LEERWERKBOEK
Meetkunde
Björn Carreyn
Filip Geeurickx
Roger Van Nieuwenhuyze
CARTOONS
Dave Vanroye
Hoe gebruik je VBTL?
Dit boek bevat zes hoofdstukken vol meetkunde en metend rekenen. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.
Bij de inhoudstafel van elk hoofdstuk kun je ook een QR-code vinden. Via die codes kun je extra filmpjes met uitleg bekijken.
Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.
Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.
1 2 *
Na de samenvatting vind je een reeks oefeningen. Bij oefeningen die extra uitdagend zijn, zie je een sterretje naast het nummer. Bij sommige oefeningen moet je verder denken dan de net geziene leerstof. Je maakt dan gebruik van heuristieken. Deze oefeningen herken je aan de wiskunderugzak.
ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.
Vaardigheden
Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet. Ook in het portfolioschriftje dat bij dit boek hoort, kun je vaardigheden inoefenen.
Wat moet je kennen en kunnen?
Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.
Herhalingsoefeningen
Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen
Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.
Welkom in de wondere wereld van de wiskunde !
We hebben ons best gedaan om het vak wiskunde niet voor te stellen als een saaie, droge materie, maar wel als een boeiende en levende wetenschap waar je ook in werkelijkheid mee geconfronteerd wordt.
Wie had immers gedacht dat deze prachtige tuin vol zit met meetkundige transformaties en symmetrie?
Wandel met ons mee door de mooie en erg logisch opgebouwde wereld van meetkundige figuren.
Inhoud
Meetkunde
1
Transformaties
1.1 Even observeren 9
1.2 Spiegeling om een as 10
1.3 Translatie over een vector 19
1.4 Rotatie rond een centrum over een hoek 29
1.5 Symmetrie 43
1.6 Eigenschappen van transformaties 52
1.7 Verband tussen coördinaten in een assenstelsel en transformaties 63
2
Hoeken
2.1 Even observeren 77
2.2 Soorten hoeken 78
2.3 Hoeken bij evenwijdigen en een snijlijn 90
2.4 Som van de hoeken in een veelhoek 104
Extra’s 118
3
Congruentie
3.1 Even observeren 127
3.2 Congruentie 128
3.3 Verantwoorden van constructies 154
4
Driehoeken
4.1 Eigenschappen onderzoeken 179
4.2 De driehoeksongelijkheid 195
202
5
Vierhoeken
5.1 Eigenschappen onderzoeken 209
5.2 Vierhoeken construeren en classificeren 233 Extra’s 242
6
Ruimtemeetkunde
6.1 Ruimtefiguren herkennen 249
6.2 Volume van ruimtefiguren
Transformaties 1
Wolkenkrabbers met een twist ? Je zou het niet meteen verwachten, maar je vindt er in heel wat landen wel terug: van Zweden tot China, van Rusland tot Panama …
De toren op deze foto heet de Cayan Tower en die vind je in Dubai. Hij is precies 330 meter hoog en telt 73 verdiepingen. Het bovenvlak is precies 90 graden gedraaid ten opzichte van het grondvlak.
In Zweden en Rusland vind je gebouwen die eenzelfde hoek beschrijven, maar sommige wolkenkrabbers draaien soms 120 ° om hun as, of meer zelfs
Draaien is een van de transformaties die je in dit hoofdstuk zult bestuderen.
Transformaties
1.1 Even observeren 9
1.2 Spiegeling om een as
1 Spiegeling van een punt om een as 10
2 Spiegeling van een driehoek om een as 11
3 Vlakke figuren spiegelen om een as met ICT 12
4 Samenvatting 13
5 Oefeningen 14
1.3 Translatie over een vector
1 Vector 19
2 Gelijke vectoren 20
3 Translatie van een punt over een vector 21
4 Translatie van een driehoek over een vector 22
5 Vlakke figuren verschuiven over een vector met ICT 23
6 Samenvatting 23
7 Oefeningen 24
1.4 Rotatie rond een centrum over een hoek
1 Georiënteerde hoeken 29
2 Rotatie van een punt over een hoek 30
3 Rotatie van een driehoek over een hoek 31
4 Vlakke figuren roteren over een hoek met ICT 32
5 Spiegeling om een punt 33
6 Samenvatting 34
7 Oefeningen 35
1.5 Symmetrie
1 Spiegelsymmetrie om een as 43
2 Spiegelsymmetrie om een punt 44
3 Draaisymmetrie om een punt 44
4 Samenvatting 45
5 Oefeningen 46
1.6 Eigenschappen van transformaties
1 Transformaties van het vlak 52
2 Op zoek naar eigenschappen 54
3 Samenvatting 56
4 Oefeningen 57
1.7 Verband tussen coördinaten in een assenstelsel en transformaties
1 Samenhang tussen spiegelingen en coördinaten van punten 63
2 Samenhang tussen translaties en coördinaten van punten 65
3 Samenhang tussen puntspiegeling en coördinaten van punten 66
4 Samenvatting 66 5 Oefeningen 67
Extra’s
Vaardigheden : een transformatie is niet altijd een isometrie 70 Wat moet je kennen en kunnen ? 71 Herhalingsoefeningen 72
Bekijk de instructievideo’s
1.1
Even observeren
Hier vind je een collage van een aantal mooie foto’s. Bekijk de foto’s en bespreek wat er te zien is.
1.2 Spiegeling om een as
1Spiegeling van een punt om een as
A is het punt dat we willen spiegelen.
a noemen we de spiegelas, of kortweg de as.
Teken door het punt A de loodlijn l op de rechte a
M is het snijpunt van l met a .
Bepaal het punt A′ zodat | AM | = | MA′ |
Het punt A′ is het spiegelbeeld van het punt A om de as a .
In symbolen : A′ = sa ( A)
Merk op :
– Als het punt A′ het spiegelbeeld is van het punt A om de as a , dan is a de middelloodlijn van [AA′].
– Ligt het punt A dat je wilt spiegelen op de spiegelas zelf, dan heeft A zichzelf als spiegelbeeld.
We noemen A een dekpunt.
In symbolen :
∀ A ∈ a : sa ( A) = A
2 Spiegeling van een driehoek om een as
∆ ABC is de driehoek die we willen spiegelen.
a is de spiegelas.
Om een driehoek te spiegelen om een as is het voldoende dat je het spiegelbeeld van elk hoekpunt van die driehoek bepaalt.
Je krijgt het spiegelbeeld door de spiegelpunten met elkaar te verbinden.
D A′B′C′ is het spiegelbeeld van ∆ ABC om de as a
In symbolen:
A′B′C′ = sa ( ∆ ABC)
3Vlakke figuren spiegelen om een as met ICT
aEen vierhoek spiegelen
Stappenplan om dit met ICT te tekenen:
– Teken een vierhoek ABCD.
– Teken een rechte EF.
Spiegel de vierhoek om de as EF door op het derde laatste icoontje te kiezen voor lijnspiegeling.
Klik nu eerst op de getekende vierhoek en dan op de rechte EF.
Teken de rechten AA′, BB′ ,…
–
Duid de snijpunten aan van die rechten met de rechte EF.
– Duid alle hoeken aan die de rechten maken met de rechte EF.
Zorg ervoor dat je het symbool voor rechte hoek gebruikt. Klik daarvoor eerst op de selecteerknop en klik dan met de rechtermuisknop in het tekenvenster. Kies onderaan voor tekenvenster en selecteer dan helemaal onderaan (bij stijl voor rechte hoek) het gepaste symbool.
Teken de nodige lijnstukken en selecteer ze in het algebravenster. Klik erop met de rechtermuisknop, ga naar instellingen en dan naar stijl. Kies een gepaste markering.
Versleep een van de hoekpunten van vierhoek ABCD en observeer wat er gebeurt.
Blijven de rechten AA′, BB′ , … loodrecht staan op de rechte EF ?
Blijft de afstand van A tot de as EF dezelfde als de afstand van A′ tot de as ?
Blijft dit ook geldig voor alle andere punten van de vierhoek ABCD ?
Je krijgt een nieuwe situatie door punten van de vierhoek of de vierhoek zelf te verslepen.
Merk op :
EF is de middelloodlijn van [AA′], [BB′], [CC′] en [DD′].
bEen cirkel en een regelmatige vijfhoek spiegelen
Werk dit uit met ICT.
4 Samenvatting
• Je kunt het verband leggen tussen een vlakke figuur en haar beeld onder een spiegeling om een as.
• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een as.
• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een as (met en zonder ICT).
• Je kunt sa ( A) = A′ lezen als A′ is het spiegelbeeld van A om de as a .
5Oefeningen
In spiegeling herken je het woord spiegel. In welke beroepen maken mensen gebruik van een spiegel en waarom gebruiken ze dat voorwerp ?
Teken telkens het spiegelbeeld van de aangeduide punten om de as s
Teken de beelden van de aangeduide punten door ze te spiegelen om de as a
Spiegel de onderstaande veelhoeken om de as s
s C B
s
Wiskundetaal : hoe lees je volgende notaties ? a sa ( P)
bB = sa ( A)
c sa ( D XYZ) = D X′Y′Z′
Schrijf in symbolen.
a D A′B′C′ is het spiegelbeeld van D ABC om de as a .
bB′ is het spiegelbeeld van B om de as DE.
c Spiegel het punt Q om de as RT.
Gegeven : zie figuur onderaan
Gevraagd :
a Hoe lees je volgende notaties ?
s x ( A) = C A = s x ( C)
b Vul in.
s x ( A) = s x ( C) = s y ( D) =
s y ( B) = s y ( C) = s x ( B) =
c Teken K = sx ( E)
Teken L = sy ( E)
Welke figuur vormt KLCA ?
A′, B′, C′ en D′ zijn de beelden van A, B, C en D door de spiegeling om x Teken A, B, C en D.
Gegeven : A′ = sa ( A) het punt B
Gevraagd : zoek sa ( B) = B′
Teken de spiegelas a als X′ = sa ( X) en Y′ = sa ( Y)
Gegeven : zie figuur
Gevraagd : vul aan
Tekenopdrachten met ICT.
a Teken een rechthoek ABCD. Teken een diagonaal en spiegel de rechthoek om deze diagonaal.
Kleur het resultaat groen in.
b Teken een parallellogram ABCD. Teken een diagonaal en spiegel de parallellogram om deze diagonaal.
Kleur het resultaat oranje in.
c Teken een stomphoekige driehoek ABC met de stompe hoek in A.
Spiegel deze driehoek om BC.
Hoe noem je de vierhoek ABA’C ?
d Ontwerp een figuur en een spiegelas, zodat het spiegelbeeld van deze figuur om de getekende as met de oorspronkelijke figuur samenvalt.
e Spiegel een vierkant ABCD om de dragers van zijn zijden. Je voert dus vier spiegelingen uit.
–
Kleur elk bekomen spiegelbeeld anders in.
– Focus op de verschillende spiegelbeelden van het punt A.
Welke figuur vormen deze ?
–
Wat kan je concluderen als je de oppervlakte van deze figuur vergelijkt met de oppervlakte van het oorspronkelijke vierkant ?
f De bissectrice van een hoek is de rechte die deze hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.
Als je in het hoekpunt op deze bissectrice de loodlijn tekent, dan bekom je de buitenbissectrice.
Teken in een driehoek ABC de binnen- en buitenbissectrice van A.
Spiegel de driehoek om elk van deze bissectrices.
Met welke beeldpunten kan je een parallellogram vormen?
Kleur deze parallellogram geel in.
De gewone dobbelsteen D staat voor een spiegelhoek.
Welke spiegelbeelden zijn zeker fout ?
(A) alleen A (B) alleen B (C) alleen C (D) alleen A en B (E) alleen B en C
JWO 2019 eerste ronde, vraag 6 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Zoë schrijft de afkorting voor “zie ommezijde” op een doorzichtig blad papier. Door het blad in verschillende richtingen om te keren, kan ze vier van de onderstaande figuren zien. Welke figuur kan Zoë niet zien?
JWO 2024, eerste ronde, probleem 9 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
1.3 Translatie over een vector
1 Vector
Een voetballer wil een bal over de grond trappen. Hij heeft hier natuurlijk veel mogelijkheden voor. De andere spelers denken hierover na :
– Welke richting zal hij de bal geven ?
In welke zin (= oriëntatie) zal hij de bal trappen ?
– Hoe ver zal hij de bal trappen ?
De bal vertrekt vanuit A en gaat naar het punt B. Als de tweede speler de bal terugspeelt, dan gaat de bal van punt B naar punt A.
Als we de oriëntatie hebben aangeduid, hebben we een vector (of een georiënteerd lijnstuk). We hebben dan (met een pijlpunt) een zin aangeduid. Een van de grenspunten is nu het beginpunt, het andere het eindpunt.
Een vector is een lijnstuk waarop een doorloopzin (oriëntatie) is aangeduid.
2 Gelijke vectoren
Bekijk aandachtig de drie hiernaast getekende vectoren −→ AB, −→ CD en −→ EF
Wat valt je op?
Evenwijdig ? AB ⫽ CD ⫽ EF Als rechten evenwijdig zijn, bepalen ze dezelfde richting.
Even lang ? | AB | = | CD | = | EF |
Oriëntatie? De zin van −→ AB, −→ CD en −→ EF is dezelfde.
Als vectoren evenwijdig zijn, even lang zijn en dezelfde oriëntatie hebben, dan zijn ze gelijk.
Conclusie : −→ AB = −→ CD = −→ EF
gelijke vectoren
Gelijke vectoren zijn vectoren die dezelfde richting, zin en lengte hebben.
Een vector bepaalt een translatie
We spreken dan van de translatie bepaald door −→ AB en kunnen dit noteren als t −→ AB . Die translatie is net dezelfde als de translatie bepaald door −→ CD ( t −→ CD ) of de translatie t −→ EF (zie tekening bovenaan).
In onderstaande voorbeelden bepalen −→ XY en −→ PQ verschillende translaties.
Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Voorbeeld 3:
De zin is verschillend. De lengte is verschillend. XY en PQ zijn niet evenwijdig, de richting is verschillend.
3 Translatie van een punt over een vector
Na de spiegeling bestuderen we nu een tweede transformatie van het vlak: de translatie (t ) over een vector.
Hoe teken je het schuifbeeld van het punt A over vector −→ CD ?
A is het punt dat we willen verschuiven. −→ CD is de gegeven vector.
Teken door het punt A een evenwijdige rechte met CD.
De richting is nu in orde.
Bepaal nu de zin van de pijl.
Zoek een punt A′ zodat | CD | = | AA′|.
De zin en de lengte zijn nu ook in orde.
A′ is het schuifbeeld van A.
Het punt A′ is het schuifbeeld van het punt A door de translatie bepaald door vector −→ CD
In symbolen :
A′ = t −→ CD( A)
Merk op : Een bijzondere translatie is t −→ AA = t
BB = .... Elk punt van het vlak wordt afgebeeld op zichzelf.
We noemen dit de identieke transformatie 1p
Translatie
Het woord ‘translatie’ is afgeleid van het Latijnse ‘translatio’. Dat betekent vertaling, omzetting of overdraging. De meetkundige figuur wordt eigenlijk ‘overgedragen’ naar een andere plaats.
Denk ook aan het Engelse ‘translation’, wat staat voor vertaling. Ook in de economie wordt het woord gebruikt om iemands rechtsgebied te verleggen.
4 Translatie van een driehoek over een vector
Voorbeeld :
D ABC is de driehoek die we willen verschuiven.
De translatie wordt bepaald door vector −→ EF
Om een driehoek te verschuiven volgens vector −→ EF is het voldoende dat je het schuifbeeld van elk hoekpunt van die driehoek bepaalt.
Je krijgt het schuifbeeld van ABC door de schuifbeelden A′, B′ en C′ met elkaar te verbinden.
D A′B′C′ is het schuifbeeld van D ABC over vector −→ EF
In symbolen :
5 Vlakke figuren verschuiven over een vector met ICT
a Een vierhoek verschuiven
b Een cirkel en een regelmatige zeshoek verschuiven
Werk dit uit met ICT.
6
Samenvatting
• Je weet wat een vector is en wanneer vectoren gelijk zijn.
Stappenplan om dit met ICT te tekenen :
– Teken een vierhoek ABCD.
– Teken een vector −→ EF.
– Klik op het derde laatste icoontje en kies voor verschuiving door vector. Klik nu eerst op de getekende vierhoek en dan op de vector −→ EF
– Teken eveneens de vectoren −→ AA , −→ BB , −→ CC en −→ DD
• Je kent het verband tussen een vlakke figuur en haar beeld onder een translatie over een vector.
• Je kunt van een vlakke figuur haar beeld bepalen onder een translatie over een vector (met en zonder ICT).
• Je kunt A′ = t −→ CD (A) lezen als A′ is het schuifbeeld van A door de translatie over een vector −→ CD.
7 Oefeningen
Duid in deze strook behangpapier drie verschillende vectoren t , u en v aan. Teken voor elk van deze vectoren een gelijke vector.
Teken telkens het schuifbeeld van de punten A, B en C door de translatie bepaald door vector −→ XY
Zoek de beelden van A, B en C door de translatie bepaald door vector
Is t −→ AA = t −→ BB ? Verklaar.
b c
Teken het beeld van de onderstaande veelhoeken door de translatie bepaald door vector −→ XY
Wiskundetaal : hoe lees je volgende notaties ?
a t −→ KT (C)
b T = t −→ AB (L)
c t −→ NF (R)= S
Schrijf in symbolen.
a D′ is het schuifbeeld van D over vector −→ EF
b DR′T′V′ is het schuifbeeld van DRTV over vector −→ AB
c Verschuif F over vector −→ KL .
Zoek telkens het schuifbeeld en vorm met de verkregen letters een wiskundig begrip.
a t −→ KT (C)=
b t −→ IO (A)=
c t −→ RE (E)=
d t −→ MJ (O)=
e t −→ MZ (E)=
f t −→ BC (Z)=
g t −→ FZ (D)=
h t −→ FN (A)=
i t −→ AA (E)=
j t −→ NA (R)=
k t −→ VL (Q)=
Het woord is :
Gegeven : zie figuur
Gevraagd : vul aan
a t −→ AB (E)= h t −→ BE (∆BFD)=
b t −→ AB (G)= i t −→ HE ( )= C
c t −→ FC (H)= j t −→ CB ( )= D
d t GA (I)= k t IE ( )= y
e t −→ BC ( x )= l t (p )= q
f t −→ AI (p )= m t (HF)= DB
g t −→ HI ([BD])= n t (G)= F
a Teken in het groen een vector die vierkant ABFE afbeeldt op vierkant FGKJ.
b Teken in het rood een vector die vierkant GHLK afbeeldt op vierkant BCGF.
c Wat kan je besluiten in verband met je twee getekende vectoren?
Bepaal een translatie t zodat t ( c ) = c ′
Tekenopdrachten met ICT.
a Teken een vierkant ABCD en een willekeurige vector −→ EF.
Teken het beeld van dit vierkant onder de translatie over −→ EF
Kleur het schuifbeeld blauw in.
b Teken een stomphoekige driehoek ABC met stompe hoek in A.
Teken het beeld van deze driehoek onder de translatie over de vector −→ BC.
Hoeveel keer past de oorspronkelijke driehoek in figuur ABC′A′?
c Teken een rechthoek ABCD.
Teken het beeld van deze rechthoek onder de translatie over de vector −→ DA
Kleur het resultaat groen in.
d Teken een parallellogram ABCD.
Teken het beeld van dit parallellogram onder de translatie over de vector −→ AC .
Kleur het resultaat oranje in.
e Teken een ruit ABCD. Kleur ze rood in. Je zal deze ruit nu drie keer verschuiven en telkens rood inkleuren. – Teken het beeld van de ruit ABCD onder de translatie over de vector −→ AB –
Teken het beeld van de ruit ABCD onder de translatie over de vector −→ AC – Teken het beeld van de ruit ABCD onder de translatie over de vector −→ AD.
Wat kan je besluiten over de grootste vierhoek die zo ontstaat?
Bepaal in een regelmatige achthoek een aantal koppels die behoren tot eenzelfde translatie. Oorsprong en uiteinde moeten hoekpunten zijn van de achthoek.
Hoeveel verschillende translaties zijn hier mogelijk ?
1.4 Rotatie rond een centrum over een hoek
1 Georiënteerde hoeken
Lien zit op het reuzenrad. Het punt waarrond het rad draait, noemen we O.
O wordt het centrum van de rotatie (of draaiing) genoemd.
De hoek waarover gedraaid wordt, noemen we de draaiingshoek. Maar opgelet ! Je kunt het rad in wijzerzin of in tegenwijzerzin laten draaien. De hoek gevormd door de benen [ OA en [ OB kunnen we dus op twee manieren doorlopen.
IN TEGENWIJZERZIN IN WIJZERZIN
[ OA: beginbeen [ OB: eindbeen
afspraak: tegenwijzerzin = positieve zin
[ OB: beginbeen [ OA: eindbeen
afspraak : wijzerzin = negatieve zin de georiënteerde hoek AOB is 45° de georiënteerde hoek BOA is – 45°
georiënteerde hoek
Een georiënteerde hoek is een hoek waarop een oriëntatie is aangeduid.
Merk op:
Een georiënteerde hoek wordt bepaald door het hoekpunt, de oriëntatie en de hoekgrootte.
2 Rotatie van een punt over een hoek
Als derde transformatie van het vlak bestuderen we de rotatie rond een centrum over een hoek. Hoe teken je het draaibeeld van het punt A door de rotatie rond het punt O over een hoek van 60° ?
A is het punt dat we willen draaien (of roteren).
O is het punt waarrond we draaien: we noemen dit het centrum van de rotatie.
De draaiingshoek is 60°. Dat is dus in tegenwijzerzin.
Zet je passerpunt in het punt O en teken in tegenwijzerzin een cirkelboog door A.
Teken een hoek van 60° met als hoekpunt O en als eerste been [ OA. Het tweede been ligt aan de andere kant van de cirkelboog.
Het snijpunt van het tweede been met de cirkelboog is A′
Zo is de hoek AOA′ = 60°. A
Het punt A′ is het draaibeeld van het punt A door rotatie rond het punt O over een hoek van 60°.
In symbolen : A′ = r ( O, 60°) ( A)
Rotatie
Het woord ‘rotatie’ is afgeleid van het Latijnse ‘rotare’, wat letterlijk draaien of omwentelen betekent. Ook in de sterrenkunde wordt dit woord gebruikt als eigenschap van de hemellichamen. Zo verloopt de rotatie van een hemellichaam positief als de omwenteling rond de as in dezelfde zin gebeurt als zijn beweging rond de zon. Bij de aarde en de maan is er sprake van een ‘gebonden rotatie’. Dat wil zeggen dat de omlooptijd en de rotatietijd van de maan gelijk zijn.
Onze getijden (eb en vloed, door de maan opgewekt) zorgen voor een versnelling van de rotatietijd van de aarde.
3 Rotatie van een driehoek over een hoek
D ABC is de driehoek die we willen roteren rond het punt O over een hoek van –100°.
Om een driehoek te roteren over een georiënteerde hoek is het voldoende dat je het draaibeeld zoekt van elk hoekpunt.
Je krijgt het draaibeeld van D ABC door de draaibeelden A′, B′ en C′ met elkaar te verbinden.
′ C′
D A′B′C′ is het draaibeeld van D ABC door de rotatie rond het punt O over een hoek van –100°.
In symbolen :
D A′B′C′ = r ( O, –100°)( D ABC)
4 Vlakke figuren roteren
a Een vierhoek roteren
over een hoek
met ICT
Teken een vierhoek ABCD en een punt O en roteer de vierhoek in tegenwijzerzin rond O over een hoek van 95 °.
b Een cirkel roteren over een bepaalde hoek
Stappenplan om dit met ICT te tekenen:
– Teken een vierhoek ABCD en een punt O.
– Klik op het derde laatste icoontje en kies voor roteer rond punt. Klik eerst op de getekende vierhoek en dan op O.
– Kies dan bij het scherm dat zich opent voor tegenwijzerzin en als grootte van de hoek vul je 95 ° in.
– Teken alle stippellijnen.
– Teken alle cirkelbogen (gebruik het icoontje cirkelboog).
– Duid alle hoeken aan.
Merk op :
Een vierhoek roteren over een hoek van 95 ° in tegenwijzerzin komt dus neer op een vierhoek roteren over een hoek van +95 °.
Teken een cirkel c en roteer die cirkel in wijzerzin rond O over een hoek van 75 °.
Merk op :
Een cirkel roteren over een hoek van 75 ° in wijzerzin komt dus neer op een cirkel roteren over een hoek van –75 °.
5 Spiegeling om een punt
Roteer een punt A rond het centrum O over een hoek van 180 °.
′
Merk op:
O is het midden van het lijnstuk [ AA′].
– Een rotatie met draaiingshoek 180° is hetzelfde als een rotatie met draaiingshoek –180°.
Een dergelijke rotatie noemen we ook een puntspiegeling met centrum O.
puntspiegeling
Een puntspiegeling met centrum O is een rotatie over 180° rond O.
Het is niet nodig om een puntspiegeling met een passer uit te voeren. Je kunt het sneller met een geodriehoek.
Voorbeeld 1 : spiegelen van een punt om een punt
O is het centrum van de puntspiegeling.
A is het punt dat we willen puntspiegelen.
Teken de rechte AO.
Bepaal een punt A′ zodat O het midden is van [ AA′]
A′ is het beeld van het punt A door de puntspiegeling om O.
In symbolen : A′ = sO( A)
Voorbeeld 2 : spiegeling van een driehoek om een punt
Teken met ICT een driehoek ABC en een punt O. Spiegel de driehoek om het punt O.
6 Samenvatting
• Je weet dat een georiënteerde hoek een hoek is waarop een oriëntatie werd aangebracht.
• Je kan het verband leggen tussen een vlakke figuur en haar beeld onder een rotatie rond een centrum over een hoek.
• Je kunt een vlakke figuur roteren rond een centrum over een bepaalde hoek.
• Je kunt een vlakke figuur roteren rond een centrum over een bepaalde hoek met ICT.
• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een punt.
• Je kunt een vlakke figuur spiegelen om een punt over een bepaalde hoek met ICT.
• Je kunt A′ = r ( O, α)( A) lezen als A′ is het draaibeeld van A door rotatie rond het centrum O over een hoek α
7 Oefeningen
Vul de zinnen aan.
a C is het draaibeeld van A als je roteert om over
b H is het draaibeeld van D als je roteert om over
c F is het draaibeeld van C als je roteert om over
d E is het draaibeeld van H als je roteert om over
e B is het draaibeeld van B als je roteert om over
Teken telkens het beeld van een punt A onder de rotatie rond het punt O …
a over een hoek van –30°.
c over een hoek van 70°.
b over een hoek van 140°. d over een hoek van –90°.
Teken het beeld van de meetkundige figuur onder de rotatie rond O over een hoek α
a α = 160°
b α = 75°
Wiskudentaal: hoe lees je volgende notaties ?
a r ( T, 70°)
b A′ = r ( D, –70°)( A)
c ∆D′E′F′ = r ( O, 170°)( DDEF)
Schrijf in symbolen.
a Roteer K over een hoek van 70 ° om O.
b B′ is het draaibeeld van B door een rotatie om O over –120 °.
c D J′K′L′ is het draaibeeld van D JKL door een rotatie om L over 35 °.
Iedereen die af en toe een spelletje speelt, kent wel Tetris of Blokken. In dit spel is het de bedoeling lijnen te vormen door de verschillende blokjes naar beneden te brengen. Dit spel zit vol rotaties (over 90 °, 180 ° of –90 °) en verschuivingen (naar links, rechts en beneden, maar jammer genoeg niet naar boven). Hieronder zie je de verschillende blokjes. Schets onder elk blokje wat je krijgt als je het blokje roteert over de gevraagde hoek.
* 8 *
Anke, Barbara, Ciska en Dora staan aan het ‘Rad van fortuin’ en mogen elk twee keer draaien. Ze winnen telkens het bedrag dat voor hun neus stopt. Daarna wordt het rad weer in deze positie teruggeplaatst. Wie gaat met het hoogste bedrag naar huis ?
Gegeven : zie figuur Gevraagd : vul aan
a r ( O, 30°)( B) =
b r ( O, 45°)( D) =
c r ( O, –60°)( A) =
d r ( O, 75°)([ TI]) =
e r ( K, 180°)( A) =
f r ( O, –90°)( ∆JCU) =
g r ( O, 90°)( ) = H
h r ( O, –60°)( ) = B
j r ( O, )( J) = G
k r ( O, )( U) = S
Anke
r( O, –100°)
r( O, –170°)
Barbara
r( O, –380°)
r( O, –145°)
Ciska r( O, –375°)
r( O, –280°)
r( O,–440°)
Dora
r( O,–350°)
i r ( O, –75°)( ) = N l r ( O, )( L) = P
r ( , )( O) = F
r ( , )( K) = K
Puntspiegel de punten om O.
Teken het beeld van de gegeven figuur onder een spiegeling om het punt M.
