Ευκλειδης Β 71 by demi de

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ETAIPEIA Τεύχος

•

Ιανουάριος

•

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ I

Φεβρουάριος

2009·

e-mail: info@hms.gr www.hms.gr

./ Πιθανότητες

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

./ Χρυσός λόγος

./ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

./ Homo Mathematicus

./ Άλγεβρα: Μελέτη Συνάρτησης-Συστήματα-Τριώνυμο

Μαθηματικά Α' Τάξης

Έτ ο ς λ η '

ΓΙΑ ΤΟ

•

Ε υ ρ ώ:

3,50

ΛΥΚΕΙΟ

./ Άλγεβρα:

Μαθηματικά Β' Τάξης

Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση Κανονικά πολύγωνα και Εμβαδά Κωνικές Τομές

Μαθηματικά Γ' Τάξης

./ Μαθηματικά fενικής Παιδείας: Πιθανά και Απίθανα ./ Μαθηματικά Κατεύθυνσης: Θέματα Παραγώγων

••••••••••••••••••••••

./ Η ταχύτητα κινητού ως ρυθμό μεταβολής διανύσματος ./ Η αναζήτηση μεγίστου και ελαχίστου στη fεωμετρία

Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι, Σας ευχαριστούμε που περιβάλλετε με εκτίμηση το

καλοπροαίρετη κριτική σας και τις ενδιαφέρουσες ερ· γασίες σας. Η συνεργασία σας μας είναι πάντα απαραίτητη και

40 47

μας ενδυναμώνει στη συνέχεια της προσπάθειάς μας Σε μικρό χρονικό διάστημα θα έχετε στα χέρια αας και το 4ο τεύχος για μια ολοκληρωμένη επaνάληψη

51 55

Με ευχές για υγεία και πρόοδο Ο Πρόεδρος της Συντακτικής Επιτροπής Γ.Σ. Ταααόπουλος Ο Αντιπρόεδρος της Συντακτικής Επιτροπής Β. Ευσταθίου

./ Αλληλογραφία

./ Τα Μαθηματικά μας Διασκεδάζουν

./ Ο Ευκλείδης προτείνει...

Γράμμα της Σύνταξης

περιοδικό μας, και βοηθάτε στην αναβάθμισή του με την

./ fεωμετρία: Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια

./ Κατεύθυνση:

Μάρτιος

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

./ Eνariste Galois

./ fεωμετρία:

•

Σύνθεση εξωφύλλου:

Από θεωρία Gαlois, από Θεωρία Ομάδων και συμμετρί α μια αποκαλυπτική απεικόνιση

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Συντα κτική ε πιτ ρο π ή

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕτΑΙΡΕΙΑΣ

ΓΙΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34 106 79 ΑΘΗΝΑ

Τιι.': 2103617784-3616532 Fox: 2 103641025

Εκδότης:

Εκτελεστική Γραμματεία

Πρόεδρος:

Τασσόπουλος Γιώργος Αντιπρόεδρος:

Αλεξανδρής Ν ι κ όλαος

Ευσταθίου Βαγγέλης

Διευθυντής:

Γραμματέας:

Τυρλής Ιωάννης

Χριστόπουλος Πανaγιώτης

Επιμέλεια 'Εκδοσης:

Μέλη:

Τασσόπουλος Γιώργος Ευσταθίου Βαγγέλης

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ.: 2055

ISSN: 1105- 7998

Αργυράκης Δ. Δρούτσας Π. Λουρίδας Σ. Ταπεινός Ν.

Αθανασόπουλος Γεώργιος Αναστασίου Γιάννης Ανδρουλακάκης Νίκος Αντωνόπουλος Νίκος Αργυράκης Δημήτριος Βακαλόπουλος Κώστας Δρούτσας Παναγιώτης Ευσταθίου Βαyyε'λης Ζαχαρόπουλος Κων/νος Ζώτος Βαyyε'λης Κακκαβάς Απόστολος Καλίκας Σταμάτης Κανε'λλος Χρήστος Καραγκούνης Δημήτρης Καρακατσάνης Βασίλης Καρκάνης Βασίλης Κατσούλης Γιώργος Κερασαρίδης Γιάννης Καρδαμίτσης Σπύρος Κηπουρός Χρήστος Κλάδη Κατερίνα

Κόντζιας Νίκος Κοτσιφάκης Γιώργος Κουτρουμπε'λας Κώστας Κυριαζής Ιωάννης Κυριακόπουλος Αντώνης Κυριακόπουλος Θανάσης Κυβερνήτου Χρυστ. Λαζαρίδης Χρήστος Λάππας Λευτέρης Λουρίδας Σωτήρης Μαλαφέκας Θανάσης Μανωλάκου Στοματική Μαυροyιαννάκης Λεωνίδας Μενδρινός Γιάννης Μεταξάς Νικόλαος Μπρίνος Παναγιώτης Μυλωνάς Δημήτρης Μώκος Χρήστος Πανουσάκης Νίκος Ρέγκλης Δημήτρης

Σdί'rη Εύα Σταϊκος Κώστας Στάϊκος Παναγιώτης Στρατής Γιάννης Ταπεινός Νικόλαος Τασσόπουλος Γιώργος Τζιώτζιος Θανάσης Τριάντος Γεώργιος Τσαγκάρης Ανδρέας Τσατούρας Ευάγγελος Τσικαλουδάκης Γιώργος Τσιούμας Θανάσης Τυρλής Ιωάννης Φανέλη Άννυ Χαραλαμποπούλου Λίνα Χαραλάμπους Θάνος Χριστιάς Σπύρος Χριστόπουλος Παναγιώτης

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •

Ψύχας Βαyyελ ' ης

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργάτεc;, τα άρθρα, οι προτεινόμεvεc; ασκήσειc;, οι λύσειc; ασκήσεων κτλ. πρέπει να στεΆvονται έγκαιρα, στα γραφεία τηc; Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη β'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται.

Τιμή Τεύχους ευρώ 3,50 Ετήσια συνδρομή (12,00 + 2,00 Ταχυδρομικά Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 12,00

ευρώ 14,00)

Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραyyέλνονται στεΆνεται με απλή επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 ή πληρώνεται στα γραφεία τηc; Ε.Μ.Ε.

Εκτύπωση: ΙΝΤΕΡΠΡΕΣ Α.Ε. τηλ.: 210 8160330 Υπεύluνος τuπογpαφείοu: Β. Σωτηριάδης

Evariste Galois

Μια τραγική μεγαλοφυ1:α του Χρή στου Δεμοίρου

Γύρω στα 1830, στο περιβάλλον του Παρισιού, με την έντονη Μαθηματι κή δραστηριότητα, αναπτύχθηκε μια μεγαλοφυ'ία πρώτου μεγέθους, που σαν κομήτης εξαφανίστηκε τόσο ξαφνικά, έτσι όπως είχε εμφανιστεί . Στη σύντο μη και πολυτάραχη ζωή του ο Ε βαρίστ Γκαλουά (Eνariste Galois), πρ όλ α β ε να αλλάξει την ό ψη της σi)γχρ ο νης Άλγεβ ρ ας και να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα που απασχολούσαν τα Μαθη ματικά για περισσότερα από 3.000 χρ ό νια ( Βαβυλωνίους, αρχαίους Έλληνες και Άραβες). Βρέθηκε όμως επα νειλη μμένως στη δίνη πολιτικών αντιπαραθέσεων που όχι μόνο τον απομά κρυναν από Ακαδη μαϊκή καριέρα αλλά τον οδήγησαν τελικά στο θάνατο. Ο Γκαλουά γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 18 1 I στη μικρή πόλη Bourg la R eine που βρίσκετ αι μερικά χιλιόμετ ρα νότια του Παρισιού. Ο πατέρας του ήταν ευχάριστος και πνευματώδης άνθρωπος και ήταν παθιασμένος εχθρός της μοναρχίας. Διατη ρούσε οικοτροφείο νέων και το 18 1 5 , όταν ο μικρός Εβαρίστ ήταν 4 χρονών, εκλέ χθηκε δή μαρχος της Bourg 1a Reine. Η μητέρα του προερχόταν από οικογένεια που είχε, επί πολλές γε νιές, παράδοση διακεκριμένων δικαστικών. Κόρη ειρηνοδίκη είχε λάβει κλασσική και θρησκευτική παι δεία, ενώ λάτρευε τον αρχαίο πολιτισμό. Αυτή την παιδεία μετέδωσε στον γιο της, που πολύ νωρίς τον διέκρινε ένα βαθύ αίσθημα δικαιοσύνης και ένα πάθος για την δη μοκρατία. Το 1823 σε ηλικία 12 χρονών ο Γκαλουά μπήκε 4ος στο γυμνάσιο Louis \e Grand στο Παρίσι. Στην αρχή η επίδοση του ήταν ικανο ποιητική, αλλά λίγους μήνες μετά συνέβη κάτι που θα επη ρέαζε την υπόλοιπη ζωή του . Η Γαλλία του 1823 αναπολούσε την επανάσταση . Ήταν μια εποχή συνωμοσιών, εξεγέρσεων και φη μών για επικείμενη επανάσταση. Υπήρχε ένας αδιάκοπος αγώνας μοναρχικών και δημοκρατικών σχετικά με την ισορροπία των εξουσιcον. Όλο αυτό το κλί μα μεταφερόταν και στο πρώην Ιησουϊτικό σχολείο του Γκαλουά. Με τη φή μη ότι το σχολείο θα επιστρεφόταν στη δικαιοδοσία ιερέων, των οποίων η αυξανόμενη επιρροή αποτε λούσε ένδειξη μετατόπισης προς το βασιλιά, μία ημέρα, μερικοί από τους μαθητές των μεγαλύτερων τά ξεων αρνήθηκαν να ψάλλουν στο παρεκκλήσι . Την επόμενη ο γυμνασιάρχης, που η συμπεριφορά του θύ μιζε περισσότερο δεσμοφύλακα, δε δίστασε να αποβάλει 1 Ο από τους υποκινητές της «εξέγερσης». Όταν το ίδιο απόγευμα οι μαθητές αρνήθηκαν να πιούν, σε πρόποση στην υγειά του Λουδοβίκου του 18ου, άλλοι 100 αποβλήθηκαν. Η εμπειρία της ταπεινωτικής ήττας των συμμαθητών του, αναζωπύρωσε τις δη μοκρατικές πεποιθήσεις του Γκαλουά, αλλά παράλληλα τον έκανε να χάσει κάθε ενδιαφέρον που είχε για τα μαθή ματα που μέχρι τότε παρακολουθούσε. Την 2η χρονιά η απόδοση του συνεχώς μειωνότqν με αποτέλεσμα να μείνει στην ίδια τάξη . Έτσι α ναγκάστηκε να παρακολουθήσει τάξη προπαρασκευαστικών μαθη μάτων, μεταξύ των οποίων ήταν και τα Μαθηματικά που μέχρι τότε δεν είχε διδαχθεί ποτέ. Ήταν μια αποκάλυψη για τον δεκατ ριάχρονο Γκα λουά. Π ολύ γρήγορα κατιΊλ α β ε την μεγαλο φυΤα του και τα σχολικά συγγράμματα έγιναν τετριμμένα για αυτόν. Έτσι άρχιζε να διαβάζει έργα αυθ:-:ν τιιον, όπως η γεωμετρία του Legendrc, αλλά και άλγεβρα των Lagι·ange κ αι Abcl. Η ανωτερότητα που αισθανόταν πλέον, τον έκανε αλαζόνα και ο εύθυμος χα ρακτήρας του άλλαξε. Έγινε ιδιόρρυθμος και κλείστηκε στον εαυτό του. Η εργασία του στα Μαθηματικά του σχολείου ήταν μέτρια. Τα κανονικά μαθήματα ήταν ανιαρά για την μεγαλοφυ"i: α του και δεν ή ταν καΟόλου αναγκαία για την κατανόη ση των πραγματικών Μαθηματικών. Το ξεχωριστό δώρο του Γκαλουά, να έχει την ικανότητα να εκτελεί τις πιο δύσκολες πράξεις και συλλογισμούς σχεδόν εξ' ολοκλήρου μέσα στο μυαλό του, δεν τον βοήθησε ούτε με τους δασκάλους, ούτε με τους εξετα στές του. Έτσι οι δάσκαλοι του τον έκριναν λέγοντας ότι «υπάρχει κάτι περίεργο μ' αυτόν», ή ότι «δεν είναι κακός, απλά επινοητικός και ιδιόρρυθμος». Μερικοί καθηγητές παραδέχονταν το ότι ήταν καλός στα Μαθη ματικά τονίζοντας όμως ότι «τον έχει κυριεύσει η μανία των Μαθηματικών», αλλά μερικοί αρκούνταν σε έναν σαρκασμό «η εξυπνάδα του είναι προς το παρόν ένας μύθος στον οποίο δεν μπορούμε να δώσουμε πίστη», ή ακόμη χειρότερα τον κατηγορούσαν ότι «παριστάνει τον φιλόδοξο και τον πρωτότυπο». Το 1829 δημοσίευσε την πρώτη του εργασία με τίτλο <<Απόδειξη ενός θεωρήματος στα συνεχή κλάσματα», του οποίου η συμβολή ήταν αμελητέα σε σχέση με τις μετέπειτα ανακαλύψεις του. Ο δάσκαλος του Richard αναγνώρισε το «ταλέ ντο» του στα Μαθηματικά και εισηγήθηκε να γίνει δεκτός χωρίς εξετάσεις στην Eco\e Polytechnique, που ή ταν η πιο φημισμένη πανεπιστημιακή σχολή της Γαλλίας και εργάζονταν σ' αυτήν οι διασημότεροι επιστήμοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/1

Evariste Galois Μ ια τραγική μεγαλοφυ"ϊα

νες της εποχής, χωρίς όμως επιτυχία. Τον ίδιο χρόνο πραγματοποιεί σπουδαίες ανακαλύψεις στη Θεωρία Εξι σώσεων, γράφοντας μια εργασία. Αυτή την εργασία ανέλαβε να την παρουσιάσει στην Ακαδημία Επιστημών ο Cauchy, ο μεγαλύτερος τότε, Γάλλος Μαθηματικός. Μόνο οι Eu1er και Cay1ey μπορούν να αντιπαραβάλ λουν το συγγραφικό τους έργο σε αυτό του Cauchy. Λίγες μέρες πριν την παρουσίαση της εργασίας όμως, ο Cauchy αρρώστησε και έτσι δεν μπόρεσε να παραβρεθεί στην Ακαδημία χάνοντας επιπλέον και το χειρόγρα φο. Νέες ατυχίες και aπογοητεύσεις περίμεναν τον Γκαλουά. Στο τέλος της ίδιας χρονιάς επιχείρησε για δεύ τερη φορά την εισαγωγή του στην Eco1e Po1ytechnique. Ο Γκαλουά ήταν ήδη μεγάλος Μαθηματικός αλλά οι κριτi:ς του δα μποροίJσαν να uντιληφΟο\J\' τις κωνοτομiες του κιη τον τμόπο σκέψης του. Το αποτέλε σμα ήταν πάλι η αποτυχία. Η εξέταση του έγινε θρύλος. Η συνήθεια του να δουλεύει τα πάντα μέσα στο μυα λό του ήταν τρομερό μειονέκτημα όταν έπρεπε να βρεθεί μπροστά στον πίνακα με την κιμωλία. Στη διάρκεια της εξέτασης, κάποιος εξεταστής συζήτησε μαζί του ένα δύσκολο μαθηματικό θέμα. Αν και ο εξεταστής έκα νε λάθος, ήταν πολύ ισχυρογνώμων και τότε aπελπισμένος ο Γκαλουά έχασε την υπομονή του και πέταξε το σφουγγάρι πάνω του. Το τελευταίο πλήγμα (για εκείνη τη χρονιά) ήταν ο θάνατος του πατέρα του, που αυτο κτόνησε. Αποφασισμένος για αναγνώριση, τον Φεβρουάριο του 1 8 3 0 γίνεται για πρώτη φορά δεκτός από πανεπιστημιακή σχολή, την Eco1e Prepara toire, σχολή κατώτερη της Eco1e Po1ytechnique. Εκεί είχε το χρόνο να συ νεχίσει την εργασία του και έτσι μετά από λίγο καιρό ξαναπέρασε την πύ λη της Ακαδημίας Επιστημών καταθέτοντας το <φνημόνω τι{η•ω στις συνθήκες επιλυσιμότητας των εξισώσεων με ΙΗ�ικιί», διεκδικώντας το Μεγάλο βραβείο Μαθηματικών που επρόκειτο να δοθεί. Αυτή τη φορά αυτός που έπρεπε να αξιολογήσει και να παραδώσει το κείμενο στην Ακα δημία ήταν ο Fourier (γνωστός για τις περίφημες σειρές που φέρουν το όνομά του). Για κακή του τύχη όμως, ο Fourier πέθανε ένα βράδυ, στο κρεβάτι του στο Παρίσι, λίγες μέρες πριν από τη συνεδρίαση . Έτσι κανείς δεν παρουσίασε την εργασία του, που ουσιαστικά ποτέ δεν πήρε μέρος στο διαγωνισμό. Η ατυzία αυτή έμοιαζε για τον Γκαλουά κάτι παραπάνω από μω ιnri.Jl σίφτιτωση. Α πογοητευμένος ρίχτηκε με π{ι.Οος στην πολιτικΙ1, προσχωρώντας σε ένα ριζοσπαστικό κίνημα που ήταν εκτός νόμου εκείνη την εποχή . Οι πρώτοι πυροβολισμοί της επανάστασης του 1 8 3 0 γέμισαν με χαρά τον Γκαλουά. Θέλησε να ξεσηκώσει τους συμφοιτητές του και να τους οδηγήσει στις συμπλοκές, αλλά αυτοί δίσταζαν να ακολουθήσουν. Το αποτέλεσμα ήταν να αποβληθεί δια παντός από την Eco1e Preparatoire. Μη έχοντας τι άλλο να κάνει προσπάθησε να συγκροτήσει μια ιδιωτική τάξη Ανωτέρας Άλγεβρας, όπου θα παρέδιδε μαθή ματα μία φορά την εβδομάδα. Η σειρά των μαθη μάτων περιείχε και μια νέα θεωρία γνωστή σή μερα ως «θεωρία τωιι φαιιταστrια:Υι• αριΟμ(:Υι• τοι: ωtΙοi�». Η αδυναμία του να βρει μαθητές, τον οδήγησε στο να καταταχθεί στο Πυροβολικό της Εθνικής Φρουράς, ένα δημοκρατικό παρακλάδι της εθνοφρουράς, γνωστό και ως «Φίλοι του Λαού». Λίγες μέρες αργότερα ο βασιλιάς Λουδοβίκος - Φίλιπ πος επιθυμώντας να αποφύγει νέες εξεγέρσεις κατάργησε το Πυροβολικό της Εθνικής Φρουράς και έτσι ο Γκαλουά έμεινε άπορος και άστεγος . Το π{ιΟος τοη iφως γ ω τα Νlαθηματικά δε\' είz:: σβι1σ�:ι. Το χειμώνα του 1 83 1 , για τρίτη (και φαρμακερή) φορά κατέθεσε το μνημόνιο του στην Ακαδημία. Αυτή τη φορά το μνημόνιο αξιολογήθηκε από τον Poisson (γνωστό για τους νόμους του στη θεωρία των πιθανοτήτων). Ο Poisson ούτε πέθανε, ού τε έχασε την εργασία, αλλά διαβάζοντας την δεν έδωσε την απαραίτητη προσοχή για να την καταλάβει. Η απάντηση ήταν «Κατέβαλα κάθε προσπάθεια να κατανοήσω την απόδειξη του κ. Γκαλουά. Οι συλλογι σμοί του δεν είναι ούτε αρκετά σαφείς, ούτε αρκετά ανεπτυγμi:νοι για να μπορέσω να κρίνω την ακρίβεια τους, και βρίσκομαι σε αδυναμία να τους περιγρά ψω έστω και μερικώς στην αναφορά μου . . . » Ήταν η σταγόνα που ξεχείλισε το ποτήρι. Είχε πληρώσει το τίμημα του να είναι μπροστά από την εποχή του, μπροστά ακόμη και από τους δασκάλους του . Μετά από αυτό ο Γκαλουά αφιέρωσε όλη τη δραστηριότητα του στην επαναστατική πολιτική . <<Αν χρειάζεται το πτώμα κάποιου για να ξεσηκωθεί ο λαός» έγραψε «θα δωρίσω το δικό μου». Έλαβε μέρος σε όλες τις εξεγέρσεις και αναταραχές του Παρι σιού. Στις Μαtου 1 83 1 , στο δημοκρατικό συμπόσιο που γινόταν, κρατώντας έναν σουγιά στο υψωμένο του χέρι, έκανε μία πρόποση <<Στο βασιλιά Λουί- Φιλίm>. Αυτή η ενέργεια του θεωρήθηκε μεγάλη ασέ βεια και οδηγήθηκε σε δίκη. Αν και αθωώθηκε τον κατέταξαν στους «επικίνδυνους» και ένα μήνα μετά, για ασήμαντη αφορμή τον συνέλαβαν και καταδικάστηκε σε εξάμηνη φυλάκιση, στις φυλακές της Αγίας Πελαγίας. Ένα μήνα όμως πριν τη συμπλήρωση της ποινής, ξέσπασε επιδη μία χολέρας στο Παρίσι και οι φυλακισμένοι αφέθησαν ελεύθεροι. Ότι συνέβη στον Γκαλουά τις επόμενες εβδομάδες είναι κατά μεγάλο -------

ΕΥΚΛΕ Ι ΔΗΣ Β ' 71 τ.3/2

-------

Evariste Galois Μια τραγι κή μεγαλοφυ"ϊα

ποσοστό συνέπεια μιας ρομω·τικ1Ίς ιστορίας με μια μυστηριιi>δη γυναίκα την Στεφανί ντε Μοτέλ. Αυ τός που δήλωνε ότι δεν θα παντρευόταν παρά μόνο μια σπουδαία γυναίκα, είχε πέσει στα χέ ρια μιας κοι νής γυναίκας της κατώτερης υποστάθμης. Η Στεφανί ήταν aρραβωνιασμένη με κάποιον κύριο ονόματι ντ ' Ε ρμπανβίλ, ο οποίος ήταν ένας από τους καλύτερους σκοπευτές στη Γαλλία. Όταν ο ντ ' Ερμπανβίλ ανακάλυψε την απιστία προκάλεσε αμέσως τον Γκαλουά σε μονομαχία την επόμενη αυγή . Πολλοί ισχυρί ζονται ότι ήταν άλλο ένα σχέδιο εξόντωσης του και ο Γκαλουά ήξερε εκ των προτέρων την κατάληξη της μονομαχίας. Το βράδυ πριν τη μονομαχία, σε μια απεγνωσμένη προσπάθεια να κερδίσει την αναγνώ ριση, κατέγ ραψε μεταξύ άλλων όλα τα θεωρήματα που πίστευε ότι fξηγο\)\' το αίνιγμα των ::ξισ(i>σεων πi:μπτου βαΟμοί). Προσπάθησε σε ένα βράδυ, βιαστικά, να εκφράσει όλη την επιστημονική διαθήκη που είχε στο μυαλό του, γράφοντας στο χαρτί του. Κ άπου κάπου κα τέ ρρεε, και σημείωνε με ορνιθοσκαλίσματα στο περιθώριο <<Δεν έχω χρόνο, δεν έχω χρόνο». Στο τέλος της νύχτας έγραψε μια συνοδευτική επιστολή στο φίλο του Σεβαλιέ , ζητώντας του, μετά το θάνατο του, να διανεμηθούν οι εργασίες του στους μεγαλύτερους Μαθηματικούς της Ευρώπης. Κατέληγε με τα εξής λόγια «Θα ζητήσεις δημόσια από τον Jacobi ή τον Gauss να εκφέρουν τη γνώμη τους όχι πάνω στην ορθότητα, αλλά στη σημασία των θεωρημάτων. Ύστερα από αυτό, θα υπάρ Σελίδα από τις σημειώσεις του Galoix. που έ ξουν ελπίζω μερικοί που θα θεωρήσουν ωφέλιμο γι ' αυτούς να απο γραψε τηv τελευταία vύχτα πρι ι· τη μοι·ομαχία κρυπτογραφήσουν ό,τι περιέχεται σ' όλον αυτόν τον συρφετό». Το επόμενο πρωί, την Τετάρτη 3 0 ΜαΤου 1832, σε έναν απομακρυσμένο αγρό, ο Γκαλουά χτυπήθηκε από το όπλο του ντ' Ερμπανβίλ και άφησε την τελευταία του πνοή , σι: ηλικία 20 ετιίη•, λίγες ώρες αργότερα σε κάποιο νοσοκομείο της περιοχής. Χρειάστηκαν έντεκα χρόνια μέχρι ο Ζοσέφ Λιουβίλ να ανακαλύψει την αξία των χειρογράφων του Γκαλουά. Ο Λιουβίλ ξόδεψε μήνες προσπαθώντας να ερμηνεύσει τη σημασία των ευφυών υπολογισμών. Τελικά το 1846 δημοσίευσε τις εργασίες σε κάποιο έγκυρο Μαθηματικό περιοδικό. Οι εργασίες αυτές δ::ν είzω· τίποτε λιγότερο απ<ι τη Θεωρία Ομάδων, το κλειδί της σύγχρονης Άλγεβρας και Γεωμετρίας (αλλά ση μαντική και για την Κβαντομηzανικil. τη Χ ημεία και την Κ ρυσταλλογραφία). Ε ξέφρασε θεμελιώδεις ι διότητες της ομάδας μετασχηματισμών που προσδιορίζεται από τις ρίζες μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Αρχαία προβλήματα όπως η τριχοτόμηση της γωνίας, ο διπλασιασμός του κύ βου, η επίλυση τριτοβάθμιας, τεταρτοβάθμιας καθώς και η επίλυ ση αλγεβρικής εξίσωση ς οποιουδήποτε βαθμού, βρήκαν τη φυσική τους θέση μέσα στη θεωρία Galois. Η πλήρης κατα νόηση της σπουδαιότητας του έργου του Γκαλουά επιτεύχθη κε όμως μόνο διαμέσου των εργασιών των Jordan, Klein και Lie γ ω τις μι;ταΟί:σι:ις ( 1870). Τότε η ενοποιητιΚΊ1 αρχή του Γκαλουά αναγνωρίστηκε ως ένα από τα κορυφαία επιτεύγμα τα των Μαθηματικών του 19ου αιώνα. Ο Γκαλουά είχε επίσης ορισμένες ιδέες για τα ολοκλη ρώματα των αλγεβρικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Αυτό δείχνει ότι ο τρόπος σκέψης του ήταν πο λύ κοντά σ' εκείνον του Riemann, περίπου είκοσι χρόνια πριν από αυτόν. Θα μπορούσαμε λοιπόν να διατυπώσουμε την εικασία ότι, αν ο Γκαλουά ζούσε περισσότερο, τα σύγχρονα Μαθηματικά θα είχαν δε χτεί πιο βαθιά επίδραση από το Παρίσι και τη σχολή του Lagr�l!lgc, παρά από το Γκi:τινγκεν και τη σχολή του Gauss. -------

1. 4.

3. 5. 6. 7.

------

Carl Β. Boyer- Uta C. Merzbach. Η ιστορία των μαθηματικών. Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού. Simon Sίngh. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Εκδόσεις Τραυλός Dίrk J. Struίk. Συνοπτική ιστορία μαθηματικών. Εκδόσεις 1. Ζαχαρόπουλος Ε. τ. Bell. Οι μαθηματικοί. Τόμος li. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης Denίs Guedj. Το θεώρημα του παπαγάλου. Εκδόσεις Πόλις Στυλιανού Αvδρεαδάκη. Θεωρία Galoίs. Εκδόσεις Συμμετρ ία Tom Petsinίs. Ο Γάλλος μαθηματικός. Εκδόσεις Τραυλός

Βιp;.ιογραφία:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/3

Ένα σχόλιο στη Θεωρία Πιθανοτήτων Γιώργος Α. Κουσινιώρης

το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας της Γ Λυκείου, στην σύντομη ιστορική αναδρομή που υπάρχει στην εισαγωγή του κεφαλαίου των Πιθανοτήτων, υπάρ χει μια αναφορά στους Β . Pascal και Ρ. Fermat που λέει ότι αφορμή για την ενασχόλησή τους με τη Θεωρία Πιθανοτήτων υπήρξε η ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια. Έψαξα, λοιπόν, και βρήκα μερικές λεπτομέρειες σχετικά με το θέμα αυτό. Ο Blaise Pascal ( 1 623 - 1 662) είχε ένα φίλο, ονόματι Cheνa lier de Mere, ο οποίος ήταν φανατικός παίκτης τυχερών παιχνι διών. Ο Cheνalier de Mere έθεσε στον Pascal δύο ερωτήματα: • Τι είναι προτιμότερο; Να στοιχηματίσει, ότι θα φέρει μία του λάχιστον φορά έξι όταν ρίξει ένα ζάρι τέσσερις φορές, ή ότι θα φέρει μια τουλάχιστον φορά εξάρες όταν ρίξει δύο ζάρια εικο σιτέσσερις φορές. • Δύο παίκτες βάζουν από ένα ποσό α και συμφωνούν να πάρει το ποσό που συγκεντρώνεται αυτός που θα κερδίσει πρώτος τρία παιχνίδια. Καθένας από τους δύο παίκτες έχει την ίδια πι θανότητα να κερδίσει ένα παιχνίδι. Αν για κάποιο λόγο οι παί κτες αναγκαστούν να διακόψουν το παιχνίδι ενώ το σκορ είναι 2- 1 , με ποια αναλογία πρέπει να μοιραστούν τα στοιχήματος; Με αφορμή τα δύο αυτά ερωτήματα, και όχι μόνο, ο Pascal αντάλ λασε απόψεις με τον Pierre de Fermat ( 1 608 - 1 665) αλληλογραφώ ντας μαζί του και τελικά το 1 654 κατάφερε να απαντήσει και στα δύο αυτά ερωτήματα. Από την αλληλογραφία των δύο μεγάλων αυτών επιστημόνων του 1 7ου αιώνα μπήκαν οι βάσεις της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Θα προσπαθήσουμε, με τις γνώσεις που έχουμε από τη Θεωρία Πι θανοτήτων, να δώσουμε κι εμείς την απάντηση στα προβλήματα αυτά . . . κλέβοντας λίγη από τη δόξα του Pascal. ! ! �

Το πρώτο πρόβλημα

Σχετικά με το πρώτο ερώτημα ο de Mere ισχυριζόταν ότι τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, αφού η πιθανότητα να φέρει έξι όταν ρίξει το ζάρι μια φορά είναι 2 ' η πιθ ανοτητα ' ' το εξαρι ' στις τεσσερις ' ' ' 4 · 61 64 3, 1 /6 οποτε να φερει ριψεις ειναι ενω' η πιθ α=

νότητα να φέρει τις εξάρες όταν ρίξει τα δύο ζάρια μια φορά είναι 1 /36 (ως γνωστόν όταν ρί χνουμε δυο ζάρια έχουμε 36 δυνατά αποτελέσματα), έτσι η πιθανότητα να φέρει τις εξάρες στις , , , 24 · I 24 2 εικοσιτεσσερις ριψεις ειναι 36 36 = 3 . Από την εμπειρία του, όμως, είχε διαπιστώσει ότι η πιθανότητα να φέρει το ένα εξάρι είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να φέρει τις εξάρες και έτσι διαμαρτυρήθηκε στο φίλο του τον Β. Pascal ότι τα μαθηματικά οδηγούν σε εσφαλμένα αποτελέσματα. Προφανώς ο συλλογισμός αυτός του Cheνalier de Mere είναι εντελώς λανθασμένος. Γιατί σύμφωνα με τη λογική αυτή, αν ρίξουμε ένα ζάρι περισσότερες από έξι φορές, για παράδειγμα 7 ' ει'ναι 7 ·-I -7 > 1 , που φυσικα' δεν ει'ναι σωστο.' ' τοτε ' η πιθ ανοτητα ' ' φορες, να φερουμε το εξαρι 6 6 =

ΕΥΚΛ Ε Ι ΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/4

-----

Evariste Galois Μια τραγική μεγαλοφυ"ϊα

------

Ας προσπαθήσουμε να μελετήσουμε το πρόβλημα με περισσότερη προσοχή. Θα εξετάσουμε, κατ' αρχήν, την περίπτωση που ρίχνουμε το ζάρι τέσσερις φορές. Ποιο είναι το πείραμα τύχης (π.τ.) που εκτελούμε στην περίπτωση αυτή; Προφανώς το π.τ. συνίσταται στο να ρίξουμε το ζάρι τέσσερις φορές και συνεπώς ολοκληρώνεται με την τέταρτη ρίψη του ζαριού. (Ρίχνουμε το ζάρι τέσσερις φορές ακόμα και αν φέρουμε εξάρι στην πρώτη, δεύ τερη ή τρίτη ρίψη).

Επομένως ο δειγματικός χώρος Ω του π.τ. θα αποτελείται από τετράδες αριθμών από το 1 ως το 6. (πχ (1,2,3,4), (2,2,6,5), (6,6, 1,3) κτλ). Προφανώς ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ισο πίθανα απλά ενδεχόμενα, αφού δεν υπάρχει λόγος να θεωρήσουμε ότι κάποια από τις τετράδες που σχηματίζονται έχει διαφορετική πιθανότητα εμφάνισης από οποιαδήποτε άλλη τετράδα. Για να δούμε, τώρα, πως θα μετρήσουμε πόσα είναι τα στοιχεία του Ω. Για να πάρουμε τον πρώτο αριθμό της τετράδας έχουμε 6 δυνατότητες (όσα και τα δυνατά αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού), για να πάρουμε το δεύτερο αριθμό της τετράδας έχουμε πάλι 6 δυνατότητες. Επομένως για το πρώτο ζευγάρι της τετράδας έχουμε 6·6 = 6 2 = 36 δυνατό τητες. Για τον τρίτο αριθμό της τετράδας έχουμε πάλι 6 δυνατότητες, οπότε με πρώτο καθένα από τα 62 ζευγάρια σχηματίζουμε 6 2·6 = 6 3 τριάδες. Με την ίδια λογική οι 6 3 τριάδες δίνουν 6 3·6 = 6 4 τετράδες που είναι και το ζητούμενο πλή θος των στοιχείων του Ω. Συνεπώς Ν(Ω) = 6 4 . Το ενδεχόμενο Α που μας ενδιαφέρει αποτελείται από όλες τις τετράδες του Ω που περιέ χουν ένα τουλάχιστον εξάρι. Για να βρούμε το πλήθος των στοιχείων του Α πρέπει να μετρήσουμε τις τετράδες που έχουν ακριβώς ένα εξάρι, τις τετράδες που έχουν ακριβώς δύο εξάρια, αυτές που έχουν ακριβώς τρία εξάρια και αυτές που έχουν ακριβώς τέσσερα εξάρια. Επειδή η καταμέτρηση αυτή είναι δύ σκολο να γίνει θα μετρήσουμε τις τετράδες που δεν έχουν μέσα τους εξάρι, δηλαδή θα βρούμε πόσα στοιχεία έχει το συμπληρωματικό ενδεχόμενο Α ' του ενδεχομένου Α. Κάνοντας συλλογι σμό αντίστοιχο με τον προηγούμενο για να πάρουμε τον πρώτο αριθμό της εξάδας έχουμε 5 δυ νατότητες (καθένα από τους αριθμούς 1 , 2, 3, 4, 5) αφού δε θέλουμε το 6. Ομοίως για να πάρου με το δεύτερο έχουμε 5 δυνατότητες, για να πάρουμε τον τρίτο έχουμε 5 δυνατότητες και τον τέταρτο 5 δυνατότητες. Συνεπώς το Α ' έχει Ν(Α ' ) = s·s·s·s = 5 4 στοιχεία. Χρησιμοποιώντας τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε: Ν (Α') 2._4 625 = = �0 ' 48225. Ρ(Α')= Ν (Ω) 6 4 1 296 Επομένως Ρ (Α)= 1 Ρ(Α') = 1-0,48225 = 0,5 1 775 = 15 1 ,78%1 . Ας εξετάσουμε, τώρα, και την περίπτωση που ρίχνουμε τα δύο ζάρια εικοσιτέσσερις φορές. Θα δουλέψουμε με τρόπο ανάλογο του προηγουμένου. Το πείραμα τύχης έχει να κάνει τώρα με το σχηματισμό εικοσιτετράδων από τα τριάντα έξι δυνατά αποτελέσματα που έχουμε όταν ρίχνουμε δύο ζάρια. Σκεπτόμενοι όπως προηγουμένως βρίσκουμε ότι το συνολικό πλήθος των εικοσιτετράδων που σχηματίζονται είναι Ν(Ω) = 36 24 . Το ενδεχόμενο Α που μας ενδιαφέρει περιέχει τις εικοσιτετράδες που περιέχουν τουλάχιστον ένα διπλό εξάρι. Βρίσκουμε τις εικοσιτετράδες που δεν περιέχουν διπλό εξάρι, δηλαδή το πλή θος των στοιχείων του ΑΌ Είναι Ν (Α')= 35 24 , αφού οι εικοσιτετράδες που δεν περιέχουν διπλό εξάρι σχηματίζονται από τις υπόλοιπες 35 ζαριές (εκτός από τις εξάρες). Ν(Α') - 35 24 35 24 '"'-' Επομενως Ρ ( Α ) ( - --;;ι - - - 0,5086. 36 Ν Ω) 36 @9-, 1 4°- --, Yol . Άρα Ρ(Α) = 1 Ρ ( Α') = 1-0,5086 = 0,49 1 4 = ,..-

[ )

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/5

-------

Evariste Galois Μια τραγική μεγαλοφυΤα

--------

Επομένως πράγματι η πιθανότητα να φέρουμε το ένα εξάρι είναι λίγο μεγαλύτερη της πιθα νότητας να φέρουμε το διπλό εξάρι. Έτσι ο Pascal αποκατέστησε την αξιοπιστία των Μαθηματι κών στα μάτια του Cheνalier de Mere. Σκεφτείτε πόσο ζάρι έπαιζε ο . . . aξιότιμος κύριος Cheνalier de Mere, που κατάφερε στη πράξη να διαπιστώσει μια τόσο μικρή διαφορά στις δυο πιθανότητες. ! ! �

ΊΌ

δείJτερο πρόβλημα

Για να απαντήσουμε στο δεύτερο πρό βλημα πρέπει να βρούμε ποια πιθανότητα έχει να κερδίσει ο κάθε παίκτης τα τρία α τέλος παιχνιδιού. (σκόρ 3- 1 ) παιχνίδια. Οπότε το ποσό θα μοιραστεί α νάλογα με την πιθανότητα αυτή . Ας δούμε ποιο είναι το πείραμα τύχης. τέλος παιχνιδιού. ( σκόρ 3-2) Ξεκινώντας με σκορ 2- 1 υπέρ του α ' , παίζουν ένα παιχνίδι. Αν το κερδίσει ο α ' τότε τελειώνει ο αγώνας με σκορ 3- 1 υπέρ τέλος παιχνιδιού. ( σκόρ 2-3) του α ' . Αν κερδίσει ο β ' , τότε το σκορ γί νεται 2-2 και επομένως παίζουν και τρίτο παιχνίδι, το οποίο όποιος το κερδίσει παίρνει και τον αγώνα με σκορ 3-2. Τα παραπάνω φαίνονται στο δενδροδιάγραμμα του διπλανού σχήματος. Επομένως ο δειγματικός χώρος του π.τ. είναι Ω= { α, βα, ββ} . Η πιθανότητα του ενδεχομένου {α} προφανώς είναι Ρ ( α) = ..!.. . Οι πιθανότητες των { βα} και 2 {ββ} πρέπει να είναι ίσες, αφού εφ' όσον κερδίσει ο β ' και το σκορ γίνει 2-2 η πιθανότητα στη συνέχεια να κερδίσει ο α ' ή ο β ' είναι ίδια. Επομένως αν ρ είναι η πιθανότητα αυτή, τότε έχου1 1 1 με: Ρ(α)+Ρ (βα) + Ρ(ββ) = 1 <=> + 2ρ = l <=> 2ρ = - <=> ρ = - . 4 2 2 ' Αν Α είναι το ενδεχόμενο να κερδίσει ο α και Β το ενδεχόμενο να κερδίσει ο β ' , τότε είναι -

Α= {α, βα} και Β= {ββ} . Συνεπώς είναι Ρ(Α) = Ρ(α)+Ρ(βα) = ..!_+..!_ = 2 και Ρ(Β) = Ρ( ββ) = ..!.. . 4 2 4 4 3 Ρ (Α) 4 , , , ' τριπλ ασια ' το στοιχημα ' ' πιθ ανοτητα να κερ δ ισει Επομενως ειναι = -1- = 3 . ' Ε τσι ο α ' εχει Ρ(Β) 4 απ ' ότι ο β ' και κατά συνέπεια πρέπει να μοιραστούν το ποσό με αναλογία 3 προς 1. --

�

Σαν άσκηση

Βρείτε με τρόπο ανάλογο με αυτόν που εφαρμόσαμε στο πρώτο πρόβλημα, την πιθανότητα να φέρουμε ένα τουλάχιστον εξάρι όταν ρίξουμε ένα ζάρι: α) 6 φορές (Απ. 66,51 %) (Απ. 83,85 %) β) 1 0 φορές (Απ. 97,39%) γ) 20 φορές Πηγές για τα ιστορικά στοιχεία και τις εικόνες: 1 . Μεγάλη Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια. Εκδόσεις Δημόκριτος

2. Σχετικές πληροφορίες από το Διαδίκτυο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/6

ένας <<μαyικό9> αριθμό;! του Νίκου Ντούση

μεγάλος γάλλος μαθηματικός Henri Poincare κάποτε είπε: « Ο επιστήμονας δεν μελετά τη φύση επειδή είναι χρήσιμο, αλλά επειδή αυτό τον ευχαριστεί. Και τον ευχαριστεί επειδή η φύση είναι όμορφη. Εάν η φύση δεν ήταν όμορφη, τότε δεν θα άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε. Και εάν δεν άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε». Και το ερώτημα που προκύπτει αμέσως είναι το εξής: ποια ομορφιά βλέπει στη φύση ένας μαθηματικός; Όλα ξεκίνησαν από τους Πυθαγόρειους όταν ανακάλυψαν έναν «μαγικό» αριθμό που έμελλε να γίνει ο πιο συναρπαστικός αριθμός στην ιστορία των μαθηματικών. Αναρωτήθηκαν λοιπόν, πως θα πρέπει να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε δυο μέρη, ώστε ο λόγος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ προς το μεγαλύτερο τμήμα ΑΜ , να ισούται με το λόγο του τμήματος ΑΜ προς το μικρότερο τμήμα ΜΒ. , ΑΒ ΑΜ . Δη λαδ,η να ισχυει -ΑΜ ΜΒ = --

ι-χ

Αν για λόγους aπλότητας υποθέσουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος ι μονάδα και θέσουμε ΑΜ=χ, τότε είναι φανερό ότι για να υπολογίσουμε το μήκος χ, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση : ι

- = --

ι-χ

η, χ- +χ- ι = ο ?

' ' χ= τη δ ευτερο β'α θμια αυτη οτι Λυνοντας , ' εξ'ισωση β ρισκουμε

-ι +

ΑΒ ' ο λ'ογος -- θ α ισουται ' με , οποτε ΑΜ

::::: Ι ,6 1 803 . . . ο οποίος ονομάζεται «Χρυσός Λόγος» και συμβολίζεται με φ προς τιμήν του 2 αρχαίου έλληνα γλύπτη Φειδία. Ο Χ ρυσός Λόγος φ έχει απασχολήσει και εμπνεύσει κάποια από τα μεγαλύτερα μ αθηματικά μυαλά όλων των εποχών, αλλά όχι μόνο! Βιολόγοι, ζωγράφοι, γλύπτες, μουσικοί, αρχιτέκτονες αλλά και ψυχολόγοι έχουν προσπαθήσει να κατανοήσουν τη γοητεία και την πανταχού παρουσία του Χρυσού Λόγου στη φύση . Γιατί τόση φασαρία όμως; Η απάντηση είναι απλή : ο αριθμός αυτός εμφανίζεται με έναν πολύ μυστηριώδη τρόπο, σχεδόν ανεξήγητα, εκεί που κανείς δεν τον περιμένει! Πάρτε για παράδειγμα το πεντάκτινο αστέρι, το μυστικό σήμα της σχολής των Πυθαγορείων: Α

_.!._ = 1 + χ

Παίρνοντας ένα από τα 5 ισοσκελή τρίγωνα που δημιουργούν τις γωνίες του και διαιρώντας τη μεγαλύτερη πλευρά του προς τη βάση του, ο λόγος που προκύπτει ισούται με φ= 1 ,6 18 ... Ας πάρουμε ένα παράδειγμα από τη ζωολογ ία! Εξετάζοντας πόσα ζευγάρια κουνέλια μπορούν να γεννηθούν ξεκινώντας από ένα μόνο ζευγάρι που μπορεί να αναπαραχθεί και να δώσει ένα νέο ζεύγος κάθε μήνα, παρατηρούμε ότι ο αριθμός των ζευγαριών ακολουθεί την εξής σειρά:

ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Β ' 71 τ.317

------

Ο Χρυσός Λόγος

- ένας «μαγικός » αρι θμός!

