Αρχιμήδης 2011-2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012 η

Θέματα μικρών τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ ), εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O, R) (με κέντρο το σημείο O και ακτίνα R ). Ο κύκλος c1 ( Α, ΑΒ) (με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ΑΒ ) τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ και τον περιγεγραμμένο κύκλο c(O, R) στο σημείο Ε . Να αποδείξετε ότι η πλευρά ΑΓ ˆ . διχοτομεί τη γωνία ΔΑΕ Λύση (1ος τρόπος) ˆ και ΓΒΕ ˆ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c(O, R) (σχήμα 1) και Οι γωνίες ΓΑΕ p , οπότε είναι ίσες, δηλαδή έχουμε βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΕ ˆ = ΓΑΕ ˆ = ΓΒΕ ˆ .

(1) Α 2 ˆ που είναι ίση με τη γωνία ΓΒΕ ˆ είναι εγγεγραμμένη στον Επίσης, η γωνία ΔΒΕ p , ενώ η γωνία ΔΑΕ ˆ είναι η αντίστοιχη κύκλο c ( Α, ΑΒ) και βάνει στο τόξο ΔΕ 1

ˆ . Επομένως έχουμε επίκεντρη της γωνίας ΔΒΕ ˆ ˆ ˆ ˆ = ΔΒΕ ˆ = ΔΑΕ = Α1 + Α 2 . ΓΒΕ 2 2

Σχήμα 1 Από τις σχέσεις (1) και (2) λαμβάνουμε

(2)

2 ˆ ˆ ˆ = Α1 + Α 2 , Α (3) 2 2 ˆ =Α ˆ , δηλαδή η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας από την οποία προκύπτει ότι Α 1 2 ˆ . ΔΑΕ 2ος τρόπος Οι χορδές ΑΒ και ΑΕ του κύκλου ( c ) είναι ίσες μεταξύ τους, ως ακτίνες του κύκλου ( c1 ) , οπότε το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές με ˆ = ΑΒΕ ˆ = ΑΕΒ ˆ . Β (3) 1 ˆ και Γˆ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c ( O, R ) και Όμως οι γωνίες ΑΕΒ

βαίνουν στο ίδιο τόξο, οπότε θα είναι ίσες, δηλαδή ˆ = Γˆ . ΑΕΒ (4) Από τις (3) και (4), έχουμε ˆ = ΑΒΕ ˆ = Γˆ Β (5) 1 και επομένως προκύπτει ότι ˆ =Β ˆ −Β ˆ =Β ˆ − Γˆ .

(6) Β 2 1 ˆ =Β ˆ και επειδή η Δˆ είναι Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΔ , έχουμε: Δˆ 1 = ΑΔΒ 1 εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΔΓ , συμπεραίνουμε ότι: ˆ + Γˆ = Α ˆ + Γˆ ˆ = Δˆ = ΔΑΓ Β 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ (7) ⇒ Α1 = ΔΑΓ = Β − Γ . Από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνουμε την ισότητα: ˆ =Β ˆ . Α (8) 1 2 ˆ =Α ˆ είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο c ( O, R ) Επιπλέον, οι γωνίες Βˆ και ΓΑΕ 2

2

p , οπότε είναι ίσες, δηλαδή και βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΕ ˆ = ΓΑΕ ˆ = ΓΒΕ ˆ =Β ˆ . Α 2 2

(9) ˆ =Α ˆ =Β ˆ − Γˆ , από Από τις σχέσεις (7), (8) και (9) λαμβάνουμε την ισότητα Α 1 2 ˆ . την οποία προκύπτει ότι η πλευρά ΑΓ διχοτομεί τη γωνία ΔΑΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου a ∈ \ , να λύσετε την εξίσωση x − 4 − 2 x + 8 = ax + 4 . Λύση Με σκοπό την απαλλαγή από την απόλυτη τιμή του x − 4 , θεωρούμε τις περιπτώσεις: Ι. x ≥ 4 . Τότε έχουμε x − 4 = x − 4 και η εξίσωση γίνεται:

x − 4 − 2 x + 8 = ax + 4 ⇔ − ( x − 4 ) = ax + 4 ⇔ x − 4 = ax + 4

•

⇔ x − 4 = ax + 4 ⇔ (1 − a ) x = 8, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Για a = 1 η εξίσωση γίνεται: 0 ⋅ x = 8 και είναι αδύνατη.

