3.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
185
Funciones logarítmicas y sus gráficas La definición de un logaritmo significa que si b y n son números positivos y b es diferente de 1, entonces la expresión de logb n es un número real. Esto nos permite definir una función logarítmica de la siguiente manera.
Función logarítmica La función definida por: f 1x2 5 logb x
1b . 0, b 2 12
se llama función logarítmica con base b. El dominio de f es el conjunto de todos los números positivos.
y
u
Una forma fácil de obtener la gráfica de la función logarítmica y 5 logb x es elaborar una tabla de valores del logaritmo (base b). Sin embargo, otro método más instructivo se basa en la explotación de la íntima relación entre las funciones exponencial y logarítmica. Si un punto (u, √) se encuentra en la gráfica de y 5 logb x, entonces:
y=x
(√, u)
√ 5 log b u
(u, √ )
√
Pero también se puede escribir esta ecuación en forma exponencial como: √
FIGURA 7 Los puntos (u, v) son el reflejo de (v, u). y
y = bx y=x
1
y = log b x x
1
y = ex
1
1. 2. 3. 4. 5.
y=x
y = ln x 1
Así, el punto (√, u) también se encuentra en la gráfica de la función y 5 bx. Ahora se analizará la relación entre los puntos (u, √) y (√, u) y la recta y 5 x (figura 7). Si se piensa en la recta y 5 x como en un espejo, entonces el punto (√, u) es el reflejo del punto (u, √). Del mismo modo, el punto (u, √) es un reflejo del punto de (√, u). Podemos aprovechar esta relación para trazar la gráfica de las funciones logarítmicas. Por ejemplo, si la gráfica de y 5 logb x, donde b . 1, entonces solo necesitamos trazar la imagen espejo de la gráfica de y 5 bx con respecto a la recta y 5 x (figura 8). Usted puede descubrir las siguientes propiedades de la función logarítmica considerando el reflejo de la gráfica de una función exponencial adecuada (ejercicios 47 y 48 en la página 188).
Propiedades de la función logarítmica La función logarítmica y 5 logb x (b . 0, b ? 1) tiene las siguientes propiedades:
FIGURA 8 La gráfica de y 5 bx es el reflejo de la gráfica de y 5 logb x. y
u 5 b√
x
u
Su dominio es (0, `). Su rango es (2 `, `). Su gráfica pasa por el punto (1, 0). Su gráfica es una curva ininterrumpida que carece de valles y crestas. Su gráfica aumenta de izquierda a derecha si b . 1 y cae de izquierda a derecha si b , 1.
x
EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función y 5 ln x. FIGURA 9 La gráfica de y 5 ln x es el reflejo de la gráfica de y 5 ex.
En primer lugar, se traza la gráfica de y 5 ex. Luego, se obtiene la gráfica requerida trazando el reflejo de la gráfica de y 5 ex con respecto a la recta y 5 x (figura 9). Solución
A menos que se indique lo contrario, todo el contenido de esta página es propiedad de ©Cengage Learning.