Nando2
MEETKUNDE
03 Hoeken, evenwijdigen en een snijlijn
wat je al kunt
–hoeken meten tot op een graad nauwkeurig –hoeken tekenen tot op een graad nauwkeurig –evenwijdige rechten tekenen met een geodriehoek
wat je leert in deze module
–de begrippen complementaire en supplementaire hoeken verwoorden
–een complementaire en een supplementaire hoek van een gegeven hoek tekenen
–de grootte van het complement en het supplement van een gegeven hoek bepalen
–overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen in vlakke situaties
–de eigenschap over hoeken gevormd door twee evenwijdigen en een snijlijn verwoorden
–het omgekeerde van een eigenschap verwoorden
–bewijzen dat overstaande hoeken even groot zijn –bewijzen dat overeenkomstige hoeken even groot zijn
Inhoud
Instap
1 Complementaire en supplementaire hoeken
2 Overstaande hoeken
3 Aanliggende hoeken en nevenhoeken
4 Hoeken bij twee evenwijdigen en een snijlijn
5 Som van de hoeken in een driehoek
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in
de kijker
Je gebruikt de correcte terminologie bij de verwoording van begrippen en eigenschappen.
wiskundetaal
–complementaire hoeken
–complement van een hoek –supplementaire hoeken –supplement van een hoek –aanliggende hoeken –nevenhoeken
–overstaande hoeken
–snijlijn
–overeenkomstige hoeken
–binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn –verwisselende binnenhoeken
–buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn –verwisselende buitenhoeken
Opdracht 1
Gegeven: a ⫽ b en a ⫽⃥ c
Meet alle aangeduide hoeken.
A1 = B1 =
A2 = B2 =
A3 = B3 =
A4 = B4 =
Hoeveel verschillende hoekgroottes heb je gemeten ?
Vul aan.
A1 + B4 = A2 + B3 =
A3 + B2 = A4 + B1 =
Wat kun je besluiten ?
Opdracht 2
Knip drie (voldoende grote) driehoeken uit een blad : een scherphoekige driehoek, een stomphoekige driehoek en een rechthoekige driehoek. Doe nu volgende stappen :
• Kleur de drie hoeken in.
• Knip de hoeken uit de driehoeken.
• Leg de hoeken per driehoek samen.
• Probeer tot een besluit te komen dat voor elk van je driehoeken geldt.
Opdracht
3
Herhaal opdracht 2. Maar dit keer knip je drie verschillende vierhoeken uit je blad.
Wat is de conclusie ?
Stel dat je uit een vijfhoek de vijf hoeken zou uitknippen, wat zou dan de som van de hoeken zijn ?
2 Overstaande hoeken
M1 en M2 zijn overstaandehoeken.
definitie Overstaande hoeken zijn twee hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.
eigenschap Overstaande hoeken zijn even groot.
Eigenschappen in de wiskunde kunnen bewezen worden. Dit schooljaar maak je kennis met verschillende soorten bewijzen. Je zal met je wiskundige kennis (eerder geziene definities en begrippen) aantonen dat de eigenschap geldig is. Belangrijk hierbij is om bij elke stap te noteren waarop je steunt. Dat zal steeds in het lichtblauw gedrukt zijn.
Gegeven :
M1 en M2 zijnoverstaandehoeken.
Te bewijzen :
M1 = M2
Bewijs :
M1 + M3 = 180° (gestrektehoek)
M1 = 180° M3
M2 + M3 = 180° (gestrektehoek)
M2 = 180° M3
= M2
Verwerkingsopdracht 2, 3
3
Noteer in elke cirkel de hoekgrootte.
3 Aanliggende hoeken en nevenhoeken
α en β zijn aanliggendehoeken. γ en δ zijn nevenhoeken.
definitie Aanliggende hoeken zijn twee hoeken met een gemeenschappelijk been en waarvan het andere been gelegen is aan weerszijden van dat gemeenschappelijk been.
definitie Nevenhoeken zijn twee hoeken die aanliggend zijn en supplementair.
Verwerkingsopdrachten
Kijk opnieuw naar de opgaven van de vorige oefening. Omkring de twee hoeken als ze complementair zijn. Omkring ze dubbel als ze supplementair zijn. 4 5
Vul aan met de meest geschikte naam. Kies uit: overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken.
