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U N ID A D 1 : F U N C IO N E S Y S U S G R A F IC A S Intro d uc c ió n: Q uiz á s la id ea c e ntra l e n la m a te m átic a sea e l c o nc e p to d e func ió n. E n la histo ria d e la m a te m á tica , p a re c e se r REN É D E SC A RT E S q uie n intro d ujo p rim e ra m e nte e n e l a ño d e 1637 e l c o nc e p to d e func ió n, p a ra sig nific a r la p o te nc ia e nte ra d e la va ria b le x . P o ste rio rm e nte LE IB NIZ ( 1646 – 1716) utiliz ó d ic ho c o nc e p to p a ra d e no ta r la s c a ntida d e s a so c iad a s a una c urva. LE O N H A RD E U LE R ( 1706 – 1783) lo utiliz ó lue g o pa ra id e ntific a r la re la c ió n e ntre va ria b le y c o nsta nte s e n una fó rm ula. P e ro , la d e finic ió n q ue se usa a c tua lm e nte d e func ió n e s d e b id a a D IRIC H LET ( 1805 – 1859) la c ua l d e sc rib e a una func ió n c o m o u na re g la d e c o rre sp o nd e nc ia e ntre d o s c o njunto s. Intuitiva m e nte se c o nsid e ra q ue la c a ntida d c a ntid a d

x,

e s func ió n d e la

si e x iste a lg una re g la, le y o p ro c e d im ie nto q ue

y,

p e rm ita a sig na r un va lo r únic o d e c o nsid e re d e

y

x

p a ra c a da va lo r q ue se

, d e ntro d e c ie rto c o njunto p o sib le d e v a lo re s.

M uc ha s ve c e s e s p o sib le ex p re sa r d ic ha re g la o le y p o r m ed io d e una e c ua c ió n m a te m á tic a c om o o c urre p o r e je m p lo, c o n e l á re a

y

d e un c írc ulo , e n func ió n d e l ra d io

x ; y  px 2 ;

y

p a ra c a da va lo r d e

x.

Lo q ue inte re sa re a lm e nte es p o d e r d e te rm ina r un c o njunto d e p a re s o rd e na d o s

 x, y  , ind e p e nd ie nte m e nte d e

q ue re la c io na la s va ria b les

x

e

e m p íric a o sim p le m e nte d e sc riptiva .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

y es

C ua nd o se va a l m e rc a d o o a c ua lq uie r c e ntro c o m e rc ia l, sie m p re se re la c io na un c o njunto d e d e te rm ina d o s o b je to s o p ro d uc to s a lim e ntic ios, c o n e l c o sto e n p e so s p a ra a sí sab e r c uá nto p o d e m o s c o m p ra r; si lo lle va m o s a l p la no , p o d em o s e sc rib ir e sta c o rre sp o nd e nc ia e n una e c ua c ió n d e func ió n "x " c o m o e l p re c io y la ca ntid ad d e p ro d ucto c o m o "y ". E l c o nc e p to d e func ió n e s e l m e jo r o b je to q ue lo s m a te m á tic o s ha n p o d id o inve nta r p a ra e x p resa r e l c a m b io q ue se p ro d uc e e n la s c o sa s a l pa sa r e l tiem p o .

o tra s

ve c e s e s d ifíc il o a ún im p o sib le ha lla r la fó rm ula m a te m á tic a q ue re la c io na la s va riab le s x e y a unq ue sig a sie nd o p o sib le la a sig na c ió n d e un va lo r únic o d e

A sí, te nd ie nd o e n c ue nta la d e sc rito e n la c o lum na a nte rio r, g e ne ra lm e nte se ha c e uso d e las func io ne s re a le s, (a ún c ua nd o e l se r hum a no no se d a c ue nta), e n e l m a ne jo d e c ifra s num é ric a s e n c o rre sp o nd e nc ia c o n o tra , d e b id o a q ue se e stá usa nd o sub c o njunto s d e lo s núm e ro s re a le s. La s func io ne s so n d e m uc ho va lo r y utilid a d p a ra re so lve r p ro b le m a s d e la vida d ia ria, p ro b le m a s d e fina nz a s, d e e c o no m ía, d e e sta d ístic a, d e ing e nie ría , d e m e d ic ina, d e q uím ic a y física , d e a stro no m ía , d e g e o lo g ía, y d e c ua lq uie r á re a so c ia l d o nd e ha ya q ue re la c io na r va ria b le s.

si la le y o re g la

E n e ste c a p ítulo c o m e nz a re m o s p o r p re pa ra r e l c a m ino p a ra lo s sig uie nte s a l a na liza r a sp e c to s b á sic o s d e la s func io ne s ta le s c o m o : id e ntific a r c uá nd o u na re la c ió n e ntre d o s c o njunto s e s una func ió n, visua liz a r una func ió n a tra vé s d e d istinto s m é to d o s, o b te ne r info rm a c ió n d e e sa re p re se nta c ió n y re c o no c e r c ie rto s c o njunto s a so c ia d o s a la s func io ne s ta les c o m o e l d o m inio y la im a g e n.

d e tip o m a te m á tic o, H a re m o s hinc a p ié e n q ue una func ió n p ue d e re p re se nta rse d e d ife re nte s m o d o s: m e d ia nte una e c uac ió n, c o n una g rá fic a, o c o n p a lab ra s.

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


2

M A PA CO N CE PT U A L 1: F U N C IO N ES S e c la s ific a n e n :

R EL A C IÓ N A

Iny e c tiv a S e d e fin e c o m o : Ele m e nt a le s

tra sc e n de n te s     

 Po lin ó m ic a  C o n sta n te  Lin e a l  C ua d rá tic a  Ra c i o n a l  V a lo r a b s o l.

d e d o s c o n ju n to s A y B . e s to e s A X B .

Ra n go .

FU N C IÓ N

x f y; f : x  y; y  f x , lo q ue sign ifica q ue f en v ía x a y.

S i se c um p le q u e :

c o m p o rta m i e n t o

es

S e a si gn a a c a d a un o d e lo s e l e m e n t o s “ x” d e l c o n j un to “ A ” un ún i c o e l e m e n t o “ y” d e l c o n jun to “ B ” .

Todos los valores de "y" (el codom inio) son im ágen de un valor

x, y  en R para los x, y  es un par ordenado de la función

Es el conjunto de puntos cuales

f

.

Es in y e c t iv a la v e z .

D o m in io

Hacer valores están dados

tabla de en dond e los valore s a

x

y

los

y.

C on ju n to d e en los qu e

v a lores p u ed e

C o n e l e je Son reales cuales

los

C o n e l e je

x

n úm ero s

x

para

los

f x   0 . A

y

A q ue ll o s n úm ero s reales p a ra lo s c ua l e s s e d é

estos núm eros se le s llam a tam bién "cero s" de la función f.

C á lc ul o d i fe re n c ia l

f (0) .

f

5 7

1 2 3

2

4

ev a lua rs e la fu n ción .

f

B 1 7 6

F . n o in y ec tiv a

A

B

f 6 6

0

4

5

6 2 6

3

8

B

B

A

f

1

1

0

6

2 3 4

7 6 2

5 3

2 6 8

F. no biyectiva

f ( x)  f ( x) x  dom f

eq uiva len te c uand o

x, y  se sustituye po r  x, y  .

ec uac ión

d e la

x, y  se sustituye po r  x, y 

fun c i ó n

n o te n d rá

c um p l e n in gun o d e lo s c a so s a n te ri o re s.

sim e tría

Si

f ( x)   f ( x) x  dom f

Fu n c ión pa r

Fu n c ión im pa r

C re c ie nte Si

La grafica de la fun c ión es sim é trica c on resp e c to a l origen si la fun ción no se a ltera c uand o : S e o btien e un a ec uac ión eq uiva len te c uand o

x

x

im p a r

SIM ET R ÍA . T e n d r á si: La gra fica d e la fun ción es sim é trica c on resp ec to a l e je y si la c uan do : S e ob tiene una

y

y

Si

A lg un a s p ue d e n te n e r :

N o te ndrá si: La gra fic a

f

F. s ob rey ectiv a F. no sobreyectiva

Par

Se llam a Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que obtiene la función al reem plazar x. Este se puede encontrar despejando x en la función.

func ión n o se a ltera S us in tersec c ion e s c on lo s e je s, se lo gra n a sí:

1 7 6

F. Biny ec tiva

id e n tifica d a la fun c ión , d e te rm in a r sus c a ra c terística s y c o n ba se e n e llas gra fica r.

correspondiente s hallados de

Id e ntific a ció n d e la func ió n Un a v ez

A

Ra n g o

Pa ra gra fi c a rla p o d e m o s re c urrir a : T a b ulac ió n

y

so b re y e c tiv a a

2

B

B

A

B iy e c tiv a Si

Y s e l e s p ue d e h a lla r :

2 3 4

8

Ran f  Cod f

a d e c ua d o re p r e se n ta rla grá fi c a m e n t e . Su g ra fic a :

1

A

Si

de "x" (el dom inio). Pu e d e se r:

f

F. iny ec tiva

So b re y e c tiv a

S e d e n o ta n :

 Pa rte e n te ra .

su

únic o e le m en to d e l

Q ue p ue d e se r:

 H ip e rb . in ve rsa

o b s e rv a r

A cada e le m en to del do m inio le corresp ond e un

C o rre s p o n d e n c ia q u e h a y e n tre lo s e le m e n to s

Exp on en c ia l Lo ga rítm ic a T rigon om e trica T rig. in v ersa H ip e rb ó lica

N o Ele m e nta le s

Pa ra

Si

y

y

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

x

x

D e c re c ie nte Si

si n o se

x1  x2

F . c re c ie n t e

F . d e c r e c ie n te

 f ( x1 )  f ( x2 )

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


3

G ra fic a d e una func ió n :

S e lo gra c o n e l c o n j un t o d e p a re ja s o rd e n a d a s L a cu a l se d e fin e: S e a

M A PA CO N CE PT U A L 2: G R AF IC A D E U N A F U N C IÓ N

y  f x 

f : A RB R

 x, y   R 2 . M u e stra

u n a f u n c ió n r e al

 x, y   R 2

 x, y  p er ten ec e f x , x  D f  .

ta le s q u e la p ar ej a o r d en ad a

E s d ecir , G r á fi ca d e

f   x, y   R / y  2

c on

clar id ad , la exi st e en tr e

d e v a r i a b le r e a l. L a g r á f ic a d e f es el con ju n t o d e p u n t o s a f.

x

e

y

m ay or

r e la ci ón q u e l as v ar i ab l es

d e u n a f u n ci ón .

G R A F IC A DE UNA F U N C IÓ N A lg un a s p o s e e n f un c i o n e s in v e rsa s.

La s f un c i o n e s in v e rsa s d e

un a f un c ió n se p u e d e n id e n tifi c a r a sí (c rit e rio gra fi c o ) : C R IT E R IO D E L A R EC T A H O R IZ O N T A L : U n a fun c ió n p o se e in v e rsa si a l tra z ar re c ta s h o riz o n ta le s é sta s c o rta n a la fun c ió n e n un so lo p un to ; e n c a so c o n tra rio la fun c ió n a la q ue se le tra z a n re c ta n h o riz o n ta le s n o p o se e in v e rsa .

La fun c ió n sí p o se e fun c ió n In v ersa ya q ue a l tra z a r re c ta s

La fun c ió n n o p o se e fun c ió n In v e rsa ya q ue a l tra z ar re c ta s

h o riz o n ta le s, é sta s c o rta n a la fun c ió n e n un só lo p un to .

h o riz o n ta le s, é sta s c o rta n a la f un c ió n e n v a r io s p un to s.

Fig ura 1 .1 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

La re stri c c i ó n d a d a e n la d e fin ic ió n d e f un c i ó n , d e q ue n o e xis te n 2 p a re ja s q ue te n ga n la p rim e ra c o m p o n e n te ig ua l , s e tra d uc e e n la gra fic a d e la f un c i ó n d e la si g ui e n te m a n e ra : C R IT E R IO D E LA R EC T A V ER T I C A L: U n a gra fic a c o rre sp o n d e a un a fun c i ó n si a l tra z a r v e rtic a l e s é sta s c o rta n a la f un c ió n e n un s o l o p un to .

re c ta s

La gra fi c a si e s f un c i ó n , la re c ta v e rti c a l toca la

La gra fi c a n o e s f un c ió n , la re c ta v e r tic a l to c a la

fun c i ó n e n un s o l o p un to .

fun c i ó n e n 3 p un to s.

Fig ura 1 .2 .

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


4

E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 1 y 2 C o n c e p to Fu n c ió n

So luc ió n:

1. D e te rm ina r c ua les d e la s sig uie nte s re la c io ne s so n func io ne s y c ua le s no .

a.

f : A  B donde A  m, n, o, p , B  r , s, t y f  m, r , n, s , o, t ,  p, s 

a . la re la c ió n b.

x

y

a

m n o p

b c d

c.

c.

f si e s func ió n, y a q ue a c ad a e le m e nto d e A le c o rre sp o nd e un únic o e le m e nto d e B. g no e s func ió n, p ue s e l e le m e nto c d e l c o njunto x e stá a so c ia d o c o n 2 e le m e nto s e n e l c o njunto y, y to d os lo s e le m e nto s d e l c o njunto x no fo rm a n pa rte d e l d om inio . H si e s func ió n, p o rq ue e n la g ra fic a se o b se rva q ue no ex iste n 2 p a re jas o rd e nad a s e n las c ua le s se re p ita la seg und a c o m p o ne nte , e s d e c ir, c ad a e le m e nto d e x e stá a so c ia d o c o n un únic o e le m e nto d e y.

p a ra lo s c ua le s

f (x) e stá

d e finid a. C o m o

p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r, se d ic e q ue e l d o m inio d e

f ( x)  2 x  1 c o rre sp o nd e a l c o njunto f ( x)  2 x  1  R

d e lo s núm e ro s re a les.

o ( e n no ta c ió n d e c o njunto s

 ,  . x

e n la func ió n

x / x  R

f ( x)  2 x  1 .

f ( x)  2 x  1 y  2x  1 y 1 x 2 C o m o y p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r, se d ic e q ue e l ra ng o f ( x)  2 x  1 c o rre sp o nd e a l c o njunto d e lo s núm e ro s re a les. Ra ng o

de

f ( x)  2 x  1  R

o

(en

no ta c ió n

y / y  R o e n no ta c ió n d e inte rva lo s  ,  .

de

de

c o njunto s

¿F u n c ió n iny e c tiva ? La func ió n

f ( x)  2 x  1

e s in ye c tiva , p ue s a c a d a núm e ro

d ife re nte d e l d o m inio le c o rre sp o nd e un únic o núm e ro d e l ra ng o . A lg e b ra ica m e nte, se p ue d e e x p lica r:

2. Da d as las sig uie nte s func io ne s, e nc o ntra r d o m inio y ra ng o. A d e m á s d e te rm ina r, si so n iny e c tiva s ( uno a uno ), b iy e c tiva s, so b re y e c tivas, pa r, im pa r, c re c ie nte, d e c re c ie nte , sim é tric a. Lue g o , tra z a r la g ra fica ( tab ula c ió n).

C á lc ul o d i fe re n c ia l

x

c o rre sp o nd e a to d o s lo s

A sí;

q

f ( x)  2 x  1

x

R a n g o : Se o b tie ne d e sp e ja nd o

T ip o d e F u n c ió n :

a.

p o sib le s va lo re s d e

f ( x)  2 x  1

o e n no ta c ió n d e inte rva lo s

Fig ura 1 .3 .

b.

D o m in io : E l d o m inio d e

Dom

S o lu c ió n : a.

f ( x)  2 x  1

b.

f ( x)  x 2  2

c.

f ( x)  x 3  x

f x1   f x2   2 x1  1  2 x2  1  2 x1  2 x2 x1  x 2  Lo q ue m ue stra q ue la ig ua lda d d e im á g e ne s im p lica ig ua lda d d e p re im á g e ne s. C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


5

¿F u n c ió n S o b re y e c tiva ?

f ( x)  2 x  1

La func ió n

¿S im é tric a co n re sp e c to a l e je y , sim é tric a c o n re sp e c to a l o rig e n o n in g u n a ?

se rá so b re y e c tiva si e l ra ng o d e la

func ió n e s ig ua l a l c o d o m inio 1 d e la func ió n, e sto e s, si e l

La grafica de la función

c o d o m inio e s ig ua l a lo s

eje

C om o

equivalente c uando

La

R. f ( x)  R  Codomf ( x) func ió n f ( x)  2 x  1 e s so bre y ec tiva . Ra n

¿F u n c ió n B iy ec tiva ? C om o

la

func ió n

f ( x)  2 x  1 e s

iny e c tiva

y

sob re y e c tiva,

e nto nc e s e s b iy e c tiva .

y

x, y  se sustituye p or  x, y  , 

f ( x)  2 x  1 y  2x  1 y  2 x   1 y  2 x  1 C om o

f ( x)  2 x  1 se a lte ra a l ca m b ia r  x, y  por

 x, y   no hay sim e tría co n respe cto a l eje y .

f ( x)  2 x  1 se rá p a r si f ( x)  f ( x) x  dom f . f ( x)  2 x   1 f ( x)  2 x  1 c o m o f ( x)  f  x  La func ió n n o e s p ar .

La func ió n

f ( x)  2 x  1 se rá im p a r si f ( x)   f ( x) x  dom f . f ( x)  2 x   1 f ( x)  2 x  1 c o m o f ( x)   f  x  La func ió n n o e s im p a r.