Wiskundetaal: hoe lees je de volgende notaties ?
a s T( A) b s R( B) = B
A′ = sO( A) . Zoek B′
Gegeven : zie figuur
Gevraagd : vul aan
a s E( B) = h s E( DCFE) =
b s D( G) = i s F( ) = C
c s E( C) = j s H( ) = I
d s B( y ) = __________ k s E( ) = A
e s E( p ) = l s ( G) = A
f s E( BF) = __________ m s _______ ( FH) = BD
g s E([ IF) = n s ( p ) = r
Het woord ABBA wordt eerst geroteerd rond O over een hoek van 180°. Het resultaat wordt gespiegeld om de y -as. Wat is het resultaat?
Tekenopdrachten met ICT.
a Teken een rechthoek ABCD en een willekeurig punt O.
Roteer de rechthoek ABCD rond centrum O over een hoek van 60°.
b Teken een parallellogram ABCD. Teken de twee diagonalen.
Noem O het snijpunt van deze diagonalen.
Roteer het parallellogram rond O over een hoek van –90°.
c Teken een cirkel c met straal 5.
Kies een punt O op de cirkel.
Spiegel de cirkel om O.
d Teken een gelijkbenig trapezium ABCD.
Teken de twee diagonalen.
Noem O het snijpunt van deze diagonalen.
Spiegel het trapezium om O.
e Teken een gelijkzijdige driehoek ABC.
Kleur deze rood in.
Je zal nu twee rotaties uitvoeren en het resultaat telkens ook rood inkleuren. –
Draai ABC rond A over 120°.
– Draai ABC rond B over –120°.
Om een grote rode gelijkzijdige driehoek te bekomen moet nog één gebied ingevuld worden met een driehoek. Welke transformatie van het vlak kan je uitvoeren zodat je één grote rode gelijkzijdige driehoek bekomt?
f Breng de tekening hiernaast op het scherm.
Zoek sa ( D ABC)
Spiegel het bekomen beeld om O.
g Teken het vierkant ABCD zodat co(A) = ( 1, 3), co(B) = ( 3, 3) en co(C) = ( 3, 1). Kleur de figuur groen.
Je zal deze figuur vier keer spiegelen om een punt en het resultaat telkens ook groen inkleuren.
– Spiegel ABCD om A.
– Spiegel ABCD om B.
– Spiegel ABCD om C.
– Spiegel ABCD om D.
Om een groot groen vierkant te krijgen moeten nog vier witte ruimtes opgevuld worden met een vierkant.
Welke transformaties van het vlak kan je uitvoeren zodat je één groot groen vierkant bekomt?
17
Gegeven : een regelmatige zeshoek ABCDEF
Gevraagd : vul aan
a sAD (B) =
b t −→ BC (F) =
c r(0,120 ◦ ) (F) =
d sO (D) =
e sFC (D) =
f t −→ BC (O) = j t −→ AO (∆ABO) =
g r(0,45 ◦ ) (O) = k s(0, 60 ◦ ) (∆ABO) =
h s (F) = Dl rO (∆ABO) =
i sO (∆ABO) = m t −→ DD (∆ABO) =
Vervang de gegeven transformaties door één. Welke?
a Roteer rond een willekeurig punt M over een hoek van 55°.
Roteer daarna opnieuw rond M, maar nu over een hoek van 35°.
Dit kan je vervangen door één transformatie van het vlak. Welke?
b Spiegel eerst om de oorsprong O. Spiegel daarna om de x -as.
Dit kan je vervangen door één transformatie van het vlak. Welke?
c Spiegel om de y -as. Spiegel daarna om een rechte die evenwijdig is met de y -as.
Dit kan je vervangen door één transformatie van het vlak. Welke?
d Puntspiegel om de oorsprong O. Roteer daarna rond O over een hoek van 40°.
Dit kan je vervangen door één transformatie van het vlak. Welke?
e Roteer drie keer na elkaar rond eenzelfde punt over 60°.
Dit kan je vervangen door één transformatie van het vlak. Welke?
AB −→ BA .
f Voer een translatie uit over vector
AB
BA . Voer nadien een translatie uit over vector
Dit kan je vervangen door één transformatie van het vlak. Welke?
1.5 Symmetrie
Sommige figuren hebben zichzelf als beeld als je ze spiegelt of draait. We spreken dan van symmetrie. In deze paragraaf bespreken we symmetrie bij vlakke figuren. In hoofdstuk 6 vind je de symmetrie bij ruimtefiguren.
1 Spiegelsymmetrie om een as
In de vlinder hierboven zit symmetrie. Als we de rechte a als spiegelas nemen, dan is het beeld van deze figuur de figuur zelf.
Een dergelijke rechte (spiegelas) noemen we een symmetrieas spiegelsymmetrisch om een as Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een as als ze zichzelf als beeld heeft bij een spiegeling om die as. Die rechte is een symmetrieas van de figuur.
Sommige veelhoeken hebben ook symmetrieassen. Dit zijn de symmetrieassen in de driehoeken en vierhoeken.
DRIEHOEKEN
ONGELIJKBENIGE
DRIEHOEK
Voorbeeld
Voorbeeld
Aantal
GELIJKBENIGE DRIEHOEK
GELIJKZIJDIGE
2 Spiegelsymmetrie om een punt
De figuur hiernaast kun je roteren rond het middelpunt over 180 °. Je krijgt dezelfde figuur.
Met andere woorden : je kunt de figuur puntspiegelen en het beeld bedekt perfect het origineel.
Het punt waar je om roteert, noemen we het symmetriemiddelpunt.
Een figuur kan maximaal één symmetriemiddelpunt hebben.
spiegelsymmetrisch om een punt
Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een puntspiegeling om dat punt. Dit punt noemen we het symmetriemiddelpunt van de figuur.
3 Draaisymmetrie om een punt
Je kunt ook symmetrie hebben door te roteren.
Je kunt de molenwieken draaien zodat ze precies zichzelf als beeld hebben.
Die rotatie is een bijzondere rotatie. We noemen dit een eigendraaiing van de figuur. Niet alle figuren hebben eigendraaiingen. De rotatie over 0 ° wordt uitgesloten.
De figuur van de vijf molenwieken heeft volgende eigendraaiingen: r ( O, 72°), r ( O, 144°), r ( O, 216°) en r ( O, 288°)
draaisymmetrisch om een punt
Een vlakke figuur is draaisymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een rotatie rond dat punt over een hoek verschillend van 0 °. Die rotatie noemen we een eigendraaiing van de figuur.
Merk op:
Als een figuur draaisymmetrisch is rond een punt over een hoek van 180 °, dan is ze ook spiegelsymmetrisch rond dat punt.
4 Samenvatting
• Je weet wanneer een vlakke figuur spiegelsymmetrisch is om een as. Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een as als ze zichzelf als beeld heeft bij een spiegeling om die as.
• Je weet wat een symmetrieas is.
• Je kunt de symmetrieassen aanduiden in een vlakke figuur.
• Je weet wanneer een vlakke figuur spiegelsymmetrisch is om een punt. Een vlakke figuur is spiegelsymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een puntspiegeling rond dat punt.
• Je weet wat een symmetriemiddelpunt is.
• Je kunt het symmetriemiddelpunt aanduiden in een vlakke figuur.
• Je weet wanneer een vlakke figuur draaisymmetrisch is om een punt. Een vlakke figuur is draaisymmetrisch om een punt als ze zichzelf als beeld heeft bij een rotatie rond dat punt over een hoek verschillend van 0 °.
• Je weet wat een eigendraaiing is.
• Je kunt de eigendraaiingen bepalen van een vlakke figuur.
Rorschach
De Zwitserse psychiater Hermann Rorschach gebruikte een reeks inktvlekken om een beeld te krijgen van de persoonlijkheid van zijn patiënten. De vlekken werden op een blad gebracht, waarna dat blad geplooid werd. Hierdoor ontstaan symmetrische figuren en kun je de plooi van het blad gelijkstellen met een spiegelas. De vlekken werden zeer doelbewust uitgekozen. Volgens sommigen was Hermann Rorschach de eerste die een verband legde tussen deze ‘vlekkenproef’ en de persoonlijkheid van zijn patiënten.
De ‘vlekkenproef’ bestaat uit tien gekleurde platen waarvan de onderzochte persoon moet zeggen wat hij in deze vlekken ziet.
Probeer jij ook eens te kijken ?
5 Oefeningen
Duid in onderstaande logo’s alle symmetrieassen aan.
a d g j
b e h k
c f i l
Hieronder vind je zes kaarten uit een kaartspel.
Welke kaarten zijn spiegelsymmetrisch om een as ?
Welke kaarten zijn draaisymmetrisch om een punt ?
a b c d e
3 s
Een rooster bestaat uit 16 vierkanten, waarvan er 2 groen gekleurd zijn. Tarek wil nog 2 van die vierkanten groen kleuren zodat de rechte s een symmetrieas is van de figuur. Op hoeveel verschillende manieren kan hij dat doen? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
WALLABIE 2024 probleem 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
WISKUNDE & MAATSCHAPPIJ
Symmetrie in vlaggen. Hieronder vind je negen vlaggen van landen. Zijn ze symmetrisch om een as en / of symmetrisch om een punt ?
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
Bij de vlaggen van oefening 4 zijn er zeven draaisymmetrisch. Noteer van hun eigendraaiingen telkens de kleinste positieve hoek.
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
symmetrisch om een as symmetrisch om een punt
Macedonië
Zijn volgende figuren draaisymmetrisch ? Zo ja, noteer de eigendraaiingen. Gebruik steeds O als centrum.
h l
Waar of vals ? Als het antwoord vals is, teken dan een tegenvoorbeeld.
a Als een vierhoek twee symmetrieassen heeft, dan is het een ruit.
b Als een vierhoek één symmetrieas heeft, dan is het een gelijkbenig trapezium.
c Elk vierkant heeft vier symmetrieassen.
d Als een figuur twee symmetrieassen heeft, dan is het een ruit of een rechthoek.
e Een stomphoekige driehoek kan nooit een symmetrieas hebben.
f Een trapezium dat geen parallellogram is, heeft nooit een symmetrieas.
Vervolledig de figuur als je weet dat a een symmetrieas is.
a Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige vijfhoek ?
b Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige achthoek ?
c Hoeveel symmetrieassen heeft een regelmatige n -hoek ?
VALS
VALS
VALS
Hebben volgende figuren een symmetriemiddelpunt ?
a e i
b f j
c g k
Waar of vals ?
a Als een figuur een symmetriemiddelpunt heeft, dan heeft ze ook een eigendraaiing.
b Als een figuur een eigendraaiing heeft, dan heeft ze ook een symmetriemiddelpunt.
c Een regelmatige n -hoek heeft n – 1 eigendraaiingen.
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
Zin in een wel heel exotische bestemming ?
Vertrek aan het startpunt en volg de juiste weg.
Als het figuurtje een symmetriemiddelpunt heeft, ga je rechtdoor.
Als de figuur geen symmetriemiddelpunt heeft, sla je rechts af. Op die manier sprokkel je letters bij elkaar, die zelfs al in de juiste volgorde staan !
De vakantiebestemming is :
1.6 Eigenschappen van transformaties
1 Transformaties van het vlak
In de vorige paragrafen heb je heel wat kunnen spiegelen, verschuiven, roteren en puntspiegelen. Voor elk punt had je precies één beeld.
Als je voor elk punt in het vlak precies één beeld vindt, dan spreken we over een transformatie van het vlak.
SPIEGELEN TRANSLATIES
A ligt niet op de as a.
Door A kun je maar één loodlijn tekenen op a .
Er is maar één punt A′ zodat a de middelloodlijn is van [ AA′].
Dus heeft A precies één beeld : A′ .
a
B ligt op de spiegelas a.
Het beeld van B is B zelf en is dus enig.
Besluit :
Elk punt van het vlak heeft precies één beeld bij de spiegeling om a Een spiegeling is een transformatie van het vlak.
X heeft maar één beeld Y door de translatie volgens −→ AB
Door X kun je maar één evenwijdige tekenen aan AB en hierop ligt maar één punt Y zodat | AB | = | XY | en −→ AB dezelfde zin heeft als −→ XY .
A is niet het centrum van de rotatie.
Teken een cirkelboog met middelpunt O en straal | OA | Er bestaat steeds één punt A′ zodat AOA ′ = α en | OA′ | = | OA |.
Besluit :
Elk punt van het vlak heeft door de translatie over −→ AB precies één beeld. Een translatie is een transformatie van het vlak.
O is het centrum van de rotatie. Het beeld van O is O zelf en is dus enig.
Besluit :
Elk punt van het vlak heeft door de rotatie met centrum O en draaiingshoek a precies één beeld. Een rotatie is een transformatie van het vlak.
Merk op :
Een puntspiegeling is een speciale rotatie en dus ook een transformatie van het vlak.
eigenschap
Een spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling zijn transformaties van een vlak.
Naast het spiegelen, verschuiven en roteren bestaan er nog andere transformaties van het vlak.
Voorbeelden :
Transformaties
Het woord ‘transformatie’ hebben we geleend van het Latijnse ‘transformatio’. Dat betekent gedaanteverwisseling.
De betekenis wordt beter geïllustreerd in de fysica (wetenschappen), waar bijvoorbeeld een transformator elektrische spanning omzet.
2 Op zoek naar eigenschappen
We gaan op zoek naar enkele eigenschappen van de geziene transformaties van het vlak.
a Voer deze onderzoeken uit in vier aparte bestanden
ONDERZOEK SPIEGELEN
ONDERZOEK VERSCHUIVEN
ONDERZOEK ROTEREN
ONDERZOEK PUNTSPIEGELEN
– Teken met ICT een parallellogram ABCD en een rechte a
– Teken een punt E dat collineair is met A en B.
– Spiegel het parallellogram ABCD en het punt E om a .
– Teken met ICT een parallellogram ABCD en een vector −→ GH.
– Teken een punt E dat collineair is met A en B.
– Teken het beeld van het parallellogram ABCD en het punt E over de vector −→ GH
– Teken met ICT een parallellogram ABCD en een punt O.
– Teken een punt E dat collineair is met A en B.
– Teken het beeld van het parallellogram ABCD en het punt E door de rotatie rond O over een hoek. Maak voor deze hoek een schuifknop aan.
– Teken met ICT een parallellogram ABCD en een punt O.
– Teken een punt E dat collineair is met A en B.
– Spiegel het parallellogram ABCD en het punt E om O.
Voer nu op de gemaakte bestanden volgende opdrachten uit. Versleep dan een van de punten van de oorspronkelijk getekende figuur en ga na welke gegevens steeds aan elkaar gelijk zijn of welke eigenschappen steeds geldig blijven.
– I Meet de zijden van de gegeven figuur en de zijden van het beeld. – II
Controleer de evenwijdigheid van rechten bij de gegeven figuur en bij het beeld.
– III Meet de hoeken in beide figuren. Is de oriëntatie dezelfde gebleven?
– IV Ga na of het beeld van E collineair is met de beelden van A en B. – V Bereken de oppervlakte van beide figuren.
b Voer deze onderzoeken uit in één bestand
ONDERZOEK SPIEGELEN – Teken met ICT een rechte a . Teken ook een spiegelas k – Spiegel de rechte a om k
ONDERZOEK VERSCHUIVEN – Teken ook een vector −→ GH – Verschuif de rechte a over de vector −→ GH.
ONDERZOEK ROTEREN –
Teken met ICT een punt O. – Teken het draaibeeld van de rechte a door de rotatie rond O over 60 °.
ONDERZOEK PUNTSPIEGELEN –
Teken het spiegelbeeld van de rechte a om O. –
VI : Is het beeld van een rechte evenwijdig met de oorspronkelijke rechte ?
Ga dit na door in het algebravenster in te vullen : ZijnEvenwijdig ( …, …)
Je krijgt dan als antwoord true als de genoteerde rechten tussen haakjes evenwijdig zijn.
Je krijgt false als ze niet evenwijdig zijn.
Vul op de fiches je bevindingen in voor een door jou gekozen situatie.
PUNTSPIEGELING
Bij een spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling : – is de lengte van het oorspronkelijke lijnstuk gelijk aan de lengte van het beeld van dit lijnstuk ; – zullen evenwijdige rechten als beeld ook evenwijdige rechten opleveren ; – is de grootte van een hoek gelijk aan de grootte van het beeld van die hoek ; – blijft de oppervlakte van de oorspronkelijke figuur en het beeld dezelfde.
Bovendien zijn het schuifbeeld van een rechte en het spiegelbeeld om een punt van een rechte telkens rechten evenwijdig aan de oorspronkelijke rechte.
We vatten dit samen in deze eigenschappen :
eigenschappen
Elke spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling behoudt : – de lengte van een lijnstuk (of de afstand) ; – de evenwijdigheid van rechten ; – de grootte van een hoek ; – de collineariteit ; – de oppervlakte van een figuur.
Het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte. Het spiegelbeeld van een rechte om een punt is een evenwijdige rechte.
Gevolg :
Aangezien een spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling de grootte van een hoek behouden, zullen ze ook de loodrechte stand behouden.
Merk op :
Translaties, rotaties en spiegelingen om een punt behouden de oriëntatie (of doorloopzin).
Spiegelingen om een as behouden de oriëntatie (of doorloopzin) niet.
3 Samenvatting
• Je kunt verklaren waarom een spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling transformaties zijn van het vlak.
• Je kunt de eigenschappen van een spiegeling, translatie, puntspiegeling en rotatie verwoorden.
Elke spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling behoudt : – de lengte van een lijnstuk (of de afstand) ; – de evenwijdigheid van rechten ; – de grootte van een hoek ; – de collineariteit ; – de oppervlakte van een figuur.
Het schuifbeeld van een rechte is een evenwijdige rechte.
Het spiegelbeeld van een rechte om een punt is een evenwijdige rechte.
• Je kunt bovenstaande eigenschappen illustreren met ICT.
4 Oefeningen
Elke tekening illustreert een bepaalde eigenschap. Verwoord telkens de geïllustreerde eigenschap.
Transformaties van het vlak uitvoeren, steunend op eigenschappen.
a De twee rechten a en b staan loodrecht op elkaar. Verschuif de hele tekening over AB. Gebruik zo weinig mogelijk vectoren.
c A′ is het beeld van A onder een spiegeling om een punt O. Voer de volledige puntspiegeling uit zonder het punt O te plaatsen.
Noteer de eigenschap die je hebt toegepast.
Noteer de eigenschap die je hebt toegepast.
b Teken het schuifbeeld van het vierkant PQRS over de vector AB door zo weinig mogelijk vectoren te tekenen.
d [ A′D′] is het beeld van [ AD] onder een rotatie rond M over –90°. Voer de volledige rotatie uit zonder het punt O te plaatsen.
Noteer de eigenschap die je hebt toegepast.
Noteer de eigenschap die je hebt toegepast.
Bereken de oppervlakte van de gekleurde figuur als je weet dat | DC | = | AD |
Verklaar jouw werkwijze met behulp van de eigenschappen van transformaties.
cm
Verklaar waarom er geen spiegeling, translatie of rotatie bestaat zodat c ′ het beeld is van c
Geef drie verschillende translaties
t1, t2 en t3 zodat a ′ steeds het beeld is van a door die translatie.
Bepaal een translatie t zodat
t ( a ) = a ′
t ( b ) = b ′
Kan de ene vierhoek het beeld zijn van de andere vierhoek door een transformatie van het vlak ? Zo ja, geef enkele mogelijkheden. Geef telkens alle kenmerken van de transformatie.
Bepaal de translatie die de halfrechte [ AB afbeeldt op de halfrechte [ CD.
Kan A′B′C′D′ het beeld zijn van ABCD door een bepaalde translatie ? Verklaar.
a Hoeveel puntspiegelingen bestaan er die de rechte a afbeelden op de rechte a ′ ?
b Wat is er speciaal aan de ligging van de centra ?
JA NEEN
JA NEEN
Verklaar waarom een spiegeling het midden van een lijnstuk bewaart.
Bereken de oppervlakte van D ABC als je weet dat sa ( D ABC) = D A′B′C′ Verklaar je werkwijze.
Teken met ICT een driehoek ABC en de zwaartelijn [ AM]. Kies een centrum O. Teken een schuifknop a die varieert van 0 ° tot 180 ° met een stapgrootte van 1°. Beschouw r = r ( O, a) .
a Zoek r ( D ABC).
b Zoek r ([ AM])
c Is [ A′M′] een zwaartelijn in D A′B′C′ ? Verklaar.
Spiegelen om een vierkant. Gegeven is een vierkant ABCD. Het punt O is het snijpunt van de diagonalen. Om het beeld te zoeken van een punt P verbind je O met P en neem je het ‘kortstbijzijnde’ snijpunt S met het vierkant ABCD. Pas de afstand | PS | af langs de andere kant van S. Zo krijg je P′. Spiegel als het ware P om het vierkant ABCD. Zoek nu het beeld van een rechte door zo’n spiegeling.
1.7
Verband tussen coördinaten in een assenstelsel en transformaties
We bestuderen de verbanden die er zijn tussen coördinaten in een assenstelsel en de reeds gekende transformaties. We werken steeds in een orthonormaal assenstelsel (ook cartesiaans assenstelsel genoemd). De assen staan dan loodrecht op elkaar en de eenheden op beide assen zijn gelijk.
1 Samenhang tussen spiegelingen en coördinaten van punten
spiegeling om de x -as
D(2, 3)
A(–4, 2)
A′(–4, –2)
spiegeling om de y -as
C′ (–2, 5 )
B(0, 0)
B′ y x 0 1 1
C(5, 0) = C′
COÖRDINAAT VAN HET PUNT
D′(2, –3)
C (2, 5) x y
B (0, 1 ) = B′
A′ (–6, –3 ) A (6, –3)
COÖRDINAAT VAN HET
SPIEGELBEELD
( –4, 2) ( –4, –2) ( 0, 0) ( 0, 0) ( 5, 0) ( 5, 0) ( 2, 3) ( 2, –3)
Besluit : co( A) = ( x , y ) ⟹ co( sx ( A)) = ( x , –y )
Bij een spiegeling om de x -as verandert het tweede coördinaatgetal van toestandsteken.
COÖRDINAAT VAN HET PUNT
COÖRDINAAT VAN HET
SPIEGELBEELD ( 6, –3) ( –6, –3) ( 0, 0) ( 0, 0) ( 0, 1) ( 0, 1) ( 2, 5) ( –2, 5)
Besluit : co( A) = ( x , y ) ⟹ co( sy ( A)) = ( –x , y )
Bij een spiegeling om de y -as verandert het eerste coördinaatgetal van toestandsteken.
spiegeling om de eerste en de tweede bissectrice
De eerste bissectrice is de bissectrice van de hoek die bepaald wordt door de positieve delen van de x -as en y -as. Als je in de oorsprong op de eerste bissectrice de loodlijn tekent, dan bekom je de tweede bissectrice We spiegelen eerst om de eerste bissectrice.
COÖRDINAAT VAN HET PUNT
( 3, 1) ( 1, 3)
(0, 2)
A′(1, 3) D′(–5, –3)
(3, 1) C (–5, 2)
(–3,–5)
′(2, 0) C′(2,–5)
( 0, 2) ( 2, 0)
( –5, 2) ( 2, –5)
( –3, –5) ( –5, –3)
Besluit : co( A) = ( x , y ) ⟹ co( sa ( A)) = ( y , x )
Bij een spiegeling om de eerste bissectrice wisselen de coördinaatgetallen van plaats.
Wat gebeurt er na een spiegeling om de tweede bissectrice ?
COÖRDINAAT VAN HET PUNT
COÖRDINAAT VAN HET
0, 3) ( –3, 0)
–5 –4 –
2
(0, 3)
(3, 2) C (1, –3) D (1, –5) a
3, 2) ( –2, –3) ( 1, –3) ( 3, –1) ( 1, –5) ( 5, –1)
′(–3, 0) D′(5, –1) B′(–2, –3) C′(3, –1)
Besluit : co( A) = ( x , y ) ⟹
sa ( A)) = ( –y , –x )
Bij een spiegeling om de tweede bissectrice wisselen de coördinaatgetallen van plaats en veranderen beide coördinaatgetallen van toestandsteken.
2 Samenhang tussen translaties en coördinaten van punten
translatie over een vector evenwijdig met de x -as
P(–2, 4)
A(–4, 2)
C(–3, –3)
A′(1, 2)
Q(3, 4)
1 0 1 y x B′(7, 0)
B(2, 0)
C′(2, –3)
translatie over een vector evenwijdig met de y -as
D(0, 5)
A(–4, 2)
P(–1, 2)
D′(0, 2)
1 0 1 y x
B(2, 0)
A′(–4, –1)
Q(–1, –1)
C(5, 3)
C′(5, 0)
B′(2, –3)
translatie over een vector niet evenwijdig met de x -as of de y -as
Q(1, 4)
P(–2, 3)
A′(–1, 2)
A(–4, 1)
X(1, 3)
1 0 1 y x C(2, 0)
C′(5, 1)
B′(0, –1)
B(–3, –2)
COÖRDINAAT VAN HET PUNT
COÖRDINAAT VAN HET
SCHUIFBEELD
( –2, 4) ( 3, 4)
( –4, 2) ( 1, 2)
( 2, 0) ( 7, 0)
( –3, –3) ( 2, –3)
Besluit :
PQisnaarrechtsgeoriënteerd:
co(A )=( x + | PQ |, y )
PQisnaarlinksgeoriënteerd:
co(A )=( x −| PQ |, y )
COÖRDINAAT VAN HET PUNT COÖRDINAAT VAN HET
Besluit :
SCHUIFBEELD
( –4, 2) ( –4, –1) ( 2, 0) ( 2, –3) ( 5, 3) ( 5, 0) ( 0, 5) ( 0, 2)
PQisnaarondergeoriënteerd:
co(A )=( x , y −| PQ |)
PQisnaarbovengeoriënteerd:
co(A )=( x , y + | PQ |)
COÖRDINAAT
( –2, 3) ( 1, 4)
( –4, 1) ( –1, 2) ( –3, –2) ( 0, –1) ( 2, 0) ( 5, 1)
Besluit : eerste coördinaatgetal : +3 tweede coördinaatgetal : +1
Merkopdateentranslatieovereenvectornietevenwijdigmetde x -asofde y -aseensamenstellingisvaneen translatie −→ PXovereenvectorevenwijdigmetde x -aseneentranslatie −→ XQovereenvectorevenwijdigmetde y -as(ofomgekeerd).
3 Samenhang tussen puntspiegeling en coördinaten van punten
puntspiegeling om de oorsprong
′(–6, 3)
C(0, 3)
D(2, 5)
B(0, 0) = B′ C′(0, –3)
′(–2, –5)
A(6, –3)
COÖRDINAAT
SPIEGELBEELD
( 6, –3) ( –6, 3) ( 0, 0) ( 0, 0) ( 0, 3) ( 0, –3) ( 2, 5) ( –2, –5)
Besluit : co (A)=( x , y )=⇒ co sO (A) =( x , y )
Merk op dat een puntspiegeling om de oorsprong neerkomt op een samenstelling van een spiegeling om de x -as en een spiegeling om de y -as (of omgekeerd).
4 Samenvatting
• Je kunt de samenhang illustreren en bespreken tussen transformaties en de coördinaten van een punt en zijn beeld.
SPIEGELING om de x -as
SPIEGELING om de y -as
SPIEGELING om de eerste bissectrice a
SPIEGELING om de tweede bissectrice b
SPIEGELING om de oorsprong
(A)=( x , y )=⇒ co s y (A) =( x , y )
co (A)=( x , y )=⇒ co sa (A) =( y , x )
co (A)=( x , y )=⇒ co s b (A) =( y , x )
co (A)=( x , y )=⇒ co sO (A) =( x , y )
• Je kunt de coördinaat van het beeld van een punt bepalen als een translatie over de x -as of de y -as gegeven is.
• Je kunt de coördinaat van het beeld van een punt bepalen als een willekeurige translatie gegeven is.
