SECCIÓN 10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 3
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EJEMPLO 6 Utilice un dispositivo de graficación para trazar la gráfica de la curva x 5 y4 2 3y2. SOLUCIÓN Sea t 5 y el parámetro, entonces se tienen las ecuaciones
_3
3
x 5 t4 2 3t2
y5t
Usando estas ecuaciones paramétricas para trazar la gráfica de la curva, se obtiene la figura 9. Se podría resolver la ecuación dada (x 5 y4 2 3y2) para y como cuatro funciones de x y graficarlas individualmente, pero las ecuaciones paramétricas proporcionan un método mucho más fácil.
_3
FIGURA 9
En general, si se necesita trazar la gráfica de una ecuación de la forma x 5 t(y), se pueden usar las ecuaciones paramétricas x 5 t(t)
y5t
Observe también que las curvas con ecuaciones y = f(x) (aquellas con las que se está familiarizado; gráficas de funciones) también se pueden considerar como curvas con ecuaciones paramétricas x5t
y 5 f(t)
Los dispositivos de graficación son particularmente útiles para trazar curvas complicadas. Por ejemplo, las curvas que se muestran en las figuras 10, 11 y 12 serían virtualmente imposibles de hacer a mano. 3.5
1
13
_1
13
0
FIGURA 10 x 5 t 1 sen 5t y 5 t 1 sen 6t
_3.5
1
3.5
_3.5
_1
FIGURA 11 x 5 sen 9t y 5 sen 10t
FIGURA 12 x 5 2.3 cos 10t 1 cos 23t y 5 2.3 sen 10t 2 sen 23t
Uno de los más importantes usos de las curvas paramétricas es el diseño asistido por computadora (cad). En el proyecto de laboratorio después de la sección 10.2 se investigarán curvas paramétricas especiales, llamadas curvas de Bézier, que son ampliamente utilizadas en manufactura, especialmente en la industria automotriz. Estas curvas también se emplean en formas especiales de letras y otros símbolos de impresión en láser.
La cicloide TEC En Module 10.1B se muestra
una animación de cómo se forma una cicloide a partir del movimiento de un círculo.
EJEMPLO 7 La curva trazada por un punto P sobre la circunferencia de un círculo cuando este rueda a lo largo de una recta se llama cicloide (véase la figura 13). Si el círculo tiene radio r y rueda a lo largo del eje x, y si una posición de P está en el origen, determine las ecuaciones paramétricas para la cicloide. P
FIGURA 13
P
P