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U N ID A D 4 : A P L ICA C IO N ES DE L A DER IV A DA

M A PA CO N CE PT U A L 1: A PL ICA C IO N E S D E LA D ER IVA D A

A p lic a c io n e s d e la d e ri va d a d e u n a fu n c ió n Se u tiliza n e n

P ro b le m a s de

T ra z a d o d e g rá fic a s

F ísic a

Ec o n o m ía

T e ore m a s bá sic o s

o p tim iza c ió n q u e so n

A p a rtir d e C rite rio d e la s e g un d a d e riv a d a

C rite rio d e la p rim e ra d e riv a d a

T e o re m a d e R o lle

q u e d e te rm in a

P unto s c rític o s

q u e d e te rm in a

T e o re m a d e l v a l o r

c uando

Inte rva lo s d e c re c im ie nto y d e c re c im ie nto

m e d io

C o nc a vid ad

f´(x)= 0 o

P unto s d e

f´(x)= n o ex iste

infle x ió n

f´(x)= 0 o

M á x im o s y m ínim o s

E x tre m o s re la tivo s si

es C re c ie n te si f´(x)> 0

x  i I C á lc ulo d ife re n c ia l

D e c re c i e n te si f´(x <0

x  i I

f(x ) e s d e riv a b le e n (a ,b )

f´(x)= n o ex iste s

es

i

f(x ) e s d e riv a b le e n I

Re gla d e L´h o p ita l

si

c uando

C ó n c a v a h a c ia

C ó n c a v a h a c ia

a rrib a si f´´(x )> 0

a b a jo si f´´(x )< 0

x  i I

x  i I

C o n sta n te si f´(x)= 0

x  i I C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


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A P L ICA C ION ES DE L A DER IV A DA

P a ra log ra r lo a nte rio r va m o s a d e sc rib ir c ad a una d e la s pa rte s d e la g ra fica d e una func ió n

A c o ntinua c ió n se d e sc rib e n lo s sig uie nte s p ro c eso s p a ra la s sig uie nte s a p lic a c io ne s d e la d e riva da . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.5.3.

Re p re se nta c ió n g ra fic a d e func io ne s P ro b le m a s d e ra z ó n d e ca m b io P ro b le m a s d e op tim iz a c ió n P ro b le m a s d e a p lica c io ne s e n física T e o re m a s te o re m a d e ro lle T e o re m a d e l va lo r m e d io Re g la d e l`ho p ita l

4.1.1.

C re cim ie n to d e riva d a )

c ua nd o de

inte rva lo

(C riterio

de

p rim e ra

x

f (x)

c re c e n

c re c e y q ue c ua nd o se m ue ve d e B a C lo s va lo re s

f (x) d e c re c e n

c ua nd o

x c re c e .

E nto nc e s, d e c im o s: q ue

x

c re c e

f (x) e s c re c ie nte e n f (x) c re c e , e sto e s:

un inte rva lo si a m e d id a

f x1   f x 2  sie m p re q ue x1  x 2 .

re p re se nta la g ra fic a d e una

f (x) e s d e c rec ie nte e n x cre c e f (x) d ec re c e, e sto e s:

U na func ió n q ue

f (x) p a ra x en

d e cre c im ie n to:

d e la c urva , d e sd e A hasta B , lo s va lo re s d e

4.1. R E PR ES EN T AC IÓN GR A FIC A D E F UN C IO N ES :

to d o

la fo rm a d e o b te ne rlas.

La fig ura 4 m uestra q ue c ua nd o un p unto se m ue ve a lo la rg o

U na func ió n

Sup o ng a m o s q ue la fig u ra 4.1. func ió n

y

f (x) y

un inte rva lo si a m ed ida

f x1   f x 2  sie m p re q ue x1  x 2

el

A, H  .

E n la fig ura 4 la func ió n e s c re c ie nte e n lo s inte rva lo s  A, B  , C, D 

A l traz a r e ste d ib ujo he m o s sup ue sto q ue p a ra to d o s lo s va lo re s d e x

La p rim e ra d e riva da d e la func ió n e s d e g ra n utilid a d p a ra d e te rm ina r lo s inte rv a lo s d e c re c im ie nto y d e c re c im ie nto d e

c e rra d o

en

f (x) e stá

d e riva d a d e

x

x.

e nto nc e s

d e finid a y q ue e x iste n la p rim e ra y seg und a

E nto nc e s c o m o

f (x) e s

f (x)

e s d ife re nc ia b le pa ra

c o ntinua pa ra to d o

x

d e l inte rva lo .

T e nie nd o c o m o re fe re nte lo a nte rio r d e se a m o s d e sc rib ir un p ro c e so q ue no s p e rm ita g ra fic a r una func ió n d e la fo rm a m á s e x a c ta p o sib le .

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

B, C  , D, F  .

f (x) , usa nd o e l sig uie nte te o re m a:

FI G U R A 4 .1 .

e ste

inte rva lo ,

to d o

y d e G, H  y d e c re c ie nte e n lo s inte rva lo s

T e ore m a 1 : Se a

f (x) una func ió n c o ntinua e n e l inte rva lo

c e rra d o a, b y d ife re nc ia b le e n e l inte rva lo a b ie rto

a, b ,  :

x e n a, b ,  , f (x) e s c re c ie n te e n a, b . f ( x)  0 p a ra to d o x e n a, b  ,  , f (x) e s d e c re c ie n te e n a, b . f ( x)  0 p a ra to d o x e n a, b ,  , f (x) e s c o n sta n te e n a, b .

S i f ( x)  0 p a ra to d o Si Si

La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


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4.1.2.

E xtre m o s re la tivo s

So n a q ue llo s va lo re s e n d o nd e la func ió n e s m á s a lta q ue sus c e rc a no s o m á s b a ja q ue sus c e rc a no s. E n la fig ura 4 so n e x tre m o s re la tivo s A , B, C , D , F, H. Lo s e x tre m o s re la tiv o s se d ivid e n e n: M á xim o rela tivo : U na func ió n tie ne un m áx im o re la tivo si: Sie nd o

f (x) c o ntinua

a lg e b ra ic o d e

en

a – c ua nd o

c y f (x) c a m b ia x c re c e ha c ia c .

su

sig no 4.1.3.

M ín im o re la tivo: U na func ió n tie ne un m ínim o re la tivo si: Sie nd o

f (x) c o ntinua

a lg e b ra ic o d e - a

en

c ua nd o

c y f (x) c a m b ia x c re c e ha c ia c .

E n re sum e n, p a ra e nc o ntra r lo s e x tre m o s re la tivo s func ió n

d e una

La c o nc a vid ad se re fie re a la p o sic ió n d e la func ió n c o n re sp e c to a la p e nd ie nte d e la re cta ta ng e nte. C o nc a vid a d h a cía a rrib a: Si en cada punto de un intervalo, la grafica de f (x) está siem pre por en cim a d e la recta tangente a la curva en el punto, entonces f (x) es cóncava ha cía arriba. Figura 4.3.a .

f (x) .

e nc o ntra r

2.

E nc o ntra r lo s núm e ro s c rític os d e f (x) , e sto es, x p a ra los c ua les f ( x)  0 o f (x) no e x iste .

4.

sig no

f (x) :

1.