5 Oefeningen
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( –3, 2) , B( 5, 0) , C( 3, 3) en D( 2, –1)
Gevraagd : spiegel die punten om de x -as, de y -as en de oorsprong O van het assenstelsel en bepaal telkens de coördinaten van de beeldpunten
–3, 2)
5, 0)
3, 3)
2, –1)
coördinaat na spiegeling om de x -as
coördinaat na spiegeling om de y -as
coördinaat na spiegeling om O
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( –3, 2) , B( 5, 0) , C( 3, 3) en D( 2, –1)
Gevraagd : spiegel de punten A, B, C en D om de eerste en de tweede bissectrice van het assenkruis en bepaal telkens de coördinaten van de beeldpunten
A( –3, 2)
B( 5, 0)
C( 3, 3)
D( 2, –1)
coördinaat na spiegeling om de eerste bissectrice coördinaat na spiegeling om de tweede bissectrice
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( –3, 2) , B( 5, 0) , C( 3, 3) en D( 2, –1) P( 2, 4) en Q( –4, 4)
Gevraagd : zoek de beeldpunten van A, B, C en D door de translatie over de vector −→ PQ
A( –3, 2) B( 5, 0) C( 3, 3) D( 2, –1)
coördinaat na translatie over −→ PQ
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( –3, 2) , B( 5, 0) , C( 3, 3) en D( 2, –1) M( 1, –1) en N( 1, 2)
Gevraagd : zoek de beeldpunten van A, B, C en D door de translatie bepaald door de vector −−→ MN
A( –3, 2) B( 5, 0) C( 3, 3) D( 2, –1)
coördinaat na translatie over −→ MN
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( –3, 6) , B( 4, 1) en C( –5, –4)
Gevraagd : bepaal de coördinaten van de draaibeelden van A, B en C na rotatie rond de oorsprong O over 90 ° en over –90 °
A( –3, 6)
coördinaat na rotatie rond O over 90 °
coördinaat na rotatie rond O over –90 °
B( 4, 1) C( –5, –4)
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( 4, 2), B( –2, 6) en C( –1, –3) a is de eerste bissectrice
Gevraagd : bepaal de coördinaat van de volgende punten
a sx ( A)
f r ( O, –90°)( B)
b sa ( A) g sO( B)
c r ( O, 90°)( B) h t −→ AB (C)
d t −→ CB (A) i sy ( B)
e sa ( C)
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : A( 4, 3), B ( –2, 4), C ( 3, –2) P( –1, 2), Q ( 1, –3)
D ABC
Gevraagd : bepaal de coördinaat van de hoekpunten van het beeld van D ABC GEVRAAGD
A′)
a t −→ PQ
b t −→ QP
c t −→ AB
d sO
e r ( O, 90°)
f r ( O, –90°)
B′)
C′)
In een orthonormaal assenstelsel zijn deze punten gegeven : D PQR met P( –3, 0) , Q( –3, 4) en R( 1, 4)
Gevraagd : bepaal het beeld A( 2, 2) van D PQR en bepaal de coördinaten van alle beeldpunten door volgende transformaties uit te voeren a t −→ OA b sx c sy d sO
P( –3, 0) Q( –3, 4) R( 1, 4)
coördinaat van het beeldpunt onder transformatie t −→ OA
coördinaat van het beeldpunt onder transformatie sx
coördinaat van het beeldpunt onder transformatie sy coördinaat van het beeldpunt onder transformatie s O
In een orthonormaal assenstelsel is ABCD een parallellogram gegeven met A( –10, 12) , B( 5, 7) en C( –2, –1)
Gevraagd :
a Bepaal co(D)
b Welke transformatie kun je gebruiken om die coördinaat te vinden ?
Kruis alle mogelijkheden aan en specificeer.
o Een spiegeling om een as
Indien ja, noteer hier de spiegelas :
o Een translatie
Indien ja, noteer hier een vector:
o Een rotatie
Indien ja, noteer hier het centrum en de draaiingshoek :
o Een spiegeling om een punt
Indien ja, noteer hier het centrum :
In een orthonormaal assenstelsel is het vierkant ABCD gegeven met A( 0, 4), B( 2, 4) en C( 2, 2)
Van een ander vierkant ken je van slechts twee hoekpunten de coördinaten: ( 6, 4) en ( 8, 4)
Noteer drie verschillende transformaties die ABCD afbeelden op het andere vierkant.
Vaardigheden | Een transformatie is niet altijd een isometrie
Een transformatie waarbij de afmetingen en vorm bewaard worden, noemen we een isometrie
Op blz. 53 maakte je al kennis met andere dan de bestudeerde transformaties. We bekijken opnieuw de homothetie en de evenwijdige projectie. Dit zijn transformaties maar geen isometrieën. Bestudeer elk van deze transformaties. Je herkent de eerder bestudeerde eigenschappen. Kruis telkens aan als de eigenschap geldt.
HOMOTHETIE
Je ziet hier een homothetie met centrum O en schaalfactor 2.
Deze transformatie beeldt een vlakke figuur af op een gelijkvormige figuur (schaalmodel).
- Bij een schaalfator tussen 0 en 1 is het beeld een verkleinde figuur.
- Bij een schaalfactor groter dan 1 is het beeld een vergrote figuur.
- Is de schaalfactor 1 dan is het beeld een exacte kopie : het heeft dezelfde vorm en grootte : een congruente figuur. Je bestudeert homothetieën in het derde jaar.
EVENWIJDIGE PROJECTIE
deze transformatie behoudt de ...
Alle punten van de figuur worden geprojecteerd op een rechte volgens een bepaalde richting. De projectielijnen zijn evenwijdig. Evenwijdige projectie is een transformatie die je kan gebruiken om schaduwen te tekenen. Maar dit wordt ook gebruikt in technologie, fotografie, kaarten, …
Ook deze transformatie bestudeer je in het derde jaar.
... lengte
... evenwijdigheid
... grootte van een hoek
... collineariteit
... oppervlakte
... oriëntatie
deze transformatie behoudt de ...
... lengte
... evenwijdigheid
... grootte van een hoek
... collineariteit
... oppervlakte
... oriëntatie
Transformaties 1
dit moet ik leren
❒ Ik kan een figuur spiegelen om een as. 11 J J
❒ Ik weet wat een vector is. 19 J J
❒ Ik weet wat gelijke vectoren zijn. 20 J J
❒ Ik kan een figuur verschuiven over een vector. 22 J J
❒ Ik weet wat een georiënteerde hoek is. 29 J J
❒ Ik kan een figuur roteren om een punt over een gegeven hoek. 31 J J
❒ Ik kan een figuur spiegelen om een punt. 33 J J
❒ Ik weet wanneer een figuur spiegelsymmetrisch om een as is.
❒ Ik kan in een figuur de symmetrieassen bepalen.
❒ Ik weet wanneer een figuur spiegelsymmetrisch om een punt is.
❒ Ik kan in een figuur het symmetriemiddelpunt bepalen.
❒ Ik weet wanneer een figuur draaisymmetrisch is.
❒ Ik kan in een figuur de eigendraaiingen bepalen.
❒ Ik ken de eigenschappen van een spiegeling, translatie, rotatie en puntspiegeling, en kan ze herkennen en toepassen.
❒ Ik kan de samenhang illustreren tussen transformaties en de coördinaten van een punt en zijn beeld.
43 J J
43 J J
44 J J
44 J J
44 J J
44 J J
56 J J
63 J J
❒ Ik weet dat er andere transformaties zijn waarbij niet alle bestudeerde eigenschappen gelden. 70 J J
Transformaties 1
a Teken D ABC met co( A) = ( 1, 2) , co( B) = ( 7, 6) en co( C) = ( 3, –1)
b Spiegel die driehoek om de y -as.
c Noteer de coördinaten van A′, B′ en C′ .
d Wat kun je besluiten i.v.m. de coördinaten na een spiegeling om de y -as ?
a Teken een parallellogram EFGH waarvan E( –4, 2) , F( 1, 2) en G( 4, –4) drie hoekpunten zijn.
b Wat is de coördinaat van het vierde hoekpunt H ?
c Verschuif het parallellogram over −→ EG .
3 /
a Teken een rechthoek PQRS met co( P) = ( 2, –5) , co( Q) = ( –2, –4) , co( R) = ( 0, 4) en co( S) = ( 4, 3)
b Roteer de rechthoek rond R over een hoek van 180 °.
c Welke figuur is S′Q′SQ ?
d Wat is er bijzonder aan de diagonalen van vierhoek S′Q′SQ ?
Vul het passende antwoord in.
4 / 10
a s BE( C) =
b t −→ GE ( D) =
c s B( C) =
d r ( D,–60°)( B) =
e s ( H) = B
f s DE( ) = F
g t −→ AD ( ) = E
h r ( D,120°)( ) = E
i t −→ EH( DABD) =
j t −→ DD( G) =
5 / 3
Welke drie eigenschappen herken je ?
Symmetrie in logo’s van automerken.
a Teken indien mogelijk de symmetrieassen van elk logo.
b Welke van bovenstaande logo’s zijn spiegelsymmetrisch om een punt ?
c Welke van bovenstaande logo’s zijn draaisymmetrisch om een punt ?
e Een gelijkbenig trapezium heeft een symmetriemiddelpunt. 6 / 3
Waar of vals ?
7 / 2
a Elke translatie bewaart de oppervlakte van een figuur.
b Het draaibeeld van een rechte is een evenwijdige rechte.
c Er bestaan transformaties van het vlak die een cirkel niet afbeelden op een cirkel.
d Een regelmatige n -hoek heeft ( n – 1) eigendraaiingen.
Hoeken 2
Deze toren herken je wellicht beter van een afstand dan van dichtbij. Hij werd gebouwd voor de wereldtentoonstelling van 1889 in Parijs onder leiding van Gustave Eiffel.
Er kwamen meer dan 1 000 000 klinknagels aan te pas en meer dan 18 000 stukken ijzer, die vooraf al waren gevormd in Eiffels fabriek net buiten Parijs. De ingenieurs maakten meer dan 5000 technische tekeningen, waarbij heel wat hoeken bij (al dan niet) evenwijdige rechten kwamen kijken.
Jaarlijks trekt de toren nog steeds zo’n 6 000 000 bezoekers. Ben jij er al geweest ?
Hoeken
2.1 Even observeren 77
2.2 Soorten hoeken
1 Complementaire hoeken 78
2 Supplementaire hoeken 79
3 Overstaande hoeken 80
4 Aanliggende hoeken 81
5 Nevenhoeken 81
6 Samenvatting 82
7 Oefeningen 83
2.3 Hoeken bij evenwijdigen en een snijlijn
1 Terminologie 90
2 Eigenschappen 91
3 Omgekeerde eigenschappen 94
4 Samenvatting 96
5 Oefeningen 97
2.4 Som van de hoeken in een veelhoek
1 Som van de hoeken in een driehoek 104
2 Som van de hoeken in een vierhoek 106
3 Som van de hoeken in een veelhoek 107
4 Samenvatting 107
5 Oefeningen 108
Extra’s
Vaardigheden : schetsen, tekenen en construeren 118
Wat moet je kennen en kunnen ? 121
Herhalingsoefeningen 122
Bekijk de instructievideo’s
2.1
Even observeren
Vorig schooljaar leerde je al heel wat in verband met hoeken.
Waar worden hoeken gebruikt ?
Hoe worden hoeken uitgedrukt ?
En welke hoeken zijn specialer dan andere ?
2.2 Soorten hoeken
1 Complementaire hoeken
Voorbeeld : α = 40° b = 50°
Omdat de som van de twee hoeken α en b gelijk is aan 90°, noemen we α en b complementaire hoeken complementaire hoeken
Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is.
Nog meer voorbeelden :
g = 37° d = 53° g + d = 90° g en d zijn complementaire hoeken. g is het complement van d en ook omgekeerd is d het complement van g.
A = 46° B = 44° A + B = 90° A en B zijn complementaire hoeken.
C = 15°25’ D = 74°35’ C + D = 90° C en D zijn complementaire hoeken.
Complementaire hoeken kun je ook herkennen in sommige meetkundige situaties.
α en b zijn complementaire In een driehoek is de som van In dit rechthoekig trapezium hoeken, want α + b = 90°. de hoeken 180°. Als de driehoek verdeelt de diagonaal [ DB] de één rechte hoek heeft, zijn de hoek D in twee complementaire twee andere hoeken complementair : hoeken, want D1 + D2 = 90°. α + b = 90°.
2 Supplementaire hoeken
Voorbeeld :
b = 135°
α = 45°
Omdat de som van de twee hoeken α en b gelijk is aan 180°, noemen we α en b supplementaire hoeken
supplementaire hoeken
Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.
Nog meer voorbeelden :
g = 37° d = 143° g + d = 180° g en d zijn supplementaire hoeken. g is het supplement van d en ook omgekeerd is d het supplement van g.
A = 46° B = 134° A + B = 180° A en B zijn supplementaire hoeken.
C = 15°25’ D = 164°35’ C + D = 180° C en D zijn supplementaire hoeken.
Supplementaire hoeken kun je ook herkennen in sommige meetkundige situaties.
α en b zijn supplementaire In een vierhoek is de som van In dit rechthoekig trapezium hoeken want ze vormen de hoeken 360°. Als de vlieger zijn de twee niet-rechte hoeken een gestrekte hoek. al twee rechte hoeken heeft, B en C supplementair.
α + b = 180°. dan zijn de twee andere hoeken Kun je verklaren waarom ? supplementair : A + C = 180°.
3 Overstaande hoeken
Twee hoeken waarvan de benen van de ene hoek in het verlengde van de benen van de andere hoek liggen, noemen we overstaande hoeken
Voorbeeld :
Zo zijn S 1 en S 2 overstaande hoeken.
Ook de niet-aangeduide hoeken zijn twee overstaande hoeken.
overstaande hoeken
Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.
Onderzoek :
Teken twee overstaande hoeken en bepaal hun grootte.
Wat kun je besluiten?
Onderzoek of je besluit algemeen geldig is.
eigenschap
Overstaande hoeken zijn even groot.
Bewijs :
Gegeven : S 1 en S 2 zijn overstaande hoeken
Te bewijzen: S 1 = S 2
Bewijs : S 1 + S 3 = 180° gestrekte hoek en S 2 + S 3 = 180° gestrekte hoek
Dus S 1 + S 3 = S 2 + S 3
S 1 = S 2
Overstaande hoeken
Het begrip ‘overstaande hoek’ kom je in de wiskunde geregeld tegen. Zo zijn in de tekeningen hiernaast α en β steeds overstaande hoeken. Bovendien is bij de driehoek ABC α de overstaande hoek van [ BC]
Je zult dus goed moeten opletten in welke context het begrip overstaande hoek gebruikt wordt.
4 Aanliggende hoeken
Aanliggende hoeken zijn hoeken die één been gemeenschappelijk hebben.
Bovendien moeten de andere benen langs beide zijden van het gemeenschappelijke been liggen.
Voorbeeld :
Zo zijn α en b aanliggende hoeken.
aanliggende hoeken
Aanliggende hoeken zijn hoeken die een gemeenschappelijk been hebben en waarvan de andere benen langs beide zijden van het gemeenschappelijke been liggen.
Tegenvoorbeeld :
A 1 en A 2 zijn geen aanliggende hoeken.
Ze hebben wel een gemeenschappelijk been, maar de andere benen liggen aan dezelfde zijde van het gemeenschappelijke been.
5 Nevenhoeken
Hoeken die aanliggend zijn en ook supplementair, noemen we nevenhoeken
Voorbeeld :
α en b zijn aanliggend en supplementair.
α en b zijn dus nevenhoeken.
nevenhoeken
Nevenhoeken zijn hoeken die aanliggend en supplementair zijn.
6
Samenvatting
• Je weet wat complementaire en supplementaire hoeken zijn.
Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is.
– Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.
• Je kunt in een figuur complementaire hoeken benoemen.
• Je kunt de complementaire hoek en de supplementaire hoek van een gegeven hoek bepalen en tekenen.
• Je weet wat overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken zijn.
Overstaande hoeken zijn hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.
– Aanliggende hoeken zijn hoeken die een gemeenschappelijk been hebben en waarvan de andere benen langs beide zijden van het gemeenschappelijke been liggen.
– Nevenhoeken zijn hoeken die aanliggend en supplementair zijn.
• Je weet dat overstaande hoeken even groot zijn.
• Je kunt bewijzen dat overstaande hoeken even groot zijn.
Complementair en supplementair
Het woord ‘complementair’ betekent aanvullend. Zo verkrijg je de complementaire kleur van rood door de andere twee hoofdkleuren (blauw en geel) samen te voegen. Zo zijn rood en groen dus complementaire kleuren. In de economie bestaan ook complementaire goederen. Voorbeelden hiervan zijn een printer en inkt, maar ook een wagen en autobanden.
Het woord ‘supplementair’ is afgeleid van het Latijnse woord ‘supplementum’. Het betekent aanvullend, bijgevoegd of extra. Zo kun je bijvoorbeeld voedingssupplementen kopen die bepaalde vitaminen bevatten. En als je een vliegtuigticket koopt, komen er steeds supplementen bij in de vorm van reservatie-, bagage- en/of dossierkosten.
7 Oefeningen
Zet een kruisje in de juiste kolom.
α b COMPLEMENTAIR SUPPLEMENTAIR
46° 44°
105° 75°
19° 71°
45° 45°
179° 1°
Vul in. Kies uit complementaire, overstaande en supplementaire hoeken.
a α en b zijn hoeken.
b α en g zijn hoeken.
c d en b zijn ___________________________________________________ hoeken.
d ê en b zijn ___________________________________________________ hoeken.
e ‡ en d zijn hoeken.
Hoeken worden dikwijls aangeduid met een letter uit het Griekse alfabet : α alfa b bèta g gamma d delta ê epsilon ‡ thèta p pi
Bekijk aandachtig deze figuur.
a Zoek twee hoeken die complementair zijn.
b Zoek twee hoeken die supplementair zijn.
c Zoek, indien mogelijk, nog andere complementaire en supplementaire hoeken.
Tekenopdrachten.
a Teken een hoek die het complement is van α
b Teken een hoek die het supplement is van b.
c Teken de bissectrice van g en d g
d Zoek het complement en het supplement van 36° en teken de drie hoeken.
Geef de meest specifieke naam voor α en b
Vul de tabel aan.
Bereken het verschil tussen het supplement en het complement van een hoek α Werk hiervoor met drie concrete hoeken en veralgemeen. HOEK α SUPPLEMENT VAN α
VOORBEELD 1
VOORBEELD 2
VOORBEELD 3
ALGEMEEN α
Bepaal de grootte van elke hoek door te redeneren, dus niet door te meten.
Problemen oplossen met hoeken.
a Een hoek is 22 ° groter dan zijn complement. Zoek die hoek.
schets :
b Het complement van een hoek is driemaal zo groot als de hoek zelf. Zoek die hoek.
schets :
c Het supplement van een hoek is vijfmaal zo groot als de hoek zelf. Zoek die hoek.
schets :
d Het supplement van een hoek is 48° groter dan de hoek zelf. Bereken het complement van die hoek.
schets :
ICT-onderzoeksopdrachten.
a De twee hoeken AOB = 37 ° en BOC = 59 ° liggen aan weerszijden van [ OB. Hoe groot zijn de hoeken die bepaald worden door de bissectrices van die hoeken ?
b Gegeven is een hoek AOB = 35°.
Teken in O de loodlijn op OA en de loodlijn op OB.
Hoe groot zijn de hoeken gevormd door die loodlijnen ?
c Teken de loodlijn in S op x Teken de loodlijn in S op y
Meet de hoek S 1 en meet de hoek tussen de twee loodlijnen.
Wat kun je besluiten ? Geef hiervoor een verklaring.
d Teken door P de loodlijn a op [ SA.
Teken door P de loodlijn b op [ SB.
Welk verband bestaat er tussen S en de verkregen hoek in P ?
Twee vierkanten hebben een hoekpunt gemeenschappelijk.
Zo ontstaan de hoeken α en 4α zoals in de figuur.
Hoe groot is α?
A 18° B 30° C 36° D 54° E 72°
JWO 2024 eerste ronde probleem 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Een tegelsnijder maakt deze tegel.
Hoe groot is de hoek PQR?
NUMBAT 2024 probleem 10 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
2.3 Hoeken bij evenwijdigen en een snijlijn
1 Terminologie
De rechten a en b worden gesneden door de rechte c . Je ziet op de tekening acht hoeken. We geven ze een speciale naam.
De hoeken A 3, A 4, B1 en B2 liggen tussen a en b . We noemen ze binnenhoeken
De andere vier hoeken noemen we buitenhoeken.
De hoeken A 1 en B1 liggen allebei linksboven van de hoekpunten A en B.
We noemen A 1 en B1 overeenkomstige hoeken
De hoeken A 2 en B2 liggen allebei rechtsboven van de hoekpunten A en B. Het zijn ook overeenkomstige hoeken, net als A 3 en B3 en ook A 4 en B4
A 4 en B2 zijn binnenhoeken die niet aan dezelfde kant van de snijlijn liggen en ze hebben een verschillend hoekpunt. Daarom noemen we ze verwisselende binnenhoeken. Ook A 3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken.
A 4 en B1 zijn binnenhoeken die aan dezelfde kant van de snijlijn liggen. Daarom noemen we ze binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Ook A 3 en B2 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
BUITENHOEKEN
A 1, A 2, B3 en B4
A 1 en B3 zijn buitenhoeken die niet aan dezelfde kant van de snijlijn liggen en ze hebben een verschillend hoekpunt. Daarom noemen we ze verwisselende buitenhoeken. Ook A 2 en B4 zijn verwisselende buitenhoeken.
A 1 en B4 zijn buitenhoeken die aan dezelfde kant van de snijlijn liggen. Daarom noemen we ze buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Ook A 2 en B3 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
2 Eigenschappen
Tijd om onze wiskunderugzak te vullen met materiaal dat je later geregeld zult kunnen gebruiken bij het opstellen van bewijzen. We onderscheiden twee situaties : a ⫽⧵ b en x ⫽ y
Taak : Meet de aangeduide hoeken, vul de tabel aan en formuleer nadien een besluit.
hoeken
binnenhoeken
buitenhoeken
aan dezelfde kant van de snijlijn
buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Alle besluiten van de vorige opdracht kunnen we nu noteren als eigenschappen.
eigenschap
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee overeenkomstige hoeken even groot.
Je kunt dit aantonen door gebruik te maken van de eigenschap ‘een translatie bewaart de grootte van een hoek’. Als je de hoek A verschuift, dan komt die immers op B terecht. Als je ook noteert waarom dit zo is, krijg je een bewijs.
Bewijs :
Gegeven : a ⫽ b c snijdt a en b A 1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken
Te bewijzen: A 1 = B1
Bewijs : t −→ AB( a ) = b omdat • t −→ AB( A) = B • Het beeld van een rechte door een translatie is een evenwijdige rechte.
t −→ AB( c ) = c omdat c de drager is van −→ AB
Dus t −→ AB( A 1) = B1.
Aangezien elke translatie de grootte van een hoek behoudt, is A 1 = B1.
gevolgen van de eigenschap
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn : – elke twee verwisselende binnenhoeken even groot ; – elke twee verwisselende buitenhoeken even groot ; – elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair ; – elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
Ook deze gevolgen kunnen we bewijzen. Je kunt dit opnieuw doen door te steunen op de transformaties, maar het kan eenvoudiger. We bewijzen het eerste en het laatste gevolg.
Bewijs van het eerste gevolg :
Gegeven : a ⫽ b
c snijdt a en b A 3 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken
Te bewijzen : A 3 = B1
Bewijs : A3 = A1
overstaandehoeken
overeenkomstigehoeken A1 = B1
A3 = B1
Bewijs van het laatste gevolg :
Gegeven : a ⫽ b
c snijdt a en b A 2 en B3 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Te bewijzen : A 2 + B3 = 180°
Bewijs : A2 + A3 = 180 ◦
gestrektehoek
overeenkomstigehoeken A3 = B3
A2 + B3 = 180 ◦
Taak :
Noteer nu zelf het bewijs voor de twee andere gevolgen.
3 Omgekeerde eigenschappen
Je kunt met GeoGebra vaststellen dat de vorige eigenschappen ook omgekeerd geldig zijn.
Deze vijf omgekeerde eigenschappen zullen later handig zijn als we evenwijdigheid moeten aantonen.
omgekeerde eigenschap
Als twee overeenkomstige hoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
Die eigenschap zullen we op een nieuwe manier bewijzen : een bewijs uit het ongerijmde Hoe gaat dat in zijn werk ? Je veronderstelt dat het te bewijzen NIET WAAR is. Je redeneert en toont aan dat dit leidt tot een onware bewering.
Bewijs :
Gegeven : c ⫽⧵ a en c ⫽⧵ b A 1 = B1
Te bewijzen : a ⫽ b
Bewijs : Stel : a ⫽⧵ b Dan kun je een andere rechte tekenen b ′⫽ a .
B2 is de hoek bepaald door b ′ en c
Omdat b ⫽⧵ a en b ′⫽ a is B2 ≠ B1 (1)
We weten : B2 = A 1 overeenkomstige hoeken
B1 = A 1 gegeven dus is B2 = B1 (2)
Aangezien (1) en (2) elkaar tegenspreken, is onze veronderstelling a ⫽⧵ b vals.
Bijgevolg is a ⫽ b.
gevolgen van de omgekeerde eigenschap
–
Als twee verwisselende binnenhoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn,
OF – Als twee verwisselende buitenhoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn,
OF
– Als twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, bepaald door twee rechten en een snijlijn, supplementair zijn,
OF
– Als twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, bepaald door twee rechten en een snijlijn, supplementair zijn,
dan zijn de twee rechten evenwijdig.
Ook die gevolgen kunnen we bewijzen. Je kunt dit opnieuw doen door een bewijs uit het ongerijmde, maar het kan eenvoudiger. We bewijzen het eerste en het laatste gevolg.
Bewijs van het eerste gevolg :
Gegeven : c ⫽⧵ a en c ⫽⧵ b
A 3 = B1
Te bewijzen : a ⫽ b
Bewijs : A3 = B1
A1 = B1 gegeven
overstaandehoeken A1 = A3
Aangezien A 1 en B1 even grote overeenkomstige hoeken zijn, is a ⫽ b .
Bewijs van het laatste gevolg :
Gegeven : c ⫽⧵ a en c ⫽⧵ b A 2 + B3 = 180°
Te bewijzen : a ⫽ b
Bewijs : A2 + B3 = 180 ◦ A3 = B3 gegeven
nevenhoeken: A2 + A3 = 180 ◦
Aangezien A 3 en B3 even grote overeenkomstige hoeken zijn, is a ⫽ b
Taak :
Noteer nu zelf de bewijzen voor de twee andere gevolgen.
4
Samenvatting
• Je kunt volgende benamingen die gebruikt worden bij hoeken gevormd door twee rechten en een snijlijn, correct gebruiken : – binnenhoeken ; – buitenhoeken ; – verwisselende binnenhoeken en verwisselende buitenhoeken ; – binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn en buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn ; – overeenkomstige hoeken.
• Je weet dat bij twee evenwijdigen en een snijlijn overeenkomstige hoeken steeds even groot zijn.
• Je kent de gevolgen van die eigenschap. Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn : – elke twee verwisselende binnenhoeken even groot ; – elke twee verwisselende buitenhoeken even groot ; – elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair ;
elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
• Je weet dat als twee overeenkomstige hoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, de twee rechten evenwijdig zijn.
• Je kent de gevolgen van die omgekeerde eigenschap.
Als twee verwisselende binnenhoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, OF – Als twee verwisselende buitenhoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn,
OF
– Als twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, bepaald door twee rechten en een snijlijn, supplementair zijn,
OF
– Als twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, bepaald door twee rechten en een snijlijn, supplementair zijn, … dan zijn de twee rechten evenwijdig.
• Je kunt bovenstaande eigenschappen bewijzen.
5 Oefeningen
De rechten x en y worden gesneden door z Vul de tabel aan.
HOEKEN
X 1 en Y 1
X 1 en Y 3
X 4 en Y 2
X 2 en Y 1
X 4 en Y 3
X 3 en Y 1
De rechten a en b worden gesneden door c
a Geef alle overeenkomstige hoeken.
b Geef alle verwisselende binnenhoeken.
c Geef alle verwisselende buitenhoeken.
BENAMING
d Geef alle binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
e Geef alle buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
Vul de ontbrekende hoekgroottes in als je weet dat a ⫽ b
De rechten a en b zijn evenwijdig en worden gesneden door c . Zoek de grootte van de hoeken.
Gegeven : parallellogram ABCD
Gevraagd : verklaar volgende gelijkheden
A + B = 180°
Een rechte snijdt twee evenwijdige rechten. De som van twee verwisselende binnenhoeken is 160 °.
Bereken de acht gevormde hoeken.
ABCD is een trapezium.
Bereken A 1 als je weet dat A 2 = 35 ° en D = 72 °.
De rechten a en b zijn evenwijdig en worden gesneden door c Zoek B2, B3 en B4 als je weet dat A 1 + B1 = 130 °.
Kun je aan de hand van de gegeven hoeken afleiden dat a ⫽ b ?
Verklaar aan de hand van een geziene eigenschap.
Gegeven : a ⫽ b en c ⫽ d
B1 = 55 °
Gevraagd : bereken D1
Gegeven : a ⫽ b en b ⫽⧵ c
Gevraagd : zoek telkens B1 en B2 als :
Onderzoeksopdrachten.
a De rechte c snijdt twee evenwijdige rechten a en b . Onder welke hoek snijden de bissectrices van twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn elkaar ? Verklaar.
b De rechte c snijdt twee evenwijdige rechten a en b . Teken de bissectrices van twee overeenkomstige hoeken. Wat is de onderlinge stand van de bissectrices ? Verklaar.
Gegeven : k ⫽ m
B = 55 °
D = 125 °
Te bewijzen : b ⫽ c
Twee rechten worden gesneden door een derde rechte in de punten X en Y. De scherpe of stompe hoeken die zo gevormd worden, noemen we X 1, X 2, X 3, X 4, Y 1, Y 2, Y 3, Y 4. We weten het volgende : – Y 1 en Y 2 zijn overstaande hoeken ; – X 3 en Y 2 zijn verwisselende binnenhoeken ; – Y 3 en X 2 zijn verwisselende buitenhoeken ; – X 1 en Y 2 zijn overeenkomstige hoeken .
Dan zijn X 4 en Y 4 : (A) verwisselende binnenhoeken (B) verwisselende buitenhoeken (C) binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn (D) buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn (E) overeenkomstige hoeken
JWO 2010 eerste ronde, vraag 29 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Als vier lijnstukken in een trapezium dezelfde lengte hebben zoals in de figuur, welk verband tussen α en b is dan altijd geldig?