3 •

Για a ≠ 1 η εξίσωση έχει μοναδική λύση x =

8 , μόνον όταν 1− a

8 2 1+ a ≥4⇔ ≥1⇔ ≥ 0 ⇔ ( a + 1)( a − 1) ≤ 0, a ≠ 1 ⇔ −1 ≤ a < 1 .

1− a 1− a 1− a Για a < −1 ή a ≥ 1 η εξίσωση δεν έχει λύση μεγαλύτερη ή ίση του 4. ΙΙ. x < 4 . Τότε έχουμε x − 4 = − x + 4 και η εξίσωση γίνεται:

− x + 4 − 2 x + 8 = ax + 4 ⇔ −3 ( x − 4 ) = ax + 4 ⇔ 3 ( x − 4 ) = ax + 4 ⇔ −3x + 12 = ax + 4 ⇔ ( a + 3) x = 8, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: • Για a = −3 η εξίσωση γίνεται: 0 ⋅ x = 8 και είναι αδύνατη.

8 , μόνον όταν • Για a ≠ −3 η εξίσωση έχει μοναδική λύση x = a+3 8 2 −a − 1 <4⇔ <1⇔ <0 a+3 a+3 a+3 ⇔ ( a + 3)( a + 1) > 0, a ≠ −3 ⇔ a < −3 ή a > −1. Για −3 < a ≤ −1 η εξίσωση δεν έχει λύση μικρότερη του 4. Συνοψίζοντας, όλα τα παραπάνω έχουμε ότι: •

Για a < −3 , η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x =

•

Για −3 ≤ a < −1 , η εξίσωση δεν έχει λύση.

•

Για a = −1 , η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x =

• •

8 . a+3

8 .

1− a 8 8 Για −1 < a < 1 , η εξίσωση έχει δύο λύσεις x = και x = .

1− a a+3 8 Για a ≥ 1 , η εξίσωση έχει μία μόνο λύση x = . a+3

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Οι θετικοί ακέραιοι m, n , με m > n , ικανοποιούν την εξίσωση ΕΚΠ {m, n} + ΜΚΔ {m, n} = m + n .

(*)

(α) Να αποδείξετε ότι ο n είναι διαιρέτης του m . (β) Αν επιπλέον ισχύει ότι m − n = 10 , να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια ( m, n ) που είναι λύσεις της εξίσωσης (*). Λύση (α) Έστω ότι ΜΚΔ {m, n} = d . Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a, b τέτοιοι ώστε: m = ad , n = bd και ΜΚΔ {a, b} = 1.

mn adbd = = abd και η εξίσωση (*) γίνεται: d d abd + d = ad + bd ⇔ d ( ab + 1 − a − b ) = 0 ,

Τότε θα ισχύει ότι ΕΚΠ {m, n} =

από την οποία, αφού d ≥ 1 , προκύπτει ότι:

4 ab + 1 − a − b = 0 ⇔ ( a − 1)( b − 1) = 0 ⇔ a = 1 ή b = 1.

• •

Αν είναι a = 1, τότε m = d και n = bd ≥ d = m, άτοπο. Αν είναι b = 1 , τότε n = d και m = ad , οπότε προκύπτει ότι n m .

(β) Σύμφωνα με το ερώτημα (α), έχουμε n = d και m = ad , με a > 1, αφού m > n, οπότε m − n = 10 ⇔ ad − d = 10 ⇔ ( a − 1) d = 10 .

