( a + b )4

4 De ontwikkeling van (a – b)n

Om ( a – b )n te ontwikkelen, vervangen we in de ontwikkeling van ( a + b )n overal b door –b . In de ontwikkeling treden nu afwisselend even en oneven machten op van –b . De termen krijgen dus afwisselend een plusteken en een minteken.

(a b )n = n k = 0 C k n a n k ( b )k

Voorbeeld :

(a b )6 = a 6 +

5 Toepassingen

Toepassing 1 :

Bereken (zonder ICT) tot op 4 decimalen nauwkeurig de zesde macht van 1,05.

Oplossing :

1,056 =(1 + 0,05)6

dezetermzaldevierdedecimaal nietmeerbeïnvloeden

In 4 decimalen nauwkeurig is 1,056 = 1,3401.

Toepassing 2 :

Bepaaldetermin x 5 indeontwikkelingvan x

Oplossing :

De exponent van x in de algemene term van de ontwikkeling is dus

8 k 2 k

Een term met x –5 krijgen we enkel en alleen als

8 k 2 k = 5

k

De term in x –5 is dus

Toepassing 3 :

Bepaaldeachtstetermuitdeontwikkelingvan x 8 2 x 10

Oplossing :

Volgens opmerking 3 van blz. 63 :

T8 = C 7 10 x 8 3 2 x 7

= 120 x 3 88 ( 2)7 x 3  x

= 245760 x 6 · 2 x

Controle met GeoGebra :

6 Samenvatting

• Je kent de driehoek van Pascal.

• Je kent de formule van Stifel-Pascal.

• Je kent het binomium van Newton en kunt de formule bewijzen.

(

)

Verkorte vorm van de formule :

(a + b )n = n k = 0 C k n a n k b k

of: (a + b )n = n k = 0 n k a n k b k

• Je kunt het binomium van Newton toepassen. De p -de term in de ontwikkeling van ( a + b )n wordt gegeven door Tp = C p 1 n a n p +1 b p 1

• Je kunt (a b )n = n k = 0 C k n a n k ( b )k noteren als (a b )n = n k = 0 C k n a n k ( b )k

3

7 Oefeningen

Werk uit en controleer met ICT.

a (a b )4 i 3 1 x 6

b (2 x + 1)5

a 2 + b 3 7

c x 2 y 4 k x 2 + 2 5

d a 2 c 8 l y + 1 y 7

e x 1 2 5

f x y 2 6

g 2 x 3 y 4

h ( a + 2 b )5

Bereken.

aDe6etermvan 1 1 b 9

bDe21etermvan x 2 a x 24

Bereken en controleer met ICT.

a

Bereken de termin de ontwikkeling van a in x 4 ( 2 x 1)8

5 1 4

a + 1 4

2 x 1 4 y 8

cDe5etermvan 1 2 x 2 y 7

dDemiddelstetermvan a 2 + 1 2 b 8

(a + 2)5 +(a 2)5

Bereken zonder ICT met het aangegeven aantal decimalen nauwkeurig

het binomium van Newton toe te passen. Controleer je uitkomsten met ICT.

a 0,988 op 5 decimalen nauwkeurig

b 1,0120 op 6 decimalen nauwkeurig

c 1,048 op 7 decimalen nauwkeurig

d 0,9996 op 8 decimalen nauwkeurig

8 9 *

Bepaal de volgende sommen zonder ze voluit te schrijven.

a 20 k = 0 C k 20 (0,3)k · (0,7)20 k

b 50 k = 0 C k 50 2k

c n k = 0 C k n

d 6 k = 0 6 k ( 4)k

e 15 k = 0 C k 15 (0,04)15 k · (0,06)k

f n k = 0 n k ( 1)n k 2k

Bepaal het getal n ∈ N zodanig dat de termen met de vermelde machten van x gelijke coëfficiënten hebben.

a 6 x 6 n x 2 en x 4

b 2 x + 5 n x en x 2

c 3 x 2 5 n x 4 en x 8

d 2 x + 3 2 n x en x 4

e 2 x 2 1 n x 4 en x 8

f (2 x )2 3 + 2 x n x 0 en x 3

10

11 12

In de binomiaalontwikkeling van ( 1 + x )2n hebben de ( k + 3)-e term en de ( 2k – 3)-e term dezelfde coëfficiënt. Zoek een betrekking tussen n en k

Bewijs voor n ∈ N0 \{1} en x ∈ R + 0 : (1 + x )n > 1 + nx .

Bewijs :

a n p = n 2 p + 2 n 2 p 1 + n 2 p 2

b n p = n 3 p + 3 n 3 p 1 + 3 n 3 p 2 + n 3 p 3

c n +1 p +1 = n p + n 1 p + n 2 p

* 14

* 15 16

* 17

* 18

* 19

a Werk uit : ( a + b + c )2

b Verklaar zelf waarom we nu ook kunnen noteren : (a + b + c )2 = p ,q , r P p ,q , r 2 a p b q c r met p + q + r = 2

Dat is een illustratie van de uitbreiding van het binomium van Newton.

c Toon aan dat het aantal termen van ( a + b + c )2 gelijk is aan C 2 3

Werk uit met de formule uit oefening 13b.

a ( x + y + z )3

b ( x + y – z )3

Bepaal het aantal termen van de ontwikkeling van :

a ( a + b + c )7

b ( a + b + c + d )5

Werkdevorm cos π 4 + i sin π 4 10 optweemanierenuitenleiddaaruitafdat

C 1 10 C 3 10 + 1 2 C 5 10 = 16

Tip:werk cos π 4 + i sin π 4 10 uitmetdeformulevandeMoivreenmethetbinomiumvanNewton.

Bereken (1 + i )n optweemanierenenleidhieruitafdat:2 n 2 · cos n π 4 = 1 C 2 n + C 4 n C 6 n +

Toonaan: 49 k = 0 ( 1)k 99 2k = 249

Het getal 10011001 eindigt op

VWO 2011 eerste ronde, vraag 13 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Een onderzoeksopdracht.

Maak een werkstuk over de driehoek van Pascal waaruit blijkt hoeveel wiskundige rijkdom deze driehoek bevat. Geef de betekenis van de getallen op de n -de rij en van de som van de getallen op de n -de rij van de driehoek.

Onderzoek ook de getallen op een ‘diagonaal’ en zoek uit wat de driehoek bijvoorbeeld te maken heeft met :

– de toren van Hanoï

– de Fibonaccigetallen

– het binomium van Newton

– de zeef van Sierpinski

– de driehoeksgetallen

– de getallen van Catalan

– pythagorische drietallen

Kansrekenen

Kan kansrekenen je een wereldreis opleveren ? We maken even tijd voor een van de beroemdste problemen uit de kansrekening.

Bij een quizprogramma ben jij de winnaar. Proficiat ! De presentator neemt je mee naar drie deuren. Achter een van die deuren zit een wereldreis. Achter de twee andere bevindt zich niets. Jammer dat je niet weet achter welke deur wat zit. Je kiest, maar voordat jouw deur wordt opengemaakt, komt de presentator eventjes tussen. Hij, die wel weet waar de wereldreis zich bevindt, helpt een beetje (?) door een deur te openen waar niets achter zit. Je zenuwen begeven het bijna als de presentator zegt dat je nu nog van idee mag veranderen. Wat doe je ? Blijf je bij je eerste idee of kies je de andere deur, die nog niet geopend is ?

Kansrekenen