3.

su

C o n c a vid a d (criterio d e la se g u n d a d e riva d a )

C o nc a vid a d h a cía a b a jo : Si en cada punto d e un intervalo , la gra fica lo s va lo re s d e

de

f (x)

está siem pre por d eb ajo d e la recta tang ente a la curv a en el

punto, entonc es

f (x)

e s cón cava ha cía aba jo. Figu ra 4.3 .b .

A p lic a r e l c rite rio d e m á x im o y m ínim o re lativo d e sc rito a nte rio rm e nte . La s fig ura s 4 .2.a ., 4.2.b., 4.2 .c ., y 4.2.d . m ue stra n c la ra m e nte e l c rite rio p a ra ha lla r lo s ex tre m o s re la tivo s, c ua nd o y c ua nd o

f (x)

f ( x)  0

no e x iste .

.

F ig ura 4 .3 .a C o nca v id a d hac ía a rrib a - Fig ura 4 .3 .b . C o nc av id ad ha cía a ba jo

C á lc ulo d ife re n c ia l

C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


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P a ra d ete rm ina r la c o nca vid ad d e una func ió n usam o s e l c rite rio d e la seg und a de riva da a tra vé s d e l te ore m a 2.

Si

T eo re m a 2: Se a

f (x) una

a, b

func ió n c o ntinua e n e l inte rva lo c e rra d o

f ( x)  0 la g ra fic a d e f (x) e s c ó nca va ha cía a rriba e n

c, f (c) .

Si f ( x)  0 la g ra fic a d e

c, f (c) .

4.1.4.

f (x) e s c ó nca va ha c ía a ba jo e n

c, f (c)

E l p unto

e s un p unto d e inflex ió n d e la func ió n

f (x) , si

la gra fica tie ne allí una re c ta ta ng e nte y si ex iste un inte rva lo

I Si Si

q ue c o nte ng a a

f ( x)  0 f ( x)  0

T e ore m a 3: si

f (x)

q ue c o nte ng a a g ra fic a

Si

f (x) ; e s d e c ir, f c   0 .

f (c)  0 e nto nc e s f tie ne un m ínim o re lativo e n c . f (c)  0 e nto nc e s f tie ne un m á x im o re la tivo e n c . f ( x)  0 e l c rite rio no d e c id e .

E n e l tra za d o d e g rá fic as e s im p o rta nte te ne r e n c ue nt a to d o s lo s c o nc e p to s visto s a nte rio rm e nte , a d e m ás, e l d o m inio d e la func ió n, la s inte rse c c io ne s c o n e l e je x y c o n e l e je y y la s a sínto ta s p a ra o b te ne r una a p rox im a c ió n ex a c ta d e la g ra fic a d e a func ió n. E n e l e je m p lo q ue se p la nte a a c o ntinua c ió n se a p lic a n to d o s esto s c o nc e p to s.

Pu n to s d e infle xió n

So n a q ue llo s p unto s d o nd e la c o nc a vida d c a m b ia , e sto es, p a sa d e se r c ó nc a va ha c ía a rrib a p a ra se r c ó nc a va ha c ía a b a jo y vic e ve rsa .

a b ierto

Si

y

c , :

d ife re nc ia b le e n e l inte rva lo a b ie rto a, b  q ue c o ntie ne a Si

p unto c rític o d e

de

c,

f (x) ,

si si

c , tal q ue si x e stá e n I , x  c y f ( x)  0 si x  c ó x  c y f ( x)  0 si x  c

e nto nc es:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a.

f ( x)  x 3  3x  2

e nc o ntra r:

D o m inio d e la func ió n Inte rse c c io ne s c o n e l e je x y c o n e l e je y. A sínto ta s, si la s ha y. P unto s c rític o s. Inte rva lo s d e c re c im ie nto y d e c re c im ie nto P unto s d e infle x ió n. Inte rva lo s d e c o nc a vida d. V a lo re s m áx im o s y m ínim o s usa nd o a lg uno d e lo s c rite rio s. H a lla r otro s p unto s si e s ne c e sa rio . T ra za r la g ra fic a .

e s d ife re nc ia b le e n a lg ún inte rva lo a b ie rto y si

c, f (c)

e nto nc e s

si

e s un p unto d e infle xió n d e la

f (c) e x iste ,

f (c)  0 .

El

re c íp ro c o d e l te o re m a no e s vá lid o . C riterio d e la se g u n d a d eriva d a p a ra h a lla r m á xim o s y m ín im o s re la tivo s: Sup ó ng a se q ue

E je m p lo 2: da d as:

f (x)

e s una func ió n d e riva b le ,

e n un inte rva lo a b ie rto q ue c o ntie ne a

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

c

f  e s

y adem ás

c o ntinua

c

e s un

S o lu c ió n :

f (x)

1.

D o m inio . C o m o

2.

e l d o m in io so n to d o s lo s re a le s. Inte rse c c io ne s: C o n e l e je x: func ió n.

e s una func ió n p o linó m ic a , e nto nc e s

es e nc o ntra r lo s va lo re s q ue ha c e n 0 a la

x3  3x  2  0   x  1  x  2   0  la s inte rse c c io ne s c o n e l e je x so n x  1 2

y

x  2

La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


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C on

el

e je

y:

So n

f (0)  (0)  30  2  2

aq ue llo s

va lo re s

de

3

Lue g o , la inte rsec c ió n c o n e l e je y e s

y  2.

3. A sín to ta s : La func ió n

f (x)

Sig n o de

Sig n o de

c on c lu sión

0

+

-

C rec ien te c ón c a v a

 1/ 2

27 / 8

-

-

D ec rec ien te c ón c a v a h a c ía a ba jo

0,1

1/ 2

5/8

-

+

D ec rec ien te c ón c a v a h a c ía a rriba

1, 

2

4

+

+

C rec ien te c ón c a v a h a c ía a rriba

In terv a lo

V a lor de p ru eba

f (x)

 ,1

2

 1,0

f  x 

f  x 

h a c ía a ba jo

no tie ne a sínto tas ho riz o nta le s ni ve rtic a le s

p o r se r func ió n p o linó m ica . 4. Pu n to s c rític o s: so n a q ue llo s va lo re s q ue ha c e n la p rim e ra d e riva d a 0, esto es, Lue g o ,

f x   0

f  x   3 x 2  3

E nto nc e s,

3x 2  3  0  3x 2  1  0  3x  1x  1  0

A sí lo s núm e ros c rític o s so n:

x  1 , x  1

Lo q ue ind ic a q ue los p unto s c rític o s so n:

1, f (1)  1,0

y

 1, f (1)   1,4

A sí, la fu n c ió n

f (x) es c rec ien te en lo s

in terv a lo s  ,1 y en el in terv a lo

5. Pu n to s d e

Form a g ra fic a

1,  , y

es d ec re c ien te

 1,1 .

in fle xió n : so n a q ue llo s va lo res q ue ha c e n la

se g und a d e riva da 0, e sto e s,

f x   0

f x   6 x E nto nc e s, 6 x  0  x  0 Lue g o , 0, f (0)  0,2 Lue g o ,

ha y un p unto d e infle x ió n

6.y 7. In terva lo s d e c re c im ie n to y d e cre c im ie n to e in terva lo s d e c o n c a vid a d : P a ra ha lla r e sto s va lo re s tra ba ja re m o s c o n la sig uie nte ta b la:

A sí, la a b a jo

fu n c ión en

f (x)

es c ó n c a v a

el in terv a lo

c ó n c a v a h a c ía a rrib a en

 ,0

h a c ía

y

f (x) es el in terv alo 0,   . Fig ura 4 .4 .