Επειδή οι αριθμοί a − 1, d είναι θετικοί ακέραιοι, έπεται ότι ( a −1, d ) ∈{(1,10) , ( 2,5) , ( 5, 2) , (10,1)} ⇔ ( a, d ) ∈{( 2,10) , ( 3,5) , ( 6, 2) , (11,1)} , οπότε λαμβάνουμε τα ζευγάρια ( m, n ) = ( 20,10 ) ή (15,5) ή (12, 2 ) ή (11,1) . ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Πάνω σε επίπεδο Π δίνεται ευθεία ε και πάνω στην ε δίνονται δύο σημεία Α1 , Α 2 , διαφορετικά μεταξύ τους. Θεωρούμε ακόμη και δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α3 , Α 4 του επιπέδου Π που δεν ανήκουν στην ευθεία ε . Να εξετάσετε, αν είναι δυνατόν να τοποθετηθούν τα σημεία Α3 και Α 4 σε τέτοιες θέσεις, ώστε να σχηματίζεται ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ισοσκελών τριγώνων με κορυφές τρία από τα τέσσερα σημεία Α1 , Α 2 , Α3 , Α 4 : (α) όταν τα σημεία Α3 , Α 4 ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε , (β) όταν τα σημεία Α3 , Α 4 ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε . Να δώσετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και σε κάθε περίπτωση να εξηγήσετε πως μπορούν να προσδιοριστούν γεωμετρικά τα σημεία Α3 και Α 4 . Λύση Πρώτα παρατηρούμε ότι από τέσσερα σημεία που ανά τρία είναι μη συνευθειακά, ⎛ 4⎞ 4! ορίζονται συνολικά ⎜ ⎟ = = 4 διαφορετικά τρίγωνα. Επομένως, ο μέγιστος ⎝ 3 ⎠ 3!⋅1! δυνατός αριθμός ισοσκελών τριγώνων που μπορεί να οριστούν με κορυφές τρία από τα από τα τέσσερα σημεία είναι 4. Στη συνέχεια, για τις περιπτώσεις (α) και (β), θα προσπαθήσουμε να τοποθετήσουμε τα σημεία Α3 και Α 4 σε τέτοιες θέσεις, έτσι ώστε να ορίζονται τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα από τα σημεία Α1 , Α 2 , Α3 και Α 4 . Για τον ορισμό ισοσκελούς τριγώνου με δύο κορυφές Α1 και Α 2 υπάρχουν δύο δυνατές περιπτώσεις σε σχέση με τη βάση και τις ίσες πλευρές. Στη πρώτη περίπτωση η Α1Α 2 είναι βάση, ενώ στη δεύτερη περίπτωση η Α1Α 2 είναι μία από τις ίσες πλευρές. Έχοντας στο νου μας αυτές τις δύο δυνατότητες, προσπαθούμε στη συνέχεια να κατασκευάσουμε ισοσκελή τρίγωνα με κορυφές τρία από τα τέσσερα σημεία Α1 , Α 2 , Α3 και Α 4 . (α) Τα σημεία Α3 , Α 4 ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε . Για τον ορισμό ισοσκελούς τριγώνου με δύο κορυφές Α1 και Α 2 υπάρχουν οι παρακάτω δυνατές περιπτώσεις:

5 •

Η πρώτη περίπτωση είναι τα σημεία Α3 και Α 4 να ανήκουν στη μεσοκάθετη δ του ευθύγραμμου τμήματος Α1Α 2 και σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την ευθεία ε. Τότε ορίζονται τα ισοσκελή τρίγωνα Α1Α 2 Α3 και Α1Α 2 Α 4 . Αν επιπλέον το σημείο Α 4 είναι η τομή της μεσοκάθετης δ με τον κύκλο c ( Α1 , Α1Α3 ) , τότε θα είναι

Α1Α3 = Α1Α 4 , αλλά και Α 2 Α3 = Α 2 Α 4 (λόγω

συμμετρίας), οπότε και τα τρίγωνα Α1Α3 Α 4 και Α 2 Α3 Α 4 είναι ισοσκελή, σχήμα 2.

•

Σχήμα 2 Η δεύτερη περίπτωση είναι γενίκευση της πρώτης. Τα σημεία Α3 και Α 4 λαμβάνονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, πάνω σε τυχούσα ευθεία ζ κάθετη προς την ευθεία ε, όχι στα σημεία Α1 , Α 2 , αλλά και πάνω στον κύκλο c ( Α1 , Α1Α 2 ) , ώστε να εξασφαλίζονται οι ισότητες Α1Α 2 = Α1Α3 = Α1Α 4 και

Α1Α 4 = Α1Α3 , Α 2 Α 4 = Α 2 Α3 , αφού η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη της χορδής Α3 Α 4 , σχήμα 3.