στην οποία κάθε αριθμός προκύπτει αν προσθέσουμε τους δυο προηγούμενους και ονομάζεται ακολουθία Fibonacci, προς τιμήν του ιταλού μαθηματικού Leonardo Fibonacci που την ανακάλυψε. Αν σε αυτή την ακολουθία υπολογίσετε το λόγο κάθε αριθμού δια τον προηγούμενο του, τι παρατηρείτε; I

� =2

� 2

= 1 .5

5 8 13 21 34 - = 1 .666 . . . - = 1 .6 - = 1 .625 - = 1 .6 15 . . . - = 1 .6 1 9 . . . 3 5 8 13 21

Οι λόγοι πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον Χ ρυσό λόγο! Μάλιστα αν συνεχίσουμε να διαιρούμε δυο διαδοχικούς αριθμούς Fibonacci, τόσο καλύτερη προσέγγιση του φ θα επιτυγχάνεται. Συνεχίζοντας, ας δούμε την φυλλοταξία ενός τ ριαντάφυλλου, ενός ηλίανθου ή ενός κουκουναριού. Τα πέταλα ενός τ ριαντάφυλλου ή οι σπόροι ενός ηλίανθου θα έχετε παρατηρήσει ότι διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή . Αν τεμαχίσετε το άνθος θα παρατηρήσετε ότι η πρώτη σειρά αποτελείται από 2 πέταλα, η επόμενη από 3 , η επόμενη από 5 , η επόμενη από 8 κ.ο.κ. Δηλαδή , βλέπουμε ότι διατάσσονται σύμφωνα με τους αριθμούς Fibonacci! Δεν παρατηρούμε όμως μόνο στα φυτά αυτού του είδους την «κανονικότητα» αλλά και σε πάρα πολλές σπειροειδής μορφές στη φύση, όπως για παράδειγμα στο ναυτίλο (κοχύλι), στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, στα κέ ρατα των κριαριών και γενικά σε μορφές που ακολουθούν τη λεγόμενη «λογαριθμ ική σπείρα» η οποία πρώτα μελετήθηκε από τον Αρχιμήδη και αποδεδειγμένα συνδέετ αι με τον Χ ρυσό Λόγο. Ακόμα, υπάρχουν πολλοί που συνδέουν τον Χ ρυσό Λόγο με τη γεωμετρία του ανθρωπίνου σώματος. Σύμφωνα με έρευνες, αν υπολογίσουμε τον λόγο του μήκους του χεριού από την άκρη των δακτύλων έως τον αγκώνα δια το μήκος από τον αγκώνα έως τον ώμο, τότε ο αριθμός που θα βρούμε, πλησιάζει τον Χ ρυσό Λόγο φ. Τέτοιες συμμετρίες έχουν ανακαλυφθεί και στο πόδι, στο πρόσωπο κ.λ.π. και πολλοί ισχυρίζονται ότι όσο οι σχετικοί λόγοι είναι κοντά στο φ, τόσο πιο καλλίγ ραμμο σώμα διαθέτουμε! Είναι τελικά και η ομορφιά θέμα γεωμετρίας; Π άντως, είναι ευρέως διαδεδομένη η άποψη ότ ι ο Χ ρυσός Λόγος σχετίζεται με την ανθρώπινη αντίληψη της καλαισθησίας. Πολλοί ψυχολόγοι έχουν διενεργήσει πειράματα που συντείνουν στο ότι σχήματα με δι αστάσεις που βασίζονται στο φ (όπως το Χρυσό Ορθογώνιο του οποίου ο λόγος του μήκους δια το πλάτος είναι ίσος με Ι ,6 1 8 . . ), είναι πιο ευχάριστα στο ανθρώπινο μάτι από άλλα σχήματα που είχαν να επιλέξουν οι συμμετέχοντες στα πειράματα. Βέβαια, τέτοιες απόψεις ακόμη ελέγχονται αλλά αυτό δεν σταμάτησε πολλούς ζωγ ράφους, γλύπτες, αρχιτέκτονες ή μουσικούς να δημιουργήσουν έργα που βασίζονται στον Χρυσό Λόγο. Ξεκινώντας από τον γλύπτη Φειδία, που φιλοτέχνησε με πολλά έργα του τον Παρθενώνα, λέγεται ότι χρησιμ οποιούσε την Χ ρυσή Αναλογία στα γλυπτά του. Μεγάλοι ζωγράφοι όπως ο Άλμπρεχτ Ντ ίρερ, ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι, ο Σαλβατόρ Νταλί κ.α. μαγεύτηκαν από τον Χ ρυσό Λόγο και φιλοτέχνησαν πίνακες με σαφείς ή έμμεσες αναφορές σε αυτόν. Για παράδειγμα, στον πίνακα του Νταλί «Θυσία του Μυστικού Δείπνου», οι διαστάσεις του βρίσκονται μεταξύ τους σε Χ ρυσή Αναλογία και διάφορα σχέδια του Ντα Β ίντσι περιλαμβάνουν πρόσωπα με τον Χρυσό Λόγο στις διαστ άσεις τους ή λογαριθμικές σπείρες στα μαλλιά τους (λέγεται ότ ι το ορθογώνιο γύρω από το πρόσωπο της Μόνα Λί ζα είναι Χρυσό Ορθογώνιο . . . ). Η κατασκευή των γνωστών βιολιών Στραντιβάριους (από τον ιταλό Αντόνιο Στραντιβάρι) βασίζεται στον Χ ρυσό Λόγο αλλά και μεγάλοι συνθέτες όπως ο Κλώντ Ντεμπισί και ο Μπέλα Μπάρτοκ κατασκεύαζαν μελωδίες, aρμονίες και ρυθμούς με εφαρμογή του Χ ρυσού Λόγου. Η λίστα με τις εμφανίσεις του Χ ρυσού Λόγου θα μπορούσε να είναι ατελείωτη

και αν προσπαθούσαμε να δώσουμε μια εξήγηση θα άγγιζε τα όρια του μυστικισμού. Το ερώτημα που απασχολεί τους φιλοσόφους ανά τους αιώνες, για το αν τα μ αθημ ατικά είναι ανθρώπινη εφεύρεση ή προϋπήρχαν και εμείς τα ανακαλύψαμε, φαίνεται απλό, αρκεί κάποιος να θαυμάσει το πώς ένας αριθμός είναι ο αγαπημένος της ίδιας της φύσης. Πάντως, ένα πράγμα είναι σίγουρο : στα μαθηματικά κρύβεται μια απαράμιλλη ομορφιά που τελικά αντικατοπτ ρίζει την ίδια τη φύση . Και αν δεν υπή ρχε αυτή η ομορφιά , τότε δεν θα άξιζε να ζούμε. ΕΥΚΛ Ε Ι ΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/8

αθηματtκοi Δtαyωvισμοi αθη.ματtκές Ολυμπιάδες Ε.Μ.Ε.

69ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΑ ''Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ"

ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009

Α'

Πρόβλημα ι

τάξη

Λυκείου

( χ2 -�τ {y+�)n-m ·ym+n (y'- :}( χ - π-. . χ••• xy xy

Να aπλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση

όπου m,n ακέραιοι και

x,y

Α�

πραγματικοί αριθμοί με

Ο,

1 και xy

-1.

Λύ ση

Πρόβλημα 2

m-n ( x2y2 -l ) ·X2n . ( xy+1) n-m ·ym-n . Ym+n = y2m ( xy - I ) m-n ·Xn-m Xm+n ( xy+1 ) ιn-n ( xy -1 Γ-η . ( xy+1 ) n-m . χ n- n . y ι - m . 2 2 2n 2 = Ι ( xy -I ) m n

+ +

Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί α, β αν γνωρίζετε ότι ισχύουν: 3 2 2 2 2 3 j α - β j = jα j j β j και α β α β 2α β - α - β = 37.

Λύση

Από την ισότητα jα - β j= jαj+ jβ j� Ο προκύπτει ότι: Ι α - β j= jαj+ jβ j <=> jα - β j2 = (jαj+ jβ j)2

α2 - 2αβ + β2 = α2 + 2 jαβ j+ β2 -αβ = jαβ j <:=> (α� Ο και β� Ο) ή (α� Ο και β� Ο). Από τη δεύτερη ισότητα λαμ β άνουμε: α3β2 + α2β3 + 2α2β2 - α - β= 37 <:=> α2β2 (α+ β+ 2) - (α+ β+ 2) = 35<:::> (α+ β+ 2)( α2β2 - Ι ) = 35,

από την οποία έχουμε ότι ο α2β2 - Ι είναι ένας από τους παράγοντες του 35, δηλαδή έχουμε: α2β2 -1= ±1 ή α2β2 - Ι= ±5 ή α2β2 -1= ±7 ή α2β2 -1= ±35 <:=> α2β2 = 2 ή α2β2 = Ο ή α2β2 = 6 ή α2β2 = -4 ή α2β2 = 8 ή α2β2 = -6 ή α2β2 = 36 ή α2β2 = -34. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 71

τ.3/9

------- Μ α θηματικοί Διαγωνισμο ί - Μ α θη ματικές Ολυ μπιάδ ες

-------

Οι αποδεκτές περιπτώσεις, αφού α , β Ε Ζ και α2 β 2 2: Ο , είναι οι: α 2β 2 = Ο , η οποία οδηγεί στις λύσεις ( α , β) = (Ο,-3 7 ) ή ( α , β) = (-3 7, Ο) . " α2β2 = 36 <::> αβ = -6 (αφού α , β ετερόσημοι), η οποία οδηγεί στο σύστημα: α + β= -Ι <=> α = 3 2) α = 2 3) ( ,β) (- , ή ( ,β) ( ,- . αβ = -6 •

Πρ{•βλημα 3

{

}

3α

Δίνεται τετράγω νο ΑΒΓ Δ πλευράς . Πάν ω στις πλευρές ΒΓ και Γ Δ λαμβάνουμε σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε ΕΓ = ΖΔ = α . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΔΕ τέμνονται στο σημείο Κ. Αν η ευθεία ΑΚ τέμ νει τη ν ευθεία Ε Ζ στο ση μείο Λ, τότε: (α) Να αποδείξετε ότι: ΑΛ ..L ΕΖ (β) Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΛ συ ν αρτήσει του α. Λί1ση

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΖ και ΔΕΓ έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες ( ΑΔ = ΔΓ= 3α , ΔΖ=ΕΓ= α ). Άρα είναι ίσα και έχουν ΔΑΖ = ΕΔΓ. Αν Μ είναι το σημείο τομής ΑΖ και ΔΕ, τότε έχουΜΔΖ + ΔΖΜ = ΔΑz + ΔΖΑ = 1 80°- ΑΔΖ = 1 80°- 90° = 90°. με: Άρα είναι ΕΔ _i ΑΖ και ομοίως αποδεικνύουμε ότι είναι ΖΒ _i ΑΕ , οπότε το σημείο Κ είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου ΑΕΖ. Άρα θα είναι και ΑΚ _l ΕΖ ή ΑΛ _l ΕΖ . (α)

-�--\'

(β)

Έχουμε ότι

� ----------- -

3α

�-------- --

.,.

-�

\\ ,.

�,

Μ:

--- ..; _

··'·

).�

;ι'; \

�-- z

αJS - · Λ και ( ΑΕΖ) = 2Ι · ΕΖ· ΑΛ = 2 Α

(ΑΕΖ) = (ΑΒΓΔ) - (ΑΒΕ ) - (ΕΓΖ) - ( ΑΔΖ) = 9α2 - 3α2 - α2 - 3�2 = 7�2 , 7J5α . ΑΛ = -' οποτε . λαμβανουμε: 5 Πρ6βλημα 4

Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο abc= lOOa + lOb + c, όπου a, b, c ψηφία, a>O, ο οποίος ικανοποιεί τη ν ισότητα: Αί1ση

Από τη σχέση I 00 � abc = ( a + b2 + c3 ) 2 < I 000 προκύπτει ότι: (I) 1 0 �a + b2 + c3 � 3 1 , Από τη σχέση ( 1 ) , δεδομένου ότι a Ε {1 , 2 , .. . ,9} και b , c Ε {0 , 1, 2 , ... ,9}, συμπεραίνουμε ότι: (2) c E {0, 1, 2 , 3} και b E {0, 1, 2 , 3 , 4, 5 }. Επιπλέον η δεδομένη ισότητα γίνεται: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3 / 1 0

-------

Μ α θη ματικοί Διαγωνισμοί - Μ α θ η ματικές Ολυ μπιάδ ες

abc= ( a + b2 + c3 ) 2 <::::>1 00a + l0b + c = ( a + b2 + c3 ) 2 . (3) Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: .. Για c = Ο η εξίσωση (3) γίνεται: (4 ) 1 00a + 1 0b = ( a + b2 ) 2 , από την οποία για b Ε {0 , 1, 2 , 3 ,4, 5 } δεν προκύπτουν a , b που την επαληθεύουν. Πράγματι, τα ψηφία a , b που ικανοποιούν την εξίσωση (4) πρέπει να είναι τέτοια ώστε ο αριθμός a + b2 να λήγει σε Ο. Έτσι πιθανά ζεύγη είναι τα ( a , b ) = ( 9, I ) ή (6, 2) ή (Ι, 3) ή (4, 4) ή (5,5 ) , από τα οποία κανένα δεν ικανοποιεί την εξίσωση (4). " Για c = Ι η εξίσωση (3) γίνεται: I OOa + I Ob + Ι = ( a + b2 + Ι ) 2 , από την οποία προκύπτει ότι ο αριθμός a + b2 + Ι πρέπει να λήγει σε I ή 9 . Έτσι πιθανά ζεύγη είναι τα ( a , b ) = ( 8 , 0 ) ή (7, 1 ) ή (9, 1 ) ή (4, 2)ή (6, 2)ή (1, 3) ή (9, 3 )ή ( 2 , 4)ή (4,4)ή ( 3 ,5 )ή (5,5 ), από τα οποία προκύπτει μόνο η λύση ( a , b ) = ( 4, 4) και ο αριθμός abc = 44Ι . Για c = 2 η εξίσωση (3) γίνεται: Ι OOa + 1 Ob + 2 = ( a + b2 + 2 ) 2 , η οποία είναι αδύνατη, αφού δεν είναι δυνατόν το τετράγωνο ενός ακεραίου να τελειώνει σε 2. Για c = 3 η εξίσωση (3) γίνεται: Ι OOa + Ι Ob + 3 = ( a + b2 + 3 ) 2 , η οποία είναι αδύνατη, αφού δεν είναι δυνατόν το τετράγωνο ενός ακεραίου να τελειώνει σε 3. •

Π ρόβλημο

Β'

τάξη Λυκείου

Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού a για τις οποίες το σύστημα 2 χ + 4y2 = 4a2 ax-y = 2a

έχει μία μόν ο λύση. Για τις τιμές του a που θα βρείτε ν α λύσετε το σύστημα . .\[Jση

Το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα · · χ + ·' � � + 4a' ) :' �:::, + 1 2a' :0 χ _ � χ, + 4 : �:. : :4a' Το σύστημα έχει μία μόνο λύση, αν , και μόνον αν , η εξίσωση ( Ι + 4a2 ) χ2 - I 6a2x + 1 2a2 = Ο έχει μία δι-

;: :

} {

�

� } ι

�

}

πλή ρίζα, δηλαδή, αν, και μόνον αν , ισχύει: Δ = I 6a2 ( 4a2 - 3) = Ο <::::>a = Ο ή a = .J3 ή a = - .J3. 2 2 " Για a = Ο , το σύστημα έχει τη λύση ( x, y) = ( 0 , 0 ) . ιι

�

πλή ρίζα χ = 2 , οπότε το σύστημα έχει τη μοναδική λύση

( χ ' y) = [�2 ' .J34 J ' αν a = - .J3. 2

il ρ(ιβλημα 1

Έστω sl

σότητα

= χ + Υ+ z

και s2

.J3 και a=2

xy + yz + zx' όπου χ, Υ' z Ε JR τέτοιοι ώστε να ικα νοποιού ν τη ν ιχ y + z + y2 { z + χ + z2 χ + y = 6 .

( )

) {

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β' 7 1 τ.3/ 1 1

)

-------

Μ α θηματικοί Διαγωνισμοί - Μ α θ η ματικές Ολυ μπιάδ ες

3xyz= S1S2 - 6 . (β) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς x, y, z, α ν είν αι S1 = 3 (α) Να αποδείξετε ότι:

και S2

= 2.

Λ ίιση (α)

Έχουμε

χ 2 ( y + z) + y 2 ( z + χ ) + z 2 ( χ + y) = 6 <::::> χ ( xy + xz) + y ( yz + yx) + z ( zx + zy) = 6 <=> χ ( S 2 - yz) + y ( S 2 - zx ) + z ( S 2 - xy) = 6<::::> ( χ + y + z ) S 2 - 3xyz = 6 <::::> 3xyz = S1S 2 6 (β) Για S1 = 3 και S = 2 έχουμε το σύστημα: 2 3 +z χ χ = 2 <::::> χ z+z 2 χ=Ο ή y=Ο ή z=Ο xyz = Ο από το οποίο εύκολα προκύπτουν οι λύσεις ( x, y, z) = ( 2, Ι, Ο) ή ( Ι,2,0 ) ή ( 2, 0, Ι ) ή ( Ι,Ο, 2 ) ή ( 0, 2, Ι ) ή ( 0,1, 2 ) . -

{ :::::: } {

�:� :�

Πρόβλημα 3

ΑΒΓ με Α = 90° . Αν ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου και Κ1 , Κ 2 , Κ 3 εί ναι τα κέντρα των εγγεγραμμένω ν κύκλων τω ν τριγώνω ν ΑΒΔ, ΑΓΔ, ΑΒΓ, αντίστοιχα, να αποδεί ξετε ότι Α Κ = Κ1Κ2 • Δίνεται ορθογώ νιο τρίγω νο 3

Τα σημεία Κ 1 και Κ 3 βρίσκονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας Β, ενώ τα σημεία Κ 2 και Κ 3 βρί σκονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας Β . 'Ετσι έχουμε ΒΚ, Γ = 1 80° - Β; = 1 80' - 45' = 1 3 5'

( f)

ΒΚ 1 Α = 1 3 5° και ΓΚ 3 Α = Ι3 5°. Ομοίως λαμβάνουμε Άρα έχουμε ως παραπληρώματα κάποιας γωνίας 1 3 5° . Επομένως τα τρίγωνα ΑΕΚ 3 , Κ 3 ΕΚ1 και Κ 3 ΖΚ 2 είναι ορ θογώνια ισοσκελή, οπότε το σημείο Κ 3 είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΚ 1 Κ 2 • Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΚ 3 Ε και Κ 2 ΕΚ 1 είναι ίσα, γιατί έχουν ΕΚ 3 = ΕΚ1 και Κ 1 Κ 2 Ε = ΕΑΚ 3 , αφού έχουν τις πλευρές τους κάθετες. Άρα είναι ΑΚ 3 = Κ 1 Κ 2 '

ΓΙ ρόβλημα 4.

Να προσδιορίσετε τη ν τιμή του ακέραιου αριθμού

Ρ(χ)

k, 1 < k < 30

και μη σταθερό πολυώ νυμο

με πραγματικούς συ ντελεστές, έτσι ώστε ν α ισχύει:

Λίιση

( x - k ) P ( 3x ) = k ( x - l ) P ( x ) ,

για κάθε

x ε JR .

Έστω Ρ ( χ ) =a" χ " +aπ-ι χ η-ι + . . . +a 1 χ +a 0 a , " :;t: Ο, η� 1 το ζητούμενο πολυώνυμο. Τότε εξισώνοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β'

7 1 τ.3/ 1 2

------- Μ α θηματικο ί Διαγωνισμοί - Μαθη ματικές Ολυ μπιάδ ες

-------

ντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των δύο μελών της δεδομένης ισότητας πολυωνύμων, " =a k , � k = 3" . 3a, λαμβάνουμε Επειδή είναι 1 < k < 30 οι μόνες δυνατές τιμές του η είναι οι η = Ι ή η = 2 ή η = 3 . Έτσι η δεδομένη ισότητα γίνεται: ( χ - 3" ) Ρ ( 3χ ) = 3" ( χ - Ι) Ρ ( χ ) , για κάθε χ Ε IR (Ι)

Για η = Ι η ( Ι ) γίνεται ( x - 3 ) P ( 3x ) = 3 ( x - l ) P ( x ) , για κάθε χ Ε IR , από την οποία για x = l προ κύπτει Ρ ( 3 ) = 0 . Άρα είναι P ( x ) =a 1 ( x - 3) . Για η = 2 η ( Ι ) γίνεται ( x - 3 2 ) P (3x ) = 3 2 ( x - l ) P ( x ) , για κάθε χ Ε IR , από την οποία για προκύ πτει Ρ ( 3 ) = 0 και Ρ (9) = 0 . Άρα είναι P ( x ) =a 2 ( x - 3) ( x - 9 ) . Για η = 3 η ( l ) γίνεται ( x - 33 ) P (3x ) = 33 ( x - l) P ( x ) , για κάθε χ Ε .IR , από την οποία για προκύ πτει Ρ (3) = 0 , Ρ (9) = 0 και Ρ ( 27 ) = 0 . Άρα είναι P ( x ) =a ( x - 3) ( x - 9) ( x - 27 ) . 3 Γ'

Π ρ ό β λη μ α ι

τ�ιξη Λυκείου

Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου m για τις οποίες το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( χ ) = -3χ + 6 , g ( χ ) = mx, m Ε .IR και τον άξονα των χ ισούται με 3. \ί1 σ η

, (

) .

Από το σύστημα y = mx, y = -3x + 6 προκύπτει ότι οι Μ 6 6m συντεταγμενες του σημειου ειναι -- , -- , οποτε m+3 m+3 έχουμε: Ε ( ΟΑΜ ) = _!_ · 2 · � = 3 � � = 3 ή � = -3 � m = 3 ή m = - 1 . 2 3+m 3+m 3+m Π ρ ό β λη μ α 2

Α ( 2, 0 )

ι ι

Έστω Η το ορθόκεντρο και Ο το περίκεντρο οξυγωνίου τριγώνουΑΒΓ. Έστω ακόμη Δ, Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ, αντίστοιχα. Θεωρούμε τα σημεία ΔΙ , Εi και ΖΙ έτσι ώστε: ΟΔ Ι = λ · ΟΔ , ΟΕ Ι = λ · ΟΕ και ΟΖ Ι = λ · ΟΖ , με λ > Ι . Ο κύκλος c α που έχει κέντρο το σημείο Δ 1 και διέρχεται από το Η τέμνει την ευθεία ΒΓ στα σημεία Α1 και Α 2 . Όμοια, οι κύκλοι cβ ( ΕΙ , ΕΙ Η ) και c Λ zi , ZI H ) ορίζουν τα σημεία BI , B 2 και ΓΙ , Γ2 στις ευθείες Α Γ και ΑΒ, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α 1 , Α 2 , Β 1 , Β 2 , Γ1 κ αι Γ2 είναι ομο κυκλικά. Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ . Επειδή τα σημεία Δ, Ε , Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΒΓ , ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Τα τρίγωνα Δ ΕΖ και Δ 1 Ε 1 Ζ 1 έχουν επίσης τις πλευρές τους παράλληλες, γιατί Λ ύ ση

ΟΔ 1 = λ · ΟΔ , ΟΕ 1 = λ · ΟΕ και ΟΖ 1 = λ · ΟΖ . Η

Δ 1 Ζ 1 είναι μεσοκάθετη της κοινής χορδής ράλληλη με την ΑΓ , έπεται ότι ΚΗ ..l ΑΓ .

ΚΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β'

των κύκλων 71 τ.3/13

Cα

και

CΎ .

Επειδή η Δ 1 Ζ 1 είναι πα

------

Μ α θηματικοί Διαγωνισμο ί - Μ α θ ηματικές Ολυ μπι άδ ες

Επειδή όμως ισχύει και ότι ΒΗ .l ΑΓ καταλήγουμε στο συμπέρασμα, ότι τα σημεία Β, Κ , Η είναι συνευθειακά. Με όμοιο τρόπο, αν ΜΗ, ΛΗ είναι η κοινή χορδή των κύκλων C β , C r και Cα , C β , αντίστοιχα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι τα σημεία Α, Μ , Η και τα σημεία Γ, Λ , Η είναι συνευθειακά. Α

Λ .,

Α2

•

Δ1

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τους κύκλους

• ,

(Ca)

Cα

και

Cγ

, έχουμε:

οπότε τα σημεία Α ι , Α2 , Γι , Γ2 είναι ομοκυκλικά στο κύκλο με κέντρο το Ο , που είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των τμημάτων Α ι Α2 και Γι Γ2 . Όμοια εργαζόμαστε και με τα άλλα ζευγάρια σημείων, οπότε τα σημεία βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο.

Αι , Α2 , Βι , Β2 , Γι

Π ρόβλη μ α 3

Να προσδιορίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου k και μη σταθερό πολυώνυμο Ρ { χ ) , μού, με πραγματικούς συντελεστές, έτσι ώστε να ισχύει: ( x - k) P { 3x ) = k { x - l ) P { x) , για κάθε χ ε !R . Λ ίJση

και

Γ2

β αθ

Έστω Ρ( χ ) = a n x " + a n _ ι x - + . . . + a ι χ + a0 , an ;t:. Ο, η 2: 1 , το ζητούμενο πολυώνυμο. Τότε εξισώνο ντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των δύο μελών της δεδομένης ισότητας πολυωνύμων, λαμβάνουμε n ι

3" a 11 = ka 11 <::> k = 3" .

Έτσι η δεδομένη ισότητα γίνεται:

(χ - 3" ) Ρ ( 3χ ) = 3" ( χ - Ι ) Ρ ( χ ), η 2: 1, για κάθε χ ε IR . Από την ( 1 ) για χ 1 προκύπτει ότι Ρ ( 3 ) = Ο , οπότε στη συνέχεια για χ = 3 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β'

71 τ.3/ 1 4

(1) 2 προκύπτει Ρ ( 3 ) = Ο .

------ Μ α θη μ ατικοί Διαγ ωνισμοί - Μ α θη ματικές Ο λυμπιάδες

Συνεχίζοντας έτσι λαμβάνουμε τις σχέσεις

------

Ρ( 3k ) = Ο, για k = 3, . . . η - 1 .

Επίσης από την ( 1 ) για χ = 3" λαμβάνουμε: Ο = 3" ( 3" - 1 )Ρ( 3" ) = Ο <:::> Ρ ( 3" ) = Ο. Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο η βαθμού έχει τις η ρίζες

3k , k

= 1, 2, . . . , η , οπότε

. Π ρόβλη μα 4

Δίνεται η συνάρτηση f : IR � IR με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών, το σύνολο των πραγματικών αριθμών ( f(JR) = IR ) . Αν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει η σχέση:

r( r( f(x)) - f(y)) = f(x) - r ( f(y)) ,

(1)

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f, είναι περιττή . . \ίJ σ η

Θέτουμε στη δεδομένη σχέση όπου y το f (x) και έχουμε: f ( f ( f(x)) - f ( f( χ)) ) = f(x) - f ( f ( f(x))) <:::> f (O) = f (x) - f ( f ( f(x)) ) <=> f ( f ( f(x)) ) = f(x) - f(O) <=> (f o f o f) (x) = f(x) - f(O) Από τη σχέση (2) έχουμε τις ισότητες ο

(2) .

)}

(f f f f) (x) = f ( f (x) - f(O) (f o f o f o f) (x) = f ( f(x)) - f(O) ' από τις οποίες προκύπτει ότι: f ( f(x) - f(O)) = f ( f(x)) - f(O) .

(3)

Από την (3) για χ = Ο παίρνουμε: f ( f(O) - f(O)) = f ( f(O)) - f(O) <:::> f (O) = f ( f(O)) - f(O) <:::> f ( f(O)) = 2 f(O) Από τη σχέση (I) για χ = y = Ο και σε συνδυασμό με τη σχέση

(4),

έχουμε:

f ( f ( f(O)) - f(O) ) = f(O) - f( f(O)) <:::> f ( 2 f(O) - f(O)) = f(O) - 2 f(O) <:::> f( f(O)) = -f(O) Από τις σχέσεις

(4)

και

(5)

(4 ).

(5).

έχουμε: f(O) = Ο .

Αν τώρα στη σχέση (1) θέσουμε χ = Ο καταλήγουμε στη σχέση : f ( f ( f(O)) - f(y)) = f(O) - f ( f(y)) <:::> f ( - f(y)) = -f ( f(y)) . Επειδή όμως σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το ένα τουλάχιστον y Ε JR τέτοιο, ώστε f (y) = χ .

έπεται ότι για κάθε χ Ε JR θα υπάρχει

Άρα έχουμε f( -χ) = -f(x) , για κάθε χ Ε JR , δηλαδή η συνάρτηση f είναι περιττή. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/1 5

------ Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί - Μ αθ η ματικές Ολυμπιάδες

------

2 6 η Ε λληνική Μ α θη μ ατική Ο λυ μπι άδ α ' ' Ο Α ρ χι μ ή δ η ς "

ΣΑΒΒΑΤΟ, 2 1 ΦΕΒΡΟΥ ΑΡΙΟΥ 2009

Θέματα μεγάλων τάξεων

Πρόβλημ α I Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου

Α= είναι ρητός .

Λ ύ ση

Αρκεί να υπάρχουν

α, b Ε Ν*

για τις οποίες ο αριθμός

9n - 1 n+7

με

(α, b) = Ι 9n - 1 n + 7 b2

τέτοιοι ώστε:

(1)

•

Από τη σχέση ( Ι ) λαμ β άνουμε:

64b 2 7α 2 + b 2 - 7(α 2 - 9b 2 ) + 64b 2 + -::-----::= -7 (2) 9b 2 - α 2 9b 2 - α 9b 2 - α 2 Επειδή είναι ( α, b) = Ι , έπεται ότι ( α 2 , b 2 ) = 1 και ( 9b 2 - α 2 , b 2 ) = 1 , οπότε από τη σχέση (2) προκύπτει ότι ο αριθμός n είναι ακέραιος, αν, και μόνον αν, ο ακέραιος 9b 2 - α 2 είναι διαιρέ της του 64. Επειδή οι αριθμοί α, b και n είναι θετικοί ακέραιοι, προκύπτει ότι 9b 2 - α 2 � 8 , οπότε θα n-

είναι:

(3) 9b 2 - α 2 = ( 3b + α) ( 3b - α) Ε {8, 1 6, 32, 64} . Επειδή οι παράγοντες 3b + α, 3b - α έχουν άθροισμα πολλαπλάσιο του 6 και διαφορά πολ λαπλάσιο του 2 και είναι 3b + α > 3b - α , από τη σχέση (3) οι μόνες δυνατές περιπτώσεις που

προκύπτουν είναι οι εξής:

( 3b + α, 3b - α) = (4, 2) ή ( 3b + α, 3b - α) = (8, 4) ή (3b + α, 3b - α ) = (Ι 6, 2) q (α, b) = (1, I ) ή (α, b) = (2, 2) ή (α, b) = ( 7, 3) . Το ζευγάρι ( α, b ) = ( 2, 2) απορρίπτεται, γιατί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α, b οπότε προκύπτουν τελικά οι τιμές n = 1 ή n = 1 1 .

είναι

Πρόβλημ α 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίκεντρο Ο και Α 1 , Β1 , Γ1 τα μέσα των πλευρών Β Γ , ΑΓ και --

ΑΒ αντίστοιχα. Θεωρούμε τα ση μεία Α2 , Β2 , Γ έτσι ώστε: ΟΑ2 = λ · ΟΑ 1 ,

ΟΓ

2 = λ · ΟΓ 1

με

λ > Ο . Αποδείξτε ότι οι ευθείες ΑΑ 2 , ΒΒ 2 , ΓΓ 2

Λ ίJ σ η

Αν τώρα

= λ · ΟΑ 1 , καταλήγουμε στη σχέση : είναι το ση μείο τομής των

ΑΑ 2

ΑΗ

�

= · ΟΑ2

ΟΒ 2 = λ · Ο Β 1

ΟΑ 1 Δεδομένου ό•

•

και ΟΗ (από την ομοιότητα των τριγώνων

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β ' 71

τ.3/1 6

και

συντρέχουν.

Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ . Τότε θα ισχύει ΑΗ μως ότι ΟΑ2

CHA

-------

Μ α θη ματικοί Διαγωνισμο ί - Μ α θη ματικές Ολυ μπιάδ ες

------

- 2 -

και COA2 ), έχουμε: HC = - · CO . Δηλαδή η ΑΑ1 περνάει από το ση μείο C που χωρίζει το λ ΟΗ σε λόγο

l_ . λ

Α2

Ομοίως, θα ισχύει 8Η = 2 · 08 1 Δεδομένου όμως ότι 082 = λ · 08 1 , καταλήγουμε •

8 Η = - · 082 . λ Αν τώρα C' είναι το ση μείο τομής των 882 και ΟΗ (από την ομοιότητα των τριγώνων C'HA -

και C ' 082 ), έχουμε: HC' = 2 · C'O . Δηλαδή η 882 περνάει από το ση μείο C ' που χωρίζει το λ ΟΗ σε λόγο

l_ .

λ Αν τώρα C" είναι το σημείο τομής των 882 και ΟΗ , τότε με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι

η ΓΓ -1 περνάει από το σημείο C" που χωρίζει το ΟΗ σε λόγο

l_ .

Τα σημεία όμως C , C' , C" ταυτίζονται. Άρα οι ευθείες ΑΑυ 882 , ΓΓ2 συντρέχουν.

Π αρατ η ρή σ εις

( 1 ) Αν λ = 1 , τότε το ση μείο C ταυτίζεται με το β αρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ . (2) Αν λ = 2 , τότε το σημείο C ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου του Euler του τριγώνου ΑΒΓ . Στη περίπτωση αυτή τα τρίγωνα Α8Γ και Α282Γ2 είναι ίσα και έχουν κοινό κύκλο του

Euler.

(3 ) Σε κάθε περίπτωση τα τρίγωνα Α8Γ και Α187Γ1 είναι όμοια με τις πλευρές τους παράλ-

ληλες. Το ένα τρίγωνο είναι "εικόνα" του άλλου μέσα από ομοιοθεσίες, οπότε μπορεί να προ κύψει λύση και μέσω ομοιοθεσιών. (4) Λύσεις του προ βλήματος μπορούν να δοθούν με χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας ή μιγαδι κών αριθμών. Π ΡΟ ΒΛ Η Μ Α 3 Αν οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί x, y και 2 2 ? ? ? ?

Για ποιες τιμές των

χ,

και

z έχουν άθροισμα 2, να αποδείξετε ότι: χ- Υ + y z + z- χ- + xyz � Ι . αληθεύει η ισότητα;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β' 71

τ.3/17

------ Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί - Μ α θηματικέ ς Ολυ μπιάδ ες

ΛiJση

------

Θα χρησιμοποιήσουμε στην πρώτη φάση τη γνωστή ανισότητα 2αβ :::;; α2 σχύει για κάθε α, β ε ffi. ενώ η ισότητα ισχύει για α = β ε ffi. Έτσι έχουμε

+ β2 , η οποία ι

x-y + yz-) + z-x- + xyz = 2Ι ( 2 χ 2 y + 2yz- + 2z-x- + 2xyz ) ?

= -Ι ( 2xy o xy + 2 yz yz + 2zx zx + 2xyz ) 2 ο

:ς [χy (χ2 + y2 ) + yz (y2 + z 2 ) + yz (y2 + z z ) + 2xyz

= Ι [ ( xy + yz + zx ) ( χ- + y + z- ) - xyz- - yzx- - zxy + 2xyz 2 ?

(l)

± = ± [ ( xy + yz + zx ) ( χ2 + y2 + z 2 )], (αφού χ + y + z = 2)0 χ2 / + / 22 + 22χ2 + .xy2 ::ς � [ (.xy + yz + 2x ) ( x 2 + / + z 2 )] , = [ ( xy + yz + zx ) ( x 2 + y2 + z 2 ) - xyz ( x + y + z - 2 ) ]

Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι:

ενώ η ισότητα ισχύει, όπως προκύπτει από την ( 1 ), όταν : x = y = 2 ή x = y, z = O ή y = z , x = O ή οπότε, αφού είναι χ + y + 2 = 2 , η ισότητα αληθεύει όταν:

(

2 = x, y = 0 ,

)

( x, y, z ) = �3 . �3 . �3 ή ( Ι , 1 , 0 ) ή ( 1, 0, 1 ) ή ( 0, 1 , 1 ) 0 Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή ανισότητα ρώντας

α = 2 xy + 2y2 + 2 zx , β = χ2 + y2 + 22

Έτσι έχουμε

(2)

αβ ,;

(

(3 )

) , α, β

α β '

;

IR'.

, θεω

� [(.xy + y2 + 2x) ( x2 + / + 22 )] = � [( 2.xy + 2yz + 22x) ( x2 + / + 22 )] ?

:::;; _!_ 2.xy + 2y2 + 22x + x 2 + y 2 + z 4 = _!_ (x + y + 2 ) = 1 . (4) 4 2 16 Από τις (2) και (4) λαμ βάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα χ2/ + y222 + 22χ2 + xy2 :::;; 1 0 Η ισότητα στη σχέση ( 4) ισχύει, όταν: α = β <=> 2 xy + 2 y2 + 22χ = χ2 + / + 22 , η οποία συναληθεύει με τις ισότητες ( 3 ) για (x , y, 2 ) = (1, 1, 0 ) ή ( 1, 0, 1 ) ή ( 0, 1, 1 )

(

Π ΡΟ ΒΑ Η Μ Α 4

Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί

21 , 2 , 23 , 24 , 25 , 26 2

των οποίων οι ει-

κόνες A, , Az , A 3 , Α 4 , Α 5 , Α 6 είναι διαδοχικά ση μεία του κύκλου με κέντρο το ση μείο και ακτίνα

>Ο

Αν

0(0, 0)

w είναι μία λύση της εξίσωσης 22 + 2 + 1 = Ο και ισχύουν οι σχέσεις: 21 w2 + 23 w + 25 = 0 (Ι) , z2 w2 + z4 w + 26 = 0 (11)

να αποδείξτε ότι: (α) Το τρίγωνο Α, Α 3 Α5 είναι ισόπλευρο, (β)

l z1 -22 l + l z2 - 231 + 1 23 - 241 + 1 z4 - 25 1 + 1 25 -261 + i z6 - 21 1 = = 3l z, - z41 = 31 22 - 25 1 = 31 23 - 261 .

Λι'> ση

(α) Εφόσον ο μιγαδικός

είναι ρίζα της εξίσωσης

22 + 2 + Ι = Ο , θα ισχύει w2 + w + 1 = Ο .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/ 1 8

------- Μ α θ η ματικοί Διαγωνισμοί - Μ α θ ηματικές Ολυ μπι άδ ες

Πολλαπλασιάζοντας τη τελευταία εξίσωση με w , έχουμε: w 3 + w 2 + w = Ο <=> w 3 + '--w 2 + w + 1---ν--' = 1 <=> w 3 = 1 . ο

Από τη τελευταία εξίσωση συμπεραίνουμε ότι Η = 1 . Αντικαθιστώντας στη σχέση (Ι) w 2 = - w - 1 , έχουμε: Ζ I ( - 1 - W ) + Ζ 3 W + Ζ 5 = 0 <::::> - Ζ I - Ζ I W + Ζ 3 W + Ζ 5 = 0 <::::> ( Ζ 3 - Ζ I )w = Ζ I - Ζ 5 • Άρα I ( z 3 - z 1 J wl = lz 1 - z 5 1 <=> lz 3 - z 1 ll wl = lz 1 - z 5 1 <=> (Α). lz 3 - z 1 l = lz 1 - z 5 1 Αντικαθιστώντας στη σχέση (Ι) w = - w 2 - 1 , έχουμε: 2 2 2 z1 w + z3 (-w - 1) + z5 = Ο <=> z1 w - z3 � - z3 + z5 = 0 <=> (z1 -z3 )� = z5 -z3 . Άρα έχουμε ( z ι - z3 ) w2 = lz 5 - z3 1 <=> lzl - z3 1 w2 = lz5 - z3 1 <=> (Β). l z3 - 2ι l = l zs - 23 1 Από τις σχέσεις (Α) και (Β) έχουμε τις ισότητες: lz 1 - z 3 1 = lz 3 - z 5 1 = lz 5 - z 1 l ' δηλαδή το τρίγωνο Α1 Α3 Α5 είναι ισόπλευρο. (β) Με όμοιο τρόπο (χρησιμοποιώντας τη σχέση (Π)) αποδεικνύουμε ότι και το τρίγωνο Α2 Α4 Α6 είναι ισόπλευρο. Από γν ωστή πρόταση της γεωμετρίας έχουμε ότι Α1 Α2 + Α1 Α6 = Α1 Α4 , οπότε χρησιμοποιώ ντας μέτρα μιγαδικών λαμβάνουμε: (1) lzΙ - z 2 1 + 1z6 - z ι l = lzl - z4 1 · Ομοίως, από την ισότητα Α3 Α2 + Α3 Α4 = Α3 Α6 χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών λαμβάνου(2) με: lz 2 - z3 1 + 1z3 - z4 1 = 1z3 - z6 1 ·

l 1

Α1

Ομοίως , από την ισότητα Α5 Α4 + Α5 Α6 = Α5 Α2 χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών λαμβά νουμε: (3) Προσθέτοντας τις σχέσεις ( l ), (2) και (3) κατά μέλη και χρησιμοποιώντας τις ισότητες lzΙ - z4 1 = lz3 - z6 1 = lz 2 - z 5 1 λαμβάνουμε: lzl -z2 1 + lz2 -z31 + lz3 -z41 + lz4 -z5 1 + lz5 -z61 + lz6 -zll = 3lzl - 24 1 = 3lz2 - 25 1 = 3lz3 - 26 1 · ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β' 71

τ.3/ 1 9

HIJMIJ MArHHEMAriCVS

Η Homo Mathematicus είναι μια στήλη στο περιοδικό μας, με σκοπό την ανταλλαγή απόψεων και την ανάπτυξη προβλη ματισμού πάνω στα εξής θέματα: I ) τι είναι τα Μαθη ματικά, 2) Πρέπει ή όχι να διδάσκονται, 3) Ποιοι είναι οι κλάδοι των Μαθηματικών και ποιο το αντικείμενο του καθενός, 4) Ποιες είναι οι εφαρμογές τους, 5) Ποιες επιστήμες ή κλάδοι επιστημών απαιτούν καλή γνώση των Μαθηματικών για να μπορέσει κάποιος να τους σπουδάσει. Για τους συνr.pγ6τι:ς της στι]λης: παράκληση ! τα κείμενα της στήλης αυτής, ως προς το περιεχόμενό τους και ως προς το επίπεδό τους, θα πρέπει να είναι συμβιβαστά με τα ενδιαφέροντα και το επίπεδο κατανόησης από μέρους των παιδιών.

I . "τι ι:ίναι τα ΙV/αΟηματικά;

επιμ έλεια : Κ α ρκ {ιν ης Β ασίλης , Κ ε ρ ασα ρ ί δ ης Γιάννης

Η ικανότητα της μαθηματικής μεθόδου να συμπεριλαμβάνει την ίδια τη διαδικασία, της μετάβασης από ένα επίπεδο κατανόησης της πραγματικότητας στο αμέσως ανώτερο και ποιοτικά νέο επίπεδο, μπορεί να κατανοηθεί με χρήση μιας σειράς φυσικών θεωριών ως υποδειγμάτων. Παράδειγμα: Σχέση μεταξύ της Μακροσκοπικής Θεωρίας της Δ ιάχυσης (η οποία προϋποθέτει μια συνεχώς κατανεμημένη διαχεόμενη ουσία), και της Στατιστικής θεωρίας της Διάχυσης (η οποία αναχωρεί από την θεώρηση της κίνησης ατομικών σωματιδίων της διαχεόμενης ουσίας). Απάντηση: Στη μακροσκοπική θεωρία της διάχυσης, η πυκνότητα της διαχεόμενης ουσίας ικανοποιεί μια ειδική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους και η μελέτη διάφορων προβλημάτων, που αναφέρονται στην διάχυση, ανάγεται στην εύρεση των λύσεων αυτής της διαφορικής εξίσωσης για κατάλληλες συνοριακές και αρχικές συνθήκες. Στη στατιστική θεωρία της διάχυσης, για μικρές περιοχές του χώρου (που περιέχουν μόνο ένα μικρό αριθμό σωματιδίων της διαχεόμενης ουσίας), η ίδια η έννοια της πυκνότητας χάνει την σημασία της. Εδώ τον λόγο έχει η στατιστική θεωρία της διάχυσης. Η στατιστική θεωρία της διάχυσης

Τα ΜαΟηματιιcά και η μετάβαση απδ �iνα �:πίπεδο κατα ιιδη ση ς στο αμ�iσω ς αιιlύ τερο

1 1.

