70
Capítulo 3
Ejemplo 3.4
Potencial eléctrico
Potencial eléctrico debido a un dipolo
y P
Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas por una distancia 2a, como se muestra en la figura 3.13. El dipolo está a lo largo del eje x y tiene centro en el origen.
y
(A) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje y.
q a
q a
R
x
x
SOLUCIÓN
Figura 3.13 (Ejemplo 3.4) Dipolo eléctrico ubicado sobre el eje x.
Conceptualizar Compare esta situación con la del inciso (B) del ejemplo 1.6. Es la misma situación, pero en este caso se busca el potencial eléctrico en lugar del campo eléctrico.
Categorizar Clasificamos el problema como uno en el que tenemos un pequeño número de partículas en lugar de una distribución continua de carga. El potencial eléctrico se puede evaluar al sumar los potenciales debidos a las cargas individuales.
Analizar Use la ecuación 3.12 para hallar el potencial eléctrico en P debido a las dos cargas:
q qi 2q VP 5 ke a 5 k e a 1 b5 0 2 2 ri i "a 1 y "a 2 1 y 2
(B) Calcule el potencial eléctrico en el punto R sobre el eje 1x. SOLUCIÓN
Use la ecuación 3.12 para encontrar el potencial eléctrico en R debido a las dos cargas:
2q qi 2ke qa q VR 5 k e a 5 k e a 1 b5 2 2 x2a x1a x 2 a2 i ri
(C) Calcule V y Ex en un punto sobre el eje x lejos del dipolo. SOLUCIÓN
Para el punto R lejos del dipolo, tal que x .. a, ignore a 2 en el denominador de la respuesta al inciso (B) y escriba V en este límite:
VR 5 lim a2
Use la ecuación 3.16 y este resultado para calcular la componente x del campo eléctrico en un punto sobre el eje x lejos del dipolo:
Ex 5 2
x ..a
2ke qa x 2a 2
2b
< 2
2k e qa x2
1 x .. a 2
2ke qa d dV 5 2 a2 2 b dx dx x
5 2ke qa
4k e qa d 1 a b5 2 dx x 2 x3
1 x .. a 2
Finalizar Los potenciales en los incisos (B) y (C) son negativos, porque los puntos sobre el eje 1x están más cerca de la carga negativa que de la carga positiva. Por la misma razón, la componente x del campo eléctrico es negativa. Observe que tenemos una caída de 1/r 3 del campo eléctrico con la distancia lejos del dipolo, similar al comportamiento del campo eléctrico en el eje y en el ejemplo 1.6. ¿Q U É PA S A R Í A S I ?
Suponga que quiere encontrar el campo eléctrico en un punto P sobre el eje y. En el inciso (A) se encontró que el potencial eléctrico es cero para todos los valores de y. El campo eléctrico, ¿es cero en todos los puntos sobre el eje y?
Respuesta No. Que no haya cambio en el potencial a lo largo del eje y sólo dice que la componente y del campo eléctrico es cero. Vea de nuevo la figura 1.13 en el ejemplo 1.6. Se demostró que el campo eléctrico de un dipolo sobre el eje y sólo tiene una componente x. No se puede encontrar la componente x en el ejemplo actual porque no se tiene una expresión para el potencial cerca del eje y como función de x.