GETALLENLEER & ALGEBRA
06 Veeltermen vermenigvuldigen
wat je al kunt
–de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling in � toepassen
–de getalwaarde van een veelterm berekenen –veeltermen optellen en aftrekken
wat je leert in deze module
–een eenterm vermenigvuldigen met een veelterm
–een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm –deze merkwaardige producten ontdekken en toepassen in oefeningen:
( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
( a + b) ( a - b) = a2 - b2
Inhoud
Instap
1 Veeltermen vermenigvuldigen
2 Merkwaardige producten
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je herleidt en rangschikt het resultaat. wiskundetaal
–uitgebreide distributiviteit
–merkwaardig product
–volkomen kwadraat
–dubbel product
–tweeterm
–toegevoegde tweetermen
–drieterm
Instap
Opdracht 1
Reken de volgende producten uit.
( 4x)=
Opdracht 2
Plaats de gelijkwaardige uitdrukkingen in eenzelfde kleur. Je hebt zes kleuren nodig.
Opdracht 3
Een landbouwer verdeelt een rechthoekig stuk grond in
zoals op de tekening.
a) Schrijf in elk stukje afgebakende grond de oppervlakte.
b) Noteer de totale oppervlakte als een veelterm en herleid die.
Opdracht 4
In dit rooster zitten 15 trio’s verborgen (horizontaal, verticaal of diagonaal) die voldoen aan de voorwaarde:
Het product van de eerste eenterm met de tweede eenterm is gelijk aan de derde eenterm.
Als je zo’n trio gevonden hebt, kleur de drie vakjes dan groen.
methode
1 Veeltermen vermenigvuldigen
1.1 Product van een eenterm met een veelterm
Bekijk even de oppervlakte van de grote rechthoek. Die kan je op twee manieren uitdrukken.
ALS ÉÉN GEHEEL
ALS DE SOM VAN DE OPPERVLAKTE VAN TWEE RECHTHOEKEN
Om het linkerlid uit te werken, pas je de distributiviteit van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen in � toe.
Hoe bepaal je het product van een eenterm met een veelterm?
STAP 1 : Vermenigvuldig de eenterm met elke term van de veelterm.
STAP 2 : Werk de verkregen producten uit.
Voorbeelden a · ( b + 2) =
Merk op
Na verloop van tijd zal je de grijs gedrukte tussenstap niet meer noteren.
methode
1.2 Product van een veelterm met een veelterm
Ook hier bekijken we twee keer de totale oppervlakte van de grote rechthoek. We kunnen de oppervlakte op twee manieren uitdrukken.
ALS ÉÉN GEHEEL ALS DE SOM VAN DE OPPERVLAKTE VAN VIER RECHTHOEKEN
( a + 3) · ( b + 2) = ab + 2a + 3b + 6
Om het linkerlid uit te werken, pas je de distributiviteit van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen in � tweemaal toe.
We noemen dit de uitgebreide distributiviteit .
Hoe bepaal je het product van een veelterm met een veelterm?
STAP 1 : Vermenigvuldig elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm.
STAP 2 : Werk de verkregen producten uit.
STAP 3 : Herleid zoveel mogelijk de verkregen veelterm.
Voorbeelden
+ 7a + 2
(3 a) (a 1) = 3 a 3 1 a a a ( 1) = 3a 3 a2 + a
= a2 + 4a 3
Merk op Na verloop van tijd zal je de grijs gedrukte tussenstap niet meer noteren.
Werk uit en rangschik het resultaat naar dalende macht.
a) (x 1) (2x 2) e) (x 2) x2 + 2x + 3
b) (a 1) ⋅ (2 a) f) m2 1 ⋅ m2 + 3
c) (5 0,5x) (2x + 4)
1 3 x 1 (3x + 2)
d) 1 2 a 3 (2a 4) h) y2 3y + 2 (5 y)
a) Druk de oppervlakte van het grondvlak van deze balk uit met een veelterm.
x+8
x + 5
b) Druk het volume van deze balk uit met een veelterm.