προχωρεί από την θεώρηση των μικροσκοπικών wχαίων κινήσεων σωματιδίων, οι οποίες οφείλονται στα μόρια του διαλυτικού μέσου. Επειδή ο αριθμός

των ατομικών σωματιδίων της διαχεόμενης ουσίας είναι πολύ μεγάλος, οι νόμοι, που διέπουν την κατανομή πιθανότητας των μετατοπίσεων των σωματιδίων αυτών, οδηγούν, με την υπόθεση ότι οι καθενός μετατοπίσεις σωματιδίου είναι ανεξάρτητες των άλλων, σε συγκεκριμένους νόμους (και όχι νόμους τύχης) , οι οποίοι διέπουν την κίνηση της διαχεόμενης ουσίας ως ολότητας. Οι νόμοι αυτοί συμβαίνει να συμπίπτουν με τις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες περιγράφουν την συνεχή θεωρία. Το παράδειγμα αυτό είναι αρκετά τυπικό, υπό την έννοια μια στατιστική τυχαίων γεγονότων συχνά οδηγεί από ένα σύνολο νόμων (στην παρούσα περίπτωση, από τους νόμους που διέπουν τα ατομικά σωματίδια της διαχεόμενης ουσίας), σε ένα ποιοτικά διαφορετικό σύνολο νόμων (στην παρούσα περίπτωση, στις διαφορικές εξισώσεις της συνεχούς θεωρίας της διάχυσης). [πηγή : «Εισαγωγή στη Μεθοδολογία των Μαθη ματικών», Κ. Α . Rybnikoν, εκδ . " Επιστήμη και Κοινωνία" , Θεσσαλονίκη 1 9 86 ]

Γι{ι ννης Κ ε ρ ασαρ ί δ ης

'Ά υ η) το ξιiρα τι:; ,

Μήπως γνωρίζετε τι ζητούσε ο Eνariste Galois από τον πρόεδρο της Ακαδημίας Επιστημών των Παρισίων με επιστολή του στις 3 1 Μάρτη 1 83 1 ; 1 1 1 . , οι συ νφγάτεc: τιιc: στιίJ.ιιc: wάφο υ ιι-ερω το ι) ν ,

η απά ντηση στο τέλος της στήλης

Πp lύτο Οιiμα: Μαθηματικά και 1Ί.':χνη (τιiταρ τη συ νιiχεια)

Σήμερα σας παρουσιάζουμε, το τέταρτο και τελευταίο μέρος της ενδιαφέρουσας εργασίας « Τέχνη και Μαθηματικά στο Μο υσείο Ηρ ακλειδ ώ ν», του Απόστολου Παπανικολάου

Προl.ε-μ)μενα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/20

ΗΟΜΟ ΜΑτΗΕΜΑτ�VS

Ε Ι Δ Ι ΚΟΊΈ Ρ Η Α Ν Α ΛΥΣ Η Π Ι Ν Α ΚΩ Ν ΤΟΥ E SC H E R Ε Ν Λ Ε Ι Κτ J ΚΑ Π Α ΡΑΔ Ε Ι Γ Μ ΑΤΑ

-------

------

Ιδιαίτερη αναφορά θα κάνουμε στο έργο του καλλιτεχνικά μαθηματικές έννοιες για τις οποίες ενημερωνόταν από μεγάλους μαθηματικούς της Είναι γνωστό ότι ο Ολλανδός καλλιτέχνης εποχής του (Coxeter, Penrose κ.α.). Έτσι, έχει Escher ( 1 898- I 972) δεν είχε ιδιαίτερες ιδιαίτερο ενδιαφέρον να «ανακαλυφθούν» και να μαθηματικές γνώσεις. Όμως ο ίδιος έλεγε ότι μελετηθούν οι μαθηματικές αυτές έννοιες μέσα από «διασχίζει συνεχώς το σύνορο μεταξύ τον πλούτο των πινάκων που εκτίθενται στο Μαθ ατικών και Τέ » απεικονί οντα ουσείο Η ακλειδών. Όρι ο Τετρ αγ ώ νο υ 111: Αναζητούνται ποιοι από τους βασικούς σημειακούς ΕΠΙΛΟΓΟΣ Ο Πλάτων στο διάλογο μετασχηματισμούς (μεταφορά, «Πολιτεία>> θεωρεί ανέφικτο να αξονική συμμετρία, στροφή, σύνθεση προσπαθήσει κάποιος να μάθει μεταφοράς και αξονικής συμμετρίας) Μαθηματικά μέσα από πίνακες είναι εμφανείς στον πίνακα αυτό.Σε ζωγραφικής. Έτσι και το πρόγραμμα φιλοσοφικό επίπεδο τίθεται και « τέχνη και Μαθηματικά» δεν συζητείται το ερώτημα πώς οι φιλοδοξεί να διδάξει Μαθηματικά άγγελοι που συμβολίζουν το καλό σε βάθος -κάτι που θα γίνει στη συνυπάρχουν με τους διαβόλους που σχολική τάξη- αλλά μέσα από το ό_______+συ _,_ L..,_ ολ _ ι _. ' ο ν υ τ_ ο_ κ _ α κ _ � ευχάριστο περιβάλλον της τέχνης να ._ f-__ _ δημιουργήσει αλλαγή στάσης ως Verbum=Λ_όγoς: Μέσα από την άποψη προς τη θεώρηση τω ν του καλλιτέχνη για τη δημιουργία και Μαθηματικών, για τους μαθητές εξέλιξη τη ς ζωής που απεικονίζεται που τα θεωρούν απρόσιτα, στον πίνακα αυτό διερευνάται η επισημαίνοντας τη φιλοσοφική τους διασύνδεση του μαθηματικού λόγου διάσταση και τη διείσδυσή τους σε με τις υπόλοιπες σημασίες της λέξης όλους τους τομείς της ανθρώπινης λόγος. (αίτιο, λογική, λεκτική σκέψης και δραστηριότητας. εκφορά). Συσχετίζεται ο πίνακας και Θερμές ευχαριστίες στους με τον Απόλλωνα που στην Αρχαία 5000 περίπου μαθητές και Ελλάδα θεωρείται ως θεός του ηλίου καθηγητές, που με τις επισκέψεις στο Μουσείο Ηρακλειδών τα τρία και λο ι f-- ��-'-�� - -----� -� Escher:

Explorίng

the

lnfinίte

116:

Αυτοομοιότητα είναι η ιδιότητα ενός σχήματος να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του. Υπάρχει τέτοιο τμήμα του πίνακα που επαναλαμβάνεται σε διαφορετική κλίμακα; Ποια πρακτική αλλά και φιλοσοφική σημασία έχει η διαπίστωση για ένα αντικείμενο ότι έχει την ιδιότητα της αυτοομοιότητας;

τελευταία χρόνια, στο πρόγραμμα « τέχνη και Μαθηματικά», τις ενδιαφέρουσες ερωτήσεις και παρατηρήσεις, εμπλούτισαν και εμπλουτίζουν αυτήν την προσπάθεια ολιστικής προσέγγισης της γνώσης και πνευματικής ανάτασης.

Το μουσείο ανεξάρτητα από τις εκθέσεις καλλιτεχνών που φιλοξενεί κατά διαστήματα, θα έχει μόνιμα εκτιθέμενα έργα των Escher και Vasarely για τις ανάγκες του εκπαιδευτικού προγράμματος. ___ _ _ f-+� _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ ----------Φ ιλοδοξία του προγράμματος είναι Δ ιαιp εση Κυ{Jικο υ Χιώp ο υ : από τη σχολική χρονιά 2009-20 1 0 Αριθμήσιμο λέγεται ένα σύνολο όταν για τα τμή ματα των σχολείων που μπορούμε σε κάθε στοιχείο του να ήδη έχουν παρακολουθήσει την aντιστοιχίσουμε ένα φυσικό αριθμό. εισαγωγή στη σχέση Τέχνης και Είναι το σύνολο όλων των κόμβων Μαθη ματικών να προσφέρει πιο του πίνακα aριθμήσιμο; Μπορούμε εξειδικευμένες παρουσιάσεις των θεμάτων που θίγονται στο γενικό δηλαδή να aντιστοιχίσουμε σε κάθε μέρος και σε συνεργασία με τον κόμβο αυτής της σκαλωσιάς από ένα διδάσκοντα καθηγητή ξεχωριστό φυσικό αριθμό ή δεν Απόστολος Π απανικολάου φθάνουν οι φυσικοί αριθμοί γι αυτό;

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/21

----

Λ ::ι)η:μο ο::μα: « Είιιαι

HIJMIJ MArHEMAriCVS

αμιΟμ/ις το μψ5{J>,· ;;, II υ Οα;ιt)μι·ω

2.'άμο ιJ

Π/τμο υ Σοφια ι•ο ι)

-----

ΤΟ /!

I Ιμοί.ηt)μ::ιια. Ο φίλος της στήλης Πέτρος Σοφιανός, είναι γνωστός στους αναγνώστες της στήλης μας για την ικανότητά του να διατυπώνει μαθη ματικές απόψεις σε έμμετρο λόγο (βλέπε: «Έμμετρος βίος του Πυθαγόρα», τεύχος 67 ) . Απολαύστε το νέο θέμα που μας έστειλε · έχει τίτλο «Είναι αριθμός το μηδέν;»

Αλήθεια είναι αριθμός και το μηδέν που πάει να πει μηδέ* ένα; Χωρίς το εν και το μηδέν κομπιούτερ δε δουλεύει πού λεν' πως τάχα τη ζωή μας όλων aπλουστεύει. Αν "όχι" πούμε το μηδέν, το "ναι " είναι το ένα, μα με δυο τέτοιους "αριθμούς" φτιάχνουμε τον κάθε ένα! ΣΗΜ ΕΙΟ, ΣΠΓΜΗ θα πει μηδέν, ήτοι α κινη σία που πουθενά δεν θα τη βρεις . . . στο "πάντα ρει" η σοφία. Αν στο μηδέν βάλουμε αρχή άπειροι είναι οι αριθμοί κι απ' το μηδέν το μέτρημα πιάνουμε σαν τον όνο αν πρόγραμμα δε βάλουμε στο χώρο και στο χρόνο, αν δε προγραμματίσουμε μαζί το Χωροχρόνο. ΧΩΡΟΣ και ΧΡΟΝΟΣ "αριθμοί" είναι κι αυτοί αντάμα τον ΚΟΣΜΟ μήπως νοήσουμε που είναι όμως άλλο πράγμα! Κόσμος σημαίνει στόλισμα, "ποίημα θεού" είπε κάποιος Ίωνας πρωτοφιλόσοφος Θαλής εκ της Μιλήτου στα 600 προ Χριστού, δάσκαλος του δικού μας του πρώτου σοφοδάσκαλου του Σάμιου Πυθαγόρα. 'Άείζωον πυρ" ο Ηράκλειτος τον κόσμο αποκαλούσε καθώς και μέτρηση "φωτιάς" να μάθει προσπαθούσε. Μετά χρόνους δισ-χίλιους κι αφού η Άνωση - Βάρος έγινε από τον Νεύτωνα , με Κέλσιου βαθμούς Θερμοκρασία μετρήθηκε σε πάγο "Ο" και υδρατμούς" ι 00" .

"Υπάρχει απόλυτο μηδέν (-273);" να μια άλλη απορία που ο λόρδος Κέλβιν έθεσε για τη θερμοκρασία την έρευνα βυθίζοντας σε κάποια αργοπορία, αν Ενιαία ψάχνουμε Συμπαντική Θεωρία! Θυμήσου φίλε μου μικρέ μα αφού καλά γνωρίσεις τα παραπάνω όλα αυτά σχολεία αφού φοιτήσεις του Νεύτωνα η Μηχανική με την παγκόσμια έλξη θα ερμηνευθεί απ' το μηδέν: Σημείο Ισορροπίας η μάλλον Ανακύκλησης* * του ΘΕ Ρ ΜΟ ΧΩ Ρ ΟΧ Ρ ΟΝΟΥ που αν και τον ζει δεν τον νοεί μυαλό δεμένου όνου . . . Γιατί και ο κύκλος είναι μηδέν που μόνο με διαβήτη μπορείς να φτιάξεις παίζοντας με προσοχή στη μύτη . . . Σε έξη ίσα τμήματα κύκλο μεγάλο η μικρό χωρίζεις με ακτίνα που αν θες δοκίμασε το εσύ μπορεί να νοιώσεις φίνα! Μα έτσι το χωρόχρονο aρχίζεις να γνωρίζεις καθώς σε μοίρες, μέρες και λεπτά συνέχεια μερίζεις . . . "Γιατί σε aρχαίους Αιγύπτιους, Έλληνες και Ρωμιούς μηδέν δεν εχρησίμευε κι είχαν πολλούς θεούς;" Έχει κι αυτό μια εξήγηση που ψάχνω κι εγώ ακόμα γιαυτό σ' αφήνω τώρα δα για τούτη δω την ώρα μα εσύ αν θέλεις ρώταγε πάντοτε και προχώρα . . . Πέτρος Σοφιανός Πυθαγόρειο Σάμου * Από την Ελληνική λέξη "ουδέν" ο Πτολεμαίος πρότεινε και επικράτησε το σύμβολο "Ο" . * * nα το σημείο αυτό μιλάει ο φιλόσοφος Αναξίμανδρος που θεωρείο αρχή του σύμπαντος το 'ΆΠΕΙΡΟΝ" η "αείδιον " όπως ο ίδιος αποκαλούσε . . .

ΕΥΚΛ Ε Ι Δ Η Σ Β ' 7 1 τ.3/22

Τ ρ ίτο Oi:μu :

------

HIJMIJ MA1ΉEMAr/CUS

« 1-1

ο ρ Οολογιιο'1 κοπι) της μελαμίνης»

1/μοi.ςf)μ::νu.. Λοιπόν, αγαπητοί φίλοι της στήλης, προ η μερών βρέθηκα σε ένα ξυλεμπορικό κατάστη μα με σκοπό να παραγγείλω κάποια κομμάτια μελαμίνης που μου χρειάζονται για μια κατασκευή . Όταν φτάσαμε στο λογαριασμό, με έκπληξή μου άκουσα το μαγαζάτορα να μου λέει πως το κατάστη μα δεν χρεώνει με τα τεμάχια που παρήγγειλα, αλλά με το πόσα ακέραια φύλλα μελαμίνης πρέπει να κόψει. Και συμπλήρωσε: «αν δεν σου χρεώσω τα κομμάτια που περισσεύουν, για μένα αυτά θα είναι άχρηστα». Όταν ο υπάλληλος πήρε την παραγγελία και πήγε να την εκτελέσει, ο μαγαζάτορας για να με . . . παρηγορήσει και για να Το

••

� ii r/ι

το

σκέφτομαι

τα

πρό βλη μα

κάποιου τμή μα ξυλουργικό «Στο εργοστασίου δόθηκε η παραγγελία, να κόψουν από φύλλα μελαμίνης κομμάτια δύο ειδών για την κατασκευή 1 .000 αντικειμένων. Το ξυλουργείο ειδοποιήθηκε ότι για το καθένα από τα 1 .000 αντικείμενα χρειάζονται δύο κομμάτια από το πρώτο είδος και τρία κομμάτια από το δεύτερο. Στην αποθήκη του έχει 800 φύλλα μελαμίνης με τις ίδιες διαστάσεις. Προτάθηκαν τρεις τρόποι ορθολογικής κοπής των φύλλων. Με τον πρώτο τρόπο από κάθε φύλλο μελαμίνης βγαίνουν πέντε κομμάτια του πρώτου είδους και δύο του δεύτερου, 111,.

άχρηστα κομμάτια, μου και αφού την τέλειωσε ζήτησε τη γνώμη μου. Ήδη , όμως, ο υπάλληλος είχε εκτελέσει την παραγγελία, με ειδοποίησε πως τα κομμάτια ήταν έτοιμα και πως έπρεπε να τα πάρω για να μη εμποδίζουν τους άλλους πελάτες. Φεύγοντας, ο μαγαζάτορας μου υπενθύμισε πως του χρωστώ μια απάντηση και πως θα με περίμενε κάποια μέρα να τον επισκεφθώ και να του απαντήσω. Του το υποσχέθηκα. Μήπως κάποιος από σας μπορεί να μου δώσει ιδέες; (Ωάννης Κερασαρίδης) μη

διηγήθηκε μια ιστορία

ενώ με τον δεύτερο τρόπο κοπής βγαίνει ένα κομμάτι του πρώτου είδους και πέντε του δεύτερου είδους. Τέλος με τον τρίτο τρόπο κοπής βγαίνουν τρία κομμάτια του πρώτου είδους και τέσσερα του δεύτερου. Φτάνουν, άραγε, τα φύλλα της μελαμίνης που βρίσκονται στην αποθήκη για την εκτέλεση της παραγγελίας; Πόσα φύλλα μελαμίνης πρέπει να κοπούν με τον πρώτο, πόσα με τον δεύτερο και πόσα με τον τρίτο τρόπο, για να εκτελεστεί η παραγγελία;»

.;ι:ματε; " fοι απαιιτιί σ::ις/

3 1 Μαρτίου 1 83 1 Κύριε Πρόεδρε, Τολμώ να ελπίζω ότι οι κκ. Lacroix και Poisson δεν θα θεωρήσουν κακό να τους υπενθυμίσω ένα σύγγραμμα σχετικό με τη θεωρία εξισώσεων που τους ανατέθηκε εδώ και τρεις μήνες. Οι έρευνες που περιλαμβάνει αυτό το σύγγραμμα ανήκουν στην εργασία που είχα υποβάλει πέρυσι στο διαγωνισμό για το μεγάλο βραβείο των Μαθηματικών, όπου έδινα, σε όλες τις περιπτώσεις, τους κανόνες για να αναγνωρισθεί αν μία εξίσωση ήταν ή όχι ε-,ι:ιλύσιμη μέσω τετραγωνικών ριζών. Όπως αυτό το πρόβλημα παρουσιάστηκε ως τώρα, αν όχι αδύνατον, τουλάχιστον πολύ δύσκολο στους γεωμέτρες, η εξεταστική επιτροπή έκρινε ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ότι δεν μπορούσα να είχα λύσει αυτό το πρόβλη μα,

πρώτον, διότι λέγομαι Galois, και επιπλέον διότι ή μουν φοιτητής και μ' ενημέρωσαν ότι χάθηκε το σύγγραμμά μου. Αυτό το μάθη μα θα έπρεπε να μου ήταν αρκετό. Όμως, σύμφωνα με τη γνώ μη ενός αξιότιμου μέλους της Ακαδη μίας, έγραψα και πάλι ένα μέρος του συγγράμματός μου και σας το παρουσίασα. Βλέπετε, κύριε Πρόεδρε, ότι οι έρευνές μου έχουν υποστεί μέχρι σή μερα περίπου την ίδια μοίρα με εκείνες που λύνουν τον τετραγωνισμό του κύκλου. Η αναλογία θα ισχύσει έως το τέλος; Θέλετε, κύριε Πρόεδρε, να με απαλλάξετε από την ανησυχία, καλώντας τους κκ. Lacroix και Poisson να δηλώσουν αν έχασαν το σύγγραμμά μου ή αν έχουν την πρόθεση να κάνουν αναφορά στην Ακαδη μία. Δεχθείτε, κύριε Πρόεδρε, τα σέβη του ευλαβούς υπηρέτη σας, Ε. G A L O IS

[πηγή : Από την ηλεκτρονική αλληλογραφία του Νίκου Λυγερού προς Γιάννη Κερασαρίδη ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/23

�•ΙιιιιauιucfJ

1}οω ΊJ[{][!} !J' uc!J&j[[J ΊJΘGJ !JGJωe5dΘGJ Μελέτη συνάρτησης - Συστήματα - Τριώνυμο Β ' βαθμού Αντώνης Κυριακόπουλος -Χρυσ. Κυβερνήτου - Σπύρος Καρδαμίτσης Χ Ρ Η Σ Ι Μ ΕΣ Ε Π Ι Σ Η Μ Α Ν Σ Ε Ι Σ 1 . Μια συνάρτηση f: Α -t IR λέμε ότι είναι άρτια αν, και μόνο αν, για κάθε χ Ε Α ισχύ ουν : (-χ) Ε Α και f(- χ) = f(x).

μοναδική λύση : χ =

D, D

•

Αν D = Ο, τότε το σύστημα (1) είναι αδύνατο ή έχει απειρία λύσεων.

•

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρ - Σημειώνουμε ότι για το σύστημα ( 1 ) ισχύουν τησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα τα εξής: ' y y. α) D * Ο <:::::> ( έχει μία μοναδική λύση) - Μια συνάρτηση f: Α -t IR λέμε ότι είναι β) D=O<=:>( είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις) περιττή αν, και μόνο αν, για κάθε χ Ε Α ι γ) (σύστημα αδύνατο) => D = Ο σχύουν: (-χ) Ε Α και f(- χ) = -f(x). (το αντίστροφο δεν ισχύει.) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συ δ) (σύστημα με άπειρες λύσεις.) => D = Ο νάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρ (το αντίστροφο δεν ισχύει.) χή των αξόνων. 4 . Έστω η συνάρτηση : f(χ)=αχ 2 +βχ+γ (α-:F-0). •

2. Έστω μια συνάρτηση f: Α -t IR α) Αν για ένα αριθμό k Ε IR ισχύει: f(x) ::=: k, για κάθε χ Ε Α, τότε το k είναι αναγκαίως η ελάχιστη τιμή της f;

Όχι. Αυτό συμβαίνει μόνο αν το k είναι τιμή της f. Δηλαδή, αν υπάρχει ξ Ε Α με f(ξ) = k . Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση : f(x) = [χ[ , χ Ε IR . Για κάθε χ Ε IR ισχύει: [χ[ ::=: - 2, δηλαδή f(x) ::=: - 2, αλλά το - 2 δεν είναι ελάχιστη τιμή της f. Η ελάχιστη τιμή της f είναι το Ο. •

β ) Αν για έναν αριθμό λ Ε IR ισχύει: f(x) :::; λ, για κάθε χ Ε Α, τότε το λ είναι αναγκαίως η μέγιστη τιμή της f; Όχι. Αυτό συμβαίνει μόνο αν το λ είναι

τιμή της f.

3. Έστω το σύστημα: Θέτουμε: α β γ D= , Dx = γ' α' β' •

{

β'

Αν α > Ο, τότε η f έχει ελάχιστη τιμή για Δ β , χ = - - ιση με: - - . 4α 2α Αν α < Ο, τότε η f έχει μέγιστη τιμή για

•

ίση με: - � . 2α 4α 5. Θεώρη μα τριωνύμου. Έστω το τριώνυ 2 μο : f(x) = αχ 2 +βχ +γ (α-:F-0, Δ=β -4αγ). α) Έστω ότι Δ < Ο. Τότε: • αf(χ) > Ο, για κάθε χ Ε IR . χ=-

tτ:) ι-

1._

β) Έστω ότι Δ = Ο. Τότε: •

(1)

αf(χ) > Ο, για κάθε χ

α'

γ'

Αν D * Ο, τότε το σύστη μα (1) έχει τη

fΊ χ)

- 00

+οο

ο μό:Jημο ΊΌD α.

f( _

αχ + βy = γ , α ,χ + β y = γ ,

•

με χ *

1_ 2α

1._ ) = ο . 2α

1._

ομ οοη μο ΊΌD α.

2α

ομό:Jη μο ΊΌD α.

+οο

γ) Έστω ότι Δ > Ο (ρ ι , ρ 2 οι ρίζες του, ρ ι <ρz). Τότε:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/24

•

αf(χ) > Ο, για κάθε χ αf(χ) < Ο, για κάθε χ

ft: x)

ι-οο

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυκείου

( -οο , ρ ι ) υ (ρ 2 , +οο). (ρι, ρ 2 ). Ρ

(ση aμο ο μ�u

(για κάθε χ

IR,

(για κάθε χ

IR,

f(x) :::: Ο ) <:::}

(για κάθε χ

IR,

f(x) < Ο ) <:::}

(για κάθε χ

IR,

f(x) � Ο ) <:::}

ετ:::ρ ό ση μ ο ro u a

(ση aμο ο μ �u

6. Έστω το τριώνυμο f(χ)=αχ 2 +βχ +γ ( α*Ο). Ισχύουν οι εξής ισοδυναμίες: f(x) > Ο ) <:::}

{α> {α> {α {α

Δ<Ο Ο

Δ ::ο; Ο

<Ο

Δ<Ο <Ο

Δ ::ο; Ο

7. Ανι σώσεις της μορφής (α 1 χ + β 1 ) k ' ... (ανχ + β ν ) k , :::: Ο (ή � 0), Γ(χ) =

όπου α ι , αz, . . . αν * Ο, k ι , k2 , . . . , kν φυσικοί θετικοί αριθμοί και τα διώνυμα στις παρεν θέσεις έχουν ανά δυο διαφορετικές ρίζες (ν φυσικός με ν ::::

Β ή μ α 4°.

Τα πρόσημα στα υπόλοιπα διαστή ματα τα βρίσκουμε ως εξής, αρχίζοντας από το προτελευταίο διάστημα (ρν - ι , ρv): Στο διάστημα (ρv- ι , ρν) θέτουμε το ίδιο πρό σημο με εκείνο του (επομένου) (ρν , +οο), αν η ρίζα που τα χωρίζει, έχει άρτιο βαθμό πολλα πλότητας ή το αντίθετό του, αν έχει περιττό βαθμό πολλαπλότητας. Όμοια, στο (προηγούμενο) διάστημα (ρν-2 , ρν1 ) θέτουμε το πρόσημο του (επομένου) (ρ v - ι , ρν), αν η ρίζα ρν - ι , που τα χωρίζει, έχει βαθμό πολλαπλότητας άρτιο αριθμό ή το αντίθετό του, αν έχει βαθμό πολλαπλότητας περιττό α ριθμό. Συνεχίζουμε κατ ' αυτόν τον τρόπο έως ότου βάλουμε πρόσημα σε όλα τα διαστήματα. - Για παράδειγμα, τα πρόσημα του γινομένου: Γ(χ) = (2χ ?)9(χ + 1 ) 2 0 (-χ + 2) ι 3 χs δίνονται στον παρακάτω πίνακα: _

f1x)

-1

? I

Ση μείωση . Η εύρεση των προσήμων ενός γι επίλυση της ανίσωσης αυτής ανάγεται στην νομένου που περιέχει παράγοντες της μορφής εύρεση των προσήμων του γινομένου Γ( χ), για (αχ + λ)ν και παράγοντες της μορφής (γχ2 τις διάφορες τιμές του χ Ε IR . Τα πρόσημα του + δχ+ ε)μ, όπου αγ * Ο και λ, μ φυσικοί θετικοί Γ(χ) μπορούμε να τα βρούμε εύκολα ως εξής: αριθμοί, ανάγεται στην εύρεση των προσήμων Βή μα I . Βρίσκουμε τις ρίζες των διωνύμων γινομένου της παραπάνω μορφής που εξετά που είναι στις παρενθέσεις. Οι ρίζες αυτές εί σαμε. (βλέπε ασκήσεις παρακάτω). ναι ανά δύο διαφορετικές και είναι κατά σειΑ. σ κη ση 1 '1 • βν β! β2 ρα. ρ ι - - - , ρ 2 - - - , , ρv - - - , Ν α εξετάσετε αν ο ι παρακάτω συναρτήσεις

2).

, .

αl

α2

· · ·

αν

με βαθμό πολλαπλότητας k ι , k2 , . . . , kv αντι στοίχως. Β ή μα 2. Τις ρίζες αυτές τις βάζουμε κατά σει ρά μεγέθους στον άξονα των πραγματικών α ριθμών. Δεν είναι βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι: ρ ι < ρ2 < . . . < ρν - ι < ρν . Έτσι, θα έχουμε το παρακάτω πίνακα: �1 Ρ2 Ρ,Ί- 1 � +οο f1x) ? ? ? ? ° Β ή μ α 3 . Στο τελευταίο δεξιά διάστημα (ρv , +οο) θέτουμε το πρόσημο του γινομένου των συντελεστών του χ των διωνύμων που έχουν υψωθεί σε περιττή δύναμη, δηλαδή που έχουν ρίζες με περιττό βαθμό πολλαπλότητας. χ

ι- 00

είναι άρτιες ή περιττές: 3χ 2 + 1. 1.

f(x)

{

2 l xl

- 3χ - 4 άν χ � -2 - 3χ + 4 αν χ 2:: 2 Λ ί)ση : 1 . Τ ο σύνολο ορισμού της f είναι το IR . Για κάθε χ Ε IR . Για κάθε χ Ε IR έχουμε -x E IR και f (-χ)=3(-χ) 2 -2 1 - x l + 1 =3x2-2 l x l + 1 =f(x). 2. Το σύνολο ορισμού της g είναι: Α=(--ω,-2]υ [ 2,+οο). Είναι φανερό ότι για κάθε χ Ε Α ισχύει (-χ) ΕΑ. Έστω ένας αριθμός χ Ε Α. α) Έστω ότι χ � - 2. Τότε g(x) = - 3χ - 4. Ε ξάλλου, τότε - χ :Ξ:: 2 και συνεπώς: g (-χ) = - 3(-χ) + 4 = 3χ + 4 = - g(x) β) Έστω ότι χ :Ξ:: 2. Τότε g(x) = - 3χ + 4.

2. g(x)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/25

Μ αθηματικά για την Α ' Λυκείου

Εξάλλου, τότε - χ :::; -2 και συνεπώς: g (-χ) = - 3 (-χ) - 4 = 3 χ - 4 = - g(x). Συμπεραίνουμε ότι, για κάθε χ Ε Α ισχύει: g (-x)=-g(x). Άρα, η συνάρτηση g περιττή . Ά σ κη ση 211 • Να εξετάσετε αν ο ι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: � IR με χ2 • +

1)2) f:g(x)(-=2,ι χ2]-2ι 3. f(x) =

ΛίJ ση :

1 . Το σύνολο ορισμού της f είναι Α = (-2, 2]. Έχουμε 2 Ε Α, αλλά (-- 2) � Α. Συνεπώς, υπάρχει χ Ε Α τέτοιο ώστε (-χ) � Α. Άρα η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή . 2. Το σύνολο ορισμού της g είναι το IR . Για κάθε χ Ε IR, έχουμε (- χ) Ε IR . α) Έστω ότι η g είναι άρτια. Τότε: g (- I ) = g ( I ) => ι- 1 - 2 + 3 = ι 1 - 2 + 3 => 6 = 4, άτοπο .

β ) Έστω ότι η g είναι περιττή . Τότε: g(- Ι ) = - g( 1 ) => 1 - 2ι + 3 = -( ι 1 - 2ι + 3 ) =>

ι-

=> 6 = - 4, άτοπο. Άρα η g δεν είναι ούτε άρ τια, ούτε περιττή . Ά σ κη ση 3 '1 • Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης IR� IR διέρχεται από τα ση μεία Α( και Η συνάρτηση αυτή είναι : Α. άρτια , περιττή , Γ. ούτε άρτια, ούτε περιττή. Απάντ η σ η . Γ. (δικαιολογήσετε την απάντηση) Ά σ κη ση 411 • Να μελετήσετε ω ς προς την μονοτονία τις συναρτήσεις:

f: Β(2,1). Β.

2, 3)

l) f(x) = Vx-2 . 2) g(x) =3 - � .

Λ ίJ ση : I . Τ ο σύνολο ορισμού της f είναι:

Α = [2 , +οο ). Θεωρούμε δύο αριθμούς χ ι , χ 2 Α με χ ι < χ2 . Έχουμε: 2 :Ξ; Χ ι < Χ2 => 0 :Ξ; Χ ι - 2 < Χ2 - 2 => => Vx , - 2 < Vx 2 - 2 => f(χ ι ) < f(xz) .

Συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. 2. Το σύνολο ορισμού της g είναι Β = [ 1 , +οο ). Θεωρούμε δύο αριθμούς χ ι , xz Ε Β με χ ι < χ 2 . Έχουμε: 1 :Ξ: χ ι < χ2 => Ο :Ξ: χ ι - 1 < χ 2 - 1 => � < � χ 2 - 1 => - � > - � =>

Ά σ κη σ η 5 η .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : IR� IR διέρχεται από τα σημεία Α και Η συνάρτηση αυτή είναι: Α. Γνησίως αύξουσα., Γνησίως φθίνουσα, Γ. Δεν είναι γνησίως μονότονη . Απ ό.ντη ση : Γ ( δικαιολογήστε την απάντηση . ) Ά σ κ η σ η 611 • χ2 + Να δείξετε ότι η συνάρτηση

(-2, 3),

Β (1, 2) Γ(3,4). Β.

f(x) = ιχι 1

έχει ελάχιστη τιμή το * Λ ίJ σ η . Το σύνολο ορισμού της f είναι το IR * α) Θα δείξουμε ότι: f(x) 2, για κάθε χ Ε IR . Έστω ένας αριθμός χ =F Ο. Για να δείξουμε ότι 1 χ f(χ) " 2 αρκεί να δείξου με ότι: " 2, αρχ 2 κεί χ + 1 2 χ , αρκεί ιχι 2 - 2 χ + 1 Ο, αρ

�

;Ι

� ι ι κεί � χ ι - ι Υ � Ο, ισχύει.

β ) Θα δείξουμε ότι το

2 ι χι

<=> ιχι

�

είναι τιμή της f. Με χ2 + 1 2 <=> -- = 2 <=> χ + 1

- 2ι χι + 1

= ο <=> �χι - 1 Υ = ο <=>

x=FO, έχουμε: f(x) = 2

ι ι

ιχι

ιχι = 1 <=> χ = ± Ι . Άρα, το

είναι τιμή της f

(για χ= 1 ή για χ=- 1 ) . Συνεπώς, η f έχει ελάχι στη τιμή το 2. Ά σ κ η ση 7'1• Να κατασκευάσετε παραβολή της μορφής αχ 2 , τέτοια ώστε να διέρχεται από το ση

μείο

A(- Ji

,1).

2 Για να διέρχεται η παρα β ολή y = αχ από το σημείο Α( - J2 , I ) , πρέπει και αρκεί: 2 1 = α ( - J2 ) <=> 1 = 2α <=> α = _!_ . ' Ετσι έΛ ίJ σ η .

χουμε να κατασκευάσουμε την παρα β ολή 1 2 ' ' y= 2 χ (παρακατω σχημα ) .

3 - � > 3 - � χ 2 - I => g(χ ι ) > g(x 2 ). Συμπεραίνουμε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. ΕΥΚΛ Ε Ι Δ Η Σ Β ' 71 τ.3/26

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυκείου

Ά σ κη ση 8 η .

2 , την παρα β ολη, y = αχ και την Θεωρουμε ευθεία ε: y = 3χ - 2α. Να κατασκευάσετε τις γραμμές αυτές έτσι ώστε να έχουν κοινό σημείο με τετμημένη χ = 1 . Λ i> σ η .

{

= 3α - β + 1 (2α - β)χ + (β - 1 )y = 2α - 3β - 1 (α - 2 β)χ - (α + 1 )y

έχει την λύση : χ = 2, y = - 3.

α = - 4, β = - 2.

Ά σ κη σ η 1 i η .

Απ άντη σ η :

Το σημείο της παραβολής C με τετμη Είναι δυνατόν ένα σύστημα πρώτου βαθ μένη χ = 1 έχει τεταγμένη y = α. Άρα, για να μού, δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, να διέρχεται και η ευθεία (ε) από το σημείο Α ( 1 , έχει ακριβώς δύο λύσεις; α) πρέπει και αρκεί: Λπ{ι:ντη ση : Ό χι. (δικαιολογήστε την απάντη α = 3 - 2α <=> 3α = 3 <=> α = 1 . Έτσι έχουμε: ση). ε: y = 3χ - 2 και C: y = χ2 . Ά σ κ η ση 1 2 '1 • Στο παρακάτω σχήμα έχουμε κατασκευάσει, λχ + y = 1 (1) κατά τα γνωστά, την ευθεία ε και την παραβο Να λυθεί το σύστημα : χ + (2λ - 1 ) y = λ λή C.

{

Αν λ = 1 να βρείτε τις λύσεις (χ, y) του συ στήματος αυτού, για τις οποίες ισχύει: x 2+2y 2 = 1 .

\ Ι._ \

Έχουμε: λ 1 = λ(2λ - 1 ) - 1 = 2λ2 - λ - Ι = D= Ι 2λ - 1 = (λ - 1 )(2λ + 1 ). 1 1 =λ- 1. Dx = λ 2λ - Ι λ 1 = λ2 - 1 = (λ - Ι )(λ + 1 ). D = Υ λ Να λυθεί το σύστημα: 1 x 2 2x y α) Έστω ότι λ * 1 και λ * - - . Τότε Ο * Ο και _ 2 (l) x - y _ x + y _!__!_ συνεπώς το σύστημα έχει τη μοναδική λύση : = D 6 Ι 3 2 λ-1 = χ = _χ = Λ ί> ση . Έχουμε: ( 1 ) <=> (λ - 1)(2λ + 1) 2λ + Ι ' Ο 5χ - 4y = 1 3 3(χ + 2) - 4(2χ - y) = -7 Ο (λ - Ι)(λ + 1 ) = � (2) <=> y = -Υ x - 5y = I 1 3(x - y) - 2(x + y) = 1 1 D (λ - 1)(2λ + 1) 2λ + 1 Για το σύστημα (2) έχουμε: β) Έστω ότι λ = Ι , τότε το σύστημα γίνεται: 13 -4 5 -4 χ+Υ=1 = - 21' = - 2 1 , Dx = D= <=> x + y = 1 <=> y = 1 - χ _5 11 -5 χ+y=1 5 13 Έτσι, τότε, το σύστημα έχει απειρία λύσεων = 42 D = της μορφής: (χ, y) = (χ, 1 - χ), χ ε IR . Υ } }1 Επειδή D * Ο, το σύστημα ( 1 ) έχει τη μοναδι- γ) 'Εστω ότι λ = - ..!_ , τότε το σύστημα γίνεται: 2 , : χ = D x = - 2 1 = 1 , Υ _- Ο Υ _ 42 _κη, λυση D- -2Ι D - 21 x - 2y = -2 - _!_ x + y = I 2 <=> -2. 1 , αδύνατο. Ι χ - 2y = - x 2y = Ά σ κη ση 1 0η . 2 2 Ν α βρείτε τους αριθμούς α και β , για τους - Έστω ότι λ= 1 . Τότε, όπως είδαμε παραπάνω, οποίους το σύστη μα: '

{

Λύση .

;

� - �:

{

Ε Υ ΚΛ ΕΙΔΗΣ Β' 7 1 τ.3/27

{

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυκείου

το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, τις εξής: χ = k, y = 1 - k kε !R . Έτσι, έχουμε: 2 1 � k2 + 2( 1 - k) 2 = 1 � χ 2 + 2y 3k2 - 4k + 1 = ο � ( k = 1 ή k = _!_ ). 3 χ Με k 1 , έχουμε τη λύση = 1 , y = Ο. Μ 1 ' ' χ = 31 , y = "32 . ε k = 3 , εχουμε τη λυση =

Αυτές οι δύο λύσεις είναι οι ζητούμενες. Α σ κη σ η 1 3 11 0

Να βρείτε τους αριθμούς λ ε !R, για τους οποίους έχει μία μοναδική λύση το σύστη2(λ - 1 )χ + y = λ (ι) μα: (λ + 2)χ + (λ - 1 )y = λ + 1 Λ ίJ (Η1

{

Τ ο σύστημα ( 1 ) έχει μία μοναδική λύση αν, και μόνο αν: 2(λ - 1) :;e O � D :;e O � λ+2 λ-1 2(λ - 1 ) 2 - (λ+2) :;t: ο � λ(2λ - 5) :;t: ο � 5 ( λ :;e Ο και λ :;e - ). 2 Άρα, οι ζητούμενοι αριθμοί λ είναι όλοι οι ' απο' τους ο και 2"5 . πραγματικοι' αριθ μοι,' εκτος ο

Ά σ κη ση � 4'1 •

Να βρείτε τους αριθμούς λ ε IR, για τους οποίους είναι αδύνατο το σύστημα: λχ + y = 1 (1) χ + λy = λ 2 /\ ίJση ο

{

α) Έστω

ότι το σύστημα ( 1 ) είναι αδύλ 1 =Ο::::>λ2 -1 =Ο=> νατο. Τότε: D=O=> 1 λ ( λ = 1 ή λ = -1 ). β ) Αντιστρόφως. i) Έστω ότι λ 1 . =

{

Τότε το σύστημα ( 1 ) γίνε

ται: χ

Να βρείτε τους αριθμούς λ ε IR , για τους οποίους το παρακάτω σύστημα έχει απειρία λύσεων. λχ + (3λ - 2)y = ι (ι) χ + λy = λ

{

I-

Έστω ότι το σύστημα ( 1 ) έχει απειρία λύσεων, τότε: λ 3λ - 2 =Ο::::> λ2-3λ+2=0=> 0=0:::::> 1 λ ( λ = 1 ή λ = 2). α)

β) Αντιστρόφως. i) Έστω ότι λ = 1 .

{

Τότε το σύστημα ( 1 ) γίνε-

+Υ=1 � χ + y = 1 , που έχει απειρία χ+Υ=1 λύσεων. ii) Έστω ότι λ = 2. Τότε το σύστημα ( 1 ) γίνε ται: 2x + 4y = 1 , � x + 2y = _!__2 , αδυνατο. x + 2y = 2 x + 2y = 2 ται:

{

Άρα ο ζητούμενος αριθμός λ είναι λ = 1 .

{

Να αποδείξετε ότι το (ομογενές) σύστημα: αχ + βy = Ο (ι) α 'χ + β 'y = Ο έχει μόνο τη μηδενική λύση (0, Ο) αν, και α β μόνο αν : D :;t: Ο. α' β' =

Λ �μι η , ι . Έστω ότι το σύστημα ( 1 ) έχει μόνο την μηδενική λύση (0,0). Θα δείξουμε ότι D :;t: Ο. Έστω ότι D = Ο. Τότε, το σύστημα ( 1 ) θα είναι αδύνατο ή θα έχει απειρία λύσεων. Αλ λά, αδύνατο δεν μπορεί να είναι γιατί έχει τη λύση (0, 0). Ούτε σύστημα με άπειρες λύσεις μπορεί να είναι, γιατί τότε εκτός από την λύση (0, Ο) θα είχε και άλλες λύσεις, άτοπο. Άρα D :;e Ο.

+Υ=1 � χ + y = 1 , που έχει απειρία λύ χ+y=1 Έστω ότι D :;t: Ο. Έχουμε: σεων. ο 0 β ii) Έστω ότι λ = - 1 . Τότε το σύστημα ( 1 ) γίνε= Ο και D = α' = 0. D = -χ + Υ = 1 χ - Υ = -1 Υ Ο β' α Ο , αδύνατο. ται: � x-y=1 Έτσι, το σύστημα ( 1 ) έχει τη μοναδική λύση: x-y=1 D D Άρα ο ζητούμενος αριθμός λ είναι λ = -1 . χ = � = Ο και y = = Ο,

{

;

λ σ κη ση J 5'1 •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/28

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυκείου

Αυτή είναι η ζητούμενη τιμή του λ.

δηλαδή την μηδενική (0, 0). Ά σ κη σ η 1 7'1 •

Έστω ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώ σεων με δύο αγνώστους χ και y, έχει μία μο ναδική λύση και ισχύει: (ι ) ο; + D + 50 2 ::;; 2D(D x + 2 D Y )

�

Να βρείτε τη λύση του συστήματος αυτού. D D /\ {J σ η , ' Εχουμε D =F- Ο και χ = , , y = Y . D D 2 Επειδή D > Ο, έχουμε: 2 D D2 0 D ( 1 ) Q _χ2 + -Υ2 + 5 ::ς 2 -χ - 4 -y Q D D D D

χ 2 + y2 + 5 ::; 2χ - 4y Q q (χ 2 - 2χ + Ι ) + ( / +4y+4) ::; Ο G Q (χ - 1 ) 2 + (y + 2 ) 2 ::; ο Q χ-1 - ο q G (x - l ) 2 + (y + 2) 2 =0q y+2 = 0 χ=I q . y = -2 Άρα, η λύση του συστήματος είναι: ( Ι , -2). Q

{

Ένα σύστη μα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους χ και y έχει μία μοναδική Dx D λύση και ισχύουν: =Ο και D DY Dx - ι =20. ι οΥ Να βρείτε τη λύση του συστήματος αυτού. Απ όντη σrg " Χ = 1 , y = I . ] 9'10

Έστω η εξίσωση : χ 2 - (λ - 2)χ - (λ - 3) = Ο. Να βρείτε τους αριθμούς λ ε IR, για τους οποίους η εξίσωση αυτή έχει ρίζες πραγμα τικές και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι το ελάχιστο δυνατό.

Επί ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, μή κους ι Ocm, παίρνουμε ένα σημείο Μ και θέ τουμε ΑΜ = χ ( Ο < χ < ι Ο). Κατασκευάζου με δύο τετράγωνα με πλευρές τα τμή ματα ΑΜ και ΜΒ, αντιστοίχως. ι ) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων συναρτή σει του χ. 2) Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ πάνω στο τμήμα ΑΒ, έτσι ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων να είναι το ελάχιστο δυνατό. Ποιο είναι το ελάχιστο αυτό άθροισμα; ,\ ι . Έχουμε ΑΒ = 1 0 και ΑΜ = χ.

Άρα ΜΒ = 1 Ο - χ. Έτσι, το άθροισμα των εμ βαδών των δύο τετραγώνων με πλευρές ΑΜ και ΜΒ είναι: f(x)=x2 + ( 1 Ο-χ) 2 =2χ2-20χ+ 1 00 2. Για να βρούμε τη θέση του σημείου Μ, αρ κεί να βρούμε το χ. Κατασκευάζουμε τον πί νακα μεταβολής της συνάρτησης f (παρακάτω πίνακας) ο

ιο

χ ι-cο� χ . ·ελ.άχ �

+ co

συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιμή για χ = - -20 = 5 . 4

Συμπεραίνουμε ότι η ζητούμενη τιμή του χ εί ναι χ=5 . Το ελάχιστο άθροισμα είναι: f(5)=50. Οι συναρτήσεις f(x) = χ 2 + αχ + β και 2 g(x) = χ +βχ + α έχουν ίσες ελάχιστες τιμές. Η g λαμβάνει ελάχιστη τιμή για χ - ι . Ν α βρείτε τους αριθμούς α και β. =

. . , υ)σΉ� .

, , - α 2 - 4β . ελαχιστη τιμη, της f ειναι Η 4 2 α β -4 , , ελαχιστη τιμη, της g ειναι: και 4

ι\ι') {Ρ Ή ιi · διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: Η Δ=(λ-2)Η2 +4(λ+3)=λ2 + 3>0, για κάθε λ ε !R . Ά ρα, η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές (και ά την λαμβάνει για χ = - � . Σύμφωνα με το νισες), για κάθε λε!R, τις ονομάζουμε ρ 1 και 2 2 ρ 2 . Έχουμε: ρ ι + ρ 2 = λ - 2 και ρ ι ρ2 =-(λ+3). α - 4β β 2 - 4α , 'Ετσι εχουμε : Ρ 2ι + ρ 22 = ( ρ , + ρ 2 ) 2 - 2 ρ ι ρ2 = 4 4 πρόβλημα, έχουμε: 1 = (λ - 2) 2 + 2(λ + 3) = λ2 - 2λ + 1 0. Το τριώ <c> 2 νυμο: λ - 2λ + 1 0 γίνεται ελάχιστο για λ= 1 .

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/29

_ � :�

{

χ ε IR αν, και μόνο αν, οι σχέσεις (2) και (3) ισχύουν για κάθε χ Ε IR . Προς τούτο πρέπει l λ - 31 < 4 <=> (λ - 3) 2 - 4 2 < 0 και αρκει:, <=> <=> (λ + 2) 2 - 4 2 < 0 lλ + � < 4 -4 < λ-3 < 4 -1 < λ < 7 <=> <=> -1 <λ<2. -6 < λ < 2 -4< λ+2<4 Άρα οι ζητούμενες τιμές του λ είναι: -1 <λ<2.

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυ κείου

β=2 β=2 <=> ( α = 2 ή α = -6) α 2 + 4α - 1 2 = Ο Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: (α = 2, β = 2) και (α = -6, β = 2). ί\ σ κ η σ η 2 211 •

Να βρείτε τους αριθμούς λ ε ΙR : 1) Για τους οποίους ισχύει: (λ - 4 )χ 2+ 6λχ + 5λ < Ο, για κάθε χ ε ΙR . (1 ) 2) Για τους οποίους ισχύει: 3 (λ - 1 )χ 2-2(λ -1 )χ + :::ο , για κάθε χ εΙR. (2) ΛίJση . 1 . Με λ = 4 γίνεται: 24χ + 20 < Ο, η

{

Ά σκηση 24'1 •

Ν α βρείτε τους αριθμούς λ ε ΙR, για τους οχ2 - χ + λ , , , εχει ποιους η συναρτηση : ti(χ ) χ2 + χ + 1 μέγιστη τιμή το 2. Λ ύ σ η . Το τριώνυμο: χ 2 + χ + I έχει διακρί =

οποία δεν ισχύει για κάθε x ε iR (γιατί ;). Έστω λ * 4. Η διακρίνουσα του τριωνύμου του πρώ του μέλους είναι: Δ = 36λ2 - 4(λ - 4)5λ = νουσα αρνητική, άρα: χ2 + χ + 1 > Ο, για κάθε 8λ(2λ + 1 0). Έτσι έχουμε: x ε iR . Έτσι, το σύνολο ορισμού της συνάρτη λ-4<ο λ<4 <=> <=> ( 1 ) <=> σης f είναι το IR . Για να είναι το 2 μέγιστη τι Δ<Ο 8λ(2λ + 1 0) < Ο μή της f πρέπει και αρκεί: λ<4 Για κάθ ε χ Ε R , f (x) � 2 <=> - 5 < λ < Ο. <=> -5 <λ<Ο Υπάρ χει χ Ε R , f (x) = 2 Άρα οι ζητούμενες τιμές του λ είναι -5<λ<Ο. χ2 - χ + λ Για κάθ ε χ Ε R , < 2 2. Με λ = 1 γίνεται: Οχ2 - Οχ + 3 :Ξ:: Ο η οποία χ2 + χ +1 _..._. .,_.,., ,... ισχύει για κάθε x E IR . Έστω ότι λ * 1 , Η δια χ2 - χ+ λ = χ Ε 2 Υπάρχει R , κρίνουσα του τριωνύμου του πρώτου μέλους x2 + x + l είναι: Για κάθ ε χ Ε R, χ 2 - χ + λ� 2χ 2 + 2χ + 2 Δ = 4(λ - 1 )2 - 1 2(λ - 1 ) = 4(λ - 1 )(λ - 4). {::::} Υπάρχει x E R, χ 2 - χ + λ = 2χ 2 + 2χ + 2 Έτσι έχουμε: Για κάθ ε χ E R, χ 2 + 3χ + ( 2 - λ) :;:: Ο λ-1 > ο λ>1 {::::} (2) <=> <=> <=> Υπάρ χει χ Ε R, χ 2 + 3χ + (2 - λ) = Ο 4 ( λ - l)(λ - 4 ) :ς Ο Δ :ς Ο 9 - 4(2 - λ) :ς ο 1 λ>1 <::::> 9-4(2-λ)=Ο<::::>λ=- <=> <=> Ι < λ -< 4 <=> 4 9 - 4(2 - λ) � ο 1 :ς λ :ς 4 Άρα οι ζητούμενες τιμές του λ είναι: I <λ::Ξ;4 ί\ σ κη ση 2 511• Θεωρούμε ένα τριώνυμο : f(x) αχ 2 + βχ +γ και η λ= 1 , δηλαδή τελικά 1 ::Ξ;λ::Ξ;4.