JWO 2024 tweede ronde, probleem 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
2.4 Som van de hoeken in een veelhoek
1 Som van de hoeken in een driehoek
Een drievoudig onderzoek :
Door te meten :
Meet in bovenstaande driehoeken alle hoeken. Bepaal telkens de som van de drie hoeken.
Wat kun je besluiten ?
Door te knippen :
Teken een willekeurige driehoek ABC op
Door te plooien :
Teken een willekeurige driehoek ABC een blad papier. en knip die uit.
Knip de hoeken A , B en C af met een schaar
Plooi dan volgens onderstaande werkwijze. en plak ze tegen elkaar.
Wat kun je besluiten ?
Wat kun je besluiten ?
hoekensom driehoek
De som van de hoeken van een driehoek is steeds 180°.
Bewijs :
Gegeven : D ABC
Te bewijzen : α + b + g = 180 °
Bewijs : Teken door A een evenwijdige rechte a aan BC.
A 1 = g verwisselende binnenhoeken
bij a ⫽ BC en snijlijn AC
A 2 = b verwisselende binnenhoeken
bij a ⫽ BC en snijlijn AB
De gestrekte hoek in A wordt :
A1 + α + A2 = 180 ◦
+ α + β = 180 ◦
+ β + γ = 180 ◦
= γ en A2 = β
Als gevolg van deze eigenschap kunnen we de driehoeken indelen volgens hun hoeken. Er kan in een driehoek hoogstens één rechte hoek aanwezig zijn. Er kan ook maximaal één stompe hoek in een driehoek zitten, anders zou de som van de hoeken groter zijn dan 180 °.
We delen de driehoeken als volgt in : – scherphoekige driehoeken : driehoeken met drie scherpe hoeken ; – stomphoekige driehoeken : driehoeken met één stompe hoek en twee scherpe hoeken ; – rechthoekige driehoeken : driehoeken met één rechte hoek en twee scherpe hoeken.
2 Som van de hoeken in een vierhoek
Onderzoek :
Meet in bovenstaande vierhoeken alle hoeken. Bepaal telkens de som van de vier hoeken. Wat kun je besluiten ?
hoekensom vierhoek
De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.
Bewijs :
Gegeven : ABCD is een vierhoek
Te bewijzen : A + B + C + D = 360°
Bewijs : Teken in de vierhoek ABCD de diagonaal [ BD].
In D ABD geldt :
In D BCD geldt :
+ A + B1 + D1 = 180 ◦ B2 + D2 + C = 180 ◦ som van de hoeken in een driehoek som van de hoeken in een driehoek
+ B1 + B2 + D1 + D2 + C = 360 ◦
+ B + D + C = 360 ◦
+ B + C + D = 360 ◦
3 Som van de hoeken in een veelhoek
Als we in een vierhoek een diagonaal tekenen, ontstaan er twee driehoeken. We veralgemenen deze eigenschap.
VEELHOEK
VERDEELD IN MINIMAAL AANTAL DRIEHOEKEN
4 Samenvatting
• Je weet dat de som van de hoeken in een driehoek 180 ° is.
• Je kunt bewijzen dat de som van de hoeken in een driehoek 180 ° is.
• Je weet dat de som van de hoeken in een vierhoek 360 ° is.
• Je kunt bewijzen dat de som van de hoeken in een vierhoek 360 ° is.
• Je weet dat de som van de hoeken in een n -hoek gelijk is aan ( n – 2) · 180 °.
5 Oefeningen
Bepaal telkens de grootte van de hoeken A en B
Bereken in de vierhoek ABCD de grootte van de ontbrekende hoek.
Kan het of kan het niet ?
Zo ja, geef en teken een voorbeeld. Zo neen, verklaar.
a In een vierhoek ABCD zijn drie hoeken b In een driehoek XYZ zijn twee hoeken groter dan 100°. groter dan 90°.
Gegeven : A 1 = 120 ° M1 = 70 ° D1 = 130 °
Toon aan dat a ⫽ b
Bepaal zonder te meten de grootte van de aangeduide hoeken.
Vraagstukken over driehoeken.
a In D DEF is D = 27° en E = 4 · D Bereken E en F .
c In D MNO is M = 40° en N = 2 · M + O Bereken N en O
b In een driehoek is één hoek het dubbel van de kleinste hoek. De derde hoek is driemaal zo groot als de kleinste. Hoe groot is de kleinste hoek van die driehoek ?
d In een rechthoekige driehoek is een scherpe hoek driemaal zo groot als de andere scherpe hoek. Hoe groot is de kleinste hoek ?
e In D GHI is G = 3 I en H = 4 I .
Bereken G, H en I
g A = 3 B en B = C + 20°.
Bereken A , B en C
f In D PQR is P + Q J = 58° en P – Q = 26°.
Bereken P, Q en R
h B + C = 4 A en C = 2 B.
Bereken A , B en C
Vraagstukken over vierhoeken.
a Bereken alle hoeken van de vierhoek ABCD als A = α, B = 2α, C = 3α en D = 4α
b In een vierhoek ABCD is D 20 ° kleiner dan A en 15 ° groter dan C. Bereken alle hoeken als je weet dat B = 97 °.
c Een vierhoek heeft twee even grote scherpe hoeken, één rechte hoek en één stompe hoek. De stompe hoek is even groot als de scherpe hoeken samen. Bepaal de grootte van één scherpe hoek.
10 * 11
D ABC is een rechthoekige driehoek.
AO is de bissectrice van A
BO is de bissectrice van B
Toon aan dat O1 = 135 °.
In D ABC is A = 78 °.
BN is de bissectrice van B
CM is de bissectrice van C
Zoek S 1, S 2, S 3 en S 4.
Een buitenhoek van een veelhoek is een nevenhoek van een binnenhoek van die veelhoek.
Bereken de som van de buitenhoeken van een zeshoek.
Een buitenhoek van een driehoek is een hoek gevormd door een zijde van de driehoek en het verlengde van een andere zijde van de driehoek.
a Hoeveel buitenhoeken heeft een driehoek ?
b Hoeveel verschillende buitenhoeken kan een driehoek maximaal hebben ?
c Bewijs dat een buitenhoek van een driehoek even groot is als de som van de niet-aanliggende binnenhoeken.
Een gelijkbenige driehoek heeft een hoek van 100 °. Dan geldt : twee van de hoeken van die driehoek zijn gelijk aan
JWO 2015 tweede ronde, vraag 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
In driehoek D ABC is BH de hoogtelijn uit B en AD de bissectrice van A . De scherpe hoek tussen AD en BH is dubbel zo groot als de hoek D A B. Hoe groot is de hoek C A B ?
2014 vraag 20 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
De oppervlakte van de driehoek is 25 m2 en de oppervlakte van elke cirkel met een hoekpunt van de driehoek als middelpunt is 4 m2 Wat is de oppervlakte van het groene gebied ?
JWO 2010 eerste ronde, vraag 30 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
In deze figuur zie je vier vierkanten met in elk hoekpunt een blauwe stip. Hoeveel rechthoekige driehoeken kan je vormen door drie van deze blauwe stippen met elkaar te verbinden?
Het is keuzemiddag bij de jeugdbeweging. De 39 leden kunnen deze middag kiezen tussen djembé (D), volksdans (V) en Japanse (J) kunst. Elk lid kiest twee keer en kan ook twee keer dezelfde activiteit kiezen.
– 19 leden kozen minstens één keer djembé, onder hen kozen
5 leden ook voor Japanse kunst.
– 19 leden kozen minstens één keer volksdans, onder hen kozen
7 leden ook voor Japanse kunst.
– 4 leden kozen twee keer voor volksdans.
Hoeveel leden kozen twee keer voor Japanse kunst?
Vaardigheden | Schetsen, tekenen en construeren
Vorig jaar hebben we zowel ruimtefiguren, vlakke figuren als merkwaardige lijnen in driehoeken en vierhoeken geschetst en getekend.
Schetsen
Tekenen
Dit jaar gaan we vooral meetkundige figuren construeren.
Om meetkundige figuren te construeren gebruiken we enkel passer en liniaal. Met de liniaal worden enkel rechte lijnen getekend en wordt er niet gemeten. Constructies die niet met deze middelen konden worden uitgevoerd, werden door de Grieken als minderwaardig beschouwd !
Zo kunnen we door gebruik te maken van de passer al cirkels construeren.
Voorbeeld 1 :
Constructie van een regelmatige driehoek.
Voorbeeld 2 :
Constructie van een regelmatige vijfhoek. Zie ook op blz. 288.
1
4
Voorbeeld 3 :
2
5
Constructie van een regelmatige zeshoek.
1
stap
stap
stap 3
stap
stap
stap 6
stap
stap 2
stap 3
stap 4
stap 5
stap 6
Voorbeeld 4 :
Constructie van een gelijke hoeken. Zie ook op blz. 160.
Voorbeeld 5 :
Constructie van een ruit met gegeven zijde
Nog meer constructies?
Dit schooljaar zal je ook de middelloodlijn van een lijnstuk leren construeren (blz. 156) en de bissectrice van een hoek leren construeren (blz. 159).
stap 1
stap 2
stap 3
stap 1
stap 2
stap 3
stap 4
stap 5
Hoeken 2
moet ik leren
dit
❒ Ik ken de definities van complementaire en supplementaire hoeken.
❒ Ik ken de definities van overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken.
❒ Ik kan bewijzen dat overstaande hoeken even groot zijn.
❒
❒
Ik ken de terminologie bij twee evenwijdigen en een snijlijn (verwisselende binnenhoeken, buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn …)
Ik weet dat als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, elke twee overeenkomstige hoeken even groot zijn.
❒ Ik kan die eigenschap bewijzen.
❒ Ik ken de vier gevolgen van die hoofdeigenschap.
❒ Ik kan die vier gevolgen bewijzen.
❒
Ik weet dat als twee overeenkomstige hoeken bepaald door twee rechten en een snijlijn even groot zijn, die twee rechten evenwijdig zijn.
❒ Ik kan die (omgekeerde) eigenschap bewijzen.
❒ Ik ken de vier gevolgen van die (omgekeerde) eigenschap.
❒ Ik kan die vier gevolgen bewijzen.
❒ Ik weet dat de som van de hoeken in een driehoek steeds 180 ° is.
❒ Ik kan die eigenschap bewijzen.
❒ Ik weet dat de som van de hoeken in een vierhoek steeds 360 ° is.
❒ Ik kan die eigenschap bewijzen.
❒ Ik het verschil tussen schetsen, tekenen en construeren.
pagina ik ken het ! oké voor examen
78 J J
80 J J
80 J J
90 J J
92 J J
92 J J
93 J J
93 J J
94 J J
94 J J
95 J J
95 J J
105 J J
105 J J
106 J J
106 J J
118 J J
Vul de tabel aan.
Vul ook aan of de hoeken EVEN GROOT (E) of SUPPLEMENTAIR (S) zijn als je weet dat a ⫽ b
1 43 B2 1 43 a b
A 2 en B2
A 4 en …… verwisselende binnenhoeken
B2 en B4
Het complement van een hoek is 22 ° groter dan de hoek zelf.
Hoe groot is die hoek ?
Vul aan :
a Het complement van het supplement van 129 ° is
b α is 5 keer zo groot als zijn supplement. Hoe groot is α ?
c Kan het complement van een hoek gelijk zijn aan het supplement van die hoek ?
buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn
Welke rechten zijn evenwijdig ? Verklaar.
4 / 1
Bereken de grootte van A 2 als je weet dat B 4 = A 1 + 64 ° en a ⫽ b
5 / 2
Bepaal de grootte van de aangeduide hoeken zonder te meten.
6 / 2
A
In D ABC is A = 4C en B = 3C
7 / 2
Bereken A , B en C
Zoek de grootte van A , B en C .
8 / 2 9 / 2
In een vierhoek ABCD is A = C , A = B + 36 ° en D = 90°. Zoek A , B en C
Congruentie 3
De spidron is een vlakke figuur die is opgebouwd uit twee afwisselende reeksen van gelijkbenige driehoeken en die na het vouwen langs de ribben uitzonderlijke ruimtelijke eigenschappen vertoont.
De spidron kun je gebruiken om verscheidene ruimtevullende veelvlakken en reliëfs te construeren. Vervormingen maken de figuur geschikt om precies in te stellen hoe je dynamische figuren opbouwt.
Rinus Roelofs is een Nederlandse kunstenaar die dit onderwerp graag gebruikt in zijn werken.
Congruentie
3.1 Even observeren 127
3.2 Congruentie
1 Congruente figuren 128
2 Congruente driehoeken 130
3 Congruentiekenmerken van driehoeken 131
4 Bewijzen met behulp van congruentie 137
5 Samenvatting 139
6 Oefeningen 140
3.3 Verantwoorden van constructies
1 Kenmerken van de middelloodlijn 154
2 Constructie van de middelloodlijn 156
3 Kenmerk van de bissectrice 157
4 Constructie van de bissectrice 159
5 Constructie van even grote hoeken 160
6 Samenvatting 161
7 Oefeningen 162
Extra’s
Vaardigheden : wiskundige woordenschat 172
Wat moet je kennen en kunnen ? 173
Herhalingsoefeningen 174
Bekijk de instructievideo’s
3.1
Even observeren
Op deze bladzijde vind je een collage van een aantal mooie foto’s. Bekijk de foto’s. Bespreek wat er te zien is. Wat is er zo bijzonder aan ?
3.2 Congruentie
1 Congruente figuren
Overal ter wereld kunnen we islamitische patronen bewonderen in gebouwen, tapijten, muurschilderingen … Rechts zie je een kunstwerk uit Granada. Je herkent er duidelijk een meetkundig patroon in.
Op het patroon links wordt er een deeltje uitvergroot. Als we figuur 1 en figuur 2 op elkaar zouden kleven, zouden ze elkaar exact bedekken : dat noemen we congruente figuren.
In woorden :
Parallellogram ABCD is congruent met parallellogram EFGH.
Voor … is congruent met … zullen we het symbool ≅ gebruiken.
In symbolen : ▱ ABCD ≅ ▱ EFGH
Terminologie :
Overeenkomstige zijden : [ AB] en [ EF]
[ BC] en [ FG]
[ CD] en [ GH]
[ AD] en [ EH]
Overeenkomstige hoeken : A en E
B en F
C en G
D en H
Merk op :
We spreken af dat we bij de notatie in symbolen de overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde plaatsen.
Voorbeelden :
In het eerste hoofdstuk maakte je kennis met een aantal transformaties van het vlak : spiegelingen, translaties en rotaties.
Bij de eigenschappen ontdekten we dat die transformaties de lengte van lijnstukken en de grootte van hoeken bewaren. Bekijk eens onderstaand hondje dat al deze transformaties ondergaat.
Wat kun je zeggen over alle figuren die je ziet ?
congruente figuren
Congruente figuren zijn figuren die op elkaar afgebeeld kunnen worden door een spiegeling, translatie, rotatie of een combinatie van twee of meer van die transformaties.
2 Congruente driehoeken
Nu we de betekenis kennen van congruente figuren, kunnen we congruente driehoeken van dichterbij bestuderen.
A B C D E F
Notatie :
D ABC ≅ D DEF
Er ontstaan drie paar even lange overeenkomstige zijden. Ook de drie paar overeenkomstige hoeken zijn even groot. Je krijgt dus zes gelijkheden.
congruente driehoeken in woorden :
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als hun overeenkomstige zijden even lang zijn en hun overeenkomstige hoeken even groot zijn.
in symbolen :
Als twee driehoeken congruent zijn, dan gelden er zes gelijkheden. Volgens de definitie geldt ook het omgekeerde.
Als de zes gelijkheden gelden, dan zijn twee driehoeken congruent. Om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn, kun je proberen om alle zes gelijkheden aan te tonen. Of je kunt proberen om een spiegeling, translatie, rotatie of een samenstelling ervan te zoeken die de ene driehoek afbeeldt op de andere.
Dat is allemaal niet zo eenvoudig.
Het zou makkelijker zijn als we een kortere manier zouden vinden om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn.
3 Congruentiekenmerken van driehoeken
Onderzoek :
a Heb je met één gelijkheid voldoende om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn ?
b Heb je met twee gelijkheden voldoende om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn ?
c Heb je met drie gelijkheden voldoende om aan te tonen dat twee driehoeken congruent zijn ?
d Lukt het ook met vier, vijf of zes gelijkheden ?
Congruentie bij driehoeken kun je bewijzen door slechts drie van de zes gelijkheden aan te tonen.
Deze drie goed gekozen gelijkheden vormen een congruentiekenmerk
Niet alle combinaties van drie gelijkheden leiden tot congruente driehoeken.
Stel dat we zeker zijn dat alle overeenkomstige hoeken even groot zijn.
Dan zijn de driehoeken niet noodzakelijk congruent.
Ze hebben dezelfde vorm, maar hebben niet noodzakelijk dezelfde grootte.
Welke combinaties vormen dan wel een congruentiekenmerk ?
kenmerk 1 : ZHZ
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn.
In symbolen :
Tekening :
Merk op :
Let goed op dat het de twee ingesloten hoeken zijn die even groot zijn. Een ander paar even grote hoeken levert niet noodzakelijk congruente driehoeken op.
B en E zijn in dit geval niet de ingesloten hoeken van de even lange zijden.
kenmerk 2 : ZZZ
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als de drie zijden van de eerste driehoek even lang zijn als de drie zijden van de andere driehoek.
In symbolen :
Tekening :
kenmerk 3 : HZH
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als één zijde van de eerste driehoek even lang is als één zijde van de andere driehoek en de twee paar aanliggende hoeken even groot zijn.
In symbolen :
Tekening :
gevolg van kenmerk 3 : ZHH
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als één paar zijden van de twee driehoeken even lang is, één paar aanliggende hoeken even groot is en het paar overstaande hoeken even groot is.
In symbolen :
Die congruentiekenmerken gelden voor alle driehoeken.
Opgelet! Twee driehoeken hebben een even lange zijde en twee hoeken van de ene driehoek zijn even groot als twee hoeken van de andere driehoek. Dus eigenlijk zijn de drie paar hoeken even groot.
Zijn de driehoeken dan steeds congruent ?
Tegenvoorbeeld :
Heb je twee rechthoekige driehoeken, dan heb je nog één extra kenmerk ter beschikking.
kenmerk 4 : ZZ90°
Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als en slechts als de langste zijden van beide driehoeken even lang zijn en één paar rechthoekszijden even lang is.
In symbolen :
Tekening
↑ ➁ dunne stippellijn : KNIP
ALS EN SLECHTS ALS één zijde van de eerste driehoek even lang is als één zijde van de andere driehoek en de twee paar aanliggende hoeken even groot zijn.
TWEE
DRIEHOEKEN ZIJN CONGRUENT
ALS EN SLECHTS ALS de drie zijden van de eerste driehoek even lang zijn als de drie zijden van de andere driehoek.
TWEE
DRIEHOEKEN ZIJN CONGRUENT
➁ dunne stippellijn : KNIP ↑ ← ➀ dikke stippellijn PLOOI
➀ dikke stippellijn : PLOOI →
HHH EN ZZH zijn geen correcte congruentiekenmerken om congruente driehoeken te bewijzen.
TWEE
RECHTHOEKIGE
DRIEHOEKEN ZIJN CONGRUENT ALS EN SLECHTS ALS de langste zijden van de twee driehoeken even lang zijn en één paar rechthoekszijden even lang is.
DRIEHOEKEN ZIJN CONGRUENT ALS EN SLECHTS ALS twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als de twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn.
TWEE
TWEE
DRIEHOEKEN ZIJN CONGRUENT ALS EN SLECHTS ALS één paar zijden van de twee driehoeken even lang is, één paar aanliggende hoeken even groot is en het paar overstaande hoeken even groot is.
ZHZ
ZIJDEHOEKZIJDE
ZHH
ZZZ ZIJDEZIJDEZIJDE
HZH HOEKZIJDEHOEK
ZIJDEHOEKHOEK
CONGRUENTIE
KENMERKEN OVERZICHT HANDIG
ZZ90°
ZIJDEZIJDERECHTE HOEK
4 Bewijzen met behulp van congruentie
De congruentiekenmerken kunnen we gebruiken om heel wat wiskundige bewijzen op te stellen. We gebruiken de kenmerken onder andere om aan te tonen dat : – twee driehoeken congruent zijn ; – twee hoeken even groot zijn ; – twee lijnstukken even lang zijn.
Hoe een bewijs leveren met behulp van een congruentiekenmerk :
STAP 1 : Ga op zoek in welke twee driehoeken je werkt. Noteer dit.
STAP 2 : Zoek drie gelijkheden waarvan je kunt verklaren waarom ze gelden. Noteer die verklaring erachter. De gelijkheden zijn steeds even lange zijden of even grote hoeken.
STAP 3 : Plaats een accolade en noteer een implicatiepijl met hierboven het gebruikte kenmerk. Noteer hierna de congruente driehoeken.
STAP 4 : Zodra je weet dat de twee driehoeken congruent zijn, kun je (indien dit gevraagd wordt) afleiden dat de overeenkomstige hoeken even groot zijn of de overeenkomstige zijden even lang zijn.
In de wiskunde willen we graag een redenering overzichtelijk noteren om zo makkelijk te kunnen volgen.
Voordat je een bewijs opstelt, moet je jezelf een aantal vragen stellen. Soms is het nodig de opgave een beetje te bewerken zodat het voor jou een stuk duidelijker wordt.
Nog enkele handige tips.
STAP 1 : – Start steeds het bewijs met ‘In D… en D… geldt :’
– Kleur eventueel de driehoeken in.
– Als je even lange zijden of even grote hoeken moet bewijzen, zet je datgene wat bewezen moet worden in het rood met een vraagteken op je tekening.
– Duid alle gegevens in het groen aan op je tekening.
STAP 2 : – Noteer na elke gelijkheid waarom de gelijkheid geldt.
– Die verklaring haal je uit je wiskunderugzak waarin je kennis van dit jaar en vorig jaar opgeborgen zit. De verklaring kan :
• gegeven zijn ;
• afgeleid worden uit het gegeven ;
• een eigenschap zijn die je kent ;
• een definitie zijn die je toepast …
– Als je een gelijkheid niet kunt verklaren, mag je de gelijkheid niet gebruiken.
– Gebruik als verklaring het woord ‘gegeven’ als het daadwerkelijk in je gegevens staat.
STAP 3 : – Kom je niet aan een congruentiekenmerk ? Ga dan op zoek naar een andere gelijkheid in je bewijs.
– Kijk uit naar de notatie van je twee driehoeken. De plaats van elke letter is belangrijk.
Voorbeeld 1 :
B 1 2
Gegeven : | AB | = | BE | | CB | = | BD |
Te bewijzen : DABC ≅ DEBD
Bewijs : In DABC en DEBD geldt : | AB | = | BE | gegeven B1 = B2 overstaandehoeken | CB | = | BD | gegeven
Voorbeeld 2 :
Soms moet je een gelijkheid van lengtes van lijnstukken (of groottes van hoeken) aantonen. Vaak ga je hiervoor op zoek naar congruente driehoeken.
Gegeven : | AD | = | CD | | AB | = | BC |
Te bewijzen : A = C
Bewijs : In DABD en DCBD geldt : | AB | = | BC | gegeven | AD | = | CD | gegeven | BD | = | BD | gemeenschappelijkezijde
overeenkomstigehoeken A = C
5 Samenvatting
• Je kunt congruente figuren herkennen, tekenen en je weet wat overeenkomstige hoekpunten, overeenkomstige hoeken en overeenkomstige zijden zijn. Congruente figuren zijn figuren die op elkaar afgebeeld kunnen worden door een spiegeling, translatie, rotatie of een combinatie van twee of meer van die transformaties.
• Je kunt in symbolen noteren dat twee figuren congruent zijn.
• Je kunt de volgende congruentiekenmerken van driehoeken formuleren en illustreren met een tekening.
CONGRUENTIEKENMERK
ZHZ
ZZZ
EIGENSCHAP
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn.
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als de drie zijden van de eerste driehoek even lang zijn als de drie zijden van de andere driehoek.
FIGUUR
HZH
ZHH
ZZ90°
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als één zijde van de eerste driehoek even lang is als één zijde van de andere driehoek en de twee paar aanliggende hoeken even groot zijn.
Twee driehoeken zijn congruent als en slechts als één paar zijden van de twee driehoeken even lang is, één paar aanliggende hoeken even groot is en het paar overstaande hoeken even groot is.
Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als en slechts als de langste zijden van beide driehoeken even lang zijn en één paar rechthoekszijden even lang is.
• Je kunt congruentiekenmerken van driehoeken gebruiken om congruentie van twee driehoeken te bewijzen.
• Je kunt congruentiekenmerken van driehoeken gebruiken om de gelijkheid van lengtes van zijden of groottes van hoeken aan te tonen.
Congruentie
Het voorvoegsel ‘con’ in een woord duidt meestal op ‘samen’, samenhangend met wat volgt. Ook in het woord ‘congruent’ is dat zo. Figuren zijn congruent als zij dezelfde vorm en grootte hebben. Congruent heeft zijn wortels in het Franse en Latijnse woord ‘congruens’, dat overeenstemmend betekent. Het werkwoord congrueren (‘congruere’ in het Latijn) betekent : bij elkaar passen, overeenstemmen.
6 Oefeningen
Welke eendjes zijn congruent ?
d g j
e h k
f i l
Hieronder vind je een aantal patronen die gebruikt worden om parket te leggen. Plaats de congruente figuren in het patroon in eenzelfde kleur. a b c
Is F congruent met F′ ? Zo ja, vermeld door welke transformatie(s) F op F′ wordt afgebeeld.
Op het logo van de UEFA Champions League vind je een aantal sterren. Welke sterren zijn congruent met elkaar en waarom ?
a Gegeven : D ABC ≅ D XOY
co( A) = ( 1, 2) co( C) = ( 3, 2)
co( B) = ( 3, 5) co( X) = ( –2, –3)
Gevraagd : bepaal co( Y)
b Gegeven : D ABC ≅ D XOY
co( O) = ( 0, 0)
co( A) = ( 4, –3) co( C) = ( 4, –1) co( O) = ( 0, 0)
co( B) = ( 0, –2) co( X) = ( 1, 4)
Gevraagd : bepaal co( Y)
c Gegeven : D ABC ≅ D XYZ
co( A) = ( 4, 1) co( C) = ( 6, 5)
co( B) = ( 2, 2) co( X) = ( –1, –1)
Gevraagd : bepaal co( Z)
a Teken in elk van de drie figuren één symmetrieas.
co( Y) = ( –3, 0)
b Je hebt in de drie gevallen de figuur in twee delen verdeeld. Wat kun je besluiten over beide delen ?
Mag je aan de hand van volgende gegevens in de tekening besluiten dat onderstaande driehoeken congruent zijn ?
f i
Welke van onderstaande driehoeken zijn congruent ? Geef het congruentiekenmerk.
Zijn volgende driehoeken ABC en DEF congruent ? Verklaar.
a | AB | = | DE | = 3 cm JA NEEN
| AC | = | DF | = 4 cm
A = D = 40°
b | AC | = | DF | = 2 cm JA NEEN
| BC | = | EF | = 4 cm
B = E = 25°
c | AB | = | DE | = 3 cm JA NEEN
| BC | = | EF | = 3,5 cm
| AC | = | DF | = 4 cm
d A = D = 30° JA NEEN
B = E = 70°
C = F = 80°
Welke driehoeken zijn congruent ? Noteer in symbolen en geef het congruentiekenmerk. a A B
is een ruit
Vervolledig het onderstaande redeneerschema om na te gaan of D KON ≅ D MOL.
Gegeven : | KO | = | OM | | NO | = | OL | KM ⊥ NL
Te bewijzen : D KON ≅ D MOL
Bewijs :
Vervolledig het onderstaande redeneerschema om na te gaan of D BAD ≅ D DCB.
Gegeven : AB ⫽ CD A = C | AB | = | CD |
Te bewijzen : D BAD ≅ D DCB
Bewijs :
Vervolledig het onderstaande redeneerschema om aan te tonen dat D ABC ≅ D DEC.
Gegeven : D ABC en D CDE | AC | = | CD |
= D
Te bewijzen : D ABC ≅ D DEC
Bewijs :
Vervolledig het onderstaande redeneerschema om aan te tonen dat D1 = B1
Gegeven : parallellogram ABCD | AN | = | MC |
Te bewijzen : D1 = B1
Bewijs :
Gegeven : zie tekening
Te bewijzen : D = B
Gegeven : O | OA | = | OC | | OB | = | OD |
bewijzen : D OAD ≅ D OCB
Gegeven : cirkel c ( O, r ) O1 = O2
Te bewijzen : | AB | = | CD |
Gegeven : vierhoek ABCD | AB | = | AD | | CB | = | CD |
Te bewijzen : a D ADC ≅ DABC b AC is een bissectrice van A en C
D
Gegeven : D ABC is gelijkzijdig
M is het midden van [ AB]
N is het midden van [ BC]
P is het midden van [ AC]
Te bewijzen : D AMP ≅ D MBN
Gegeven : D ABC ≅ D XYZ AP en XQ zijn hoogtelijnen
Te bewijzen : D ABP ≅ D XYQ
Gegeven : D ABC ≅ D XYZ
BM is de bissectrice van B YN is de bissectrice van Y
Te bewijzen : D ABM ≅ D XYN
M
Gegeven : D ABC
f is de hoogtelijn en de zwaartelijn uit A f snijdt BC in X
Te bewijzen : | AC | = | AB |
Waar of vals ? Verklaar.