•

Σχήμα 3 Στη περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι η Α1Α 2 είναι βάση στο τρίγωνο Α1Α 2 Α3 και μία από τις ίσες πλευρές στο τρίγωνο Α1Α 2 Α 4 , σχήμα 4. Τα ισοσκελή τρίγωνα Α1Α 2 Α3 και Α1Α 4 Α3 , αλλά και τα Α1Α 2 Α 4 και Α 2 Α 4 Α3 είναι ίσα, γιατί έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία, Α 4 Α1 = Α1Α 2 = Α3 Α 2 και Α 4 Α3 = Α 4 Α 2 = Α1Α 2 . Άρα έχουμε και τις ισότητες των γωνιών: θ = ω και ϕ = x .

(1)

6 Από το τρίγωνο Α1Α3 Α 4 προκύπτει η ισότητα:

ϕ + ω + 2θ = 1800 ή ϕ + 3θ = 1800 ,

(2)

ενώ από το τρίγωνο Α 2 Α3 Α 4 προκύπτει η ισότητα

2 (ϕ − θ ) + x + ω = 1800 ⇒ 3ϕ − θ = 1800 .

(3)

Από τις (2) και (3) λαμβάνουμε: ϕ = 720 και θ = 360 .

Σχήμα 4 (β) Τα σημεία Α3 , Α 4 ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε . Έχουμε τρεις δυνατές περιπτώσεις: • Το σημείο Α3 ανήκει στη μεσοκάθετη δ του ευθύγραμμου τμήματος Α1Α 2 και το σημείο Α 4 λαμβάνεται ως η τομή των μεσοκάθετων δ και ζ των ευθύγραμμων τμημάτων Α1Α 2 και Α1Α3 , αντίστοιχα. Τότε και τα τέσσερα τρίγωνα που ορίζονται από τα σημεία Α1 , Α 2 , Α3 και Α 4 είναι ισοσκελή.

Σχήμα 5 Για να ανήκει το σημείο Α 4 στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο Α3 θα πρέπει το τρίγωνο Α1Α 2 Α3 να είναι οξυγώνιο, σχήμα 5.

•

Τα σημεία Α3 και Α 4 λαμβάνονται έτσι ώστε το τετράπλευρο Α1Α 2 Α3 Α 4 να είναι ρόμβος (ή τετράγωνο), δηλαδή πρέπει για το τετράγωνο να ισχύουν Α1Α 2 = Α1Α 4 = Α 2 Α3 και Α1Α 2 ⊥ Α1Α 4 , Α1Α 2 ⊥ Α 2 Α3 , σχήμα 6, ενώ για το ρόμβο πρέπει να ισχύουν Α1Α 2 = Α1Α 4 = Α 2 Α3 = Α 2 Α 4 , σχήμα 7. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε πρώτα το σημείο Α 4 πάνω στο κύκλο

c ( Α1 , Α1Α 2 ) έτσι ώστε Α1Α 2 = Α1Α 4 και στη συνέχεια θεωρούμε το σημείο

Α3 συμμετρικό του Α1 ως προς την ευθεία Α 2 Α 4 .

7 Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να θεωρηθούν τα σημεία Α3 και Α 4 στο άλλο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ε .

Σχήμα 6 •

Σχήμα 7

Στην περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι έχουμε ορίσει τα σημεία Α3 και Α 4 σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα, έτσι ώστε να σχηματίζονται από αυτά τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, σχήμα 8 και 9. Εργαζόμενοι όπως στην τρίτη υποπερίπτωση του (α), λαμβάνουμε τις ισότητες ω = θ = 360 και ϕ = x = 720 .

