Ευκλειδης α 95

\

•

μJ

•

:Ε

ι· j.,

�� �� �� ο

�!:!

Γυμνάσιο

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ

για το γυμνάσιο

/

Τεύχος 95 Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 20 15 Τιμή Τεύχους, 3,00 Ευρώ

Ευκλείδης

e-mail: info@hms.gr,

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Τα Μαθηματικά στον Κόσμο Έχει κανείς το PIN μου;,

Τεύκρος ΜιχαηJιίδης ................................................................... 1

Ιστορία των Μαθ η ματ ι κών Από τους υπολογισμούς στη θεμελίωση της Γεωμετρίας Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

• Α'τάξη

Είδη τετραπλεύρων,

.

............................................ ......

Π?σοστά: �α Μαθημ?τικά �c; Αγοράς,

• Γ'τάξη Η

τετραyων ι κή συνάρτηση,

ΠόπηΑρδαβάvη, Δημήτρης ΠαJιαιοyιαwίδης ......................... 20

Τριγων?μετρία,

Δημήτρης ΠαJιαιοyιαwίδης ........................................................ 3

Δημήτρης ΠαJιαιοyιαwίδης

www.hms.gr

6

Κωστας Γ. ΣαJιαρης- ΜαvιαΚ. ΣαJιαρη ...................................... 9

• Β'τάξη

Συναρτήσειc;,

Ιωάννα Δορyιάκη ........................................................................ 12

Όγκος Πυραμίδων και Κώνων,

ΑθαvασιαΚυριακοπουJιου ........................................................ 24 I

θέματα για προχωρημένους,

Στέ φαvοςΚε ίσοyJιου ........................ ......................................... 28

Λύσεις θεμάτων για προχωρημένους τεύχους 94 Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Μαθ?ματικοί Δι�ωνισμοί,

....... 29

ΕπιμεJιεια: Επιτροπη Διαyωvισμωv ... .. ............. ... .. .......... 30 I

.

.

...

.

...

Διάφορα OXI Αδιάφορα Το πρόβλημα με τα παρτέρια λουλουδιών: κανονικότητες, αλγεβρικές παραστάσεις και συ�αρτή�ειc;

ΓιωρyοςΚοσυβα .... ................ ......................................... ......... 44

Έκθεση Μαθηματικών

.

.

Νίκος Τζίφας.ΑριστείδηςΚωvσταvτιvίδης, Γιώργος Λαγός ...... 15 ΚούκιουΑJιεξάvδρα .................................................................. 46

θέματα για προχωρημένους,

ΕπιμέΛεια: Νίκος Τζίφας ,ΑριστείδηςΚωvσταvτιvίδης ........... 19

Διασκε�σrικά Μ�θηματικά�

Παvαyιωτης Θεοδωρου Μαρια ΡουσουJιη ............................ 49 I

.••..••••••...••.•...........••..•••••••••••••••••.••....••....•...•..•............••••••.••..•••.••..•.....••••••.... ..

_

.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34, 106 79 ΑΘΗΝΑ

Τηλ.: 210 3617784 Fax: 210 3641025

•

Επιμέλεια Έκδοσης:

Κυριακοπούλου Ν6νσυ Σ6λαρης Κωνcπσντrνος

Κωδικός ΕΛ. ΤΑ: 2054 -

Συντακτική Επιτροπή

210 3616532

Εκδότης: Γεώρyιος Δημάκος Διευθυντής: Εμμανουήλ Κρητικός

ISSN: 1105

.

ΕΚΔΟΣΗ__ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ

Πρόεδρος:

Κcfσογλου Στiφaνος

Η

Α' Αντιπρόεδρος:

έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής ΒοηΘάει στην έκδοση του περιοδικού

7998

ΜΕΓΑΛΟΣ ΧΟΡΗΓΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Ε.Μ.Ε.

Κυρ6νaς Παναγιώτης

Β' Αντιπρόεδρος: Λυμπ eρ6πουλος Γeώργιος Μέλη:

Ayyeλή�wa Αλαφδκη Σταυρούλα Αλ eξaνδρ6του�wa Αντωνοπούλου Κστι6ννa Αποcπ6λου Αyyeλική Αρδaβ6νη Π6πη Ιtωργίου Σπύρος Δοργι6κη Ιω6ννα Θ eοδωρ6πουλος Θρααύβουλος Κιούφτη Ροδούλa Κυρ6νaς Παναγιώτης Κυριακοπούλου Ν6ναυ Κωνcπaντινrδης Αριcπeίδης Λaγ6ς Γeώργιος

Λυμπeρ6πουλος Γeώργιος Μeνδωνίδης Γeώργιος Μορφοπούλου Maρra Μπακ6λης Ανacπ6σιος Παλαιογισwrδης Δημήτριος Σ6λaρης Κωνcπσντrνος Σίακου Maρra Τ ζίφος Νίκος Τσικοπούλου Στ6μη Φeρeντrνος Σnυρrδων ΧΡιcποδούλου Ντ6ρα Χρυσοβiργης Μιχαήλ Αποκεντρι.�μένοι συνερyάτες

Ανacπ6αιος Πατρώνης (Π6τρa) Γι6ννης Θωμafδης (Θ eα/νίκη) Γιώργος Ρίζος (κtρκυρa) Γιώργος τσaπaκίδης (Αγρrνιο) Ειρήνη Περιαυν6κη (Κρήτη) Γι6ννης Ρ6λλης (Χrος)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••• 4

•

ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της

ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Στοιχειοθεσία -Σελιδοποίηση: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΠΑΙΡΕΙΑ

Εκτύπωση: ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & ΣΙΑ ΕΕ). τηλ.: 21 Ο 6623778 - 358 Υπεύθυνος τυπογραφείου: Δ. Παπαδόπουλος

•

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα όρθρο, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ._Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Α'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα όρθρο υπόκεινται σε κρίση

Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00

Ετήσια συνδρομή (10,00+2,00 Ταχυδρομικά=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00 Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:

1. Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Έχε ι κανείς το

PIN

μου;

Από το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη: Μαθηματικά επίκαιρα. (Εκδόσεις Πόλις 2004). Αν είστε εκείνος ο μοναδικός Έλληνας που δεν έχει ούτε κινητό, ούτε τραπεζικό λογαρια­ σμό με κάρτα αυτόματων συναλλαγών, ούτε πιστωτική κάρτα, ούτε συναγερμό στο σπίτι σας, μπορείτε να συνεχίσετε να διαβάζετε αυτό το κείμενο για την ευρύτερη και πληρέστερη ενημέ­ ρωση σας. Αν όμως είστε ένας από τους άλλους, τότε το ακρώνυμο ΡΙΝ (Personal Identification Number) σας θυμίζει χωρίς αμφιβολία τον αριθμό που πλη­ κτρολογείτε στο κινητό σας, στο ΑτΜ (Automated Teller Ma­ chine ή επί το Ελληνικότερον Αυτόματη Ταμειακή Μηχανή) της τράπεζας σας ή στον πίνακα ελέγχου του συναγερμού σας (με την πρόσθετη αγωνία σ' αυτή την περίπτωση ότι, αν αργή­ σετε, θα χτυπήσει ο συναγερμός, θα γίνει μπάχαλο κι όταν θα έρθει με το καλό ο ληστής και ξαναχτυπήσει ο συναγερμός κα­ νείς δε θα δώσει σημασία). Και θα ξέρετε ότι αυτός ο τετρα­ ψήφιος αριθμός, που στην οθόνη εμφανίζεται σαν τέσσερα α­ στεράκια (γεμίζοντας σας με υπερηφάνεια ή τσαντίλα ανάλογα με το αν πληκτρολογήσατε ή όχι τον σωστό αριθμό), είναι αυ­ τός που σας επιτρέπει να κάνετε αναλήψεις από τα ΑτΜ ή να στέλνετε SMS ή, τέλος, να επιδίδεστε ακώλυτα σε τηλεφωνικές συνδιαλέξεις στις πιο ακατάλ­ ληλες ώρες όταν οδηγείτε, για παράδειγμα, κινδυνεύοντας να σκοτώσετε και να σκοτωθείτε, ή όταν παρακολουθείτε μια συναυλία. Αυτός ο τετραψήφιος κωδικός είναι aποθηκευμένος μαγνητικά στο SIM (Subscriber Identi­ fication Module) του κινητού σας, στην πιστωτική σας κάρτα, στη μνήμη του συναγερμού σας. Όταν λοιπόν πληκτρολογείτε, η αντίστοιχη συσκευή αντιπαραβάλλει τον αριθμό που γράψατε με τον αριθμό που έχει διαβάσει μαγνητικά και, αν είναι ίδιοι, σας δίνει την ελεύθερη πρόσβαση. Είμαστε στην Ελλάδα κάπου 1 0.000.000 ψυχές. Αν υποθέσουμε ότι ο καθένας μας χρησιμοποιεί ένα ΡΙΝ τουλάχιστον (προσωπικά χρησιμοποιώ εννέα και δεν νομίζω ότι συγκαταλέγομαι στις πιο ακραίες περιπτώσεις), χρειαζόμαστε ως έθνος κάπου 1 0.000.000 κωδικούς. Πόσοι όμως διαφορετικοί ΡΙΝ υπάρχουν; Φανερά, όσοι και οι τετραψήφιοι αριθμοί από το

0000 μέχρι το 9999. Το συγκε�ριμένο πρόβλημα είναι μάλλον απλό και οι πιο έμπειροι θα βρουν αυτόματα τη σωστή απάντηση: 1 0.000. Ωστόσο καλό θα ήταν να επινοήσουμε μια «στρα­ τηγική απαρίθμησης», που και αυτή την απάντηση θα επαληθεύσει και θα μας βοηθήσει να βρούμε τη λύση σε πιο περίπλοκα προβλήματα. Αυτή η στρατηγική λέγεται «πολλαπλασιαστική αρχή» και συνίσταται στο να χωρίζουμε την εργασία που έχουμε να κάνουμε σε βήματα. να με­ τράμε κάθε βήμα χωριστά και στο τέλος να πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα. Έτσι, για να δημιουργήσουμε έναν τετραψήφιο αριθμό, πρέπει να γεμίσουμε διαδοχικά τέσ­ σερα κενά με αριθμούς από το Ο μέχρι το 9: Υπάρχουν δέκα τρόποι να γεμίσουμε το πρώτο κε­ νό. Μόλις το γεμίσουμε, υπάρχουν δέκα τρόποι να γεμίσουμε το δεύτερο. Έτσι έχουμε συνολικά 1 0χ 1 0= 1 00 διψήφιους κωδικούς. Για τον καθένα από αυτούς έχουμε πάλι δέκα τρόπους να επι­ λέξουμε το τρίτο ψηφίο, άρα 1 0χ10χ 1 0=1 .000 τριψήφιους κωδικούς και τέλος 1 0χ 1 0χ 1 0χ10= 1 0.000 τετραψήφιους ΡΙΝ, Αυτό σημαίνει, ότι σε μια συγκέντρωση άνω των 1 0.000 ατόμων (σ' έναν αγώνα ποδοσφαί­ ρου, μια συναυλία ή μια προεκλογική συγκέντρωση για παράδειγμα) υπάρχουν σίγουρα δύο ά­ τομα που χρησιμοποιούν τον ίδιο κωδικό. Η θεωρία των πιθανοτήτων μας λέει ότι σε μια πολύ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/1

-------�--

Έχει κανείς το

PIN

μου;

--------­

μικρότερη συγκέντρωση, 120 ατόμων για παράδειγμα, η πιθανότητα να έχουν δύο άτομα το ίδιο ΡΙΝ είναι πάνω από 50%. Σημαίνει ακόμα ότι τον κάθε κωδικό που χρησιμοποιείτε τον χρησι­ μοποιούν τουλάχιστον άλλα 999 άτομα. Αλλά μην ανησυχείτε. Αυτό που σας παρέχει ασφάλεια δεν είναι η μοναδικότητα του ΡΙΝ σας. αλλά το γεγονός ότι τον γνωρίζετε μόνο εσείς. Οι περισσότερες συσκευές σάς δίνουν τη δυνατότητα να κάνετε το πολύ δύο λάθη στην πληκτρολόγηση του ΡΙΝ. Έτσι είναι μάλλον απίθανο (η πιθανότητα είναι 3/1 0,000 ή 0,03%) για κάποιον που δοκιμάζει να βρει το ΡΙΝ σας στην τύχη να το καταφέρει με τις τρεις διαθέσιμες προσπάθειες. Ωστόσο, αν αυτό που προστατεύει ο κωδικός είναι πολύ σημαντικό, χρειάζεται να μειώσουμε ακόμα κι αυτή τη μικρή πιθανότητα. Η λύση είναι να δημιουργηθούν πενταψήφιοι κωδικοί. Θα υπάρχουν τότε 100.000 διαφορετικοί κωδικοί και η πιθανότητα αποκάλυψης με τον τρόπο που αναφέραμε πιο πάνω θα πέσει στο 0,003%. δηλαδή πρακτικά στο Ο. Όμως το να θυ­ μάται κανείς έναν ή και περισσότερους πενταψήφιους κωδικούς αρχίζει να γίνεται πιο δύσκολο, σχεδόν απαγορευτικό. Ας επιστρέψουμε λοιπόν -προς το παρόν- στους τετραψήφιους κωδικούς. Για να δούμε πόσοι ΡΙΝ υπάρχουν με όλα τα ψηφία τους διαφορετικά (όχι σαν το 7777, το 2236. ή το 5235 για παράδειγμα), θα ακολουθήσουμε την ίδια αρχή . Έχουμε δέκα επιλογές για το πρώτο ψηφίο, εννιά επιλογές για το δεύτερο (αφού δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο αριθμό που χρησιμοποιήσαμε στην πρώτη θέση), οκτώ επιλογές για τον τρίτο αριθμό και επτά για τον τέταρτο. Υπάρχουν λοιπόν 1 0χ9χ8χ7=5.040 ΡΙΝ με όλα τους τα ψηφία διαφορετι­ κά. Ας υποθέσουμε τώρα ότι κρυφακούγοντας μια κουβέντα (ντροπή σας!) μάθατε ότι κάποιος φίλος σας έχει τον αριθμό 7 κάπου στο ΡΙΝ του. Πόσες δοκιμές πρέπει να κάνετε για να τον βρείτε; Ξέρετε ήδη πως υπάρχουν 1 0.000 διαφορετικοί ΡΙΝ. Πρέπει να απορρίψετε όλους εκεί­ νους που δεν περιέχουν καθόλου τον αριθμό 7. Άρα για να συμπληρώσετε κάθε θέση. μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εννέα ψηφία (όλα εκτός από το 7). Υπάρχουν λοιπόν 9χ9χ9χ9=6.56 1 κωδι­ κοί που δεν περιέχουν το 7. Ο κωδικός του φίλου σας είναι ένας από τους υπόλοιπους 3.439. Όσο η μηχανοργάνωση διεισδύει στη ζωή μας τόσο η ανάγκη για όλο και περισσότερους θα γίνεται επιτακτικότερη. Θα χρειαζόμαστε ΡΙΝ για να βάλουμε μπρος το αυτοκίνητο μας. για να ψωνίσουμε στο σουπερμάρκετ. για να μιλήσουμε με τον γιατρό ή τον δικηγόρο μας. Και όσο θα αυξάνονται οι κωδικοί που χρησιμοποιούμε τόσο πιο δύ­ σκολο θα είναι να του,ς θυμόμαστε, πόσο μάλλον αν. για λόγους ασφαλείας όπως εξηγήσαμε πιο πάνω, αρχίσbυν να γίνονται' πε­ νταψήφιοι ή εξαψήφιοι. Η ιδέα να τους καταγράψουμε όλους σ' ένα κατάστιχο είναι πολύ κακή. αφού. αν αυτό το κατάστιχο πέσει σε ξένα χέρια, όλη η ζωή μας και η περιουσία μας θα είναι στη διάθεση αυτού που θα το βρει. Υπάρχει βέβαια η λύση να αποθη­ κεύσουμε αυτό το κατάστιχο σε ηλεκτρονική μορφή και να το α­ σφαλίσουμε μ' ένα ακόμα ΡΙΝ. ΡΙΝ

Θα δημιουργήσουμε έτσι σταδιακά έναν κατάλογο με ΡΙΝ που θα ανοίγουν τα αρχεία στα οποία έχουμε καταχωρήσει τα ΡΙΝ. Και δεν υπάρχει κανένας λόγος να μη συνεχίσουμε. Το ΡΙΝ που ανοίγει το αρχείο με τα ΡΙΝ που α­ νοίγει το αρχείο με τα PlN . . . Ή. όπως έλεγε κι ένα μιούζικαλ των sixties, «σταματήστε τον κό­ σμο. Θέλω να κατέβω...». Σημείωση. Το κείμενο δημοσιεύεται μετά από την συναίνεση τόσο του συγγραφέα όσο και του εκδοτικού φορέα τους οποίους ευχαριστούμε. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ .3/2

Από τους υπολογισμούς στη θεμελίωση της Γεωμετρίας == ==

Δ. Παλαι�ι

ίναι κάποια από τα τετράπλευρα της διπλανής ει­ κόνας ίσα μεταξύ τους; Πώς θα μπορούσαμε να ��uαπαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα; Έχουμε στη διάθεσή μας εργαλεία και μεθόδους για να κάνουμε τις συγκρίσεις; Το θέμα της ισότητας σχημάτων είναι σημαντικό για τη γεωμετρία. Απασχόλησε τους πολιτισμούς από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Γνωρίζουμε πια ότι όλοι οι αρχαίοι λαοί ασχολήθηκαν με τη γεωμετρία. Οι Βαβυλώ­ νιοι και οι Αιγύπτιοι, πριν από τους Έλληνες, αλλά και οι Κινέζοι, την ίδια περίπου εποχή που αναπτύχθηκε η γεωμετρία στην αρχαία Ελλάδα, γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα. Είχαν στη διάθεσή τους τεχνικές και μεθόδους για να ' ζουν με ικανοποιητικές προσεγγίσεις εμβαδά επίπεδων σχημάτω, γκους στερεών και είχαν αναπτύξει εμπειρικούς τρόπους σύγκρισηc τρικών σχημάτων. Ο πρώτος μεγάλος γεωμέτρης θεωρείται ότι ήταν ο Θαλής ο Μ Στον Θαλή αποδίδονται ... οι πρώτες αποδείξεις γε•.Jιι·�� ωμετρικών προτάσεων, �,a.ι. .-... •· .lfι�f'JI! όπως οι αποδείξεις των προτάσεων:

tJ&J&�;i

�ΛJ[-i� -C::���� ιatι.bJ:� . •.

•

•

•

Μια διάμετρος ενός κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα ημικύκλια. Οι «γωνίες>) που ορίζονται από ένα τόξο και τη χορδή του είναι ίσες. Οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες .

Ο Θαλής, σύμφωνα με τις μαρτυρίες, ήταν ο πρώτος που επιχείρησε απόδειξη. Αυτό σημαίνει ότι, λογικά, οι αποδείξεις του θα πρέπει να ήταν στοιχειώδεις. Μελετώντας την εξέλιξη της γεωμετρίας οι ιστορικοί της κα­ τέληξαν στο συμπέρασμα ότι η μέθοδος που πρέπει να χρησιμοποίησε ο Θαλής στις αποδείξεις των παραπάνω προτάσεων θα πρέπει να ήταν αυτή της ταύτισης των δύο σχημάτων. Ας επιχειρήσουμε, με δικά μας σύγχρονα μέσα, να δούμε με ποιο τρόπο θα μπορούσαμε να κάνουμε μια απόδειξη αυ­ τού του είδους για τις τρεις προτάσεις που αποδίδονται στο Θαλή. Κατασκεύασε με το διαβήτη σου έναν κύκλο και χάραξε με τον μια διάμετρό του. Ωραία! Τώρα να αντιγράψεις σε διαφανές χαρτί το τα δύο ημικύκλια στα οποία χώρισε τον κύκλο η διάμετρος. Μπορείς τίσεις αυτό το αντίγραφο με το άλλο ημικύκλιο; Τι σημαίνει αυτό γιc ημικύκλια; Μήπως ότι είναι ίσα; ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/3

-------

Από του ς υπολογισ μούς

στη θ εμελίωση τη ς Γεωμετ ρία ς

------

Προσπάθησε τώρα να «αποδείξεις» με τον ίδιο τρόπο τη δεύτερη από τις προτάσεις, δηλαδή ότι κάθε χορδή σχηματίζει με τον κύκλο ίσες «γωνίες». Πρόσεξε ότι στα πρώιμα στάδια της γεωμετρίας, σε α­ ντίθεση με ότι θεωρείται σήμερα, θεωρούσαν ότι ένα τόξο με μια χορδή σχηματίζουν γωνία. Για την τρίτη πρόταση μπορούμε να κάνουμε μια απόδειξη που να μοιάζει με τις πιο πάνω. Μπορούμε, όμως, να κάνουμε έναν διαφορετικό συλλογισμό που να στηρίζεται στις παραπάνω προτάσεις. Κατασκεύασε έναν κύκλο με κέντρο ένα σημείο Ο και χά­ ραξ� δύο διαμέτρους του ΑΒ και Γ Δ. Τι μπορείς να πεις για το τρίγωνο 01\:f; Είναι ισοσκελές; Αιτιολόγησε τον ισχυρισμό. Μπορείς να παρατη­ ρή dεις ότι η γωνία ΟΑΓ είναι η διαφορά της γωνίας που σχηματίζει η Δ διάμετρος ΑΒ με τον κύκλο και της γωνίας που σχηματίζει η χορδή ΑΓ Γ με,τον κύκλο; Ισχύει επίσης ότι η γωνία ΟΓΑ είναι διαφορά της γωνίας πού σχηματίζει lJ;διάμετρος ΓΔ με τον κύκλο και της γωνίας που σχημα­ τίζει η χορδή Γ{\,με τον; κύκλο; Με βάση τα προηγούμενα μπορούμε να πούμε ότι η γω�ψς που σχηματίζονται από τις διαμέτρους και τον κύκλο είναι ίσες και, ε'(ίσης, ότι οι γωνίες που σχηματίζονται από την χορδή ΑΓ και το τόξο της είναι ίσες; Μπορείς, τrορα, να εξηγήσεις γιατί οι γωνίες ΟΑΓ και ΟΓΑ είναι ίσες; Μπορούμε να ισχυ­ ριστούμε ότι, αφού προκύπτουν από αφαίρεση ίσων γωνιών από ίσες γωνίες, θα είναι και αυτές ίσες; Ένα παράδειγμα απόδειξης με μεταφορά σχήματος συναντάμε στην απόδειξη της πρότασης 4 του 1 ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη ( 1° κριτήριο ισότητας τρι­ γώνων). « ...

