ENEM - Matemática

Matemática ANÁLISE GERAL: Todos os conteúdos do Ensino Fundamental e Ensino Médio são cobrados no ENEM, no entanto 5 são os mais abordados. São eles: . Matemática básica . Geometria plana e espacial . Contagem e probabilidade . Funções . Estatística

UNIDADE 1 Nas três primeiras unidades abordamos o conteúdo de Aritmética Básica, Conjuntos, Potenciação, Radiciação, Razão, Proporção, Regra de 3, Porcentagem e Equações de 1º e 2º graus.

O domínio desses assuntos são necessários para o desenvolvimento de todos os outros seguintes.

ARITMÉTICA BÁSICA MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Sendo a, b e cnúmeros naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b.

Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} Observações:  O zero é múltiplo de todos os números.  Todo número é múltiplo de si mesmo.  Os números da forma 2k, k  N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares.  Os números da forma 2k + 1, k  N, são números ímpares.

Logo, 90 possui 12 divisores NÚMEROS PRIMOS Um número p, p  0 e p1é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.

Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....

Observação: Um número é denominado composto se não for primo.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão.

Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.

Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 Processo 2: 6–8 2 3–4 2 3–2 2 3–1 3 1–1 Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 MÁXIMO DIVISOR COMUM Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns.

Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42

DIVISOR DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c.

Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42}

Exemplo: Divisores de 12 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Observações:  O menor divisor de um número é 1.  O maior divisor de um número é ele próprio.

Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se da seguinte forma: Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Tomam-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade; c) Multiplicam-se os resultados assim obtidos.

Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais

a)

Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }  a, b  N, (a + b)  N e (a . b)  N

(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 ENEM

1

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo.

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }  a, b  Z, (a + b)  Z, (a . b)  Z e (a – b)  Z

b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.

Exemplos: a) 0,3777... =

37  3 34 17   90 90 45

Conjunto dos Números Reais Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.

Conjunto dos Números Racionais Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um número não inteiro.

QUADRO DE RESUMO

 Q

I Z

Q={x|x

a , com a  Z, b  Z* } b

Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional.

São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros c) decimais exatos ( 0,2 =

2

)

Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante.

PROPRIEDADES EM 

10

d) dízimas periódicas ( 0,333... =

N

1

)

3

As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).

    

Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procedemos assim: a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

7 9 3 1  b) 0,333....= 9 3 43 c) 0,434343... = 99 a) 0777...=

2

Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Simétrico: a + (– a) = 0 1 Inverso: a . = 1, a 0 a

INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE UM NÚMERO REAL INTERVALOS NUMÉRICOS Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de .

Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:  {x  R| p  x  q} = [p, q]  {x  R| p < x < q} = ]p, q[  {x  R| p  x < q} = [p, q[  {x  R| p < x  q} = ]p, q]  {x  R| x  q} = [q, [  {x  R| x > q} = ]q, [  {x  R| x  q} = ] -, q]  {x  R| x < q} = ] -, q[

Matemática Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observações  O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}  O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }  O intervalo (  , +  ) representa o conjunto dos números reais (R)  (x, y) = ]x, y[ Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b  0 ax + b  0 Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b então para m  a + m > b + m Se: a > b então para m > 0  a . m > b . m Se: a > b então para m < 0  a . m < b . m

Notação de conjunto. Exemplo: {x  R| 2 < x  3}

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representação Gráfica.

POTENCIAÇÃO

Exemplo: Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Sendo a  R e a  0 e m  Z. Tem-se que: Veja outros exemplos: 1) {x  R| x > 2} = ]2, [

am = a. a. a. a. a..... a.  m fatores  Casos Particulares

2) {x  R| x  1} = ] -, 1]

a0 = 1 para a  0 a1 = a a-n =

3) {x  R| 3  x < 4} = [3, 4[

1 an

Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se:  am.an = am + n

EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DEFINIÇÃO Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.

RESOLUÇÃO Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.

Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes.

PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE Se: a = b então para m  a + m = b + m Se: a = b então para m  0  a . m = b . m INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.

ENEM



am  a m n an

 (am)n = am.n  (a.b)n = an.bn n n   a   a n  b b Potência de base 10 Sabe-se que: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 Então 10n = 100...........00 n zeros Observe ainda que: 10-1 = 1 = 0,1 10 -2 10 = 1 = 0,01 10 2 -3 1 10 = = 0,001 10 3

3

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias Então 10–n = 0,000.............001 n casas decimais

FIQUE LIGADO NO ENEM! Ao separar o total de suas figurinhas, em grupo de 12, 15 e 24, uma criança observou que sobravam sempre 7 figurinhas. Se o total de suas figurinhas está compreendido entre 240 e 360, pode-se afirmar que a soma dos algarismos significativos desse total é:

RADICIAÇÃO Definição b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.

a) b)

Representação n

6 9

c) 10 d) 13

a = b  bn = a

Nomenclatura Em

n

UNIDADE 2

a = b, temos:   

n é o índice a é o radicando b é a raiz

NÚMEROS PROPORCIONAIS

Condição de existência

a , se n for par, então é necessário que a seja n maior ou igual a zero. Se n for ímpar então a sempre n

Em

RAZÕES E PROPORÇÕES Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade.

Então, dados dois números,a e b, denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por

existe.

Obs.: a razão a é usualmente lida assim: “a está para b”. b A igualdade entre duas razões é uma proporção.

Propriedades

 n a .n b  n a.b 

na nb

n

 

a

Representação: a  c

b

onde: a, d = extremos

b

m

a

m na m n.p m.p na  a

A expressão

 n m a  n.m a

Observações:

 na



n

a

m

a

b

n

m

anm .

a  b Neste 2º CASO: O denominador é do tipo caso, multiplica-se numerador e denominador. Pelo fator:

a b

4

b, c = meios

lê-se assim: a está para b assim como

d

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem.

m n

1º CASO: O denominador é do tipo a Neste caso, multiplica-se numerador e denominador n



c

d

c está para d.

Racionalização de denominadores Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente à primeira sem, no entanto, com o radical no denominador.

pelo fator:

a b

 A e B são diretamente proporcionais se: a b c   k d e f k é a constante de proporção.

Propriedade: 

a b c abc    d e f def

A e B são inversamente proporcionais se: a.d=b.e=c.f=k Propriedade: a . d = b . e = c . f = a b c   1 1 1 d e f

Matemática

FIQUE LIGADO NO ENEM! A distância entre Catanduva e Araraquara é praticamente uma reta. Determine a distância entre essas cidades em quilômetros.

Regra de Três Composta Regra de três composta é um processo matemático mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior (Regra de três simples), levando em consideração apenas o item da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em relação à que possui a variável. A montagem e resolução da proporção seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de Três Simples).

PORCENTAGEM

Escala: 1:3 000 000 a) b) c) d) e)

214 km 1140 hm 141 km 11 000 km 11,4 km

As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas razões centesimais.

13 27 ; ; etc.

Exemplo: 100 100 Noção Intuitiva “O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são analfabetos.

Cálculo de uma porcentagem

UNIDADE 3 REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o aumento de uma delas implica no aumento da outra na mesma razão.

Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00 3 kg de alimento custam R$ 45,00 5kg de alimento custam R$ 75,00 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento der uma delas implica na diminuição da outra na mesma razão.

Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias 4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias 6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias APLICAÇÕES – REGRA DE TRÊS Regra de Três Simples Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo “duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste no seguinte:  Identificar as grandezas envolvidas no problema.  Nas situações dadas (em relação às grandezas) dispô-las em colunas.  Verificar se são GDP ou GIP.  Montar a proporção correspondente.  Resolver a proporção.

ENEM

Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” 25 pois 25% = = 0,25 100 Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 Definição Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa “por cento”.

EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a 0.

RESOLUÇÃO 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 =  c x2 =



c a

x= 



S = 



c a

c c  ,   a a

5

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias 2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim:

diversas unidades que as grandezas possam ter, e suas conversões, se fazem presentes nessas unidades.

GEOMETRIA PLANA

ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 S = {0,



ÂNGULOS

b } a

Ângulo é a região formada por duas semi- retas que têm a mesma origem (vértice).

3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c  0 aplica-se a fórmula de Bháskara

x=

b Δ onde:  = b2 – 4ac 2a

Nessa fórmula,  = b – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações: 2

  

 > 0. Existem duas raízes reais e distintas  = 0. Existem duas raízes reais e iguais  < 0. Não há raiz real

O ângulo formado é o ângulo AÔB, no qual: OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice

UNIDADES ANGULARES Sistema Sexagesimal (Grau) 1 grau é

RELAÇÕES DE GIRARD Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se: x1 + x2 = 

b a

x1 . x2 =

c a

1 da circunferência.

360

Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´ Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura. Ângulo Agudo

FIQUE LIGADO NO ENEM! A fim de se adequar à inflação, uma papelaria decidiu aumentar os preços de todos os seus produtos em 20%.