{

{ {

{

{ { {

{

Άσκηση

2 3 '1 • Να βρείτε τους αριθμούς λ ε ΙR , για τους ο3 χ 2 + λχ - 2 , , < 2 (1) ποιους ισχυουν: - < 2 χ -χ+1 για κάθε χ ε ΙR ΛίJ ση . Έχουμε:

χ2 - χ + I > Ο , για κάθε x E IR (γιατί;). Έτσι, έχουμε, για κάθε x E IR : ( I ) <=>-3χ 2 + 3χ-3< χ2 + λχ - 2 < 2χ2 - 2 χ +2 <=> 4χ2 + (λ - 3)χ + 1 > 0 (2) <=> 2 χ - (λ + 2)χ + 4 > ο (3) Συνεπώς, οι σχέσεις ( I ) ισχύουν για κάθε

{

(α * Ο) και έναν αριθμό ξ ε ΙR . Να δείξετε ότι το τριώνυμο f(x) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, και ο αριθμός ξ είναι μεταξύ των ρι ζών του αν, και μόνο αν: αf(ξ) < Ο. Λ ίJ σ η . Ι .

Έστω ότι το τριώνυμο f(x) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις ρ 1 και ρ2 με ρ 1 < ρ2 και ότι ρ 1 < ξ < ρ 2 . Τότε, από το θεώρημα του τριωνύμου, έπεται ότι αf(ξ) < Ο. 2 . Α ντ ιστ ρ ό φ ως.

Έστω ότι αf(ξ) < Ο. Ονομάζουμε Δ την δια κρίνουσα του f(x). Αν Δ :::; Ο, τότε, από το θε ώρημα του τριωνύμου, θα είχαμε: αf(χ) :Ξ:: Ο για

ΕΥΚΛ Ε ΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/30

Μαθη ματικά για την Α ' Λυ κείου

κάθε x ε iR . Έτσι, θα είχαμε αf(ξ) 2:: Ο, άτοπο. Άρα Δ > Ο. Έτσι, το f(x) έχει ρίζες πραγματι κές και άνισες, έστω τις ρ , και ρ2 με ρ , < ρ2 . Αν ξ ε (- οο , ρ ι ] υ [ ρ 2 , +οο ), τότε, από το θεώ ρημα του τριωνύμου, θα είχαμε αf(ξ) 2:: Ο, άτο πο. Άρα ρ , < ξ < ρ2 .

Ά σκηση

Να λυθεί η ανίσωση :

Έχουμε χ2 - 4 = (χ+2)(χ - 2). Το τριώνυμο χ2 - 3χ + 2 έχει διακρίνουσα θετική και οι ρίζες του είναι 1 και 2. Άρα: χ2 - 3 χ + 2 = (χ - 1 )(χ - 2). Τ 0 τριώνυμο 2χ2 + 5Χ + 1 0 έχει διακρίνουσα αρνητική άρα και 2χ2 + 5χ + 1 0 > Ο για κάθε x ε iR . Έτσι έχουμε: ( 1 ) <=> (χ+2)(χ-2)(χ-1 )9(χ-2)9(χ+2)4 ::::; ο (2) <=> (χ+2)\χ-2) 1 0 (χ-1 )9 ::: Ο. Ονομάζουμε Γ(χ) το πρώτο μέλος της ανίσω σης ( 2 ) . Κατά τα γνωστά κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων του Γ(χ): Λ ί> σ η . •

-5

1--οο

-2

Γ(χ)

�\. σ L· J ·: r-;-·ι1 1""\.

;

,_)

' •

., ; ' 1

Ά σ κ η σ η 2 9'1 •

Να λυθεί η ανίσωση :

(1)

χ-1 - χ-3

+ co

2χ - 6 2 χ - 4χ + 3

(1)

Οι ρίζες του τριωνύμου: χ 2 - 4χ +3 εί ναι 1 και 3 . Έτσι, με χ :;t. 1 και χ :;t. 3, έχουμε: 2(χ 3) 1 < 1 <=> ( Ι ) <=> < 2 <=> (χ - 1)(χ - 3) (χ - \) 1 χ-2 <=> 1 - -- > 0 <=> -- > 0 <=> χ-1 χ-1 <=> (χ - 2)(χ - Ι ) > Ο <=> ( χ < 1 ή χ > 2). Άρα οι ζητούμενες λύσεις είναι : χ < 1 , 2 < χ < 3 και χ > 3 .

+co

Λύση .

•

Ν α λυθε ί η αν ί σωση : (-χ+5) \ χ 2 +2χ-3) 7 (-χ+3) 9 ( -3χ 2 +2χ-5) 1 3 χ3 >0.(1) Λ{; r::τ

χ+1 -

Συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης ( 1 ) είναι: χ ::::; - 5 και 1 < χ < 3 .

Συμπεραίνουμε ότι το σύνολο λύσεων της α νίσωσης είναι S = [-2, Ι ] υ {2 } . •

Οι ρίζες των παρονομαστών είναι και 3 . Με χ :;t. 1 και χ :;t. 3 , έχουμε: χ 2 χ 1 ( Ι ) <=> + - + � ο χ - 1 χ -3 (χ + 2)(χ - 3) - (χ - 1)(χ + 1) <=> �0 (χ - 1)(χ - 3) -χ-5 �Ο<=> [ Γ(χ)=](χ+5)(χ-1 )(χ-3)::::;0 . <=> (x - l)(x -3) Κατά τα γνωστά, κατασκευάζουμε τον παρα κάτω πίνακα:

Ν α λυθεί η ανίσωση : (χ2-4)(χ 2-3χ+2) 9 (χ+2) 4 (2χ 2 +5 + 1 0) 7::::; 0 .(1)

χ+2 --

Λύση .

Ά σ κ η σ η 2 6'1 .

2 8 '�.

Το τριώνυμο: χ2 +2χ - 3 έχει διακρί νουσα θετική και οι ρίζες του είναι 1 και - 3 . Ά σ κη ση 30'� . Άρα : χ2 + 2χ - 3 = (χ - 1 )(χ + 3). . Να Το τριώνυμο: 3χ2 +2χ - 5 έχει διακρί Θεωρούμε τ ο σύστημα : = α +1 νουσα αρνητική, άρα -3χ2+2χ-5<0, για κάθε x ε iR . Συνεπώς: (-3χ2+2χ-5)1 3<0, για βρείτε τους αριθμούς α ε ΙR , για τους οποίους το σύστη μα αυτό έχει μια μοναδική λύση κάθε x ε iR . Έτσι έχουμε: (ξ,η) με ξ + η > 1 . ( Ι ) <=> - (χ - 1 ) \χ - 1 )7(χ +3)\-χ +9)9χ3 < ο <=> (χ - 1 ) ' 2 (χ + 3)7(- χ +3)9χ3 > Ο. (2) Λύ σ 2η . Βρίσκουμε εύκολα ότι: 2 Ονομάζουμε Γ(χ) το πρώτο μέλος της ανίσω D=α -1 , Dχ=α-1 και Dy=α +α-2. Για να σης (2). Κατά τα γνωστά κατασκευάζουμε τον Πληρούνται οι συνθήκες του προβλήματος, πρέπει και αρκεί: παρακάτω πίνακα προσήμων του Γ(χ) ..

•

{ αχ+y = 2 χ+αy

χ Γ(χ)

1-c:o

{ DxD D ��D <=> { Dx Dg; D

+co

�

<=>D(Dx +DΓD)>O (αντικαταστάσεις, πράξεις τλ.)<=>( α-1 ) 2 ( α+ 1 )>0<=>( α>-1 , α:;t. I ) .

Συμπεραίνουμε ότι το σύνολο λύσεων της α νίσωσης είναι: S = (- οο , -3) υ(Ο, 1 ) υ ( 1 , 3). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

+- > 1

Β'

71 τ.3/3 1

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυ κείου

Γεω μετ ρία Π αρ α λλη λόγ ρ α μμ α - Τ ρ α π έζ ι α Άσκηση 1 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓ Δ. Αν ΑΕ είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμή μα από την κορυφή Α προς τη διαγώνιο ΔΒ και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα τότε: α. Να δείξετε ότι

αντίστοιχα. α. Να αποδείξετε ότι ΒΝ//ΔΜ β. Να αποδείξετε ότι ΑΡ=ΡΣ=ΣΓ γ. Να αποδείξετε ότι ΔΡ=2ΡΜ

κ:έΛ = 90°

β. Να δείξετε ότι ΚΛ =

γ. Αν η

Αποστόλης Κακαβάς

ΑΓ 2

BAr = 30° , να δείξετε ότι ΚΛ=ΒΓ Γ

α.

Λ ίισ η

Λύ ση α.

}

Στο τρίγωνο Α Ε Β Ε = 90° ΑΒ � ΕΚ = ΑΚ � Α Ε Κ � ΕΚ= 2 ΕΚ διάμεσος ισοσκελές με κορυφή Κ � ΑΕΚ = ΕΑΚ (2) ( 1 ).( 2 ) Άρα ΚΕΛ = ΛΕΑ + ΑΕΚ = ΛΑΕ + ΕΑΚ = = Α = 90° ( γιατί ΑΒΓ Δ ο ρ θογώνιο) Κ μέσο ΑΒ ΔΒ β. Στο Α Β Δ � ΚΛ//= (3) Λ μέσο ΑΔ 2 ΑΒΓΔ ορθογώνιο � ΔΒ = ΑΓ (4) Λ

}

(3),(4) � ΚΛ =

ΑΓ

τ γ. Αν ΒΑΓ = 30° τότε στο Β = 90° ΑΓ ΒΑΓ � ΒΓ= - (6) 2 ΒΑΓ=30° (5),(6) � ΚΛ = ΒΓ

(5)

}

Ά σκη ση 2 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Μ μέσο του ΑΒ και Ν μέσο του Γ Δ τότε οι ΔΜ και ΒΝ τέμνουν την ΑΓ στα σημεία Ρ και Σ ο

}

Στο τρίγωνο Δ Ε Α Ε = 9Ο" ΔΑ � ΕΛ= � ΕΛ = ΛΑ � Λ Α Ε 2 ΕΛ διάμεσος ισοσκελές με κορυφή Λ � ΛΕΑ = ΛΑΕ (1)

}

ΑΒΓΔ ορθογώνιο � ΑΒ // = ΔΓ � ΑΒ // = ΑΓ � ΜΒ// = ΔΝ � ΜΒΝΔ 2 2 παραλληλόγραμμο � ΒΝ // ΔΜ ( 1 ) Μ μέσο ΑΒ β. Στο τρίγωνο Α Σ Β : � ΜΡ // ΣΒ από ( 1 ) Ρ μέσο ΑΣ�ΑΡ=ΡΣ (2) Ν μέσο ΓΔ � Σ μέσο Στο τρίγωνο Γ Δ Ρ : ΣΝ // ΔΡ από ( Ι ) (2), (3) � ΑΡ=ΡΣ=ΣΓ ΡΓ�ΡΣ=ΣΓ (3) γ. Συγκρίνω τα τρίγωνα Α Ρ Μ, Γ Ν Σ Αυτά έχουν Β Γ ΑΡ=ΣΓ (από β), ΑΜ=ΝΓ ΑΜ = = = ΝΓ

}

(

)

� :

και Ρ ΑΜ = Νf'Σ (ως εντός εναλλάξ των ΑΒ//ΓΔ που τέμνονται από την ΑΓ) άρα Α Ρ Μ = Γ Ν Σ (Π-Γ-Π), οπότε ΡΜ=ΣΝ (4) Στο Δ Ρ Γ : (4) Ν μέσο ΓΔ ΔΡ � ΣΝ = - � ΔΡ = 2ΣΝ=>ΔΡ = 2ΡΜ Σ μέσο ΡΓ 2 2"" τρόποςΦέρω τη διαγώνιο ΔΒ του ορθογωνίου ΑΒΓΔ� ΑΓ, ΔΒ διχοτομούνται στο Ο. Άρα ΑΟ, ΔΜ διάμεσοι του Α Β Δ � Ρ βαρύκεντρο του Δ

}

Άσκηση 3

Α Δ Β � ΔΡ=2ΡΜ. Δ

Δίνεται τρίγωνο Α Β Γ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ. Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, δείξτε ότι: α. το

Δ Μ Ε τρίγωνο είναι ισοσκελές

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/32

Μαθη ματικά για την Α ' Λυ κείου

ΔΜΕ = 180° - 2Α και οι γωνίες ΜΔΕ = Μ ΕΔ = Α .

β. η γωνία ΛίJ ση α.

Στο τρίγωνο Β Ε Γ : ΒΓ Ε = 900 ::::::> ΕΜ= = ΜΒ 2 ΕΜ διάμεσος

}

έχουν κΑΔ = ΔΓΛ = 90" ΑΔ=ΔΓ(ΑΒΓΔ τετράγωνο) Και ΑΚ=ΓΛ (από υπόθεση). Άρα Α Δ Κ = Δ Γ Λ ::::::> ΔΚ = ΔΛ (2) Δ

(I)

Και ΓΔΛ = ΑΔΚ

}

ΒΓ Στο Β Δ Γ : Δ = 9 Ο ' ::::::> ΔΜ=- = ΜΓ (2) 2 ΔΜ διάμεσος Δ

( 1) , ( 2) ::::::> ΕΜ = ΜΔ ::::::> Ε Μ Δ ισοσκελές με κορυφή Μ ::::::> ΜΔΕ=ΜΕΔ (4) '

_Ι

(Ι)

(2)

(3)

Β : ΕΜΒ = 1 80° - Β - ΒΕΜ ::::::> EMB = l 80° - 2B (5)

Στο

ΕΜ _\

Δ Μ Γ : ΓΜΔ = 1 80° - Γ - Γ ΔΜ ::::::> ΓΜΔ = 1 80° - 2f'

Σ το

(5)(6)

( 6)

Οπότε

(3) ' ΚΔΛ = ΚΔΓ + ΓΔΛ ::::::> ΚΔΛ = ΚΔΓ + ΑΔΚ = ΑΔΓ = 90° Λ

(3)

(ΑΒΓΔ τετράγωνο) ( 1 ), (2), (4) ::::::> το ΚΝΛΔ είναι παραλληλόγραμμο , ορθογώνιο και ρόμβος άρα εί ναι τετράγωνο.

Ά σ κηση 5 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓ Δ από την κο ρυφή Δ φέρω ΔΚ l. ΑΓ , όπου Κ διαφορετικό του Α και στην προέκταση της ΔΚ προς το Κ σημείο Λ, ώστε ΔΚ=ΚΛ να δείξετε ότι: Το τετράπλευρο ΑΓΒΛ είναι ισοσκελές τραπέ ζιο. ΛίJ ση

Φέρω διαγώνιο ΔΒ του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ τότε ΑΓ, ΔΒ διχοτομούνται στο Ο άρα Ο μέσο ΒΔ�ΟΒ=ΟΔ ( 1 )

ΔΜΕ = 1 80ο - ΕΜΒ - ΓΜΔ ::::::> ΔΜΕ = 1 80° - ( 1 80 " - 2 Β ) - ( 1 80 " - 2 Γ ) ::::::>

ΔΜΕ = 1 80° - 1 8ο + 28 - 1 80" + 2r ::::::> ΔΜΕ = 2Β + 2Γ - 1 80° ::::::> ΔΜΕ = 2 ( 8 + Γ ) - 1 80° ::::::>

ΔΜΕ = 2 ( 1 sο - Α. ) - Ι 80° ::::::> ΔΜΕ = 3 60 -2 Α - Ι 80° ::::::> ΔΜΕ = 1 80° - 2Α Δ

( 7)

(4).(7)

Στο Δ Μ Ε : ΔΜΕ + ΔΕΜ + ΕΔΜ = 1 80° ::::::> 1 80° - 2Α + 2ΜΔΕ = Ι 80° ::::::> 2ΜΔΕ = 2Α ::::::> ΜΔΕ = Α. Άρα και ΜΕΔ = Α '

Άσκηση 4 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στις προεκτάσεις των πλευρών του ΑΒ και ΒΓ παίρνουμε σημεία Κ και Λ ώστε ΑΚ=ΓΛ. Αν φέρουμε τις ΛΝ//ΔΚ και ΚΝ//ΔΛ να δειχθεί ότι ΚΝΛΔ τετράγωνο. Λύ ση

Από υπόθεση ΛΝ//ΔΚ και ΚΝ//ΔΛ άρα το τετρά πλευρο ΚΝΛΔ είναι παραλληλόγραμμο ( 1 ) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Α Κ Δ και Δ Γ Λ αυτά Δ

Στο τρίγωνο Δ Λ Β : ΛΟ διάμεσος (από ( ! )) και ΟΚ μεσοκάθετος του ΔΛ( από υπόθεση) άρα ( ι ) ΔΒ άρα ΔΑΒ = 90° οπότε ΟΛ = ΟΔ = 2 ΒΛ l. ΔΛ και ΑΓ l. ΔΛ ::::::> ΑΓ // ΒΛ (2) Αν ήταν ΑΛ//ΒΓ επειδή και ΑΔ//ΒΓ (ΑΒΓΔ πα ραλληλόγραμμο) τότε Δ, Α , Λ συνευθειακά ( Ευ κλείδιο Αίτημα) άρα το Α συμπίπτει με το Κ άτοπο γιατί Α διαφορετικό του Κ.

ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Β ' 71 τ.3/33

Μ αθη ματικά για την Α ' Λυ κείου

Άρα ΑΛ '7\ΒΓ (3) (2),(3)::::>Α ΓΒΛ τραπέζιο (4) Το Α ως σημείο της μεσοκαθέτου των ΔΛ ισαπέχει από τα άκρα του Δ και Λ ::::> Α Λ=ΑΔ (5) Αλλά κα ΒΓ=ΑΔ (ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο) (6) (5),(6) => ΑΛ=ΒΓ (7) (4), (7) => το ΑΓΒΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ί\ σ κηση

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και οι διχοτόμοι των γωνιών του Α και Δ τέμνο νται στο Κ, ενώ οι διχοτόμοι των γωνιών του Β και f τέμνονται στο Λ (ώστε τα τρίγωνα Δ

Α Δ Κ και Β Λ Γ να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία). Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΚΛΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Λ ίJ σ η

ΑΚ, ΔΚ διχοτόμοι δυο εντός και επί τα αυτά γω νιών άρα είναι κάθετες, οπότε ΔΚ ύψος και διχοτόμος του Δ Α Ε τριγώνου άρα και διάμεσος οπότε Κ μέσο του ΑΕ ( Ι ). Ομοίως για Γ Λ και ΒΛ οπότε Λ μέσο του ΒΖ (2)

γ.

Αν Μ το μέσο του ΔΖ τότε ΒΜΓ = 90° .

.\ ίJ ση

Φέρω ΑΚ ..l ΒΓ και συγκρίνω τα τρίγωνα. Α Κ Γ και Ζ Ι Γ . Αυτά έχουν ΖΓ=ΑΓ(ΑΓΖΗ τετράγωνο) και fΊ = Αι (ως οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες) άρα Α Κ Γ = Ζ Ι Γ::::> ΓΙ = ΑΚ ( Ι ) και ΖΙ=ΓΚ (2) υ. .

( l ), (3)::::> ΓΙ=ΒΘ(5) και ΒΓ = ΓΚ + ΚΒ = Zl +� (6) '

�I " """ " " ,. ,.

,. "

·,

' I ' Γ

,' I " / I ,.,. " r ,. "

-, ,.,.

}...

Ν ,.,.

!;!:...- _ _ _ _

----------��-

' '

( 1 ), (2) => ΚΛ ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα των διαγωνίων του ΑΖΕΒ τρπεζίου (αν τα Δ,Ζ,Ε,Γ έχουν τη διάταξη του σχήματος) η ΚΛ διάμεσος του ΑΖΕΒ τραπεζίου (αν έχουν τη διά ταξη Δ,Ζ,Ε,Γ). Σε κάθε περίπτωση ΚΛ//ΔΓ (3) Δ Γ Α Β Γ Δ Αλλά Δ ι + Γ ι = - + - < - + - + - + - = Ι 80 " 2 2 2 2 2 2 οπότε ΔΚ, Γ Λ τέμνονται ( 4) ( αφού σχηματίζουν δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροι σμα μικρότερο του 1 8 0° ) Δ Γ (3), (4) ::::> ΔΚΛΓ τραπέζιο (5) Και Δ ι = - = - = Γ ι 2 2 ( 6) (επειδή ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο άρα Δ = Γ ) (5), (6) => το ΔΚΛΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Λ

ί\ σκηση 7 .

I , ι I J

Η L-

I I�

(2).( 4)

άρα ΑΚΒ= ΒΘΔ ::::> ΑΚ = ΒΘ (3) και ΚΒ=ΘΔ (4)

Συγκρίνω τα τρίγωνα Α Κ Β, Β Θ Δ , αυτά έχουν Κ = Θ = 90" , ΑΒ=ΒΔ (ΑΒΔΕ τετράγωνο) και ΑΒΚ = Δ ι (ως οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Α ΒΓ ( Α = 90° με ΑΒΦΑΓ) και εξωτερικά απ' αυτό κατασκευά ζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓ ΖΗ και έστω θ και I οι προ βολές των Δ και Ζ αντίστοιχα στην ΒΓ. Να δείξετε ότι: α. Γ Ι=Βθ και ΒΓ=ΖΙ+ΘΔ β. Τα σημεία Δ.Α,Ζ είναι συνευθειακά.

1:1.

Φέρω τις διαγώνιες ΑΖ, ΑΔ των τετραγώνων ΑΓΖΗ και ΑΒΔΕ αντίστοιχα τότε ZAr = 45 " και ΒΑΔ = 45° . Οπότε ΖΑΔ = ΖΑΓ + ΒΑΓ + ΒΜ = = 45 " + 90° + 45" = Ι 8 0'' . Άρα Δ,Α,Ζ συνευθειακά Ζ Ι ..l ΒΓ => ΖΙ // ΘΔ Αν ήταν ΖΔ//ΙΘ τότε γ. ΔΘ ..l ΒΓ

}

ΖΙΘΔ ορθογώνιο άρα Ζ Ι =ΘΔ, οπότε Ζ Ι Γ = Β Θ Δ (ορθογώνια, Π=ΒΘ και Ζ Ι =ΘΔ)::::> ΖΓ=ΒΔ::::> ΑΓ=ΑΒ άτοπο. Άρα ΖΔ '7\ΙΘ , οπότε ΖΙΘΔ τραπέ ζιο. Αν Ν μέσο του ΒΓ, τότες ΜΝ κοινή διάμεσος του Β Μ Γ και ΖΙΘΔ τραπεζίου γιατί ΝΓ=ΝΒ και Π=ΒΘ (από α)) άρα ΝΙ+Γ Ι =ΝΒ+ΒΘ::::>Ν Ι =ΝΘ !6J ΒΓ ΖΙ άρα l'v1N = +ΘΔ = 2 2 Άρα στο Β Μ Γ : ΜΝ διάμεσος και ΒΓ ::::> ΒΜΓ = 90° ΜΝ = 2 Δ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/34

Α Λ Γ Ε ΒΡΑ

την �· τάξ η του Λ υ κ ε ίου

για

Εκθ ετ ι κή κα ι λογαρ ι θμ ι κή συνάρτηση Ε Κ Θ Ε τ Ι Κ Η Σ Υ '\ Α ΡΤ Η Σ Η

Καλδή Φωτεινή

Λ Ο Γ Α Ρ Ι Θ Μ Ι Κ Η ΣΥΝ Α Ι> Τ Η Σ Η

ΟΡΙΣΜΟΣ Εκθετική συνάρτηση με βάση το θετικό αριθμό α, με α =F- 1 ονομάζουμε τη συνάρτηση f: R � R με f(x) = α' και σύνολο τιμciΛ' το f ( R ) = (Ο, +οο) . Για χ=Ο

f (Ο )=α0= 1 ,δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις όλων των εκθετικών συναρτήσεων τέμνουν τον άξονα ψ ' ψ στο σημείο (0, 1 ) Αν ήταν α = 1 τότε:

ΟΡΙΣ Μ ΟΣ Λογαριθμική συνάρτηση με βάση το

θετικό αριθμό α με α =F- 1 ονομάζουμε τη συνάρτηση f : (0, +οο)� Rμε f( x ) = logαx και σύνολο τιμών το f ( R ) = R Για χ = 1 f( 1 ) = l ogα 1

= Ο, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις όλων των λογαριθμικών συναρτήσεων τέμνουν τον άξονα χ' χ στο σημείο ( 1 ,0)

f ( 1 ) 1 χ= 1 ,δηλ για α= 1 , τότε έχουμε σταθερή συνάρτηση. Γ ι' αυτό το λόγο στην εκθετική συνάρτηση θεωρούμε α =F- 1 =

\ 1 0 '\ (Η Ο '\ Ι Α Ε ΚΘ Ε τ t Κ Η Σ

Μ Ο Ν ΟΤ Ο Ν Ι Α Λ Ο ΓΑ Ρ Ι Θ Μ Ι Κ Η Σ

Για α > 1 1 . Η f(χ)

Για α > l 1 . Η f(x)

αχ είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή , για χι < χ2 ισχύει α χ ' < α χ ' 2. Αν χ � - οο τότε α' � Ο (με θετικές τιμές) 3 . Αν χ � + οο τότε α' � + οο =

= logαx είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή , για Χ ι < Χ2 ισχύει logαx ι<logαx2 2. Αν χ � Ο+ τότε logαx� - οο 3 . Αν χ � + οο τότε logαx� +οο

4. χ > Ο 5. χ < Ο

-1

<:::::>

-1

αχ > 1 αχ < 1

-1 -1

4. χ > 1 <:::::> 5. Ο < χ < 1 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/35

logαx > Ο <:::::> logαx <

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυ κείου

1 . Η f( χ) = αχ είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή, για χ ι < χ2 ισχύει αχ' < α χ, 2. Αν χ � - οο τότε αχ � +οο 3 . Αν χ � +οο τότε αχ � Ο

Για Ο < α < 1

1 . Η f(x) = logαx είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή , για Χ ι < χ2 ισχύει Ιοgαχι > logαx2 2. Αν χ � Ο+ τότε logax� +οο 3 . Αν χ � + οο τότε logax� Ο 2

-2

-1

χ> Ο<χ< 1

<::::> logax < Ο <::::> logax > 1

4. χ > Ο <::::> Ο< αχ < 1 5 . χ < Ο <::::> αχ > 1

Αν α = e τότε f(x)=ex

Αν α = 1 0 τότε f (x) = logx Αν α = e τότε f(x)= lnx

ΣΧUΛ Ι Α

Από τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης f(χ)=αχ με χεR και Ο < α =ι. 1 προκύπτει ότι: Αν χι =1- χ 2 τότε αχ' =1- αχ' Αν αχ' = αχ' τότε χι = χ2 Άρα ισχύει η ισοδυναμία αχ' = αχ ' <::::> Χ ι = χ2

Ε ΡΩΤ Η Σ Ε Ι Σ Τ Υ Π Ο Υ Σ Ω Σ Τ Ο - Λ Λ ΘΟΣ

1 . ( 1 /2)3 >( 1 /2)5 2. Αν χ, y ε R με χ < y τότε 2χ > 2Υ 3 . Η συνάρτηση φ(χ)= 3 -χ είναι γνησίως αύξουσα 4. Η συνάρτηση φ(x)= l og2 (x -2) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο (Ο,+οο) 5 . Για κάθε Χ ι , χ 2 > Ο ισχύει η ισοδυναμία lnxι = lnx 2 <::::> χ ι = χ2 6. Για κάθε θ > Ο ισχύει: ln(θ/e)= 1 +I ηθ 7. Για κάθε χ, y > Ο αν ισχύει logx+ logy=3 τότε xy = 1 00 8. log35 > log34 9. Η γραφική παράσταση της lnx έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Οχ 1 Ο. Για κάθε α, β > Ο με α =1- 1 και β =1- 1 , αν logaβ = γ τότε lοgβα = 1 /γ Π )ΩΠ-Ι Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ

1 . Δίνεται η συνάρτηση φ(χ)= 5χ , τότε ισχύει: Α. φ(5)> φ(2) Β. φ( Ι /5) :::; φ( Ι /2) Γ. φ(5) = φ(2)

ΣΧΟΛ ΙΛ

Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης f(x)=logax με χ>ο και Ο < α =1- 1 προκύπτει ότι: Αν Χ ι =Ι- Χ2 τότε logaX ι =ι. logax2 Αν logax ι = logax2 τότε Χ ι = χ2 Άρα ισχύει η ισοδυναμία logaXι = logaXz <::::> Χ ι = Χ2 φ(5) < φ(2) Ε . φ (5 ) :Ξ': φ(2) 2. Δίνεται η συνάρτηση φ ( χ)=5 Α. φ( Ι /2) < φ( Ι /8) Β. φ( l/2) :Ξ': φ( l /8) Γ φ( l /2) > φ( Ι /8) Δ . φ( Ι /2) = φ( l /8) 3. 3. Η συνάρτηση φ(x )=log(3x 6) έχει πεδίο ορισμού το διάστημα Α. ( -οο , 2) Β. (0,2) Γ . (2,+οο ), Δ. [2,+οο), Ε. (-οο,2] 4 4. Αν f(x)=2x ,η εξίσωση f(x)=20 έχει λύση τον αριθμό: Α. I Ο Β. log2 02 Γ . log2 20 Δ . 20 Ε . 2 5 . 5 . Η ανίσωση log v, (3x - 1 ) < log v, (3 -χ) έχει σύνολο λύσεων το διάστημα Α. ( l ,+oo) Β. (-οο,3) Γ. (3,+οο), Δ. ( 1 ,3) Ε. (-οο, 1 ) 6 6. Αν log(α + β) = logα + logβ, με α, β > Ο, και α =ι. 1 , τότε ο β ως συνάρτηση του α είναι: α + 1 Γ . ___!!____ α-1 . α+1 α Β. Δ. Ε Α. α+Ι α α-1 α α-1 7 7 . Αν για τον πραγματικό αριθμό χ ισχύει: logx+2log( l /x) = log8 -2logx τότε ο χ είναι: Α Α. 5 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε. 9 Δ.

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/36

-χ

ΛΣ Ι< Η Σ Η 1 11

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυ κείου

Να παρασταθούν γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων οι συναρτήσεις: α)

f(x) = 2' + ι, g(x) = 2' -ι, h(x) = 2' -1+2

β)

Λ ΥΣ Η

H .\. l: h: H Σ

f(x) =

31xl

g(x)=

3 -1• 1

_ ,

2 11

_ ,

Δίνεται η συνάρτηση

f(x) =

\ \ .::: Η

( 5) lα-

α '

, να βρεθούν οι τιμές του α με α

* 5 για τις οποίες η f είναι:

α) αύξουσα , β) γνησίως φθίνουσα

α) Η συνάρτηση f είναι αύξουσα όταν και μόνο όταν: Έ χουμε: ( I ) <=> β) Η

α * 5 και αΙ --α5 � Ι

(Ι)

6 - 2a 1-a -- I � Ο <=> � Ο <=> (6 -2α)(α -5) � Ο <=> 3 ::::: α < 5 a-5 a-5

συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα όταν και μόνο όταν

α*5

και

1-a ->Ο a-5

(1)

και

Έχουμε: ( I ) <=> ( 1 -α)(α -5) > Ο <=> Ι < α < 5

1-a -<Ι a-5

(2)

6 - 2a 1 --Ι < Ο <=> < Ο <=> (6 -2α)(α -5) < Ο <=> (α < 3 ή α > 5) a-5 a-5 -α

Εξάλλου : ( 2) <=> 11 A Σ K t1J Σ G'-Y 3

Από τη

συναλήθευση των δυο ανισώσεων έχουμε: Ι < α < 3 ,

Δινεται η συναρτηση

f(x) =

e' - 1 -e' + 7

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα γ) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού χ για τις οποίες η Cr είναι κάτω από τον άξονα χ ' χ δ) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού χ για τις οποίες f(x)=f(2x) ,\ Yl: H

α) Επειδή e' + 7 * Ο για κάθε πραγματικό αριθμό χ , το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλο το σύνολο R β) Αν χ ι , χ2 Ε JR με χι < χ2 , τότε e ' ' < e ' � . Υπολογίζουμε την διαφορά f(χι ) - f(x 2 ) και έχουμε e' ' - Ι e ' ' - 1 -8( e ' ' - e' ' ) = <Ο αρα f(χι ) < f(x2 ) και επομένως η f είναι γνησίως f(xι )-f(x2 )= ' e' + 7 e' ' + 7 (e ' ' + 7)(e'' + 7) αύξουσα. γ) Για να είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f κάτω από τον οριζόντιο άξονα πρέπει και αρκεί:

-1

f(x) < Ο ( I ) Έχουμε: ( Ι ) <=> ' < Ο <=> (e' -1 )(e'+7)<0 <=> e' - Ι < Ο <=> e' < Ι <=> χ < Ο, αφού e'+7>0, e +7 για κάθε χ Ε R, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β ' 71

τ.3/37

δ) Έχουμε: f(x) = f(2x) <=> Λl: K H l: H 4'1

. . .

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου

-I +

2' - I

<=> e3 ' + 7 e' - e2 '-7 = e 3 '- e' + 7e2'-7 <=> 8 ( e'- e2 ') = Ο

<=> 8e'( 1 -ex ) = Ο <=> e' = Ο (αδύνατη) ή ex = 1 <=> χ = Ο.

•

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = e ' -e και g (x) = e x - 1 α) Να βρεθούν τα κοινά ση μεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g . β) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g . -

ΛΥΣΗ

α) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g προσδιορίζονται από την λύση της εξίσωσης: f(x) = g(x). Οι λύσεις αυτής θα είναι οι τετμημένες των σημείων τομής των δύο e γραφικων παραστασεων. ι( χ) = g(x) <=> e -e = e -1 <=> e -e = --:- - 1 <=> e - e·e = e - e <=> e' ex = ψ ex = ψ e2 x + ( 1-e)e'-e = Ο <=> <=> <=> e' = e <=> χ = 1 ψ Ε { - 1, e } ψ2 + (1 - e) ψ - e = Ο β) Οι τιμές του πραγματικού αριθμού χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g προσδιορίζονται από την λύση της ανίσωσης: f(x) > g(x) ( 1 ). Έχουμε: ( Ι ) <=> e'-e > e 1 -'-1 <=> e2 ' - e · e' < e - e' <=> e2 ' + ( 1-e)e'-e < Ο <=> e' = ψ e' = ψ <=> ( e' + 1 )( e' - e ) < Ο <=> e' < e <=> χ < 1 <=> (ψ + 1 ) ( ψ + e ) < 0 ψ2 + (1 - e) ψ - e < O ,

40.

)

ΛΣ Κ Η l: Η 5'1

)

ΛVΣΗ

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης:

ι -χ

2χ

}

f(x) = 2 1o g (4-x)+lo g (x 2-4) -lo g χ

Για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί: 4-χ > Ο ( 1 ) και χ2-4 > 0 (2) και χ > Ο (3). Έχουμε: ( 1 ) <=> χ Ε ( -οο, 4 ) , ( 2 ) <=> ( χ - 2 ) ( χ + 2 ) > Ο <=> χ Ε ( -οο, -2 ) υ ( 2, +οο) και ( 3 ) <=> χ Ε (Ο, +οο) Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι: Dι- = (0,2) Α Σ Κ Η l: Η 6'1

Δινεται η συναρτηση

f(x) = ln(

-2-χ

2+χ

)

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση γ) Να λυθεί η aνίσωση f(x) < Ο. ΛΥΣΗ

α) Για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει και αρκεί: 2 + χ

=F-

(1)

και

f είναι περιττή .

-2-χ

2+χ

> Ο (2).

Έχουμε: ( Ι ) <=> χ =F- -2 και (2) <=> (2-χ)(2+χ) > Ο <=> -2 < χ < 2. Άρα: D Γ = (-2 , 2) β) Επειδή το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το Ο αρκεί να δείξουμε ότι f(-x)= - f(x) ή ισοδύναμα f(-x) + f(x) = Ο. 2-χ

2+χ

2-χ

2+χ

2-χ

f(-x) + f(x) = Ιη( -- ) + Ιη( -- ) = \η ( -- . -- ) = lη l = Ο 2-χ

2-χ

2+χ

γ) Στο ( -2,2) έχουμε: f(x) < Ο <=> \η( -- ) <Ο <=> \η( -- ) < Ιη 1 <=> -- < I <=> -- -1 <0 - 2χ

<=> -- < ο

Λl: Κ Η Σ Η 7'1 2+χ

<=> -2χ(2+χ)

Αν οι αριθμοί: βρεθεί το χ Λ V l: H

< Ο <=> χ(χ+2) >Ο <=> χ < -2 ή χ > ο <=> χ Ε ( 0, 2 )

lo g2, lo g (4' - 5) και lo g (4' - 7/2) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να

Για να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου πρέπει και αρκεί: \og2+log (4'-7/2) = 2·\og (4'-5) ( 1 ). Ε Υ ΚΛ Ε Ι ΔΗΣ Β ' 71 τ.3/38

Μαθη ματικά για την Β ' Λυ κείου

, ln 5 Για να ορίζεται η ( 1 ) πρέπει και αρκεί 4' > 5 και 4 ' > 2, δηλαδή 4 , > 5 και τελικα χ> -- . Τότε: 2 ln 4 2 2 2 ( l ) <=> log (2 4χ-7) = log( 4χ-5) <=> 2 4'-7 = ( 4χ - 5) <=> 4 χ - 1 2 - 4χ + 32 = Ο 4' = ω 4' = ω <=> } <::::> 4' = 4 ή 4' = 8 <::::> χ = I ή 2 2 ' = 2 3 <=> χ = I ή χ = � . <=> { 2 2 ω ε 4, 8 ω - 1 2ω + 32 = 0

}

ΑΣ Κ Η Σ Η 811

}

2 2 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) χ 4 + (ln m)x3 + (lnm)x - 2χ - 1 ,m > Ο. Αν το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ + l ,να βρείτε : α) τις τιμές που μπορεί να πάρει το m. β) Αν m,, m 2 αυτές οι δυο τιμές με mι > m2, να λύσετε την aνίσωση ln(mι m2)-ln(m1x)>ln(m2x)-2m1, ΛΥΣ Η

χ>Ο

α) Α φο ύ το + Ι είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ( χ) τότε η τιμή χ = -1 είναι ρίζα του. Άρα: Ρ ( - 1 ) = Ο ::::> 1- ln2m + lnm -2 - I = Ο ::::> ln 2 m -lnm -2=0 ::::> (lnm - 2)(1nm + 1 ) = 0 ::::> lnm = 2 ή lnm = -1 ::::> m = e2 ή m = .!_ β) Α φο ύ είναι

m > m 2 προκύπτει ότι: m = e2 ,m2 = .!_ . Επομένως η ανίσωση στο ( Ο, +οο ) ισοδύναμα 1

γράφεται: ln ( m Ι mz ) - Ιη(mΙ χ) > ln(m2 χ) -2m 1 <=> ln e - ln e2 χ > ln .!_ χ - 2e2 <=> e

I - 2 - Inx > lnx - 1- 2e2 <=> lnx < 2e2 <=> Ο < χ < e 2 e2

. \ :: 1-.: Η :: Η ll '

5·2'+1 4' + 1 6

Να λυθεί η εξίσωση

Η εξίσωση ισοδύναμα

<=>

=ω

ωc - 1 0ω + 1 6 = 0

}

1 γράφεται: 5 2 ' + = 4' + 16 <=> 1 0·2' = 2 2 + 16 <=> 2 2 χ -l 0 · 2x + 16 = Ο 2' = ω } <=> 2 ' = 2 ή 2' = 8 <=> χ = Ι ή χ=3 <=> ω ε { 2, 8

}

\ :::.>: · · � �τ . : , i . \ . \ \ � Η

α-3 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f(x)=( -- ) ' α+2 2 . Ν α προσδιοριστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού χ σε κάθε περίπτωση α) χ = 8 ι - ιοg , ; β) 5 ' ' - s x +9 1 2 5 γ) 3 - 3 2· · · 3 ' = 3 1 0 δ) ( 3 15 / ' -2 =( 5 /3 ) ' -6 (απ: α: χ=8/2 7 , β: χ=2, χ=3 γ: χ=4 δ: χ=2) 3 . Να επιλυθούν οι εξισώσεις α) 3 χ -2 = 8 - 2 ' - 1 β) 2 2 ' + 2 -5 · 2χ +3 = - 2 6 γ) 2 2+χ -2 4 -χ = 1 2 =

4. 5. 6. 7. 8.

ι ο.

δ) 2 ' -5 .JY + 4 = Ο ε) log4 [1og3 (1og2 x)] = Ο (απάντηση α :χ = 2 β : χ= Ι , χ= 3 γ: χ=2 δ: χ=Ο ε: χ=4 ) Να προσδιοριστεί τ ο α ώστε η εξίσωση 2' + α 2 _, - 2 = Ο ν α έχει δυο θετικές λύσεις (απάντηση α < I ) Αν για τους θετικούς και διάφορους της μονάδας αριθμούς α, β, γ ισχύει η σχέση loga β = logβ γ · logy α να δείξετε ότι α = β ή α = ι /β. Ν α βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=log [ log (log (log χ) ) ] (απάντηση Dr = ( 1 00, +οο)) Να λυθούν τα συστή ματα: α)

{ loglog χ -+ loglog Υ == 57 { χ

β)

xy = 1 000 ιo χ g y 1 00

(απάντηση α: (= 1 0 6 , y= Ι / 1 0 ), β: (χ = 1 0,

y= I 00 ή χ= 1 00, y= 1 0)) Αν οι θετικοί και διάφοροι της μονάδας αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί : ι /logaχ , ι /log11 ψ, ι /logy χ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Έστω η εξίσωση 4 ' - ι -5 · 2 ' + 1 6 = Ο α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες χ 1 , χ 2 (χ ι <χ 2 ) τις οποίες και να βρείτε. β)να βρείτε πόσους όρους πρέπει να παρεμβάλλουμε μεταξύ των δυο ριζών ώστε όλοι μαζ ί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά Ι / ι Ο (απ: α: χ 1 =2, χ 2 =4, β: 1 9 όρους) , , , . � ι + ημ2χ Ιn(η μχ) + ln(συνχ ) (απαντηση Να λυσετε στο διαστη μα (Ο,π/2) την εξισωση : l n χ = π/4) 2 2 =

1 1 . Να λύσετε στο σύνολο (0, � ) την log(ημ2x)+log( συνχ )+ .!. log 3 -log( l +συν2χ) = log( l +συνχ) (απ: χ=π/3 ) 2 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71

τ.3/39

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυ κείου

Κανονικά πολύγωνα και ε μ β α δ ά Μάλλιος Κανέλλος - Κατσούλης Γιώργος

Ά σ κ ηση Ι "

Να βρεθεί το μήκος κύκλου, αν η διαφορά των εμβαδών

εγγεγραμμένου

του

περιγεγραμμένου ισούται με

τετραγώνου

στον

και κύκλο

50. Λ ίJση

Αν R η ακτίνα του κύκλου τότε η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου είναι ΑΒ = λ4 = R /2 , οπότε (ΑΒΓΔ) = ΑΒ 2 = 2R2 • ( 1 ) Α

ΑΗ -

λ4 λ και ΟΜ = ΜΓ = -4' 2 2 (διότι 6, = 45° ). Από ( Ι ) και (2) είναι λ Ε = 4 · � · � <:::::> Ε 8 = λ 4 · λ 4' . 2 2 Αλλά

Άσκηση 3''

Θεωρούμε

κανονικό

εξάγωνο

ΑΒΓΔΕΖ

εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R). Οι διαγώνιοι του

Γ Η πλευρά του περιγεγραμμένου τετραγώνου είναι ΕΖ = 2R, οπότε (ΕΖΗΘ) ΕΖ2 = 4R2 • (2) Αλλά (ΕΖΗΘ) - (ΑΒΓΔ) = 50 <:::::> 4R2 - 2R2 = 50

ΑΕ και ΖΓ τέμνονται στο σημείο Κ και η ΒΚ

τέμνει την πλευρά Ζ Ε στο σημείο Λ. Να δείξετε ότι: Ι

<:::::> R2 = 25 <:::::> R = 5.

ΑΖ 2

Ι ΑΓ 2

.!_ (ΚΖ Ε) 3

υπολογιστεί

το

εμβαδόν

του

πολυγώνου ΑΒΛΖ και το εμβαδόν του κύκλο

(O,R). λ 4'

Αποδείξτε

ότι

πλευρά

του

πολυγώνου ΒΛΕΔΓ. Λ ύ ση

περιγεγραμμένου τετραγώνου στον κύκλο.

(i) Λ ίJση

----

Έστω ΑΒ = λ4, Μ μέσο του τόξου ΑΒ , οπότε ΑΜ = λ8 και ΓΔ = λ � . Έχουμε Ε 8 = 8(0ΑΜ) = I

( ΚΖΑ)

(ίίί) Να

Ά σ κη ση 2'1 Θεωρούμε

(i) (ii)

Άρα ι = 2πR <:::::> ι = Ι Οπ.

