Issuu on Google+

ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ρ εσωτερικό σημείο του έτσι ώστε ΡΑˆΒ = 50° , ΡΑˆΓ = 30° , Ρˆà = 35° .Να δειχθεί ότι ΒΓ=ΑΒ+ΡΑ ΑΓ 2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Αˆ= 60° και ΑΒ = .Να δειχθεί ότι ΑΒ ⊥ ΒΓ 2

3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ− È= 90° και Μ μέσο της ΒΓ.Από το Μ φέρνω κάθετη στη διχοτόμο της Α που τέμνει την ΑΒ στο Κ.Να βρεθεί η γωνία BMˆK 4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Αˆ= 60° .Αν η διχοτόμος της Α είναι ίση με την ΑΒ να βρεθούν οι γωνίες του ΑΒΓ 5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και πάνω στην ΑΓ παίρνω Δ τέτοιο ώστε ΓΔ=ΒΓ.Αν ΒΚ διχοτόμος να δειχθεί ότι ∆ΒˆΚ = ˆ

ˆ Α 2

Γ 6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ= 60° − και ΑΔ διχοτόμος.Απότυχαίο 3

σημείο Μ της ΒΓ φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΔ που τέμνει τις ΑΓ,ΑΒ στα Ν,Λ να δειχθεί ότι ΛΜ=ΑΝ+ΑΔ 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ διχοτόμος,φέρνουμε από το Δ ΔΕ//ΑΒ και ΔΖ//ΒΓ.Να δειχθεί ότι ΕΖ ⊥ ΒΔ 8) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με Αˆ = 36° .Δ σημείο της ΒΓ και παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε Αň∆ = 108° .Αν η ΕΔ τέμνει την ΑΓ στο Ζ τότε ΔΕ+ΓΖ=ΒΓ 9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και στην προέκταση της ΒΓ προς το Γ παίρνουμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε ΓΕ=ΓΔ.Αν η ΔΕ τέμνει την ΑΒ στο Κ και ισχύει ΑΚ=ΚΕ να βρεθούν οι γωνίες του ΑΒΓ 10) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ τυχαίο εσωτερικό σημείο του,φέρνουμε τις κάθετες ΜΖ ⊥ ΑΒ και ΜΔ ⊥ ΑΓ.Να δειχθεί ότι η ˆ∆ είναι παράλληλη με το ύψος του ΑΒΓ διχοτόμος της ΖΜ 11)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ= 90° ) στις προεκτάσεις του ΒΓ προς το Β,Γ παίρνουμε σημεία Δ,Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΑΒ και


ΓΑ=ΓΕ.Φέρνουμε από το Γ κάθετη πάνω στην ΑΕ που τέμνει την ΔΑ στο Κ.Να δειχθεί ότι ΑΚΕ ορθογώνιο ισοσκελές. 12) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ= 90° ) και η εξωτερική διχοτόμος της Β και η εξωτερική διχοτόμος της Γ τέμνονται στο Ε.Αν από το Β φέρουμε ΒΔ ⊥ ΓΕ τότε να δειχθεί ΒΔ=ΔΕ 13) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Αˆ= 90° ) και στο ύψος του Α παίρνω ΑΔ=ΑΓ.Να δειχθεί ότι η ΔΓ είναι παράλληλη με την διχοτόμο της Β 14)Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θεωρώ σημείο Δ στη ΒΓ και σημείο Ε στην πλευρά ΑΓ,τέτοια ώστε ΒΑˆ∆ = 2Γ∆ˆΕ .Να δειχθεί ότι ΑΔ=ΑΕ 15) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Αˆ = 60° + ˆ,φέρνουμε την διχοτόμο της Γ∆ˆΒ (το Ε στην ΒΓ).Να δειχθεί ότι ΓΔ ⊥ ΑΕ 16)Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ,Δ και Ε τα συμμετρικά των Α και Β ως προς τις πλευρές ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι Δ,Γ,Ε συνευθειακά αν και μόνο αν È= 60° ˆ Β 17) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με Αˆ = .Φέρνουμε την 2

διχοτόμο ΒΔ και στην προέκταση της θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΑΕ=ΑΒ.Να δειχθεί ότι α)τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΑΔ είναι ίσα β)αν ΔΜ ⊥ ΒΓ,ΔΝ ⊥ ΑΕ τότε Δ,Μ,Ν συνευθειακά 18) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,τα μήκη των πλευρών του είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει ΑΒ<ΒΓ<ΓΑ.Αν η διχοτόμος ΑΔ της Αˆ,είναι κάθετη στη διάμεσο ΒΕ,να υπολογισθούν τα μήκη των πλευρών 19) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τρείς γωνίες Δ,Ε,Ζ οι οποίες συνδέονται με τις γωνίες του ΑΒΓ με τις σχέσεις μΑ+νΔ=μΒ+νΕ=μΓ+νΖ=180,όπου μ,ν θετικοί αριθμοί.Ποία σχέση πρέπει να πληρούν οι αριθμοί μ,ν ώστε Δ,Ε,Ζ να είναι γωνίες τριγώνου 20)Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και σημείο Γ εσωτερικό αυτού.Πάνω σε ημιευθεία Γχ,που φέρνουμε από το Γ,παίρνουμε τμήματα ΓΔ=ΓΑ και ΓΕ=ΓΒ.Να δειχθεί ότι ΒΕ ⊥ ΑΔ


