Σύλλογος Θετικών Επιστημόνων Δράμας
Διαγωνισμός στη μνήμη του καθηγητή Βασίλη Ξανθόπουλου
Μαθηματικά
Τάξη:
Δράμα 02 Απριλίου 2016
A΄
Θέμα Α Δίνονται οι εξισώσεις: 𝛼𝛼𝜒𝜒 2 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝛾𝛾 = 0 (1) 𝛾𝛾𝜒𝜒 2 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝛼𝛼 = 0 (2) με αγ≠0. οι οποίες δεν έχουν καμιά κοινή ρίζα. Α. Να δείξετε ότι: i) η (1) δεν έχει ρίζα τον αριθμό 0. ii) η (1) δεν έχει ρίζα τον αριθμό 1. Β. Αν μεταξύ των ριζών 𝜒𝜒1 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝜒𝜒2 της (1) και των συντελεστών α,β,γ ισχύει η σχέση: 𝛼𝛼(𝜒𝜒1)2 + 𝛽𝛽𝜒𝜒1𝜒𝜒2 + 𝛾𝛾(𝜒𝜒2 )2 = 0 (3) Να δείξετε ότι: 𝜒𝜒1 = (𝜒𝜒2)2 Γ. Αν επιπλέον ισχύει η σχέση: 𝜒𝜒1𝛽𝛽 2 − (𝜒𝜒1 + 𝜒𝜒2 )𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝜒𝜒2𝛾𝛾 2 = 0 (4) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1), δηλαδή τους αριθμούς 𝜒𝜒1 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝜒𝜒2. Θέμα Β
Δίνεται στο διπλανό σχήμα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά μήκους 1. Ισχύει ότι ΒΔ=ΔΓ και ΖΓ=ΒΗ. Να δειχθεί ότι: Α. ΔΖ=ΔΗ Β. ΔΕ μεσοκάθετος του ΖΗ Γ. Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΕ
Ευχόμαστε Επιτυχία