STELLING WAAR OF VALS
a Twee gelijkzijdige driehoeken zijn altijd congruent.
b Twee gelijkbenige, rechthoekige driehoeken zijn altijd congruent.
c De bissectrice van de tophoek van een gelijkbenige driehoek verdeelt de driehoek in twee congruente driehoeken.
d Driehoeken die congruent zijn, hebben steeds dezelfde oppervlakte.
e Twee gelijkbenige driehoeken zijn congruent als een been van de ene driehoek even lang is als een been van de andere driehoek en als bovendien de tophoeken even groot zijn.
f De middelloodlijn van een zijde van een gelijkzijdige driehoek verdeelt de driehoek in twee congruente driehoeken.
Bepaal de oppervlakte van D DEF als je weet dat D ABC ≅ D DEF.
Tekenopdrachten. Maak telkens een tekening en verklaar aan de hand van een congruentiekenmerk.
a Als je op de benen [ AB en [ AC van een hoek B A C gelijke stukken | AB | en | AC | afmeet en in B en C de loodlijnen tekent op de benen, dan snijden die loodlijnen elkaar in een punt P van de bissectrice van de hoek B A C. Ga dat ook na met ICT.
b Als in een driehoek ABC de middelloodlijn van [ BC] ook de hoek A in twee gelijke delen verdeelt, dan is die driehoek gelijkbenig.
Twee congruente rechthoekige driehoeken worden op elkaar geplaatst zoals in de figuur. Als de hoek α = 57 °, dan is b gelijk aan
(A) 33° (B) 37° (C) 40° (D) 43° (E) 45°
JWO 2007 tweede ronde, vraag 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Hoeveel verschillende, niet-congruente parallellogrammen met natuurlijke getallen als lengten van de zijden zijn er waarvan de omtrek gelijk is aan 24 ?
(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) oneindig veel
JWO 2004 tweede ronde, vraag 14 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Welk van volgende vierkanten kan niet verdeeld worden in vier congruente gebieden bestaande uit aaneensluitende vierkanten zodat in elk gebied evenveel kruisjes liggen ?
Opmerking : twee vierkanten zijn aaneensluitend als ze een zijde gemeenschappelijk hebben.
JWO 2006 eerste ronde, vraag 15 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Het vierkant hiernaast is onderverdeeld in 16 congruente vierkanten. Als je de bovenste gearceerde driehoek wilt afbeelden op de onderste gearceerde driehoek, dan kan dit gebeuren door een rotatie van de eerste driehoek om het punt …
(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E
JWO 2005 eerste ronde, vraag 12 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
3.3 Verantwoorden van constructies
1 Kenmerk van de middelloodlijn
Vorig jaar leerde je de middelloodlijn tekenen van een lijnstuk.
middelloodlijn
De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die het lijnstuk loodrecht snijdt in het midden.
Maar er is meer aan de hand met zo’n middelloodlijn.
Onderzoek 1 :
Teken een lijnstuk [ AB] met hierbij de middelloodlijn.
– Kies een punt P op de middelloodlijn.
– Bepaal de afstand van het punt P tot de grenspunten : | AP | = … | BP | = …
– Wat stel je vast ?
Kies een ander punt Q op de middelloodlijn.
– Bepaal de afstand van het punt Q tot de grenspunten : | AQ | = … | BQ | = …
Wat stel je vast ? Vergelijk dit met het resultaat van je medeleerlingen.
– Formuleer een besluit van jouw onderzoek.
Onderzoek 2 :
Teken een lijnstuk [ AB] van 4 cm.
– Bepaal alle punten die op 5 cm liggen van A.
– Bepaal alle punten die op 5 cm liggen van B.
Bepaal alle punten die op 5 cm liggen van A en B.
– Bepaal alle punten die op 3 cm liggen van A en B.
–
Wat stel je vast ? Vergelijk dit met het resultaat van je medeleerlingen.
– Formuleer een besluit van jouw onderzoek.
Uit die onderzoeken halen we twee eigenschappen in verband met de middelloodlijn van een lijnstuk.
eigenschap middelloodlijn
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan ligt het op gelijke afstanden van de grenspunten van dat lijnstuk.
Bewijs :
Gegeven : [ AB ]
m is de middelloodlijn van [ AB ] X ligt op de middelloodlijn van [ AB ]
Te bewijzen : | XA | = | XB |
Bewijs : Hulpconstructie : je verbindt X met A en met B.
? ? 1 2 Je krijgt twee driehoeken.
In DAXM en DBXM geldt :
| AM | = | MB | Mishetmiddenvan [AB]
M1 = M2 definitiemiddelloodlijn
| XM | = | XM | gemeenschappelijkezijde
omgekeerde eigenschap
overeenkomstigezijden
XA | = | XB |
Als een punt op gelijke afstanden ligt van de twee grenspunten van een lijnstuk, dan ligt het op de middelloodlijn van dat lijnstuk.
Bewijs :
Gegeven : [ AB ]
| XA | = | XB |
Te bewijzen : X ligt op de middelloodlijn van [ AB ]
Bewijs : Hulpconstructie : je verbindt het punt X met het midden van [ AB]
Als je nu nog kunt aantonen dat XM loodrecht staat op [ AB], dan is de rechte XM de middelloodlijn van [ AB].
In DAXM en DBXM geldt :
| XA | = | XB | gegeven
| AM | = | MB | Mishetmiddenvan [AB]
| XM | = | XM | gemeenschappelijkezijde
M1 = M2
M1 + M2 = 180 ◦
M1 = 90 ◦ = M2
Als een eigenschap en de omgekeerde eigenschap bewezen kunnen worden, dan spreken we van een criterium of een kenmerk. De twee vorige eigenschappen leveren het kenmerk van de middelloodlijn op.
kenmerk middelloodlijn
Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk als en slechts als het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.
2 Constructie van de middelloodlijn
Steunend op het kenmerk van de middelloodlijn kunnen we de middelloodlijn van een lijnstuk construeren.
Gegeven is een lijnstuk [ AB]
Plaats je passerpunt in A en teken twee boogjes. De boogjes moeten groter zijn dan de helft van de lengte van [ AB].
Plaats de passerpunt in B en teken met dezelfde passeropening twee boogjes.
Noem de snijpunten X en Y.
XY is de middelloodlijn van [ AB].
Verklaring voor de constructie : We hebben dezelfde passeropening gebruikt, dus :
Xligtopdemiddelloodlijnvan [AB] en Yligtopdemiddelloodlijnvan [AB]
XYisdemiddelloodlijnvan [AB]
3 Kenmerk van de bissectrice
Vorig jaar leerde je een bissectrice tekenen van een hoek of van een paar snijdende rechten.
bissectrice
De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.
Maar ook met de punten op de bissectrice van een hoek is er meer aan de hand.
Onderzoek 1 :
–
Teken een hoek A en teken de bissectrice.
Kies een punt P op de bissectrice.
– Bepaal de afstand van het punt P tot de benen van hoek A
Wat stel je vast ? Vergelijk dit met het resultaat van je medeleerlingen.
Formuleer een besluit van jouw onderzoek.
Onderzoek 2 :
Teken een hoek A .
– Bepaal een punt P dat op gelijke afstand ligt van beide benen van A
– Teken de rechte door het hoekpunt A en P.
– Wat stel je vast ? Vergelijk dit met het resultaat van je medeleerlingen.
– Formuleer een besluit van jouw onderzoek.
Bissectrice
Het woord bissectrice is afkomstig van de Latijnse woorden bis (tweemaal) en sectrix of secara (wat snijdster of snijden betekent). Als we de halfrechten die een hoek bepalen, verlengen tot een rechte, dan verkrijg je in totaal vier hoeken met twee bissectrices, die loodrecht op elkaar staan. De oorspronkelijke bissectrice noemen we dan de binnenbissectrice. Enig idee wat de naam zal zijn voor de andere ?
Uit die onderzoeken halen we twee eigenschappen in verband met de bissectrice van een hoek.
eigenschap bissectrice
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan ligt het op gelijke afstanden van de benen van de hoek
Bewijs :
Gegeven : A
b is bissectrice van A
X ligt op b
XB ⊥ AB en XC ⊥ AC
Te bewijzen : | XB | = | XC |
Bewijs : In DABX en DACX geldt :
A1 = A2 definitiebissectrice
| AX | = | AX | gemeenschappelijkezijden
B = C = 90 ◦ ,gegeven
omgekeerde eigenschap
∼ =
ACX overeenkomstigezijden | XB | = | XC |
Als een punt op gelijke afstanden ligt van de twee benen van een hoek, dan ligt het op de bissectrice van de hoek.
Bewijs :
Gegeven : A
XB ⊥ AB en XC ⊥ AC
| XB | = | XC |
Te bewijzen : X ligt op de bissectrice van A , of : A 1 = A 2
Bewijs : In DABX en DACX geldt :
| AX | = | AX | gemeenschappelijkezijde
| XB | = | XC | gegeven
B = C = 90 ◦ ,gegeven
◦ =
ABX ∼ = ∆ACX overeenkomstigehoeken
A1 = A2
De twee vorige eigenschappen leveren het kenmerk van de bissectrice op. kenmerk van de bissectrice
Een punt ligt op de bissectrice van een hoek als en slechts als het punt op gelijke afstand van beide benen van die hoek ligt.
4 Constructie van de bissectrice
Steunend op het kenmerk van de bissectrice kunnen we de bissectrice van een hoek construeren.
Gegeven is een hoek A
Plaats je passerpunt in A en trek met een willekeurige passeropening een cirkelboog die de benen van A snijdt in X en Y.
Zet je passerpunt in X en trek een boog. De straal van deze boog moet groter zijn dan de helft van | XY |
Zet je passerpunt in Y en trek met dezelfde passeropening een boog die de vorige snijdt in B.
AB is de bissectrice van hoek A .
Verklaring voor de constructie :
In D AXB en D AYB geldt :
| AX | = | AY | zelfdepasseropening | BX | = | BY | zelfdepasseropening | AB | = | AB | gemeenschappelijkezijde
5 Constructie van even grote hoeken
Gegeven is een hoek A .
Teken een halfrechte met X als grenspunt. Dat is het eerste been van de hoek X
Teken in beide hoekpunten een cirkelboog met dezelfde straal.
Noem de snijpunten in de gegeven hoek B en C en in de andere hoek Z.
Pas de afstand | BC | af en plaats je passerpunt in Z.
Teken een boogje.
Het snijpunt met de andere boog noemen we Y.
Verbind X en Y.
De hoeken zijn even groot.
A = X
Verklaring voor de constructie : A
?
In D ABC en D XYZ geldt : | AB | = | XY | zelfdepasseropening | BC | = | YZ | zelfdepasseropening | AC | = | XZ | zelfdepasseropening
overeenkomstigehoeken A = X
6 Samenvatting
• Je kent de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk.
De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die het lijnstuk loodrecht snijdt in het midden.
• Je kunt de eigenschap van de middelloodlijn verwoorden en bewijzen.
Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan ligt het op gelijke afstanden van de grenspunten van dat lijnstuk.
• Je kunt de omgekeerde eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen.
Als een punt op gelijke afstand ligt van de twee grenspunten van een lijnstuk, dan ligt het op de middelloodlijn van dat lijnstuk.
• Je kent het kenmerk van de middelloodlijn.
Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk als en slechts als het punt even ver ligt van de grenspunten van dat lijnstuk.
• Je kunt de middelloodlijn van een lijnstuk construeren.
• Je kunt de constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk verklaren met behulp van een congruentiekenmerk.
• Je kent de definitie van een bissectrice van een hoek.
De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.
• Je kunt de eigenschap van de bissectrice verwoorden en bewijzen.
Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan ligt het op gelijke afstanden van de benen van de hoek.
• Je kunt de omgekeerde eigenschap van de bissectrice van een hoek bewijzen.
Als een punt op gelijke afstanden ligt van de twee benen van een hoek, dan ligt het op de bissectrice van de hoek.
• Je kent het kenmerk van de bissectrice.
Een punt ligt op de bissectrice van een hoek als en slechts als het punt op gelijke afstand van beide benen van die hoek ligt.
• Je kunt de bissectrice van een hoek (of van twee snijdende rechten) construeren.
• Je kunt de constructie van de bissectrice van een hoek verklaren met behulp van een congruentiekenmerk.
7 Oefeningen
Construeer de middelloodlijn van [AB] en de bissectrice van C
Construeer een punt dat even ver ligt van A als van B en dat even ver ligt van C als van D.
Construeer de punten die even ver liggen van A als van B en op 4 cm van de rechte AB.
Construeer telkens de drie gevraagde rechten en ga na of ze door één punt gaan.
a De drie middelloodlijnen van D ABC.
b De drie bissectrices van D DEF.
Construeer de punten die even ver liggen van a als van b
Construeer met ICT de punten die even ver liggen van twee snijdende rechten a en b en ook liggen op een cirkel met straal 5 en met het snijpunt van a en b als middelpunt.
Construeer een hoek C die even groot is als de hoek D
Teken een lijnstuk [ AB]
Plaats willekeurig een punt M.
Teken de punten die op 4 van M liggen en even ver van A als van B.
a Wanneer heb je als resultaat 2 punten ?
b Wanneer heb je als resultaat 1 punt ?
c Wanneer heb je geen resultaat ?
In Oostende vind je de toeristische dienst dicht bij zee terug, op het Monacoplein (groen logootje). Stel dat ze een tweede kantoor willen openen waar je het rode logootje ziet staan. Nu wil de stad een indeling maken van twee zones zodat elke inwoner in een bepaalde zone dichter bij het ene infopunt woont dan bij het andere.
a Verdeel de stad in twee zones.
b Geef in elke zone een plaats aan die dichter bij het ene infopunt ligt dan bij het andere. Zijn er plaatsen die even ver van beide infopunten liggen ?
Nieuwpoortsesteenweg
KoninginAstridlaan
Nieuwpoortsesteenweg
Weeshuisstr.
Prof.Mac Leodstr. Karel van de Woestijnestr. Schildersstr. Timmermanstraat Prof. Jozef Vercoulliestraat Nijverheidstraat St.-Catharina Polderstr.
Kaïrostraat
Hospitaalstr. Ravelijnstr. Spoorwegstraat
JozefIIstraatEuphr.Beernaertstraat
Dr. LouisColensstraat Vindictivelaan
Leopold III-Laan Perronstraat Oesterbankstr. Lijndraaiersstr.Vooruitgangstr. Vaartstraat
Vrijhavenstr. Lijndraaiersstr. Kazernelaan Mercatorlaan Zinnialaan Bolwerkstr.Brigantijnenstr. Fortuinstr. Fregatstr. Brandariskaai Ijskelderstr.Slachthuiskaai
Drie landbouwers wonen rond een driehoekig stuk land. Ze spreken af dat iedere landbouwer het stuk land mag gebruiken dat het dichtst bij zijn omheining ligt. Verdeel het stuk land volgens de gemaakte afspraak.
Goedewind-helling aarG f ed S m e t deNaeyerlaan
St Godelievekerk
Plaats de punten A( 2, 4) en B( 4, 0) in een assenstelsel. Teken de middelloodlijn van het lijnstuk [ AB]
Bepaal een punt C zodat driehoek ABC gelijkbenig is en | AC | = 5. Wat is de coördinaat van C ?
Gegeven : P ligt op de bissectrice b van O | OA | = | OB |
Te bewijzen : a | PA | = | PB | b b is ook de bissectrice van A B
P b O
B
Toon aan dat AB de middelloodlijn is van [ XY]
Gegeven : m is de middelloodlijn van [ AB] P ∈ m | CA | = | DB |
Te bewijzen : PCA = PDB
X en Y liggen op de bissectrice van O
Bewijs dat D AXY ≅ D BXY als je weet dat | OA | = | OB |
Y O
B
In een driehoek ABC snijdt de middelloodlijn van [ AB] de (drager van de) zijde [ AC] in M. Bewijs dat D MAB gelijkbenig is.
Gegeven : X en Y behoren tot de middelloodlijn van [ AB]
Te bewijzen : A = B
Gegeven : X en Y behoren tot de bissectrice van O XA ⊥ OA, YB ⊥ OB, XC ⊥ OC, YD ⊥ OD
Te bewijzen : DXBY ≅ DXDY
Een bedrag van 5,10 euro wordt exact betaald in muntstukken die een kleinere waarde hebben dan één euro. Het aantal muntstukken is voor elke waarde even groot. Met hoeveel muntstukken werd dit bedrag betaald ?
Een onvervalste dobbelsteen en een zuiver muntstuk van 2 euro worden samen opgegooid. Hoe groot is de kans dat …
a de 2 eurozijde naar boven ligt en een even aantal ogen gegooid werd met de dobbelsteen ?
b op beide de ‘2’ bovenaan zichtbaar is ?
Vaardigheden | Wiskundige woordenschat
HORIZONTAAL
2 Zo noem je twee hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.
5 Zo noem je figuren die op elkaar worden afgebeeld onder een spiegeling, translatie, puntspiegeling of een samenstelling van twee of meerdere van deze transformaties.
6 In een rechthoekige driehoek is één scherpe hoek half zo groot als de andere. Hoe groot is de kleinste hoek van deze driehoek?
7 Elke driehoek heeft minstens ... scherpe hoeken.
9 Twee hoeken die samen 90° vormen, zijn … .
VERTICAAL
1 Hoeveel verschillende hoeken worden bepaald door twee evenwijdigen en een snijlijn die niet loodrecht staat?
3 Zo noem je twee hoeken die supplementair zijn en aanliggend.
4 Als twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rechte, dan zijn twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn steeds …
8 Twee nevenhoeken verhouden zich als 1:8. Hoeveel graden is de kleinste hoek van deze twee nevenhoeken?
Congruentie 3
moet ik leren
dit
❒
Ik kan congruente figuren herkennen en weet wat overeenkomstige hoeken, overeenkomstige hoekpunten en overeenkomstige zijden zijn.
❒ Ik kan in symbolen noteren dat twee driehoeken congruent zijn.
❒ Ik ken de vijf congruentiekenmerken en kan ze verwoorden.
❒ Ik herken de vijf congruentiekenmerken.
❒ Ik kan congruentiekenmerken gebruiken in bewijzen.
❒ Ik ken de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk.
❒ Ik ken de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk.
❒
Ik kan de omgekeerde eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk onderzoeken en bewijzen.
❒ Ik kan het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden.
❒ Ik kan de middelloodlijn van een lijnstuk construeren.
❒ Ik kan de constructie van de middelloodlijn verklaren met congruentie.
❒ Ik ken de definitie van de bissectrice van een hoek.
❒ Ik ken de eigenschap van de bissectrice van een hoek.
❒ Ik kan de omgekeerde eigenschap van de bissectrice van een hoek onderzoeken en bewijzen.
❒ Ik kan het kenmerk van de bissectrice van een hoek verwoorden.
❒ Ik kan de bissectrice van een hoek construeren.
❒ Ik kan de constructie van de bissectrice verklaren met congruentie.
❒ Ik kan even grote hoeken construeren.
pagina ik ken het ! oké voor examen
128 J J
130 J J
132 J J
132 J J
137 J J
154 J J
155 J J
155 J J
156 J J
156 J J
156 J J
157 J J
158 J J
158 J J
158 J J
159 J J
159 J J
160 J J
Congruentie 3
Geef de korte notatie van de geziene congruentiekenmerken en duid de nodige gelijkheden aan op de twee driehoeken die je onder de implicatiepijl schetst.
1 / 3 2 / 3
Gegeven : D ABY en D CBX
ABX en CBY zijn collineair | AB | = | CD | en | BY | = | BX |
Te bewijzen : | AY | = | CX |
Bewijs :
Naam
Gegeven : D ABC met AM een zwaartelijn
CP ⊥ AM
BQ ⊥ AM
Te bewijzen : | MP | = | MQ |
Bewijs : Waar of vals ?
a Als twee driehoeken congruent zijn, dan zijn hun oppervlaktes even groot.
b Twee vierkanten met gelijke oppervlaktes zijn steeds congruent.
c Twee rechthoeken met gelijke oppervlaktes zijn steeds congruent.
d In een gelijkzijdige driehoek verdeelt de zwaartelijn door een van de
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS hoekpunten de driehoek in twee congruente driehoeken.
e Twee gelijkzijdige driehoeken zijn altijd congruent.
f Als een bissectrice van een hoek in een driehoek die driehoek verdeelt
WAAR VALS
WAAR VALS in twee congruente driehoeken, dan is de oorspronkelijke driehoek gelijkbenig.
Constructieopdrachten.
a Construeer de bissectrice van A
Gegeven : twee congruente driehoeken beide driehoeken zijn rechthoekig
Gevraagd : bepaal de oppervlakte van één driehoek
7cm3x +2,5
b Construeer de punten die even ver van A als van B liggen en op 2 cm van P liggen.
/ 4
Oplossing :
/ 2
Driehoeken 4
De meest tot de verbeelding sprekende driehoek is wellicht de Bermudadriehoek, gelegen tussen Florida, Bermuda en Puerto Rico.
Hier verdwenen heel wat schepen en vliegtuigen op mysterieuze wijze van de radar.
Verklaringen zijn er voldoende.
• Er borrelt af en toe methaangas (ook bekend als moerasgas) naar boven. Dat verkleint de draagkracht van het water, waardoor schepen en zelfs vliegtuigen in de problemen komen.
• Het magnetische veld rondom de aarde is op dit stuk van onze planeet zwakker. Kompassen en andere instrumenten bieden dus geen soelaas.
• Tropische onweersbuien kunnen in deze streek enorm heftig zijn.
• Of misschien is het gewoon omdat het een van de drukst bevaarde routes is op onze planeet ?
Driehoeken
4.1 Eigenschappen onderzoeken
1 Terminologie 179
2 Classificatie van de driehoeken 180
3 Merkwaardige lijnen in een driehoek 181
4 Onderzoeksopdrachten 182
5 Kenmerk van een gelijkbenige driehoek 184
6 Merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek 185
7 Kenmerk van een gelijkzijdige driehoek 186
8 Samenvatting 187
9 Oefeningen 188
4.2 De driehoeksongelijkheid
1 Onderzoek (1) 195
2 Onderzoek (2) 196
3 De driehoeksongelijkheid 197
4 Driehoeken construeren 197
5 Samenvatting 198
6 Oefeningen 199
Extra’s
Vaardigheden : de rechte van Euler 202
Wat moet je kennen en kunnen ? 203
Herhalingsoefeningen 204
Bekijk de instructievideo’s
Eigenschappen onderzoeken
1 Terminologie
We hernemen enkele begrippen uit de leerstof van het eerste jaar. driehoek
Een driehoek is een vlakke figuur gevormd door drie zijden en drie hoeken.
Terminologie :
HOEKPUNTEN
HOEKEN
ZIJDEN
DRAGERS VAN DE ZIJDEN
OVERSTAANDE HOEK VAN EEN ZIJDE
AANLIGGENDE HOEKEN VAN EEN ZIJDE
INGESLOTEN HOEK VAN TWEE ZIJDEN
A, B, C
A , B, C
[ AB], [ BC], [ AC]
AB, BC, AC
A is de overstaande hoek van zijde [ BC].
B is de overstaande hoek van zijde [ AC]
C is de overstaande hoek van zijde [ AB]
B en C zijn de aanliggende hoeken van zijde [ BC]
A en C zijn de aanliggende hoeken van zijde [ AC].
A en B zijn de aanliggende hoeken van zijde [ AB]
A is de ingesloten hoek van zijden [ AB] en [ AC]
B is de ingesloten hoek van zijden [ AB] en [ BC]
C is de ingesloten hoek van zijden [ AC] en [ BC].
2 Classificatie van de driehoeken
classificatie driehoeken volgens hun zijden
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan minstens twee zijden even lang zijn.
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden even lang zijn.
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek die niet gelijkbenig is. De drie zijden hebben dus een verschillende lengte.
gelijkbenige driehoek : gelijkzijdige driehoek : ongelijkbenige driehoek :
Terminologie bij gelijkbenige driehoeken :
Bij de gelijkbenige driehoek ABC noemen we
A de tophoek ;
B en C de basishoeken ;
[ BC] de basis ;
[ AB] en [ AC] de benen
classificatie driehoeken volgens hun hoeken
Een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn.
Een stomphoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek stomp is.
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek recht is.
scherphoekige driehoek : stomphoekige driehoek : rechthoekige driehoek :
Terminologie bij rechthoekige driehoeken :
Bij de rechthoekige driehoek ABC noemen we
A de rechte hoek ;
[ AB] en [ AC] de rechthoekszijden ;
[ BC] de schuine zijde of hypotenusa
3 Merkwaardige lijnen in een driehoek
hoogtelijn
Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande zijde.
Als je de drie hoogtelijnen tekent in een driehoek, zullen ze elkaar snijden in één punt : het hoogtepunt van de driehoek.
bissectrice
Een bissectrice van een driehoek is de rechte die door een hoekpunt gaat en de bijbehorende hoek in twee even grote hoeken verdeelt.
Als je drie bissectrices tekent in een driehoek, zullen ze elkaar snijden in één punt. Als je hier je passerpunt plaatst, kun je de grootst mogelijke cirkel tekenen in de driehoek. Die noemen we de ingeschrevencirkel.
zwaartelijn
Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
Als je de drie zwaartelijnen tekent in een driehoek, zullen ze elkaar snijden in één punt : het zwaartepunt van de driehoek. Hier kun je de hele figuur op laten ‘rusten’.
middelloodlijn
Een middelloodlijn van een driehoek is een rechte die een zijde loodrecht in het midden snijdt.
Als je de drie middelloodlijnen tekent in een driehoek, zullen ook zij elkaar snijden in één punt. Als je hier je passerpunt plaatst, kun je een cirkel tekenen die door de drie hoekpunten van de driehoek gaat. Die noemen we de omgeschrevencirkel
4 Onderzoeksopdrachten
Er vallen heel wat eigenschappen te ontdekken bij gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken. Doe de onderzoeken op een tekening of met ICT en formuleer telkens je bevindingen in een zin.
Onderzoek 1 :
–
–
Teken een gelijkbenige driehoek ABC met tophoek A
Bepaal de groottes van B en C.
– Wat valt je op ?
Conclusie :
Onderzoek 2 :
– Teken een lijnstuk [ AB] dat 4 cm lang is.
–
Teken in A en B een hoek van 50°.
– Noem het verkregen snijpunt C.
– Bepaal | AC | en | BC | – Wat valt je op?
Conclusie :
Onderzoek 3 :
– Teken een ongelijkbenige DABC en een gelijkbenige DXYZ met tophoek X
– Teken de bissectrice b in A en in X .
– Teken de middelloodlijn m van [ BC] en [ YZ]
– Teken de hoogtelijn h door A en door X.
– Teken de zwaartelijn z uit A en uit X.
– Wat stel je vast ?
Conclusie :
Onderzoek 4 :
– Teken een willekeurige driehoek, een gelijkbenige driehoek en een gelijkzijdige driehoek.
– Teken in elke driehoek alle symmetrieassen.
Conclusie :
Onderzoek 5 :
– Teken een gelijkzijdige driehoek ABC. –
Bepaal de groottes van A , B en C –
Wat valt je op ?
Conclusie :
Onderzoek 6 :
– Teken een lijnstuk [ AB] van 4 cm.
– Teken in A en in B een hoek van 60°.
– Noem het verkregen snijpunt C.
– Bepaal C, | AC | en | BC |
– Wat valt je op ?
Conclusie :
5 Kenmerk van een gelijkbenige driehoek
eigenschap gelijkbenige driehoek
In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.
Bewijs :
Gegeven : D ABC
| AB | = | AC |
Te bewijzen : B = C
Bewijs : Hulpconstructie : je tekent de bissectrice b van A
D is het snijpunt van b en BC.
In D ABD en D ACD geldt :
A1 = A2 b isdebissectricevan A
| AB | = | AC | gegeven
| AD | = | AD | gemeenschappelijkezijde
omgekeerde eigenschap
ABD ∼ = ∆ACD overeenkomstigehoeken
B = C
Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan is die driehoek gelijkbenig.
Bewijs :
Gegeven : D ABC
B = C
Te bewijzen : D ABC is gelijkbenig of | AB | = | AC |
Bewijs : Hulpconstructie : je tekent de bissectrice b van A
D is het snijpunt van b en BC.
In D ABD en D ACD geldt :
A1 = A2 b isdebissectricevan A
B = C gegeven
| AD | = | AD | gemeenschappelijkezijde
ABD ∼ = ∆ACD overeenkomstigezijden
AB | = | AC |
Die twee eigenschappen leveren ons het kenmerk van de gelijkbenige driehoek op. kenmerk gelijkbenige driehoek
Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken van de driehoek even groot zijn.
6 Merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek
eigenschap
In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek ook – de hoogtelijn uit de top ; – de zwaartelijn uit de top ; – de middelloodlijn van de basis.
Bewijs :
Gegeven : D ABC is gelijkbenig
b is de bissectrice van A
D is het snijpunt van b en [ BC]
Te bewijzen : b is de hoogtelijn uit A of D1 = D2 = 90°
b is de zwaartelijn uit A of | BD | = | CD |
b is de middelloodlijn van [ BC] A
Bewijs : In D ABD en D ACD geldt :
A1 = A2 b isbissectricevan A
| AB | = | AC | gegeven
| AD | = | AD | gemeenschappelijkezijden
overeenkomstigehoekenenzijden
D1 = D2 en | BD |=| CD |
D1 + D2 = 180 ◦ Dligtop [BC]
D1 = D2 = 90 ◦ enDishetmiddenvan [BC] definitiehoogtelijn definitiezwaartelijn b ishoogtelijnen b iszwaartelijn
b is middelloodlijn
gevolg
In een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek een symmetrieas van die driehoek.