4.2 Onderzoeksopdrachten
Onderzoek 1
Maak de volgende tekenopdracht via ICT :
• Teken 3 rechten a, b en c zodat …
– de rechte a evenwijdig is met b.
– de rechte c de rechte a snijdt.
• Meet de paren overeenkomstige hoeken. Wat stel je vast ?
• Meet de paren verwisselende binnenhoeken. Wat stel je vast ?
• Meet de paren binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Wat stel je vast ?
• Meet de paren verwisselende buitenhoeken. Wat stel je vast ?
• Meet de paren buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Wat stel je vast ?
Onderzoek 2
Gegeven :
• a snijdt c in het punt A.
• b snijdt c in het punt B.
• A1 en B1 zijn overeenkomstige hoeken.
• A1 = B1
Stel deze situatie grafisch voor. Wat stel je vast ?
Gegeven :
• a snijdt c in het punt A.
• b snijdt c in het punt B.
• A1 en B1 zijn verwisselende binnenhoeken.
• A1 = B1
Gegeven :
• a snijdt c in het punt A.
• b snijdt c in het punt B.
Stel deze situatie grafisch voor. Wat stel je vast ?
• A1 en B1 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
• A1 + B1 = 180°
Stel deze situatie grafisch voor. Wat stel je vast ?
Gegeven :
• a snijdt c in het punt A.
• b snijdt c in het punt B.
• A1 en B1 zijn verwisselende buitenhoeken.
• A1 = B1
Gegeven :
• a snijdt c in het punt A.
• b snijdt c in het punt B.
Stel deze situatie grafisch voor. Wat stel je vast ?
• A1 en B1 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
• A1 + B1 = 180°
Stel deze situatie grafisch voor. Wat stel je vast ?
eigen–schappen
4.3 Eigenschappen
Uit onderzoek 1 kan je de volgende eigenschappen formuleren.
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee overeenkomstige hoeken even groot.
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee verwisselende binnenhoeken even groot.
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee verwisselende buitenhoeken even groot.
Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
Merk op
• Het supplementair zijn van twee binnenhoeken (of twee buitenhoeken) aan dezelfde kant van de snijlijn betekent dat hun som 180° is.
• In het differentiatietraject leer je hoe je dit kunt bewijzen door gebruik te maken van transformaties in het vlak.
Bij een gegeven tekening kun je deze eigenschappen gebruiken. Bij het noteren in symbolen maak je gebruik van de implicatiepijl.
Gegeven: k ⫽ m
Gevraagd: M1
Oplossing: k ⫽ m
⟸ (eigenschapverwisselendebinnenhoeken)
M1 = 62°
Verwerkingsopdrachten
Gegeven: a ⫽ b en a ⫽⃥ c
Gevraagd: a) Noteer de meest juiste benaming. b) Zijn de hoeken even groot en/of supplementair?
A1 en A3
A2 en A1
A3 en B3
A4 en B3
A2 en B1 B4
A2 en B1 B4
Bepaal de grootte van volgende hoeken. De rechte s snijdt de evenwijdigen a en b.
Verklaar waarom a ⫽ b als je weet dat s de rechten a en b snijdt.
5 Som van de hoeken in een driehoek
eigenschap De som van de hoeken in een driehoek is 180°.
Deze eigenschap kennen we van vorig schooljaar. Dankzij onze nieuwe kennis van hoeken, kunnen we ze nu ook bewijzen. Belangrijk hierbij is te onthouden dat je een hulpconstructie nodig hebt: het tekenen van een evenwijdige met de overstaande zijde door een hoekpunt.
Gegeven : ∆ABC
Te bewijzen :
α + β + γ = 180°
Bewijs :
Teken door A de evenwijdige a aan BC.
(1) A1 = γ (verwisselendebinnenhoekenbij a ⫽ BCensnijlijnAC)
(2) A2 = β (verwisselendebinnenhoekenbij a ⫽ BCensnijlijnAB)
Nuis A1 + α + A2 = 180°
+ α + β = 180°
+ β + γ = 180°
(gestrektehoek) (1)en(2)
Verwerkingsopdrachten
9
Bereken telkens de grootte van α
Signaaloefeningen
Op elke poort werden twee hoeken aangeduid.
a) Wat kun je zeggen over de som van deze hoeken?
en β zijn
Als α = 30°, dan is β =
en β zijn
Als α = 145°, dan is β =
>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D7 2
Hoe noem je de gegeven hoeken als je hun ligging bekijkt ? Kies de best passende naam.
a)AHGenIHBzijn hoeken.
b)CABenEACzijn hoeken.
c)FGLenLGHzijn hoeken.
d)BCJenECDzijn hoeken.
e)EKDenJKLzijn hoeken.
f)AIJenBIAzijn hoeken.
