ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ρ εσωτερικό σημείο του έτσι ώστε ΡΑ Β = 50° , ΡΑ Γ = 30° , ΡΒ Γ = 35° .Να δειχθεί ότι ΒΓ=ΑΒ+ΡΑ ΑΓ 2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 60° και ΑΒ = .Να δειχθεί ότι ΑΒ ⊥ ΒΓ 2

3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β − Γ = 90° και Μ μέσο της ΒΓ.Από το Μ φέρνω κάθετη στη διχοτόμο της Α που τέμνει την ΑΒ στο Κ.Να βρεθεί η γωνία BM K 4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 60° .Αν η διχοτόμος της Α είναι ίση με την ΑΒ να βρεθούν οι γωνίες του ΑΒΓ 5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και πάνω στην ΑΓ παίρνω Δ τέτοιο ώστε ΓΔ=ΒΓ.Αν ΒΚ διχοτόμος να δειχθεί ότι ∆Β Κ =

Α 2

Γ 6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 60° − και ΑΔ διχοτόμος.Απότυχαίο 3

σημείο Μ της ΒΓ φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΔ που τέμνει τις ΑΓ,ΑΒ στα Ν,Λ να δειχθεί ότι ΛΜ=ΑΝ+ΑΔ 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ διχοτόμος,φέρνουμε από το Δ ΔΕ//ΑΒ και ΔΖ//ΒΓ.Να δειχθεί ότι ΕΖ ⊥ ΒΔ 8) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με Α = 36° .Δ σημείο της ΒΓ και παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΕ ∆ = 108° .Αν η ΕΔ τέμνει την ΑΓ στο Ζ τότε ΔΕ+ΓΖ=ΒΓ 9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και στην προέκταση της ΒΓ προς το Γ παίρνουμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε ΓΕ=ΓΔ.Αν η ΔΕ τέμνει την ΑΒ στο Κ και ισχύει ΑΚ=ΚΕ να βρεθούν οι γωνίες του ΑΒΓ 10) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ τυχαίο εσωτερικό σημείο του,φέρνουμε τις κάθετες ΜΖ ⊥ ΑΒ και ΜΔ ⊥ ΑΓ.Να δειχθεί ότι η ∆ είναι παράλληλη με το ύψος του ΑΒΓ διχοτόμος της ΖΜ 11)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) στις προεκτάσεις του ΒΓ προς το Β,Γ παίρνουμε σημεία Δ,Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΑΒ και

ΓΑ=ΓΕ.Φέρνουμε από το Γ κάθετη πάνω στην ΑΕ που τέμνει την ΔΑ στο Κ.Να δειχθεί ότι ΑΚΕ ορθογώνιο ισοσκελές.

12) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και η εξωτερική διχοτόμος της Β και η εξωτερική διχοτόμος της Γ τέμνονται στο Ε.Αν από το Β φέρουμε ΒΔ ⊥ ΓΕ τότε να δειχθεί ΒΔ=ΔΕ 13) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και στο ύψος του Α παίρνω ΑΔ=ΑΓ.Να δειχθεί ότι η ΔΓ είναι παράλληλη με την διχοτόμο της Β 14)Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) θεωρώ σημείο Δ στη ΒΓ και σημείο Ε στην πλευρά ΑΓ,τέτοια ώστε ΒΑ ∆ = 2Γ∆ Ε .Να δειχθεί ότι ΑΔ=ΑΕ 15) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 60° + Β ,φέρνουμε την διχοτόμο της Γ∆ Β (το Ε στην ΒΓ).Να δειχθεί ότι ΓΔ ⊥ ΑΕ 16)Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ,Δ και Ε τα συμμετρικά των Α και Β ως προς τις πλευρές ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι Δ,Γ,Ε συνευθειακά αν και μόνο αν Γ = 60°

Β 17) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με Α = .Φέρνουμε την 2

διχοτόμο ΒΔ και στην προέκταση της θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΑΕ=ΑΒ.Να δειχθεί ότι α)τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΑΔ είναι ίσα β)αν ΔΜ ⊥ ΒΓ,ΔΝ ⊥ ΑΕ τότε Δ,Μ,Ν συνευθειακά 18) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,τα μήκη των πλευρών του είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει ΑΒ<ΒΓ<ΓΑ.Αν η διχοτόμος ΑΔ της Α ,είναι κάθετη στη διάμεσο ΒΕ,να υπολογισθούν τα μήκη των πλευρών 19) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τρείς γωνίες Δ,Ε,Ζ οι οποίες συνδέονται με τις γωνίες του ΑΒΓ με τις σχέσεις μΑ+νΔ=μΒ+νΕ=μΓ+νΖ=180,όπου μ,ν θετικοί αριθμοί.Ποία σχέση πρέπει να πληρούν οι αριθμοί μ,ν ώστε Δ,Ε,Ζ να είναι γωνίες τριγώνου 20)Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και σημείο Γ εσωτερικό αυτού.Πάνω σε ημιευθεία Γχ,που φέρνουμε από το Γ,παίρνουμε τμήματα ΓΔ=ΓΑ και ΓΕ=ΓΒ.Να δειχθεί ότι ΒΕ ⊥ ΑΔ