La func ió n

func ió n

es sim étrica c on respe cto al

si la funció n no se alte ra cua ndo: Se obtiene una e cua ción

¿F u n c ió n p a r, im p a r o n in g u n a ?

 La

f ( x)  2 x  1

f ( x)  2 x  1 n o

e s p ar n i im p a r.

¿F u n c ió n C rec ie n te, d e cre c ie n te o c o n sta n te ?

La gra fica d e la func ió n

f ( x)  2 x  1 es

sim étrica c on respe cto al

orig en si la func ió n no se altera cua ndo: Se obtiene una e cua ción equivalente c uando

x, y  se sustituye p or  x, y  

f ( x)  2 x  1 y  2x  1  y  2 x   1 y  2 x  1 C om o f ( x)  2 x  1 se a lte ra a l ca m b ia r x, y  por  x, y   no ha y sim etría co n respe cto a l o rige n.  La g ra fic a d e f ( x)  2 x  1 no p o se e sim etría . G rafic a. La o btenem os a tra vés d e tab la d e va lo re s. F ig ura 1.4.

La func ió n e s c re cie n te e n to d o su d o m in io, y a q ue p a ra c a da

x1  x2 sie m p re f x1   f x2 .

M á s a d e la nte se trab a ja rá n uno s

c rite rio s m ás c o nc re to s so b re é ste ite m .

1

El c o d o m inio y ra ng o d e una func ió n so n d ife re nte s . Te ng a p re s e nte s la s d e finic io ne s d a d a s .

C o d o m inio : El c o do m inio o c o njunto d e lle ga d a de

f

e s e l c o njunto

Im a g e n, re c o rrid o o ra ng o : L a im a g e n, re c o rrid o o ra ng o d e

f

Y y se de nota Codf

m is m a . Es e l c o nju nto d e to d o s lo s o b je to s tra ns fo rm a d o s , s e d e no ta

R f  y  Y / x  X , f  x   y C á lc ul o d i fe re n c ia l

o b ie n

Cf

.

e s tá fo rm a d a p o r lo s v a lo res q ue a lc a nza la

Ran f o b ie n R f

y e s tá d e fin id a p o r:

x

2 1 0 3 4

f (x) f (2)  2(2)  1  5 f (1)  2(1)  1  3 f (0)  2(0)  1  1 f (3)  2(3)  1  5 f (4)  2(4)  1  7 Fig ura 1 .4 .

.

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


6

f ( x)  x 2  2

b.

¿F u n c ió n C rec ie n te, d e cre c ie n te o c o n sta n te ? D e a c ue rd o a la fig ura 1.5. la func ió n e s d e c re c ie nte

D o m in io : E l c o njunto d e los núm e ro s rea le s.

f ( x)  x 2  2  R

Dom

o ( e n no tac ió n d e c o njunto s

e n no ta c ió n d e inte rva lo s

 ,  .

R a n g o : Se o b tie ne d e sp e ja nd o

f ( x)  x  2

A sí;

y

x

e n la func ió n

 y  x 2

2

2

p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r e n d o nd e

f ( x)  2 x  1 c o rre sp o nd e re a le s ta le s q ue y  2 .

Ra nf:

y  2

o ( e n no ta c ió n d e c o njunto s

no ta c ió n d e inte rva lo s

 2,  .

f ( x)  x  2 .

La gra fica de la func ió n eje

d ic e

a l c o njunto d e lo s

y / y  2

y

f ( x)  x 2  2

e s sim étric a c on respe cto al

si la funció n no se alte ra cua ndo: Se obtiene una e cua ción

equivalente c uando

x, y  se sustituye p or  x, y  , 

f ( x)  x  2 2

y  x2  2

y   x   2 2

o en

y  x2  2

C om o

f ( x)  x 2  2 no se altera al cam biar  x, y  por

 x, y   hay sim etría con respecto al eje y . Adem ás, es im portante

f ( x)  x 2  2

n o e s in y ec tiva , p ue s ex iste n núm e ro s

d ife re nte s e n e l d o m inio q ue tie ne n la m ism a e je m p lo , -1, 1. A sí,

 ,0 y c re c ie nte e n e l inte rva lo 0,   .

¿S im é tric a co n re sp e c to a l e je y , sim é tric a c o n re sp e c to a l o rig e n o n in g u n a ?

¿F u n c ió n iny e c tiva ? La func ió n

inte rva lo

2

 x  y2 y  2  0 y +2, se

q ue e l ra ng o d e núm e ro s

x / x  R o

en el

1  1

sin e m b a rg o ,

determ inar que si la grafica de una función es par, podem os c oncluir que es sim étrica con respe cto al eje y.

im ag e n, p o r

f  1  f 1  1

G rafic a. La o btenem os a tra vé s d e tabla d e valo re s. F ig ura 1.5.

¿F u n c ió n S o b re y e c tiva ?

y  2 y p o r c o d o m inio : R. C om o Ra n f ( x)  Codomf ( x)  La func ió n f ( x)  x 2  2 n o e s so b rey e c tiva. La func ió n tie ne p o r ra ng o

¿F u n c ió n B iy ec tiva ? C om o

la

func ió n

no

f ( x)  x  2 e s 2

iny e c tiva

y

no

so b re y e c tiva, e nto nc e s n o e s b iy e c tiva .

es

x

f (x)

2

f  2    2   2  2

1

f  1   1  2  1

2

2

0

f 0   0   2  2

1

f 1  1  2  1

2

f (2)  (2) 2  2  2

2

2

¿F u n c ió n p a r, im p a r o n in g u n a ? La func ió n

f ( x)  x 2  2

se rá p a r si

f ( x)  f ( x) x  dom f .

f ( x)   x   2  f (  x)  x  2 c o m o f ( x)  f  x  La func ió n e s p ar. 2

C á lc ul o d i fe re n c ia l

2

Fig ura 1 .5 .

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


7

c.

f ( x) 

¿F u n c ió n p a r, im p a r o n in g u n a ?

1 x

La func ió n f ( x)  1

D o m in io : E l c o njunto d e lo s núm e ro s rea le s d ife re nte s d e 0 ( ya q ue no e stá p e rm itida la d ivisió n e ntre 0).

1 Dom f ( x)  x  ,0  0,  .

x  R / x  0

y

f ( x) 

o

en

no ta c ió n

de

1 x

inte rva lo s

1 x

y

x

e n la func ió n

1 x

x

1 f ( x)  . x

c o rre sp o nd e a l c o njunto

ra ng o d e

y  R / y  0 o e n n o ta c ió n

 ,0  0,  .

d e inte rva lo s

f ( x) 

1 e s in ye c tiva , p ue s a c a da núm e ro d ife re nte x

d e l d o m inio le c o rre sp o nd e un únic o núm e ro d e l ra ng o . ¿F u n c ió n S o b re y e c tiva ? La func ió n tie ne p o r ra ng o C om o

 La

Ra n

La func ió n e s im p a r.

y  0 y p o r c o d o m inio : y  0.

func ió n f ( x)  1 e s so bre y ec tiva .

x

¿F u n c ió n B iy ec tiva ? C o m o la func ió n f ( x)  1 no x e nto nc e s n o e s b iy ec tiva .

De acuerdo a la fig. 1.6. la función es decreciente en todo su dom inio.

La gra fica de la func ió n f ( x)  1 es sim étrica co n respe cto a l e je

y

si

x

la función no se a lte ra c uando: Se obtie ne una e cuac ió n equiva le nte

x, y  se sustituye p or  x, y  , 

cua ndo

1 x 1 f ( x)  x

y

1 1  x x 1 1 y  x x

N o e s sim é tric a c o n re sp e c to a l e je y . S i e s sim é tric a co n re sp e c to a l o rige n .

G rafic a. La o btenem os a tra vé s d e tabla d e valo re s. F ig ura 1.6.

x

f ( x)  Codomf ( x)

C á lc ul o d i fe re n c ia l

c o m o f ( x)   f x 

1 1 f ( x)   x x

f ( x) 

¿F u n c ió n iny e c tiva ? La func ió n

f ( x)   f ( x) x  dom f

im p a r si

¿S im é tric a co n re sp e c to a l e je y , sim é tric a c o n re sp e c to a l o rig e n o n in g u n a ?

1 y

p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r d ife re nte d e 0. E l

f ( x) 

f ( x)  f ( x) x  dom f o se rá

¿F u n c ió n C rec ie n te, d e cre c ie n te o c o n sta n te ?

R a n g o : Se o b tie ne d e sp e ja nd o A sí;

se rá p a r si

x

f (x)

2 1  12 1

2

f  2 

1 1  2 2

f  2 

1  1 1

f  1 2  

1  2  12 1 f 12    2 1

e s iny e c tiva y si e s sob re y e c tiva,

2

1

f 1 

1 1 1

2

f 2 

1 1  2 2

Fig ura 1 .6 .

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


8

D o m in io y R a n g o .

b . g x  

1 x2

3. Hallar el dom inio y rango d e cada función. Luego, trazar la grafica. a.

f x   3x 2  1

3x  2 d . ix   x3

b . g x  

1 x2

j x  

1

e.

4 x

h x  

c.

f. k  x  

1 x 4 2x  1

f x   3x 2  1

D o m in io : La c ua d rá tic a,

x

p ue s

x2 0

c ua nd o

1 no e stá d e finid a p a ra x2

x  2.

Lue g o,

x2

Dom g ( x)  R  2

R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:

g x  

S o lu c ió n : a.

g x  

D o m in io : La func ió n

2

func ió n c o rre sp o nd e a una func ió n p o linó m ic a p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r e n e l c o njunto d e lo s

R . Lue g o Domf  R

1 x2 1 y x2 1 x2  y

Lue g o ,

 x  1 2 y

xR

sí y só lo sí

y  0. 

Ra n

g  R  0

R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:

f x   3x 2  1

G ra fic a: F ig ura 1.8.

x

y  3x 2  1

1

 x  y 1

3x 2  y  1

3

f  1 

1 1  1  2 3 1 1 f 0   02 2 1 f 1   1 1 2

0

C o m o no se p ue d e n o b te ne r ra íc e s c ua d ra da s d e núm e ro s ne g a tivo s, e nto nc e s d e te rm inam o s c ua nd o y  1  0  y  1

1

3

 Ra n f  1,  

f (x)

y 1

o

Fig ura 1 .8 .

G ra fic a:

x

f (x)

2 1 0 1 2

f  2   3 2   1  13

c.

2

f  1  3 1  1  4

h x  

1 x 4 2

2

D o m in io :

f 0   30   1  1 2

f 1  31  1  4

h x  

2

f 2   32   1  13 2

Fig ura 1 .7 .

La

1

func ió n

x  2x  2

x  2

Lue g o ,

, e nto nc e s

h x  

h(x)

1 x2  4

es

e q uiva le nte

no e stá d e finid a p a ra

x2

Dom h( x)  R   2,2

R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí: C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s

a y


9

G ra fic a: F ig ura 1.10 .

h x  

1 x2  4 1 y 2 x 4

x

 10

x

x2  4 

1 y

Lue g o ,

xR

sí y só lo sí

1 4 y

y  0. 

x

f (x)

3

1 f  3    32  4 5 1 1 f  1   3  12  4 1 1 f 0    4 02  4

0

Ra n

h  R  0

f 5 

3(5)  2 13  53 8

j x  

1

j x  

ix  

3x  2 x3

no e stá d e finid a pa ra

x  3

4 x j x  

1 4 x

4 x  0,  x  4

e stá d e finid a p a ra a q ue llo Lue g o ,

Dom j ( x)  x  4

4 x 1

4 x

4 x  Lue g o ,

3x  2 ix   x3 3x  2 y x3

 4 x 

1 y

xR

 10

 xy  3 y  3x  2  x y  3  3 y  2  x   3 y  2 y( x  3)  3x  2

y3

sí y só lo sí

y  3 . 

Ra n

sí y só lo sí

1 y2

y  0. 

 x  4 Ra n

1 y2

j  R  0

G ra fic a: F ig ura 1.11.

x

C á lc ul o d i fe re n c ia l

Fig ura 1 .1 0 .

1

y

Dom h( x)  R   3

xR

5

R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí: Fig ura 1 .9 .

R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:

Lue g o ,

3(0)  2 2  ( 0)  3 3

va lo re s e n q ue

3x  2 x3

D o m in io : La func ió n Lue g o ,

f 0  

D o m in io : La func ió n

1 1  12  4 3 1 1 f 3  2  3  4 5

d. ix  

3(5)  2 17  (5)  3 2 3(2)  2 f  2    8 (2)  3

0

e.

f 1 

3

3(10 )  2 32  (10 )  3 7

f  5 

2

1

1

f  10  

5

G ra fic a: F ig ura 1.9 .

1

f (x)

 xy  3x  3 y  2

0 3

i  R   3

f (x) f  5  f 0 

1

4   5 1

f 3 

4  0 1

1 3

1 2

4  3

1 Fig ura 1 .1 1 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


10

f. k  x   2 x  1

P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je

D o m in io : La func ió n k  x  

e s d e c ir lo s p unto s d e la fo rm a

q ue ha c e n

e stá d e finid a pa ra aq ue llo s

2x 1

1 2x  1  0 , e sto e s, x  1 Lue g o , Dom k ( x)  x  2 2

R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:

es

y  2x 1

0,1 .

y

Fig u ra 1.13 .

Fig ura 1 .1 3 .

2

kR

b.

G ra fic a: F ig ura 1.12.

e s d e c ir lo s p unto s d e la

(x,0) se ig ua la la func ió n a 0 y se d e sp e ja x .   x 1  0  x  1  lo s p unto s d e c o rte c o n e l e je x so n  1,0 y 1,0  .

f (x) k ( )  2 12   1  0 1 2

k (1)  21  1  1

5 2

k ( )  2   1  2

5

k (5)  25 1  3

P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je

(0, y ) se

5 2

x

c a lc ula

y,

e s d e c ir lo s p unto s d e la fo rm a

f (0) .

 f (0)  0  1  1  e l p unto d e c o rte c o n 2

Fig ura 1 .1 2 .

C o rtes c o n e l e je

x,

2

1 2

5 2

P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je

fo rm a

x

1

e l p unto d e c o rte c o n e l e je

2  x  y 1

y2  2x 1 Lue g o , Ra n

(0, y ) se c a lc ula f (0) .  f (0)  20  1  1

k x   2 x  1

y,

y c o n el e je

y

es

0,1 .

F ig u ra 1.14.

y

4.

H a lla r los p unto s d e c o rte d e la func ió n d a da c o n los e je s c o o rd e na d o s. Lue g o g ra fic a r.

a.

f ( x)  2 x  1

b.

e l e je

f ( x)   x 2  1

S o lu c ió n : a.

P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je

fo rm a

(x,0) se

x,

e s d e c ir lo s p unto s d e la

ig ua la la func ió n a 0 y se d e sp e ja

x

 2x  1  0  e l p unto d e

1 2

c o rte c o n e l e je

C á lc ul o d i fe re n c ia l

x

es

 12 ,0 .

x. Fig ura 1 .1 4 .

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


11

E je r c ic io s R e s u e lt o s . S it u a c io n es q u e s e r e p r es e n t a n c o n fu n c io n e s 1. A un ta nq ue q ue tie ne la fo rm a d e u n c o no c irc ula r re c to inve rtid o d e 4 m ts. d e rad io y 16 m ts. d e a ltura e ntra ag ua a una ra z ó n d e te rm ina d a. Ex p re sa r e l vo lum e n d e a g ua e n un insta nte dado: a . E n func ió n d e la a ltura h. b . E n func ió n d e l rad io d e la b ase x . S o lu c ió n . En la fig u ra 1.15. a p a re c e e l c o no c o n la s d im e nsio ne s da d a s y una p o rc ió n del vo lum e n e n e l insta nte d e te rm ina d o.

2. U n a la m b re d e 100 c m . d e lo ng itud se c o rta a una d ista nc ia x d e uno d e sus e x trem o s e n d os pa rte s, fo rm a nd o c o n una d e e lla s un c írc ulo y c o n la o tra un c uad ra d o (fig u ra s 1.16. y 1.17) . a . E x p rese e l p e rím e tro d e ca d a fig ura e n func ió n d e x . b . E xp re se e l á re a to ta l d e la s fig u ra s 1.16. y 1.17. e n func ió n d e x . ¿ C uá le s so n sus re sp e c tivo s d o m inio s? S o lu c ió n .

Fig ura 1 .1 6 .

E l vo lum e n d e l ag ua e n e l insta nte d e te rm inad o vie ne d a d o p o r:

Lo n g it ud d e la

p e rím e tro d e l

C irc un fe re n c ia = x

c ua d ra d o = 1 0 0 -x

Fig ura 1 .1 7 .

F ig u r a 1 .1 5

lc  2r  x  r 

Lo ng itud d e la c irc unfe re nc ia : a . P e rím e tro d e l c ua d rad o Pc 

C o m o lo s triá ng ulo s O D E y O B C so n sem e ja nte s, se tie ne :

( 2) a . Si se q uie re e x p resa r e l vo lum e n e n func ió n d e la a ltura h, se d e b e d esp e ja r x e n ( 2) y sustituirlo e n ( 1) . A si,

P1 x   x  P2 x   100  x A ho ra :

4 L  100  x  L 

1 x  2

1 100  x   4

Pe rím e tro d e la c ir c un fe r e n c ia Pe rím e tro d e l c ua d ra d o

DP1 x   DP2 x   0,100  ( D om inio d e P1 x  ). 2

1 2  1  Ac  r 2  A1 x     x  x 4  2  2 1 1 Á re a d e l c ua d ra d o Acua  L2  A x    100  x   100  x 2 2 4  16   b . Á re a d e l c írc ulo

Lue g o ,

e nto nc e s,

b . P a ra e x p resa r e l vo lum e n e n func ió n d e l ra d io x , se sustituy e ( 2) e n ( 1).