2 Merkwaardige producten
Merkwaardige producten zijn producten van bepaalde veeltermen die je snel kan uitwerken.
Je komt ze vaak tegen, zodat het zeker de moeite loont om ze uit het hoofd te leren.
Dit jaar leren we volgende merkwaardige producten:
( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b) · ( a - b) = a2 - b2
2.1 Kwadraat van een tweeterm
Bekijk even de oppervlakte van het grote vierkant. Die kan je op twee manieren uitdrukken.
ÉÉN GEHEEL
formule KWADRAAT VAN EEN TWEETERM
in woorden
Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van:
• het kwadraat van de eerste term;
• het dubbel product van de twee termen;
• het kwadraat van de tweede term.
in symbolen
( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
DE SOM VAN DE OPPERVLAKTE VAN VIER RECHTHOEKEN
2.2 Product van twee toegevoegde tweetermen
Toegevoegde tweetermen zijn tweetermen waarbij in één term het toestandsteken verschillend is.
Voorbeelden
a + 3en a 3 gelijketermen
7 x en x 7 a b en a + b
7 x en7 + x tegengesteldetermen
Bekijk even de oppervlakte van de grote rechthoek. Die kan je ook noteren als het verschil van de oppervlakte van de twee vierkanten. a a
ALS ÉÉN GEHEEL
a a – b b b b b a – b
ALS HET VERSCHIL VAN DE OPPERVLAKTE VAN TWEE VIERKANTEN a – b
( a + b) · ( a - b) = a2 - b2
Je kan de formule ook als volgt bekomen:
(a + b) ⋅ (a b)= a2 ab + ba b2 = a2 b2
formule PRODUCT VAN TWEE TOEGEVOEGDE TWEETERMEN
in woorden
Het product van twee toegevoegde tweetermen is gelijk aan het verschil van het kwadraat van de gelijke term met het kwadraat van een van de tegengestelde termen.
in symbolen
( a + b) · ( a - b) = a2 - b2
Voorbeelden
(a + 5) (a 5) = a2 52 = a2 25
(m + 7) ( m + 7) = 72 m2 = 49 m2
1 2 + x ⋅ x 1 2 = x2 1 2 2 = x2 1 4
(a + 5) ⋅ (a 5) = a2 52
= a2 25
Onderlijn de gelijke termen.
Dat is erg handig, want die zal je eerst moeten kwadrateren.
(m + 7) ( m + 7) = 72 m2 = 49 m2
( a ? + 5 ? ) (5 ? a ? )=(5 a) (5 a) (kwadraatvaneentweeterm)
=(5 a)2
= 25 10a + a2
Merk op Als geen van de twee termen van teken verandert (of als ze allebei van teken veranderen), dan heb je geen toegevoegde tweetermen, maar kan je wel de eerste formule toepassen.
Voorbeeld
1 2 + x ⋅ x 1 2 = x2 1 2 2 = x2 1 4
( a ? + 5 ? ) ⋅ (5 ? a ? )=(5 a) ⋅ (5 a) (kwadraatvaneentweeterm)
=(5 a)2
= 25 10a + a2
TIP
Verwerkingsopdrachten
Werk uit door het merkwaardig product ( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 toe te passen.
a) (m + 8)2 d) 4t2 3 2
b) 1 2 4 2
e) ( 2a2 + 8a)2
c) 3a3 + 2 2 f) (0,5x + 1)2
Werk uit door het merkwaardig product ( a + b) · ( a - b) = a2 - b2 toe te passen.