8 . V a lo re s m á x im o s y m ín im o s : U sa n d o d e riv a d a , e l v a lo r m á x im o e stá e n

1,0 , c o m o se m ue stra e n la ta b la .

e l c rite rio

 1,4

de

la p rim e ra

y e l v a lo r m ín im o e n

9 . O tro s p u n to s : N o e s ne c e sa rio d e te rm in a r m á s v a lo re s e n é sta fu n c ió n . 1 0 . g ra fic a : En la g ra fic a , fig u ra 4 .4 .se o b se rv a q ue : A y D so n los co rte s c o n el eje x . C c o rte c o n e l eje y p u n to d e in fle xió n . B M á x im o re la tiv o

A m ínim o re la tivo . C á lc ulo d ife re n c ia l

C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


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S o lu ción : 4.2. PRO B LE M AS DE RA ZÓ N DE C A M BIO

a.

d er iv ad a d e la fu n ció n d e po blació n .

LA D ER IV A DA C O M O R A ZÓ N D E C A MB IO :

La r az ó n d e cam b io d e la p o blación d ent ro d e 15 m es es s er á:

P15   215   20  50

p er so n as al m es .

dy dx

b. El cam bio real de la población durante el m es 16 es la diferencia entre

es u n a r az ón d e cam bio ins t ant án ea co n

la población al final del 16 m eses y la población al final del 15 m es. Es

x.

decir, Cam bio de población

r esp ect o al tiem po es la r espu est a a est a pr eg unt a. La d er iv ad a

y  f x 

E s d ecir, R azó n d e cam bio

 Px   2 x  20

¿ Cu án r áp id o v ar ía un a can tid ad? En g en er al, un a r azó n d e cam bio con

d e un a fu n ció n

La r az ó n d e cam b io d e la po b lació n con r es p ect o al t iem p o es la

r esp ect o a la v ariable

S i la fun ción r ep r es ent a po sición o

 

d ist an cia ent on ces la r azó n d e cam b io co n resp ect o al tiem po s e

P16   P15   16   20 16   8000  15   20 15   8000  8576  8525  51

int er pr et a com o v elo cid ad .

Personas.

La R az ón d e cam b io d e u n a fu n ció n con r es p ecto a s u v ariab le

e n la po bl a ci ón d ur a nte e l m e s 16 , e n e l li te r a l b. y la ra z ón d e c a m b io m e ns ua l a l

2

2

Com e nta r io: s ob re e je m pl o 1. L a c a us a d e q ue e x is ta d if e re n cia e n t re e l ca m b io re a l

in d ep en dient e es igu al a la in clin ación d e su g r afica, q ue s e m id e po r la p en dient e d e la r ect a t ang ent e el pun to en cu es tión . Pu es to qu e la p end ien t e d e la r ect a t ang ent e est á d ad a, po r la d er iv ad a d e u n a

com ie nz o d e l m e s , e n e l li te ra l a , e s que la ra zón d e ca m b io d e la p ob la ci ón v a r io d ur a n te e l m e s . L a ra zón d e ca m bi o i ns ta ntá ne a , e n e l li te r a l a ., pue d e cons id e ra rs e com o e l ca m bi o que o cu rre e n la po bla ci ón d ura nte e l m e s 16 s i l a ra zó n d e ca m b io d e la po bla ci ón pe rm a ne ce cons ta n te .

fu n ció n, se d edu ce qu e la r az ón d e cam bio es igu al a la d er iv ad a. S i d os can tid ad es est án r elacion ad as en tr e sí, en to n ces cu an do u n a d e ellas cam b ia con el t iem po , la ot r a cam b iar á t am bién . Po r lo t an to

su s r az on es d e cam bio

(con

r esp ecto

al tiem po ) est án

r elacion ad as ent r e sí. P or ello a est e tipo d e s itu acion es s e les llam a r az o n es d e cam bio r elacion ad as.

y  f x  ,

la r az ón d e cam b io d e

y co n

r es p ecto a

x,

est á d ad a

dy p o r la d eriv ad a d e f , es d ecir : R azó n d e cam b io  f x   dx E jem plo : S e es tim a q u e d ent ro d e co m un id ad ser á a.

P x   x 2  20 x  8000

x m eses

cu anto

cam b iar á

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

r ealm ent e

la r az ón d e cam b io d e

p o r la d eriv ad a d e

f

, es d ecir :

y co n

r es p ecto a

x,

est á d ad a

R az ó n d e cam b io po r cen tu al

dy f  x   100  100 dx En muchas situaciones prácticas la razón de cam bio de una f x  y ciudad de 5 millones de habitantes, la razón de cambio anual de 500 personas en la población sería insignificante, mientras que la misma razón de cambio tendría un efecto razón de cambio de una cantidad con el tamaño de esa cantidad.

la po blació n d e cier t a E jem plo

C u al ser á la r az ón d e cam b io d e la p o blación co n r es p ect o al

d ecim osex to m es?

y  f x  ,

importante en un pueblo de 2000 habitantes. La razón de cambio porcentual compara la

t iem p o d ent ro d e 15 m eses? b. En

Si

cantidad no es tan significativa como su razón de cambio porcentual. Por ejemplo, en una

D ef. 4.1. R az ón d e cam bio in st ant án ea. Si

D efinición 4.2. R az ón d e cam bio p or cen tu al.

la

po b lació n

du r ant e

el

2.

La

N t   t 2  5t  106

p r o du cción m il m illo n es

de

t

ciert a

b act er ia

er a

añ o s d esp u és d e 1980.

a. A que razón cambia el crecim iento con respecto al mismo tiempo en 1988?

La r az ó n d e cam b io po r centu al cam bia el crecim ient o con r es p ect o al t iem po en 1988? La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


111

E JE R C IC IO S R ESU E LT OS D E R A Z ÓN D E C A M B IO E n la s d o s d e finic io ne s a nte rio re s, se p la ntea un c aso e sp e c ia l d o nd e te ne m o s p ro b le m as d e ra z o n d e c a m b io , p e ro e s m e jo r te ne r un p ro c e d im ie nto g e ne ra l p a ra reso lve r e sto s p rob le m as. P ro c e d im ie nto q ue se re la c io na n a c o ntinua c ió n:

Si y e s una func ió n q ue d e p e nd e d e l tie m p o , e nto nc e s

dy dt

e s la

1. E n un insta nte d a d o lo s c a te to s d e un triá ng ulo re c tá ng ulo m id e n 8c m y 6c m , re sp e ctiva m e nte; e l p rim e r c ate to d e c re c e a ra z ó n d e 1cm /seg y e l seg und o c re c e a raz ó n d e 2c m /seg , ¿ c o n q ué rap id ez e stá c re c ie nd o e l á re a ? 1. G rá fic a y d a tos:

ra p id e z d e va ria c ió n d e y re sp e c to a t.