Γιατί αν εφαρμόσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ πάνω στο τρίγωνοΔΕΖ και τοποθετή­ σουμε το μεν σημείο Α πάνω στο Δ, τη δε ευθεία ΑΒ πάνω στην ΔΕ, τότε θα ε­ φαρμόσει και το σημείο Β πάνω στο Ε, γιατί η ευθεία ΑΒ είναι ίση προς τηνΔΕ. Επειδή όμως η ευθεία ΑΒ συνέπεσε με τηνΔΕ, θα εφαρμόσει και η ευθεία ΑΓ πά­ νω στηνΔΖ, διότι η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με τη γωνία ΕΔΖ. Επομένως και το ση­ μείο Γ θα εφαρμόσει στο σημείο Ζ, διότι επίσης η ΑΓ είναι ίση προς τηνΔΖ. Αλλά έχει ήδη εφαρμόσει το σημείο Β με το Ε. Επομένως η βάση ΒΓ θα εφαρμόσει πά­ νω στην ΖΕ. Διότι, αν μεν το σημείο Β συμπέσει με το Ε το δε σημείο Γ συμπέσει Ε �---�z με το Ζ, η δε βάση ΒΓ δεν συμπέσει με την ΕΖ, τότε οι δύο ευθείες περιέχουν επι­ φάνεια, που είναι αδύνατο . Άρα η βάση ΒΓ θα εφαρμόσει πάνω στην ΕΖ και θα είναι ίση με αυτήν. Επομένως το τρίγωνο ΑΒΓ θα εφαρμόσει πάνω στο τρίγωνο ΔΕΖ και θα είναι ίσο με αυτό και οι υπόλοιπες γωνίες του ενός τριγώνου θα εφαρμόσουν πάνω στις υπό­ λοιπες γωνίες του άλλου και θα είναι ίσες με αυτές, η μεν γωνία ΑΒΓ ίση προς τηνΔΕΖ η δε ΑΓΒ ίση προς τηνΔΖΕ. . . . . »

Το απόσπασμα είναι ακριβής μετάφραση του κείμενου του Ευκλείδη. Έχει ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι ο όρος ευθεία χρησιμοποιείται αντί του όρου ευθύγραμμο τμήμα που χρησι­ μοποιούμε σήμερα. Μπορούμε, ακόμα, να παρατηρήσουμε ότι η μεταφορά του σχήματος γίνε­ ται με πολύ μεγάλη προσοχή. Φαίνεται δύσκολο ο Θαλής, σε τόσο πρώιμο στάδιο της γεωμετρί­ ας , να έκανε μια τέτοια απόδειξη. Οι αποδείξεις του θα πρέπει να ήταν πολύ πιο απλές. Δεν έ­ χουμε γνώση των αποδείξεών του, αλλά φαίνεται πιο πιθανό να μοιάζουν με κάποιο τρόπο σε αυτά που είπαμε παραπάνω. Στην απόδειξη της πρότασης 1.4 του Ευκλείδη υπάρχει ένα ακόμα πολύ ενδιαφέρον στοιχείο. Ο Ευκλείδης, και προφανώς όλοι όσοι προη­ γήθηκαν, θεωρεί δεδομένο ότι είναι αδύνατο δύο ευθύγραμμα τμήματα με τα ίδια άκρα να δημιουργούν επίπεδο χωρίο, όπως αυτό που φαίνεται Ε �---��z με άκρα τα Ε και Ζ στο τρίγωνο ΔΕΖ. Δηλαδή, φαίνεται να θεωρεί δεδο­ μένο ότι δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα με άκρα δύο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/4

------

Από του ς υπολογισ μούς

στη θ εμελίωση τη ς Γεωμετ ρία ς

-------­

συγκεκριμένα σημεία. Αυτή είναι μια βασική παραδοχή που προκύπτει από την εμπειρία. Δοκi μασε να ενώσεις με ευθύγραμμο τμήμα δύο σημεία. Πόσα τέτοια τμήματα μπορείς να κατα σκευάσεις; Αυτό ακριβώς θεώρησε δεδομένο ο Ευκλείδης. Μια τέτοιι πρόταση σήμερα λέγεται αξίωμα. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί προτάσεt αυτού του είδους. Στηρίζει τη θεμελίωση της γεωμετρίας του σε δύο εi δους αναπόδεικτες προτάσεις: Τα Αιτήματα (δηλαδή ζητούμενα ή απω τούμενα) και τις Κοινές Έννοιες. Τα αιτήματα είναι προτάσεις που προκύ πτουν από την εμπειρία μας και έχουν άμεση σχέση με τη γεωμετρία (δεν έχουν νόημα σε άλλι περιβάλλοντα). Ένα παράδειγμα αιτήματος θα μπορούσε να είναι η πρόταση: «Από δύο σημεία ορίζεται ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία αυτά». Αυτό είναι στην πραγματικότητα το πρώτο αίτη­ μα του Ευκλείδη. Η ακριβής διατύπωση του αιτήματος από τον Ευκλείδη είναι: «Ας αιτείται (ζητείται) ότι από κάθε σημείο και προς κάθε σημείο μπορεί να αχθεί (χαρακτεί) ευθεία γραμμή». Οι κοινές έννοιες είναι επίσης προτάσεις των οποίων η αλήθεια προ­ κύπτει από την εμπειρία μας, αλλά μπορούν να αξιοποιηθούν και σε άλλες επιστήμες. Για παράδειγμα η πρόταση: «Μεγέθη που εί­ ναι ίσα προς ένα τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα». Ένα ακόμα πα­ ράδειγμα είναι η πρόταση που χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω στην απόδειξη της 3ης πρότασης που αποδίδεται στο Θαλή: «Αν από ίσα μεγέθη αφαιρέσουμε ίσα μέρη, αυτά που απομένουν είναι ίσα>). Οι προτάσεις αυτές είναι κοινέ έννοιες και όχι αιτήματα επειδή, αν και δεχόμαστε από την εμπειρία μας ότι είναι αληθείς, μπο ρούμε να τις αξιοποιήσουμε τόσο στη γεωμετρία όσο και στις υπόλοιπες θετικές επιστήμες. Στο πρώτο βιβλίο των <<Στοιχείων)) του ο Ευκλείδης παραθέτει 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιε, και 23 όρους (ορισμούς). Θεωρεί όλες αυτές τις προτάσεις λίωση) της γεωμετρίας του. Με τους ορισμούς προσπαθεί να ορίσει τα θεμελιώδη γεωμετρικά αντικείμενα όπως το σημείο, την ευθεία, το επίπεδο, τη γωνία, τα ευθύγραμμα σχήματα, τον κύκλο κλπ. Τα αιτήματα και οι κοινές έννοι­ ες είναι απαραίτητα, όπως ήδη είδαμε στην απόδειξη της πρότασης 1.4, για τις αποδείξεις των προτάσεων που δια­ τυπώνει στα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων, που περιλαμβάνουν την γεωμετρία του επιπέδου. Γιατί όμως ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε προτάσεις των οποίων δέχτηκε την αλήθεια και δε επιχείρησε να τις αποδείξει και αυτές, όπως όλες τις άλλες; Ας κάνουμε την υπόθεση ότι επιλέ γουμε να αποδείξουμε όλες τις προτάσεις που θα χρησιμοποιήσουμε. Τότε, για την απόδειξη μι ας πρότασης θα χρησιμοποιήσουμε κάποια άλλη, η οποία με τη σειρά της θα πρέπει να αποδει χθεί με τη βοήθεια μιας ακόμα, η οποία και πάλι θα πρέπει να αποδειχθεί με τη βοήθεια μιας άλ λης κ.ο.κ. Έχουμε δηλαδή να κάνουμε με ένα ντόμινο απόδειξης προτάσεων που δεν τελειώνε ποτέ. Έτσι, όμως, κανένας συλλογισμός δεν είναι δυνατό να ολοκληρωθεί. Επομένως, προκειμέ νου κάπου να τελειώνουν οι συλλογισμοί, επιλέγουμε να δεχτούμε ότι πρέπει να υπάρχουν προ τάσεις των οποίων δεχόμαστε την αλήθεια. Βιβλιογ ραφ ία Β. L. Van Der Waerden: Η Αφύπνιση της Επιστήμης (Μετάφραση Γιάννης Χριστιανίδης, Πανε πιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης).

Victor J. Katz: Ιστορία των Μαθηματικών (Μετάφραση Κώστας Χατζηκυριάκου, Πανεπιστημι ακές Εκδόσεις Κρήτης). Τ. L. Heath: Ιστοpία των Ελληνικών Μαθηματικών (Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ.). Τ. L. Heath: The Thirteen Books ofEuclid's Elements (Doνer Publications, Inc. ) . Σταμάτη Ευάγγελου: Ευκλείδου Γεωμετρία, Στοιχεία, Βιβλία 1 ,2, 3,4. (ΟΕΔΒ). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/5

Είδη τετραπλεύρων ======

Δ. Παλαιογιαννίδης

Στην εικόνα που ακολουθεί μπορείς να δεις επτά τετράπλευρα. Ένα από αυτά είναι μη κυρτό και τα υπόλοιπα έξι είναι κυρτά. Ποιο είναι το μη κυρτό;

σ

β

ι

στ

Ας επικεντρώσουμε το ενδ ιαφ έρον μας στα έξι κυρτά τετράπλευρα. Μπορούμε να τα κατηγοριοποιήσουμε με κριτήριο την πιθανή παραλλη λία των πλευρών τους; Το σχήμα (ζ) δεν έχει παράλλη λες πλευρές. Είναι, απλά, ένα κυρτό τετράπλευρο. Το (στ) έχει μόνο δύο παράλλη λες πλευρές. Ένα τέτοιο τετράπλευρο ξέρουμε ότι λέγεται τραπέζιο. Τα (α), (β), (γ) και (ε) είναι ένα παραλλη λόγραμμο, ένας ρόμβος, ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο αντίστοιχα. Υπάρχουν μήπως κάποιες σχέσεις που συνδ έουν αυτά τα τέσσερα τετράπλευρα; Ας επιχειρήσουμε να διερευνήσου με το ερώτη μα αυτό ξεκινώντας από ένα παραλλη λόγραμμο.

Τ ο πα ρ αλληλόγραμμ ο Να κατασκευάσεις ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB=5cm, AΔ=3cm και λ = 40°. Ξεκινάμε κατασκευάζοντας ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 5 I Β cm. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε μια γωνία 40° με κορυφή το σημείο Α. Στη δεύτερη πλευρά αυτής της γωνίας Δ παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΑΔ=3 cm. Φέρνουμε από το σημείο Β μια ευθεία παράλληλη προς 3 την ΑΔ και από το Δ μια παράλληλη προς την ΑΒ. Οι δύο ο 40 ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, που ονομάζουμε Γ. Το A f?--..J -5 -� τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι το ζητούμενο παραλληλόγραμμο μια και είναι ένα παραλληλόγραμμο (γιατί;) με AB=5cm, AΔ=3cm και λ=40°.

'---

--

Τ ο ορ θ ογώνιο Μπορείς με κάποιο τρόπο να μετατρέψεις το παραλληλόγραμμο Δ ΑΒΓΔ σε ορθογώνιο αλλάζοντας κάποια από τα στοιχεία του; Ποιο είναι το μικρότερο δυνατό πλήθος στοιχείων που είναι απαραίτητο να αλλάξεις για να πετύχεις το στόχο σου και ποια 3 είναι αυτά; " 90 Αν αλλάξω τα μήκη των πλευρών του μπορώ να το μετατρέψω Β Α σε ορθογώνιο; Η απάντηση είναι όχι (γιατί;). Αν αλλάξω τη 5 γωνία Α; Ας δοκιμάσω να το σχεδιάσω. Ποιο είναι το πρώτο στοιχείο που μου έρχεται στο νου όταν σκέφτομαι ένα ορθογώνιο; Έχει όλες τις γωνίες του ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/6

Είδη τετραπλεύρων

------­

ορθές. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν από αυτό. Κατασκευάζω μια ορθή γωνία με κορυφή το σημείο Α και στις πλευρές της παίρνω σημεία Α και Δ ώστε AB=5cm και AΔ=3cm. Δ r Από τα σημεία Β και Δ φέρνω τις παράλληλες προς τις ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα. Ονομάζω Γ το κοινό σημείο των ευθειών αυτών.

3 Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο (γιατί;). Είναι, όμως, το ΑΒΓΔ ένα " 90 παραλληλόγραμμο; ._._ 5 ---+=---ι Β Α Μπορείς να πείσεις έναν συμμαθητή σου ότι είναι ένα παραλληλόγραμμο; Ποια θα είναι τα επιχειρήματά σου; ___-

Ο

-

ρόμβος

Μπορείς, τώρα, με κάποιο τρόπο να μετατρέψεις το παραλληλόγραμμο της πρώτης κατασκευής σε ρόμβο; Πόσα και ποια στοιχεία του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ είναι απαραίτητο να αλλάξεις αυτή τη φορά, ώστε με το μικρότερο δυνατό πλήθος αλλαγών να έχεις έναν ρόμβο; Ποιο είναι τό κύριο χαρακτηριστικό ενός ρόμβου; Έχει όλες τις πλευρές του ίσες, έτσι δεν είναι; Μπορώ να το πετύχω αυτό μεταβάλλοντας μόνο τη γωνία Α; Σίγουρα όχι. Θα πρέπει να πειράξω τα μήκη των πλευρών του, ώστε να γίνουν ίσα. Πρέπει να πειράξω και τα δύο μήκη; Και πάλι η απάντηση είναι όχι. Αρκεί να μεταβάλω το ένα μήκος, ώστε να γίνει ίσο με το άλλο. Είναι, όμως, απαραίτητο να πειράξω τη γωνία Α; Και πάλι η απάντηση είναι όχι. Αυτό που είναι απαραίτητο να αλλάξω είναι το μήκος μιας πλευράς. Ας ξεκινήσω λοιπόν την κατασκευή. Ξεκινάω κατασκευάζοντας πάλι μια γωνία με κορυφή. το σημείο Α και μέτρο 40°. Στις πλευρές της παίρνω δύο σημεία Β και Δ ώστε AB=AΔ=3cm. Από τα σημεία Β και Δ φέρνω τις παράλληλες προς τις ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα. Ονομάζω Γ το κοινό σημείο τους. Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει Α τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Είναι ρόμβος; Ναι, είναι ρόμβος, αφού έχει τις πλευρές του ίσες (γιατί;).

Το τετράΎωνο

Μεταβάλλοντας κάποια στοιχεία του αρχικού παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ μπορείς να το μετατρέψεις σε τετράγωνο; Πόσα και ποια στοιχεία είναι απαραίτητο να αλλάξεις; Όπως είδαμε μέχρι τώρα αρκεί να μεταβάλλουμε ένα μόνο στοιχείο κάθε φορά, μία γωνία ή μία πλευρά για να μετασχηματίσουμε το παραλληλόγραμμο σε ορθογώνιο Δ Γ και σε ρόμβο αντίστοιχα. Αν μεταβάλλουμε μόνο τη γωνία Α, θα έχουμε κατασκευάσει ένα ορθογώνιο, ενώ αν μεταβάλλουμε μόνο το μήκος μιας πλευράς, ώστε να γίνει ίσο με το μήκος της άλλης, θα 3 καταλήξουμε σε έναν ρόμβο. Δηλαδή, δεν μπορούμε να ο μετασχηματίσουμε ένα παραλληλόγραμμο σε τετράγωνο πειράζοντας 90 ._.h _._ ___.B και Α μόνο ένα στοιχείο του. Κατασκευάζω, λοιπόν, μία ορθή γωνία A 3 στις πλευρές της παίρνω τα σημεία Β και Δ, ώστε AB=AΔ=3cm. Από τα Β και Δ φέρνω παράλληλες προς τις ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα, που τέμνονται στο σημείο Γ. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο, αλλά, ταυτόχρονα, είναι παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο και ρόμβος (γιατί;). Επομένως: • Τ α κυρτά τετ ρ άπλευρα διαμ ερ ίζονται σε τ ρεις κλάσεις: στα τ ρ απέζια, στα πα ραλλη λόγραμμ α και σε ό σα δ εν είναι τ ραπέζια ούτε πα ραλλη λόγραμμ α.

• κλάση των πα ραλλη λογράμμ ων εμπερ ιέχει, ως ειδικές περιπτώσεις, τα ορ θ ογώνια, τους ρ όμ β ους και τα τετράγωνα.

• Ένα τετ ράγωνο είναι ταυτόχρονα ορ θ ογώνιο και ρ όμ β ος. Όλα αυτά τα συμπεράσματα μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά με τον τρόπο που φαίνεται Η στην εικόνα που ακολουθεί. ___

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/7

----- Είδη τετραπλεύρων

-----

Ασκήσεις 1. Στα 1 ), 2), 3), 4), 5), 6)

να aντιστοιχήσετε τα Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ βάζοντας ένα κατάλληλο τετράγωνο που ταιριάζει: � -c =-

�! �.§ =-

<t

...

1) Κυ ρτό τετράπλευ ρο

� § =-ω

Ε-

-

=

-

� :ι. :ι.

1::5

=-

�

��

�1::5 =1::5

=

g

�

·S

� φ =c

-

-<1

1.1' � =:ι.

-� � -

�

χ

στο

� �

s

-� =t

Ε-

't:' �

2) Τ ραπέζιο 3) Πα ραλλη λόγραμμ ο 4) Ο ρ θ ογώνιο 5) Ρόμ β ος

6) Τετρ άγωνο 2.

Να συμπληρώσεις στον παρακάτω πίνακα για κάθε ένα από τα τετράπλευρα που εμφανίζονται. Να γράψεις στη στήλη του κέντρου συμμετρίας ένα ΝΑΙ, αν το αντίστοιχο τετράπλευρο έχει κέντρο συμμετρίας, ή ένα ΟΧΙ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας. Να σημειώσεις το πλήθος των αξόνων συμμετρίας που έχει κάθε ένα από τα τετράπλευρα στη στήλη των αξόνων συμμετρίας. Κέντρο συμμετρίας Παραλληλόγραμμο Ο ρ θ οΎώνιο Ρόμ β ος Τ ετρ άΎωνο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/8

Άξονες συμμετρίας

Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αyοράς =======

Κώστας Γ. Σάλα ρης - Μ άνια Κ. Σ άλα ρη

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: .- Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% .- Η ανεργία αυξήθηκε το 20 1 2 κατά 1 0% .- Ο ΦΠΑ στα τρόφιμα αυξήθηκε κατά 2% .-Οι ετήσιες γεννήσεις στην Ελλάδα μειώθηκαν το 20 1 2 κατά 5% Όλοι γνωρίζουμε ότι ο ακέραιος ή δεκαδικός αριθμός α με το σύμβολο %, δηλαδή α% ονομάζεται ποσοστό και διαβάζεται α επί τοις εκατό. Είναι μια αναγωγή αριθμητικού μεγέθους α ως προς

1 00

(�) 1 00

. Ας δούμε τι είναι όμως τα ποσοστά με δύο αναλυτικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1: Σε ένα σχολείο φοιτούν 250 αγόρια και κορίτσια. Τα κορίτσια είναι 50. Το μέρος των κοριτσιών ως προς το σύνολο των μαθητών του σχολείου(Αγόρια και Κορίτσια),

50 50 ' ' ' ' με ενα ' ' κλασμα ' ζεται με το κλασμα ισοδυναμο του. - που θα - .Θ " α πρεπει να βρου εκφρα 250

250 50 50 . δηλαδή το 1 00, έχει παρονομαστή ή χιαστή 50 •1 00=250 • α ή α= 1 00 • = 250 250 1 00 Επομένως για να βρούμε το α που είναι το ποσοστό του 50 ως προς το 250 παίρνουμε το , 50 5 οοο , , , 50 = 20 τ ον αριθμο 20 τον συμβολ'ιζουμε με μαθηματικο τυπο α = ι οο • = = 20 η 250 250 250 1 00 20% και το διαβάζουμε 20 επί τοις εκατό. Με απλά λόγια για να βρούμε το ποσοστό ενός 50 αριθμητικού μεγέθους ως προ ένα άλλο 50 προς 250 ή πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα με 250 το 1 00 και ταυτόχρονα το διαιρούμε με 1 00 ώστε να μην αλλάξει η τιμή του 50 5000 •100 250 = 20 η' 20% 250 = 100 100 100 3 3 Παράδειγμα 2 : Έχουμε δύο δοχεία χωρητικότητας 5m και 1 0m αντίστοιχα, που � 3 3 περιέχουν λάδι. Το Α' δοχείο περιέχει m λαδιού ανα 1m χωρητικότητας δοχείου , ενώ το Β' 5 4 2 ' ' με ποσο ' ' δι περιεχει ' . Αν βρου ' ' περιεχει = -m3 λαδιου' ανα' 1 m3 χωρητικοτητας λα δοχειου 10 5 300 � κάθε δοχείο όχι ανά m3 αλλά ανά 100m3, θα έχουμε. Το Α' περιέχει •100 = = 60 % και 5 5 200 το δοχείο Β' περιέχει �•1 00 = = 40 %. Άρα μπορούμε να πούμε ότι το δοχείο Α είναι κατά 5 5

�

-

60% πλήρες και το δοχείο Β κατά 40% πλήρες. Από τα παραπάνω παραδείγματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όταν γράφουμε α% που το διαβάζουμε ποσοστό α επί τοις εκατό εννοούμε το κλάσμα �. Κάθε κλάσμα μπορεί να

1 00

4 ' οπως ' ' ' ' γραφει' σαν ποσοστο, το κλασμα - ειναι ισοδυναμο με το κλασμα '

5

4. 20 80 ' 0/ = η 80 /ο .

5•20 1 00

--

Θα δούμε πως μπορούμε δύο κλάσματα να τα μετατρέψουμε με απλό τρόπο σε ποσοστά. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/9

-------

3 2

Πο σο στά: Τα Μ αθηματικά τη ς Αγο ρά ς -------

2 5

α)- κ:αι β)α) Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το

� με το 1 00 ,έτσι δεν αλλάζει η αριθμητική του τιμή.

2

3 -•1 00 1 50 , 2 , τη περιπτωση , , ,ενας α , του κλ,ασματος σε , λλος τροπος = η 1 5ο οιο. Σε αυτη μετατροπης 1 00 1 00 ι

ποσοστό είναι να βρούμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το ' δηλαδη

� που να έχει παρονομαστή το 1 00, 2

3 3•50 1 50 ' ισο ' σε ποσοστα' 1 50 0ιο. = '2 = που ειναι / 2•50 1 00

β) Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε το

� με το 1 00 ,έτσι δεν αλλάζει η αριθμητική του τιμή 5

2 -•1 00 40 5 = η' 40%.

1 00 1 00 Λυμένα Προβλήματα Πρόβλημα I: Ένα μπουφάν πωλείται αντί 246€. Ο ΦΠΑ περιέχεται στη τελική τιμή και είναι

23% :Ενας αλλοδαπός που δεν πληρώνει ΦΠΑ ,ρωτάει πόσο πρέπει να πληρώσει για να αγοράσει το μπουφάν; Λύση Προβλήματος 1 Γνωρίζουμε ότι Τελική τιμή = Αξία +ΦΠΑ' . Ο ΦΠΑ υπολογίζεται επί της αξίας. Σε 1 00€ αξία η τελική τιμή θα είναι 1 23€, Το μπουφάν έχει τελική τιμή 246€. Πόση είναι η αξία του μπουφάν. Με τη απλή μέθοδο των τριών* κ:αι δεδομένου τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε *Θεωρούμε ότι η απλή μέθοδος των τριών σας είναι γνωστή, ακόμη και από το Δημοτικό Σχολείο.

1 23€ τελικής τιμής αντιστοιχούν 1 00€ αξίας 246€ τελικής τιμής Μπουφάν χ; αξίας Με τη χιαστή μέθοδο έχουμε;

123•χ = 100•246 ή χ=

24600 = 200€ 123

Πρόβλημα 2: Ένα Tablet έχει τελική τιμή πώλησης 200€ Ο Κώστας θέλει να το αγοράσει, αλλά κρατάει μαζί του 1 60 €. Πόση έκπτωση πρέπει να κάνει ο πωλητής, ώστε να μπορέσει ο Κώστας να αγοράσει τoTablet; Λύση Προβλήματος 2 Η έκπτrοση που πρέπει να δώσει ο Πωλητη ς είναι 40€ . Χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών και έχουμε. Σε αρχική αξία 200€ αντιστοιχε ί έκπτωση 40€ χ; Σε αρχική αξία 1 00€_

40 40 20 200• χ = 40•1 00 ή� = = ή χ=20% ή 1 00 200 200 1 00 4 Πρόβλημα 3: 'Ενας έμπορος αγόρασε προϊόντα αξίας 3000€. Τα των προϊόντων τα 5 πούλησε με κέρδος 1 5%, τα δε υπόλοιπα με ζημιά 5%. Πόσα τελικά κέρδισε ο έμπορος. Λύση Προβλήματος 3 I

4 4 12000€ "' "' 5 των προιοντων εχουν αξ'ια 5• 3000€ = = 2400€ . προιοντα αξ'ιας 2400€ τα 5 1 1 5 276000 πούλησε μα κέρδος 1 5%, άρα εισέπραξε χ = 2400. = 2760€ (Ι). Από τα = 1 00 1 00 υπόλοιπα προϊόντα αξίας 600€ που τα πούλησε με ζημία 5% εισέπραξε τα

'

I

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/10

-----

ιιο σο στ α: τα Μα uηματ ικ α τη ς Αγο ρ ας

___

__ .::.._ ....____

'1;.

600 • 95 57000 = χ= = 570€ (2). Ο έμπορος, συνολικά εισέπραξε 2760€+570 €=3330€.

1 00 1 00 Επομένως κέρδισε από την αγοροπωλησία 3330€ - 3000€ = 330€ . Η ( 1) προέκυψε από την απλή μέθοδο των τριών με ανάλογα ποσά Σέ aξία 1 00 και κέρδος 1 5 η τιμή πωλήσεως είναι 1 1 5 Σε αξία 2400 η τιμή πωλήσεως είναι χ; € 2400•1 1 5 1 00• χ = 2400•1 1 5 ή χ= = 2760 € 1 00 Η (2) προέκυψε από την απλή μέθοδο των τριών με ανάλογα ποσά Σε αξία 1 00 και ζημιά 5 η τιμή πωλήσεως είναι 95 600•95 Σε αξία 600 η τιμή πωλήσεως είναι χ; 1 00 • χ = 600• 95 η' χ= 570 € 1 00 Πρόβλημα 4: Ένα Κατάστημα ηλεκτρικών συσκευών πουλάει μια τηλεόραση αντί τελικής τιμής 560_ € και από τη πώληση αυτή έχει ένα κέρδος 20%.Πόσο πρέπει να πουλήσει τη τηλεόραση για να κερδίσει 30%. Λύση Προβλήματος 4 Η τιμή πωλήσεως της τηλεόρασης

περιλαμβάνει τη τιμή αγοράς και το κέρδος 20% επί της τιμής αγοράς. Με τη βοήθεια της απλής μεθόδου των τριών για ανάλογα ποσά έχουμε; τιμή αγο ρ άς Τελική τιμή 1 20 1 00 χ; 360 36000 = 300 €. Το κατάστημα θέλει να κερδίσει 30 % επί της τιμής 1 20 • χ = 360 •1 00 ή χ 1 20 αγοράς. Με την απλή μέθοδο των τριών έχουμε

τιμή αγοράς Τελική τιμή 1 00 1 30 · χ 300; 39000 = 390€. Συμπέρασμα για να κερδίσει το κατάστημα 30%, πρέπει 1 00 • χ = 300 •1 30 ή χ= 1 00 να πουλήσει τη τηλεόραση 390€ '

Προτεινόμενα Προβλήματα.