a) (m + 4) (m 4) d) (6y 0,1) (6y + 0,1)
b) (7a 6) ( 7a 6) e) x4 1 x4 + 1
c) 1 3 a2 ⋅ 1 3 a2 f) 10b b3 ⋅ 10b b3
(5 3x) (3x + 5)
(5 3x) (3x + 5)
(4x 3)2
7 10 x + 1 ( 0,7x + 1)
(5 3x) (3x + 5)
(2x 2) ⋅ ( 2 + x)
(4x 3)2 7 10 x + 1 ( 0,7x + 1)
(x 2) (x 1)
(0,5x + 2) ⋅ (2x 0,5)
(2x 2) ( 2 + x)
(4x 3)2
7 10 x + 1 ( 0,7x + 1)
(5 3x) ⋅ (3x + 5)
(2x 2) ( 2 + x)
(4x 3)2
(x 2) ⋅ (x 1)
(5 3x) ⋅ (3x + 5) (4x 3)2 7 10 x + 1 ( 0,7x + 1)
(5 3x) (3x + 5)
(2x 2) ( 2 + x)
(4x 3)2 7 10 x + 1 ( 0,7x + 1)
7 10 x + 1 ⋅ ( 0,7x + 1)
(0,5x + 2) (2x 0,5)
(2x 2) ( 2 + x)
(5 3x) ⋅ (3x + 5)
(4x 3)2
(x 2) (x 1)
(2x 2) ( 2 + x)
(x 2) ⋅ (x 1)
(x 2) (x 1)
a) Kleur de producten van toegevoegde tweetermen in het groen. Noteer de formule voor dit merkwaardig product hieronder.
(x + 11) (11 + x)
(x 2) ⋅ (x 1)
(x + 11) ⋅ (11 + x) 6 5 x + 1 2
(0,5x + 2) (2x 0,5)
(0,5x + 2) (2x 0,5)
(x + 11) ⋅ (11 + x)
(0,5x + 2) (2x 0,5)
6 5 x + 1 2
(x + 11) ⋅ (11 + x)
(x + 11) (11 + x)
6 5 x + 1 2
6 5 x + 1 2
c) Hoe kun je de opgaves die niet ingekleurd zijn oplossen?
6 5 x + 1 2
b) Kleur de opgaves waarin je het kwadraat van een tweeterm herkent in het geel. Noteer de formule voor dit merkwaardig product hieronder.
7 10 x + 1 ⋅ ( 0,7x + 1)
(2x 2) ( 2 + x)
(0,5x + 2) ⋅ (2x 0,5) (x + 11) (11 + x) 6 5 x + 1 2 (5 3x) (3x + 5) (4x 3)2
10 x + 1 ( 0,7x + 1) (2x 2) ⋅ ( 2 + x) (x 2) (x 1) (0,5x + 2) ⋅ (2x 0,5) (x + 11) (11 + x)
(x 2) ⋅ (x 1)
5 x + 1 2
(0,5x + 2) (2x 0,5)
(x + 11) ⋅ (11 + x)
6 5 x + 1 2
9 10
Werk uit door één van de formules van merkwaardige producten toe te passen.
a) ( 5x + 2)2 =
b) (3x + 1) (3x 1) =
c) x3 3x 2 =
d) 7x3 5 5 + 7x3 =
e) 4x2 + 3x 2 = f) 0,5x5 0,2x3 ⋅ 0,2x
Werk uit en herleid.
a) (4t + 6)2 3t ⋅ (t + 5) b) 2x2 3 + x3 + 1 ⋅ 1 x3
Op de afbeelding hieronder zie je het bovenaanzicht van een vierkante tuin met een rechthoekig zwembad.
Druk met een veelterm de oppervlakte van het grasgedeelte uit.
Signaaloefeningen
1 2
Bereken telkens het product van de eenterm met de veelterm.
a) a (2a + 3) =
b) 1 2 (4a 2b) =
c) ( a + 4) 7 =
d) x2 ⋅ xy x2 =
e) 2x 3x2 + 5x 1 =
Bereken telkens het product van de veelterm met de veelterm.
a) (a + 2) (a 3) d) a2 + 3a 2a 7a2
b) (2a + 1) a2 4a e) (3x 5) x2 2
c) 1 3 a + 4 9 (6a 9) f) (0,5x + 5) (0,2x + 1)
3
Werk uit door gebruik te maken van merkwaardige producten
a) (a + 3)2 = b) 2a3 + 2 2 =
Differentiatietraject
1 2 3 4 5 6
Bereken telkens het product van de eenterm met de veelterm.
