Integrales, Mat. Gral. I UTN CUCH

Tecnicatura Universitaria en Administración FRSN – UTN – SEDE CHIVILCOY – CUCH Ciclo Lectivo 2023 Segundo cuatrimestre

Prof.: Gargano, Stefanía - Equipo: Florencia Di Virgilio; Anabella Benzo

TRABAJO PRÁCTICO CONTENIDOS Integral indefinida. Integral definida. Regla de Barrow. Cálculo de área bajo la curva.

Apps: Power Point. GeoGebra. Symbolab. X – mind/Nice Mind. I love PDF. ISSU

Integrales Las integrales se utilizan para calcular áreas bajo una curva porque proporcionan una forma precisa y general de cuantificar el "espacio" o el "área" encerrada por una función dada.

Esto es especialmente útil cuando se trata de funciones que no tienen una forma simple y regular, como una línea recta o una figura geométrica regular. Cuando tienes una función f(x) que describe una curva en un cierto intervalo [a,b], la integral definida de f(x) en ese intervalo, denotada como ∫ a b ​f(x)dx, representa el área entre la curva y el eje x en ese intervalo.

Para comprender por qué esto es así, puedes imaginarte dividir el intervalo [a,b] en pequeñas secciones muy estrechas (Δx) y aproximadamente rectangulares.

Si sumas todas estas áreas para todos los rectángulos y tomas el límite cuando Δx tiende a cero (es decir, haces la suma infinitamente fina), obtienes el área casi exacta bajo la curva.

Este proceso se formaliza matemáticamente mediante el concepto de límite y el cálculo integral. El teorema fundamental del cálculo establece que la integral definida de una función en un intervalo es igual a la diferencia entre los valores antiderivados de la función en los extremos del intervalo.

Regla de Barrow Este teorema fundamental del cálculo se divide en dos partes Primera parte del teorema fundamental del cálculo: Establece que si tienes una función continua f(x) en un intervalo [a,b], y defines una nueva función F(x) como la integral definida de f(t) desde a hasta x, es decir: F(x)=∫[a,x] f(t)dt entonces, la función F(x) es continua en el intervalo [a,x] y derivable en su interior, y su derivada es igual a f(x).

Segunda parte del teorema fundamental del cálculo: Establece que si tienes una función continua f(x) en un intervalo [a,b], y F(x) es una función tal que F ′ (x)=f(x) en [a,b], entonces: ∫[a,b]​f(x)dx=F(b)−F(a) Esta segunda parte establece que la integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual a la diferencia entre los valores de la función antiderivada F(x) en los extremos del intervalo.

Recinto o región acotada

Cuando el área entre dos curvas o la región analizada se encuentra acotada en distintas maneras, esto puede complicar el cálculo del área utilizando una sola integral definida. ● Si tienes dos curvas f(x) y g(x) y deseas encontrar el área entre ellas en un intervalo [a,b], primero necesitas determinar los puntos de intersección.

Luego, para calcular el área entre las curvas, puedes restar las áreas bajo cada curva en ese intervalo. Esto se expresa como: A=∫[a,b]​f(x)dx−∫ [a,b]​ g(x)dx ● Si la región se encuentra por encima del eje de abscisas, puedes calcular el área como la integral definida de la función positiva que describe la región. Si se encuentra por debajo del eje de abscisas, entonces necesitas tomar el valor absoluto de la función antes de integrar para asegurarte de obtener un área positiva. ● Si tienes una curva que encierra múltiples regiones, tendrás que dividir el intervalo de integración en subintervalos donde la curva tiene diferentes comportamientos. Luego, tendrás que calcular las integrales definidas

Ejercicio 1

Ejercicio 2: el área es 0.17 u al cuadrado

Ejercicio 3 En el análisis de la función, podemos ver que los intervalos se encuentran en diferente posición respecto al eje de abscisas.

En el intervalo [-1;2], el área se encuentra arriba del eje x, por lo cual es positiva.

Por otro lado, el intervalo [2;3] se encuentra por debajo, por lo cual es necesario oponer la función o multiplicarla por -1 para que arroje un

Es por esto, si quisiéramos calcular el área necesitamos sumar la función en cada intervalo, y no la función entre el intervalo completo [-1;3]

Ejercicio 4: cálculo del área entre G(x) y F(x)

Ejercicio 5 Para encontrar la ecuación de las funciones graficadas, primero encontramos puntos de las mismas si es que están visibles. En este caso, para la función lineal vemos los puntos (0;1) y (1;0). Con la ecuación de la recta, hallamos la pendiente y con esto la ecuación completa: Y=x+1 Para encontrar la ecuación de las funciones cuadrática, ubicamos el vértice en (0;4) y el punto (2;0) para poder aplicar la resolución canónica. Reemplazamos y hallamos: G(x)= -2x^2+4 Halladas las dos funciones, pasamos a calcular la integral entre los intervalos extremos de las funciones.

Mapa conceptual

INTEGRAL DEFINIDA