A si q ue: d o nd e

A si C á lc ul o d i fe re n c ia l

Ax   A1 x   A2 x 

0  x  100

Ax  

1 2 1 2 x  100  x  4 16

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


12

3. Se d isp o ne d e una c a rtulina c ua d ra d a de la d o a y se q uie re ha c e r una c a ja sin ta p a re c o rta nd o c ua d ra d o s Fig ura 1 .1 8 . ig ua le s en la s e sq uina s y d o b la nd o sus lad o s ( V e r fig.). E x p rese e l vo lum e n d e la c a ja e n func ió n d e l la d o d e l c uad ra d o re c o rta d o.

So luc ió n. V o lum e n = ( Á rea d e la b ase ) . (a ltura)

 AC.BD  .200 V     2 

60 .30 3 .200  180000 3cm3 2

V  Lue g o ,

E n e l insta nte p o ste rio r e n e l q ue se m id e e l vo lum e n, las c a ra s la te ra le s so n triá ng ulo s c uya b a se e s x y c uya a ltura e s h. A si q ue

So luc ió n.

BD  30 3 y AC  60 .

P e ro

V 

x.h .200  100x.h 2

A ho ra , c o m o lo s triá ng ulo s A BC y M BN so n se gm e nto s, se tie ne : V o lum e n d e la c a ja = Á rea d e la b ase x a ltura

v x   a  2 x  .x

60 30 3 2 3     x h x h

2

v x   a  2 x  .x  a 2  4ax  4 x 2 .x  4 x 3  4ax 2  a 2 a 2 x 0  x  a2 2

p a ra

4. U n a b re va d e ro q ue e stá lle no d e a g ua tie ne 2 m ts. de la rg o y sus e x tre m o s tie ne n la fo rm a d e triá ng ulo s e q uilá te ro s inve rtid o s d e 60 c m . Fig ura 1 .1 9 . de la d o (Ver fig .1.17.) . ¿ C uá l e s e l vo lum e n d e ag ua e n e l a b re vad e ro ? Si a l ab re va d e ro se le a b re un o rific io e n e l fo nd o y e l ag ua se e sc a p a a una raz ó n d a da . Ex p re se e l vo lum e n e n un insta nte d a d o p o ste rio r e n func ió n: a. b.

D e la b a se d e l triá ng ulo. D e la a ltura d e l triá ng ulo . C á lc ul o d i fe re n c ia l

a . Pa ra e xp re sa r e l vo lum e n e n func ió n d e la b a se d e l triá ng ulo , se d e sp e ja h e n  y se sustituy e e n  A si,

3 x 2

h

Lue g o ,

V  100 x.

v0  0

3 x 2

 V  50 3 x 2 c o n 0  x  60

( e l ta nq ue e stá va c ío)

V 60   50 3.60 2  180000 3cm3

( e l ta nq ue e stá lle no )

b . Ig ua lm e nte , si se q uie re e x p resa r e l vo lum e n e n func ió n d e la a ltura h, d e  se tie ne :

x

2h 3

y sustituy e nd o e n  se o b tie ne : V

E sto e s,

V h  

200 3 2 h 3

con

200 3 2  2h   100 .h .h  3  3

0  h  30 3 C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


13

N o te q ue :

v0  0

hasta D por tierra, im plicando un gasto total de

975k

pesos.

( e l ta nq ue e stá va c ío)

2 200 3 V 30 3  . 30 3  180000 3cm3 3

5. Los punto s A y B e stán situad os uno fre nte a l otro y e n lad os op ue stos d e un rio re cto de 300 m ts. de a nc ho. Los p untos Q y D e stá n re spe ctivam e nte y e n la m ism a o rilla d e B a x m ts. y a 600 m ts. ( Ver fig 1.20).

ii. ( e l ta nq ue e stá lle no )

C 600 

5 k 6002  3002  375 5k  838.5k 4

Esto significa q ue si x  600 , el punto Q c oinc ide co n D y e n e ste caso, e l cab le se deb e te nde r direc tam e nte desd e A hasta D p or agua, dem a ndando un gasto to tal d e aprox. 838.5k peso s. iii.

C 400 

5 k 4002  3002  200k  825k 4

E sto sig nific a q ue si e l p unto Q e stá a 400 m ts. d e B y se tie nd e e l c a b le p o r a g ua d e sd e A ha sta Q y p o r tie rra d e sd e Q ha sta D , d e m a nda ría un g a sto m e no r p a ra la c o m p a ñía q ue lo s d o s c a so s a nte rio re s. M a s a d e la nte se d e m o stra rá usa nd o D e riva c ió n, q ue c ua lq uie r v a lo r d e x , x ¹ 400 , d e m a nd a rá un g a sto m a y o r p a ra la c o m pa ñía .

Fig ura 1 .2 0 .

U na c om pa ñía d e te lé fo nos de sea te nd e r un c ab le d esd e A hasta 5

D p a sa ndo p o r Q . Si e l c o sto p o r m e tro d e c ab les e s d e 4 k p e so s b a jo e l ag ua y d e k pe sos po r tie rra ; ex p re se e l co sto total c om o una funció n x. ¿C uá l es e l d om inio d e la func ió n c o sto ?. S o lu c ió n . La func ió n c o sto to ta l vie ne d a da p o r:

5 C  k.d  A, Q   k.d Q, D  4 C x  

con

5 k x 2  3002  k 600  x  4

p arte esféric a e s d e 4 dó la re s p or

0  x  600 con

e s d e 2 dó la re s po r func ió n de l rad io

0  x  600

E l D o m inio d e la func ió n c o sto to ta l e s e l inte rva lo 0,600 .

C 0 

Esto

Q c oinc ide co n B y e n este

pie

2

Fig ura 1 .2 1 .

pie 2 y

e l d e la pa rte c ilínd rica

. E xpresar el volum e n d e l tanque en

x.

S o lu c ió n . E n la fig ura 1.21. A p a re c e el ta nq ue q ue se d e se a c o nstruir.

N o te q ue : i.

5 k 3002  600k  975k 4 significa que si x  0 , el punto

6. Se disp o ne de 1000 d ó lares pa ra co nstruir un tanque cilíndric o de altura y p ie s, rem ata do en sus e xtre m o s p o r d os se m ies feras d e ra dio x p ies. (V e r fig 1.21.). E l c osto de m ateria l de la

F ig u ra 1.22.

caso, el cable se debe te nder desde A hasta B p or agua y desde B C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


14

La p arte c ilínd rica es eq uiva lente al rec tá ng ulo d e lo ng itud y y a ncho 2x .

Lue g o , e l á re a d e la p a rte c ilínd ric a e s: 2xy y su c o sto dado por

C1

vie ne

C1  4xy .

C o m o lo s e x tre m o s so n d o s se m ie sfe ra s, su á re a e s e q uiva le nte a l á re a d e una e sfe ra d e ra d io dado por A si q ue,

C 2  16x

2

x,

4x 2 , y

e sto es

su c osto

C2

vie ne

.

C1  C 2  1000

7. U na p iscina re cta ng ular d e 20 m ts. d e la rgo p or 10 m ts. de a nch o, tiene 4 m ts. d e p ro fund ida d en un ex trem o y 1 m ts. e n e l otro. La figura a djunta ilustra una vista tra nsversa l de la p isc ina. E l ag ua pa ra lle nar la pisc ina es bo m be ada po r el ex trem o p rofund o. a. Determ ine una func ió n q ue expre se el volum e n V d e agua e n la piscina com o funció n de su p ro fund idad x e n el extrem o profundo. b . C a lc ula r V 1 y V 2 . Fig ura 1 .2 3 .

C1  C 2  4xy  16x  1000  xy  4x  250  2

A ho ra P e ro ,

Vt  Vc  V E

VC  x 2 y

2

S o lu c ió n .

( V o lum e n to ta l)

a . Se a L la lo ng itud d e la m e d id a d e l nive l d e l a g ua d e sd e e l e x tre m o p ro fund o ha sta e l m e no s p ro fund o .

( V o lum e n d e l c ilind ro )

4 VE  x 3 3

( V o lum e n d e la esfe ra )

D e e sta fo rm a : VT

4  x 2 y  x 3 3

N o te q ue L y x so n lo s la d o s d e un triá ng ulo re c tá ng ulo se m e ja nte a l triá ng ulo c uy o s lad o s so n 20 y 3 m ts.

D e e sta fo rm a , se p ue d e e stab le c e r la sig uie nte p ro p o rc ió n:

C o m o se d e b e e x p re sa r e l vo lum e n to ta l e n func ió n d e únic a m e nte , se d e sp e ja la va ria b le  .A si, d e  se tie ne q ue: de

y

en 

y

y

250  4x 2 x

x

e n  y se sustituy e e n , y sustituy e nd o e ste va lo r

2 se p ue d e e sc rib ir: V x   x 2  250  4x   4 x 3 , y  

x 8 sim p lific a nd o se o btie ne fina lm e nte : V  x   250 x  x 3 3 

3

¿ E s p o sib le e x p re sa r e l vo lum e n d e l ta nq ue e n func ió n d e y ? ¡T ra te d e hac e rlo !

C á lc ul o d i fe re n c ia l

L 20 20  L x x 3 3

con

0 x3

A ho ra , e l vo lum e n V e n un insta nte d e te rm inad o vie ne d ad o p o r : V = (Á re a d e la se c c ió n tra nsve rsa l) . ( a nc ho)

V

L.x .10  2

b .V

20 3

x.x 100 2 .10  x 2 3

 V x   100 x 3 3

1  100 12  100  33,3mt 3

;

3 3 100 400 V 2  .4   133,3mt 3 3 3

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


15

1 .1 : C L A S IF IC A C IÓ N D E F U N C IO N E S Y a se an alizó el con cep to d e fun ción y su s elem en to s ; aho r a no s cen t r ar em os en la gr afica d e fun cion es , no t ab ulació n,

usad o

en

los

ejer cicios

r esu elt os

an t er io r es,

s in o,

d et erm in an do el t ipo d e fun ción y su s car a ct er íst icas p ar a as í p o d er g r aficar d e u n a m an er a m ás an alít ica y ex act a. P ar a

d ar

in icio

a

la

g r afica

de

2.

co n el m ét od o d e

p o lino m ial po r o tr a, no idént icam en t e n ula. 3. Fu n ció n v alo r abs olut o. 4.

fu n cio n es

po r

m edio

de

su s

Fu n ció n r acion al: S on fun cio n es o bt enid as al d ivid ir un a fun ción

Fu n ció n r aíz o r ad ical.

car act er íst icas, clasificar em o s las fun cion e s .

F U N C I O N ES T RA S CE N D EN T E S

F U N C I O N E S A LG E B R A I C A S O E LE M E N T A LE S .

N o siem pr e s e p ued e m o delar co n fun cion es d el t ipo alg eb r aico; esto h a d ado lug ar al d esar rollo de ot ro tip o de fun cion es, las fun cion es

Un a fun ción alg ebr aica explícit a o elem ent al es aqu ella cuy a v ariable s e obt ien e com b in ando un núm ero finito de veces la v ariable

y y

x

const ant es reales por m edio de op er aciones alg eb raicas d e sum a, r est a, m ultiplicación, divisió n, elev ación a pot en cias y ext racción d e r aíces.

inv er s as , relacio n ad as con el tr iángu lo r ect án gulo ; y las log arít m icas y ex pon en ciales, m ás aso ciad as a un a v ariación en p rog r es ión g eom ét rica (cr ecim iento p ob lacion al, por ejem p lo ).

“L as fun cione s alg e b r aicas s on a que llas c uya r e g la

1.

Fu n ció n exp on en cial :

d e cor r e s p ond e ncia e s un a e x p r e s ión alg e b r aica”.

2.

Fu n ció n log arítm ica :

3.

Fu n cio n es

A est e g ru po p ert en ecen : 1.

t r as cen d ent es , las cu ales se clasifican en : l as t rigono m étr icas y s us

Fu n cio n es p olin ó m icas : S on las fun cion es u n po lin om io en

x,

x  P x  ,

gr ado 0, y a qu e 1.2. Fu n ció n lin eal:

P

es

es d ecir u n a sum a fin it a d e p ot en cias d e

x

1.4 . Fu n ció n

cú b ica :

6.

s ecan t e

hip er b ólico,

hip er bó licas

hip er b ólico h ip er bó lica

s eno

h ip er b ólico

in v er s o,

in v ers o,

inv er s as :

t an g en t e

hip erb ólica

in v er s o,

in ver so ,

co s ecant e

hip er b ólica

in v er s o,

co t an gent e hip er bó lica in ver so .

g r ad o.

C á lc ul o d i fe re n c ia l

Fu n cio n es co s eno

un cua tr im oni o d e 3 e r .

1.5. Función polinómica grado  4 . f  x   a n x n  a n 1 x n 1  .....  a1 x  a 0

hip er bó licas : s en o h ip er b ólico , cos eno

co t an gent e hip er bó lica.

un tr inom i o d e 2 d o . g r ad o.

f x   ax 3  bx 2  cx  d e s

Fu n cio n es

t an g en t e h ip er bó lica , s ecan t e h ip er bó lica, co s ecant e hip er bó lica,

es un b in om io d e 1er . G r ado .

f x   ax  bx  c e s 2

Fu n cio n es t rigo no m ét r icas inv er s as : seno inverso, c oseno inverso, tangente inverso, secante in verso, cosecante in verso, cotangente in verso.

5.

k  kx0 . ( x 0  1 pro p. Poten cias ).

1.3 . Fu n ció n cu ad r át ica :

4.

f  x   k , k es const ant e. Es un m onom io de

f  x   ax  b

t r ig on om ét ricas : s eno , co s en o, t an g en t e, s ecan t e,

co s ecan t e, co t an g en t e . d on d e

m ultip licad o s p o r co eficien t es r eales. 1.1. Fu n ció n con st ant e :

f x   a x f  x   log a x

Fu n cio n es no elem en t ales 1.

Fu n ció n p a rt e ent er a . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


16

M A PA CO N CE PT U A L 3: F U N C IO N ES P O L IN Ó M ICA S

F U N C IO N ES PO L IN Ó M IC A S

D o m inio : T o d o s lo s re a le s

S e d e fin e c o m o

f  x   a n x n  a n 1 x n 1  .....  a1 x  a 0 ;

con

a n  0 , n  Z a 0 , a1 , a 2 ,..., a n

c o n s ta n te s , l la m a d a s c o e fi c ie n te s d e l

p o lin o m i o . Su g r a fic a e s un a c urv a s ua v e y c o ntin ua , e sto e s , si n c a m b io s b r usc o s

D e p e n d ie n d o d e su g ra d o se id e n tific a su g ra fic a :

G ra d o p o lin o m io : 0

F U N C IÓ N C O N ST A N T E

y  f x   b

bR

S u gra fic a e s

G ra d o p o lin o m io : 1

F U N C IÓ N LIN EA L

y  f x   mx  b

G ra d o p o lin o m io : 2

G ra d o p o lin o m io : > =3

F U N C IÓ N C U A D RÁ T IC A

y  f  x   ax 2  bx  c

S u gra fic a e s

S u gra fic a e s

Líne a re c t a c o rte e n e j e y: b y , p e n d ie n te : m .

P a rá b o la

Pa ra gra fi c a rla si ga lo s si g uie n te s p a so s :

a0

con

1 . D e te rm in e lo s b ra z o s d e la grá fic a , Es to es ,

Líne a re c t a p a ra le la a l e j e x

a b re h a c ia a rrib a s i a b re h a c ia a rrib a s i

a0 a0

 Si

y

n

es im p a r y

an  0

la g raf ic a in ic ia c on u n b ra zo c a íd o y term in a en un b ra zo leva n ta d o  Si

n

es im p a r y

an  0

la g raf ic a in ic ia c on u n b ra zo leva n ta d o y term ina en u n b ra zo c aíd o

A p licació n :

L a s f unc io ne s po lin ó m ic a s t ie ne n u na g ra n a p lic a ci ón e n l a

e la bo ra c ió n d e m o d e los q ue d e s c ri be n f e n óm e n os re a le s . A lgu nos

de

e llos s on: la c onc e n t ra c ió n d e una s us ta nc i a e n un c om pue s to , la d is ta nci a re c o rr id a po r un m óv il a v e loc id a d c ons ta n te , la co m p ra d e cie rt a ca nt id a d d e obje tos a un pre c io un ita ri o, e l s a la ri o d e u n t ra ba j a d o r m á s s u c om is ió n, la v a ria c i ón d e la a ltu ra d e u n p roye c ti l, e n tre o t ros .

 Si

n

es p a r y

a n  0 ; la g ra f ica in ic ia y term ina c on

b ra zos leva n ta d os

 Si

n

es p a r y

a n  0 ; la g ra f ica in ic ia y term ina c on

b ra zos c a íd os

2 . Id e n tifiqu e n úm ero d e va lle s y c ú sp ide s, Es to es , Núm ero c om b in ad o d e va lles y c ú s pid es n o d eb e ex c ed er a n  1 a u n qu e pu ed e s er m en or. 3 . H a lle lo s c o rte s c o n e l eje x , Es to es ,

a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a 0  0

H ág a lo p or fa c toriza c ión o teorem a d e las ra íc es ra c iona les. Th d e la s ra íc e s ra c iona le s: D ad o c eros s on d e la f orm a

p d on d e q

a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a 0  0 ,p os ibles

p es un div is or d e a 0 y q es un div is or d e

an

4 . Id e n tifiqu e la p o sic ió n d e la gra fic a , c on re sp e c to a l e je x, Es to es , D eterm in e a p a rtir d e los c eros s i la g ra fic a s e en c u en tra p or en c im a o p or d eb a jo d el eje x . 5 . c o n la info rm a c ió n ob te n ida e n lo s íte m s an te rio re s, g ra fiq u e la fu n c ió n.