-Α 2 = -- + -

8 2 0Μ · ΑΗ <:::::> Ε 8 = 40Μ · ΑΗ ( 1 )

Επειδή

ΖΑ = ΑΒ = ΒΓ = 60° ,

προκύπτει

ότι Zr = 1 80" άρα η ΖΓ είναι διάμετρος του ΖΑΓ = 90° ως Συνεπώς: κύκλου. εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/40

Α κό μ Α

Μαθη ματικά για την Β ' Λυ κείου

, 1

ΑΖΚ = 2

,..--._

ΑΓ

και Α

= 60° οπότε ΑΚΖ = 90°. Β

J3 R + R)· R ( (ΑΒ + ΖΚ) · ΑΚ 2 2 (ΑΒΚΖ) = = 2 2 2 J3 3 = R 8 Ενώ για το τρίγωνο ΚΖΛ έχουμε:

2 J3 (ΚΖΛ) = .!_ (ΚΖΕ) = .!_ ( ΑΖ Ε) = __!__ R · R J3 = R 3 6 12 2 14

Ε Ε π ο μένως, στο ο ρ θογώνιο

τρίγωνο ΑΖΓ ισχύει: 1 1 ΑΓ � + ΑΖ 2 -----:= + ---:ΑΓ 2 ΑΖ::. ΑΖ 2 ΑΓ 2 ΖΓ 2 = ΑΚ 2 . ΖΓ 2 ΑΚ 2 (ii) Τα τρίγωνα ΖΚΛ και ΚΒΓ είναι όμοια διότι ΖΛ//ΒΓ, άρα 1 R ΛΖ 1 ΛΖ ΚΖ ΛΖ - = <=> - = 2 <=> - = ΒΓ ΚΓ ΒΓ 1_ ΒΓ 3 R 2

--=- -=-

Αλλά ΒΓ = ΖΕ = λ6 οπότε

�� = }j

(1)

Το εμβαδόν του πολυγώνου ΒΛΕΔΓ προκύπτει αν, απ' το εμβαδόν του εξαγώνου αφαιρέσουμε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΛΖ δηλαδή : (ΒΛΕΔΓ) = Ε6 - (ΑΒΛΖ) = 6

(� λ, α, ) - ( ΑΒΛΖ) = {� R R�) - ( ΑΒΛΖ) = 2

Ά σκηση 4 ' 1 Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ τόξου

ΑΒ.

= λι,

Μ μέσο του

Βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν

του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΜΒ.

Επίσης τα τρίγωνα ΖΚΛ και ΖΚΕ έχουν ίσα ύψη απ' την κορυφή Κ, άρα ο λόγος των εμβαδών είναι ίσος με το λόγο των βάσεων δηλ: (ΚΖΛ) ΛΖ � (ΚΖΛ) � = = <=> (ΚΖΛ) = � (ΚΖΕ). (ΚΖΕ) ΖΕ (ΚΖΕ) 3 3 (iii)

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΛΖ είναι Λ ί1 ση ίσο με το άθροισμα των εμβαδών του 360 ο ' = 90° ( 1 ) τραπεζίου ΑΒΚΖ (αφού ΑΒ//ΚΖ) και του Εχουμε ΑΒ = λ4 <::::> ΑΒ = 4 ..-.._ τριγώνου ΚΖΛ. Άρα ΑΜ = ΜΒ = 45° (2) Για το τραπέζιο ΑΒΚΖ ισχύει: Από το νόμο των συνημιτόνων, στο τρίγωνο ΟΑΜ είναι:

---

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/4 1

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου

ΑΜ 2 = Ο Α2 + ΟΜ 2 -

2 0Α · ΟΜ · συν ό ,

<=>

R2 - 2 RR · J2 2 <::> ΑΜ 2 = R 2 ( 2 J2 ) AM = R�2 - J2

=R2 +

ΑΜ 2 =

<=>

(3)

_..-...

ζητούμενη περίμετρος είναι: ΜΒ

+ R�2 - J2 + πR .

Π · R · 45° = 1 80

Rν2r;:;. +

( )?

- --

08 2 = R 2 +

ζητούμενη περίμετρος είναι: ΙJ�

ΙJ�

RJ3

και διάκεντρο ΚΛ

Από τυχαίο ση μείο Α, κύκλου (O,R) φέρνουμε =

(2)

Δίνονται ο ι κύκλοι (K,R) και (Λ,Ρ ) με

εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ

οπότε

2 πR · 3Οο ..!_ Μ · = Ε = (ΟΑΒ) - (Ο ) = ΟΑ ΑΒ 360" 2 ..!_ R R J3 πR 2 = 2R 2 .J3 πR 2 = R ( 2.J3 - π ) . 2 3 12 12 12

Ε = ( ΟΑΜ ) + ( Ο Μ 8 ) - (ΟΑ8) = ..!_ 0 πR 2 45 = ΟΑ · ΟΜ μ + η 360° 2 Ι OA 08 Ι R R J2 πR2 Ι RR R2 ( νr;:;. π ) = 2 2+ 4 = + 2 2 2 8 2 8 -

Α = 90" '

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

_..-...

είναι

Π= ΑΒ + 8Γ + -tΑΓ = ΑΒ + ( ΟΒ -ΟΓ) +-tΑΓ =- + 3

4 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

ΟΑ8

2R J3 3 R 2 1 2 R 2 <=> 08 = = 9 3 9 08 Επειδή Α8 = , είναι ό = 30° (3)

<=>

ΑΜ = λ8, αφού ΑΜ = 45° ) .

Π = AB + AM + t'- = λ4 + λ8 +

τρίγωνο

R J3 ΟΒ - = ΟΑ -' + Α8-' <=> 08 2 = R-' + -- - <=>

<=>

(l:η μ �:ίωση :

Στο

�. 3

Ρ = R .J3

2R. Αφού διαπιστώσετε ότι

οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία, τα οποία

Αν η ΟΒ τέμνει

ονομάζουμε Α και Β, τότε:

τον κύκλο στο Γ, βρείτε την περίμετρο και το

Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το

εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

εμβαδόν του κοινού τους μέρους.

λ, R J3 ,Εχουμε Α8 = ·' = -- (1) 3 3 Α �-..__,,---� Β

(i)

Για να τέμνονται οι κύκλοι, πρέπει η διάκεντρος να βρίσκεται μεταξύ των ποσοτήτων P-R και P+ R. Πράγματι ισχύει:

ή R ( J3 - 1 ) < 2R < R ( .J3 + 1 ) . Ονομάζουμε Ε το ζητούμενο εμβαδόν, τ , το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος του κύκλου (K, R) και Τ2 το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος του κύκλου (Λ,Ρ). Το ζητούμενο

Ρ - R < ΚΛ < Ρ + R

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Β'

71 τ.3/42

Μαθη ματικά για την Β ' Λυκείου

εμβαδόν προκύπτει απ' το άθροισμα των δύο κυκλικών τμημάτων δηλαδή Ε = τ + τ2 Αφού στο τρίγωνο ΚΛΑ γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του μπορούμε να βρούμε το Είναι: του. είδος " ΚΑ2 + ΑΛ" = R " + ( R J3 ) = 4R2 επίσης ΚΛ2 I

Τελικά:

= 4R2 δη λαδή ισχύει: ΚΑ2 + ΑΛ2 ΚΛ2 , άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με

( 2R)2

κλλ = 90'' . Ακόμα στο παραπάνω τρίγωνο

ισχύει: ,

ΑΚ- = ΚΗ

Κ Λ <=>

R R-, = ΚΗ · 2R <=> ΚΗ = 2

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R). Αν ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, εφάπτεται στην πλευρά ΒΓ στο Μ και στην προέκταση της ΑΒ στο Δ, βρείτε την

περίμετρο

και

το

εμβαδόν

του

μικτόγραμμου τριγώνου ΒΜΔ.

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, οπότε Μ μέσο ΒΓ. Ά ρα ΒΜ =

� = R J3

(1) Α

Δηλαδή

ΚΗ

= α3, άρα ΑΒ = λ3 =

R J3

και

ΑΚΒ = 1 20° , ενώ το τρίγωνο ΑΒΛ είναι

ισόπλευρο αφού ΛΑ = ΛΒ = ΑΒ =

R J3.

Για το κυκλικό τμήμα Τ έχουμε:

Επίσης για το κυκλικό τμήμα Τ2 έχουμε: πΡ 2 60 p2 J3 = Τ2 = (Λ · ΑΒ) - (ΛΑΒ ) = 3 60 4 =

-u ( 2 π - 3J3 )

Τα εφαπτόμενα τμήματα ΒΜ και ΒΔ του κύ κλου

(Κ)

R είναι ίσα. Ά ρα ΒΔ =

και αντικαθιστώντας την τιμή του Ρ με

R J3 προκύπτει: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/43

J3 (2) 2

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυ κείου

Επίσης ΚΔ = ΚΜ = ΑΜ =

Ά ρα ΚΔ = ΒΓ

.J3

� ( Α1 = 30° στο τρίγωνο ΑΔΚ) λ νf3 R .J3 . .j3 3R = 3 = =

ζητούμενη

περίμετρος

(3)

είναι ΟΑ = ΟΜ = R και από τον κύκλο (A,R) είναι AO = AM = R.

είναι:

3R Π·πR 2 = R νh3 + + -2 3 Το ζητούμενο εμβαδόν είναι Ε = (ΒΜΚΔ) - (Κ ΝfΔ ) = 2 (ΜΒΚ ) - (Κ ΝfΔ ) = =f·

Ά ρα είναι: ΑΟΜ = ΟΑΜ = ΟΜΑ = 60°

� BM · MK -

Επίσης είναι: ΜΟΒ = 90° - 60° = 30° Η ζητούμενη περίμετρος είναι ίση με το άθροισμα: του τόξου ΟΜ που ανήκει στον (A,R), του τόξου ΜΒ που ανήκει στον (O,R) και της ακτίνας ΟΒ.

R .J3 3R

6 3πR 2 8

3R 2 =- 2 -π 8 ( vl3 )

το το

Άσκη σ η 8'1 Θεωρούμε κύκλο (O,R) και δύο ακτίνες του ΟΑ, ΟΒ οι οποίες τέμνονται κάθετα. Ο κύκλος (A,R) τέμνει το τόξο Α Β στο σημείο Μ και η

προέκταση της ΑΜ τέμνει την προέκταση της ακτίνας ΟΒ στο σημείο Δ.

(i)

Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του χωρίου που ανήκει στον κυκλικό τομέα

,..---...

Ο · ΑΒ

Να

υπολογισθεί

περίμετρος

και

το

εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΜΒΔ.

Λ ίJση

π R 30 π R μηκος . , του το' ξου ΜΒ ειναι: S - = -- = 1 80 6 Τελικά η ζητούμενη περίμετρος Π είναι: R πR πR Π = S1 + S?- + ΟΒ = - + - + R = - (6 + 3π ) 3 6 6 Επίσης το ζητούμενο εμβαδόν θα προκύψει αν απ' ?

το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο · ΜΒ αφαιρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που προκύπτει απ' τον κύκλο (A,R) και τη χορδή του ΟΜ. Αν ονομάσουμε Ε το ζητούμενο εμβαδόν, θα είναι:

και εξωτερικό του

κύκλου (A,R). ii)

π R 60 π R . . μηκος του το. ξου ΟΜ ειναι: S 1 = -- = 1 80 3

ii)

Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΜΒΔ προκύπτει αν απ' το εμβαδόν του τριγώνου ΜΟΔ αφαιρεθεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο · ΜΒ με αντίστοιχη γωνία 30°. Όμως στο

(i)

Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΟΑΜ είναι ισόπλευρο πλευράς R, αφού από τον κύκλο (O,R) ΕΥΚΛ Ε Ι Δ ΗΣ Β' 71 τ.3/44

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου

ΟΑΔ η ΟΜ είναι διάμεσος άρα Δ) _!_2 (_!_2 ΑΟ · ΟΔ) = (ΟΜΔ) = _!_(Α 2 Ο Rz .J3 _!_=R·R.J3= 4 Αν ονομάσουμε το ζητούμενο εμβαδόν τότε θα � -R z .J3 είναι: Ε 1 4 πR23 60· 3 0 . = R2\ 2 (3.J3 -π). Η περίμετρο; του μικτόγραμμου τριγώνου Μ ΒΔ S2 . Αλλά ΜΔ = ΟΜ R. είναι = Επί ση; R2 = 3R2 ΟΔ = R.J3. = Άρα = ΟΔ - Ο Β = R .J3-R R R .J3 -R π6R R .J3 π6R . Επομένω.:. τρίγωνο

της ΑΒ και εφάπτεται στην ΑΔ Μ (ΑΔ//ΒΖ). απ' το μέσο

Ει

= ( Ο Μ Δ) - (Ο · Μ Β ) = η

ΟΔ2

ΜΔ +ΔΒ +

ΑΔ : - ΟΑ2

ΔΒ

Π=

= 4R 2

<;:::::;>

Δίνεται ευθ. τμήμα Α Β

2α α>Ο, το οποίο

προεκτείνουμε κατά τμή μα ΒΓ ημιεπίπεδο

κατασκευάζουμε

α. Στο ίδιο

τα

ισόπλευρα

τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΖ. Ακολούθως γράφουμε τον κύκλο (Ζ, ΖΔ). i)

Αποδείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από το μέσο Μ της ΑΒ.

ii)

Να

υπολογισθούν

τα

εμβαδά

των

μικτογράμμων τριγώνων ΒΚΕ και ΔΜ Κ,

όπου Κ και Ε τα σημεία που ο κύκλος

τέμνει τις προεκτάσεις των ΖΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

ΔΜΒ και ΔΒΖ είναι ίσα, οπότε ΒΖΔ= 90" και ΔΖ ΔΜ = ΜΖ, αφού Ζ 60°. Επομένως ο κύκλος (Ζ, ΖΔ) περνά Τα τρίγωνα Μ=

ΜΔ =

ii)

ακτίνα

του

κύκλου

είναι

2α2.J3 αν.).r;3 Επειδη' ΑΔ εφαπτομενη ΔZ =ΔΜ =--= και ΑΜΕ τέμνουσα έχουμε: ΑΔ2 = Α Μ · Α Ε ΑΕ = 4α και ΒΕ = 2α, ΓΕ = α. Αν Ει το ·

<;:::::;>

εμβαδόν του έχουμε:

μικτόγραμμου

τριγώνου

πR24 - -ΒΕ·ΖΛ 1 Ε = (Ζ·ΚΕ)-(ΖΒΕ) = 2 �

ΒΚΕ

Ε2 το εμβαδό του μικτόγραμμου ΔΜΚ τότε: Ε2 = (Ζ · ΚΔ)-(ΖΚΔ) - Τ, Τ το εμβαδό του κυκλικού τμήματος τόξου Δ Μ z 3αz π α π( .J3) z πR (Ζ·ΚΔ)=-4-= 4 4 (Z·KΔ)=_!_R2 z = 3α2z .J34 α1 2- ( 6π- 9.J3) Τ =(ΖΔ'Μ)- (ΖΔΜ )= πR6 - -R2_2= Άρα Ε2 = 3π4αz - 3α2 z - 1 2 (6π- 9.J3)= �4 (π + 3.J3 - 6) Επίσης αν τριγώνου

�

Λ ί> ση

(i)

Ε Υ ΚΛ Ε Ι Δ Η Σ Β ' 71 τ.3/45

αz

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου

Δίνεται κύκλος (0, R) και ένα σημείο Α τέτοιο ώστε: ΟΑ

R J5.

- 4R2 ( π-2)= 4R2 ( 6-π).

Ά ρα Ε = R -

Από το Α φέρουμε την

τέμνουσα ΑΒΓ με ΑΒ

= ΒΓ και την εφαπτομένη

ΑΔ.

Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, R) εφάπτονται

Να υπολογίσετε το εμβαδό του μικτόγραμμου

εξωτερικά

τριγώνου ΑΒΔ.

παράλληλες

στο

ση μείο

ακτίνες

Α.

ΚΒ,

Φέρουμε

ΛΓ

στο

τις ίδιο

ημιεπίπεδο προς την ΚΛ. Με διάμετρο την ΒΓ

Λ i1 ση

γράφουμε ημικύκλιο εξωτερικό των παραπάνω κύκλων. Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε που

Ι σχύει:

ΑΒ . ΑΓ = ΑΟ 2 - R 2

<=> ΑΒ . 2ΑΒ = ( R J5)2 -R2 <=>

<=> ΑΒ = ΒΓ = RJ2 = λ

ΑΒ, Ar

ορίζουν τα τόξα

και

ΒΓ

ισούται με το

εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΒΓ Λ.

ΚΒΓΛ παραλληλόγραμμο. Άρα Β Γ ΚΑ 2R Επειδή

ΚΒ = ΛΓ = R, το

είναι

<=> ΑΔ2 2R (ΑΟΓ) 2(ΓΟΒ) R (ΑΟΔ) = _!_ ΟΔ · ΑΔ = R 2 2

και ΑΒ-ΑΓ = ΑΔ2 όμως: =

Ακόμα

Και έχοντας κοινή πλευρά την ΟΑ προκύπτει ότι

(ΚΒΓΛ)

έχουν ίσα ύψη προς αυτήν δηλ Γ Κ = ΖΔ. Άρα

ΓΚΔΖ παραλληλόγραμμο, με διαγώνιους ΚΖ, Δ οι οποίες διχοτομούνται, άρα Δ διάμετρος. Αν Ε το ζητούμενο τότε: Ε = (ΔΒΑ) - Τ , Τ το εμβαδό του κυκλικό τμήματος τόξου ΔΒ.

= (ΒΓΛΑΒ) + ( Κ · ΑΒ) = (ΒΓΛΑΒ) + (Λ · ΓΖ)

= (ΑΒΔΑ ) + (ΑΔΓΖΑ) = ( ΑΒΔΑ) + (ημικύκλιο ΑΖ ) - Τ

= (ΑΒΔΑ) + (ημικύκλιο ΒΓ) - Τ Ε. Όπου Τ είναι το εμβαδό κυκλικού τμήματος =

π 2 2 =-(π-2) R2 4 ο

R 1 Τ = (ΟΔΒ) - (ΟΔΒ) = --R� 4 �

(1)

(I)

(ΔΒΑ) = _!_ (ΔΓΑ) = 2

<=>(Κ . ΑΒ) = (Λ · ΓΖ)

οπότε έχουμε:

ΑΚΒ = ΓΛz

Ε Υ ΚΛ Ε ΙΔΗΣ

----

τόξου ΔΓ. Β'

7 1 τ.3/46

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου

Κωνικές Τ ο μές Π ρ ό βλη μο i

Αθανάσιος Καλάκος

Δίνεται κύκλος C (K,R): και ένα σημείοΡ(χ0, y0 ). Σ υμβολίζουμε με Δ p ( K , R) τη δύναμη του ση μείου Ρ ως προς τον κύκλο C (K,R) (κέντρου Κ και ακτίνας R). Να αποδειχθεί ότι Δp(K,R)= ο

x2+y2+Ax+By+Γ=O,

x/+y02+Ax0+By0+Γ

Γνωρίζουμε

απ ό

)

Α Β , , ο ορισμος συντεταγμενες χ 0 + 2 , y0 + l οποτε ως προς σημείο δίνει 2 2 , 2 2 Δρ ( K , R ) = KP - R = Χ0 + + Υο + Α2 Β2 ---+ Γ = 4 4 , 82 Α 2 Β2 Α2 , = χ-ο + Αχ ο + + y ο + By ο + - - - - + Γ = 4 4 4 4 = χ � + y� + Αχ0 + By0 + Γ

της

(

I I

y2 χ2 + βz = 1

Δίνεται η έλλειψη αz

στην οποία το

μήκος του μικρού η μιάξονα είναι ίσο με το μισό της εστιακής απόστασης. Μια ευθεία, παράλληλη

προς

την

ευθεία

+ J6

διέρχεται από την εστία Ε της έλλειψης που ανήκει στο θετικό η μιάξονα Οχ και τέμνει την έλλειψη στα σημεία Μ, Ν. α) Να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης. β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΝΟΜ δεν εξαρτάται από την έλλειψη. γ) Εάν επιπλέον είναι γνωστό ότι η χορδή ΝΜ έχει μήκος έλλειψης. '\ ιΊ cσ 11

4.Ji , να βρείτε την εξίσωση της

Από την εκφώνηση γίνεται φανερο οτι ο μεγάλος άξονας της έλλειψης βρίσκεται πάνω στον

α)

I Jil

�

ι χ' Α'

( �)

�)

α � γ J'i , ή l � ή ε� α ν2 ' 2

( Α2 ' - Β)2 και

+ Β 2 - 4Γ ο Το διάνυσμα ΚΡ έχει R = .JA 2

( δύναμης

κ -

τη θεωρία ότι

άξονα χ ' χο Άρα α>β. Αν ΕΈ=2γτότε από την υπόθεση για την έλλειψη έχουμε: ΟΕ=ΟΒ ή γ=β. ' α = β +γ- εχουμε ' Επει δη' ακομα α =2 γ , η'

Ε'

�'

Από το α) ερώτημα β = γ =

Εάν λοιπόν

θέσουμε β= μ έχουμε β=γ=μ και α = μ J2 . Άρα η εξίσωση της έλλειψης λαμβάνει τη μορφή 2 2 � + L2 = 1 . Η ευθεία που έχει την ιδιότητα της 2μ- μ εκφώνησης θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= I και διέρχεται από το σημείο Ε(μ, 0). Συνεπώς η εξίσωσή της θα είναι y=χ-μ. Οι συντεταγμένες των σημείων Μ, Ν θα προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος. Αντικαθιστώντας την τιμή του y στη δεύτερη )

εξίσωση βρίσκουμε y = χ - μ , �2 + L2 = 1 2μ μ 2 χ 2 + 2 ( χ - μ ) - 2 μ 2 = ο <:::::> 3χ 2 - 4χ μ = ο <:::::> χ = ο 4μ η' χ = - . 3 4μ Αν χ=Ο τότε y=-μ δηλαδή Μ(Ο,-μ) και αν χ = 3 4μ τότε y = .!:: δηλαδή Ν , .!:: . 3 3 3

( )

Συνεπώς, ΟΜ = ( Ο, - μ ) και ΟΝ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/47

( � , �) .

Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου

ΟΜ · ΟΝ = IΟΜI · I ΟΝi συν ( ΝόΜ ) <=> μ2 = · J17 ( ' ) ( ' ) = J17 -3 μ μ-3- συν ΝΟΜ <::::> συν ΝΟΜ -U συν ( ΝΟΜ )

'Ετσι έχουμε

Συνεπώς, το είναι σταθερό (ανεξάρτητο του μ) και άρα η γωνία δεν εξαρτάται από την έλλειψη. Έχουμε διαδοχικά ,-----

2 2 = J2 <=> M IN I i J i J = J2 <=> <=> J2 = <=> = 2 92 = 4

4 μ 3

(

4J2

μ 3

οπότε η εξίσωση της έλλειψης είναι � + L Ι . Ι8 Π ρ ό βλη μ α 3 Δίνεται το σημείο Α(Ο, 1 2) και η ευθεία ε: y=3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων η απόσταση από το σημείο Α είναι διπλάσια της απόστασης από την ευθεία ε.

λ βρίσκεται «πάνω» και από τα δυο σημεία της υπερβολής με τετμημένη λ. Λύ σ η

χ2 = 3 y }( Ι ) 3 - 4y = 1 (2) ( 2) <=> - = y2 - y = <=> y = 2 (Ι ) <=> χ2 = <=>χ= ±16. ( x ,y)=(16,2),( x ,y)=(-16,2). 2

α) Η λύση του συστήματος χ 2 (Ι)

θ α μας δώσει τ α κοινά σημεία των C 1 , C 2 • 2

4 +4 Ο (διπλή 1 <=> 4 6 ρίζα), οπότε Συνεπώς το σύστημα έχει δυο διπλές ρίζες τις Το γεγονός ότι κάθε κοινό σημείο των C 1 • C 2 είναι διπλό κοινό σημείο, μας κάνει να υποψιαστούμε ότι οι καμπύλες εφάπτονται στα κοινά τους σημεία. Ας το επαληθεύσουμε, η εφαπτομένη της υπερ β ολής L

xf - 2: = 1 ( 16,2) 216 · χ - 3 · y-6 = ( 16,2) χ · 16 = �2 ( y 2) = �2 . ι3Υ ) d ( M,ε)= l y1 - l I MAI = Jx� + (y1 -I2)2 . I MAI = 2 · d( Μ , ε ) Jx� + (y1 - Ι 2)2 )= 21 Υι - 31 <=> Χ� + y� -24y1 + = = y� - y 9 <=> = <=> 3y2-1 1 = <=> __!__/ χ2 = I <=> χ21 - 3 y21 2 2= Υ 3 216 ·χ- y( 16,2). ( -16,2). y = 32

Λ \J σ η

Έστω Μ(χ ι ,

είναι η

Η Ο. παρα βολή ς στο σημείο

, αφού

ένα τέτοιο σημείο. Τότε και

Επειδή θα πρέπει διαδοχικά 4(

στο σημείο

εφαπτομένη της έχει εξίσωση

έχουμε 1 44

6 + l

χ 2 1 08

+ 1 08 Ο

1 --

36 1 08 Συνεπώς τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της

υπερ β ολής C : L - � Ι η οποία έχει άξονα 36 1 08 συμμετρίας την ευθεία χ 'χ. Εδώ έχουμε α2 =36, β 2= 1 08 , γ2 = α2 + β 2 = 1 44. Συνεπώς, οι κορυφές της υπερ β ολής είναι τα σημεία Α(Ο,6), Α '(Ο,-6) και οι εστίες τα σημεία Ε(Ο, 1 2), Ε '(Ο,-Ι 2). Π ρ ό βλη μ α 4

ΥΖ Δίνεται η υπερβολή c. : - - - = 1, c� : ΧΖ = 3y 3 4 α) Να αποδείξετε ότι οι καμπύλες Cι, Cz εφάπτονται στα κοινά σημεία τους, δηλ. έχουν κοινή εφαπτομένη στα σημεία αυτά ΧΖ

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ > J6 το αντίστοιχο σημείο της παραβολής με τετμημένη

6 = Ο και οι δυο ευθείες Άρα συμπίπτουν. Άρα οι C 1 , C 2 εφάπτονται στο Παρόμοια δείχνουμε ότι οι C 1 • C 2 εφάπτονται στο

' β) Για χ=λ β ρισκουμε

' το σημειο της οποτε

2 παρα β ολής με τετμημένη λ είναι το Α [λ, � ) . Για χ=λ η εξίσωση της υπερ β ολής δίνει

y2 = .i - 3 ) 3

(λ

ΕΥΚΛ ΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/48

. το δεύτερο μέλος της εξίσωσης

Μαθη ματικά για την Β ' Λυκείου

είναι θετικός γιατί λ > J6 . Συνεπώς, τα δυο ( συμμετρικά ως προς τον άξονα χ 'χ) σημεία της υπερ β ολής με τετμημένη λ είναι τα Β (λ,μ), Β ' (λ,μ) όπου

μ=

�� ( λ

2 -3

) . Προφανώς, το Α

β ρίσκεται «πάνω» από το Β ' διότι yA>O>yR . Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι το Α β ρίσκεται πάνω από το Β . Αρκεί y'\>y8, ή

�4 > 4 ( λ 2 - 3 ) ,

ή λ4- 1 2 λ2+ 36>0 , ή ( λ2-6) 2>0 που αληθεύει, αφού

λ > J6 .

ΥΖ ΧΖz + Δίνεται μια έλλειψη C : z = 1 με α > β α β Σε τυχαίο σημείο της M (x,y) φέρουμε την εφαπτομένη ε. Ας είναι d και d 'οι αποστάσεις των εστιών Ε(γ,Ο), Ε '(-γ,Ο) αντίστοιχα από την ευθεία ε. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε θέση του σημείου Μ, οι ποσότητες α 2-γχ1 και α 2 +γχ1 είναι θετικές. β) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε θέση του 1-ε d l+ε <-< σημείου Μ , όπου ε η Ι + ε d' 1 - ε εκκεντρότητα της έλλειψης. d γ) Για ποιες θέσεις του Μ ο λόγος , γίνεται d μέγιστος ή ελάχιστος;

Ας αποδείξουμε το πρώτο σκέλος. Έχουμε ισοδύναμα α - γ � α 2 - γχ I <=> ? α + γ α- + γχ 1 ' ? ? ? <=> αο + γαχ 1 - γα- - γ- χ 1 � α - γαχ1 + γα - γ-χ 1 <=> <=> 2γαχ 1 � 2γα 2 <=> χ 1 � α , το οποίο είναι αληθές. Παρόμοια για το δεύτερο σκέλος έχουμε ισοδύναμα α -γα2-γαχι +γ2 Χ ι:Ξ:α +γα2 +γαχ ι +γ2 χ ι<=> 2γαχ ι:Ξ::-2γα2<=>χ ι:Ξ::-α, το οποίο είναι αληθές.

, , , , ο d" γινεται μεγιστος οταν και μονο το

συμπέσει με το αριστερό άκρο του μεγάλου άξονα της έλλειψης. ri! ;;ό βλψω

Δίνεται η παραβολή y 2 =2px με p>O. Μια μεταβλητή ευθεία διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής και τέμνει την παραβολή στα σημεία Μ, Ν. 3p 2 α) Να αποδείξετε ότι ΟΜ · ΟΝ = - - και να

(

β) Να αποδείξετε ότι πάντοτε

- � � συνθ < Ο . 5

Πότε ισχύει η ισότητα;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/49

)

θ = ΟΜ · ΟΝ είναι

πάντοτε αμβλεία.

d _ l α 2 - γχ ι l Συνεπώς και από το α) ερώτημα d ' - � α 2 + γχ ιl d γ α 2 - γχ ι Ε = ? πει δη' ε = η προς απο' δ ειξη � d α- + γχ 1 α ? α - γ � α- - γχ 1 α + γ ανισότητα γίνεται -� . ? α + γ α- + γχ 1 α - γ •

γίνεται

ελάχιστος όταν το αριστερό σκέλος της ανισότητας ισχύει σαν ισότητα δηλαδή όταν χ 1 =α. Άρα πρέπει και αρκεί το σημείο Μ να συμπέσει με το δεξί άκρο του μεγάλου άξονα της έλλειψης. Παρόμοια

συμπεράνετε ότι η γωνία

α) Επειδή -α:Ξ:χ ι:Ξ:α έχουμε : -γα:Ξ:γχ 1:Ξ:γα και -γα:Ξ:-γχ ι:Ξ:γα. ' Άρα α2 +γχ ι:=::: α--γα και α--γχ 1 :=::: α--γα. Όμως α2-γα=α( α-γ)>Ο, οπότε α2 +γχ 1:Ξ:: α2-γα>Ο και όμοια α2-γχ 1:Ξ::α2-γα>Ο. χ β ) Η εφαπτομένη ( ε) έχει εξίσωση �ι + �� = Ι , α- β -

γ) Όπως είδαμε στο β), ο λόγος

www .toph i .gr

Λ ίJ σ η

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου

Θ α πάρουμε πρώτα τη γενική περίπτωση που η ευθεία ΜΝ δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα

( �) . Οι συντεταγμένες των σημείων Μ, Ν θα προσδιορίζονται από τη (1) Υ = λ(χ 2 λύση του συστήματος y ' y. Τότε ΜΝ : y = λ χ -

_.e_)}

/ = 2ρχ

(2)

χ'

Οπότε συνθ<Ο και η γωνία θ είναι πάντοτε αμ βλεία. Στην ειδική περίπτωση που η ευθεία ΜΝ είναι ΜΝ // y 'y τότε Μ Ν : χ = Ε. , οπότε y 2 = 2ρ Ε. = ρ 2 2 2 ή y = ±ρ . Άρα Μ

- 3ρ2 πάλι ΟΜ · ΟΝ = -4

3 2 β) Από το α) ερώτημα. ΟΜ · ΟΝ = - Ρ , οπότε 4 2 3ρ συ ν θ = · α υπολογίσουμε ως 4 0Μ ι ι ΟΝ ι Θ συνάρτηση του λ το γινόμενο 'Εχουμε

-I

διαδοχικά =

' Άρα:

( �)2 - 2ρχ = ο

( 2) b λ2 χ <=>

<=>

λ2 2 λ 2 χ 2 - ρ ( λ 2 + 2 ) χ + --f- = ο

(� , ρ } Ν (� , -ρ ) και ισχύει

l δM II δN I .

l δM I I δN I = J( χ � + y � ) ( χ � + y ; ) =

J( χ � + 2ρχι ) ( χ� + 2ρχ � ) =

= �( χ ι χ 2 ) 2 + 2ρ χ ι χ2 ( χ ι χ � ) + 4 p � Χ ι Χ � = ρ4 ρ2 λ 2 + 2 ρ� �= = - + 2ρ - ρ -+ 4ρ 4 λ2 16 4

17 + 1 + 1 = 1 6 2 λ2

Αφού η εξίσωση αυτή έχει δυο ρίζες στο R θα ρ λ2 + 2 ) ρ4 έχουμε λi:Ο και Χι + χ 2 = ( , Χ ι Χ2 = - . 4 λ-

( �} Υ2 = λ ( χ 2 - �) , οπότε [ ρ + 2 ) -+ � y , + y � λ ( χ , + χ - ρ ) � λ (� , , ,

Άρα

Υι = λ Χ ι -

3 25 I 4 + 1 6 λ2 1 Επειδή Ο < �- έχουμε: 25 < 25 + 1 , ή λ λ-

Συνεπώς, τελικά συ θ � v

�

C)6 " ν.c..J -t- λ2

5 5 < 25 + 1 �- , ή 3 < ,ή 3 λ 5 3 η' < συ ν θ < ο . , 3> 16 25 + 2 λ Στην ειδική περίπτωση MN//y ' y έχουμε

Αν λοιπόν Μ (χ ι , Υ ι ) και N(x2 ,y2 ) τότε - ρ2 ρ2 3ρ 2 ΟΜ · ΟΝ = χ ι χ 2 + Υ ι Υ 2 = 4 - - = - 4 . 1 2 3 Συνεπώς o M · ON συ ν θ = - � .

Ι II I

1-i

3 -3ρ 2 ' συ ν θ = 22 = - - . οποτε 5 4ρ2 � 4 3 Συνεπώς πάντοτε - :::; συ ν θ < Ο με την ισότητα 5 να ισχύει μόνο αν ΜΝ//y ' y .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/50

�ω8ιιιι•τ•••

[ΥΟω f3[j][!} r Uc!J{J[j] f3(J)I]) liJI])WC3(J(J)I]) Πιθανά και . . . απίθανα

Παναγιώτης Χριστόπουλος - Θανάσης Χριστόπουλος

Η θεωρία των Πιθανοτήτων είναι νέος κλάδος των μαθηματικών, ο οποίος συμ β αδίζει και με την ανάπτυξη της τεχνολογίας. Σήμερα β έ β αια έχει μετασχηματιστεί σε αυτοτελή κλάδο των μαθηματικών. Εφαρμογές των πιθανοτήτων έχουμε σε όλες τις επιστήμες: Οικονομία, Ιατρική, Πληροφορική , Γενετική , Τηλεπικοινωνίες, Φυσική, κ.ά. Οι πιθανότητες άρχισαν να παίρνουν μορφή το 1 γ αιώνα με την αλληλογραφία μεταξύ Pasca1 και Fermat, το 1 8° αιώνα με τον κλασικό ορισμό που έδωσε ο De Moiνre , το 1 9° αιώνα με την αξιωματική θεμελίωση από τον Ko1mogoroν, αλλά και με τις εργασίες πολλών άλλων όπως του Laplace, του Bemouill i, του Gauss. Στο σχολικό β ιβ λίο αναλυτικά αναφέρεται η θεωρία των πιθανοτήτων. Θεωρούμε όμως ότι η υπενθύμιση των πιο κάτω προτάσεων είναι αναγκαία. );> Στις ασκήσεις κάθε ενδεχόμενο Α συνήθως δίνεται με περιγραφή, εμείς πρέπει να το γράψουμε με αναγραφή των στοιχείων. Δηλαδή να μην ξεχνάμε ότι εξετάζουμε μόνο τα στοιχεία του Ω αν ικανοποιούν την περιγραφή, για να τα συμπεριλά β ουμε στο Α. );> Ο Ρ(Α) είναι αριθμός στο κλειστό διάστημα [ 0 , 1 ] . );>

Ο P(AnB) είναι αριθμός O$P(An B)$P(A) και O$P(AnB)$P(B) άρα στο κλειστό διάστημα [O,min { Ρ( Α), Ρ(Β) } ]. Επειδή όμως P(AUB)::; 1 έχουμε P(A)+P(B)-P(AnB)::; 1 ή P(A)+P(B)1 ::;P(AnB) δηλαδή ο P(AnB) είναι αριθμός στο κλειστό διάστημα [m ax { 0 , Ρ(Α)+Ρ(Β)- 1 } , min {P(A), Ρ (Β) } ] .

);> );> );>

);>

Ο P(AUB) είναι αριθμός P(A)$P(AUB)$ 1

κα ι

P(B) $P(AUB)$ 1 οπότε ο P(AUB) είναι αριθμός

στο κλειστό διάστημα [m ax {P(A), Ρ(Β) } , min { 1 ,P(A)+ Ρ(Β) } ] . Αν Ρ (Α)+Ρ (Β)> 1 τότε τα Α και Β δεν είναι ασυμ β ίβ αστα διότι αν ήταν θα είχαμε P(AUB)= Ρ(Α) +Ρ(Β)> 1 δηλαδή P(AUB)> 1 άτοπο. Προσοχή μόνο αν τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα έχουμε Ρ ( Α ) =

��

διαφορετικά

απαιτούμε μόνο Ο::;Ρ (ω;)::; 1 και Σ Ρ ( ω; ) = 1 οπότε Ρ(Α)=Ρ(ω ι )+Ρ(ωz )+Ρ(ω3)+ . . . Ρ(ωκ) με Α= { ω ι , ωz , ω3, . . . , ω κ} c Ω. Απαραίτητη προϋπόθεση το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων του Ω να είναι πεπερασμένο διότι 1 αν ζητούσαμε από κάποιον να μας πει έναν αριθμό τότε ποια η πιθανότητα να πει το 7. Ρ(7)= , απει ρ ο που είναι παράλογο. Αν το πλήθος των στοιχείων είναι πεπερασμένο και τα δυνατά αποτελέσματα ισοπίθανα τότε το καθένα έχει πιθανότητα

.!.. . Άρα αν Ρ(Α)=Ο τότε Α=0. ν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/5 1

ί\ σ κηση

Μ αθη ματικά για την Γ Λυ κείου '1

πίνακα

λ-1 -- με λ Ε Ν * 5 2 και Β, Β ' * 0 όπου Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρεθούν i) το λ και οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) ii) Αν λ=2 P(A ' n B)=0,4. Να βρεθούν οι πιθανότητες P(A n B) και P(AUB). Αν Ρ ( Α )

ί)

1 2λ - 3 J

και Ρ ( Β )

Ι ,2 2, Ι 2,2 3 ,2 3,Ι 4,2 4, 1 5 ,2 5, Ι Α: «Κερδίζει ο α»

ι,Ι

{ {(

Ο:::;Ρ (Α):::; Ι <:::> Ο �

J 2 λ - 3J

Για λ=3 Ε πίση ς

3 5

Ρ(Α)= -

Β: «Κερδίζει ο β»

� Ι <:::> Ο � j 2 λ - 3 I � 5

Ο:::;Ρ (Β):::; 1

για λ=2

για λ=4

Ν (Α)= Ι 3 Ν(Β)= ι 2

Ν(Ω)=25

για λ=3 έχουμε

5 5Ι

δ εκτο, 2

P (B) = l = l

Β ' =0 απορρίπτεται.

άρα

Β=Ω

οπότε

ii) Ρ ( Α ) = 1 , Ρ ( Β) = � = 0, 5 και P ( A 'n B ) = 0, 4

Αλλά P(A' nB)=P(B-A)=P(B)-P(An B) επομένως Ρ(Α ' nB)=0,4<:::> P (B)-P(AnB)=0,4 οπότε P(AnB)=0,5-0,4 P(AnB)=O, I

P(AU B)=P(A)+ P(B)-P(An B) _!_ _!_ __!___ 2 + 5 - ι = � = + 5 2 10 10 10 _

Λ σ κ η σ η 2 11

0, 6 .

Δυο φίλοι συμφωνούν να λένε τυχαία έναν ακέραιο αριθμό ο καθένας από το 1 μέχρι το 5. Αν η διαφορά τους είναι μικρότερη ή ίση του 1 κερδίζει ο α ' ενώ εάν η διαφορά είναι μεγαλύτερη (2 ή 3 ή 4) κερδίζει ο β ' Ποιος από τους δυο έχει μεγαλύτερη πιθανότητα νίκης; .\(Jση

άρα

Ρ (Α) =

ι3

Ρ (Β) =

Ι2

25 25 ν Οπότε ο α ' έχει μεγαλύτερη πιθανότη τα. Ά σκηση 3 11

P(A)= S

� δη λαδή Ο � -2-

P(B)= lΙ

Β = ( 3, 1 ) , ( 3, 5 ) , ( 4, ι ) , ( 4, 2 )

Ρ(Α)= - = Ι λ-1

ι , 3 ) , ( ι, 4) , ( Ι , 5 ) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5 )}

( 5 , 1 ) , ( 5, 2 ) , ( 5 , 3 )

ή Ο:::;λ- 1 :::;2 <:::> Ι :::;λ:::;3 άρα λ= Ι ή λ=2 ή λ=3 . Για λ= Ι έχουμε Ρ(Β)=Ο άρα Β=0, απορρίπτεται

για λ=2 έχουμε,

2,5 3,5 4,5 5,5

( 2 , Ι ) , ( 3, 2 ) , ( 4, 3 ) , ( 5 , 4 )

-2 � 2λ � 8 <:::> - Ι � λ � 4 άρα λ = - Ι ή λ=Ο ή λ= Ι ή λ=2 ή λ=3 ή λ=4 και λ Ε Ν * Επομένως λ= Ι ή λ=2 ή λ=3 ή λ=4.