>>> Verder oefenen : D8 t.e.m. D15 3
a) Teken een hoek γ zodat α en γ aanliggende hoeken zijn die niet supplementair zijn.
b) Teken een hoek δ zodat β en δ nevenhoeken zijn.
>>> Verder oefenen : D8 t.e.m. D15
A3 en B3 zijn
A3 en B1 zijn
A1 en B3 zijn
A1 en B4 zijn
A3 en B2 zijn
A1 en A3 zijn
Bepaal de grootte van de aangeduide hoeken en noteer de verantwoording van je antwoord, als je weet dat a ⫽ b.
A1 en B1 zijn
Dusis B1 =
A1 = 48°en B3 = want A1 en B3 zijn
A1 = 48°en B4 = want A1 en B4 zijn
a) Verklaar waarom a ⫽ b.
b) Verklaar waarom a ⫽⃥ b.
Bereken telkens de grootte van α zonder te meten.
Bijzondere hoeken
Vul de tabel aan.
a) Het supplement van een hoek is 9 keer zo groot als die hoek zelf. Bereken het complement van die hoek.
b) Het complement van een hoek is 5 keer zo groot als de hoek zelf. Bereken het supplement.
c) Het supplement van een hoek is vier keer groter dan het complement van die hoek. Bereken die hoek.
d) Het complement van een hoek is een elfde van het supplement van die hoek. Bereken die hoek.
Waar of niet waar ?
a) Het complement van een scherpe hoek is groter dan het supplement van die scherpe hoek.
b) Het supplement van een stompe hoek is kleiner dan 90°.
c) Er bestaat een hoek α waarvan het complement gelijk is aan het supplement.
d) Het supplement van een scherpe hoek is 90° groter dan het complement van die hoek.
e) De twee hoeken die ontstaan door de bissectrice te tekenen van een gegeven hoek zijn elkaars complement.
Vul aan. Kies uit de volgende mogelijkheden : 45°, 90°, 180°, 360°, overstaande hoeken, aanliggende hoeken, nevenhoeken, complementair, supplementair.
De som van α en β is α en β zijn die zijn.
De som van α en γ is α en γ zijn die zijn. We noemen ze kortweg
Geef de best passende naam voor de aangeduide hoeken als je hun onderlinge ligging bekijkt. a) b) c)
Bepaal telkens de waarde van
b)
+ α
a) B1 en B2 zijnnevenhoeken. B1 = 5B2 .Bepaaldegroottevan B1 en B2 .
b) B1 en B2 zijnaanliggendehoeken. B1 + B2 = 110°en B1 = B2 + 30°.Bepaaldegroottevan B1 en B2
c) B1 en B2 zijnnevenhoeken. B1 = 2B2 27°.Bepaaldegroottevan B1 en B2
d) B1 en B2 zijnnevenhoeken.Hetcomplementvan B1 is40°.Hoegrootis B2 ?
In een driehoek ABC wordt de zwaartelijn uit A getekend. P is het snijpunt van de zwaartelijn met de zijde [ BC]
a)AlsjedeliggingvanBAPenPACbekijktdanzijndit …
b)AlsjedeliggingvanAPBenCPAbekijktdanzijndit … B1 en B2 zijnnevenhoeken.Hetcomplementvan B1 is15°mindergrootdandehelftvan B2 . Bepaaldegroottevan B1 en B2
Hoeken bij twee evenwijdigen en een
Geef alle mogelijke …
a) verwisselende binnenhoeken. b) verwisselende buitenhoeken.
c) binnenhoeken.
d) buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.
e) overeenkomstige hoeken. f) overstaande hoeken.
In elke meetkundige figuur werden twee hoeken aangeduid. Geef telkens de juiste naam voor deze hoeken.
a) ABCD is een ruit. b) EFGH is een parallellogram. c) a ⫽ KM d) PQRS is een parallellogram.
Hoe noem je de gegeven hoeken ?