1.

Μια μετοχή στο χρηματιστήριο της Αθήνας στη συνεδρίαση της 20 -ης Ιουνίου έκλεισε με τιμή 30€. Στη συνεδρίαση της 2 1 �ης Ιουνίου έκλεισε με κέρδος 1 0% και στη συνεδρίαση της 22 - ας Ιουνίου έκλεισε με κέρδος 1 2%. Στη συνεδρίαση της 23 -ης Ιουνίου έκλεισε με απώλεια 8%. Ποια τιμή διαμόρφωσε η μετοχή κατά το κλείσιμο της 23 -ης Ιουνίου. Σε ένα αγώνα Μπάσκετ του 4- ου Γυμνασίου Ν. Ιωνίας παρακολούθησαν 500 θεατές. Από 2. αυτούς το 30% δεν ήταν μαθητέ$ του σχολείου, ενώ το υπόλοιπο 70% ήταν μαθητές του σχολείου .. Από τους μαθητές το 30% φοιτούσαν στην Α τάξη τqυ Γυμνασίου. Το 60% των μαθητών της Α τάξης του Γυμνασίου ήταν αγόρια . Πόσα κορίτσια της Α τάξης παρακολούθησαν τον αγώνα Μπάσκετ; 3. Σε μια δημοσκόπηση απάντησαν 640 μαθητές, ότι χρησιμοποιούν καθημερινά το διαδίκτυο. Ο αριθμός αυτός αντιπροσωπεύει το 32% του συνόλου των μαθητών που συμμετείχαν στη δημοσκόπηση. Να βρείτε ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των μαθητών που έλαβαν μέρος στη δημοσκόπηση.

4. Να βρείτε τι ποσοστό επί τοις εκατό αντιπροσωπεύει το πλήθος των κόκκινων μικρών ρθ νιων κό�νω και ογώνιων ως πρ το πλήθος όλων των ώ ...

Τ

lς

ι �·κρών : Γ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/1 1 b

·

l �� � _�

Συναρτήσει ς

======

Ι. Η

Ι ωάνν α Δ οργιάκη

ένν οια τη ς συνάρτηση ς

Στον κόσμο που μας περιβάλλει συναντάμε ένα σωρό πράγματα που συνδ έονται και εξαρτώνται το ένα από το άJ..λο . Αυτό είναι ένα γεγονός που το διαπιστώνει κανείς πολύ εύκολα, αρκεί να παρατηρήσει με λίγη προσοχή ,κάπως αποστασιοποιημένα, το φιλμάκι της καθημερινότητάς του. Ξεκινάς το πρωί από το σπίτι σου για το σχολείο. Ανάλογα με τη διαδρομή που θα επιλέξεις να ακολουθήσεις ,θα βαδίσεις περισσότερα ή λιγότερα μέτρα δρόμου. Αν η διάθεσή σου είναι όμορφη και τη συναγωνίζεται το κέφι σου, το βήμα σου θα συντονιστεί σε ένα γοργό ρυθμό και η ταχύτητα που θα αναπτύξεις ,θα μειώσει το χρόνο που συνήθως χρειάζεσαι για να φτάσεις στην παρέα σου. Αν πάλι κάποιο συννεφάκι έχει ρίξει τη σκιά του στο νου σου, το βήμα σου θα γίνει νωθρό, με αποτέλεσμα να ελαττωθεί η ταχύτητά σου και επομένως να χρειαστείς περισσότερο χρόνο για να ολοκληρώσεις την πορεία σου. Εξαρτήσεις και συνδέσεις δεν υπάρχουν μόνο στην καθημερινή μας ζωή αλλά και στο χώρο των Μαθηματικών, ιδιαίτερα δ ε σε αυτόν. Ας δ ούμε το παρακάτω παράδ ειγμα δυο μεγεθών που σχετίζονται μεταξύ τους: Έστω ψ το εμβαδόν ενός τετραγώνου και χ το μήκος της πλευράς του. Είναι γνωστό ότι ψ=χ2 • Αν χ=2 cm, τότε ψ= 22 cm2=4 cm2• Αν χ=3 cm,τότε ψ= 32 cm2= 9 cm2 Αν χ=4 cm, τότε ψ=42 cm2= 1 6 cm2 κ.ο.κ. Είναι πιο πρακτική η παρακάτω παρουσίαση των ε Πίνακα Τιμών: προηγούμενων αποτελεσμάτων, την οποία και ονο 4 2 1

5

Φαίνεται στον προηγούμενο πίνακα πως με κάθε τιμή του χ παίρνω μια αντίστοιχη τιμή για το ψ. Προκύπτουν έτσι ζευγάρια τιμών. Είναι σαν να έχω μια συσκευή που έχει μια είσο δ ο και μια έξοδο . Την προγραμματίζω κατάλλη λα, δη λαδή της δίνω κάποια εντολή και τη θ έτω σε λειτουργία. Βάζω στη συσκευή αυτή, στο στόμιο της εισόδου ένα δ εδ ομένο κι εκείνη εκτελώντας την εντολή που έχει δ εχτεί, θα δώσει στην έξοδ ο το επιθυμητό αποτέλεσμα. Ας ονομάσουμε χ την τιμή που κάθε φορά βάζω στην είσο δ ο της συσκευής και ψ την τιμή που κάθε φορά παίρνω από την έξο δ ο. Για κάθε τιμή χ που εισάγω παίρνω μία τιμή ψ και μόνο μία. Η διαδικασία αυτή, που δημιουργεί ζευγάρια τιμών (χ,ψ) είναι στη γενική της μορφή η έννοια της συνάρτησης, όπως τη χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά. Η εντολή που αποφασίζω να δ ώσω στη συσκευή κάθε φορά, είναι ουσιαστικά η μορφή της συνάρτησης. Είναι η σχέση που καθορίζει με ποιο τρόπο θα προκύψει το μοναδικό ψ από το χ που έχω γ=9 αρχικά. Ένα είδ ος συνταγής, που περιγράφει αναλυτικά πώς να λ λ υπο ογίσω την τιμή της μεταβ ητής ψ, που αντιστοιχεί στην τιμή της μεταβλητής χ. Λέ με στην προκειμένη περίπτωση πως η μεταβλητή ψ εκφράζεται σαν συνάρτηση της μεταβ λητής χ. Η μεταβλητή ψ εξαρτάται από τη μεταβλητή χ , για αυτό η πρώτη αναφ έρεται σαν εξαρτημένη μεταβλητή και η δεύτερη σαν ανεξάρτητη μεταβλητή. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια της συνάρτησης, ας σκεφτούμε λίγο το ακόλουθο παράδειγμα: Ας aντιστοιχίσουμε σε κάθε παιδί τη μητέρα του.

'.J,�ΕΞΟΔΟΣ

+t+ι+++

t+

Επειδή κάθε παιδί έχει αυστηρά μία μόνο μητέρα, η σχέση αυτή είναι μια μορφή συνάρτησης, όπως την ορίσαμε πιο πάνω. Αν κάνουμε το αντίστροφο, δη λαδή αν σε κάθε μητέρα aντιστοιχίσω το παιδ ί της, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ,πως μια μητέρα μπορεί να έχει περισσότερα του ενός παιδιά, η σχέση που προκύπτει δεν έχει την βασική ιδιότητα της συνάρτησης, έτσι όπως την ορίσαμε παραπάνω. Δεν είναι επομένως συνάρτηση . Άλλο ένα ακόμη παράδ ειγμα συνάρτησης, με τον πίνακα τιμών της αυτή τη φορά, προκύπτει από την εξής περίπτωση: Αν χ είναι η η λικία ενός παιδιού και ψ η η λικία του πατέρα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/12

Συναρτήσε�

του, τονη τύπο: από

----

χ ,ψ δίνεται

Στο παράδειγμα αυτότιμέςπήραμε μόνοναθετικές τιμές γιαμπορούσαμε τη μεταβλητή χ, γιατί αντιπροσωπεύει χρόνια, τααρνητικές οποία μόνο θετικές μπορούν πάρουν. Θα σε άλλη περίπτωση να δώσουμε και τιμές στη μεταβλητή χ, αρκεί οι ιδιότητές της να το επιτρέπουν. Θα δούμε αργότερα τέτοια παραδείγματα. έ Σ Καρτεσιαν ς υντεταγμένες Όταν κινούμαστε μέσα,δίνοντάς στην πόλη, είναιοδόπολύκαι τον εύκολοαριθμόστηντουεποχή μας στονα συναντηθούμε με κάποιον του την σημείου οποίο βρισκόμαστε. Πρακτικά αυτό σημαίνει πως έχουμε χαράξει στην πόλη μας οδικό δίκτυο νακαιείχαμε με αυτόανοιχτεί τον τρόπο, διευκολύνουμε την καθημερινότητά μας. Γιατίνα φανταστείτε με τη βαρκούλα μας στο πέλαγος και να θέλαμε καλέσουμε κάποιον ναθάλασσα; έρθει κοντά μας. τι στοιχεία θα του δίναμε για να μας βρει , μ έσα στην απέραντη ευφυέστα αυτή ιδέα, δηλαδή η aντιστοίχισησε κάθε σημείου του επιπέδου με ένα ζευγάρι τιμστόών Γάλλο και το τηζευγάρι αντίστροφο: κάθε τιμών να aντιστοιχίζεται ένα και μόνο σημείο του οφείλεται φιλόσοφο,αξιομαθηματι κόώθηση και διανστοοητήβηματισμό ς θρώ ς δι ησης και μ νο είναι δε από κείνες που έδω μείω "σαν τη τητωνανσημείων ση ό !! συντεταγμένες: mνη τουανόεπιπέδου, σεόχικαρτεσιανές ΑςΣχεδιάζουμε παρακολουθήσουμε την αναπαράσταση αρχικάμονάδες δυο κάθετους άξονες χ'χ καιΘεωρούμε ψ'ψ ,με κοινή }� αρχή Ο και ίδιες μέτρησης στον καθένα. ένα ,,. σημείο του επιπέδου: έστω το πράσινο. Φέρουμε από αυτό ευθεία παράλληλη προς τον επίσης άξονα ψ'ψ, η οποία τέμνει τον άξονα· χ'χ μας, στο 2. Φέρουμε από το αρχικά εmλεγμένο σημείο σημείο ευθεία παράλληλη προς τονλοιπόν άξονα χ'χ, η οποία τέμνει τονσημείο άξονα ψ'ψ στο σημείο 3. Λέμε πως το πράσινο έχει 3 ). Πιο συγκεκριμένα: έχει 2 και συντεταγμένες3 .Το(2,aντιστοιχίζω στο ζευγάρι τιμών (2, 3 ). Με όμοιο τρόπο το κόκκινο σημείο του επιπέδου στο ζευγάρι τιμών (-3,aντιστοιχίζω 1 ) και το μπλε σημείο του επιπέδου στο ζευγάρι (- 1 . 5 ,-2. 5 ) ονομάζεται και οαυτοίΟάξονες χωρίζουν ονομάζεται Οιιδυο σε τέσσερα μέρη ,ταστοοποία ονομάζονται το κόκκινοτο επίπεδο Το πράσινο σημείο ανήκει σημείο στοΕύκολα διαπιστώνει κανείς και το μπλε σημείο στο πως τα σημεία του 1 έχουν τεταρτημορίου έχουν τετμημένη και τεταγμένη θετικούς αριθμούς. Τα σημεία του τεταρτημορίου τετμημένη αρνητικό αριθμό και τεταγμένηκαιθετικό αριθμό. Τα σημεία του τεταρτημορίου έχουν τετμημένη καιαριθμό τεταγμένη αρνητικούς αριθμούς τέλος τα σημεία του έχουν τετμημένη θετικό και τεταγμένη αρνητικό αριθμό. Όλο το σύστημα που μόλις περιγράψαμε ονομάζεται ή πιοΓσύντομα ραφική παράσταση συνάρτηση ς Δυο αριθμοίψ-χ χ=3.καιΆραψ, μεψ=ψ>χ, διαφοράτιμών3. Νατηςγραφεί ο ψ σαναυτής συνάρτηση Έχ�υμε: χ+ 3.έχουν Ο πίνακας συνάρτησης είναι: του χ.

11.

Η

επιπέδου,

Ρενέ Ντεκάρτ (Rene Descartes 1596-1650)

Υ

ι­

(

-------

·31 ·:

2

2 .

τετμημένη

3

τεταγμένη

4° τετΑΡτΗΜΟΡΙΟ

Κάθε σημείο του άξονα χ'χ έχει τεταγμένη Ο και κάθε σημείο του άξονά ψ 'ψ έχει τετμημένη Ο. άξονας χ'χ άξονας των τετμημένων. ' άξονας ψ ψ άξονας των τεταγμένων.

1 ο τετΑΡτΗΜΟΡΙΟ

• •

..•

'

..

..

..

�· τετΑΡτΗΜΟΡΙΟ

111.

·•

ο

•

•

•

•

3

10

τεταρτημόρια.

1ο � τεταρτημόριο τεταρτημόριο, 2 ..

2• τετΑΡτΗΜΟΡΙΟ 3 ° τεταρτημόριο. .. ου 2ου 3ου 400 τεταρτημορ ίου ορθοκανονικό σύστημα αξόνων σύστημα ορθογωνίων αξόνων. ·•

I � I σε ένα σημείο στο καρτεσιανό I � I �aντιστοιχίζεται I � I � πίνακα I :παραπάνω Κάθε ζευγάρι τιμών από τον επίπεδο. Μπορώτη σχέση: να έχωψ=άπειρα πάνωάπειρες στο επίπεδο τιμές των συντεταγμένων ικανοποιούν χ+3.Θσημεία εωρώντας τιμές για,πουτο χ,οιπαίρνω αντίστοιχα άπειρες γιατουςτο ναψ. κ. ο. κ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/13

Συναρτήσε�

Μπορώ να έχω και αρνητικές τιμές, όπωςείναιεπίσηςπρακτικά και άλλους πραγματικούς αριθμούς, όχιμεγάλο μόνο φυσικούς που υπάρχουν στον πίνακα. Μια και αδύνατο να φτιάξω ένα τόσο πίνακα, αρκούμαιμεταξύ σε κάποιες τιμές, βρίσκω τααποτέλεσμα σημεία τουπουεπιπέδου στα οποία αντιστοιχούν και στη συνέχεια τα συνδέω τους. Το γραφικό προκύπτει ονομάζεται ψ=χ+2. (βλέπεεδώ,σχ.πως 1 ) όταν πρόκειται για καμπύλη γραμμή, τότε όσα περισσότερα σημεία Αξίζει να σημειωθεί επιλέξω εμφανίσω συνάρτησης.να(β�πε σχ.2) στο επίπεδο, τόσο καλύτερη θα είναι η γραφική προσέγγιση της

-------­

γραφική παράσταση της

συνάρτησης

- - � - - -:' '

' '

' '

' '

- - � - - ..ι -

- -

, ... r

�

' '

- -

� ' '

' ' ' ' '

' '

...'

_

' '

' ' --L-0

-2

7

- - �- - - � - - - � - - -:- - - -: :rt - - -� ��5, 6 .q) : : : : � ; � , t4. i31 - - - � - - - ; I

I

I

Ι

I

I

I

. . . . . . ., . . . 9

I

.

ι

-

- - :- - �-:_ _ ι., _ _

-.3... 9)<

8

6 5 4

1

-1

- -

- - -

- - �- - -

- - -

:

·

··

... . . ;. . . . . . . . ,. . . . . . . . .

3 • .9� . !

θ

- -

� - - - � - - -� : : 1:. . : 5 3.�) : : - - ι( 1� 3] - - - � - - -:- - - � - - - � - - -� ι ι ι ι ι I

I

Ζ,�- - :

'

_ _ - -

I

I

I

I

I

I

ι

ι

I - - -,I - - - τI - - - rI - - -,- - 1I - - - τI - - - I.' ' ' ' -' -

ο

- �- - - � - - - � - ' '

' '

--

� - - - � - - -� ' '

1

η δ ική σου σειρά : ΑνΚαιγιαττιςώραγωνίες Α,Β,Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει : Α= 2Γ + 1 0°,να εκφράσεις τη γωνία σαν συνάρτηση της γωνίας = χ.

2) Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά χ . Να εκφράσεις το εμβαδόν του τριγώνου σαν συνάρτηση του χ.

3) παρακάτω πίνακας είναι ο πίνακα τι ών ια = αχ β. Να υπολογίσεις τα α και β. + -1 4) Ένα τρίγωνο έχει βάση 6 cm και αντίστοιχο ύψος 4 cm. Α α) ν η βάση του αυξηθεί κατά χ και το ύψος του παραμείνει σταθερό, να εκφράσεις το εμβαδόν του σαν συνάρτηση του χ. ... β) Αν το ύψος του αυξηθεί κατά 2χ και η βάση του παραμείνει σταθερή, να εκφράσεις το εμβαδόν ·τ5)ουΈνασανκατάστημα συνάρτησηκάνει του χ.στις τιμές του έκπτωση 25%. Να εκφράσεις το ποσό ψ που θα πληρώσεις για ενα εμποpευμα σαντιμών συναρτηση τηςσυνάρτησης αναγραwμενης τιμης τουτηχγραφική . της παράσταση. Δώσε τον πίνακα αυτής της και σχεδίασε 6) Δίνονται οι παρακάτω πίνctfες τιμών: στ) χ χ χ χ 5,7 χ3 6 χ1 9 2,4 1 4 2 24 6,9 1- 1 1 - 1 4 9 2722 2,3,04 4 -2 ') 1 2 3 .../J 21 21 21 -21 7 7,5,78 1369 3,3,69 5 -2 2 2 2 3 -.J3 Χωρίς να κάνεις τη γραφική τους παράσταση, να βρεις ποιος αντιπροσωπεύει συνάρτηση και ποιος όχι.

7) Ποια από τα π�ρακάτω διαγράμματα παριστάνουν γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων:

1)

Β,

Γ

Ε

Ο

,

,,�

α)

,

,

β)

Υ

γ)

:1

,

δ)

Υ

ε)

ο

Υ ο

ο

Υ ο

ο

15

Α

Β

Γ

Δ

10

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/14

Υ ο

Όγκος Π υρα μ ί δων κ α ι Κώνων =======

Επιμέλεια : Τζίφας Νίκος, Κωνσταντινίδης .Άρης, Λαγός Γιώργος

Μελέτησες έως τώρα αρκετά στερεά σώματα, όπως τα διάφορα πρίσματα και τον κύλινδρο.Από την μελέτη αυτή έμαθες να υπολογίζεις και τους όγκους των σωμάτων αυτ ών.

Αν ακολουθήσεις στην συνέχεια, την διαδικασία που περιγράφουμε παρακάτω, ;θα καταφέρεις να υπολογίσεις τους όγκουςκαι άλλων δύο στερεών σωμάτων. Αυτά είy,qι η ι πυραμίδ α και ο κώνος . Υπολογ ι σ μ ός του ό γ κου τ η ς πυρ α μ ίδ α ς

Ξεκίνησε λοιπόν την εργασία σου, για να ανακαλύψεις αρχικά την σχέση που συνδέει τους όγκους του π ρ ίσματος και της πυ ρ αμίδ ας που έχουν ίδιες βάσεις και το ίδιο ύψος. Για την αυτή

εργασία

θα

χρειασθείς :

Ένα

ζευγάρι

από χά ρτινα δ οχεία σαν το πρίσμα και την πυραμίδα που βλέπεις δίπλα και άμμο η ρύζι η οποιοδήποτε άλλο παρόμοιο υλικό έχεις.

Για να διευκολυνθείς στην εργασία σου, δεν είναι υποχρεωτικό να κατασκ�υάσεις τα παραπάνω συγκεκριμένα χάρτινα δ οχεία. Μπορείς αντί του πρίσματος αυτού, ·να πάρ�ς ένα οποιοδήποτε κουτί συσκευασίας που θα βρεις στο σπίτι σου. Αρκεί αυτό να είναι ορθό πρίσμα και να του αφαιρέσεις τη μία από τις βάσεις, εάν έχει και τις δύο. Στη συνέχεια να κατασκευάσεις μία πυραμίδα που να έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος με το πρίσμα που διάλεξες και να μην βάλεις στην πυραμίδα αυτή τη βάση . Τις βάσεις δεν θα τις βάλεις για να μπορείς να τα γεμίζεις και να τα αδειάζεις τα δοχεία αυτά με το υλικό που έχεις. δ εν είναι απ αραίτητο το ύ ψος της πυραμίδ ας ίδ βάσ ι π να τέ μνε την η της υραμ ας στο " κέντρο " της, είτε έχει είτε δ εν έχει "κέντρ ο " η βάση της πυραμίδ ας.

Επίσης πρέπει να ξέρεις ακόμα ότι:

Αν λοιπόν σου "ξεφύγει" η κατασκευή της πυραμίδας και το ύψος δεν τέμνει την βάση στο κέντρο της, αυτό δεν πειράζει. Μάλιστα θα σου συνιστούσα για το ορθό πρίσμα που θα διαλέξεις, να � κατασκευάσεις δύο πυραμίδες. Στην μία από αυτές το ύψος να τέμνει την βάση στο κέντρο και στην άλλη να μην την τέμνει στο κέντρο. Έστω λοιπόν ότι έχεις ένα ορθό πρίσμα με βάση τετράγωνο πλευράς 8cm και ύψους 9cmκαι δύο πυραμίδες,μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα μετην ίδια βάση l!&ι το ίδιο ύψος, και μία δεύτερη με την ίδια βάση και ύψος αλλά να μην είναι κανονική . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/1 5

------

Όγκο ς Πυρα μίδων και Κών ων

-------

Γέμισε τώρα την κανονική πυραμίδα με το υλικό που έχεις και στη συνέχεια άδειασε το υλικό της πυραμίδας στο πρίσμα. Επανέλαβε την εργασία αυτή μέχρι να γεμίσει το πρίσμα. θα διαπιστώσεις ότι αυτό χρειάσθηκε να το επαναλάβεις . . . . . . . . . . . φορές.

1 Επανέλαβε την εργασία αυτή και με την μη κανονική πυραμίδα. Θα διαπιστώσεις πάλι το ίδιο. Τύπος του όγκου της πυραμίδας

Επομένως καταλήγεις στο συμπέρασμα ότι: Ο όγκος του πρίσματος είναι . . . . . . . . . .πλάσιος του όγκου της

πυραμίδας. δηλ ' ' νπρίσματος = . . . . . . νπυραμίδας' ' η νπυραμίδας = . . . . . νπρίσματος Επειδή όμως: νπρίσματος =(Εμβαδόν βάσης)χ(Υψος) έχουμε:

I νπυραμίδας =

.. .. .

(Εμβαδόν βάσης)χ(Υψ ος)

I

.; Υπολογισμός του όγκου του κών ου

Παρόμοια θα εργασθείς στην συνέχεια για να ανακαλύψεις την σχέση που συνδέει τους όγκους του κυλίνδρ ου και του κών ου που έχουν ίδιες βάσεις και το ίδιο ύψος. Για την εργασία αυτή θα χρειασθείς πάλι: Ένα ζευγάρι από χά ρτινα δ οχεία_σαν αυτά που βλέπεις δίπλα δηλ: Ένα κύλινδρο και ένα κώνο που έχουν ίδιες βάσεις και ίδιο ύψος καθώς και το υλικό που χρησιμοποίησες προηγουμένως. Για να διε�ολυνθείς, ως κύλινδρο μπορείς να πάρεις και οποιοδήποτε άδέΊο κυλινδρικό κονσερβοκούτι θα βρεις στο σπίτι - - - - - - - - - - - -σου. , Επίσης όπως και με την πυραμίδα, ο κώνος δεν θα έχει την ------- ----βάση του και ο κύλινδρος θα έχει μόνο την μία βάση . Με τα σώματα αυτά έτοιμα, γέμισε τον κώνο με το υλικό που έχεις και στη συνέχεια άδειασε το υλικό του κώνου στον κύλινδρο. Επανέλαβε την εργασία αύτή μέχρι να γεμίσει ο κύλινδρος. Θα διαπιστώσεις ότι αυτό χρειάσθηκε να το επαναλάβεις . . . . . . . . . . . φορές.