Lo s d a to s d e l p ro b le m a so n:

E n lo s p rob le m as so b re raz ó n d e c a m b io , se re lac io na n va riab le s q ue d e p e nd e n d e l tiem p o , si te ne m os una e c uac ió n q ue lig a d o s va ria b le s p o d em o s d e te ne r su ra p id ez d e va ria c ió n, d e riva nd o im p líc ita m e nte las va ria b le s re sp e c to a l tie m p o.

x = 8c m ,

E l m é to d o p a ra re so lve r e sto s p ro b lem a s e s e l sig uie nte : 1.

C o nstruir una fig ura q ue inte rp re te e l p ro b le m a, a sig ná nd o le le tra s a la s inte rvie ne n.

2.

P la nte a r una e c ua c ió n q ue inT e rvie ne n e n e l p rob le m a.

3.

d e riva r im p líc ita m e n te resp e c to a l tie m p o .

4.

lig ue

la s

e nunc ia d o d e l va ria b les q ue

va ria b le s

q ue

Re m p la za r lo s d a to s c o no c id o s e n la e c ua c ió n d e l p unto a nte rio r.

Y = 6 cm

dx  1cm / seg dt dy  2cm / seg y = 6c m , dt dA La inc ó g nita e s: dt 2.

3.

E c ua c ió n q ue liga la s va ria b le s:

X = 8cm

A

x.y 2

D e riva nd o im p líc ita m e nte re sp e cto a l tie m p o :

dA 1  dy dx    x.  . y  dt 2  dt dt  4. Re e m p la z a nd o lo s d a tos:

dA  1    8cm 2cm / seg   1cm / seg 6cm  dt  2 

dA  5cm 2 / seg dt E l á re a e stá c re c ie nd o e n e se insta nte a ra z ó n d e 5 c m

C á lc ulo d ife re n c ia l

2

/se g .

C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


112

2. La a rista d e un c ub o c re c e a ra z ó n d e 4c m /se g. ¡C o n q ué ra p id e z e stá c re c ie nd o e l vo lum e n c ua nd o la a rista es 10c m ?

1. G rá fic a y da to s: 2. E c ua c ió n

V =a

3

a = 10c m

3. D e riva nd o im p líc ita m e nte c o n re sp e c to a t:

dv da  3a 2 dt dt da  4cm / seg dt 4.

2. E c ua c ió n q ue lig a la s va riab le s:

a = 10c m Inc ó g nita:

dx  12m / seg dt r  25m y  16m dx dy  12m / seg 0 dt dt dr Incógnita : ? dt

r 2  x2  y2

3. D e riva nd o im p líc ita m e nte re sp e cto a l tie m p o :

dv ? dt

2

dr dx dy  2x  2 y dt dt dt

4. Re e m p la za nd o lo s d ato s:

Re e m p laz a nd o lo s da to s:

dv 2  310cm 5cm / seg  dt dv  1500cm 3 / seg dt

dx dy y dr dt , dr   dt dt r dt 2 dr 230.51m / seg  dt 25m

25m2  16m2 12m / seg  0

x

3

E l vo lum e n c re c e a una ve lo c id ad d e 1500 c m /se g.

25m

;

E l niño e stá so lta nd o la c ue rd a a raz ó n d e 9,22 m /se g 3. U n niño e stá e le va nd o una c o m e ta ; si c ua nd o la c o m e ta e stá a 16 m e tro s d e a ltura , un vie nto ho riz o nta l so p la a ra z ó n d e 12m /se g, ¿ c o n q ué ve lo c id a d e stá e l niño so lta nd o la c ue rd a d e la c om e ta, c ua nd o ha utiliz a d o 25 m e tro s? r = 25m y = 16m

1.

G rá fic a y da to s:

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

R es

la

re siste nc ia

o hm io s/m e tro

en

 / m  , L

o hm ino s

  , 

la

m  .

L A

d o nd e

re siste nc ia

la lo ng itud e n m e tro s y

A es

en

e l á re a

2

tra sve rsa l d e l m a te ria l e n m etro s2

x

R

4. La resiste nc ia d e un m a te ria l e stá d a d o p o r

á re a trasve rsa l c irc ula r,

Si p a ra un c ab le c o n

  10 , L  15m

y la re siste nc ia e sta

La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


113

c a m b ia nd o a raz ó n d e

15

 s

, ha lla r la raz ó n d e c a m b io d e l

ra d io d e l c a b le, c ua nd o e ste e s ig ua l a

0,01m .

So luc ió n:

dr  ? c ua nd o t  0,01m dt   10 , L  15m dR  15  dt s L E nto nc e s y a q ue R  , p o r á re a d e un c o n o A 2 c o m o e l d e l p ro b lem a te ne m o s q ue : A  r Re e m p la za nd o A e n R te ne m o s: L L  2 R 2  r r  dR  2 L 3 dr  r D e riva nd o dt  dt E l p ro b lem a p id e a

dR  2 L dr  dt r 3 dt

Re e sc rib ie nd o

dr  r 3 dR  dt 2L dt

D e sp e ja nd o

dr   0,01 15  dt 21015

y

d a d os:

c irc ula r re c to

dr dt

M a x im iz a r o m inim iz a r una m ag nitud, e s una d e la s ap lic a c io ne s m á s im p o rta nte s q ue tie ne e l c á lc ulo d ife re nc ia l; e n e ste a p a rta d o a p re nd e rem o s e l m é to d o d e p la nte a r y re a liz a r p ro b le m a s d o nd e se p reg unte p o r e l m á x im o o e l m ínim o d e una m a g nitud y ap la za re m o s p a ra la s p róx im a s se c c io ne s lo s p ro b le m a s d e a p lica c ió n a c a da c ie nc ia e n p a rtic ula r. C o m o no e x iste una re g la a p lic ab le p a ra to d o s lo s c a sos, p o d e m o s se g uir los sig uie nte s p a so s q ue no s p e rm itirá n re so lve r c o n é x ito lo s p ro b lem a s so b re m áx im o s y m ínim os. 1. P la nte a r la func ió n c uy o s m á x im o s m ínim o s d ese a m o s o b te ne r, c o n a y uda d e un g rá fic o, sie m p re y c ua nd o se a p o sib le . 2. Si la func ió n a nte rio r c o ntie ne m á s d e una va ria b le , e l p ro b le m a sie m p re d a sufic ie nte s d a to s q ue no s p e rm ita n p la nte a r una nue va func ió n q ue re la c io ne la s va riab le s q ue inte rvie ne n. 3. Sustituim o s e n la func ió n q ue p la nte a m o s e n e l p unto 1, la s re la c io ne s o b te nid a s e n e l p unto 2, y lo g ra m o s d e esta fo rm a te ne r la func ió n, ob je to d e e stud io c o n una so la va ria b le. 4. Se d e riva la func ió n re sulta nte, re sp e c to d e la va ria b le , a la c ua l q ue d a lig ad a , ig ua la nd o e sta d e riva da a c e ro , p a r a o b te ne r d e e sta fo rm a lo s p unto s q ue m a x im iz a n o m inim iza n la func ió n e n c ue stió n. E JE R C IC IO S R ESU E LT OS D E R A Z ÓN D E C A M B IO

3

dr m  1.57 x10 7 dt s

4.3. PRO B LE M AS DE O PT IMIZA C IÓ N ( M ÁX IM O S Y M ÍNIM O S .

Re e m p la za nd o lo s va lo re s d a d os.