a) 6 (a + 2)
b) 1 4 ⋅ (16a 8b)
d)0,5 (4x 2)
e)10a ⋅ (a + 1)
c) x (x + 4) f) 2 x2 + 1
Bereken telkens het product van de eenterm met de veelterm.
a)2a2 (a b)
b) 1 4 t2 4
d)0,5m (8m 6)
e)0,25x3 4x2 + 8x
c)3ab (5a b) f) 5x2 (x + 1)
Werk uit.
a) 3a2 b a3 2ab
d)2xy 1 2 x2 3 2 y2
b) x2 y 1 2 xy3 x e) x2 x4 x
c) t2 t6 t4 f) 0,25x ( 4x + 8)
Druk de oppervlakte van de vlakke figuur uit met een algebraïsche uitdrukking. Noteer de berekening. a)
Een rechthoek heeft een lengte van 1,2x + 3 en een breedte van 5x. Druk de oppervlakte van deze rechthoek uit met een algebraïsche uitdrukking. Noteer de berekening.
Druk de oppervlakte van de vlakke figuur uit met een algebraïsche uitdrukking.
14 15 16 17
Bereken telkens het product van de twee veeltermen.
a) (a + 1) (b + 1) d) (t + 3) (2t 1)
b) (x 8) (x + 2) e) (10 x) (x + 2)
c) (a 2) ⋅ (a 5) f) (p + 5) ⋅ (2p + 5)
Bereken telkens het product van de twee veeltermen.
a) (2a 4) ⋅ 3a2 2a d) 2
b) a 1 2 (a + 4) e) (x 2y) (2x y)
c) (3 b) ⋅ (2 b) f) ( 4a 2) ⋅ (5 + 2a)
Bereken telkens het product van een oranje algebraïsche uitdrukking met een blauwe algebraïsche uitdrukking. Noteer jouw opgave, reken uit en herleid.
Druk de oppervlakte van de volgende vlakke figuren uit met een algebraïsche uitdrukking.
Werk uit en herleid.
19 20 21 22
Druk het volume van de ruimtefiguur uit met een algebraïsche uitdrukking.
+1
Twee van onderstaande opgaven hebben dezelfde oplossing. Vind deze opgaven zonder uit te werken.
(4x − 8)(8x 4)
(−4x + 8)(8x − 4)
(4x + 8)(8x + 4)
(4x 8)(8x 4)
(−4x − 8)(4x − 8)
( 4x + 8)(8x 4)
(8 4x)(4 8x)
(4x + 8)(8x + 4)
( 4x 8)(4x 8)
(8 4x)(4 8x)
Werk uit en herleid.
a) (4x 4)( 3x 1)+ 2x (2x + 1)
(4x 8)(8x 4)
( 4x + 8)(8x 4)
(4x + 8)(8x + 4)
(4x 8)(8x 4)
( 4x + 8)(8x 4)
( 4x 8)(4x 8)
(4x − 8)(8x − 4)
(−4x + 8)(8x 4)
(4x + 8)(8x + 4)
(8 4x)(4 8x)
(4x + 8)(8x + 4)
(−4x − 8)(4x − 8) (8 − 4x)(4 − 8x)
( 4x 8)(4x 8)
(8 4x)(4 8x)
c) (0,25x 1)(4x + 12) 5x2 + 3x 1
b) x2 + 3x ( 2x + 1) 3x3 + 4x2 3x 5 d) 1 2 x3 ( 7x + 4) (9 x)(8x + 2)
Werk uit en herleid.
a) 1 2 a2 + a 8a2 6a + 4 d) x2 + 3x 1 (2x + 3) b) 4x2 + 12xy + 9y2 (2x + 3y) e) x2 y2 (x + y)
c) 4x2 16y 2x 4y2 f) 3x2 3x + 1 x2 + 5x 2
Werk uit en herleid.