•

Τύπος του όγκου του κών ου

Καταλήγεις στο συμπέρασμα ότι: Ο όγκος του κυλίνδρου είναι . . . . . . . . . . πλάσιος του όγκου του κώνου. δηλ " νκυλίνδρου , = . . . . . ·. νκωνου η , νι<ώνου = . . . . . νκυλίνδρου Είναι · όμως: νκυλίνδρου =πr2h όπου r είναι η ακτίνα της βάσης και h το ύψος του κυλίνδρου. Άρα: ....,.

I νκώνου =

. ... .

πrιι

Μ ια διαπίστω ση

Παρατηρώντας την παραπάνω εργασία, αν Β είναι το εμβαδόν της βάσης μιας πυραμίδας η ενός κώνου και h είναι το ύψος του στερεούτότε ο τύπος του όγκου είναι: ν= . . . . . . ; . . . . . . . Παράδειγμα Α

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/16

------

Όγκος Πυ ραμίδων και Κώνων

-------­

Ν α υπ ολογίσεις τον όγκο της πυραμίδ ας και του κώνου που κατασκεύ ασες και

χρη σιμοπο ίη σες π αραπ άνω στην μελέτη σου.

•

Παράδ ειγμα Β ecm Να β ρ είτε τον όγκο μιας κανονική ς εξαγωνικής Πυ ραμίδ ας με ύψος 8cm. Κάθε πλευ ρ ά της βάσης είναι 6cm.

I I I

1 1 :

I I I

t 6cm

Πρώτα βρίσκουμε το εμβαδόντης βάσης. Για να βρούμε το εμβαδό ενός κανονικού εξαγώνου, χρειαζόμαστε το απόστημα α: Λύση :

συν30

ο α J3 α = - :::::> - = - :::::> α = 3νr:; 3 2

6

6cn1

6

I

8=6· _!_ ·α·6=6· .!. ·(3 J3 )-6=54 J3 2 2 .!. .!.

3 3 ν= Βh = . (54 J3 ) · 8 = 144 · J3 cm ::::2 49.4 cm • 3 3 Παράδ ειγμα Γ Ένας κώνος έχει ακτίνα βάσης 3cm και όγκο 24πcm3 • Β ρ είτε το ύψος του. Λύση : Αρχίστε με τον τύπο του όγκου και λύστε για να βρείτε το h.

1 1 1 2 2 V = - B h = - πr h :::::> 24 π = - ( π · 3 ) h :::::> 2 4 π = 3 πh :::::> h = 8cm 3 3 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

� Να βρείτε τον όγκο των κάτωθι στερεών. Όλες οι μετρήσεις είναι σε cm. l .Τετραγωνική πυραμίδα 2 . Κώνος

t 9

� 4.

3.Τραπεζοειδής πυραμίδα

Τριγωνική πυραμίδα

t

9

j

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/17

Βάση

------ Όγκος Πυ ραμίδων και Κώνων ------

5. Κύλινδρος του

οποίου έχουμε

.---- 1 2ι.:m

...

6.Μισός κώνος αφαιρέσει τον εσωτερικό κώνο .

f 1

•

'

ι

1 4cm

"

' ι

---·----

� Να εκφράσετε τον ολικό όγκο του κώνου με την βοήθεια της άλγεβρας. Ποιο ποσοστό του όγκου του είναι γεμάτο με το υγρό; Όλες οι μετρήσεις είναι σε cm. Υπόδ ει ξη : Μπορούμε να βρούμε το ύψος του υγρού hι με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, h /=(1 0x)2-(6x)2 =>h1 =8x επίσης το ολικό ύψος hz του κώνου από τις αναλογίες,

6χ 8χ - =- => h 2 = 1 2χ 9χ h 2 Άρα ο ολικός όγκοςVzτου κώνου είναι Vz= ! π(9x) 2 · 1 2χ και ο όγκος 3 του νερού Vι = ! π(6χ) 2 · 8χ άρα το ποσοστό είναι νι = ....

3 V2 � Να σχεδιάσετε δύο διαφορετικούς κυκλικούς κώνους που ο καθένας έχει όγκο 2304π cm3 •

� Ένας καλλιτέχνης σχεδίασε ένα κρυστάλλινο γλυπτό. Ένα κομμάτι του έχει το σχέδιο μιας μεγάλης κανονικής πενταγωνικής πυραμίδας, όπως στο σχήμα δεξιά. Το απόστημα της βάσης είναι 27 .5cm.Πόσο ζυγίζει το κομμάτι αν το γυαλί που έχει σκοπό να χρησιμοποιήσει ζυγίζει 2.85 gr ανά 1 cm3 .

1

30cm

l

� Το βουνό Φούτζι, το ενεργό ηφαίστειο στο Χονσού της Ιαπωνίας, έχει ύψος 3776 m και κλίση περίπου 30° . Το βουνό Αίτνα, στην Σικελία, έχει ύψος 3350 m και η διάμετρος της βάσης είναι περίπου 50 km. Αν υποθέσουμε ότι και τα δύο μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθούν ως κώνοι, ποιο ηφαίστειο είναι το μεγαλύτερο;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/18

Θ ΕΜΑΤΑ ΓΙΑ Π ΡΟΧΩ Ρ Η Μ Ε Ν ΟΥΣ Επιμέλεια : Νίκος Τζίφας , Αριστείδης Κωνσταντινίδη ς ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σ ΤΗΝ Β ' ΤΑΞΗ 1.

2.

3.

Σε μία γιορτή χόρεψαν 20 άτομα αγόρια και κορίτσια. Η Ελένη χόρεψε με 7 αγόρια, η Μαρία με 8 αγόρια, η Πόπη με 9 αγόρια, και ούτω καθεξής ως την Βανέσα η οποία χόρεψε με όλα τα αγόρια. Πόσα αγόρια υπήρχαν στην γιορτή; Τέσσερα αδέλφια έχουν 45 ευρώ . Αν τα χρήματα του πρώτου αυξηθούν κατά 2 ευρώ, τα χρήματα του δεύτερου μειωθούν κατά 2 ευρώ, του τρίτου διπλασιαστούν και τα χρήματα του τέταρτου υποδιπλασιαστούν , τότε όλοι θα έχουν το ίδιο ποσό. Πόσα χρήματα διαθέτει ο καθένας; Να βρείτε τι ποσοστό του εμβαδού του κύκλου είναι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου τετραγώνου αν η ακτίνα του κύκλου είναι ρ= 1 cm.

4.

Ένας δορυφόρος περιφέρεται σε κυκλική τροχιά, γύρω από τη Γή ,και σε απόσταση h χιλιομέτρων από το κέντρο της. Να βρείτε πόσα χιλιόμετρα μεγαλύτερο θα ήταν το μήκος της τροχιάς του αν περιφερόταν σε απόσταση μεγαλύτερη κατά 2 km;

5.

Να βρείτε τα χ, ψ, ω στην αναλογία � 3

=

Ψ

4

=

ω 6

α) Όταν χ+ψ+ω=39 β) Όταν χ-ψ+ω=40

6 . Ο Νίκος έχει 1 Ο σακουλάκια και 44 ασημένια νομίσματα. Θέλει να βάλει τα νομίσματα μέσα στα σακουλάκια, με τρόπο ώστε κάθε σακουλάκι να περιέχει διαφορετικό αριθμό νομισμάτων. Μπορεί να το κάνει αυτό; 7.

Για την αρίθμηση των σελίδων ενός βιβλίου, ο τυπογράφος χρησιμοποίησε 2989 ψηφία. Πόσες σελίδες είχε το βιβλίο; /

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α' 95 τ.3/19

;ι<

.....

-

f

=" =7"�

�]1Γ �1 (�'η ' - " '"'=-"'-=--= - '=

Π. Αρ δαβάνη, Δ. Παλαιογιαννίδης

Ποιες από τις καμπύλες που φαίνονται στην εικόνα 1 δεν είναι τόξα κύκλου; δ

α

n

γ

n

Στις παρακάτω φωτογραφίες φαίνονται τρία πέτρινα γεφύρια και οι είσοδοι δύο τούνελ. Ποια από τα τόξα που σχηματίζονται είναι κυκλικά και ποια όχι; Σε ποια από τις καμπύλες της εικόνας 1 φαίνεται να αντιστοιχεί κάθε μία από

Μπορούμε να διαπιστώσουμε ποια από τα παραπάνω τόξα είναι ή όχι κυκλικά χρησιμοποι­ ώντας τα γεωμετρικά μας όργανα ή να χρησιμοποιήσουμε τα αρχεία Γεφύρια.ggb και Σκιά.ggb. Φτιάχνουμε έναν πίνακα τιμών με αρκετές τιμές για την μεταβλητή χ και τις αντίστοιχες τιμές y ώστε y=χΛ2. Κατασκεάζουμε τα αντίστοιχα � 1 σημεία(χ, y) στο επίπεδο και θα έχουμε ένα σχήμα όπως το 9) διπλανό. Το ίδιο σχήμα πιο εύκολα και γρήγορα μπορούμε 81 να πετύχουμε με ένα αρχείο του λογισμικού GeoGebra.

1

7:

J :J1!

6

.

3

. .

.

.

2;

.

' :

Εμφανίζουμε ένα δρομέα k, που να είναι αριθμός και να παίρνει τιμές από το -5 μέχρι το 5 με βήμα αύξησης 0. 1 . Κατασκευάζουμε ένα δυναμικό σημείο Μ με «Εισαγωγή» M=(k, kΛ2). Προσθέτουμε ίχνος στο Μ και το κινούμε με τη βοήθεια του δρομέα k. Αυτό που θα δούμε στο παράθυρο

·

�/Μ

.

«Γραφικά» θα μοιάζει με αυτό που φαίνεται στη παραπάνω εικόνα. Πρόκειται για ένα σύνολο σημείων του καρτεσιανού επιπέδου που αποτελούν τις διάφορες θέσεις του σημείου Μ (μία θέση για κάθε τιμή του k). Μπορούμε, αν θέλουμε, να πυκνώσουμε τα σημεία που εμφανίζονται αυξάνοντας το πλήθος τους. Αυτό επιτυγχάνεται με τη μείωση του βήματος αύξησης των τιμών του δρομέα k (μπο­ ρούμε, για παράδειγμα, να ορίσουμε βήμα αύξησης το 0,05). Τα σημεία που εμφανίστηκαν ανή­ κουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ·" = .� � , γιατί έχουν συντεταγμένες (k, k;:.). Δηλαδή, αν χ = k, τότε .' ' = κ = = χ �, οπότε οι συντεταγμένες τους επαλη­ θεύουν τη σχέση ;· χ = . Συμφωνείς; Επομένως: Οι συντεταγμένες όλων των σημείων που ανήκουν στη γραφική πα ράσταση της συνά ρτησης .Υ = ;r επαληθεύουν τη

4

-3

-2

- ·1

·

..

;ο

1

2

3

4

s

6

1

ι

=

σχέση αυτή.

Αν προσπαθήσουμε να ενώσουμε με μια λεία και ομαλή γραμμή τα σημεία αυτά, θα προκύψει μια καμπύλη σαν αυτή που μπορούμε να δούμε στη διπλανή εικόνα. Το ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να έχουμε με τη βοήθεια του λογισμικού . Σε ένα αρχείο του λογισμικού GeoGebra, στο πλαίσιο «Εισαγωγή», γράφουμε τη σχέση .'" = ;\· Λ :! και πατάμε το κουμπί Enter στο πληκτρολόγιο. Η καμπύλη που εμφανίζεται είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης .-.: = '\: .:: . Το σημείο .Α(2,4) ανήκει στην καμπύλη; Η αρχή των αξόνων ανήκει στην καμπύλη; ·3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/20

-2

-1

2

3

-------

Η τετραγωνική συνάρτη ση

----..,.....;.----

Προσπάθησε να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου. Το σημείο Β που φαίνεται στη γραφική παράσταση έχει επίσης τεταγμένη ίση με 4. Ποια νομίζεις ότι είναι η τετμημένη του; Μπορείς να αποδείξεις ότι η τετμημένη του σημείου Β είναι -2; Ποια σχέση έχουν τα σημεία Α και Β; Είναι λάθος να ισχυριστούμε ότι είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y ' y; Προσπάθησε να δικαιολογήσεις με γεωμετρικό τρόπο την εικασία αυτή. Ας πάρουμε, τώρα, ένα τυχαίο σημείο της καμπύλης και ας κατασκευάσουμε το συμμετρικό του ως προς τον άξονα y ' y. Τι παρατηρείς για τη θέση του συμμετρικού σημείου; Ισχύ­ ει το ίδιο και για τα υπόλοιπα σημεία της καμπύλης; Αυτή η διαδικασία μπορεί να γίνει πολύ πιο εύκολα με τη βοήθεια του λογισμικού. Χρησιμοποιούμε το κουμπί «Ση­ 6

μείο σε αντικείμενο» και παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο πάνω στην καμπύλη. Με τη βοήθεια του λογισμικού βρίσκουμε το συμμετρικό του σημείου αυτού ως προς τον άξονα y y. Μπορούμε να ε­

πιβεβαιώσουμε το προηγούμενο συμπέρασμα; Σύρε με το ποντίκι σου το σημείο σε διάφορες θέσεις και βρες τα συμμετρικά του. Επιβεβαιώνεται η εικασία για τη συμμετρία που ανέπτυξες παραπάνω για κάθε σημείο της καμπύλης, έτσι δεν είναι; Επομένως: Η γραφική πα ρ άσταση της συνάρτησης ..,_. � είναι μια καμπύλη που λέ=

γεται πα ρ αβολή , διέ ρχεται από την α ρχή των αξόνων και έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ' y y. Η α ρχή των αξόνων, που είναι το χαμηλότε ρ ο σημείο της παραβολής και το μοναδικό •. , σημείο της που ανήκει στον άξονα συμμετρίας, λέγεται κο ρυφή της παραβολής.

•

Όσα ακολουθούν είναι πολύ πιο εύκολο να γίνουν με τη βοήθεια του λογισμικού παρά στο χαρτί, τετραγωνισμένο ή όχι. Θα επιχειρή­ σουμε, λοιπόν, να συνεχίσουμε τη μελέτη μας μόνο σε ψηφιακό πε­ ριβάλλον. Για να συνεχίσουμε, ανοίγουμε ένα καινούργιο αρχείο Ge­ oGebra. Εμφανίζουμε έναν δρομέα α που να είναι αριθμός και να

παίρνει τιμές από -5 μέχρι 5 με βήμα αύξησης 0. 1. Εμφανίζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης γ = a x = . Το παράθυρο «Γραφι-

κά» θα μοιάζει με την εικόνα που βλέπεις δίπλα.

:\ ;: "

μεταβληη1 a τ η Υ τψή 2 . Η γραψ ί Κi} παρ ιJ.σταση !ω στο π α ρ 6 0 ι φ ο « Γ ρ αφ t κά » : Σύρε το σημείο του δρομέα

-..

; , ,, ,

.,... , --=. _,---=_, ---"'-ΙL-,---, ---,-,- ,, --,,---. ---,--,--- , -1

. �

a πάνω σε αυτόν μεταβάλλοντας την τιμή του a. Ποια χαρακτηριστικά της παραβολής παραμένουν αναλλοίωτα και ποια μεταβάλλο­ νται; Παρακάτω μπορείς να δεις μερικά στιγμιότυπα από τη διαδικασία μεταβολής του a με τη ' του a. ο ' θεια του δ .., •

a=l

a=2

4

-)

-2

•

a=0.5

5

7

•

••3 .. .

a=3

a=- 1

-3

-2

-1

ο

1

2

3

4

5

6

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/21

a=-2

-------

Η τετρ αγωνική συν ά ρτη ση '

a=-

ο

•

1

•

• • ·) �--··•·- · · - · -·- ---·-----·

a=-3

0. 1

..

-------

Επομένως:

γραφική παράσταση της συνάρτησης y • �, με α � Ο, είναι μια παραβολή με κο­ ' ρυφή την αρχή των αξόνων O(OJ Ο) και άξονα συμμετρίας τον άξονα y y.

•

Η

•

Όταν

α

> Ο,

η πα ρ αβολή στ ρ έφει τα κοίλα π ρος τα πάνω (όπως στα 4 π ρ ώτα στιγμιό­ τυπα), β ρ ίσκεται από τον άξονα χ 'χ και πάνω (στο 1 ° και στο 2 ° τετα ρτη μό ριο) και έχει ελάχιστη τιμή Ο. Όταν α < Ο, η πα ρ αβολή στ ρ έφει τα κοίλα πρ ος τα κά­

•

τω (όπως στα 4 τελευταία στιγμιότυπα), β ρ ίσκεται από τον άξονα χ 'χ και κάτω (στο 3 ° και στο 4 ° τετα ρτημό­ ρ ιο) και έχει μέγιστη τιμή Ο.

a-o.1

Προσπάθησε, τώρα, με τη βοήθεια του δρομέα a να βρεις τη σχέση που έχουν οι γραφικές παραστάσεις όταν οι συντελε- -4 -�.-·;2-·-;::.�:/ στές a είναι αντίθετοι αριθμοί. Μπορείς να εμφανίσεις τις // / // ·1 , , , � / / ! ... και γραφικες παραστασεις των συναρτησεων γ αχ / ;1 γ - αχ z στο ίδιο παράθυρο του λογισμικού και να παρατη/ / ί -3 / ! f -·4 ρήσεις τη συμπεριφορά τους καθώς το a μεταβάλλεται. Στη δι; πλανή εικόνα εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: γ 2χ ;;: , γ π :: , Υ • Ο.Sκ � , �� • O.lX � , γ -O.tx � , γ • -Ο.Sκ � , γ -x z και Ύ - 2-χ 2 . Ποια νομίζεις ότι είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων όταν οι συντελεστές α είναι αντίθετοι; Στην εικόνα αριστερά βλέπεις μόνο τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων γ O.Sx 2 και γ - o-.S.x 2 • Μπορείς με τη βοήθεια του σχήματος να εξηγήσεις γιατί τα σημεία Α και Α' είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα χ ' χ; Ισχύει το ίδιο για όλα τα σημεία των δύο γραφικών /;1''_1 ··ι.._ παραστάσεων, έτσι δεν είναι; Στο αρχείο GeoGebra που χρησιμοποιή// '• σαμε στην προηγούμενη δραστηριότητα, δίνουμε με τη βοη' θεια του ί δρομέα στο a τιμή a=0.5. Επαλήθευσε την εικασία με τη βοήθεια ενός _·: \_1Α··.· σημείου που θα πάρεις πάνω στην καμπύλη και θα το μετακινείς σέρνοντάς το με το ποντίκι σου. Τι παρατηρείς για το συμμετρικό του; Επανάλαβε τη διαδικασία για άλλες τιμές του συντελεστή a. Επομένως: •

2

•

•

'

'

•

•

•

•

•

_,

:2 \\ !

"2

I

'

°

•

•

•

1

3

•

...ο.ι

'·

Οι παραβολές y

•

ar και y • -tυr είναι συμμετ ρ ικές ως π ρ ος τον άξονα

χ' χ.

Χρησιμοποιούμε τώρα, το δρομέα για να δώσουμε στο a μόνο θετικές τιμές. Τι αλλάζει στις παραβολές που εμφανίζονται; Μπορούμε να πούμε ότι, καθώς το a μεγαλώνει, η πα_,.,. ··· /; �;\·>\ ραβολή «κλείνει» (φαίνεται ::�:i•., να // / ! «στενεύει» πλησιάζο:: 1 .

I \ ·\ ντας προς τον y ' y); / / 1 \ \ Αν δώσουμε στο a μόνο I I I \ \ αρνητικές τιμές τι αλλάζει; r ..\ \ /ι ι' -• \ Ι Τι μπορείς να παρατηρήσεις για τις παραβολές; Μπορούμε να πούμε ότι, καθώς το a μικραίνει, η παραβολή «κλείνει»; "

=fi

�§

..

;4- , ., ._, ,__

=3

,.

\,Ί�\-.,.1 ..,

·

/ Ι

/'

I

1

ι

-•

-�

•

1

·

· . .

•,

-ο

ι

.0

-�

....

1

οο.ο:ι

ο

1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/22

'

------

Η τετραγωνική συνά ρτη ση

-------­

Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι παραβολές γ 2χ :;: , 0.1x z και η ευθεία χ=2. Εμφανί­ o.sx 2 , γ π2, γ γ ζονται επίσης τα κοινά σημεία Κ, Λ, Μ και Ν της κατακό­ ρυφης ευθείας χ=2 με τις παραβολές. Μπορείς με τη βοή­ θεια του σχήματος να εξηγήσεις τι μπορεί να σημαίνει η έκφραση: «Καθώς το a μεγαλώνει, η παραβολή "κλείνει"»; Επομένως: Ο συντελεστής α καθο ρ ίζει, εκτός από το •

=

=

•

σε ποια τετα ρτημό ρια β ρίσκεται η πα ρ αβολή , και το «ά­ νοιγμά» της (δηλαδή το πόσο μικρή ή μεγάλη είναι η καμπυλότητά της). Όσο πιο μεγάλη είναι η απόλυτη τι­ μή του α, τόσο πιο «κλειστή» είναι η παραβολή. Α σ κ ή σ ε ις 1 . Στη φωτογραφία δεξιά φαίνεται μια από τις πιο διάσημες στροφές σε πίστα ·

4

Curνa• ,-,

-� _

Paratψιίca

αγώνων ταχύτητας σε όλο τον κόσμο, η Curva Parabolica της πίστας της Ιτα­ λικής πόλης Monza. Η στροφή αυτή πήρε το όνομά της από τη μορφή της που έχει το σχήμα μιας παραβολής. Στην εικόνα που ακολουθεί μπορείτε να δείτε το χάρτη της πίστας τοποθετημένο πάνω σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Η αρχή των αξό­ νων είναι η κορυφή της στροφής. Με κόκκινο χρώμα είναι σημειωμένη η παραβολή στην οποία κατά προσέγγιση ταιριάζει η στροφή. Αν το σημείο Α που είναι σημειωμένο πάνω στην παραβολή έχει συντεταγμένες Α(2, 8 ) , να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας γραφική παράσταση είναι η παραβολή αυτή.

2 . Στο σχήμα μπορείς να δεις τη διατομή ενός αυλακιού για την απορροή μικρών ποσοτήτων νερού της βροχής που έχει κατασκευαστεί στον κή­ πο ενός σπιτιού. Το καμπυλόγραμμο τμήμα ΑΟΒ είναι μέρος μιας πα­ ραβολής για την οποία δεν γνωρίζουμε ποιας συνάρτησης γραφική πα­ ράσταση είναι. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α και Β έχουν και τα δύο τε­ ταγμένη 2,5 και ότι το σημείο Μ έχει συντεταγμένες Μ(-3, 0,9). Α. Να βρεθεί η συνάρτηση της οποίας γραφική παράσταση είναι η κα­ μπύλη ΑΟΒ. Β. Αν η ζητούμενη συνάρτηση είναι η y • 0. 1χ :: , να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων Α και Β. Γ. Να βρεθούν το πλάτος ΓΔ του αυλακιού και το μέγιστο βάθος του h, αν τα τοιχώματα ΑΓ και ΒΔ έχουν ύψος 3,5 cm. (Ολα τα μήκη είναι με­ τρημένα σε cm). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα τμήμα της γραφικής παράστασης της � , συναρτησης γ • αχ

""

_,

--2

-·

ο

'

2

'

•

�

-2

• .

_,

Α. Να συμπληρώσετε, σχεδιάζοντας το μέρος της που λείπει, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Β. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. Γ. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που είναι η συμμετρική της γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα χ 'χ στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων και να βρείτε τον τύπο της. Για τα πειρ ά ματα σου θ α β ρ εις τη διαδραστική εφ αρμογή 1, Γεφύρια.ggb στη διει)Ουνση http://geogebratube.org/studentlm 700253

• •

και

την εφ αρμογή 2, Σκιά.ggb:

στη διεύθυνση

http://geogebratube.org/studentlm 700303 Καλή διασκέδαση. Να θυμάσαιπάντα ότι πεpιμένουμε τις απαντήσεις σου και τις παpατηpήσεις σου στο info@)ιms.gr, με θέμα: Ύια τον Ευκλείδη Α '

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/23

ρ ιyωνομετρία

τ

=======

Με έναν χάρακα, φτιάξε μια τυχαία οξεία γωνία xAy = ω , όπως φαίνεται παρακάτω σχήμα. Πάρε τυχαία σημεία Β, Γ, Δ, Ε, ... πάνω στην ημιευθεία Ay .