C a lc ula nd o

1. E l p e rím etro d e un c ua d rilá te ro e s 20 m e tro s. ¿C uá les d e b e n se r su la rg o y a nc ho q ue d a n e l á rea m á x im a ?

y

R e sp u e sta : la raz ó n d e c a m b io d e l ra d io d e l c a b le, c ua nd o e ste e s ig ua l a

0,01m

C á lc ulo d ife re n c ia l

es de

 1.57 x10 7

m . s

x C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


114

1. F unc ió n q ue se d e se a m a x im iza r A = x . y a nc ho y y es la rg o 2.

3.

( 1) d o nd e

x es

F unc ió n q ue re la c io na la s va ria b le s: P e rím e tro: 2x + 2y = 20, e nto nc e s y = 10 – x A l sustituir ( 2) e n ( 1) ob te ne m o s la func ió n A( x) c o n una so la va riab le .

 20  2 x  A  x   x(10  x)  2 

4. C a lc ule m o s e l m á x im o o m ínim o

3. A l sustituir ( 2) e n ( 1) :

A  2x r 2  x 2

4. C á lc ulo d e l m á x im o o m ínim o:

dA 2x2 dA 2r 2  x 2   2 x 2  2 r 2  x2   0,  0 dx dx r 2  x2 r 2  x2 2(r 2  x 2 )  2 x 2  0 r2 2 Luego x  , x  2 2 2

r

2 (6cm)  4.24cm, 2

h  36cm2  18cm2  4.24cm.

dA  10  2 x  0 dx 10 x 5 2

R. E l c u a d ra d o d e 4 .2 4 c m d e la d o e s el c u a d rilá te ro d e m a y o r á re a in sc rito e n e sta se m icirc u n fe re nc ia .

Lue g o x = 5m e s un p unto c rític o . y = 10 -5 d e lad o .

y = 5m

E l á re a m áx im a la tie ne e l c ua d rad o d e 5m

4.4. PRO B LE M AS DE A PLIC A C IO N ES A FÍSIC A

A p lic a c io ne s a la c ine m átic a 2. H a lla r e l á re a m á x im a d e un c ua d riláte ro , insc rito e n una se m ic irc unfe re nc ia d e 6m d e ra d io.

1.

2.

F unc ió n q ue se d e se a m ax im iz a r: Á re a d e l c uad rilá te ro: A = 2x .h ( 1) F unc ió n q ue liga la s va ria b le s: La s va ria b le s x y h, se p ue d e n re la c io na r c o n e l te o re m a d e P itá g o ras:

h  r 2  x 2 (2) C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

M O VIM IE NT O REC TILLIN EO Re c o rd e m o s q ue la c ine m á tic a e s la ra m a d e la físic a q ue e stud ia e l m o vim ie nto d e lo s c ue rp o s, lim itá nd o se a su d e sc rip c ió n. C ua nd o un m ó vil se d e sp la z a g e ne ra lm e nte lo ha c e c a m b ia nd o su ve lo c id a d c o ntinua m e nte , d e p e nd ie nd o é sta d e l tie m p o tra nsc urrid o. E n la fig ura se rep re se nta el m o vim ie nto d e un c ue rp o q ue sig ue una tra y e cto ria d a da ; e l La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


115

tie m p o tra nsc urrid o e stá rep re se ntad o e n e l e je d e la s a b sc isa s y la s d ife re nte s p o sic io ne s q ue o c up a e l c ue rp o e n e l e je d e la s o rd e na d a s. La p e nd ie nte d e la re c ta ta ng e nte a la c urva, e n un tie m p o da d o , re p re se nta la ve lo c id a d q ue lle va e l m ó vil e n e se insta nte :

C a lc ula r la ve lo c id a d q ue

lle va e l m ó vil c ua nd o t=4se g. La ve lo c id a d e n c ua lq uie r insta nte se o b tie ne , c a lc ula nd o

, la e xp re sió n q ue rig e e l m o vim ie nto d e l c ue rp o e s

at 2 2

te rre stre e s c o nsta nte g =9,8m /seg

La p o sic ió n d e un c ue rp o q ue se m ue ve a lo la rg o d e una líne a re c ta ; e n un tie m p o t; e st á d a da p o r la e x p re sió n x e n m e tro s.

2

C o m o la a c e le ra c ió n q ue se e xp e rim e nta c e rca d e la sup e rfic ie

E JE R C IC IO S R ESU E LT OS : A P L IC A C ION E S A L A F ÍS IC A

v(t ) 

g =9,8m /seg

x(t )  v0 t 

dx v dt

x(t )  3t 2  18t  5 ,

La le y d e l m o vim ie nto d e un c ue ro so m e tid o a una a c e le ra c ió n q ue se e xp e rim e nta c e rca d e la sup e rfic ie te rrestre e s c o nsta nte

dx . dt

dx  6t  18 dt

m o vim ie nto d e l c ue rp o e s la

a ltura ,

v0

la

2

, la ex p re sió n q ue rig e e l

gt 2 y (t )  v0 t  2

ve lo c id a d

inic ia l, g

la

, d o nd e y re p re se nta a c e le ra c ió n d e la

g ra ve d ad q ue c o nsid e ra m o s ne ga tiva p o rq ue se o p o ne a l m o vim ie nto d e l c ue rp o y t e l tie m p o tra nsc urrid o .

C o m o q ue re m o s ob te ne r la a ltura m á x im a , d e b e m os ha lla r

dy dt

e ig ua la rla a c e ro ( 0) .

P o r lo ta nto, v( 4seg ) =6( 4) – 18=6m /seg . La d e riva d a resp e c to a l tie m p o d e la ve lo c id ad se llam a a c e le ra c ió n d e l m o vim ie nto .

a

dv dt

a ( t) = v´( t) = x ´´(t)

2. ¿ Q ué a ltura m á x im a a lc a nz a una p ied ra q ue se la nz a ve rtic a lm e nte ha c ia a rrib a c o n una ve lo c id ad inic ia l d e 20m /se g ?

ymáx 

dy 0 dt

dy  v0  gt  0 . dt

Lueg o

t

v0 20m / seg , t  2,04seg g 9,8m / seg 2

H a lla m o s

(9,8m / seg 2 )( 2,04 seg ) 2 y (2,04 )  (20 m / seg )( 2,04 seg )   20 ,39 m 2 La p ie d ra a lca nz a una a ltura m á x im a d e 20,39 m . M o vim ie n to re c tilín e o C ua nd o se a na liz a e l m o vim ie nto re c tilíne o , p ue d e sup o ne rse q ue un o b je to se d esp laz a a lo la rg o d e un e je d e c o o rd e na d a s. La d ista nc ia o d e sp laz a m ie nto d e l o b je to d esd e e l o rig e n e n lo s e je s e s una func ió n d e l tie m p o t y c o n fre c ue nc ia se re p re se nta c o m o

C á lc ulo d ife re n c ia l

s t  .