a) 3x (x + 1)(x + 2) d) 5x (3x + 2)(x 4)
b) (x + 1)(2x + 2)(3x + 3) e) ( x + 4)(x + 3)(2x 1)
c)4x (x 3)(x + 2) f) (5 2x) x (2x 1)
Werk uit en herleid.
a) 3x3p + x2 xp + 1 c) x2m + 4 (x 4)
b) xn + 2 x2 + 3 d) at + at 1 + 1 (a 1)
Bereken en vervolledig de tabel.
Werk uit door te steunen op
Je kan met drie van de vier termen hieronder telkens het resultaat vormen van een kwadraat van een tweeterm. Noteer de opgave en omcirkel de termen die je nodig hebt om het resultaat te noteren.
29 30 31 32
Werk uit door te steunen op ( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 .
a) (2x + 3y)2 d) 1 4 x 1 2 y 2
b) 1 2 a + 4 2 e) (0,5a + 2)2
c) (6 t)2 f) 2 3 x + 1 2 y 2
Werk uit door gebruik te maken van merkwaardige producten.
a) 2a2 1 2 a 2 d) 0,2a2 b 0,1a 2
b) a + a4 2 e) 1 5 xy + 2 2
c) 3 2 x 1 2 y 2 f) 10m2 2m 2
Het merkwaardig product ( a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 of ( a - b) 2 = a2 - 2ab + b2 kan je helpen om bepaalde kwadraten uit het hoofd te rekenen.
Bv.992 =(100 1)2 = 1002 2 1 100 + 12 = 10000 200 + 1 = 9801
Berekenopdezemaniervolgendekwadraten.
a)1022
c)1000012
b)9972 d)952
Reken uit en vereenvoudig.
a) (2x + 3)2 +(4x 1)(2 x) d) (x + 5)3 b)7x(x 4) (5x 1)2 e) 4 5 x2 + 2 5 2 3 5 x 1 5 2 c) 3x2 1 2 +(8 x)2 f) (2x 1)4
Werk uit door gebruik te maken van merkwaardige producten.
a) xm + ym 2 d) xn 2yn 2 b) an b abn 2 e) xm+2 1 2
c) 2xn + 4x 2 f) 0,5x3m + 4 2 Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a) ( … + 3b)2 = … + 12ab + … c) ( … + … )2 = … 16ab + 16b2 b) (x + … )2 = … + x + … d) ( … … )2 = 49t2 + 28t 4
Toegevoegde tweetermen zijn tweetermen waarbij één term dezelfde gebleven is en de andere term van teken is veranderd. Geef de tweeterm uit de eerste kolom en de bijhorende toegevoegde tweeterm dezelfde kleur. (Er zijn meerdere oplossingen mogelijk.)
Werk uit door gebruik te maken van merkwaardige producten.
a) (b + 6) (b 6) d)
b) (2t 1) ⋅ (2t + 1) e) (m 10) ⋅ (m + 10)
c) (a 2b) ⋅ (a + 2b) f) (7 + y) ⋅ (7 y)
Werk uit door gebruik te maken van merkwaardige producten.
a) y + 1 2 y 1 2 d) ( x 10) ( 10 + x)
b) (y + 2x) ( y + 2x) e) ( xy 4) (4 xy)
c)
Werk uit door gebruik te maken van merkwaardige producten. a) xy2 + x2 y xy2 + x2 y
2t
⋅
Het merkwaardig product ( a + b) · ( a - b) kan je helpen om bepaalde kwadraten uit het hoofd te rekenen.