P(A)= S

Ι ,5

Α = ( ι , 2) , ( 2, 3 ) , ( 3, 4) , ( 4, 5 )

5 Άρα J 2 λ - 3J � 5 και -5 � 2λ - 3 � 5

Για λ= Ι έχουμε

ι ,4 2,4 3 ,4 4,4 5 ,4

( ι, Ι ) , ( 2, 2 ) , ( 3, 3 ) , ( 4, 4 ) , ( 5, 5 ) }

Λt1ση

Πρέπει

1 ,3 2,3 3,3 4,3 5,3

Ας δούμε τα δυνατά αποτελέσματα σε μορφή

Αν Ρ(Α ')+Ρ(Β ')=1 ,3καιΡ [(Α-Β)U(Β-Α)) =Ο,4 Να βρεθούν οι πιθανότητες P(A n B) και P(AUB).

ii) Αν επιπλέον P(A 'UB)=0,75 να βρεθούν

οι

Λi1ση

πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β)

Ρ(Α ')+ Ρ(Β ')= Ι ,3<:::> ι-Ρ(Α)+ Ι-Ρ(Β)= ι ,3 2-Ι ,3=Ρ(Α)+Ρ(Β) άρα Ρ(Α)+Ρ(Β)=Ο,7 αλλά P[(A-B)U(B-A)]=P(A-B)+ P(B-A) αφού (Α-Β) n (Β-Α)=0 ή P[(A-B)U(B-A)]= =P( A )-P(An B)+ P(B)-P(AnB)= =P(A)+P(B)-2P(AnB) αφού P[(A-B)U(B-A)]=0,4 άρα P(A)+ P(B)-2P(AnB)=0,4 0, 3 =0,7-0,4=2P(AnB) οπότε P(AnB)= l ή

P(AnB)= O , Ι 5 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(An B)=0,7-0, 1 5=0,55 ii) P(A 'UB)=0,75 P(A ') + P(B)-P(A ' nB)=0,75 A ' nB=B-A 1-P(A)+P(B)-[P(B)-P(AnB)]=O, 75 ι-Ρ(Α)+ Ρ(Β)-Ρ(Β)+Ρ(ΑnΒ)=Ο,75 Ι +0, Ι 5-0,75=Ρ(Α) Ρ(Α)=0,40 οπότε Ρ(Β)=Ο,30 Άσκη ση 4 '1

θεωρούμε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/52

ως πείραμα

τύχης τη

ρίψη

Μ αθη ματικά για την Γ Λυκείου

αμερόληπτου ζαριού. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος αυτού του πειράματος τύχης και f(x)=x3κx+l, κεΩ i) Ν α β ρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A(l,f(l)) ii) Αν Α ι ( Χ ι , Υι ) , Α2 (χ 2, Υ2 ) , . . . , Α ιο ( Χιο, Υιο) είναι 10 σημεία της ευθείας του ερωτήματος i) να β ρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου: Ε: Η τυπική απόκλιση των τεταγμένων είναι διπλάσια από την τυπική απόκλιση των τετμημένων αυτών των σημείων.

g ' (x) g ( x)

ιο

λ σ κ η σ η 5'� 1\ α βρεθούν ,

οι μέγιστες τιμές των

παραστάσεων i)

ii) Ρ(Α ').[Ρ(Α))

Ρ(Α).Ρ(Α ) '

.\ ί) ση

i) Έστω Ρ(Α)=χ είναι Ο::;χ::; Ι άρα Ρ(Α ')= Ι -χ οπότε αρκεί να μελετήσουμε τη συνάρτηση f(x)=x ( I -x)<::> f(x)=x-x2 άρα Γ (χ)= Ι -2 χ

()

f' ( x)>O<::> - Ι -2 χ->Ο <::::> χ :::;; .!_2 f .!..2 = .!_4

ii)

Γ( χ) f( x )

1 12

�

ΟΜ

�

Ι , , για χ = ισο Η f παρουσια' ζει ο λικο μεγιστο 2 ,

παράστασης είναι .!.. [ Ρ ( Α) Ρ ( Α ' ) :::;; .!.. ] . 4

Αν i)

ii) iii)

�

ΟΜ

4 -

Ρ( ΑυΒ)

4 -

=� και P[(A-B)u(B-A)J =k

Να β ρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιούνται τα Α , Β συγχρόνως Επίσης η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α , Β. Ποια η μέγιστη τιμή της παράστασης Λ ίJση

i) είναι AUB=[(A-B)U(B-A) ] U(AnB) και [(A-B)U(B-A) ] , A n B ασυμβίβαστα οπότε Ρ (Α U B)=P[(A- B)U(B-A) ] + P (AnB) � = .!_ + Ρ (Α n Β) άρα 8 2 5 Ι 5 4 Ι Ρ (Α n B) = - = - = . 8 2 8 8 8 Δεν πραγματοποιούνται τα Α, Β συγχρόνως: Ι 7 (AnB) ' οπότε P(AnB)' = I - P(An B) = I - g = g ii) Κανένα από τα Α , Β : οπότε

Ρ (Α u B) ' = 1 - Ρ (Α υ Β) = Ι - 5 = 3 8 s Ι iii) Ρ[( Α - Β) υ(Β- Α) J = <::::> Ρ ( Α - Β) + Ρ( Β - Α) = 1 2 2 1 <::::> Ρ (Α) - Ρ (Α n Β) + Ρ ( Β) - Ρ ( Α n B) = 2 Ι Ι 1 Ι 3 οπότε Ρ ( ) + Ρ ( Β) = + 2 = + = Α 2 8 2 4 4. 3

Αν Ρ(Α)=χ τότε Ρ ( Β) = - χ με - :::;; χ :::;; 8 4 8 -

( ) Μ ελετάμε τη συνάρτηση : f{x) =x(� -x) =� x-x2

και .!.. ::;; � - χ ::;; � άρα Ρ ( Α ) Ρ ( Β) = χ � - χ 8 4 8 4

Ρ(Α)·Ρ(Β)

ii) g(x)=( l x )x2 ή g(x)=x 2 x 3 οπότε g '(x )=2x-3x 2 για g '(x)=O έχουμε 2 χ 3 χ 2 =0<::> χ(2-3χ)=Ο<::>χ=Ο ή χ = � -

�

Άσκ η ση 6'�

με .!.. δηλ f ( χ ) :::;; .!.. δηλ. η μέγιστη τιμή της

δηλ. Μέγιστη τιμή της παράστασης:

2/3

g ( x ) :::;;

ΛίJση Ω= { 1 ,2,3 ,4,5 ,6 }

f(χ)=χ 3 -κχ+ Ι άρα Γ ( χ)=3χ 2-κ f( Ι )=2-κ και f'( l )=3-κ οπότε ε: y=( 3 -κ)χ Ι ii) Αφού τα σημεία ανήκουν στην (ε) άρα y ι =(3-κ)χ ι - Ι , y =( 3 -κ)χΓ Ι , . . . , Υ ι =( 3-κ)χ - Ι οπότε S,= 1 3-κ I S, και αφού Sy=2 S , άρα 1 3-κ I =2<::> 3-κ=2 ή 3-κ = -2<::>κ= Ι ή κ=5 2 Ι επομένως Ε = { 1 5 } και ( Ε ) = = 6 3. Ρ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71

οπότε f ' ( x ) = � - 2 x , f '( x ) � O 4 3 - -

2χ � ο <=> χ :::;; -3

τ.3/53

Γ (χ) f(x)

Μ αθη ματικά για την Γ Λυκείου

3/8

�

ΟΜ

Ρ (Α) = = Ρ ( Β ) , Ρ ( Α ) Ρ ( Β

Ά σ κη σ η 7ιι

� ι"χ

(%)2

Αν Ω={Ο,1,2,3,4} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Ρ (κ) _!_Ρ (κ - 1 ) για κ κ=1,2,3,4. i) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχομένων και Β={κ+l, κ-2} ii) Αν Α={κ, κ2- 1 } ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω και AnB={3} να προσδιοριστεί η τιμή του κ και να β ρεθεί η πιθανότητα P(A'nB) =

ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Α,Β αυτού με AnB={3,5}, Β' = {1,2, 7 ,8,1 Ο} ί) Να δειχθεί ότι 0,2::s;P(A)::s;0,7 ii) Αν (ΑUΒ) ' ={χεΩ/χ3-χ2+χ-1=0} τότε Ρ(Α-Β)=Ο,4 Λί> σ η

Αφού Β '= { 1 ,2,7,8, 1 0} => 8= {3,4,5,6,9} άρα Ν ( Β) 5 1 2 Ρ ( Β) = = - = - και P ( A n B) = - = 0 ' 2 1 0 2 Ω Ν( ) 10 αφού Α n Β ς Α => Ρ ( Α n Β) � Ρ (Α) δηλαδή 0,2::s;P(A) επίσης επειδή 8= {3,4,5,6,9} και AnB= {3,5 } επομένως τα στοιχεία 4,6,9 δεν

ανήκουν στο Α οπότε Ρ (Α) � }____ 10

Λί> σ η

Ρ( κ) = _!_ Ρ( κ - I ) για κ= 1 ,2,3 ,4 οπότε κ P( l )=Ρ( Ο) (1) Ρ ( 2) = _!_ Ρ ( 1) <=> Ρ ( 1 ) = 2Ρ ( 2 ) 2

(2)

Ρ (3) = _!_ Ρ ( 2) <=> Ρ ( 2) = 3Ρ ( 3 ) 3

(3)

Ρ (4) = _!_ Ρ (3) <=> Ρ (3) = 4Ρ (4) (4) 4 Αν Ρ(4)=χ τότε από (4)=>Ρ(3)=4χ οπότε από τη σχέση (3)=>Ρ(2)=3 .4χ= 1 2χ και από και αλλά Ρ( 1 )=24χ Ρ(Ο)=Ρ( 1 )=24χ Ρ(Ο)+Ρ( 1 )+Ρ(2)+Ρ(3)+Ρ( 4)= 1 <=> 1 <::> 2 4x+ 24x+ l 2x+4x+x= 1 , 65x=l άρα χ = 65

οπότε Ρ (Ο) = Ρ ( 1 ) =

�;, Ρ (2) = ��'

� 1 , Ρ (4) = - . 65 65 ii) αφού 3 εΑnΒ άρα 3 εΑ και 3 ε Β 3 εΑ σημαίνει ότι κ=3 ή κ2-1=3 <::>κ2 =4<::>κ=2 ή κ= -2 η τιμή κ=3 απορρίπτεται γιατί τότε κ2- I =9-1 =8 � Ω η τιμή κ= -2 απορρίπτεται γιατί τότε κεΑ αλλά -2 � Ω η τιμή κ=2 είναι δεκτή οπότε Α= {2,3 } και Β= {3,0} 24 A ' nB=B-A= {O } άρα P( A n B) = P( B A) = P( O) = 65 Ρ (3) =

Ά σ κη σ η 8' 1

Αν Ω={1,2,3, . . . . ,10} ο δειγματικός χώρος

) χ- -χ 2+χ- 1 =ο<=> 2 χ (χ-1 )+(χ- 1 )=(χ-1 ) (χ2 + 1 )=Ο χ-1 =Οήχ= 1 οπότε(ΑUΒ) '= { 1 } ::::>A U8= {2,3, . . . , 1 0 } 1. 1"

6 2 10 10

και P(A-B)=P(A)-P(AnB)= - - - =0 ' 4 Α σ κή σε ι ς για λύ σ η

1 ) Αν για τα ενδεχόμενα Α,8 ενός δειγματικού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ισχύουν: 3Ν(Α)+2Ν(Β)=2Ν(Ω) και p(A). p(A ')=3/ 1 6 i) Να βρεθούν οι πιθανότητες p(A), p(B) ii) Να δειχθεί ότι 1 14 :::: p(A-8)::::;3 /8 2) Το 40% των κατοικιών σε μια πόλη διαθέτει ηλιακό θερμοσίφωνο, ενώ το 50% διαθέτει μόνο ηλεκτρικό θερμοσίφωνο, ποια η πιθανότητα αν επιλεγεί τυχαία μια κατοικία να μην διαθέτει ούτε ηλεκτρικό ούτε ηλιακό θερμοσίφωνο; 3) Ποιος από τους δύο τύπους είναι κατάλληλος για να εκφράσει την πιθανότητα κάθε απλού ενδεχομένου ωί του Ω, όπου Ω ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός μη αμερόληπτου ζαριού. α) p(ωi)=(2 ωί - 1 ) - 1 β) p(ωi)=(2 ωί - 1 )/36 Ποια η πιθανότητα αυτό το ζάρι να «φέρει» ζυγό αριθμό;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/54

Μαθη ματικά για την Γ Λυκείου

ΚΑ ΤΕ ΥΘ ΥΝΣΗ Γ ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ ΓENJJ(A ΘΕΜΑ ΤΑ ΠΑΡΆΓΩΓΩΝ

Γκίνης Παναγιώτης - Πατσαλιάς Μιχάλης - Χριστιάς Σπύρος 1. πάντοτε Εάν μία συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού της, τότε θα είναι και ασυνεχής στο σημείο αυτό. 2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και χ0 εσωτερικό σημείο του Δ. Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ0 με f'(x0)=0, τότε η συνάρτηση f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο χ0. 3. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ με f" (χ)* Ο για κάθε χ Τότε η συνάρτηση f δεν έχει σημεία καμπής στο διάστημα Δ. 4. Έστω ότι η ευθεία y=y0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη μίας γραφικής παράστασης συνάρτησης f στο +οο . Τότε η δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο f παραγωγίσιμη στο [α, β] και χ0 σημείο του (α, β) τέτοιο ώστε f '(x 0 ) Ο 5. Έστω συνάρτησηθα ισχύει ότι f(α)=f(β). Τότε πάντοτε Εάν μία συνάρτηση f είναι κυρτή σε διάστημα Δ, τότε θα ισχύει πάντοτε ότι f "(x) > Ο για κάθε χ Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο Τότε η δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Κάθε ρητή συνάρτηση θα έχει τουλάχιστον μία ασύμπτωτη. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο [α, β]. Τότε η συνάρτηση δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος στο [α, β]. Α . Ε ΡΩΤ Η Σ Ε Ι Σ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ

ΕΔ.

+οο .

�.

ΕΔ.

8. 9.

1 Ο. Η

Rolle

κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης, δεν έχει ποτέ κοινά σημεία με τη συνάρτηση. l l . ' Εστω συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα και f '(x) = Ο για κάθε εσωτερικό σημείο του Τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο Έστω μία συνάρτηση κοίλη στο � . Τότε υποχρεωτικά η συνάρτηση f θα έχει μέγιστο στο � . με τότε υπάρχει ξ Ε με Εάν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο

f f f

Δ.

Δ. 12.13. f (0, 2) [0, 2] f(O)=O f (2) . f'(ξ) 2 14. Εάν η f" αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του χ 0 τότε το χ 0 είναι θέση σημείου καμπής. 15. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [α, β] � IR , η οποία παρουσιάζει στο χ 0 β τοπικό ελάχιστο. Τότε f(β)=Ο. 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 Σ Σ Σ Σ Σ =

Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Ε ΡΩΤ Η Σ Ε Ι Σ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Β . Γ Ε Ν Ι ΚΑ Θ Ε Μ ΑΤΑ Π Α ΡΆ ΓΩ ΓΩ Ν

ΘΕΜΑ t " :

�

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτησηφθίνουσα f: [0, 4]στο [0,για4]. την οποία γνωρίζουμε ότι f(O)=f(4)=2 και η συνάρτηση f' είναι γνησίως α) Να δειχθεί ότι f(x) � 2 για κάθε χ [0,4]. Ε

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/55

Μ αθη ματικά για την Γ Λυκείου

β) Εάν η μέγιστη τιμ της f στο [ 0 , 4) είναι ίση με 3, να δειχθεί ότι ή υπάρχουν στο (0, 1 1 , 4) τετοια ωστε f '(x1 ) f '(x2 ) 4 . γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g(x)= �f(x) + χ και φ(χ)= με [0, 4). Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον χ0 (0, 4) τέτοιο ώστε οι εφαπτόμενες των και στο σημείο με τετμημένη να είναι παράλληλες. α) Έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0, 4], άρα θα είναι και συνεχής σε αυτό. Επίσης f(O)=f(4)=2. Επομένως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος στο [0, 4]. Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (0, 4) τέτοιο ώστε f '(ρ) = Ο . Έτσι για χ < ρ θα έχουμε ότι f '(x) > f '( ρ) = Ο ενώ για χ > ρ θα έχουμε ότι f '(x) < f '(ρ) = Ο (Αφού η συνάρτηση f' είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, 4]). Επίσης το ρ είναι μοναδική ρίζα της f' στο [0,πίνακας 4] αφούεταη συνάρτηση f' είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, 4). Έτσι προκύπτει ο παρακάτω ολών f4στο Από [0, 4] τον: πίνακα μεταβολών παίρνουμε ότι η Ο ρ συνάρτηση f παρουσιάζει στο σημείο ρ ολικό + f' μέγιστο το f(ρ) και στα σημεία Ο και ολικό ελάχιστο το f(O)=f(4)=2. Επομένως το σύνολο f τιμών της συνάρτησης είναι το [2, f(ρ)]. Άρα f (x) :?: 2 για κάθε χ [ 0 , 4]. συνάρτηση f Από το α) ερώτημα έχουμε ότι fmax=f(ρ). Άρα παίρνουμε ότι f(ρ)=3. β) ικανοποιεί του θεωρήματος μέσης τιμής σε κάθε ένα από τα διαστήματα [0,, ρ] και, [ρ,τις4].προϋποθέσεις Έτσι υπάρχουν ένα τουλάχιστον (0,_ f(4)ρ) και- f(ρ)ένα_τουλάχιστον (ρ, 4) 2 _ -1 3 2 3 1 f(0) f(ρ) _ _ ' _ τετοια ωστε f '( ) . Το'τε θα - και f ( χ -7 ) 4-ρ 4-ρ ρ-4 ρ ρ ρ χ ι , χ2

-- - --

ΛΥΣΗ :

2 Fx

χ0

Rolle

χΕ

χι Ε

χ1

-- - --

1 1 f '(x 1 ) f '(x 2 )

' ' εχουμε οτι

χ2

-- - -- = ρ - ρ + 4 = 4

γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση M(x)=g(x)-φ(x)= �f(x) + χ - 2-Γχ , [Ο, 4]. συνάρτηση .J2 είναι παραγωγίσιμη στο [0, 4] άρα και συνεχής σε αυτό. Επίσης M(O)=M(4)= . Άρα από το θεώρημα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον χ (0, 4) τέτοιο ώστε ΧΕ

Rolle

Μ '(χ 0 ) = 0 <=> g '(χ 0 ) = φ '(χ 0 ) . Επομένως οι εφαπτόμενες των

ΘΕΜΛ

0Ε

τετμημένη χ0 είναι παράλληλες. 2" :

9t .

�

και

Μ (χ)

στο σημείο με

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με f(O)=l και τέτοια ώστε f(x)f '(x) + f 2 (x) xe-2 ' για κάθε χ βρεθεί οότιτύπος της συνάρτησης f. β) Νατηςβρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. η ευθεία y=-x+ 1 εφάπτεται γ)α) ΝαΝα δειχθεί α) σχέση f(x)f '(x) + f2 (x) = xe-2 ' γράφεται: -21 (f-7 (χ )) '+ f7- ( χ = xe - ή (f 2 (x)) ' e 2 ' + 2e 2 ' f 2 (x) = 2χ ή ( f 2 (x)e 2 ' ) ' = (χ 2 ) ' . Άρα f 2 (x)e 2 ' = χ 2 + Για χ=Ο παίρνουμε ότι χ- + 1 χ- + 1 συναρτηση ως c=l. Επομενως f- (x)e-' = χ - + 1 <=> f2 (χ) = .2 <=> I f(x) I = , χ e' e' Ε

Cr.

ΛΥΣΗ :

-? χ

)

παραγωγισιμη στο

�

9\ . Η

χ + ' ' απο' τη σχεση Επισης f (χ) I = l ex �. Άρα η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

ειναι και συνεχης στο

παίρνουμε ότι f (x) * Ο για κάθε χ Ε 9\ .

ι):)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/56

για κάθε χ Ε 9\ . Επομένως προκύπτει ότι

Μ αθη ματικά για την Γ Λυκείου

9\ .

Αφού

f(0)=1

θα έχουμε ότι

f(x) = j;2;ϊ ' , χ Ε 9ι .

β)

e Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση f '(x) =

-χ 2 + χ - 1

f(x)>O

που βρήκαμε από το

α)

ερώτημα έχουμε ότι

χ Ε �Η . Το τριώνυμο -χ2 +χ-1 είναι αρνητικό για κάθε χ Ε �Η . Άρα

f '(x) < Ο για κάθε χ Ε 9\ . Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 9\ . Τότε αφού f συνεχής στο �Η θα έχουμε ότι f(A) = ( ιim f(x), ιim f(x)) . Για το lim f(x) έχουμε : ι.

ι· j;2;ϊ χ�� f ( χ ) = x� z

�

X -4 +,-.c

ι·

Hospital) .

Δ�, f ( x) = Δ�χ

Χ � -'Χ:

Χ �+::ο

1 χ χ Γ1 ' · ;χDe 1 + � = ο . 1 = ο (Γ ια το ι�� χρησιμοποιησαμε κανονα

= χ��?'; e'

Για

1im f(x)

το

� = Δ�, el' (-χ)�1 + χ\ = (+οο) · (+οο)

έχουμε

Χ ---+-'Χ:

= +οο . Άρα f(A) = (0, + οο) .

γ) Π αρατηρούμε ότι η ευθεία και η συνάρτηση έχουν την ίδια τιμή για χ=Ο, την f(0)=1 . Επίσης απ ό το β) ερώτημα παίρνουμε ότι f '(Ο) = -01 = - 1 = λ Άρα πράγματι η ευθεία y=-x+ 1 e

εφάπτεται της C r στο σημείο της Μ(Ο, 1 ) .

Θ Ε \ 1 \ 3" :

�

•

παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι f3 κάθε β ρεθεί το μελετηθεί η συνάρτηση ω ρος τη μονοτονία και το πρόσημό ς π της. δειχθεί ότι xf '(x) f(x) για κάθε γ)

(χ) + f(x) = χ

για

α)

παίρνουμε

ότι

Έ στ ω η

χ Ε

α) .'\α β) .'\α .'\α

. \Υ: Η :

β)

9t .

Θέτοντας

f(O).

όπου

χ>Ο

<χ

το

στη

•

σχέση

της

υπόθεσης

( ( Ο ) + f(O) = Ο <=> f(O)(f 2 (0) + 1) = Ο από όπου προκύπτει ότι f(O)=O. Παραγωγίζοντας τη σχέση f \x) + f(x) = χ παίρνουμε ότι 3f 2 (x)f '(x) + f '(x) = 1 για κάθε 1 > Ο για κάθε χ Ε 91 . Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο χ Ε �11 ή f '(χ) = 2 3f (x) + 1 �Η .

Έτσι η εξίσωση f(x)=O θα έχει μία το πολύ ρίζα στο 9\ . Λόγω του ερωτήματος έχουμε ότι f(O)=O . Άρα το χ0=0 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x)=O. Τότε για χ<Ο θα έχουμε ότι f(x)<f(O)=O ενώ για χ>Ο θα έχουμε ότι f(x)>f(O)=O. Δηλαδή f(x)<O στο ( -οο, Ο) και f(x)>O στο (Ο, + οο) .

γ)

α)

προς απόδειξη ανίσωση ισοδύναμα γράφεται : f '(x) < f(x) < 1 (αφού

χ>Ο).

Θεωρούμε τη

συνάρτηση f ορισμένη στο [0, χ] . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό άρα και συνεχής σε αυτό. Τότε από το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχει ένα τουλάχιστον f(x) - f(O) f(x) = (1). Από το β) ερώτημα έχουμε ότι Χ ο Ε (Ο, χο) τέτοιο ώστε f '(x 0 ) = χ

χ-0 χ 1 f '( χ ) = 2 Τότε η συνάρτηση f ' είναι παραγωγίσιμη στο 9\ με 3f (x) + l " 6f x)f '(x) f (x) = - � < Ο για κάθε χ>Ο . Άρα η συνάρτηση f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο (3f- (x) + 1 ) 7(Ο, + οο) . Τότε για Ο<χ0<χ παίρνουμε ότι f '(x) < f '(x0 ) < f '(O) . Θέτοντας στη σχέση ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/57

Μαθη ματικά για την Γ Λυκείου

f '(x) =

�

3f 2 ( ) + 1

όπου

το

παίρνουμε ότι f '(O) = 1 . ' Ετσι έχουμε ότι f '(x) < f '(x 0 ) < 1

(2).

Από (1) και (2) προκύπτει ότι f '(x) < f(x) < 1 , δηλαδή το ζητούμενο.

θ [ i\Ί Α 4" :

Μία συνάρτηση f : (0, + οο) � 91 έχει την ιδιότητα : f(xy) = f(x) + f(y ) + xy - x - y - 1 για κάθε χ, Υ Ε 91 . α) Να βρεθεί το f(1) . β) Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο χ0=1 με f '(1) = 3 , να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (Ο, + οο) και να βρεθεί ο τύπος της. γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2x όταν χ Ε (0, 2] . α) β)

Θέτοντας στη σχέση της υπόθεσης όπου χ και y το 1 παίρνουμε ότι : f(1 )=2f(l )-2 � f(1 )=2. Αφού f '(1) = 3 θα έχουμε ότι lim f(x) - f(l) = 3 ή λόγω του α) ερωτήματος Iim f(x) - 2 = 3 . χ -> 1

Έστω τυχαίο χ0 στο (Ο, + οο) . Τότε:

χ -> 1

χ-Ι

. f(x) - f(xo ) X=Xo1' ι · m f(xoh) - f(xo ) ι · f(x o ) + f(h) + x o h - x o - h - 1 - f(x o ) I ιm = ι = ιm χ - χ0 x0h - χ0 x0h - χ0 f( h ) - 2 + x 0 h - x 0 - h + I = I i m I f(h) - 2 ) h - 1 ] = f '(I) - 1 1 = 2 1 [ = lim + + + , 1 Ιι-> x 0 ( h - I) Χο h - 1 Χο x 0 (h - Ι) Χ0 =

h -> 1

χ -> χ ο

χ-Ι

h -> 1

δηλαδή

πραγματικός αριθμός. Αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο χ0 Ε (Ο, + οο) , θα είναι παραγωγίσιμη στο (0, + οο) με f '(x) = � + 1 για κάθε χ Ε (0, + οο) . χ

γράφεται f '(x) = (2 1n x + x) ' και αφού οι συναρτήσεις (Ο, + οο) θα έχουμε ότι f(x) = 2 1n x + x + c . Για

σχέση f '(x) = � + Ι χ

f(x) και 2Ιηχ+χ είναι συνεχείς στο χ=1 προκύπτει ότι c=1 . Άρα

f(x) = 2 1n x + x + I , χ Ε (Ο, + οο) . γ)

Θεωρούμε τη συνάρτηση K(x)=f(x)-2x=21nx-x+1 , χ Ε (Ο, 2] . Τότε Κ '(χ) = 2 - χ > Ο για κάθε Η

συνάρτηση Κ(χ) είναι συνεχής στο (0, 2] , άρα η συνάρτηση Κ(χ) είναι γνησίως αύξουσα στο (0, 2] . Επομένως η εξίσωση Κ(χ)=Ο θα έχει μία το πολύ ρίζα στο (0, 2] . Παρατηρούμε ότι το χ0=1 είναι μία προφανής ρίζα της εξίσωσης Κ(χ)=Ο. Άρα η εξίσωση Κ(χ)=Ο ή ισοδύναμα η εξίσωση f(x)=2x έχει μοναδική ρίζα στο (0, 2] το χ0=1 . χ Ε (0, 2) .

Θ Ε Μ Λ 5" :

Έστω

παραγωγίσιμη

Λ Υ Σ Η: : α) Η

συνάρτηση

f: ( 1 , + οο) � 91

για την οποία ισχύει 2 xf '(x) + 2x f(x) + e ' , χ Ε [1, + οο) , f '(1) = 3e και f(χ)>χ +1 για κάθε χ Ε (1 , + οο) . = α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία στο [ Ι , + οο) . β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. γ) Να δειχθεί ότι f(x)>2x 2+1nx για κάθε χ Ε (Ι, + οο) . 2 1n x

ότι

2x 2

ή xf '(x) = 2x 2 (f(x) - ln x) + e' xf '(x) + 2x 2 1n x = 2x 2 f(x) + e' γράφεται: e' f '(x) = 2x(f(x) - Jn x) + - , χ Ε [1, + οο) . Από τη σχέση f(x)>x 2 +1 προκύπτει ότι f(x)x 2 Ιηχ>χ 2 +1-Ιηχ, χ Ε [1, + οο) . Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(χ)=χ +1 -Ιηχ, χ Ε [Ι, + οο) . Τότε η 2 ' ' ' συναρτηση φ ειναι παραγωγισιμη στο [1 , + οο ) με φ '( χ ) = 2χ - 1 > Ο για κα' θ ε χ Ε [Ι , + ) χ σχέση

οο

ΕΥΚΛΕ Ι ΔΗΣ Β ' 71 τ.3/58

Μ αθη ματικά για την Γ Λυ κείου

β)

Άρα η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + οο) . Έτσι φmin=φ{l)=2>0. Άρα f(x) lnx>φ(x) 2': 2>0 για κάθε χ ε [l, + οο) . Τότε από τον τύπο της f ' προκύπτει ότι f '(x) > O για κάθε χ ε [1, + οο) . Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + οο) . Αφού f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [1, + οο) θα έχουμε ότι f (A) = [ f (l), lim f(x)) . Από τη σχέση xf '(x) + 2x 2 ln x = 2x 2 f(x) + e' για x=l προκύπτει ότι 3e=2f( l )+e <=:> f(l )=e. Επίσης Χ ---t +Χ

αφού

2 f(x)>x + 1

για κάθε χ ε [1, + οο) προκύπτει ότι Ο < -1- < -2-1- με f(x)

lim

Χ - Η'>:

Ο = Ο και

1 -?-1- = Ο . Άρα από κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε ότι lim -- = Ο και αφού f(x)>O χ- + 1 f(x) τελικά έχουμε ότι lim f(x) = +oo . Άρα f(A) = [e, + oo) . Iim

χ ->+οο

χ -->+οο

Χ --7 +'Υ�

γ)

Θεωρούμε τη συνάρτηση

2 M(x)=f{x)-2x -Ι πχ,

χ ε [1, + οο) .

συνάρτηση

Μ( χ)

είναι

e' 1 Ι f '(x) - 4χ - - = 2x(f(x) - \η χ) + - - 4χ - - , χ ε [1, + οο) . χ χ χ Από το α) ερώτημα έχουμε ότι f(x)-lnx>2 . Έτσι για τη συνάρτηση Μ '(χ) παίρνουμε ότι e' 1 e' - 1 , , , , Μ '(χ) > 4χ + - - 4χ - - = -- > 0 για καθε χ ε [l, + οο) . Άρα η συναρτηση Μ(χ) ειναι χ χ χ γνησίως αύξουσα στο [1, + οο) . Τότε Mmin=M(l )=e-2>0. Επομένως M(x) 2': e - 2 > 0 για κάθε χ ε [1, + οο) ή ισοδύναμα παίρνουμε ότι f( χ)>2χ 2 +Ιηχ για κάθε χ ε [1, + οο) .

παραγωγίσιμη στο [1, + οο) με

Μ '(χ) =

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [α, β [ � 9i και χο<α. α) Να δειχθεί ότι εάν μία τουλάχιστον από τις διερχόμενες από το σημείο Μ(χο, yo) ευθείες τέμνει τη Cr σε δύο διαφορετικά σημεία Ν(χι , f(χ ι)), Κ(χ 2 , f(x 2 )), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη της Cr στο ση μείο Ρ(ξ, f(ξ)) να διέρχεται από το σημείο Μ(χο, Υο). β) Να δειχθεί ότι εάν η Cr ανήκει σε ένα από τα η μιεπίπεδα μίας ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(χ0, y0) και έχει με την (ε) κοινό σημείο το Δ(ζ, f(ζ)), τότε η ευθεία (ε) εφάπτεται της Cr στο σημείο Δ(ζ, f(ζ)) .\ Ί l: Η :

α)

•

Αρκεί να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (χι , χ 2) τέτοιο ώστε y 0 - f(ξ) = f '(ξ)(ξ - χ 0 ) . Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) - Y o , χ ε [χ 1 , χ 2 ] . (Υποθέσαμε ότι χ - Χο

χ1<χ 2 ).

Τότε η

συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [χ , , χ 2 ] , άρα και συνεχής σε αυτό. Επίσης τα σημεία Μ(χο, Υο), Ν(χι , f(χ ι )) και Κ(χ 2 , f(x2 )) με α � χ , < χ 2 � β είναι συνευθειακά. Τότε θα ισχύει ότι f(x , ) - Y o = f(x z ) - Y o = f(x , ) - f(x 2 ) . Άρα προκύπτει ότι g(x1)=g{x 2) . Δηλαδή η χ,

- Χο

χ2 - Χο

χ, - χ2

συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [χ ι , ένα τουλάχιστον ξ ε (χι , χ 2) τέτοιο ώστε

�

��

χ2 ] .

Άρα υπάρχει ή

g '(ξ) = Ο

(ξ) + Υ ο f '(ξ)(ξ χ� = Ο <=> y 0 - f (ξ) = f '(ξ)(ξ - χ 0 ) , δηλαδή το ζητούμενο. ξ ) β) Η ευθεία (ε) έχει εξίσωση της μορφής : y = c(x - χ 0 ) + y 0 • Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι c(x - x 0 ) + y 0 2': f(x) για κάθε χ ε (α, β] . Τότε c(x - x 0 ) + y 0 - f(x) 2': 0 για κάθε χ ε [α , β] . Θεωρούμε τη συνάρτηση K(x)= c(x - x 0 ) + y 0 - f (x) . ' Ετσι Κ(χ) 2': 0 για κάθε χ ε [α , β) . Όμως Κ(ζ)=Ο αφού το σημείο Δ(ζ, f(ζ)) είναι κοινό σημείο της Cr και της (ε) . Άρα παίρνουμε ότι Κ( χ) ;::: Κ(ζ) για κάθε χ ε [α , β] . Δηλαδή προκύπτει ότι συνάρτηση Κ(χ) Ε Υ ΚΛ Ε ΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/59

Μαθηματικά για την Γ Λυκείου

παρουσιάζει στο χ0=ζ ολικό ελάχιστο, άρα και τοπικό. Έτσι από το θεώρημα Fermat θα έχουμε ότι Κ '(ζ) = Ο <=> f '(ζ) = c . Άρα η ευθεία (ε) εφάπτεται της C r στο σημείο Δ(ζ, f(ζ)). Σzόλω : Στην περίπτωση που η συνάρτηση f ήταν παραγωγίσιμη μόνο στο χ0=ζ, για το β) ερώτημα θα μπορούσαμε να εργασθούμε ως εξής : Αφού το σημείο Δ(ζ, f(ζ)) είναι κοινό σημείο της C r και της (ε) θα έχουμε ότι f ( ζ) = c(ζ - x0 ) + y 0 <=> Υο = f(ζ) - c(ζ - χ 0 ) (1). Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι c(x - x0 ) + y0 :?: f(x) (2) για κάθε χ Ε [α, β] . Τότε από (1) και (2) παίρνουμε ότι c(x - ζ) :?: f(x) - f(ζ) . Για χ>ζ θα έχουμε ότι c :?: f(x) - f(ζ) ενώ για χ<ζ θα έχουμε ' ' οτι c ::; f(x) - f(ζ) . Ε πει δη' η συναρτηση

(χ - ζ)

' ' ειναι παραγωγισιμη στο

' οτι ' θ α ισχυει

(χ - ζ) f(χ) - f(ζ) f(x) - f(ζ) = f '(ζ) και c ::; J im = f '(ζ) . Άρα f '(ζ) = c και επομένως η ευθεία (ε) c :?: Ι i ιτι χ--> ζ (χ - ζ) (χ - ζ) Χ->�

εφάπτεται της C r στο σημείο Δ(ζ, f(ζ)) . ΘΕΜΛ

Δίνεται

7" : συνάρτηση

f '(x) = 2x3e' +

3f(x) χ

f : (O, +oo) � JR ,

δύο

φορές

παραγωγίσιμη

με

f(I) = 2e ,

ώστε

(1) για κάθε χ > Ο.

α) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. β) Να εξετασθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τις aσύμπτωτες.

ι\ ΥΣ Η :

α)

Από την 3

(I)

έχουμε: xf'(x) = 2x 4 e' + 3f(x) . Πολλαπλασιάζουμε με 2χ 2 > Ο και έχουμε: J

2x· f'(x) = 4x 6 e' + 6x-f(x) <=> 2x f'(x) - 6x f(x) = 4x 6 e' <=>

Άρα

f(x) ' f(x) ( 2χ3 ) = (e x )' <=> 2χ3 = e' + c .

Επειδή

2x3f'(x) - 6x 2 f(x) = e' 4χ 6

f(1) = 2e

βρίσκουμε

c = O.

Επομένως

f(x) = 2x3e' . β) Είναι f'(x) = 6x 2 e' + 2x3e' = 2e' x 2 (x + 3) > 0 για κάθε χ > Ο. Επομένως η f είναι γνησίως

αύξουσα στο πεδίο ορισμού της (ανοιχτό διάστημα), άρα δεν έχει ακρότατα. Επίσης f"(x) = 1 2xe x + 6x 2 e' + 6x 2 e' + 2x3e' = 2xe' (6 + 6x + x 2 ) > 0 . Άρα η f είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. Ακόμη lim (2x3e' ) = Ο , άρα η συνάρτηση f δεν έχει κατακόρυφες aσύμπτωτες αφού είναι Χ -70-

2x3e' συνεχής στο (Ο, +οο) , ενώ lim -= lim 2x 2 e' = +οο δηλαδή η συνάρτηση δεν έχει ούτε Χ --+ +ΧΙ

Θ Ε Μ Α 8" :

πλάγιες aσύμπτωτες.

Χ -7 +7..ι

Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] . Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο μέσο του διαστήματος και Jf"(x)j < 1 για κάθε χ Ε (α, β) να δείξετε ότι Jf'(α)j + Jf'(β)j < β - α. ΛΥΣΗ :

Από το θεώρημα του Fermat είναι f'( α + β ) = Ο. Η συνάρτηση f' είναι παραγωγίσιμη στο 2

[α, β]

, και στα [ α + β ] [ α + β ] . Επομενως , , , , απο, τα δ ιαστηματα αρα σε κα, θ ε ενα αυτα, ισχυουν οι α, ,β , 2-

προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ και έτσι έχουμε ότι : ΕΥΚΛ Ε Ι ΔΗΣ Β ' 71 τ.3/60

Μ αθη ματικά για την Γ ' Λυκείου

Υπάρχει ένα τουλάχιστον χ

α (α, + β ) ώστε 2

f , (χ 1 ) =

f'(

ψ ) - f'(α)

-f'(α) f'(α) = -- = -2 -- . και β β-α � 2

�β - α 2 α+β ) f'(β) - f'( α f , (β) + β 2 = . . . = 2 -' ' ' του λαχιστον ' υπαρχει ενα χ 2 Ε ( -- , β) ωστε f"( χ -? ) = Επομενως β 2 α β β-� 2 f' ( α ) κ j " 2 )j αι f ( x = 2 f '(β) · Έχουμε ότι jf"(x)j < l για κάθε χ Ε (α, β ) . Άρα προκύπτει jf"(x 1 )j = -2 β-α β-α jf'(α)j jf'(β)j 2 ότι: -2 f '(α) + 2 f'( β ) i < I + I <=> 2 + < 2 <=> --{i f'(α)j + jf'(β)j) < 2 <=> jf'(α)j + jf'(β)j < β - α . β-α β-α β-α β-α β - α1 --

ΘΕΜΑ 9" :

g( χ) Δίνεται η συνά ρτηση f(x) = < ' ι , όπου g(x) δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [ α, eg

β ] . Δ ίνετ αι επίσης ότι g'(x) < g(x) · g'(x), για κάθε χ Ε [ α, β]. α) Να ε ξετασθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία της στο [α, β] . β) Ε άν για τη συ νάρτη ση g ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρή ματος Rolle στο [α, β) να δειχθε ί ό τι η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε ση μείο τη ς μ ε τετ μ η μ ένη χ 0 Ε (α, β). γ ) Ε άν f"(x) < Ο για κάθε χ Ε [α, β J να βρεθεί το πλήθος των ριζών της f ' (x) = Ο στο διάστη μ α (α, β). Η

α)

συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο

' ) g '( x)eg1 ' 1 - g(x)g'(x)eg<x ι f (Χ [e� ] -? _

β)

"( χ Ι

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] . Αφού για την συνάρτηση g ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [α, β) σημαίνει ότι g(α)=g(β). Άρα f(α) = g α = g·�<βΡ = f( β ). Άρα η f στο [α, β] ικανοποιεί τις

\�

γ)

[α, β] .

eg1'1(g'(x) - g(x)g'(x)) g'(x) - g(x)g'(x) < Ο απο, UΠΟθεση για Καθε Χ Ε [α, β] . g eg,1 I [e ( I ] -?

e�

�

προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle, επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα χ0 Ε (α, β) ώστε f'(x0 ) = Ο. Άρα η C 1 δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο με τετ μημένη χ0 Ε (α, β ) . Αφού f"(x) < Ο για κάθε χ Ε [α, β ] η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] . Είναι η g δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β) άρα g' συνεχής στο [α, β] οπότε f' συνεχής στο [α, β] . Επίσης α < χ0 < β άρα f'(α) > f'(x0 ) > f'(β) ή f'(α) > Ο > f'(β) δηλαδή f'(α)f'(β) < Ο . Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ Ε (α , β) τέτοιο ώστε f'(ξ) =Ο . Επίσης η f' είναι γνησίως φθίνουσα άρα το ξ είναι μοναδικό.

Θ E IVI A 1 0" :

Θεωρούμε την συνάρτηση f : [2, 41 � 1R , δυο φορές παραγωγίσιμη με f(2)=f(4)=0 και την 2

συνάρτηση g(x) = -f(3)(x - 6χ + 8). α) Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 σημεία χ1 , χ2 ( χ1 f ' ( χ 1 ) = g ' (χ 1 ) και f ' (x2 ) = g ' ( x2 ) .

:;e

χ 2 ) Ε (2, 4) τέτοια ώστε

β) Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ Ε (2, 4) ώστε f"(ξ) = -2f(3).

ΛΥΣΗ :

α)

Έστω F(x) = f(x) - g(x) η οποία είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων. Είναι F(2) = f(2) - g(2) = Ο = F(3) = F(4). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/61

ως διαφορά παραγωγίσιμων Επομένως ικανοποιούνται οι

[2, 4 ]

Μ αθη ματικά για την Γ Λυκείου

β)

υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στα [2, 3] και [3, 4] . Άρα υπάρχουν: χ ι Ε (2, 3) με F' (χ ι ) = Ο � f ' (χ ι ) = g' (χ ι ) και χ 2 Ε (3, 4 ) με F' (x 2 ) = 0 � f ' (x 2 ) = g' (x 2 ) Η συνάρτηση F' (x) = f ' (x) - g' (x) είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων. Επίσης F' (χι ) = F' (x 2 ) = Ο. Για την F' ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο Άρα υπάρχει τέτοιο ώστε Είναι [χ ι , χ 2 ] ς:; [2, 4] . ξ Ε (χ ι , χ 2 ) F" (ξ) = Ο. και Άρα F' (x) = f ' (x) - ( -f(3)(2x - 6)) = f ' (x) + f (3)(2x - 6) F" (x) = f " (x) + 2f(3). f " ( ξ ) + 2f(3) = ο � f " ( ξ ) = -2f(3).

ΘΕΜΛ 1 1 " :

Δίνεται η συνάρτηση

f : JR � JR

με τύπο

f(x)

{9-

χ\ χ � 1

6χ + 2, 1 < χ < 3 . χ 2 + 2χ + 5, χ 2:: 3

α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να εξετασθεί εάν η Cr τέμνει τον άξονα χ' χ και εάν ναι, σε πόσα σημεία. Λ. Υ Σ Η :

α) Η

συνάρτηση πολυωνυμική.

είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (-οο, Ι), ( Ι ,3) και (3, +οο) ως 2 ) = f(I) = lim (6x + 2) = 8 Επιπλέον είναι: lim (9 x και χ -+ 1 x -+ l ·t lim (6x + 2) = f(3) = Iim (x 2 + 2x + 5) = 20 . Άρα η f είναι συνεχής στο JR . Η f είναι f

χ --73

χ -+3"'"

παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα ( -οο, Ι), ( 1 ,3) και (3, +οο) ως πολυωνυμική με -2χ, χ < Ι -2χ = Ο � χ = Ο δεκτή f ' (x) = 6, Ι < χ < 3 . f ' (x) = O � . 2χ + 2 = Ο � χ = - 1 απορρίπτεται διότι χ> 3 2χ + 2, χ > 3 Άρα προκύπτει ο παρακάτω πίνακας μεταβολών : +οο ο χ 1 3 + ο f ' (x)

{

-CX)

f (x)

β)

�

Για κάθε χ Ε (-οο, Ο) είναι f ' (x) > Ο άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-οο, Ο]. Για κάθε χ Ε (0, Ι) είναι f ' (x) < Ο άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο, Ι]. Για κάθε χ Ε [Ι, 3] και για κάθε χ Ε [3, + οο] η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αφού η f είναι συνεχής στο χ0=3 , παίρνουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [I, 3] U [3, +oo) = [I, +oo) . Στο χ0 = 0 η ( παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(0)=9, στο χ ι = I η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f(1)=8 και στο χ 2 = 3 τοπικό μέγιστο το f(3) = 20. Για χ Ε [-οο, Ο] είναι x-+-oc Ιίιη f(x) = -οο και f(0)=9. Άρα f(( -οο, Ο]) = ( -οο, 9] . Για χ Ε [0, Ι] είναι f(0)=9 και f(1 )=8. Άρα f([ O, Ι]) = [8, 9] . Για χ Ε [Ι,3] είναι f(1)=8 και f(3) = 20 οπότε f([I, 3]) = [8, 20]. Τέλος για χ Ε [3, +οο) είναι f(3) = 20 και χlim f(x) = +oo . Άρα -++::.ι: f([3, +oo)) = [20, +οο). Το σύνολο τιμών f(A) της συνάρτησης f, είναι η ένωση όλων των παραπάνω συνόλων τιμών. Έτσι προκύπτει ότι f(A)= 9\ . Επομένως η συνάρτηση f δεν έχει ολικά ακρότατα. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο το f(I) = 8. Άρα για κάθε χ Ε (0, Ι) είναι χ<1 και η f γνησίως φθίνουσα άρα f(x) > f(I) = 8 > Ο. Επίσης για κάθε χ Ε (l, +oo) η f είναι γνησίως αύξουσα και για χ>1 έχουμε ότι f(x) > f(l) = 8 > 0. Άρα για κάθε χ Ε [Ο, +c.ο) η f(x) = Ο δεν έχει ρίζα. Είναι f(0)=9 και για κάθε χ Ε ( -οο, Ο) η f είναι γνησίως αύξουσα. Ε Υ ΚΛ Ε ΙΔΗΣ Β' 71 τ.3/62

Μ αθη ματικά για την Γ Λυκείου

Επίσης li m f(x) = -oo . Άρα υπάρχει m E IR με m<O U)στε f(m)<O. Ορίζουμε τη συνάρτηση f στο [m,O] όπου είναι συνεχής με f(m)f(O)<O. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ Ε ( Ο) με f(ξ)=Ο και η f γνησίως αύξουσα στο Ι m,O] άρα το ξ είναι μοναδικό. Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον οριζόντιο άξονα ακριβώς σε ένα σημείο. X --'?-'YJ

-οο,

Έστω συνάρτηση f : IR � IR δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση δέχεται στο σημείο Α(Ι , 1 ) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία ψ=χ+l . Επίσης ισχύει ότι f"(x) > f(x) για κάθε χ Ε IR . α) Να δειχθεί ότι f'(χ) < f(χ) για κάθε χ<Ι και f'(x) > f(x) για κάθε χ>l . β) Να δειχθε ί ότι f(x) ;::::: e x - l για κάθε χ Ε JR.

α)

Από

υπόθεση

προκύπτει

ότι

f(I)=I

και

f '(1) = 1 .

Επίσης

έχουμε

ότι

f"( x ) > f'(x) <=> [t"(x)- f(x)] ' > 0. Έστω h(x) = f'(x) - f(x), x E IR . Η h είναι γνησίως αύξουσα στο � αφού χ Ε IR . Για χ<1 έχουμε h'(x) > Ο , για κάθε \1 ( λ ) < h ( 1 ) <=> f'(x) - f(x) < f'(l)- f(l) <=> f'(x)- f(x) < Ο <=> f'(x) < f(x). Για χ > I έχουμε : h(x) > h(1) <=> f'(x) - f(x) > f'( 1 ) - f(l) <=> f'(x) - f(x) > Ο <=> f'(x) > f(x) . . β) Έστω g( x ) = e-' f(x) , χ Ε IR. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συ\'αρτήσεων με g '(x) = e-' (f'(x) - f(x)) . Από α) ερώτημα έχουμε ότι g '( χ ) < Ο για χ< Ι και g ' ( λ ) > Ο για χ> I . Αφού η συνάρτηση g(x) είναι και συνεχής στο χ0=1 παρουσιάζει ελάχιστο στο

χ"

= I το g (l) = .!_. Άρα e-x f(x) :?: .!_ , για κάθε χ Ε IR, δηλαδή f(x) :?: eχ-ι για κάθε χ Ε IR. e e

Ευχαριστούμε το συνάδελφο κ. Λευτέρη Γιαννακόπουλο από το Λύκειο εύστοχη παρατήρησή του, σύμφωνα με την οποία, στο θέμα 8 σελίδα 68 του τεύχους 69, λείπει από την εκφώνηση τ ο σύνολο ορισμού f (IR) της Γ ' . Ανδρούσας Μεσσηνίας για την

�ρατήρησ-η:

Η λύση της ανίσωσης

f( r-ι (

χ2 -

8χ) - 2)

έχουμε π . χ. f (IR) = [O, +oo) = Ar- " τότε έχει σύνολο ορισμού

το

(l),

που

η συνάρτηση

έχει

δοθεί,

ισχύει βέβαια αν f(IR)

Γ' ( χ2 - 8 χ ) = Γ' (g(χ))

με

IR .