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


17

M A PA CO N CE PT U A L 4: F U N C IÓ N L IN E AL D o m in io : R

F U N C IÓ N L IN EA L G rá fic a m e n te le c o rre sp o n d e

P a ra g ra fic a rla p ro c e d a

L IN EA R EC TA

d e la sig u ie n te m a n e ra :

Q u e se d e te rm in a co n

y  mx  b U b iq u e e l c o rte e n e l e je y : b . A p a rtir d e b h a g a Si

EC U A C IÓ N C A N Ó N IC A

EC U A C IÓ N G EN ER A L

S e d e fin e c o m o :

y  mx

y  mx  b

Si

Si

C ru z a p o r

0,0

u n d e sp la z a m ie n to v e rtic a l d e la s u n id a d e s e sta b le c id a s en el d e n o m in a d o r de la

S e d e fin e c o m o :

N o c ru z a p o r

Ax  By  C  0 D o n d e A, B, C  R

p e n d ie n te : m ,

a

p a rtir

de

a llí

haga

un

d e sp la z a m ie n to h o riz o n ta l de la s u n id a d e s e sta b le c id a s e n e l n u m e ra d o r d e la p e n d ie n te :

m,

0,0

a llí u b iq u e e l se g u n d o p u n to .

C o n lo s d o s

p u n to s tra c e la g ra fic a d e la lín e a re c ta .

T ie n e

Pe n d ie n te Q u e se d e fin e : Si

e s e l á ng ulo d e inc li na c ió n d e u n a re c ta

p( x1 , y1 ) y

p( x2 , y2

l,y

) so n d o s p unto s d istinto s d e

D e te rm in a

  0o , e nto nc e s , la

l , s e c um p l e q ue :

Si

p e n d ie nte

y  y1 , m 2 x2  x1

m d e l e s:

e nto nc e s ,

m  tan . A d e m á s , si y  y1 m  tan   2 x2  x1

l1 y l2 so n d o s re c ta s d e p e n d i e n te s m1 y m2

re sp e c tiv a m e n t e , Pe rm i te id e n t ific a r :

Ec u a c io ne s p a ra la re c ta

Re c ta s p a ra le la s

Re c ta s P e rpe n d ic u la re s

Re c ta s se c an te s

Q u e so n

Si

Si

Si

S e c r uz a n y s us p e n d ie n t e s P e nd ie nte y - inte rc e p to

y  mx  b

m : Pe n d ie n t e b : y- in te rc e p to C á lc ul o d i fe re n c ia l

P unto - p e n d ie nte

y  y1  mx  x1 

S us p e n d ie n t e s s o n i g ua le s

m1  m2

so n in v e rsa s c o n tra rio y á n gul o d e

y

d e sign o s fo rm a n un

S e c r uz a n e n un p un to

90 0 m   1 1 m2

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


18

M A PA CO N CE PT U A L 5: F U N C IÓ N CU AD R ÁT IC A

F U N C IÓ N C U A D R Á TIC A S e d e fin e c o m o

f x   ax 2  bx  c ;

D e te rm in a

a, b, c  R y a  0

con

S u g ra fic a e s

EC U A C IO N ES C U A D RÁ T IC A S

P A RÁ BO LA

Q ue so n d e la fo rm a

a, b, c  R y a  0

ax2  bx  c  0 ; c o n

El e je d e sim e tría : Es la rec ta c on res p ec to a la cu a l la ram a d e la pa ráb ola s e refl eja en la otra . V é rtice :p un to de in ters ecc ión en tre la p a ráb ola y s u eje d e sim etría . A b ertura :

Y s e s o l uc i o n a n p o r

Form ula gen eral pa ra ecu ac iones d e 2do g rad o.

C om p leta c ión d e c u ad ra d os

Fa c toriza c ión

S u fo rm a

C u y o s ele m e n to s so n

y  f  x   ax 2  bx  c , a  0 ,

Si en

 la

pa rá b ola ab re ha c ía a rrib a . En es te ca s o exis te

u n p u nto m ín im o llam ad o v é rtic e . 

Q ue e s

y  f  x   ax 2  bx  c , a  0 , 

Si en

la p a rá b ola a b re ha c ía a rrib a . E n este c a s o, el

v értic e es un pu nto m á x im o.

x

El d i sc rim in a n te

 b  b 2  4ac 2a

b2  4ac

A m p litud : El v alor d e

a en la fu n c ión y  f x   ax 2  bx  c , tam b ién ind ic a la ab ertu ra d e

la pa rá b ola as í, s i:

Y d e te rm in a

a 1.

A p a rtir d e l c ua l se c a lc ula n la s

a  1 , la pa ráb ola es + es trec ha , en rela c ión c on la p a ráb ola d ond e

S o lu c io n e s d e la e c ua c ió n

0  a  1 , la pa ráb ola es m ás an c h a, en rela c ión c on la p a ráb ola d on d e

a 1.

Q ue p u e d e n s e r 2 s olu cion es rea les , Si

1:

b  4ac  0

y  f  x   ax 2 ,

d o nd e

b  4ac  0

Si

Si

2

b  4ac  0 2

bc0

Esta p a rá b o la tie n e v é rt ic e e n e l e je

2:

0,0 .

E je d e sim e tría :

y  f  x   ax 2  c , d o nd e b  0

Esta paráb o la tien e vé rtice en sim e tría e s e l e je

y.

a  0 la

p a rá b o la a b re h a c ía arrib a ;

Si

a  0 la

A d e m á s, s i

a  0 ,la

p a rá b o la se c ie rra e n re la c ió n

c o n la p a rá b o la y  x 2 y si

a  1 ,la

e n re la c i ó n c o n la p a rá b o la

y  ax 2

y

E je d e s im etría

p a rá b o la se a b re

Si Si

c  0 la c  0 la

x

C á lc ul o d i fe re n c ia l

o

0,c  .

y  ax 2

y

y.

y  f  x   ax 2  bx  c

Eje d e sim e tría es una re c ta v ertica l para le la a l e je El v é rtice e s le p un to d e co o rd enad as

b e 2a

y

x

tra sla c ió n es ha c ia ab a jo .

o b ten id o de

a >0

y  ax  c 2

y

E je d e s im etría

V értic e

El e je d e

y  f  x   ax 2  bx , d o nd e c  0

o

tra sla c ió n es ha c ia a rriba .

x V értic e

0, c 

Si

S i a  0 la p aráb o la ab re ha c ía a rriba ; S i a  0 la p aráb o la ab re ha c ía a ba jo .

y  x2 . a <0

3:

c T ra slad a la paráb o la v e rtic a lm e n te .

p a rá b o la a b re h a c ía a b a jo .

a >0

G ra fiq u e la p a rá b o la te n ie n d o e n c u e n ta lo s sig u ie n te s 3 c a so s:

1 s olu ción rea l, 2 s olu cion es c om p lejas , Si

2

0,c 

V é rtic e E je d e

sim e tría

x

a <0

Si

y  ax  c 2

a >0

se o b tien e re em p laza nd o e l va lo r

x

e n la fun c ión da da .

y  ax 2  bx

y  ax 2  bx  c

a <0

x Eje d e

x

 x, y 

sim e trí a e V é rtic

y  ax 22  bx  c y  ax  bx y

y

0, c  Ve é rtic

sim e tría

y.

a  0 la p ará bo la ab re ha c ía arriba ; a  0 la p aráb o la ab re ha c ía a ba jo .

y

E je d e

x, y  d ond e

 x, y 

V é rtic e x Eje d e sim e trí a

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


19

E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 3 , 4 y 5 G ra fic a s fu nc io n e s p o lin óm ic a s PO LIN Ó M IC AS T IE N E Dom: R G ra fic a r. a. f x

 3

h x   x 2  4

j. y 

x   3x  1 e . f x   x 3  2 x 2  3x b. g

d . f x    x 2  3x  4 g.

(T O D AS

LA S

F U NC IO N ES

Ran: R )

Dom: R c . 3x  2 y  1  0 f. f  x   3 x 2  24 x  50

h. f  x   6 x 4  12 x 2  3x  13 i. f  x    12

x2  9 x3

3 1  y  x 2 2

0,  1 2

y , e sto

a p a rtir d e a llí ub ic am o s

Ran : 3

d e sp laz am ie nto ho riz o nta l 2 , a llí se ub ic a e l seg und o p u nto y se g ra fica la líne a re c ta . 1 .2 7 . Fig ura 1 .2 5 .

Fig ura 1 .2 5 .

d.

Fig ura

f x    x 2  3x  4 Ran: R Dom: R

La e c u ac ió n c o rre spo n d e a u n a fu nc ió n c u a d rá tic a cuya g ra fic a es una p a rá b o la . P a ra g ra fic a rla te ne m o s e n

Ran: R

d e sp e ja da ( c o m o e n e fe c to lo e stá ), ub ic a m os e l c o rte e n e l e je y ( té rm ino ind e p e nd ie nte, pa ra

Fig ura 1 .2 7 .

3,

La e c ua c ió n c o rre sp o nd e a una func ió n line a l ( p o lino m io d e g ra d o 1) , c uy a g ra fic a e s una línea re c ta . P a ra g ra fic a rla ráp id am e nte , debem os te ne r a y  g (x)

c u en ta

los

v a lo re s

n u e stro ejem p lo

de

a, b, c . P a ra a  1 , b  3 y c  4 .

El vé rtic e es c o o rd e na d a s:

el

p unto

de

 2ba , f  2ba  =  23. , f  32    32 , 254 

Fig ura 1 .2 6 .

e ste e je m p lo e s  1) , a p a rtir d e e ste p unto g ra fic a m o s la p e nd ie nte ( núm e ro q ue a c om p a ña a l e je x ) , d e la sig uie nte m a ne ra: ha c e m o s un d e sp la za m ie nto ve rtic a l d e 3 unid a d e s ( num e ra d o r d e la p e nd ie nte) y a pa rtir d e a llí un d e sp laz a m ie nto d e 1 unid a d ( d e no m inad o r d e la p e nd ie nte ), a llí ub ic a m o s e l seg und o p unto y lue g o tra z am o s la g ra fic a . Fig ura 1 .2 6 . C á lc ul o d i fe re n c ia l

y.

p e nd ie nte , d e sp la za m ie nto ve rtic a l

g x   3x  1

Dom: R

d e sp e ja r a

e s,

C o rre sp o nd e a una func ió n c o nsta nte ( p o linó m ic a d e g ra d o 0) . Su g ra fica e s una líne a re c ta ho riz o nta l p a sa nd o p o r e l va lo r d e 3.

b.

La e c ua c ió n c o rre sp o nd e a una func ió n line a l y su g ra fic a es una líne a re c ta , p a ra g ra fic a rla

U b ic a m o s e l c o rte e n le e je

f x   3

Dom: R

Ran: R

3x  2 y  1  0

S o lu c ió n : a.

3x  2 y  1  0

c.

Fig ura 1 .2 8 .

E je d e sim e tría e s la re cta v e rtic a l p a ra le la a l e je

y , x   2ba 

C o m o a  1  0 la p a rá b o la a b re ha c ía a ba jo . C o rte s e n e l e je

x:

V a lo re q ue ha c e n 0 a la func ió n.

 x 2  3x  4  0

 x 2  3x  4  0

 x  4, x  1 Lo s c o rte s c o n e l e je C o rte s e n e l e je

y:

E l c o rte c o n e l e je

Hacer

y : 0,4 .

 x  4x  1  0

x : 4,0,  1,0

f (0) . f (0)  02  30  4  4 Fig ur a 1 .2 8 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s

3 2


20

e.

f.

f x   x  2 x  3x 3

Ran: R

Dom: R

La ecua ción correspond e a una fun ción cu ad rátic a cu ya gra fica es una

D e te rm ina r b ra z os d e la g ra fic a . C o m o la func ió n e s im p a r, la g ra fic a tie ne un b ra z o c a íd o y otro le va ntad o .

f x 

f  x   3x 2  24 x  50

2

entre valles y cúspid es tien e m á xim o 2, ya qu e

pará bola . Para graficarla tenem os en cu enta los va lores d e a, b, c . Para nu estro ejem plo

a  3 , b  24

n 1  3 1  2 .

E l vé rtic e es e l p unto d e c o o rd e na da s:

 2ba , f  2ba  =  4, f  4   4,2

E nc o ntra r lo s c e ro s d e l p o lino m io , e sto e s, lo s p unto s d o nd e c o rta e l e je x . E sto e s, lo s va lo re s d e

x

E je d e sim e tría e s la re cta ve rtic a l

 x( x 2  2 x  3)  0  x( x  3)(x  1)  0

x 3  2 x 2  3x  0

p a ra le la a l e je

q ue hac e n c e ro la func ió n so n:

x  3  0  x  3; x 1  0  x  1 x están da do s po r lo s pun tos: 0,0 ,  3,0 , 1,0  .

x  0;

y c  50 .

C om o

Así, los co rte s co n el eje

a 30

b y , x   2 a  4

la p arábola a bre hacía a rrib a.

C o rte s e n e l e je

V a lo re q ue ha c e n

x:

Fig ura 1 .3 1 .

Determ in ar en u na recta re al po r

0 a la func ió n.

donde v a la función, esto es: Ubicam os los 3 punto s que c ortan al

c o m o b  4ac  24  4 x3x50  24  0 la func ió n d e ntro d e l c o njunto d e lo s re a le s no p o se e va lo re s q ue la ha g a n 0, lo q ue im p lica q ue no tie ne c o rte s c o n e l e je x .

eje

x en

2

el plano cartesiano . (fig

1.29.) Esto divide el plano e n 4 intervalos. Aho ra tom am os un v alor de cad a intervalo, lo evalu am os en

C o rte s e n e l e je

la está

por e ncim a y si obtenem os un núm ero negativo la función está por deb ajo.

g. inte rv a lo

N o. del inte rv a lo

sig no

x  3

-4

-

3 x  0

-1

+

Po r e n c im a d e l e je

0  x 1

1 /2

-

Po r d e b a jo d e l e j e

2

+

Po r e n c im a d e l e je

x0

P o sic ió n f unc ió n Po r d e b a jo d e l e j e

x x x x

h x   x 2  4

Hacer

y : 0,50  .

f (0) . f (0)  302  24 0  50  50 Fig ur a 1 .3 1 .

Ran: R

Dom: R

La ecuación corresponde a una función cuadrática cuya grafica es una parábola. Para graficarla tenem os presente que no tiene término lineal ( bx ) lo que indica que es una parábola trasladada verticalm ente -4 unidades del origen (ya que c  4  0 , así la parábola

G ra fic a m o s la func ió n te nie nd o e n c ue nta la info rm a c ió n d e lo s íte m s a nte rio re s.

y:

E l c o rte c o n e l e je

Fig ura 1 .2 9 .

la función; si obtenem o s un nú m ero positivo función

2

tiene

por vértice

el punto

de

coordenadas (0,4) . Abriendo hacía arriba ya que a  1  0 y con eje de sim etría el eje C o rtes en el eje

y

Fig ura 1 .3 2 .

.

x:

V a lo re s q u e h a c en 0 a la fu n c ió n .

y:

H a c er

x  4  0  x  2x  2  0 .Lo s c o rtes c o n el eje x so n 2,0, (2,0) 2

C o rtes en el eje Fig ura 1 .3 0 . C á lc ul o d i fe re n c ia l

c o n el eje

y : 0,4 .

f (0) . f (0)  0 2  4  4

El c o rte

Fig u ra 1 .32 . C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


21

h. f  x   6 x 4  12 x 2  3x  13

j.

y

D e te rm ina r b raz o s d e la g ra fic a . C o m o la func ió n e s pa r y

a n  6  0 la g ra fic a tie ne 2 b raz o s ca íd o s.

f x 

Y a q ue e stá d e te rm ina d o un va lo r pa ra y p o r ca d a va lo r d e x

entre valles y cúspid es tien e m á xim o 3 ya qu e

C ortes c on el eje

C o rte e n e l e je

y

e s:

n 1  4 1  3 .

Ha c e r f 0   60   12 0   30   13  13 4

y.

x2  9 x3

2

(0,13)

e x c e p to

x 3,

e l d o m inio d e G c o nsiste d e tod o s lo s núm e ro s

re a le s e x c e p to 3. C ua nd o

x 3

F a c to riza nd o e l num e ra d o r e n

Esta grafica (por ahora) requiere e la ayuda d e una calculado ra graficadora para su m odelació n o recurrir a la tabulación. Tabla de valores para com pletar su análisis (m ás adelante usarem os la derivada para hacer la

x

f x 

-2

-29

-1

22

2

-41

grafica m ás precisa).

( x  3)(x  3)

te ne m o s

( x  3)( x  3) o y  x3, ( x  3) sup o nie nd o q ue x  3 . E n o tras p a la b ras, la func ió n d e to da s la s p a re ja s o rd e nad a s ( x, y ) ta le s q ue y

y  x3

G ra fic a m o s la func ió n te nie nd o e n c ue nta la info rm a c ió n d e lo s íte m s a nte rio re s.

e l num e ra d o r y e l d e no m ina d o r

so n c e ro , y 0/0 n o e stá d e finid o .

y

G c o nsiste

x3

E l ra ng o d e G c o nsiste d e tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 6. La g rá fic a c o nsiste d e to d o s los p unto s e n la re c ta e x c e p to e l p unto

( 3, 6) .

y  x3

F ig ura 1.35.