ΒΒ ' ΑΒ

Αθανασία Κυ ρ ιακοπούλου

, , , , με ο οποιος εχει υπολογιστει στο σχημα

γωνία ω ; Μετά τους υπολογισμούς, συμπεραίνουμε ΒΒ ' ΓΓ ' ΔΔ ' ΕΕ ' ότι οι λόγοι ΑΒ , - , -, ΑΕ θα βγουν ΑΔ --

ΑΓ

ίσοι (ή περίπου ίσοι λόγω μικρών σφαλμάτων κατά τη μέτρηση με το χάρακα). Αυτόν τον αριθμό που θα βρούμε τον ονομάζουμε ημίτονο ω και συμβολίζεται με ΒΒ ' ΓΓ ' ΔΔ' ΕΕ ' = = ΑΕ . ημω = ΑΒ = ΑΔ ΑΓ

χ

Στη συνέχεια, από τα σημεία Β, Γ, Δ, Ε, ... φέρε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα (ΒΒ ' , ΓΓ ' , ΔΔ ' , ΕΕ ' , ... ) προς την ημιευθεία Αχ.

Δρα στη ρ ιότη τα

Στο ίδιο σχήμα, υπολόγισε τα εξής μήκη : AB ' = .......... cm AΓ ' = .......... cm AΔ ' = .......... cm AE ' = .......... cm Υπολόγισε τους εξής λόγους: ΑΒ ' ΑΓ ' = = ΑΒ

ΑΔ ' ΑΔ

ΑΓ ΑΕ '

=

ΑΕ

=

Τι παρατηρείτε για τους παραπάνω λόγους; Γιατί πιστεύετε ότι συμβαίνει αυτό; ΑΓ '

Αν υπολογίσουμε πχ το λόγο -- με ΑΓ

Δραστη ρι ότητα

διαφορετική γωνία φ (μεγαλύτερη ή μικρότερη

Υπολόγισε τα εξής μήκη: BB ' = cm AB= . . cm AΓ= .......... cm ΓΓ ' = .......... cm ΔΔ ' = .......... cm AΔ= .......... cm AE= .......... cm EE ' = .......... cm Υπολόγισε τους εξής λόγους: ΓΓ ' = ΒΒ ' = ΑΒ ........•.

. .... ...

ΔΔ ' = ΑΔ

--

της ω), θα βγει ίδιος με το λόγο

ΑΒ

ΑΒ

,

ο οποίος

έχει υπολογιστεί στο σχήμα με γωνία ω; Μετά τους υπολογισμούς, συμπεραίνουμε

ΑΓ

ΕΕ ' = -ΑΕ

Τι παρατηρείτε για τους παραπάνω λόγους; Γιατί πιστεύετε ότι συμβαίνει αυτό; ΓΓ ' Αν υπολογίσουμε πχ το λόγο -- με ΑΓ

διαφορετική γωνία φ, θα βγει ίδιος με το λόγο

ΑΒ ' ΑΓ ' ΑΔ ' ΑΕ ' , , , ΑΕ ΑΒ ΑΓ

θα βγουν � .......... cm ίσοι (ή περίπου ίσοι λόγω μικρών σφαλμάτων κατά τη μέτρηση με το Ψι_ριχκα). Αυτόν τον αριθμό που ιfάΊ�Ί�ο'ύ'rιΨ τον ονομάζουμε συνημίτονο ω και συμβολίζεται ΑΕ ' ΑΒ ' ΑΔ ' ΑΓ ' = ΑΕ . = με συvω = ΑΒ = ότι οι λόγοι

--

ΑΓ

ΑΔ

Δ ραστηριότητα

Στο ίδιο σχήμα, υπολόγισε τους εξής λόγους:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/24

Τ ριγωνομετρ ία

ΒΒ '

ΑΒ ' ΔΔ '

ΓΓ '

=

ΑΓ '

=

ΕΕ ' = ΑΕ ' ΑΔ ' Τι παρατηρείτε για τους παραπάνω λόγους; Μετά τους υπολογισμούς, συμπεραίνουμε ΒΒ ' ΓΓ ' ΔΔ ' ΕΕ ' ότι οι λόγοι , -- , -- , -- ' θα βγουν ΑΒ ' ΑΓ ' ΑΔ ' ΑΕ ' ίσοι (ή περίπου ίσοι λόγω μικρών σφαλμάτων κατά τη μέτρηση με το χάρακα). Αυτόν τον αριθμό που θα βρούμε τον ονομάζουμε εφαπτομένη ω και συμβολίζεται με ΔΔ ' ΕΕ ' = ΒΒ ' = ΓΓ ' = ΑΔ = εφω ΑΒ ' ΑΓ ' ΑΕ ' ' Η παρακάτω ράβδος ΑΑ ' έχει μήκος 1m.

--

=

--

Α ------ Α·

Κρατάμε σταθερό το Α άκρο της καιτη περιστρέφουμε γύρω απόμοιρών το Α' ράβδο κατάος γωνία 1tρ(αντίστροφατα απόπάνωτη φορά του ρολογιού).

Β '

ΑΑ ' .

- • Α'

Ερώτημα : Πώς μπο ρ ούμε να υπολογίσουμε το μήκος της σκιάς ΑΓ, όταν i. ii. iii.

α=60° α=45° α=30 °

�

r--

--

: -�,.·,·-

:--:

β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zi. '

······----+ ··········+

-

·--··· - · ·-.�

Α "--"----• ----···----•Α: ..................... . . . . . .... . . Γ Ε

Τότε, το μήκος της σκιάς είναι ΕΖ=ΒΓ.

Ας θεωρήσουμε ότι ο Ήλιος είναι ψηλά και ρίχνει κάθετα τις ακτίνες του στο οριζόντιο έδαφος Τότε, δημιουργείται μια σκιά μήκους ΑΓ λόγω της ράβδου ΑΒ.

A "--.L.--- - - - Γ

Τώρα, ας θεωρήσουμε ότι δεξιά της ράβδου βρίσκεται ένας τοίχος και αριστερά της ένα φως, που φωτίζει οριζόντια και δημιουργεί σκιά ΕΖ στον τοίχο.

..........�,

Τώρα η ράβδος έχει άκρα τα σημεία Α και Β. Είναι προφανές ότι AB=AA ' =1m, αφού το μήκος της ράβδου δεν έχει αλλάξει.

8

Για παράδειγμα, αν η γωνία α είναι 42°, τότε ΑΓ=συν42°.

'

α

' ) /

Παρατηρήστε ότι όταν το μήκος της υποτείνουσας είναι 1 , τότε το μήκος της σκιάς ΑΓ, ισούται με το συνημίτονο της γωνίας α και το συμβολίζουμε με συνα.

Ε ρ ώτημα: Πώς μπο ρ ούμε να υπολογίσουμε το μήκος της σκιάς ΒΓ, όταν Β

i. ii. iii.

α=60° α=45 ° α=30° Α

-

Γ

-

- � -

•-Α'

Παρατηρήστε ότι όταν το μήκος της υποτείνουσας, τότε το μήκος της σκιάς ΒΓ, ισούται με το ημίτονο της γωνίας α και το συμβολίζουμε με ημα. Για παράδειγμα, αν η γωνία α είναι 42°, τότε ΒΓ=ημ42°. Επομένως, αν έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους 1 και μια οξεία γωνία α μοιρών, τότε οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος συνα και η μα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/25

Δηλαδή , όταν η υποτείνουσα έχει μήκος 1, το ημα ισούται με την απέναντι κάθετη της γωνίας α και το συνα την με ισούται κάθετη προσκείμενη της γωνίας α.

Β

Τ ριγωνομετρ ία

η μα

ouva

�

Τοποθετούμε το παραπάνω σχήμα σε ένα ημικύκλιο ακτίνας 1 έτσι, ώστε το σημείο Α να είναι το κέντρο του: ν -:·

απέναντι

.

κάθετη

'ΠpΟΟΚf ί μενη κάθετη

Τότε, το ημίτονο της γωνίας α ισούται με το λόγο της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα, δηλαδή ημ α=

η μα

Α L-"'----..ι.ι

Τι συμβαίνει, όμως, όταν το μήκος της υποτείνουσας δεν είναι απαραιτήτως 1 ;

α

Β

απέναντι κάθετη , υποτεινουσα

και το συνημίτονο της γωνίας α ισούται με το λόγο της προσκείμενης πλευράς προς την υποτείνουσα, δηλαδή προσκείμενη κάθετη συν α= �----��----� υποτείνουσα Είναι, επομένως, ένας καθαρός αριθμός, χωρίς μονάδες μέτρησης.

χ'

� - ·· �

. β. . .'� . . . . . . . . . . . . . ., σuν ιι >Ο Γ

Α

',

" .

Το ΑΒ είναι η ράβδος μήκους 1 , το ΑΓ είναι το μήκος της σκιάς όταν ο Ήλιος ρίχνει τις ακτίνες κάθετα στο έδαφος και το ΑΔ είναι το μήκος της σκιάς όταν το φως βρίσκεται δεξιά της ράβδου και ρίχνει το φως του παράλληλα στο έδαφος. Βρισκόμαστε στο 1 ° τεταρτημόριο, όπου η γωνία α είναι οξεία (0°<α<90° ) και συνα, ημα >Ο θετικοί αριθμοί. Αν τοποθετήσουμε το σχήμα ώστε να είναι συμμετρικό του παραπάνω ως προς τον αξονα Ay, τότε θα έχουμε το σχήμα:

•

Β χ'

Η γωνία

Επανερχόμαστε στο ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους 1 .

-� - -

�.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•

Επιπλέον, ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας α ως το λόγο της απέναντι πλευράς προς την προσκείμενη πλευρά, δηλαδή απέναντι κάθετη εφ α προσκείμενη κάθετη

..

. ·· ·�LZJ '

:

'

'

� - -

.. ι .

�

'111 ( ιι·ιJΟ σί..Ο

1 80°- α είναι αμβλεία (90°<1 80°- α <1 80°)

Όταν α είναι οξεία, ισχύει:

ημ(180°-α)=ημα, συν(180°-α)=-συνα<Ο και εφ(180°-α)=-εφ α<Ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ. 3/26

Τ ριγωνομετρ ία

Στο ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους 1 , εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και έχουμε: ημ2 α+συν2 α=1 2 , δηλαδή ημ2α+συν2α= 1 e ημa

cm2 • Να βρεθεί η περίμετρος του 30 τριγώνου.

6 . Δίνεται πλάγιο παραλληλόγραμμο με μια γωνία 60° και μια πλευρά 20cm. Το εμβαδόν - 2 του είναι 20 cm • Να υπολογιστεί η άλλη του πλευρά.

7. Στο παρακάτω σχήμα, η γωνία α είναι 30°. Το μήκος ΜΒ είναι 1 0 cm. Να υπολογιστούν τα μήκη ΜΓ και ΜΔ.

σuνα

Έτσι, αv ξέρουμε το ημίτονο (αντ. συνημίτονο) μιας γωνίας μπορούμε να βρούμε το συνημίτονό ( αντ. ημίτονο) της. Εδώ, πρέπει να λάβουμε υπόψη αν η γωνία είναι οξεία (συνημίτονο θετικό) ή αμβλεία (συνημίτονο αρνητικό). Π ρ ο β λή ματα π ρ ος λύ ση

•

8.

Στο παρακάτω σχήμα υπάρχει ένα ημικύκλιο με ΑΓ=ρ, όπου ρ η ακτίνα. Να 1. Στην παρακάτω εικόνα, το μήκος του σκοινιού που κρατούν τα παιδιά είναι 8m και υπολογιστεί η γωνία ω. η γωνία που σχηματίζει με το έδαφος είναι 20°. Να υπολογιστεί το ύψος το βράχου.

8m

..\. � ...

, , . , . , , , , , , , , , , , , , . . . . . .......... ................. . .. . . .

Β

........ ..... ........... ... ... .

2.

Το συνημίτονο μιας αμβλείας γωνίας είναι 4/5. Να υπολογίσετε το ημίτονο και την εφαπτομένη της.

Ένα αεροπλάνο κινείται με σταθερή ταχύτητα 600χλμ την ώρα σε οριζόντια γραμμή παράλληλη προς το έδαφος. Στις 1 1 .00 βρίσκεται στο σημείο Β και στις 1 1 .0 1 της ίδιας μέρας στο σημείο Γ.

9.

3.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90°) με BΓ=60cm και ημΒ=1/5, να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδόν του.

Β

h

4.

Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο. Η βάση του είναι 30cm και η μια γωνία της βάσης είναι 45°. Να υπολογιστούν η περίμετρος και το εμβαδόν του τριγώνου.

5.

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α=60°, AΓ=20cm και το εμβαδόν του τριγώνου είναι

χ

ι:

Η

Γ

' + � . � � .. � • •

\

j .. i1

Α

γωνία χΑΒ=30° και η γωνία χΑΓ=60°. Να βρεθεί σε ποιο ύψος h πετάει το αεροπλάνο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/27

θέ μ ατα r tru μvασiou y ια προχωρημ ένους. Στέφ ανο ς Κείσογλου 1 ) Να υπολογίσετε τις

διαστάσεις του μεγάλου (εξωτερικού) ορθογωνίου αν :

Οι διαστάσεις του μικρού ορθογωνίου (εσωτερικού) είναι ι 5cm 40cm.

I

α)

χ

β) Το εμβαδόν της περιοχής μεταξύ των δύο ορθογωνίων (σκούρα περιοχή) είναι το ι 9% του εμβαδού του εσωτερικού ορθογωνίου. γ)

4σ�

-

15

I

Οι πλευρές του μεγάλου ορθογωνίου ισαπέχουν από τις αντίστοιχες πλευρές του μικρού.

2) Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (α, β) των ακεραίων αριθμών α, β που ικανοποιούν τη σχέση α4 · β4= 1 0 α2 · β2- 9.

3) Δύο

ρόδες είναι συνδεδεμένες με έναν ιμάντα οπότε περιστρέφονται συγχρόνως. Η μικρότερη ρόδα πραγματοποιεί 400 στροφές περισσότερες στο λεπτό από ότι η μεγάλη ρόδα. Η μεγάλη ρόδα πραγματοποιεί 5 στροφές σε χρονικό διάστημα που είναι κατά ι sec μεγαλύτερο από ότι χρειάζεται η μικρή ρόδα για να πραγματοποιήσει και αυτή 5 στροφές. Πόσες στροφές στο λεπτό πραγματοποιεί κάθε ρόδα; 4)

Ένας αριθμός από εργάτες ανέλαβε ένα έργο το οποίο θα μπορούσε να ολοκληρωθεί σε 6 ώρες αν εργάζονταν εξ αρχής όλοι μαζί. Όμως οι εργάτες ανελάμβαναν εργασία ο ένας μετά τον άλλο σε ίσα χρονικά διαστήματα έστω t. Όταν ο τελευταίος εργάτης ανέλαβε εργασία το έργο τελείωσε μετά από χρονικό διάστημα t. Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να τελειώσει το έργο από τη στιγμή που ο πρώτος εργάτης ανέλαβε εργασία, ο οποίος μάλιστα εργάστηκε 5πλάσιο χρονικό διάστημα από αυτό που εργάστηκε ο τελευταίος εργάτης; 5)

Σε ένα, σύστημα αξόνων κατασκευάσαμε τη γραφική παράσταση της ευθείας y=2x+ ι και στη συνέχεια σβήσαμε τους άξονες. Να κατασκευάσετε τους άξονες στους οποίους έγινε η γραφική παράσταση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/28

Λύσε ι ς θεμάτων y ι α προχωρημένους τεύχους 94 1.

2.

2 2 2 α 4 + 4 = α 4 + 4α 2 + 4 - 4α 2 = ( α 2 + 2 ) - 4α 2 = ( α 2 + 2 ) - ( 2α ) = ( α 2 + 2 - 2α ) ( α 2 + 2 + 2α ) οπότε ο α4+4 μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο δύο παραγόντων που είναι διαφορετικοί από τον ίδιο ή τη μονάδα, δηλαδή ο αριθμός είναι σύνθετος

Αν χ είναι τα άτομα το πλήθος των χειραψιών θα είναι χ(χ-1) αλλά στις χειραψίες αυτές χ ( χ - 1) οπότε έχουμε διπλές χειραψίες οπότε το πλήθος των χειραψιών είναι 2 χ ( χ - 1) 1 + .J1 + 528 �-� = 66 ή χ2-χ- 1 32=0 οπότε χ = ψχ = 12 2 2 γιατί η χ=-1 1 απορρίπτεται οπότε στην συγκέντρωση υπάρχουν 1 2 άτομα.

3.

Έστω χ,χ+ l ,x+2 οι τρείς διαδοχικοί αριθμοί τότε έχουμε την εξίσωση ( χ + 1 γ = χ ( χ + 2 ) + 1 ή χ 2 + 2χ + 1 = χ 2 + 2χ + 1 που είναι ταυτότητα οπότε οποιαδήποτε τριάδα ακεραίων έχει αυτή την ιδιότητα

4.

Για να έχει μία και μοναδική λύση πρέπει Δ=Ο ( -2αγ ) 2 - 4 ( β 2 + γ2 ) ( α 2 - β 2 ) = Ο β 4 - α2 β 2 + β 2 γ 2 = Οψβ 2 ( β 2 - α2 + γ 2 ) = Ο και επειδή β * Ο θα είναι α 2 = β 2 + γ 2 που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

5.

α)

Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΒΓ είναι ορθογώνια και έχουν μια κοινή γωνία άρα είναι όμοια. , ΑΓ ΒΓ ΑΒ , 20 5 s , , , ' = ΑΔ η = π αιρνουμε τους λογους ομοιοτητας και εχουμε = Υ οποτε Υ = 4 . ΑΕ ΔΕ S ερώτημα s=4y και για y=2 είναι s=4.2=8 m Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε ΑΔ2 = ΑΕ 2 - ΕΔ2 ή ΑΔ2 = 8 2 - 2 2 οπότε ΑΔ= m

β) Από το προηγούμενο

6.

'Εστω

η

α ' βρύση ότι αδειάζει τη δεξαμενή σε χ ώρες, άρα σε 1 ώρα αδειάζει το .!.. της χ

δεξαμενής και σε 1 5 ώρες το � της δεξαμενής. χ 1 Η β ' βρύση αδειάζει τη δεξαμενή σε χ -16 ώρες, άρα σε 1 ώρα αδειάζει το -- και σε χ-16 1 5 ώρες το

� της δεξαμενής.

χ -16 Όταν δουλεύουν ταυτόχρονα για 1 5 ώρες αδειάζει όλη η δεξαμενή δηλαδή:

�+� = 1 , χ χ-16 που δίνει λύσεις : χ=40 η χ=6(απορρίπτεται)

χ > 16

Άρα η α ' βρύση αδειάζει την δεξαμενή σε 40 ώρες και η β ' βρύση σε 40-1 6=24 ώρες. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/29

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

75°ς ΠΑΝ ΕΛΛΗ Ν ΙΟΣ ΜΑΘ ΗΤΙ ΚΟΣ ΔΙΑΓΩ Ν ΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗ ΜΑΤΙ ΚΑ "Ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"

17

Ιανουαρίου

201 5

Ενδεικτικές λύσεις

Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Π ρ όβ λη μα 1. Υπολογίστε την τιμή τη ς παράσταση ς:

Α=(�-�}�+:+(�-:Γ ( ��Γ :

Λύ ση . 'Εχουμε :

2-

Α = (j-�} � + � + (� - �) -2 = ( 2 - :� ) -2 = ( 291 _ � } f + � + ( ι3ο )-2 { ι9ο )-2 = ( _ 298 }% + � + ( 130 )-2 { ι� )-2 = -� + �+( 13ο )2 = ( ι; )2 = 1 �0 · ��� = �1 = 9 . ο

Π ρ όβ λη μα 2. Μία οικογένεια αγόρασε ένα ψυγείο με έκπτωση ι ι !. ο/ο πάνω στην τιμή πώλησης 9 2

και ένα πλυντήριο με έκπτωση

14-% 7

πάνω στην τιμή πώλησης. Η συνολική τιμή πώλησης

ψυγείου και πλυντηρίου ήταν 3150 ευρώ. Η συνολική έκπτωση που έγινε ήταν 390 ευρώ. Να βρείτε την τιμή πώλησης του ψυγείου και του πλυντηρίου.

1 1 .!_ % και 1 4 � % είναι μεικrοί.

9 7 Λύ ση : Έστω χ ευρώ η τιμή πώλησης του ψυγείου, οπότε η τιμή πώλησης του πλυντηρίου θα 1 ΟΙ 1 00 ΟΙ ' ' Η ' ' ' ' ηταν ' 3 1 50 - χ ευρω. εκπτωση για το ψυγειο 1 1 - 10 = - 10 , οποτε η εκπτωση ειναι για το 9 9 1 00/ χ 2 1 00 199 = %, ψυγείο ήταν χ · -ευρώ. Επίσης, η έκπτωση για το πλυντήριο ήταν 14 % = 1 00 9 7 7

Σημείωση : Οι αριθμοί

οπότε η αντίστοιχη έκπτωση για το πλυντήριο ήταν

1 00/ /_ 77 = 3 1 50 χ = 450 - � . Άρα (3 1 50 - χ ) · 1 00 7

7

χ+ χ χ χ 2χ ' 450 - - = 390 <=> - - - = -60 <=> - = 60 <=> χ = 63 · 30 <=> χ = 1 890. εχουμε 9 7 9 7 63 Επομένως, η τιμή πώλησης του ψυγείου ήταν 1 890 ευρώ και η τιμή πώλησης του πλυντηρίου ήταν 3 1 50 - 1 890 = 1260 ευρώ.

Π ρ όβ λη μα 3. Τέσσερα χωριά Α, Β, Γ και Δ πλήρωσαν πέρυσι για τη μεταφορά των μαθητών τους

στο Γυμνάσιο του Δήμου τους συνολικά 9690 ευρώ. Τ α χρήματα που πλήρωσε κάθε χωριό ήταν ανάλογα προς τον αριθμό των μαθητών του χωριού που φοιτούσαν στο Γυμνάσιο. Να βρείτε πόσα χρήματα πλήρωσε κάθε χωριό, αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των μαθητών του χωριού Β ισούται

� του αριθμού των μαθητών του χωριού Γ, ο αριθμός των μαθητών του χωριού Α ισούται με τα % του αριθμού των μαθητών του χωριού Β και ο αριθμός των μαθητών του χωριού Δ είναι με τα

το άθροισμα των μαθητών των χωριών Α και Γ. Λύ ση : Έστω ότι τα χωριά Δ Β, Γ

Α,

και πλήρωσαν τα ποσά ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/30

α,

β, y, δ,

αντίστοιχα. Σύμφωνα με τα

-------

Μ αθη ματικοί Δ ιαγωνισμο ί

δεδομένα του προβλήματος, έχουμε: β = 34Υ ' α = 2β3 ' δ = α + 3; � � 3: � β

�

�

��� �

�

�

�

r

--------­

2β ' r = 4β ' δ = 6β = 2β 3 3 3 �� ���

=> α =

�

�

:

Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος το ποσό των ευρώ πρέπει να διαμεριστεί σε μέρη ανάλογα προς τους αριθμούς α, β, y, δ οποίοι, όπως διαπιστώνουμε από την τελευταία σχέση είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς 2, 3, και 6 . Επομένως, αρκεί να διαμερίσουμε το ποσό των ευρώ σε μέρη ανάλογα προς τους αριθμούς και Έτσι, αν διαιρέσουμε τον αριθμό σε 2 + 3 + + = 1 5 ίσα μέρη έχουμε μερίδιο το ποσό 9690 : 1 5 = 646 ευρώ. Επομένως, το χωριό πλήρωσε 2 = 1292 ευρώ, το χωριό πλήρωσε 64 3 = 1 938 ευρώ, το χωριό πλήρωσε 2584 ευρώ και το χωριό πλήρωσε 646 6 = 3876 ευρώ. Διαφορετικά, από τις ισότητες 9690

4

4

646 4 =

2 ,3 ,4

6

646

9690 9690

6.

Α

6

Β

·

Δ

·

Γ

·

·

α β !.. = δ = ω=> α = 2ω, β = 3ω, y = 4ω, δ = 6ω, οπότε από την υπόθεση α+β+y+ δ = 9690 = = 2 3 4 6 με αντικατάσταση λαμβάνουμε: 2ω + 3ω + 4ω + 6ω = 9690 � 1 5ω = 9690 � ω = 646 . Άρα είναι: α = 2ω = 1292, β = 3ω = 1 938, r = 4ω = 2584, δ = 6ω = 3876 ευρώ. z Πρόβλη μ α 4 : 'Εστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο με ΓΑΒ = ω και Ο το

σημείο τομής των διαγωνίων του. Από την κορυφή Γ φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη διαγώνιο ΒΔ η οποία τέμνει την ευθεία ΑΒ στο σημείο Ε και την ευθεία ΑΔ στο σημείο Ζ. Δίνεται ότι: ΑΒ

= 4α cm , ΑΔ = 3α cm

•

l .Βρείτε τη γωνία Afz συναρτήσει της γωνίας ω.