Noteer ook S als ze supplementair zijn, of C als ze complementair zijn.
a) A1 en A2 zijn e) A3 en B3 zijn
b) B1 en B2 zijn f) A1 en C2 zijn
c) A2 en C2 zijn g) A3 en B4 zijn
d) A2 en C1 zijn h) A1 en C1 zijn
Hoe groot moet α zijn opdat a ⫽ b ?
Een basketbalbord wordt met een hendel wat lager gezet door het 20 graden in tegenwijzerzin naar beneden te draaien. Verklaar waarom het bord evenwijdig blijft met de steunpilaar en bepaal de grootte van P voor en na de verlaging. (De hechtingen RS en PT zijn onderling evenwijdig.)
Staat deze ladder stabiel?
Wanneer de zon schijnt terwijl het regent, kan er een regenboog ontstaan. Het zonlicht breekt in de regendruppels en er onstaat reflectie. Zelf zien we enkel de reflectie en de lichtstralen die onze kant uitkomen. De druppels die zorgen voor het rode licht maken een hoek van 42° met het zonlicht. Het blauwe licht zien we zelf onder een hoek van 40°. Welke hoek maken de druppels die zorgen voor blauwe lichtstralen met het zonlicht ? Verklaar je antwoord.
Zonlicht
Zonlicht
Op een speeltafel legt een puck een traject af volgens de stippellijnen.
a) Bereken de waarde van m
b) Bereken de waarde van x
c) Zijn de twee rode stippellijnen evenwijdig met elkaar ? Verklaar.
Om een zwaar blok op te tillen maakt men gebruik van meerdere katrollen, zodat er minder kracht moet worden uitgeoefend door de persoon die het touw vasthoudt.
Zijn de twee rode stukken touw evenwijdig ? Meet de hoeken en verklaar aan de hand van een eigenschap.
De meest optimale helling van zonnepanelen die zuidgericht zijn in Brugge is 35° in de zomer.
In de zomer valt het zonlicht gemiddeld in onder een hoek van 55°, in de winter onder een hoek van 16°.
a) Kun je verklaren waarom dit in de zomer de meest optimale positie is ?
b) Op hoeveel graden zouden we het paneel moeten zetten om het rendement bij zonlicht optimaal te hebben in de winter? Verklaar je antwoord.
Bepaal telkens de grootte van α, als je weet dat a ⫽ b.
Berekendegroottevandehoeken B1 , B2 , B3 en B4 .
Gegeven: a ⫽ b s snijdt a en b A1 + B3 = 100°
Je zag een aantal eigenschappen in verband met hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn.
eigenschap Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee overeenkomstige hoeken even groot.
Webewijzendezeeigenschapmetbehulpvaneeneigenschapvandetransformaties:eentranslatie bewaartdegroottevandehoek.Maarjezalookmoetenaantonenwaaromdehoek A1 (natranslatie) in B1 terechtkomt.
Gegeven:
a ⫽ b
s snijdt a en b
Tebewijzen:
A1 = B1
Bewijs:
tAB (a)= b (t #–AB (A)= Benhetbeeldvaneenrechtedooreentranslatieiseenevenwijdigerechte.)
tAB (s)= s (s isdedragervan AB.)
dusis tAB (A1 )= B1 en A1 = B1 (Eentranslatiebewaartdegroottevandehoek.)
De andere eigenschappen zijn een rechtstreeks gevolg van de eerste eigenschap. Elk van deze gevolgen kan je opnieuw bewijzen door gebruik te maken van transformaties. Maar het kan eenvoudiger : door te steunen op je kennis van overstaande hoeken en overeenkomstige hoeken.
We tonen hieronder hoe je de onderstaande eigenschap kunt bewijzen.
eigenschap Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee verwisselende binnenhoeken even groot.
Gegeven:
a ⫽ b
s snijdt a en b
A3 en B1 zijnverwisselendebinnenhoeken
Tebewijzen:
A3 = B1
Bewijs:
A3 = A1
⟸
A3 = B1 (overstaandehoeken) (overeenkomstigehoeken A1 = B1 )
Bewijs nu zelf de andere eigenschappen.
a) Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
b) Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee verwisselende buitenhoeken even groot.
c) Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair.