Bv.97 103 =(100 3) (100 + 3) = 1002 32 = 10000 9 = 9991
Berekenopdezemaniervolgendeproducten.
a)49 51 c)19 21 b)202 198 d)999 1001
Reken uit en vereenvoudig.
a) (3 8a)( 8a + 3) 4a2 d) (2x 1)(2x + 1) 4 x2 + 2x + 4
b) 1,5a2 + 2 1,5a2 2 3a2 + 4 e) (a + 5)(a 5) a2 + 25
c)9 1 6 y6 + 3 1 6 y6 + 3 f) t4 + 1 t2 + 1 (t + 1)(t 1)
Werk uit door te steunen op één van de twee merkwaardige producten.
a) xn + 2 xn + 2 d) 1 3 a2 + 2b 2b 1 3 a2
b) (a 3)( 3 + a) e) am+1 5 5 am+1
c) x2m + 2y x2m + 2y f) 0,3x3 3 3 0,3x3 Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a) 5a2 + … 5a2 … = … 36 c) 3 4 x … ( … + … ) = … 1 4 b) a2m + … … + a2m = … 100 d) 4x2 + … ( … 1)(2x + … ) = 16x4 1
Welke leerling behaalde de beste score?
a) (a + 2)2 = a2 + 2a + 4
b) (x 1)2 = x2 2x + 1
c) (0,5 + y)2 = 0,25 + y + y2
d) x3 + 2 2 = x5 + 2x3 + 4
e) (a + 2) (a − 2)= a2 4
a) (x 3)2 = x2 6x + 9
b) a2 2 a2 + 2 = a4 4
c) y2 y ⋅ y + y2 = y4 y2
d) (b + 1)2 = b2 + 2b + 1
a) (x 5) (x + 5)= x2 25 b) (1 b) ⋅ (b + 1)= 2
c) (2a + 5) (2a 5)= 4a2 25 d) ( x 3)2 = x2 + 6x 9 e) (x 6)2 = x2 12x + 36 a) (x − 7) (x + 7)= x2 − 14 b) (x + 4)2 = x2 + 8x + 16
c) (3x + 5) ⋅ (5 3x)= 25 9x2 d) (1,5 + x) ⋅ ( 1,5
e) (10 x) (10 + x)= 100 x2 a) (2a + 3)2 = 4a2 + 6a + 9 b) (x − 4)2 = x2 − 8x + 16 c) (x + 2) ⋅ (x − 2)= x2 − 4 d) 1 5 + x 2 = 1 25 + 2 5 x + x2 e) x3 + 1 2 = x6 + 2x3 + 1 a) (6 b) ⋅ (b + 6)= 36 b2
b) a2 + 3 2 = a4 + 9
c) a3 2 2 = a6 4a3 + 4 d) 2 5 x + 1 2 =
43 44 45 46
a) (x + 8) (x 8) g) 3x + 1 2 2
b) (4 + 3y)2 h) (5a 0,3) (5a + 0,3)
c) x2 7 2 i) 2m2 + 5m 2m2 + 5m
d) (3x + 1) ⋅ (3x 1) j) 6x2 + 3x 2
e) 2 5x5 5x5 + 2 k) 2 3 b + 1 4 1 4 2 3 b f) x3 x2 2 l) (2t + 7) ⋅ ( 2t 7)
Vul aan.
a) ( … )2 = 9x2 + 6x + 1 d) ( … )2 = 1 + 2x + x2
b) ( … ) ( … )= 100 25x2 e) ( … ) ( … )= 36 + 4x2
c) ( … )2 = 64 + x2 + 16x f) ( … )2 = 9 4 x2 + 3x + 1
Reken uit met merkwaardige producten en schrijf zo eenvoudig mogelijk.
a) (2x + 1) (2x 1) 4x2 + 1 c) [( 6r + 1) (6r + 1)]2
b) (y + 5) (y 5) (y + 5)2 d) (t + 3)2 2
Druk het volume van de ruimtefiguur uit met een algebraïsche uitdrukking. a) b)
Reken uit.
a) (3 5x)2 +(2 4x)(4x 2) c) 3x5 (4x 1) 3x5 +(4x 1) b) 2x3 + 3x2 2 + 2x3 + 3x2 2x3 3x2 d) y3 2y y3 2y 2