21)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β − Γ = 90° .Έστω ΑΔ η διχοτόμοι της Α .Να δειχθεί ότι Α∆ Β = 45° 22) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ.Αν η παράλληλη από το Β προς την ΑΓ,τέμνει την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας Α ,στα Μ και Ν αντίστοιχα,να δειχθεί ότι ΒΜ=ΒΝ 23)Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90° ).Έξω κατασκευάζουμε το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΒΚΓ με ΒΚ Γ = 90° .Στην προέκταση της πλευράς ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΒ.Να δείξετε ότι ΚΔ ⊥ ΑΚ 24)Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β = 3Γ .Πάνωστην ΑΓ παίρνουμε σημείο Δ,τέτοιο ώστε ∆Β Γ = Γ .Να δειχθεί ότι η διχοτόμος της γωνίας Α είναι κάθετη στη ΒΔ 25)Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα.Αν Ι είναι το σημείο που τέμνονται οι διχοτόμοι των γωνιών Ε και ΑΓ ∆ ,να δειχθεί ότι Β∆ Γ + ΒΕ Γ = 2ΒΙ Γ ΑΒ 26)Αν δύο απέναντι γωνίες τετραπλεύρου είναι ίσες,να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι των δύο γωνιών του είναι παράλληλες και αντίστροφα 27) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και παίρνουμε στις πλευρές ΑΓ,ΑΒ σημεία Δ,Ε αντίστοιχα τέτοια ώστε Γ = 50° , ∆Β Α = 30° και ΕΓ Α = 20° να βρεθεί η γωνία ∆Ε Γ ∆Β 28)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ έστω Δ σημείο της ΑΓ ώστε ΑΔ=ΑΒ.Αν η μεσοκάθετος της ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο Ε να δειχθεί ότι ΑΒ Ε = 2ΓΒ ∆ 29) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ,ΒΕ οι διχοτόμοι του,που τέμνονται στο Ι.Αν ΙΗ ⊥ ΒΓ να δειχθεί ότι Β Ι∆ = Η ΙΓ 30)Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ να δειχθεί ότι Β εξ + Γ εξ = Α + ∆ 31)Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ να δειχθεί ότι οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών του τέμνονται σχηματίζοντας τετράπλευρο,που έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές 32)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ η γωνία που σχηματίζει το ύψος με τη διχοτόμο που αντιστοιχούν στην πλευρά ΒΓ ισούται με

− Γ Β 2

33) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ καθώς και τη κάθετη στη ΑΔ από το Β.Να δειχθεί ότι ΚΒ Γ =

− Γ Β 2

34) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ.Να υπολογιστούν οι γωνίες Α∆ Β, Α∆ Γ συνατήση της διαφοράς Β − Γ 35) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε την εξωτερική διχοτόμο ΑΔ(Δ είναι πάνω στην ΒΓ).Να δειχθεί ότι Α∆ Β =

− Γ Β 2

36) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΑΔ=ΑΒ.Να δειχθεί ότι ∆Β Γ = 90° +

− Γ Β 2

37) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε το ύψος ΑΔ.Αν Μ μέσο της ΑΓ και η ΜΔ τέμνει την ΑΒ στο Κ να δειχθεί ότι ∆Κ Β = Β − Γ 38)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε από την κορυφή Α ευθεία χψ παράλληλη στη ΒΓ.Αν Δ το συμμετρικό του Γ ως προς την χψ να δειχθεί ότι ΒΑ ∆ = 180° − ( Β − Γ ) 39) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β − Γ = 36° και Α = 2Γ .Να δειχθεί ότι είναι ισοσκελές 40) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β − Γ = 40° .Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΔ=ΑΒ.Να βρεθεί η γωνία ∆Β Γ 41) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β − Γ = 80° .Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζει η διχοτόμος ΑΔ με την πλευρά ΒΓ 42) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 3Γ από το Β φέρνουμε κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Η εξωτερική διχοτόμος της Α τέμνει την ΒΓ στο Δ.Να δειχθεί ότι ΑΒ+ΒΕ=ΑΔ 43) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β − Γ =

Α φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ καθώς 2

και τη κάθετη στη ΑΔ από το Β που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Αν η κάθετος από το Γ στην ΒΕ τέμνει την ΑΒ στο Ζ να δειχθεί ότι ΖΒΓ ισοσκελές

44) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 3Γ και η ΒΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΓ χ .Η κάθετη από το Α στην Γχ τέμνει την ΒΓ στο Ε.Αν η Γχ τέμνει την ΑΒ στο Δ να δειχθεί ότι ΔΕ=ΕΓ