ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Α 1)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β<90 και ΑΓ=2ΑΒ.Να δειχθεί ότι Γ = 2

2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ.Στις προεκτάσεις των ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε τμήματα ΒΔ=ΓΕ.Να δειχθεί ότι α)ΔΕ>ΒΕ β)ΔΓ<ΒΕ 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 95° και Γ εξ = 135° α)να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου β)να συγκρίνεται τις πλευρές του τριγώνου 4)Αν Η το σημείο τομής των υψών οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ,να δειχθεί ότι αν ΑΒ<ΑΓ τότε ΗΒ<ΗΓ και ΗΑ Β < ΗΑ Γ 5)Αν ΑΔ διχοτόμος τριγώνου ΑΒΓ να δειχθεί ότι ΒΔ<ΑΒ και ΔΓ<ΑΓ 6) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ύψη του ΒΕ και ΓΔ.Να δειχθεί ότι ΔΕ<ΒΓ 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε τη διχοτόμο του ΑΔ και ΔΕ ⊥ ΑΓ.Να δειχθεί ότι ΔΕ<ΔΒ και ΒΕ<ΒΓ 8) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι στη μικρότερη πλευρά αντιστοιχεί μεγαλύτερο ύψος και αντίστροφα 9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας της βάσης ΒΓ.Να συγκριθούν τα τμήματα ΑΒ,ΑΔ 10)Αν οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ τέμνονται στο Ι,να συγκρίνετε α)τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ β)τα ΑΔ,ΑΕ

11)Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) να δειχθεί ότι υα ≤

ΒΓ 2

12)Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν α)αν Α = Β + Γ τότε Α = 90° β)αν Α < Β + Γ τότε Α < 90° γ)αν Α > Β + Γ τότε Α > 90° και αντιστρόφως 13)Αν Δ,Ε,Ζ σημεία των πλευρών ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα τότε να δειχθεί ότι α) τ-α<ΑΔ<τ β)τ<ΑΔ+ΒΕ+ΓΖ<3τ 14)Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ,Δ σημείο της μικρότερης πλευράς του ΒΓ να δειχθεί ότι β+γ>α+ΑΔ α +γ 15)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 2Γ είναι β< 2

16)Θεωρούμε τα σημεία Δ,Ε,Ζ των πλευρών ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως.Να συγκριθούν οι περίμετροι των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ 17)¨Εστω ΑΜ η διάμεσος τρίγωνου ΑΒΓ.Να αποδειχθεί ότι α)

β −γ 2

< µα <

β +γ

μόνο αν ΑΒ<ΑΓ

2

και

α2 4

− βγ < µ 2α <

α2 4

Γ < ΜΑ Β αν και + βγ β) ΜΑ

18) Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν α)α<τ<β+γ<τ+β<2τ β) β 2 + γ 2 − α 2 < 2 βγ γ)α2<2(β2+γ2)<α2+(β+γ)2 δ)α2+β2+γ2<2(αβ+βγ+αγ)