Fig ura 1 .3 3 .

i.

f  x    12

C orre spo nde a una func ió n c onstante (polinóm ica d e grad o 0). Su gra fica es una línea recta ho riz onta l pasa ndo p or el valo r de

 12

.

Dom: R

Ran : 3

Fig ura 1 .3 5 .

Fig ura 1 .3 4 . Fig ura 1 .3 4 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


22

M A PA CO N CE PT U A L 6: F U N C IÓ N RA C IO N A L D o m inio : T o d o s lo s re a le s e xc e p to

F U N C IÓ N RA C IO N A L

lo s q ue h a ga n 0 a l d e n o m in a d o r .

S e d e fin e c o m o

f x  

p( x) a m x m  a m1 x m1  ..... a1 x  a 0  q ( x) bn x n  bn 1 x n 1  ..... b1 x  b0

P a ra g ra fic a rla , sig a lo s sig u ie n te s p a so s:

; con

p(x) y q(x) p o lin o m io s y q( x)  0

Sim e tría co n resp e cto al e je y :  S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p laz ar Sim e tría co n resp e cto al e je x :

1 . A N A LÍ C E SI M ET R ÍA S

 S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p laz ar Sim e tría co n resp e cto al o rig e n:  S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p laz ar

 x, y  p o r  x, y   x, y  p o r x, y   x, y  p o r  x, y 

N um e ra d o r y d e n o m in a d o r si e s p o sib l e y l u e g o sim p l ifiq u e

2 . FA C T O R I C E

S e o b tie n e n d e a c u e rd o a l gra d o d e l n um e ra d o r y d e n o m in a d o r

Lín e a re c ta q ue , p r o lo n ga d a , se a c e rc a in d e fin id a m e n te a un a c urv a , sin l le ga r a e n c o n tra rla .

3 . D ET ER M IN E A SÍN T O T A S

m = gra d o d e l n um e ra d o r; n = gra d o d e l d e n o m in a d o r

Pu e d e n s e r:

H o riz o n ta le s

V e rtic a le s

O b lic u a s

T ie n e s ó lo sí :

T ie n e s ó lo sí :

T ie n e s ó lo sí :

mn Si Si

4 . EN C U EN T R E C O R T ES C O N L O S E JES

5 . G R A FI Q U E

C á lc ul o d i fe re n c ia l

mn mn

o

mn

mn

La a sín t o ta e s La a sín t o ta e s

y0 y

am bn

Si

mn

mn

La (s) a sín t o ta (s) so n lo s

v a lo re s d e

x

q u e h a cen

0 al

d e n o m in a d o r.

Pe ro

m d e b e se r m a y o r q u e n

e n só l o 1 un id a d . S i e st o s e c um p l e s e h a c e la d iv isi ó n .

C o rte s C o n e l e j e x: v a lo r e s q ue h a c e n 0 a l n um e ra d o r . C o rte s c o n e l e j e y: e s h a c e r

f (0)

Eje m p lo

f ( x) 

x2 m  2 n  1 x 1

S e h a c e la d iv i sió n p a ra e n c o n tra r la a sín t o ta o b li c ua .

x1

x2 - x2  x -x x1 1

x2 1  x 1 x 1 x 1

x1 A s ín tota ob licu a

O b te n ga o tr o s v a l o re s si e s n e c e sa rio p a ra id e n ti fic a r p o r d ó n d e v a la gra fic a y trá c e la c o n lo s p un to s o b te n id o s y la s a sín to ta s.

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


23

E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 6 H o rizo n ta l: N o tie ne y a q ue

Fu n c ió n ra c io n a l. 1. G ra fic a r la s sig uie nte s func io ne s ra c io na les. a.

f x  

2

x x 1

b.

g x  

2 x2

c.

V e rtic a l:

hx  

2

2x x  1x  2

S o lu c ió n : a.

f x  

m  2 > n  1.

V a lo re s q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.

a sínto ta ve rtic a l e s la re c ta

x  1

O b lic u a : T ie ne ya q ue e l g ra d o d e l num e ra d o r

x 1  0 

m2

excede

a l g ra d o d e l d e no m ina d o r n  1 e n só lo 1 unid a d . A ho ra e nc o ntra re m o s la a sínto ta ob lic ua , ha c ie nd o la d ivisió n.

x2 x 1

x 1  x  x x 1 x  x 1 1 x2

D o m in io y ra n g o . D o m in io : T od o s las R m e no s lo s va lo re q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.

x2 1  x 1 x 1 x 1

2

Domf  R   1

R a n g o : O b te nid o d e sd e la g ra fic a

 ,4  0,  .

A s ín tota O b licu a

y  x 1

Inte rse c cione s c on lo s e je s.

S im e tría s: C o n e l e je y. Sustituy a m os 2   x x2 y   x   1  x  1

e je

 x, y  p o r  x, y 

la func ió n se a lte ra a l sustituir

 x, y  p o r

 x, y   no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l e je y . C o n e l o rig e n . Sustituya m o s  x, y  p o r  x, y  y

 x 2   x 2  x   1  x  1

la func ió n se a lte ra a l sustituir

 x, y  p o r

C o rte e n e l e je x.

0,0 .

Pu n to s e stra té g ic o s

x

2

P a ra e nc o ntra rla s se tie ne e n c ue nta q ue g ra d o y g ra d o d e l d e no m ina d o r

x0

0 1

La func ió n e stá tota lm e nte fa c to riza d a.

m2

q ue

l num e ra d o r.

C o rte e n e l e je y . 0,0 .

F a c to riza c ió n d e la fu n ció n .

num e ra d o r

x2  0

V a lo re s 0

2 e je y. Ha c e r f 0   0   0 .

 x, y   no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l o rig e n.

A sín to ta s:

x.

ha c e n

2

f ( x)  f (2) 

f (2) 

x2 x 1

 22  4  2  1

22  4 2  1 3

Fig ura 1 .3 6 .

n 1

G ra fic a d e la func ió n. F ig ura 1.36. C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


24

b.

g x  

V e rtic a l:

2 x2

D o m in io y ra n g o .

Rango:

y

g x  

2 x2

Domf  R   2

Inte rse c cione s c on lo s e je s.

2 x2

e je

 xy  2 y  2

x

Ranf  R  0

2 2 y

2 1 02

C o rte e n e l e je y .

0,1 .

 x, y  p o r  x, y 

 x, y   no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l e je y . C o n e l orig e n . Su stituya m o s

 x, y  p o r  x, y 

x

g x  

3

f (3) 

1

f (1) 

2 2  2 la func ió n se a lte ra a l sustituir  y  y x2 x2 x2

F a c to riza c ió n d e la fu n ció n . La func ió n e stá to ta lm e nte fa c to riz a da .

m0

y g ra d o d e l d e no m ina d o r

n 1

H o rizo n ta l: Si tie ne . C o m o g ra d o num e ra d o r m  0 e s m e no r q ue g ra d o d e no m ina d o r, e nto nc e s la a sínto ta ho riz o nta l e s e l

x ( re c ta y  0 ) .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

2

 3  2

 2

2 2  1 2 3

G ra fic a d e la func ió n. F ig ura 1.37.

c.

P a ra e nc o ntra rla s se tie ne e n c ue nta q ue g ra d o

2 x2

Fig ura 1 .3 7 .

 x, y  p o r  x, y   no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l o rig e n.

num e ra d o r

a l num e ra d o r. N o hay ning ún

P unto s e straté g ic o s

2 2 la func ió n se a lte ra a l sustituir  x, y  p o r y y x2 x2

A sín to ta s:

V a lo re s q ue ha c e n 0

e je y . H a c e r f 0 

C o n e l e je y . Sustituya m o s

e je

x.

va lo r q ue hag a c e ro a l num e ra d o r. P o r lo ta nto la func ió n no c o rta a l e je x .

S im e tría s:

y

x  2

O b lic u a : N o tie ne. Y a q ue una func ió n no p ue d e te ne r a sínto ta ho riz o nta l y o b lic ua a l m ism o tie m p o .

D o m in io : T od o s las R m e no s lo s va lo re q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.

x20 

V a lo re s q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.

A sínto ta ve rtic a l es la re c ta

hx  

2x 2 x  1x  2

D o m in io y ra n g o . D o m in io : T od o s las R m e no s lo s va lo re q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.

Domf  R  1,2

R a n g o : D e sd e la g ra fic a e n a l fig ura 1.37.

(,0  2, 

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


25

Inte rse c cione s c on lo s e je s.

S im e tría s: C o n e l e je y . Sustituya m o s

y

2x

e je

 x, y  p o r  x, y 

2 x  2x y  x 1 x  2  x 1 x  2 2

2

x 1x  2

y

2

 x, y 

func ió n se a lte ra a l sustituir sim e tría c o n re sp e cto a l e je C o n e l orig e n . Sustituya m o s

por

 x, y   no

x

ha y

e je y . H a c e r f 0  C o rte e n e l e je y .

por

0,0

2x 2  0  x  0 .

20 0 0  20  1 2

0,0 .

P unto s e straté g ic o s

2 x2 2 x   2x2  y  y x  1x  2  x  1 x  2  x  1 x  2

 x, y 

p unto

la

 x, y  p o r  x, y 

func ió n se a lte ra a l sustituir

V a lo re s q ue ha c e n 0 a l num e ra d o r.

C o rte c o n e je

y.

2

y

x.

 x, y   no

la

x

hx  

ha y

sim e tría c o n re sp e cto a l o rig e n. F a c to riza c ió n d e la fu n ció n .

3

2

h 3 

2x 2 x  1x  2

2 3 18 9    3  1 3  2 4 2

h 3 

2

22 8  2 2  12  2 4 2

La func ió n e stá to ta lm e nte fa c to riz a da . A sín to ta s:

P a ra e nc o ntra rla s se tie ne e n c ue nta q ue g ra d o y g ra d o d e l d e no m ina d o r

n2

H o rizo n ta l: Si tie ne . C o m o g rad o num e ra d o r

m2

num e ra d o r

m2

g ra d o d e no m inad o r

n  2,

G ra fic a d e la func ió n. F ig ura 1.38.

e s ig ua l a l

e nto nc e s la a sínto ta ho riz o nta l e s

2 e l e je la re c ta y   2 ) . 1 V e rtic a l:

Va lores

q ue

ha ce n

0

al

d e no m ina do r.

x  2x  1  0  Asínto tas vertica le s so n las re ctas

x  2 y x  1

O b lic u a : N o tie ne. Y a q ue una func ió n no p ue d e te ne r a sínto ta ho riz o nta l y o b lic ua a l m ism o tie m p o . Fig ura 1 .3 8 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


26

M A PA CO N CE PT U A L 7: F U N C IÓ N VA LO R A BS O L U T O

D o m inio : T o d o s lo s re a le s

F U N C IÓ N V A L O R A B SO L U TO S e d e fin e c o m o

 x f x   x   - x

x x 0   x 0 

si si

R e p re se n te la d ista n c ia , a sí

e s la d ista n c ia d e l o ri ge n a

to d o s l o s p un t o s d e la gra fi c a c ua n d o

Eje m p l o :

x  3  4 sign ific a q u e la d ista n c ia d e l p un to x a l p un to 3 e s d e T ra b a ja n d o so b re la re c ta re a l, e xis te n 2 p un t o s q ue e s tá n

x  0 , con x  0.

b a sta a v a n z a r

4 un id a d e s a

-2

x3  4 M a te m á tic a m e n te ,

V a ria c io n e s d e la fu n c ió n v a l o r a b so lu to

E n la

E n la

E c u a c ió n

G ra fic a

C á lc ul o d i fe re n c ia l

3 y q ue p a ra e n c o n tra rlo s 3 o 4 un id a d e s a la iz q uie rd a .

x3  4 x 7

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

4 un id a d e s 4 un id a d e s o

x  3  4 x  1

1 . S e a la rga v e rt ic a lm e n te . Po r c a d a un

y  Ax

3 . D e sp la za m ie nto e n

la d e r e c h a d e

G rá fic a m e n te ,

S e p u e d e n re a liz a r

2 . D e sp la za m ie nto e n

x h a sta

sit ua d o s a 4 un id a d e s d e d is ta n c ia d e l p un to

U n ió n d e t o d o s l o s p un to s d e la gra fi c a c ua n d o

1 . A m p litud

d ista n c ia d e l p un t o

a.

4 un id a d e s .

S u g ra fic a e s

x . x  a e s la

m o v im ie n t o e n

x

y  xB

2. Si

y

y  x C

3. Si

Si

Si

x

tie n e

A

m o v im ie n to e n

y.

B  0 se tra sla d a B un id a d e s a la iz q uie rd a . B  0 se tra sla d a B un id a d e s a la d e re c h a . C  0 se tra sla d a C un id a d e s h a c ía a rrib a . C  0 se tra sla d a C un id a d e s h a c ía a b a j o .

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


27

Si la fun c ió n p os ee un p o lin o m i o e n e l d e n o m in a d o r, p a ra gra fic a rla se uti liz a e l tra ta m ie n t o d e s c rit o fun c i o n e s ra c io n a le s.

p a ra

Po r e je m p l o

f ( x) 

x;

x 1 ; ( x  1) g ( x)  h( x )  x2 3

F U N C IÓ N RA D IC A L

3

la s U n a fun c ió n ra d ic a l e s un a fun c i ó n

1

4

q ue c o n t ie n e ra íc e s d e v a ria b le s .

Su d o m i nio

9 : FU N C IÓ N SEG M EN TA D A

Su R a ng o

D e p e n d e d e l ín d i c e d e la ra íz .

Pu e d e

S i e l ín d ic e e s p a r; la f un c ió n n o e stá d e fin id a p a ra v a lo re s d e x p a ra c ua l e s e l ra d i c a n d o e s n e ga t iv o .

M APA C O N C EPTU A L

d e t e rm in a rse

al

O A T R O ZO S

tra z a r su grá fi c a .

lo s

S i e l ín d ic e e s im p a r, la fun c ió n e stá d e fin id a p a ra t o d o s l o s n úm e ro s re a l e s.

El dom inio de la función es la unión de los F U N C IÓ N SEG M E N T A D A O A T RO ZO S

Su d o m i nio y su R a ng o

n o só lo un a f ó rm u la d e s c rib e s u c o m p o rta m ie n t o ,

dom inios de ca da pa rte y el rango de la función es la unión de los rangos de cad a pa rte.

se lla m a n se gm e n ta d a s o d e fin id a s p o r in te rv a l o s T ie ne l a sig uie nte fo rm a :

M A PA C O N C EPTU A L 8: F U N C IÓ N R A D IC A L

 f1 ( x), si x  I1  f ( x), si x  I  2 f ( x)   2    f n ( x), si x  I n

Pa ra la s c ua le s,

I1  I 2    I n   ;

la grá fic a d e la f un c ió n e q u iv a le a la un ió n d e la s grá fic a s d e c a d a p a rte .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


28

E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 7 , 8 , Y 9 F u n c ió n V a lo r a b so lu to , fu n ció n r a d ic a l y .

N o tie ne a sínto ta ra c io na l.

1. G ra fic a r la s sig uie nte s func io ne s. a.

c.

f ( x)  x f ( x)  2 x  1

h( x) 

x2 x 1

b.

d.

ho riz o nta l, y a

q ue no e s una

O tro s va lo re s y la g rá fic a d e la func ió n so n lo s sig uie nte s:

g ( x)  x  3 3

 1  x  f ( x)  2  3

G ra fic a d e la func ió n.

Fig ura 1 .3 9 .

si x  2 si  2  x  2 si x  2

x

f (x)

1

1

2 e.

g.

f ( x)  x

f.

f ( x)  x 2  1

y  5 x

h.

3x  2 y 2 x

5

si x  1 b.

Ra n

f  0,  

Lue g o , la g rá fic a e m p ie za a pa rtir d e

1 2

.

1. 2 N o e x iste n a sínto ta s ve rtic a le s, y a q ue no e s una func ió n ra c io na l. x

N o tie ne inte rse c c ió n c o n e l e je y , y a q ue

x  0.

C á lc ul o d i fe re n c ia l

Rang : R

g ( x )  3 x  3 e stá d e finida e n to d o R . Lue g o, g ( x)  0 si x  3 .

f ( x)  2 x  1 no e stá d e finid a si 2x  1  0 ; e s d e c ir, si x 

d e finid o p a ra

g ( x)  3 x  3

Domg : R ,

1  f   , , 2 

3

si 1  x

f ( x)  2 x  1 Dom

3

Fig ura 1 .3 9 .

S o lu c ió n : a.

func ió n

f (x)

no e stá

N o e x iste n a sínto ta s ve rtic a le s. Inte rse c c ió n c o n e l e je y:

g (0)  3 0  3  3  3  1,44

N o tie ne asínto ta ho riz o nta l. O tro s va lo re s y la g rá fic a d e la func ió n se m ue stra n a c o ntinua c ió n:

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


29

T a b la d e va lo re s y g ra fic a e n la fig ura 1.40.

h(x) x

-3

g (x)

-2

3

 5  1,7

1

3

 2  1,2

4

1

11

2

-2

2

3

1 2

4 Fig ura 1 .4 0 .

c.

h( x) 

x2 x 1

D om h  (,1)  2,  

x2  h( x)  0 h( x)  x 1 d e finid a si 1  x  2 . A sínto ta ve rtic a l: la re c ta

d.