Αν όμως

g ( x ) = x2 - 8 x , θα

A ' = { x E Ag l ( x2 - 8x ) E Ar-, } = { x E 1R j x 2 - 8x :?: 0 } = (-oo, O] u [8, +oo) ,

το

οποίο θα είναι και σύνολο ορισμού της ανίσωσης (Ι), αφού ΑΓ IR . Έτσι λοιπόν θα έχουμε τελικά: (Ι) <=> χ Ε ( - 1 , 9) n Α <=> χ Ε ( - 1 , Ο] υ [ 8, 9) . Ανάλογα θα εργαστούμε και για την προτεινόμενη εξίσωση . Θεωρήσαμε υποχρέωσή μας να κάνουμε αυτή τη διευκρίνιση διότι όπως μας πληροφόρησε ο συνάδελφος αυτή η παράλειψη γίνεται σε πολλά Σχολικά βοηθήματα. =

Διόρθωση : Επίσης στην Άσκηση 5 σελίδα 48 του τεύχους 7 0 διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι

στο ερώτημα (β)

αντί διαδ ο χικοί

ακέ ραιοι να γραφεί

Βιβλία που λάβαμε:

Το Βιβλίο των μαθηματικών Χρήστου Γκουβιέρου και Θύμιου Διαμαντόπουλου «Μαθη ματικά : Γ Λυκείου»

παραδείγματα

Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης» με πολλές Τεύχος Β ' [Παράγωγοι - Ολοκληρώματα] .

ΕΥ ΚΛ Ε ΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/63

εφαρμογές, ασκήσεις και

πολλά

Η ταχύτητα

κινητο ύ ως ρυθμός μεταβολής διαν ύ σμα τος Γιώργος Σ. Τασσόπουλος -

Στη μνή μ η τ ο υ Θό δ ω ρ ο υ Ν . Κα ζ αντ ζ ή

Αν ένα υλικό σημείο κινείται επί επιπέδου (Ρ) και θεωρήσουμε επί του (Ρ) καρτεσιανό σύστημα ( Ο ,Τ,]) , τότε οι συντεταγμένες (x,y) τυχαίας θέσης Μ αυτού, θα είναι συναρτήσεις του χρόνου t, δηλαδή θα έχουμε: x=x(t), y=y(t) με t�O, οπότε OM = x ( t ) T + y ( t )} = f ( t ) . Το σύνολο όλων των ορσ

σημείων Μ, θα αποτελέσει τελικά την τροχιά ( c ) του υλικού σημείου (κινητού). Για τη συγκεκριμένη θέση Α Μ 0 , στην οποία βρίσκεται το υλικό σημείο τη χρονική στιγμή to θα έχουμε: Ο Α = χ ( t 0 )Τ + y ( t 0 )} = f ( t 0 ) , οπότε: ΑΜ = ΟΜ - Ο Α = ΟΜ - ΟΜ 0 = = [ χ ( t ) - χ ( t 0 ) ]Τ + [Υ ( t ) - Υ ( t 0 ) ] ] = f ( t ) - f ( t 0 ) και για t * t 0 θα έχουμε: x t ) - x ( t 0 ) -: y ( t ) - y ( t0 ) f( t ) - f( t 0 ) ΑΜ = ( ·Ι+ ·Jt - t0 t - t0 t - t0 t - t0 Ξ

-: _

(ε)

y·

Αν οι συναρτήσεις x(t), y(t) παραγωγίζονται στο to, x ( t ) - x ( t0 ) = χ ' ( t 0 ) και τότε ως γνωστόν: ιί m t - t0 ι im y ( t ) - y ( to ) = y' ( t 0 ) . Ορίζουμε τότε ως: t - to ΑΜ · ΟΜ - ΟΜ ο · f ( t ) - f ( t 0 ) . -το ιm ιΙ->ιm = ιΙ->Ι = ι ιm ο t - to Ιο t - to t - to εφαρμοστό διάνυσμα ϋ Α = x ' ( t 0 ) · T + y' ( t 0 )} με αρχή το Α και το ονομάζουμε ταχύτητα του κινητού στη θέση Α Μ 0 , δηλαδή τη χρονική στιγμή t0 Συμβολικά ϋ Α = ϋ ( t 0 ) -f ( t ) ---- f (--"-'--' t 0 ) Επομένως υ ( t 0 ) = ιi m ----'---'--t - to Ι ->t ο

Ι -> Ι ο

Ι -> Ιυ

1 -> lo

Καθηγητής Μαθηματικών Βαρβακείου Λυκείου

Πρόκειται λοιπόν για το ρυθμό μεταβολής του διανύσματος f ( t ) = ΟΜ , στη θέση to . Όμως ως γνωστόν η οριακή θέση της ευθείας ΑΜ , όταν το Μ «τείνει» στο Α, ορίστηκε ως εφαπτομένη της (c ) στο Α. Άρα ϋ Α = ΑΣ // ( ε ) , δηλαδή ουσιαστικά το Σ βρίσκεται επί της (ε). Ειδικά όταν (c) ς χ 'χ θα έχουμε ϋ Α = χ ' ( t 0 ) ·Τ και όταν (c) ς y'y , θα έχουμε ϋ Α = y' ( t 0 )} Στο Σχολικό βιβλίο Ανάλυσης όταν (c) ς χ 'χ , ως ταχύτητα τη χρονική στιγμή t0 ορίζεται ο αριθμός x '(t0) (Συμβολίζεται μάλιστα με s '(to)) δηλαδή ουσιαστικά το μέτρο ϋ Α του διανύσματος ϋ Α , όταν το κινητό κινείται προς τη θετική φορά ή το - ϋ Α όταν κινείται κατά την αρνητική φορά •

l I

Ι I,

(Αλγεβρική τιμή του υΑ ). Μιλάμε δηλαδή μόνο για το συντελεστή του i . Είναι βέβαια προφανές τότε, δηλαδή κατά την κίνηση επί του χχ ', ότι η γνώση του συντελεστή x '(t0) του i , ισοδυναμεί με τη γνώση του διανύσματος χ ' ( to ) . τ , δηλαδή της ταχύτητας, όπως την ορίσαμε. Στη γενική περίπτωση βέβαια θα έχουμε: 2 2 ϋ A = [ x ' ( t 0 ) ] + [ y' ( t 0 ) ]

l I �

Εξάλλου ο λόγος S(t)=x(t), ονομάζεται (κακώς) και στη Φυσική και στην Ανάλυση μέση ταχύτητα του κινητού (Αριθμητική μέση ταχύτητα) στο χρονικό διάστημα [t0,t]. Λέω κακώς, διότι δεν ανταποκρίνεται στην έννοια της μέσης ταχύτητας, όπως την αντιλαμβανόμαστε στην καθομιλουμένη, παρά μόνο όταν το κινητό κινείται το χρονικό διάστημα [t0,t] κατά την ίδια φορά, δηλαδή χωρίς παλινδρομήσεις. (Είναι μάλιστα προσημασμένη). Για να έχει νόημα η μέση ταχύτητα με την καθομιλουμένη έννοια και στην περίπτωση παλινδρομικής κίνησης, μπορούμε το συνολικό διάστημα S ι + S2 (σχ. α) να το θεωρήσουμε ισοδυνάμως διανυόμενο κατά την ίδια φορά ( σχ. β) οπότε θα πάρουμε ως μέση ταχύτητα το λόγο - S ( t 2 ) - S ( t 0 ) S1 + S 2 , = U= t 2 - to t 2 - to όπως ακριβώς γίνεται στο σχολικό βιβλίο.

Συμπληρώνονται φέτος, δέκα χρόνια απουσίας του ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/64

ι ------+ t f--------'S;;.;_ ι 12 .; - - - - - - - -i S2

Σχ. α

to ι-------tι Sι ------+ιι-

Σχ. β

- -

� - - • t2

το μάλιστα λόγο Φυσικοί Οι ΟΜ - ΟΜο f ( ι ) - f ( ι ο ) για τον οποίο ι - ι0 ι - ι0 μιλήσαμε προηγουμένως, τον αποκαλούν διανυσματική μέση ταχύτητα περιπλέκοντας ακόμη περισσότερο το θέμα . . Αυτό είναι μια ανάγκη των Φυσικών να μιλήσουν για μέση ταχύτητα (Στο Γυμνάσιο και στις πρώτες τάξεις του Λυκείου) πριν καν μας πουν τι είναι ταχύτητα. Δηλαδή ορίζουν μέση τιμή ενός μεγέθους πριν καν ορίσουν το μέγεθος. Θα λοιπόν το κλάσμα μπορούσαν ) - s ( ι 0 ) ι =1- ι0 να το ονομάσουν απλώς λόγο s ( t-'------'-- ----'--- ----'-- , t - t0 μεταβολών των S(ι) , ι και όχι μέση ταχύτητα, όπως χ ( ι ) - χ ( ι0 ) στη γενική περίπτωση το λόγο ι - ι0 f ( ι ) - f ( ι0 ) λόγο μεταβολών των χ(ι), ι και το ι - ι0 μεταβολών των f(ι), ι.* Τελειώνοντας θέλω να τονίσω ότι όταν γράφουμε: S( ι)= 3 t+2, για την κίνηση επί του άξονα χχ ', ή απλούστερα S=3t+ 2, δεν εννοούμε π.χ. ότι το ι εκφράζει χρόνο σε sec και το S εκφράζει μήκος σε m, διότι κάτι τέτοιο είναι παράδοξο. Σκεφτείτε να γράψουμε: 1 7m=3 .5sec+2 ! ! ! Με την τελευταία αυτή μορφή, αντιλαμβάνονται (κακώς) κάποιοι την ισότητα S=3ι+2 και απορούν, πώς είναι δυνατόν κατά την S 2 . . , ευρεση της αντιστροφης συναρτησης, ι = - να 3 γίνει εναλλαγή των μεταβλητών (S,ι), αφού η πρώτη παριστάνει μήκος και η άλλη χρόνο. Δεν αντιλαμβάνονται έτσι ότι η σχέση S=3t+2, ως εξίσωση φυσικών μεγεθών υποδηλώνει ότι: Sm = 3 � t sec+ 2 m , δηλαδή Sm = ( 3ι + 2 ) m sec και τελικά S=3t+2, όπου τα S,ι είναι πλέον πραγματικοί αριθμοί και μόνο με αυτήν την έννοια μιλάμε για αντίστροφη συνάρτηση . Η εναλλαγή λοιπόν των S,ι μπορεί να γίνει πλέον, αφού και οι δυο είναι πραγματικοί αριθμοί. --

Δ ίνεται έτσι και μια απάντηση στο εύλογο ερώτημα του συναδέλφου Γ. Π ρίντε ζη που έγινε στο προηγούμενο τεύχος ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β '

Αν η κίνηση γίνεται στο χώρο των τριών διαστάσεων τότε εργαζόμαστε ομοίως για τις τρεις συντεταγμένες χ=χ(ι), y=y(ι), z=z (ι) ως προς σύστημα (Ο, i, ], e) F: φ α ρ μ ογή : Ας θεωρήσουμε κινητό επί επιπέδου 1 - ι2 2ι , y ( ι ) = --7 , t � O . ( O, t , J ) με χ ( ι ) = -1 + t2 1 + ιΤότε x2(ι)+y\t)= 1 , οπότε η τροχιά του κινητού θα είναι το υπεράνω του άξονα χ 'χ ημικύκλιο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ= 1 . Για να βρούμε την , ταχυτητα του κινητου. τη χρονικη, στιγμη. ι0 = -Ι , 2 7 -:

οπότε φυσικά χ ( t0 ) =

Ι - _!_

-f = l5 βρίσκουμε: Ι+4

2(Ι - ι) 4t ) οπότε: ' ( ι y (Ι + ι2 ) ' (1 + ι2 ) ' 24 32 και ' ( ι ο ) = - . Άρα χ ' ( ιο ) = Υ 25 25 32 7ι 24 -: - υΑ = - - + - J = Α Σ = ΟΤ 25 25 Και η κατασκευή του φαίνεται στο σχήμα χ'(t) -

ανάλογα

Εντελώς Υ ( t) =

πρώτο

αν

χ (ι) =

ι ' .jl;t2 Ι + ι-

ι � Ο , τότε το κινητό διαγράφει το �, Ι + ι-

τεταρτημόριο

του

προηγούμενου

ημικυκλίου, αλλά τη χρονική στιγμή t0 = 2 θα 1

βρίσκεται χ ( ιο ) =

σε =

διαφορετική

θέση

Ι και η ταχύτητα του κινητού r; ν5

Ι + _!_ 4 R θα είναι διαφορετική, αφού οι εξισώσεις της

κίνησης (αυτές που καθορίζουν τις συντεταγμένες χ(ι), y (ι)) είναι διαφορετικές. Υπολογίζοντας με τον ίδιο τρόπο την ταχύτητα τη χρονική στιγμή 71

τ.3/65

t 0 = -2Ι ,

μπορούμε να δούμε αν έχει μικρότερο ή

μεγαλύτερο μέτρο από την προηγούμενη. Θα παραθέσουμε στη συνέχεια δυο παραδείγματα που αναφέρονται στο ρυθμό μεταβολής συνάρτησης από το βιβλίο του αείμνη στου Θ. Καζαντζή (Προβλήματα επανάληψης για τις εξετάσεις του 1 994) που συνέγραψε με την Ε. Μήτσιου. Από σεβασμό στο μεγάλο δάσκαλο παραθέτουμε το κείμενό του χωρίς καμιά παρέμβαση. Π ρό βλη μ α 1 1 f' το χί·ιη του, �ιε τη βο1ιθι:: Ηι ενός σκοινιο\' ποv περνά από μία τροχα).ία στη σκα

Ί·:ν<tς iινh(Ια; Jιι:τ«φiρη έναν κο υ ά τσιμέvτο, σε μιά σκαλωσιά 20 m πάνω από

λtι)σ ιίι. Λ,. τραβίι τu σχοι,•ί με ρυθμό Sm το ).επτό ενιi> την ίbια σηηιή απομα

χρί·,·rτ<tι α:τό tfl σημr ίο

με ρυθμό 25m

το

ο:τ;'�π την

ϊ.lκινιzrΊ (πι-;'!1 1-1

: i-i

•\ι_χι η ιr.<ιr"ι zινι·ίτοι μ r πrι.ί•τηω 24 rn/ sι:c. 2)

- Sr Ι J

�

Για να έχουμε και μια αίσθηση τρισορθογώνιου συστήματος στο χώρο, θέτουμε ένα ακόμη ερώτημα ως συνέχεια του προβλήματος αυτού. (Αν το ύψος του ανθρώπου είναι 1 ,8m, τότε να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους της σκιάς του στον τοίχο την ίδια χρονική στιγμή). z

Η'

λεπτό, πό σο γρήγορα σηχ<ίJνεται ο κΟυβάς από το έδαφος στο όΠΟ\1 βρισκόταν (ακριβώς κάτω απ ' την τροχαλία}

απ'

t0 ι"•χι:.J ;( ( (11) -:::

τtλος των 36 brυη:ρολί:πτων;

-------- ---- -·

:\ I ' ,. :ο

; ( l t Jl%0:. jΟήΟψΟl'

� - 2 0 ::: 40 Ιη.

,;0�; " ιη·ΙΙ,ω;ι ι < IJ1"Y tJH\ Ηίοη Λ . zω ο :ι.1 fι�Ι \η::: οτην Οι:οη ω ,τi]. Τ.< η ω

,) ιι>τι ψc t\' o(l ι

(1Ί. ι Η \'ιι η·�.Ι=

OY.Ι\t \'i ;-ι ι J Ι ' ωι riνn

<ί.νΗlιω:το;. tι'ι-

η;τι:Χπtιιnl τσι•

t1 < Ι 'ι ι )::: _c; rn/ r n i rι . t--. ι ι γ �Η Ι rι Τι'

Η :τ ιΊ το Λ ι (1 τ ι S ' ( i J � ? S π ι / nι i n . ΊΌ ι) (

Β ι · ·;·. ){Ι - tΗ Ι ι ι·):rο ι � IJ Ι Ι Ι το ιΊ ψο; οτο ο;τοίο

i·;ι,_Ι i ο χ π ο ι ι>ί Ι Ι

.'\ ι ι )

Ο l ' ί . Αι)({ lι( Ι Ι +

ι1

�

Jιi'' ;;;

r. o ι,j\iι ; . "Εχοι•μι· ι φ ω ; !l( ι ι =- .ω (!ιΨΦ; nzωνι-

fl( : )

:\ ( l l - 2 0 I_ I )

�-

( (ι(J �6 )

-1 ιη i ιι :"

�;_πίοη; χ:! ( ι ι � �-'ω + �ο� ι 2 ι ίψα �:-!( .); 5 ) �-. -::./ ( '".1/ ) 1 + 20� Sι ι .ι -= S ' ι ι 1 · 1

1 1 1 ! • \' )

Ii ! 1

·-

αi.ί.t"ι

�\

)

,� _ς .

'-"- ι _ς 111 υ:τι)Π χ(.3/

.\( ::.J :S J- \ ' ( 3 !

�

h( Ι):

ι σ(t) S(t) ��'-ιι:---.;;;,;;..;:-�...,.., J Δ

\;τι·j ι 2 J J o· :τ ι ι ι_)ι ι.-:ι;ι·/ ω η 2 '\ Ι Ι ι - χ \ 1 Ι :-:: ?.\ι ι ι - S'; τ )

\( λι � )- x'( .V ) ) ==

X(l )

χ'Ι3/

5 ) ;;:: 25

:-:: 3/ )

5 ) = 1 5})_ ::

-,· ι r ι

•

-�Α

n-r l i ιπ/

ι rι ι ι 1

.-\ :1 i l ι I ι ! Η" :τr : ι�Ιc ιγωγωη /ι'( )/ 5 1 -=: υ'Ι Ί/ ·" ι + .\'( ν .i ι ο:rσιι- Ιι'ι· ν 5 I .-;: � •· ! " _-,:- } 1 1 \ r1i. . , ._ ι__n·tJ μ,·, :-;: μι· { ι ι \' Ι ) ; ω ω ι Η]Χωνι τω. ο ;--:.ι ·ψ ι:.ιι; ι ι :τ ο τι > t·r)Hιι:u: zιηι·� Ο J ν ;;_•, ιν;�ιΊ

O T l '?!tll i _ ,

.)/ s ι n i l 1 I i.νιΊι IΙ'i ν 5ί

Ιι Ί ι ι

·-;:

2. 0 ιη/ ffi 1 11

ι (Ί ι •τt

�

l t ' Ι)/ ς ! - ·"

:'i

Π ρό βλη μα

15 π�οβοί.έcις τuποΟηt:ίηιι fJTO

Έηις

3m α:ι:ι) το μονο:τ(ηι πο

τοίχο τοt•

ρ('t

ί-.ι·· σ ι)

ηι

ιι

Ι _"

·•

2 ι :ιη/ n:111

πόστα σ

I · ι ι ιΊ ι J ι : \'

r!'ι t ) ι.Πι ι i )J ι Ιι Ί τ ι ι.

\'ι !

8m από ένα σ π ί τ ι ·�αι

uδtιγεί από το σπίτι στο δρόμο. Ένας άνδρας προχ<ι•

χύτ ηt

έδαφος, σε

l m/sec . Η όσο γρήγοQ<t κινείται η σκιά του στο''

σπιτωί• όt<Σ\' u:τtχn 3m ιιπ' αυη)ν;

μο,·οπιίτι μ r.

σtο

-r

2 · 25 - \ _5

11 ι ι :ΙΙ )(Ι't ω Ι Ι J Λ. \ :.: h Ι Ι ι Οιι ι·zιη'ΙΙ! ι.υι Ι ' Η ""- �Πl . _,\��Η ! ( / \' \ι ! ι η t ι : 1 Ι !Ι 1 Η Ηί f ! H > t ' υ.\"1'1 "-.ι t ι. ι .ι .1 ι · Ι <.J\" Ι:.ιι ; οι ; υ ν

l ο i χ ι • 1 1]\" /.�Ιι l\" l 'r. f.[ Ι i lJ ',' \ 1 1] 1 Γ Ι Ι Τ : Γ. Β == h - .) \ 1 } . J.-:οτω '-: 1 \ J I J Ι I ;-( i-)( !1 ( 1 · Ι ; I J T J ] ; οι. ω; ι ι ; ι ι Ι 1 1. 1 ι ' Ί ( J Η_Ι ί "fΙ� Ι \'U / 1 ·. 1 · %. 1 ( 1 Ε Ι � .-\ r ι ν Η ι ι .Ι \ Η ι t l ι .

υ:rιιη :

\ ! i ι -:.c

Si! ι

.\( ! )

Π ι ο_ι ι t•,' ι · ί ·;' ι ::: i 1 \" 1 ι t ; !-χ ι � ι : \ ' Ι ! 1 ::.. } \ Η )

ι-.;

.\ ( ί

2-Ι ..; ι ι i - 3 s ω -

24 .\ (1 )

� - so 1_ ,

)r!j

- --� .\ ( 1 \ ( S -

Sιι 1

\ι. ο - _; S(l

ι ·

ω ·_. : ι-; - s

= 1 4,4( -1)[8 - S ( t) T2 [8 - S(t)J ' = 14 ' 4S ' ( t) • [8 - S ( t)J 2 14, 4S' ( t0 ) = 14,4(-1) = Ι!:__ Σε � Άρα z' ( t o ) [8-S ( to )T ( 8-3)2 1 25 sec Η προβολή λοιπόν Η " του Η ' επί του Oz κινείται κατά την αρνητική φορά επί του ημιάξονα Oz, -

. Λι_Κ t \(1 ) = 1 - Sι ι ) S

Σχ. β Έστω ΕΗ το ύψος του ανθρώπου και Ε Ή ' το ύψος της σκιάς του στον τοίχο. Θεωρούμε καρτεσιανό σύστημα (Ox,Oy,Oz), Σχ. β, αφού έχουμε να κάνουμε με κίνηση του ΕΗ επί του επιπέδου xoz και με κίνηση του Ε Ή ' επί του επιπέδου yoz . Προφανώς το S(t) παίζει το ρόλο του x(t). Εξάλλου τα Ε, Ε ' κινούνται κατά την αρνητική φορά επί των ημιαξόνων Οχ, Oy αντιστοίχως, το δε Η " επί του ημιάξονα Oz με συνάρτηση θέσης z(t) . Άρα x(t)=S(t)>O , y(t)>O, z(t)>O και S '(t)<O , y'(t)<O. Ζητάμε λοιπόν το z'(to) τη χρονική στιγμή to που είναι S(t0)=3. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΕΗ, ΑΕΉ ' Ε ' ΑΕ' έχουμε: Ή -- και από το θεώρημα Θαλή ΕΗ ΑΕ ΑΕ' = ΒΟ . Άρα => z ( t) = 14,4 [8 - S ( t) T1 => ΑΕ ΒΕ Ε Ή ' ΒΟ z ( t) 8 => , ( t) = = = => ΕΗ ΒΕ 1,8 8 - S ( t) z

.) ( 1 ) )

Sιο·( -SΊΊ ι)

�

:χή στ ιγμή κατ ά τ η ν ο ;ι: ο ίιι iΓE=3m δηλαδή όταν 5(10)= 3m.

i.ΖητfΙ-fUL-Χ'(ζ')όiτ0Ίϊ·ί:�- ηy_ρr;\;ι.1�;-

S'(t) - - I m Ι sec αφού μειόJνε ται το S(t) με τον Ι.διο ρυΟμό που αυ ξάνε< το ΕΒ δηλ. με την ταχύτητα του ανδρός. αλλά

( )

δηλαδή η σκιά ελλατώνεται.

*Τ ο εντυπω σ ιακό είναι ότι δεν εξαρτάται από το Α Β .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/66

Η αν αζήτη ση μεγίστου και ελαχίστου στη Γεω μετ ρ ία Σωτήρης

Σε πάρα πολλά βιβλία Γεωμετρίας μεταξύ των οποίων και στο Σχολικό των Θωμαίδη, Ξένου, Παντελίδη, Πούλου και Στάμου προτείνεται το εξής πρόβλημα: Αν Α, Β δυο διακεκριμένα σημεία εκτός ευθεία.; (ε), τότε να βρεθεί σημείο Μ της (ε) τέτοιο ώστε η διαφορά I ΜΑ-ΜΒ I να είναι μέγιστη . Ε πειδή γ ια δυο σημεία Β, Β 1 συμμετρικά ως προς την ( ε ) . ισχύει I ΜΑ-ΜΒ I = I ΜΑ-ΜΒ 1 I , δεν βλάπτεται η γενικότητα αν υποθέσουμε ότι τα Α, Β βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της (ε). Σ ' αυτή την περίπτωση αν η ΑΒ τέμνει την (ε) στο Μ0, τότε I ΜΑ-ΜΒ I <ΑΒ= I Μ οΑ πρ οφανc;); ισχύει: ΜσΒ ι . για κάθε σημείο Μ της (ε)διαφορετικό από τ ο \.-1,,. Α ρ α το ζητούμενο σημείο είναι το Μ0. Α

Ε. Λουρίδας - Γιώργος Σ. Τασσόπουλος

ενδιαφέρουσα διαπραγμάτευση του συναδέλφου Σωτήρη Ε. Λουρίδα κυρίως για το γεγονός ότι είναι καθαρά Γεωμετρική σε αντίθεση με την Αλγεβρική λύση που προηγείται. Αν κάποιο άλλο βιβλίο Γεωμετρίας έχει ασχοληθεί με το θέμα και το αγνοούμε, παρακαλούμε να μας γίνει γνωστό και θα το αναφέρουμε στο επόμενο τεύχος με ιδιαίτερη χαρά. Διαπραγμάτευση Σπύρου Γ. Κανέλλου

Τ α Α κα ι Β κεί ντα ι επί ευ θε ίας (δ) παρ αλλή λ ο υ

Τότε εφ ' ουδενός σημείου Μ της ευθείας (ε) λαμβάνει χώραν το μέγιστον της διαφοράς I ΜΑ-ΜΒ ι . Διότι δύναται ν' αποδειχθεί ότι δοθέντος οιουδήποτε σημείου Μ ε (ε) υπάρχει πάντοτε έτερον σημείον Μ ' της (ε) τοιούτον ώστε I Μ Ά-Μ 'Β I > I ΜΑ-ΜΒ ι . (Δια να δώσωμεν μιαν απόδειξιν τούτου, αποδεικνύομεν πρώτον το εξής λήμμα: «Εάν μεταβλητού τριγώνου ΑΒΓ, η

τη ς (ε).

διάμεσος ΑΔ και το ύψος ΑΗ μένουν σταθερά (ΑΔ>ΑΗ) τότε αυξανούσης της βάσεως ΒΓ Μο

( ε)

αυξάνει και η διαφορά

Βι

Τι γίνεται όμως αν ΑΒ//(ε); Παρόλο που είχε γίνει παλαιότερα μέσα από τον Ευκλείδη Β ' ερώτηση στους συγγραφείς του Σχολικού Βιβλίου «πώς διαπίστωσαν ότι σ ' αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει μέγιστο της διαφοράς;» μέχρι σήμερα δεν έχουν δώσει απάντηση. Το θέμα βέβαια είχε διαπραγματευτεί ο αείμνηστος δάσκαλός μας Σπύρος Κανέλλος στη Γεωμετρία του, τη λύση του οποίου παραθέτουμε αυτούσια. Ακολούθως παραθέτουμε και μια

I ΑΒ-ΑΓ I » .

Σχ. α

Πράγματι, έστω ότι η βάσις ΒΓ αυξάνεται εις Β 'Γ' όπου ΓΓ'=ΒΒ '=y>Ο (Σχ. α). Εάν η πλευρά ΑΒ=γ κείται απέναντι της αμβλείας γωνίας ΑΔΒ τότε είναι: ΑΒ>ΑΓ και ΑΒ '>ΑΓ ' δηλ: γ>β, γ '>β' και η αποδεικτέα I ΑΒ '-ΑΓ ' I > I ΑΒ-ΑΓ I καθίσταται ( l )γ-β>γ'β'.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/67

Προς απόδειξιν της ( 1 ) λαμβάνομεν υπ ' όψιν ότι γ2-β2 =2ΒΓ · ΔΗ=2αc οπότε: ( 2 ) γ - β = � 2c και β+γ α + 2y , γ, - β ' = 2c ομοιως β , + γ, Εκ των προφανών ανισοτήτων γ '<γ+y, β'<β+y

συνεπάγεται ότι β ' +γ ' < β+γ+2y. Επειδή � < 1 , β+γ δια τούτο αν οι όροι του αυξηθούν κατά την αυτήν (θετικήν) ποσότητα 2y, το κλάσμα αυξάνει ήτοι: ( 3) α < α + 2y β + γ β + γ + 2y Είναι όμως, (4) β+γ+2y>β '+γ' Εκ των ( 3 ) και (4) α α 2y , , -' των (2) : συνεπαγεται οτι < -,+-, και λογω β+γ β +γ γ-β<γ'-β ' Α

Ν'

Σχ. β

(δ)

Μ'

(ε)

Έστω Ο το μέσον του ΑΒ, Κ η προβολή αυτού επί την (ε) και Μ τυχόν σημείον της (ε). Ας λάβωμεν επί της (ε) και έτερον σημείον Μ ' τοιούτον ώστε: (4) ΚΜ '>ΚΜ. (Σχ. β) Θα δείξωμεν ότι: (5) I Μ Ά-Μ 'Β I > I ΜΑ-ΜΒ I Έστωσαν Ν και Ν ' τα συμμετρικά των Μ και Μ 'ως προς το Κ. Τότε Μ 'Β=Ν Ά και ΜΒ=ΝΑ, ως τμήματα συμμετρικά ως προς την κοινήν κάθετον ΟΚ των παράλληλων ευθειών ΑΒ και (ε). Επομένως (6) I Μ Ά-Μ 'Β I = I ΑΜ '-ΑΝ ' I '

I ΜΑ-ΜΒ I = I ΑΜ-ΑΝ I Κατά το προαποδειχθέν λήμμα, επειδή Ν'Μ '>ΝΜ (λόγω της (4)) θα είναι και I ΑΜ '-ΑΝ ' I > I ΑΜ-ΑΝ I οπότε, λόγω των (6) προκύπτει η αποδεικτέα (5). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Δ ιαπρ αγ μ ά τευ ση Σω τ ή ρη Ε . Λου ρίδα

Δίνονται ευθεία (ε) και δυο σημεία Β, Γ ώστε ΒΓ//(ε). Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει σημείο Μ της (ε) τέτοιο ώστε η διαφορά I ΜΒ-ΜΓ I να γίνει μέγιστη . Θα παραθέσουμε δυο προτάσεις που θα χρησιμοποιηθούν ως λήμματα. Π ρ ι ν τη λύση : Π ρ ότα ση I :

Έστω Κ το μέσο του ΒΓ και Τ�Κ το σημείο τομής της μεσοκάθετης του ΒΓ με την (ε). Αν Μ ι , Μ2 δύο σημεία της (ε) επί του ημιεπιπέδου (ΚΤ, Γ) με τΜ ι <ΤΜ2 , τότε ισχύει: ' ' ΒΜ 1 Γ > ΒΜ2Γ Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο Μ ι ΒΓ κέντρου Ο που επανατέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Μ Ί συμμετρικό του σημείου Μ ι ως προς το τ. Απ όδ ειξη :

Τότε: τΜ ι <τΜ2=>ΟΜ ι <ΟΜ2=>R<ΟΜ2 αν R η ακτίνα του κύκλου. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Μ2 είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου. (ε)

Σχήμα ι Άρα το σημείο Σ δηλαδή το σημείο τομής του κύκλου με την ευθεία Β Μ2 είναι εσωτερικό του σημείο τμήματος οπότε Β Μ 1 Γ = ΒΣΓ > ΒΜ 2 Γ Π μότ α ση 2 :

Δίνονται δυο σημεία Β, Γ και κυρτογώνιο τόξο ΒΜΓ . Αν Ε , Ζ δυο σημεία του τόξου αυτού ώστε Ε Γ > ΖΓ , τότε ισχύει: ΒΕ<ΒΖ<ΒΓ. �

Β' 71

τ.3/68

�

Απ όδ ειξη

ευθεία ΕΓ χωρίζει το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα. Το σημείο Β και το τόξο ΕΖΓ βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα, άρα και τα σημεία Β, Ζ αφού το Ζ είναι σημείο του τόξου ΕΖΓ .

Σχήμα 2

σε διαφορετικά ημιεπίπεδα που έχουν κοινή την ευθεία ΒΣ2 και τα σημεία Ι και Β σε διαφορετικά ημιεπίπεδα με κοινή ευθεία την Σ 1 Γ. Από την πρόταση 2 έχουμε ΒΣ1 <ΒΙ<ΒΣ2 .

Σχήμα 4

σημαίνει ότι το κυρτογώνιο τόξο ΒΣ 1 Γ θα βρίσκεται εντός του κυκλικού τμήματος ΒΣ2 ΓΒ (σχ. 4).

Σχόλιο: Επιπλέον, για κάθε σημείο Μ της (ε) επί του ημιεπιπέδου (ΚΤ, Γ) υπάρχει σημείο Σ του ΜΒ ώστε ΜΣ=ΜΓ, οπότε ΜΒ-ΜΓ=ΒΣ<ΒΓ, αφού ΒΣΓ> 90σ => ΒΣ < ΒΓ . Η διαφορά ΜΒ-ΜΓ μπορεί να θεωρηθεί ως του συνάρτηση δηλαδή : χ=τΜ f : JR + � JR : f ( χ ) = ΜΒ - ΜΓ , οπότε η f είναι φραγμένη στο JR + , αφού ΜΒ-ΜΓ<ΒΓ. Από αυτό οδηγούμαστε στο να εξετάσουμε αν το ΒΓ είναι το supremum του f( JR+ ) . Σύμφωνα με το αξίωμα του ελαχίστου άνω φράγματος, ή του συνεχούς, ή της πληρότητας, υπάρχει στο JR το supremum του f( JR+ ) . Θα αποδείξουμε ότι αυτό είναι το ΒΓ. Για να αποδείξουμε ότι το ΒΓ είναι το supremum του f( JR + ) αρκεί για κάθε θετικό αριθμό ε (χωρίς βλάβη της γενικότητας Ο<ε<ΒΓ) να υπάρχει Χ0 Ε JR + τέτοιο ώστε ΒΓ -ε <f(x0). Μπορούμε να βρούμε σημείο Μ της (ε) τέτοιο ώστε ΜΒ-ΜΓ=ΒΓ-ε. Πρόκειται για σημείο τομής της ευθείας (ε) με την υπερβολή που έχει εστίες Β,Γ και σταθερή διαφορά ρ=ΒΓ -ε. Ο προσδιορισμός του Μ γίνεται ως εξής: Θεωρούμε τον κύκλο (c 1 ) =(Β,ρ) ο κύκλος (Μ, ΜΣ) εφάπτεται του κύκλου (c1 ) και διέρχεται εκτός από το Γ και από το Γ συμμετρικό του Γ ως προς την (ε). Άρα ο κύκλος κατασκευάζεται, οπότε προσδιορίζεται και το κέντρο του Μ (Γνωστή Απολλώνια κατασκευή) *

Όπως αναφέραμε τα σημεία Σ1 και Γ βρίσκονται

σημείο τομής Θ των χορδών ΕΓ και ΒΖ θα είναι εσωτερικό σημείο της χορδής ΒΖ αλλά και της Ε Γ. Επομένως Β Ε <ΒΘ<ΒΖ<ΒΓ α φ ού ΒΕΓ = ΒΖΓ > 90° . Αυτό σημαίνει ότι το

. \ ί; ση τ ο υ

Β α σ ικοίJ π ροβλή ματ ο ς Τ

Μι

(ε)

Σχήμα 3 Α φ ού τΜ 1<τΜ 2 η ημιευθεία ΒΜ 2 είναι εσωτερική της γωνίας Μ 1 ΒΓ (Σχήμα 3). Παρατηρούμε ότι ΒΜ 1 >Μ 1 Γ και ΒΜ 2>Μ2 Γ, αφού τα Μ 1 , Μ 2 βρίσκονται στο ημιεπίπεδο (ΚΤ, Γ). Θεωρούμε το σημείο Σ1 του ΒΜ1 , ώστε Μ 1 Σ 1=Μ 1 Γ και το σημείο Σ2 του ΒΜ2 ώστε Μ 2 Σ2 =Μ2 Γ, οπότε Μ 1 Β-Μ 1 Γ=ΒΣΙ και Μ 2 Β-Μ 2 Γ=ΒΣ2 . Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι ΒΣ 1 <ΒΣ2 . Με βάση την πρόταση I προκύπτει ότι οπότε Β ΜΙ > Β Μ Γ ( 1 ), �Γ �Γ , ( 1) =>W' +2- >W' +-2- =>ΒΣ,Γ> ΒΣ.zΓ>W' . Αυτό 2

Απολλώνιος ο Περγαίος (260-200 π.Χ.)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/69

----- Γ

-1 I I I

Μο

(ε)

(δ)

Το τυχόν σημείο Μο της (ε) με τΜσ>ΤΜ προσδιορίζει το xa=TM0 ώστε ΒΓ-ε< f(χο). Άρα το ΒΓ είναι το sup f ( χ ) χ ε �{ +

Αν τ ίστ ο ιχο

Α'

Οέμα

για

μη ί}π<φξη

ΑΒ 1 =ΒΑ 1 και Α'Β 1 =ΒΑ Ί , οπότε Α ' Β+ΒΑ ' 1 =Α'Β +Α 'Β 1 >ΑΒ+ΑΒ 1 =ΑΒ+ΒΑ , , αφού το σημείο Α είναι στο εσωτερικό του τριγώνου Α 'Β Β ι.

μ ε γ ί στ ο υ

α θ ρ ο ί σ μ α τ ο ς δ υ ο πλπφ ώ ν τ ρ ιγ ι!)ν ο υ

(Από το Γ.Σ. Τασσόπουλο, Καθηγητή Μαθηματικών Βαρβακείου Λυκείου.) Ένα ανάλογο πρόβλημα είναι κάτι που μοιάζει παράδοξο, εκ πρώτης όψεως. Πρόκειται για την ύπαρξη τριγώνου με σταθερό εμβαδόν και απείρως μεγάλη περίμετρο. Πράγματι, αν η κορυφή Α ενός τριγώνου ΑΒΓ κινείται σε ευθεία (ε)//ΒΓ, τότε το εμβαδόν του παραμένει σταθερό. Όμως αν η μεσοκάθετος (δ) του ΒΓ τέμνει την (ε) στο Μ, τότε διαισθανόμαστε ότι όσο το Α απομακρύνεται από το Μ, η περίμετρος του τριγώνου μεγαλώνει και επομένως μπορεί να υπερβεί οποιαδήποτε προηγούμενη περίμετρο. Αυτό όμως το οποίο εποπτικά φαίνεται προφανές στην ουσία αποτελεί ένα αρκετά ενδιαφέρον πρόβλημα που εστιάζεται στο εξής: Αν Α ' σημείο της (ε) με ΜΑ '>ΜΑ, τότε: Α'Β+Α Τ>ΑΒ+ΑΓ. Θεωρούμε γι' αυτό τα Α 1 , ΑΊ συμμετρικά των Α, Α' ως προς Μ αντιστοίχως. Τότε: Α'Β+Α Τ=Α 'Β+ΒΑ ' 1 , και ΑΒ +ΑΓ= ΑΒ+ΒΑ 1 , οπότε αρκεί Α 'Β+ΒΑ Ί > ΑΒ+ΒΑ, . Τα τρίγωνα όμως ΒΑΑ 1 και ΒΑ Ά Ί έχουν κοινή διάμεσο ΒΜ. Αν λοιπόν θεωρήσουμε το συμμετρικό Βι του Β ως προς Μ, τότε θα έχουμε:

Το άθροισμα λοιπόν ΑΒ+ΑΓ, ή το ίσο του ΑΒ +ΑΒ 1 αυξάνεται απεριορίστως, δηλαδή δεν είναι άνω φραγμένο, όπως ήταν η διαφορά στο προηγούμενο θέμα. Μπορεί δηλαδή να γίνει μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμό λ>Ο (χωρίς βλάβη της γενικότητας λ>ΒΓ). Πράγματι η έλλειψη με εστίες Β, Β και μεγάλο άξονα λ τέμνει την ευθεία (ε) που διέρχεται από το κέντρο Μ αυτής σε δυο σημεία. Έστω Α το ένα από αυτά. Ο προσδιορισμός του Α γίνεται ως εξής. Ο κύκλος (Α, ΑΒ) διέρχεται εκτός από το σημείο Β και από το σημετρικό Β 'του Β ως προς την (ε) και εφάπτεται του κύκλου (c ι )=(Β ι , λ). Άρα ο κύκλος κατασκευάζεται, οπότε προσδιορίζεται και το . κέντρο του Α (Απολλώνια κατασκευή). Αν πάρουμε επί της (ε) σημείο Α ' τέτοιο ώστε ΜΑ '>ΜΑ, τότε θα έχουμε σύμφωνα με τα προηγούμενα Α 'Β +Α Τ>ΑΒ+ΑΓ=λ. ι

Αφήνουμε ω ς ανοιχτό πρόβλημα την ολοκλήρωση της Γεωμετρ ικής Κατασκευής (Με κανόνα και διαβήτη)

των

κοινών

υπερβολής με ευθε ία.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 71 τ.3/70

σημε ίων

έλλει ψης

------

Αλλη λογ ρ α φ ία

Απάντη ση στο ά ρ θ ρ ο του κ. Γ . Τασσόπουλου με τίτλο : « Μ ε αφορμή μια άσκη ση του σχολικού βιβλίου»

Γεώργιος Χαρ. Πολύζος, Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. Σε σχέση με το άρθρο του κ. Γ. Τασσόπουλου που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β '», τεύ χος 70, σελ. 58-59, με τίτλο: «Με αφορμή μια άσκηση του σχολικού βιβλίου», με την ιδιότητά μου ως Παρέδρου Μαθηματικών του Π.Ι. που συμμετείχα τόσο στη σύνταξη των Προγραμμάτων Σπουδών των Μαθηματικών όσο και στη συγγραφή των Οδηγιών για τη διδασκαλία των Μαθηματικών της Λυκείου, αλλά και ως μέλους της συγγραφικής ομάδας του βιβλίου των Μαθηματικών της Θετικής και Τεχνολογι κής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου, έχω να παρατηρήσω τα εξής: Α ) Στην άσκηση 6 της σελίδας 1 48 του σχολικού βιβλίου: «Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κα τεύθυνσης Γ Λυκείου», στην οποία αναφέρεται ο συντάκτης του άρθρου, ζητείται: «Να βρεθεί συνάρτηση/τέτοια, ώστε να ισχύει: αν g(x) = x + 1 i) (f o g)( x ) = x� + 2χ + 2 , ii) (f o g )( x ) = J1 + x2 , αν g(x) = - x2 iii) ( g o f )( x ) = fσυνxf , αν g(x) = � ». Δηλαδή ζητείται να βρεθεί, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις i), ii) και iii), μία τουλάχιστον συνάρτηση /που να ικανοποιεί τις συνθήκες καθεμιάς των περιπτώσεων αυτών και όχι να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις/που να ικανοποιούν τις προαναφερθείσες συνθήκες, κάτι που άλλωστε θα ήταν πέρα από τους στόχους του Προγράμματος Σπουδών των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ ' Λυκείου. Ωστόσο το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, επειδή έγινε αποδέκτης ερωτημάτων και προβληματισμών αρκετών συναδέλ φων. σχετικά με τον τρόπο εύρεσης όλων των συναρτήσεων fπου ικανοποιούν τις συνθήκες των ερωτημά των της συγκεκριμένης άσκησης, θεώρησε σκόπιμο να ενημερώσει τους μαθηματικούς όλων των Λυκείων για τις απαντήσει; στα ερωτήματα αυτά. Για το λόγο αυτό από το σχολ. έτος 2007-08 καταχώρησε τις συ γκεκριμένες απαντήσεις στο τεύχος: «Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γεηκού Λυκείου» (σελ. 1 35- 1 37). Εκτός των απαντήσεων στα συγκεκριμένα ερωτήματα, στις ίδιες σε λίδες τω\· Οδηγιών του Π.Ι. γίνεται αναφορά, με σχόλια και παραδείγματα, και στα παρακάτω δύο ΛΑΘΗ που κάνου\' πολλές φορές οι μαθητές, στα οποία αναφέρεται και ο κ. Γ. Τασσόπουλος: f2 = g2 <::> f = g ή f = - g : .' \ \ ΘΟ' : Ι ο Λ Α ΘΟΣ : f · g = O <::> f = O ή g = O Β ) Όσον αφορά την άποψη του συντάκτη του άρθρου, ότι ελλοχεύει κίνδυνος λάθους, αν, αντί του ερω τήματος ii), δοθεί το ερώτημα: iv) «Να βρεθεί συνάρτηση/τέτοια, ώστε να ισχύει: (f g)(x) = J1 - χ2 , αν g(x) = - χ 2 », έχω να παρατηρήσω ότι δεν ελλοχεύει τέτοιος κίνδυνος, καθόσον, όπως στο ερώτημα ii), πήραμε, ως μια από τις ζητούμενες συναρτήσεις, την: f(x) = �. με χ Ε g ( Drog ) = g(JR) = (-οο, Ο] , έτσι και στο ερώτημα iv) θα πάρουμε, ως μια από τις ζητούμενες συναρτήσεις, την: f(x) = �' με χ Ε g(D rog ) = g([- 1, 1 ] ) = [- 1,0] . Αν, όμως, ζητηθεί να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f για τις οποίες ισχύουν οι συνθήκες του ερωτήματος iv), τότε μπορούμε να εργαστούμε όπως παρακάτω. Ο τρόπος που παραθέτω είναι γενίκευση του τρόπου που υπάρχει στις οδηγίες για το ερώτημα ii) και μπορεί να εφαρμοστεί τόσο στην περίπτωση που είναι D rog = D g (όπως συμβαίνει στο ερώτημα ii)), όσο και στην περίπτωση που είναι Drog c D g (όπως συμβαίνει στο πρόσθετο ερώτημα iv)). ο

Απ άντ η σ η r.ρώ τ η μ α :

«Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις/για τις οποίες ισχύει: (f g)(x) = � , αν g(x) = - χ2 ». Ι " fiιίμα: Αρχικά βρίσκουμε ποια μορφή έχουν οι ζητούμενες συναρτήσεις, εφόσον βέβαια υπάρχουν. Έστωfμια από αυτές. Τότε θα ισχύει: D,σg = [ - 1 , 1] c JR = Dg , g(x) E DΓ , για κάθε χ Ε [- 1, 1] οπότε θα έχουμε: & g(x) !l DΓ , για κάθε χ !l [ - 1, 1]. ο

{

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/71

------ Αλλη λογ ρ αφ ία

Επομένως, θα είναι: g(JR) Π D r = g( [ -1, 1 ]) και επειδή g(JR) = (-oo, O] & g([- 1 , 1 ]) = [-1,0] (εύκολη από δειξη), θα ισχύει: (-oo,O] Π Dr = [-1,0] Άρα, το πεδίο ορισμού της .f θα είναι ένα σύνολο της μορφής: Dι- = [-1, 0 ] U S , όπου S ς (Ο,+ οο) . Για να βρούμε τον τύπο της .f εργαζόμαστε ως εξής: Έστω

y E Dr .