Σχήμα 8

Σχήμα 9

Παρατηρήσεις

1. Σε καθεμία από τις δύο περιπτώσεις έχουμε ισοσκελές τραπέζιο Α1Α 2 Α3 Α 4 του οποίου οι δύο ίσες πλευρές ισούνται με τη μικρή βάση του. Οι τρεις ίσες πλευρές του ισοσκελούς τραπεζίου Α1Α 2 Α3 Α 4 αντιστοιχούν σε πλευρές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο που περνάει από τρεις κορυφές του, σχήματα 9 και 10. Αντίστοιχη παρατήρηση μπορεί να γίνει για την τρίτη υποπερίπτωση του (α), σχήμα 4.

2. Στην περίπτωση (α) θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το σημείο Α3 σε τέτοια θέση, ώστε να ισχύουν: Α1Α3 = Α1Α2 και Α1Α3 ⊥ Α1Α2 , οπότε το τρίγωνο Α1Α 2 Α3 είναι ισοσκελές και ορθογώνιο, σχήμα 10. Στη συνέχεια το σημείο Α 4 πρέπει να τοποθετηθεί σε διαφορετικό ημιεπίπεδο σε σχέση με το Α3 . Οι πιθανές θέσεις του φαίνονται στο σχήμα 10, αλλά στις τρεις περιπτώσεις ορίζονται τρία ακριβώς ισοσκελή τρίγωνα και στην τέταρτη με Α 4 ≡ Δ μόνο δύο. Επομένως σε αυτή την περίπτωση δεν επιτυγχάνεται ο ορισμός του μέγιστου δυνατού αριθμού ισοσκελών τριγώνων.

8

Σχήμα 10

8

( ) 34 106 79

. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou ( leftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

29 ! " #$ ! %"

3 # &' 2012

( )* + ,)+

- 1

p, q !

"

p q2

n

2

1 p 2 q ,

# $ ! n #! !. # % $ &

p, q .

./ % %

"

%

"

q q 1 p ª n 2 1 p 1ºŸ .

(1)

%' 0.' ^ p, q` 1 , # (1) # p q 1, q n 2 1 p 1

2 q 1 n 1 p 1 k, p q # k #! !. # ! ! (2) *$ k 1 . q kp 1 p 2 n 1 k 2 %' p #! !, # (3) # : 0 n2 1 k 2 d k 1 Â&#x; k 2 n2 1 d k 2 k 1

(2)

(3)

Â&#x; k 2 1 n 2 d k 2 k Â&#x; k 2 d n 2 d k 2 k k 1 , 2

# # k

n . + # ! / ! (3) *$ : n 1 p n 1 q n n 1 1 n 2 n 1 .

2 2 n 1 n % # &$ p, q n 1, n 2 n 1

% %

" # / : 0.' ^ p, q` 1 . $& , 0.'^ p, q` d ,

# d (q np ) 1 , # d 1 .

- 2

% #

% $ P x Q x & ! !, / % * ,

P x2 Q x

P x x5Q x , & $ x Â? \ .

9

./ % % # & $; %

P x2 P x

x

5

1 Q x , & $ x Â? \ .

(1)

% ! / " ! ! ! $ "!

! $% !: 1, Z , Z 2 , Z 3 , Z 4 , # Z

cos

2S 2S i sin , & ! ! / # : 5 5

Z 5 1 Z 6 Z , Z 8 Z 3 . # (1) *$

P Z

P Z 2 , P Z 2

P Z 4 , P Z 3

P Z 6

P Z , P Z 4

P Z 2

P Z 3

P Z 4 .

# /

P Z

P Z 8

P Z 3 ,

b

' ' " P Z , P Z 2 , P Z 3 P Z 4 , #

P x b / ! ! ! Z , Z 2 , Z 3 , Z 4 , # / :

x Z x Z 2 x Z 3 x Z 4 R x

Â&#x153; P x x 4 x3 x 2 x 1 R x b. %' P x / & ! ! % / & R x

! b Â? \ . , P x

$/ % * , # R x

$/ % * .