Bewijs :
Gegeven : D ABC is gelijkbenig b is de bissectrice van A
D is het snijpunt van b en [ BC]
Te bewijzen : sb ( D ABC) = D ABC
Bewijs : sb ( A) = A A ligt op b
sb ( B) = C bissectrice = middelloodlijn
sb ( C) = B bissectrice = middelloodlijn
7 Kenmerk van een gelijkzijdige driehoek
eigenschap gelijkzijdige driehoek
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken even groot.
Bewijs :
Gegeven : D ABC is gelijkzijdig
Te bewijzen : A = B = C
Bewijs : D ABC is gelijkzijdig
definitiegelijkzijdige ∆
kenmerkgelijkbenige ∆
Merk op :
Aangezien de hoekensom in een driehoek 180° is, zal elke hoek van een gelijkzijdige driehoek 60° zijn.
omgekeerde eigenschap
Als drie hoeken van een driehoek even groot zijn, dan is die driehoek gelijkzijdig.
Bewijs :
Gegeven : A = B = C in D ABC
Te bewijzen : D ABC is gelijkzijdig of | AB | = | AC | = | BC |
Bewijs : A = Ben A = C
kenmerkgelijkbenige ∆
Die twee eigenschappen leveren ons het kenmerk van de gelijkzijdige driehoek op. kenmerk gelijkzijdige driehoek
Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de drie hoeken van de driehoek even groot zijn. gevolg
Een gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen.
Bewijs :
Aangezien een gelijkzijdige driehoek ook gelijkbenig is, is elke bissectrice een symmetrieas van de driehoek.
8
Samenvatting
• Je kunt de driehoeken classificeren volgens de zijden.
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan minstens twee zijden even lang zijn.
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden even lang zijn.
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek die niet gelijkbenig is. De drie zijden hebben dus een verschillende lengte.
• Je kunt de driehoeken classificeren volgens de hoeken.
Een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn.
Een stomphoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek stomp is.
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek recht is.
• Je kent de merkwaardige lijnen in een driehoek.
Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande zijde.
Een bissectrice van een driehoek is de rechte die door een hoekpunt gaat en de bijbehorende hoek in twee even grote hoeken verdeelt.
Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.
Een middelloodlijn van een driehoek is een rechte die een zijde loodrecht in het midden snijdt.
• Je weet dat de drie hoogtelijnen in een driehoek (maar ook de drie bissectrices, de drie zwaartelijnen en de drie middelloodlijnen) elkaar snijden in één punt.
• Je kunt de eigenschap van een gelijkbenige driehoek verwoorden en bewijzen. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.
• Je kunt de omgekeerde eigenschap van een gelijkbenige driehoek bewijzen.
Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan is die driehoek gelijkbenig.
• Je kent het kenmerk van een gelijkbenige driehoek.
Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken van de driehoek even groot zijn.
• Je weet dat in een gelijkbenige driehoek de bissectrice uit de tophoek ook de hoogtelijn is uit de top, de zwaartelijn uit de top en de middelloodlijn van de basis.
• Je kunt de eigenschap van een gelijkzijdige driehoek verwoorden en bewijzen. In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken even groot.
• Je kunt de omgekeerde eigenschap van een gelijkzijdige driehoek bewijzen. Als drie hoeken van een driehoek even groot zijn, dan is die driehoek gelijkzijdig.
• Je kent het kenmerk van een gelijkzijdige driehoek. Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de drie hoeken van de driehoek even groot zijn.
• Je weet dat : – in een gelijkbenige driehoek de bissectrice uit de tophoek de symmetrieas is van de driehoek ; – een gelijkzijdige driehoek drie symmetrieassen heeft.
9 Oefeningen
Bepaal telkens de grootte van de aangeduide hoeken.
De tophoek van een gelijkbenige driehoek is 48°. Bepaal de grootte van de basishoeken.
In een gelijkbenige driehoek ABC is A = 26 °. Geef de drie mogelijke antwoorden op de vraag : hoe groot is C ?
Driehoek ABC is een gelijkbenige driehoek met tophoek A . Vul de tabel aan.
Verklaar waarom D ABC gelijkzijdig is.
Hoeveel symmetrieassen kan de gegeven driehoek hebben ? Duid elke mogelijkheid aan.
GELIJKBENIGE
DRIEHOEK
GELIJKZIJDIGE
DRIEHOEK
RECHTHOEKIGE
DRIEHOEK
SCHERPHOEKIGE
DRIEHOEK
STOMPHOEKIGE
DRIEHOEK
In een gelijkbenige driehoek is één van de hoeken 120°. Verklaar waarom dit de tophoek is.
D ABC is een gelijkbenige driehoek met top A. Bereken A , B en C als :
a A = 2 B c A = B + 24°
A = B + C + 72°
d B + C = 110°
D ABC is een gelijkbenige driehoek met top A. Bereken A , B en C als 4 A = 3 B + 5 C + 40°.
b
Bereken A , B en C als :
Toon aan dat D ABC gelijkbenig is als d ⫽ BC.
Gegeven : trapezium ABCD met C = D
BX ⫽ AD
Te bewijzen : | BX | = | BC |
Gegeven : D ABC is gelijkbenig met | AB | = | AC |
CH ⊥ AB
Te bewijzen : C1 = A 2
Gegeven : D ABC is gelijkbenig D ∈ AC zodat | BA | = | BD |
Te bewijzen : B1 = 3 C
Onderzoeksopdrachten.
Onderzoek telkens met ICT en lever daarna het bewijs.
a Plaats twee gelijkbenige driehoeken met gelijke basissen tegen elkaar. De toppen liggen aan weerszijden van de basis. Er ontstaat een vierhoek. Wat is er bijzonder aan de diagonalen van die vierhoek ?
b D ABC is gelijkbenig met tophoek A = 50°. De rechte b is de bissectrice van buitenhoek A 1. Wat kun je besluiten over de ligging van b en BC ?
a Construeer de ingeschreven cirkel bij D ABC. Dit is de grootste cirkel die je in de driehoek kan construeren
b Construeer de omschreven cirkel bij D PQR. Dit is de cirkel die door de drie hoekpunten gaat.
Op de zijden van een gelijkbenige driehoek DEF met top D neemt men punten A, B en C zodat driehoek ABC gelijkzijdig is zoals in de figuur. Als C A E = 62° en ABF = 78°, dan is BCD gelijk aan
(A) 40° (B) 46° (C) 52° (D) 54° (E) 58°
JWO 2015 eerste ronde, vraag 18 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Een gelijkbenige D ABC heeft een tophoek A = 104°. Bepaal de hoek tussen de zijde [ AB] en de bissectrice van C
(A) 52° (B) 55° (C) 56° (D) 57° (E) 58°
JWO 2019 eerste ronde, probleem 10 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
4.2 De driehoeksongelijkheid
1 Onderzoek (1)
Hieronder zie je drie driehoeken. Meet alle hoeken en meet alle zijden. Vul de tabel in. Merk op dat hoek 1 de overstaande hoek is van zijde 1. Tegenover zijde 2 ligt dus hoek 2 en tegenover zijde 3 ligt dus hoek 3.
DABC
DMNP
DRST
Wat kun je besluiten? Bespreek het verband tussen de grootte van de hoeken en de lengte van de zijden.
2 Onderzoek (2)
Meet alle zijden van Δ ABC. Vul de tabel in.
a < b + c ?
b < a + c ?
c < a + b ?
Teken een andere willekeurige driehoek ABC. Meet ook hier de zijden en vul de tabel aan.
a < b + c ? Is b < a + c ?
Is c < a + b ?
Formuleer een besluit.
3 De driehoeksongelijkheid
Uit de vorige twee onderzoeken blijken deze eigenschappen.
In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een langere zijde.
In ∆ XYZis X > Y, danzal | YZ | > | XZ | Ergeldtook:
< X =⇒| XY | < | YZ | Y
driehoe,songelijkheid
In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengtes van de andere zijden.
4 Driehoeken construeren
Voorbeeld 1 :
Construeer een gelijkbenige driehoek ABC met een basis [ BC] die 4 cm lang is.
Oplossing :
Teken een lijnstuk [ BC] dat 4 cm lang is. Zet je passerpunt in B, neem een passeropening die groter is dan 2 cm (de helft van de lengte van de basis) en teken een cirkelboog.
Zet je passerpunt in C en teken met dezelfde passeropening een cirkelboog.
Noem A het snijpunt van de twee cirkelbogen.
Teken D ABC.
Voorbeeld 2 :
Teken een gelijkzijdige driehoek ABC met zijden die 2,8 cm lang zijn.
Oplossing :
Teken een lijnstuk [ AB] dat 2,8 cm lang is.
Zet je passerpunt in A en neem als passeropening | AB | of 2,8 cm. Teken een cirkelboog.
Doe hetzelfde vanuit punt B.
Teken D ABC.
Voorbeeld 3 :
Construeer de driehoek ABC als je weet dat a de middelloodlijn is van [ AB] en b de bissectrice is van A en B = 90°.
Oplossing :
Aangezien a de middelloodlijn is van [ AB] vind je A terug.
De rechte b is de bissectrice van A Zo bepaal je de halfrechte [ AC. Doordat je weet dat B = 90° kun je [ BC tekenen.
5 Samenvatting
• Je weet dat in een driehoek tegenover een grotere hoek een langere zijde ligt.
• Je kent de driehoeksongelijkheid. In een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengtes van de andere zijden.
• Je kunt driehoeken construeren die aan bepaalde voorwaarden voldoen.
6 Oefeningen
Onderzoek de driehoeksongelijkheid in volgende driehoeken.
Schets een driehoek die …
a rechthoekig en gelijkbenig is.
b stomphoekig en niet gelijkbenig is.
c scherphoekig en niet gelijkbenig is.
Teken een gelijkzijdige driehoek waarvan de zijden 4 cm lang zijn.
Teken een gelijkbenige driehoek waarvan
a de basis 7 cm lang is en de tophoek 70° is.
b de basis 5 cm lang is en de hoogte 4 cm is.
Teken een gelijkbenige driehoek ABC als [ AM] de zwaartelijn is uit A, als M op [ BC] ligt en als | BC | = 6 cm.
Teken met ICT volgende driehoeken :
a Δ ABC met A = 80°, C = 30° en | AB | = 7,5.
b Δ DEF met oppervlakte 12 zodat Δ DEF rechthoekig is in D.
c Δ GHI die gelijkbenig is en waarbij de basis | HI | = 8. Die basis maakt een hoek van 38° met de bissectrice van I
d Δ KLM met oppervlakte 16 zodat Δ KLM gelijkbenig is.
Teken drie lijnstukken die onmogelijk de zijden van een driehoek kunnen zijn. Verklaar.
Teken de driehoek ABC als je weet dat d een symmetrieas is van Δ ABC.
A
Teken de rechthoekige driehoek ABC als je weet dat h de hoogtelijn is uit C, C een rechte hoek is en m de middelloodlijn is van [ BC]. Maak vooraf een analyse.
Een driehoek heeft zijden van 2 en 5. De derde zijde heeft als lengte een oneven geheel getal. Hoe lang is de derde zijde ?
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
WIZPROF 2018 vraag 1© Stichting Wiskunde Kangoeroe
C mh
Vaardigheden | De rechte van Euler
Je leerde al over de merkwaardige lijnen in een driehoek. In deze opdracht gaan we op zoek naar wel een heel bijzondere vaststelling.
Opdracht:
Gegeven: D ABC
Gevraagd:
a Voer de verschillende stappen uit op deze driehoek. Noteer onder elke stap hoe je jouw wiskundekennis gebruikt.
Stap 1 : Teken in het blauw de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC. Het middelpunt van deze cirkel noem je M.
Stap 2 : Teken in het groen het hoogtepunt (orthocentrum) van de driehoek. Noem dit punt H.
Stap 3 : Teken in het zwart het zwaartepunt van deze cirkel. Noem het zwaartepunt Z.
b Herhaal deze stappen in Geogebra en kijk of je je vaststelling kan formuleren voor een willekeurige driehoek.
c Formuleer jouw vaststelling in woorden.
Leonhard Euler (1707-1783)
Euler was een Zwitserse wiskundige en een van de meest invloedrijke figuren in de geschiedenis van de wiskunde. De rechte van Euler is de rechte door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt M van de omgeschreven cirkel van een driehoek. Deze ontdekking werd gedaan rond 1765 en toonde de diepe samenhang aan tussen verschillende elementaire constructies binnen een driehoek.
Driehoeken 4
moet ik leren
dit
❒ Ik ken de definitie van een driehoek.
❒
Ik weet wat bedoeld wordt met hoek, drager van een zijde, overstaande hoek van een zijde, aanliggende hoeken van een zijde en ingesloten hoek van twee zijden.
❒ Ik weet wat bedoeld wordt met de ingeschreven en omgeschreven cirkel van een driehoek.
❒ Ik ken de definities van een gelijkbenige, gelijkzijdige en ongelijkbenige driehoek.
❒ Ik ken de definities van een scherphoekige, stomphoekige en rechthoekige driehoek.
❒
Ik ken de definities van een hoogtelijn, bissectrice, zwaartelijn en middelloodlijn in een driehoek.
❒ Ik kan zelfstandig eigenschappen onderzoeken van een gelijkbenige en een gelijkzijdige driehoek.
❒
Ik ken het kenmerk van een gelijkbenige driehoek en weet uit welke twee eigenschappen het is opgebouwd.
❒ Ik kan de eigenschap van een gelijkbenige driehoek bewijzen.
❒ Ik kan de omgekeerde eigenschap van een gelijkbenige driehoek bewijzen.
❒
Ik weet dat in een gelijkbenige driehoek de bissectrice van de tophoek samenvalt met de hoogtelijn uit de top, de zwaartelijn uit de top en de middelloodlijn van de basis.
❒ Ik kan bovenstaande eigenschap bewijzen.
❒ Ik weet dat in een gelijkbenige driehoek de bissectrice van de tophoek een symmetrieas is.
❒ Ik kan bovenstaande eigenschap bewijzen.
❒ Ik ken het kenmerk van een gelijkzijdige driehoek en weet uit welke twee eigenschappen het is opgebouwd.
❒ Ik kan de eigenschap van een gelijkzijdige driehoek bewijzen.
❒ Ik kan de omgekeerde eigenschap van een gelijkzijdige driehoek bewijzen.
❒ Ik kan zelfstandig onderzoeken dat tegenover een grotere hoek een langere zijde ligt in een driehoek.
❒ Ik kan zelfstandig de driehoeksongelijkheid onderzoeken.
❒ Ik ken de driehoeksongelijkheid.
❒ Ik kan de driehoeksongelijkheid bewijzen.
❒ Ik kan driehoeken construeren.
pagina ik ken het ! oké voor examen
179
179
179
180
180
181
182
184
184
184
185
185
185
185
186
186
186
195
196
197
197
197
Driehoeken
Welke van de volgende driehoeken zijn gelijkbenig ?
In een gelijkbenige driehoek is de tophoek 6 keer zo groot als een basishoek. Hoe groot zijn de hoeken van de driehoek ?
Naam
4 / 2
Bepaal de grootte van B, C1, C2, D en E
5 / 6
Bepaal telkens de grootte van C1
a D ABC is gelijkbenig.
b D ABC is gelijkbenig.
c YC is de bissectrice van Y . ZC is de bissectrice van Z D XYZ is gelijkbenig.
Teken met ICT een gelijkbenige driehoek waarvan de tophoek 80° meet en de benen 5 lang zijn.
6 / 2 7 / 2
Teken de gelijkbenige driehoek ABC als [ AH] de bissectrice is uit A en als de tophoek A = 72°.
Teken driehoek ABC als gegeven is dat de rechte b de bissectrice is van B en | CA | = 4 cm. Maak vooraf een analyse. Is er meer dan één oplossing ?
8 / 2
Vierhoeken
Een philinktafel is een tafel waarbij het werkblad bestaat uit drie gelijke zijden, een hoek van 90° en een verhouding volgens de gulden snede.
De wiskundige tafel werd ontworpen door de twee Belgische wiskundeknobbels Jeroen Theuns en Caroline Voet.
Deze tafels kunnen op oneindig veel manieren getekend worden.
Probeer zelf eens zo’n tafel te construeren.
Copyright: Jeroen Theuns en Caroline Voet
Vierhoeken
5.1 Eigenschappen onderzoeken
1 Terminologie 209
2 Het trapezium 210
3 Het parallellogram 211
4 De rechthoek 217
5 De ruit 218
6 Het vierkant 219
7 Samenvatting 220
8 Oefeningen 221
5.2 Vierhoeken construeren en classificeren
1 Symmetrie 233
2 Vierhoeken indelen 234
3 Samenvatting 235
4 Oefeningen 236
Extra’s
Vaardigheden : maten omzetten 242
Wat moet je kennen en kunnen ? 243
Herhalingsoefeningen 244
Bekijk de instructievideo’s
5.1 Eigenschappen onderzoeken
1 Terminologie
vierhoek
Een vierhoek is een vlakke figuur gevormd door vier zijden en vier hoeken.
We spreken van vierhoek ABCD.
Terminologie :
HOEKPUNTEN A, B, C, D
HOEKEN A , B, C, D
ZIJDEN
DRAGERS VAN DE ZIJDEN OF ZIJLIJNEN
DIAGONALEN
OVERSTAANDE HOEKEN
OVERSTAANDE ZIJDEN
[ AB], [ BC], [ CD], [ DA]
AB, BC, CD, DA
[ AC] en [ BD]
A en C B en D
[ AB] en [ CD]
[ AD] en [ BC]
LENGTE VAN DE ZIJDEN | AB | , | BC | , | CD | , | DA |
2 Het trapezium
trapezium
Een trapezium is een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden.
Terminologie :
EVENWIJDIGE ZIJDEN
OPSTAANDE ZIJDEN
DIAGONALEN
HOOGTE
Bijzondere gevallen :
gelijkbenig trapezium
Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de opstaande zijden even lang en niet evenwijdig zijn.
Trapezium
Het woord ‘trapezium’ stamt af van het Griekse ‘trapezion’ (τραπέζιον), dat duidt op een tafeltje met vier poten. Die tafel hoefde zelfs geen trapeziumvormig blad te hebben !
Van datzelfde Griekse woord werd trouwens ook het (via het circus bekende) woord trapeze afgeleid. Ook het weinig gebruikte ‘trapezio’ heeft een wiskundige betekenis en duidt op een willekeurige vierhoek.
[ AB] en [ DC] (ook kleine basis en grote basis genoemd)
[ AD] en [ BC]
[ AC] en [ BD]
[ AH]
De hoogte is ook de loodrechte afstand tussen de twee basissen.
rechthoekig trapezium
Een rechthoekig trapezium is een trapezium met precies twee rechte hoeken.
3 Het parallellogram
parallellogram
Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.
Onderzoek 1 : –
Teken een parallellogram ABCD.
– Meet de zijden [ AB] en [ CD]. Wat stel je vast ?
Meet de zijden [ AD] en [ BC]. Wat stel je vast ?
– Formuleer je besluit.
Onderzoek 3 :
Teken een parallellogram ABCD.
– Teken de diagonalen en noem het snijpunt van de diagonalen S.
– Meet de lijnstukken [ AS], [ CS], [ BS] en [ DS]. Wat stel je vast?
Formuleer je besluit.
Onderzoek 2 :
–
Teken een parallellogram ABCD.
Meet de hoeken A en C. Wat stel je vast ?
– Meet de hoeken B en D. Wat stel je vast ?
– Formuleer je besluit.
zijdekenmerk
eigenschap zijden parallellogram
In een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang.
Bewijs :
Gegeven : ABCD is een parallellogram
Te bewijzen : | AB | = | DC | | AD | = | BC |
Bewijs : Hulpconstructie : je tekent de diagonaal [ AC]
In D ABC en D CDA geldt :
A1 = C1 verwisselendebinnenhoeken bijAB CDensnijlijnAC
C2 = A2 verwisselendebinnenhoeken bijAD BCensnijlijnAC
| AC | = | AC | gemeenschappelijkezijde
=
ABC ∼ = ∆ CDA overeenkomstigezijden | AB | = | DC | en | BC | = | AD |
omgekeerde eigenschap
Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.
Bewijs :
Gegeven : vierhoek ABCD
| AB | = | DC |
| AD | = | BC |
Te bewijzen : ABCD is een parallellogram
Bewijs : Hulpconstructie : je tekent de diagonaal [ AC].
In D ABC en D CDA geldt :
| AB | = | DC | gegeven
| BC | = | AD | gegeven
| AC | = | AC | gemeenschappelijkezijde
CDA overeenkomstigehoeken
A1 = C1 en C2 = A2 alstweeverwisselende binnenhoekenbepaald doortweerechtenen eensnijlijnevengrootzijn, danzijnderechtenevenwijdig
AB CD en BC AD definitieparallellogram
ABCDiseenparallellogram
Die twee eigenschappen leveren ons het zijdekenmerk van een parallellogram op.
zijdekenmerk parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn.
hoekenkenmerk
eigenschap hoeken
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot.
Bewijs :
Gegeven : ABCD is een parallellogram
Te bewijzen : A = C en B = D
A
Bewijs : ABCD is een parallellogram definitieparallellogram
AB DCenAD BC alstweeevenwijdigengesnedenwordendoordezelfderechte, danzijndebinnenhoekenaandezelfdekantvandesnijlijnsupplementair
A + B = 180 ◦ A + B = 180 ◦ en C + B = 180 ◦ A + D = 180 ◦
A = C en B = D
omgekeerde eigenschap
Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.
Bewijs :
Gegeven : vierhoek ABCD
A = C
B = D
Te bewijzen : ABCD is een parallellogram
Bewijs : In een vierhoek is de som van de hoeken steeds 360°.
A + B + C + D = 360 ◦
C = Aen D = B
A + B + A + B = 360 ◦
2 ( A + B )= 360 ◦
A + B = 180 ◦
alstweerechtengesnedenwordendooreenzelfderechteentwee binnenhoekenaandezelfdekantvandesnijlijnzijnsupplementair, danzijnderechtenevenwijdig
AD BC
Op een analoge manier kun je aantonen dat A en D supplementair zijn en bijgevolg is AB ⫽ DC.
Aangezien AD ⫽ BC en AB ⫽ DC, is de vierhoek ABCD een parallellogram.
Die twee eigenschappen leveren ons het hoekenkenmerk van een parallellogram op.
hoekenkenmerk parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande hoeken even groot zijn.
diagonalenkenmerk
eigenschap diagonalen
In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor.
Bewijs :
Gegeven : ABCD is een parallellogram
Te bewijzen : | AM | = | MC | | BM | = | MD |
Bewijs : In D ABM en D CDM geldt :
A1 = C1 verwisselendebinnenhoeken bijAB CDensnijlijnAC
| AB | = | CD | zijdekenmerk parallellogram
B1 = D1 verwisselendebinnenhoeken bijAB CDensnijlijnBD
omgekeerde eigenschap
overeenkomstigezijden | AM | = | MC | en | BM | = | MD |
Als in een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor delen, dan is die vierhoek een parallellogram.
Bewijs :
Gegeven : vierhoek ABCD
| AM | = | MC | | BM | = | MD |
Te bewijzen : ABCD is een parallellogram
Bewijs : In D ABM en D CDM geldt :
M 1 3 | AM | = | CM | gegeven
M1 = M3 overstaandehoeken | BM | = | DM | gegeven
Op een analoge manier kun je aantonen dat
=⇒ ∆ ABM ∼ = ∆ CDM overeenkomstigezijden | AB | = | DC |
CMBzodat | AD | = | BC | | AB | = | DC | en | AD | = | BC | zijdekenmerkparallellogram
ABCDiseenparallellogram
Die twee eigenschappen leveren ons het diagonalenkenmerk van een parallellogram op . diagonalenkenmerk parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de diagonalen elkaar middendoor delen.
4 De rechthoek
rechthoek
Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.
In een rechthoek zijn de overstaande hoeken even groot. Door het hoekenkenmerk van het parallellogram mogen we besluiten dat een rechthoek een parallellogram is. Maar dat wist je wellicht al. Alle eigenschappen van een parallellogram gelden dus ook voor een rechthoek.
In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig.
In een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang.
In een rechthoek delen de diagonalen elkaar middendoor.
Een rechthoek heeft ook nog een andere eigenschap. eigenschap rechthoek
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.
Bewijs :
Gegeven : ABCD is een rechthoek [ AC] en [ BD] zijn diagonalen
Te bewijzen : | AC | = | BD |
Bewijs : In D ABC en D BAD geldt : A D B C ? ?
| AB | = | AB | gemeenschappelijkezijde
A = B = 90 ◦ ,definitierechthoek
| BC | = | AD | zijdekenmerkparallellogram
Onderzoek :
Zou het mogelijk zijn om ook hier een ‘kenmerk’ van te maken ?
Daartoe moet ook de omgekeerde eigenschap gelden. Ga dit na.
ZHZ =⇒ ∆ ABC ∼ = ∆ BAD overeenkomstigezijden
| AC | = | BD |
5 De ruit
ruit
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
In een ruit zijn de overstaande zijden even lang. Door het zijdekenmerk van het parallellogram kun je besluiten dat een ruit een parallellogram is. Maar ook dat wist je wellicht al. Alle eigenschappen van een parallellogram gelden dus ook voor een ruit.
In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig.
In een ruit zijn de overstaande hoeken even groot.
In een ruit delen de diagonalen elkaar middendoor.
Een ruit heeft ook nog een andere eigenschap.
eigenschap ruit
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
Bewijs :
Gegeven : ABCD is een ruit [ AC] en [ BD] zijn diagonalen
Te bewijzen : AC ⊥ BD
Bewijs :
| AD | = | AB | kenmerkvan demiddelloodlijn
Abehoorttotdemiddelloodlijn van [DB] en en | CD | = | CB | kenmerkvan demiddelloodlijn
Cbehoorttotdemiddelloodlijn van [DB]
ACisdemiddelloodlijnvan [DB] definitiemiddelloodlijn AC ⊥ BD
Onderzoek :
Zou het mogelijk zijn om ook hier een ‘kenmerk’ van te maken ? Daartoe moet ook de omgekeerde eigenschap gelden. Ga dit na.
6 Het vierkant
vierkant
Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier even grote hoeken.
Uit de definitie volgt onmiddellijk dat elk vierkant zowel een rechthoek als een ruit is. Een vierkant is ook een parallellogram. Alle geziene eigenschappen bij die vierhoeken gelden dus ook voor een vierkant.
In een vierkant zijn de overstaande zijden evenwijdig.
In een vierkant delen de diagonalen elkaar middendoor.
In een vierkant zijn de diagonalen even lang.
In een vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
We kunnen alle vierhoeken voorstellen in een handig schema
7 Samenvatting
• Je weet dat een vierhoek een vlakke figuur is, gevormd door vier zijden en vier hoeken.
• Je kent de verschillende begrippen in verband met de vierhoek.
• Je kunt de eigenschappen in verband met de zijden, hoeken en diagonalen van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant verwoorden.
TRAPEZIUM
Overstaande zijden zijn even lang. Overstaande hoeken zijn even groot. Diagonalen delen elkaar middendoor. Diagonalen zijn even lang. Diagonalen staan loodrecht op elkaar.
• Je kent de drie kenmerken van een parallellogram. zijdekenmerk
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn. hoekenkenmerk
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande hoeken even groot zijn. diagonalenkenmerk
Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de diagonalen elkaar middendoor delen.
• Je kunt de eigenschappen in verband met de zijden, hoeken en diagonalen van een parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant bewijzen.
• Je kunt de omgekeerde eigenschappen van de kenmerken van een parallellogram bewijzen.
8 Oefeningen
Op zoek naar een eigenschap voor het gelijkbenig trapezium.
Teken een gelijkbenig trapezium ABCD met als opstaande (en even lange) zijden [ BC] en [ DA].
a Meet de hoeken C en D.
b Wat stel je vast ? Formuleer een besluit.
c Meet [AC] en [BD].
d Wat stel je vast ? Formuleer een besluit.
e Bewijs jouw vaststellingen van b en d.
Gegeven : zie figuur
AB ⫽ CD
Te bewijzen : D1 = D2
Gegeven : ABCD is een gelijkbenig trapezium
AB ⫽ CD
M is het snijpunt van de diagonalen
Te bewijzen : D MCD is gelijkbenig
Gegeven : ABCD is een gelijkbenig trapezium
|AD| = |BC|
AB ⫽ CD
S is het snijpunt van AD en BC
Te bewijzen : D SBA is gelijkbenig
a In een vierhoek ABCD is D = A + 20°. De hoek A is 15° groter dan B Bereken alle hoeken van de vierhoek als je weet dat B = 97°.
b In een parallellogram ABCD is A = B + 40°. Bereken alle hoeken van het parallellogram.
c Bepaal alle hoeken van het parallellogram MNPQ.
Bepaal telkens de lengte van de zijden van het parallellogram.
a Bereken x als je weet dat de omtrek van het parallellogram 150 cm is. 2x x
b Hoe lang zijn de vier zijden van een parallellogram ABCD als je weet dat
| AB | = 2x – 1
| BC | = 2x
| CD | = 3x – 4
c De diagonalen van een parallellogram ABCD snijden elkaar in M. Bereken de lengte van de twee diagonalen als je weet dat
| AM | = 2x + 1
| DM | = 2( x + 3)
| MC | = x + 9
In een orthonormaal assenstelsel is ABCD een parallellogram met A( –2, 2), B( 3, 2) en C( 1, –1)
a Teken het parallellogram ABCD.
b Bepaal de coördinaat van D. x
Bepaal de hoeken van het parallellogram ABCD als je weet dat a het complement van C driemaal groter is dan A . b de som van A en C het vierde deel is van de som van B en D.
Op de diagonaal [ BD] van een parallellogram ABCD plaats je de punten M en N zodat | BM | = | ND | Bewijs dat AMCN een parallellogram is.
ABCD is een parallellogram. M is het midden van [BC]. AM snijdt DC in N. Onderzoek met ICT of | AM | = | MN | . Bewijs die gelijkheid.
Gegeven : parallellogram ABCD
BF is de bissectrice van B
Te bewijzen : DDEF is gelijkbenig
Onderzoek dit eerst met ICT.
Gegeven : parallellogram ABCD | AC | = | CP |
PQ ⫽ AD en Q ligt op DC
Te bewijzen : BQPC is een parallellogram
Toon aan dat in een parallellogram ABCD de afstand van A tot diagonaal [ BD] gelijk is aan de afstand van C tot diezelfde diagonaal. Maak eerst een duidelijke tekening.
Door het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram ABCD gaat een rechte die de zijden [ BC] in K en [ AD] in L snijdt. Bewijs dat | BK | = | DL |. Onderzoek dit eerst met ICT.
a In een rechthoek ABCD is M1 = 30°.
Bereken A 1 en A 2
b Bereken A 1, C1, B2 en D1 in rechthoek ABCD.
In een vierhoek ABCD is A = 50° en B = 130°. Is ABCD steeds een parallellogram ? Illustreer je antwoord met een tekening.
a Als in een parallellogram twee opeenvolgende hoeken even groot zijn, dan is dat parallellogram een rechthoek.
Toon dat aan.
b Als in een parallellogram één hoek recht is, dan is het parallellogram een rechthoek.
Toon dit aan.
c Als je weet dat ABCD een rechthoek is en M het midden is van [ AB], bewijs dan dat D MCD gelijkbenig is.
Waar of vals ? Indien je antwoordt met ‘vals’, teken dan een tegenvoorbeeld.
a Er bestaan parallellogrammen waarvan de diagonalen even lang zijn.
b Als in een vierhoek de diagonalen even lang zijn, dan is die vierhoek een rechthoek.
c Als in een vierhoek drie hoeken even groot zijn, dan is die vierhoek een rechthoek.
d Een vierhoek waarin de overstaande hoeken even groot en de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek.
e Als in een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan, dan is die vierhoek een ruit.
f In een ruit zijn twee opeenvolgende hoeken steeds supplementair.
g Er bestaan geen ruiten met vier rechte hoeken.
h Er bestaan ruiten die geen vierkant zijn.
i Als in een parallellogram de diagonalen loodrecht op elkaar staan, dan is het parallellogram een vierkant.
j Een vierhoek die zowel een parallellogram als een rechthoek is, is ook een vierkant.
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
WAAR VALS
In een ruit is A = 40°.
Bereken de andere hoeken.
Gegeven : ABCD is een vierkant
AE ⊥ BF
Te bewijzen : | AE | = | BF |
a Teken een rechthoek met loodrechte diagonalen. Welke figuur bekom je ?
b Teken rechthoek ABCD in een orthonormaal assenstelsel met A( 1, 3) , B( 6, –2) en C( 4, –4) . Bepaal co( D)
c Teken een vierhoek met loodrecht op elkaar staande diagonalen, waarvan een diagonaal de andere middendoor deelt. Welke figuur bekom je ?
d Teken een gelijkbenig trapezium ABCD in een orthonormaal assenstelsel met A( 3, –3) , B( 0, –3) en C( –2, 3) . Bepaal co( D)
a Teken een willekeurige vierhoek en bepaal van elke zijde het midden. Verbind de opeenvolgende middens met elkaar. Welke figuur bekom je ?
b Bepaal de omtrek van de nieuwe vierhoek. Bepaal de som van de lengtes van de diagonalen van de oorspronkelijke vierhoek. Wat merk je ? Is dat steeds zo ?
c Bepaal de oppervlakte van beide vierhoeken. Wat merk je ? Is dat steeds zo ?
5.2 Vierhoeken construeren en classif iceren
1 Symmetrie
Onderzoek 1 :
– Teken een parallellogram.
– Zoek een rechte zodat het parallellogram zichzelf als spiegelbeeld heeft na spiegeling om die rechte.
– Wat stel je vast ? Formuleer een besluit.
– Zoek een symmetriemiddelpunt.
– Wat stel je vast ? Formuleer je besluit.
Onderzoek 3 :
– Welke symmetrie heeft een ruit zeker ? Gebruik hiervoor je vaststellingen uit onderzoek 1. – Teken een ruit en zoek één of meerdere rechten zodat de ruit zichzelf als spiegelbeeld heeft na spiegeling om die rechte.
– Wat stel je vast ? Formuleer je besluit.
Onderzoek 2 :
– Welke symmetrie heeft een rechthoek zeker ?
Gebruik hiervoor je vaststellingen uit onderzoek 1.
–
Zoek één of meerdere rechten zodat de rechthoek zichzelf als spiegelbeeld heeft na spiegeling om die rechte.
– Wat stel je vast ? Formuleer een besluit.
Onderzoek 4 :
– Welke symmetrie heeft een vierkant zeker ?
Gebruik hiervoor je vaststellingen uit de vorige onderzoeken.
Controleer je antwoord op een tekening.
–
– Zijn er nog andere symmetrieassen te vinden ?
– Formuleer je besluit.
2 Vierhoeken indelen
Classificatie van de vierhoeken volgens de zijden en hoeken : TRAPEZIUM
Een trapezium is een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden.
PARALLELLOGRAM
Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.
RUIT
RECHTHOEK
VIERKANT
Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.
Een rechthoek is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken.
Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier even grote (rechte) hoeken.
Classificatie van de vierhoeken volgens de diagonalen :
PARALLELLOGRAM Een parallellogram is een vierhoek waarin de diagonalen elkaar middendoor delen.
RUIT Een ruit is een vierhoek waarin de diagonalen elkaar middendoor delen en loodrecht op elkaar staan.
RECHTHOEK Een rechthoek is een vierhoek waarin de diagonalen elkaar middendoor delen en even lang zijn.
VIERKANT Een vierkant is een vierhoek waarin de diagonalen elkaar middendoor delen, even lang zijn en loodrecht op elkaar staan.
ZIJDEN HOEKEN& S I VOLGENSFICATIE
Voorgesteld in een schema:
E: Vierhoeken met even lange diagonalen.
M: Vierhoeken waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen.
L: Vierhoeken waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan.
Classificatie van de vierhoeken volgens symmetrie:
SS IC VOLGENS
SPIEGELSYMMETRIE
SPIEGELSYMMETRIE
SYMMETRIE
VLIEGER
GELIJKBENIG TRAPEZIUM
PARALLELLOGRAM
RECHTHOEK
RUIT
VIERKANT
1 symmetrieas: de drager van een (goedgekozen) diagonaal
1 symmetrieas: de middelloodlijn van de evenwijdige zijden
twee symmetrieassen: de middelloodlijnen van de overstaande zijden
symmetriemiddelpunt: snijpunt van de diagonalen
symmetriemiddelpunt: snijpunt van de diagonalen
twee symmetrieassen: de dragers van de diagonalen symmetriemiddelpunt: snijpunt van de diagonalen
vier symmetrieassen: de dragers van de diagonalen en de middelloodlijnen van de overstaande zijden
3 Samenvatting
• Je kunt vierhoeken classificeren op basis van eigenschappen van zijden en hoeken.
• Je kunt vierhoeken classificeren op basis van eigenschappen van diagonalen.
• Je kunt vierhoeken classificeren op basis van eigenschappen van symmetrie.
symmetriemiddelpunt: snijpunt van de diagonalen
4 Oefeningen
Teken een vierkant ABCD. Teken dan een vierkant waarvan de oppervlakte tweemaal de oppervlakte is van het eerste vierkant.
Teken een trapezium ABCD als
a | AB | = 8 cm
A = 47°
B = 65°
h = 3 cm
b | AB | = 5 cm
| AD | = 4 cm
| CD | = 3 cm
A = 60°
c | AB | = | CD | = | AD | = 3 cm
B = D = 120°
d | AD | = | BC |
A = 70°
| CD | = 3,5
Teken een parallellogram
ABCD als
a | AB | = 6 cm
| BC | = 4 cm
B = 50°
b | AB | = 5 cm
A = 120°
h = 3 cm
c | AC | = 6
| BD | = 4
d A = 110°
| AC | = 5
Teken een ruit ABCD als de zijden 4 cm lang zijn en A = 55°.
8
Gegeven : Z : de verzameling van vierhoeken met vier even lange zijden
H: de verzameling van vierhoeken met vier even grote hoeken
D : de verzameling van vierhoeken met diagonalen die middendoor delen
Gevraagd : geef een voorbeeld van een vierhoek die zit in de gegeven verzameling
a Z ∩ H
b D ∩ H
c Z \ H
d D \ Z
e D \ H
Gegeven : M : de verzameling van vierhoeken met diagonalen die middendoor delen
E : de verzameling van vierhoeken met diagonalen die even lang zijn
L : de verzameling van vierhoeken met diagonalen die loodrecht staan op elkaar
Gevraagd : omschrijf welke vierhoeken in de gegeven verzamelingen zitten
a M ∩ ( E ∪ L)
b M \ ( E ∪ L)
c ( E ∩ M) \ L
d M ∩ L ∩ E
In een orthonormaal assenstelsel is ABCD een parallellogram met A( 1, 2) en B( 4, 1) . Het punt O( 1, 0) is het symmetriemiddelpunt.
Teken met ICT het parallellogram en bepaal co( C) en co( D)
In een orthonormaal assenstelsel is ABCD een ruit met A( 0, 4) en B( 2, 0) . Zowel de x -as als de y -as zijn symmetrieassen.
Teken met ICT de ruit en bepaal co( C) en co( D)
Teken met ICT in een orthonormaal assenstelsel de rechte a = XY zodat X( 3, 3) en Y( –3, –3)
Teken nu de rechthoek ABCD met A( –2, 1) , B( 2, 5) en die a als symmetrieas heeft.
Bepaal co( C) en co( D)
Zet het vakje in fluo als de vierhoek steeds voldoet. Als je de correcte vakjes aangeduid hebt, kun je een zin van vier woorden lezen. Bestaat het ?
twee overstaande zijden zijn even lang
de overstaande zijden zijn even lang
twee overstaande zijden zijn evenwijdig
de overstaande zijden zijn evenwijdig
de overstaande hoeken zijn even groot
diagonalen delen elkaar middendoor
diagonalen zijn even lang
diagonalen staan loodrecht op elkaar
Symmetrie in je constructie.
a Teken de ruit ABCD als
c Teken het parallellogram ABCD a een symmetrieas is. als M het symmetriemiddelpunt is.
b Teken het vierkant ABCD als
d Teken de rechthoek ABCD als b een symmetrieas is en c en d symmetrieassen zijn. M het symmetriemiddelpunt.
Schets een vierhoek met a nul symmetrieassen en één symmetriemiddelpunt.
b precies één symmetrieas.
c precies twee symmetrieassen. d precies vier symmetrieassen.
Teken een ruit waarvan de som van de diagonalen 10,5 cm is en waarbij de diagonalen zich verhouden als 2 en 5.
Teken een vierkant waarvan de oppervlakte de helft is van de oppervlakte van een rechthoek met afmetingen 9 cm en 8 cm.
Welke vierhoeken zijn draaisymmetrische figuren ?
Waar of vals ?
a Een vierhoek die precies twee symmetrieassen heeft, is een rechthoek. WAAR VALS
b Er bestaan parallellogrammen die een symmetrieas hebben. WAAR VALS
c Een vierhoek met loodrecht op elkaar staande diagonalen kan precies één symmetrieas hebben. WAAR VALS
d Als een vierhoek een symmetriemiddelpunt heeft, dan is de figuur draaisymmetrisch.
e Als een vierhoek een symmetrieas heeft, dan is de figuur draaisymmetrisch.
VALS
f Een vierhoek die een symmetriemiddelpunt heeft en ook symmetrieassen, is steeds een vierkant. WAAR VALS
g Een vierhoek met twee overstaande hoeken die supplementair zijn, is steeds een parallellogram. WAAR VALS
Hoeveel van de volgende uitspraken zijn correct?
I Een vierhoek met twee rechte hoeken is een rechthoekig trapezium.
II In een parallellogram zijn de diagonalen even lang.
III Een parallellogram bezit een symmetrieas.
IV Een ruit is een parallellogram.
0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 VWO 2002 tweede ronde, vraag 23 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Vaardigheden | Maten omzetten
Omzetten van lengtematen. Reken om.
a 15 m = cm h 7800 m = km
b 0,458 m = cm i 4800 mm = m
c 7,5 km = m j 15 cm = m
d 0,8 dm = cm k 0,525 km = m
e 400 m = km l 1 cm = m f 650 mm = m m 8,25 m = mm
2
Omzetten van oppervlaktematen. Reken om.
a 15 m2 = cm2 h 1 ca = m2
b 600 dm2 = cm2 i 1 a = m2
c 5 m2 = dm2 j 1 ha = m2
d 0,0025 m2 =
Omzetten van volumematen. Reken om.
a 25 m3 = dm3 h 150 dm3 = l
b 25 m3 = cm3 i 150 dm3 = cl
c 1 cm3 = dm3 j 150 cl = l
d 750 cm3 = dm3 k 330 cm3 = l
e 28 000 mm3 = cm3 l 5,75 m3 = l
f 880 000 cm3 = m3 m 12 000 cm3 = dl g 1 m3 =
Vierhoeken
moet ik leren
dit
❒
Ik ken de definitie van een vierhoek en weet wat bedoeld wordt met (drager van) een zijde, hoek, overstaande hoeken en overstaande zijden.
❒ Ik ken de definitie van een trapezium.
❒ Ik ken de definities van een gelijkbenig en een rechthoekig trapezium.
❒ Ik ken de definitie van een parallellogram.
❒ Ik ken het zijdekenmerk van een parallellogram en weet uit welke twee eigenschappen het is opgebouwd.
❒ Ik kan de eigenschap in verband met de zijden van een parallellogram bewijzen.
❒ Ik kan de omgekeerde eigenschap bewijzen.
❒ Ik ken het hoekenkenmerk van een parallellogram en weet uit welke twee eigenschappen het is opgebouwd.
❒ Ik kan de eigenschap in verband met de hoeken van een parallellogram bewijzen.
❒ Ik kan de omgekeerde eigenschap bewijzen.
❒
Ik ken het diagonalenkenmerk van een parallellogram en weet uit welke twee eigenschappen het is opgebouwd.
❒ Ik kan de eigenschap in verband met de diagonalen van een parallellogram bewijzen.
❒ Ik kan de omgekeerde eigenschap bewijzen.
❒ Ik ken de definitie van een rechthoek.
❒ Ik weet dat in een rechthoek de diagonalen even lang zijn.
❒ Ik kan bewijzen dat in een rechthoek de diagonalen even lang zijn.
❒ Ik ken de definitie van een ruit.
❒ Ik weet dat in een ruit de diagonalen loodrecht op elkaar staan.
❒ Ik kan bewijzen dat in een ruit de diagonalen loodrecht op elkaar staan.
❒ Ik ken de definitie van een vierkant.
❒ Ik kan de vierhoeken classificeren volgens de zijden en de hoeken.
❒ Ik kan de vierhoeken classificeren volgens de diagonalen.
❒ Ik kan de vierhoeken classificeren volgens symmetrie.
❒ Ik kan lengte-, oppervlakte- en volumematen omzetten.
pagina ik ken het ! oké voor examen
209 J J
210 J J
210 J J
211 J J
212 J J
212 J J
213 J J
214 J J
214 J J
215 J J
216 J J
216 J J
216 J J
217 J J
217 J J
217 J J
218 J J
218 J J
218 J J
219 J J
234 J J
234 J J
235 J J
242 J J
Vierhoeken
Zijn de volgende uitspraken waar of niet waar ? Indien niet waar, teken een tegenvoorbeeld.
a Een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek.
b Een vierhoek met twee opeenvolgende rechte hoeken is een rechthoekig trapezium.
c Een vierkant heeft precies twee symmetrieassen.
In een vierhoek KLMN is K = 40° en is L = 156°. De hoek M is 38° groter dan het dubbel van N Bereken de hoeken van de vierhoek KLMN.
Bereken C A B als je weet dat ACEG een ruit is, AB ⫽ DF en G het midden is van [ AF].
Bereken de ontbrekende hoeken als je weet dat SPQ = PQR.
4 / 3
In de figuur is F het midden van [ AC] en [ BD]. D is het midden van [ CE]
5 / 4
B
a Bewijs dat ABCD een parallellogram is. b Kun je ook besluiten dat ABDE een parallellogram is ? Verklaar.
Tekenopdrachten.
a Teken een ruit KLMN met | KM | = 5 cm en | LN | = 3 cm.
b Teken een trapezium ABCD met | AB | = 3, | CD | = 6 en hoogte 4.
c Teken een rechthoek RSTV waarvan | RT | = 7 en R M V = 20° (M is het snijpunt van de diagonalen).
Vierhoeken in een orthonormaal assenstelsel.
a Teken een parallellogram ABCD met A( –2, 3) en B( 4, 1), en symmetriemiddelpunt M( 1, 0)
b Teken een vierkant EFGH met E( –3, 0) en G( 0, –5)
6Ruimtemeetkunde
Een planeet (zoals de aarde) is een hemellichaam dat zich in een baan rond een ster (zoals de zon) bevindt.
Newton leert ons de reden waarom ze zo goed als bolvormig zijn. Het is de zwaartekracht die alles samentrekt, zodat een grote bol ontstaat. Mooi op één lijn zul je ze nooit te zien krijgen, maar voor dit boek plaatsten we ze op één rij : Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus.
Ruimtemeetkunde
6.1 Ruimtefiguren herkennen
1 Even observeren 249
2 Kubus, balk, cilinder en prisma 250
3 Piramide, kegel en bol 252
4 Symmetrie in ruimtefiguren 254
5 Voorstellingen van ruimtefiguren 256
6 Informatie verkregen via de voorstelling van ruimtefiguren 257
7 Samenvatting 258
8 Oefeningen 259
6.2 Volume van ruimtefiguren
1 Kubus, balk en cilinder 270
2 Prisma, piramide, kegel en bol 271
3 Lineair, kwadratisch en kubisch verband 272
4 Samenvatting 273
5 Oefeningen 274
Extra’s
Formularium 287
Vaardigheden : syntheseoefening 288
Wat moet je kennen en kunnen ? 290
Herhalingsoefeningen 291
Bekijk de instructievideo’s
6.1
Ruimtefiguren
herkennen
1 Even observeren
Om je heen zie je allerhande ruimtefiguren. In moderne gebouwen, oude gebouwen, kunstwerken, steden … Bespreek deze foto’s. Welke ruimtefiguren herken je?
Denk maar aan kasten, boeken, vazen …
Deze ruimtefiguren hebben meestal een regelmatige vorm. Andere ruimtefiguren (zoals een kei) zijn grillig en willekeurig van vorm. Ook in huis kom je ruimtefiguren tegen in allerhande vormen en formaten.
Ze hebben alle dit gemeen ; ze nemen ruimte in en worden begrensd door zijvlakken : rechte of gebogen oppervlakken.
2 Kubus, balk, cilinder en prisma
Deze ruimtefiguren zijn opgebouwd met zijvlakken waarin we vlakke figuren herkennen. We kennen ze nog van vorig schooljaar.
a Kubus b Balk
KUBUS
KENMERKEN
GRONDVLAK vierkant
BOVENVLAK vierkant
OPSTAANDE
ZIJVLAKKEN 4 vierkanten
AANTAL RIBBEN 12
AANTAL HOEKPUNTEN 8 bovenvlak hoekpunt ribbe grondvlak
WISKUNDE & ARCHITECTUUR
Neem een heel grote kubus en kantel hem zodat één hoekpunt de grond raakt. Zet nu de kubus niet op de grond, maar op een paal. Dat is het idee achter de ‘kubuswoningen’ die je op verschillende plaatsen in Nederland kunt bekijken en bezoeken.
De bekendste vind je in Rotterdam. In de wijk ‘Blaakse Bos’ vind je 38 kubuswoningen die in 1984 werden afgewerkt. Eentje ervan (de ‘kijkkubus’) kun je bezoeken. Enkele andere zijn iets groter van formaat. Daar vind je onder meer een jeugdhotel van de keten Stayokay.
GRONDVLAK
BALK
BOVENVLAK rechthoek
OPSTAANDE
ZIJVLAKKEN 4 rechthoeken
AANTAL RIBBEN 12 AANTAL HOEKPUNTEN 8
bovenvlak hoekpunt ribbe grondvlak
c Cilinder d Prisma
KENMERKEN
GRONDVLAK cirkel(schijf)
BOVENVLAK cirkel(schijf)
MANTEL rechthoek bij ontplooiing
bovenvlak
mantel
grondvlak
KENMERKEN
GRONDVLAK n -hoek (vlakke figuur)
BOVENVLAK idem
OPSTAANDE
ZIJVLAKKEN n rechthoeken (recht prisma) n parallellogrammen (scheef prisma)
CILINDER
Kubus, balk, cilinder en prisma
AANTAL RIBBEN
AANTAL HOEKPUNTEN
bovenvlak
ribbe
hoekpunt
grondvlak
De woorden ‘kubus’, ‘prisma’ en ‘cilinder’ komen uit Griekenland. Zo is ‘cubos’ (κυβος) een soort dobbelsteen met zes vlakken. Het woord ‘prisma’ betekent letterlijk ‘het afgezaagde’. Het woord ‘cilinder’ betekende ‘rol’. Het was oorspronkelijk een rolvormig voorwerp waarop een inscriptie werd aangebracht om informatie te geven over de documenten die in de rol waren opgenomen. De cilinders op de foto zijn meer dan 4000 jaar oud en bevatten informatie over de bouw van de tempel van Ninurta. Je vindt ze terug in het Louvres in Parijs.
PRISMA
3 Piramide, kegel en bol
a Piramide
Een piramide is een lichaam met als grondvlak een willekeurige veelhoek en als opstaande zijvlakken driehoeken die samenkomen in één punt.
b Kegel h b h b
Een kegel is een lichaam met een cirkelschijf als grondvlak en een gebogen zijvlak dat eindigt in een punt. Je kunt ook een kegel krijgen door een rechthoekige driehoek te laten wentelen rond een van zijn rechthoekszijden.
WISKUNDE & ARCHITECTUUR
Deze piramides zijn grafmonumenten van de Egyptische farao’s. Het lichaam werd meestal bovenaan bewaard, maar ook de kostbare bezittingen van de gestorven farao kregen er een plaatsje.
De meeste piramides in Egypte zijn ongeveer 4000 jaar oud. Ze werden gebouwd zodra er een nieuwe farao was. Meteen gingen tienduizenden arbeiders en boeren aan de slag om grote stenen uit de steengroeve te verplaatsen naar de bouwplaats. De stenen wogen vaak 2000 kg. Omdat er vaak meer dan een miljoen stenen nodig waren, duurde de bouw van een piramide soms wel 30 jaar.
De zware stenen werden gerold over boomstammen. De stenen helemaal boven in de piramide kwamen vaak niet uit een steengroeve. Die werden met klei en zout gemaakt en waren makkelijker om tot boven te brengen.
Een van de eerste echte piramides : de piramide van Meidoem
c Bol
Een bol is een lichaam dat uit slechts één gebogen oppervlak bestaat. Ook een bol kun je door omwenteling krijgen. Neem een cirkelschijf en laat die omwentelen rond een van zijn diameters.
Acht (zo goed als bolvormige) planeten draaien rond het belangrijkste hemellichaam in ons zonnestelsel : de zon. Je kunt de acht planeten makkelijk onthouden door het zinnetje ‘Maak Van Acht Meter Japanse Stof Uw
MERCURIUS : de eerste in de rij ligt ook het dichtst tegen de zon , het kan er dus erg warm worden (tot zelfs 430 °C). Maar omdat er geen atmosfeer is, koelt het ’s nachts dan weer af tot –173 °C. Als wij één keer rond de zon gedraaid zijn, hebben ze dat op Mercurius al vier keer gedaan.
VENUS : de planeet die het dichtst bij de onze staat. De lucht bestaat er voornamelijk uit CO2, het regent er zwavelzuur en de temperatuur is er gemiddeld 350 °C.
AARDE : een erg unieke planeet vol leven. Uniek ? Tuurlijk ! Want jij leeft en studeert erop.
MARS : kennen we ook allemaal. Misschien maak jij het nog mee dat de eerste mensen er gaan wonen …
JUPITER : de grootste van de reeks en zwaarder dan alle andere planeten samen. Onze wereldbol past er meer dan 1000 keer in. Door zijn grootte kan hij de banen van andere objecten in ons zonnestelsel beïnvloeden. In tien uur is Jupiter rond zijn eigen as gedraaid.
SATURNUS : de planeet die bekend is voor zijn (mooi zichtbare) ringen. Die zijn met duizenden en zijn eigenlijk massa’s stenen en brokken ijs die om de planeet draaien.
URANUS : niet alleen de aarde is een blauwe planeet, Uranus is dat ook. Er zijn hogere temperaturen aan de polen dan op de evenaar, maar met een gemiddelde temperatuur van –214 °C is het er erg koud. Uranus draait rond de zon in 84 aardse jaren.
NEPTUNUS : de verste in de rij planeten ligt op 4500 miljoen km van de zon. Het is er dus nog kouder en er zijn voortdurend stormen met windsnelheden tot 2000 km/h. De planeet draait in 16 uur om zijn as en draait om de zon in 164,8 aardse jaren.
4 Symmetrie in ruimtefiguren
a Spiegelsymmetrie om een vlak
spiegelsymmetrisch om een vlak
Een ruimtefiguur is spiegelsymmetrisch om een vlak als het zichzelf als beeld heeft bij een spiegeling om dat vlak. Dat vlak noemen we een symmetrievlak.
Voorbeelden :
Een kubus
heeft negen symmetrievlakken.
b Spiegelsymmetrie om een punt
spiegelsymmetrisch om een punt
Een ruimtefiguur is spiegelsymmetrisch om een punt als het zichzelf als beeld heeft bij een spiegeling om dat punt. Dat punt noemen we het symmetriemiddelpunt van de ruimtefiguur.
Voorbeelden :
Al deze ruimtefiguren hebben een symmetriemiddelpunt.
WISKUNDE & SCHEIKUNDE
Moleculen zijn ontzettend klein. Zelfs een gewone microscoop kan ze niet zien. In de doorsnede van een mensenhaar passen 100 000 moleculen. Scheikundigen stellen moleculen voor met balletjes (de atomen) en staafjes (de verbindingen). Zo’n bouwsel van atomen en verbindingen maakt een molecuul uniek. Er zijn al meer dan 50 miljoen verschillende moleculen en er komen er nog elke dag bij.
ammoniak ( NH3)
Het ammoniakmolecuul bevat drie spiegelvlakken.
water ( H2O)
Het watermolecuul bevat twee symmetrievlakken.
benzeen ( C6H6)
Het benzeenmolecuul bevat zeven symmetrievlakken. Zes vlakken hebben één rechte gemeenschappelijk. Het zevende vlak staat er loodrecht op.
benzeen ( C6H6)
Het benzeenmolecuul heeft een symmetriemiddelpunt. Dat punt werd hier in het groen aangeduid.
ethaan ( C2H6)
Het ethaanmolecuul heeft een symmetriemiddelpunt. Dat punt werd in het groen aangeduid.
ijzer ( C3H6)
Je kent wellicht het Atomium in Brussel. Dat is een voorstelling van een deel van het ijzerkristal, maar dan 165 miljard keer vergroot. Het middelpunt van de middelste bol is het symmetriemiddelpunt.
5 Voorstellingen van ruimtefiguren
Om meetkundige lichamen voor te stellen, maken we gebruik van enkele afspraken en technieken. We gebruiken perspectieven of projecties in een vlak.
a Natuurlijk perspectief
Een getrouwe weergave van de werkelijkheid. Je maakt gebruik van de horizon of de ooglijn, dat is een lijn op ooghoogte. De (in werkelijkheid evenwijdige) lijnen komen samen in twee of meerdere vluchtpunten op de horizon.
b Cavalièreperspectief
De vorm en de grootte van het voorvlak worden bewaard.
De andere vlakken worden gevormd met vluchtlijnen die een hoek van 45° maken met de horizontale.
De horizontale en verticale lijnen worden op werkelijke grootte getekend.