Porém, para não perder clientes, o dono disse aos funcionários que os clientes antigos poderiam pagar sem o reajuste. Ângela, uma cliente antiga precisa de uma tela para pintar um quadro. Na etiqueta o valor mostrado é de R$240,00. O funcionário aplicou um desconto sobre a etiqueta cobrando da cliente o preço correto. Qual foi preço e o desconto que ele aplicou? a) R$192,00, com desconto de 20% b) R$200,00, com desconto de 20% c) R$192,00, com desconto de aproximadamente 16,7% d) R$200,00, com desconto de aproximadamente 16,7% e)R$180,00, com desconto de 25%

Ângulo Reto

Ângulo Obtuso

Dois ângulos  e  podem ser:

UNIDADE 4 Nas unidades 4 e 5 abordaremos a Geometria Plana e Espacial. Assunto amplamente cobrado em todas as provas do ENEM devido a necessidade de visualização espacial que os universitários deverão ter em qualquer área que atuem. Os cálculos de áreas, perímetros, relações entre ângulos e outros elementos geométricos, bem como as 6

a) complementares:  +  = 90º b) suplementares:  +  = 180º c) replementares:  +  = 360º ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Matemática Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Triângulo Retângulo

ÂNGULOS FORMADOS POR DUASPARALELAS E UMA TRANSVERSAL

ESTUDO DOS POLÍGONOS Triângulos ELEMENTOS

Dados os pontos A, B e C não alinhados, chamasetriângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC.

Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: Quanto aos lados

Quanto aos ângulos

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a o lado maior, temos:  a2< b2 + c2 triângulo acutângulo  a2 = b2 + c2 triângulo retângulo  a2 > b2 + c2 triângulo obtusângulo ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

CLASSIFICAÇÃO Os polígonos podem ser classificados quanto ao número de lados. Dentro dessa classificação, os mais conhecidos são:            

Triângulos - 3 lados Quadriláteros - 4 lados Pentágono - 5 lados Hexágono - 6 lados Heptágono - 7 lados Octógono - 8 lados Eneágono - 9 lados Decágono - 10 lados Undecágono – 11 lados Dodecágono - 12 lados Pentadecágono – 15 lados Icoságono - 20 lados

Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).

NÚMERO DE DIAGONAIS O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela expressão:

A + B + C = 180°

Triângulo Equilátero SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n  3) é dado pela expressão:

Se AB = BC = AC então A = B = C = 60° ENEM

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n  3) é sempre igual a 360° 7

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Observações 

Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações:

 Sendo n o número de lados de um polígono e sendo n par, então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.  Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.

Hexágono Regular

CIRCUNFERÊNCIA ELEMENTOS

POLÍGONOS REGULARES Um polígono é regular quando tem lados e ângulos congruentes.Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência.

Nomenclatura

 é o lado do polígono R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema

Raio: segmento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB. ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da circunferência.

Triângulo Equilátero

h

Ângulo Inscrito: circunferência.

ângulo

Quadrado

Propriedade:

8

que

tem

vértice

na

Matemática Consequências

TEOREMA DE PITOT Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois:

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULO RETÂNGULO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se (e somente se) os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temos: Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

Aˆ  Dˆ  a b c ˆ ˆ Se : B  E então   k d e f  ˆ  Fˆ  C 

k é a constante de proporção ou constante de semelhança.

Quadrilátero Inscrito na circunferência

Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

Triângulo Retângulo – relações métricas Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.

SEGMENTOS TANGENTES

Seus elementos são:  a: hipotenusa  b e c: catetos  h: altura relativa à hipotenusa  n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

ENEM

9

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Relações Métricas Através da semelhança de triângulos estabelecer as seguintes relações:     

podemos

a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) a.h = b.c b2 = a.n c2 = a.m h2 = m.n

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS TRIÂNGULOS QUAISQUER

Círculo e suas partes Círculo

A = R2 Coroa Circular

A =  (R2 – r2 ) TRIÂNGULO EQUILÁTERO Setor Circular

2 A = απR 360

QUADRILÁTEROS Paralelogramo

SISTEMAS DE UNIDADES MEDIDAS DE COMPRIMENTO A = a.h

Algumas unidades para medir comprimento são mais utilizadas do que outras, mas as mais usadas são as métricas.

km 1000

hm 100

dam 10

m 1

dm 0,1

Exemplo : Converter 125 dam em km.

10

cm 0,01

mm 0,001

Matemática Como passamos 2 unidades à esquerda, a virgula passa 2 casas à esquerda, logo: 125 dam = 1,25 km.

MEDIDAS DE ÁREA

km2 100000 0

hm2 1000 0

dam

m

2

2

100

1

dm2

cm2

mm2

0,0 1

0,000 1

0,00000 1

FIQUE LIGADO NO ENEM! Células fotovoltaicas são dispositivos capazes de transformar energia luminosa em energia elétrica. Atualmente apresentam eficiência de aproximadamente 16%, ou seja, 16% da energia fornecida pela luz é transformada em energia elétrica. Em determinado lugar foi instalado um painel com 32 células, onde cada célula tem o formato e dimensões como da figura, que, a partir de um quadrado foi feito chanfros de 2cmx2cm. Sabe-se também que a energia recebida é de 800 W/m2, qual a energia disponibilizada para uso das células, por unidade de tempo?

Exemplo : Converter 3,987 dm² em cm².

Como passamos 1 unidade à direita, a virgula passa 2 casas à direita, logo: 3,987 dm² = 398,7 cm².

a) b) c) d) e)

240W 240Mw 38 400W 38,4 W 80 W

MEDIDAS DE VOLUME km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

O mesmo raciocínio acontece com as medidas de volume, ou seja, ao passar uma unidade à direita, a virgula passa 3 unidades à direita.

UNIDADE 5 GEOMETRIA ESPACIAL - POLIEDROS Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.

Existe ainda outra tabela com medidas de volume, mais comumente chamadas de Medidas de Capacidade: MEDIDAS DE CAPACIDADE kl 1000

hl 100

dal 10

L 1

dl 0,1

cl 0,01

ml 0,001

Relação de Euler: V + F = A + 2 Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices.

Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?

CONVERSÃO: 1litro = 1 dm³ MEDIDAS DE MASSA kg 1000

Hg 100

dag 10

G 1

dg 0,1

cg 0,01

mg 0,001

Como passamos 1 unidades à esquerda, a virgula passa 21casas à esquerda.

Poliedros Regulares Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais.

ENEM

11

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias  Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos Observação: Se o polígono da base forregular, o prisma também será chamados de Regular.

CLASSIFICAÇÃO De acordo com sua inclinação, um prisma pode ser: Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos da base.

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base.

PRISMAS DEFINIÇÃO Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases, e as demais faces em forma de paralelogramos.

No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais à altura.

Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base.

ELEMENTOS BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´; BCB´C; CDC´D´; ……

ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´ e EE´ ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma.

ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ; D´E´ e E´A´

NOMENCLATURA O nome do prisma se dá através da figura da base.

 Prisma Triangular: As bases são triangulares.  Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.

12

TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos e as faces opostas são retângulos congruentes.

Matemática Elementos e Formulário

Possui três dimensões:  comprimento (a)  largura (b)  altura (c) Fórmulas Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2 RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST

     

aresta da base - ℓ aresta lateral -aℓ altura – h apótema da base – ab apótema da pirâmide – ap Raio da circunferência circunscrita – R

Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as seguintes relações:

Cubo – Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base Área Lateral : SL = n.

 ap 2

Área Total: ST = SB + SL Todas as faces são quadrados

Volume V =

SB.h 3

Fórmulas Área Total: ST = 6  2

3 d= 

Relações Auxiliares na Pirâmide

Volume: V = Diagonais:

2D= 

3

PIRÂMIDES



ap2 = H2 + ab2



a  2 = ap2 +     2



a  2 = H2 + R2

2

DEFINIÇÃO

CILINDRO, CONE e ESFERA

Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares.

Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular

CILINDRO DE REVOLUÇÃO Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular.

Elementos

Pirâmides Regulares Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular.

ENEM

13

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base, dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h

No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles.

Quando a secção meridiana for um triângulo equilátero teremos um cone equilátero ( G = 2R )

Fórmulas Considere um cilindro reto.

h

g

2R

ESFERA Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros. Área da Base: SB = r2 Área Lateral: SL = 2rh Área Total: ST = 2SB + SL Volume: V = r2h Secção Meridiana: A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro equilátero. (g = h = 2r)

Secção de uma esfera Qualquer plano  que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r.

2R

h

CONE DE REVOLUÇÃO Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a hipotenusa é a geratriz do mesmo.

d é a distância entre o plano  e o centro da esfera.

R é o raio da esfera. r é o raio da secção.

Relação: R2 = r2 + d2 Fórmulas da esfera superfície esférica: As = 4R2

volume: V =

4

πR

3

3

FIQUE LIGADO NO ENEM! Na figura, cada aresta do cubo mede3cm.Prolongando–se uma delas de 5 cm,obtemos o pontoM.A distância, deMao vérticeAemcentímetros é: Fórmulas Área da Base: SB = r2

Área Lateral: SL = rg 2

Área Total: ST = SB + SL Volume: V =

πr h 3

Relação auxiliar: g2 = h2 + r2 Secção Meridiana a) 14

Matemática Observação:

b)

Se  +  = 90° tem-se que sen  = cos 

c) d) e) 9

Tabela de arcos notáveis

UNIDADE 6 A Trigonometria é muito relevante no ensino de matemática, embora até então não tem dito muito destaque. Nessa unidade veremos as relações trigonométricas, definições, visualizações dos ângulos e lados de triângulos, assim como os teoremas, as representações no círculo trigonométrico e as conversões de graus para radianos e vice versa.

Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e obtemos dois triângulos retângulos isósceles.

Em resumo, temos:

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: 

____

___

AC e AB são os catetos ___



BC é a hipotenusa    B e C são os ângulos agudos Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos são complementares, ou seja,

  B  C = 90º

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:  SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.  CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.  TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

TEOREMA DOS CO-SENOS Sendo assim, temos que: Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo co-seno do ângulo formado por eles. sen  = ENEM

b a

cos  =

c a

tg  =

b c 15

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

1º = 60'

1'= 60''

 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido.

Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.

Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos. Portanto:

180º

360º  rad



2 rad

TEOREMA DOS SENOS CICLO TRIGONOMÉTRICO Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico.

Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas quadrantes.

INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Arco de uma circunferência é cada uma das partes que fica dividida a circunferência por dois pontos quaisquer sobre pontos.

A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência).

Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.  Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento é igual a

1 do comprimento da 360

circunferência.

Logo, a circunferência tem 360º.

Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: 16

ORIENTAÇÃO

 Anti Horário  Positivo  Horário  Negativo

ARCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........

Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem apenas no número de voltas.

Matemática A expressão x = 30º + 360º . k, com k  Z, é denominada expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira determinação positiva.

A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:  + k . 360º, com k  Z.  Se um arco mede  radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:  + k . 2, com k  Z.

SENO e CO-SENO DE UM ARCO DEFINIÇÃO Considere o arco que possui extremidades na origem do ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o ângulo central .

Note que: – 1 sen  1 e – 1 cos  1 Denomina-se sen  a projeção do raio OM, pela extremidade M do arco sobre o eixo y.

Denomina-se cos  a projeção do raio OM, sobre o eixo x.

OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos do 2º, 3º e 4º quadrantes.

Equações trigonométricas num intervalo dado: Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros.

São exemplos de equações trigonométricas: 1) sen x = 1 2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos:

2. Sinais

x  a  2k (congruos)  sen x = sen a  x    a  2k (suplementares)

TABELA

ENEM

17

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

x  a  2k (congruos)  cos x = cos a  x   a  2k (suplementares)

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA 

TABELA

sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental)

A relação acima também vale para arcos com extremidades fora do primeiro quadrante.

Exemplos: sen230° + cos230° = 1 sen2130° + cos2130° = 1 Convém lembrar que se  +  = 90°, sen  = cos .

Logo, vale também relações do tipo: sen2 50° + sen2 40° = 1 sen 210° + sen2 80° = 1 TANGENTE DE UM ARCO DEFINIÇÃO Associa-se à circunferência trigonométrica mais um eixo,a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.

EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA  tg x = tg a

 x  a  2k

SINAIS

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS  18

sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

Matemática As demais Relações Trigonométricas com as condições de existência obedecidas são: sen x cos x

tg x =

sec x =

1 cos x

cotg x =

ESTUDO DAS FUNÇÕES

1 tg x

cossec x =

porcentagens, médias, extrapolações, ou seja, dados estatísticos.

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B.

1 sen x

A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas relações derivadas.

Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos: 1 + cotg2 x = cossec2 x E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos: tg2 x + 1 = sec2 x

Formalmente: f é função de A em B  (x  A,  y  B|(x, y)  f) Numa função podemos definir alguns elementos.

   

Conjunto de Partida: A Domínio: Valores de x para os quais existe y.

Contra Domínio: B Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Sinais das Funções Trigonométricas seno e cossecante cosseno e secante tangente e cotangente

1°Q + + +

2°Q +  

3°Q   +

4°Q  + 

FIQUE LIGADO NO ENEM! Duas circunferências são tangentes externamente, e a distancia entre seus centros é de 15 cm. Determine a medida de cada um dos raios dessas circunferências.

Observações:  A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im  C.D)  Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.  O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y.

a) b) c) d) e)

UNIDADE 7 A abordagem das funções fica mais evidenciada na Análise de Gráficos quando se refere a ENEM. Mas não devemos nos esquecer das Definições e todos os cálculos que podemos extrair dos gráficos como valores numéricos, raízes, composições com outras funções, domínio, imagem, classificação, crescimento e decrescimento. As provas do ENEM buscam muito mais a relação dos gráficos com a realidade e assim obter ENEM

Domínio = [a, b]

Imagem = [c, d]

Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído.

Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y.

Assim se x = 3, então y = 9.

Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9

19

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3)

RESUMO GRÁFICO f(x) = ax + b, a > 0

f(x) = ax + b, a < 0

Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5 Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1).

Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12 Exemplo 3: Dada a função f(x  1) = x2. Determine f(5).

Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6  1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).

Função crescente

Função decrescente

Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1.

Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1).

Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.

– 3x + 1 = 0 x=

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

1 3

Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

tem

Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x  R, associa o elemento ax + b.

Forma: f(x) = ax + b

coordenadas (

1 , 0) 3

com a  0.

a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.

Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.

D=

C.D. = 

Im = 

FUNÇÃO CONSTANTE Uma função f de R em R é constante se, a cada x  R, associa sempre o mesmo elemento k  R. D(f) = R e Im (f) = k Forma: f(x) = k Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2 Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.

Interceptos:  Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b).  Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem b

coordenadas (  ,0). O ponto que o gráfico corta o a

eixo x é chamado raiz ou zero da função.

20

D=

C.D. = 

Im = {2}

Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um

Matemática eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.



=0



< 0

 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.  O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

b x  e v 2a

 yv =  4a

15.(UERJ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2.f(x) = 1

x

Imagem da função quadrática  } 4a   Se a < 0, então Im = {y  R| y   } 4a Resumo gráfico

 Se a > 0, então Im = {y  R| y  



> 0 Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b))

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada x  R associa o elemento ax2 + bx + c, com a  0 Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a 0 ENEM

21

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim, quando: a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo Interceptos  O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c)  Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, onde: b Δ x , onde   b 2  4ac 2a Se > 0  Duas Raízes Reais Se  = 0  Uma Raiz Real Se < 0  Não possui Raízes Reais



=0



< 0

Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola

 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.  O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde b x  e v 2a

yv = 

 4a

Imagem da função quadrática  } 4a   Se a < 0, então Im = {y  R| y   } 4a

 Se a > 0, então Im = {y  R| y  

Resumo gráfico 

> 0

PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA Função Par Uma função é par quando para valores simétricosde x temos imagens iguais, ou seja: f(x) = f(x),  x  D(f)

22

Matemática Uma consequência da definição é: Uma função f é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Função sobrejetora: Uma função f de A em B é sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im

FUNÇÃO ÍMPAR Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x as imagens forem simétricas, ou seja: f(x) =  f(x),  x  D(f) Como consequência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano.

Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

FUNÇÃO COMPOSTA Dadas as funções f: A  B e g: B  C, denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de A  C tal que gof(x) = g(f(x)) DICA: De R  R, a função do 1º Grau é bijetora, e a função do 2º Grau é simples.

FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função f de A em B. A função f 1 de B em A é a inversa de f, se e somente se: fof -1(x) = x, x  A e f -1o f (x) = x, x  B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) f: A  B

g: B  C

Condição de Existência:

gof: A  C

Im(f) = D(g)

Alguns tipos de funções compostas são: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x))

d) g(g(x))

Exercício resolvido: Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo quef(g(x)) = 0

IMPORTANTE: f é inversível  f é bijetora Para encontrar a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e, em seguida, isolar y.

Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. (f(x) = x)

Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2.

Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2 FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA Função injetora: Uma função f: A  B é injetora se e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em Símbolos:

Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa.

Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x - 4 = 2y

f é injetora  x1, x2 A, x1 x2 f(x1)  f(x2)  f -1(x) =

ENEM

x4 2

23

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a  1.

Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em:  Igualdade de potência de mesma base. af(x) = ag(x) f(x) =g(x)  Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x)  a = b sendo a e b  1 e a e b  R*+.

Função Exponencial f(x) = a 

x

(a > 1)  função crescente

b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente.

Exemplos: 1) log6 36 = x  36 = 6x 62 = 6x x = 2 2) log5 625 = x  625 = 5x 54 = 5x x = 4 Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém, dois deles se destacam: Sistemas de Logaritmos Decimais: É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630)).

Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua representação.

Sistemas de Logaritmos Neperianos É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano devese a J. Neper (1550-1617).



(0 < a < 1)  função decrescente

Condição de Existência Para que os logaritmos existam logab = x se tenha : logaritmando positivo  Resumindo base positiva base diferente de 1 

é necessário que em:

b > 0  a > 0 e a  1

Consequências da Definição Observe os exemplos: 1) log2 1 = x  1 = 2x 20 = 2x x = 0 2) log3 1 = x  1 = 3x 30 = 3x x = 0 3) log6 1 = x  1 = 6x 60 = 6x x = 0 loga 1 = 0 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades:  Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém. af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)  Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 << 1), a relação de desigualdade se inverte. af(x) > ag(x)  f(x) < g(x)

LOGARITMOS DEFINIÇÃO Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a  1 e b > 0) loga b = x  ax = b Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo 24

4) log2 2 = x  2 = 2x 21 = 2x x = 1 5) log5 5 = x  5 = 5x 51 = 5x x = 1 loga a = 1 6) log2 23 = x  23 = 2x x = 3 7) log5 52 = x  52 = 5x x = 2 loga am = m 8) 2 log2 4  x  2 2  x  x  4 9) 3log3 9  x  32  x  x  9

logab a b PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Logaritmo do Produto O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.

Matemática loga (b . c) = loga b + loga c Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor. loga

b  loga b  loga c c

1) log B A 

1 log AB

2 log A k B 

1 log AB k

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo).

Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as raízes. Lembrando que não existem logaritmos com base negativa e um, e não existem logaritmos com logaritmando negativo.

1º Método: loga X = loga Y  X = Y

Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3

2º Método: loga X = M  X = aM Função Logarítmica f(x) = loga x

Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

 (a > 1)  função crescente

loga xm = m . loga x Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5 b) log3 4-5 = -5 log3 4 1

Caso Particular log b n a  log b a n 

Exemplo:

log10

3

2

1 3

= log10 2 

1 . log b a n

1 3

log10 2

 (0 < a < 1)  função decrescente

Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18.

Resolução: log 18 = log(2.3 2) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24

LOGARITMOS MUDANÇA DE BASE Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo é denominado mudança de base.

loga b =

lg c b l g c a

Como consequência, e com as condições de existência obedecidas, temos:

ENEM

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 

a>1

loga x2> loga x1  x2> x1  0<a<1 loga x2> loga x1 x2< x1

FIQUE LIGADO NO ENEM! O país que tem a maior população do mundo é a China, e atualmente está próxima de 1,4 bilhão de habitantes. A população do Brasil vem crescendo, mas a taxas cada vez menores, e estima-se que a taxa de crescimento da população brasileira se mantenha em torno de 1% pelos próximos anos.

25

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias Supondo que em 2011 o Brasil tivesse 200 milhões e a China 1,5 bilhão, e a população da China parasse de crescer, mas do Brasil não, após quantos anos o Brasil teria a mesma população da China?

Dados: log 1,01 = 0,0044, logo 3 = 0,48 e log2 = 0,30. a) 220 b) 200 c) 180 d) 160 e) 140

UNIDADES 8 A Geometria Analítica é outro assunto que deve ser visto e estudando, porque já apareceu em provas anteriores do ENEM. Principalmente por que os cursos mais concorridos exigem uma pontuação maior, bem como o pedido de bolsas de estudos posteriores. A importância da Geometria Analítica se deve ao fato de podermos localizar objetos no plano ou no espaço através de cálculos. O GPS, por exemplo, possui em sua programação esses cálculos. A Carta Náutica é outra ferramenta que necessita de conhecimento em Geometria entre outros campos como Arquitetura, Engenharias.

OBSERVAÇÕES  Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua ordenada é nula.

P (xp, 0)  Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua abscissa é nula.

P (0, yp)  Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais xp = y p  Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então suas coordenadas são simétricas. xp = - yp DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:

GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes numerados no sentido antihorário.

O triângulo ABC é retângulo em C, então: AB 2  AC2  BC2 Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos: d AB   xB  x A  2   y B  y A  2

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Considere um segmento AB de extremidades A(x A, yA) e B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B. Observe a figura: A cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (x, y).

Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número real yp é chamado ordenada do ponto.

26

Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo, no eixo x tem-se: xM  xA = xB xM no eixo y tem-se:

 xM 

xA  xB 2

Matemática  yM  y A  yB

yM  yA = yB yM

2

Desta forma as coordenadas do Ponto Médio terão as seguintes coordenadas:  x  xB y A  yB  M A    2 2 

ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS COORDENADAS DO VÉRTICE Considere o triângulo abaixo: y

B

yB

yA A

xA

xB

xC

x

Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:

xA A = 1. x B 2 xC

x Desenvolvendo x A xB

y 1 yA 1  0 yB 1

y 1 y A 1  0 temos: yB 1

x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB  y . xA = 0 (yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 a b c Logo: ax + by + c = 0equação geral da reta.

C

yC

x A, B e P estão alinhados se e só se: xA xB

yA 1 yB 1 yC 1

OBSERVAÇÕES:

xA y A 1  O determinante xB yB 1 foi tomado em xC y C 1 módulo, pois a área é indicada por um número positivo. xA y A 1  Se o determinante xB yB 1 for nulo, dizemos xC y C 1 que os pontos estão alinhados.

2. Equação Reduzida da Reta Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na equação geral y.

Veja: ax + by + c = 0 by = ax  c a c  b b temos: y

substituindo 

y = mx + n

a c por m e  por n b b

Equação Reduzida da Reta

No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e n o coeficiente linear da reta.

3. Coeficiente Angular e Linear da Reta Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta.

Vejamos, agora, o significado geométrico deles.

COEFICIENTE LINEAR O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eixo y.

COEFICIENTE ANGULAR Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao eixo x.

ESTUDO DA RETA Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação podemos determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque:  A Equação Geral  A Equação Reduzida EQUAÇÃO GERAL DA RETA A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de alinhamento de 3 pontos.

Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).

ENEM

y y m = tg ou m  B A

xB  x A

CASOS PARTICULARES  Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo  é igual a 0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.

27

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

 Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo  é igual a 90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é definido.

Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta r de equação 5x + 2y  6 = 0.

Resolução: d  4. Equação do Feixe de Retas Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso, usa-se a relação: y  yo = m(x  xo)

5.4  2.3  6 4 3 2

2

d 

20 d 4 5

Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.

GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA DEFINIÇÃO Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de um plano  que se equidistam de um ponto C denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:  Concorrentes  Paralelas  Coincidentes Considere as retas r e s de equações: r = m1x + n1e

R C 

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

s = m2x + n2

Assim, podemos ter as seguintes situações:  PARALELAS DISTINTAS: m1 = m2  PARALELAS COINCIDENTES: m1 = m2 e n1 = n2  CONCORRENTES m1 m2  CONCORRENTES E PERPENDICULARES: m1 . m2 =  1 DISTÂNCIA DE PONTO À RETA Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela expressão: 28

Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência.

Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes formas: Equação Reduzida: (x  a)2 + (y  b)2 = R2

Matemática Exemplo: Determine equação da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5): Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 Logo, a equação procurada é: (x  2)2 + (y  5)2 = 9 CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir centro na origem, então a equação (x )2 + (y )2 = R2 fica reduzida a:x2 + y2 = R2

 (xP)2 + (yP)2 R2< 0  P interior à circunferência  (xP)2 + (yP)2 R2 = 0  P pertence à circunferência  (xP)2 + (yP)2 R2> 0  P exterior à circunferência Reta e Circunferência Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x )2 + (y )2 = R2 . Em relação à circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:

Equação Geral: A Equação Geral da circunferência é Desenvolvendo-se a equação reduzida. Veja:

obtida

(x  a)2 + (y  b)2 = R2 x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 x2 + y2 2ax  2by + a2 + b2  R2 = 0 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 onde: A =  2a; B =  2b; C = a2 + b2  R2 Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5) Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 (x  2)2 + (y  5)2 = 9 x2 4x + 4 + y2 10y + 25  9 = 0 Logo, a equação geral é x2 + y2 4x  10y + 20 = 0 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma equação do 2º grau completa. x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0

Para determinar a posição da reta r em relação à circunferência, substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. Assim, teremos uma equação do 2º Grau. Então, se:  < 0  reta externa (não existe ponto de intersecção)   = 0  reta tangente (existe um ponto de intersecção)  > 0  reta secante (existem dois pontos de intersecção) Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por um sistema de equações.

Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de uma circunferência se e só se:  Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero.  Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.  A2 + B2 4AC > 0 POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA Ponto e Reta Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência (x )2 + (y )2 = R2. Em relação à circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições:

FIQUE LIGADO NO ENEM! A equação da circunferência de centro no ponto (–4,3) e tangente externamente à circunferência de equação x2 + y2 = 4 é: a) (x-4)2+(x+3)2=9 b) (x-3)2+(y-4)2=9 c) (x+4)2+(y-3)2=9 d) (x+4)2+(y+3)2=9 e) x2+y2=9

UNIDADE 9 - CONTAGEM

Para determinar a posição do ponto P em relação à circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da circunferência. Assim, podemos ter: ENEM

A Análise Combinatória nos permite fazer contagens de forma indireta de elementos de um determinado conjunto. As provas do ENEM cobravam cálculos de PFC (princípio fundamental de contagem) bem como arranjos simples. As provas atuais abordam a Análise 29

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Combinatória com mais complexidade, onde um determinado cálculo esteja implícito e, portanto, se faz necessário uma análise inicial dos problemas. É um tema bastante cobrado no ENEM, logo devemos dar uma atenção especial.

FATORIAL Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se por n! a expressão: n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). ......... . 3 . 2 . 1 Assim temos: 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 3! = 3. 2. 1 = 6 2! = 2. 1 = 2 1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo) Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator conveniente. Veja: 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!

4!

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!

5! n ! = n. (n 1).(n  2) !

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM – FÓRMULA DO ARRANJO

 Pela ordem dos elementos: (1, 3)  (3, 1) A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n elementos tomados p a p, e é indicado por An , p .

Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n disponíveis.

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}.

Quantos números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ?

Resolução: A*5, 3 = 53 = 125 Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos.  ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES) n Anp   n  p Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5},quantos números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados?

Resolução: A5,3 =

5 5432   60  5  3 2

Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II PERMUTAÇÕES

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado desta forma:

Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem repetição, estamos montando grupos com todos os elementos disponíveis. Dizemos que esse tipo de agrupamento é denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por Pn. Considere então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações com esses elementos são:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que:

(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), (3, 2, 1).

E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa

FÓRMULAS PARA PERMUTAÇÃO

Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades deo evento ocorrer.

ARRANJO Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os pares ordenados a partir do conjunto K. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3) Observe que esses agrupamentos diferem  Pela natureza dos elementos componentes: (2, 3)  (1,4) 30

O

CÁLCULO

DA

 PERMUTAÇÃO SIMPLES Pn = n!

Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os números usando os algarismos { 2, 5, 6, 7}.

Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 Logo, pode-se formar 24 números com 4 algarismos distintos.

Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra VASCO.

Matemática Resolução: Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S, C e O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é dado por:

Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas escolhidas entre as 10, logo: C10,3 =

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras que compõem a palavra VASCO.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um deles repete  vezes, outro  vezes e assim por diante, até que um elemento repita  vezes. O número de permutações possíveis é dado pela expressão:

10 10987   120 10  3 3 7 321

Portanto, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas com um grupo de10 pessoas.

NÚMEROS BINOMIAIS Dados dois números naturais n e p, denomina-se número binomial de n sobre p e indicado por  n ao número  p

definido por:

n Pn....    

n    p 

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA. =3 =2 5 P53, 2 = =10 3 2

Resolução: n = 5

Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras que compõem a palavra ARARA.

=

n! p! (n  p)!

com n  N, p  N e n  p

Podemos concluir de imediato que:  n a    1  0

 n b)    n 1

 n c)    1  n

NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados complementares quando a soma dos denominadores (classes) é igual ao numerador.

Exemplos:  n  n  a)   e    p  n  p

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III COMBINAÇÕES Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.

Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes elementos. {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.

Observe que esses agrupamentos diferem

 5  2

 5  3

b)   e  

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS 1ª) Dois números binomiais complementares são iguais. k  p

 Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}  {1, 4}  Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1} Esses tipos de agrupamentos são chamados de COMBINAÇÃO de n elementos tomados p a p, e são indicados por Cnp ou Cp n.

Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo subconjunto de p elementos.

Então se  n   n  ou  k

 p

k  p  n 

2ª RELAÇÃO DE STIFEL  n  1  n  1  n        p  1  p   p  5  3

 5  4

 6  4

Veja que         TRIÂNGULO DE PASCAL

FÓRMULA PARA COMBINAÇÃO

O

CÁLCULO

DA

O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é dado pela expressão:

Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma coluna.

n!

‘C n,p  (n  p)!p!

Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com um grupo de 10 pessoas.

ENEM

31

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6 linha 0

 0    0

linha 1

 1   1      0  1

linha 2

 2  2  2        0  1   2

linha 3

 3   3  3  3           0   1   2  3 

linha 4

 4   4  4  4   4            0   1   2  3   4

linha 5

 5   5  5  5   5  5              0   1   2  3   4  5

linha 6

 6   6  6   6  6   6  6                 0   1   2   3  4   5  6 

Linha 1 Linha 2 Linha 3

1 +1 1 + 2 + 1 1 + 3 + 3 + 1

= 21 = 22 = 23

BINÔMIO DE NEWTON



Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL  PRIMEIRA PROPRIEDADE Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.  SEGUNDA PROPRIEDADE O último elemento de cada linha é igual a 1.

 TERCEIRA PROPRIEDADE

Observe abaixo os desenvolvimentos:  (a + b)0 = 1  (a + b)1 = 1a + 1b  (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2  (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3  (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4  (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 Observe que: O número de termos do desenvolvimento de (a + b) n é n + 1.

Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n formam o triângulo de Pascal.

Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b crescem de 0 a n.

A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n Com base nessas observações, podemos generalizar o desenvolvimento de (a + b)n. Veja:  n  n  n  n  a  bn    anb0    an-1b1    an  2b2    a0bn  0  1  2  n

Numa linha qualquer dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais. (binomiais complementares)

Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b) n é dado pela expressão:

 QUARTA PROPRIEDADE

 n Tp1     anp bp  p

 n Cada binomial   da linha n é igual à soma de dois  p binomiais da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está na coluna (p - 1).

FIQUE LIGADO NO ENEM!

 n  1  n  1  n           p  1  p   p 

Um certo número de garrafas distinguíveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as maneiras possíveis. O número desses arranjos foi 120. Então o número de garrafas era de: a) 12 b) 10 c) 6 d) 5 e) 4

UNIDADE 10

 QUINTA PROPRIEDADE A soma dos elementos da linha do numerador n é igual a 2n.

Linha 0 32

1

= 20

As matrizes são amplamente utilizadas na formação das tabelas estatísticas dispostas em linha e coluna, para facilitação dos cálculos. Desde programação de computadores a coleta de dados de gráficos para Administração e Economia. Nessa e na próxima unidade mostraremos mais a respeito.

Matemática MATRIZES DEFINIÇÃO Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n  1, é uma disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || || Exemplos.: A =  2 0 3 A 2 x 3  6 9 5

2 1 A3 x 2(lê-se: A três por dois) 1 6 0 6

NOTAÇÕES Notação Explícita Uma matriz genericamente é representada por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas.

Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser representada assim:

 a11 a  21 A = a 31     a m1

a12 a 22 a 32  a m2

a13 a 23 a 33  a m3

    

a 1n  a2n   * a 3n  com m e n  N   a mn 

Notação Condensada Podemos também, abreviar essa representação da seguinte forma: A = [aij] m x n Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma que: i  {1, 2, 3,......m} (indicador da linha) j  {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna) CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A, temos: a) MATRIZ LINHA se m = 1 Exemplo:

A1x3 3 1 2

b) MATRIZ COLUNA se n = 1 Exemplo:

3 6    Exemplo: A2x2 5 8

Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a quantidade de linhas for igual à quantidade de colunas.

Pode-se dizer então que ela é n x n ou simplesmente de ordem n.

Possui duas diagonais:

(lê-se: A dois por três)

 3 2 8  7 A= A2 x 4 (lê-se: A dois por quatro) 3  6  1 0 A=

d) QUADRADA se m = n

 1  A4x1 =   2   5     0   

c) RETANGULAR se m  n

 diagonal principal (quando i = j para todo aij)  diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a ordem da matriz.

TIPOLOGIA Matriz Transposta Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos de forma ordenada as linhas pelas colunas.

Representa-se por: At ou A'  2 9 2 3 1 t Exemplo A2 x 3 =  A 3 x 2 =  3 4     9 4 0     1 0   OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n. 

Se A = At , então A é dita SIMÉTRICA  2 3 5 Exemplo: A =  3 1 8     5 8 0  



Se A =  At, então A é dita ANTISIMÉTRICA (A indica matriz oposta de A que se obtém trocando o sinal dos seus elementos)  0 1  3   Exemplo: A =   1 0  4   3 4 0   

Matriz Identidade Uma matriz A de ordem n é dita identidade ou unidade se os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.  1 0 0 1 0   Exemplos: I2 =  I = 3 0 1 0     0 1    0 0 1 Pode se indicar a matriz identidade por:

1, para i = i

In = [aij] , aij = 

0, para i  j

Importante: A matriz identidade é neutra na multiplicação de matrizes.

2 3 1 Exemplo: A2 x 3 =   9 4 0    ENEM

33

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

Matriz Nula

n

ou seja:

a b ij

para todo i  {1, 2, ........, m} e todo k

jk

Uma matriz é dita nula quando todos seus elementos forem iguais a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes.

 {1, 2,...,p}.

Matriz Diagonal É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i  j.

Exemplo: Considere as matrizes  3 0   1  3 A=   eB=   . Determine A.B  2 1 9 2

 1 0 0   Exemplo: A = 0 4 0    0 0 3 Matriz Triangular É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j. 3  1 5   4 0 0     Exemplos: 0 4  7    1 2 0  0 0 1  9 1 8 IGUALDADE DE MATRIZES Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais se os elementos correspondentes (elementos de mesmo índice) forem iguais.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES É efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes das matrizes. (válido para matrizes de mesma ordem).

j 1

Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da seguinte forma:  3 1  09 3 3  02  A.B =   2 1  19 2 3  12 

  3  9   7  4

A.B = 

PROPRIEDADES 1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C 3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A Observações: 1) Na multiplicação de matrizes geralmente A.B  B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se comutam.

2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo com A  0 B  0.

Propriedades: 1) A + B = B + A (propriedade comutativa) 2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa) 3) A + O = A (elemento neutro) 4) (A + B)t = At + Bt PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ Dado um número real K e uma matriz Am x n, denominase produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtém multiplicando-se todo elemento de A por k.