R a n h  0,    1 si

x  2.

A d e m á s,

h(x)

no e stá

x  1.

5  1,58 2

2  0,63 5

 1  x  f ( x)  2  3

Fig ura 1 .4 1 .

si x  2 si  2  x  2 si x  2

Domf  Domf 1  Domf 2  Domf 3  (,2)   2, 2   2,    (, ) Ranf  Ranf1  Rangf 2  Rangf 3   1   1,1   3   1,1   3

N o tie ne inte rse c c ió n c o n e l e je y , p ue s la func ió n no e stá d e finid a pa ra

x  0.

C o m o e l g ra d o d e l num e ra d o r es ig ua l a l g rad o d e l d e no m ina d o r, e s d e c ir, n  m , ha y una a sínto ta ho riz o nta l e n

y

1 , 1

e s d e c ir,

y  1.

O tro s va lo re s y la g rá fic a ( fig ura 1.41) d e la func ió n se m ue stra n a c o ntinua c ió n:

C á lc ul o d i fe re n c ia l

La g rá fic a d e f e s la unió n d e c a d a una d e la s g rá fic a s d e

f3 .

f1 , f 2

y

Fig u ra 1.42.

Fig ura 1 .4 2 .

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


30

e.

f ( x)  x E l d o m inio d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s re a le s;

Donf  R

La

g rá fic a

f ( x)  x  1 2

E l ra ng o d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s re a le s

f  R   0  0,   .

La ta b la d e va lo re s y la g rá fic a se m ue stra n e n la fig ura 1.43.

x

-2

-1

0

1

2

f (x)

2

1

0

1

2 Fig ura 1 .4 3 .

f ( x)  x

f ( x)  x  1 . f ( x)  x  1 2

g.

se

p ue d e

e sc rib ir

en

y  5 x

 , 5 y e l ra ng o d e

si ( x  1)(x  1)  0 si ( x  1)(x  1)  0

( x  1)(x  1)  0 la so luc ió n d e  ,  1 y (1, ) q ue e ntre

c o rre sp o nd e a la c urva de la p a rá b o la P a ra e l c a so

( x  1)(x  1)  0

d e te rm ina q ue e n e l inte rva lo la c urva d e la pa rá b o la

C á lc ul o d i fe re n c ia l

la ine c ua c ió n la

g rá fic a

x 2 1.

la so luc ió n d e la ine c ua c ió n

1, 1 la g rá fic a c o rre sp o nd e a

 ( x 2  1) .

3x  2 y 2 x

0,    . F ig ura 1.45.

y  5  x F ig u ra 1.45.

fo rm a

h.

P a ra e l c a so d e te rm ina

Fig ur a 1 .4 4 .

f e s e l c o n junto d e to d o s lo s núm e ro s re a le s no ne g a tivos,

e q uiva le nte c o m o:

 x  1 f ( x)    ( x 2  1)

la

f ( x)  x 2  1

e l c ua l e s

2

en

E l d o m inio d e f e s e l c o njunto d e to d o s lo s núm e ro s rea le s m e no re s q ue o ig ua le s a 5, e l

2

func ió n

m ue stra

func ió n

fig u ra 1.44.

c ua l e s

La

se

la

p o sitivo s y e l c e ro; Ra n

f.

de

3x  2 y 2 x

si x  1 si 1  x

E l d o m inio d e F e s de F es

( ,  ) .

( ,  ) ,

y e l ra ng o

F ig ura 1.46 .

Fig ura 1 .4 6 ,

si x  1

si 1  x

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


31

M A PA CO N CE PT U A L 10 :

O PER A C IO N ES EN TR E F U N C IO N ES D a d a s 2 fu n c io n e s

O PE R AC IO NES AR IT M ÉT IC A S

f (x)

y

O P ER AC IO N ES E N T RE F U N C IO N ES

g (x) , se c o m b in a n a tra v é s d e : IN V ERSA S

C O M P O SIC IÓ N

f

Si

Sum a

f

 g  x   f x   g x 

Do min io f  g   Domf  Domg

L a f u n ción c om p u es ta d en ota da p or

g f

es tá d ef in id a

y el d om in io d e

 g  x   f x   g x 

Do min io f  g   Domf  Domg

f un c ió n

f

,

que

f

 g  x   f x   g x 

el

d o m in io d e

f f

f

Si

f x 

g

D o m in io d e Ra n g o d e

f

f

p a re s

1

f

de

f

1

es el

es el

.

f

1

f

1

c om o

es u na f u n ción u n o a u n o

c om o su inv ers a. Ad em ás ,

f f 1  x   x

g  f x  Ra n g o d e

de

f 1  y   x

es u na f u n ción u n o a un o y tien e a

f 1 f  x   x

x

f

p or

y e l Ra n g o d e

el s u in v ers a , en ton c es

D o m in io d e

un a

A d e m á s:

y tien e a

f f x   x   g x  g f Do min io   Domf  Domg/ g  x   0 g

un o

e xis te

c o n j un to

y  f x  . El d o m in io

ra n go d e

g  f x   g  f x  S ign if ic a a p l ic a r

Do min io f  g   Domf  Domg C o c ie n te

a

, lla m a d a in v e rsa d e

 y, x  d e fin id a

p rim e ro

Pro d u c to

un o

en ton ce s

1

f

es

o rd e n a d o s y só lo sí

f y d e sp u é s g .  f  g x   f g x  S ign if ic a a p l ic a r p rim e ro g y d e sp u é s f .

x, y  ,

fun c i ó n in v e rsa

R e sta

f

un a

o rd e n a d o s

g  f es el g  f  x   g  f x  c on ju nto d e tod os los n úm eros x d el d om in io d e g ta les q u e g (x) es tá en el d om in io d e f . p or

es

c o n sid e ra d a c o m o e l c o n j un t o d e p a re s

p a ra tod o

x en el d om in io d e f

p a ra tod o

x en el d om in io d e f

. y

1

.

Pa ra h a lla r la f un c i ó n in v e rsa d e un a f un c i ó n se p ro c e d e a sí

g 1 . s e es c rib e

y  f x 

.

2 . Se c om p ru eb a s i la f un c ión d a da es b iy ec tiva . 3 . Se d es p eja térm in os d e

la ecu a c ión y  f  x  en y , pa ra ob ten er un a e4 cu a c ión d e

x de

la f orm a x  f

1

4 . Se in terc am bia

y .

x

p or

y p u es to q u e n o im p orta

el s ím b olo q u e s e us e pa ra la va ria ble. 5 . Se c om p ru eb an las c ond ic ion es :.

f 1 f  x   x p a ra tod o

f f 1  x   x p a ra tod o C á lc ul o d i fe re n c ia l

x en el d om in io d e f . y x en el d om in io d e f 1 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


32

E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 1 0

( g  g )(x)  x  1  x  1  0

O p e ra c io n es e n tre fu n c io ne s : Si

f g

f ( x)  x  3 y g ( x) 

x 1

, ha lla r la s func io ne s f + g, 3f – g ,

g  g  e s

y g – g, e stip ula nd o e l d om inio d e ca d a uno d e e lla s.

f ( x)  5  x  2 

Se a

y

 f  g x 

a.

g ( x)  log 5 x b.

2. Sea

H a lla r:

g  f x 

b.

4.

f

1

y  f x   x  1 2

si

la s

func io ne s

a.

y  f ( x)  x 3  1

y

b.

tie ne n func ió n inve rsa , e n c a so d e te ne rla ,

S o lu c ió n

– g,

P a ra em p e za r, o b se rvam o s q ue e l d o m inio d e

g

 f  g x 

g ( x)  log 5 x

H a lla r:

g  f x 

b.

3. H a lla r la inve rsa d e la func ió n g rá fic a d e

f

3f

e s to da la re c ta

e s e l c o njunto d e to d o s lo s x  1 . A ho ra,

( f  g )(x)  x  3  x  1

C on

Dom( f  g )  {x / x  1}

(3 f  g )(x)  3( x  3)  x  1  3x  9  x  1 ; Dom(3 f  g ) es {x / x  1}.

f f ( x) x 3 Domg ( x)   {x / x  1}  ( x)   g ( x) x 1 g C á lc ul o d i fe re n c ia l

f x 

y

f

1

Lu e g o , traz a r la

f x   ln 2 x

y  ln 2 x

f es f ( x1 )  f x2   ln 2 x1  ln 2 x2

Pa so 2°:

f x   ln 2 x .

( x)

H a lla nd o la func ió n inve rsa d e Pa so 1°:

f ( x)  x  3 y g ( x)  x  1 , ha lla r la s func io ne s f + g, f y g – g, e stip ula nd o e l d o m inio d e ca d a uno d e e lla s. g

re a l y e l d e

y

e nc o ntra rla ; e n c a so d e no te ne rla , ind ic a r si es p o sib le ha c e r a lg o p a ra q ue la te nga .

1. Si

f ( x)  5  x  2 

(g o f )(x)  g (f(x))  g 5 ( x  2)  Log5 5 ( x  2)  x  2

( x) .

D e te rm ina r

{x / x  1}.

(f o g)(x)  f(g(x))  f log 5 x   5 (log5 x  2)  x.5 2  25x

H a lla r la inve rsa d e la func ió n f( x ) = Ln2x. Lug o , traz a r la g rá fic a d e f(x ) y

A unq ue la ex p re sió n fina l e stá d e finid a pa ra to d o x , e l d o m inio d e p e nd e d e lo s p aso s inte rm ed io s. E n e ste c a so, e l d o m inio d e

se c o m p rue ba si

b iy e c tiva D e finic ió n

 ln 2  ln x1  ln 2  ln x 2  ln x1  ln x2

A p lic a nd o p ro p log a rítm o s

e e  x1  x 2

E x p o ne nc ia l a a m b o s la d os

ln x1

ln x2

O p e ra nd o

D e f. F unc ió n inve rsa

Lue g o , f e s in y e c tiva.

ey  Ranf  R  y  ln 2 x  x  2  e s b iy e c tiva

e s so b re y e ctiva

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


33

Pa so 3°:

Pa so 4°:

y  ln 2 x  x 

e x iste uno y so lo un va lo r d e

ey ey  f 1 ( y )  2 2

c o nse c ue nc ia , la e c ua c ió n  d o m inio e s e l ra ng o d e

ey ex f ( y)   f 1 ( x)  2 2

no s d e fine o tra fu nc ió n c uy o

y c uy o ra ng o es e l d o m ino d e

f 1 ( x) 

f ( x)  ln 2 x

va lo r

.

y  7 , le asig na e l va lo r d e x  3 7  1  2 . Si se quiere ahora rep resentar, c om o es usua l, c on y

x

e e s la func ió n inve rsa 2 f ( x)  ln 2 x y f 1 ( x)  e

x

Fig ura 1 .4 7 .

con

x

y

interca m bia

a la variable indep end ie nte a

la

x co n y

dependie nte,

se m ue stra n E n fig .1.47.

en la ecuac ió n 

La func ió n de finida po r D e te rm ina r

si

y  f x   x  1 2

la s

func io ne s

a.

y  f ( x)  x  1 3

y

b.

e nc o ntra rla ; e n c a so d e no te ne rla, ind ic a r si e s p o sib le ha c e r a lg o p a ra q ue la te nga .

y  f x   x 2  1

c uy a g rá fic a se m ue stra e n la fig ura 1.49.

U sa nd o e l c rite rio d e la re c ta ve rtic a l p a ra d e te r m ina r si una func ió n tie ne o no func ió n inve rsa ( fig ura 1.48) o b se rva m o s q ue la

y  f ( x)  x  1 p o se e func ió n inve rsa , y a q ue la s re cta s 3

to c a n a la func ió n e n un so lo p unto .

Domf  R y e l Ranf  1,   .

A l d e sp e ja r

x,

se o b tie ne:

x   y 1 .

E sta últim a e c ua c ió n, d ic e q ue p a ra c ad a va lo r q ue se le a sig ne a la va ria b le y , le c o rre sp o nd e n 2 va lo re s a la va ria b le

A l d e sp e ja r

x

e n la e c ua c ió n  se o btie ne :

x  y 1 

c o nse c ue nc ia , e sta d e fine una func ió n.

3

P o r la fo rm a q ue p rese nta e sta e c ua c ió n, se sab e q ue da d o c ua lq uie r va lo r d e C á lc ul o d i fe re n c ia l

y,

to m a d o d e l ra ng o d e

es

y  f ( x)  x 3  1 Las gra ficas de y f 1  3 x  1 se rep resentan e n la fig. 1.48.

Fig ura 1 .4 8 .

C o nsid e re a ho ra la func ió n

Domf  ranf  R .

f 1  3 x  1

y  f ( x)  x 3  1 . la funció n inversa de

tie ne n func ió n inve rsa , e n c a so d e te ne rla ,

Pa ra y  f ( x)  x 3  1

se

3 y así se obtiene: y  x  1  . 3 1 3 Es decir, y  f ( x)  x  1  f  x   x  1

2

func ió n

f

La se g und a e c ua c ió n, e fe c túa la o p e ra c ió n in ve rsa , e sto e s a l

1

La s g rá fic a s d e

4.

. En

A si p o r e je m p lo , la e c ua c ió n  a sig na a l va lo r x = 2 , un únic o va lo r d e y , e n e ste c a so, y = 2 3 – 1 = 7.

e ln 2 x 2 x a ) f ( f ( x))  f ln 2 x    x 2 2  ex  ex   ln 2 b) f ( f 1 ( x))  f   ln e x  x 2 2   1

de

f

f

1

Pa so 5°: Se c o m p rue ba n la s c o nd ic io ne s

Lue g o ,

situa d o e n e l d o m inio d e

x

f

( e sto e s, d e

R ),

últim a

x,

y en

e c ua c ió n

no

E n e ste c a so se d ic e q ue la func ió n inve rsa o q ue

f

1

Fig ura 1 .4 9 .

y  f x   x 2  1

no tie ne

no e x iste . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


34

C o nsid e re m o s nue va m e nte la func ió n

y  f x   x 2  1.

se m e nc io nó a nte s, la func ió n :

y  f x   x 2  1

N o tie ne inve rsa (p ue s

Domf  R y f no e s iny e c tiva

el

C om o

Ranf  1,  

o uno a uno , p o r lo

ta nto no e s b iy e c tiva , c o nd ic ió n ne c e sa ria p a ra q ue una func ió n te ng a inve rsa ). Sin e m b a rg o , la func ió n

y  f  x   x 2  1 g e ne ra

f : dom ,0  ran1,   sie nd o f ( x)  x  1

2 func io ne s: Fig ura 1 .6 2 .

2

y

g : dom0,    Ran1,  

En

f

donde

g so n

sie nd o

Fig ura 1 .6 1 ..

g ( x)  x 2  1 A d e m á s,

y

u n o a u n o e n su s

Ig ua lm e nte,

 

f f 1 x   f  x  1  

tie n e n in ve rsa .

la

f 1  f  x   x

E s d e c ir,

re sp e c tiv o s d o m in io s ( fig . 1 .5 0 ) y e n c o n se c ue n c ia

P a ra

f 1  f  x   f 1 x 2  1  

fu n c io n e s

 x   x

E s d e c ir,

func ió n

f f

1

x

2

 1  1   x2   x   x  x 2

p a ra c a da

x  1

2

x   ,0  D f  .

 1  x  1  1  x

p a ra c a da

 .

x  1,    D f 1

Fig ura 1 .5 0 .

f se tie ne : f : dom ,0  ran1,   sie nd o f ( x)  x 2  1

Se d e ja p a ra e l lec to r e l ha c e r las m ism a s c o nsid e ra c io ne s pa ra la func ió n

g

y

g 1 .

P o r func ió n inve rsa a:

f

1

( x)   x  1 f : dom1,    ran ,0

La s g rá fic a s d e

f

f

y

1

Se m ue stra e n la

Ig ua lm e nte, p a ra la func ió n

g ( x)  x 2  1

con

g

y

g 1 ( x)   x  1 f : dom1,    ran,0, 

g 1

Se m ue stra e n la

A l p ro c e so a p lic ad o a la func ió n

f ( x)  x 2  1

( func ió n q ue no

tie ne func ió n inve rsa p a ra to d o su d o m inio ) p a ra q ue sí te nga func ió n inve rsa , se le c o no c e re stric c ió n d e l d o m in io p a ra la

se tie ne :-

dom0,    Ran1,  

P o r func ió n inve rsa a: La s g rá fic a s d e

g

fig ura 1 .6 1 .

O b se rvac io ne s Im p o rta ntes:

fig ura 1 .6 2 .

e x is te n c ia d e fu n c ió n in v e r s a .

f y f 1 ) y y  f x   x ;

N ó te se e n la s fig ura s 1.61. y 1.62. q ue las g rá fic as d e ( (

g

y

g 1 )

so n sim étric a s c o n re sp e cto a la re cta

A sí, u n a fu n c ió n y su in v e rs a sie m p r e se v e n re fle ja d a s e n la

fu n c ió n id e n tid a d C á lc ul o d i fe re n c ia l

y  f x   x .

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


35

F U N C IO N E S T R A S C E N D E N T E S A plicac ion es d e a lgunas d e las func iones trascen den te s.

