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La p arte c ilínd rica es eq uiva lente al rec tá ng ulo d e lo ng itud y y a ncho 2x .
Lue g o , e l á re a d e la p a rte c ilínd ric a e s: 2xy y su c o sto dado por
C1
vie ne
C1 4xy .
C o m o lo s e x tre m o s so n d o s se m ie sfe ra s, su á re a e s e q uiva le nte a l á re a d e una e sfe ra d e ra d io dado por A si q ue,
C 2 16x
2
x,
4x 2 , y
e sto es
su c osto
C2
vie ne
.
C1 C 2 1000
7. U na p iscina re cta ng ular d e 20 m ts. d e la rgo p or 10 m ts. de a nch o, tiene 4 m ts. d e p ro fund ida d en un ex trem o y 1 m ts. e n e l otro. La figura a djunta ilustra una vista tra nsversa l de la p isc ina. E l ag ua pa ra lle nar la pisc ina es bo m be ada po r el ex trem o p rofund o. a. Determ ine una func ió n q ue expre se el volum e n V d e agua e n la piscina com o funció n de su p ro fund idad x e n el extrem o profundo. b . C a lc ula r V 1 y V 2 . Fig ura 1 .2 3 .
C1 C 2 4xy 16x 1000 xy 4x 250 2
A ho ra P e ro ,
Vt Vc V E
VC x 2 y
2
S o lu c ió n .
( V o lum e n to ta l)
a . Se a L la lo ng itud d e la m e d id a d e l nive l d e l a g ua d e sd e e l e x tre m o p ro fund o ha sta e l m e no s p ro fund o .
( V o lum e n d e l c ilind ro )
4 VE x 3 3
( V o lum e n d e la esfe ra )
D e e sta fo rm a : VT
4 x 2 y x 3 3
N o te q ue L y x so n lo s la d o s d e un triá ng ulo re c tá ng ulo se m e ja nte a l triá ng ulo c uy o s lad o s so n 20 y 3 m ts.
D e e sta fo rm a , se p ue d e e stab le c e r la sig uie nte p ro p o rc ió n:
C o m o se d e b e e x p re sa r e l vo lum e n to ta l e n func ió n d e únic a m e nte , se d e sp e ja la va ria b le .A si, d e se tie ne q ue: de
y
en
y
y
250 4x 2 x
x
e n y se sustituy e e n , y sustituy e nd o e ste va lo r
2 se p ue d e e sc rib ir: V x x 2 250 4x 4 x 3 , y
x 8 sim p lific a nd o se o btie ne fina lm e nte : V x 250 x x 3 3
3
¿ E s p o sib le e x p re sa r e l vo lum e n d e l ta nq ue e n func ió n d e y ? ¡T ra te d e hac e rlo !
C á lc ul o d i fe re n c ia l
L 20 20 L x x 3 3
con
0 x3
A ho ra , e l vo lum e n V e n un insta nte d e te rm inad o vie ne d ad o p o r : V = (Á re a d e la se c c ió n tra nsve rsa l) . ( a nc ho)
V
L.x .10 2
b .V
20 3
x.x 100 2 .10 x 2 3
V x 100 x 3 3
1 100 12 100 33,3mt 3
;
3 3 100 400 V 2 .4 133,3mt 3 3 3
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s