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3.5 Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas
Ejemplo 3.5
Potencial eléctrico debido a un anillo con carga uniforme dq
(A) Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en un punto P ubicado sobre el eje central perpendicular de un anillo con carga uniforme de radio a y carga total Q.
a 2 x 2
a
SOLUCIÓN x
Conceptualizar Estudie la figura 3.14, en la que el anillo se orienta de modo que su plano es perpendicular al eje x y su centro está en el origen. Tenga en cuenta que la simetría de la situación significa que todas las cargas en el anillo están a la misma distancia del punto P. Compare este ejemplo con el ejemplo 1.8. Observe que las consideraciones vectoriales no son necesarias aquí, porque el potencial eléctrico es una magnitud escalar.
Categorizar Ya que el anillo consiste en una distribución continua de carga en lugar de un conjunto de cargas discretas, en este ejemplo debe usar la técnica de integración representada por la ecuación 3.20. Analizar Tome el punto P a una distancia x desde el centro del anillo, como se muestra en
P x
Figura 3.14 (Ejemplo 3.5) Un anillo de radio a con carga uniforme yace en un plano perpendicular al eje x. Todos los elementos dq del anillo están a la misma distancia de un punto P que se encuentra sobre el eje x.
la figura 3.14. Aplique la ecuación 3.20 para expresar V en términos de la geometría:
Note que a y x no varían para la integración sobre el anillo, así que pase "a 2 1 x 2 al frente de la integral e integre sobre el anillo:
dq dq V 5 ke 3 5 ke 3 r "a 2 1 x 2 V5
ke "a 2 1 x 2
3 dq 5
ke Q
(3.21)
"a 2 1 x 2
(B) Determine una expresión para la magnitud del campo eléctrico en el punto P. SOLUCIÓN S
A partir de la simetría, observe que a lo largo del eje x, E puede tener sólo una componente x. Por lo tanto, aplique la ecuación 3.16 a la ecuación 3.21:
Ex 5 2
dV d 1 a 2 1 x 2 2 21/2 5 2k e Q dx dx
5 2ke Q 1 2 12 2 1 a 2 1 x 2 2 23/2 1 2x 2 Ex 5
ke x 1a
2
1 x 2 2 3/2
Q
(3.22)
Finalizar La única variable en las expresiones para V y Ex es x. Esto no es de sorprender, porque los cálculos son válidos sólo para puntos a lo largo del eje x, donde y y z son cero. Este resultado para el campo eléctrico concuerda con el obtenido mediante integración directa (véase el ejemplo 1.8). En la práctica, utilice el resultado de la parte (B) en la ecuación 3.3 para verificar que el potencial está dado por la expresión en la parte (A).
Ejemplo 3.6
Potencial eléctrico debido a un disco con carga uniforme
Un disco con carga uniforme tiene radio R y densidad de carga superficial s.
(A) Encuentre el potencial eléctrico en un punto P a lo largo del eje central perpendicular al disco. SOLUCIÓN
Conceptualizar Si considera que el disco es un conjunto de anillos concéntricos, es posible usar el resultado del ejemplo 3.5, que da el potencial establecido por un anillo de radio a y sumar las aportaciones de todos los anillos que conforman el disco.
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