R x 0 , # % * #! , # #

(1) # x5 1 Q x 0 , #

, % % # % ! \ > x @ " " " & '! * '! % / % % !, # Q x 0 ,

% #. "! R x

% * , % %' # , " R x a z 0 . # / P x a x 4 x3 x 2 x 1 b a x 4 x3 x 2 x c, P x b

# a Â? \* , c a b Â? \. "!, / (1) &

P x2 P x

x

5

1 Q x

Â&#x153; a x8 x 6 x 4 x 2 a x 4 x3 x 2 x

Â&#x153; a x8 x 3 x 6 x

Â&#x153; a x 3 x x5 1

x

x

5

5

x

5

1 Q x

1 Q x

1 Q x

Â&#x153; x 5 1 ÂŞÂŹ a x3 x Q x ºŸ

0.

#

# " " # : Q x

a x 3 x , a Â? \* .

2'% #4 '% $/ ! % #! * #! " % ! ! (1) 5, * #! " ! $ !, # /

10 min deg Q x 1 min deg P x 3.

# P x

a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0 , a0 , a1 , a2 , a3 Â? \ , a3 z 0, # #

% % # " " *$

P x2 P x

Â&#x; x 5 1 P x 2 P x

x

5

1 Q x

(1)

a3 x 6 a2 x 4 a1 x 2 a0 a3 x3 a2 x 2 a1 x a0

Â&#x; x 5 1 a3 x 6 x3 a2 x 4 a1 x 2 a2 x 2 a1 x Â&#x; x 5 1 a3 ÂŞÂŹ x x5 1 x x3 ºŸ a2 x 4 a1 x 2 a2 x 2 a1 x Â&#x; x 5 1 a3 ÂŞÂŹ x x5 1 ºŸ a2 x 4 a3 x3 a1 a2 x 2 a3 a1 x.

#

/ # a2 x 4 a3 x3 a1 a2 x 2 a3 a1 x # *$ a2

a3

0, a1 a2

0, a1 a3

0 Â&#x153; a1

a2

a3

0,

0 , $ .

"! % $ / P x

* , /

% % # . = / " P x

a4 x 4 a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0 ,

a0 , a1 , a2 , a3 Â? \, a4 Â? \* . & # , # "! $ ", *$ : P x2 P x

Â&#x; x 5 1 P x 2 P x

x

5

1 Q x

(1)

a4 x8 a3 x 6 a2 x 4 a1 x 2 a0 a4 x 4 a3 x3 a2 x 2 a1 x a0

Â&#x; x 5 1 a4 ÂŞÂŹ x 5 1 x 3 x 3 ºŸ a3 ÂŞÂŹ x5 1 x x ºŸ a2 x 4 a1 x 2 a4 x 4 a3 x3 a2 x 2 a1 x Â&#x; x 5 1 x 5 1 a4 x 3 a3 x a2 a4 x 4 a4 a3 x 3 a1 a2 x 2 a3 a1 x #

# #

a2 a4 x 4 a4 a3 x3 a1 a2 x 2 a3 a1 x

# *$

P x

= / # / (1) # :

x

5

1 a4 x3 a4 x

a2

a3

a4 Â? \ * ,

a4 x 4 x 3 x 2 x a0 , a4 Â? \* , a0 Â? \.

a4 x 4 a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0

P x2 P x

0 Â&#x153; a1

x

5

1 Q x Â&#x; Q x

a4 x3 x , a4 Â? \* .

- 3 > & &" $%* ( $% $* %* ), && & c(O, R) (

O R ). % / # ! $' & & c(O, R)

. . ! c1 (O1 , R1 ) ( /

2$ $ #

$, ' ), $% (

$* = . 0 , N " =* %( / , % #

! (= , '0 , .* $ # %

( " 7 ), ! (= , '1 , .% $ # %

( " S ) # 2. $

! TS . ./ ;# c1 * $ " 2$ , c c1 ;$ " $

$ . > %' c c1

11 #

$ #& O ( O #& ! "

" " % " ).

