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C A P Í T U LO 3
| Funciones polinomiales y racionales
3.1 F UNCIONES Y MODELOS CUADRÁTICOS Graficar funciones cuadráticas usando la forma estándar 䉴 Valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas 䉴 Modelado con funciones cuadráticas Una función polinomial es una función que está definida por medio de una expresión con polinomios. Una función polinomial de grado n es una función de la forma
P1x 2 Las expresiones con polinomios están definidas en la Sección 1.3.
an x n
p
an 1x n21
a1x
a0
Ya hemos estudiado funciones polinomiales de grados 0 y 1. Estas son funciones de la forma P1x2 = a0 y P1x2 = a1x + a0, respectivamente, cuyas gráficas son rectas. En esta sección estudiamos las funciones de grado 2 que reciben el nombre de funciones cuadráticas.
FUNCIONES CUADRÁTICAS Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Una función cuadrática es una función de la forma
f1x2
ax 2
bx
c,
0
a
Vemos en esta sección la forma en que las funciones cuadráticas modelan muchos fenómenos reales. Empecemos por analizar las gráficas de funciones cuadráticas.
▼ Graficar funciones cuadráticas usando la forma estándar Para una definición geométrica de parábolas, vea la Sección 7.1.
Si tomamos a = 1 y b = c = 0 en la función cuadrática f 1x2 = ax2 + bx + c, obtenemos la función cuadrática f 1x2 = x2, cuya gráfica es la parábola graficada en el Ejemplo 1 de la Sección 2.2. De hecho, la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola que puede obtenerse de la gráfica de f 1x2 = x2 por las transformaciones dadas en la Sección 2.5.
FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática f1x 2
ax 2
bx
f 1x2
c puede expresarse en la forma estándar
a 1x 2 h2 2
k
completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice (h, k); la parábola abre hacia arriba si a 0 o hacia abajo si a 0. y
y Vértice (h, k) k
k Vértice (h, k) 0
x
h Ï=a(x-h)™+k, a>0
E J E M P LO 1
0
h
x
Ï=a(x-h)™+k, a<0
Forma estándar de una función cuadrática
Sea f 1x2 2x 12x 23. (a) Exprese f en forma estándar. 2
(b) Trace la gráfica de f.