2.Αποδείξετε ότι: ΑΓ=ΓΖ=ΓΕ.

3.Βρείτε το ύψος και το εμβαδόν του τραπεζίου ΔΟΓΖ. Σημε ίωση. Να σχεδιάσετε το σχήμα του προβλήματος στο τετράδιο σας. Να αιτιολογήσετε κάθε απάντησή σας.

Β

Λύ ση : 1.

Επειδή οι διαγώνιες ορθογωνίου είναι ίσες και διχοτομούνται, έπεται ότι ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ , οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές με ΟΒ Α = ω = ΟΑΒ . Η γωνία ΑΟΔ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΟΒ, οπότε θα είναι Από την ΑΟΔ = ΟΑΒ + ΟΒ Α = 2ω . παραλληλία ΕΖ 1 1 ΒΔ , επειδή οι γωνίες Af'z και ΑΟΔ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά, έχουμε: Af'z = 2ω.

2 . Επειδή ΕΖ 1 1 ΒΔ και ΓΔ 1 1 ΑΕ , ΒΓ 1 1 ΑΖ , τα τετράπλευρα ΔΒΕΓ και ΔΒΓΖ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε έχουν τις απέναντι Β 4α Σχήμα 2 πλευρές τους ίσες. Άρα είναι: ΒΔ = ΓΖ = ΓΕ Όμως οι διαγώνιες παραλληλογράμμου είναι ίσες, οπότε ΑΓ = ΒΔ . Επομένως, θα είναι και ΑΓ = ΓΖ = ΓΕ .

3 . Το τρίγωνο ΑΓΖ είναι ισοσκελές με ΑΓ = ΓΖ, οπότε το ύψος του ΓΔ = ΑΒ = 4α cm είναι και διάμεσος. Αρα είναι: ΑΖ = 2 ΑΔ = 6α cm και ΔΖ = 3α cm . Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ( )2 ( )2 ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: ΒΔ2 = ΑΒ2 + ΑΔ2 => ΒΔ2 = 4α + 3α = 25d =>ΒΔ = 5α cm . ΒΔ Sα Άρα είναι: ΟΔ = = και ΓΖ = 5α cm .

L'

·

2

2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/3 1

----

Μ αθηματικοί Διαγωνισ μοί

-----

ΔΓ · ΔΖ ΓΖ · ΔΘ 4α · 3α ΓΖ · υ ι2α = <::> = -- <=> υ = -.

2 2 2 2 5 5 +5 (ΔΟ + ΓΖ) ; a ι2α Ε ( ΔΟΓΖ) = · - = 9α2 cm2 • ·υ = 2 5 2

Για το ύψος υ = ΔΘ έχουμε ότι: Ε {ΓΔΖ) =

)

(

Επομένως, είναι:

Γ ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Πρόβλη μα ι

(χ) = χ3 + αχ 2 + bx + c , όπου α, b, c πραγματικοί αριθμοί. (α) Βρείτε το πολυώνυμο: Q ( χ ) = Ρ ( 2 χ ) 1 9Ρ ( -χ) . (β) Βρείτε το πολυών1>μο Ρ (χ) , αν ισχύει ότι: Q ( χ) = 3χ( 3χ + 2 γ . Λύση . ( α ) 'Εχουμε Q(x) = Ρ (2χ) -ι9Ρ ( -χ) =( 2χ)3 +α(2χ) 2 +b · 2x+c-ι9 ( ( -χ) 3 + α( -χ) 2 +b( -x) +c)

Δίνεται το πολυώνυμο

••

Ρ

•.

-

= 8χ3 + 4αχ2 + 2bx + c + ι 9χ3 - ι 9αχ2 + ι 9bχ - ι 9c = 27χ3 - ι 5αχ2 + 2 ιbχ - ι 8c. (β) Από την ισότητα Q (χ) = 3χ ( 3χ + 2 ) 2 έχουμε: 2 7χ3 - ι 5αχ2 + 2 ιbχ - ι 8c = 3χ (3χ + 2) 2 <::> 27χ3 - ι 5αχ2 + 2 ιbx - 1 8c = 3χ(9χ2 + ι2χ + 4) <::> 27χ3 - ι 5αχ2 + 2 1bx - ι 8c = 27χ3 + 36χ2 + ι 2χ <::> {-ι 5α = 36, 2 1b = ι 2, - ι 8c = Ο} ι2 4 ι2 4 3 <::> α = --, b = - , c = O . Άρα ειναι: Ρ ( χ ) = χ - - χ2 + - χ.

5 7 7 5 Πρό βλη μ α 2. Οι πραγματικοί αριθμοί α, b είναι τέτοιοι ώστε αb ( α + b )(α - b) :;e Ο και

{

}'

( (

) )

b b α - b ----7 + ----;. α α + b α

( α ) Να αποδείξετε ότι: Λύση

( α ) Έχουμε:

-

α 2 = b ( α + 2b)

'

(α + b ) (α - b )

=

3αb - b 2 α2 - b2

•

(β) Να βρείτε την τιμή του λόγου

α . b

b (α - b) b (α + b) 3αb - b2 <:> b (α - b) 2 + b ( α + b ) 2 = α ( 3αb - b 2 ) + = α ( α + b ) α ( α - b ) α2 - b2 <::> b [( α - b ) 2 + ( α + b ) 2 ] - αb (3α - b) = Ο <::> b ( 2α2 + 2b2 ) - αb (3α - b) = Ο b*O

<::> b ( 2α2 + 2b2 - 3α2 + αb) = Ο <::> 2b2 - α2 + αb = Ο <::> α2 = b (α + 2b) .

·

α α 2 α - - 2 = Ο <::> χ2 - χ - 2 = Ο, χ = b b b α <=> χ2 - ι - χ - ι = ο, χ = <=> (χ - ι) ( χ + ι) - (χ + ι) = ο, χ = α b b <=> (χ+ι)(χ-2) =0, χ =� <:>χ=-ι ή χ = 2, χ = � <:>� =-ι (ωrορρiπtεtαt, γιατί α :;e -b) ή � =2 <::> � =2. b b b b b Π ρόβλη μ α 3 : Ο τριψήφιος θετικός ακέραιος xyz = 100x + 10y + z όταν διαιρεθεί με το άθρ ο ισμα των ψηφίων του δίνει πηλίκο 43 και υπόλοιπο 9. Επίσης ο αριθμός zyx = 1 OOz + lOy + χ όταν διαιρεθεί με το άθροισμα των ψηφίων του δίνει πηλίκο 30 και υπόλοιπο 6. Να βρεθεί ο αριθμός xyz . (β) Από το

Λύση :

ερώτημα (α) έχουμε: α2 - αb - 2b2 = Ο <::>

()

Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ .3/32

-------

Μ αθη ματικο ί Δ ιαγωνισμοί

--------­

= 1 00χ + 1 0y + z = 43 (χ + y + z) + 9 zyx = 1 00z + 1 0y + x = 30(χ + y + z) + 6 ,

xyz

(1 ) (2)

από τις οποίες για τη διαφορά των δύο αριθμών προκύπτει ότι:

(3) xyz - zyx = 99 (χ - z) = 1 3 (χ + y + z) + 3 . Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι 1 0 � χ + y + z � 23, γιατί, αν ήταν χ + y + z � 24 , τότε θα είχαμε xyz > 43 · 24 + 9 = 1 04 1, άτοπο. Επομένως για το δεύτερο μέλος της σχέσης (3) έχουμε: 1 0 · 1 3 + 3 � 1 3(χ + y + z) + 3 � 23 · 1 3 + 3 � 1 33 � 1 3(χ + y + z) + 3 � 302 � 1 33 � 99 (x - z) � 302, οπότε οι δυνατές τιμές για τη διαφορά των δύο ακραίων ψηφίων είναι 2 ή 3. Για χ- z = 2 , από την (3) προκύπτει: χ + y + z = 1 5 οπότε από τις (1) και (2) λαμβάνουμε xyz = 654 και zyx = 456. Για χ '- z = 3 , από την (3) δεν προκύπτει ακέραια λύση για το άθροισμα των ψηφίων χ+y+z .

•

-

-

•

Πρόβλημα 4 : Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με

Α = 90° , f = 60° και

υποτείνουσα ΒΓ = α . Η

μεσοκάθετη στο μέσον Μ της ΒΓ τέμνει τη διχοτόμο ΒΔ (το Δ είναι σημείο της ΑΓ) στο σημείο Κ και την ευθεία ΑΓ στο σημείο Ν. Έστω Λ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΚΔ.

1 . Να αποδείξετε ότι: ΝΛ .l ΒΔ .

2. Θεωρούμε τον κύκλο ω με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΒΝ, ο οποίος δίνεται ότι περνάει . ··

από τα σημεία Α,Λ και Μ. Έστω Ε το χωρίο που έχει πλευρές τις ΜΓ,ΑΓ και το τόξο ΑΜ του κύκλου ω. Να υπολογίσετε το εμβαδό χωρίου Ε συναρτήσει της πλευράς ΒΓ = α . Σημείωση : Το χωρίο Ε είναι στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ και εξωτερικά του κύκλου ω .

-

Β

Σχήμα 2

Λύ ση

l . 'Εστω ότι οι ευθείες ΚΜ, ΑΓ τέμνονται στο σημείο Ν . Τότε ΝΚΔ = ΒΚΜ = 90° - Β = 75° .

2 30 ΔΓΒ ισουται ' με ΝΛΔΝ.. = Γ� + Β = 60° + " = 75° · ' Επισης ' ' ΝΔ�Κ ως εξωτερικη' του τριγωνου η γωνια 2 2 Συνεπώς το τρίγωνο ΝΚΔ είναι ισοσκελές με ΝΚ = ΝΔ . Αφού το Λ είναι μέσον της βάσης ΚΔ �ου ισοσκελούς τριγώνου ΝΚΔ , έπεται ότι: ΝΑ .l ΒΔ .

2. Το τρίγωνο ΒΓΝ είναι ισοσκελές � ΝΓ = ΝΒ και Γ = 60° . Επομένως, το τρίγωνο ΒΓΝ είναι α ισόπλευρο, οπότε ΒΝ = α . ΟΙ ΒΑ και ΝΜ είναι ύψη και διάμεσοι αυτού, οπότε ΑΓ = ΜΓ = 2 Ο κύκλος διαμέτρου ΒΝ έχει κέντρο, έστω Ο και περνάει από τα σημεία Α, Λ και Μ. Το τρίγωνο ΟΑΜ είναι ισοσκελές και έχει ΑΟΜ = 2 · ΑΒΓ = 2 · ( 90° - 60° ) = 60° . u

Επίσης ΑΟ Β = 2 · ΓΝΒ = 2 · 60°

=

·

1 20° , οπότε ΜΟΒ = 60° και το τρίγωνο ΟΜΒ είναι ισόπλευρο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/33

------

-------

Μ αθηματικοί Δ ιαγωνισ μοί

α . Άρα το τετράπλευρο ΑΓΒΟ είναι ρόμβος που αποτελείται από δύο ισόπλευρα 2 α τρίγωνα πλευράς , οπότε το ύψος του ΑΤ ισούται με το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 2 α J3 α J3 α , δηλαδή ΑΤ = _2_ . Το εμβαδόν του χωρίου Ε δίνεται από τη σχέση = 2 2 4 = Ε ( ΑΓΒΟ ) - Εκ. τομέa (1) πλευράς

E(ri\M)

( oi\M ) .

α2 α α Ε ( ΑΓΜΟ ) = (βά ση ) · ( ύψος ) = . J3 = J3 2 4 8 0 α 2 _ πα 2 60 Ε κ τομέ Ο ΑΜ - -- π . α 360ο 2 24

Έχουμε

(

Επίσης

)

(2)

()

(

.--... )

(3)

. ( .--... )

Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει: Ε ΓΑΜ = Ε( ΑΓΒΟ) - Εκ ψα ΟΑΜ =

cl J3 πcl -8- 24

( 3J3 -π) cl 24

32η Ελλην ι κή Μαθηματ ι κή Ολυμπ ιάδα ο Αρχ ι μήδη ς 28 Φεβρουαρίου 201 5 ••

••

Θέματα μ ι κρών τάξεων

Π ρ όβ λη μα 1 : Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου α ε IR για τις οποίες η εξίσωση χ 2 + (α - 2) χ - (α ( 2α - 3 = Ο έχει δύο ρίζες, τέτοιες ώστε η μία να ισούται με

- 1)

)

το τετράγωνο της άλλης. Λύ ση : Έχουμε Δ = (α - 2 ) 2 + 4 (α - 1) (2α - 3 ) = 9α2 - 24α + 1 6 = (3α - 4) 2 ,

οπότε η εξίσωση

2 - α ± (3α - 4 ) <:::::> Χι = α - 1, χ = -2α + 3. Επομένως ζητάμε τις τιμές του α 2 2 2 για τις οποίες ισχύει: Χι = χ; ή χ = Χι2 <:::::> α - 1 = ( -2α + 3 ) 2 ή - 2α + 3 = ( α - 1 ) 2 2 <:=>α-1=4d -12α+9 ή -2a+3=d -2a+1<:=>4d -13a+10=0 ή d =2<:=>α=2 ή α=� ή α= .J2 ή α=-!2.

4 έχει τις ρίζες χι, =

Π ρ όβ λη μα 2 : Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη μη αρνητικών ακέραιων

m � η , που

(

είναι τέτοια

)

Β = 2η 3m 2 + η 2 + 8 . Λύ ση : 'Εστω

είναι: ( m + n )3

�

ώστε

(

ο

αριθμός

Α=

( m + η )3

)

(

m, η

να διαιρεί τον

1 (

)

με

αριθμό

)

A = (m+n)3 ,B = 2n 3� +n2 + 8 . Επειδή (m + n ) 3 2 n 3m2 + n2 + 8 πρέπει να

(

)

2n 3m2 + n2 + 8 <:::::> m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 � 6m2n + 2n3 + 8

<:::::> m3 - 3m2n + 3mn2 - n3 � 8 <:::::> ( m - n ) 3 � 8

m�n

<::::>

m - n � 2 <:::::> m - n ε {0, 1, 2} .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: m - n = Ο <:::::> m = n. Τότε Α = 8m3 , Β = 8m3 + 8 , οπότε AIB <:::::> 8m3 8m3 + 8 <:::::> 8m3 18 <:::::> m = 1, αφού m > Ο => ( m, n ) = (1, 1 ) .

•

•

1

{

)

m - n = 1 . Τότε έχουμε A=(2n+1) 3 ,B = 2n 3(n+1)2 +n2 +8 =8n3 +12n2 +6n+8 =(2n+1) 3 + 7 . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ .3/34

----- Μαθη fιατικοί Διαγωνισ μο ί

-----

Επομένως, Α I Β � (2n + 1)3 17 => 2n + 1 1 � n Ο m 1 και (m, n) =

•

=

=

,

=

( 1 0) ,

.

m - n 2 . Τότε Α = 8 ( n + 1 )3 Β , οπότε έχουμε άπειρα ζεύγη λύσεων της μορφής ( k + 2, k) με k "?::. ο . =

=

'

Πρόβ λημα 3: Είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε κατάλληλα στο επίπεδο 2014 σημεία, έτσι ώστε με κορυφές από αυτά τα σημεία να κατασκευάσουμε 1006 2 παραλληλόγραμμα εμβαδού 1 ; Λύ ση : Θα αποδείξουμε ότι είναι δυνατόν. Παίρνουμε δύο παράλληλες ευθείες ε 1 , ε 2 που να

έχουν απόσταση 1 . Τοποθετούμε σε κάθε μία από αυτές από 1 007 σημεία ώστε τα οποία να απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1 . Τότε στην ε1 έχουμε 1 006 μοναδιαία τμήματα και στην ε2 έχουμε 1 006 μοναδιαία τμήματα. Οποιοδήποτε μοναδιαίο τμήμα της ε1 με οποιοδήποτε μοναδιαίο τμήμα της ε 2 δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο εμβαδού 1 . Επομένως, συνολικά τα παραλληλόγραμμα εμβαδού 1 είναι: 1 006 · 1 006 = 1 006 2

•

Σχήμα 1 Πρόβ λη μα 4 : Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�Γ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του c Η κάθετη από την κορυφή Α προς την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ

(Ο, R)

•

την τέμνει στο σημείο Δ.

(α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ

=

ΑΓ ,

να αποδείξετε ότι ΓΔ = ΒΓ .

2

(β) Αν ισχύει ότι ΓΔ = ΒΓ , να αποδείξετε ότι το τρ ίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

2 Λύση : . ( α) Αν Ζ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε η ΑΖ είναι ύψος και διάμεσος

του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΖ και ΑΓΔ είναι ίσα, γιατί έχουν: ΑΓ κοινή πλευρά (υποτείνουσα) Αf'Δ Afz, αφού Αf'Δ = ΑΒΓ (γωνία χορδής - εφαπτομένης και αντίστοιχη εγγεγραμμένη) και ΑΒΓ = Atz, αφού ΑΒ ΑΓ . ΒΓ Επομένως θα είναι και ΓΔ ΓΖ .

•

•

=

=

=

Α

=

2

Ε

,..

Σχήμα 3

Σχήμα 2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/35

Μ αθηματικοί Διαγωνισ μοί

----

-----­

Ας υποθέσουμε ότι ΑΒ < ΑΓ . Θεωρούμε τη μεσοκάθετο στο μέσο Μ της ΒΓ που τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Ε . Τότε ΑΒΓ ΑΓΔ (γωνία υπό χορδής και εφαπτομένης), και επιπλέον από την εκφώνηση έχουμε ότι 2 ΓΔ ΒΓ 2 ΒΜ , οπότε ΓΔ ΒΜ . Επομένως, τα ορθογώνια τρίγωνα ΕΒΜ και ΑΓΔ είναι ίσα, οπότε θα είναι ΑΓ ΕΒ . Όμως ΕΒ ΕΓ , οπότε ΑΓ ΕΓ . Αυτό όμως είναι άτοπο αφού η γωνία ΕΑΓ = 1 80° - Α είναι αμβλεία, οπότε το τρίγωνο ΕΑΓ θα είχε δύο αμβλείες γωνίες. Επομένως, θα είναι ΑΒ = ΑΓ και το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές. (β)

Λ

Λ

=

=

=

=

=

Λ

=

Λ

=

Λύσεις ασκήσεων τεύχους 94 Α3 1. (α) Να αποδείξετε ότι:

α ( α + l )( α + 2 ) - ( α - l ) α ( α + l ) = 3α 2 + 3α,

για κάθε πραγματικό αριθμό α. (β) Για κάθε θετικό ακέραιο η, υπολογίστε το άθροισμα:

= 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · · + η ( 3η + 1 ) . (Μολδαβία 2013) Λύση . (α) Για κάθε α ε JR έχουμε: α(α+1)(α+2)-{α-1)α(α+1) =α(α+1)(α+2-(α-1)) =Χl{α+1) =� +�. (β) Θεωρούμε τις παραπάνω σχέσεις για α = 1, 2, ... , n και τις προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε μετά τις δυνατές απαλοιφές λαμβάνουμε: n( n+1)( n+2) -0·1· 2=3( 12 +22 + .... +ιi) +3(1 +2+ ... +n) �n( n+1)( n+2) =3( 12 +i + .... +ιi) +3(1+2+ ... +n) Sn

�3( 12 +i + .... +ιi) +(1+2+ ... +n) =n( n+ 1)( n+2) -2(1+2+ ... +n) �3( 12 +i + .... +ιi) +(1+2+ ... +n) = =n( n+1)( n+2) -n( n+1) �3( 12 +i + .... +ιi) +(1+2+ ... +n) =n( n+1) 2 . Επομένως, έχουμε Sn = 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10+ · · · + n(3n + 1) = 3(12 + 22 + ... + n2) +(1 + 2 + ... +n ) = n(n + 1 ) 2 Α3 2 . Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση : Λύση :

�JC -14x+65+ �y +10y+34 =7.

Επειδή χ2 - 14χ + 65 = (χ - 7) 2 + 16 � 16 και / + 1 0y + 34 = (y + 5) 2 + 9 � 9 , θα είναι

.Jx2 - 14χ + 65 � 4 , �/ + 1 0y + 34 � 3 και .Jx2 - 14χ + 65 + �y2 + 10y + 34 � 7. Επομένως, η ισότητα ισχύει αν και μόνον αν .Jx2 - 14χ + 65 = 4 και �/ + 10y + 34 = 3 <;::;> χ = 7 και y = -5 . Α33. Για κάθε α, b, c > Ο , να αποδείξετε ότι: α3 b3 (Ουκρανία 2013) ++ c3 > ( α - b ) 2 + ( b - c ) 2 + ( c - α ) 2 • b+c c+α α+b Λύση : Αν χ, y > Ο , από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε: χ2 2y χ2 - + y � 2 - = 2χ � - � 2χ - y (η ισότητα ισχύει για χ = y) .

-

--

f}

Υ

Υ

Υ

α2 α3 (1) -- � 2α - (b + c ) � -- � 2α2 - α (b + c ) b+c b+c c3 b3 Ομοίως λαμβάνουμε: - � 2b2 -b( c+α) (2) και �2c2 -c( α+b) (3) Με πρόσθεση κατά α+b c+α c3 b3 3 μέλη των ( 1 ), (2) και (3), προκύπτει η ανισότητα � +- +-- � (α-b) 2 +(b-c) 2 +(c-α) 2 . b+c c+α α+b Η ισότητα ισχύει όταν α = b + c, b = c + α, c = α+ b <;:::;> α = b = c = Ο , που είναι άτοπο, αφού από Για x = α, y = b + c λαμβάνουμε:

-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ .3/36

-------

Μαθη ματικο ί Διαγωνισ μο ί

--------­

την υπόθεση είναι α, b, c > Ο. Επομένως η ισότητα δεν είναι δυνατόν να αληθεύει οπότε: c3 b3 α3 > (a - b ) 2 + (b - c ) 2 + (c - a) 2 • + + b+c c+a a+b Δίνεται τετράπλευρο ABCD τέτοιο ώστε AD = ΑΒ + CD . Αν οι διχοτόμοι των γωνιών του Α και D τέμνονται στο σημείο Ρ , να αποδείξετε ότι ΡΒ = PC . (Ουκρανία 2013) Λύ ση Γ 2 0.

Α

Β

D

Σχήμα 1 Επειδή AD = ΑΒ+ CD , αν ο κύκλος κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ τέμνει την πλευρά AD στο σημείο Ε, τότε θα έχουμε: ΑΒ = ΑΕ και ED CD. Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΕ και DCE είναι ισοσκελή, οπότε οι διχοτόμοι των γωνιών των ίσων πλευρών τους είναι μεσοκάθετοι των πλευρών ΒΕ και CE, αντίστοιχα. Επομένως το σημείο τομής τους Ρ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BCE. Άρα έχουμε: ΡΒ PC =

=

Γ 2 1 . Έστω D BD και έστω

το μέσο της πλευράς AC τριγώνου ABC Θ εωρούμε το μέσο Ε της διαμέσου Η το συμμετρικό του Α ως προς το Ε. Αν η ΑΗ τέμνει την πλευρά BC στο

σημείο F, να αποδείξετε ότι: F H =

AF

2

.

Λύ ση : Επειδή Ε και D είναι τα μέσα των πλευρών ΑΗ και AC του τριγώνου AHC, έπεται ότι ED 1 1 HC . Έστω ότι η ευθεία CH τέμνει την ευθεία ΑΒ στο σημείο Ζ. Τότε DB 1 1 CZ και Β μέσο της πλευράς ΑΖ, οπότε η CB είναι διάμεσος του τριγώνου AZC. Επειδή το σημείο Ε είναι το μέσο της διαμέσου BD θα είναι ΒΕ = ED . Επιπλέον από την παραλληλία DB 1 1 CZ , τα τρίγωνα AED, AHC είναι όμοια, όπως και τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΖΗ. Έτσι έχουμε: ED ΑΕ ΒΕ BE=ED = = � ZH = HC. HC ΑΗ ΖΗ

Z, ,

.

'

--

,

,

,

-­

,

;

;

;

.,.. - ..

;

;

... ..

;

;

;

;

--

.. .,. ....

... .. ...

_ ...

- - -

....

