ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΕ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Πρώτα θα θυμηθούμε κάποιες βασικές ταυτότητες με συνθήκες 1)Αν α3+β3+γ3=3αβγ τότε α+β+γ=0 ή α=β=γ 1
1
α
β
2)Αν (α + β + γ )( +
1 + ) = 9 τότε α=β=γ
γ
3)Αν α +β +γ =αβ+βγ+γα τότε α=β=γ 4)Γενικά όταν εμφανίζετε άθροισμα τετραγώνων ίσο με το 0 τότε όλοι οι όροι είναι ίσοι με το μηδέν 2
2
2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να λυθεί το σύστημα χ +ψ +ω2=χψ+χω+ψω (1) χ+ψ+ω=3 (2) 2
2
ΣΚΕΨΗ:Μας έρχεται στο μυαλό η σχέση <<Αν α2+β2+γ2=αβ+βγ+γα τότε α=β=γ>> ΛΥΣΗ Από την (1) έχουμε ότι χ=ψ=ω λόγο της βασικής ταυτότητας 3) άρα η (2) γίνετε χ+χ+χ=3 ⇔ 3χ=3 ⇔ χ=1 άρα χ=ψ=ω=1 2)Να λυθεί το σύστημα χ+ψ+ω= 10 − 19 (1) 1
+
χ
1
ψ
+
1
ω
= 10 + 19 (2)
ΣΚΕΨΗ:Παρατηρόντας και τις δύο σχέσεις μας έρχεται στο μυαλό η σχέση 1
1
α
β
<<Αν (α + β + γ )( +
1 + ) = 9 τότε α=β=γ>> άρα για να την
γ
εμφανίσουμε θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις (1) και (2) ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζω την (1) με την (2) και έχω ( χ + ψ + ω )(
1
χ
+
1
ψ
+
1
ω
) = 10 − 19 10 − 19 = 100 − 19 =
81 = 9 άρα ( χ + ψ + ω )(
1
χ
+
1
ψ
+
1
ω
(1) έχουμε 3χ= 10 − 19 άρα χ=
10 − 19 10 − 19 ⇔ χ=ψ=ω= 3 3
) = 9 ⇔ χ=ψ=ω με αντικατάσταση στην