La ra z ó n d e c a m b io d e l C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


116

d e sp laz a m ie nto c o n re sp e c to a l tie m p o e s la ve lo c id ad

v t 

del

3t 2  12 t  9  0  3t  1t  3  0

o b je to , y la raz ó n d e c a m b io d e la ve lo c id ad c o n re sp e c to a t

a t  .

e s su a c e le ra c ió n

D e sp e ja nd o

. U n o b je to q ue se m ue ve e n líne a re c ta c o n d e sp la z a m ie nto

s t  tie ne

ve lo c id a d

d e riva d a d e

vt  

s t  ) .

ds dt

y

at  

a c e le ra c ió n

dv ( 2da . dt

vt   0

E l o b je to e stá a v a n z a n d o c u a n d o

El objeto está retrocediendo cuando vt   0 y El obje to está estacion ado cu an do

La b a c te ria a va nza sig uie nte ta b la:

vt   0

Si la dista ncia se m id e e n m etro s y e l tie m po e n seg und os, la ve loc ida d se m ide e n m seg y la ac e le ra ció n e n m 2 . D e ig ua l seg

m ane ra, si la d ista nc ia se m ide e n p ie s, la ve lo c idad se m id e e n pies pies . seg y la ac ele rac ió n e n 2 seg

t 1 y t  3.

o re tro c e d e c o m o se m ue stra

S ign o d e

v t 

In te rv a lo

N o . in te rv a lo

0  t 1

1

2

+

1 t  3

2

-

3t 4

3,5

+

e n la

D e sc rip c i ó n d e l m o v im ie n t o

A va nz a d e s0  5

s1  9

a

Re tro c e d e d e s1  9

a

s3  5

A va nz a d e s3  5 a

s4  9

E je m p lo 3. E l d e sp la za m ie nto d e una b a c te ria q ue se m ue ve e n líne a re c ta e n e l tie m p o t está d a d o p o r

s t   t 3  6t 2  9t  5 .

a . H a lla r la ve lo c id a d d e la b a cte ria y a na liza r su m o vim ie nto e ntre lo s tiem p o s

t 0

y

E l m o vim ie nto d e l o b jeto se m ue stra e n la sig uie nte fig ura .

t  4.

b . H a lla r la d ista nc ia to ta l re c o rrid o

p o r e l ob je to e ntre lo s

tie m p o s t  0 y t  4 . c . H a lla r la ac e le ra c ió n d e l o b jeto y d ete rm ina r c ua nd o e stá a um e nta nd o o d ism inuye nd o su velo c id ad e ntre los tiem p os t  0

s 1

y t  4.

s 0 

0

S o lu c ió n : a . La

s 4 

s 3

ve lo c id a d

es

ds vt    3t 2  12t  9 dt

el

o b je to

e sta rá

5 Figura 1.

9

e sta c io na rio c ua nd o la d e riva d a d e s t  se a 0. e sto e s: c ua nd o

t 1

y

t  3.

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

Lo

c ua l

se

o b tuvo : La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


117

4.5.

con que e l v alor d e la func ión s e a e l m is m o p ar a x = a

T E O R EM A S

y

x = b

y

no

ne ce s ar iam e nte s e an ig uale s a ce r o. E n la fig ur a d e la iz quie r d a s e ilus tr a

T e ore m a d e R o lle: E l T e o re m a d e Ro lle se a trib uy e a l m a te m átic o fra nc é s M ic he l Ro lle ( 1652 -1719). Se usa pa ra c a lc ula r m á x im o s y m ínim o s. T e o re m a d e Ro lle : Si f e s una func ió n e n la q ue se c um p le: ( i) f e s c o ntinua e n e l inte rva lo c e rra d o [a , b ] ( ii) f e s d ife re n c iab le e n e l inte rva lo a b ie rto (a , b ) ( iii) f (a ) = 0 y f ( b) = 0 E nto nc e s, e x iste un n úm e ro c q ue p e rte ne c e a (a , b) ta l q ue f '( c ) = 0 E n la fig ur a 4 .8 . d e la inte r p r e tación

las

de

R olle .

se

ob s e r v ar

r e quie r e

el

f en

es

[a, b ]

e

(a)

=

f

(b )

=

se

p ue d e

ob s e r v ar

el

p unto

d ond e

e n p a rtic u lar, c o n tin u a

1,3.

ab s cis a la

es

f (1)  12  41  3  1  4  3  4  4  0

C o nc luim o s e nto nc e s, q ue

c  1,3, t.q. f c   0

0.

T am b ié n (cuya

f e s u n a fu n ció n p o lin óm ia l, p or lo ta n to f e s c o n tin u a e n R y ,

Figu ra 4 .8 .

inte g r ab le e n (a, b ), y f

i.

f (3)  32  43  3  9  12  3  12  12  0 f (1)  f (3)  0

cum p le n

cond icione s

T e or e m a: con tinu a

f ( x)  x 2  4 x  3; 1,3

S o lu c ió n :

iii.

p ue d e

se

tr e s

que

1.

del

T e or e m a C om o

E je m p lo :

ii. F e s u n a fu n ció n p o lin om ia l; p or lo ta n to f e s d ifere n c ia b le e n r, y e n p a rtu ic ula r, f e s d ifere n c ia b le e n (1,3).

d e r e cha s e ilus tr a la g e om é tr ica

e s te he ch o

H a lle m o s a c.

f x   2 x  4

c)

r e cta

tang e nte a l a g r áfica

E nto nc e s

d e f e s p ar ale la al e je

f c   2c  4  0  c  2

x , e s d e cir d ond e s e cum p le que f '(c) = 0 . E l T e or e m a d e R olle

Figu ra 4 .9 .

e s s us ce p tib le de una m od ificaci ón e n s u e n unci ad o que n o alte r a p ar a nad a la con clus ió n d e l m is m o. E s ta s e r e fie r e al p unt o (iii) f (a) = f (b ): b as ta C á lc ulo d ife re n c ia l

C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


118

4.5.2. Te o re m a d e l va lo r m e d io : E s una g e ne ra liz a c ió n d e l te o re m a d e ro lle . p a ra ha lla r m á x im o s y m ínim o s.

Ta m b ié n se usa

T eo r em a d el V alor m edio :

ii.F es u n a fu n c ió n p o lin o m ia l; p o r lo ta n to f e s d ife re nc ia b le e n r, y e n p a rtu ic ula r, f e s d ifere n c ia b le e n (1,3).

iii.

S i f es un a fun ción en la qu e se cu m ple q u e: (i)

f es co n tinu a en el in t er v alo cer r ado [a, b ]

(ii)

f es d ifer en ciab le en el in t er v alo ab iert o (a, b )

f (1)  12  41  3  1  4  3  4  4  0

f (3)  32  43  3  9  12  3  12  12  0 f (1)  f (3)  0

E nt on ces, ex ist e u n nú m er o c qu e p ert en ece a (a, b ) t al q u e

f c  

f b   f a  ba

C o nc luim o s e nto nc e s, q ue

c  1,3, t.q. f c   0

H a lle m o s a c. A

la

iz quie r d a

se

f x   2 x  4

ob s e r v a una ilus tr ació n de

la

inte r p r e tación

g e om é tr ica T e or e m a

del del

E nto nc e s

V alor

f c   2c  4  0  c  2

m e d io. E l te or e m a afir m a q ue

4.5.3.

s i la fun ció n e s c ont inu a

R e g la d e l´ h o p ita l:

e n [a,b ] y d ife r e nciab le e n (a,b ), e x is te un p unto

E s u tiliza d a p a ra c a lc u lar lím ite s q ue d e o tra m a ne ra se ría c o m p lic a d o ca lc ula r. E n te m a s tra tad o s a nte rio rm e nte se c a lc ula ro n lím ite s d e func io ne s ra c io na le s y la s fo rm a s

c e n la cur v a, e ntr e A y B,

d ond e

la

r e cta

tang e nte e s p ar ale la a la r e cta que p as a p or A y B . E s to e s ,

E je m p lo :

0 e  , d a nd o re sp ue sta a a lg uno s d e e llo s. 0 

Acá

o tra

f ( x)  x 2  4 x  3; 1,3

p unto

f e s u n a fu n c ió n p o lin ó m ia l, p or lo ta n to f e s c o n tin u a e n R y , e n p a rtic u la r, co n tin u a

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

d a re m o s

fo rm a

de

re so lve r

lím ites

de

fo rm a s

0e . ind e te rm ina d as 0  Si f x  y g  x  so n func io ne s d e riva b les y g  x   0 c e rc a d e un

S o lu c ió n : i.

ind e te rm ina d as

1,3.

a

y

a d e m ás

lim f x   0 y x a

lim f x    y lim g x    e nto nc e s lim x a

xa

x a

lim g x   0 , x a

f x  f  x   lim g  x  xa g  x 

La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s

o


119

Pa ra c a lc u la r lím ite s p or la re g la d e l´ h o p ita l, se p roc e d e a sí: a . H a ga sustituc ió n d ire c ta y ve rifiq ue q ue se te ng a una fo rm a 0o .  0 b . Si lo a nte rio r se d a , d e rive e l num e rad o r y e l d e no m ina d o r d e la func ió n ra c io na l p o r sep a rad o . ( NO T A: N O E S A P LIC A R REG LA D E L C O C IE NT E ). c . Se c a lc ula lim f  x  xa

g  x 

 , se a p lica suc e sivam e nte la reg la d e l´ho p ita l hasta p o d e r  c a lc ula r e l lím ite .

x 2  2x  1 x  1 x 1

b.

x x  x 2

lim

c.

lim

x 1

ln x x 1

   

x 2  2x  1 x  1 x 1 lim

ha c ie nd o sustituc ió n d ire c ta , o b te ne m o s

una fo rm a ind e te rm ina d a

0 , 0

 x x x lim  lim  lim x  2 x x  2 x  x 2

 

c.

lim

lim

x 1

A p lic a nd o sustituc ió n d ire c ta

b.

x x  x 2

lim

una

fo rm a

ind e te rm inad a

 , 

p o r sustituc ió n d ire c ta

p o r lo ta nto

x lim 2   x  x

ha c ie nd o sustituc ió n d ire c ta , ob te ne m o s una fo rm a

0 0

, e nto nc e s p o d e m o s c a lc ula r e l lím ite usa nd o

re g la d e l´ho p ita l.

 x 2  2x  1 x 2  2x  1 2x  2 lim  lim  lim  lim 2x  1  x 1 x   1 x   1 x 1 x 1 1 x  1

x 1

x 1

ln x x 1

ind e te rm ina d a

e nto nc e s p o d e m o s c a lc ula r e l

lím ite usa nd o re g la d e l´ho p ita l.

 lim 2x  1  0

nue va m e nte

A p lica nd o sustituc ió n d ire c ta ,

e nto nc e s a p lica m o s nue vam e nte reg la d e l´ho p ita l.

S o lu c ió n : a.

e nto nc e s p od e m o s c a lc ula r e l lím ite usa nd o

 x x x lim 2  lim  lim  x  2 x x  x x  x2

x  lim   x  2 2

E je m p lo s: C a lc ula r lo s sig uie nte s lím ites:

lim

 , 

re g la d e l´ho p ita l.

o b te ne m o s

  d . si lim f x sig ue sie nd o una ind e te rm ina c ió n d e la fo rm a 0 o x  a g  x  0

a.

ind e te rm ina d a

p o r lo ta nto

ln x  lim 1 x  lim x ln x  lim x  1 x1 x  1 x1 1 x1

por

sustituc ió n

d ire c ta

lim x  1 x 1

P o r lo ta nto

lim

x 1

ln x 1 x 1

x 2  2x  1 0 x  1 x 1 lim

ha c ie nd o sustituc ió n d ire c ta , ob te ne m o s una fo rm a

C á lc ulo d ife re n c ia l

C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


120

E JE R C IC IO S P R OPU E ST O S U N IDA D 4 E J E RC IC IO S DE M A XIM O S Y M ÍN IM O S 1.

2.

1.

Inve stiga r, m e d ia nte e l c rite rio d e la p rim e ra d e rivad a , lo s m á x im o s y m ínim o s d e la s func io ne s s ig uie nte s.

2. 3.

s  3t 2  1; t1  3 1 1 s  ; t1  4t 2 3 2 s  2t  t  5; t1  1 2t s ; t1  0 4t

a)

f ( x)  x 2  2 x  3

b)

f ( x)  x 3  2 x 2  4 x  8

c)

f ( x)  2  x 

f ( x )   x  4   x  3

E je rc ic io s d e l te o re m a d e l va lo r m ed io y d e l te o re m a d e Ro lle

d) e)

f ( x)  x  1

E n lo s e je rc ic io s 1 y 2, ve rifiq ue q ue la s tres c o nd ic io ne s d e la hip ó te sis d e l te o re m a d e Ro lle so n sa tisfe c ha s p o r la func ió n e n e l inte rva lo ind ic a d o . D e sp ués o b te nga un va lo r a d e c ua d o p a ra c q ue sa tis fag a la c o nc lusió n d e l te o re m a d e Ro lle. Ap o y e la e le c c ió n d e c g rá fic a m e nte tra za nd o e n e l m ism o re ctá ng ulo d e insp e c c ió n la s g rá fic a s f y d e la re c ta ta ng e nte ho riz o nta l e n e l p unto ( c ,f( c )) .

4.

3 4

3

1 3

x  223

Inve stiga r, m e d ia nte e l c rite rio d e la seg und a d e riva da , los m á x im o s y m ínim os d e la s func io ne s sig uie nte s. D e te rm ina r a d e m á s lo s p unto s d e infle x ió n y los inte rva lo s e n lo s c ua les la c urva es c ó nc a va ha c ia a rrib a y c ó nc a va ha c ia ab a jo . a)

f ( x)  3  2 x  x 2

b)

f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  8

f ( x)  x 2  4 3 d) f ( x )   x  1 c)

1. 2.

2

E je rc ic io s d e m o vim ie nto re c tilíne o E n lo s e je rc ic io s 1 a l 4, una p a rtíc ula se m ue ve a lo la rg o d e una re c ta ho riz o nta l d e a c ue rd o a la e c ua c ió n ind ic a da , d o nd e s m e tro s e s la d ista nc ia d irig id a a p a rtir d e l o rig e n a los t se g und o s. D e te rm ine la ve lo c id a d insta ntá ne a v( t) m e tro s p o r se g und o a lo s t seg und o s, d e sp ué s c a lc ule p a rtic ula r d e t1 C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

vt1 

p a ra e l va lo r

f ( x)  x 2  4 x  3; 1,3  1  f ( x)  sen 2 x; 0,    2 

E n lo s e je rc ic io s 3 y 5, ha g a lo sig uie nte : ( a) tra c e la g rá fic a d e la func ió n e n e l inte rva lo ind ic a d o; ( b) ve rifiq ue la s tre s c o nd ic io ne s d e la hip ó te sis d e l te o re m a d e Ro lle, y d e te rm ine q ué c o nd ic io ne s so n sa tisfe c ha s y c uá le s, si la s ha y, no se sa tisfa c e n ; ( c) si la s tre s c o nd ic io ne s d e l inc iso (b ) so n sa tisfe c ha s, e nto nc e s d e te rm ine un p unto d e la g rá fic a e n e l q ue e x ista una re c ta ta ng e nte ho riz o nta l y a p o y e g rá fic a m e nte la re sp ue sta .