Σχήμα 2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/37

- - -

- -

-

πρόβλημα μ ε τα παρτέρ ι α λουλουδ ι ών: κα ­ νον ι κότητες, αλγεβρ ι κές παραστάσε ις κα ι συναρτήσε ις

Το

======

Γιώργος Κόσυβας

Συχνά οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν αλγεβρικές παραστάσεις και συναρτήσεις για να πε­ ριγράφουν κανονικότητες. Αν τους μιμηθούμε μπορούμε να φανταστούμε μια κανονικότη­ τα με διαφορετικούς τρόπους, να την περιγράψουμε με λέξεις ή σύμβολα, να ανακαλύψουμε κανόνες, να κάνουμε γενικεύσεις ή να λύσουμε εξισώσεις. Μπορούμε ακόμα να αποδείξουμε την ισοδυναμία διαφορετικών αλγεβρικών παραστάσεων και έτσι να μάθουμε περισσότερα για την άλγεβρα και τη σημασία της.

Οι κανονικότητες είναι τα μοτίβα, τα οποία είναι γνωστά από το Δημοτικό Σχολείο. Α­ ποτελούνται από βήματα που παρουσιάζο­ νται αριθμητικά ή εικονιστικά. Οι κανονικό­ τητες δημιουργούνται από μια αριθμοακο­ λουθία ή μια σειρά εικόνων από τετραγωνά­ κια, κυκλάκια ή άλλα σχή ματα που πάλι παριστάνουν αριθμούς. Στα προβλήματα με κανονικότητες συνήθως δίνεται ένα επαρκές πλήθος όρων, από τους οποίους μπορούμε να βρίσκουμε τον κανόνα σχηματισμού ό­ λων των όρων και να προβλέπουμε το πλή­ θος των στοιχείων για οποιονδήποτε όρο της ακολουθίας. Ας τα δούμε αυτά με ένα παρά­ δειγμα. Πρόβλημα: Το δημοτικό συμβούλιο αποφά­ σισε να προχωρήσει στην ανάπλαση του δη­ μοτικού κήπου της πόλης. Σύμφωνα με το σχεδιασμό οι κηπουροί χρησιμοποιούν εξα­ γωνικά παρτέρια λουλουδιών για τα φυτά και γύρω από αυτά τοποθετούν εξαγωνικές πλά­ κες σύμφωνα με το παρακάτω μοτίβο.

��� -

lo

. .

..

· .

.

.

. ,

.

.

..

.

.

. · · ··· · ·· ,

�

�

2ο

3ο

4ο

Στο 4ο βήμα, 18 πλάκες περιβάλλουν 4 εξα­ γωνικά παρτέρια. Το μοτίβο συνεχίζεται. (α) Πόσες εξαγωνικές πλάκες θα χρειαστούν για 6 παρτέρια λουλουδιών; (β) Είναι βέβαιο ότι θα έπαιρνε πολύ χρόνο στους κηπουρούς για να σχεδιάσουν και ύστερα να μετρήσουν τις πλάκες που θα χρειαστούν για 1 00 παρτέρια λουλουδιών. Όμως δεν ξέρουν Μαθηματικά για να επι­ νοήσουν έναν κατάλληλο τρόπο. Γι ' αυτό ζήτησαν τη βοήθειά σας. Να περιγράψετε έναν τρόπο που θα βοηθά τους κηπουρούς

να γνωρίζουν πόσες πλάκες θα χρειαστούν για 1 00 παρτέρια λουλουδιών. (γ) Να βρείτε έναν κανόνα που θα χρησιμοποιούν οι κηπουροί για να αποφασίζουν κάθε φορά ποιος είναι ο απαιτούμενος αριθμός εξαγωνι­ κών πλακών για κάθε αριθμό παρτεριών. Να εξηγήσετε γιατί λειτουργεί ο κανόνας; (Υπόδειξη : Δεν αρκεί να δείξετε ότι ο κανόνας λειτουργεί μόνο για λίγες ειδικές περιπτώσεις. Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας βασιζόμε­ νοι στον τρόπο δημιουργίας των όρων του μοτί­ βου). Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι πολύ α­ πλή. Αρκεί να κατασκευάσουμε ένα σχήμα με 6 παρτέρια και να μετρήσουμε τις εξαγωνικές πλάκες. Βρίσκουμε: 26 πλάκες. Για τη λύση του δεύτερου και του τρίτου ερωτήματος οι μαθημα­ τικές απαιτήσεις ψηλώνουν, απαιτούνται πιο σύνθετες, πιο τολμηρές ιδέες. Η λύση στο πρώτο ερώτημα ελπίζουμε να ανοίξει την όρεξη για τη συνέχεια. Αν το συνδέσετε με τα άλλα ερωτήμα­ τα, θα aνταμειφτείτε με μια απέραντη ποικιλία απάτητων και αδιερεύνητων δρόμων. Θα ξεπρο­ βάλλει μπροστά σας μια πλημμύρα συναρπαστι­ κών τρόπων γενίκευσης του προβλήματος! Ας στρέψουμε την προσοχή μας σε μερικούς από αυτούς. Πρώτος τρόπος: 2 +4 ·ν Η προσέγγιση αυτή στην

Άλγεβρα του Γυμνασί­ ου χαρακτηρίζεται από την κανονικότητα του ακόλουθου σχήματος. Εύκολα ανακαλύπτουμε τον κανόνα «προσθέτουμε 4». Απομονώνοντας τις 2 πρώτες πλάκες κάθε όρου της εικόνας, πα­ ρατηρούμε ότι κάθε φορά για τη μετάβαση στο επόμενο παρτέρι λουλουδιών προστίθενται 4 πλάκες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/40

- Το π ρόβλη μα με τ α παρτέρια λουλουδιών : κανονικότητες, αλγεβρικές παραστ άσεις και συναρτή σεις 2+1: 4=6

2 + 2 4=1 0

2+3 4=14

2++4= 18

loc;'Opoς (1 παρτ#pι)

2 οc;'Ορος (2 παρτψια)

3oc; 'Ορος (3 παρτtρια)

4ος'Ορος (4παρτtρια)

Για τη δημιουργία κι άλλων παρτεριών λου­ λουδιών προστίθενται 4 ακόμα πλάκες σε κάθε όρο. Ο 1 ος όρος έχει «2 και μια ομάδα από τέσσερις πλάκες)). Ο 2ος όρος έχει «2 και δύο ομάδες από τέσσερις πλάκες)). Ο 3ος όρος έχει «2 και τρεις ομάδες από τέσ­ σερις πλάκες)) κ.λπ. (α) Ελέγχουμε τον κανόνα για τον 6° όρο: θα έπρεπε να έχουμε 2 πλάκες και επι­ πλέον 6 ομάδες από 4. Συνολικά για 6 παρτέρια λουλουδιών θα χρειαστούν: 2+6·4=26 πλάκες. Μπορούμε να σχεδιά' μας και να προ β ουμε ' σε \ σουμε το σχημα απαρίθμηση. Πράγματι για το σχηματι­ σμό του χρειάστηκαν 26 πλάκες. +4

+4

+4

6ο ς Όρος (6 παρτέρια) (β) Αν σκεφτούμε με τον

+4

+4

+4

2+4 -6=26

ίδιο τρόπο για 1 00 παρτέρια λουλουδιών θα χρειαστούν 2+ 1 00·4=402 πλάκες. ( γ) Ο ζητούμενος κανόνας μπορεί να διατυ­ πωθεί με λέξεις ως εξής: για να βρίσκου­ με κάθε φορά τον αριθμό των πλακών σε οποιοδήποτε όρο, ξεκινάμε με δύο πλά­ κες, και προσθέτουμε τον αριθμό του ό­ ρου πολλαπλασιασμένο επί 4. Συντομό­ τερα μπορούμε να γράψουμε: Αριθμός πλακών=2 + (αριθμός του όρου)χ4. Με άλλα λόγια το αριθμητικό πλήθος εξα­ γωνικών πλακών υπακούει σε έναν κανόνα που εξαρτάται από το εκάστοτε βήμα στη σειρά των όρων της αριθμοακολουθίας. ο 1 ος όρος με 1 παρτέρι θα έχει 2 + 1 · 4 πλάκες, Ο 2°ς όρος με 2 παρτέρια θα έχει 2+2·4 πλάκες, ο 1 00°ς όρος με 1 00 παρτέρια θα έχει 2+ 1 00·4 εξαγωνικές πλάκες, κ.λπ. Με βάση τις προηγούμενες παρατηρήσεις μπορούμε να μαντέψουμε το γενικό τύπο με τη βοήθεια μιας μεταβλητής ν. Έτσι, ο γενι•

•

•

κός τύπος που μπορούν να χρησιμοποιούν οι κηπουροί για να αποφασίζουν κάθε φορά ποιος είναι ο απαιτούμενος αριθμός εξαγωνικών πλα­ κών για ν παρτέρια είναι ο εξής: 2+ ν·4 πλάκες. Με λίγη προσπάθεια μπορείτε να καταλήξετε στην προηγούμενη αλγεβρική παράσταση. Η γενίκευση έρχεται ως λογικό συμπέρασμα και μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο της συνάρτησης: y=4ν+2 Ο ν είναι θετικός ακέραιος αριθμός. Στο πλαίσιο του προβλήματος η μεταβλητή ν παριστάνει την ένδειξη της θέσης.

2+4 -6=26

2 +4 ν ·

6ος Όρος (6 παρτέρια)

προηγούμενη λύση υποστηρίζεται από το σχήμα, το οποίο βοηθά στην κατανόηση της σχέσης ανάμεσα στον αριθμό των παρτεριών και το πλήθος των εξαγωνικών πλακών. Οι παραστάσεις 2+4ν και 4ν+2, γνωρίζετε ότι είναι ίδιες. Στην έκφραση 4ν+2, οι όροι 4ν και 2 παριστάνουν μια μεταβαλλόμενη και μια σταθε­ ρή ποσότητα αντιστοίχως και αυτή η αλγεβρική παράσταση δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο. Επιπλέον, μπορούμε να συνδέσουμε την παρά­ σταση 4ν με το άθροισμα ν+ν+ν+ν ή το γινόμενο νχ4. Αυτές οι ιδιαιτερότητες των αλγεβρικών παραστάσεων είναι γνώριμες σε όλους σας. Η

Δεύτερος τρόπος: 6+4·(ν-1)

Ο τρόπος αυτός είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Αρκεί να παρατηρήσουμε προσε­ κτικά τους αρχικούς §ρους. Σχεδιάζουμε τον 6° όρο του μοτίβου με τις 26 πλάκεζ ΔιαΠιστώνου-: με ότι η μετάβαση από έναν όρο στον αμέσως επόμενο προσθέτει 4 πλάκες στο νέο παρτέρι.

6+4-(6-1) =26

6+4-(ν-1)

� 6ο ς Όρος (6 παρτέρια)

Για τη λύση του προβλήματος ένας μαθητής εξήγησε: «Μπορούμε να χωρίσουμε κάθε παρτέρι

σε δύο μέρη: στο μέρος που μένει το ίδιο και στο μέρος που μεγαλώνει. Το μέρος που μένει το ίδιο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/41

- Το πρό βλη μα με τα παρτ έρια λουλουδιών: κανονικότητες, αλγεβρικές παραστάσεις και συναρτή σεις ­

είναι οι 6 πλάκες και το μέρος που αλλάζει είναι ο πολλαπλασιασμός του 4 με τα (6-1) παρτέρια».

μια μαθήτρια της Α' Γυμνασίου που έδωσε την εξής λύση: <<Αφού κάθε παρτέρι έχει 6 πλάκες

γύρω του, τα 6 παρτέρια έχουν 36 πλάκες. Όμως

Από ένα «δείγμα» λίγων παραδειγμάτων τις πλάκες που είναι στη μέση του παρτεριού τις μπορούμε να φτάσουμε στην ανακάλυψη μετρήσαμε δύο φορές. Όλες οι πλάκες που είναι της λύσης για το σχήμα 100 και τέλος να στις μέσες έχουν από δύο πλάκες και όλα αυτά τα βρούμε τον κανόνα για τη γενίκευση της ζευγάρια που είναι ενδιάμεσα είναι 5, δηλαδή ένα λιγότερο από το 6 που είναι ο αριθμός των παρ­ λύσης: 6+4·(ν-1). Εξετάζοντας περισσότερο την κανονικότη- τεριών. Τελικά, αν αφαιρέσουμε τις 1 Ο μεσαίες τα, μπορούμε να συμπληρώσουμε έναν πί- βγαίνουν 26 πλάκες για τα 6 παρτέρια». νακα τιμών και να βρούμε τον κανόνα ο Ουσιαστικά η μαθήτρια περιέγραψε τη λύση 6ν­ οποίος δείχνει πώς το πλήθος των πλακών 2(ν- 1 ) και ήταν καταχαρούμενη από την ανακά­ (y) εξαρτάται από τον αριθμό των παρτε- λυψή της. Ο προηγούμενος τρόπος συνιστά μια θαυμάσια επινόηση. Ποτέ δε διδάχτηκε ο τρόπος που εφευρέθηκε. Θα συμφωνήσετε ότι αυτός ο 1 00 τρόπος 1 2 3 πλεονεκτεί από άλλους τρόπους, γιατί είναι πρωτότυπος και απλός.

402 6 1 0 14 Είναι βέβαιο ότι οι περισσότεροι θα ανα­ γνωρίσετε και θα περιγράψετε τον κανόνα ως «προσθέτουμε 4». Ομοίως παρατηρώ­ ντας τον πίνακα τιμών οριζόντια θα διαπι­ στώσουμε ότι κάθε φορά που προστίθεται ένα παρτέρι, ο αριθμός των απαιτούμενων πλακών αυξάνεται κατά τέσσερα. Με βάση τις προηγούμενες παρατηρήσεις θα μπορέ­ σουμε να βρούμε το γενικό τύπο. Οι τιμές της μεταβλητής y γράφονται: 4·( 1 - 1 ) + 6, . . . , 4 · (6- 1) + 6, . . . , 4 ·( 1 00- 1 ) + 6, . . . Επομένως ο γενικός τύπος είναι: y=4·(ν-1 )+6. Συνεχίζοντας μπορείτε τα δεδομένα του πίνα­ κα τιμών να τα παραστήσετε με σημεία στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Πού θα βρίσκονται όλα αυτά τα σημεία; Τ ρίτος τρόπος: 6ν-2·(ν-1)

Αντί να αργοσαλεύουμε από όρο σε όρο, μπορούμε να γενικεύσουμε. Στην ειδική περίπτωση των 6 παρτεριών, απαιτείται συνδυασμός πρόσθεσης-αφαίρεσης με απο­ μάκρυνση των πέντε αλληλεπικαλυπτόμε­ νων ζευγαριών από πλάκες του ακόλουθου σχήματος.

6·6 -2 ·(6-1) =26 6·v -2 · (v-1)

6ος Όρος (6 παρτέρια)

Τ έταρτος τρόπος: 2ν+2·(ν+l)

Τέλος αξίζει να μνημονευτεί ένας ακόμα τρόπος που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα: 2 · 6 +2· (6+1) = 26 πλάκες

(6+ 1} 2

6ο ς Όρος (6 παρτέρια)

2·v +2· (ν+1)

κανονικότητα μπορεί να σχηματιστεί από δύο οριζόντιες γραμμές, πάνω και κάτω, στις οποίες οι εξαγωνικές πλάκες προεξέχουν με την προ­ σθήκη των καθέτων ζευγών. Ο κανόνας που προκύπτει είναι ο ακόλουθος: 2ν+2(ν+ 1 ). Η

Η

ισοδυναμία των διαφορ ετικών τύπων

Μέχρι τώρα δοκιμάσαμε μερικές ιδέες μας. Κα­ ταλήξαμε σε μια όμορφη πολλαπλότητα. Όμως σίγουρα υπάρχουν κι άλλες λύσεις, αφού οι δια­ φορετικοί τρόποι είναι ανεξάντλητοι! Βρήκαμε τέσσερις γενικούς τύπους για το πλή­ θος των εξαγωνικών πλακών συναρτήσει του αριθμού ν των παρτεριών. Οι τύποι αυτοί είναι: 6+4·(ν-1), 6ν-2·(ν-1), 2ν+2·(ν+l), 2+ ν·4

Αν θέσετε στους τέσσερις τύπους κάποια τιμή του ν θα βρείτε τον ίδιο αριθμό. Δοκιμάστε! Αν για παράδειγμα βάλετε ν= 1 00 θα βρείτε όλες τις φορές 402 πλάκες! Πώς είναι δυνατόν διαφορε­

Μια εκπληκτική ιδέα φώτισε σαν αστραπή

τικές αλγεβρικές παραστάσεις να εκφράζουν το ίδιο πράγμα και να δίνουν τα ίδια αποτελέσματα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/42

- Το

πpόfli

a

ιιε τ8

rσρτiρια λουλουδιών : κανονικότητες, αλγεβρικές παραστάσεις και συναρτή σεις ­

για το ίδιο ,... Η απmτηση στο ερώτημα είναι μια νέα πρόιcληση � Τώι-""0. έ'ι_ετε την ευκαιρία να ανοιχτείτε σε 'iε.; θάλασσες, να γνωρίσετε σε περισσότερο βάθο.; την αλγεβρική γλώσσα.

Χρησιμοχοιώ,τα.; την επιμεριστική ιδιότητα και κm-mτα.; mυyωyή όμοιων όρων μπορείτε να γράψετε: • • •

6+4"(ν-1)=6+4ν-4=4ν+2 6\·-2"(ν-1)=6ν-2ν+2=4ν+2 2ν+2·(ν+1)=2ν+2ν+2=4ν+2

Στα Μαθηματικά τέτοιες αλγεβρικές παραστάσεις λέγονται ισοδύναμες. Αντί να βυθιζόμαστε σε άσχετες και βαρετές πράξεις γενικεύουμε αιτιολογούμε. Η αιτιολόγηση δείχνει την πραγματική χρησιμότητα της άλγεβρας. Αναδρομικός ή γενικό ς συλλογισ μός;

Ας περιγράψουμε πρώτα με ένα παράδειγμα τι είναι ο αναδρομικός συλλογισμός. Αν γνωρίζουμε ότι το 99ο παρτέρι έχει 398 πλάκες, τότε προσθέτοντας 4, βγάζουμε το συμπέρασμα ότι το l Ο Οό παρτέρι θα έχει 402 πλάκες. Όμως για να βρούμε πόσες πλάκες έχει το 99° παρτέρι πρέπει να ξέρουμε πόσες πλάκες έχει το 98°, για να βρούμε το 98° πρέπει ήδη να γνωρίζουμε πόσες έχει το 97° κ.ο.κ. Έτσι για να βρούμε τον l ΟΟό όρο θα πρέπει αργοδιαβαίνοντας να περάσουμε από όλους τους προηγούμενους όρους της ακολουθίας. Είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε κάθε φορά το προηγούμενο παρτέρι για να βρίσκουμε το επόμενο; Παρότι η

αναδρομική προσέγγιση μάς επιτρέπει να μαντεύουμε τα στοιχεία του επόμενου ζεύγους (ν, y) της ακολουθίας, δεν μάς βοηθά να φτάνουμε στο βάθος και να καταλαβαίνουμε τη σχέση μεταξύ των δύο ποσοτήτων. Από την περιγραφή των τεσσάρων τρόπων είδαμε τι είναι γενικός συλλογισμός. Ίσως αρκετοί από εσάς αισθάνεστε ασφαλείς με τις αναδρομικές στρατηγικές, ενώ τα καταφέρνετε λιγότερο με την αναγνώριση, περιγραφή και εξήγηση ενός γενικού κανόνα της κανονικότητας (y=4ν+2). Με την αναδρομικότητα η μαθηματική σκέψη σιγοπερπατά με αργά, αλλά σταθερά βήματα. Η αναδρομική σκέψη είναι πολύ χρήσιμη στην άλγεβρα. Είναι το σημείο εκκίνησης για την πα-

ραγωγή του γενικού τύπου. Καθώς μετράτε ανά 4 παραλείποντας αριθμούς ακολουθείτε αναδρο­ μικό συλλογισμό: 6, 1 0, 1 4, 1 8, 22, 26, . . . Η κλίση της ευθείας y=4ν+2 είναι 4. Να θυμάστε ότι ο αναδρομικός κανόνας παρέχει μια ισχυρή σύνδεση με την έννοια της κλίσης της ευθείας. Περιγράφει την αύξηση του αριθμού των εξαγωνικών πλακών καθώς αυξάνει ο αριθμός των παρτεριών κατά 1 . Πάντως για aρίφνητα, δηλαδή πολυάριθμα παρτέρια, ο αναδρομικός τρόπος δεν είναι τόσο αποτελεσματικός όσο ο γενικός κανόνας. Μπορεί ορισμένοι από εσάς να καταλήγετε δύσκολα στο γενικό μαθηματικό κανόνα. Όμως ο γενικός κα­ νόνας είναι αξιόλογος. Είναι καλύτερος από τον αναδρομικό συλλογισμό και απαραίτητος στην άλγεβρα. Ευτυχώς μερικές φορές η γεωμετρική εποπτεία μάς προσφέρει ανεκτίμητη βοήθεια για να δώσουμε νόημα στον αλγεβρικό τύπο. Από ένα μικρό πλήθος όρων βρίσκουμε τον κανόνα σχηματισμού όλων των όρων και προβλέπουμε το πλήθος των εξαγωνικών πλακών για οποιον­ δήποτε αριθμό παρτεριών. Τα αριθμητικά παραδείγματα παρέχουν τις απαραίτητες ειδικές περι­ πτώσεις για τη γενίκευση. Μάς δίνουν ευκαιρίες να εξερευνήσουμε την κανονικότητα και να εκ­ φράσουμε τη γενίκευση με λόγια, σύμβολα και γεωμετρικά σχήματα. Τις Πληροφορίες που α­ ντλούμε από τη λεπτή παρατήρηση του σχήμα­ τος με τάξη 6 τις επεκτείνουμε στο εκατοστό και το νιοστό σχήμα. Με ρικά ανοιχτά ερωτήματα

Για την εύρεση του κανόνα του προβλήματος σε μια τάξη έγινε ο ακόλουθος διάλογος: Μαρ ία: Δοκίμασα μερικούς κανόνες και κατέληξα στον εξής: πολλαπλασιάζω με 4 τον αριθμό των παρτεριών και προσθέτω 2. Τον δοκίμασα και λειτουργεί. Ελένη : Για να δούμε. Για ένα και για δύο παρτέρια ο κανόνας ισχύει . . . Για τρία και τέσσερα επίσης. Μαρ ία: Ισχύει και για 6 παρτέρια γιατί 4 φορές το 6 κάνει 24 και 2 βρίσκουμε 26. Ανακάλυψα τη λύση! Αυτό είναι! Ο κανόνας είναι: 4ν+2. Ελένη : Ναι έτσι είναι . . . , οπότε θα ισχύει για όλους τους αριθμούς. Σ οφ ία: Δεν συμφωνώ με αυτό που κάνετε. Δεν πιστεύω ότι θα ισχύει πάντοτε. Μπορεί να ισχύει για μερικούς αριθμούς, αλλά μπορεί

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/43

- Το πρόβλη μα με τα παρτέρια λουλουδιών: κανονικότητες, αλγεβρικές παραστάσεις και συν αρτή σεις ­

μια γενική πρόβλεψη, επαληθεύουμε πολλές φορές την υπόθεσή μας εξετάζοντας αν έχει νό­ ημα. Όταν γενικεύουμε μια κανονικότητα με βάση ένα μικρό «δείγμα» συνδυάζουμε την υπό­ θεση που εξηγεί τα ειδικά παραδείγματα και Οι μαθήτριες κατέληξαν στη χρήση μετα­ περνάμε από το μερικό στο γενικό. Την απόστα­ βλητών, μπήκαν στο χορό και άλλοι συμμα­ ση που μάς χωρίζει με το βαθύτερο πλούτο της θητές τους, και στο τέλος έγραψαν και αιτι­ απόδειξης θα γεφυρώσουμε στο Λύκειο, σκαρ­ ολόγησαν τη λύση τους. Ο ζητούμενος γενι­ φαλώνοντας σε ψηλότερες μαθηματικές κορυ­ κός τύπος για να αποφασίζουν οι κηπουροί φές! κάθε φορά ποιος είναι ο απαιτούμενος αριθ­ μός εξαγωνικών πλακών για ν παρτέρια εί- Μ αθηματικές προ κλήσεις για αυτενέ ργεια Στη συνέχεια, σάς προτείνουμε μερικές μαθημα­ ναι ο εξής: y=4·ν+2 πλάκες. Ο προηγούμενος τύπος παριστάνει μια συ­ τικές προκλήσεις από τη χώρα των κανονικοτή­ νάρτηση στην οποία ο γενικός όρος εκφρά­ των για να οξύνετε περαιτέρω την εξυπνάδα σας. Οι εικόνες σάς περιμένουν για να στηρίξουν τις ζεται ως συνάρτηση της θέσης του. Μαζί με τη θαυμαστή αβεβαιότητα της μα­ ζεστές σκέψεις σας. Λύνοντας τα προβλήματα, θηματικής συζήτησης στην τάξη ξυπνούν θα αποκτήσετε μια ευχάριστη γνωριμία με την αντιρρήσεις και συγκρίσεις που υποδαυλί­ αλγεβρική παράσταση, τη συνάρτηση και την ζουν την αγάπη για το παρακινδυνευμένο εξίσωση. Βάλτε αμέσως σε κίνηση το δημιουρ­ και το αδοκίμαστο ανοίγοντας καινούργιους γικό μυαλό σας και σίγουρα θα τα καταφέρετε! γόνιμους προβληματισμούς . Μπορεί ο κανό­ νας ενός μοτίβου να ισχύει για μερικούς μόνο Πρόβλημα 1 : Θεωρούμε μια ακολουθία σπιρτο­

να μην ισχύει για μερικούς άλλους. Ελένη : Για να αποδείξουμε ότι ισχύει για όλους τους αριθμούς θα χρησιμοποιή­ σουμε μεταβλητές . . .