21)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ− È= 90° .Έστω ΑΔ η διχοτόμοι της Αˆ.Να δειχθεί ότι Α∆ˆΒ = 45° 22) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ.Αν η παράλληλη από το Β προς την ΑΓ,τέμνει την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας Αˆ,στα Μ και Ν αντίστοιχα,να δειχθεί ότι ΒΜ=ΒΝ 23)Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Αˆ= 90° ).Έξω κατασκευάζουμε το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΒΚΓ με Βʈà = 90° .Στην προέκταση της πλευράς ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΒ.Να δείξετε ότι ΚΔ ⊥ ΑΚ 24)Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ= 3È.Πάνωστην ΑΓ παίρνουμε σημείο Δ,τέτοιο ώστε ∆ˆà = È.Να δειχθεί ότι η διχοτόμος της γωνίας Α είναι κάθετη στη ΒΔ 25)Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα.Αν Ι είναι το σημείο που τέμνονται οι διχοτόμοι των γωνιών ˆΕ και ΑÈ∆ ,να δειχθεί ότι Β∆ˆΓ + Βňà = 2ΒɈà ΑΒ 26)Αν δύο απέναντι γωνίες τετραπλεύρου είναι ίσες,να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι των δύο γωνιών του είναι παράλληλες και αντίστροφα 27) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και παίρνουμε στις πλευρές ΑΓ,ΑΒ σημεία Δ,Ε αντίστοιχα τέτοια ώστε ˆΓ = 50° , ∆Β ˆΑ = 30° και ΕÈΑ = 20° να βρεθεί η γωνία ∆ňà ∆Β 28)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ έστω Δ σημείο της ΑΓ ώστε ΑΔ=ΑΒ.Αν η μεσοκάθετος της ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο Ε να δειχθεί ότι ΑˆŠ= 2Γˆ∆ 29) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ,ΒΕ οι διχοτόμοι του,που τέμνονται στο Ι.Αν ΙΗ ⊥ ΒΓ να δειχθεί ότι ˆ Ι∆ = Lj ΙΓ 30)Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ να δειχθεί ότι ˆεξ + Èεξ = Αˆ+ ∆ˆ 31)Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών του τέμνονται σχηματίζοντας τετράπλευρο,που έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές 32)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È η γωνία που σχηματίζει το ύψος με τη διχοτόμο που αντιστοιχούν στην πλευρά ΒΓ ισούται με

ˆ− È Β 2


33) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ καθώς και τη κάθετη στη ΑΔ από το Β.Να δειχθεί ότι Κˆà =

ˆ− È Β 2

34) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ.Να υπολογιστούν οι γωνίες Α∆ˆΒ, Α∆ˆΓ συνατήση της διαφοράς ˆ− È 35) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È φέρνουμε την εξωτερική διχοτόμο ΑΔ(Δ είναι πάνω στην ΒΓ).Να δειχθεί ότι Α∆ˆΒ =

ˆ− È Β 2

36) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΑΔ=ΑΒ.Να δειχθεί ότι ∆ˆà = 90° +

ˆ− È Β 2

37) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È φέρνουμε το ύψος ΑΔ.Αν Μ μέσο της ΑΓ και η ΜΔ τέμνει την ΑΒ στο Κ να δειχθεί ότι ∆ʈ = ˆ− È 38)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ> È φέρνουμε από την κορυφή Α ευθεία χψ παράλληλη στη ΒΓ.Αν Δ το συμμετρικό του Γ ως προς την χψ να δειχθεί ότι ΒΑˆ∆ = 180° − ( ˆ− È) 39) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ− È= 36° και Αˆ= 2È.Να δειχθεί ότι είναι ισοσκελές 40) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ− È= 40° .Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΔ=ΑΒ.Να βρεθεί η γωνία ∆ˆà 41) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ− È= 80° .Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζει η διχοτόμος ΑΔ με την πλευρά ΒΓ 42) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ= 3È από το Β φέρνουμε κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Η εξωτερική διχοτόμος της Α τέμνει την ΒΓ στο Δ.Να δειχθεί ότι ΑΒ+ΒΕ=ΑΔ 43) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ− È=

ˆ Α φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ καθώς 2

και τη κάθετη στη ΑΔ από το Β που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Αν η κάθετος από το Γ στην ΒΕ τέμνει την ΑΒ στο Ζ να δειχθεί ότι ΖΒΓ ισοσκελές


44) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ= 3È και η ΒΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑÈχ .Η κάθετη από το Α στην Γχ τέμνει την ΒΓ στο Ε.Αν η Γχ τέμνει την ΑΒ στο Δ να δειχθεί ότι ΔΕ=ΕΓ


ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