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Capítulo 3 Potencial eléctrico
▸ 3.6 c o n t i n u a c i ó n La figura 3.15 muestra uno de estos anillos. Debido a que
el punto P está en el eje central del disco, la simetría de nuevo nos dice que todos los puntos en un anillo tienen la misma distancia a P. Categorizar Ya que el disco es continuo, se evalúa el potencial debido a una distribución de carga continua en lugar de un grupo de cargas individuales.
Figura 3.15
R
(Ejemplo 3.6) Un disco de radio R, con carga uniforme, yace en un plano perpendicular al eje x. El cálculo del potencial eléctrico en cualquier punto P sobre el eje x se simplifica al dividir el disco en muchos anillos de radio r y ancho dr, con área 2pr dr.
dA 2pr dr
Use este resultado en la ecuación 3.21 en el ejemplo 3.5 (con r en lugar de a y dq en lugar de Q) para encontrar el potencial debido al anillo:
dV 5
5
R
ke 2psr dr "r 2 1 x 2
2r dr
R
5 pke s 3 1 r 2 1 x 2 2 21/2 2r dr
Para obtener el potencial total en P, integre esta expresión sobre los límites r 5 0 a r 5 R, y observe que x es una constante:
V 5 pke s 3
Esta integral es de la forma común eun du, donde n 5 212 y u 5 r 2 1 x 2 y tiene el valor un11/(n 1 1). Use este resultado para evaluar la integral:
V 5 2pk e s 3 1 R 2 1 x 2 2 1/2 2 x 4
0
x
dr
dq 5 s dA 5 s 1 2pr dr 2 5 2psr dr
"r 2 1 x 2
P
x
Analizar Encuentre la cantidad de carga dq en un anillo de radio r y ancho dr, como se muestra en la figura 3.15:
ke dq
r 2 x 2
r
"r 2 1 x 2
0
(3.23)
(B) Encuentre la componente x del campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje central perpendicular del disco. SOLUCIÓN
Como en el ejemplo 3.5, use la ecuación 3.16 para encontrar el campo eléctrico en cualquier punto axial:
Ex 5 2
dV x 5 2pke s c 1 2 d 1 R 2 1 x 2 2 1/2 dx
(3.24)
S
Finalizar Compare la ecuación 3.24 con el resultado del ejemplo 1.9. El cálculo de V y E para un punto arbitrario fuera del eje x es más difícil de realizar y en este libro no se trata dicha situación.
Ejemplo 3.7
Potencial eléctrico debido a una línea de carga finita
Una barra de longitud , ubicada a lo largo del eje x tiene una carga total Q y una densidad de carga lineal uniforme l. Encuentre el potencial eléctrico en un punto P ubicado sobre el eje y a una distancia a del origen (figura 3.16).
y P
r
a
SOLUCIÓN
dq
Conceptualizar El potencial en P debido a cada segmento de carga sobre la barra es positivo porque cada segmento tiene una carga positiva. Note que, a pesar de no haber simetría, la geometría elemental puede evidenciar claramente el problema.
Categorizar Ya que la barra es continua, evalúe el potencial debido a una distribución de carga continua en lugar de un grupo de cargas individuales.
Analizar En la figura 3.16 la barra se encuentra a lo largo del eje x, dx es la longitud de un segmento pequeño y dq es la carga en dicho segmento. Ya que la barra tiene una carga por cada unidad de longitud l, la carga dq sobre el segmento pequeño es dq 5 l dx.
O
x x
dx ᐉ
Figura 3.16 (Ejemplo 3.7) Línea de carga uniforme, de longitud ,, ubicada a lo largo del eje x. Para calcular el potencial eléctrico en P, la línea de carga se divide en segmentos, cada uno de longitud dx y carga dq 5 l dx.