Maak kennis met een nieuwe vorm van bewijzen : een bewijs uit het ongerijmde. Voor de rechten a en b zijn er twee mogelijkheden : ze zijn evenwijdig of ze zijn niet evenwijdig. We veronderstellen dat ze niet evenwijdig zijn en redeneren hierop verder. Je toont aan dat dit tot een tegenspraak leidt. Hierdoor mag je concluderen dat de rechten wel evenwijdig zijn.
We tonen hieronder hoe je deze omgekeerde eigenschap bewijst : eigenschap Als twee overeenkomstige hoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
Gegeven: s snijdt a en b. A1 = B1
Tebewijzen: a ⫽ b
Bewijs:
Stel a ⫽ \ b TekendoorBderechte b′ ⫽ a α isdehoekdie b′ vormtmet s.
b′ ⫽ a ⟹ A1 = α en A1 = B1 (gegeven)
(overeenkomstigehoekenbij a ⫽ b′ en s alssnijlijn)
Dusis: B1 = α (1)
Doordat b′ ≠ b geldter: B1 ≠ α (2) (1) en (2) sprekenelkaartegen.Dusis a ⫽ b
Bewijs nu zelf de andere omgekeerde eigenschappen.
s
a) Als twee verwisselende binnenhoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
b) Als twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, bepaald door twee rechten en een snijlijn, supplementair zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
c) Als twee verwisselende buitenhoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
d) Als twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, bepaald door twee rechten en een snijlijn, supplementair zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.
Berekentelkensdehoekgroottevan A.
a)IndriehoekABCis A = 25°en C = 75°.Hoegrootis B?
b)InderechthoekigedriehoekXYZis Y = 36°.Hoegrootisdescherpehoek Z?
c)IndegelijkbenigedriehoekDEFis D = 120°.Hoegrootis E?
Bepaal de waarde van x
a)
c) ABCE is een parallellogram
b) AC ⫽ a d) a ⫽ b
Bereken de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten, maar door te redeneren.
Bepaal telkens de grootte van α . a)
Verklaar waarom de som van de hoeken van een vierhoek 360° is.
Teken [AC]. TIP
Gegeven:
ABCDE is een regelmatige vijfhoek.
[ BE] is een diagonaal.
DF is de bissectrice uit A D. (F ∈ BE)
AG is de bissectrice uit A D . (G ∈ BE)
Gevraagd:
BUITENHOEKEN
NEVENHOEKEN
BINNENHOEKEN
COMPLEMENTAIR & SUPPLEMENTAIR
bijna alles over hoeken
AANLIGGENDE HOEKEN
OVERSTAANDE HOEKEN
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik kan het complement en het supplement van een hoek bepalen.
Ik kan overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen in vlakke situaties.
Ik kan de eigenschappen van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden (en verklaren).
Ik weet dat de som van de hoeken in een driehoek steeds 180° is en kan deze eigenschap bewijzen.
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik kan het complement en het supplement van een hoek bepalen.
Deze hoeken hoeven niet aanliggend te zijn. Onthoud zeker ook de algemene notatie.
verwerking : 1, 2 signaal : 1 differentiatie : 1 t.e.m. 7
Ik kan overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen in vlakke situaties.
Het begrip ‘overstaande hoeken’ komt vaak voor in de meetkunde. Kijk dus goed naar de gegevens en naar een (eventuele) tekening.
verwerking : 3, 4, 5 signaal : 2, 3 differentiatie : 8 t.e.m. 15
Ik kan de eigenschappen van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden (en verklaren).
In de oefeningen leer je hoe je deze eigenschappen kunt bewijzen. Ook de omgekeerde eigenschappen zijn belangrijk. Ze zijn een handig hulpmiddel wanneer je evenwijdigheid moet aantonen.
verwerking : 6, 7, 8 signaal : 4, 5, 6 differentiatie : 16 t.e.m. 35
Ik weet dat de som van de hoeken in een driehoek steeds 180° is en kan deze eigenschap bewijzen.
Onthoud het sleuteltje om de bewijsmotor te starten: ‘Teken door een hoekpunt een evenwijdige aan de overstaande zijde.’.
verwerking : 9, 10, 11, 12 signaal : 7 differentiatie : 36 t.e.m. 46
3
4
6
11
Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste editie - Bestelnummer 94 606 0022 (module 03 van 17)
ISBN 978 90 4865 092 7 - KB D/2025/0147/101 - NUR 126
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge