REVISTA

INSTITUTOTECNICO RICALDONE

Integrantes:

Ana Sofía Martínez Erazo.

Diseño Gráfico

Óscar René Ramos Valiente. Diseño Gráfico

Andrés Jared Romero Merino. Arquitectura

Dayana Nicole Torres Argueta.

Diseño Gráfico

Ashley Steysie Ramirez Valle. Electronica

Maestra: Margarita Hernandez

Materia: Matemática

Segundo año de bachillerato.

Sección: B1

APRENDAMOS JUNTOS

Laesenciadelas matemáticasnoes hacerlascosas simplescomplicadas, sinohacerlascosas complicadassimples"

S.Gudder.

TABLA DE CONTENIDOS UNIDAD 2

1. Puntos y segmentos .

2. Línea recta .

3. Posiciones relativas entre rectas .

4. Práctica en GeoGebra .

INTRODUCCIÓN

Bienvenidos a nuestra revista dedicada a la geometría, donde exploraremos temas fundamentales como puntos, segmentos, líneas rectas y posiciones relativas entre rectas.

A través de ejemplos claros, descubriremos cómo estos conceptos construyen la estructura del espacio y nos sorprenderemos con sus interacciones y propiedades.

Además, nos sumergiremos en la práctica interactiva con GeoGebra para visualizar y experimentar con conceptos geométricos de manera entretenida. Únete a este emocionante viaje por el fascinante mundo de la geometría y sus aplicaciones. ¡Despierta tu curiosidad por las maravillas de las formas!

PUNTOS Y SEGMENTOS

El segmento es un fragmento de la recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales. Así, dado dos puntos A y B, se llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B con la semirrecta de origen B que contiene al punto A.

Cuántos puntos tiene un segmento de línea?

Un segmento de línea tiene dos puntos finales. Contiene esos puntos finales y todos los puntos de línea entre ellos.

Tipos de segmentos

Consecutivos: Son aquellos que tienen en común un extremo (pueden o no pertenecer a la misma recta).

Colineales, alineados o adyacentes: Son aquellos que pertenecen a la misma recta.

No colineales: No pertenecen a la misma recta.

PUNTOS Y SEGMENTOS

El punto es uno de los conceptos primarios de geometría. El punto no es un objeto físico y no tiene dimensiones (ni longitud, ni área, ni volumen, etc.).

El punto describe una posición en el plano, determinada respecto de un sistema de coordenadas. Los puntos se nombran con letras mayúscualas: A, B, C, etc.

Un punto cualquiera en una recta es el origen de dos semirrectas. Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos.

El concepto de punto en geometría resulta útil en muchos ámbitos, muchos de ellos ajenos a las matemáticas. Dos claros ejemplos son la industria de la animación por ordenador y la de los videojuegos, que se valen de la geometría para la representación gráfica de objetos y personajes en dos o tres dimensiones.

El punto en geometría es un ente fundamental: esto quiere decir que sólo puede definirse realizando una comparación con otros elementos. De este modo, el punto no se define por sí mismo, sino que adquiere su significado a partir de su relación con otros conceptos.

Calcula la distancia entre los puntos A y B si: a) A(–2) y B(3) están sobre la recta numérica. b) A(3, 4) y B(–1, 1) están sobre el plano cartesiano.

a) Sobre la recta numérica se colocan los puntos A y B, cuyos valores son –2 y 3 respectivamente (ver figura); de acuerdo a esto la distancia entre ambos es 5:

Por lo tanto, la distancia entre A y B es 5. Sin necesidad de la recta numérica, lo anterior también puede calcularse restando del valor de B el valor de A:

b) Sobre el plano cartesiano se colocan los puntos A y B cuyas coordenadas son (3, 4) y (–1, 1) respectivamente (ver figura); la distancia entre A y B es igual a la longitud del segmento AB.

Al formar el triángulo rectángulo ABC y utilizando el teorema de Pitágoras se obtiene:

La longitud del segmento BC es igual a calcular la distancia de –1 a 3 en el eje x, es decir:

De igual forma, la longitud del segmento CA es igual a calcular la distancia de 1 a 4 en el eje y, es decir: Se sustituyen BC y CA en AB = BC2 + CA2 y sBC = 3 – (–1) = 4. CA = 4 – 1 = 3.

Se sustituyen BC y CA en AB = BC2 + CA2 y se calcula el resultado:

Por lo tanto, la distancia entre A y B es 5.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA: RECTA NUMÉRICA

Dados dos puntos A(a) y B(b) sobre la recta numérica, el valor del punto P(p) que se encuentra sobre el segmento AB y lo divide en razón k:n es:

EJEMPLO:

Dados A(–3) y B(5), encuentra el valor del punto P(p) que divide al segmento AB en razón 3:1. Para este caso, a = –3, b = 5, k = 3 y n = 1. Luego:

Por lo tanto, el valor del punto P es 3.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA: PLANO CARTESIANO*

Dados dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) sobre el plano cartesiano, las coordenadas del punto P(x, y) que se encuentra sobre el segmento AB y lo divide en razón k:n son:

EJEMPLO:

Dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) se colocan en el plano cartesiano como se muestra en la figura de la derecha.

¿Cómo encontrarías las coordenadas del punto P(x, y) que está sobre el segmento AB y lo divide en razón 2:3?