El c re cim ie nto p obla cio nal (D e m o gra fía) d e un a re gión o p ob lac ión en añ os, pare c e estar sobre una curva d e cara c terística e xp on enc ial q ue sugiere el m od elo m a te m átic o da do

Funció n lo g arítm ic a

por:

La ge olo gía c om o cienc ia req uiere de l plan team ien to de e c uac ion es lo garítm icas para el cálc ulo de la in tensid ad de un ev ento , tal co m o e s e l caso de un sism o. La m a gn itud de un terrem oto e stá d efinida c om o

intensidad y

A0

es una c onstante . (

 A  en la esca la de Rich ter, dond e R  log   A0 

A

R

es la

A es la am p litud d e un sism ó gra fo estánda r, q ue está

a 100 kiló m e tro s de l epic entro de l terrem o to). Lo s a strón om o s p ara d eterm inar una m a gnitud estelar de una estrella o plane ta utilizan ciertos cá lc ulo s d e cará cter lo garítm ico . La e c uac ión lo garítm ica les perm ite de t erm inar la brillan tez y la m a gn itud . En la físic a la func ión lo garítm ica tien e m uchas ap licac ione s entre la s c uales se p ue de

L " en d ec ibe le s d e un sólido , para e l c ual se em plea  I  , d ond e I es la intensidad d el son id o (la en ergía  

m enc ionar el cálc ulo de l v olum en " la siguien te e c uac ión

L  10. log    I0 

cayend o en una unid ad de área p or se gund o),

I0

es la intensidad d e sonid o m á s baja

que e l oíd o h um ano pued e oír (lla m ad o um bra l a ud itivo). Una c onv ersa ción en v oz alta tiene un ruid o d e fon do d e 65 d ec ibe le s.

N  N 0  kt , don de

N0

es la p obla ción inicia l, t es e l tiem p o transcurrid o en añ os y

k e s una c onstante . (En 17 98, e l ec on om ista in glés Th om as Malth us ob serv ó que la relac ión

N  N 0  kt

era válida para de term inar el crec im iento d e la p obla ción m und ial y

establec ió, ad em ás, q ue com o la c antidad de a lim entos cre cía d e m anera line al, el m und o n o p odía re so lv er e l problem a de l ham bre. Esta lúgubre pre dicción ha tenid o un im pac to tan im p ortan te en el p ensam ien to e con óm ic o, q ue e l m ode lo e xp onen cia l de cre cim ien to p ob lac iona l se con oc e c on e l n om bre d e m ode lo Ma lth usian o). En la m e dicina, m uch os m e dicam en tos son utilizad os para e l c uerp o h um ano , d e m anera que la can tida d presente sigue una le y e xp on encial de d ism inución . En M ate m átic a Fina nciera (A dm in istra ción), para el cálc ulo de interé s c om p uesto se em plean las fun cione s e xp onen ciales. Por ejem plo : sup on gam os q ue se tien e c ierta cantidad inic ial de d inero P0 q ue se c olo ca a un in teré s an ual d el i% . A l fina l d el prim er año se tendrá e l ca pital inic ial m ás lo q ue se ha ganado de interés P0i, si e ste proc eso se con tin úa p or n añ os, la e xpresión q ue se ob tiene está dad a por:

p  p 0 1  i n , d onde P

es el cap ita l final si los intereses se ac um ulan en un p eríod o d e tie m po , P0 es e l c apital inic ial, i e s la tasa de in terés (an ual, m ensual, diaria) y n e s el p eríodo d e tiem p o (añ o, m eses, día s, e tc.). Funcio nes trigo no m étric as

Funció n Exp o ne ncial

Las razon es trigono m é tricas se pued en utilizar, fun dam enta lm en te, para re so lv er trián gulo s, así c om o para re so lv er diferen te s situa cione s prob le m ática s en otra s c ien cia s.

Se aplica a la q uím ic a y físic a. En algun os elem en tos rad ioa ctiv os son de tal na turaleza que su can tidad dism in uye c on re spe cto a l tiem p o , se c um p le la ley e xpon enc ial y se dice

En T op ografía se p uede de term inar la altura d e un edificio, teniend o la base y el án gulo. Por ejem p lo , la torre d e Pisa , fue con struida sobre una base de arena p oc o c onsisten te; debid o a ello ésta se aparta cada v ez m á s de su v ertical. O rigina lm en te tenía una a ltura

que el elem en to d e cre ce o d e cae . En la q uím ica, el PH d e e s la con cen tra ción de H +, d onde H + una sustan cia se d efine com o :

H   log

ion es d e una sustan cia e xpre sada en m o le s p or litro. El P H de l a gua

destilada e s 7. Una sustanc ia c on un PH m enor q ue 7, se d ic e que e s ácida , m ientras q ue su PH es m a yor q ue 7 , se d ic e q ue e s base . Los am b ien ta listas m id en c onstan tem en te el PH de l agua d e lluv ia deb id o al efe cto dañin o de la "lluv ia ácida" q ue se origina p or las em isione s de dió xid o d e az ufre de las fá bricas y plan ta s e lé ctrica s q ue traba jan con carbón . O tras d e la a plica ción d e la s func ion es e xp onen cia l fue c on el desc ub rim ie nto d el Polo nio (elem ento radioa ctiv o) de sc ub ierto por Marie C urie en 1 898 d eca e expon enc ialm en te de ac uerdo a la fun ción:

m

m  m0 

e s la m asa al cab o d e un tiem p o y

C á lc ul o d i fe re n c ia l

0 , 005 t

t

, dond e

m0

es la m asa in icial de l Polonio ,

es e l tiem p o en día s.

de 54 ,6m , apro xim adam en te . En 199 0 un ob serva dor situad o a 46 m d el cen tro de la ba se de la torre , de term in ó un án gulo de eleva ción de 54º a la pun ta de la torre, e l ob serva dor para determ inar al de splaz am iento (h undim ien to en e l sue lo es m uy peq ueño , c om para do con la a ltura d e la torre) aplic ó la le y de l sen o para d eterm inar el án gulo d e inc lina ción y la le y de l co sen o para de term inar el de splazam iento de la torre . En Ó ptica , en las disp ersion es en prism a o c uand o un ra yo de luz a trav ie sa un a pla ca de cierto m aterial. En la A via ción, si do s avione s parten de una ba se a érea a la m ism a velo cidad form an do un án gulo y siguien do en tra yec torias re ctas, se p ued e d eterm inar la distancia q ue se enc uentran en tre los m ism os. El capitán d e un barc o p ue de d e term inar el rum b o eq uiv o cad o de l barco , siem pre en línea re cta, ord enand o m odific ar e l rum b o en grado para d irigirse direc tam en te a l p un to destin o c orre cto . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


36

M A PA CO N CE PT U A L 11 : F. E XP O N E N CIAL Y F. L O G A R ÍT M IC A

F U N C IÓ N EX PO N EN C IA L

C uya gra fi c a

F U N C IÓ N EX P O N E N C IA L N A T U RA L

C uya gra fi c a

S e d e fin e c o m o

S e d e fin e c o m o

y  a x , a  R y a  1

y  x , con

C u y a s p ro p ie d a d e s so n

C u y a s c a ra c te rístic a s so n C o rta e l e je 3 . El e je 4. Si

a

y e n 0,1

x e s un a

1,

2 . D o m in io :

R , Ra n g o : R 

1.

a x .a y  a x y

2.

a sín t o ta d e la fun c ió n .

y  a x es c rec iente.

5 . N o ti e n e c o rt e s c o n e l e j e

0  a  1 , y  a x es d ec recien te. x . 6 . a m  b n sí y s ó lo sí m  n Si

x

4.

ax a    x b b

5.

T ie n e p o r fu nc ió n in v e rsa

F U N C IÓ N L O G A R ÍTM IC A

ax  a x y ay

a 

x y

 a xy

3.

abx

6.

a0  1

C uya gra fi c a

C uya gra fi c a

a log a x  x y log a a x  x  ln x  x ln  x  x o

F U N C IÓ N LO G A RIT N O N A T U RA L S e d e fin e c o m o

y  log a x, a  1, a  0

y  ln x

C u y a s p ro p ie d a d e s so n

C u y a s c a ra c te rístic a s so n

1 . C o rta e l e j e

4 .S i

 a xb x

P o r é sta p ro p ie d a d , se c u m p le :

S e d e fin e c o m o

3 . E je

 2,71

x e n 1,0 

2 . D o m in i o :

R  , Ra n go : R

y e s un a a s ín to ta d e la f un c i ó n .

a  1 , y  log a x

c rec ien te. Si

0  a  1 , y  log a x

La f un c ió n n o e stá d e fin id a p a ra n úm e r o s n e ga tiv o s .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

d ec rec ien te.

1.

log a mn   log a m  log a n

3.

log a m p  p log a m

4.

ln 1  0

m log a    log a m  log a n n ln  1 6 . ln 0   (a s íntota )

2.

5.

Se a p lic an tam b ién para

f x   ln x

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s

y


37

M A PA CO N CE PT U A L 12 : FU N CIO N E S

F U N C IO N ES C IR C U LA R ES S e d e fin e c o m o

x  cost

S ie m p re q ue

y

C IRC U LA RE S S e tra z a n

x  cost

t  R y p( x, y ) e s e l p un to d e in te rse c c i ó n

La s lín e a s trig o no m é tric a s

Q u e so n

d e la c irc un fe re n c ia

un ita ria c o n e l la d o f in a l d e l á n g ul o c u ya m e d id a e s

t ra d ia n e s.

S e gm e n to s c uya l o n gi tud c o in c id e c o n e l v a lo r a b so l u to d e la s s e is fun c io n e s trig o n o m é tric a s d e un á n g ulo d a d o .

S e C a ra c te riz a n p o r se r Fu nc io ne s p e ri ó d ic a s

S e u tiliz a n p a ra e la b o ra r

Ya que La s g ra fic a s d e la s S o n fun c io n e s c u ya s im á g e n e s se r e p ite n e xa c ta m e n te e n e l m ism o o rd e n a i gua l e s in te rv a lo s d e s u d o m in io .

FU N C IO N ES T R IG O N O M ÉT R IC A S S e a n a liz a n D o m in io y Ra n go

S e p u e d e n re a liz a r V a ria c io n e s d e la s fun c io n e s trig o n o m é tric a s

1.

A m p litud

S e re strin g e p a ra d e fin ir

E n la

E n la

E c u a c ió n

G ra fic a

y  Asenx

1 . S e a la r ga v e rt ic a lm e n te . 2 . S e re p i te la gra fic a d e la fun c ió n la s v e c e s q ue d iga

y  senBx

2.

P e río d o

3.

D e sp la za m ie nto d e f a se

y  senBx  C 

C á lc ul o d i fe re n c ia l

B e n e l p e río d o . S i B  1se c o m p rim e h o riz o n ta lm e n te . S i 0  B  1se a la r ga h o riz o n ta lm e n te . 3 . S i C  0 se tra sla d a C un id a d e s a la iz q uie rd a . S i C  0 se tra sla d a C un id a d e s h a c ía la d e r e c h a .

La s f un c i o n e s tri go n o m é tric a s in v e rsa s

Q u e so n A rc o s e n o : A rc o c o se n o : A rc o ta n ge n te : A rc o c o ta n g e n te : A rc o se c a n te : A rc o c o se c a n te :

Arcsenx ó sen 1 x Arcos x ó cos1 x Arc tan x ó tan 1 x Arccot x ó cot 1 x Arcsec x ó sec 1 x Arccscx ó csc1 x

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


38

M A PA CO N CE PT U A L 13 : FU N CIO N E S

FU N C IO N ES T R IG O N O M ÉT R IC A S f ( x)  senx 1.

Dom  R

2.

Ran   1,1 . sen x    senx  es

Fu n c ión im pa r, pu es

4.

s im étric a c on res p ec to a l orig en . E s u n f un c ión p eriód ica , c on p eríod o

2

senx  senx  2k  .

f ( x)  cot x 2. Dom  R  n n  Z

3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o im p a r. 4 . As íntotas v ertica les

Ran  R .

; es u na f un c ión

x  2  n

C á lc ul o d i fe re n c ia l

; es d ec ir,

1.

2. Ran   1,1 . cos x   cos x  es s im étric a c on res p ec to a l eje y . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o 2 ; es d ec ir, cos x  cos x  2k  . In ters ec c ion es c on los ejes : x    n ; y  1 2

Dom  R

1.

Dom  R  2  n n  Z

,

y  n o tien e

2. Ran  R .  ; es u na f un c ión im p a r.  n , n  Z ;

3 . Es pa r, pu es

3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o

4.

4 . As íntotas v ertica les

5.

1.

Dom  R  2  n n  Z

2.

x  2

5 . In ters ec c ion es c on los ejes

f ( x)  sec x

x  n , n  Z ;

5 . In ters ec c ion es c on los ejes

f ( x)  tan x

f ( x)  cos x

3.

1.

T R IG O N O M ÉT R IC AS

x  n

Ran   ,1  1,   .

1.

Dom  R  n n  Z

2. Ran   ,1  1,   .  ; es u na f un c ión im p a r. x  n , n  Z ;

3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o

4 . As íntotas v ertica les

4 . As íntotas v ertica les

x  2  n , n  Z ; x

n o tien e ,

y0

f ( x)  cscx

3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o 2 ; es u na fu n ción pa r.

5 . In ters ec c ion es c on los ejes

,

y 1

5 . In ters ec c ion es c on los ejes

x

n o tien e ,

y  n o tien e

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


39

E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 1 1 , 1 2 Y 1 3 F u n c ió n e xp o n e n c ia l, trig o n o m é tric a s.

fu n c ió n

lo g a rítm ic a

y

F u n c io ne s

c.

f ( x)  ln( x  2) f ( x)  Lnx 3

P o r lo ta nto la func ió n p a sa

f ( x)  Log e (1  x)

b.

p o r e l p unto  1.71,1

f x   3 x

d.

1 x  0  x  1

x

e. g. i.

1 f ( x)     3 f ( x)  2sen 2 x f ( x)  2sen3x   

f.

f ( x)  3senx

Po r lo ta nto la fun c ión tien e p o r a sín tota la rec ta

h.

f ( x)  cos3 x 5 2

f ( x)  ln( x  2) Sa b e m o s q ue : ln  1 ; ln 0

1  x  1  x  1 1  x  0

G ra fic a , la

a.

no e sta d e finid o y e n c ue nta e sto d e te rm ine m o s:

x  2  x  2  x  4,71 P o r lo ta nto la func ió n p a sa p o r e l p unto

ln 1  0

c.

f ( x)  Lnx 3

f ( x)  Lnx 3  3Lnx

4.71,1

A sí, g ra fic a r e sta func ió n e s g ra fic a r

P o r lo ta nto la func ió n tie ne p o r a sínto ta la re c ta

x2

x  2  1  x  1 2  x  3 P o r lo ta nto la func ió n p a sa

la

func ió n

f ( x)  ln x

m ultip lic a da p o r 3. g ra fic a tie ne por unid a d e s. A sí si

f ( x)  ln x

3,0 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

te nie nd o

Fig ura 1 .6 4 .

fig ura 1 .6 4 .

P o r p ro p ie da d d e lo s lo ga ritm o s:

x2  0  x  02  x  2

D e sp ué s de d ete rm ina r e sto ub ic a m o s la asínto ta c o m o una líne a p unte a d a , ub ic a m o s lo s 2 p unto s y lue g o g ra fic am o s. F ig u ra 1.63.

x 1

P o r lo ta nto la func ió n p a sa p o r e l p unto 0,0 .

S o lu c ió n :

p o r e l p unto

f ( x)  Log e (1  x)

1  x  x  1  x  1,71

G ra fic a r: a.

b.

Es d e c ir la a m p litud 3 la func ió n

p a sa p o r e l p unto d e

c o o rd e na d a s

f ( x)  Lnx

p e ro

3

,1 ,

la

func ió n

p a sa p o r e l p unto d e

c o o rd e na d a s

,3

F ig ura 1.65 .

Fig ura 1 .6 3 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


40

f x   3

d.

E l p e río d o d e

f ( x)  3senx

x

La grafica de la func ió n co rta al e je y en e l punto 0,1 , ya que 30  1

Lo s

x.

x

o la re c ta

e.

y  0.

0,1 , ya que x

1 f ( x)    e s  3 1 0   1. 3

y en

1   1  3

ya

q ue h.

e stá n

d e c ir, la g ra fic a c o rta e l e je

x se Fig ura 1 .6 8 .

f ( x)  2 sen 2 x , se tie ne :

x. x

o la re cta

y  0.

fig ura 1 .6 7 .

5 2

 52 y

La g ra fic a d e la fun c ión se m u estra en la fig u ra 1 .69 .

senx

por

f ( x)  3senx e s 3 y e l a m p litud d e f ( x)  3senx e s 3 .

E n p a rtic ula r, e l va lo r m á x im o d e

 3 . E nto nc e s la  3  3senx  3

c a da va lo r d e

A

P e río d o : T  2  2 B 3

f ( x)  3senx se p ue d e o b te ne r a pa rtir de

f ( x)  senx m ultip lic a nd o

f ( x)  52 cos 3 x

A m p litud:

f ( x)  3senx

La g ra fic a d e la func ió n

Fig ura 1 .6 9 .

P a ra f ( x)  52 cos 3 x , se tie ne :

Fig ura 1 .6 7 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

ve c e s.

La g ra fic a d e la fun c ión se m u estra en la fig u ra 1 .69 .

La g ra fica d e la func ió n se m ue stra e n la

A sí,

g ra fic a

A  2 2 y P e río d o : T  2  2  4  B 2

0

d e c re c ie nte

m ínim o e s

, e s d e c ir, la

A m p litud:

La func ió n tie ne p o r a sínto ta e l e je

la g ra fic a d e

f ( x)  2sen 2 x

P a ra

La func ió n no c o rta a l e je

f.

g.

fig ura 1 .6 6 .

x

La gra fica d e la fun ción corta al eje el punto

func ió n

es

Fig ura 1 .6 6.