3.

f ( x)  x

4

3

 3x 3 ; 0,3 1

La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s


121

4.

5.

x 2  x  12 ;  3,4 x  13 x 2  4 si x  1  8 f ( x)   ;  2,  5 5 x  8 si 1  x  f ( x) 

12.

f ( x)  3x  4 3 ; a  4, b  5 2

P RO B LEM A S Re sue lve lo s sig uie nte s p ro b le m as:

E n lo s e je rc ic io s 6 y 10, ve rifiq ue q ue la s hip ó te sis d e l te o re m a d e l va lo r m e d io so n sa tisfe c ha s p o r la func ió n e n e l inte rva lo ind ic a d o [a ,b ]. D e sp ué s o bte ng a un va lo r a d e c uad o p a ra c q ue sa tisfag a la c o nc lusió n d e l te o re m a d e l va lo r m ed i o . A p o y e la e le c c ió n d e c g rá fic am e nte tra z a nd o e n e l m ism o re c tá ng ulo d e insp e c c ió n la g rá fic a f e n e l inte rva lo c e rra d o , la re c ta ta ng e nte e n e l p unto ( c , f( c) ), y la re c ta se c a nte q ue p a sa p o r lo s p unto s ( a, f( a) ) y ( b, f( b) ), o b se rva nd o q ue la re c ta ta ng e nte y la re c ta se ca nte so n p a ra le la s.

6.

f ( x)  x  2 x  1; 0,1

7.

f ( x)  x 3 ; 0,1

2.

3.

2

2

 1 1  f ( x)  1  cos x ;   ,    2 2  2 9. f ( x )  x ; 3,5  1  10. f ( x )  senx; 0,    2  8.

P a ra c ad a una d e la s func io ne s d e lo s e je rc ic io s 11 y 12, no e x iste un núm e ro c e n e l inte rva lo ( a , b ) q ue satisfag a la c o nc lusió n d e l te o re m a d e l va lo r m e d io. E n ca d a e je rc ic io , d e te rm ine q ué pa rte d e la hip ó te sis d e l te o re m a d e l va lo r m e d io no se c um p le . D ib uje la g rá fic a d e f y la re c ta q ue p a sa p o r lo s p unto s ( a, f(a )) y ( b, f(b )) .

11.

1.

f ( x) 

4 ; a  1, b  6  x  3 2

C á lc ulo d ife re n c ia l

Se va a c o nstruir una ve nta na e n fo rm a d e re c tá ng ulo c o ro na d o p o r un se m ic írc ulo c uy o d iá m e tro e s ig ua l a l a nc ho d e l re c tá ng ulo . Si e l p e rím e tro d e la ve nta na e s 4.8 m e tro s, ¿ q ué d im e nsio ne s p e rm itirá n e l m a y o r p a so d e luz ? U n fa b ric a nte d isp o ne d e lá m ina s c ua d rad a s e ta b ló n d e 40 c m d e la d o . Si d e se a c o nve rtir la s la m ina s e n c a ja s, re c o rta nd o c ua d ra d os e n la s o rilla s ¿ q ué d im e nsio ne s ha n d e te ne r e sto s c ua d ro s re c o rta d o s, p a ra q ue la s c a jas te ng a n la m á x im a c ap a c ida d ? U n a la m b re d e c o b re d e 40 c m d e lo ng itud se d e se a c o rta r e n d o s tro z o s p a ra fo rm a r c o n e llo s un c uad ra d o y un tria ng ulo e q uilá te ro. H a lla la s d im e nsio ne s d e lo s tro z os p a ra q ue :

a) b) c)

La sum a d e sus á re a s se a m ínim a La sum a d e sus á re a s se a m áx im a U n d e p ó sito a b ie rto d e ba se c ua d ra d a ha d e te ne r un 3

vo lum e n d e 32 d m . Ha lla la s d im e nsio ne s pa ra q ue la c a ntid a d d e m a te ria l sea m ínim a . 3

d)

U n fa b ric a nte e la b o ra va so s d e a lum inio d e 16 c m de vo lum e n y d e fo rm a d e c ilind ro re cto c irc ula r sin ta p a. H a lla las d im e nsio ne s q ue p e rm ite n utiliz a r un m ínim o d e m a te ria l.

A P LIC A C IO N E S 1.

U n d isc o m e tá lic o se d ilata d eb id o a l c a le ntam ie nto a q ue e s so m e tid o ; s i e l rad io c re c e a ra z ó n d e 0,25 c m /se g, ¡c o n q ué ra p id e z está c re c ie nd o e l á rea , c ua nd o e l rad io e s 8c m ?

C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a


122

R ESP U ES TA A EJ ER C IC IO S PR O PU ES T OS U N IDA D 4

v(t )  

2.

M A XIM O S Y M ÍN IM O S

1 ; 1 4t 2

1. a) b)

x = -1 d a un m ínim o re la tivo -4

2 x 3

d a un m ínim o re la tivo

256  27

c ) N i m áx im o ni m ínim o d ) X = 0 d a un m á x im o re la tivo 6912; x =4 d a un m ínim o re la tivo 0; x = -3 no da nad a . e ) x = -2 d a m áx im o re la tivo 0; x = 0 da m ínim o re lativo

3 4;

x = 1 no da nad a .

3.

v(t )  6t 2  2t ; 8

4.

v(t ) 

8 1 ; 2 4  t  2

T E O RE M A D E RO LLE Y V A LO R M E D IO

2. a ) x =1 d a un m á x im o re la tivo ; no ha y p unto s d e infle x ió n, c ó nc a va ha c ia a b a jo e n to da s p a rtes. b ) x =1 d a un m áx im o re la tivo -4; x =3 d a un m ínim o re la tivo -8; p unto d e infle x ió n e n x =2; c ó nc a va ha c ia a rrib a e n x >2, c ó nc a va ha c ia a ba jo e n x <2.

x  2 d a un m ínim o 2 3 re la tivo ; p unto d e infle x ió n e n x   ; c ó nc a va 3 2 3 2 3 ha c ia a rrib a e n x  y x , , c ó nc a va 3 3 2 3 2 3 x ha c ia ab a jo e n  3 3

c ) X = 0 d a un m á x im o re la tivo 16;

d ) N i m á x im o ni m ínim o ; p unto d e infle x ió n e n x =0; c ó nc a va ha c ia a rrib a e n x >0, c ó nc a va ha c ia ab a jo e n x <0.

1. 2

(c)

2.

1  4

3. ( b) ( i), ( ii), ( iii) se sa tisfa c e n

3 93  6  , 4 8 

3. (b ) ( i) no se sa tisfa c e

6.

8 27

7. 0

8. 4

10. ( i) no se sa tisfa c e

4. (b ) ( ii) no se sa tisfa c e

9.

cosc 

2

5.

1 2

; c  0.8807

11. ( ii) no se sa tisfa c e

M O VIM IE NT O REC TILÍN EO 1.

v( t) = 6t; 18

C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :

La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s

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