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SECCIÓN 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales
EJEMPLO 5 d sx 8 1 12x 5 2 4x 4 1 10x 3 2 6x 1 5d dx d d d d d d − sx 8 d 1 12 sx 5 d 2 4 sx 4 d 1 10 sx 3 d 2 6 sxd 1 s5d dx dx dx dx dx dx − 8x 7 1 12s5x 4 d 2 4s4x 3 d 1 10s3x 2 d 2 6s1d 1 0 − 8x 7 1 60x 4 2 16x 3 1 30x 2 2 6
n
EJEMPLO 6 Encuentre los puntos sobre la curva y 5 x 4 2 6x 2 1 4 donde la recta tangente es horizontal.
y
SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que,
(0, 4)
0
x
dy d d d − sx 4 d 2 6 sx 2 d 1 s4d dx dx dx dx − 4x 3 2 12x 1 0 − 4xsx 2 2 3d
{_ œ„ 3, _5}
3, _5} {œ„
FIGURA 5 La curva y 5 x 2 6x 1 4 y sus tangentes horizontales 4
2
Así, dy@dx 5 0 si x 5 0 o x2 2 3 5 0, es decir, x 5 6 !3. Por tanto, la curva dada tiene rectas tangentes horizontales cuando x 5 0, !3 y 2 !3. Los puntos correspondientes son (0, 4), (!3, 25), y (2 !3, 25). (Véase la figura 5.) n
EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s 5 2t3 2 5t2 1 3t 1 4, donde s se mide en centímetros y t en segundos. Determine la aceleración como una función del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos? SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son
ds − 6t 2 2 10t 1 3 dt dv − 12t 2 10 astd − dt vstd −
La aceleración después de 2 s es a(2) 5 14 cm@s2.
n
Funciones exponenciales Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x) 5 bx, aplicando la definición de derivada: f 9sxd − lím
h:0
− lím
h:0
f sx 1 hd 2 f sxd b x1h 2 b x − lím h:0 h h b xb h 2 b x b x sb h 2 1d − lím h:0 h h
El factor bx no depende de h, por lo que puede llevarlo delante del límite: f 9sxd − b x lím
h:0
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bh 2 1 h
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