FIQUE LIGADO NO ENEM! Para fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: Componente/modelo

A

B

C

Eixos

2

3

4

Propriedades:

Rodas

4

6

8

Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de mesma ordem, valem as seguintes propriedades: 1) x . (yA) = (xy) . A 2) x . (A + B) = xA + xB 3) (x + y) . A = xA + yA

Para os dois primeiros meses do ano, a produção deverá seguir a tabela abaixo: Modelo/meses

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O produto de A por B é a matriz C = [c ik]m x p, de tal forma que os elementos cik são obtidos assim: cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk

A

30

20

B

25

18

C

20

15

Usando a multiplicação de matrizes, pergunta-se: Quantos eixos e quantas rodas são necessários respectivamente em fevereiro? a)

34

Janeiro Fevereiro

215 e 430

Matemática b) c) d) e)

154 e 308 215 e 308 154 e 430 308 e 154.

Exemplo:

2 3 5 4 6 10  0 7 0 3

4º Se uma fila de uma matriz for uma combinação linear de duas outras.

Exemplo:

UNIDADE 11 -DETERMINANTES DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar a ela, através de certas operações, um número real chamado determinante da matriz.

Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por duas barras verticais. Assim, se  a11 a  21

a12  é a matriz A, a 22 

indicamos o determinante de A por det A =

a11 a 21

a12 a 22

3 5 1 0 4 2 0 3 9 3

2ª PROPRIEDADE Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número k, o determinante da nova matriz fica multiplicado por k.

Exemplo:

2 4 5.2 5.4 2  5.2  10 1 3 1 3

CONSEQUÊNCIAS  No cálculo dos determinantes, fator comum em evidência.

18 6 12 3.6 3.2 3.4 6 1 5 0  1 5 0  3. 1 3 4 1 3 4 1 3

é possível colocar o 2 4 5 0  3.(-72) = -216 4 1

CÁLCULO (72)  1ª ORDEM Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o próprio elemento a11 e se indica por: det A = |a11| = a11  2ª ORDEM

 3ª ORDEM

 Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um número k o determinante fica multiplicado pelo número kn. det(k.A) = kn.detA 3ª PROPRIEDADE Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante muda de sinal.

4ª PROPRIEDADE O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

3 9 8 Exemplo: 0 4 5  12 0 0 1 PROPRIEDADES DE DETERMINANTES 1ª PROPRIEDADE Casos onde o determinante é nulo 1º Se uma matriz possui uma fila de elementos iguais a zero.

Exemplo: 0

3 9 0 8 3  0 0 4 1

2º Se uma matriz possui duas filas iguais.

Exemplo:

2 8 2 3 5 30 1 6 1

5ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B) 6ª PROPRIEDADE O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

7ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE JACOBI) Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente multiplicada por um número real, obtemos uma matriz A', tal que det A' = det A

3º Se uma matriz possui duas filas proporcionais.

ENEM

35

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

 4  1 2  Exemplo: A =  1 5  1  det A = 15   2 2  1 Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando à 0 3 0  primeira, obtemos A': A' =  1 3 2   det A = 15    2 2  1

INVERSÃO DE MATRIZES Sejam A e B duas matrizes quadradas.

Se A.B = B.A = I, dizemos que B é a matriz inversa de A. e indicamos por A-1.

A . A-1 = A . A-1 = In

Logo:

PROPRIEDADES DA INVERSA:  (A-1) -1 = A  (A.B) -1 = B-1 . A-1  det A-1 =

1 det A

OBSERVAÇÕES:  Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for diferente de zero, sendo assim, chamada de inversível.  Uma matriz que não admite inversa é chamada de singular.  Se a matriz A é inversível, então, ela é quadrada.  Se a matriz A é inversível, então, a sua inversa é única.

OBSERVAÇÃO: O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes é trabalhoso, pois recai na resolução de n sistemas de n equações e n incógnitas.

Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse cálculo.

Teorema Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A  0, então a inversa de A é: A –1 =

1 .A det A

Onde A representa a matriz adjunta.

Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Consequência Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se aplicar: bij =

1 . Cji det A

onde Cji é o cofator do elemento aij 36

FIQUE LIGADO NO ENEM! Sabendo que A.A-1 =I, então det(A.A-1)=det I. Logo calcule o det A-1 quando o det A = 3. a) 1/9 b) 3 c)9 d)1/3 Depende da ordem da matriz

UNIDADE 12 Finalizando nos estudos focados no ENEM faremos uma abordagem das sequências mais importantes como Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. Assunto muito cobrado em provas.

As PAs assim chamadas podem ser relacionadas a situações de crescimento ou decrescimento linear como juros simples, enquanto as PGs a juros compostos. Sua aplicação se dá nas mais variadas situações como análise demográfica, crescimento de bactérias ou epidemias.

Assuntos bastante divulgados na mídia e que merecem nossa atenção.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONCEITOS INICIAIS Vamos considerar a sequência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n inteiro positivo. Temos: a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.

(4, 7, 10, 13, ...........)

Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor se mantém igual a 3. Sequências como esta são denominadas progressões aritméticas.

DEFINIÇÃO Chama-se progressão aritmética uma sequência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r.

Veja que para a sequência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário que: a2 a1 = a3 a2 = ...... an  an1 = ..... = r Veja os exemplos: a) a sequência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois, 5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3. b) a sequência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois, 4 – 1  5 – 4.

Matemática CLASSIFICAÇÃO DA P.A. Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo: r > 0  P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 r < 0  P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 r = 0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. Considere a sequência (a1, a2, a3......an). Partindo da definição temos: a2 = a 1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r an = a1 + (n – 1).r Importante: Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do termo geral temos:

 Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.

Observação: Se dois termos ap e aq são equidistantes dos extremos temos: p+q=n+1 Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são equidistantes dos extremos ou não.

Por exemplo, numa sequência de 50 termos, a16 e a35 são equidistantes dos extremos, pois16 + 35 = 50 + 1.

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A. SOMA DOS TERMOS DA P.A.

an = a1 + (n – 1)r (1) ak = a1 + (k – 1)r (2)

a a  Sn   1 n .n  2  

Subtraindo-se (1) de (2) vem: an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r an – ak = (n – 1 – k + 1) r an = ak + (n – k)r Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever: an = ak + (n – k).r Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios:  Três termos em P.A. :x – r . x . x + r  Quatro termos em P.A :x – 3r . x – r . x + r . x + 3r  Cinco termos em P.A. : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r Propriedades da P.A. Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:  Um termo qualquer, excetuando os extremos, é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior.

a a an  n1 n1 2 Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)

11 

ENEM

8  14 2

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DEFINIÇÃO É uma sequência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG. Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an onde a1 é o primeiro termo a2 é o segundo termo a3 é o terceiro termo an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G.

q

a2 a3 a4 a    n a 1 a 2 a 3 a n 1

CLASSIFICAÇÃO DA P.G. 1º caso: a1> 0 Se q > 0 P.G. crescente  ( 2, 6, 18, 54,...)

Se q = 1 P.G. constante  ( 5, 5, 5, 5,...)

Se 0 < q < 1 P.G. decrescente  ( 256, 64, 16,...)

2º caso: a1< 0 Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..)

Se q = 1 P.G. constante  ( -3, -3, -3,...)

Se 0 < q < 1  P.G. crescente  ( -40, -20, -10,...)

Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < 0.

37

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias

TERMO GERAL Considere a sequência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da definição temos: a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 an = a1.qn - 1 Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak, podemos dizer que: am = ak.qm - k 1. Representação de três termos em P.G. x , x , xq q 2. Propriedades 1ª Propriedade: Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja: a22 = a1.a3

ou

an2 = an - 1.an + 1

2ª Propriedade Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos extremos.

Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ).

Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 3. Interpolação Geométrica Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G. 3. Soma dos termos de uma P.G. finita.

A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão:

a1 ( q n  1) an .q  a1  q 1 q 1 Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: Sn = n. a1 Sn 

4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.

Dada uma P.G. com: n  e an 0, sua soma pode ser calculada pela expressão: a 0 < |q| < 1 S 1 1 q 5. Produto dos termos de uma P.G. finita O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: 38

|Pn | = (a 1.an ) n

FIQUE LIGADO NO ENEM! A produção de uma indústria cresceu em PA nos meses de janeiro a dezembro. A produção no mês de outubro foi de 190 maquinas e a diferença de produção nos meses de agosto e de março foi de 50 maquinas. Quantas máquinas foram produzidas em novembro? a) 180 b) 220 c) 300 d) 420 e) 200

MATERIAL EXTRA ESTATÍSTICA

Matemática  Dados Tabelados não agrupados em classe – os valores da variável aparecem individualmente.

UNIDADE 1 ESTATÍSTICA

Considerando os dados da tabela anterior:

Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique. Os fenômenos estudados pela estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo em condições normais de experimentação, varia de uma observação para outra.

O conceito de população é intuitivo; trata-se do conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam em comum determinadas características definidas para o estudo.  Amostra – é um subconjunto da população;  Amostragem – são procedimentos para extração de amostras que representem bem a população;  Risco – é a margem de erro motivado pelo fato de investigarmos parcialmente (amostras) o universo (população);  População-alvo – é a população sobre a qual se faz inferências baseadas na amostra.  Espaço Amostral – o espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis resultados deste experimento.  Evento Aleatório – é qualquer subconjunto de um espaço amostral. É também resultado obtido de cada experimento aleatório, que não é previsível.

A Frequência de uma observação é o número de repetições desta observação, ou seja, quantas vezes determinado fenômeno acontece.