=/' 1 # $ $ #

$ ! ! c c1

4 41 / , # $4 O$41 . ? *$ ! & ! B ! / : %* #

! (= , # %* / / (= . .* #

! '= , # .* / / '= . + " 7

'! " (= .* . # '=7*

#& , $ '0 $ #

7 . ? # # % # > S

#& , #

! (= , '1 , .% $ #

S . ;# # 21 . # ' ,

# : 21' / / 2. %' 2. A %* (% # .

# %* ), # 21' A %* .

D %* ;$ c1 (21 , R1 )

' . ;# '

;'! / : Ë&#x2020; $ Ë&#x2020; Ë&#x2020; . 'Ë&#x2020; 1 'Ë&#x2020; 2 $ $ 1 2 2 ( &" ! 'Ë&#x2020; 1 , 'Ë&#x2020; 2 /

# / %' ; ) = % # #& '(S% '=7* , / : Ë&#x2020; $ SË&#x2020; TË&#x2020; .

2 D $ JTS ! $ K

$

! TS (% # $

! *$ ! %* ).

- 4 ! /' ! # ! #

&" ! ! / ' ! 1. $ $1( / ' ! 3

&$ *$ $1$Q / ' ! Q 1 . M $ #

$1

12 $ ' ! " & $ " $ " # ! % $ $ " ( $ $ ' $ % $).

N & ( ' Q ' $ # #) ' ! # " " % % % ' , # '

%, *, ', ( , # Q ! & ! 3 . ./ = &$ *$

$ /

$1 , $ 2 , $3 ,}, $Q . =

# ! $ " & ' $ /

%1 , % 2 , %3 , }, %Q 1 { % . =

# ! $ " & ' $ /

*1 , * 2 , *3 ,}, *Q 2 { * . = ' ! *$

$ /

( { '1 , ' 2 , ' 3 , }, 'Q 3 { ' . * $ ( $) & $ ' ! " # " !

! &&

/

( *

; & $ ). J $% & , E1 * ' ! " # " ! ! &&

%1 .

; ! D1 D 2 D 3 D 4 D 5 " DQ 1 , % # /

&& # # (% % #

# ! % $ & && ' !). = $ $

" , # && ! # $ " # " && !

" , & ! $ ! $ " ( $ " $ $ " % $). + / : E1 D1 D 2 , E 2 E1 D 2 D 3 D1 a2 D 2 D 3

D1 2D 2 D 3 2(D1 D 2 D 3 ) (D1 D 3 ), E3 E 2 D 3 D 4 D1 2a2 D 3 D 3 D 4 D1 2(a2 D 3 ) D 4 2(D1 D 2 D 3 D 4 ) (D1 D 4 ),

13 & $ *$ E k 2(D1 D 2 D 3 " D k 1 ) (D1 D k 1 ) 2(k 1) 2 2k , , & k 1, 2,3,! , (Q 1) .

D / : E EQ 1 2(Q 1) . ? $ & # & ! # ! && ! "

" !

! # $ " & '! ! '! *$ !.

J i 2( E1 E 2 E3 " Ei 1 ) ( E1 Ei 1 ) 2(2 4 " 2(i 1)) (2 2i 2) 4(1 2 " (i 1)) (4 2i ) 2(i 1)(i 2) 2(i 2) 2i (i 2), i 1, 2,3, }, (Q 2) .

D / : J J Q 2 2Q (Q 2) .

"!, / G m 2(J 1 J 2 J 3 " J m 1 ) (J 1 J m 1 ) 4 1 3 2 4 " (m 1)(m 3) 2 1 3 (m 1)( m 3)

S

(m 1)(m 2)(2m 9) 4 2 1 3 (m 1)(m 3) ……..

6 2 m(2m 2 12m 19), 3

m 1, 2,3,! , (Q 3). .

D / : 2 (Q 3)(2Q 2 1) .

3 ’ ! % # : H 22 .

G

GQ 3

6 ' '* / 4% ' #'&/ '%: S 1 3 2 4 " (m 1)(m 3) .

Q ! # x( x 2) x 2 2 x & x 1, x 2.}, x ½ ° 2 4 2 2 2 ° ° 3 5 32 2 3 ¾ S1 ° # ° m(m 2) m 2 2m °¿

m , / :

1 3 12 2 1 2

m(m 1)(2m 1) m(m 1) 2 6 2

# m m 1 / S

m(m 1)(2m 7) .

6

(m 1)(m 2)(2m 9) .

6