ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 75° και Γ = 45° αν Μ μέσο της ΑΓ και φέρουμε από το Μ κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει την ΑΒ στο Δ.Στην ΒΓ παίρνουμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε ΒΑ Ζ = 15° .Αν ΑΖ,ΑΓ τέμνονται στο Ο να δειχθεί ότι ΟΒ ⊥ ΑΓ 2) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σημείο Ρ πάνω στο ύψος από το Β.Αν ισχύει ΡΑ Γ = ΡΒ Γ να δειχθεί ότι ΡΓ ⊥ ΑΒ 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ διχοτόμος,από το Δ φέρνουμε παράλληλη στην ΑΒ που τέμνει την ΒΓ στο Ε και Ζ είναι το συμμετρικό του Ε ως προς το Δ,έστω Κ σημείο της ΒΓ έτσι ώστε ΔΚ ⊥ ΒΔ.Αν η ΖΚ τέμνει την ΑΓ στο Μ και ισχύει ότι ΒΜ= α)Κ μέσο της ΕΓ β)ΒΔ ⊥ ΓΖ γ)ΕΜ//ΒΔ
ΜΓ να δειχθεί ότι 2
4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΜ η διάμεσος που τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ε.Αν ισχύει ΕΜ=
ΒΕ τότε να δειχθεί ότι ΑΒΓ ισοσκελές 2
5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ το ύψος και Ρ το ορθόκεντρο του ΑΒΓ και Δ το συμμετρικό του Ρ ως προς το Ε και Μ 2 3
μέσο του ΑΡ.Αν η ΔΜ τέμνει την ΑΓ στο Ζ να δειχθεί ότι ΑΖ= ΑΕ 6)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ μέσο του ΑΓ και Ρ σημείο της ΑΒ το ΔΡ τέμνει την ΒΓ στο Ε και ισχύει ΕΡ=
Ρ∆ . Από το Β 2
υψώνω κάθετη στην ΒΓ που τέμνει την ΑΕ στο Ζ.Να δειχθεί ότι 1 3
ΑΖ= ΑΕ 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ.Από το Δ φέρνουμε κάθετη στην ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Αν Η 1 , Η 2 , Η 3 τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΕΒ,ΑΔΒ,ΑΒΓ να δειχθεί ότι το τρίγωνο Η 1Η 2 Η 3 είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν ΑΒΓ ισόπλευρο