Este estudo tem como objetivo mostrar a organização, apresentação e análise gráfica de uma série e dados, matéria prima das distribuições de frequências e histogramas. Os dados podem ser classificados como:  Dados Brutos – são os dados originais, que ainda não se encontram prontos para análise, por não estarem numericamente organizados.

Número mensal de aparelhos defeituosos na empresa X:

2011 2012 2013 2014

J 6 5 3 2

F 2 4 1 2

M 5 2 2 0

A 1 1 4 3

M 0 3 3 1

J 3 4 1 4

J 2 1 4 2

A 1 4 1 0

S 3 5 0 1

O 5 4 3 1

N 5 0 0 5

D 3 1 2 2

 Rol – são os dados brutos, organizados em ordem crescente ou decrescente.

Nº de aparelhos com defeito.

0 1 2 3 4 5 6 Total:

Nº de meses.

06 11 09 08 08 05 01 48

 Dados Tabelados agrupados em classe – os valores da variável não aparecem individualmente, mas agrupados em classe.

Nº de aparelhos com defeito.

Nº de meses.

0; 2 2; 4 4; 6 6; 8

17 17 13 01 48

Total: As frequências subdividimos em: - frequência simples ou absoluta

ni 

-

são os

valores que realmente representam o número de dados de cada atributo ou classe. A soma das frequências simples é igual ao número total de dados.

- frequência relativa f i - são os valores das razões

 

entre as frequências simples e o número total de dados.

fi  - frequência acumulada

ni n

N i 

- é o total das

frequências de todos os valores inferiores ou igual ao atributo ou classe.

- frequência acumulada relativa Fi - é a

 

frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição.

Fi 

Ni n

Considerando o exemplo anterior, temos:

2011 2012 2013 2014

ENEM

J 0 1 2 4

F 0 1 2 4

M 0 1 3 4

A 0 1 3 4

M 0 1 3 4

J 0 1 3 5

J 1 2 3 5

A 1 2 3 5

S 1 2 3 5

O 1 2 3 5

N 1 2 4 5

D 1 2 4 6

Exemplo de tabela de frequências para dados não agrupados em classes.

Uma pesquisa realizada com 20 famílias sobre a quantidade de carros, obtendo os seguintes resultados:

1

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias N° DE VEÍCULOS

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni

0 1 2 3 4 Total

6 8 3 2 1 20

30% 40% 15% 10% 5% 100%

6 14 17 19 20 20

FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fi 30% 70% 85% 95% 100% 100%

Exemplo de tabela de frequências para dados agrupados em classes.

Uma pesquisa realizada com um grupo de 20 pessoas sobre suas idades, obtendo os seguintes resultados: IDADES

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni

FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fi

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

3 5 7 4 1 20

15% 25% 35% 20% 5% 100%

3 8 15 19 20 20

15% 40% 75% 95% 100% 100%

Os dados, agrupados em classes ou não, podem ser apresentados na forma de gráficos:  Gráfico de Setor (disco de pizza): a frequência absoluta de cada atributo ou classe é diretamente proporcional ao ângulo central de cada setor.

IDADES

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi 15% 25% 35% 20% 5% 100%

ÂNGULO CENTRAL 54° 90° 126° 72° 18° 360°

 Gráfico de Frequência Absoluta: pode ser construído um histograma ou ligando-se os pontos médios de cada classe, temos uma linha poligonal.

IDADES

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total 

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

FREQUÊNCIA RELATIVA (%) fi 15% 25% 35% 20% 5% 100%

Gráfico de Frequência Acumulada: pode ser construído um histograma ou ligando-se os pontos médios de cada classe, temos uma linha poligonal.

2

Matemática IDADES

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

3 8 15 19 20 20

FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA Fi 15% 40% 75% 95% 100% 100%

Medidas de tendência central: Média, Moda e Mediana.

IDADES [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

Ponto Médio da Classe

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

diz, o ponto que divide o intervalo em duas partes iguais.

Para obter o pronto médio de uma classe, calculamos:

xi 

 

 Média Aritmética Simples X : é o quociente da divisão entre a soma dos valores da variável e a quantidade de valores somados. A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as medidas descritivas.

Para dados não tabelados, temos:

X

i 1

2

 

3  15  5  25  7  35  4  45  1  55 20 45  125  245  180  55 650 Média X    32,5 20 20 Média X 

 

M o  :

é o valor que ocorre com maior

frequência em um conjunto de dados, e que é denominado valor modal. Baseado neste contexto, um conjunto de dados pode apresentar mais de uma moda.

Neste caso, dizemos ser multimodais; caso contrário, quando não existe um valor predominante, dizemos que é amodal.

i

n

xi  valor observado n  número total de observações.

onde:

Linf  Lsup

Ex.:

 Moda

n

x

xi  - é, como o próprio nome já

Para dados não tabelados, temos que o valor modal é o predominante na distribuição, o que apresentar maior frequência absoluta.

Ex.: Suponha de o tempo de vida útil de 10 aparelhos de telefone são:

Ex.: 10

29

26

28

15

23

17

25

0

20

Nos valores abaixo, qual o valor modal?

Qual a média de vida útil destes aparelhos?

10

x

10  29  26  28  15  23  17  25  0  20 193 X    19,3 10 10 10 i 1

3

4

4

5

6

7

8

9

9

9

10

11

12

i

Para dados tabelados com intervalo de classe, temos: n

X onde: ENEM

x i 1

i

n

xi  ponto médio de cada classe n  número total de observações.

Mo  9 Para dados tabelados com intervalo de classe, a moda não é percebida tão facilmente como nos casos anteriores. Para calcular o valor modal nestes casos, podemos utilizar o processo de Czuber.

  nmo  nant  M 0  Linf  hMo    n  n   n  n   ant mo post   mo onde constatamos: 3

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias Classe Modal: Classe de maior frequência.

nmo  frequência simples da classe mo dal nant  frequência simples anterior à classe mo dal

Para dados tabelados com intervalo de classe, devemos primeiro localizar a classe mediana, para então calcularmos o seu valor pela fórmula:

n post  frequência simples porterior à classe mo dal

M d  Linf  hMd

Linf  Limite i nferior da classe mo dal hM 0  Intervalo da classe mo dal

n    N ant    2  n Md     

onde temos: Classe Mediana: classe onde está o elemento mediano.

Ex.:

n Md  frequência simples absoluta na classe mediana IDADES

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

N ant  frequência acumulada anterior à classe mediana

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

Linf  Limite i nferior da classe mediana hMd  Intervalo da classe mediana Ex.: IDADES

  f mo  f ant  Moda M o   Linf  hMo     f  f    f  f  ant mo post   mo   75  Moda M o   30  10    7  5  7  4    2  Moda M o   30  10     23 2 Moda M o   30  10   30  4  34 5  Mediana

M d  :

divide o conjunto em duas partes

iguais, com o mesmo número de elementos. O valor da mediana encontra-se no centro da série estatística organizada, de tal forma que o número de elementos situados antes deste valor (mediana) é igual ao número de elementos que se encontram após este mesmo valor (mediana) Para dados não tabelados temos duas possibilidades: com quantidade par e ímpar de termos.

- para uma série com número ímpar de itens: a mediana corresponde ao valor central.

 n  1 .  2 

n ímpar : a mediana será o termo de ordem 

- para uma série com um número par de itens: não há um único termo central, portanto a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais:

n par : a mediana será a média aritmética entre os termos de ordem

4

n n    e   1  2  2 .

[10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

FREQUÊNCIA ABSOLUTA ni 3 5 7 4 1 20

FREQUÊNCIA ACUMULADA Ni 3 8 15 19 20 20

n    N ant   Mediana M d   Linf  hMd   2  n Md       20  8   Mediana M d   30  10   2  7      2 20 Mediana M d   30  10   30  7 7 230 Mediana M d    32,85 7 Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. Tanto a variância quanto o desvio padrão são medidas que fornecem informações complementares à informação contida na média aritmética. Estas medidas avaliam a dispersão do conjunto de valores em análise.

 

2  Variância  :

Para calcularmos a variância, devemos considerar os desvios de cada valor em relação à média aritmética. Depois, construímos uma espécie de média com os quadrados destes desvios.

Matemática Dados não tabelados

 x n

  2

i 1

x

i

Médios Quadrados dos Desvios Médios



2

n 1



x 

2 i

 ni

n 1

+1

0

+1

05677788 8 36  1  0  1  11 4  4  B2  8 B  6 XB 

Dados com intervalo de classe: 2

+36

  x i  ni   n 1 

   

2

onde temos que: - para dados agrupados sem intervalos de classe,

xi é o

Exercícios

valor da variável; - para dados agrupados com intervalos de classe,

xi é o

MÉDIA, MODA E MEDIANA

ponto médio da classe.

- para dados agrupados com intervalos de classe,

ni é a

frequência absoluta do intervalo de classe.  Desvio Padrão   : o desvio padrão determina a dispersão dos valores em relação à média e é calculado através da raiz quadrada da variância.

  2

+1

+1

+4

+4



XB 6



2 6



B  6

B

01 - (ENEM/2013) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária.

Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.