•

Αν y E [-1, 0] = g([-I,ι]) , τότε θα υπάρχει τοιο ώστε y = g(x) = -χ2 , οπότε θα έχουμε:

χ Ε [-1, 1]

u. - R

τέ

Ο'

f(y) = f(g(x)) = .Jι - χ2 = J1+Y Αν y Ε S , τότε θα είναι y > Ο , οπότε θα ισχύει y =f:. g(x) για κάθε χ Ε JR . Επομένως στην περίπτωση αυτή δεν παίζει ρόλο για την σύνθεση f g η τιμή της .f στο y Ε S , οποιοδήποτε και αν είναι το S ς;; (0, +οο) . Μπορούμε συνεπώς να πάρουμε ως f(y) οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. ο

Άρα, η .f ,αν υπάρχει, θα πρέπει να είναι της μορφής:

{

(1) x � f(x) = JI+;. , αν χ Ε [-1,0] , h(x), αν χ Ε S όπου S οποιοδήποτε υποσύνολο του (0, + οο) και h οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη στο S.

f : [ - 1, o] u s � JR ,

2" βιίμ α : Ελέγχουμε, τώρα, ποιες από τις παραπάνω συναρτήσεις ικανοποιούν τις δοθείσες συνθήκες. Για καθεμιά από αυτές ισχύει: ΕD Ε JR <=> -χ- Ε[-1,0], αφου Sς(Ο,+οο) <::> χ - <1 <::> χ Ε[-1,1] D Γog = [ - 1, 1 ] , διοτι : Χ g <::::> Χ

{g(x) E Dr {-χ- E[-l,O]US

•

Για κάθε χ Ε [ -1,1] είναι g(x) = -χ2 Ε [ -ι,Ο] , οπότε θα έχουμε: f(g(x)) = .Jι + g(x) = .Jι - χ 2 Άρα, όλες οι παραπάνω συναρτήσεις .f (άπειρες σε πλήθος) ικανοποιούν τις δοθείσες συνθήκες και επο μένως είναι όλες δεκτές. •

Σχ/ι/.ι α :

ι.

Από όλες τις συναρτήσεις .f της μορφής ( 1 ) μία μόνο έχει πεδίο ορισμού το g(D f og ) = g([-1,1]) = [-1,0] , η : f0 : [ -1,0] � JR, Χ � f0 (x) = J}+;. . Όλες οι υπόλοιπες από τις συναρτήσεις αυτές είναι επεκτάσεις της f0 . Φυσικά και η συνάρτηση : f : Δ � JR, χ � f(x) = Jl+;. , όπου Δ = [ -1, +οο ) ή Δ = [-ι, α) ή Δ = [ -1, α], με α > Ο , είναι μία από τις ζητούμενες συναρτήσεις. Η συνάρτηση, όμως, αυτή είναι ειδική περίπτωση της ( 1 ) για S = (O,+oo) ή S = (Ο, α) ή S = (Ο, α] και

h(x) = Jl+;., x E S .

3 . Μ ε τον ίδιο τρόπο δουλεύουμε σε κάθε περίπτωση, είτε είναι Drog = Dg είτε είναι Drog Dg . Δηλα δή βρίσκουμε τον τύπο της.f στο g(D Γοg ) και στη συνέχεια την επεκτείνουμε, με οποιονδήποτε τρόπο, σε κάθε σύνολο της μορφής g(Dr o g ) υ S , όπου S οποιοδήποτε υποσύνολο του JR - g(Dg ) , εφόσον βέβαια είναι JR - g(D g ) =f:. 0 . 4. Το 2" βήμα της παραπάνω διαδικασίας είναι απαραίτητο, διότι ενδέχεται, με τον έλεγχο που κάνουμε στο βήμα αυτό, να διαπιστώσουμε ότι καμία από τις συναρτήσεις της μορφής που βρήκαμε στο ι " βήμα δεν ικανοποιεί τις δοθείσες συνθήκες. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει<ΙJ συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει: (f g)(x) = χ , με g(x) = -χ2 , ενώ υπάρχει συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει: (f g)(x) = j x j , με g(x) = -χ2 , c

(I)

Αυτό είναι εύκολο να το διαπιστώσουμε από την αρχή . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 7 1 τ.3/72

Ο Ε υ κλεί δ η ς

π ρ ο τ ε ι νε ι «Η καρδιά των μαθηματικών είναι τα προβλήματα και οι λύσεις και ο κύριος λόγος ύπαρξης του μαθηματικού είναι να λύνει προβλήματα». P. R. HALMOS Επιμέλεια:

Γ. Τ Ρ Ι Α Ν ΤΟΣ - Ν . Α Ν Τ Ω Ν Ο Π Ο Υ Λ ΟΣ - Θ Α Ν . ΚΥΡ Ι Α ΚΟ Π Ο Υ Λ ΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ Ι 35 ( ΤΕΥΧΟΥΣ 67 ) Δίνεται

f(x)

ΑΣΚΗΣΗ 1 36 ( ΤΕΥΧΟΥΣ 67 ) όπου

Δίνονται τρία σταθερά μη συνευθειακά σημεία

συνασυνβ . Να αποδείξετε ότι

Α,Β,Γ. Με κέντρο το σημείο Β και τυχαία ακτί

kη μχ + λσυνχ ,

ισχύει f(x) � 1 , για κάθε χ Ε R .

η μαη μβ , λ

(Προτάθηκε από τον συνάδελφο Ρ Ι Α ΚΟ Π Ο Υ. \ 0 - Αθήνα )

να γράφουμε κύκλο και θεωρούμε μία τυχαία

ΘΑΝΑΣ Η ΚΥ

διάμετρό του Δ Β Ε. Θεωρούμε πάνω στην Γ Δ σημείο Θ τέτοιο, ώστε ΔΘ=2ΓΘ και Ι το μέσον της ΑΕ. Να αποδείξετε ότι η ΘΙ διέρχεται από

Λ ΥΣΗ ( Από τον συνάδελφο ΠΑ Υ ΛΟ ΜΑΡΑ ΓΚΟΥ.λλ ΚΗ - Πειραιάς) 1 . Αν k = λ = Ο , τότε f(x) = Ο ::; 1 , για κάθε χ Ε R . 2 . Αν l k l + l λ l :;t Ο , τότε f(x) = ρ η μ ( χ + Φ ) , όπου : ρ = �k + λ2 , συ νΦ = � , ημ Φ = � . Συνεπώς, ρ ρ αρκεί ,.α δειχθεί ότι f(x) ::; max f(x) = ρ ::; 1 :Εχουμε ρ ::; ι <=> k 2 + λ2 ::; 1 <=> η μ 2 αημ 2 β + συ ν 2 α συ ν 2 β

σταθερό σημείο το οποίο την διαιρεί σε δύο τμή ματα που έχουν λόγο ίσο προς

�.

(Προτάθηκε από τον Χημικό Δ Η Μ Ή Τ Ρ Ι Ο ΚΑΡ Β Ε ΛΑ - Πεύκη ). Α

::; ι <=>

η μ 2 αημ 2 β + συ ν 2 α συ ν 2 β ::; (η μ 2 α + συ ν 2 α ) ( η μ 2 β + συ ν 2 β ) <=> η μ 2 α συ ν 2 β + 2 β συ ν 2 α 2 Ο ημ

χέση που ισχύει. (Προφανώς, η αποδεικτέα ισχύει χωρίς τον περιορισμό λ :;t - 1 ) σ

Λύσεις έστειλαν οι συνάδελφοι: πουλος

Γ ιάννη ς Η λιό

Καλαμάτα, Π αναγ ιώτη ς Μπαρδάκας -

Ωρωπός, Γιώρ γ ος Αποστολόπουλος - Μ εσολόγγι, Ιωάννα Γιαννακοπόυλου - Λ α μ ί α, Α θανάσιος Καλάκας

Πατή σια, Π έ τρος Σκαλτσάς

Αγρ ίνιο ,

λε ιος Ν ικολάκη ς - Θε ς/νίκη , Γιώργος Δελη στάθη ς Γ ι ώ ργο ς Τ σαπακ ί δη ς

Κυ ψέ λη Αγρ ιν ί ου , Β ασ ί-

Λ ΥΣΗ (Από τον συνάδελφο ΠΑΥ ΛΟ ΓΚΟΥ ΔΑΚΗ - Καλλίπολη Πειραιά)

ΜΆΡΑ-

- Κ. Π ατήσια, Β αγγέ λη ς Μ ου ρο ύ κος Αγρ ίνιο , -

Θεωρούμε σημείο Κ του ΘΙ τέτοιο, ώστε

τικός Μ η χανικός Ι ω άννη ς Ανδρή ς - Αθήνα.

ΔΘ = 2ΘΓ => ΒΘ- ΒΔ = 2(ΒΓ- ΒΘ) => 3ΒΘ = ΒΔ+ 2ΒΓ (2)

Αντώνη ς Ι ω αvν ί δης - Λάρισα. Π αύλος και ο Πολι-

2 ΚΙ = 3 ΘΚ �

__,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 70 τ.2/73

( 1 ).

__,

Από την υπόθεση __,

__,

�

είναι �

-----

Από την υπόθεση έχουμε, επίσης, ότι: �

�

---7

Τ ο βή μα του Ευκ λείδ η

κτάσεων των υψών 1 1 Κ 1 , Ι 2 Κ 2 , 1 3 Κ 3 του ποδικού τριγώνου Ι 1 Ι 2 Ι 3 με τον περιγεγραμμένο κύ κλο του ( Ι , ρ) και Η ' το ορθόκεντρο του Ι 1 1 2 Ι 3 . Επειδή τα σημεία Ρ1 , Ρ2 , Ρ3 είναι συμμετρικά του Η ' ως προς τις πλευρές του τριγώνου Ι Ι 2 Ι 3 , τα τρίγωνα Ι 1 Ι 2 Ι 3 , Ρ1 Ρ2 Ρ3 έχουν πλευρές παράλληλες μία προς μία και συνεπώς είναι όμοια με λόγο ο Κ 2 Κ 3 Η 'Κ Ι . . , ρα, αν ειναι = --- = - . Ά μοιοτητας λ 1 = -2 Η 'Ρ p2 p3 2 Ε 1 το εμβαδόν του τριγώνου Ρ1 Ρ2 Ρ3 , ισχύει Ε' 2 1 1 ' ' ( Ι ) Συμφωνως Ε = λ 1 = 4 , οποτε Ε = "4 Ε 1

---7

ΒΕ+ ΒΑ = 2 ΒΙ (3) . Επειδή ΒΔ+ ΒΕ = Ο , με πρόσθεση κατά μέλη των (2), (3) παίρνουμε

3 ΒΘ+ 2 ΒΙ = ΒΑ+ 2 ΒΓ (4). Η σχέση ( 1 ) δίνει ---7

---7

---+

---7

---+

---7

2(ΒΙ- ΒΚ) = 3(ΒΚ- ΒΘ) � 5 ΒΚ = 2 ΒΙ+ 3 ΒΘ .....

.....

και λόγω της (4): 5 ΒΚ = ΒΑ+ 2 ΒΓ και τέλος 2 ..... ..... 1 ΒΚ = - ΒΑ+ - ΒΓ . Επειδή τα σημεία Α,Β,Γ είναι 5 5 σταθερά το σημείο Κ είναι σταθερό και διαιρεί .....

(βάσει της ( 1 )) το τμήμα ΘΙ σε λόγο � . 3 Λύσεις έστειλαν οι συνάδελφοι :

•

προς το θεώρημα του NAGEL οι ακτίνες ΙΙ 1 , ΙΙ 2 , 11 3 του περιγεγραμμένου κύκλου (Ι, ρ)

Ι ω άννα Γ ιαννα

κοπούλου - Λ α μ ί α , Ανη1J\ιη ς Ι ω αννίδ η ς - Λ ά ρ ι σ α .

του τριγώνου Ι 1 Ι 2 Ι 3 είναι κάθετες στις πλευρές του ορθικού τριγώνου Κ 1 Κ 2 Κ 3 και συνεπώς είναι κάθετες στις πλευρές του τριγώνου Ρ1 Ρ2 Ρ3 . Επειδή οι ακτίνες αυτές είναι κάθετες στις πλευρές του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ, τα τρίγωνα ΑΒΓ και Ρ1 Ρ2 Ρ3 έχουν τις πλευρές τους παράλληλες οπότε είναι όμοια με λόγο ομοιότητας ίσο με τον λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων κύκλων τους. Δηλ. έχουμε � = ( Ε..) 2 (2). Από τις ( 1 ),(2) προR Ε κύπτει ότι: Ε ' = .!_ Ε = .!_ (Ε.. ) 2 Ε δηλαδή 4 R 4 Ε ' = ( L) 2 Ε (3). Επειδή από το τρίγωνο ΑΒΓ 2R αβγ Ε 2Ε , R= , η (3) δίνει: έχουμε ρ = = τ α+β+γ 4Ε 2Ε 1 6Ε 5 α+β+γ 2 Ε' = ( ) Ε= 2 2 2 αβγ α β γ (α + β + γ) 2 2 4Ε

ΑΣΚΗΣΗ Ι 37 ( ΤΕΥΧΟΥΣ 68 ) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εμβαδού Ε με πλευρές α,β,γ, εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R).

Έστω (Ι, ρ) ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώ νου ΑΒΓ και 1 1 1 2 1 3 το ποδικό τρίγωνο του Ι. Αν το ορθικό τρίγωνο Κ 1 Κ 2 Κ 3 του τριγώνου 1 1 1 2 1 3 έχει εμβαδόν Ε ' , να δείξετε ότι: 16 Ε' = αzβz z (α + β + )z · Es . γ γ

Λύσεις έστειλαν οι συνάδελφοι :

Ρ ο δ ό λφ ο ς Μ π ό

ρ η ς - Δ ά φ ν η , Γ ιώργος Τσαπ α κ ί δ η ς -- Κυψ έλη Α γ ρ ινίου , Γ ιάνν η ς Σταματογιάννη ς - Δ ρο σ ι ά , Β αγ γέλη ς Μ ου ρ ο ύ κ ο ς - Α γ ρ ίν ι ο , Π αύλος Μ α ρ αγκουδ ά κ η ς - Καλλίπολη Π ει ρ α ι ά και ο Π ολιτικδς Μ η

(Προτάθηκε από τον συνάδελφο Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Τ ΡΙ Α Ν Τ Ο - Αθήνα ) ΛΥΣΗ ( από τον ίδιο )

χαν ι κ ό ς Ι ω ι'Jννη ς Ανδρι1 ς - Α Ο ιΊ ν α .

ΑΣ ΚΗΣΗ 1 38 ( ΤΕΥΧΟΥΣ 68 )

Ονομάζουμε Ρ 1 , Ρ2 , Ρ3 τα σημεία τομής των προεΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Ν α αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα Β'

70 τ.2/74

------

(

Τ ο βή μα του Ε υκλείδη

2007 + 2008 2008 > 1 004 · 1 005 · ... · 301 0 · 301 1 . ) 2

(Προτάθηκε τον Γ Ι Ω ΡΓΟ T P I A N T O - Αθήνα) (Από τον συνάδελφο ΡΟΥΚΟ - Αγρίνιο )

ΛΥΣΗ

ΒΑ Γ Γ Ε Λ Η Μ ΟΥ

ΑΣ Κ Η Σ Η Ι 3 9 ( ΤΕΥΧΟΥΣ 68 ) Να δείξετε, χωρίς τη χρήση ακολουθιών, ότι η μοναδική συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο R και για την οποία ισχύει: 2f(2x) = f( x) + 3x - 2 , για κάθε x E R ( 1 ) είναι

(Προτάθηκε από τον συνάδελφο ΚΥ Ρ Ι Α ΚΟ Π Ο Υ ΛΟ - Αθήνα )

η f(x) = χ - 2 .

+ β > � (που Εφαρμόζουμε την ανισότητα α 2 ισχύει για θετικούς αριθμούς α, β με α =1= β ), 1 004 φορές ως εξής:

200 7 + 2008 = 40 1 5 1 004 + 30 1 1 > ν'1 004 . 301 1 2 2 2 4 1 200 7 + 2οο8 = 0 5 = 1 οο 5 + 301 0 > .J1 00 5 . 3010 2 2 2 200 7 + 2008 = 4 0 1 5 = 1 006 + 3009 > .Jω ο6 . 3009 2 2 2 =

ΑΝΤΩΝ Η

Λ ΥΣΗ \ από τον ίδιο

)

Όπως εύκολα διαπιστώνουμε, η συνάρτηση f(x) = χ - 2 πληροί τις δοσμένες συνθήκες. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) - (χ - 2 ) ( 2) Η συνάρτηση αυτή είναι ορισμένη και συνεχής στο R . Έχουμε, για κάθε χ Ε R :

(Ι) g(2x) = f(2x) - ( 2χ - 2) => g(2x) = -21 f(x) + -3 χ - 1 - 2χ + 2 => 2 g(2x) = f (x) - (χ - 2) 2 2) ( 4 0 1 5 2006 200 7 + 2008 = + 200 9 > .J2006 . 2009 = => 2g(2x) = g(x) ( 3) 2 2 2 Θεωρούμε ένα αριθμό α > Ο Η συνάρτηση g εί 200 7 + 2008 > .J2 007 . 2008 ναι συνεχής στο διάστημα [-α, α] και άρα λαμβά2 .

Με πολ!σιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων έχουμε

( 200 7 +2 2 008 ) ι οο-ι > .Jωο4 . t oo 5 . .. . . 301 ο . 301 1 και με ύψωση στο τετράγωνο έχουμε την αποδει κτέα. Λύσεις έστειλαν οι συνάδελφοι:

Γιιίφγος Λπο

στολόπουλος - Μ εσολόγγι , Α θ ανάσιος Κ αλιχκος Κ . Π ατ ή σ ι α , Ρ ο δόλφος Μ π ό ρ η ς - Δάφνη , Γ ιιίφγος β6τας - Κ. Αχαία, I Ίάννης Σταματογιάννη ς - Δρο

Τσαπ α κ ί δ η ς · · Κυψ έλη Α γ ρ ινίου , Δ η μι) τ ρ η ς Καρα

σιά, Ανπί>νη ς Ι ω ανν ίδης

Λ άρ ισα, Ιl αί>λος Μ αρα

Ι ω άνν η ς Α νδρι) ς - Α θι)vα, Ο μ α θ η η) ς του Λ εο

γκουδάκης -- Π ει ρ α ι ιiς,

Π ολιτικός Μ η χανικ6ς

vτείου Λ υ κείου Π ατ η σ ίων Η λίας Ζ α δ ί κ κ α ι η μα θ ι) τ ρ ι α του Λυκείου Σπηλίου Ρεθύ μνου Ε μ μ ανουέ λα Π απαιωάννου .

νει ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο διάστημα αυτό. Έτσι, όπως βρίσκουμε εύκολα, υπάρχει αριθμός k > Ο με ! g (x) l � k, Vx Ε [-α, α] (4) Συνεπώς, λόγω της (3), έχουμε:

! g (2χ) Ι � �2 , Vχ Ε [-α, α] (5). Θέτουμε y = 2 x . Έχουμε: χ Ε [-α,α] => -α � χ � α =:> -2α � 2χ � 2α => -2α � y � 2 α 'Ετσι, από την (5) έπεται ότι: l g (y) l � � , 2 Vx Ε [ -2 α, 2 α] . Επειδή [-α, α] c [ -2 α, 2 α] , έπεται ότι: l g (y )! � � , Vy Ε [-α, α] , δηλαδή : 2 ! g ( χ)! � �2 , Vx Ε [-α, α] . 'Εστω τώρα ότι για ένα k φυσικό αριθμό ν ισχύει: l g( χ ) I � r ' Vx Ε [-α, α] . παραπάνω

Όπως

δείχνουμε

ότι:

l g (x) l � 2 �+1 , Vχ Ε [-α, α] . Άρα ( τέλεια επαγωγή)

για

κάθε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 70 τ.2/75

φυσικό

αριθμό

ισχύει:

-------

Το

βή μ α του

Ε υκλείδ η

------

k lg(x) l s r , 'lfx E [-α, α ] (6). Έστω τώρα ότι για που σημαίνει πως το g(O) = Ο είναι ολικό ελάχιστο . ένα αριθμό χ 0 Ε [-α, α ] ισχύει: g(x 0 ) :;t: O . Τότε, Υποθέτουμε ότι υπάρχει χ :;t: Ο τέτοιο, ώστε l g ( χ 0 ) I > Ο και από την ( 6) θα έχουμε, για κάθε φυ- g(x 0 ) > Ο . Τότε, στο κλειστό διάστημα Δ με άκρα k τους αριθμούς Ο και χ 0 , η συνάρτηση g δέχεται σικό αριθμό ν: l g ( χ 0 )I s � ::::} 2 ν s _ _ 1 g(x 2 0 )l ολικό μέγιστο. k Άρα, υπάρχει ξ Ε Δ τέτοιο, ώστε: g( ξ ) � g( χ ) , για lη -l g (x ) k o l Άρα, τότε, κάθε χ Ε Δ , και άρα: g( ξ) � g(x 0 ) > Ο . ::::} !η γ s !η ::::} ν s lg(x 0 ) 1 Ιη 2 Επειδή a > 1 ο αριθμός 1 βρίσκεται μεταξύ των a το σύνολο των φυσικών αριθμών θα ήταν άνω φραγμένο, άτοπο. Άρα: g(x) = Ο, Vx Ε [-α , α ] . Ε- αριθμών Ο και ξ οπότε 1) s ξ και επειδή g( a g( ) πειδή αυτό ισχύει για κάθε αριθμό α > Ο , έπεται 2 ξ έπεται ότι: ότι: g(x) = Ο, Vx Ε R . Έτσι, λόγω της (2), έχουμε Ο < g( ξ ) = g( a -ξ ) (=) -I g(-) a a a f(x) = χ - 2, Vx Ε R . Άρα, άλλη τέτοια συνάρτηση Ο < g( 1) s __!_ g( 1) ::::} Ι s __!_ ::::} a s 1 ,άτοπο. δεν υπάρχει. Λύσεις έστειλαν οι συνάδελφοι : a a a a 0

Γιώργος Αποστολόπουλος - Μ εσολόγγ ι , Α θ ανά

g(x) = Ο , για κάθε χ Ε R ή το αυτό:

σιος Καλάκος - Κ . Π αηΊ σια, Π αύλος Μ αραγκου

Άρα,

δάκης - Π ε ιραιάς.

Εύκολα διαπιστώνεται ότι η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την αρχική συνθήκη ( 1 ) .

Με αφορμή την άσκηση 13 9 που πρότεινε ο συνά δελφος ΑΝΤΩΝ Η Σ ΚΥ Ρ Ι Α ΚΟΠΟΥ Λ Ο Σ , ο συνά δελφος ΣΩΤΗ Ρ Η Σ Ε. Λ Ο Υ Ρ Ι ΔΑΣ προσεγγίζοντας μεθοδολογικά γενικεύει το θέμα: Να

βρεθούν

όλες

οι

συνεχείς

f : R � R με την ιδιότητα: 2 af(ax) = f(x) + (a - 1 )x - 2a + 2 χΕ

συναρτήσεις

(1 ), για κάθε

R , όπου a είναι τυχαία σταθερά μεγαλύτερη

της μονάδας. Λ ΥΣ Η : Η

( 1 ) γράφεται:

a [f( ax) - ax + 2 ] = f(x) - χ + 2 , για κάθε χ Ε R , οπότε: a l f (ax) - ax + 2 1 = l f(x) - χ + 2 1 , για κάθε χΕR. Η συνάρτηση h : R � R με h(x) = f(x) - χ + 2 είναι συνεχής ( άθροισμα συ-

νεχών συναρτήσεων). Επίσης, η συνάρτηση g : R � R με τύπο g(x) = lh(x)l = lf(x) - χ + 2 1

είναι συνεχής ( απόλυτο συνεχούς συνάρτησης) 1 με g(ax) = - g(x) (2), για κάθε χ Ε R , οπότε

g(O) = Ο .

Επομένως ισχύει ότι

g(x) � Ο = g(O) ,

f(x) = χ - 2 , για κάθε

χΕR

Παρατή ρηση I ' ' .

Για a = 2 > 1 προκύπτει η συν θήκη της άσκησης 1 39. Παρατή ρηση 2 Η .

Αν επιτρέψουμε την χρήση α κολουθιών, τότε μπορούμε να διατυπώσουμε το παραπάνω πρόβλημα ως εξής: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R � R που

είναι συνεχείς στο Ο και για κάθε χ Ε R ισχύει: af(ax) = f(x) + (a 2 - t)x - 2a + 2 (1), όπου a είναι

l l :;t: 1 .

τυχαία σταθερά με a

Αν a = Ο , η f(x) = χ - 2 είναι η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τις επιταγές του προ βλήματος. Υποθέτουμε ότι a :;t: Ο . Η ( I ) ισοδυναμεί με την ισότητα: a [f(ax) - ax + 2 ] = f(x) - χ + 2 (2) που ισχύει για κάθε χ Ε R . Η συνάρτηση g : R � R με g(x) = f(x) - χ + 2 είναι συνεχής στο Ο και ικανοποιεί,για κάθε χ Ε R , τη σχέση : ag( ax) = g(x) (3). Λ ΥΣ Η :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 70 τ.2/76

Τ ο βήμα του Ε υκ λείδ η

-----

Προφανώς g(O) = Ο . Έστω ότι είναι Ο < l a l < 1 . Τότε, από την ισότητα (3) έχουμε: g( χ ) = ag( ax) = a 2 g( a 2 χ ) , για κάθε χ Ε R , οπότε με τέλεια επαγωγή καταλή γουμε στη σχέση : g( χ ) = a ν g( a " χ ) , για κάθε χ Ε R και για κάθε φυσικό αριθμό ν, με lim+χ a ν = Ο . Η συνέχεια της συ,.---+

νάρτησης g στο Ο δικαιολογεί την γραφή : lim g(a " x ) = g( lim a '. x ) = g(O) = O (4) V---+ +X \'�-Χ

Επομένω ς . gι χ ) = lim [a ' · g ( a '" x)] = O , για κάθε χ Ε

γ � - :ι:

{( χ ) = χ - 2 , για κάθε

R. ή

εί\'αι

a. > I .

χ Ε

Έστω ότι

χ Ε R , έχουμε: χ I χ Ι χ g( x ) = gι a - ) - g ( -) = -" g(-? ) a a a a- a-

Τότε. γ ια κάθε

και

τ ε ι. ε

με

lim a1,

,. ___,. _ :ι:

. =

1 (χ ια επαγωγη : g ( χ ) = - g -ν ) με aν a .

Ο Και πάλι η συνέχεια της g στο Ο δί.

νει:

� ) = g(O) = O , lim g( � ) = g( lim ν ---+ + χ- a ν a για κ ά θ ε χ Ε R ή f(x) = χ - 2 , για κάθε \' ----t -:ι::

χ Ε R .

βαδόν του επιπέδου χωρίου που καταλαμβάνουν τα ν πρώτα τετράγωνα, να δειχθεί ότι ισχύει: S ν+Ι

= 2S ν

και να εξαχθεί ο τύπος του S ν 2 συναρτήσει των ν,α, όπου α το μήκος της πλευράς του πρώτου τετραγώνου. (Προτείνεται από τον συ νάδελφο Ν Ι ΚΟΛΑΟ ΒΑΔ Ι ΒΟΥΛ Η - Άρτα ) 2 +�

151.

Σ ε τρίγωνο ΑΒΓ σημείο Δ χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε μέσο και άκρο λόγο με ΒΔ < ΔΓ . Ομοίως σημείο Ε την ΓΑ με Γ Ε < ΕΑ . Να δειχθεί ότι η ευ θεία ΑΔ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα ΒΕ. (Προτείνεται Ν Ι ΚΟΛΑΟ ΒΑΔ Ι Β ΟΥ Λ Η - Άρτα ) 1 52 . Να βρεθεί πολυώνυμο f(x) , 2ν- l βαθμού, όπου ν Ε Ν * , ώστε το πολυώνυμο f(x) + Ι να διαιρείται με το (χ - 1) ν και το f(x) - 1 να διαι ρείται με το ( χ + 1) ν . Στη συνέχεια να βρεθεί ένα τέτοιο πολυώνυμο πρώτου βαθμού, ένα τρίτου βαθμού και ένα εβδόμου βαθμού. (Προτείνεται από Ν. ΒΑΔ Ι Β ΟΥΛΗ - Άρτα ) 1 53 .

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί χ,y,z,α,β, γ που να ικανοποιούν τις συνθήκες: χ 3 + yz = α 3 , y 3 - χz = β 3 , z 3 χy = γ 3 (Προτείνεται από τον συνάδελφο Α ΠΟΣΤΟΛΟ -

1 49 . Δίνεται η έλλειψη

Π ΡΟ Τ Ε Ι Ν Ο Μ ΕΝΑ Θ Ε Μ ΑΤΑ

χ2 y2 C1 : - + - = l , α > β > Ο α2 β2

C :χ2 + 2 κλου c 2

ΚΑΖΑ Κ Ο Π Ο Υ Λ Ο -

και

/ = α 2 Να βρεθεί σημείο

κύκλος

του κύ τέτοιο, ώστε οι εφαπτόμενες που άγονται από το Μ προς την έλλειψη C 1 να είναι τέτοιες, ώστε η απόσταση της αρχής 0(0,0) των αξόνων από την ευθεία που ορίζουν τα σημεία επαφής τους με την C 1 να είναι ελάχιστη. (Προτείνεται από τον ΘΑΝΑΣ Η ΚΥΡΙ Ά ΚΟ Π ΟΥ Λ Ο -

Αθήνα )

1 54 .

Θεσσαλονίκη )

Αν α, β, γ 2': Ο , α + β + γ = 1 , να δειχθεί ότι

..!_ - 2αβγ � α 2 + β 2 + γ 2 � 1 - 2αβγ . (Προτείνεται

2 από τον συνάδελφο Γ . Ν Ι ΚΗ ΤΑ Κ Η - Σητεία ) 1 55 .

Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι: Α = 1 20° ΑΓ Β = Δ = 90° ' ΓΔ2 - ΑΒ 2 = 2 J3 και < Jj . ΓΔ 2 I) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του ΑΒΓ Δ. ΑΓ 2 ll) Να δειχθεί ότι: Α Γ > ΒΔ και = ΒΔ 2 - εΦΙ 5 (Προτείνεται από τον συνάδελφο Γ Ι Ω Ρ ΓΟ Α Π Ο 0

1 50 .

Κατασκευάζουμε διαδοχικά τετράγωνα κοινής κορυφής Ο, ώστε η διαγώνιος του προηγουμένου να είναι πλευρά του επομένου. Αν S ν είναι το εμΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

ΣΤΟΛΟ Π Ο Υ Λ Ο -

Β' 70 τ.2/77

Μεσολόγγι )

Τα Μ α θ ημ ατικά

μας δ ιασκε δ άζουν

Τα Μαθηματικά αν και είναι επιστήμη που απαιτεί αυστηρή διατύπωση, έχουν τη μαγεία να αποσπούν το ενδιαφέρον όλων των ανθρώπων. Επινοήσεις σε προβλήματα ή ασκήσεις με κατάλλ ηλο τρόπο διατυπωμένα εξάπτουν το πνεύμα, διεγείρουν τη φαντασία και κεντρίζουν τη ν περιέργεια. Πρώτοι οι Αρχαίοι Έλληνες όπως ο Δ ιόφαντος, ο Ζήνωνας κ. ά. μας δίδαξαν ·

αυτά τα Μαθηματικά. Στη στήλη αυτή θα παρουσιάζουμε θέματα τα οποία δεν απαιτούν ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις αλλά μας διασκεδάζουν με τη ν εκφώνησή τους ή τη λύση τους και είναι μια ευχάριστη και συναρπαστική ασχολία .

Επιμέλεια : •

•

• •

•

Γν ω ρί ζετε ότι :

Παναγιώτης Π. Χριστόπουλος

Το μηδέν χρησιμοποιήθηκε το 1 000 μ. Χ. περίπου και το σύμβολο «0» είναι το πρώτο γράμμα από τη λέξη ουδέν. Η επινόηση του συμβόλου αρχικά έγινε από τον Κλαύδιο Πτολεμαίο( Ι ΟΟ- 1 78μ.Χ.). Οι αριθμοί πήραν τη σημερινή τους μορφή το 1 6° αιώνα, επινοήθηκαν από τους Ινδούς και έφθασαν στην Ευρώπη από τους Άραβες της Ισπανίας γι ' αυτό αναφέρονται ως Αραβική γραφή. Το δισεκατομμύριο είναι μια λέξη που χρησιμοποιήθηκε μετά το 1 6° αιώνα. Κανένας μέχρι σήμερα δεν έχει βρει γιατί χρειάζονται 1 7 τουλάχιστον αριθμοί για να έχει μοναδική λύση ένα πρόβλημα Sudoku. Ο Όμηρος δεν είναι μόνο ο μεγαλύτερος ποιητής της aνθρωπότητας αλλά και σπουδαίος μαθηματικός αφού στους στίχους των ποιη μάτων του παίζει με τα Μαθηματικά. Ο Απ. Δοξιάδης με Comics αναφέρεται στη μεγάλη περιπέτεια της λογικής στις αρχές του 20ου αιώνα; Η φωτογραφία είναι από το νέο του βιβλίο, με τίτλο LOGICOMIX. Αρκετά ενδιαφέρουσα περιήγηση . . . Ο υπερβατικός αριθμός π είναι ο ποιο δημοφιλής, ο Αρχιμήδης τον προσδιόρισε με τα εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα μεταξύ των αριθμών ' Β ' ' 1Ο 10 3 και 3 7ι . Στο πανεπιστημιο της . ιεννης εγινε 70 λέσχη «φίλοι του ελληνικού π » . Οι Γιαπωνέζοι είναι λάτρεις του π, ο Τακαχίρο Σακάι αντικατέστησε τα ψηφία του με νότες και δημιούργησε μελωδία, ο Χ. Γκότο θυμάται 42.000 ψηφία του, οι Γ. Κανάντα και Ν. Τακαχάσι στο Πανεπιστήμιο του Τόκιο υπολόγισαν 69 δισεκατομμύρια ψηφία. Αν προσθέσουμε τρείς διαδοχικούς αριθμούς που ο μεγαλύτερος είναι πολλαπλάσιο του 3 . Στη συνέχεια να πάρουμε το άθροισμα των ψηφίων του αθροίσματος. Του αριθμού αυτού που προκύπτει επίσης το άθροισμα των ψηφίων κ.ο.κ. μέχρι που να έχουμε μονοψήφιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι πάντα το 6.(θεώρημα Ιάμβλιχου ). Αν έχουμε ένα από κάθε νόμισμα (0.0 1 , 0.02, 0.05, 0. 1 0, 0.20, 0.50, Ι , 2, 5, 1 0, 20, 50, 1 00, 200, 500) η συνολική τους αξία είναι 888.88 Ευρώ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 70 τ.2!78

------ Τ α Μ α θ η ματικά μας δ ιασκεδάζουν

------

Θέματα που ζητούν τη λύση . . . Ο Λύκος, η Κατσίκα και το Λάχανο

Το εμβαδό

Ένας Βαρκάρης έχει μια μικρή βάρκα που Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με εμβαδό = 1 τ.μ. μπορεί κάθε φορά να πάρει μαζί του ή τον να βρεθεί το εμβαδό ΕΖΗΘ, (χωρίς Λύκο ή την Κατσίκα ή το Λάχανο. Πώς θα τα υπολογισμούς Πυθαγόρειο Θεώρημα κλπ), με περάσει όλα στην απέναντι όχθη ώστε ούτε ο απλό τρόπο, τα Κ,Λ,Μ,Ν είναι μέσα των λύκος να μείνει μόνος του με την κατσίκα πλευρώνλ ούτε η κατσίκα με το λάχανο; Η Αλυσ ί δα

Κρεμάμε μια αλυσίδα από τα άκρα της σε δύο διαφορετικά καρφιά ενός τοίχου που βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Ο Γαλιλαίος είπε ότι το σχήμα που παίρνει η αλυσίδα είναι παραβολή. Έκανε λάθος ο Γαλιλαίος; Ποια μαθηματική συνάρτηση περιγράφει το σχήμα Το 1 089

Πάρτε 3ψήφιο αριθμό ΑΒΓ με Α διαφορετικό από το ψηφίο Γ. Δημιουργήστε τον αριθμό ΓΒΑ και αφαιρέστε τοv μικρότερο από τον μεγαλύτερο. Αντιστρέψτε τώρα τα ψηφία της διαφοράς και προσθέστε τη διαφορά με τον αριθμό που προέκυψε πάντα θα έχετε 1 089. Εννέα τετράγωνα

Αρετή και η Κακία

Μπορούμε να έχουμε 9 διαδοχικούς αριθμούς που το άθροισμα των τετραγώνων των 5 πρώτων ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των 4 άλλων;

Θα έχετε ακούσει την ιστορία με την Αρετή και την Κακία. Αλλά αν και σεις βρεθείτε στο σταυροδρόμι καμιά φορά δεν είναι εύκολο να Η Ηλικία και τα Μ αγικα τετραγ ωνα 4 9 2 ξεχωρίσετε ποιά από τις αδελφές θα 5 3 7 συναντήσετε. Βρείτε ποιά ερώτηση πρέπει να κάνετε ώστε από την απάντηση να ξέρετε τον 8 6 1 σωστό δρόμο για το σχολείο; (Σημειώστε ότι η Το παραπάνω είναι ένα Αρετή λέει πάντα αλήθεια ενώ η Κακία λέει 3χ3 . Πάρτε τρείς 3ψήφιους αριθμούς από τις πάντα ψέματα). γραμμές ή τις στήλες διαβάζοντάς τους από δεξιά ή αριστερά από πάνω ή κάτω. Στο Η Απλοποίηση άθροισμά τους προσθέστε και την ηλικία σας. Ένας μαθητής στις εξετάσεις για να κάνει την Πείτε μόνο το τελικό αποτέλεσμα και θα είναι πρόσθεση των κλασμάτων γνωστή η ηλικία σας. Γιατί; 1 6 1 9 26 , 49 + + + = σκέφτηκε να τα 64 95 65 98 Η Θέα απλοποιήσει και διέγραψε τα ίδια ψηφία που Βρίσκεστε στην κορυφή ενός λόφου που είναι υπήρχαν σε αριθμητή και παρονομαστή και δίπλα στη θάλασσα υψόμετρο 500 μέτρα. 1 1 2 4 Τίποτα δεν εμποδίζει τη θέα στο απέραντο ' εγραψε = - + + + . Είναι σωστό το γαλάζιο. Πόσα χιλιόμετρα μακριά βλέπετε; (Η 4 5 5 8 Γη είναι σφαιρική με ακτίνα 6370 χιλιόμετρα). αποτέλεσμα;

μαγικό τετράγωνο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 70 τ.2/79

------

Τ α Μαθη ματ ι κ ά μας δ ιασκε δ ά ζουν --------�

Απαντήσεις στα μαθηματικά μας διασκεδάζουν. Ο Λύκος, η Κατσ ί κα και το Λάχανο

Το 1 089

Ο βαρκάρης θα περάσει πρώτα την κατσίκα στην απέναντι όχθη και θα γυρίσει να πάρει το λύκο, μόλις περάσει το λύκο απέναντι θα πάρει πάλι την κατσίκα μαζί του για να την πάει στην αρχική όχθη . Θα πάρει το λάχανο να το περάσει απέναντι και θα επιστρέψει να πάρει και την κατσίκα. Η

Αλυσίδα

Ο Leibniz, ο Huygens και ο Bemulli απέδειξαν ότι το σχήμα που παίρνει περιγράφεται από τον τύπο y=α*cosh(x/α), όπου α είναι μια σταθερά που εξαρτάται από ·ι

x a ' a . Ο την αλυσίδα και cosh(x/α)= e + e2 Γαλιλαίος δεν έπεσε και πολύ έξω αφού για μικρές τιμές του χ έχουμε παραβολή .

Στη διαφορά πάντα το μεσαίο ψηφίο είναι 9. Το πρώτο ψηφίο είναι η διαφορά του τελευταίου ψηφίου από το μεσαίο(9). Διότι ( 1 00 Α+ 1 0Β+Γ) - ( 1 00Γ+ 1 0Β+Α) = =99 Α+ΟΒ-99Γ = 99(Α-Γ) = 99Δ = = 1 00(Δ- 1 )+ 1 0.9+( 1 0-Δ). π.χ. 654-456= 1 98 και 89 1 + 1 98= 1 089. Παρατήρηση : Αν η διαφορά είναι 99 διπλασιάστε πρώτα το 99.

Αρετή και η Κακία

Η ερώτηση που πρέπει να κάνετε είναι:

«Αν ρωτήσω την αδελφή σου ποιο δρόμο να πάρω για το σχολείο ποιόν θα μου πει;».

Εννέα τετράγωνα

Ονομάστε τους χ, χ+ 1 , . . . χ+ 8 λύστε την εξίσωση και θα έχετε το αποτέλεσμα 36,37,38,39,40,4 1 ,42,43 ,44 .

Ηλικία και τα Μαγικά τετράγωνα

Οι τρείς αριθμοί έχουν πάντα άθροισμα 1 665, τον οποίο aφαιρείτε και μένει η ηλικία σας. Το ίδιο ισχύει αν πάρετε το υπόλοιπο της διαίρεσης με 1 1 1 . (Δημ.Καρβελάς Χημικός)

Θέα

Αν φανταστείτε την ΑΟ που ενώνει την Στη συνέχεια ακολουθήστε τον άλλο δρόμο κορυφή του λόφου Α με το κέντρο της Γης Ο από αυτόν που θα σας δείξει. Διότι αν είναι και η οποία τέμνει την επιφάνεια της Γης στο μπροστά σας η Αρετή σας λέει αλήθεια ότι σημείο Γ, την ΑΒ εφαπτομένη από το Α στην αυτόν το δρόμο θα σας υποδείξει η αδελφή της επιφάνεια της Γης στο σημείο Β και την που όμως λέει πάντα ψέματα. Άρα δεν τον ακτίνα ΟΒ της Γης, έχετε ορθογώνιο τρίγωνο ακολουθούμε. Αν είναι μπροστά σας η Κακία ΑΒΟ (Β= 1 ορθή) με 6370 ' τότε σας λέει ψέματα ότι αυτόν το δρόμο θα συνθ= ΟΒ η θ=Ο.72° η' θ=Ο.Ο 1 25 ΟΑ 6370 + 0.5 σας υποδείξει η Αρετή. Άρα μην τον ακτίνια. ακολουθήσετε. Η

Απλοποίηση

Ο μαθητής πήρε άριστα. Ήταν πολύ τυχερός. Ψάξτε και σεις για άλλα τέτοια κλάσματα.

Άρα το μήκος του τόξου ΓΒ που βλέπετε από τον λόφο είναι 0.0 1 25* 6370=80 χιλιόμετρα. Α

Το εμβαδ ό

Είναι 4/20= 1 /5 τ. μ. και να η εξήγη ση .

ΕΥΚΛ Ε ΙΔΗΣ Β ' 70 τ.2/80

Μόλις

κυκλοφόρησαν τα βι βλία με τα θέματα των Διαγωνισμών 1 997 - 2007 της Ε . Μ . Ε . Ο ΘΑΛΗΣ, Ο ΕΥΚΛΕ ΙΔΗ Σ, Ο ΑΡΧΙ Μ ΗΔΗΣ,

Ο Μ ΕΣΟΓΕ ΙΑΚΟΣ ΜΑΘ Η ΜΑτΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩ Ν ΙΣΜΟΣ

Με τα

προβλήματα τις λύσεις τους και τ α ιστορικά ση μειώματα.

Οι ΠΑΝΕΛι\ΗΝιοι ΜΑΘΗΜΑΙΙΚΟι

ΔΙΑfΩΝΙΙΜΟΙ 1 997 . 2007

./ Ο ω.ΑΗ! ./ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ. ..1 ΟλΡΧΙΜΗΔΗ!. ./ Ο MaOrfiAKO! ΜλθtΙΜιΗΙΚΟΙ ΔlλfΩΝΙΣΜΟΙ

r1J

ΑΘΗΝΑ :107

203 σελίδες 20€

•

• •

360 σελίδες 30€

Τα προβλή�α 01 λύσει� τουc; Ιστοριιιά οημι;ιώμστα

ΑθΗΝΑ 2007

Π ανεπιστ η μ ίου 34 - 1 06 79 Αθήνα

Κεντ ρ ι κ ή διάθεση : Ελληνική Μ α θ η ματική Εται ρεία

Τηλ . : 2 1 0 36 1 6532 , 2 1 0 36 1 7784

info@hms.gr

fax: 2 1 0 364 1 025

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡIΑΣ»

2000 - 2006 Γ ' ΚΠΣ 1 : ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟ 1 .3 :

ΑΞΟΝΑΣ

«ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ»

Στον κόμ β ο της ΕΜΕ (http://www. hms.gr) έχει αναρτηθεί το ψηφιοποιημένο αρχειακό υλικό της Ελληνικής Μαθηματικής που παρήχθη στο πλαίσιο των έργων: «Μαθη ματικά και Πολιτισμός : Από την Αρχαιότητα στην Κοινωνία της Πλη ροφορίας»

Συγχρηματοδότηση

75% Ευρωπαϊκή Ένωση 25% Εθνικοί Πόροι

Ε πέκτ αση των δ ράσεων του έ ργου : «Μαθη ματικά και Πολιτισ μό ς : Απ ό την Αρχαιότητα στην Κοινωνία της Πλη ροφορίας»

Συγχρηματοδότηση

80% Ευρωπαϊκή Ένωση 20% Εθνικοί Πόροι

111m'Π (811ΙΙΙΙ Σ IAWIA[ �1 1111Eirttu1D� 11 ΙΚΗ ΠΗΡΠ � !I�JEJPiίH! EΠbiH

•

ΠΙΙΙΙ Αί� 01�11 �γη:ΡΗΗ!1&01 Η �008 .. �····•ιr- .....,. ΕΥΡΟ!ωf .Ο κοι�.)Νik1 fΔ.·· 10 Η Π ΡΑΕ Η ΣΥΓΧΡΗΜΑΤ Ο Δ Ο !ΕΙ ΤΑΙ : Ε ΥΡ ΩΠ.ΑΪΚ Ο ΚΟΙΝΩ ΝΙΚΟ . .. . ν . ,.,:,. -ι ι . .

,.ι

ι ιο.

•

Η ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΤΗΝ

KOPV<PH

Ε n ι χ ι; · ρ n <r 1 C i'. ·O Π ριΟ γ ρ σ μ ο Ε κ n α i δ s u cr rιoς κ α 1 ρ )π κ r ς Ε r α ·� vr: λ. ι.JΟ τ 1.ι<. n ς K a [ a p t 1 0Π C'

T.AMEIO

( Ε.Κ. Τ .) Ε 0 ΝΙ ΚΟ Ι Π Ο Ρ ΟΙ ·