Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου
Δίνεται κύκλος (0, R) και ένα σημείο Α τέτοιο ώστε: ΟΑ
=
R J5.
- 4R2 ( π-2)= 4R2 ( 6-π).
ο
,
Ά ρα Ε = R -
Από το Α φέρουμε την
τέμνουσα ΑΒΓ με ΑΒ
= ΒΓ και την εφαπτομένη
ΑΔ.
Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, R) εφάπτονται
Να υπολογίσετε το εμβαδό του μικτόγραμμου
εξωτερικά
τριγώνου ΑΒΔ.
παράλληλες
στο
ση μείο
ακτίνες
Α.
ΚΒ,
Φέρουμε
ΛΓ
στο
τις ίδιο
ημιεπίπεδο προς την ΚΛ. Με διάμετρο την ΒΓ
Λ i1 ση
γράφουμε ημικύκλιο εξωτερικό των παραπάνω κύκλων. Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε που
Ι σχύει:
ΑΒ . ΑΓ = ΑΟ 2 - R 2
<=> ΑΒ . 2ΑΒ = ( R J5)2 -R2 <=>
<=> ΑΒ = ΒΓ = RJ2 = λ
ΑΒ, Ar
ορίζουν τα τόξα
4
και
ΒΓ
ισούται με το
εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΒΓ Λ.
I/
ΚΒΓΛ παραλληλόγραμμο. Άρα Β Γ ΚΑ 2R Επειδή
ΚΒ = ΛΓ = R, το
=
είναι
=
Α
<=> ΑΔ2 2R (ΑΟΓ) 2(ΓΟΒ) R (ΑΟΔ) = _!_ ΟΔ · ΑΔ = R 2 2
και ΑΒ-ΑΓ = ΑΔ2 όμως: =
z
=
=
Ακόμα
Και έχοντας κοινή πλευρά την ΟΑ προκύπτει ότι
(ΚΒΓΛ)
έχουν ίσα ύψη προς αυτήν δηλ Γ Κ = ΖΔ. Άρα
ΓΚΔΖ παραλληλόγραμμο, με διαγώνιους ΚΖ, Δ οι οποίες διχοτομούνται, άρα Δ διάμετρος. Αν Ε το ζητούμενο τότε: Ε = (ΔΒΑ) - Τ , Τ το εμβαδό του κυκλικό τμήματος τόξου ΔΒ.
Γ
= (ΒΓΛΑΒ) + ( Κ · ΑΒ) = (ΒΓΛΑΒ) + (Λ · ΓΖ)
= (ΑΒΔΑ ) + (ΑΔΓΖΑ) = ( ΑΒΔΑ) + (ημικύκλιο ΑΖ ) - Τ
R
= (ΑΒΔΑ) + (ημικύκλιο ΒΓ) - Τ Ε. Όπου Τ είναι το εμβαδό κυκλικού τμήματος =
π 2 2 =-(π-2) R2 4 ο
R 1 Τ = (ΟΔΒ) - (ΟΔΒ) = --R� 4 �
(1)
(I)
(ΔΒΑ) = _!_ (ΔΓΑ) = 2
2
<=>(Κ . ΑΒ) = (Λ · ΓΖ)
οπότε έχουμε:
1/
Γ
ΑΚΒ = ΓΛz
Ε Υ ΚΛ Ε ΙΔΗΣ
----
τόξου ΔΓ. Β'
7 1 τ.3/46