Ao compararmos os desvios padrão de vários conjuntos de dados, podemos avaliar quais se distribuem de forma mais (ou menos) dispersa. O desvio padrão será sempre não negativo e será tão maior quanto mais dispersos forem os valores observados.

Ex.: Comparativo entre o rendimento de duas turmas A e B que tiveram a mesma média aritmética.

Turma A: Notas da 5 5 6 6 6 6 turma A Desvios -1 -1 0 0 0 0 Médios Quadrados +1 +1 0 0 0 0 dos Desvios Médios 55666677 XA  8 11 0  0  0  0 11  A2   8

A 

1 1 2   2 2 2

7

7

+1

+1

+1

+1

X A 6

2  A

A 



1 2 2 2

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) b) c) d) e)

300,00.

345,00.

350,00.

375,00.

400,00.

02 - (ENEM/2013) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.

Turma B: Notas da turma B Desvios ENEM

0

5

6

7

7

7

8

8

-6

-1

0

+1

+1

+1

+2

+2 5

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias Região Norte Nordeste Centro - Oeste Sudeste Sul

2005 2% 18% 5% 55% 21%

2006 2% 19% 6% 61% 12%

2007 2008 2009 1% 2% 1% 21% 15% 19% 7% 8% 9% 58% 66% 60% 13% 9% 11%

Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor.

A nova média, em relação à média anterior, é a) b) c) d) e)

0,25 ponto maior.

1,00 ponto maior, 1,00 ponto menor.

1,25 ponto maior.

2,00 pontos menor.

03 - (ENEM/2012) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

a) b) c) d) e)

14,6% 18,2% 18,4% 19,0% 21,0%

05 - (ENEM/2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.

As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: Dia do mês Temperatura (em º C) 1 15,5 3 14 5 13,5 7 18 9 19,5 11 20

Disponível em: www.mte.gov.br. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado)

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) b) c) d) e)

212 952.

229 913.

240 621.

255 496.

298 041.

04 - (ENEM/2011) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:

6

13 15 17

13,5 13,5 18

19 21

20 18,5

23 25

13,5 21,5

27 29

20 16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a) b) c) d) e)

17 °C, 17 °C e 13,5 °C. 17 °C, 18 °C e 13,5 °C. 17 °C, 13,5 °C e 18 °C. 17 °C, 18 °C e 21,5 °C. 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.

Matemática 06 - (ENEM/2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Gols marcados 0 1 2 3 4 5 6

Quantidade de partidas 5 3 4 3 2 2 1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) b) c) d) e)

X = Y < Z. Z < X = Y. Y < Z < X. Z < X < Y. Z < Y < X.

07 - (ENEM/2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

Disponível em: www.folhaonline.com.br.

Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre a) b) c) d) e)

100 km2 e 900 km2.

1 000 km2 e 2 700 km2.

2 800 km2 e 3 200 km2.

3 300 km2 e 4 000 km2.

4 100 km2 e 5 800 km2.

09 - (ENEM/2010) Com o intuito de tentar prever a data e o valor do reajuste do próximo salário mínimo, José primeiramente observou o quadro dos reajustes do salário mínimo de abril de 2000 até fevereiro de 2009, mostrada a seguir.

Ele procedeu da seguinte maneira: computou o menor e o maior intervalo entre dois reajustes e computou a média dos valores encontrados, e usou este resultado para predizer a data do próximo aumento. Em seguida, determinou o menor e o maior reajuste percentual ocorrido, tomou a média e usou este resultado para determinar o valor aproximado do próximo salário.

Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7 gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols 08 - (ENEM/2010) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.

ENEM

De acordo com os cálculos de José, a data do novo reajuste do salário mínimo e o novo valor aproximado do mesmo seriam, respectivamente, a) fevereiro de 2010 e R$ 530,89. b) fevereiro de 2010 e R$ 500,00. c) fevereiro de 2010 e R$ 527,27. d) janeiro de 2010 e R$ 530,89. e) janeiro de 2010 e R$ 500,00.

7

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias 10 - (ENEM/2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.

P rodução Emissão de dióxidode carbono (em toneladas) (em partes por milhão - ppm) 1,1 2,14 1,2 2,30 1,3 2,46 1,4 2,64 1,5 2,83 1,6 3,03 1,7 3,25 1,8 3,48 1,9 3,73 2,0 4,00

Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.

Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é a) b) c) d) e)

inferior a 0,18. superior a 0,18 e inferior a 0,50. superior a 0,50 e inferior a 1,50. superior a 1,50 e inferior a 2,80. superior a 2,80.

11 - (ENEM/2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Outubro Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março Abril

Cotação R$ 83,00 R$ 73,10 R$ 81,60 R$ 82,00 R$ 85,30 R$ 84,00 R$ 84,60

R$ 73,10.

R$ 81,50.

R$ 82,00.

R$ 83,00.

R$ 85,30.

12 - (ENEM/2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como 8

Investimentos B ilaterais (em milhõesde dólares) Ano Brasil na França França no Brasil 2003 367 825 2004 357 485 2005 354 1.458 2006 539 744 2007 280 1.214 Disponível em: www.cartacapital.com.br.

Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor a) inferior a 300 milhões de dólares. b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. e) superior a 600 milhões de dólares.

13 - (USP Escola Politécnica/2014) Uma amostra de 8 jardineiros, que trabalhavam num bairro nobre da cidade, respondeu à pergunta sobre o preço cobrado por dia de trabalho. Os jardineiros foram designados por A, B, C, D, E, F, G, H, para não serem identificados. Suas respostas aparecem na seguinte tabela:

Ano 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a a) b) c) d) e)

mostra a tabela seguinte, referente ao período 20032007.

O salário diário médio, a mediana e a moda dessa amostra valem, respectivamente, em reais, a) b) c) d) e)

90,00; 90,10; 90,30; 91,25; 91,25;

91,15; 95,00 91,20; 100,00 91,20; 100,00 92,50; 100,00 100,00; 98,00

14 - (UEG GO/2013) As notas dos alunos de um curso de inglês estão registradas na seguinte tabela de frequências:

Matemática

Apresentando os cálculos, determine: a) b)

a média; a mediana.

15 - (UEG GO/2013) A professora Maria Paula registrou

as notas de sete alunos, obtendo os seguintes valores: 2, 7, 5, 3, 4, 7 e 8. A mediana e a moda das notas desses alunos são, respectivamente: a) b) c) d)

3e7 3e8 5e7 5e8

16 - (UPE/2013) Os dois conjuntos P e L, de 12 valores cada, representam, respectivamente, as idades das atletas das equipes de vôlei feminino da Seleção Brasileira nos Jogos Olímpicos de Pequim, em 2008 e nos Jogos Olímpicos de Londres, em 2012, respectivamente.

P: 21, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 28, 28, 31, 32, 38.

L: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 27, 27, 30, 30, 32.

Com base nessas informações, analise as seguintes afirmativas: I. A moda do conjunto P tem duas unidades a menos que a moda do conjunto L. II. A mediana do conjunto L é igual a 25,5 anos.

III. Como é de 27 anos a idade média no conjunto P, então o desvio médio desse conjunto é de 3,5 anos.

Está CORRETO o que se afirma, apenas, em a) b) c) d) e)

I II III I e II I e III

17 - (UFPB/2013) Foi feita uma pesquisa com usuários de 4 empresas de telefonia móvel (celular), para avaliar a satisfação dos usuários e a eficiência tecnológica de cada empresa no item “ligação completada”. Nessa pesquisa, foram consultados 20 usuários de cada empresa, durante 5 dias consecutivos. A tabela a seguir mostra os números de ligações não completadas pelos usuários das 4 empresas, no período considerado.

ENEM

Com base nas informações fornecidas e nos dados da tabela, considere as seguintes afirmativas em relação aos números de ligações não completadas, durante os 5 dias pesquisados: I. A empresa com a maior média dos números de ligações não completadas foi a OLÁ.

II. A empresa com a menor moda dos números de ligações não completadas foi a EXPERT. III. O 2º dia apresentou a maior média dos números de ligações não completadas.

IV. A mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa TOM é menor do que a mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa SIM. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I, II e III b) I e III c) I e IV d) II, III e IV e) I e II VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO 18 - (ENEM/2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão.

O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2).

A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 e a) b) c) d) e)

20,25.

4,50.

0,71 0,50.

0,25.

19 - (ENEM/2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

9

Ciências Matemáticas e suas Tecnologias Dados dos candidatos no concurso

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

20 - (ENEM/2010) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos)

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe a) b) c) d) e)

I. II. III. IV. V.

21 - (USP Escola Politécnica/2014) Depois de serem avaliados os salários de estagiários de uma empresa, foram obtidos os dados que estão dispostos na seguinte tabela, em que f(x) é a probabilidade de um estagiário receber um salário mensal igual a x reais.

Sobre o salário esperado  e o desvio padrão , em reais, tem-se que a)  = 400 e 110 <  < 120 b)  = 400 e 100 <  < 110 c)  = 410 e 90 <  < 100 d)  = 410 e 80 <  < 90 e)  = 420 e 70 <  < 80 GABARITO

10

Unidades 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Gabarito C B B C B E B C A D D D D a) média = 8,75 b) mediana = 9 C A A E B C C