Issuu on Google+

ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ= 75° και È= 45° αν Μ μέσο της ΑΓ και φέρουμε από το Μ κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει την ΑΒ στο Δ.Στην ΒΓ παίρνουμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε ΒΑˆΖ = 15° .Αν ΑΖ,ΑΓ τέμνονται στο Ο να δειχθεί ότι ΟΒ ⊥ ΑΓ 2) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σημείο Ρ πάνω στο ύψος από το Β.Αν ισχύει ΡΑˆΓ = Ρˆà να δειχθεί ότι ΡΓ ⊥ ΑΒ 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ διχοτόμος,από το Δ φέρνουμε παράλληλη στην ΑΒ που τέμνει την ΒΓ στο Ε και Ζ είναι το συμμετρικό του Ε ως προς το Δ,έστω Κ σημείο της ΒΓ έτσι ώστε ΔΚ ⊥ ΒΔ.Αν η ΖΚ τέμνει την ΑΓ στο Μ και ισχύει ότι ΒΜ= α)Κ μέσο της ΕΓ β)ΒΔ ⊥ ΓΖ γ)ΕΜ//ΒΔ

ΜΓ να δειχθεί ότι 2

4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΜ η διάμεσος που τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ε.Αν ισχύει ΕΜ=

ΒΕ τότε να δειχθεί ότι ΑΒΓ ισοσκελές 2

5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ το ύψος και Ρ το ορθόκεντρο του ΑΒΓ και Δ το συμμετρικό του Ρ ως προς το Ε και Μ 2 3

μέσο του ΑΡ.Αν η ΔΜ τέμνει την ΑΓ στο Ζ να δειχθεί ότι ΑΖ= ΑΕ 6)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ μέσο του ΑΓ και Ρ σημείο της ΑΒ το ΔΡ τέμνει την ΒΓ στο Ε και ισχύει ΕΡ=

Ρ∆ . Από το Β 2

υψώνω κάθετη στην ΒΓ που τέμνει την ΑΕ στο Ζ.Να δειχθεί ότι 1 3

ΑΖ= ΑΕ 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ.Από το Δ φέρνουμε κάθετη στην ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Αν Η 1 , Η 2 , Η 3 τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΕΒ,ΑΔΒ,ΑΒΓ να δειχθεί ότι το τρίγωνο Η 1Η 2 Η 3 είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν ΑΒΓ ισόπλευρο


8) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο εκτός του τριγώνου,Ζ το μέσο του ΔΓ και Ε το συμμετρικό του Δ ως προς το μέσο της ΒΓ.Αν ΕΖ τέμνει την ΒΓ στο Κ να δειχθεί ότι ΚΓ=

ΒΓ 3

9) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ι το έγκεντρο του, Κ,Λ,Μ τα συμμετρικά του Ι ως προς τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.Να δειχθεί ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του ΚΛΜ είναι ομόκεντροι κύκλοι και η ακτίνα του εγγεγραμμένου είναι η μισή του περιγεγραμμένου 10) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ= 60° και ΑΔ το ύψος,στις πλευρές ΑΓ,ΒΓ παίρνουμε Μ,Ν τέτοια ώστε ΜΝ=ΒΔ και ΜΝ//ΑΒ.Αν η κάθετη από το Γ στην ΜΝ τέμνει το ΑΔ στο Η τότε να δειχθεί ότι ΒΗ ⊥ ΑΓ 11) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Αˆ = 90° ) και ΓΔ διχοτόμος .Πάνω στην ΒΓ παίρνουμε Ε έτσι ώστε ΑΓ=ΓΕ.Από το Β φέρνουμε παράλληλη στην ΑΕ που τέμνει την ΓΑ στο Ζ.Να δειχθεί ότι α)ΖΔ ⊥ ΒΓ β)Αν ΖΔ τέμνει την ΒΓ στο Κ τότε ΑΖ=ΚΒ 12)Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Ζ μέσο της ΔΓ.Αν η ΑΖ τέμνει την ΒΔ 2 3

στο Ε να δειχθεί ότι ΑΕ= ΑΖ .Αν η ΒΖ τέμνει την ΑΔ στο Κ να δειχθεί ότι ΚΕ τέμνει την ΑΒ στο μέσο της 13) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στην προέκταση της ΑΔ παίρνουμε σημείο Ε.Φέρνουμε την διχοτόμο της ΑˆŠπου τέμνει την ΑΓ στο Ζ να δειχθεί ότι ΑΖ διχοτόμος της Αň 14) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ έστω ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ οι τρείς διάμεσοι του και Θ το βαρύκεντρο.Αν Μ το μέσο του ΘΓ και η ΟΜ τέμνει την ΑΔ στο Κ να δειχθεί ότι 2 9

α)ΘΚ= µα β)το ΘΕΜΔ είναι παραλληλόγραμμο 15)Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Θ βαρύκεντρο του ΑΒΓ.Αν Ε,Ζ,Η μέσα των ΑΒ,ΘΔ,ΓΔ αντίστοιχα να δειχθεί ότι ΕΖ=ΗΘ


ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