Se colocan sobre los ejes los puntos A1(x1, 0), P1(x, 0), B1(x2, 0), A2(0, y1), P2(0, y) y B2(0, y2) como se muestra en la figura de la izquierda y se trazan los segmentos AA1, PP1, BB1, AA2, PP2 y BB2. Los segmentos AA1, PP1 y BB1 son paralelos; por el teorema sobre la proporcionalidad y el paralelismo:

Utilizando lo visto en la clase anterior, la coordenada x del punto P es:

De manera similar se llega a que la coordenada y del punto P es:

Por lo tanto,

PENDIENTE Y DEFINICIÓN DE LÍNEA RECTA

Una línea recta es un conjunto de puntos tales que, al tomar dos de ellos cualesquiera y diferentes A(x1, y1) y B(x2, y2), el valor del cociente es siempre constante. A dicho cociente se le llama pendiente de la recta y se denota por la letra m, es decir:

ECUACIÓN DE UNA RECTA: FORMA PUNTO – PENDIENTE*

La ecuación de una recta l con pendiente conocida m y un punto A(x1, y1) perteneciente a la recta es:

A esta ecuación se le llama forma punto – pendiente de la ecuación de la recta; al despejar la variable y en lo anterior se obtiene:

Donde el coeficiente de la variable x es la pendiente de la recta y el valor de –mx1 + y1 es constante. Para graficar la recta l conociendo el punto A(x1, y1) sobre ella y su ecuación punto – pendiente se hace lo siguiente:

1. Sustituir un valor particular para x y encontrar el correspondiente valor en y.

2. Colocar sobre el plano cartesiano los puntos A(x1, y1) y el punto obtenido en el numeral 1; luego trazar la recta que pasa por ambos puntos.

ECUACIÓN DE UNA RECTA DADOS DOS PUNTOS

La ecuación de una recta l que pasa por dos puntos conocidos A(x1, y1) y B(x2, y2), con x1 ≠ x2 es:

Para graficar la recta l se colocan los puntos A y B en el plano cartesiano, luego se traza la recta que pasa por ambos puntos. En general, para trazar la gráfica de una línea recta l basta con ubicar dos puntos pertenecientes a l y trazar la recta que pasa por ambos.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS

Las posiciones relativas entre rectas se refieren a cómo se relacionan dos o más rectas en un plano. Hay tres casos principales:

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y nunca se cruzan, manteniendo siempre la misma distancia entre sí

Rectas coincidentes: Dos rectas son coincidentes si son la misma recta, es decir, ocupan exactamente los mismos puntos en el plano.

Rectas oblicuas: Dos rectas son oblicuas si se cruzan, pero no forman un ángulo recto en el punto de intersección.

"LAS MATEMÁTICAS PURASSON,ENSU FORMA,LAPOESÍA DELASIDEAS LÓGICAS"ALBERT

PRÁCTICA EN GEOGEBRA

1. Abre un nuevo archivo de GeoGebra dando clic (o doble clic) al ícono del software.

2. Para crear el segmento AB con A(–2, 5) y B(3, –4):

a) Ubica primero los puntos en el plano, ya sea utilizando la herramienta Punto o la barra de entrada.

b) Da clic sobre la parte inferior derecha de la herramienta Recta y selecciona segmento

En GeoGebra los puntos se nombran con letras mayúsculas; si escribes “a=(-2,5)” obtendrás por resultado un vector.

c) En la Vista Gráfica selecciona los puntos A y B. En la Vista Algebraica aparecerá el nombre del segmento y la longitud del mismo. Recuerda que la longitud del segmento AB es igual a la distancia entre los puntos

A y B, que en este caso este caso particular es 10.3 aproximadamente

d) También puedes crear segmentos usando la barra de entrada en lugar de la herramienta Segmento.

Crea los puntos C(–4, 1) y D(2, 3); en la barra de entrada escribe la palabra segmento y elige la opción

“Segmento(<Punto(extremo)>, <Punto(extremo)>)”. En lugar de <Punto(extremo)> escribe C y D respectivamente.

Lineas rectas

3. Para trazar la gráfica de una línea recta cuya ecuación es conocida, simplemente se escribe dicha ecuación en la barra de entrada. Por ejemplo, para trazar la gráfica de 3x – y + 1 = 0 se escribe 3x-y+1=0 y presiona enter:

4. Para encontrar la ecuación y trazar la gráfica de una recta que pasa por dos puntos dados, se utiliza el comando Recta(<Punto>, <Punto>) en la barra de entrada. Por ejemplo, para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–3, –5) y B(1, 4) creas primero los puntos A y B; luego escribe Recta(A,B) y presionas enter. En la Vista Algebraica aparecerá la ecuación de la recta y en la Vista Gráfica la línea.

CONCLUSIÓN

En resumen, esta revista ha sido un fascinante recorrido por la geometría y sus conceptos esenciales. Hemos explorado los puntos, segmentos y líneas rectas, así como las relaciones entre rectas.

Además, hemos experimentado de forma interactiva con GeoGebra para reforzar nuestro entendimiento.

La geometría nos ha mostrado la belleza de las formas y su relevancia en nuestro entorno, dejándonos con una curiosidad renovada para seguir aprendiendo en este emocionante campo del conocimiento. ¡Sigamos explorando juntos!