La g ra fica d e la func ió n se m ue stra e n la

1 f ( x)     3

la

La g ra fic a d e la func ió n m ue stra e n la fig u ra 1.68 .

La func ió n tie ne p o r a sínto ta e l e je

de

x  n , n  Z , e s d e f ( x)  3senx e n  ,2 ,3 ,....

f  x   3 x e s c re c ie nte y a q ue 3  1. La func ió n no c o rta a l e je

c e ro s

se

f ( x)  3senx rep ite ca d a 

3.

va lo r

i.

Fig ura 1 .7 0 .

f ( x)  2sen3x   

A m p litud:

A 2 y

P e río d o : T  2  2 B 3 D esfa s e C 

B

3

La g ra fic a d e la fun c ión se m u estra en la fig u ra 1 .69 .

Fig ura 1 .7 1 . C a p í t ulo 1 : F un c io n e s

de


41

M A PA CO N CE PT U A L 14 : F. T R IG O N O M ÉT R IC AS IN VE RS AS

F U N C IO N ES TR IG O N O M ÉTR IC A S IN V ER SA S E x is ten s ólo si s e res tring e el d om in io d e las fu n c ion es trig on om étrica s , y a qu e és ta s n o s on f un c ion es b iy ec tiva s , p u es n ing un a es in y ec tiv a (c ond ic ión p a ra qu e u na f un c ión ten ga in v ersa ). Si

Se re stri ng e e l d o m i nio d e :

y  senx

y  cos x

y  tan x

C o m o p o r e jem p lo a :

C o m o p o r e jem p lo a :

C o m o p o r e jem p lo a :

    2 , 2   

0,  

S e tie n e la fu n ció n in ve rsa

y  arcsenx ó y  sen 1 x Con

Dom 1,1 Ran  ,    2 2   C u y a g ra fic a e s

C á lc ul o d i fe re n c ia l

S e tie n e la fu n ció n in ve rsa

y  arccosx ó 1

y  cos x Con

Dom 1,1, Ran0,   C u y a g ra fic a e s

    2 , 2    S e tie n e la fu n ció n in ve rsa

y  arctan x ó 1

y  tan x Con

DomR Ran  ,    2 2  

y  sec x

y  cscx

C o m o p o r e jem p lo a :

C o m o p o r e jem p lo a :

C o m o p o r e jem p lo a :

0,  

0,    

  ,   0

S e tie n e la fu n ció n in ve rsa

S e tie n e la fu n ció n in ve rsa

S e tie n e la fu n ció n in ve rsa

y  arc cot x ó

y  ar sec x ó

y  arc cscx ó

y  cot x

y  sec1 x

y  csc1 x

Con

Con

Con

y  cot x

1

DomR , Ran0,   C u y a g ra fic a e s

2

2

2

DomR   1,1, Ran0,    2  DomR   1,1, Ran 2 , 2   0 C u y a g ra fic a e s

C u y a g ra fic a e s

C u y a g ra fic a e s

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


42

F U N C IO N ES H IPER B Ó L IC A S c om b in a c ion es d e  x y  Su g raf ica es

Son a n á log as a las f un c ion es trig on om étrica s . L os v a lores d e es ta s f u n cion es están rela c ion ad os c on las c oord en a da s d e los pu ntos d e un a h ip érb ola equ ilátera d e m an era s em eja nte a la f orm a en q u e los v a lores d e las f u n cion es trig on om étric as c orres p on d ien tes es tá n rela c ion ad os c on las c oord ena da s d e los p un tos d e un a c irc u nf eren c ia .

x

Se ob tien en d e c om b in a cion es d e  x y   x Se d ef in en a s í Se d ef in en a s í

y  senhx 

 x  x 2

y  cosh x 

 x   x 2

C on

Se d ef in en a s í y  tanh x 

senhx  x    x  cosh x  x    x

C on

y  coth x 

Se d ef in en a s í x

senhx     cosh x  x    x x

C on

Dom :  ,0   0,  , Ran :  ,1  1,  

y  sec hx 

1 2  cosh x  x    x

C on

Se d ef in en a s í y  cschx 

1 2  senhx  x    x

C on

  Dom : R   1,1Ran : 0,    2  Dom : R   1,1Ran :  2 , 2   0

Dom : R, Ran : R

Dom : R, Ran : 1,  

Su g raf ica es

Su g raf ica es

Su g raf ica es

Su g raf ica es

Su g raf ica es

Su g raf ica es

T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa

T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa

T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa

T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa

T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa

T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa

y  arcsenhx

y  arccoshx

y  arctanhx

y  arc coth x

y  arc sec hx

y  arc cschx

S u g ra fic a e s

S u g ra fic a e s

S u g ra fic a e s

S u g ra fic a e s

S u g ra fic a e s

S u g ra fic a e s

C á lc ul o d i fe re n c ia l

Dom : R, Ran :  1,1

Se d ef in en a s í

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


43

F U N C IÓ N P A R T E E N T E R A E je m p lo : g ra fic a r

F u n c ió n p a rte e n tera o m a y or e n tero Es

a q ue lla

func ió n

f : R Z

d e finid a

f ( x)  x  donde x  e s e l m a y o r e nte ro m e no r d e c ir; f ( x)  x   n  n  x  n  1, n  Z .

m e d ia nte

o ig ua l q ue x, e s

S o lu c ió n : C om o

g

e stá d e finid a p a ra tod o s lo s va lo re s d e

 ,  a p a rtir d e la d e finic ió n d e

E l d o m inio d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s re a le s; Domf  R .

si  2  x  1 si  1  x  0

E l ra ng o d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s e nte ro s, Ranf  Z . La ta b la d e va lo re s se m ue stra a c o ntinua c ió n. x

f (x)

… …

 2  x  1

-2

1  x  0 -1

0  x 1 0

1 x  2 1

g x   x  x

2 x3

2

3 x  4 3

Si

si

0  x 1

si

1 x  2

si

2 x3

x

x,

su d o m inio e s

se o btie ne lo sig uie nte .

 x   2; por tan to, G( x)  2  x  x   1; por tan to, G( x)  1  x  x   0; por tan to, G( x)   x  x   1; por tan to, G( x)  1  x  x   2; por tan to, G( x)  2  x

… … y a sí suc e siva m e nte. D e m o d o m ás g e ne ra l, si n e s c ua lq uie r núm e ro e nte ro , e nto nc e s

La g rá fica d e la func ió n se re p re se nta e n la fig u ra 1.72.

si n  x  n  1,

 x   n;

por tan to, G( x)  n  x

C o n e sto s va lo re s d e func ió n se p ue d e d ib uja r la g rá fic a G , m o stra da e n la fig ura. A p a rtir d e la g rá fic a se o bse rva q ue e l c o ntra d o m inio e s (-1,0]. A l tra z a r la g rá fic a d e G( x)  INT ( x)  x se o b tie ne la fig ura 1.72. a ., lo c ua l ap o y a la resp ue sta .

Fig ura 1 .7 2 .

f ( x)  x 

Fig ura 1 .7 2 .a .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


44

E je r c ic io s P r o p u e s t o s : C a p ít u lo 1 1.

Si A ={1,2,3} y B ={4,5,6,7}. H a lla r la s p a re jas q ue c um p le n c a d a re la c ió n. Lue g o , ha lla r su d o m inio y su ra ng o . a.

R 1 : “La sum a d e la p rim e ra c o m p o ne nte c o n la se g und a c o m p o ne nte e s m a y o r q ue 7” .

b.

R 2 : “E l p ro d uc to d e la p rim e ra c o m p o ne nte c o n la se g und a c o m p o ne nte es un núm e ro im p a r” .

c.

R 3 : “La p rim e ra c o m p o ne nte e q uiva le a la se g und a

d.

2.

3.

m.

b.

Si X  R, Y  R, R3  {( x, y ) / y  x 2  1}

E va lua r ca d a func ió n p a ra lo s va lo re s q ue se ind ic a n.

c.

a.

R 4 : “La se g und a c o m p o ne nte e s e l d o b le d e la p rim e ra c o m p o ne nte ” .

b.

b.

4.

j.

R1  {( a, x), (b, y ), (c, z )} R2  {(1, x), (1, y ), (3, z )}

a.

f ( x)  x 3  16 x

c o m p o ne nte d ism inuid a e n uno ” .

Ind ic a r c uá le s d e la s sig uie nte s re la c io ne s so n func io ne s. Lue g o justific a r la re sp ue sta. a.

 x 2  4 si x  3 h( x )   2 x  1 si 3  x x3  2x 2 f. g ( x )  x2 x h. f ( x )  x d.

f ( x)  2 x 2  3 ; p a ra f( -2) , f( 0) , f( 1) 6x  3 m f ( x)  ; p a ra f(-1), f( 3m +1) , f   2 2  1 f ( x)  3x  5 ; p a ra f    , f a 2  a  1  4

E n c a da uno d e lo s sig uie nte s e je rc ic ios, la func ió n e s el c o njunto d e to d as las pa re ja s (x , y) q ue sa tisfa c e n la e c ua c ió n d a da . E nc o ntra r e l d o m inio y e l ra ng o d e la func ió n y tra za r la g rá fic a d e la func ió n.

f ( x)  3 x  1 C á lc ul o d i fe re n c ia l

b.

g ( x)  3x  4

c.

h( x)  3x  2

h( x)  x  1x  1x  3

f ( x)  x 3  3x  4 p . h( x)  x x  3 x  1 l.

f ( x) 

e.

g.

x  1x 2  3x  10  x 2  6x  5

g ( x)   x 2  1

i.

 x si x  0 h( x)   2 si x  0

k.

g ( x)  x 2  2 x  3

n.

h( x)   x  1  x  3 x  2 

o.

g ( x)   x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  3

2

5. E n lo s e je rc ic io s sig uie nte s, la s func io ne s f y g está n d e finida s. E n c a d a p ro b le m a d e finir la s sig uie nte s func io ne s y d e te rm ina r e l d o m inio d e la func ió n re sulta nte : 1) f+g; 2) f -g; 3) f.g ; 4) f/g; 5) g /f ; 6) g /f; 7) f o g; 8) g o f. a. b. c.

f ( x)  x  5; g ( x)  x 2  1 x 1 1 f ( x)  ; g ( x)  x 1 x

f ( x)  x 2  1; g ( x)  x  1

6. Da d as las sig uie nte s func io ne s, e nc o ntra r d o m inio y ra ng o. A d e m á s d e te rm ina r, si so n iny e c tiva s ( uno a uno ), b iy e c tiva s, so b re y e c tivas, pa r, im pa r, c re c ie nte, d e c re c ie nte , sim é tric a. Lue g o , tra z a r la g ra fica ( tab ula c ió n).

a ) f ( x)  2 x 4  3 x 2  1 c) g ( x)  x

b) f ( x)  5x 7  1 x 1 d ) h( x)  x 1 C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


45

6.

D e m o stra r q ue si f y g so n func io ne s im p a re s, e nto nc e s f.g y f/g so n func io ne s p a re s.

7.

Si

f ( x)  x 2  2 x  2 ,

c ua le s 8.

f

R e s p u e s t as E je r c ic io s P r o p u e s t os : C a p ít u lo 1

e nc o ntra r d o s func io ne s g p a ra las

o g ( x)  x 2  4 x  5

b. R 2 = {( 1,5) ,( 1,7) ,( 3,5) ,( 3,7) }; D o m R 2 ={1,3}; Ra n R 2 ={5,7}

Ev a lu a r la exp resió n f ( x  h)  f ( x) p a ra la s sig u ien tes fu n c ion es:

a ) f ( x)  3 x  x 2

b) f ( x )  2 x

c) g ( x)  3 x  5

d ) h( x )  x 3  2

c . R 3 = {( 3,4) }; D o m R 3 ={3}; Ra n R 3 ={4} d. R 4 = {( 2,4) ,( 3,6) }; D o m R 4 :={2,4}; Ra n R 4 :={3,6}

H a lla r una fó rm ula p a ra la func ió n f c uy o g rá fic o c o nsta de

 x, y  q ue

lo s p unto s

sa tisfa c e n ca d a una d e la s sig uie ntes

e c ua c io ne s.

a) x 5 y  4 x  2  0

b) x 

2 y 2 y

c) 4 x 2  4 xy  y 2  0

b.

5 x  1.7

b)

5 2 x1  7 x2 c.

11. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s e nc o ntra r la inve rsa d e f(x ). a)

f ( x) 

3 x2

b)

f ( x)  x 3

c)

f ( x)  2 x 3  1

d)

  3

  y  sec x   2 

b)

y  2senx   

c ) y  3sen x  2 

e)

1 y  4 tan x 2

f) y  csc x 

3 18m  9  m  3m  3 ; f 3m  1  ; f  2 2 2 2  1  17 f     4 4 f (1)  

4. a. d om inio :

12. D e te rm ina r la a m p litud, p e rio d o y d e sfa sa m ie nto d e ca da func ió n. Lue g o , tra za r la g rá fic a q ue se d e sc rib e e n un p e rio d o . a ) y  4 sen x 

2. a. Sí p o rq ue a c a da e lem e nto d e l d o m inio le c o rre sp o nd e uno y só lo un e lem e nto e n e l ra ng o. b. N o p o rq ue a un e le m e nto d e l d o m inio le c o rre sp o nd e n d o s e le m e nto s e n e l ra ng o . c . Sí p o rq ue a c ad a e le m e nto d e l d o m inio le c o rre sp o nd e uno y só lo un e le m e nto e n e l ra ng o . 3. a. f(-2) =5; f( 0) =3 y f( 1) =5

10. Re so lve r p a ra x: a)

R1  {(1,7), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6), (3,7) }; D o m R 1 ={1,2,3}; Ra n R 1 ={5,6,7}

h

9.

1. a.

  3

ra ng o

 , 

f ( x)  3 x  1 4   3 ,  ; g ( x)  3x  4

b . d o m inio :

3 

 ,  ;

ra ng o

0, 

14. G ra fic a r la s sig uie nte s func io ne s lo g a rítm ic a s y ex p o ne nc ia le s: a)

f ( x)  2 x

C á lc ul o d i fe re n c ia l

b) f ( x)   3 

2

x

c) g ( x)  ln 5 x

d) f ( x)  log 2 x 2  1

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s


46

c . d o m inio:

 ,  ;

ra ng o

0, 

b . 1) x  2 x  1 , d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to 0 y 1 2

h( x)  3x  2 2) 3) d . d o m inio :

 ,  ;

ra ng o

 4, 

4)

 x 2  4 si x  3 H ( x)   2 x  1 si 3  x

0, 

e . d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c e p to -5 y -1; ra ng o to d o s lo s núm e ro s re a le s ex c e p to -7 y -3. 0, 

x  1x 2  3x  10  f ( x) 

5) 6) 7)

c.

x 2  6x  5

x2  x x 2  1 , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 x2  x x  1 , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 x2  x x 2  x , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 x 1 x  1 , d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to -1, 0 y 1 x2  x x  1 , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 1 x

x 1 , 1 x

1) 2) 3)

f. d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to 2; ra ng o

0,  0, 

4)

x3  2x 2 g ( x)  x2

5)

x 2  1  x  1 , d o m inio : 1, 

1,  x  1 x  1 , d om inio : 1,  x  1 , d om inio : 1,  1 , d om inio : 1,  x2 1  x 1 ,

x2,

2) 3) 4)

x  5 / x

2

 1 ,d o m : to d os lo s núm e ro s re a les ex c e p to -1 y 1

6. a ) p a r; 8.

d om inio :

6) 7)

x  6 , d om inio  ,  x 2  10 x  24 , d om inio  ,  2

g( x) = x – 3;

9. a ) 3  2x  h

C á lc ul o d i fe re n c ia l

10. a ) f ( x)  11. a )

 , 2  y 2, 

b) ning una ;

b)

2  4x x5

x  0.33

c ) pa r;

d ) ning una

g (x ) = 1 - x

5) x  1 / x  5 , d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to 5 2

2, 

x 2  1  1 , d om inio :

7)

x 2  x  6 , d o m inio:  ,   x 2  x  4 , d om inio  ,  x 3  5x 2  x  5 , d o m inio :  , 

d om inio :

x 1

6)

5. a. 1)

d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to -1 y 1

2

2x  h   2 x

c) 3

b ) f ( x)  2x  1

x 1

b)

d) 3x 2  3xh  h 2

c ) f(x ) = 2x

x  4.325

C a p í t ulo 1 : F un c io n e s


47

12. a )

13. a)

f 1 ( x) 

3  2x x

b)

f

A  4, T  2 , desfase :

  y  4 sen x   3 

1

( x)  3 x

c)

f 1 ( x)  3

x 1 2

e ) A  no tiene, T  4 , desfase : no hay

1 y  4 tan x 2

3 f)

A  no tiene, T  2 , desfase :

  y  csc x   3  b)

A  2, T  2 , desfase :

14. a )

y  2senx   

c)

A  3, T  2 , desfase :

2   y  3sen x   3  

d)

C á lc ul o d i fe re n c ia l

b)

3 f ( x)    2

x

2 3 c)

g ( x)  ln 5 x

d)

f ( x)  log 2 x 2  1

A  no tiene, T  2 , desfase :

  y  s ec x   2 

f ( x)  2 x

3

2

C a p í tul o 1 : F un c i o n e s

Funciones  
Funciones  

Mapas conceptuales de las características y gráficas de las funciones algebraicas y transcentes.

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