Van de andere lijnen wordt de lengte gehalveerd.
c Projectie op drie vlakken
We projecteren het huis op drie vlakken (de drie dimensies) en we krijgen :
– LA : linkerzijaanzicht
–
VA : vooraanzicht
BA : bovenaanzicht
Op die manier brengen we ruimtefiguren in beeld in één vlak, een toepassing die door architecten wordt toegepast.
vooraanzicht : linkerzijaanzicht : rechterzijaanzicht : bovenaanzicht :
6 Informatie verkregen via de voorstelling van ruimtefiguren
Niet altijd krijg je bij een voorstelling van een meetkundig lichaam alle informatie (of correcte informatie) over het lichaam zelf.
Voorbeeld 1 : kubus in cavalièreperspectief
LENGTE VAN DE RIBBEN OP DE TEKENING
LENGTE VAN DE RIBBEN IN WERKELIJKHEID | HE | = 3 cm | HE | = 3 cm | AD | = 3 cm | AD | = 3 cm | EF | = 1,5 cm | EF | = 3 cm | AB | = 1,5 cm | AB | = 3 cm
Op de tekening zijn niet alle ribben even lang, in werkelijkheid wel.
GROOTTE VAN DE HOEKEN OP DE TEKENING
GROOTTE VAN DE HOEKEN IN WERKELIJKHEID
Op de tekening zijn niet alle hoeken even groot, in werkelijkheid wel.
Voorbeeld 2 : balk in isometrisch perspectief
AFMETINGEN OP DE TEKENING
AFMETINGEN IN WERKELIJKHEID
Op de tekening in het isometrisch perspectief is α geen 90°, α h l b in werkelijkheid wel.
Voorbeeld 3 : prisma
Bij dit prisma kun je bij de voorstelling niet alle afmetingen correct aflezen.
Alleen van de rechtopstaande ribben kun je de exacte lengte bepalen.
Je zult meer succes hebben als je van dit meetkundig lichaam de projectievoorstellingen gegeven hebt.
7 Samenvatting
• Je kunt een kubus, balk, prisma, cilinder, piramide, kegel en bol herkennen.
• Je herkent symmetrie in ruimtefiguren : – spiegelsymmetrie om een vlak ; – spiegelsymmetrie om een punt.
• Je weet hoe een natuurlijk, cavalière- en isometrisch perspectief opgebouwd kan worden.
• Je kunt aanduiden welke informatie je kunt afleiden en welke informatie verloren gaat bij een perspectieftekening van een meetkundig lichaam.
• Je kunt aanduiden welke informatie je kunt afleiden en welke informatie verloren gaat in een 2D-voorstelling van een gegeven 3D-situatie.
8 Oefeningen
Welke meetkundige lichamen herken je in deze voorwerpen ?
Een platonisch lichaam (of regelmatig veelvlak) is een veelvlak waarbij de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. De lichamen worden zo genoemd naar hun ontdekker : Plato.
a Vul de tabel verder aan voor viervlak, kubus en achtvlak. Ontdek de regelmaat door de laatste kolom aan te vullen.
b Vul daarna de gegevens van het twaalfvlak en twintigvlak verder aan.
FIGUUR NAAM
(of hexaëder)
Alle zijkanten van deze stapel stenen zijn met plastic overplakt.
a Van hoeveel stenen is geen enkel vlak met plastic bedekt ?
b Van hoeveel stenen zijn drie vlakken met plastic bedekt ?
c Van hoeveel stenen zijn twee vlakken met plastic bedekt ?
Hebben deze voorstellingen een symmetrievlak ? Zo ja, noteer het aantal.
a b c
Omcirkel de ruimtefiguren die een symmetriemiddelpunt hebben.
a e i b f j c g k
Dit vlak is geen symmetrievlak in de balk. Wat moet er aan de balk veranderen opdat het diagonaavlak wel een symmetrievlak zou zijn ?
Teken een symmetrievlak bij deze ruimtefiguren. Doe dit door met een groene stift de snijlijnen op de figuur te tekenen. a c b d
Deze ruimtefiguren hebben elk exact één symmetrievlak. Teken dit vlak. Doe dit door met een groene stift de snijlijnen op de figuur te tekenen.
Op onderstaande even grote pakjes is een etiket aangebracht. Duid op twee manieren de onzichtbare lijnen met een stippellijn aan.
Voor enkele meetkundige lichamen, weergegeven in cavalièreperspectief, zijn vlakke doorsneden getekend. Teken elke doorsnede op ware grootte. a b c
Een kubus bestaat uit 6 · 6 · 6 kleine kubusjes. Met een lange boor doorboor je de kubus.
Je zorgt ervoor dat je loodrecht op de zijvlakken van de kubus de doorboringen uitvoert.
Je boort driemaal.
Je start op de boorpunten die aangeduid zijn. Hoeveel kleine kubusjes zijn doorboord ?
Teken het vooraanzicht, het linkerzijaanzicht en het bovenaanzicht van deze kubusblokken.
Als de oplossing niet de enige mogelijke oplossing is, dan kruis je het cirkeltje aan.
Bepaal voor elk van de doorsneden welke soort figuur het is.
a c e
b d f
a Zal de getekende rechte door de twee aangeduide punten het gekleurde vlak snijden ?
b Zullen de twee getekende rechten elkaar snijden ?
Kun je voor onderstaande lichamen de aangeduide maten in werkelijke lengte bepalen ?
Van een ruimtefiguur krijg je het vooraanzicht en het zijaanzicht. Kun je met zekerheid zeggen welke meetkundige figuur dit is ? Teken een mogelijk bovenaanzicht.
Een cilinder met straal 4 cm en hoogte 8 cm wordt doorgezaagd. Kun je als doorsnede …
a … een cirkel met straal 4 cm krijgen ? JA NEEN
b … een vierkant met zijde 8 cm krijgen ? JA NEEN
c … een rechthoekig trapezium krijgen ? JA NEEN
d … een rechthoek met lengte 8 cm JA NEEN en breedte 0,5 cm krijgen ?
e … een rechthoek met lengte 8 cm en JA NEEN breedte 7 cm krijgen ?
Gegeven is deze kubus waarbij I, J en K de middens zijn van de zijden [ GH], [ FG] en [ AB]
Zoek ( door steeds minstens een van de letters I, J of K te gebruiken) naar …
a … een rechthoekige driehoek.
b … een gelijkbenige driehoek .
c … een gelijkbenig trapezium .
d … een ruit .
e … een parallellogram.
f … een rechthoekig trapezium.
Tess gebruikt kleine kubusjes met zijde 1 om een grote kubus met zijde 4 te maken.
Daarna kleurt ze 3 zijden van de grote kubus rood en de andere 3 zijden blauw. Nadat ze klaar is, is er geen enkel klein kubusje met 3 rode zijvlakken.
Hoeveel kleine kubusjes hebben zowel een rood als een blauw zijvlak ?
(A) 0 (B) 8 (C) 12 (D) 24 (E) 32
WIZSMART 2015 vraag 23 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
Een grote kubus is gebouwd van 8 kleine kubusjes. Sommige kleine kubusjes zijn zwart en sommige zijn wit. Hieronder zie je 5 van de 6 zijkanten van de grote kubus.
Hoe ziet de zesde zijkant van de grote kubus eruit ?
WIZSMART 2016 vraag 26 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
(A) (B) (C) (D) (E)
6.2 Volume van ruimtefiguren
1 Kubus, balk en cilinder
Vorig jaar leerde je al de formules om het volume te berekenen van een kubus, een balk en een cilinder. Bij die ruimtefiguren met gelijke grond- en bovenvlakken kun je het volume V berekenen door de opper vlakte van het grondvlak Ag te vermenigvuldigen met de hoogte.
KUBUS
BALK
FORMULE AFLEIDEN FORMULE
V = oppervlakte grondvlak maal hoogte of
V = Ag · h = ( z · z ) · z
z 3 V = z 3
V = oppervlakte grondvlak maal hoogte of
V = Ag · h
= ( l · b ) · h
= l · b · h
V = l b h
CILINDER
V = oppervlakte grondvlak maal hoogte of
V = Ag · h
= ( p · r 2) · h = p · r 2 · h V = p · r 2 · h
2 Prisma, piramide, kegel en bol
Ook van andere ruimtefiguren, zoals een prisma, piramide, kegel en bol, kun je het volume bepalen. Het is niet nodig dat je de formules uit het hoofd leert die je hierbij nodig hebt. Je kunt ze opzoeken in een formularium of op het handige kaartje dat je vindt in het boekje portfolio vaardigheden
h A g volume prisma = oppervlakte grondvlak maal hoogte V = Ag h
h A
A
volumepiramide = 1 3 maal oppervlaktegrondvlak maal hoogte
volumepiramide = 1 3 maal oppervlaktegrondvlak maal hoogte
volumekegel = 1 3 maal oppervlaktegrondvlak maal hoogte
volumekegel = 1 3 maal oppervlaktegrondvlak maal hoogte
= 4 3 maal π maal dederdemachtvandestraalvandebol
r
Voorbeeld 1 :
Bepaal het volume van dit ijshoorntje.
Oplossing : De formule hoogte
2 · h wordt : V = 1 3 π (2cm)2 11cm ≈ 46,08cm3
Antwoord : Het volume van dit ijshoorntje is 46,08 cm3
Voorbeeld 2:
Het volume van een piramide is 80 cm3. Het grondvlak is een rechthoek waarvan de breedte 4 cm is en de lengte 6 cm. Hoe hoog is de piramide ?
Oplossing :
Omdat het grondvlak van die piramide een rechthoek is, vervangen we in de formule V = 1 3 · A g · h de oppervlakte van het grondvlak Ag door l · b .
We vormen de formule om naar de hoogte h .
We vullen de gegevens in : h = 3 80cm3 6cm 4cm = 10cm
Antwoord : De hoogte van de piramide is 10 cm. 11 cm
3 Lineair, kwadratisch en kubisch verband
a Lineair verband
De omtrek van een vierkant bepaal je met de formule p = 4z
Als je de gegevens van de tabel omzet in een grafiek, dan zie je een halfrechte die start in de oorsprong.
Hier spreken we van een lineair verband. Er is een recht evenredig verband tussen beide variabelen.
b Kwadratisch verband
De oppervlakte van een vierkant bepaal je met de formule A = z 2 .
Als je de gegevens van de tabel omzet in een grafiek, dan zie je (de helft van) een parabool. ZIJDE
Omdat twee eenheden met elkaar vermenigvuldigd worden, spreken we van een kwadratisch verband
c Kubisch verband
Het volume van een kubus bepaal je met de formule V = z 3
Omdat drie eenheden met elkaar vermenigvuldigd worden, spreken we van een kubisch verband
4
Samenvatting
• Je kent de formules om het volume te berekenen van een kubus, een balk en een cilinder.
KUBUS V = z 3 z
BALK V = l b h z h b l
CILINDER V = p r 2 h z h b l r h
• Je kunt het volume berekenen van een kubus, een balk en een cilinder.
• Je kunt het volume berekenen van een prisma, een bol, een kegel en een piramide. Je zoekt hiervoor de formules in een formularium.
• Je weet dat bij omtrek de grootheden een lineair verband tonen, bij oppervlakte een kwadratisch verband en bij volume een kubisch verband.
5 Oefeningen
Bereken telkens het volume van de ruimtefiguren.
FIGUUR GEGEVEN
a KUBUS z = 6 cm
b BALK
l = 8 cm
b = 6 cm
h = 4 cm
c KUBUS z = 4,5 cm
d BALK
l = 4,8 cm
b = 5,2 cm
h = 1 dm
e CILINDER
r = 5 cm
h = 8 cm
f CILINDER
r = 20 dm
h = 4 m
Bepaal de lengte van de zijde van de kubus als je weet dat het volume van de kubus … a … 125 dm3 is . b … 216 cm3 is. ______________________________________________
Een balk met een hoogte van 10 cm heeft als volume 360 cm3
Geef drie mogelijke lengtes en breedtes van het grondvlak.
Deze kubus is getekend in cavalièreperspectief.
Teken een balk in cavalièreperspectief die hetzelfde volume heeft als de kubus. 4 cm
Kleur de formules waarbij de grootheden : – lineair verband vertonen GROEN ;
kwadratisch verband vertonen ROOD ; – kubisch verband vertonen GEEL
In deze tabel vind je de hoogte van een struik en de hoogte van een paulownaboom na een bepaald aantal jaren.
a Zet beide gegevens om in een grafiek. 0 1 2 3 4 5
b Hebben we hier te maken met een lineair of een niet lineair verband?
struik: paulownaboom:
in jaren
Gebruik het formularium op blz. 287 om de oppervlakte te berekenen van de gegeven ruimtefiguren.
a Deze tent heeft de vorm van een piramide met een vierkant (z = 170 cm) als grondvlak. De hoogte is 160 cm.
b
Bepaal de oppervlakte van de tent. Werk op 0,01 m2 nauwkeurig.
Deze bolvormige kaars met r = 6 cm wordt met de hand beschilderd. Wat is de totale te beschilderen oppervlakte?
Werk op 0,1 cm2 nauwkeurig.
c Een ijshoorntje (r = 2 cm en h = 12 cm) wordt volledig door een papieren wikkel bedekt.
d
Wat is de oppervlakte van deze wikkel? Werk op 0,1 cm2 nauwkeurig.
Deze halve spiegelbol wordt met spiegeltjes beplakt.
Wat is de te beplakken oppervlakte? Werk op 0,1 cm2 nauwkeurig.
Bepaal het volume van de gegeven ruimtefiguren. Gebruik het formularium van blz. 287. Werk op 0,01 cm3 nauwkeurig.
FIGUUR GEGEVEN
a BOL met een straal van 2,8 cm
b KEGEL
met oppervlakte van het grondvlak 25 cm2 is een hoogte van 8 cm
c PIRAMIDE
d PIRAMIDE
met een hoogte van 7 cm en een vierkant als grondvlak met zijden van 4,5 cm
met een hoogte van 1 m en een driehoek als grondvlak met b = 25 cm en h = 0,5 m
e KEGEL met als straal van het grondvlak 6 cm en met een hoogte van 1 dm
f PIRAMIDE
met een hoogte van 8,5 cm en een ruit als grondvlak met D = 5 cm en d = 3 cm
VOLUME
Onderzoeksopdracht : het volume van een piramide.
Kies in deze balk één zijvlak : dat wordt het grondvlak van je piramide. Tegenover dit vlak ligt een ander evenwijdig vlak. Hier kies je een van de aangeduide punten : dat is de top van je piramide. Teken jouw piramide en kleur die in. Bepaal het volume van jouw piramide. Je vindt de formule onderaan in het formularium. Doe opnieuw hetzelfde, maar kies voor je piramide een ander grondvlak. Heeft die piramide dezelfde inhoud ?
Na een hevige regenbui is een rechthoekige kelder van 8 m bij 6 m onder water gelopen.
Het water staat 0,7 m hoog. Hoelang duurt het om de kelder droog te pompen als er twee pompen worden aangesloten met elk een capaciteit van 60 liter per minuut ?
Laat een vierkant draaien rond een van zijn zijden.
a Welke ruimtefiguur beschrijft dit vierkant ?
b Bereken het volume op 0,01 cm3 nauwkeurig.
Laat een cirkel met straal 5 cm draaien rond een middellijn.
a Welke ruimtefiguur beschrijft die cirkel ?
b Bereken het volume op 0,01 cm3 nauwkeurig.
Laat een vierkant met diagonalen van 6 cm draaien rond een van die diagonalen.
a Welke ruimtefiguur beschrijft dat vierkant ?
b Bereken het volume op 0,01 cm3 nauwkeurig.
Laat een ruit met diagonalen van 10 cm en 4 cm draaien rond zijn langste diagonaal.
a Welke ruimtefiguur beschrijft de ruit ?
b Bereken het volume op 0,01 cm3 nauwkeurig.
c Krijg je hetzelfde antwoord als je de ruit laat draaien rond zijn kortste diagonaal ? Verklaar.
Bepaal de hoogte van de piramide als je de volgende gegevens kent. Noteer de gebruikte formule uit het formularium.
a 384 cm3 vierkant
z = 8 cm
b 1 dm3 rechthoek
l = 5 cm en
b = 4 cm
c 1 dm3 ruit
D = 20 cm
d = 12,5 cm
Een Chinees-Amerikaanse architect ontwierp de glazen piramide die zowel het middelpunt als de ingang van het Louvre aanduidt. De piramide heeft een perfect vierkant als grondvlak, met zijden van 21,8 m. De hoogte is 14 m. Bepaal het volume van de glazen piramide op 0,01 cm3 nauwkeurig.
Dit is een schip waarvan de bollen niet gevuld zijn met een of ander gas, maar met afluisterapparatuur. Hoeveel m3 beton zijn nodig geweest om de boloppervlakken te ‘gieten’ als je weet dat de buitenste bol een diameter heeft van 54 m en de binnenste bol (daar waar uiteindelijk in afgeluisterd wordt) een diameter heeft van 52 m? Geef je antwoord op 0,01 m3 nauwkeurig.
Een ijsjesverkoopster heeft extra grote hoorntjes die kegelvormig zijn en een hoogte hebben van 22 cm. Ze wil het hoorntje volledig vullen met vanille-ijs.
Ze duwt hiervoor de bollen in het hoorntje zodat er nergens nog lucht in is. Ze rekent nog één extra bol die de bovenkant van het ijsje siert.
a Hoeveel bollen zal ze moeten scheppen voor één ijsje als een ijsbol een straal heeft van 2,5 cm en dit ook de straal is van de cirkel gevormd door de bovenrand van het hoorntje ?
b Haar ijsbak met een hoogte van 30 cm, een lengte van 45 cm en een breedte van 25 cm zat boordevol ijs. Hoeveel complete ijsjes zal zij uit één bak kunnen halen ?
In het jaar 1 voor Christus zet Julius Augustus één cent op een spaarboekje bij de Banco di Roma. Er wordt hem een intrest van 4 % beloofd. Omdat het jaar 0 niet bestaat, krijgt hij de eerste keer intrest in het jaar 1. Julius besluit echter om die intrest niet af te halen, maar te laten kapitaliseren (d.w.z. dat de intrest bij het kapitaal – van een cent – wordt gevoegd en dus zelf ook weer intrest zal opbrengen).
a Hoeveel staat er na een jaar op zijn spaarboekje ?
b En hoeveel na 2 jaar, 3 jaar, 4 jaar en n jaar ?
c Het is hem helaas niet meer gegund (wel zijn achter-achter- … -kleinkinderen), maar hoeveel staat er dit jaar op zijn spaarboekje ?
d Het gigantische getal dat je krijgt bij vraag c willen we voorstellen in gouden bollen. We nemen een heel grote bol, nl. onze aarde (de gemiddelde straal van de aarde is 5000 km). Hoeveel aardbollen, gevuld met goud, kun je kopen met dit bedrag als je weet dat de goudprijs ongeveer 100 000 euro bedraagt per kg en dat de massadichtheid van goud 19 270 kg/m3 is ?
Van dit stuk karton kan een doos worden gevouwen, die de vorm van een balk heeft.
Wat is de inhoud van die doos ?
(A) 43 cm3 (B) 70 cm3 (C) 80 cm3 (D) 100 cm3 (E) 1820 cm3
WIZBRAIN 2018 vraag 22 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
De juf noteerde op elk zijvlak van de kubus een natuurlijk getal dat groter is dan 1.
‘Als je de getallen op de tegenover elkaar liggende vlakken met elkaar vermenigvuldigt,’ zo zegt ze, ‘bekom je steeds hetzelfde getal.’
Tel alle getallen die op de kubus staan met elkaar op.
Welke som krijg je ? Geef ook nog een tweede oplossing.
12 18 6
Deze krokodil heeft een staart van 2,80 m, een lijf van 1,40 m en een kop die precies één achtste van zijn totale lengte is.
Hoe lang is de krokodil ?
6 Formularium
(grondvlak = n-hoek)
Am = som van de oppervlakte van de opstaande zijvlakken
= som van de oppervlakte van de zijvlakken
AMERIKA
Vaardigheden | Syntheseoefening
Constructie van een regelmatige vijfhoek
GRIEKENLAND
Construeer het bovenaanzicht van het Pentagon.
Dat doe je met je passer als volgt:
– Teken een horizontale lijn a. Plaats er een punt O op.
– Teken een cirkel met middelpunt O. Hierop zullen de vijf hoekpunten komen.
– Verander niet van passergrootte. Plaats je passerpunt op het snijpunt rechts en teken een halve cirkel die de oorspronkelijke cirkel in twee punten snijdt.
Verbind die twee punten en je krijgt een snijpunt op a
Dat noem je K.
– Teken in O een loodlijn op a. Het bovenste snijpunt
met de cirkel noem je L.
– Zet je passerpunt in K en neem als opening | KL |.
Teken een boog en noem het snijpunt van die boog
met a het punt M.
Noem die punten N en P. Je hebt nu al drie punten
van de vijfhoek: L, N en P.
Teken twee boogjes op de oorspronkelijke cirkel.
– Hoe kom je aan de andere twee hoekpunten?
– Zet je passerpunt in L en neem als passeropening | LM |
De grafsteen van Diophantus Diophantus was een gelukkig jongetje gedurende 1/6 van zijn leven. Na nog 1/12 begon hij een baard te krijgen. Het duurde nog slechts 1/7 voor hij trouwde. In het vijfde jaar na zijn huwelijk kreeg hij een zoon, die helaas 4 jaar voor zijn vader stierf en maar half zo oud werd als zijn vader. Hoe oud werd Diophantus ?
RUPELMONDE
Chronogrammen als jaartal
Tijdens de voorbije tweehonderd jaar werden op sommige gebouwen chronogrammen geplaatst. Het jaartal werd verwerkt in een (meestal Latijnse) zin. De letters met een Romeinse getalwaarde werden meestal in drukletters geplaatst en/of soms ingekleurd. Om het jaartal te vinden moet je alle letters die een Romeins cijfer voorstellen, bij elkaar optellen. 1000, D = 500, 50, 10, 5 en I (of J) = 1.
Aan de kerk van Rupelmonde vinden we deze tekst. In welk jaar werd dit gebouw
ROME
Congruente driehoeken bij de Romeinen
Marcus Junius Nipsus was een Romeinse landmeter uit de 2e eeuw na Christus.
In een van zijn werkjes beschrijft hij hoe je de breedte van een rivier kunt meten zonder de rivier over te steken.
– Zoek een goed zichtbaar punt A aan de overkant van de rivier. Dat kan bijvoorbeeld een boom zijn.
– Zoek een punt B op de oever van waaruit de gezichtslijn naar A loodrecht op de oever staat.
– Ga vanuit B bijvoorbeeld 20 m langs de oever tot in C en plaats daar een merkteken, zoals een stok.
– Ga vanuit dat punt 20 m verder langs de oever tot in D. Plaats ook daar een merkteken.
– Ga vanuit D loodrecht op de oever tot in een punt E van waaruit je C en A in één rechte lijn ziet. Plaats ook daar een merkteken.
Volgens Marcus was de breedte van de rivier | AB | terug te vinden ergens op de oever. Vind jij waar ?
Verklaar ook waarom D ACB en D ECD congruent zijn.
EGYPTE
Van vingerknip tot piramide Hoe kun je makkelijk, door enkel te plooien, een piramide krijgen?
– Neem een strook papier. Bepaal de lengte en de breedte van de strook door onderstaande figuur als schaalmodel te gebruiken.
– Teken de aangeduide lijnen op je strook.
– Plooi de strook in AB, BC, CD en DE.
– Plak het stuk XY vast aan EF. Je krijgt nu een cilinder.
– Een klein duwtje en je cilinder verandert in een piramide!
Ruimtemeetkunde 6
moet ik leren
dit
❒ Ik kan deze ruimtefiguren herkennen : kubus, balk, cilinder, prisma, piramide, kegel en bol. 250 J J
❒ Ik weet wanneer een ruimtefiguur spiegelsymmetrisch is om een vlak.
❒ Ik weet wanneer een ruimtefiguur spiegelsymmetrisch is om een punt.
❒ Ik weet hoe een natuurlijk en cavalièreperspectief is opgebouwd.
❒ Ik kan aanduiden welke informatie verloren gaat in een 2D-voorstelling van een gegeven 3D-situatie.
❒ Ik ken de inhoudsformules voor een kubus, een balk en een cilinder.
254 J J
254 J J
256 J J
257 J J
270 J J
❒ Ik kan die formules toepassen in oefeningen. 270 J J
❒ Ik weet wat bedoeld wordt met een lineair, kwadratisch en kubisch verband. 272 J J
Ruimtemeetkunde
Deze kubussenstapel werd in twee kleuren geverfd.
1 / 3
a Hoeveel kubusjes hebben donkeroranje verf ?
b Hoeveel kubusjes hebben lichtoranje verf ?
c Hoeveel kubusjes hebben geen verf ?
Deze kubussenstapel werd drie keer doorboord.
2 / 2
a Hoeveel kubussen werden geen enkele keer doorboord ?
b Hoeveel kubussen werden 1 keer doorboord ?
c Hoeveel kubussen werden 2 keer doorboord ?
d Hoeveel kubussen werden 3 keer doorboord ?
a Omcirkel de ruimtefiguur als die een symmetriemiddelpunt heeft.
3 / 3
b Schrijf onder elke ruimtefiguur het aantal symmetrievlakken.
Naam
Totaal
Orde / Stiptheid
Een plastic buis heeft een binnenstraal van 3 cm en een lengte van 80 cm. Het plastic heeft een dikte van 2 mm. Bereken het volume van het plastic bij deze buis.
De piramide en de kegel passen precies in twee even grote dozen. Bereken het verschil tussen het volume van de piramide en dat van de kegel. Werk op 1 cm3 nauwkeurig.
Bereken het volume van volgende ruimtefiguren. Werk op 1 cm3 nauwkeurig.
6 / 3
FIGUUR GEGEVEN
VOLUME
a KUBUS z = 3,2 cm
b BALK
l = 3 dm
b = 1,4 dm
h = 4 cm
c CILINDER r = 9 cm
h = 14 cm
7 / 3
Bereken het volume van volgende ruimtefiguren. Zoek de formules in het formularium. Werk op 0,01 dm3 nauwkeurig.
FIGUUR GEGEVEN
a BOL r = 7 dm
b KEGEL h = 2 m
r = 4,3 dm
c PIRAMIDE
h = 8,2 cm vierkant als grondvlak met z = 5,3 cm
VOLUME
Trefwoordenregister
A aanliggende hoeken 81, 179
B balk 250 basishoek 180 beginbeen 29 bewijs uit het ongerijmde 94 binnenhoek 90 binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 90 bissectrice 157, 181 bol 253 buitenhoek 90 buitenhoek van een driehoek 116 buitenhoek van een veelhoek 115 buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn 91
C cavalièreperspectief 256 centrum 29 cilinder 251 complement 78 complementaire hoeken 78 congruente driehoeken 130 congruente figuren 128 congruentiekenmerk 131 coördinaten 63
D dekpunt 10 diagonaal 209 diagonalenkenmerk parallellogram 216 Diophantus 288 draaibeeld 30 draaiing 29 draaiingshoek 29 draaisymmetrisch 44 drager van een zijde 179, 209 driehoek 179 driehoeksongelijkheid 197
E eerste bissectrice 64 eigendraaiing 44 eindbeen 29
F formularium 287
G gelijkbenig trapezium 210 gelijkbenige driehoek 180 gelijke vectoren 20 gelijkzijdige driehoek 180 georiënteerde hoek 29
H
hoekenkenmerk parallellogram 215 hoekpunt 179, 209 hoogtelijn 181 hypotenusa 180
I identieke transformatie 21 ingeschreven cirkel 181 ingesloten hoek 179 isometrie 70
K
kegel 252 kenmerk van de bissectrice 158 kenmerk van de middelloodlijn 156 kenmerk van een gelijkbenige driehoek 184 kenmerk van een gelijkzijdige driehoek 186 kubisch verband 272 kubus 250 kwadratisch verband 272
L lineair verband 272
M
meetkundig patroon 128 middelloodlijn 154, 181
N natuurlijk perspectief 256 nevenhoeken 81
O omgeschreven cirkel 181 overeenkomstige hoeken 128 overeenkomstige zijden 128 overstaande hoek 179 overstaande hoeken 80, 209
P parallellogram 211 piramide 252 platonisch lichaam 260 prisma 251 projectie 256 puntspiegeling 33
R
rechte van Euler 202 rechthoek 217 rechthoekig trapezium 210 rechthoekige driehoek 180 regelmatig veelvlak 260 regelmatige driehoek 118 regelmatige vijfhoek 119 regelmatige zeshoek 119 rotatie 29 ruimtefiguren 249 ruit 218
S scherphoekige driehoek 180 schuifbeeld 21 spiegelas 10 spiegelbeeld 10 spiegelsymmetrisch 43, 254 stomphoekige driehoek 180 supplement 79 supplementaire hoeken 79 symmetrie 43 symmetrieas 43 symmetriemiddelpunt 254 symmetrievlak 254
T
tegenwijzerzin 29 tophoek 180 transformatie 52 translatie 20 trapezium 210 tweede bissectrice 64
V vector 19 verwisselende binnenhoeken 90 verwisselende buitenhoeken 91 vierhoek 209 vierkant 219 volume 270
W wijzerzin 29
Z
zijdekenmerk parallellogram 213 zwaartelijn 181 zwaartepunt 181