φυσικούς αριθμούς, όπως ισχυρίστηκε η Σο­ φία; Η αμφιβολία για την αποδοχή του κα­

νόνα στον προηγούμενο διάλογο θέτει έμ­ μεσα το βαθύτερο ερώτημα σε τι συνίσταται μια έγκυρη και αποτελεσματική γενίκευση. Για τους μαθηματικούς μια δημιουργική πράξη είναι έγκυρη μόνο με την απόδειξη, η οποία είναι το πιο προχωρημένο στάδιο μα­ θηματικού συλλογισμού. Στα Μαθηματικά, όλα τα πράγματα πρώτα ορίζονται ή απο­ δεικνύονται γενικά και ύστερα εφαρμόζο­ νται στις ειδικές περιπτώσεις. Η απόδειξη μάς βεβαιώνει ότι ένας κανόνας ισχύει για όλους τους αριθμούς. Η λεγόμενη τέλεια ή μαθηματική επαγωγή αποτελεί μια εξελιγ­ μένη μορφή αποδεικτικού συλλογισμού, η οποία διδάσκεται στο Λύκειο. Ωστόσο, στο Γυμνάσιο είμαστε ευτυχείς με όσα παρατέθηκαν. Είναι καλύτερα αντί να μαθαίνουμε ορισμούς και έτοιμες αποδείξεις να εξερευνούμε προβλήματα και να πλά­ θουμε τις δικές μας εξηγήσεις. Η ανακάλυ­ ψη του γενικού κανόνα (y=4·ν+2) παραπέ­ μπει στο είδος συλλογισμού που περιγρά­ ψαμε: συνδυάζει τη διατύπωση ενός υποθετικού κανόνα με την επαναληπτική χρήση λίγων παραδειγμάτων. Για να διατυπώσουμε

σχημάτων από τετράγωνα. Το 1 ο σχήμα αποτελεί­ ται από ένα τετράγωνο, το 2ο από δύο τετράγωνα και η σειρά συνεχίζεται κανονικά.

ο o=:J ο:=ο (Ζο)

(lo)

(3ο)

α) Πόσα σπιρτόξυλα υπάρχουν στο 4° σχήμα; Αν συνέχιζες το μοτίβο πόσα σπιρτόξυλα θα χρειαζόσουν για να δημιουργήσεις το 8° σχή­ μα; β) Θα σου έπαιρνε πολύ χρόνο για να φτιάξεις ή να σχεδιάσεις το 1 Oif σχήμα. Να περιγράψεις έναν σύντομο τρόπο για την εύρεση του αριθ­ μού των σπιρτόξυλων του 1 Oifv σχήματος. γ) Να γράψεις έναν κανόνα για την εύρεση του αριθμού των σπιρτόξυλων που χρειάζονται για κάθε σχήμα, και να εξηγήσεις γιατί αυτός λειτουργεί;

Πρόβλημα

2°:

Θεωρούμε μια ακολουθία σχημά­ των από τετραγωνάκια που σχηματίζουν το γράμ­ μα «Τ». Η σειρά συνεχίζεται κανονικά.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/44

- Το π ρόβί....,.. �

τv

Σαpτέρια λουλουδιών : κανονικότητες, αλγεβρικές παραστάσεις και συναρτή σεις-

• .

.

Ιο 2ο 3ο α) Πόσα τεrρα-;ωνάκια έχει το 6ο και το 1 ΟΟο σ-ιfιμα; β) Να δημιουργήσετε πίνακα τιμών για ν=1,2, .. 6. Να παραστήσετε τα ζεύγη τιμών με σημεία σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων.

7) Ποιος είναι ο κανόνας προσδιορισμού του αριθμού των τετραγώνων που χρειάζονται στο νιοστό σχήμα; δ) Υπάρχει σχήμα με 1 77 τετράγωνα; Αν υ­ πάρχει ποια σειρά έχει αυτό το σχήμα στην ακολουθία; Αν δεν υπάρχει να εξηγήσετε γιατί;

ΙΙρ8ΙΙ1ημα

38: Θεωρούμε μια ακολουθία σχημάτων από τετραγωνάκια που μετά από το 1 ο σχηματίζουν τους «Γνώμονες του Πυ­ θαγόρα». Η σειρά συνεχίζεται κανονικά.

•••• •••• •••• • •••• • • • • •••• • •••• •••• ••••

• • • •

• • • •

• • • •

• • • •

•••• •••• •••• • •• • • • ••• • ••• • •••• •••• ••••

2ο lo 3ο α) Να βρείτε έναν γενικό τύπο που να παρέχει τον αριθμό των πράσινων τετραγώνων που υπάρ­ χουν σε κάθε σχήμα. Να αιτιολογήσετε τον τύ­ πο. β) Πόσα πράσινα τετραγωνάκια υπάρχουν στο σχήμα 9; Πώς το ξέρετε; Ί) Ποιος είναι ο αριθμός του σχήματος που περιέ­ χει συνολικά 94 πράσινα τετράγωνα. Να εξη­ γήσετε.

Πρό111ημα �: Θεωρούμε μια ακολουθία σχημά-

των από τετραγωνάκια.

Ιο

2ο

3ο

4ο

α) Πόσα τετραγωνάκια έχει το 7ο σχήμα; β) Πόσα τετραγωνάκια έχει το 1 ΟΟο σχήμα; 7) Ποιο είναι το βήμα, στο οποίο το σχήμα έχει συνολικά 1 04 τετράγωνα. Να εξηγήσετε.

Ιο

2ο

3ο

4ο

Πιι'llbιμα ft: Θεωρούμε την παρακάτω σειρά

τετραγώνων.

α) Πόσα τετραγωνάκια έχει το 7ο και πόσα το 1 ΟΟο σχήμα; β) Να βρείτε έναν τύπο που να δίνει άμεσα τον αριθμό των τετραγώνων που χρειάζο­ νται στο νιοστό σχήμα με δύο διαφορετι­ κούς τρόπους. Να αιτιολογήσετε κάθε τύ­ πο.

7) Πόσα τετράγωνα έχει το άθροισμα των πρώτων 1 00 σχημάτων; .DράμJιιια 4': Θεωρούμε μια ακολουθία σχημάτων από τετραγωνάκια.

Ιο

2ο

3ο

4ο

α) Πόσα τετράγωνα θα έχει το rJ3 σχήμα; Να σχε­ διάσεις και να εξηγήσεις. β) Πόσα τετράγωνα θα έχει το 1 0rf σχήμα ; Να εξηγήσεις. Ύ) Να βρεις ένα τύπο για το συνολικό αριθμό τε­ τραγώνων του σχήματος (ν). Να εξηγήσεις πώς βρήκες την απάντησή σου;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/45

Ε ΚΘ ΕΣ Η ΜΑΘ ΗΜΑΤΙ ΚΩΝ

Κούκιου Αλεξάνδ ρ

1 ° Γυμνάσιο Νέας Ιωνίας Αττικ ΕΙΣΑΓΩΓΉ Οι δραστηριότητες που περιγράφονται παρακάτω υλοποιούνται από μαθητές Γυμνασίου, κατά την διάρκι μιας σχολικής χρονιά. Οι μαθητές δουλεύουν σε ομαδικές εργασίες ή σε ατομικές κατασκευές. κατασκευές είναι αναπαραστάσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου, ενώ οι ομαδικές εργασίες εί\ στατιστικές έρευνες (πχ ποιο είναι το αγαπημένο σου μάθημα, πόσες ώρες είσαι στο facebook κ. ά ) ιστορικά αφιερώματα πάνω σε θέματα μαθηματικών. Στο τέλος της χρονιάς παρουσιάζεται μια έκθε μαθηματικών στο χώρο του σχολείου η οποία περιλαμβάνει όλα τα έργα των μαθητών. Η έκθεση έγινε προηγούμενα χρόνια στο 15° γυμνάσιο Κυψέλης, στο 1° γυμνάσιο Φιλαδέλφειας, στο 2° γυμνάc Γαλατσίου, στο 5° γυμνάσιο Νέας Ιωνίας και στο 3° γυμνάσιο Νέας Ιωνίας. Αφορμή για την ιδ έα της έκθεσης του υλικού των δραστηριοτήτων των μαθητών έδωσαν οι ίδ ιοι μαθητές όταν κατά τη δ ιάρκεια μιας σχολικής χρονιάς είχαν δη μιουργήσει υπέροχες εργασίες μετά α μια στατιστική έρευνα που είχαν κάνει μέσα στο σχολείο στα πλαίσια του μαθήματος των ποσοστών. ' θέματα ήταν διαλεγμένα από τους ίδιους τους μαθητές (ποια είναι η αγαπημένη σου ποδ οσφαιρι ομάδα, ποιος είναι ο αγαπημένος σου τραγου διστής, πόσες ώρες είσαι στο facebook κα) 1< αντανακλούσε τα ενδιαφέροντά τους. Θέλαμε να επικοινωνήσουμε τις ιδέες των μαθητών και σε άλλο και έτσι ξεκίνησε η ιδέα μιας έκθεσης. ΟΙ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΕΚΘΕΜΑΤΑ Ας δούμε τώρα τις δ ραστηριότητες που αναπτύσσουν οι μαθητές κατά την διάρκεια της σχολικ χρονιάς. Κατ αρχήν χωρίζονται σε ομάδ ες οι οποίες ασχολούνται με συγκεκριμένα θέματα: • Αναζήτηση στο δ ιαδίκτυο και παρουσίαση ενός θέματος από την ιστορία των μαθηματικών.

• Στατιστική έρευνα • Κατασκευές • Καλλιτεχνικές δημιουργίες Οι μαθητές χωρίζονται σε ομάδες με βάση τις επιθυμίες τους και τις συμπάθειες που έχουν μεταξύ το1 φιλίες κλπ. Οι ομάδ ες θα πρέπει να είναι ισότιμες μεταξύ τους και να βρίσκονται σε συχνή επαφή με τον καθηγητή . Όλες οι εργασίες παρουσιάζονται μέσα στην τάξη και στο τέλος της χρονιάς σε μια έκθεση που θα γίνεται στον χώρο του σχολείου. Η έκθεση θα περιλαμβάνει 4 ενότητες: Ενότητα 1 Ιστορία Για να γνωρίσουν τους μεγάλους μαθηματικούς της αρχαιότητας(Ευκλείδης, Πυθαγόρας, Θαλής) αλλά και για να γίνει ένα ευχάριστο διάλειμμα από το μάθημα, ομάδες μαθητών αναλαμβάνουν ν' αναζητήσουν πληροφορίες και να τις παρουσιάσουν στην τάξη . Η αναζήτηση γίνεται α) σε εγκυκλοπαίδ εια β) σε τοπικές βιβλιοθήκες γ) σε internet. Οι μαθητές επεξεργάζονται τις πληροφορίες που συλλέγονται, και τις παρουσιάζουν στην τάξη, είτε με δ ιαφάνειες, είτε με • power point. Τέλος, επιλέγονται κομμάτια τα οποία θα συνθέσουν ένα μεγάλο χαρτόνι που θα παρουσιαστεί στην έκθεση.

-

Ενότητα 2 Στατιστικές έρευνες Οι μαθητές ενός τμήματος χωρίζονται σε δύο η τρεις μεγάλες ομάδες και αποφασίζουν το θέμα της έρευνας. Τ α θέματα (ποιο είναι το αγαπημένο σου μάθημα, ποιο είναι το αγαπημένο σου σπορ, τι ομάδ α είσαι, τι μουσική ακούς, πόσες ώρες είσαι στο facebook;) προτείνονται από τους -

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 95 τ.3/46

-------

Έκθεση Μαθη ματικών

-------­

ίδιους τους μαθητές, ανόJ..ΙJγα με τα ενδιαφέροντά τους, και φυσικά έχουν την αποδ οχή του καθηγη1 Στη συνέχεια η ομάδα επιλέγει αρχηγό ο οποίος έχει σκοπό, με δημοκρατικές πάντα δ ιαδ ικασίες, συντονίζει τα μέλη. Οι εργασίες που μοιράζονται είναι: Γκάλοπ (κυρίως σε μαθητές όλης της τάξης επεξεργασία των αποτελεσμάτων - εξαγωγή ποσοστών - πίνακας αποτελεσμάτων - ραβδόγραμμα κυκλικό διάγραμμα - ορθογώνιο διάγραμμα . τέλος κάποιος αναλαμβάνει να παρουσιάσει όλα παραπάνω σ' ένα μεγάλο χαρτόνι του οποίου θα έχει την καλλιτεχνική επιμέλεια. Η ομάδ α παρουσιάt την εργασία στην τάξη, βγαίνουν συμπεράσματα, γίνονται ερωτήσεις. Η τελική εργασία θα παρουσιασ1 στην έκθεση. ·

·

Ενότητα 3-Ανωrαράσταση ασκήσεων του σχολικού Βιβλίου. Ορισμένοι μαθητές προτιμούν κιναισθητικές, οπτικές, απτικές, ακουστικές δραστηριότητες ή συνδυασμούς αυτών στη διδακτική προσέγγιση, ώστε να επιτευχθεί η συμμετοχή τους στη μάθηση. Οι δραστηριότητες πρέπει να συσχετίζουν τις μαθηματικές έννοιες με τις εφαρμογές τους στην καθημερινή ζωή, έτσι ώστε να γίνει η σύνδεση του συγκεκριμένου με το αφηρημένο στάδιο σκέψης. Ορισμένες ασκήσεις του βιβλίου αναφέρονται σε τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Ζητείται λοιπόν από τους μαθητές να τις ζωντανέψουν να τις οπτικοποιήσουν και να τις παρουσιάσουν στην έκθεση . Οι εργασίες μπορεί να είναι ατομικές ή ομαδικές. Κάποιες γίνονται στην διάρκεια του μαθήματος κάποιες άλλες στο σπίτι. Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι ενδ εικτικά

κ

.Άσκηση : Να υπο;.ογιστούν οι όγκοι των στερεών με μονάδα όγκου τον κύβο κ Οι μαθητές φτιάχνουν όμοια κυ βάκια από χαρτόνι και τα τοποθετούν έτσι ώστε να προκύψει το επιθυμητό σχήμα. Η κατασκευή αυτή βοηθά τους μαθητές να κατανοήσουν καλύτερα την έννοια του χώρου

.Άσκηση : Να βρεθεί το εμβαδόν της οικίας. Οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν ένα οποιο δήποτε σπίτι, ακόμη και το δικό τους, να φτιάξουν κάτοψη και να υπολογίσουν το εμβαδόν. Εδώ οι μαθητές για να ολοκληρώσουν την κατασκευή πρέπ να λύσουν και το της κλίμακας . .Άσκηση : Ένα ποτιστικό κανάλι περνάει κοντά από δυο αγροτόσπιτα Α και , Οι ιδιοκτήτες των σπιτιών θέλουν να εγκαταστήσουν μια βάνα σε κάπο σημείο της όχθης του καναλιού για να ποτίζουν τα χωlράφια τους. 'Λ υποδείξετε το κατάλληλο σημείο στην όχθη που να ισαπέχει από τα δυο σπίτιι

.Άσκηση : Να βρεθεί η περιοχή μέσα στην οποία κινείται ο σκύλος Εδώ οι μαθητές ξεκαθαρίζουν την έννοια του κύκλου και του κυκλικού δίσκου. Αναπαριστούν δύο διαφορετικά προβλήματα του σχολικού βιβλίου , ένα όταν ο σκύλος είναι στη γωνία του σπιτιού και ένα όταν βρίσκεται σε κάποιο σημείο της πλευράς .

.Άσκηση : Μια επιχείρηση αποφάσισε να κατασκευάσει ένα εργοστάσιο σε μια αγροτική περιοχή. Το εργοστάσιο πρέπει να βρίσκεται μακριά από τα σπίτια και σε ακτίνα 600μ τουλάχιστον απ ' αυτά. Επίσης πρέπει ν ' απέχει το λιγότερο 250μ από την άκρη του δρόμου. Να βρείτε σε ποιες περιοχές μπορεί να χτιστεί το εργοστάσιο. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/47

-------

Έκθεση Μ αθη ματικών

------

Ενότητα 4 Καλλιτεχνικές δημιουργίες -

Όταν τελειώνουν το μάθημα της συμμετρίας οι μαθητές της Α γυμνασίου δημιουργούν μικρά έργα τέχνης. Αφιερώνεται μια διδακτική ώρα κατά την οποία οι μαθητές, έχοντας φέρει όλα τα απαιτούμενα υ λικά (μπογιές, ακουαρέλες, χάρακες), ζωγραφίζουν με ο δηγό την αξονική ή την κεντρική συμμετρία. Όλα τα έργα θα αναρτηθούν στην έκθεση .

Επίλογος

Το όφελος, κάθε φορά που υλοποιήθηκαν οι παραπάνω δ ραστηριότητες, ήταν μεγάλο. Το μάθημα έγινε πιο ζωντανό, οι μαθητές έδ ειχναν πιο μεγάλο ενδ ιαφέρον. Υπήρχε έντονος συναγωνισμός για το ποιος θα κάνει την καλύτερη εργασία και αυτό είχε ως αποτέλεσμα να γίνονται πιο σωστά και ακριβή σχήματα. Μέσα από αυτή τη διαδ ικασία αναδ είχτηκαν και οι δυσκολίες των μαθητών στη χρήση γεωμετρικών οργάνων. Οι μαθητές κατανόησαν καλύτερα έννοιες όπως κύκλος, μεσοκάθετος, εμβαδόν κ.α., αλλά και διαχώρισαν άλλες, όπως κύκλος-κυκλικός τομέας. Η γνωριμία με τους μαθηματικούς της αρχαιότητας κινητοποίησε το ενδιαφέρον τους και ενίσχυσε την εκτίμηση τους για τα μαθηματικά. Για πρώτη φορά αντιμετώπισαν τα μαθηματικά ως τέχνη ως ιστορία ως γενικότερα ένα πολιτισμικό αγαθό Επιπλέον δ ουλεύοντας ομαδικά, γνώρισαν καλύτερα τις δυνατότητες τους. Έμαθαν να συνεργάζονται, να αξιολογούν πληροφορίες, να προετοιμάζουν παρουσιάσεις, να διορθώνουν, και γενικότερα να αναλαμβάνουν πρωτοβουλίες, αναδ εικνύοντας τα κοινωνικά χαρακτηριστικά της συνεργατικής μάθησης. Η συγκεκριμένη δ ιαδικασία κατάφερε <<να φέρει όλη την τάξη μαζί» αφού πρόσφερε πλούσιες σε μαθηματικά νοήματα συζητήσεις, δημιούργησε συνθήκες για κατάλλη λα δομημένη αλλη λεπίδ ραση μεταξύ των μαθητών αλλά και μεταξύ των μαθητών και του εκπαιδ ευτικού ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ •

• •

•

• •

•

•

Papert S., ( 1 980). Νοητικές Θύελλες Παιδ ιά, Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές και Δυναμικές Ι δέες. Εκδ όσεις Ο δυσσέας Piaget, J. ( 1 967). La psychologie de l' intelligence, Paris, Annan Colin Arcaνi, A.,(2003).The Role of Visual Representations in the Learning of Mathematics Educatίonal

studίes ίn Mathematίcs 52,2 1 5-24 1 Bishop,A ( 1 989) Reνiew of research in visualization in mathematics education Focus on learnίng Problems ίn Mathematίcs, 1 1 ( 1 ),7- 1 6.

Tzanakis C. , Arcavi Α., 2000, 'Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey', in J. Fauvel and J. van Maanen (eds), Hίstoιy ίn Mathematίcs Educatίon. The IC.MI Study, Dordrecth: Kluwer Academic Publishers, pp. 20 1 - 240 . .

Greeno, J ( 1 993). Transfer of Situated Learning, In D. Dettennan & R. Sternberg (Eds.). Transfer on Trial. Norwood, New Jersey: Ablex Publishing Corporation. Pp. 99-1 67.

Κυνηγός Χ., Ψυχάρης Γ., Γαβρίλης Κ. & Κείσογλου Στ. (20 1 0). ΔΙΑΔΡΑΣτΙΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ & Η αξιοποίησή τους στη διδ ασκαλία των ΜΑΘΗΜΑτΙΚΩΝ στη δ ευτεροβάθμια εκπαίδευση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/48

Τα Μαθηματικά μας δ ιασκεδάζουν! =======

Ο ιδιοκτήτης μιας τετράγωνης πισίνας θέλει να διπλασιάσει την επιφάνειά της. Όμως στις τέσσερις γωνίες της πισίνας υπάρχουν 4 δενδράκια που ο ιδιοκτήτης δεν θέλει να πειράξει. Θα τον βοηθήσετε; 1)

Πώς μπορούμε με 8 οκτάρια να σχηματίσουμε τον αριθμό 1 000.

Παναγιώτης Θεοδώρου - Μαρία Ρουσούλη 5)

Έχουμε 9 σακούλες με φασόλια και μία ζυγαριά. Μία από τις σακούλες είναι λίγο ελαφρύτερη από τις άλλες. Πώς θα τη βρούμε κάνοντας μόνο 2 ζυγίσματα;

Απαντή σεις τ ου τ εύχου ς 9 4

2)

1 000

1)

Α=4,

Β=1 ,

Γ=Ο.

Ο Βασίλης έγραψε 1 6 σωστές απαντήσεις και 4 λάθος και πήρε 1 6 - 4χ0,5= 14. Ο Δημήτρης είπε ψέματα καθώς δεν μπορεί κανείς συνδυασμό σωστών και λάθους να δώσει 1 5 μονάδες.

2)

Ο κύριος Πάνος παίρνει 50 € για να κόψει ένα κορμό σε δύο κομμάτια. Πόσα χρήματα θα πάρει για να κόψει ένα κορμό ίδιου πάχους σε 8 κομμάτια;

3)

Υπάρχουν στο σχήμα 1 1 τετραγωνάκια και επομένως κάθε ένα έχει εμβαδόν 1 6cm2 άρα η πλευρά του είναι 4cm. Η συνολική περίμετρος είναι 24cm.

3)

Από τη διαφορά 1 80€ - 120€ = 60€ βρίσκουμε πόσα περισσότερα χρήματα έχει η Μαρία από την Άννα. Από τη διαφορά 1 80€1 00€ =80€ βρίσκουμε πόσα περισσότερα χρήματα έχει η Θάλεια από την Άννα, άρα η Άννα έχει τα λιγότερα χρήματα. Όλες μαζί είχαν τα μισά από το άθροισμα 1 80€ + 1 20€ + 60€ =400€ άρα είχαν 200€. Αφού η Μαρία και η Θάλεια είχαν 1 80€ άρα η Άννα έχει 20€.

4)

4) Να τοποθετήσετε μέσα στα 9 τετράγωνα τους αριθμούς 1 ,2,3,4,5,6,7,8,9 ώστε οριζόντια, κάθετα και διαγώνια να έχουν άθροισμα 1 5 .

5)

(8χ8)+8+ � 8

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 95 τ.3/1

πα

δι

@

ΕΘΝ Ι ΚΗΣ

Το πρόγραμμα «Παιδικό ΕΘΝΙ ΚΗΣ» δημ ιουργήθηκε για να σας βοηθήσει να εξασφαλίσετε όλα αυτά που επιθυμείτε για το παιδί σας. Με μηνιαίες καταβολές που ξεκινούν από € 50. μ πορείτε να φροντίσετε από σήμερ α για τις σπουδές του . το επ αγγελματικό του ξεκίνη μα. τ η δημιουργία οικογένειας ή την εξασφάλιση ενός μ ηνιαίου εισοδή μ ατος.

ΕΘΝ Ι ΚΗ Η ΠΡΩΤΗ ΑΣΦΑΛΙΣτtΚΗ

Πληροφορίες στα Καταστήματα της Τράπεζας rί στα:

( 800-11 -10030

www. nbg.gr

ΕΘΝΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